Νίκος Καζαντζάκης (Από τον πρόλογο του Καπετάν Μιχάλη )

Transcript

1

2 Η ψυχή του ανθρώπου γίνεται παντοδύναμη, όταν συνεπαρθεί από μια μεγάλη ιδέα Τρομάζεις όταν ύστερα από πικρές δοκιμασίες, καταλάβεις πως μέσα μας υπάρχει μια δύναμη που μπορεί να ξεπεράσει τη δύναμη του ανθρώπου τρομάζεις γιατί από τη στιγμή που θα καταλάβεις πως υπάρχει η δύναμη αυτή δεν μπορείς πια να βρεις δικαιολογίες για τις ασήμαντες ή άναντρες πράξεις σου, για τη ζωή σου τη χαμένη, ρίχνοντας το φταίξιμο στους άλλους ξέρεις πια πως εσύ, όχι η τύχη, όχι η μοίρα, μήτε οι ανθρώποι γύρα σου, εσύ μονάχα έχεις, ό,τι κι αν κάνεις, ότι κι αν γίνεις ακέραιη την ευθύνη Και ντρέπεσαι τότε να γελάς, ντρέπεσαι να περγελάς αν μια φλεγόμενη ψυχή ζητάει το αδύνατο Καλά πια καταλαβαίνεις πως αυτή είναι η αξία του ανθρώπου: να ζητάει και να ξέρεις πως ζητάει το αδύνατο και να ναι σίγουρος πως θα το φτάσει, γιατί ξέρει πως αν δεν λιποψυχήσει αν δεν ακούσει τι του κανοναρχάει η λογική, μα κρατάει με τα δόντια την ψυχή του κι εξακολουθεί με πίστη, με πείσμα να κυνηγάει το αδύνατο, τότε γίνεται το θάμα, που ποτέ ο αφτέρουγος κοινός νους δε θα μπορούσε να το μαντέψει: το αδύνατο γίνεται δυνατό Νίκος Καζαντζάκης (Από τον πρόλογο του Καπετάν Μιχάλη )

3 Η Τρελή Ροδιά Σ' αυτές τις κάτασπρες αυλές όπου φυσά νοτιάς Σφυρίζοντας σε θολωτές καμάρες, πέστε μου είναι η τρελλή ροδιά Που σκιρτάει στο φως σκορπίζοντας το καρποφόρο γέλιο της Με ανέμου πείσματα και ψυθιρίσματα, πέστε μου είναι η τρελλή ροδιά Που σπαρταράει με φυλλωσιές νιογέννητες τον όρθρο Ανοίγοντας όλα τα χρώματα ψηλά με ρίγος θριάμβου; Όταν στους κάμπους που ξυπνούν τα ολόγυμνα κορίτσια Θερίζουνε με τα ξανθά τους χέρια τα τριφύλλια Γυρίζοντας τα πέρατα των ύπνων τους, πέστε μου είναι η τρελλή ροδιά Που βάζει ανύποπτη μεσ' τα χλωρά πανέρια τους τα φώτα Που ξεχειλίζει από κελαηδισμούς τα ονόματά τους, πέστε μου Είναι η τρελλή ροδιά που μάχεται τη συννεφιά του κόσμου; Πέστε μου είναι η τρελλή ροδιά που χαιρετάει τα μάκρη Τινάζοντας ένα μαντήλι φύλλων από δροσερή φωτιά Μια θάλασσα ετοιμόγεννη με χίλια δυο καράβια Με κύματα που χίλιες δυο φορές κινάν και πάνε Σ' αμύριστες ακρογιαλιές, πέστε μου είναι η τρελλή ροδιά Που τρίζει τ' άρμενα ψηλά στο διάφανον αιθέρα; Πανύψηλα με το γλαυκό τσαμπί που ανάβει κι εορτάζει Αγέρωχο, γεμάτο κίνδυνο, πέστε μου είναι η τρελλή ροδιά Που σπάει με φως καταμεσίς του κόσμου τις κακοκαιριές του δαίμονα Που πέρα ως πέρα την κροκάτη απλώνει τραχηλιά της μέρας Την πολυκεντημένη από σπαρτά τραγούδια, πέστε μου είναι η τρελλή ροδιά Που βιαστικά ξεθηλυκώνει τα μεταξωτά της μέρας; Σε μεσοφούστανα πρωταπριλιάς και σε τζιτζίκια δεκαπενταυγούστου Πέστε μου, αυτή που παίζει, αυτή που οργίζεται, αυτή που ξελογιάζει Τινάζοντας απ' τη φοβέρα τα κακά μαύρα σκοτάδια της Ξεχύνοντας στους κόρφους του ήλιου τα μεθυστικά πουλιά Πέστε μου, αυτή που ανοίγει τα φτερά στο στήθος των πραγμάτων Στο στήθος των βαθιών ονείρων μας, είναι η τρελλή ροδιά; Οδυσσέας Ελύτης "Η θητεία του καλοκαιριού"

4 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατ/νσης) Συναρτήσεις - θεωρία Συναρτήσεις ΠΡΟτάσεις, ΠΑΡατηρήσεις, ΜΕΘοδοι και ΣΧΟλια Πεδίο ορισμού ΠΡΟΑ Χρήσιμες προτάσεις για εύρεση του πεδίου ορισμού συνάρτησης Aν μας ζητούν να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης να έχουμε υπόψη ότι: h ( ) Aν ( ) = πρέπει g ( ) g ( ) Aν ( ) = ν g ( ) πρέπει g ( ) Aν ( ) = ln ( g ( )) πρέπει g> ( ) π Aν ( ) = εϕ ( g ( )) πρέπει g ( ) κπ +, κ Aν ( ) = σϕ ( g ( )) πρέπει g ( ) κπ, κ ΜΕΘΑ Πρακτικά το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης είναι η απάντηση στην ερώτηση: «Τι τιμές μπορεί να πάρει το ώστε το ( ) να έχει νόημα πραγματικού αριθμού;» Πχ Έστω ( ) = ln( ) Αναζητώ τις τιμές του για τις οποίες το ( ) έχει νόημα Επειδή ο λογάριθμος ορίζεται μόνο για θετικούς αριθμούς πρέπει: > < Άρα πεδίο ορισμού: D = (,) ΠΑΡΑ Aν μας ζητούν να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης να έχουμε υπόψη ότι: D αν και μόνο αν το ( ) έχει νόημα πραγματικού αριθμού Πχ Αν η έχει D = [, 5] για να βρω το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g ( ) = + ( + ) σκέπτομαι ότι πρέπει το g ( ) να έχει νόημα, άρα το ( + ) να έχει νόημα άρα ( + ) D + 5 Τελικά D g = [, ] ΠΑΡΑ Το πεδίο ορισμού το βρίσκουμε από τον τύπο της συνάρτησης όπως μας δόθηκε αρχικά και όχι στη μορφή που προκύπτει μετά από τυχόν πράξεις ή απλοποιήσεις

5 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατ/νσης) Συναρτήσεις - θεωρία Πχ Αν απλοποιήσουμε τον τύπο της ( ) = έχω ( ) = + και από αυτόν τον απλοποιημένο τύπο προκύπτει ότι D =, που είναι λάθος, αφού ο σωστός προκύπτει από την αρχική μορφή και είναι D = { } ΠΑΡΑ Σε μια συνάρτηση δεν έχει σημασία με ποιο γράμμα συμβολίζω την ανεξάρτητη μεταβλητή Πχ Η συνάρτηση ( ) = + ln είναι ίδια μα την ( t) = t + lnt καθώς και με την ( ω) ω lnω = +, κτλ ΠΡΟΑ Ένα σημείο (, y) ( ) = y Πχ το (,) Γραφικές παραστάσεις Μ ανήκει στη C αν και μόνο αν Μ ανήκει στη γραφική παράσταση της προφανώς () = ( ) = + 4 αφού ΣΧΟΑ Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο των τετμημένων όλων των σημείων της C, ενώ το σύνολο των τεταγμένων όλων των σημείων της ΠΑΡΑ4 Επειδή σε κάθε C είναι το σύνολο τιμών της D αντιστοιχεί ένα και μόνο y = ( ), κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη C σε ένα το πολύ σημείο ΠΑΡΑ5 Για να βρούμε τα σημεία τομής των C και C g λύνουμε την εξίσωση ( ) = g ( ) Οι λύσεις της είναι οι τετμημένες των σημείων τομής Πχ Βρείτε τα σημεία τομής των γρ παραστάσεων των ( ) = και g ( ) = + Είναι: ( ) = g ( ) = + = = ή= Άρα τα σημεία τομής τους είναι τα: Α(,4) και Β (,) Οι C και C τέμνονται πάνω στην ευθεία = α αν και μόνο αν g ( α) = g( α) ΠΡΟΑ Έστω : Άρτια περιττή A συνάρτηση τέτοια που για κάθε A να είναι A Τότε: άρτια αν ( ) = ( ) για κάθε A, ένώ περιττή αν ( ) = ( ) για κάθε A Οι περισσότερες συναρτήσεις δεν είναι ούτε άρτιες ούτε περιττές

6 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατ/νσης) Συναρτήσεις - θεωρία Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας τον yy Ο,, ενώ μιας περιττής έχει κέντρο συμμετρίας το ( ) ΠΡΟΑ4 Αν η συνάρτηση είναι περιττή τότε ( ) = Απόδειξη: Αφού περιττή ( ) = () () = () = Πράξεις συναρτήσεων ΜΕΘΑ Στις πράξεις συναρτήσεων πρώτα βρίσκουμε το πεδίο ορισμού και μετά τον τύπο της συνάρτησης που προκύπτει από τη συγκεκριμένη πράξη Αν το πεδίο ορισμού είναι το κενό σύνολο τότε η συγκεκριμένη πράξη δεν ορίζεται Πχ Αν ( ) = 5 και g ( ) = +, τότε δεν ορίζεται η συνάρτηση + g αφού D Dg = D + g = ΜΕΘΑ Για να δείξω ότι δύο συναρτήσεις, g είναι ίσες πρέπει πρώτα να δείξω ότι έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α, και μετά ότι ( ) = g ( ) για κάθε Α Το δεύτερο μόνο του δεν εξασφαλίζει την ισότητα Πχ Οι συναρτήσεις που ( ) = ( )( + ) 4 και g ( ) = δεν είναι ίσες παρόλο + ( ) = = = g ( ), αφού D Dg + ΠΑΡΑ6 Γενικά δεν ισχύει g = g ΜΕΘΑ4 Για να βρω το πεδίο ορισμού της g, αναζητώ τα ώστε ( g ) να έχει νόημα πραγματικού αριθμού Για να συμβαίνει αυτό D και στη συνέχεια το g( ) το ( ) πρέπει το g( ) να έχει νόημα, άρα να έχει νόημα, άρα g ( ) D g Δηλαδή : D g= { Dgg ( ) D} Πχ Αν ( ) = ln(5 ) με D = (,5) και g ( ) = με D g = [, + ) Τότε για το D gαναζητώ τα ώστε Dg και g ( ) D δηλαδή και < 5 ή ισοδύναμα και < 6 Άρα D g= [,6) και ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g = g = ln 5 g = ln 5 ( ) ΜΕΘΑ5 Αν γνωρίζω την ( g ( )) και θέλω να μάθω την ( ) θέτω t= g ( ) Πχ Έστω ( ) = για κάθε και θέλω να βρω την ( )

7 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατ/νσης) Συναρτήσεις - θεωρία Θέτω t = οπότε = t+ και έτσι η δοσμένη γίνεται: ( t) = ( t+ ) + t+ + 4 και τελικά () t = t+ 6+ t+ 7 δηλ ( ) = Μονοτονία συνάρτησης ΠΡΟΑ5 Αν ισχύει: ( ) ( ) Αν ισχύει: ( ) ( ) < < (Διατηρείται η φορά) < > (Αλλάζει η φορά) ΠΡΟΑ6 Γνωστές μονότονες συναρτήσεις είναι: ( ) = α+ β Είναι στο αν α > ή αν α < ( ) = α Είναι στο αν α > ή αν < α < ( ) ln = Είναι στο ( ),+ v ( ) = Είναι στο [, + ) α ( ) = Είναι στα (,),, + αν α < ( ) και ( ) και ( ), + αν α > ή v ( ) = α με v περιττό Είναι στο αν α > ή αν α < ( ) = εϕ Είναι στα διαστήματα που ορίζεται ΠΑΡΑ7 Αν, θετικοί, τότε: < < (Διατηρείται η φορά) Αν, αρνητικοί, τότε: < > (Αλλάζει η φορά) Αν, oμόσημοι, τότε: (Αλλάζει η φορά) Αν, θετικοί, τότε: < < (Διατηρείται η φορά) Αν, αρνητικοί, τότε: < > (Αλλάζει η φορά) Αν, μη αρνητικοί, τότε: < < (Διατηρείται η φορά) ΠΡΟΑ7 Aν συνάρτηση ορισμένη σε διάστημα Δ, ονομάζω λόγο μεταβολής τον αριθμό λ= ( ) ( ) με, τυχαία σημεία του Δ Αν λ> για κάθε, τότε στο Δ Αν λ< για κάθε, τότε στο Δ ΠΡΟΑ8 Μια συνάρτηση γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ, έχει σε αυτό το πολύ μια ρίζα Απόδειξη: Έστω ότι η έχει στο Δ δύο ρίζες < Τότε ( ) = ( ) =

8 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατ/νσης) Αν στο Δ είναι: ( ) ( ) Αν στο Δ είναι: ( ) ( ) < < < Άτοπο < > > Άτοπο Άρα η έχει στο Δ το πολύ μία ρίζα Συναρτήσεις - θεωρία ΠΑΡΑ8 Αν η συνάρτηση ορίζεται σε ένωση διαστημάτων A B και είναι γν αύξουσα στο A και στο B, αυτό δεν σημαίνει κατ ανάγκη ότι είναι γν αύξουσα και στο A B (Όμοια αν ) Πχ η συνάρτηση ( ) = είναι γν αύξουσα στο (,) και στο (,+ ) αλλά δεν είναι γν αύξουσα σε όλο το πεδίο ορισμού της, δηλαδή στο αφού πχ είναι < ενώ ( ) > () Σύνολο τιμών ΜΕΘΑ6 Για να βρω το σύνολο τιμών της συνάρτησης θέτω y = ( ) και αναζητώ όλες τις τιμές του y για τις οποίες: Α) η εξίσωση y = ( ) έχει λύση ως προς, και Β) η λύση αυτή ανήκει στο D Το σύνολο τιμών προκύπτει από την συναλήθευση των περιορισμών που προκύπτουν για το y από τις παραπάνω προτάσεις Πχ Για να βρω το σύνολο τιμών της ( ) = + με D = [, + ), θέτω y= + Αναζητώ όλα τα y για τα οποία η εξίσωση αυτή έχει λύση ως προς και η λύση αυτή ανήκει στο D Είναι: y= + = y Για να έχει αυτή λύση πρέπει y y Αν συμβαίνει αυτό, είναι = ( y ) = ( y ) + Πρέπει D ( y ) ( y ) Αφού λοιπόν y το σύνολο τιμών της είναι ( ) [, ) + που ισχύει για κάθε Α = + ΠΡΟΑ9 Χρήσιμες προτάσεις στη διαδικασία εύρεσης συνόλου τιμών συνάρτησης Η εξίσωση α = β έχει λύση αν α Η εξίσωση α = β έχει λύση αν β > ν Η = α έχει λύση αν α Η α + β+ γ = έχει λύση αν Οι ηµ = α και συν = α έχουν λύση αν α ΠΑΡΑ9 Αν μας δίνεται : Α Β, τότε το Β είναι το σύνολο άφιξης και όχι κατ ανάγκη το σύνολο τιμών της

9 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατ/νσης) Συναρτήσεις - θεωρία Πάντως αν το Β δεν είναι το, τότε μας δίνει κάποια πληροφορία που θα παίξει ρόλο στη λύση της άσκησης Πχ αν μας δίνεται : [, + ) τότε έχω την πληροφορία: ( ) Συναρτήσεις «-» ΜΕΘΑ7 Για ν αποδείξω ότι μια συνάρτηση είναι «-» αποδεικνύω ότι για, D ισχύει: (σπανίως) ή συνηθέστερα Αν τότε ( ) ( ) Αν ( ) ( ) = τότε = ή ότι η είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της ΜΕΘΑ8 Για ν αποδείξω ότι η συνάρτηση δεν είναι «-» αρκεί να βρω ένα αντιπαράδειγμα, δηλαδή αρκεί να βρω δύο αριθμούς, ώστε να είναι ενώ ( ) = ( ) Υποψιάζομαι ότι η δεν είναι «-» αν είναι πολυώνυμο άρτιου βαθμού ή αν έχει στον τύπο της ημίτονο, συνημίτονο ή απόλυτο Πχ Για ν αποδείξω ότι η ( ) = + δεν είναι «-», βρίσκω αντιπαράδειγμα παρατηρώντας ότι ενώ είναι ( ) = () ΠΡΟΑ Μια γνησίως μονότονη συνάρτηση είναι «-» Απόδειξη: Έστω στο πεδίο ορισμού της Α Τότε για, A είναι: Αν τότε < οπότε ( ) < ( ) ή > οπότε ( ) > ( ) σε κάθε περίπτωση πάντως ( ) ( ) Άρα «-» Όμοια αν Το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά Πχ η συνάρτηση ( ) = είναι «-», δεν είναι όμως γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της ΠΑΡΑ Για κάθε συνάρτηση ισχύει: Αν = τότε ( ) ( ) Δηλαδή για τις «-» συναρτήσεις ισχύει: = ( ) = ( ) Πχ Αν = Το αντίστροφο ισχύει μόνο για τις συναρτήσεις «-» e + = e, επειδή η ( ) = e είναι «-» έχω: + = =, π ενώ αν ηµ = ηµ δεν έχω υποχρεωτικά π = αφού η ( ) = ηµ δεν είναι «-» ΣΧΟΑ Αν «-» τότε για κάθε y του συνόλου τιμών της, η εξίσωση y = ( ) έχει ως προς ακριβώς μία λύση

10 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατ/νσης) Συναρτήσεις - θεωρία ΜΕΘΑ9 Αν στα πρώτα ερωτήματα μιας άσκησης μελετώ μια συνάρτηση και στη συνέχεια μου ζητούν να λύσω μια εξίσωση ή μια ανίσωση, τότε θα πρέπει να εμφανίσω την και να εκμεταλλευτώ τα συμπεράσματα των πρώτων ερωτημάτων Πχ αν στο ο ερώτημα έχω αποδείξει ότι η ( ) = + ln είναι «-» και στο ο μου ζητούν να λύσω την εξίσωση ln ln = θα έχω: ( ) ln = ln + ln = + ln = ( ) και επειδή «-» είναι ( ) = = = αφού η = απορρίπτεται ΠΑΡΑ Aν η συνάρτηση είναι «-» τότε κάθε ευθεία της μορφής y = y (παράλληλη στον ) τέμνει τη C σε ένα το πολύ σημείο Έτσι αν μια ευθεία παράλληλη στον τέμνει τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης σε δύο σημεία τότε αυτή δεν είναι «-» ΜΕΘΑ Αν η συνάρτηση είναι «-» τότε έχει το πολύ μία ρίζα, τότε θα πρέπει ( ) ( ) Πράγματι: Αν η έχει δύο ρίζες με Άτοπο, αφού η είναι «-» = = Αντιστρέψιμες συναρτήσεις ΠΡΟΑ Μια συνάρτηση αντιστρέφεται (δηλ έχει αντίστροφη) αν και μόνο αν είναι «-» ΜΕΘΑ Μέθοδος εύρεσης της αντίστροφης συνάρτησης Βρίσκω το πεδίο ορισμού της Αποδεικνύω ότι είναι «-» Βρίσκω το σύνολο τιμών της που θα είναι πεδίο ορισμού της Λύνω τον τύπο y = ( ) ως προς και θέτω όπου το ( y) Έχω έτσι τον τύπο της με μεταβλητή το y και θέτω όπου y το Πχ Να βρεθεί η αντίστροφη της ( ) = + e Προφανώς D = Αποδεικνύω ότι είναι «-» Για, ( ) ( ) = + e = + e e = e = άρα»-» Βρίσκω σύνολο τιμών y= ( ) y= + e e = y για να έχει λύση αυτή η εξίσωση ως προς θα πρέπει: y > y> Τότε: ln e = ln( y ) = ln( y ) Άρα σύνολο τιμών: ( Α ) = (, + ) Βρίσκω τον τύπο της Είναι = ln( y ) άρα ( ) = ln( ) με πεδίο ορισμού D = (, + ) ( y) = ln( y ) δηλαδή

11 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατ/νσης) ΠΑΡΑ Προφανώς, εκτός από κάποιες εξαιρέσεις, ισχύει: ΠΑΡΑ Είναι y ( ) ΠΑΡΑ4 Είναι ( ( )) για κάθε y ( Α ) Απόδειξη: ( ) = = ( y) = για κάθε D ( ) ( y) = = Επίσης ( ) Μπορώ επίσης να γράφω: ( ( )) = Συναρτήσεις - θεωρία και ( ( )) y = y ( y) = ( ) = y ΠΑΡΑ5 Αν η είναι γνησίως μονότονη, τότε και η είναι γνησίως μονότονη και μάλιστα με το ίδιο είδος μονοτονίας Απόδειξη: Έστω γν αύξουσα στο πεδίο ορισμού της Α άρα και «-» Θα δείξουμε ότι και η είναι επίσης γν αύξουσα Έστω ότι η ώστε: y < y ενώ ( ) ( ) Αλλά σ αυτή την περίπτωση επειδή θα είναι: δεν είναι γν αύξουσα Τότε θα υπάρχουν y, y ( A) y y ( ( )) ( ) ( ) y y y y Άτοπο Άρα γν αύξουσα Όμοια αν ΠΑΡΑ6 Αν η είναι αντιστρέψιμη συνάρτηση, τότε οι C και είναι καμπύλες συμμετρικές ως προς τη διχοτόμο της ης και ης γωνίας των αξόνων, δηλαδή την ευθεία ε : y = Απόδειξη: Αν το M(, y ) ανήκει στη y y = οπότε M' y, ανήκει στη C Τα M και M ' είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία το ( ) y C τότε = ( ) άρα ( ) = Άρα οι C και C είναι συμμετρικές ως προς την ίδια ευθεία αφού κάθε σημείο της μιας έχει το συμμετρικό του πάνω στην άλλη ΣΧΟΑ Αν η είναι γνησίως αύξουσα, τότε τα κοινά σημεία των και C βρίσκονται πάνω στην ευθεία y = Άρα οι εξισώσεις ( ) C C =, ( ) = και ( ) = ( ) είναι ισοδύναμες, δηλαδή αν έχω να λύσω μια από αυτές μπορώ στη θέση της να λύσω οποιαδήποτε από τις άλλες ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Έστω ρίζα της ( ) = ( ) δηλαδή ( ) = ( ) Θα αποδείξω ότι το είναι ρίζα της ( ) Πράγματι ( ) ( ) ( ) Αν ( ) ( ) Αν ( ) ( ) Άρα ( ) = =, δηλαδή ( ) = ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = Είναι < < < Άτοπο > > > Άτοπο

12 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατ/νσης) Συναρτήσεις - θεωρία Αντίστροφα: Έστω ρίζα της ( ) =, δηλαδή ( ) = Θα αποδείξω ότι το = είναι ρίζα της ( ) = ( ) δηλαδή ( ) ( ) Πράγματι: ( ) ( ) ( ) ( ) = = = Πάντως για οποιαδήποτε αντιστρέψιμη συνάρτηση η ευθεία y = στα ίδια σημεία που την τέμνει και η C C τέμνει την, άρα για οποιαδήποτε αντιστρέψιμη συνάρτηση οι εξισώσεις ( ) = και ( ) = είναι ισοδύναμες Πράγματι ( ) ( ) = ( ) = ( ) = ( ) ΜΕΘΑ Αν μου ζητούν να βρω την αντίστροφη μιας συνάρτησης από μια συναρτησιακή της σχέση, θέτω όπου το ( ) ( ) Πχ Αν e + ( ) = + για κάθε, βρείτε την Θέτω όπου το ( ) ( ) οπότε η δοσμένη γίνεται: ( ) e + ( ) = ( ) + ( ) άρα e + = ( ) + ( ) = e + ΜΕΘΑ Αν μου δίνεται μια συναρτησιακή σχέση που περιέχει μια συνάρτηση καθώς και το τετράγωνό της, τότε προσπαθώ συνήθως να δημιουργήσω ταυτότητα Πχ Βρείτε την αν δεν είναι δίκλαδη και ισχύει: ( ) ( ) = ln ( ) ( ) = ln ( ) ( ) + = ln = ln ( ) = ln ή ( ) = ln ( ) = + ln ή ( ) = ln ( )

13 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συναρτήσεις Συναρτήσεις "Τα Μαθηματικά είναι η εξύψωση της κοινής λογικής" Lord Kelvin Πεδία ορισμού ΓA/ Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: Α) ( ) = Β) ( ) = 6 + ( ) = ln 8 Δ) ( ) = log(4 ) Γ) ( ) 4 Ε) ( ) = + Ζ) ( ) ln Θ) ( ) = ΣΤ) ( ) = 4 ( ) = ln e = Η) ( ) Ι) ( ) = π ΙΑ) ( ) εϕ + + = + + IB) ( ) = IΓ) ( ) = + ΙΔ) ( ) = ΙΕ) ( ) = + ηµ ΙΣΤ) ( ) = ln ΓA/Aν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: D = [, 7], τότε: Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της: g ( ) = ( ) B) Βρείτε το πεδίο ορισμού της: ϕ ( ) = ( ) + Γ) Βρείτε το πεδίο ορισμού της: h( ) = ( ) + ( + ) ΓA/ Aν ( ) 6 = +, τότε: Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της B) Βρείτε το πεδίο ορισμού της: ϕ ( ) = + + Γ) Βρείτε το πεδίο ορισμού της: h ( ) = ( + ) ( )

14 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓA/4 Aν ( ) = ln(7 ) +, τότε: Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της g ( ) = + + ( ) B) Βρείτε το πεδίο ορισμού της: ( ) Γ) Βρείτε το πεδίο ορισμού της: h( ) = ( + ) ( ) ΓA/5 A) Aν η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το διάστημα, 6, βρες το πεδίο ορισμού της g ( ) = ( ) Συναρτήσεις ΓA/6Aν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: D = [,9], τότε: Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της: g ( ) = (+ ) Β) Βρείτε το πεδίο ορισμού της: h( ) = ( ) + ( + ) ΓA/7 A) Aν η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το διάστημα [,4 ], βρες το πεδίο ορισμού της g ( ) = B) Aν η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το διάστημα ( ) πεδίο ορισμού της h ( ) = ( ln ),, βρες το Γ) A) Aν η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το διάστημα, 65, βρες το πεδίο ορισμού της ( ) ( ) ϕ = + ΓA/8 Aν η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το διάστημα [,7] : Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της g ( ) = ( ) Β) Βρείτε το πεδίο ορισμού της h( ) = ( ) + ( + ) ΓA/9 Αν ( ) 9 = + βρες το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g( ) = (+ ) ( ) ΓA/ Έστω συνάρτηση με πεδίο ορισμού το [, 4] D = Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης: h( ) = ( + ) + ( ) Β) Βρείτε το πεδίο ορισμού της: g( ) = ( ) ( )

15 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Γραφική παράσταση - Άρτια - Περιττή ΓA/ Αν ( ) = + + κ, βρείτε το κ ώστε το σημείο Μ(, κ ) να ανήκει στη γραφική παράσταση της ΓA/ Α) Αν Συναρτήσεις ( ) = + βρείτε τα σημεία τομής της C με τους άξονες Β) Όμοια για την ( ) = Γ) Όμοια για την ( ) = ln( ) ΓA/ Αν το σημείο Α (5,) ανήκει στη γραφική παράσταση της ( ) =κ + 4: Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της και το κ Β) Βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες Γ) Βρείτε το λ αν το σημείο Β (, λ ) ανήκει στη C ΓA/4 Α) Βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων ( ) = και g ( ) = + 6 Β) Όμοια για τις ( ) = και g ( ) = ΓA/5 Α) Βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των ( ) = + ln + e και g ( ) = + συναρτήσεων ( ) ΓA/6 A) Βρείτε τα, α β ώστε τα σημεία Αα (,) και Β( β,β+ ) να ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) = B) Όμοια τα α, β αν τα Α (,) και Β (,) ανήκουν στην γραφική παράσταση της συνάρτησης: ΓA/7 Αν ( ) = +α +β ( ) = +α +α 4 με α και η C διέρχεται από το σημείο Μ (,5) να βρείτε: Α) τον αριθμό α Β) τα σημεία τομής της C με τους άξονες Γ) τα σημεία τομής της C με τη C g όπου g ( ) = 4+ ΓA/8 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) = +α +β και g( ) = +β 6α με α, β Αν η C τέμνει τον άξονα στο -

16 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) και η g Συναρτήσεις C τέμνει τον άξονα yy στο σημείο με τεταγμένη 6, να βρείτε: Α) τους αριθμούς αβ, Β) Τα σημεία τομής των C και C g Γ) Βρείτε τα διαστήματα στα οποία η C είναι πάνω από τη C g ΓA/9 Βρείτε τα διαστήματα όπου η γραφική παράσταση της ( ) = + βρίσκεται πάνω από τον άξονα ΓA/Aν ( ) βρίσκεται κάτω από τη ΓA/ Αν = και g ( ) C g = βρείτε τα διαστήματα όπου η C ( ) = + 5+ e και g ( ) = 6+ e βρείτε τα για τα οποία η C βρίσκεται πάνω από τη C ; ΓA/ Αν ( ) k = + Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της Β) Αν το Α (,) ανήκει στη C δείξτε ότι k = Γ) Αν k = βρείτε που η C τέμνει τους άξονες + k ΓA/4 Δίνεται η συνάρτηση ( ) = + Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της Β) Αν το Α (, ) ανήκει στη C δείξτε ότι k = 7 Γ) Αν k = 7 βρείτε που η C τέμνει τους άξονες ΓA/5 Δίνεται η συνάρτηση ( ) =α +β +γ με α Bρείτε τα α, β, γ αν το σημείο Α (, 6) ανήκει στη C και η τον άξονα yy ' στο σημείο Β (,) ενώ τον στο σημείο Γ (, ) g C τέμνει Άρτια περιττή ΓA/7 Eξετάστε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές

17 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συναρτήσεις ΓA/8 Eξετάστε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές ( ) = ηµ, g ( ) = συν, h ( ) = +, c ( ) = + k ( ) = + +, ϕ ( ) = + συν, s ( ) = + +, ηµ σ ( ) = +, q( ) ln = +, +, αν < π ( ) = +, αν > ΓA/9 Eξετάστε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές 4 ( ) = +, g ( ) = + +, h ( ) = + ηµ, c ( ) = + ηµ ηµ k ( ) = + συν, ϕ ( ) = + +, s ( ) =, σ ( ) =, + συν + + 5, αν q( ) = ln, π ( ) = + 5 +, αν ΓA/ Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης A) Βρείτε το πεδίο ορισμού της Β) Βρείτε το σύνολο τιμών της Γ) Λύστε τις εξισώσεις: ( ) =, ( ) = και ( ) = Δ) Λύστε τις ανισώσεις: ( ) >, ( ) <, ( ), ( ) < E) Εξετάστε αν η είναι άρτια ή περιττή Ισότητα, πράξεις και σύνθεση συναρτήσεων ΓA/A) Εξετάστε αν οι συναρτήσεις είναι ίσες ( ) = 4 και g ( ) = + ΓΒ/ Εξετάστε αν οι συναρτήσεις ( ) = ( )( 4) και g ( ) = 4 είναι ίσες ΓA/ Εξετάστε αν οι συναρτήσεις ( ) = ( )(4 ) και g ( ) = 4 είναι ίσες

18 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓA/4 Εξετάστε αν οι συναρτήσεις ( ) = ( )( ) και g ( ) = είναι ίσες ΓA/5 Εξετάστε αν οι συναρτήσεις ( ) = ( )( ) και g ( ) = είναι ίσες ΓA/6 Προσδιορίστε τα, ( ) = +λ µ λ+ 5 και µλ ώστε να είναι ίσες οι συναρτήσεις: g ( ) = ΓA/7 Προσδιορίστε τα, + ( µ + 5) + λ+ + λ + µλ ώστε να είναι ίσες οι συναρτήσεις: +λ +µ + ( µ ) + 4 ( ) = και g( ) = λ µ+ Βρείτε επίσης τα σημεία όπου η C τέμνει τους άξονες ΓA/8 Αν ( ) ln Συναρτήσεις = και g ( ) = 5 να ορίσετε τις συναρτήσεις: + g, g, g, g ΓA/9 A) Αν ( ) = ln και g ( ) = βρείτε τις συναρτήσεις: + g, g, g, g ΓA/4 Αν ( ) 4 g ΓA/4 Αν ( ) ln( ) g ΓA/4 Αν ( ) και / g ΓA/4 Αν ( ) e = και + g, g = και g ( ) = ορίστε τις + g και = και g ( ) = ορίστε τις + g και = και g ( ) = ln(4 ) ορίστε + g, g, < g ( ) = ορίστε τις συναρτήσεις: +,

19 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) < Συναρτήσεις, +, < ΓA/44 Αν ( ) = και g ( ) = ορίστε τη +, ln, συνάρτηση: + g +, < ΓA/45 Αν ( ) = και g ( ) = ln βρείτε τις +, συναρτήσεις: + g, g +, +, < ΓA/46 Αν ( ) = και g ( ) = να +, >, βρείτε τη συνάρτηση + g ΓA/47A) Αν ( ) ln συναρτήσεις: = και g ( ) = 5 να ορίσετε τις g και g ΓA/48 Αν ( ) = ln και g, g και g ( ) 4 ΓA/49 Προσδιορίστε τη συνάρτηση g ( ) = log ΓA/5 Α) Προσδιορίστε τη συνάρτηση g ( ) = + ΓA/5 Αν ( ) ΓA/5 Αν ( ) 5 συναρτήσεις: g, g και = να ορίσετε τις συναρτήσεις: g αν ( ) = και g αν ( ) = και = e και g ( ) = ln ορίστε τις g και g = και g ( ) ΓA/5 Δίνονται οι συναρτήσεις, g με = να ορίσετε τις ( ) = + και g ( ) = 5 Να οριστούν οι συναρτήσεις g και g ΓA/54 Αν ( ) = και συναρτήσεις g και g g ΓA/55 Δίνονται οι συναρτήσεις, = + να οριστούν οι ( ) g με ( ) = ln και g ( ) = Να ορίσετε τις συναρτήσεις g, g και ΓA/56 Αν ( ) = α+ β με α προσδιορίστε τα αβ, ώστε για κάθε να ισχύει ( )( ) + ( ) = ( )

20 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓA/57 Αν ( ) Συναρτήσεις = +α και g ( ) =β + να βρεθούν τα α, β ώστε g = g και οι C, C g να τέμνονται πάνω στην ευθεία = ΓA/58 Βρείτε τη + e g αν g ( ) = + ln και ( ) = e > ΓA/59Αν g ( ) = 4 5 και ΓA/6 Αν ( ) = και ( ) συνάρτηση g ΓA/6 Αν ΓA/6 Αν ΓA/6 Αν ( ) ( ),, ( g )( ) = 4+ βρείτε την g ( ) = 4 συν βρείτε τη + = για κάθε, βρείτε την ( ) ( ) = + + για κάθε, βρείτε την ( ) = + και ( g )( ) συναρτήσεις g και g ΓA/64 Aν g ( ) = ln και ( )( ) ΓA/65 Αν ( g )( ) = + και ΓA/66 Αν g( ) = e και ( )( ) ΓA/67 Αν g( ) = e και ( )( ) ΓA/68 Αν ( ) ln g ΓA/69 Αν = προσδιορίστε τις g = + βρείτε την + g ( ) = βρείτε την g = +, βρείτε την g = + +, βρείτε την = + και ( )( ) = + βρείτε την g 4 + ( g)( ) = και g ( ) = βρείτε την ΓA/7 Βρείτε τη συνάρτηση ώστε να ισχύει: ( g )( ) = g ( ) = B) Aν ( g)( ) = + και + Μονοτονία και + g ( ) = βρείτε την ΓA/7 Μελετήστε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: ( ) = +, ϕ ( ) = e, r ( ) = 5 4, k ( ) ln e + = + s ( ) = +, h ( ) = ln( ) 4 ΓA/7 Μελετήστε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις:

21 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ( ) = +, ϕ ( ) = e, r ( ) ln( ) =, k ( ) s ( ) = ln, h ( ) = + ln( + ), g ( ) = e ΓA/7 Βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας των συναρτήσεων: Συναρτήσεις = ΓA/74 Μελετήστε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: ( ) = +, ϕ ( ) =, r ( ) = e +, k ( ) = + e s ( ) = e, h ( ) = +, g ( ) = ln( ), q ( ) = + ln ΓA/75 Μελετήστε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: ( ) = 4 8, ϕ ( ) = +, r ( ) = ln( ), k ( ) = + e s ( ) = +, h ( ) = +, g ( ) = ln( ), q ( ) = ln ΓA/76 Αν η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο, μελετήστε την g ( ) = ( ) ( ) + ως προς τη μονοτονία

22 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συναρτήσεις ΓA/77 Aν γνησίως αύξουσα στο και για κάθε ισχύει: ( ) >, μελετήστε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: g ( ) = ( ) +, h ( ) = ln ( ), s ( ) =, ( ) ( ) k ( ) = + ( ) και ϕ ( ) = ( ( ) ) + e αν ορίζεται το ( ( )) για κάθε ΓA/78 Μελετήστε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση: ( ) = + e στο διάστημα = [, + ) ΓA/79 Αν η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο με ( ) > για κάθε, μελέτησε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις : ( ) g ( ) = ( ) ( ) + και ϕ ( ) = ln ( ( ) ) + e ΓA/8 Αν ( ) e ln λύστε την ανίσωση: = + + μελετήστε την ως προς τη μονοτονία και + e ln( ) e ln + < ΓA/8 Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η ( ) + λυθούν οι ανισώσεις: α) + > + + και 6 β) > 5+ 6 ΓA/8 Μελετήστε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση: = + και να ( ) = e και λύστε την: + e < e + ΓA/8 Α) Μελετήστε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση ( ) = ln +, λύστε την εξίσωση ( ) = καθώς και την ανίσωση ln < + + ΓA/84 Mελετήστε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση: ( ) = ln( + ) + e + και λύστε την εξίσωση: ( ) = ΓA/85 Μελετήστε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση 5 ( ) = + και λύστε την εξίσωση ( ) = ΓA/86 Λύστε την εξίσωση: e + ln( + ) = ΓA/87 Λύστε την εξίσωση: ln( ) + + =

23 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓA/88 Μελετήστε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση ( ) = e και λύστε την ανίσωση ΓA/89 Λύστε την εξίσωση: ln ΓA/9 Λύστε την εξίσωση: + e = + = e e > ΓA/9 Λύστε την εξίσωση: e ln = 4 ΓA/9 Δίνεται η συνάρτηση ( ) = Α) Δείξτε ότι η είναι γν φθίνουσα Β) Λύστε την εξίσωση: + 4 = 5 Γ) Να λυθεί η ανίσωση + 4 > 5 ΓA/9 Α) Δείξτε ότι αν, Συναρτήσεις g μονότονες συναρτήσεις, τότε η g είναι γνησίως αύξουσα αν έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας ή γνησίως φθίνουσα αν έχουν διαφορετικό είδος μονοτονίας Β) Αν η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και η g γνησίως φθίνουσα στο, να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: g, g,, g g, θεωρώντας γνωστό ότι αυτές ορίζονται g g ( + 4), Γ) Να λύσετε τις ανισώσεις: Ι) ( )( ) ( ) ΙΙ) g( ( ) ) < g( ( + 4) ) και ΙΙΙ) g g( ) ΓA/94 Αν : διέρχεται από τα σημεία (, ) ( ) g g( ) ( ) > + γνησίως μονότονη με σύνολο τιμών το, η C Β 8, και για κάθε ισχύει: Α και ( ) ( ) + ( + ) = : Α) Δείξτε ότι η είναι γνησίως αύξουσα Β) Δείξτε ότι η g ( ) = ( ) + ln( ) + είναι επίσης γνησίως αύξουσα στο (, + ) Γ) Λύστε την εξίσωση: ( ) = Δ) Λύστε την ανίσωση: g ( ) 8 Ε) Λύστε την ανίσωση: ( g ( )) > ΓA/95 Βρείτε για ποια τιμή του οι παρακάτω συναρτήσεις έχουν ακρότατο, καθώς και την τιμή του ακροτάτου 4 Α) ( ) = 5 + Β) g ( ) = 4 Γ) h ( ) = + Δ) ( ),π E) k ( ),4 ϕ = συν με [ ] = με [ ]

24 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συναρτήσεις ΓA/96 Βρείτε για ποια τιμή του οι παρακάτω συναρτήσεις έχουν ακρότατο, καθώς και την τιμή του ακροτάτου Α) ( ) = ( ) + Β) g ( ) 4 Γ) h ( ) = ηµ, (,π ) ϕ = E) k ( ) = + ln( ) με [,e+ ] ΓA/97 Μια συνάρτηση : έχει την ιδιότητα: ( ) = + Δ) ( ) 5 ( ) + + ( + ) για κάθε Α Βρείτε τον τύπο της (να πάρετε την κάθε ανίσωση ξεχωριστά) Β Βρείτε το ελάχιστο της Σύνολο τιμών Συναρτήσεις «-» ΓA/98 Βρες το σύνολο τιμών των συναρτήσεων: e + Α) ( ) = 5 Β) ( ) = e 4 Γ) ( ) = e + 4 Δ) ( ) = συν + 4 Ε) ( ) = + + ΓA/99 Βρες το σύνολο τιμών των συναρτήσεων: Α) ( ) = Β) ( ) = ηµ Γ) ( ) = e Δ) ( ) = με [,] Ε) ( ) = ΣΤ) ( ) = + e Ζ) ( ) = Η) ( ) = Θ) ( ) = e συν + e Ι) ( ) = ΙΑ) ( ) = συν 4 e + ΓA/ Αν η ( ) το σύνολο τιμών της ( Α ) ΓA/ Αν η ( ) ln( ) = + είναι ορισμένη στο [,] = + + είναι ορισμένη στο Α=, e βρείτε το σύνολο τιμών της ( Α ) Α=, βρείτε

25 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συναρτήσεις ΓA/ Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι «-» Α) ( ) = +, Β) ( ) = ln( ), Γ) ( ) = e Δ) ( ) = +, Ε) ( ) e = +, ΣΤ) ( ) ( ) = + ln e +, e + Ζ) ( ) = + ln(+ ) +, H) ( ) =, Θ) ( ) = + e Ι) ( ) = συν ΙΑ) ( ) =, ΙΒ) ( ) = ηµ + ΓA/ Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι «-» Α) ( ) = 4+, Β) ( ) = ln( ), Γ) ( ) = e + = +, Ε) ( ) = + ln, ΣΤ) Δ) ( ) ln( e ) ( ) = + ln( + ) Ζ) ( ) =, Η) ( ) = ηµ, Θ) ( ) = ( )( + ) + + Ι) ( ) = +, ΙΑ) ( ) e = 4, ΙΒ) ( ) = ΓA/4 Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι «-» Α) ( ) = +, Β) ( ) = ln( ), Γ) ( ) = e e + = +, Ε) ( ) =, ΣΤ) ( ) = + ln(+ ) e Ζ) ( ) = +, Η) ( ) = συν +, Θ) ( ) = ( )( + ) + Δ) ( ) ln( e ) Ι) ( ) = + +, ΙΑ) ( ) = e +, ΙΒ) ΓA/5 Αν ( ) = + ( ) + ( ) = για κάθε, δείξτε ότι η είναι συνάρτηση «-» ΓA/6 Αν είναι «-» ΓA/7 Αν ( ) ( ) = για κάθε να αποδειχθεί ότι η ( ) + ( ) = + για κάθε, δείξτε ότι η είναι συνάρτηση «-» ΓA/8 Αν ( ) ( ) + ( ) = ln( ) + για κάθε (, + ), δείξτε ότι η είναι συνάρτηση «-» ΓA/9 Αν ( g)( ) = ln( ) + ότι η g είναι «-» για κάθε, + δείξτε

26 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓA/ Αν ( ) + ( ) = e + για κάθε δείξτε ότι η συνάρτηση είναι «-» ( ) ΓA/ Αν ( ) Συναρτήσεις ln ( ) + e = + για κάθε και ( ) > για κάθε, δείξτε ότι η συνάρτηση είναι «-» ΓA/ Αν :, ( ) αποδείξετε ότι η είναι - ΓA/ Αν, g: ( ) και ( ) ( ) = ( ) να, η g είναι - και για κάθε ισχύει: g e + = ( ) + ( ) +, να αποδείξετε ότι η είναι - ΓA/4 Αν, g:, η g είναι - και κάθε, να αποδείξετε ότι η είναι - ΓA/5 Αν, g: g ( ) ( ) e ( ) = + για, η g είναι -, ( ) > και για κάθε ισχύει: ( ) g( ) = ( ) + ( ) + για κάθε, να αποδείξετε ότι η είναι - ΓA/6 Αν ( ) ( ) e e + = + για κάθε αποδείξτε ότι η συνάρτηση είναι «-» και να λυθεί η εξίσωση: ΓA/7 Δείξτε ότι η συνάρτηση ( ) την εξίσωση e e + + = ΓA/8 Δίνεται η συνάρτηση ( ) e ( ) ( 6) = + = + είναι «-» και λύστε =α, <α< Α) Δείξτε ότι είναι «-» 4 α α = 4 ( ) Β) Λύστε την εξίσωση: ( ) ΓA/9 Δίνονται οι συναρτήσεις, g: για κάθε Α) Αποδείξτε ότι η g είναι «-» + + Β) Να λυθεί η εξίσωση g( 4 4) g( 4) + = ΓA/ Αν ( g )( ) = ( ) + ln( e + ) είναι «-» και λύστε την εξίσωση: ( ) ( ) με ( g)( ) = + για κάθε, δείξτε ότι η 4 + =

27 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓA/ Αν η συνάρτηση : η εξίσωση ( )( ) ( ) ΓA/ Αν : δείξτε ότι και η + 4 = ( + 4) ΓA/ Αν ( ) Συναρτήσεις είναι γνησίως φθίνουσα, να λυθεί συνάρτηση «-» με ( ) για κάθε, ( ) g ( ) = είναι επίσης «-» ( ) ( ) + ( ) = + 5 για κάθε δείξτε ότι η είναι «-» και λύστε την εξίσωση ( ) 5 ( ) ΓA/4 Αν ισχύει: ( g ) e + = ( ) ( ) = + + για κάθε, δείξτε ότι η συνάρτηση είναι «-» και λύστε την εξίσωση: = (ln ) ( ) Αντίστροφη συνάρτηση ΓA/5 Βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης ( ) ΓA/6 Βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης = + ( ) e = + ΓA/7 Βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης ( ) e 4 ΓA/8 Βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης ΓA/9 Βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης ( ) = ln( ) + ΓA/ Βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης = + e ( ) = e ( ) = + ΓA/ Βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης ( ) 4 ΓA/ Βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης ( ) ln( ) ΓA/ Βρείτε τις αντίστροφες των συναρτήσεων: ( ) g ( ) = e, h ( ) = + e και ϕ ( ) = = = + + e =, + e +

28 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συναρτήσεις ΓA/4 Δίνεται η συνάρτηση ( ) = e 5 Αποδείξτε ότι είναι «-» και να βρείτε την +, ΓA/5Αν ( ) = βρείτε τα ((, ] ) και + > +, δείξτε ότι η είναι «-» και βρείτε την ((, )) ΓA/6 Aν : συνάρτηση με σύνολο τιμών το και για κάθε ισχύει: ( ) + ( ) = +, τότε δείξτε ότι η είναι «-» και βρείτε την αντίστροφή της ΓA/7 Aν : συνάρτηση με σύνολο τιμών το [, + ) και για κάθε ισχύει: ( ) + ( ) =, τότε δείξτε ότι η είναι «-» και βρείτε την αντίστροφή της ΓA/8 Aν : συνάρτηση με σύνολο τιμών το (,+ ) και για κάθε ισχύει: ( ) + ln ( ) + 5=, τότε δείξτε ότι η είναι «-» και βρείτε την αντίστροφή της ΓA/9 Aν : συνάρτηση με σύνολο τιμών το και για κάθε ισχύει: ( ( )) = ( ) + +, τότε δείξτε ότι η είναι «-» και βρείτε την αντίστροφή της συναρτήσει της ΓA/4 Aν : συνάρτηση με σύνολο τιμών το (,+ ) και για κάθε ισχύει: ( ) + ln ( ) = +, τότε δείξτε ότι η είναι «-» βρείτε την αντίστροφή της και λύστε την εξίσωση: ( ) = ΓA/4 Aν : συνάρτηση με σύνολο τιμών το και για ( ) κάθε ισχύει: e + ( ) + =, τότε δείξτε ότι η είναι «-» και βρείτε την αντίστροφή της ΓA/4 Αν : (, + ) με σύνολο τιμών ( ) = (, + ) και ( ) + ln ( ) = + για κάθε, δείξτε ότι η είναι συνάρτηση «-» και βρείτε την αντίστροφή της ΓA/4 Αν : (, + ) ln ( ) ( ) 4 με σύνολο τιμών ( ) = (, + ) και + + = για κάθε, δείξτε ότι η είναι συνάρτηση «-» και βρείτε την αντίστροφή της

29 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συναρτήσεις ΓA/44 Αν η συνάρτηση έχει σύνολο τιμών το και ισχύει: ( ) + ( ) = για κάθε δείξτε ότι η αντιστρέφεται, βρείτε = + 4 καθώς την αντίστροφή της και λύστε την εξίσωση: ( ) ( ) επίσης και την ( ) = ΓA/45 Αν η συνάρτηση έχει σύνολο τιμών το και ισχύει: ( ) ( ) = e + + για κάθε δείξτε ότι η αντιστρέφεται, βρείτε την αντίστροφή της και λύστε την εξίσωση: ( ) ( 7) επίσης και την ( 4) = ΓA/46 Αν : με + = καθώς ( ) ln( ) = 4 για κάθε > : Α) Δείξτε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε την Β) Να δείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το ΓA/47 Αν : Α συνάρτηση «-» με σύνολο τιμών ( Α ) =Β ( y) και για κάθε y Β ισχύει: ( y) + e = y+ : Α) Βρείτε την Β) Δείξτε ότι η είναι μονότονη Γ) Λύστε την ( ) = Δ) Λύστε την εξίσωση ( e ) ΓA/48 Έστω συνάρτηση : + = ώστε: ( )( ) ( ) = για κάθε Αποδείξτε ότι η είναι αντιστρέψιμη και () = ΓA/49 Αν : με την ιδιότητα ( )( ) ( ) = +α, α για κάθε και () =, να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται ( ) και να δείξετε ότι ( ) = ΓA/5 Αν συνάρτηση «-» και ισχύει: g( g ( )) = g ( ) + ( ) για κάθε : Α) Να δείξετε ότι η g είναι «-» Β) βρείτε το ώστε: ( g g)( 4+ e ) g( 4 e ) ( 4 e ) = ΓA/5 Αν ( ) = + : Α) Δείξτε ότι η αντιστρέφεται Β) Λύστε την εξίσωση: Γ) Βρείτε τα κοινά σημεία των C και C ( ) = 5

30 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓA/5 Αν : Συναρτήσεις με σύνολο τιμών το (,+ ) και για κάθε ισχύει: ( ) + ln ( ) = + : Α) Δείξτε ότι η αντιστρέφεται και βρείτε την αντίστροφή της Β) Λύστε την εξίσωση: ( ) = Γ) Βρείτε τα κοινά σημεία των C και C ΓA/5 Αν ( ) = : Α) Δείξτε ότι η αντιστρέφεται Β) Βρείτε το Γ) Βρείτε τα κοινά σημεία των C και C Δ) Λύστε την εξίσωση: ΓA/54 Αν : ( ) = (9) συνάρτηση με σύνολο τιμών το και ισχύει: ( ) ( ) + e = + για κάθε : Α) Αποδείξτε ότι η αντιστρέφεται και βρείτε την αντίστροφή της B) Μελετήστε την ως προς τη μονοτονία Γ) Λύστε την ανίσωση: ( ) < Δ) Βρείτε τα κοινά σημεία των C και C ΓA/55 Αν ( ) = + Α) Αποδείξτε ότι η αντιστρέφεται B) Δείξτε ότι η είναι γνησίως αύξουσα Γ) Βρείτε τα κοινά σημεία των C και C Δ) Λύστε την εξίσωση: ΓA/56 Αν : ( ) = 5 συνάρτηση με σύνολο τιμών το [, + ) και ισχύει ( ) + ( ) = για κάθε : Α) Αποδείξτε ότι η αντιστρέφεται και βρείτε την αντίστροφή της B) Μελετήστε την ως προς τη μονοτονία Γ) Λύστε την ανίσωση: ( ) < 4 Δ) Βρείτε τα κοινά σημεία της C και της ευθείας y ΓA/57 Αν ( ) ln( ) = Α) Αποδείξτε ότι η αντιστρέφεται B) Δείξτε ότι η είναι γνησίως αύξουσα =

31 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Γ) Βρείτε τα κοινά σημεία των C και C Συναρτήσεις Δ) Βρείτε τα σημεία όπου η C τέμνει τον ΓA/58 Αποδείξτε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση ώστε να ισχύει ( ) + ( ) = για κάθε ΓA/59 Βρείτε τη συνάρτηση : ( ) = για κάθε ΓA/6 Βρείτε τη συνάρτηση : ( ) + ( ) = + ΓA/6 Να βρείτε συνάρτηση : αν ισχύει: αν για κάθε ισχύει:, αν ισχύει: ( ) + ( + ) =, για κάθε (Να θέσετε όπου το ΓA/6 Να βρείτε συνάρτηση : ( ) ( ), αν ισχύει: + = +, για κάθε (Να θέσετε όπου το 4 ΓA/6 Δίνεται η συνάρτηση: : για την οποία ισχύει ( + y) + ( y) = ( ) ( y) για κάθε y, και ( ) για κάθε Δείξτε ότι () = και άρτια ΓA/64 Έστω : (, + ) ώστε ( ) ( y) = για κάθε y y>, και η ( ) = έχει μοναδική ρίζα: Α) Βρείτε το () Β) Δείξτε ότι η είναι «-» Γ) Λύστε την εξίσωση ( ) (5 6) = + ( ) Δ) Αν ( ) > για κάθε > να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα ΓA/65 Έστω συνάρτηση ώστε: ( y) ( ) ( y) + = + για κάθε y, Α) Βρείτε το () Β) Δείξτε ότι η είναι περιττή Γ) Δείξτε ότι: ( y) = ( ) ( y), για κάθε y, Δ) Αν η ( ) = έχει μοναδική ρίζα να δείξετε ότι η αντιστρέφεται Ε) Αν ( ) > για κάθε >, δείξτε ότι η είναι γν αύξουσα στο ) )

32 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓA/66 Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει: ( + y) = ( ) + ( y) + y για κάθε y, A) Να βρείτε το σημείο τομής της C με τον άξονα yy B) Να βρείτε τον τύπο της ΓA/67 Δίνεται συνάρτηση : Συναρτήσεις, για την οποία ισχύει: ( + y) = ( y) y ( ) για κάθε y, Να αποδείξετε ότι: A) η γραφική παράσταση της διέρχεται από την αρχή των αξόνων B) Η C έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο των αξόνων Γ) ( y) = y ( ) ( y), y, Γενικές ασκήσεις ΓA/68 Αν ( ) = + e : Α) Εξετάστε την ως προς τη μονοτονία Β) Λύστε την εξίσωση: e = g( ) Γ) Αν ισχύει: g ( ) + e = + για κάθε : ) Δείξτε ότι g () = ) Δείξτε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα ) Λύστε την ανίσωση: ( g )( ) > ΓA/69 Αν : γνησίως αύξουσα με ( ) = και ισχύει: ( ) g= + για κάθε : Α) Δείξτε ότι οι ( ) ( ) ( ) συναρτήσεις, g είναι «-» Β) Δείξτε ότι ( ) g = + ( ) ( ) Γ) Αν () = λύστε την εξίσωση: + ( ) = π π ΓA/7 Έστω η συνάρτηση ( ) = ηµ + + εϕ με, A) Δείξτε ότι η αντιστρέφεται B) Λύστε την εξίσωση: ( ) = ΓA/7 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln = Α Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα Β Λύστε την εξίσωση ( ) = Γ Λύστε την ανίσωση + ln >

33 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓA/7 Αν : Συναρτήσεις και ( ) = και για κάθε ισχύει: ( ) e + ( ) = : Α) Δείξτε ότι η αντιστρέφεται και βρείτε την e e (Παρατηρήστε ότι: () = e+ ( ( ) ) = ( e+ ) και ( ) = ) Γ) Λύστε την ( ) = ( ( ) = ( ( ) ) = () ) Δ) Μελετήστε την ως προς τη μονοτονία αντίστροφή της Β) Βρείτε τα ( e+ ), Ε) Λύστε την ανίσωση: ( 6) ΓA/7 Δίνονται οι συναρτήσεις:, g: e e 6 + > με ( ) = για τις οποίες ισχύει ( + g )( ) = για κάθε Αποδείξτε ότι η αντιστρέφεται και ισχύει ( ) = ( ) + g ( ) για κάθε ΓA/74 Αν : και για κάθε ισχύει: ( ) Α) Δείξτε ότι η αντιστρέφεται και βρείτε την αντίστροφή της Β) Λύστε την εξίσωση: ( ) = ΓA/75 Αν : με ( ( ) ) συνάρτηση ( ) = + είναι «-», τότε: g ( ) e e + ( ) = : = για κάθε και η Α) δείξτε ότι η είναι «-» Β) δείξτε ότι: ( g )( ) = g ( ) και Γ) βρείτε την συνάρτηση ΓA/76 A) Δείξτε ότι η συνάρτηση ( ) αύξουσα h e = + είναι γνησίως Β) Αν συνάρτηση «-» και ισχύει: ( g g) ( ) = g ( ) + ( + e) για κάθε : Β) Δείξτε ότι η συνάρτηση g είναι «-» B) Αν () = δείξτε ότι: g () = Β) Να λυθεί η εξίσωση: g( ) ( e + ) = e ΓA/77 Αν ( ) = ln + να δείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη και να λύσετε τις εξισώσεις: ( ) = και ( ( ) ) e e + + =

34 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓA/78 Αν - συνάρτηση και (,5) ( ) λύστε την εξίσωση: ( ) + = 9 Συναρτήσεις Α, Β (7,9) σημεία της C, ΓA/79 Αν τα σημεία Α (, 9) και Β(6, ) ανήκουν στη γραφική παράσταση της γνησίως μονότονης συνάρτησης, να λύσετε την ( ) ανίσωση: ( ) + 9 ΓA/8 Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση : που η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(,) και Β(5,9) ( ) A) Λύστε την εξίσωση: ( ) B) Λύστε την ανίσωση: ( ) + + = 9 ( 8 ) < ΓA/8 Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση : που η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(,) και Β(,-) + < A) Bρείτε τη μονοτονία της B) Λύστε την ανίσωση: ( ) Γ) Λύστε την εξίσωση: ( ) Ε) Λύστε την εξίσωση: ( ) e = Δ) Βρείτε τα + ( + ) = () ΓA/8 Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση : και ( ) που η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(,) και Β(4,-) ( ) Να λύσετε την ανίσωση: ( ) ΓA/8 Έστω ( ) ln( e ) είναι - βρείτε την ΓA/84 Αν ( )( ) 4 e = + και g ( ) = Να δείξετε ότι η e + και τη συνάρτηση h ώστε h = g = για κάθε να αποδείξετε ότι: Α) η είναι «-» Β) = Γ) η δεν είναι μονότονη Δ) η είναι περιττή και () = (θέτοντας όπου το ( ) : ( ( ) ) = και αντικαθιστώ το ( ( )) ) ΓA/85 Αν : ( ) ( ), ( ) = και ισχύει: ( )( ) 5 = για 5 κάθε δείξτε ότι η είναι «-» και ότι: ( ) ( ) 5 =

35 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) (θέτοντας όπου το ( ) : ( ( )) ΓA/86 Αν ( )( ) = + ( ) = Β) Η συνάρτηση ΓA/87 Αν : ( ) = ( ) 5 Συναρτήσεις και αντικαθιστώ το ( ( )) ) για κάθε, δείξτε ότι: Α) g ( ) = 4+ 5 ( ) + δεν είναι αντιστρέψιμη ώστε ( )( ) αποδειχθεί ότι: Α) Η αντιστρέφεται = ( ) ( ) = για κάθε να Β) Δείξτε ότι Γ) () = Δ) Η έχει σύνολο τιμών το (Αρκεί για κάθε ώστε ( ) = y ( ( )) = ( y ) ) υπάρχει Ε) Δείξτε ότι ( ) = ( ) ΣΤ) Δείξτε ότι η δεν είναι γνησίως μονότονη y να ΓA/88 A) Αν ( ( ) ) B) Aν ( ( ) ) = + για κάθε, και ( ) = βρείτε το ( ) ΓA/89 Αν ( ( ) ) ( ) ότι: Α) η συνάρτηση είναι «-» Β) ( ) = = + για κάθε, βρείτε το () = + για κάθε τότε να αποδείξετε ΓA/9 Αν η συνάρτηση είναι γν αύξουσα και ( ) > για κάθε ( ), δείξτε ότι η συνάρτηση g ( ) = είναι «-» και λύστε ( ) ( ) = (Υπόδειξη: g ( ) ( ) την εξίσωση : ( ) ΓA/9 Έστω συνάρτηση : ( ) ( ) = ) ( ) με ( ( ) ) = 4+ 9, για κάθε Α) Αποδείξτε ότι η αντιστρέφεται και ότι ( ) = ( ( ) 9) 4 Β) Αποδείξτε ότι (4+ 9) = 4 ( ) + 9 για κάθε Γ) Βρείτε το α ώστε: ( α ) =α ΓA/9 Έστω ( ) e e, = + > Αποδείξτε ότι αντιστρέφεται, βρείτε την και αποδείξτε ότι η εξίσωση ( ) = 4έχει μία τουλάχιστον λύση

36 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓA/9 Δίνονται οι συναρτήσεις, g: για κάθε Α) Αποδείξτε ότι η είναι - Β) Λύστε την εξίσωση: (ln ) = (ln ) ΓA/94 Αν ( ) ( ) =α + α α+ με (,) Συναρτήσεις με ( g )( ) = e α : Α) Δείξτε ότι η αντιστρέφεται Β) Λύστε την ( ) = Γ) Λύστε την ( ) < Δ) Βρείτε το ( ) ΓA/95 Α) Aποδείξτε ότι η g ( ) ln = + + είναι γν αύξουσα Β) Αποδείξτε ότι αν η συνάρτηση είναι γν αύξουσα και θετική τότε η h( ) = ( ) + ln ( ) + είναι αντιστρέψιμη Γ) Αν η C τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Α (,) να λύσετε την ( ) εξίσωση: ( ) = e ΓA/96 Αν για τη συνάρτηση ισχύει: ( ) + ( ) = e + για κάθε, τότε: Α) Δείξτε ότι η είναι «-» (θέτω g ( ) = e+ και αποδεικνύω ότι είναι -) Β) Βρείτε το Γ) Λύστε την εξίσωση: ( ) ( ) ΓA/97 Αν : () + = + + e e ( ) με ( ) = και ισχύει ( ) + e = + για κάθε, τότε: Α) Δείξτε ότι η είναι αντιστρέψιμη e Β) Λύστε την εξίσωση ( ln ) = Γ) Βρείτε την Δ) Βρείτε το () ΓA/98 Αν : (, + ) και ( ) + ( ) = για κάθε να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα βρείτε το () το (5) ( ) > και να λύσετε την ανίσωση: ( ) (Υπόδειξη: < ( ) + ( ) < ( ) + ( ) ) ΓA/99 Αν Αν, g: g ( ) ( ) g( g ( )) ώστε να ισχύει για κάθε + = και η είναι «-», δείξτε ότι και η g είναι «-» και λύστε την εξίσωση: g( e ) g( ) + + =

37 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συναρτήσεις ΓA/Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, g φαίνονται στο διπλανό σχήμα Α) Υπολογίστε τα: + g, ( )( ) ( )( ), ( g )( 5), ( g)( ) Β) Να λύσετε την εξίσωση ( ) = g Γ) Βρείτε τα διαστήματα του στα οποία η C είναι πάνω από τη C Δ) Λύστε την ανίσωση ( g)( ) ΓA/ Αν ( )( ) = 7 g <, για κάθε, () = και () = 9, τότε: Α) Δείξτε ότι η είναι «-» Β) Βρείτε το () (όπου το ( ) και μετά Γ) Λύστε την εξίσωση: ( ) = 9 (στην αρχική όπου το ( ) ΓA/ Αν : = ) και μετά = ) και ( )( ) = για κάθε : A) Δείξτε ότι είναι «-» Β) Δείξτε ότι ( ) = ( ) Γ) Βρείτε το () Δ) Βρείτε την συναρτήσει της Ε) Λύστε την εξίσωση: ( ) = ( -άρω και αντικαθιστώ τα (()) και () ) ΓA/ Αν 5 ( ) = + + : Α) Δείξτε ότι η αντιστρέφεται και βρείτε το () Β) Δείξτε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο Γ) Λύστε τις εξισώσεις ( ) = 5 και ( ) = Δ) Βρείτε τα κοινά σημεία των C και C με την ευθεία y = 5 Ε) Λύστε την εξίσωση (ηµ ) = ηµ ( + ) < () ΣΤ) Λύστε την ( ) ΓA/4 Δίνεται η συνάρτηση με ( ) ( e ) A) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της B) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται Γ) Να ορίσετε την Δ) Να λύσετε την ανίσωση ( ) < ( ln5 ) = ln +

38 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓA/5 Δίνεται η συνάρτηση με ( ) Α) Να βρείτε το είδος μονοτονίας της Β) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται = = + Γ) Να λυθεί η εξίσωση ( ) Δ) Να λυθεί η ανίσωση ( ) ΓA/6 Δίνεται η συνάρτηση : ( )( ) + ( ) = + για κάθε και ( ) A) Να βρείτε το ( 5) B) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται Γ) Να βρείτε το ( ) (στην αρχική θέτω οπου το ( ) Δ) Να λύσετε την εξίσωση: ( ) ΓA/7 Δίνεται η συνάρτηση : ( ) g + = ln για την οποία ισχύει: = = ( ) ) Συναρτήσεις και η συνάρτηση g με τύπο A) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της g B) Να βρείτε συνάρτηση h για την οποία να ισχύει: ( )( ) h g = Γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h είναι περιττή ΓA/8 Δίνεται η συνάρτηση με ( ) = + A) Να βρείτε το είδος μονοτονίας της B) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός για τον οποίο η συνάρτηση παίρνει την τιμή Γ) Να λύσετε την ανίσωση: + < ΓA/9 Δίνονται οι συναρτήσεις:, g: ώστε ( g)( ) = για κάθε A) Δείξτε ότι η g είναι «-» Β) Δείξτε ότι η g έχει σύνολο τιμών το Γ) Βρείτε την αντίστροφη της g συναρτήσει της D) Δείξτε ότι αν η είναι γν φθίνουσα τότε η g είναι γν αύξουσα ΓA/ Δίνεται η συνάρτηση : κάθε και () = ώστε ( )( ) = 5 για

39 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Α) Δείξτε ότι η αντιστρέφεται Β) Βρείτε το () (στην αρχική θέτω οπου το Γ) Λύστε την εξίσωση: ( ) ΓA/ Δίνεται η συνάρτηση : ( ) ( ) 4 ( ) + = + = + για κάθε ( ) ) για την οποία ισχύει: Α) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να ορίσετε την Β) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα Γ) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και Δ) Να λυθεί η εξίσωση: ( e ) ( ) = Συναρτήσεις +α ΓA/ Αν ( ) = και η C διέρχεται από το σημείο Μ (,) : + Α) Βρείτε το α Β) Ορίστε την + Γ) Εξετάστε αν οι και g ( ) = είναι ίσες + ΓA/ Αν : και g ( ) = ln + : Α) Δείξτε ότι η g είναι περιττή Β) Βρείτε το D g Γ) Αν επιπλέον ( g) ( ) = βρείτε την Δ) Δείξτε ότι το γράφημα της έχει κέντρο συμμετρίας το Ο (,)

40 Mαθηματικά Γ Λυκείου Συναρτήσεις Ερωτήσεις Σωστό - Λάθος Σ-Λ Συναρτήσεις, αν άρτιος αριθμός H αντιστοιχία : {,} με () =, αν περιττός αριθμός είναι συνάρτηση Σ - Λ Για τη συνάρτηση ( ) = ln, > ισχύει ( y) = ( ) + ( y) για κάθε y, Σ - Λ Για τη συνάρτηση ( ) = e,, ισχύει ( y) = ( ) ( y) για κάθε y, Σ - Λ 4 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται κάτω από τον άξονα Σ - Λ 5 Δίνεται η συνάρτηση y = ( ) Οι τετμημένες των σημείων τομής της C με τον άξονα μπορούν να βρεθούν, αν θέσουμε όπου y = και λύσουμε την εξίσωση Σ - Λ 6 Δύο συναρτήσεις, g είναι ίσες, αν υπάρχουν κάποια, ώστε να ισχύει ( ) = g ( ) Σ - Λ 7 Για να ορίζονται το άθροισμα και το γινόμενο δύο συναρτήσεων και g θα πρέπει τα πεδία ορισμού τους να έχουν κοινά στοιχεία Σ - Λ 8 Αν η συνάρτηση είναι «-», οι συναρτήσεις gh, έχουν πεδίο ( ) ορισμού το και ισχύει ( g ( )) h ( ) συναρτήσεις g και h είναι ίσες = για κάθε, τότε οι Σ - Λ 9 Η συνάρτηση ( ) =,, είναι σταθερή Σ - Λ Αν το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα ( αβ, ), τότε η δεν έχει ελάχιστο ούτε μέγιστο Σ - Λ Μια συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το, είναι γνησίως αύξουσα και έχει σύνολο τιμών το (,+ ) Τότε η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο Σ - Λ

41 Mαθηματικά Γ Λυκείου Σ-Λ Συναρτήσεις Δίνεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα διάστημα Δ Αν ο λόγος ( ) ( ) είναι θετικός για κάθε,, με, τότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο Δ Σ - Λ Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σ ένα διάστημα Δ, τότε η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ Σ - Λ 4 Η συνάρτηση ( ) = είναι γνησίως φθίνουσα στο σύνολο (,) (, + ) Σ - Λ 5 Αν μια περιττή συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο στο σημείο, τότε θα παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο Σ - Λ 6 Αν μια άρτια συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο, τότε παρουσιάζει το ίδιο είδος ακροτάτου στο σημείο Σ - Λ 7 Αν μια συνάρτηση είναι άρτια, τότε είναι «-» Σ - Λ 8 Αν μια συνάρτηση είναι «-», τότε είναι πάντοτε περιττή Σ - Λ v 9 Η συνάρτηση ( ) =, v είναι: i) άρτια, αν ο ν είναι άρτιος Σ - Λ ii) περιττή, αν ο ν είναι περιττός Σ - Λ Αν η συνάρτηση είναι «-» τότε ισχύουν: ( ) A) ( ) = για κάθε που ανήκει στο πεδίο ορισμού της B) ( ) ( ) Έστω η συνάρτηση Σ - Λ = για κάθε που ανήκει στο πεδίο ορισμού της ( ) γραφικών παραστάσεων των Σ - Λ =, [, ) Σ - Λ + Τότε κάθε κοινό σημείο των C και C ανήκει στην ευθεία y = Αν μια συνάρτηση είναι άρτια, τότε έχει αντίστροφη Αν οι συναρτήσεις και g έχουν πεδίο ορισμού το τότε ισχύει ότι: Σ - Λ Α) g = g Σ - Λ Β) g = g Σ - Λ

42 Mαθηματικά Γ Λυκείου Σ-Λ Συναρτήσεις 4 Δίνεται μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και μια συνάρτηση I, για την οποία ισχύει I( ) =, για κάθε Τότε ισχύει ( I )( ) = ( I)( ), για κάθε Σ - Λ 5 Αν οι συναρτήσεις και g είναι γνησίως μονότονες στο, τότε η συνάρτηση g είναι: Α) γνησίως αύξουσα, αν οι, g έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας Σ - Λ Β) γνησίως φθίνουσα, αν οι, gέχουν διαφορετικό είδος μονοτονίας Σ - Λ 6 Αν η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο Δ με ( ) < για κάθε, τότε η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ Σ - Λ 7 Αν οι συναρτήσεις και g είναι «-» στο, τότε και η συνάρτηση g είναι «-» στο Σ - Λ MC Escher

43 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατ/νσης) Σημειώσεις θεωρίας Όρια ΠΡΟτάσεις, ΠΑΡατηρήσεις, ΜΕΘοδοι και ΣΧΟλια ΠΑΡΒ Αν η συνάρτηση είναι ρητή ή πολυωνυμική ή άρρητη ή εκθετική ή λογαριθμική ή τριγωνομετρική ή προκύπτει από τις παραπάνω με οποιεσδήποτε πράξεις ή σύνθεση και A, τότε lim ( ) υπάρχει, δηλαδή το όριο ταυτίζεται ( ) = εφόσον το ( ) με την τιμή της στο lim + ηµ = π + ηµπ = π + ή Πχ ( ) π + + e e lim = = συν συν lim ( ) = l lim ( ) l = lim + h = l ΠΡΟΒ Ισχύει [ ] ( ) ΣΧΟΒ Αν ( ) g ( ) h = τότε ισχύει γενικά Πχ ( ηµ) ΠΑΡΒ Αν ( ) g ( ) lim ( ) = lim g ( ) Το αντίστροφο δεν lim + = lim( + ) ενώ προφανώς + ηµ + κοντά στο τότε Αν ( ) < g ( ) κοντά στο τότε επίσης ισχύει lim ( ) lim g ( ) lim ( ) lim g ( ) Πχ < κοντά στο + ενώ lim = lim = + + ΜΕΘΒ Αν μας δίνουν το όριο μιας παράστασης του ( ) και μας ζητούν το όριο της ( ), χωρίς να γνωρίζω ότι υπάρχει, θέτω την παράσταση g ( ) λύνω την ισότητα ως προς ( ) και παίρνω όρια + ( ) Πχ Αν lim = βρείτε το lim ( ) + ( ) + ( ) Λύση: Θέτω = g ( ) οπότε lim g ( ) = + ( ) g ( ) Είναι + ( ) = g( ) + ( ) g( ) ( ) = g ( ) g ( ) lim g ( ) lim Οπότε lim ( ) = lim = = = g ( ) lim g ( )

44 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατ/νσης) ΜΕΘΒ Αν μου δίνουν το lim ( g ( )) ( ) lim h ( ) τότε κάνω αλλαγή μεταβλητής Πχ Αν lim ( ) = 4 βρείτε το lim ( ) Λύση: Θέτω u =, τότε αφού, u και είναι lim ( ) = 4 lim ( u) = 4 δηλαδή lim ( ) = 4 u και μου ζητούν το Σημειώσεις θεωρίας ΜΕΘΒ Μηδενική λέμε μια συνάρτηση που έχει όριο το μηδέν (Απόλυτα) φραγμένη λέγεται μια συνάρτηση αν υπάρχει αριθμός M > ώστε ( ) < M Χαρακτηριστικότερες φραγμένες συναρτήσεις είναι το ημίτονο και το συνημίτονο αφού: ηµ και συν για κάθε, άρα ηµ και συν Ισχύει: Το όριο του γινομένου μηδενικής επί φραγμένη είναι το μηδέν Η απόδειξη γίνεται με κριτήριο παρεμβολής Προσοχή!!! Τα παραπάνω δεν μπορούμε να τα χρησιμοποιούμε σαν θεωρία αφού δεν υπάρχουν στο σχολικό βιβλίο!!! Πχ Βρείτε το lim ηµ Λύση: Η συνάρτηση ηµ είναι φραγμένη ενώ η μηδενική ηµ ηµ ηµ Αλλά ( ) lim = και lim = οπότε με κριτήριο παρεμβολής lim ηµ = ( ) ΜΕΘΒ4Αν θέλω να υπολογίσω το lim και είναι lim ( ) g ( ) ενώ lim g ( ) = (δηλαδή θέτοντας όπου το μηδενίζεται ο παρονομαστής αλλά όχι και ο αριθμητής) τότε το όριο είναι + ή ή δεν υπάρχει Σ αυτή την περίπτωση δίνω στο όριο τη μορφή: ( ) ( ) lim = lim με g( ) g( ) = g ( ), lim g( ) = g ( ) g( ) g( ) και lim g ( ) (δηλαδή βγάζω μπροστά αυτό που μηδενίζει τον παρονομαστή) Αν η g ( ) διατηρεί το ίδιο πρόσημο δεξιά και αριστερά του (πάντα όμως κοντά στο ) τότε το όριο είναι + ή

45 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατ/νσης) Σημειώσεις θεωρίας Αν η g ( ) αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του τότε εργαζόμαστε με πλευρικά όρια και αποδεικνύουμε ότι το όριο δεν υπάρχει Πχ lim = lim 4 ( ) = + = επίσης lim = lim = ( + ) = lim = lim ( ) = = + Άρα το όριο δεν υπάρχει + + ΜΕΘΒ5 Αν ο υπολογισμός του περιέχει όρους της μορφής g ( ) : lim ( ) οδηγεί σε μορφή και Αν το lim g ( ) είναι θετικό ή αρνητικό, τότε είναι αντίστοιχα g> ( ) ή g< ( ) κοντά στο και έτσι φεύγουν τα απόλυτα Αν lim g ( ) = τότε με τη βοήθεια πίνακα βρίσκουμε το πρόσημο της ( ) g και αν χρειαστεί εργαζόμαστε με πλευρικά όρια Ανάλογα εργαζόμαστε αν υπάρχουν περισσότεροι όροι της μορφής g ( ) με lim g ( ) = + Πχ για το L = lim Επειδή lim( ) = > είναι > κοντά στο =, οπότε = και όμοια < οπότε = και έτσι: ( ) + L = lim = lim = + Επίσης: L = lim Επειδή lim( ) = ( )( + ) lim = lim lim lim = lim ( + ) = ( ) + + lim = lim lim lim = lim = Άρα δεν υπάρχει το L v ΠΑΡΒ Ισχύει: ( ) Ισχύει: lim = lim ( ) = lim ( ) = lim ( ) =

46 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατ/νσης) Δεν ισχύει η πρόταση: Αν lim ( ) lim ( ) = l Δεν ισχύει η πρόταση: Αν lim ( ) = l = l τότε υπάρχει το lim ( ) ΠΑΡΒ Για να ορίζεται το = l τότε υπάρχει το Σημειώσεις θεωρίας lim ( ) και lim ( ) και lim ( ) πρέπει η συνάρτηση να ορίζεται «κοντά» στο, οπότε το πρέπει να είναι εσωτερικό σημείο ή άκρο ανοικτού του διαστήματος του Α Πχ αν ( ) = ln είναι Α = (, + ) Έτσι ορίζονται τα lim ( ), δεν ορίζεται το lim ( ) αφού η δεν ορίζεται «κοντά» στο - ΠΡΟΒ Αν ( ) g ( ) Επειδή Τότε: Αλλά και lim ( ) = + τότε και lim ( ) = + είναι ( ) > άρα και g ( ) > lim ( ) ενώ + lim g ( ) = + ( ) g ( ) lim lim lim () ( ) g ( ) ( ) g ( ) g ( ) lim () Από (),() lim = lim ( ) g ( ) g ( ) ( ) g = + g g και = τότε και Όμοια αν ( ) ( ) lim g ( ) lim ( ) = Η πόλις θα σε ακολουθεί Στους δρόμους θα γυρνάς τους ίδιους Δεν έχει πλοίο για σε δεν έχει οδό Έτσι που τη ζωή σου ρήμαξες εδώ, σ' όλη τη γη τη ρήμαξες Κωνσταντίνος Καβάφης

47 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Όρια Όρια "Τα μαθηματικά φαίνεται να εφοδιάζουν αυτόν που ασχολείται μαζί τους με μια καινούργια αντίληψη για τα πράγματα" Charles Darwin Α Όρια στο ΓB/Α) Αν και lim ( ) ( ) = + 5+ υπολογίστε τα όρια: lim ( ), + Β) Αν ( ) = + υπολογίστε τα όρια: lim ( ), lim ( ), αν υπάρχουν lim ( ) και 5 lim ( ) + ln Γ) Αν ( ) = υπολογίστε τα όρια: lim ( ), lim ( ) και lim ( ), + + e αν υπάρχουν + + ΓB/ Υπολογίστε τα όρια: Α) lim Β) lim Γ) lim Δ) lim Ε) + 4 lim 5+ / ΓB/ Υπολογίστε τα όρια: Α) lim Β) lim Γ) lim Δ) lim + Ε) lim ΓB/4Υπολογίστε τα όρια: Α) lim( ) Β) lim ( + ) ( + ) 4 + Γ) lim( + ln ) Δ) lim + ηµ e π Ε) lim ΣΤ) lim Ζ) lim 8 + Η) 5+ 6 lim

48 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Θ) lim + + ΙΒ) lim + IE IH) lim lim ηµ συν + 5 ΓB/5 Βρείτε τα: L = lim + Όρια + + Ι) lim ΙΑ) lim συν ΙΓ) lim ΙΔ) lim + ηµ + ΙΣΤ) lim IZ) lim + h ΙΘ) lim K) lim, > 5 5 h h + 6 L = lim, L = lim + 7, και lim 8 L = ( ) lim α α+ +α ΓB/6 Βρείτε το α 5 ΓB/7 Βρείτε τα: Α) lim Β) lim Γ) lim Δ) lim Ε) lim ΣΤ) lim Z) lim Η) lim Θ) lim Ι) lim ΙΑ) lim ΙΒ) lim ΙΓ) lim ΙΔ) lim 7 7 Αλλαγή μεταβλητής ηµ + ηµ ΓB/8 Βρείτε τα όρια: Α) lim (Θέτω: u = ηµ ) π/ ηµ ln ln Β) lim + e + e (Θέτω: e ln ln u = ln ), Γ) lim e e

49 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Δ) lim συν + συν Ε) lim ΣΤ) συν + συν 4 lim e + 4e 5 ΓB/9 Βρείτε τα όρια: Α) lim (Θέτω: u = e ) e ln B) lim ηµ ηµ (Θέτω: u = ln ) Γ) lim e ln π / ηµ Δ) ΣΤ) lim lim 4 (Θέτω: (Θέτω: u = u) Ε) = ) Ζ) lim 4 + lim (Θέτω: Η) u 6 = ) Όρια lim Όρια σε κλαδικές συναρτήσεις, ΓB/ A) Aν ( ) =, > lim ( ) βρείτε τα: lim ( ), lim ( ), Β) Βρείτε αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων στο : +,, ( ) = στο =, g ( ) =, =, > +, h ( ) = +, > στο, < =, φ( ) = +, ΓB/ Βρείτε (αν υπάρχει) το όριο της στο αν: Α) + 7 ( ) = 4 + > < < και = στο = στο =

50 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Β) ( ) =, > + + και =, Γ) ( ) = και = + +, >, < ΓB/ Α) Αν ( ) = +, βρείτε το κ ώστε να + +κ, υπάρχει το όριο: lim ( ) +α +, Β) Αν ( ) = +, βρείτε το α ώστε να υπάρχει το, > 9 όριο: lim ( ) + ( ) = +, < Γ) Αν +α +β, όριο: lim ( ) και η C να διέρχεται από το Α (,) +α + <, Δ) Αν ( ) = β +, όριο της στο και μάλιστα να είναι: lim ( ) = Όρια, βρείτε τα α, β ώστε να υπάρχει το, βρείτε τα α, β ώστε να υπάρχει το, < ΓB/Α) Αν ( ) = +, βρείτε το κ ώστε να + +κ, υπάρχει το όριο: lim ( ) B) Αν 4 +α, < ( ) = + +β,, βρείτε τα α, β ώστε lim ( ) =

51 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) α + ΓB/4 Δίνεται η συνάρτηση ( ) = 4+, > Για ποια τιμή του α η έχει όριο στο σημείο ; ΓB/5, < Α) Δίνεται η συνάρτηση ( ) = α +β, Αν η έχει όριο στο = βρείτε τη συνθήκη που ικανοποιούν τα α, β Επιπλέον αν η Όρια με απόλυτα C διέρχεται από το ΓB/6 Βρείτε (αν υπάρχουν) τα: A) Β) Δ) lim lim Α, Γ) Ε) ΓB/7 Βρείτε (αν υπάρχουν) τα: A) 5 B) lim 9 + Ε) lim + 5 Γ) ΣΤ) lim lim lim = βρείτε τα αβ, lim + lim lim Ζ) lim + Τριγωνομετρικά όρια ηµ (5 ) ΓB/8Υπολόγισε τα όρια: Α) lim ηµ ( συν) ηµ ( ηµ ) Γ) lim Δ) lim συν π/ ηµ Όρια + Δ) lim Β) lim ηµ ηµ ( + ) Ε) lim +

52 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ηµ + ηµ ηµ ΣΤ) lim Ζ) lim + συν + ηµ Θ) lim Ι) lim + ηµ συν συν( π ) ΙΒ) lim ΙΓ) lim ΙΔ) ηµ π π ηµ ( α) ΓB/9Υπολόγισε τα όρια: Α) lim ηµ Γ) lim Δ) ηµ lim Ε) lim ηµ Όρια συν Η) lim συν συν ΙΑ) lim εϕ ηµ ( ) lim ΙΕ) lim Β) lim ηµ ΣΤ) α εϕ α lim ( ) ηµ (ln ) ηµ συν 9+ ηµ Z) lim Η) lim Θ) lim Ι) lim e ln + ηµ εϕ ηµ ηµ ( ) ΙΑ) lim ΙΒ) lim ΙΓ) lim ΙΔ) lim + ηµ ηµ ηµ συν συν ΙΕ) lim ΙΣΤ) lim ΙΖ) lim + συν + + ΙΗ) lim ΙΘ) lim ηµ ηµ ηµ ( ) ηµ ( ) ηµ εϕ ηµ Κ) lim ΚΑ) lim ΚΒ) lim ΚΓ) lim + ηµ ηµ ( + ) + ηµ ΚΔ) lim ΚΕ) lim ΚΣΤ) lim εϕ ηµ ( e ) ημ ΓB/ Υπολογίστε τα όρια: A) L = lim e ημ( ημ) ημ ημ B) L = lim ( ημ) ( L = lim = ) ημ

53 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓB/ Αν το lim ( ) ηµ +, < ηµ + ( ) =, βρείτε το κ ώστε να υπάρχει ηµ +κ, ( ) ηµ ( ) ΓB/ Αν lim ( ) = και lim = υπολογίστε το lim ηµ, < ΓB/ Α) Αν ( ) = βρες το lim ( ) συν, > α +β, > (αν υπάρχει) Β) Δίνεται η συνάρτηση ( ) = + α +α, Αν η C διέρχεται από το Α (,) βρείτε τα α, β ώστε να υπάρχει το όριο της στο = + α Γ) Αν ( ) = ηµ ( ) l, <, > βρείτε το α ώστε Όρια lim ( ) = l με Κριτήριο παρεμβολής ΓB/4 Αν για την : ισχύει: + ( ) + για κάθε, βρείτε τα lim ( ) και lim ( ) ΓB/5 Α) Αν για την : ισχύει: ( ) για κάθε, βρείτε τα lim ( ) και lim ( ) 4 Β) Αν για την : ισχύει: + ( ) + + για κάθε κοντά στο, βρείτε το lim ( )

54 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓB/6 Αν για την : ισχύει: ( )( ) + για κάθε κοντά στο, βρείτε το lim ( ) ΓB/7 Αν για την : ισχύει: κάθε, βρείτε τα lim ( ) και lim ΓB/8 Αν για την : ισχύει:, βρείτε το lim ( ) ΓB/9 Αν για την : Όρια 4 + ( ) + + για ( ) ( ) ηµ + για κάθε ισχύει: ηµ ( ) + για κάθε ( ), βρείτε το lim ( ) και το lim ΓB/ Αν η συνάρτηση : ικανοποιεί τη σχέση ( ) + + για κάθε, να βρεθεί το lim ( ) ΓB/ Αν lim ( ) = (5) 5 ΓB/ Αν ( ) ( 5) για κάθε, να αποδείξετε ότι ( ) ΓB/ Αν η συνάρτηση : + ηµ + για κάθε βρείτε το lim ( ) ικανοποιεί τη σχέση ( ) + για κάθε, βρείτε το lim ( ) ΓB/4 Α) Αν η συνάρτηση : ικανοποιεί τη σχέση ( ) + + για κάθε, βρείτε το lim ( ) Β) Αν η συνάρτηση : ( ) ( ) ικανοποιεί τη σχέση + για κάθε, βρείτε το lim ( ) και το συν + ηµ lim ( ) ΓB/5 Αν η συνάρτηση : 4 + ( ) +, ( ) A) Nα υπολογιστεί το lim ικανοποιεί για κάθε τη σχέση Β) βρείτε το ( ) lim

55 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓB/6 Αν Α ηµ για κάθε, βρείτε τα όρια: ( ) lim ( ) Β ΓB/7Αν για κάθε lim ( ) + ηµ ηµ > ισχύει: ( ) + βρείτε τα όρια: ( ) 4 ( ) 4 lim ( ), lim, lim +, ( ) 6 lim και ( ) + 5 lim ΓB/8 Αν για την : κάθε, να βρείτε το ισχύει: lim ( ) ΓB/9 Αν η συνάρτηση : και το Όρια ( ) ηµ ηµ + εϕ για 6+ ηµ + ηµ lim ( ) ικανοποιεί τη σχέση: + ( ) ( ) για κάθε (, ), να βρεθεί το lim ( ) ΓB/4 Βρείτε το lim ( ) αν για την : ισχύει: ( ) + ( ) ( ) + 4 για κάθε ΓB/4 Αν για τη συνάρτηση : για κάθε (,), να βρείτε τα: ( ) και το lim ( αν υπάρχει) Μηδενική επί φραγμένη ΓB/4 Υπολογίστε τα όρια: Α) ισχύει: lim ( ), lim συν Β) lim ηµ Γ) lim συν Δ) 4 Ε) lim συν ΣΤ) lim ηµ συν ( ) + ( ) ηµ lim + 4 (μηδενική επί φραγμένη) lim ln συν Ζ) lim ( ) ηµ

56 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Η) lim ( ) συν Θ) lim ηµ 8 + Ι) lim εϕ συν + ΙΑ) lim ηµ ΙΒ) lim ηµ ΙΓ) lim ηµ ηµ ΙΔ) lim ( e ) ηµ e + IΕ) lim ηµ + ln ΙΣΤ) lim ( ) συν ΓB/4Έστω μια συνάρτηση μη σταθερή, με lim g ( ) όταν g ( ) = ( ) ( ) 5 ( ) + 4 ( ) ΓB/44 Αν για κάθε συνάρτηση : ισχύει Όρια lim ( ) = 4 Βρείτε το ( ) 8 ηµ ( ) για κάθε, βρείτε το lim ( ) ΓB/45 Αν για μια συνάρτηση : με lim = l ισχύει η σχέση ( ) + ( ) ηµ = ηµ για κάθε βρείτε το l ( ) ΓB/46 Αν για μια συνάρτηση : με lim = l ισχύει η σχέση ( ) + ( ) = ηµ για κάθε Α) Υπολογίστε το () Β) Δείξτε ότι l = ( ημ) (ημ ) ημ Γ) Βρείτε τα όρια: L = lim ( L = lim = ημ ) ( ( ) ) ( ) L = lim αν lim ( ) = () και L = lim + Με χρήση βοηθητικής συνάρτησης ΓB/47 Α) Αν lim ( ) = βρείτε το lim ( ) αν: Α) γνωρίζω ότι υπάρχει Α) δεν γνωρίζω ότι υπάρχει

57 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Β)Αν ισχύει ( ) lim ( ) + ηµ + + = 5, να βρείτε το lim ( ) αν: Β) γνωρίζω ότι υπάρχει Β) δεν γνωρίζω ότι υπάρχει ( ) Γ) Αν ισχύει lim =, να βρείτε το lim ( ) ( ) + ( ) Δ) Αν ισχύει lim =, να βρείτε τα lim ( ), lim και + ( ) lim + ( ) ( ) 4 Ε) Αν ισχύει lim =, να βρείτε τα lim ( ), lim και 4 ( ) lim ΓB/48 Α) Αν [ ] lim ( ) + = βρείτε το lim ( ) αν: Α) γνωρίζω ότι υπάρχει Α) δεν γνωρίζω ότι υπάρχει lim ( ) + + = 5, να βρείτε το lim ( ) αν: Β)Αν ισχύει ( ) Β) γνωρίζω ότι υπάρχει Β) δεν γνωρίζω ότι υπάρχει lim ( ) + =, να βρείτε το lim ( ) Γ) Αν ισχύει ( ) ( ) Δ) Αν ισχύει lim =, να βρείτε το lim ( ) + ( ) 4 Ε) Αν ισχύει lim =, να βρείτε το lim ( ) ( ) + ( ) ΣΤ) Αν ισχύει lim =, να βρείτε τα όρια: ( ) ( ) lim ( ), lim και lim ( ) ( ) Ζ) Αν lim = υπολογίστε τα lim ( ) και lim και g ( ): και lim( ( ) + g ( )) =, ΓB/49 Αν : ( g) lim ( ) ( ) = 4 Βρείτε τα lim ( ) και lim g ( ) Όρια

58 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓB/5Αν, g: βρεθεί το, lim[ ( g ) ( )] Όρια ( ) lim = και lim[( + 4 ) g ( )] = 5 να ΓB/5Αν για τη μη σταθερή συνάρτηση ισχύει: ( ) lim( ( ) + ) = 6, να βρείτε τα όρια lim ( ) και lim ( ) 6 ( ) ΓB/5Έστω : έτσι που lim = 4 Βρείτε την τιμή του ( ) 4k k έτσι που η συνάρτηση g ( ) = να έχει στο = όριο 4 L +β + 6, ΓB/5Δίνεται η συνάρτηση ( ) = α, < Αν η έχει στο σημείο = όριο L, να βρείτε τους αριθμούς α, β και L ΓB/54 A) Aν lim ( ) = δείξτε ότι lim ( ) = ( lim ( ) = lim ( ) = lim ( ) =, ( ) ( ) ( ) και κρ παρ) B) Αν + ( ) ( ) για κάθε, βρείτε το lim ( ) Γ) Αν για κάθε, η συνάρτηση : ικανοποιεί τη σχέση: ( ) ηµ + ηµ ( ) + ( ) ηµ, να δείξετε ότι lim ( ) = () ΓB/55Αν για κάθε, η συνάρτηση : ( ) ( ) 4+, βρείτε / ικανοποιεί τη σχέση: lim ( ) ΓB/56Αν για την συνάρτηση ισχύει: ( ) ( ) για κάθε, δείξτε ότι lim ( ) = () (σχηματίστε ταυτότητα) ΓB/57Αν για την συνάρτηση ισχύει: B, βρείτε το lim ( ) ( ) + συν ( ) για κάθε

59 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓB/58 Αν για κάθε ισχύει : ( ) ( ) ηµ να αποδείξετε ότι lim ( ) = () αν είναι γνωστό ότι υπάρχει ΓB/59 Αν για κάθε ισχύει : ( ) + ( ) + ηµ να βρείτε το όριο lim ( ) αν είναι γνωστό ότι υπάρχει εϕ ηµ ΓB/6Υπολογίστε το lim ΓB/6 Αν για κάθε ισχύει ( ) + 4 +, βρείτε τα: ( ) Α lim ( ) Β lim (Υπόδειξη: επειδή lim ( ) = είναι lim ( ( ) ) = < άρα ( ) < κοντά στο κτλ) ΓB/6 A) Αν ( ) ( ) = ln + βρείτε το lim ( ) αν υπάρχει Β) Υπολογίστε, αν υπάρχει, το lim ( ) αν ( ) = + ΓB/6Υπολογίστε το lim ηµ + Κριτήριο σύγκρισης ΓB/64 Αν για κάθε ισχύει : ( ) γνωστό ότι υπάρχει Όρια (Υπόδειξη: Διαιρώ αριθμητή και παρονομαστή με ) ηµ βρες το ΓB/65 Αν για κάθε ισχύει : ( ) lim ( ) αν είναι γνωστό ότι υπάρχει lim ( ) αν είναι συν να βρείτε το όριο ΓB/66 Αν για κάθε ισχύει : ( ) ( ) ( ) όριο + ηµ να βρείτε το lim ( ) αν είναι γνωστό ότι υπάρχει ΓB/67Δίνεται η : για την οποία ισχύουν: ( ) = ( ) για κάθε και lim ( ) = Βρείτε το lim ( ) (αλλαγή μεταβλητής) ΓB/68Δίνεται η συνάρτηση : ( ) = ( ) για κάθε και lim ( ) και lim ( ) για την οποία ισχύουν: Βρείτε το lim ( ) + =

60 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Όρια ΓB/69Έστω συνάρτηση : και lim [ ( ) ] 5 ΓB/7 Αν για την : ώστε: ( ) = ( ) για κάθε = Βρείτε το lim ( ) ισχύουν: ( ) = ( + ) για κάθε και ( ) ( ) lim =, βρείτε το lim 4 4 ηµ ΓB/7Υπολογίστε το lim π π και το ηµπ lim ΓB/7Αν ΓB/7Aν ΓB/74Aν ( ) ηµ ( ) για κάθε βρείτε το lim ( ) (4 ) ( ) lim = υπολόγισε το lim 5 ( ) ( ) lim = υπολόγισε το lim 4 ΓB/75Aν ( + y) = ( ) συν y + ( y) συν για κάθε y, και ( ) ( ) ( α ) lim = να αποδείξετε ότι lim = συν α για κάθε α α α (Θέτω α= h =α+ h) Β Μη πεπερασμένο όριο + ΓB/76 Υπολογίστε τα όρια (αν υπάρχουν): A) lim B) lim ln + + Γ) lim Δ) lim Ε) lim π/ + ηµ + συν + + ln + + ΣΤ) lim Ζ) lim Η) lim Θ) lim + + ln ηµ + e + ηµ Ι) lim ΙΑ) lim ( ) ln ηµ ΓB/77 Υπολογίστε τα όρια (αν υπάρχουν): Α) lim Γ) lim + +, Δ) + + lim συν, Ε) lim, ηµ, Β) lim ( ),

61 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΣΤ) π lim + +, Ζ) lim ( ) lim, Η) ( ) συν Ι) lim ηµ, ΙΑ) + lim, ΙΒ) lim συν ΓB/78 Υπολογίστε τα όρια (αν υπάρχουν) Α) lim Γ) Ζ) ΙΑ) lim π συν lim συν lim + Δ) lim ηµ Η) lim + ηµ Όρια +, Θ) + lim ηµ, + +, ΙΓ) + lim E) lim ηµ Θ) lim IB) lim ( ) ( ) 4 + ΙΓ) ln Β) lim+ + ΣΤ) lim lim ( ) + Ι) lim ηµ ηµ ln ( ) + +µ ΓB/79 Υπολογίστε το µ ώστε να ισχύει: lim = l, με l και στη συνέχεια υπολογίστε το l +α +β ΓB/8 Υπολογίστε τα α, β ώστε να ισχύει: lim = + +µ ΓB/8 Αν ( ) = βρείτε την τιμή του µ για την οποία υπάρχει στο το όριο lim ( ) και στη συνέχεια βρείτε αυτό το όριο 4+λ ΓB/8 Αν lim = l βρείτε τα λ και l + k ΓB/8Α) Βρείτε το lim για τις διάφορες τιμές του k ( ) + k Β) Όμοια για το lim +α +β ΓB/84 Α) Βρείτε τα α, β ώστε lim =

62 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) α +β Β) Όμοια αν lim = Γ) Βρείτε τα α, β ώστε α +β lim = ΓB/85 Δίνεται η συνάρτηση : {} με τύπο k + ( λ+ ) + 4 ( ) = ( ) στο = να είναι πραγματικός αριθμός, ο οποίος και να βρεθεί Όρια k, λ Να βρεθούν οι k, λ ώστε το όριο της ΓB/86Βρείτε τις τιμές των α, β για τις οποίες η συνάρτηση α + + ( ) = +β έχει στο σημείο = όριο το L=4 + lim = + βρείτε την τιμή του α +α + + ( ) =, βρείτε τα α, β ώστε lim ( ) = + και α +β + ΓB/87Αν ΓB/88Αν lim ( ) = + (Υπόδειξη: + α + + β+ = και παίρνω όρια) ( ) ΓB/89Αν ορισμένη στο διάστημα ( α,) (, β ) και βρείτε το lim ( ) ΓB/9Α) Αν : Β) Αν : ΓB/9Αν Α) ώστε: ( ) lim ( ) + ΓB/9Αν : ώστε: ( ) + 5 lim ( ) + 7 ( ) lim ( ) + = =, βρείτε το lim ( ) = να υπολογίσετε τα όρια: lim ( ), βρείτε το lim ( ) + = +, να lim ( ) ( ) ( ) ( ) + Β) lim Γ) lim ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ηµ ώστε: lim =, βρείτε το lim ( ) + 4

63 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Όρια ( ) ηµ + ΓB/9Αν lim ( ) = + να υπολογίσετε τo όριo: lim ( ) ηµ ΓB/94 Α) Υπολογίστε τα: lim ηµ + και lim αν ( ) ( ) lim ( ) = + (μηδενικές επί φραγμένες) συν Β) Υπολογίστε το lim + Γ) Υπολογίστε το lim ln ημ ΓB/95 Υπολογίστε το L = lim ημ ΓB/96 Αν ημ L = lim και λάβετε υπόψη: ημ ( π/ συν εϕ π > > ) ημ ημ ( ) + g ( ) lim ( ) = lim g ( ) = + δείξτε ότι lim = ( ) + g ( ) ( ) + g ( ) ( ) g ( ) ( ) g ( ) = + + = + ( ) + g ( ) ( ) + g ( ) ( ) + g ( ) ( ) g ( ) ( ) g( ) ( ΓB/97 Α) Αν ( ) g ( ) lim g ( ) = + ( ( ) g ( ) lim = θα είναι και ( ) Β) Βρείτε το όριο: ΓB/98 Αν κοντά στο και lim ( ) = + τότε και και ( ), g ( ) θετικά οπότε lim = άρα lim g ( ) g ( ) = + ) lim + ηµ e + + συν ( ) και g( ) για κάθε : Α) Βρείτε τα lim ( ) και lim g ( ) Β) Βρείτε το lim[ ( ) g ( )] και επειδή ( ) g ( ) Γ) Βρείτε το lim g ( ) ( g ) ( ) )

64 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓB/99 Α) Αν ( ) g ( ) lim ( ) = κοντά στο και Β) Αν ( ) ln για κάθε > να δειχθεί ότι Όρια lim g ( ) = τότε και lim ( ) = + Γ Όρια στο άπειρο ΓB/ Βρείτε τα όρια: Α) lim ( 5 ) Β) lim ( + ) + 5 Γ) lim ( 4+ ) Δ) lim ( ) Ε) lim ( + ) + Ζ) lim ( ) lim ( 5 ) Θ) + lim Η) ( ) + + lim 5 Ι) + lim συνθ + 4 ΙΑ) + + lim lim ( µ ) +, µ ΙΒ) ( λ + ), λ ΙΓ) ( ) ΓB/ Βρείτε τα όρια: Α) lim ( ) Β) lim ( 4) + 5 Γ) lim ( + ) Δ) lim ( + + ) Ε) lim ( 4) + ΣΤ) lim ( + ) Ζ) lim (( συνθ ) 5 ) + + Η) lim (( λ ) + ), λ Θ) lim ( µ ), µ ΓB/ Βρείτε τα όρια: Α) + lim + 5 Β) lim Γ) lim Δ) lim E) lim ΣT) lim Ζ) lim Η) lim + + ΓB/ Αν ( ) για κάθε < βρείτε το lim ( ) + + ΓB/4 Βρείτε τα όρια: Α) lim ( 4 ) (κοινός παράγοντας το )

65 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Β) lim ( + + ) Γ) lim ( ) + Δ) lim ( 9 ) + + ΓB/5Βρείτε τα όρια: Α) lim ( ) Β) lim ( 9 + ) Γ) lim ( ) + Δ) lim ( 4 ) Ε) lim ( ) ΓB/6Υπολογίστε το ( ) lim ΓB/7Βρείτε τα όρια:α) B) lim ( 4 5 ) και το lim ( ) + lim Γ) lim ( 5 ) 5 ( ) lim µ για µ + Όρια λ, λ Δ) ΓB/8 Βρείτε τα όρια: Α) lim + Γ) lim συν ηµ + ηµ συν + Δ) lim Ε) lim ΣΤ) lim ηµ Ζ) lim + συν Η) lim ηµ (διαιρώ με το ) ηµ Θ) lim + ηµ Ι) lim + + π ΙΑ) lim ηµ + IΒ) lim ( + συν) ΙΓ) lim ημ ΙΔ) lim ( συν ln ) π ΙΕ) lim συν + IΣΤ) lim ( e + ηµ ) (με κρ παρεμβολής ηµ e e + ηµ e + κτλ) IΖ) lim + συν (με κρ παρ) + ηµ (μηδενική επί φραγμένη) B) lim ( e ηµ )

66 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓB/9Βρείτε τα όρια: Α) lim ηµ (Θέτω t = + ) + + Β) lim e (Θέτω t = ) Γ) lim ηµ + + (Θέτω + Δ) lim συν (Θέτω t = ) Ε) ( ) lim συν ΣΤ) lim ln + Ζ) ( ) lim + + ηµ Η) lim ηµ + (να θέσετε 5 u = ) Θ) lim ηµ (να θέσετε u = ) + Ι) lim ηµ + (να θέσετε u = ) ΙΑ) ( ) lim + + ηµ + ΓB/ Βρείτε τα όρια: Α) lim + Β) lim Γ) lim + + ΓB/Αν η συνάρτηση ορισμένη στο (,+ ) και για κάθε > ισχύει ( + ) ( ) +, δείξετε ότι lim ( ) = + Όρια t = ) ( ) + ΓB/Έστω : (, + ) ώστε: lim + = + ( ) + ( ) + ηµ Βρείτε τα όρια: Α) lim ( ) Β) Γ) lim + lim ΓB/Βρείτε τα Α) lim Β) lim + + Γ) lim Δ) lim Ε) lim,

67 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΣΤ) lim Θ) lim + 5 ΓB/4Βρείτε τα,, Ζ) Όρια lim 5 + +, Η) + 5 lim + 5 α β ώστε ( ) lim + + α +β = ΓB/5Αν ( ) = +α +β ώστε lim ( ) = ΓB/6 Α) Βρείτε το Β) + ( α+ ) + + lim + ( ) α α + 4 lim ( α ) με α + ( ) α + + ΓB/7 Προσδιορίστε το πολυώνυμο ( ) Ρ( ) lim = και ( ) ΓB/8Αν Ρ( ) lim = ( ) ( ) lim = + + lim ( g ) ( ) + ( ) ΓB/9Αν Β) lim ( ) + να βρείτε τις τιμές των α, β με α Ρ για το οποίο ισχύει: ( ) και ( ) g( ) lim = 5, να βρεθεί το + ( ) ( ) lim = να βρείτε τα όρια: Α) lim + ηµ + + ( ) e + ( ) + ( ) Γ) Δ) lim Ε) lim lim + ( ) + ( ) + + ηµ + ( ) α αν v v+ v α v =, v v + 4v + v + v ΓB/ Υπολογίστε το lim,

68 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓB/ Aν : συνάρτηση ώστε ( ) + ( ) ( ) = για κάθε Α) Δείξτε ότι η είναι περιττή Β) Δείξτε ότι ( ) = συν Γ) Υπολογίστε τα όρια: lim και lim [ ( ) ] + ( ) ΓB/ Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης Να υπολογίσετε τα όρια: Α) lim ( ) Β) lim ( ) y= Γ) + ( ) lim e lim ( ) + Ε) [ ] + Δ) lim ( ) O ΣΤ) lim ( ) Ζ) lim + ( ) Η) lim ( ( ) ) ηµ + ΓB/ Όμοια για την του διπλανού σχήματος να υπολογίσετε τα όρια: Α) lim ( ) Β) lim ( ) Γ) + lim + ( ) Ε) lim [ ( ) 5] ΣΤ) lim ( ) Δ) lim + ( ) Ζ) lim + ( ) O ηµ Η) lim ( ) C C y= Όρια

69 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓB/4 Όμοια για την του διπλανού σχήματος να υπολογίσετε τα όρια: Α) lim ( ) Β) lim ( ) Γ) + lim + ( ) Ε) lim [ 4 ( ) ] + Δ) ( ) lim 4 e ηµ ΣΤ) lim Ζ) lim ( ) + ( ) ΓB/5 Όμοια για την του διπλανού σχήματος να υπολογίσετε τα όρια: Α) lim ( ) Β) lim ( ) Γ) + lim ( ) Δ) Ε) lim ( ) + ΣΤ) lim Ζ) ( ) ηµ ( ) H) lim + lim + ( ) ( ) + lim + ( ) + Γενικές ασκήσεις στα όρια O O y C y= C Όρια ΓB/6 Υπολογίστε τα όρια: ηµ ( ) ( ) Α) lim B) + lim ηµ ηµ Γ) lim + ηµ ( + ) 7 Δ) lim E) lim + Ζ) lim ( ) + + H) lim ( 4 ) + ηµ + συν + 4 ΣΤ) lim ηµ + + Θ) lim + + +

70 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓB/7 Υπολογίστε τα όρια: Α) B) lim ( ) + E) + Η) + ηµ Γ) ln + lim 4ln + ln lim e Θ) ΣΤ) lim + ηµ ηµ lim lim e + 4 lim Δ) Z) lim + Όρια + ηµ + + lim ln Ι) lim ln( + ) ln( + ) + ΓB/8 Για τις διάφορες τιμές του λ, βρείτε το όριο στο της συνάρτησης ΓB/9 Αν όρια: Α) ( ) 5 = + + +λ + 4 ( ) + για κάθε, να υπολογίσετε τα ( ) 5 lim και Β) lim ( ) ΓB/ Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει: ( ) ( ) για κάθε Να βρείτε lim ( ) ΓB/ Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει: + 4 ( ) ( ) για κάθε Να βρείτε lim ( ) ΓB/ Έστω συνάρτηση : τέτοια, ώστε να ισχύει: ( ) + ( ) = για κάθε κοντά στο Να βρείτε το όριο της στο = ( ( ) = και κριτήριο παρεμβολής) ( ) + ΓB/ Για τη µη σταθερή συνάρτηση : ( ) lim ( ) lim + = Να βρείτε το: ΓB/4 Έστω συνάρτηση : ( ) ( ) ηµ lim ηµ με δίνεται ότι: ( ) ( ) 9 ( ) lim = Να βρείτε το όριο:

71 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓB/5 Έστω η συνάρτηση ( ) = ώστε να είναι: lim ( ) = + ΓB/6 Για τη συνάρτηση : Να δείξετε ότι: lim ( ) = + +α + 4 δίνεται ότι: lim Όρια με α Να βρείτε τον α ( ) ηµ ( π ) = + π( ) ( ) ΓB/7 Δίνεται μία συνάρτηση ορισμένη στο R, με lim = 4 ( ) λ λ Για ποια τιμή του λ R η συνάρτηση g ( ) = έχει στο = 4 όριο πραγματικό αριθμό Να βρεθεί αυτό το όριο ΓB/8 Μία συνάρτηση είναι ορισμένη στο σύνολο (α,) (,β) και ( ) ισχύουν: lim + = και lim ( ) = k k + Να βρείτε τις τιμές του k, έτσι ώστε να υπάρχει το όριο της στο = ( ) g( ) ΓB/9 Αν lim = και lim =, τότε να δειχθεί ότι: ηµ ηµ lim ( ) = lim g ( ) = Να υπολογισθούν επίσης τα όρια: ( g ) ( ) Α= lim ηµ ΓB/4 Για ποια τιμή του α η στο = όριο πραγματικό αριθμό; ( ) g( ) ηµ + ηµ και Β= lim ηµ + +α ( ) = ηµ +,, > ΓB/4 Προσδιορίστε τα α, β, γ, ώστε στο = η συνάρτηση α + 4 ( ), <, > = β +γ + να έχει όριο πραγματικό αριθμό έχει

72 Μαθηματικά Γ' Λυκείου Όρια Ερωτήσεις Θεωρίας (Σωστού Λάθους) Θεωρία Όρια Αν lim ( ) h + h = l τότε lim ( ) = l Σ - Λ Μια συνάρτηση έχει όριο στο σημείο, έναν πραγματικό αριθμό Αναγκαστικά το ανήκει στο πεδίο ορισμού της Σ - Λ Αν lim ( ) > τότε ( ) > για κάθε A Σ - Λ 4 Τα πλευρικά όρια μιας συνάρτησης, όταν το παίρνει τιμές κοντά στο, συμπίπτουν πάντοτε Σ - Λ 5 Το όριο μιας συνάρτησης στο εξαρτάται από την τιμή της συνάρτησης στο σημείο αυτό Σ - Λ 6 Αν μια συνάρτηση έχει όριο στο σημείο, τότε αυτό είναι μοναδικό Σ - Λ 7 Αν lim ( ) l lim ϕ = και =, τότε υπάρχει συνάρτηση φ με ( ) ( ) g A υπάρχει το lim [ ( ) g ( )] ( ) = l+ ϕ Σ - Λ 8 Αν για τις, : ισχύει [ ], τότε πάντοτε lim ( ) g ( ) = lim ( ) lim g ( ) Σ - Λ 9 Αν ( ) =, τότε lim ( ) = = lim ( ) Σ - Λ + Αν lim ( ) = e, τότε η παίρνει αρνητικές τιμές για κάποια 7 κοντά στο 7 Σ - Λ lim ( ) g ( ) = τότε lim ( ) = lim g ( ) Σ - Λ Αν [ ] Αν Αν α lim ( ) α = l, με l τότε ισχύει lim ( ) = l > τότε ισχύει α lim ( ) = l Σ - Λ lim ( ) = l ή 4 Αν ( ) < g ( ) κοντά στο, τότε πάντα ισχύει 5 Ισχύει πάντα 6 Αν το lim ( ) = lim ( ) κοντά στο lim ( ) = lσ - Λ lim ( ) < lim g ( ) Σ - Λ lim ( ) = Σ - Λ είναι θετικός αριθμός, τότε η παίρνει θετικές τιμές Σ - Λ

73 Μαθηματικά Γ' Λυκείου Θεωρία Όρια 7 Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα διάστημα που περιέχει το Τότε ισχύει πάντοτε lim ( ) = () Σ - Λ 8 Αν lim ( ) = β, lim g ( ) α ( ) lim g ( ) α β = γ και ( ) β κοντά στο α, τότε = γ Σ - Λ ( ) ηµ α 9 Ισχύει ότι lim = με α, Σ - Λ ( ) ( ) Αν lim = l, τότε lim = l Σ - Λ Αν ( ) + e, για κάθε, τότε το lim + ( ) = Σ - Λ Αν lim ( ) = + και g< ( ) κοντά στο, τότε πάντα ισχύει [ g] lim ( ) ( ) = Σ - Λ Αν lim ( ) = +, τότε lim ( ) = + ή + lim ( ) = Σ - Λ 4 Για κάθε α ισχύει: lim α = + Σ - Λ 5 Ισχύει: lim ln = Σ - Λ + 6 Αν lim ( ) = +, τότε lim = Σ - Λ ( ) 7 Αν lim ( ) = + και lim g ( ) lim ( ) + g ( ) δεν υπάρχει 8 Αν lim ( ) = και ( ) > κοντά στο, τότε =, το [ ] lim ( ) = + Σ - Λ Σ - Λ 9 Αν lim ( ) = l, τότε lim = Σ - Λ ( ) l Αν η συνάρτηση :[, + ) είναι γνησίως αύξουσα, τότε πάντοτε ισχύει lim ( ) = + Σ - Λ Αν + lim ( ) = 4 τότε lim ( ) = ή lim ( ) = Σ - Λ

74 Μαθηματικά Γ' Λυκείου (Κατ/νσης) Σημειώσεις Θεωρίας Συνέχεια Θ Bolzano ΠΡΟτάσεις, ΠΑΡατηρήσεις, ΜΕΘοδοι και ΣΧΟλια ΣΧΟΓ Οι πολυωνυμικές, οι ρητές, οι τριγωνομετρικές, οι εκθετικές, οι λογαριθμικές συναρτήσεις και ότι προκύπτει από αυτές με πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό, διαίρεση, απόλυτη τιμή, ρίζα και σύνθεση είναι συνεχείς συναρτήσεις Έτσι αν οι συναρτήσεις, g είναι συνεχείς στο, τότε και οι συναρτήσεις + g, g, g, g, c,, v, g και g είναι επίσης συνεχείς στο Το αντίστροφο για τις + g, g, g, g, δεν ισχύει γενικά Έτσι μπορεί πχ η συνάρτηση ϕ = + g να είναι συνεχής στο ενώ η να μην είναι συνεχής στο, <, < Πχ Οι συναρτήσεις ( ) = και g ( ) = δεν είναι συνεχείς,, αλλά η συνάρτηση + g είναι συνεχής ΣΧΟΓ Μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο σημείο του πεδίου ορισμού της αν δεν υπάρχει το όριό της στο, ή υπάρχει αλλά είναι διαφορετικό από την τιμή της ( ) Δεν έχει νόημα να ρωτάμε αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε σημείο που δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της Πχ η ( ) είναι συνεχής συνάρτηση στο πεδίο ορισμού της αφού το =, όπου η δεν ορίζεται δεν ανήκει στο D ΣΧΟΓ Αν η συνάρτηση με πεδίο ορισμού το A είναι συνεχής στο, τότε το ανήκει στο A, υπάρχει το lim ( ), lim ( ) και lim ( ) ( ) = Γενικά εξετάζουμε τη συνέχεια της στο αν το ανήκει στο πεδίο ορισμού της

75 Μαθηματικά Γ' Λυκείου (Κατ/νσης) Σημειώσεις Θεωρίας ΜΕΘΓ Αν η είναι συνεχής στο και θέλουμε να βρούμε το ( ) αρκεί να βρούμε το lim ( ) Αν θέλουμε να βρούμε το lim ( ) Πχ Αν η είναι συνεχής στο = και για είναι () αρκεί να βρούμε το ( ) ( ) = βρείτε το Λύση: Αφού συνεχής στο = είναι () = lim = lim( + ) = ΜΕΘΓ Αν η είναι συνεχής στο και μας δίνεται μια ανισοτική χρησιμοποιώντας πλευρικά όρια σχέση μπορούμε να βρούμε το ( ) και καταλήγοντας στις σχέσεις ( ) ( ) = α Πχ Αν ( ) ( ) α και ( ) α οπότε για κάθε και η είναι συνεχής στο = βρείτε το () Λύση: Αφού είναι συνεχής στο = είναι lim ( ) = lim ( ) = () + Για >, ( ) άρα lim ( ) lim () lim ( + ) () Για <, ( ) άρα lim ( ) lim () lim ( + ) () Τελικά () = + ΜΕΘΓ Αν μας ζητούν να βρούμε τις παραμέτρους ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής, τότε: Βρίσκουμε τα σημεία που η αλλάζει τύπο εκατέρωθέν τους lim (τα πλευρικά όρια να είναι ίσα) και Απαιτούμε να υπάρχει το ( ) να είναι πραγματικός αριθμός Απαιτούμε να ισχύει η σχέση lim ( ) ( ) = Από τα παραπάνω καταλήγω σε ένα σύστημα που η λύση του μου δίνει τις παραμέτρους

76 Μαθηματικά Γ' Λυκείου (Κατ/νσης) Πχ Βρείτε το α ώστε η Λύση:Πρέπει: ( ), > ( ) = + α, να είναι συνεχής Σημειώσεις Θεωρίας lim lim ( ) () lim = lim + α = + α + = + α α = = = ( ) ( ) + ΠΡΟΓ Όταν μας δίνουν μια συναρτησιακή σχέση για μια συνάρτηση και γνωρίζουμε ότι είναι συνεχής σε ένα σημείο α, τότε για να δείξουμε ότι είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού της A, θα πρέπει να δείξουμε ότι είναι συνεχής σε τυχαίο σημείο A, κάνοντας αλλαγή μεταβλητής στην εύρεση του ορίου και χρησιμοποιώντας τη συναρτησιακή σχέση Πχ αν ( y) = ( ) + ( y) για κάθε (, + ) και συνεχής στο = δείξτε ότι η είναι συνεχής στο (, + ) Λύση:Αρκεί να δείξουμε ότι είναι συνεχής σε τυχαίο σημείο = α του (, + ) δηλαδή ότι lim ( ) = ( α) Πράγματι είναι συνεχής στο = άρα lim ( ) = () α α Θέτω h= = αh, για α, h και είναι: lim ( ) = lim αh = lim ( α) + ( h) = lim ( α) + lim ( h) = ( α) + () = ( ) [ ] α h h h h = ( α ) = ( α) ΣΧΟΓ4 Αν συνεχής στο [, ] ένα τουλάχιστον ( αβ ) ώστε ( ) ( α ) β< τότε υπάρχει, = (Θ Βοlzano) To αντίστροφo του Θ Βolzano δεν ισχύει γενικά Δηλ μπορεί μια συνάρτηση να μηδενίζεται σε ένα σημείο ( αβ, ) χωρίς να ισχύουν υποχρεωτικά οι προϋποθέσεις του Θ Bolzano, δηλαδή χωρίς η να είναι συνεχής στο [ αβ, ] ή χωρίς οι τιμές ( α), ( β ) να είναι ετερόσημες Αν συνεχής στο [ αβ, ] και ( α) ( β) τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον [ αβ, ] ώστε ( ) = Σε αυτή την περίπτωση διακρίνουμε δύο περιπτώσεις, για ( α ) ( β< ) και για ( α ) β= ( ) αβ και ( )

77 Μαθηματικά Γ' Λυκείου (Κατ/νσης) Σημειώσεις Θεωρίας Αν συνεχής και γνησίως μονότονη στο [ αβ, ] και ( ) τότε υπάρχει ένα ακριβώς ( αβ, ) ώστε ( ) = Αν συνεχής στο [, ] ( α ) β< αβ και δεν μηδενίζεται σε αυτό τότε διατηρεί σταθερό πρόσημο Έτσι αν σε ένα σημείο η είναι θετική, τότε θα είναι θετική σε όλο το διάστημα, ενώ αν είναι αρνητική σε ένα σημείο θα είναι αρνητική σε όλο το διάστημα Αν ρ, ρ διαδοχικές ρίζες της συνάρτησης, τότε η διατηρεί ρ, ρ (αφού στο διάστημα αυτό η δεν έχει σταθερό πρόσημο στο ( ) ρίζες) ΣΧΟΓ5 Το Θ Bolzano είναι «υπαρξιακό» θεώρημα, διαπιστώνει δηλαδή την ύπαρξη μιας τουλάχιστον ρίζας μιας συνάρτησης, άρα και μιας εξίσωσης σε ένα διάστημα, δεν μπορεί όμως να διαπιστώσει τον ακριβή αριθμό των ριζών ούτε και να τις προσδιορίσει Πάντως είναι ιδιαίτερα χρήσιμο σε περιπτώσεις που λόγω της μορφής της συνάρτησης δεν μπορούμε με άλλο τρόπο να εξάγουμε συμπέρασμα για τις ρίζες της ΣΧΟΓ6 Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα [ αβ, ] τότε παίρνει σ αυτό ελάχιστη τιμή m, μέγιστη τιμή M καθώς και όλες τις ενδιάμεσες τιμές μεταξύ των m και M Δηλαδή υπάρχουν, [ αβ, ] και m ( ) M αβ, τέτοια ώστε ( ) = m, ( ) = M για κάθε [ ] ΜΕΘΓ4 Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα [ αβ, ], m η ελάχιστη και M η μέγιστη τιμή της, τότε το σύνολο τιμών της είναι το σύνολο [ mm, ] Το σύνολο αυτό δεν συμπίπτει γενικά με το διάστημα ( α), ( β) ή το ( β), ( α) Αν η συνάρτηση είναι συνεχής και γν αύξουσα με πεδίο ορισμού A, τότε το σύνολο τιμών ( A ) είναι: Αν A ( αβ, ) = α Αν A = [ αβ, ] τότε ( A) = [ ( α), ( β) ] ( ) = τότε ( A) lim ( ), lim ( ) + β Αν A = ( αβ, ] τότε ( A ) = ( lim ( ), ( β )] α +

78 Μαθηματικά Γ' Λυκείου (Κατ/νσης) Σημειώσεις Θεωρίας Αν η συνάρτηση είναι συνεχής και γν φθίνουσα με πεδίο ορισμού A, τότε το σύνολο τιμών ( A ) είναι: ( ) = τότε ( A) = lim ( ), lim ( ) Αν A ( αβ, ) β + Αν A = [ αβ, ] τότε ( A) = [ ( β), ( α) ] α Αν A = ( αβ, ] τότε ( A) = [ ( ), lim ( )) Γενικά η εικόνα ( ) β + α ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης είναι διάστημα Αν η είναι σταθερή και συνεχής τότε το σύνολο τιμών της είναι μονοσύνολο Πχ Α) Βρείτε το σύνολο τιμών της ( ) = ln στο διάστημα (, ) Λύση: Είναι στο (, e ), σύνολο τιμών είναι το ( ) lim ( ) = lim ln = και ( e) = ln e= Άρα το + + (, ) (,) e = Α) Βρείτε το σύνολο τιμών της ( ) = στο διάστημα (,9] Λύση: Είναι στο (,9], lim ( ) = lim = + και (9) + + = 9 = Άρα το σύνολο τιμών είναι το ((,9]) =, + ΣΧΟΓ7 Εξίσωση είναι μια ισότητα που ισχύει για ορισμένες μόνο τιμές των μεταβλητών της Έτσι αν μας δίνεται η εξίσωση ( ) = g ( ) αυτό δεν σημαίνει ότι οι δύο συναρτήσεις είναι μεταξύ τους ίσες αφού η ισότητα ισχύει για ορισμένες μόνο τιμές του και όχι για όλες ΜΕΘΓ Για να αποδείξω ότι μια εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα σε ένα διάστημα ( αβ, ) ακολουθούμε τα εξής βήματα: Φέρνουμε όλους τους όρους στο ο μέλος Θεωρούμε το ο μέλος ως συνάρτηση Επαληθεύουμε ότι ισχύουν για την οι προϋποθέσεις του Θ Bolzano στο [ αβ, ] Αν δεν μας δίνεται το διάστημα το βρίσκουμε με δοκιμές Αν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι η εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες εφαρμόζουμε την παραπάνω διαδικασία για περισσότερα διαστήματα χωρίζοντας το αρχικό διάστημα είτε βρίσκοντας με δοκιμές e

79 Μαθηματικά Γ' Λυκείου (Κατ/νσης) Σημειώσεις Θεωρίας νέα διαστήματα, αρκεί τα διαστήματα να μην έχουν κοινά εσωτερικά σημεία Αν η συνάρτηση που ορίζουμε δεν ορίζεται σε κάποιο από τα άκρα του διαστήματος γιατί μηδενίζεται κάποιος παρονομαστής, κάνουμε πρώτα απαλοιφή παρονομαστών και μετά ορίζουμε νέα συνάρτηση Πχ Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο [ αβ, ], αποδείξτε ότι υπάρχει ξ ( αβ, ) τέτοιο που ( ξ ) = + α ξ β ξ Λύση: ( ) = + και για α, β ισοδύναμα έχουμε: α β ( α )( β ) ( ) = α + β ( α )( β ) ( ) + α β = g ( ) = α β ( ) + α β και εφαρμόζω Θεωρώ τη συνάρτηση ( )( ) Θ Βοlzano για την g στο [ αβ, ] Αν το θεώρημα Bolzano είναι αναποτελεσματικό βρίσκω το σύνολο τιμών και αποδεικνύω ότι περιλαμβάνει το μηδέν Για να αποδείξουμε ότι υπάρχει ξ ( αβ, ) που να ικανοποιεί μια ισότητα, τότε θέτουμε όπου ξ το, προκύπτει έτσι μια εξίσωση και ακολουθούμε τις παραπάνω διαδικασίες Πχ Δείξτε ότι υπάρχει ξ (,) ώστε να ισχύει: ξ = 6ξ Λύση: Είναι = = Θεωρώ τη συνάρτηση: ( ) = 6 + Τότε: συνεχής στο [, ] και () () = ( ) = 6 < άρα με Θ Bolzano ξ 6ξ + = ξ = 6ξ υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,) ώστε ΠΑΡΓ Αν ( ) = g ( ) αυτό δεν σημαίνει κατανάγκην ότι ( ) = g ( ) ή ( ) = g ( ) Πράγματι μπορεί για παράδειγμα να είναι g ( ), α ( ) = οπότε έχω ( ) = g ( ) ενώ προφανώς δεν g ( ), >α είναι ( ) = g ( ) ή ( ) = g ( ) Επίσης αν ( ) = g ( ) δεν συμπεραίνω κατανάγκην ότι ( ) = g ( ) ή ( ) = g ( ) Όμοια αν ( ) g ( ) = δεν συμπεραίνουμε κατ ανάγκην ότι ( ) = ή g= ( )

80 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συνέχεια Συνέχεια Συνάρτησης "Ο κόσμος των ιδεών τις οποίες αποκαλύπτουν ή διαφωτίζουν, η θέαση της Θείας ομορφιάς και τάξης στην οποία μας οδηγούν, η αρμονική σύνδεση των μερών τους, η άπειρη ιεραρχία και η απόλυτη βεβαιότητα των αληθειών με τις οποίες ασχολούνται, αυτά και άλλα παρόμοια είναι τα ασφαλέστερα θεμέλια της εκτίμησης που τρέφουν δικαίως οι άνθρωποι για τα μαθηματικά, και θα παρέμεναν αδιαμφισβήτητα και ακέραια, αν το σχέδιο του σύμπαντος ξετυλιγόταν σαν χάρτης μπροστά στα πόδια μας, και αν η ανθρώπινη νόηση είχε την ικανότητα να συλλάβει ολόκληρο το σχήμα της δημιουργίας με μια ματιά" JJSylvester ΓΓ/ Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις: +,, ( ) = g ( ) =, =, = ΓΓ/ Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις: + +, +, < ( ) = + ηµ + g ( ) =, < + + ln, ΓΓ/ Βρείτε το α ώστε να είναι συνεχείς οι συναρτήσεις: +α + ln, +, < ( ) = + συνπ g ( ) =, < + + +α, ΓΓ/4 Εξετάστε αν είναι συνεχείς οι συναρτήσεις: +, < +, < ( ) = + g( ) = +,, > , h( ) = ϕ ( ) = + + = ΓΓ/5 Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις: ηµ +,, ( ) = και g ( ) = + ηµ συν ( π ), >, =

81 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συνέχεια ΓΓ/6 Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις: ηµ π, < < +, ( ) = ηµ και g ( ) = ηµ, +α, >, ΓΓ/7 Αν η ( ) = α είναι συνεχής βρείτε το α, > α, ΓΓ/8 Δίνεται η συνάρτηση: ( ) = +β, < ln, > Να προσδιοριστούν τα α, β ώστε η να είναι συνεχής α + β, < ΓΓ/9 Δίνεται η ( ) = + 4, < με α, β α + β, Βρείτε τα αβ, ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής στο ( α +β ) + 8+, < ΓΓ/ Αν η συνάρτηση ( ) = ( α β ) + 4, με α, β είναι συνεχής στο, να δειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μαβ (, ) είναι κύκλος ΓΓ/ Να βρεθούν οι τιμές των α, β ώστε να είναι συνεχής η ( α+ ) (β+ ) + 6, συνάρτηση: ( ) = 7, = ΓΓ/Μελετήστε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις: ηµ συν,, + ηµ α) ( ) = β) ( ) =, =, = 4 ΓΓ/Δείξε ότι η , ( ) =, = είναι συνεχής

82 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συνέχεια ΓΓ/4Αν ( ) = + + ηµ για κάθε και η είναι συνεχής στο =, βρείτε το () ΓΓ/5Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο = και για κάθε ισχύει: ηµ ( ) +, βρείτε το ( ) ΓΓ/6 Έστω συνεχής στο ώστε για κάθε ισχύει: ( ) + = +, να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης ΓΓ/7Αν ( ) ( ) = + + για κάθε [, + ) και συνεχής στο [, + ) βρείτε τον τύπο της ΓΓ/8 Bρείτε τη συνεχή συνάρτηση : ( ) ( ( ) ) = + + για κάθε ΓΓ/9Δίνεται η συνάρτηση : με την ιδιότητα: με () = και + + ( ) lim = Δείξτε ότι η είναι συνεχής στο = ΓΓ/ H συνάρτηση είναι ορισμένη στο και ισχύουν: + ( ) lim = L και () = 4 4 Α Δείξτε ότι η είναι συνεχής στο = ( ) + Β Αν lim = βρείτε το L 4 ΓΓ/ Αν η συνάρτηση είναι περιττή και συνεχής στο σημείο = ( ) + + και ότι lim = α) να βρείτε την τιμή της για = β) Δείξτε ότι η είναι συνεχής στο = ( ) γ) Υπολογίστε το lim ( ) () + ηµ ( ) δ) Υπολογίστε το lim 4 ( ) ηµ 5 ΓΓ/Αν η είναι συνεχής στο =, lim = 4 και + ( ) ( + ) = + 7+ για κάθε, να βρείτε την τιμή της στο = και αποδείξτε ότι είναι συνεχής στο = ΓΓ/Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο = και

83 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ( ) ηµ lim = + ΓΓ/4Αν να βρείτε την τιμή της στο = Συνέχεια 5 ( ) 6+ 4 για κάθε, να αποδειχθεί ότι η είναι συνεχής στο σημείο = ΓΓ/5 Αν ( ) συνεχής στο = + για κάθε, αποδείξτε ότι η είναι ΓΓ/6 Aν η συνάρτηση είναι συνεχής στο = και για κάθε ισχύει ( ) 4 ηµ, να βρεθεί το () ΓΓ/7 Αν ( ) ( ) + 4 ηµ για κάθε και συνεχής στο =, να υπολογίσετε την τιμή της στο = ΓΓ/8Έστω συνάρτηση συνεχής στο = α και τέτοια που να ισχύει: ( )( α) +α α για κάθε Δείξτε ότι ( α ) = α ΓΓ/9 Αν ( ) ( ) + συν για κάθε να αποδειχθεί ότι η είναι συνεχής στο = ΓΓ/ Αν ( y) ( ) ( y) + = για κάθε y, και η συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο = αποδείξτε ότι η είναι συνεχής στο ΓΓ/Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει η σχέση: ( αβ ) = ( α ) + ( β) για κάθε α, β Αν η είναι συνεχής στο = να δειχθεί ότι είναι συνεχής στο ΓΓ/Αν ( y) ( y) y ( ) = + για κάθε y, και συνεχής στο = να δειχθεί ότι η είναι συνεχής στο = για κάθε y, και συνεχής στο y = να δειχθεί ότι η είναι συνεχής στο ΓΓ/Αν ( ) ( y) ΓΓ/4 Δίνεται συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει: ( + h) ( ) () lim = Α) Βρείτε το () Β) Βρείτε το: lim h h 4 (Με αλλαγή μεταβλητής) ΓΓ/5 Δίνεται συνεχής συνάρτηση : ( h) lim = 6 h h Α) Βρείτε το () Β) Βρείτε το: για την οποία ισχύει: ( ) () lim + 7 4

84 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Γ) Βρείτε το: ηµ ( ) lim ΓΓ/6Αν ( ) ( ) Συνέχεια + g= e και ( ) g ( ) = ηµ για κάθε, αποδείξτε ότι οι, g είναι συνεχείς στο ΓΓ/7Αν η είναι περιττή και ( ) ( 4 ) : Α) Δείξτε ότι () = Β) Βρείτε τον τύπο της (Θέτω όπου το ) Γ) Εξετάστε αν η είναι συνεχής Θεωρήματα συνέχειας ΓΓ/8 Δείξτε ότι η συνάρτηση ( ) e ρίζα στο διάστημα (, ) ΓΓ/9 Δείξτε ότι η εξίσωση, e + ηµ για κάθε = + έχει μια τουλάχιστον + ln = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ( ) ΓΓ/4 Δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,) ώστε: e ξ + ln( ξ+ ) = ΓΓ/4 Δείξτε ότι η συνάρτηση ( ) = ηµ έχει μια τουλάχιστον π ρίζα στο διάστημα, ΓΓ/4 Α) Δείξτε ότι η εξίσωση + ln = + έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα, 4 Β) Δείξτε ότι η εξίσωση = + έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ) ΓΓ/4 Δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) ώστε ξ ξ= ΓΓ/44 Δείξτε ότι η συνάρτηση ( ) στο διάστημα (, ) ΓΓ/45 Δείξτε ότι η εξίσωση ln διάστημα ( ), ΓΓ/46 Δείξτε ότι η συνάρτηση ( ) τουλάχιστον ρίζα = + + έχει μια ακριβώς ρίζα = έχει μια ακριβώς ρίζα στο π π = + ηµ έχει στο, μία

85 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συνέχεια ΓΓ/47Αν : [,] συνεχής,δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον [,] ώστε ( ) = ΓΓ/48Αποδείξτε ότι η εξίσωση συν = έχει μία τουλάχιστον ρίζα π π στο διάστημα, 4 4 ΓΓ/49 Αποδείξτε ότι η εξίσωση ( ) συν + = ηµ έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα (,π) ΓΓ/5 Αποδείξτε ότι η εξίσωση ( )ln = έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα (,4) ΓΓ/5Δείξτε ότι αν ( ) = ηµ και g ( ) = τότε οι C, C g τέμνονται π π σε σημείο του διαστήματος, 4 ΓΓ/5Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις και g ορισμένες στο διάστημα [,]Αν () = g(), () = g(), να δειχθεί ότι υπάρχει ξ, ώστε ( ξ) = g( ξ ) [ ] ΓΓ/5Αν :[, ] [, ] αβ αβ είναι συνεχής και αβ >, αποδείξτε ότι ( ξ) β υπάρχει ξ [ α, β ] τέτοιος που = α ξ ΓΓ/54Οι συναρτήσεις, gείναι συνεχείς στο διάστημα [, ] ισχύουν : ( ) < g ( ) για κάθε αβ, [, ] ( α ) =α και ( ) Να δειχθεί ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ( ), αβ και g β =β αβ τέτοιο που να ισχύει ( ) + g ( ) = 5 4 ΓΓ/55 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση α +β β = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [,] ΓΓ/56 Αν, g: [,], συνεχείς να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα ώστε ( ) + g ( ) = τουλάχιστον [ ], ΓΓ/57Αν η είναι συνεχής στο και ισχύει < ( ) < για κάθε,να αποδείξετε ότι η εξίσωση + ( ) = ( ) έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (,) ΓΓ/58Αν η συνάρτηση : [,] [,] είναι συνεχής στο [,] να

86 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) δειχθεί ότι υπάρχει ξ (,) ώστε ΓΓ/59 Αν α<β<γ αποδείξετε ότι η ακριβώς ρίζες στο ΓΓ/6 Δείξτε ότι η εξίσωση στο διάστημα ( αβ, ) ΓΓ/6 Δείξτε ότι η εξίσωση τουλάχιστον ρίζα ξ ξ + ξ= ( ) 5 ( ) 4 Συνέχεια = έχει δύο α β γ e α + β = έχει μια τουλάχιστον ρίζα ηµ συν = π +π έχει στο π π, ΓΓ/6 Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο [, ] αβ, αποδείξτε ότι υπάρχει ξ ( α, β ) τέτοιο που ( ξ ) = + α ξ β ξ ΓΓ/6Δείξτε ότι η εξίσωση + = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (,) ΓΓ/64Δείξτε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων 5 ( ) = και g ( ) = έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο Μ που η τετμημένη του ανήκει στο διάστημα (,) 5 ΓΓ/65 Nα δείξετε ότι η εξίσωση 4+ = έχει μία τουλάχιστον, ( Ηorner και Θ Β στο πηλίκο) ρίζα στο ( ) ΓΓ/66 Nα δείξετε ότι η εξίσωση ( ) ln = + έχει μία ακριβώς ρίζα στο (, ) ( Απαλοιφή και ομαδοποίηση) ΓΓ/67 Nα δείξετε ότι η εξίσωση ( ηµ + συν ) + ηµ συν = π έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο, (ομαδοποίηση) ΓΓ/68 Nα δείξετε ότι η εξίσωση + ln = + έχει μια τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα ( ) ΓΓ/69 Nα δείξετε ότι η εξίσωση ln ln( ) τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ) ΓΓ/7Αν, μία + = + έχει μια g συνεχείς στο διάστημα Δ και η έχει ρίζες ρ < <ρ

87 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συνέχεια στο Δ και ( ) g( ) = c για κάθε και c, δείξτε ότι υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης ( ) ρ, ρ ΓΓ/7Αν ( ) =α +β +γ ( ) αποδειχθεί ότι g= στο [ ] α και ισχύει: β αγ ( ( ) () () ΓΓ/7Αν, g συνεχείς στο [, ] ότι οι C και 4 ανήκει στο [ ] ΓΓ/7Αν :[,] γ α+β+γ < < κτλ) γα + γβ + γ <, να αβ και ( α ) + ( β ) = g( α ) + g( β ) δείξτε C g έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με τετμημένη που αβ, εξίσωση ( ) ( ) συνεχής και γν φθίνουσα, να αποδείξετε ότι η = + έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο ( ) ΓΓ/74Αν συνεχής στο [, ] και () () ( ) = ( + ) έχει μια τουλάχιστον λύση στο [,), = δείξτε ότι η εξίσωση ΓΓ/75 Αν συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο [,5] και () δείξετε ότι: Α) () > και (5) < Β) Η εξίσωση (+ ) = έχει μοναδική ρίζα ΓΓ/76Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο [, ] = να π και () = ( π ) να δείξετε ότι : A) Υπάρχει [, π ] τέτοιο που ( ) = ( + π ) B) Υπάρχουν σε κάθε χρονική στιγμή τουλάχιστον δύο αντιδιαμετρικά σημεία του ισημερινού της γης που έχουν την ίδια θερμοκρασία (Μετεωρολογικό θεώρημα) ΓΓ/77Αν συνεχής στο [,] ένα τουλάχιστον [,] ΓΓ/78Αν :[, ] ένα τουλάχιστον (, ) και ( ) δείξτε ότι υπάρχει ώστε : ( ) ( ) + + = αβ συνεχής και α<γ<δ<β, δείξτε ότι υπάρχει ξ α β ώστε ( γ ) + ( δ ) = ( ξ ) (ΘΒolzano στο (, ) γδ ) ΓΓ/79Δείξτε ότι η συνάρτηση ( ) = e συν έχει μια τουλάχιστον ρίζα ΓΓ/8Aν συνεχής στο [ αβ, ], ( ) 4 β = ( ) = ( ) + έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο [, ] α =, ( ) 4, τότε η εξίσωση αβ ( Bolzano) 5 ΓΓ/8 Aν συνεχής στο [,] και ( ) + ( ) + ( ) = + για κάθε [,], να αποδείξετε ότι η έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (,) (Υπόδειξη: θέστε 5 g( ) = ( ) + ( ) + ( ) )

88 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓΓ/8 Αν ( ) = e + ln, (, + ) Α) Δείξτε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο (,+ ) Β) Βρείτε το σύνολο τιμών της Γ) Δείξτε ότι η έχει ακριβώς μία ρίζα στο (,) ΘΕΤ, ΘΜΕΤ και σύνολο τιμών ΓΓ/8 Έστω ( ) = + ln Α) Μελετήστε την ως προς τη μονοτονία Β) Βρείτε το σύνολο τιμών της Γ) Δείξτε ότι η έχει ακριβώς μία ρίζα Συνέχεια Δ) Δείξτε ότι η εξίσωση ( ) = α έχει ακριβώς μία ρίζα για κάθε α ΓΓ/84 Έστω ( ) = ln Α) Μελετήστε την ως προς τη μονοτονία Β) Βρείτε το σύνολο τιμών της Γ) Δείξτε ότι υπάρχει ένα ακριβώς ξ (,] ώστε ξln ξ= ξ ΓΓ/85 Έστω ( ) = Α) Μελετήστε την ως προς τη μονοτονία Β) Δείξτε ότι η έχει ακριβώς μία ρίζα στο (,) Γ) Για ποιες τιμές του α η εξίσωση ( ) = α έχει ρίζα στο (,) ; ΓΓ/86 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ηµ + = έχει στο, π ακριβώς μια ρίζα ΓΓ/87 Aν, g: [,] [,] συνεχείς να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ [,] ώστε ( ( ξ )) + g( g( ξ )) = ξ ΓΓ/88Δίνεται η συνάρτηση ( ) = ln + e Α) Αποδείξτε ότι η είναι γνησίως αύξουσα Β) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της Γ) Να λυθεί η εξίσωση ln + e = Δ) Δείξτε ότι η εξίσωση ( ) ( ), = έχει ακριβώς μία ρίζα στο ( ) = δεν έχει ρίζα στο ( ) ΓΓ/89 Αν συνεχής και γν αύξουσα στο (,+ ), lim ( ) και + lim ( ) =γ, δείξτε ότι υπάρχει μοναδικός > ώστε: +,, ενώ η = δ

89 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) + Συνέχεια ( ) + e + ln = (Με σύνολο τιμών) ( ) ΓΓ/9 Έστω :[,] συνεχής, lim = 5 και η C τέμνει τον άξονα yy στο Α (, ) Δείξτε ότι η ευθεία ε : y = + και η C έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο ΓΓ/9Αν συνεχής στο και (,) δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ( ) ( ) + = ( ) + + για κάθε, ώστε 4 ( ) = 7 ( ) ΓΓ/9 Aν συνεχής και lim = 4 και για κάθε ισχύει: 4ηµ ( ) ( ) ( ) 4 και g ( ) = + δείξτε ότι οι C και C g τέμνονται σε ένα τουλάχιστον σημείο Μ (, y) με (, ) ( ) ΓΓ/9 Αν συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο (, ), lim + = και ισχύει: ηµ ( ) ( ) ( ) για κάθε : g (,) αν g ( ) = ( ) ln Α) Βρείτε το σύνολο τιμών ( ) Β) Αν h ( ) ( ) = e να αποδείξετε ότι η h ης γωνίας των αξόνων σε σημείο, ( ) C τέμνει τη διχοτόμο της ης και ( ) Μ με (,) ΓΓ/94 Δείξτε ότι η εξίσωση ln 4 π π ρίζα στο, ΓΓ/95 Αν συνεχής στο [, ) π + = e εϕ έχει ακριβώς μία + και lim ( ) = +, αποδείξτε ότι η + εξίσωση ( ) + ln = έχει μία τουλάχιστον θετική ρίζα (Με σύνολο τιμών) ΓΓ/96A) Δείξτε ότι η εξίσωση + + 5= έχει μια τουλάχιστον ρίζα B) Αποδείξτε ότι κάθε πολυώνυμο περιττού βαθμού έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (Με σύνολο τιμών) ΓΓ/97 Aν g συνεχής στο [ αβ, ] και για κάθε [, ] δείξτε ότι η συνάρτηση ( ) g( ) ( ) στο ( αβ, ) ΓΓ/98Αν, g συνεχείς στο [, ] δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α, β ) ώστε: αβ είναι g ( ), = α β έχει μια τουλάχιστον ρίζα αβ και g ( ) για κάθε ( αβ, ), ( ξ ) = + g( ξ) ξ α ξ β

90 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συνέχεια ΓΓ/99 Έστω :[,] συνεχής ώστε για κάθε να ισχύει: + + ηµ ( ) ( ) ( ) Α) Βρείτε το () Β) Δείξτε ότι η εξίσωση ( + ) ( ) = 7+ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (,) ΓΓ/ Aν : περιττή και συνεχής στο = και ισχύει: ( ) + lim = : Α) Βρείτε το () ( ) Β) Δείξτε ότι η είναι συνεχής στο = (αλλαγή μεταβλητής) ( ) Γ) Βρείτε το lim + + ΓΓ/ Αν συνεχής στο [,5 ] και (,5) να δείξετε ότι η δεν έχει ρίζες στο ( ) + ( ) = 5 για κάθε,5 και να βρεθεί ο τύπος της αν () = +, < ΓΓ/ Εξετάστε αν είναι - η ( ) = +, ΓΓ/ Α) Aν για κάθε [,] η είναι συνεχής και ισχύει + ( ) = 4, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (,), και να βρεθούν οι δυνατοί τύποι της Β) Βρείτε τον τύπο της συνεχούς συνάρτησης αν για κάθε ισχύει: [ ( ) ηµ ] ( ) = ΓΓ/4 Αν συνεχής στο και και () = ( ) + 4= + 4 για κάθε βρείτε τους δυνατούς τύπους της (H διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (, ) καθώς και στο (, + ) Προκύπτουν 4 τύποι ) ΓΓ/5 Αν συνεχής στο και [ ][ ] ( ) ( ) = για κάθε βρείτε τους δυνατούς τύπους της ΓΓ/6 Βρείτε τις συνεχείς συναρτήσεις : ισχύει: για τις οποίες ( ) ( ) ηµ =, για κάθε (Δημιουργείστε ταυτότητα) ΓΓ/7Αν συνεχής στο [, ] αβ και, αβ [, ], να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ [ α, β ] ώστε ( ) + ( ) = 5 ( ξ ) (Υπόδειξη: με min και ma) ΓΓ/8 Aν η συνάρτηση είναι συνεχής στο [, ] αβ και,, αβ, [, ] δείξτε ότι υπάρχει ξ [ α, β ] τέτοιο ώστε: 6 ( ξ ) = ( ) + ( ) + ( ) (Υπόδ : με minimum και maimum )

91 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συνέχεια ΓΓ/9 Aν συνεχής στο, ( ) για κάθε και ( ) (/ ) = 4 Α) Βρείτε το lim + ( α) +α + α + ( ) (Υπόδειξη: Αφού ( ) η διατηρεί πρόσημο στο άρα είναι αρνητική ) Β) Δείξτε ότι η εξίσωση ( ) ( ) ( ) α = α έχει μία τουλάχιστον λύση στο,α Γ) Δείξτε ότι η εξίσωση ( ) = ( α) 4 έχει μια τουλάχιστον λύση στο διάστημα, α (χρησιμοποίησε το ότι 4 = (/ ) ) Γενικές Ασκήσεις ΓΓ/ Έστω οι συναρτήσεις, g με πεδίο ορισμού το Δίνεται ότι η συνάρτηση της σύνθεσης A Nα δείξετε ότι η g είναι «-» g είναι - Β Δείξτε ότι η εξίσωση: g( ( ) ) g( ( ) ) + = + έχει ακριβώς δύο θετικές και μία αρνητική ρίζα ( ο θέμα Πανελλαδ ) ΓΓ/ Έστω συνάρτηση συνεχής στο ώστε για κάθε να ισχύει: ( ) + ηµ = ηµ Α) Βρείτε τον τύπο της για κάθε Β) Να δείξετε ότι lim ( ) = + Γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση ( ) = έχει μια τουλάχιστον θετική + ρίζα ΓΓ/ Έστω συνάρτηση συνεχής στο [,8] ώστε ( ) + () < 7 < (8) + ( ) Αποδείξτε ότι υπάρχουν διαφορετικά, (,8) με + = 5 ώστε ( ) + ( ) = 7 (Θεωρήστε h ( ) = (5 ) + ( ) 7 και Bolzano στο πεδίο ορισμού της) ΓΓ/ Aν :[,] ώστε ( ) () + () για κάθε [,]: Α) Δείξτε ότι () = () Β) Δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον [,] = ώστε ( ) ( ) ΓΓ/4 Δίνεται η συνεχής στο συνάρτηση για την οποία ισχύει ( ) + ηµ ( ) ότι: lim =

92 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συνέχεια A) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της περνάει από το σημείο M, ( ) B) Να βρείτε το ( ) lim + ΓΓ/5 Αν Δίνεται η συνάρτηση με ( ) = ln + Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της Β) Να αποδείξετε ότι η είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της Γ) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να μελετήσετε την προς τη συνέχεια Δ) Να βρείτε τα όρια: lim ( ) και lim ( ) ΓΓ/6 Δίνονται οι συνεχείς στο συναρτήσεις και g για τις οποίες ισχύουν: i) ( ) για κάθε ii) Οι γραφικές τους παραστάσεις τέμνονται στο Α(, ) και iii) ρ = και ρ = 5 είναι δύο διαδοχικές ρίζες της εξίσωσης g( ) = Να αποδείξετε ότι: Α) η συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Β) ( ),5 g < για κάθε ( ) 4 ( ) + + Γ) lim = g( ) + 5 ΓΓ/7 Δίνεται η συνάρτηση : ( ) ( ) για την οποία ισχύει η σχέση: =, για κάθε Α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο (Να θέσετε = και να αφαιρέσετε κατά μέλη) Β) Αν το σύνολο τιμών της είναι το, να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε την Γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) = Δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και ΓΓ/8 Δίνεται η συνάρτηση συνεχής στο [,] για την οποία ισχύει + 4 ( ) = 7 για κάθε [,] Α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης ( ) = Β) Να αποδείξετε ότι η διατηρεί πρόσημο στο διάστημα (,) ως

93 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Γ) Αν επιπλέον ( ) = 6 να βρεθεί ο τύπος της Δ) Να βρείτε το όριο ( ) lim ΓΓ/9 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση :[, ) Συνέχεια + για την οποία ισχύει: ( ) ηµ + + για κάθε > Να βρείτε: Α) Το όριο: lim Β) Το όριο: 7 lim ηµ Γ) Το όριο: lim ( ) Δ) Το ( ) Ε) Αν η δεν έχει ρίζες στο [, + ) βρείτε το: ΓΓ/ Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : ( ) =α + α + για κάθε, α 4 lim () + + () + + για την οποία ισχύει Α) Να αποδείξετε ότι η διατηρεί σταθερό πρόσημο στο = να βρείτε τον τύπο της Β) Αν ( ) ( ) Γ) Να υπολογίσετε το όριο: lim, α< ( ) Δ) Να υπολογίσετε το όριο: lim, α> + 4 ΓΓ/ Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : ισχύει: 4 4 ( ) για κάθε + για την οποία Α) Να αποδείξετε ότι: ( ) και ( ) Β) Να βρείτε το όριο: lim ηµ Γ) Να βρείτε το όριο: lim + ηµ ξ, τέτοιο, ώστε ( ξ) ξ= Δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )

94 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Συνέχεια + κηµ, < ΓΓ/ Αν ( ) = λ, = συνεχής συνάρτηση: , > Α) Να βρείτε τα κ, λ lim Β) Να υπολογίσετε το όριο: ( ) + Γ) Να υπολογίσετε το όριο: lim ( ) Δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) ln( 8 ) ρίζα στο διάστημα (, ) ΓΓ/ Αν ( ) + = + έχει μία τουλάχιστον 5 6 ( ) ( ),,, 4( ) = συνάρτηση και κ + ( ),, + ( 4) ηµ g( ) + g : {,} για την οποία ισχύει: lim = 5 και τέλος g + = g + για κάθε, να βρείτε: ( ) ( ) ( ) Α) Το κ αν υπάρχει το lim ( ) Β) Το όριο lim ( ) Γ) Το όριο lim g( ) Δ) Το όριο lim g( ) ΓΓ/4 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύουν οι συνθήκες: ηµ ( ), για κάθε και =, για κάθε ( ) ( ) Α) Να βρείτε το όριο lim ( ) Β) Να βρείτε το ( ) Γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της τέμνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g( ) = σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη (,) + 4 ΓΓ/5 Δίνεται η συνάρτηση με ( ) = Α) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα lim Β) Να βρείτε το όριο ( )

95 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Γ) Να βρείτε το όριο lim ( ) + Δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) για κάθε κ ΓΓ/6 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : ( ) + συν + ηµ = για κάθε Συνέχεια = κ έχει μία ακριβώς ρίζα στο για την οποία ισχύει: A) Bρείτε τον τύπο της Β) Βρείτε το όριο lim ( ) + Γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) = έχει τουλάχιστον μια θετική ρίζα ( (π) > αφού < π ημ < ημ π ) π 6 π 6 ΓΓ/7 Δίνεται η συνεχής και γνησίως φθίνουσα αύξουσα συνάρτηση ( ) 5 για την οποία ισχύουν: lim = 4 και για κάθε (,) : ηµ ( ) + ( ) ( ) ( ) A) Υπολογίστε τα όρια: lim ( ) + και lim ( ) Β) Βρείτε το σύνολο τιμών της h ( ) = ( ) ln 4, (,) Γ) Δείξτε ότι η γραφική παράσταση της y g ( ), = σε ένα μόνο σημείο με τετμημένη ( ) ( ) 4 = e τέμνει την ευθεία Δ) Βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης, για κάθε λ ( ) e = e στο διάστημα λ+ 4 ( ) ΓΓ/8 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύουν: 4 () 5 + ( ) = ( ) και για κάθε και lim = A) Αποδείξτε ότι η συνάρτηση g ( ) = ( ) διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Β) Να βρεθεί το () Γ) Να βρεθεί ο τύπος της Δ) Να βρεθεί το όριο: lim ( )

96 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓΓ/9 Δίνεται η συνεχής και γνησίως μονότονη στο [,] Γ ψ=-χ+ ψ=χ Συνέχεια συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α (,6) και Β (,) Α) Βρείτε το είδος της μονοτονίας της Β) Βρείτε το σύνολο τιμών της Γ) Βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης ( ) = κ, με κ Δ) Αποδείξτε ότι υπάρχει μοναδικός (,) 9 ( ( ξ )) = 4 ( ) + () + () ξ ώστε: ΓΓ/ Δίνεται η συνάρτηση : (,] με ( ) = ln Α) Εξετάστε την ως προς τη μονοτονία Β) Βρείτε το σύνολο τιμών της Γ) Δείξτε ότι υπάρχει ένα ακριβώς (,] ώστε: ln = Δ) Δείξτε ότι η εξίσωση e α + ln = + έχει ακριβώς μία ρίζα στο, για κάθε θετικό αριθμό α διάστημα ( ) ΓΓ/ Δίνεται η συνάρτηση + e, ( ) = ln +, > A) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής και να βρείτε το σύνολο τιμών της Β) Να δείξετε ότι η έχει ακριβώς δύο ρίζες ( α ) + ( β ) + Γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση + = έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα (, ) για κάθε α, β { } Δ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ( ) = λ, για τις διάφορες τιμές του λ ΓΓ/ Έστω συνάρτηση : (, + ) με ( ) = + Α) Βρείτε το σύνολο τιμών της Β) Δείξτε ότι υπάρχει η αντίστροφή της και είναι γνησίως φθίνουσα ψ Γ) Αν η συνεχής βρείτε όρια: ( ) ( ) lim και lim + + ( ) + ( ) ΓΓ/ Αν η συνάρτηση είναι συνεχής Α(,) Ο Β χ

97 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) στο [,] και ισχύει: ( ) για κάθε [,] Συνέχεια να δειχθεί ότι η C τέμνει τις διαγώνιες του τετραγώνου του διπλανού σχήματος ΓΓ/4 Δίνεται συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι: ( ( ) ) ( ) = και () = 5 Α) Να υπολογίσετε το όριο: lim () + () Β) Αν lim ( ) = 8 να αποδείξετε ότι η C διέρχεται από σημείο με τεταγμένη 7 Γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης h( ) = ( ) + συν( π ), τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη στο διάστημα (,5 ) Δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει [,5] τέτοιο, ώστε: 9 ( ) = () + (4) + 4 (5) ΓΓ/5 Δίνεται συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι () > και (4) > Αν τα = και = είναι διαδοχικές ρίζες της 4 εξίσωσης ( ) = και lim () ( ) =, τότε: + Α) Να βρείτε το πρόσημο της στο διάστημα (,) Β) Να υπολογίσετε το όριο lim ( ) + Γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα τουλάχιστον σε ένα σημείο με τετμημένη μεγαλύτερη του 4 ΓΓ/6 Έστω συνάρτηση συνεχής στο [, ] με () + () + () = Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g( ) = ( ) + ( + ) Β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ [, ] τέτοιο, ώστε: ( ξ+ ) = ( ξ ) () Γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει [,] τέτοιο, ώστε: ( ) =

98 Μαθηματικά Γ' Λυκείου Σ Λ Συνέχειας Συνέχεια - Θ Bolzano Eρωτήσεις Θεωρίας (Σωστού Λάθους) Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο [ αβ,, ] η εξίσωση ( ) = δεν έχει ρίζα στο ( αβ, ) και υπάρχει ξ ( αβ, ) ώστε ( ξ ) <, τότε θα ισχύει ( ) < για κάθε ( αβ, ) Σ - Λ Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα [ αβ,, ] και παίρνει δύο διαφορετικές τιμές ( ), ( ) με, ( αβ, ), τότε παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ των ( ) και ( ) Αν για μια συνεχή συνάρτηση στο, ισχύει ( ) Σ - Λ = και ( ) = 4, τότε υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε ( ) = e Σ - Λ 4 Aν η συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [ αβ,, ] τότε το σύνολο τιμών της είναι ( α), ( β) Σ - Λ 5 Aν η συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [ αβ,, ] τότε το σύνολο τιμών της είναι ( α), ( β) Σ - Λ 6 Κάθε συνεχής συνάρτηση στο [ αβ, ] με ( α) ( β), παίρνει μόνο τις τιμές μεταξύ των ( ) β Σ - Λ α και ( ) 7 Aν η είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (,+ ), τότε το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα ( lim ( ), lim ( ) + ) + Σ - Λ αβ Αν η είναι αβ Σ - Λ, τότε κοντά στο Σ - Λ Αν συνεχής στο και ( ) για κάθε και ( ) >, τότε ( ) > για κάθε Σ - Λ 8 Έστω μια συνάρτηση συνεχής στο διάστημα [, ] «-» στο [ αβ,, ] τότε είναι και γνησίως μονότονη στο [, ] 9 Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο με ( ) οι τιμές της είναι ομόσημες του ( )

99 Μαθηματικά Γ' Λυκείου Σ Λ Συνέχειας Αν η συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα διάστημα είναι συνεχής και «-» στο, τότε και η είναι συνεχής στο ( ) Σ - Λ Κάθε συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού το έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή Σ - Λ, < Η συνάρτηση ( ) =, > D Σ - Λ 4 Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο και η συνάρτηση g δεν είναι συνεχής στο, τότε η συνάρτηση + g δεν είναι συνεχής στο Σ - Λ 5 Αν οι συναρτήσεις, g δεν είναι συνεχείς στο σημείο του κοινού πεδίου ορισμού τους, τότε η συνάρτηση + g δεν είναι συνεχής στο Σ - Λ 6 Αν η συνάρτηση είναι συνεχής σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε και η είναι συνεχής στο Σ - Λ 8 Αν συνεχής στο [, ] και () =, () = 4, τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) Σ - Λ 9 Έστω συνάρτηση συνεχής στο [, ] υπάρχει ( αβ) τέτοιο ώστε ( ), +, > H συνάρτηση ( ) =, < της αβ Αν ( α) ( β) >, τότε δεν = Σ - Λ είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού Σ - Λ Ό,τι αγαπώ γεννιέται αδιάκοπα Ό,τι αγαπώ βρίσκεται στην αρχή του πάντα Οδυσσέας Ελύτης

100 Μαθηματικά Κατ/νσης Γ Λυκείου Θεωρία Παραγώγων-Ολοκληρωμάτων Παράγωγοι και ολοκληρώματα ΠΡΟτάσεις, ΠΑΡατηρήσεις, ΜΕΘοδοι και ΣΧΟλια ΜΕΘΔ Αν θέλουμε να παραγωγίσουμε μια εκθετική συνάρτηση με μεταβλητή βάση και μεταβλητό εκθέτη τότε κάνουμε το μετασχηματισμό: ( ) g ( ) g ( ) ln ( ) = e ([ ] ) ( ) ln ln ( ln ) = e = e = (ln + ) Πχ ( ) ( ) ηµ = e ηµ = e ηµ ( ηµ ln ) = ηµ συν ln + ηµ ln ln Επίσης: ( ) ( ) ΜΕΘΔ Για να είναι η ευθεία : y D ώστε: ( ) =α +β και ( ) ε =α +β εφαπτομένη της C πρέπει να υπάρχει = α Η πρώτη σχέση μας εξασφαλίζει ότι η ε και η C έχουν κοινό σημείο Η δεύτερη σχέση μας εξασφαλίζει ότι η ε και η εφαπτομένη της C στο κοινό σημείο ταυτίζονται αφού έχουν την ίδια κλίση ΜΕΘΔ Για να έχουν οι C και C g κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους, y g = g Η πρώτη σημείο Α ( ) πρέπει: ( ) = ( ) και ( ) ( ) σχέση εξασφαλίζει ότι το Α είναι κοινό σημείο των C, C και η δεύτερη σχέση g εξασφαλίζει ότι οι εφαπτόμενες των δύο καμπυλών στο Α ταυτίζονται, αφού έχουν κοινό σημείο και τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης ΜΕΘΔ4 Για να αποδείξω ότι η εφαπτομένη ε της C στο σημείο της Α (, y) εφάπτεται της C g θεωρώ την ε: y ( ) = ( )( ) ε : y = ( )( ) + ( ) και ακολουθώ τη ΜΕΘΔ δηλαδή αποδεικνύω ότι υπάρχει Dg ώστε: g g = ( ) = ( )( ) + ( ) και ( ) ( )

101 Μαθηματικά Κατ/νσης Γ Λυκείου Η πρώτη σχέση μας εξασφαλίζει ότι το σημείο, g( ) Θεωρία Παραγώγων-Ολοκληρωμάτων ( ) Β της C g επαληθεύει την εξίσωση της ε άρα η ε και η C έχουν κοινό σημείο Η δεύτερη σχέση μας εξασφαλίζει ότι η εφαπτομένη στο, g( ) ε ταυτίζονται αφού έχουν κοινό σημείο το Β και την ίδια κλίση ΠΑΡΔ Αν δύο συναρτήσεις είναι ίσες τότε έχουν και ίσες g ( ) Β και η παραγώγους Έτσι έχουμε το δικαίωμα να παραγωγίζουμε μια ισότητα συναρτήσεων Δηλαδή αν ( ) = g ( ) τότε ( ) = g ( ) Το αντίστροφο δεν ισχύει Αυτό που ισχύει είναι ότι αν δύο συναρτήσεις έχουν την ίδια παράγωγο τότε διαφέρουν κατά σταθερό αριθμό Δηλαδή αν ( ) = g ( ) τότε ( ) = g ( ) + c ΜΕΘΔ5 Για να αποδείξω ότι η συνάρτηση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ( αβ, ): i) Εφαρμόζω Θ Bolzano για την στο [ αβ, ] ή ii) Εφαρμόζω Θ Rolle για μια παράγουσα της στο [ αβ, ] ή iii) Βρίσκω το σύνολο τιμών της στο [ αβ, ] και αποδεικνύω ότι το μηδέν περιλαμβάνεται σε αυτό ή iv) Mε δοκιμές βρίσκω μια προφανή ρίζα της στο [ αβ, ] ΜΕΘΔ6 Για να αποδείξω ότι η συνάρτηση έχει μία ακριβώς ρίζα στο διάστημα ( αβ, ): Αποδεικνύω με έναν από τους προηγούμενους τρόπους ότι η συνάρτηση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ( αβ, ) και στη συνέχεια αποδεικνύω ότι η είναι γνησίως μονότονη στο [ αβ, ] ή δέχομαι ότι έχει δύο διαφορετικές ρίζες < στο [ αβ, ] και εφαρμόζοντας Θ Rolle για την στο [, ] καταλήγω σε άτοπο ΜΕΘΔ7 Για να αποδείξω ότι η συνάρτηση έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα ( αβ, ): Προσδιορίζω ένα σημείο γ με α<γ<β με δοκιμές ή χρησιμοποιώντας ΘΜΤ και στη συνέχεια εργάζομαι στο κάθε διάστημα [ αγ, ] και [,] γβ όπως και στην ΜΕΘΕ5

102 Μαθηματικά Κατ/νσης Γ Λυκείου Θεωρία Παραγώγων-Ολοκληρωμάτων ΜΕΘΔ8 Για να αποδείξω ότι η συνάρτηση έχει το πολύ δύο ρίζες στο διάστημα ( αβ, ): Δέχομαι ότι έχει τρεις διαφορετικές ρίζες ρ <ρ <ρ και εφαρμόζοντας το, ρ, ρ βρίσκω ότι υπάρχουν Θεώρημα Rolle στα διαστήματα [ ρ ρ ] και [ ] δύο τουλάχιστον ρίζες, της με ρ [, ρ ] και ρ [, ρ ] Αν αυτό δεν είναι άτοπο, εφαρμόζοντας πάλι Θ Rolle για την στο [, ] διαπιστώνω ότι η έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (, ) που αποδεικνύεται άτοπο ΣXOΔ Το Θεώρημα Rolle είναι υπαρξιακό Διαπιστώνει απλά την ύπαρξη μιας τουλάχιστον ρίζας της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα, αλλά δεν μπορεί να προσδιορίσει τον ακριβή αριθμό των ριζών αλλά ούτε και να τις εντοπίσει Το ίδιο ισχύει και για το ΘΜΤ Διαπιστώνει την ύπαρξη ενός σημείου ξ στο διάστημα ( αβ, ) με την ( β) ( α) ιδιότητα: ( ξ ) = β α αλλά δεν μπορεί να αποφανθεί αν είναι μοναδικό ούτε μπορεί να το βρεί Τα αντίστροφα των θεωρημάτων Rolle και ΘΜΤ δεν ισχύουν γενικά ΜΕΘΔ9 Αν έχουμε μια εξίσωση της μορφής: ( ) + g ( ) ( ) = και θέλουμε να της δώσουμε τη μορφή: () =,τότε G( ) πολλαπλασιάζουμε με το e όπου G μια παράγουσα της g και έχω: G( ) G( ) G( ) G( ) ( e ) + e g ( ) ( ) = ( e ) + e G ( ) ( ) = G( ) G( ) G( ) ( e ) + ( e ) ( ) = ( ) e = ηµ Πχ ( ) ( ) ( ) ηµ + συν = e + e συν ( ) = ηµ ηµ ηµ ( ) e + ( e ) ( ) = ( ) e = ΜΕΘΔ Έστω συνάρτηση που ορίζεται στο [ αβ, ] Αν θέλω να αποδείξω ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α, β ) ώστε ( ξ ) = k με k, υποψιάζομαι ΘΜΤ για την, ή Θ Rolle για την g( ) = ( ) k ΠΑΡΔ Το γινόμενο ( ) ( ) από τις ( ) ( ) ή Πχ: ( ) [ ] εμφανίζεται αν παραγωγίσουμε μια ( ) ( ) ή ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) = ( ) + ( ) ( )

103 Μαθηματικά Κατ/νσης Γ Λυκείου Θεωρία Παραγώγων-Ολοκληρωμάτων ΜΕΘΔ Aν μου δίνουν ανισότητα ( ή ) και μου ζητούν να αποδείξω ισότητα τότε χρησιμοποιώ το Θεώρημα Fermat H ανισότητα προσδιορίζει τη θέση ενός τοπικού ακροτάτου Πχ Αν ln +α( ) για κάθε, δείξτε ότι α= Λύση: Έστω ( ) = ln +α( ) με D = (, + ) και ( ) = α Τότε η δοσμένη γράφεται: ( ) ( ) () για κάθε Άρα η στο = παρουσιάζει ελάχιστο, είναι παραγωγίσιμη και το είναι εσωτερικό σημείο του D Άρα με Θ Fermat θα είναι () = α= α= ΣXOΔ Το αντίστροφο του Θ Fermat δεν ισχύει γενικά Έτσι αν ( ) = αυτό δεν σημαίνει κατανάγκην ότι η συνάρτηση παρουσιάζει στο τοπικό ακρότατο Θα πρέπει επιπλέον η να αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του (δηλαδή η να αλλάζει είδος μονοτονίας) Πχ Αν ( ) = τότε: ( ) = και () = Παρόλα αυτά η δεν παρουσιάζει στο = ακρότατο αφού η διατηρεί το ίδιο πρόσημο εκατέρωθεν του = ΠΑΡΔ Αν ( ) > για κάθε τότε στο διάστημα Δ Το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά Δηλαδή αν στο διάστημα Δ αυτό δεν σημαίνει κατανάγκην ότι ( ) > για κάθε, αφού μπορεί να υπάρχουν μεμονωμένα σημεία του Δ όπου η μηδενίζεται Πχ Ενώ η ( ) = είναι γνησίως αύξουσα στο η ( ) = δεν είναι θετική για κάθε, αφού () = ΜΕΘΔ Ψάχνουμε για τοπικά ακρότατα μιας συνάρτησης : Στα σημεία που μηδενίζεται η παράγωγός της, Στα σημεία που δεν ορίζεται η, ενώ η είναι συνεχής Στα άκρα κλειστών διαστημάτων του πεδίου ορισμού της ΠΑΡΔ4 Αν ( ) > για κάθε τότε η είναι κυρτή στο διάστημα Δ Το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά Δηλαδή αν η είναι κυρτή στο διάστημα Δ αυτό δεν σημαίνει κατανάγκην ότι ( ) > για κάθε, αφού μπορεί να υπάρχουν μεμονωμένα σημεία του Δ όπου η μηδενίζεται Όμοια αν κοίλη Πχ Ενώ η ( ) = ηµ είναι κυρτή στο ( π,π ) η ( ) = ηµ δεν είναι θετική για π κάθε ( π, π ), αφού =

104 Μαθηματικά Κατ/νσης Γ Λυκείου Θεωρία Παραγώγων-Ολοκληρωμάτων ΠΑΡΔ5 Αν ( ) = αυτό δεν σημαίνει κατανάγκην ότι η συνάρτηση παρουσιάζει στο σημείο σημείο καμπής Θα πρέπει η να αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του ή ισοδύναμα η να αλλάζει είδος μονοτονίας 4 Πχ Αν ( ) = τότε: ( ) = και () = Παρόλα αυτά η δεν παρουσιάζει στο = σημείο καμπής αφού η διατηρεί το ίδιο πρόσημο εκατέρωθεν του = ΜΕΘΔ Για να έχει η εξίσωση ( ) = α μια τουλάχιστον λύση πρέπει το α να ανήκει στο σύνολο τιμών της ΣXOΔ Αν η συνάρτηση είναι κυρτή στο διάστημα Δ τότε η εφαπτομένη ε της C σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται κάτω από τη C Δηλαδή αν ε : y =α +β η εφαπτομένη θα ισχύει: ( ) α +β για κάθε Αν η συνάρτηση είναι κοίλη στο διάστημα Δ τότε η εφαπτομένη ε της C σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται πάνω από τη C Δηλαδή αν ε : y =α +β η εφαπτομένη θα ισχύει: ( ) α +β για κάθε ΜΕΘΔ Για να αποδείξω ότι η συνάρτηση είναι σταθερή στο διάστημα Δ: Παίρνω τον τύπο της κάνω τις πράξεις που γίνονται και αποδεικνύω ότι το αποτέλεσμα είναι ανεξάρτητο της μεταβλητής Αποδεικνύω ότι για κάθε, ισχύει: ( ) = ( ) Αν είναι παραγωγίσιμη στο Δ αποδεικνύω ότι ( ) = για κάθε ΜΕΘΔ4 Για να βρω το πλήθος των ριζών μιας συνάρτησης κατασκευάζω πίνακα μονοτονίας της και βρίσκω το σύνολο τιμών της σε καθένα από τα διαστήματα του πίνακα μονοτονίας

105 Μαθηματικά Κατ/νσης Γ Λυκείου Θεωρία Παραγώγων-Ολοκληρωμάτων Αν στο σύνολο τιμών ενός διαστήματος μονοτονίας περιλαμβάνεται το μηδέν, τότε η έχει στο διάστημα αυτό ακριβώς μία ρίζα Αν δεν περιλαμβάνει το μηδέν τότε η δεν έχει σ αυτό το διάστημα ρίζα Για να βρω το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ( ) = α βρίσκω το σύνολο τιμών της σε κάθε διάστημα μονοτονίας της Αν το α περιλαμβάνεται στο σύνολο τιμών της σε ένα διάστημα, τότε η εξίσωση ( ) = α έχει στο διάστημα αυτό ακριβώς μία ρίζα Αν δεν περιλαμβάνεται, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζα στο διάστημα αυτό ΜΕΘΔ4 Για ν αποδείξω μια ανισότητα: Τα περνώ όλα στο ο μέλος, ορίζω την αντίστοιχη συνάρτηση και τη μελετώ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα Χρησιμοποιώ ΘΜΤ και μονοτονία παραγώγου για μια κατάλληλη συνάρτηση (ιδίως αν η ανισότητα είναι διπλή) Χρησιμοποιώ την ιδιότητα της εφαπτομένης του γραφήματος μιας συνάρτησης να βρίσκεται κάτω από τη C αν η είναι κυρτή, ή πάνω από τη C αν η είναι κοίλη (ιδίως αν έχει προηγηθεί μελέτη κυρτότητας) ΜΕΘΔ5 Αν γνωρίζω την και έχω να υπολογίσω το ολοκλήρωμα μιας παράγουσάς της (συνήθως της F( ) = () t dt ) τότε χρησιμοποιώ τον τύπο της παραγοντικής ολοκλήρωσης Πχ Αν F( ) = () t dt τότε: α [ ] / / π/ F ( ) d = F ( ) d = F ( ) F ( ) d = F () ( ) d = π Πχ Για να υπολογίσω το ηµ tdt d π/ π/ = ηµ tdt ηµ d κτλ έχω: α π ηµ tdt d = ηµ tdt d

106 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι Παράγωγοι " Όσοι δεν γνωρίζουν μαθηματικά είναι δύσκολο να νιώσουν την ουσία και την ομορφιά, τη βαθύτερη ομορφιά της φύσης " Richard Feynman Παράγωγος στο ηµ, ΓΔ/Δίνεται η συνάρτηση ( ) = + ηµ, > Α) Να μελετήσετε τη συνέχεια της στο = Β) Να εξετάσετε αν η είναι παραγωγίσιμη στο = α +β +, ΓΔ/A) Αν ( ) = να βρείτε τις τιμές των +, > α, β ώστε η να είναι παραγωγίσιμη στο = +α +, B) Όμοια για την ( ) = +β, < την εξίσωση της εφαπτομένης της στο = Επίσης βρείτε C στο σημείο της (, ()) +α +β Μ, (,] ΓΔ/Δίνεται η συνάρτηση ( ) = +, (, + ) βρείτε τους α, β ώστε να είναι παραγωγίσιμη η στο = α + β + + < 6, ΓΔ/4Αν ( ) = + ( α+β), ώστε να ορίζεται η εφαπτομένη της C στο =, να βρεθούν οι α, β ΓΔ/5Αν για κάθε ισχύει: 6 + ( ) 6+ 9, βρείτε την παράγωγο της στο = ΓΔ/6 Αν για κάθε ισχύει: ηµ ( ) ηµ +, βρείτε την παράγωγο της στο = Επίσης βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο της (, ()) Μ ΓΔ/7Αν για κάθε ισχύει: ηµ ( ) +, βρείτε την παράγωγο της στο = Επίσης βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο της (, ()) Μ

107 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι ΓΔ/8Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο = και ισχύει: ( ) 4 ηµ για κάθε, να δειχθεί ότι η είναι παραγωγίσιμη στο = ΓΔ/9Αν : με + ( ) + 4 για κάθε, να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο και να βρείτε την () ΓΔ/Αν για κάθε ισχύει: παράγωγο της στο = +α +β <, ΓΔ/ Aν ( ) = ηµ +, ορίζεται η εφαπτομένη της εξίσωσή της Παράγωγος και όρια ( ) ηµ, βρείτε την C στο σημείο της (, ()), βρείτε τα α, β ώστε να Μ και βρείτε την ΓΔ/Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο και για κάθε ισχύει: 6ηµ ηµ ( ) ηµ + 9ηµ : Α) Βρείτε το () Β) Δείξτε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο και βρείτε την () ( ) ηµ Γ) Υπολογίστε το όριο lim + 4 ( ) + 7 ΓΔ/ Αν : συνεχής με lim =, να βρείτε: 8 Α) Το () και Β) Το () αφού αποδείξετε ότι η είναι παρ-μη στο ( ) ΓΔ/4 Αν : συνεχής με lim =, να βρείτε: Α) Το () και Β) Το () αφού αποδείξετε ότι η είναι παρ-μη στο ( ) 4+ Γ) Να υπολογίσετε το όριο: lim (να θέσετε u = ) ΓΔ/5 Αν : παραγωγίσιμη στο με () = και () = να ( ) () υπολογίσετε το όριο: lim ( Προσθαφαιρέστε το () )

108 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι ΓΔ/6Η συνάρτηση : ( ) σχέση lim = 5 ηµ να βρεθεί το (), συνεχής στο = και ικανοποιεί τη Να δειχθεί ότι η παραγωγίζεται στο = και ΓΔ/7Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : ( ) + 7 για την οποία ισχύει: lim = Α) Βρείτε το () Β) Δείξτε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο και βρείτε το () ( ) + ηµ Γ) Υπολογίστε το όριο: lim + 4 ΓΔ/8Δίνεται η συνεχής και άρτια συνάρτηση : για την ( ) + 7 οποία ισχύει: lim = Α) Βρείτε το () 4 Β) Δείξτε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο και βρείτε το () Γ) Αποδείξτε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο - και βρείτε το ( ) ΓΔ/9Αν συνάρτηση είναι συνεχής στο = και ( ) lim = 5, να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο και να ( ) 5+ 6 υπολογίσετε το όριο: lim Συνέχεια και παράγωγος ΓΔ/ Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο = και ισχύει π ( ) ηµ για κάθε,,, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g( ) = ( ) είναι παραγωγίσιμη στο = και g () = ΓΔ/ Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο, αποδείξτε ότι η συνάρτηση ( ) g ( ) = + ( ) είναι παραγωγίσιμη στο ΓΔ/Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο =, να δείξτε ότι η συνάρτηση = g ( ) = ( + 5 ) ( ) είναι παραγωγίσιμη στο

109 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι ΓΔ/Να εξεταστεί αν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο = η, συνάρτηση ( ) = Είναι η συνεχής στο = ; +, < Ορίζεται η εφαπτομένη της C στο σημείο Α (,) ; ΓΔ/4Μια συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο = και για κάθε R ισχύει ( ) + 5 Υπολογίστε τα (), () Μ, () και την εξίσωση της εφαπτομένης στο ( ) ΓΔ/5Αν p ( ) είναι μια συνεχής συνάρτηση στο σημείο = και ( ) = p ( ), να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο = αν και μόνο αν p () = Παράγωγος από συναρτησιακή σχέση ΓΔ/6 Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο και ισχύει για κάθε : ( ) + ( ) = δείξτε ότι η είναι παραγωγίσμη στο και βρείτε το () ΓΔ/7 Αν : για την οποία για κάθε y, ισχύει: ( + y) = ( ) + ( y) + 4y, και η είναι παραγωγίσιμη στο με () = : Α) Βρείτε το () και Β) Δείξτε ότι η είναι παραγωγίσιμη για κάθε και μάλιστα ισχύει: ( ) = 4 + ΓΔ/8Αν : για την οποία για κάθε y, ισχύει: ( + y) = ( ) + ( y) + 4y, και η είναι παραγωγίσιμη στο με () = 4, να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη σε όλο το ( Βρείτε το () και χρησιμοποιήστε τον εναλλακτικό ορισμό για την παράγωγο) ΓΔ/9Μια συνάρτηση : είναι παραγωγίσιμη στο = και ισχύει ( ) ( ) + ( ) = ηµ για κάθε Να αποδειχθεί ότι () = ΓΔ/Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και για κάθε y, ισχύει ( + y) = ( ) + ( y) + 5y δείξτε ότι η είναι παραγωγίσιμη σε κάθε Εναλλακτικός ορισμός παραγώγου ΓΔ/Για την συνάρτηση ισχύει: ( h) h h h Να βρείτε το () και το () + = + +, για κάθε

110 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι ΓΔ/ Έστω συνάρτηση συνεχής στο και τέτοια ώστε ( + h) lim = A) Βρείτε το () Β) Βρείτε το () h h ΓΔ/Για την συνάρτηση ισχύει: ( + h) = h+ h h, για κάθε h Να βρείτε την κλίση της στο = και την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο M(, ()) ΓΔ/4 Έστω : μια παραγωγίσιμη συνάρτηση στο ( h) ( ) Α) Να δείξετε ότι lim = ( ) h h ( + h) ( h) Β) Να δείξετε ότι lim = ( ) h h ( + h) ( ) Γ) Nα δείξετε ότι: lim = ( ) αν η είναι δύο φορές h h παραγωγίσιμη Παράγωγος συνάρτηση ΓΔ/5 Βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων: 5 = β) 4 α) ( ) ( ) = γ) ( ) = 5 7 δ) ( ) = ε) ( ) = στ) ( ) = ζ) ( ) = η) ( ) = θ) ( ) = 4 ΓΔ/6 Βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων: α) ( ) = 5+ β) ( ) = 5 γ) ( ) = 4 ηµ + ln δ) ( ) = e ln + συν ΓΔ/7 Βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων: ( ) = + + β) ( ) = ηµ συν α) ( )( ) γ) ( ) = ln δ) ( ) = ηµ ΓΔ/8 Βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων: + + ηµ α) ( ) = β) ( ) = γ) ( ) = + ηµ ηµ

111 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι e δ) ( ) = ε) ( ) = στ) ln ΓΔ/9 Βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων: α) δ) ζ) ( ) = συν ( ) = e + β) ( ) = ηµ γ) ( ) = ηµ e ( ) = + ε) ( ) = e + στ) ( ) = συν ( ) = συν η) ( ) = ln 4 θ) ( ) = ln ηµ ι) ( ) ( ) = ηµ ( + ) ΓΔ/4 Βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων: α) ( ) 5 ( ) = + β) δ) ( ) = ln ε) ζ) ( ) = συν η) θ) ( ) = ln( + ) ( ) ( ) ( ) = = εφ γ) = e στ) e ηµ ΓΔ/4 Βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων: α) ( ) = ηµ β) ( ) = ηµ γ) δ) ( ) ln( ) = + ε) ζ) ( ) ln( ) = + η) ( ) e ( ) ( ) = συν = ηµ ( ) = ln = στ) ( ) = ln ( ηµ ) συν ( ) ln = ηµ + ΓΔ/4Αν παραγωγίσιμη συνάρτηση παραγωγίστε τις συναρτήσεις: Α) g( ) = ( e + ) Β) g( ) = ( ηµ ) Γ) g ( ) = ( + ) ΓΔ/4Αν (, ) + παραγωγίστε τις συναρτήσεις: Α) ( ) = Β) ( ) ηµ Δ) ( ) = Ε) ( ) = ( ) ΓΔ/44Βρείτε την παράγωγο της ΓΔ/45Βρείτε την παράγωγο της = Γ) ( ) = ( ηµ ) ηµ, ( ) =, > + 6 8, ( ) = 4, >

112 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι ΓΔ/46 Υπολογίστε το όριο e lim (αν ( ) e = ποιο είναι το () ;) ΓΔ/47 Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο [,], συνεχής στο [,] και το βρείτε Εφαπτόμενες ( ) + 9 lim =, δείξτε ότι υπάρχει το () και να ΓΔ/48Βρείτε εφ' όσον ορίζεται, την εφαπτομένη της γραφικής + συν, παράστασης ( ) = στο κοινό της σημείο με τον yy ' λ +, > ΓΔ/49 Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της ( ) = + στο σημείο Α (, () ) ΓΔ/5 Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της ( ) = + ln στο σημείο Α (, () ) ΓΔ/5 Bρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της ( ) = 4 που είναι παράλληλη στην ευθεία ( δ ):+ y+ = ΓΔ/5 Bρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της ( ) = + που είναι παράλληλη στην ευθεία ( α) : y+ = ΓΔ/5 Bρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της ( ) = + που είναι παράλληλη στην ευθεία ( η ): y = ΓΔ/54 Bρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της ( ) = που είναι παράλληλη στην ευθεία ( δ ): y = ln ΓΔ/55 Αν ( ) = + βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C που είναι παράλληλη στην ευθεία ( ε ): y = ΓΔ/56 Βρες τα αβ, ώστε στα σημεία Α (, () ) και Β (, ()) η γραφική παράσταση της ( ) = + α + β+ έχει εφαπτόμενες παράλληλες στον άξονα '

113 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι α ΓΔ/57 Δίνεται η συνάρτηση ( ) = + β, με Βρείτε τις τιμές των α και β για τις οποίες η γραφική παράσταση της διέρχεται από το σημείο Α(,5) και ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης της στο Α είναι ίσος με 4 ΓΔ/58 Bρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της ( ) = + που είναι κάθετη στην ευθεία ( η ): + y+ = ΓΔ/59 Bρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της ln ( ) = που είναι κάθετη στην ευθεία ( δ ): + y+ = ΓΔ/6 Ποια εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της ( ) = + + σχηματίζει με τον άξονα ' γωνία π /4; ΓΔ/6 Βρείτε την εφαπτομένη της ( ) = + + που σχηματίζει με τον γωνία π/4 ΓΔ/6 Ποια εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της ( ) = + σχηματίζει με τον άξονα ' γωνία 5 ; ΓΔ/6 Βρες το α αν η εφαπτομένη της ( ) = + α στο Μ (, () ) σχηματίζει με τον άξονα ' γωνία π /4 ΓΔ/64 Βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της ( ) = που διέρχεται από το σημείο Μ(, ) ΓΔ/65 Βρες την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της ( ) = + e που διέρχεται από το σημείο Μ (,) ΓΔ/66 Βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της ( ) = + + που διέρχεται από το σημείο Α (, ) ΓΔ/67 Έστω η συνάρτηση ( ) 6 = + Να βρείτε: α) Το πεδίο ορισμού της β) το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης της στο σημείο της με τετμημένη 4 γ) το σημείο στο οποίο η παραπάνω εφαπτομένη τέμνει τον άξονα y' y δ) τις συντεταγμένες του σημείου της καμπύλης της στο οποίο η εφαπτομένη της είναι παράλληλη στην ευθεία y = +

114 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι ΓΔ/68Δείξτε ότι δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της 4 συνάρτησης ( ) =, στα οποία οι εφαπτόμενες της C να είναι μεταξύ τους παράλληλες +α +β, ΓΔ/69Δίνεται η ( ) = συν, > A) Να βρεθεί το β ώστε η να είναι συνεχής στο = Β) Να βρεθεί το α ώστε η να είναι παραγωγίσιμη στο = Γ) Βρείτε την εφαπτομένη της C στο σημείο της Α (, () ) Δ) Βρείτε την εφαπτομένη της C που είναι παράλληλη στην ( η ):+ y = στα σημεία της με τετμημένη μικρότερη του π ( ) Ε) Υπολογίστε το lim ηµ α ΓΔ/7 Δίνεται η συνάρτηση ( ) = με α Δείξτε ότι: Α) Η εφαπτομένη της C στο τυχαίο σημείο της σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο με σταθερό εμβαδόν Β) Η παραπάνω εφαπτομένη δεν έχει άλλο κοινό σημείο με τη C ΓΔ/7Δείξτε ότι δεν ορίζεται η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης ηµ, της συνάρτησης ( ) = στο σημείο Ο (,) +, > ΓΔ/7Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης π π, της ( ) = ηµπ, < στο σημείο της Α (, () ) ΓΔ/7Aν C το διάγραμμα της συνάρτησης ( ) = και (ε) οι 4 ευθείες y =λ + να δειχθεί ότι για κάθε λ το C και η (ε) τέμνονται πάντα σε δύο σημεία Κατόπιν δείξτε ότι οι εφαπτόμενες σε καθένα από τα ζεύγη των κοινών σημείων τέμνονται κάθετα ηµ +, < ΓΔ/74Δίνεται η συνάρτηση ( ) = Να βρεθούν: e, A) η κλίση της C στο σημείο A(, ()) B) η εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο Α

115 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι ΓΔ/75 Αν : συνάρτηση ώστε για κάθε να ισχύει ( ) + 8= + ( + 4) ( ), να αποδείξετε ότι η ευθεία: ( ε ): y = 4 εφάπτεται στη C και να βρείτε το σημείο επαφής ΓΔ/76 Αν : συνάρτηση ώστε για κάθε να ισχύει ( + y) = ( ) ( y) + + +α και η ευθεία ( ε ): y = + είναι εφαπτομένη της Μ, () : C στο σημείο ( ) Α) Βρείτε το () Β) Βρείτε το α Γ) Βρείτε τον τύπο της (Θέτω y = ) Δ) Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης που διέρχεται από το σημείο Α (, 7) Κοινές εφαπτόμενες ΓΔ/77Έστω A(, γ ) το κοινό σημείο των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων : ( ) = +α +β + και g ( ) = + + Να βρείτε τις τιμές των α, β για τις οποίες οι C και C g έχουν κοινή εφαπτομένη στο Α και έπειτα να βρείτε την εξίσωση της κοινής εφαπτομένης ΓΔ/78 Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί αβ, ώστε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ( ) = ln και g ( ) =α +β + να έχουν κοινή εφαπτομένη σε κοινό τους σημείο που βρίσκεται στην ευθεία ε : = ΓΔ/79 Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί αβ, ώστε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ( ) =α +β + και g ( ) = α β να έχουν κοινή εφαπτομένη σε κοινό τους σημείο που βρίσκεται στην ευθεία ε : = ΓΔ/8 Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί αβ, ώστε οι γραφικές +α 4 παραστάσεις των συναρτήσεων ( ) = και g ( ) = β να διέρχονται από το ίδιο σημείο με θετική τετμημένη στο οποίο να δέχονται κοινή εφαπτομένη με συντελεστή διεύθυνσης 4 ΓΔ/8 Bρείτε το k ώστε η ευθεία ε : y= + k να είναι εφαπτομένη της καμπύλης της συνάρτησης: ( ) = +

116 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι ΓΔ/8 Βρείτε τα, ( ) = +α και κοινό τους σημείο ( ) α β ώστε οι γραφικές παραστάσεις των g ( ) = +β να έχουν κοινή εφαπτομένη στο Α, y ΓΔ/8 Βρείτε την κοινή εφαπτομένη των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων ( ) = και g ( ) = 5 ΓΔ/84 Αν, ( ) = ( + 5) g( ) και ( ) g παραγωγίσιμες συναρτήσεις και ισχύει: g 4 = αποδείξτε ότι οι C, C έχουν κοινή εφαπτομένη (Υπόδειξη: Παρατηρήστε ότι ( 4) = g( 4) ) ΓΔ/85 Αν ( ) =α + και g ( ) = + (4 α+β ) +α, βρείτε τα α, β ώστε η εφαπτομένη της C στο σημείο της Α (,) να εφάπτεται της C g ΓΔ/86Αν παραγωγίσιμη και για κάθε (, ) ( ) ( ) + = να αποδείξετε ότι η ευθεία ( ) : y g + ισχύει η σχέση: ε = είναι εφαπτομένη της C (Υπόδειξη: Πρέπει να υπάρχει (, + ) ώστε ( ) = o και ( ) = ) ΓΔ/87 Έστω, g συναρτήσεις με ( ) = g Αν η ευθεία ( η ) : y = εφάπτεται της C g στο = να βρείτε την εφαπτομένη της C στο = ΓΔ/88 Aν ( ) = ln να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο Μ( ξ, ( ξ )) με ξ, στο οποίο η εφαπτομένη της C διέρχεται από την αρχή των αξόνων ΓΔ/89 Aν ( ) = e να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο Μ( ξ, ( ξ )) με ξ (, ) στο οποίο η εφαπτομένη της C είναι κάθετη στην ευθεία ( η ): + y = ΓΔ/9 Αν οι συναρτήσεις, είναι εφαπτομένη της Α) Βρείτε το όριο g είναι παραγωγίσιμες και η ευθεία y = Ο, () : C στο ( ) ( ) ηµ lim ηµ

117 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι 4 Β) Αν g : και g ( ) ( ) για κάθε να δείξετε ότι ορίζεται η εφαπτομένη της C g στο Α (, g() ) και βρείτε την εξίσωσή της ΓΔ/9Αν g παραγωγίσιμη συνάρτηση και g() e εφαπτόμενη της συνάρτησης ( ) ( g ( )) Α (, ()) = να βρεθεί η = + στο σημείο της ( ) + ΓΔ/9Αν συνεχής στο α και lim =, να α α αποδείξετε ότι η ευθεία ε : y = είναι εφαπτομένη της C στο Μ( α, ( α )) ΓΔ/9 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) = και g ( ) = e + Αν η C τέμνει την ευθεία y = στο σημείο Α και η C g τον άξονα yy στο Β, να δείξετε ότι η ευθεία ΑΒ είναι κοινή εφαπτομένη των C και στα σημεία Α,Β αντίστοιχα Παραγώγιση και αντίστροφη συνάρτηση ΓΔ/94 Δίνεται η συνάρτηση ( ) e = +, Α) Δείξτε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση Β) Αν θεωρήσουμε την () είναι παραγωγίσιμη βρείτε το ( ) (Παραγωγίστε την σχέση ( ( )) = ) Γ) Βρείτε την εφαπτομένη της Μ, () 5 ΓΔ/95 Δίνεται η συνάρτηση ( ) = +, Α) Δείξτε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση Β) Δείξτε ότι η ΓΔ/96 Αν C στο σημείο ( ) δεν είναι παραγωγίσιμη στο = (Παραγωγίστε την σχέση ( ( )) = ) ( ) 6 Α, () είναι παράλληλη στην ( δ) : y = : Α) Βρείτε το α Β) Αποδείξτε ότι η είναι «-» Γ) Αν η είναι παραγωγίσιμη βρείτε την εφαπτομένη της C στο ( 5, (5) ) C g = α + και η εφαπτομένη της στο ( ) Β (Στον τύπο της θέστε ( ) = y = ( y) και παραγωγίστε)

118 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι Ρυθμός μεταβολής ΓΔ/97 Η θέση ενός κινητού που κινείται στον άξονα ', συναρτήσει του χρόνου t, δίνεται από τη σχέση t () = t 6t + 9t 4με t Α) Ποιες χρονικές στιγμές βρίσκεται στην αρχή των αξόνων; Β) Βρείτε την ταχύτητά του για t = Γ) Βρείτε τις θέσεις του κινητού στις οποίες ηρεμεί Δ) Βρείτε την επιτάχυνσή του για t = ΓΔ/98 Το μήκος ενός ορθογωνίου αυξάνεται με ρυθμό 5 / cm s ενώ το πλάτος του ελαττώνεται με ρυθμό cm / s Να βρεθούν: Α) ο ρυθμός μεταβολής της περιμέτρου, και Β) Ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου όταν το μήκος είναι cm και το πλάτος cm ΓΔ/99Παγοκολώνα έχει σχήμα κύβου Τη χρονική στιγμή που οι ακμές του κύβου είναι cm η κολώνα αρχίζει να λιώνει Οι ακμές της μειώνονται ανάλογα με σταθερό ρυθμό, cm / sec Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού και του όγκου του κύβου ΓΔ/Ο όγκος μιας σφαίρας αυξάνει με ρυθμό cm / sec Να βρεθεί η ακτίνα της σφαίρας τη χρονική στιγμή που η επιφάνεια της αυξάνει με ρυθμό cm / sec ΓΔ/ Αν Ο (,) Α (,) και Β (,e ) και το αυξάνει με ρυθμό cm / s βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Ε του τριγώνου ΟΑΒ όταν = ΓΔ/Δύο σημεία Α και Β κινούνται στους άξονες Οχ και Οy αντίστοιχα, με ταχύτητες υ Α = m / sec και υ B = 5 m / sec Βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασής τους κατά τη χρονική στιγμή που το Α απέχει από την αρχή των αξόνων 4 m ενώ το Β απέχει από το Ο, m ΓΔ/ Ένα ποδήλατο βρίσκεται 4km δυτικά από ένα σταυροδρόμι και κινείται προς αυτό με ταχύτητα 9 km / h Την ίδια στιγμή ένα άλλο ποδήλατο βρίσκεται km βόρεια από το σταυροδρόμι και απομακρύνεται από αυτό με ταχύτητα km / h Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασης των ποδηλάτων αυτή τη χρονική στιγμή ΓΔ/4Μια κλεψύδρα αδειάζει την άμμο σχηματίζοντας κώνο του οποίου η ακτίνα ισούται πάντα με το ύψος του Η άμμος αδειάζει με ρυθμό cm / sec Βρείτε το ρυθμό μεταβολής της ακτίνας του κώνου της άμμου όταν το ύψος του είναι cm

119 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι ΓΔ/5Κύλινδρος έχει σταθερό όγκο cm και η ακτίνα του ελαττώνεται με ρυθμό cm / sec Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του ύψους του όταν η ακτίνα του είναι R = cm ΓΔ/6 Σ' έναν κατακόρυφο τοίχο βρίσκεται στερεωμένη, πλάγια, μια ανεμόσκαλα μήκους 5m Το κάτω μέρος της σκάλας αρχίζει να γλιστρά με ρυθμό m/ s Τη χρονική στιγμή t που το κάτω μέρος της σκάλας απέχει από τον τοίχο m, να βρείτε: Α) Το ύψος που βρίσκεται το πάνω μέρος της σκάλας Β) Το ρυθμό που πέφτει το πάνω μέρος της σκάλας Γ) Το ρυθμό που μεταβάλλεται το εμβαδόν του τριγώνου που ορίζουν η σκάλα, ο τοίχος και το έδαφος, και Δ) Το ρυθμό μεταβολής της γωνίας που σχηματίζει η σκάλα με τον τοίχο ΓΔ/7Σώμα Σ ανέρχεται στο διπλανό Σ κεκλιμένο επίπεδο με ταχύτητα m/ s Αν ΑΒ = m και ΒΓ = m βρείτε το ρυθμό μεταβολής του ύψους ΣΕ Α Ε ΓΔ/8 Ένας γερανός έλκει οριζόντια ένα βαρύ αντικείμενο που βρίσκεται στο έδαφος, με ένα συρματόσχοινο Η τροχαλία του γερανού βρίσκεται σε ύψος m από το έδαφος Αν το συρματόσχοινο διέρχεται από την τροχαλία με ρυθμό m / min, να βρεθεί ο ρυθμός με τον οποίο το σώμα πλησιάζει το γερανό τη στιγμή που απέχει από αυτόν 4m ΓΔ/9 Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του μήκους της σκιάς ενός ανθρώπου ύψους 7m ο οποίος απομακρύνεται με ταχύτητα m/ s από μια κολόνα, της οποίας η λάμπα φωτίζει από ύψος 5,m το έδαφος ΓΔ/ Σε μια κωνική δεξαμενή χύνεται νερό με ρυθμό π m / s Αν το ύψος της δεξαμενής είναι m και το πάνω μέρος της είναι κύκλος ακτίνας 5m, να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής με τον οποίο ανέρχεται η στάθμη του νερού όταν το βάθος του είναι m M ΓΔ/ Ένα μπαλόνι Μ που ανεβαίνει από το έδαφος με ταχύτητα 4 m / min, γίνεται αντιληπτό από έναν παρατηρητή Α σε απόσταση m από το σημείο απογείωσης Ε Βρείτε το ρυθμό θ μεταβολής της γωνίας θ καθώς και το ρυθμό Α m E μεταβολής της απόστασης ΑΜ = d, όταν το μπαλόνι έχει ύψος = m Γ Β

120 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι ΓΔ/ Σημείο Μ ξεκινώντας από το σημείο (,) μήκος της καμπύλης y = ηµ με [, ] Ο κινείται κατά π Όταν το Μ διέρχεται από το π σημείο Α, η ταχύτητα απομάκρυνσής του από τον άξονα yy 6 είναι μον/sec Βρείτε την ταχύτητα απομάκρυνσης του Μ από τον άξονα τη στιγμή που διέρχεται από το Α ΓΔ/ Κινητό σημείο Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = e και Α το σημείο της καμπύλης όπου η κλίση της είναι Καθώς το Μ διέρχεται από το Α η τετμημένη του αυξάνει με ρυθμό μον/sec Βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασης d = ΟΜ με Ο (,), τη χρονική στιγμή που το Μ διέρχεται από το Α ΓΔ/4 Σημείο Μ( y, ) κινείται στην καμπύλη με εξίσωση y = έτσι που η τεταγμένη του να αυξάνεται με ρυθμό 6 cm / s Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του όταν = 4cm ΓΔ/5 Ένα σημείο Μ( y, ) κινείται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) = ( ) Η τετμημένη του είναι θετική και απομακρύνεται από το Ο (,) με ρυθμό μον/sec Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας που σχηματίζει η εφαπτομένη της C στο Μ με τον άξονα ' όταν αυτή είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση y+ = καθώς και η τετμημένη του Μ τη στιγμή εκείνη ΓΔ/6 Κινητό σημείο Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = ln και Α e, σημείο της καμπύλης Καθώς το Μ διέρχεται από το Α η τετμημένη του ελαττώνεται με ρυθμό μον/sec Αυτή τη χρονική στιγμή βρείτε το ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ που σχηματίζει το ΟΜ με τον άξονα ΓΔ/7 Σημείο Μ κινείται στην καμπύλη y =, στο ο τεταρτημόριο Η τετμημένη του αυξάνει με ρυθμό cm/s Τη χρονική στιγμή που που είναι ΟΜ = 9, με Ο(,) να βρείτε: Α) Το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης Β) Το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου με τις δύο πλευρές του στους άξονες και διαγώνιο ΟΜ Γ) Το ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ () t που σχηματίζει το ΟΜ με τον

121 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι ΘΜΤ και Θ Rolle ΓΔ/8Δίνεται η συνάρτηση ( ) = + + A Δείξτε ότι για την εφαρμόζεται το ΘΜΤ στο [-,4] Β Να εφαρμόσετε το ΘΜΤ για την στο διάστημα [-,4] και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το αποτέλεσμα ΓΔ/9Δίνεται η συνάρτηση ( ) =, Δείξτε ότι η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘRolle στο διάστημα [, 4] βρείτε το ξ (, 4) για το οποίο ισχύει '( ξ ) = και να δώσετε γεωμετρική ερμηνεία ΓΔ/Δείξτε ότι η εξίσωση πραγματική ρίζα στο διάστημα (,) ΓΔ/Δείξτε ότι η εξίσωση διάστημα (, ) ΓΔ/Δείξτε ότι η εξίσωση e ΓΔ/Δείξτε ότι η εξίσωση πραγματική λύση = έχει ακριβώς μια 5+ = έχει ακριβώς μία λύση στο = + έχει μόνο μία πραγματική ρίζα 5 4 ΓΔ/4Να λυθεί η εξίσωση: e e ΓΔ/5Λύστε την εξίσωση ln + + = έχει ακριβώς μία + = = (Υπόδειξη: αναζήτησε προφανή λύση) ΓΔ/6A)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση = ηµ + συν έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες ( π,) και (, π ) B) Δείξτε ότι η συνάρτηση στο διάστημα (,) και μία στο ( ) 4 ( ) = έχει ακριβώς δύο ρίζες, μία 4, ΓΔ/7Να αποδείξετε ότι κάθε εξίσωση της μορφής 4 +α +β +γ= με α> έχει το πολύ δύο πραγματικές ρίζες 4 ΓΔ/8 Δείξτε ότι η ( ) = έχει το πολύ δύο ρίζες 4 ΓΔ/9 Δείξτε ότι η ( ) = έχει το πολύ δύο ρίζες ΓΔ/ Δείξτε ότι η ( ) = + έχει ακριβώς μία ρίζα 5 ΓΔ/ Δείξτε ότι η ( ) = + έχει ακριβώς μία ρίζα ΓΔ/ Αποδείξτε ότι η συνάρτηση ( ) = +α +β με α, β και α> έχει ακριβώς μία ρίζα στο (Σύνολο τιμών και Θ Rolle)

122 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι + 6 ΓΔ/Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) = ( ), g ( ) = ορισμένες στο (,) Να δειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,) ώστε οι εφαπτόμενες των C και C στο σημείο με τετμημένη ξ να είναι παράλληλες Αντιπαραγώγιση ΓΔ/4 Βρείτε τις παράγουσες των συναρτήσεων αν: Α) ( ) = + 4+ και () = 7 Β) ( ) = + συν και () = Γ) Δ) ( ) = + και () = ( ) = 4 + ηµ και () = g Ε) ( ) = 4 + ηµ και () 5 + ΣΤ) ( ) = + e και () e ΓΔ/5 Να βρείτε συνάρτηση, παραγωγίσιμη στο για την οποία, για κάθε, ισχύει: 5 Α) ( ) + ( ) = και () = 4 Β) ( + ) ( ) + ( ) = 6+ και () = Γ) ( ) = ( ) e και () = e e e και τη συνάρτηση για την οποία Δ) Βρείτε την παράγωγο ( ) ισχύει: ( ) + ( ) = e και () = ΓΔ/6 Αποδείξτε οτι η ( ) = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (,) (Υπόδ: με ΘRolle) ΓΔ/7Δείξτε ότι η εξίσωση 4 + ( α ) + β =α+β με α, β έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (,) 4 ΓΔ/8 Αν α+ 5β+ γ=, δείξτε ότι η εξίσωση α +β +γ= έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (,)

123 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι ΓΔ/9 Δείξτε ότι δεν υπάρχουν δύο σημεία της γραφικής 6 4 παράστασης της συνάρτησης ( ) = στα οποία να έχουμε παράλληλες εφαπτόμενες ΓΔ/4 Αν συνεχής στο [,π ], παραγωγίσιμη στο ( ) () ( π ) =π, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (, π ) ώστε ( ) + = συν ΓΔ/4 Αν παραγωγίσιμη στο [, ] και () () = ln, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) ώστε:,π και ισχύει: ( ξ ) = ξ ξ ΓΔ/4 Α) Αν συνάρτηση είναι συνεχής στο [,π ] και παραγωγίσιμη στο (,π ), δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, π ) ώστε: ( ξηµξ+ ) ( ξσυνξ= ) ΓΔ/4 Αν παραγωγίσιμη στο, ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ, ώστε: ( ) ΓΔ/44 Αν παραγωγίσιμη στο [ ] αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,) ώστε: ξ ( ξ ) = ( ξ) ξ + ΓΔ/45 Αν συνεχής στο [, ] και () =, να αποδείξετε ξ ( ξ ) = ( ξ ), και () = (), να αβ και ( ) για κάθε ( αβ, ), να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ( ξ ) ξ ( α, β ) ώστε: = + ( ξ) α ξ β ξ ΓΔ/46 Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο [,], παραγωγίσιμη στο (,) και () = () δείξτε ότι υπάρχει (, ) ώστε ( ) '( ) = αβ και παραγωγίσιμη στο (, ) ΓΔ/47 Αν συνεχής στο [, ], παραγωγίσιμη στο ( ) διχοτόμος της γωνίας ˆ Oy τέμνει τη, Αν η C στα σημεία ΑΒ, με τετμημένες

124 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι, αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) ( ) ώστε: ( ) = ΓΔ/48 Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο [, ], παραγωγίσιμη στο (, ), () = και () =, να αποδείξετε ότι υπάρχει (,) ώστε '( )[ ( ) + ] = ΓΔ/49Αν, g παραγωγίσιμες στο και ισχύει: ( α ) = ( β ) = δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α, β ) ώστε: Α) ( ξ ) + ( ξ ) = Β) ( ξ ) = ( ξ ) Γ) ( ξ ) + ξ( ξ ) = Δ) ( ξ ) = ηµξ( ξ ) Ε) ( ξ+ ) g ( ξ ) ( ξ= ) ΓΔ/5 Αν δύο φορές παραγωγίσιμη στο [, ] αβ, ( ) για κάθε αβ [, ] και ( α ) ( β= ) ( β ) ( α, ) δείξετε ότι υπάρχει ένα ξ α, β ώστε: ( ξ ) ( ξ> ) τουλάχιστον ( ) (ΘRolle για την F( ) ( ) ( ) αβ) = στο [, ] ΓΔ/5Α) Δείξτε ότι μεταξύ δύο ριζών της παραγωγίσιμης συνάρτησης βρίσκεται μία τουλάχιστον ρίζα της Β) Βρείτε πόσες ρίζες έχει η παράγωγος της ( ) = ( + )( )( + ) και σε ποια διαστήματα ανήκουν ΓΔ/5Αν παραγωγίσιμη στο και ( ) αποδείξετε ότι η είναι για κάθε, να (Με εις άτοπο απαγωγή) ΓΔ/5Δίνονται οι συναρτήσεις, g με τις εξής ιδιότητες α) Είναι συνεχείς στο [ αβ, ] και παραγωγίσιμες στο ( αβ, ) β) Για κάθε αβ [, ] είναι g ( ) και για κάθε ( αβ, ) g'( ) γ) ( β) g( α) ( α) g( β ) = Δείξτε ότι : ( ) Α) για τη συνάρτηση F( ) = εφαρμόζεται το ΘRolle στο [ αβ, ] g ( ) '( ) ( ) Β) Υπάρχει ( αβ, ) ώστε = (Πανελλήνιες 9) g'( ) g ( )

125 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι ΓΔ/54Έστω η συνάρτηση συνεχής στο [ αβ, ] και παραγωγίσιμη ( ) στο ( αβ, ) Έστω ακόμα η g ( ) = e ( α)( β ) Να δειχθεί ότι α+β ξ υπάρχει ξ ( α, β ) ώστε ( ξ ) = ( ξ α )( ξ β ) 7 ΓΔ/55Δίνεται η συνάρτηση ( ) = + +µ όπου µ παράμετρος που διατρέχει το Αποδείξτε ότι η εξίσωση ( ) = δεν μπορεί να έχει δύο διαφορετικές ρίζες στο (, ) (Πανελλήνιες 9) ΓΔ/56 Αν το σημείο Μαβ (, ) ανήκει στον κύκλο C: ( ) + y = δείξτε ότι η εξίσωση( α ) + β = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (,) ΓΔ/57 Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο [,] με συνεχή παράγωγο στο [,] και τέτοια ώστε να ισχύουν: () = () + και () > Δείξτε ότι : A) Αν g ( ) = ( ) τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο της C στο οποίο η εφαπτομένη να είναι παράλληλη g στον ' B) Υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) τέτοιο που ( ) = (Υπόδειξη: με Θ Bolzano στο [, ] όπου το σημείο που βρήκατε στο ερώτημα A) ΓΔ/58Αν η συνάρτηση είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [ αβ, ] και ισχύουν : ( α ) = ( β ) και '( α ) = '( β ) = να αποδειχθεί ότι η έχει δύο τουλάχιστον ρίζες και η έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο ( αβ, ) ΓΔ/59 Αν η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [,] και ισχύει: () = () + () να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) τέτοιο που ( ) = (Υπόδειξη : ΘΜΤ και Rolle) ΓΔ/6 Αν δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο [, ] αβ,και ( β ) = ( α ) + ( α)( β α ), δείξετε ότι η εξίσωση ( ) = έχει μια αβ, (ΘΜΤ για την και Θ Rolle για την στο[, ] τουλάχιστον λύση στο ( ) αξ )

126 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι ΓΔ/6 Aν η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [,] και (), (), () είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, αποδείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) τέτοιο που ( ) = ΓΔ/6 Έστω (Υπόδειξη: ΘΜΤ και Rolle) α> και η δύο φορές παραγωγίσιμη στο [ α, α ] συνάρτηση ϕ Αν ϕ () = ϕ( α ) + ϕ( α ), να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ( α, α ) τέτοιο που ϕ''( ξ ) = ΓΔ/6 Aν η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [ αβ, ] α+β και ( α), ( ), ( β ) είναι διαδοχικοί όροι αριθμ προόδου, αποδείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ( αβ, ) τέτοιο που ( ) = ΓΔ/64 Αν η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και υπάρχουν τρία σημεία της δύο τουλάχιστον σημεία της C συνευθειακά, να αποδείξετε ότι υπάρχουν C στα οποία οι εφαπτόμενες να είναι παράλληλες και ένα τουλάχιστον ξ ώστε να ισχύει ( ξ ) = (Υπόδειξη : ΘΜΤ και Rolle) ΓΔ/65 Αν δύο φορές παραγωγίσιμη στο, ( π ) = ( π ) = π και () =, δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( π, π ) ώστε: ( ξ ) = ηµξ (δύο ΘRolle για την G ( ) = ( ) ΓΔ/66 Αν παραγωγίσιμη στο [, ], () Δείξετε ότι: ηµ στα [ π,] και [ ] = και () = 4 Α) Yπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) ώστε: () ξ = ( ) B) Yπάρχουν ρ, ρ (, ) ώστε: ( ) ( ) 4 ΓΔ/67 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : ισχύει: () 9 () ξ ξ,π ) ξ (Θ Bolzano) ρ ρ = (ΘΜΤ στα [, ],[, ] ξ ξ ) για την οποία ξ, ξ, ώστε Να αποδείξετε ότι υπάρχουν (Το διάστημα έχει πλάτος δ 9 και με πλάτη: δ 9, δ 9 6, οπότε χωρίζω το και ΘΜΤ στα, 4 και ΓΔ/68 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : ισχύει: () 9 () 4 ρ 5 ρ 9 4, ), σε δύο διαστήματα για την οποία ρ,ρ, ώστε Να αποδείξετε ότι υπάρχουν

127 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι (Το διάστημα έχει πλάτος δ 9 και με πλάτη: δ 9 4, δ , οπότε χωρίζω το και ΘΜΤ στα, 5 και 5, ) ΓΔ/69 Α Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο [,5 ] με () = (5) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ρ, ρ (,5) ώστε ( ρ ) + ( ρ ) = (Το διάστημα έχει πλάτος δ 5 4 και 4, οπότε χωρίζω το πλάτη: δ 4, δ και ΘΜΤ στα, 4 και 4,5 ) ΓΔ/7 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : ισχύει: (5) 8 (), σε δύο διαστήματα, 5 σε δύο διαστήματα με για την οποία ξ,ξ,ξ,5 Να αποδείξετε ότι υπάρχουν διαφορετικά ανά δύο ώστε ξ ξ ξ 4 (Το διάστημα έχει πλάτος δ 5 και 6, οπότε χωρίζω το διαστήματα με πλάτη: δ, δ 4 δ ,5 ) 5,9 και,5 σε τρία,5, οπότε ΘΜΤ στα ΓΔ/7 Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο [ αβ,, ] παραγωγίσιμη στο ( αβ, ) και ( α ) = ( β ) να αποδειχθεί ότι υπάρχουν, ( αβ, ) ώστε ( ) ( ) + = (Το διάστημα έχει πλάτος δ β α και, οπότε χωρίζω το πλάτη: δ (β α), δ (β α) οπότε ΘΜΤ στα α β,β ) α,β σε δύο διαστήματα με α β α,α (β α) α, και ΓΔ/7 Αν δύο φορές παραγωγίσιμη στο [, ], και ισχύει: ( ) ( ) + = +, για κάθε [,] ( ) ( ) e ένα τουλάχιστον (,) ξ ώστε: ( ξ ) = :Δείξτε ότι υπάρχει ( ΘΜΤ στα [, ],[, ] και ΘRolle ) ΓΔ/7 Αν δύο φορές παραγωγίσιμη στο [ αβ, ], ( α ) < και ( β ) = ( β ) = : Α) Δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α, β ) ώστε: ( ξ ) < (ΘΜΤ για την και για την ) Β) Δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ρ ( α, β ) ώστε ( ρ ) = ΓΔ/74 Αν δύο φορές παραγωγίσιμη στο [, ] γ <, δείξτε ότι υπάρχει (, ) Αν γ ( α, β ) και () αβ με ( α ) = ( β ) = ξ α β ώστε: ( ξ ) >

128 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι ΓΔ/75 Έστω συνάρτηση συνεχής στο [, ] ( ΘΜΤ) αβ και παραγωγίσιμη στο ( αβ, ) Αν ( α ) = β και ( β ) = α, αποδείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο Αξ (, ( ξ )) της C στο οποίο η εφαπτομένη να είναι κάθετη στην ευθεία ε : y+ = ΓΔ/76 Αν η συνάρτηση είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [,] και ισχύουν : () = () + k και () = () = k, να αποδείξετε ότι υπάρχουν, (,) με και ( ) = ( ) (Υπόδειξη: ΘΜΤ και Rolle) ΓΔ/77 Έστω συνεχής στο [ αβ, ] και παραγωγίσιμη στο (, ) Δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α, β ) ώστε ΓΔ/78 Αν, '( ξ ) = αβ ( α) ( ξ) ξ β g παραγωγίσιμες στο [ αβ, ] με α>, ( α ) = ( β ) =, και ( ) g ( ) για κάθε [ αβ,, ] δείξτε ότι υπάρχει ένα ( ρ) g ( ρ) τουλάχιστον ρ ( α, β ) ώστε + = ( ρ) g( ρ) ρ (Θ Rolle για την ( ) g ( ) h ( ) = ) ΓΔ/79 Aν δύο φορές παραγωγίσιμη στο [ αδ, ], α<β<γ<δ και ( β ) < ( α ) < ( δ ) < ( γ ), να αποδείξετε ότι: Α) Η συνάρτηση έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα (, ) αβ βγ γδ οπότε ρ ( ρ ) ( ρ ) ( ΘΜΤ στα [, ],[, ],[, ] [ ρ, ρ ],[ ρ, ρ ] κτλ) αδ ( ) <, >, <, Bolzano στα Β) Η συνάρτηση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο ( αδ, ) ΓΔ/8 Έστω δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [, ] αβ Αν κανένα από τα ( α), ( β ) δεν είναι η μέγιστη ούτε η ελάχιστη τιμή της στο [ αβ,, ] δείξτε ότι η έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο ( αβ, ) (Αν ( γ ) = m και ( δ ) = M τότε γδ, εσωτερικά του [, ] αβ )

129 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι ΘΜΤ και μονοτονία παραγώγου ΓΔ/8 (Ανισότητα Jensen) Αν συνεχής στο [,5 ] παραγωγίσιμη στο (,5 ) και η είναι γν αύξουσα, δείξτε ότι : () (5) () (4) ΓΔ/8 Να αποδείξετε ότι e < < e για κάθε > + > + (Υπόδειξη: Με ΘΜΤ στο [, ] για την ( ) = e και παίρνοντας υπόψη ότι ) < + < + ΓΔ/8 Να αποδείξετε ότι ln( ) για κάθε > ln( + ) (Υπόδειξη: Είναι < < άρα ΘΜΤ στο [, + ] για την ( ) = ln και παίρνοντας + υπόψη ότι ) ΓΔ/84 Να αποδείξετε ότι + < ln < + για την ( ) = ln και παίρνοντας υπόψη ότι ) ΓΔ/85 Να αποδείξετε ότι για κάθε > ln για κάθε ΓΔ/86 Να αποδείξετε ότι ΓΔ/87 Να δείξετε ότι: ΓΔ/88 Να αποδείξετε ότι συν < ηµ < για κάθε (, π ) < + < για κάθε > + π < εϕ < για κάθε, συν ΓΔ/89 Να αποδείξετε ότι + < e < e + για κάθε < ΓΔ/9 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln, με, Η εφαπτομένη της C στο σημείο της Μ e, (e) ευθεία (η) : y 8 Α) Να βρείτε τον α Β) Να βρείτε τα όρια: lim ( ) και lim ( ) Γ) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία είναι παράλληλη στην Δ) Να αποδείξετε ότι: e για κάθε Ε) Να αποδείξετε ότι: ln ( ) ( ) ln( ) για κάθε ΓΔ/9 Σ' έναν αγώνα δρόμου δύο αθλητές τερματίζουν ταυτόχρονα Αποδείξτε ότι υπάρχει μια τουλάχιστον χρονική στιγμή στη διάρκεια του αγώνα κατά την οποία οι δύο αθλητές είχαν την ίδια ταχύτητα (Υπόδειξη: Έστω (), t gt () το διάστημα που έχουν διανύσει οι δύο αθλητές τη χρονική στιγμή t και εφαρμόστε ΘRolle για την ht () = () t gt ())

130 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι Eφαρμογές των Παραγώγων (Συνέπειες του ΘΜΤ) Τα μαθηματικά σωστά ιδωμένα, κατέχουν όχι μόνο αλήθεια αλλά και εξαιρετική ομορφιά, μια ομορφιά ψυχρή και αυστηρή, όμοια γλυπτού που δεν γοητεύει το αδύνατο μέρος της φύσης μας, χωρίς τις υπέροχες παγίδες της ζωγραφικής και της μουσικής, όμως εξαίσια και καθαρή και ικανή για αυστηρή τελειότητα, τέτοια που μόνο η μέγιστη τέχνη μπορεί να μας προσφέρει Bertrand Russel Σταθερή συνάρτηση ΓE/ Aν για την παραγωγίσιμη συνάρτηση ισχύει: ( ) = ηµ ( ) για κάθε : Α) Δείξτε ότι η συνάρτηση g ( ) ( e ) συν Β) Αν () = βρείτε την = είναι σταθερή ΓE/ Aν για την παραγωγίσιμη συνάρτηση : (, ) ( ) = ( ) για κάθε > : Α) Δείξτε ότι η συνάρτηση g ( ) = ( e ) είναι σταθερή Β) Αν () = βρείτε την + ισχύει: ΓE/ Έστω μια συνάρτηση : (, π) η οποία είναι παραγωγίσιμη και ισχύουν ( ) = σϕ ( ) για κάθε (, ) π = Α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση Β) Να βρείτε τον τύπο της ( ) g ( ) = είναι σταθερή ηµ π και ΓE/4 Έστω δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο και F( ) = ( ) + [ ( ) ] Αν για κάθε ισχύει ( ) + ( ) = δείξτε ότι η F είναι σταθερή Βρείτε επίσης τον τύπο της αν () = και () = ΓE/5 Aν για την παραγωγίσιμη συνάρτηση ισχύει: ( ) = ( ) για κάθε : Α) Δείξτε ότι η συνάρτηση g ( ) = ( ) + ( ) είναι σταθερή (Στη δοσμένη θέστε όπου το )

131 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι Β) Αν () = βρείτε την g ΓE/6 Aν για τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις, g () =, ( ) = g ( ), g ( ) = ( ) τότε: g ισχύουν: () =, i) Δείξτε ότι η συνάρτηση h ( ) = ( ) g( ) είναι σταθερή ii) Δείξτε ότι ( ) = g ( ) iii) Βρείτε τις, g ( ( ) g( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = + = και πολλ με το ΓE/7 Βρείτε την παραγωγίσιμη συνάρτηση αν ( ) = ( ) για κάθε και () = (Πολλαπλασιάστε επί ) ΓE/8 Aν παραγωγίσιμη, ( ) ( ) = για κάθε και () =, βρείτε την συνάρτηση ΓE/9 Aν g ( ) = ( e ) και ( ) = ( ) για κάθε, τότε δείξτε ότι η g είναι σταθερή και βρείτε την αν είναι () = ΓE/ Βρείτε την παραγωγίσιμη συνάρτηση : και () ( ) ( ) e ΓE/ Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : ισχύει: ( )e και η εφαπτομένη της αν ισχύει: για την οποία C στο σημείο της Α, () τέμνει τον άξονα στο σημείο με τετμημένη Βρείτε: Α) Την εξίσωση της εφαπτομένης Β) Τον τύπο της ΓE/ Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : ισχύει: για την οποία e e ( ) ( ) για κάθε Αν η εφαπτομένη της e Α, () διέρχεται από το σημείο Β(,) να βρείτε: C στο σημείο της Α) Την εξίσωση της εφαπτομένης Β) Τον τύπο της ΓE/ Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση :, για την ( ) οποία ισχύει: ( ) για κάθε και () ( ) Α) Δείξτε ότι η συνάρτηση g ( ) είναι σταθερή στο, Β) Βρείτε τον τύπο της Γ) Δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ, ώστε: ξ (ξ) e e )

132 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι Μονοτονία ΓE/4 Βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας των συναρτήσεων: A) ( ) = 4+ B) ( ) = Γ) ( ) = e Δ) ( ) = + Ε) ( ) = ΣΤ) ( ) = ln Ζ) ( ) = e Η) ( ) = ηµ ΓE/5 Μελετήστε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: Α) ( ) = Β) ( ) + = + Γ) ( ) = 4 4 Δ) ( ) Ε) ( ) ln 5 4ln ΓE/6 Βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας των συναρτήσεων:, Α) ( ) = Β) ( ) = +, > ΓE/7 Βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες η συνάρτηση ( ) = +α + είναι γνησίως αύξουσα στο Επίσης αποδείξτε ότι η ( ) = έχει ακριβώς μία λύση στο (,), αν <α< e ΓΕ/8 Δίνεται η συνάρτηση ( ) = + Α) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία Β) Να αποδείξετε ότι e + για κάθε ΓΕ/9 Α) Να αποδείξετε ότι e για κάθε Β) Αν ( ) > για κάθε, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ( ) h ( ) = e ( ) είναι γνησίως αύξουσα στο ΓΕ/ Αν για τη συνάρτηση g ισχύει ότι ( g ) ( ) g ( ) [,] να δείξετε ότι g () > < για κάθε +λ ΓΕ/ Για ποιες τιμές του λ η συνάρτηση ( ) = + γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα του πεδίου ορισμού της ΓΕ/ Έστω η συνάρτηση ( ) e είναι = Μελετήστε την ως προς τη μονοτονία και αποδείξτε ότι η ( ) = έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα (, + )

133 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι ΓΕ/ Αν για την ισχύει ( ) ( ) < για κάθε Μελετήστε την μονοτονία της g ( ) = e ( ), Αν () = α, να αποδειχθεί ότι ( ) >α e για κάθε > ΓΕ/4 Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [,] με < ( ) < και ( ) > για κάθε [,], να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) = e ( ) έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα (,) 5 ΓΕ/5 Δίνεται η συνάρτηση ( ) = +µ + ( µ+ ) όπου η παράμετρος µ διατρέχει το Α) Αποδείξτε ότι η είναι γνησίως αύξουσα Β) Βρείτε τα lim ( ), lim ( ) και το σύνολο τιμών της + Γ) Αποδείξτε ότι η ( ) = έχει ακριβώς μια λύση στο ΓΕ/6 Α) Μελετήστε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση ( ) ln = + και λύστε την ανίσωση ( ) ln ln < Β) Μελετήστε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση g ( ) = e + ΓΕ/7 Βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης ( ) και να αποδείξετε ότι e για κάθε (, + ) Ακρότατα = e ΓΕ/8 Βρείτε τα τοπικά ακρότατα των συναρτήσεων: 4 Α) ( ) = Β) ( ) = 4 Γ) ( ) = Δ) ( ) = Ε) ( ) = ΣΤ) ( ) = + + ΓΕ/9 Βρείτε τα τοπικά ακρότατα των συναρτήσεων: 4 + < Α) ( ) = Β) ( ) = , <, ΓΕ/Βρες τα αβ, ώστε η γραφική παράσταση της ( ) = + α β+ να έχει ακρότατο για = και η εφαπτομένη ( ) στο σημείο, ( ) εϕθ = Μ σχηματίζει με τον άξονα ' γωνία θ ώστε

134 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι α ΓΕ/ Δίνεται η συνάρτηση ( ) = + +β που μηδενίζεται στο = και παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο = Α) Βρείτε τα α, β Β) Βρείτε το είδος του ακροτάτου και την τιμή του ΓΕ/ Βρείτε τα, α β ώστε η ( ) =α ln +β + να παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία = και = Στη συνέχεια να βρείτε τις τιμές αυτών των ακροτάτων ΓΕ/ Βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς αβ, ώστε η συνάρτηση ( ) =α +β 6+ να δέχεται τοπικά ακρότατα στα σημεία = και = Μελετήστε κατόπιν τη μονοτονία της συνάρτησης ΓΕ/4 Α) Αν ( ) ( ) v y y για κάθε y, και v θετικός ακέραιος, αποδείξτε ότι η είναι σταθερή συνάρτηση (Υπόδειξη: Είναι ΓΕ/5Β) Aν ( ) ( y) + ( y) ( ) ( y) v y y συν για κάθε y,, αποδείξτε ότι η είναι σταθερή συνάρτηση ΓΕ/6Από όλα τα ορθογώνια με περίμετρο m να βρείτε εκείνο που έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν ΓΕ/7 Από όλα τα ορθογώνια με εμβαδόν 6m να βρείτε εκείνο που έχει τη μικρότερη περίμετρο ΓΕ/8 Να βρείτε το σημείο της παραβολής με εξίσωση τη μικρότερη απόσταση από την ευθεία y = ΓΕ/9 Έστω σημείο ( y, ) y = έχει Μ του ου τεταρτημόριου της γραφικής παράστασης της ( ) = Από το Μ φέρνω παράλληλες προς τους άξονες και yy που τους τέμνουν στα σημεία ΑΒ, Βρείτε το Μ ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου ΟΑΜΒ να είναι μέγιστο ΓΕ/4 Nα βρείτε το σημείο της παραβολής y = που απέχει από το σημείο Α (,) τη μικρότερη δυνατή απόσταση Πλήθος ριζών ΓΕ/4 Δείξτε ότι η εξίσωση: στο (,) ln + = έχει ακριβώς μία ρίζα )

135 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι ΓΕ/4A) Να δειχθεί ότι η εξίσωση + ln = έχει μία ακριβώς λύση στο διάστημα, e ΓΕ/4 Δίνεται η εξίσωση 4e + + =, Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της στο διάστημα (,) ΓΕ/44 Η συνάρτηση :[,] [,] είναι συνεχής στο [,] και γνησίως φθίνουσα Δείξτε ότι η εξίσωση ( ) = έχει μία ακριβώς ρίζα στο [,] ΓΕ/45 Δείξτε ότι η εξίσωση π διάστημα, ηµ = + έχει μία μόνο ρίζα στο ΓΕ/46 Βρείτε το πλήθος των ριζών της 5 και το πλήθος των ριζών της ( ) = ΓΕ/47 Βρείτε το πλήθος των ριζών της το πλήθος των ριζών της g ( ) = 6 ( ) = + + καθώς g ( ) = + καθώς και ΓΕ/48 Βρείτε το πλήθος των ριζών της h ( ) = + καθώς και το πλήθος των ριζών της h ( ) = 4 4 ΓΕ/49 Δίνεται η συνάρτηση ( ) = + ( ), Α) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία Α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της 4 4 Β) Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης λ +λ( ) =, λ ΓΕ/5 Έστω η συνάρτηση ( ) = e + + ln Α) Nα εξετάσετε την ως προς την μονοτονία Β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της Γ) Να δείξετε ότι η έχει μία ακριβώς ρίζα στο (,) ΓΕ/5 Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει: ( ) ( ) ( ) e + + = e για κάθε Α) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία Β) Να λύσετε την εξίσωση ( ) =

136 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι Γ) Να βρείτε το πρόσημο της ΓΕ/5 Αν : [, ] συνεχής και + ( ) = 4 για κάθε [,] και η C τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Α (,) : Α) Βρείτε τις ρίζες της Β) Δείξτε ότι ( ) > για κάθε (,) ( ) Γ) Βρείτε τον τύπο της Δ) Υπολογίστε το όριο: lim ηµ ηµ ΓΕ/5 Λύστε την + 4 = 5 με Μονοτονία με ανώτερες παραγώγους ΓΕ/54 Μελετήστε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση: ( ) = 6e + 6 ΓΕ/55 Μελετήστε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση: ( ) = e + ΓΕ/56 Μελετήστε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τη 4 συνάρτηση: ( ) = 4e ΓΕ/57 Αν ( ) ( ) ln ( ) = + μελετήστε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ΓΕ/58 Αν ( ) = e μελετήστε την ως προς τη 6 μονοτονία και τα ακρότατα και λύστε την εξίσωση: ( ) = ΓΕ/59 Μια συνάρτηση είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο, () = () = () = και ( ) > για κάθε {} α) Μελετήστε τη μονοτονία της και β) Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις ( ) = και ( ) = έχουν μοναδική ρίζα ΓΕ/6 Μελετήστε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση ( ) = e + e + και λύστε την εξίσωση: ( ) = ΓΕ/6 Aν ( ) = ln + + λύστε την εξίσωση: 6 ( ) = ΓΕ/6 Να λυθεί η εξίσωση 6 ln = (Υπόδειξη: ( ) = 6 ln + 6 βρείτε τις η, η και η παράγωγο και παρατηρήστε ότι () = )

137 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι ΓΕ/6 Μελετήστε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις ln e συναρτήσεις: ( ) = +, g ( ) =, h ( ) = ln ln ln( + e ) ϕ ( ) =, k ( ) = e ΓΕ/64 Αν η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [ ], με ( ) > για κάθε (,) και () = () =, να αποδείξετε ότι ( ) < για κάθε (,) (Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε το Θ Rolle) Θ Fermat ΓΕ/65 Αν α + α για κάθε δείξτε ότι α= ΓΕ/66 Αν +αln για κάθε ΓΕ/67 Αν ( ) e ΓΕ/68 A) Αν για κάθε ισχύει (Yπόδειξη: με ΘFermat) > να δειχθεί ότι α= α+ α+ για κάθε να βρείτε το α α + δείξτε ότι α= e Β) Αν για κάθε (, + ) ισχύει ln α +α να βρεθεί το α ΓΕ/69 Αν ln α για κάθε >, να αποδείξετε ότι α= ΓΕ/7 Αν για κάθε > ισχύει α α+ eln δείξτε ότι α= e ΓΕ/7 Αν <α και για κάθε > ισχύει α α δείξτε ότι α= e ΓΕ/7 Αν α> και για κάθε > ισχύει δείξτε ότι α= e ΓΕ/7 Αν, αβ = α α ν με ν ν αβ> και α +β για κάθε, να αποδείξετε ότι ΓΕ/74 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση :, για την οποία ισχύει ( ) + ln( + ) για κάθε > Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της διέρχεται από την αρχή των αξόνων ΓΕ/75 Αν,, αβγ θετικοί αριθμοί και για κάθε ισχύει : α +β +γ δείξτε ότι αβγ,, διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου ΓΕ/76 Αν, g παραγωγίσιμες στο = α, ( α ) = g( α ) και ( ) g ( ) για κάθε, αποδείξτε ότι οι C και C g έχουν παράλληλες εφαπτόμενες στα σημεία τους με τετμημένη = α

138 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι ΓΕ/77 Δίνεται η συνάρτηση ( ) e ln( ) = +, > Α) Μελετήστε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα (βρείτε την ) Β) Βρείτε τα σημεία όπου η C τέμνει τον άξονα ' Γ) Αποδείξτε ότι + ln( + ) e για κάθε > Δ) βρείτε το σύνολο τιμών της Ε) Αν α + ln( + ) για κάθε > δείξτε ότι α= e ΓΕ/78 Αν 4 ( ) + συν για κάθε και η C διέρχεται από το Ο (,) να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της C στο Ο (,) ταυτίζεται με τον άξονα ΓΕ/79 Βρες τον log α (Υπόδειξη: α α α ) α> αν log α για κάθε (, ) + α +β ΓΕ/8 Αν ( ) = ln με αβ>, και α β και ( ) κάθε να δείξετε ότι αβ = ΓΕ/8 Αν παραγωγίσιμη στο, () e για = και ( ) για κάθε, βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο της Α (, ()) ΓΕ/8 H συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο Αν ( ) = + 7 και η διαφορά g ( ) ( ) γίνεται ελάχιστη για =, τότε : Α) Αποδείξτε ότι οι εφαπτόμενες των C, C στα σημεία τους Α (, () ) και (, g() ) Β είναι παράλληλες Β) Να βρείτε την εφαπτομένη της C g στο Β, αν g () = 4 ΓΕ/8 Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και για κάθε ( ) ισχύει: + = e + ( ), να αποδείξετε ότι η δεν παρουσιάζει ακρότατο ΓΕ/84 Δείξετε ότι αν για μια συνάρτηση που είναι παραγωγίσιμη 5 στο ισχύει η συνθήκη [ ( )] + ( ) = + + για κάθε, τότε η δεν έχει ακρότατα ΓΕ/85 Aν ( ) = e : Α) Μελετήστε την ως προς τη μονοτονία Β) Βρείτε το σύνολο τιμών της g

139 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι Γ) Δείξτε ότι η C τέμνει τον σε ένα ακριβώς σημείο Δ) Δείξτε ότι η εξίσωση e = + e έχει μοναδική λύση ΓΕ/86 Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει η σχέση ( ) + ( ) = e, για κάθε : Α) Δείξτε ότι η είναι γν φθίνουσα στο ln = Β) Λύστε την εξίσωση ( ) ( ) * ΓΕ/87 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : + για την οποία ισχύει ( ) ln ( ) = e για κάθε Μελετήστε την ως προς τη μονοτονία ΓΕ/88 Aν ( ) = 4 k + k, τότε: Α) Δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) ώστε ( ) = ( ΘRolle) Β) Δείξτε ότι υπάρχει μία τουλάχιστον λύση της εξίσωσης ( ) στο διάστημα (, ) Γ) Αν k > δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) ( ξ ) < (ΘΜΤ) (ΘΒοlzano) ξ ώστε ln = ΓΕ/89 Αν μονότονη και παραγωγίσιμη με μονότονη παράγωγο στο, (5) = 4, (5) = και η παρουσιάζει στο = ακρότατο βρείτε την τιμή του ακροτάτου () = () () =,αλλά () κτλ) (Υπόδειξη: ( ) ( ) ΓΕ/9 H συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [,] και ισχύει ( ) > για κάθε (,) Αν () = και () = 4 να δείξετε ότι: Α) Η ευθεία y = τέμνει τη γραφική παράσταση της σ' ένα ακριβώς σημείο με τετμημένη (,) Β) Υπάρχει (,) ώστε: ( ) = Γ Υπάρχει (,) της στο σημείο, ( ) (Υπόδειξη: Με Θ ενδιαμέσων τιμών), ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης ( ) Μ να είναι παράλληλη στην ευθεία y = + (Υπόδ: με ΘΜΤ) ( ο θέμα Πανελλαδικών )

140 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι ΓΕ/9 Έστω μια συνάρτηση : η οποία είναι παραγωγίσιμη και ισχύει ( ) + ( ) = e + για κάθε Να εξετάσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ΓΕ/9 Για κάθε κ δίνεται η συνάρτηση ( ) = κ +, Α) Να βρείτε τη τιμή του κ για την οποία η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο Α (, () ) είναι παράλληλη στον άξονα Β) Για κ= Β) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα Β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της στο διάστημα (,) Β) για κάθε α (4,5) να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) =α 5 έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα (,) ΓΕ/9 Για μια συνάρτηση που είναι παραγωγίσιμη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, ισχύει ότι: ( ) + β ( ) + γ ( ) = + 6 για κάθε,όπου βγ, πραγματικοί αριθμοί με β < γ α Να δείξετε ότι η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα β Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα γ Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδική ρίζα της εξίσωσης ( ) = στο ανοικτό διάστημα (,) ( ο θέμα Πανελλαδικών ) + ΓΕ/94 Δίνεται η συνάρτηση ( ) = ln α Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης β Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) = έχει ακριβώς δύο ρίζες στο πεδίο ορισμού της γ Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g ( ) ln Αα,ln α με α> και η εφαπτομένη της = στο σημείο ( ) γραφικής παράστασης της συνάρτησης h ( ) = e στο σημείο (,e β ) Ββ με β ταυτίζονται, τότε να δείξετε ότι ο αριθμός α είναι ρίζα της εξίσωσης ( ) = (4 ο θέμα Πανελλαδικών 6) ΓΕ/95 Δίνεται η συνάρτηση ( ) = + Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού, τα διαστήματα μονοτονίας, τα ακρότατα και το σύνολο τιμών της

141 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παράγωγοι Β) Με τη βοήθεια του πεδίου τιμών βρείτε το διάστημα στο οποίο κινείται το α, ώστε η εξίσωση: + = α 6 να έχει μία τουλάχιστον λύση ΓΕ/96 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : και ( ) ισχύει: () για την οποία για κάθε Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: ( ) ( ) έχει μία τουλάχιστον λύση στο (,) (Αν τότε g ( ) κτλ και θεωρούμε h( ) ( ) ( ) ) g ( ) ( ) ln, > ΓΕ/97 Δίνεται η συνάρτηση ( ) =, = A) Nα αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο Β) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση και να βρείτε το σύνολο τιμών της Γ) Να βρείτε το πλήθος των διαφορετικών θετικών ριζών της εξίσωσης α = e για όλες τις πραγματικές τιμές του α (Λογαριθμούμε την εξίσωση) Δ) Να αποδείξετε ότι ισχύει: ( + ) > ( + ) ( ), για κάθε > (με ΘΜΤ) (Θέμα Πανελληνίων)

142 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Κυρτότητα Ασύμπτωτες De L Hospital Κυρτότητα-Σημεία καμπής "Συχνά λέω ότι όταν μπορείς να μετρήσεις αυτό για το οποίο μιλάς και να το εκφράσεις με αριθμούς ξέρεις κάτι γι' αυτό Αλλά όταν δεν μπορείς να το μετρήσεις, όταν δεν μπορείς να το εκφράσεις με αριθμούς, η γνώση σου είναι πενιχρή και μη ικανοποιητική Μπορεί να είναι το ξεκίνημα της γνώσης, αλλά έχεις μόλις και μετά βίας προχωρήσει στο στάδιο της επιστήμης " Lord Kelvin ΓZ/ A) Δίνεται η συνάρτηση ( ) = Βρείτε την, να μελετήσετε την ως προς την κυρτότητα και βρείτε τα σημεία καμπής της, αν υπάρχουν 4 B) Όμοια για την: ( ) = Γ) Όμοια για την: ( ) = Δ) Όμοια για την: ( ) = 6e Ε) Όμοια για την: ( ) = ΓZ/ Δίνεται η ( ) = ln Μελετήσετε την ως προς την κυρτότητα και βρείτε τα σημεία καμπής της, αν υπάρχουν ΓZ/ Έστω συνάρτηση : [, 6] Στο διπλανό σχήμα είναι η γραφ παράσταση της Προσδιορίστε τα διαστήματα στα οποία η είναι γν αύξουσα, γν φθίνουσα,κυρτή, κοίλη και τις θέσεις των τοπικών ακροτάτων και των σημείων καμπής ΓZ/4 Έστω συνάρτηση : [, 6] Στο διπλανό σχήμα είναι η γραφ παράσταση της Προσδιορίστε τα διαστήματα στα οποία η είναι γν αύξουσα, γν φθίνουσα,κυρτή, κοίλη και τις θέσεις των τοπικών ακροτάτων Βρείτε επίσης τα σημεία καμπής στο διάστημα [,4] ΓZ/5 Αποδείξτε ότι οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της 4 συνάρτησης ( ) = + + στα σημεία καμπής της είναι κάθετες μεταξύ τους K Aδαμόπουλος

143 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Κυρτότητα Ασύμπτωτες De L Hospital ΓZ/6 Βρείτε τις τιμές των α, β, ώστε η συνάρτηση ( ) =α +β 6+ 5 να έχει στο σημείο = τοπικό ακρότατο και η γραφική παράσταση της ΓZ/7 Για ποιες τιμές του α η C να έχει σημείο καμπής το Μ, ( ) =α 6α + 5 α έχει θέση σημείου καμπής στο ; 4 ΓZ/8 Έστω η συνάρτηση ( ) =α 4α + 6(α ) 4+ με α Να βρείτε για ποιες τιμές του α η C έχει σημείο καμπής στο = ΓZ/9 Δίνεται η ( ) = α α+ + 7 Βρείτε το α ώστε η C να έχει σημείο καμπής στο = και στη συνέχεια να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία, τα τοπικά ακρότατα και τα κοίλα ΓZ/ Δείξτε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης 4 () = + 4α + α 4α+ 5 +α +, α δεν έχει σημεία ( ) καμπής ΓZ/ Δείξτε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) =α +β +γ +δ με α και β = αγ δέχεται στο σημείο καμπής της οριζόντια εφαπτομένη e ΓZ/ Αποδείξτε ότι η συνάρτηση ( ) = είναι κυρτή στα διαστήματα (,) και (, + ) (Υπόδειξη : Θέστε g ( ) τον αριθμητή της '' και μελετήστε τον ξεχωριστά ) ΓZ/ Έστω η συνάρτηση ( ) = α + 5α 6α + α α Να αποδειχθεί ότι για κάθε α η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει ένα ακριβώς σημείο καμπής, το οποίο κινείται σε μια παραβολή ΓZ/4 Αποδείξτε ότι τα σημεία καμπής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( ) =αe, α>, βρίσκονται για κάθε τιμή του α σε μια παραβολή την οποία και να προσδιορίσετε ΓZ/5 Αν η : ισχύει:( ) ( ) είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και ( ) + ( ) + ( ) = e + για κάθε, να δείξετε K Aδαμόπουλος

144 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Κυρτότητα Ασύμπτωτες De L Hospital ότι: Α) Υπάρχει ακριβώς ένα σημείο της γραφικής παράστασης της με οριζόντια εφαπτομένη Β) η είναι κυρτή στο ΓZ/6 Αν η συνάρτηση : είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ( ) ικανοποιεί τη σχέση: ( ) + e = + e για κάθε να αποδείξετε ότι : Α) Η γραφική παράσταση της δεν έχει σημεία καμπής Β) Η έχει ακριβώς ένα κρίσιμο σημείο τοπικού ακροτάτου ΓZ/7 Έστω g μια συνάρτηση δυο φορές παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει ( ) g ( ) = 5 g ( ) e α + για κάθε και <α Να αποδείξετε ότι η C g δεν έχει σημεία καμπής ΓZ/8Αν η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο με ( ) + ( ) = + για κάθε, να αποδείξετε ότι η δεν έχει σημεία καμπής ΓZ/9 Δίνεται η συνάρτηση θετική και δυο φορές παραγωγίσιμη στο Αν η g ( ) = ln ( ) έχει θετική δεύτερη παράγωγο, αποδείξτε ότι οι λ συναρτήσεις και ϕ ( ) = e ( ), λ είναι κυρτές ΓZ/ Αν ( ) ln = : A) Δείξτε ότι η είναι κυρτή στο (, + ) Β) Βρείτε την εφαπτομένη της C στο Α( α, ( α )) με α> α Γ) Αν α> δείξτε ότι για κάθε (, + ) ισχύει: ln + ln α+ ΓZ/ Αν η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο με ( ) < για κάθε, και η εφαπτομένη της g g ( ) e ( ) =, να αποδείξετε ότι για κάθε C στο σημείο της Μ (, g ( )) βρίσκεται «κάτω» από την C g ΓZ/ Αν η συνάρτηση είναι κοίλη στο, να αποδείξετε ότι ( ) ( α)( α ) + ( α ) για κάθε, όπου α τυχαίος πραγματικός αριθμός Ποια η γεωμετρική σημασία αυτού του συμπεράσματος; (Υπόδειξη: Με την ιδιότητα της εφαπτομένης κοίλης συνάρτησης ή με ΘΜΤ και μονοτονία παραγώγου) ΓZ/ Έστω : συνάρτηση με την ιδιότητα: ( ) ( + + ) ( ) + e = για κάθε Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της έχει ένα ακριβώς σημείο καμπής (Υπόδειξη: αποδείξτε ότι στο = έχω σημείο καμπής ) K Aδαμόπουλος

145 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Κυρτότητα Ασύμπτωτες De L Hospital ΓZ/4 Αν η συνάρτηση είναι τρείς φορές παραγωγίσιμη στο και ισχύουν () = () = και () ( ) > για κάθε, να δείξετε ότι: Α) η είναι γνησίως αύξουσα στο Β) η είναι κυρτή στο [, + ) και κοίλη στο (,] ΓZ/5 Έστω παραγωγίσιμη και κοίλη συνάρτηση στο διάστημα = [,] Δείξτε ότι () + () < () (Υπόδειξη: Με δύο ΘΜΤ) ΓZ/6 Α) Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη και κυρτή στο διάστημα [ αβ, ] και ( α ) = ( β ), να αποδείξετε ότι ( ) < ( α ) για κάθε ( αβ, ) (Υπόδειξη: Rolle και μονοτονία) Β) Αν αβ>, και, δείξτε ότι α β α + ( ) β (Υπόδ: Χρησιμοποιείστε το Α για την : α ( ) = ( ) = ( ) α β α β β α β ) β ΓZ/7 Α) Mελετήστε ως προς την κυρτότητα την: ( ) = ln( ln ) Β) Αποδείξτε ότι ln + y ln ln y για κάθε y, (, + ) ΓZ/8 Αν η κυρτή στο και () (Υψώνουμε στο τετράγωνο παίρνουμε τα ln και μετά ΘΜΤ) = βρείτε το πρόσημο της g( ) = ( ) ( ) (Αν < με ΘΜΤ στο [ ] ώστε, υπάρχει ( ) ( ) =, οπότε < < ( ) < ( ) κτλ και όμοια αν > ) 4 ΓZ/9 Δίνεται η συνάρτηση ( ) = e + Α) Να μελετήσετε την ως προς την κυρτότητα Β) Να βρείτε την εφαπτομένη της C στο σημείο της Α (, ()) 4 Γ) Να αποδείξετε ότι e + για κάθε ΓZ/ Δίνεται η συνάρτηση : δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύει ότι ( ) + ( ) > ( ) για κάθε Επίσης η εφαπτομένη της Α, () έχει εξίσωση y = + 5 C στο σημείο της ( ) Α) Αποδείξτε ότι η συνάρτηση g ( ) = e ( ) είναι κυρτή στο Β) Να βρείτε την εφαπτομένη της C g στο σημείο της Β (, g() ) Γ) Δείξτε ότι ( ) e (5 ) για κάθε K Aδαμόπουλος

146 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Κυρτότητα Ασύμπτωτες De L Hospital Κανόνας De L'Hospital - Ασύμπτωτες ΓZ/ Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α) lim e Β) lim Γ) lim + συν ηµ συν + ηµ Δ) lim Ε) lim e ΓZ/ Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: ln( + ) ( + + ) ln Α) lim Β) lim + ln( + ) + e + ηµ Γ) lim Δ) lim ηµ + ΓZ/ Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: e e + ln Α) lim Β) lim Γ) lim ηµ + + ln ΓZ/4 Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: e + Α) lim Β) lim ηµ ηµ Γ) lim ln Δ) lim σϕ + + Ε) lim ln ΣΤ) lim e Ζ) lim e + ΓZ/5 Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β και γ ώστε α e +β e +γ lim = 4 ηµ ΓZ/6 Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α και β ώστε να είναι +α e +β + 4 πραγματικός αριθμός το lim + ΓZ/7 Βρείτε τα όρια: Α) lim ( ln ) Β) lim ( e ) + + Γ) lim ( e e ) Δ) lim ( ) Ε) lim ( ln + + ) ΣΤ) lim ( e ln ) Ζ) lim ( ln ηµ e ) Η) lim Θ) lim K Aδαμόπουλος

147 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Κυρτότητα Ασύμπτωτες De L Hospital ΓZ/8 Βρείτε τις ασύμπτωτες των: ( ) =, g ( ) = + + ΓZ/9 Βρείτε τις ασύμπτωτες των : ( ) =, g ( ) = ΓZ/4 A) Βρείτε τις ασύμπτωτες της: ( ) = + + B) Όμοια για την g ( ) = ΓZ/4 Βρείτε τις ασύμπτωτες της : ( ) = 4+ 4 ΓZ/4 A) Βρείτε τις ασύμπτωτες της : ( ) = + + B) Όμοια της ( ) = 5e ΓZ/4 Βρείτε τις ασύμπτωτες της : ( ) = e, < ΓZ/44 Βρείτε τις ασύμπτωτες της : ( ) = +, + ΓZ/45 Βρείτε τις ασύμπτωτες της : ( ) = Όμοια για την ( ) = 4+ α +β + ΓZ/46 Δίνεται η συνάρτηση ( ) = Να βρείτε τις τιμές των αβ, ώστε η ευθεία y = + να είναι ασύμπτωτη της C στο + ( α ) +β + 5 ΓZ/47 Δίνεται η συνάρτηση ( ) = +γ Βρείτε τους αβγ,,, ώστε η γραφ παράσταση της να έχει ως ασύμπτωτες τις ευθείες με εξισώσεις = και y = με α, β, γ ΓZ/48 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει στο + ασύμπτωτη την ευθεία με εξίσωση y = 4+, να υπολογίσετε το όριο lim ( + ) ( ) ηµ L = + ( ) ( ) ( ) K Aδαμόπουλος

148 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΓZ/49 Αν η ευθεία : y παράστασης της και β= Κυρτότητα Ασύμπτωτες De L Hospital ε = +β είναι ασύμπτωτη της γραφικής ( α+ ) α + ( ) = στο + να δείξετε ότι α= 5 ( ) (Υπόδειξη: Πρέπει lim = και lim ( ( ) ) ΓZ/5 Αν η ευθεία : y = β ) ε = + είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της : στο +, να βρεθούν οι τιμές του α ώστε α ( ) + 6 lim = + ( ) ΓZ/5 Η ευθεία ( ): y 4 ε = + είναι πλάγια ασύμπτωτη στο + της γραφικής παράστασης της συνάρτησης Να βρείτε τα όρια: ( ) 4 ( )( + ) 4 Α) lim Β) lim + ( ) + ΓZ/5 Να βρεθεί η συνεχής συνάρτηση : που ικανοποιεί τη ηµ σχέση: ( ) + e = ( ) ηµ + e για κάθε ΓZ/5 Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β και γ ώστε οι ευθείες με εξισώσεις = και y = 4 να είναι ασύμπτωτες της γραφικής ( α ) +β γ + παράστασης της συνάρτησης ( ) = +γ α + 6 ΓZ/54 Δίνεται η συνάρτηση ( ) = Να βρεθεί το α 4+ ώστε η C να έχει μια μόνο κατακόρυφη ασύμπτωτη α +β + 5 ΓZ/55 Δίνεται η συνάρτηση ( ) = Να βρεθούν οι τιμές των α, β ώστε η C να έχει ασύμπτωτη στο + την ευθεία με εξίσωση y = + Ποιες άλλες ασύμπτωτες έχει η C ; ΓZ/56 Η ευθεία y 7 = είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης στο ( ) α) Να βρείτε τα όρια: lim και lim [ ( ) ] α ( ) + 4 β) Να βρείτε το α για το οποίο lim = ( ) + K Aδαμόπουλος

149 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Κυρτότητα Ασύμπτωτες De L Hospital ΓZ/57 Μια συνάρτηση έχει για κάθε την ιδιότητα + + < ( ) < Δείξτε ότι η C έχει πλάγια ασύμπτωτη ΓZ/58 Μια συνάρτηση : (, ) ln ιδιότητα + ( ) + e + e ασύμπτωτες της C ΓZ/59 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : + έχει για κάθε την Βρείτε τις με lim ( ) = ± Αν g ( ) = ( ) +, να βρείτε τις ασύμπτωτες της C g ΓZ/6 Αφού μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα την ( ) = + ln, βρείτε το πλήθος των ριζών και τις ασύμπτωτες ΓZ/6 Δίνεται η συνάρτηση ( ) = ln ln + Α) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα Β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της και το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης ( ) = ( ) Γ) Εξετάστε αν η έχει ασύμπτωτες Δ) Υπολογίστε το lim ( ) ΓZ/6 Aν ( ) ln ln =, (, ) +, τότε Α) Μελετήστε την ως προς τη μονοτονία και βρείτε τα ακρότατα, το σύνολο τιμών και τον αριθμό των ριζών της Β) Δείξτε ότι: ln ln e 4 Γ) Μελετήστε την ως προς την κυρτότητα και βρείτε τα σημεία καμπής Δ) Βρείτε τις ασύμπτωτες της C ΓZ/6 A) Aν η συνάρτηση έχει συνεχή η παράγωγο δείξτε ότι ( + h) ( ) + ( h) ισχύει: lim = ( ) h h B) Λύστε την ίδια άσκηση χωρίς να δίνεται ότι η η παράγωγος είναι συνεχής K Aδαμόπουλος

150 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Κυρτότητα Ασύμπτωτες De L Hospital ΓZ/64 Η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και η είναι συνεχής στο = Αν () = () = και (), να αποδείξετε ότι ηµ + ( ) lim = ( e ) '( ) αν και μόνο αν () = (Υπόδειξη: Εφαρμόζουμε De l Hospital και διαιρούμε αριθμητή και παρονομαστή με ) ΓZ/65 Aν συνεχής στο = με () = ώστε y ( + y) = e ( y) + e ( ) για κάθε y, ( ) Α) Δείξτε ότι () = και lim = Β) Δείξτε ότι η είναι συνεχής στο Γ) Αν η είναι παραγωγίσιμη στο να αποδείξετε ότι ( ) = e + ( ) για κάθε Δ) Βρείτε τον τύπο της (Παραγωγίστε με σταθερό) Ε) Βρείτε την ασύμπτωτη της C στο ΓZ/66 Δίνεται η συνάρτηση ( ) = Α) Την ασύμπτωτη (ε) της C στο + Β) Τα σημεία τομής της (ε) και της C ΓZ/67 Αν ( ) e + + ηµ + Να βρείτε: = + συν : Α) Δείξτε ότι η ευθεία ( ε ): y = είναι πλάγια ασύμπτωτη της C στο Β) Δείξτε ότι οι C και ( ε ) έχουν άπειρα κοινά σημεία ΓZ/68 Να μελετηθoύν και να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις: Α) ( ) = Β) ( ) = Γ) ( ) = 4 Δ) ( ) Ε) ( ) 4 ΣΤ) ( ) ΓZ/69 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύουν: () και ( ) ( ) e για κάθε Α) Βρείτε τον τύπο της Β) Μελετήστε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα Γ) Μελετήστε την ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής Δ) Βρείτε τις ασύμπτωτες της C K Aδαμόπουλος

151 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Ε) Να σχεδιάσετε τη C (Δίνονται:, 4 ΓZ/7 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : Κυρτότητα Ασύμπτωτες De L Hospital e και, e ) για την οποία ισχύουν: () ( ) και ( ) ( ) για κάθε Α) Βρείτε τον τύπο της Β) Μελετήστε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα Γ) Μελετήστε την ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής Δ) Βρείτε τις ασύμπτωτες της C Ε) Να σχεδιάσετε τη C (Δίνεται:, 7 ) ΓZ/7 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση :, οποία ισχύουν: (e) e και ( ) ( ) για κάθε, για την Α) Βρείτε τον τύπο της Β) Μελετήστε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα Γ) Μελετήστε την ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής Δ) Βρείτε τις ασύμπτωτες της C Ε) Να σχεδιάσετε τη C (Δίνονται: ΣΤ) Να βρείτε ο πλήθος των λύσεων της εξίσωσης τις διάφορες τιμές του, e,,7 e,,6 e,, e e ) e στο, για Μην εκτιμάς το χρήμα ούτε περισσότερο ούτε λιγότερο απ ό,τι του αξίζει Είναι πολύ καλός υπηρέτης, αλλά πολύ κακός αφέντης Αλέξανδρος Δουμάς K Aδαμόπουλος

152 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατ/νσης) Σ-Λ Παράγωγοι Παράγωγοι Ερωτήσεις Θεωρίας (Σωστού Λάθους) ( ) ( ) ( h) ( ) Αν lim = ( ), τότε lim = ( ) h Σ - Λ Αν οι συναρτήσεις και g δεν είναι παραγωγίσιμες στο τότε και η συνάρτηση + g δεν είναι παραγωγίσιμη στο Σ Λ Αν το γινόμενο g δύο συναρτήσεων είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση στo, τότε οι και g είναι παραγωγίσιμες στο Σ Λ 4 Η εφαπτομένη της C σε σημείο Α (, ( ) ) μπορεί να διαπερνά την C Σ - Λ 5 Οι ρίζες της ( ) της = είναι τα σημεία της C όπου οι εφαπτόμενες Σ - Λ C είναι παράλληλες στον άξονα 6 Αν μια συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη στο τότε και η δεν είναι παραγωγίσιμη στο Σ - Λ 7 Μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ( ) ( ) ορισμού της, αν το lim είναι πραγματικός αριθμός Σ -Λ ( ) ( ) 8 Αν ισχύει lim = ±, τότε η δεν είναι παραγωγίσιμη στο Σ -Λ 9 Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, τότε ισχύει + h ( ) ( ) ( ) lim = Σ -Λ h h ( ) ( ) ( ) ( ) Αν ισχύει lim lim, τότε η δεν είναι παραγωγίσιμη στο Σ -Λ + h e e Αν ( ) = e, τότε ( ) = lim h h Σ Λ

153 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατ/νσης) Η συνάρτηση ( ) Σ-Λ Παράγωγοι = είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της Σ -Λ Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο, τότε ορίζεται πάντα η εφαπτομένη της C στο σημείο της Μ (, ( ) ) Σ -Λ 4 H εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο της Μ,, ποτέ δεν έχει άλλο κοινό σημείο με την C Σ -Λ ( ( ) ) 5 Αν μια ευθεία ( ε ) έχει με τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης μόνο ένα κοινό σημείο, τότε είναι οπωσδήποτε εφαπτομένη της Σ -Λ 6 Μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ με ( ), για κάθε Τότε η γραφική της παράσταση δεν δέχεται οριζόντια εφαπτομένη Σ -Λ 7 Για μια συνάρτηση ισχύει ( ) = ( ) e Τότε η C στο σημείο Μ (, ()) δέχεται οριζόντια εφαπτομένη Σ Λ 8 Αν η είναι συνεχής στο, τότε η g με g ( ) = ( ) ( ) είναι παραγωγίσιμη στο Σ Λ 9 Οι εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων ( ) =, g ( ) = +, h ( ) = στα σημεία τομής τους με την ευθεία =, είναι παράλληλες Σ Λ Η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( ) =α +β, σε οποιοδήποτε σημείο του πεδίου ορισμού της, συμπίπτει με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης Σ Λ Αν δυο συναρτήσεις τέμνονται, τότε στο κοινό τους σημείο δέχονται κοινή εφαπτομένη Σ Λ Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, τότε θα είναι συνεχής στο Σ Λ Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο, τότε θα είναι πάντα παραγωγίσιμη στο Σ Λ 4 Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο, τότε δεν είναι παραγωγίσιμη στο Σ Λ 5 Αν μια συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη στο, τότε δεν είναι συνεχής στο Σ Λ

154 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατ/νσης) Σ-Λ Παράγωγοι 6 Αν η είναι παραγωγίσιμη στο, τότε η είναι συνεχής στο Σ Λ 7 Η γραφική παράσταση μιας πολυωνυμικής συνάρτησης άρτιου βαθμού έχει πάντοτε οριζόντια εφαπτομένη Σ Λ 8 Η γραφική παράσταση μιας πολυωνυμικής συνάρτησης περιττού βαθμού έχει πάντοτε οριζόντια εφαπτομένη Σ Λ 9 Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο, τότε () = Σ Λ [ ] ( ) Η συνάρτηση ( ) ισχύει: ( ) = α, α>, είναι παραγωγίσιμη στο και α = α Σ Λ Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, τότε ισχύει = Σ Λ ( ( ( ))) ( ( )) Αν το άθροισμα g + δύο συναρτήσεων είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση στο, τότε και οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο Σ Λ Αν για τις, g ισχύει ότι η + g δεν είναι παραγωγίσιμη στο, τότε και οι, g δεν είναι παραγωγίσιμες στο Σ Λ g είναι παραγωγίσιμη, τότε οι συναρτήσεις ( ) 4 Αν η συνάρτηση ( ), g είναι παραγωγίσιμες Σ Λ 5 Για μια συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη στο ισχύει α) αν η είναι άρτια, τότε η είναι περιττή Σ Λ β) αν η είναι περιττή, τότε η είναι άρτια Σ Λ γ) αν η είναι περιοδική, τότε η είναι περιοδική με την ίδια περίοδο Σ Λ 6 Αν η συνάρτηση είναι πολυωνυμική ν-οστού βαθμού, τότε η συνάρτηση είναι επίσης πολυωνυμική ν- βαθμού Σ Λ 7 Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες στο Σ Λ 8 Σε κάθε χρονική στιγμή ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ενός κινητού είναι η επιτάχυνση του Σ Λ 4 9 Αν ( ) =, τότε υπάρχουν σημεία της C με παράλληλες εφαπτόμενες Σ Λ

155 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατ/νσης) Σ-Λ Παράγωγοι 4 Αν y =α +β, τότε ο ρυθμός μεταβολής των τιμών του y εξαρτάται από τις τιμές της μεταβλητής Σ Λ 4 Αν ( ) = 4, τότε ισχύει πάντα ( ) 4 Έστω συνάρτηση συνεχής στο [, ] 4 = Σ Λ αβ, παραγωγίσιμη στο ( αβ, ) και υπάρχει ξ ( α, β ) τέτοιο ώστε ( ξ ) =, τότε ( α ) = ( β ) Σ Λ 4 Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο [ αβ,, ] παραγωγίσιμη στο ( αβ, ) και ( ) για κάθε ( αβ, ), τότε ( α) ( β ) Σ Λ 44 Aν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και δεν είναι αντιστρέψιμη, τότε δεν υπάρχει κλειστό διάστημα [ αβ,, ] στο οποίο η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ Rolle Σ Λ 45 Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο [ αβ, ] και δεν ικανοποιεί όλες τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle στο [ αβ,, ] τότε δεν υπάρχει εφαπτομένη της C παράλληλη στον άξονα Σ Λ 46 Αν η συνάρτηση ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle στο [ αβ,, ] τότε το ίδιο ισχύει και για την στο [ αβ, ] Σ Λ 47 Αν η έχει δύο ρίζες τότε η μπορεί να είναι κυρτή Σ Λ 48 Μια πλάγια ασύμπτωτη της C ποτέ δεν έχει άλλα κοινά σημεία με τη C Σ Λ 49 Αν ( ) = ( ) e τότε στο = η έχει τοπικό ακρότατο Σ Λ Σχέδιο του M C Escher

156 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Ολοκληρώματα Ορισμένο ολοκλήρωμα ΓH/ Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα: Ι = 5 Ι = ( ) d ( ) d Ι = 5 Ι = ( ) d ( ) d ΓH/ Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα: Ι = Ι = ( ) d ( ) d Ι = 5 Ι = ( ) d ( ) d ΓH/ Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: Α) Γ) Ε) Ζ) ( + + 4) d Β) ( ηµ + συν) d d Δ) ( + 4) d ΣΤ) ( + ) Η) π / 4 ( e + + ηµ ) d ΓH/4 Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: d Β) Α) ( ) ( + ) + d d ( + ) συν e d

157 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Ολοκληρώματα Γ) Ε) + d Δ) d ΣΤ) 4 Μέθοδοι ολοκλήρωσης ΓH/5Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα: Α) Γ) Ε) Ζ) Θ) 5 ( ) d Β) π / π ηµ ( + ) d Δ) 4 d ΣΤ) e d Η) d Ι) + + d + e d + ( ) e d π / 5 συν ηµ d + d ( + + ) ( + ) ΓH/6Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα π Α) d Β) Γ) Ε) Ζ) Θ) + + d Δ) e + d ΣΤ) e ln + d H) ln e π/ ηµ d Ι) ( + συν ) d / ηµ συν π d π / π/ d ηµ συν d ηµ + ηµ π/4 σφ + π /4 εϕ d e ( + e ) d d

158 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Ολοκληρώματα ΓH/7Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: Α) Γ) Ε) Ζ) e d Β) π / + σφ /4 e π ηµ d π e ηµ (ln ) d ΣΤ) π/ ηµ συν d Η) + ηµ ΓH/8Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: Α) Γ) Ε) Ζ) + d Β) + e d Δ) ln( + ) + d συν d e e e e + e d e d d Δ) d ΣΤ) + d d Η) d + ΓH/9Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα Α) Γ) Ε) Ζ) + d Β) + 4 d + Δ) d ΣΤ) + d Η) d 9 d d + d d

159 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Ολοκληρώματα ΓH/Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα Α) Γ) Ε) π/ ( ηµ + συν ) d Β) π/ (ηµ 5 + συν ) d Δ) π/ ηµ συνd ΣΤ) π/4 π/ ηµ 5 ηµ d συν ηµ 7d π συν ηµ Θεωρήστε ως δεδομένους τους τύπους: ηµασυνβ = ηµ ( α + β ) + ηµ ( α β ) συνασυνβ = συν( α β ) + συν( α + β ) ηµαηµβ = συν( α β) συν( α + β ) d ΓH/Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: π π/ ηµ Α) d 4 Β) d + συν συν ηµ Γ) ΓH/Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα Α) Γ) Ε) Ζ) e d Β) e d Δ) ( + ) e d ΣΤ) e ln d Η) π/ π/ π/4 ΓH/ Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: Α) Γ) π/ ηµ συν d Δ) ηµ συν π/4 ( 4)ln d Β) π 4 e συνd Δ) e π/ π/ ηµ d συνd e ηµ d e d συν(ln ) d e ηµ d + συν ηµ d

160 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Ολοκληρώματα Ε) Ζ) Θ) e π ln d ΣΤ) π/4 d Η) e e e ln d Ι) συν συν d d ln( + ) d ΓH/4A) Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: Α) Γ) π e ( συν ηµ ) d Β) π/ e e e d Δ) π/ π συν + ηµ Ε) d ΣΤ) συν e (ln + ) d ln d π/ συν ηµ d ΓH/5Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: Α) Γ) Ε) Ζ) d Β) e + d Δ) + 5 π 4 e π d ( ) ln d ΣΤ) ( + ) d συν d Η) ΓH/6Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: Α) Γ) π ( + ηµ ) συνd Β) ln e d Δ) e + ln 6 π/ d ( ) ln d e συν5d συν(ln ) d

161 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Ολοκληρώματα Ε) Ζ) + + d ΣΤ) + d Η) π ΓH/7Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: Α) Γ) Ε) e π συν d Β) d Δ) ( + ln ) e e ln d ΣΤ) ln e π ηµ ( + συν ) 4 + d + ln d ηµ συν d + ηµ 4 d d ΓH/8Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα 4 e e ln Α) d Β) d e + Γ) Ε) π d Δ) ηµ π 4 π συν e d Ζ) e ln 8 ln + e d ( 4) d +, < ΓH/9 Αν ( ) = e +, : Α) Εξετάστε αν η είναι συνεχής στο = Β)Υπολογίστε τα: ( ) d, ( ) d και ( ) d

162 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Ολοκληρώματα ΓH/Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: Α) Β) Γ) ( ) d αν e ( ) d αν ( ) d αν ( ) = + ( ) ln, e ( ) = e, < e e e, = ln, > ΓH/ Βρείτε το α για το οποίο ισχύει: Όμοια βρείτε το α + για το οποίο ισχύει: α e d = e d + 9e α α α α e d = e d + 8e α ΓH/Να βρεθεί η συνάρτηση με πεδίο ορισμού το διάστημα (,+ ) αν '( ) = + και η C διέρχεται από το σημείο Μ(,) = και '() =, () = ΓH/Να βρεθεί η συνάρτηση αν ''( ) ΓH/4Βρείτε τη συνάρτηση που είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) αν η C διέρχεται από το σημείο Μ (,) και η εφαπτομένη της σε οποιοδήποτε σημείο της (, ( )) έχει κλίση ΓH/5Να βρεθεί η συνάρτηση αν για κάθε (, + ) ισχύει '( e ) = + και η ( ) C στο σημείο (, () ) Μ έχει κλίση ΓH/6Να βρεθεί η συνάρτηση αν ''( ) 6 () = 4, () = =, και ΓH/7Να βρεθεί η συνάρτηση αν για κάθε (, ) + ισχύει ( ) + ( ) '( ) = και η C διέρχεται από το σημείο Μ (,)

163 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Ολοκληρώματα ΓH/8 Να βρεθεί η συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) με ( π ) = και για κάθε (, ) π + είναι ( ) '( ) = συν ΓH/9Να βρεθεί η συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη στο + ( ) (, + ) με () = και για κάθε (, + ) είναι '( ) = ΓH/Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση στο (, ) (, + ) είναι διέρχεται από το σημείο (, e) + και για κάθε e + ( ) '( ) = Να βρεθεί ο τύπος αν η C Μ ΓH/ Βρείτε την παραγωγίσιμη συνάρτηση στο (, + ) αν για ( ) κάθε > ισχύει ( ) = και () = ΓH/ Βρείτε την παραγωγίσιμη συνάρτηση αν για κάθε π π, ισχύει: + ( ) ηµ π π ( ) = και επίσης = συν 4 6 ΓH/ Βρείτε την παραγωγίσιμη συνάρτηση αν για κάθε π π, ισχύει: συν ( ) ηµ π π ( ) = και = συν 6 ΓH/4 Βρείτε τη συνάρτηση αν ( ) = και η γραφική της παράσταση στο σημείο της Α(-,) έχει κλίση ΓH/5Να βρεθεί η συνάρτηση αν για κάθε είναι ''( ) = 6+ και τα σημεία Α (,) και Β (,9) ανήκουν στη C ΓH/6 Να βρείτε τη συνάρτηση αν ( ) = 6 4 και η παρουσιάζει στη θέση = τοπικό ακρότατο () = 4 Στη συνέχεια να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα της ΓH/7Βρείτε τη συνάρτηση ώστε ( ) ( ) = +, και η γραφική της παράσταση διέρχεται από την αρχή των αξόνων ΓH/8 Βρείτε την παραγωγίσιμη συνάρτηση στο αν ( + ) =, και () = 5 ΓH/9 Βρείτε την συνάρτηση παραγωγίσιμη στο αν ( ) ( ) = e + και () =

164 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Ολοκληρώματα ΓH/4 Να βρείτε τη συνάρτηση που είναι παραγωγίσιμη στο ( ) (, + ) με ( e ) = + και η εφαπτομένη της γραφικής της 7 παράστασης στο σημείο M(, ()) να έχει συντ διεύθυνσης λ= 6 ΓH/4 Βρείτε τη συνάρτηση που η η παράγωγός της μηδενίζεται στο = έχει τοπικό μέγιστο το ( ) = και έχει ( ) = για κάθε ΓH/4Βρείτε τη συνάρτηση αν ( ) =, και η γραφική της παράσταση στο Α(,) έχει εφαπτομένη παράλληλη στον ' 4 ΓH/4Αποδείξτε ότι η εξίσωση = έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα στο (,) ( ) ΓH/44 Υπολογίστε το ολοκλήρωμα: I = ( + ( )) e d όπου παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο και () = ΓH/45 Nα βρεθεί η συνάρτηση : η οποία έχει την ιδιότητα : ( ) + ( ) = + e για κάθε και η κλίση της στο = είναι (Υπόδειξη: Πολλαπλασιάστε τη δοσμένη με το ΓH/46 Να βρείτε συνάρτηση παραγωγίσιμη στο που να ικανοποιεί τις συνθήκες: ( ) > για κάθε, () = e και ( ) = ( ) για κάθε ΓH/47 Βρείτε την παραγωγίσιμη συνάρτηση αν ( ) + ( ) = και () = ΓH/48 Να βρείτε τον τύπο της συνεχούς συνάρτησης : A) Γ) ( ) = e ( ) d Β) ( ) e e ( ) = d ( ) = e ( ) d αν: ΓH/49 Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση :[, + ) για την οποία ισχύει ( ) ( ) (t) + = +, t dt e ) Αν () = να βρείτε τον τύπο της (Να θέσετε =, κτλ)

165 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Ολοκληρώματα ΓH/5 Έστω μια συνάρτηση η οποία έχει δεύτερη παράγωγο συνεχή στο [α, β] και (α) = (β) Αν β ( ) d =, να δείξετε ότι η εξίσωση ( ) + ( ) = έχει μια α τουλάχιστον ρίζα στο (α, β) ΓH/5 Ένα σώμα κινείται πάνω σε άξονα και η επιτάχυνσή του κάθε χρονική στιγμή είναι 6t 4 σε cm / sec Αν κατά τη χρονική στιγμή t = sec το σώμα βρίσκεται στη θέση cm και έχει ταχύτητα cm / sec, να βρείτε τη συνάρτηση της θέσης του κινητού κάθε χρονική στιγμή t ΓH/5Αν ( ) = αηµ ( π ) + β να βρεθούν οι τιμές των α, β αν ' ( ) = π και ( ) d = 4 ΓH/5Έστω η συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο [, ] Αν ( ) + ( ) e d = και ( ) e η τιμή ( ) ΓH/54Αν συνεχής στο με ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e d = να βρεθεί η τιμή ( ) = να βρεθεί = = = και ΓH/55Αν η συνάρτηση g έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο στο π διάστημα [,π ] και ισχύει : g ( ) g + ( ) ηµ d = 5 και g ( π ) βρείτε το g ( ) = να ΓH/56Έστω συνάρτηση με συνεχή τρίτη παράγωγο στο διάστημα Δ Αν α, β με α<β και η C έχει παράλληλες εφαπτόμενες στα ( ) ( ) σημεία Αα, ( α ) και, ( ) β ( ) d ( ) =β β α ( α) α Ββ β δείξτε ότι :

166 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Ολοκληρώματα ΓH/57Αν συνεχής στο [, ] και ( ) ( ) να βρεθεί η κλίση της στο = [( ) + ] d = ΓH/58Αν, g συναρτήσεις με και g συνεχείς στο [ ] ( ) = g( ) = ( 4) = g( 4) = να δειχθεί ότι: 4 4 ( ) g ( ) d = ( ) g ( ) d ΓH/59Δείξτε ότι ΓH/6Αποδείξτε ότι µ v v µ ( ) d = ( ) d, µ, ν α ( ) g( α ) d = g( ) ( α ) d α ΓH/6Αν περιττή, δείξτε ότι ( ) d = α α,4 και όπου συνεχής στο [ α, α ] και στη συνέχεια να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα ΓH/6Αν συνεχής στο με ( ) ( ) υπολογισθεί το ολοκλήρωμα ( ) J = 5 ηµ d = για κάθε, να I = d ΓH/6Αν ( ) + ( ) = 994 για κάθε και η είναι συνεχής στο, δείξτε ότι ( ) d 994 α = α α β d d ΓH/64Δείξτε ότι α) ( ) = ( α+β ) α α β) ( ) β α α d = ( ) d α

167 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Ολοκληρώματα ΓH/65Αν συνεχής συνάρτηση στο να αποδείξετε ότι α α d d ( ) = ( ), α> d d v, αν συνεχής στο 4ν v ΓH/66 Δείξτε ότι: ( ) = ( ) διάστημα [, ] α α v α d = α d και υπολογίστε v ΓH/67Αποδείξτε ότι ( ) ( ) την κοινή τιμή των δύο ολοκληρωμάτων ΓH/68Α συνεχής στο [ αβ, ] και c να αποδείξετε ότι β c α ( ) d = ( c ) d και στη συνέχεια υπολογίστε το ολοκλήρωμα α c β 7 I = d ( ) ΓH/69Αν ( ) = α + β +, να βρεθούν τα α, β αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο ΓH/7Αν π I = ( ) ηµ d και = και ( ) υπολογίσετε τα ολοκληρώματα I + J, I J, I, J d = 5 π J = ( ) συν d να ΓH/7Η συνάρτηση :[ αβ, ] έχει συνεχή παράγωγο στο [ αβ, ] και είναι - Αν ( α ) =β και ( β ) =α να αποδείξετε ότι: β ( ) ( ) ( ) d = (Υπόδειξη: Θέσε α u = ( ) οπότε = ( u) και d = ( u) du ) ΓH/7 Αν «-» παραγωγίσιμη συνάρτηση με συνεχή παράγωγο ( ) και ( ) = και () =, να δείξετε ότι: ( ) e d = e d

168 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Ολοκληρώματα ΓH/7Η συνάρτηση : Αν η είναι συνεχής και α, β ( ) ( β) Α) ( ) β ( α) είναι - και έχει συνεχή παράγωγο δείξτε ότι: d =β ( β) α ( α) ( ) d Β) ( ) =β ( β) α ( α) ( ) β α ( β) d d α (Υπόδειξη: Θέσε ( α) ΓH/74 Έστω :[, ] παράγωγο συνάρτηση, με α και ( ) Αν είναι γνωστό ότι η συνάρτηση β ( β) u = ( ) οπότε = ( u) και d = ( u) du ) αβ μια γνησίως αύξουσα και με συνεχή για κάθε [, ] ( ) d + ( ) ( ) d =β ( β) α ( α) α ( α) ΓH/75 Α) Αν ( ) = Α) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: Β) Βρείτε το c αν ΓH/76 Δείξτε ότι : αβ είναι συνεχής, να δείξετε ότι για κάθε και () = () : ( ) d (Κρυφοπαραγοντική φορές) 4 () t dt = 4 + ln + c + t () t dt π π π 5 d + ηµ ΓH/77Αφού μελετήσετε τη συνάρτηση, ως προς τα ακρότατα στο διάστημα ολοκλήρωσης,δείξτε ότι : β β α d β α β α e <α<β e e ΓH/78Αφού μελετήσετε τη συνάρτηση ( ) = 7συν ηµ, ως προς τα ακρότατα στο διάστημα ολοκλήρωσης, δείξτε ότι : π ( ) 7π 7συν ηµ d π ΓH/79Αποδείξτε ότι: e( e ) α ( e ) e d ln ln

169 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνσης) Ολοκληρώματα ΓH/8Για κάθε [, + ) να δείξετε ότι ΓH/8 Α) Να αποδείξετε ότι: Β) Να αποδείξετε ότι: 4 d > ΓH/8 Να δείξετε ότι: Α) Β) e ln + e d e Γ) ln + d d + ln + > για κάθε > π π π 4 ημ d + < dt ln < lnt ln ΓH/8 Δίνεται η συνάρτηση ( ) = ln + Α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της Β) Να δείξετε ότι ΓH/84 Δίνεται συνεχής συνάρτηση :[,] ( ) + 4 ( ) = 5 για [,] A) η αντιστρέφεται και να βρείτε την B) () = και () Δ) ( ) Να αποδείξετε ότι: = Γ) ( ) > για κάθε (,) Ε) ΓH/85 Α) Δείξτε ότι Β) Δείξτε ότι d e d > e για την οποία ισχύει: ( ) + ( ) d = ( ) d > ln για κάθε (, + )

170 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνση) Ολοκληρώματα Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου ΓΘ/ Υπολογίστε το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραφ παράσταση της ( ) = + τις ευθείες =, = και τον άξονα ΓΘ/ Υπολογίστε το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραφ παράσταση της ( ) = τις ευθείες =, = και τον άξονα ΓΘ/Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της με τύπο ( ) = + + και τον άξονα ΓΘ/4 Δίνεται η συνάρτηση ( ) = + Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της και τον άξονα ΓΘ/5 Δίνεται η συνάρτηση ( ) = + Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της και τον άξονα ΓΘ/6Αν ( ) = 5+ 6 να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C και τον άξονα ΓΘ/7Αν ( ) = + 5 και g ( ) = 7βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις C και C Το ίδιο αν ( ) = και g ( ) = 4 ΓΘ/8 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) = + και g ( ) = + Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C και τη C ΓΘ/9 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) e = και g ( ) = Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, τη τις ευθείες = και = g g C g και

171 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνση) Ολοκληρώματα 4 ΓΘ/Αν ( ) = 4 να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C και τον άξονα ΓΘ/Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη όπου ( ) = συν και τις ευθείες y =, =, = π ΓΘ/ Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της με τύπο ( ) = e, τον άξονα και τις ευθείες = και = ΓΘ/ Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της με τύπο ( ) = ln, τον άξονα και την ευθεία = e ΓΘ/4Αν ( ) = + ln( + ) να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C, τον άξονα και τις ευθείες =, = 5 + k, < ΓΘ/5Αν ( ) =, βρείτε το k ώστε η να είναι, συνεχής και υπολογίστε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C τον άξονα και τις ευθείες = και =, < ΓΘ/6Αν ( ) = να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που +, περικλείεται από την C, τον άξονα και τις ευθείες =, = + 4, ΓΘ/7 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο ( ) = +, > Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της, τον άξονα και τις ευθείες = και = +, = να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που, > περικλείεται από την C, τον άξονα και τις ευθείες =, = ΓΘ/8Αν ( ) C

172 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνση) Ολοκληρώματα λ, < ΓΘ/9Αν ( ) = + k, εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την να βρεθούν τα k, λ (, + ) αν το C, τον άξονα και τις ευθείες =, = ισούται με 6 ΓΘ/ Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις και g όπου ( ) = και g( ) 7 6 = ΓΘ/ Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ( ) = + + και ( ) g = + 4 ΓΘ/Αν ( ) = + και g ( ) = να βρεθεί το εμβαδόν E ( λ ) του χωρίου που περικλείεται από την C και =λ> Στη συνέχεια να υπολογισθεί το όριο ( ) C g και τις ευθείες =, lim E λ λ + ΓΘ/Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται απόc, όπου ( ) = και g( ) = καθώς και από την ευθεία = ΓΘ/4Αν ( ) = να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C και τις ευθείες y =, = ΓΘ/5 Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις, ( ) = g ( ) + για κάθε και ( ) g( ) C g g με =, = Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις C, C και ευθείες = και = ΓΘ/6Αν ( ) ( 4) e = + να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C τον άξονα και τις ευθείες =, = g

173 Μαθηματικά Γ Λυκείου (Κατεύθυνση) Ολοκληρώματα ΓΘ/7Αν ( ) = + να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την τους άξονες, yy C στο σημείο με M (,) και την εφαπτομένη ( ) C ε της ΓΘ/8 Αφού κάνετε γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) = βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, την εφαπτομένη της στο σημείο Α( 4, (4)) και τον άξονα ΓΘ/9 Αφού κάνετε γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) = 4+ 5 να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C τον άξονα yy και την εφαπτομένη ( ε ) της C στο Μ (, ()) ΓΘ/ Αφού κάνετε γραφική παράσταση της ( ) = + 4 να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C, την εφαπτομένη ( ε ) της C στο σημείο M (,) και τον άξονα ΓΘ/ Αφού κάνετε γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) = βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη Β,4 C και τις εφαπτόμενές της στα σημεία της Α(,) και ( ) ΓΘ/ Αφού κάνετε γραφική παράσταση της ( ) = + 4 να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C και τις εφαπτόμενες της, Β, ΓΘ/Αν ( ) C στα σημεία με Α( ) και ( ) = 8 να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, τον άξονα yy και την εφαπτομένη στην κορυφή της παραβολής C ΓΘ/4 Αφού κάνετε γραφική παράσταση των συναρτήσεων ( ) = ηµ και g( ) C, = συν να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις C g και τις ευθείες = και = π