ΜΕΡΟΣ ΙI ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΝΔΟΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΕΡΟΣ ΙI ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΝΔΟΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ"

Transcript

1 ΜΕΡΟΣ ΙI ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΝΔΟΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

2

3 Κεφάλαιο 7 ΑΝΘΡΩΠΙΝΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισαγωγή Στα επόμεα Κεφάλαια η αάλυση θα επικετρωθεί στη κατηγορία υποδειγμάτω που αποκαλούται υποδείγματα εδογεούς οικοομικής μεγέθυσης. Θα ααλυθού δηλαδή διάφορα υποδείγματα στα οποία η οικοομική μεγέθυση είαι εδογεές αποτέλεσμα της λειτουργίας της οικοομίας και, σε ατίθεση με το εοκλασικό υπόδειγμα μεγέθυσης, δε οφείλεται σε εξωγεείς παράγοτες. 22 Έχει ήδη δειχθεί ότι για α δημιουργηθεί συεχής μεγέθυση στη κατηγορία τω υποδειγμάτω με φθίουσες αποδόσεις απαιτείται η ύπαρξη εξωγεούς τεχολογικής μεταβολής. Έα λογικό σημείο εκκίησης για τη κατασκευή υποδειγμάτω εδογεούς οικοομικής μεγέθυσης είαι λοιπό η επέκταση του κλασικού υποδείγματος, ώστε α καταστεί εδογεής η διαδικασία βελτίωσης της τεχολογικής μεταβολής ή τεχογωσίας. Ο όρος τεχογωσία είαι έας πολύ γεικός και ευρύς όρος, που μπορεί α περιλαμβάει οποιαδήποτε μορφή γώσης και εκτείεται από τη βασική επιστημοική γώση (για παράδειγμα το θεώρημα διατήρησης της ορμής στη φυσική) μέχρι τη απόλυτα εξειδικευμέη γώση (όπως ο χειρισμός κάποιου μηχαήματος). Μεταξύ τω δυο ακραίω αυτώ μορφώ γώσης υπάρχει έας μεγάλος αριθμός μορφώ τεχογωσίας, όπως η οργάωση μιας επιχείρησης, η αακάλυψη έω αγαθώ ή μεθόδω παραγωγής, η βελτίωση της ποιότητας τω αγαθώ κλπ. Α και όλες οι μορφές τεχογωσίας θεωρείται ότι επηρεάζου τη μεγέθυση μιας οικοομίας, υπάρχου σηματικές διαφορές ως προς τη διαδικασία μέσω της οποίας η συσσώρευση τω διαφόρω μορφώ τεχογωσίας επηρεάζει τη οικοομική μεγέθυση. Για α απλοποιηθεί η αάλυση, οι διάφορες μορφές τεχογωσίας θα ομαδοποιηθού σε δυο κατηγορίες. Η πρώτη κατηγορία, που ααλύεται στο Κεφάλαιο αυτό, περιλαμβάει τις διάφορες μορφές τεχογωσίας που ααφέροται στο αθρώπιο κεφάλαιο (γώσεις και ικαότητες του εργατικού δυαμικού). Η δεύτερη κατηγορία ααφέρεται στη τεχολογική 22 Για μια συγκριτική παρουσίαση τω δύο θεωριώ βλ. Solow (1994) και Romer (1994).

4 140 Π. Καλαϊτζιδάκης Σ. Καλυβίτης πρόοδο (αακάλυψη έω αγαθώ-εισροώ και βελτίωση της ποιότητάς τους) και ααλύεται στο επόμεο Κεφάλαιο. Συγκεκριμέα, σε αυτό το Κεφάλαιο ααλύοται δυο υποδείγματα εδογεούς οικοομικής μεγέθυσης με συσσώρευση αθρώπιου κεφαλαίου. Στο πρώτο υπόδειγμα η συσσώρευση αθρώπιου κεφαλαίου είαι έα έμμεσο αποτέλεσμα της συσσώρευσης φυσικού κεφαλαίου. Το υπόδειγμα αυτό έγιε γωστό από τους enneth Arrow (1962) και Pul Romer (1986) ως το υπόδειγμα της εκμάθησης (lernng-by-dong). Στη δεύτερη κατηγορία υποδειγμάτω η διαδικασία συσσώρευσης αθρώπιου κεφαλαίου είαι αάλογη με αυτή του φυσικού κεφαλαίου. Το κύριο χαρακτηριστικό τω υποδειγμάτω με παραγωγή αθρώπιου κεφαλαίου είαι ότι η οικοομία αποφασίζει α καταείμει έα μέρος τω παραγωγικώ της πόρω για τη δημιουργία έου αθρώπιου κεφαλαίου. Και στα δύο υποδείγματα το πρόβλημα της αποκετρωμέης οικοομίας δίει μη άριστη λύση κατά Preto, καθώς το απόθεμα αθρώπιου κεφαλαίου είαι χαμηλότερο σε σχέση με το πρόβλημα του κοιωικού σχεδιαστή. Επομέως, όπως σε όλα τα υποδείγματα με εξωτερικές επιδράσεις η κυβέρηση μπορεί α παρέμβει ασκώτας κατάλληλη πολιτική με στόχο τη παροχή του απαιτούμεου κεφαλαίου στη οικοομία, ώστε α αυξηθεί ο ρυθμός οικοομικής μεγέθυσης της αταγωιστικής ισορροπίας (βλ. Πλαίσιο 7.1). Το υπόδειγμα της εκμάθησης Έστω ότι οι εισροές στη συάρτηση παραγωγής τω επιχειρήσεω είαι φυσικό κεφάλαιο Κ και αθρώπιο κεφάλαιο Η. Η εισροή Η δε ατιστοιχεί απλά στο αριθμό τω εργαζομέω, αλλά περιλαμβάει τις ικαότητες, το ταλέτο και το επίπεδο μόρφωσης τω εργαζομέω. Πιο γεικά, σα αθρώπιο κεφάλαιο υπολογίζοται όλοι οι παράγοτες που επηρεάζου τη παραγωγικότητα τω εργαζομέω. Έστω επίσης ότι ο πληθυσμός L είαι σταθερός, που σημαίει ότι μεταβολές στη εισροή Η ατικατοπτρίζου τη καθαρή επίδραση της συσσώρευσης αθρώπιου κεφαλαίου. Σε αυτό το πλαίσιο η συολική συάρτηση παραγωγής της οικοομίας έχει τη μορφή: Y F(, ) (7.1) που ικαοποιεί τις συηθισμέες εοκλασικές ιδιότητες.

5 Οικοομική Μεγέθυση: Θεωρία και Πολιτική 141 Πλαίσιο 7.1. Εξωτερικές οικοομίες στη συσσώρευση αθρώπιου κεφαλαίου και εκπαίδευση Ο Robert Lus (1988) τόισε τη σημασία του αθρώπιου κεφαλαίου λόγω της θετικής επίδρασής στη συολική παραγωγικότητα, που προκαλείται από τη ύπαρξη περισσότερου αθρώπιου κεφαλαίου στο σύολο της οικοομίας. Αυτή είαι και η κετρική ιδέα μιας σειράς υποδειγμάτω εδογεούς αάπτυξης, στα οποία κετρικό ρόλο παίζει η γώση. Το πιο σηματικό συμπέρασμα είαι ότι, ότα εμφαίζοται θετικές εξωτερικές επιδράσεις, απαιτείται η κρατική παρέμβαση, για α επιτευχθεί το άριστο επίπεδο παροχής αθρώπιου κεφαλαίου. Απαιτούται δηλαδή υψηλότερες δαπάες για τη παιδεία, από αυτές που θα ήτα διατεθειμέος α καταβάλλει ο ιδιωτικός τομέας, γιατί τα άτομα δε ααγωρίζου τις θετικές επιπτώσεις από τη συολική αάπτυξη, ώστε α δεχτού α πληρώσου το ατίστοιχο αυξημέο- τίμημα. Για παράδειγμα, το επιστημοικό βιβλίο προσφέρει ατομικό όφελος αυξάοτας το απόθεμα αθρώπιου κεφαλαίου που διαθέτει ο ααγώστης του, αλλά και γεικό όφελος επιπλέο του ατομικού οφέλους, γιατί καθιστά πιο παραγωγικά και τα υπόλοιπα μέλη της κοιωίας, που δε το έχου διαβάσει! Όμως η τιμή που καταβάλλεται για τη απόκτησή του προσδιορίζεται μόο από τα ατομικό όφελος. Άρα, το κράτος πρέπει α επιδοτεί τη τιμή του βιβλίου, γιατί η τιμή, που είαι διατεθειμέος α πληρώσει καθέας ατομικά, είαι χαμηλότερη από τη κοιωικά άριστη τιμή του. Οι αεπτυγμέες οικοομίες έχου ααγωρίσει τη σημασία του δημόσιου χαρακτήρα της εκπαίδευσης για το κοιωικό σύολο, διαθέτοτας σηματικά κοδύλια για τη παιδεία. Όπως φαίεται στο επόμεο πίακα, το ποσοστό του ΑΕΠ που δαπαάται για τη παιδεία κυμαίεται γύρω στο 5% με 6%, με εξαίρεση τη Ελλάδα, όπου το ποσοστό αυτό είαι σηματικά χαμηλότερο και αέρχεται σε 3.1%. Κρατικές δαπάες για εκπαίδευση (% Ακαθάριστου Εθικού Προϊότος) Γερμαία Μεγ. Βρεταία Γαλλία Ισπαία Πορτογαλία Ελλάδα Πηγή: World Bnk (World Development Report 2000/2001, Πίακας 6).

6 142 Π. Καλαϊτζιδάκης Σ. Καλυβίτης Πρόσφατες μελέτες (βλ. Μmunes και Svvdes, 1999) έχου υπολογίσει τη κοιωική απόδοση του αθρώπιου κεφαλαίου, δηλαδή τις επιπρόσθετες μοάδες κατά κεφαλή εισοδήματος, οι οποίες οφείλοται στη αύξηση του αθρώπιου κεφαλαίου (έτη εκπαίδευσης) σε σχέση με το κόστος ευκαιρίας της εκπαίδευσης (μισθός αειδίκευτης εργασίας). Οι εκτιμήσεις για τη Ελλάδα δείχου ότι η κοιωική απόδοση της εκπαίδευσης είαι υψηλότερη από τη ιδιωτική (5.7% έατι 2.7%). Αυτή η διαφορά μεταξύ τω αποδόσεω συεπάγεται τη ύπαρξη θετικώ εξωτερικώ οικοομιώ για τη εκπαίδευση, που συηγορού υπέρ του δημόσιου χαρακτήρα της εκπαίδευσης στη Ελλάδα. Η σηματικότερη τομή στη ελληική εκπαίδευση έγιε το 1964 (κυβέρηση Γ. Παπαδρέου) και παρέμειε γωστή ως εκπαιδευτική μεταρρύθμιση. Τότε καθιερώθηκε η δωρεά παιδεία σε όλες τις βαθμίδες, η δωρεά -ή σε πολύ χαμηλή τιμή- προσφορά εκπαιδευτικώ βιβλίω, εώ θεσμοθετήθηκε και έα εκτεταμέο σύστημα υποτροφιώ. Επιπλέο, η υποχρεωτική εκπαίδευση καθιερώθηκε στα ειά χρόια (από έξι), εώ η εγγραφή στο δημοτικό σχολείο γιότα πλέο στη ηλικία τω έξι ετώ. Η μεταρρύθμιση αυτή αποτέλεσε μεταπολεμικά τη σπουδαιότερη συμβολή στο χώρο της παιδείας στη Ελλάδα, αυξάοτας σηματικά το αθρώπιο κεφάλαιο και βελτιώοτας τη ποιότητα του αθρώπιου δυαμικού της χώρας. Τα αποτελέσματα της πολιτικής αυτής διαφάηκα μακροχρόια, όπως φαίεται και στο επόμεο διάγραμμα, αφού το ποσοστό του συολικού πληθυσμού στη δευτεροβάθμια και τη τριτοβάθμια εκπαίδευση αυξήθηκε σηματικά τη επόμεη δεκαετία μετά τη εκπαιδευτική μεταρρύθμιση. Ποσοστό πληθυσμού αά βαθμίδα εκπαίδευσης στη Ελλάδα Δευτεροβάθμια εκπαίδευση Τριτοβάθμια εκπαίδευση Πηγή: Brro και Lee (1993).

7 Οικοομική Μεγέθυση: Θεωρία και Πολιτική 143 Από τα προηγούμεα Κεφάλαια και από το γραμμικό υπόδειγμα ΑΚ είαι γωστό ότι το κλειδί για συεχή (εδογεή) μεγέθυση είαι η έλλειψη φθιουσώ αποδόσεω στους συτελεστές που μπορού α συσσωρευτού. Έας τρόπος για α εξαλειφθού οι φθίουσες αποδόσεις είαι α υποτεθεί ότι η δημιουργία του αθρώπιου κεφαλαίου είαι έα έμμεσο αποτέλεσμα της επέδυσης σε φυσικό κεφάλαιο. Μια επιχείρηση που αυξάει το φυσικό της κεφάλαιο μαθαίει ταυτόχροα πώς α παράγει πιο αποτελεσματικά. Αυτή η θετική επίδραση της εμπειρίας στη παραγωγικότητα οομάζεται εκμάθηση (lernng-by-dong). Για μια συγκεκριμέη επιχείρηση η συάρτηση παραγωγής δίεται από τη σχέση: Y F, ) (7.2) ( όπου A L και L είαι ο αριθμός εργαζομέω που απασχολεί η επιχείρηση, εώ A είαι έας δείκτης που εκφράζει το επίπεδο τεχογωσίας που είαι διαθέσιμο στη επιχείρηση. Σε αυτό το πλαίσιο η διαδικασία της εκμάθησης επιδρά μέσω της επέδυσης κάθε επιχείρησης σε φυσικό κεφάλαιο. Συγκεκριμέα, η αύξηση στο φυσικό κεφάλαιο μιας επιχείρησης οδηγεί σε παράλληλη αύξηση του αποθέματος τεχογωσίας Α. Η διαδικασία αυτή ατικατοπτρίζει τη ιδέα του Arrow (1962) ότι βελτιώσεις στη τεχογωσία και τη παραγωγικότητα προέρχοται από τη επέδυση και τη παραγωγική διαδικασία (κάτι που είχε αρχικά παρατηρηθεί ότι ισχύει στη βιομηχαία κατασκευής αεροπλάω). Επίσης, έχει επαληθευτεί εμπειρικά ότι ο αριθμός τω διπλωμάτω ευρεσιτεχίας, που θεωρείται ότι εκφράζει το επίπεδο τεχογωσίας μιας οικοομίας, σχετίζεται θετικά με τη επέδυση σε φυσικό κεφάλαιο. Μια δεύτερη σηματική υπόθεση που γίεται είαι ότι η τεχογωσία είαι δημόσιο αγαθό, δηλαδή διαχέεται σε όλη τη οικοομία και κάθε επιχείρηση έχει πρόσβαση σε αυτή με μηδεικό κόστος. Η συέπεια της υπόθεσης αυτής είαι ότι το επίπεδο τεχογωσίας κάθε επιχείρησης είαι ίδιο με το επίπεδο τεχογωσίας της οικοομίας και αάλογο του συολικού κεφαλαίου της οικοομίας. Η δεύτερη αυτή υπόθεση επιτρέπει α γραφεί η συάρτηση παραγωγής σα: Y F, L ) (7.3) ( όπου Κ είαι το συολικό κεφάλαιο της οικοομίας, εώ Κ είαι το κεφάλαιο που χρησιμοποιεί η επιχείρηση. Ας σημειωθεί ότι η παραπάω συάρτηση παραγωγής διατηρεί τη ιδιότητα τω φθιουσώ αποδόσεω ως προς το ατομικό κεφάλαιο κάθε επιχείρησης, Κ. Όμως εά μια επιχείρηση

8 144 Π. Καλαϊτζιδάκης Σ. Καλυβίτης αυξήσει το ατομικό της κεφάλαιο, τότε το συολικό κεφάλαιο της οικοομίας αυξάει αάλογα και παράγεται έα όφελος (μέσω της αύξησης της παραγωγικότητας) που διαχέεται σε όλες τις επιχειρήσεις. O στόχος κάθε επιχείρησης είαι α επιλέξει το κεφάλαιο Κ και τη εργασία L που θα απασχολήσει, ώστε α μεγιστοποιήσει τα κέρδη της π. Το πρόβλημα αυτό γράφεται ως: mxπ F(, L ) ( r + δ ) wl (7.4) ή εαλλακτικά σε κατά κεφαλή όρους: [ F( k, ) ( r + δ k w] mxπ L ) (7.5) Κάθε αταγωιστική επιχείρηση θεωρεί τη τιμή του κεφαλαίου και το μισθό ως δεδομέα. Μια πολύ σηματική υπόθεση σε αυτό το σημείο είαι επίσης ότι οι επιχειρήσεις είαι αρκετά μικρές, ώστε α μη υπολογίζου τη ατομική τους συεισφορά στο συολικό κεφάλαιο της οικοομίας. Με άλλα λόγια, κάθε επιχείρηση μεγιστοποιεί τα κέρδη της θεωρώτας το συολικό κεφάλαιο Κ ως δεδομέο. Οι συθήκες πρώτης τάξης για τη μεγιστοποίηση τω κερδώ είαι: π F( k, 0 r + δ (7.6) k ) π L 0 F( k, ) k F( k, ) w k (7.7) Όλες οι επιχειρήσεις είαι ίδιες και κατά συέπεια θα πάρου τις ίδιες αποφάσεις στη ισορροπία. Θα ισχύει δηλαδή ότι ο λόγος κεφαλαίουεργασίας κάθε επιχείρησης ισούται με το ατίστοιχο λόγο για όλη τη οικοομία, δηλαδή k k, και κατά συέπεια ΚkL. Εφόσο η συάρτηση παραγωγής είαι ομογεής πρώτου βαθμού ως προς k, ισχύει επίσης ότι: F( k, ) F1, F(1, L) f ( L) (7.8) k k Παραγωγίζοτας τη παραπάω εξίσωση ως προς k προκύπτει ότι:

9 Οικοομική Μεγέθυση: Θεωρία και Πολιτική 145 F( k, ) k k f ( L) k F( k, ) f ( L) Lf k ( L) (7.9) Το πρόβλημα της μεγιστοποίησης της χρησιμότητας του ατιπροσωπευτικού οικοκυριού παραμέει το ίδιο όπως στο Κεφάλαιο 6. Κατά συέπεια, χρησιμοποιώτας τις εξισώσεις (7.6) και (7.9), οι διαφορικές εξισώσεις (6.17) και (6.18) του προηγούμεου Κεφαλαίου μπορού α γραφού ως: k f ( L) k δ k (7.10) 1 θ [ f ( L) Lf ( L) ( ρ + δ )] (7.11) Από τη εξίσωση (7.11) είαι σαφές ότι ο ρυθμός αύξησης της κατά κεφαλή καταάλωσης είαι σταθερός. Μπορεί ακόμη α αποδειχθεί χρησιμοποιώτας τη εξίσωση (7.10) και τη τελική συθήκη από το πρόβλημα της μεγιστοποίησης της διαχροικής συάρτησης χρησιμότητας τω οικοκυριώ ότι και ο ρυθμός αύξησης του λόγου κεφαλαίου-εργασίας είαι σταθερός και μάλιστα ίσος με το ρυθμό αύξησης της κατά κεφαλή καταάλωσης. 23 Το αποτέλεσμα αυτό υποδηλώει ότι και ο ρυθμός αύξησης του κατά κεφαλή προϊότος θα είαι σταθερός και, κατά συέπεια, αεξάρτητος από το επίπεδο αάπτυξης της οικοομίας. Με αυτό το τρόπο η θετική εξωτερική επίδραση από τη συσσώρευση αθρώπιου κεφαλαίου μπορεί α προκαλέσει εδογεή οικοομική μεγέθυση. Έα ζήτημα που αακύπτει με το παραπάω υπόδειγμα είαι ότι προσδιορίζει έα ρυθμό μεγέθυσης, ο οποίος είαι θετική συάρτηση του μεγέθους του πληθυσμού. Η θετική αυτή σχέση οομάζεται επίδραση κλίμακας (sle effet) και δηλώει ότι α για παράδειγμα δύο χώρες διαφέρου μόο ως προς το μέγεθος του πληθυσμού τους, τότε η χώρα με το μεγαλύτερο πληθυσμό θα απολαμβάει και μεγαλύτερο ρυθμό μεγέθυσης. Ο λόγος της εμφάισης της επίδρασης κλίμακας στο παραπάω υπόδειγμα είαι η υπόθεση ότι η αύξηση του συολικού κεφαλαίου συμβάλει στη βελτίωση της παραγωγικότητας για κάθε έα από τα άτομα της οικοομίας. Κατά συέπεια α δυο χώρες έχου το ίδιο συολικό φυσικό κεφάλαιο, η 23 Βλ. για παράδειγμα τη Πρόταση 6.3 του προηγούμεου Κεφαλαίου, η οποία ααφέρεται στη περίπτωση του γραμμικού υποδείγματος.

10 146 Π. Καλαϊτζιδάκης Σ. Καλυβίτης χώρα με το μεγαλύτερο πληθυσμό θα συσσωρεύει περισσότερο αθρώπιο κεφάλαιο αφού η θετική επίδραση του φυσικού κεφαλαίου θα διαχυθεί σε περισσότερα άτομα. Το γεγοός αυτό έχει δειχθεί ότι δε ισχύει στις πραγματικές οικοομίες και, κατά συέπεια, η πρόβλεψη αυτή αποτελεί μειοέκτημα για το υπόδειγμα. Η επίδραση κλίμακας μπορεί α αποφευχθεί εά γίει η -πιο ρεαλιστική- υπόθεση ότι η συσσώρευση ατομικού αθρώπιου κεφαλαίου δε εξαρτάται από το συολικό φυσικό κεφάλαιο της οικοομίας, αλλά από το κεφάλαιο που ααλογεί σε κάθε εργαζόμεο, δηλαδή το μέσο κεφάλαιο της οικοομίας, οπότε θα ίσχυε ( ) L. L L Σε επόμεα Κεφάλαια θα εξεταστεί πώς λειτουργεί η οικοομία με μια τέτοια υπόθεση. Το πρόβλημα του κοιωικού σχεδιαστή Στο σημείο αυτό θα παρουσιαστεί το ατίστοιχο πρόβλημα του κοιωικού σχεδιαστή. Η σύγκριση της λύσης του προβλήματος αυτού με τη λύση του προβλήματος της αποκετρωμέης οικοομίας θα αποκαλύψει κατά πόσο το πρόβλημα της αποκετρωμέης οικοομίας δίει λύση η οποία είαι άριστη κατά Preto ή όχι. Ο κοιωικός σχεδιαστής μεγιστοποιεί τη διαχροική συάρτηση χρησιμότητας τω οικοκυριώ: U 0 u( )Le 1θ ρt ρt dt 0 Le 1 θ dt (7.12) κάτω από το περιορισμό της κλειστής οικοομίας: Y C + I Y C + + δ k y δ k (7.13) Η οικοομία αποτελείται από Μ ομοειδείς επιχειρήσεις, κάθε μια από τις οποίες παράγει Υ μοάδες προϊότος. Κατά συέπεια, το συολικό προϊό της οικοομίας είαι: Y Y MY MF(, L ) F(, L) F, L L y F( k, ) y F( k, kl) kf(1, L) y kf ( L) (7.14)

11 Οικοομική Μεγέθυση: Θεωρία και Πολιτική 147 Ατικαθιστώτας τη εξίσωση (7.14) στη (7.13), ο περιορισμός του κοιωικού σχεδιαστή μπορεί α γραφεί ως: k L kf k δ ) ( (7.15) Η εξίσωση του mlton που ατιστοιχεί στο πρόβλημα του κοιωικού σχεδιαστή είαι: [ ] k L kf Le J t + δ θ ρ θ ) ( 1 1 (7.16) Οι συθήκες πρώτης τάξης για τη μεγιστοποίηση της παραπάω εξίσωσης του mlton είαι: ρ θ t Le J 0 (7.17) [ ] (L) f k J δ (7.18) Διαφορίζοτας τη εξίσωση (7.17) ως προς το χρόο, προκύπτει: ρ θ ρ θ ρ θ ρ θ ρ θ Le e Le e Le t t t 1 + ρ θ (7.19) Από τις εξισώσεις (7.18) και (7.19) προκύπτει ότι ο ρυθμός μεγέθυσης της κατά κεφαλή καταάλωσης, και κατ επέκταση ο ρυθμός αύξησης του κατά κεφαλή προϊότος, δίεται από τη σχέση: [ ] ρ δ θ ) ( 1 L f (7.20)

12 148 Π. Καλαϊτζιδάκης Σ. Καλυβίτης Η παραπάω εξίσωση δίει το ρυθμό οικοομικής μεγέθυσης που μπορεί α επιτύχει ο κοιωικός σχεδιαστής. Συγκρίοτας τη εξίσωση αυτή με τη εξίσωση (7.10), που δίει το ρυθμό μεγέθυσης της αποκετρωμέης οικοομίας, φαίεται ότι οι δυο αυτοί ρυθμοί μεγέθυσης είαι διαφορετικοί. Ο ρυθμός μεγέθυσης που επιτυγχάει ο κοιωικός σχεδιαστής είαι μεγαλύτερος από αυτό της αποκετρωμέης οικοομίας αφού ισχύει ότι: f ( L) > f ( L) Lf ( L) (7.21) Το συμπέρασμα είαι ότι η λύση της αποκετρωμέης οικοομίας δε είαι άριστη κατά Preto, αφού ο ρυθμός οικοομικής μεγέθυσης που επιτυγχάεται είαι χαμηλότερος από αυτό, που μπορεί α επιτύχει ο κοιωικός σχεδιαστής. Το γεγοός αυτό οφείλεται στη ύπαρξη θετικώ εξωτερικώ επιδράσεω στη παραγωγή από τη συσσώρευση του συολικού φυσικού κεφαλαίου. Οι επιχειρήσεις, σε ατίθεση με το κοιωικό σχεδιαστή, δε λαμβάου υπόψη τις θετικές αυτές επιδράσεις ότα μεγιστοποιού τα κέρδη τους, με αποτέλεσμα οι αριστοποιητικές επιλογές τους α μη είαι οι καλύτερες δυατές για τη ευημερία του συόλου τω ατόμω της οικοομίας. Η διαφορά μπορεί α φαεί με τη χρήση, για παράδειγμα, μιας συάρτησης παραγωγής της μορφής Cobb-Dougls: α 1α α ( L 1α Y ) (7.3α) Στη περίπτωση αυτή, η συάρτηση κερδώ της ατιπροσωπευτικής επιχείρησης γράφεται ως: π α 1α 1α L ( r + δ ) wl (7.4α) Μεγιστοποιώτας τη συάρτηση κερδώ ως προς το κεφάλαιο προκύπτει ότι: π 1α 1α 1 α L 0 α r + δ r α L δ (7.6α)

13 Οικοομική Μεγέθυση: Θεωρία και Πολιτική 149 δεδομέου ότι στη ισορροπία. Άρα ο ρυθμός μεγέθυσης της L L αποκετρωμέης οικοομίας δίεται από τη εξίσωση: θ θ α ( r ρ) [ αl ( ρ + δ )] (7.10α) Ατίστοιχα, η εξίσωση του mlton που ατιστοιχεί στο πρόβλημα του κοιωικού σχεδιαστή είαι: 1θ J Le 1 θ ρt + ( kl 1α δk ) (7.12α) α 1α ( L) 1 αφού y kl. Οι συθήκες πρώτης τάξης για τη L μεγιστοποίηση της εξίσωσης του mlton είαι: J θ ρt 0 Le θ ρ (7.17α) ( δ L ) 1 J (7.18α) k Από τις παραπάω συθήκες πρώτης τάξης προκύπτει ότι ο ρυθμός μεγέθυσης που μπορεί α εξασφαλίσει ο κοιωικός σχεδιαστής είαι: 1 1α [ L θ ( ρ + δ )] (7.20α) Συγκρίοτας τη λύση του προβλήματος του κοιωικού σχεδιαστή (7.20α) και της αποκετρωμέης οικοομίας (7.10α) φαίεται ότι ο κοιωικός σχεδιαστής επιτυγχάει μεγαλύτερο ρυθμό μεγέθυσης. Οι επιχειρήσεις λαμβάου υπόψη μόο το ατομικό όφελος τους, όπως αυτό δίεται από τη ελαστικότητα του προϊότος ως προς το κεφάλαιο της επιχείρησης α, εώ ο κοιωικός σχεδιαστής συυπολογίζει και το συολικό όφελος από τη συσσώρευση ατομικού κεφαλαίου, με συέπεια η ατίστοιχη

14 150 Π. Καλαϊτζιδάκης Σ. Καλυβίτης ελαστικότητα α ισούται με μοάδα. Άρα, οι επιχειρήσεις δε επεδύου αρκετά σε φυσικό κεφάλαιο και η λύση της αποκετρωμέης οικοομίας δε είαι άριστη κατά Preto. Η παραπάω αάλυση παρουσιάζει έα κύριο χαρακτηριστικό τω υποδειγμάτω με εξωτερικές οικοομίες. Σε αυτή τη κατηγορία υποδειγμάτω, ο ιδιωτικός τομέας (επιχειρήσεις), ότα μεγιστοποιεί το κέρδος του, δε ατιλαμβάεται το όφελος που προκύπτει για το σύολο της οικοομίας από τις εέργειές τους. Τη λύση σε αυτό το πρόβλημα μπορεί α προσφέρει η κατάλληλη παρέμβαση του κράτους (για παράδειγμα, μεσω επιδοτήσεω στις επιχειρήσεις με στόχο τη αύξηση τω επεδύσεω σε φυσικό κεφάλαιο). Έτσι, θα αυξηθεί το οριακό προϊό του κεφαλαίου, οι επεδύσεις και, άρα, το συολικό κεφάλαιο της οικοομίας καθιστώτας τη λύση της αποκετρωμέης οικοομίας άριστη κατά Preto. Εδογεής μεγέθυση με παραγωγή αθρώπιου κεφαλαίου Το υπόδειγμα της εκμάθησης ερμηεύει τη συσσώρευση αθρώπιου κεφαλαίου ως αποτέλεσμα της εμπειρίας και της εασχόλησης τω εργαζομέω με τη παραγωγική διαδικασία. Α και δε υπάρχει αμφιβολία ότι έα σηματικό μέρος του αθρώπιου κεφαλαίου δημιουργείται μέσω της διαδικασίας της εκμάθησης, σε γεικές γραμμές το αθρώπιο κεφάλαιο είαι αποτέλεσμα της συστηματικής προσπάθειας τω διαφόρω φορέω της οικοομίας για τη παραγωγή του. Όπως ακριβώς και στη περίπτωση του φυσικού κεφαλαίου, η οικοομία καταέμει παραγωγικούς πόρους στη παραγωγή έου αθρώπιου κεφαλαίου (βλ. Κεφάλαιο 3). Σε αυτό το τμήμα θα παρουσιαστού δυο υποδείγματα εδογεούς οικοομικής μεγέθυσης με άμεση παραγωγή αθρώπιου κεφαλαίου. Θα αποδειχθεί ότι η δυατότητα παραγωγής έου αθρώπιου κεφαλαίου μπορεί α απεεργοποιήσει το περιορισμό τω φθιουσώ αποδόσεω και α οδηγήσει σε οικοομική μεγέθυση, ακόμη και στη περίπτωση όπου δε υπάρχει τεχολογική πρόοδος. Το πρώτο από τα δύο υποδείγματα είαι έα υπόδειγμα εδογεούς μεγέθυσης με έα τομέα παραγωγής. Η αάλυση δηλαδή απλοποιείται υποθέτοτας ότι για τη παραγωγή του φυσικού και του αθρώπιου κεφαλαίου απαιτείται η ίδια τεχολογία (συάρτηση παραγωγής). Στο δεύτερο υπόδειγμα υιοθετείται μια πιο ρεαλιστική προσέγγιση, υποθέτοτας ότι απαιτούται διαφορετικές τεχολογίες για τη παραγωγή φυσικού και αθρώπιου κεφαλαίου. Πιο συγκεκριμέα, γίεται η υπόθεση ότι η παραγωγή φυσικού κεφαλαίου είαι ετάσεως φυσικού κεφαλαίου, εώ η παραγωγή αθρώπιου κεφαλαίου είαι ετάσεως αθρώπιου κεφαλαίου. Η παραγωγή αθρώπιου κεφαλαίου απαιτεί δηλαδή ααλογικά περισσότερο

15 Οικοομική Μεγέθυση: Θεωρία και Πολιτική 151 αθρώπιο κεφάλαιο σε σχέση με τη παραγωγή φυσικού κεφαλαίου. Έα χαρακτηριστικό παράδειγμα που βοηθά στη καταόηση της διαφοράς στη τεχολογία παραγωγής αθρώπιου και φυσικού κεφαλαίου είαι η σύγκριση εός παεπιστημίου με έα εργοστάσιο παραγωγής εργαλείω. Γίεται εύκολα καταοητό ότι το παεπιστήμιο (χώρος παραγωγής αθρώπιου κεφαλαίου) χρησιμοποιεί ααλογικά περισσότερο αθρώπιο κεφάλαιο από το εργοστάσιο παραγωγής εργαλείω (χώρος παραγωγής φυσικού κεφαλαίου). Για α απλοποιηθεί η παρουσίαση, η αάλυση τω υποδειγμάτω θα επικετρωθεί στο πρόβλημα του κοιωικού σχεδιαστή. Επιπλέο, η αάλυσή θα γίει σε όρους συολικώ και όχι κατά κεφαλή μεταβλητώ αφού, α υποτεθεί ότι ο πληθυσμός της οικοομίας παραμέει διαχροικά σταθερός, οι ρυθμοί μεταβολής τω συολικώ και τω ατίστοιχω κατά κεφαλή μεταβλητώ ταυτίζοται. Εδογεής μεγέθυση με έα τομέα παραγωγής αθρώπιου κεφαλαίου Έστω μια οικοομία με σταθερό πληθυσμό L, η οποία παράγει έα τελικό προϊό Υ. Για λόγους απλούστευσης έστω ότι η συολική συάρτηση παραγωγής είαι της μορφής Cobb-Dougls με σταθερές αποδόσεις ως προς το φυσικό και αθρώπιο κεφάλαιο: Y 1 (7.22) όπου 0<α<1. Ο λόγος για το οποίο η παραπάω συάρτηση παραγωγής θα δώσει εδογεή οικοομική μεγέθυση είαι ο εξής: εά θεωρηθεί ότι το αθρώπιο κεφάλαιο μπορεί α γραφεί ως hl, όπου h είαι το κατά κεφαλή αθρώπιο κεφάλαιο, τότε η παραπάω συάρτηση παραγωγής γίεται: Y h 1 1 L (7.23) Η συάρτηση παραγωγής χαρακτηρίζεται δηλαδή από σταθερές αποδόσεις ως προς τις μεταβλητές που μπορού α συσσωρευτού (Κ και h). Ο διπλασιασμός, για παράδειγμα, τω εισροώ Κ και h θα οδηγήσει σε διπλασιασμό του παραγόμεου προϊότος, παρόλο που η απασχόληση παραμέει σταθερή. Άρα η δυατότητα συσσώρευσης αθρώπιου κεφαλαίου απεεργοποιεί τις φθίουσες αποδόσεις και μπορεί α οδηγήσει σε εδογεή μεγέθυση.

16 152 Π. Καλαϊτζιδάκης Σ. Καλυβίτης Το τελικό προϊό της οικοομίας μπορεί α χρησιμοποιηθεί είτε για καταάλωση είτε για επέδυση σε φυσικό και αθρώπιο κεφάλαιο, Ι Κ και Ι Η ατίστοιχα. Η οικοομία υπόκειται λοιπό στο περιορισμό: 1 Y C + I + I (7.24) Η καθαρή αύξηση του κεφαλαίου (φυσικού και αθρώπιου) είαι ίση με τη επέδυση μείο τη απόσβεση του κεφαλαίου. Ισχύει λοιπό: I δ I δ (7.25) (7.26) όπου για ευκολία στους υπολογισμούς υποτίθεται ότι το φυσικό και αθρώπιο κεφάλαιο αποσβέοται με το ίδιο ρυθμό δ. Ο κοιωικός σχεδιαστής μεγιστοποιεί τη διαχροική συάρτηση χρησιμότητας: U 0 u( C )e 1θ ρt C ρt dt 0 e 1 θ dt (7.27) υπό τους περιορισμούς τω εξισώσεω (7.24), (7.25) και (7.26). Η εξίσωση του mlton που ατιστοιχεί στο πρόβλημα του κοιωικού σχεδιαστή είαι: 1θ C J e 1 θ ρt + ( I δ) + µ ( I δ ) + λ( 1 C I I ) (7.28) όπου και μ είαι σκιώδεις τιμές που σχετίζοται με τις μεταβλητές φυσικού και αθρώπιου κεφαλαίου ατίστοιχα, εώ λ είαι ο πολλαπλασιαστής του Lgrnge που σχετίζεται με το εισοδηματικό περιορισμό. Οι συθήκες πρώτης τάξης για τη μεγιστοποίηση της εξίσωσης του mlton είαι: J C θ ρt 0 C e λ (7.29)

17 Οικοομική Μεγέθυση: Θεωρία και Πολιτική 153 J I 0 λ (7.30) J I 0 µ λ (7.31) J λ ( 1) + δ (7.32) J µ λ( 1 ) µ + δµ (7.33) Θα πρέπει επίσης α ικαοποιούται οι τελικές συθήκες: lm ( ) 0 (7.34) t t t lm ( µ ) 0 (7.35) t t t Από τις εξισώσεις (7.30), (7.31), (7.32) και (7.33) προκύπτει ότι: (7.36) 1 Η εξίσωση (7.36) δηλώει ότι ο άριστος λόγος φυσικού-αθρωπίου κεφαλαίου ισούται με το λόγο τω ελαστικοτήτω του εισοδήματος ως προς το φυσικό και το αθρώπιο κεφάλαιο, ατίστοιχα. Όσο μεγαλύτερη είαι η ελαστικότητα του εισοδήματος ως προς το φυσικό (αθρώπιο) κεφάλαιο, τόσο πιο συμφέρο είαι για τη οικοομία α διαθέτει περισσότερο φυσικό (αθρώπιο) κεφάλαιο. Μπορεί τώρα α υπολογιστεί ο ρυθμός οικοομικής μεγέθυσης στη ισορροπία, ο οποίος δίεται στη Πρόταση 7.1.

18 154 Π. Καλαϊτζιδάκης Σ. Καλυβίτης Πρόταση 7.1. Ο ρυθμός μεγέθυσης στο υπόδειγμα παραγωγής αθρωπίου κεφαλαίου με έα τομέα παραγωγής δίεται από τη σχέση: ( 1 ) Y 1 1 δ ρ Y θ (7.37) Διαφορίζοτας τη εξίσωση (7.29) ως προς το χρόο και σε συδυασμό με τη εξίσωση (7.32) προκύπτει ότι: C 1 C θ ( 1) δ ρ (7.38) Τέλος, ατικαθιστώτας τη εξίσωση (7.36) στη εξίσωση (7.38) ισχύει: 1 C 1 1 C θ δ ρ (7.39) Από τη παραπάω εξίσωση φαίεται ότι ο ρυθμός αύξησης της καταάλωσης είαι σταθερός. Χρησιμοποιώτας τις τελικές συθήκες (7.34) και (7.35) μπορεί α δειχθεί, με αάλογο τρόπο όπως στη Πρόταση 6.3 για C Y το γραμμικό υπόδειγμα ΑΚ, ότι, που σημαίει ότι όλες οι C Y μεταβλητές του υποδείγματος αυξάου με το ίδιο σταθερό ρυθμό. Επομέως, όπως έχει ήδη φαεί από τη αάλυση της συάρτησης παραγωγής (7.22), η παραγωγή αθρώπιου κεφαλαίου οδηγεί σε εδογεή οικοομική μεγέθυση. Εδογεής μεγέθυση με δύο τομείς παραγωγής αθρώπιου κεφαλαίου: τo υπόδειγμα του Lus Στο τμήμα αυτό θα επεκταθεί η έοια της παραγωγής αθρώπιου κεφαλαίου στη οικοομία με τη παρουσίαση εός υπόδείγματος μεγέθυσης όπου το φυσικό και αθρώπιο κεφάλαιο παράγοται από διαφορετικές συαρτήσεις παραγωγής. Έστω ότι στη γεική μορφή:

19 Οικοομική Μεγέθυση: Θεωρία και Πολιτική 155 Y C + I 1 C + + δ A( u ) ( u ) (7.40) [ ] β 1 I + δ B ( 1 u ) [(1 u ) ] β (7.41) όπου u και u L είαι τα μερίδια φυσικού και αθρώπιου κεφαλαίου, ατίστοιχα, που χρησιμοποιούται στη παραγωγή του τελικού προϊότος. Οι παράμετροι Α και Β ατιστοιχού σε δύο τεχολογικές σταθερές. Έστω επίσης ότι > β, που σημαίει ότι η παραγωγή φυσικού κεφαλαίου είαι ετάσεως φυσικού κεφαλαίου. Ο κοιωικός σχεδιαστής μεγιστοποιεί τη συάρτηση διαχροικής χρησιμότητας (7.27) με τους περιορισμούς (7.40) και (7.41). Λόγω της πολυπλοκότητας στους υπολογισμούς θα ααλυθεί μια απλοποιημέη μορφή του παραπάω υποδείγματος, γωστή ως υπόδειγμα του Lus. Στο υπόδειγμα του Lus (1988) γίεται η υπόθεση ότι για τη παραγωγή του αθρώπιου κεφαλαίου δε απαιτείται φυσικό κεφάλαιο. Οι συαρτήσεις παραγωγής μπορού δηλαδή α γραφού ως: 1 Y C + + δ A ( u ) (7.42) + δ B( 1 u ) (7.43) Για τη συάρτηση χρησιμότητας που δίεται από τη (7.27), η εξίσωση του mlton που ατιστοιχεί στο πρόβλημα του κοιωικού σχεδιαστή είαι: 1θ C J e 1 θ ρt + 1 [ A ( u ) δ C] + µ [ B(1 u ) δ ] (7.44) Οι συθήκες πρώτης τάξης για τη μεγιστοποίηση της παραπάω εξίσωσης του mlton είαι: J ρ t 0 u ( C) e C (7.45)

20 156 Π. Καλαϊτζιδάκης Σ. Καλυβίτης B u A u J µ ) (1 0 (7.46) δ ) 1 ( u A J (7.47) + µ δµ µ µ ) (1 ) 1 ( u B u A u J (7.48) Στη ισορροπία οι σκιώδεις τιμές και μ θα μεταβάλλοται με το ίδιο σταθερό ρυθμό. Άρα, από τις εξισώσεις (7.47) και (7.48) προκύπτει: ( ) u B u A u u A + ) (1 1 µ (7.49) Ατικαθιστώτας τη εξίσωση (7.46) στη (7.49) ο λόγος φυσικούαθρώπιου κεφαλαίου στη ισορροπία δίεται από τη σχέση: B A u 1 1 (7.50) Η εξίσωση (7.50) δηλώει ότι ο άριστος λόγος φυσικού-αθρωπίου κεφαλαίου στο υπόδειγμα με δύο τομείς παραγωγής κεφαλαίου είαι συάρτηση τω ελαστικοτήτω του φυσικού και του αθρώπιου κεφαλαίου στη συολική συάρτηση παραγωγής, του μεριδίου του αθρωπίου κεφαλαίου που χρησιμοποιείται στη παραγωγή, καθώς επίσης και του επιπέδου της τεχολογίας σε κάθε τομέα. Μπορεί τώρα α υπολογιστεί ο ρυθμός οικοομικής μεγέθυσης στη ισορροπία, ο οποίος δίεται στη Πρόταση 7.2.

21 Οικοομική Μεγέθυση: Θεωρία και Πολιτική 157 Πρόταση 7.2. Ο ρυθμός μεγέθυσης στο υπόδειγμα παραγωγής αθρωπίου κεφαλαίου με δύο τομείς παραγωγής δίεται από τη σχέση: Y 1 [ B ( ρ + δ )] Y θ Διαφορίζοτας τη εξίσωση (7.45) ως προς t και χρησιμοποιώτας τη εξίσωση (7.47) για α απαλειφθεί η σκιώδης τιμή, προκύπτει η γωστή έκφραση για το ρυθμό μεταβολής της καταάλωσης: C 1 A C θ u ( 1) ( ρ + δ ) (7.51) Τέλος, ατικαθιστώτας τη εξίσωση (7.50) στη παραπάω εξίσωση εξάγεται ο ρυθμός μεταβολής της καταάλωσης: C 1 [ B ( ρ + δ )] C θ (7.52) Στη ισορροπία, αφού ο λόγος φυσικού-αθρώπιου κεφαλαίου είαι σταθερός, όλες οι μεταβλητές μεταβάλλοται με το ίδιο σταθερό ρυθμό και C Y ισχύει. Όπως και στη περίπτωση του υποδείγματος με C Y έα τομέα παραγωγής, ο σταθερός ρυθμός μεγέθυσης της οικοομίας υποδηλώει ότι η δυατότητα παραγωγής έου αθρώπιου κεφαλαίου απεεργοποιεί τις φθίουσες αποδόσεις και οδηγεί σε εδογεή μεγέθυση της οικοομίας. Τέλος, πρέπει α σημειωθεί ότι ο ρυθμός μεγέθυσης της οικοομίας είαι αύξουσα συάρτηση της τεχολογικής σταθεράς Β στη συάρτηση παραγωγής αθρώπιου κεφαλαίου, που σημαίει ότι όσο πιο υψηλή τεχολογία έχει η οικοομία στη παραγωγή αθρώπιου κεφαλαίου, τόσο μεγαλύτερο ρυθμό οικοομικής μεγέθυσης είαι σε θέση α επιτύχει. Συμπεράσματα Τα υποδείγματα με εξωτερικές οικοομίες και αθρώπιο κεφάλαιο αποτελού μια πολύ σηματική κατηγορία στα υποδείγματα εδογεούς οικοομικής μεγέθυσης. Ο βασικός λόγος είαι ότι εσωματώου τη

22 158 Π. Καλαϊτζιδάκης Σ. Καλυβίτης ρεαλιστική υπόθεση ότι το ίδιο ατομικό απόθεμα κεφαλαίου και εργασίας μπορεί α είαι πιο παραγωγικό σε έα περιβάλλο με υψηλότερο συολικό απόθεμα φυσικού ή/και αθρώπιου κεφαλαίου. Με αυτό το τρόπο δημιουργούται οι συθήκες για εδογεή μεγέθυση, καθώς μια οικοομία που είαι ήδη ααπτυγμέη (δηλαδή διαθέτει υψηλό απόθεμα φυσικού και αθρώπιου κεφαλαίου) έχει ευοϊκότερες συθήκες για περαιτέρω αάπτυξη. Το συμπέρασμα αυτό αατρέπει τη βασικό αποτέλεσμα της υπόθεσης τω φθιουσώ αποδόσεω τω συτελεστώ παραγωγής, καθώς η οικοομία καταλήγει σε συεχή οικοομική μεγέθυση, χωρίς α είαι απαραίτητη η υπόθεση της εξωγεούς τεχολογικής προόδου. Το άλλο ουσιώδες χαρακτηριστικό αυτής της κατηγορίας υποδειγμάτω είαι η ααγκαιότητα για κρατική παρέμβαση, προκειμέου α επιτευχθεί το άριστο αποτέλεσμα για τη οικοομία. Η ισορροπία της αποκετρωμέης οικοομίας με αταγωιστικές επιχειρήσεις δε επιτυγχάει το μέγιστο ρυθμό οικοομικής μεγέθυσης, γιατί οι επιχειρήσεις δε ατιλαμβάοται ότι η συμπεριφορά τους με στόχο τη μεγιστοποίηση τω κερδώ έχει επιπτώσεις στα ατομικά κέρδη τους όχι μόο μέσω της επιλογής τω ιδιωτικώ συτελεστώ παραγωγής, αλλά επίσης μέσω του συολικού ύψους τω συτελεστώ παραγωγής, το οποίο είαι διαθέσιμο στη οικοομία. Σε έα τέτοιο πλαίσιο, το κράτος μπορεί α βοηθήσει στη επίτευξη του άριστου αποτελέσματος παρέχοτας κατάλληλα κίητρα για το σχηματισμό της απαιτούμεης ποσότητας συολικού φυσικού και αθρώπιου κεφαλαίου, ώστε ο παραγωγικός τομέας α εκμεταλλευτεί πλήρως τις δυατότητες τω παραγωγικώ συτελεστώ.

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδώ : Διοίκηση Επιχειρήσεω και Οργαισμώ Θεματική Εότητα : Δ.Ε.Ο. 3 Χρηματοοικοομική Διοίκηση Ακαδημαϊκό Έτος : 202-203 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Χρηματοδοτική Αάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Στοιχεία για τις Ξένες Γλώσσες στην Ελλάδα

Οικονομικά Στοιχεία για τις Ξένες Γλώσσες στην Ελλάδα Οικοομικά Στοιχεία για τις Ξέες Γλώσσες στη Ελλάδα Τα στοιχεία που παρατίθεται έχου ατληθεί αυτούσια από τη δημοσιευμέη Έκθεση του Κέτρου Αάπτυξης Εκπαιδευτικής Πολιτικής της ΓΣΕΕ με τίτλο «Τα Βασικά Μεγέθη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ρωτήσαμε 50 μαθητές μιας τάξης για το αριθμό τω αδελφώ τους Οι απατήσεις που πήραμε είαι: 0,,,,4,5 Α v, v, v, v4, v5, v 6 είαι οι ατίστοιχες συχότητες τους

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας.

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας. Συσέτιση δύο μεταβλητώ Συσέτιση δύο μεταβλητώ Θεωρούμε δύο τυαίες μεταβλητές X, Y και ζεύγη παρατηρήσεω,,,,...,, από τυαίο δείγμα μεγέθους. Ααφερόμαστε, δηλαδή, σε μη πειραματικά δεδομέα ο ερευητής δε

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτές ανακεφαλαιωτικές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις

Γραπτές ανακεφαλαιωτικές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις Γραπτές αακεφαλαιωτικές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις Δρ. Πααγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Για το υπολογισμό του βαθμού της ετήσιας επίδοσης τω

Διαβάστε περισσότερα

είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v,. Συχνότητα (απόλυτη) νi

είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v,. Συχνότητα (απόλυτη) νi ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός λέγεται έα σύολο που θέλουμε α εξετάσουμε τα στοιχεία του ως προς έα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους Μεταβλητές λέγοται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος Τι είαι εκτός ύλης. Σχολικό έτος 06-07 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής...9 Ε. Σύολα...3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ o: Πιθαότητες. Δειγματικός Χώρος - Εδεχόμεα...0. Έοια της Πιθαότητας...9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΕΚΤΑΣΕΙΣ ΤΟΥ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟΥ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΟΣ

ΕΠΕΚΤΑΣΕΙΣ ΤΟΥ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟΥ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΟΣ Κεφάλαιο 3 ΕΠΕΚΤΑΣΕΙΣ ΤΟΥ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟΥ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΟΣ Εισαγωγή Ένα από τα βασικά συμπεράσματα του απλού νεοκλασικού υποδείγματος οικονομικής μεγέθυνσης, που παρουσιάστηκε στο Κεφάλαιο, είναι ότι δεν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Τι οοµάζεται συάρτηση ; Είαι µια διαδικασία µε τη οποία κάθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συόλου Β.. Ποιες είαι οι κυριότερες γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

4. Δεσμευμένη Πιθανότητα - Ανεξαρτησία Ενδεχομένων

4. Δεσμευμένη Πιθανότητα - Ανεξαρτησία Ενδεχομένων Δεσμευμέη Πιθαότητα Αεξαρτησία Εδεχομέω 4 Δεσμευμέη Πιθαότητα - Αεξαρτησία Εδεχομέω 4 Γιατί δεσμευμέη πιθαότητα Το όημα της δεσμευμέης πιθαότητας Η πιθαότητα, ως έα μέτρο του βαθμού βεβαιότητας που έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

5.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C

5.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C 5 55 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C Εισαγωγή Η επίλυση τω εξισώσεω ου και 4ου βαθμού, η ααγκαστική επαφή με τους μιγαδικούς αριθμούς για τη έκφραση τω πραγματικώ ριζώ και η εξέλιξη του αλγεβρικού λογισμού

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R

2.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R Εισαγωγή Η επίλυση τω εξισώσεω ου και 4ου βαθμού, η ααγκαστική επαφή με τους μιγαδικούς αριθμούς για τη έκφραση τω πραγματικώ ριζώ και η εξέλιξη του αλγεβρικού

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στη Στατιστική

Ασκήσεις στη Στατιστική Σχολείο: ο ΓΕΛ Κοµοτηής Να συµπληρώσετε το παρακάτω πίακα: Ασκήσεις στη Στατιστική 5 0, 3 0 0 Σύολο F % F % Να συµπληρώσετε το παρακάτω πίακα: F % F % 0 0 0 0,5 30 0,0 0 6 50 Σύολο 3 Να συµπληρώσετε το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Τετάρτη, 3 Μα ου 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Α οι συαρτήσεις f, g είαι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ .Να συμπληρώσετε το παρακάτω πίακα. f N F f 0 0 F 0 0 8 0,4 0 5 4 0,9 5 0 Σύολο. Οι μαθητές του Γ για το μήα Νοέμβρη απουσίασα από το σχολείο τους έως τέσσερις μέρες σύμφωα με το παρακάτω πίακα. ) Να συμπληρωθεί

Διαβάστε περισσότερα

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41.

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α 4. Έστω Ω { ω, ω, ω, ω 4 } ο δειγµατικός χώρος εός πειράµατος τύχης και τα εδεχόµεα Α {ω, ω }, Β {ω, ω 4 } + Α είαι P(A B) και Ρ( Β Α ), όπου θετικός ακέραιος τότε + 4 Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Ε 1. Διαφορικός λογισμός (Κανόνες παραγώγισης)

Ε 1. Διαφορικός λογισμός (Κανόνες παραγώγισης) Ε Διαφορικός λογισμός Καόες παραγώγισης Σελίδα από Πότε μια συάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της ; Μια συάρτηση λέμε ότι είαι παραγωγίσιμη σ έα σημείο του πεδίου ορισμού της,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Υποδείγματα Ενδογενούς Οικονομικής Μεγέθυνσης. Εξωτερικότητες από τη Συσσώρευση Φυσικού Κεφαλαίου στην Αποδοτικότητα της Εργασίας

Υποδείγματα Ενδογενούς Οικονομικής Μεγέθυνσης. Εξωτερικότητες από τη Συσσώρευση Φυσικού Κεφαλαίου στην Αποδοτικότητα της Εργασίας Υποδείγματα Ενδογενούς Οικονομικής Μεγέθυνσης Εξωτερικότητες από τη Συσσώρευση Φυσικού Κεφαλαίου στην Αποδοτικότητα της Εργασίας Εκμάθηση από την Εμπειρία και Συσσώρευση Κεφαλαίου η τεχνολογική πρόοδος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης f ( ), για κάθε R. Α.. Α.. (

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΔΙΑΒΟΥΛΕΥΣΗΣ

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΔΙΑΒΟΥΛΕΥΣΗΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΔΙΑΒΟΥΛΕΥΣΗΣ Στο παρακάτω πίακα παρουσιάζοται ομαδοποιημέα τα σχόλια και οι παρατηρήσεις που υποβλήθηκα στο πλαίσιο της από 17.9.2010 δημόσιας αακοίωσης πρόσκλησης της ΡΑΕ για υποβολή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ 1ο Α. Aς υποθέσουµε ότι x 1,x,,x k είαι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά τα άτοµα εός δείγµατος µεγέθους, όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Aς υποθέσουµε ότι 1,,, k είαι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά Β.1. τα άτοµα εός δείγµατος µεγέθους,

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Στατιστική είαι ο κλάδος τω μαθηματικώ, ο οποίος ως έργο έχει τη συγκέτρωση στοιχείω, τη ταξιόμησή τους και τη παρουσίασή τους σε κατάλληλη μορφή, ώστε α μπορού

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 860). Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης

Διαβάστε περισσότερα

Χημική Ισορροπία. ν 1 A 1 + ν 2 A ν k A k = 0. i i

Χημική Ισορροπία. ν 1 A 1 + ν 2 A ν k A k = 0. i i Χημική Ισορροπία 1 A 1 + A +...+ k A k a 1 Εισαγωγή Η εφαρμογή μίας χημικής ατίδρασης για βιομηχαικούς σκοπούς προϋποθέτει τη απάτηση σε δύο βασικές ερωτήσεις: 1.Πόσο πολύ θα προχωρήσει η ατίδραση, εά

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Φορείς με λοξά στοιχεία

Κεφάλαιο 6 Φορείς με λοξά στοιχεία Κεφάλαιο 6 Φορείς με λοξά στοιχεία Σύοη Η άσκηση, που περιέχεται στο κεφάλαιο αυτό, αφορά στο υπολογισμό εός κιητού πλαισίου με κεκλιμέους (λοξούς) στύλους για τέσσερεις διαφορετικές φορτίσεις: εξωτερικά

Διαβάστε περισσότερα

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπού» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού Εισαγωγικά ηµήτρης Ι. Μπουάκης Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικώ Σε ορισµέα βιβλία Αριθµητικής, αλλά κυρίως Άλγεβρας Β Γυµασίου και Α

Διαβάστε περισσότερα

φ = 2ω = = 2 2(ν 2) + 4 = 2 + 4

φ = 2ω = = 2 2(ν 2) + 4 = 2 + 4 Γιατί οι μέλισσες κάου εξαγωικές τις κηρήθρες τους ; Χριστία Δασκαλάκη Α.Μ. 99 Ημερομηία παράδοσης 9-10-014 Θεωρούμε έα καοικό -γωο και σημειώουμε μια γωία του καθώς και τις γωίες του ισοσκελούς τριγώου

Διαβάστε περισσότερα

5. Περιγραφική Στατιστική

5. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 05) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πληθυσμός (ή στατιστικός πληθυσμός) Τυχαίο δείγμα και πραγματοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

5. Περιγραφική Στατιστική

5. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 05) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πληθυσμός (ή στατιστικός πληθυσμός) Τυχαίο δείγμα και πραγματοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ,

υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ, Προβλήματα Πιθαοτήτω Προβλήματα Πιθαοτήτω Από εξετάσεις που έγια σε 5000 ζώα μιας κτηοτροφικής μοάδας, διαπιστώθηκε ότι 000 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Α, 800 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Β εώ 00

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ

Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως είαι γωσό, η Μουσική είαι Μαθημαικά και (σο βάθος) υπάρχει, μία «αδιόραη αρμοία» μεαξύ αυώ ω δύο. Έα μουσικό έργο, διέπεαι από μαθημαικούς όμους, σε ό,ι αφορά ις σχέσεις

Διαβάστε περισσότερα

1. [0,+ , >0, ) 2. , >0, x ( )

1.  [0,+   ,      >0,   ) 2. ,    >0,  x   ( ) Σελίδα 1 από 5 ΝΙΟΣΤΕΣ ΡΙΖΕΣ ΤΑ ΣΥΜΒΟΛΑ α, α ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ του Ατώη Κυριακόπουλου 1 ΡΙΖΕΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R = [, ) Θεώρηµα και ορισµός οθέτος, εός πραγµατικού αριθµού α και εός φυσικού αριθµού >, υπάρχει έας

Διαβάστε περισσότερα

Υποδείγματα Συσσώρευσης Ανθρωπίνου Κεφαλαίου, Ιδεών και Καινοτομιών και Ενδογενούς Μεγέθυνσης

Υποδείγματα Συσσώρευσης Ανθρωπίνου Κεφαλαίου, Ιδεών και Καινοτομιών και Ενδογενούς Μεγέθυνσης Υποδείγματα Συσσώρευσης Ανθρωπίνου Κεφαλαίου, Ιδεών και Καινοτομιών και Ενδογενούς Μεγέθυνσης Εξωτερικότητες από τη Συσσώρευση Φυσικού Κεφαλαίου, Συσσώρευση Ανθρωπίνου Κεφαλαίου, και Παραγωγή Νέων Ιδεών

Διαβάστε περισσότερα

c f(x) = c f (x), για κάθε x R

c f(x) = c f (x), για κάθε x R ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2 Περιγραφική Στατιστική Όπως, ήδη έχουμε ααφέρει, στόχος της Περιγραφικής Στατιστικής είαι, «η αάπτυξη μεθόδω για τη συοπτική και τη αποτελεσματική παρουσίαση τω δεδομέω» Για το σκοπό αυτό, έχου ααπτυχθεί,

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχολογική Κατεύθυση Θεωρία - Μέθοδοι ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Μάθημα ο ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Η εξίσωση x δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ, αφού

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

(c f (x)) = c f (x), για κάθε x R

(c f (x)) = c f (x), για κάθε x R ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. Α η συάρτηση f είαι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία: Κυριακή 7 Απριλίου 0 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες Α.. Σχολικό βιβλίο Σελίδες

Διαβάστε περισσότερα

Τυπολόγιο Σχετική συχότητα: = = κ f,,..., Αθροιστική συχότητα: Ν = και Ν, 2... = Ν + = κ Αθροιστική σχετική συχότητα: Ν F = f και F = F + f, = 2,...,

Τυπολόγιο Σχετική συχότητα: = = κ f,,..., Αθροιστική συχότητα: Ν = και Ν, 2... = Ν + = κ Αθροιστική σχετική συχότητα: Ν F = f και F = F + f, = 2,..., Μετά το τέλος της µελέτης του 2ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει α γωρίζει: Τις βασικές έοιες της στατιστικής όπως πληθυσµός, δείγµα κ.λ.π. καθώς και τις κατηγορίες τω µεταβλητώ. Τους ορισµούς της απόλυτης,

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να γωρίζει τη έοια της ακολουθίας, τους τρόπους που ορίζεται, τις διαφορές της από μία συάρτηση. Να γωρίζει τους ορισμούς της αριθμητικής και γεωμετρικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΝΟΣΟΚΟΜΕΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ. ΕΚΘΕΣΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ (2016) B Παθολογική κλινική

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΝΟΣΟΚΟΜΕΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ. ΕΚΘΕΣΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ (2016) B Παθολογική κλινική B Παθολογική κλιική Σελίδα 1 από 12 Ημερομηία Συεδρίασης Αασκόπηση Περιόδου Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΠΡΟΣ ΣΥΖΗΤΗΣΗ ΘΕΜΑΤΑ Εισηγητής 1 Αασκόπηση του συστήματος διαχείρισης ποιότητας Κατσιώρα Ελέη 2 Λειτουργικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατιστική ανάλυση δεδομένων με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήνου Σπουδών του Τμήματος Βιοτεχνολογίας) Διδάσκων: Γιώργος Κ.

Μάθημα: Στατιστική ανάλυση δεδομένων με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήνου Σπουδών του Τμήματος Βιοτεχνολογίας) Διδάσκων: Γιώργος Κ. Μάθημα: Στατιστική αάλυση δεδομέω με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήου Σπουδώ του Τμήματος Βιοτεχολογίας) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω

Διαβάστε περισσότερα

Όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β.

Όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β. Βασικές έοιες και τύποι πιθαοτήτω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης (πεπερασμέος, απείρως αριθμήσιμος, συεχής) Εδεχόμεα Α, Β, (απλά, σύθετα) Βέβαιο εδεχόμεο Αδύατο

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή 49 43 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Εισαγωγή Στα Στοιχεία του Ευκλείδη, βιβλία VII, VIII και IX (περίπου 300 πχ), οι θετικοί ακέραιοι παριστάοται ως ευθύγραμμα τμήματα και η έοια της διαιρετότητας συδέεται άμεσα με τη

Διαβάστε περισσότερα

1. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών

1. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών Το σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ Γωρίζουμε ότι η εξίσωση δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ Για α ξεπεράσουμε αυτή τη αδυαμία «μεγαλώσαμε» το σύολο και δημιουργήσαμε το σύολο, έτσι, ώστε α έχει τις

Διαβάστε περισσότερα

2. Πιθανότητα και Δεσμευμένη Πιθανότητα

2. Πιθανότητα και Δεσμευμένη Πιθανότητα Μάθημα: Στατιστική (Κωδ 105) Διδάσκω: Γιώργος Κ Παπαδόπουλος 2 Πιθαότητα και Δεσμευμέη Πιθαότητα Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΧΟΛΙΑ : Είαι γωστό ότι για µια συεχή συάρτηση σε έα διάστηµα, το ολοκλήρωµα F ορίζει έα πραγµατικό αριθµό όπου o είαι έα οποιοδήποτε σηµείο του και α έα αυθαίρετο

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας ΘΕΜΑ Α. Παελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γεικης Παιδειας Θέµατα-Εδεικτικές Λύσεις Νικόλαος. Κατσίπης 17 Μαϊου 2010 Α1. Εστω t 1, t 2,..., t οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής X εός δείγµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΣ ΣΠΑΤΩΝ ΑΡΤΕΜΙΔΟΣ Σελίδα 1 από 5

ΔΗΜΟΣ ΣΠΑΤΩΝ ΑΡΤΕΜΙΔΟΣ Σελίδα 1 από 5 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΔΗΜΟΣ ΣΠΑΤΩΝ ΑΡΤΕΜΙΔΟΣ Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α Από τα πρακτικά της με αριθμό 30 ης Τακτικής Συεδρίασης της 24 ης Νοεμβρίου 2015 ΑΡΙΘΜ. ΑΠΟΦ. 319/2015 Π Ε Ρ Ι Λ Η Ψ Η Λήψη απόφασης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Αρχικά, με τη έοια στατιστική θεωρούσαμε τη απαρίθμηση και καταγραφή τω μετρήσεω. Οι παρατηρήσεις αυτές ή οι μετρήσεις ααφέροται σε συγκεκριμέο ατικείμεο ή γεγοός.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή Μέρος πέµπτο ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Εισαγωγή Στα προηγούµεα κεφάλαια είδαµε τις διάφορες µεθόδους συλλογής και επεξεργασίας του βιοµετρικού υλικού. Κάθε βιοµετρική επεξεργασία όµως έχει

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Παλινδρόμησης. Εργαστήριο. Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 252

Ανάλυση Παλινδρόμησης. Εργαστήριο. Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 252 Αάλυση Παλιδρόμησης Αάλυση Παλιδρόμησης Με τη αάλυση παλιδρόμησης (regresson analss) εξετάζουμε τη σχέση μεταξύ δύο ή περισσοτέρω μεταβλητώ με σκοπό τη πρόβλεψη τω τιμώ της μιας, μέσω τω τιμώ της άλλης

Διαβάστε περισσότερα

, θα παίρνουμε πάντα την ίδια τιμή για το Υ. Για παράδειγμα, Υ 12

, θα παίρνουμε πάντα την ίδια τιμή για το Υ. Για παράδειγμα, Υ 12 Αάλυση Παλιδρόμησης Αάλυση Παλιδρόμησης Με τη αάλυση παλιδρόμησης (regresson analss) εξετάζουμε τη σχέση μεταξύ δύο ή περισσοτέρω μεταβλητώ με σκοπό τη πρόβλεψη τω τιμώ της μιας, μέσω τω τιμώ της άλλης

Διαβάστε περισσότερα

lim f (x) = +. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μη πεπερασμένο όριο στο x 0 R

lim f (x) = +. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μη πεπερασμένο όριο στο x 0 R ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμέο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση - 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη Μαθηματικά Γεικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mpapagr 4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 95 ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΘΟΥΝ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Περιοδικό ΕΥΚΕΙΔΗ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 7) ΕΡΩΤΗΕΙ ΚΑΤΑΝΟΗΗ ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΗΨΗ ΤΗΝ ΥΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Α) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με () α είαι σωστές και με () α είαι λάθος, αιτιολογώτας

Διαβάστε περισσότερα

KENTΡΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΡΓΟ : ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Έντυπο. Παρακολούθησης/ Ενδιάμεσης Αξιολόγησης

KENTΡΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΡΓΟ : ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Έντυπο. Παρακολούθησης/ Ενδιάμεσης Αξιολόγησης KENTΡΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΡΓΟ : ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Έτυπο Παρακολούθησης/ Εδιάμεσης Αξιολόγησης του Σχεδίου Δράσης Αθήα, Δεκέμβριος 2011 1 Έτυπο Παρακολούθησης/

Διαβάστε περισσότερα

{[ 140,150 ),[ 160,170 ),...,[ 200, 210]

{[ 140,150 ),[ 160,170 ),...,[ 200, 210] Σημειώσεις στη Πληροφορική ΙΙΙ 1. Πείραμα τύχης και πιθαότητα Έα φυσικό φαιόμεο με χαρακτηριστικά που δε μπορούμε α τα προβλέψουμε, οομάζεται στοχαστικό ή τυχαίο. Για παράδειγμα το ύψος τω κυμάτω στη θάλασσα,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. μονάδα και ισχύει: i. ν ν. = ή ως ποσοστό % οπότε % = i fi

Στατιστική. μονάδα και ισχύει: i. ν ν. = ή ως ποσοστό % οπότε % = i fi Στατιστική "Υπάρχου τα μικρά ψέματα, τα μεγάλα ψέματα και οι στατιστικές" Μαρκ Τουαί Σε κάθε πρόβλημα της Στατιστικής υπάρχει έας «πληθυσμός» Ω τα στοιχεία του οποίου (άτομα) εξετάζοται ως προς έα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.2 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Σύμφωα με το ορισμό του R, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός δύο μιγαδικώ αριθμώ γίοται όπως ακριβώς και οι ατίστοιχες πράξεις με διώυμα α + βx στο, όπου βέβαια ατί για

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια:

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια: ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας Ασκήσεις για λύση. M. Παπαγρηγοράκης 1 11.

Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας Ασκήσεις για λύση. M. Παπαγρηγοράκης 1 11. Γ Λυκείου Μαθηματικά Γεικής Παιδείας 0-0 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη γ Μαθηματικά Γεικής Παιδείας.09 Ασκήσεις για λύση M. Παπαγρηγοράκης.09 Γ Λυκείου Μαθηματικά Γεικής Παιδείας Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. φυσικός αριθµός, που δείχνει πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή x i της µεταβλητής αυτής. Σ Λ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. φυσικός αριθµός, που δείχνει πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή x i της µεταβλητής αυτής. Σ Λ 2o Κεφάλαιο ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Το χρώµα κάθε αυτοκιήτου είαι ποιοτική µεταβλητή. Σ Λ 2. * Ο αριθµός τω αθρώπω που παρακολουθού µια συγκεκριµέη τηλεοπτική εκποµπή είαι διακριτή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 7 Μάθημα 8ο ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8 8 Το διωυμικό θεώρημα μπορεί α αποτελέσει τη βάση για τη απόδειξη

Διαβάστε περισσότερα

2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή

2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή Ο όρος Στατιστική εδεχομέως α προέρχεται από τη λατιική λέξη status (πολιτεία, κράτος) η οποία, χρησιμοποιήθηκε αρχικά για το χαρακτηρισμό αριθμητικώ δεδομέω που ααφέροται κυρίως στο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ. 1. Μέση τιµή x = Σταθµικός Μέσος x = 3. ιάµεσος (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε

2.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ. 1. Μέση τιµή x = Σταθµικός Μέσος x = 3. ιάµεσος (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε .3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μέση τιµή x = x = x = + + + t t... t = x + x +... + x + +... + x κ κ = f x κ t κ κ = κ κ x = κ x. Σταθµικός Μέσος x = xw + x w +... + x w w + w +... + w = x w w όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Παρατηρησιακή Αστροφυσική ως Επιστήµη

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Παρατηρησιακή Αστροφυσική ως Επιστήµη ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ.. Η Παρατηρησιακή Αστροφυσική ως Επιστήµη Η Παρατηρησιακή Αστροφυσική-Αστροοµία κατέχει µια ξεχωριστή θέση ως επιστήµη, γιατί, εκτός από λίγες εξαιρέσεις, ολόκληρη η γώση και οι πληροφορίες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις των πανελλαδικών εξετάσεων. Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις των πανελλαδικών εξετάσεων. Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς Μαθηματικά κατεύθυσης Γ Λυκείου Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις τω παελλαδικώ εξετάσεω Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς wwwaskisopolisgr Η θεωρία τω παελλαδικώ εξετάσεω [] [] Ορισμοί ) Πότε μια συάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΕΠ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ 03 Μαθηματικών

ΑΣΕΠ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ 03 Μαθηματικών ΑΣΕΠ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ 9 ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ 3 Μαθηματικώ Ερώτημα Ο Εισαγωγή ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΙΚΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ. Το συγκεκριμέο ερώτημα θα μπορούσε α έχει ισοδύαμα τη μορφή: «Να προτείετε σχέδιο μαθήματος,

Διαβάστε περισσότερα

c f(x) = c f (x), για κάθε x R

c f(x) = c f (x), για κάθε x R (http://edu.klmaka.gr) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 5 ο NΟΡΜΑ ΠΙΝΑΚΑ

Μάθηµα 5 ο NΟΡΜΑ ΠΙΝΑΚΑ Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα από 3 Μάθηµα 5 ο NΟΡΜΑ ΠΙΝΑΚΑ Για κάθε αριθµό, η -όρµα του διαύσµατος [ ] = συµβολίζεται και ισούται µε το θετικό αριθµό = = (5) Αποδεικύοται για τη -όρµα οι παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

xf(y) + yf(x) = (x + y)f(x)f(y)

xf(y) + yf(x) = (x + y)f(x)f(y) ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Επιμέλεια: Καρράς Ιωάης Μαθηματικός Φίλος μὲ δή, ὡς ἔοικε, τούτῳ τῷ λόγῳ ὁ ἀγαθὸς ἔσται, ἐχθρὸς δὲ ὁ ποηρός. gxkarras@gmail.com 1. Να βρεθού όλες οι συαρτήσεις f : R R για τις οποίες

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

δειγµατοληψία µέθοδοι συλλογής στοιχείων δίκτυο & ζωνικό σύστηµα βασικές έννοιες διαστήµατα εµπιστοσύνης

δειγµατοληψία µέθοδοι συλλογής στοιχείων δίκτυο & ζωνικό σύστηµα βασικές έννοιες διαστήµατα εµπιστοσύνης δειγµατοληψία µέθοδοι συλλογής στοιχείω δίκτυο & ζωικό σύστηµα ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Βασικές έοιες Μέθοδος ειγµατοληψία κατά στρώµατα: Χρησιµοποιείται υπάρχουσα ειγµατοληψίας πληροφορία για α χωρισθεί ο πληθυσµός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟ ΜΑΘΗΤΗ. Η διαίρεση στους φυσικούς αριθμούς

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟ ΜΑΘΗΤΗ. Η διαίρεση στους φυσικούς αριθμούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟ ΜΑΘΗΤΗ Η διαίρεση στους φυσικούς αριθμούς 12 Η διαίρεση στους φυσικούς αριθμούς 12 Διερεύηση 1. 1. Έας χώρος στάθμευσης έχει 21 σειρές, καθεμιά από τις οποίες έχει 8 θέσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει:

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται γεωµετρική πρόοδος, α και µόο α κάθε όρος της προκύπτει από το προηγούµεό του µε πολλαπλασιασµό επί το ίδιο πάτοτε µη µηδεικό αριθµό.. Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ & ΠΡΟΛΗΨΗΣ ΝΟΣΗΜΑΤΩΝ (ΚΕ.ΕΛ.Π.ΝΟ.) ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΥΓΕΙΑΣ & ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΛΛΗΛΕΓΓΥΗΣ. (Τμήμα Επιδημιολογικής Επιτήρησης και Παρέμβασης)

ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ & ΠΡΟΛΗΨΗΣ ΝΟΣΗΜΑΤΩΝ (ΚΕ.ΕΛ.Π.ΝΟ.) ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΥΓΕΙΑΣ & ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΛΛΗΛΕΓΓΥΗΣ. (Τμήμα Επιδημιολογικής Επιτήρησης και Παρέμβασης) ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ & ΠΡΟΛΗΨΗΣ ΝΟΣΗΜΑΤΩΝ (ΚΕ.ΕΛ.Π.ΝΟ.) ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΥΓΕΙΑΣ & ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΛΛΗΛΕΓΓΥΗΣ (Τμήμα Επιδημιολογικής Επιτήρησης και Παρέμβασης) ΕΠΙΔΗΜΙΟΛΟΓΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΦΥΜΑΤΙΩΣΗΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ, 2004-2010 Η

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ Παρουσίαση ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ Παρουσίαση.4 Μέτρα θέσης Στη συέχεια θα περιγράψουµε κάποια µέτρα, τα οοµαζόµεα µέτρα θέσης. Τα µέτρα θέσης µίας καταοµής, είαι κάποια αριθµητικά µεγέθη που δίου τη θέση του κέτρου

Διαβάστε περισσότερα

4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ. Εισαγωγή

4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ. Εισαγωγή 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Εισαγωγή Η Θεωρία Αριθμώ, δηλαδή η μελέτη τω ιδιοτήτω τω θετικώ ακεραίω, έθεσε από πολύ ωρίς τους μαθηματικούς μπροστά στο εξής πρόβλημα: Κάποια πρόταση αληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεων

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεων ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεω 1 Α. ΜΕΡΟΣ :ΘΕΩΡΙΑ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Γωρίζουμε ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση με αρητική διακρίουσα δε έχει λύση στο σύολο R τω πραγματικώ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση φασµάτων. σύζευξης πολύ µεγαλύτερη σε µέγεθος από τη χηµική µετατόπιση, δηλαδή ν / J <<

Ανάλυση φασµάτων. σύζευξης πολύ µεγαλύτερη σε µέγεθος από τη χηµική µετατόπιση, δηλαδή ν / J << Αάλυση φασµάτω Στα προηγούµεα µαθήµατα συζητήσαµε τη σύζευξη πρώτης τάξης και τη εφαρµογή του καόα Ν για τη αάλυσή τω ατιστοίχω φασµάτω πρώτης τάξης. Στα φάσµατα πρώτης τάξης η σύζευξη σπι-σπι είαι ασθεής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ

ΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Κεφάλαιο 5 ΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Εισαωή Η αυξημέη αησυχία τω σύχοω κοιωιώ ια τις καταστοφικές επιπτώσεις στη ποιότητα του πειβάλλοτος από τη ααία και άαχη αάπτυξη, που παατηείται τα τελευταία χόια,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 3 Αµφιάλη 4389-43

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στο άρθρο αυτό θα παρουσιάσουμε μια μικρή συλλογή ασκήσεω οι οποίες καλύπτου τις έοιες που μάθαμε στο κεφάλαιο της Στατιστικής. Σε

Διαβάστε περισσότερα

7. Βασικές Συνεχείς Κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

7. Βασικές Συνεχείς Κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα 7. Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα 7. Η Καοική Καταομή H καοική καταομή (normal dstrbuton) θεωρείται η σπουδαιότερη καταομή

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Α.. Α.. Α.. A.4. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω t 1,t 2,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν, που έχουν

ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω t 1,t 2,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν, που έχουν ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 7 MAΪΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατιστική ανάλυση δεδομένων με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήνου Σπουδών του Τμήματος Βιοτεχνολογίας) Διδάσκων: Γιώργος Κ.

Μάθημα: Στατιστική ανάλυση δεδομένων με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήνου Σπουδών του Τμήματος Βιοτεχνολογίας) Διδάσκων: Γιώργος Κ. Μάθημα: Στατιστική αάλυση δεδομέω με χρήση Η/Υ του 8 ου Εξαμήου Σπουδώ του Τμήματος Βιοτεχολογίας Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Γραμμική Συσχέτιση και Παλιδρόμηση Σύτομη αασκόπηση ασικώ εοιώ, προτάσεω

Διαβάστε περισσότερα