4 Sustavi linearnih jednadžbi 4 Rješivost i struktura skupa rješenja Definicija 4 Linearna jednadžba nad poljem F u nepoznanicama x, x 2,, x n je jednadžba oblika a x + a 2 x 2 + + a n x n = b pri čemu su a,, a n, b F Opći sustav linearnih jednadžbi nad poljem F sastoji se od m linearnih jednadžbi s n nepoznanica, m, n N: () a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m x + a m2 x 2 + + a mn x n = b m Skalari a ij zovu se koeficijenti sustava, a b,, b m slobodni članovi Definicija 42 Rješenje sustava () je svaka uredena n-torka (γ,, γ n ) F n za koju supstitucija x = γ, x 2 = γ 2,, x n = γ n zadovoljava sve jednadžbe (tj ta supstitucija sve jednadžbe prevodi u numeričke identitete) Uz sustav () uobičajeno vežemo sljedeće matrice: a a n x A =, X = a m a mn x n a a n b A p = a m a mn b m, B = b b m, One se, redom, zovu matrica sustava, matrica nepoznanica, matrica slobodnih članova i proširena matrica sustava Uz pomoć uvedenih matrica sustav () možemo pisati u ekvivalentnom obliku (2) AX = B Napomena 43 Sustav () i matrična jednadžba (2) ekvivalentni su, ne samo po zapisu, nego i u sljedećem smislu: uredena n-torka (γ, γ 2,, γ n )
2 zadovoljava () ako i samo ako jednostupčana matrica (2) Drugim riječima, prirodna identifikacija (γ, γ 2,, γ n ) γ γ n zadovoljava predstavlja bijekciju skupa svih rješenja sustava () na skup svih rješenja matrične jednadžbe (2) U nastavku ćemo slobodno, bez eksplicitnog referiranja na prethodnu napomenu, koristiti i () i (2) U ovom poglavlju želimo riješiti tri zadaće: naći nužne i dovoljne uvjete da bi sustav () bio rješiv, opisati skup svih rješenja sustava (), naći metodu za nalaženje svih rješenja sustava () Odgovor na pitanje o rješivosti općeg sustava linearnih jednadžbi dat će nam, kako je to sugerirano u uvodnom poglavlju, analiza stupaca matrice sustava U osnovi, odgovor je sadržan u sljedećoj propoziciji Propozicija 44 Uredena n-torka (γ, γ 2,, γ n ) F n je rješenje sustava () ako i samo ako vrijedi B = γ S + γ 2 S 2 + + γ n S n gdje je {S, S 2,, S n } stupčana reprezentacija matrice A Dokaz Tvrdnja izlazi direktno iz definicije operacija s matricama Teorem 45 (Kronecker-Capelli) Sustav AX = B je rješiv ako i samo ako vrijedi r(a) = r(a p ) Dokaz Po definiciji ranga imamo r(a) = dim [{S,, S n }] i takoder r(a p ) = dim [{S,, S n, B}] Jasno je da vrijedi [{S,, S n }] [{S,, S n, B}] i zato je r(a) r(a p ) Sada imamo sljedeći niz ekvivalentnih tvrdnji: r(a) = r(a p ) [{S,, S n }] = [{S,, S n, B}] B [{S,, S n }] γ, γ 2,, γ n F takvi da je B = γ S +γ 2 S 2 + +γ n S n (prema propoziciji 44) postoji rješenje sustava (i to je upravo n-torka (γ, γ 2,, γ n )) Definicija 46 Kaže se da je sustav linearnih jednadžbi () homogen ako vrijedi b = = b m = 0 Opći oblik homogenog sustava je dakle (3) odnosno a x + a 2 x 2 + + a n x n = 0 a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m x + a m2 x 2 + + a mn x n = 0 (4) AX = 0 Propozicija 47 Homogeni sustav je uvijek rješiv Skup svih rješenja homogenog sustava (3) je vektorski prostor, γ γ n
Dokaz Prva tvrdnja je trivijalna jer svaki homogeni sustav ima bar trivijalno rješenje γ = 0, γ 2 = 0,, γ n = 0 Primijetimo usput da se rješivost homogenog sustava jednako očito dobiva i iz prethodnog teorema 45 Da bismo dokazali drugu tvrdnju dovoljno je vidjeti da je skup svih rješenja homogenog sustava (3) potprostor od F n (odnosno, ekvivalentno, da je skup svih rješenja homogenog sustava zapisanog u obliku (4) potprostor od M n (F)) Priklonimo se matričnom zapisu (4) i označimo skup svih rješenja s Ω M n (F) Za C, C 2 Ω i λ, λ F sada, zbog distributivnosti i kvaziasocijativnosti množenja matrica i AC = AC 2 = 0, imamo A(λ C + λ 2 C 2 ) = λ AC + λ 2 AC 2 = 0, dakle λ C + λ 2 C 2 Ω Napomena 48 Prostor rješenja Ω homogenog sustava AX = 0 je uvijek konačnodimenzionalan Ako označimo dim Ω = d, pokazat će se da vrijedi d = n r gdje je r = r(a) Ovaj rezultat ćemo dobiti u sljedećoj točki kao direktnu posljedicu opisa Gaussove metode eliminacije Napomena 49 Uz oznaku dim Ω = d neka je skup {C,, C d } baza prostora rješenja Ω homogenog sustava AX = 0 Tradicionalno, ovo se zove fundamentalni skup rješenja Svako rješenje je sada oblika C = λ C + λ C + +λ d C d za neke λ,, λ d F Ovo, medutim, nije nova činjenica, nego svojstvo (svake) baze (bilo kojeg) vektorskog prostora U opisu strukture skupa rješenja proizvoljnog (nehomogenog) sustava () (odnosno (2)) spretno je paralelno promatrati i pridruženi homogeni sustav (3) (odnosno (4)) Propozicija 40 Neka je dan proizvoljan sustav AX = B, neka je C 0 bilo koje njegovo rješenje, te neka je Ω prostor rješenja pridruženog homogenog sustava AX = 0 Tada je C 0 + Ω := {C 0 + C : C Ω} skup svih rješenja sustava AX = B Dokaz Vrijedi, dakle, AC 0 = B Jasno je da za proizvoljan C Ω imamo A(C 0 + C) = AC 0 + AC = B + 0 = B pa je C 0 + C rješenje sustava AX = B Obratno, pretpostavimo da je C neko rješenje sustava AX = B, dakle, AC = B Oduzmimo od toga jednakost AC 0 = B Dobivamo A(C C 0 ) = 0, što pokazuje da je C C 0 rješenje pridruženog homogenog sustava Zato postoji C Ω takav da C C 0 = C, tj C = C 0 + C Napomena 4 (a) C 0 iz teksta prošle propozicije zovemo partikularnim rješenjem Ukoliko opet s {C,, C d } označimo bazu za Ω onda je proizvoljno rješenje sustava oblika C 0 + d i= λ ic i, λ,, λ d F (naravno, ako je d > 0 Ako je d = 0 onda je Ω = {0} i oba sustava, AX = B i AX = 0, imaju jedinstveno rješenje) (b) Uočimo da je skup svih rješenja proizvoljnog sustava AX = B linearna mnogostrukost C 0 + Ω; dakle, element kvocijentnog prostora F n /Ω čiji reprezentant je partikularno rješenje C 0 Kako se svaka klasa ekvivalencije može reprezentirati bilo kojim svojim elementom, to u ovom slučaju vidimo 3
4 da za reprezentant klase (tj partikularno rješenje) zaista možemo odabrati proizvoljan vektor C 0 takav da je AC 0 = B 42 Gaussova metoda eliminacije Gaussova metoda eliminacije je algoritam kojim rješavamo sustave linearnih jednadžbi Kako smo vidjeli u prethodnoj točki, to se svodi na nalaženje jednog partikularnog rješenja i na odredenje baze prostora rješenja pridruženog homogenog sustava Jedno od vrijednih svojstava Gaussove metode je činjenica da u primjeni nije potrebno unaprijed utvrdivati je li zadani sustav uopće rješiv Naime, Gaussova metoda u svojoj osnovi ima računanje ranga matrice sustava te će eventualna nerješivost sustava (tj činjenica da matrica sustava i proširena matrica sustava nemaju isti rang) tijekom izvodenja algoritma postati očita Opis Gaussove metode započinjemo jednom strateškom definicijom Definicija 42 Dva sustava linearnih jednadžbi nad poljem F su ekvivalentna ako imaju isti broj nepoznanica i isti skup rješenja U pozadini ove definicije je ideja da od danog sustava prijedemo na neki ekvivalentan, ali što jednostavniji, tako da mu rješenja budu lako dokučiva Uočimo da broj jednadžbi ovdje nije relevantna činjenica To je i intuitivno jasno, jer danom sustavu uvijek možemo dodati neku od njegovih jednadžbi ili njihovih kombinacija čime se broj jednadžbi mijenja, a skup rješenja evidentno ostaje isti U drugu ruku, uočimo li u danom sustavu da su npr dvije jednadžbe proporcionalne, očito je da jednu od njih možemo izostaviti bez ikakvih posljedica Prethodna definicija odmah otvara pitanje prepoznavanja, odnosno produciranja sustava koji su ekvivalentni zadanome Definicija 422 Elementarne transformacije sustava linearnih jednadžbi su: (I) zamjena poretka dviju jednadžbi, (II) množnje neke jednadžbe skalarom λ 0, (III) pribrajanje neke jednadžbe pomnožene skalarom λ nekoj drugoj jednadžbi sustava Propozicija 423 Primjenom konačnog broja elementarnih transformacija na dani sustav linearnih jednadžbi dobiva se ekvivalentan sustav Dokaz Dovoljno je pokazati da su sustavi AX = B i A X = B ekvivalentni, gdje ovaj drugi nastaje iz prvog primjenom samo jedne od gornjih transformacija Za to je pak dovoljno vidjeti da je proizvoljno rješenje od AX = B ujedno i rješenje od A X = B ; obratna inkluzija tada slijedi iz činjenice da se i AX = B dobiva iz A X = B primjenom takve iste transformacije
Ako smo A X = B dobili iz AX = B primjenom transformacije (I) ili (II) tvrdnja je potpuno trivijalna Preostaje provjeriti učinak transformacije (III) Uzmimo da smo i-tu jednadžbu u AX = B pomnožili s λ i dodali k-toj te na taj način dobili sustav A X = B Neka je (γ, γ 2,, γ n ) proizvoljno rješenje od AX = B Kako se polazni i dobiveni sustav razlikuju samo u k-toj jednadžbi, jedino treba provjeriti da (γ, γ 2,, γ n ) zadovoljava k-tu jednadžbu sustava A X = B No, to je gotovo očito: n (λa ij + a kj )γ j = λ j= n a ij γ j + j= n a kj γ j = λb i + b k j= 5 Napomena 424 Uočimo da su elementarne transformacije sustava zapravo elementarne transformacije redaka proširene maatrice A p Elementarne transformacije stupaca ovdje nećemo izvoditi Može se primijetiti da bi elementarne transformacije stupaca zapravo značile uvodenje novih nepoznanica koje bi s originalnim nepoznanicama x,, x n bile vezane linearnim transformacijama Prijedimo sada na opis Gaussove metode eliminacije Istaknimo još jednom da je riječ o univerzalnom algoritmu za rješavanje proizvoljnog sustava linearnih jednadžbi Neka je dan sustav (5) a x +a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x +a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m x +a m2 x 2 + + a mn x n = b m Elementarnim transformacijama sustava (a to su elementarne transformacije redaka proširene maatrice A p ) dobivamo u konačno mnogo koraka matricu 0 0 a,r+ a n b 0 0 a 2,r+ a 2n b 2 A p = 0 0 a r,r+ a rn b r 0 0 0 0 0 b r+ 0 0 0 0 0 b m,
6 odnosno sustav (6) x + + a,r+ x r++ +a n x n = b x 2 + + a 2,r+ γ r++ +a 2n x n = b 2 x r + a r,r+ x r++ +a rnx n = b r 0 x + 0 x 2 + +0 x r + 0 x r+ + +0 x n = b r+ 0 x + 0 x 2 + +0 x r + 0 x r+ + +0 x n = b m Primijetimo najprije da navedenu formu od A p uvijek možemo dobiti elementarno transformirajući retke polazne proširene matrice A p Pritom je pretpostavljeno, odnosno izračunato, r(a) = r Naime, ako je r = 0 nema se što računati, a ako je r > 0 onda se nekih r stupaca može isprazniti Vidjet će se da nije smanjenje općenitosti ako smo uzeli da je to upravo slučaj s prvih r stupaca Prema propoziciji 423, dobiveni sustav (6) je ekvivalentan polaznom sustavu (5) Sada iz izgleda sustava (6), odnosno iz matrice A p, odmah uvidamo da je (6) rješiv ako i samo ako je b r+ = = b m = 0 To, naime, slijedi iz teorema 45 (Izravnu potvrdu ove činjenice nam daje i izgled zadnjih m r jednadžbi sustava (6)) Ako, dakle, za bar jedan i, r + i m, vrijedi b i 0, zadani sustav nema rješenja Pretpostavimo sada da je b r+ = = b m = 0 Tada dobivena matrica A p ima oblik 0 0 a,r+ a n 0 0 a 2,r+ a 2n A p = 0 0 a r,r+ a rn 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b b 2 b r 0 0 Odavde odmah vidimo da je C 0 = (b, b 2,, b r, 0,, 0) jedno partikularno rješenje Preostaje naći bazu prostora rješenja pripadnog homogenog sustava Uočimo da to takoder možemo iščitati iz gornje matrice; pritom treba zamišljati da je b i = 0, i =, 2,, r, jer su u polaznom pridruženom homogenom sustavu svi slobodni članovi bili jednaki 0 Sad iz matrice A p nalazimo
sljedeća rješenja pridruženog homogenom sustava: C = ( a,r+, a 2,r+,, a r,r+,, 0,, 0) C 2 = ( a,r+2, a 2,r+2,, a r,r+2, 0,,, 0) C n r = ( a,n, a 2,n,, a r,n, 0, 0,, ) Da su C,, C n r zaista rješenja pridruženog homogenog sustava vidi se direktnom provjerom Jasno je takoder da je skup {C,, C n r } linearno nezavisan (to je očito iz izgleda zadnjih n r komponenti u svakom C i, i =, 2,, n r) Dokažimo da je skup {C,, C n r } i sustav izvodnica za prostor rješenja pridruženoga homogenog sustava Neka je C = (γ,, γ n ) proizvoljno rješenje pridruženoga homogenog sustava Eksplicitno, to znači: γ + + a,r+ γ r++ +a n γ n = 0 γ 2 + + a 2,r+ γ r++ +a 2n γ n = 0 γ r + a r,r+ γ r++ +a rnγ n = 0 Sad tvrdimo da je C = γ r+ C + γ r+2 C 2 + + γ n C n r Da se u to uvjerimo, treba samo usporediti sve komponente Medutim, prethodni skup jednakosti daje upravo jednakost prvih r komponenti, dok su jednakosti ostalih n r komponenti trivijalne Iz svega rečenog slijedi: opće rješenje dobivenog, a time i polaznog sustava je dano s C 0 + n r i= λ ic i, λ,, λ n r F Izravno iz prethodnog algoritma dobivamo sljedeću važnu činjenicu: Korolar 425 Neka je Ω prostor rješenja homogenog sustava AX = 0, A M mn (F ), r(a) = r Tada je dim Ω = n r Posebno, ukoliko je r(a) = n onda sustav AX = 0 ima samo trivijalno rješenje Uočimo da dimenzija prostora rješenja ovisi samo o broju nepoznanica i o rangu matrice sustava; kako smo već i istaknuli, broj jednadžbi u sustavu sam za sebe nije relevantan podatak Primjer Riješimo sustav x + 2x 2 + 2x 3 + 3x 4 + x 5 = 3 2x + x 3 x 4 + 5x 5 = 2 x + 2x 2 + 6x 3 x 4 + 5x 5 = 3 x 2x 2 + 5x 3 2x 4 + 2x 5 = Transformirajući proširenu matricu sustava A p dobivamo sljedeći niz ekvivalentnih matrica, odnosno sustava: 2 2 3 3 2 2 3 3 2 0 5 2 2 6 5 3 0 4 5 7 3 4 0 0 4 4 4 0 2 5 2 2 0 4 3 5 4 7
8 2 2 3 3 0 4 5 7 3 4 0 0 0 0 4 3 5 4 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 2 0 5 3 0 4 0 2 8 4 0 0 0 0 4 0 2 8 4 0 0 3 0 0 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Odavde vidimo da rang matrica A i A p iznosi 3 te da je dimenzija prostora rješenja pridruženog homogenog sustava jednaka 2 (U tradicionalnoj terminologiji reklo bi se da rješenje ovisi o dva slobodna parametra) Pišemo li rješenja kao jednostupčane matrice, dobivamo partikularno rješenje C 0 = 0 0 0, te C = 3 0, C 2 = 3 2 0 dakle, C = C 0 + λ C + λ 2 C 2, λ, λ 2 R Opće rješenje danog sustava je, Ako je matrica sustava A kvadratna, tj ako dani sustav ima isti broj jednadžbi i nepoznanica, Gaussova metoda eliminacije je zapravo ekvivalent LU dekompoziciji koju smo razmatrali u završnoj točki prethodnog poglavlja Pretpostavimo da je dan sustav AX = B pri čemu je A M n Uzmimo da je A = LU faktorizacija matrice A na donjetrokutasti i gornjetrokutasti faktor Sada dani sustav možemo pisati u obliku LU X = B Uz supstituciju U X = Y sada se rješavanje polaznog sustava svodi na rješavanje dvaju sustava: LY = B i UX = Y Primijetimo da su oba sustava rješiva neposrednim sukcesivnim odredivanjem svih nepoznanica jer su obje matrice trokutaste Uočimo još da, po konstrukciji, matrica L ima jedinice na svim dijagonalnim mjestima Posebno, prema propoziciji??, det L = te je, prema teoremu??, regularna Sad je, prema teoremu??, r(l) = n Primjenom korolara 425 sada zaključujemo da je rješenje sustava LY = B jedinstveno Ako to rješenje označimo s Y 0, preostaje riješiti sustav UX = Y 0 Za kraj razmotrimo još jedan specijalan slučaj Uzmimo sustav AX = B u kojem je opet broj jednadžbi m jednak broju nepoznanica n; dakle A M n je kvadratna matrica Ukoliko je r(a) < n onda je n r(a) > 0 i imamo beskonačan (u stvari (n r(a))-dimenzionalan) skup rješenja Pobliže ćemo razmotriti slučaj kad je n = r(a), tj kad je matrica A regularna Postoji i analogna dekompozicija matrica koje nisu nužno kvadratne te se zapravo nalaženje takve dekompozicije pokazuje ekvivalentom Gaussove metode eliminacije za proizvoljne sustave linearnih jednadžbi
9 Definicija 426 Kaže se da je sustav AX = B Cramerov ako je A M n (dakle, broj jednadžbi je jednak broju nepoznanica) i ako je A regularna matrica Propozicija 427 Cramerov sustav AX = B je rješiv, a rješenje mu je jedinstveno i dano formulom C = A B Dokaz Da je C rješenje vidi se izravnim uvrštavanjem, a jedinstvenost slijedi iz korolara 425 Korolar 428 Neka je C = (γ,, γ n ) jedinstveno rješenje Cramerova sustava AX = B Tada je γ j = D j D, j =, n, pri čemu je D = det A, a D j je determinanta matrice u kojoj je j-ti stupac upravo B, dok su ostali stupci isti kao u A Dokaz Kako je A = [a ij ] regularna matrica, D = det A 0, pa je formula smislena Iz C = A B vidimo da je γ j zapravo umnožak j-tog retka od A i matrice B Prema teoremu?? znamo da je A = D Ã, gdje je à adjunkta matrice A Po definiciji adjunkte je [Ã] rs = A sr, pri čemu je A sr algebarski komplement koeficijenta a sr Zato je γ j = n i= D [Ã] jib i = n D i= b ia ij = D D j, s tim da je zadnja jednakost dobivena Laplaceovim razvojem determinante D j po j-tom stupcu 43 Zadaci Riješite sustav 2 Riješite sustav 3 Riješite sustav 4 Riješite sustav 5 Riješite sustav 3x x 2 + 2x 3 = 0 2x + 3x 2 5x 3 = 0 x + x 2 + x 3 = 0 x 2x 2 + x 3 = 4 2x + 3x 2 x 3 = 3 4x x 2 + x 3 = 3x x 2 + 2x 3 = 0 2x + 3x 2 5x 3 = 0 x + x 2 + x 3 = 0 x + 2x 2 x 3 + x 4 = 2x + 5x 2 x 3 + 2x 4 = 2 3x x 2 2x 3 + x 4 = 5 x x 2 + 3x 3 5x 4 = 6 4x 2x 2 3x 3 2x 4 = 2x + 2x 2 + 3x 3 4x 4 = 5 3x + 2x 2 2x 3 5x 4 = 2x 5x 2 3x 3 + 3x 4 =
0 6 Riješite sustav 3x + 2x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2 2x + 3x 2 + 2x 3 + 5x 4 = 3 9x + 2x 2 + 4x 3 5x 4 = 2x + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 5 7 U ovisnosti o realnom parametru α riješite sustav 2x + αx 2 3x 3 = 32 x 2x 2 + x 3 = α 2x + 3x 2 + αx 3 = 8 8 U ovisnosti o realnom parametru λ riješite sustav λx + 2x 2 + x 3 + x 4 = 2x x 2 x 4 = 4x + 3x 2 + 2x 3 + λx 4 = 3 5x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 9 U ovisnosti o realnom parametru λ riješite sustav 0 Pokažite da je sustav 2x x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 5 4x 2x 2 + 5x 3 + 6x 4 = 7 6x 3x 2 + 7x 3 + 8x 4 = 9 λx 4x 2 + 9x 3 + 0x 4 = 2x + x 2 + 3x 4 = 3 x + x 4 = 5 3x + x 2 + 5x 3 = 0 x 2 + 3x 3 = Cramerov pa ga riješite pomoću Cramerovih formula (iz korolara 428) Riješite sustav 0 0 0 0 2 X = 2 0 0 2 Riješite sustav 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 3 Odredite LR dekompoziciju matrice A = X = 0 0 2 0 2 0 0 i uz pomoć te dekompozicije riješite sustav AX = 4 4 Neka je {(,, 0, ), (, 0, 2)} baza potprostora M prostora R 4 Pokažite da je M skup svih rješenja nekog homogenog sustava jednadžbi
5 Neka je M potprostor prostora R n Pokažite da postoji homogeni sustav linearnih jednadžbi čiji prostor rješenja je M