Γραφικά και Εικονική Πραγματικότητα Απαλλακτική εργασία Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γραφικά και Εικονική Πραγματικότητα Απαλλακτική εργασία 2012. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609"

Transcript

1 Γραφικά και Εικονική Πραγματικότητα Απαλλακτική εργασία B Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609

2 Περιεχόμενα Πίνακας Περιεχομένων...2 Περιεχόμενα...2 Προγραμματιστικές λεπτομέρειες υλοποίησης...3 geom.h...3 mesh.h mesh.cpp...3 glvisuals.h glvisuals.cpp...4 main.cpp...4 User Interface...5 Αντιστοιχίες πλήκτρων...5 i. Απλοποίηση πλέγματος...6 Μέθοδος...6 Κατάρρευση ακμής...6 Παράδειγμα...6 Επιλογή ακμών προς κατάρρευση...7 Εύρεση γειτονικού τριγώνου ακμής...7 Εικόνες...7 ii. Ανίχνευση συγκρούσεων...11 Τομή ορθογωνίου ορθογωνίου...11 Τομή τριγώνου τριγώνου...11 Τομή τριγώνου ευθύγραμμου τμήματος...11 Αλγόριθμος...11 Επιδόσεις...12 Εικόνες...13 iii. Περιβάλλοντες Όγκοι...16 AABB...16 Υπολογισμός όγκου μοντέλου...16 Σφαίρα

3 Προγραμματιστικές λεπτομέρειες υλοποίησης Documentation για τον κώδικα υπάρχει εδώ: Για την δημιουργία του documentation χρησιμοποιήθηκε το doxygen. Παρακάτω περιγράφεται συνοπτικά η λειτουργία κάθε αρχείου/κλάσης. geom.h Περιέχει δομές δεδομένων για την διαχείριση των γεωμετρικών σχημάτων που χρησιμοποιούνται. Κάθε δομή περιέχει τα ελάχιστα δεδομένα που είναι απαραίτητα για τον ορισμό του σχήματος και ίσως κάποια πλεονάζουσα πληροφορία που είναι χρονοβόρα στον υπολογισμό. Επίσης κάθε δομή, που είναι ισοδύναμη με κλάση στη C++, περιέχει διάφορες χρήσιμες μεθόδους για την επεξεργασία των γεωμετρικών σχημάτων. struct Point Ένα 3Δ σημείο. struct Line Ένα 3Δ ευθύγραμμο τμήμα. struct Box Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο. struct Triangle Ένα 3Δ τρίγωνο. Δεν περιέχει τα δεδομένα των κορυφών, αλλά έναν δείκτη σε πίνακα κορυφών και τρεις ακέραιους δείκτες για τις τρεις κορυφές. struct Sphere Μια σφαίρα. classs Geom Περιέχει στατικές μεθόδους που δεν ανήκουν λογικά σε καμία από τις παραπάνω κλάσεις, όπως μεθόδους για τον έλεγχο τομής διαφόρων σχημάτων. Το μέγεθος σε byte των παραπάνω δομών, ειδικά αυτών που πρόκειται να χρησιμοποιηθούν σε μεγάλες ποσότητες, όπως τα σημεία και τα τρίγωνα, πρέπει να παραμείνει το λιγότερο δυνατό, γιατί έτσι σε μία σελίδα της cache χωράνε περισσότερα αντικείμενα, πράγμα που επιδρά δραστικά στην απόδοση του προγράμματος. Έτσι ένα πλεονάζον πεδίο πρέπει να συμπεριληφθεί μόνο αν χρειάζεται συχνά και είναι πολύ χρονοβόρο στον υπολογισμό του. mesh.h mesh.cpp Ορισμός και υλοποίηση της κλάσης Mesh. Αυτή η κλάση αναλαμβάνει την διαχείριση μοντέλων αποτελούμενων από τριγωνικό πλέγμα. Είναι υπεύθυνη για την φόρτωση, την επεξεργασία και την απεικόνιση των μοντέλων. Η αποθήκευση των μοντέλων γίνεται με δεικτοδοτημένη λίστα κορυφών, έτσι η φόρτωση από αρχείο.obj είναι τετριμμένη. Κάθε στιγμιότυπο της κλάσης αυτής εκτός από την γεωμετρία, περιλαμβάνει και άλλες πληροφορίες, όπως: Κάθετα διανύσματα κορυφών. Λίστα με τα τρίγωνα που εφάπτονται σε κάθε κορυφή. Ιεραρχία περιβαλλόντων όγκων. Λίστες με τα τρίγωνα που περιέχει κάθε υπό-όγκος της ιεραρχίας. Θέση στο σκηνή. Περιστροφή στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων. 3

4 Οι λειτουργίες που υποστηρίζονται μέσω αυτής της κλάσης είναι: Φόρτωση από αρχείο.obj. Αντιγραφή μοντέλου με copy constructor. Ευθυγράμμιση στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων. Κατασκευή ιεραρχίας περιβαλλόντων όγκων. Ανίχνευση συγκρούσεων με άλλο μοντέλο. Καθορισμός μεγέθους. Απλοποίηση πλέγματος. glvisuals.h glvisuals.cpp Ορισμός και υλοποίηση της κλάσης GlVisuals. Αυτή η κλάση είναι υπεύθυνη για την διαχείριση της σκηνής. Η σκηνή με όλα της τα αντικείμενα αντιστοιχεί σε ένα στιγμιότυπο αυτής της κλάσης. Δεν κάνει καμία παραδοχή για το περιβάλλον εκτός από την ύπαρξη opengl, έτσι είναι ανεξάρτητη από αυτό. Συνεπώς, μπορεί, εκτός από το glut, να χρησιμοποιηθεί από οποιαδήποτε βιβλιοθήκη υποστηρίζει opengl, πχ Qt, χωρίς αλλαγές. Στην λειτουργικότητα αυτής της κλάσης περιλαμβάνεται η διεπαφή με τον χρήστη, παρέχοντας μεθόδους για κάθε στοιχειώδες event, όπως πατήματα πλήκτρων και κινήσεις του ποντικιού. main.cpp Περιέχει μόνο την αρχικοποίηση του περιβάλλοντος glut και τον χειρισμό των event του glut. Η διαχείριση της σκηνής γίνεται από ένα στιγμιότυπο της κλάσης glvisuals. Τα event του glut μεταφέρονται στο στιγμιότυπο της glvisuals που τα ερμηνεύει κατάλληλα. 4

5 User Interface Για καλύτερη επίδειξη των διάφορων λειτουργιών σχεδιάστηκε ένα στοιχειώδες user interface. Η σκηνή αποτελείται από 2 αντικείμενα. Με τα βελάκια μετακινώ είτε κάποιο από τα αντικείμενα είτε την σκηνή, ανάλογα με το τι είναι επιλεγμένο. Με 'space' εναλλάσσουμε το επιλεγμένο αντικείμενο. Με '0' επιλέγουμε την σκηνή ενώ με '1' τα αντικείμενα. Αντιστοιχίες πλήκτρων Πλήκτρο space 0 Λειτουργία Εναλλαγή μοντέλου 1/2 (armadillo/car) Επιλογή σκηνής (Αποεπιλογή μοντέλων) 1-9 Επιλογή αντιγράφου μοντέλου. (Αρχικά υπάρχει μόνο ένα αντίγραφο από κάθε μοντέλο, αλλά με shift+d μπορούμε να φτιάξουμε περισσότερα) W Wireframe display on / off. S Solid display on / off. N Vertex normal display on / off. V Voxel display on / off. B Εναλλαγή μεταξύ bounding box / sphere. H Εναλλαγή μεταξύ απεικόνισης κυρίως bounding volume / ιεραρχίας. R Επαναφορά μοντέλων στην αρχή των αξόνων. D Απλοποίηση μοντέλου. D + shift Αντιγραφή του επιλεγμένου μοντέλου και απλοποίηση του αντιγράφου. 5

6 i. Απλοποίηση πλέγματος Μέθοδος Την απλοποίηση του μοντέλου αναλαμβάνει η μέθοδος void Mesh::simplify(int percent). Η μέθοδος που ακολουθείται είναι η διαδοχική κατάρρευση ακμών. Αυτή μέθοδος απλοποιεί το τριγωνικό πλέγμα συγχωνεύοντας δύο γειτονικές κορυφές (ακμή) σε μία. Τα τρίγωνα που μοιράζονταν αυτή την ακμή διαγράφονται. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται μέχρι να φτάσουμε στο επιθυμητό επίπεδο πολυπλοκότητας. Παρακάτω περιγράφονται τα βήματα που ακολουθούνται σε κάθε κατάρρευση. Κατάρρευση ακμής Ορίζουμε: Vk: Η πρώτη κορυφή της ακμής που θα καταρρεύσει. Vx: Η δεύτερη κορυφή της ακμής που θα καταρρεύσει. Ti: Το πρώτο τρίγωνο που εφάπτεται στην ακμή που θα καταρρεύσει. Tx: Το δεύτερο τρίγωνο που εφάπτεται στην ακμή που θα καταρρεύσει. VkList: Λίστα με τα τρίγωνα που περιέχουν την ακμή Vk. VxList: Λίστα με τα τρίγωνα που περιέχουν την ακμή Vx. Αφού αναγνωριστούν όλα τα παραπάνω δεδομένα, γίνονται οι εξής ενέργειες: Διαγραφή των Vk, Vx (κορυφές), Ti, Tx (τρίγωνα). Εισαγωγή νέας κορυφής που παίρνει την θέση την ακμής που κατέρρευσε, ώστε να αντικαταστήσει τις κορυφές Vk, Vx στα τρίγωνα που τις περιείχαν. Τα τρίγωνα αυτά είναι τα τρίγωνα που βρίσκονται στις λίστες VkList, VxList. Ανανέωση των τριγώνων (VkList U VxList - {ti, tx}), σύμφωνα με την προηγούμενη πρόταση. Αντιγραφή της λίστας Vklist, στην VkList. Η νέα κορυφή που θα δημιουργηθεί για λόγους απόδοσης μπορεί να είναι μία από τις Vk, Vx πετυχαίνοντας ουσιαστικά την συγχώνευση των δύο κορυφών σε μία. Παράδειγμα Δίπλα φαίνεται ένα τριγωνικό πλέγμα στο οποίο έχουν χρωματιστεί Με κόκκινο τα τρίγωνα προς διαγραφή. Με πράσινο τα τρίγωνα των λιστών VkList, VxList. Με πράσινο η κορυφή Vkeep. Με κόκκινο η κορυφή Vx. Το αποτέλεσμα της παραπάνω διαδικασίας φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. 6

7 Βλέπουμε ότι τα τρίγωνα της αριστερής κορυφής που διαγράψαμε έμειναν ανεπηρέαστα ενώ τα τρίγωνα της άλλης κορυφής εκτάθηκαν και παραμορφώθηκαν σε μεγάλο βαθμό. Για να μειωθεί αυτή η ασυμμετρία τοποθετούμε την νέα κορυφή στην μέση της ακμής που κατέρρευσε και παίρνουμε έτσι αυτό το τελικό αποτέλεσμα. Τα πράσινα τρίγωνα στο τελικό πλέγμα είναι αυτά που επηρεάστηκαν από την συγκεκριμένη κατάρρευση. Το υπόλοιπο πλέγμα έμεινε τελείως ανεπηρέαστο. Επιλογή ακμών προς κατάρρευση Παραπάνω περιγράψαμε τον τρόπο που γίνεται μια κατάρρευση ακμής. Τώρα θα δείξουμε πώς συντονίζεται όλη η διαδικασία ώστε να επιλεγούν για κατάρρευση οι ακμές που θα έχουν την λιγότερη επίδραση στην αλλοίωση του συνολικού σχήματος. Αρχικά δημιουργούμε μια λίστα που περιέχει όλα τρίγωνα. Κάθε τρίγωνο αναπαρίσταται με έναν ακέραιο δείκτη που δείχνει στον πίνακα τριγώνων. Στην συνέχεια ταξινομούμε την λίστα με το εξής κριτήριο. Σε κάθε τρίγωνο αντιστοιχεί μία τιμή που προκύπτει ως ο μέσος όρος των εσωτερικών γινομένων των κάθετων διανυσμάτων των γειτονικών τριγώνων της πρώτης κορυφής. Επειδή το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι μέτρο της παραλληλίας τους, με το παραπάνω κριτήριο πετυχαίνουμε να μπουν πρώτα στην λίστα τα τρίγωνα που βρίσκονται σε σχετικά επίπεδη περιοχή του πλέγματος. Έτσι οι περιοχές με λεπτομέρειες (υψηλή συχνότητα) επεξεργάζονται αργότερα, ενώ στην αρχή της διαδικασίας επεξεργάζονται οι επίπεδες περιοχές του μοντέλου στις οποίες μια κατάρρευση έχει μικρό αντίκτυπο στο συνολικό σχήμα. Τώρα περνάμε στην διαδικασία της απλοποίησης του πλέγματος. Ξεκινώντας από το πρώτο τρίγωνο επιλέγουμε την ακμή που ενώνει την πρώτη με την δεύτερη κορυφή και εκτελούμε την κατάρρευση όπως περιγράφεται παραπάνω. Τα επηρεαζόμενα τρίγωνα κάθε κατάρρευσης αφαιρούνται από την λίστα τριγώνων προς επεξεργασία, ώστε να μην είναι δυνατό να επιλεγούν στην συνέχεια για κατάρρευση. Αυτό γίνεται για να μην συμβαίνουν πολλαπλές αλλοιώσεις στα ίδια τρίγωνα που θα οδηγούσαν σε σημαντικές παραμορφώσεις. Τα διαγραμμένα τρίγωνα δεν αφαιρούνται σε αυτή την φάση από τον πίνακα τριγώνων του μοντέλου, αλλά σημαδεύονται ως διαγραμμένα με χρήση του πεδίου deleted του struct Triangle. Η οριστική διαγραφή τους γίνεται στο τέλος της διαδικασίας. Αν στην εξέλιξη της μεθόδου συναντηθεί κάποιο διαγραμμένο τρίγωνο τότε αυτό παρακάμπτεται αφού δεν είναι πλέον έγκυρο τρίγωνο του μοντέλου. Κάθε κλήση της συνάρτησης απλοποίησης εξαντλεί την λίστα τριγώνων προς επεξεργασία, έτσι το ποσοστό μείωσης κάθε φορά εξαρτάται από την σύνδεση των κορυφών του πλέγματος και συγκεκριμένα από τον αριθμό τριγώνων κάθε κορυφής. Εύρεση γειτονικού τριγώνου ακμής Όπως ήδη αναφέραμε, η ακμή προς κατάρρευση επιλέγεται ως μία από τις τρεις ακμές ενός τριγώνου. Έτσι το ένα τρίγωνο αυτής της ακμής το ξέρουμε ήδη. Για να βρούμε το δεύτερο χρησιμοποιούμε τις λίστες τριγώνων κάθε κορυφής που έχουν κατασκευαστεί αμέσως μετά την φόρτωση του μοντέλου. Το δεύτερο τρίγωνο πρέπει να υπάρχει και στις δύο λίστες τριγώνων των κορυφών της ακμής που έχουμε επιλέξει. Είναι δηλαδή η τομή των συνόλων VkList, VxList όπως αυτά περιγράφονται παραπάνω. Εικόνες Στις παρακάτω εικόνες φαίνεται το μοντέλο 1. Στην πρώτη εικόνα δεν έχει υποστεί επεξεργασία ενώ στις επόμενες περνάει από 5 διαδοχικά στάδια επεξεργασίας. 7

8 Στάδιο 0 ( τρίγωνα 100%) Στάδιο 1 (9.380 τρίγωνα 66%) 8

9 Στάδιο 2 (6.172 τρίγωνα 43%) Στάδιο 3 (4078 τρίγωνα 29%) Στάδιο 4 (2708 τρίγωνα 19%) Στάδιο 5 (1832 τρίγωνα 13%) 9

10 Στις παρακάτω εικόνες φαίνεται το μοντέλο 2. Στην πρώτη εικόνα δεν έχει υποστεί επεξεργασία ενώ στις επόμενες περνάει από 4 διαδοχικά στάδια επεξεργασίας. Στάδιο 0 (30356 τρίγωνα 100%) Στάδιο 1 (19630 τρίγωνα 65%) Στάδιο 2 (12890 τρίγωνα 42%) Στάδιο 3 (8498 τρίγωνα 28%) Στάδιο 4 (5640 τρίγωνα 19%) Παρατηρούμε ότι σε αυτό το μοντέλο η αλλοίωση αρχίζει πολύ νωρίτερα και σε μεγάλο βαθμό. 10

11 ii. Ανίχνευση συγκρούσεων Για να επιτευχθεί η ανίχνευση συγκρούσεων των τριγωνικών μοντέλων χρειάστηκε να υλοποιηθούν οι παρακάτω συναρτήσεις ελέγχου τομής. Τομή ορθογωνίου ορθογωνίου Τομή τριγώνου τριγώνου Τομή τριγώνου ευθύγραμμου τμήματος Τομή ορθογωνίου ορθογωνίου Η τομή δύο ορθογωνίων είναι απλή και υπολογίζεται με 6 ανισότητες. (b1.min.x < b2.max.x) && (b1.max.x > b2.min.x) && (b1.min.y < b2.max.y) && (b1.max.y > b2.min.y) && (b1.min.z < b2.max.z) && (b1.max.z > b2.min.z); Τομή τριγώνου τριγώνου Η τομή δύο τριγώνων στηρίζεται στην τομή των τριών πλευρών του πρώτου τριγώνου με το δεύτερο και των τριών πλευρών του δεύτερου τριγώνου με το πρώτο. Στην αρχή μπορεί να γίνει και ένας έλεγχος των περιβαλλόντων κιβωτίων των τριγώνων, ώστε στην περίπτωση που τα τρίγωνα είναι αρκετά μακριά να αποφευχθεί ο ακριβός έλεγχος ανά ακμή. Τομή τριγώνου ευθύγραμμου τμήματος Αρχικά γίνεται έλεγχος αν το ευθύγραμμο τμήμα τέμνει το επίπεδο του τριγώνου. Αυτό γίνεται εξετάζοντας το πρόσημο της εξίσωσης επιπέδου των δύο ακρών του ευθύγραμμου τμήματος. Για να υπάρχει τομή πρέπει να οι δύο τιμές της εξίσωσης να είναι ετερόσημες if (t.planeequation(l.start) * t.planeequation(l.end) > 0) return false; Αν δεν υπάρχει τομή με το επίπεδο του τριγώνου, τότε δεν υπάρχει τομή και με το τρίγωνο. Αν υπάρχει τομή πρέπει να την βρούμε. Η τομή βρίσκεται από τον εξής τύπο. i = p2 + t (p2-p1) όπου t = - Ax1 +By1 +Cz1 +D Ax 2 +By 2 +Cz2 Αφού βρούμε το σημείο τομής i πρέπει να ελέγξουμε ότι βρίσκεται μέσα στο τρίγωνο. Αυτό το κάνουμε με τον εξής τρόπο. Σχηματίζουμε τρία επίπεδα κάθετα στις τρεις πλευρές του τριγώνου. Στην συνεχεία παίρνουμε τις εξισώσεις των τριών επιπέδων για το σημείο τομής και αν είναι και οι τρεις ομόσημες, τότε το σημείο είναι εσωτερικό και των τριών επιπέδων που συνεπάγεται ότι ανήκει στο αρχικό τρίγωνο. Ο σχηματισμός των τριών κάθετων επιπέδων γίνεται δημιουργώντας για κάθε κορυφή του αρχικού τριγώνου ένα τρίγωνο που αποτελείται από την ίδια την κορυφή, την επόμενη κορυφή και από ένα σημείο που προκύπτει ως το διανυσματικό άθροισμα μιας από τις δύο προηγούμενες κορυφές με το κάθετο διάνυσμα του τριγώνου. Αλγόριθμος Αρχικά υλοποιήθηκε η ανίχνευση συγκρούσεων με απλό τρόπο ελέγχοντας όλα τα τρίγωνα του πρώτου μοντέλου με όλα του δεύτερου για τομή. Προφανώς αυτός ο τρόπος δεν ήταν αποδοτικός με πολυπλοκότητα O(n2). Για την επιτάχυνση της διαδικασίας αξιοποιήθηκε η ιεραρχία περιβαλλόντων όγκων. Για την δημιουργία των τελευταίων θα μιλήσουμε στο επόμενο κεφάλαιο. 11

12 Ο αλγόριθμος ανίχνευσης συγκρούσεων εργάζεται ως εξής: ΓΙΑ ΚΑΘΕ AABB του ΜΟΝΤΕΛΟΥ_1 ΓΙΑ ΚΑΘΕ AABB του ΜΟΝΤΕΛΟΥ_2 ΑΝ ΤΑ ΑΑΒΒ ΤΕΜΝΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΚΑΘΕ ΤΡΙΓΩΝΟ ΤΟΥ ΑΑΒΒ_1 ΑΝ ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΤΕΜΝΕΤΑΙ ΜΕ ΤΟ ΑΑΒΒ_2 ΓΙΑ ΚΑΘΕ ΤΡΙΓΩΝΟ ΤΟΥ ΑΑΒΒ_2 ΑΝ ΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΤΕΜΝΟΝΤΑΙ ΠΡΟΣΘΕΣΕ ΤΑ ΣΤΙΣ ΣΥΓΚΡΟΥΣΕΙΣ Όπου AABB είναι τα περιβάλλοντα κιβώτια του τελευταίου επιπέδου, τα φύλλα δηλαδή του δέντρου ιεραρχίας περιβαλλόντων όγκων. Επιδόσεις Στο παρακάτω διάγραμμα φαίνεται ο χρόνος εκτέλεσης μιας ανίχνευσης σύγκρουσης για διάφορα επίπεδα ιεραρχίας. Χρόνος ανίχνευσης συγκρούσεων armadillo-car Με διαίρεση Με διαίρεση σε Levels of σε σταθερό μεταβαλλόμενο hierarchy άξονα άξονα 2,60 2, ,85 0,40 0,80 0,35 0,22 0,16 0,20 0,12 0,11 0,09 0,07 0,06 0,12 0,11 0,05 0,07 0,23 0,40 0,08 0,12 0,70 1,35 0,20 0,37 Το επίπεδο 0 συμβολίζει την απουσία υποδιαιρέσεων περιβαλλόντων όγκων και ο χρόνος που απαιτήθηκε σε αυτή την περίπτωση είναι 2,5sec. Για διαίρεση σε μεταβαλλόμενο άξονα και 7 επίπεδα ιεραρχίας βλέπουμε ότι ο απαιτούμενος χρόνος είναι 0,05sec. Παρατηρούμε δηλαδή 50 φορές μειωμένο χρόνο εκτέλεσης. Ωστόσο βλέπουμε ότι η μείωση αυτή δεν συνεχίζεται για πάντα, αλλά υπάρχει ένα επίπεδο που αν τον ξεπεράσουμε, ο χρόνος αρχίζει να αυξάνεται. Αυτό δικαιολογείται από τους αυξημένους ελέγχους τομής των κιβωτίων. Αυτό δεν θα συνέβαινε αν εξετάζαμε ιεραρχικά τα κιβώτια, αντί να πηγαίνουμε κατευθείαν στο τελευταίο επίπεδο. Κάτι τέτοιο όμως είναι πιο σύνθετο προγραμματιστικά ειδικά εφόσον έχουμε να διασχίσουμε δύο δέντρα, ένα για το κάθε αντικείμενο. 12

13 Εικόνες Παρατίθενται τα screenshots από τις παρακάτω συγκρούσεις. LoD 0 (1x) Ν 1Ν 5Ν 10Ν Αριθμός τριγώνων Model 1 Model 2 Model Συγκρούσεις Χρόνος 245 0, , ,09

14 LoD 1 (2x) Ν Model 1 1Ν 5Ν 10Ν 6170 Αριθμός τριγώνων Model 2 Model Συγκρούσεις Χρόνος 185 0, , ,08

15 LoD 2 (10x) Ν Model 1 1Ν 5Ν 10Ν 1848 Αριθμός τριγώνων Model 2 Model Συγκρούσεις Χρόνος 88 0, , ,06

16 iii. Περιβάλλοντες Όγκοι AABB Η δημιουργία των AABB (Axis Aligned Bounding Boxes) είναι εύκολη διαδικασία. Πρέπει να ελεγχθούν όλες οι κορυφές του μοντέλου για να βρεθούν τα εξής μεγέθη: min x, min y, min z, max x, max y, max z. Έχοντας αυτά τα 6 μεγέθη, το περιβάλλον κιβώτιο είναι το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με γωνίες {min x, min y, min z}, {max x, max y, max z}. Για την υποδιαίρεση σε επιπλέον επίπεδα ιεραρχίας ακολουθήθηκε η εξής μέθοδος: Illustration 1: Επίπεδο ιεραρχίας L=0 Αρχικά, τα επίπεδα ιεραρχίας αριθμούνται με L=0 για τον αρχικό περιβάλλοντα όγκο (που περικλείει ολόκληρο το μοντέλο), με L=1 για το επίπεδο που περιέχει τις 2 υποδιαιρέσεις του αρχικού όγκου κοκ. Κάθε επίπεδο περιέχει 2L+1-1 κιβώτια. Αν έχουμε L επίπεδα έχουμε συνολικά 2L- 1 κιβώτια. Για την αποθήκευση του δέντρου της ιεραρχίας των κιβωτίων στην μνήμη χρησιμοποιείται ένας πίνακας μεγέθους ίσου με τον μέγιστο αριθμό κιβωτίων (2L- 1), οπού το στοιχείο με θέση i έχει παιδιά τα στοιχεία των θέσεων Illustration 2: Επίπεδο ιεραρχίας L=1 2i+1 και 2i+2. Αυτή είναι μια γραμμική αναπαράσταση μιας δομής δυαδικού δέντρου. Οι υποδιαιρέσεις κατασκευάζονται ως εξής: Όλα τα κιβώτια κάθε επιπέδου τα κόβουμε στην μέση της μεγαλύτερης τους διάστασης, έτσι ώστε από κάθε κιβώτιο του ενός επιπέδου να προκύψουν δύο κιβώτια Illustration 3: Επίπεδο ιεραρχίας L=2 στο αμέσως επόμενο επίπεδο. Σε κάθε διχοτόμηση ενός κιβωτίου φροντίζουμε τα δύο προκύπτοντα κιβώτια να να μην τέμνονται μεταξύ τους. Illustration 4: Επίπεδο ιεραρχίας L=3 Για κάθε κιβώτιο διατηρώ μια λίστα με τα τρίγωνα που αυτό περικλείει. Η λίστα αυτή είναι χρήσιμη για την ανίχνευση συγκρούσεων καθώς και για το ray tracing. Για τρίγωνα κοντά στην συνοριακή επιφάνεια δύο γειτονικών κιβωτίων, τα οποία είναι πιθανό να ανήκουν και στα δύο κιβώτια, φροντίζω να τα συμπεριλάβω και στις δύο λίστες, για λόγους πληρότητας. Τον αριθμό επιπέδων ιεραρχίας τον καθορίζουμε με το #define BVL στο αρχείο mesh.h. Για τον υπολογισμό του ποσοστού κάλυψης κάθε επιπέδου αθροίζω όλους όγκους αυτού του επιπέδου και τους διαιρώ με τον συνολικό όγκο του μοντέλου. Την εύρεση του συνολικού όγκου του μοντέλου θα την περιγράψουμε στην επόμενη παράγραφο. 16

17 Υπολογισμός όγκου μοντέλου Για να υπολογίσουμε τον όγκο του μοντέλου δεν υπάρχει εύκολος αναλυτικός τρόπος. Η μέθοδος που χρησιμοποιούμε για να υπολογίσουμε τον όγκο είναι προσεγγιστική. Σαρώνουμε όλο τον χώρο που περικλείει το κυρίως περιβάλλων κιβώτιο του μοντέλου με ένα διακριτό βήμα ελέγχοντας για κάθε σημείο της σάρωσης εάν είναι εντός ή εκτός του μοντέλου. Ο έλεγχος εντός-εκτός γίνεται εκπέμποντας μια εικονική ακτίνα από κάθε σημείο σάρωσης προς το άπειρο και ελέγχοντας σε πόσα σημεία τέμνει το μοντέλο. Για περιττό αριθμό τομών το σημείο είναι εσωτερικό. Έτσι ο όγκος του μοντέλου είναι: inner _ count * vol total _ count inner_count total_count vol = Εσωτερικά σημεία = Συνολικά σημεία σάρωσης = Όγκος περιβάλλοντος κιβωτίου Στις παρακάτω εικόνες παρουσιάζεται το αποτέλεσμα της σάρωσης του χώρου για μειούμενες τιμές βήματος. Είναι προφανές ότι όσο μικρότερο βήμα έχουμε, τόσο πιο κοντά στην πραγματικότητα βρίσκεται η προσέγγιση που κάνουμε σχετικά με τον όγκο του μοντέλου. Το βήμα μπορούμε να το αλλάξουμε με το #define VDIV στο αρχείο mesh.h. Μικρό VDIV => μεγάλο βήμα. Μικρές τιμές βήματος έχουν μεγάλο αντίκτυπο στον χρόνο φόρτωσης των μοντέλων. 17

18 Σφαίρα Η εύρεση της βέλτιστης σφαίρας που περικλείει ένα σύνολο σημείων είναι πιο δύσκολο πρόβλημα. Ο αλγόριθμος που χρησιμοποιήθηκε είναι ο αλγόριθμος του ritter και λειτουργεί ως εξής: 1. Επιλέγει ένα σημείο x και βρίσκει το σημείο y που έχει την μεγαλύτερη απόσταση από το x. 2. Βρίσκει το σημείο z που έχει την μέγιστη απόσταση από το y. Σχηματίζεται αρχική σφαίρα με κέντρο το μέσο των y,z και ακτίνα την μισή απόσταση yz. 3. Ελέγχει αν όλα τα σημεία είναι μέσα σε αυτή την σφαίρα. Εάν κάποιο δεν είναι τροποποιεί την σφαίρα ώστε να το χωρέσει. Για την δημιουργία ιεραρχίας περιβαλλόντων σφαιρών και συγκεκριμένα για την διχοτόμηση κάθε σφαίρας χρησιμοποιείται το ακόλουθο κριτήριο: Όσα τρίγωνα βρίσκονται αριστερά* από το κέντρο κάθε σφαίρας-πατέρα ανήκουν στην μία υποδιαίρεση, ενώ όσα βρίσκονται δεξιά ανήκουν στη άλλη. *Σε κάθε επίπεδο επιλέγεται άλλη διάσταση (xyz) ώστε να προκύψει πιο ομοιόμορφο αποτέλεσμα. Επειδή οι σφαίρες κάθε επιπέδου επικαλύπτονται, είναι δύσκολο να υπολογιστεί αναλυτικά ο όγκος του χώρου που καταλαμβάνει η ένωση των σφαιρών. Αυτό όμως είναι απαραίτητο για τον υπολογισμό του ποσοστού κάλυψης. Ακολουθήθηκε η ίδια μέθοδος όπως και για την εύρεση του όγκου του μοντέλου. Σαρώθηκε ο χώρος του περιβάλλοντος κιβωτίου της μεγαλύτερης σφαίρας και για κάθε επίπεδο σφαιρών ελέγχθηκε αν τουλάχιστον μία σφαίρα του επιπέδου περιέχει κάθε σημείο σάρωσης. 18

Απαλλακτική Εργασία Γραφικά & Εικονική Πραγματικότητα. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609

Απαλλακτική Εργασία Γραφικά & Εικονική Πραγματικότητα. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609 Απαλλακτική Εργασία Γραφικά & Εικονική Πραγματικότητα Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609 Αναπαράσταση μοντέλου Το 3D μοντέλο το αποθηκεύουμε στην μνήμη με τις εξής δομές δεδομένων: Λίστα κορυφών Λίστα τριγώνων

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαράσταση & Απλοποίηση Μοντέλων

Αναπαράσταση & Απλοποίηση Μοντέλων Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 6 Αναπαράσταση & Απλοποίηση Μοντέλων Εισαγωγή Οι 3Δ εικόνες στα Γραφικά αποτελούνται από διάφορα σχήματα & δομές: Γεωμετρικά σχήματα (π.χ. σφαίρες) Μαθηματικές επιφάνειες

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός Μονοπατιών Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Εισαγωγή. Το πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε εδώ είναι γνωστό σαν: Δρομολόγηση και Πολύ-χρωματισμός Διαδρομών (Routing

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΑΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΑΣ 1. ΓΕΝΙΚΑ Από τις καταστάσεις της ύλης τα αέρια και τα υγρά δεν παρουσιάζουν κάποια τυπική διάταξη ατόμων, ενώ από τα στερεά ορισμένα παρουσιάζουν συγκεκριμένη διάταξη ατόμων

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

GET SDI PORTAL v1. Οδηγός Βοήθειας

GET SDI PORTAL v1. Οδηγός Βοήθειας GET SDI PORTAL v1 Οδηγός Βοήθειας Μεταδεδομένα εγγράφου Στοιχείο/Element Τιμή/value Ημερομηνία/Date 2011-06-16 Τίτλος/Title GETSDIPortal_v1_Help_v1.0 Θέμα/Subject Οδηγός Βοήθειας Έκδοση/Version 1.0 Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods)

Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods) 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Μέθοδοι Ανίχνευσης Επιφανειών (Surface Detection Methods) Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Εκτελώντας το πρόγραμμα παίρνουμε ένα παράθυρο εργασίας Γεωμετρικών εφαρμογών. Τα βασικά κουμπιά και τα μενού έχουν την παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Dcad 1.0

ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Dcad 1.0 ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Dcad 1.0 20130510 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Εγκατάσταση προγράμματος DCAD 2 2. Ενεργοποίηση Registration 2 3. DCAD 3 3.1 Εισαγωγή σημείων 3 3.2 Εξαγωγή σημείων 5 3.3 Στοιχεία ιδιοκτησίας

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων

Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007

Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007 Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007 Πρόβλημα 1 Το πρώτο πρόβλημα λύνεται με τη μέθοδο του Δυναμικού Προγραμματισμού. Για να το λύσουμε με Δυναμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ» ΠΑ. 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012

ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ» ΠΑ. 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΠΑ. 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ Δίνονται τα εξής πρότυπα: [ ] [ ] [ ] [ ] Άσκηση η (3 μονάδες) Χρησιμοποιώντας το κριτήριο της ομοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό με βάση το συντελεστή συσχέτισης. (γράψτε ποιο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλο φωτισμού Phong

Μοντέλο φωτισμού Phong ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Στο προηγούμενο κεφάλαιο παρουσιάσθηκαν οι αλγόριθμοι απαλοιφής των πίσω επιφανειών και ακμών. Απαλοίφοντας λοιπόν τις πίσω επιφάνειες και ακμές ενός τρισδιάστατου αντικειμένου, μπορούμε να

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

Παράλληλοι Αλγόριθμοι: Ανάλυση Εικόνας και Υπολογιστική Γεωμετρία. Πέτρος Ποτίκας CoReLab 4/5/2006

Παράλληλοι Αλγόριθμοι: Ανάλυση Εικόνας και Υπολογιστική Γεωμετρία. Πέτρος Ποτίκας CoReLab 4/5/2006 Παράλληλοι Αλγόριθμοι: Ανάλυση Εικόνας και Υπολογιστική Γεωμετρία Πέτρος Ποτίκας CoReLab 4/5/2006 Επισκόπηση Ετικέτες σε συνιστώσες (Component labelling) Hough μετασχηματισμοί (transforms) Πλησιέστερος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Περικοπής και Απομάκρυνσης Κρυμμένων Επιφανειών

Αλγόριθμοι Περικοπής και Απομάκρυνσης Κρυμμένων Επιφανειών Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 5 Αλγόριθμοι Περικοπής και Απομάκρυνσης Κρυμμένων Επιφανειών Εισαγωγή Το οπτικό μας πεδίο είναι περιορισμένο ενώ παράλληλα υπάρχει παρεμπόδιση μεταξύ αντικειμένων βλέπουμε

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός των υδροστατικών δυνάµεων που ασκούνται στη γάστρα του πλοίου

Υπολογισµός των υδροστατικών δυνάµεων που ασκούνται στη γάστρα του πλοίου Παράρτηµα Β Υπολογισµός των υδροστατικών δυνάµεων που ασκούνται στη γάστρα του πλοίου 1. Πρόγραµµα υπολογισµού υδροστατικών δυνάµεων Για τον υπολογισµό των κοµβικών δυνάµεων που οφείλονται στις υδροστατικές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ Η συνάρτηση y αχ + βχ + γ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y αx + βx + γ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y αx + βx + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis)

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η μέθοδος PCA (Ανάλυση Κύριων Συνιστωσών), αποτελεί μία γραμμική μέθοδο συμπίεσης Δεδομένων η οποία συνίσταται από τον επαναπροσδιορισμό των συντεταγμένων ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 7. Σημείωση: Για τη διδασκαλία της ενότητας είναι πολύ σημαντική η χρήση των εποπτικών μέσων (στερεών και αναπτυγμάτων των στερεών).

ΕΝΟΤΗΤΑ 7. Σημείωση: Για τη διδασκαλία της ενότητας είναι πολύ σημαντική η χρήση των εποπτικών μέσων (στερεών και αναπτυγμάτων των στερεών). ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Διερεύνηση σχημάτων και χώρου Γ2.6 Ονομάζουν, περιγράφουν και ταξινομούν τρισδιάστατα σχήματα (κύβο, ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, πυραμίδα, σφαίρα, κύλινδρο, κώνο),

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Εικόνα. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 05-1

Εικόνα. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 05-1 Εικόνα Εισαγωγή Ψηφιακή αναπαράσταση Κωδικοποίηση των χρωμάτων Συσκευές εισόδου και εξόδου Βάθος χρώματος και ανάλυση Συμβολική αναπαράσταση Μετάδοση εικόνας Σύνθεση εικόνας Ανάλυση εικόνας Τεχνολογία

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν 1. Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών και να παραστήσετε σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων τα αντίστοιχα σημεία. α. αν = 4ν + 3 β. αν = 2 + ( 1) ν γ. 1 1 1 1 αν = + + +... + 1 2 2

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 014 015, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ Ημερομηνία ανάρτησης εργασίας στην ιστοσελίδα του μαθήματος: 1 11 014 Ημερομηνία παράδοσης εργασίας: 18 11 014 Επιμέλεια απαντήσεων:

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΔΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1) Πότε χρησιμοποιείται η δομή επανάληψης

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Ιουνίου 010 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (40 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος παίρνει καθορισμένη τιμή. Ηλεκτρικό πεδίο Ηλεκτρικό πεδίο ονομάζεται ο χώρος, που σε κάθε σημείο

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Κινηµατική Οµάδα Γ.

1.1. Κινηµατική Οµάδα Γ. 1.1. Οµάδα Γ. 1.1.21. Πληροφορίες από το διάγραµµα θέσης-χρόνου..ένα σώµα κινείται ευθύγραµµα και στο διάγραµµα βλέπετε τη θέση του σε συνάρτηση µε το χρόνο. i) Βρείτε την κλίση στο διάγραµµα x-t στις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΡΟΦΙΛ ΣΥΣΤΑΔΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ

ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΡΟΦΙΛ ΣΥΣΤΑΔΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΡΟΦΙΛ ΣΥΣΤΑΔΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ ΑΤΕΙ ΚΑΒΑΛΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΡΑΜΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΑΣΟΠΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΦΥΣΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΔΑΣ ΜΑΡΙΟΣ 2008 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Στον κ. Ι. Τάκο για την καθοδήγηση του σε όλη

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Κάντε δεξιό κλικ πάνω σε ένα επιλεγμένο αρχείο και επιλέξτε Μετακίνηση ή. ή Επιλέξτε Αποκοπή από την καρτέλα Αρχική της κορδέλας.

Κάντε δεξιό κλικ πάνω σε ένα επιλεγμένο αρχείο και επιλέξτε Μετακίνηση ή. ή Επιλέξτε Αποκοπή από την καρτέλα Αρχική της κορδέλας. Kεφάλαιο 7: Το Ιεραρχικό Σύστημα Φακέλων των Windows 113 φάκελος προορισμού αντιγραμμένα αρχεία Τα αρχεία αντιγράφονται στον προορισμό τους. Παρατηρήστε ότι τα αρχεία έχουν παραμείνει και στην αρχική τους

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1.Εντολές κίνησης

Κεφάλαιο 1.Εντολές κίνησης Προγραμματίζω με το ΒΥΟΒ 1 Κεφάλαιο 1.Εντολές κίνησης Από το μάθημα της Φυσικής γνωρίζουμε ότι κίνηση σημαίνει αλλαγή της θέσης ενός αντικειμένου. Οι εντολές κίνησης που μας παρέχει το ΒΥΟΒ χωρίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Ακολουθίες ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Να ορίζουμε τις σχέσεις μεταξύ διανυσμάτων (παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα, ίσα και αντίθετα διανύσματα). Να προσθέτουμε και

Διαβάστε περισσότερα

Διαδραστικό λογισμικό για τη γεωμετρία του χώρου και τα μαθηματικά

Διαδραστικό λογισμικό για τη γεωμετρία του χώρου και τα μαθηματικά Διαδραστικό λογισμικό για τη γεωμετρία του χώρου και τα μαθηματικά Εξερευνήστε την 3 η διάσταση! Έκδοση 2.1 CABRI 3D V2 Πρωτοποριακά Μαθηματικά Εργαλεία ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΧΡΗΣΤΗ 1 2 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1 -

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ()=, g()= +3,h()= -3 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Τι είναι το Πρόβλημα της Πινακοθήκης; Σας ανήκει μια πινακοθήκη και επιθυμείτε να τοποθετήσετε κάμερες ασφαλείας έτσι ώστε όλη η γκαλερί να είναι προστατευμένη

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Ενότητα 4: Ο ΑΤΔ Λίστα & Υλοποίηση Λίστας με σειριακή αποθήκευση- Ο ΑΤΔ Συνδεδεμένη Λίστα- Υλοποίηση ΑΤΔ Συνδεδεμένη Λίστα με πίνακα

Δομές Δεδομένων. Ενότητα 4: Ο ΑΤΔ Λίστα & Υλοποίηση Λίστας με σειριακή αποθήκευση- Ο ΑΤΔ Συνδεδεμένη Λίστα- Υλοποίηση ΑΤΔ Συνδεδεμένη Λίστα με πίνακα Ενότητα 4: Ο ΑΤΔ Λίστα & Υλοποίηση Λίστας με σειριακή αποθήκευση- Ο ΑΤΔ Συνδεδεμένη Λίστα- Υλοποίηση ΑΤΔ Συνδεδεμένη Λίστα με πίνακα Καθηγήτρια Μαρία Σατρατζέμη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y)

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y) 11.7. Aκρότατα και σαγματικά σημεία 903 39. Εκτίμηση μέγιστου σφάλματος Έστω ότι u e sin και ότι τα,, και μπορούν να μετρηθούν με μέγιστα δυνατά σφάλματα 0,, 0,6, και / 180, αντίστοιχα. Εκτιμήστε το μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι;

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; ΘΕΜΑΤΑ ΔΕΝΔΡΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΛΗ0 ΑΣΚΗΣΗ Για τις ερωτήσεις - θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; Β Ε Α 6 Δ 5 9 8 0 Γ 7 Ζ Η. Σ/Λ Δυο από τα συνδετικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή : i j όπου i, j μοναδιαία διανύσματα με κοινή αρχή το

Διαβάστε περισσότερα

Αλγοριθμικές Τεχνικές. Brute Force. Διαίρει και Βασίλευε. Παράδειγμα MergeSort. Παράδειγμα. Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων

Αλγοριθμικές Τεχνικές. Brute Force. Διαίρει και Βασίλευε. Παράδειγμα MergeSort. Παράδειγμα. Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων Αλγοριθμικές Τεχνικές Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας http://pericles.ee.duth.gr Ορισμένες γενικές αρχές για τον σχεδιασμό αλγορίθμων είναι: Διαίρει και Βασίλευε (Divide and

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα A Γυμνασιου

Μαθηματικα A Γυμνασιου Μαθηματικα A Γυμνασιου Θεωρια & παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 45 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΟΡΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ Το αναλυτικό πρόγραμμα που παρουσιάζουμε εδώ είναι μια πρόταση από περιεχόμενα που θα μπορούσαν να διδαχτούν στο σχολείο δεύτερης ευκαιρίας. Αυτό δεν σημαίνει ότι το πρόγραμμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΩΝ 2.1 Παράσταση αριθμών με σημεία μιας ευθείας.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΩΝ 2.1 Παράσταση αριθμών με σημεία μιας ευθείας. 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΩΝ 2.1 Παράσταση αριθμών με σημεία μιας ευθείας. α) Στην παραπάνω εικόνα οι χρωματιστοί δείκτες μας δείχνουν κάποιους αριθμούς. Συμπληρώστε τον παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Στη συνέχεια θα δοθούν ορισμένες βασικές έννοιες μαθηματικών και φυσικήςμηχανικής που είναι απαραίτητες για την κατανόηση του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 9 10 (Γ Γυμνασίου Α Λυκείου) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Ποιο από τα ακόλουθα είναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης του αριθμού 20102010 με τον

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Β-Λυκείου (2ο πακέτο ασκήσεων) 1 22630 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις (Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Έγχρωµο και Ασπρόµαυρο Φως

Έγχρωµο και Ασπρόµαυρο Φως Έγχρωµο και Ασπρόµαυρο Φως Χρώµα: κλάδος φυσικής, φυσιολογίας, ψυχολογίας, τέχνης. Αφορά άµεσα τον προγραµµατιστή των γραφικών. Αν αφαιρέσουµε χρωµατικά χαρακτηριστικά, λαµβάνουµε ασπρόµαυρο φως. Μόνο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Τεχνητή Νοημοσύνη 1η Σειρά Ασκήσεων

Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Τεχνητή Νοημοσύνη 1η Σειρά Ασκήσεων Π Π Τ Μ Τ Μ Η/Υ Π Δ Μ Π Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Τεχνητή Νοημοσύνη 1η Σειρά Ασκήσεων Φοιτητής: Ν. Χασιώτης (AM: 0000) Καθηγητής: Ι. Χατζηλυγερούδης 22 Οκτωβρίου 2010 ΑΣΚΗΣΗ 1. Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων.

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Χώρος Διανύσματα Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο. Στο σύστημα καρτεσιανών (ή ορθογώνιων) συντεταγμένων κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα