Διπλωματική Εργασία. της φοιτήτριας του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ: ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Διπλωματική Εργασία της φοιτήτριας του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών Αλωνιάτη Μαρία του Σταύρου Αριθμός Μητρώου: 594 Θέμα «Αριθμητική Κατασκευή Συναρτήσεων uv» Επιβλέπων Κούσουλας Νικόλαος Αριθμός Διπλωματικής Εργασίας: Πάτρα, Ιούνιος 3

2

3 ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Πιστοποιείται ότι η Διπλωματική Εργασία με θέμα: «Aριθμητική Κατασκευή Συναρτήσεων uv» Της φοιτήτριας του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Aλωνιάτη Μαρίας του Σταύρου Αριθμός Μητρώου:594 Παρουσιάστηκε δημόσια και εξετάστηκε στο Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών στις / / Ο Επιβλέπων Νικόλαος Κούσουλας Καθηγήτης Ο Διευθυντής Τομέα Νικόλαος Κούσουλας Καθηγητής 3

4 4

5 Αριθμός Διπλωματικής Εργασίας: Θέμα: «Aριθμητική Κατασκευή Συναρτήσεων uv» Φοιτήτρια: Αλωνιάτη Μαρία Επιβλέπων: Νικόλαος Κούσουλας Περίληψη Σε αυτή την εργασία παρουσιάζουμε μεθόδους για την κατασκευή συναρτήσεων uv για δυναμικά συστήματα αλλά και για τον καθορισμό του ελκτικού συνόλου ενός σημείου ισορροπίας Η μελέτη των διαφορικών εξισώσεων έχει ως κίνητρο τις πολλαπλές εφαρμογές τους στη Φυσική, τη Χημεία, τα Οικονομικά, τη Βιολογία, κλπ Εστιάζουμε στις αυτόνομες διαφορικές εξισώσεις της μορφής x f(x), x οι οποίες ορίζουν ένα δυναμικό σύστημα Οι πιο απλές λύσεις xt () μίας τέτοιας εξίσωσης καλούνται σημεία ισορροπίας Πολύ σημαντικός είναι επίσης και ο καθορισμός του ελκτικού συνόλου Ο καθορισμός του ελκτικού συνόλου επιτυγχάνεται μέσω υποεπίπεδων συνόλων μίας συνάρτησης uv, δηλαδή μίας συνάρτησης με αρνητική παράγωγο κατά μήκος των τροχιών στη περιοχή ισορροπίας Σε αυτή την εργασία παρουσιάζουμε μεθόδους κατασκευής συναρτήσεων uv για ένα σημείο ισορροπίας Υπάρχει πλούσια βιβλιογραφία πάνω στις συναρτήσεις uv Το 893, ο uv εισήγαγε την άμεση ή δεύτερη μέθοδό του, όπου κατάφερε να εξασφαλίσει αποτελέσματα για την ευστάθεια ενός σημείου ισορροπίας χωρίς να γνωρίζει τη λύση της διαφορικής εξίσωσης, αλλά χρησιμοποιώντας μόνο την ίδια τη διαφορική εξίσωση Από τότε έχει δοθεί πλήθος αντίστροφων θεωρημάτων, που εξασφαλίζουν την ύπαρξη μίας συνάρτησης uv, από διάφορους συγγραφείς Το πρώτο κύριο θεώρημα για ασυμπτωτική ευστάθεια δόθηκε από τον Massera το 949 και από τότε έχει βελτιωθεί από πολλούς συγγραφείς προς διάφορες κατευθύνσεις Ωστόσο, κανένα από τα θεωρήματα ύπαρξης δεν παρέχει μία μέθοδο σαφούς κατασκευής μίας συνάρτησης uv Για γραμμικά συστήματα μπορεί κάποιος να κατασκευάσει μία τετραγωνικής T μορφής συνάρτηση uv της μορφής ( x) ( x x) B( x x ) με ένα συμμετρικό, θετικά ορισμένο πίνακα B, όπου x συμβολίζει το σημείο ισορροπίας Ο Hah περιγράφει πως μπορεί κάποιος, ξεκινώντας από ένα μη γραμμικό σύστημα, να χρησιμοποιήσει την τετραγωνικής μορφής συνάρτηση uv του 5

6 γραμμικοποιημένου συστήματος σα μία συνάρτηση uv για το μη γραμμικό σύστημα Πολλές προσεγγίσεις θεωρούν ειδικές συναρτήσεις uv, όπως τετραγωνικής μορφής, πολυωνυμικές, κατά τμήματα γραμμικές, ή κατά τμήματα τετραγωνικής μορφής Οι μέθοδοι όμως αυτές μπορούν να χρησιμοποιηθούν μόνο σε συγκεκριμένες διαφορικές εξισώσεις Σε αυτή την εργασία θα ασχοληθούμε με δύο μεθόδους κατασκευής συναρτήσεων uv Για τη πρώτη μέθοδο κατασκευής συναρτήσεων uv για ένα σημείο ισορροπίας, ξεκινούμε με ένα θεώρημα που εξασφαλίζει την ύπαρξη μίας συνάρτησης uv T η οποία ικανοποιεί την ισότητα T ( x) c, όπου c είναι μία γνωστή σταθερά Βασικός στόχος της μεθόδου είναι να προσεγγίσει τη λύση T αυτής της μερικής διαφορικής εξίσωσης με τη χρήση συναρτήσεων ακτινωτής βάσης Τότε και η προσέγγιση είναι μία συνάρτηση uv και έτσι, μπορούμε να τη χρησιμοποιήσουμε για να καθορίσουμε το ελκτικό σύνολο Επειδή η συνάρτηση T δεν ορίζεται στο x, μελετούμε και μία δεύτερη κλάση συναρτήσεων uv V, οι οποίες ορίζονται και είναι ομαλές στο x Αυτές ικανοποιούν την ισότητα V ( x) ( x ), όπου x ( ) είναι μία δοθείσα συνάρτηση με συγκριμένες ιδιότητες, μία εκ των οποίων είναι ότι x ( ) Για την προσέγγιση χρησιμοποιούμε συναρτήσεις ακτινωτής βάσης Στη δεύτερη μέθοδο κατασκευάζουμε μια κατά τμήματα γραμμική συνάρτηση uv για το αρχικό μη γραμμικό σύστημα χρησιμοποιώντας γραμμικό προγραμματισμό 6

7 Περιεχόμενα: Κεφάλαιο : Εισαγωγή Συνεχή δυναμικά συστήματα Διακοπτικά και υβριδικά συστήματα 3 Ευστάθεια συστημάτων 5 4 Ελκτικό σύνολο του σημείου ισορροπίας 7 5 Παράδειγμα: Χημειοστάτης 8 Κεφάλαιο : Συναρτήσεις uv Άμεση μέθοδος uv 4 Συναρτήσεις uv 6 3 Τοπικές συναρτήσεις uv 3 4 Κανονική μορφή Jrda 3 5 Η συνάρτηση (εξίσωση πινάκων) 3 6 Σύνοψη και παράδειγμα 33 Κεφάλαιο 3: Καθολικές συναρτήσεις uv 3 Καθολικές συναρτήσεις uv 35 3 Η Συνάρτηση uv T με σταθερή παράγωγο κατά μήκος των τροχιών Σύνολα Επιπέδων των Συναρτήσεων uv Η συνάρτηση uv V ορισμένη στο ( ) Ax 4 35 Το πολυώνυμο Taylr για τη συνάρτηση V 4 36 Σύνοψη και παραδείγματα 45 Κεφάλαιο 4: Συναρτήσεις ακτινωτής βάσης 4 Συναρτήσεις ακτινωτής βάσης 48 4 Εφαρμογές στα δυναμικά συστήματα 5 43 Σταδιακός υπολογισμός του ελκτικού συνόλου 5 Κεφάλαιο 5: Κατασκευή συναρτήσεων uv 5 Εισαγωγή 56 5 Μη τοπικό μέρος Τοπικό μέρος 6 53 Τοπική περιοχή uv Τοπική συνάρτηση uv Πολυώνυμο Taylr 65 Κεφάλαιο 6: Καθολικός καθορισμός του ελκτικού συνόλου 64 6 Προσέγγιση μέσω ενός μοναδικού τελεστή 67 6 Προσέγγιση μέσω παραγώγων κατά μήκος των τροχιών 7 6 Πολυώνυμο Τaylr 7 6 Μεικτή προσέγγιση 7 7

8 6 Προσέγγιση μέσω παραγώγων κατά μήκος των τροχιών και μέσω τιμών συνάρτησης 73 6 Βαθμιαία κάλυψη του ελκτικού συνόλου 75 Κεφάλαιο 7: Εφαρμογές της μεθόδου-παραδείγματα 77 7 Συνδυασμός μίας τοπικής και μίας μη τοπικής συνάρτησης uv 79 7 Περιγραφή 79 7 Παραδείγματα 79 7 Προσέγγιση μέσω πολυωνύμου Taylr 85 7 Παραδείγματα Σταδιακή κάλυψη με χρήση μεικτής προσέγγισης 9 73 Περιγραφή 9 73 Παράδειγμα 9 74 Συμπεράσματα 93 Κεφάλαιο 8: Κατασκευή συναρτήσεων uv 95 8 Συνεχείς κατά τμήματα ομοπαράλληλες συναρτήσεις 96 8 Το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού Ορισμός των συναρτήσεων, και V 4 84 Συνέπειες των περιορισμών (LC) 5 85 Συνέπειες των περιορισμών (LC) 5 86 Συνέπειες των περιορισμών (LC3) 6 87 Συνέπειες των περιορισμών (LC4) 6 88 Σύνοψη των αποτελεσμάτων και των συνεπειών τους 6 89 Η περίπτωση αυτόνομου συστήματος 9 Κεφάλαιο 9: Αντίστροφο θεώρημα για διακοπτικά συστήματα 5 9 Ένα αντίστροφο θεώρημα για τυχαία διακοπτικά συστήματα 5 Κεφάλαιο : Αντίστροφα θεωρήματα κατασκευής 8 Οι υποθέσεις 8 Οι αναθέσεις 9 3 Περίληψη αποτελεσμάτων Κεφάλαιο : Ένας αλγόριθμος για την κατασκευή συναρτήσεων uv 3 Ο αλγόριθμος για την περίπτωση μη αυτόνομου συστήματος 3 Ο αλγόριθμος για την περίπτωση αυτόνομου συστήματος 4 Κεφάλαιο : Παραδείγματα συναρτήσεων uv που παράγονται με γραμμικό προγραμματισμό 7 Ένα αυτόνομο σύστημα 7 Ένα τυχαίο αυτόνομο διακοπτικό σύστημα 3 3 Ένα σύστημα μεταβλητής δομής 33 4 Ένα σύστημα μεταβλητής δομής με ολισθαίνοντα σύνολα 37 5 Ένα μη αυτόνομο διακοπτικό σύστημα μίας διάστασης 4 6 Ένα μη αυτόνομο διακοπτικό σύστημα δύο διαστάσεων 4 8

9 Κεφάλαιο 3: Συμπεράσματα 46 Βιβλιογραφία 47 9

10 Κεφάλαιο : Εισαγωγή Συνεχή δυναμικά συστήματα Ένα συνεχές δυναμικό σύστημα (ctiuus dyamical systems) είναι ένα σύστημα του οποίου η δυναμική (που αναπτύσσεται συνεχώς ως προς το χρόνο) μπορεί να μοντελοποιηθεί χρησιμοποιώντας μια συνήθη διαφορική εξίσωση της μορφής: x f( t, x) () H παραπάνω εξίσωση καλείται εξίσωση κατάστασης (state equati) του δυναμικού συστήματος Το x περιγράφει την κατάσταση του συστήματος, ενώ το σύνολο όλων των πιθανών καταστάσεων αναφέρεται ως ο χώρος καταστάσεων (state-sace) του συστήματος O χρόνος t είναι µια συνεχής μεταβλητή (t ) Μπορούμε να φανταστούμε το δεύτερο µέλος της διαφορικής εξίσωσης () ως ένα διανυσµατικό πεδίο f : D, όπου D Μια δυνατότητα για να εξασφαλίσουμε την ύπαρξη και μοναδικότητα μιας λύσης για κάθε αρχική τιμή χρόνου t και κάθε αρχική κατάσταση στο χώρο καταστάσεων του συστήματος δίνεται από τη συνθήκη Lischitz Έστω μια νόρμα στο και ας υποθέσουμε ότι η f στη διαφορική εξίσωση () ικανοποιεί τη τοπική συνθήκη Lischitz: για κάθε C D υπάρχει μια σταθερά L C τέτοια ώστε: f ( t, x) f ( t, y) LC x y, για κάθε ( t, x),( t, y) C () Τότε υπάρχει μία μοναδική λύση στο πρόβλημα αρχικής τιμής (iitial value rblem), x f( t, x), x(t ) για κάθε t και κάθε D Τη λύση αυτή τη συμβολίζουμε με t ( t,t, ) και λέμε ότι η είναι η λύση της εξίσωσης κατάστασης () Για το λόγο αυτό, σε αυτή την εργασία θα θεωρούμε συνεχή δυναμικά συστήματα των οποίων η δυναμική μοντελοποιείται από μια συνήθη διαφορική εξίσωση x f( t, x) όπου f : D, ικανοποιεί μια τοπική συνθήκη Lischitz, όπως στη () Θα κλείσουμε αυτή τη παράγραφο με δυο γνωστά θεωρήματα που σχετίζονται με συνήθεις διαφορικές εξισώσεις Θεώρημα Έστω D, f : D, ικανοποιεί μια τοπική συνθήκη Lischitz, όπως στη () και η λύση της εξίσωσης κατάστασης x f( t, x) Έστω m και ας

11 m υποθέσουμε ότι f C ( D ), δηλαδή, κάθε συντεταγμένη f i της f είναι στο m m C ( D ), τότε C ( dm ( ) Θεώρημα Έστω I ένα μη κενό διάστημα, μια νόρμα στο και έστω D Έστω f, g : I D συνεχείς απεικονίσεις και ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μία σταθερά L, τέτοια ώστε, η f ικανοποιεί τη τοπική συνθήκη Lischitz: υπάρχει μια σταθερά L τέτοια ώστε: f( t, x) f( t, y) L x y, για κάθε t I και κάθε x, y D Έστω t I και έστω, D και ας συμβολίσουμε τη μοναδική λύση στο πρόβλημα αρχικής τιμής x f( t, x), x(t ) με y: I y και έστω z: I z μια λύση στο πρόβλημα αρχικής τιμής x gt (, x), x(t ) Έστω J : I y I z και ας θεωρήσουμε, δυο σταθερές, τέτοιες ώστε για κάθε t ισχύει για κάθε t J J Τότε η ανισότητα: και f(t, z(t)) g (t, z(t)) L t t L t t y(t)- z(t) e ( e ) L Διακοπτικά και υβριδικά συστήματα Τη τελευταία δεκαετία έχει παρατηρηθεί έντονο ενδιαφέρον σε συστήματα των οποίων η συμπεριφορά μπορεί να περιγραφεί μαθηματικά χρησιμοποιώντας ένα μείγμα λογικής διακοπτικού ελέγχου και διαφορικών εξισώσεων Το ενδιαφέρον για αυτά τα συστήματα αναπτύχτηκε από τη συνειδητοποίηση ότι πολλά φυσικά συστήματα αλλά και συστήματα κατασκευασμένα από τον άνθρωπο μπορούν να μοντελοποιηθούν χρησιμοποιώντας αυτό το πλαίσιο Ένα υβριδικό σύστημα (Hybrid System) είναι ένα δυναμικό σύστημα το οποίο περιγράφεται από μία συνεχή/διακριτή δυναμική και τη λογική διακοπτικού ελέγχου Ένα διακοπτικό σύστημα (switched system) αποτελείται ουσιαστικά από μια οικογένεια δυναμικών συστημάτων και από ένα διακοπτικό σήμα (switchig sigal), όπου το διακοπτικό σήμα καθορίζει ποιο σύστημα στην οικογένεια των δυναμικών συστημάτων περιγράφει καλύτερα τη δυναμική του συστήματος σε ποιούς χρόνους ή ποιές καταστάσεις Θα δώσουμε παρακάτω μερικούς χρήσιμους ορισμούς Ορισμός 3 Έστω P ένα μη κενό σύνολο εφοδιασμένο με τη διακριτή μετρική d(, q ) : αν q Ένα διακοπτικό σήμα : P είναι μια δεξιά-συνεχής συνάρτηση, της

12 οποίας τα ασυνεχή στοιχεία αποτελούν ένα διακριτό υποσύνολο του Τα ασυνεχή στοιχεία ονομάζονται διακοπτικοί χρόνοι (switchig times) Για τεχνικούς λόγους είναι βολικό να μετρούμε και το μηδέν στους διακοπτικούς χρόνους, έτσι συμφωνούμε ότι το μηδέν είναι και αυτό ένας διακοπτικός χρόνος Θα συμβολίσουμε το σύνολο όλων των διακοπτικών σημάτων P με S P Ορισμός 4 (Λύση σε ένα διακοπτικό σύστημα) Έστω D, P ένα μη κενό υποσύνολο και έστω f : D, P, μια οικογένεια απεικονίσεων τέτοια ώστε κάθε f, P ικανοποιεί μια τοπική συνθήκη Lischitz, όπως στη () Για κάθε διακοπτικό σήμα λύση t ( t, s, ) στο πρόβλημα αρχικής τιμής S P ορίζουμε τη x f ( t, x), x(t ) με τον εξής τρόπο: Συμβολίζουμε με t, t, t, τους διακοπτικούς χρόνος του σε αύξουσα σειρά Αν t k είναι ο μεγαλύτερος διακοπτικός χρόνος, θέτουμε t k : και αν δεν υπάρχει διακοπτικός χρόνος εκτός από το μηδέν, θέτουμε t: Έστω s και k τέτοια ώστε tk s tk Τότε η ορίζεται αν συνενώσουμε τις τροχιές των συστημάτων x f (, x), P, χρησιμοποιώντας : ( t ) μεταξύ s και t k, : ( t k ) μεταξύ t k και t k, και γενικά : ( t i ) μεταξύ t i και t i, i k Αυτό επαγωγικά μπορεί να εκφραστεί ως εξής: Λύση προς τα εμπρός: (i) ( ts,, ), για κάθε s και κάθε D (ii) Συμβολίζουμε με y τη λύση στο πρόβλημα αρχικής τιμής x f ( s) ( t, x), x(s), στο διάστημα st, k, όπου k είναι τέτοιο ώστε tk s t k Ύστερα ορίζουμε την ( ts,, ) : στο t y() t με ( t, s, ) : y( t ) Αν η κλειστότητα του συνόλου του γραφήματος(y) είναι ένα συμπαγές υποσύνολο του s, t k D, τότε το όριο lim t t yt ( ) υπάρχει και είναι στο D και ορίζουμε ( t k k, s, ) : lim t t k y( t ) (iii) Έστω ότι η ( ti, s, ) D ορίζεται για κάποιο ακέραιο i k και ας συμβολίσουμε με y τη λύση στο πρόβλημα αρχικής τιμής x f ( t, x), x(t ) (t, s, ) ( ti ) i i στο διάστημα [ ti, t i ] Τότε ορίζουμε την ( ts,, ) στο t y() t με ( t, s, ) : y( t ) Αν η κλειστότητα του συνόλου του γραφήματος(y) είναι ένα συμπαγές υποσύνολο του t i, t D, τότε το όριο i lim t t yt ( ) υπάρχει και είναι i στο D και ορίζουμε ( ti, s, ) : lim t t i y( t )

13 Αναδρομική λύση: (i) ( ts,, ), για κάθε s και κάθε D (ii) Συμβολίζουμε με y τη λύση στο πρόβλημα αρχικής τιμής x f t ( t, x), x(s), ( k ) στο διάστημα tk, s, όπου k είναι τέτοιο ώστε tk s t k Ύστερα ορίζουμε την ( ts,, ) : στο t y() t με ( t, s, ) : y( t ) Αν η κλειστότητα του συνόλου του γραφήματος(y) είναι ένα συμπαγές υποσύνολο του tk, s D, τότε το όριο lim t t yt ( ) υπάρχει και είναι στο D και ορίζουμε ( t,, ) : lim ( ) k k s t t k y t (iii) Έστω ότι η ( ti, s, ) D ορίζεται για κάποιο ακέραιο I, i k και ας συμβολίσουμε με y τη λύση στο πρόβλημα αρχικής τιμής x f ( t, x), x(t ) (t, s, ) ( ti ) i i στο διάστημα [ ti, t i] Τότε ορίζουμε την ( ts,, ) στο t y() t με ( t, s, ) : y( t ) Αν η κλειστότητα του συνόλου του γραφήματος(y) είναι ένα συμπαγές υποσύνολο του t, t D, τότε το όριο i i lim t t yt ( ) υπάρχει και είναι i στο D και ορίζουμε ( ti, s, ) : lim t t i y( t ) Ορισμός 5 Έστω D, P ένα μη κενό υποσύνολο και έστω f : D, P, μια οικογένεια απεικονίσεων τέτοια ώστε κάθε f, P ικανοποιεί μια τοπική συνθήκη Lischitz, όπως στη () Το τυχαίο διακοπτικό σύστημα (arbitrary switched system) x f ( t, x), S P είναι απλώς η συλλογή όλων των διαφορικών εξισώσεων {x f ( t, x) : S P} των οποίων οι λύσεις ορίζονται στον Ορισμό 4 Η λύση στο τυχαίο διακοπτικό σύστημα είναι η συλλογή όλων των λύσεων των ατομικών διακοπτικών συστημάτων Θεώρημα 6 Ας θεωρήσουμε το διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5, έστω μια νόρμα στο, και ας υποθέσουμε ότι οι συναρτήσεις f ικανοποιούν τη συνθήκη Lischitz: υπάρχει σταθερά L τέτοια ώστε f ( t, x) f ( t, y) L x y για κάθε t, κάθε x, y D και κάθε P Έστω t,, D, έστω, S P, και ας υποθέσουμε ότι υπάρχει σταθερά τέτοια ώστε για κάθε t και κάθε x D f ( t, x) f ( t, y ) ( t) ( t) 3

14 Ας συμβολίσουμε τη λύση στο πρόβλημα αρχικής τιμής x f ( t, x), x(s ) με y: I και ας συμβολίσουμε τη λύση στο πρόβλημα αρχικής τιμής y x f s ( t, x), x(s ) με z: I Θέτουμε J I y I z και ας θέσουμε : Τότε η ανισότητα: z ισχύει για κάθε t J L t t L t t y(t)- z(t) e ( e ) L Ορισμός 7 Ένα γραμμικό διακοπτικό σύστημα (switched liear system) S :xt A( t)x( t), A(t) A {A,,A }, (3) όπου A είναι ένα σύνολο πινάκων στο και t A( t ) είναι μια σταθερή κατά τμήματα απεικόνιση από τους μη αρνητικούς πραγματικούς στο A Η αντίστοιχη κατά τμήματα συνεχής απεικόνιση (διακοπτικό σήμα) από το στο {,, m}είναι τέτοια ώστε A A () t t m Μια συνάρτηση x: καλείται λύση του γραμμικού διακοπτικού συστήματος (3) αν είναι συνεχής και κατά τμήματα συνεχώς διαφορίσιμη και αν υπάρχει διακοπτικό σήμα τέτοιο ώστε: x( t) A x( t ), για όλα τα t εκτός από τους διακοπτικούς χρόνους του Από συνθήκη θεωρούμε μόνο τα δεξιά-συνεχή διακοπτικά σήματα καθώς αυτό δεν αλλάζει το σύνολο των λύσεων Για i m το i-οστό σύστημα-συνιστώσα του γραμμικού διακοπτικού συστήματος είναι το γραμμικό χρονικά αναλλοίωτο (liear time-ivariat) σύστημα (LTI) : x A x A i Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το σύστημα (3) μπορεί να κατασκευαστεί με τη μετάβαση μεταξύ των συστημάτων-συνιστωσών LTI :,,, όπου οι μεταβάσεις συμβαίνουν στους διακοπτικούς χρόνους και η ακριβής φύση του διακοπτικού μοντέλου καθορίζεται από το διακοπτικό σήμα Για ένα δεδομένο διακοπτικό σήμα S, το γραμμικό διακοπτικό σύστημα εξελίσσεται όπως ένα LTI σύστημα μεταξύ δυο διαδοχικών διακοπτικών S χρόνων Έτσι, για κάθε διακοπτικό σήμα και αρχική συνθήκη x(), υπάρχει μια μοναδική, συνεχής και κατά τμήματα διαφορίσιμη λύση x(t), η οποία δίνεται από: 4 () t i A( )( ) A(t )( ) A(t )( ) A()( ) x(t)=[e t k t t k k k k e t t e t t e t ]x(), όπου t, t, είναι η ακολουθία των διακοπτικών χρόνων και t k είναι ο μεγαλύτερος διακοπτικός χρόνος που είναι μικρότερος από t Θα πρέπει να σημειώσουμε ότι η θεωρία ευστάθειας των γραμμικά διακοπτικών συστημάτων έχει συγγενική σχέση με τη θεωρία των γραμμικών διαφορικών A Am

15 εγκλεισμών (LDIs) Ο γραμμικός διαφορικός εγκλεισμός που σχετίζεται με το σύνολο A {A,,A m } συμβολίζεται με: x(t) {Ax(t) / A A } Μια λύση αυτού του εγκλεισμού είναι μια απόλυτα συνεχής συνάρτηση x που ικανοποιεί τη σχέση x(t) {Ax(t) / A A} σχεδόν παντού Έτσι η μελέτη του διαφορικού εγκλεισμού είναι ισοδύναμη με τη μελέτη μετρήσιμων συναρτήσεων Αν θεωρήσουμε τώρα το κυρτό περίβλημα του A, το οποίο συμβολίζουμε με cva και το διαφορικό εγκλεισμό x(t) {Ax(t) / A cv A } τότε οι λύσεις των συστημάτων που έχουμε μελετήσει μέχρι τώρα σχετίζονται στενά 3 Ευστάθεια συστημάτων Η έννοια της ευστάθειας και του σημείου ισορροπίας του συστήματος έχουν ως κίνητρο την επιθυμία μας να κρατήσουμε το δυναμικό σύστημα μέσα σε κάποια επιθυμητή κατάσταση ή τουλάχιστο κοντά σε μια τέτοια Ο όρος σημείο ισορροπίας ενός δυναμικού συστήματος χρησιμοποιείται για μία κατάσταση συστήματος η οποία δεν αλλάζει στη πορεία του χρόνου, δηλαδή αν ένα σύστημα είναι σε σημείο ισορροπίας τη χρονική στιγμή t=, τότε θα παραμείνει σε αυτή την κατάσταση για όλους τους χρόνους t> Ορισμός 8 Μια κατάσταση y στο χώρο-καταστάσεων ενός τυχαίου διακοπτικού συστήματος όπως αυτό περιγράφεται στον Ορισμό 5 καλείται σημείο ισορροπίας (equilibrium it) του συστήματος, αν και μόνο αν, f ( t, y ) για κάθε P και κάθε t Αν y είναι ένα σημείο ισορροπίας του τυχαίου διακοπτικού συστήματος του Ορισμού 5, τότε προφανώς το πρόβλημα αρχικής τιμής x f ( t, x), x() y έχει τη λύση x(t)=y, για κάθε t, ανεξάρτητα από το διακοπτικό σήμα S Ένα σύστημα στο πραγματικό κόσμο είναι πάντα υποκείμενο σε μεταβολές κατάστασης Υπάρχουν κάποιοι εξωτερικοί παράγοντες οι οποίοι είναι απρόβλεπτοι και δε μπορούν να μοντελοποιηθούν, κάποιες δυναμικές μπορεί να έχουν ελάχιστη επίδραση στη συμπεριφορά του συστήματος και για αυτό μπορούν να αγνοηθούν, κλπ Η έννοια της τοπικής ευστάθειας στη θεωρία των δυναμικών συστημάτων προέκυψε από την επιθυμία να παραμείνει η κατάσταση του συστήματος όσο το δυνατό πιο κοντά στο σημείο ισορροπίας μετά από μικρές διακυμάνσεις στη κατάσταση Για να είναι χρήσιμο ένα σύστημα θα πρέπει να έχει ως ένα βαθμό μια προβλέψιμη συμπεριφορά Η τοπική ευστάθεια λοιπόν είναι η ελάχιστη απαίτηση για σημείο ισορροπίας Οι πιο συνηθισμένοι ορισμοί σχετικοί με την ευστάθεια χαρακτηρίζονται από τη χρήση των λεγόμενων συναρτήσεων K, L και KL 5

16 Ορισμός 9 Οι κλάσεις συναρτήσεων K, L και KL ορίζονται ως εξής: (i) Μια συνεχής συνάρτηση : λέγεται ότι είναι κλάσης K, αν και μόνο αν, (), είναι γνησίως αύξουσα, και lim ( r ) r (ii) Μια συνεχής συνάρτηση : λέγεται ότι είναι κλάσης L, αν και μόνο αν, (), είναι γνησίως φθίνουσα, και lim ( r ) r (iii) Μια συνεχής συνάρτηση : λέγεται ότι είναι κλάσης KL, αν και μόνο αν, για κάθε προκαθορισμένο s, η απεικόνιση r ( r, s ) είναι κλάσης K, και για κάθε προκαθορισμένο r, η απεικόνιση s ( r, s ) είναι κλάσης L Ορισμός Ας υποθέσουμε ότι η αρχή (rigi) είναι ένα σημείο ισορροπίας του τυχαίου διακοπτικού συστήματος του Ορισμού 5, ας συμβολίσουμε με τη λύση στο σύστημα, και έστω μια τυχαία νόρμα στο (i) (ii) (iii) H αρχή λέμε ότι είναι ένα ομοιόμορφα ευσταθές σημείο ισορροπίας (uifrmly stable equilibrium it) του τυχαίου διακοπτικού συστήματος σε μια περιοχή N D της αρχής, αν και μόνο αν, υπάρχει κάποια K τέτοια ώστε για κάθε S P, κάθε t t, και κάθε N ισχύει η ακόλουθη ανισότητα: ( tt,, ) ( ) H αρχή λέμε ότι είναι ένα ομοιόμορφα ασυμπτωτικά ευσταθές σημείο ισορροπίας (uifrmly asymttically stable equilibrium it) του τυχαίου διακοπτικού συστήματος σε μια περιοχή N D της αρχής, αν και μόνο αν, υπάρχει κάποια KL τέτοια ώστε για κάθε S P, κάθε t t, και κάθε N ισχύει η ακόλουθη ανισότητα: ( t, t, ) (, t t ) H αρχή λέμε ότι είναι ένα ομοιόμορφα εκθετικά ευσταθές σημείο ισορροπίας (uifrmly exetially stable equilibrium it) του τυχαίου διακοπτικού συστήματος σε μια περιοχή N D της αρχής, αν και μόνο αν, υπάρχουν κάποιες σταθερές k, > τέτοιες ώστε για κάθε S P, κάθε t t, και κάθε N ισχύει η ακόλουθη ανισότητα: ( t, t, ) ke ( t t ) Οι παραπάνω ορισμοί δείχνουν ότι αν η αρχή είναι ένα ομοιόμορφα εκθετικά ευσταθές σημείο ισορροπίας του τυχαίου διακοπτικού συστήματος του Ορισμού 5 στη περιοχή N, τότε η αρχή είναι επίσης ένα ομοιόμορφα ασυμπτωτικά ευσταθές σημείο ισορροπίας στο N, και αν η αρχή είναι ένα ομοιόμορφα ασυμπτωτικά ευσταθές σημείο ισορροπίας του τυχαίου διακοπτικού συστήματος του Ορισμού 5 στη περιοχή N, τότε η αρχή είναι επίσης ένα ομοιόμορφα ευσταθές σημείο ισορροπίας στο N 6

17 Αν το τυχαίο διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5 είναι αυτόνομο (autmus), τότε οι παραπάνω έννοιες ευστάθειας για το σημείο ισορροπίας είναι ανεξάρτητες από το t και για αυτό οι ορισμοί απλοποιούνται Ορισμός Ας υποθέσουμε ότι η αρχή (rigi) είναι ένα σημείο ισορροπίας του τυχαίου διακοπτικού συστήματος του Ορισμού 5, ας συμβολίσουμε με τη λύση στο σύστημα, και έστω σύστημα είναι αυτόνομο μια τυχαία νόρμα στο Ας υποθέσουμε επίσης ότι το (i) (ii) (iii) H αρχή λέμε ότι είναι ένα ευσταθές σημείο ισορροπίας (stable equilibrium it) του τυχαίου διακοπτικού συστήματος (αυτόνομου) σε μια περιοχή N D της αρχής, αν και μόνο αν, υπάρχει κάποια K τέτοια ώστε για κάθε S, κάθε t, και κάθε N ισχύει η ακόλουθη ανισότητα: P ( t, ) ( ) H αρχή λέμε ότι είναι ένα ασυμπτωτικά ευσταθές σημείο ισορροπίας (asymttically stable equilibrium it) του τυχαίου διακοπτικού συστήματος σε μια περιοχή N D της αρχής, αν και μόνο αν, υπάρχει κάποια KL τέτοια ώστε για κάθε S P, κάθε t, και κάθε N ισχύει η ακόλουθη ανισότητα: ( t, ) (, t ) H αρχή λέμε ότι είναι ένα εκθετικά ευσταθές σημείο ισορροπίας (exetially stable equilibrium it) του τυχαίου διακοπτικού συστήματος σε μια περιοχή N D της αρχής, αν και μόνο αν, υπάρχουν κάποιες σταθερές k, > τέτοιες ώστε για κάθε S P, κάθε t, και κάθε N ισχύει η ακόλουθη ανισότητα: t ( t, ) ke Το σύνολο αυτών των σημείων στο χώρο-καταστάσεων ενός δυναμικού συστήματος, τα οποία έλκονται σε ένα σημείο ισορροπίας από τις δυναμικές του συστήματος είναι πολύ μεγάλης σημασίας Καλείται ελκτικό σύνολο του σημείου ισορροπίας και για μη αυτόνομα συστήματα μπορεί να εξαρτάται από τον αρχικό χρόνο 4 Ελκτικό σύνολο του σημείου ισορροπίας Ορισμός Ας υποθέσουμε ότι το y= είναι ένα σημείο ισορροπίας του τυχαίου διακοπτικού συστήματος του Ορισμού 5 και έστω η λύση στο σύστημα Για κάθε t το σύνολο t R : { D : lim su ( t, t, ), για S } Att t καλείται ελκτικό σύνολο (basi f attracti), ως προς το t, του σημείου ισορροπίας στην αρχή P 7

18 T ελκτικό σύνολο R Att του σημείου ισορροπίας στην αρχή ορίζεται από t R : R Att t Έτσι, για το τυχαίο διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5, R Att συνεπάγεται ότι lim ( t, t, ), για S, και t t Att P 5 Παράδειγμα: Χημειοστάτης Ο προσδιορισμός του ελκτικού συνόλου επιτυγχάνεται από μια συνάρτηση uv Ας θεωρήσουμε την εξής κατάσταση: έστω ένα δοχείο το οποίο είναι γεμάτο από ένα υγρό το οποίο αποτελείται από κάποιο θρεπτικό υλικό και από βακτήρια, και έστω ότι τη χρονική στιγμή t οι αντίστοιχες συγκεντρώσεις των δύο ουσιών δίνονται από τις συναρτήσεις xt () και yt () Αυτή η οικογένεια μοντέλων καλείται χημειοστάτης Το δοχείο γεμίζει με το θρεπτικό υλικό με σταθερό ρυθμό και το μείγμα αδειάζει από το δοχείο με τον ίδιο ρυθμό Έτσι, ο όγκος του υγρού στο δοχείο παραμένει σταθερός Στο τέλος τα βακτήρια y καταναλώνουν το θρεπτικό υλικό x, δηλαδή το y αυξάνεται ενώ το x μειώνεται Το παρακάτω πλαίσιο μπορεί να περιγράψει τους εξαρτώμενους από το χρόνο, ρυθμούς μεταβολής της συγκέντρωσης των x και y : x (θρεπτικό υλικό) : ρυθμός μεταβολής= είσοδος απόπλυση - κατανάλωση y (βακτήρια): ρυθμός μεταβολής = - απόπλυση + κατανάλωση Ο ρυθμός μεταβολής οδηγεί στο παρακάτω σύστημα των συνήθων διαφορικών εξισώσεων: x x a( x) y y y a( x) y Όσο μεγαλύτερη είναι η συγκέντρωση των βακτηρίων y τόσο μεγαλύτερη είναι η κατανάλωση Η εξάρτηση της κατανάλωσης από το θρεπτικό υλικό x μπορεί x να μοντελοποιηθεί από τη μη μονότονη συνάρτηση ax ( ) Έτσι, μια x x 6 4 υψηλή συγκέντρωση του θρεπτικού υλικού έχει ανασταλτικό αποτέλεσμα Η λύση ενός τέτοιου συστήματος διαφορικών εξισώσεων είναι μοναδική, αν οι αρχικές συγκεντρώσεις του θρεπτικού υλικού και των βακτηρίων, x () και y () αντίστοιχα, είναι γνωστές για τη χρονική στιγμή t Ας θεωρήσουμε το δεξιό μέλος της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης ως ένα x a( x) y διανυσματικό πεδίο f ( xy, ) Σε κάθε ζεύγος ( xy, ) τα βέλη στο y a( x) y παρακάτω σχήμα δηλώνουν τον απειροελάχιστο ρυθμό μεταβολής, στον οποίο η λύση είναι εφαπτομενική 8

19 Σε αυτό το μοντέλο δεν υπάρχουν αρνητικές συγκεντρώσεις και αυτό απεικονίζεται στις εξισώσεις Οι λύσεις που ξεκινούν στο σύνολο S {( x, y) / x, y } δεν αφήνουν το σύνολο σε κάποιο μελλοντικό χρόνο γιατί το διανυσματικό πεδίο στο φράγμα του S δείχνει προς τα μέσα Έτσι το σύνολο S καλείται θετικώς σταθερό Τα ζεύγη ( xy, ) για το οποία f ( xy, ) είναι τα σημεία ισορροπίας Αν ξεκινήσει κάποιος από αυτά τα σημεία θα παραμείνει εκεί για όλες τις θετικές χρονικές στιγμές Στο παράδειγμα του Σχήματος έχουμε τρεις καταστάσεις ισορροπίας, τις x,, x, και x, Αν οι αρχικές συγκεντρώσεις είναι ίσες με κάποια από τα παραπάνω σημεία ισορροπίας, τότε οι συγκεντρώσεις παραμένουν ίδιες Τι συμβαίνει όμως στη περίπτωση που οι αρχικές συγκεντρώσεις είναι γειτονικές σε αυτές τις συγκεντρώσεις που είναι σημεία ισορροπίας; Αν όλες οι γειτονικές συγκεντρώσεις προσεγγίζουν τη συγκέντρωση που είναι σημείο ισορροπίας για t, τότε το σημείο ισορροπίας καλείται ασυμπτωτικά ευσταθές Αν απομακρύνονται από τη συγκέντρωση που είναι σημείο ισορροπίας, τότε το σημείο ισορροπίας καλείται ασταθές Στο παράδειγμα του Σχήματος, το x (γκρι σημείο στο σχήμα) είναι ασταθές, ενώ τα x και x (μαύρα σημεία στο σχήμα) είναι ασυμπτωτικά ευσταθή Η ευστάθεια του σημείου ισορροπίας μπορεί συχνά να ελεγχθεί από την γραμμικοποίηση, δηλαδή από την μελέτη του Ιακωβιανού πίνακα Df ( x ) Γνωρίζουμε ότι λύσεις με αρχικές συγκεντρώσεις κοντά στο ασυμπτωτικά ευσταθές σημείο ισορροπίας x τείνουν στο x Μας ενδιαφέρει λοιπόν να προσδιορίσουμε το ελκτικό σύνολο Ax ( ) του x Στο παράδειγμά μας το Ax ( ) περιγράφει το σύνολο των αρχικών συγκεντρώσεων έτσι ώστε οι συγκεντρώσεις των θρεπτικών ουσιών και των βακτηρίων να τείνουν στο x, το οποίο σημαίνει ότι η συγκέντρωση των βακτηρίων τείνει σε μια σταθερή θετική τιμή Αν όμως οι αρχικές συγκεντρώσεις είναι μέσα στο Ax ( ), τότε οι λύσεις τείνουν στο x, δηλαδή τα βακτήρια στο τέλος θα εξαφανιστούν Ο προσδιορισμός του ελκτικού συνόλου επιτυγχάνεται από μια συνάρτηση uv Η συνάρτηση uv είναι μια βαθμωτή συνάρτηση η οποία μειώνεται κατά μήκος των λύσεων της διαφορικής εξίσωσης Αυτό μπορεί να επιβεβαιωθεί αφού η παράγωγος κατά μήκος των λύσεων είναι αρνητική Η συνάρτηση uv μας επιτρέπει να καθορίσουμε ένα υποσύνολο K του ελκτικού συνόλου από τα υποεπίπεδα σύνολα Τα υποεπίπεδα σύνολα είναι επίσης θετικά αναλλοίωτα, δηλαδή οι λύσεις δεν αφήνουν αυτά τα σύνολα σε θετικά χρονικά σημεία 9

20 Σχήμα Αριστερά: το διανυσματικό πεδίο f ( xy, ) (τόξα με κανονικοποιημένο μήκος) και τα 3 σημεία ισορροπίας: x (ασταθές, με γκρι), x και x ( ασυμπτωτικώς ευσταθές, με μαύρο) Δεξιά: τα τρία σημεία ισορροπίας και η τοπική συνάρτηση uv v : το πρόσημο της παραγώγου v ( x, y ) (με γκρι) και τα σύνολα επιπέδων v( x, y ) =5,, 5, (με μαύρο), τα οποία είναι ελλείψεις Τα υποεπίπεδα σύνολα είναι υποσύνολα του ελκτικού συνόλου Ax ( ) Πρέπει να επισημάνουμε ότι δεν υπάρχει μια γενική κατασκευαστική μέθοδος για συναρτήσεις uv Για παράδειγμα, τοπικά, δηλαδή σε μια γειτονιά του σημείου ισορροπίας, η τοπική συνάρτηση uv μπορεί να υπολογισθεί με τη γραμμικοποίηση του διανυσματικού πεδίου f Στο Σχήμα αριστερά, απεικονίζεται T η τοπική συνάρτηση uv v( x) ( x x) ( x x ) Σχήμα Αριστερά: διάγραμμα για τη τοπική συνάρτηση uv v Σημειώνουμε ότι η v είναι τετραγωνικής μορφής Δεξιά: Διάγραμμα της υπολογισμένης συνάρτησης uv v

21 Στο σχήμα δεξιά, μπορούμε να δούμε ότι η παράγωγος κατά μήκος των τροχιών στη περιοχή της κατάστασης ισορροπίας, v ', είναι αρνητική κοντά στο x (με γκρι) και έτσι τα υποεπίπεδα σύνολα του v (με μαύρο) είναι υποσύνολα του ελκτικού συνόλου Σε αυτή την εργασία θα παρουσιάσουμε μεθόδους κατασκευής συναρτήσεων uv ώστε να καθορίσουμε μεγαλύτερα υποσύνολα του ελκτικού συνόλου Στο Σχήμα δεξιά, απεικονίζεται μια υπολογισμένη συνάρτηση uv v Στο Σχήμα 3 δεξιά, βλέπουμε το πρόσημο της παραγώγου κατά μήκος των τροχιών στη περιοχή της κατάστασης ισορροπίας και ορισμένα υποεπίπεδα σύνολα του v Το Σχήμα 3 αριστερά, συγκρίνει τα μεγαλύτερα υποεπίπεδα σύνολα της τοπικής και της υπολογισμένης συνάρτησης uv Η ιδέα της μεθόδου προκύπτει από μια συγκεκριμένη συνάρτηση uv Παρότι η κατασκευή μιας συνάρτησης uv είναι δύσκολη, υπάρχουν θεωρήματα τα οποία αποδεικνύουν την ύπαρξη των συναρτήσεων αυτών Οι συναρτήσεις uv που μελετούμε ικανοποιούν εξισώσεις για τις παραγώγους κατά μήκος των τροχιών στη περιοχή της κατάστασης ισορροπίας, έτσι στο συγκεκριμένο παράδειγμα η συνάρτηση uv V ικανοποιεί την εξίσωση V '( x) x x, όπου V ' δηλώνει την παράγωγο κατά μήκος των τροχιών στη περιοχή της κατάστασης ισορροπίας, η οποία δίνεται από '( ) ( ) V V x f ( ) i i x x xi Η V λοιπόν είναι η λύση μιας μερικής διαφορικής εξίσωσης πρώτου βαθμού Σχήμα 3 Αριστερά: τα 53 σημεία του πλέγματος (με μαύρο +) για την προσέγγιση με τη χρήση συναρτήσεων ακτινωτής βάσης και το πρόσημο της παραγώγου κατά μήκος των τροχιών στη περιοχή της κατάστασης ισορροπίας, v'( x, y ) (με γκρι), όπου v είναι η υπολογισμένη συνάρτηση uv μέσω των συναρτήσεων ακτινωτής βάσης Δεξιά: το πρόσημο της παραγώγου κατά μήκος των τροχιών στη περιοχή της κατάστασης ισορροπίας, v'( x, y ) (με γκρι), τα σύνολα των επιπέδων v( x, y ) =-7, -75, -8, -85, -9, -95, όπου v η υπολογισμένη συνάρτηση uv μέσω συναρτήσεων ακτινωτής βάσης (με μαύρο), και το υποεπίπεδο σύνολο v( x, y ) 5 της τοπικής συνάρτησης uv (λεπτή μαύρη έλλειψη) Αυτό το υποεπίπεδο σύνολο

22 καλύπτει τα σημεία όπου v'( x, y ) Έτσι, τα υποεπίπεδα σύνολα της υπολογισμένης συνάρτησης uv είναι υποσύνολα του ελκτικού συνόλου Ax ( ) Προσεγγίζουμε τη λύση V χρησιμοποιώντας συναρτήσεις ακτινωτής βάσης και έτσι καταφέρνουμε τη προσέγγιση v Οι εκτιμήσεις σφάλματος για τη παράγωγο κατά μήκος των τροχιών στη περιοχή της κατάστασης ισορροπίας, εξασφαλίζουν ότι v'( x ) και έτσι η προσέγγιση v είναι μια συνάρτηση uv Για μια προσέγγιση μέσω συναρτήσεων ακτινωτής βάσης, κατασκευάζουμε τη συνάρτηση ακτινωτής βάσης ( x ) και ένα πλέγμα από διασκορπισμένα σημεία X,, N x x N Σε αυτή την εργασία επιλέγουμε την οικογένεια συναρτήσεων Wedlad lk, προκειμένου να ορίσουμε τη συνάρτηση ακτινωτής βάσης, ως ( x) ( c x ) Χρησιμοποιούμε μια συγκεκριμένη υπόθεση για τη συνάρτηση lk, προσέγγισης v και διαλέγουμε τους συντελεστές έτσι ώστε η v να ικανοποιεί τη μερική διαφορική εξίσωση πλέγματος v ( x ) x x για όλα τα σημεία xj X N του j j Σχήμα 4 Αριστερά: σύγκριση δύο υποσυνόλων του ελκτικού συνόλου μέσω της τοπικής συνάρτησης uv (με λεπτή μαύρη γραμμή) και μέσω της υπολογισμένης συνάρτησης uv (με μαύρο) Δεξιά: το διανυσματικό πεδίο του ελκτικού συνόλου μέσω της υπολογισμένης συνάρτησης uv Τα υποσύνολα είναι θετικώς αναλλοίωτα-το διανυσματικό πεδίο δείχνει προς τα μέσα Το σχήμα 3 αριστερά, απεικονίζει τα σημεία πλέγματος (με μαύρο +) τα οποία χρησιμοποιήθηκαν για τον υπολογισμό του v Το πρόσημο του v ' είναι αρνητικό στα σημεία πλέγματος λόγω της υπόθεσης και της εκτίμησης σφάλματος Η v'( x ) είναι θετική κοντά στο σημείο ισορροπίας x, αλλά αυτή η περιοχή καλύπτεται από την τοπική περιοχή uv (σχήμα 3 δεξιά) Έτσι, τα υποεπίπεδα σύνολα του v είναι υποσύνολα του ελκτικού συνόλου Στο σχήμα 4 αριστερά, απεικονίζεται η υπολογισμένη συνάρτηση uv v, που καθορίζει ένα μεγαλύτερο υποσύνολο του ελκτικού συνόλου από την τοπική συνάρτηση uv v Όλα αυτά τα

23 υποεπίπεδα σύνολα είναι υποσύνολα του ελκτικού συνόλου και ακόμη θετικώς αναλλοίωτα, δηλαδή το διανυσματικό πεδίο στο επίπεδο των συνόλων των σημείων δείχνει προς τα μέσα (σχήμα 4, δεξιά) Έτσι, στο συγκεκριμένο παράδειγμα του χημειοστάτη έχουμε καθορίσει υποσύνολα του ελκτικού συνόλου του x (σχήμα 4) Αν οι αρχικές συγκεντρώσεις στο δοχείο ανήκουν σε ένα τέτοιο σύνολο, τότε οι λύσεις τείνουν στο σημείο ισορροπίας x και τα βακτήρια δεν εξαφανίζονται 3

24 Κεφάλαιο : Συναρτήσεις uv Άμεση μέθοδος uv Ο Ρώσος μαθηματικός και μηχανικός Alexadr Mikhailvich uv δημοσίευσε το 89 μια επαναστατική εργασία πάνω στην ευστάθεια της κίνησης, όπου εισήγαγε δυο μεθόδους για τη μελέτη της ευστάθειας συνεχών δυναμικών συστημάτων Η πιο σημαντική από αυτές τις μεθόδους, η οποία είναι γνωστή ως δεύτερη μέθοδος του uv ή άμεση μέθοδος uv, μας επιτρέπει να αποδείξουμε την ευστάθεια του σημείου ισορροπίας της x f( t, x) () χωρίς να ολοκληρώσουμε τη διαφορική εξίσωση Η μέθοδος αναφέρει ότι αν y είναι ένα σημείο ισορροπίας του συστήματος, V C ( D ) είναι μια θετικά ορισμένη συνάρτηση, δηλαδή υπάρχουν συναρτήσεις, K τέτοιες ώστε ( x ) V( t, x) ( x ) για κάθε x D και κάθε t, και είναι η λύση στη συνήθη διαφορική εξίσωση (), τότε το σημείο ισορροπίας είναι ομοιόμορφα ασυμπτωτικά ευσταθές, αν υπάρχει ένα K, τέτοιο ώστε η ανισότητα d V V ( t, ( t, t, )) [ xv ]( t, ( t, t, )) f ( t, ( t, t, )) ( t, ( t, t, )) ( ( t, ( t, t, )) ) dt t την οποία ας ονομάσουμε (), ισχύει για όλα τα ( tt,, ) σε μια ανοιχτή περιοχή N D του σημείου ισορροπίας y Σε αυτή την περίπτωση το σημείο ισορροπίας είναι ομοιόμορφα ασυμπτωτικώς ευσταθές σε μια περιοχή, η οποία εξαρτάται από το V, στην αρχή Η συνάρτηση V η οποία ικανοποιεί την () λέγεται ότι είναι μια συνάρτηση uv για την () Η άμεση μέθοδος uv περιλαμβάνεται σχεδόν σε όλη τη σύγχρονη βιβλιογραφία μη γραμμικών συστημάτων και θεωρίας ελέγχου Σε αυτή την ενότητα αποδεικνύουμε ότι αν η παράγωγος ως προς το χρόνο στις παραπάνω ανισότητες αντικατασταθεί από μια παράγωγο Dii ως προς t, τότε η υπόθεση V C ( D ) μπορεί να αντικατασταθεί με τη λιγότερο αυστηρή υπόθεση, η V να είναι απλώς συνεχής Γενικεύουμε επίσης τα αποτελέσματα μας για τυχαία διακοπτικά συστήματα Θεώρημα Ας θεωρήσουμε ότι το διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5 έχει ένα σημείο ισορροπίας στην αρχή Έστω μια νόρμα στο και έστω R μια σταθερά τέτοια ώστε η κλειστότητα της μπάλας,r είναι ένα υποσύνολο του D Έστω V : μια συνεχής συνάρτηση και ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν, R συναρτήσεις, K τέτοιες ώστε ( ) Vt (, ) ( ) 4

25 για κάθε t και κάθε Ας συμβολίσουμε με τη λύση της εξίσωσης του,r συστήματος και ας θέσουμε d: ( ( R )) Τέλος, έστω D { D, D, D, D } μια παράγωγος κατά Dii ως προς το χρόνο t, το οποίο σημαίνει, για παράδειγμα για D D, ότι V ( t h, ( t h, t, )) V ( t, ( t, t, )) D [ V ( t, ( t, t, ))]: lim su h h Τότε ισχύουν οι παρακάτω προτάσεις: (i) Αν για κάθε S P, κάθε D, και κάθε t t, τέτοια ώστε ( tt,, ), η ανισότητα, R D [ V ( t, ( t, t, ))] (3) ισχύει, τότε η αρχή είναι ένα ομοιόμορφα ευσταθές σημείο ισορροπίας του διακοπτικού συστήματος του Ορισμού 5 στο,d (ii) Αν υπάρχει μια συνάρτηση K, με την ιδιότητα ότι για κάθε S P, κάθε D, και κάθε t t, τέτοια ώστε ( tt,, ), η ανισότητα, R D [ V( t, ( t, t, ))] ( ( t, t, ) ) (4) ισχύει, τότε η αρχή είναι ένα ομοιόμορφα ευσταθές σημείο ισορροπίας του διακοπτικού συστήματος του Ορισμού 5 στο,d Η συνάρτηση V στο προηγούμενο θεώρημα ονομάζεται συνάρτηση uv για το διακοπτικό σύστημα του ορισμού 5 Ορισμός Ας υποθέσουμε ότι το διακοπτικό σύστημα του ορισμού 5 έχει ένα σημείο ισορροπίας στην αρχή Ας συμβολίσουμε με τη λύση της εξίσωσης του συστήματος και έστω κλειστότητα της μπάλας μια νόρμα στο,r Έστω R μια σταθερά τέτοια ώστε η είναι ένα υποσύνολο του D Μια συνεχής συνάρτηση V : ονομάζεται συνάρτηση uv για το διακοπτικό σύστημα, R στο, αν και μόνο αν, υπάρχει μια παράγωγος κατά Dii D { D, D, D, D },R ως προς το χρόνο t, και συναρτήσεις,, K με τις εξής ιδιότητες: (L) (L) ( ) Vt (, ) ( ) για κάθε t και κάθε,r για κάθε D [ V( t, ( t, t, ))] ( ( t, t, ) ) S P, κάθε D, και κάθε t t, τέτοια ώστε ( tt,, ), R H άμεση μέθοδος uv (θεώρημα ) μπορεί λοιπόν μέσω του Ορισμού να ξαναδιατυπωθεί ως εξής: 5

26 Έστω ότι το διακοπτικό σύστημα του ορισμού 5 έχει ένα σημείο ισορροπίας στην αρχή και ότι υπάρχει μια συνάρτηση uv, η οποία ορίζεται στη μπάλα,r, της οποίας η κλειστότητα είναι υποσύνολο του D, για το σύστημα Τότε υπάρχει μια d, d R, τέτοια ώστε η αρχή είναι ένα ομοιόμορφα ασυμπτωτικώς ευσταθές σημείο ισορροπίας του συστήματος στη μπάλα (το οποίο συνεπάγεται ότι το,r είναι ένα υποσύνολο του ελκτικού συνόλου του σημείου ισορροπίας) Αν οι συναρτήσεις,,της συνθήκης (L) της συνάρτησης uv είναι γνώστες, τότε μπορούμε να πάρουμε d: ( ( R )),R Συναρτήσεις uv Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα που μπορεί να περιγράψει την ιδέα για μια συνάρτηση uv είναι το εξής: Ας θεωρήσουμε μια βαριά μπάλα σε μια βραχώδη περιοχή και τη βαρύτητα που επιδρά πάνω της Το βαθύτερο σημείο μιας κοιλάδας αντιστοιχεί σε ένα ασυμπτωτικά ευσταθές σημείο ισορροπίας, με την έννοια ότι αν ξεκινήσει η μπάλα από αυτό το σημείο, τότε θα παραμείνει εκεί για όλα τα χρονικά σημεία Στην περίπτωση που η μπάλα ξεκινήσει κοντά στο σημείο ισορροπίας της κοιλάδας, τότε η μπάλα παραμένει κοντά στο σημείο ισορροπίας (ευστάθεια), και ακόμη τείνει προς το σημείο ισορροπίας σε χρονικά σημεία τα οποία τείνουν στο άπειρο (ελκτικότητα) Το ελκτικό σύνολο αποτελείται από όλα εκείνα τα αρχικά σημεία, τέτοια ώστε, η μπάλα να τείνει προς το σημείο ισορροπίας Η συνάρτηση uv λοιπόν σε αυτό το παράδειγμα αντιστοιχεί στο ύψος Ο κλασσικός ορισμός για τη συνάρτηση uv είναι μια συνάρτηση Q : η οποία (i) έχει ένα αυστηρά τοπικό ελάχιστο στο x και (ii) ελαττώνεται κατά μήκος των λύσεων Στο παράδειγμά μας η πρώτη ιδιότητα για συνάρτηση uv ικανοποιείται αφού x είναι το βαθύτερο σημείο μιας κοιλάδας και η δεύτερη ιδιότητα ικανοποιείται από την βαρύτητα η οποία αναγκάζει την μπάλα να χάσει ύψος Για διαφορικές εξισώσεις που μοντελοποιούν μια σχεδιαστική φυσική κατάσταση, η ενέργεια είναι υποψήφια για μια συνάρτηση uv αφού μειώνεται κατά μήκος των λύσεων λόγω της σχεδιαστικότητας του συστήματος Έτσι, οι λύσεις τείνουν σε ένα τοπικό ελάχιστο της ενέργειας (i) Για συγκεκριμένα παραδείγματα, η ιδιότητα (ii) μπορεί να ελεγχθεί χωρίς κάποιος να υπολογίσει σαφώς την λύση: η παράγωγος κατά μήκος των τροχιών στη περιοχή της κατάστασης ισορροπίας θα πρέπει να είναι αρνητική, δηλαδή Q'( x ) για x x Μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε την συνάρτηση uv για να προσδιορίσουμε ένα υποσύνολο του ελκτικού συνόλου Το υποεπίπεδο σύνολο { x B / Q( x) R }, όπου B είναι κάποια γειτονιά του x, είναι ένα υποσύνολο του ελκτικού συνόλου με την προϋπόθεση ότι η Q'( x) είναι εκεί αρνητική Αυτό το σύνολο είναι θετικώς αναλλοίωτο, δηλαδή οι λύσεις οι οποίες ξεκινούν από το σύνολο δεν το αφήνουν σε μελλοντικές χρονικές στιγμές 6

27 Σε αυτή την ενότητα θα δώσουμε ένα λίγο διαφορετικό ορισμό για μια συνάρτηση uv Ονομάζουμε μια συνάρτηση Q C (, ), συνάρτηση uv αν υπάρχει μια γειτονιά K του x με Q'( x ) για κάθε x K \{ x } Μια συνάρτηση Q C (, ) και ένα συμπαγές σύνολο K, με x K ονομάζονται αντίστοιχα συνάρτηση uv Q με περιοχή uv K, αν υπάρχει μια ανοιχτή γειτονιά B του K, τέτοια ώστε, να ικανοποιούνται οι παρακάτω δυο συνθήκες: (i) υποεπίπεδο σύνολο: K { x B / Q( x) R } και (ii) αρνητική παράγωγος κατά μήκος των τροχιών στη περιοχή της κατάστασης ισορροπίας Q'( x ) ισχύει για κάθε x K \{ x } Παρατηρούμε ότι αν συγκρίνουμε τον παραπάνω ορισμό με τον κλασσικό ορισμό μιας συνάρτησης uv, η μόνη υπόθεση που χρειάζεται να κάνουμε αφορά την συνθήκη (ii) και την παράγωγο κατά μήκος των τροχιών στη περιοχή της κατάστασης ισορροπίας Όσο αφορά τη συνθήκη (i) (η Q έχει ένα αυστηρώς τοπικό ελάχιστο στο x ), αποδεικνύεται σε παρακάτω θεώρημα ότι αυτή είναι συνέπεια του πιο πάνω ορισμού μιας συνάρτησης uv Q και μιας περιοχής uv K Το ίδιο θεώρημα αναφέρει ότι μια περιοχή uv K είναι πάντα ένα υποσύνολο του ελκτικού συνόλου Έτσι σκοπός μας είναι να βρούμε ένα ζεύγος από μια συνάρτηση uv και από μια περιοχή uv Τα σύνολα επιπέδων μιας συνάρτησης uv με εκθετικά ασυμπτωτικώς ευσταθές σημείο ισορροπίας είναι αμφιδιαφορίσιμα με το S, όπως θα δείξουμε σε παρακάτω θεώρημα Έτσι, αν δίνεται μια συνάρτηση uv με αρνητική παράγωγο κατά μήκος των τροχιών στη κατάσταση ισορροπίας στο K\{ x }, όπου K είναι ένα συμπαγές σύνολο, γειτονιά του x, υπάρχει μια αντίστοιχη περιοχή uv, η οποία φθάνει μέχρι το σύνορο του K Για αυτό, μια συνάρτηση uv για ένα εκθετικά ασυμπτωτικά ευσταθές σημείο ισορροπίας παρέχει μια περιοχή uv και έτσι ένα υποσύνολο του ελκτικού συνόλου Βασικός μας στόχος είναι να βρούμε μια συνάρτηση uv, δηλαδή μια συνάρτηση με αρνητική παράγωγο κατά μήκος των τροχιών στη κατάσταση ισορροπίας Όπως επισημάναμε στη προηγούμενη ενότητα ο uv χρησιμοποίησε αυτές τις συναρτήσεις για την ανάλυση της ευστάθειας του σημείου ισορροπίας και χρησιμοποίησε μόνο την ίδια τη διαφορική εξίσωση Ο uv απέδειξε ότι μια αυστηρή (κλασσική) συνάρτηση uv συνεπάγεται την ασυμπτωτική ευστάθεια του σημείου ισορροπίας Κλασσικά, μια συνάρτηση Q C (, ) ονομάζεται αυστηρή συνάρτηση uv για ένα σημείο ισορροπίας x αν ισχύουν και οι δυο παρακάτω συνθήκες: (i) η ανισότητα Q'( x ) ισχύει για κάθε x K \{ x } και (ii) η ανισότητα Q( x) Q( x ) ισχύει για κάθε x K \{ x }, όπου K είναι κάποια γειτονιά του x Τότε το x είναι ένα ασυμπτωτικά ευσταθές σημείο ισορροπίας 7

28 Η ιδέα για την απόδειξη βασίζεται στο ότι οι λύσεις κοντά στο x μειώνονται κατά μήκος των λύσεων και έτσι τείνουν στο ελάχιστο, το οποίο είναι το x Θα χρησιμοποιήσουμε τον παρακάτω ορισμό για μια συνάρτηση uv Ορισμός (Συνάρτηση uv) Έστω x ένα σημείο ισορροπίας του συστήματος και έστω B ένα ανοιχτό σύνολο με f ( ), f ( x x C, ) x B Μια συνάρτηση Q C ( B, ) ονομάζεται συνάρτηση uv αν υπάρχει ένα σύνολο K ώστε, Q'( x ) για κάθε x K \{ x } B με x K, τέτοιο Σχόλιο Αν το σύνολο K είναι μικρό, θα ονομάζουμε την Q τοπική συνάρτηση uv (lcal uv fucti) Αν υπάρχει μια περιοχή E K του x (εξαιρετικό σύνολο) τέτοια ώστε να ισχύει Q'( x ) για κάθε x K \ E, τότε η Q ονομάζεται μη τοπική συνάρτηση uv (-lcal uv fucti) Να σημειώσουμε εδώ ότι μια τέτοια συνάρτηση δεν είναι μια συνάρτηση uv με την έννοια του Ορισμού Αν όμως έχουμε επιπλέον πληροφορίες για το σύνολο E, για παράδειγμα από μια τοπική συνάρτηση uv, τότε μπορούμε να βγάλουμε παρόμοια συμπεράσματα όπως στην περίπτωση μιας συνάρτησης uv στον Ορισμό 5 και στο Θεώρημα 6 Αν ακόμη υποθέσουμε ότι το σύνολο K του ορισμού είναι ένα συμπαγές υποεπίπεδο σύνολο της Q, για παράδειγμα K { x B / Q( x) R }, τότε η δεύτερη ιδιότητα των κλασσικών συναρτήσεων uv ( Q( x) Q( x ) για κάθε x K \{ x }) είναι μια συνέπεια (Θεώρημα 4), το σημείο ισορροπίας x είναι ασυμπτωτικά ευσταθές και K είναι ένα υποσύνολο του ελκτικού συνόλου Ax ( ) Ένα τέτοιο συμπαγές υποεπίπεδο σύνολο K το ονομάζουμε μια περιοχή uv Ορισμός 3 (Περιοχή uv) Έστω x ένα σημείο ισορροπίας του συστήματος f ( ), f ( x x C, ) Έστω B x ένα ανοιχτό σύνολο Μια συνάρτηση Q C ( B, ) και ένα συμπαγές σύνολο ονομάζονται μια συνάρτηση uv Q με μια περιοχή uv K αν: x K, ισχύει Q'( x ) για κάθε x K \{ x }, 3 K { x B / Q( x) R } για κάποιο R, για παράδειγμα το K είναι ένα υποεπίπεδο σύνολο της Q 8

29 Χωρίς απώλεια της γενικότητας υποθέτουμε ότι Qx ( ), το οποίο μπορούμε να πετύχουμε αν προσθέσουμε μια σταθερά Σε αυτή τη περίπτωση ορίζουμε τα παρακάτω υποεπίπεδα σύνολα της Q για r R: B x x B Q x r και Q r ( ) : { / ( ) } K Q r ( x ) : { x B / Q( x) r } Να σημειώσουμε ότι η συνάρτηση του Ορισμού 3 είναι μια συνάρτηση uv με την έννοια του Ορισμού Αν το σημείο ισορροπίας x είναι εκθετικά ασυμπτωτικά ευσταθές και η Q είναι μια συνάρτηση uv με την έννοια του Ορισμού, τότε υπάρχει μια αντίστοιχη περιοχή uv K (Θεώρημα 45) Το παρακάτω γνωστό θεώρημα παρέχει μια ικανή συνθήκη για να ανήκει ένα συμπαγές σύνολο K στο ελκτικό σύνολο Αυτό γίνεται χρησιμοποιώντας μια συνάρτηση uv Συνοψίζοντας, μπορούμε να πούμε ότι μια περιοχή uv είναι ένα υποσύνολο του ελκτικού συνόλου Θεώρημα 4 Έστω x ένα σημείο ισορροπίας για το σύστημα f ( ), f ( x x C, ) Έστω Q μια συνάρτηση uv με μια περιοχή uv K με την έννοια του ορισμού 3 Τότε, το x είναι ασυμπτωτικά ευσταθές, K είναι θετικώς αναλλοίωτο και K A( x ) Επιπλέον, ισχύει Q( z) Q( x ) για κάθε z B \{ x } Ορισμός 5 (μη τοπικές συναρτήσεις uv, περιοχή uv, και εξαιρετικό σύνολο) Έστω x ένα σημείο ισορροπίας για το σύστημα f ( ), f ( x x C, ) Έστω B x ένα ανοιχτό σύνολο Μια συνάρτηση Q C ( B, ), ένα συμπαγές σύνολο K Bκαι ένα ανοιχτό σύνολο E x ονομάζονται μη τοπική συνάρτηση uv Q με περιοχή uv K και εξαιρετικό σύνολο E αν x K, ισχύει Q'( x ) για κάθε x K \ E, 3 K { x B / Q( x) R } για ένα R, για παράδειγμα το K είναι ένα υποεπίπεδο σύνολο της Q, 4 E A( x ) Θεώρημα 6 Έστω x ένα ασυμπτωτικώς ευσταθές σημείο ισορροπίας του συστήματος f ( ), f ( x x C, ) Έστω Q μια μη τοπική συνάρτηση uv με μια περιοχή uv K και το εξαιρετικό σύνολο E του με την έννοια του ορισμού 5 Τότε, K A( x ) 9

30 Τα Θεωρήματα 4 και 6 αποδεικνύουν ότι μια περιοχή uv είναι ένα υποσύνολο του ελκτικού συνόλου Προκύπτει όμως το ερώτημα αν τέτοιες συναρτήσεις uv και περιοχές uv υπάρχουν, πως μπορούμε να τις κατασκευάσουμε και αν μπορούμε να τις χρησιμοποιήσουμε για να εξασφαλίσουμε ολόκληρο το ελκτικό σύνολο Πρώτα λοιπόν βρίσκουμε μια συνάρτηση uv με παράγωγο κατά μήκος των τροχιών στη περιοχή της κατάστασης ισορροπίας, αρνητική Μπορούμε να κατασκευάσουμε τοπικές συναρτήσεις uv q χρησιμοποιώντας το γραμμικοποιημένο σύστημα γύρω από το x Για παράδειγμα q'( x ) ισχύει για κάθε x U \{ x } όπου U μια (πιθανώς μικρή) γειτονιά του x Από την άλλη, μπορούμε να αποδείξουμε την ύπαρξη καθολικών συναρτήσεων uv (glbal uv fuctis) Q, που ικανοποιούν τη σχέση Q'( x ) για κάθε x A( x) \{ x } Οι καθολικές συναρτήσεις uv όμως γενικά δε μπορούν να υπολογιστούν με κατηγορηματικό τρόπο Μπορούμε όμως να τις προσεγγίσουμε με συναρτήσεις ακτινωτής βάσης, χρησιμοποιώντας ορισμένες ιδιότητες των καθολικών συναρτήσεων uv Μάλιστα αποδεικνύεται ότι οι προσεγγίσεις αυτές είναι συναρτήσεις uv Υπόθεση Ας θεωρήσουμε το αυτόνομο σύστημα των διαφορικών εξισώσεων f ( ), f ( x x C, ), όπου, Υποθέτουμε ότι το σύστημα έχει ένα εκθετικά ασυμπτωτικά ευσταθές σημείο ισορροπίας x, τέτοιο ώστε, είναι το μέγιστο πραγματικό μέρος των ιδιοτιμών του ιακωβιανού πίνακα Df ( x ) 3 Τοπικές συναρτήσεις uv Δεν υπάρχει μια γενική προσέγγιση για να κατασκευάσουμε με κατηγορηματικό τρόπο συναρτήσεις uv για ένα μη γραμμικό σύστημα Για γραμμικά συστήματα όμως μπορούμε με κατηγορηματικό τρόπο να υπολογίσουμε συναρτήσεις uv Έτσι, σε αυτή την ενότητα μελετούμε συναρτήσεις uv για γραμμικές διαφορικές εξισώσεις της μορφής x A( x ) O σκοπός αυτής της ενότητας είναι διπλός: Από τη μια μεριά κατασκευάζουμε με κατηγορηματικό τρόπο συναρτήσεις uv για γραμμικά συστήματα Από την άλλη, ξεκινούμε από μια μη γραμμική εξίσωση x f ( x ) και λαμβάνουμε υπόψη την γραμμικοποίηση γύρω από το σημείο ισορροπίας, x Df ( x )( x x ) (4) Έτσι θέτουμε A Df ( x ) Οι συναρτήσεις uv για το γραμμικοποιημένο σύστημα (4) αποδεικνύεται ότι είναι συναρτήσεις uv για το μη γραμμικό σύστημα αφού η συμπεριφορά των λύσεων κοντά στο x για το μη γραμμικό και το γραμμικοποιημένο σύστημα είναι παρόμοια 3

31 Όμως ενώ για γραμμικά συστήματα οι συναρτήσεις uv είναι πάντα καθολικές συναρτήσεις uv (για παράδειγμα οι παράγωγοι κατά μήκος των τροχιών στη περιοχή της κατάστασης ισορροπίας είναι αρνητικές στο \{}), οι συναρτήσεις uv είναι μόνο τοπικές για το μη γραμμικό σύστημα (για παράδειγμα οι παράγωγοι κατά μήκος των τροχιών στη περιοχή της κατάστασης ισορροπίας είναι αρνητικές σε κάποια γειτονιά του x, η οποία κατά γενικό κανόνα είναι μικρή) Σε αυτή την ενότητα εξετάζουμε τις παρακάτω συναρτήσεις uv για το γραμμικοποιημένο σύστημα (4), το οποίο είναι τετραγωνικής μορφής στο ( x x ) και κατά συνέπεια ορίζονται στο : η συνάρτηση η οποία ικανοποιεί τη σχέση ( x), Df(x )( x x ) ( ) ( x ), για η συνάρτηση η οποία ικανοποιεί τη σχέση T ( x), Df(x )( x x ) ( x x ) C( x x ), όπου C ένας θετικά ορισμένος πίνακας, ο οποίος πολύ συχνά είναι C I Σημειώνουμε εδώ ότι τα αριστερά μέρη των παραπάνω σχέσεων είναι οι παράγωγοι κατά μήκος των τροχιών στη περιοχή της κατάστασης ισορροπίας για το γραμμικό σύστημα (4) Αυτές οι συναρτήσεις μπορούν να υπολογισθούν με τη γνώση της κανονικής μορφής Jrda (για το ) ή ως λύση μιας ισότητας πινάκων, δηλαδή ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων (για το ) Παρακάτω θα συμβολίζουμε με q μια τοπική συνάρτηση uv, όπου είτε q = ή 4 Κανονική μορφή Jrda Σε αυτή την ενότητα υπολογίζουμε μια συνάρτηση uv για μια γραμμική εξίσωση χρησιμοποιώντας την κανονική μορφή Jrda Η συνάρτηση uv που προκύπτει δεν ικανοποιεί μια εξίσωση για τη παράγωγο κατά μήκος των τροχιών στη περιοχή της κατάστασης, αλλά μια ανισότητα Λήμμα 4 Έστω A ένας πίνακας, τέτοιος ώστε είναι το μέγιστο πραγματικό μέρος των ιδιοτιμών του A Τότε για κάθε > υπάρχει ένας αντιστρέψιμος πίνακας S S ( ) τέτοιος ώστε u Λήμμα 4 Ας θεωρήσουμε το σύστημα B : SAS ικανοποιεί τη σχέση f ( ), f ( x x C, ) T u Bu ( v ) u για κάθε Έστω ότι το x είναι ένα σημείο ισορροπίας, τέτοιο ώστε το μέγιστο πραγματικό μέρος όλων των ιδιοτιμών του Df ( x ) είναι Τότε για κάθε υπάρχει ένα 3

32 r και ένας αντιστρέψιμος πίνακας S S ( ), όπως ορίστηκε στο Λήμμα 4, έτσι ώστε για τη ( x) : S( x x ) (5) η παράγωγος κατά μήκος των τροχιών στη περιοχή της κατάστασης ισορροπίας '( x ) : ( x ),f(x) ικανοποιεί τη σχέση d για κάθε x K ( x ) { x / r '( x) ( v ) ( x ) (6) ( x) r } Πόρισμα 43 Έστω ότι ισχύουν οι υποθέσεις του Λήμματος 4 και έστω Υπάρχει r τέτοιο ώστε η συνάρτηση που ορίζεται στο Λήμμα 4 είναι μια d συνάρτηση uv με μια περιοχή uv Kr ( x) με την έννοια του ορισμού 3 d ( ) t Επιπλέον, για κάθε x K ( x ) και για κάθε t ισχύει: ( S x) e ( x ) r t 5 Η συνάρτηση (εξίσωση πινάκων) Ένας κλασσικός τρόπος για να υπολογίσουμε μια συνάρτηση uv για ένα γραμμικό σύστημα διαφορικών εξισώσεων είναι να λύσουμε την εξίσωση πινάκων Ας θεωρήσουμε το σύστημα των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων x A( x x ), όπου A είναι ένας πίνακας, τέτοιος ώστε, οι ιδιοτιμές του έχουν αρνητικά πραγματικά μέρη Σημειώνουμε με την συνάρτηση T ( x) ( x x ) B( x x ), που ικανοποιεί τη σχέση T ( x), A( x x ) ( x x) C( x x ) Από γνωστό θεώρημα υπάρχει μια μοναδική λύση B Αν C είναι ένας συμμετρικός (θετικά ορισμένος) πίνακας, τότε το ίδιο είναι και ο B Θεώρημα 5 Έστω A ένας πίνακας, τέτοιος ώστε, είναι το μέγιστο πραγματικό μέρος όλων των ιδιοτιμών του A Έστω η γραμμική διαφορική εξίσωση x A( x x ) Τότε, για κάθε πίνακα C υπάρχει, μία και μόνο μια, λύση B της (7): T A B BA C (7) Αν C είναι θετικά ορισμένος (συμμετρικός) πίνακας, τότε το ίδιο είναι και ο B Σχόλιο 5 Έστω ότι δίνονται οι πίνακες A, C Τότε ο πίνακας B μπορεί να υπολογισθεί με την επίλυση του συστήματος των γραμμικών εξισώσεων (7) Αν ο C είναι συμμετρικός, τότε ο αριθμός των εξισώσεων μπορεί να μειωθεί σε ( ) ( ) 3

33 Για το μη γραμμικό σύστημα x f ( x ), η συνάρτηση που αντιστοιχεί στο γραμμικοποιημένο σύστημα αποδεικνύεται ότι είναι μια συνάρτηση uv για μια μικρή γειτονιά του σημείου ισορροπίας x και ικανοποιεί τη σχέση T ( x) '( x) ( x x) C( x x) ( x ), όταν limx x x x Θεώρημα 53 Ας θεωρήσουμε το σύστημα f ( ), f x x C (, Έστω ) ότι το x είναι ένα σημείο ισορροπίας, έτσι ώστε το μέγιστο πραγματικό μέρος όλων των ιδιοτιμών του ιακωβιανού πίνακα Df ( x ) είναι Τότε, για κάθε v v και για όλους τους συμμετρικούς και θετικά ορισμένους, πίνακες C υπάρχει ένας συμμετρικός και θετικά ορισμένος πίνακας B και μια συνάρτηση ( x) T C (, ) με limx x, τέτοια ώστε, αν ( x) ( x x ) ( ) B x x x x τότε, T '( x) v ( x) ( x x) C( x x) ( x ) (8) Πιο συγκεκριμένα, υπάρχει ένα r, τέτοιο ώστε η σχέση '( x) v ( x ) (9) v ισχύει για κάθε x Kr( x ) Ο πίνακας B είναι η μοναδική λύση της εξίσωσης πινάκων T Df ( x ) B BDf ( x ) C vb () Πόρισμα 54 Από τις υποθέσεις του Θεωρήματος 53, για κάθε v v υπάρχει ένα r, τέτοιο ώστε, η συνάρτηση είναι μια συνάρτηση uv με περιοχή uv v K ( x ) με την έννοια του ορισμού 3 r v Επιπλέον, για κάθε x K ( x ) και κάθε t ισχύει η ανισότητα r vt ( S x) e ( x ) t 6 Σύνοψη και Παράδειγμα Η κατασκευή των συναρτήσεων uv με κατηγορηματικό τρόπο γενικά δεν είναι δυνατή Για γραμμικά συστήματα, όπως είδαμε παραπάνω, μπορεί κάποιος να κατασκευάσει συναρτήσεις uv με κατηγορηματικό τρόπο Για ένα μη γραμμικό σύστημα, μπορεί κάποιος να χρησιμοποιήσει μια συνάρτηση uv για το γραμμικοποιημένο σύστημα, την οποία αποκαλούμε τοπική συνάρτηση uvαυτή η συνάρτηση έχει αρνητική παράγωγο κατά μήκος των τροχιών στη περιοχή της κατάστασης ισορροπίας σε μια συγκεκριμένη γειτονιά του x Πιο συγκεκριμένα, μπορεί κάποιος να βρει μια αντίστοιχη περιοχή uv, την οποία ονομάζουμε τοπική περιοχή uv, αν και αυτή μπορεί να είναι πολύ μικρή 33

34 Κλείνουμε αυτή την ενότητα με ένα παράδειγμα με το οποίο παρουσιάζονται όλα τα σημαντικά βήματα της μεθόδου Ας θεωρήσουμε λοιπόν ένα δισδιάστατο σύστημα: x x( 3 4 x y ) y 4 8 y y( x y ) 6x 8 () Το σύστημα () έχει ένα ασυμπτωτικώς ευσταθές σημείο ισορροπίας στο x =(,), αφού ο Ιακωβιανός πίνακας στο (,) δίνεται από Df (,) που έχει την αρνητική ιδιοτιμή - στο φάσμα του με πολλαπλότητα δύο Για την () υπολογίζουμε την τοπική συνάρτηση uv (x,y)= ( x y ) ως εξής: για B έχουμε T Df (,) B BDf (,) I, όπου f είναι το δεξιό μέλος της εξίσωσης () Παίρνουμε την τοπική περιοχή uv K {( x, y ) / ( xy, ) 9} Στο σχήμα 6 απεικονίζεται το πρόσημο της παραγώγου κατά μήκος των τροχιών στη περιοχή της κατάστασης ισορροπίας, '( xy,, ) και το υποεπίπεδο σύνολο K που φράσσεται από έναν κύκλο; αφού η τοπική συνάρτηση uv είναι τετραγωνικής μορφής Γενικά, τα σύνολα επιπέδων είναι ελλείψεις Σχήμα 6 Το πρόσημο της παραγώγου κατά μήκος των τροχιών στη περιοχή της κατάστασης ισορροπίας, '( xy, ) (με γκρι) και τα σύνολα επιπέδων (x,y) =9 (με μαύρο), το σύνορο της τοπικής περιοχής uv K 34

35 Κεφάλαιο 3: Καθολικές συναρτήσεις uv 3 Καθολικές συναρτήσεις uv Σε αυτή την ενότητα θα μελετήσουμε την ύπαρξη των καθολικών συναρτήσεων uv, δηλαδή συναρτήσεων Q, έτσι ώστε, η σχέση Q'( x ) ισχύει για κάθε x A( x) \{ x } Στη βιβλιογραφία υπάρχει πλήθος αντίστροφων θεωρημάτων τα οποία εξασφαλίζουν την ύπαρξη μιας συνάρτησης uv κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες Το πρώτο κύριο αντίστροφο θεώρημα για ασυμπτωτική ευστάθεια δόθηκε από τον Massera Ο Massera απέδειξε ότι αν f C και Ax ( ), τότε υπάρχει μια C συνάρτηση uv Q Το ίδιο απέδειξε και για f C και Q C Η συνάρτηση uv Q δίνεται από ένα μη ορισμένο ολοκλήρωμα πάνω στην λύση της διαφορικής εξίσωσης Ο Barbasi απέδειξε ότι Q, αν f, με μεθόδους δυναμικών συστημάτων Από τότε έχουν γίνει βελτιώσεις προς διαφορετικές κατευθύνσεις Μία τέτοια βελτίωση είναι για παράδειγμα η απόδειξη της ύπαρξης ομαλών συναρτήσεων uv κάτω από συγκεκριμένες υποθέσεις ασθενής ομαλότητας για την f Με αυτές τις τεχνικές ομαλότητας, απεδείχθη για παράδειγμα η ύπαρξη των C - συναρτήσεων uv, αν η f είναι συνεχής και ικανοποίει τη συνθήκη Lischitz και έχει αποδειχθεί η ύπαρξη τέτοιων συναρτήσεων ακόμη και στη περίπτωση που η f είναι μη συνεχής Μια περίπτωση που μας ενδιαφέρει ιδιαίτερα ασχολείται με την ύπαρξη ομαλών συναρτήσεων uv με συγκεκριμένες, γνωστές τιμές των παραγώγων κατά μήκος των τροχιών Ο Bhatia απέδειξε ότι υπάρχει μια συνάρτηση uv που ικανοποιεί τις σχέσεις Lx ( ) και Lx ( ) για κάθε x A( x ), όπως επίσης t και τη σχέση L( S x) e L( x ) (), για κάθε x A( x ) και t Υποθέτει ότι ο t τελεστής ροής S t, που απεικονίζει την αρχική τιμή x () στη λύση xt () τη χρονική στιγμή t, είναι μια συνεχής απεικόνιση για κάθε t, και ότι το σημείο ισορροπίας x είναι ασυμπτωτικά ευσταθές Αυτό το αποτέλεσμα είναι ιδιαίτερα σημαντικό αφού τότε η () είναι ισοδύναμη με την L'( x) L( x ), αν η L είναι αρκετά ομαλή Η ιδέα για την απόδειξη χρησιμοποιείται για την κατασκευή της συνάρτησης T, η οποία ικανοποιεί τη σχέση T( x) l L( x ), και κατά συνέπεια την T ( x ) Αφού, Lx ( ), η συνάρτηση T δεν ορίζεται στο x Όσο αφορά την απόδειξη της ύπαρξης μιας συνάρτησης uv, V, η οποία είναι ορισμένη μέσα στο x, είναι απαραίτητη μια διαφορετική προσέγγιση Η συνάρτηση V ικανοποιεί την σχέση V '( x) ( x ), όπου είναι μια δοσμένη συνάρτηση, με x ( ) Τότε, η συνάρτηση V δίνεται τότε από τη σχέση V ( x) ( S x) dt Αν η δοσμένη συνάρτηση ικανοποιεί κάποιες συγκεκριμένες συνθήκες και f C (, ), τότε η συνάρτηση V C ( A( x ), ) Η ιδέα για την απόδειξη προέρχεται από τον Zubv t 35

36 O Zubv απέδειξε ακόμη, ότι για μια σχετιζόμενη συνάρτηση uv, η λύση μιας συγκεκριμένης μερικής διαφορικής εξίσωσης καθορίζει ακριβώς τα σύνορα του ελκτικού συνόλου Παρ ότι μια μερική διαφορική εξίσωση γενικά δεν μπορεί να επιλυθεί, υπάρχουν κάποια παραδείγματα όπου οι λύσεις είναι διαθέσιμες και ο Zubv επιπλέον παρέχει μια μέθοδο για να προσεγγίσει το ελκτικό σύνολο αν η συνάρτηση f είναι αναλυτική Η μέθοδος αυτή έχει επεκταθεί και στα συστήματα ελέγχου Ένα πρώτο βήμα στη μέθοδο μας για την απόδειξη της ύπαρξης μιας συνάρτησης uv είναι μέσω του τελεστή ροής S με αμετάβλητο T Μπορούμε λοιπόν να ορίσουμε μια συνάρτηση Q( x) q( ST x ), όπου q = ή δηλώνει μια από τις τοπικές συναρτήσεις uv με τοπική περιοχή uv q K ( x ) Η συνάρτηση Q έχει αρνητικές παραγώγους κατά μήκος των τροχιών στο r S K q ( x ) και για αυτό δεν είναι μια συνάρτηση uv πάνω σε όλο το ελκτικό T r σύνολο Ax ( ), αφού το T είναι πεπερασμένο Υποθέτουμε ότι η f φράσσεται ώστε να ορίζεται το S στο Ax ( ) Θεώρημα 3 T Ας θεωρήσουμε το σύστημα x f ( x), f C (, ), όπου και έστω x ένα σημείο ισορροπίας Έστω ότι η f φράσσεται και έστω ακόμη το μέγιστο πραγματικό μέρος όλων των ιδιοτιμών του ιακωβιανού Df ( x ) ότι είναι v Επιπλέον, έστω K A( x ) ένα συμπαγές σύνολο Τότε, υπάρχει μια συνάρτηση Q C ( A( x ), ), τέτοια ώστε, Q'( x ) για κάθε x K \{ x } Η παραπάνω συνάρτηση uv έχει δύο βασικά μειονεκτήματα Καταρχάς η συνάρτηση Q'( x ) είναι αρνητική μόνο σε ένα συμπαγές σύνολο και όχι σε όλο το ελκτικό σύνολο Επιπλέον, η ομαλότητα της Q εξαρτάται από την ομαλότητα του τελεστή ροής Και τα δύο αυτά μειονεκτήματα μπορούν να αντιμετωπιστούν από καλύτερες συναρτήσεις uv: η ύπαρξη των C - uv συναρτήσεων για όλο το ελκτικό σύνολο έχει αποδειχθεί αν η f είναι συνεχής και ικανοποιεί τη συνθήκη Lischitz Ένα όμως μειονέκτημα αυτής της συνάρτησης και της συνάρτησης του προηγούμενου θεωρήματος είναι ότι οι παράγωγοι τους κατά μήκος των τροχιών δεν ικανοποιούν καμία εξίσωση της μορφής Q'( x) ( x ) για γνωστή συνάρτηση x ( ) Έτσι, θα εστιάσουμε σε δύο κλάσεις συναρτήσεων, T και V με γνωστές παραγώγους κατά μήκος των τροχιών Μια λογική επιλογή είναι η κλάση των συναρτήσεων T, που ικανοποιούν τη σχέση T '( x) c, όπου c μια θετική σταθερά Αφού το σφάλμα προσέγγισης μπορεί να εκτιμηθεί από την T '( x) t '( x ), έχουμε t '( x) T '( x) c, αν c Παρ όλα αυτά η συνάρτηση T δεν είναι ορισμένη στο x T 36

37 Για να πετύχουμε μια συνάρτηση η οποία ορίζεται και είναι ομαλή στο Ax ( ), θεωρούμε τη κλάση των συναρτήσεων V που ικανοποιούν την σχέση V '( x) ( x ), όπου είναι μια συνάρτηση με διάφορες ιδιότητες, και ιδιαίτερα την ιδιότητα x ( ) Όπως και η συνάρτηση του προηγούμενου θεωρήματος, οι συναρτήσεις T και V είναι μόνο τόσο ομαλές όσο η ροή Οι T και V ορίζονται στο A( x ) \{ x}, A( x ), αντίστοιχα 3 Η Συνάρτηση uv T με σταθερή παράγωγο κατά μήκος των τροχιών Σε αυτή την ενότητα θα μελετήσουμε τη συνάρτηση T που ικανοποιεί τη σχέση T '( x) c, όπου c Αυτή η συνάρτηση είναι ορισμένη μόνο στο A( x ) \{ x } και ικανοποιεί τη σχέση lim T( x ) Να σημειώσουμε ότι η συνάρτηση T είναι η λύση της γραμμικής μερικής διαφορικής εξίσωσης πρώτου βαθμού T '( x) fk ( x) T( x) c x k k Πριν προχωρήσουμε θα δώσουμε τον ορισμό της μη χαρακτηριστικής υπερεπιφάνειας, και στη συνέχεια θα δείξουμε πως μπορούμε να πάρουμε μια μη χαρακτηριστική υπερεπιφάνεια από μια συνάρτηση uv x x Ορισμός 3 (Μη χαρακτηριστική Υπερεπιφάνεια) Ας θεωρήσουμε το σύστημα x f ( x), f C (, ), όπου Έστω h C (, ) Το σύνολο καλείται μια μη χαρακτηριστική υπερεπιφάνεια (N-characteristic hyersurface) αν: το σύνολο είναι συμπαγές, hx ( ), αν και μόνο αν, x, 3 ισχύει η ανισότητα h'( x ) για κάθε x, και 4 για κάθε x A( x ) \{ x } υπάρχει μια χρονική στιγμή ( x ), τέτοια ώστε, S ( x) x Ένα παράδειγμα για μια μη χαρακτηριστική υπερεπιφάνεια είναι το σύνολο επιπέδου μιας συνάρτησης uv μέσα στο ελκτικό σύνολο, δηλαδή μια από τις τοπικές συναρτήσεις uv ή Λήμμα 3 (τα σύνολα επιπέδων ορίζουν μια μη χαρακτηριστική υπερεπιφάνεια) Έστω ( Q C, ) μια συνάρτηση uv με περιοχή uv Q KR( x) { x B / Q( x) R } (Ορισμός 3) και έστω ότι Qx ( ) (το οποίο μπορούμε να πετύχουμε με την πρόσθεση μιας σταθεράς) Τότε κάθε σύνολο r : { x B / Q( x) r } με r R είναι μια μη χαρακτηριστική υπερεπιφάνεια 37

38 Θεώρημα 33 (ύπαρξη της Τ) Ας θεωρήσουμε το σύστημα x f ( x), f C (, ), όπου Έστω x ένα σημείο ισορροπίας έτσι ώστε είναι το μέγιστο των πραγματικών μερών όλων των ιδιοτιμών του ιακωβιανού πίνακα Df ( x ) Έστω ότι είναι μια μη χαρακτηριστική υπερεπιφάνεια Τότε υπάρχει μια συνάρτηση C ( A( x ) \{ x }, ) που ικανοποιεί την σχέση S x t ( x ) (3) Επιπλέον, '( x) και lim x x ( x ) t Για κάθε c και για κάθε συνάρτηση H C (, ), υπάρχει μια συνάρτηση Τ C ( A( x ) \{ x }, ) που ικανοποιεί τις σχέσεις: T '( x) c για κάθε x A( x) \{ x } και T( x) H( x) για κάθε x Επιπλέον, lim T ( x x x ) Το παρακάτω Πόρισμα δείχνει ότι οι, T αντιστοιχούν στο χρόνο που παίρνει μια λύση από το ένα σημείο στο άλλο Τα σύνολα επιπέδων των, T παρέχουν έτσι πληροφορίες για το χρόνο που παίρνουν οι λύσεις από το ένα επίπεδο στο άλλο Πόρισμα 34 Έστω ότι ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος 33 Αν x, y A( x ) \{ x } βρίσκονται στην ίδια τροχιά, τότε υπάρχει ένα, τέτοιο ώστε y S x Λαμβάνοντας υπόψη τις συναρτήσεις, T του θεωρήματος 33, έχουμε T( x) T( y) ( x) ( y) c Πόρισμα 35 Έστω ότι ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος 33 Τότε, υπάρχει μια συνάρτηση L C ( A( x ), ) C ( A( x ) \{ x }, ) που ικανοποιεί τη σχέση: L'( x) cl( x ) για κάθε x A( x ) Επιπλέον, ισχύει Lx ( ) για κάθε x A( x ) Η ισότητα Lx ( ) ισχύει, αν και μόνο αν x x 33 Σύνολα Επιπέδων των Συναρτήσεων uv Υπάρχει εκτεταμένη βιβλιογραφία για κατασκευή των γενικών συναρτήσεων uv που αφορά τα σύνολα επιπέδων τους Μόνο με την υπόθεση ότι το σημείο ισορροπίας είναι ασυμπτωτικά ευσταθές, ο Wils απέδειξε ότι τα σύνολα επιπέδων έχουν ομοτοπική δομή ισοδύναμη με μια σφαίρα 38

39 Παρ όλα αυτά υποθέτουμε ότι το σημείο ισορροπίας είναι εκθετικά ασυμπτωτικά ευσταθές και έτσι αποδεικνύουμε ότι τα σύνολα επιπέδων μιας ομαλής συνάρτησης uv είναι αμφιδιαφορίσιμα με τις σφαίρες σε κάθε διάσταση Αυτό το αποτέλεσμα έχει σημαντικές εφαρμογές: Έστω μια συνάρτηση uv, δηλαδή μια συνάρτηση με αρνητική παράγωγο κατά μήκος των τροχιών σε ένα συγκεκριμένο σύνολο K\{ x } Τότε μπορούμε πάντα να βρούμε μια αντίστοιχη περιοχή uv, δηλαδή ένα υποεπίπεδο σύνολο της συνάρτησης uv, και κατά συνέπεια ένα υποσύνολο του ελκτικού συνόλου Επιπλέον, αυτή η περιοχή uv είναι μέγιστη με την έννοια του ότι έρχεται αυθαίρετα κοντά στο σύνορο του K, αν το K είναι συμπαγές Σε αυτή την ενότητα, θεωρούμε μια γενική συνάρτηση uv Q για ένα εκθετικά ασυμπτωτικά ευσταθές σημείο ισορροπίας x Ορισμός 33 Έστω μια μη χαρακτηριστική υπερεπιφάνεια και μια συνάρτηση όπως στο θεώρημα 33 Ορίζουμε: i : { x A( x ) \{ x }/ ( x) } { x } Αν το σημείο ισορροπίας x είναι εκθετικά ασυμπτωτικά ευσταθές, τότε τα σύνολα επιπέδων είναι αμφιδιαφορίσιμα με το S Για διαστάσεις 4,5 αυτό ισχύει και για συναρτήσεις uv με σημείο ισορροπίας που δεν είναι εκθετικό, αλλά μόνο ασυμπτωτικώς ευσταθές Πρόταση 33 Έστω μια μη χαρακτηριστική υπερεπιφάνεια για ένα σημείο ισορροπίας x εκθετικά ασυμπτωτικά ευσταθές i Τότε η είναι σ-αμφιδιαφορίσιμη με το S Επιπλέον, τα σύνολο είναι ισομορφικά στο B () και η ένωση i είναι ισομορφική στο B (), έτσι ώστε, 39 i τα σύνολο επιπέδου { x ( x) c } με c απεικονίζονται σε μια σφαίρα ακτίνας c e Πόρισμα 333 Έστω x ένα σημείο ισορροπίας του συστήματος ( ), ( x f x f C, ) Έστω ότι το είναι το μέγιστο των πραγματικών μερών όλων των ιδιοτιμών του ιακωβιανού πίνακα Df ( x ) Έστω Q μια συνάρτηση uv με περιοχή Q uv K K ( x ) (Ορισμός 3) και έστω Qx ( ) R Τότε για κάθε r R υπάρχει μια C -αμφιδιαφορίσιμη: d C ( S,{ x B / Q( x) r }) Πρόταση 333 Έστω ότι ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος 33 Επιπλέον έστω ότι su x A( x ) f( x ) Τότε, το σύνολο KR : { x A( x ) \{ x} T( x) R} { x } είναι ένα συμπαγές σύνολο στο για κάθε R

40 Στο επόμενο θεώρημα μελετούμε το εξής πρόβλημα: Έστω μια συνάρτηση uv Q C (, ), η οποία ικανοποιεί τη σχέση Q'( x ) σε ένα σύνολο K Πώς μπορούμε να εξασφαλίζουμε μια περιοχή uv και κατά συνέπεια να καθορίσουμε ένα υποσύνολο του ελκτικού συνόλου; Η απάντηση είναι ότι πάντα μπορούμε να βρούμε μια περιοχή uv, η οποία είναι μέγιστη με την ακόλουθη έννοια: Θεώρημα 334 Έστω ότι το x είναι ένα σημείο ισορροπίας του συστήματος ( ), ( x f x f C, ), έτσι ώστε τα πραγματικά μέρη του πίνακα Df ( x ) να είναι όλα αρνητικά Έστω Q C (, ) μια συνάρτηση με Qx ( ) (προσθέτουμε μια σταθερά στη Q ) Έστω K ένα συμπαγές σύνολο με κάθε x k \{ x } (8) x K και έστω ότι ισχύει Q'( x ) για Τότε υπάρχει μια ανοιχτή περιοχή του x, B K και ένα y B K, τέτοια ώστε, αν R * : Q( y ) όλα τα σύνολα K x B Q x R με R : { ( ) } * R R, είναι περιοχές uv Ακόμη, K είναι μια ανοιχτή γειτονιά του K R 34 Η συνάρτηση uv V ορισμένη στο Ax ( ) Σε αυτή την ενότητα αποδεικνύουμε ότι υπάρχει συνάρτηση V, τέτοια ώστε, να ισχύει η ισότητα V '( x) ( x ) Η x ( ) είναι μια γνωστή συνάρτηση με x ( ) για x x και ( x) ( x x ) για x x με Ανάμεσα σε αυτές T τις συναρτήσεις χρησιμοποιούμε τετραγωνικές μορφές ( x x ) C( x x ) με ένα θετικά ορισμένο πίνακα C και ιδιαίτερα C I, δηλαδή ( x) x x Η συνάρτηση V που προκύπτει ορίζεται στο Ax ( ) και είναι τόσο ομαλή όσο ο τελεστής ροής ή η f, δηλαδή V C ( A( x ), ) Θεώρημα 34 (Ύπαρξη της V ) Έστω ότι το x είναι ένα σημείο ισορροπίας του συστήματος ( ), ( x f x f C, ), με έτσι ώστε το μέγιστο των πραγματικών μερών όλων των ιδιοτιμών του πίνακα Df ( x ) είναι Έστω C (, ) μια συνάρτηση με τις εξής ιδιότητες: x ( ) για x x, ( x) ( x x ) με για x x, 3 Για κάθε, η έχει ένα θετικό κάτω φράγμα στο \ B ( x ) 4

41 Τότε υπάρχει μια συνάρτηση V C ( A( x ), ), με V( x ), τέτοια ώστε, να ισχύει V '( x) ( x ) για κάθε x A( x ) Αν su x A( x ) f( x ), τότε ένα συμπαγές σύνολο στο για κάθε R K x A x V x R είναι R : { ( ) ( ) } Πρόταση 34 Μια συνάρτηση V C ( A( x ), ) με V '( x) ( x ), όπου έχει τις ίδιες ιδιότητες με αυτές στο θεώρημα 34, είναι μοναδική μέχρι μια σταθερά Σχόλιο 343 Η συνάρτηση V του θεωρήματος 34 είναι μοναδική αν ισχυριστούμε ότι V( x ) = Από εδώ και στο εξής θα δηλώσουμε με V τη μοναδική συνάρτηση που ικανοποιεί τις σχέσεις V( x ) και V '( x) ( x ) για κάθε x A( x ) Πόρισμα 344 Για γραμμικά συστήματα και ( x) x x, έχουμε V( x ) ( x ), Πράγματι, και οι δύο συναρτήσεις ικανοποιούν τις σχέσεις V '( x ) ' ( x ) =- x x και V( x ) ( x )=, από Πρόταση 34 είναι ίσες Αν θέλουμε να ορίσουμε τις τιμές της V πάνω σε μια μη χαρακτηριστική * υπερεπιφάνεια, τότε η συνάρτηση V που προκύπτει, γενικά δεν είναι ορισμένη στο x, όπως ακριβώς και η συνάρτηση T * Πρόταση 345 (ύπαρξη της V ) Έστω ότι το x είναι ένα σημείο ισορροπίας του συστήματος ( ), ( x f x f C, ), με έτσι ώστε το μέγιστο των πραγματικών μερών όλων των ιδιοτιμών του πίνακα Df ( x ) είναι Έστω μια μη χαρακτηριστική υπερεπιφάνεια και x ( ) μία συνάρτηση όπως στο θεώρημα 34 * Για κάθε συνάρτηση H C (, ) υπάρχει μια συνάρτηση V C ( A( x) \{ x }, ) που ικανοποιεί τις σχέσεις * ( V )'( x) ( x ) για κάθε x A( x ) \{ x }, και su x A x f( x ), τότε το σύνολο Αν ( ) είναι ένα συμπαγές σύνολο στο V * ( x) H( x ) για κάθε x K : { x A( x ) \{ x } V ( x) R } { x } * * R για κάθε R 35 Το πολυώνυμο Taylr για τη συνάρτηση V 4

42 Η συνάρτηση V είναι μια ομαλή συνάρτηση στο Ax ( ) Ειδικότερα, η V είναι C στο x και έτσι μπορούμε να μελετήσουμε το πολυώνυμο Taylr στο x Το πολυώνυμο Taylr θα χρησιμοποιηθεί επίσης και για τη προσέγγιση Ο λόγος είναι ότι με τη προσέγγιση της συνάρτησης V από μια προσέγγιση με τη χρήση συναρτήσεων ακτινωτής βάσης, μπορούμε να πάρουμε ένα σφάλμα εκτίμησης V '( x) '( x ), το οποίο σημαίνει ότι: '( x) V '( x) ( x ) Κατά συνέπεια, '( x) ( x ), μόνο όταν x ( ) Όμως έτσι δεν μπορούμε να εξασφαλίσουμε ότι η έχει αρνητική παράγωγο κατά μήκος των τροχιών στην γειτονιά του x, αν x ( ) Αυτό μπορεί να οφείλεται σε έλλειψη εκτιμήσεων, όμως αποδεικνύουμε ότι γενικά υπάρχουν όντως σημεία κοντά στο x για τα οποία ισχύει '( x ) Σε αυτή την ενότητα θα παρουσιάσουμε μια μέθοδο για να υπολογίσουμε το πολυώνυμο Taylr της συνάρτησης V, χωρίς να γνωρίζουμε κατηγορηματικά τη V Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση V, η οποία ικανοποιεί τη σχέση V '( x) x x, δηλαδή ( x) x x Θα παρουσιάσουμε μια μέθοδο υπολογισμού του πολυωνύμου Taylr h της συνάρτησης V με κατηγορηματικό τρόπο Επιπλέον, θα κατασκευάσουμε μια συνάρτηση, όπου H ( x) h( x) M x x, η οποία ικανοποιεί τη σχέση (x)> για κάθε x x Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση ορίζουμε V(x) W(x):= (x) για x x και W(x )=, και παρουσιάζουμε κάποιες ιδιότητες της W Πιο P- συγκεκριμένα, βρίσκουμε ότι η συνάρτηση W αποδεικνύεται να είναι C στο x, όπου P ο βαθμός του πολυωνύμου Taylr Μας ενδιαφέρει μια μέθοδος υπολογισμού του πολυωνύμου Taylr Για γραμμικά συστήματα έχουμε V(x)= (x) Για μη γραμμικά συστήματα η είναι το πολυώνυμο Taylr της V, δευτέρου βαθμού Να σημειώσουμε ότι η χαρακτηρίζεται από: '( x) ( x), Df ( x)( x x) x x ( x), f ( x) x x ( x x ) Η δεύτερη εξίσωση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υπολογίσουμε κατηγορηματικά τη συνάρτηση Ορισμός 35 (Ορισμός του πολυωνύμου Taylr h ) Ας θεωρήσουμε το σύστημα x f ( x), f C (, ), με Έστω το σημείο ισορροπίας x, τέτοιο ώστε, τα πραγματικά μέρη όλων των ιδιοτιμών του πίνακα Df ( x ) είναι αρνητικά Έστω P και έστω h η συνάρτηση: a h( x) : c ( x x ), (9), c a, τέτοια ώστε, a P a 4

43 όπου ( x) x x h ( x) h( x), f ( x) x x ( x ), () P Λήμμα 35 Υπάρχει, μια και μόνο μια, συνάρτηση h της μορφής (9), η οποία ικανοποιεί την σχέση () Η συνάρτηση h είναι το πολυώνυμο Taylr της V (με V '( x) x x και V( x ) ), τάξης P Σχόλιο 353 Η εξίσωση () μπορεί να επιλυθεί αν χρησιμοποιήσουμε την υπόθεση της (9) και αντικαταστήσουμε την f από το Taylr πολυώνυμό της βαθμού P Τότε η () έχει τη μορφή: f( x ) P c ( x x ), Df ( x)( x x ) ( x x ) x x ( x x ) () P P! P Η διαφορά της f από το Taylr πολυώνυμό της είναι βαθμού ( x x ) και αν πολλαπλασιάσουμε με τη ποσότητα h( x) ( x x ), ο υπολειπόμενος όρος είναι βαθμού ( x x ) Παράδειγμα 354 Ας θεωρήσουμε τη παρακάτω διαφορική εξίσωση: 3 x x x () y y x με σημείο ισορροπίας x (,) Υπολογίζουμε το πολυώνυμο h( x, y ) αρχίζοντας από τους όρους h ( x, y ) δευτέρου βαθμού Έχουμε h ( x, y ) (, ) (, ) x x y x y B y T Ο πίνακας B είναι η λύση της εξίσωσης Df (,) B Bf (,) I και στη περίπτωση μας B Έτσι, h ( x, y) x y Για τους όρους βαθμού τρία, που θα ονομάσουμε h (, ) 3 x y, υπολογίζουμε το αριστερό μέλος της () για P 3 : P x x 3 [ h ( x, y) h3 ( x, y)], x y x y h 3( x, y), ( ( x y) ) y x y Έτσι, h ( x, y) ax y, όπου 4 3 a a, δηλαδή h3 ( x, y) x y 5 Για τους όρους βαθμού τέσσερα, που θα ονομάσουμε h (, ) 4 x y, υπολογίζουμε το αριστερό μέλος της () για P 4 : 43

44 x 3 x x [ h ( x, y) h3 ( x, y) h4 ( x, y)], x y x x h 4( x, y), ( ( x y) ) y x 5 y 4 Έτσι, h ( x, y) bx, όπου b, δηλαδή h4 ( x, y) x 5 Για τους όρους βαθμού πέντε, που θα ονομάσουμε h (, ) 5 x y, υπολογίζουμε το αριστερό μέλος της () για P 5 : x 3 x x [ h ( x, y) h3 ( x, y) h4 ( x, y) h5 ( x, y)], x y x y h 5( x, y), ( ( x y) ) y x 5 y 4 Έτσι, h5 x y cx y, όπου 4c c, δηλαδή h5 ( x, y) x y 5 45 Η συνάρτηση λοιπόν h για P 5 δίνεται από: h( x, y) x y x y x x y 5 45 Ορισμός 355 (Ορισμός της συνάρτησης ) P Έστω P και η συνάρτηση h Έστω H : και M, και ορίζουμε: ( x) h( x) M x x H = c ( x x ) M x x P a Διαλέγουμε τη σταθερά M τόσο μεγάλη ώστε η ανισότητα x ( ) να ισχύει για κάθε x x Παράδειγμα 356 Ας θεωρήσουμε τη διαφορική εξίσωση του Παραδείγματος 354: 3 x x x y y x 3 Μια συνάρτηση ( x, y ) για P 5 δίνεται από: ( x, y) h( x, y) ( x y ), δηλαδή ( x, y) x y x y x x y ( x y ) και ( x, y) x y x 5x y x y 3y x y x y 6y x 6x x y 6x y Η ανισότητα ( x, y ) ισχύει για ( xy, ), αφού x y ( x y ) και έτσι, ( x, y) x y x x y 3x y = x y 3 x ( y y ) H 44

45 36 Σύνοψη και παραδείγματα Μέχρι τώρα ορίσαμε τις καθολικές συναρτήσεις uv V και T Η συνάρτηση T ικανοποιεί την εξίσωση T '( x) c με μια σταθερή παράγωγο κατά μήκος των τροχιών και έτσι δεν ορίζεται στο x Η συνάρτηση V ικανοποιεί τη σχέση V '( x) ( x ), όπου η συνάρτηση x ( ) ικανοποιεί τις συνθήκες του θεωρήματος 34 Μα από αυτές τις συνθήκες, είναι η x ( ) και έτσι η συνάρτηση V ορίζεται και είναι ομαλή στο x Και οι δύο συναρτήσεις V και T είναι C -συναρτήσεις Η T ορίζεται στο A( x) \{ x } και η V στο Ax ( ) Η συνάρτηση T παρέχει πληροφορίες σχετικά με το χρόνο που η λύση απαιτεί από το ένα σημείο στο άλλο Για την προσέγγιση, προτιμούμε την εξίσωση T '( x) c με μια σταθερή παράγωγο κατά μήκος των τροχιών γιατί ενώ η συνάρτηση x ( ) απαιτεί γνώση σχετικά με τη θέση του x, η σταθερά c δεν τη χρειάζεται Το βασικό μειονέκτημα της T είναι ότι δεν ορίζεται στο x Η συνάρτηση V είναι μοναδική (κάθε άλλη είναι της μορφής V +μια σταθερά) Αυτό βασίζεται στην ομαλότητα της V στο x Οι τιμές της T, όμως μπορούν να οριστούν αυθαίρετα, πάνω σε μια μη χαρακτηριστική υπερεπιφάνεια Αν * * κάνουμε το ίδιο με μια συνάρτηση V που ικανοποιεί τη σχέση ( V )'( x) ( x ) για κάθε x A( x ) \{ x }, (δηλαδή υποθέτουμε ότι η ισότητα V * ( x) H( x ) ισχύει για * κάθε x, όπου μια μη χαρακτηριστική υπερεπιφάνεια), τότε η συνάρτηση V, γενικά, δε μπορεί να συνεχιστεί με ένα συνεχές τρόπο στο x και έτσι ορίζεται μόνο για x A( x) \{ x }, όπως ακριβώς και η T Θα κλείσουμε αυτή την ενότητα με μερικά παραδείγματα όπου μπορούμε να υπολογίσουμε όλες τις διαφορετικές συναρτήσεις uv με κατηγορηματικό τρόπο Παράδειγμα 36 Ας θεωρήσουμε τη βαθμωτή γραμμική διαφορική εξίσωση x ax όπου x και a Το x είναι ένα σημείο ισορροπίας εκθετικά ασυμπτωτικώς ευσταθές Σα μια μη χαρακτηριστική υπερεπιφάνεια διαλέγουμε την {,} Από τη συνάρτηση H :, που ορίζεται από τις σχέσεις H( ) c, και H() c, αποκτούμε τη συνάρτηση l x T( x) c csg( x), για x v at Ορίζουμε τη συνάρτηση ( x ) από S ( x) x Αφού Stx xe, ισχύει S ( x), αν και μόνο, αν l a x Θέτουμε T( x) c ( x) H( S ( x) x ) 45

46 Οι συναρτήσεις και V με ( x) x δίνονται από: V( x) ( x) εξίσωση είναι γραμμική Η συνάρτηση δεν είναι μοναδική αλλά ορίζεται πάντα ( x) cx με c, στη περίπτωση που είναι βαθμωτή x, αφού η Παράδειγμα 36 Ας θεωρήσουμε τη βαθμωτή μη γραμμική διαφορική εξίσωση 3 x x x Το κατηγορηματικά τις διαφορετικές εξισώσεις, (σχήμα 7), όπου x είναι ένα ασυμπτωτικώς ευσταθές σημείο ισορροπίας Υπολογίζουμε ( x) x, {,} και η συνάρτηση : ορίζεται από τις σχέσεις ( ) () Τότε ( x) x V ( x) l( x ) T( x) c x l ( x ) Για τη συνάρτηση έχουμε Lx ( ) ( x) x ( x ) c cx με κάθε c> Απόδειξη: Η λύση xt () της διαφορικής εξίσωσης με αρχική τιμή x () υπολογίζεται με διαχωρισμό και δίνεται από τη σχέση t e xt ( ), e t για T Υπολογίζουμε τη V( x ) που ικανοποιεί τη σχέση V '( x) x και αντικαθιστούμε x t y e Να σημειώσουμε ότι y για t Έχουμε: x x t e y dy V ( x) ( S t x) dt x dt x x t y y e x x y = x l( ) l( ) dy y x x y Υπολογίζουμε τη συνάρτηση Έχουμε: x x από ( x) S x για x x 46

47 x x e e x x x e x x ( x) l x Η συνάρτηση T που ικανοποιεί τη σχέση T '( x) c και τις T( ) H ( ) c x δίνεται τότε από: T( x) c ( x) l x T( x) Έτσι, η συνάρτηση L( x) e δίνεται από τη σχέση Lx ( ) x x c Η ομαλότητα της L στο εξαρτάται από το c : για c, η συνάρτηση L είναι συνεχής στο μηδέν αλλά δεν είναι διαφορίσιμη, αφού L( x) L() lim lim x x x x L( x) L() lim lim x x x x αλλά Σχήμα 7: Οι συναρτήσεις ( x ) (με κουκίδες), V( x ) (με γκρι), T( x ) (με έντονη μαύρη γραμμή) Να σημειώσουμε ότι η είναι το πολυώνυμο Taylr της V βαθμού δύο και ότι η T( x ) τείνει στο όταν το x τείνει στο σημείο ισορροπίας x 47

48 Κεφάλαιο 4: Συναρτήσεις ακτινωτής βάσης 4 Συναρτήσεις ακτινωτής βάσης Σε αυτή την ενότητα εξετάζουμε την εφαρμογή των συναρτήσεων ακτινωτής βάσης στα δυναμικά συστήματα και πιο συγκεκριμένα παρουσιάζουμε τον υπολογισμό του ελκτικού συνόλου μέσω των συναρτήσεων αυτών Θα ξεκινήσουμε με την προσέγγιση της λύσης ενός προβλήματος Cauchy, χρησιμοποιώντας τις συναρτήσεις ακτινωτής βάσης Ας θεωρήσουμε μια γραμμική μερική διαφορική εξίσωση πρώτου βαθμού με συνθήκες Cauchy Αυτή η μερική διαφορική εξίσωση έχει μη σταθερούς συντελεστές Θα χρησιμοποιήσουμε τις συναρτήσεις Wedlad ως συναρτήσεις ακτινωτής βάσης Έστω η γραμμική μερική διαφορική εξίσωση πρώτου βαθμού με μη σταθερούς συντελεστές για τη συνάρτηση u : d u fk ( x) ( x) c για x, x k k u(x)=c για x (4) d d Στην εξίσωση αυτή f C (, ), όπου, d και δίνονται οι σταθερές d c και c Το σύνολο είναι ένα ανοιχτό σύνολο και το σύνολο είναι μια μη χαρακτηριστική υπερεπιφάνεια της μορφής d { x / g( x ) } για κατάλληλη συνάρτηση g Προς το παρόν υποθέτουμε την ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης u C (, ) Θέλουμε να προσεγγίσουμε τη λύση της (4) με συναρτήσεις ακτινωτής βάσης Ορίζουμε τους γραμμικούς τελεστές: d u Lu( x) : fk ( x) ( x), x Lu( x) : u( x) Γράφουμε την (4) όπως το παρακάτω μεικτό γραμμικό πρόβλημα: Lu( x) : c για x (4) L u( x) : c για x k Θα κατασκευάσουμε μια συνάρτηση ακτινωτής βάσης k d C (, ) της μορφής ( x) ( x ) Προσεγγίζουμε τη λύση u από μια συνάρτηση s, που ονομάζεται επίσης ανακατασκευή της u Θεωρούμε τα πλέγματα X N { x,, x N} και M {,, M } και χρησιμοποιούμε τη παρακάτω σχέση για την s : N M y i xi j i j y s( x) ( L) ( x y) ( L ) ( x y ) (43) Στη παραπάνω εξίσωση η x συμβολίζει τη δ-κατανομή δ Dirac, και η y συμβολίζει την εφαρμογή του τελεστή ως προς το y Οι συντελεστές i, j, έχουν επιλεγεί ώστε η s να ικανοποιεί την (4) για όλα τα σημεία του πλέγματος, δηλαδή ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις: j 48

49 Ls( x ) Lu( x ) c i L s( ) L u( ) c j j i (44) Οι εξισώσεις της (44) είναι ισοδύναμες με το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων: A B = (45) T B C όπου ( c,, c, c,, ) T c, και A=( jk ), B=(b jk ), και C=(c jk ) δίνονται από τις σχέσεις: x y ( L) ( L) ( x y), jk xj xk x y b ( L) ( L ) ( x y), και jk x j xk y c ( L ) ( L ) ( x y) x jk x j xk Θα δείξουμε παρακάτω (Πρόταση 45) ότι ο πίνακας παρεμβολής στη σχέση (45) είναι θετικά ορισμένος και έτσι το σύστημα (45) έχει μια μοναδική λύση (, ) που καθορίζει την s από την (43) Ορισμός 4 (Συναρτήσεις Wedlad) Θέτουμε ( x) lk, ( x ), όπου και, d k και l: k lk μια συνάρτηση Wedlad, με Παρακάτω σημειώνουμε κάποιες βασικές ιδιότητες των συναρτήσεων Wedlad Πρόταση 4 Έστω ( x ) όπως στον Ορισμό 4 Τότε, k d C (, ) και η έχει συμπαγή φορέα Για το μετασχηματισμό Furier ( ) ( x) e με θετικές σταθερές C, C d T ix d d k k ( ) ( ) ( ) dx έχουμε: C C (46) d d Παρακάτω θα συμβολίζουμε με S ( ) το δυικό χώρο του Schwartz S ( ) των συναρτήσεων που φθίνουν με ταχύ τρόπο Ορισμός 43 Ορίζουμε το χώρο Hilbert: με το βαθμωτό γινόμενο: d F : { S ( ) / ( ) ( ) d } d d (, ) : ( ) ( ) ( ) ( ) d F Προσδιορίζουμε το χώρο F από το δυικό F του F Η νόρμα δίνεται από: d 49

50 ( g) g : su F, F F Ο χώρος στη περίπτωση των συναρτήσεων Wedlad είναι ο γνωστός χώρος Sblev, εξαιτίας της (46) Πρόταση 44 Έστω ( x ) όπως στον Ορισμό 4 Τότε όπου με d k F H d k d ( ), d H ( ) συμβολίζει το χώρο Sblev Επιπλέον, συμπαγή φορέα : d d ( d ) ( d C ) F H k k Εδώ, ( d C ) συμβολίζει τις C -συναρτήσεις με Πρόταση 45 Έστω ( x ) όπως στον Ορισμό 4 Έστω X N { x,, x N} και M {,, M } πλέγματα, έτσι ώστε, ισχύει f( x i) για κάθε i,, N και έτσι ώστε xi x j συνεπάγεται ότι i j και i j συνεπάγεται ότι i j Τότε ο πίνακας παρεμβολής A B T B C Θεώρημα 46 (Εκτίμηση σφάλματος) είναι θετικά ορισμένος Έστω ότι η (4) έχει μια λύση ( d, d u C ), όπου k δηλώνει τη παράμετρο της συνάρτησης Wedlad, () d : k και r, με : d lk l k Έστω K ένα συμπαγές σύνολο Τότε υπάρχουν c, c, έτσι ώστε για όλα τα πλέγματα X N { x,, xn} K και M {,, M } με απόσταση κάλυψης h στη, τέτοια ώστε, να ισχύει Ls( x) Lu( x) c h, για κάθε x K (48) L s( x) L u( x) c h, για κάθε x (49) όπου για k και για k και k d s C (, ) είναι η ανακατασκευή της u, ως προς τα πλέγματα X N, M και ( x) lk, ( x ) με συνάρτηση Wedlad όπως στον Ορισμό 4 5

51 4 Εφαρμογές στα δυναμικά συστήματα Ας θεωρήσουμε την αυτόνομη συνήθη διαφορική εξίσωση πρώτου βαθμού με αρχική συνθήκη x f (x), x()= (4) d d με f C (, ) Αφού, η τοπική ύπαρξη και η μοναδικότητα της λύσης xt () της (4) είναι εξασφαλισμένα Μια λύση της (4) υπάρχει στο μέγιστο χρονικό διάστημα ( T, T ) T { } και T { } Αν T, τότε το όριο lim xt ( ) t T Επιπλέον, υποθέτουμε ότι ισχύει f () και ότι κάθε ιδιοτιμή του Ιακωβιανού πίνακα Df () έχει αρνητικά πραγματικά μέρη Τότε το είναι ένα ασυμπτωτικά ευσταθές σημείο ισορροπίας της (4), δηλαδή xt ( ) είναι μια σταθερή λύση της (4) και ακόμη, υπάρχουν γειτονικές λύσεις για κάθε t, οι οποίες παραμένουν κοντά στο και τείνουν προς το όσο t Ορισμός 4 Το ελκτικό σύνολο του ασυμπτωτικά ευσταθούς σημείου ισορροπίας της (4) ορίζεται από A() : { : η λύση x(t) υπάρχει για t και lim x(t) } Το Α() είναι ένα μη κενό και ανοιχτό σύνολο Ορισμός 4 (Παράγωγος κατά μήκος των τροχιών) Έστω d u C (, ) Τότε η Lu( x) u( x), f ( x ) καλείται παράγωγος κατά μήκος των τροχιών της u ως προς την (4) Η παράγωγος κατά μήκος των τροχιών είναι η παράγωγος της u κατά μήκος των d λύσεων της (4), αφού u ( x ( t )) t u ( x ( t )), x( t ) t u ( ), f ( ) Lu ( ) dt Η λύση u της (4) φθίνει κατά μήκος των λύσεων με σταθερό ρυθμό c Πρόταση 43 Έστω A () \{}, τέτοιο ώστε για κάθε υπάρχει ένα και μόνο ένα t, τέτοιο ώστε, xt (), όπου xt () η λύση της (4) Τότε η (4) έχει μια μοναδική λύση u C (, ) Από την κατασκευή είναι προφανές ότι η ux ( ) τείνει στο όσο x και έτσι η u δεν ορίζεται στο Έχουμε δείξει την ύπαρξη, την μοναδικότητα και την ομαλότητα της λύσης u της (4), όμως αυτό δεν διασφαλίζει την κατασκευή με κατηγορηματικό τρόπο της u, αφού η λύση xt () της εξίσωσης (4) γενικά δεν είναι γνωστή Παρ όλα αυτά μπορούμε να βρούμε μια προσέγγιση για τη λύση χρησιμοποιώντας συναρτήσεις ακτινωτής βάσης t 5

52 Όπως έχουμε ήδη πει οι συναρτήσεις uv είναι συναρτήσεις με αρνητική παράγωγο κατά μήκος των τροχιών και εξυπηρετούν στον καθορισμό του ελκτικού συνόλου A () μέσα από τα σύνολα επιπέδων τους Θεώρημα 43 (συναρτήσεις uv) Ας θεωρήσουμε την εξίσωση (4) Έστω d K ένα συμπαγές σύνολο με γειτονιά B, έτσι ώστε, K, ισχύει Lu( x ) για κάθε x K \{}, 3 K { x B / u( x) R } Τότε, K A () d u C (, ) μια συνάρτηση και Η βασική ιδέα είναι όχι μόνο ότι η συνάρτηση u ικανοποιεί την σχέση Lu( x) c, αλλά επίσης ότι η ανακατασκευή s ικανοποιεί την σχέση c Ls( x) Lu( x) c h c c h για h Έτσι, και η ανακατασκευή s c είναι μια συνάρτηση uv και εξυπηρετεί στο καθορισμό του ελκτικού συνόλου A () μέσα από τα σύνολα επιπέδων της Παρ όλα αυτά έχουμε πρόβλημα κοντά στο και κοντά στο A (), αφού η u ορίζεται μόνο στο A () \{} Το πρόβλημα κοντά στο μπορεί να ξεπεραστεί με γραμμικοποίηση 43 Σταδιακός υπολογισμός του ελκτικού συνόλου Βήμα Ξεκινούμε με μια συνάρτηση uv s που είναι συνάρτηση uv για το γραμμικό σύστημα x Df () x, δηλαδή με τη γραμμικοποίηση της (4) στο Η συνάρτηση s θα αποδειχθεί συνάρτηση uv για το μη γραμμικό σύστημα s (4) σε κάποια γειτονιά B του Λήμμα 43 Η εξίσωση πινάκων R T Df () P PDf () I d d έχει μια μοναδική λύση P, η οποία είναι συμμετρική και θετικά ορισμένη Ορίζουμε ( ) T s x x Px Τότε υπάρχει ένα R τέτοιο ώστε να ισχύει Ls ( ) s \{} x B R, s όπου B : { x d / s ( x) R } R Από το θεώρημα 43 έχουμε B : s BR A () Θα προχωρήσουμε στο επόμενο βήμα 5

53 Βήμα, Υποθέτουμε ότι η s είναι μια συνάρτηση και B είναι ένα ανοιχτό, φραγμένο σύνολο με Ls ( ) x για κάθε x B \{} Θέτουμε : B Διαλέγουμε το συμπαγές σύνολο K, τέτοιο ώστε K K A () \{} Σε πρακτικές εφαρμογές το A () δεν είναι γνωστό εκ των προτέρων και έτσι δεν είναι εφικτό να δείξουμε ότι K A () \{} εκ των προτέρων Υπολογίζουμε την ανακατασκευή s s της συνάρτησης u με κάθε c και c Αν το πλέγμα X έχει μια απόσταση κάλυψης, τέτοια ώστε, να ισχύει h c c, τότε ισχύει Ls ( ) x για κάθε x K Οι συναρτήσεις s, s μπορούν να συνενωθούν σε μια συνάρτηση s Για τη συνάρτηση s έχουμε Ls ( x ) για κάθε x ( K B ) \{} Επιπλέον, τα σύνολα επιπέδων της s είναι τα σύνολα επιπέδων της s Αν η απόσταση κάλυψης h είναι αρκετά μικρή, μπορούμε να βρούμε μια σταθερά R τέτοια ώστε να ισχύει B B : s BR K B Έτσι, ισχύει B A () από θεώρημα 43 Από το θεώρημα 46 μπορούμε να δείξουμε ότι η μέθοδος έχει αποτέλεσμα αν διαλέξουμε σωστά τα K, h και h Παράδειγμα 43 Θα εφαρμόσουμε τη παραπάνω μέθοδο στη συνήθη διαφορική εξίσωση: 3 x x( 4 x y ) y y y( x y ) 6x 8 Βήμα : Έχουμε P I, s ( x) x και R 45 (σχήμα 8, δεξιά) Έτσι παίρνουμε ένα υποσύνολο B του ελκτικού συνόλου A Βήμα : Λύνουμε την εξίσωση Lu( x ) χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση ακτινωτής βάσης ( x) 4,(5 x ) και διαλέγουμε ένα εξαγωνικό πλέγμα X N με N 7 σημεία και ένα πλέγμα M με M σημεία (σχήμα 9, αριστερά) Σε αυτό το βήμα η προσέγγιση s ικανοποιεί την ανισότητα Ls ( ) x κοντά στο x και δεν είναι απαραίτητη μια επέκταση Διαλέγουμε R 7 (σχήμα 9, δεξιά) Έτσι παίρνουμε ένα υποσύνολο B του ελκτικού συνόλου A Βήμα : Λύνουμε την εξίσωση Lu( x ) χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση ακτινωτής βάσης ( x) 4,(7 x ) και διαλέγουμε ένα εξαγωνικό πλέγμα και δύο επιπλέον σημεία έτσι ώστε συνολικά έχουμε N 3 σημεία Επιπλέον, διαλέγουμε 53

54 ένα πλέγμα M με M σημεία (σχήμα, αριστερά) Σε αυτό το βήμα η προσέγγιση s δεν ικανοποιεί την ανισότητα Ls ( ) x κοντά στο x και μια επέκταση είναι απαραίτητη Παρ όλα αυτά αφού τα σύνολα επιπέδων της s και s είναι τα ίδια δε χρειάζεται να υπολογίσουμε την επέκταση s αλλά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα σύνολα επιπέδων της s με R 5 (σχήμα, δεξιά) Έτσι παίρνουμε ένα υποσύνολο B του ελκτικού συνόλου A Να σημειώσουμε ότι τα σύνολα επιπέδων s ( x ) είναι διαφορετικά από τη Παρ όλα αυτά από τη κατασκευή, η σχέση s ( ) x ισχύει για όλα τα σημεία x M Στο σχήμα 9 αριστερά, συγκρίνουμε τα τρία υποσύνολα B, B, B με το αριθμητικά υπολογισμένο ελκτικό σύνολο A, το σύνορο του οποίου είναι μια ασταθής περιοδική τροχιά Σχήμα 9 Αριστερά: Σύγκριση των υποσυνόλων B, B, B, που προέκυψαν στα αντίστοιχα βήματα της μεθόδου με το αριθμητικά υπολογισμένο ελκτικό σύνολο A (με μαύρο), το σύνορο του οποίου είναι μια ασταθής περιοδική τροχιά Δεξιά: το βήμα με την τετραγωνικής μορφής συνάρτηση uv s ( ) x Το σχήμα δείχνει το πρόσημο της s ( x ) και το σύνολο B { x R / s ( x) R } με R 45 54

55 Σχήμα Το πρώτο βήμα με τη συνάρτηση uv s Αριστερά: το πλέγμα X N (+) στο σύνολο K φράσσεται από το ορθογώνιο (με διακεκομμένη γραμμή), το πλέγμα (με ) στο σύνολο, που είναι το φράγμα του M B Δεξιά: το σύνολο B, το πλέγμα (με ) που είναι από την κατασκευή του πάνω στο M B, το πρόσημο της s ( x ) και το σύνολο B { x R / s( x) R } με R 45, όπως επίσης και τα σύνολα επιπέδων s ( x ) Να σημειώσουμε ότι το πρόσημο της s ( ) x είναι αρνητικό στο B \{} Σχήμα Το δεύτερο βήμα με τη συνάρτηση uv s Αριστερά: το νέο πλέγμα X N (+) στο νέο σύνολο K φράσσεται από το ορθογώνιο (με διακεκομμένη γραμμή), το νέο πλέγμα (με ) στο σύνολο, που είναι το φράγμα του M B Δεξιά: το σύνολο B, το πλέγμα (με ) που είναι από την κατασκευή του πάνω στο M B, το πρόσημο της s ( x ) και το σύνολο B { x / s ( x) R } με R 5, όπως επίσης και τα σύνολα επιπέδων s ( x ) Να σημειώσουμε ότι το πρόσημο της s ( ) x είναι θετικό 55 κοντά στην αρχή Έτσι σε αυτή την περίπτωση χρησιμοποιούμε την επέκταση s της s Παρ όλα αυτά, αφού τα πρόσημα των s ( x ) και s ( x ) είναι ίσα εκτός του B και τα σύνολα επιπέδων των s και s συμπίπτουν, έχουμε B { x / s( x) R} { x / s( x) R } για κατάλληλη σταθερά R

56 Κεφάλαιο 5: Κατασκευή συναρτήσεων uv 5 Εισαγωγή Όπως είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο οι συναρτήσεις ακτινωτής βάσης μας επιτρέπουν να προσεγγίσουμε μια συνάρτηση μέσω των τιμών ενός γραμμικού τελεστή σε ένα πεπερασμένο αριθμό σημείων πλέγματος Ιδιαίτερα, αν δίνεται η παράγωγος κατά μήκος των τροχιών μιας συνάρτησης Q σε ένα πλέγμα, μπορούμε να ανακατασκευάσουμε τη συνάρτηση Q από μια προσέγγιση q Επίσης, μπορούμε να υπολογίσουμε το σφάλμα Q'( x) q'( x ) το οποίο τείνει στο μηδέν, αν η απόσταση κάλυψης του πλέγματος τείνει στο μηδέν Έτσι, οι προσεγγίσεις q t της συνάρτησης T και q u της συνάρτησης V μέσω των συναρτήσεων ακτινωτής βάσης είναι συναρτήσεις με αρνητικές παραγώγους κατά μήκος των τροχιών, αν το πλέγμα είναι αρκετά πυκνό Για το Παράδειγμα 43 το αποτέλεσμα απεικονίζεται στο σχήμα και στο σχήμα 3 Προσεγγίζουμε τη συνάρτηση uv V για την οποία ισχύει V '( x) x x με την προσέγγιση u Στο σχήμα αριστερά, απεικονίζονται οι τιμές της προσέγγισης της συνάρτησης uv ux ( ), ενώ στο σχήμα 3 απεικονίζεται το σφάλμα προσέγγισης u '( x) V '( x ) Στο σχήμα δεξιά, δίνεται το πρόσημο της u'( x ) Προφανώς, η προσέγγιση u δεν ικανοποιεί την u'( x ) για κάθε x K \{ x } Υπάρχουν σημεία κοντά στο x, όπου u'( x ) Κάποιος μπορεί να υποθέσει ότι το πλέγμα δεν ήταν αρκετά καλό Στην πραγματικότητα όμως, από την εκτίμηση σφάλματος καταλαβαίνουμε ότι η ανισότητα u'( x ) που μας ενδιαφέρει ισχύει για ένα σύνολο K \ U, όπου U είναι μία μικρή γειτονιά του x, η οποία είναι αυθαίρετη Επιπλέον, δείχνουμε ότι γενικά υπάρχουν σημεία x κοντά στο x, όπου ισχύει u'( x ) Τέτοιες προσεγγίσεις τις ονομάζουμε μη τοπικές συναρτήσεις uv Προκειμένου να εξασφαλίσουμε μια συνάρτηση uv, δηλαδή μια συνάρτηση με αρνητική παράγωγο κατά μήκος των τροχιών στο K\{ x }, θα πρέπει να συνδυάσουμε τη μη τοπική συνάρτηση uv με κάποιες τοπικές πληροφορίες Στην ενότητα 5, χρησιμοποιούμε συναρτήσεις ακτινωτής βάσης για να προσεγγίσουμε μια καθολική συνάρτηση uv, τη συνάρτηση T ή τη V Οι συναρτήσεις αυτές έχουν μια συγκεκριμένη ομαλότητα και γνωρίζουμε τις τιμές των παραγώγων τους κατά μήκος των τροχιών σε όλα τα σημεία Έτσι, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα αυθαίρετο πλέγμα Εξασφαλίζουμε μια προσέγγιση t της T, και u της V, αντίστοιχα Αυτή η προσέγγιση θα έχει αρνητική παράγωγο κατά μήκος των τροχιών Παρ όλα αυτά, δεν μπορούμε να εγγυηθούμε την αρνητικότητα της παραγώγου i) κοντά στο x και ii) κοντά στην Ax ( ), αλλά μπορούμε να την εγγυηθούμε μόνο για κάθε συμπαγές σύνολο K A( x) \{ x } Στην ενότητα 53 εξετάζουμε τρεις διαφορετικές δυνατότητες για να αντιμετωπίσουμε το τοπικό πρόβλημα i) κοντά στο x, αφού μπορούμε να δείξουμε 56

57 ότι γενικά υπάρχουν σημεία κοντά στο x με θετική παράγωγο κατά μήκος των τροχιών Και για τις τρεις δυνατότητες, χρησιμοποιούμε κάποιες τοπικές πληροφορίες Προσδιορίζουμε μια τοπική περιοχή uv, δηλαδή υπολογίζουμε τη τοπική συνάρτηση uv ή και βρίσκουμε μια περιοχή uv για αυτή τη συνάρτηση, και τη συνδυάζουμε με την προσέγγιση q μιας καθολικής συνάρτησης uv Αυτό μπορούμε να το κάνουμε είτε μέσω του θεωρήματος 6 ή με την κατασκευή μιας νέας συνάρτησης uv που συνδυάζει τη τοπική και τη συνάρτηση uv Η τρίτη δυνατότητα χρησιμοποιεί ένα πολυώνυμο Taylr της συνάρτησης V για να ορίσει μια συνάρτηση W και στη συνέχεια προσεγγίζει την W μέσω συναρτήσεων ακτινωτής βάσης Το ερώτημα ii) αν μπορούμε να εξασφαλίσουμε ολόκληρο το ελκτικό σύνολο ή τουλάχιστο κάθε συμπαγές υποσύνολό του θα το εξετάσουμε στο Κεφάλαιο 6 Σχήμα Αριστερά: η προσεγγιστική συνάρτηση uv u( x, y ) Δεξιά: το πρόσημο της u '( x, y ) (με γκρι) και το πλέγμα (με μαύρο +) Η u εξασφαλίσθηκε από την προσέγγιση της συνάρτησης V ( x, y ) με παράγωγο V '( x, y) Παράδειγμα 43 ( x y ) για το 57

58 Σχήμα 3 Η διαφορά u '( x, y) V '( x, y ) Είναι το σφάλμα προσέγγισης, το οποίο είναι μικρό μέσα στη περιοχή όπου είχαν τοποθετηθεί τα σημεία του πλέγματος, και μεγάλο έξω από αυτή την περιοχή 5 Μη τοπικό μέρος Σε αυτή την ενότητα, αποδεικνύουμε ότι μπορούμε να κατασκευάσουμε μια συνάρτηση με αρνητική παράγωγο κατά μήκος των τροχιών στο μη τοπικό μέρος, δηλαδή μέσα σε ένα σύνολο, το οποίο δεν περιλαμβάνει μια (τοπική) γειτονιά του x Η ιδέα είναι να χρησιμοποιήσουμε μία από τις συναρτήσεις uv T ή V έξω από μια γειτονιά του x και να τη προσεγγίσουμε με συναρτήσεις ακτινωτής βάσης μέσω της παραγώγου κατά μήκος των τροχιών Αν το πλέγμα είναι αρκετά πυκνό, μπορούμε να εξασφαλίσουμε μια συνάρτηση προσέγγισης με αρνητική παράγωγο έξω από μια γειτονιά του σημείου ισορροπίας Θα θεωρήσουμε τις συναρτήσεις uv T που ικανοποιούν τη σχέση T ' c και V που ικανοποιούν την V ' ( x ) Η συνάρτηση T δεν ορίζεται ούτε στο x ούτε έξω από το Ax ( ) Επεκτείνουμε τη συνάρτηση T με έναν ομαλό τρόπο σε μια C - συνάρτηση, ορισμένη στο θέτοντας T( x ) για κάθε x σε μια γειτονιά U του x και για κάθε x A( x ) Θεώρημα 5 Έστω η συνάρτηση ( x) lk, ( c x ) με c, όπου lk, δηλώνει μια συνάρτηση Wedlad με k και l: k Έστω f C (, ), όπου : k Έστω K A( x ) ένα συμπαγές σύνολο και U μια ανοιχτή γειτονιά του x, τέτοια ώστε, K \ U Έστω X N { x,, xn} K \ U ένα πλέγμα με ικανή, μικρή απόσταση κάλυψης h στο K \ U 58

59 Τότε υπάρχει μία σταθερά C C ( K, U ), τέτοια ώστε, για όλες τις ανακατασκευές k t C (, ) της T ως προς το πλέγμα X N και τον τελεστή Dq( x) q ( x ) (παράγωγος κατά μήκος των τροχιών), να ισχύει: t ( x) c C h, για κάθε x K \U, (5) όπου για k και για k Ακόμη, για όλα τα πλέγματα K \ U, ισχύει: X N με απόσταση κάλυψης t ( x ), για κάθε x K \U (5) h h c : ( ) C Θεώρημα 5 Έστω η συνάρτηση ( x) lk, ( c x ) με c, όπου lk, δηλώνει μια συνάρτηση Wedlad με k και l: k Έστω f C (, ), όπου : k Έστω K A( x ) ένα συμπαγές σύνολο Έστω X { x,, x } K \{ x } ένα πλέγμα με ικανή, μικρή απόσταση κάλυψης h N στο K N Τότε υπάρχει μία σταθερά C C ( K ), τέτοια ώστε, για όλες τις ανακατασκευές k t C (, ) της V, με V '( x) ( x ), ως προς το πλέγμα X N και τον τελεστή Dq( x) q ( x ) (παράγωγος κατά μήκος των τροχιών), να ισχύει: u ( x) ( x) C h, για κάθε x K, (53) όπου για k και για k Ακόμη, αν U είναι μια ανοιχτή γειτονιά του x, τέτοια ώστε, K \ U, τότε για mi x K \ U ( ) όλα τα πλέγματα X N K \ U με απόσταση κάλυψης h h : ( x ) να C ισχύει: u( x ), για κάθε x K \U (54) Λήμμα 53 Ας θεωρήσουμε το σύστημα x f(x), (, ) στο f C και έστω το σημείο ισορροπίας x, τέτοιο ώστε v είναι το μέγιστο πραγματικό μέρος όλων των ιδιοτιμών του Df ( x ) Έστω q C (, ) μία συνάρτηση που ικανοποιεί τη σχέση qx ( ) Τότε υπάρχει ένα h και ένα, τέτοια ώστε να ισχύει: q ( x h), για κάθε (, ) (55) και q ( x h), για κάθε (, ) (56) 59

60 Λήμμα 54 (Συμμετρία) Αν και το δυναμικό σύστημα και το πλέγμα έχουν τη συμμετρία f ( x x) f ( x x ) και X N { x x,, x xn, x x,, x x N}, τότε η ανακατασκευή q C (, ) της T ( x) c ή της V '( x) ( x ) με ( x x) ( x x ) ικανοποιεί τη σχέση q( x x) q( x x ) για κάθε Έτσι, qx ( ) x Η συμμετρία υπάρχει στο Παράδειγμα 43 Αν χρησιμοποιήσουμε ένα συμμετρικό πλέγμα, τότε οι συναρτήσεις προσέγγισης θα είναι επίσης συμμετρικές Σε αυτές τις περιπτώσεις οι υποθέσεις του Λήμματος 53 δεν ικανοποιούνται και ο Εσσιανός πίνακας Hessq( x ) καθορίζει τη συμπεριφορά του q( x ), κοντά στο x Λήμμα 55 Ας θεωρήσουμε το σύστημα x f(x), (, ) f C και έστω το σημείο ισορροπίας x, τέτοιο ώστε v είναι το μέγιστο πραγματικό μέρος όλων των ιδιοτιμών του Df ( x ) Έστω q C (, ) μία συνάρτηση που ικανοποιεί τη σχέση qx ( ) Αν ο συμμετρικός πίνακας Hessq( x ) έχει τουλάχιστον μία αρνητική ιδιοτιμή, τότε υπάρχει ένα h και ένα, τέτοια ώστε να ισχύει: q ( x h ), για κάθε (,) (, ) (58) Έτσι, οι προσεγγίσεις t και u του Θεωρήματος 5 και του Θεωρήματος 5 γενικά δεν έχουν αρνητικές παραγώγους κατά μήκος των τροχιών για όλα τα σημεία κοντά στο x, και έτσι, οι ίδιες δεν είναι συναρτήσεις uv Παρ όλα αυτά, κοντά στο x, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη τοπική πληροφορία που παρέχεται από τη γραμμικοποίηση της f Στην επομένη ενότητα θα παρουσιάσουμε διαφορετικές μεθόδους για το πρόβλημα του τοπικού μέρους 53 Τοπικό Μέρος Για την προσέγγιση και των δύο συναρτήσεων T και V, έχουμε συνάγει εκτιμήσεις σφάλματος, οι οποίες εξασφαλίζουν ότι οι προσεγγίσεις αυτές έχουν αρνητικές παραγώγους κατά μήκος των τροχιών, εκτός για μια γειτονιά του x Έχουμε επίσης δείξει ότι, γενικά, οι προσεγγίσεις όντως έχουν σημεία σε κάθε γειτονιά του x, όπου η παράγωγος είναι θετική Έτσι, πρέπει να ασχοληθούμε με το τοπικό μέρος Το τοπικό μέρος είναι εύκολα προσβάσιμο αφού η γραμμικοποίηση στο x παρέχει τοπικές πληροφορίες Χρησιμοποιούμε αυτή τη τοπική πληροφορία με διαφορετικούς τρόπους και έτσι, παρουσιάζουμε τρεις δυνατότητες για το πρόβλημα του τοπικού μέρους 6

61 Στην ενότητα 5 χρησιμοποιούμε μια τοπική περιοχή uv για να καλύψουμε το σύνολο με θετική παράγωγο κατά μήκος των τροχιών Στην ενότητα 5 χρησιμοποιούμε μια τοπική συνάρτηση uv και ορίζουμε μια νέα συνάρτηση, η οποία είναι συνδυασμός τη τοπικής συνάρτηση uv και της υπολογισμένης μη τοπικής συνάρτησης uv Αυτή η συνδυασμένη συνάρτηση αποδεικνύεται ότι είναι μια συνάρτηση uv Στην ενότητα 53 χρησιμοποιούμε το πολυώνυμο Taylr της V και προσεγγίζουμε τη συνάρτηση V W, αντί για τη συνάρτηση V Σχήμα 4 Η u είναι μια προσέγγιση της συνάρτησης uv V με τη χρήση ενός εξαγωνικού πλέγματος με απόσταση πλέγματος Τα σχήματα απεικονίζουν το πρόσημο της u '( x, y ) (με γκρι), ένα σύνολο επιπέδου της u (με μαύρο) και δύο διαφορετικές τοπικές περιοχές uv της τοπικής συνάρτησης uv (με λεπτή μαύρη γραμμή) Αριστερά: ( xy, ) 9 Δεξιά: ( xy, ) 45 Στην περίπτωση, αριστερά, η τοπική περιοχή uv δεν είναι ένα υποσύνολο της περιοχής uv, ενώ στην δεξιά περίπτωση είναι Έτσι, στην περίπτωση δεξιά, μπορούμε να ορίσουμε μια συνάρτηση uv, που είναι συνδυασμός της τοπικής και της υπολογισμένης, χρησιμοποιώντας διαμέριση της μονάδας Αυτό δεν είναι δυνατό στην περίπτωση, αριστερά Όμως και στις δύο περιπτώσεις η περιοχή uv είναι ένα υποσύνολο του ελκτικού συνόλου Το παράδειγμα που χρησιμοποιήθηκε είναι το 43 Θα παρουσιάσουμε τις τρεις δυνατότητες, εφαρμοσμένες στο Παράδειγμα 43 : (i) Μπορούμε να πάρουμε την τοπική πληροφορία από τη μελέτη της γραμμικοποίησης, συγκεκριμένα του Ιακωβιανού πίνακα Df ( x ) Αυτή η πληροφορία μπορεί να χρησιμοποιηθεί με τη μορφή μιας τοπικής περιοχής uv Αν τα σημεία με q'( x ) κοντά στο x ανήκουν σε μια τοπική περιοχή uv, τότε από προηγούμενο θεώρημα πάνω σε περιοχές uv με εξαιρετικά σύνολα, συνεπάγεται ότι το μεγαλύτερο σύνολο υποεπιπέδων * q( x) R, τέτοιο ώστε, για κάθε σημείο είτε ισχύει q'( x ) είτε ότι το x ανήκει στη τοπική περιοχή uv, 6

62 είναι ένα υποσύνολο του ελκτικού συνόλου Στο σχήμα 4, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτό το αποτέλεσμα για να δείξουμε ότι η περιοχή uv που φράσσεται από το σύνολο επιπέδου της προσέγγισης u με μαύρο είναι ένα υποσύνολο του ελκτικού συνόλου (ii) Αν η τοπική περιοχή uv είναι ένα κατάλληλο υποσύνολο της περιο χής uv που έχει εξασφαλιστεί από τη συνάρτηση προσέγγισης, τότε μπορούμε να ορίσουμε μια συνάρτηση uv q*( x ) που ικανοποιεί την ανισότητα q*( x ) για κάθε x K \{ x } Η συνάρτηση q * έχει εξασφαλιστεί από τη τοπική συνάρτηση uv και από την μη τοπική q με διαμέριση της μονάδας Αφού τα σύνολα επιπέδων της q έξω από την τοπικής περιοχή uv είναι σύνολα επιπέδων της q * δεν χρειάζεται να υπολογίσουμε κατηγορηματικά την q * : Χρησιμοποιώντας το θεώρημα 4 στις περιοχές uv, μπορούμε να αποδείξουμε άμεσα ότι η περιοχή uv με συνάρτηση uv q * είναι ένα υποσύνολο του ελκτικού συνόλου Στο σχήμα 4 δεξιά, αυτό είναι πιθανό, ενώ στο σχήμα 4 αριστερά, η τοπική περιοχή uv δεν είναι ένα υποσύνολο της περιοχής uv και κατά συνέπεια δεν είναι δυνατή η κατασκευή Σχήμα 4 Αριστερά: η άμεση προσέγγιση της V από την u χρησιμοποιώντας ένα εξαγωνικό πλέγμα (με μαύρο +) με απόσταση πλέγματος Το πρόσημο της u '( x, y ) (με γκρι) είναι θετικό για κάποια σημεία κοντά στο Δεξιά: η προσέγγιση της V μέσω της W χρησιμοποιώντας το πολυώνυμο Taylr με το ίδιο πλέγμα (με μαύρο +) Το πρόσημο της uw '( x, y ) (με γκρι) είναι αρνητικό για όλα τα σημεία κοντά στο Απεικονίζεται το σύνολο επιπέδου uw ( x, y ) (με μαύρο), το οποίο είναι το σύνορο της περιοχής uv Έτσι, η περιοχή uv είναι ένα υποσύνολο του ελκτικού συνόλου για το Παράδειγμα 43 (iii) Η τρίτη προσέγγιση για να χρησιμοποιήσουμε τη τοπική πληροφορία είναι 6

63 μόνο δυνατή για Q V με V '( x) x x : υπολογίζουμε το πολυώνυμο Taylr (ενός συγκεκριμένου βαθμού) της V( x ) και προσθέτουμε ένα ακόμη μεγαλύτερου βαθμού, πολυωνύμου, έτσι ώστε, να εξασφαλίσουμε ένα πολυώνυμο x ( ) για το V( x) οποίο ισχύει x ( ) για κάθε x x Ορίζουμε τη συνάρτηση W( x) x ( ), η οποία ικανοποιεί μια συγκεκριμένη μερική διαφορική εξίσωση Προσεγγίζουμε τη συνάρτηση W από την w και ορίζουμε μια προσέγγιση uw ( x) w( x) ( x ) της V( x ) Η προσέγγιση u W, σε αντίθεση με την άμεση προσέγγιση u της V, έχει αρνητική παράγωγο κατά μήκος των τροχιών στο σύνολο K\{ x } αν το πλέγμα είναι αρκετά καλό και έτσι, δεν χρειαζόμαστε μια τοπική συνάρτηση uv Εφαρμόζουμε αυτή τη διαδικασία στο Παράδειγμα 43 Το πολυώνυμο Taylr της V, βαθμού πέντε: h( x, y) x y x x y x y xy y Σε αυτή την περίπτωση, ισχύει ( x) h( x ) για κάθε x x 53 Τοπική περιοχή uv Αφού μπορούμε να εξασφαλίσουμε μια τοπική περιοχή uv με μια από τις τοπικές συναρτήσεις uv q = ή, το μόνο που χρειάζεται είναι να συνδυάσουμε αυτή τη τοπική πληροφορία με μια μη τοπική συνάρτηση uv Αυτό γίνεται στο παρακάτω λήμμα, το οποίο ισχύει ακόμη και για τις αυθαίρετες συναρτήσεις uv q με περιοχή uv K Λήμμα 56 Έστω q μια συνάρτηση uv με περιοχή uv K q K ( x ) Έστω q U : Br ( x ) Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση ( x) lk, ( c x ), με c, όπου lk, συμβολίζει τη συνάρτηση Wedlad με k και l: k Έστω ( * f C, ), όπου : k Έστω ότι ισχύει το ) ή το ): ) Έστω A( x ) K ένα συμπαγές σύνολο με K \ U και X K \ U ένα πλέγμα με απόσταση κάλυψης h h * Έστω t C k (, ) μια ανακατασκευή της T, ως προς το πλέγμα X N με τελεστή Dq( x) q '( x ) (παράγωγος κατά μήκος των τροχιών) ) Έστω A( x ) K ένα συμπαγές σύνολο με K \ U και X K \ U ένα πλέγμα με απόσταση κάλυψης h h * Έστω k u C (, ) η ανακατασκευή της V, ως προς το πλέγμα X N με τελεστή Dq( x) q '( x ) (παράγωγος κατά μήκος των τροχιών) N N r 63

64 Έστω K ένα συμπαγές σύνολο και B μια γειτονιά του K, τέτοια ώστε, K { x B q( x) R} K, όπου q t ή q u, αντίστοιχα, και x K Τότε, η q είναι μια συνάρτηση uv με περιοχή uv K και με εξαιρετικό σύνολο U 53 Τοπική συνάρτηση uv Σε αυτή την ενότητα χρησιμοποιούμε μια τοπική συνάρτηση uv προκειμένου να τροποποιήσουμε τη μη τοπική συνάρτηση uv κοντά στο σημείο ισορροπίας Τα σύνολα επιπέδου της μη τοπικής συνάρτησης uv παραμένουν σύνολα επιπέδου και της τροποποιημένης Έτσι, δε χρειάζεται να υπολογίσουμε με κατηγορηματικό τρόπο την τροποποιημένη συνάρτηση για να εξασφαλίσουμε μια περιοχή uv Ας υποθέσουμε ότι η q είναι μια συνάρτηση uv με περιοχή uv q K K ( x ), όπως στον ορισμό 3 Ας υποθέσουμε ακόμη, ότι η q ορίζεται στο r Οι συναρτήσεις και με περιοχές uv είναι παραδείγματα για τέτοιες συναρτήσεις q Ορίζουμε μια συνάρτηση h, η οποία είναι μηδενική κοντά στο x και μία συνάρτηση έξω από το K, έτσι ώστε να συνδέσουμε το τοπικό με το καθολικό μέρος Θα αποδείξουμε ότι h'( x ) για αυτή τη παράγωγο κατά μήκος των τροχιών Λήμμα 57 Έστω q q C (, ) μια συνάρτηση uv, με περιοχή uv K K ( x ) Έστω r r Τότε υπάρχει μια συνάρτηση h C (, ), τέτοια ώστε: hx ( ) [,] για κάθε x, q hx ( ) για x K ( x ), hx ( ), για x B ( x ) h'( x ) για κάθε r r q r x, q h'( x ) για κάθε x K ( x ) και για κάθε x Br ( x ) r r Θεώρημα 58 s Έστω q C (, ), s μια συνάρτηση uv, με περιοχή uv q q K K ( x ) Έστω K ένα συμπαγές σύνολο με B ( x ) K Έστω r s q C ( \{ x }, ) μία συνάρτηση, τέτοια ώστε, να ισχύει q q( x ), για κάθε x K \ B ( x ) (5) s Τότε, υπάρχει μία συνάρτηση q C (, ), τέτοια ώστε να ισχύει: q ( x) aq( x) b για κάθε x B q r ( x ) με σταθερές a, b> ( q ) ( x ) για κάθε x K \{ x } Επιπλέον, ισχύει q ( x) q( x ) r q r r 64

65 Πόρισμα 59 s Έστω q C (, ), s μια συνάρτηση uv, με περιοχή uv q K K ( x ) Έστω s q C ( \{ x }, ), B ένα ανοιχτό σύνολο, και r q B ( x ) K B ένα συμπαγές σύνολο τέτοιο ώστε r και q q( x ), για κάθε x K \ B ( x ) (5) K { x B / q( x) R } Τότε K A( x ) και το K είναι θετικά αναλλοίωτο r Η διαφορά ανάμεσα στις ενότητες 53 και 53 είναι ο τρόπος που διαχειριστήκαμε το τοπικό μέρος Στην ενότητα 53 ορίσαμε μια νέα συνάρτηση uv ενώ στην ενότητα 53 χρησιμοποιήσαμε το θεώρημα 6 και ένα εξαιρετικό σύνολο Στην ενότητα 53 χρειαζόμαστε και εξασφαλίζουμε ότι το Κ είναι θετικά αναλλοίωτο Στην ενότητα 53 μπορεί να υπάρχουν σημεία q x B ( x ) \ K και έτσι δεν εξασφαλίσουμε το θετικά αναλλοίωτο του Κ είναι r q q Ωστόσο, το σύνολο B ( x ) K είναι θετικά αναλλοίωτο: το B ( x ) είναι θετικά r q αναλλοίωτο από τον ορισμό του Έτσι, μία τροχιά μπορεί να αφήσει το B ( x ) K q μόνο μέσω ενός σημείου w K \ Br ( x ) Οι εφαρμογές των αποτελεσμάτων των ενοτήτων 53 και 53 σε διάφορα παραδείγματα παρουσιάζονται στο Κεφάλαιο 7 r r 533 Πολυώνυμο Taylr Σε αυτή την ενότητα εξετάζουμε ένα διαφορετικό τρόπο για να εξασφαλίσουμε μια συνάρτηση uv u μέσω προσέγγισης Η συνάρτηση u ικανοποιεί την ανισότητα uw( x ) για κάθε x κοντά στο x Η συνάρτηση V που ικανοποιεί τη σχέση w V ( x) x x όταν προσεγγίζεται άμεσα, έχει ως αποτέλεσμα μια προσέγγιση u, η οποία γενικά έχει θετική παράγωγο κατά μήκος των τροχιών κοντά στο x Ο λόγος για αυτό είναι ότι εξασφαλίζουμε το σφάλμα εκτίμησης V ( x) u ( x) : C h με ένα σταθερό για μια συγκεκριμένη απόσταση κάλυψης h του πλέγματος και έτσι, x x σχέση u ( x) x x, που είναι αρνητική μόνο για Σε αυτή την ενότητα εξετάζουμε ξανά τη συνάρτηση V που ικανοποιεί τη V ( x) x x Χρησιμοποιούμε το πολυώνυμο Taylr βαθμού P για τη συνάρτηση καθώς και τη συνάρτηση και γράφουμε V ( x) ( x) W( x ) Αντί να προσεγγίσουμε τη συνάρτηση V άμεσα, προσεγγίζουμε τη συνάρτηση W με μία προσέγγιση w και έτσι εξασφαλίζουμε μια προσέγγιση uw( x) ( x) w( x ) της V Θυμίζουμε ότι η είναι μια γνωστή συνάρτηση που ικανοποιεί τη σχέση x ( ) για x x Η συνάρτηση W είναι μια P C -συνάρτηση w 65

66 Θεώρημα 5 Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση ( x) lk, ( c x ), με c, όπου lk, συμβολίζει τη συνάρτηση Wedlad με k και l: k Έστω V συνάρτηση που ικανοποιεί τη σχέση P, όπου V ( x) x x και : V( x ) Έστω η συνάρτηση x ( ) με k Έστω f C (, ) με P Έστω K A( x ) ένα συμπαγές σύνολο με x K Έστω X N { x,, xn} K \{ x } ένα πλέγμα με c C Έστω k w C (, ) μία ανακατασκευή της V W ως προς το πλέγμα με τελεστή Dmw( x) w ( x) m( x) w( x ), όπου u ( ) ( ) ( ) w x w x x Τότε έχουμε: και, ακόμη, mx ( ) u ( ) w x για κάθε x K \{ x } (5) u ( w x ) x x cc x x (53) ( x) x ( ) Θέτουμε Παραδείγματα για την προσέγγιση της V μέσω του πολυώνυμου Taylr δίνονται στο Κεφάλαιο 7 66

67 Κεφάλαιο 6: Καθολικός καθορισμός του ελκτικού συνόλου Μέχρι τώρα ασχοληθήκαμε με την κατασκευή μιας συνάρτησης uv, δηλαδή μιας συνάρτησης με αρνητική παράγωγο κατά μήκος των τροχιών Για μία τέτοια συνάρτηση σε μία περιοχή ενός εκθετικά ασυμπτωτικώς ευσταθούς σημείου ισορροπίας μπορούμε πάντα να βρούμε μια περιοχή uv, όπως περιγράψαμε στα προηγούμενα κεφάλαια Αφού το ελκτικό σύνολο είναι ένα ανοιχτό σύνολο και οι περιοχές uv είναι συμπαγή σύνολα, υπάρχουν πάντα κατάλληλα υποσύνολα του ελκτικού συνόλου Έτσι, το καλύτερο που μπορούμε να περιμένουμε είναι, αν δίνεται ένα συμπαγές υποσύνολο του ελκτικού συνόλου, να βρούμε μία περιοχή uv μεγαλύτερη από αυτό το συμπαγές σύνολο, με τη μέθοδό μας Για τα αποτελέσματα αυτής της ενότητας υποθέτουμε ότι η f είναι φραγμένη στο Ax ( ), το οποίο μπορούμε να πετύχουμε με την μελέτη του f( x) ισοδύναμου δυναμικού συστήματος x g (x), όπου gx ( ) Πιο f( x) συγκεκριμένα, το ελκτικό σύνολο του x είναι το ίδιο για τα δύο συστήματα x f (x) και x g (x) Μπορούμε να δείξουμε ότι αν δίνεται ένα συμπαγές υποσύνολο K A( x ) μπορούμε να εξασφαλίσουμε μια περιοχή uv μεγαλύτερη από το K με το να προσεγγίσουμε την V Η προσέγγιση μπορεί να είναι είτε άμεση ή μέσω του πολυωνύμου Taylr της V Αυτό το αποτέλεσμα χρησιμοποιεί μία εκτίμηση του [ V( x) V( x)] [ u( x) u( x )] κοντά στο x Να σημειώσουμε ότι αυτή η εκτίμηση είναι δυνατή παρότι η προσέγγιση u χρησιμοποιεί μόνο τις τιμές της παραγώγου κατά μήκος των τροχιών της V ( x ) και όχι της τιμές της V( x ) Ο λόγος για αυτό είναι ότι η V είναι ομαλή συνάρτηση στο x Έτσι, το αποτέλεσμα δεν ισχύει για προσεγγίσεις της συνάρτησης T Το αποτέλεσμα απαιτεί ένα ικανό πλέγμα αρκετά πυκνό Ακόμη και αν το σύνολο u( x ) είναι ήδη αρκετά μεγάλο, το μεγαλύτερο σύνολο υποεπιπέδων της u πιθανότατα να παρέχει μόνο ένα μικρό ελκτικό σύνολο Προκειμένου να μεγαλώσουμε το ελκτικό σύνολο πρέπει να χρησιμοποιήσουμε ένα πιο πυκνό πλέγμα, όχι μόνο όπου u( x ), όχι μόνο κοντά στο σύνορο της προηγούμενης περιοχής uv, αλλά σε όλο το αναμενόμενο ελκτικό σύνολο Εξετάζουμε πάλι το Παράδειγμα 43 Μια σειρά από περιοχές uv με πυκνότερα πλέγματα απεικονίζεται στα Σχήματα 5-7 Να σημειώσουμε ότι εδώ τα σύνολα u( x ) δεν αλλάζουν σημαντικά σε αντίθεση με τις τιμές της u και κατά συνέπεια τις περιοχές uv Το Σχήμα 7 συγκρίνει το καλύτερο αποτέλεσμα (484 σημεία πλέγματος) με το αριθμητικά υπολογισμένο σύνορο του ελκτικού συνόλου, μια ασταθής περιοδική τροχιά 67

68 Σχήμα 5 Η συνάρτηση u είναι η προσέγγιση της συνάρτησης uv V που ικανοποιεί τη σχέση V ( x, y) ( x y ) για το Παράδειγμα 43 Το σχήμα απεικονίζει το σύνολο u '( x, y ) (με γκρι), ένα σύνολο επιπέδου u( x, y ) (με μαύρο), και μια τοπική περιοχή uv (με λεπτή μαύρη γραμμή) Αριστερά: πυκνότητα πλέγματος 4 Δεξιά: πυκνότητα πλέγματος Συγκρίνουμε τις περιοχές uv (με μαύρο) στα δύο σχήματα: Παρότι χρησιμοποιήσαμε περισσότερα σημεία πλέγματος (με μαύρο +) στο δεξί σχήμα, η αριστερή περιοχή uv δεν είναι υποσύνολο της δεξιάς Σχήμα 6 Το σύνολο u '( x, y ) (με γκρι), ένα σύνολο επιπέδου u( x, y ) (με μαύρο), τα σημεία πλέγματος (με μαύρο +) και μια τοπική περιοχή uv (με λεπτή μαύρη γραμμή) Αριστερά: πυκνότητα πλέγματος 5 Δεξιά: πυκνότητα πλέγματος (Παράδειγμα 43) 68

69 Σχήμα 7 Το σύνολο u '( x, y ) (με γκρι), ένα σύνολο επιπέδου u( x, y ) (με μαύρο), τα σημεία πλέγματος (με μαύρο +) και μια τοπική περιοχή uv (με λεπτή μαύρη γραμμή) Αριστερά: πυκνότητα πλέγματος 75 Δεξιά: η ίδια περιοχή uv (με μαύρο) απεικονίζεται μαζί με την αριθμητικώς υπολογισμένη περιοδική τροχιά που είναι σύνορο του ελκτικού συνόρου Ξανά έχουμε θεωρήσει το Παράδειγμα 43 Αν δίνεται μια συνάρτηση uv q και μία περιοχή uv K, από το Θεώρημα 4 συνεπάγεται ότι K A( x ) Έτσι, από τη μία μεριά ψάχνουμε για μια συνάρτηση q, της οποίας η παράγωγος κατά μήκος των τροχιών είναι αρνητική στο K\{ x }, δηλαδή για μια συνάρτηση uv Από την άλλη, το K υποτίθεται ότι είναι ένα σύνολο υποεπιπέδων της q, δηλαδή το K είναι μία περιοχή uv Έχουμε εξετάσει στο προηγούμενο κεφάλαιο τη κατασκευή μίας συνάρτηση uv, αλλά πως μπορούμε με αυτό τον τρόπο να βρούμε μια περιοχή uv? Η κατάλληλη ερώτηση για μία καθολική συνάρτηση uv είναι αν μπορούμε να καλύψουμε το οποιοδήποτε συμπαγές σύνολο K A( x ) με τη προσέγγισή μας, δεδομένου ότι το πλέγμα είναι αρκετά πυκνό Το ακριβές αποτέλεσμα που θα εξασφαλίσουμε θα έχει την εξής μορφή: Έστω K ένα συμπαγές σύνολο με x K K A( x ) Τότε, υπάρχει ένα ανοιχτό σύνολο B με B A( x ), ένα συμπαγές σύνολο B K K, και μία συνάρτηση q που έχει εξασφαλιστεί από τη μέθοδό μας, τέτοια ώστε: K { x B / q( x) ( R ) } για ένα R, ισχύει q( x ) για κάθε x K \{ x } Με άλλα λόγια q είναι μια συνάρτηση uv με περιοχή uv K και έτσι ικανοποιεί τις συνθήκες του Θεωρήματος 4 Αυτό μπορούμε να το πετύχουμε για την προσέγγιση u w της V μέσω της W Για την άμεση προσέγγιση της V από την u 69

70 θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε την επέκταση u εξαιτίας της τοπικής συμπεριφοράς της u Αυτά τα αποτελέσματα δεν ισχύουν για την προσέγγιση της T από την t αφού η T δεν ορίζεται και δεν είναι ομαλή στο x, πού είναι αναγκαίο για την απόδειξη Για την T θεωρούμε μια μεικτή προσέγγιση στο κεφάλαιο 6 Στην ενότητα 6 δείχνουμε ότι μπορούμε να καλύψουμε το οποιοδήποτε συμπαγές σύνολο του Ax ( ), όταν προσεγγίζουμε τη συνάρτηση V με V ( x ) Εξαιτίας των πιθανών αριθμητικών προβλημάτων κοντά στο x -εδώ θα πρέπει να διαλέξουμε ένα πολύ πυκνό πλέγμα και αυτό οδηγεί σε ένα υψηλό αριθμό συνθήκης του πίνακα παρεμβολής Στην ενότητα 6 παρουσιάζουμε επίσης μια μεικτή προσέγγιση της V όπου, εκτός από την παράγωγο κατά μήκος των τροχιών, δίνονται οι τιμές της συνάρτησης-προσέγγισης σε μια μη χαρακτηριστική υπερεπιφάνεια Στην περίπτωση της προσέγγισης της T αυτή η μεικτή προσέγγιση είναι η μόνη δυνατότητα για την κάλυψη ενός αυθαίρετου συμπαγούς συνόλου του Ax ( ) Αυτή η μεικτή προσέγγιση είναι ιδιαίτερα κατάλληλη για την βήμα-προς-βήμα προσέγγιση του ελκτικού συνόλου 6 Προσέγγιση μέσω ενός μοναδικού τελεστή Σε αυτή την ενότητα θεωρούμε τη προσέγγιση ενός μοναδικού τελεστή Στην ενότητα 6 προσεγγίζουμε τη συνάρτηση V που ικανοποιεί τη σχέση V ( x ) μέσω του τελεστή Dq( x) q ( x ) της παραγώγου κατά μήκος των τροχιών Στην V( x) ενότητα 6 προσεγγίζουμε τη συνάρτηση W( x) μέσω του τελεστή x ( ) D W( x) W ( x) m( x) W( x ) m 6 Προσέγγιση μέσω παραγώγων κατά μήκος των τροχιών Προσεγγίζοντας τη συνάρτηση V ( x ) εξασφαλίζουμε ένα σφάλμα εκτίμησης για της τιμές της u Παρόλα αυτά όπως θα δούμε στο παρακάτω θεώρημα χρειαζόμαστε σημεία πλέγματος κοντά στο σημείο ισορροπίας και αυτό μπορεί να οδηγήσει σε κάποιες δυσκολίες στον αριθμητικό υπολογισμό Θεώρημα 6 Έστω x το σημείο ισορροπίας της x f(x), f C (, ) τέτοιο ώστε τα πραγματικά μέρη όλων των ιδιοτιμών του πίνακα Df ( x ) να είναι αρνητικά Επιπλέον, ας υποθέσουμε ότι ισχύει su x A( x ) f( x ) ή πιο γενικά ότι su f( x ) x Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση ( x) lk, ( c x ), με c, όπου lk, συμβολίζει τη συνάρτηση Wedlad με k και l: k Έστω : k Έστω q μία (τοπική) συνάρτηση uv με περιοχή uv K : K q r ( x ) 7

71 Έστω K A( x ) ένα συμπαγές σύνολο με K K Τότε υπάρχει ένα ανοιχτό σύνολο B με B A( x ) και ένα h, τέτοια ώστε για όλες τις ανακατασκευές k u C (, ) της συνάρτηση uv V του θεωρήματος 34, όπου V ( x ) ως προς το πλέγμα X N B \{ x } με απόσταση κάλυψης h h, να υπάρχει μία επέκταση u όπως στο θεώρημα 58 και ένα συμπαγές σύνολο K K, ώστε: ισχύει ( u ) ( x ) για κάθε x K \{ x } K { x B / u ( x) ( R ) } για ένα R Με άλλα λόγια η u είναι συνάρτηση uv με περιοχή uv K 6 Πολυώνυμο Τaylr Στο παρακάτω θεώρημα εξετάζουμε τη συνάρτηση V που ικανοποιεί τη σχέση V ( x) x x Δεν προσεγγίζουμε τη V μέσω αυτής της εξίσωσης για την παράγωγο κατά μήκος των τροχιών, αλλά προσεγγίζουμε τη συνάρτηση W( x) Θεώρημα 6 Έστω V( x) που ικανοποιεί τη σχέση x ( ) D W ( x) m x x x ( ) x το σημείο ισορροπίας της x f(x), f C (, ) τέτοιο ώστε τα πραγματικά μέρη όλων των ιδιοτιμών του πίνακα Df ( x ) να είναι αρνητικά Επιπλέον, ας υποθέσουμε ότι ισχύει su x A( x ) f( x ) ή πιο γενικά ότι su f( x ) x Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση ( x) lk, ( c x ), με c, όπου lk, συμβολίζει τη συνάρτηση Wedlad με k και l: k Έστω V η συνάρτηση uv του θεωρήματος 34 με συνάρτηση του ορισμού 355, V ( x) x x και V( x ) και x ( ) η H ( x)= c ( x x ) M x x και έστω V( x) P W( x) C ( A( x), ) με W( x ) Έστω P, όπου x ( ) : k Έστω K A( x ) ένα συμπαγές σύνολο με x K Τότε υπάρχει ένα ανοιχτό σύνολο B με B A( x ), τέτοιο ώστε για όλες τις ανακατασκευές k w C (, ) της συνάρτησης W ως προς το πλέγμα X N B \{ x } το οποίο είναι αρκετά πυκνό, υπάρχει ένα συμπαγές σύνολο τέτοιο ώστε για uw( x) : ( x) w( x ) : P a K K 7

72 ισχύει ( uw) ( x ) για κάθε x K \{ x } K { x B / u ( x) ( R ) } για ένα R w Με άλλα λόγια η u w είναι συνάρτηση uv με περιοχή uv K 6 Μεικτή προσέγγιση Για τη συνάρτηση T (και για V ) μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μία μεικτή προσέγγιση Εδώ, εκτός από τη παράγωγο κατά μήκος των τροχιών Q, δίνονται οι τιμές της Q σε μία μη χαρακτηριστική υπερεπιφάνεια Μία τέτοια μη χαρακτηριστική υπερεπιφάνεια μπορεί να δοθεί από το σύνολο επιπέδου μίας (τοπικής) συνάρτησης uv μέσα στη uv περιοχή της Με αυτή τη μέθοδο μπορούμε να καλύψουμε κάθε συμπαγές υποσύνολο του ελκτικού συνόλου από μία περιοχή uv όταν προσεγγίζουμε τη συνάρτηση T ή V Στη περίπτωση της T, όπου T ( x ), τα σύνολα επιπέδων της συνάρτησης T και κατά συνέπεια και αυτά της t μέχρι ένα συγκεκριμένο σφάλμα έχουν ένα πολύ σημαντικό νόημα: μία λύση χρειάζεται το χρόνο T T από το σύνολο επιπέδου T T μέχρι το σύνολο επιπέδου T T Επιπλέον, μπορεί κάποιος να εξαντλήσει το ελκτικό σύνολο με συμπαγή σύνολα: αν αρχίσουμε με μία τοπική συνάρτηση uv και μία αντίστοιχη τοπική περιοχή uv K, μπορούμε να εξασφαλίσουμε μία μεγαλύτερη περιοχή uv K μέσα από μία μεικτή προσέγγιση όπου χρησιμοποιούμε το σύνορο K ως μία μη χαρακτηριστική υπερεπιφάνεια Το σύνορο K είναι επίσης μία μη χαρακτηριστική υπερεπιφάνεια και έτσι μπορεί κάποιος να εξασφαλίσει μία ακολουθία από συμπαγή σύνολα K K η οποία εξαντλεί το Ax ( ) Στο σχήμα 8 απεικονίζουμε το πρώτο βήμα αυτής της μεθόδου για τη συνάρτηση V του παραδείγματος 43 : Ξεκινούμε με μία τοπική περιοχή uv K και εξασφαλίζουμε μία μεγαλύτερη περιοχή uv K χρησιμοποιώντας μία μεικτή προσέγγιση Σε αυτή την ενότητα προσεγγίζουμε τη συνάρτηση Q T ή Q V μέσω των παραγώγων κατά μήκος των τροχιών και μέσω των τιμών της συνάρτησης Οι παράγωγοι κατά μήκος των τροχιών δίνονται στο πλέγμα X, ενώ οι τιμές της συνάρτησης δίνονται σε ένα διαφορετικό πλέγμα X M, όπου μία μη χαρακτηριστική υπερεπιφάνεια Στις περισσότερες περιπτώσεις, η δίνεται από ένα σύνολο επιπέδου μίας συνάρτησης uv q, για παράδειγμα από μία τοπική συνάρτηση uv Κάθε συμπαγές υποσύνολο K A( x ) μπορεί να καλυφθεί από μία περιοχή uv K που έχει εξασφαλιστεί από μία μεικτή προσέγγιση μέσω συναρτήσεων ακτινωτής βάσης, όπως θα δείξουμε στην ενότητα 6 Επιπλέον, μπορούμε να προσεγγίσουμε το ελκτικό σύνολο σταδιακά μέσω μίας ακολουθίας συναρτήσεων uv q i, i=,, με περιοχές uv Ki Ki Το πλεονέκτημα αυτής της μεθόδου είναι ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα πλέγμα X N έξω από το K i σε κάθε βήμα, όπως θα δείξουμε στην ενότητα 6 N 7

73 Σχήμα 8 Μεικτές προσεγγίσεις της V, όπου ( V ) ( x, y) ( x y ) με δοσμένη τιμή V ( x, y ) στο σύνορο της τοπικής περιοχής uv K K (με λεπτή μαύρη γραμμή) Χρησιμοποιήσαμε ένα πλέγμα με M σημεία (μαύροι κύκλοι) στο K για τις τιμές της προσέγγισης u και ένα δεύτερο πλέγμα με N 7 σημεία (με μαύρο +) με a για τη παράγωγο κατά μήκος των τροχιών u Απεικονίζονται το πρόσημο της u ( x, y ) (με γκρι), και τα σύνολα επιπέδων u( x, y ) και u( x, y ) (με μαύρο) Το σύνολο επιπέδου u( x, y ) είναι το σύνορο του K (με μαύρο), το οποίο είναι ένα υποσύνολο του ελκτικού συνόλου για το Παράδειγμα 43 6 Προσέγγιση μέσω παραγώγων κατά μήκος των τροχιών και μέσω τιμών συνάρτησης Θα προσεγγίσουμε τη συνάρτηση uv T που ικανοποιεί τη σχέση T c Να σημειώσουμε ότι παίρνουμε τις τιμές της T στο σύνορο μίας περιοχής uv, δηλαδή πάνω σε μία μη χαρακτηριστική υπερεπιφάνεια Θεώρημα 63 Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση ( x) lk, ( c x ), με c, όπου lk, συμβολίζει τη συνάρτηση Wedlad με k και l: k Έστω f C (, ), όπου : k Επιπλέον, ας υποθέσουμε ότι ισχύει su x A( x ) f( x ) ή πιο γενικά ότι su f( x ) x 73

74 Έστω q μία (τοπική) συνάρτηση uv με περιοχή uv K : K q r ( x ) Ορίζουμε : K Έστω K ένα συμπαγές σύνολο με K K K A( x ) και έστω H C (, ) Τότε υπάρχει ένα ανοιχτό σύνολο B με B A( x ) και σταθερές h, h, τέτοια ώστε, για όλες τις ανακατασκευές t της T, όπου η T ορίζεται στο Θεώρημα 33 q με T( x) H( x ) για x, χρησιμοποιώντας πλέγματα X N B \ Br ( x ) με απόσταση κάλυψης h μία επέκταση h και X M με απόσταση κάλυψης h k t C (, ) της t τέτοια ώστε: K { x B / t ( x) ( R ) } για ένα R, ισχύει ( t ) ( x ) για κάθε x K \{ x } Με άλλα λόγια η t είναι συνάρτηση uv με περιοχή uv K h, να υπάρχει Το επόμενο Πόρισμα δείχνει ότι η διαφορά των τιμών της t αντιστοιχεί στο χρόνο που χρειάζεται μία λύση από το ένα σύνολο επιπέδου στο άλλο Πόρισμα 64 Έστω ότι ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος 63 Για x και t έστω ότι ισχύει S x K \ B q r ( x ) για κάθε [, t ] Συμβολίζουμε : ( ) t St x Επιπλέον, έστω ότι ισχύει max q K \ Br ( x ) t ( ) c : c (πιο συγκεκριμένα Ch c είναι ένα άνω φράγμα) Τότε, ο χρόνος t ικανοποιεί τη σχέση: t c Στη συνέχεια εξετάζουμε τη συνάρτηση uv V που ικανοποιεί τη σχέση V ( x ) Παίρνοντας τις τιμές σε μια μη χαρακτηριστική υπερεπιφάνεια, πρέπει να λάβουμε υπόψη τη συνάρτηση V που ικανοποιεί τη σχέση ( V ) ( x ) για x A( x) \{ x } και V ( x) H( x ) για x, όπου H είναι μία γνωστή συνάρτηση Θεώρημα 65 Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση ( x) lk, ( c x ), με c, όπου lk, συμβολίζει τη συνάρτηση Wedlad με k και l: k Έστω f C (, ), όπου : k Επιπλέον, ας υποθέσουμε ότι ισχύει su x A( x ) f( x ) ή πιο γενικά ότι su f( x ) x Έστω q μία (τοπική) συνάρτηση uv με περιοχή uv K : K q r ( x ) c 74

75 Ορίζουμε : K Έστω K ένα συμπαγές σύνολο με K K K A( x ) και έστω H C (, ) Τότε υπάρχει ένα ανοιχτό σύνολο B με B A( x ) και σταθερές h, h, τέτοια ώστε, για όλες τις ανακατασκευές u της V, όπου V ( x) H( x ) για x, q χρησιμοποιώντας πλέγματα X N B \ Br ( x ) με απόσταση κάλυψης h h και X M με απόσταση κάλυψης h h, να υπάρχει μία επέκταση k u C (, ) της u τέτοια ώστε: Υπάρχει ένα συμπαγές σύνολο B K K με: K { x B / u ( x) ( R ) } για ένα R, ισχύει ( u ) ( x ) για κάθε x K \{ x } Με άλλα λόγια η u είναι συνάρτηση uv με περιοχή uv K 6 Βαθμιαία κάλυψη του ελκτικού συνόλου Με τη χρήση των Θεωρημάτων 63 ή 65 μπορούμε σταδιακά να καλύψουμε το ελκτικό σύνολο Υποθέτουμε ότι su x A( x ) f( x ) Υπολογίζουμε μία τοπική συνάρτηση uv q και μία αντίστοιχη τοπική περιοχή uv K : K q r ( x ) Συμβολίζουμε q: q, K : K και r : r και θέτουμε Αυτό είναι το σημείο εκκίνησης για μία ακολουθία από συμπαγείς περιοχές B O uv K i, i=,, με Ki K i και Ki A( x ) Ας υποθέσουμε τώρα ότι δίνεται μία συνάρτηση uv q i με περιοχή qi uv Ki: Kr ( x ) και γειτονιά B i i Η μόνη πληροφορία που χρειαζόμαστε από τη συνάρτηση uv και την περιοχή uv είναι το σύνορο K i : i Έτσι, αν q i είναι η επέκταση μίας συνάρτησης q i, αρκεί να γνωρίζουμε το σύνολο qi K i, το οποίο δίνεται είτε από τη σχέση K ( x ) { x B / q ( x) r } ή από την σχέση K x x B q x r qi r ( ) { / ( ) } i i i i Έστω Bi i i ri i i i K ένα ανοιχτό σύνολο που θα προσδιοριστεί παρακάτω Διαλέγουμε πλέγματα X \ N Bi Ki -σε πρακτικές εφαρμογές αφήνουμε να είναι το πλέγμα λίγο μεγαλύτερο, περιλαμβάνοντας ακόμη και σημεία του K i κοντά στο Ki - και X K Τώρα προσεγγίζουμε είτε την Q T ή την Q V μέσω μίας : M i i μεικτής προσέγγισης ως προς τα πλέγματα Q( ) H ( ) για j j j X M X N και X M και τις τιμές 75

76 ένα σύνολο Κάνουμε τα πλέγματα αρκετά πυκνά ώστε για την ανακατασκευή q υπάρχει Si : { x Bi / i q( x) r i } με i τέτοιο ώστε να ισχύει q( x ) για κάθε x S i και Ki S i Τότε υπάρχει μία επέκταση q της q, με q= q i έτσι ώστε η q ( ) : i x q είναι μία συνάρτηση uv με περιοχή uv K : S K { x B / q ( x) r b : r } i i i i i Δείχνουμε ότι με αυτή τη μέθοδο ότι ισχύει Ki A( x ) και έτσι σταδιακά μπορούμε να εξαντλήσουμε το ελκτικό σύνολο, αν επιλέξουμε κατάλληλο B i Για να το δείξουμε αυτό, βελτιώνουμε ξανά το επαγωγικό βήμα από το Ki στο K i Έστω K i μία ακολουθία από συμπαγή σύνολα με Ki K i και Ki A( x ), για παράδειγμα Ki S ik, όπου S i συμβολίζει το τελεστή ροής και K είναι η τοπική περιοχή uv όπως ορίστηκε παραπάνω Τα σύνολα K i είναι συμπαγή (από προηγούμενη Πρόταση) και αφού για κάθε z A( x ) υπάρχει ένας πεπερασμένος χρόνος T με S z K εξασφαλίζουμε ότι Ki A( x ) T Τώρα βελτιώνουμε το επαγωγικό βήμα από το i i i Ki στο K i i Για δεδομένο i διαλέγουμε li l i τόσο μεγάλο ώστε να ισχύει Ki K li Kl A( x ) i Τέτοιο l i υπάρχει εξαιτίας της συμπάγειας του K i Τότε από τα Θεώρημα 63 ή 65 με q q i, K=Ki και K K συνεπάγεται ότι υπάρχει ένα ανοιχτό σύνολο B: B i li και μια συνάρτηση uv q με περιοχή uv K: K i με Αυτό δείχνει ότι Ki A( x ) i K K i li Στην επόμενη ενότητα θα παρουσιάσουμε παραδείγματα για τη σταδιακή κάλυψη του ελκτικού συνόλου 76

77 Κεφάλαιο 7: Εφαρμογές της μεθόδου-παραδείγματα Σε αυτό το κεφάλαιο συνοψίζουμε τη μέθοδό μας και την εφαρμόζουμε σε διάφορα παραδείγματα Παρουσιάζουμε τρεις διαφορετικές κατασκευαστικές μεθόδους για μία συνάρτηση uv μέσω παραδειγμάτων Στην ενότητα 7: Συνδυασμός μίας τοπικής συνάρτησης uv ή και μίας μη τοπικής προσέγγισης της T ή της V Στην ενότητα 7: Προσέγγιση της V μέσω της W με χρήση πολυωνύμου Taylr 3 Στην ενότητα 73: Βαθμιαία εξάντληση του ελκτικού συνόλου με χρήση μεικτής προσέγγισης Κλείνουμε αυτό το κεφάλαιο με κάποιες υπολογιστικές και θεωρητικές πλευρές της μεθόδου Για το πλέγμα, γενικά χρησιμοποιούμε το εξαγωνικό πλέγμα στο και τις γενικεύσεις του σε μεγαλύτερες διαστάσεις Αφού μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε όποιο πλέγμα θέλουμε, έχουμε τη δυνατότητα να προσθέσουμε σημεία στο εξαγωνικό πλέγμα, όπου η παράγωγος κατά μήκος των τροχιών έχει θετικό πρόσημο Να σημειώσουμε ότι γνωρίζουμε τις τιμές της Q( x ), όπου Q είναι η προσέγγιση της T ή της V για κάθε σημείο x Ο λόγος που χρησιμοποιούμε το εξαγωνικό πλέγμα είναι ο εξής: από τη μία μεριά μας ενδιαφέρει ένα πυκνό πλέγμα, προκειμένου να εξασφαλίσουμε μία μικρή απόσταση κάλυψης h, και κατά συνέπεια από το σφάλμα εκτίμησης, ένα μικρό σφάλμα Από την άλλη μεριά όσο πιο κοντά βρίσκονται δύο σημεία στο πλέγμα, τόσο χειρότερος ο αριθμός συνθήκης του πίνακα παρεμβολής : αν δυο σημεία είναι ίσα, τότε ο πίνακας είναι ιδιάζων Έτσι, αναζητούμε το βέλτιστο πλέγμα που να ικανοποιεί αυτές τις δυο αντικρουόμενες συνθήκες Αποδεικνύεται ότι το καταλληλότερο πλέγμα είναι το εξαγωνικό Τα σημεία του εξαγωνικού πλέγματος και των γενικεύσεών του στο δίνονται από: { i w / i }, όπου: με w k k k k ( e,,,,) w ( e,3 e,,,) w ( e, e,4 e,,,) 3 3 w ( e,, e,( ) e ) e k kk ( ) Η ποσότητα είναι ανάλογη με την απόσταση κάλυψης του πλέγματος Για παράδειγμα, για διάσταση χώρου έχουμε δύο διανύσματα: 3 w (,) και w (, ) 77

78 3 Για διάσταση 3 έχουμε τρία διανύσματα w (,,), w (,,) και w (,, ) 3 3 Παρουσιάζουμε τη χρήση ενός εξαγωνικού πλέγματος και το τρόπο προσθήκης επιπλέον σημείων με κατάλληλο τρόπο με το Παράδειγμα 43: Στο σχήμα 9 αριστερά, χρησιμοποιήθηκε ένα εξαγωνικό πλέγμα Παρόλα αυτά, υπάρχουν σημεία x με u( x ) έξω από την τοπική περιοχή uv Έτσι, προσθέτουμε δυο σημεία σε αυτές τις περιοχές στο πλέγμα και με το πυκνότερο τώρα πλέγμα εξασφαλίζουμε μία προσέγγιση u στο σχήμα 9 δεξιά, για την οποία τα σημεία με u( x ) βρίσκονται μέσα στην τοπική περιοχή uv Έχουμε δείξει, χρησιμοποιώντας εκτιμήσεις σφάλματος, ότι αυτή είναι η αναμενόμενη συμπεριφορά με την προϋπόθεση ότι το πλέγμα είναι αρκετά πυκνό Σχήμα 9 Αριστερά: το πλέγμα (με μαύρο +) και το πρόσημο της προσέγγισης u ( x, y ) (με γκρι) Προφανώς, υπάρχουν σημεία έξω από την τοπική περιοχή uv (με λεπτή μαύρη γραμμή) τέτοια ώστε u ( x, y ) Δεξιά: χρησιμοποιούμε ένα πυκνότερο πλέγμα με δύο επιπλέον σημεία στον άξονα y (με μαύρο +) Τώρα το πρόσημο της u ( x, y ) (με γκρι) είναι μόνο θετικό μέσα στη τοπική περιοχή uv(με λεπτή μαύρη γραμμή) Προσεγγίζουμε τη συνάρτηση V με V ( x, y) ( x y ) του παραδείγματος 43 78

79 7 Συνδυασμός μίας τοπικής και μίας μη τοπικής συνάρτησης uv 7 Περιγραφή Ας θεωρήσουμε το σύστημα x f(x), f C (, ) και ένα εκθετικά ασυμπτωτικώς ευσταθές σημείο ισορροπίας x Τοπικό μέρος Υπολόγισε την τοπική συνάρτηση q ή Καθόρισε το σύνολο { x / q ( x ) } Βρες r τέτοιο ώστε K x q x r x q x x { / ( ) } { / ( ) } { } Προετοιμασία Διάλεξε τη συνάρτηση ακτινωτής βάσης ( x) lk, ( c x ), για κατάλληλο c και k, τέτοιο ώστε, : k Έστω l: k Διάλεξε ένα πλέγμα X N χωρίς σημείο ισορροπίας 3 Μη Τοπικό μέρος Υπολόγισε τη προσέγγιση q της Q=T ή Q=V με την επίλυση της σχέσης A ως προς A ( j c ή j ( x j ) Καθόρισε το σύνολο { x / q ( x ) } Βρες R τέτοιο ώστε K { x B / q( x) R} { x / q ( x) } { K }, όπου B μία ανοιχτή γειτονιά του K Τότε K A( x ) 7 Παραδείγματα Παράδειγμα 7 (έλεγχος ταχύτητας) Σα παράδειγμα ας θεωρήσουμε το σύστημα: x y y y K d y x gx ( x ) K d (7) με K d και g=6 Αυτό είναι ένα πρόβλημα ελέγχου ταχύτητας Το σύστημα έχει δυο ασυμπτωτικώς ευσταθή σημεία ισορροπίας x (,) και ( 7887,) και το σημείο σέλας ( 3,) Το σύστημα αποτυγχάνει να φτάσει την απαιτούμενη ταχύτητα η οποία αντιστοιχεί στο σημείο ισορροπίας (,) για κάποια είσοδο αφού το ελκτικό σύνολο του x (,) δεν είναι ολόκληρος ο χώρος των φάσεων, για παράδειγμα το ασταθές σημείο ( 3,) δεν ανήκει στο ελκτικό σύνολο 79

80 Οι ιδιοτιμές του πίνακα ιδιοδιανύσματα είναι u, πίνακα S 3 και, Df (,) είναι, 3 i Τα Σύμφωνα με τα Λήμματα 7, 8 ορίζουμε τον ( x) Sx Η συνάρτηση εξασφαλίζεται από την επίλυση της εξίσωσης 3 T T Df (,) B BDf (,) I Με τη λύση B, θέτουμε ( x) x Bx Σχήμα Αριστερά: η συνάρτηση ( xy,, ) η οποία είναι τετραγωνικής μορφής Δεξιά: οι αρνητικές τιμές της '( xy, ) για το παράδειγμα 7 8

81 Σχήμα Αριστερά: το πρόσημο της '( xy, ) (με γκρι), και διάφορα σύνολα επιπέδων της (με μαύρο) Στη μέση: το πρόσημο της '( xy, ) (με γκρι) και διάφορα σύνολα επιπέδων της (με μαύρο) Δεξιά: σύγκριση των τοπικών περιοχών uv K (με μαύρο) και K (με γκρι) για το παράδειγμα 7 Σχήμα Αριστερά: το πρόσημο της t( x, y ), που προσεγγίζει τη συνάρτηση T με T ( x, y ) Δεξιά: η t ( x, y ) για το παράδειγμα 7 Το Σχήμα απεικονίζει τη τετραγωνική μορφή ( x ) και τις αρνητικές τιμές της παραγώγου '( x ) Στο ο βήμα για το τοπικό μέρος καθορίζουμε το σύνολο επιπέδου '( x ) και αφού ' είναι μια συνεχής συνάρτηση, μπορούμε να καθορίσουμε το πρόσημο της ' Στο Σχήμα στη μέση, έχουν σχεδιαστεί τα 8

82 σύνολα επιπέδων K d r ( x ) για διαφορετικά r Αφού η είναι τετραγωνικής μορφής αυτά τα σύνολα επιπέδων είναι ελλείψεις Μια από τις μεγαλύτερες ελλείψεις μέσα στο { / '( x) } { x } συμβολίζεται με K και είναι μια περιοχή x uv T ίδιο γίνεται για την τετραγωνικής μορφής στο Σχήμα αριστερά, και στο ίδιο σχήμα δεξιά, συγκρίνονται οι περιοχές uv K και K Στο ο βήμα της προετοιμασίας, διαλέγουμε τη συνάρτηση Wedlad με 5 k, l=3, c= και το εξαγωνικό πλέγμα με 5 και Ν=3 σημεία 6 Στο 3 ο βήμα για το μη τοπικό μέρος, προσεγγίζουμε τη καθολική συνάρτηση T με T ( x ), δηλαδή c, από την t Στο σχήμα απεικονίζεται η συνάρτηση προσέγγισης tx ( ) και η παράγωγός της κατά μήκος των τροχιών t ( x ) Να σημειώσουμε ότι t ( x ) στο κομμάτι του, όπου είναι τοποθετημένα τα σημεία πλέγματος Υπολογίζεται το σύνολο επιπέδου t ( x ) και αφού η t είναι μια συνεχής συνάρτηση, χωρίζει τις περιοχές με θετικό και αρνητικό πρόσημο της t (Σχήμα 3, δεξιά) Υπάρχει μια μικρή περιοχή κοντά στο x όπου t ( x ), αυτή η περιοχή όμως, είναι ένα υποσύνολο της καθολικής περιοχής uv K Εξασφαλίζουμε μια τιμή R τέτοια ώστε κάθε σημείο του K { x B / t( x) R } να ικανοποιεί είτε την t ( x ) ή x K Από το Θεώρημα 6 το K είναι υποσύνολο του Ax ( ) Προκειμένου να συνδυάσουμε τη τοπική και τη μη τοπική συνάρτηση με μια συνάρτηση uv μέσω του Θεωρήματος 58 είναι αναγκαίο να ισχύει K K, το οποίο δεν ισχύει σε αυτό το παράδειγμα 8

83 Σχήμα 3 Αριστερά: το πρόσημο της '( xy, ) (με γκρι), και η τοπική περιοχή uv K, το σύνορο της οποίας είναι ένα σύνολο επιπέδου της (με λεπτή μαύρη γραμμή) Δεξιά: το πρόσημο της t ( x, y ) (με γκρι), τα σημεία πλέγματος (με μαύρο +), το σύνολο K, το σύνορο του οποίου είναι ένα σύνολο επιπέδου της t (με μαύρο) και η τοπική περιοχή uv K (με λεπτή μαύρη γραμμή) για το παράδειγμα 7 Το K είναι ένα υποσύνολο του ελκτικού συνόλου της αρχής Παράδειγμα 7 Ας θεωρήσουμε το σύστημα: 3 x x x (7) y y x Το σύστημα έχει ένα ασυμπτωτικώς ευσταθές σημείο ισορροπίας x (,) και δυο σημεία σέλας (,) Για το σύστημα καθορίζουμε το ελκτικό σύνολο του x (,) άμεσα: A(,) {( x, y) / x } Έτσι, μπορούμε να συγκρίνουμε τους υπολογισμούς με το ακριβές ελκτικό σύνολο Για το ο βήμα του τοπικού μέρους χρησιμοποιούμε τη τοπική συνάρτηση uv x, όπου ( x, y) ( x, y) B με B y 4 Στο ο βήμα της προετοιμασίας, διαλέγουμε τη συνάρτηση Wedlad με k, l=3, c=, το εξαγωνικό πλέγμα με 3 και Ν= σημεία και προσεγγίζουμε τη συνάρτηση V, όπου V ( x) x 83

84 Σχήμα 4 Αριστερά: η τοπική περιοχή uv K (με λεπτή μαύρη γραμμή), το σύνορο της οποίας είναι ένα σύνολο επιπέδου της και το πρόσημο της u '( x, y ) (με γκρι), η οποία είναι μια προσέγγιση της V, με V ( x) ( x y ), χρησιμοποιώντας τα σημεία πλέγματος (με μαύρο +) Υπάρχει μια περιοχή έξω από το K, όπου u (, ) x y Δεξιά: εδώ χρησιμοποιούμε το ίδιο πλέγμα και τέσσερα επιπλέον σημεία πλέγματος στον άξονα y (με μαύρο +) Τώρα το πρόσημο της u (, ) x y (με γκρι) είναι αρνητική έξω από το K (με λεπτή μαύρη γραμμή) Υπάρχει ένα σύνολο K (με μαύρο), το σύνορο του οποίου είναι ένα σύνολο επιπέδου της u, το οποίο είναι μια περιοχή uv για το παράδειγμα 7 Στο Σχήμα 4 αριστερά, υπάρχουν σημεία με u ( ) x, τα οποία δε βρίσκονται μέσα στη τοπική περιοχή uv K Έτσι, δε μπορούμε να εφαρμόσουμε ούτε το Θεώρημα 4 ούτε το Θεώρημα 6 Για αυτό χρησιμοποιούμε ένα πιο πυκνό πλέγμα Αποδεικνύεται ότι η προσθήκη των τεσσάρων επιπλέον σημείων πλέγματος στον άξονα y αρκεί Τώρα έχουμε Ν=6 σημεία πλέγματος και ικανοποιούνται οι απαραίτητες συνθήκες Στο Σχήμα 4 δεξιά, μπορούμε να προχωρήσουμε στο 3 ο βήμα του μη τοπικού μέρους Το σύνολο επιπέδου u ( x ) υπολογίζεται Υπάρχει μια μικρή περιοχή κοντά στο x όπου u ( ) x, αυτή η περιοχή όμως, είναι 84 τώρα ένα υποσύνολο της τοπικής περιοχής uv K Εξασφαλίζουμε μια τιμή R τέτοια ώστε κάθε σημείο του K { x B / u( x) R } να ικανοποιεί είτε την u ( x ) ή x K Από το Θεώρημα 6, το K είναι ένα υποσύνολο του Ax ( ) Επιπλέον, συγκρίνουμε τις προσεγγίσεις u, u και t των συναρτήσεων: V ( x) x V ( x) f ( x ) T ( x ) στο σχήμα 5 Και για τις τρεις προσεγγίσεις υπάρχουν μικρές περιοχή κοντά στο x όπου u ( x), u ( x), t ( x ),, ωστόσο βρίσκονται εσωτερικά του K Στις δυο τελευταίες περιπτώσεις αυτό εξασφαλίζεται ήδη για το πλέγμα με Ν= σημεία Και στα τρία παραδείγματα του 7 (σχήμα 5), η τοπική περιοχή uv είναι ένα υποσύνολο της υπολογισμένης περιοχής uv, δηλαδή K K Έτσι, μπορούμε να εφαρμόσουμε τα αποτελέσματα της ενότητας 5 χρησιμοποιώντας την επέκταση των συναρτήσεων προσέγγισης u, u, t αντίστοιχα Στο Σχήμα 3, ωστόσο, η τοπική περιοχή uv δεν είναι ένα υποσύνολο της υπολογισμένης περιοχής uv και έτσι πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το Θεώρημα 6

85 Σχήμα 5 Και τα τρία σχήματα απεικονίζουν το πλέγμα (με μαύρο +), τη τοπική περιοχή uv K (με λεπτή μαύρη γραμμή), το σύνολο q ( x, y ) (με γκρι), και μια περιοχή uv, η οποία περιορίζεται από ένα σύνολο επιπέδου της q (με μαύρο) για το παράδειγμα 7 Αριστερά: q u, όπου u η προσέγγιση της V με V x y x y Εδώ χρησιμοποιούμε ένα πλέγμα με Ν=6 σημεία Στη μέση: (, ) ( ) q u, όπου u η προσέγγιση της V με V (, ) (, ) x y f x y Εδώ χρησιμοποιούμε ένα πλέγμα με Ν= σημεία Δεξιά: q t, όπου t η προσέγγιση της T με T ( x, y ) Εδώ χρησιμοποιούμε ένα πλέγμα με Ν= σημεία 7 Προσέγγιση μέσω πολυωνύμου Taylr Ας θεωρήσουμε το σύστημα x f(x), f C (, ) και ένα εκθετικά ασυμπτωτικώς ευσταθές σημείο ισορροπίας x Εξασφαλίζουμε τη παράμετρο της συνάρτησης Wedlad k και έστω P, όπου Υπολογισμός της συνάρτησης Υπολογίζουμε το πολυώνυμο Taylr h της συνάρτησης V με V ( x) x x, βαθμού P λύνοντας την εξίσωση: h( x), f ( x) x x ( x x ) P Καθορίζουμε μια σταθερά M τέτοια ώστε να ισχύει η σχέση H ( x) h( x) M x x για κάθε Προετοιμασία x x : k 85

86 Διαλέγουμε τη συνάρτηση ακτινωτής βάσης ( x) lk, ( c x ), για κατάλληλο c Έστω l: k, όπου το k προσδιορίστηκε παραπάνω Διαλέγουμε ένα πλέγμα X N χωρίς σημείο ισορροπίας 3 Προσέγγιση Υπολογίζουμε τη προσέγγιση wx ( ) της σχέσης A, όπου u ( ) ( ) ( ) w x w x x mx ( ) ( x) x ( ) V (x) W(x)= (x) και Καθορίζουμε το σύνολο { x / u ( x ) } w j με την επίλυση της x j x x ( ) j Θέτουμε Βρίσκουμε R ώστε K { x B / u w( x) R} { x / u w( x) } { x }, όπου B μία ανοιχτή γειτονιά του K Τότε K A( x ) 7 Παραδείγματα Σχήμα 6 Και τα τρία σχήματα απεικονίζουν περιοχές uv για το Παράδειγμα 7 Αριστερά: το πλέγμα με Ν=6 σημεία (με μαύρο +), η τοπική περιοχή uv K u (με λεπτή μαύρη γραμμή), το πρόσημο της u (με γκρι) και μια περιοχή uv K V (με μαύρο) για την u, η οποία περιορίζεται από ένα σύνολο επιπέδου της u, όπου u είναι η προσέγγιση της V με V ( x, y) ( x y ) 86

87 Στη μέση: ένα πλέγμα με Ν= σημεία (με μαύρο +), το πρόσημο της u w (με γκρι) και μια περιοχή uv K W (με μαύρο) για την W u, η οποία περιορίζεται από ένα σύνολο επιπέδου της u, όπου (, ) (, ) (, ) W uw x y w x y x y και w είναι η προσέγγιση της W για το παράδειγμα 7 Αυτή είναι μια προσέγγιση της V, με χρήση του πολυωνύμου Taylr Δεξιά: μια σύγκριση των τριών περιοχών uv K (με λεπτή μαύρη γραμμή), K V (άμεση προσέγγιση της V, με μαύρο) και K W (προσέγγιση της V μέσω της W με χρήση του πολυωνύμου Taylr, με γκρι) Παράδειγμα 73 Ας θεωρήσουμε το σύστημα του παραδείγματος 7 : x x x 3 y y x Έχουμε και εξασφαλίζουμε k Έτσι, u 5 c= Για το ο βήμα του υπολογισμού της συνάρτησης πρώτα υπολογίζουμε το πολυώνυμο Taylr h της συνάρτησης V για P 5 : h( x, y) x y x y x x y 5 45 Για τη συνάρτηση έχουμε: 3 ( x, y) h( x) ( x y ) x y x y x x y ( x y ) 5 45 V (x) Τώρα προσεγγίζουμε τη συνάρτηση W(x)=, όπου V ( x) x από την w (x) Για τη συνάρτηση uw( x) w( x) ( x ) καθορίζουμε το σύνολο uw( x ), το οποίο διαιρεί τη περιοχή των θετικών και αρνητικών προσήμων της συνεχούς συνάρτησης u ( ) w x Όπως φαίνεται στο Σχήμα 6 στη μέση, η ανισότητα ισχύει uw( x ) για κάθε x κοντά στο x Βρίσκουμε μια περιοχή uv K W, Σχήμα 6 στη μέση Συγκρίνουμε αυτή τη περιοχή uv K W με τη περιοχή uv K V για την 87

88 προσέγγιση u της V V του παραδείγματος 7 στο Σχήμα 6, αριστερά και δεξιά Σχήμα 7 Άμεση προσέγγιση της V Τα σχήματα απεικονίζουν την τοπική περιοχή uv K (με σκούρο γκρι), το σύνολο u (x,y,z)= (με γκρι) και μια περιοχή uv u K (με μαύρο) για την u, η οποία περιορίζεται από ένα σύνολο επιπέδου V της K V για την προσέγγιση u για το παράδειγμα 74 Κοντά στο σημείο ισορροπίας (,, ) υπάρχει ένα σύνολο όπου η u ( x, y, z ) είναι θετική Αριστερά: τα σημεία (,, ) 3 x y z με y Δεξιά: τα σημεία (,, ) 3 x y z με y 88

89 Σχήμα 8 Προσέγγιση της V μέσω της W, με χρήση του πολυωνύμου Taylr Τα σχήματα απεικονίζουν το σύνολο u w (x,y,z)= (με γκρι) και μια περιοχή uv K W (με μαύρο) για την u, η οποία περιορίζεται από ένα σύνολο επιπέδου της W u W για το παράδειγμα 74 Κοντά στο σημείο ισορροπίας (,, ) η συνάρτηση u ( x, y, z ) είναι αρνητική Αριστερά: τα σημεία (,, ) με y 3 x y z με y Παράδειγμα 74 (Ένα τρισδιάστατο παράδειγμα) Ας θεωρήσουμε το σύστημα: x x x y y z ( ) ( ) Δεξιά: τα σημεία ( x, y, z ) 3 y y x y x z ( ) ( ) (73) z z( z ) Το ελκτικό σύνολο του ασυμπτωτικώς ευσταθούς σημείου ισορροπίας (,,) δίνεται από: 3 A(,,) {( x, y, z) / x y, z } Χρησιμοποιούμε k, l 3, c=45 Προσεγγίζουμε τη V με V ( x) x άμεσα, και μέσω της W με χρήση του πολυωνύμου Taylr Χρησιμοποιούμε το ίδιο εξαγωνικό πλέγμα με N 37 σημεία και 35 και για τις δύο προσεγγίσεις Για P 5 υπολογίζουμε τη συνάρτηση: h( x, y, z) x y z x y z x y Αμέσως μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι ισχύει h( x, y, z ) για κάθε ( x, y, z ) Έτσι, θέτουμε ( x, y, z) h( x, y, z ) Να σημειώσουμε ότι για τα σχήματα χωρίζουμε τις τρισδιάστατες απεικονίσεις σε θετικό και αρνητικό άξονα y Συμβολίζουμε με K V 89

90 τη περιοχή uv που έχει εξασφαλιστεί από άμεση προσέγγιση της V (Σχήμα 7)-εδώ ξανά βρίσκουμε ένα σύνολο με u w (x,y,z)> κοντά στο (,,) το οποίο βρίσκεται μέσα στη τοπική περιοχή uv K u Συμβολίζουμε με K W τη περιοχή uv που έχει εξασφαλιστεί από άμεση προσέγγιση της V μέσω της W, με χρήση του πολυωνύμου Taylr (Σχήμα 8) Σε αυτή την περίπτωση όλα τα σημεία ( x, y, z ) κοντά στο (,, ) ικανοποιούν τη σχέση u ( x, y, z ) W 73 Σταδιακή κάλυψη με χρήση μεικτής προσέγγισης 73 Περιγραφή Ας θεωρήσουμε το σύστημα x f(x), f C (, ) και ένα εκθετικά ασυμπτωτικώς ευσταθές σημείο ισορροπίας x Έστω k και, όπου : k Έστω l: k Βήμα : Τοπικό μέρος Υπολόγισε την τοπική συνάρτηση uv q ή Καθόρισε το σύνολο { x / q( x ) } Βρες r τέτοιο ώστε: K : K { x / q ( x) r } { x / q ( x) } { x } q r Βήμα i : Διάλεξε τη συνάρτηση ακτινωτής βάσης ( x) lk, ( c x ), για κατάλληλο c Διάλεξε ένα πλέγμα X K M qi Διάλεξε ένα πλέγμα X N \ Kr ( x ) με κάποιο i i Υπολόγισε τη προσέγγιση q i ( x ) της Q=T ή Q=V με την επίλυση της A C σχέσης T ( j c ή j ( x j ) και j C A Καθόρισε το σύνολο { x / q i ( x ) } Βρες r i τέτοιο ώστε K { x B / q ( x) r } { x / q ( x) } K i, όπου B μία ανοιχτή i i i i γειτονιά του K i Τότε Ki A( x ) 9

91 73 Παράδειγμα Παράδειγμα 75 (Ταλαντωτής va-der-pl) Ας θεωρήσουμε το σύστημα: x y y x 3( x ) y (74) Αυτό είναι το σύστημα va-der-pl με υπερβολικό χρόνο Έτσι, το (,) είναι ένα ασυμπτωτικώς ευσταθές σημείο ισορροπίας και το σύνορο του ελκτικού του συνόλου είναι μια περιοδική τροχιά T Υπολογίζουμε τη συνάρτηση ( x) x Bx με την επίλυση της εξίσωσης T Df (,) B BDf (,) I Η λύση είναι τοπική περιοχή uv K : K B 6 3 Εξασφαλίζουμε μια Σχήμα 9 Αριστερά: μια τοπική περιοχή uv K K (με λεπτή μαύρη γραμμή) και τα σημεία πλέγματος του X M (μαύροι κύκλοι) Δεξιά: το πλέγμα X N (με μαύρα +), το πλέγμα X M (μαύροι κύκλοι), η τοπική περιοχή uv K (με λεπτή μαύρη γραμμή), το σύνολο u ( x, y ) (με γκρι), όπου u είναι η μεικτή προσέγγιση της V με ( V ) ( x, y) ( x y ), και τα σύνολα επιπέδων u( x, y ) και u( x, y ) 6 (με μαύρο) για το παράδειγμα 75 Το σύνολο K είναι το σύνολο υποεπιπέδου u( x, y ) 6 9

92 Σχήμα 3 Αριστερά: μια τοπική περιοχή uv K K (με λεπτή μαύρη γραμμή), το πλέγμα X N (με μαύρα +), το σύνολο t ( x, y ) (με γκρι), όπου t είναι η προσέγγιση της T με T ( x, y ) 5 μόνο μέσω της παραγώγου κατά μήκος των τροχιών, ένα σύνολο επιπέδου K T της t (με μαύρο) για το παράδειγμα 75 Δεξιά: σύγκριση της τοπικής περιοχής uv K (με λεπτή μαύρη γραμμή), η περιοχή uv που έχει εξασφαλιστεί απο μεικτή προσέγγιση K (με γκρι), και μέσω προσέγγισης μέσω της παραγώγου κατά μήκος των τροχιών K T (με μαύρο) αλλά και η αριθμητικώς υπολογισμένη περιοδική τροχιά, δηλαδή το σύνορο του ελκτικού συνόλου A (,) (με σκούρο γκρι) Στο επόμενο βήμα χρησιμοποιούμε ένα εξαγωνικό πλέγμα X N με N 36 σημεία και Το πλέγμα X M αποτελείται απο M 6 σημεία στη μη χαρακτηριστική υπερεπιφάνεια K, Σχήμα 9 αριστερά Διαλέγουμε c και προσεγγίζουμε τη συνάρτηση V με ( V ) ( x) x Το σύνολο επιπέδου ux ( ) είναι περίπου ίσο με το Το σύνολο K { x B / u( x ) 6} είναι μια περιοχή uv με K K K ( Σχήμα 9, δεξιά) Αν δεν χρησιμοποιήσουμε μια μεικτή προσέγγιση αλλά μία προσέγγιση t μέσω της παραγώγου κατά μήκος των τροχιών, δε μπορούμε να ελέγξουμε τις τιμές της t Το Σχήμα 3 απεικονίζει μια προσέγγιση t της T με T ( x, y ) 5 με το ίδιο πλέγμα X N μόνο μέσω της παραγώγου κατά μήκος των τροχιών Η περιοχή uv K είναι ένα υποσύνολο του ελκτικού συνόλου, σύμφωνα με το Θεώρημα T 6 και excetial σύνολο K Παρόλα αυτά, επειδή T K K δε μπορούμε να ορίσουμε μια συνάρτηση uv συνδυάζοντας τη τοπική συνάρτηση uv με την t Έτσι, δε μπορούμε να προχωρήσουμε στο επόμενο βήμα και να μεγαλώσουμε τη περιοχή uv 9

93 Το Σχήμα 3 δεξιά, συγκρίνει τη τοπική περιοχή uv K, τη περιοχή uv K που έχει εξασφαλιστεί απο μεικτή προσέγγιση και τη περιοχή uv K T από τη προσέγγιση μέσω της παραγώγου κατά μήκος των τροχιών, αντίστοιχα, με την αριθμητικώς υπολογισμένη περιοδική τροχιά, που είναι το σύνορο του ελκτικού συνόλου A (,) 74 Συμπεράσματα Χρησιμοποιούμε τις συναρτήσεις uv για να καθορίσουμε το ελκτικό σύνολο ενός εκθετικά ασυμπτωτικώς ευσταθούς σημείου ισορροπίας Ανάμεσα από όλες τις συναρτήσεις uv εξετάσαμε δύο κλάσεις: συναρτήσεις με σταθερή παράγωγο κατά μήκος των τροχιών, T ( x) c και συναρτήσεις, όπου η παράγωγος κατά μήκος των τροχιών τείνει στο μηδέν για x x Τη τελευταία κλάση συναρτήσεων τη συμβολίζουμε με V όπου V ( x) ( x ) Η διαφορά ανάμεσα σε αυτές τις δύο κλάσεις είναι ότι: (i) η T δεν ορίζεται στο x, (ii) οι αποδείξεις ύπαρξης για την T και V είναι διαφορετικές, (iii) οι εκτιμήσεις για τις t και u εξασφαλίζονται διαφορετικά και (iv) η V ορίζεται μοναδικά από την παραπάνω ιδιότητα, ενώ η T είναι μοναδική μόνο αν οι τιμές της T( x ) έχουν εξασφαλιστεί πάνω σε μια μη χαρακτηριστική υπερεπιφάνεια Μπορούνε να εκτιμήσουμε το σφάλμα προσέγγισης για την Q T και Q V από τη σχέση Q ( x) q ( x ) Αφού, V ( x) ( x ) που τείνει στο για x x, ένα μικρό και κατά συνέπεια ένα πυκνό πλέγμα απαιτούνται κοντά στο x Μακριά από το x ωστόσο, πιθανόν η x ( ) να είναι πολύ μεγάλη και δεν είναι αναγκαία μια μικρή τιμή του για να εξασφαλίσουμε ότι η q( x ) είναι αρνητική Έτσι για μεγάλα ελκτικά σύνολα, η προσέγγιση της T μπορεί να είναι πιο κατάλληλη, αφού εδώ ισχύει η σχέση t ( x) T ( x) c για κάθε σημείο x και έτσι ένα μικρό είναι σημαντικό για κάθε x Πολλές φορές, πάντως, η προσέγγιση των V και T, δε δείχνουν διαφορετικά αποτελέσματα Ο λόγος μπορεί να είναι ότι το σφάλμα εκτίμησης του θεωρήματος είναι πολύ περιοριστικός και στις εφαρμογές το πλέγμα δε χρειάζεται να είναι τόσο πυκνό όσο απαιτεί το θεώρημα Όταν υπολογίζουμε μια περιοχή uv, το ελκτικό σύνολο δεν είναι γνωστό εκ των προτέρων Ένα φυσικό πρόβλημα λοιπόν είναι σε ποίο μέρος του να διαλέξουμε το πλέγμα Το ερώτημα του τι συμβαίνει αν διαλέξουμε σημεία πλέγματος τα οποία δεν ανήκουν στο ελκτικό σύνολο δεν απαντάται από κάποιο θεώρημα, και στη πράξη είτε η q είναι θετική κοντά σε αυτά τα σημεία, ή τα σύνολα επιπέδων δεν προσεγγίζουν τα σημεία αυτά Και στις δύο περιπτώσεις κάποια σημεία του πλέγματος δεν ανήκουν στο ελκτικό σύνολο Παρόλα αυτά, η περιοχή uv που εξασφαλίζεται είναι πάντα υποσύνολο του ελκτικού συνόλου, από το Θεώρημα 6, ανεξάρτητα από που έχουμε εξασφαλίσει τη συνάρτηση uv Έτσι, αφού επιλέξουμε ένα πλέγμα υπολογίζουμε τη συνάρτηση q Αν υπάρχουν σημεία x με q( x ) έξω από την περιοχή uv, τότε είτε τα σημεία αυτά δεν ανήκουν στο ελκτικό σύνολο, είτε χρειάζεται να προσθέσουμε σημεία στο 93

94 πλέγμα, ωστόσο δεν είναι δυνατό να διακρίνουμε μεταξύ των δυο περιπτώσεων Τα θεωρήματα παρέχουν μόνο ικανές συνθήκες για να ανήκει ένα σύνολο στο ελκτικό σύνολο, και δε μπορούμε να δείξουμε ότι κάποια σημεία δεν ανήκουν στο ελκτικό σύνολο Οι συναρτήσεις ακτινωτής βάσης μπορούν να χρησιμοποιηθούν για δυναμικά συστήματα με περισσότερους τρόπους: Η χρήση συναρτήσεων ακτινωτής βάσης για την προσέγγιση συναρτήσεων uv μπορεί να εφαρμοστεί και σε διακριτά δυναμικά συστήματα Επίσης, οι συναρτήσεις ακτινωτής βάσης μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον καθορισμό του ελκτικού συνόλου των περιοδικών τροχιών σε συνεχή δυναμικά συστήματα 94

95 Κεφάλαιο 8: Κατασκευή συναρτήσεων uv Σε αυτή την ενότητα παρουσιάζουμε μία μέθοδο κατασκευής συναρτήσεων uv για το τυχαίο διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5 Αφού πρώτα δώσουμε κάποια χρήσιμα εισαγωγικά στοιχεία για κατά τμήματα ομοπαράλληλες συναρτήσεις, δίνουμε μία αλγοριθμική περιγραφή του πως να παράγουμε ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού για το διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5, και αποδεικνύουμε ότι αν το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού έχει μία εφικτή λύση, τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτή τη λύση για να παραμετροποιήσουμε μία συνάρτηση uv για το σύστημα Στην ενότητα (μετά από κάποια προετοιμασία στην ενότητα ), παρουσιάζουμε ένα αλγόριθμο που παράγει συστηματικά προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού για το τυχαίο διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5, και αποδεικνύουμε ότι, αν το διακοπτικό σύστημα έχει κάποια συνάρτηση uv, τότε ο αλγόριθμς παράγει, σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων, ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού το οποίο έχει μία εφικτή λύση Επειδή υπάρχουν αλγόριθμοι οι οποίοι πάντα βρίσκουν μία εφικτή λύση σε ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού αν αυτή υπάρχει, αυτό κατά συνέπεια σημαίνει ότι έχουμε παράγει ένα αλγόριθμο για την κατασκευή συναρτήσεων uv, όταν υπάρχει μία συνάρτηση uv Επιπλέον, εξετάζουμε ξεχωριστά την περίπτωση που το διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5 είναι αυτόνομο, διότι σε αυτή την περίπτωση μπορούμε να παραμετροποιήσουμε μία συνάρτηση uv για το σύστημα που είναι χρονικά ανεξάρτητη Για να κατασκευάσουμε μία συνάρτηση uv με γραμμικό προγραμματισμό, χρειαζόμαστε μία τάξη συνεχών συναρτήσεων οι οποίες παραμετροποιούνται εύκολα Δηλαδή, χρειαζόμαστε μία τάξη συναρτήσεων που είναι αρκετά γενικές ώστε να μπορούν να χρησιμοποιηθούν σαν ένα πεδίο έρευνας για συναρτήσεις uv, αλλά θα πρέπει να είναι πεπερασμένος ο διανυσματικός χώρος, έτσι ώστε οι συναρτήσεις του να χαρακτηρίζονται μοναδικά από ένα πεπερασμένο αριθμό πραγματικών αριθμών Η κλάση των συνεχών κατά τμήματα ομοπαράλληλων συναρτήσεων CPWA αποτελεί μία κατάλληλη υποψήφια κλάση Ο αλγόριθμος για την παραμετροποίηση μίας συνάρτησης uv για το διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5 αποτελείται σε γενικές γραμμές από τα παρακάτω βήματα: Διαχωρισμός μίας γειτονιάς του σημείου ισορροπίας που εξετάζουμε σε μία οικογένεια G από γεωμετρικά άπλοκα (simlices) Περιορισμός της έρευνας για μία συνάρτηση uv V για το σύστημα στη κλάση των συνεχών συναρτήσεων που είναι ομοπαράλληλες σε κάθε S G Δηλώνουμε γραμμικές ανισότητες για τις τιμές της V στις κορυφές των γεωμετρικών άπλοκων στο G, έτσι ώστε αν μπορούν να ικανοποιηθούν, τότε η συνάρτηση V, η οποία ορίζεται μοναδικά από τις τιμές της στις κορυφές, είναι μία συνάρτηση uv για το σύστημα σε όλη τη περιοχή Πρώτα διαχωρίζουμε το σε -άπλοκα και χρησιμοποιούμε αυτό τον διαχωρισμό για να ορίσουμε χώρους συναρτήσεων CPWA, δηλαδή συνεχών κατά τμήματα ομοπαράλληλων συναρτήσεων Μία συνάρτηση στη κλάση CPWA ορίζεται μοναδικά από τις τιμές της στις κορυφές των άπλοκων στο G 95

96 Στη συνέχεια παρουσιάζουμε ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού, το οποίο παράγεται αλγοριθμικά από το διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5, και αποδεικνύουμε ότι μία συνάρτηση uv CPWA για το σύστημα μπορεί να παραμετροποιηθεί από κάθε εφικτή λύση για αυτό το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού Τέλος στην ενότητα, αποδεικνύουμε ότι αν το σημείο ισορροπίας του διακοπτικού συστήματος του Ορισμού 5 είναι ομοιόμορφα ασυμπτωτικά ευσταθές, τότε κάθε διαχωρισμός άπλοκων, με άπλοκα αρκετά μικρά, οδηγεί σε ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού το οποίο έχει πράγματι εφικτή λύση 8 Συνεχείς κατά τμήματα ομοπαράλληλες συναρτήσεις Για να κατασκευάσουμε μία συνάρτηση uv με γραμμικό προγραμματισμό, χρειαζόμαστε μία κλάση συνεχών συναρτήσεων οι οποίες παραμετροποιούνται εύκολα Η προσέγγιση μας είναι ένας διαχωρισμός άπλοκων του, όπου ορίζουμε τον πεπερασμένο -διανυσματικό χώρο των συνεχών συναρτήσεων CPWA οι οποίες είναι ομοπαράλληλες σε καθένα από τα άπλοκα Τα άπλοκα S, όπου Perm[{,,, }] ορίζονται ως εξής: Ορισμός 8 (Τα άπλοκα S ) Για κάθε Perm[{,,, }] ορίζουμε το -άπλοκο (-simlex) S : { y : y y y }, () () ( ) όπου y () i είναι η () i -οστή συνιστώσα του διανύσματος y Ένας ισοδύναμος ορισμός του - άπλοκου S : c{ e ( j), e ( j),, e ( j) } j j j S είναι όπου e () i είναι το () i -οστό μοναδιαίο διάνυσμα στο Για κάθε Perm[{,,, }] το σύνολο S είναι ένα -άπλοκο και αν, Perm[{,,, }], τότε: S S c{ x : x είναι ένα διάνυσμα του S και x είναι μια κορυφή του S } Ας ονομάσουμε την παραπάνω σχέση (8) Έτσι, μπορούμε να ορίσουμε μια συνεχή συνάρτηση :[,] η οποία είναι ομοπαράλληλη σε κάθε S, Perm[{,,, }], καθορίζοντας απλώς τις τιμές της στις κορυφές του υπερκύβου [,] Έτσι, αν x S, τότε όπου i ={ e : για i=,,,+ και }, i ( j) i i i j i i για i=,,,+ και x e, i i i i j i ( j) 96

97 Ύστερα θέτουμε ( x) ( e ) ( e ) i ( j) i ( j) i j i i j i Η συνάρτηση είναι τώρα καλώς ορισμένη και συνεχής εξαιτίας της (8) Μπορούμε τώρα να προχωρήσουμε με το διαχωρισμό του ( z S ), αλλά προτιμούμε ένα διαχωρισμό του z, Perm[{,,, }] σε άπλοκα ο οποίος είναι αμετάβλητος ως προς τις ανακλάσεις μέσα στα υπερεπίπεδα ei x, i=,,,, σα μία περιοχή για το χώρο συναρτήσεων CPWA Κατασκεύαζουμε ένα τέτοιο διαχωρισμό αφού πρώτα διαχωρίσουμε το στην οικογένεια ( z S ) και ύστερα επεκτείνουμε το διαχωρισμό στο με τη z, Perm[{,,, }] J χρήση των συναρτήσεων ανάκλασης R, όπου J ({,,, }) J Ορισμός 8 (Συναρτήσεις ανάκλασης R ) Για κάθε J ({,,, }), ορίζουμε τη συνάρτηση ανάκλασης (reflecti J fucti) R :, για κάθε συνόλου J ( ) : ( ) J J x () i R x xie i i x, όπου J :{,,, } {,} Είναι προφανές ότι η x η χαρακτηριστική συνάρτηση του J R, όπου J : { j, j,, j }, απεικονίζει διαδοχικά τις ανακλάσεις μέσα από τα υπερεπίπεδα e j x, e,, j x e j k x Θεώρημα 83 Έστω ( q ) μία συλλογή πραγματικών αριθμών Τότε υπάρχει ακριβώς μία z z συνεχής συνάρτηση : με τις ακόλουθες ιδιότητες: () z q z για κάθε z Για κάθε J ({,,, }), κάθε Perm[{,,, }], και κάθε z, ο J περιορισμός της συνάρτησης στο άπλοκο R ( z S ) είναι ομοπαράλληλη συνάρτηση Ένας χώρος CPWA είναι ένα σύνολο από συνεχείς ομοπαράλληλες συναρτήσεις από ένα υποσύνολο του στο Αν το σύνολο είναι συμπαγές, τότε μπορούμε να παραμετροποίησουμε τις συναρτήσεις στον αντίστοιχο χώρο CPWA με ένα πεπερασμένο αριθμό παραμέτρων με πραγματικές τιμές k Ορισμός 84 (Συναρτήσεις CPWA σε απλό πλέγμα) Έστω Z, Z, τέτοιο ώστε το εσωτερικό του συνόλου N : ( z [,] ) είναι συνεκτικό Ο χώρος συναρτήσεων CPWA[Ν] ορίζεται ως εξής: Μια συνάρτηση : N είναι στο CPWA[Ν], αν και μόνο αν, z Z 97

98 Η είναι συνεχής J Για κάθε άπλοκο R ( z S ) N, όπου z, J ({,,, }), και Perm[{,,, }], ο περιορισμός της συνάρτησης στο άπλοκο J R ( z S ) είναι ομοπαράλληλη συνάρτηση Θα χρειαστούμε συνεχείς κατά τμήματα ομοπαράλληλες συναρτήσεις που ορίζονται από τις τιμές τους σε πλέγματα με μικρότερα βήματα πλέγματος από τη μονάδα, και θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε πλέγματα με διάφορα βήματα πλέγματος Αυτό το καταφέρνουμε με τη χρήση εικόνων του μέσω απεικονίσεων, των οποίων οι συνιστώσες είναι συνεχείς και γνησίως αύξουσες συναρτήσεις, ομοπαράλληλες στα διαστήματα [ mm, ] για όλους τους ακέραιους m, και που απεικονίζουν την αρχή στον εαυτό της Τέτοιες απεικονίσεις τις ονομάζουμε κατά τμήματα αναγωγικές συναρτήσεις (iecewise scalig fuctis) Ορισμός 85 (Συνάρτηση CPWA, γενική μορφή) Έστω PS : μία κατά τμήματα αναγωγική συνάρτηση και έστω Z, τέτοιο ώστε το εσωτερικό του συνόλου N : ( z [,] ) είναι συνεκτικό Ο χώρος συναρτήσεων CPWA[PS,Ν] ορίζεται ως εξής: CPWA[ PS, ]: { PS : CPWA[ ]} και συμβολίζουμε με G[PS,Ν] το σύνολο των άπλοκων στην οικογένεια J ( PS( R ( z S ))) z, J ({,,, }), Perm[{,,, }] τα οποία περιλαμβάνονται στην εικόνα του PS(N) του Ν μέσω της PS z Z Z, Προφανώς, { x : x είναι μια κορυφή ενός άπλοκου στο G[PS,N]}=PS(N ) και κάθε συνάρτηση στο CPWA[PS,Ν] είναι συνεχής και μοναδικά ορισμένη από τις τιμές της στο πλέγμα PS(N ) Χρησιμοποιούμε συναρτήσεις από την κλάση CPWA[PS,Ν] για να προσεγγίσουμε συναρτήσεις C (PS(N)) Το παρακάτω λήμμα δίνει ένα άνω φράγμα για το σφάλμα προσέγγισης μίας τέτοιας γραμμικοποίησης Λήμμα 86 J Έστω Perm[{,,, }], έστω J ({,,, }), έστω z, έστω R μια συνάρτηση ανάκλασης, και έστω PS μία κατά τμήματα αναγωγική συνάρτηση Συμβολίζουμε με S το -άπλοκο το οποίο είναι ο κυρτός συνδυασμός των κορυφών J y : PS( R ( z e )), i=,,, +, i και έστω f C ( U ) μία συνάρτηση που ορίζεται σε μία περιοχή κάθε i=,,, + και κάθε k=,,, ορίζουμε τη σταθερά j i ( j) A : e ( y y ) k, i k i και για κάθε r, s=,,, έστω B μία σταθερά, τέτοια ώστε, r,s S U Για 98

99 f Br,s max ( x) x S x x Ορίζουμε για κάθε i=,,, + τη σταθερά Τότε για κάθε κυρτό συνδυασμό E := B A ( A A ) i rs r, i s, s, i rs, y:= των κορυφών του άπλοκου S έχουμε i i i r y (8) f(y)- f ( y ) E i i i i i i s Μια ομοπαράλληλη συνάρτηση ορισμένη σε ένα άπλοκο S και με τιμές μέσα στο, έχει την αλγεβρική μορφή ( x) : wx q, όπου w ένα σταθερό διάνυσμα στο και q μία σταθερά στο Ένας άλλος χαρακτηρισμός της συνάρτησης δίνεται με τον καθορισμό των τιμών της στις κορυφές Το επόμενο λήμμα δίνει μία φόρμουλα για τις συνιστώσες του διανύσματος w όταν οι τιμές της συνάρτησης στις κορυφές του S είναι γνωστές και το S είναι ένα άπλοκο στο G[PS,N] Λήμμα 87 Έστω PS : μία κατά τμήματα αναγωγική συνάρτηση, έστω z, έστω J B({,,, }), έστω Perm[{,,, }], και έστω ( x) : wx q μία ομοπαράλληλη συνάρτηση ορισμένη στο -άπλοκο με τις κορυφές Τότε J y : PS( R ( z e )), i=,,, i w j ( j) ( yi) ( yi ) e e ( y y ) i ( i) i i Αφού πλέον έχουμε ορίσει το χώρο συναρτήσεων CPWA, μπορούμε να εκφράσουμε το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού, κάθε εφικτή λύση του οποίου παραμετροποιεί μία CPWA συνάρτηση uv για το διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5 () i 8 Το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού Ερχόμαστε στο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού, του οποίου κάθε εφικτή λύση παραμετροποιεί μία συνάρτηση uv για το διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5 Η συνάρτηση uv ανήκει στη κλάση CPWA Πρώτα ορίζουμε το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού στον επόμενο ορισμό 99

100 Ορισμός 88 (πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού LP({ f : P}, N, PS, t, D, ) ) Ας θεωρήσουμε το διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5 όπου το σύνολο P έχει πεπερασμένο αριθμό στοιχείων Έστω T, T δύο σταθερές έτσι ώστε T T και έστω PS : μία κατά τμήματα αναγωγική συνάρτηση και N U τέτοιο ώστε το εσωτερικό του συνόλου M PS( z [,] ) z, PS ( z [,] ) N είναι ένα συνεκτικό σύνολο το οποίο περιλαμβάνει την αρχή Έστω D : PS(] d, d [ x] d, d [ x x] d, d [) ένα σύνολο του οποίου η κλειστότητα περιλαμβάνεται στο εσωτερικό του M, και είτε D είτε d i και d i είναι ακέραιοι τέτοιοι ώστε d i και d i για κάθε i,,, Τέλος, έστω μία αυθαίρετη νόρμα στο και M, ένα διάνυσμα τέτοιο ώστε T : t t tm : T M t : ( t, t,, t M ), Υποθέτουμε ότι οι συνιστώσες της f : P, έχουν μερικές παραγώγους δευτέρου βαθμού οι οποίες είναι φραγμένες στο [ T, T ] ( M \ D ) Πριν προχωρήσουμε, θα δώσουμε ένα εναλλακτικό συμβολισμό για τα διανύσματα ( tx, ) που είναι πιο πρακτικός, διότι μικραίνει τη φόρμουλα στο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού Ταυτίζουμε τον χρόνο t με τη μηδενική συνιστώσα x του διανύσματος x : ( x, x,, x ) και το x με τις συνιστώσες μέχρι, δηλαδή t: x και xi : i,,, Τότε, τα συστήματα x f (, x), P μπορούν να γραφτούν στην ισοδύναμη μορφή d x f ( x ), dx όπου P f ( x) : [f ( x),f ( x),f ( x),,f ( x)],,,, : [,f ( t, x),f ( t, x),,f ( t, x)],,, x για κάθε (Σημειώνουμε ότι με f i, δηλώνουμε την i-οστή συνιστώσα της συνάρτησης f ) δηλαδή, f, : και f, i( x) f, i( t, x ), όπου x ( t, x ), για κάθε P και κάθε i,,, Επιπλέον, έστω PS : μία κατά τμήματα αναγωγική συνάρτηση, τέτοια ώστε, PS ( ) : i t i για κάθε i,,, M και ορίζουμε την κατά τμήματα αναγωγική συνάρτηση i

101 μέσω της δηλαδή, όπου x ( t, x ) ~ ~ : PS PS( x) : [ PS ( x ), PS ( x ),, PS ( x ))], ~ PS( x) : [ PS( t), PS( x )], Θα χρησιμοποιήσουμε την συνήθη ορθοκανονική βάση στο αλλά θα αρχίσουμε την ταξινόμηση των δεικτών από το μηδέν (χρησιμοποιούμε e, e,, e ), δηλαδή, x : x e te x e i i i i i i Επειδή δε χρειάζεται να λάβουμε υπόψη αρνητικές χρονικές στιγμές t x, είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσουμε συναρτήσεις ανάκλασης οι οποίες πάντα αφήνουν τη μηδενική συνιστώσα του x ( t, x ) αμετάβλητη Έτσι, ορίζουμε για κάθε J συνάρτηση ανάκλασης R :, όπου J {,,, }, τη συνάρτηση J R : μέσω της Ορίζουμε την ημινόρμα : x () i i i i J J R ( x) : [ x, R ( x)]: te ( ) J x e μέσω της ( x, x,, x ) : ( x, x,, x ) Τότε, προφανώς x : x για κάθε x ( t, x ) Τώρα, το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού LP ({ f : P}, N, PS, t, D, ) μπορεί να κατασκευαστεί με τον εξής τρόπο: (i) Ορίζουμε τα σύνολα και ~ G : { x : x PS( ) ([ T, T ] ( M \ D ))} : { x : x PS( ) M } Το σύνολο G είναι το πλέγμα, για το οποίο θα εξασφαλίσουμε συνθήκες για τις τιμές της CPWA συνάρτησης uv, και το είναι το σύνολο των αποστάσεων όλων των σχετικών σημείων στο χώρο-κατάστασης από την αρχή ως προς τη νόρμα (ii) Ορίζουμε για κάθε Perm[{,,, }] και κάθε i,,, το διάνυσμα x : e, i όπου φυσικά το κενό άθροισμα ερμηνεύεται ως (iii) Ορίζουμε το σύνολο Z μέσω: Το ζεύγος ( zj, ), j i ( j) όπου z : ( z, z,, z ) και J B({,,, }), είναι ένα στοιχείο του Z, αν και μόνο αν, ~ ( J PS R ( z [,] )) [ T, T ] ( M \ D ) Nα σημειώσουμε ότι από αυτόν τον ορισμό συνεπάγεται ότι

102 ( z, J ) Z ~ ( J PS R ( z [,] )) [ T, T ] ( M \ D ) (iv) Για κάθε ( z, J ) Z, κάθε Perm[{,,, }] και κάθε i,,, ορίζουμε Τα διανύσματα ( zj, ), i ~ ( z, J ) J y, i : PS( R ( z x i )) y είναι οι κορυφές των άπλοκων στον διαχωρισμό άπλοκων του συνόλου [ T, T ] ( M \ D ) Η θέση του άπλοκου δίνεται από το ζεύγος ( zj, ), όπου το z καθορίζει τη θέση σε κάποια χρονική στιγμή και ( z, z,, z ) καθορίζει τη θέση στο χώρο καταστάσεων Επιπλέον, το ορίζει το άπλοκο και το i καθορίζει τη κορυφή του άπλοκου (v) Ορίζουμε το σύνολο ( z, J ) ( z, J ) : { y, y }/ Perm[{,,, }], ( z, J) Z και k {,,, }}, k, k T σύνολο είναι το σύνολο από όλα τα ζευγάρια γειτονικών σημείων πλέγματος στο πλέγμα G (vi) Για κάθε P, κάθε ( z, J ) Z, και κάθε r, s,,, έστω μία πραγματική σταθερά, τέτοια ώστε Οι σταθερές (, ) B zj,rs ( zj, ) i, B,rs max su ( x) i,,, ~ J x x PS ( R ( z [,] )) r xs f (, ) B zj,rs είναι τοπικά φράγματα στις μερικές παραγώγους δευτέρου βαθμού των συνιστώσεων των συναρτήσεων f, P, ως προς τη νόρμα, όπως οι σταθερές B στο Λήμμα 86 Να σημειώσουμε ότι, επειδή f :,, οι μηδενικές r,s συνιστώσες μπορούν να παραβλεπτούν στον ορισμό της r, s,,, και κάθε x ( t, x ), f, i f, i ( x) ( t, x) x x x x r s r s (, ) B zj,rs Ακόμη, για κάθε αν διαβάσουμε το x σαν t στο δεξιό μέρος της εξίσωσης Επιπλέον, σημειώνουμε ότι αν B μία σταθερά τέτοια ώστε f B su ( x), x [ T, T ] ( M \ D) x x για κάθε P, και κάθε r, s,,,, μπορούμε τότε να θέσουμε r s (, ) B zj,rs B για κάθε P, κάθε ( z, J ) Z και κάθε r, s,,, Ωστόσο καλύτερα φράγματα μπορούν να εξοικονομήσουν σημαντικό χρόνο στη προσπάθεια να βρούμε μία εφικτή λύση σε ένα πρόγραμμα γραμμικού προγραμματισμου (vii) Για κάθε ( z, J ) Z, κάθε i, k,,, και κάθε Perm[{,,, }], ορίζουμε Οι σταθερές (viii) A : e ( y y ) ( z, J ) ( z, J ) ( z, J ), k, i k, i, ( zj, ) A είναι παρόμοιες με τις σταθερές, ki, Ορίζουμε τη σταθερά A του Λήμματος 86 ki,

103 mi, M : mi{ x : x PS( ) M }, όπου M είναι το σύνορο του συνόλου M (ix) Για κάθε P, κάθε ( z, J ) Z, κάθε Perm[{,,, }] και κάθε i,,, θέτουμε ( z, J ) ( z, J ) ( z, J ) ( z, J ) ( z, J ) E : B A ( A A ) (83),, i, rs, r, i, s, i, s, rs, (x) Έστω και δύο αυθαίρετες σταθερές Οι μεταβλητές του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού είναι: [ y ], για κάθε y, [ y ], για κάθε y, Vx, [ ] για κάθε x G, C[{ x, y }], για κάθε { xy, } Aν θεωρήσουμε τον ορισμό για μία συνάρτηση uv, ι μεταβλητές [ y ] αντιστοιχούν στη συνάρτηση, οι μεταβλητές [ y ] στη συνάρτηση, και οι μεταβλητές Vx [ ] στη συνάρτηση uv V, όπου η συνιστώσα x αντιστοιχεί στο χρόνο t Οι γραμμικοί περιορισμοί του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού είναι: (LC) Έστω ότι y, y,, y k είναι τα στοιχεία του σε αύξουσα σειρά Τότε [ y] [ y ], ey [ y ], ey [ y ], και για κάθε i,,, K : [ yi ] [ yi ] [ yi ] [ yi ], yi yi yi yi [ yi ] [ yi ] [ yi ] [ yi ] y y y y (LC) Για κάθε x G: Αν D, τότε αν x : i i i i [ x ] V[ x ] Vx [ ] Αν D, τότε αν ( x, x,, x) PS( ) D : V[ x] [ x ] mi, M Ακόμη, αν D για κάθε i,,, και κάθε j,,, M : (LC3) Για κάθε { xy, } : V[ PS ( j) e PS ( d ) e ] PS ( d ), V[ PS ( j) e PS ( d ) e ] PS ( d ) i i i i i i i i i i C[{ x, y}] x y V[ x] V[ y] C[{ x, y}] x y x y 3

104 (LC4) Για κάθε P, κάθε ( z, J ) Z, κάθε Perm[{,,, }] και κάθε i,,, : [ y ] ( zj, ), i V[ y ] V[ y ] ( ( ) [{, }]) ( z, J ) ( z, J ), j, j ( z, J ) ( z, J ) ( z, J ) ( z, J ) ( z, J ) f (, ) (, ), ( j) y, i E,, ic y, j y z J z J, j j e ( j) ( y, j y, j ) Να σημειώσουμε ότι οι τιμές των σταθερών και δεν επηρεάζουν την ύπαρξη ή όχι μίας εφικτής λύσης στο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού Αν υπάρχει μία εφικτή λύση για : και :, τότε υπάρχει μία εφικτή λύση για κάθε : και : ( zj, ) ( z, J ) ( z, J ) Επίσης, να σημειώσουμε ότι αν y, τότε f ( y ) για κάθε, i j {,,, } τέτοιο ώστε ( j ), και αν ( j ), τότε Έτσι, οι περιορισμοί (LC4) μειώνονται σε E C[{ y, y }]) j ( z, J ) ( z, J ) ( z, J ),, i, j, j, ( j), i V[ y ] V[ y ] ( z, J ) ( z, J ), j, j Tέλος, αν το διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5 είναι αυτόνομο, τότε γνωρίζουμε ότι υπάρχει μία χρονικώς ανεξάρτητη συνάρτηση uv για το σύστημα Στην επόμενη ενότητα αποδεικνύουμε ότι μία εφικτή λύση του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού, όπως αυτό ορίστηκε στον Ορισμό 88 παραμετροποιεί μία CPWA συνάρτηση uv για το διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5 83 Ορισμός των συναρτήσεων, και V Έστω y, y,, y K οι ιδιοτιμές του σε αύξουσα σειρά Ορίζουμε τις κατά τμήματα ομοπαράλληλες συναρτήσεις, :, [ yi ] [ yi] ( y) : [ yi] ( y yi), yi yi [ yi ] [ yi] ( y) : [ yi] ( y yi), y y για κάθε y [ yi, y i ] και κάθε i,,, K Οι τιμές των, στο y ] y K, [ δεν έχουν σημασία, αλλά για να είναι όλα σωστά ορισμένα, θέτουμε: [ yk] [ yk ] ( y) : [ yk ] ( y yk ), yk yk [ yk] [ yk ] ( y) : [ yk ] ( y yk ), y y για κάθε K i K i K y y Προφανώς, οι συναρτήσεις, είναι συνεχείς Η συνάρτηση ανάθεση ~ ~ V CPWA[ PS, P S ([ T, T ]) ( M \ D ))} ορίζεται με την V ( x) : V[ x ] 4

105 για κάθε x G Ορισμένες φορές θα σημειώνουμε V ( t, x ) αντί V ( x ) και V[ t, x ] αντί Vx [ ] Σε αυτές τις περιπτώσεις έχουμε t x και x : ( x, x,, x ) 84 Συνέπειες των περιορισμών (LC) Έστω y, y,, y K τα στοιχεία του σε αύξουσα σειρά Θα δείξουμε ότι από τους περιορισμούς (LC) συνεπάγεται ότι οι συναρτήσεις, είναι κυρτές και γνησίως αύξουσες στο [, [ Επειδή y, ( y) ( y ) και ( y) ( y ), οι, είναι κυρτές συναρτήσεις τάξης K Οι περιορισμοί είναι ίδιοι για και, οπότε αρκεί να δείξουμε ότι ισχύει μόνο για την Από τον ορισμό της, είναι προφανές ότι αυτή είναι συνεχής και ότι ( x) ( y) [ yi ] [ yi] x y y y για κάθε x, y [ yi, y i ] και κάθε i,,, K Από y, ( y ) και y [ y ], έχουμε [ y] [ y] [ y] [ y] [ yk] [ yk ] y y y y y y i K K Τότε όμως η D είναι μία θετική και αύξουσα συνάρτηση στο, και κατά συνέπεια η είναι μία γνησίως αύξουσα συνάρτηση Η συνάρτηση είναι κυρτή, αν και μόνο αν, για κάθε y υπάρχουν σταθερές a, b, τέτοιες ώστε y y a y b ( y ) και a x b ( x ) y y για κάθε x Έστω y Επειδή η συνάρτηση D είναι αύξουσα, συνεπάγεται από γνωστό θεώρημα ότι, για κάθε x, υπάρχει c xy,, έτσι ώστε ( x) ( y) c ( x y ) και cxy, D ( y ) αν x y και cxy, D ( y ) αν x y Αυτό συνεπάγεται ότι xy, y xy, ( x) ( y) c ( x y) D ( y) x ( y) D ( y) y για κάθε x Επειδή y αυθαίρετο, συνεπάγεται ότι η συνάρτηση είναι κυρτή y i 85 Συνέπειες των περιορισμών (LC) Ορίζουμε τη σταθερά V : mi V ( t, x ) και αν D τη σταθερά M,mi x M, t [ T, T ] V : max V ( t, x ) D,max x D, t [ T, T ] Τότε αποδεικνύεται ότι από τους περιορισμούς (LC) συνεπάγεται ότι: ( x ) V ( t, x ) 5

106 για κάθε t [ T, T ] και κάθε x M \ D και ότι: αν D V V D,max M,mi 86 Συνέπειες των περιορισμών (LC3) Από τους περιορισμούς (LC3) συνεπάγεται ότι: για κάθε { x, y} Y V[ x] V[ y] x y C[{ x, y}] 87 Συνέπειες των περιορισμών (LC4) Από τους περιορισμούς (LC4) και (LC3) συνεπάγεται ότι: ( ( tt,, ) ) V ( t h, ( t h, t, )) V ( t, ( t, t, )) lim su h h για κάθε S και κάθε ( t, ( t, t, )) στο εσωτερικό του διαστήματος [ T, T ] ( M \ D ) 88 Σύνοψη των αποτελεσμάτων και των συνεπειών τους Θα ξεκινήσουμε συνοψίζοντας τα αποτελέσματα μετά τον ορισμό του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού με ένα θεώρημα Θεώρημα 89 (CPWA συναρτήσεις uv με γραμμικό προγραμματισμό) Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού LP({ f : P}, N, PS, t, D, ) του ορισμού 88 και ας υποθέσουμε ότι έχει μία εφικτή λύση Έστω οι συνάρτήσεις, και V που ορίσαμε στην Ενότητα 83 από τις αριθμητικές τιμές των ( y), ( y ) και Vx, [ ] από μία εφικτή λύση Τότε η ανισότητα ( x ) V ( t, x ) ισχύει για κάθε t [ T, T ] και κάθε x M \ D Αν D έχουμε, με ότι: V : mi V ( t, x ), M,mi x M, t [ T, T ] V : max V ( t, x ), D,max x D, t [ T, T ] V V D,max M,mi Επιπλέον, αν η λύση του διακοπτικού συστήματος του Ορισμού 5, το οποίο χρησιμοποιούμε για την κατασκευή του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού, τότε ισχύει η ανισότητα 6

107 ( ( tt,, ) ) V ( t h, ( t h, t, )) V ( t, ( t, t, )) lim su h h για κάθε S και κάθε ( t, ( t, t, )) στο εσωτερικό του διαστήματος [ T, T ] ( M \ D ) Ερχόμαστε τώρα στο σημαντικό ερώτημα: Ποια πληροφορία μπορούμε να πάρουμε για τη συμπεριφορά της ευστάθειας του διακοπτικού συστήματος του Ορισμού 5 από τη συνάρτηση uv V της Ενότητας 83? Πριν απαντήσουμε στην ερώτηση θα μελετήσουμε τις συνέπειες μίας συνεχούς διαφορίσιμης συνάρτησης uv στη συμπεριφορά της ευστάθειας ενός μη διακοπτικού συστήματος Ας θεωρήσουμε το σύστημα όπου [ ( )] x f ( t, x ) f C V και V μία φραγμένη περιοχή στο την αρχή Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μία συνάρτηση συναρτήσεις a, b, c K, τέτοιες ώστε a( ) W( t, ) b ( ), η οποία περιλαμβάνει W C ( V ) και για κάθε V και κάθε t και d W W ( t, ( t, t, )) [ xw ]( t, ( t, t, )) f ( t, ( t, t, )) ( t, ( t, t, )) dt t c( ( t, t, ) ) για κάθε ( t, ( t, t, )) V, όπου η λύση της διαφορικής εξίσωσης x f ( t, x ) Για την ανάλυσή μας έστω ότι το ζεύγος ( t, ) V είναι αυθαίρετο αλλά σταθερό και ας θέσουμε y( t) : W( t, ( t, t, )) Τότε y( t ) W( t, ) και το y ικανοποιεί την διαφορική ανισότητα: y( t) c( b ( y( t ))) για κάθε t τέτοιο ώστε ( t, t, ) V Τώρα ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν σταθερές b και c, τέτοιες ώστε b( x ) b x και c c( x ) για κάθε x V Σε αυτή την απλή περίπτωση είναι εύκολο να έχουμε την ανισότητα c y( t) y( t )ex( ( t t )), b η οποία ισχύει για κάθε t t αν W( t, ) if W( s, y ) s t, y Μία παρόμοια ανάλυση μπορεί να γίνει και για το διακοπτικό σύστημα και την αντίστοιχη συνάρτηση uv V αν η αυθαίρετη νόρμα που χρησιμοποιήσαμε στον ορισμό 88 του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού είναι μία -νόρμα, + V 7

108 Λήμμα 8 Έστω [ ab, [ ένα διάστημα στο, a b, και έστω y, z :[ a, b [ συναρτήσεις τέτοιες ώστε y( a) z( a ), y συνεχής και z διαφορίσιμη Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μία συνάρτηση s :, η οποία ικανοποιεί τη τοπική συνθήκη Lischitz, για κάθε συμπαγές σύνολο C υπάρχει μία σταθερά L C τέτοια ώστε y( a) y( b) LC a b, για κάθε a, b C, και έστω επίσης D y( t) s( y( t )) και z( t) s( z( t )) για κάθε t [ a, b [ Τότε y( t) z( t ) για κάθε t [ a, b [ Στο επόμενο θεώρημα καθορίζονται οι συνέπειες της συνάρτησης V στη συμπεριφορά της ευστάθειας του διακοπτικού συστήματος του Ορισμού 5 Εδώ χρησιμοποιούμε την k-νόρμα x : max i,,, x i i k k x : ( x ) αν k και Θεώρημα 8 (Συνέπειες της συνάρτησης uv V ) Έστω ότι ισχύουν οι υποθέσεις και οι ορισμοί του θεωρήματος 89 και έστω επίσης ότι η νόρμα στο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού LP({ f : P}, N, PS, t, D, ) είναι μία k-νόρμα, k Ορίζουμε το σύνολο T με T : {} αν D και T : D { x M \ D : max V ( t, x) V }, αν D και το σύνολο A : t [ T, T ] k t [ T, T ] i D,max A: { x M \ D : max V ( t, x) V } M,mi Θέτουμε q : k( k ) αν k, q : αν k, και q : αν k και ορίζουμε τη σταθερά E : e q i Τότε ισχύουν οι παρακάτω προτάσεις: (i) Αν ( t, t, ) T για κάποιο συγκεκριμμένο S, T t T, t και U, τότε ( s, t, ) T για κάθε s [ t, T ] (ii) Αν ( t, t, ) M \ D για κάποιο συγκεκριμμένο S, T t T, t και U, τότε ισχύει η ανισότητα V ( s, ( s, t, )) V ( t, ( t, t, ))ex( ( s t)) E για κάθε s τέτοιο ώστε ( s, t, ) M \ D για κάθε t s s T (iii) Αν ( t, t, ) A για κάποιο συγκεκριμμένο S, T t T, t και U, τότε είτε η λύση ικανοποιεί την ανισότητα i q q 8

109 V ( s, ( s, t, )) V ( t, ( t, t, ))ex( ( s t)) E για κάθε t s T ή υπάρχει T [ t, T ], τέτοιο ώστε η η λύση ικανοποιεί την παραπάνω ανισότητα για κάθε t s T, ( T, t, ) D και ( s, t, ) T για κάθε T s T Η πρόταση (iii) είναι άμεση συνέπεια των προτάσεων (i) και (ii) και του ορισμού του συνόλου A Η πρόταση αυτή δηλώνει ότι αν είναι αδύνατο να αφήσει μία λύση το σύνολο M \ D στο σύνορο M, τότε είτε αυτή υπάρχει στο σύνορο D είτε δεν υπάρχει καθόλου q 89 Η περίπτωση αυτόνομου συστήματος Σε αυτή την ενότητα θα εξετάσουμε το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού στην περίπτωση όπου το σύστημα είναι αυτόνομο Ορισμός 8 (πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού LP({ f : P}, N, PS, D, ) Ας θεωρήσουμε το διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5, όπου το σύνολο P έχει πεπερασμένα στοιχεία και οι συναρτήσεις f : U, P είναι χρονικά ανεξάρτητες Έστω PS : μία κατά τμήματα αναγωγική συνάρτηση και N U τέτοιο ώστε το εσωτερικό του συνόλου M : PS( z [,] ) z, PS ( z [,] ) N είναι ένα συνεκτικό σύνολο το οποίο περιλαμβάνει την αρχή Έστω μία αυθαίρετη νόρμα στο και έστω D : PS(] d, d [ x] d, d [ x x] d, d [) ένα σύνολο του οποίου η κλειστότητα περιλαμβάνεται στο εσωτερικό του M, και είτε D ή d i και d i ακέραιοι τέτοιοι ώστε d i και d i για κάθε i,,, Υποθέτουμε ότι οι συνιστώσες των f : P, έχουν μερικές παραγώγους δευτέρου βαθμού οι οποίες είναι φραγμένες στο M \ D Το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού LP({ f : P}, N, PS, D, ) μπορεί να κατασκευαστεί με τον ακόλουθο τρόπο: (i) Ορίζουμε τα σύνολα Ga : { x : x PS( ) ( M \ D )} και : { x : x PS( ) M } 9

110 (ii) Ορίζουμε για κάθε Perm[{,,, }] και κάθε i,,, το διάνυσμα x : e (iii) Ορίζουμε το σύνολο Z a : i j i ( j) Z z J B PS R z M D : {(, ) ({,,, }) : ( J ( [,] a )) \ } (iv) Για κάθε ( z, J) Z a, κάθε Perm[{,,, }] και κάθε i,,, θέτουμε ( z, J ) J y, i : PS( R ( z x i )) (v) Ορίζουμε το σύνολο ( z, J ) ( z, J ) : {{ y, y }: Perm[{,,, }], ( z, J) Z, k {,,, }} a, k, k a (vi) Για κάθε P, κάθε ( z, J) Z a, και κάθε r, s,,, έστω μία σταθερά (, ) B zj,rs με πραγματικές τιμές, τέτοια ώστε ( zj, ) i, B,rs max su ( x) i,,, x PS J ( R ( z [,] )) xr xs (vii) Για κάθε ( z, J) Z a, κάθε i, k,,,, και κάθε Perm[{,,, }], ορίζουμε A : e ( y y ) ( z, J ) ( z, J ) ( z, J ), k, i k, i, (viii) Ορίζουμε τη σταθερά mi, M : mi{ x : x PS( ) M }, όπου M το σύνορο του συνόλου M (ix) Για κάθε P, κάθε ( z, J) Z a, και κάθε i,,, θέτουμε ( z, J ) ( z, J ) ( z, J ) ( z, J ) ( z, J ) E : B A ( A A ),, i, rs, r, i, s, i, s, rs, (x) Έστω δύο αυθαίρετες σταθερές Οι μεταβλητές του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού είναι:, [ y ], για κάθε y, [ y ], για κάθε y, V [ x ], για κάθε x G, C [{ x, y }], για κάθε { xy, } Οι γραμμικοί περιορισμοί του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού είναι: (LCa) Έστω y, y,, y τα στοιχεία του σε αύξουσα σειρά Τότε, [ y] [ y ], ey [ y ], και για κάθε i,,, K : ey [ y ], f

111 (LCa) Για κάθε x G : Αν D, τότε: [ yi ] [ yi ] [ yi ] [ yi ], yi yi yi yi [ yi ] [ yi ] [ yi ] [ yi ] y y y y i i i i [ x ] V [ x ] V [] Αν D, τότε για κάθε x PS( ) D : V [ x] [ x ] a a mi, M Ακόμη, αν D, τότε για κάθε i,,, : (LC3a) Για κάθε { xy, } : V [ PS ( d ) e ] PS ( d ), a i i i a i i V [ PS ( d ) e ] PS ( d ) a i i i a i i Ca[{ x, y}] x y Va[ x] Va[ y] Ca[{ x, y}] x y a x y (LC4a) Για κάθε P, κάθε ( z, J) Z a, κάθε Perm[{,,, }] και κάθε i,,, : a [ y ] ( zj, ), i V [ y ] V [ y ] ( ( ) [{, }]) ( z, J ) ( z, J ) a, j a, j ( z, J ) ( z, J ) ( z, J ) ( z, J ) f (, ) (, ), ( j) y, i E,, ica y, j y z J z J, j j e ( j) ( y, j y, j ) Αν οι συναρτήσεις f : P στον ορισμό 8 είναι γραμμικές, τότε προφανώς μπορούμε να θέσουμε B : ( zj, ),rs για κάθε P, κάθε ( z, J) Z a και κάθε r, s,,,, και τότε οι «όροι της εκτίμησης σφάλματος» (, ) E zj,,i είναι όλοι μηδέν Τα γραμμικά προβλήματα είναι έτσι τα πιο εύκολα στη λύση τους χρησιμοποιώντας γραμμικό προγραμματισμό διότι μπορούμε να αφήσουμε έξω από το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού τις μεταβλητές C[{ x, y }] και τους περιορισμούς (LC3) Αν το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού LP({ f : P}, N, PS, D, ) του ορισμού 8 έχει μία εφικτή λύση, τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτή τη λύση για να παραμετροποιήσουμε τη χρονικά ανεξάρτητη CPWA συνάρτηση uv για το αυτόνομο διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5, το οποίο χρησιμοποιήθηκε για την κατασκευή του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού Ο ορισμός της παραμετροποιημένης CPWA συνάρτησης uv στην αυτόνομη περίπτωση είναι στην ουσία ταυτόσημος με τον ορισμό στη μη αυτόνομη περίπτωση Ορισμός 83 Ας υποθέσουμε ότι, [ y ], για κάθε y,

112 [ y ], για κάθε y, V [ x ], για κάθε x G, C [{ x, y }], για κάθε { xy, } είναι μία εφικτή λύση στο LP({ f : P}, N, PS, D, ) του Ορισμού 8 Τότε ορίζουμε τη συνάρτηση V a από την Va CPWA[ PS, PS ( M \ D )] και Va ( x) : Va[ x ], για κάθε x G a Επίσης, ορίζουμε τη συνάρτηση από τις αριθμητικές τιμές των μεταβλητών [ y ] και την συνάρτηση από τις αριθμητικές τιμές των μεταβλητών [ y ], όπως ακριβώς ορίσαμε στην ενότητα 83 τις συναρτήσεις και από τις αριθμητικές τιμές των μεταβλητών [ y ] και [ y ] αντίστοιχα Στο επόμενο θεώρημα αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση V a του παραπάνω ορισμού είναι μία συνάρτηση uv για το αυτόνομο διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5, η οποία είναι ισοδύναμη με μία χρονικά ανεξάρτητη συνάρτηση uv, παραμετροποιημένη από το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού LP({ f : P}, N, PS, t, D, ) Θεώρημα 84 Ας θεωρήσουμε το διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5, όπου το σύνολο P είναι πεπερασμένο Έστω T, T σταθερές τέτοιες ώστε T T και έστω PS : μία κατά τμήματα αναγωγική συνάρτηση και N U τέτοιο ώστε το εσωτερικό του συνόλου M : PS( z [,] ) z, PS ( z [,] ) N είναι ένα συνεκτικό σύνολο το οποίο περιλαμβάνει την αρχή Έστω μία αυθαίρετη νόρμα στο και έστω D : PS(] d, d [ x] d, d [ x x] d, d [) ένα σύνολο του οποίου η κλειστότητα περιλαμβάνεται στο εσωτερικό του M, και είτε D ή d i και d i ακέραιοι τέτοιοι ώστε d i και d i για κάθε M i,,, Τέλος, έστω t : ( t, t,, t M ), M ένα διάνυσμα τέτοιο ώστε T : t t tm : T Ας υποθέσουμε ότι το διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5 είναι αυτόνομο, δηλαδή οι συναρτήσεις f : P είναι χρονικά ανεξάρτητες, και έστω ότι οι δευτέρου βαθμού μερικές παράγωγοι είναι φραγμένες στο M \ D Τότε το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού LP({ f : P}, N, PS, t, D, ) του Ορισμού 88 με τους επιπλέον περιορισμούς: (LC-A) Για κάθε x, y G τέτοιο ώστε x y : V[ x] V[ y ] Για κάθε { xy, } τέτοιο ώστε x y : C[{ x, y }]

113 Είναι ισοδύναμο με το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού LP({ f : P}, N, PS, t, D, ) του Ορισμού 8, με την εξής έννοια: (i) Aν V είναι μία συνάρτηση uv, όπως στον Ορισμό 83, ορισμένη από μία εφικτή λύση στο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού LP({ f : P}, N, PS, t, D, ) του Ορισμού 88, η οποία επιπλέον ικανοποιεί τους περιορισμούς (LC-A), τότε η V δεν εξαρτάται από το t και μπορούμε να παραμετροποιήσουμε μία συνάρτηση uv W με το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού LP({ f : P}, N, PS, D, ) του Ορισμού 8, έτσι ώστε W ( x) V ( T, x ), για κάθε x M \ D (ii) Aν W είναι μία συνάρτηση uv, ορισμένη όπως η συνάρτηση V στον Ορισμό 83, από μία εφικτή λύση στο πρόβλημα γραμμικού a προγραμματισμού LP({ f : P}, N, PS, D, ) του Ορισμού 8, τότε μπορούμε να παραμετροποιήσουμε μία συνάρτηση uv V με τη χρήση του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού του Ορισμού 88 LP({ f : P}, N, PS, t, D, ) με επιπλέον περιορισμούς (LC-A), έτσι ώστε: V ( t, x) W ( x ), για κάθε t [ T, T ] και κάθε x M \ D Και στις δύο περιπτώσεις μπορεί κάποιος να χρησιμοποιήσει τις ίδιες αριθμητικές τιμές για τα φράγματα (, ) B zj,rs στις δευτέρου βαθμού μερικές διαφορικές εξισώσεις των συνιστωσών των συναρτήσεων f : P, και για τις σταθερές και Μία άμεση συνέπεια του Θεωρήματος 84 είναι ένα θεώρημα, παρόμοιο με το 89 αλλά για αυτόνομα συτήματα με χρονικά ανεξάρτητες CPWA συναρτήσεις uv Θεώρημα 85 (Αυτόνομες CPWA συναρτήσεις uv με χρήση γραμμικού προγραμματισμού) Έστω το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού LP({ f : P}, N, PS, D, ) του Ορισμού 8, και έστω ότι αυτό έχει μία εφικτή λύση Έστω οι συναρτήσεις, και V a, όπως ορίσθηκαν στον Ορισμό 83, από τις αριθμητικές τιμές των μεταβλητών [ y ], [ y ], και V [ x ] μίας εφικτής λύσης Τότε η ανισότητα a ( x ) V ( t, x ) ισχύει για κάθε x M \ D Αν D έχουμε, a() Va ( t,) Αν D, έχουμε για : mi V V ( ) M,mi a x, ότι: x M V : max V ( x ), a D,max x D, V V a D,max M,mi 3

114 Επιπλέον, αν η λύση του διακοπτικού συστήματος του Ορισμού 5, το οποίο χρησιμοποιούμε για την κατασκευή του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού, τότε ισχύει η ανισότητα V ( ( t h, )) V ( ( t, )) a( ( t, ) ) lim su h h για κάθε S και κάθε στο εσωτερικό του διαστήματος M \ D Θα κλείσουμε αυτή την ενότητα με ένα θεώρημα ισοδύναμο του θεωρήματος 8 για αυτόνομα συτήματα με χρονικά ανεξάρτητες CPWA συναρτήσεις uv, που παραμετροποιούνται από το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού του Ορισμού 8 LP({ f : P}, N, PS, D, ) Το θεώρημα αυτό εκφράζει κάποιες ιδιότητες ευστάθειας που θα πρέπει να έχει ένα τέτοιο σύστημα Θεώρημα 86 (Συνέπειες της συνάρτησης uv V a ) Έστω ότι ισχύουν οι υποθέσεις και οι ορισμοί του θεωρήματος 85 και έστω επίσης ότι η νόρμα στο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού LP({ f : P}, N, PS, D, ) είναι μία k-νόρμα, k Ορίζουμε το σύνολο T με T : {} αν D και και το σύνολο A : T : D { x M \ D: V ( x) V }, αν D a D,max A: { x M \ D: V ( x) V } a M,mi Θέτουμε q : k( k ) αν k, q : αν k, και q : αν k και ορίζουμε τη σταθερά E : e Τότε ισχύουν οι παρακάτω προτάσεις: (iv) Αν T, τότε ( t, ) T για κάθε S και κάθε t (v) Αν M \ D, η ανισότητα q i a Va ( ( t, )) Va ( )ex( t) E ισχύει για κάθε t τέτοιο ώστε ( t, ) M \ D για κάθε t t (vi) Αν A\ T και D, τότε η ανισότητα a Va ( ( t, )) Va ( )ex( t) E i ισχύει για κάθε t και κάθε S Αν A\ T και D, τότε για κάθε S υπάρχει ένα κάθε t, τέτοιο ώστε η παραπάνω ανισότητα να ισχύει για κάθε t t, ( t, ) T και ( t, ) T για κάθε t t q q q 4

115 Κεφάλαιο 9: Αντίστροφο θεώρημα για διακοπτικά συστήματα Έχουμε δείξει ότι η ύπαρξη μίας συνάρτησης uv για το διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5 είναι μία ικανή συνθήκη για την ομοιόμορφα ασυμπτωτική ευστάθεια του σημείου ισορροπίας στην αρχή Σε αυτή την ενότητα αποδεικνύουμε το αντίστροφο, δηλαδή αν η αρχή είναι ένα ομοιόμορφα ασυμπτωτικά ευσταθές σημείο ισορροπίας του διακοπτικού συστήματος του Ορισμού 5, τότε υπάρχει μία συνάρτηση uv για αυτό το σύστημα Παρακάτω, στην ενότητα θα παρουσιάσουμε ένα αλγόριθμο, ο οποίος πετυχαίνει πάντα να κατασκευάσει μία συνάρτηση uv για ένα διακοπτικό σύστημα, αν το σύστημα έχει μία συνάρτηση uv της οποίας οι δευτέρου βαθμού παράγωγοι φράσσονται σε όλα τα συμπαγή υποσύνολα του χώρουκαταστάσεων τα οποία δεν περιλαμβάνουν την αρχή Σε αυτή την ενότητα αποδεικνύουμε ένα αντίστροφο θεώρημα για ομοιόμορφα ασυμπτωτική ευστάθεια του σημείου ισορροπίας ενός τυχαίου διακοπτικού συστήματος, όπου οι συναρτήσεις f, P, των συστημάτων x f ( t, x ), ικανοποιούν τη συνήθη συνθήκη Lischitz: υπάρχει μία σταθερά L τέτοια ώστε f ( s, x) f ( t, y) L( s t x y ) για κάθε P, κάθε st,, και κάθε x, y B Για να κατασκευάσουμε μία, R συνάρτηση uv, η οποία είναι Lischitz μόνο στο χώρο-καταστάσεων, αρκεί να δείξουμε ότι οι συναρτήσεις f, P ικανοποιούν τη συνήθη συνθήκη Lischitz: f ( t, x) f ( t, y) Lx x y (9) για κάθε P, κάθε t, και κάθε x, y B, R 9 Ένα αντίστροφο θεώρημα για τυχαία διακοπτικά συστήματα Ορισμός 9 (Οι συναρτήσεις W και W ) Ας υποθέσουμε ότι η αρχή είναι ένα ομοιόμορφα ασυμπτωτικά ευσταθές σημείο ισορροπίας του διακοπτικού συστήματος του Ορισμού 5 στη μπάλα B U,,R όπου είναι μία νόρμα στο και R, και έστω KL έτσι ώστε ( t, t, ) (, t t ), για κάθε s S P, κάθε B, και κάθε t t,r Ας υποθέσουμε επίσης, ότι υπάρχει μία σταθερά L για τις συναρτήσεις f ( t, x) f ( t, y) L x y f, τέτοια ώστε για κάθε P, κάθε t, και κάθε x, y B Από ένα λήμμα του Massera,, R υπάρχει μία συνάρτηση διαφορίσιμη στο, g C ( ), τέτοια ώστε, g g K, g είναι απείρως g( ( R, )) d, και g ( ( R, )) e L d 5

116 (i) Για κάθε s S P ορίζουμε τη συνάρτηση W για κάθε t και κάθε B,R από: W ( t, ) : g( (, t, ) ) d t (ii) Ορίζουμε τη συνάρτηση W για κάθε t και κάθε B από:,r W( t, ) : su W ( t, ) S Να σημειώσουμε ότι αν το διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5 είναι αυτόνομο, τότε η συνάρτηση W δεν εξαρτάται από το t, δηλαδή είναι χρονικά αμετάβλητη Θα αποδείξουμε στο επόμενο θεώρημα ότι η συνάρτηση W είναι μία συνάρτηση uv για το διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5 Θεώρημα 9 (αντίστροφο θεώρημα για διακοπτικά συστήματα) Η συνάρτηση W του Ορισμού 9 είναι μία συνάρτηση uv για το διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5 Επίσης, υπάρχει μία σταθερά L W τέτοια ώστε W( t, ) W( t, ) L W (9) για κάθε t και κάθε, B, όπου είναι μία νόρμα στο, R και R Λήμμα 93 Η συνάρτηση W του Ορισμού 9 ικανοποιεί για κάθε t s, κάθε, B και, R κάθε όπου s Ακόμη, S την ανισότητα P t W( t, ) W( s, ) C ( t, s, ) g( (, s, ) ) d (93) s για κάθε t και κάθε, B, R C : g ( ( R, )) e L d W( t, ) W( t, ) C (94) Η νόρμα, οι σταθερές RL, και οι συναρτήσεις στον Ορισμό 9, g είναι ίδιες με αυτές Ερχόμαστε τώρα στο βασικό θεώρημα αυτής της ενότητας, που με βάση τους παραπάνω ορισμούς και θεωρήματα, εξασφαλίζει ένα αντίστροφο θεώρημα για συνάρτηση uv για ένα ομοιόμορφα ασυμπτωτικά ευσταθές σημείο ισορροπίας του διακοπτικού συστήματος του Ορισμού 5 Θεώρημα 94 (ομαλό αντίστροφο θεώρημα για διακοπτικά συστήματα) Ας υποθέσουμε ότι η αρχή είναι ένα ομοιόμορφα ασυμπτωτικά ευσταθές σημείο ισορροπίας του διακοπτικού συστήματος του Ορισμού 5 στη μπάλα B U, όπου είναι μία νόρμα στο και R Ας υποθέσουμε ότι οι,r συναρτήσεις f, P, ικανοποιούν τη συνήθη συνθήκη Lischitz: υπάρχει μία σταθερά L τέτοια ώστε 6

117 f ( s, x) f ( t, y) L( s t x y ) (95) για κάθε st,, κάθε x, y B, και κάθε, R P Τότε για κάθε R R, υπάρχει μία συνάρτηση uv V B για το διακοπτικό σύστημα, η οποία είναι απείρως διαφορίσιμη :, R σε κάθε σημείο ( t, x) B, x, R Ακόμη, αν το διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5 είναι αυτόνομο, τότε υπάρχει μία χρονικά ανεξάρτητη συνάρτηση uv V : B για το, R σύστημα, η οποία είναι απείρως διαφορίσιμη σε κάθε σημείο x B, x,r 7

118 Κεφάλαιο : Αντίστροφα θεωρήματα κατασκευής Σε αυτή την ενότητα θα συνδυάσουμε τα αποτελέσματα του Θεωρήματος 94 και του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού του Ορισμού 88, για να αποδείξουμε ένα αντίστροφο θεώρημα για κατασκευή μίας συνάρτησης uv Πρώτα θα ασχοληθούμε με τη γενική περίπτωση και στη συνέχεια θα ασχοληθούμε με αυτόνομα διακοπτικά συστήματα και θα αποδείξουμε ότι σε αυτή την περίπτωση, μπορούμε να παραμετροποιήσουμε μία χρονικά ανεξάρτητη συνάρτηση uv με τη χρήση του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού του Ορισμού 8 Οι υποθέσεις Ας θεωρήσουμε το διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5 και ας υποθέσουμε ότι το σύνολο P είναι πεπερασμένο και ότι f είναι μία [ C ( U)] -συνάρτηση για κάθε P Επιπλέον, ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ένα τέτοιο ώστε [, ] U και έστω W C ( ([, ] \{})) μία συνάρτηση uv για το διακοπτικό σύστημα Από το Θεώρημα 94, αυτή είναι για παράδειγμα η περίπτωση αν η αρχή είναι ένα ομοιόμορφα ασυμπτωτικά ευσταθές σημείο ισορροπίας του διακοπτικού συστήματος Ορισμού 5, [, ] είναι ένα υποσύνολο του ελκτικού συνόλου, και όλες οι συναρτήσεις f ικανοποιούν τη συνθήκη Lischitz: για κάθε P υπάρχει μία σταθερά L τέτοια ώστε f ( t, x) f ( s, y) L( s t x y ), για κάθε st,, κάθε xy, [, ] Από τον Ορισμό υπάρχουν, για μία αυθαίρετη νόρμα συναρτήσεις,, που ανήκουν στην κλάση K, τέτοιες ώστε ( x ) W( t, x) ( x ) και W [ xw ]( t, x) f ( t, x) ( t, x) ( x ) () t για κάθε ( tx, ) (], [ \{}) και κάθε P Χωρίς απώλεια της γενικότητας υποθέτουμε ότι οι συναρτήσεις, είναι κυρτές Τώρα, έστω δύο αυθαίρετες σταθερές T T και έστω D [, ] μία αυθαίρετη γειτονιά της αρχής Μπορούμε να πάρουμε το σύνολο D όσο μικρό θέλουμε Θα αποδείξουμε ότι μπορούμε να παραμετροποιήσουμε μία CPWA συνάρτηση uv στο σύνολο [ T, T ] ([, ] \ D ) Θα ξεκινήσουμε με την ανάθεση τιμών στις σταθερές και μεταβλητές του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού LP({ f : P},], [, PS, t, D, ) του ορισμού 88 στο, 8

119 Οι αναθέσεις Θα καθορίσουμε πρώτα μία σταθερά B η οποία είναι ένα άνω φράγμα για όλες τις μερικές παραγώγους δευτέρου βαθμού των συνιστώσεων των συναρτήσεων f, P Δηλαδή για x : ( x, x,, x) : ( t, x ) και f ( x) : [f ( x),f ( x),f ( x),,f ( x)],,,, χρειαζόμαστε μία σταθερά B έτσι ώστε [,f ( t, x),f ( t, x),,f ( t, x)],,, i, B max ( x) P, i, r, s,,,, x [ T, T ] ([, ] xr xs Θα πρέπει, τουλάχιστον επί της αρχής, να μπορούμε να αναθέσουμε μία αριθμητική τιμή στη σταθερά B Αυτό είναι σε αντίθεση με τις υπόλοιπες σταθερές και μεταβλητές, όπου μόνο η γνώση της ύπαρξης των κατάλληλων τιμών είναι αρκετή Ωστόσο, επειδή η σταθερά B είναι ένα αυθαίρετο άνω φράγμα για όλες τις μερικές παραγώγους δευτέρου βαθμού των συνιστώσεων των συναρτήσεων f στο συμπαγές σύνολο [ T, T ] [, ], δεν θα υπάρξει δυσκολία αν η αλγεβρική μορφή των συνιστωσών είναι γνωστή Μπορεί να φαίνεται παράξενο ότι μόνο η ύπαρξη των κατάλληλων τιμών ανάθεσης στις υπόλοιπες μεταβλητές είναι αρκετή σε ένα κατασκευαστικό θεώρημα Όπως θα δείξουμε όμως παρακάτω, αν αυτές υπάρχουν τότε ο αλγόριθμος άπλοκου, για παράδειγμα, μπορεί επιτυχώς να καθορίσει έγκυρες τιμές για αυτές Για x : mi mi x x θέτουμε ( xmi ) : και έστω m ένας αυστηρά θετικός ακέραιος, τέτοιος ώστε και θέτουμε [, ] { x : ( x ) } D () m m D : ], [ m m Να σημειώσουμε ότι δε γνωρίζουμε τις αριθμητικές τιμές των σταθερών και m διότι οι, είναι άγνωστοι Παρόλα αυτά, και μόνο η ύπαρξή τους μας επιτρέπει να καθορίσουμε τις σταθερές και m Θέτουμε m x : xmi, : ( x ), A su f ( x ) P, x [ T, T ] [, ] Ορίζουμε W( x) : W( t, x ), όπου x : ( t, x ), και αναθέτουμε f 9

120 W C: max ( x), r,,,, x [ T, T ] ([, ] \ D) x 3 W B : ( ) max ( x), r, s,,,, x [ T, T ] ([, ] \ D) x x 3 C ( ) CB Θέτουμε : max{ T T, } και έστω m m ένας ακέραιος, τέτοιος ώστε ( ) 4 A B x C A B m C και θέτουμε d : m m Ορίζουμε την κατά τμήματα αναγωγική συνάρτηση PS : μέσω της m PS( j, j,,, j ) : a ( j, j,,, j ) για κάθε ( j, j,,, j ) και το διάνυσμα t : ( t, t,, t m ), όπου m t : T j( T T ) j για κάθε j,,, m Ορίζουμε τις παρακάτω τιμές στις μεταβλητές και στις υπόλοιπες σταθερές του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού LP({ f : P}, N, PS, t, D, ) : B : ( zj, ),rs B, για κάθε P, κάθε ( z, J ) Z και κάθε r, s,,,, [ y]: ( y ), για κάθε y, [ y]: ( y ), για κάθε y, V[ x]: W( x ), για κάθε x G, C[{ x, y}]: C, για κάθε { xy, }, m m : max{ C, a max ( a e i )} i,,, : mi{, ( y) / y }, όπου y : mi{ y : y και y } Αποδεικνύεται εύκολα ότι οι γραμμικοί περιορισμοί (LC), (LC), (LC3), και (LC4) του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού LP({ f : P}, N, PS, t, D, ) ικανοποιούνται από τις παραπάνω τιμές r r s 3 Περίληψη αποτελεσμάτων Θεώρημα (Αντίστροφο θεώρημα κατασκευής για αυθαίρετο διακοπτικό σύστημα) Ας θεωρήσουμε το διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5, όπου το σύνολο P είναι πεπερασμένο και έστω μία σταθερά που παίρνει μόνο πραγματικές τιμές έτσι ώστε [, ] U, και έστω ότι ισχύει τουλάχιστον μία από τις δύο παρακάτω υποθέσεις: Υπάρχει μία συνάρτηση uv W C ( ([, ] \{})) για το διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5

121 Η αρχή είναι ένα ομοιόμορφα ασυμπτωτικά ευσταθές σημείο ισορροπίας του διακοπτικού συστήματος του Ορισμού 5, το σύνολο [, ] είναι ένα υποσύνολο του ελκτικού συνόλου, και όλες οι συναρτήσεις f ικανοποιούν τη συνθήκη Lischitz: για κάθε P υπάρχει μία σταθερά L τέτοια ώστε f ( s, x) f ( t, y) L( s t x y ), για κάθε st,, κάθε xy, [, ] Τότε, για κάθε δύο σταθερές T T και κάθε γειτονιά N [, ] της αρχής, όσο μικρή και αν είναι αυτή, είναι δυνατό να παραμετροποιήσουμε μία συνάρτηση uv V κλάσης CPWA V :[ T, T ] ([, ] \ N ), για το διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5, χρησιμοποιώντας το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού του Ορισμού 88 Πιο συγκεκριμμένα: Έστω m μία θετική σταθερά και ας ορίσουμε την κατά τμήματα αναγωγική συνάρτηση PS :, το σύνολο D και το διάνυσμα t μέσω των: PS( j, j,,, j ) : m a ( j, j,,, j ), k k D: ], [ N, m m για κάποιο ακέραιο k m, και m t : ( t, t,, t M ), όπου ti : T j( T T ) για κάθε j,,, m Τότε το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού του ορισμού 88 LP({ f : P},[, ], PS, t, D, ) έχει μία εφικτή λύση, αν η σταθερά m είναι αρκετά μεγάλη Οι συνθήκες είναι παρόμοιες και για την περίπτωση που το διακοπτικό σύστημα του Ορισμου 5 είναι αυτόνομο Θεώρημα (Αντίστροφο θεώρημα κατασκευής για αυτόνομο διακοπτικό σύστημα) Ας θεωρήσουμε το διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5, όπου το σύνολο P είναι πεπερασμένο και έστω ότι το σύστημα είναι αυτόνομο Έστω μία σταθερά που παίρνει μόνο πραγματικές τιμές έτσι ώστε [, ] U, και έστω ότι ισχύει τουλάχιστον μία από τις δύο παρακάτω υποθέσεις: Υπάρχει μία συνάρτηση uv W C ([, ] \{}) για το διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5 Η αρχή είναι ένα ομοιόμορφα ασυμπτωτικά ευσταθές σημείο ισορροπίας του διακοπτικού συστήματος του Ορισμού 5, το σύνολο [, ] είναι ένα υποσύνολο του ελκτικού συνόλου, και όλες οι συναρτήσεις f ικανοποιούν τη συνθήκη Lischitz: για κάθε P υπάρχει μία σταθερά L τέτοια ώστε για κάθε xy, [, ] f ( x) f ( y) L x y,

122 Τότε, για κάθε γειτονιά N [, ] της αρχής, όσο μικρή και αν είναι αυτή, είναι δυνατό να παραμετροποιήσουμε μία χρονικά ανεξάρτητη συνάρτηση uv V κλάσης CPWA V :[, ] \ N, για το διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5, χρησιμοποιώντας το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού του Ορισμού 8 Πιο συγκεκριμμένα: Έστω m μία θετική σταθερά και ας ορίσουμε την κατά τμήματα αναγωγική συνάρτηση PS :, και το σύνολο D του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού μέσω των: m PS( j, j,,, j ) : a ( j, j,,, j ), k k D: ], [ N, m m για κάποιο ακέραιο k m Τότε το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού του ορισμού 8 LP({ f : P},[, ], PS, D, ) έχει μία εφικτή λύση, αν η σταθερά m είναι αρκετά μεγάλη

123 Ένας αλγόριθμος για την κατασκευή συναρτήσεων uv Σε αυτή την ενότητα χρησιμοποιούμε τα αποτελέσματα των Θεωρημάτων και για να αποδείξουμε ότι ο συστηματικός έλεγχος των αρχικών παραμέτρων του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού του Ορισμού 88 στη Διαδικασία είναι ένας αλγόριθμος για την κατασκευή συναρτήσεων uv για το διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5, όποτε μία τέτοια συνάρτηση υπάρχει, και ότι η Διαδικασία είναι ένας αλγόριθμος για την κατασκευή χρονικά ανεξάρτητων συναρτήσεων uv για το διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5 αν το σύστημα είναι αυτόνομο, πάλι όποτε υπάρχει μία συνάρτηση uv Ο αλγόριθμος για την περίπτωση μη αυτόνομου συστήματος Θα ξεκινήσουμε με τον ορισμό μίας διαδικασίας για την κατασκευή συναρτήσεων uv και μετά θα δείξουμε ότι αυτός είναι ένας αλγόριθμος για την κατασκευή συναρτήσεων uv για τυχαία διακοπτικά συστήματα τα οποία έχουν ένα ομοιόμορφα ασυμπτωτικά ευσταθές σημείο ισορροπίας Διαδικασία Ας θεωρήσουμε το διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5, όπου το σύνολο P είναι πεπερασμένο, έστω μία σταθερά έτσι ώστε [, ] U, και έστω N U μία τυχαία γειτονιά της αρχής Ακόμη, έστω T, T δύο σταθερές που παίρνουν πραγματικές τιμές τέτοιες ώστε T T και έστω μία τυχαία νόρμα στο Υποθέτουμε ότι οι συνιστώσες των f : P, έχουν μερικές παραγώγους δευτέρου βαθμού οι οποίες είναι φραγμένες στο [ T, T ] [, ] Πρώτα πρέπει να καθορίσουμε μία σταθερά B τέτοια ώστε i, B max ( x) P, i, r, s,,,, x [ T, T ] ([, ] xr xs Η διαδικασία έχει δύο ακέραιες μεταβλητές οι οποίες πρέπει να αρχικοποιηθούν, τις mn, Η αρχικοποίηση πρέπει να γίνει ως εξής: Θέτουμε N : και αναθέτουμε το μικρότερο δυνατό θετικό ακέραιο στο m, έτσι ώστε ] m, m [ Η διαδικασία αποτελείται από τα εξής βήματα: (i) Όρισε την κατά τμήματα αναγωγική συνάρτηση PS : διάνυσμα t : ( t, t,, t m ) μέσω των PS( j, j,,, j ) : m a ( j, j,,, j ), για κάθε ( j, j,,, j ) και i( T T ) ti : T για κάθε i,,, m m (ii) Για κάθε N,,, N κάνουμε το εξής: Δημιούργησε το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού f N, και το 3

124 N m N m LP({ f : P},[, ], PS, t,], [, ) του Ορισμού 88 και εξέτασε αν έχει μία εφικτή λύση ή όχι Αν ένα από τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού έχει μία εφικτή λύση, τότε πήγαινε στο Βήμα (iii) Αν κανένα από τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού δεν έχει μία εφικτή λύση τότε ανάθεσε m: m και N : N και πήγαινε πίσω στο Βήμα (i) (iii) Χρησιμοποίησε την εφικτή λύση για να παραμετροποιήσεις μία CPWA συνάρτηση uv για το διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5 όπως περιγράψαμε στην Ενότητα 83 Θεώρημα (Η Διαδικασία είναι ένας αλγόριθμος) Ας θεωρήσουμε το διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5, όπου το σύνολο P είναι πεπερασμένο και έστω μία σταθερά έτσι ώστε [, ] U Υποθέτουμε ότι οι συνιστώσες των f : P, έχουν μερικές παραγώγους δευτέρου βαθμού οι οποίες είναι φραγμένες στο [ T, T ] [, ] για κάθε T T Επιπλέον, ας υποθέσουμε ότι ισχύει τουλάχιστον μία από τις παρακάτω δύο υποθέσεις: Υπάρχει μία συνάρτηση uv W C ( ([, ] \{})) για το διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5 Η αρχή είναι ένα ομοιόμορφα ασυμπτωτικά ευσταθές σημείο ισορροπίας του διακοπτικού συστήματος του Ορισμού 5, το σύνολο [, ] είναι ένα υποσύνολο του ελκτικού συνόλου, και όλες οι συναρτήσεις f ικανοποιούν τη συνθήκη Lischitz: για κάθε P υπάρχει μία σταθερά L τέτοια ώστε f ( s, x) f ( t, y) L( s t x y ), για κάθε st,, και κάθε xy, [, ] Τότε, για κάθε δύο σταθερές T T και κάθε γειτονιά N [, ] της αρχής, όσο μικρή και αν είναι αυτή, η Διαδικασία εξασφαλίζει, σε ένα πεπερασμένο αριθμό βημάτων, μία συνάρτηση uv V κλάσης CPWA V :[ T, T ] ([, ] \ N ), για το διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5 Από το Θεώρημα συνεπάγεται ότι είναι πάντα δυνατή, σε ένα πεπερασμένο αριθμό βημάτων, η κατασκευή μίας συνάρτησης uv, όποτε αυτή υπάρχει Ο αλγόριθμος για την περίπτωση αυτόνομου συστήματος Η διαδικασία για την κατασκευή συναρτήσεων uv για αυτόνομα συστήματα είναι παρόμοια με αυτή που δείξαμε παραπάνω για μη αυτόνομα συστήματα Διαδικασία 3 Ας θεωρήσουμε το διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5, όπου το σύνολο P είναι πεπερασμένο, έστω μία σταθερά έτσι ώστε [, ] U, και έστω N U 4

125 μία τυχαία γειτονιά της αρχής Ακόμη, ας υποθέσουμε ότι το σύστημα είναι αυτόνομο και έστω μία τυχαία νόρμα στο Υποθέτουμε ότι οι συνιστώσες των f : P, έχουν μερικές παραγώγους δευτέρου βαθμού οι οποίες είναι φραγμένες στο [, ] Πρώτα πρέπει να καθορίσουμε μία σταθερά B τέτοια ώστε f i, B max ( x) P, i, r, s,,,, x [, ] x x Η διαδικασία έχει δύο ακέραιες μεταβλητές οι οποίες πρέπει να αρχικοποιηθούν, τις mn, Η αρχικοποίηση πρέπει να γίνει ως εξής: Θέτουμε N : και αναθέτουμε το μικρότερο δυνατό θετικό ακέραιο στο m, έτσι ώστε ] m, m [ N Η διαδικασία αποτελείται από τα εξής βήματα: (i) Όρισε την κατά τμήματα αναγωγική συνάρτηση PS :, μέσω της m PS( j, j,,, j) : a ( j, j,,, j ), για κάθε ( j, j,,, j ) (ii) Για κάθε N,,, N κάνουμε το εξής: Πάραγε το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού N m N m LP({ f : P},[, ], PS,], [, ) του Ορισμού 8 και εξέτασε αν έχει μία εφικτή λύση ή όχι Αν ένα από τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού έχει μία εφικτή λύση, τότε πήγαινε στο Βήμα (iii) Αν κανένα από τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού δεν έχει μία εφικτή λύση τότε ανάθεσε m: m και N : N και πήγαινε πίσω στο Βήμα (i) (iii) Χρησιμοποίησε την εφικτή λύση για να παραμετροποιήσεις μία CPWA συνάρτηση uv για το διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5 όπως περιγράψαμε στον Ορισμό 83 Θεώρημα 4 (Η Διαδικασία 3 είναι ένας αλγόριθμος) Ας θεωρήσουμε το διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5, όπου το σύνολο P είναι πεπερασμένο και έστω μία σταθερά έτσι ώστε [, ] U Υποθέτουμε ότι οι συνιστώσες των f : P, έχουν μερικές παραγώγους δευτέρου βαθμού οι οποίες είναι φραγμένες στο [, ] Επιπλέον, ας υποθέσουμε ότι ισχύει τουλάχιστον μία από τις παρακάτω δύο υποθέσεις: Υπάρχει μία χρονικά ανεξάρτητη συνάρτηση uv ([, ] W C \{}) για το διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5 Η αρχή είναι ένα ομοιόμορφα ασυμπτωτικά ευσταθές σημείο ισορροπίας του διακοπτικού συστήματος του Ορισμού 5, το σύνολο [, ] είναι ένα υποσύνολο του ελκτικού συνόλου, και όλες οι συναρτήσεις f ικανοποιούν τη συνθήκη Lischitz: για κάθε P υπάρχει μία σταθερά L τέτοια ώστε f ( x) f ( y) L x y, r s 5

126 για κάθε xy, [, ] Τότε, για κάθε γειτονιά N [, ] της αρχής, όσο μικρή και αν είναι αυτή, η Διαδικασία 3 εξασφαλίζει, σε ένα πεπερασμένο αριθμό βημάτων, μία χρονικά ανεξάρτητη συνάρτηση uv V κλάσης CPWA V :[, ] \ N, για το αυτόνομο διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5 Από το Θεώρημα 4 συνεπάγεται ότι είναι πάντα δυνατή, σε ένα πεπερασμένο αριθμό βημάτων, η κατασκευή μίας χρονικά ανεξάρτητης συνάρτησης uv, για το αυτόνομο διακοπτικό σύστημα του Ορισμού 5, όποτε αυτή υπάρχει 6

127 Παραδείγματα συναρτήσεων uv που παράγονται με γραμμικό προγραμματισμό Σε αυτή την ενότητα δίνουμε κάποια παραδείγματα κατασκευής συναρτήσεων uv με τη χρήση του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού του Ορισμού 88, LP({ f : P}, N, PS, t, D, ) και του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού του Ορισμού 8 LP({ f : P}, N, PS, D, ) Σε όλα τα παραδείγματα θα χρησιμοποιήσουμε την νόρμα : στα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού Ακόμη, θα χρησιμοποιήσουμε τις κατά τμήματα αναγωγικές συναρτήσεις PS, των οποίων οι συντεταγμένες PS είναι όλες περιττές συναρτήσεις, δηλαδή (η i-οστή συντεταγμένη i i PS της PS εξαρτάται μόνο από την i-οστή μεταβλητή x i της x ) PSi ( xi ) PSi ( x i) Επειδή ενδιαφερόμαστε μόνο για τις τιμές μίας κατά τμήματα αναγωγικής συνάρτησης στα συμπαγή υποσύνολα [, ], m, αυτό συνεπάγεται ότι μπορούμε να ορίσουμε μία τέτοια συνάρτηση με το να καθορίσουμε διανύσματα si : ( si,, si,,, s i, m), i,,, Αν πούμε ότι η κατά τμήματα αναγωγική συνάρτηση PS ορίζεται μέσω του διατεταγμένου διανύσματος ( s, s,, s ), τότε εννοούμε ότι PS () : και για κάθε i,,, και κάθε j,,, m έχουμε PSi ( j) : s i, j και PSi ( j) : s i, j Αν πούμε ότι η κατά τμήματα αναγωγική συνάρτηση PS ορίζεται μέσω του διανύσματος s, εννοούμε ότι ορίζεται μέσω του διανύσματος ( s, s,, s ), όπου si : s για κάθε i,,, Ένα αυτόνομο σύστημα Σα πρώτο παράδειγμα της χρήσης του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού του Ορισμού 8 και της Διαδικασίας 3 θεωρούμε το συνεχές σύστημα: όπου x f ( x ), 3 x ( y ) f ( x, y) : 4 x y () ( x ) y Ο Ιακωβιανός πίνακας της f στην αρχή έχει τις ιδιοτιμές και - Έτσι, η αρχή δεν είναι ένα εκθετικά ευσταθές σημείο ισορροπίας Αρχικοποιούμε την Διαδικασία 3 με 8 a : και N : ], [ Επίσης, με x(, ) : ( J zj e PS R ( z e )) και y(, ) : ( J zj e PS R ( z e )), () 7

128 Σχήμα 3 Μία συνάρτηση uv παραγόμενη από τον Αλγόριθμο 3 για το σύστημα Σχήμα 3 Μία συνάρτηση uv για το σύστημα (), παραμετροποιημένη με το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού του Ορισμού 8, με μία μεγαλύτερη περιοχή από τη συνάρτηση uv του Σχήματος 3 8

129 θέτουμε (να σημειώσουμε ότι για τις σταθερές το σύστημα είναι μη διακοπτικό) ( zj, ) B : 6 x ( y ) B ( z, J ) ( z, J ) : 3x ( zj, ) ( zj, ) 6y 8y 3 ( z, J ) ( z, J ) ( zj, ) 3 : ( ( z, J )) ( ( z, J )) B y y B ο δείκτης είναι περιττός διότι ( zj, ), rs, αν y 46, αλλιώς για κάθε ( z, J ) Z στα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού Αυτό είναι πιο αποτελεσματικό από το να χρησιμοποιήσουμε μια σταθερά B μεγαλύτερη από κάθε ( zj, ) B για κάθε ( z, J ) Z και κάθε r, s,,,, rs Η Διαδικασία πετυχαίνει να βρει μία εφικτή λύση στο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού για m 4 και D= Η αντίστοιχη συνάρτηση uv κλάσης CPWA απεικονίζεται στο Σχήμα 3 Χρησιμοποιούμε αυτή τη συνάρτηση uv σαν σημείο εκκίνησης για να παραμετροποιήσουμε μία συνάρτηση uv κλάσης CPWA με μία μεγαλύτερη περιοχή και το καταφέρνουμε για N : [,], D: ] 33,33[ και για PS ορισμένης μέσω του διανύσματος s : (33, 67,, 33, 8, 5, 3, 38, 45, 55, 7, 85, 93,) Η απεικόνιση φαίνεται στο Σχήμα 3 Να σημειώσουμε ότι η περιοχή της συνάρτησης uv στο Σχήμα 3, όπου χρησιμοποιήσαμε τη Διαδικασία 3 για να ψάξουμε τις παραμέτρους του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού του Ορισμού 8, είναι πολύ μικρότερη από την περιοχή της συνάρτησης uv στο Σχήμα 3, όπου χρησιμοποιήσαμε διαδικασία δοκιμής-και-λάθους για να ψάξουμε τις παραμέτρους Αυτό είναι αναμενόμενο! Η δύναμη της Διαδικασίας 3 και του Θεωρήματος 4 είναι ότι μας δίνουν την δυνατότητα να γνωρίζουμε αν ο συστημικός έλεγχος θα έχει επιτυχία αν υπάρχει μία συνάρτηση uv για το σύστημα Ωστόσο, επειδή η Διαδικασία 3 δε θα προσπαθήσει να μεγαλώσει την απόσταση μεταξύ των σημείων του πλέγματος του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού πολύ μακριά από το σημείο ισορροπίας, πρακτικά δεν είναι κατάλληλη να παραμετροποιήσει συναρτήσεις uv με μεγάλες περιοχές Για να παραμετροποιήσουμε συναρτήσεις uv μία διαδικασία δοκιμής-και-λάθους η οποία προσπαθεί πρώτα να παραμετροποιήσει μία συνάρτηση uv σε μία μικρή γειτονιά του σημείου ισορροπίας, και αν τα καταφέρει προσπαθεί στη συνέχεια να μεγαλώσει το πλέγμα με μεγαλύτερα βήματα πλέγματος ακόμη πιο μακριά από το σημείο ισορροπίας, είναι πιο κατάλληλη Στο Σχήμα 33 απεικονίζονται τα σύνολα DT, και Α για τη συγκεκριμμένη συνάρτηση uv Το πιο εσωτερικό τετράγωνο είναι το όριο του D, το πιο εξωτερικό σχήμα ειναι το όριο του συνόλου Α και μεταξύ αυτών απεικονίζεται το όριο του T Κάθε λύση του συστήματος () με αρχική τιμή στο Α θα προσεγγίζει το τετράγωνο [ 33,33] σε πεπερασμένο χρόνο t και θα παραμένει στο σύνολο T για κάθε t t ( zj, ) 9

130 Σχήμα 33 Τα σύνολα το σύστημα () DT, και Α για τη συνάρτηση uv του Σχήματος 3 για Ένα τυχαίο αυτόνομο διακοπτικό σύστημα Ας θεωρήσουμε τα αυτόνομα συστήματα x f ( x ), όπου y f( x, y) : 4 x y( x x ) x f ( x ), όπου y x( x y ) f( x, y) : x y( x y ) (3) (4) 5y x f ( x ), όπου 3 f3( x, y) : x x (5) y(( ) y ) 5 5 Πρώτα, χρησιμοποιήσαμε το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού του Ορισμού 8 για να παραμετροποιήσουμε μία συνάρτηση uv για καθένα από τα συστήματα (3), (4), και (5) ξεχωριστά Ορίζουμε x ( zj, ) και y ( zj, ) όπως στην () και για το σύστημα (3) θέτουμε ( zj, ) B : y y x,, ( z, J ) ( z, J ) ( z, J ) B : x 4 x, B ( zj, ) 3, ( z, J ) ( z, J ) ( zj, ), : Για το σύστημα (4) θέτουμε ( zj, ) B : max{6 x, y },, ( z, J ) ( z, J ) B : max{ x, y }, ( zj, ), ( z, J ) ( z, J ) B : max{ x,6 y }, ( zj, ), ( z, J ) ( z, J ) 3

131 Και για το σύστημα (5) θέτουμε B B B : 8 y 9, : 8 x 9, : 6 y ( zj, ) 3, ( zj, ) ( zj, ) 3, ( zj, ) ( zj, ) 3, ( zj, ) Σχήμα 34 Μία συνάρτηση uv για το σύστημα (3) παραγόμενη από το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού του Ορισμού 8 Σχήμα 35 Μία συνάρτηση uv για το σύστημα (4) παραγόμενη από το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού του Ορισμού 8 3

132 Παραμετροποιήσαμε μία συνάρτηση uv κλάσης CPWA για το σύστημα (3) με τη χρήση του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού του Ορισμού 8 με N : [ 337,337], D:=, και PS ορισμένης από το διάνυσμα s : (96, 36, 569, 695, 99,6,63,36,337) Η συνάρτηση uv απεικονίζεται στο Σχήμα 34 Παραμετροποιήσαμε μία συνάρτηση uv κλάσης CPWA για το σύστημα (4) με τη χρήση του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού του Ορισμού 8 με N : [ 88,88], D:=, και PS ορισμένης από το διάνυσμα s : (88, 394, 497, 639, 8, 745, 794, 86, 88) Η συνάρτηση uv απεικονίζεται στο Σχήμα 35 Παραμετροποιήσαμε μία συνάρτηση uv κλάσης CPWA για το σύστημα (5) με τη χρήση του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού του Ορισμού 8 με N : [ 56,56], D:=],[ και PS ορισμένης από το διάνυσμα s : (, 35, 83, 97, 43, 46, 56) Η συνάρτηση uv απεικονίζεται στο Σχήμα 36 Σχήμα 36 Μία συνάρτηση uv για το σύστημα (5) παραγόμενη από το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού του Ορισμού 8 Τέλος, παραμετροποιήσαμε μία συνάρτηση uv κλάσης CPWA για το διακοπτικό σύστημα x f ( x ), {,,3} (6) όπου οι συναρτήσεις f, f, f 3 είναι προφανώς οι συναρτήσεις από τα συστήματα (3), (4), (5), από τη χρήση του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού του Ορισμού 8 με N : [ 6,6], D:=],[, και PS ορισμένης από το διάνυσμα s : (, 35, 83, 97, 354, 43, 535, 586, 6) Η συνάρτηση uv απεικονίζεται στο Σχήμα 37 3

133 Να σημειώσουμε ότι αυτή η συνάρτηση uv είναι συνάρτηση uv για κάθε σύστημα ξεχωριστά Το ελκτικό σύνολο του σημείου ισορροπίας, που εξασφαλίσθηκε από αυτή την συνάρτηση uv, και το σύνολο D απεικονίζεται στο Σχήμα 38 Κάθε λύση του συστήματος (6) η οποία ξεκινά στο μεγαλύτερο σύνολο θα προσεγγίσει το μικρότερο σύνολο σε πεπερασμένο χρόνο Σχήμα 37 Μία συνάρτηση uv για το τυχαίο διακοπτικό σύστημα (6) παραγόμενη από το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού του Ορισμού 8 3 Ένα σύστημα μεταβλητής δομής Ας θεωρήσουμε τα γραμμικά συστήματα και x A ( x ), όπου A : x A ( x ), όπου A : Εύκολα επιβεβαιώνεται ότι και οι δύο πίνακες A A έχουν τις ιδιοτιμές i Έτσι, από στοιχειώδη θεωρία γραμμικής ευστάθειας και τα δύο συστήματα είναι ασταθή Στο Σχήμα 39 απεικονίζονται οι τροχιές των συστημάτων με την αρχική τιμή (,) Είναι ξεκάθαρο ότι οι νόρμες των λύσεων μεγαλώνουν με το t μακροπρόθεσμα Ωστόσο, είναι το ίδιο ξεκάθαρο ότι η λύση του δεύτερου συστήματος μειώνεται στα σύνολα Q : {( x, x) : x και x } και Q4 : {( x, x) : x και x } και ότι η λύση του πρώτου συστήματος μειώνεται στα σύνολα Q : {( x, x) : x και x } και Q3 : {( x, x) : x και x } 33

134 Σχήμα 38 Το ελκτικό σύνολο του σημείου ισορροπίας, που εξασφαλίσθηκε την συνάρτηση uv του Σχήματος 37 για το διακοπτικό σύστημα Κάθε λύση η οποία ξεκινά στο μεγαλύτερο σύνολο έλκεται ασυμπτωτικά στο μικρότερο σύνολο της αρχής Σχήμα 39 Τροχιές των συστημάτων A ( ) A ( ) ξεκινώντας από το (,) Ας θεωρήσουμε τώρα το σύστημα x A ( x ), {,}, (7) όπου οι πίνακες A A είναι όπως παραπάνω Προφανώς, αυτό το σύστημα δεν είναι ευσταθές για τυχαίο διακοπτικό σύστημα, αλλά αν λάβουμε υπόψη τις τροχιές ( t, ) ( t, ), τέτοιες ώστε 34

135 ( t, ) Q Q, συνεπάγεται ( t ), (8) και 4 ( t, ) Q Q 3, συνεπάγεται ( t ), (9) τότε θα περιμέναμε όλες οι τροχιές που εξετάζουμε να έλκονται ασυμπτωτικά στο σημείο ισορροπίας Το διακοπτικό σύστημα (7), μαζί με τους περιορισμούς (8) και (9), λέγεται ότι είναι ένα σύστημα μεταβλητής δομής (variable structure system) O λόγος είναι ότι η δομή του δεξιού μέλους του συστήματος (7) εξαρτάται από την τρέχουσα κατάσταση στο χώρο-καταστάσεων Είναι απλό να τροποποιήσουμε το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού του Ορισμού 8 για να παραμετροποιήσουμε μία συνάρτηση uv για το σύστημα μεταβλητής δομής Συνήθως, περιλαμβάνουμε τον περιορισμό (LC4a), δηλαδή ( zj, ) [ y ], i V[ y ] V[ y ] ( ( ) [{, }]) ( z, J ) ( z, J ), j, j ( z, J ) ( z, J ) ( z, J ) ( z, J ) ( z, J ) f (, ) (, ), ( j) y, i E,, ic y, j y z J z J, j j e ( j) ( y, j y, j ) για κάθε P, κάθε ( z, J ) Z, κάθε Perm[{,,, }] και κάθε i,,, Σε αυτό το τροποποιημένο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού ωστόσο, αποκλείουμε τους περιορισμούς για κάποιες τιμές των, ( zj, ),, και i Αυτό γίνεται ως εξής: (i) όποτε και είτε J {} ή J {}, δεν περιλαμβάνουμε τους περιορισμούς (LC4a), για αυτές τις συγκεκριμμένες τιμές των, ( zj, ),, και i στο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού (ii) όποτε και είτε J ή J {, }, δεν περιλαμβάνουμε τους περιορισμούς (LC4a), για αυτές τις συγκεκριμμένες τιμές των, ( zj, ),, και i στο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού Παραμετροποιήσαμε μία συνάρτηση uv για το σύστημα μεταβλητής δομής με τη χρήση αυτού του τροποποιημένου προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού, με N : [ 5,5], D:=],[, και PS ορισμένης από το διάνυσμα s : (333, 667,, 33, 66, 4, 4, 79, 57, 39, 65,5) όπως περγράψαμε στη αρχή της ενότητας Η συνάρτηση uv V απεικονίζεται στο Σχήμα 4 Μπορεί κάποιος να αναρωτηθεί, τι πληροφορία μπορούνε να εξάγουμε από αυτή τη συνάρτηση uv V, η οποία έχει παραμετροποιηθεί από το τροποποιημένο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού Ας συμβολίσουμε με τη συνάρτηση που κατασκευάζεται από τις μεταβλητές [ y i ], όπως στον Ορισμό 83 Τότε είναι εύκολο να δούμε ότι για κάθε x ( N \ D) ( Q Q 3) έχουμε: V ( x ha x) V ( x) ( x ) lim su h h και για κάθε έχουμε: x ( N \ D) ( Q Q 4) V ( x ha x) V ( x) ( x ) lim su h h 35

136 Όμως αυτό περιλαμβάνει όλες τις τροχιές του συστήματος (7) οι οποίες συμμορφώνονται με τις απαιτήσεις (8) και (9), έτσι V ( ( t h, )) V ( ( t, )) ( ( t, ) ) lim su h h για κάθε ( t, ) στο εσωτερικό του N \ D και κάθε τροχιά που λαμβάνουμε υπόψη και έτσι η V είναι μία συνάρτηση uv για το σύστημα μεταβλητής δομής Το ελκτικό σύνολο του σημείου ισορροπίας, που εξασφαλίζεται από αυτή τη συνάρτηση uv, απεικονίζεται στο Σχήμα 4 Σχήμα 4 Μία συνάρτηση uv για το σύστημα μεταβλητής δομής (7) παραγόμενη από μία τροποποιημένη μορφή του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού του Ορισμού 8 Σχήμα 4 Το ελκτικό σύνολο του σημείου ισορροπίας, που εξασφαλίζεται από αυτή τη συνάρτηση uv για το σύστημα μεταβλητής δομής Όλες οι λύσεις που ξεκινούν από το μεγαλύτερο σύνολο έλκονται ασυμπτωτικά από το μικρότερο σύνολο της αρχής 36

137 4 Ένα σύστημα μεταβλητής δομής με ολισθαίνοντα σύνολα Ας ορίσουμε τον πίνακα A και το διάνυσμα από τις σχέσεις: A : και : και ας θεωρήσουμε τα συστήματα: x f ( x), όπου f ( ) : x Ax, () x f ( x), όπου f ( x) :, () x f ( x), όπου f ( x) : () 3 3 Οι ιδιοτιμές του πίνακα A στην () είναι και το σημείο ισορροπίας στην αρχή είναι κατά συνέπεια ένα σημείο σέλας του συστήματος και δεν είναι ευσταθές Τα συστήματα () και () δεν έχουν κάποιο σημείο ισορροπίας Σχήμα 4 Μία συνάρτηση uv για το σύστημα μεταβλητής δομής (3) παραγόμενη από μία τροποποιημένη μορφή του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού του Ορισμού 8 Έστω ότι τα σύνολα Q, Q, Q3, Q 4 ορίζονται όπως στο προηγούμενο παράδειγμα και ας θεωρήσουμε το σύστημα μεταβλητής δομής, όπου χρησιμοποιούμε το σύστημα () στα Q, Q 4, το σύστημα () στο Q και το σύστημα () στο Q 3 Από το πεδίο κατεύθυνσης του συστήματος () διαπιστώνουμε ότι ίσως αυτό το σύστημα μεταβλητής δομής είναι ευσταθές, αλλά το πρόβλημα είναι ότι το σύστημα δεν έχει μία καλώς ορισμένη λύση συμβατή με την έννοια της λύσης, όπως έχουμε γνωρίσει μέχρι τώρα Ο λόγος είναι ότι η τροχιά, που αφήνει για παράδειγμα το σύνολο Q 4 προς το Q, από τις δυναμικές του συστήματος επιστρέφει στο Q προς το Q 4, όπου φυσικά θα επιστρέψει πίσω στο Q Τα σύνολα { x : x }, 37

138 και { x : x } ονομάζονται ολισθαίνοντα σύνολα (slidig mdes) του συστήματος Σχήμα 43 Το ελκτικό σύνολο του σημείου ισορροπίας, που εξασφαλίζεται από τη συνάρτηση uv του Σχήματος 4 για το σύστημα μεταβλητής δομής Όλες οι λύσεις που ξεκινούν από το μεγαλύτερο σύνολο έλκονται ασυμπτωτικά από το μικρότερο σύνολο της αρχής Σχήμα 44 Μία συνάρτηση uv για το σύστημα μεταβλητής δομής (3) παραγόμενη από μία τροποποιημένη μορφή του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού του Ορισμού 8 38

139 Θα χρησιμοποιήσουμε μία απλή τεχνική για να αποδείξουμε την ευστάθεια του συστήματος Θέτουμε h : 5 και ορίζουμε τα σύνολα S : { x : x h και x }, S : { x : x και x h },3 S : { x : x h και x } 3,4 S : { x : x και x h } 4, D : ] h, h [ Θα παράγουμε μία συνάρτηση uv με [ 957,957] σα περιοχή για το σύστημα μεταβλητής δομής ώστε να μπορούμε να θεωρήσουμε το D σα μία μικρή περιοχή της αρχής και τα S i, jνα είναι λεπά φάσματα μεταξύ των Q, Q Παραμετροποιήσαμε μία συνάρτηση uv V για το σύστημα μεταβλητής δομής με τη χρήση ενός τροποποιημένου προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού, με N : [ 957,957], D:= D και PS ορισμένης από το διάνυσμα s : (5,, 5, 63, 5, 9, 37, 55, 957) όπως περιγράψαμε στη αρχή της ενότητας Η τροποποποίηση που χρησιμοποιήσαμε στο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού του Ορισμού 8, που είναι παρόμοια με την τροποποίηση του προηγούμενου παραδείγματος, ήταν να συμπεριλάβουμε τους περιορισμούς (LC4a) στο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού μόνο για κάποια σύνολα των παραμέτρων P, ( z, J ) Z, Perm[{,,, }] και i,,, Ακριβώς για κάθε άπλοκο S, S D, συμπεριλάβαμε τους περιορισμούς (LC4a) για κάθε κορυφή του άπλοκου, αν και μόνο αν: S Q \ ( S S ) και =, Αυτό για τη συνάρτηση uv, 4, S Q \ ( S, S,3) Q4 \ ( S4, S 3,4) και =, S Q3 \ ( S,3 S 3,4) και =3, S ( S, S 4,) και (=, ή =), S ( S,3 S 3,4) και (=, ή =3) V συνεπάγεται, όπου η συνάρτηση K κατασκευάζεται από τις μεταβλητές [ y i ], όπως στον Ορισμό 83, ότι: V) Για κάθε x στο εσωτερικό του συνόλου ( Q S, S4,) \ D έχουμε: V ( x hf( x)) V ( x) ( x ) lim su h h V) Για κάθε x στο εσωτερικό του συνόλου ( Q S, S,3 Q4 S4, S3,4) \ D, έχουμε: V ( x hf( x)) V ( x) ( x ) lim su h h V3) Για κάθε x στο εσωτερικό του συνόλου ( Q3 S,3 S3,4) \ D, έχουμε: V ( x hf3( x)) V ( x) ( x ) lim su h h i j 39

140 Έστω τώρα f, f, f 3 οι συναρτήσεις από τα συστήματα (), (), και () και ας θεωρήσουμε το σύστημα μεταβλητής δομής x f ( x ), {,,3}, (3) με τους παρακάτω περιορισμούς: (i) ( t, ) N \ D και ( t, ) στο εσωτερικό του συνόλου Q \ ( S, S4,) συνεπάγεται ότι ( t ) (ii) ( t, ) N \ D και ( t, ) στο εσωτερικό του συνόλου Q \ ( S, S,3) Q4 \ ( S4, S3,4) συνεπάγεται ότι ( t ) (iii) ( t, ) N \ D και ( t, ) στο εσωτερικό του συνόλου Q3 \ ( S,3 S3,4) συνεπάγεται ότι ( t ) 3 (iv) ( t, ) N \ D και ( t, ) στο εσωτερικό του συνόλου S, S4, συνεπάγεται ότι ( t ) {,} (v) ( t, ) N \ D και ( t, ) στο εσωτερικό του συνόλου S,3 S3,4 συνεπάγεται ότι ( t ) {,3} Θα πρέπει να δούμε τι ακριβώς έχουμε με αυτούς τους περιορισμούς Για παράδειγμα, αν Q \ ( S, S 4,), τότε θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τη δυναμική x Ax μέχρι το t ( t, ) να αφήσει το Q \ ( S, S 4,) Αν μετά για παράδειγμα, ( t, ) S, για κάποιο t, τότε επιτρέπεται κάθε αλλαγή μεταξύ των συστημάτων x Ax και x όσο το t ( t, ) παραμένει στο S, Ωστόσο, αν για παράδειγμα ( t, ) Q \ ( S, S4,) για κάποιο t t, τότε θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το σύστημα x μέχρι να αφήσει το t ( t, ) το Q \ ( S, S 4,) Από τις V, V, και V3 έχουμε για κάθε τροχιά t ( t, ) ότι V ( ( t h, )) V ( ( t, )) ( ( t, ) ) lim su, h h και έτσι η V είναι μία συνάρτηση uv για το σύστημα Η παραμετροποιημένη συνάρτηση uv V για το σύστημα (3) απεικονίζεται στο Σχήμα 4 και το ελκτικό της σύνολο στο Σχήμα 43 Επειδή είναι δύσκολο να αναγνωρίσουμε τη δομή μίας συνάρτησης uv κοντα στην αρχή, μία συνάρτηση uv για το ίδιο σύστημα, αλλά με μικρότερη περιοχή, απεικονίζεται στο Σχήμα 44 5 Ένα μη αυτόνομο διακοπτικό σύστημα μίας διάστασης Ας θεωρήσουμε τα συστήματα μίας διάστασης x f ( t, x), f ( t, x) : x t (4) 4

141 tx x f( t, x), f( t, x) : t (5) Το σύστημα (4) έχει την κλειστής μορφής λύση t ( tt,, ) t και το σύστημα (5) έχει την κλειστής μορφής λύση ( t t ) t ( t, t, ) e t Σχήμα 45 Μία συνάρτηση uv για το μη αυτόνομο σύστημα (4) παραγόμενη από το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού του Ορισμού 88 Κατά συνέπεια η αρχή στο χώρο καταστάσεων, για κάθε συγκεκριμμένο t, είναι ένα ασυμπτωτικά ευσταθές σημείο ισορροπίας του συστήματος (4) και επειδή ( t t ) ( t t ) t e e, t ένα ομοιόμορφα εκθετικά ευσταθές σημείο ισορροπίας του συστήματος (5) Ωστόσο, δεν είναι ένα ομοιόμορφα ασυμπτωτικά ευσταθές σημείο ισορροπίας του συστήματος (4) Αυτό σημαίνει ότι το σύστημα (4) δεν έχει μία συνάρτηση uv η οποία ορίζεται για κάθε t Αυτό βέβαια, δεν συνεπάγεται ότι δε μπορούμε να παραμετροποιήσουμε μία σύναρτηση που να μοιάζει με συνάρτηση uv σε ένα συμπαγές διάστημα για το σύστημα (4) Θέτουμε t : e PS( z ) και ( zj, ) και ορίζουμε τις σταθερές Ορισμού 88 από τις σχέσεις ~ ( zj, ), rs ~ J ( zj, ) x : e PS( R ( z e )), B από το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού του 4

142 B B B ( zj, ) ( zj, ), : 3 ( t( zj, )) ( zj, ), ( t( zj, )) ( zj, ), : : για {, } Παραμετροποιήσαμε μία συνάρτηση uv κλάσης CPWA για το σύστημα (4), το σύστημα (5), και το διακοπτικό σύστημα x f ( t, x ), {,} (6) με τη χρήση του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού, με N [,], D:= ],[ και PS ορισμένης από το διάνυσμα s : (,, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99,) όπως περιγράψαμε στη αρχή της ενότητας, και του διανύσματος t : (, 94, 444, 75,,58,, 58,3,375, 4444,594, 6, x 686,7778,875,9778,86,,394,4444,575,7,858,) Η συνάρτηση uv για το σύστημα (4) απεικονίζεται στο Σχήμα 45, η συνάρτηση uv για το σύστημα (5) απεικονίζεται στο Σχήμα 45, και η συνάρτηση uv για το σύστημα (6) απεικονίζεται στο Σχήμα 46 6 Ένα μη αυτόνομο διακοπτικό σύστημα δύο διαστάσεων Ας θεωρήσουμε τα συστήματα δύο διαστάσεων x y cs( t) x f( t, x), f( t, x, y) : (7) xcs( t) y Θέτουμε x f ( t, x), f ( t, x, y) : ~ J ( zj, ) x : e PS( R ( z e )) και x ysi( t) (8) xsi( t) y ~ J ( zj, ) y : e PS( R ( z e )), ( zj, ) και ορίζουμε τις τιμές στις σταθερές B, rs από το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού του Ορισμού 88 ως εξής: ( zj, ) B : max{ x, y }, B B B B B, ( z, J ) ( z, J ) ( zj, ), ( zj, ), ( zj, ), ( zj, ), ( zj, ), :, :, :, :, : 4

143 για {, } Σχήμα 46 Μία συνάρτηση uv για το μη αυτόνομο σύστημα (5) παραγόμενη από το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού του Ορισμού 88 Παραμετροποιήσαμε μία συνάρτηση uv για το σύστημα (7), το σύστημα (8), και το διακοπτικό σύστημα x f ( t, x ), {,} (9) με τη χρήση του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού, του Ορισμού 88, με ] 55,55[, D:= ],[ και PS ορισμένης από το διάνυσμα s : (,, 33, 44, 55) όπως περιγράψαμε στη αρχή της ενότητας, και του διανύσματος t : (, 35, 75,35, ) Σχήμα 47 Μία συνάρτηση uv για το διακοπτικό μη αυτόνομο σύστημα (6) παραγόμενη από το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού του Ορισμού 88 43

144 Σχήμα 48 Η συνάρτηση ( x, y) V (, x, y ), όπου Vtxy (,, ) είναι η παραμετροποιημένη συνάρτηση uv για το μη αυτόνομο σύστημα (7) Σχήμα 49 Η συνάρτηση ( x, y) V (, x, y ), όπου Vtxy (,, ) είναι η παραμετροποιημένη συνάρτηση uv για το μη αυτόνομο σύστημα (8) 44

145 Σχήμα 5 Η συνάρτηση ( x, y) V (, x, y ), όπου Vtxy (,, ) είναι η παραμετροποιημένη συνάρτηση uv για το μη αυτόνομο σύστημα (9) 45