Έλεγχος Αποθεμάτων υπό Σταθερή Ζήτηση

Transcript

1 Έλεγχος Αποθεμάτων υπό Σταθερή Ζήτηση Γιώργος Λυμπερόπουλος 1

2 Οικονομική Ποσότητα Παραγγελίας (ΟΠΠ): βασικό μοντέλο Q απόθεμα Q λ λ Σταθερός ρυθμός ζήτησης λ λ λ 2

3 ΟΠΠ: Βασικό πρότυπο Υποθέσεις Σταθερός ρυθμός ζήτησης: λ (μονάδες προϊόντος ανά μονάδα χρόνου) Ο χρονικός ορίζοντας του προβλήματος είναι άπειρος Οι ελλείψεις του προϊόντος απαγορεύονται Οι παραγγελίες για την αναπλήρωση του αποθέματος γίνονται σε τακτά χρονικά διαστήματα που ονομάζονται κύκλοι ή περίοδοι Η αναπλήρωση του αποθέματος γίνεται στιγμιαία Μοναδιαίο μεταβλητό κόστος παραγγελίας: c ( ανά μονάδα προϊόντος) Σταθερό κόστος παραγγελίας: K ( ανά παραγγελία) Κόστος (επιτόκιο) κεφαλαίου: I ( ανά επενδυμένο σε απόθεμα ανά μονάδα χρόνου) 3

4 ΟΠΠ: Βασικό πρότυπο Υπολογισμός Κόστος διατήρησης αποθέματος: h = Ic ( ανά μονάδα προϊόντος ανά μονάδα χρόνου) Απόφαση Ποσότητα παραγγελίας: Q (μονάδες προϊόντος ανά παραγγελία) Αναφορά Harrs, F. W (reprnt from 1913). How many parts to make at once. Operatons Research 38 (6)

5 ΟΠΠ: Βασικό πρότυπο Απόθεμα Q λ Υπολογισμός T Χρόνος Μήκος κύκλου ή περιόδου παραγγελίας: TT = QQ (μονάδες λλ χρόνου ανά κύκλο) Συχνότητα παραγγελιών: NN = 1 = λλ (κύκλοι παραγγελίας TT QQ ανά μονάδα χρόνου) 5

6 ΟΠΠ: Βασικό πρότυπο Βασικό ζήτημα Αντιστάθμιση μεταξύ του σταθερού κόστους παραγγελίας και του κόστους διατήρησης αποθέματος Απόθεμα Q Q T T Χρόνος 6

7 ΟΠΠ: Βασικό πρότυπο Πρόβλημα βελτιστοποίησης χωρίς περιορισμούς λ Q Mnmze GQ ( ) = K + c λ + h Q Q μέσο μεταβλητό 2 G(Q) ολικό μέσο κόστος παραγγελίας μέσο σταθερό κόστος παραγγελίας κόστος παραγγελίας μέσο κόστος διατήρησης αποθέματος K λ/q h Q/2 cλ Q * Q 7

8 ΟΠΠ: Βασικό πρότυπο Λύση Συνθήκη βελτιστότητας Q * dg( Q) Kλ h : = 0 + = 0 2 dq Q 2 * * 2Kλ * Q 2K Q = T = = h λ hλ ( ) = 2 + * * G GQ Kλh c λ Επισήμανση: K, λ Q *, h Q * 8

9 Παράδειγμα 1 ΟΠΠ: Βασικό πρότυπο Ένας χονδρέμπορος ποτών προμηθεύεται μια μπύρα από μια ζυθοποιία. Ο χρόνος ικανοποίησης μιας παραγγελίας είναι αμελητέος. Τα μεταφορικά και άλλα πάγια έξοδα διαμορφώνουν το σταθερό κόστος παραγγελίας σε 144 ανά παραγγελία. Το κόστος αγοράς κάθε φιάλης είναι 1,20. Το κόστος κεφαλαίου (επιτόκιο) του χονδρεμπόρου είναι 15% ετησίως. Ο χονδρέμπορος πουλάει την μπύρα σε καταστήματα τροφίμων και εστιατόρια με σταθερό ρυθμό ίσο με 72 κιβώτια των 24 φιαλών ανά μήνα. 1. Ποια ποσότητα μπύρας σε κιβώτια πρέπει να παραγγέλνει ο χονδρέμπορος και κάθε πότε, για να ελαχιστοποιήσει το ολικό μέσο κόστος παραγγελίας και διατήρησης αποθεμάτων; 2. Ποια είναι η ελάχιστη τιμή στην οποία πρέπει να πουλάει κάθε φιάλη μπύρας για να μην έχει ζημίες σε σχέση με το ολικό μέσο κόστος παραγγελίας και διατήρησης αποθεμάτων; 9

10 Λύση ΟΠΠ: Βασικό πρότυπο Κόστος (επιτόκιο) κεφαλαίου: ΙΙ = 0,15 = 0,0125 ανά ανά μήνα 12 Μοναδιαίο κόστος παραγγελίας: cc = 1,20 24 = 28,8 ανά κιβώτιο. Μοναδιαίο κόστος διατήρησης αποθέματος: h = IIII = 0, ,8 = 0,36 ανά κιβώτιο ανά μήνα. ΟΠΠ: QQ = 2KKKK = (2)(144)(72) h 0,36 = 240 κιβώτια ανά παραγγελία. Βέλτιστος χρόνο κύκλου: TT = QQ = 240 = 3,3333 μήνες λλ 72 Ελάχιστο ολικό μέσο κόστος: GG QQ = 2KKKKK + cccc = (2)(144)(72)(0,36) + 28,8 72 = 2160 ανά μήνα Ελάχιστη τιμή πώλησης: ανά φιάλη GG QQ λλ = = 30 ανά κιβώτιο = = 1,25 10

11 Ανάλυση ευαισθησίας ΟΠΠ: Βασικό πρότυπο λ Q * G '( Q) = K + h G'( Q ) = 2Kλh Q 2 μερικό μέσο κόστος παραγγελίας Έστω ότι επιλέγεται μια τυχαία ποσότητα παραγγελίας Q * G'( Q) 1 Q Q = = * + * G'( Q ) 2 Q Q Παράδειγμα: * * * G'( Q) 1 Q 2Q 1 1 Q= 2Q = * + * * = + 2 = 1.25 G'( Q ) 2 2Q Q 2 2 Με λόγια: 100% σφάλμα στην επιλογή του Q 25% αύξηση στο μερικό μέσο κόστος παραγγελίας Συμπέρασμα: Το κόστος έχει μικρή ευαισθησία στην ποσότητα παραγγελίας Q και κατ επέκταση σε σφάλματα στην εκτίμηση των παραμέτρων κόστους και του ρυθμού ζήτησης. 11

12 ΟΠΠ: Περιορισμοί Πρόβλημα βελτιστοποίησης με περιορισμούς Έστω ότι Q mn Q Q max ( ) Q = max mn Q, Q, Q * * constr max mn G(Q) G(Q) G(Q) Q Q * mn Q max Q Q Q * mn Q max Q Q * Q mn Q max Q Εναλλακτικά, έστω ότι T mn T T max ( ) * * Tmn λ Q Tmax λ Qconstr = max mn Q, Tmax λ, Tmn λ 12

13 Παράδειγμα 2 ΟΠΠ: Περιορισμοί Ίδιες υποθέσεις με το Παράδειγμα 1. Επιπλέον: Η ζυθοποιία δεν δέχεται παραγγελίες μικρότερες των 150 κιβωτίων. Η μπύρα δεν είναι παστεριωμένη με αποτέλεσμα να έχει περιορισμένο χρόνο ζωής και ο χονδρέμπορος να μην θέλει να την κρατήσει στο ράφι του περισσότερο από 2,5 μήνες. 1. Ποια ποσότητα μπύρας σε κιβώτια πρέπει να παραγγέλνει ο χονδρέμπορος και κάθε πότε, για να ελαχιστοποιήσει το μέσο κόστος παραγγελίας και διατήρησης αποθεμάτων; 2. Ποια είναι η ελάχιστη τιμή στην οποία πρέπει να πουλάει κάθε φιάλη μπύρας για να μην έχει ζημίες σε σχέση με το ολικό μέσο κόστος παραγγελίας και διατήρησης αποθεμάτων; 3. Ποια η αύξηση στο μερικό και ολικό μέσο κόστος παραγγελίας και διατήρησης αποθέματος που προκαλείται από τους περιορισμούς. 13

14 Λύση ΟΠΠ: Περιορισμοί QQ QQ mmmmmm = 150 κιβώτια ανά παραγγελία ΤΤ TT mmmmmm = 2,5 μήνες ανά κύκλο QQ QQ mmmmmm = TT mmmmmm λλ = 2,5 72 = 180 κιβώτια ανά παραγγελία QQ cccccccccccc = max mn QQ, QQ mmmmmm, QQ mmmmmm = max mn 240,180, 150 = 180 κιβώτια ανά παραγγελία TT = QQ cccccccccccc λλ GG QQ cccccccccccc = = KKKK ανά μήνα QQ cccccccccccc = 2,5 μήνες ανά κύκλο + ccλλ + hqq cccccccccccc 2 Ελάχιστη τιμή πώλησης: GG QQ cccccccccccc ανά φιάλη λλ = (144)(72) 180 = 2163,6 72 Αύξηση στο μερικό κόστος: GG QQ = 1 GG QQ 2 4,17% Αύξηση στο ολικό κόστος: QQ QQ cccccccccccc + 28, (0,36)(180) 2 = 2163,6 = 30,05 ανά κιβώτιο = 30,05 24 = 1, QQ cccccccccccc = 1 QQ 2 GG QQ = 2163,3 GGΓ. QQΛυμπερόπουλος - Διοίκηση Παραγωγής =1, = 1,0017 0,17% 14

15 ΟΠΠ: Χρόνος αναπλήρωσης > 0 Μη-μηδενικός σταθερός χρόνος αναπλήρωσης αποθέματος τ Ίδιο σαν το βασικό πρότυπο ΟΠΠ μόνο που η παραγγελία δίνεται όταν το απόθεμα κατέλθει στο σημείο αναπαραγγελίας R, όπου λλττ, αν ττ < TT, RR = λ ττ mod TT, αν ττ TT, ττ mod TT = Υπόλοιπο της διαίρεσης ττ: TT Απόθεμα Q T Απόθεμα Q T τ mod T R λ τ R λ τ Αποστολή παραγγελίας Χρόνος Αποστολή παραγγελίας Χρόνος 15

16 ΟΠΠ: Χρόνος αναπλήρωσης > 0 Παράδειγμα 3 Ίδιες υποθέσεις με το Παράδειγμα 1. Να βρεθεί το σημείο αναπαραγγελίας όταν ο χρόνος ικανοποίησης μιας παραγγελίας είναι: (α) ½ μήνας και (β) 3½ μήνες. Λύση Ίδια λύση: QQ = 240 κιβώτια ανά παραγγελία και TT = 3,333 μήνες 72ττ, αν ττ < 3,3333, RR = 72 ττ mod 3,3333, αν ττ 3,333, (α) ττ = 1/2: RR = 72 1/2 = 36 κιβώτια (β) ττ = 3,5: RR = 72 3,5 mod3,3333 = 72 0,1666 = 12 κιβώτια 16

17 ΟΠΠ: Εκκρεμείς παραγγελίες Υποθέσεις Ίδιες με αυτές του βασικού προτύπου ΟΠΠ με τη διαφορά ότι: Σε περίπτωση έλλειψης προϊόντων οι ζητήσεις ικανοποιούνται με καθυστέρηση (εκκρεμείς παραγγελίες πελατών) Κόστος ανά μονάδα έλλειψης ανά μονάδα χρόνου: b ( ανά μονάδα εκκρεμών παραγγελιών ανά μονάδα χρόνου) Αποφάσεις Ποσότητα παραγγελίας: Q (μονάδες προϊόντος ανά παραγγελία) Ποσοστό ζητήσεων που ικανοποιούνται άμεσα από το απόθεμα: F 17

18 ΟΠΠ: Εκκρεμείς παραγγελίες Απόθεμα/έλλειμμα Q FQ (1 F)Q λ T Χρόνος Πρόβλημα βελτιστοποίησης λ FQ (1 F) Q Mnmze GQF (, ) = K + cλ + h F+ b (1 F) QF, :0 F 1 Q 2 2 Μόνος περιορισμός: 0 F 1 λ = K + cλ + h + b Q FQ (1 F) Q 18

19 Λύση Q ΟΠΠ: Εκκρεμείς παραγγελίες, F : * * 2 2 G( Q, F) Kλ hf + b(1 F) = 0 + = 0 2 Q Q 2 GQF (, ) = 0 hfq b(1 F) Q = 0 F * * b * 2Kλ h+ b * Q 2K h+ b F = Q = T = = h+ b h b λ hλ b μέγιστο απόθεμα: FQ * * = μέγιστο έλλειμμα: (1 ) b h+ b * * F Q = b (, ) = 2 + h + b * * * G GQ F Kλh c 2Kλ h h 2Kλ h+ b b 19 λ

20 ΟΠΠ: Εκκρεμείς παραγγελίες Οριακές περιπτώσεις bb h: FF 1 και QQ 2KKλλ h = ΟΠΠ bb h: FF 0 και QQ 2KKλλ bb = ΟΠΠ με bb αντί για h 20

21 ΟΠΠ: Εκκρεμείς παραγγελίες Παράδειγμα 4 Ίδιες υποθέσεις με το Παράδειγμα 1. Επιπλέον: Σε περίπτωση έλλειψης προϊόντων, οι πελάτες του χονδρέμπορου είναι διατεθειμένοι να παραλάβουν τις παραγγελίες τους με καθυστέρηση. Το μοναδιαίο κόστος ανά μονάδα χρόνου των εκκρεμών παραγγελιών είναι τριπλάσιο από το κόστος διατήρησης αποθέματος. 1. Ποια ποσότητα μπύρας σε κιβώτια πρέπει να παραγγέλνει ο χονδρέμπορος και κάθε πότε, για να ελαχιστοποιήσει το μέσο κόστος παραγγελίας, διατήρησης αποθεμάτων και εκκρεμών παραγγελιών; 2. Ποια είναι η ελάχιστη τιμή στην οποία πρέπει να πουλάει κάθε φιάλη μπύρας για να μην έχει ζημίες σε σχέση με το ολικό μέσο κόστος παραγγελίας, διατήρησης αποθεμάτων και εκκρεμών παραγγελιών; 21

22 Λύση ΟΠΠ: Εκκρεμείς παραγγελίες Μοναδιαίο κόστος έλλειψης: bb = 3h = 3IIII = 3 0,36 = 1,08 ανά κιβώτιο ανά μήνα. Βέλτιστο ποσοστό ζητήσεων που ικανοποιούνται άμεσα από το απόθεμα: FF = bb = 1,08 = 3 = 0,75 h+bb 0,36+1, Βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας: QQ = 2KKKK h 277, κιβώτια ανά παραγγελία. Βέλτιστος χρόνο κύκλου: TT = QQ λλ = h+bb = (2)(144)(72) bb 0,36 = 3,8472 μήνες 0,36+1,08 1,08 = Ελάχιστο ολικό μέσο κόστος: GG QQ, FF = 2KKKKK (2)(144)(72)(0,36) 1,08 0,36+1,08 Ελάχιστη τιμή πώλησης: GG QQ,FF 1,2433 ανά φιάλη λλ bb h+bb + cccc = + 28,8 72 = 2148,4246 ανά μήνα = 2148, = 29,8392 ανά κιβώτιο = 29, = 22

23 Υποθέσεις ΟΠΠ: Χαμένες πωλήσεις Ίδιες με αυτές του βασικού προτύπου ΟΠΠ με τη διαφορά ότι: Σε περίπτωση έλλειψης προϊόντων οι ζητήσεις χάνονται (χαμένες πωλήσεις) Κόστος ανά μονάδα έλλειψης : bb LL ( χαμένου κέρδους ανά μονάδα χαμένης πώλησης) Αποφάσεις Ποσότητα παραγγελίας: Q (μονάδες προϊόντος ανά παραγγελία) Ποσοστό ζητήσεων που ικανοποιούνται άμεσα από το απόθεμα: F 23

24 ΟΠΠ: Χαμένες πωλήσεις Απόθεμα Q (1 F)T λ FT T Χρόνος FT=Q/λ T = Q/λF N = 1/T = λf/q Πρόβλημα βελτιστοποίησης λf Q Mnmze GQF (, ) = K + cλ+ h F+ bl (1 F) λ QF, :0 F 1 Q 2 λ Q = K + h blλ F + c+ b Q 2 ( ) L λ 24

25 Απόθεμα ΟΠΠ: Χαμένες πωλήσεις Q (1 F)T λ FT T Χρόνος Λύση Συνθήκη FF QQ GG QQ, FF bb LL > 2KKh λλ 1 2KKλλ h 2KKKKh + ccλλ bb LL = 2KKh λλ 0,1 2KKKK h 2KKKKh + ccλλ bb LL < 2KKh λλ 0 αδιάφορο cc + bb LL λλ 25

26 ΟΠΠ: Έκπτωση για μεγάλες ποσότητες παραγγελίας Περίπτωση 1: Ενιαία έκπτωση Συνολικό κόστος αγοράς Q μονάδων, C(Q) = cq, όπου C(Q) c0 for b0 Q< b1 c= c for b Q< b where c > c > c c2 for b2 Q c 1 c 2 c 0 b 0 b 1 b 2 Q 26

27 ΟΠΠ: Έκπτωση για μεγάλες ποσότητες παραγγελίας Μέσο κόστος παραγγελίας για επίπεδο έκπτωσης jj j Πρόβλημα βελτιστοποίησης με περιορισμούς G(Q) G 0 (Q) λ Q G j( Q) = K + λ c j + Ic j, j = 0,1, 2 Q 2 h G ( Q) for b Q< b Mnmze GQ ( ) = G ( Q) for b Q< b Q ολικό μέσο κόστος G2( Q) for b2 Q G 1 (Q) G 2 (Q) b 0 b 1 b 2 Q 27

28 ΟΠΠ: Έκπτωση για μεγάλες ποσότητες G(Q) G 0 (Q) παραγγελίας Λύση ΟΠΠ άνευ περιορισμών για επίπεδο έκπτωσης j: * 2Kλ Qj =, Ic j = 0,1, 2 Σημείωση: b 3 = j * * j,constr ( j j+ 1) j Δεσμευμένη βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας: Q = max mn Q, b, b, j = 0,1,2 { } * * * j = arg mn G( Q ) Q = Q G = GQ ( ) = G ( Q ) * * * * * * * j j,constr j j,constr j j,constr G 1 (Q) G 2 (Q) b 0 b 1 b 2 Q 28

29 ΟΠΠ: Έκπτωση για μεγάλες ποσότητες παραγγελίας Περίπτωση 2: Σταδιακή έκπτωση Συνολικό κόστος αγοράς Q μονάδων, C(Q), όπου c1q για 0 Q< b1 C( Q) = cb 1 1+ c2( Q b1) = ( c1 c2) b1+ c2q= a2 + c2q για b1 Q< b2 cb 1 1+ c2( b2 b1) + c3( Q b2) = ( c1 c2) b1+ ( c2 c3) b2+ cq 3 = a3 + cq 3 για b2 Q< j Για απλούστευση χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό: ( c c ) b, C(Q) j > 0, a1 = 0 a j = 1 1 = 1 c 3 a 3 c 2 a 2 c 1 0 b 1 b 2 Q 29

30 ΟΠΠ: Έκπτωση για μεγάλες ποσότητες παραγγελίας Μέσο κόστος παραγγελίας όταν παραγγέλνονται Q μονάδες, C(Q)/Q: c1 για 0 Q< b 1 a 2 CQ ( ) ( c1 c2) b1 a2 = + c2 = + c2 για b1 Q< b2 Q Q Q a3 ( c1 c2) b1+ ( c2 c3) b2 a3 + c3 = + c3 για b2 Q< Q Q Ολικό μέσο κόστος παραγγελίας και διατήρησης αποθεμάτων λ CQ ( ) CQ ( ) Q GQ ( ) = K + λ + I Q Q Q 2 αντίστοιχο με το c αντίστοιχο με το c 30

31 ΟΠΠ: Έκπτωση για μεγάλες ποσότητες G 0 (Q) G(Q) G 1 (Q) G 2 (Q) παραγγελίας b 0 b 1 b 2 λ aj aj Q Gj( Q) = K + λ + cj + I + cj Q Q Q 2 λ Q Ia j = ( K + aj) + λ cj + Ic j + Q 2 2 2( K + a ) λ * Q = j j Ic j Q 31

32 ΟΠΠ: Έκπτωση για μεγάλες ποσότητες παραγγελίας Τελική λύση Το βέλτιστο επίπεδο έκπτωσης jj είναι εκείνο το επίπεδο έκπτωσης jj που δίνει το ελάχιστο GG jj QQ jj για έγκυρη ποσότητα bb jj QQ jj < bb jj+1 { j j j j j 1} = < j * arg mn G ( Q * ) : b Q * b + j * * * * * Q = Q G = GQ ( ) = G ( Q ) * * * j j j 32

33 ΟΠΠ: Έκπτωση για μεγάλες ποσότητες Παράδειγμα 5 παραγγελίας Ίδιες υποθέσεις με το Παράδειγμα 1 εκτός από το κόστος αγοράς ανά φιάλη Η ζυθοποιία που προμηθεύει την μπύρα παρέχει σταδιακή έκπτωση με μοναδιαία τιμή 1,20 ανά φιάλη για τα πρώτα 400 κιβώτια 1,16 ανά φιάλη για τα επόμενα 400 κιβώτια 1,12 ανά φιάλη για τα υπόλοιπα κιβώτια πάνω από Ποια ποσότητα μπύρας σε κιβώτια πρέπει να παραγγέλνει ο χονδρέμπορος και κάθε πότε, για να ελαχιστοποιήσει το μέσο κόστος παραγγελίας και διατήρησης αποθεμάτων; 2. Ποια είναι η ελάχιστη τιμή στην οποία πρέπει να πουλάει κάθε φιάλη μπύρας για να μην έχει ζημίες σε σχέση με το ολικό μέσο κόστος παραγγελίας και διατήρησης αποθεμάτων; 33

34 Λύση aa 1 = 0 ΟΠΠ: Έκπτωση για μεγάλες ποσότητες παραγγελίας aa 2 = aa 1 + cc 1 cc 2 bb 1 = 28,8 27, = 384 aa 3 = aa 2 + cc 2 cc 3 bb 2 = ,84 26, = 1152 QQ 1 = 2(KK + aa 1 )λλ IIcc 1 = ,8 = 240 QQ 2 = 2(KK + aa 2 )λλ IIcc 2 = (2)( )(72) (0.0125)(27,84) = 467,42 QQ 3 = 2(KK + aa 3 )λλ IIcc 3 = (2)( )(72) (0.0125)(26,88) = 745,27 QQ 1,cccccccccccc = max mn QQ 1, bb 1, bb 0 = max mn 240, 400, 0 = 240 QQ 2,cccccccccccc = max mn QQ 2, bb 2, bb 1 = max mn 467,421, 800, 400 = 467,42 QQ 3,cccccccccccc = max mn QQ 3, bb 3, bb 2 = max mn 745,271,, 800 =

35 ΟΠΠ: Έκπτωση για μεγάλες ποσότητες Λύση (συνέχεια) παραγγελίας GG 1 QQ 1,cccccccccccc = KK + aa 1 λλ QQ 1,cccccccccccc + IIcc 1 QQ 2 + cc 1 λλ + IIaa 1 2 = , , , , = 2160 GG 2 QQ 2,cccccccccccc = KK + aa 2 λλ QQ 2,cccccccccccc + IIcc 2 QQ 2 + cc 2 λλ + IIaa 2 2 = , , ,84 467, , , = 2169,54 GG 3 QQ 3,cccccccccccc = KK + aa 3 λλ QQ 3,cccccccccccc + IIcc 3 QQ 2 + cc 3 λλ + IIaa 3 2 = , , , , = 2193,6 jj = arg mn GG jj QQ jj=1,2,3 jj,cccccccccccc = arg mn 2160, 2169,54, 2193,6 = 1. 35

36 Λύση QQ cccccccccccc ΟΠΠ: Έκπτωση για μεγάλες ποσότητες = QQ jj,cccccccccccc παραγγελίας = QQ 1,cccccccccccc = 240. Ίδια λύση με αυτή του αρχικού Προβλήματος 1. GG QQ cccccccccccc = GG jj QQ jj,cccccccccccc Βέλτιστος χρόνο κύκλου: TT = QQ cccccccccccc Ελάχιστη τιμή πώλησης: GG QQ cccccccccccc λλ = GG 1 QQ 1,cccccccccccc = λλ = = = 3,3333 μήνες = 30 ανά κιβώτιο = = 1,25 ανά φιάλη 36

37 ΟΠΠ: Πολλαπλά προϊόντα με κοινό προμηθευτή Υποθέσεις n προϊόντα λ, c, h : παράμετροι για το προϊόν K: Σταθερό κόστος παραγγελίας (κοινό για όλα τα προϊόντα) Βέλτιστη πολιτική: Όλα προϊόντα παραγγέλνονται ταυτόχρονα Κοινός χρόνος κύκλου: TT = TT, = 1,, nn QQ = λλ TT = λλ ΤΤ, = 1,, nn. Μέσο κόστος ανά μονάδα χρόνου για το προϊόν (εκτός του σταθερού κόστους παραγγελίας) GG TT = cc λλ + h λλ TT, = 1, nn. 2 37

38 ΟΠΠ: Πολλαπλά προϊόντα με κοινό προμηθευτή Ολικό μέσο κόστος ανά μονάδα χρόνου GG TT = KK TT + GG TT = KK TT + =1 =1 Βέλτιστος κοινός χρόνος κύκλου nn TT = nn 2KK nn. h λλ =1 Βέλτιστες ποσότητες παραγγελίας QQ = λλ TT = nn cc λλ + TT =1 2 2KKλλ nn, = 1,, nn. h jj λλ jj jj=1 h λλ 2. Ελάχιστο ολικό μέσο κόστος ανά μονάδα χρόνου GG TT = 2KK =1 nn nn h λλ + cc λλ. =1 38

39 ΟΠΠ: Πολλαπλά προϊόντα με κοινό προμηθευτή Παράδειγμα 6 Ίδιες υποθέσεις με το Παράδειγμα 1. Επιλέον: Εκτός από τη μπύρα του Παραδείγματος 1, ο χονδρέμπορος προμηθεύεται άλλες δύο μπύρες από την ίδια ζυθοποιία. Το κοινό σταθερό κόστος παραγγελίας είναι 150 ανά παραγγελία. Τα κόστη αγοράς ανά φιάλη για τις δύο νέες μπύρες είναι 0,6 και 2,4 αντίστοιχα. Ο χονδρέμπορος πουλάει τις δύο νέες μπύρες με σταθερούς ρυθμούς ίσους με 30 και 120 κιβώτια των 24 φιαλών ανά μήνα. Το ετήσιο επιτόκιο του χονδρεμπόρου παραμένει 15% ετησίως. Ποια ποσότητα μπύρας σε κιβώτια πρέπει να παραγγέλνει ο χονδρέμπορος για κάθε μπύρα και κάθε πότε, ούτως ώστε να ελαχιστοποιήσει το μέσο κόστος παραγγελίας και διατήρησης αποθεμάτων; Ποιο το ελάχιστο μέσο κόστος παραγγελίας και διατήρησης αποθεμάτων; 39

40 ΟΠΠ: Πολλαπλά προϊόντα με κοινό προμηθευτή Λύση Κόστος (επιτόκιο) κεφαλαίου: ΙΙ = 0,15/12 = 0,0125 ανά ανά μήνα. Μοναδιαία κόστη παραγγελίας: cc 1 = 1,2 24 = 28,8, ανά κιβώτιο, cc 2 = 0,6 24 = 14,4 ανά κιβώτιο, cc 3 = 2,4 24 = 57,6 ανά κιβώτιο. Μοναδιαία κόστη διατήρησης αποθέματος: h 1 = IIcc 1 = 0, ,8 = 0,36 ανά κιβώτιο ανά μήνα, h 2 = IIcc 2 = 0, ,4 = 0,18 ανά κιβώτιο ανά μήνα, h 3 = IIcc 3 = 0, ,6 = 0,72 ανά κιβώτιο ανά μήνα. 40

41 ΟΠΠ: Πολλαπλά προϊόντα με κοινό Λύση Βέλτιστος κοινός χρόνος κύκλου: TT = 2KK = nn h λλ =1 Βέλτιστες ποσότητες παραγγελίας: QQ 1 = λλ 1 TT = 72 QQ 2 = λλ 2 TT = 30 QQ 3 = λλ 3 TT = 120 Ελάχιστο ολικό κόστος: GG TT = 2KK nn =1 προμηθευτή (2)(150) 0, , (0,72)(120) = 1,5964 μήνες 1,5964 = 114, κιβώτια ανά παρτίδα 1,5964 = 47, κιβώτια ανά παρτίδα 1,5964 = 191, κιβώτια ανά παρτίδα h λλ + nn =1 cc λλ = , , (0,72)(120) + 28, , ,6 120 = 9605,5255 ανά μήνα. 41

42 ΟΠΠ: Πολλαπλά προϊόντα με διαφορετικούς προμηθευτές χωρίς άλλο περιορισμό Υποθέσεις n προϊόντα λ, K, c, h : παράμετροι για το προϊόν Ανάλυση Μέσο κόστος ανά μονάδα χρόνου για το προϊόν GG QQ = KK λλ + cc QQ λλ + h QQ, = 1, nn. 2 Ολικό μέσο κόστος ανά μονάδα χρόνου GG QQ 1,, QQ nn nn = GG QQ =1 nn = =1 KK λλ QQ + cc λλ + h QQ 2. 42

43 ΟΠΠ: Πολλαπλά προϊόντα με διαφορετικούς προμηθευτές χωρίς άλλο περιορισμό Βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας για το προϊόν : QQ = 2KK λλ h, = 1, nn, Βέλτιστος χρόνος κύκλου για το προϊόν : TT = 1 NN = QQ λλ = 2KK λλ h, = 1, nn. Ελάχιστο μέσο κόστος ανά μονάδα χρόνου για το προϊόν GG QQ = 2KK λλ h + cc λλ, = 1, nn, Ελάχιστο ολικό μέσο κόστος ανά μονάδα χρόνου GG QQ 1,, QQ nn nn = GG QQ =1 nn = =1 2KK λλ h + cc λλ. 43

44 ΟΠΠ: Πολλαπλά προϊόντα με διαφορετικούς προμηθευτές με περιορισμό πόρων Υποθέσεις n προϊόντα λ, K, c, h : παράμετροι για το προϊόν Περιορισμός πόρων (προϋπολογισμού, χωρητικότητας, κτλ.): Ανάλυση nn =1 bb QQ BB Ολικό μέσο κόστος ανά μονάδα χρόνου GG QQ 1,, QQ nn nn = GG QQ =1 nn = =1 KK λλ QQ + cc λλ + h QQ 2. Πρόβλημα δεσμευμένης (με περιορισμούς) βελτιστοποίησης mn GG QQ 1,, QQ nn subject to: bb QQ BB. QQ 1,,QQ nn =1 nn 44

45 ΟΠΠ: Πολλαπλά προϊόντα με Λύση για την περίπτωση 2 περιορισμό πόρων Εισαγωγή πολλαπλασιαστή Lagrange θ mn QQ 1,,QQ nn,θθ GG QQ 1,, QQ nn, θθ = nn =1 KK λλ QQ Αναγκαίες συνθήκες βελτιστότητας GGG QQ = KK λλ QQ 2 GGG θθ = nn =1 + h 2 + θθbb = 0 QQ,cccccccccccc bb QQ,cccccccccccc + cc λλ + h QQ 2 + θθ =1 = nn BB = 0 bb QQ,cccccccccccc =1 nn bb QQ BB. 2KK λλ h + 2θθ bb, = 1, nn. = BB Αριθμητική επίλυση: Δοκιμάζονται διαφορετικές τιμές του θθ (π.χ. σταδιακά αυξανόμενες) μέχρι να ισχύουν και οι δύο συνθήκες 46

46 ΟΠΠ: Πολλαπλά προϊόντα με περιορισμό πόρων Ειδική περίπτωση: bb = mmh, = 1,, nn για κάποιο σταθερό αριθμό mm Σε αυτή την περίπτωση, το QQ,cccccccccccc μπορεί να γραφτεί: QQ,cccccccccccc = AA 2KK λλ h = AAQQ,, = 1,, nn, όπου AA = θθ mm Η σταθερά AA βρίσκεται από τη δεύτερη σχέση η οποία μπορεί να γραφτεί: Λύση: AA = nn =1 BB mm nn =1 h QQ bb QQ,cccccccccccc Λύνοντας για θθ : θθ = 1 2mmAA 2 1 = nn =1 = mm nn =1 2mm bb AAQQ = BB 2 2KK λλ h 1 2BB 2 2mm 47

47 ΟΠΠ: Πολλαπλά προϊόντα με περιορισμό πόρων Παράδειγμα 7 Ίδιες υποθέσεις με το Παράδειγμα 6 με τις εξής διαφορές: Ο χονδρέμπορος προμηθεύεται τις δύο νέες μπύρες από διαφορετικές ζυθοποιίες. Τα σταθερά κόστη παραγγελίας για τις τρεις μπύρες είναι 144, 135 και 157,5 ανά παραγγελία. Ποια ποσότητα μπύρας σε κιβώτια πρέπει να παραγγέλνει ο χονδρέμπορος από κάθε ζυθοποιία και κάθε πότε, ούτως ώστε να ελαχιστοποιήσει το μέσο κόστος παραγγελίας και διατήρησης αποθεμάτων, στις κάτωθι περιπτώσεις: 1. Ο προϋπολογισμός του χονδρεμπόρου για την προμήθεια των μπυρών, σε περίπτωση που παραγγελθούν όλες οι μπύρες ταυτόχρονα, δεν πρέπει να ξεπερνάει τις Τα ράφια της αποθήκης του χονδρέμπορου όπου αποθηκεύονται οι μπύρες έχουν μέγιστη χωρητικότητα 400 κιβώτια και τα κιβώτια από όλες τις ζυθοποιίες έχουν ίδιες διαστάσεις. Σε κάθε περίπτωση να υπολογισθεί το συνεπαγόμενο ολικό μέσο κόστος παραγγελίας και διατήρησης αποθέματος όλων των προϊόντων. 48

48 ΟΠΠ: Πολλαπλά προϊόντα με περιορισμό πόρων Λύση ΟΠΠ άνευ περιορισμού : QQ 1 = 2KK 1λλ 1 h 1 = QQ 2 = 2KK 2λλ 2 h 2 = , ,18 = 240 κιβώτια ανά παραγγελία = 212, κιβώτια ανά παραγγελία QQ 3 = 2KK 3λλ 3 h 3 = 2 157, ,72 1. Περιορισμός στον προϋπολογισμό του κόστους: KK 1 + cc 1 QQ 1 + KK 2 + cc 2 QQ 2 + KK 3 + cc 3 QQ = 229, κιβώτια ανά παραγγελία. cc 1 QQ 1 + cc 2 QQ 2 + cc 3 QQ KK 1 + KK 2 + KK ,5 = 14563,5 = BB =

49 Λύση ΟΠΠ: Πολλαπλά προϊόντα με περιορισμό πόρων Περιορισμός για QQ : cc 1 QQ 1 + cc 2 QQ 2 + cc 3 QQ 3 = 28, , ,6 229 = 23155,2 > 14563,5. Ο περιορισμός παραβιάζεται Περίπτωση 2 Πρόκειται για την ειδική περίπτωση της περίπτωσης 2 επειδή: bb = cc = h, δηλαδή, bb II = mmh για mm = 1, = 1,, nn II Σε αυτή την περίπτωση: QQ,cccccccccccc = AAQQ,, = 1,, nn, όπου BB AA = mm nn =1 h QQ = BB nn =1 cc QQ = 14563, ,2 = 0,

50 ΟΠΠ: Πολλαπλά προϊόντα με περιορισμό πόρων Λύση Βέλτιστες ποσότητες παραγγελίας: QQ 1,cccccccccccc = AAQQ = 0, = 150, QQ 2,cccccccccccc = AAQQ 2 = 0, = 133, = AAQQ 2 = 0, = 144, QQ 3,cccccccccccc Ολικό μέσο κόστος παραγγελίας και διατήρησης αποθέματος GG QQ 1,cccccccccccc 28, (157,5)(120) 144, QQ 2,cccccccccccc, QQ 3,cccccccccccc 0, , (135)(30) 133 0, = 3 KK λλ =1 QQ 2 + cc λλ + h QQ + 14, = (144)(72) , = 9738,9534 ανά μήνα + 51

51 Λύση ΟΠΠ: Πολλαπλά προϊόντα με περιορισμό πόρων 2. Περιορισμός χωρητικότητας: QQ 1 + QQ 2 + QQ = BB Περιορισμός για QQ : QQ 1 + QQ 2 + QQ 3 = = 681 > 400. Ο περιορισμός παραβιάζεται Περίπτωση 2 Δεν πρόκειται για την ειδική περίπτωση της περίπτωσης 2 επειδή: bb = 1 mmh για κάποιο σταθερό αριθμό mm, = 1,, nn Απαιτείται αριθμητική επίλυση: Δοκιμάζονται διαφορετικές τιμές του θθ μέχρι να ισχύουν οι δύο συνθήκες: QQ,cccccccccccc = 2KK λλ nn h + 2θθ, = 1, nn και bb bb QQ,cccccccccccc =1 = BB 52

52 Λύση ΟΠΠ: Πολλαπλά προϊόντα με περιορισμό πόρων Περιορισμός διαστήματος αναζήτησης για το θθ: Κατώτατο όριο: θθ mmmmmm = 0 Μπορούμε να βρούμε ένα ανώτατο όριο για το θθ αν στον τύπο θθ = mm nn 2 =1 2KK λλ h 1 2BB 2 2mm αντικαταστήσουμε το mm με το μεγαλύτερο λόγο bb h max =1,2,3 bb h = max ( 1 0,36, 1 0,18, 1 0,72) = 1 0,18 = 5,5556 Συνεπώς: θθ mmmmmm = max =1,2,3 bb h nn 2 =1 2KK λλ h 1 = 2BB 2 2 max =1,2,3 bb h 5, , , , , ,5556 = 1,3656 (2)(400) 2 53

53 ΟΠΠ: Πολλαπλά προϊόντα με περιορισμό πόρων Λύση Το θθ ανήκει στο διάστημα θθ mmmmmm, θθ mmmmmm = 0, 1,3656. Απλή επαναληπτική μέθοδος: 1. Σε κάθε επανάληψη διαιρείται το τρέχον διάστημα αναζήτησης θθ mmmmmm, θθ mmmmmm στην μέση και εξετάζεται αν το μεσαίο σημείο, θθ mmmmmm, ικανοποιεί τον περιορισμό ή όχι. 2. Αν τον ικανοποιεί, τότε θθ mmmmmm = θθ mmmmmm. 3. Αν τον παραβιάζει, τότε, θθ mmmmmm = θθ mmmmmm. 4. Σταματάμε όταν η τιμή του θθ mmmmmm έχει συγκλίνει. 54

54 Λύση Εφαρμογή: ΟΠΠ: Πολλαπλά προϊόντα με περιορισμό πόρων Επανάληψη θθ mmmmmm θθ mmmmmm θθ mmmmmm QQ 1 QQ 2 QQ 3 QQ 1 + QQ 2 + QQ 3 1 0,0000 1,3656 0, ,0000 0,6828 0, ,3414 0,6828 0, ,3414 0,5121 0, ,3414 0,4268 0, ,3414 0,3841 0, ,3414 0,3627 0, ,3414 0,3521 0,

55 Λύση ΟΠΠ: Πολλαπλά προϊόντα με περιορισμό πόρων Βέλτιστες ποσότητες παραγγελίας: QQ 1,cccccccccccc = 140 QQ 2,cccccccccccc = 96 = 164 QQ 3,cccccccccccc Ολικό μέσο κόστος παραγγελίας και διατήρησης αποθέματος GG QQ 1,cccccccccccc 28, (157,5)(120) 164, QQ 2,cccccccccccc, QQ 3,cccccccccccc 0, , = 3 KK λλ =1 QQ + (135)(30) 96 0, , cc λλ + h QQ = (144)(72) 2 0, = 9741,9685 ανά μήνα + 56

56 Οικονομική Παρτίδα Παραγωγής: ΟΠΠρ με πεπερασμένο ρυθμό παραγωγής Σταθερός ρυθμός παραγωγής P P P P Απόθεμα λ λ Σταθερός ρυθμός ζήτησης λ λ λ λ 57

57 ΟΠΠρ Υποθέσεις Ίδιες με του βασικού προτύπου ΟΠΠ με τη διαφορά ότι: Πεπερασμένος ρυθμός παραγωγής (αναπλήρωσης αποθέματος) P (μονάδες προϊόντος ανά μονάδα χρόνου) με P > λ Χρόνος προετοιμασίας για την παραγωγή νέας παρτίδας s I Απόθεμα ( ) = ρ Q max 1 P λ λ Q/P T=Q/λ s Χρόνος Μέγιστο απόθεμα: I max = (P λ)q/p = (1 λ/p)q = (1 ρ)q, όπου ρ = λ/p συντελεστής απασχόλησης, 1 ρ ποσοστό χρόνου που δεν παράγει η γραμμή 58

58 ΟΠΠρ Πρόβλημα βελτιστοποίησης χωρίς περιορισμούς Q * Οριακή περίπτωση: ( 1 ρ ) λ Mnmze GQ ( ) = K + cλ + h Q Q 2 dg( Q) Kλ h(1 ρ) : = 0 + = 0 2 dq Q 2 * * 2 λ * 2 K Q K Q = T = = h ( 1 ρ) λ λh( 1 ρ) * * G GQ ( ) = 2 Kλh(1 ρ) + cλ * 2Kλ 2Kλ lm Q = lm = = ΟΠΠ! ( 1 ) P P h λ h P Q 59

59 ΟΠΠρ Πώς εμπλέκεται ο χρόνος προετοιμασίας s? Ο χρόνος κύκλου T πρέπει να αρκετά μεγάλος για να χωράει το s Q Q Q s s T s s Q Q P + λ λ χρόνος λ P + 1 λ = 1 ρ P χρόνος κύκλου χρόνος παραγωγής Q = Εναλλακτικά: προετοιμασίας max( Q, Q ) * * constr mn Q Tλ T + s T + s = Tρ + s P P s T s T T 1 ρ ( 1 ρ ) mn T = max( T, T ) * * constr mn mn 60

60 ΟΠΠρ Τι γίνεται αν υπάρχει μέγιστη χωρητικότητα αποθήκευσης I max? Q mn Q I max /(1 ρ) Q max ( ) Q = max mn Q, Q, Q * * constr max mn Ανάλυση ευαισθησίας Πανομοιότυπη με αυτή του προτύπου ΟΠΠ: Το κόστος έχει μικρή ευαισθησία στην παρτίδα παραγωγής Q = = + G'( Q ) 2 Q Q * G'( Q) 1 Q Q * * G'( T) 1 T T = = + * * G'( T ) 2 T T * 61

61 Παράδειγμα 6 ΟΠΠρ O χονδρέμπορος του προβλήματος 1 σκέφτεται να παράγει ο ίδιος την μπύρα με εξοπλισμό που θα λειτουργεί 20 ημέρες ανά μήνα και έχει τα εξής χαρακτηριστικά: Η δυναμικότητα παραγωγής είναι 6000 φιάλες ανά μήνα. Το κόστος προετοιμασίας για κάθε νέα παρτίδα παραγωγής ανέρχεται σε 64 ανά παρτίδα παραγωγής και ο χρόνος προετοιμασίας σε 2 ημέρες. Το κόστος παραγωγής κάθε φιάλης είναι 0,6. Το κόστος κεφαλαίου (επιτόκιο) του χονδρεμπόρου παραμένει 15% ετησίως. Ο ρυθμός της ζήτησης παραμένει σταθερός και ίσος με 72 κιβώτια των 24 φιαλών ανά μήνα. 62

62 Παράδειγμα 6 (συνέχεια) ΟΠΠρ 1. Τι μέγεθος παρτίδας σε κιβώτια πρέπει να παράγει ο χονδρέμπορος και κάθε πότε, για να ελαχιστοποιήσει το ολικό μέσο κόστος παραγωγής και διατήρησης αποθεμάτων; 2. Ποια είναι η ελάχιστη τιμή στην οποία πρέπει να πουλάει κάθε φιάλη μπύρας για να μην έχει ζημίες σε σχέση με το ολικό μέσο κόστος παραγωγής και διατήρησης αποθεμάτων; 3. Ο εξοπλισμός για την παραγωγή της μπύρας κοστίζει στον χονδρέμπορο πέραν της επιδότησης. Μετά από πόσο διάστημα θα αποσβέσει την επένδυση στον εξοπλισμό ο χονδρέμπορος; 63

63 Λύση ΟΠΠρ Κόστος (επιτόκιο) κεφαλαίου: ΙΙ = 0,15 = 0,0125 ανά ανά μήνα 12 Μοναδιαίο κόστος παραγωγής: cc = 0,6 24 = 14,4 ανά κιβώτιο. Μοναδιαίο κόστος διατήρησης αποθέματος: h = IIII = 0, ,4 = 0,18 ανά κιβώτιο ανά μήνα. Ρυθμός παραγωγής: PP = = 250 κιβώτια ανά μήνα Συντελεστής απασχόλησης: ρρ = λλ PP = = 0,288 ΟΠΠρ: QQ = παρτίδα. 2KKKK = (2)(64)(72) h(1 ρρ) 0,18(1 0,288) = 268, κιβώτια ανά 64

64 Λύση (συνέχεια) ΟΠΠρ Βέλτιστος χρόνο κύκλου: TT = QQ λλ = Χρόνος προετοιμασίας: ss = 2 20 = 0,1 μήνες = 3,722 μήνες Ελάχιστος χρόνος κύκλου: TT mmmmmm = ss = 0,1 = 0,1404 μήνες 1 ρρ 1 0,288 TT cccccccccccc = max(tt, TT mn ) = max 3,722, 0,1404 = TT = 3,722 μήνες Ελάχιστο ολικό μέσο κόστος: GG QQ = 2KKKKK(1 ρρ) + cccc = (2)(64)(72)(0,18)(1 0,288) + 14,4 72 = 1071,1675 ανά μήνα Ελάχιστη τιμή πώλησης: 14, GG QQ λλ = 1071, = 0,6199 0,62 ανά φιάλη = 14,8773 ανά κιβώτιο = 65

65 Λύση (συνέχεια) ΟΠΠρ Ο χονδρέμπορος παράγοντας ο ίδιος τη μπύρα κερδίζει ,1675 = 1088,8325 ανά μήνα. Συνεπώς ο εξοπλισμός θα «βγάλει τα χρήματά του» σε 82,6573 μήνες = 82, = 6,888 έτη! ,8325 = 66

66 ΟΠΠρ Ευρετικός κανόνας επιλογής του T με τη μέθοδο των «δυνάμεων του 2» Υπόθεση: Ο χρόνος κύκλου περιορίζεται T να είναι ένα πολλαπλάσιο, που μπορεί να εκφραστεί ως μία δύναμη του δύο, μιας βασική χρονικής περιόδου, δηλαδή, T H = 2 k, για κάποιο k = 0, 1, 2, Ποια δύναμη k να επιλέξουμε? Κανόνας: k 1 * k k : k T < T H = T * 1 2 k k 1 2 k k Πόσο μεγάλη μπορεί να είναι η αύξηση του κόστους? Στη χειρότερη περίπτωση: 2 k+ T H k k 1 * k 1 G'( TH ) Αν T = 2 2 = 1, 06 * + = + = k 1 k k k * k H Αν T = 2 2 = 1, 06 * + = + = k k Συμπέρασμα: G'( T ) G'( T ) G'( T ) Χρησιμοποιώντας το καλύτερο T H θα οδηγήσει σε αύξηση του κόστους G το πολύ 6% σε σχέση με το αν χρησιμοποιείτο το T*! 67

67 Γιατί ο κανόνας της δύναμης ενός ακεραίου είναι καλή ιδέα; Γιατί επιτρέπει τον καλύτερο δυνατό συγχρονισμό / αποσυγχρονισμό παραγγελιών / παραγωγής διαφορετικών προϊόντων (ή διαφορετικών σταδίων) Π.χ., Δύναμη του 3: Παράδειγμα (τρία προϊόντα: Α, Β, Γ) Α: kk = 1 TT Α = 3 1 = 3 BB: kk = 2 TT Β = 3 2 = 9 Γ: kk = 3 TT Γ = 3 3 = 27 Συγχρονισμός Αποσυγχρονισμός kk kk t Α Β Γ t Α Β Γ 68

68 Πρόβλημα Οικονομικού Προγραμματισμού Παρτίδας (ΠΟΠΠρ) P 1 P 2 λ 1 λ 3 λ 2 λ 1 λ 2 λ 3 Σταθερός ρυθμός ζήτησης λλ λ 1 λ 3 λ 2 69

69 ΠΟΠΠρ Υποθέσεις Ίδιες με του ΟΠΠρ με τη διαφορά ότι: n προϊόντα λ, K, c, h, s : παράμετροι του προϊόντος Κυκλικός προγραμματισμός: Όλα τα προϊόντα πρέπει να παραχθούν από την ίδια γραμμή παραγωγής με κυκλικό τρόπο Απλός κύκλος: Κάθε προϊόν παράγεται μόνο μία φορά σε κάθε κύκλο Μοτίβο κύκλου: (1 2 3 n n ) Υπολογισμός Συντελεστής απασχόλησης για το προϊόν : ρ = λ /P 70

70 ΠΟΠΠρ Απόθεμα T T T Χρόνος Ισχυρή αλληλεξάρτηση των προϊόντων: Πρέπει όλα να έχουν τον ίδιο χρόνο κύκλου T Αν καθοριστεί το T, τα μεγέθη παρτίδας παραγωγής μπορούν να υπολογισθούν: Q = λ T 71

71 ΠΟΠΠρ Ολικό μέσο κόστος ανά μονάδα χρόνου για το προϊόν Συνολικό ολικό μέσο κόστος ανά μονάδα χρόνου για όλα τα προϊόντα Πρόβλημα Λύση Q, Q,, Q 1 2 λ G( Q) = K + cλ + h Q ( 1 ρ ) n GQ ( 1, Q2,, Q) = G ( Q) 1 2 Αντικατάσταση του Q από το λ T και μορφοποίηση ενός προβλήματος ελαχιστοποίησης ως προς το T 2 n = 1 Mnmze GQ (, Q,, Q) subject to Q= λ T, = 1,2,, n n Q n 72

72 ΠΟΠΠρ ΝΕΟ συνολικό ολικό μέσο κόστος ανά μονάδα χρόνου για όλα τα προϊόντα λ Mnmze G( T) = G ( ) = K + c + h T n n T λ = 1 = 1 λt ( 1 ρ ) 1 λ = + + T ( 1 ρ ) n n n K T h c = 1 = 1 2 = 1 A = + BT + C (ίδια μορφή με αυτή του προτύπου ΟΠΠ) T Βέλτιστη λύση = 1 n ( 1 ρ ) λ 2 λt 2 K * = 1 * * T = Q = λt, = 1, 2,, n n λh 73

73 ΠΟΠΠρ Πώς εμπλέκονται οι χρόνοι προετοιμασίας s? Ο κοινός χρόνος κύκλου T πρέπει να αρκετά μεγάλος για να χωράει όλα τα s Q λ T T + s T + s = T + s = T + s n n n n n ρ ρ = 1 P = 1 P = 1 = 1 = 1 s = 1 T = T n 1 ρ n = 1 mn T = max( T, T ) Q = λ T * * * * constr mn,constr constr 74

74 Πιο πολύπλοκοι κύκλοι Υπόθεση ΠΟΠΠρ Κάθε προϊόν παράγεται m φορές σε κάθε κύκλο λ T mq = = = 1 λ mq λt Q T m Ίδια προσέγγιση με αυτή της περίπτωσης του απλού κύκλου (mm = 1, = 1,, nn) Αντικατάσταση του Q από το λ T/m και μορφοποίηση ενός προβλήματος ελαχιστοποίησης ως προς το T 75

75 ΠΟΠΠρ ΝΕΟ συνολικό ολικό μέσο κόστος ανά μονάδα χρόνου για όλα τα προϊόντα λ m Mnmze G( T) = G ( ) = K + cλ + h T λ T Βέλτιστη λύση n n T = 1 = 1 ( 1 ρ ) 1 λ = + + T n ( 1 ρ ) 2m n n n Km T h c = 1 = 1 2m = 1 * = 1 * n λ( 1 ρ) h = 1 m λ λt 2 m K * λt T = Q =, = 1, 2,, n m 76

76 ΠΟΠΠρ Πώς εμπλέκονται οι χρόνοι προετοιμασίας s? Ο κοινός χρόνος κύκλου T πρέπει να αρκετά μεγάλος για να χωράει όλα τα s Q λt ρt T + s T + s = + s = T + s n n n n n m m m ρ m = 1 P = 1 m P = 1 m = 1 = 1 = 1 T = n n 1 m s = 1 ρ T mn T = max( T, T ) Q = λ T * * * * constr mn,constr constr 77

77 ΠΟΠΠρ Πώς να επιλεγούν καλές τιμές των m Χρησιμοποιείται η μέθοδος των «δυνάμεων του 2», δηλαδή τίθεται mm = 2 kk για κάποιο kk 0,1,2, για = 1,, nn Αλγόριθμος για τον υπολογισμό των kk Βήμα 1: Υπολογίζεται ο αδέσμευτος βέλτιστος χρόνος κύκλου κάθε προϊόντος σε απομόνωση και βρίσκεται ο ελάχιστος από αυτούς τους χρόνους TT = 2KK, = 1,, nn h λλ (1 ρρ ) TT εεεεεεεε = mn TT Βήμα 2: Υπολογίζεται η σχετική συχνότητα κάθε προϊόντος σε απομόνωση NN = TT, = 1,, nn TT εεεεεεεε 78

78 ΠΟΠΠρ Βήμα 3: Στρογγυλοποιείται το NN στην κοντινότερη δύναμη του 2 χρησιμοποιώντας τον κανόνα 2 kk 1 2 NN < 2 kk 2 NN rrrrrrrrrr = 2 kk Παράδειγμα: k N N 1 0 round 0 = 0 : 2 2 = < = 2 2 = 2 = 1 k N N 0 1 round 1 = 1: 2 2 = < = 2 2 = 2 = 2 k N N 1 2 round 2 = 2 : 2 2 = < = 2 2 = 2 = 4 Βήμα 4: Βρίσκεται η μεγαλύτερη στρογγυλεμένη συχνότητα NN mmmmmm = max NN rrrrrrrrrr Βήμα 5: Υπολογίζεται το mm mm = NN mmmmmm NN rrrrrrrrrr Βήμα 6: Υπολογίζεται το TT χρησιμοποιώντας τα mm. Το TT θα είναι NN mmmmmm TT εεεεεεεε Βήμα 7: Υπολογίζεται το TT cccccccccccc = max(tt, TT mmmmmm ) Βήμα 8: Υπολογίζονται τα QQ,cccccccccccc = λλ TT cccccccccccc mm και GG(TT cccccccccccc ) 79

79 ΠΟΠΠρ Σημείωση: Για να υπολογιστεί το ΝΝ ιι round στο βήμα 3, σκεφτείτε το εξής: * k N = 2, όπου k ο μικρότερος ακέραιος k τέτοιος ώστε N < 2 2 round k * Η ανωτέρω ανισότητα μπορεί να γραφτεί ως εξής: ( ) ( ) N < 2 2 N 2 < 2 ln N 2 < ln 2 k k k ( ) ( ) ( ) ( ) ln N 2 < k ln 2 ln N 2 ln 2 < k ( N ) ( ) * k = 1 + ln 2 ln 2 όπου x δάπεδο του x μεγαλύτερος ακέραιος x π.χ., 4.9 = 4, 4.2 = 4, 4.0 = 4 80

80 Παράδειγμα 7 ΟΠΠρ O χονδρέμπορος του Προβλήματος 1 σκέφτεται να παράγει ο ίδιος με τον εξοπλισμό του Προβλήματος 6, εκτός από τη μπύρα του Προβλήματος 6, και άλλες 2μπύρες. Οι 3 συνολικά μπύρες έχουν τα εξής χαρακτηριστικά: Μπύρα λλ κιβώτια PP φιάλες KK ανά cc ανά ανά μήνα ανά μήνα παρτίδα φιάλη , , ,2 4 ss ημέρες Το κόστος κεφαλαίου (επιτόκιο) του χονδρεμπόρου παραμένει 15% ετησίως. 81

81 Λύση Υπολογισμοί Μπύρα λλ κιβώτια ανά μήνα PP κιβώτια ανά μήνα KK ανά παρτίδα h = IIcc, ρρ = λλ PP, = 1,, nn ΟΠΠρ cc ανά κιβώτιο ss μήνες h ανά κιβώτιο ανά μήνα ρρ ΤΤ μήνες NN kk NN rrrrrrrrrr mm ,4 0,1 0,18 0,288 3,7245 1, ,2 0,1 0,09 0,12 7,1067 2, ,8 0,2 0,36 0,48 2, TT = 2KK h λλ (1 ρρ ), = 1,, nn, TT εεεεεεεε = mn TT NN = NN 2 TT, kk TT = 1 + ln εεεεεεεε ln 2, = 1,, nn NN rrrrrrrrrr = 2 kk, = 1,, nn, NN mmmmmm = maaaa mm = NN mmmmmm NN rrrrrrrrrr, = 1,, nn NN rrrrrrrrrr 82

82 ΟΠΠρ Λύση (συνέχεια) TT = 2 3 =1 3 =1 mm KK h λλ 1 ρρ mm =8,6169 μήνες TT mmmmmm = 3 =1 TT cccccccccccc mm ss 1 3 =1 ρρ = 9,8214 μήνες = max TT, TT mmmmmm = max 8,6169, 9,8214 = 9,8214 μήνες QQ,cccccccccccc = λλ TT cccccccccccc, = 1,2,3 mm QQ 1,cccccccccccc =359, QQ 2,cccccccccccc =299, QQ 3,cccccccccccc = 299, ) = 1 GG(TT cccccccccccc μήνα TT cccccccccccc 3 =1 mm KK + TT cccccccccccc 3 =1 h λλ 1 ρρ 2mm 3 + =1 cc λλ = 4817,5701 ανά 83

83 round N ELSP Note: To compute n step 3, thnk as follows: * k N = 2, where k s the smallest nteger k such that N < 2 2 round k * The above nequalty can be wrtten as: ( ) ( ) N < 2 2 N 2 2 ln N 2 < ln 2 k k k ( ) ( ) ( ) ( ) ln N 2 < k ln 2 ln N 2 ln 2 < k ( N ) ( ) * k = 1 + ln 2 ln 2 where x floor of x largest nteger x e.g., 4.9 = 4, 4.2 = 4, 4.0 = 4 84

84 Seral EOQ systems Assumpton: nfnte producton rate (nstantaneous replenshment) Defnton: Nested polcy: Producton (replenshment) does not occur at stage n unless t also occurs at all successor stages, n 1, n 2,, 1 Result: For an n-stage seral system, t s optmal to follow a nested polcy Sketch of proof stage 2 nventory stage 1 nventory tme However, t s possble that T T 1 (e.g., T 2 T 1 ),.e., t may be optmal to order at stage n but not order n a prevous stage n + 1 Reference: Muckstadt, J. A., R.O. Roundy Analyss of Multstage Producton Systems. S.C. et al., Eds. Handbooks n OR and MS, Vol. 4: Logstcs of Producton and Inventory. Elsever, Amsterdam, The Netherlands λ tme 85

85 Seral EOQ systems: n-stage I n I n n Convenent to use echelon stock and echelon nventory holdng cost I on hand nventory n stage I k= 1 I + 1 I "echelon" stock for stage I = I, = 1,, n 1 I I I 2 I 1 I I λ h conventonal nventory holdng cost n stage (assumpton: h h ) h + 1 (measures k total value added up to and ncludng "echelon" nventory holdng cost n stage (measures ncremental value added only at stage ) h = h h, = 1,, n 1; h = h + 1 n n stage ) 86

86 Seral EOQ systems: 2-stage I λ A note on echelon nventory : Suppose that T 2 = 2T 1 I 1 I I 1 I 2 Q 1Q I = = λt λt Cost = h λt I = I + I Q Q 1 1 I = = λt Cost = h λt Q/2 Q/2 T 2 1Q I = = λt = λt Cost = h λt I = I I Q/2 Q/2 T 2 1Q I = = λt = λt Cost = h λt T 1 On-hand nventory vs. tme T 1 Echelon nventory vs. tme 87

87 Seral EOQ systems: 2-stage I 2 Incremental echelon nventory holdng costs, h 1 and h 2 : 2 I 1 I I λ h = h ; h = h h stage 1 stage 2 on-hand nventory cost echelon nventory cost 1 1 h λt h λt h λt h λt Total av. on-hand nv. cost = ( h + h ) λt + h λt = ( h + h ) λt + h λt = h λt + h λt Total av. echelon nv. cost = h1 λt1+ h2 λt2 = h1 λt1+ h2λt Total cost are the same!

88 Seral EOQ systems: 2-stage A reorder nterval NLIP problem I 2 K Mnmze k1, k2 T T2 2 k2 k2 subject to 2, {0,1,2, } ( 2 ) k1 k1 2, {0,1,2, } ( 2 ) K 1 + h λt + + h λt T = k T = T = k T = T 2 T 0 I 1 I I λ T T L L Consder ts relaxaton, R-NLIP K1 1 K2 1 Mnmze + h λt + + h λt T1, T2 T1 2 T2 2 subject to T T

89 Seral EOQ systems: 2-stage 1. Suppose Soluton: T1 = T2 = T T (1-2) = 2( K + K ) λ( h + h ) * Partton the system nto two subproblems G 1 and G 2, and solve them 2 G separately, gnorng the constrant T 2 T 1 Soluton: * 2K * 2K T (1) =, T (2) = λh λh G 2 G Optmal soluton of R-NLIP problem s: K K T (1) T (2) constrant not actve T = T (1), T = T (2) * * 1 2 * * * * 1 2 h1 h2 K K T (1) > T (2) > constrant actve T = T = T (1-2) (bndng) * * 1 2 * * * 1 2 h1 h2 90

90 Seral EOQ systems: 2-stage Optmal soluton of the orgnal NLIP problem: Soluton: * * * round k * k = 2, where s the smallest nteger such that 2 T k k ( T ) ( ) * * k = 1 + ln 2 ln 2 Note: T (1) T (2) T T T T * * * * * round * round T 2 91

91 Seral EOQ systems: n-stage A reorder nterval NLIP problem Mnmze k1,, kn = 1 k k subject to T = 2 ( T = 2 T ), = 1,, n 1 Consder ts relaxaton, R-NLIP n n λ n T T 0, = 2,, n k {0,1, 2, }, = 1,, n K 1 + h λ T T 2 n K 1 Mnmze + h 1,, λ T k kn = 1 T 2 subject to T T 0, = 2,, n 1 L 92

92 Seral EOQ systems: n-stage G 7-8 G 5-6 G The above partton of the stages nto clusters and the correspondng reorder common ntervals T * (1-4), T * (5-6), T * (7-8) provde an optmal soluton to the correspondng R-NLIP problem f and only f: * 2( K7 + K8) * 2( K5 + K6) * 2( K1+ K2 + K3 + K4) ( ) T (7-8) =, T (5-6) =, T (1-4) = λ( h + h ) λ( h + h ) λ( h + h + h + h ) * * * ( ) T (7-8) T (5-6) T (1-4) ( ) Each cluster cannot be futher parttoned nto smaller clusters e.g., For cluster 1-4, ths means that: * * T T K4 h4 K1+ K2 + K3 h1+ h2 + h3 * * T T K3 + K4 h3 + h4 K1+ K2 h1+ h2 T * (4) (1-3) ( ) ( ) (3-4) (1-2) ( ) ( ) ( ) ( ) (2-4) T * (1) ( K2 + K3 + K4) ( h2 + h3 + h4) K1 h1 93

93 Seral EOQ systems: n-stage Algorthm for fndng optmal partton C { }, σ ( ) = 1, = 1, 2,, n S {1, 2,, n} j 2 NO * j * ( j) T ( C ) T ( C σ ) C C C j σ ( j) S S \{ σ ( j)} σ( j) σσ ( ( j)) j YES j+ 1 NO σ ( j) > 0 YES j n YES NO l Rendex clusters { C : S} so that S = {1,2,, N} and f j C, k C, j < k < l 94

94 Seral EOQ systems: n-stage Fnd soluton to problem R-NLIP k For each cluster C, k S, set * * k T k = T C = kk λ kh C C ( ) ( ) (2 ) ( ) = k * * For each C, set T T ( k) Fnd soluton to problem NLIP ( T k ) ( ) * * k k * round k * round For each C, set T = 2 ( T = 2 TL ), * * k where k s the smallest nteger k such that T ( k) < 2 2 * * k = 1 + ln ( ) 2 ln 2 95

95 Example: Seral EOQ systems: n-stage Fnd the optmal power-of-two reorder ntervals for each stage of a 5- stage seral EOQ system wth demand rate λλ = 1/2 and the followng cost parameters: KK h

96 Soluton: Seral EOQ systems: n-stage 1. Fnd optmal partton KK h h CC σσ() SS 1,2,3,4,5 ; jj = 2; Iteraton 1 TT CC 2? TT CC σσ(2) TT CC 2? TT CC 1 TT {2}? TT {1} KK 2? KK 1 h ? NO 6 2 CC2 CC 1 CC 2 = 1,2 ; SS SS\σσ 2 = 2,3,4,5 ; σσ 2 σσ σσ 2 = σσ 1 = 0; σσ(2) >? 0 NO jj jj + 1 = 3; jj? 5 YES GOTO NEXT ITERATION; h 1 97

97 Seral EOQ systems: n-stage Iteraton 2 TT CC 3? TT CC σσ(3) TT CC 3? TT CC 2 TT {3}? TT {1,2} KK 3 h 3? KK 1+KK ? YES jj jj + 1 = 4; h 1 +h jj? 5 YES GOTO NEXT ITERATION; Iteraton 3 TT CC 4? TT CC σσ(4) TT CC 4? TT CC 3 TT {4}? TT {3} KK 4? KK 3 h 4 h 3 YES jj jj + 1 = 5; 15 1? 30 3 jj? 5 YES GOTO NEXT ITERATION; 98

98 Seral EOQ systems: n-stage Iteraton 4 TT CC 5? TT CC σσ(5) TT CC 5? TT CC 4 TT {5}? TT {4} KK 5 h 5? KK 4 h ? 15 1 NO CC5 CC 4 CC 5 = 4,5 ; SS SS\σσ 5 = 2,3,5 ; σσ 5 σσ σσ 5 = σσ 4 = 3; σσ 5 >? 0 YES TT CC 5? TT CC σσ(5) TT CC 5? TT CC 3 TT {4,5}? TT {3} KK 4+KK 5 h 4 +h 5? KK 3 h ? 30 3 NO CC5 CC 3 CC 5 = 3,4,5 ; SS SS\σσ 5 = 2,5 ; σσ 5 σσ σσ 5 = σσ 3 = 2; σσ 5 >? 0 YES TT CC 5? TT CC σσ(5) TT CC 5? TT CC 2 TT {3,4,5}? TT {1,2} KK 3+KK 4 +KK 5 h 3 +h 4 +h 5? KK 1+KK 2 h 1 +h jj jj + 1 = 6; jj? 5 NO EXIT; Rendex Clusters: SS {1,2}; CC 1 = {1,2}; CC 2 = {3,4,5};? YES 99

99 Seral EOQ systems: n-stage 2. Fnd soluton to problem R-NLIP TT 1 = TT CC 1 = 2 KK 1+KK 2 = = 4,472 TT λλ h 1 +h = TT 2 = TT 1 = 4,472 TT 2 = TT CC 2 = 2 KK 3+KK 4 +KK 5 = = 6,0945 TT λλ h 3 +h 4 +h = TT 4 = TT 5 = TT 2 = 6, Fnd soluton to problem NLIP kk 1 = 1 + llll TT (1) 2 llll 2 TT 1 = TT 2 = 2 kk 1 = 2 2 = 4 kk 2 = 1 + llll TT (1) 2 llll 2 = 1 + llll 4,472 2 llll 2 TT 3 = TT 4 = TT 4 = 2 kk 2 = 2 3 = 8 = 1 + llll 6, llll 2 = 1 + 1,151 0,693 = 1 + 1,498 0,693 = 1 + 1,661 = 2; = 1 + 2,107 = 3; 100

100 Dstrbuton EOQ systems: 1 central warehouse, n retalers I 0 0 I 0 I 1 I 1 I n n I 1 I I n λ 1 λ λ n I = I + I + + I + + I I = I, = 1,, n h 0 0 h = h h, = 1,, n g = h 0 1 λ h 2 Wthout loss of generalty, assume: n K1 K K g g g 1 n n 101

101 Dstrbuton EOQ systems: 1 central warehouse, n retalers A reorder nterval NLIP problem Mnmze k0,, kn = 0 k k subject to T = 2 ( T = 2 T ), = 0,, n Consder ts relaxaton, R-NLIP T T 0, = 1,, n 0 n k {0,1, 2, }, = 1,, n K T 0 + g n K Mnmze + g 1,, k kn = 0 T subject to T T 0, = 1,, n L 102

102 Dstrbuton EOQ systems: 1 central warehouse, n retalers Form of optmal soluton of R-NLIP Retalers are dvded nto 2 categores: 1. Retalers n the 1 st category share a common reorder nterval wth the central warehouse. 2. Retalers n the 2 nd category follow ther natural unconstraned reorder ntervals KK gg. 103

103 Dstrbuton EOQ systems: 1 central Optmal soluton of R-NLIP warehouse, n retalers If KK nn KK 0, then all retalers belong to the 2 nd category and TT gg nn gg = 0 0,1,, nn. KK gg, = Else (f KK nn > KK 0 ), let ıı be the smallest ndex of retaler that belongs to 1 st gg nn gg 0 category,.e., retalers ıı, ıı+1,, nn share common reorder nterval wth central warehouse. ıı = arg mn KK 0 + jj= gg 0 + nn jj= nn ıı+1 KK jj ıı+1 KK ıı gg jj gg ıı TT = nn KK 0 + jj= ıı KK jj gg 0 + nn, = ıı, ıı + 1,, nn, 0 jj= ıı gg jj KK gg, = 1,2,, ıı 1 104

104 Dstrbuton EOQ systems: 1 central Optmal soluton of NLIP warehouse, n retalers kk = KK 0 + jj= ıı KK jj 1 + ln 2(gg 0 + nn ln(2), jj= gg jj ) KK nn ıı = ıı, ıı + 1,, nn, ln ln(2), = 1,2,, ıı 1 2gg 105

105 Seral EOQ systems: n-stage Bullwhp effect: The varance of orders may be larger than that of sales, and the dstorton tends to ncrease as one moves upstream a phenomenon termed bullwhp effect. * Ths dstorton may be due to: Demand forecastng Lead tme Batch Orderng (lot szng) Prce fluctuaton Reference *Lee, H.L., V. Padmanabhan, S. Whang Informaton dstorton n a supply chan: The bullwhp effect. Management Scence 43 (4)

106 D Seral EOQ systems: n-stage Quantfcaton of the Bullwhp effect due to lot-szng: n demand at stage n ED [ ] = λ, ED [ ] = λ Var[ D] = ED [ ] ED [ ] = λ λ = The varance of the customer demand seen by stage 1 s zero. Q Q ( λt ) ED [ ], ED [ ] T 2 2 n 1 2 n 1 n 1 2 n = = λ n = = = λ n 1 Tn 1 Tn 1 Tn 1 D = ED ED Var[ n] [ n] [ n] λ Tn 1 λ λ Tn 1 2 The varance of the demand seen by stage n s proportonal to and to Tn 1. 2 Var[ Dn+ 1] ( Tn 1) ( Tn 1) 2 Dn λ Tn 1 Tn 1 = = ( 1) λ = = 1 (because Tn Tn 1) Var[ ] ( 1) ( 1) The varance of the demand ncreases as one moves upstream the supply chan. λ 107