(1) α + β = β + α; (2) (α + β)+γ = α +(β + γ); (5) 1α = α; (6) (kl)α = k(lα); (7) (k + l)α = kα + lα; (8) k(α + β) =kα + kβ.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "(1) α + β = β + α; (2) (α + β)+γ = α +(β + γ); (5) 1α = α; (6) (kl)α = k(lα); (7) (k + l)α = kα + lα; (8) k(α + β) =kα + kβ."

Transcript

1 ` 4 # affixh ßfizs ±fflfl 4 οffyr %-as&8v bχ 4 ± F ffi±a D & M? F &Q U ν ff@ + 6Ψ N F L 4f9 &Q &U &ν &ff ff ffij μ%& A F u B F ffi9 fi! bχ 42 ± V ffi94ame F ffi9 > A V ZRQ2ΞC]ffi :ρh92b ; V L 4f9?» α, β, A V L+:fl&9?» γ =νp7 ffi α = β & l, Offi γ = α + β A > F =ME V &?»HSG*5hM@ ZR fi~[e, T fi[c ]ffi ; > F L 4 k = V L 49?» α, A V L+:fl& 9?» δ =νp7 ffi k = α & gν2 Offi δ = kα?q2d g ν2lp# >B tm V ffi > P Π& οffyr α + β = β + α; 2 α + β+γ = α +β + γ; :9g ffijg Offi, + α = α; 4 o9g:97g Offi α, ff% α + α =; 5 α = α; 6 klα = klα; 7 k + lα = kα + lα; 8 kα + β =kα + kβ 2 %-as_c } > F Πμ: n χgqμ&me Offi F n, ;g&q2d gν 2 <μ > F Π&9%-aS } 2 fl»@ &Ω" /'fi/'fi&q2dω =/'fihs& gν2 <μ9ω >Π&%-aS } Ω >Π 2 2 ^D&}ßQμ&ME Offi R 2 2, ^D&Q2DΩ =^DHS& gν2 <μω >Π&9%-aS } 4 *5AΩ S [a, b] Π&μ:eB Qμ&ME Offi C[a, b], ; B &Q2DΩ =B & gν2 <μω >Π&9%-aS %-as&t"-k j?»ffifl&ξ 2 o9?»&7?»ffifl&ξ

2 α =, α = α, k =; 4? k α =,B k =I α = 4 J=χ bχ 4 ± V ffi > F Π&9%-aS? V L& n 9g α,α 2,,α n lp α,α 2,,α n %-!=Ξ 2 V L 4g+`9 α,α 2,,α n %-flfl B α,α 2,,α n ffi%-as V &QJ n ffi V &χ Offi dimv = n ffl V ffi > F Π& n χ οffyr I±Ajg&%-aSn:J xχ >*ffi?a%-aslχa 4/9%-!=&g B CM%-aSffi»ν οffyr %-as F [x] bχ 44 ± α,α 2,,α n ffi n χ%-as V &QJ B V L& 4 g α, χa x,x 2,,x n ff% α = x α + x 2 α x n α n B x,x 2,,x n ffi α AJ α,α 2,,α n #& +U, OR x,x 2,,x n T } A[Ω^D<μ&Ω >Π%-aS R 2 2 L #r^dffiqj E =,E 2 =,E 2 =,E 22 = o9 A = a a 2 a 2 a 22 R 2 2 A = a E + a 2 E 2 + a 2 E 2 + a 22 E 22 } 2 A > F Π&fl»@ n &/'fiqμ&%-as F [x] n L,x,x 2,,x n ffiqj 5 JffH=SfiffH ± α,α 2,,α n D β,β 2,,β n ffi n χ%-as V &fqj y I8^D+fi*ρ ntmjψ β = p α + p 2 α p n α n, β 2 = p 2 α + p 22 α p n2 α n, β n = p n α + p 2n α p nn α n β,β 2,,β n =α,α 2,,α n P 2

3 xl p p 2 p n p 2 p 22 p 2n P = p n p n2 p nn P ffi9j α,α 2,,α n $J β,β 2,,β n & kdw$ Λ α V, I*ffi α = x α + x 2 α x n α n = y β + y 2 β y n β n α =α,α 2,,α n B&7& +UTm ;fiffi x x 2 x n x x 2 x n =β,β 2,,β n = P y y 2 y n y y 2 y n, 6 %-OaS bχ 45 ± V ffi > F Π&9%-aS V &94aOM W ffi V &9OaS? W ; V &Q2D gν2<μ%-as A%-aS V L 99j?»Qμ&OME {} ffi V &9OaS ffi V &joasξ%-as V Φ ffi V &9OaS Cf9OaSff ffi V & Πf*yr x<&oas ffi gπf*yr bχ 46 ± α,α 2,,α s ffi%-as V & s 9g B4aME Lα,α 2,,α s ={k α + k 2 α k s α s k i F, i =, 2,,s} =;g&q2d gν2ffi6ψ& 6fiνffi V &9OaS ffi9 α,α 2,,α s Φ Z^*yr b 4 ± α,α 2,,α s D β,β 2,,β s ffi%-as V &fqg B Lα,α 2,,α s Lβ,β 2,,β s #y # α,α 2,,α s `9 β,β 2,,β s %-flfl 2 Lα,α 2,,α s =Lβ,β 2,,β s #y #gq α,α 2,,α s D β,β 2,,β s 'R α,α 2,,α s &Lψ!=QffiOaS Lα,α 2,,α s &J χ '; gq α,α 2,,α s &J

4 Ξp ] Euclid yr &*5 bχ Ξp ] Euclid yr ± V ffiω >Π&%-aS A V Π*59 α = β?ωb OR α, β, ν:#&-kλ α, β =β,α; 2 kα, β =kα, β; α + β,γ =α, γ+β,γ; 4 α, α, y α, α =#y # α = xl α, β, γ ffi V L& 4g k ffi 4Ω B α, β ffig α = β & o *5huK&Ω%-aSaS V ffi Ξp ]yr, T Ξffyr 2 ρ~^yclqu bχ 422 ± V ffiwfflas 4g α V, 47Ω α, α ffi α & Yc I, Offi α, N α = α, α $,';j&gi:jg,'; &g ffi"ψg 494jg α `"ψfλ β = α α b 42 x - WΛxiflnV_Ψ wfflas V L 4g α, β, : α, β α β, xl'ci:a α = β &'Ψμd uv_ψ α + β α + β bχ 42 ± V ffiwfflas 44jg α, β, *5 α = β &PY θ 9# fi~*λ α, β cosθ = α β θ π οffi # α, β =Ψ α = β %t I ', Offi α β U%tn bχ 424 wfflas V L&Q4jg?νpffiffEX B Hffi 9EXgQ b 422 wfflas&qexgq α,α 2,,α n Ω*%-!= 4

5 bχ 425 A n χwfflas V L 9 n 9gQμ&EXgQ ffi V & QEXJΞ9"ψgQμ&EXJ ffifinexj b 42 ± ε,ε 2,,ε n ffi n χwfflas&qfinexj ; α, β V, 8 x,x 2,,x n T D y,y 2,,y n T 5ffiflfl α, β ACQJ&Sfi B α, β =x y + x 2 y x n y n 8Φqο Schmidt EXF2WQ%-!=&gQFμ=ν'R&f fex&gq ± α,α 2,,α n ffiwfflas V &QJ } W R &QJ FffifiNEXJ v k β = α =, β = α, β 2 = α 2 α 2,β β,β β,, β n = α n αn,β β,β β αn,β 2 β 2,β 2 β 2 αn,β n β n,β n β n α = β 2 = α 2 α 2,β β,β β =,α 2 = 2 β = α α,β β,β β α,β 2 β 2,β 2 β 2 = =,α = 2, 6 2 = 2 W β,β 2,β "ψf % γ = β β = γ 2 = β 2 β 2 = 6 γ = β β = 2 2,, 5

6 γ,γ 2,γ Nffiμz&fiNEXJ 4 %tw$ψu%tn&r^kdw$ bχ 426 ± A ffi n [^D? A T A = AA T = I, B A ffiex^d } ± θ ffi9y, [Ω ^D cosθ -sinθ A = sinθ cosθ ffiex^d } 2 Ξ[^D A = ffi9ex^d %tw$^ff: Λ A ffiex^d B A T = A ffiex^d 2 EX^D&KffiEX^D Λ A ffiex^d B A = ± 4 Ω^DffiEX^D&ß/ρVffi A &i, gqffi R n &finexj b 424 finexjhs&@-^dffiex^d %-ffh&*5 4 οfftm *5 4 ± V ffi > F Π&9%-aS σ ffi V Π&9ffH? ; V L 4f9g α, β D > F L& 4 k, +: B σ ffi V Π&9 οfftm σα + β =σα+σβ, σkα =kσα 6

7 2 %-ffh&-k -K %-ffhπjgffμjg -K 2 %-ffh ο%-="qed%-="fi ff -K %-ffhπ%-&=&gqffμ%-&=&gq %-ffh&^d b 4 ± σ ffi n χ%-as V &9%-ffH α,α 2,,α n ffi V & QJ B%-ffH σ 9J& σα,σα 2,,σα n fi}~* bχ 42 ± σ ffi n χ%-as V &9%-ffH α,α 2,,α n ffi V & QJ W σα,σα 2,,σα n flflffi α,α 2,,α n &%-QEΛ σα =a α + a 2 α 2 + a n α n, σα 2 =a 2 α + a 22 α 2 + a n2 α n,, σα n =a n α + a 2n α 2 + a nn α n O BΠfiμffi xl n [^D σα,α 2,,α n =σα,σα 2,,σα n σα,α 2,,α n =α,α 2,,α n A a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a n a n2 a nn ffi οfftm σ "n α,α 2,,α n μ^w$ 4 wfflas&exffh bχ 4 ± σ ffi n χwfflas V &9%-ffH, ffi V &uk? ; 4& α, β V, : σα,σβ = α, β, B σ ffi V &9 %ttm b 42 %-ffh σ ffiwfflas V &9EXffH #y ##iρvh μdλ σ οg&, ff N 4 α V, : σα = α ; 2? ɛ,ɛ 2,,ɛ n ffi V &QfiNEXJ tm σɛ,σɛ 2,,σɛ n ffi V &QfiNEXJΞ σ AsQfiNEXJ#&^DffiEX^D 7

8 44 οfftm"v nμ^w$ b 44? α,α 2,,α n D β,β 2,,β n ffi V &fqj V &%-ffh ACfQJ&^D5ffiffi A D B?ffi α,α 2,,α n $ β,β 2,,β n &@-^ Dffi C, B: B = C AC 5 } ψffiω } A R L± α =,,,,β =,, 2,,γ =,,,, zg ξ = γ + k α + k 2 β, ff% ξ = α, β +EX ffiωλaf;xe AM5/` } 2 2G R L&f9g α =, 2,,β =, 4, z= α, β +EX& g ffiωλjv7td x,y,z, YM8TDaF;XE A5/`< } ±D A lp A 2 4A +E =, y A T = A, F A 2E ffiex^d ffiωλ]?uknyh_^b[2;xqb[ } 4 ± α ffi n χig y α T α = F A = E 2αα T ffi EX^D ffiωλoi } 5 ± A =a ij n n ffiex^d A ij ffi,ifi A L?» a ij &! <O fi F A ij = ±a ij ffiωλ =B[2_^B[<PN2G[ ZWG[Y,LB[29R } 6 ±5b^D P R A = Q [D F P, Q +ffiex^d y R = ffiex^d xl P ffi m [D Q ffi n ffiωλ =B[2_^<PN2G[ W6CB[24 ->B[S 8

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ

Διαβάστε περισσότερα

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 ΠΡΑΞΗ ΚΑΤΑΘΕΣΗΣ ΟΡΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Σ τ η ν Π ά τ ρ α σ ή μ ε ρ α σ τ ι ς δ ε κ α τ έ σ σ ε ρ ι ς ( 1 4 ) τ ο υ μ ή ν α Ο κ τ ω β ρ ί ο υ, η μ έ ρ α Τ ε τ ά ρ τ η, τ ο υ έ τ ο υ ς δ

Διαβάστε περισσότερα

2. Α ν ά λ υ σ η Π ε ρ ι ο χ ή ς. 3. Α π α ι τ ή σ ε ι ς Ε ρ γ ο δ ό τ η. 4. Τ υ π ο λ ο γ ί α κ τ ι ρ ί ω ν. 5. Π ρ ό τ α σ η. 6.

2. Α ν ά λ υ σ η Π ε ρ ι ο χ ή ς. 3. Α π α ι τ ή σ ε ι ς Ε ρ γ ο δ ό τ η. 4. Τ υ π ο λ ο γ ί α κ τ ι ρ ί ω ν. 5. Π ρ ό τ α σ η. 6. Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α 1. Ε ι σ α γ ω γ ή 2. Α ν ά λ υ σ η Π ε ρ ι ο χ ή ς 3. Α π α ι τ ή σ ε ι ς Ε ρ γ ο δ ό τ η 4. Τ υ π ο λ ο γ ί α κ τ ι ρ ί ω ν 5. Π ρ ό τ α σ η 6. Τ ο γ ρ α φ ε ί ο 1. Ε ι σ α γ ω

Διαβάστε περισσότερα

?=!! #! % &! & % (! )!! + &! %.! / ( + 0. 1 3 4 5 % 5 = : = ;Γ / Η 6 78 9 / : 7 ; < 5 = >97 :? : ΑΒ = Χ : ΔΕ Φ8Α 8 / Ι/ Α 5/ ; /?4 ϑκ : = # : 8/ 7 Φ 8Λ Γ = : 8Φ / Η = 7 Α 85 Φ = :

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ ΤΑΞΗ: A ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Ημερομηνία: Σάββατο 11 Μαΐου 019 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α Α1. Θεωρία. Σχολικό βιβλίο σελίδα 90 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. α. (αα 1) β. (ββ 3) γ. (γγ ) δ. (δδ 5) Α3. α.

Διαβάστε περισσότερα

Ν Κ Π 6Μ Θ 5 ϑ Μ % # =8 Α Α Φ ; ; 7 9 ; ; Ρ5 > ; Σ 1Τ Ιϑ. Υ Ι ς Ω Ι ϑτ 5 ϑ :Β > 0 1Φ ς1 : : Ξ Ρ ; 5 1 ΤΙ ϑ ΒΦΓ 0 1Φ ς1 : ΒΓ Υ Ι : Δ Φ Θ 5 ϑ Μ & Δ 6 6

Ν Κ Π 6Μ Θ 5 ϑ Μ % # =8 Α Α Φ ; ; 7 9 ; ; Ρ5 > ; Σ 1Τ Ιϑ. Υ Ι ς Ω Ι ϑτ 5 ϑ :Β > 0 1Φ ς1 : : Ξ Ρ ; 5 1 ΤΙ ϑ ΒΦΓ 0 1Φ ς1 : ΒΓ Υ Ι : Δ Φ Θ 5 ϑ Μ & Δ 6 6 # % & ( ) +, %. / % 0 1 / 1 4 5 6 7 8 # 9 # : ; < # = >? 1 :; < 8 > Α Β Χ 1 ; Δ 7 = 8 1 ( 9 Ε 1 # 1 ; > Ε. # ( Ε 8 8 > ; Ε 1 ; # 8 Φ? : ;? 8 # 1? 1? Α Β Γ > Η Ι Φ 1 ϑ Β#Γ Κ Λ Μ Μ Η Ι 5 ϑ Φ ΒΦΓ Ν Ε Ο Ν

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες Ορίζουσες. Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες.

Πίνακες Ορίζουσες. Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες. 1 Πίνακες Ορίζουσες Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες. Παράδειγμα (χορήγηση Βαλασικλοβιρης (αντιυπερτασικό) σε νήπια) Ηλικία (μήνες) Μέσο Cmax (μg/ml) Μέσο βάρος

Διαβάστε περισσότερα

x. 8α 4 x 3-12α 3 x 2 + 6α 2 x 4-10α 2 x

x. 8α 4 x 3-12α 3 x 2 + 6α 2 x 4-10α 2 x ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ 1. Να γραφούν ως γινόμενο οι παραστάσεις: α+ 8 i α + 6β ii α + αβ i α - α α -α v β - β vi y - y vii - y v 5-10 vi α-9α vii - 6y +y. y - y 5-4. Να γραφούν ως γινόμενο οι παραστάσεις:

Διαβάστε περισσότερα

C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,

C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1, 1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ln,,. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.. Να δικαιολογήσετε ότι η εξίσωση f ( ) a, a,

Διαβάστε περισσότερα

(Καταληκτική ηµεροµηνία παραλαβής 16/11/2004) (Α) Ποιες είναι οι προϋποθέσεις ώστε να ισχύουν οι παρακάτω διανυσµατικές σχέσεις:

(Καταληκτική ηµεροµηνία παραλαβής 16/11/2004) (Α) Ποιες είναι οι προϋποθέσεις ώστε να ισχύουν οι παρακάτω διανυσµατικές σχέσεις: 1 η Εργασία 004-005 (Καταληκτική ηµεροµηνία παραλαβής 16/11/004) Άσκηση 1 (7 µονάδες) (Α) Ποιες είναι οι προϋποθέσεις ώστε να ισχύουν οι παρακάτω διανυσµατικές σχέσεις: (α) A+ B C µε A + B C (β) A+ B AB

Διαβάστε περισσότερα

March 14, ( ) March 14, / 52

March 14, ( ) March 14, / 52 March 14, 2008 ( ) March 14, 2008 1 / 52 ( ) March 14, 2008 2 / 52 1 2 3 4 5 ( ) March 14, 2008 3 / 52 I 1 m, n, F m n a ij, i = 1,, m; j = 1,, n m n F m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a

Διαβάστε περισσότερα

γ n ϑ n n ψ T 8 Q 6 j, k, m, n, p, r, r t, x, y f m (x) (f(x)) m / a/b (f g)(x) = f(g(x)) n f f n I J α β I = α + βj N, Z, Q ϕ Εὐκλείδης ὁ Ἀλεξανδρεύς Στοιχεῖα ἄκρος καὶ μέσος λόγος ὕδωρ αἰθήρ ϕ φ Φ τ

Διαβάστε περισσότερα

Kόλλιας Σταύρος 1

Kόλλιας Σταύρος  1 Kόλλιας Σταύρος http://usersschgr/stkollias Θέμα ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΡΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Αα ) Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

! "# $ % $&'& () *+ (,-. / 0 1(,21(,*) (3 4 5 "$ 6, ::: ;"<$& = = 7 + > + 5 $?"# 46(A *( / A 6 ( 1,*1 B"',CD77E *+ *),*,*) F? $G'& 0/ (,.

! # $ % $&'& () *+ (,-. / 0 1(,21(,*) (3 4 5 $ 6, ::: ;<$& = = 7 + > + 5 $?# 46(A *( / A 6 ( 1,*1 B',CD77E *+ *),*,*) F? $G'& 0/ (,. ! " #$%&'()' *('+$,&'-. /0 1$23(/%/4. 1$)('%%'($( )/,)$5)/6%6 7$85,-9$(- /0 :/986-$, ;2'$(2$ 1'$-/-$)('')5( /&5&-/ 5(< =(4'($$,'(4 1$%$2/996('25-'/(& ;/0->5,$ 1'$-/%'')$(($/3?$%9'&-/?$( 5(< @6%-'9$

Διαβάστε περισσότερα

κινηµατική καταστατική = k θ ισορροπία στροφικό ελατήριο

κινηµατική καταστατική = k θ ισορροπία στροφικό ελατήριο u Η κινηµατική u= sinθ θ θ καταστατική M ισορροπία = k θ M = H cosθ H στροφικό ελατήριο k Μ H k = u ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ δυναµική ενέργεια Π = U + V Π = 1 + k θ H u ( ) καταστατική M = k θ κινηµατική u=

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟΝ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΝ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΏΝ

ΕΘΝΙΚΟΝ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΝ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΏΝ ΕΘΝΙΚΟΝ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΝ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΏΝ Βαθμολόγιo για το ακαδ. έτος 2016-2017 και περίοδο ΕΞ(Χ) 2016-2017 Για το μάθημα ΒΑΣΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (12421) Διδάσκoντες:Χ.Αθανασιάδης,Ι.Εμμανουήλ,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στα Μαθηματικά της Γ Γυμνασίου 4. Παραγοντοποίηση

Ασκήσεις στα Μαθηματικά της Γ Γυμνασίου 4. Παραγοντοποίηση Ασκήσεις στα Μαθηματικά της Γ Γυμνασίου 4. Παραγοντοποίηση 1 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ a. 15αχ 12χ + 3χ = 3 5αχ 3 4χ+3= 3 (5αχ 4χ+1) Όταν πάλι έχουμε ίδιες μεταβλητές θα βγάζουμε κοινό παράγοντα την κοινή μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

# % &) /! 0! 1 &!2 0

# % &) /! 0! 1 &!2 0 ! # % & ()! +,). &) /!0!1 &!2 0 34 5 3 6 7 #895 # 0 &:! :!!!). : ()&! : : () &! 0 &! ) ) & < => ():.!:?!! )! >&!() :!! ΑΒ :Χ))?>) :.!Β > )!&! )? Χ():! :0 ; !!) Α) & &Ε& /! &:> ) :Φ!&). >! Γ Β!& Η>:?Γ&!Η>&

Διαβάστε περισσότερα

Α θ ή ν α, 7 Α π ρ ι λ ί ο υ

Α θ ή ν α, 7 Α π ρ ι λ ί ο υ Α θ ή ν α, 7 Α π ρ ι λ ί ο υ 2 0 1 6 Τ ε ύ χ ο ς Δ ι α κ ή ρ υ ξ η ς Α ν ο ι κ τ ο ύ Δ ι ε θ ν ο ύ ς Δ ι α γ ω ν ι σ μ ο ύ 0 1 / 2 0 1 6 μ ε κ ρ ι τ ή ρ ι ο κ α τ α κ ύ ρ ω σ η ς τ η ν π λ έ ο ν σ υ μ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΚΑΙ ΣΤΕΛΕΧΩΣΗ

ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΚΑΙ ΣΤΕΛΕΧΩΣΗ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΚΑΙ ΣΤΕΛΕΧΩΣΗ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟΥ ΤΕΣΤ ΙΚΑΝΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΘΕΣΕΙΣ ΩΡΟΜΙΣΘΙΟΥ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΒΟΗΘΟΙ ΤΗΛΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗΣ (ΑΡ. ΠΡΟΚΗΡΥΞΗΣ: 2/2017) (ΛΕΥΚΩΣΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

. / )!! )! +! ) + 4

. / )!! )! +! ) + 4 !! # % & ( ) ) +!,. / )!! )! +! 0 1!+! 2 3. 4 ) + 4! 5! # 6!, / / +! + 7 % + +!! 8 9! : #!! 5!.! ; %! %!! 8:! 0 9 + 8 9 < 4 4 + ) + ;= > ) 5! +! < : + 5 +!! + 1! ; 2! +! + / #!!! + 5 + < + # = ;!+ 1 0

Διαβάστε περισσότερα

# % % % % % # % % & %

# % % % % % # % % & % ! ! # % % % % % % % # % % & % # ( ) +,+.+ /0)1.2(3 40,563 +(073 063 + 70,+ 0 (0 8 0 /0.5606 6+ 0.+/+6+.+, +95,.+.+, + (0 5 +//5: 6+ 56 ;2(5/0 < + (0 27,+/ +.0 10 6+ 7 0, =7(5/0,> 06+?;, 6+ (0 +9)+ 5+ /50

Διαβάστε περισσότερα

1134 Ν. 8(ΙΙ)/2001. E.E. Παρ. 1(H) Αρ. 3475,

1134 Ν. 8(ΙΙ)/2001. E.E. Παρ. 1(H) Αρ. 3475, E.E.. (H) Α. 47,6.. 4. (ΙΙ)/ ί ϋλγμύ Τμί Τκκκώ ώ όμς κί μ μί ίμ φμί ς Κκής Δμκίς μφά μ Άθ Σάγμς. ίμ. Σκός ίλς. Έγκ λμής ό Τμί Τκκκώ ώ ύ 4.49.77 γ ή ές λήγ ς Δκμβί. ίκ ώ θ θύ. ίκς. μί ύμς μέ άθ γ κάλψ λλίμμς

Διαβάστε περισσότερα

x3 + 1 (sin x)/x d dx (f(g(x))) = f ( g(x)) g (x). d dx (sin(x3 )) = cos(x 3 ) (3x 2 ). 3x 2 cos(x 3 )dx = sin(x 3 ) + C. d e (t2 +1) = e (t2 +1)

x3 + 1 (sin x)/x d dx (f(g(x))) = f ( g(x)) g (x). d dx (sin(x3 )) = cos(x 3 ) (3x 2 ). 3x 2 cos(x 3 )dx = sin(x 3 ) + C. d e (t2 +1) = e (t2 +1) x sin x cosx e x lnx x3 + (sin x)/x e x {}}{ (f(g(x))) = f ( g(x)) g (x). }{{}}{{} f(g(x)) 3x cos(x 3 ). 3x cos(x 3 ) x 3 3x sin(x 3 ) (sin(x3 )) = cos(x 3 ) (3x ). 3x cos(x 3 ) = sin(x 3 ) + C. e ( +).

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

! # !! # % % & ( ) + & # % #&,. /001 2 & 3 4

! # !! # % % & ( ) + & # % #&,. /001 2 & 3 4 ! #!! # % % & ( ) + & # % #&,. /001 2 & 3 4 ! # % & (! ) & (! (! + & (!, % (! +.! / 0 1 0 2 3 4 1 0 5 6 % 7 8!, %! + 0! # % 0 1 9. 2! 1. 2 8 2 5 : ; 0 % &! & ( ) ; < =2 8 0 ; 0/ =2 8 0 8 2 8 & 8 2 0 8

Διαβάστε περισσότερα

Βαθιές Θεµελιώσεις Πάσσαλοι υπό Οριζόντια Φόρτιση

Βαθιές Θεµελιώσεις Πάσσαλοι υπό Οριζόντια Φόρτιση Απόκριση Θεµελιώσεων µε Πασσάλους υπό Οριζόντια Φόρτιση Απόκριση Πασσάλων υπό Οριζόντια Φόρτιση Μενονωµένος Πάσσαλος Οµάδα Πασσάλων Φέρουσα Ικανότητα Μέθοδος Broms Υπολογισµός Καµπύλης Απόκρισης Μέθοδος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΥΦΩΝ ΠΑΥΛΟΣ Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Κατεύθυνσης

ΤΡΥΦΩΝ ΠΑΥΛΟΣ Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Κατεύθυνσης Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Οι µιγαδικοί αριθµοί και w συνδέονται µε την σέση a β w =, όπου γ α,β,γ R Όταν =0 τότε w= και όταν =-i τότε w=- i Να βρείτε τις σταθερές α,β,γ α Αν το άθροισµα και το γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

Aula 00. Curso: Estatística p/ BACEN (Analista - Área 05) Professor: Vitor Menezes

Aula 00. Curso: Estatística p/ BACEN (Analista - Área 05) Professor: Vitor Menezes Aula 00 Curso: Estatística p/ BACEN (Analista - Área 05) Professor: Vitor Menezes ! # # % & () ++,. /0,1 234,5 0 6 +7+,/ /894,5 8 5 8,045, :4 50,8,59;/0 8,04 + 8 097,4 8,0?5 4 59 8,045, :4 50,8,

Διαβάστε περισσότερα

8 ) / 9! # % & ( ) + )! # 2. / / # % 0 &. # 1& / %. 3 % +45 # % ) 6 + : 9 ;< = > +? = < + Α ; Γ Δ ΓΧ Η ; < Β Χ Δ Ε Φ 9 < Ε & : Γ Ι Ι & Χ : < Η Χ ϑ. Γ = Φ = ; Γ Ν Ι Μ Κ Λ Γ< Γ Χ Λ =

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία - 1-1. 2-18575 Εξίσωση ευθείας Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β (5,6 ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 6 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 6 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 6 η ΕΚΑ Α 51. Να γίνει γινόµενο παραγόντων η παράσταση α β + αβ α β Αν α β + β α = α + β, να δείξετε ότι οι αριθµοί α και β είναι ίσοι ή αντίθετοι. α β + αβ α β = αβ(α + (α + β )

Διαβάστε περισσότερα

SWOT 1. Analysis and Planning for Cross-border Co-operation in Central European Countries. ISIGInstitute of. International Sociology Gorizia

SWOT 1. Analysis and Planning for Cross-border Co-operation in Central European Countries. ISIGInstitute of. International Sociology Gorizia SWOT 1 Analysis and Planning for Cross-border Co-operation in Central European Countries ISIGInstitute of International Sociology Gorizia ! " # $ % ' ( )!$*! " "! "+ +, $,,-,,.-./,, -.0",#,, 12$,,- %

Διαβάστε περισσότερα

T : g r i l l b a r t a s o s Α Γ Ί Α Σ Σ Ο Φ Ί Α Σ 3, Δ Ρ Α Μ Α. Δ ι α ν ο μ έ ς κ α τ ο ί κ ο ν : 1 2 : 0 0 έ ω ς 0 1 : 0 0 π μ

T : g r i l l b a r t a s o s Α Γ Ί Α Σ Σ Ο Φ Ί Α Σ 3, Δ Ρ Α Μ Α. Δ ι α ν ο μ έ ς κ α τ ο ί κ ο ν : 1 2 : 0 0 έ ω ς 0 1 : 0 0 π μ Α Γ Ί Α Σ Σ Ο Φ Ί Α Σ 3, Δ Ρ Α Μ Α g r i l l b a r t a s o s Δ ι α ν ο μ έ ς κ α τ ο ί κ ο ν : 1 2 : 0 0 έ ω ς 1 : 0 π μ Δ ι α ν ο μ έ ς κ α τ ο ί κ ο ν : 1 2 : 0 0 έ ω ς 0 1 : 0 0 π μ T ortiyas Σ ο υ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση. Διανύσματα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση. Διανύσματα Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου wwwaskisopolisgr ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 00-018α φάση Διανύσματα 1 Σε σύστημα συντεταγμένων Oxy θεωρούμε τρία σημεία Α, Β, Γ του μοναδιαίου κύκλου, για τα οποία υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Wb/ Μ. /Α Ua-, / / Βζ * / 3.3. Ηλεκτρομαγνητισμός Ι Μ. 1. Β = k. 3. α) Β = Κ μ Π 2. B-r, 2 10~ ~ 2 α => I = ~ } Α k M I = 20Α

Wb/ Μ. /Α Ua-, / / Βζ * / 3.3. Ηλεκτρομαγνητισμός Ι Μ. 1. Β = k. 3. α) Β = Κ μ Π 2. B-r, 2 10~ ~ 2 α => I = ~ } Α k M I = 20Α ΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 3.3 39 3.3. Ηλεκτρομαγνητισμός 1. Β = k 21 9 1Π 2 β = 10 " ίιτκ τ^β = 2 10 " τ 3. α) Β = Κ μ 21 B-r, 2 10~ 5 20 10~ 2 α => I = ~ } Α k M -2 2-10 I = 20Α ϊ)β 2 2Ι = Κ ψ- _ 10' 10^40 7 2

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Δυνάμεις μεταξύ ηλεκτρικών φορτίων

3.1. Δυνάμεις μεταξύ ηλεκτρικών φορτίων ΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 3.1 3.1. Δυνάμεις μεταξύ ηλεκτρικών φορτίων 1. Έστω φορτίο Q περιέχει n ηλεκτρόνια - θα έχουμε Q = n-q e, επομέ- Q νως n =, αρα: (α) n = 0,625 10 19 e (β) n = 0,625 10 16 e (γ) n = 0,625

Διαβάστε περισσότερα

Ε.Α.Υ. Υπολογιστική Όραση. Αντίληψη και Αναπαράσταση Εικόνας και Χρώματος

Ε.Α.Υ. Υπολογιστική Όραση. Αντίληψη και Αναπαράσταση Εικόνας και Χρώματος Ε.Α.Υ. Υπολογιστική Όραση Αντίληψη και Αναπαράσταση Εικόνας και Χρώματος Γεώργιος Παπαϊωάννου 2015 ΑΝΤΙΛΗΨΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ Το Ανθρώπινο Οπτικό Σύστημα We perceive light intensity and chromaticity via our photoreceptors:

Διαβάστε περισσότερα

Η Ομάδα SL(2,C) και οι αναπαραστάσεις της

Η Ομάδα SL(2,C) και οι αναπαραστάσεις της SL(2, C) SO(3, 1) D : Λ D(Λ) SO(3, 1) 2 1 D : ±A D(π(±A)) SL(2, C) SL(2, C) SO(3, 1) SL(2, C) SO(3, 1) ξ i (, ) K i x µ p µ J µν T µν A µ ψ α J i = J i, () K i = K i, ( ) K i M 0i = (iξ i K i ) A i = 1

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕ ΙΑΤΡΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΤΡΙΚΗΣ Αριθμός Πρωτοκόλου Ηλεκτρονικής Α/Α Αίτησης

ΠΕ ΙΑΤΡΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΤΡΙΚΗΣ Αριθμός Πρωτοκόλου Ηλεκτρονικής Α/Α Αίτησης ΚΩΔ. ΘΕΣΗΣ: 251 ΠΕ ΙΑΤΡΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΤΡΙΚΗΣ ΠΕ ΙΑΤΡΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΤΡΙΚΗΣ 1 21/29449 ΕΛΛΙΠΗ Ή ΕΣΦΑΛΜΕΝΑ ΔΙΚΑΙΟΛΟΓΗΤΙΚΑ 2 21/24230 X373738 ΕΛΛΙΠΗ Ή ΕΣΦΑΛΜΕΝΑ ΔΙΚΑΙΟΛΟΓΗΤΙΚΑ 3 21/3495

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο. Αλγεβρικές παραστάσεις.

Κεφάλαιο 1 ο. Αλγεβρικές παραστάσεις. Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Αλγεβρικές παραστάσεις. Μέρος Α Θεωρία. 1. Πως προσθέτουμε δύο πραγματικούς αριθμούς; 2. Πως πολλαπλασιάζουμε δύο πραγματικούς αριθμούς; 3. Ποιες είναι οι ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

! # %& # () & +( (!,+!,. / #! (!

! # %& # () & +( (!,+!,. / #! (! ! # %& # () & +( (!,+!,. / #! (! 0 1 12!, ( #& 34!5 6( )+(, 7889 / # 4 & #! # %& , & ( () & :;( 4#! /! # # +! % # #!& ( &6& +!, ( %4,!! ( 4!!! #& /

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΤΑΤΑΞΗΣ & ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑΣ (άρθρο 21 παρ.11 του Ν.2190/94) ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑΣ YΕ ΚΩΔΙΚΟΣ ΘΕΣΗΣ : 101. Ειδικότητα: ΥΕ ΚΑΘΑΡΙΟΤΗΤΑΣ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΤΑΤΑΞΗΣ & ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑΣ (άρθρο 21 παρ.11 του Ν.2190/94) ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑΣ YΕ ΚΩΔΙΚΟΣ ΘΕΣΗΣ : 101. Ειδικότητα: ΥΕ ΚΑΘΑΡΙΟΤΗΤΑΣ ΚΡΙΤΗΡΙΑ sort 26 Κ Σ -- Τ051676 Οχι 8 37 67 0 400 0 0 0 727 0 0 134 Οχι 1.261,00 1 68 Χ Π -- Σ134727 Οχι 14 2 72 225 0 0 60 0 972 0 0 0 Οχι 1.257,00 2 32 Κ Μ -- Σ617814 Οχι 10 5 3 39 175 250 0 60 0 741 0 0 0 Οχι

Διαβάστε περισσότερα

( )U 1 ( θ )U 3 ( ) = U 3. ( ) όπου U j περιγράφει περιστροφή ως προς! e j. Γωνίες Euler. ω i. ω = ϕ ( ) = ei = U ij ej j

( )U 1 ( θ )U 3 ( ) = U 3. ( ) όπου U j περιγράφει περιστροφή ως προς! e j. Γωνίες Euler. ω i. ω = ϕ ( ) = ei = U ij ej j Γωνίες Euler ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 1 q Όλοι σχεδόν οι υπολογισµοί που έχουµε κάνει για την κίνηση ενός στερεού στο σύστηµα συντεταγµένων του στερεού σώµατος Ø Για παράδειγµα η γωνιακή ταχύτητα είναι: ω = i ω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Α ΜΕΡΟΣ Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ α) Να δείξετε ότι f()=+e -, β) Να βρείτε το όριο lim ( lim f(y)) y γ) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΩΝ 2015 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2015 Δ.Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ Οι ασκήσεις να λυθούν σε χαρτί Α4 1 η ΑΣΚΗΣΗ Να υπολογιστούν οι παραστάσεις: i. 2 3 +2 5 2 1 1 4 +3 2 ii. 5 2 3 2 3 ( 1 4 3 2 )

Διαβάστε περισσότερα

!!# % & ( % ) % % +,,. / 0 1!!# 2 / 3 (. +,,

!!# % & ( % ) % % +,,. / 0 1!!# 2 / 3 (. +,, !!# % & ( % ) % % +,,. / 0 1!!# 2 / 3 (. +,,! 454 454 6 7 #! 89 : 3 ; &< 4 =>> ; &4 + ! #!!! % & ( ) ) + + ) 3 +, +. 0 1 2. # 0! 3 2 &!.. 4 3 5! 6., 7!.! 8 7 9 : 0 & 8 % &6 0 9 ( 6! ;

Διαβάστε περισσότερα

u(x, y) =f(x, y) Ω=(0, 1) (0, 1)

u(x, y) =f(x, y) Ω=(0, 1) (0, 1) u(x, y) =f(x, y) Ω=(0, 1) (0, 1) u(x, y) =g(x, y) Γ=δΩ ={0, 1} {0, 1} Ω Ω Ω h Ω h h ˆ Ω ˆ u v = fv Ω u = f in Ω v V H 1 (Ω) V V h V h ψ 1,ψ 2,...,ψ N, ˆ ˆ u v = Ω Ω fv v V ˆ ˆ u v = Ω ˆ ˆ u ψ i = Ω Ω Ω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ www.thetiko.gr 1. Λάθος. Λάθος 3. Σωστό. Λάθος 5. Λάθος 6. Λάθος 7. Σωστό 8. Λάθος 9. Λάθος 10. Λάθος 11. Λάθος 1. Σωστό 13. Σωστό

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

.. ntsets ofa.. d ffeom.. orp ism.. na s.. m ooth.. man iod period I n open square. n t s e t s ofa \quad d ffeom \quad orp ism \quad na s \quad m o

.. ntsets ofa.. d ffeom.. orp ism.. na s.. m ooth.. man iod period I n open square. n t s e t s ofa \quad d ffeom \quad orp ism \quad na s \quad m o G G - - -- - W - - - R S - q k RS ˆ W q q k M G W R S L [ RS - q k M S 4 R q k S [ RS [ M L ˆ L [M O S 4] L ˆ ˆ L ˆ [ M ˆ S 4 ] ˆ - O - ˆ q k ˆ RS q k q k M - j [ RS ] [ M - j - L ˆ ˆ ˆ O ˆ [ RS ] [ M

Διαβάστε περισσότερα

/&25*+* 24.&6,2(2**02)' 24

/&25*+* 24.&6,2(2**02)' 24 !! "#$ % (33 &' ())**,"-.&/(,01.2(*(33*( ( &,.*(33*( ( 2&/((,*(33*( 24 /&25** 24.&6,2(2**02)' 24 " 0 " ( 78,' 4 (33 72"08 " 2/((,02..2(& (902)' 4 #% 7' 2"8(7 39$:80(& 2/((,* (33; (* 3: &

Διαβάστε περισσότερα

Erkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit

Erkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit rkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS TAMPRN YLIOPISTO D 2008 6 TAMPR 2009 TAMPRN YLIOPISTO TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS JULKAISUSARJA D VRKKOJULKAISUT D 2008 6, TOUKOKUU 2009

Διαβάστε περισσότερα

Διανύσµατα στο επίπεδο

Διανύσµατα στο επίπεδο Διανύσµατα στο επίπεδο Ένα διάνυσµα v έχει αρχικό και τελικό σηµείο. Χαρακτηρίζεται από: διεύθυνση (ευθεία επί της οποίας κείται φορά (προς ποια κατεύθυνση της ευθείας δείχνει µέτρο (το µήκος του, v ή

Διαβάστε περισσότερα

Β Περιφερειακό Γυμνάσιο Λευκωσίας Σχολική Χρονιά: Επαναληπτικές ασκήσεις Β Γυμνασίου

Β Περιφερειακό Γυμνάσιο Λευκωσίας Σχολική Χρονιά: Επαναληπτικές ασκήσεις Β Γυμνασίου Β Περιφερειακό Γυμνάσιο Λευκωσίας Σχολική Χρονιά: 014-015 Επαναληπτικές ασκήσεις Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Πραγματικοί αριθμοί 1. Να υπολογίσετε τις πιο κάτω παραστάσεις: α) 5 = β) (-10) - = γ) + 3 δ) ( 7

Διαβάστε περισσότερα

Note: Please use the actual date you accessed this material in your citation.

Note: Please use the actual date you accessed this material in your citation. MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 6.03/ESD.03J Electromagnetics and Applications, Fall 005 Please use the following citation format: Markus Zahn, 6.03/ESD.03J Electromagnetics and Applications, Fall

Διαβάστε περισσότερα

k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)

Διαβάστε περισσότερα

Rctc/VjgcvtcnkvÂv"ko"Tqemmqp gtv xqp"jcpu"l0"ywn走. Fqewogpvkpi"Owuke"qp"Hkno. Xcp"Oqttkuqp. Gnxku" Vjg"8:"Eqogdcem"Urgekcn

Rctc/VjgcvtcnkvÂvkoTqemmqp gtv xqpjcpul0ywn走. FqewogpvkpiOwukeqpHkno. XcpOqttkuqp. Gnxku Vjg8:EqogdcemUrgekcn Gnxku" Vjg"8:"Eqogdcem"Urgekcn Lq{"Fkxkukqp Eqpvtqn Lq{"Fkxkukqp"/"Fkg"Fqmwogpvcvkqp Hcneq Nkxg"/"Fqpcwkpugn" Xgtfcoov."ykt"ngdgp"pqej# Okejcgn"Lcemuqp Okejcgn"Lcemuqp許u"Vjku"Ku"Kv" wpf"xkgng"ygkvgtg"cpcn{ugp

Διαβάστε περισσότερα

"#$%$$ &* '#( "#$%$$,$*- ') % %$$. '#-) -& $$ #)**-% -"*! :6 -#0! :888 -! #;/$-

#$%$$ &* '#( #$%$$,$*- ') % %$$. '#-) -& $$ #)**-% -*! :6 -#0! :888 -! #;/$- ! "#$%$$& '#()* +' "#$%$$$$$$ '#()" "#$%$$$$ '#( "#$%$$ $ '#( "#$%$$ &* '#( "#$%$$$% '#( "#$%$$,$*- ') % %$$. '#-) -& ***-#*$$%'%*'#() #-'#&&*-&')#"%$ /**- $$ 01234 5622-#)**-% -"*! 7833154962:6 -#0! 78331549:888

Διαβάστε περισσότερα

Th, Ra, Rn, Po, Pb, Bi, & Tl K x-rays. Rn Kα1. Rn Kα2. 93( 227 Th)/Rn Kβ3. Ra Kα2. Po Kα2 /Bi K α1 79( 227 Th)/Po Kα1. Ra Kα1 /Bi K β1.

Th, Ra, Rn, Po, Pb, Bi, & Tl K x-rays. Rn Kα1. Rn Kα2. 93( 227 Th)/Rn Kβ3. Ra Kα2. Po Kα2 /Bi K α1 79( 227 Th)/Po Kα1. Ra Kα1 /Bi K β1. Page -1-10 8 10 7 10 6 10 5 10 4 334 ( Th) Counts/Channel 10 3 10 2 10 1 49 ( Th)/ 50 ( Th)/ 50 ( Fr) 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 Channel

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Α ΟΜΑΔΑ. Να βρεθούν τα αναπτύγματα: ι) ιν) ιι) y ιιι) 3 4 3 a 4 ν) ( +y 3 ) νι) (3y+) 4 y νιιι) (5αα +3β y) ι) 5 a ay 3 νιι) 3 4 5 3 ) (β-) ι) (3-7y) ιι) (5α-8βy) ιιι) (9-5) ιν)

Διαβάστε περισσότερα

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ...

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (104903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 ΘΕΜΑ 1 ο i) Αν Α( x 1, y 1 ) και Β(x, y ) δυο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ, να αποδείξετε ότι : x 1 + x x

Διαβάστε περισσότερα

!! % 4 4 4 4 %,!,! %

!! % 4 4 4 4 %,!,! % ! %! & () +)!,!. / % %! 0 1!!! 2!! %!! %!! % %!. 3!!!!!! 4 4 4 4 % & 5) /!! % 6!! 7!! 8 % 8! %.! & 9)!! 7,!,! %. 6! !! %!.!! 6!! 6 :! %!! ;!!! %!!! %! %!!!! 0< 1.!!!?

Διαβάστε περισσότερα

( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1]

( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1] 1 ( ) 2007 02 16 (2006 5 19 ) 1 1 11 1 12 2 13 Ore 8 14 9 2 (2007 2 16 ) 10 1 11 ( ) ( [T] 131),, s 1 a as 1 [T] 15 (, D ), Lie, (derived category), ( ) [T] Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter

Διαβάστε περισσότερα

α) είξτε ότι f(0) 4 και g(0) 4. β) Na δειχθεί ότι: f() > g() για κάθε R. Μονάδες 6 Β. Έστω f:r R άρτια για την οποία ισχύουν ότι f ()5 και η γραφική π

α) είξτε ότι f(0) 4 και g(0) 4. β) Na δειχθεί ότι: f() > g() για κάθε R. Μονάδες 6 Β. Έστω f:r R άρτια για την οποία ισχύουν ότι f ()5 και η γραφική π ΤΡΙΩΡΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ :Ανάλυση:.8,. έως και.3 (Σχολικό) ΘΕΜΑ o Α. Έστω η συνάρτηση f() ν, ν Ν{0,}. Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H

Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H, Z,. Τα τμήματα ΑΓ και ΗΕ έχουν κοινό μέσο γ. Το κέντρο του παραλληλογράμμου είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Μ Ε Λ Η Τ Η Ρ Ι Ο Κ Υ Κ Λ Α Δ Ω Ν

Ε Π Ι Μ Ε Λ Η Τ Η Ρ Ι Ο Κ Υ Κ Λ Α Δ Ω Ν Ε ρ μ ο ύ π ο λ η, 0 9 Μ α ρ τ ί ο υ 2 0 1 2 Π ρ ο ς : Π ε ρ ιφ ε ρ ε ι ά ρ χ η Ν ο τ ίο υ Α ιγ α ί ο υ Α ρ ι θ. Π ρ ω τ. 3 4 2 2 κ. Ι ω ά ν ν η Μ α χ α ι ρ ί δ η F a x : 2 1 0 4 1 0 4 4 4 3 2, 2 2 8 1

Διαβάστε περισσότερα

Κληρονομικότητα ποσοτικών χαρακτήρων. φαινοτυπική & γονοτυπική τιμή μέσες επιδράσεις αλληλομόρφων επιδράσεις κυριαρχίας

Κληρονομικότητα ποσοτικών χαρακτήρων. φαινοτυπική & γονοτυπική τιμή μέσες επιδράσεις αλληλομόρφων επιδράσεις κυριαρχίας Κληρονομικότητα ποσοτικών χαρακτήρων φαινοτυπική & γονοτυπική τιμή μέσες επιδράσεις αλληλομόρφων επιδράσεις κυριαρχίας Φαινοτυπική τιμή Φαινοτυπική τιμή είναι η τιμή που προκύπτει από τη μέτρηση της ιδιότητας

Διαβάστε περισσότερα

8. Να λυθεί η εξίσωση : 10 3 x= Αν ν είναι φυσικός αριθμός, τότε να υπολογίσετε την παράσταση: Α=(-1) ν +3(-1) ν+1-3(-1) 3ν+1.

8. Να λυθεί η εξίσωση : 10 3 x= Αν ν είναι φυσικός αριθμός, τότε να υπολογίσετε την παράσταση: Α=(-1) ν +3(-1) ν+1-3(-1) 3ν+1. Α. ΔΥΝΑΜΕΙΣ. Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις: α.α.α = 5 : = (-).(-) - = (-0,) 5.(-0,5) 5 = α -.(α ) -.α. Υπολογίστε τις παραστάσεις (i) (ii) (-).(-0,5) - (iii) (0,) : (-0). Να γίνουν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΣΗΜΕΙΑ

ΑΝΑΛΥΣΗ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΣΗΜΕΙΑ 1 ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΣΗΜΕΙΑ 1. Πεδίο ορισμού (οι τιμές που «επιτρέπεται» να πάρει ο χ, υποσύνολο του R, η προβολή της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στον χ χ) Ζητάμε: α) Οι υπόριζες ποσότητες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ 3 ο. - Συναρτήσεις.

Κεφ 3 ο. - Συναρτήσεις. Μαθηματικά B Γυμνασίου Κεφ 3 ο. - Συναρτήσεις. Μέρος Α. Θεωρία. 1. Τι λέμε συνάρτηση; 2. Με τι αντιστοιχούμε κάθε σημείο Μ στο επίπεδο; 3. Πως λέγεται ο άξονας χ χ και πως ο άξονας ψ ψ; 4. Τι είναι το

Διαβάστε περισσότερα

< = ) Τ 1 <Ο 6? <? Ν Α <? 6 ϑ<? ϑ = = Χ? 7 Π Ν Α = Ε = = = ;Χ? Ν !!! ) Τ 1. Ο = 6 Μ 6 < 6 Κ = Δ Χ ; ϑ = 6 = Σ Ν < Α <;< Δ Π 6 Χ6 Ο = ;= Χ Α

< = ) Τ 1 <Ο 6? <? Ν Α <? 6 ϑ<? ϑ = = Χ? 7 Π Ν Α = Ε = = = ;Χ? Ν !!! ) Τ 1. Ο = 6 Μ 6 < 6 Κ = Δ Χ ; ϑ = 6 = Σ Ν < Α <;< Δ Π 6 Χ6 Ο = ;= Χ Α # & ( ) ) +,. /, 1 /. 23 / 4 (& 5 6 7 8 8 9, :;< = 6 > < 6? ;< Β Γ Η. Ι 8 &ϑ Ε ; < 1 Χ6 Β 3 / Κ ;Χ 6 = ; Λ 4 ϑ < 6 Χ ; < = = Χ = Μ < = Φ ; ϑ =

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις. ι) α α ιι) α α ΠΡΟΣΘΕΣΗ - ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ

Ασκήσεις. ι) α α ιι) α α ΠΡΟΣΘΕΣΗ - ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΠΡΟΣΘΕΣΗ - ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ Ασκήσεις ) Να βρείτε τους ακεραίους, οι οποίοι έχουν απόλυτη τιμή μικρότερη ή ίση του. ) Να βρείτε τους ακεραίους, οι οποίοι έχουν απόλυτη τιμή μεγαλύτερη του. ) Η απόσταση δύο

Διαβάστε περισσότερα

!#$%!& '($) *#+,),# - '($) # -.!, '$%!%#$($) # - '& %#$/0#!#%! % '$%!%#$/0#!#%! % '#%3$-0 4 '$%3#-!#, '5&)!,#$-, '65!.#%

!#$%!& '($) *#+,),# - '($) # -.!, '$%!%#$($) # - '& %#$/0#!#%! % '$%!%#$/0#!#%! % '#%3$-0 4 '$%3#-!#, '5&)!,#$-, '65!.#% " #$%& '($) *#+,),# - '($) # -, '$% %#$($) # - '& %#$0##% % '$% %#$0##% % '1*2)$ '#%3$-0 4 '$%3#-#, '1*2)$ '#%3$-0 4 @ @ @

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

! # % & ( ) & + #, +. ! # + / 0 / 1 ! 2 # ( # # !! ( # 5 6 ( 78 ( # ! /! / 0, /!) 4 0!.! ) 7 2 ## 9 3 # ## : + 5 ; )!

! # % & ( ) & + #, +. ! # + / 0 / 1 ! 2 # ( # # !! ( # 5 6 ( 78 ( # ! /! / 0, /!) 4 0!.! ) 7 2 ## 9 3 # ## : + 5 ; )! ! # % & ( ) + ! # % & ( ) & + #, +.! # + / 0 / 1! 2 # ( # 1 3 4 3 #!! ( # 5 6 ( 78 ( # 6 4 6 5 1! /! #! / 0, /!) 4 0!.! ) 7 2 ## 9 3 # 78 78 0 ## : + 5 ; )! 0 / )!! < # / ).

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία Α (1,1), Γ (4,3) και Δ (,3). α) Να υπολογίσετε τα μήκη

Διαβάστε περισσότερα

13PROC

13PROC Α Α Α Ο Α Ο Α.Α. - Α Α Ω Α Α Α Ω Ω Α α, 5-12-201 Α Α ι : 0/002/9522 / Α Ω ι α ά : 0/078/19/18-11-201 Α Α 1PROC001771147 201-12-10 α / : Α ό α ο : α ι α : ά ιαφ ό ο οφο ί : ι ά φ ο : 79 Fax : 0 6479285

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Η εξίσωση του ύψους Γ του τριγώνου θα είναι:

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Η εξίσωση του ύψους Γ του τριγώνου θα είναι: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 8 Απριλίου 0 ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ A. Θεωρία. Σελίδα 4 του σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διάνυσμα ορίζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο έχει ορισθεί ποια είναι η αρχή, ή σημείο εφαρμογής του

Διαβάστε περισσότερα

14SYMV :,., fax: , ο

14SYMV :,., fax: ,   ο Η ετα ύ τ υ Γ Ο Η Ο Ο Ρ Ο α KAPPA-LAB- Η Η Ρ Ο Ρ Η για την ο ήθ ια α ι α η ίω α η ίω Ρ Θ Ο Η : 65/2014 α Α α 5 ο β ίο, α ά, ο ι ό ίο ο ά ο, ο ι Α α, Α. όχα, α ω ά ω ι βα ο ω ο. άχο, οϊ α ο ι ι..., ο ι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1 ο α ) Ποια παράσταση καλείται μονώνυμο; Δώστε παράδειγμα. β ) Πότε δυο μονώνυμα είναι όμοια ; Δώστε παράδειγμα όμοιων μονωνύμων. γ ) Για ποιες τιμές των μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες Γραμμικά Συστήματα

Πίνακες Γραμμικά Συστήματα Πίνακες Γραμμικά Συστήματα 1. Είδη Πινάκων Οι πίνακες είναι ένα χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο, με εφαρμογές και διασυνδέσεις σε πολλές επιστήμες. Η σημαντικότερη εφαρμογή των πινάκων είναι στην επίλυση συστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ "%&$ ##%&%'()) *..$ /. 0-1$ )$.'-

!#$ %&$ ##%&%'()) *..$ /. 0-1$ )$.'- !!" !"# "%& ##%&%',-... /. -1.'- -13-',,'- '-...4 %. -5"'-1.... /..'-1.....-"..'-1.. 78::8

Διαβάστε περισσότερα

1. ** ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι:

1. ** ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι: Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι: α) ΑΜ = 1 2 ( ΑΒ + ΑΓ ) β) ΜΝ = 1 2 ΒΑ 2. ** ίνονται τα διανύσµατα ΑΒ και Α Β. Αν Μ και Μ

Διαβάστε περισσότερα

Déformation et quantification par groupoïde des variétés toriques

Déformation et quantification par groupoïde des variétés toriques Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue Fédéic Cadet To cite thi veion: Fédéic Cadet. Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue. Mathématiue [math]. Univeité d Oléan, 200.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 78 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 20 Ιανουαρίου 2018 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 78 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 20 Ιανουαρίου 2018 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Να βρείτε την τιμή της παράστασης: 2 β + α 500 11 18 α β Α= β 3 β, α αν δίνεται ότι: 10 β =.. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός στοιχείων που πρέπει να αφαιρεθούν από το σύνολο Α= { 2, 4, 6,8,10,12,14,16,18,

Διαβάστε περισσότερα

Li % % % % % % % % % % 3d 4s V V V V d V V V n O V V V O V n O V n O % % X X % % % 10 10 cm Li Li Li LiMO 2 Li 1 x MO 2 + xl + 1 + xe C + xl + 1 + xe Li x C LiMO 2 +C Li x C + Li 1 x MO 2

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις στα Σύνολα

Επαναληπτικές Ασκήσεις στα Σύνολα Επαναληπτικές Ασκήσεις στα Σύνολα ) Εξετάστε αν η παρακάτω πρόταση είναι αληθής για οποιαδήποτε σύνολα Α,Β,C. Δικαιολογήστε την απάντηση σας Αν A B και B C, τότε Α C έστω Β {α,β,γ}, αφού Α B τότε ένα παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Ανασκόπηση-Μάθημα 28 Τριπλό ολοκλήρωμα-κυλινδρικές-σφαιρικές συντεταγμένες

Ανασκόπηση-Μάθημα 28 Τριπλό ολοκλήρωμα-κυλινδρικές-σφαιρικές συντεταγμένες Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Ανασκόπηση-Μάθημα 28 Τριπλό ολοκλήρωμα-κυλινδρικές-σφαιρικές συντεταγμένες Στο μαθήμα 28 (3 /2/28), συνεχίσαμε

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ-ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ-ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΛΗΤΗΣ-ΑΛΓΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 3 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΛΗΤΗΣ-ΑΛΓΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Μεταβλητή Ένα γράμμα π.χ x,y,z,ω, ( ελληνικό ή λατινικό) πο παριστάνει έναν οποιοδήποτε αριθμό,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. lim f(x) έχουμε P(x) 2x (1 ). Επειδή. lim ( 2x )

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. lim f(x) έχουμε P(x) 2x (1 ). Επειδή. lim ( 2x ) ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελίδα 86 Α Σχολικό βιβλίο σελίδα 4 Α i γ) ii δ) Α4 α) Συνεχής,, f( ) β) Υπάρχει το f '() lim g'(), θετικό,,, γ),, Α5 i A ii Έστω P()

Διαβάστε περισσότερα

φ(t) TE 0 φ(z) φ(z) φ(z) φ(z) η(λ) G(z,λ) λ φ(z) η(λ) η(λ) = t CIGS 0 G(z,λ)φ(z)dz t CIGS η(λ) φ(z) 0 z

Διαβάστε περισσότερα