ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών"

Transcript

1 ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Καθηγητή Κων/νου Ευταθίου, Εργατήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιτηµίου Αθηνών Η χρηιµότητα ενός αναλυτικού αποτελέµατος ποτέ δεν µπορεί να είναι καλύτερη από την ποιότητα του χρηιµοποιηθέντος δείγµατος 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η δειγµατοληψία (mplig) υχνά αναφέρεται ως η βάη της χηµικής ανάλυης. Σκοπός της δειγµατοληψίας είναι η παρακευή µικρής ποότητας ουίας, αντιπροωπευτικής ως προς τη ύνθεη και τις λοιπές φυικές και χηµικές ιδιότητες µιας κατά πολύ µεγαλύτερης ποότητας, η οποία ευρίκεται ή πρόκειται να τεθεί υπό χηµικό έλεγχο. Μια ποότητα που πρόκειται να υποτεί τις όποιες χηµικές και φυικοχηµικές διαδικαίες, η οποία πάνια ξεπερνάει το 1 g, µπορεί να αντιπροωπεύει τεράτιες ποότητες της υπό έλεγχο ύλης, όπως ένα φορτίο ορυκτού ε πλοίο ( τόνοι ή g) ή ύδατα ενός ποταµού µε ροή g/ηµέρα. Mερικά υλικά δειγµατοληπτούνται εύκολα. 1 ml φλεβικού αίµατος αντιπροωπεύει ικανοποιητικά το φλεβικό αίµα του αθενούς κατά τη τιγµή της δειγµατοληψίας. Αντίθετα, η δειγµατοληψία ορυκτού για τον προδιοριµό χρυού, η δειγµατοληψία ιζήµατος ποταµού για προδιοριµό οργανοϋδραργυρικών ενώεων, η δειγµατοληψία φυτικιών από µια αποθήκη για τον προδιοριµό αφλατοξίνης δεν είναι εξίου εύκολες. Μόλις ληφθεί η κύρια µάζα του δείγµατος απαιτούνται αρκετά επιπλέον και υχνά κυκλικώς επαναλαµβανόµενα τάδια, όπως: Θραύη Υποδιαίρεη Κονιοποίηη ώτε η αρχικά διατιθέµενη ποότητα δείγµατος να φθάει την απαραίτητη για την ανάλυη ποότητα, χωρίς να χάνει την αντιπροωπευτικότητά της. Κάθε ένα από τα προηγούµενα τάδια µπορεί να προκαλέει διαχωριµούς (egregtio) ή/και απώλειες της προδιοριζό- µενης ουίας, που θα οδηγήουν ε υτηµατικά αναλυτικά λάθη. Είναι αυτονόητο ότι οι υνέπειες µιας κακής δειγµατοληψίας δεν αίρονται µε µια προεκτική και εξαιρετικής ακρίβειας χηµική ανάλυη και φυικά µπορεί να είναι κατατροφικές για την υγεία, το περιβάλλον και την οικονοµία. Το κλάµα (µάζα δείγµατος) / (µάζα ελεγχόµενης ύλης) µπορεί να κυµαίνεται ε ευρύτατα όρια. Οι ιδιότητες που πρέπει να πληροί το δείγµα είναι: Να αντιπροωπεύει πιτά τις ιδιότητες της υπό έλεγχο ύλης: ύνθεη, χρώµα, κρυταλλικότητα, κ.λπ. Να έχει µέγεθος κατάλληλο για χειριµό από τη υκευή δειγµατοληψίας. Να έχει µέγεθος κατάλληλο για να το χειριθεί ο αναλυτής (τυπικά 0,001-1 g). Να διατηρεί τις ιδιότητες της υπό έλεγχο ύλης κατά τη δειγµατοληψία ή αυτές να µεταβάλλονται κατά τον ίδιο τρόπο που µεταβάλλονται και ε εκείνη. Γ-1

2 Να είναι κατάλληλο για να δώει την απαραίτητη πληροφορία, π.χ. τη µέη ύνθεη, ή τη ύνθεη ως υνάρτηη του χώρου και του χρόνου. Να διατηρεί την ταυτότητά του καθ όλη τη διαδικαία µεταφοράς και ανάλυης. Με τη βοήθεια της τατιτικής είναι δυνατόν από µικρό πληθυµιακό δείγµα να εξαχθούν χρήιµα υµπεράµατα για τον κυρίως πληθυµό, όπως η µέη τιµή, η τυπική απόκλιη κ.λπ. Στην περίπτωη αυτή το δείγµα είναι µαθηµατικό, δεν έχει µάζα, δεν παρουιάζει τάη απούνθεης, ούτε διαχωριτικές και επιλεκτικές τάεις και προέρχεται από πληθυµούς όµορφα µοντελοποιηµένων, π.χ. µε µια κανονική κατανοµή. υτυχώς, αυτά δεν ιχύουν την περίπτωη των αναλυτικών δειγµάτων. Στην πράξη ο αναλυτής δεν γνωρίζει τον τύπο της κατανοµής των επιµέρους ουιών ε ένα δείγµα. Ενώ την περίπτωη των πληθυµιακών δειγµάτων είναι άκρως επιθυµητό το να είναι όο το δυνατόν µεγαλύτερα, την περίπτωη των αναλυτικών δειγµάτων το µεγάλο δείγµα είναι γενικά ανεπιθύµητο, είτε λόγω κότους του ιδίου είτε λόγω κότους της χηµικής επεξεργαίας Τύποι αντικειµένων και δειγµάτων Ως αντικείµενο (oject) ορίζεται ως η οντότητα της οποίας ζητείται η περιγραφή. Αντικεί- µενο την περίπτωη της αναλυτικής δειγµατοληψίας είναι η εξεταζόµενη ύλη το ύνολό της (π.χ. ένα φορτίο ορυκτού ή ένας κόκκος λιπάµατος ή ένας άκος λιπάµατος ή η εβδο- µαδιαία παραγωγή λιπάµατος). Αντικείµενο µπορεί να είναι ένας ποταµός ε όλο το µήκος του κατά τη διάρκεια ενός χρόνου, ή το νερό του ποταµού από ένα ηµείο και µετά κατά τη διάρκεια µιας ηµέρας, ή το νερό του ποταµού ε ένα ηµείο και µια δεδοµένη τιγµή. Κατά κανόνα το αντικείµενο περιγράφεται τις τέερις διατάεις, δηλαδή τρεις του χώρου και µία του χρόνου. Κατατατικές ιδιότητες του αντικειµένου, όπως η θερµοκραία και η πίεη δεν είναι δυνατόν να υντηρηθούν και θα πρέπει να µετρούνται επί τόπου. Το δείγµα (mple) ορίζεται ως αντιπροωπευτικό τµήµα ενός αντικειµένου. Επειδή αντιπροωπευτικότητα µπορεί να απαιτείται για υγκεκριµένα µόνο χαρακτηριτικά ποιότητας, ένας περιότερο λειτουργικός οριµός του δείγµατος είναι: το τµήµα του αντικειµένου, που επιλέγεται κατά τρόπο που να διαθέτει τις επιθυµητές ιδιότητες του αντικειµένου. Οι τύποι αντικειµένων περιγράφονται το Σχήµα 1.1 και η ονοµατολογία των δειγµάτων το Σχήµα Μερικοί οριµοί Στη υνέχεια και ε αλφαβητική ειρά παρουιάζονται οριµοί που αφορούν το χήµα 1-: είγµα (mple): Ένα κλάµα (portio) πληθυµού ή παρτίδας. Μπορεί να αποτελείται ένα ή περιότερα διακριτά υλικά. όη (icremet): Ποότητα υλικού που υλλέγεται µε ένα χειριµό της δειγµατοληπτικής υκευής, από τµήµατα υλικού που χωρίζονται ε χώρο ή/και χρόνο. Οι δόεις µπορούν να εξεταθούν η καθεµία χωριτά ή υνδυαµένες (αναµιγµένες) και να δοκιµαθούν ως µονάδες. Γ-

3 Αντικείµενο Οµοιογενές (Καµία αλλαγή χαρακτηριτικών ποιότητας ε όλη την έκταη του αντικειµένου) ιακριτές αλλαγές χαρακτηριτικών ποιότητας ε όλη την έκταη του αντικειµένου Ετερογενές Συνεχείς αλλαγές χαρακτηριτικών ποιότητας ε όλη την έκταη του αντικειµένου Οµοιογενή ιακριτές αλλαγές Συνεχείς αλλαγές Καλώς αναµεµιγµένα υγρά Καλώς αναµεµιγµένα αέρια Καθαρά µέταλλα Σβώλοι ορυκτών ικία Κρυταλλικά πετρώµατα Εναιωρήµατα Κοκκώδη υλικά µε κόκκο όχι πολύ µικρότερο από το µέγεθος του δείγµατος Υγρά ή αέρια µε βαθµίδωη (grdiet) υγκέντρωης Μίγµατα αντιδρώντων υτατικών Κοκκώδη υλικά µε κόκκο πολύ µικρότερο από το µέγεθος του δείγµατος Σχήµα 1-1. Τύποι αντικειµένων (δειγµατοληπτούµενων υλικών) Εργατηριακό δείγµα (lortory mple): είγµα που προορίζεται για δοκιµαία ή ανάλυη, προερχόµενο από ένα χονδρικό δείγµα. Συχνά απαιτείται διαχωριµός του ε επιµέρους δείγµατα ανάλογα µε το µέγεθος των ωµατιδίων κατά την πορεία µείωης της ποότητάς του. Κλάµα δοκιµαίας (tet portio). Επίης: δοκίµιο (pecime), µονάδα δοκιµαίας (tet uit), γνωτό κλάµα (liquot). Μαζικό δείγµα (ulk mple): Yλικό µη υνιτάµενο από διακριτές, ταυτοποιήιµες, ταθερές µονάδες, αλλά από αυθαίρετες, ακανόνιτες µονάδες. Π.χ. θραύµατα ορυκτού, ποότητες πρώτης ύλης ή εκδόχων κευαµάτων και όχι υκευαµένα προϊόντα, φαρ- µακευτικά δικία. Μείωη (reductio): H διαδικαία µέω της οποίας παρακευάζονται ένα ή περιότερα µερικά δείγµατα από ένα δείγµα. Μερικό δείγµα (umple): Ένα κλάµα δείγµατος. Ένα εργατηριακό δείγµα µπορεί να είναι µερικό δείγµα ενός χονδρικού δείγµατος. Ανάλογα, ένα κλάµα δοκιµαίας µπορεί να είναι µερικό δείγµα ενός εργατηριακού δείγµατος. Οµοιογένεια (homogeeity): Ο βαθµός τον οποίο µια ιδιότητα ή µια ουία είναι τυχαία κατανεµηµένη την όλη µάζα του υλικού. Η οµοιογένεια εξαρτάται από το µέγεθος των µονάδων ποότητας δείγµατος. Μείγµα κονιοποιηµένων ορυκτών µπορεί να είναι οµοιογενές ε ποότητες του 1 g, µερικώς οµοιογενές ε ποότητες µερικών mg και αφώς ανοµοιογενές ε επίπεδο κόκκου. Γ-3

4 S Αντικείµενο / Παρτίδα / Πληθυµός (oject / lot / popultio) όη (icremet) όη (icremet) είγµα (mple) είγµα (mple) είγµα (mple) Χονδρικό δείγµα / Μαζικό δείγµα (Gro mple / Bulk mple) Μερικό δείγµα (umple) Αποθηκευµένο δείγµα Μερικό δείγµα (umple) Εργατηριακό δείγµα Μερικό δείγµα (umple) Εργατηριακό δείγµα Μερικό δείγµα (umple) Εργατηριακό δείγµα Κλάµα δοκιµαίας (tet portio) Σχήµα 1-. Ονοµατολογία δειγµάτων. Παρτίδα (lot): Ποότητα µαζικού δείγµατος όµοιας ύνθεης και ιτορίας του οποίου εξετάζονται οι ιδιότητες και η ύνθεη. Πληθυµός (popultio): Πρωταρχικός όρος που υποδηλώνει κάθε υλλογή οριµένου ή άπειρου αριθµού ξεχωριτών αντικειµένων ή γεγονότων µε την ευρεία έννοια. Μια υλλογή που καθορίζεται από κάποια ιδιότητα µε βάη την οποία ξεχωρίζουν τα πράγµατα που ανήκουν ή όχι ε αυτή. Στρώη ή τρώµα (trtum): Tµήµατα παρτίδας που είναι ενδεχόµενο να διαφέρουν ως προς την εξεταζόµενη ιδιότητα. Τµήµα (egmet): Ένα ξεχωριτό κλάµα µιας παρτίδας, πραγµατικό ή υποθετικό. Χονδρικό δείγµα (gro mple): Mία ή περιότερες δόεις υλικού που λαµβάνονται από µια µεγαλύτερη ποότητα ή παρτίδα υλικού για ανάλυη ή για λόγους αρχείου (record) (δείγµα αρχείου). Γ-4

5 1. Ποιότητα δείγµατος Η ποιότητα δείγµατος πρέπει να διακριθεί από την ποιότητα του αντικειµένου. Η ποιότητα του αντικειµένου εξαρτάται από µια οµάδα ιδιοτήτων που πρέπει να εκτιµηθούν κατά την αναλυτική διαδικαία. Η ποιότητα του δείγµατος εξαρτάται από µια οµάδα ιδιοτήτων του δείγµατος που το χαρακτηρίζουν ως καλό δείγµα. Το πρωταρχικό ποιοτικό χαρακτηριτικό ενός δείγµατος είναι η αντιπροωπευτικότητα (repreettivee). ευτερεύουας ηµαίας ποιοτικά χαρακτηριτικά είναι το µέγεθος (ize), η ταθερότητα (tility) και το κότος (cot). Για αντικείµενα που υφίτανται υνεχείς αλλαγές, πρόθετες παράµετροι ποιότητας είναι η διακριτική ιχύς (dicrimitig power) και η ταχύτητα (peed). Η ιδανική διαδικαία της δειγµατοληψίας πρέπει να είναι τέτοια ώτε η ανάλυη του δείγµατος (µε τον απαιτούµενο βαθµό ακρίβειας) να µην δείχνει καµία διαφορά την ποιότητα, από την πραγµατική ποιότητα του δείγµατος. ύο ή περιότερα δείγµατα του ίδιου αντικειµένου δεν πρέπει να δώουν διαφορετικά αποτελέµατα (πέραν των τυχαίων αποκλίεων που οφείλονται την αναλυτική τεχνική). Στην πράξη κάτι τέτοιο δεν είναι πάντοτε εφικτό. Μόνο όταν η ακρίβεια της αναλυτικής τεχνικής (περιλαµβανόµενων των διαδικαιών δειγµατοληψίας και χηµικής ανάλυης) υποβαθµιθεί ε βαθµό που θα έπνιγε τυχόν ατέλειες της δειγµατοληψίας, θα µπορούε να υµβεί κάτι τέτοιο. ύο περιπτώεις υπάρχουν: Η δειγµατοληψία έχει τάη τυχαίων αποκλίεων. Η δειγµατοληψία προκαλεί υτηµατικές αποκλίεις 1..1 Συτηµατικές αποκλίεις κατά τη δειγµατοληψία Μερικές αιτίες που µπορούν να οδηγήουν ε υτηµατικές αποκλίεις κατά τη δειγµατοληψία είναι οι ακόλουθες: 1. Ο αριθµός των δόεων είναι πολύ µικρός έτι, ώτε το δείγµα παρουιάζει υτηµατικό φάλµα (i). Στην πραγµατικότητα τούτο είναι µια τυχαία απόκλιη.. Η διαδικαία της δειγµατοληψίας είναι επιλεκτική ως προς ένα ή περιότερα ποιοτικά χαρακτηριτικά του αντικειµένου. Π.χ. η δειγµατοληψία αέρα ή ύδατος µπορεί να δείξει επιλεκτικότητα ως προς αιωρούµενα ωµατίδια, ανάλογα µε την αδράνειά τους. Η δειγ- µατοληψία κοκκώδους προϊόντος πάνω ε ιµάντα µεταφοράς ε ηµείο τροφής, µπορεί να αποκλείει την παραλαβή λεπτών ωµατιδίων τα οποία διαφεύγουν ως κόνη. Ηλεκτροτατικώς φορτιµένα ωµατίδια έχουν τάη διαχωριµού ή διαφυγής, όπως επίης και ζώντες οργανιµοί. 3. Η διαδικαία της δειγµατοληψίας αλλοιώνει το αντικείµενο. Π.χ. θραύη κόκκων κατά τη δειγµατοληψία, εξάτµιη ή υώρευη, καταλυτική δράη του οργάνου δειγµατοληψίας, οξείδωη λόγω ειαγωγής οξυγόνου, αλλαγές λόγω του φόβου που ενδεχοµένως προκαλεί το όργανο δειγµατοληψίας ε ζωολογικά δείγµατα, τροποποίηη αντιδράεων ε ζώντα κύτταρα (τυπικό παράδειγµα: η αποβολή καλίου από κύτταρα). 4. Αλλαγές το δείγµα µετά την απόπαή του από το αντικείµενο. Π.χ. η οξείδωη, αφυδάτωη, η βιολογική υποβάθµιη, πήξη και υρρίκνωη, αλληλεπιδράεις δείγµατος και περιέκτη (διάβρωη, προρόφηη, καταλυτική δράη). 5. Εκούια αλλοίωη του δείγµατος. Τα αποτελέµατα της ανάλυης µπορεί να έχουν οβαρές οικονοµικές, νοµικές και ψυχολογικές επιπτώεις και επιπλοκές. Συχνά, κατά τη διαδικαία δειγµατοληψίας, ο ανθρώπινος παράγοντας µπορεί ή και πρέπει να επέµβει. Η διαδικαία πραγµατοποιείται υχνά παρουία του εµπλεκόµενου µέρους (π.χ. του παραγωγού του δειγµατοληπτούµενου προϊόντος) και αυτό οδηγεί ε κόπιµες αλλοιώεις. ωροδοκία, φόβος κατηγορίας κακής παραγωγής, η επιθυµία του να παρουιαθεί το προϊόν του την καλύτερη δυνατή µορφή του είναι µερικές από τις πλέον κοινές αιτίες. Γ-5

6 . ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ.1 ιακύµανη υλικού Η οµοιογένεια του υλικού, π.χ. του υπό χαρακτηριµό αντικειµένου, του χονδρικού ή του εργατηριακού δείγµατος, του τελικά χηµικώς επεξεργαζόµενου δείγµατος (tet portio), ως προς υγκεκριµένη χαρακτηριτική ποιοτική παράµετρό του (π.χ. % περιεκτικότητα ε ένα υτατικό Χ εκφράζεται ε τατιτικούς όρους ως διακύµανη του υλικού (mteril vrice), m. Εάν πραγµατοποιηθεί µεγάλος αριθµός (Ν) δειγµατοληψιών, δεδοµένης ποότητας δείγµατος ε τυχαίες θέεις του υλικού, απουία υτηµατικών φαλµάτων δειγµατοληψίας και ακολουθήουν τη υνέχεια Ν προδιοριµοί του προδιοριζόµενου υτατικού µε µια αναλυτική τεχνική, πλήρως απαλλαγµένης υτηµατικών και τυχαίων φαλµάτων, τα αναλυτικά αποτελέµατα (x 1, x,, x N ), ορίζουν ένα πληθυµό µε µια δεδοµένη κατανοµή. Είναι προφανές ότι όο ευρύτερη είναι η κατανοµή αυτή (µεγαλύτερη τιµή m ), τόο µικρότερη είναι η οµοιoγένεια του αντικειµένου. Αναµενόµενη ιδιότητα των κατανοµών αυτών είναι η ακόλουθη : Όο αυξάνει το µέγεθος του χρηιµοποιούµενου προς ανάλυη δείγµατος, τόο µειώνεται η τιµή m. H µείωη θα είναι ιδιαίτερα έντονη εκεί που προηγουµένως υπήρχε µεγαλύτερη ανο- µοιογένεια. Επίης οι κατανοµές πρέπει να τείνουν περιότερο προς την κανονική (ως υνέπεια του θεωρήµατος κεντρικού ορίου, ενότητα Α). Ακόµη και µε ένα καλά αναµιγµένο, πρακτικά οµοιογενές υλικό, µπορεί να προκύψουν µεγάλα τυχαία φάλµατα, αν χρηιµοποιηθούν ελάχιτα ωµατίδια ως κλάµα δοκιµαίας. Το πρόβληµα είναι ακόµη πιο έντονο αν το υπό προδιοριµό υτατικό αποτελεί µικρό µόνο κλάµα των ωµατιδίων. Η τυπική απόκλιη κατά το τάδιο της δειγµατοληψίας µπορεί να είναι η κύρια πηγή αβεβαιότητας του τελικού αναλυτικού αποτελέµατος. Στο εξής θα ονοµάζουµε δειγµατική τυπική απόκλιη ( ), την τυπική απόκλιη του υλικού που ευρίκεται τη µορφή εκείνη από την οποία θα ληφθεί ποότητα A για ειαγωγή το χηµικό τάδιο της ανάλυης (π.χ. ποότητα που θα ζυγιθεί) και αντιτοιχεί την ποότητα αυτή (δηλ. η m για ποότητα Α) 1... Εξίωη Igmell - Σταθερά δειγµατοληψίας O Ιgmell έδειξε ότι για ένα ικανοποιητικά οµοιογενοποιηµένο, αλλά όχι ιδανικά οµοιογενές υλικό ιχύει η χέη: WR = (-1) όπου W είναι το βάρος του λαµβανόµενου δείγµατος, R η επί τοις εκατό τυπική απόκλιη του υλικού (R = 100 / x) και Κ µια ταθερά. Η ταθερά αυτή ονοµάζεται ταθερά δειγµατοληψίας (mplig cott) και αντιτοιχεί αριθµητικά το βάρος που πρέπει να ληφθεί, ώτε η R να είναι 1% ε επίπεδο εµπιτούνης 68% ή (ιοδύναµα) η χετική τυπική δειγµατική απόκλιη είναι 1%. Η τιµή Κ εξαρτάται από τον τύπο του δειγµατοληπτούµενου υλικού και µπορεί να εκτιµηθεί από ειρές µετρήεων µε διάφορες τιµές W και την εκτίµηη της κάθε ειράς µετρήεων. Εάν είναι γνωτή η τιµή Κ για δεδοµένο υλικό, µπορεί να υπολογιθεί η ελάχιτη ποότητα W που θα χρειαθεί, ώτε η αντίτοιχη χετική δειγµατική τυπική απόκλιη να µην υπερβαίνει µια επιθυµητή τιµή R%. Τυπικό παράδειγµα εφαρµογής της προηγούµενης εξίωης δείχνεται το χήµα.., όπου φαίνεται η διαπορά µετρήεων ραδιενέργειας Ν 4 το οποίο K 1 Εννοείται πως µικροδιακυµάνεις την ποότητα του λαµβανόµενου δείγµατος (π.χ. 1,0-1,5 g) δεν αλλοιώνουν ηµαντικά τη δειγµατική τυπική απόκλιη. C.O. Igmell, P. Switzer, Tlt, 0, 547 (1973); C.O. Igmell, Tlt, 1, 141 (1974); 3, 63 (1976). Γ-6

7 είχε προτεθεί ως ιχνηθέτης οµοιογένειας ε οµοιογενοποιηµένο ήπαρ, τα πλαίια µιας µελέτης ταθερότητας και οµοιογένειας πρότυπων δειγµάτων βιολογικών υλικών το NBS 3. Σχήµα -1. ιαγράµµατα κατανοµής των τιµών της µετρούµενης (χωρίς φάλµα) ιδιότητας Χ (π.χ. % περιεκτικότητα ε ένα υτατικό) ε αντικείµενα: α) µεγάλης, β) µέτριας και γ) µικρής ανοµοιογένειας, για δύο διαφορετικές ποότητες χρηιµοποιούµενου δείγµατος W 1, W (W >>W 1 ). Όο µεγαλύτερη η ανοµοιογένεια του δείγµατος, τόο αναµένεται -ε γενικές γραµµές- µικρότερη διαπορά τις λαµβανόµενες τιµές µε αύξηη της ποότητας του χρηιµοποιούµενου δείγµατος. Σχήµα -. ιαπορά αναλυτικού ήµατος (ραδιενεργές κρούεις / µονάδα µάζας) δειγµάτων οµοιογενοποιηµένου ήπατος για διάφορα βάρη δείγµατος. Από το χήµα - φαίνεται ότι η ποότητα δείγµατος, η οποία απαιτείται για να επιτευχθεί δειγµατική χετική τυπική απόκλιη 1% (δηλ. ±,4 κρούεις g 1 1 ) είναι περίπου 35 g. Για ένα δείγµα 1 g, η αβεβαιότητα λόγω ανοµοιογένειας θα είναι περίπου 5%..3. Σταθερά δειγµατοληψίας Vim Ο Vim ανέπτυξε θεωρία δειγµατοληψίας λαµβάνοντας υπόψη πιθανές διαχωριτικές τάεις. Η πειραµατικώς προδιοριζόµενη δειγµατική διακύµανη υχετίζεται µε δύο ταθερές, τη ταθερά οµοιογένειας (homogeeity cott) Α, που είναι παρόµοια µε τη ταθερά Igmell και τη ταθερά διαχωριµού (egregtio cott) B, µε την εξίωη: A B = + (-) w 3 S. H. Hrrio d R. Zeiler, NBS Iterl Report , C. W. Reim, R. A. Velpoldi, L. B. Hg, d J. K. Tylor, Ed, U.S. Ntiol Bureu of Stdrd, Whigto, D.C., 1980, p 66. Γ-7

8 όπου w είναι η ολική ποότητα δειγµάτων. Εάν δεν υπάρχουν διαχωριτικές τάεις το δειγµατοληπτούµενο υλικό θα είναι Β = 0, οπότε η Εξίωη - αποκτά τη µορφή της εξίωης Igmell. Εφόον είναι R = 100 / x, η ταθερά δειγµατοληψίας του Igmell υνδέεται µε τη ταθερά οµοιογένειας του Vim µε τη χέη: 4 A = 10 x K (-3) Οι ταθερές Α και Β µπορούν να υπολογιθούν πειραµατικά µε τη διενέργεια δύο ειρών µετρήεων, µία µε µικρά δείγµατα και µία µε µεγάλα. Υπολογίζονται οι δειγµατικές διακυµάνεις για καθεµία από τις δύο ειρές, οπότε από τα δύο ζεύγη τιµών (βάρους, δειγµατικής διακύµανης) και την Εξίωη -, κατατρώνεται ύτηµα δύο εξιώεων - δύο αγνώτων, το οποίο παρέχει ως λύη τις τιµές Α και Β. Είναι προφανές ότι όο µεγαλύτερη είναι η τιµή Β, τόο µεγαλύτερος πρέπει να είναι ο αριθµός των επιµέρους δειγµάτων, ώτε η δειγµατική διακύµανη να κρατηθεί ε χαµηλά επίπεδα..4. Ελάχιτος αριθµός δειγµάτων είγµατα κανονικής κατανοµής. Εάν το υπό δειγµατοληψία υλικό δεν είναι οµοιογενές ή το διατιθέµενο δείγµα δεν είναι αντιπροωπευτικό, πρέπει να πραγµατοποιηθεί ένας αριθµός προδιοριµών ε πολλά επιµέρους δείγµατα υλικού, που θεωρούνται ως µονάδες. Το ύνολο της ποότητας κάθε µονάδας υφίταται τις προβλεπόµενες από το αναλυτικό πρωτόκολλο διαδικαίες (π.χ. ύντηξη, διαλυτοποίηη, απόταξη, εκχύλιη). Ο αριθµός των δειγµάτων, που πρέπει να ληφθούν και να αναλυθούν από ένα υλικό µε δειγ- µατική διακύµανη και µε µέη περιεκτικότητα x για να επιτευχθεί ε καθοριµένη τάθµη εµπιτούνης µια χετική τυπική απόκλιη R, µπορεί να εκτιµηθεί από την εξίωη: theor t = (-4) R x Εάν υπάρχει δυνατότητα ειαγωγής την ανάλυη της υνολικής ποότητας µονάδων, τότε οι µετρήεις µπορούν να αντικαταταθούν από µία και µόνη ανάλυη. Τούτο από τατιτική άποψη είναι ιοδύναµο, εφόον πάντοτε το αναλυτικό τυχαίο φάλµα είναι µηδενικό ή (την πράξη) αν >> ( : αναλυτική διακύµανη).τονίζεται ότι κάτι τέτοιο δεν είναι πάντοτε εφικτό για πολλές αναλυτικές τεχνικές, λόγω αδυναµίας χειριµού και επεξεργαίας µεγαλύτερης ποότητας δείγµατος. Οι τιµές και x µπορούν να εκτιµηθούν από προκαταρκτικές µετρήεις. t theor είναι η θεωρητική τιµή του t (Studet t) το δεδοµένο επίπεδο εµπιτούνης και για 1 βαθµούς ελευθερίας 4. Το παράδοξο και η δυκολία µε την Εξίωη -4 έγκειται το ό,τι η τιµή t theor εξαρτάται από την προς υπολογιµό ποότητα. Η δυκολία αίρεται ως εξής: Αρχίζουµε τον υπολογιµό (π.χ. για διάτηµα εµπιτούνης 95%) µε την τιµή 1,960, δηλ. θεωρούµε αρχικά ότι απαιτείται άπειρος αριθµός δειγµάτων [οπότε t theor = 1,645 και,576 για τάθµες εµπιτούνης 90% και 99%, αντίτοιχα (βλέπε πίνακες τιµών t)]. Υπολογίζεται από την Εξίωη -4 4 Η εξίωη, ως έχει, ιχύει για την περίπτωη που η ποότητα δείγµατος είναι ουιατικά απεριόριτη και κάθε µονάδα αποτελεί ένα ελάχιτο κλάµα του υνολικά διατιθέµενου δείγµατος. Εάν τούτο δεν ιχύει (και τούτο δεν αποτελεί ιδιαίτερα πάνια περίπτωη) τότε πρέπει να εφαρµοθεί µία διόρθωη γνωτή ως διόρθωη πεπεραµένου πληθυµού (fiite popultio correctio), µε την ειαγωγή τον παρανοµατή της εξίωης (-4) του υντελετή (1 /N) 1/. Γ-8

9 ο αριθµός. Στη υνέχεια υπολογίζεται η τιµή t theor που αντιτοιχεί τον νέο αριθµό. H επαναληπτική (itertive) διαδικαία επαναλαµβάνεται µέχρις ότου ταθεροποιηθεί η τιµή. Η Εξίωη -4 µπορεί να χρηιµοποιηθεί, εάν η κατανοµή της προδιοριζόµενης ουίας το δείγµα είναι κανονική (Gu) και πάντοτε για δεδοµένο µέγεθος µονάδας, αφού η τυπική απόκλιη εξαρτάται από το µέγεθος του δείγµατος. Παράδειγµα -1. Υλικό περιέχει ουία Χ ε αναλογία περίπου 10 mg/g. H τυπική απόκλιη του υλικού έχει εκτιµηθεί το 0,1 mg/g για δείγµα 1 g. Πόα δείγµατα 1 g πρέπει να αναλυθούν, ώτε τα όρια εµπιτούνης να είναι ±1% (R=0,01) ε τάθµη εµπιτούνης 95%. Λύη. Θεωρώντας αρχικά ότι απαιτούνται άπειρες µετρήεις έχουµε την πρώτη εκτίµηη του µε βάη την Εξίωη -4 και t theor = 1,96: για ν = είναι: = (1,96 0,1 ) / (0,01 10 ) = 3,84 4 για ν = 4 1 είναι = (3,18 0,1 ) / (0,01 10 ) = 10,1 10 για ν = 10 1 είναι = (,6 0,1 ) / (0,01 10 ) = 5,1 5 για ν = 5 1 είναι = (,776 0,1 ) / (0,01 10 ) = 7,71 8 για ν = 8 1 είναι = (,365 0,1 ) / (0,01 10 ) = 5,59 6 για ν = 6 1 είναι = (,571 0,1 ) / (0,01 10 ) = 6,61 7 για ν = 7 1 είναι = (,447 0,1 ) / (0,01 10 ) = 5,98 6 εδώ τερµατίζονται οι επαναλήψεις εφόον το αποτέλεµα επανήλθε ε προηγούµενη τιµή. Εποµένως πρέπει να χρηιµοποιηθούν 6 δείγµατα. [Έλεγχος: τα όρια εµπιτούνης για =6 είναι: ± t theor / = ±,571 0,1 / 6 = ± 0,105 ή ± (0, /10) = ± 1,05% όπως ζητήθηκε την εκφώνηη (για = 7 θα υπολογιζόταν: ± 0,89%].. Τυχαία δειγµατοληψία Κατά την τυχαία δειγµατοληψία, δείγµατα λαµβάνονται από τον ολικό πληθυµό του υλικού M. Η µόνη απαίτηη είναι το να είναι ίδια η πιθανότητα λήψης δείγµατος, από οποιοδήποτε ηµείο του δείγµατος. Η διάταη του χρόνου δεν λαµβάνεται υπόψη, δηλ. το υλικό είναι ταθερό ως προς τη ύνθεη και δεδοµένο (π.χ. δεν υπάρχει υνεχής εναλλαγή του). Τυπικό παράδειγµα θα µπορούε να είναι ένα φορτίο κονιοποιηµένου υλικού, χωρίς διατρωµατώεις και βαθµίδες περιεκτικοτήτων. Η τυχαιότητα της δειγµατοληψίας τον χώρο ή τον χρόνο επιβάλλεται να γίνεται µε τη βοήθεια τυχαίων αριθµών λαµβανόµενων είτε από πίνακες τυχαίων αριθµών, ή και µε τη βοήθεια υπολογιτών οι οποίοι έχουν τη δυνατότητα να παράγουν ειρές ψευδοτυχαίων (peudordom) αριθµών. Η περιοδικότητα της δειγµατοληψίας πρέπει να αποφεύγεται υτηµατικά. Για παράδειγµα το να δειγµατοληπτείται ένα φορτίο ορυκτού µε λήψη δόεων ανά 1 m κατά µήκος του βαγονιού το οποίο µεταφέρεται ή η παραλαβή ενός άκου λιπάµατος ανά 100 ή η λήψη ύδατος ποταµού κάθε π.χ. ώρες, είναι µια τακτική η οποία µπορεί να οδηγήει ε δείγµατα µε υτηµατικά φάλµατα. Οι λόγοι µπορούν απλά να αποδοθούν ε είδος υµβολής της χωροχρονικής περιοδικότητας δειγµατοληψίας µε χωροχρονική περιοδικότητα µιας παραγωγικής διαδικαίας, µιας διαδικαίας ρύπανης κ.λπ., έτω και αν οι περίοδοι (δειγµατοληψίας / πηγής αλλοίωης παρακολουθούµενου χαρακτηριτικού) διαφέρουν µεταξύ τους. Η υµβολή των δύο περιοδικών πράξεων αναπόφευκτα θα οδηγήει ε κάποια περιοδικότητα (µε διαφορετική ενδεχοµένως περίοδο) της µετρούµενης παραµέτρου. Ανάλογα φαινόµενα εµφανίζονται τη δειγµατοληψία ηµάτων, όπου ύµφωνα µε το θεώρηµα δειγµατοληψίας του Nyquit (από τη θεωρία ηµάτων): Η ελάχιτη υχνότητα δειγµατοληψίας ενός ήµατος, που δεν ειάγει παραµόρφωη την υπάρχουα ε αυτό πληροφόρηη, είναι διπλάια από τη υχνότητα της πλέον υψί- Γ-9

10 υχνης υνιτώας του. Στο επόµενο ήµα δείχνεται το πώς είναι δυνατόν να εκληφθεί ως διαφορετική η υχνότητα ηµιτονικού ήµατος (πραγµατικής υχνότητας f), εάν η δειγµατοληψία του πραγµατοποιείται ε υχνότητα µικρότερη της κρίιµης (δειγµατοληπτούµενου ε υχνότητα µικρότερη της κρίιµης (f). Σχήµα.3 ειγµατοληψία ηµιτονικού ήµατος υχνότητας f ε διαφορετικές υχνότητες f S. Με διακεκοµµένες γραµµές απεικονίζεται η δηµιουργούµενη ψευδής υνιτώα τις περιπτώεις που είναι f S /f <. Εάν πρόκειται να αναλυθεί µια ποότητα δείγµατος µε δειγµατική διακύµανη και η αναλυτική διακύµανη της µέτρηης είναι, τότε ύµφωνα µε τους κανόνες διάδοης τυχαίου φάλµατος (ενότητα Β), η διακύµανη της υνολικής αναλυτικής διαδικαίας ο θα είναι: ο = + (-5) Εάν γενικευθεί η προηγούµενη περίπτωη ως εξής: ποότητες δείγµατος (ιδανικά ίδιου, πρακτικά περίπου µεγέθους) αναλυθούν το καθένα φορές και εξαχθεί το µέο αναλυτικό αποτέλεµα, η ολική διακύµανη της υνολικής της διαδικαίας, α, θα παρέχεται από τη χέη : o = + (-6) Η Εξίωη -6 προκύπτει ως αποτέλεµα της θεωρίας διάδοης τυχαίου φάλµατος και της τυπικής απόκλιης µέης τιµής 5,6. 5 Από την Εξίωη -6 µπορεί κανείς να εκτιµήει τις τιµές και (π.χ. για ταθερή τιµή και διάφορες τιµές, γραφική παράταη της ποότητας ο ως υνάρτηη τοu 1/ θα αποδίδεται από ευθεία µε κλίη ίη προς και τοµή επί την αρχή ίη προς ). 6 Η Εξίωη -8 καθίταται πιο ρεαλιτική µε την ειαγωγή της τατιτικής Studet, εάν δεν είναι γνωτές οι τιµές και, αλλά είναι διαθέιµες οι αντίτοιχες εκτιµήτριές τους και, ως αποτελέµατα περιοριµένου αριθµού παρατηρήεων. Στην περίπτωη αυτή η Εξίωη -8 αποκτά τη µορφή: t t e = + Γ-10

11 Η Εξίωη -6 µπορεί να χρηιµοποιηθεί εύκολα για τον χεδιαµό τυχαίας δειγµατοληψίας. Υποθέτοντας, ότι = α (-7) η Εξίωη -6 µπορεί να γραφεί ως: o = + α (-8) Από την Εξίωη -8 προκύπτουν τα ακόλουθα υµπεράµατα: 1. Για δεδοµένες τιµές α, και, η ολική διακύµανη αυξάνει µε αύξηη της διακύµανης του δείγµατος.. Για δεδοµένο υνολικό αριθµό αναλύεων, που αντιπροωπεύεται από το γινόµενο, και χωρίς να λάβει κανείς υπόψη του βελτιτοποίηη του κότους, η διαδικαία τυχαίας δειγµατοληψίας πρέπει να χεδιάζεται για ένα λογικά µεγάλο αριθµό. Για παράδειγµα, για ένα ύνολο 1 αναλύεων είναι προτιµότερο να ληφθούν 6 δείγµατα και το καθένα να πραγµατοποιηθούν αναλύεις, παρά να ληφθούν 4 δείγµατα και το καθένα να πραγ- µατοποιηθούν 3 αναλύεις. 3. Η ολική διακύµανη είναι γραµµική υνάρτηη του α. Όταν το α είναι πολύ µικρό, δηλαδή όταν η διακύµανη της ανάλυης είναι πολύ µικρότερη από τη δειγµατική διακύµανη, ο όρος (α/ )( / ) είναι αµελητέος υγκρινόµενος µε τον όρο /. Στις περιπτώεις αυτές κάθε προπάθεια µείωης της διακύµανης του αναλυτικού προδιοριµού δεν έχει νόηµα. Με βάη αυτά ιχύει ο ακόλουθος πρακτικός κανόνας: Πρακτικός κανόνας την τυχαία δειγµατοληψία Εάν η διακύµανη της αναλυτικού προδιοριµού είναι ίη ή µικρότερη από το 1/3 της διακύµανης του δείγµατος, τότε κάθε προπάθεια µείωης του αναλυτικού φάλµατος µε χρήη ακριβότερων ή περιότερο εξελιγµένων αναλυτικών τεχνικών δεν έχει νόηµα. Εάν η δειγµατική διακύµανη είναι µεγάλη και δεν υπάρχει τρόπος παραπέρα βελτίωής της, τότε είναι προτιµότερο να αναζητηθεί µια ταχεία, πρόχειρη και περιοριµένης ακρίβειας αναλυτική τεχνική και να πραγµατοποιηθούν, όο το δυνατόν περιότερες δειγµατοληψίες και µετρήεις. Αυτός είναι ο µόνος πρακτικός τρόπος ελάττωης της αβεβαιότητας αξιολόγηης της ποιότητας του εξεταζόµενου υλικού. Ελαχιτοποίηη κότους. Η Εξίωη -8 µπορεί να εξεταθεί και από άποψη µείωης του λόγου κότος/όφελος (cot/eefit). Υποθέτοντας ότι το κότος δειγµατοληψίας (κότος δείγµατος + κότος διαδικαίας, αποθήκευης κ.λπ.) είναι C και το κότος του αναλυτικού προδιοριµού είναι C, τότε το ολικό κότος C για τυχαία δείγµατα και ο αριθµός των αναλύεων ανά δείγµα, θα είναι: C = C + C (-9) Λαµβάνοντας υπόψη, την Εξίωη -8, τότε η Εξίωη -9 γίνεται: Με την ως άνω τροποποιηµένη εξίωη (εφόον χρηιµοποιηθεί η κατά περίπτωη τιµή t λαµβάνοντας υπόψη τους βαθµούς ελευθερίας και ε ένα επίπεδο εµπιτούνης, π.χ. 95%) µπορεί κανείς να αναφέρει ότι ε αυτό το επίπεδο εµπιτούνης, η ολική αναλυτική διακύµανη δεν θα είναι µεγαλύτερη από e. Aνάλογες τροποποιήεις µπορούν να πραγµατοποιηθούν και τις εξιώεις που προκύπτουν από την εξίωη (-8). Γ-11

12 C = + ( C + C ) ο ο (-10) Με διαφόριη της Εξίωης -10 ως προς και µε εξίωη της λαµβανόµενης παραγώγου dc/d µε το µηδέν, µπορεί κανείς να υπολογίει τον αριθµό των αναλύεων, που θα πρέπει να πραγµατοποιηθεί ε κάθε δείγµα για να ελαχιτοποιηθεί το κότος και µε ταθερές τις υπόλοιπες παραµέτρους (διακυµάνεις). Έτι, προκύπτει: και ο αριθµός των δειγµάτων που απαιτούνται είναι C 1 / = C (-11) + = (-1) ο Παράδειγµα -. Η χετική δειγµατική τυπική απόκλιη φορτίου εµπλουτιµένου ορυκτού νιοβίου είναι,7% για δείγµατα βάρους 1 kg. Tα δείγµατα αυτά µετά τη λήψη κονιοποιούνται και οµοιογενοποιούνται το εργατήριο πρακτικά πλήρως. Τυποποιηµένη φωτοµετρική µέθοδος προδιοριµού νιοβίου ε δείγµα παρουιάζει χετική τυπική απόκλιη 0,7%. Να υπολογιθεί η χετική τυπική απόκλιη των ακόλουθων διαδικαιών δειγµατοληψίας - ανάλυης τις εξής περιπτώεις: α) Λαµβάνονται 3 δείγµατα και το καθένα (µετά τη διαδικαία πλήρους οµοιογενοποίηης) πραγµατοποιούνται 8 ταθµικοί προδιοριµοί. β) Λαµβάνονται 1 δείγµατα και το καθένα (µετά τη διαδικαία πλήρους οµοιογενοποίηης) πραγµατοποιούνται ταθµικοί προδιοριµοί. γ) Αν το υνολικό κότος του δείγµατος (αξία ορυκτού, κότος δειγµατοληψίας, κότος µεταφοράς, φύλαξης και περαιτέρω οµοιογενοποίηης) είναι 500 EU/δείγµα και το κότος ενός προδιοριµού είναι 10 EU/προδιοριµό, ποια θα είναι η άριτη χεδίαη ώτε µε το ελάχιτο δυνατό κότος να επιτευχθεί ολική επαναληψιµότητα 1,0%; δ) Ποιο είναι το κότος της παραπάνω άριτης χεδίαης; Λύη. Η επί τοις εκατό χετική απόκλιη θεωρείται ως κανονικοποιηµένη (ως προς τις απόλυτες ποότητες) τυπική απόκλιη και µπορεί να χρηιµοποιηθεί ως έχει ε όλους τους υπολογιµούς: α) Με βάη την Εξίωη -8 είναι: ο = [ (,7) / 3 + 0,7 / (3 8) ] 1/ = 1,5 6 % β) Ως άνω: ο = [ (,7) / 1 + 0,7 / (1 ) ] 1/ = 0,79 % γ) Με βάη την Εξίωη -11 είναι: = (0,7 /,7) (500 / 10) 1/ = 1,83 και από την Εξίωη -1 είναι: = [,7 + (0,7 / ) ] / 1, = 5,3 5 Eποµένως ο άριτος χεδιαµός έχει ως εξής: Πρέπει να ληφθούν 5 δείγµατα και να πραγ- µατοποιηθούν µετρήεις/δείγµα (υνολικά 10 µετρήεις). [Παρατήρηη: Με εφαρµογή της Εξίωης -8 τον παραπάνω χεδιαµό προκύπτει: ο = [ (,7) / 5 + 0,7 / (5 ) ] 1/ = 1,3%. Το ό,τι η ο εµφανίζεται λίγο µεγαλύτερη από την επιθυµητή 1,% είναι προφανές ότι οφείλεται τις τρογγυλοποιήεις των υπολογιθειών τιµών και τις πληιέτερες ακέραιες] Γ-1

13 δ) Το ολικό κότος του παραπάνω χεδιαµού είναι: C = (5 δείγµατα) (500 EU/ δείγµα) + (10 µετρήεις) (10 EU/µέτρηη) = 600 EU.3. Κατά τρώεις δειγµατοληψία Στην κατά τρώεις (η διατρωµατοποιηµένη) δειγµατοληψία (trtified mplig) το υπό εξέταη αντικείµενο διαιρείται ε τρώεις και ακολουθεί τυχαία δειγµατοληψία. Κάθε τρώη δειγµατοληπτείται τυχαία. Η ολική διακύµανη περιγράφεται µε εξίωη ανάλογη της Εξίωης -8: o = + + (-13) όπου είναι ο αριθµός των δειγµατοληπτηθειών τρώεων, είναι η διακύµανη µεταξύ των τρώεων (etwee trt vrice), είναι ο αριθµός δειγµάτων ανά τρώη και είναι η διακύµανη εντός κάθε τρώης (withi trt vrice). Εάν η διακύµανη µεταξύ των τρώεων είναι ηµαντικά µεγαλύτερη από τη διακύµανη εντός κάθε τρώης, επιβάλλεται πάντοτε η κατά τρώεις δειγµατοληψία. Η Εξίωη -13 δεν επιδέχεται µία και µόνη λύη ως προς τους αριθµούς δειγµάτων, και επαναλαµβανόµενων αναλύεων ανά δείγµα. Εάν το χετικό κότος επιλογής τρώης είναι C, το κότος δειγµατοληψίας ε κάθε τρώη είναι C και το κότος ανάλυης κάθε δείγµατος είναι C, το ολικό κότος της υνολικής διαδικαίας θα είναι: C = C + C + C (-14) Για ταθερές διακυµάνεις, οι άριτες τιµές, και που ελαχιτοποιούν το ολικό κότος C είναι: ( C 1/ + C 1/ + C 1/ ) ο 1/ = (-15) C 1/ = (-16) C C C 1/ = C (-17) Γ-13

14 3. ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΑΝΟΜΟΙΟΓΕΝΩΝ ΕΙΓΜΑΤΩΝ Το απλούτερο µαθηµατικό µοντέλο ανοµοιογενούς υλικού είναι το δυαδικό µοντέλο του Beedetti-Pichler, το οποίο περιγράφεται τη υνέχεια, όπως και η επέκταή του ε πιο ρεαλιτικές κατατάεις Εξίωη Beroulli Το µοντέλο του Beedetti-Pichler βαίζεται τη διωνυµική κατανοµή και τις ιδιότητές της, που παρουιάζονται εδώ υνοπτικά. Έτω ότι έχουµε µίγµα ιοµεγεθών ωµατιδίων Α και Β, το οποίο η περιεκτικότητα % ε ωµατίδια Α είναι p 100% και εποµένως ε ωµατίδια Β είναι q 100%, όπου p + q = 1. Αν υλλεχθούν από το µίγµα αυτό πολλά δείγµατα, το καθένα αποτελούµενο από ωµατίδια, και µετρηθεί ο αριθµός των ωµατιδίων Α το καθένα από αυτά, προφανώς η µέη τιµή τους θα είναι p, ενώ η τυπική απόκλιη των µετρήεων των ωµατιδίων Α (όπως και των ωµατιδίων Β) και εποµένως η δειγµατική τυπική απόκλιη θα παρέχεται από την εξίωη Beroulli: = p q = p (1 p) (3-1) και εποµένως η χετική τυπική απόκλιη επί τοις εκατό θα είναι ( ) r % = 1 p 100 = 100 p p (3-) Αντίτοιχα, ο αριθµός των απαιτούµενων ωµατιδίων το δείγµα για να επιτύχουµε δεδοµένη χετική τυπική απόκλιη ( ) r % (επί τοις εκατό), µε αναδιάταξη της προηγούµενης εξίωης, προκύπτει ότι παρέχεται από την εξίωη 1 p = (3-3) p( ) % r Παράδειγµα 3-1. Υποθέτουµε ότι έχουµε µίγµα αποτελούµενο από δύο είδη ωµατιδίων Α και Β ίδιου µεγέθους και χήµατος, αλλά διαφορετικού χρώµατος (ώτε να διακρίνονται µεταξύ τους). Έτω ότι η περιεκτικότητα του µίγµατος ε ωµατίδια Α είναι 40%, οπότε ε ωµατίδια Β θα είναι = 60%. Από πόα ωµατίδια θα πρέπει να αποτελούνται δείγ- µατα του µίγµατος, ώτε µια οµάδα απαριθµήεων των ωµατιδίων Α το καθένα από τα δείγ- µατα αυτά να παρουιάζει χετική τυπική απόκλιη ίη προς %; Λύη. Χρηιµοποιώντας την τελευταία εξίωη θα έχουµε 1 0,4 = = 7500 (3-4) 0,4,0 Προφανώς, εάν είναι γνωτό το χήµα και το µέγεθος των ωµατιδίων και εάν είναι γνωτή η πυκνότητα του κάθε είδους, ο ζητούµενος αριθµός των ωµατιδίων µπορεί άµεα να µεταφρατεί ε βάρος δείγµατος, δεδοµένου ότι είναι αυγκρίτως απλούτερη διαδικαία η ζύγιη ενός δείγµατος, παρά η απαρίθµηη των ωµατιδίων από τα οποία αποτελείται. Γ-14

15 3.. Μοντέλο Beedetti-Pichler Υποθέτουµε ότι ο εξεταζόµενος πληθυµός είναι ένα µίγµα δύο ειδών κυβικών ωµατιδίων ίων διατάεων των Α και Β µε ακµή u και ίδιας πυκνότητας ρ. Η επί τοις εκατό αναλογία κατά βάρος το µίγµα των Α και Β είναι w A και w B, αντίτοιχα. Για επιπλέον απλούτευη θεωρούµε ότι το προς προδιοριµό υλικό Χ υπάρχει µόνο τα ωµατίδια Α και ε επί τοις εκατό αναλογία κατά βάρος x A. Από το µίγµα αυτό χρηιµοποιείται ποότητα βάρους w για χηµική ανάλυη. Η δειγµατική διακύµανη του υλικού (για το βάρος αυτό) είναι. Στο υγκεκριµένο µοντέλο, ο αριθµός των ωµατιδίων ε βάρος w είναι = w/ρu 3, ενώ η επί τοις εκατό πιθανότητα για ένα τυχαίο ωµατίδιο να είναι Α ή Β υµπίπτει µε την αντίτοιχη επί τοις εκατό περιεκτικότητα: p% = w A % και q% = w B % = (100 w A )%, οπότε η διακύµανη ( (ωµ) : ε αριθµό ωµατιδίων) θα είναι: (ωµ) w w A (100 w A ) = (3-5) 3 ρu Η τυπική απόκλιη επί τοις εκατό ως προς το υτατικό Χ θα είναι: (ωµ) = 100 (3-6) 3 w/ρu Για την απλούτερη περίπτωη, εκείνη όπου το ωµατίδιο Α είναι (το ύνολό του) το υπό προδιοριµό υτατικό (δηλαδή: w A = x), θα έχουµε: 3 ρu = x(100 x) (3-7) w Η παραπάνω εξίωη, αν και προέρχεται από το υπεραπλουτευµένο µοντέλο, µπορεί να χρηιµοποιηθεί για να εκτιµηθεί η δειγµατική διακύµανη για δεδοµένο βάρος δείγµατος. Είναι προφανές το ότι η δειγµατική διακύµανη αυξάνει ραγδαία, όο αυξάνει το µέγεθος του ωµατιδίου και όο µικρότερο είναι το ποοτό της ουίας Χ Επεκτάεις του µοντέλου Beedetti-Pichler Για να πληιάει περιότερο την πραγµατικότητα το προηγούµενο µοντέλο, δεχόµατε ότι τα ωµατίδια Α και Β έχουν τώρα διαφορετικές πυκνότητες, ρ Α και ρ Β, αντίτοιχα. Ακόµη, δεχόµατε ότι και τα δύο ωµατίδια περιέχουν την ουία Χ, το ωµατίδιο Α ε επί τοις εκατό ποοτό x A και το ωµατίδιο Β ε επί τοις εκατό ποοτό x B. Με τις επιπλέον αυτές κατατάεις, η Εξίωη 3-7 γίνεται: 3 ρ Αρ Β u x A x B = w A (100 w A ) (3-8) ρ w Παρατηρούµε ότι η πυκνότητα ρ, τώρα αντικαθίταται από τον λόγο ρ Α ρ Β /ρ. Ο όρος [(x A x B )/100] είναι ενδεικτικός της ανοµοιογένειας του υλικού και προφανώς αν είναι x A = x B δεν τίθεται πλέον θέµα ανοµοιογένειας. Η Εξίωη 3-8 εµφανίζεται ε διάφορες µορφές τη βιβλιογραφία της αναλυτικής χηµείας, µε µικρές παραλλαγές τη θεώρηη του µοντέλου. Μια αρκετά υνηθιµένη µορφή είναι η ακόλουθη: 100 1/ ρ Αρ B p(1 p) x A x B = (3-9) ρ x Γ-15

16 Η ταθερά δειγµατοληψίας Igmell µπορεί να υπολογιθεί και εκφραθεί ως υνάρτηη των παραµέτρων του µοντέλου ως εξής: K 3 8 (x Bρ B x Aρ A ) (x B x)(x x A ) u 10 = R w = (3-10) ρ B (x B x)(x B x A ) + ρ A (x x A )(x B x A ) x Η ειαγωγή περιότερων από δύο τύπων ωµατιδίων το µοντέλο περιπλέκει η- µαντικά την κατάταη µε την ειαγωγή πολυωνυµικών (πλέον) κατανοµών. Για ένα µίγµα που περιέχει m τύπους ωµατιδίων πυκνοτήτων ρ i (i = 1,,, m), επί τοις εκατό αναλογία κατά βάρος w i του υτατικού Χ, x i ε κάθε ωµατίδιο, τότε η δειγµατική διακύµανη παρέχεται από την εξίωη Wilo: m m 3 1 x iρ i x jρ j w iw j = u ρ (3-11) i= 1 j= ρ iρ j w όπου i, j αναφέρονται ε οποιοδήποτε ζεύγος από τους m τύπους ωµατιδίων, x i είναι η διαφορά µεταξύ κάθε τιµής επιµέρους ποοτού x i και του γενικού ποοτού x. Όλα τα ω- µατίδια θεωρούνται ότι έχουν τον ίδιο όγκο. Εάν οι πυκνότητες των ωµατιδίων διαφέρουν ηµαντικά η εξίωη Wilo ιχύει για χετικά µικρές Παράγοντες ωµατιδιακών ιδιοτήτων - Θεωρία του Gy Η κλαική θεωρία του Gy αφορά τη δειγµατοληψία ετερογενών υλικών µε ωµατίδια κοκκώδους µορφής. Το απλούτερο µοντέλο που περιγράφεται από την Eξίωη 3-7 µπορεί να τροποποιηθεί ως εξής, µε βάη τη θεωρία του Gy: = ρu (100 x) f gl (3-1) w W ο όρος 1/w της Eξίωης 3-7 αντικαθίταται µε τον όρο (1/w 1/W). Αυτή η αντικατάταη πραγµατοποιείται για να ληφθεί υπόψη η επίδραη της µάζας του χονδρικού δείγµατος W, από όπου λαµβάνεται δείγµα βάρους w (βλέπε Σηµείωη 4). Η δειγµατική διακύµανη µειώνεται µε αύξηη του δείγµατος w και µε µείωη του W. Εάν w = W, τότε η δειγµατική διακύµανη µηδενίζεται (αφού όλο το υλικό ειάγεται την αναλυτική διαδικαία), ενώ αν είναι w << W, η διαφορά (1/w 1/W) αντικαθίταται από τον όρο 1/w. Ιδιαίτερη ηµαία έχουν οι παράγοντες f, g και l, που αποδίδουν υγκεκριµένες ιδιότητες των ωµατιδίων, οι οποίες περιγράφονται τη υνέχεια. Παράγοντας χήµατος ωµατιδίου (prticle hpe fctor), f. Για την εξαγωγή της εξίωης (3-7), τα ωµατίδια θεωρήθηκαν ως κυβικά µε όγκο u 3. Στην πραγµατικότητα τα ωµατίδια έχουν διάφορα χήµατα και ο παράγοντας f αποτελεί ένα µέτρο της µέης διαφοράς των ω- µατιδίων από το κυβικό χήµα. Αντιπροωπεύει τον λόγο του µέου όγκου των πραγµατικών ωµατιδίων που έχουν µέγιτη γραµµική διάταη ίη προς το µέγεθος οπής του κόκινου. Για τον κύβο είναι f = 1,0, ενώ για τελείως φαιρικά ωµατίδια είναι f = 0,54 [V φαίρας / V κύβοu = (4/3)π(u/) 3 / u 3 = π/6 = 0,54]. Στις περιότερες περιπτώεις δειγµάτων µπορεί να θεωρηθεί ότι f = 0,5. Για χονδρικά δείγµατα που έχουν ωµατίδια κάπως ειδικής µορφής (π.χ. ωµατίδια χρυού, υπό µορφή µικρών λεπιών ) η τιµή του f µπορεί να είναι µόλις 0,. Παράγοντας ωµατιδιακής κατανοµής (prticle-ize ditriutio fctor), g. Στο απλό µοντέλο όλα τα ωµατίδια θεωρούνται ότι έχουν το ίδιο µέγεθος. Στα πραγµατικά µίγµατα υπάρχει ποικιλία µεγεθών, που µπορεί να περιγραφεί µε µια κατανοµή µεγεθών. Ο παράγοντας g αποδίδει τον λόγο του ορίου µεγαλύτερου µεγέθους προς το όριο µικρότερου µεγέθους. Ιδανικά (ίδια µεγέθη) είναι g =1. Στην πραγµατικότητα, όταν το χονδρικό δείγµα θραύεται και κονιοποιείται χωρίς κάποια διαδικαία ταξινόµηης κατά µέγεθος, θα πρέπει να χρηιµοποιηθεί µια τιµή g = 0,5. Όο µικραίνει το µέγεθος του ωµατιδίου κατά κανόνα αυξάνει η Γ-16

17 τιµή του g (π.χ. για ωµατίδια µεαίου και µικρού µεγέθους µπορούν οι τιµές του g να είναι 0,50 και 0,75, αντίτοιχα). Παράγοντας απελευθέρωης (liertio fctor), l. Για το απλούτερο µοντέλο θεωρήθηκε ότι το υλικό αποτελείται από δύο είδη ωµατιδίων, Α και Β. Για την Εξίωη 3-7 θεωρήθηκε επιπλέον ότι w A = x (δηλ. ότι η υνολική µάζα του ωµατιδίου Α είναι και το υπό προδιοριµό υτατικό). Στην πραγµατικότητα, είναι πολύ πιθανόν τεµάχια του χονδρικού υλικού να περιέχουν και τα δύο είδη ωµατιδίων. Κατά τη θραύη του χονδρικού υλικού απελευθερώνονται τα ωµατίδια που περιέχουν το υπό προδιοριµό υλικό. Η διαδικαία και ο βαθµός απελευθέρωης µπορεί να περιγραφεί µε την ειαγωγή του παράγοντα απελευθέρωης που ορίζεται ως: u u 1/ 1 l = (3-13) όπου, µετά τη θραύη του τεµαχίου υλικού, u 1 είναι το µέο µέγεθος των κόκκων που περιέχουν το υπό προδιοριµό υτατικό και u το µεγαλύτερο µέγεθος κόκκων. Όταν u u 1, τότε l = 1, δηλαδή δεν υπάρχει απελευθέρωη. Ο όρος l µπορεί να εκτιµηθεί µόνο µε µικροκοπική εξέταη και µε δοκιµαίες µε κόκινα διαφόρων µεγεθών. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. P. M. Gy, Smplig of Prticulte Mteril: Theory d Prctice, Elevier, Amterdm, C. O. Igmell, New Approche to Geochemicl Alyi d Smplig, Tlt, 1, , A. A. Beedetti-Pichler, το Phyicl Method i Chemicl Alyi, W. G. Berl, Ed., Vol. 3, pp , New York Acdemic Pre, 1956, A. A. Beeditti-Pichler, Eetil of Qutittive Alyi Chpter 19, New York, Rold Pre, B. Krtochvil d J. K. Tylor, Smplig for Chemicl Alyi, Alyticl Chemitry, 53, 954A-938A, H. A. Litie d W. E. Hrri, Smplig i Chemicl Alyi, d Ed., Chp. 7, pp , McGrw-Hill, New York, R. Smith d G. V. Jme, The Smplig of Bulk Mteril, Royl Society of Chemitry, Lodo, J. K. Tylor, Qulity Aurce of Chemicl Meuremet, pp 55-74, Lewi, Michig, R. Q. Yu, Alyticl Smplig Theory i Itroductio to Chemometric, chp. 3, pp 6-48, Hu Eductio Pulihig Houe, Chgh, R. Q. Yu, Smplig: Overview d Theory i Ecyclopedi of Alyticl Sciece, , Acdemic Pre Limited, Γ-17

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions)

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας

Διαβάστε περισσότερα

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα,

Διαβάστε περισσότερα

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1 Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν

Διαβάστε περισσότερα

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N(

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N( Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Αρκετά τρόφιμα περιέχουν το ιχνοτοιχείο ελήνιο το οποίο, όταν προλαμβάνεται ε μικρές ποότητες ημερηίως,

Διαβάστε περισσότερα

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς.

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς. 4 Εκτιµητική Σύνδεη θεωρίας πιθανοτήτων - περιγραφικής τατιτικής H περιγραφική τατιτική (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι αφορά κυρίως τη µελέτη κάποιων «µεγεθών» (πχ µέη τιµή, διαπορά, διάµεος, κοκ ενός «δείγµατος» υγκεκριµένων

Διαβάστε περισσότερα

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Σχεδιαμός Στοιχείων Μηχανών ε μεταβαλλόμενα φορτία Μεταβαλλόμενα με τον χρόνο φορτία χαρακτηρίζονται τα φορτία που μεταβάλλουν το μέγεθος ή την διεύθυνη τους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ 1. Τάεις γύρω από ένα Σηµείο Όπως αναφέρθηκε ε προηγούµενη ενότητα, υχνά είναι πιο εύχρητο να αναλύονται οι τάεις γύρω από ένα ηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ Η ερµιονική εκποµπή ηλεκτρονίων είναι ένα φαινόµενο το οποίο βαίζεται η λειτουργία της λυχνίας κενού. Η δίοδος λυχνία κενού αποτελεί ορόηµο τον πολιτιµό του ύγχρονου ανρώπου

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης 5 ιατήµατα Εµπιτούνης Στο προηγούµενο κεφάλαιο αχοληθήκαµε εκτενώς µε την εκτίµηη των παραµέτρων διαφόρων κατανοµών Για παράδειγµα είδαµε ότι η καλύτερη εκτιµήτρια για την εκτίµηη της µέης τιµής ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Έτω Χ 1, Χ,..., Χ και Υ 1, Υ,..., Υ m δύο τυχαία δείγματα μεγέθους και m αντίτοιχα από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VIII. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΕ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ 1. Ειαγωγή Ήδη από το 180 είχε διαπιτωθεί ότι τα µεταλλικά υλικά, όταν καταπονούνται από επαναλαµβανόµενες ή χρονικά µεταβαλλόµενες

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

σ.π.π. της 0.05 c 0.1

σ.π.π. της 0.05 c 0.1 6 Έλεγχοι Υποθέεων Σε αρκετές εφαρµογές παρουιάζεται η ανάγκη λήψης αποφάεων χετικών µε την κατανοµή ενός πληθυµού Πιο υγκεκριµένα, ε πολλές περιπτώεις πρέπει, βάει ενός τδ Χ, Χ,, Χ από έναν πληθυµό µε

Διαβάστε περισσότερα

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού . Έλεγχος Υποθέεων. Έλεγχοι για την µέη τιµή πληθυµού Ας υποθέουµε ένα πληθυµό µε µέη τιµή (µ.τ.) µ και τυπική απόκλιη (τ.α.). Έχει δειχτεί το κεφ.0 ο έλεγχος µιας µηδενικής υπόθεης H 0 δεδοµένης µιας

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1 Στατιτικοί Ελεγχοι Έλεγχος 1: Ζ-Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος : t - Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος 3: I -τετράγωνο Έλεγχος για την διακύµανη Έλεγχος 4: t-έλεγχος για την ύγκριη

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2 Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας οµικών Κατακευών Εργατήριο Ωπλιµένου Σκυροδέµατος Κωνταντίνος Χαλιορής, ρ. Πολιτικός Μηχανικός, Λέκτορας τηλ./fax: 54107963 Ε-mail: haliori@ivil.duth.gr

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 3 Χρηματοοικονομική Διοίκηη Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 Γραπτή Εργαία Διαχείριη Χαρτοφυλακίου Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών Διαφορές μεταξύ Αφαλίεων Ζωής και Γενικών Ζωής Αφαλιμένο κεφάλαιο (γνωτό Ένα υμβάν 3 Μικρή εξέλιξη ζημιάς (πχ άνατος, το μααίνεις αμέως Γενικές Μπορεί να είναι γνωτό, μπορεί και όχι (πχ το πίτι αν κατατραφεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 1 ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ( Κυρίως επιλεγµένα και ελεύθερα µεταφραµένα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ. Τυχαίες µεταβητές Ποές φορές ε ένα πείραµα τύχης δεν µας ενδιαφέρει ο δειγµατοχώρος του ο οποίος όπως είδαµε µπορεί να είναι και µη-αριθµητικό ύνοο αά

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος των Wiedemann-Franz

Νόμος των Wiedemann-Franz Άκηη 38 Νόμος των Widmann-Franz 38.1 Σκοπός Σκοπός της άκηης αυτής είναι η μέτρηη της ταθεράς Lorntz ε δύο διαφορετικά μέταα οι ιδιότητες των οποίων διαφέρουν ημαντικά. Η ταθερά του Lorntz μετράται μέω

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ Ιχύς P 10 KW Στροφές ειόδου n 1450 τρ./λεπτό Σχέη μετάδοης i 4 Α. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΔΟΝΤΩΤΩΝ ΤΡΟΧΩΝ 1. Προωρινή εκλογή υλικού δοντιού: Για την επιλογή του υλικού

Διαβάστε περισσότερα

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4.. Η ομοιόμορφη διακριτή κατανομή. Εμφανίζεται τις περιπτώεις όπου η υπό εξέταη τ.μ. Χ παίρνει πεπεραμένο πήθος τιμών π.χ. Χ {,,...,} και όες οι πιθανότητες P

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Ελληνικό Στατιτικό Ιντιτούτο Πρακτικά 18 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιτικής (005) ελ.57-65 ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Γεώργιος Μενεξές, Άγγελος Μάρκος, Γιάννης Παπαδημητρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA ΜΕΛΟΣ ΤΗΣ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΚΑΙ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ (RSAI, ERSA) Οικονομική Κρίη και Πολιτικές Ανάπτυξης και Συνοχής 0ο Τακτικό Επιτημονικό

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιστροφής στη Βραχοµηχανική

Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιστροφής στη Βραχοµηχανική Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιτροφής τη Βραχοµηχανική Appliaion of a paaboloid ieion in Rok Mehanis ΣΑΚΕΛΛΑΡΙΟΥ, Μ.Γ., ρ Μηχ., Π.Μ. & Α.Τ.Μ., Αναπληρωτής Καθηγητής, Ε.Μ.Π. ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Στο παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1. Η Αγορά Κεφαλαίου Η αγορά κεφαλαίου αποτελεί ένα από τους ηµαντικότερους χρηµατοοικονοµικούς θεµούς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΡΟΓΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΙΡΟΥ ΚΑΙ ΑΕΡΙΑΣ ΡΥΠΑΝΣΗΣ Σπύρος Ανδρονόπουλος Εργατήριο Περιβαλλοντικών Ερευνών Ιντιτούτο Πυρηνικής Τεχνολογίας και Ακτινοπροταίας ΕΚΕΦΕ «ηµόκριτος» sandron@ipta.demokritos.gr

Διαβάστε περισσότερα

(α) (β) (γ) Σχήμα Error! No text of specified style in document.-1: Ελικοειδή ελατήρια διαφόρων διατομών και μορφών

(α) (β) (γ) Σχήμα Error! No text of specified style in document.-1: Ελικοειδή ελατήρια διαφόρων διατομών και μορφών 11.6 Ελικοειδή θλιπτικά ελατήρια Στα προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε αναλυτικά τα ελικοειδή κυλινδρικά ελατήρια υμπίεης, κυκλικής διατομής ύρματος. Στο Σχήμα 11-7 φαίνονται (α) κυλινδρικό ελατήριο υμπίεης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ»

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ» ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ.-.

Διαβάστε περισσότερα

όπου Z 1,Z 2,,Z n ανεξ. τ.μ. που ακολουθούν N(0,1), δηλαδή μ Δt + σ Δt Zi σ 2 Δt) για κάποιες σταθερές μ, σ 2. Οι τ.μ. Δ t Z1, Δt

όπου Z 1,Z 2,,Z n ανεξ. τ.μ. που ακολουθούν N(0,1), δηλαδή μ Δt + σ Δt Zi σ 2 Δt) για κάποιες σταθερές μ, σ 2. Οι τ.μ. Δ t Z1, Δt 5.3. Προομοίωη τιμών χρηματοοικονομικών προϊόντων Σε αυτή την παράγραφο θα εξετάουμε ένα μοντέλο που μπορεί να χρηιμοποιηθεί για την μελέτη της εξέλιξης των τιμών χρηματοοικονομικών προϊόντων (π.χ. μετοχές,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Αξιοπιστία μονάδων - συστημάτων στο χρόνο. Κατανομές χρόνων ζωής

Κεφάλαιο 2. Αξιοπιστία μονάδων - συστημάτων στο χρόνο. Κατανομές χρόνων ζωής Κεφάαιο Αξιοπιτία μονάδων - υτημάτων το χρόνο Κατανομές χρόνων ζωής Στο προηγούμενο κεφάαιο εξετάαμε την αξιοπιτία μονάδων ή υτημάτων τατικά δηαδή υποθέταμε ότι η μεέτη γίνονταν πάντα ε κάποια υγκεκριμένη

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθυµίσεις Μηχανικής Παραµορφωσίµων Στερεών

Υπενθυµίσεις Μηχανικής Παραµορφωσίµων Στερεών Παράρτηµα Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών 1. ΤΑΣΕΙΣ Οι ξωτρικές δυνάµις που πιβάλλονται ένα ώµα µπορούν να χωριθούν δύο κατηγορίς, τις καθολικές δυνάµις και τις πιφανιακές δυνάµις. Οι καθολικές

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

Θηκόγραμμα (box-plot) Γραφική παρουσίαση των μέτρων θέσης μιας μεταβλητής

Θηκόγραμμα (box-plot) Γραφική παρουσίαση των μέτρων θέσης μιας μεταβλητής Έχουε δει ότι ένα βαικό ειονέκτηα του αριθητικού έου είναι ότι είναι ευαίθητος ε ακραίες παρατηρήεις. Θηκόγραα (bo-plot) Γραφική παρουίαη των έτρων θέης ιας εταβλητής Ένας ιοταθιένος (p %) αριθητικός έος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΑΜΧ ΕΛΕΓΧΟΣ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΒΛΑΒΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΣΚΕΥΗΣ Φ.Ο. ΣΤΟ ΠΡΩΗΝ ΚΤΙΡΙΟ ΚΕΤΕΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΣ: ΛΓΟΣ (ΜΧ) ΒΑΡΛΑΜΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΙΟΥΛΙΟΣ 2006

ΣΤΕΑΜΧ ΕΛΕΓΧΟΣ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΒΛΑΒΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΣΚΕΥΗΣ Φ.Ο. ΣΤΟ ΠΡΩΗΝ ΚΤΙΡΙΟ ΚΕΤΕΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΣ: ΛΓΟΣ (ΜΧ) ΒΑΡΛΑΜΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΙΟΥΛΙΟΣ 2006 ΣΤΕΑΜΧ ΕΛΕΓΧΟΣ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΒΛΑΒΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΣΚΕΥΗΣ Φ.Ο. ΣΤΟ ΠΡΩΗΝ ΚΤΙΡΙΟ ΚΕΤΕΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΣ: ΛΓΟΣ (ΜΧ) ΒΑΡΛΑΜΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΙΟΥΛΙΟΣ 006 ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ: ΣΠΥΡΑΚΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΠΑΛΗΟΥ ΧΡΥΣΑΝΘΗ

Διαβάστε περισσότερα

2.5 Τιµολόγηση Συµβολαίων Μελλοντικής Εκπλήρωσης και ικαιωµάτων Προαίρεσης επί Χρη- µατοοικονοµικών Περιουσιακών Στοιχείων

2.5 Τιµολόγηση Συµβολαίων Μελλοντικής Εκπλήρωσης και ικαιωµάτων Προαίρεσης επί Χρη- µατοοικονοµικών Περιουσιακών Στοιχείων Η Αγορά Ξένου Συναλλάγµατος 6.5 ιµολόγηη Συµβολαίων Μελλοντικής Εκλήρωης και ικαιωµάτων Προαίρεης εί Χρη- µατοοικονοµικών Περιουιακών Στοιχείων ιµολόγηη υµβολαίων µελλοντικής εκλήρωης * : όου: F0, 0 0

Διαβάστε περισσότερα

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις ρ.χ. Στρουθόπουλος, e-mail: stch@teise.g ΑΤΕΙ Σερρώ 3. Βαικά µαθηµατικά µεγέθη, υµβολιµοί και χέεις 3.. Πίακας τήλης Α το πλήθος τω προτύπω, το πλήθος τω χαρακτηριτικώ που µετράµε ε κάθε πρότυπο και Τ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΟΠΩΣΗ

Κεφάλαιο 9 ο ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΟΠΩΣΗ Κεφάλιο 9 ο ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΟΠΩΣΗ ρ. Ν. Αλεξό ουλος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο : ΚΟΠΩΣΗ ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Έχει πρτηρηθεί ότι εάν έν µετλλικό εξάρτηµ ή δοκίµιο υποβληθεί ε ενλλόµενες περιοδικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΕΣ ΣΥΜΒΑΣΕΙΣ 2011

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΕΣ ΣΥΜΒΑΣΕΙΣ 2011 ΕΠΙΧΕΙΡΗΙΑΚΕ ΥΜΒΑΕΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΗ ΥΝΑΨΗ ΠΑΠΑΤΡΑΤΟ 17/01/ ΤΡΙΕΤΗ -2013 ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΟΧΗ ΑΕΡΙΟΥ ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ ΑΕ ΑΓΡΟΤΙΚΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟΙ ΛΕΥΚΟΛΙΘΟΙ 17/01/ ΔΙΕΤΗ 01/08/2010 31/07/2010 20/01/ ΑΟΡΙΤΟΥ ΑΠΟ 01/01/

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΛΕΚΑΝΗΣ ΒΕΓΟΡΙΤΙ ΑΣ

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΛΕΚΑΝΗΣ ΒΕΓΟΡΙΤΙ ΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ ΚΟΙΝΟΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ & ΥΠΟ ΟΜΩΝ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ ΕΓΓΕΙΟΒΕΛΤΙΩΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΚΑΙ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗΣ Ε ΑΦΟΫ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ Τµήµα Γ' (Προταίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ. 5 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΠΑΚΕΤΑ Ι

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ. 5 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΠΑΚΕΤΑ Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ 5 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΠΑΚΕΤΑ Ι Ι ΑΣΚΩΝ ΣΤΕΛΙΟΣ ΖΗΜΕΡΑΣ Σάος 3 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ...3. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΑΝΑΛΥΤΗΣ...3.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ .Φουσκάκης- Ασκήσεις στους Ελέγχους Υποθέσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ) Με µια νέα µέθοδο προσδιορισµού του σηµείου τήξης (σ.τ.) µετάλλων προέκυψαν οι παρακάτω µετρήσεις για το µαγγάνιο: 67,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή

Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Συνάρτηση Γάμμα: Ιδιότητες o d Γ(α+)=αΓ(α) - αναδρομική συνάρτηση Γ(α+) = α! αν α ακέραιος. Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµένοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι χρειαζόµαστε µίνιµουµ 30 περιπτώσεις για να προβούµε σε κάποιας µορφής ανάλυσης των δεδοµένων.

Ορισµένοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι χρειαζόµαστε µίνιµουµ 30 περιπτώσεις για να προβούµε σε κάποιας µορφής ανάλυσης των δεδοµένων. ειγµατοληψία Καθώς δεν είναι εφικτό να παίρνουµε δεδοµένα από ολόκληρο τον πληθυσµό που µας ενδιαφέρει, διαλέγουµε µια µικρότερη οµάδα που θεωρούµε ότι είναι αντιπροσωπευτική ολόκληρου του πληθυσµού. Τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραµµα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεµατική Ενότητα: ΕΟ-3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδηµαϊκό Έτος: 003- ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ: ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδες Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΔΙΚΕΣ/ ΟΜΟΙΟ-ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΕΣ 2010

ΚΛΑΔΙΚΕΣ/ ΟΜΟΙΟ-ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΕΣ 2010 ΚΛΑΔΙΚΕ ΟΜΟΙΟ-ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΕ 2010 ΚΛΑΔΟ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑ ΟΔΗΓΟΙ ΤΟΥΡΙΤΙΚΩΝ ΛΕΩΦΟΡΕΙΩΝ ΑΡΧΑΙΟΛΟΓΩΝ ΜΕΛΩΝ ΕΚΑ ΤΕΧΝΙΤΩΝ ΚΑΙ ΒΟΗΘΩΝ ΞΥΛΟΥΡΓΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΙΚΩΝ ΕΡΓΑΙΩΝ ΝΖΩΝΗ ΟΞΟΠΟΙΙΑ, ΠΟΤΟΠΟΙΙΑ, ΟΙΝΟΠΟΙΙΑ, ΟΙΝΟΠΝΕΥΜΑΤΟΠΟΙΙΑ,

Διαβάστε περισσότερα

Deregulation of market telecommunication in Greece: employment consequences

Deregulation of market telecommunication in Greece: employment consequences Karamans-Καραμάνης 47-57 Dereglaton of market teleommnaton n Greee: employment onseqenes Dr. Kostas Karamans Greek Mnstry of Employment Ths paper stdes the onseqenes of dereglaton of Greek teleommnaton

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων ΘΕ1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες όπως : σφάλµατα, στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελ Α Σχολικό βιβλίο σελ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελ 9 Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ // - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΑΜΠΑΡΤΖΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΑΜΠΑΡΤΖΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΦΟΡΕΑΣ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΡΙΟ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Ε.)- ΤΜΗΜΑ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΚΡΗΤΗΣ Δ/ΝΣΗ: Εθνικής Αντιτάεως 105 71 306 ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΤΗΛΕΦΩΝΟ: 081-223997, 224595 FAX: 081-223997 E-mail: - Δ/νη το INTERNET: - ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Αναλυτική Μέθοδος- Αναλυτικό Πρόβλημα. Ανάλυση, Προσδιορισμός και Μέτρηση. Πρωτόκολλο. Ευαισθησία Μεθόδου. Εκλεκτικότητα. Όριο ανίχνευσης (limit of detection, LOD).

Διαβάστε περισσότερα

3.3 Η αρχή των Ήρωνος-Fermat

3.3 Η αρχή των Ήρωνος-Fermat Κφ. 3 Γνικές αρχές της κυματικής 3.3 Η αρχή των Ήρωνος-Fermat 3.3. H Ανάκλαη του φωτός, ο Ήρων ο Αλξανδρύς και η Αρχή του Ελαχίτου Δρόμου 3.3. Η διάθλαη του φωτός, ο Fermat και η Αρχή του Ελαχίτου Χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Η ΑΝΑΓΚΗ ΓΙΑ ΠΟΣΟΤΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Η ΑΝΑΓΚΗ ΓΙΑ ΠΟΣΟΤΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Η ΑΝΑΓΚΗ ΓΙΑ ΠΟΣΟΤΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Οι Ενόργανες Μέθοδοι Ανάλυσης είναι σχετικές μέθοδοι και σχεδόν στο σύνολο τους παρέχουν την αριθμητική τιμή μιας φυσικής ή φυσικοχημικής ιδιότητας, η

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιµες στο IR, να αποδείξετε ότι (()+g()) ()+g (), R Μονάδες 7 Α.

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Διοίκηση Ολικής Ποιότητας και Διαχείριση Περιβάλλοντος Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Πρόγραμμα Σπουδών: Διοίκηση Επιχειρήσεων και Οργανισμών Ακαδημαϊκό Έτος 2006-07 2η ΟΣΣ Ευτύχιος Σαρτζετάκης, Αναπληρωτής

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός

Διαβάστε περισσότερα

Α φάση: Εμείς και η γειτονιά μας

Α φάση: Εμείς και η γειτονιά μας Εθνικό Δίκτυο «Βιώιμ Πόλ: Η πόλ ως πεδίο εκπαίδευς για τν αειορία» Κέντρο Περιβαλλοντικής Εκπαίδευς Ελευθερίου Κορδελιού & Βερτίκου Α : Εμείς και γειτονι μας Οδγίες για τον εκπαιδευτικό Ποια είναι γειτονι

Διαβάστε περισσότερα

Ατομική μονάδα μάζας (amu) ορίζεται ως το 1/12 της μάζας του ατόμου του άνθρακα 12 6 C.

Ατομική μονάδα μάζας (amu) ορίζεται ως το 1/12 της μάζας του ατόμου του άνθρακα 12 6 C. 4.1 Βασικές έννοιες Ατομική μονάδα μάζας (amu) ορίζεται ως το 1/12 της μάζας του ατόμου του άνθρακα 12 6 C. Σχετική ατομική μάζα ή ατομικό βάρος λέγεται ο αριθμός που δείχνει πόσες φορές είναι μεγαλύτερη

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,...

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,... Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 96) Άσκηση ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω οι παρατηρήσεις δυο δειγμάτων αντίστοιχα των μεταβλητών Χ και Ψ Δίνεται ότι η μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό Σύστηµα ιαπίστευσης Α.Ε.

Εθνικό Σύστηµα ιαπίστευσης Α.Ε. ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΡΙΑ Ο ΗΓΙΑ ΓΙΑ ΤΗ ΙΑΠΙΣΤΕΥΣΗ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΜΕ ΤΗ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΕΛΟΤ ΕΝ ISO/IEC 17025 ΕΣΥ ΚΟ- ΕΙΓΜ /01/02/10-5-2006 1/7 ΕΣΥ ΚΟ- ΕΙΓΜ Έκδοση: 01 Αναθεώρηση: 02 Ηµεροµηνία Έκδοσης:

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes)

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) Πολλά ΧΠ δεν µπορούν να αναπαρασταθούν αριθµητικά. Τα ΧΠ χαρακτηρίζονται συµµορφούµενα και µη-συµµορφούµενα. Τα ΧΠ τέτοιου είδους ονοµάζονται

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Αναλυτικής Χημείας

Ορισμός Αναλυτικής Χημείας Ορισμός Αναλυτικής Χημείας Αναλυτική Χημεία ορίζεται ως ο επιστημονικός κλάδος, που αναπτύσσει και εφαρμόζει μεθόδους, όργανα και στρατηγικές, για να δώσει πληροφορίες σχετικά με τη σύσταση και φύση υλικών

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία νερών ανθρώπινης κατανάλωσης, εσωτερικών υδάτων και αποβλήτων για χημικό έλεγχο. Γκαγτζής Δημήτριος Βιοχημικός, MSc Π.Ε.Δ.Υ.

Δειγματοληψία νερών ανθρώπινης κατανάλωσης, εσωτερικών υδάτων και αποβλήτων για χημικό έλεγχο. Γκαγτζής Δημήτριος Βιοχημικός, MSc Π.Ε.Δ.Υ. Δειγματοληψία νερών ανθρώπινης κατανάλωσης, εσωτερικών υδάτων και αποβλήτων για χημικό έλεγχο Γκαγτζής Δημήτριος Βιοχημικός, MSc Π.Ε.Δ.Υ. Θεσσαλίας Βασικές Έννοιες Δειγματοληψία Η δειγματοληψία αφορά στη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 Πέµπτη, Ιουνίου 00 ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ ΕΙΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α.. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι P(A B) P(A)

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

συναρτησιακό μοντέλο: Ax=l+v (γεωμετρική απόσταση δορυφόρων-δέκτη) μετρήσεις: l στοχαστικό μοντέλο: W=σ 02 V (ψευδοαποστάσεις) (σ i =c cosecφ i )

συναρτησιακό μοντέλο: Ax=l+v (γεωμετρική απόσταση δορυφόρων-δέκτη) μετρήσεις: l στοχαστικό μοντέλο: W=σ 02 V (ψευδοαποστάσεις) (σ i =c cosecφ i ) Τύποι μετρήεων μέθοδοι δορυφορικού εντοπιμού μετρήεις ψευδοαποτάεων μετρήεις φάεων ΑΚΡΙΒΙΑ απόλυτος εντοπιμός χετικός εντοπιμός τατικός εντοπιμός κινηματικός εντοπιμός εκ των υτέρων εντοπιμός εντοπιμός

Διαβάστε περισσότερα

f = c p + 2 (1) f = 3 1 + 2 = 4 (2) x A + x B + x C = 1 (3) x A + x B + x Γ = 1 3-1

f = c p + 2 (1) f = 3 1 + 2 = 4 (2) x A + x B + x C = 1 (3) x A + x B + x Γ = 1 3-1 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΦΑΣΕΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΠΟΛΛΩΝ ΣΥΣΤΑΤΙΚΩΝ ΑΜΟΙΒΑΙΑ ΙΑΛΥΤΟΤΗΤΑ Θέµα ασκήσεως Προσδιορισµός καµπύλης διαλυτότητας σε διάγραµµα φάσεων συστήµατος τριών υγρών συστατικών που το ένα ζεύγος παρουσιάζει περιορισµένη

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Ακ. Έτους 2014 15 (επιλύθηκαν συζητήθηκαν κατά τη διδασκαλία) Όπου χρειάζεται ο Αριθμός Avogadro λαμβάνεται 0.6023 1024

Ασκήσεις Ακ. Έτους 2014 15 (επιλύθηκαν συζητήθηκαν κατά τη διδασκαλία) Όπου χρειάζεται ο Αριθμός Avogadro λαμβάνεται 0.6023 1024 Ασκήσεις Ακ. Έτους 014 15 (επιλύθηκαν συζητήθηκαν κατά τη διδασκαλία) Όπου χρειάζεται ο Αριθμός Avoadro λαμβάνεται 0.603 10 4 και τα ατομικά βάρη θεωρείται ότι ταυτίζονται με τον μαζικό αριθμό σε 1. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 Ε_3.Μλ3Γ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 01 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα

Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα Στατιστική είναι ο κλάδος των μαθηματικών που εμβαθύνει σε μεθόδους συλλογής δεδομένων, οργάνωσης, παρουσίασης των δεδομένων και εξαγωγής συμπερασμάτων

Διαβάστε περισσότερα