Quaternióny Pomocný učebný text (len pre interné použitie)

Transcript

1 Spracoval: Štefan Maďar Editor: Branislav Sobota Pomocný učebný text (len pre interné použitie) 998-0

2 Obsah. ÚVOD.... SÚRADNICOVÝ SYSTÉM.... SMER ROTÁCIE....3 EULEROVE UHLY.... GEOMETRICKÉ TRANSFORMÁCIE.... POSUNUTIE.... ROTÁCIA DVE METÓDY OTÁČANIA EULEROVE UHLY MATICE ROTÁCIÍ QUATERNIÓNY Historické pozadie Základné vzťahy popisujúce uaternióny Algebraické vlastnosti uaterniónov Jednotkové uaternióny Exponenciálna a logaritmická funkcia Otáčanie pomocou uaterniónov Intuícia v geometrii a diferenciálny počet ZHRNUTIE POROVNANIE QUATERNIÓNOV, EULEROVÝCH UHLOV A MATÍC EULEROVE UHLY/MATICE NEVÝHODY EULEROVE UHLY/MATICE VÝHODY QUATERNIÓNY NEVÝHODY QUATERNIÓNY VÝHODY ZHRNUTIE INÉ METÓDY OTÁČANIA MOŽNOSTI IMPLEMENTÁCIE QUATERNIÓNOV Rotácie objektov Animácia (pohyb) objektov KONVERZIE MEDZI METÓDAMI REPREZENTÁCIE ROTÁCIÍ PREVOD EULEROVÝCH UHLOV NA MATICE PREVOD MATÍC NA EULEROVE UHLY PREVOD QUATERNIÓNOV NA MATICE PREVOD MATÍC NA QUATERNIÓNY PREVODY MEDZI QUATERNIÓNAMI A EULEROVÝMI UHLAMI LITERATÚRA... 9 Tento učebný text je určený ako interný rozširujúci pomocný učebný text pre predmet Systémy virtuálnej reality. Text obsahuje základný opis problematiky uaterniónov a ich využití. Text neprešiel celkovou gramatickou, štylistickou a formátovacou úpravou i

3 . Úvod Počítačová grafika je fenomén informatickej spoločnosti dnešnej doby. Jednou zo štandardných situácií aplikovaných v rámci počítačovej grafiky sú geometrické transformácie. Tieto podľa vzťahu vstupu a výstupu sú lineárne a nelineárne. Z hľadiska základných lineárnych geometrických transformácií sa používajú: posunuie, zrkadlenie, zmena mierky, skosenie a otočenie (rotácia). Práve rotácia patrí medzi najviac komplikované transformácie. Klasicky sa v súčasnej počítačovej grafike pre aplikáciu rotácie používa maticový zápis s použitím homogénnych súradníc. V tomto učebnom texte bude ozrejmená história a následne implementácia iného prostriedku pre vykonanie rotácií uaterniónov. Budú použité nasledujúce dohody v označovaní.. Súradnicový systém Bude použitý pravotočivý súradnicový systém. V počítačovej grafike sa bežne používa ľavotočivý súradnicový systém. To spôsobuje, že os z smeruje do obrazovky čo vyzerá byť prirodzené. Pretože súradnice sú hlavne používané pre matematické odvádzanie, bude použitý matematický štandard pravotočivý súradnicový systém.. Smer rotácie Pre smer rotácie bude stále používaný matematický štandard, čiže proti smeru hodinových ručičiek. Smer rotácie okolo osi je možné zistiť pomocou pravidla pravej ruky: Nech palec pravej ruky smeruje súhlasne so smerom osi. Potom ostatné prsty predstavujú kladnú rotáciu okolo osi (pozri obrázok.). Z obrázka. vyplývajú tieto vlastnosti: a) otočenie okolo osi z prenáša os x na os y b) otočenie okolo osi y prenáša os z na os x c) otočenie okolo osi x prenáša os y na os z Obrázok..3 Eulerove uhly Rotácie pomocou Eulerových uhlov sú definované ako rotácia okolo každej z troch základných osí. Aby bolo poradie jednoznačné, je potrebné ho zadefinovať. V celom texte bude použité poradie rotácií x, y, z.. Geometrické transformácie Geometrické transformácie budú popísané v nasledujúcich kapitolách. Hlavný dôraz bude kladený na rotácie, ale popísané budú aj iné geometrické transformácie pre osvetlenie spojitostí s použitím uaterniónov a pre lepšie pochopenie jednotlivých súvislostí.. Posunutie Posunutie je jednou z najjednoduchších transformácií. Bod v priestore je posunutý z jednej pozície na ďalšiu. 3 3 Nech bod P R je reprezentovaný trojicou ( x, y, z), pričom x, y, z R a posunutie vektorom ( x, y, z). Potom nová pozícia P ' sa vypočíta jednoduchým sčítaním: P' = ( x + x, y + y, z + z) () Definícia posunutia je jednoznačná. To znamená, že existuje iba jeden vektor posunutia, ktorý posúva P na P '. SVR - - SVR

4 . Rotácia Rotácia (otočenie) v 3D nie je taká jednoduchá geometrická trensformácia ako je posunutie a môže byť definovaná rôznymi spôsobmi. Vybraná nasledujúca definícia je daná Eulerovým (* ) teorémom [Eul, 75] zapísaným modernejším zápisom (pozri obrázok.): Dôsledok. 3 3 Nech O, O' R sú dve orientácie. Potom existuje os l R a uhol otočenia α [ π, π ] taký, že O prejde na O ak je otočený o uhol α okolo osi l. Je potrebné si zapamätať, že výsledok konštatuje existenciu, ale nie jedinečnosť takéhoto uhla a osi. V dôsledku sú uvedené orientácie a rotácia. Je potrebné rozlišovať medzi týmito pojmami. Orientácia objektu v R 3 je daná bežným vektorom (poloha voči stredu súradnicovej sústavy). Rotácia (otočenie) je definovaná osou a uhlom otočenia. Obrázok. 3. Dve metódy otáčania Eulerov teorém (dôsledok ) poskytuje jednoduchú definíciu otáčania. Vo väčšine literatúry sú použité Eulerove uhly na definíciu otočenia. Z týchto dvoch základných definícií môžu byť rotácie popísané matematicky rôznymi spôsobmi. V tomto texte sa bude označenie kombinácie definície a príslušnej matematickej reprezentácie nazývať metóda otáčania. V tejto kapitole budú popísané dve metódy otáčania: otáčanie definované Eulerovými uhlami a reprezentované všeobecnými transformačnými maticami. otáčanie definované Eulerovým teorémom a reprezentované uaterniónmi. Cieľom tejto kapitoly je dostať sa až k implementácii všeobecných rotácií pomocou oboch metód. Porovnanie, ako jednotlivé metódy implementujú všeobecné rotácie je v kapitole Eulerove uhly Priestor orientácií môže byť parametrizovaný pomocou Eulerových uhlov. Ak sú použité Eulerove uhly, potom všeobecné rotácie sú zapisované ako postupnosť rotácií okolo vzájomne pravouhlých (ortogonálnych) osí v priestore. Zvyčajne sa používajú osi x, y, a z v Karteziánskom súradnicovom systéme. Rotácie okolo jednotlivých osí sa potom nazývajú x-rol, y-rol a z-rol. Euler pôvodne vyvinul Eulerove uhly ako nástroj pre riešenie diferenciálnych rovníc. Neskôr sa Eulerove uhly stali najširšie používanou metódou parametrizácie priestoru rotácií. Ako bude popísané neskôr, táto voľba viedla k množstvu problémov. Vzatím do úvahy rotáciu ako akciu uskutočnenú na dosiahnutie danej orientácie, potom je možné Eulerove uhly použiť na parametrizáciu priestoru rotácií. Pre popis všeobecnej rotácie tak, ako bola popísaná v kapitole. sú potrebné tri Eulerove uhly ( α, α, α 3), kde α, α a α 3 sú uhly otočenia jednotlivo okolo osi x, y a z. Konverzia zo všeobecnej rotácie na Eulerove uhly je nejednoznačná, pretože tá istá rotácia môže byť získaná pomocou odlišných skupín Eulerových uhlov (pozri [Fol, 990]). Okrem toho, výsledná rotácia závisí od poradia, v ktorom sú jednotlivé čiastkové otočenia vykonané. SVR - - SVR

5 3. Matice rotácií Matice rotácií (tak často používané v počítačovej grafike) sú typickou voľbou pre implementáciu Eulerových uhlov. Pre každé čiastkové otočenie existuje odpovedajúca matica otáčania. A to x matica otáčania, y matica otáčania a z matica otáčania. Matice vytvárajú rotáciu ich vynásobením s vektorom pozície bodu v priestore a výsledkom je vektor pozície pre otočený bod. Matica otočenia je štvorcová matica, ale namiesto toho sa používa obyčajne homogénna štvorcová matica 4 4 (pozri [Sob, 995]). Všeobecná rotácia je získaná vynásobením troch matíc otáčania odpovedajúcich trom Eulerovym uhlom. Výsledná matica obsahuje všeobecnú rotáciu a môže byť aplikovaná na body, ktoré je potrebné otočiť. Násobenie matíc nie je vo všeobecnosti komutatívne. To je zapríčinené faktom, že rotácie v priestore nie je možné zameniť. A nakoniec je potrebné si uvedomiť, že použitie homogénnych transformačných matíc poskytuje jedinú implementáciu, ktorá v sebe zahrňuje všetky štandardné transformácie: posun, zmenu mierky, skosenie a viacero zobrazovacích transformácií. 3.3 Druhou metódou otáčania je metóda definovaná Eulerovým teorémom a implementovaná uaterniónmi. Pretože uaternióny nie sú až tak známe ako transformačné matice a zatiaľ neboli ich vlastnosti prezentované v jednom ucelenom celku, je potrebné v tejto kapitole poskytnúť popis uaterniónov počnúc od ich historického pozadia až po vzťahy popisujúce uaternióny Historické pozadie boli vynájdené sirom Williamom Rowanom Hamiltonom (* ) v roku 843 (pozri [Ham, 853] a [Ham, 899]). Hamiltonovým cieľom bolo zovšeobecniť komplexné čísla do troch dimenzií, to znamená čísla vo forme a + i b + jc, kde a, b, c R a i = j =. Hamilton nikdy nedokázal uskutočniť toto zovšeobecnenie, pretože sa neskôr ukázalo, že množina troj rozmerných komplexných čísel nie je uzavretá na násobenie. V roku 966 Kenneth O. May to elegantne dokázal (pozri [May, 966]). Dôsledok. Množina troj rozmerných komplexných čísel nie je uzavretá na násobenie. (voľne prevzatý od Kennetha O. Maya 966 (pozri [May, 966])): Predpokladajme, že pre komplexné čísla platia všeobecné pravidlá aritmetiky a teda i = j =. je sporom, takže predpokladajme, že existuje uzavretie na násobenie. Pretože násobenie je uzavreté, existuje a, b, c R, ktoré vyhovujú vzťahu ij = a + ib + jc. () Vynásobením celého vzťahu konštantou i dostaneme j = b + ia + ijc. (3) Použitím substitúcie za ij zo vzťahu () dostaneme j = b + ia + ( a + ib + jc) c. (4) Po krátkych úpravách dostaneme 0 = ( ac b) + i ( a + bc) + j( c + ). (5) Teda ac b = 0, a + bc = 0 a c + = 0. Vzťah c + = 0 (6) pôsobí spor, pretože c je reálne číslo podľa predpokladu. Jednou z motivácií sira Hamiltona pre hľadanie troj rozmerných komplexných čísel bolo nájdenie popisu rotácie v priestore, odpovedajúcemu komplexným číslam, kde násobenie odpovedá otočeniu a zmene mierky v rovine. Kým sa prechádzal po Royal Canal v Dubline v jeden pondelok v októbri 843, prišiel sir Hamilton na to, že sú potrebné štyri čísla pre popis otočenia nasledovaného zmenou mierky. Jedno číslo popisuje veľkosť zmeny mierky, jedno veľkosť uhla (v stupňoch), o ktorý sa bude otáčať, a posledné dve čísla označujú rovinu, v ktorej sa bude vektor otáčať (rovina xy sa môže otáčať do ľubovoľnej roviny v xyz priestore prostredníctvom pôvodnej roviny udaním uhlov otočenia okolo osí x a y). Potom sir Hamilton našiel uzavretie na násobenie štvor-rozmerných komplexných čísel v tvare i x + jy + kz, kde i = j = k = ijk =. Sir Hamilton nazval tieto štvor-rozmerné SVR SVR

6 komplexné čísla uaternióny. sa obyčajne zapisujú v tvare [ s, v], sa nazýva vektorová časť. s 3 R, v R pričom s sa nazýva skalárna časť a v = ( x, y, z) 3.3. Základné vzťahy popisujúce uaternióny V tejto kapitole budú uvedené označenia používané pre uaternióny a zadefinované jednotlivé matematické operácie ako sčítanie, násobenie, odčítanie a násobenie skalárom. Nakoniec bude zadefinovaný komplexne združený (konjugovaný) uaternión a inverzný uaternión. Označenie Použité je znamienko pre označenie rovná sa podľa definície. Uzavreté intervaly na reálnej osi sú označované ako [ a, b] { x a x b, a, b, x R}. Intervaly, ktoré sú uzavreté iba z jednej strany sú označované podobne ako uzavreté intervaly ] a, b] { x a < x b, a, b, x R}. Množina n-krát diferencovateľných funkcií od A do B (na intervale [A,B]) so spojitými deriváciami je označovaná C n (AB). Definícia. Množina uaterniónov je označená H. pozostávajú zo skalárnej časti definíciách. s R a vektorovej časti Definícia. Nech i = j = k = ijk =, ij = k a ji = k. Potom H môže byť zapísaný ako: [ s, v] [ s,( x, z, y)] s + ix + jy + kz,, s R, v R, s, x, y, z R 3 s, x, y, z R 3 v R. Tento zápis bude použitý v ďalších 3 Množinu uaterniónov {[ s, 0 ] s R} bude označená písmenom R a množinu uaterniónov {[0, v ] v R } písmenom R 3. (7) Definícia 3. Nech, H kde = [ s,( x, y, z)] a = [ s,( x, y, z )]. Potom operátor sčítania + je definovaný: + [ s, v] + [ s, v ] [ s,( x, y, z)] + [ s,( x, y, z )] ( s + ix + jy + kz) + ( s + ix + jy + kz ) (8) Dôsledok 3. (sčítanie uaterniónov) Nech, H kde = [ s,( x, y, z)] a = [ s,( x, y, z )]. Potom + = [ s + s, v + v ]. + [ s, v] + [ s, v ] ( s + ix + jy + kz) + ( s + ix + jy + kz ) = ( s + s ) + i( x + x ) + j( y + y ) + k( z + z ) [ s + s, v + v ] (9) Definícia 4. Nech, H kde = ( s + i x + jy + kz) a = ( s + i x + jy + kz ). Potom násobenie je definované: [ s, v ][ s, v ] [ s,( x, y, z)][ s,( x, y, z )] ( s + ix + jy + kz)( s + ix + jy + kz ) (0) SVR SVR

7 Dôsledok 4. (násobenie uaterniónov) Nech, H kde = [ s, v] a = [ s, v ]. Potom = [ ss v v, v v + sv + s v], pričom v v označuje skalárne násobenie a označuje vektorové násobenie v R 3. Z definície je možné získať nasledovné vzťahy: jk = i, Tieto vzťahy budú použité v nasledujúcom dôkaze: [ s, v][ s, v ] ( s + ix + jy + kz)( s + ix + jy + kz ) = ss ( xx + yy + zz ) + i( sx + s x + yz zy ) + j( sy + s y + zx xz ) + k( sz + s z + xy yx ) [ ss v v, v v + sv + s v] kj = i, ik = j a ki = j. () Poznámka. Násobenie uaterniónov nie je vo všeobecnosti komutatívne (napríklad jk = i ale kj = i ). Dôsledok 5. (vlastnosti násobenia uaterniónov) Nech p,, H a r R. Potom: ( p) = p( ) (Násobenie uaterniónov je asociatívne) p( + ) = p + p (Násobenie uaterniónov je distributívne ( + ) p = p + p vzhľadom na sčítanie) () Násobenie uaterniónov skalárom je najjednoduchšie si predstaviť tým, že r R označuje uaternión [ r, 0]. Definícia 5. Nech H a r R. Potom násobenie skalárom je definované r [ r, 0] (3) Dôsledok 6. (násobenie skalárom) Nech H, kde = [ s, v] a nech r R. Potom r = r = [ r, 0][ s, v] = [ rs, rv]. (4) Je potrebné si zapamätať, že z dôsledku 6 vyplýva komutatívnosť násobenia skalárom. V ďalšom bude používané označenie o odčítaní uaterniónov. s významom r, kde H a r R. Nasledujúca definícia hovorí r Definícia 6. Je dané, H, odčítanie je potom definované + ( ). Dôsledok 7. (odčítanie uaterniónov) Nech, H, kde = [ s, v] a = [ s, v ]. Potom = + ( ) = [ s s, v v ]. (5) Teraz je možné zadefinovať konjugovaný uaternión podobne ako je zadefinované konjugované komplexné číslo. Definícia 7. Nech H. Potom sa nazýva konjugovaný uaternión uaternióna a je definovaný [ s, v] [ s, v]. SVR SVR

8 Dôsledok 8. Nech p, H. Potom: a) ( ) = b) ( p) = p c) ( p + ) = p + (6) d) = Definícia 8. Nech p H a nech mapovanie : H R je definované ako norma.. Toto mapovanie sa nazýva norma a je Dôsledok 9. Nech, H a nech : H R je dané podľa definície 8. Potom platia nasledujúce vzťahy: = s + v v = s + x + y + z (7) = (8) = (9) platnosti vzťahov (7) a (8) je triviálny. platnosti vzťahu (9) je nasledovný: = ( ) = = = = = V ďalšom bude potrebný vnútorný produkt dvoch uaterniónov. Tiež je potrebné ukázať, že mapovanie normy je skutočne normou vo všeobecnom matematickom ponímaní. Zo vzťahu (7) v dôsledku 9 vyplýva, že norma uaternióna môže byť zapísaná tak, ako je bežne získaná z vnútorného produktu (ak H je stotožnený s odpovedajúcim vektorom v R 4 ). Definícia 9. Nech, H, = [ s, v ] = [ s,( x, y, z)], = [ s, v ] = [ s,( x, y, z )]. Vnútorný produkt je definovaný takto: : H H R kde = ss + v v = ss + xx + yy + zz. Je potrebné si zapamätať, že definícia poskytuje + = s + x + y z. Poznámka. Norma uaternióna môže byť získaná ako =. A naviac, je normou v obvyklom matematickom ponímaní. To, že zobrazenie vypočítava normu umocnenú na druhú, vyplýva priamo z dôsledku 9 a definície 9. Nech = [ s,( x, y, z)] H. Ak stotožníme s ( s, x, y, z) R 4, predchádzajúca metóda výpočtu normy je totožná s bežnou Euklidovskou normou v R 4. Teda norma uaternióna je normou v pravom slova zmysle. Dôsledok 0. Nech, H. Nech sú, zadefinované ako odpovedajúce štvor-rozmerné vektory a nech α je uhol medzi nimi. Potom = cosα. SVR SVR

9 3.3.3 Algebraické vlastnosti uaterniónov V tejto kapitole bude prezentované, že množina uaterniónov H \{[0,(0,0,0)]} je ne-abelianova grupa pre násobenie uaterniónov. Na konci kapitoly bude poskytnutý súhrn niekoľkých ďalších algebraických vlastností uaterniónov. Definícia 0. Množina uaterniónov H \{[0,(0,0,0)]} sa označuje H o. Definícia. Nech G je množina s operátorom : G G G definovaným ( a, b) a b ab. G je grupa, ak a) a ( bc) = ( ab) c pre všetky a, b, c R (Operátor je asociatívny) b) Existuje práve jeden I G taký, že Ia = ai = a pre všetky a G. ( I je neutrálny prvok) c) Pre všetky a G existuje prvok a G taký, že aa = a a = I. ( a je inverzný prvok k prvku a ) Ak platí ab = ba pre všetky a, b G, potom G sa nazýva Abelovská alebo komutatívna grupa. To, že existuje neutrálny a inverzný prvok v Lemma. Prvok o I = [, 0 ] H je jedinečný neutrálny prvok pre násobenie uaterniónov. o H pre násobenie uaterniónov, ukazujú nasledujúce lemmy. Nech je daný H. Z dôsledku 6 vyplýva, že I = I = [ s, v ] = [ s, v] =. Teda I je neutrálny prvok. I je taktiež jediný prvok, ktorý splňuje požiadavky z definície. Pre objasnenie predpokladajme, že J tiež spĺňa tieto podmienky. Potom IJ = J, pretože J je neutrálny prvok. A ďalej IJ = I preto, lebo I je neutrálny prvok. Z toho dostávame, že I = IJ = J takže I = J je jediný neutrálny prvok v H o. Lemma. Nech o H. Potom existuje o H taký, že = = I. A ďalej ešte je jedinečný a daný vzťahom: = (0) Nech je daný H. Jedinečnosť Nech oba uaternióny p, p H sú inverznými ku. To, že potom p a p sú rovnaké vyplýva z nasledujúceho vzťahu: p = p I = p ( p ) = ( p p = Ip = p () ) Existencia Nech p =. Potom SVR SVR

10 p = p = = = = = = Takže každý uaternión v = I = I o H má svoj inverzný uaternión. () V ďalšom bude použitý zápis odlišný od p p pre p. Je potrebné si zapamätať, že tento zápis je vo všeobecnosti pretože násobenie uaterniónov nie je komutatívne. Dôsledok. o Množina H s násobením uaterniónov je ne-abelovská grupa. Za povšimnutie stojí, že množina uaterniónov je uzavretá na násobenie. To vyplýva priamo z definície 4 a dôsledku 4. Prvá požiadavka z definície (definícia grupy) vyplýva z dôsledku 5. Druhá a tretia požiadavka pochádzajú z lemmy a. Grupa je ne-abelovská, pretože násobenie uaterniónov nie je komutatívne. Ďalšie algebraické vlastnosti uaterniónov Množina uaterniónov spĺňa niektoré ďalšie vlastnosti, ktoré je možné zhrnúť do nasledujúcich bodov (tieto vlastnosti sú uvedené bez predchádzajúcej teórie a bez dôkazov): Množina uaterniónov je Abelovskou grupou ( H, + ) s operáciou sčítania. o Množina uaterniónov je ne-abelovský kruh ( H, +, ), kde znak + označuje operáciu sčítania uaterniónov a znak. označuje operáciu násobenia uaterniónov. o Jednotkové uaternióny V tejto kapitole je popísaná podmnožina grupy uaterniónov a tou je množina jednotkových uaterniónov. Definícia. Nech H. Ak =, potom sa nazýva jednotkový uaternión. Pre označenie množiny jednotkových uaterniónov bude použité označenie H. Množina jednotkových uaterniónov tvorí jednotkovú guľu v štvor-rozmernom priestore. Neskôr bude prezentované, že množina jednotkových uaterniónov hrá dôležitú úlohu vo vzťahu k všeobecným rotáciám. Dôsledok. Nech = [ s, v ] H. Potom existuje v R 3 a α ] π, π ] také, že = [cos α, v sin α]. Ak = [, 0] nech α = 0 a v môže byť ľubovoľný jednotkový vektor v R 3. Ak [, 0], nech k = v a v = v. Potom v = k v kde v je jednotkový vektor v R k 3. Pretože je jednotkový uaternión, je možné dostať: = = s + v v = s + k v v = s + k (3) Vzťah s + k = popisuje kružnicu v rovine. Pretože kružnica je tiež popísaná vzťahom existuje α ] π, π ] také, že s = cosα a k = sinα. A nakoniec požadované: α + α =, cos sin SVR SVR

11 = [ s, v] = [ s, v k] = [cos α, v sin α] (4) Dôsledok 3. Nech, H. Potom platia nasledujúce vzťahy: = (5) = = = (7) pretože = =. (pomocou vzťahu (9) v dôsledku 9) / = (8) = pretože =. Množina jednotkových uaterniónov H je zjavne podmnožinou H vytvára podgrupu H o. SVR SVR (6) o H, ale z definície 3 a dôsledku 4 vyplýva, že Definícia 3. Nech G je grupa a nech F (neprázdna množina) je podmnožinou G. F je podgrupou grupy G ak a) Pre všetky a, b F platí: ab F (F je uzavretá na násobenie) Dôsledok 4. b) Pre všetky a F platí: a F Množina H jednotkových uaterniónov je podgrupou grupy H o. Nech, H. Z dôsledku 3 vyplýva, že =, to znamená, že H, a teda prvá požiadavka z definície 3 (definícia podgrupy) je splnená. Zo vzťahu (8) v dôsledku 9 a z dôsledku 3 vyplýva, že = = = (9) a tým je splnená druhá požiadavka z definície 3 (definícia podgrupy) že H Exponenciálna a logaritmická funkcia Neskôr bude potrebná verzia exponenciálnej a logaritmickej funkcie, ktoré sú definované v obore reálnych čísel, pre uaternióny. Definície a niektoré dôsledky sú tu uvedené (pre podrobnosti pozri [Pervin & Webb, 99]). Definícia 4. Nech H, kde = [cos α,sin α] ako je to v dôsledku. Logaritmická funkcia log je definovaná takto: log [0, α v ] (30) Je nutné si zapamätať, že log[,(0, 0, 0)] = [0,(0,0, 0)] tak ako to platí pre logaritmickú funkciu v obore reálnych čísel. Je taktiež dôležité, že log nie je vo všeobecnosti jednotkový uaternión. Definícia 5. Pre uaternión v tvare [0, αv ], α R, v R 3, v =, je exponenciálna funkcia exp definovaná takto: exp [cos α,sin α v ] (3) Je dôležité, že exponenciálne a logaritmické funkcie sú vzájomne inverzné a taktiež to, že funkcia exp sa mapuje do H.

12 Definícia 6. t Nech H, t R. Umocnenie je definované takto: t exp( t log ) (3) Dôsledok 5. Nech H, t R. Potom log( t ) = t log. (33) log( t ) = log(exp( t log )) = t log (34) Dôsledok 6. Nech H, = [cos α,sin α v ] a a, b R. Potom a b a+ b = (35) a b = exp( a log ) exp( b log ) = exp( a[0, α v])exp( b[0, αv]) = [cos aα, v sin aα ][cos bα, v sin bα ] = [cos aα cosbα sin aα sin bα ( v v), v cos aα sin bα + v cosbα sin bα + ( v v) sin aα sin bα ] = [cos aα cosbα sin aα sin bα, v(cos aα sin bα + cosbα sin bα )] = [cos(( a + b) α),sin(( a + b) α) v] = exp([0,( a + b) α v]) = exp(( a + b)log( )) = a+ b (36) Dôsledok 7. Nech p H a nech a, b R. Potom platí a b ab ( p ) = p. a b b ab ( p ) = (exp( a log p)) = exp( blog(exp( a log p))) = exp( ba log ) = p (37) Je potrebná opatrnosť pri používaní vzťahov pre funkcie exp a log z oboru reálnych čísel pri výpočtoch s uaterniónami. Pretože, napríklad, môže vzniknúť nesprávnym odvodením (pri použití vzťahov pre exponenciálnu a logaritmickú funkciu z oboru reálnych čísel) vzťah, kde p a sú jednotkové uaternióny: p = exp(log( p)) = exp(log( p) + log( )) = exp(log( ) + log( p)) = exp(log( ))exp(log( p)) = p (38) Toto odvodenie je v rozpore s faktom, že násobenie uaterniónov nie je komutatívne. Chyba sa nachádza v druhom kroku, kde je použité pravidlo ( log p = log p + log ), ktoré neplatí pre uaternióny. SVR SVR

13 3.3.6 Otáčanie pomocou uaterniónov Sir Hamilton hľadal popis rotácií v priestore podobný tomu, ktorý vytvárajú komplexné čísla tým, že popisujú rotácie v rovine. To, že uaternióny v skutočnosti vykonávajú rotáciu, vyplýva z nasledujúcich dôsledkov. Dôsledok 8. Nech p H, p = [ s,( x, y, z)] = [ s, v] a nech. Ak r R \{0} potom ( o H r ) p( r) = p. (39) Nech r R \{0}. Inverzia (opačný) k r je r. Pretože násobenie skalárom je komutatívne, je možné napísať: ( r ) p( r) = rp r = p rr = p. (40) Teda p sa nezmení, ak je násobený nenulovým skalárom. V nasledujúcich dôsledkoch budú brané do úvahy len jednotkové uaternióny, pretože výsledky prezentované pre H je možné zovšeobecniť pre všetky uaternióny v o H pomocou dôsledku 8. Dôsledok 9. Nech H, p = [ s, v ] H. Potom p = p, kde p = [ s, v ] a v = v. Bude požitý zápis S () pre zápis skalárnej časti uaternióna. pozostáva z troch častí. V prvej bude 3 dokázaná platnosť S ( p) = S( p ) pre p {[ s, 0 ] s R} a potom pre p {[0, v ] v R }. Potom budú tieto výsledky použité pre dôkaz pre p H. Ak je p skalár reprezentovaný uaterniónom, potom z toho logicky vyplýva, že S ( p ) = S( p). Nech p = [ s, 0], potom p = [ s, 0] = [ s, 0] = [ s, 0] (4) Bol použitý dôsledok 6 o násobení skalárom (násobenie skalárom je komutatívne). Teraz bude ukázané, že ten istý výsledok platí aj pre vektor v reprezentovaný uaterniónom [ 0, v ]. Skalárnu časť S () uaternióna je možné vypočítať pomocou vzťahu časťou obsahujúcou nulu platí: S( p ) = ( p ) + ( p ) = ( p ) + ( p ) = p + p = ( p + p ) = ( S( p)) = S( p) = 0 (dôsledky 5 a 8) (dôsledok 5) (predchádzajúci výsledok) (pretože p = [0, v]) S ( ) = +. Potom pre uaternión so skalárnou (4) Teraz nech p H, p = [ s, v ] = [ s, 0] + [0, v]. p = ([ s, 0] + [0, v]) = [ s, 0] + [0, v] = [ s, 0] + [0, v ] = [ s, v ] (dôsledok 5) (dva predchádzajúce výsledky) (43) SVR - - SVR

14 A dohromady S ( p) = S( p ). Pretože H, z dôsledku 9, vzťahu (9) vyplýva, že p = p = p = p. Pretože s sa nezmenilo, musí platiť aj prípad v = v. Poznámka 3. Nech H, p = [ a, bv ] H, kde a, b R a v R 3. Ak [ a, v ] = [ a, v ], potom [ a, bv] = [ a, bv ]. (44) p = [ a, bv] a = b[, v] b a = b[, v ] b = [ a, bv ] (dôsledok 9) (45) Dôsledok 0. Nech, p H, p = [cos α,sin α v ], t R. Potom t t p = ( p ). (46) Z poznámky 3 vyplýva existencia vektora t p = (exp( t log p)) = (exp( t[0, αv])) = (exp[0, tα v]) = ([cos tα,sin tα v]) = [cos tα,sin tα v ] = exp( t[0, αv ]) = exp( tlog[ cos α,sin αv ]) = exp( t log( p )) v R 3 takého, že [cos α,sin αv] = [cos α,sin α ] (definícia 4) (definícia 5) (poznámka 3) = ( p ) t Dôsledok. Nech H, = [cos α,sin αn ]. Nech r = ( x, y, z) R 3 a p = [ 0, r ] H. Potom α okolo osi n. p t = p v. Potom (47) je p otočený o uhol Najprv bude ukázané, ako sa otáča vektor r o uhol α okolo osi n a to použitím funkcií sínus, kosínus, skalárnych a vektorových produktov (produktov skalárneho a vektorového násobenia). Potom bude dokázané, že ten istý výsledok je tiež možné získať použitím uaterniónov. Predpokladajme teda, že vektor r je otočený o uhol α na R r okolo osi danej jednotkovým vektorom n (pozri obrázok 3.). SVR - - SVR

15 Obrázok 3. Vektor r je možné zapísať ako súčet (vektorový) dvoch komponentov, r a r, kde r je projekcia r na n a r je ortogonálny (kolmý) ku n (pozri obrázok 3.). Potom r = ( r n) n (48) r = r r = r ( r n) n Aby bolo možné vidieť ako rotácia ovplyvňuje vektor r, je potrebné umiestniť dvoj-rozmerný súradnicový systém do roviny, ktorá je ortogonálna k n a obsahuje body stanovené pomocou r a R r. Preto je potrebný vektor v, ktorý je ortogonálny k r aj k n : r v n r = n ( r ( r n) n) = n r n ( r n) n = n r 0 = n r (49) = Obrázok 3. Z obrázka 3. je zrejmé, že komponent R r ortogonálny k n, označený ( R r), je daný ( Rr) = r cosα + v sinα. (50) Potom: Rr = ( Rr) + ( Rr) = r + r cosα + vsinα = ( r n) n + ( r ( r n) n) cosα + v sinα = ( r n) n ( r n) n cosα + r cosα + vsinα = ( cos α)( r n) n + r cos α + ( n r)sinα Teraz sa na tento problém použijú uaternióny a výsledky sa porovnajú. Mal by sa dosiahnuť výsledok vzťahu (5). (5) Predpokladmi sú vzťahy R ( p) = p, = [ 0, r] p a to, že je jednotkový uaternión = [ s, v] : SVR SVR

16 R ( p) = [ s, v][0, r][ s, v] = [ s, v][0, r][ s, v] = [ s, v][ v r, sr r v] = [ s( v r) v ( sr r v), s( sr r v) + ( v r) v + v ( sr r v)] = [0, s r s( r v) + ( v r) v + v ( sr) v ( r v)] = [0, s r + ( v r) v v ( r v) s( r v)] = [0, s r + ( v r) v ( v r) v + ( v r) v + s( r v)] ( ) = [0,( s v v) r + ( v r) + s( v r)] () - použitá identita v ( v v3) = ( v v3) v + ( v v ) v3 (5) Pretože je jednotkový uaternión, je možný zápis = [cos α,(sin α) n ], kde n = (vyplýva to z dôsledku ). Substitúciou do vzťahu pre R ( p) potom: R p α α n n r α n r α n ( ) = [0,(cos sin ( )) + ((sin ) )(sin ) + cos α((sin α) n r)] = α α + α [0,(cos sin ) r (nsin )( n r) + cosα sin α( n r)] = [0, r cos α + ( cos α)( n r) n + ( n r)sin α] (53) Z predchádzajúceho odvodenie je zrejmé, že výsledkom je ten istý vektor ako vo vzťahu (5). Pričom odlišnosť je iba v tom, že v predchádzajúcom odvodení sa vyskytuje uhol α namiesto α. Teda, ak je daný jednotkový vektor n a uhol α, potom jednotkový uaternión [cos α,sin αn] otáča vektor r o uhol α okolo n. Poznámka 4. Ľubovoľná všeobecná troj-rozmerná rotácia o uhol α okolo osi n môže byť vykonaná jednotkovým uaterniónom. α α V predchádzajúcom dôsledku (dôsledok ) stačí zvoliť = [cos,sin ]. Potom je možné získať požadovanú rotáciu. Dôsledok. Nech, H. Rotácia pomocou nasledovaná rotáciou pomocou je ekvivalentná rotácii pomocou. Dané p H. Výsledok priamo vyplýva zo vzťahu: ( p ) = ( ) p( ) = ( ) p( ) = ( ) p( ) = ( ) p( ) (dôsledok3) (dôsledok 8) (dôsledok 3) (54) SVR SVR

17 3.3.7 Intuícia v geometrii V tejto kapitole budú prezentované zaujímavé pozorovania, ktoré majú za úlohu pomôcť pri pochopení rotácií pomocou uaterniónov. a Nech = [ s, v ] H. Potom [ s, v] = = = [ s, v] (55) Je vhodné brať do úvahy geometrickú interpretáciu: Opačný (inverzný) uaternión ku uaterniónu, reprezentuje rotáciu o taký istý uhol (rovnaká veľkosť uhla), ale os je v opačnom smere (pozri obrázok 3.3). Obrázok 3.3 Otočením osi sa otočil aj smer rotácie. Ak nasleduje rotácia pomocou pomocou zruší účinok rotácie pomocou. po rotácii pomocou, potom rotácia a Quaternión reprezentuje presne tú istú rotáciu ako uaternión (vyplýva to z dôsledku 6) (pozri obrázok 3.4). Môže to byť prekvapujúce, ale je to správne. Pretože otočenie o uhol α okolo osi n sa môže tiež vyjadriť ako otočenie o uhol α okolo osi n. Je to teda len estetický výsledok, že boli nájdené obe rotácie na guli tvorenej jednotkovými uaterniónmi. Takú istú dualitu je možné nájsť v Eulerovom teoréme. Obrázok 3.4 Ostatné uaternióny (všetky okrem jednotkových uaterniónov) Ako vyplýva z dôsledku 8, všetky uaternióny na priamke r, r R, r 0 reprezentujú tú istú rotáciu ( je jednotkový uaternión všetky jeho násobky reprezentujú tú istú rotáciu) a diferenciálny počet Táto kapitola popisuje množstvo všeobecných výsledkov z diferenciálneho počtu pre funkcie, ktoré sa mapujú na množinu H. Výsledky budú neskôr použité ako dôkaz, že isté interpolačné krivky sú diferencovateľné. SVR SVR

18 Dôsledok 3. Nech = [cos α,sin α v ] H, t R. Potom d t t = log() (56) dt výrazu je pre obe strany (pravú aj ľavú) zvlášť. Ľavá strana: d t d d = exp( t log( )) = exp( t[0, αv]) dt dt dt d = [cos( tα ),sin( tα ) v] = α[ sin( tα ),cos( tα ) v] dt (57) Pravá strana: t log( ) = exp( t log( ))log( ) = [cos( tα),sin( tα ) v][0, α v] = [ α sin( tα )( v v), α cos( tα ) v + α sin( tα)( v v)] = [ α sin( tα ), α cos( tα ) v] = α[ sin( tα ),cos( tα ) v] Bude ukázané tiež pravidlo spájania a produkčné pravidlo pre uaternióny. Najprv sa uvedie produkčné pravidlo. Dôvodom tohto odvodenia je zaručiť, že poradie uaterniónov v diferencovaných výrazoch je správne. Je dôležité preveriť, že je to tak, pretože násobenie uaterniónov nie je komutatívne. Dôsledok 4. (Produkčné pravidlo) Nech f, g C ( R, H ). Potom (58) d dt d d ( f ( t) g( t)) = f ( t) g( t) + f ( t) g( t) dt dt d f ( x + δ ) g( x + δ ) f ( x) g( x) ( f ( t) g( t)) = lim dt δ 0 δ f ( x + δ ) g( x + δ ) f ( x + δ ) g( x) + f ( x + δ ) g( x) f ( x) g( x) = lim δ 0 δ g( x + δ ) g( x) f ( x + δ ) f ( x) = lim f ( x + δ ) g( x) δ 0 δ δ = f ( x) g '( x) + f '( x) g( x) (59) (60) Dôsledok 5. (Pravidlo spájania) Nech f C ( H, H ), g C ( R, H ). Potom d f ( g( x) ) = f '( g( x) ) g' ( x) (6) dt Výpočet derivácie v ľubovoľnom bode d f ( ) ( g( x) ) f ( g( c) ) f g( c) = lim dt x c = lim x c f = lim x c x c c R : ( f ( g( x) ) f ( g( c) ))( g( x) g( c) ) ( g( x) g( c) ) ( g( x) ) f ( g( c) ) g( x) g( c) x c g( x) g( c) x c = f '( g( c) ) g' ( c) A nakoniec nasledujúci vzťah, ktorý nemá náprotivok (taký istý) v obore reálnych čísel. (6) SVR SVR

19 Dôsledok 6. Nech C ( R, H), r C ( R, R). Pretože mapuje na H, (t) je možné zapísať ako [cos α( t), v ( t)sin α( t)] a potom d sin ( r( t) α( t) )( r '( t) α( t) + r( t) α '( t) ), ( ) ( t r t ) = (63) dt cos ( r( t) α( t) )( r '( t) α( t) + r( t) α '( t) ) v( t) + sin ( r( t) α( t) ) v '( t) d r ( t) d ( t) = exp ( r( t) log( ( t)) ) dt dt d = exp ( r( t)[0, v( t) α( t)] ) dt d (64) = exp[ 0, r( t) v( t) αt] dt d = cos ( r( t) ( t) ),sin ( r( t) ( t) ) ( t) dt α α v sin ( r( t) α( t) )( r '( t) α( t) + r( t) α '( t) ), = cos ( r( t) α( t) )( r '( t) α( t) + r( t) α '( t) ) v( t) + sin ( r( t) α( t) ) v '( t) Pre porovnanie, výraz pre deriváciu dvoch funkcií reálnych hodnôt u, v C ( R, R) : d v v d v d u = vu u + u log( u) v. (65) dt dt dt Je nepravdepodobné, že tento vzťah, ktorý je odlišný od vzťahu uvedenom v dôsledku 6, platí všeobecne aj pre uaternióny. 3.4 Zhrnutie Táto kapitola obsahuje krátky súhrn algebraických vlastností jednotlivých metód otáčania. Predpokladá sa určitá znalosť matematických zákonov a pravidiel, preto ich použitie nie je detailne popísané. Priestor troj rozmerných rotácií nie je jednoduchý vektorový priestor ale uzavreté troj rozmerné potrubie a tiež ne Abelovská grupa (pozri kapitolu 3.3.3) označovaná v literatúre ako SO (3) [Sho, 994b]. Kde S je skratka od slova special (špeciálny) a O (3) pochádza z definície: t O( n) = { n n matice O O = I} - množina ortonormálnych matíc n n. Množina jednotkových uaterniónov tvorí podgrupu grupy uaterniónov (pozri kapitolu V niektorej 3 literatúre sa H označuje tiež ako S [Sho, 985]. Táto podgrupa tvorí hypersféru (nadguľu) v priestore 3 uaterniónov. Sférická (guľovitá) metrika pre S je ekvivalentná angulárnej (uhlovej) metrike pre SO (3) [Sho, 985]. Okrem toho, grupa rotácií môže byť mapovaná do štvor rozmernej jednotkovej gule tvorenej jednotkovými uaterniónmi. Táto projekcia je typu dva k jednej (pozri kapitolu 3.3.7): Pre každú rotáciu existujú dva navzájom korešpondujúce jednotkové uaternióny a to, ktorý je možné získať priamo, a tzv. antipodálny (protinožec) jednotkový uaternión (pozri [Sho, 994b] a [Fol, 990]). Je to tak pretože SO (3) má takú istú 3 topológiu ako troj rozmerná projekcia priestoru označovaného ( R P ). Lenže množina jednotkových uaterniónov vytvára hypersféru ( 3 3 S ) a to vytvára odlišnosť voči topológii R P. Pomer týchto spoločných čŕt a a malej nezhody v úmysle (úmysel sira Hamiltona), je možné vidieť, že výsledkom vývinu hladkej interpolácie medzi jednotkovými uaterniónami je hladká interpolácia medzi všeobecnými rotáciami. Problém nie je triviálny, pretože H tvorí ne Euklidovský priestor, ktorý vylučuje zvyčajné metódy interpolácie ako sú spline. Úlohou je nájsť ekvivalentnú interpolačnú krivku na povrchu štvor rozmernej jednotkovej gule. SVR SVR

20 4. Porovnanie uaterniónov, Eulerových uhlov a matíc V predchádzajúcej kapitole boli predstavené dve metóda otáčania: Rotácie definované Eulerovými uhlami a reprezentované všeobecnými transformačnými maticami. Rotácie definované Eulerovým teorémom a reprezentované uaterniónmi. V tejto kapitole budú popísané výhody a nevýhody rozličných metód. 4. Eulerove uhly/matice nevýhody Tradične sa používajú homogénne matice pre reprezentáciu Eulerových uhlov, pretože tieto základné matice pre rotácie okolo osí x, y a z sú jednoduché a dobre známe. Tento históriou podložený výber má predsa len niekoľko nevýhod. a) Potreba intuície Popísanie všeobecnej rotácie ako rotácií okolo troch základných osí nie je pre animátora prirodzené. Ak, napríklad, o animátor chce otočiť objekt o uhol 30 okolo osi otočenia danej vektorom (,, ), je veľmi zdĺhavé odvádzať odpovedajúce Eulerove uhly pre rozklad rotácie na rotácie okolo troch základných osí. b) Je dôležité poradie rotácií Požívateľ grafického systému musí vyjadriť rotácie s rešpektom na isté konvencie, ktoré definujú v akom poradí π π budú tri základné rotácie vykonané. Rozličné konvencie vytvárajú rozličné výsledky. Napríklad, otočenie,,0 4 vytvára odlišné orientácie, ktoré závisia na tom, ktorá konvencia, či x, y, z alebo y, x, z, je použitá. Ako príklad je použitý objekt v strede súradnicového systému (pozri obrázok 4.). Otočením objektu na obrázku 4..i o uhol π okolo osi x a potom o uhol 4 π okolo osi y vznikne výsledok, ktorý je na obrázku 4..ii. Ak je namiesto toho použitá konvencia π π y, x, z, rotácia sa vykoná najprv o uhol okolo osi y a potom o uhol 4 okolo osi x a výsledok je na obrázku 4..iii. Obrázok 4. c) Gimbal lock (strata stupňa voľnosti) Získanie intuitívneho pochopenia ako pracujú matice rotácií je veľmi ťažké. Presnejšie, je ťažké predvídať ako sa postupné rotácie okolo základných osí navzájom ovplyvnia. Vzhľadom k tomu, že maticová reprezentácia Eulerových uhlov má prirodzenú jedinečnosť v parametrizácii, stáva sa to ešte ťažším. Je možné vytvoriť takú postupnosť rotácií, že vo výslednej rotácii sa stratí jeden stupeň voľnosti. Táto situácia sa nazýva gimbal lock (strata stupňa voľnosti). Gimbal lock je pojem prevzatý z leteckého a vesmírneho priemyslu, kde sa používajú gyroskopy (vytvárajú umelý horizont). Gyroskop v podstate pozostáva z troch sústredných štvorcov alebo kruhov (pozri obrázok 4.). SVR SVR

21 Obrázok 4. Na obrázku 4..i vnútorný štvorec reprezentuje os x, prostredný štvorec os y a vonkajší štvorec os z. Rotácia o okolo osi x môže vyzerať ako ukazuje obrázok 4..ii, kde je znázornený objekt otočený o uhol 45 okolo osi x. o Ak potom bude tento objekt otočený o uhol 90 okolo osi y, získa sa situácia zobrazená na obrázku 4.3. V takejto situácii potom sa javí otočenie okolo osi x alebo okolo osi z ako otočenie okolo tej istej osi (typický príklad straty stupňa voľnosti). Obrázok 4.3 Matematicky gimbal lock odpovedá strate stupňa voľnosti vo všeobecnej matici rotácie: cos β cosγ cosγ sinα sin β cosα sin γ cosα cosγ sin β + sinα sin γ 0 cos β sin γ cosα cosγ + sinα sin β sin γ cosα sin β sin γ cosγ sinα 0 R( α, β, γ ) = (66) sin β cos β sinα cosα cos β π Ak teraz β =, potom otočenie pomocou uhla α má ten istý efekt ako uskutočnenie tej istej rotácie pomocou uhla γ. Je to viditeľné z nasledujúceho odvodenia (sú použité súčtové vzorce pre funkcie cos a sin ): 0 cosγ sinα cosα sin γ cosα cosγ + sinα sinγ 0 π 0 cosα cosγ + sinα sinγ cosα sinγ cosγ sinα 0 R( α,, γ ) = (67) 0 sin( α γ ) cos( α γ ) 0 0 cos( α γ ) sin( α γ ) 0 = Zo vzťahu (67) je zrejmé, že otočenie závisí iba na rozdiele uhlov ( α γ ) a preto má iba jeden stupeň voľnosti π namiesto dvoch. Pre β = zmeny veľkostí uhlov α a γ sa do výsledku premietnu ako rotácie okolo tej istej osi. SVR SVR

22 d) Obtiažna implementácia interpolácií Bežne sa súradnice každej zo základných osí interpolujú nezávisle. A tak sú vzájomné závislosti medzi osami ignorované. Ale napríklad, ak je použitá jednoduchá lineárna interpolácia, tak jej výsledkom sú nečakané efekty toho, že tieto závislosti nie sú ignorované (pozri [DIK, 998]). e) Viacznačná zhoda rotácií Ak je daná matica rotácií, potom je obtiažne vyriešiť problém nájdenia inverznej matice: Aké boli pôvodné rotácie okolo základných osí? Vo všeobecnosti neexistuje jednoznačné riešenie tohto problému (pozri kapitolu 6). Okrem toho, jedna rotácia môže byť reprezentovaná množstvom odlišných matíc rotácií. A nakoniec, mapovanie medzi rotáciami a maticami rotácií nie je ani injektívne ani surjektívne. f) Výsledok zloženia (rotácií) nie je jasný Podľa Eulerovho teorému môžu byť dve postupné (za sebou nasledujúce) rotácie vyjadrené ako jedna rotácia. Pre Eulerove uhly, musia byť zostavené dve matice rotácií a vynásobené aby sa získala výsledná rotácia. Určenie tejto rotácie je zdĺhavé a vo všeobecnosti nevratné (nie je možné spätné otočenie opačná rotácia). g) Reprezentácia je redundantná Homogénne matice obsahujú postrádateľné (nepotrebné) informácie. Ak sú tieto matice použité výlučne pre reprezentáciu rotácií, obsahujú nuly na niektorých miestach (nuly na miestach (4, i ) a ( i, 4) pre i {,, 3} ). Okrem toho, matica používa 9 miest (nie sú na nich nuly) pre 4 stupne voľnosti, ktoré sú potrebné pre popis rotácie podľa Eulerovho teorému. Avšak pretože matica rotácií musí byť ortonormálna existuje 6 obmedzení (každý riadok musí byť jednotkovým vektorom a stĺpce musia byť vzájomne ortogonálne), ktoré musia byť zachovávané počas výpočtov. 4. Eulerove uhly/matice výhody Výhodou implementácie pomocou matíc je to, že jednotlivé matematické vzťahy sú dobre známe a aplikácie matíc sa dajú relatívne ľahko implementovať pomocou štandardných programových balíkov. Avšak tieto výhody sú viac historického charakteru než racionálne zistené úvahy. Hlavnou výhodou je schopnosť homogénnych matíc reprezentovať všetky ostatné základné transformácie (posunutie, zmena mierky, projekcia a skosenie). 4.3 nevýhody a) reprezentujú iba rotáciu Je možné implementovať posunutie použitím uaterniónov (sčítanie uaterniónov môže byť použité ako zmena posunutia interpretujúc vektorovú časť uaternióna ako vektor posunutia). V [Maillot, 990] je definovaný druh homogénnych uaterniónov s násobením, ktoré vytvára multiplikatívne posunutie a otočenie. Napriek tomu je možné definovať homogénny uaternión a tým zahrnúť kompozíciu posunutí. Ale toto rozšírenie nie je také elegantné ako homogénne matice. Homogénne rozšírenie uaterniónov je v literatúre ignorované. sú výlučne používané na rotáciu a matice sú používané na všetky ostatné transformácie. b) Vzťahy popisujúce uaternióny vyzerajú komplikovane nie sú zahrnuté v štandardných študijných osnovách modernej matematiky a počítačovej grafiky. Snáď niekoľko poznatkov o grupe uaterniónov je v algebre, ale aj tak poznatky o uaterniónoch nie sú vo všeobecnosti rozsiahle. Preto si uaternióny vyžadujú na začiatku trochu námahy pri naštudovaní si základných vzťahov. Avšak, uaternióny nepredstavujú problém pre toho, kto dokáže pochopiť algebru matíc. 4.4 výhody a) Zreteľná geometrická interpretácia vyjadrujú otočenie ako uhol otočenia okolo osi otočenia. Toto je omnoho prirodzenejší spôsob vnímania (vyjadrenia) rotácie než pomocou Eulerových uhlov. Zreteľná korešpondencia medzi Eulerovým teorémom a rotáciami reprezentovanými uaterniónami napomáha intuitívnemu pochopeniu uaterniónov. Mapovanie medzi rotáciami a uaterniónami je preto jednoznačné s jedinou výnimkou, že každá rotácia môže byť reprezentovaná dvoma uaterniónami. To sa javí ako slabina v reprezentácii pomocou uaterniónov. To, že a odpovedajú tej istej rotácii však na druhej strane vzbudzuje radosť SVR SVR

23 matematikom. Pretože samotné rotácie vystupujú v dvojiciach. Ak je daná rotácia, potom je možné získať tú istú rotáciu otočením v opačnom smere okolo opačnej osi (pozri kapitolu 3.3.7). b) Nezávislosť od súradnicového systému Rotácia pomocou uaterniónov nie je ovplyvnená výberom súradnicového systému. Používateľ grafického systému sa nepotrebuje trápiť so spoľahlivými konvenciami (dohodami) poradia rotácií okolo základných osí. c) Jednoduché metódy interpolácie umožňujú elegantné formulácie množstva interpolačných metód. Dosiahnutie hladkej interpolácie je preto jednoduchšie použitím uaterniónov než použitím Eulerových uhlov. Bude o tom pojednané v kapitole Chyba! Nenašiel sa žiaden zdroj odkazov.. d) Kompaktná reprezentácia Reprezentácia rotácií pomocou uaterniónov je kompaktná v tom zmysle, že je štvor-rozmerná a preto ako jediná obsahuje požadované štyri stupne voľnosti podľa Eulerovho teorému. Podľa teórie uaterniónov, všetky nenulové uaternióny môžu byť použité pre reprezentáciu rotácie (pozri dôsledok 8). V praktických aplikáciách sa používajú iba jednotkové uaternióny. Takže iba jediná podmienka (obmedzenie na jednotkový uaternión) musí byť počas výpočtu splnená namiesto šiestich podmienok pri použití matíc rotácií. e) Nestráca sa stupeň voľnosti (gimbal lock) Pretože gimbal lock je vlastný maticovej reprezentácii Eulerových uhlov, tento problém sa neobjavuje v reprezentácii pomocou uaterniónov. f) Jednoduchá kompozícia rotácií Použitím uaterniónov je možné rotácie pohodlne skladať. Zloženie odpovedá násobeniu uaterniónov. Rotácia pomocou uaterniónu nasledovaná rotáciou pomocou uaterniónu sa dosiahne rotáciou pomocou uaterniónu. 4.5 Zhrnutie Boli uvedené rozličné výhody a nevýhody pre dve metódy otáčania. Eulerove uhly reprezentované maticami vedú k viacerým problémom. Rotácia musí byť vyjadrená ako uhly otočenia okolo troch explicitných osí a pritom poradie ich vykonávania (jednotlivých otočení) je veľmi dôležité. Je možné prísť o jeden stupeň voľnosti (t.j. matica sa zablokuje) a nakoniec je problematické udržať matematické podmienky v konzistencii počas výpočtov. Reprezentácia pomocou uaterniónov je kompaktná s omnoho prirodzenejšou geometrickou interpretáciou a parametrizáciou rotácie, ktorá je nezávislá na súradnicovom systéme. Jedinou skutočnou výhodou maticovej reprezentácie je možnosť reprezentovať všetky ostatné transformácie. V súčte, uaternióny sa ponúkajú ako najlepšia voľba pre reprezentáciu rotácií. 4.6 Iné metódy otáčania V predchádzajúcich kapitolách bolo popísané, že najprijateľnejšou reprezentáciou rotácií je reprezentácia pomocou uaterniónov. Avšak táto reprezentácia bola porovnávaná len s jednou metódou. A to s metódou rotácií založených na Eulerových uhloch a reprezentovanou maticami rotácií. Samozrejme, je možné pripustiť aj iné metódy rotácií. Napríklad, už známe metódy možno kombinovať navzájom. Je možné definovať maticu rotácií založenú na Eulerovom teoréme (pozri [Fol, 990]). Tým sa odstránia problémy spojené s Eulerovými uhlami a dosiahne sa lepšia korešpondencia medzi maticami rotácií a množinou rotácií. Ale aj tak zostávajú problémy s touto metódou. Napríklad, inverzné mapovanie z matíc rotácií na rotácie je stále nejednoznačné. A ďalej, maticová reprezentácia nie je veľmi vyhovujúca pre interpolačné algoritmy. A v neposlednom rade, pri použití matíc rotácií je stále nutné zachovávať podmienky definované pre ortonormálne matice. V tomto učebnom texte neboli rozvíjané myšlienky iných metód otáčania, než tých, ktoré boli predstavené. Je to spôsobené tým, že predstavené metódy sú najdôležitejšie z pohľadu počítačovej grafiky. Eulerove uhly a matice sú najbežnejšou metódou otáčania spomínanou v literatúre a používanou v reálnych aplikáciách počítačovej grafiky. Avšak uaternióny majú svoje nepopierateľné výhody. SVR - - SVR

24 5. Možnosti implementácie uaterniónov Mnohé grafické systémy a systémy virtuálnej reality zvlásť sa už v dnešnej dobe nezaobídu bez tzv. dynamických (pohybujúcich sa) objektov. Túto dynamiku zabezpečujú vo väčšine geometrické transformácie nad týmito objektmi. A ako už z predchádzajúcich kapitol je zrejmé, hlavnou oblasťou implementácie uaterniónov budú rotácie objektov. Avšak pre túto implementáciu je potrebné mať možnosť prístupu k súradniciam vrcholov resp. iných bodov objektov, ktoré sú dynamické (je potrebné ich otočiť). Súčasné grafické systémy OpenGL a DirectX však túto možnosť neposkytujú. Preto je potrebné zabezpečiť to inou formou. Ak sa napríklad grafický systém, či už OpenGL alebo DirectX, používa iba na zobrazovanie, to znamená, že všetky ostatné problémy resp. algoritmy sú implementované ručne programátorom, potom nie je problém dostať sa k potrebným údajom. a) Klasický prístup Vo všeobecnosti je možné implementovať uaternióny ako údajovú štruktúru: typedef struct { long double r; long double i; long double j; long double k; }Quaternion; Pričom jednotlivé položky tejto údajovej štruktúry reprezentujú jednotlivé súradnice uaternióna a neodlišuje sa pritom vektorová časť od skalárnej časti. b) Objektový prístup V súčasnosti sa stáva veľmi populárnym objektovo-orientovaný prístup k implementácii rôznych problémov na číslicových počítačoch. V duchu tejto metodiky je možné zadefinovať si vlastnú triedu Quaternion napríklad takto: class Quaternion { public: double w, x, y, z; // konštrukcia a deštrukcia Quaternion () {} Quaternion (double _w, double _x, double _y, double _z); Quaternion (const Quaternion& ); // konverzie medzi uaterniónami, maticami a Eulerovými uhlami void FromRotationMatrix (const double R[3][3]); void ToRotationMatrix (double R[3][3]) const; void FromAngleAxis (const double& angle, const double& ax, const double& ay, const double& az); void FromAngleAxis (const double& rdangle, const Point3& rkpoint); void ToAngleAxis (double& angle, double& ax, double& ay, double& az) const; void ToAngleAxis (double& rkangle, Point3& rkpoint) const; // aritmetické operácie Quaternion& operator= (const Quaternion& ); Quaternion operator+ (const Quaternion& ) const; Quaternion operator- (const Quaternion& ) const; Quaternion operator* (const Quaternion& ) const; Quaternion operator* (double c) const; friend Quaternion operator* (double c, const Quaternion& ); Quaternion operator- () const; // základné vzťahy potrebné pre výpočty obsahujúce uaternióny double Dot (const Quaternion& ) const; // skalárny súčin uaterniónov double Norm () const; // norma uaternióna Quaternion Inverse () const; // inverzný uaternión Quaternion UnitInverse () const; // jednotkový uaternión Quaternion Exp () const; Quaternion Log () const; // otočenie bodu pomocou uaterniónov Point3 operator* (const Point3& pt) const; SVR - - SVR

25 // sférická lineárna interpolácia static Quaternion Slerp (double t, const Quaternion& p, const Quaternion& ); static Quaternion SlerpExtraSpins (double t, const Quaternion& p, const Quaternion&, int iextraspins); // nastavenie parametrov pre sférickú kvadratickú interpoláciu static void Intermediate (const Quaternion& 0, const Quaternion&, const Quaternion&, Quaternion& a, Quaternion& b); // vlastná sférická kvadratická interpolácia static Quaternion Suad (double t, const Quaternion& p, const Quaternion& a, const Quaternion& b, const Quaternion& ); }; static Quaternion ZERO; static Quaternion IDENTITY; // nulový uaternión 5.. Rotácie objektov Rotácie objektov reprezentované uaterniónmi sú jednou z možností aplikácie uaterniónov v praxi. Je však potrebné objasniť niektoré aspekty tejto implementácie. Aj keď sa na prvý pohľad môžu zdať vzťahy popisujúce uaternióny ako zložité, po dôkladnom pochopení ich vlastností a zákonitostí sa následná implementácia stáva jednoduchou. Pre dôkladnú implementáciu rotácií pomocou uaterniónov je potrebné implementovať niekoľko vzťahov, ktoré sú potrebné pre správnu funkciu celej implementácie rotácií. Aj keď rotáciu bodu pomocou uaterniónov popisuje len jediný vzťah (dôsledok 0), je potrebné implementovať aj ďalšie vzťahy (výpočet inverzného uaterniónu, normy uaterniónu a násobenie uaterniónov) Násobenie uaterniónov Pre implementáciu násobenia uaterniónov je použitá maticová reprezentácia vzťahu popísanom v dôsledku 4. [ s, v][ s, v ] ( s + ix + jy + kz)( s + ix + jy + kz ) = ss ( xx + yy + zz ) + i( sx + s x + yz zy ) + (68) j( sy + s y + zx xz ) + k( sz + s z + xy yx ) [ ss v v, v v + sv + s v] Implementácia môže vyzerať takto: a) Klasický prístup Vstupom funkcie Qmult sú dva uaternióny a výstupom výsledok ich vynásobenia (tiež uaternión). Quaternion Qmult(Quaternion a, Quaternion b) { Quaternion c; c.r = a.r*b.r - a.i*b.i - a.j*b.j - a.k*b.k; c.i = a.r*b.i + a.i*b.r + a.j*b.k - a.k*b.j; c.j = a.r*b.j + a.j*b.r + a.k*b.i - a.i*b.k; c.k = a.r*b.k + a.k*b.r + a.i*b.j - a.j*b.i; return(c); } b) Objektový prístup Vytvorenie konštruktora * (pri použití - vykonanie násobenia uaterniónov): Quaternion Quaternion::operator* (const Quaternion& ) const SVR SVR