Γραφικά και Εικονική Πραγματικότητα Απαλλακτική εργασία Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γραφικά και Εικονική Πραγματικότητα Απαλλακτική εργασία 2012. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609"

Transcript

1 Γραφικά και Εικονική Πραγματικότητα Απαλλακτική εργασία B Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609

2 Περιεχόμενα Πίνακας Περιεχομένων...2 Περιεχόμενα...2 Προγραμματιστικές λεπτομέρειες υλοποίησης...3 geom.h...3 mesh.h mesh.cpp...3 glvisuals.h glvisuals.cpp...4 main.cpp...4 User Interface...5 Αντιστοιχίες πλήκτρων...5 i. Απλοποίηση πλέγματος...6 Μέθοδος...6 Κατάρρευση ακμής...6 Παράδειγμα...6 Επιλογή ακμών προς κατάρρευση...7 Εύρεση γειτονικού τριγώνου ακμής...7 Εικόνες...7 ii. Ανίχνευση συγκρούσεων...11 Τομή ορθογωνίου ορθογωνίου...11 Τομή τριγώνου τριγώνου...11 Τομή τριγώνου ευθύγραμμου τμήματος...11 Αλγόριθμος...11 Επιδόσεις...12 Εικόνες...13 iii. Περιβάλλοντες Όγκοι...16 AABB...16 Υπολογισμός όγκου μοντέλου...16 Σφαίρα

3 Προγραμματιστικές λεπτομέρειες υλοποίησης Documentation για τον κώδικα υπάρχει εδώ: Για την δημιουργία του documentation χρησιμοποιήθηκε το doxygen. Παρακάτω περιγράφεται συνοπτικά η λειτουργία κάθε αρχείου/κλάσης. geom.h Περιέχει δομές δεδομένων για την διαχείριση των γεωμετρικών σχημάτων που χρησιμοποιούνται. Κάθε δομή περιέχει τα ελάχιστα δεδομένα που είναι απαραίτητα για τον ορισμό του σχήματος και ίσως κάποια πλεονάζουσα πληροφορία που είναι χρονοβόρα στον υπολογισμό. Επίσης κάθε δομή, που είναι ισοδύναμη με κλάση στη C++, περιέχει διάφορες χρήσιμες μεθόδους για την επεξεργασία των γεωμετρικών σχημάτων. struct Point Ένα 3Δ σημείο. struct Line Ένα 3Δ ευθύγραμμο τμήμα. struct Box Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο. struct Triangle Ένα 3Δ τρίγωνο. Δεν περιέχει τα δεδομένα των κορυφών, αλλά έναν δείκτη σε πίνακα κορυφών και τρεις ακέραιους δείκτες για τις τρεις κορυφές. struct Sphere Μια σφαίρα. classs Geom Περιέχει στατικές μεθόδους που δεν ανήκουν λογικά σε καμία από τις παραπάνω κλάσεις, όπως μεθόδους για τον έλεγχο τομής διαφόρων σχημάτων. Το μέγεθος σε byte των παραπάνω δομών, ειδικά αυτών που πρόκειται να χρησιμοποιηθούν σε μεγάλες ποσότητες, όπως τα σημεία και τα τρίγωνα, πρέπει να παραμείνει το λιγότερο δυνατό, γιατί έτσι σε μία σελίδα της cache χωράνε περισσότερα αντικείμενα, πράγμα που επιδρά δραστικά στην απόδοση του προγράμματος. Έτσι ένα πλεονάζον πεδίο πρέπει να συμπεριληφθεί μόνο αν χρειάζεται συχνά και είναι πολύ χρονοβόρο στον υπολογισμό του. mesh.h mesh.cpp Ορισμός και υλοποίηση της κλάσης Mesh. Αυτή η κλάση αναλαμβάνει την διαχείριση μοντέλων αποτελούμενων από τριγωνικό πλέγμα. Είναι υπεύθυνη για την φόρτωση, την επεξεργασία και την απεικόνιση των μοντέλων. Η αποθήκευση των μοντέλων γίνεται με δεικτοδοτημένη λίστα κορυφών, έτσι η φόρτωση από αρχείο.obj είναι τετριμμένη. Κάθε στιγμιότυπο της κλάσης αυτής εκτός από την γεωμετρία, περιλαμβάνει και άλλες πληροφορίες, όπως: Κάθετα διανύσματα κορυφών. Λίστα με τα τρίγωνα που εφάπτονται σε κάθε κορυφή. Ιεραρχία περιβαλλόντων όγκων. Λίστες με τα τρίγωνα που περιέχει κάθε υπό-όγκος της ιεραρχίας. Θέση στο σκηνή. Περιστροφή στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων. 3

4 Οι λειτουργίες που υποστηρίζονται μέσω αυτής της κλάσης είναι: Φόρτωση από αρχείο.obj. Αντιγραφή μοντέλου με copy constructor. Ευθυγράμμιση στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων. Κατασκευή ιεραρχίας περιβαλλόντων όγκων. Ανίχνευση συγκρούσεων με άλλο μοντέλο. Καθορισμός μεγέθους. Απλοποίηση πλέγματος. glvisuals.h glvisuals.cpp Ορισμός και υλοποίηση της κλάσης GlVisuals. Αυτή η κλάση είναι υπεύθυνη για την διαχείριση της σκηνής. Η σκηνή με όλα της τα αντικείμενα αντιστοιχεί σε ένα στιγμιότυπο αυτής της κλάσης. Δεν κάνει καμία παραδοχή για το περιβάλλον εκτός από την ύπαρξη opengl, έτσι είναι ανεξάρτητη από αυτό. Συνεπώς, μπορεί, εκτός από το glut, να χρησιμοποιηθεί από οποιαδήποτε βιβλιοθήκη υποστηρίζει opengl, πχ Qt, χωρίς αλλαγές. Στην λειτουργικότητα αυτής της κλάσης περιλαμβάνεται η διεπαφή με τον χρήστη, παρέχοντας μεθόδους για κάθε στοιχειώδες event, όπως πατήματα πλήκτρων και κινήσεις του ποντικιού. main.cpp Περιέχει μόνο την αρχικοποίηση του περιβάλλοντος glut και τον χειρισμό των event του glut. Η διαχείριση της σκηνής γίνεται από ένα στιγμιότυπο της κλάσης glvisuals. Τα event του glut μεταφέρονται στο στιγμιότυπο της glvisuals που τα ερμηνεύει κατάλληλα. 4

5 User Interface Για καλύτερη επίδειξη των διάφορων λειτουργιών σχεδιάστηκε ένα στοιχειώδες user interface. Η σκηνή αποτελείται από 2 αντικείμενα. Με τα βελάκια μετακινώ είτε κάποιο από τα αντικείμενα είτε την σκηνή, ανάλογα με το τι είναι επιλεγμένο. Με 'space' εναλλάσσουμε το επιλεγμένο αντικείμενο. Με '0' επιλέγουμε την σκηνή ενώ με '1' τα αντικείμενα. Αντιστοιχίες πλήκτρων Πλήκτρο space 0 Λειτουργία Εναλλαγή μοντέλου 1/2 (armadillo/car) Επιλογή σκηνής (Αποεπιλογή μοντέλων) 1-9 Επιλογή αντιγράφου μοντέλου. (Αρχικά υπάρχει μόνο ένα αντίγραφο από κάθε μοντέλο, αλλά με shift+d μπορούμε να φτιάξουμε περισσότερα) W Wireframe display on / off. S Solid display on / off. N Vertex normal display on / off. V Voxel display on / off. B Εναλλαγή μεταξύ bounding box / sphere. H Εναλλαγή μεταξύ απεικόνισης κυρίως bounding volume / ιεραρχίας. R Επαναφορά μοντέλων στην αρχή των αξόνων. D Απλοποίηση μοντέλου. D + shift Αντιγραφή του επιλεγμένου μοντέλου και απλοποίηση του αντιγράφου. 5

6 i. Απλοποίηση πλέγματος Μέθοδος Την απλοποίηση του μοντέλου αναλαμβάνει η μέθοδος void Mesh::simplify(int percent). Η μέθοδος που ακολουθείται είναι η διαδοχική κατάρρευση ακμών. Αυτή μέθοδος απλοποιεί το τριγωνικό πλέγμα συγχωνεύοντας δύο γειτονικές κορυφές (ακμή) σε μία. Τα τρίγωνα που μοιράζονταν αυτή την ακμή διαγράφονται. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται μέχρι να φτάσουμε στο επιθυμητό επίπεδο πολυπλοκότητας. Παρακάτω περιγράφονται τα βήματα που ακολουθούνται σε κάθε κατάρρευση. Κατάρρευση ακμής Ορίζουμε: Vk: Η πρώτη κορυφή της ακμής που θα καταρρεύσει. Vx: Η δεύτερη κορυφή της ακμής που θα καταρρεύσει. Ti: Το πρώτο τρίγωνο που εφάπτεται στην ακμή που θα καταρρεύσει. Tx: Το δεύτερο τρίγωνο που εφάπτεται στην ακμή που θα καταρρεύσει. VkList: Λίστα με τα τρίγωνα που περιέχουν την ακμή Vk. VxList: Λίστα με τα τρίγωνα που περιέχουν την ακμή Vx. Αφού αναγνωριστούν όλα τα παραπάνω δεδομένα, γίνονται οι εξής ενέργειες: Διαγραφή των Vk, Vx (κορυφές), Ti, Tx (τρίγωνα). Εισαγωγή νέας κορυφής που παίρνει την θέση την ακμής που κατέρρευσε, ώστε να αντικαταστήσει τις κορυφές Vk, Vx στα τρίγωνα που τις περιείχαν. Τα τρίγωνα αυτά είναι τα τρίγωνα που βρίσκονται στις λίστες VkList, VxList. Ανανέωση των τριγώνων (VkList U VxList - {ti, tx}), σύμφωνα με την προηγούμενη πρόταση. Αντιγραφή της λίστας Vklist, στην VkList. Η νέα κορυφή που θα δημιουργηθεί για λόγους απόδοσης μπορεί να είναι μία από τις Vk, Vx πετυχαίνοντας ουσιαστικά την συγχώνευση των δύο κορυφών σε μία. Παράδειγμα Δίπλα φαίνεται ένα τριγωνικό πλέγμα στο οποίο έχουν χρωματιστεί Με κόκκινο τα τρίγωνα προς διαγραφή. Με πράσινο τα τρίγωνα των λιστών VkList, VxList. Με πράσινο η κορυφή Vkeep. Με κόκκινο η κορυφή Vx. Το αποτέλεσμα της παραπάνω διαδικασίας φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. 6

7 Βλέπουμε ότι τα τρίγωνα της αριστερής κορυφής που διαγράψαμε έμειναν ανεπηρέαστα ενώ τα τρίγωνα της άλλης κορυφής εκτάθηκαν και παραμορφώθηκαν σε μεγάλο βαθμό. Για να μειωθεί αυτή η ασυμμετρία τοποθετούμε την νέα κορυφή στην μέση της ακμής που κατέρρευσε και παίρνουμε έτσι αυτό το τελικό αποτέλεσμα. Τα πράσινα τρίγωνα στο τελικό πλέγμα είναι αυτά που επηρεάστηκαν από την συγκεκριμένη κατάρρευση. Το υπόλοιπο πλέγμα έμεινε τελείως ανεπηρέαστο. Επιλογή ακμών προς κατάρρευση Παραπάνω περιγράψαμε τον τρόπο που γίνεται μια κατάρρευση ακμής. Τώρα θα δείξουμε πώς συντονίζεται όλη η διαδικασία ώστε να επιλεγούν για κατάρρευση οι ακμές που θα έχουν την λιγότερη επίδραση στην αλλοίωση του συνολικού σχήματος. Αρχικά δημιουργούμε μια λίστα που περιέχει όλα τρίγωνα. Κάθε τρίγωνο αναπαρίσταται με έναν ακέραιο δείκτη που δείχνει στον πίνακα τριγώνων. Στην συνέχεια ταξινομούμε την λίστα με το εξής κριτήριο. Σε κάθε τρίγωνο αντιστοιχεί μία τιμή που προκύπτει ως ο μέσος όρος των εσωτερικών γινομένων των κάθετων διανυσμάτων των γειτονικών τριγώνων της πρώτης κορυφής. Επειδή το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι μέτρο της παραλληλίας τους, με το παραπάνω κριτήριο πετυχαίνουμε να μπουν πρώτα στην λίστα τα τρίγωνα που βρίσκονται σε σχετικά επίπεδη περιοχή του πλέγματος. Έτσι οι περιοχές με λεπτομέρειες (υψηλή συχνότητα) επεξεργάζονται αργότερα, ενώ στην αρχή της διαδικασίας επεξεργάζονται οι επίπεδες περιοχές του μοντέλου στις οποίες μια κατάρρευση έχει μικρό αντίκτυπο στο συνολικό σχήμα. Τώρα περνάμε στην διαδικασία της απλοποίησης του πλέγματος. Ξεκινώντας από το πρώτο τρίγωνο επιλέγουμε την ακμή που ενώνει την πρώτη με την δεύτερη κορυφή και εκτελούμε την κατάρρευση όπως περιγράφεται παραπάνω. Τα επηρεαζόμενα τρίγωνα κάθε κατάρρευσης αφαιρούνται από την λίστα τριγώνων προς επεξεργασία, ώστε να μην είναι δυνατό να επιλεγούν στην συνέχεια για κατάρρευση. Αυτό γίνεται για να μην συμβαίνουν πολλαπλές αλλοιώσεις στα ίδια τρίγωνα που θα οδηγούσαν σε σημαντικές παραμορφώσεις. Τα διαγραμμένα τρίγωνα δεν αφαιρούνται σε αυτή την φάση από τον πίνακα τριγώνων του μοντέλου, αλλά σημαδεύονται ως διαγραμμένα με χρήση του πεδίου deleted του struct Triangle. Η οριστική διαγραφή τους γίνεται στο τέλος της διαδικασίας. Αν στην εξέλιξη της μεθόδου συναντηθεί κάποιο διαγραμμένο τρίγωνο τότε αυτό παρακάμπτεται αφού δεν είναι πλέον έγκυρο τρίγωνο του μοντέλου. Κάθε κλήση της συνάρτησης απλοποίησης εξαντλεί την λίστα τριγώνων προς επεξεργασία, έτσι το ποσοστό μείωσης κάθε φορά εξαρτάται από την σύνδεση των κορυφών του πλέγματος και συγκεκριμένα από τον αριθμό τριγώνων κάθε κορυφής. Εύρεση γειτονικού τριγώνου ακμής Όπως ήδη αναφέραμε, η ακμή προς κατάρρευση επιλέγεται ως μία από τις τρεις ακμές ενός τριγώνου. Έτσι το ένα τρίγωνο αυτής της ακμής το ξέρουμε ήδη. Για να βρούμε το δεύτερο χρησιμοποιούμε τις λίστες τριγώνων κάθε κορυφής που έχουν κατασκευαστεί αμέσως μετά την φόρτωση του μοντέλου. Το δεύτερο τρίγωνο πρέπει να υπάρχει και στις δύο λίστες τριγώνων των κορυφών της ακμής που έχουμε επιλέξει. Είναι δηλαδή η τομή των συνόλων VkList, VxList όπως αυτά περιγράφονται παραπάνω. Εικόνες Στις παρακάτω εικόνες φαίνεται το μοντέλο 1. Στην πρώτη εικόνα δεν έχει υποστεί επεξεργασία ενώ στις επόμενες περνάει από 5 διαδοχικά στάδια επεξεργασίας. 7

8 Στάδιο 0 ( τρίγωνα 100%) Στάδιο 1 (9.380 τρίγωνα 66%) 8

9 Στάδιο 2 (6.172 τρίγωνα 43%) Στάδιο 3 (4078 τρίγωνα 29%) Στάδιο 4 (2708 τρίγωνα 19%) Στάδιο 5 (1832 τρίγωνα 13%) 9

10 Στις παρακάτω εικόνες φαίνεται το μοντέλο 2. Στην πρώτη εικόνα δεν έχει υποστεί επεξεργασία ενώ στις επόμενες περνάει από 4 διαδοχικά στάδια επεξεργασίας. Στάδιο 0 (30356 τρίγωνα 100%) Στάδιο 1 (19630 τρίγωνα 65%) Στάδιο 2 (12890 τρίγωνα 42%) Στάδιο 3 (8498 τρίγωνα 28%) Στάδιο 4 (5640 τρίγωνα 19%) Παρατηρούμε ότι σε αυτό το μοντέλο η αλλοίωση αρχίζει πολύ νωρίτερα και σε μεγάλο βαθμό. 10

11 ii. Ανίχνευση συγκρούσεων Για να επιτευχθεί η ανίχνευση συγκρούσεων των τριγωνικών μοντέλων χρειάστηκε να υλοποιηθούν οι παρακάτω συναρτήσεις ελέγχου τομής. Τομή ορθογωνίου ορθογωνίου Τομή τριγώνου τριγώνου Τομή τριγώνου ευθύγραμμου τμήματος Τομή ορθογωνίου ορθογωνίου Η τομή δύο ορθογωνίων είναι απλή και υπολογίζεται με 6 ανισότητες. (b1.min.x < b2.max.x) && (b1.max.x > b2.min.x) && (b1.min.y < b2.max.y) && (b1.max.y > b2.min.y) && (b1.min.z < b2.max.z) && (b1.max.z > b2.min.z); Τομή τριγώνου τριγώνου Η τομή δύο τριγώνων στηρίζεται στην τομή των τριών πλευρών του πρώτου τριγώνου με το δεύτερο και των τριών πλευρών του δεύτερου τριγώνου με το πρώτο. Στην αρχή μπορεί να γίνει και ένας έλεγχος των περιβαλλόντων κιβωτίων των τριγώνων, ώστε στην περίπτωση που τα τρίγωνα είναι αρκετά μακριά να αποφευχθεί ο ακριβός έλεγχος ανά ακμή. Τομή τριγώνου ευθύγραμμου τμήματος Αρχικά γίνεται έλεγχος αν το ευθύγραμμο τμήμα τέμνει το επίπεδο του τριγώνου. Αυτό γίνεται εξετάζοντας το πρόσημο της εξίσωσης επιπέδου των δύο ακρών του ευθύγραμμου τμήματος. Για να υπάρχει τομή πρέπει να οι δύο τιμές της εξίσωσης να είναι ετερόσημες if (t.planeequation(l.start) * t.planeequation(l.end) > 0) return false; Αν δεν υπάρχει τομή με το επίπεδο του τριγώνου, τότε δεν υπάρχει τομή και με το τρίγωνο. Αν υπάρχει τομή πρέπει να την βρούμε. Η τομή βρίσκεται από τον εξής τύπο. i = p2 + t (p2-p1) όπου t = - Ax1 +By1 +Cz1 +D Ax 2 +By 2 +Cz2 Αφού βρούμε το σημείο τομής i πρέπει να ελέγξουμε ότι βρίσκεται μέσα στο τρίγωνο. Αυτό το κάνουμε με τον εξής τρόπο. Σχηματίζουμε τρία επίπεδα κάθετα στις τρεις πλευρές του τριγώνου. Στην συνεχεία παίρνουμε τις εξισώσεις των τριών επιπέδων για το σημείο τομής και αν είναι και οι τρεις ομόσημες, τότε το σημείο είναι εσωτερικό και των τριών επιπέδων που συνεπάγεται ότι ανήκει στο αρχικό τρίγωνο. Ο σχηματισμός των τριών κάθετων επιπέδων γίνεται δημιουργώντας για κάθε κορυφή του αρχικού τριγώνου ένα τρίγωνο που αποτελείται από την ίδια την κορυφή, την επόμενη κορυφή και από ένα σημείο που προκύπτει ως το διανυσματικό άθροισμα μιας από τις δύο προηγούμενες κορυφές με το κάθετο διάνυσμα του τριγώνου. Αλγόριθμος Αρχικά υλοποιήθηκε η ανίχνευση συγκρούσεων με απλό τρόπο ελέγχοντας όλα τα τρίγωνα του πρώτου μοντέλου με όλα του δεύτερου για τομή. Προφανώς αυτός ο τρόπος δεν ήταν αποδοτικός με πολυπλοκότητα O(n2). Για την επιτάχυνση της διαδικασίας αξιοποιήθηκε η ιεραρχία περιβαλλόντων όγκων. Για την δημιουργία των τελευταίων θα μιλήσουμε στο επόμενο κεφάλαιο. 11

12 Ο αλγόριθμος ανίχνευσης συγκρούσεων εργάζεται ως εξής: ΓΙΑ ΚΑΘΕ AABB του ΜΟΝΤΕΛΟΥ_1 ΓΙΑ ΚΑΘΕ AABB του ΜΟΝΤΕΛΟΥ_2 ΑΝ ΤΑ ΑΑΒΒ ΤΕΜΝΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΚΑΘΕ ΤΡΙΓΩΝΟ ΤΟΥ ΑΑΒΒ_1 ΑΝ ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΤΕΜΝΕΤΑΙ ΜΕ ΤΟ ΑΑΒΒ_2 ΓΙΑ ΚΑΘΕ ΤΡΙΓΩΝΟ ΤΟΥ ΑΑΒΒ_2 ΑΝ ΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΤΕΜΝΟΝΤΑΙ ΠΡΟΣΘΕΣΕ ΤΑ ΣΤΙΣ ΣΥΓΚΡΟΥΣΕΙΣ Όπου AABB είναι τα περιβάλλοντα κιβώτια του τελευταίου επιπέδου, τα φύλλα δηλαδή του δέντρου ιεραρχίας περιβαλλόντων όγκων. Επιδόσεις Στο παρακάτω διάγραμμα φαίνεται ο χρόνος εκτέλεσης μιας ανίχνευσης σύγκρουσης για διάφορα επίπεδα ιεραρχίας. Χρόνος ανίχνευσης συγκρούσεων armadillo-car Με διαίρεση Με διαίρεση σε Levels of σε σταθερό μεταβαλλόμενο hierarchy άξονα άξονα 2,60 2, ,85 0,40 0,80 0,35 0,22 0,16 0,20 0,12 0,11 0,09 0,07 0,06 0,12 0,11 0,05 0,07 0,23 0,40 0,08 0,12 0,70 1,35 0,20 0,37 Το επίπεδο 0 συμβολίζει την απουσία υποδιαιρέσεων περιβαλλόντων όγκων και ο χρόνος που απαιτήθηκε σε αυτή την περίπτωση είναι 2,5sec. Για διαίρεση σε μεταβαλλόμενο άξονα και 7 επίπεδα ιεραρχίας βλέπουμε ότι ο απαιτούμενος χρόνος είναι 0,05sec. Παρατηρούμε δηλαδή 50 φορές μειωμένο χρόνο εκτέλεσης. Ωστόσο βλέπουμε ότι η μείωση αυτή δεν συνεχίζεται για πάντα, αλλά υπάρχει ένα επίπεδο που αν τον ξεπεράσουμε, ο χρόνος αρχίζει να αυξάνεται. Αυτό δικαιολογείται από τους αυξημένους ελέγχους τομής των κιβωτίων. Αυτό δεν θα συνέβαινε αν εξετάζαμε ιεραρχικά τα κιβώτια, αντί να πηγαίνουμε κατευθείαν στο τελευταίο επίπεδο. Κάτι τέτοιο όμως είναι πιο σύνθετο προγραμματιστικά ειδικά εφόσον έχουμε να διασχίσουμε δύο δέντρα, ένα για το κάθε αντικείμενο. 12

13 Εικόνες Παρατίθενται τα screenshots από τις παρακάτω συγκρούσεις. LoD 0 (1x) Ν 1Ν 5Ν 10Ν Αριθμός τριγώνων Model 1 Model 2 Model Συγκρούσεις Χρόνος 245 0, , ,09

14 LoD 1 (2x) Ν Model 1 1Ν 5Ν 10Ν 6170 Αριθμός τριγώνων Model 2 Model Συγκρούσεις Χρόνος 185 0, , ,08

15 LoD 2 (10x) Ν Model 1 1Ν 5Ν 10Ν 1848 Αριθμός τριγώνων Model 2 Model Συγκρούσεις Χρόνος 88 0, , ,06

16 iii. Περιβάλλοντες Όγκοι AABB Η δημιουργία των AABB (Axis Aligned Bounding Boxes) είναι εύκολη διαδικασία. Πρέπει να ελεγχθούν όλες οι κορυφές του μοντέλου για να βρεθούν τα εξής μεγέθη: min x, min y, min z, max x, max y, max z. Έχοντας αυτά τα 6 μεγέθη, το περιβάλλον κιβώτιο είναι το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με γωνίες {min x, min y, min z}, {max x, max y, max z}. Για την υποδιαίρεση σε επιπλέον επίπεδα ιεραρχίας ακολουθήθηκε η εξής μέθοδος: Illustration 1: Επίπεδο ιεραρχίας L=0 Αρχικά, τα επίπεδα ιεραρχίας αριθμούνται με L=0 για τον αρχικό περιβάλλοντα όγκο (που περικλείει ολόκληρο το μοντέλο), με L=1 για το επίπεδο που περιέχει τις 2 υποδιαιρέσεις του αρχικού όγκου κοκ. Κάθε επίπεδο περιέχει 2L+1-1 κιβώτια. Αν έχουμε L επίπεδα έχουμε συνολικά 2L- 1 κιβώτια. Για την αποθήκευση του δέντρου της ιεραρχίας των κιβωτίων στην μνήμη χρησιμοποιείται ένας πίνακας μεγέθους ίσου με τον μέγιστο αριθμό κιβωτίων (2L- 1), οπού το στοιχείο με θέση i έχει παιδιά τα στοιχεία των θέσεων Illustration 2: Επίπεδο ιεραρχίας L=1 2i+1 και 2i+2. Αυτή είναι μια γραμμική αναπαράσταση μιας δομής δυαδικού δέντρου. Οι υποδιαιρέσεις κατασκευάζονται ως εξής: Όλα τα κιβώτια κάθε επιπέδου τα κόβουμε στην μέση της μεγαλύτερης τους διάστασης, έτσι ώστε από κάθε κιβώτιο του ενός επιπέδου να προκύψουν δύο κιβώτια Illustration 3: Επίπεδο ιεραρχίας L=2 στο αμέσως επόμενο επίπεδο. Σε κάθε διχοτόμηση ενός κιβωτίου φροντίζουμε τα δύο προκύπτοντα κιβώτια να να μην τέμνονται μεταξύ τους. Illustration 4: Επίπεδο ιεραρχίας L=3 Για κάθε κιβώτιο διατηρώ μια λίστα με τα τρίγωνα που αυτό περικλείει. Η λίστα αυτή είναι χρήσιμη για την ανίχνευση συγκρούσεων καθώς και για το ray tracing. Για τρίγωνα κοντά στην συνοριακή επιφάνεια δύο γειτονικών κιβωτίων, τα οποία είναι πιθανό να ανήκουν και στα δύο κιβώτια, φροντίζω να τα συμπεριλάβω και στις δύο λίστες, για λόγους πληρότητας. Τον αριθμό επιπέδων ιεραρχίας τον καθορίζουμε με το #define BVL στο αρχείο mesh.h. Για τον υπολογισμό του ποσοστού κάλυψης κάθε επιπέδου αθροίζω όλους όγκους αυτού του επιπέδου και τους διαιρώ με τον συνολικό όγκο του μοντέλου. Την εύρεση του συνολικού όγκου του μοντέλου θα την περιγράψουμε στην επόμενη παράγραφο. 16

17 Υπολογισμός όγκου μοντέλου Για να υπολογίσουμε τον όγκο του μοντέλου δεν υπάρχει εύκολος αναλυτικός τρόπος. Η μέθοδος που χρησιμοποιούμε για να υπολογίσουμε τον όγκο είναι προσεγγιστική. Σαρώνουμε όλο τον χώρο που περικλείει το κυρίως περιβάλλων κιβώτιο του μοντέλου με ένα διακριτό βήμα ελέγχοντας για κάθε σημείο της σάρωσης εάν είναι εντός ή εκτός του μοντέλου. Ο έλεγχος εντός-εκτός γίνεται εκπέμποντας μια εικονική ακτίνα από κάθε σημείο σάρωσης προς το άπειρο και ελέγχοντας σε πόσα σημεία τέμνει το μοντέλο. Για περιττό αριθμό τομών το σημείο είναι εσωτερικό. Έτσι ο όγκος του μοντέλου είναι: inner _ count * vol total _ count inner_count total_count vol = Εσωτερικά σημεία = Συνολικά σημεία σάρωσης = Όγκος περιβάλλοντος κιβωτίου Στις παρακάτω εικόνες παρουσιάζεται το αποτέλεσμα της σάρωσης του χώρου για μειούμενες τιμές βήματος. Είναι προφανές ότι όσο μικρότερο βήμα έχουμε, τόσο πιο κοντά στην πραγματικότητα βρίσκεται η προσέγγιση που κάνουμε σχετικά με τον όγκο του μοντέλου. Το βήμα μπορούμε να το αλλάξουμε με το #define VDIV στο αρχείο mesh.h. Μικρό VDIV => μεγάλο βήμα. Μικρές τιμές βήματος έχουν μεγάλο αντίκτυπο στον χρόνο φόρτωσης των μοντέλων. 17

18 Σφαίρα Η εύρεση της βέλτιστης σφαίρας που περικλείει ένα σύνολο σημείων είναι πιο δύσκολο πρόβλημα. Ο αλγόριθμος που χρησιμοποιήθηκε είναι ο αλγόριθμος του ritter και λειτουργεί ως εξής: 1. Επιλέγει ένα σημείο x και βρίσκει το σημείο y που έχει την μεγαλύτερη απόσταση από το x. 2. Βρίσκει το σημείο z που έχει την μέγιστη απόσταση από το y. Σχηματίζεται αρχική σφαίρα με κέντρο το μέσο των y,z και ακτίνα την μισή απόσταση yz. 3. Ελέγχει αν όλα τα σημεία είναι μέσα σε αυτή την σφαίρα. Εάν κάποιο δεν είναι τροποποιεί την σφαίρα ώστε να το χωρέσει. Για την δημιουργία ιεραρχίας περιβαλλόντων σφαιρών και συγκεκριμένα για την διχοτόμηση κάθε σφαίρας χρησιμοποιείται το ακόλουθο κριτήριο: Όσα τρίγωνα βρίσκονται αριστερά* από το κέντρο κάθε σφαίρας-πατέρα ανήκουν στην μία υποδιαίρεση, ενώ όσα βρίσκονται δεξιά ανήκουν στη άλλη. *Σε κάθε επίπεδο επιλέγεται άλλη διάσταση (xyz) ώστε να προκύψει πιο ομοιόμορφο αποτέλεσμα. Επειδή οι σφαίρες κάθε επιπέδου επικαλύπτονται, είναι δύσκολο να υπολογιστεί αναλυτικά ο όγκος του χώρου που καταλαμβάνει η ένωση των σφαιρών. Αυτό όμως είναι απαραίτητο για τον υπολογισμό του ποσοστού κάλυψης. Ακολουθήθηκε η ίδια μέθοδος όπως και για την εύρεση του όγκου του μοντέλου. Σαρώθηκε ο χώρος του περιβάλλοντος κιβωτίου της μεγαλύτερης σφαίρας και για κάθε επίπεδο σφαιρών ελέγχθηκε αν τουλάχιστον μία σφαίρα του επιπέδου περιέχει κάθε σημείο σάρωσης. 18

Απαλλακτική Εργασία Γραφικά & Εικονική Πραγματικότητα. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609

Απαλλακτική Εργασία Γραφικά & Εικονική Πραγματικότητα. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609 Απαλλακτική Εργασία Γραφικά & Εικονική Πραγματικότητα Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609 Αναπαράσταση μοντέλου Το 3D μοντέλο το αποθηκεύουμε στην μνήμη με τις εξής δομές δεδομένων: Λίστα κορυφών Λίστα τριγώνων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ-ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΕΙΚΟΝΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ-ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΕΙΚΟΝΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ-ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΕΙΚΟΝΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ 3 η Σειρά Ασκήσεων 1. Ένα σωματίδιο με μάζα m=4 βρίσκεται αρχικά (t=0) στη θέση x=(2,2)

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαράσταση & Απλοποίηση Μοντέλων

Αναπαράσταση & Απλοποίηση Μοντέλων Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 6 Αναπαράσταση & Απλοποίηση Μοντέλων Εισαγωγή Οι 3Δ εικόνες στα Γραφικά αποτελούνται από διάφορα σχήματα & δομές: Γεωμετρικά σχήματα (π.χ. σφαίρες) Μαθηματικές επιφάνειες

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

21. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 - ΔΗΜΙΟΥΡΓΩΝΤΑΣ ΜΕ ΤΟ BYOB BYOB. Αλγόριθμος Διαδικασία Παράμετροι

21. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 - ΔΗΜΙΟΥΡΓΩΝΤΑΣ ΜΕ ΤΟ BYOB BYOB. Αλγόριθμος Διαδικασία Παράμετροι 21. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 - ΔΗΜΙΟΥΡΓΩΝΤΑΣ ΜΕ ΤΟ BYOB BYOB Αλγόριθμος Διαδικασία Παράμετροι Τι είναι Αλγόριθμος; Οι οδηγίες που δίνουμε με λογική σειρά, ώστε να εκτελέσουμε μια διαδικασία ή να επιλύσουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ . ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ P Q Q v P P ln P P P P, P P, Q P P Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Γεωμετρικός Πυρήνας Παραμετρική Σχεδίαση

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Γεωμετρικός Πυρήνας Παραμετρική Σχεδίαση Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Παραμετρική Σχεδίαση Παραμετρική σχεδίαση Παραμετρικό αντικείμενο (2D σχήμα/3d στερεό) ονομάζουμε το αντικείμενο του οποίου η (γεωμετρική)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. Να γράψετε τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πώς ονομάζεται κάθε σύμβολο του τύπου;

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. Να γράψετε τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πώς ονομάζεται κάθε σύμβολο του τύπου; ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Να γράψετε τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πώς ονομάζεται κάθε σύμβολο του τύπου; 2. Τι ξέρετε για το υπόλοιπο που προκύπτει από μια Ευκλείδεια διαίρεση; 3. Τι ονομάζουμε τέλεια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα

Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα Ασκήσεις της Ενότητας 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- α. Η χρήση της πένας Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα Υπάρχουν εντολές που μας επιτρέπουν να επιλέξουμε το χρώμα της πένας, καθώς και το

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΑΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΑΣ 1. ΓΕΝΙΚΑ Από τις καταστάσεις της ύλης τα αέρια και τα υγρά δεν παρουσιάζουν κάποια τυπική διάταξη ατόμων, ενώ από τα στερεά ορισμένα παρουσιάζουν συγκεκριμένη διάταξη ατόμων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Οπτικοποίηση Απαλοιφή

Κεφάλαιο 8. Οπτικοποίηση Απαλοιφή Κεφάλαιο 8. Οπτικοποίηση Απαλοιφή Oι οπτικές επιδράσεις, που μπορεί να προκαλέσει μια εικόνα στους χρήστες, αποτελούν ένα από τα σπουδαιότερα αποτελέσματα των λειτουργιών γραφικών με Η/Υ. Τον όρο της οπτικοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός Μονοπατιών Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Εισαγωγή. Το πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε εδώ είναι γνωστό σαν: Δρομολόγηση και Πολύ-χρωματισμός Διαδρομών (Routing

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Οι θέσεις ενός σημείου στο επίπεδο και στο χώρο Φύλλο εργασίας 1

Οι θέσεις ενός σημείου στο επίπεδο και στο χώρο Φύλλο εργασίας 1 Οι θέσεις ενός σημείου στο επίπεδο και στο χώρο Φύλλο εργασίας 1 1 2 3 Στη «Περιοχή επεξεργασίας αντικειμένων» επιλέξτε την εντολή «Νέο αντικείμενο» και στον κατάλογο που θα εμφανιστεί επιλέξτε «Ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης. ), για οποιοδήποτε μονοπάτι n 1

Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης. ), για οποιοδήποτε μονοπάτι n 1 Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2016 17 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης 4.1. (α) Αποδείξτε ότι αν η h είναι συνεπής, τότε h(n

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4 Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟΚΟΠΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟΚΟΠΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟΚΟΠΗ Ένα γεωμετρικό μοντέλο είναι μια αριθμητική περιγραφή ενός αντικειμένου, που περιλαμβάνει το μέγεθος, το σχήμα, καθώς και άλλες ιδιότητές του. Η περιγραφή του μοντέλου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 11 12 (B - Γ Λυκείου) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Από την εικόνα μπορούμε να δούμε ότι: 1 + 3 + 5 + 7 = 4 4. Ποια είναι η τιμή του: 1 + 3 +

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέµα 1 (25 µονάδες) Ένα εκκρεµές µήκους l κρέµεται έτσι ώστε η σηµειακή µάζα να βρίσκεται ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά με υπολογιστές

Γραφικά με υπολογιστές Γραφικά με Υπολογιστές Ενότητα # 3: Εισαγωγή Φοίβος Μυλωνάς Τμήμα Πληροφορικής Φοίβος Μυλωνάς Γραφικά με υπολογιστές 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ. Δημιουργία Ευρετηρίων Συλλογής Κειμένων

ΑΣΚΗΣΗ. Δημιουργία Ευρετηρίων Συλλογής Κειμένων Γλωσσική Τεχνολογία Ακαδημαϊκό Έτος 2011-2012 Ημερομηνία Παράδοσης: Στην εξέταση του μαθήματος ΑΣΚΗΣΗ Δημιουργία Ευρετηρίων Συλλογής Κειμένων Σκοπός της άσκησης είναι η υλοποίηση ενός συστήματος επεξεργασίας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

κυρτών και σύνθετων σωμάτων

κυρτών και σύνθετων σωμάτων Τ.Ε.Ι. Αθηνών τμήμα Πληροφορικής Διπλωματική εργασία Ανίχνευση συγκρούσεων σε σκηνές 3Δ κυρτών και σύνθετων σωμάτων Κόνιαρης Χαράλαμπος Επιβλέπων καθηγητής : Δρ. Ιωάννης Πρατικάκης Περιληπτικά (1) Γενικά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο 3 cm 5 cm Ο τύπος όπως είναι γραμμένος δείχνει ότι μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε δύο μήκη. Ε=3cm x 5cm=15cm 2. Πώς καταλαβαίνετε

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Ενότητα 12: Κατακερματισμός: Χειρισμός Συγκρούσεων. Καθηγήτρια Μαρία Σατρατζέμη. Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής.

Δομές Δεδομένων. Ενότητα 12: Κατακερματισμός: Χειρισμός Συγκρούσεων. Καθηγήτρια Μαρία Σατρατζέμη. Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής. Ενότητα 12: Κατακερματισμός: Χειρισμός Συγκρούσεων Καθηγήτρια Μαρία Σατρατζέμη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Εμφάνιση σε 2D

Γραφικά Υπολογιστών: Εμφάνιση σε 2D 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Εμφάνιση σε 2D Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα Έννοιες παραθύρων (windowing) Αποκοπή (clipping)

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία Αίγυπτο και στην Πυθαγόρεια παράδοση,ο πρώτος ορισμός που έχουμε για αυτήν ανήκει στον Ευκλείδη που την ορίζει ως διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομος οδηγός αναφοράς Για Windows Έκδοση 4.0

Σύντομος οδηγός αναφοράς Για Windows Έκδοση 4.0 Σύντομος οδηγός αναφοράς Για Windows Έκδοση 4.0 Παράθυρα των εγγράφων Επιφάνεια του σχεδίου. Σχεδιάστε εδώ νέα αντικείμενα με τα εργαλεία σημείων, διαβήτη, σχεδίασης ευθύγραμμων αντικειμένων και κειμένου.

Διαβάστε περισσότερα

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Πολλά προβλήματα λύνονται μέσω δισδιάστατων απεικονίσεων ενός μοντέλου. Μεταξύ αυτών και τα προβλήματα κίνησης, όπως η κίνηση ενός συρόμενου μηχανισμού.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ. Αν α-β>0 τότε α>β «Αν η διαφορά είναι θετικός αριθμός τότε ο πρώτος αριθμός δηλαδή το α είναι μεγαλύτερος από τον δεύτερο δηλαδή το β»

ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ. Αν α-β>0 τότε α>β «Αν η διαφορά είναι θετικός αριθμός τότε ο πρώτος αριθμός δηλαδή το α είναι μεγαλύτερος από τον δεύτερο δηλαδή το β» ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Μεταξύ δύο πραγματικών αριθμών μεγαλύτερος είναι εκείνος που βρίσκεται πιο δεξιά στον άξονα των πραγματικών αριθμών. Αν θέλουμε να συγκρίνουμε δύο αριθμούς α και β βρίσκουμε τη διαφορά τους

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

GET SDI PORTAL v1. Οδηγός Βοήθειας

GET SDI PORTAL v1. Οδηγός Βοήθειας GET SDI PORTAL v1 Οδηγός Βοήθειας Μεταδεδομένα εγγράφου Στοιχείο/Element Τιμή/value Ημερομηνία/Date 2011-06-16 Τίτλος/Title GETSDIPortal_v1_Help_v1.0 Θέμα/Subject Οδηγός Βοήθειας Έκδοση/Version 1.0 Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007

Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007 Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007 Πρόβλημα 1 Το πρώτο πρόβλημα λύνεται με τη μέθοδο του Δυναμικού Προγραμματισμού. Για να το λύσουμε με Δυναμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο Βασικές Έννοιες Αλγορίθμων (σελ )

Κεφάλαιο 2 ο Βασικές Έννοιες Αλγορίθμων (σελ ) Κεφάλαιο 2 ο Βασικές Έννοιες Αλγορίθμων (σελ. 25 48) Τι είναι αλγόριθμος; Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Αλγόριθμος είναι μία πεπερασμένη σειρά ενεργειών, αυστηρά καθορισμένων και εκτελέσιμων σε πεπερασμένο χρονικό διάστημα,

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων

Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Εκτελώντας το πρόγραμμα παίρνουμε ένα παράθυρο εργασίας Γεωμετρικών εφαρμογών. Τα βασικά κουμπιά και τα μενού έχουν την παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας. αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας m i και θέσης r i

Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας. αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας m i και θέσης r i Κέντρο μάζας Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας Η θέση κέντρου μάζας ορίζεται ως r r i i αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας i και θέσης r i. Συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Dcad 1.0

ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Dcad 1.0 ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Dcad 1.0 20130510 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Εγκατάσταση προγράμματος DCAD 2 2. Ενεργοποίηση Registration 2 3. DCAD 3 3.1 Εισαγωγή σημείων 3 3.2 Εξαγωγή σημείων 5 3.3 Στοιχεία ιδιοκτησίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods)

Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods) 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods) Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής.

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3.1. Διατύπωση του Προβλήματος. Τα συστήματα αναμονής (queueing systems), βρίσκονται πίσω από τα περισσότερα μοντέλα μελέτης της απόδοσης υπολογιστικών συστημάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανύσματα Ευθείες - Επίπεδα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διάνυσμα ή Διανυσματικό μέγεθος (Vector) Μέγεθος που

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος B1) Δεδομένου του τύπου E = 2kλ/ρ που έχει αποδειχθεί στο μάθημα και περιγράφει το ηλεκτρικό πεδίο Ε μιας άπειρης γραμμής φορτίου με γραμμική πυκνότητα φορτίου λ σε σημείο Α που βρίσκεται σε απόσταση ρ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΜΗΧΑΝΙΚΑ- ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΜΗΧΑΝΙΚΑ- ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://www.study4exams.gr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Ενότητα 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα α. Θέση και προσανατολισμός της μορφής Η θέση της κάθε μορφής στο σκηνικό προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών, Τ.Ε.Π Π.Μ, Μάθημα: Γραφικά με Η/Υ

Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών, Τ.Ε.Π Π.Μ, Μάθημα: Γραφικά με Η/Υ ΓΡΑΦΙΚΑ Γέμισμα ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΕΜΙΣΜΑΤΟΣ Για τις πλεγματικές οθόνες υπάρχουν: Αλγόριθμοι γεμίσματος:, που στηρίζονται στη συνάφεια των pixels του εσωτερικού ενός πολυγώνου Αλγόριθμοι σάρωσης: που στηρίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3 Βασικά σύνολα αριθμών -Σύνολο φυσικών: Ν = {0,., } ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ -Σύνολο ακεραίων: Ζ= { -.-.0.,, } Συμβολίζουμε με ν=κ και τους άρτιους και τους περιττούς αντίστοιχα. * -Σύνολο ρητών: Q =, Z &

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ Εισαγωγή /4 Το σχήμα και το μέγεθος των δισδιάστατων αντικειμένων περιγράφονται με τις καρτεσιανές συντεταγμένες x, y. Με εφαρμογή γεωμετρικών μετασχηματισμών στο μοντέλο

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Α ΜΕΡΟΣ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι; Να δώσετε παραδείγματα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 Όταν ένας αριθμός διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

5. Κβαντική Διερεύνηση - Κβαντικός αλγόριθμος του Grover

5. Κβαντική Διερεύνηση - Κβαντικός αλγόριθμος του Grover 5. Κβαντική Διερεύνηση - Κβαντικός αλγόριθμος του Grover Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται ο αλγόριθμος του Grover για τη διερεύνηση μη δομημένων βάσεων δεδομένων. Περιγράφονται οι τελεστές και το

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 (ανακοινώθηκε στις 20 Μαρτίου 2017, προθεσμία παράδοσης: 24 Απριλίου 2017, 12 τα μεσάνυχτα).

Άσκηση 1 (ανακοινώθηκε στις 20 Μαρτίου 2017, προθεσμία παράδοσης: 24 Απριλίου 2017, 12 τα μεσάνυχτα). Κ08 Δομές Δεδομένων και Τεχνικές Προγραμματισμού Διδάσκων: Μανόλης Κουμπαράκης Εαρινό Εξάμηνο 2016-2017. Άσκηση 1 (ανακοινώθηκε στις 20 Μαρτίου 2017, προθεσμία παράδοσης: 24 Απριλίου 2017, 12 τα μεσάνυχτα).

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορική 2. Δομές δεδομένων και αρχείων

Πληροφορική 2. Δομές δεδομένων και αρχείων Πληροφορική 2 Δομές δεδομένων και αρχείων 1 2 Δομή Δεδομένων (data structure) Δομή δεδομένων είναι μια συλλογή δεδομένων που έχουν μεταξύ τους μια συγκεκριμένη σχέση Παραδείγματα δομών δεδομένων Πίνακες

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλο φωτισμού Phong

Μοντέλο φωτισμού Phong ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Στο προηγούμενο κεφάλαιο παρουσιάσθηκαν οι αλγόριθμοι απαλοιφής των πίσω επιφανειών και ακμών. Απαλοίφοντας λοιπόν τις πίσω επιφάνειες και ακμές ενός τρισδιάστατου αντικειμένου, μπορούμε να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής αναγνωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές μέθοδοι

Επαναληπτικές μέθοδοι Επαναληπτικές μέθοδοι Η μέθοδος της διχοτόμησης και η μέθοδος Regula Fals που αναφέραμε αξιοποιούσαν το κριτήριο του Bolzano, πραγματοποιώντας διαδοχικές υποδιαιρέσεις του διαστήματος [α, b] στο οποίο,

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 7. Σημείωση: Για τη διδασκαλία της ενότητας είναι πολύ σημαντική η χρήση των εποπτικών μέσων (στερεών και αναπτυγμάτων των στερεών).

ΕΝΟΤΗΤΑ 7. Σημείωση: Για τη διδασκαλία της ενότητας είναι πολύ σημαντική η χρήση των εποπτικών μέσων (στερεών και αναπτυγμάτων των στερεών). ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Διερεύνηση σχημάτων και χώρου Γ2.6 Ονομάζουν, περιγράφουν και ταξινομούν τρισδιάστατα σχήματα (κύβο, ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, πυραμίδα, σφαίρα, κύλινδρο, κώνο),

Διαβάστε περισσότερα

Παράλληλοι Αλγόριθμοι: Ανάλυση Εικόνας και Υπολογιστική Γεωμετρία. Πέτρος Ποτίκας CoReLab 4/5/2006

Παράλληλοι Αλγόριθμοι: Ανάλυση Εικόνας και Υπολογιστική Γεωμετρία. Πέτρος Ποτίκας CoReLab 4/5/2006 Παράλληλοι Αλγόριθμοι: Ανάλυση Εικόνας και Υπολογιστική Γεωμετρία Πέτρος Ποτίκας CoReLab 4/5/2006 Επισκόπηση Ετικέτες σε συνιστώσες (Component labelling) Hough μετασχηματισμοί (transforms) Πλησιέστερος

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

6. Κάμψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών

6. Κάμψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 6. Κάμψη Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενα ενότητας Ανάλυση της κάμψης Κατανομή ορθών τάσεων Ουδέτερη γραμμή Ροπές αδρανείας Ακτίνα καμπυλότητας 2 Εισαγωγή (1/2) Μελετήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Οι δυναμικές δομές δεδομένων στην ΑΕΠΠ

Οι δυναμικές δομές δεδομένων στην ΑΕΠΠ Καθηγητής Πληροφορικής Απαγορεύεται η αναπαραγωγή των σημειώσεων χωρίς αναφορά στην πηγή Οι σημειώσεις, αν και βασίζονται στο διδακτικό πακέτο, αποτελούν προσωπική θεώρηση της σχετικής ύλης και όχι επίσημο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο 1. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry II

Φύλλο 1. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry II 1 Φύλλο 1 Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry II Στις δύο παρακάτω γραμμές από το περιβάλλον του λογισμικού αυτού η πρώτη αφορά γενικές επεξεργασίες και δεύτερη με τα εικονίδια περιλαμβάνει τις στοιχειώδεις

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα ΦΥΕ 4 Διανύσματα Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα Δύο διανύσματα θα θεωρούμε ότι είναι ίσα, εάν έχουν το ίδιο μήκος

Διαβάστε περισσότερα