APLIKÁCIA POZNATKOV ZÁKLADNÉHO KURZU MATEMATIKY PRI RIEŠENÍ ÚLOH V MECHANIKE TUHÝCH TELIES

Transcript

1 APLIKÁCIA POZNATKOV ZÁKLADNÉHO KURZU MATEMATIKY PRI RIEŠENÍ ÚLOH V MECHANIKE TUHÝCH TELIES Ea Labašoá 1) Jaroslaa Trubenoá ) Abstrakt Dôležitou súčasťou riešenia úloh a problémo mechanike tuhých telies (statika kinematika dnamika) je torenie mechanického modelu. Na základe mechanického modelu je torený model matematický ktorý formou matematických zťaho a roníc popisuje jeho spráanie. Príspeok poukazuje na dôležitosť poznania širokej škál matematického aparátu pre študento technických unierzít. Konkrétne je príspeok zameraný na aplikáciu poznatko diferenciálneho počtu reálnej funkcie jednej reálnej premennej a základných poznatko ektoroej analýz. 1. Úod Kinematika ktorá je na MtF STU súčasťou predmetu Mechanika tuhých telies (s rozsahom / druhý ročník zimný semester) sa zaoberá mechanickým pohbom bodo telies a sústa telies. Poloha bodu každom časoom okamihu je jednoznačne daná polohoým ektorom zhľadom na začiatok zoleného súradnicoého sstému čiže ektoroou funkciou záislou od času. Predmet Matematika I sa na MtF STU učuje rozsahu 3/3 prom ročníku zimnom semestri. Obsahom tohto predmetu je diferenciáln a integráln počet reálnej funkcie jednej reálnej premennej. Základ ektoroého počtu sa učujú predmete Matematika II (rozsah 3/3) letnom semestri prého ročníka. Predmet Lineárna algebra ktorý sa učuje zimnom semestri druhého ročníka obsahuje aj časť zaoberajúcu sa teóriou ektoro [13]. Absoloaním týchto predmeto študenti získajú edomosti a zručnosti pre počítanie s ektoroou funkciou ktoré sú potrebné pre určenie požadoaných kinematických eličín. Najdôležitejším problémom kinematike je zostaenie pohboých roníc parametrickom tare alebo formou spomínanej ektoroej funkcie. Potom už na základe poznania zťaho a matematických poznatko je možné určiť šetk kinematické eličin.. Určenie kinematických eličín pohbu bodu roine Na základe učoacích cieľo predmetu Mechanika tuhých telies b študenti mali edieť okrem iného jadriť kinematické eličin základných roinných pohbo. Pri riešení sústa telies (mechanizmo) si musia študenti uedomiť pohb jednotliých členo mechanizmu a následne zostaiť parametrické ronice pohbu jeho ľubooľného bodu [4]. Tieto ronice sú pre rôzne bod mechanizmu rôzne. Pre určenie ostatných kinematických eličín platia šak ronaké zťah. V rámci cičení sa tieto úloh riešia len analtick. Dôležité je najmä osojenie si základných technických súislostí a postupo rozoj technického mslenia. Ucelené 1) Katedra aplikoanej mechanik ÚVSM MtF STU Trnaa Palínska Trnaa SR ea.labasoa@stuba.sk ) Katedra aplikoanej matematik FPV UCM Trnaa Námestie Jozefa Herdu Trnaa SR jaroslaa.trubenoa@ucm.sk

2 riešenie úloh žaduje od študento eľmi dobre osojené matematické poznatk a schopnosti ich aplikácie riešení konkrétneho technického problému. V tejto kapitole je ukázaný princíp riešenia jedného zo zadaní (tab.1) ktoré študenti dostáajú k riešeniu rámci samostatnej práce. Pri riešení danej úloh si študenti majú osojiť najmä spôsob a praidlá riešenia konkrétnej úloh a uedomiť si nutnosť matematických poznatko nadobudnutých predchádzajúcim štúdiom. Tabuľka 1 Pre zadané ronice pohbu bodu M súradnicoom sstéme (0 i j) určte: kinematické eličin a a a t a n ako funkcie času t polomer kriosti trajektórie R 0 bodu M jednotkoý tangenciáln ektor τ x ( t) = k cos t ( t) = b cos t k b sú kladné konštant t je čas Doporučujeme študentom riešiť tieto zadania bez použitia PC. Samozrejme každý si riešenie môže skontroloať prostredníctom rôznch matematických programo. Software Mathematica [5] je jedným z nich a je určený na uľahčenie aplikácií matematik. Nasledujúca tabuľka (tab. ) obsahuje základné zťah a tým aj nehnutné matematické operácie pre riešenie danej úloh. Tabuľka polohoý ektor: r = x ( t)i + ( t) j ektor rýchlosti a jeho zložk: d r = = r = x i + j = x i + j ektor zrýchlenia a jeho zložk d a = = i j i x + = x + j = ax i + a j eľkosť tangenciálneho zrýchlenia = s = a t eľkosť polomeru kriosti dráh an = R0 = R a 0 n eľkosť ektora rýchlosti: = x + = s eľkosť ektora zrýchlenia a = + a x a eľkosť normáloého zrýchlenia a n = a at ; a = ax + a jednotkoý tangenciáln ektor dr dr τ = = = ds ds Tabuľka 3 obsahuje zápis príkazo a ýpis ýsledko (prao) získaných programom Mathematica.

3 Tabuľka 3 ronice pohbu - zadanie x[t_]:= k*cos[t] [t_]:= b*sin[t] zápis polohoého ektora p ={x[t][t]} {k Cos [t] bsin [t]} eľkosti zložiek ektora rýchlosti x[t] [t] a eľkosť ektora rýchlosti [t] x[t_]=d[x[t]t] k Sin [t] [t_]=d[[t]t] b Cos [t] [t_]=sqrt[x[t]^+[t]^] b Cos [t] + k Sin [t] zápis ektora rýchlosti ={x[t][t]} { k Sin [t]bcos [t]} eľkosti zložiek ektora zrýchlenia ax[t]a[t] a eľ kosť ektora zrýchlenia a[t] ax[t_]=d[x[t]t] k Cos[t] a[t_]=d[[t]t] b Sin [t] a[t_]=sqrt[ax[t]^+a[t]^] k Cos [t] + b Sin [t] zápis ektora zrýchlenia a={ax[t]a[t]} { k Cos [t] bsin [t]} eľkosť tangenciálneho a normáloého zrýchlenia 1 k Cos[t] Sin[t] b Cos[t] Sin[t] at[t_]=d[[t]t] b Cos [t] + k Sin [t] an[t_]=sqrt[(a[t])^-(at[t])^] 1 ( k Cos[t] Sin[t] b Cos[t] Sin[t] ) k Cos [t] + b Sin [t] 4 b Cos [t] + k Sin [t] eľkosť polomeru kriosti dráh záislosti na čase R0[t_]=[t]^/an[t] b Cos [t] + k Sin [t] ( k Cos[t] Sin[t] b Cos[t] Sin[t] ) k Cos [t] + b Sin [t] 4( b Cos [t] + k Sin [t] ) zápis jednotkoého tangenciálneho ektora jt{x[t_]/[t][t_]/[t]} k Sin[t] b Cos[t] b Cos [t] + k Sin [t] b Cos [t] + k Sin [t] Zmenou roníc pohbu základnom súbore (x[t] [t]) prípadne zmenou konštánt k b možno podľa daného súboru príkazo určiť šetk kinematické eličin. Ďalej z hľadiska názornosti je možné zostrojiť grafické záislosti kinematických eličín (eľkosti rýchlosti a eľkosti zrýchlenia) od času. V tom prípade je šak potrebné zadať konkrétne číselné hodnot šetkých konštánt.

4 3. Zostrojenie grafo rýchlosť čas a ich analýza V tabuľke 4 sú uedené graf pre predchádzajúcu úlohu pričom konštant k b sú dané nasledone: k = 03 m; b = 0m ide o pohb bodu po elipse. Tabuľka 4 Zmenou konštánt napr: k = b = 01 m (pohb bodu po kružnici) získame nasledoné graf pre eľkosť rýchlosti a zrýchlenia (tab 5). Veľkosť rýchlosti je konštantná. 1 = k sin [ t] + k cos [ t] = k [ms ] (1) Veľkosť tangenciálneho zrýchlenia a t je nuloá (tangenciálne zrýchlenie jadruje zmenu eľkosti rýchlosti). Normáloé zrýchlenie jadruje zmenu smeru ektora rýchlosti. Pri pohbe bodu po krike sa smer ektora rýchlosti mení a preto aj keď eľkosť rýchlosti je konštantná zniká pri pohbe bodu po krike normáloé zrýchlenie a n. a t = = 0 () Tabuľka 5 an = a at = a = k [m s ] (3) V tab.6 sú graf pre ronice pohbu: x = t ; = t 3. Tabuľka 6

5 Po zostrojení grafo časoých záislostí eľkosti rýchlosti a eľkosti zrýchlenia pre dané pohboé ronice je hodné pri analýze týchto grafických záislostí užiť edomosti z teórie reálnej funkcie jednej reálnej premennej. Z tohto aspektu možno analzoať zostrojené graf. Jednotlié druh pohbo (priamočiarch aj kriočiarch) sktujúcich sa bežnej praxi je teda možné zakresliť diagrame rýchlosť čas (obrázok 1). d d b c a a c e t 0 Obr. 1 a - ronomerný pohb rýchlosťou a b - ronomerne zrýchlený pohb z nuloej začiatočnej rýchlosti c - ronomerne zrýchlený pohb zo začiatočnej rýchlosti o eľkosti c d - ronomerne spomalený pohb zo začiatočnej rýchlosti o eľkosti d e - neronomerný pohb Z matematického hľadiska môžeme graf znázornené na obr. 1 charakterizoať nasledone: a - graf konštantnej funkcie = f ( t) = a = konšt. t 0 b - graf lineárnej rastúcej funkcie = f ( t) = k t t 0 k 0 k konšt. c - graf lineárnej rastúcej funkcie = f ( t) = k t + c t 0 k 0 k konšt. d - graf lineárnej klesajúcej funkcie = f ( t) = k t + d t 0 k 0 k konšt. e - graf šeobecnej funkcie = f ( t) t Záer Z analýz danej úloh plýa že matematické edomosti a zručnosti sú ýznamnou a dôležitou súčasťou riešenia kinematických ale o šeobecnosti aj mechanických úloh. Študenti b sa technických disciplínách mali zamýšľať hlane nad technickými princípmi postupmi a metódami riešenia matematický aparát b mal bť pre nich samozrejmosťou. Príspeok sa zaoberá len malou časťou mechanik tuhých telies. Poukazuje na nutnosť zládnutia práce s ektoroými funkciami ich deriáciou a integráciou. V predmete Mechanika tuhých telies časti statika sa študenti stretáajú s ektoroými operáciami (súčet ektoro skalárn a ektoroý súčin atď.). V časti statika je taktiež potrebné ab študenti mali zládnuté riešenie sústa lineárnch algebraických roníc

6 resp. maticoého počtu. V dnamike tuhých telies okrem iného je nutné ab študenti zládli aj riešenie diferenciálnch roníc druhého rádu. Príspeok prezentuje jeden z mnohých príklado dôležitého prepojenia a nadäznosti matematických predmeto s odbornými predmetmi pri štúdiu na sokých školách technického zamerania. Literatúra [1] Halabrín M. a kol. Matematika I. Bratislaa Vdaateľsto STU str. ISBN: [] Halabrin M. Čereňanský J. Palumbín O. Matematika II. Bratislaa Vdaateľsto STU str. ISBN: [3] Halabrín M. a kol. Lineárna algebra. Bratislaa Vdaateľsto STU str. ISBN: [4] Labašoá E. Riešenie preodoých funkcií kinematike. In Trend e zděláaní. Olomouc. Vdaateľsto: Votobia str. ISBN [5] Komorníkomá M. Mikula K. Výpočtoý sstém Mathematica. Bratislaa Vdaateľsto STU str. ISBN: