Κβαντοµηχανική ΙΙ. Πρόχειρες σηµειώσεις του µαθήµατος

Transcript

1 Κβαντοµηχανική ΙΙ Πρόχειρες σηµειώσεις του µαθήµατος Κωνσταντίνος Φαράκος, Αν. Καθηγητής Τοµέας Φυσικής Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 6 Ιανουαρίου 011

2

3 Περιεχόµενα 1 Θεµελίωση της κβαντοµηχανικής Γραµµικοί διανυσµατικοί χώροι Ευκλείδειος τριδιάστατος χώρος, Υπόδειγµα ενός Γραµµικού ιανυσµατικού χώρου Ο ιανυσµατικός Χώρος των τετραγωνικά ολοκληρώσιµων κυµατοσυναρτήσεων Τελεστές Ιδιότητες των Ερµιτιανών Τελεστών ύο προτάσεις για τη σύνδεση µεταξύ Πειράµατος και Θεωρίας Βασικές Στατιστικές Εννοιες Μέση τιµή Συνεχής Κατανοµή, Πυκνότητα Πιθανότητας ιασπορά ( A) και Τυπική Απόκλιση A Στατιστικές Ροπές Εξίσωση του Schrödinger Λύση της Εξίσωσης του Schrödinger Στατιστική ερµηνεία της Κυµατοσυνάρτησης Ιδιότητες των Κυµατοσυναρτήσεων Εξίσωση του Schrödinger για περισσότερα από ένα σωµάτια Μεταθετικές Ιδιότητες Τελεστών Χρονική Μεταβολή της Μέσης Τιµής - ιατήρηση Φυσικών Μεγεθών Συνεχές Φάσµα Ιδιοτιµών - Συνάρτηση δ του Dirac Αναπαραστάσεις των συναρτήσεων δ-dirac Ιδιότητες της δ-συνάρτησης Αναπαράσταση κυµατοσυναρτήσεων και τελεστών στο χώρο των ορµών Συµβολισµός Dirac Ανάπτυξη Κυµατοσυνάρτησης σε ένα πλήρες ορθοκανονικό σύστηµα συναρτήσεων Ανισότητα του Schwartz Ορθογωνιοποίηση Schmidt Τελεστές, Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί Ιδιότητες των Μοναδιαίων Τελεστών Αναπαράσταση Γραµµικών Τελεστών µε Πίνακες Πρόβληµα των Ιδιοτιµών Εφαρµογές της εξίσωσης Schrödinger- Μονοδιάστατα προβλήµατα 37.1 Συνεχές Ενεργειακό Φάσµα Ελεύθερο Σωµάτιο Ορθογώνιο Σκαλοπάτι υναµικού Φαινόµενο Σήραγγας ιακριτό Φάσµα υναµικό Τετραγωνικού Πηγαδιού Απείρου Βάθους Τετραγωνικό πηγάδι υναµικού πεπερασµένου ϐάθους

4 ii..3 Πηγάδι δυναµικού συνάρτησης δέλτα Μονοδιάστατος Αρµονικός Ταλαντωτής Αναλυτική λύση, πολυώνυµα Hermite Τελεστές ηµιουργίας και Καταστροφής Θεωρία διαταραχών ιαταραχή µη εκφυλισµένων καταστάσεων Τοποθέτηση του προβλήµατος ιαταραχή πρώτης τάξης ιαταραχή δεύτερης τάξης Εφαρµογές ιαταραχή εκφυλισµένων καταστάσεων Θεωρία διαταραχών εξαρτώµενη από το χρόνο Προσεγγιστικός υπολογισµός της πιθανότητας µετάβασης διαταρακτικά σε πρώτης τάξης προσέγγιση, διακριτό ϕάσµα υναµικό Coulomb- Λύση της εξίσωσης του Schrödinger Κλασσική µηχανική - το πρόβληµα των δύο σωµάτων Κβαντική µηχανική - το πρόβληµα των δύο σωµάτων Χωρισµός µεταβλητών Σφαιρικές αρµονικές Λύση της ακτινικής εξίσωσης Ενεργειακές ιδιοτιµές Τροχιακή Στροφορµή - spin- Πρόσθεση στροφορµών Οι συνιστώσες του Τελεστή της Τροχιακής Στροφορµής σε Σφαιρικές Συντεταγµένες Αλγεβρικός υπολογισµός των ιδιοτιµών του τελεστή της στροφορµής Αναπαράσταση των τελεστών της στροφορµής µε πίνακες Υπολογισµός των ιδιοσυναρτήσεων για ακέραια τιµή j = l της στροφορµής Spin Πρόσθεση στροφορµών Πρόσθεση δύο spin1/

5 1 Θεµελίωση της κβαντοµηχανικής 1.1 Γραµµικοί διανυσµατικοί χώροι Οπως έχουµε µάθει στο εισαγωγικό µάθηµα Κβαντοµηχανικής στο προηγούµενο εξάµηνο, κάθε ϕυσικό σύστη- µα στο µικρόκοσµο περιγράφεται από µια µιγαδική συνάρτηση. Η συνάρτηση αυτή έχει όλη την πληροφορία για το ϕυσικό σύστηµα και συνηθίζουµε να τη λέµε «κυµατοσυνάρτηση» του συστήµατος. Η κυµατοσυνάρτηση περιγράφει πλήρως την κατάσταση του ϕυσικού συστήµατος. Ακόµη, είδαµε ότι εάν δύο µιγαδικές συναρτήσεις Φ 1, Φ είναι δυνατές καταστάσεις του συστήµατος, τότε και κάθε γραµµικός συνδυασµός τους είναι µια δυνατή κατάσταση του συστήµατος. Τα µετρήσιµα ϕυσικά µεγέθη εκπροσωπούνται στην Κβαντοµηχανική από µαθηµατικές εκφράσεις, τους τελεστές. Οι τελεστές αυτοί έχουν σα ϐασική ιδιότητά τους τη γραµµικότητα. Ξεκινάµε λοιπόν µε τους γραµµικούς διανυσµατικούς χώρους Ευκλείδειος τριδιάστατος χώρος, Υπόδειγµα ενός Γραµµικού ιανυσµατικού χώρου Ιδιότητες : (α) Εάν τα διανύσµατα a και b ανήκουν στον τριδιάστατο ευκλείδειο γραµµικό χώρο S, τότε και το άθροισµά τους a + b είναι διάνυσµα του χώρου S. Γενικότερα κάθε γραµµικός συνδυασµός c 1 a + c b είναι διάνυσµα του χώρου S, όπου c 1, c αυθαίρετοι σταθεροί πραγµατικοί αριθµοί. (ϐ) Κάθε διάνυσµα a γράφεται στον τριδιάστατο γραµµικό χώρο σαν γραµµικός συνδυασµός τριών µοναδιαίων διανυσµάτων ê 1, ê και ê 3, που λέµε ότι αποτελούν τη ϐάση του χώρου : a = a 1 ê 1 + a ê + a 3 ê 3 Τα τρία αυτά µοναδιαία διανύσµατα τα επιλέγουµε έτσι ώστε να είναι µεταξύ τους κάθετα. (γ) Το µέτρο του διανύσµατος a δίνεται στον ευκλείδειο γραµµικό χώρο από τη σχέση : a = ( a 1 + a + a ) 1/ 3 (δ) Το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων είναι ένας πραγµατικός αριθµός και δίνεται από τη σχέση όπου θ είναι η γωνία µεταξύ των δύο διανυσµάτων. a b = a b cos θ Για θ = π/ a b = 0 ορθογώνια διανύσµατα

6 Θεµελίωση της κβαντοµηχανικής (ε) ιανύσµατα ϐάσης ê k όπου δ ij το σύµβολο του Kronecker δ ij = ê i ê j = δ ij { 0, = για i j 1, = για i = j Τα ê k είναι ορθοκανονικά διανύσµατα. Για δύο διανύσµατα a = a 1 ê 1 +a ê +a 3 ê 3, b = b 1 ê 1 +b ê +b 3 ê 3 ισχύει : a b = a 1 b 1 + a b + a 3 b 3 χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες των ορθοκανονικών διανυσµάτων ϐάσης. Κάθε σύνολο τριών γραµµικά ανεξάρτητων διανυσµάτων µπορεί να αποτελέσει ϐάση για τον τριδιάστατο γραµµικό χώρο Ο ιανυσµατικός Χώρος των τετραγωνικά ολοκληρώσιµων κυµατοσυναρτήσεων Υπάρχουν και γραµµικοί χώροι απείρων διαστάσεων. Τα διανύσµατα του Ευκλείδειου χώρου αντικαθίστανται από µιγαδικές συναρτήσεις Ψ n (x) και δίνουν έναν συναρτησιακό χώρο, χώρος Hilbert. Τις συναρτήσεις ϐάσης αποτελεί κάθε πλήρης οµάδα ορθοκανονικών συναρτήσεων. Ιδιότητες : (α) Γραµµικότητα (είναι µια ιδιότητα που επιβάλλεται στο χώρο από τα πειράµατα). Εάν Φ 1 (x) και Φ (x) ανήκουν στο χώρο S, τότε κάθε γραµµικός συνδυασµός Φ(x) = c 1 Φ 1 (x) + c Φ (x) ανήκει επίσης στο χώρο S, µε c 1, c, µιγαδικές σταθερές. (ϐ) Εσωτερικό γινόµενο Φ 1, Φ = ορισµός Φ 1(x)Φ (x) dx όπου Φ 1(x) είναι η µιγαδική συζυγής της Φ 1 (x), και dx = dx 1 dx dx 3, εάν οι συναρτήσεις ορίζονται στον τριδιάστατο Ευκλείδειο χώρο R 3. Το εσωτερικό γινόµενο έχει όλες τις καλές ιδιότητες του εσωτερικού γινοµένου : Φ 1, Φ 1 0, Φ 1, aφ = a Φ 1, Φ Φ 1, Φ + Φ 3 = Φ 1, Φ + Φ 1, Φ 3 Οι κυµατοσυναρτήσεις του γραµµικού χώρου είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιµες, δηλαδή Φ, Φ <. Εάν Φ 1, Φ = 0 λέµε ότι οι δύο συναρτήσεις είναι ορθογώνιες µεταξύ τους. (γ) Απεικόνιση του S S µέσω µιας µαθηµατικής πράξης, δηλαδή ενός τελεστή Â: ÂΦ Φ, (δ) Γραµµικότητα των τελεστών της Κβαντοµηχανικής Φ S Φ S ( ) d  = A x, dx,... Â(c 1 Φ 1 + c Φ + c 3 Φ 3 ) = c 1 (ÂΦ 1) + c (ÂΦ ) + c 3 (ÂΦ 3)

7 1. Τελεστές 3 1. Τελεστές (1) Πρόσθεση τελεστών που δρουν σε χώρο Hilbert Ĉ = Â + ˆB, δηλαδή : ĈΦ = (Â + ˆB)Φ = ÂΦ + ˆBΦ () Πολλαπλασιασµός Τελεστών (3) Μεταθέτες Τελεστών Ĉ = Â ˆB ĈΦ = Â( ˆBΦ), Φ S ˆD = [Â, ˆB] ˆDΦ = Â( ˆBΦ) ˆB(ÂΦ) (γενικά, ˆD 0) [Â, ˆB] = Â ˆB ˆB Â Εάν για δύο τελεστές ο µεταθέτης τους είναι µηδέν, λέµε ότι οι δύο τελεστές µετατίθενται. Παράδειγµα Â = x, ˆB = x, ( ) [Â, ˆB]Φ Φ = x (xφ) = Φ x x [Â, ˆB] = 1 Οι τελεστές αυτοί δε µετατίθενται. (4) Αντίστροφος τελεστής Â 1 Â Â 1 = Â 1 Â = 1 (Â Â 1 )Φ = Â(Â 1 Φ) = Φ = Â 1 (ÂΦ) (5) Ιδιοσυναρτήσεις και ιδιοτιµές Τελεστή Λύση της εξίσωσης ÂΦ = aφ για έναν τελεστή Â. Το Φ ονοµάζεται Ιδιοσυνάρτηση του Â και το a ονοµάζεται ιδιοτιµή του Â που αντιστοιχεί στην Ιδιοσυνάρτηση Φ. Εάν οι Ιδιοτιµές είναι ένα διακριτό σύνολο, τότε το αριθµούµε και το συµβολίζουµε µε a n, οπότε Φ n : ÂΦ n = a n Φ n Εάν ο τελεστής Â είναι ένας διαφορικός τελεστής τότε η εξίσωση των ιδιοτιµών αντιστοιχεί στη λύση µιας διαφορικής εξίσωσης. Εάν σε µια ιδιοτιµή a του τελεστή Â αντιστοιχούν δύο ή περισσότερες ιδιοσυναρτήσεις, γραµµικά ανεξάρτητες, οι ιδιοσυναρτήσεις αυτές λέγονται εκφυλισµένες. Οι συναρτήσεις Φ 1, Φ,..., Φ k λέγονται Γραµµικά Ανεξάρτητες εάν, δοθείσης της β 1 Φ 1 + β Φ β k Φ k = 0 ισχύει β 1 = β =... = β k = 0 (6) Ερµιτιανός Τελεστής Â (ορισµός) ) ) Ψ(x) Φ (x) (ÂΨ(x) dx = (ÂΦ(x) dx, Φ, Ψ S αλλιώς από το συµβολισµό του εσωτερικού γινοµένου γράφουµε : Φ, ÂΨ = ÂΦ, Ψ

8 4 Θεµελίωση της κβαντοµηχανικής (7) Συζυγής Τελεστής του Â Â Φ ( ) (Â Ψ ÂΨ dx = Φ) dx Φ, ÂΨ = Â Φ, Ψ Εφαρµογή : Υπολογισµός του (Â ˆB). Φ ( Â ˆBΨ ) (Â ( Ψ dx = Φ) ˆBΨ dx = ˆB Â Φ) dx Οµως ισχύει επίσης : εποµένως Φ ( Â ˆBΨ ) ( Ψ dx = (Â ˆB) Φ) dx (Â ˆB) = ˆB Â Εφαρµογή : (A ) = A ( ( Φ (AΨ)dx = (A Φ) Ψdx = (A Φ)Ψ dx) = ( ( ) = (A ) Ψ) Φdx = Φ (A ) Ψdx, Φ, Ψ A = (A ) ) Ψ (A Φ)dx (8) Αυτοσυζυγής Τελεστής είναι αυτός για τον οποίο ισχύει Ο αυτοσυζυγής τελεστής είναι και ερµιτιανός. Â = Â (9) Γενικά για µια συνάρτηση g(â) ενός τελεστή Â ισχύει : Παίρνουµε τη συνάρτηση g(x) και την αναπτύσουµε κατά Taylor γύρω από το µηδέν : g(x) = + n=0 g(â) = + n=0 1 n! g(n) (0)x n 1 g(n) (0)Ân n! Παράδειγµα : Να υπολογιστεί ο τελεστής της µετάθεσης T (α) που ορίζεται από τη σχέση Λύση : T (α)ψ(x) = Ψ(x + α) Ψ(x + α) = Ψ(x) + Ψ (x)α + 1 Ψ (x)α +... = = e α d dx Ψ(x) = T (α)ψ(x) n=0 T (α) = e α d dx µετάθεση κατά α. a n d n Ψ(x) n! dx n

9 1. Τελεστές Ιδιότητες των Ερµιτιανών Τελεστών (α) Το άθροισµα δύο Ερµιτιανών Τελεστών είναι Ερµιτιανός Τελεστής. (ϐ) Εάν οι δύο Ερµιτιανοί Τελεστές µετατίθενται τότε το γινόµενό τους είναι Ερµιτιανός Τελεστής (Â ˆB) = ˆB Â = ˆBÂ = Â ˆB (γ) Οι ιδιοτιµές ενός Ερµιτιανού Τελεστή είναι πραγµατικοί αριθµοί. Φ nâφ n dx = a n Φ nφ n dx Ακόµη, Φ nâφ n dx = (ÂΦ n) Φ n dx = = αn Φ nφ n dx (α n Φ n ) Φ n dx α n = α n (δ) Οι ιδιοσυναρτήσεις ενός Ερµιτιανού Τελεστή είναι ορθοκανονικές. Φ mâφ n dx = a n Φ mφ n dx Φ mâφ n dx = (ÂΦ m) Φ n dx = αm Φ mφ n dx αλλά α m = α m εποµένως (α n α m ) Φ mφ n dx = 0 Εάν a n a m έχουµε : Φ mφ n dx = 0 Ακόµη η εξίσωση ιδιοτιµών κατάλληλα ώστε ÂΦ = αφ είναι γραµµική, άρα µπορούµε να πολλαπλασιάσουµε τις Φ Φ nφ n dx = 1 Φ mφ n dx = δ mn (ε) Επαλληλία, πλήρες σύνολο ιδιοσυναρτήσεων για τους ερµιτιανούς τελεστές της Κβαντοµηχανικής. Στην Κβαντοµηχανική δεχόµαστε ότι : Σε κάθε µετρήσιµο ϕυσικό µέγεθος A ενός ϕυσικού συστήµατος αντιστοιχούµε έναν Ερµιτιανό Τελεστή. Οι ιδιοτιµές του τελεστή συµπίπτουν µε όλες τις δυνατές τιµές του A κατά τη µέτρηση. Ολοι οι Ερµιτιανοί Τελεστές που χρησιµοποιούνται στην Κβαντοµηχανική έχουν ένα πλήρες σύστηµα Ιδιοσυναρτήσεων, δηλαδή Φ S έχουµε : Φ = n c n Φ n, όπου ÂΦ n = α n Φ n και Φ nφ m dx = δ nm. Υπολογισµός των συντελεστών c n στο ανάπτυγµα της Φ: Φ nφ dx = c m Φ nφ m dx = m m c m δ mn επειδή m c mδ nm = c n c n = Φ nφ dx

10 6 Θεµελίωση της κβαντοµηχανικής (στ) Η αναµενόµενη (µέση) τιµή ενός ερµιτιανού τελεστή είναι πάντοτε πραγµατικός αριθµός. Εστω α = Φ (ÂΦ) dx = [ ] α = Φ (ÂΦ) dx = (ÂΦ) Φ dx Φ(ÂΦ) dx = α Μπορεί να δειχτεί και το αντίστροφο: Εάν η αναµενόµενη τιµή ενός τελεστή Â ως προς κάθε διάνυσµα του S είναι πραγµατικός αριθµός, τότε ο τελεστής είναι ερµιτιανός. Απόδειξη. Παίρνουµε δύο συναρτήσεις του S, έστω τις Φ 1 και Φ και ϕτιάχνουµε την Ψ = Φ 1 + αφ, µε α αυθαίρετο αριθµό. Η αναµενόµενη τιµή της Â ως προς την Ψ είναι ένας πραγµατικός αριθµός, δηλαδή : ( Ψ ÂΨ dx = Ψ ÂΨ) = (ÂΨ) Ψ dx = (Φ 1 + αφ ) Â(Φ 1 + αφ ) dx = (Φ 1 + αφ ) [Â(Φ1 + αφ )] dx. Φ 1ÂΦ 1 dx + α Φ 1ÂΦ dx + α Φ ÂΦ 1 dx + α Φ ÂΦ dx Φ 1 (ÂΦ 1) dx + α Φ (ÂΦ 1) dx + α Φ 1 (ÂΦ ) dx + α Φ (ÂΦ ) dx Ισχύει για κάθε α Φ 1(ÂΦ ) dx = (ÂΦ ) Φ 1 dx Φ 1, Φ Εποµένως ο τελεστής Â είναι ερµιτιανός. 1.. ύο προτάσεις για τη σύνδεση µεταξύ Πειράµατος και Θεωρίας 1. Σε κάθε µετρήσιµο ϕυσικό µέγεθος A(r, p) που είναι συνάρτηση της ϑέσης (r) και της ορµής (p) αντιστοιχεί ένας Ερµιτιανός Κβαντικός Τελεστής Â(ˆr, ˆp) που ϕτιάχνεται ϐάζοντας όπου ˆr = r και ˆp = i.. Οι τιµές ενός µετρήσιµου ϕυσικού µεγέθους A(r, p) ισούνται µε τις ιδιοτιµές του αντίστοιχου τελεστή Â(ˆr, ˆp), που υπολογίζονται από την αντίστοιχη εξίσωση ιδιοτιµών Â(r, i )Φ n (r) = λ n Φ n (r) Παράδειγµα 1. είξτε ότι ο τελεστής της ορµής p = i είναι ερµιτιανός στο χώρο των κανονικοποιήσιµων συναρτήσεων. Λύση : Για να είναι κανονικοποιηµένες οι συναρτήσεις πρέπει να τείνουν στο µηδέν για x ± + Φ 1(ˆp x Φ ) dx = i + [ + Φ dφ 1 dx dx d = ( i ) dx (Φ 1Φ ) dx = ( i ) [Φ 1Φ ] + (i ) + + = µηδέν + + = (ˆp x Φ 1 ) Φ dx ( i dφ 1 dx + + ( dφ1 dx ) Φ dx ( )] dφ 1 dx Φ dx ) Φ dx Θα χρησιµοποιώ πολλές ϕορές τους τελεστές p x, p y, p z της ορµής χωρίς το σύµβολο ˆ από επάνω.

11 1. Τελεστές 7 Παράδειγµα. Εάν για το δυναµικό (δυναµική ενέργεια) ισχύει V = V, τότε ο τελεστής της Ολικής Ενέργειας, δηλαδή η Χαµιλτονιανή Ĥ του συστήµατος είναι ερµιτιανός τελεστής στο χώρο των κανονικοποιήσιµων συναρτήσεων. Ĥ = p m + ˆV (r), Ας πάρουµε µόνο την p x = i d dx και ˆV = V (x). + Φ 1ĤΦ dx = 1 m = 1 m = 1 m Φ 1p xφ dx + + (p x Φ 1 ) p x Φ dx + (p xφ 1 ) Φ dx + p = p x + p y + p z + + Οµοια για τα p y και p z. Ακόµη, p xφ (x) p x (p x Φ ). Εάν Φ 0 για x ± και το dφ /dx 0, x ±. Φ 1V (x)φ dx (V (x)φ 1 ) Φ dx (V (x)φ 1 ) Φ dx = + (ĤΦ 1) Φ dx

12 8 Θεµελίωση της κβαντοµηχανικής 1.3 Βασικές Στατιστικές Εννοιες Μέση τιµή Εχουµε ένα στατιστικό µέγεθος A που παίρνει διακριτές τιµές a 1, a,..., a ν. Σε µια σειρά µετρήσεων N έχουµε N 1 ϕορές το a 1,..., N ν ϕορές το a ν. Η µέση τιµή του A δίνεται από τη σχέση A = N 1a N ν a ν N 1 = a 1 N N a ν ν = a 1 f a ν f ν = a k f k όπου f k οι συχνότητες εµφάνισης της k τιµής. Αν το N τότε f k P k, που είναι η πιθανότητα εµφάνισης της τιµής. ν A = a 1 P a ν P ν = a k P k και k=1 ν P k = 1 k=1 Για µια τυχούσα συνάρτηση G(A) ενός στατιστικού µεγέθους A, οι δυνατές τιµές είναι οι g ν = G(a ν ) G(A) = ν g k P k = k=1 k=1 ν G(a k )P k k= Συνεχής Κατανοµή, Πυκνότητα Πιθανότητας Εάν οι τιµές που παίρνει ένα στατιστικό µέγεθος A είναι συνεχείς, τότε ορίζουµε την πιθανότητα να ϐρεθεί η τιµή του A σε ένα διάστηµα απειροστό γύρω από κάποια τιµή a, δηλαδή στο διάστηµα ( a da, a + da ) ίση µε P (a)da N ν N όπου P (a) = πυκνότητα πιθανότητας + A = ap (a)da P (a 1 < a < a ) = a a 1 P (a) da και + P (a) da = 1 Για µια τυχούσα συνάρτηση G(A) του στατιστικού µεγέθους A: G(A) = + G(a)P (a) da ιασπορά ( A) και Τυπική Απόκλιση A ( A) = = ( A) = ( A A ), A = (A A ) + + (a A ) P (a) da + + a P (a) da A ap (a) da + A P (a) da } {{ } } {{ } A =1 = A A + A = A A

13 1.4 Εξίσωση του Schrödinger 9 Για διακριτή κατανοµή έχουµε : ( A) = ν (a k A ) P (a k ) k=1 = a kp k A k k = A A a k P k + A = A A + A Εάν η διασπορά µιας στατιστικής κατανοµής είναι µηδέν, τότε η κατανοµή αποτελείται από µία µόνο τιµή µε πιθανότητα 1. Άρα όλες οι µετρήσεις ϑα δίνουν σαν αποτέλεσµα αυτή την µοναδική τιµή. ( A) = 0 a = A Απόδειξη για διακριτή κατανοµή. αλλά P κ 0 και (a κ A ) 0 οπότε ν (a k A ) P κ = 0 κ=1 A = a κ0 και P κ0 = 1, P κ = 0 για κάθε k k 0, διότι κ P κ = Στατιστικές Ροπές Στατιστική Ροπή τάξης n (n-οστής τάξης) µιας στατιστικής κατανοµής ονοµάζουµε τη µέση τιµή της νιοστής δύναµης της στατιστικής µεταβλητής. I n = A n = + a n P (a) da Ξέροντας τις στατιστικές ϱοπές I n (n = 1,,..., ) µπορούµε να υπολογίσουµε τη µέση τιµή της τυχούσας συνάρτησης G(A) που µπορεί να αναπτυχθεί σε δυναµοσειρά Taylor. Εάν ϑεωρήσουµε τη συνάρτηση F (A, ξ) = e iξa, τότε (iξ) n A n n! f(ξ) = e iξa = n = (iξ) n A n = n! n n (iξ) n I n n! Η συνάρτηση f(ξ) ονοµάζεται χαρακτηριστική συνάρτηση της στατιστικής κατανοµής. και f(ξ) = e iξa = P (a) = 1 π + + e iξa P (a) da f(ξ)e iξa dξ I n f(ξ) P (a) 1.4 Εξίσωση του Schrödinger Ενα σωµατίδιο περιγράφεται στην Κβαντοµηχανική από µια µιγαδική συνάρτηση Ψ(r, t) του χώρου και του χρόνου, που ονοµάζεται κυµατοπακέτο ή κυµατοσυνάρτηση. Αυτή η κυµατοσυνάρτηση περιέχει όλη την πληροφορία για το σύστηµα. Η διαφορική εξίσωση που µας δίνει ως λύση την Ψ(r, t) για ένα σωµατίδιο που ϐρίσκεται υπό την επίδραση δυνάµεων είναι η εξίσωση του Schrödinger:

14 10 Θεµελίωση της κβαντοµηχανικής ] [ Ψ(r, t) m + V (r, t) Ψ(r, t) = i t Η εξίσωση αυτή δεν είναι συνέπεια κάποιου άλλου ϕυσικού νόµου. Αυτή η εξίσωση είναι ο ϐασικός ϕυσικός νόµος. Παίρνοντας κλασσικά την ολική ενέργεια ενός σώµατος, όταν η δυναµική ενέργεια δεν εξαρτάται από το χρόνο, έχουµε : Παίρνοντας και τον τελεστή της ορµής, έχουµε E = p m + V p = i Ĥ(r, t) = ˆp + V (r, t) = m m + V (r, t) γενικεύοντας και για χρονικά µεταβαλλόµενες δυνάµεις. Αυτή η έκφραση είναι η Χαµιλτονιανή H του συστή- µατος. Οπότε η εξίσωση του Schrödinger γράφεται ως εξής : ĤΨ = i Ψ t Μπορούµε να ϐρούµε µια αντιστοιχία µεταξύ της ορµής και ενέργειας ενός σωµατιδίου µε το µήκος κύµατος και τη συχνότητα για ένα κύµα, όταν V (r, t) = 0: i Ψ t = Ψ m x = p m Ψ = EΨ E = p m Εαν Ψ = Ae i(kx ωt) επίπεδο µονοχρωµατικό κύµα, κλασσικά Ψ t = iωψ = ie Ψ ω = E ν = E h ω = πν και = h π Ψ x = ikψ Ψ x = (ik) Ψ = k Ψ Συνεπώς για να ικανοποιεί αυτό το κύµα την εξίσωση του Schrödinger έχουµε : και επειδή E = p /m κλασσικά, ϑα έχουµε : EΨ = m ( k )Ψ p = k p = h π π λ λ = h p Σχέση του De Broglie Ψ(x, t) = Ae i(px Et)/ h είναι η σταθερά του Planck και ισούται µε 6, Joule sec. = h π = 1, Joule sec.

15 1.4 Εξίσωση του Schrödinger 11 Ιστορικά τα πράγµατα πηγαίνουν ανάποδα : De Broglie σε κάθε σωµατίδιο έχουµε Άρα ποια διαφορική εξίσωση δίνει τη λύση ; Εξίσωση από τον Schrödinger λ = h/p, ν = E h και E = p m ορµή p = διαφορικός τελεστής = i x Λύση της Εξίσωσης του Schrödinger ] [ Ψ(r, t) m + V (r, t) Ψ(r, t) = i t Η εξίσωση του Schrödinger µπορεί να λυθεί µε τη µέθοδο του χωρισµού των µεταβλητών. Αναζητούµε λοιπόν λύση της µορφής : Ψ(r, t) = Ψ(r)Φ(t) Τέτοια λύση υπάρχει µόνον όταν V = V (r). Αντικαθιστώντας στην εξίσωση (1.1), όταν η δυναµική ενέργεια δεν εξαρτάται από το χρόνο, ϐρίσκουµε : ] [ m Ψ + V (r)ψ Φ = i Φ t Ψ ιαιρούµε και τα δύο µέλη µε τη Ψ(r)Φ(t) οπότε παίρνουµε, ĤΨ(r) Ψ(r) } {{ } συνάρτηση µόνο των x,y,z = i 1 Φ } Φ {{ t } συνάρτηση µόνο του t Ισχύει η ισότητα για κάθε x, y, z, t. Άρα κάθε όρος είναι ένας σταθερός αριθµός, έστω W. Εποµένως παίρνουµε τις σχέσεις : ] [ m + V Ψ = W Ψ i Φ(t) t iw t/ = W Φ(t) Φ(t) = e iw t/ Ψ(r, t) = Ψ(r)e Ποια είναι η ϕυσική σηµασία της σταθεράς W ; Η W είναι η ενέργεια E του σωµατιδίου στην κατάσταση Ψ(r), όπως εύκολα ϕαίνεται από τα προηγούµενα όταν V = 0. Εποµένως, (1.1) ĤΨ(r) = EΨ(r) (1.) Ψ(r, t) = Ψ(r)e iet/ (1.3) Άρα E είναι µια ιδιοτιµή της Χαµιλτονιανής και Ψ(r) το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα ή ιδιοσυνάρτηση. Λύνουµε λοιπόν πρώτα την (1.) και τότε η (1.3) µας δίνει τη χρονική εξάρτηση Στατιστική ερµηνεία της Κυµατοσυνάρτησης Οταν κάνουµε µια µέτρηση δε µπορούµε να ϐρούµε ακριβώς τη ϑέση x που ϐρίσκεται το σώµα. Αυτό που µπορούµε να ϐρούµε είναι η πιθανότητα να ϐρεθεί το σώµα σε αυτήν τη ϑέση, και αυτή η πιθανότητα είναι ανάλογη µε την κυµατοσυνάρτηση. Οσο µεγαλύτερη η κυµατοσυνάρτηση σε ένα σηµείο, τόσο µεγαλύτερη η πιθανότητα. Η κυµατοσυνάρτηση εκφράζει ένα πλάτος πιθανότητας (κατά Born), της οποίας το τετράγωνο της απόλυτης τιµής δίνει την πυκνότητα της πιθανότητας να ϐρεθεί ένα σύστηµα σε µια περιοχή του χώρου, κάποια χρονική στιγµή P (r, t) = Ψ (r, t)ψ(r, t)

16 1 Θεµελίωση της κβαντοµηχανικής Η ολική πιθανότητα να ϐρίσκεται το σωµάτιο τη χρονική στιγµή t κάπου µέσα στο χώρο εκφράζεται από το ολοκλήρωµα C = Ψ (r, t)ψ(r, t)d 3 x όγκο και αυτή η πιθανότητα πρέπει να είναι µονάδα. Άρα αυτό το ολοκλήρωµα πρέπει να συγκλίνει για κάθε t. Με αυτό τον τρόπο κανονικοποιούµε την κυµατοσυνάρτηση ώστε να δίνει πιθανότητα ένα. Συναρτήσεις µε αυτή την ιδιότητα ονοµάζονται τετραγωνικά ολοκληρώσιµες. Θα δείξουµε τώρα ότι το C είναι ανεξάρτητο του χρόνου (για µία διάσταση µόνο). dc dt = d dt = + + Ψ (x, t)ψ(x, t) Ψ t Ψ dx + + Ψ Ψ t dx αλλά και dc dt = i i Ψ t Ψ t = i ĤΨ, + i Ψ t = ĤΨ = (ĤΨ) Ψ t (ĤΨ) Ψ dx i = i (ĤΨ) + Ψ (ĤΨ) dx Ο τελεστής Ĥ είναι ερµιτιανός (ĤΨ) Ψ dx = Ψ (ĤΨ) dx dc dt = 0 και η ολική πιθανότητα + Ψ Ψ dx είναι ανεξάρτητη του χρόνου. Άρα κανονικοποιώντας για ένα συγκεκρι- µένο t = t 0 ισχύει για κάθε t Ιδιότητες των Κυµατοσυναρτήσεων α) Οι κυµατοσυναρτήσεις Ψ(r, t) που περιγράφουν ένα ϕυσικό σύστηµα σε µια κατάσταση και οι ιδιοσυναρτήσεις Ψ(r) του τελεστή Ĥ της ολικής ενέργειας, καθώς και οι πρώτες παράγωγοί τους πρέπει να είναι συνεχείς, µονότιµες και πεπερασµένες σε όλο το χώρο ορισµού των. (Για να είναι δεκτές λύσεις της ĤΨ = EΨ) Ακόµη, ϑέλουµε το Ψ (r, t)ψ(r, t)d 3 x V να είναι πεπερασµένο. ηλαδή ο γραµµικός χώρος των κυµατοσυναρτήσεων αποτελείται από τις τετραγωνικά ολοκληρώσιµες µιγαδικές συναρτήσεις. Εστω ότι πάµε σε σφαιρικές συντεταγµένες Εάν Ψ(r) r rα τότε, Για να συγκλίνει αυτό το ολοκλήρωµα ϑέλουµε d 3 x = r sin θ dr dθ dφ Ψ = Ψ Ψ r rα Ψ Ψd 3 x r α+ dr r α + < 1 α + 3 < 0 α < 3

17 1.4 Εξίσωση του Schrödinger 13 Εάν α + = 1 τότε dr r ln r, το οποίο αποκλίνει. Εάν α + > 1 το ολοκλήρωµα δίνει ϑετική δύναµη του r και αποκλίνει και πάλι. ϐ) Αρχή της Επαλληλίας : Εάν Ψ n (r, t) είναι ιδιοσυνάρτηση του ερµιτιανού τελεστή της ολικής Ενέργειας µε ιδιοτιµή E n, τότε κάθε γραµµικός συνδυασµός των Ψ n (r, t) που ικανοποιεί τις οριακές συνθήκες δίνει µια κυµατοσυνάρτηση Ψ(r, t) που ϑα µπορούσε να περιγράψει το σύστηµα σε µια κατάσταση Ψ(r, t) = n α n Ψ n (r, t) οι αριθµοί α n (0 α n 1) εκφράζουν το ϐαθµό συµµετοχής κάθε Ψ n στην Ψ. Η ποσότητα α n = αnα n σχετίζεται µε την πιθανότητα εµφάνισης της ιδιοτιµής E n σε µια µέτρηση του µεγέθους E. Ακόµη, α n = Ψ n(r, t)ψ(r, t) d 3 x και όγκο α n = αnα n = 1 n n για να δίνει το Ψ την πυκνότητα πιθανότητας. Ισχύει Ψ(r, t) = α n Ψ n (r, t) = n n α n Ψ n (r)e ient/ και Ψ n(r)ψ m (r) d 3 x = δ nm όγκο Ψ n(r, t)ψ(r, t) d 3 x = α m Ψ n(r)ψ m (r) d 3 xe i(em En)/ m = m α m δ nm e i(em En)t/ = α n εφόσον η Ψ(r, t) είναι κυµατοσυνάρτηση ενός ϕυσικού συστήµατος, απαιτούµε Ψ (r, t)ψ(r, t) d 3 x = 1 όγκο 1 = Ψ Ψ d 3 x = αnα m V n m = αnα m δ nm e i( Enm)t n m όγκο Ψ n(r)ψ m (r)e i(em En)t d 3 x = n α nα n Η Ψ(r, t), που είναι γραµµική επαλληλία των Ψ n, ικανοποιεί την εξίσωση του Schrödinger. Πράγµατι : i Ψ t = n α n (i ) Ψ n t = n α n ĤΨ n = ĤΨ Οι αριθµοί α n είναι σταθεροί στο χρόνο και µπορούν να υπολογιστούν εάν ξέρουµε τη συνάρτηση Ψ(r, t) για µια συγκεκριµένη χρονική στιγµή t 0, έστω t 0 = 0 α n = Ψ n(r)ψ(r, 0) d 3 x όγκο

18 14 Θεµελίωση της κβαντοµηχανικής Χρονική Εξέλιξη Κυµατοσυνάρτησης Εάν ξέρουµε την κυµατοσυνάρτηση Ψ(r, 0), µπορούµε να ορίσουµε έναν τελεστή Ŝ(t) έτσι ώστε Η Ψ ικανοποιεί την εξίσωση του Schrödinger: Ψ(r, t) = Ŝ(t)Ψ(r, 0) i Ŝ Ψ(r, 0) = ĤŜ(t)Ψ(r, 0) t [ ] i Ŝ t ĤŜ Ψ(r, 0) = 0 t και Ψ i Ŝ t = ĤŜ, Ĥ εάν t = 0 Ŝ(t) = e iĥt/, Ψ(r, 0) = n α n Ψ n (r) Ψ(r, t) = e iĥt/ Ψ(r, 0) = n α n e iĥt/ Ψ n (r) = n α n Ψ n (r)e ient/ διότι εάν ĤΨ n = E n Ψ n. e iht Ψ n (r) = e ient/ Ψ n (r) γ) Ιδιοκαταστάσεις ή στάσιµες καταστάσεις ενός συστήµατος Εστω η Ψ n (r, t) είναι η κυµατοσυνάρτηση του συστήµατος σε µια κατάσταση µε ενέργεια E n. Η πυκνότητα πιθανότητας είναι Ψ n(r, t)ψ n (r, t) = Ψ n(r)ψ n (r)e ient/ e ient/ = Ψ n(r)ψ n (r) και είναι ανεξάρτητη του χρόνου. Αυτές οι καταστάσεις λέγονται στάσιµες καταστάσεις, και αντιστοιχούν σε σταθερή ενέργεια. Εάν όµως έχουµε την κυµατοσυνάρτηση του συστήµατος να είναι ένας γραµµικός συνδυασµός από Ψ n (r, t), τότε Ψ(r, t) = a n Ψ n (r, t) n και Ψ (r, t)ψ(r, t) = n a l a n Ψ l (r)ψ n (r) + n,l n l a na l Ψ nψ l e i(e l E n)t/ δηλαδή η πυκνότητα πιθανότητας δεν είναι σταθερή µε το χρόνο, και εκτελεί γενικά ταλάντωση µε γωνιακή συχνότητα π.χ. ανάµεσα στις Ψ n, Ψ l ιδιοκαταστάσεις του συστήµατος. ω nl = E n E l δ) Μέση ή Αναµενόµενη Τιµή Εφόσον P (x, t) = Ψ (x, t)ψ(x, t) είναι η πιθανότητα το σωµατίδιο να είναι στη ϑέση x τότε η µέση τιµή της ϑέσης είναι : + + x = xp (x, t) dx = Ψ(x, t) (ˆxΨ(x, t)) dx

19 1.4 Εξίσωση του Schrödinger 15 όπου ˆxΨ(x, t) = xψ(x, t). Αυτός ο τύπος ισχύει για κάθε δύναµη του ˆx n : x k = Ψ (x, t)x k Ψ(x, t) dx Γενικεύοντας λοιπόν έχουµε ότι η µέση τιµή για κάθε ϕυσικό µέγεθος A που δίνεται από τον τελεστή Â, όταν το σύστηµα είναι στην κατάσταση Ψ, ειναι A = Ψ (r, t)âψ(r, t) d3 x όγκο και όµοια, Άρα ειδικά για την ενέργεια έχουµε, εάν : A k = Ψ Â k Ψ d 3 x Ψ(r, t) = n a n Ψ n (r, t), E = ĤΨ n (r) = E n Ψ n (r) Ψ ĤΨ d 3 x E = n a n E n Εάν Φ(r, t) είναι η κυµατοσυνάρτηση για έναν ερµιτιανό τελεστή Â που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ, τότε ÂΦ = λφ και η µέση τιµή του Â είναι : A = Φ ÂΦ d 3 x = λ Φ Φ d 3 x = λ και η διασπορά είναι ( A) = A A = λ λ = 0 Άρα η µόνη τιµή που παίρνουµε κατά τη µέτρηση της ποσότητας A είναι η λ. Εάν Φ n (r, t) είναι ιδιοσυναρτήσεις του Â και του Ĥ συγχρόνως, τότε γράφουµε τη λύση του συστήµατος Ψ(r, t) σαν επαλληλία των Φ n και έχουµε : Ψ = n a n Φ n, a n σταθερές στο χρόνο A = Ψ ÂΨ d 3 x = n a na n λ n ανεξάρτητη του χρόνου. ηλαδή, a n = α na n = P n = Πιθανότητα να ϐρούµε την τιµή λ n για το ϕυσικό µέγεθος A σε µια µέτρηση. Το µέγεθος A µε µέση τιµή ανεξάρτητη του χρόνου λέµε ότι είναι διατηρήσιµο µέγεθος. Εάν οι ιδιοσυναρτήσεις της Ĥ δεν είναι και ιδιοσυναρτήσεις του Â, τότε εάν το σύστηµα είναι στην κατάσταση Φ(r, t) µε Φ(r, t) = n a nψ n (r, t): ĤΨ n = E n Ψ n

20 16 Θεµελίωση της κβαντοµηχανικής Η µέση τιµή του µεγέθους A είναι : A = Φ ÂΦ d 3 x = a na m Ψ nâψ m d 3 x n,m = a na m e i(em En)t/ Ψ n(r)âψ m(r) d 3 x n,m όγκο Ορίζουµε ω mn = (E m E n )/. Το A nm = Ψ n(r)âψ m(r) d 3 x όγκο είναι το στοιχείο (n, m) του πίνακα A. Επειδή ο Â είναι ερµιτιανός συνεπάγεται ότι A nm = A mn. A = n,m a na m e iωmnt A nm είναι χρονικά εξαρτηµένη. A nm = Ψ nâψ m d 3 x, A mn = Ψ mâψ n d 3 x ( (A mn ) = Ψ m(âψ n) d x) 3 = = Ψ nâψ m d 3 x = A nm (ÂΨ n) Ψ m d 3 x Το ότι ο Â είναι Ερµιτιανός Τελεστής συνεπάγεται ότι ο A kλ είναι Ερµιτιανός Πίνακας Εξίσωση του Schrödinger για περισσότερα από ένα σωµάτια Εάν ένα σύστηµα αποτελείται από N σωµάτια µε συντεταγµένες r k = (x k, y k, z k ) και ορµές p k = (p xk, p yk, p zk ), τότε η χαµιλτονιανή του συστήµατος είναι : H = N k=1 p k m k + V (r 1,..., r N ) Αντικαθιστώντας τα ϕυσικά µεγέθη µε τους αντίστοιχους τελεστές ϑέσης και ορµής έχουµε : ( ) p k = i,, x k y k z k N Ĥ = k + V (r 1,..., r N ) m k k=1 ĤΨ(r 1,..., r N, t) = i Ψ t (r 1,..., r N, t) Η πιθανότητα το σώµα 1 να ϐρεθεί γύρω από τη ϑέση r 1,..., το σώµα N να ϐρεθεί γύρω από τη ϑέση r N είναι : P (r 1,..., r N, t)dv 1 dv N = Ψ (r 1,..., r N, t)ψ(r 1,..., r N, t)dv dv = dv 1 dv N = d 3 x 1 d 3 x N µε Ψ(r 1,..., r N, t) = Ψ(r 1,..., r N )Φ(t) ĤΨ = EΨ και Φ(t) = e iet/

21 1.5 Μεταθετικές Ιδιότητες Τελεστών Μεταθετικές Ιδιότητες Τελεστών Ως Μεταθέτης δύο τελεστών Â, ˆB έχει οριστεί η σχέση [Â, ˆB] = Â ˆB ˆBÂ Εάν [Â, ˆB] = 0, λέµε ότι οι δύο τελεστές µετατίθενται. Οταν οι τελεστές δύο µεγεθών A, B µετατίθενται τότε τα δύο αυτά µεγέθη µπορούν να µετρηθούν ταυτόχρονα και µε απόλυτη ακρίβεια. Τα µεγέθη A, B λέγονται συµβιβαστά, αλλιώς εάν [Â, ˆB] 0 λέγονται ασυµβίβαστα. (1) Οταν δύο µεγέθη είναι συµβιβαστά, δηλαδή µπορούν να µετρηθούν συγχρόνως (και µε απόλυτη ακρίβεια) τότε οι τελεστές τους µετατίθενται. Απόδειξη. Οταν ένα µέγεθος A µετριέται, το σύστηµα ϐρίσκεται µετά τη µέτρηση σε µια ιδιοσυνάρτηση Ψ k του τελεστή Â: ÂΨ k = α k Ψ k του τελεστή Â, αλλά τότε η Ψ k είναι και ιδιοσυνάρτηση του B: ˆBΨk = β k Ψ k. Άρα κάθε ιδιοσυνάρτηση του Â είναι και ιδιοσυνάρτηση του ˆB και ανάποδα. Άρα, (Â ˆB ˆBÂ)Ψ k = α k β k Ψ k β k α k Ψ k = 0 Κάθε κυµατοσυνάρτηση γράφεται σαν επαλληλία των Ψ k : Ψ = k c kψ k (Â ˆB ˆBÂ)Ψ = Â ˆBΨ ˆBÂΨ = Â( ˆBΨ) ˆB(ÂΨ) = Â( k c k β k Ψ k ) ˆB( k c k α k Ψ k ) = k c k β k α k Ψ k k c k α k β k Ψ k = 0 () Αν οι δύο τελεστές Â, ˆB µετατίθενται και ο ένας, έστω ο Â έχει µη εκφυλισµένες ιδιοσυναρτήσεις, τότε αυτές ϑα είναι ιδιοσυναρτήσεις και του άλλου, του ˆB. Άρα τα δύο µεγέθη µπορούν να µετρηθούν ταυτόχρονα. Εάν ÂΨ k = α k Ψ k µη εκφυλισµένη ιδιοσυνάρτηση, τότε ˆB(ÂΨ k) = Â( ˆBΨ k ) ˆB(ÂΨ k) = α k ˆBΨk Â( ˆBΨ k ) = α k ( ˆBΨ k ) άρα η συνάρτηση Φ = ˆBΨ k ιδιοσυνάρτηση του A µε ιδιοτιµή α k µη εκφυλισµένη. Συνεπάγεται ότι η Φ είναι ανάλογη της Ψ k και άρα Φ = β k Ψ k ˆBΨ k = β k Ψ k (3) Αν δύο τελεστές Â, ˆB µετατίθενται και ο ένας από αυτούς έχει εκφυλισµένες ιδιοσυναρτήσεις, τότε µε κατάλληλο γραµµικό συνδυασµό αυτών µπορούµε να κατασκευάσουµε ιδιοσυναρτήσεις του άλλου. ηλαδή µπορούµε να κατασκευάσουµε κοινές ιδιοσυναρτήσεις και των δύο τελεστών. Ιδιότητες των µεταθετών [Â, ˆB] + [ ˆB, Â] = 0 [Â, Â] = 0 [Â, λ ˆB + µĉ] = λ[â, ˆB] + µ[â, Ĉ]

22 18 Θεµελίωση της κβαντοµηχανικής [αâ + β ˆB, Ĉ] = α[â, Ĉ] + β[ ˆB, Ĉ] [Â, ˆBĈ] =  ˆBĈ ˆBĈ =  ˆBĈ ˆBĈ ± ˆBÂĈ = [Â, ˆB]Ĉ + ˆB[Â, Ĉ] [ ˆB, Ĉ ˆD] =? = [Â, Ĉ] ˆB ˆD + Ĉ[Â, ˆD] ˆB + Â[ ˆB, Ĉ] ˆD + ĈÂ[ ˆB, ˆD] Μνηµονικός Κανόνας. Παίρνουµε όλους τους δυνατούς µεταθέτες : [Â, Ĉ], [Â, ˆD], [ ˆB, Ĉ], [ ˆB, ˆD] και πολλαπλασιάζουµε τον κάθε µεταθέτη µε τους υπόλοιπους τελεστές : Ολους τους «εξ αριστερών» τελεστές και των δύο γινοµένων προς τα αριστερά του απλού µεταθέτη και όλους τους «εκ δεξιών» προς τα δεξιά, όπως κατωτέρω : [A 1 A A n, B 1 B B k ] = ij = ij (A 1 A i 1 )(B 1 B j 1 )[A i, B j ](B j+1 B k )(A i+1 A n ) (B 1 B j 1 )(A 1 A i 1 )[A i B j ](A i+1 A n )(B j+1 B k ) [ ˆB, Ĉ ˆDÊ] = [Â, Ĉ] ˆB ˆDÊ + Ĉ[Â, ˆD] ˆBÊ + Ĉ ˆD[Â, Ê] ˆB + Â[ ˆB, Ĉ] ˆDÊ + ĈÂ[ ˆB, ˆD]Ê + Ĉ ˆDÂ[ ˆB, Ê] Μεταθέτες Φυσικών Μεγεθών (1) [ˆx, ˆp] = i, [ˆp, ˆx] = i [ˆx, ˆp]Ψ(x) = ˆxˆpΨ(x) ˆpˆxΨ(x) = i x dψ dx + i d dx (xψ) = i x dψ dx + i x dψ dx + i Ψ = i Ψ(x), Ψ(x). () [ˆx, ˆp ] = ˆp[ˆx, ˆp] + [ˆx, ˆp]ˆp = i ˆp + i ˆp = i ˆp = i dˆp dˆp [ˆx, ˆp k ] = i dˆpk dˆp = i kˆpk 1 [ˆx, Â(ˆx, ˆp)] = i  ˆp, απόδειξη µε ανάπτυξη του A(ˆx, ˆp) σε σειρά Taylor ως προς ˆp γύρω από το µηδέν.