ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. αντιστοιχίζεται ο αριθµός Χω= ω+ ω δηλαδή ορίζεται η συνάρτηση Χ : Ω µε Χω,ω ω ω Α 3, 2, 2,3, 4,1, 1, 4

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. αντιστοιχίζεται ο αριθµός Χω= ω+ ω δηλαδή ορίζεται η συνάρτηση Χ : Ω µε Χω,ω ω ω Α 3, 2, 2,3, 4,1, 1, 4"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. Η έννοια της τυχαίας µεταβλητής Συχνά αυτό το οποίο παρατηρούµε σε ένα πείραµα τύχης δεν είναι το όποιο αποτέλεσµα ω Ω αλλά µια µαθηµατική ποσότητα Χ εξαρτώµενη από το αποτέλεσµα ω Ω. Ας εξετάσουµε π.χ. το πείραµα τύχης που συνίσταται στη ρίψη δύο ζαριών διαφορετικού χρώµατος µε δ.χ. Ω= {( ω, ω 2 : ω, ω2 οι ενδείξεις των δύο ζαριών αντίστοιχα. Ας υποθέσουµε τώρα ότι αυτό το οποίο ενδιαφέρει δεν είναι οι ενδείξεις ( ω,ω 2 µιας ρίψης αλλά το άθροισµά τους ω. Σ αυτή την περίπτωση στο κάθε ω= ω,ω Ω ω ( 2 = + 2 = { γράφεται και ως {( ω,ω Ω: Χω,ω 5 αντιστοιχίζεται ο αριθµός Χω= ω+ ω δηλαδή ορίζεται η συνάρτηση Χ : Ω µε Χω,ω ω ω Α 3, 2, 2,3, 4,,, 4 2. Έτσι π.χ. το ενδεχόµενο: άθροισµα 5 που είναι το υποσύνολο = και γενικά 2 2 µπορούµε να ειπούµε ότι οι ερωτήσεις µας σχετικά µε ενδεχόµενα µετασχηµατίζονται σε ερωτήσεις σχετικές µε τιµές της συνάρτησης Χ. Τα πλεονεκτήµατα ευελιξίας είναι προφανή αφού οι συναρτήσεις επιδέχονται αριθµητικές πράξεις. Ορισµός. Έστω (Ω, F,Ρ χώρος πιθανότητας. Ονοµάζεται τυχαία µεταβλητή µε τιµές στο µια συνάρτηση :Ω που ικανοποιεί την απαίτηση: B F για κάθε B B (. Παρατήρηση.. Το σύνολο ( B ( B { ω Ω: Χω Β που εµφανίζεται στην (. είναι εξ ορισµού =. Το σύνολο αυτό ονοµάζεται αντίστροφη εικόνα του Β µέσω της Χ και δεν αναφέρεται σε αντίστροφη συνάρτηση αφού δεν γνωρίζουµε αν η Χ αντιστρέφεται. Φαίνεται απαραίτητο να υπενθυµίσουµε µερικές βασικές ιδιότητες Χ Β. του συµβόλου Χ =, Χ ( = Ω Χ ( Α\ Β = Χ ( Α \ Χ ( Β Χ UA = U ( A I I v I A = I ( A. I I Παρατήρηση.2. Όπως ειπώθηκε ήδη, ερωτήσεις αναφερόµενες στο εξεταζόµενο πείραµα µπορούν να διατυπωθούν ως ερωτήσεις σχετικά µε τις τιµές της Χ π.χ. ποια είναι η πιθανότητα ώστε οι τιµές της Χ να βρίσκονται σε δοσµένο υποσύνολο B B του ; Πρόκειται προφανώς για την πιθανότητα του υποσυνόλου ω Ω: Χω Β= { ( Β του Ω και για να έχει νόηµα η ερώτηση πρέπει το Χ ( Β Χ η απαίτηση (. του ορισµού της τυχαίας µεταβλητής. F. Έτσι εξηγείται 3

2 Αναζητώντας κάποια «οικονοµικότερη» απαίτηση από την (. για να ελέγξουµε αν µια συνάρτηση :Ω είναι τ.µ. έχουµε την παρακάτω Πρόταση. Πρόταση.. Έστω (Ω, F,Ρ χ.π. και συνάρτηση :Ω. Έστω C µια µη κενή κλάση υποσυνόλων του τέτοια ώστε B = σ C (π.χ. C= P. Η συνάρτηση Χ είναι τυχαία µεταβλητή όταν και µόνο όταν ισχύει ( A F για κάθε A C. (.2 Αρκεί να δείξουµε ότι αν ισχύει η (.2 τότε η Χ είναι τ.µ. Προς τούτο θεωρούµε την κλάση υποσυνόλων του { B : ( B A = F. Αφού ισχύει η (.2 θα έχουµε ότι C A. Θα δείξουµε τώρα ότι η κλάση A είναι σ-άλγεβρα υποσυνόλων του. Πράγµατι A διότι ( = Ω F. Επίσης αν τότε B F και αφού η F είναι σ-άλγεβρα (υποσυνόλων του Ω θα είναι B A ( ( B c ( B c F δηλαδή c c F. Όµως ( B = B A (δες Παρατ.. και άρα c B A. Τέλος θεωρούµε ακολουθία υποσυνόλων { B : από την. Τότε B F για κάθε και αφού η F είναι σ-άλγεβρα θα είναι και U ( B F. Όµως ισχύει U B = UB άρα UB A. Ώ- = = = = στε η κλάση A είναι σ-άλγεβρα που περιέχει την κλάση C και συνεπώς A σ C = B. 5 Πρόταση.2. Η συνάρτηση :Ω είναι τ.µ. όταν και µόνο όταν ισχύει: ω Ω: Χω t F για κάθε t. (.3 Για οποιαδήποτε a< b στο αφού η Ώστε { (( a,b] = ((,b ] \(,a] = ((,b]\ ((,a] { ω : Χω b \{ ω : Χω a F είναι σ-άλγεβρα. Επίσης ( = F. ( A F για κάθε A = {( a,b ]:a < b { = F P. Όµως σ P = B και κατά την Πρόταση. η Χ είναι τ.µ. 5 Άσκηση.. Έστω (Ω, F,Ρ χ.π. και συνάρτηση :Ω. Υποθέτουµε ότι ισχύει: { ω: Χω r τ.µ. F για κάθε r όπου το σύνολο των ρητών. είξτε ότι η Χ είναι 32

3 Η έννοια της τυχαίας µεταβλητής στη θεωρία πιθανοτήτων ταυτίζεται µε την έννοια της µετρήσιµης συνάρτησης στη θεωρία µέτρου. Για την θεωρία µέτρου τυχαία µεταβλη- Ω,F. Μάλιστα όταν υπάρχει κίνδυνος σύγ- τή είναι µια µετρήσιµη συνάρτηση στον χυσης λέγεται F -µετρήσιµη ή και F B µετρήσιµη προσδιορίζοντας έτσι τις σ-άλγεβρες για τις οποίες ισχύει η (.. Παρατηρείστε ότι στον ορισµό µιας τ.µ. :Ω δεν εµπλέκεται το µέτρο πιθανότητας Ρ. Ορισµός. Μια συνάρτηση g: ονοµάζεται συνάρτηση Borel όταν και µόνο όταν για κάθε B B ισχύει g ( B B. Κάθε συνάρτηση Borel g: είναι µια τ.µ. στο χώρο ( Ω =, F = B και συνεπώς ισχύουν όλα τα ισχύοντα για τυχαίες µεταβλητές. Πρόταση.3. Κάθε συνεχής συνάρτηση g: Αρκεί να δείξουµε ότι η g είναι τ.µ. στον ( Ω =, F = B είναι συνάρτηση Borel. τούτο θα χρησιµοποιήσουµε την Πρόταση.. Πράγµατι αν C είναι η κλάση των ανοικτών υποσυνόλων του τότε λόγω της συνέχειας της g ισχύει: για κάθε A C το σύνολο g ( A είναι ανοικτό υποσύνολο του και συνεπώς g ( A B. Όµως B = σ( C και άρα κατά την Πρόταση (. η συνάρτηση g είναι συνάρτηση Borel. 5. τότε η συνάρτηση µε τιµές στον και για Πρόταση.4. Έστω (Ω, F,Ρ χ.π. και τ.µ. :Ω. Έστω επίσης συνάρτηση Borel Για κάθε g: Y= g go :Ω είναι τ.µ. { { ( = F αφού g ( B B B έχουµε διαδοχικά Y ( B = ω : Υω Β= ω:g ω Β = { ω : Χω g B ( g ( B B και η Χ είναι τ.µ. µε τιµές στο. 5 Για µια συνάρτηση ισχύει ότι ω = Χ ω,χ ω, K,Χ ω, ω Ω όπου :Ω 2. Όταν χρειάζεται θα γράφουµε απλά T Χ : Ω T T =,, K. 2 Πρόταση.5. Έστω συνάρτηση =,, K. Η :Ω είναι τ.µ. όταν 2 και µόνο όταν οι συναρτήσεις Χ : Ω είναι τυχαίες µεταβλητές.,2, K, θεωρούµε τη συνάρτηση-προβολή Έστω ότι η Χ είναι τ.µ. Για κάθε { g: :gx,x, ( 2 K,x = x g πειδή g ( συµπεραίνουµε ότι οι, =. Κάθε είναι συνάρτηση Borel ως συνεχής και ε- =,2, K, είναι τ.µ. Αντίστροφα έστω 33

4 ότι οι συναρτήσεις Χ : Ω είναι τ.µ. Για οποιοδήποτε ορθογώνιο = P = ( ] A a,b ισχύει ( A = ω : Χω = ( Χ( ω, K Χ( ω ( a,b ] = = δηλαδή ( A = I (( a,b]. { ω : Χ ( ω ( a,b],2, K, { ω : ( ω ( a,b] = = = = = Επειδή οι συναρτήσεις,,2,, είναι τ.µ. θα είναι = K ( ( a,b ] I F είναι σ-άλγεβρα θα είναι ( A F και τούτο για κάθε ( P σ = B F και αφού η A P. Όµως και συνεπώς κατά την Πρόταση. η Χ είναι τ.µ. 5 Πρόταση.6. Έστω (Ω, F,Ρ χ.π. και τυχαίες µεταβλητές Χ : Ω, =,2, K,. Αν a, =,2, K, οι συναρτήσεις a, {,, K είναι τ.µ. Αφού οι συναρτήσεις, T, K, :Ω =, ax{,, = K, Χ : Ω =,2, K, είναι τ.µ. η συνάρτηση θα είναι τ.µ. µε τιµές στο. ( = + + Επειδή η συνάρτηση g: µε g x, K,x a x L a x είναι συνεχής θα είναι συνάρτηση Borel και συνεπώς η συνάρτηση g, ( K, = a + L + a είναι τ.µ. Όµοια για τις υπόλοιπες. 5 Άσκηση.2. Έστω (Ω, F,Ρ χ.π. και A F. είξτε ότι η δείκτρια του Α (ή χαρακτηριστική του Α που ορίζεται από την I ( ω A αν ω Α = είναι τυχαία µεταβλητή. 0 αν ω Α Άσκηση.3. Έστω τ.µ. :Ω και a > 0. είξτε ότι η συνάρτηση Χω ανχω a που ορίζεται από την Y( ω = είναι τ.µ. 0 αν Χ( ω > a Y:Ω Άσκηση.4. Έστω (Ω, F,Ρ χ.π. και τ.µ.,y :Ω. είξτε ότι τα παρακάτω σύνολα ανήκουν στην σ-άλγεβρα F. Χω A ω Ω: Χω Υω Β= ω Ω: Χω> Υω, Γ= ω Ω:e = Υω. = { =, { { Άσκηση.5. είξτε ότι για οποιαδήποτε, ισχύει ότι B + = B B όπου ({ B B = σ A B:A B,B B η σ-άλγεβρα γινόµενο των B, B. 34

5 Άσκηση.6. Έστω g: συνεχής και «-». είξτε ότι αν B B τότε gb B. { B (Υπόδειξη: Θεωρείστε την κλάση B :g( B A =. Επειδή κάθε ανοικτό του γράφεται σαν αριθµήσιµη ένωση συµπαγών υποσυνόλων του και επειδή g συνεχής, συµπεράνετε ότι κλάση A περιέχει τα ανοικτά του. Εν συνεχεία δείξτε ότι η A είναι σ-άλγεβρα. Σηµείωση. Αν παραλειφθεί η υπόθεση «-» τότε το συµπέρασµα παύει να ισχύει. 2 Έτσι η προβολή ενός υποσυνόλου Borel του δεν είναι κατ ανάγκη σύνολο Borel του όπως λανθασµένα διαβεβαίωνε ο Lebesque στις αρχές του 20 ου αιώνα. Η σωστή απάντηση βρίσκεται στη θεωρία των αναλυτικών συνόλων των Sousl, Lus και άλλων. Αν διατηρηθεί η υπόθεση «-» και αντί της συνέχειας υποτεθεί ότι η g είναι µόνο συνάρτηση Borel τότε το συµπέρασµα gb B ισχύει αλλά η απόδειξη είναι κατά πολύ δυσκολότερη. Για τα ζητήµατα αυτά ο ενδιαφέροµενος µπορεί να ανατρέξει στα [5], [6]. Για να συµπεριλάβουµε στη µελέτη µας και τυχαίες µεταβλητές που προκύπτουν από οριακές διαδικασίες επί ακολουθιών τ.µ. είναι σκόπιµο να θεωρήσουµε τ.µ. µε τιµές =,. Η επέκταση είναι άµεση και έχει ως ακολούθως: Αν Ω, F,Ρ είναι στο [ ] :Ω [, ] λέγεται τ.µ. όταν και µόνο όταν ικανοποιούνται οι χ.π. µια συνάρτηση προϋποθέσεις: Χ Β F για κάθε Εύκολα τώρα αποδεικνύεται ότι: B B. { ω Ω: Χω = F και { ω Ω: Χω = F. Άσκηση.7. Η συνάρτηση :Ω [, ] είναι τυχαία µεταβλητή όταν και µόνο όταν ισχύει η (.3. Πρόταση.7. Έστω,Y : Ω [, ] :Ω, ακολουθία τ.µ.. Ορίζουµε τις συναρτήσεις ω sup ω Υω= f ω,ω Ω. αντίστοιχα ως εξής: =, Τότε οι συναρτήσεις Χ, Υ είναι τ.µ. µε τιµές στο [, ] =. Κατά την Άσκηση.4 ανωτέρω αρκεί να επαληθευτεί η (.3. Πράγµατι για τυχόν t ισχύει: { ω : Χω t = ω :sup( ω t = { ω : Χ( ω t για κάθε = I { ω : Χ ( ω t = I{ =. Όµως, είναι τ.µ. και η κλάση F είναι σ-άλγεβρα άρα ω : Χ ( ω t F. Όµοια ω : Υω > t = ω : ω > t για κάθε = = = { { I{ ω : Χ { c ω > t = I ω : Χ ω t F και άρα { ω: Υω t F για τυχόν t. 5 35

6 Παρατήρηση. Η Πρόταση ισχύει και για τ.µ. :Ω όπως εύκολα διαπιστώνεται. Πρόταση.8. Έστω ( Ω, F,Ρ χ.π. και ακολουθία τ.µ. :Ω,. Τότε ισχύει: lf, lsup είναι τυχαίες µεταβλητές. Αν για κάθε ω Ω υπάρχει το Χω= l ω,ω Ω ορίζει τυχαία µεταβλητή. = sup f lsup l ω στο τότε η lf και. Επικαλούµενοι τώρα = f sup την Πρόταση.7 συµπεραίνουµε εύκολα το ζητούµενο. ω = lf ω = lsup ω. 5 Άσκηση.8. Έστω τ.µ. :Ω,. είξτε ότι το σύνολο { ω Ω: υπάρχει το l ( ω στο F. 2. Κατανοµή τυχαίων µεταβλητών Πρόταση 2.. Έστω χ.π. (Ω, F,Ρ και τ.µ. :Ω. Ορίζουµε τη συνολοσυνάρτηση [ ] P : B 0, ως ακολούθως P ( B = P( ( B,B B Τότε η συνολοσυνάρτηση είναι µέτρο πιθανότητας και η τριάδα (,,P B είναι χώρος πιθανότητας. ( P = P = P Ω =. Επίσης αν { Β κ, κ { ( B κ,κ (2. B και είναι ξένα µεταξύ τους τότε τα υποσύνολα F είναι ξένα µεταξύ τους και έχουµε διαδοχικά P Bκ Ρ Χ Βκ Ρ Χ Βκ Ρ Χ Βκ Ρ Β κ= κ= κ= κ= κ= U = U = U = = Χ κ. 5 P Ορισµός. Έστω (Ω, F,Ρ χ.π. και τυχαία µεταβλητή Χ : Ω. Το µέτρο πιθανότητας το οριζόµενο από την (2. ονοµάζεται κατανοµή της τ.µ. Χ. T Μια τ.µ. :Ω γράφεται ως = (, 2, K, όπου οι συντεταγµένες :Ω είναι τ.µ. Έστω P η κατανοµή της τ.µ., =,2, K,. Σύµφωνα µε τον παραπάνω ορισµό θα έχουµε ( P A = P A,A B. 36

7 Όµως ( L L = ( A A µε το Α στην -θέση του Καρτεσιανού γινοµένου (επαληθεύστε και συνεπώς P A = P L A L,A B. (2.2 Γενικά αν ( K θα ισχύει =,,,κ κ κ P A = P A,Α B κ. (2.3 Πρόταση 2.2. Έστω (Ω, F,Ρ πλήρης χώρος πιθανότητας και τ.µ. :Ω. Έστω ακόµα συνάρτηση Y:Ω και υποθέτουµε ότι ισχύει: ( ω = Υ( ω για κάθε ω Ω\ Ν όπου N F µε P( N = 0. (2.4 Τότε η συνάρτηση Υ είναι τ.µ. και έχει την ίδια κατανοµή µε την τ.µ. Χ. Για τυχόν B B έχουµε Y B = ω Ω: Υω Β= ω Ω\ Ν : Χω Β ω Ν: Υω Β= { { { ( Ω \ Ν Χ ( Β Ν Υ ( Β. Επειδή η Χ είναι τ.µ. θα είναι Χ ( Β F και αφού N F ( Ω \ Ν Χ ( Β F. Εξάλλου N Y ( B N υπόθεση και αφού ο χ.π. ( Ω, F,Ρ είναι πλήρης θα ισχύει N Y ( B Y ( B F άρα η Υ είναι τ.µ. θα ισχύει µε N F και P N = 0 κατά την F. Τελικά Όπως είδαµε παραπάνω Y ( B ( Ω \ Ν Χ ( Β = Ν Υ ( Β. Τα ενδεχόµενα της ένωσης αυτής είναι ξένα µεταξύ τους και επειδή ( ( P N Y B = 0 θα έχουµε Όµως ( ΡΧ ( ( Β ΡΝ ( Χ ( Β. ΡΥ ( Β ΡΧ ( ( Β PY B P Ω \ Ν Χ = Β = Ρ Χ Β Ν Χ Β ( Ρ Ν Χ Β = 0 και τελικά = =. 5 Παρατήρηση 2.. α Η υπόθεση της πληρότητας χρειάζεται µόνο για την απόδειξη του ισχυρισµού ότι η Υ είναι τ.µ. Αν δοθεί εξ αρχής ότι η Υ είναι τ.µ. τότε αρκεί µόνο η (2.4 για να αποδειχθεί ότι P = P Y και η υπόθεση της πληρότητας περιττεύει. β Αν δύο τ.µ. Χ, Υ ικανοποιούν την (2.4 τότε όπως αποδείχθηκε έχουν την ίδια κατανοµή. Το αντίστροφο δεν ισχύει όπως φαίνεται από το ακόλουθο Παράδειγµα. { B0 = B 0, :B B και P = λ το µέτρο Lebes- Έστω ο χ.π. ( Ω = ( 0, ], B 0, P όπου ( ] gue δηλαδή Pa,b ( ] = b aγια όλα τα ( a,b] ( 0,] ( ω. Θεωρείστε την τ.µ. :Ω µε = ω. Εύκολα τώρα επαληθεύεται ότι οι τ.µ. Χ και Υ = Χ έχουν την ίδια κατανοµή που µάλιστα συµπίπτει µε Ρ. Να σηµειωθεί ακόµα ότι δύο τ.µ. µπορούν να είναι ορισµένες σε διαφορετικές χ.π. αλλά να έχουν την ίδια κατανοµή (βλ. Άσκηση

8 Ορισµός. Έστω (Ω, F,Ρ χ.π. και τ.µ. :Ω. Ονοµάζεται συνάρτηση κατανοµής της τ.µ. Χ η συνάρτηση F : που ορίζεται από την F t = P ω Ω: Χω t, t. (2.5 ( { Είναι φανερό ότι F ( t = P (,t] = P (,t ( ] όπου η κατανοµή της τ.µ. Χ και συνεπώς κατά την Πρόταση 5. του ΚΕΦ. Ι είναι πράγµατι συνάρτηση κατανοµής. Ακόµα περισσότερο P a,b = P,b P,a = F b F a ( ] ( ] ( ] και συνεπώς κατά τις Προτάσεις (5., (5.2 του ΚΕΦ. Ι το ζεύγος P,F είναι ζεύγος αντίστοιχων στην αµφιµονοσήµαντη αντιστοιχία µέτρων πιθανότητας και συναρτήσεων κατανοµής στο. Μια τυχαία µεταβλητή Χ κατατάσσεται ως απολύτως συνεχής ή διακριτή ή µικτή ή µη-οµαλή σε ευθεία αντιστοιχία µε την κατάταξη της συνάρτησης κατανοµής της F όπως ορίζεται στην Πρόταση 5.3 του ΚΕΦ. Ι και τις περιπτώσεις α, β, γ, δ που την ακολουθούν. Άσκηση 2.. Έστω ο χώρος πιθανότητας (,,Q ( ω στον = ω. Όπως φαίνεται αµέσως P,B µε την ιδιότητα ( 2 2 (δηλαδή το µέτρο γινόµενο Y: :Y ω,ω = ω. είξτε ότι P = P =Q. Y P B και η τ.µ. : µε = Q. Θεωρούµε τώρα ένα µέτρο πιθανότητας Ρ PA ( B = QAQB για A B, B B 2 P = Q Q και την τ.µ. 2 Άσκηση 2.2. Έστω (Ω, F,Ρ χ.π. και τ.µ. :Ω. Λέγεται ότι η τ.µ. Χ έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f: όταν για κάθε A B ισχύει P A L f u,u, K,u du Kdu. = 2 A Έστω κ και Y,,, όταν έχει πυκνότητα < = ( K Τ Χ ( Χ,Χ,,Χ f Y 2 κ που προκύπτει από την: 2 = K. είξτε ότι η τ.µ. Υ f u,u, K,u L f u,u, K,u du K du. = Y 2 κ 2 κ+ Άσκηση 2.3. Έστω τµ. :Ω και συνάρτηση Borel g:. Έστω η τ.µ. Y = g( x. είξτε ότι P ( B = P g ( B για κάθε B B και συµπεράνετε ότι αν η τ.µ. Χ έχει πυκνότητα f τότε θα ισχύει Y PY B L f u,u 2, K,u du Ldu g ( B =.. Είναι τώρα η στιγµή εξοικείωσης µε δύο περιπτώσεις τρόπου γραφής που χρησιµοποιούνται ευρύτατα στη θεωρία πιθανοτήτων. α Έχουµε ήδη βρεθεί αντιµέτωποι µε συµβολικές εκφράσεις όπως οι παρακάτω ό- που Χ, Υ είναι τ.µ. ορισµένες σε ένα χώρο πιθανότητας Ω, F,P ( A, P ( = Y, { < Y, Pl ( = κλπ. P Το ακριβές νόηµα των εκφράσεων αυτών είναι αντίστοιχα: 38

9 ({ =, Ρ { ω: Χω = Υω, { ω: Χω Υω { =. P ω : Χω Α ΡΧ Α ( Ρ ω:l ω Χ ω <, β Η δεύτερη περίπτωση είναι η έκφραση «σχεδόν βεβαίως για το µέτρο Ρ» και συµβολικά Ρ-σ.β. Θα γράφουµε Χ Υ Ρ-σ.β. όταν και µόνο όταν Χω= Υω για κάθε ω = ( Ω\ Ν όπου Ν F µε P( N 0 < Y Ρ-σ.β. ή l = Ρ-σ.β. =. Ανάλογο νόηµα έχουν οι διατυπώσεις Άσκηση 2.4. είξτε ότι = Y Ρ-σ.β. P ( = Y =. Άσκηση 2.5. Έστω ακολουθία τ.µ. {, και τ.µ. Υ µε τιµές στο. είξτε ότι: για κάθε Y Ρ-σ.β. sup Y Ρ-σ.β. 3. Ανεξαρτησία τυχαίων µεταβλητών Ορισµός. Έστω (Ω, F,P χ.π. και οικογένεια τ.µ. :Ω I. Οι τ.µ., I λέγονται ανεξάρτητες όταν και µόνο όταν για οποιοδήποτε πεπερασµένο υποσύνολο {,, K, Iκαι οποιαδήποτε, B,..., B B ισχύει 2 κ ή ισοδύναµα B 2 P B = Ρ B = = κ κ I ( όταν και µόνο όταν οι κλάσεις { κ B :B B, I είναι ανεξάρτητες. (3. Παρατήρηση. Για την ανεξαρτησία των τ.µ.,, K, είναι αρκετό να απαιτήσουµε: Για οποιαδήποτε Β B, =,2, K,ν P B = P B = = Τότε επαληθεύεται η (3. (πώς;. 2 ν ν ν I ( ( (. (3.2 Αν τώρα θέσουµε Χ= ( Χ,Χ, K,Χ και λόγω της σχέσης Χ ( B 2 ν ( 2 ν P ( B B = Ρ ( Β Ρ ( Β Ρ ( Β Χ Β Β L Β συµπεραίνουµε ότι η (3.2 ισοδυναµεί µε για οποιαδήποτε Β B ν Χ Χ 2 Χ ν 2 ν ν I = L L (3.3 ή ακόµα P = P P L P. 2 ν Να σηµειωθεί επίσης ότι στον ορισµό της ανεξαρτησίας οι κλάσεις είναι σ-άλγεβρες (δες Άσκ = { B :B B 39

10 Άσκηση 3.. είξτε ότι οι τ.µ.,, K, είναι ανεξάρτητες όταν η (3.2 ή η (3.3 2 ν επαληθεύονται για Β P, =,2, K,ν. Άσκηση 3.2. Έστω Ω, F,P χ.π. και τ.µ. :Ω. είξτε ότι η κλάση { ( B :B B είναι σ-άλγεβρα υποσυνόλων του Ω. Αυτή η σ-άλγεβρα λέγεται παραγόµενη από την τ.µ. Χ και συµβολικά γράφουµε { σχ= Χ Β:B B. (Η σχ είναι η ελάχιστη για την οποία η Χ είναι µετρήσιµη. είξτε ακόµα ότι ({ σχ= σ Χ Β:B P. Άσκηση 3.3. Έστω (Ω, F,P χ.π. και τ.µ. :Ω, I. είξτε ότι οι τ.µ., I είναι ανεξάρτητες όταν και µόνο όταν οι κλάσεις ( B :B P είναι ανεξάρτητες. { Άσκηση 3.4. Έστω ότι οι τ.µ. Χ : Ω και Y:Ω είναι ανεξάρτητες. Έστω ακόµα συναρτήσεις Borel f: και. είξτε ότι οι τ.µ. f και gy είναι ανεξάρτητες. k g: l Άσκηση 3.5. Έστω ότι οι τ.µ. :Ω, =,2, K,ν είναι ανεξάρτητες και κ< ν. είξτε ότι α Οι τ.µ. Χ Χ,,Χ και Υ= Χ, K,Χ είναι ανεξάρτητες. = ( K κ κ ν κ κ+ β Αν f: και g: είναι συναρτήσεις Borel τότε οι τ.µ. f(, K,κ, g ( κ+, K,Χ ν είναι ανεξάρτητες. ν 40

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός : Η συνάρτηση X : Ω είναι μετρήσιμη εάν 1. της τυχαίας μεταβλητής X : Ω, είναι το πεδίο τιμών της X. Δηλαδή είναι το υποσύνολο του { }

Ορισμός : Η συνάρτηση X : Ω είναι μετρήσιμη εάν 1. της τυχαίας μεταβλητής X : Ω, είναι το πεδίο τιμών της X. Δηλαδή είναι το υποσύνολο του { } Ορισμός : Η συνάρτηση : Ω είναι μετρήσιμη εάν B B B B = ω Ω : ω B = B { όπου { { Μία μετρήσιμη συνάρτηση : Ω ονομάζεται τυχαία μεταβλητή Ορισμός: Ο χώρος καταστάσεων της τυχαίας μεταβλητής : Ω είναι το

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός : Η συνάρτηση X : Ω είναι μετρήσιμη εάν 1. της τυχαίας μεταβλητής X : Ω, είναι το πεδίο τιμών της X. Δηλαδή είναι το υποσύνολο του { }

Ορισμός : Η συνάρτηση X : Ω είναι μετρήσιμη εάν 1. της τυχαίας μεταβλητής X : Ω, είναι το πεδίο τιμών της X. Δηλαδή είναι το υποσύνολο του { } Ορισμός : Η συνάρτηση : Ω είναι μετρήσιμη εάν B B B B = ω Ω : ω B = B { όπου { { Μία μετρήσιμη συνάρτηση : Ω ονομάζεται τυχαία μεταβλητή Ορισμός: Ο χώρος καταστάσεων της τυχαίας μεταβλητής : Ω είναι το

Διαβάστε περισσότερα

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο.

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο. Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Οµάδα Α 1. Αν η f : (a, b) R είναι παραγωγίσιµη, τότε η f είναι µετρήσιµη. Υπόδειξη. Θεωρούµε την ακολουθία f : (a, b) R µε f (x) = [f(x + 1/) f(x)]. Εφόσον, η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

f I X i I f i X, για κάθεi I.

f I X i I f i X, για κάθεi I. 47 2 Πράξεις σε τοπολογικούς χώρους 2. Η τοπολογία γινόμενο Σε προηγούμενη παράγραφο ορίσαμε την τοπολογία γινόμενο στο καρτεσιανό γινόμενο Y δύο τοπολογικών χώρων Y, ( παράδειγμα.33 () ). Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙ ΠΙΘΝΟΤΗΤΩΝ 1. Πείραμα τύχης Πείραμα τύχης (π.τ.) ονομάζουμε κάθε πείραμα που μπορεί να επαναληφθεί όσες φορές επιθυμούμε υπό τις ίδιες συνθήκες και του οποίου το αποτέλεσμα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 6ο κεφάλαιο: Συναρτήσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων.

2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων. Ένα μέτρο πιθανότητας πάνω στο δειγματικός χώρο Ω, είναι μία συνάρτηση P ( ) που αντιστοιχεί σε υποσύνολα του Ω, έναν αριθμό στο [ 0, ], με τις εξής ιδιότητες: P ( Ω ) 2 Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 26 Οκτωβρίου 2009 Η διερεύνηση, σε γενικές γραµµές, της δεσµευµένης πιθανότητας και η σύγκρισή της µε την απόλυτη πιθανότητα αποκαλύπτει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 -6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α i = βi () β αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων.

2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων. Ένα μέτρο πιθανότητας πάνω στο δειγματικός χώρο Ω, είναι μία συνάρτηση P ( ), που αντιστοιχεί σε υποσύνολα του Ω έναν αριθμό στο [ 0, ], με τις εξής ιδιότητες:. P ( Ω ). 2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

εξαρτάται από το θ και για αυτό γράφουµε την σ.π.π. στην εξής µορφή: ( θ, + ) θ θ n 2n (θ,+ ) 1, 0, x θ.

εξαρτάται από το θ και για αυτό γράφουµε την σ.π.π. στην εξής µορφή: ( θ, + ) θ θ n 2n (θ,+ ) 1, 0, x θ. Άσκηση : Έστω Χ,,Χ τυχαίο δείγµα µεγέους από την κατανοµή µε σππ 3 p (,, >, > 0 α είξτε ότι η στατιστική συνάρτηση Τ( Χ : Χ ( m είναι επαρκής για την παράµετρο και πλήρης κ β Βρείτε ΑΕΕ του α Το στήριγµα

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνθήκες αριθµησιµότητας Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

x - 1, x < 1 f(x) = x - x + 3, x

x - 1, x < 1 f(x) = x - x + 3, x Σελίδα από 4 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Του Αντώνη Κυριακόπουλου Εισαγωγή Στην εργασία αυτή παραθέτω χρήσιµες επισηµάνσεις στις βασικές έννοιες των πραγµατικών συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Βάσεις και υποβάσεις.

1.2 Βάσεις και υποβάσεις. . Βάσεις και υποβάσεις. Το «καθήκον» του ορισμού μιας τοπολογίας διευκολύνεται αν είμαστε σε θέση να περιγράψουμε αρκετά ανοικτά σύνολα τα οποία να παραγάγουν όλα τα ανοικτά σύνολα. Ορισμός.9. Έστω X,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.outras@fme.aegean.gr Τηλ: 7035468 σ-άλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Οµάδα η. Αν Ω={ω,ω,,ω 6 } είναι ο δ.χ ενός πειράµατος τύχης να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(ω ),,Ρ(ω 6 ) αν είναι γνωστό ότι αυτές αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου µε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους 121 5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους Στο κεφάλαιο αυτό πρόκειται να μελετήσουμε την έννοια της σύγκλισης σε γενικούς τοπολογικούς χώρους, πέραν των μετρικών χώρων. Όπως έχουμε ήδη διαπιστώσει ( πρβλ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 19 Οκτωβρίου 2009 ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗ ΘΕΜΕΛΙΩΣΗ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Εστω Ω δειγµατικός χώρος στοχαστικού (τυχαίου) πειράµατος (ή ϕαινοµένου).

Διαβάστε περισσότερα

11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-2/04/2006. Πρακτικά Συνεδρίου

11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-2/04/2006. Πρακτικά Συνεδρίου ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-3/03, -/04/006. Πρακτικά Συνεδρίου Έµµεσες µετρήσεις φυσικών µεγεθών. Παράδειγµα: Ο πειραµατικός υπολογισµός του g µέσω της µέτρησης του χρόνου των αιωρήσεων απλού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Λυγάτσικας Ζήνων Πειραµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής 6 Ιανουαρίου 013 1 Ασκήσεις 1.1 Ασκήσεις Επανάληψης 1. είξτε ότι : ηµ x + 3συν y 5.. Να αποδείξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Εννοιες Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ϐασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις. Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Κατασκευή νέων τοπολογικών χώρων Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

n k=1 k=n+1 k=1 k=1 k=1

n k=1 k=n+1 k=1 k=1 k=1 Πιθανότητες ΙΙ - Λύσεις Ασκήσεων Άσκηση 1 Εστω A σ-άλγεβρα. Τότε, A και A κλειστή στα συμπληρώματα (ιδιότητες (i) και (ii) της σ-άλγεβρας). Εστω A 1, A 2,..., A πεπερασμένη ακολουθία στοιχείων της A. Αφού

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων

Βασικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων Βασικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων Ορισµός πιθανότητας Έστω Ω το σύνολο των δυνατών αποτελεσµάτων ενός πειράµατος Συµβολίζουµε µε ω τα στοιχεία του Ω Ονοµάζουµε ενδεχόµενο (evet ένα υποσύνολο του Ω Για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης;

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; =. β) Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές

Μέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές Μέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές Ορισμοί Συναρτήσεις κατανομής πιθανότητας και πυκνότητας πιθανότητας Διακριτές τυχαίες μεταβλητές Ειδικές κατανομές διακριτών τυχαίων μεταβλητών Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Μέτρο Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai017/lai017html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 017

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

LÔseic Ask sewn sta Jemèlia twn Majhmatik n I

LÔseic Ask sewn sta Jemèlia twn Majhmatik n I LÔseic Ask sewn sta Jemèlia twn Majhmatik n I Rwmanìc-Diogènhc Maliki shc Tetˆrth, 6 OktwbrÐou 2010 Άσκηση 1. Για τυχόντα σύνολα A, B, C, D, να δειχθεί ότι (α ) A (B \ C) = ((A B) \ C) (A C). (β ) (A \

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. Τα σηµεία Β και Γ είναι σηµεία του επιπέδου p, η ΒΓ είναι ευθεία του p. Η ΒΓ τέµνει την ΑΜ στον

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. Τα σηµεία Β και Γ είναι σηµεία του επιπέδου p, η ΒΓ είναι ευθεία του p. Η ΒΓ τέµνει την ΑΜ στον Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. Τα σηµεία και είναι σηµεία του επιπέδου, η είναι ευθεία του. Η τέµνει την Μ στον Μ Ν Ν. Το Ν σαν σηµείο της ανήκει στο, άρα και το Μ σαν σηµείο της Ν ανήκει στο. B. Έστω ε µια ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑ 5. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση - Αντίστροφη συνάρτηση Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση :Α R λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, Α µε ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θα εισαγάγουμε την έννοια του τυχαίου αριθμού με ένα παράδειγμα. Παράδειγμα: Θεωρούμε μια τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πιθανότητας η οποία σε

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Επιµέλεια: Ι. Σπηλιώτης,. Λεπίπας, Π. Αγγελόπουλος Άσκηση.3 σελ. 4 α) εύκολο β) Αφού C F θα είαι σ( C) σ( F) και λόφω του α) θα είαι σ( C) F. Για τη απόδειξη του ατίθετου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 94 Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ o ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Λ 4. Λ 43. Λ. Σ 5. Λ 44. Σ 3. Λ 6. Λ 45. α) Σ 4. Σ 7. Λ β) Λ 5. Σ 8. Σ

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2005

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2005 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 005 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Τα απλά ενδεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως Καµπύλες στον R 9. Ορισµός Μια καµπύλη στον R είναι µια συνεχής συνάρτηση σ : Ι R R όπου Ι διάστηµα ( συνήθως κλειστό και φραγµένο ) στον R. Συνήθως φανταζόµαστε την µεταβλητή t Ι ως τον χρόνο και την

Διαβάστε περισσότερα