ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ"

Transcript

1 [7] ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Κύκλος µε κέντρο Κ και ακτίνα ρ λέγεται ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν από το Κ απόσταση ίση µε ρ. ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΥΚΛΟΥ Αν ο κύκλος έχει κέντρο το σηµείο Κ(x,ψ ) και ακτίνα ρ τότε έχει εξίσωση (x-x ) +(ψ-ψ ) =ρ. Ειδικά αν το κέντρο είναι στην αρχή των αξόνων Ο(,) η εξίσωση γίνεται x +ψ =ρ. ' x x Η εξίσωση x +ψ +Αx+Βψ+Γ= (Α +Β -4Γ ) παριστάνει κύκλο µε κέντρο το σηµείο Α Β Κ(-, ) και ακτίνα ρ= Α +Β 4Γ. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΚΥΚΛΟΥ Για νρω την εξίσωση εφαπτόµενης κύκλου µε κέντρο Κ(x,ψ ) και ακτίνας ρ στο σηµείο του Α(x,ψ ) θεωρώ ένα τυχαίο σηµείο Μ(x,ψ) πάνω στην εφαπτόµενη (ε) και παρατηρώ ότι ΚΑ ΑΜ οπότε έχω: ΚΑ ΑΜ=.Από αυτή τη σχέση καταλήγω στην εξίσωση της ευθείας (ε). Εδικά ο κύκλος C: x +ψ =ρ µε κέντρο Ο(,) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση εφαπτοµένης x x +ψ ψ =ρ. ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΥ Η απόσταση του κέντρου Κ(x,ψ ) ενός κύκλου από την ευθεία (ε):αx+βψ+γ= είναι Αx +Βψ +Γ d=. Α +Β α) Αν d=ρ (όπου ρ η ακτίνα του κύκλου) τότε η (ε) εφάπτεται του κύκλου. Για να βρω το σηµείο επαφής λύνω το σύστηµα κύκλου και ευθείας. β ) Αν d ρ τότε η (ε) τέµνει τον κύκλο σε δύο σηµεία. γ ) Αν d ρ τότε κύκλος και ευθεία δεν έχουν κανένα κοινό σηµείο. ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ Έστω οι κύκλοι C :(Κ,ρ ) και C :(Λ,ρ ) και έστω ρ ρ. Τότε:. Αν (ΚΛ) ρ +ρ ο C είναι εκτός του C.. Αν (ΚΛ)=ρ +ρ οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά. 3. Αν ρ -ρ (ΚΛ) ρ +ρ οι κύκλοι τέµνονται σε δύο σηµεία. 4. Αν (ΚΛ)=ρ -ρ ο C εφάπτεται εσωτερικά στον C. ψ ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

2 [7] 5. Αν (ΚΛ) ρ -ρ ο C βρίσκεται εντός του C.. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Να αποδειχθεί ότι η ευθεία (ε): xσυνθ+ψηµθ=3 εφάπτεται στον κύκλο x +ψ =9 για κάθε θ R. Ο κύκλος έχει κέντρο το Ο(,) και ακτίνα ρ=3. Η (ε) θα εφάπτεται στον κύκλο αν ισχύει: d(ε, Ο)=ρ. Πράγµατι: συνθ+ ηµθ-3 3 d(ε, Ο)= = =3=ρ. συν θ+ηµ θ. Νρεθούν οι εξισώσεις των κύκλων, οι οποίοι διέρχονται από τα σηµεία Α(,-) και Β(3,-4) και εφάπτονται στον άξονα χ χ. Αν Κ(α,β) το κέντρο του ζητούµενου κύκλου τότε: ΚΑ=ΚΒ (α-) +β+) = (α-3) +(β+4) 4α-4β= α=β+5. () Επειδή ο κύκλος C εφάπτεται στον άξονα χ χ θα είναι ρ= β. Άρα: ρ= β ΚΑ =β (α-) +(β+) =β α -α+4β+5=. () Η () λόγω της () γίνεται: (β+5) -(β+5)+4β+5= β +β+= β=- ή β=-. () Γι=- είναι α= + 5= 3, οπότε: Κ (3,-) και ρ=κα= 4 + =. Η εξίσωση του κύκλου είναι: C : (x-3) +(ψ+) =4. () Γι=- είναι α= + 5= 5, οπότε: Κ (-5,-) και ρ= =. Η εξίσωση του κύκλου είναι:c : (x+5) +(ψ+) =. 3. Νρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτόµενων του κύκλου (C): x +ψ =5 οι οποίες διέρχονται από το σηµείο Κ(-5,5). Έστω Α(x,ψ ) το σηµείο επαφής. Τότε η εξίσωση της εφαπτόµενης είναι: (ε): xx +ψψ =5 (). Επειδή η (ε) διέρχεται από το Κ οι συντεταγµένες του την επαληθεύουν, άρα: -5x +5ψ =5 x =3ψ -5 (). Αλλά το σηµείο επαφής ( Α ανήκει και στον κύκλο, εποµένως: x +ψ =5 9ψ +5-3ψ +ψ =5 ψ -3ψ = ψ = ή ψ =3. Άρα Α (-5,) ή Α (4,3), οπότε από την () οι ζητούµενες εφαπτόµενες είναι: ) ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

3 [73] (ε ): x=-5 στο Α (ε ): 4x+3ψ-5= στο Α. 4. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο το σηµείο Κ(,), ο οποίος αποκόπτει από την ευθεία (ε): 3x+4ψ+8= χορδή µήκους 8 µονάδων. Έστω ΑΒ η χορδή του κύκλου που ορίζει ο κύκλος µε την ευθεία (ε) και ΚΜ ΑΒ. Επειδή το Μ είναι το µέσο της χορδής ΑΒ, είναι ΑΜ=4. Επίσης: ΚΜ=d(K, ε)= = = Από το Πυθαγόρειο θεώρηµα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΜΚΑ έχουµε: ΚΑ =ΚΜ +ΜΑ =3 +4 =5. Εποµένως η ακτίνα του κύκλου είναι ρ=5 και η εξίσωσή του είναι: (x-) +(ψ-) =5. 5. ίνεται ο κύκλος C: (x+) +(ψ+3) =5. Νρεθεί η εξίσωση της εφαπτόµενης του κύκλου στο σηµείο του Α(-5,). Έστω (ε) η ζητούµενη εφαπτόµενη του κύκλου στο Α και Μ(x,ψ) τυχαίο σηµείο της (ε). Τότε ΚΑ ΑΜ ΚΑ ΑΜ=.() Αλλά: ΚΑ= ( 3,4) και ΑΜ= ( x + 5, ψ ). Η () -3(x+5)+4(ψ-)= -3x-5+4ψ-4= 3x-4ψ-9=. 6. Νρεθεί η εξίσωση της εφαπτόµενης του κύκλου C: x +ψ = η οποία: i) είναι παράλληλη στην ευθεία (δ): x+3ψ=4 ii) είναι κάθετη στην ευθεία (ζ): 3x+ψ-= i) Aν (x,ψ ) το σηµείο επαφής, η εξίσωση της εφαπτόµενης είναι (ε): Α x xx +ψψ =.() και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ ε = - =-. Επειδή (ε)/(δ) Β ψ x είναι λ ε =λ δ - =- ψ =3x. ψ 3 Αλλά το (x,ψ ) C x +ψ =. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

4 [74] Τα x, ψ θα προσδιοριστούν από τη λύση του συστήµατος ψ =3x ψ =3x x +ψ = x = x = x =- ή. Άρα οι εξ. εφαπτόµενης από την () είναι: ψ =3 ψ =-3 x+3ψ-= στο σηµείο (,3) και x+3ψ+= στο σηµείο (-,-3). ii) Aν (x,ψ ) το σηµείο επαφής, η εξίσωση της εφαπτόµενης είναι (ε): Α x xx +ψψ =.() και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ ε = =. Eπειδή (ε) (ζ) Β ψ x είναι: λ ε.λ ζ =- - (-3)=- ψ =-3x. Αλλά το ψ (x,ψ ) C x +ψ =. Τα x, ψ θα προσδιοριστούν από τη λύση του ψ =-3x ψ =-3x x = x =- συστήµατος ή. x +ψ = x = ψ =-3 ψ =3 εξισώσεις εφαπτόµενης από την () είναι: x-3ψ-= στο σηµείο (,-3) και x-3ψ+= στο σηµείο (-,3). Άρα οι 7. ίνεται ο κύκλος C: x +ψ =9 και το σηµείο Α(,). Νρεθεί η εξίσωση της χορδής του κύκλου, η οποία έχει ως µέσο το σηµείο Α. α τρόπος: Έστω ότι η ζητούµενη χορδή τέµνει τον κύκλο στα σηµεία Β(x.ψ ) και Γ(x,ψ ). Τότε θα ισχύει: x +ψ =9 () και x +ψ =9 (). Αφαιρώντας κατά µέλη τις () και () έχουµε: x -x +ψ -ψ = (x +x )(x -x )+(ψ +ψ )(ψ -ψ )= (3). x +x = x +x = Επειδή το Α είναι µέσο της ΒΓ ισχύει: άρα η (3) ψ +ψ ψ +ψ =4 = ψ -ψ ψ -ψ γίνεται: (x -x )+4(ψ -ψ )= + 4 = =-. x -x x -x ψ -ψ Αλλά ο λόγος είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της ΒΓ. Εποµένως η x -x εξίσωση της χορδής ΒΓ που διέρχεται από το Α είναι: ψ- = - (x-) x+ψ-5=. ( Να εξεταστεί αν η κατακόρυφη ευθεία x=αποτελεί λύση του προβλήµατος). ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

5 [75] Παρατήρηση Η µέθοδος της διαφοράς που εφαρµόστηκε στην άσκηση µας δίνει την δυνατότητα να εκµεταλλευτούµε τις συντεταγµένες του µέσου ενός ευθυγράµµου τµήµατος και να εµφανίσουµε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ζητούµενης ευθείας στο πρόβληµα. Να µελετηθεί καλά γιατί εφαρµόζεται και στις άλλες κωνικές τοµές. Το παραπάνω πρόβληµα µπορεί να λυθεί και ως εξής, πράγµα που ισχύει µόνον στον κύκλο: β τρόπος: Αν ΟΑ το απόστηµα και ΒΓ η χορδή, τότε: ΟA BΓ (Το Α είναι προφανώς µέσο - της ΒΓ). Είναι λ ΟΑ = = =. Άρα λ ΒΓ=-. Έτσι, η εξίσωση της χορδής ΒΓ - είναι: ψ-= (x-) x+ψ-5=. 9λ 8. ίνεται η εξίσωση: C: x +ψ -4λ x-λ ψ+ -λ- =, λ R. () i) Nα αποδείξετε ότι για κάθε λ, η () παριστάνει κύκλο του οποίου νρείτε το κέντρο και την ακτίνα του. ii) Nρείτε τον γεωµετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων για κάθε λ R. i) Έχουµε: Α +Β -4Γ=(-4λ) +(-λ) 9λ -4 -λ- =6λ +4λ -8λ +4λ+= (λ+). Άρα η () παριστάνει κύκλο µε κέντρο: Κ - Α,- Β =(λ,λ) και Α +Β -4Γ (λ+) ακτίνα ρ= = =. ii) Aν Κ(x,ψ) το κέντρο του κύκλου, τότε: x=λ, ψ=λ και µε απαλοιφή του λ από λ+ τις δύο εξισώσεις έχουµε ότι: ψ= x (ε). Άρα ο γεωµετρικός τόπος του Κ είναι η ευθεία (ε). 9. ίνεται ο κύκλος x +ψ =5 και το σηµείο Α(3,4). Νρείτε τον γεωµετρικό τόπο των µέσων των χορδών του κύκλου που διέρχονται από το Α. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

6 [76] Η χορδή ΑΒ έχει άκρα τα σηµεία Α(3,4) και Β(x,ψ ) και µέσο το Μ(x o,ψ ο ). Τότε: x +3 ψ +4 x o = () και ψ = (). Aλλά ισχύει x +ψ =5 (3). Από () και () έχουµε ότι: x =x o -3, ψ =ψ ο -4 και η (3) γίνεται: (x o -3) +(ψ ο -4) = x - + ψ - 3 = που είναι κύκλος µε κέντρο, και ακτίνα 5/. 4. ίνονται τα σηµεία Α(,) και Β(3,). Νρείτε τον γεωµετρικό τόπο των ΜΑ σηµείων Μ για τα οποία ισχύει: =. ΜΒ Έστω Μ(x,ψ). Τότε: ΜΑ (x-) +(ψ-) = = (x-) +(ψ-) = (x-3) +(ψ-) ΜΒ (x-3) +(ψ-) ( ) ( ) (x-) +(ψ-) = (x-3) +(ψ-) 4(x-) +4(ψ-) =(x-3) +(ψ-) 4 3x +3ψ -x-4ψ+= x +ψ - x- ψ+ = Είναι Α +Β 6 7-4Γ= >, άρα είναι κύκλος µε κέντρο Κ, και ακτίνα ρ=. 3. ίνεται η εξίσωση C: x +(ψ+) +λ(x-ψ-)=, λ διάφορο του. Να αποδειχθεί ότι: i) Η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο, για κάθε λ. Nρεθεί το κέντρο και η ακτίνα των κύκλων C. ii) Οι κύκλοι C διέρχονται από ένα σταθερό σηµείο Ρ, το οποίο να προσδιοριστεί. iii) Tα κέντρα των παραπάνω κύκλων βρίσκονται σε µια σταθερή ευθεία η οποία να προσδιοριστεί. iv) Oι κύκλοι C εφάπτονται στην ευθεία (ε): x-ψ-= στο σηµείο Ρ. i) Η εξίσωση αυτή γράφεται: x +ψ +λx+(-λ)ψ-λ+=. Είναι Α +Β -4Γ=4(-λ) +4λ -4(-λ+)=8λ >. Άρα η εξίσωση παριστάνει κύκλο µε κέντρο Κ - A,- B 8λ =(-λ,λ-) και ακτίνα ρ= = λ. ii) Aν Ρ(x o,ψ ο ) το σταθερό σηµείο από το οποίο διέρχονται οι κύκλοι, τότε θα ισχύει: ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

7 [77] x o +(ψ ο +) x +(ψ +) = x == +λ(x ο -ψ ο -)=. -ψ -= =- Άρα το σταθερό σηµείο είναι το Ρ(,-). iii) Aν Κ(x,ψ) το κέντρο, τότε x=-λ και ψ=λ-. Με απαλοιφή του λ από τις δύο σχέσεις έχουµε x+ψ+=. ηλαδή τα κέντρα των κύκλων βρίσκονται στην ευθεία x+ψ+=. iv) Η απόσταση του κέντρου Κ(-λ,λ-) από την ευθεία x-ψ-= είναι: d(k, ε)= -λ-(λ-)- = λ =ρ. Άρα οι κύκλοι εφάπτονται στην (ε) στο Ρ. +(-). Από το εξωτερικό σηµείο Μ(x,ψ ο ) του κύκλου C: x +ψ =ρ φέρουµε τις εφαπτόµενες ε και ε του κύκλου. Αν Α και Β τα σηµεία επαφής, νρεθεί η εξίσωση της ΑΒ. (Η χορδή ΑΒ ονοµάζεται πολική χορδή του κύκλου και το σηµείο Μ πόλος). ψ ε Α(x,ψ ) Μ(x o,ψ ο ) Β(x,ψ ) x ε Η εφαπτόµενη ε στο Α(x,ψ ) έχει εξίσωση ε : xx +ψψ =ρ και επειδή περνά από το Μ(x o,ψ ο ) ισχύει: x o x +ψ ο ψ =ρ. () Όµοια για την ε που περνά από το Β(x,ψ ) θα ισχύει: x o x +ψ ο ψ =ρ.(). Λόγω των () και (), είναι προφανές ότι η εξίσωση x o x+ψ ο ψ=ρ επαληθεύεται από τα σηµεία Α και Β και επειδή από δύο σηµεία διέρχεται µόνον µία ευθεία, αυτή θα είναι και η εξίσωση της ΑΒ. Για παράδειγµα: Η εξίσωση της πολικής χορδής του κύκλου x +ψ =9 µε πόλο το σηµείο Μ(5,5) είναι η 5x+5ψ=9. 3. Νρεθεί η εξίσωση της κοινής εφαπτόµενης των κύκλων C : x +ψ +6x+5= και C : x +ψ -x-6ψ+=. Ο κύκλος C : x +ψ +6x+5= έχει κέντρο Κ(-3,) και ακτίνα ρ =. Ο κύκλος C : x +ψ -x-6ψ+= έχει κέντρο Λ(,3) και ακτίνα ρ =3. Είναι (ΚΛ)= 6+ 9 = 5 = 5= ρ +ρ. Άρα οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά και έστω Α(x o,ψ ο ) το κοινό τους σηµείο. Τότε ισχύουν ταυτόχρονα: ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

8 [78] x +ψ +6x +5= από όπου, αφαιρώντας κατά µέλη παίρνουµε: x +ψ -x -6ψ ο += 8x o +6ψ ο +4=.() Από την () συµπεραίνουµε ότι η ευθεία µε εξίσωση 8x+6ψ+4= 4x+3ψ+= είναι η εξίσωση της κοινής εφαπτόµενης στο Α γιατί επαληθεύεται από αυτό όπως φαίνεται από την () και είναι κάθετη στην διάκεντρο ΚΛ όπως µπορούµε να δείξουµε µε τους συντελεστές διεύθυνσης... AΣΚΗΣΕΙΣ. Νρεθεί η εξίσωση κύκλου αν: α) έχει κέντρο το σηµείο Κ(3,) και περνά από το σηµείο Λ(-,4). β ) έχει κέντρο το Κ(,) και εφάπτεται στην ευθεία x-3ψ+4=. γ ) έχει διάµετρο το ευθ. τµήµα που έχει άκρα τα σηµεία Α(,) και Β(-,-3).. Αποδείξτε ότι οι παρακάτω εξισώσεις παριστάνουν κύκλο και βρείτε το κέντρο και την ακτίνα τους: α) x +ψ -4x+3ψ-= β) 3x +3ψ -x+3ψ+= 3. Για ποιες τιµές του λ Rη εξίσωση (3x-) +(3ψ+6) =λ- παριστάνει κύκλο; 4. ίνεται η σχέση: x +ψ αx+4= (). α) για ποια τιµή του α η () παριστάνει κύκλο; β ) ποιος είναι ο γεωµετρικός τόπος του κέντρου του κύκλου; 5. α) Νρεθούν οι τιµές του α Rγια τις οποίες η εξίσωση x +ψ +(α-)x-αψ-4α+= παριστάνει κύκλο. β ) Πότε ο κύκλος διέρχεται από την αρχή των αξόνων; γ ) είξτε ότι ο γεωµ. τόπος των κέντρων των παραπάνω κύκλων είναι δύο ηµιευθείες. 6. ίνεται ο κύκλος (x+) +(ψ-4) =9. α) Νρεθούν οι τιµές του κ ώστε η ευθεία (ε): 6x+8ψ-κ=, κ Rνα εφάπτεται στον κύκλο αυτό. β ) Για τη µικρότερη τιµή του κ νρεθεί το σηµείο επαφής της (ε) και του κύκλου. 7. Νρεθεί η εξίσωση του περιγεγραµµένου κύκλου του τριγώνου µε κορυφές τα σηµεία Α(3,), Β(,), και Γ(-,-4). 8. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο πάνω στην ευθεία ψ=-x και διέρχεται από τα κοινά σηµεία των κύκλων: C : x +ψ -x+ψ-4= και C : x +ψ +x+ψ-8=. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

9 [79] 9. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου που περνά από τα σηµεία τοµής των κύκλων (x-5) +(ψ+4) =5 και (x+3) +ψ =5 και το κέντρο του βρίσκεται στην ευθεία (ε): x+ψ+5=.. ίνονται οι ευθείες (ε ): x+ψ-= και (ε ): x-ψ+4=. Νρεθούν οι εξισώσεις των κύκλων που εφάπτονται σ αυτές και έχουν ακτίνα ρ=3.. ίνονται οι ευθείες (ε ): x+ψ-5= και (ε ): x+ψ+=. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στις παραπάνω ευθείες αν το ένα σηµείο επαφής είναι το Μ(,).. Νρεθούν οι εξισώσεις των κύκλων που εφάπτονται στην ευθεία (ε): 3x+4ψ= και στους άξονες χ χ και ψ ψ. 3. είξτε ότι οι κύκλοι C : (x-) +(ψ+5) =5 και C : (x+) +(ψ+) = τέµνονται και βρείτε την εξίσωση της κοινής χορδής τους. 4. ίνεται ο κύκλος C: x +ψ +x-4ψ+λ-=, λ Rκαι το σηµείο Α(-,3). α) Νρεθεί το λ ώστε ο C να διέρχεται από το Α. β ) Για την τιµή αυτή του λ, νρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης του C στο Α. 5. Νρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτοµένων του κύκλου C: x +ψ = που είναι παράλληλες στην ευθεία x+6ψ-=. 6. Νρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτοµένων του κύκλου (x+3) +(ψ-) =4 που είναι κάθετες στην ευθεία x+3ψ-6=. 7. Νρεθεί η εξίσωση της εφαπτόµενης του κύκλου C : (x-) +(ψ-3) =5 στο σηµείο του Α(5,-) και να αποδειχθεί ότι αυτή η ευθεία εφάπτεται και στον κύκλο C : x +(ψ+) =9. 8. ίνεται η ευθεία ε: ψ=λx και ο κύκλος C: x +ψ -4x+=. Νρείτε τις τιµές του λ για τις οποίες η ευθεία α) τέµνει τον κύκλο C. β) να εφάπτεται στον κύκλο C. γ) να µην έχει κοινά σηµεία µε τον κύκλο C. 9. Να αποδειχθεί ότι η ευθεία ε: + = εφάπτεται στον κύκλο C: x +ψ =ρ αν και µόνον αν ισχύει: + =, α, β. ρ. ίνονται οι κύκλοι C : (x-3) +(ψ-) =36 και C : x +(ψ-) =. α) είξτε ότι οι C και C εφάπτονται εσωτερικά. β ) Βρείτε την εξίσωση της κοινής εφαπτόµενης των δύο κύκλων.. ίνεται το σηµείο Μ(,4) και ο κύκλος C: x +ψ -4x+6ψ-=. α ) είξτε ότι το Μ είναι εξωτερικό σηµείο του κύκλου C. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

10 [8] β ) Βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόµενων του κύκλου που διέρχονται από το Μ. γ)ποια είναι η γωνία των δύο εφαπτόµενων; δ ) Ποια είναι η απόσταση του Μ από την χορδή του κύκλου που ορίζουν τα σηµεία επαφής;. Νρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτόµενων του κύκλου (x-3) +(ψ-3) =4 που διέρχονται από το σηµείο Μ(6,). 3. Νρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόµενων του κύκλου x +ψ =4, οι οποίες απέχουν από το σηµείο Α(3,-3) απόσταση µονάδες 4. Νρείτε τις εξισώσεις των εφαπτοµένων του κύκλου 4x +4ψ -5ψ+3= οι οποίες διέρχονται από την αρχή των αξόνων. Ποια είναι η γωνία των εφαπτόµενων αυτών; 5. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου C που διέρχεται από τα σηµεία Α(,6), Β(-,-) και Γ(6,6). 6. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου C που διέρχεται από τα σηµεία Α(-,) και Ο(,) και το κέντρο του ανήκει στην ευθεία (ε): ψ=x+. 7. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου C που εφάπτεται στις ευθείες ε : ψ=x και ε : x+ψ= και διέρχεται από το σηµείο Α(3.4). 8. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου C που εφάπτεται στην ευθεία ε: 3x+4ψ= και στους θετικούς ηµιάξονες. 9. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου C που εφάπτεται στον θετικό ηµιάξονα Οχ, το κέντρο του ανήκει στην ευθεία ε: x-ψ= και διέρχεται από το σηµείο Α(4,). 3. είξτε ότι οι κύκλοι C : x +ψ =4 και C : (x-4) +(ψ-3) =9, εφάπτονται εξωτερικά και βρείτε την εξίσωση της κοινής εφαπτόµενης των κύκλων αυτών. 3. Νρείτε τη σχετική θέση των κύκλων C : x +ψ -6ψ= και C : x +ψ -6x=. 3. Έστω Α(α,β) σταθερό σηµείο µε ΟΑ = Νρείτε το γεωµετρικό τόπο των. σηµείων Μ του επιπέδου για τα οποία είναι: ΟΜ ( ΟΑ 3ΟΜ) = α) Να αποδείξετε ότι ο κύκλος C: (x-4) +(ψ-3) =9 εφάπτεται στον άξονα χ χ και νρείτε το σηµείο επαφής Α. β ) Νρείτε το γεωµετρικό τόπο των µέσων των χορδών του κύκλου C, οι οποίες διέρχονται από το σηµείο Α. 34. ίνεται το σηµείο Μ και η εξίσωση x +(α+β)x+αβ+=. Αν η εξίσωση έχει διπλή ρίζα, να αποδείξετε ότι το σηµείο Μ κινείται σε έναν κύκλο, του οποίου νρείτε το κέντρο και την ακτίνα. 35. Να αποδείξετε ότι το σηµείο Μ(+ηµφ, -συνφ), όταν το φ µεταβάλλεται στο διάστηµα [, π), κινείται σε κύκλο του οποίου νρείτε το κέντρο και την ακτίνα. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

11 [8] 36. Νρείτε τον γεωµετρικό τόπο των σηµείων Μ(x,ψ) του επιπέδου, για τα οποία ισχύει: x 3 -ψ 3 -x ψ+xψ -x +ψ=. 37. ίνεται η εξίσωση (C): x +ψ +(λ-)x-(λ+)ψ+3λ-=, λ R. α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει κύκλο για κάθε λ R. β) Νρείτε το κέντρο αυτού του κύκλου και να αποδείξετε ότι αυτό κινείται σε µια ευθεία καθώς το λ µεταβάλλεται. γ) Να αποδείξετε ότι ο κύκλος (C) διέρχεται από δύο σταθερά σηµεία. 38. Να αποδείξετε ότι το σηµείο τοµής Μ των ευθειών (ε): xσυνθ+ψ= και (η): x-ψσυνθ=, θ R. κινείται στον κύκλο µε κέντρο Κ, και ακτίνα ρ=. 39. ίνονται οι ευθείες (ε): (ηµθ)x-(συνθ)ψ=ηµθ και (η): (συνθ)x+(ηµθ)ψ=συνθ, θ R. α) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες αυτές τέµνονται για κάθε θ R. β) Να αποδείξετε ότι το σηµείο τοµής των (ε) και (η) κινείται σε κύκλο του οποίου νρείτε το κέντρο και την ακτίνα. 4. Σε τρίγωνο ΑΒΓ οι κορυφές Β και Γ είναι σταθερές, ενώ η κορυφή Α κινείται, έτσι ώστε η διάµεσος ΒΜ να έχει σταθερό µήκος λ>. Να αποδείξετε ότι η κορυφή Α κινείται σε κύκλο τον οποίο να προσδιορίσετε. 4. Έστω σταθερό σηµείο Α(α,β) µε ΟΑ = 3. Νρεθεί ο γεωµ. τόπος των σηµείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχείει: ΟΜ ( ΟΜ ΟΑ) = 7. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

12 [8] ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΟΡΙΣΜΟΣ Παραβολή είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τη σταθερή ευθεία δ και το σταθερό σηµείο Ε εκτός της δ. Η δ λέγεται διευθετούσα της παραβολής και το Ε εστία αυτής. EΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ Αν η παραβολή έχει κορυφή την αρχή την αξόνων Ο(,) και άξονα συµµετρίας τον χ χ τότε έχει εξίσωση: ψ =ρx. Ο αριθµός ρ λέγεται παράµετρος της παραβολής και είναι η απόσταση της εστίας από τη διευθετούσα. Αν η παραβολή έχει κορυφή την αρχή Ο(,) και άξονα συµµετρίας τον ψ ψ τότε έχει εξίσωση x =ρψ. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

13 [83] ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ Η εφαπτόµενη της παραβολής C : ψ =ρx στο σηµείο της Μ(x,ψ ) έχει εξίσωση ψψ = ρ(x+x ), ενώ της παραβολής C : x =ρψ στο σηµείο της Μ(x,ψ ) έχει εξίσωση xx =ρ(ψ+ψ ). ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. ίνεται η παραβολή x =-4ψ. i) Νρείτε την εστία και την διευθετούσα της. ii) Nρείτε τα σηµεία τοµής της µε τον κύκλο x +ψ =5. i) Είναι ρ=-4 ρ=-. Άρα η εστία είναι το σηµείο Ε(,-) και η διευθετούσα η ευθεία ψ=. ii) Tα σηµεία τοµής είναι οι λύσεις του συστήµατος: x +ψ =5 x =-4ψ ψ -4ψ-5= ψ=- ή ψ=5( που απορρίπτεται). Για ψ=- έχουµε x =4 x= ή. Άρα τα ζητούµενα σηµεία είναι τα Κ(,-) και Λ(-,-). ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

14 [84]. ίνεται η παραβολή ψ =6x. i) Nρείτε την εστία και την διευθετούσα της. ii) Nρείτε τα σηµεία της που απέχουν από την αρχή Ο απόσταση d= i) Είναι ρ=6 ρ=3. Άρα Ε, και δ : x=. ii) Έστω (x,ψ) σηµείο της παραβολής, τότε (x-) +(ψ-) =4 x +ψ =6. Αλλά ψ =6x, οπότε: x +6x-6= x= ή x=-8(απορρίπτεται). Για x= παίρνουµε ψ = ψ= ±. Τα ζητούµενα σηµεία είναι Κ(, ) και Λ(,- ). 3. ίνεται η παραβολή ψ =6x. Nρείτε την εφαπτόµενη αυτής που είναι παράλληλη στην ευθεία (δ): ψ=3x-. Η εφαπτόµενη (ε) της παραβολής στο σηµείο Μ(x,ψ ) έχει εξίσωση A 3 ψψ =3(x+x ) 3x-ψ ψ+3x = µε λ= - =. Επειδή είναι παράλληλη στην (ε) B ψ 3 θα είναι λ δ =λ ε =3 ψ =. ψ Το Μ ανήκει στην παραβολή, οπότε: ψ =6x =6x x =. 6 Άρα η εξίσωση της εφαπτόµενης είναι 3x-ψ+ =. 4. ίνεται η παραβολή ψ =x. Νρείτε την εξίσωση της εφαπτόµενης αυτής που είναι κάθετη στην ευθεία ψ=-4x+.(δ) Η εφαπτόµενη (ε) της παραβολής στο σηµείο Μ(x,ψ ) έχει εξίσωση A ψψ =(x+x ) x-ψ ψ+x = µε λ= =. Επειδή η εφαπτόµενη είναι κάθετη B ψ Στην (δ) θα έχει λ=. Άρα = ψ = 4. 4 ψ 4 Εποµένως 4 =x x =8. Άρα η εξίσωση της παραβολής είναι x-4ψ+8=. 5. Νρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόµενων της παραβολής ψ =4x, που απέχουν 5 από την εστία της απόσταση d=. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

15 [85] Η εστία είναι το σηµείο Ε(,). Η εξίσωση της εφαπτόµενης στο σηµείο (x,ψ ) είναι ψψ =(x+x ) x-ψ ψ+x =. Η απόσταση είναι: ψ =4x -+x +x 5 d= = =... x =. Άρα ψ = ψ = ±. 4+ψ 4+4x 4 Έτσι, οι ζητούµενες εφαπτόµενες είναι: x- ψ+ = και x+ ψ+ =. 6. ίνεται η παραβολή C: ψ =ρx, η χορδή αυτής ΑΒ και η εφαπτόµενη (ε) της παραβολής παράλληλη στην ΑΒ. Αν Κ(x o,ψ ο ) το σηµείο επαφής της εφαπτόµενης και Μ το µέσο της ΑΒ, να αποδείξετε ότι η ΚΜ είναι παράλληλη στον άξονα χ χ. Αν Α(x,ψ ) και Β(x,ψ ) τα άκρα της χορδής, τότε το µέσον της Μ έχει x +x ψ +ψ συντεταγµένες,. Αρκεί λ ψ +ψ ΚΜ= -ψ = ψ +ψ =ψ. Αλλά τα Α και Β ανήκουν στην C εποµένως: ψ =ρ x (αφαιρώκατάµέλη)(ψ -ψ )(ψ +ψ )=ρ(x-x ) ψ =ρ x (µέθοδος αφαίρεσης) x-x ψ +ψ =ρ ψ +ψ =ρ ψ +ψ =ρ ψ +ψ =ψ. ψ ρ -ψ λε ψ 7. ίνεται η παραβολή C: ψ =x. Νρείτε τις συντεταγµένες του µέσου Μ της χορδής που ορίζεται από την ευθεία 3x-ψ=. Αν ΑΒ η χορδή που η ευθεία ορίζει στην παραβολή µε Α(x,ψ ) και Β(x,ψ ), τότε x +x ψ +ψ το µέσον της ΑΒ θα είναι το σηµείο Μ, = ( x M,ψ Μ). Τα Α και Β ψ =x ψ =x είναι οι λύσεις του συστήµατος: 3x- 9x -54x+= () 3x-ψ= ψ= ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

16 [86] Για τα ρίζες x και x της () ισχύει ο τύπος του Vietta (άθροισµα ριζών) S=x +x =- β =- -54 =6. Άρα x M =3 και 3x M -ψ Μ = ψ Μ =4. α 9 Άρα το µέσον της χορδής ΑΒ είναι το σηµείο Μ(3,4). (Να λυθεί η άσκηση αυτή µε την µέθοδο της αφαίρεσης. 8. Έστω η παραβολή C: ψ =ρx και τα σηµεία της Α(x,ψ ) και Β(χ,ψ ). Να αποδειχθεί ότι η ΑΒ περνά από την εστία Ε αν και µόνον αν ψ.ψ =-ρ και x.x =ρ /4. ρ ρ Οι ευθείες που περνούν από την Ε είναι οι: ε: ψ-=λ x- και δ:x=. Τα σηµεία τοµής της δ µε την C είναι οι λύσεις του συστήµατος: ρ ρ x= x= ρ ρ. ηλαδήα,ρ και Β,-ρ. Άρα ψ.ψ =-ρ και ψ =ρx ψ=±ρ x.x =ρ /4. Από το σύστηµα των ψ λρ =ρx και x= λx-, λύνοντας βς προς x και ψ την δεύτερη και αντικαθιστώντας στην πρώτη προκύπτουν οι εξισώσεις: λ λρ λ ρ ψ -ψ- =() και λ x -ρ(λ +)x+ =(). ρ 4 Για τα ρίζες τους ισχύει ο τύπος του Vietta για το γινόµενο των ριζών Ρ= γ. α Από την () παίρνουµε ψ.ψ =-ρ και από την () x.x =ρ /4. 9. Νρείτε τον γεωµετρικό τόπο των µέσων των χορδών ΟΒ της παραβολής C: ψ =ρx µε άκρα την κορυφή Ο και Β τυχαίο σηµείο της παραβολής. Αν Μ(x o,ψ ο ) ένα τυχαίο σηµείο του γεωµετρικού τόπου και Β(x,ψ ) τυχαίο x ψ σηµείο της παραβολής, τότε, αφού Μ µέσο της ΟΒ έχουµε: x =,ψ = x =x,ψ =ψ. Επειδή το Β ανήκει στην παραβολή θα είναι: ψ =ρx 4ψ ο =4ρx o ψ ο =ρx o. Άρα ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος είναι η παραβολή ψ =ρx. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

17 [87]. Έστω C: ψ =ρx µια παραβολή και η εφαπτόµενή της ε στο τυχαίο σηµείο της Μ(x,ψ ). Αν η ευθεία ΟΜ τέµνει την διευθετούσα στο Α, να αποδείξετε ότι ΑΕ//ε. ρ Η εξίσωση της εφαπτόµενης στο Μ είναι ψψ =ρ(x+x ) και έχει λ ε =. ψ Η ΟΜ έχει συντελεστή διεύθυνσης ψ x ψ και εξίσωση ψ= x. Το Α είναι η λύση του x ρ ρ x=- x=- συστήµατος. ψ Εποµένως ο συντελεστής διεύθυνσης της ρψ ψ= x ψ=- x x ψ ΑΕ είναι: λ ΑΕ =. Για να είναι ΑΕ//ε πρέπει λαε =λ ε x ψ ρ = ψ =ρx x ψ που ισχύει, γιατί το σηµείο Μ ανήκει στην παραβολή. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Νρεθεί η εξίσωση της παραβολής αν: α) έχει κορυφή την αρχή Ο(,) και εστία Ε(-/,) β) κορυφή την αρχή Ο(,) και διευθετούσα την ευθεία x=-/4. γ ) κορυφή την αρχή Ο(,) και διευθετούσα την δ: ψ= δ) κορυφή την αρχή Ο(,) και εστία Ε(./5).. Νρεθεί η εξίσωση της παραβολής µε κορυφή το Ο(,), όταν: α) έχει άξονα συµµετρίας τον χ χ και ρ=-4. β) έχει άξονα συµµετρίας τον ψ ψ και εστία Ε(,). γ) έχει διευθετούσα την ευθεία ψ=3. δ) έχει άξονα συµµετρίας τον χ χ και διέρχεται από το σηµείο Α(,-). 3. Νρεθεί η εστία και η διευθετούσα των παραβολών µε εξισώσεις: α) ψ = -4x, β) x =8ψ. 4. Νρεθεί η εξίσωση της εφαπτόµενης της παραβολής C: ψ =x που: α) είναι παράλληλη στην ευθεία δ: x-ψ-3=. β ) είναι κάθετη στην ευθεία δ: x-ψ=. γ ) διέρχεται από το σηµείο Α(-4,). 5. Νρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτόµενων της παραβολής C: ψ =4x που περνούν από το σηµείο Μ(-,3/). Κατόπιν νρεθεί η γωνία που σχηµατίζουν. 6. Νρεθεί η εξίσωση της ευθείας ε που είναι παράλληλη προς την ευθεία δ: ψ=x+3 και εφάπτεται στην παραβολή C: ψ =6x. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

18 [88] 7. Νρεθεί η εξίσωση της χορδής ΑΒ της παραβολής C: ψ =8x που διέρχεται από το σηµείο Μ(4,) αν είναι γνωστό ότι το Μ είναι µέσον της. 8. Έστω C: x =ψ µια παραβολή και τυχαία ευθεία ε που περνάει από το σηµείο Κ(,) και τέµνει την παραβολή στα σηµεία Μ και Ν. Αν Α και Β οι προβολές των Μ και Ν στον άξονα χ χ να αποδειχθεί ότι: ΑΚΒ=9. 9. Έστω η παραβολή C: ψ =ρx και τα σταθερά σηµεία Α και Β του άξονα χ χ τα οποία έχουν µέσο την εστία Ε. Φέρουµε τις κάθετες ΑΚ και ΒΛ σε µια εφαπτόµενη της παραβολής στο σηµείο της Μ(x,ψ ). Να αποδειχθεί ότι η διαφορά (ΑΚ) -(ΒΛ) είναι σταθερή.. Έστω C: ψ =ρχ και η εφαπτόµενή της ε στο τυχαίο σηµείο της Μ(x,ψ ). Αν η ευθεία ΟΜ τέµνει τη διευθετούσα στο Α, να δειχθεί ότι ΑΕ//ε.. Να αποδειχθεί ότι η ευθεία ε: ψ=λx+β είναι εφαπτόµενη της παραβολής C: ψ =ρx αν και µόνον αν ισχύει ρ=λβ (λ ).. ίνεται η ευθεία (ε): 4κ * x-4κψ+3=. Να αποδειχθεί ότι για κάθε κ R η ευθεία αυτή εφάπτεται της παραβολής C : ψ =3x. Κατόπιν νρεθούν οι κοινές εφαπτόµενες της παραβολής και του κύκλου C : (x+) +ψ =. 3. Νρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων, άξονα συµµετρίας τον χ χ και τέµνει την ευθεία ε: ψ=x- έτσι, ώστε να ορίζει πάνω σε αυτή χορδή µήκους. 4. Βρείτε την εξίσωση της παραβολής που εφάπτεται στην ευθεία ε: ψ=x-. είξτε ότι οι εφαπτόµενες που φέρονται από τυχαίο σηµείο της διευθετούσας είναι κάθετες. 5. ίνεται η παραβολή C : ψ =x και ο κύκλος C : (x-3) +ψ =36. είξτε ότι: α) κύκλος και παραβολή τέµνονται σε δύο σηµεία Α και Β. β) οι εφαπτόµενες της παραβολής στα Α και Β τέµνονται πάνω στον κύκλο C. 6. Από το σηµείο Μ(x,ψ ) έξω από την παραβολή C:ψ =ρx φέρουµε τις εφαπτόµενες ΜΑ και ΜΒ στην παραβολή. είξτε ότι η ευθεία ΑΒ έχει εξίσωση ψψ =ρ(x+x ). 7. Από ένα σηµείο Μ της διευθετούσας της παραβολής ψ =ρx φέρουµε εφαπτόµενες στην παραβολή. α) Αν Α και Β τα σηµεία επαφής, νρεθεί η εξίσωση της ευθείας ΑΒ. β ) είξτε ότι τα Α, Β και η εστία Ε είναι σηµεία συνευθειακά. 8. Έστω η παραβολή C: x =ρψ και τυχαίο σηµείο της Μ(x,ψ ). είξτε ότι: ρ α) η απόσταση του Μ από την εστία Ε είναι ίση µε ψ +. β ) η κορυφή της παραβολής είναι το πλησιέστερο σηµείο της προς την εστία. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

19 [89] 9. Αν Μ(x,ψ ) σηµείο της παραβολής C: ψ ρ =ρx τότε ΕΜ = x +.. ίνεται η παραβολή C: ψ =ρx και έστω Μ τυχαίο σηµείο αυτής. Να δειχθεί ότι ο κύκλος διαµέτρου ΕΜ, όπου Ε η εστία της παραβολής εφάπτεται στον άξονα ψ ψ.. Νρεθεί η εξίσωση της χορδής της παραβολής x =ψ, η οποία έχει µέσο το 5 σηµείο Α,. 4. Μεταβλητή ευθεία (ε) στρέφεται περί την εστία Ε της παραβολής C: ψ =ρx, ρ. Αν η ευθεία τέµνει την παραβολή στα σηµεία Α και Β, δείξτε ότι: + = σταθερό. ΕΑ ΕΒ. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

20 [9] ΕΛΛΕΙΨΗ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω Ε και Ε δύο σταθερά σηµεία του επιπέδου. Έλλειψη είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου που έχουν σταθερό άθροισµα αποστάσεων από τα Ε και Ε, δηλαδή: (ΜΕ )+(ΜΕ)=α, (Ε Ε)=γ, α γ. Τα Ε και Ε λέγονται εστίες της έλλειψης. Το τµήµα (Ε Ε) λέγεται εστιακή απόσταση. Τα σηµεία Α(-α.) και Α(α.) λέγονται κορυφές της έλλειψης. Το τµήµα ΑΆ λέγεται µεγάλος άξονας της έλλειψης, ενώ το Β Β όπου Β (,- β) και Β(,β) λέγεται µικρός άξονας της έλλειψης. Το Ο λέγεται κέντρο της έλλειψης. Οι άξονες χ χ και ψ ψ είναι άξονες συµµετρίας και το Ο κέντρο συµµετρίας της έλλειψης. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΛΛΕΙΨΗΣ α) Η εξίσωση της έλλειψης µε εστίες τα σηµεία Ε (-γ,) και Ε(γ,) είναι: + = µε β =α -γ,και η γραφική της παράσταση φαίνεται στο σχ. β ) Η εξίσωση της έλλειψης µε εστίες τα σηµεία Ε (,-γ) και Ε(,γ) είναι + +, µε β α β =α -γ. (Σχ. ) ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

21 [9] ΕΚΚΕΝΤΡΟΤΗΤΑ ΕΛΛΕΙΨΗΣ λέγεται ο λόγος της εστιακής απόστασης προς το γ β µήκος του µεγάλου άξονα και είναι: ε= <και = -ε. α α Ελλείψεις µε την ίδια εκκεντρότητα λέγονται όµοιες. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΕΛΛΕΙΨΗΣ Η έλλειψη µε εξίσωση + =έχει στο σηµείο της Μ(x,ψ ) εφαπτόµενη µε xx ψψ εξίσωση: + =, ενώ η έλλειψη µε εξίσωση + =έχει στο ίδιο σηµείο β α εξίσωση: xx ψψ + =. β α ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. ίνεται η έλλειψη C: 4x +9ψ =44. Νρείτε τις εστίες, τις κορυφές, τον µεγάλο άξονα και την εκκεντρότητά της. 4x 9ψ Η εξίσωση τα έλλειψης γράφεται: + = + = Συνεπώς είναι α =36 και β =6. γ =α -β γ =36-6 γ = γ= 5. Οι εστίες είναι Ε (- 5,) και Ε( 5,). Οι κορυφές της είναι Α (-α,)=(-6,) και Α(α,)=(6,). Ο µεγάλος άξονας είναι α= Η εκκεντρότητά της είναι ε= γ 5 5 = =. α 6 3. ίνεται η έλλειψη C: + =. Αν η γωνία εκκεντρότητα της έλλειψής. Είναι Β(,β), Ε (-γ,) και Β (,-β). Επειδή η γωνία Ε Β Ε Β Ε Β Ε Β = () ΒΕ Β είναι ορθή, νρείτε την ΒΕ Β είναι ορθή, θα ισχύει: ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

22 [9] Αλλά Ε Β=(γ,β) και Ε Β =(γ,-β). Άρα η () δίνει γ -β = (). Αλλά β =α -γ (3). Από () και (3) έχουµε: γ -(α -γ )= ή γ =α ή γ = ε = ε= ε=. α 3. Νρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτόµενων της έλλειψης C: 4x +ψ = που: α) Είναι παράλληλες στην ευθεία δ: ψ=4x β) Είναι κάθετες στην ευθεία ζ: x-4ψ+= γ) ιέρχονται από το σηµείο Κ(,) Αν Μ(x,ψ ) το σηµείο επαφής, ισχύει 4x +ψ = () γιατί ανήκει στην έλλειψη. 4x Η εξίσωση της εφαπτόµενης στο Μ είναι (ε): 4xx +ψψ = και έχει λ=. ψ Αρκεί νρούµε τα x και ψ. 4x α) Επειδή (ε)//δ είναι λ ε =λ δ =4 x =-ψ οπότε η () δίνει ψ x = ± και ψ =. Άρα οι εξισώσεις των εφαπτόµενων είναι: ε :4x-ψ=, ε : -4x+ψ= 4x β) Επειδή ε ζείναιλε λ ζ =-,άραλ 3 =-4 - =-4 x =ψ. Με ψ = ± καιψ = ± αντικατάσταση στην () έχουµε: x. Άρα οι εξισώσεις των εφαπτόµενων είναι: ε : 4x+ψ= και ε : 4x+ψ=-. γ) Επειδή η (ε) διέρχεται από το Κ(,) θα ισχύει: ψ = άρα ψ =. Η () δίνει 4x +4= ή x = ±. Άρα οι εξισώσεις των εφαπτόµενων είναι: ε : 4x+ψ= και ε : -4x+ψ=. 4. ίνεται η έλλειψη C: + =. a β Να αποδείξετε ότι το γινόµενο των αποστάσεων των εστιών της από κάθε εφαπτόµενή της είναι σταθερό και ίσο µε β. Αν Μ(x,ψ ) σηµείο της έλλειψης, η εξίσωση της εφαπτόµενής της είναι xx ψψ ζ: + -=. Οι εστίες είναι Ε (-γ,) και Ε(γ,). Άρα: a β d =d(e,ζ)= xγ - α x a ψ β και d =d(e,ζ)= xγ - - α x a ψ β. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

23 [93] Εποµένως: x γ -α 4 4 α x β -α +α ( ) 4 α β 4 xγ xγ x γ α α α d d = = = x ψ x x a β α α β 4 β xγ -α = =β, γιατί σε κάθε έλλειψη είναι -x γ +α 4 4 x α και γ <α άρα x γ -α <. 5. ίνεται η έλλειψη C: + =. Αν Α και Α οι κορυφές και ε η εφαπτόµενη σε τυχαίο σηµείο της Μ(x,ψ ) και η ε τέµνει την εφαπτόµενή της στο Α στο σηµείο Κ, δείξτε ότι Α Μ//ΟΚ. Για το σηµείο Μ(x,ψ ) της C ισχύει Η ε : x ψ + = β x +α ψ =αβ. () xx ψψ + =() τέµνει την εφαπτόµενη x=α στο σηµείο Κ(α,ψ Κ ). Η () ( ) β α-x για x=α και ψ=ψ Κ δίνει ψ Κ =. αψ ψ ( ) Είναι Α Μ//ΟΚ αν και µόνον αν λ Α Μ =λ - β α-x ΟΚ = x +α α ψ β (α-x )(α+x )=α ψ αβ -β x =α ψ που ισχύει λόγω της (). 6. ίνεται η έλλειψη C: + =και σηµείο Μ(x o,ψ ο ) στο εσωτερικό της. Νρεθεί η εξίσωση της χορδής της έλλειψης που έχει µέσο το σηµείο Μ. Αν ΑΒ χορδή µε µέσο το Μ, τότε, η ΑΒ έχει εξίσωση ψ-ψ ο =λ(x-x o ) και ψ -ψ συντελεστή διεύθυνσης λ= x -x αν θεωρήσουµε ότι Α(x,ψ ) και Β(x,ψ ). Τα Α και Β ανήκουν στην έλλειψη, συνεπώς ισχύουν: β x +α ψ =α β και β x +α ψ =α β. Αφαιρώντας τις σχέσεις αυτές κατά µέλη (µέθοδος αφαίρεσης) παίρνουµε: β (x -x )+α (ψ -ψ )= β (x -x )(x +x )=-α (ψ -ψ )(ψ +ψ ) () Επειδή Μ µέσο της ΑΒ είναι x +x =x o και ψ +ψ =ψ ο. Άρα η () γίνεται: ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ [7] ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Κύκλος µε κέντρο Κ και ακτίνα ρ λέγεται ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν από το Κ απόσταση ίση µε ρ. ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΥΚΛΟΥ Αν ο κύκλος έχει κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ EΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΛΛΕΙΨΗΣ 1. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης όταν: α) Έχει εστία Ε (-8,0) και μεγάλο άξονα 0 β) Έχει εστία Ε(0,3) και μεγάλο άξονα 8 γ) Έχει εστία Ε(4,0) και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1.

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1. Ασκήσεις στην ευθεία 1. Να βρείτε τα σηµεία τοµής των γραµµών µε εξισώσεις : α) 7x-11y+1=0, x+y-=0 β) y-3x-=0, x +y =4 γ) x +y =α, 3x+y+α=0. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x +y -x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ερωτήσεις τύπου ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ. 1.Αν ΑΓ+ΓΒ=ΒΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Σ Λ. 2. Αν α=β τότε α=β. Σ Λ. 3.

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ερωτήσεις τύπου ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ. 1.Αν ΑΓ+ΓΒ=ΒΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Σ Λ. 2. Αν α=β τότε α=β. Σ Λ. 3. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - 1 - ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ερωτήσεις τύπου ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 1.Αν ΑΓ+ΓΒ=ΒΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α=β τότε α=β. 3. Αν ΑΜ+ΒΜ = 0 Μ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ 8. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής με κορυφή το (0, 0) στις παρακάτω περιπτώσεις: α) είναι συμμετρική ως προς το θετικό ημιάξονα Οx και έχει παράμετρο p = 5 β)

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8.

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8. ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 1) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής αν έχει: i) Εστιακή απόσταση γ=0 και άξονα β=16, 5 ii) Άξονα α=16 και εκκεντρότητα ε=. 4 ) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής,

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9 ΓΕΛ ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β 331 Α. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των μη μηδενικών διανυσμάτων α, β. Μονάδες 5 β. Εάν ορίζονται οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων α, β αντιστοίχως να δείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Α. Έστω α = (x 1, y 1 ) και β = (x, y ) δύο διανύσµατα Να γράψετε την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινοµένου τους i Αν τα διανύσµατα δεν είναι παράλληλα προς τον

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ. Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ) (χ-χ 0

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ. Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ) (χ-χ 0 ΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΟ Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ), y + y = r χ +ψ =ρ Κ(0,0) ρ x x y (χ-χ 0 ) +(ψ-ψ 0 ) =ρ Κ(χ 0,ψ 0 ) ρ (χ-χ 0 ) (χ -χ 0 )+(ψ-ψ 0 ) (ψ-ψ )=ρ Παρατήρηση : Η εξίσωση : χ +ψ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ 1.1.. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΜΑ ΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση γραµµής C Μια εξίσωση µε δύο αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µιας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C, και µόνον αυτές, την επαληθεύουν..

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R Κεφάλαιο 4ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση ( x x ) + ( y y ) = k, k R είναι πάντοτε εξίσωση κύκλου. o o. * Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Κύκλος. 6. Για ποια τιμή του λ το σημείο Μ(2λ + 1, λ) ανήκει στον κύκλο με εξίσωση (x 3) 2 + (y + 4) 2 = 100

Ασκήσεις Κύκλος. 6. Για ποια τιμή του λ το σημείο Μ(2λ + 1, λ) ανήκει στον κύκλο με εξίσωση (x 3) 2 + (y + 4) 2 = 100 Ασκήσεις Κύκλος 1. Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου (x + 5) + (y 5) =. Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου x + y 8x + 4y + 11 = 0 3. Ποια πρέπει να είναι η ακτίνα του κύκλου (x 1)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κύκλος. Ασκήσεις Κύκλος

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κύκλος. Ασκήσεις Κύκλος Ασκήσεις Κύκλος 1. Να βρείτε αν οι παρακάτω εξισώσεις παριστάνουν κύκλο. Έπειτα να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα τους. i) x 2 + y 2 2x 4y + 1 = 0 (Απ.: (x 1) 2 + (y 2) 2 = 4) x 2 + y 2 2x + 4y + 5 =

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = π 3 γ) ω = π. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία ε, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσαματολισμού Β Λσκείοσ

Μαθηματικά προσαματολισμού Β Λσκείοσ Μαθηματικά προσαματολισμού Β Λσκείοσ Ο κύκλος Στέλιος Μιταήλογλοσ wwwaskisopolisgr Κύκλος Εξίσωση κύκλου Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με M x, y του κέντρο το σημείο 0

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3

1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3 Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = 2π 3 γ) ω = π 2. * Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου

3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου 3. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) + y ρ. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου ρσυνφ και y ρηµφ 3. Εφαπτοµένη κύκλου + yy ρ 4. Εξίσωση κύκλου µε κέντρο το σηµείο Κ( o, y ο ) και ακτίνα ρ ( o ) + (y y ο

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής 9 3 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ Ορισμός Παραβολής Έστω μια ευθεία δ και ένα σημείο Ε εκτός της δ Ονομάζεται παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου τα οποία

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Υπερβολής

Μεθοδολογία Υπερβολής Μεθοδολογία Υπερβολής Υπερβολή ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερή και μικρότερη από την απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ SOS ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Θέμα ο Να γράψετε και να αποδείξετε την σχέση της διανυσματικής ακτίνας του μέσου ενός τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a=

32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a= 32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a= ( xy, ). Να ορίσετε τις έννοιες α)μέτρο του διανύσματος και β) συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος Α2) Να γράψετε τους τύπους

Διαβάστε περισσότερα

x 2 + y 2 x y

x 2 + y 2 x y ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εαρινό Εξάμηνο 014-15 Τμήμα Μαθηματικών και Διδάσκων: Χρήστος Κουρουνιώτης Εφαρμοσμένων Μαθηματικών ΜΕΜ0 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Φυλλάδιο Προβλημάτων Κύκλος, Ελλειψη, Υπερβολή, Παραβολή

Διαβάστε περισσότερα

Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός

Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός ΕΥΘΕΙΑ Να προσέχεις ότι: Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός Ax+By+Γ=0, με κάποιο Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο Α(x 0,y 0 ) και έχει συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Δ 1. Να βρείτε στο επίπεδο ενός τριγώνου ΑΒΓ σηµεία Μ και Ρ τέτοια ώστε να ισχύουν συγχρόνως : i. ΜΑ ΜΒ 3ΜΓ = Ο ii. 2 PA 2PB+ 3PΓ = Ο και στη συνέχεια

Δ 1. Να βρείτε στο επίπεδο ενός τριγώνου ΑΒΓ σηµεία Μ και Ρ τέτοια ώστε να ισχύουν συγχρόνως : i. ΜΑ ΜΒ 3ΜΓ = Ο ii. 2 PA 2PB+ 3PΓ = Ο και στη συνέχεια 185 Δ 1. Να βρείτε στο επίπεδο ενός τριγώνου ΑΒΓ σηµεία Μ και Ρ τέτοια ώστε να ισχύουν συγχρόνως : i. ΜΑ ΜΒ 3ΜΓ = Ο ii. 2 PA 2PB+ 3PΓ = Ο και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι το ΑΒΜΡ είναι παρ/µο. Δ 2. Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. α+βi =γ+δi α=γ και β=δ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. α+βi =γ+δi α=γ και β=δ Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών είναι ένα υπερσύνολο του R, του συνόλου των πραγματικών αριθμών, στο οποίο ισχύουν: Επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης του πολλαπλασιασμού έτσι ώστε, να έχουν τις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥΣ - - ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥΣ. Να βρεθούν οι τετραγωνικές ρίζες του µιγαδικού =3+4i. (+i και --i ). Nα αποδείξετε ότι v v+ v+ v+ 3 i + i + i + i = + + + v v+ v+ v+ 3. i i i i 3. Να

Διαβάστε περισσότερα

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όµοια λέγονται δύο πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού)

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) ΣΧΟΛΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου 4 ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (9//4) Θέματα 4 ης Ομάδας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP_4_866 [παράγραφος

Διαβάστε περισσότερα

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας ε, που σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία: π 3 α) ω = β) ω = γ) ω = π 3. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηματίζει με

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα v,

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα v, ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Δίνονται τα διανύσματα a, για τα οποία ισχύουν : 4, 5 και α)να αποδείξετε ότι 10 β)να βρείτε τη γωνία των και. 5. 8 γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητές : Νικόλαος Κατσίπης 25 Απριλίου 2014 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας ευχόµαστε καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 2 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 4. α) Να βρεθεί η απόσταση του σημείου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) i. τα τρίγωνα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ Μαθηματικά θετικού προσανατολισμού β λυκείου

ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ Μαθηματικά θετικού προσανατολισμού β λυκείου ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ Μαθηματικά θετικού προσανατολισμού β λυκείου 016-017 Σε αυτή την προσπάθεια πρωτοστάτησε ο Βασίλης Μαυροφρύδης και έδωσαν το παρόν αξιόλογοι συνάδελφοι, προτείνοντας και λύνοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός εφαπτομένης καμπύλης Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(x, f(x )) την

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Παραβολής

Μεθοδολογία Παραβολής Μεθοδολογία Παραβολής Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια σταθερή ευθεία, την επονομαζόμενη διευθετούσα (δ), και από ένα σταθερό σημείο Ε που λέγεται εστία της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8//04) Θέματα ης Ομάδας ο ΘΕΜΑ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP 8556

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ o Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων α, β. Μονάδες 4 Β. Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστικά θέματα στον κύκλο

Συνδυαστικά θέματα στον κύκλο Συνδυαστικά θέματα στον κύκλο 1. Δίνεται ο κύκλος C που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και διέρχεται από το σημείο Α(-3,4).Να βρείτε : i) εξίσωση του κύκλου ii) την εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Α,

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2001

Γεωµετρία Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2001 Γεωµετρία Γενικής Παιδείας Β Λυκείου ΚΦΩΝΗΣΙΣ Ζήτηµα ο Α. Να αποδείξετε ότι, σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσά του, ισούται µε το γινόµενο των προβολών

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 90 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ έχει Α = 90, β = 9 cm, γ = 1 cm και την ΑΜ διάµεσο. Το µήκος του ΑΜ ισούται µε: Α. 9. 9 Ε. 1 15 Β. 6 Γ..

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004 Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-004 Περιεχόµενα 1 Θέµατα 1999.......................................... 3 Θέµατα 000..........................................

Διαβάστε περισσότερα