ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ"

Transcript

1 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΣΧΕΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Β. ΚΟΥΜΟΥΣΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ AΘΗΝΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 998

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΕΛ. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΒΕΛΤΙΣΤΟΥ ΣΧΕΙΑΣΜΟΥ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ.... ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΧΕΙΑΣΜΟΥ (design variabes..... Συνεχείς και ιακριτές μεταβλητές σχεδιασμού..... Όρια των μεταβλητών σχεδιασμού.... ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ..... Κανονικοποίηση των περιορισμών.... ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ (obective function....4 Εφαρμογή ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ... 5 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ιατύπωση προβλήματος με μορφή μητρώων... 8 Ανισοτικοί περιορισμοί... 8 Βασικές Λύσεις... Εφαρμογή.... Θεμελιώδες Θεώρημα του Γραμμικού Προγραμματισμού Μετάβαση από Βασική-Αποδεκτή λύση σε άλλη Κανονική Μορφή προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού Μέθοδος Simpe Εκφυλισμένες λύσεις....7 Μητρωική Μορφή της Μεθόδου Simpe....8 ιερεύνηση λύσεων του προβλήματος Μοναδική λύση Μη μοναδική λύση Απεριόριστη λύση Μη επιτρεπτή λύση Μέθοδοι Simpe δύο φάσεων... 4 Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών ΕΜΠ, Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής

3 . Αλγόριθμοι δύο φάσεων Ο ΥΪΣΜΟΣ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ Το Γενικό υικό Πρόβλημα Προσδιορισμός πρωτογενούς λύσης από δυϊκή λύση Λύση του πρωτογενούς προβλήματος με τη βοήθεια του δυϊκού πίνακα Επίλυση Προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού στον Υπολογιστή Χρήση του προγράμματος Ece της Microsoft Χρήση προγραμμάτων συμβολικού προγραμματισμού ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Γενικά Κάτω Όριο Οριακού Φορτίου Επιπέδου ικτυώματος Βέλτιστη χάραξη τένοντα προεντεταμένης δοκού... 6 ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕΣΩ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΙΑΙΚΑΣΙΑΣ ΥΠΑΡΞΗ ΚΑΙ ΜΟΝΑΙΚΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΗΣ ΛΥΣΗΣ Προβλήματα χωρίς περιορισμούς Προβλήματα με περιορισμούς Συνθήκες Kuhn-Tucker... 7 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Ανάπτυξη σε σειρές Tayor Αλγόριθμος άμεσων μεθόδων βελτιστοποίησης (direct methods Γραμμικοποίηση μη γραμμικών προβλημάτων βελτιστοποίησης ΜΕΘΟΟΣ ΙΑΟΧΙΚΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ (SLP Βασική ιδέα της μεθόδου Ο αλγόριθμος της μεθόδου SLP ΜΕΘΟΟΣ ΙΑΟΧΙΚΟΥ ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Υποπρόβλημα δευτεροβάθμιου προγραμματισμού (QP Λύση προβλημάτων δευτεροβάθμιου προγραμματισμού (QP ιατύπωση συνθηκών Kuhn-Tucker για το πρόβλημα QP Η μέθοδος simpe για την επίλυση του προβλήματος QP ΜΕΘΟΟΣ ΕΠΙΤΡΕΠΤΩΝ ΙΕΥΘΥΝΣΕΩΝ (MFD Γενική διατύπωση... 5 Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών ΕΜΠ, Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής

4 6.5. Επιλογή της διεύθυνσης αναζήτησης Επιλογή του βήματος α Προσέγγιση του προβλήματος κατά Zoutendik Παρατηρήσεις επί της μεθόδου μέγιστης κλίσεως Εισαγωγή Η μέθοδος μέγιστης κλίσεως Η μέθοδος συζυγών διευθύνσεων Η ΜΕΘΟΟΣ ΤΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΧΡΗΣΗ ΥΠΟΡΟΥΤΙΝΩΝ IMSL στην γλώσσα Fortran Επίλυση Προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού με βάση την αναθεωρημένη μέθοδο Simpe Επίλυση ευτοροβάθμιου προβλήματος με γραμμικούς περιορισμούς Ελαχιστοποίηση οποιασδήποτε αντικειμενικής συνάρτησης που υπόκειται σε γραμμικούς περιορισμούς Επίλυση γενικού μη γραμμικού προβλήματος (SQP αριθμητικές ευαισθησίες Επίλυση Γενικού μη γραμμικού προβλήματος (SQP αναλυτικές ευαισθησίες... 4 ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ Ανάλυση Ευαισθησίας Εφαρμογή Εφαρμογή Εφαρμογή Άσκηση ΣΥΖΥΓΗΣ ΜΕΘΟΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΩΝ Εφαρμογή Άμεση Μέθοδος Συζυγής Μέθοδος (adoint Method ΜΕΘΟΟΙ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ - Η ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΙΑΡΟΜΗ Εκτίμηση της κατάλληλης τιμής της παραμέτρου μ Επιλογή της παραμέτρου μήκους βήματος Αλγόριθμος Εσωτερικής διαδρομής Εξισώσεις Karush-Kuhn-Tucker KKT Κανονικές Εξισώσεις ΚΚΤ ευτεροβάθμιος Προγραμματισμός... 8 Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών ΕΜΠ, Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής 4

5 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΒΕΛΤΙΣΤΟΥ ΣΧΕΙΑΣΜΟΥ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο σχεδιασμός των κατασκευών πραγματοποιείται κατά φάσεις. Συνήθως η μελέτη ξεκινά με μία ή περισσότερες βασικές ιδέες που αποτελούν την προκαταρκτική μελέτη (conceptua design, οι οποίες στη συνέχεια υποβάλλονται στη δοκιμασία της συμμόρφωσης με τις λειτουργικές, αισθητικές κ.α απαιτήσεις της κατασκευής για να καταλήξει σε αυτό που συνήθως ονομάζουμε προμελέτη (preiminary design. Με βάση την προμελέτη καταρτίζεται στη συνέχεια η οριστική μελέτη (detaied design που περιλαμβάνει τις απαντήσεις για όλα τα επιμέρους θέματα που οριστικοποιούν την κατασκευή του σχεδιασμού. Οι φάσεις αυτές μελέτης ενός σύνθετου εν γένει αντικειμένου ή συνόλου αντικειμένων είναι αρκετά γενικές και μπορούν να εφαρμοστούν για τεχνικά έργα, έπιπλα, σκεύη ακόμη και έργα τέχνης. Το σύνολο των λειτουργικών, αισθητικών απαιτήσεων, ανθεκτικότητας κλπ. ποικίλουν από έργο σε έργο το οποίο σε τελική φάση παράγεται και διατίθεται με τον ένα ή άλλο τρόπο στην ευρύτερη αγορά όπου και αποτιμάται. Στην σημερινή εποχή δεν υπάρχει επεξεργασμένη θεωρία σχεδιασμού γενική ή εξειδικευμένη. ιάφορες προσπάθειες βρίσκονται σε εξέλιξη που στοχεύουν στην αποκωδικοποίηση του τρόπου σύλληψης των στοιχείων ενός έργου είτε αυτό αφορά ένα αρχιτεκτόνημα, είτε τον φέροντα οργανισμό μιας γέφυρας, είτε ένα γλυπτό. Ερωτήματα που απασχολούν τις έρευνες αυτές προσπαθούν να αναδείξουν το κατά πόσο η σύλληψη ενός έργου προκύπτει ως όλον ή συντίθεται από επιμέρους στοιχεία, ή αν το κυρίαρχο στοιχείο αποτελεί η δομή της σύνθεσης κλπ. Για τον μελετητή Πολιτικό Μηχανικό δομοστατικής κατεύθυνσης αντικείμενο δημιουργίας αποτελεί η μόρφωση του φέροντα οργανισμού μιας κατασκευής. Για κατασκευές με ιδιαίτερες λειτουργικές και αισθητικές απαιτήσεις, στις σημερινές συνθήκες άσκησης των τεχνικών επαγγελμάτων, χρειάζεται η συνεργασία αρχιτέκτονα και πολιτικού μηχανικού. Η συνεργασία αυτή θα πρέπει να δομείται με πρωτεύοντα το ρόλο του αρχιτέκτονα στις λειτουργικές και αισθητικές απαιτήσεις του δε πολιτικού μηχανικού στη μόρφωση και επάρκεια σχεδιασμού του Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών ΕΜΠ, Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής 5

6 φέροντα οργανισμού. Η δημιουργική συνεργασία αυτή πρέπει να υπάρχει σε όλες τις φάσεις και να είναι στενότερη κατά τις αρχικές φάσεις του σχεδιασμού. Ακόμη όμως και στη περίπτωση, που συχνά απαντάται, όπου ο αρχιτέκτονας έχει προβεί στην οριστικοποίηση της μορφής μιας κατασκευής, ο ρόλος του δομοστατικού πολιτικού μηχανικού είναι ακόμη πιο σύνθετος. Ακολουθώντας την κεντρική ιδέα του αρχιτεκτονήματος θα πρέπει να μορφώσει τον φέροντα οργανισμό κατά τρόπο που να διατάσσει τις αμυντικές δυνάμεις του κατά ορθολογικό τρόπο σύμφωνα με τις γενικές και ειδικότερες απαιτήσεις που καθορίζουν οι επιστημονικές και τεχνικές γνώσεις. Συχνά κατά την αναζήτηση αυτή προκύπτουν λύσεις σημαντικά καλύτερες που προσκρούουν όμως στις επιλογές της αρχιτεκτονικής λύσης. Προκύπτουν όμως και τα επιχειρήματα που συνηγορούν για κάποια μερική ή γενικότερη τροποποίηση-αναθεώρηση η οποία σε συνεργασία με τον αρχιτέκτονα οδηγεί τον σχεδιασμό σε καλύτερους δρόμους. Είναι σημαντικό να τονιστεί ότι με τα σημερινά δεδομένα διαχωρισμού των επαγγελματικών κατευθύνσεων η εκπαίδευση των αρχιτεκτόνων σωστά διακατέχεται από την τάση της συνθετικής δημιουργίας, ενώ για τους πολιτικούς μηχανικούς κυριαρχεί μια αναλυτική τάση στη προσπάθεια ενσωμάτωσης των θεωριών και μεθόδων των τελευταίων ετών με αποτέλεσμα την μηδαμινή εκπαίδευση τους σε συνθετικές προσπάθειες. Η χαρακτηριστική αυτή διαφορά των δύο τεχνικών ειδικοτήτων καθιστά στην πράξη δύσκολη τη συνεργασία που θα πρέπει να γεφυρωθεί με τον εμπλουτισμό της εκπαίδευσης των αρχιτεκτόνων και πολιτικών μηχανικών με στοιχεία επικάλυψης. Με την υποστήριξη της αναλυτικής δουλειάς του πολιτικού μηχανικού από τους υπολογιστές και τα προγράμματα που έχουν αναπτυχθεί το όλο θέμα έχει ισορροπίσει σε μία νέα κατάσταση. Τα προγράμματα που διατίθενται ακολουθούν τη λογική «δίδεται ο φορέας και η φόρτιση, να επιλυθεί και να διαστασιολογηθεί ο φορέας σύμφωνα με τους ισχύοντες κανονισμούς». Έτσι ο μηχανικός μορφώνει τον φέροντα οργανισμό και τον εισάγει στο πρόγραμμα ως δεδομένο. Στην περίπτωση αστοχίας μιας κατάστασης αντοχής ή λειτουργικότητας επεμβαίνει συνήθως τοπικά με την τροποποίηση των διαστάσεων των μελών που αστόχησαν ώστε σε νέα επίλυση να ικανοποιούνται όλοι οι έλεγχοι. Με δεδομένη την υπολογιστική ισχύ των Η/Υ που εξασφαλίζουν σε ελάχιστο χρόνο τη ανάλυση και διαστασιολόγηση ενός δεδομένου φορέα τίθεται το θέμα της δημιουργίας μιας νέας γενεάς προγραμμάτων που θα διευρύνουν τις δυνατότητες σχεδιασμού των κατασκευών προσφέροντας καλύτερες λύσεις σε σχέση με κάποια κριτήρια. Όπως λοιπόν με τη τρέχουσα διαδικασία ο μελετητής τροποποιεί τις διαστάσεις των μελών που αστόχησαν για να επαναλάβει ένα κύκλο ανάλυσης και διαστασιολόγησης μπορεί και ένας αλγόριθμος που εκτελείται από ένα πρόγραμμα να τροποποιεί αυτόματα τις διαστάσεις αυτές με κάποιο κανόνα ώστε να δημιουργείται το επόμενο βήμα στην επαναληπτική διαδικασία ανάλυσης και σχεδιασμού. Η κατεύθυνση των αλλαγών Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών ΕΜΠ, Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής 6

7 αυτών θα πρέπει να αφορά ένα σύνολο παραμέτρων οι οποίες να θεωρούνται ως μεταβλητές κατα την επαναληπτική αυτή διαδικασία. Το σύνολο των παραμέτρων ενός προβλήματος που θεωρούνται μεταβαλλόμενες για τις ανάγκες της επαναληπτικής διαδικασίας σχεδιασμού καλούνται μεταβλητές σχεδιασμού. Οι μεταβλητές αυτές μπορεί να ανοίκουν στους πραγματικούς αριθμούς οπότε καλούνται συνεχείς, μπορεί να είναι όμως ακέραιοι αριθμοί ή γενικότερες τιμές από ένα κατάλογο τιμών όπως για παράδειγμα οι πρότυπες διατομές των μεταλλικών στοιχείων οπότε καλούνται διακριτές μεταβλητές σχεδιασμού. Το εύρος διακύμανσης των μεταβλητών σχεδιασμού συνθέτουν το χώρο των λύσεων του προβλήματος που καλείται χώρος σχεδιασμού (design space. Μέσα στον χώρο αυτό υπάρχουν λύσεις που ικανοποιούν τους περιορισμούς του προβλήματος οπότε ορίζουν το υποσύνολο των αποδεκτών λύσεων (feasibe soutions. Όλες οι αποδεκτές λύσεις κατά μία γενική θεώρηση είναι και λύσεις του προβλήματος. Ενδέχεται όμως να ενδιαφερόμαστε για μία βαθμονόμηση των λύσεων ως προς κάποιο κριτήριο ή κριτήρια που διατυπώνονται μαθηματικά από μία αντικειμενική συνάρτηση (obective function, όπως για παράδειγμα τον σχεδιασμό ελάχιστου βάρους ή ελάχιστου κόστους για δεδομένες τιμές μονάδος των υλικών. Άν καθοριστεί ένα τέτοιο κριτήριο αμέσως οι λύσεις κατατάσσονται ως προς το κριτήριο αυτό που αποτελεί πλέον τον αντικειμενικό στόχο οπότε έχουμε μία ή περισσότερες αποδεκτές λύσεις που αποτελούν το βέλτιστο σχεδιασμό (optima design σε σχέση με την επιλεγμένη αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος. Μια τέτοια καθοδηγούμενη προσπάθεια συστηματικής παραμετρικής διερεύνησης ενός προβλήματος σχεδιασμού που είναι δυνατή με τα διαθέσιμα υπολογιστικά μέσα είναι και ο βέλτιστος σχεδιασμός των κατασκευών. Από την φύση του δεν μπορεί να λειτουργήσει ως θεωρία σχεδιασμού διότι υπολείπεται σημαντικά κυρίως στη φάση του προκαταρκτικού σχεδιασμού (conceptua design. Είναι βέλτιστος σε σχέση με κάποιο προκαθορισμένο κριτήριο ή κριτήρια, η δε διερεύνηση των λύσεων που προσφέρει περιορίζεται από την, εν πολλοίς, αυθαίρετη επιλογή των μεταβλητών σχεδιασμού και από το εύρος διακύμανσής τους. Έτσι η επιλογή των μεταβλητών σχεδιασμού αποκτά καθοριστική σημασία, ενώ επίσης η επιλογή της αντικειμενικής συνάρτησης επηρεάζει σημαντικά τον βέλτιστο σχεδιασμό. Η δυνατότητα αναγωγής του προβλήματος σε μαθηματικό πρόβλημα επίσης περιορίζει την διερεύνηση σε οντότητες που μπορούν να αποτιμηθούν μέσω μιας συνεχούς ή διακριτής μεταβλητής που δεν μπορούν να αποδώσουν για παράδειγμα την αισθητικά αρμονική σύνθεση κάποιων οντοτήτων. Οι μέθοδοι βελτιστοποίησης αναπτύχθηκαν αρχικά για οικονομικά συστήματα και επεκτάθηκαν στη διοίκηση επιχειρήσεων και διαχείριση διεργασιών (operations research. Στις κατασκευές βρίσκουν σημαντική εφαρμογή στην αυτοκινητοβιομηχανία και στην αεροπορική βιομηχανία. Στις εφαρμογές αυτές η βελτιστοποίηση από πλευράς κόστους για παράδειγμα ενός βραχίονα ανάρτησης ενός τροχού αυτοκινήτου που παράγεται σε εκατοντάδες χιλιάδες τεμάχια έχει Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών ΕΜΠ, Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής 7

8 σημαντική επίδραση στο κόστος εν γένει τυποποιημένων κατασκευών. Για τις κατασκευές πολιτικού μηχανικού συχνά διατυπώνεται ο αντίλογος ότι λόγω της έλλειψης της τυποποίησης αλλά κυρίως για παράδειγμα, του μικρού σχετικά κόστους του φέροντα οργανισμού (5%-5% του συνολικού κόστους ενός κτιριακού έργου, η αναζήτηση κάποιας βέλτιστης λύσης (ελάχιστο βάρος ή ελάχιστο κόστος στερείται αντικειμένου. Επιπλέον δε η εξοικείωση του πολιτικού μηχανικού με τέτοια εργαλεία τον απομακρύνει από την συνθετική αναζήτηση λύσεων που πληρούν ευρύτερα κριτήρια. Παρόλο που η κριτική αυτή εστιάζει σε υπαρκτά θέματα, θα αντέτεινε κανείς ότι η διερεύνηση με τον υπολογιστή εναλλακτικών λύσεων στη πορεία αναζήτησης της βέλτιστης λύσης με βάση κάποιο κριτήριο μπορεί να είναι χρήσιμη και προς όφελος ενός καλύτερου σχεδιασμού στην κατεύθυνση των επιλογών του μελετητή, χωρίς σε καμία περίπτωση να φιλοδοξεί να υποκαταστήσει τον δομοστατικό σχεδιασμό. Επιπλέον η διαδικασία του βέλτιστου σχεδιασμού μπορεί να τερματίζεται όχι μόνο στη βέλτιστη, από μαθηματικής πλευράς, λύση αλλά και άλλες «περίπου βέλτιστες αποδεκτές λύσεις» (near optima feasibe soutions. Με βάση τις μεταβλητές σχεδιασμού που μπορούν να επιλεγούν καθορίζονται τρείς μεγάλες ενότητες προβλημάτων βέλτιστου σχεδιασμού των κατασκευών. Η πρώτη ενότητα αφορά στη βέλτιστη διαστασιολόγηση με βάση κάποια αντικειμενική συνάρτηση, δηλ. την επιλογή των διατάσεων των διατομών των μελών ενός φορέα (sizing optimization. Μια δεύτερη ενότητα αφορά το σχήμα του φορέα, δηλ. τις συντεταγμένες που ορίζουν τους κόμβους ενός ραβδωτού ή επιφανειακού φορέα (shape optimization, και η τρίτη ενότητα αφορά την συνδεσμολογία ενός ραβδωτού φορέα, ή το κατά πόσο σε μία περιοχή ενός επιφανειακού φορέα θα τοποθετηθεί υλικό ή όχι (topoogy optimization. Συνήθως οι μεταβλητές σχεδιασμού ανήκουν στις δύο πρώτες κατηγορίες ενώ η βέλτιστη διάταξη της συνδεσμολογίας δηλ. ο τοπολογικός βέλτιστος σχεδιασμός είναι ο πλέον δυσχερής. Είναι επίσης φανερό ότι η βέλτιστη διάταξη του υλικού αποτελεί τη σημαντικότερη επιλογή σε σχέση με τη βέλτιστη διαστασιολόγηση και το βέλτιστο σχήμα της κατασκευής, προβλήματα στα οποία κυρίως δίδονται σήμερα απαντήσεις από την θεωρία του βέλτιστου σχεδιασμού. Ιδιαίτερη αναφορά θα πρέπει να γίνει με βάση την επιλογή της αντικειμενικής συνάρτησης των προβλημάτων βέλτιστου σχεδιασμού των κατασκευών. Παραδοσιακά το ελάχιστο βάρος ή το ελάχιστο κόστος χρησιμοποιούνται για το σκοπό αυτό. Συμπληρωματικά διατυπώνεται ως αντικειμενικός στόχος η μέγιστη δυσκαμψία ως προς κάποιες μετακινήσεις για δεδομένο όγκο υλικού. Είναι φανερό ότι ειδικότερα για τις κατασκευές πολιτικού μηχανικού η διερεύνηση εναλλακτικών αντικειμενικών συναρτήσεων που απορρέουν από σύγχρονες απαιτήσεις σχεδιασμού των κατασκευών αποκτά ιδιαίτερη σημασία. Για παράδειγμα η εξασφάλιση της όσο το Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών ΕΜΠ, Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής 8

9 δυνατόν καθυστερημένης κατάρρευσης ενός φορέα για δεδομένο όγκο υλικού μπορεί να έχει ιδιαίτερη σημασία για τον σχεδιασμό κατασκευών πολιτικού μηχανικού. Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών ΕΜΠ, Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής 9

10 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ο βέλτιστος σχεδιασμός των κατασκευών χρησιμοποιεί τις μαθηματικές θεωρίες και αλγορίθμους που αναπτύχθηκαν αρχικά σε προβλήματα διαχείρισης (operations research και σε οικονομικά προβλήματα.. ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΧΕΙΑΣΜΟΥ (design variabes Ένα πρόβλημα σχεδιασμού μιας κατασκευής περιλαμβάνει τον φορέα, την καταπόνηση και την συμπεριφορά του. Κάθε μία από τις ενότητες αυτές περιγράφεται με πλήθος παραμέτρων που καθορίζουν το υλικό και τις μηχανικές του ιδιότητες, την συνδεσμολογία των μελών του φορέα, την γεωμετρία του φορέα και τις διατομές των μελών του, τις φορτίσεις και τους συνδυασμούς φορτίσεων που ορίζουν οι σχετικοί κανονισμοί και τους ελέγχους αντοχής και λειτουργικότητας που εξασφαλίζουν την συμπεριφορά του. Αν από το σύνολο των παραμέτρων που ορίζουν το πρόβλημα επιλεγούν ορισμένες ως άγνωστες μεταβλητές που μπορούν να μεταβάλλονται εντός προκαθορισμένων ορίων είναι φανερό ότι ορίζεται μια πολυπαραμετρική οικογένεια κατασκευών που ορίζει τον χώρο των λύσεων του προβλήματος. Οι μεταβλητές αυτές καλούνται μεταβλητές σχεδιασμού του προβλήματος i, i,,..., n οι οποίες ορίζουν το διάνυσμα των μεταβλητών σχεδιασμού του προβλήματος. Ο καθορισμός των μεταβλητών σχεδιασμού αποτελεί το πρώτο βήμα της διατύπωσης του προβλήματος βέλτιστου σχεδιασμού. Οι μεταβλητές σχεδιασμού θα πρέπει να είναι κατά το δυνατόν ανεξάρτητες μεταξύ τους ώστε το πρόβλημα να μην περιπλέκεται άσκοπα χρησιμοποιώντας περιττές μεταβλητές οι οποίες εκ των υστέρων θα πρέπει να δεσμεύονται κατάλληλα ώστε να εξασφαλίζεται το φυσικό νόημα της περιγραφής του προβλήματος. Για παράδειγμα, αναζητώντας τις μεταβλητές σχεδιασμού μιας κοίλης κυκλικής διατομής, από τα τρία μεγέθη d, d t (εσωτερική, εξωτερική διάμετρος, πάχος διατομής, είναι φανερό όμως ότι in e, Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών ΕΜΠ, Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής

11 οι δύο είναι ανεξάρτητες και η τρίτη εξαρτημένη καθόσον π.χ. το πάχος t μπορεί να εκφραστεί συναρτήσει των διαμέτρων d, d e ως t. 5 ( d e d in in.. Συνεχείς και ιακριτές μεταβλητές σχεδιασμού Οι μεταβλητές σχεδιασμού διακρίνονται σε συνεχείς (continuous και διακριτές (discrete, ανάλογα με το πεδίων τιμών στο οποίο δύνανται να μεταβάλλονται. Αν π.χ η εξωτερική διάμετρος της κοίλης κυκλικής διατομής που αναφέρθηκε μπορεί να λαμβάνει τιμές στο διάστημα [, ]cm τότε χαρακτηρίζεται ως συνεχής. Αν όμως επιθυμούμε να επιλύσουμε το πρόβλημα και να χρησιμοποιήσουμε μία από τις πρότυπες διατομές του εμπορίου τότε η εξωτερική διάμετρος θα πρέπει να λαμβάνει διακριτές τιμές στο ίδιο ή άλλο διάστημα όπως αυτές ορίζονται από σχετικούς πίνακες. Στη περίπτωση αυτή η μεταβλητή σχεδιασμού χαρακτηρίζεται ως διακριτή. Αντίστοιχα αν κατά τον σχεδιασμό μιας μεταλλικής δοκού επιθυμούμε να χρησιμοποιήσουμε μια πρότυπη διατομή π.χ IPE,,..., 4 η σχετική μεταβλητή σχεδιασμού ανήκει στην κατηγορία των διακριτών μεταβλητών. Οι μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων με διακριτές μεταβλητές συχνά απαιτούν πρόσθετη υπολογιστική προσπάθεια και τη χρήση άλλων μεθόδων υπολογισμού της βέλτιστης λύσης για τις οποίες δεν ορίζονται παράγωγοι των εμπλεκόμενων συναρτήσεων. Συνήθως, το πρόβλημα λύνεται θεωρώντας συνεχείς μεταβλητές και στη συνέχεια επιλέγονται οι πλησιέστερες διακριτές τιμές από τους πίνακες και ο σχεδιασμός που προκύπτει ελέγχεται για το αν είναι εφικτός. Πάντως αποό μαθηματικής πλευράς δεν είναι πάντοτε βέβαιο ότι ο σχεδιασμός που προκύπτει είναι ο βέλτιστος. Στην πράξη πολλές φορές ορισμένες μεταβλητές του προβλήματος είναι συνεχείς και ορισμένες διακριτές οπότε το διάνυσμα των μεταβλητών σχεδιασμού είναι μικτό... Όρια των μεταβλητών σχεδιασμού Για την αποτελεσματική θεώρηση του προβλήματος οι μεταβλητές σχεδιασμού περιορίζονται εντός συγκεκριμένων ορίων εντός των οποίων ενδιαφερόμαστε για την βέλτιστη λύση. Η επιλογή των ορίων αυτών δεν είναι πάντοτε εύκολη και γίνεται σε συνδυασμό με την επιλογή των μεταβλητών σχεδιασμού κατά τρόπο που να εξασφαλίζεται το φυσικό τους νόημα. Για παράδειγμα αν για την κοίλη διατομή επιλεγούν η εξωτερική και εσωτερική διάμετρος ως συνεχείς μεταβλητές του προβλήματος και επιλεγούν για αυτές τα διαστήματα [, ]cm και [ 8, 8]cm για την εξωτερική και εσωτερική διάμετρο αντίστοιχα ενδέχεται κατά την διαδικασία βελτιστοποίησης να επιλεγεί τιμή της εσωτερικής διαμέτρου μεγαλύτερη αυτής της εξωτερικής οπότε η διατομή δεν ορίζεται και το εμβαδόν της διατομής προκύπτει αρνητικό. Έτσι ο καθορισμός των ορίων των Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών ΕΜΠ, Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής

12 μεταβλητών σχεδιασμού απαιτεί ιδιαίτερη προσοχή και μπορεί να οδηγεί και στην αναθεώρηση της επιλογής των ανεξάρτητων μεταβλητών σχεδιασμού όπως για παράδειγμα είναι προτιμότερη η επιλογή της εξωτερικής διαμέτρου και του πάχους ως ανεξάρτητων μεταβλητών και ο καθορισμός ορίων που διασφαλίζουν θετικό εμβαδόν για την διατομή.. ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ Εκτός από τα όρια μεταβολής των μεταβλητών σχεδιασμού, για την ορθή διατύπωση ενός προβλήματος βέλτιστου σχεδιασμού απαιτείται και η διατύπωση ενός συνόλου περιορισμών που θα εξασφαλίζει αποδεκτές λύσεις δηλ. λύσεις που θα ανταποκρίνονται στο περιγραφόμενο πρόβλημα. Οι περιορισμοί αυτοί εν γένει αποτελούν εκφράσεις μερικών ή και όλων των μεταβλητών σχεδιασμού του προβλήματος σε άμεση ή πεπλεγμένη μορφή. ιατυπώνονται με την μορφή ανισοτήτων ή ισοτήτων και αφορούν στον περιορισμό της περιγραφής του προβλήματος και στην οριοθέτηση της συμπεριφοράς του. Για παράδειγμα μπορεί να περιγράφουν τον περιορισμό του βέλους κάμψεως μίας αμφιέρειστης δοκού κοίλης κυκλικής διατομής με ομοιόμορφο φορτίο στο μέσον της ώστε να ικανοποιείται ο σχετικός έλεγχος λειτουργικότητας. 4 5 q δ.m (. 84 EI( d, t e όπου οι μεταβλητές σχεδιασμού εμφανίζονται άμεσα στη ροπή αδρανείας της διατομής. Οι περιορισμοί διακρίνονται σε περιορισμούς ισότητας (equaity constraints και ανισοτικούς περιορισμούς (inequaity contraints. Οι περιορισμοί ανισότητας συνήθως αφορούν τις παραμορφώσεις και τις αναπτυσσόμενες τάσεις που δεν πρέπει να ξεπερνούν τις επιτρεπόμενες τιμές δ δ και σ σ. Σε ένα ( επ ( επ υπερστατικό φορέα οι τάσεις εν γένει εξαρτώνται από τα αδρανειακά χαρακτηριστικά των μελών του φορέα οπότε οι περιορισμοί των τάσεων αποτελούν πεπλεγμένες εκφράσεις των μεταβλητών σχεδιασμού που ανάλογα με την μέθοδο ανάλυσης ενδέχεται να εκφράζονται αναλυτικά συναρτήσει των μεταβλητών σχεδιασμού ή και όχι γεγονός που περιπλέκει το πρόβλημα όπως θα δούμε σε επόμενα κεφάλαια. Το σύνολο των περιορισμών του προβλήματος θα πρέπει να ικανοποιείται ώστε ο σχεδιασμός να θεωρείται επιτρεπτός. Το σύνολο των ανισοτικών περιορισμών που ικανοποιείται ως ισότητα για συγκεκριμένες τιμές των μεταβλητών σχεδιασμού αποτελεί το σύνολο των ενεργών περιορισμών (active constraints για τον συγκεκριμένο σχεδιασμό. Είναι φανερό ότι ενδέχεται να μην υπάρχει σχεδιασμός για τον οποίο όλοι οι ανισοτικοί περιορισμοί να είναι ενεργοί. Όπως επίσης το σύνολο Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών ΕΜΠ, Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής

13 των περιορισμών που καθορίζουμε για ένα πρόβλημα άθελά μας να ορίζει ένα κενό χώρο λύσεων για το πρόβλημα... Κανονικοποίηση των περιορισμών Για τη σωστή εφαρμογή των μεθόδων επίλυσης των προβλημάτων βέλτιστου σχεδιασμού, είναι επιθυμητό να κανονικοποιούνται όλες οι συναρτήσεις που εκφράζουν τους περιορισμούς. Αυτό γίνεται διότι διαφορετικοί περιορισμοί εμπλέκουν μεγέθη με διαφορετικές μονάδες μέτρησης, οπότε δεν μπορούν να αντιμετωπισθούν αριθμητικά κατά ισοδύναμο τρόπο με αποτέλεσμα την συσσώρευση λαθών στρογγύλευσης και αποπροσανατολισμό των αλγορίθμων. Ας θεωρήσουμε έναν περιορισμό τάσεων σ σ α σ σ α και έναν περιορισμό μετακινήσεων δ δ α δ δ α Παρατηρούμε ότι οι δυο περιορισμοί εμπλέκουν διαφορετικά μεγέθη, την τάση με μονάδες π.χ Ν/m και την μετακίνηση με μονάδες cm. Αν θεωρήσουμε σ α 5MPα και δ α cm, γίνεται φανερό ότι οι περιορισμοί αναφέρονται σε διαφορετικές τάξεις μεγέθους. Η κανονικοποίηση γίνεται διαιρώντας τους περιορισμούς με τις αντίστοιχες επιτρεπόμενες τιμές. Έτσι προκύπτουν: οι δε λόγοι R., όπου Rσ/σ α ή Rδ/δ α R βλάπτεται η γενικότητα. είναι συγκρίσιμοι με την μονάδα και το δεύτερο μέλος πάντοτε μηδέν χωρίς να. ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ (obective function Όλες οι λύσεις στο χώρο των λύσεων ορίζουν επιτρεπτούς σχεδιασμούς δηλ. σχεδιασμούς που ικανοποιούν τους περιορισμούς του προβλήματος. Για να καθοριστεί μεταξύ αυτών ο βέλτιστος σχεδιασμός απαιτείται ένα κριτήριο το οποίο να τους ιεραρχήσει. Το κριτήριο αυτό καλείται αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος (obective function. Συνήθως ως αντικειμενική συνάρτηση στα προβλήματα βέλτιστου σχεδιασμού των κατασκευών χρησιμοποιείται το ελάχιστο βάρος της κατασκευής. Για το παράδειγμα της κοίλης διατομής το βάρος της δοκού είναι συνάρτηση της εξωτερικής διαμέτρου D και του πάχους t που αποτελούν και τις μεταβλητές σχεδιασμού του προβλήματος: Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών ΕΜΠ, Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής

14 m ρ. h. A ρ. h. πt( D t (h: μήκος της δοκού, ρ: ειδικό βάρος ηλαδή, η αντικειμενική συνάρτηση εξαρτάται από τις μεταβλητές σχεδιασμού του προβλήματος. Για κάθε σχεδιασμό, που προκύπτει θέτοντας αριθμητικές τιμές στις μεταβλητές σχεδιασμού, παίρνουνε μια συγκεκριμένη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Έτσι, είναι εύκολο να συγκρίνουμε διάφορους πιθανούς σχεδιασμούς, έχοντας ως κριτήριο την αντικειμενική συνάρτηση: ο βέλτιστος σχεδιασμός είναι εκείνος που ελαχιστοποιεί την τιμή της συνάρτησης..4 Εφαρμογή Για να γίνουν κατανοητές οι έννοιες που ορίστηκαν ως τώρα, θα θεωρήσουμε το παράδειγμα ενός πακτωμένου υποστυλώματος κοίλης διατομής μιας μεταλλικής κατασκευής, το οποίο έχει ύψος h και καταπονείται από το αξονικό φορτίο P. Το ζητούμενο είναι ο σχεδιασμός (διαστασιολόγηση ενός στύλου ελαχίστου βάρους χωρίς τον κίνδυνο αστοχίας σε θλίψη ή λυγισμό θεωρούμενου ως δοκού. α Μεταβλητές σχεδιασμού: Η επιλογή των μεταβλητών σχεδιασμού δεν είναι μονοσήμαντη, αλλά μπορούμε να επιλέξουμε ως μεταβλητές την εξωτερική διάμετρο D και το πάχος t. β Αντικειμενική συνάρτηση : Είναι η συνολική μάζα του στύλου. m ρ. h. A ρ. h. πt( D t (ρ: ειδικό βάρος γ Περιορισμοί i έλεγχος θλίψης : Πρέπει σ σ επ P A σ P πt( D t επ σ επ ii έλεγχος λυγισμού : Πρέπει P P cr (P cr : κρίσιμο φορτίο λυγισμού P π EI 4 P π E 56 ( D 4 ( D t όπου, η ροπή αδρανείας τέθηκε I π ( D ( D t 64 Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών ΕΜΠ, Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής 4

15 iii κατασκευαστικές απαιτήσεις : Η διάμετρος και το πάχος θα πρέπει να βρίσκονται μεταξύ συγκεκριμένων ορίων. D D και t t tma min D ma min P t h D Πακτωμένος Στύλος κοίλης διατομής.5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ Γενικά το πρόβλημα βέλτιστου σχεδιασμού διατυπώνεται μαθηματικά ως εξής: T Να βρεθεί το διάνυσμα των μεταβλητών σχεδιασμού (,..., ελαχιστοποιείται η αντικειμενική συνάρτηση f,,..., ( f ( n για το οποίο, n και ικανοποιούνται κ περιορισμοί ισότητας h (,,...,,,,..., κ h n και οι m περιορισμοί ανισότητας (,,...,, i,, m gi n..., καθώς και οι περιορισμοί των μεταβλητών σχεδιασμού Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών ΕΜΠ, Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής 5

16 u r r, r,,..., n r u όπου, το κάτω και άνω όριο των τιμών των μεταβλητών σχεδιασμού αντίστοιχα. r r Όλα τα προβλήματα βέλτιστου σχεδιασμού μπορούν να αναχθούν στο παραπάνω μαθηματικό πρόβλημα, και άρα μπορούν να χρησιμοποιηθούν όλες οι μέθοδοι επίλυσης που έχουν αναπτυχθεί στη θεωρία της βελτιστοποίησης γιαυτό. Ο αριθμός των περιορισμών ισότητας πρέπει να είναι μικρότερος ή το πολύ ίσος με τον αριθμό των μεταβλητών σχεδιασμού, δηλ. k n. Όταν είναι κ>n, το πρόβλημα έχει πλεονάζοντες περιορισμούς ισότητας και δεν υπάρχει λύση. Μερικά προβλήματα βέλτιστου σχεδιασμού δεν έχουν καθόλου περιορισμούς, και ονομάζονται προβλήματα βελτιστοποίησης χωρίς περιορισμούς (unconstrained optimization probems, αντίθετα με τα προβλήματα βελτιστοποίησης με περιορισμούς (constrained optimization probems. Αν οι f(, h (, g i ( είναι γραμμικές συναρτήσεις των μεταβλητών σχεδιασμού, τότε το πρόβλημα ονομάζεται πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού (inear programming probem. Αν κάποια από τις συναρτήσεις είναι μη γραμμική τότε έχουμε ένα πρόβλημα μη γραμμικού προγραμματισμού (noninear programming probem. Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών ΕΜΠ, Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής 6

17 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Πολλά προβλήματα βέλτιστου σχεδιασμού κατασκευών ανάγονται στην ελαχιστοποίηση μιας γραμμικής συνάρτησης των μεταβλητών σχεδιασμού που υπόκεινται σε ένα πλήθος γραμμικών περιορισμών ως προς τις ίδιες μεταβλητές. Ένα πρόβλημα βέλτιστου σχεδιασμού του οποίου η αντικειμενική συνάρτηση και οι περιορισμοί είναι γραμμικές συναρτήσεις των μεταβλητών σχεδιασμού, ονομάζεται πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού (inear programming probem. Το πρόβλημα του γραμμικού προγραμματισμού κατέχει κεφαλαιώδη θέση στη θεωρία βελτιστοποίησης ενώ βρίσκει πολλές εφαρμογές σε διάφορες επιστημονικές περιοχές. Η ανάλυση του γραμμικού προγραμματισμού είναι σημαντική για δύο επιπλέον λόγους. Ο πρώτος είναι ότι συχνά ένα μη γραμμικό πρόβλημα βελτιστοποίησης μετατρέπεται σε μία ακολουθία προσεγγιστικών γραμμικών προβλημάτων και δεύτερον, οι τεχνικές που αναπτύχθηκαν για την επίλυση του γραμμικού προβλήματος επεκτείνονται και στην επίλυση πιο σύνθετων μη γραμμικών προβλημάτων.. ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Η τυπική μορφή του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού ορίζεται ως εξής: Ελαχιστοποιήστε τη συνάρτηση: c c c n n Που υπόκειται στους περιορισμούς: α α m α α α m α n α n α α mn n n b n b b m (. Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών ΕΜΠ, Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής 7

18 Και,,...,, n Όπου οι συντελεστές α, b, c είναι δεδομένοι πραγματικοί αριθμοί και ζητούνται οι τιμές των i i i μεταβλητών συνάρτηση. i στο πεδίο των πραγματικών αριθμών που ελαχιστοποιούν την δεδομένη.. ιατύπωση προβλήματος με μορφή μητρώων Σε μητρωική μορφή το παραπάνω πρόβλημα γράφεται: Ελαχιστοποιήστε: c T (. Που υπόκειται στους περιορισμούς: A b και, T Όπου είναι ένα διάνυσμα n - διαστάσεων, c μια γραμμή n - διαστάσεων, A ένα ορθογωνικό μητρώο διαστάσεων m n, και b ένα διάνυσμα m - διαστάσεων. Στην παραπάνω τυπική μορφή του προβλήματος ανάγονται και άλλες μεγάλες κατηγορίες προβλημάτων με κατάλληλες προσαρμογές. Ανισοτικοί περιορισμοί Για το παρακάτω πρόβλημα και ζητείται η αναγωγή του σε τυπικό πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού. Ελαχιστοποιήστε τη συνάρτηση: c c c n n Που υπόκειται στους περιορισμούς: α α α m α α α m α α n n α mn n n b b n b m (. και,,...,, n Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών ΕΜΠ, Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής 8

19 το πρόβλημα με ανισοτικούς περιορισμούς μικρότερους ορισμένων τιμών μπορεί να αναχθεί στο τυπικό πρόβλημα με την εισαγωγή m πρόσθετων μεταβλητών ελλειμμάτων (sack variabes που καθιστούν τις ανισότητες ισότητες, δηλαδή το πρόβλημα μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Ελαχιστοποιήστε τη συνάρτηση: c c c n n Που υπόκειται στους περιορισμούς: α α α m α α α m α α n n α mn n n y n y y m b b b m (.4 και,,...,, n και y, y,..., y, m Θεωρώντας ότι το πρόβλημα στην παραπάνω μορφή του έχει n m αγνώστους δηλ.,,..., n, y, y y m,...,, διατυπώνεται στην τυπική μορφή ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού. Σε μητρωική μορφή το μητρώο Α των συντελεστών των περιορισμών, διαστάσεων διαχωρίζεται σε [ I ] m ( n m μοναδιαίο μητρώο διαστάσεων m m. A, όπου το Α είναι διαστάσεων m n και Ι το Στη περίπτωση που ορισμένοι ανισοτικοί περιορισμοί είναι της μορφής: α i α i α in n bi (.5 είναι φανερό ότι μπορούν να διατυπωθούν κατά ισοδύναμο τρόπο ως εξής: α i α i α in n yi bi (.6 όπου y i. Οι πρόσθετες μεταβλητές που ορίζονται σ'αυτή την περίπτωση καλούνται πλεονάσματα (surpus variabes τα οποία αφαιρούμενα αποκαθιστούν την ισότητα στον περιορισμό. Επίσης πολλαπλασιασμός ενός περιορισμού με πλην ένα (- ισοδυναμεί με μεταλλαγή των ελλειμματικών μεταβλητών σε πλεονασματικές μεταβλητές και αντίστροφα, γεγονός που επιτρέπει Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών ΕΜΠ, Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής 9

20 πάντοτε την αναγωγή του προβλήματος στην τυπική μορφή του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού. Στην περίπτωση που μια μεταβλητή δεν είναι θετική ή μηδέν (μη-αρνητική ο πλέον πρόσφορος τρόπος αναγωγής του προβλήματος στην τυπική μορφή είναι η απαλοιφή της μεταβλητής και ενός περιορισμού που την περιλαμβάνει, δηλ. αν για παράδειγμα η μεταβλητή χρησιμοποιώντας έναν περιορισμό είναι ελεύθερη τότε α i α i α b (.7 in n i όπου α i, η μεταβλητή μπορεί να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων συν κάποια σταθερά.. Η έκφραση αυτή αν χρησιμοποιηθεί για την αντικατάσταση της μεταβλητής σε όλους τους περιορισμούς οδηγεί στη διατύπωση ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού ως προς τις n μεταβλητές δηλ.,..., και n m περιορισμούς. Η τιμή της μεταβλητής προσδιορίζεται από την παραπάνω έκφραση μετά την επίλυση του μειωμένου προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού. Βασικές Λύσεις Ας θεωρήσουμε το σύστημα των ισοτήτων: [ ]{} {} b A (.8 όπου είναι ένα διάνυσμα n -διαστάσεων, b ένα διάνυσμα m -διαστάσεων και A ένα μητρώο διαστάσεων m n. Το παραπάνω σύστημα έχει νόημα στην περίπτωση που οι μεταβλητές είναι περισσότερες από τους περιορισμούς δηλ. των μεταβλητών, ενώ για την περίπτωση αλγεβρικών εξισώσεων με n > m. Τότε υπάρχει η δυνατότητα επιλογής μεταξύ n m μιλάμε για την επίλυση του συστήματος των αγνώστους, από τη λύση του οποίου προκύπτουν οι τιμές των i, i, n οι οποίες αφού αντικατασταθούν στην συνάρτηση δίνουν τη μοναδική τιμή της συναρτήσεως προς ελαχιστοποίηση. Όλα αυτά έχουν βεβαίως νόημα για την περίπτωση όπου οι m εξισώσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες μεταξύ τους. n Αν από τις n στήλες του μητρώου Α επιλεγούν m ανεξάρτητες στήλες τότε μορφώνεται ένα τετραγωνικό μητρώο διαστάσεων m m το οποίο καλείται βάση [ B ]. Από τη λύση του συστήματος [ ]{ } { b} B B (.9 n Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών ΕΜΠ, Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής

21 προκύπτει το διάνυσμα B διαστάσεων m. Θέτοντας ( B, υπόλοιπες μεταβλητές ως μηδενικές ορίζουμε μία λύση του προβλήματος [ ]{} {} b, δηλ. συμπληρώνοντας τις A (. Μια τέτοια λύση ονομάζεται βασική λύση (basic soution που αντιστοιχεί στο αντιστρέψιμο μητρώο Β. Οι μεταβλητές που συμμετέχουν στη βάση Β καλούνται βασικές μεταβλητές. Είναι φανερό ότι για ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού με n μεταβλητές και m περιορισμούς είναι δυνατή η μόρφωση ενός πλήθους από βασικές λύσεις που αντιστοιχούν στους συνδυασμούς των m στηλών από n στήλες, δηλ: n m n! m!( n m! (. Όλες οι βασικές μεταβλητές μίας βασικής λύσης δεν είναι κατ ανάγκη μη-μηδενικές. Αν μία ή περισσότερες βασικές μεταβλητές μιας βασικής λύσης είναι μηδέν τότε η λύση αναφέρεται ως εκφυλισμένη βασική λύση (degenerate basic soution. Οι λύσεις του τυπικού προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού θα πρέπει επίσης να είναι μεγαλύτερες-ίσες του μηδενός. Μία λύση του συστήματος (9 αναφέρεται ως αποδεκτή λύση (feasibe soution. Αν η λύση είναι επίσης βασική λύση τότε αναφέρεται ως βασική αποδεκτή λύση (basic feasibe soution Εφαρμογή Ζητείται να βρεθούν οι τιμές των μεταβλητών σχεδιασμού και για τις οποίες ελαχιστοποιείται η αντικειμενική συνάρτηση: f 4 6 σύμφωνα με τους περιορισμούς: , Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών ΕΜΠ, Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής

22 Λύση Η γραφική λύση του προβλήματος δίνεται στο σχήμα, όπου έχουν σχεδιαστεί όλοι οι περιορισμοί και οι ισοϋψείς της αντικειμενικής συνάρτησης. Η επιτρεπτή περιοχή των λύσεων του προβλήματος περικλείεται από το πολύγωνο ABCDE και όπως είναι φανερό η κορυφή D δίνει τη βέλτιστη λύση. Σχήμα. Γραφική επίλυση προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού Για να μετατρέψουμε το πρόβλημα στην τυπική μορφή προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού εισάγουμε τις βοηθητικές μεταβλητές σχεδιασμού, 4, 5. Έτσι, οι περιορισμοί ανισότητας μετασχηματίζονται σε περιορισμούς ισότητας i έως 5 i Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών ΕΜΠ, Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής

23 Παρατηρούμε ότι ο αριθμός των μεταβλητών σχεδιασμού (n5 είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των περιορισμών (m. Έτσι, το σύστημα των περιορισμών έχει άπειρες λύσεις. Αυτό φαίνεται μεταφέροντας τις μεταβλητές, στα δεύτερα μέλη των περιορισμών: Στις εξισώσεις αυτές, οι μεταβλητές και είναι ανεξάρτητες, και έτσι ορίζουν μια απειρία λύσεων για τις, και 4 5. Η λύση που έχει ενδιαφέρον για τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού προκύπτει θέτοντας p μεταβλητές σχεδιασμού ίσες με το μηδέν και υπολογίζοντας τις υπόλοιπες, όπου p είναι η διαφορά του αριθμού των μεταβλητών (n και του αριθμού των περιορισμών (m, δηλαδή pn-m (στο συγκεκριμένο παράδειγμα: p5-. Έτσι, προκύπτει μοναδική λύση για τις υπόλοιπες μεταβλητές. Η λύση αυτή ονομάζεται βασική λύση (basic soution. Για παράδειγμα, αν θέσουμε και θα προκύψουν 6, 4, 5. Οι μεταβλητές που τίθενται ίσες με το μηδέν καλούνται μη βασικές, ενώ οι υπόλοιπες βασικές. Συνολικά, υπάρχουν βασικές λύσεις (συνδυασμός των 5 μεταβλητών ανά δύο, οι οποίες φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Nο. 4 5 F 6 (Α Αποδεκτή 4 5/ -84 (Ε Αποδεκτή 6 -/7 / - Μη αποδεκτή /7 - Μη αποδεκτή 5 6 /7 -/7 - Μη αποδεκτή 6 4 ½ -56 (Β Αποδεκτή Μη αποδεκτή Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών ΕΜΠ, Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής

24 Nο. 4 5 F 8 4 /4-88 (D Αποδεκτή 9, 48 /5-76 (C Αποδεκτή /7 68/7-6/7 - Μη αποδεκτή Από τις λύσεις του συγκεκριμένου προβλήματος, οι 5 παραβιάζουν τους περιορισμούς i. Οι υπόλοιπες λύσεις είναι αποδεκτές και όπως παρατηρούμε, αντιστοιχούν στις κορυφές του πολυγώνου που περικλείει την αποδεκτή περιοχή ABCDE. Οι λύσεις αυτές ονομάζονται βασικές αποδεκτές λύσεις (basic feasibe soutions. Τέλος, μετακινούμενοι προς τη διεύθυνση μείωσης των ισοϋψών της αντικειμενικής συνάρτησης, φαίνεται ότι η βέλτιστη λύση εμφανίζεται στην κορυφή D του πολυγώνου.. Θεμελιώδες Θεώρημα του Γραμμικού Προγραμματισμού Το θεμελιώδες θεώρημα του γραμμικού προγραμματισμού αναδεικνύει την πρωταρχική σημασία των βασικών αποδεκτών λύσεων για την εύρεση της βέλτιστης λύσης του τυπικού προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού. Το θεώρημα αποδεικνύει ότι η βέλτιστη λύση είναι πάντοτε μια βασική αποδεκτή λύση και άρα κατά την αναζήτηση της βέλτιστης λύσης απαιτείται μόνο η θεώρηση των βασικών αποδεκτών λύσεων. Το θεώρημα αναδεικνύει επίσης το τυπικό πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού ως πρόβλημα συνδυαστικής βελτιστοποίησης (combinatoria optimization αφού ανάγει το πρόβλημα της εύρεσης της βέλτιστης λύσης μεταξύ ενός πεπερασμένου συνόλου βασικών αποδεκτών λύσεων. Η προσπάθεια όμως ανάπτυξης ενός αλγορίθμου που διερευνά τις βασικές αποδεκτές λύσεις και προσδιορίζει την βέλτιστη λύση είναι υπολογιστικά δαπανηρή ιδίως για μεγάλα προβλήματα. Επιπλέον η τυχαία εναλλαγή των βάσεων δεν οδηγεί κατ ανάγκη σε αποδεκτές λύσεις. Απαιτείται λοιπόν ένας αλγόριθμος ο οποίος ξεκινώντας από μία βασική αποδεκτή λύση να μεταβαίνει σε μία άλλη βασική αποδεκτή λύση και ταυτόχρονα να ελαττώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης για να αποφεύγει τις άσκοπες περιπλανήσεις. Θεμελιώδες Θεώρημα Γραμμικού Προγραμματισμού. Για το τυπικό πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού ισχύουν τα εξής: (i αν υπάρχει αποδεκτή λύση, υπάρχει και βασική αποδεκτή λύση Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών ΕΜΠ, Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής 4

25 (ii αν υπάρχει μια βέλτιστη αποδεκτή λύση, υπάρχει μια βέλτιστη βασική αποδεκτή λύση. Η απόδειξη του θεμελιώδους θεωρήματος γίνεται με αλγεβρικό ή γεωμετρικό τρόπο και δεν αναπτύσσεται στις σημειώσεις αυτές... Μετάβαση από Βασική-Αποδεκτή λύση σε άλλη Για να αναδειχθεί ο τρόπος με τον οποίο μεταβαίνουμε από τη μία βασική-αποδεκτή λύση σε άλλη, ας θεωρήσουμε ότι υπάρχει μια βασική-αποδεκτή λύση,,...,,,,...,. Η λύση αυτή ικανοποιεί τη σχέση: { } { α } { α } { b} α ( m m m (. Θεωρώντας ότι η λύση δεν είναι εκφυλισμένη δηλ. i > i,,..., m αποφασίζουμε να εισάγουμε στη λύση την στήλη { α } { α }, i, m i,..., q που δεν μετέχει στην αρχική λύση. Εφόσον τα διανύσματα αποτελούν βάση στο χώρο των m-διαστάσεων μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να εκφράσουν και το διάνυσμα { α } q ως εξής: { α } y { α } y { α } y { α } q q q mq m (. Πολλαπλασιάζοντας την σχέση ( με την ποσότητα ε και αφαιρώντας από την σχέση ( λαμβάνουμε: ( y { α } ( ε y { α } ( ε y { α } ε{ α } {} b ε q q m mq m q (.4 Η παραπάνω σχέση εκφράζει το διάνυσμα { b } ως γραμμικό συνδυασμό m διανυσμάτων. Για ε η σχέση δίνει την αρχική βασική αποδεκτή λύση. Για θετικές τιμές του ε η λύση είναι αποδεκτή αλλά όχι βασική καθώς εμπλέκει m διανύσματα. Αυξάνοντας την τιμή του ε υπάρχει μία τιμή που μηδενίζει έναν τουλάχιστον από τους συντελεστές των βασικών διανυσμάτων της αρχικής λύσης. Η τιμή αυτή είναι: i ε min : yiq > (.5 i yiq για την περίπτωση αυτή προκύπτει μία νέα βασική-αποδεκτή λύση στην οποία εισάγεται το διάνυσμα { α } q στη βάση και απομακρύνεται το διάνυσμα p που αντιστοιχεί στην παραπάνω τιμή του ε. Αν κανένας από τους συντελεστές yiq δεν είναι θετικός τότε για αυξανόμενο ε όλοι οι Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών ΕΜΠ, Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής 5

26 συντελεστές στην σχέση (5 αυξάνουν γεγονός που σημαίνει ότι το σύνολο των αποδεκτών λύσεων του προβλήματος δεν είναι φραγμένο..4 Κανονική Μορφή προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού Θεωρούμε το σύστημα των αλγεβρικών εξισώσεων α α m α α α m α n α n α α mn n n b n b b m (.6 όπου m n, ή σε μητρωική μορφή [ ]{} {} b A (.7 Αν οι εξισώσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε γνωρίζουμε και από τα συστήματα με n εξισώσεων n αγνώστους ότι μπορούμε να αντικαταστήσουμε μία εξίσωση με ένα μη-μηδενικό πολλαπλάσιο της συν ένα γραμμικό συνδυασμό από άλλες εξισώσεις του συστήματος. Η ιδιότητα αυτή αποτελεί τη βάση της απαλοιφής κατά Gauss με σκοπό την τριγωνική μορφή του συστήματος. Στο γραμμικό προγραμματισμό ακολουθούμε την ίδια διαδικασία με σκοπό την διαγωνοποίηση του συστήματος ως προς κάποια βασική αποδεκτή λύση ώστε το τυπικό πρόβλημα να περιέλθει στην παρακάτω μορφή που καλείται κανονική μορφή του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού. m y y... y, m, m m, m m m m y y, m y, m m, m m m m y, n y, n... y n m, n n y n y y m (.8 Στην παραπάνω μορφή οι μεταβλητές,,..., αναφέρονται ως βασικές ενώ οι υπόλοιπες ως μη-βασικές. Η βασική λύση που αντιστοιχεί στην παραπάνω κανονική μορφή είναι: m y y,..., y,,..., (.9, m m m n Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών ΕΜΠ, Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής 6

27 Αν πινακοποιήσουμε τους συντελεστές του συστήματος προκύπτει ο παρακάτω πίνακας:... y y y, m, m... m, m y, m y, m y m, m y y, n y, n m, n y y... y m (. Η μορφή αυτή είναι χρήσιμη για την εναλλαγή της βάσης. Ας υποθέσουμε ότι μία μη-βασική μεταβλητή είναι να γίνει βασική και μία βασική να γίνει μη-βασική. Η διαδικασία είναι η εξής. Αν η μη-βασική μεταβλητή αντιστοιχεί στη στήλη q και η βασική στη στήλη p τότε η εναλλαγή μπορεί να γίνει μόνο Αν y. ιαιρούμε την γραμμή p με τον συντελεστή y με σκοπό να pq κάνουμε τον συντελεστή της μη-βασικής μεταβλητής q μονάδα στην p εξίσωση. Στη συνέχεια αφαιρούμε κατάλληλα πολλαπλάσια της γραμμής p από όλες τις άλλες γραμμές ώστε οι συντελεστές στη στήλη q να μηδενίζονται. Οι νέοι συντελεστές του νέου κανονικού προβλήματος αναλυτικά έχουν ως εξής: pq y p y i yi yiq, y pq y p y p y pq i p (. Οι εξισώσεις αυτές αναφέρονται ως εξισώσεις περιστροφής (pivot equations το δε στοιχείο στοιχείο περιστροφής (pivot eement. y pq.5 Μέθοδος Simpe Οι σχέσεις των προηγουμένων παραγράφων αντιστοιχούν στις εξισώσεις των περιορισμών. Εδώ ενδιαφέρει η ανάπτυξη μιας μεθόδου που προσδιορίζει την βασική-αποδεκτή λύση που καθιστά την αντικειμενική συνάρτηση ελάχιστη. Έτσι στον προηγούμενο πίνακα μπορούμε να προσθέσουμε ακόμη μια σειρά με τους συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης c i i,,..., n οι οποίοι με δεδομένη βασική-αποδεκτή λύση τροποποιούνται ώστε οι συντελεστές των βασικών μεταβλητών να μηδενιστούν έτσι ο πίνακας γίνεται: Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών ΕΜΠ, Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής 7

28 α α... α... m α m α m... α n, m, m m, m m, m, m m, m m, n, n m, n m r y y y y y y r y y y r n b y y y z (. οι συντελεστές r αναφέρονται ως συντελεστές σχετικού κόστους, ενώ η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης που αντιστοιχεί στη συγκεκριμένη βασική-αποδεκτή λύση είναι η z. Οι συντελεστές σχετικού κόστους εκφράζουν την ευαισθησία της αντικειμενικής συνάρτησης ως προς την συγκεκριμένη μη-βασική μεταβλητή. Ενδιαφέρουν έτσι οι αρνητικές τιμές των συντελεστών που σημαίνουν ότι εισαγωγή της αντίστοιχης μη-βασικής μεταβλητής στην νέα βασική-αποδεκτή λύση θα έχει μειωτικό αποτέλεσμα στην αντικειμενική συνάρτηση. Από όλες τις αρνητικές τιμές συνήθως επιλέγεται η μικρότερη τιμή που υποδεικνύει και την αντίστοιχη μη-βασική μεταβλητή που θα εισαχθεί στην νέα βασική-αποδεκτή λύση. Το επόμενο βήμα αποσκοπεί στο να καθορίσει ποια βασική μεταβλητή θα αποσυρθεί από την νέα βασική-αποδεκτή λύση. Ο προσδιορισμός του στοιχείου περιστροφής (pivot eement γίνεται υπολογίζοντας τους λόγους yi y iq για όλους τους θετικούς συντελεστές y iq, i,,..., m και επιλέγοντας τον μικρότερο έστω στη σειρά p. Εφαρμόζοντας την διαδικασία περιστροφής (pivoting με βάση το στοιχείο αυτό προκύπτει μια νέα βασική-αποδεκτή λύση. Τροποποιώντας κατά τον ίδιο τρόπο και την τελευταία γραμμή προκύπτει στην κάτω δεξιά γωνία η νέα τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Συνοψίζοντας τα βήματα της μεθόδου Simpe είναι τα εξής: Βήμα. Από τον πίνακα με την μορφή (. οι συντελεστές σχετικού κόστους προκύπτουν με αναγωγή της σειράς ώστε οι συντελεστές των βασικών μεταβλητών να μηδενίζονται. Βήμα. Αν κάθε συντελεστής r, stop, η λύση είναι η βέλτιστη Βήμα. Επέλεξε την στήλη q που αντιστοιχεί στον ελάχιστο αρνητικό συντελεστή σχετικού κόστους rq Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών ΕΜΠ, Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής 8

29 Βήμα. Υπολόγισε τους λόγους y y για όλα τα θετικά y της στήλης q. Αν κανένα y δεν i iq iq iq είναι θετικό, stop το πρόβλημα είναι μη-φραγμένο. Αν όχι επέλεξε ως p τον δείκτη ι που αντιστοιχεί στον μικρότερο συντελεστή. Βήμα 4. Εφάρμοσε την διαδικασία περιστροφής ως προς το στοιχείο y pq τροποποιώντας όλες τις γραμμές συμπεριλαμβανομένης και της τελευταίας. Με βάση τον παραπάνω αλγόριθμο που βασίζεται στο θεμελιώδες θεώρημα του γραμμικού προγραμματισμού και υποθέτοντας ότι δεν παράγονται εκφυλισμένες (degenerate λύσεις το πρόβλημα οδηγείται στη βέλτιστη λύση σε πεπερασμένο αριθμό επαναλήψεων ή σύμφωνα με το βήμα στο συμπέρασμα ότι το πρόβλημα είναι μη-φραγμένο. Εφαρμογή: Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση που υπόκειται στους περιορισμούς:, 5 6, (. Για να μετατρέψουμε το παραπάνω πρόβλημα σε τυπικό πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού πολλαπλασιάζουμε την αντικειμενική συνάρτηση με για να μετατρέψουμε το πρόβλημα της μεγιστοποίησης σε πρόβλημα ελαχιστοποίησης. Για να μετατρέψουμε τους ανισοτικούς περιορισμούς σε ισοτικούς εισάγουμε τρεις νέες μη-αρνητικές μεταβλητές τον αρχικό πίνακα Simpe ως εξής: 4 5,, 6. Έχουμε έτσι α α α α 4 α 5 α 6 B 5 6 r T Η παραπάνω μορφή είναι κανονική μορφή με βασικές μεταβλητές τις νέο-εισαγμένες μεταβλητές 4 5,, 6. Σε αυτή μπορεί να εφαρμοστούν τα βήματα της μεθόδου Simpe. Επιλέγουμε μία από τις πρώτη ή τρίτη στήλη, έστω την τρίτη στήλη που αντιστοιχεί σε συντελεστή σχετικού κόστους (- για να εισαχθεί στη νέα βασική λύση. Στη συνέχεια υπολογίζονται οι λόγοι (/, 5/, 6/ και Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών ΕΜΠ, Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής 9

30 επιλέγεται ο 5/ ως ελάχιστος. Επιλέγεται ως στοιχείο περιστροφής το στοιχείο (, και εφαρμόζονται οι σχέσεις της περιστροφής (pivoting. α α α α 4 α 5 α 6 B 5/ / -/ / / / / 5/ 5/ 4/ -/ / r T - 5 Ο παραπάνω πίνακας Simpe αντιστοιχεί στην βασική-αποδεκτή λύση με βάση τις στήλες 4,,6 και τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης 6. Επειδή υπάρχουν αρνητικοί συντελεστές σχετικού κόστους η διαδικασία συνεχίζεται με την επιλογή της πρώτης στήλης για εισαγωγή στη βάση. Στη συνέχεια υπολογίζονται οι λόγοι (/5,5/,/5 και επιλέγεται η θέση του μικρότερου που στην συγκεκριμένη περίπτωση είναι η πρώτη. Έτσι το στοιχείο στη θέση (, αποτελεί τον πόλο για την δεύτερη περιστροφή που έχει ως εξής: α α α α 4 α 5 α 6 B /5 /5 -/5 /5 /5 -/5 /5 8/5-4 r T 7/5 6/5 /5 7/5 Η παραπάνω κανονική μορφή είναι και αυτή που αντιστοιχεί στη βέλτιστη βασική αποδεκτή λύση με τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης 7/5 καθόσον όλοι οι συντελεστές σχετικού κόστους είναι θετικοί. Οι βασικές μεταβλητές είναι οι / 5, 8 / 5, 4 και όλες είναι 6 αποδεκτές δηλ. μεγαλύτερες του μηδενός, ενώ μη βασικές μεταβλητές και άρα μηδενικές είναι οι, 4, 5..6 Εκφυλισμένες λύσεις Κατά την διαδικασία της μεθόδου Simpe ενδέχεται κάποιες ενδιάμεσες λύσεις να είναι εκφυλισμένες λύσεις δηλ. λύσεις με μηδενικό συντελεστή σε μία ή περισσότερες βασικές Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών ΕΜΠ, Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής

31 μεταβλητές. Η μέθοδος Simpe δεν αστοχεί σ αυτές τις περιπτώσεις ακολουθεί όμως άσκοπους κύκλους για να ξαναγυρίσει στη αρχική εκφυλισμένη λύση. Για την αποφυγή των άσκοπων αυτών κύκλων με εκφυλισμένες λύσεις έχουν αναπτυχθεί διαφορές μέθοδοι. Μεταξύ αυτών η μέθοδος Band είναι η πιο απλή. Σύμφωνα με τη μέθοδο αυτή: α η στήλη που επιλέγεται να εισαχθεί στη βάση κατά την διαδικασία της μεθόδου Simpe είναι η στήλη με τον μικρότερο δείκτη, min { : r < } β στη περίπτωση που υπάρχει επιλογή στο καθορισμό της στήλης που αποχωρεί από την βάση τότε επιλέγεται αυτή με τον μικρότερο δείκτη. Ο απλός αυτός κανόνας αρκεί να αποτρέψει την μέθοδο από κύκλους με εκφυλισμένες λύσεις..7 Μητρωική Μορφή της Μεθόδου Simpe Η μέθοδο Simpe με την μορφή πίνακα είναι χρήσιμη αλλά αντιμετωπίζει το πρόβλημα στο επίπεδο του στοιχείου του πίνακα χωρίς να προσφέρει την εποπτεία που παρέχει η μητρωική διατύπωση. Επιπλέον στην κανονική μορφή του πίνακα δεν είναι δυνατή η ενσωμάτωση των συμπερασμάτων από την επίλυση γραμμικών συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων. Έτσι χρήσιμη είναι η διατύπωση του προβλήματος σε μητρωική μορφή. Ας θεωρήσουμε ότι το μητρώο Α και τα διανύσματα και c T του τυπικού προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού διαχωρίζονται ως εξής: [ A ] [ B, D] {} {, } B D (.4 T T T {} c [ c, c ] B D Έτσι το τυπικό πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού διατυπώνεται ως εξής: T T Ελαχιστοποίησε την συνάρτηση: { c } { } { c } { } B Που υπόκειται στους περιορισμούς: [ B]{ } [ D]{ } { b} και { }, { } B D B D Μία βασική αποδεκτή λύση προκύπτει ως { } [ B] { b}, { } D B D μη-βασικών μεταβλητών οι βασικές μεταβλητές προσδιορίζονται από τη σχέση: { } [ B] {} b [ B] [ D]{ } B D B D. Για οποιαδήποτε τιμή των (.5 Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών ΕΜΠ, Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής

32 Αντικαθιστώντας την παραπάνω γενική τιμή των βασικών μεταβλητών στην αντικειμενική συνάρτηση προκύπτει: z T T { c } {[ B] {} b [ B] [ D]{ } { c } { } B D D D T T T { c } [ B] {} b { c } { c } [ B] [ D] { } B ( D B D (.6 Η σχέση αυτή εκφράζει την αντικειμενική συνάρτηση ως προς τις μη-βασικές μεταβλητές. Το μητρώο συντελεστής του διανύσματος των μη-βασικών μεταβλητών εκφράζει τους συντελεστές σχετικού κόστους των μεταβλητών αυτών και ορίζεται ως εξής: T T T { r } { c } { c } [ B] [ D] D (.7 D B Η μικρότερη αρνητική τιμή του διανύσματος κόστους θα προσδιορίσει την στήλη που θα εισαχθεί στη νέα βασική-αποδεκτή λύση. Η μητρωική μορφή του πίνακα Simpe έχει ως εξής: [ A] {} b T {} c [ B] [ D] { b} T T { c } { c } B D (.8 Η μορφή αυτή δεν αντιστοιχεί στην κανονική μορφή του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού η οποία προκύπτει πολλαπλασιάζοντας την πρώτη γραμμή με το αντίστροφο του Β και απαλείφοντας την γραμμή στη θέση (,. T I [ B] [ D] [ B] { b} { } { } [ ] [ ] { } [ ] {} T T T c D c B B D c B B b (.9 Η σχέση αυτή αποτελεί τον πίνακα Simpe σε κανονική μορφή. Η μητρωική διατύπωση της μεθόδου προσφέρεται για την ανάπτυξη μεθόδων που εξοικονομούν αριθμητικές πράξεις και διατυπώνουν αποδοτικές μεθόδους επίλυσης του προβλήματος του γραμμικού προγραμματισμού για την γενική περίπτωση όπως και για περιπτώσεις ειδικής μορφής των μητρώων. Μία τέτοια μέθοδος είναι η τροποποιημένη μέθοδος Simpe με βάση την οποία επιλύονται τα περισσότερα προβλήματα..8 ιερεύνηση λύσεων του προβλήματος Ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού ενδέχεται να έχει μία ή περισσότερες λύσεις ή ακόμη και καμία λύση όπως προκύπτει από τα παρακάτω παραδείγματα: Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών ΕΜΠ, Βλ. Κουμούσης, Καθηγητής

ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. Δρ. Πολ. Μηχ. Κόκκινος Οδυσσέας

ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. Δρ. Πολ. Μηχ. Κόκκινος Οδυσσέας ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Δρ. Πολ. Μηχ. Κόκκινος Οδυσσέας Σχεδιασμός αντικειμένων, διεργασιών, δραστηριοτήτων (π.χ. τεχνικά έργα, έπιπλα, σκεύη κτλ) ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ (conceptual design) ΠΡΟΜΕΛΕΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Bέλτιστος σχεδιασμός με αντικειμενική συνάρτηση και περιορισμούς

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ, Διαλ. 2. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 8/4/2017

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ, Διαλ. 2. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 8/4/2017 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ, Διαλ. 2 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 8/4/2017 Αντικειμενικοί στόχοι Η μελέτη των βασικών στοιχείων που συνθέτουν ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ 1 η Διάλεξη: Αναδρομή στον Μαθηματικό Προγραμματισμό 2019, Πολυτεχνική Σχολή Εργαστήριο Συστημάτων Σχεδιασμού, Παραγωγής και Λειτουργιών Περιεχόμενα 1. Γραμμικός Προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος Simplex. Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Η μέθοδος Simplex. Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Η μέθοδος Simplex Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος

Διαβάστε περισσότερα

min f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) +

min f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) + KΕΦΑΛΑΙΟ 4 Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με Περιορισµούς Ανισότητες 4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Η μέθοδος Simplex Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος Simplex είναι μια

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Μη γραμμικός προγραμματισμός: βελτιστοποίηση με περιορισμούς Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής Διάλεξη 9-10 η /2017 Τι παρουσιάστηκε

Διαβάστε περισσότερα

Τα περισσότερα προβλήματα βελτιστοποίησης είναι με περιορισμούς, αλλά οι μέθοδοι επίλυσης χωρίς περιορισμούς έχουν γενικό ενδιαφέρον.

Τα περισσότερα προβλήματα βελτιστοποίησης είναι με περιορισμούς, αλλά οι μέθοδοι επίλυσης χωρίς περιορισμούς έχουν γενικό ενδιαφέρον. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΧΩΡΙΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ Τα περισσότερα προβλήματα βελτιστοποίησης είναι με περιορισμούς, αλλά οι μέθοδοι επίλυσης χωρίς περιορισμούς έχουν γενικό ενδιαφέρον. Μέθοδοι που απαιτούν

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ Συνδυασμένη χρήση μοντέλων προσομοίωσης βελτιστοποίησης. Η μέθοδος του μητρώου μοναδιαίας απόκρισης Νικόλαος

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα

Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ Δυναμική Ανάλυση Ραβδωτών Φορέων 1 1. Είδη γενικευμένων μονοβαθμίων συστημάτων xu

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα I

Επιχειρησιακή Έρευνα I Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex 1. Αλγόριθμός Simplex

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης). Μέθοδος Euler 3. Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

III.9 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ

III.9 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ III.9 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ.Ολικά και τοπικά ακρότατα..εσωτερικά και συνοριακά ακρότατα 3.Χωριζόμενες μεταβλητές 4.Συνθήκες για ακρότατα 5.Ολικά ακρότατα κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Περισσότερες μεταβλητές.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ Χ. Τσιρώνης ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ - Αναλυτικές τεχνικές - Ειδικά θέματα θεωρίας - Λύση ασκήσεων πράξης ΑΝΑΛΥΤΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ Τι μάθαμε μέχρι τώρα: Να επιλύουμε

Διαβάστε περισσότερα

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ . ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Εισαγωγή Οι κλασσικές μέθοδοι αριστοποίησης βασίζονται κατά κύριο λόγο στο διαφορικό λογισμό. Ο Μαθηματικός Προγραμματισμός ο οποίος περιλαμβάνει τον Γραμμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων Σε αυτό το κεφάλαιο θα χρησιμοποιήσουμε πίνακες οι οποίοι δεν θα είναι γραμμικές εξισώσεις. Θα πρέπει λοιπόν να δούμε την γεωμετρική ερμηνεία των ανισώσεων. Μια ανίσωση διαιρεί τον n-διάστατο χώρο σε δύο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 1 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Γραμμική Άλγεβρα Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη 5 ο Εξάμηνο 4 ο ΜΑΘΗΜΑ Δημήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τμήμα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ . ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Επίλυση υπερστατικών φορέων Για την επίλυση των ισοστατικών φορέων (εύρεση αντιδράσεων και μεγεθών έντασης) αρκούν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών 7. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης) 7. Μέθοδος Euler 7.3

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Δυϊκότητα Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Το δυϊκό πρόβλημα Για κάθε πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός 3.1 Εισαγωγή Πολλοί πιστεύουν ότι η ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις πιο σπουδαίες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του εικοστού αιώνα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ - Επίλυση ασκήσεων - Αλγόριθμοι αναζήτησης - Επαναληπτική κάθοδος ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΡΑΞΗΣ Θα επιλυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί Ο αλγόριθμος Simplex για τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, βλέπε Dntzig (1963), αποδίδει αρκετά καλά στην πράξη, ιδιαίτερα σε προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ

3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:. -. (Προτείνεται να διατεθούν 5 διδακτικές ώρες).3 (Προτείνεται να διατεθούν

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 2 η : Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος 1 ο

Παρουσίαση 2 η : Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος 1 ο Εφαρμογές Ανάλυσης Σήματος στη Γεωδαισία Παρουσίαση η : Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος ο Βασίλειος Δ. Ανδριτσάνος Αναπληρωτής Καθηγητής Γεώργιος Χλούπης Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Τοπογραφίας

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί Ενδεικτικός Προγραμματισμός ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί 12 περίοδοι Δείκτες επιτυχίας: Ορίζουν την έννοια της νιοστής ρίζας ενός αριθμού α και αποδεικνύουν τις ιδιότητες ριζών, όταν ν N, ν 0, 1, α R

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Παράδειγμα προβλήματος ελαχιστοποίησης Μια κατασκευαστική εταιρία κατασκευάζει εξοχικές κατοικίες κοντά σε γνωστά θέρετρα της Εύβοιας Η

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος των Δυνάμεων

Μέθοδος των Δυνάμεων Μέθοδος των Δυνάμεων Εισαγωγή Μέθοδος των Δυνάμεων: Δ07-2 Η Μέθοδος των Δυνάμεων ή Μέθοδος Ευκαμψίας είναι μία μέθοδος για την ανάλυση γραμμικά ελαστικών υπερστατικών φορέων. Ανκαιημέθοδοςμπορείναεφαρμοστείσεπολλάείδηφορέων

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Ανάλυσης Απλών Δοκών & Πλαισίων (2)

Μέθοδοι Ανάλυσης Απλών Δοκών & Πλαισίων (2) Μέθοδοι Ανάλυσης Απλών Δοκών & Πλαισίων (2) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πλαστική Κατάρρευση Υπερστατικής Δοκού Πλαστική Κατάρρευση Συνεχούς Δοκού Η Εξίσωση Δυνατών Εργων Θεωρήματα Πλαστικής Ανάλυσης Θεωρία Μηχανισμών

Διαβάστε περισσότερα

Αστικά υδραυλικά έργα

Αστικά υδραυλικά έργα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Αστικά υδραυλικά έργα Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης, Καθηγητής ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Άδεια Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1 Σχήμα 1 Η εντατική κατάσταση στην οποία βρίσκεται μία δοκός, που υποβάλλεται σε εγκάρσια φόρτιση, λέγεται κάμψη. Αμφιέριστη δοκός Πρόβολος Κατά την καταπόνηση σε κάμψη αναπτύσσονται καμπτικές ροπές, οι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX

ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX 3.1 Εισαγωγή Ο αλγόριθμος Simplex θεωρείται πλέον ως ένας κλασικός αλγόριθμος για την επίλυση γραμμικών προβλημάτων. Η πρακτική αποτελεσματικότητά του έχει

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Τυπικά Υδραυλικά Έργα Μέρος 2: ίκτυα διανοµής Άσκηση E0: Μαθηµατική διατύπωση µοντέλου επίλυσης απλού δικτύου διανοµής

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ).

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ). Κεφάλαιο 4 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα 411 Ερώτηση θεωρίας 1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Πότε μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (, ) αβ; Απάντηση Μια συνάρτηση f θα λέμε

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση δικτύων διανομής

Ανάλυση δικτύων διανομής Υδραυλική & Υδραυλικά Έργα 5 ο εξάμηνο Σχολής Πολιτικών Μηχανικών Ανάλυση δικτύων διανομής Χρήστος Μακρόπουλος, Ανδρέας Ευστρατιάδης & Παναγιώτης Κοσσιέρης Τομέας Υδατικών Πόρων & Περιβάλλοντος, Εθνικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΟΜαθηµατικός Προγραµµατισµός είναι κλάδος των εφαρµοσµένων µαθηµατικών που ασχολείται µε την εύρεση άριστης λύσης. ιαφέρει από την κλασική αριστοποίηση στο ότι προσπαθεί να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines

Κεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines Κεφ. 3: Παρεμβολή 3. Εισαγωγή 3. Πολυωνυμική παρεμβολή 3.. Παρεμβολή Lagrage 3.. Παρεμβολή Newto 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splies 3.4 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων 3.5 Παρεμβολή με ορθογώνια πολυώνυμα 3.

Διαβάστε περισσότερα

Β. Βασιλειάδης. Επιχειρησιακή Έρευνα Διάλεξη 5 η -Αλγόριθμος Simplex

Β. Βασιλειάδης. Επιχειρησιακή Έρευνα Διάλεξη 5 η -Αλγόριθμος Simplex Β. Βασιλειάδης Επιχειρησιακή Έρευνα Διάλεξη 5 η -Αλγόριθμος Simplex Περιεχόμενα Ο αλγόριθμος Simplex Βασικά Βήματα Παραδείγματα Συμπεράσματα 1o Bήμα: εξάλειψη των ανισοτήτων Στη μαθηματική διατύπωση του

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής

Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Εννοιολογική αναπαράσταση δίκτυων διανομής Σχηματοποίηση: δικτυακή απεικόνιση των συνιστωσών του φυσικού συστήματος ως συνιστώσες ενός εννοιολογικού μοντέλου

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Δημήτρης Φωτάκης Προσθήκες (λίγες): Άρης Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραμμικός Προγραμματισμός Ελαχιστοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης με παραγώγους Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Βελτιστοποίηση Στην προσπάθεια αντιμετώπισης και επίλυσης των προβλημάτων που προκύπτουν στην πράξη, αναπτύσσουμε μαθηματικά μοντέλα,

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης

Διαβάστε περισσότερα

III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE

III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE 1.Ισοτικός περιορισμός.περιορισμένη στασιμότητα 3.Πολλαπλασιαστής Lagrange 4.Συνάρτηση Lagrange 5.Ερμηνεία του πολλαπλασιαστή Lagrange 6.Περιορισμένη τετραγωνική μορφή 7.

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Εισαγωγή στα Σήματα 1. Σκοποί της Θεωρίας Σημάτων 2. Κατηγορίες Σημάτων 3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα I

Επιχειρησιακή Έρευνα I Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex (C) Copyright Α.

Διαβάστε περισσότερα

Αστικά υδραυλικά έργα

Αστικά υδραυλικά έργα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Αστικά υδραυλικά έργα Διαστασιολόγηση αγωγών και έλεγχος πιέσεων δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης, Καθηγητής ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Πρόβλημα Μεταφοράς. Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Πρόβλημα Μεταφοράς. Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Πρόβλημα Μεταφοράς Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα To Πρόβλημα Μεταφοράς Μαθηματική Διατύπωση Εύρεση Αρχικής Λύσης Προσδιορισμός Βέλτιστης Λύσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η χρησιμότητα της Γραμμικής Άλγεβρας είναι σχεδόν αυταπόδεικτη. Αρκεί μια ματιά στο πρόγραμμα σπουδών, σχεδόν κάθε πανεπιστημιακού τμήματος θετικών επιστημών, για να διαπιστώσει κανείς την παρουσία

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ.Δεύτερη παράγωγος.κυρτή 3.Κοίλη 4.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 5.Σημεία καμπής 6.Παραβολική προσέγγιση(επέκταση) ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7.Δεύτερη πλεγμένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE

III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE 1.Ισοτικός περιορισμός.περιορισμένη στασιμότητα 3.Πολλαπλασιαστής Lagrange 4.Συνάρτηση Lagrange 5.Ερμηνεία του πολλαπλασιαστή Lagrange 6.Περιορισμένη τετραγωνική μορφή 7.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Ενότητα 4: Αναλυτικές μέθοδοι βελτιστοποίησης για συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10: Επαναληπτική Βελτίωση Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ.Δεύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σημεία καμπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7.Δεύτερη πλεγμένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Εισαγωγικές έννοιες Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα