ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περιέχει: Όλη την ύλη της Γ Λυκείου, σύμφωνα με το αναλυτικό πρόγραμμα του Υπουργείου Παιδείας σε () ΒΙΒΛΙΟμαθήματα που το καθένα περιέχει: Α. Απαραίτητες γνώσεις θεωρίας Β. Λυμένα παραδείγματα Γ. Λυμένες ασκήσεις Δ. Προτεινόμενα θέματα Ε. Το ξεχωριστό θέμα Θέματα που κινούν τη σκέψη και βοηθούν στο σωστό τρόπο μάθησης.

2 Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα, το γινόμενο, τη διαφορά και το πηλίκο μιγαδικών αριθμών β. το μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού και να λύνει προβλήματα σε συνδιασμό με τις κωνικές τομές. Να γνωρίζει: α. την έννοια του συζυγούς ενός μιγαδικού αριθμού β. τις ιδιότητες των συζυγών μιγαδικών αριθμών.

3 . Μιγαδικοί αριθμοί Τύποι - Βασικές έννοιες ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: Τύποι - Βασικές έννοιες Πράξεις στο σύνολο των μιγαδικών. Πρόσθεση: z + z = ( α+ βi ) + ( γ + δi) = ( α + γ) + ( β+ δ) i. Πολλαπλασιασμός: zz = ( α+ βi)( γ + δi) = αγ + αδi + βγi+ βδi = = αγ + αδi + βγi βδ = ( ) + ( + ) αγ βδ αδ βγ i 3. Διαίρεση: Η διαίρεση εκτελείται με τη βοήθεια του συζυγούς του μιγαδικού του παρονομαστή. Έστω z = α+ βi, z = γ + δi. Τότε: ( α+ βi)( γ δi) z α+ βi αγ+ βδ βγ αδ = = =... = + i z γ+ δi γ+ δi γ δi γ + δ γ + δ Δύναμη μιγαδικού αριθμού Όμοια όπως στο R ορίζουμε για τον μιγαδικό z = α+ βi: i. z = z ii. z =, z v iii. z = v z *, v N, z v v iv. z = z z, v N, v >, αν υ = i, αν υ v. v υ = i = i =, αν υ = i, αν υ = 3 Ιδιότητες συζυγών Ι. Για τους συζυγείς μιγαδικούς αριθμούς z = α+ βi και z = α βi ισχύουν: = + ii. z+ z = α= Re( z) iii. = = ( ) i. zz α β z z βi Im z i ΙΙ. Έστω ο μιγαδικός αριθμός z = α+ βi. Τότε: i. Ο αριθμός z είναι πραγματικός αν και μόνο αν z = z ii. Ο αριθμός z είναι φανταστικός αν και μόνο αν z = z III. Για τους μιγαδικούς z, z, z ισχύουν i. z = z ii. z + z = z + z και γενικότερα z + z z = z + z z v v

4 Τύποι - Βασικές έννοιες Μιγαδικοί αριθμοί. iii. z z = z z και γενικότερα z z...z = z z...z για κάθε v v v N *. z z = z z iv. ( z ) v v. v z = z για κάθε θετικό ακέραιο v. Επίλυση της εξίσωσης αz + βz + γ = () στο C με α, β, γ R, και α Είναι Δ = β 4αγ (διακρίνουσα της ()) β± Αν Δ > η () έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες : z =, α Αν Δ = η () έχει μία διπλή πραγματική ρίζα: β z = α Δ β± i Δ Αν Δ< () έχει δύο ρίζες μιγαδικούς συζυγείς: z =, α β γ Ισχύουν οι τύποι Vieta, δηλαδή z + z = και zz = α α Μέτρο μιγαδικού αριθμού Έστω ο μιγαδικός αριθμός z = + yi και Μ(z) η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο. Ονομάζουμε μέτρο του μιγαδικού z την απόσταση του Μ(z) από την αρχή Ο(,) των αξόνων και συμβολίζουμε: z = OM = OM = + y Ιδιότητες του μέτρου Έστω z = + yi τότε z = z = z = z = + y Για κάθε μιγαδικό z = + yi ισχύει z = z = z z = + y Αν z,z μιγαδικοί αριθμοί τότε: z z = z z και γενικότερα z z...zv = z z... zv και v v z = z v N* Αν z,z μιγαδικοί αριθμοί με z τότε z z z =, z Αν z,z Cτότε z z z+ z z + z (τριγωνική ανισότητα)

5 . Μιγαδικοί αριθμοί Τύποι - Βασικές έννοιες Για τις εικόνες των μιγαδικών z,z, ισχύει ακόμα OM ON = NM ή MN = z z δηλαδή το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών αριθμών είναι ίσο με τήν απόσταση των εικόνων τους. Έστω ο μιγαδικός z = + yi και ένας θετικός πραγματικός ρ. Η εξίσωση z z = ρ είναι εξίσωση κύκλου με κέντρο την εικόνα K(,y ) του z και ακτίνα ρ. Έστω οι μιγαδικοί z,z. Η εξίσωση z z = z z είναι εξίσωση της μεσοκαθέτου του τμήματος με άκρα τα A( z ) και Bz ( ).

6 Βήμα ο Μιγαδικοί αριθμοί 3. µ µ µ i i µ µ. M(, ) M(, ) i i µ-, µ ( i) ( i) i µ µ M(, ). µ, OM OMOM. µ µ i i - µ. M(, ) M(,) - i i µ, ( i) ( i) i µ µ N(, ). µ, ON OMOM

7 4. Μιγαδικοί αριθμοί Βήμα ο 3 i, i i, µ µ µ; µ i i i, µ i µ µ µ - µ µ: i ( i)( i) i i. i ( i)( i), i i. i 4 µ µ i, µ ; µ µ µ i, µ µ 4, µ 4, µ:, i, i i i i (i ) i i i -, i, 3. 5 z z z z, z, z µ - µ. z = i z = i µ:

8 Βήμα ο Μιγαδικοί αριθμοί 5. z z ( i) ( i) i i ( i) ( i) z z. 6 z z µ,, µ. µ µµ - C. µ, z z, µ µ,, µ. µµµ, µ µ µ, µ: z 4 4., µ :. T µ : z,. T µ µ : z.t,, i 4 4, - : i i i z z z. : i z,

9 6. Μιγαδικοί αριθμοί Βήμα ο 7 zz z z, z, z µ µ: µ. z z z z z z z z ( z z z z )( z z ) z z z z z z z z z z,, µ -. 8 z z zz z z, z, z µ µ µ - µ µ. µ µ - µ z z z z µ µ µ - µ : OM M M OM OM M M z z z z z z, µ µ ON µ µ µ MM ( µ- µ). : M M ) z ( z

10 Βήμα ο Μιγαδικοί αριθμοί 7. Α. Από το σχολικό βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Η έννοια του μιγαδικού αριθμού.. Πράξεις στο C. - Πράξεις σελ. 95, άσκηση 6 -Ισότητα μιγαδικών σελ. 95, άσκηση 7 -Εξισώσεις ου βαθμού στο C σελ. 96, άσκηση -Εξισώσεις που περιέχουν Z σελ. 4, άσκηση 7 (γενικές) -Δυνάμεις του i σελ. 93, εφαρμογή σελ. 96, άσκηση 3,4 (Β ομάδα) σελ. 93, εφαρμογή σελ , άσκηση, 6, 8 (Β ομ.) σελ. -, άσκηση, 3, 4 (Β ομ.) -Εξισώσεις ου Βαθμού σελ. 96, άσκηση 3, 4 -Γεωμετρικοί τόποι σελ. 97, άσκηση 9 σελ. 3, άσκηση, 3 (Γενικές).3 Μέτρο Μιγάδικου -Εύρεση μέτρου σελ. 99, εφαρμογή σελ., άσκηση -Αποδεικτικές ασκήσεις σελ., άσκηση 9 -Εξισώσεις με μέτρα σελ., άσκηση 3 (Α ομάδα) -Ανισοτικές ασκήσεις σελ., άσκηση (Β ομάδα) -Γεωμετρική ερμηνεία σελ. 99-, εφαρμογή

11 8. Μιγαδικοί αριθμοί Βήμα ο Z Z σελ., άσκηση 4,5,6,7,8 (Α ομάδα) και γεωμετρικοί τόποι σελ., άσκηση 5, 6, 7, 8, 9 σελ. 3, άσκηση 4 -Συνδιαστικές με ανάλυση -Ερωτήσεις κατανόησης σελ. 4-5, άσκηση,, 3 Β. Από τα Βιλιομαθήματα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ εκδόσεις ΟΡΟΣΗΜΟ Βιβλιομάθημα o Λυμένες ασκήσεις : 3, 7, 8 Προτεινόμενες ασκήσεις : 3, 7,, 3 Βιβλιομάθημα ο Λυμένες ασκήσεις :, 4, 7, 8 Προτεινόμενες ασκήσεις : 4, 7, 8,

12 Βήμα 3 ο Μιγαδικοί αριθμοί 9.. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z για τους οποίους ισχύει η σχέση: z = + Re( z) () και η συνάρτηση f με f z = z z. α. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z είναι η παραβολή με εξίσωση: y = 4. β. Να βρείτε τους μιγαδικούς z που ικανοποιούν την σχέση () και για τους οποίους ισχύει: f( z) = 4+ i. γ. Να βρείτε τους μιγαδικούς z που ικανοποιούν την σχέση () και για τους οποίους ισχύει: f( z) = 3 z. Λύση α. Έστω z = + yi, με και y πραγματικούς. Τότε: z = + Re z + yi = + + y = + () Πρέπει +.Τότε η () γράφεται ισοδύναμα: () που είναι εξίσωση παραβολής. + y = + y = 4 β. f z = 4+ i z z = 4+ i + yi + yi = 4+ i 5 = 4 διότι y = 4 y + y i = 4+ i y( ) = 5+ 4= = ή = 4 = = 4 ή y( ) = y( ) = y= y= /7 Άρα υπάρχουν δύο μιγαδικοί οι : z = + i και z = 4+ i. 7 Aπό τους οποίους μόνο ο z ανήκει στην παραβολή y = 4

13 . Μιγαδικοί αριθμοί Βήμα 3 ο γ. f z = 3z z z = 3z z z = 3z z z 3 = z = z = z = ή ή ή z 3 Re( z) 3 = + = Re( z) = = Ο μιγαδικός z = ανήκει στην παραβολή y Re() z = =, όμως είναι οι z =, z = + i και z = i = 4. y = 4 y=±, άρα οι ζητούμενοι μιγαδικοί. Δίνεται η συνάρτηση f( z) z+ =, όπου z = +yi z με,y πραγματικούς και z. α. Να γραφεί ο μιγαδικός f(z) στη μορφή α + βi. β. Να αποδειχθεί η ισοδυναμία: f(z) πραγματικός z πραγματικός γ. Αν ισχύει f( z) f( z) =, να δειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι κύκλος κέντρου Κ(,) και ακτίνας R =. δ. Για τους μιγαδικούς του προηγούμενου ερωτήματος να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του μέτρου f( z). Λύση α. Εχουμε: f( z) ( + ) + yi ( yi) z+ + yi+ + y + y = = = = + i z + yi + y + y + y y f z R Im( f z ) = = y = y = z R + y β. Είναι: γ. ( z+ )( z+ ) z+ z+ zz+ z+ z+ f z f z = = = = z z zz zz = + = + y y y, που παριστάνει κύκλο με κέντρο (,) και ακτίνα R =. z+ f z = = = z z z δ.

14 Βήμα 3 ο Μιγαδικοί αριθμοί. Όμως η εικόνα του z κινείται σε κύκλο με κέντρο (,) και ακτίνα R =. Άρα Έτσι: ma{ z } = + R = + και min{ z } = R = = ma{ f ( z) } = = και min{ f ( z) } = = min z ma z + { } { } * 3. Δίνεται ο μιγαδικός z και η συνάρτηση f:n C με ( ν f ν = i ) z. * N ισχύει: α. Να δείξετε ότι για κάθε ν f ν f ν+ f ν+ f ν+ 3 =. β. Αν ισχύει f() 3 = 3i, να δείξετε ότι: z = + i. γ. Για τον μιγαδικό z του προηγούμενου ερωτήματος να υπολογίσετε το μέ- * τρο του μιγαδικού w = f ( ν+ ) f( ν), για κάθε ν N. Λύση: * α. Αν ν= 4κ, κ Ν τότε ( 4κ f ν = i ) z= * Αν ν= 4κ+, κ Ν τότε ( 4κ+ 4 f ν+ 3 = i ) z= * Αν ν= 4κ+, κ Ν τότε ( 4κ+ 4 f ν+ = i ) z= * Αν ν= 4κ+ 3, κ Ν τότε ( 4κ+ 4 f ν+ = i ) z= * Άρα για κάθε ν Ν, f ( ν) f( ν+ ) f( ν+ ) f( ν+ 3) =. β. () ( 3 f 3 = 3i i ) z= 3i ( i) z= 3i 3i ( 3i)( + i) 4+ i z= z= z= z= + i i ( ) + ( ) γ. ( ν+ ) ( ν w = f ν+ f ν = z i ) z= ( ν+ ν ) ν = i i + z= i ( i ) z ν ν ν ν Έτσι: w = i ( i ) z = i + i z = i ( ) + + = 5 = 4. Δίνονται οι μιγαδικοί z, w και u = z w. α. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός z είναι φανταστικός αν και μόνο αν ισχύει z = z. β. Αν για τους z και w ισχύει: z+ w = z w, να δείξετε ότι ο αριθμός u = z w είναι φανταστικός.

15 . Μιγαδικοί αριθμοί Βήμα 3 ο γ. Αν επιπλέον ισχύει ότι w = + i, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z. Λύση: α. Αν z = α+ βi, α,β R τότε: z = z α + βi = ( α βi) α + βi = α + βi α= α= Re() z = z είναι φανταστικός β. z+ w = z w υψώνοντας στο τετράγωνο έχουμε: z+ w = z w z+ w z+ w = z w z w ( z + w)( z + w) = ( z w)( z w) zz + zw + zw + ww = zz zw zw + ww zw = zw zw = zw u = u που σημαίνει ότι ο z είναι φανταστικός. γ. Αν w = + i και z= + yi,,y R τότε: u = zw = + yi + i = + i+ yi+ yi = y + + y i Αφού ο u είναι φανταστικός, ισχύει: Re( u) = y = y = Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z είναι η ευθεία y =. z+ 3i 5. Δίνονται οι μιγαδικοί z και w =, με z 3. z + 3 α. Αν z = + yi,,y R να γράψετε τον w στην μορφή α+ βi. β. Να δείξετε ότι αν ο w είναι πραγματικός τότε ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία y = 3. γ. Να δείξετε ότι αν w =, τότε η εικόνα του z κινείται σε κύκλο, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. Λύση: α. [ ] + yi+ 3i + y+ 3 i + y+ 3 i + 3 yi w = = = = yi 3 ( 3 ) yi y ( + ) + ( + )( + ) ( + ) 3 yi 3 y 3 i y 3 yi = = ( + 3) + y y y+ 3 y+ + 3 y+ 3 = + i ( + 3) + y ( + 3) + y

16 Βήμα 3 ο Μιγαδικοί αριθμοί 3. + y y 3 + 3y + 9 Έτσι Re( w) =, Im( w) = ( + 3) + y y β. Ο w είναι πραγματικός, αν και μόνον αν, Im w 3 3y 9 y 3 = + + = = Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία y= 3, με εξαίρεση το σημείο ( 3,), αφού πρέπει z yi 3 και y γ. z+ 3i w = = z+ 3i = z+ 3 z+ 3 + ( y+ 3) i = ( + 3) + yi 3 + y+ 3 = y + y+ 3 = y Υψώνουμε στο τετράγωνο: + y + 6y + 9 = y 3 + 3y + 4 6y + 7 = + y + 8 y + 9 = Eπειδή 8 + ( ) 4 9 = = 3 >, η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο με κέντρο Κ( 4,) και ακτίνα 3 R = =. 6. Αν z, z είναι μιγαδικοί, για τους οποίους ισχύει: z, z και z + z = z z (). z α. Να δείξετε ότι ο μιγαδικός w = είναι φανταστικός. z iz z β. Να δείξετε ότι +. z z z + z, z z γ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού z αν z = + i. Λύση: α. z + z = z z υψώνουμε στο τετράγωνο: z + z = z z z + z z + z = z z z z zz + zz + zz + zz = zz zz zz + zz

17 4. Μιγαδικοί αριθμοί Βήμα 3 ο z zz = zz = w = w z z Όμως: αν w = α+ βi, α, β R. z w = w α+ βi= ( α βi) α+ βi= α+ βi α=, άρα ο w είναι φανταστικός. (ος τρόπος: Διαιρούμε με z, οπότε z + z z z = w+ = w, αρα η εικόνα του z z w ανήκει στην μεσοκάθετο του τμήματος με άκρα w φανταστικός.) β. Η προς απόδειξη σχέση γίνεται: z z z + z + z + z z z z z z z z z z z z + z = z + z, άρα ισχύει και η αρχική. γ. Για z + + i = z i z i = z + i Άρα η εικόνα του z κινείται στην μεσοκάθετο του τμήματος με άκρα A(, ) και ευθεία: () ε :y= B, που είναι η A, B, yy', άρα, που ισχύει διότι 7. Δίνονται οι μιγαδικοί z, w = και u= z τέτοιοι ώστε οι εικόνες των z z και w σχηματίζουν με την αρχή των αξόνων Ο, ορθογώνιο τρίγωνο στο Ο. α. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι οι διχοτόμοι των αξόνων χωρίς το σημείο τομής τους. β. Να δείξετε ότι ο u είναι φαντασικός. Λύση: γ. Αν ισχύει z =, να βρείτε το μέτρο του u. z α. Έστω z= + yi τότε w = = y i. + yi + y + y

18 Βήμα 3 ο Μιγαδικοί αριθμοί 5. Έστω Μ η εικόνα του z OM (, y) πρέπει: y, Μ η εικόνα του w y OM, + y + y y y= OM OM λ λ = = y = ή, z y = Άρα γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z είναι οι διχοτόμοι των γωνιών του ορθοκανονικού συστήματος χωρίς το O,. β. ( ) u = z u = + yi u = y + yi Όμως από το α. ισχύει y = (και z, και y ) Έτσι ( u = ) + yi = yi, άρα y ο u είναι φανταστικός. γ. z = z w = () z Όμως z w : απόσταση των εικόνων του z και του w ( MM ). Στο τρίγωνο ΟΜ Μ εφαρμόζουμε το πυθαγόρειο θεώρημα και έχουμε: MM = OM + OM z w = z + w = z + w z + = z z + = z () z = z = z = Έτσι u z z = = =. 8. Αν z C 7 6 και ισχύει ( z+ i) + ( i) ( z i) =, με z i, να αποδείξετε ότι: Λύση: α. z+ i = β. ( z+ i) + 4 w = R z+ i γ. u= ( z+ i) 3 I Είναι: ( z+ i) + ( i) ( z i) = ( z+ i) + i ( z i) =

19 6. Μιγαδικοί αριθμοί Βήμα 3 ο ( z+ i) + ( i)( z i) = ( z+ i) = i( z i) 7 6 α. Έχουμε: ( z+ i) = i( z i) και επομένως τα μέτρα τους είναι ίσα, δηλαδή: Όμως z i = ( z i) = z+ i οπότε 7 6 z+ i = i z i 7 6 z+ i = z+ i και αφού z+ i είναι: z+ i z+ i 7 6 = z+ i = z+ i = 4 β. Είναι: z + i = ( z + i)( z + i) = = ( z + i)( z i) z i = z + i z+ i + 4 z+ i 4 Έχουμε: w = = + = z+ i+ z i= z+ z = Re() z z+ i z+ i z+ i Άρα w R γ. Είναι: () 6 6 u = z+ i = z+ i z+ i = i( z i) ( z+ i) = = i( z+ i) ( z+ i) = i z+ i = i z+ i = i 3 Έτσι u = i, άρα u I.

20 Βήμα 4 ο Μιγαδικοί αριθμοί 7..α. Να λύσετε στο C την εξίσωση: z z = β. Να σχεδιάσετε στο μιγαδικό επίπεδο το γεωμετρικό τόπο της εικόνας του z C, αν z = z 4i.. Δίνεται ο μιγαδικός z = + yi, όπου, y R και, y. Αν z i z+ i =, τότε: α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας του z. β. Να προσδιορίσετε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του z και να δώσετε γεωμετρική ερμηνεία.

21 8. Μιγαδικοί αριθμοί Βήμα 4 ο 3. Έστω ότι για το μιγαδικό αριθμό z ισχύει: z 4 + 9i. Να αποδείξετε ότι: 3 z 7 + 5i 7 4. α. Να προσδιορίσετε γεωμετρικά τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του z αν z 5. β. Αν z, z είναι μιγαδικοί αριθμοί τότε να αποδείξετε ότι: ( z z z z ) + iz z 5. Δίνεται ο μιγαδικός z και έστω f (z) =, z α. Nα αποδείξετε ότι ο αριθμός w = [ f ()] 4 είναι πραγματικός. f (z) β. Να αποδείξετε ότι: = z f (z) + i γ. Αν z = και Μ είναι η εικόνα του f(z) στο μιγαδικό επίπεδο, να αποδείξετε ότι το Μ ανήκει σε ευθεία, της οποίας να βρείτε την εξίσωση.

22 Βήμα 4 ο Μιγαδικοί αριθμοί 9. 6.α. Αν για το μιγαδικό z ισχύουν z + < και z+ <, να δειχθεί ότι z. β. Αν z,z C με z, να δειχθεί η ισοδυναμία: z+ z = z + z R z z

23 3. Μιγαδικοί αριθμοί Βήμα 5 ο Θέμα ο Α.α. Γράψτε τις ιδιότητες που γνωρίζετε για συζυγείς μιγαδικούς και για το μέτρο μιγαδικού. (Μονάδες 3) β. Αποδείξτε ότι: z + z = z + z (Μονάδες 5) Β.. Αντιστοιχίστε σε καθένα από τα γράμματα Α,Β,Γ,Δ έναν αριθμό από το έως το 8 ώστε καθένα από τα σχήματα της πρώτης στήλης να ταιριάξει με την κατάλληλη εξίσωση της δεύτερης στήλης.

24 Βήμα 5 ο Μιγαδικοί αριθμοί 3. ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β Α.. z + =. z i = 4 3. z i = Β. 4. z = 5. z + i = Γ. Δ. 6. z + = 4 7. z + i = 8. z = (Μονάδες 5) Β.. Να χαρακτηρίσετε τις επόμενες προτάσεις με την ένδειξη Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος) α. Οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα. (Μονάδες 4) β. Ο κύκλος με εξίσωση z i = εφάπτεται στον πραγματικό άξονα. γ. Αν z i = τότε η μέγιστη τιμή του z είναι ίση με 8. (Μονάδες 4) (Μονάδες 4) Θέμα Α. Να γράψετε στη μορφή α+βi, όπου α,β R, τους αριθμούς: Α. 3i i Β. 3 4i (Μονάδες )

25 3. Μιγαδικοί αριθμοί Βήμα 5 ο α. Αν εικόνα του z C γράφει την ευθεία y= τότε η εικόνα του z γράφει την ευθεία: Α. y = Β. = Γ. + y = Δ. y = + Ε. y = + (Μονάδες 7) β. Μια δευτεροβάθμια εξίσωση με πραγματικούς συντελεστες έχει ρίζα τον αριθμό 3i 3. Η άλλη ρίζα της είναι ο αριθμός: Α. 3 i 3 Β. 3 3i Γ. 3 3i Δ i Ε i (Μονάδες 6) Θέμα 3 Α. Στο διπλανό σχήμα να χαράξετε την ευθεία z i = z + και να γραμμοσκιάσετε την περιοχή του μιγαδικού επιπέδου τα σημεία της οποίας επαληθεύουν την σχέση z i z +. (Μονάδες 3) Β. Αν η εικόνα του z βρίσκεται στο εσωτερικό κύκλου με κέντρο την εικόνα του -i και ακτίνα τότε: Α. z + i < Β. z + i < Γ. z + i < 4 Δ. z + i < 4 Ε. z + + i < (Μονάδες )

26 Βήμα 5 ο Μιγαδικοί αριθμοί 33. Θέμα 4 Έστω z, w μιγαδικοί που συνδέονται με τη σχέση w = z +, με z. Αν η εικόνα z του μιγαδικού αριθμού z κινείται στον κύκλο + y = 4, να αποδείξετε ότι η εικόνα του w κινείται σε έλλειψη. (Μονάδες 5)

27

28 Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο.. Να γνωρίζει τις γραφικές παραστάσεις των βασικών συναρτήσεων. 3. Να μπορεί να βρίσκει το άθροισμα, το γινόμενο, το πηλίκο και τη σύνθεση απλών συναρτήσεων. 4. Να γνωρίζει την έννοια της συνάρτησης, τις βασικές ιδιότητες της και να κατανοήσουν την διαδικασία εύρεσης της αντίστροφης μιας απλής συνάρτησης. Να γνωρίζει, επιπλέον, οι γραφικές παραστάσεις δύο αντίστροφων συναρτήσεων είναι συμμετρικές ως προς τη διχοτόμο της πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων. 5. Να μπορεί να εκφράζει, με τη βοήθεια συνάρτησης, τον τρόπο με τον οποίο συνδέονται οι τιμές δύο μεγεθών σε διάφορα προβλήματα. 6. Να μπορεί να βρίσκει το όριο μιας συνάρτησης στο, όταν δίνεται η γραφική της παράσταση. 7. Να γνωρίζει τις ιδιότητες του ορίου συνάρτησης και με τη βοήθειά τους να υπολογίζει τα όρια απλών συναρτήσεων. 8. Να μπορεί να διαπιστώνει την ύπαρξη μη πεπερασμένων ορίων συναρτήσεων από τη γραφική τους παράσταση. 9. Να μπορεί να υπολογίζει τα όρια πολυωνυμικών ή ρητών συναρτήσεων στο + και στο.. Να γνωρίζεί τις γραφικές παραστάσεις της εκθετικής και της λογαριθμι-

29 κής συνάρτησης και τα όρια τα σχετικά με τις συναρτήσεις αυτές.. Να γνωρίζει την έννοια της ακολουθίας και την έννοια του ορίου ακολουθίας.. Να γνωρίζει την έννοια της συνέχειας συνάρτησης σε σημείο του πεδίου ορισμού της. 3. Να αναγνωρίζει την συνέχεια μιας συνάρτησης f σε σημείο η διάστημα, από τη γραφική της παράσταση. 4. Να γνωρίζει τις βασικές συνεχείς συναρτήσεις και ότι το άθροισμα, η διαφορά, το γινόμενο, το πηλίκο καθώς και η σύνθεση συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχής συνάρτηση. 5. Να γνωρίζει τα βασικά θεωρήματα: Bolzano, ενδιάμεσης τιμής και μέγιστης - ελάχιστης τιμής, όταν η συνάρτηση ορίζεται σε κλειστό διάστημα και να μπορεί να τα εφαρμόζει, στην εύρεση του προσήμου μιας συνεχούς συνάρτησης, στην εύρεση του συνόλου τιμών και του πλήθους των ριζών συναρτήσεων των οποίων είναι γνωστά τα διαστήματα μονοτονίας και το είδος της μονοτονίας.

30 Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g() υπάρχουν και είναι πραγματικοί αριθμοί τότε : lim f() + g() = lim f() + lim g() lim k f () = k lim f (), k R lim f () g() = lim f () lim g() ν ( ) lim f () = lim f (), ν Ν με v f lim f () lim =, lim g() g lim g() ν lim f () = lim f () ν lim f () ν lim f () με f() = κοντά στο, v Nμε v.

31 38. Όρια - Συνέχεια Τύποι - Βασικές έννοιες Ορισμός Μια συνάρτηση f ονομάζεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, αν και μόνον αν, ισχύει : lim f = f ( ) Ορισμός Μια συνάρτηση f ονομάζεται συνεχής (στο πεδίο ορισμού της), αν και μόνον αν, είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της. Συνέχεια βασικών συναρτήσεων - Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση είναι συνεχής στο R. - Κάθε ρητή συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της - Οι συναρτήσεις ημ, συν είναι συνεχείς στο R. - Οι συναρτήσεις e, α, ln, log είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού τους, με < α. Πράξεις με συνεχείς συναρτήσεις Αν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού τους, τότε και f k οι συναρτήσεις: f + g, f g, λ f( λ R ), ( g ), f, f ( f ), κ Νμε g κ είναι συνεχείς στο. Θεώρημα Bolzano (Θ.Β.) Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν: η f είναι συνεχής στο [α,β] και f (α). f (β) <, f = τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον αβ τέτοιο ώστε δηλαδή υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f = στο (α,β). Γεωμετρική ερμηνεία Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη μεταξύ των α και β (σχ.). Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών (Θ.Ε.Τ) Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν ισχύουν ότι: η f είναι συνεχής στο [α,β] και f ( α) f( β) τότε για κάθε αριθμό n μεταξύ των f(α), f(β) υπάρχει ένα τουλά- α,β f = n. χιστον τέτοιο ώστε

32 Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 39. Γεωμετρική ερμηνεία Η ευθεία y = n όπου n μεταξύ των f ( α ), f ( β ) τέμνει τη γραφική παράσταση της f τουλάχιστον σε ένα σημείο με τετμημένη μεταξύ των α και β. Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [α,β] τότε η f παίρνει στο [α,β] μέγιστη τιμή Μ και ελάχιστη, α,β m= f και M = f οπότε: τιμή m, δηλαδή υπάρχουν [ ] τέτοια ώστε m= f( ) f f( ) = M, για κάθε [ α,β]. Ευρεση συνόλου τιμών Όπως ήδη αναφέρθηκε στο πρώτο σχόλιο είναι φανερό ότι το σύνολο τιμών μιάς συνεχούς συνάρτησης f ορισμένης σε κλειστό [ α, β ] είναι το f ( α ),f( β) f β,f α αν η f είναι φθίνουσα. αν η f είναι αύξουσα και Αν η f είναι συνεχής στο ανοιχτό ( α,β ) τότε το σύνολο τιμών της στη περίπτωση που είναι ( + ) α β γνησίως αύξουσα είναι f ( A) im f ( ), im f γνησίως φθίνουσα είναι f( A) = imf( ), imf = ενώ στη περίπτωση που είναι ( + β α ) Αν τέλος, η f είναι συνεχής και ορισμένη στα [ α,β ) ή ( α,β ] τότε (αν f γνησίως αύξουσα). το σύνολο τιμών της είναι: f ( A) = f( α, ) imf( ) ή f( Α) = imf(, ) fβ + β α f A = ( β Ενώ (αν f γνησίως φθίνουσα) το σύνολο τιμών της είναι imf( ),f( α) ή f ( β,imf ) ( + )). α (

33 4. Όρια - Συνέχεια Βήμα ο C C f f µµ Oy. y µ Oy µ µ f µ C C f f µ µ. f y f ( y), µ M (, ) C f, µ (, ) C f -. µ, µ, µµ µ Oy µ: Oy.

34 Βήμα ο Όρια - Συνέχεια 4. C C f f µµ Oy. y µ Oy µ f, µ µ [, ]. : f [, ] f f, µ µ f () f (), (, ), f ( ) µ ( ) f f. f f (. µ). µ g f, [, ], µ : g [, ] g g( ), g f g f. µ, µ µ µ Bolzano, - (, ), g ) f ( ), f ( ). (

35 4. Όρια - Συνέχεια Βήμα ο Α. Από το σχολικό βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 3.. Συναρτήσεις.3 Μονότονες-Αντίστροφη Συνάρτηση -Πεδίο ορισμού σελ. 34, εφαρμογή σελ. 45, άσκηση,5 σελ. 47, άσκηση,3,4 (Β ομάδα) -Γραφική παράσταση σελ. 4, εφαρμογή σελ. 45, άσκηση,3,6 -Ισότητα συναρτήσεων σελ. 46, άσκηση 7 -Πράξεις με συναρτήσεις σελ. 46, άσκηση 8 -Σύνθεση συναρτήσεων σελ , εφαρμογή-σχόλια σελ. 46, άσκηση, σελ. 48, άσκηση 6,7,8,9 -Μονοτονία συνάρτησης σελ. 56, άσκηση σελ. 57, άσκηση Αντίστροφη συνάρτηση σελ. 55, εφαρμογή σελ. 56, άσκηση.4-.7 Όρια -Ιδιότητες ορίου σελ. 74, άσκηση σελ. 76, άσκηση 4 σελ. 8, άσκηση 4 σελ. 86, άσκηση

36 Βήμα ο Όρια - Συνέχεια 43. -Μορφή σελ. 75, άσκηση 4 σελ , άσκηση (Β ομάδα) -Ασκήσεις με απόλυτα σελ. 76, άσκηση σελ. 87, άσκηση (Β ομάδα) -Κριτήριο παρεμβολής -Τριγωνομετρικά όρια σελ. 75, άσκηση 6,7 -Μορφή α σελ. 8, άσκηση, σελ. 8, άσκηση -Μορφή + σελ. 87, άσκηση 3i, iii (Α ομάδα) + -Μορφή ( + ) ( + ) σελ. 87, άσκηση 3ii (Α ομάδα) -Όρια εκθετικής-λογάριθμοι -Παραμετρικές ασκήσεις σελ. 75, άσκηση 9 σελ. 85, άσκηση 3 σελ. 87, άσκηση,,3 (Β ομάδα) -Γενικές ασκήσεις.8 Συνέχεια συνάρτησης -Συνέχεια σελ. 98, άσκηση 4,5 σελ. 99, άσκηση,3 (Β ομάδα) -Θεώρημα Bolzano σελ , άσκηση 6,7,8,9 (Α ομάδα) σελ. 99, άσκηση 4 (Β ομάδα) σελ., άσκηση 5,6,7,8 -Ενδιάμεσων τιμών -Σύνολο τιμών σελ. 99, άσκηση -Ερωτήσεις κατανόησης σελ. -3

37 44. Όρια - Συνέχεια Βήμα ο Β. Από τα Βιλιομαθήματα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ εκδόσεις ΟΡΟΣΗΜΟ Βιβλιομάθημα 3ο Λυμένες ασκήσεις : 3, 5 Προτεινόμενες ασκήσεις : 3, 4, 7, 8 Βιβλιομάθημα 4ο Λυμένες ασκήσεις : 5, 6, Προτεινόμενες ασκήσεις : 9, Βιβλιομάθημα 5ο Παραδείγματα : - Προτεινόμενες ασκήσεις : 6, 7, Βιβλιομάθημα 6o Λυμένες ασκήσεις :,, 3, 4 Προτεινόμενες ασκήσεις : 7, 8 Βιβλιομάθημα 7ο Λυμένες ασκήσεις : - 5 Προτεινόμενες ασκήσεις : 3, 4, 5 Βιβλιομάθημα 8ο Tα λυμένα παραδείγματα των μεθόδων : -9

38 Βήμα 3 ο Όρια - Συνέχεια 45.. Να βρεθεί το όριο: Λύση: Για κάθε : im = = ( ) 4 ( ) = = = ( + + ) 4 = = = = = Άρα: im + + = im = ( )( ) = = 4

39 46. Όρια - Συνέχεια Βήμα 3 ο. Θεωρούμε συνάρτηση f + ( + α) =. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β αν imf = β. Λύση: Η f() ορίζεται για [,) (, + ). Επίσης: + + α α f = = + + ( + α) + ( + α) + 4α 4α = = = ( α) ( α) ( 4α 4α ) =. Δηλαδή: ( α) Άρα: f ( α) = 4α + 4α Τότε: [ ] im f α = im 4α + 4α ή β = + 4α α= 4 4α 4α f = α () Από τη σχέση (), για α = έχουμε: f = Άρα: 4 4 β= imf = im = = Έστω z C, z και f:r R συνεχής συνάρτηση. Αν τα επόμενα όρια: zf 4 4 zf + im και im, υπάρχουν και είναι πραγματικοί αριθμοί, να δείξετε ότι υπάρχει ξ [,] τέτοιο ώστε f () ξ =.

40 Βήμα 3 ο Όρια - Συνέχεια 47. Λύση: Έστω zf 4 4 g = () Σύμφωνα με την εκφώνηση το img υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός. Επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής και η συνάρτηση zf 4 είναι επίσης συνεχής,αφού zf 4 = ( f 4) + y f όπου z = + yi με,y R. Από την () παίρνουμε: zf 4 = g + 4 οπότε im zf 4 = im g + 4 = 4 Άρα zf() 4 = 4 (), αφού η zf 4 είναι συνεχής στο. Αν z = α+ βi η σχέση () γράφεται: ( αf() 4) + f() β = 4 f() α f() 8α+ f() β = Τότε ( f() =, άρα ξ= ) ή αf() 8α+ f() β = οπότε: 8α f() = () 3 α + β 4. Έστω συνάρτηση f:r R για την οποία ισχύει: f κάθε R. Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο. Λύση: Για κάθε R, f = (αφού f ( ) + δηλαδή για κάθε R, f. Όμως: im =, im = = f +, για f +, για κάθε R ) Άρα σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής θα ισχύει: imf = () Επίσης από την σχέση της υπόθεσης έπεται ότι: f() = = f + Από τις () και () συμπεραίνουμε ότι η f είναι συνεχής στο. () ()

41 48. Όρια - Συνέχεια Βήμα 3 ο 5. Έστω συνάρτηση f :[ α,β] R με α < συνεχής και τέτοια ώστε: + + = ( ) f α f β f α f β α,β :f = Να δείξετε ότι υπάρχει Λύση: Η σχέση της υπόθεσης γίνεται: f α f β f α f β + + = f α + f β + + f α + f β = f α = ( f ( α) ) + ( f() β + ) = και f () β = Θεωρούμε τη συνάρτηση g = f, [ α,β] Για την g παρατηρούμε ότι: g συνεχής στο [α,β] ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων g( α) = f( α) α = α >, αφού α < g β = f β β = β = β + < () () Άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano: α,β :g = f = f = υπάρχει 6. Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f:r R f f Λύση: Για κάθε R: f f με f() > ώστε: =, για κάθε R. = + = + f f ( ) f = + () Επομένως και f για κάθε R. Θεωρούμε τη συνάρτηση g = f, R: Για τη g παρατηρούμε ότι: g συνεχής στο R g για κάθε R

42 Βήμα 3 ο Όρια - Συνέχεια 49. Επομένως η g διατηρεί πρόσημο στο R και επειδή () () g= f > συμπεραί- νουμε ότι g >, για κάθε R δηλ. υποθ. f >, για κάθε R. Οπότε λόγω και της () έπεται ότι: f = +, για κάθε R ή ισοδύναμα f = + +, για κάθε R. 7. Έστω f:r R συνεχής συνάρτηση ώστε f() > και f, για κάθε R. Δείξτε ότι: i. f >,για κάθε R. ii. imf ( ) =+ Λύση: i. Θεωρούμε τη συνάρτηση g f g συνεχής στο R, g για κάθε R =, R.Για τη g παρατηρούμε ότι: Επομένως η g διατηρεί πρόσημο στο R και επειδή g () = f () υποθ. >συμπεραί- νουμε ότι g >, για κάθε R, δηλαδή f >, για κάθε R ή f >, για κάθε R ii. Είναι φανερό ότι: για κάθε R, f > και άρα < f <, για * κάθε R. Όμως: im =, im = και επομένως σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής θα έχουμε: im =, οπότε f =+. δηλαδή im f im =+ (αφού f f >, για κάθε R ) 8. Έστω f:r R συνεχής συνάρτηση και τέτοια ώστε < f < +, για κάθε R. Δείξτε ότι: f( R) = R.

43 5. Όρια - Συνέχεια Βήμα 3 ο Λύση: Αρκεί προφανώς να δείξουμε ότι κάθε πραγματικός αριθμός κ είναι τιμή της f. R:f = κ Δηλαδή ότι υπάρχει Προς τούτο θεωρούμε τη συνάρτηση g = f κ, R για την οποία παρατηρούμε ότι: g συνεχής στο [ κ,κ] R υποθ. g κ = f κ κ < κ + κ = υποθ. g κ = f κ κ > Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano: κ,κ R:g = f κ = f = κ ο.ε.δ. υπάρχει 9. Αν για τη συνάρτηση f:r R R Λύση: ισχύει f() = και * να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο. Από τη σχέση της υπόθεσης έπεται ότι: ( )( ) * ή f < για κάθε R, δηλ. f < για κάθε Oπότε f <, για κάθε ή ισοδύναμα < f <, για κάθε Όμως: - im( ) im = f <, για κάθε f + f f + <, για κάθε R *. Άρα f R * R. *. R <, για κάθε R =, Άρα σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής θα ισχύει: imf = () Όμως εξ υποθέσεως είναι f() = () Εκ των () και () έπεται ότι η f είναι συνεχής στο. * *. Έστω f :[ α,β] ένα [ α,β] R συνεχής συνάρτηση. Δείξτε ότι υπάρχει τουλάχιστον τέτοιο ώστε: f( ) f +, για κάθε [ α,β].

44 Βήμα 3 ο Όρια - Συνέχεια 5. Λύση: Η f ως συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β] θα παίρνει μέγιστη τιμή σ αυτό (θεώρημα μέγιστης - ελάχιστης τιμής). Δηλαδή θα υπάρχει τουλάχιστον ένα [ α,β] τέτοιο ώστε: α,β f f α,β. f f( ) Οπότε, για κάθε [ ] ή ισοδύναμα, για κάθε [ ] f( ) f +. Έστω f:r R, για κάθε [ α,β]. συνάρτηση και τέτοια ώστε f() < f() < f() 3. Δείξτε ότι η f δεν είναι συνεχής. Λύση: Ισχυριζόμαστε ότι η f είναι συνεχής στο R. Από τις υποθέσεις του προβλήματος έπεται ότι: f συνεχής στο[,3] R f f() 3 f() ( f( ),f() 3) Αρα σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχει () f" ",3 :f = f =, που είναι άτοπο. Άρα η f δεν είναι συνεχής στο R..Έστω f συνεχής στο R και τέτοια ώστε να ισχύει: f ( + ) + f = ( ),για κάθε R, f f() Nα δείξετε ότι υπάρχει ξ (, ) τέτοιο ώστε f () ξ = f ( ξ + ). Λύση: θεωρούμε g = f f( + ), που είναι συνεχής στο [, ] και ισχύουν: g = f f και g = f f( 3). Όμως για f + f = f = f. Για = έχουμε από την (): f() 3 + f() = f() 3 = f() = από την () έχουμε : Άρα g = f + f() = f f() και g g = f f () < Άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ξ στο (,) τέτοιο ώστε: f () ξ f( ξ+ ) = f() ξ = f( ξ+ )

45 5. Όρια - Συνέχεια Βήμα 3 ο 3. Αν f συνεχής στο [, 4 ], τότε υπάρχει: Λύση: ξ (, 4 ): 9f () ξ = f () + 3f () + 4f () 3 Αφού η f είναι συνεχής στο διάστημα [, 4 ] έχει μέγιστο και ελάχιστο δηλ. υπάρχουν, [,4] τέτοια ώστε: f( ε) f f( μ), [,4] Άρα: ε μ ( ε) ( μ) ( ε) ( μ) ( ε) ( μ) f f f f f f f f 3 f Με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε : ( ε) ( μ) ( ε) ( μ) ( ε) ( μ) f f f 3f 3f 3f 4f 4f 3 4f ( ε) ( μ) 9f f + 3f + 4f 3 9f f( ) ε () + + () f 3f 4f 3 9 ( μ) f Σύμφωνα με το Θεώρημα Ενδιάμεσων τιμών υπάρχει ξ (,4) τέτοιο ώστε: f () + 3f + 4f () 3 f () ξ = 9f () ξ = f () + 3f + 4f () Αν f:r R και για κάθε, δειχθεί ότι η f είναι συνεχής και να βρεθεί το Λύση: Με =, = έχουμε: R είναι f( ) f( ) ( ) να f f( 3) lim f f f f και επειδή lim = lim =, συμπεραίνουμε από το κριτήριο παρεμβολής ότι = = lim f f lim f f. Επειδή το είναι τυχαίο στοιχείο του R η f συνεχής σε κάθε R. Ομοίως με =, = 3έχουμε:

46 Βήμα 3 ο Όρια - Συνέχεια 53. f f( 3) f f( 3) f f( 3) lim + 3 = lim + 3 = συμπε- f f( 3) ραίνουμε ότι: lim = Θεωρούμε συνάρτηση f:r R και επειδή [ ] τέτοια ώστε : f + f = k, k > α. Να δειχθεί ότι η f είναι. f f β. Να δειχθεί ότι η f είναι συνεχής και να βρεθεί το lim. Λύση: α. Έστω f( ) = f( ) f 3 ( ) = f 3 ( ) Επομένως: 3 3 = f( ) f = f f με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε: f + f = f + f k = k = 3 3 που σημαίνει ότι η f είναι β. Απο τις σχέσεις: f + f = k και f + f = k με αφαίρεση κατά μέλη,παίρνουμε: f 3 f 3 ( ) + f f( ) = k( ) f f f + f f + f + f f = k () f f f + f f + f + = k αλλά f + f f + f > (τριώνυμο ως προς το f() με αρνητική διακρίνουσα). Οπότε f( ) f k( ) = f + f f + f + k( ) k f f = = k f + f f + f + k f f k