ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ"

Transcript

1 [7] ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Κύκλος µε κέντρο Κ και ακτίνα ρ λέγεται ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν από το Κ απόσταση ίση µε ρ. ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΥΚΛΟΥ Αν ο κύκλος έχει κέντρο το σηµείο Κ(x,ψ ) και ακτίνα ρ τότε έχει εξίσωση (x-x ) +(ψ-ψ ) =ρ. Ειδικά αν το κέντρο είναι στην αρχή των αξόνων Ο(,) η εξίσωση γίνεται x +ψ =ρ. ' x x Η εξίσωση x +ψ +Αx+Βψ+Γ= (Α +Β -4Γ ) παριστάνει κύκλο µε κέντρο το σηµείο Α Β Κ(-, ) και ακτίνα ρ= Α +Β 4Γ. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΚΥΚΛΟΥ Για νρω την εξίσωση εφαπτόµενης κύκλου µε κέντρο Κ(x,ψ ) και ακτίνας ρ στο σηµείο του Α(x,ψ ) θεωρώ ένα τυχαίο σηµείο Μ(x,ψ) πάνω στην εφαπτόµενη (ε) και παρατηρώ ότι ΚΑ ΑΜ οπότε έχω: ΚΑ ΑΜ=.Από αυτή τη σχέση καταλήγω στην εξίσωση της ευθείας (ε). Εδικά ο κύκλος C: x +ψ =ρ µε κέντρο Ο(,) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση εφαπτοµένης x x +ψ ψ =ρ. ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΥ Η απόσταση του κέντρου Κ(x,ψ ) ενός κύκλου από την ευθεία (ε):αx+βψ+γ= είναι Αx +Βψ +Γ d=. Α +Β α) Αν d=ρ (όπου ρ η ακτίνα του κύκλου) τότε η (ε) εφάπτεται του κύκλου. Για να βρω το σηµείο επαφής λύνω το σύστηµα κύκλου και ευθείας. β ) Αν d ρ τότε η (ε) τέµνει τον κύκλο σε δύο σηµεία. γ ) Αν d ρ τότε κύκλος και ευθεία δεν έχουν κανένα κοινό σηµείο. ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ Έστω οι κύκλοι C :(Κ,ρ ) και C :(Λ,ρ ) και έστω ρ ρ. Τότε:. Αν (ΚΛ) ρ +ρ ο C είναι εκτός του C.. Αν (ΚΛ)=ρ +ρ οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά. 3. Αν ρ -ρ (ΚΛ) ρ +ρ οι κύκλοι τέµνονται σε δύο σηµεία. 4. Αν (ΚΛ)=ρ -ρ ο C εφάπτεται εσωτερικά στον C. ψ ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

2 [7] 5. Αν (ΚΛ) ρ -ρ ο C βρίσκεται εντός του C.. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Να αποδειχθεί ότι η ευθεία (ε): xσυνθ+ψηµθ=3 εφάπτεται στον κύκλο x +ψ =9 για κάθε θ R. Ο κύκλος έχει κέντρο το Ο(,) και ακτίνα ρ=3. Η (ε) θα εφάπτεται στον κύκλο αν ισχύει: d(ε, Ο)=ρ. Πράγµατι: συνθ+ ηµθ-3 3 d(ε, Ο)= = =3=ρ. συν θ+ηµ θ. Νρεθούν οι εξισώσεις των κύκλων, οι οποίοι διέρχονται από τα σηµεία Α(,-) και Β(3,-4) και εφάπτονται στον άξονα χ χ. Αν Κ(α,β) το κέντρο του ζητούµενου κύκλου τότε: ΚΑ=ΚΒ (α-) +β+) = (α-3) +(β+4) 4α-4β= α=β+5. () Επειδή ο κύκλος C εφάπτεται στον άξονα χ χ θα είναι ρ= β. Άρα: ρ= β ΚΑ =β (α-) +(β+) =β α -α+4β+5=. () Η () λόγω της () γίνεται: (β+5) -(β+5)+4β+5= β +β+= β=- ή β=-. () Γι=- είναι α= + 5= 3, οπότε: Κ (3,-) και ρ=κα= 4 + =. Η εξίσωση του κύκλου είναι: C : (x-3) +(ψ+) =4. () Γι=- είναι α= + 5= 5, οπότε: Κ (-5,-) και ρ= =. Η εξίσωση του κύκλου είναι:c : (x+5) +(ψ+) =. 3. Νρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτόµενων του κύκλου (C): x +ψ =5 οι οποίες διέρχονται από το σηµείο Κ(-5,5). Έστω Α(x,ψ ) το σηµείο επαφής. Τότε η εξίσωση της εφαπτόµενης είναι: (ε): xx +ψψ =5 (). Επειδή η (ε) διέρχεται από το Κ οι συντεταγµένες του την επαληθεύουν, άρα: -5x +5ψ =5 x =3ψ -5 (). Αλλά το σηµείο επαφής ( Α ανήκει και στον κύκλο, εποµένως: x +ψ =5 9ψ +5-3ψ +ψ =5 ψ -3ψ = ψ = ή ψ =3. Άρα Α (-5,) ή Α (4,3), οπότε από την () οι ζητούµενες εφαπτόµενες είναι: ) ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

3 [73] (ε ): x=-5 στο Α (ε ): 4x+3ψ-5= στο Α. 4. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο το σηµείο Κ(,), ο οποίος αποκόπτει από την ευθεία (ε): 3x+4ψ+8= χορδή µήκους 8 µονάδων. Έστω ΑΒ η χορδή του κύκλου που ορίζει ο κύκλος µε την ευθεία (ε) και ΚΜ ΑΒ. Επειδή το Μ είναι το µέσο της χορδής ΑΒ, είναι ΑΜ=4. Επίσης: ΚΜ=d(K, ε)= = = Από το Πυθαγόρειο θεώρηµα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΜΚΑ έχουµε: ΚΑ =ΚΜ +ΜΑ =3 +4 =5. Εποµένως η ακτίνα του κύκλου είναι ρ=5 και η εξίσωσή του είναι: (x-) +(ψ-) =5. 5. ίνεται ο κύκλος C: (x+) +(ψ+3) =5. Νρεθεί η εξίσωση της εφαπτόµενης του κύκλου στο σηµείο του Α(-5,). Έστω (ε) η ζητούµενη εφαπτόµενη του κύκλου στο Α και Μ(x,ψ) τυχαίο σηµείο της (ε). Τότε ΚΑ ΑΜ ΚΑ ΑΜ=.() Αλλά: ΚΑ= ( 3,4) και ΑΜ= ( x + 5, ψ ). Η () -3(x+5)+4(ψ-)= -3x-5+4ψ-4= 3x-4ψ-9=. 6. Νρεθεί η εξίσωση της εφαπτόµενης του κύκλου C: x +ψ = η οποία: i) είναι παράλληλη στην ευθεία (δ): x+3ψ=4 ii) είναι κάθετη στην ευθεία (ζ): 3x+ψ-= i) Aν (x,ψ ) το σηµείο επαφής, η εξίσωση της εφαπτόµενης είναι (ε): Α x xx +ψψ =.() και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ ε = - =-. Επειδή (ε)/(δ) Β ψ x είναι λ ε =λ δ - =- ψ =3x. ψ 3 Αλλά το (x,ψ ) C x +ψ =. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

4 [74] Τα x, ψ θα προσδιοριστούν από τη λύση του συστήµατος ψ =3x ψ =3x x +ψ = x = x = x =- ή. Άρα οι εξ. εφαπτόµενης από την () είναι: ψ =3 ψ =-3 x+3ψ-= στο σηµείο (,3) και x+3ψ+= στο σηµείο (-,-3). ii) Aν (x,ψ ) το σηµείο επαφής, η εξίσωση της εφαπτόµενης είναι (ε): Α x xx +ψψ =.() και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ ε = =. Eπειδή (ε) (ζ) Β ψ x είναι: λ ε.λ ζ =- - (-3)=- ψ =-3x. Αλλά το ψ (x,ψ ) C x +ψ =. Τα x, ψ θα προσδιοριστούν από τη λύση του ψ =-3x ψ =-3x x = x =- συστήµατος ή. x +ψ = x = ψ =-3 ψ =3 εξισώσεις εφαπτόµενης από την () είναι: x-3ψ-= στο σηµείο (,-3) και x-3ψ+= στο σηµείο (-,3). Άρα οι 7. ίνεται ο κύκλος C: x +ψ =9 και το σηµείο Α(,). Νρεθεί η εξίσωση της χορδής του κύκλου, η οποία έχει ως µέσο το σηµείο Α. α τρόπος: Έστω ότι η ζητούµενη χορδή τέµνει τον κύκλο στα σηµεία Β(x.ψ ) και Γ(x,ψ ). Τότε θα ισχύει: x +ψ =9 () και x +ψ =9 (). Αφαιρώντας κατά µέλη τις () και () έχουµε: x -x +ψ -ψ = (x +x )(x -x )+(ψ +ψ )(ψ -ψ )= (3). x +x = x +x = Επειδή το Α είναι µέσο της ΒΓ ισχύει: άρα η (3) ψ +ψ ψ +ψ =4 = ψ -ψ ψ -ψ γίνεται: (x -x )+4(ψ -ψ )= + 4 = =-. x -x x -x ψ -ψ Αλλά ο λόγος είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της ΒΓ. Εποµένως η x -x εξίσωση της χορδής ΒΓ που διέρχεται από το Α είναι: ψ- = - (x-) x+ψ-5=. ( Να εξεταστεί αν η κατακόρυφη ευθεία x=αποτελεί λύση του προβλήµατος). ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

5 [75] Παρατήρηση Η µέθοδος της διαφοράς που εφαρµόστηκε στην άσκηση µας δίνει την δυνατότητα να εκµεταλλευτούµε τις συντεταγµένες του µέσου ενός ευθυγράµµου τµήµατος και να εµφανίσουµε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ζητούµενης ευθείας στο πρόβληµα. Να µελετηθεί καλά γιατί εφαρµόζεται και στις άλλες κωνικές τοµές. Το παραπάνω πρόβληµα µπορεί να λυθεί και ως εξής, πράγµα που ισχύει µόνον στον κύκλο: β τρόπος: Αν ΟΑ το απόστηµα και ΒΓ η χορδή, τότε: ΟA BΓ (Το Α είναι προφανώς µέσο - της ΒΓ). Είναι λ ΟΑ = = =. Άρα λ ΒΓ=-. Έτσι, η εξίσωση της χορδής ΒΓ - είναι: ψ-= (x-) x+ψ-5=. 9λ 8. ίνεται η εξίσωση: C: x +ψ -4λ x-λ ψ+ -λ- =, λ R. () i) Nα αποδείξετε ότι για κάθε λ, η () παριστάνει κύκλο του οποίου νρείτε το κέντρο και την ακτίνα του. ii) Nρείτε τον γεωµετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων για κάθε λ R. i) Έχουµε: Α +Β -4Γ=(-4λ) +(-λ) 9λ -4 -λ- =6λ +4λ -8λ +4λ+= (λ+). Άρα η () παριστάνει κύκλο µε κέντρο: Κ - Α,- Β =(λ,λ) και Α +Β -4Γ (λ+) ακτίνα ρ= = =. ii) Aν Κ(x,ψ) το κέντρο του κύκλου, τότε: x=λ, ψ=λ και µε απαλοιφή του λ από λ+ τις δύο εξισώσεις έχουµε ότι: ψ= x (ε). Άρα ο γεωµετρικός τόπος του Κ είναι η ευθεία (ε). 9. ίνεται ο κύκλος x +ψ =5 και το σηµείο Α(3,4). Νρείτε τον γεωµετρικό τόπο των µέσων των χορδών του κύκλου που διέρχονται από το Α. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

6 [76] Η χορδή ΑΒ έχει άκρα τα σηµεία Α(3,4) και Β(x,ψ ) και µέσο το Μ(x o,ψ ο ). Τότε: x +3 ψ +4 x o = () και ψ = (). Aλλά ισχύει x +ψ =5 (3). Από () και () έχουµε ότι: x =x o -3, ψ =ψ ο -4 και η (3) γίνεται: (x o -3) +(ψ ο -4) = x - + ψ - 3 = που είναι κύκλος µε κέντρο, και ακτίνα 5/. 4. ίνονται τα σηµεία Α(,) και Β(3,). Νρείτε τον γεωµετρικό τόπο των ΜΑ σηµείων Μ για τα οποία ισχύει: =. ΜΒ Έστω Μ(x,ψ). Τότε: ΜΑ (x-) +(ψ-) = = (x-) +(ψ-) = (x-3) +(ψ-) ΜΒ (x-3) +(ψ-) ( ) ( ) (x-) +(ψ-) = (x-3) +(ψ-) 4(x-) +4(ψ-) =(x-3) +(ψ-) 4 3x +3ψ -x-4ψ+= x +ψ - x- ψ+ = Είναι Α +Β 6 7-4Γ= >, άρα είναι κύκλος µε κέντρο Κ, και ακτίνα ρ=. 3. ίνεται η εξίσωση C: x +(ψ+) +λ(x-ψ-)=, λ διάφορο του. Να αποδειχθεί ότι: i) Η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο, για κάθε λ. Nρεθεί το κέντρο και η ακτίνα των κύκλων C. ii) Οι κύκλοι C διέρχονται από ένα σταθερό σηµείο Ρ, το οποίο να προσδιοριστεί. iii) Tα κέντρα των παραπάνω κύκλων βρίσκονται σε µια σταθερή ευθεία η οποία να προσδιοριστεί. iv) Oι κύκλοι C εφάπτονται στην ευθεία (ε): x-ψ-= στο σηµείο Ρ. i) Η εξίσωση αυτή γράφεται: x +ψ +λx+(-λ)ψ-λ+=. Είναι Α +Β -4Γ=4(-λ) +4λ -4(-λ+)=8λ >. Άρα η εξίσωση παριστάνει κύκλο µε κέντρο Κ - A,- B 8λ =(-λ,λ-) και ακτίνα ρ= = λ. ii) Aν Ρ(x o,ψ ο ) το σταθερό σηµείο από το οποίο διέρχονται οι κύκλοι, τότε θα ισχύει: ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

7 [77] x o +(ψ ο +) x +(ψ +) = x == +λ(x ο -ψ ο -)=. -ψ -= =- Άρα το σταθερό σηµείο είναι το Ρ(,-). iii) Aν Κ(x,ψ) το κέντρο, τότε x=-λ και ψ=λ-. Με απαλοιφή του λ από τις δύο σχέσεις έχουµε x+ψ+=. ηλαδή τα κέντρα των κύκλων βρίσκονται στην ευθεία x+ψ+=. iv) Η απόσταση του κέντρου Κ(-λ,λ-) από την ευθεία x-ψ-= είναι: d(k, ε)= -λ-(λ-)- = λ =ρ. Άρα οι κύκλοι εφάπτονται στην (ε) στο Ρ. +(-). Από το εξωτερικό σηµείο Μ(x,ψ ο ) του κύκλου C: x +ψ =ρ φέρουµε τις εφαπτόµενες ε και ε του κύκλου. Αν Α και Β τα σηµεία επαφής, νρεθεί η εξίσωση της ΑΒ. (Η χορδή ΑΒ ονοµάζεται πολική χορδή του κύκλου και το σηµείο Μ πόλος). ψ ε Α(x,ψ ) Μ(x o,ψ ο ) Β(x,ψ ) x ε Η εφαπτόµενη ε στο Α(x,ψ ) έχει εξίσωση ε : xx +ψψ =ρ και επειδή περνά από το Μ(x o,ψ ο ) ισχύει: x o x +ψ ο ψ =ρ. () Όµοια για την ε που περνά από το Β(x,ψ ) θα ισχύει: x o x +ψ ο ψ =ρ.(). Λόγω των () και (), είναι προφανές ότι η εξίσωση x o x+ψ ο ψ=ρ επαληθεύεται από τα σηµεία Α και Β και επειδή από δύο σηµεία διέρχεται µόνον µία ευθεία, αυτή θα είναι και η εξίσωση της ΑΒ. Για παράδειγµα: Η εξίσωση της πολικής χορδής του κύκλου x +ψ =9 µε πόλο το σηµείο Μ(5,5) είναι η 5x+5ψ=9. 3. Νρεθεί η εξίσωση της κοινής εφαπτόµενης των κύκλων C : x +ψ +6x+5= και C : x +ψ -x-6ψ+=. Ο κύκλος C : x +ψ +6x+5= έχει κέντρο Κ(-3,) και ακτίνα ρ =. Ο κύκλος C : x +ψ -x-6ψ+= έχει κέντρο Λ(,3) και ακτίνα ρ =3. Είναι (ΚΛ)= 6+ 9 = 5 = 5= ρ +ρ. Άρα οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά και έστω Α(x o,ψ ο ) το κοινό τους σηµείο. Τότε ισχύουν ταυτόχρονα: ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

8 [78] x +ψ +6x +5= από όπου, αφαιρώντας κατά µέλη παίρνουµε: x +ψ -x -6ψ ο += 8x o +6ψ ο +4=.() Από την () συµπεραίνουµε ότι η ευθεία µε εξίσωση 8x+6ψ+4= 4x+3ψ+= είναι η εξίσωση της κοινής εφαπτόµενης στο Α γιατί επαληθεύεται από αυτό όπως φαίνεται από την () και είναι κάθετη στην διάκεντρο ΚΛ όπως µπορούµε να δείξουµε µε τους συντελεστές διεύθυνσης... AΣΚΗΣΕΙΣ. Νρεθεί η εξίσωση κύκλου αν: α) έχει κέντρο το σηµείο Κ(3,) και περνά από το σηµείο Λ(-,4). β ) έχει κέντρο το Κ(,) και εφάπτεται στην ευθεία x-3ψ+4=. γ ) έχει διάµετρο το ευθ. τµήµα που έχει άκρα τα σηµεία Α(,) και Β(-,-3).. Αποδείξτε ότι οι παρακάτω εξισώσεις παριστάνουν κύκλο και βρείτε το κέντρο και την ακτίνα τους: α) x +ψ -4x+3ψ-= β) 3x +3ψ -x+3ψ+= 3. Για ποιες τιµές του λ Rη εξίσωση (3x-) +(3ψ+6) =λ- παριστάνει κύκλο; 4. ίνεται η σχέση: x +ψ αx+4= (). α) για ποια τιµή του α η () παριστάνει κύκλο; β ) ποιος είναι ο γεωµετρικός τόπος του κέντρου του κύκλου; 5. α) Νρεθούν οι τιµές του α Rγια τις οποίες η εξίσωση x +ψ +(α-)x-αψ-4α+= παριστάνει κύκλο. β ) Πότε ο κύκλος διέρχεται από την αρχή των αξόνων; γ ) είξτε ότι ο γεωµ. τόπος των κέντρων των παραπάνω κύκλων είναι δύο ηµιευθείες. 6. ίνεται ο κύκλος (x+) +(ψ-4) =9. α) Νρεθούν οι τιµές του κ ώστε η ευθεία (ε): 6x+8ψ-κ=, κ Rνα εφάπτεται στον κύκλο αυτό. β ) Για τη µικρότερη τιµή του κ νρεθεί το σηµείο επαφής της (ε) και του κύκλου. 7. Νρεθεί η εξίσωση του περιγεγραµµένου κύκλου του τριγώνου µε κορυφές τα σηµεία Α(3,), Β(,), και Γ(-,-4). 8. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο πάνω στην ευθεία ψ=-x και διέρχεται από τα κοινά σηµεία των κύκλων: C : x +ψ -x+ψ-4= και C : x +ψ +x+ψ-8=. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

9 [79] 9. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου που περνά από τα σηµεία τοµής των κύκλων (x-5) +(ψ+4) =5 και (x+3) +ψ =5 και το κέντρο του βρίσκεται στην ευθεία (ε): x+ψ+5=.. ίνονται οι ευθείες (ε ): x+ψ-= και (ε ): x-ψ+4=. Νρεθούν οι εξισώσεις των κύκλων που εφάπτονται σ αυτές και έχουν ακτίνα ρ=3.. ίνονται οι ευθείες (ε ): x+ψ-5= και (ε ): x+ψ+=. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στις παραπάνω ευθείες αν το ένα σηµείο επαφής είναι το Μ(,).. Νρεθούν οι εξισώσεις των κύκλων που εφάπτονται στην ευθεία (ε): 3x+4ψ= και στους άξονες χ χ και ψ ψ. 3. είξτε ότι οι κύκλοι C : (x-) +(ψ+5) =5 και C : (x+) +(ψ+) = τέµνονται και βρείτε την εξίσωση της κοινής χορδής τους. 4. ίνεται ο κύκλος C: x +ψ +x-4ψ+λ-=, λ Rκαι το σηµείο Α(-,3). α) Νρεθεί το λ ώστε ο C να διέρχεται από το Α. β ) Για την τιµή αυτή του λ, νρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης του C στο Α. 5. Νρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτοµένων του κύκλου C: x +ψ = που είναι παράλληλες στην ευθεία x+6ψ-=. 6. Νρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτοµένων του κύκλου (x+3) +(ψ-) =4 που είναι κάθετες στην ευθεία x+3ψ-6=. 7. Νρεθεί η εξίσωση της εφαπτόµενης του κύκλου C : (x-) +(ψ-3) =5 στο σηµείο του Α(5,-) και να αποδειχθεί ότι αυτή η ευθεία εφάπτεται και στον κύκλο C : x +(ψ+) =9. 8. ίνεται η ευθεία ε: ψ=λx και ο κύκλος C: x +ψ -4x+=. Νρείτε τις τιµές του λ για τις οποίες η ευθεία α) τέµνει τον κύκλο C. β) να εφάπτεται στον κύκλο C. γ) να µην έχει κοινά σηµεία µε τον κύκλο C. 9. Να αποδειχθεί ότι η ευθεία ε: + = εφάπτεται στον κύκλο C: x +ψ =ρ αν και µόνον αν ισχύει: + =, α, β. ρ. ίνονται οι κύκλοι C : (x-3) +(ψ-) =36 και C : x +(ψ-) =. α) είξτε ότι οι C και C εφάπτονται εσωτερικά. β ) Βρείτε την εξίσωση της κοινής εφαπτόµενης των δύο κύκλων.. ίνεται το σηµείο Μ(,4) και ο κύκλος C: x +ψ -4x+6ψ-=. α ) είξτε ότι το Μ είναι εξωτερικό σηµείο του κύκλου C. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

10 [8] β ) Βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόµενων του κύκλου που διέρχονται από το Μ. γ)ποια είναι η γωνία των δύο εφαπτόµενων; δ ) Ποια είναι η απόσταση του Μ από την χορδή του κύκλου που ορίζουν τα σηµεία επαφής;. Νρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτόµενων του κύκλου (x-3) +(ψ-3) =4 που διέρχονται από το σηµείο Μ(6,). 3. Νρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόµενων του κύκλου x +ψ =4, οι οποίες απέχουν από το σηµείο Α(3,-3) απόσταση µονάδες 4. Νρείτε τις εξισώσεις των εφαπτοµένων του κύκλου 4x +4ψ -5ψ+3= οι οποίες διέρχονται από την αρχή των αξόνων. Ποια είναι η γωνία των εφαπτόµενων αυτών; 5. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου C που διέρχεται από τα σηµεία Α(,6), Β(-,-) και Γ(6,6). 6. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου C που διέρχεται από τα σηµεία Α(-,) και Ο(,) και το κέντρο του ανήκει στην ευθεία (ε): ψ=x+. 7. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου C που εφάπτεται στις ευθείες ε : ψ=x και ε : x+ψ= και διέρχεται από το σηµείο Α(3.4). 8. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου C που εφάπτεται στην ευθεία ε: 3x+4ψ= και στους θετικούς ηµιάξονες. 9. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου C που εφάπτεται στον θετικό ηµιάξονα Οχ, το κέντρο του ανήκει στην ευθεία ε: x-ψ= και διέρχεται από το σηµείο Α(4,). 3. είξτε ότι οι κύκλοι C : x +ψ =4 και C : (x-4) +(ψ-3) =9, εφάπτονται εξωτερικά και βρείτε την εξίσωση της κοινής εφαπτόµενης των κύκλων αυτών. 3. Νρείτε τη σχετική θέση των κύκλων C : x +ψ -6ψ= και C : x +ψ -6x=. 3. Έστω Α(α,β) σταθερό σηµείο µε ΟΑ = Νρείτε το γεωµετρικό τόπο των. σηµείων Μ του επιπέδου για τα οποία είναι: ΟΜ ( ΟΑ 3ΟΜ) = α) Να αποδείξετε ότι ο κύκλος C: (x-4) +(ψ-3) =9 εφάπτεται στον άξονα χ χ και νρείτε το σηµείο επαφής Α. β ) Νρείτε το γεωµετρικό τόπο των µέσων των χορδών του κύκλου C, οι οποίες διέρχονται από το σηµείο Α. 34. ίνεται το σηµείο Μ και η εξίσωση x +(α+β)x+αβ+=. Αν η εξίσωση έχει διπλή ρίζα, να αποδείξετε ότι το σηµείο Μ κινείται σε έναν κύκλο, του οποίου νρείτε το κέντρο και την ακτίνα. 35. Να αποδείξετε ότι το σηµείο Μ(+ηµφ, -συνφ), όταν το φ µεταβάλλεται στο διάστηµα [, π), κινείται σε κύκλο του οποίου νρείτε το κέντρο και την ακτίνα. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

11 [8] 36. Νρείτε τον γεωµετρικό τόπο των σηµείων Μ(x,ψ) του επιπέδου, για τα οποία ισχύει: x 3 -ψ 3 -x ψ+xψ -x +ψ=. 37. ίνεται η εξίσωση (C): x +ψ +(λ-)x-(λ+)ψ+3λ-=, λ R. α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει κύκλο για κάθε λ R. β) Νρείτε το κέντρο αυτού του κύκλου και να αποδείξετε ότι αυτό κινείται σε µια ευθεία καθώς το λ µεταβάλλεται. γ) Να αποδείξετε ότι ο κύκλος (C) διέρχεται από δύο σταθερά σηµεία. 38. Να αποδείξετε ότι το σηµείο τοµής Μ των ευθειών (ε): xσυνθ+ψ= και (η): x-ψσυνθ=, θ R. κινείται στον κύκλο µε κέντρο Κ, και ακτίνα ρ=. 39. ίνονται οι ευθείες (ε): (ηµθ)x-(συνθ)ψ=ηµθ και (η): (συνθ)x+(ηµθ)ψ=συνθ, θ R. α) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες αυτές τέµνονται για κάθε θ R. β) Να αποδείξετε ότι το σηµείο τοµής των (ε) και (η) κινείται σε κύκλο του οποίου νρείτε το κέντρο και την ακτίνα. 4. Σε τρίγωνο ΑΒΓ οι κορυφές Β και Γ είναι σταθερές, ενώ η κορυφή Α κινείται, έτσι ώστε η διάµεσος ΒΜ να έχει σταθερό µήκος λ>. Να αποδείξετε ότι η κορυφή Α κινείται σε κύκλο τον οποίο να προσδιορίσετε. 4. Έστω σταθερό σηµείο Α(α,β) µε ΟΑ = 3. Νρεθεί ο γεωµ. τόπος των σηµείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχείει: ΟΜ ( ΟΜ ΟΑ) = 7. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

12 [8] ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΟΡΙΣΜΟΣ Παραβολή είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τη σταθερή ευθεία δ και το σταθερό σηµείο Ε εκτός της δ. Η δ λέγεται διευθετούσα της παραβολής και το Ε εστία αυτής. EΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ Αν η παραβολή έχει κορυφή την αρχή την αξόνων Ο(,) και άξονα συµµετρίας τον χ χ τότε έχει εξίσωση: ψ =ρx. Ο αριθµός ρ λέγεται παράµετρος της παραβολής και είναι η απόσταση της εστίας από τη διευθετούσα. Αν η παραβολή έχει κορυφή την αρχή Ο(,) και άξονα συµµετρίας τον ψ ψ τότε έχει εξίσωση x =ρψ. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

13 [83] ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ Η εφαπτόµενη της παραβολής C : ψ =ρx στο σηµείο της Μ(x,ψ ) έχει εξίσωση ψψ = ρ(x+x ), ενώ της παραβολής C : x =ρψ στο σηµείο της Μ(x,ψ ) έχει εξίσωση xx =ρ(ψ+ψ ). ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. ίνεται η παραβολή x =-4ψ. i) Νρείτε την εστία και την διευθετούσα της. ii) Nρείτε τα σηµεία τοµής της µε τον κύκλο x +ψ =5. i) Είναι ρ=-4 ρ=-. Άρα η εστία είναι το σηµείο Ε(,-) και η διευθετούσα η ευθεία ψ=. ii) Tα σηµεία τοµής είναι οι λύσεις του συστήµατος: x +ψ =5 x =-4ψ ψ -4ψ-5= ψ=- ή ψ=5( που απορρίπτεται). Για ψ=- έχουµε x =4 x= ή. Άρα τα ζητούµενα σηµεία είναι τα Κ(,-) και Λ(-,-). ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

14 [84]. ίνεται η παραβολή ψ =6x. i) Nρείτε την εστία και την διευθετούσα της. ii) Nρείτε τα σηµεία της που απέχουν από την αρχή Ο απόσταση d= i) Είναι ρ=6 ρ=3. Άρα Ε, και δ : x=. ii) Έστω (x,ψ) σηµείο της παραβολής, τότε (x-) +(ψ-) =4 x +ψ =6. Αλλά ψ =6x, οπότε: x +6x-6= x= ή x=-8(απορρίπτεται). Για x= παίρνουµε ψ = ψ= ±. Τα ζητούµενα σηµεία είναι Κ(, ) και Λ(,- ). 3. ίνεται η παραβολή ψ =6x. Nρείτε την εφαπτόµενη αυτής που είναι παράλληλη στην ευθεία (δ): ψ=3x-. Η εφαπτόµενη (ε) της παραβολής στο σηµείο Μ(x,ψ ) έχει εξίσωση A 3 ψψ =3(x+x ) 3x-ψ ψ+3x = µε λ= - =. Επειδή είναι παράλληλη στην (ε) B ψ 3 θα είναι λ δ =λ ε =3 ψ =. ψ Το Μ ανήκει στην παραβολή, οπότε: ψ =6x =6x x =. 6 Άρα η εξίσωση της εφαπτόµενης είναι 3x-ψ+ =. 4. ίνεται η παραβολή ψ =x. Νρείτε την εξίσωση της εφαπτόµενης αυτής που είναι κάθετη στην ευθεία ψ=-4x+.(δ) Η εφαπτόµενη (ε) της παραβολής στο σηµείο Μ(x,ψ ) έχει εξίσωση A ψψ =(x+x ) x-ψ ψ+x = µε λ= =. Επειδή η εφαπτόµενη είναι κάθετη B ψ Στην (δ) θα έχει λ=. Άρα = ψ = 4. 4 ψ 4 Εποµένως 4 =x x =8. Άρα η εξίσωση της παραβολής είναι x-4ψ+8=. 5. Νρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόµενων της παραβολής ψ =4x, που απέχουν 5 από την εστία της απόσταση d=. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

15 [85] Η εστία είναι το σηµείο Ε(,). Η εξίσωση της εφαπτόµενης στο σηµείο (x,ψ ) είναι ψψ =(x+x ) x-ψ ψ+x =. Η απόσταση είναι: ψ =4x -+x +x 5 d= = =... x =. Άρα ψ = ψ = ±. 4+ψ 4+4x 4 Έτσι, οι ζητούµενες εφαπτόµενες είναι: x- ψ+ = και x+ ψ+ =. 6. ίνεται η παραβολή C: ψ =ρx, η χορδή αυτής ΑΒ και η εφαπτόµενη (ε) της παραβολής παράλληλη στην ΑΒ. Αν Κ(x o,ψ ο ) το σηµείο επαφής της εφαπτόµενης και Μ το µέσο της ΑΒ, να αποδείξετε ότι η ΚΜ είναι παράλληλη στον άξονα χ χ. Αν Α(x,ψ ) και Β(x,ψ ) τα άκρα της χορδής, τότε το µέσον της Μ έχει x +x ψ +ψ συντεταγµένες,. Αρκεί λ ψ +ψ ΚΜ= -ψ = ψ +ψ =ψ. Αλλά τα Α και Β ανήκουν στην C εποµένως: ψ =ρ x (αφαιρώκατάµέλη)(ψ -ψ )(ψ +ψ )=ρ(x-x ) ψ =ρ x (µέθοδος αφαίρεσης) x-x ψ +ψ =ρ ψ +ψ =ρ ψ +ψ =ρ ψ +ψ =ψ. ψ ρ -ψ λε ψ 7. ίνεται η παραβολή C: ψ =x. Νρείτε τις συντεταγµένες του µέσου Μ της χορδής που ορίζεται από την ευθεία 3x-ψ=. Αν ΑΒ η χορδή που η ευθεία ορίζει στην παραβολή µε Α(x,ψ ) και Β(x,ψ ), τότε x +x ψ +ψ το µέσον της ΑΒ θα είναι το σηµείο Μ, = ( x M,ψ Μ). Τα Α και Β ψ =x ψ =x είναι οι λύσεις του συστήµατος: 3x- 9x -54x+= () 3x-ψ= ψ= ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

16 [86] Για τα ρίζες x και x της () ισχύει ο τύπος του Vietta (άθροισµα ριζών) S=x +x =- β =- -54 =6. Άρα x M =3 και 3x M -ψ Μ = ψ Μ =4. α 9 Άρα το µέσον της χορδής ΑΒ είναι το σηµείο Μ(3,4). (Να λυθεί η άσκηση αυτή µε την µέθοδο της αφαίρεσης. 8. Έστω η παραβολή C: ψ =ρx και τα σηµεία της Α(x,ψ ) και Β(χ,ψ ). Να αποδειχθεί ότι η ΑΒ περνά από την εστία Ε αν και µόνον αν ψ.ψ =-ρ και x.x =ρ /4. ρ ρ Οι ευθείες που περνούν από την Ε είναι οι: ε: ψ-=λ x- και δ:x=. Τα σηµεία τοµής της δ µε την C είναι οι λύσεις του συστήµατος: ρ ρ x= x= ρ ρ. ηλαδήα,ρ και Β,-ρ. Άρα ψ.ψ =-ρ και ψ =ρx ψ=±ρ x.x =ρ /4. Από το σύστηµα των ψ λρ =ρx και x= λx-, λύνοντας βς προς x και ψ την δεύτερη και αντικαθιστώντας στην πρώτη προκύπτουν οι εξισώσεις: λ λρ λ ρ ψ -ψ- =() και λ x -ρ(λ +)x+ =(). ρ 4 Για τα ρίζες τους ισχύει ο τύπος του Vietta για το γινόµενο των ριζών Ρ= γ. α Από την () παίρνουµε ψ.ψ =-ρ και από την () x.x =ρ /4. 9. Νρείτε τον γεωµετρικό τόπο των µέσων των χορδών ΟΒ της παραβολής C: ψ =ρx µε άκρα την κορυφή Ο και Β τυχαίο σηµείο της παραβολής. Αν Μ(x o,ψ ο ) ένα τυχαίο σηµείο του γεωµετρικού τόπου και Β(x,ψ ) τυχαίο x ψ σηµείο της παραβολής, τότε, αφού Μ µέσο της ΟΒ έχουµε: x =,ψ = x =x,ψ =ψ. Επειδή το Β ανήκει στην παραβολή θα είναι: ψ =ρx 4ψ ο =4ρx o ψ ο =ρx o. Άρα ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος είναι η παραβολή ψ =ρx. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

17 [87]. Έστω C: ψ =ρx µια παραβολή και η εφαπτόµενή της ε στο τυχαίο σηµείο της Μ(x,ψ ). Αν η ευθεία ΟΜ τέµνει την διευθετούσα στο Α, να αποδείξετε ότι ΑΕ//ε. ρ Η εξίσωση της εφαπτόµενης στο Μ είναι ψψ =ρ(x+x ) και έχει λ ε =. ψ Η ΟΜ έχει συντελεστή διεύθυνσης ψ x ψ και εξίσωση ψ= x. Το Α είναι η λύση του x ρ ρ x=- x=- συστήµατος. ψ Εποµένως ο συντελεστής διεύθυνσης της ρψ ψ= x ψ=- x x ψ ΑΕ είναι: λ ΑΕ =. Για να είναι ΑΕ//ε πρέπει λαε =λ ε x ψ ρ = ψ =ρx x ψ που ισχύει, γιατί το σηµείο Μ ανήκει στην παραβολή. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Νρεθεί η εξίσωση της παραβολής αν: α) έχει κορυφή την αρχή Ο(,) και εστία Ε(-/,) β) κορυφή την αρχή Ο(,) και διευθετούσα την ευθεία x=-/4. γ ) κορυφή την αρχή Ο(,) και διευθετούσα την δ: ψ= δ) κορυφή την αρχή Ο(,) και εστία Ε(./5).. Νρεθεί η εξίσωση της παραβολής µε κορυφή το Ο(,), όταν: α) έχει άξονα συµµετρίας τον χ χ και ρ=-4. β) έχει άξονα συµµετρίας τον ψ ψ και εστία Ε(,). γ) έχει διευθετούσα την ευθεία ψ=3. δ) έχει άξονα συµµετρίας τον χ χ και διέρχεται από το σηµείο Α(,-). 3. Νρεθεί η εστία και η διευθετούσα των παραβολών µε εξισώσεις: α) ψ = -4x, β) x =8ψ. 4. Νρεθεί η εξίσωση της εφαπτόµενης της παραβολής C: ψ =x που: α) είναι παράλληλη στην ευθεία δ: x-ψ-3=. β ) είναι κάθετη στην ευθεία δ: x-ψ=. γ ) διέρχεται από το σηµείο Α(-4,). 5. Νρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτόµενων της παραβολής C: ψ =4x που περνούν από το σηµείο Μ(-,3/). Κατόπιν νρεθεί η γωνία που σχηµατίζουν. 6. Νρεθεί η εξίσωση της ευθείας ε που είναι παράλληλη προς την ευθεία δ: ψ=x+3 και εφάπτεται στην παραβολή C: ψ =6x. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

18 [88] 7. Νρεθεί η εξίσωση της χορδής ΑΒ της παραβολής C: ψ =8x που διέρχεται από το σηµείο Μ(4,) αν είναι γνωστό ότι το Μ είναι µέσον της. 8. Έστω C: x =ψ µια παραβολή και τυχαία ευθεία ε που περνάει από το σηµείο Κ(,) και τέµνει την παραβολή στα σηµεία Μ και Ν. Αν Α και Β οι προβολές των Μ και Ν στον άξονα χ χ να αποδειχθεί ότι: ΑΚΒ=9. 9. Έστω η παραβολή C: ψ =ρx και τα σταθερά σηµεία Α και Β του άξονα χ χ τα οποία έχουν µέσο την εστία Ε. Φέρουµε τις κάθετες ΑΚ και ΒΛ σε µια εφαπτόµενη της παραβολής στο σηµείο της Μ(x,ψ ). Να αποδειχθεί ότι η διαφορά (ΑΚ) -(ΒΛ) είναι σταθερή.. Έστω C: ψ =ρχ και η εφαπτόµενή της ε στο τυχαίο σηµείο της Μ(x,ψ ). Αν η ευθεία ΟΜ τέµνει τη διευθετούσα στο Α, να δειχθεί ότι ΑΕ//ε.. Να αποδειχθεί ότι η ευθεία ε: ψ=λx+β είναι εφαπτόµενη της παραβολής C: ψ =ρx αν και µόνον αν ισχύει ρ=λβ (λ ).. ίνεται η ευθεία (ε): 4κ * x-4κψ+3=. Να αποδειχθεί ότι για κάθε κ R η ευθεία αυτή εφάπτεται της παραβολής C : ψ =3x. Κατόπιν νρεθούν οι κοινές εφαπτόµενες της παραβολής και του κύκλου C : (x+) +ψ =. 3. Νρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων, άξονα συµµετρίας τον χ χ και τέµνει την ευθεία ε: ψ=x- έτσι, ώστε να ορίζει πάνω σε αυτή χορδή µήκους. 4. Βρείτε την εξίσωση της παραβολής που εφάπτεται στην ευθεία ε: ψ=x-. είξτε ότι οι εφαπτόµενες που φέρονται από τυχαίο σηµείο της διευθετούσας είναι κάθετες. 5. ίνεται η παραβολή C : ψ =x και ο κύκλος C : (x-3) +ψ =36. είξτε ότι: α) κύκλος και παραβολή τέµνονται σε δύο σηµεία Α και Β. β) οι εφαπτόµενες της παραβολής στα Α και Β τέµνονται πάνω στον κύκλο C. 6. Από το σηµείο Μ(x,ψ ) έξω από την παραβολή C:ψ =ρx φέρουµε τις εφαπτόµενες ΜΑ και ΜΒ στην παραβολή. είξτε ότι η ευθεία ΑΒ έχει εξίσωση ψψ =ρ(x+x ). 7. Από ένα σηµείο Μ της διευθετούσας της παραβολής ψ =ρx φέρουµε εφαπτόµενες στην παραβολή. α) Αν Α και Β τα σηµεία επαφής, νρεθεί η εξίσωση της ευθείας ΑΒ. β ) είξτε ότι τα Α, Β και η εστία Ε είναι σηµεία συνευθειακά. 8. Έστω η παραβολή C: x =ρψ και τυχαίο σηµείο της Μ(x,ψ ). είξτε ότι: ρ α) η απόσταση του Μ από την εστία Ε είναι ίση µε ψ +. β ) η κορυφή της παραβολής είναι το πλησιέστερο σηµείο της προς την εστία. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

19 [89] 9. Αν Μ(x,ψ ) σηµείο της παραβολής C: ψ ρ =ρx τότε ΕΜ = x +.. ίνεται η παραβολή C: ψ =ρx και έστω Μ τυχαίο σηµείο αυτής. Να δειχθεί ότι ο κύκλος διαµέτρου ΕΜ, όπου Ε η εστία της παραβολής εφάπτεται στον άξονα ψ ψ.. Νρεθεί η εξίσωση της χορδής της παραβολής x =ψ, η οποία έχει µέσο το 5 σηµείο Α,. 4. Μεταβλητή ευθεία (ε) στρέφεται περί την εστία Ε της παραβολής C: ψ =ρx, ρ. Αν η ευθεία τέµνει την παραβολή στα σηµεία Α και Β, δείξτε ότι: + = σταθερό. ΕΑ ΕΒ. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

20 [9] ΕΛΛΕΙΨΗ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω Ε και Ε δύο σταθερά σηµεία του επιπέδου. Έλλειψη είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου που έχουν σταθερό άθροισµα αποστάσεων από τα Ε και Ε, δηλαδή: (ΜΕ )+(ΜΕ)=α, (Ε Ε)=γ, α γ. Τα Ε και Ε λέγονται εστίες της έλλειψης. Το τµήµα (Ε Ε) λέγεται εστιακή απόσταση. Τα σηµεία Α(-α.) και Α(α.) λέγονται κορυφές της έλλειψης. Το τµήµα ΑΆ λέγεται µεγάλος άξονας της έλλειψης, ενώ το Β Β όπου Β (,- β) και Β(,β) λέγεται µικρός άξονας της έλλειψης. Το Ο λέγεται κέντρο της έλλειψης. Οι άξονες χ χ και ψ ψ είναι άξονες συµµετρίας και το Ο κέντρο συµµετρίας της έλλειψης. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΛΛΕΙΨΗΣ α) Η εξίσωση της έλλειψης µε εστίες τα σηµεία Ε (-γ,) και Ε(γ,) είναι: + = µε β =α -γ,και η γραφική της παράσταση φαίνεται στο σχ. β ) Η εξίσωση της έλλειψης µε εστίες τα σηµεία Ε (,-γ) και Ε(,γ) είναι + +, µε β α β =α -γ. (Σχ. ) ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

21 [9] ΕΚΚΕΝΤΡΟΤΗΤΑ ΕΛΛΕΙΨΗΣ λέγεται ο λόγος της εστιακής απόστασης προς το γ β µήκος του µεγάλου άξονα και είναι: ε= <και = -ε. α α Ελλείψεις µε την ίδια εκκεντρότητα λέγονται όµοιες. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΕΛΛΕΙΨΗΣ Η έλλειψη µε εξίσωση + =έχει στο σηµείο της Μ(x,ψ ) εφαπτόµενη µε xx ψψ εξίσωση: + =, ενώ η έλλειψη µε εξίσωση + =έχει στο ίδιο σηµείο β α εξίσωση: xx ψψ + =. β α ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. ίνεται η έλλειψη C: 4x +9ψ =44. Νρείτε τις εστίες, τις κορυφές, τον µεγάλο άξονα και την εκκεντρότητά της. 4x 9ψ Η εξίσωση τα έλλειψης γράφεται: + = + = Συνεπώς είναι α =36 και β =6. γ =α -β γ =36-6 γ = γ= 5. Οι εστίες είναι Ε (- 5,) και Ε( 5,). Οι κορυφές της είναι Α (-α,)=(-6,) και Α(α,)=(6,). Ο µεγάλος άξονας είναι α= Η εκκεντρότητά της είναι ε= γ 5 5 = =. α 6 3. ίνεται η έλλειψη C: + =. Αν η γωνία εκκεντρότητα της έλλειψής. Είναι Β(,β), Ε (-γ,) και Β (,-β). Επειδή η γωνία Ε Β Ε Β Ε Β Ε Β = () ΒΕ Β είναι ορθή, νρείτε την ΒΕ Β είναι ορθή, θα ισχύει: ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

22 [9] Αλλά Ε Β=(γ,β) και Ε Β =(γ,-β). Άρα η () δίνει γ -β = (). Αλλά β =α -γ (3). Από () και (3) έχουµε: γ -(α -γ )= ή γ =α ή γ = ε = ε= ε=. α 3. Νρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτόµενων της έλλειψης C: 4x +ψ = που: α) Είναι παράλληλες στην ευθεία δ: ψ=4x β) Είναι κάθετες στην ευθεία ζ: x-4ψ+= γ) ιέρχονται από το σηµείο Κ(,) Αν Μ(x,ψ ) το σηµείο επαφής, ισχύει 4x +ψ = () γιατί ανήκει στην έλλειψη. 4x Η εξίσωση της εφαπτόµενης στο Μ είναι (ε): 4xx +ψψ = και έχει λ=. ψ Αρκεί νρούµε τα x και ψ. 4x α) Επειδή (ε)//δ είναι λ ε =λ δ =4 x =-ψ οπότε η () δίνει ψ x = ± και ψ =. Άρα οι εξισώσεις των εφαπτόµενων είναι: ε :4x-ψ=, ε : -4x+ψ= 4x β) Επειδή ε ζείναιλε λ ζ =-,άραλ 3 =-4 - =-4 x =ψ. Με ψ = ± καιψ = ± αντικατάσταση στην () έχουµε: x. Άρα οι εξισώσεις των εφαπτόµενων είναι: ε : 4x+ψ= και ε : 4x+ψ=-. γ) Επειδή η (ε) διέρχεται από το Κ(,) θα ισχύει: ψ = άρα ψ =. Η () δίνει 4x +4= ή x = ±. Άρα οι εξισώσεις των εφαπτόµενων είναι: ε : 4x+ψ= και ε : -4x+ψ=. 4. ίνεται η έλλειψη C: + =. a β Να αποδείξετε ότι το γινόµενο των αποστάσεων των εστιών της από κάθε εφαπτόµενή της είναι σταθερό και ίσο µε β. Αν Μ(x,ψ ) σηµείο της έλλειψης, η εξίσωση της εφαπτόµενής της είναι xx ψψ ζ: + -=. Οι εστίες είναι Ε (-γ,) και Ε(γ,). Άρα: a β d =d(e,ζ)= xγ - α x a ψ β και d =d(e,ζ)= xγ - - α x a ψ β. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

23 [93] Εποµένως: x γ -α 4 4 α x β -α +α ( ) 4 α β 4 xγ xγ x γ α α α d d = = = x ψ x x a β α α β 4 β xγ -α = =β, γιατί σε κάθε έλλειψη είναι -x γ +α 4 4 x α και γ <α άρα x γ -α <. 5. ίνεται η έλλειψη C: + =. Αν Α και Α οι κορυφές και ε η εφαπτόµενη σε τυχαίο σηµείο της Μ(x,ψ ) και η ε τέµνει την εφαπτόµενή της στο Α στο σηµείο Κ, δείξτε ότι Α Μ//ΟΚ. Για το σηµείο Μ(x,ψ ) της C ισχύει Η ε : x ψ + = β x +α ψ =αβ. () xx ψψ + =() τέµνει την εφαπτόµενη x=α στο σηµείο Κ(α,ψ Κ ). Η () ( ) β α-x για x=α και ψ=ψ Κ δίνει ψ Κ =. αψ ψ ( ) Είναι Α Μ//ΟΚ αν και µόνον αν λ Α Μ =λ - β α-x ΟΚ = x +α α ψ β (α-x )(α+x )=α ψ αβ -β x =α ψ που ισχύει λόγω της (). 6. ίνεται η έλλειψη C: + =και σηµείο Μ(x o,ψ ο ) στο εσωτερικό της. Νρεθεί η εξίσωση της χορδής της έλλειψης που έχει µέσο το σηµείο Μ. Αν ΑΒ χορδή µε µέσο το Μ, τότε, η ΑΒ έχει εξίσωση ψ-ψ ο =λ(x-x o ) και ψ -ψ συντελεστή διεύθυνσης λ= x -x αν θεωρήσουµε ότι Α(x,ψ ) και Β(x,ψ ). Τα Α και Β ανήκουν στην έλλειψη, συνεπώς ισχύουν: β x +α ψ =α β και β x +α ψ =α β. Αφαιρώντας τις σχέσεις αυτές κατά µέλη (µέθοδος αφαίρεσης) παίρνουµε: β (x -x )+α (ψ -ψ )= β (x -x )(x +x )=-α (ψ -ψ )(ψ +ψ ) () Επειδή Μ µέσο της ΑΒ είναι x +x =x o και ψ +ψ =ψ ο. Άρα η () γίνεται: ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 45. ΤΗΛ

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = π 3 γ) ω = π. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία ε, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. α+βi =γ+δi α=γ και β=δ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. α+βi =γ+δi α=γ και β=δ Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών είναι ένα υπερσύνολο του R, του συνόλου των πραγματικών αριθμών, στο οποίο ισχύουν: Επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης του πολλαπλασιασμού έτσι ώστε, να έχουν τις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας ε, που σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία: π 3 α) ω = β) ω = γ) ω = π 3. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηματίζει με

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) i. τα τρίγωνα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες.

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες. 5.0 5. ΘΕΩΡΙ. Ορισµοί Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο που έχει µόνο δύο πλευρές παράλληλες. άσεις τραπεζίου λέγονται οι παράλληλες πλευρές του. Ύψος τραπεζίου λέγεται η απόσταση των βάσεων. ιάµεσος τραπεζίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÅÐÉËÏÃÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÅÐÉËÏÃÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου 0 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση 0) σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004 Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-004 Περιεχόµενα 1 Θέµατα 1999.......................................... 3 Θέµατα 000..........................................

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ.

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΩΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ένα σημείο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΓΕ και έστω Ζ η τομή της Ε με την ΑB. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ. Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (39) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να αποδειχθεί ότι οι γεωμετρικές εικόνες των μιγαδικών ριζών της εξίσωσης (συν θ)z (4συνθ)z + (5 συν θ) = 0 με θ π, π κινούνται σε υπερβολή, της οποίας να ευρεθούν τα στοιχεί ΑΣΚΗΣΗ Στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ . ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Αν Re ( ) 0, τότε: 4 i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4. ii. Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 1-14 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ 1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = e ημ + ln. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = τοξημ( ) d y y = ημ θ. Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ÊÏÑÕÖÁÉÏ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ÊÏÑÕÖÁÉÏ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 01 Ε_ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή Μαΐου 01 ιάρκεια Εξέτασης:

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μιγαδικοί Αριθμοί Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος Τηλ. 40598 Κεφ. ο ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ. Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ!

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! - Κύριε, πόσο μας χρειάζονται αυτά που μάθαμε πέρσι στα μαθηματικά της κατεύθυνσης; - Σοφία, αν όχι όλα, αρκετά από αυτά. - Για πείτε

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Γεωμετρία Αˊ Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Κεφάλαιο 3 ο :Τρίγωνα 1. Τι λέγονται κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Για ευκολία οι

Διαβάστε περισσότερα

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης 6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = //

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = // 1 5.6 5.9 ΘΩΡΙ 1., µέσα των, = //. µέσο της και // µέσο της 3. = και ////Ζ = Ζ Ζ. Ο γ. τόπος της µεσοπαράλληλης Έστω ε η µεσοπαράλληλη των ε 1, ε. Τότε ισχύουν : i) άθε σηµείο της ε ισαπέχει από τις ε

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1 1 ο Αχαρνών 197 Αγ Νικόλαος 10865196 ο Αγγ Σικελιανού 4 Περισσός 10718688 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1 1 Α ίνονται τα διανύσµατα á, â, x, y 1 για τα οποία ισχύουν: x+ â = y+ á και 11 y+ 11 â = á x Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και το 3.2 Ασκήσεις: 1-8 Θεωρία ως και το 3.4 Ασκήσεις: 9-13 Θεωρία ως και το 3.7 Ασκήσεις: 14-29

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 Από εξωτερικό σημείο Σ κύκλου (Κ, ρ) θεωρούμε τις τέμνουσες ΣΑΒ και ΣΓΔ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=ΣΔ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήματα των χορδών ΑΒ και ΓΔ του

Διαβάστε περισσότερα

3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης

3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης .5.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48 ρωτήσεις κατανόησης. Έστω ευθεία ε και σηµείο εκτός αυτής. ν ε και ε (, σηµεία της ε) τότε i) Σ Λ ii) Σ Λ iii) = Σ Λ ιτιολογήστε την απάντηση σας i) ιότι από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α 1 1. α) Να γίνει γινόµενο το τριώνυµο λ -3λ+. β) Να βρεθεί το λ έτσι ώστε η εξίσωση λ(λχ-1)χ(3λ-)-λ i) να είναι αδύνατη ii) να είναι αόριστη iii) να έχει µία µόνο λύση

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0.

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0. Ευκλείδης Γ' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να γίνει γινόμενο η παράσταση Α= ν 2 3ν 1 2 1. 2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά,

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή : i j όπου i, j μοναδιαία διανύσματα με κοινή αρχή το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

, y 1. y y y y = x ( )

, y 1. y y y y = x ( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ. ΕΞΙΣΩΣΗ ΓΡΑΜΜΗΣ Μία εξίσωση µε αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µίας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C και µόνο αυτές την επαληθεύουν. Αν έχουµε

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 000 Ζήτηµα ο Α.. Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο Κ(x 0,y 0 ) και ακτίνα ρ. (Μονάδες ) Α.. Πότε η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ 0

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα