ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών"

Transcript

1 ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Καθηγητή Κων/νου Ευταθίου, Εργατήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιτηµίου Αθηνών Η χρηιµότητα ενός αναλυτικού αποτελέµατος ποτέ δεν µπορεί να είναι καλύτερη από την ποιότητα του χρηιµοποιηθέντος δείγµατος 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η δειγµατοληψία (mplig) υχνά αναφέρεται ως η βάη της χηµικής ανάλυης. Σκοπός της δειγµατοληψίας είναι η παρακευή µικρής ποότητας ουίας, αντιπροωπευτικής ως προς τη ύνθεη και τις λοιπές φυικές και χηµικές ιδιότητες µιας κατά πολύ µεγαλύτερης ποότητας, η οποία ευρίκεται ή πρόκειται να τεθεί υπό χηµικό έλεγχο. Μια ποότητα που πρόκειται να υποτεί τις όποιες χηµικές και φυικοχηµικές διαδικαίες, η οποία πάνια ξεπερνάει το 1 g, µπορεί να αντιπροωπεύει τεράτιες ποότητες της υπό έλεγχο ύλης, όπως ένα φορτίο ορυκτού ε πλοίο ( τόνοι ή g) ή ύδατα ενός ποταµού µε ροή g/ηµέρα. Mερικά υλικά δειγµατοληπτούνται εύκολα. 1 ml φλεβικού αίµατος αντιπροωπεύει ικανοποιητικά το φλεβικό αίµα του αθενούς κατά τη τιγµή της δειγµατοληψίας. Αντίθετα, η δειγµατοληψία ορυκτού για τον προδιοριµό χρυού, η δειγµατοληψία ιζήµατος ποταµού για προδιοριµό οργανοϋδραργυρικών ενώεων, η δειγµατοληψία φυτικιών από µια αποθήκη για τον προδιοριµό αφλατοξίνης δεν είναι εξίου εύκολες. Μόλις ληφθεί η κύρια µάζα του δείγµατος απαιτούνται αρκετά επιπλέον και υχνά κυκλικώς επαναλαµβανόµενα τάδια, όπως: Θραύη Υποδιαίρεη Κονιοποίηη ώτε η αρχικά διατιθέµενη ποότητα δείγµατος να φθάει την απαραίτητη για την ανάλυη ποότητα, χωρίς να χάνει την αντιπροωπευτικότητά της. Κάθε ένα από τα προηγούµενα τάδια µπορεί να προκαλέει διαχωριµούς (egregtio) ή/και απώλειες της προδιοριζό- µενης ουίας, που θα οδηγήουν ε υτηµατικά αναλυτικά λάθη. Είναι αυτονόητο ότι οι υνέπειες µιας κακής δειγµατοληψίας δεν αίρονται µε µια προεκτική και εξαιρετικής ακρίβειας χηµική ανάλυη και φυικά µπορεί να είναι κατατροφικές για την υγεία, το περιβάλλον και την οικονοµία. Το κλάµα (µάζα δείγµατος) / (µάζα ελεγχόµενης ύλης) µπορεί να κυµαίνεται ε ευρύτατα όρια. Οι ιδιότητες που πρέπει να πληροί το δείγµα είναι: Να αντιπροωπεύει πιτά τις ιδιότητες της υπό έλεγχο ύλης: ύνθεη, χρώµα, κρυταλλικότητα, κ.λπ. Να έχει µέγεθος κατάλληλο για χειριµό από τη υκευή δειγµατοληψίας. Να έχει µέγεθος κατάλληλο για να το χειριθεί ο αναλυτής (τυπικά 0,001-1 g). Να διατηρεί τις ιδιότητες της υπό έλεγχο ύλης κατά τη δειγµατοληψία ή αυτές να µεταβάλλονται κατά τον ίδιο τρόπο που µεταβάλλονται και ε εκείνη. Γ-1

2 Να είναι κατάλληλο για να δώει την απαραίτητη πληροφορία, π.χ. τη µέη ύνθεη, ή τη ύνθεη ως υνάρτηη του χώρου και του χρόνου. Να διατηρεί την ταυτότητά του καθ όλη τη διαδικαία µεταφοράς και ανάλυης. Με τη βοήθεια της τατιτικής είναι δυνατόν από µικρό πληθυµιακό δείγµα να εξαχθούν χρήιµα υµπεράµατα για τον κυρίως πληθυµό, όπως η µέη τιµή, η τυπική απόκλιη κ.λπ. Στην περίπτωη αυτή το δείγµα είναι µαθηµατικό, δεν έχει µάζα, δεν παρουιάζει τάη απούνθεης, ούτε διαχωριτικές και επιλεκτικές τάεις και προέρχεται από πληθυµούς όµορφα µοντελοποιηµένων, π.χ. µε µια κανονική κατανοµή. υτυχώς, αυτά δεν ιχύουν την περίπτωη των αναλυτικών δειγµάτων. Στην πράξη ο αναλυτής δεν γνωρίζει τον τύπο της κατανοµής των επιµέρους ουιών ε ένα δείγµα. Ενώ την περίπτωη των πληθυµιακών δειγµάτων είναι άκρως επιθυµητό το να είναι όο το δυνατόν µεγαλύτερα, την περίπτωη των αναλυτικών δειγµάτων το µεγάλο δείγµα είναι γενικά ανεπιθύµητο, είτε λόγω κότους του ιδίου είτε λόγω κότους της χηµικής επεξεργαίας Τύποι αντικειµένων και δειγµάτων Ως αντικείµενο (oject) ορίζεται ως η οντότητα της οποίας ζητείται η περιγραφή. Αντικεί- µενο την περίπτωη της αναλυτικής δειγµατοληψίας είναι η εξεταζόµενη ύλη το ύνολό της (π.χ. ένα φορτίο ορυκτού ή ένας κόκκος λιπάµατος ή ένας άκος λιπάµατος ή η εβδο- µαδιαία παραγωγή λιπάµατος). Αντικείµενο µπορεί να είναι ένας ποταµός ε όλο το µήκος του κατά τη διάρκεια ενός χρόνου, ή το νερό του ποταµού από ένα ηµείο και µετά κατά τη διάρκεια µιας ηµέρας, ή το νερό του ποταµού ε ένα ηµείο και µια δεδοµένη τιγµή. Κατά κανόνα το αντικείµενο περιγράφεται τις τέερις διατάεις, δηλαδή τρεις του χώρου και µία του χρόνου. Κατατατικές ιδιότητες του αντικειµένου, όπως η θερµοκραία και η πίεη δεν είναι δυνατόν να υντηρηθούν και θα πρέπει να µετρούνται επί τόπου. Το δείγµα (mple) ορίζεται ως αντιπροωπευτικό τµήµα ενός αντικειµένου. Επειδή αντιπροωπευτικότητα µπορεί να απαιτείται για υγκεκριµένα µόνο χαρακτηριτικά ποιότητας, ένας περιότερο λειτουργικός οριµός του δείγµατος είναι: το τµήµα του αντικειµένου, που επιλέγεται κατά τρόπο που να διαθέτει τις επιθυµητές ιδιότητες του αντικειµένου. Οι τύποι αντικειµένων περιγράφονται το Σχήµα 1.1 και η ονοµατολογία των δειγµάτων το Σχήµα Μερικοί οριµοί Στη υνέχεια και ε αλφαβητική ειρά παρουιάζονται οριµοί που αφορούν το χήµα 1-: είγµα (mple): Ένα κλάµα (portio) πληθυµού ή παρτίδας. Μπορεί να αποτελείται ένα ή περιότερα διακριτά υλικά. όη (icremet): Ποότητα υλικού που υλλέγεται µε ένα χειριµό της δειγµατοληπτικής υκευής, από τµήµατα υλικού που χωρίζονται ε χώρο ή/και χρόνο. Οι δόεις µπορούν να εξεταθούν η καθεµία χωριτά ή υνδυαµένες (αναµιγµένες) και να δοκιµαθούν ως µονάδες. Γ-

3 Αντικείµενο Οµοιογενές (Καµία αλλαγή χαρακτηριτικών ποιότητας ε όλη την έκταη του αντικειµένου) ιακριτές αλλαγές χαρακτηριτικών ποιότητας ε όλη την έκταη του αντικειµένου Ετερογενές Συνεχείς αλλαγές χαρακτηριτικών ποιότητας ε όλη την έκταη του αντικειµένου Οµοιογενή ιακριτές αλλαγές Συνεχείς αλλαγές Καλώς αναµεµιγµένα υγρά Καλώς αναµεµιγµένα αέρια Καθαρά µέταλλα Σβώλοι ορυκτών ικία Κρυταλλικά πετρώµατα Εναιωρήµατα Κοκκώδη υλικά µε κόκκο όχι πολύ µικρότερο από το µέγεθος του δείγµατος Υγρά ή αέρια µε βαθµίδωη (grdiet) υγκέντρωης Μίγµατα αντιδρώντων υτατικών Κοκκώδη υλικά µε κόκκο πολύ µικρότερο από το µέγεθος του δείγµατος Σχήµα 1-1. Τύποι αντικειµένων (δειγµατοληπτούµενων υλικών) Εργατηριακό δείγµα (lortory mple): είγµα που προορίζεται για δοκιµαία ή ανάλυη, προερχόµενο από ένα χονδρικό δείγµα. Συχνά απαιτείται διαχωριµός του ε επιµέρους δείγµατα ανάλογα µε το µέγεθος των ωµατιδίων κατά την πορεία µείωης της ποότητάς του. Κλάµα δοκιµαίας (tet portio). Επίης: δοκίµιο (pecime), µονάδα δοκιµαίας (tet uit), γνωτό κλάµα (liquot). Μαζικό δείγµα (ulk mple): Yλικό µη υνιτάµενο από διακριτές, ταυτοποιήιµες, ταθερές µονάδες, αλλά από αυθαίρετες, ακανόνιτες µονάδες. Π.χ. θραύµατα ορυκτού, ποότητες πρώτης ύλης ή εκδόχων κευαµάτων και όχι υκευαµένα προϊόντα, φαρ- µακευτικά δικία. Μείωη (reductio): H διαδικαία µέω της οποίας παρακευάζονται ένα ή περιότερα µερικά δείγµατα από ένα δείγµα. Μερικό δείγµα (umple): Ένα κλάµα δείγµατος. Ένα εργατηριακό δείγµα µπορεί να είναι µερικό δείγµα ενός χονδρικού δείγµατος. Ανάλογα, ένα κλάµα δοκιµαίας µπορεί να είναι µερικό δείγµα ενός εργατηριακού δείγµατος. Οµοιογένεια (homogeeity): Ο βαθµός τον οποίο µια ιδιότητα ή µια ουία είναι τυχαία κατανεµηµένη την όλη µάζα του υλικού. Η οµοιογένεια εξαρτάται από το µέγεθος των µονάδων ποότητας δείγµατος. Μείγµα κονιοποιηµένων ορυκτών µπορεί να είναι οµοιογενές ε ποότητες του 1 g, µερικώς οµοιογενές ε ποότητες µερικών mg και αφώς ανοµοιογενές ε επίπεδο κόκκου. Γ-3

4 S Αντικείµενο / Παρτίδα / Πληθυµός (oject / lot / popultio) όη (icremet) όη (icremet) είγµα (mple) είγµα (mple) είγµα (mple) Χονδρικό δείγµα / Μαζικό δείγµα (Gro mple / Bulk mple) Μερικό δείγµα (umple) Αποθηκευµένο δείγµα Μερικό δείγµα (umple) Εργατηριακό δείγµα Μερικό δείγµα (umple) Εργατηριακό δείγµα Μερικό δείγµα (umple) Εργατηριακό δείγµα Κλάµα δοκιµαίας (tet portio) Σχήµα 1-. Ονοµατολογία δειγµάτων. Παρτίδα (lot): Ποότητα µαζικού δείγµατος όµοιας ύνθεης και ιτορίας του οποίου εξετάζονται οι ιδιότητες και η ύνθεη. Πληθυµός (popultio): Πρωταρχικός όρος που υποδηλώνει κάθε υλλογή οριµένου ή άπειρου αριθµού ξεχωριτών αντικειµένων ή γεγονότων µε την ευρεία έννοια. Μια υλλογή που καθορίζεται από κάποια ιδιότητα µε βάη την οποία ξεχωρίζουν τα πράγµατα που ανήκουν ή όχι ε αυτή. Στρώη ή τρώµα (trtum): Tµήµατα παρτίδας που είναι ενδεχόµενο να διαφέρουν ως προς την εξεταζόµενη ιδιότητα. Τµήµα (egmet): Ένα ξεχωριτό κλάµα µιας παρτίδας, πραγµατικό ή υποθετικό. Χονδρικό δείγµα (gro mple): Mία ή περιότερες δόεις υλικού που λαµβάνονται από µια µεγαλύτερη ποότητα ή παρτίδα υλικού για ανάλυη ή για λόγους αρχείου (record) (δείγµα αρχείου). Γ-4

5 1. Ποιότητα δείγµατος Η ποιότητα δείγµατος πρέπει να διακριθεί από την ποιότητα του αντικειµένου. Η ποιότητα του αντικειµένου εξαρτάται από µια οµάδα ιδιοτήτων που πρέπει να εκτιµηθούν κατά την αναλυτική διαδικαία. Η ποιότητα του δείγµατος εξαρτάται από µια οµάδα ιδιοτήτων του δείγµατος που το χαρακτηρίζουν ως καλό δείγµα. Το πρωταρχικό ποιοτικό χαρακτηριτικό ενός δείγµατος είναι η αντιπροωπευτικότητα (repreettivee). ευτερεύουας ηµαίας ποιοτικά χαρακτηριτικά είναι το µέγεθος (ize), η ταθερότητα (tility) και το κότος (cot). Για αντικείµενα που υφίτανται υνεχείς αλλαγές, πρόθετες παράµετροι ποιότητας είναι η διακριτική ιχύς (dicrimitig power) και η ταχύτητα (peed). Η ιδανική διαδικαία της δειγµατοληψίας πρέπει να είναι τέτοια ώτε η ανάλυη του δείγµατος (µε τον απαιτούµενο βαθµό ακρίβειας) να µην δείχνει καµία διαφορά την ποιότητα, από την πραγµατική ποιότητα του δείγµατος. ύο ή περιότερα δείγµατα του ίδιου αντικειµένου δεν πρέπει να δώουν διαφορετικά αποτελέµατα (πέραν των τυχαίων αποκλίεων που οφείλονται την αναλυτική τεχνική). Στην πράξη κάτι τέτοιο δεν είναι πάντοτε εφικτό. Μόνο όταν η ακρίβεια της αναλυτικής τεχνικής (περιλαµβανόµενων των διαδικαιών δειγµατοληψίας και χηµικής ανάλυης) υποβαθµιθεί ε βαθµό που θα έπνιγε τυχόν ατέλειες της δειγµατοληψίας, θα µπορούε να υµβεί κάτι τέτοιο. ύο περιπτώεις υπάρχουν: Η δειγµατοληψία έχει τάη τυχαίων αποκλίεων. Η δειγµατοληψία προκαλεί υτηµατικές αποκλίεις 1..1 Συτηµατικές αποκλίεις κατά τη δειγµατοληψία Μερικές αιτίες που µπορούν να οδηγήουν ε υτηµατικές αποκλίεις κατά τη δειγµατοληψία είναι οι ακόλουθες: 1. Ο αριθµός των δόεων είναι πολύ µικρός έτι, ώτε το δείγµα παρουιάζει υτηµατικό φάλµα (i). Στην πραγµατικότητα τούτο είναι µια τυχαία απόκλιη.. Η διαδικαία της δειγµατοληψίας είναι επιλεκτική ως προς ένα ή περιότερα ποιοτικά χαρακτηριτικά του αντικειµένου. Π.χ. η δειγµατοληψία αέρα ή ύδατος µπορεί να δείξει επιλεκτικότητα ως προς αιωρούµενα ωµατίδια, ανάλογα µε την αδράνειά τους. Η δειγ- µατοληψία κοκκώδους προϊόντος πάνω ε ιµάντα µεταφοράς ε ηµείο τροφής, µπορεί να αποκλείει την παραλαβή λεπτών ωµατιδίων τα οποία διαφεύγουν ως κόνη. Ηλεκτροτατικώς φορτιµένα ωµατίδια έχουν τάη διαχωριµού ή διαφυγής, όπως επίης και ζώντες οργανιµοί. 3. Η διαδικαία της δειγµατοληψίας αλλοιώνει το αντικείµενο. Π.χ. θραύη κόκκων κατά τη δειγµατοληψία, εξάτµιη ή υώρευη, καταλυτική δράη του οργάνου δειγµατοληψίας, οξείδωη λόγω ειαγωγής οξυγόνου, αλλαγές λόγω του φόβου που ενδεχοµένως προκαλεί το όργανο δειγµατοληψίας ε ζωολογικά δείγµατα, τροποποίηη αντιδράεων ε ζώντα κύτταρα (τυπικό παράδειγµα: η αποβολή καλίου από κύτταρα). 4. Αλλαγές το δείγµα µετά την απόπαή του από το αντικείµενο. Π.χ. η οξείδωη, αφυδάτωη, η βιολογική υποβάθµιη, πήξη και υρρίκνωη, αλληλεπιδράεις δείγµατος και περιέκτη (διάβρωη, προρόφηη, καταλυτική δράη). 5. Εκούια αλλοίωη του δείγµατος. Τα αποτελέµατα της ανάλυης µπορεί να έχουν οβαρές οικονοµικές, νοµικές και ψυχολογικές επιπτώεις και επιπλοκές. Συχνά, κατά τη διαδικαία δειγµατοληψίας, ο ανθρώπινος παράγοντας µπορεί ή και πρέπει να επέµβει. Η διαδικαία πραγµατοποιείται υχνά παρουία του εµπλεκόµενου µέρους (π.χ. του παραγωγού του δειγµατοληπτούµενου προϊόντος) και αυτό οδηγεί ε κόπιµες αλλοιώεις. ωροδοκία, φόβος κατηγορίας κακής παραγωγής, η επιθυµία του να παρουιαθεί το προϊόν του την καλύτερη δυνατή µορφή του είναι µερικές από τις πλέον κοινές αιτίες. Γ-5

6 . ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ.1 ιακύµανη υλικού Η οµοιογένεια του υλικού, π.χ. του υπό χαρακτηριµό αντικειµένου, του χονδρικού ή του εργατηριακού δείγµατος, του τελικά χηµικώς επεξεργαζόµενου δείγµατος (tet portio), ως προς υγκεκριµένη χαρακτηριτική ποιοτική παράµετρό του (π.χ. % περιεκτικότητα ε ένα υτατικό Χ εκφράζεται ε τατιτικούς όρους ως διακύµανη του υλικού (mteril vrice), m. Εάν πραγµατοποιηθεί µεγάλος αριθµός (Ν) δειγµατοληψιών, δεδοµένης ποότητας δείγµατος ε τυχαίες θέεις του υλικού, απουία υτηµατικών φαλµάτων δειγµατοληψίας και ακολουθήουν τη υνέχεια Ν προδιοριµοί του προδιοριζόµενου υτατικού µε µια αναλυτική τεχνική, πλήρως απαλλαγµένης υτηµατικών και τυχαίων φαλµάτων, τα αναλυτικά αποτελέµατα (x 1, x,, x N ), ορίζουν ένα πληθυµό µε µια δεδοµένη κατανοµή. Είναι προφανές ότι όο ευρύτερη είναι η κατανοµή αυτή (µεγαλύτερη τιµή m ), τόο µικρότερη είναι η οµοιoγένεια του αντικειµένου. Αναµενόµενη ιδιότητα των κατανοµών αυτών είναι η ακόλουθη : Όο αυξάνει το µέγεθος του χρηιµοποιούµενου προς ανάλυη δείγµατος, τόο µειώνεται η τιµή m. H µείωη θα είναι ιδιαίτερα έντονη εκεί που προηγουµένως υπήρχε µεγαλύτερη ανο- µοιογένεια. Επίης οι κατανοµές πρέπει να τείνουν περιότερο προς την κανονική (ως υνέπεια του θεωρήµατος κεντρικού ορίου, ενότητα Α). Ακόµη και µε ένα καλά αναµιγµένο, πρακτικά οµοιογενές υλικό, µπορεί να προκύψουν µεγάλα τυχαία φάλµατα, αν χρηιµοποιηθούν ελάχιτα ωµατίδια ως κλάµα δοκιµαίας. Το πρόβληµα είναι ακόµη πιο έντονο αν το υπό προδιοριµό υτατικό αποτελεί µικρό µόνο κλάµα των ωµατιδίων. Η τυπική απόκλιη κατά το τάδιο της δειγµατοληψίας µπορεί να είναι η κύρια πηγή αβεβαιότητας του τελικού αναλυτικού αποτελέµατος. Στο εξής θα ονοµάζουµε δειγµατική τυπική απόκλιη ( ), την τυπική απόκλιη του υλικού που ευρίκεται τη µορφή εκείνη από την οποία θα ληφθεί ποότητα A για ειαγωγή το χηµικό τάδιο της ανάλυης (π.χ. ποότητα που θα ζυγιθεί) και αντιτοιχεί την ποότητα αυτή (δηλ. η m για ποότητα Α) 1... Εξίωη Igmell - Σταθερά δειγµατοληψίας O Ιgmell έδειξε ότι για ένα ικανοποιητικά οµοιογενοποιηµένο, αλλά όχι ιδανικά οµοιογενές υλικό ιχύει η χέη: WR = (-1) όπου W είναι το βάρος του λαµβανόµενου δείγµατος, R η επί τοις εκατό τυπική απόκλιη του υλικού (R = 100 / x) και Κ µια ταθερά. Η ταθερά αυτή ονοµάζεται ταθερά δειγµατοληψίας (mplig cott) και αντιτοιχεί αριθµητικά το βάρος που πρέπει να ληφθεί, ώτε η R να είναι 1% ε επίπεδο εµπιτούνης 68% ή (ιοδύναµα) η χετική τυπική δειγµατική απόκλιη είναι 1%. Η τιµή Κ εξαρτάται από τον τύπο του δειγµατοληπτούµενου υλικού και µπορεί να εκτιµηθεί από ειρές µετρήεων µε διάφορες τιµές W και την εκτίµηη της κάθε ειράς µετρήεων. Εάν είναι γνωτή η τιµή Κ για δεδοµένο υλικό, µπορεί να υπολογιθεί η ελάχιτη ποότητα W που θα χρειαθεί, ώτε η αντίτοιχη χετική δειγµατική τυπική απόκλιη να µην υπερβαίνει µια επιθυµητή τιµή R%. Τυπικό παράδειγµα εφαρµογής της προηγούµενης εξίωης δείχνεται το χήµα.., όπου φαίνεται η διαπορά µετρήεων ραδιενέργειας Ν 4 το οποίο K 1 Εννοείται πως µικροδιακυµάνεις την ποότητα του λαµβανόµενου δείγµατος (π.χ. 1,0-1,5 g) δεν αλλοιώνουν ηµαντικά τη δειγµατική τυπική απόκλιη. C.O. Igmell, P. Switzer, Tlt, 0, 547 (1973); C.O. Igmell, Tlt, 1, 141 (1974); 3, 63 (1976). Γ-6

7 είχε προτεθεί ως ιχνηθέτης οµοιογένειας ε οµοιογενοποιηµένο ήπαρ, τα πλαίια µιας µελέτης ταθερότητας και οµοιογένειας πρότυπων δειγµάτων βιολογικών υλικών το NBS 3. Σχήµα -1. ιαγράµµατα κατανοµής των τιµών της µετρούµενης (χωρίς φάλµα) ιδιότητας Χ (π.χ. % περιεκτικότητα ε ένα υτατικό) ε αντικείµενα: α) µεγάλης, β) µέτριας και γ) µικρής ανοµοιογένειας, για δύο διαφορετικές ποότητες χρηιµοποιούµενου δείγµατος W 1, W (W >>W 1 ). Όο µεγαλύτερη η ανοµοιογένεια του δείγµατος, τόο αναµένεται -ε γενικές γραµµές- µικρότερη διαπορά τις λαµβανόµενες τιµές µε αύξηη της ποότητας του χρηιµοποιούµενου δείγµατος. Σχήµα -. ιαπορά αναλυτικού ήµατος (ραδιενεργές κρούεις / µονάδα µάζας) δειγµάτων οµοιογενοποιηµένου ήπατος για διάφορα βάρη δείγµατος. Από το χήµα - φαίνεται ότι η ποότητα δείγµατος, η οποία απαιτείται για να επιτευχθεί δειγµατική χετική τυπική απόκλιη 1% (δηλ. ±,4 κρούεις g 1 1 ) είναι περίπου 35 g. Για ένα δείγµα 1 g, η αβεβαιότητα λόγω ανοµοιογένειας θα είναι περίπου 5%..3. Σταθερά δειγµατοληψίας Vim Ο Vim ανέπτυξε θεωρία δειγµατοληψίας λαµβάνοντας υπόψη πιθανές διαχωριτικές τάεις. Η πειραµατικώς προδιοριζόµενη δειγµατική διακύµανη υχετίζεται µε δύο ταθερές, τη ταθερά οµοιογένειας (homogeeity cott) Α, που είναι παρόµοια µε τη ταθερά Igmell και τη ταθερά διαχωριµού (egregtio cott) B, µε την εξίωη: A B = + (-) w 3 S. H. Hrrio d R. Zeiler, NBS Iterl Report , C. W. Reim, R. A. Velpoldi, L. B. Hg, d J. K. Tylor, Ed, U.S. Ntiol Bureu of Stdrd, Whigto, D.C., 1980, p 66. Γ-7

8 όπου w είναι η ολική ποότητα δειγµάτων. Εάν δεν υπάρχουν διαχωριτικές τάεις το δειγµατοληπτούµενο υλικό θα είναι Β = 0, οπότε η Εξίωη - αποκτά τη µορφή της εξίωης Igmell. Εφόον είναι R = 100 / x, η ταθερά δειγµατοληψίας του Igmell υνδέεται µε τη ταθερά οµοιογένειας του Vim µε τη χέη: 4 A = 10 x K (-3) Οι ταθερές Α και Β µπορούν να υπολογιθούν πειραµατικά µε τη διενέργεια δύο ειρών µετρήεων, µία µε µικρά δείγµατα και µία µε µεγάλα. Υπολογίζονται οι δειγµατικές διακυµάνεις για καθεµία από τις δύο ειρές, οπότε από τα δύο ζεύγη τιµών (βάρους, δειγµατικής διακύµανης) και την Εξίωη -, κατατρώνεται ύτηµα δύο εξιώεων - δύο αγνώτων, το οποίο παρέχει ως λύη τις τιµές Α και Β. Είναι προφανές ότι όο µεγαλύτερη είναι η τιµή Β, τόο µεγαλύτερος πρέπει να είναι ο αριθµός των επιµέρους δειγµάτων, ώτε η δειγµατική διακύµανη να κρατηθεί ε χαµηλά επίπεδα..4. Ελάχιτος αριθµός δειγµάτων είγµατα κανονικής κατανοµής. Εάν το υπό δειγµατοληψία υλικό δεν είναι οµοιογενές ή το διατιθέµενο δείγµα δεν είναι αντιπροωπευτικό, πρέπει να πραγµατοποιηθεί ένας αριθµός προδιοριµών ε πολλά επιµέρους δείγµατα υλικού, που θεωρούνται ως µονάδες. Το ύνολο της ποότητας κάθε µονάδας υφίταται τις προβλεπόµενες από το αναλυτικό πρωτόκολλο διαδικαίες (π.χ. ύντηξη, διαλυτοποίηη, απόταξη, εκχύλιη). Ο αριθµός των δειγµάτων, που πρέπει να ληφθούν και να αναλυθούν από ένα υλικό µε δειγ- µατική διακύµανη και µε µέη περιεκτικότητα x για να επιτευχθεί ε καθοριµένη τάθµη εµπιτούνης µια χετική τυπική απόκλιη R, µπορεί να εκτιµηθεί από την εξίωη: theor t = (-4) R x Εάν υπάρχει δυνατότητα ειαγωγής την ανάλυη της υνολικής ποότητας µονάδων, τότε οι µετρήεις µπορούν να αντικαταταθούν από µία και µόνη ανάλυη. Τούτο από τατιτική άποψη είναι ιοδύναµο, εφόον πάντοτε το αναλυτικό τυχαίο φάλµα είναι µηδενικό ή (την πράξη) αν >> ( : αναλυτική διακύµανη).τονίζεται ότι κάτι τέτοιο δεν είναι πάντοτε εφικτό για πολλές αναλυτικές τεχνικές, λόγω αδυναµίας χειριµού και επεξεργαίας µεγαλύτερης ποότητας δείγµατος. Οι τιµές και x µπορούν να εκτιµηθούν από προκαταρκτικές µετρήεις. t theor είναι η θεωρητική τιµή του t (Studet t) το δεδοµένο επίπεδο εµπιτούνης και για 1 βαθµούς ελευθερίας 4. Το παράδοξο και η δυκολία µε την Εξίωη -4 έγκειται το ό,τι η τιµή t theor εξαρτάται από την προς υπολογιµό ποότητα. Η δυκολία αίρεται ως εξής: Αρχίζουµε τον υπολογιµό (π.χ. για διάτηµα εµπιτούνης 95%) µε την τιµή 1,960, δηλ. θεωρούµε αρχικά ότι απαιτείται άπειρος αριθµός δειγµάτων [οπότε t theor = 1,645 και,576 για τάθµες εµπιτούνης 90% και 99%, αντίτοιχα (βλέπε πίνακες τιµών t)]. Υπολογίζεται από την Εξίωη -4 4 Η εξίωη, ως έχει, ιχύει για την περίπτωη που η ποότητα δείγµατος είναι ουιατικά απεριόριτη και κάθε µονάδα αποτελεί ένα ελάχιτο κλάµα του υνολικά διατιθέµενου δείγµατος. Εάν τούτο δεν ιχύει (και τούτο δεν αποτελεί ιδιαίτερα πάνια περίπτωη) τότε πρέπει να εφαρµοθεί µία διόρθωη γνωτή ως διόρθωη πεπεραµένου πληθυµού (fiite popultio correctio), µε την ειαγωγή τον παρανοµατή της εξίωης (-4) του υντελετή (1 /N) 1/. Γ-8

9 ο αριθµός. Στη υνέχεια υπολογίζεται η τιµή t theor που αντιτοιχεί τον νέο αριθµό. H επαναληπτική (itertive) διαδικαία επαναλαµβάνεται µέχρις ότου ταθεροποιηθεί η τιµή. Η Εξίωη -4 µπορεί να χρηιµοποιηθεί, εάν η κατανοµή της προδιοριζόµενης ουίας το δείγµα είναι κανονική (Gu) και πάντοτε για δεδοµένο µέγεθος µονάδας, αφού η τυπική απόκλιη εξαρτάται από το µέγεθος του δείγµατος. Παράδειγµα -1. Υλικό περιέχει ουία Χ ε αναλογία περίπου 10 mg/g. H τυπική απόκλιη του υλικού έχει εκτιµηθεί το 0,1 mg/g για δείγµα 1 g. Πόα δείγµατα 1 g πρέπει να αναλυθούν, ώτε τα όρια εµπιτούνης να είναι ±1% (R=0,01) ε τάθµη εµπιτούνης 95%. Λύη. Θεωρώντας αρχικά ότι απαιτούνται άπειρες µετρήεις έχουµε την πρώτη εκτίµηη του µε βάη την Εξίωη -4 και t theor = 1,96: για ν = είναι: = (1,96 0,1 ) / (0,01 10 ) = 3,84 4 για ν = 4 1 είναι = (3,18 0,1 ) / (0,01 10 ) = 10,1 10 για ν = 10 1 είναι = (,6 0,1 ) / (0,01 10 ) = 5,1 5 για ν = 5 1 είναι = (,776 0,1 ) / (0,01 10 ) = 7,71 8 για ν = 8 1 είναι = (,365 0,1 ) / (0,01 10 ) = 5,59 6 για ν = 6 1 είναι = (,571 0,1 ) / (0,01 10 ) = 6,61 7 για ν = 7 1 είναι = (,447 0,1 ) / (0,01 10 ) = 5,98 6 εδώ τερµατίζονται οι επαναλήψεις εφόον το αποτέλεµα επανήλθε ε προηγούµενη τιµή. Εποµένως πρέπει να χρηιµοποιηθούν 6 δείγµατα. [Έλεγχος: τα όρια εµπιτούνης για =6 είναι: ± t theor / = ±,571 0,1 / 6 = ± 0,105 ή ± (0, /10) = ± 1,05% όπως ζητήθηκε την εκφώνηη (για = 7 θα υπολογιζόταν: ± 0,89%].. Τυχαία δειγµατοληψία Κατά την τυχαία δειγµατοληψία, δείγµατα λαµβάνονται από τον ολικό πληθυµό του υλικού M. Η µόνη απαίτηη είναι το να είναι ίδια η πιθανότητα λήψης δείγµατος, από οποιοδήποτε ηµείο του δείγµατος. Η διάταη του χρόνου δεν λαµβάνεται υπόψη, δηλ. το υλικό είναι ταθερό ως προς τη ύνθεη και δεδοµένο (π.χ. δεν υπάρχει υνεχής εναλλαγή του). Τυπικό παράδειγµα θα µπορούε να είναι ένα φορτίο κονιοποιηµένου υλικού, χωρίς διατρωµατώεις και βαθµίδες περιεκτικοτήτων. Η τυχαιότητα της δειγµατοληψίας τον χώρο ή τον χρόνο επιβάλλεται να γίνεται µε τη βοήθεια τυχαίων αριθµών λαµβανόµενων είτε από πίνακες τυχαίων αριθµών, ή και µε τη βοήθεια υπολογιτών οι οποίοι έχουν τη δυνατότητα να παράγουν ειρές ψευδοτυχαίων (peudordom) αριθµών. Η περιοδικότητα της δειγµατοληψίας πρέπει να αποφεύγεται υτηµατικά. Για παράδειγµα το να δειγµατοληπτείται ένα φορτίο ορυκτού µε λήψη δόεων ανά 1 m κατά µήκος του βαγονιού το οποίο µεταφέρεται ή η παραλαβή ενός άκου λιπάµατος ανά 100 ή η λήψη ύδατος ποταµού κάθε π.χ. ώρες, είναι µια τακτική η οποία µπορεί να οδηγήει ε δείγµατα µε υτηµατικά φάλµατα. Οι λόγοι µπορούν απλά να αποδοθούν ε είδος υµβολής της χωροχρονικής περιοδικότητας δειγµατοληψίας µε χωροχρονική περιοδικότητα µιας παραγωγικής διαδικαίας, µιας διαδικαίας ρύπανης κ.λπ., έτω και αν οι περίοδοι (δειγµατοληψίας / πηγής αλλοίωης παρακολουθούµενου χαρακτηριτικού) διαφέρουν µεταξύ τους. Η υµβολή των δύο περιοδικών πράξεων αναπόφευκτα θα οδηγήει ε κάποια περιοδικότητα (µε διαφορετική ενδεχοµένως περίοδο) της µετρούµενης παραµέτρου. Ανάλογα φαινόµενα εµφανίζονται τη δειγµατοληψία ηµάτων, όπου ύµφωνα µε το θεώρηµα δειγµατοληψίας του Nyquit (από τη θεωρία ηµάτων): Η ελάχιτη υχνότητα δειγµατοληψίας ενός ήµατος, που δεν ειάγει παραµόρφωη την υπάρχουα ε αυτό πληροφόρηη, είναι διπλάια από τη υχνότητα της πλέον υψί- Γ-9

10 υχνης υνιτώας του. Στο επόµενο ήµα δείχνεται το πώς είναι δυνατόν να εκληφθεί ως διαφορετική η υχνότητα ηµιτονικού ήµατος (πραγµατικής υχνότητας f), εάν η δειγµατοληψία του πραγµατοποιείται ε υχνότητα µικρότερη της κρίιµης (δειγµατοληπτούµενου ε υχνότητα µικρότερη της κρίιµης (f). Σχήµα.3 ειγµατοληψία ηµιτονικού ήµατος υχνότητας f ε διαφορετικές υχνότητες f S. Με διακεκοµµένες γραµµές απεικονίζεται η δηµιουργούµενη ψευδής υνιτώα τις περιπτώεις που είναι f S /f <. Εάν πρόκειται να αναλυθεί µια ποότητα δείγµατος µε δειγµατική διακύµανη και η αναλυτική διακύµανη της µέτρηης είναι, τότε ύµφωνα µε τους κανόνες διάδοης τυχαίου φάλµατος (ενότητα Β), η διακύµανη της υνολικής αναλυτικής διαδικαίας ο θα είναι: ο = + (-5) Εάν γενικευθεί η προηγούµενη περίπτωη ως εξής: ποότητες δείγµατος (ιδανικά ίδιου, πρακτικά περίπου µεγέθους) αναλυθούν το καθένα φορές και εξαχθεί το µέο αναλυτικό αποτέλεµα, η ολική διακύµανη της υνολικής της διαδικαίας, α, θα παρέχεται από τη χέη : o = + (-6) Η Εξίωη -6 προκύπτει ως αποτέλεµα της θεωρίας διάδοης τυχαίου φάλµατος και της τυπικής απόκλιης µέης τιµής 5,6. 5 Από την Εξίωη -6 µπορεί κανείς να εκτιµήει τις τιµές και (π.χ. για ταθερή τιµή και διάφορες τιµές, γραφική παράταη της ποότητας ο ως υνάρτηη τοu 1/ θα αποδίδεται από ευθεία µε κλίη ίη προς και τοµή επί την αρχή ίη προς ). 6 Η Εξίωη -8 καθίταται πιο ρεαλιτική µε την ειαγωγή της τατιτικής Studet, εάν δεν είναι γνωτές οι τιµές και, αλλά είναι διαθέιµες οι αντίτοιχες εκτιµήτριές τους και, ως αποτελέµατα περιοριµένου αριθµού παρατηρήεων. Στην περίπτωη αυτή η Εξίωη -8 αποκτά τη µορφή: t t e = + Γ-10

11 Η Εξίωη -6 µπορεί να χρηιµοποιηθεί εύκολα για τον χεδιαµό τυχαίας δειγµατοληψίας. Υποθέτοντας, ότι = α (-7) η Εξίωη -6 µπορεί να γραφεί ως: o = + α (-8) Από την Εξίωη -8 προκύπτουν τα ακόλουθα υµπεράµατα: 1. Για δεδοµένες τιµές α, και, η ολική διακύµανη αυξάνει µε αύξηη της διακύµανης του δείγµατος.. Για δεδοµένο υνολικό αριθµό αναλύεων, που αντιπροωπεύεται από το γινόµενο, και χωρίς να λάβει κανείς υπόψη του βελτιτοποίηη του κότους, η διαδικαία τυχαίας δειγµατοληψίας πρέπει να χεδιάζεται για ένα λογικά µεγάλο αριθµό. Για παράδειγµα, για ένα ύνολο 1 αναλύεων είναι προτιµότερο να ληφθούν 6 δείγµατα και το καθένα να πραγµατοποιηθούν αναλύεις, παρά να ληφθούν 4 δείγµατα και το καθένα να πραγ- µατοποιηθούν 3 αναλύεις. 3. Η ολική διακύµανη είναι γραµµική υνάρτηη του α. Όταν το α είναι πολύ µικρό, δηλαδή όταν η διακύµανη της ανάλυης είναι πολύ µικρότερη από τη δειγµατική διακύµανη, ο όρος (α/ )( / ) είναι αµελητέος υγκρινόµενος µε τον όρο /. Στις περιπτώεις αυτές κάθε προπάθεια µείωης της διακύµανης του αναλυτικού προδιοριµού δεν έχει νόηµα. Με βάη αυτά ιχύει ο ακόλουθος πρακτικός κανόνας: Πρακτικός κανόνας την τυχαία δειγµατοληψία Εάν η διακύµανη της αναλυτικού προδιοριµού είναι ίη ή µικρότερη από το 1/3 της διακύµανης του δείγµατος, τότε κάθε προπάθεια µείωης του αναλυτικού φάλµατος µε χρήη ακριβότερων ή περιότερο εξελιγµένων αναλυτικών τεχνικών δεν έχει νόηµα. Εάν η δειγµατική διακύµανη είναι µεγάλη και δεν υπάρχει τρόπος παραπέρα βελτίωής της, τότε είναι προτιµότερο να αναζητηθεί µια ταχεία, πρόχειρη και περιοριµένης ακρίβειας αναλυτική τεχνική και να πραγµατοποιηθούν, όο το δυνατόν περιότερες δειγµατοληψίες και µετρήεις. Αυτός είναι ο µόνος πρακτικός τρόπος ελάττωης της αβεβαιότητας αξιολόγηης της ποιότητας του εξεταζόµενου υλικού. Ελαχιτοποίηη κότους. Η Εξίωη -8 µπορεί να εξεταθεί και από άποψη µείωης του λόγου κότος/όφελος (cot/eefit). Υποθέτοντας ότι το κότος δειγµατοληψίας (κότος δείγµατος + κότος διαδικαίας, αποθήκευης κ.λπ.) είναι C και το κότος του αναλυτικού προδιοριµού είναι C, τότε το ολικό κότος C για τυχαία δείγµατα και ο αριθµός των αναλύεων ανά δείγµα, θα είναι: C = C + C (-9) Λαµβάνοντας υπόψη, την Εξίωη -8, τότε η Εξίωη -9 γίνεται: Με την ως άνω τροποποιηµένη εξίωη (εφόον χρηιµοποιηθεί η κατά περίπτωη τιµή t λαµβάνοντας υπόψη τους βαθµούς ελευθερίας και ε ένα επίπεδο εµπιτούνης, π.χ. 95%) µπορεί κανείς να αναφέρει ότι ε αυτό το επίπεδο εµπιτούνης, η ολική αναλυτική διακύµανη δεν θα είναι µεγαλύτερη από e. Aνάλογες τροποποιήεις µπορούν να πραγµατοποιηθούν και τις εξιώεις που προκύπτουν από την εξίωη (-8). Γ-11

12 C = + ( C + C ) ο ο (-10) Με διαφόριη της Εξίωης -10 ως προς και µε εξίωη της λαµβανόµενης παραγώγου dc/d µε το µηδέν, µπορεί κανείς να υπολογίει τον αριθµό των αναλύεων, που θα πρέπει να πραγµατοποιηθεί ε κάθε δείγµα για να ελαχιτοποιηθεί το κότος και µε ταθερές τις υπόλοιπες παραµέτρους (διακυµάνεις). Έτι, προκύπτει: και ο αριθµός των δειγµάτων που απαιτούνται είναι C 1 / = C (-11) + = (-1) ο Παράδειγµα -. Η χετική δειγµατική τυπική απόκλιη φορτίου εµπλουτιµένου ορυκτού νιοβίου είναι,7% για δείγµατα βάρους 1 kg. Tα δείγµατα αυτά µετά τη λήψη κονιοποιούνται και οµοιογενοποιούνται το εργατήριο πρακτικά πλήρως. Τυποποιηµένη φωτοµετρική µέθοδος προδιοριµού νιοβίου ε δείγµα παρουιάζει χετική τυπική απόκλιη 0,7%. Να υπολογιθεί η χετική τυπική απόκλιη των ακόλουθων διαδικαιών δειγµατοληψίας - ανάλυης τις εξής περιπτώεις: α) Λαµβάνονται 3 δείγµατα και το καθένα (µετά τη διαδικαία πλήρους οµοιογενοποίηης) πραγµατοποιούνται 8 ταθµικοί προδιοριµοί. β) Λαµβάνονται 1 δείγµατα και το καθένα (µετά τη διαδικαία πλήρους οµοιογενοποίηης) πραγµατοποιούνται ταθµικοί προδιοριµοί. γ) Αν το υνολικό κότος του δείγµατος (αξία ορυκτού, κότος δειγµατοληψίας, κότος µεταφοράς, φύλαξης και περαιτέρω οµοιογενοποίηης) είναι 500 EU/δείγµα και το κότος ενός προδιοριµού είναι 10 EU/προδιοριµό, ποια θα είναι η άριτη χεδίαη ώτε µε το ελάχιτο δυνατό κότος να επιτευχθεί ολική επαναληψιµότητα 1,0%; δ) Ποιο είναι το κότος της παραπάνω άριτης χεδίαης; Λύη. Η επί τοις εκατό χετική απόκλιη θεωρείται ως κανονικοποιηµένη (ως προς τις απόλυτες ποότητες) τυπική απόκλιη και µπορεί να χρηιµοποιηθεί ως έχει ε όλους τους υπολογιµούς: α) Με βάη την Εξίωη -8 είναι: ο = [ (,7) / 3 + 0,7 / (3 8) ] 1/ = 1,5 6 % β) Ως άνω: ο = [ (,7) / 1 + 0,7 / (1 ) ] 1/ = 0,79 % γ) Με βάη την Εξίωη -11 είναι: = (0,7 /,7) (500 / 10) 1/ = 1,83 και από την Εξίωη -1 είναι: = [,7 + (0,7 / ) ] / 1, = 5,3 5 Eποµένως ο άριτος χεδιαµός έχει ως εξής: Πρέπει να ληφθούν 5 δείγµατα και να πραγ- µατοποιηθούν µετρήεις/δείγµα (υνολικά 10 µετρήεις). [Παρατήρηη: Με εφαρµογή της Εξίωης -8 τον παραπάνω χεδιαµό προκύπτει: ο = [ (,7) / 5 + 0,7 / (5 ) ] 1/ = 1,3%. Το ό,τι η ο εµφανίζεται λίγο µεγαλύτερη από την επιθυµητή 1,% είναι προφανές ότι οφείλεται τις τρογγυλοποιήεις των υπολογιθειών τιµών και τις πληιέτερες ακέραιες] Γ-1

13 δ) Το ολικό κότος του παραπάνω χεδιαµού είναι: C = (5 δείγµατα) (500 EU/ δείγµα) + (10 µετρήεις) (10 EU/µέτρηη) = 600 EU.3. Κατά τρώεις δειγµατοληψία Στην κατά τρώεις (η διατρωµατοποιηµένη) δειγµατοληψία (trtified mplig) το υπό εξέταη αντικείµενο διαιρείται ε τρώεις και ακολουθεί τυχαία δειγµατοληψία. Κάθε τρώη δειγµατοληπτείται τυχαία. Η ολική διακύµανη περιγράφεται µε εξίωη ανάλογη της Εξίωης -8: o = + + (-13) όπου είναι ο αριθµός των δειγµατοληπτηθειών τρώεων, είναι η διακύµανη µεταξύ των τρώεων (etwee trt vrice), είναι ο αριθµός δειγµάτων ανά τρώη και είναι η διακύµανη εντός κάθε τρώης (withi trt vrice). Εάν η διακύµανη µεταξύ των τρώεων είναι ηµαντικά µεγαλύτερη από τη διακύµανη εντός κάθε τρώης, επιβάλλεται πάντοτε η κατά τρώεις δειγµατοληψία. Η Εξίωη -13 δεν επιδέχεται µία και µόνη λύη ως προς τους αριθµούς δειγµάτων, και επαναλαµβανόµενων αναλύεων ανά δείγµα. Εάν το χετικό κότος επιλογής τρώης είναι C, το κότος δειγµατοληψίας ε κάθε τρώη είναι C και το κότος ανάλυης κάθε δείγµατος είναι C, το ολικό κότος της υνολικής διαδικαίας θα είναι: C = C + C + C (-14) Για ταθερές διακυµάνεις, οι άριτες τιµές, και που ελαχιτοποιούν το ολικό κότος C είναι: ( C 1/ + C 1/ + C 1/ ) ο 1/ = (-15) C 1/ = (-16) C C C 1/ = C (-17) Γ-13

14 3. ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΑΝΟΜΟΙΟΓΕΝΩΝ ΕΙΓΜΑΤΩΝ Το απλούτερο µαθηµατικό µοντέλο ανοµοιογενούς υλικού είναι το δυαδικό µοντέλο του Beedetti-Pichler, το οποίο περιγράφεται τη υνέχεια, όπως και η επέκταή του ε πιο ρεαλιτικές κατατάεις Εξίωη Beroulli Το µοντέλο του Beedetti-Pichler βαίζεται τη διωνυµική κατανοµή και τις ιδιότητές της, που παρουιάζονται εδώ υνοπτικά. Έτω ότι έχουµε µίγµα ιοµεγεθών ωµατιδίων Α και Β, το οποίο η περιεκτικότητα % ε ωµατίδια Α είναι p 100% και εποµένως ε ωµατίδια Β είναι q 100%, όπου p + q = 1. Αν υλλεχθούν από το µίγµα αυτό πολλά δείγµατα, το καθένα αποτελούµενο από ωµατίδια, και µετρηθεί ο αριθµός των ωµατιδίων Α το καθένα από αυτά, προφανώς η µέη τιµή τους θα είναι p, ενώ η τυπική απόκλιη των µετρήεων των ωµατιδίων Α (όπως και των ωµατιδίων Β) και εποµένως η δειγµατική τυπική απόκλιη θα παρέχεται από την εξίωη Beroulli: = p q = p (1 p) (3-1) και εποµένως η χετική τυπική απόκλιη επί τοις εκατό θα είναι ( ) r % = 1 p 100 = 100 p p (3-) Αντίτοιχα, ο αριθµός των απαιτούµενων ωµατιδίων το δείγµα για να επιτύχουµε δεδοµένη χετική τυπική απόκλιη ( ) r % (επί τοις εκατό), µε αναδιάταξη της προηγούµενης εξίωης, προκύπτει ότι παρέχεται από την εξίωη 1 p = (3-3) p( ) % r Παράδειγµα 3-1. Υποθέτουµε ότι έχουµε µίγµα αποτελούµενο από δύο είδη ωµατιδίων Α και Β ίδιου µεγέθους και χήµατος, αλλά διαφορετικού χρώµατος (ώτε να διακρίνονται µεταξύ τους). Έτω ότι η περιεκτικότητα του µίγµατος ε ωµατίδια Α είναι 40%, οπότε ε ωµατίδια Β θα είναι = 60%. Από πόα ωµατίδια θα πρέπει να αποτελούνται δείγ- µατα του µίγµατος, ώτε µια οµάδα απαριθµήεων των ωµατιδίων Α το καθένα από τα δείγ- µατα αυτά να παρουιάζει χετική τυπική απόκλιη ίη προς %; Λύη. Χρηιµοποιώντας την τελευταία εξίωη θα έχουµε 1 0,4 = = 7500 (3-4) 0,4,0 Προφανώς, εάν είναι γνωτό το χήµα και το µέγεθος των ωµατιδίων και εάν είναι γνωτή η πυκνότητα του κάθε είδους, ο ζητούµενος αριθµός των ωµατιδίων µπορεί άµεα να µεταφρατεί ε βάρος δείγµατος, δεδοµένου ότι είναι αυγκρίτως απλούτερη διαδικαία η ζύγιη ενός δείγµατος, παρά η απαρίθµηη των ωµατιδίων από τα οποία αποτελείται. Γ-14

15 3.. Μοντέλο Beedetti-Pichler Υποθέτουµε ότι ο εξεταζόµενος πληθυµός είναι ένα µίγµα δύο ειδών κυβικών ωµατιδίων ίων διατάεων των Α και Β µε ακµή u και ίδιας πυκνότητας ρ. Η επί τοις εκατό αναλογία κατά βάρος το µίγµα των Α και Β είναι w A και w B, αντίτοιχα. Για επιπλέον απλούτευη θεωρούµε ότι το προς προδιοριµό υλικό Χ υπάρχει µόνο τα ωµατίδια Α και ε επί τοις εκατό αναλογία κατά βάρος x A. Από το µίγµα αυτό χρηιµοποιείται ποότητα βάρους w για χηµική ανάλυη. Η δειγµατική διακύµανη του υλικού (για το βάρος αυτό) είναι. Στο υγκεκριµένο µοντέλο, ο αριθµός των ωµατιδίων ε βάρος w είναι = w/ρu 3, ενώ η επί τοις εκατό πιθανότητα για ένα τυχαίο ωµατίδιο να είναι Α ή Β υµπίπτει µε την αντίτοιχη επί τοις εκατό περιεκτικότητα: p% = w A % και q% = w B % = (100 w A )%, οπότε η διακύµανη ( (ωµ) : ε αριθµό ωµατιδίων) θα είναι: (ωµ) w w A (100 w A ) = (3-5) 3 ρu Η τυπική απόκλιη επί τοις εκατό ως προς το υτατικό Χ θα είναι: (ωµ) = 100 (3-6) 3 w/ρu Για την απλούτερη περίπτωη, εκείνη όπου το ωµατίδιο Α είναι (το ύνολό του) το υπό προδιοριµό υτατικό (δηλαδή: w A = x), θα έχουµε: 3 ρu = x(100 x) (3-7) w Η παραπάνω εξίωη, αν και προέρχεται από το υπεραπλουτευµένο µοντέλο, µπορεί να χρηιµοποιηθεί για να εκτιµηθεί η δειγµατική διακύµανη για δεδοµένο βάρος δείγµατος. Είναι προφανές το ότι η δειγµατική διακύµανη αυξάνει ραγδαία, όο αυξάνει το µέγεθος του ωµατιδίου και όο µικρότερο είναι το ποοτό της ουίας Χ Επεκτάεις του µοντέλου Beedetti-Pichler Για να πληιάει περιότερο την πραγµατικότητα το προηγούµενο µοντέλο, δεχόµατε ότι τα ωµατίδια Α και Β έχουν τώρα διαφορετικές πυκνότητες, ρ Α και ρ Β, αντίτοιχα. Ακόµη, δεχόµατε ότι και τα δύο ωµατίδια περιέχουν την ουία Χ, το ωµατίδιο Α ε επί τοις εκατό ποοτό x A και το ωµατίδιο Β ε επί τοις εκατό ποοτό x B. Με τις επιπλέον αυτές κατατάεις, η Εξίωη 3-7 γίνεται: 3 ρ Αρ Β u x A x B = w A (100 w A ) (3-8) ρ w Παρατηρούµε ότι η πυκνότητα ρ, τώρα αντικαθίταται από τον λόγο ρ Α ρ Β /ρ. Ο όρος [(x A x B )/100] είναι ενδεικτικός της ανοµοιογένειας του υλικού και προφανώς αν είναι x A = x B δεν τίθεται πλέον θέµα ανοµοιογένειας. Η Εξίωη 3-8 εµφανίζεται ε διάφορες µορφές τη βιβλιογραφία της αναλυτικής χηµείας, µε µικρές παραλλαγές τη θεώρηη του µοντέλου. Μια αρκετά υνηθιµένη µορφή είναι η ακόλουθη: 100 1/ ρ Αρ B p(1 p) x A x B = (3-9) ρ x Γ-15

16 Η ταθερά δειγµατοληψίας Igmell µπορεί να υπολογιθεί και εκφραθεί ως υνάρτηη των παραµέτρων του µοντέλου ως εξής: K 3 8 (x Bρ B x Aρ A ) (x B x)(x x A ) u 10 = R w = (3-10) ρ B (x B x)(x B x A ) + ρ A (x x A )(x B x A ) x Η ειαγωγή περιότερων από δύο τύπων ωµατιδίων το µοντέλο περιπλέκει η- µαντικά την κατάταη µε την ειαγωγή πολυωνυµικών (πλέον) κατανοµών. Για ένα µίγµα που περιέχει m τύπους ωµατιδίων πυκνοτήτων ρ i (i = 1,,, m), επί τοις εκατό αναλογία κατά βάρος w i του υτατικού Χ, x i ε κάθε ωµατίδιο, τότε η δειγµατική διακύµανη παρέχεται από την εξίωη Wilo: m m 3 1 x iρ i x jρ j w iw j = u ρ (3-11) i= 1 j= ρ iρ j w όπου i, j αναφέρονται ε οποιοδήποτε ζεύγος από τους m τύπους ωµατιδίων, x i είναι η διαφορά µεταξύ κάθε τιµής επιµέρους ποοτού x i και του γενικού ποοτού x. Όλα τα ω- µατίδια θεωρούνται ότι έχουν τον ίδιο όγκο. Εάν οι πυκνότητες των ωµατιδίων διαφέρουν ηµαντικά η εξίωη Wilo ιχύει για χετικά µικρές Παράγοντες ωµατιδιακών ιδιοτήτων - Θεωρία του Gy Η κλαική θεωρία του Gy αφορά τη δειγµατοληψία ετερογενών υλικών µε ωµατίδια κοκκώδους µορφής. Το απλούτερο µοντέλο που περιγράφεται από την Eξίωη 3-7 µπορεί να τροποποιηθεί ως εξής, µε βάη τη θεωρία του Gy: = ρu (100 x) f gl (3-1) w W ο όρος 1/w της Eξίωης 3-7 αντικαθίταται µε τον όρο (1/w 1/W). Αυτή η αντικατάταη πραγµατοποιείται για να ληφθεί υπόψη η επίδραη της µάζας του χονδρικού δείγµατος W, από όπου λαµβάνεται δείγµα βάρους w (βλέπε Σηµείωη 4). Η δειγµατική διακύµανη µειώνεται µε αύξηη του δείγµατος w και µε µείωη του W. Εάν w = W, τότε η δειγµατική διακύµανη µηδενίζεται (αφού όλο το υλικό ειάγεται την αναλυτική διαδικαία), ενώ αν είναι w << W, η διαφορά (1/w 1/W) αντικαθίταται από τον όρο 1/w. Ιδιαίτερη ηµαία έχουν οι παράγοντες f, g και l, που αποδίδουν υγκεκριµένες ιδιότητες των ωµατιδίων, οι οποίες περιγράφονται τη υνέχεια. Παράγοντας χήµατος ωµατιδίου (prticle hpe fctor), f. Για την εξαγωγή της εξίωης (3-7), τα ωµατίδια θεωρήθηκαν ως κυβικά µε όγκο u 3. Στην πραγµατικότητα τα ωµατίδια έχουν διάφορα χήµατα και ο παράγοντας f αποτελεί ένα µέτρο της µέης διαφοράς των ω- µατιδίων από το κυβικό χήµα. Αντιπροωπεύει τον λόγο του µέου όγκου των πραγµατικών ωµατιδίων που έχουν µέγιτη γραµµική διάταη ίη προς το µέγεθος οπής του κόκινου. Για τον κύβο είναι f = 1,0, ενώ για τελείως φαιρικά ωµατίδια είναι f = 0,54 [V φαίρας / V κύβοu = (4/3)π(u/) 3 / u 3 = π/6 = 0,54]. Στις περιότερες περιπτώεις δειγµάτων µπορεί να θεωρηθεί ότι f = 0,5. Για χονδρικά δείγµατα που έχουν ωµατίδια κάπως ειδικής µορφής (π.χ. ωµατίδια χρυού, υπό µορφή µικρών λεπιών ) η τιµή του f µπορεί να είναι µόλις 0,. Παράγοντας ωµατιδιακής κατανοµής (prticle-ize ditriutio fctor), g. Στο απλό µοντέλο όλα τα ωµατίδια θεωρούνται ότι έχουν το ίδιο µέγεθος. Στα πραγµατικά µίγµατα υπάρχει ποικιλία µεγεθών, που µπορεί να περιγραφεί µε µια κατανοµή µεγεθών. Ο παράγοντας g αποδίδει τον λόγο του ορίου µεγαλύτερου µεγέθους προς το όριο µικρότερου µεγέθους. Ιδανικά (ίδια µεγέθη) είναι g =1. Στην πραγµατικότητα, όταν το χονδρικό δείγµα θραύεται και κονιοποιείται χωρίς κάποια διαδικαία ταξινόµηης κατά µέγεθος, θα πρέπει να χρηιµοποιηθεί µια τιµή g = 0,5. Όο µικραίνει το µέγεθος του ωµατιδίου κατά κανόνα αυξάνει η Γ-16

17 τιµή του g (π.χ. για ωµατίδια µεαίου και µικρού µεγέθους µπορούν οι τιµές του g να είναι 0,50 και 0,75, αντίτοιχα). Παράγοντας απελευθέρωης (liertio fctor), l. Για το απλούτερο µοντέλο θεωρήθηκε ότι το υλικό αποτελείται από δύο είδη ωµατιδίων, Α και Β. Για την Εξίωη 3-7 θεωρήθηκε επιπλέον ότι w A = x (δηλ. ότι η υνολική µάζα του ωµατιδίου Α είναι και το υπό προδιοριµό υτατικό). Στην πραγµατικότητα, είναι πολύ πιθανόν τεµάχια του χονδρικού υλικού να περιέχουν και τα δύο είδη ωµατιδίων. Κατά τη θραύη του χονδρικού υλικού απελευθερώνονται τα ωµατίδια που περιέχουν το υπό προδιοριµό υλικό. Η διαδικαία και ο βαθµός απελευθέρωης µπορεί να περιγραφεί µε την ειαγωγή του παράγοντα απελευθέρωης που ορίζεται ως: u u 1/ 1 l = (3-13) όπου, µετά τη θραύη του τεµαχίου υλικού, u 1 είναι το µέο µέγεθος των κόκκων που περιέχουν το υπό προδιοριµό υτατικό και u το µεγαλύτερο µέγεθος κόκκων. Όταν u u 1, τότε l = 1, δηλαδή δεν υπάρχει απελευθέρωη. Ο όρος l µπορεί να εκτιµηθεί µόνο µε µικροκοπική εξέταη και µε δοκιµαίες µε κόκινα διαφόρων µεγεθών. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. P. M. Gy, Smplig of Prticulte Mteril: Theory d Prctice, Elevier, Amterdm, C. O. Igmell, New Approche to Geochemicl Alyi d Smplig, Tlt, 1, , A. A. Beedetti-Pichler, το Phyicl Method i Chemicl Alyi, W. G. Berl, Ed., Vol. 3, pp , New York Acdemic Pre, 1956, A. A. Beeditti-Pichler, Eetil of Qutittive Alyi Chpter 19, New York, Rold Pre, B. Krtochvil d J. K. Tylor, Smplig for Chemicl Alyi, Alyticl Chemitry, 53, 954A-938A, H. A. Litie d W. E. Hrri, Smplig i Chemicl Alyi, d Ed., Chp. 7, pp , McGrw-Hill, New York, R. Smith d G. V. Jme, The Smplig of Bulk Mteril, Royl Society of Chemitry, Lodo, J. K. Tylor, Qulity Aurce of Chemicl Meuremet, pp 55-74, Lewi, Michig, R. Q. Yu, Alyticl Smplig Theory i Itroductio to Chemometric, chp. 3, pp 6-48, Hu Eductio Pulihig Houe, Chgh, R. Q. Yu, Smplig: Overview d Theory i Ecyclopedi of Alyticl Sciece, , Acdemic Pre Limited, Γ-17

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα,

Διαβάστε περισσότερα

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Σχεδιαμός Στοιχείων Μηχανών ε μεταβαλλόμενα φορτία Μεταβαλλόμενα με τον χρόνο φορτία χαρακτηρίζονται τα φορτία που μεταβάλλουν το μέγεθος ή την διεύθυνη τους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ Η ερµιονική εκποµπή ηλεκτρονίων είναι ένα φαινόµενο το οποίο βαίζεται η λειτουργία της λυχνίας κενού. Η δίοδος λυχνία κενού αποτελεί ορόηµο τον πολιτιµό του ύγχρονου ανρώπου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Έτω Χ 1, Χ,..., Χ και Υ 1, Υ,..., Υ m δύο τυχαία δείγματα μεγέθους και m αντίτοιχα από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VIII. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΕ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ 1. Ειαγωγή Ήδη από το 180 είχε διαπιτωθεί ότι τα µεταλλικά υλικά, όταν καταπονούνται από επαναλαµβανόµενες ή χρονικά µεταβαλλόµενες

Διαβάστε περισσότερα

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού . Έλεγχος Υποθέεων. Έλεγχοι για την µέη τιµή πληθυµού Ας υποθέουµε ένα πληθυµό µε µέη τιµή (µ.τ.) µ και τυπική απόκλιη (τ.α.). Έχει δειχτεί το κεφ.0 ο έλεγχος µιας µηδενικής υπόθεης H 0 δεδοµένης µιας

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1 Στατιτικοί Ελεγχοι Έλεγχος 1: Ζ-Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος : t - Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος 3: I -τετράγωνο Έλεγχος για την διακύµανη Έλεγχος 4: t-έλεγχος για την ύγκριη

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 3 Χρηματοοικονομική Διοίκηη Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 Γραπτή Εργαία Διαχείριη Χαρτοφυλακίου Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιστροφής στη Βραχοµηχανική

Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιστροφής στη Βραχοµηχανική Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιτροφής τη Βραχοµηχανική Appliaion of a paaboloid ieion in Rok Mehanis ΣΑΚΕΛΛΑΡΙΟΥ, Μ.Γ., ρ Μηχ., Π.Μ. & Α.Τ.Μ., Αναπληρωτής Καθηγητής, Ε.Μ.Π. ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Στο παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1. Η Αγορά Κεφαλαίου Η αγορά κεφαλαίου αποτελεί ένα από τους ηµαντικότερους χρηµατοοικονοµικούς θεµούς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Αξιοπιστία μονάδων - συστημάτων στο χρόνο. Κατανομές χρόνων ζωής

Κεφάλαιο 2. Αξιοπιστία μονάδων - συστημάτων στο χρόνο. Κατανομές χρόνων ζωής Κεφάαιο Αξιοπιτία μονάδων - υτημάτων το χρόνο Κατανομές χρόνων ζωής Στο προηγούμενο κεφάαιο εξετάαμε την αξιοπιτία μονάδων ή υτημάτων τατικά δηαδή υποθέταμε ότι η μεέτη γίνονταν πάντα ε κάποια υγκεκριμένη

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθυµίσεις Μηχανικής Παραµορφωσίµων Στερεών

Υπενθυµίσεις Μηχανικής Παραµορφωσίµων Στερεών Παράρτηµα Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών 1. ΤΑΣΕΙΣ Οι ξωτρικές δυνάµις που πιβάλλονται ένα ώµα µπορούν να χωριθούν δύο κατηγορίς, τις καθολικές δυνάµις και τις πιφανιακές δυνάµις. Οι καθολικές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ. 5 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΠΑΚΕΤΑ Ι

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ. 5 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΠΑΚΕΤΑ Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ 5 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΠΑΚΕΤΑ Ι Ι ΑΣΚΩΝ ΣΤΕΛΙΟΣ ΖΗΜΕΡΑΣ Σάος 3 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ...3. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΑΝΑΛΥΤΗΣ...3.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΔΙΚΕΣ/ ΟΜΟΙΟ-ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΕΣ 2010

ΚΛΑΔΙΚΕΣ/ ΟΜΟΙΟ-ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΕΣ 2010 ΚΛΑΔΙΚΕ ΟΜΟΙΟ-ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΕ 2010 ΚΛΑΔΟ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑ ΟΔΗΓΟΙ ΤΟΥΡΙΤΙΚΩΝ ΛΕΩΦΟΡΕΙΩΝ ΑΡΧΑΙΟΛΟΓΩΝ ΜΕΛΩΝ ΕΚΑ ΤΕΧΝΙΤΩΝ ΚΑΙ ΒΟΗΘΩΝ ΞΥΛΟΥΡΓΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΙΚΩΝ ΕΡΓΑΙΩΝ ΝΖΩΝΗ ΟΞΟΠΟΙΙΑ, ΠΟΤΟΠΟΙΙΑ, ΟΙΝΟΠΟΙΙΑ, ΟΙΝΟΠΝΕΥΜΑΤΟΠΟΙΙΑ,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΑΜΠΑΡΤΖΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΑΜΠΑΡΤΖΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΦΟΡΕΑΣ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΡΙΟ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Ε.)- ΤΜΗΜΑ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΚΡΗΤΗΣ Δ/ΝΣΗ: Εθνικής Αντιτάεως 105 71 306 ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΤΗΛΕΦΩΝΟ: 081-223997, 224595 FAX: 081-223997 E-mail: - Δ/νη το INTERNET: - ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελ Α Σχολικό βιβλίο σελ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελ 9 Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ // - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

συναρτησιακό μοντέλο: Ax=l+v (γεωμετρική απόσταση δορυφόρων-δέκτη) μετρήσεις: l στοχαστικό μοντέλο: W=σ 02 V (ψευδοαποστάσεις) (σ i =c cosecφ i )

συναρτησιακό μοντέλο: Ax=l+v (γεωμετρική απόσταση δορυφόρων-δέκτη) μετρήσεις: l στοχαστικό μοντέλο: W=σ 02 V (ψευδοαποστάσεις) (σ i =c cosecφ i ) Τύποι μετρήεων μέθοδοι δορυφορικού εντοπιμού μετρήεις ψευδοαποτάεων μετρήεις φάεων ΑΚΡΙΒΙΑ απόλυτος εντοπιμός χετικός εντοπιμός τατικός εντοπιμός κινηματικός εντοπιμός εκ των υτέρων εντοπιμός εντοπιμός

Διαβάστε περισσότερα

Ατομική μονάδα μάζας (amu) ορίζεται ως το 1/12 της μάζας του ατόμου του άνθρακα 12 6 C.

Ατομική μονάδα μάζας (amu) ορίζεται ως το 1/12 της μάζας του ατόμου του άνθρακα 12 6 C. 4.1 Βασικές έννοιες Ατομική μονάδα μάζας (amu) ορίζεται ως το 1/12 της μάζας του ατόμου του άνθρακα 12 6 C. Σχετική ατομική μάζα ή ατομικό βάρος λέγεται ο αριθμός που δείχνει πόσες φορές είναι μεγαλύτερη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΟΤ Α.Ε. ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ / ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ

ΕΛΟΤ Α.Ε. ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ / ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ ΕΛΟΤ Α.Ε. ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ / ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ ΕΙ ΙΚΟΣ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΑΙ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΕΞΟΠΛΙΣΜΩΝ ΠΑΙΧΝΙ ΟΤΟΠΩΝ (Παιδότοποι εσωτερικού χώρου & Παιδικές χαρές) Έκδοση/ Τροποποίηση : 01/00 Συντάχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό Σύστηµα ιαπίστευσης Α.Ε.

Εθνικό Σύστηµα ιαπίστευσης Α.Ε. ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΡΙΑ Ο ΗΓΙΑ ΓΙΑ ΤΗ ΙΑΠΙΣΤΕΥΣΗ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΜΕ ΤΗ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΕΛΟΤ ΕΝ ISO/IEC 17025 ΕΣΥ ΚΟ- ΕΙΓΜ /01/02/10-5-2006 1/7 ΕΣΥ ΚΟ- ΕΙΓΜ Έκδοση: 01 Αναθεώρηση: 02 Ηµεροµηνία Έκδοσης:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΚΑΤΑΤΑΞΗΣ: ΟΡΙΣΤΙΚΗ ΤΥΠΟΣ: Τελική ΔΙΑΘΕΣΙΜΗ ΠΙΣΤΩΣΗ ΓΙΑ ΚΑΤΑΤΑΞΗ: 5760000. Σελίδα 1 Από 15 ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΠΟΣΟ ΕΝΙΣΧΥΣΗΣ ΠΕΝΤΑΕΤΙΑ Σ

ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΚΑΤΑΤΑΞΗΣ: ΟΡΙΣΤΙΚΗ ΤΥΠΟΣ: Τελική ΔΙΑΘΕΣΙΜΗ ΠΙΣΤΩΣΗ ΓΙΑ ΚΑΤΑΤΑΞΗ: 5760000. Σελίδα 1 Από 15 ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΠΟΣΟ ΕΝΙΣΧΥΣΗΣ ΠΕΝΤΑΕΤΙΑ Σ ΔΡΑΗ 1.1 "ΒΙΟΛΟΓΙΚΗ ΓΕΩΡΓΙΑ" 2/1/2014 ΤΟ ΠΛΑΙΙΟ ΤΟΥ ΚΑΝ(ΕΚ) 1698/2005 ΤΟΥ ΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΑΡΙΘΜΟ ΑΠΟΦΑΗ ΠΡΟΚΛΗΗ : 74/4119/13.01.2012 ΕΠΕΚΤΑΗ : OXI ΚΑΤΑΤΑΗ ΚΑΤΑΤΑΞΗ: ΟΡΙΤΙΚΗ ΤΥΠΟ: Τελική ΔΙΑΘΕΙΜΗ ΠΙΤΩΗ ΓΙΑ ΚΑΤΑΤΑΞΗ:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 Οκτωβρίου 2009 ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η ανάγκη εισαγωγής της δεσµευµένης πιθανότητας αναφύεται στις περιπτώσεις όπου µία µερική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

f = c p + 2 (1) f = 3 1 + 2 = 4 (2) x A + x B + x C = 1 (3) x A + x B + x Γ = 1 3-1

f = c p + 2 (1) f = 3 1 + 2 = 4 (2) x A + x B + x C = 1 (3) x A + x B + x Γ = 1 3-1 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΦΑΣΕΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΠΟΛΛΩΝ ΣΥΣΤΑΤΙΚΩΝ ΑΜΟΙΒΑΙΑ ΙΑΛΥΤΟΤΗΤΑ Θέµα ασκήσεως Προσδιορισµός καµπύλης διαλυτότητας σε διάγραµµα φάσεων συστήµατος τριών υγρών συστατικών που το ένα ζεύγος παρουσιάζει περιορισµένη

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων

Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων 1 Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων 1.1 Ηλεκτρικά και Ηλεκτρονικά Συστήµατα Μετρήσεων Στο παρελθόν χρησιµοποιήθηκαν µέθοδοι µετρήσεων που στηριζόταν στις αρχές της µηχανικής, της οπτικής ή της θερµοδυναµικής.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes)

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) Πολλά ΧΠ δεν µπορούν να αναπαρασταθούν αριθµητικά. Τα ΧΠ χαρακτηρίζονται συµµορφούµενα και µη-συµµορφούµενα. Τα ΧΠ τέτοιου είδους ονοµάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Σ Ε Μ Ι Ν Α Ρ Ι Ο ΤΙΤΛΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΧΡΗΣΤΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝΙΝΟΣ. Υπεύθυνες Εκπόνησης Εργασίας ΟΝΟΜΑ: ΦΩΤΕΙΝΗ ΕΠΩΝΥΜΟ: ΛΙΟΣΗ Α.

Σ Ε Μ Ι Ν Α Ρ Ι Ο ΤΙΤΛΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΧΡΗΣΤΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝΙΝΟΣ. Υπεύθυνες Εκπόνησης Εργασίας ΟΝΟΜΑ: ΦΩΤΕΙΝΗ ΕΠΩΝΥΜΟ: ΛΙΟΣΗ Α. Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Ο Κ Ρ Η Τ Η Σ Π Α Ι Δ Α Γ Ω Γ Ι Κ Ο Τ Μ Η Μ Α Δ Η Μ Ο Τ Ι Κ Η Σ Ε Κ Π Α Ι Δ Ε Υ Σ Η Σ Σ Ε Μ Ι Ν Α Ρ Ι Ο ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ (Β06Σ03) ΤΙΤΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΜΕΘΟΔΩΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΚΙΝΗΤΙΚΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΑΠΕΝΕΡΓΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΜΕΘΟΔΩΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΚΙΝΗΤΙΚΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΑΠΕΝΕΡΓΟΠΟΙΗΣΗΣ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΜΕΘΟΔΩΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΚΙΝΗΤΙΚΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΑΠΕΝΕΡΓΟΠΟΙΗΣΗΣ Μαρία Γιαννακούρου ΤΕΙ Αθηνών, Σχολή Τεχνολογίας Τροφίμων και Διατροφής, Τμήμα Τεχνολογίας Τροφίμων Νικόλαος Γ. Στοφόρος Γεωπονικό

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΚ ΞΑΝΘΗΣ. Μάθημα : Στατιστική Ι. Υποενότητα : Τρόποι και μέθοδοι δειγματοληψίας

ΙΕΚ ΞΑΝΘΗΣ. Μάθημα : Στατιστική Ι. Υποενότητα : Τρόποι και μέθοδοι δειγματοληψίας ΙΕΚ ΞΑΝΘΗΣ Μάθημα : Στατιστική Ι Υποενότητα : Τρόποι και μέθοδοι δειγματοληψίας Επαμεινώνδας Διαμαντόπουλος Ιστοσελίδα : http://users.sch.gr/epdiaman/ Email : epdiamantopoulos@yahoo.gr 1 Στόχοι της υποενότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΣΑΚΧΑΡΩΝ ΣΤΟ ΓΛEYKOΣ

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΣΑΚΧΑΡΩΝ ΣΤΟ ΓΛEYKOΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΣΑΚΧΑΡΩΝ ΣΤΟ ΓΛEYKOΣ Τα σάκχαρα είναι το σημαντικότερο συστατικό του γλεύκους, καθώς η περιεκτικότητά του σε αυτά καθορίζει τον αλκοολικό βαθμό του οίνου που θα προκύψει μετά την αλκοολική

Διαβάστε περισσότερα

3. Οι σχέσεις της Ελλάδας µε τους άλλους

3. Οι σχέσεις της Ελλάδας µε τους άλλους 3. Οι χέεις της Ελλάδας µε τους άλλους Οι χέεις της Ελλάδας µε τους γύρω της λαούς και τις ευρωπαϊκές υνάµεις καθορίζονται τη διάρκεια του 19 ου και των αρχών του 20 ού αιώνα από τον αλυτρωτιµό. Η προάρτηη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis)

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχοντας παρουσιάσει τις βασικές έννοιες των ελέγχων υποθέσεων, θα ήταν, ίσως, χρήσιμο να αναφερθούμε σε μια άλλη περιοχή στατιστικής συμπερασματολογίας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο;

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Συνήθως ο όρος φίλτρο υποδηλώνει µια διαδικασία αποµάκρυνσης µη επιθυµητών στοιχείων Απότολατινικόόροfelt : το υλικό για το φιλτράρισµα υγρών Στη εποχή των ραδιολυχνίων:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΙΟΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ

ΠΟΙΟΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΠΟΙΟΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ 1 Ποιότητα και Ποιοτικός Έλεγχος Ο όρος «ποιότητα» συχνά χρησιµοποιείται χωρίς την πραγµατική της έννοια. ηλαδή δεν προσδιορίζεται αν το προϊόν στο οποίο αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ ΘΕΜΑ: ΜΕΛΕΤΗ ΡΥΠΑΝΣΗΣ ΡΕΜΑΤΟΣ «ΣΟΥΛΟΥ» ΛΟΓΩ ΔΙΑΡΡΟΗΣ ΠΟΣΟΤΗΤΑΣ ΠΕΤΡΕΛΑΙΟΥ ΑΠΟ ΤΟΝ ΑΗΣ ΑΓ. ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ (ΔΕΗ)

ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ ΘΕΜΑ: ΜΕΛΕΤΗ ΡΥΠΑΝΣΗΣ ΡΕΜΑΤΟΣ «ΣΟΥΛΟΥ» ΛΟΓΩ ΔΙΑΡΡΟΗΣ ΠΟΣΟΤΗΤΑΣ ΠΕΤΡΕΛΑΙΟΥ ΑΠΟ ΤΟΝ ΑΗΣ ΑΓ. ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ (ΔΕΗ) ΚΕΝΤΡΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Αμιγής Νομαρχιακή Επιχείρηση Ν. Α Κοζάνης 1 ο χιλ. Πτολεμαΐδας-Κοζάνης Τ.Θ. 65 502 00 ΠΤΟΛΕΜΑΙΔΑ Τηλ: (24630) 53-571 Τηλ/fax: 53-666, e-mail: info@kepekozani.gr ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ ΘΕΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοτικά Χαρακτηριστικά Λυµάτων

Ποιοτικά Χαρακτηριστικά Λυµάτων Ποιοτικά Χαρακτηριστικά Λυµάτων µπορούν να καταταχθούν σε τρεις κατηγορίες: Φυσικά Χηµικά Βιολογικά. Πολλές από τις παραµέτρους που ανήκουν στις κατηγορίες αυτές αλληλεξαρτώνται π.χ. η θερµοκρασία που

Διαβάστε περισσότερα

: ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ ΥΛΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΜΑΝΣΗΣ ΝΕΡΟΥ. : Ι ΙΟΙ ΠΟΡΟΙ : 19.000,00 πλέον του αναλογούντος Φ.Π.Α.

: ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ ΥΛΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΜΑΝΣΗΣ ΝΕΡΟΥ. : Ι ΙΟΙ ΠΟΡΟΙ : 19.000,00 πλέον του αναλογούντος Φ.Π.Α. ΧΡΗΜΑΤΟ ΟΤΗΣΗ ΠΡΟΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ : Ι ΙΟΙ ΠΟΡΟΙ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Τεχνική Έκθεση Ενδεικτικός Προϋπολογισµός Ειδική Συγγραφή Υποχρεώσεων -Τεχνικές Προδιαγραφές Σχέδιο ιακήρυξης Έντυπο Οικονοµικής Προσφοράς ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

, όπου x = 0,1,...,300000. Έτσι, για την πιθανότητα σε ένα έτος να μην υπάρξουν θάνατοι ζώων από τον εμβολιασμό έχουμε, 2! 299998!

, όπου x = 0,1,...,300000. Έτσι, για την πιθανότητα σε ένα έτος να μην υπάρξουν θάνατοι ζώων από τον εμβολιασμό έχουμε, 2! 299998! Η Κατανομή Poisso Ας δούμε ένα πρόβημα: Σε μια κτηνοτροφική περιοχή υπάρχουν 3 αιγοπρόβατα. Κάθε χρόνο όα τα αιγοπρόβατα εμβοιάζονται για προστασία από κάποια ασθένεια. Σύμφωνα με την άδεια χρήσης του

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

2. Οι Βαλκανικοί πόλεµοι

2. Οι Βαλκανικοί πόλεµοι 2. Οι Βαλκανικοί πόλεµοι Στις αρχές της δεκαετίας του 1910 αρχίζει µια προπάθεια υνεννόηης ανάµεα τα βαλκανικά κράτη. Στόχος τους είναι να διεκδικήουν τα εδάφη της Οθωµανικής Αυτοκρατορίας τη Βαλκανική

Διαβάστε περισσότερα

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη:

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη: 4. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΑΒΕΒΑΙΑ ΖΗΤΗΣΗ Στις περισσότερες περιπτώσεις η ζήτηση είναι αβέβαια. Οι περιπτώσεις αυτές διαφέρουν ως προς το μέγεθος της αβεβαιότητας. Δηλαδή εάν η αβεβαιότητα είναι περιορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IV. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ. Ειαγωγή Η θωρία πλαικόηας αχολίαι µ ην υµπριφορά ων µαλλικών υλικών, όαν οι παραµορφώις ίναι πλέον αρκά µγάλς και ο νόµος ου Hooke παύι να

Διαβάστε περισσότερα

Νέα µέθοδος προσδιορισµού κατανοµής µεγέθους πόρων για νανοπορώδη υλικά

Νέα µέθοδος προσδιορισµού κατανοµής µεγέθους πόρων για νανοπορώδη υλικά ΑΚΜΩΝ Νέα µέθοδος προσδιορισµού κατανοµής µεγέθους πόρων για νανοπορώδη υλικά Νέα µέθοδος προσδιορισµού κατανοµής µεγέθους πόρων για νανοπορώδη υλικά Τα πορώδη υλικά αποτελούν µια πολύ σηµαντική κατηγορία

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ε Χ Ν Ι Κ Η Π Ε Ρ Ι Γ Ρ Α Φ Η Τ Ε Χ Ν Ι Κ Ε Σ Π Ρ Ο Ι Α Γ Ρ Α Φ Ε Σ

Τ Ε Χ Ν Ι Κ Η Π Ε Ρ Ι Γ Ρ Α Φ Η Τ Ε Χ Ν Ι Κ Ε Σ Π Ρ Ο Ι Α Γ Ρ Α Φ Ε Σ ΗΜΟΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ Υ ΡΕΥΣΗΣ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΛΕΣΒΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΜΗΘΕΙΩΝ ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ: ΠΡΟΫΠ/ΣΜΟΣ: Υποχλωριώδους νατρίου14,5% σε ενεργό χλώριο α) για τη χλωρίωση του πόσιµου νερού, β) για τη χλωρίωση του επεξεργασµένου

Διαβάστε περισσότερα

(Μη νομοθετικές πράξεις) ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΙ

(Μη νομοθετικές πράξεις) ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΙ 16.3.2012 Επίσημη Εφημερίδα της Ευρωπαϊκής Ένωσης L 77/1 II (Μη νομοθετικές πράξεις) ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΙ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ (ΕΕ) αριθ. 225/2012 ΤΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ της 15ης Μαρτίου 2012 για την τροποποίηση του παραρτήματος II

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

Τα οικονομικά της Υγείας: μια >υσάρεστη επιστήμη ή ένα χρήσιμο εργαλείο για τις πολιτικές Υγείας;

Τα οικονομικά της Υγείας: μια >υσάρεστη επιστήμη ή ένα χρήσιμο εργαλείο για τις πολιτικές Υγείας; Τ οικονομικά της Υγείς: μι υάρετη επιτήμη ή έν χρήιμο εργλείο γι τις πολιτικές Υγείς; Ιωάννης Κυριόπουλος Κθηγητής Οικονομικών της Υγείς, Διευθυντής του Τομέ Οικονομικών της Υγείς, Εθνική Σχολή Δημόις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Χρήση τυχαίων µεταβλητών για την απεικόνιση εκβάσεων τυχαίου πειράµατος Κατανόηση της έννοιας κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίας µεταβλητής Υπολογισµός της συνάρτηση κατανοµής πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Course: Renewable Energy Sources

Course: Renewable Energy Sources Course: Renewable Energy Sources Interdisciplinary programme of postgraduate studies Environment & Development, National Technical University of Athens C.J. Koroneos (koroneos@aix.meng.auth.gr) G. Xydis

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 5] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Δρ. Τακβόρ Σουκισιάν Κύριος Ερευνητής ΕΛΚΕΘΕ Forecasting is very dangerous, especially about the future --- Samuel Goldwyn 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) x είναι f (x) Β Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχοι. Τη συγκέντρωση του φαρμάκου σε δείγμα ιστού ή βιολογικού υγρού

Έλεγχοι. Τη συγκέντρωση του φαρμάκου σε δείγμα ιστού ή βιολογικού υγρού Έλεγχοι Τη συγκέντρωση του φαρμάκου σε δείγμα ιστού ή βιολογικού υγρού Το ρυθμό απελευθέρωσης του φαρμάκου από το σκεύασμα Έλεγχο ταυτότητας και καθαρότητας της πρώτης ύλης και των εκδόχων( βάση προδιαγραφών)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΣΗ A1701/2014 ΟΡΓΑΝΟΛΗΠΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΥΔΡΟΜΕΛΟΥ

ΕΚΘΕΣΗ A1701/2014 ΟΡΓΑΝΟΛΗΠΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΥΔΡΟΜΕΛΟΥ EΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ, ΤΟΜΕΑΣ IV ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΝΘΕΣΗΣ & ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΧΗΜΕΙΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ Ηρώων Πολυτεχνείου 5, Πολυτεχνειούπολη Ζωγράφου,

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008 Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 8 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 9.9.8. [] Μια βιομηχανία τροφίμων προμηθεύεται νωπά κοτόπουλα από τρεις διαφορετικούς παραγωγούς Α, Β, Γ. Το % των κοτόπουλων

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο 8.1 Συντελεστές συσχέτισης: 8.1.1 Συσχέτιση Pearson, και ρ του Spearman 8.1.2 Υπολογισµός του συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΠΟΣΟΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΠΟΣΟΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΠΟΣΟΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Εισαγωγή Στο Κεφάλαιο 3 υπολογίζονται και συγκρίνονται οι µέσες τιµές όλων των αριθµητικών µεταβλητών που είναι ο γραπτός µέσος όρος όλων των µαθηµάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΟΚΙΜΩΝ

ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΟΚΙΜΩΝ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΟΚΙΜΩΝ ΠΕΛΑΤΗΣ Περιγραφή δείγµατος 0913 ΑΛΟΥΜΥΛ ΜΥΛΩΝΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ Α.Ε. ΒΙ.ΠΕ. ΚΙΛΚΙΣ Τ.Κ. 611 00 ΚΙΛΚΙΣ Μονόφυλλη Μπαλκονόπορτα Αλουµινίου / Ξύλου Ανοιγοανακλινόµενη Σειρά M 23000

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ ΤΩΝ ΗΜΟΓΡΑΦΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ ΤΩΝ ΗΜΟΓΡΑΦΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ ΤΩΝ ΗΜΟΓΡΑΦΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Τα δηµογραφικά δεδοµένα τα οποία προέρχονται από τις απογραφές πληθυσµού, τις καταγραφές της φυσικής και µεταναστευτικής κίνησης του πληθυσµού

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα q Θεωρία: Η απάντηση που ζητάτε είναι αποτέλεσμα μαθηματικών πράξεων και εφαρμογή τύπων. Το αποτέλεσμα είναι συγκεκριμένο q Πείραμα: Στηρίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

( Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ)

( Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ) ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Χ. ΑΜΙΑΝΟΥ, Ν. ΠΑΠΑ ΑΤΟΣ, Χ. Α. ΧΑΡΑΛΑΜΠΙ ΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ ΑΘΗΝΑ 003 Στη Ρίτα Στη Χρυούλα Στη Λέα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ατί

Διαβάστε περισσότερα

EXALCO A.E. ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ 5 ο χλµ. Εθν. Οδού Λαρίσης-Θεσσαλονίκης 411 10 Λάρισα

EXALCO A.E. ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ 5 ο χλµ. Εθν. Οδού Λαρίσης-Θεσσαλονίκης 411 10 Λάρισα ΗΡΑΣ & ΣΠΥΡΟΥ ΜΗΛΙΟΥ 124 62 ΣΚΑΡΑΜΑΓΚΑΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΤΗ Λ : (210) 55.82.320-2 FAX : (210) 55.82.323 E-mail: ekanal@ekanal.gr ΚΟΙΝΟΠΟΙΗΜΕΝΟ ΑΡΙΘΜΟΣ 2002 ΙΑΠΙΣΤΕΥΜΕΝΟ ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟΥ ΟΚΙΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Πείραμα Κρούσης. ΕργαστηριακήΆσκηση 6 η

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Πείραμα Κρούσης. ΕργαστηριακήΆσκηση 6 η ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Πείραμα Κρούσης ΕργαστηριακήΆσκηση 6 η Σκοπός Σκοπός του πειράµατος είναι να κατανοηθούν οι αρχές του πειράµατος κρούσης οπροσδιορισµόςτουσυντελεστήδυσθραυστότητας ενόςυλικού. Η δοκιµή, είναι

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Θέµα: Εναλλακτικές Τεχνικές Εντοπισµού Θέσης Όνοµα: Κατερίνα Σπόντου Επιβλέπων: Ιωάννης Βασιλείου Συν-επιβλέπων: Σπύρος Αθανασίου 1. Αντικείµενο της διπλωµατικής Ο εντοπισµός

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Βασικές έννοιες

Στατιστική. Βασικές έννοιες Στατιστική Βασικές έννοιες Τι είναι Στατιστική; ή μήπως είναι: Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων επιστημών, η οποία βασίζεται σ ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών που έχουν σκοπό: Το σχεδιασμό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΚΑΤΑΤΑΞΗΣ: ΟΡΙΣΤΙΚΗ ΤΥΠΟΣ: Τελική ΔΙΑΘΕΣΙΜΗ ΠΙΣΤΩΣΗ ΓΙΑ ΚΑΤΑΤΑΞΗ: 3000000. Σελίδα 1 Από 68 ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΠΟΣΟ ΕΝΙΣΧΥΣΗΣ ΠΕΝΤΑΕΤΙΑ Σ

ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΚΑΤΑΤΑΞΗΣ: ΟΡΙΣΤΙΚΗ ΤΥΠΟΣ: Τελική ΔΙΑΘΕΣΙΜΗ ΠΙΣΤΩΣΗ ΓΙΑ ΚΑΤΑΤΑΞΗ: 3000000. Σελίδα 1 Από 68 ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΠΟΣΟ ΕΝΙΣΧΥΣΗΣ ΠΕΝΤΑΕΤΙΑ Σ ΔΡΑΗ 1.1 "ΒΙΟΛΟΓΙΚΗ ΓΕΩΡΓΙΑ" 15/1/2014 ΤΟ ΠΛΑΙΙΟ ΤΟΥ ΚΑΝ(ΕΚ) 1698/2005 ΤΟΥ ΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΑΡΙΘΜΟ ΑΠΟΦΑΗ ΠΡΟΚΛΗΗ : 74/4119/13.01.2012 ΕΠΕΚΤΑΗ : OXI ΚΑΤΑΤΑΗ ΚΑΤΑΤΑΞΗ: ΟΡΙΤΙΚΗ ΤΥΠΟ: Τελική ΔΙΑΘΕΙΜΗ ΠΙΤΩΗ ΓΙΑ ΚΑΤΑΤΑΞΗ:

Διαβάστε περισσότερα

(REASONING WITH UNCERTAINTY)

(REASONING WITH UNCERTAINTY) ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ REASONING WITH UNCERTAINTY Ακριβής και πλήρης γνώση δεν είναι πάντα δυνατή Οι εµπειρογνώµονες πολλές φορές παίρνουν αποφάσεις από αβέβαια, ηµιτελή ή και αλληλοσυγκρουόµενα δεδοµένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΤΕΠ 05-03-08-00 ΠΡΟΣΩΡΙΝΕΣ ΕΘΝΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟ ΙΑΓΡΑΦΕΣ Υ.ΠΕ.ΧΩ..Ε.

ΠΕΤΕΠ 05-03-08-00 ΠΡΟΣΩΡΙΝΕΣ ΕΘΝΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟ ΙΑΓΡΑΦΕΣ Υ.ΠΕ.ΧΩ..Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Υ.ΠΕ.ΧΩ..Ε. ΠΡΟΣΩΡΙΝΕΣ ΕΘΝΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟ ΙΑΓΡΑΦΕΣ ΠΕΤΕΠ 05-03-08-00 05 Έργα Οδοποιίας 03 Οδοστρώµατα 08 Κατασκευή στρώσης ερείσµατος από µίγµα αδρανών και φυτικής γης 00 - Έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΑΝΑΡΤΗΣΗΣ : 10-2-15 ΠΡΟΣΟΧΗ: Η ΠΡΟΣΦΕΡΟΜΕΝΗ ΤΙΜΗ ΔΕΝ ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΣΕ ΚΑΜΙΑ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΝΑ ΞΕΠΕΡΝΑ ΑΥΤΉ ΤΟΥ ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΗΡΙΟΥ ΤΙΜΩΝ ΤΗΣ ΕΠΥ

ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΑΝΑΡΤΗΣΗΣ : 10-2-15 ΠΡΟΣΟΧΗ: Η ΠΡΟΣΦΕΡΟΜΕΝΗ ΤΙΜΗ ΔΕΝ ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΣΕ ΚΑΜΙΑ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΝΑ ΞΕΠΕΡΝΑ ΑΥΤΉ ΤΟΥ ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΗΡΙΟΥ ΤΙΜΩΝ ΤΗΣ ΕΠΥ ΕΙΔΩΝ ΕΙΝΑΙ ΕΝΤΟ 5 ΕΡΓΑΙΜΩΝ ΗΜΕΡΩΝ ΜΕΤΑ ΤΟ ΠΕΡΑ ΑΥΤΩΝ ΓΕΝΙΚΟ ΝΟΟΚΟΜΕΙΟ ΧΑΝΙΩΝ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΙΝΑΚΑ ΜΙΚΡΟΠΡΟΜΗΘΕΙΩΝ ΑΝΑΛΩΙΜΟΥ ΥΓΕΙΟΝΟΜΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ (ΦΑΡΜΑΚΕΙΟΥ) ΤΗΝ ΠΡΟΦΟΡΑ ΑΝΑΓΡΑΦΕΤΑΙ Ο ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΗΡΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

121 [101] 124 [104] 8-9 ΦΥΣΙΚΗ. Εργ. Τ2 Οµάδα 7. Εργ. ΕΦ2 ΚΡΟΥΠΗΣ 9-10 ΖΕΙΜΠΕΚΗΣ ΖΑΧΑΡΟΥΛΗΣ ΠΕΡΑΚΗΣ

121 [101] 124 [104] 8-9 ΦΥΣΙΚΗ. Εργ. Τ2 Οµάδα 7. Εργ. ΕΦ2 ΚΡΟΥΠΗΣ 9-10 ΖΕΙΜΠΕΚΗΣ ΖΑΧΑΡΟΥΛΗΣ ΠΕΡΑΚΗΣ Τελ. Ενηµέρωση: 27/2/2009 ΩΡΟΛΟΓΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΑΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΑΚΑ. ΕΤΟΥ 2008-09 1 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΤΖΑΤΖΙΟ ΖΑΧΑΡΟΥΛΗ ΖΕΪΜΠΕΚΗ ΠΕΡΑΚΗ ΖΕΪΜΠΕΚΗ ΤΖΑΤΖΙΟ [101 Φυσική I] Αµφ. ΓΤΘΕ ΖΑΧΑΡΟΥΛΗ 120 [100] ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Κωδικός: ΜΤΝ1 Αρ. Έκδοσης: 1 Ημ/νία: 01-12-2014 Σελ. 1 από 7

Κωδικός: ΜΤΝ1 Αρ. Έκδοσης: 1 Ημ/νία: 01-12-2014 Σελ. 1 από 7 Κωδικός: ΜΤΝ1 Αρ. Έκδοσης: 1 Ημ/νία: 01-12-2014 Σελ. 1 από 7 1. ΣΚΟΠΟΣ Σκοπός της παρούσας οδηγίας είναι η περιγραφή του τρόπου με τον οποίο λαμβάνονται, μεταφέρονται και συντηρούνται τα δείγματα επεξεργασμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΠΡΟΣΩΠΕΙΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΑΝΤΙΠΡΟΣΩΠΕΙΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ZScan Τρισδιάστατη σάρωση χωρίς σαρωτή laser Τι είναι το ZScan Το ZScan είναι ένα σύστηµα τρισδιάστατης σάρωσης (3D scanning) για τη συλλογή νέφους σηµείων (pointcloud) µέσω ψηφιακής φωτογραφικής µηχανής,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

Aλγεβρα A λυκείου B Τομος

Aλγεβρα A λυκείου B Τομος Aλγ ε β ρ α A υ κ ε ί ο υ B Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ειρά: Γενικό ύκειο, Θετικές Επιστήμες Άλγεβρα Α υκείου, Β Τόμος Παναγιώτης Γριμανέλλης Εξώφυλλο: Γεωργία αμπροπούλου

Διαβάστε περισσότερα

Μαρία Λεκίδου Προϊσταµένη Βιβλιοθήκης Πολυτεχνικής Σχολής και Γραµµατέας Τµήµατος Μηχανικών Περιβάλλοντος του.π.θ.

Μαρία Λεκίδου Προϊσταµένη Βιβλιοθήκης Πολυτεχνικής Σχολής και Γραµµατέας Τµήµατος Μηχανικών Περιβάλλοντος του.π.θ. Μαρίία Λεεκίίδου Προϊϊσταµέέννη Βιιβλιιοθήκηςς Πολυτεεχννιικήςς Σχολήςς καιι Γραµµατέέαςς Τµήµατοςς Μηχαννιικώνν Πεεριιβάλλονντοςς του..π.θ.. ιιαχείίριιση Στατιιστιικών Στοιιχείίων Ακαδηµαϊϊκών Βιιβλιιοθηκών

Διαβάστε περισσότερα