7 ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΤΕΡΕΩΝ 7.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΤΕΡΕΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ

Transcript

1 7 ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΤΕΡΕΩΝ 7.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΤΕΡΕΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ Τα στερεά µοντέλα αποσκοπούν στην δηµιουργία µοντέλων "πλήρους" απεικόνισης του φυσικού στερεού αντικειµένου, δηλ. δηµιουργεί απεικονίσεις που µπορούν να απαντήσουν αλγοριθµικά όλες τις γεωµετρικές ερωτήσεις. Βασικά επιτρέπει στον χρήστη να καταχωρήσει αυτόµατα, τη σχετική θέση ενός σηµείουστοχώροωςπροςτοαντικείµενο, δηλ. εάν είναι µέσα, έξω ή επάνω στο αντικείµενο, δυνατότητα την οποία δεν έχουµε στα άλλα είδη των µοντέλων. Η δυνατότητα αυτή καλείται και spatial addressability. Αυτό επιτυγχάνεται µε την αποτύπωση και της τοπολογίας του αντικειµένου, εκτός από την γεωµετρία, την οποία αποτυπώνουν τα άλλα είδη µοντέλων. Στη συνέχεια Θα εξετάσουµε τον τρόπο µε τον οποίο καταχωρείται και ενηµερώνεται η τοπολογία του µοντέλου. Η ανάπτυξη των στερεών µοντέλων φαίνεται στον επόµενο πίνακα. ΕΤΟΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΡΟΙΟΝ 1973 Πανεπιστήµιο Cambridge, lain Braid 1973 Πανεπιστήµιο Hokkaido TIPS-1 (Ηµί-χωροι) 1975 Carnegie Mellon Πανεπιστήµιο, Eastman group GLIDE Πανεπιστήµιο Stanford, Baumgart οµή δεδοµένων Winged Edge Πανεπιστήµιο Rochester Production Automation Project BUILD-1, BUILD-2 (Υβριδικό) Voelker και Requicha t 980 Evans and Sutherland ROMULUS 1981 Applicon and ComputerVision Syntha Vision - Solidesign (Β-Rep) 1987 Parametric Technology Ρrο/Engineer (Παραµετρικό) 1992 Spatial Technology, lain Braid ACIS (Παραµετρικό) 1994 EDS Parasolid (Παραµετρικό) Τα κύρια χαρακτηριστικά ενός συστήµατος στερεάς µοντελοποίησης είναι: Πληρότητα (Completeness) του µοντέλου, σε αντιδιαστολή µε το µοντέλο ακµών ή το µοντέλο επιφανειών. Συνάφεια, (Integrity), χαρακτηριστικό που αποτρέπει ένα χρήστη από το να δηµιουργεί µοντέλα που δεν είναι πραγµατοποιήσιµα. Πολυπλοκότητα και δυνατότητα γεωµετρικής απεικόνισης. Το κύριο µειονέκτηµα των στερεών µοντέλων είναι ότι δεν µπορούν να αποδώσουν ακόµα όλεςτιςµορφές που

2 µοντελοποιούµε µε σύστηµα επιφανειών. Τα πρώτα συστήµατα λειτουργούσαν µεβάση την πολυεδρική απεικόνιση, σχ.7.1. Με τον τρόπο αυτό επιφάνειες δευτέρου βαθµού και ελεύθερης µορφής, κλπ. που χρησιµοποιούνται όλο και περισσότερο σήµερα σε πολλές εφαρµογές, πχ, αεροπορικές κατασκευές, αυτοκινητοβιοµηχανία, συσκευασία, κλπ. προσεγγίζονται µε επίπεδες, τετράπλευρες ή τριγωνικές. Η µέθοδος αυτή σήµερα χρησιµοποιείται µόνο στην σκίαση των µοντέλων ή στην ταχεία (πλασµατική) πρωτοτυποποίηση. Σχ.7.1. Πολυεδρικό µοντέλο. Γεωµετρικοί υπολογισµοί. Με βάση το στερεό µοντέλο µπορούµε να υπολογίσουµε αλγοριθµικά όλα τα γεωµετρικά µεγέθη του αντικειµένου, όπως: Μορφή αντικειµένου, Βάρος, επιφάνεια, κlp, Αλληλεπίδραση µεταξύ δύο στερεών, Αντοχή σε καταπόνηση, Τρόπος κατασκευής του αντικειµένου Οι απαντήσεις στις παραπάνω ερωτήσεις µπορεί να είναι µια εικόνα, ένα αριθµητικό µέγεθος, µια λογική µεταβλητή, ένα νέο στερεό µοντέλο, κλπ. Προφανώς, ένα σύστηµα στερεάς µοντελοποίησης δεν πληροί όλους τους παραπάνω υπολογισµούς, αλλά πρέπει να καθιστά δυνατή τη προσθήκη τους, (Σχ.7.2) Σχ.7.2. οµή συστήµατος στερεάς µοντελοποίησης

3 7.2 ΟΜΕΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑΣ Ένα στερεό αντικείµενο αποτελείται από ένα σύνολο σηµείων στον τρισδιάστατο χώρο. Με τα στερεά µοντέλα αποσκοπούµε ναδηµιουργήσουµε ένα τρόπο απεικόνισης των σηµείων και την δηµιουργία αντίστοιχης δοµής δεδοµένων κατάλληλης για αλγοριθµική επεξεργασία. Τα µέχρι σήµεραπροταθέντασυστήµατα στερεών µοντέλων χωρίζονται σε τρεις µεγάλες κατηγορίες: Μοντέλα ΑποσύνθεσηS (Decomposition models), όπου το σύνολο των σηµείων αναπαρίσταται ως συλλογή απλών στοιχείων, µε κανόνες σύνδεσης του ενός στοιχείου µε το άλλο. τα στοιχεία αυτά συνδυάζονται µεταξύ τους µόνο µε λειτουργία σύνδεσης. Μοντέλα σύνθεσης- (Constructive models), όπου το σύνολο των σηµείων αναπαρίσταται από συνδυασµό στοιχειωδών συνόλων σηµείων. Κάθε ένας από αυτούς τους συνδυασµούς αντιπροσωπεύει ένα στοιχειώδες στερεό. Τα µοντέλα αυτά παρέχουν περισσότερες λειτουργίες από τα προηγούµενα µοντέλα. Οριακά Μοντέλα (Boundary models), όπου περιγράφεται η περιβάλλουσα του συνόλου των σηµείων. Η περιβάλλουσα επιφάνεια αποτελείται από επιµέρους έδρες (faces). Οι επιµέρους αυτές έδρες περιβάλλονται από µονοδιάστατες καµπύλες, τις ακµές. Οεπόµενος πίνακας δείχνει µερικά από τα εµπορικά συστήµατα από τις διάφορες εταιρείες CAD/CAM, και το είδος της αναπαράστασης που χρησιµοποιούν. ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ACIS Spatial Technology Β-Rep ΑnνίΙ 5000 MCS CSG/ Β-Rep Βrανο 3-SM Applicon CSG/ Β-Rep CADDS4X CV/Prime Β-Rep CATIA SGM ΙΒΜ- Dassault CSG/ Β-Rep Cimplex Design CIMPLEX CSG/ Β-Rep Designbase RICOH Β-Rep Euclid-IS Matra Datavision CSG/ Β-Rep Geomod General Electric Β-Rep Medusa 3D CV/Prime Β-Rep ΜΕ Series 30 ΗΡ Β-Rep Parasolid Electronic Data Systems Β-Rep Pro/ENGINEER Parametric Technology Β-Rep Tips-1 CAM-Ι CSG -7.3-

4 Οι δυνατότητες των διαφόρων απεικονίσεων συγκρίνονται από τις παρακάτω ιδιότητες: 1. υνατότητα απεικόνισης, (Expressive power). Αντιπροσωπεύει τα αντικείµενα που µπορούν να απεικονισθούν µε τη συγκεκριµένη µέθοδο και την ακρίβεια της απεικόνισης. 2. Εyκυρότητα (Validity). Αντιπροσωπεύει την εγκυρότητα των µοντέλων που δηµιουργούνται ακολουθώντας τους κανόνες λειτουργίας της αντίστοιχης µεθόδου. 3. Ακρίβεια και µοναδικότητα (Unambiquity and uniqueness), Αντιπροσωπεύει τις ακριβείς απεικονίσεις που παριστάνει ένα έγκυρο στερεό µοντέλο. Σε όλα τα είδη σχεδόν, µια αναπαράσταση απεικονίζει µόνο ένα αντικείµενο, ενώ ένα αντικείµενο µπορεί να έχει περισσότερες της µιας απεικονίσεις. 4. Γλώσσα περιγραφής (Descriρtion language), Αντιπροσωπεύει το είδος της γλώσσας που περιγράφει το στερεό µοντέλο και τον τρόπο λειτουργίας, δηλ. είναι ενσωµατωµένη η γλώσσα στο σύστηµα, ήτο µοντέλο προέρχεται από άλλο σύστηµα. 5. Συντοµία (Conciseness), Αντιπροσωπεύει το µέγεθος του αρχείου που δηµιουργείται. 6. Ακρίβεια λειτουργιών (Closure of operations), Αντιπροσωπεύει τις λειτουργίες που µπορούν να εφαρµοσθούν και την εγκυρότητα του µοντέλου που προέρχεται από την εφαρµογή µιας λειτουργίας, (πχ, περιστροφή). 7. Πολυπλοκότητα υπολογισµών, Αντιπροσωπεύει την ευκολία των προγραµµάτων εφαρµογών και τους υπολογισµούς που απαιτούνται για τον υπολογισµό ορισµένων µεγεθών. Τα τρία αυτά είδη στερεάς µοντελοποίησης θα περιγραφούν αναλυτικά στην συνέχεια

5 7.3 ΜΟΝΤΕΛΛΑ ΑΠΟΣΥΝΘΕΣΗΣ - DECOMPOSITION MODELS EXHAUSTIVE ENUMERATION Ηαπλούστερη µέθοδος περιγραφής είναι µε τη χρήση κύβων µικρού µεγέθους, όπου ο καθένας περιέχεται (πλήρως ή µερικώς) στο στερεό. Οι κύβοι είναι του ίδιου µεγέθους και προσανατολισµού, είναι διακριτοί µεταξύ τους έχοντας ως κοινά σηµεία, µόνο µια κορυφή, ή µια ακµή, ή µια έδρα και δηµιουργούν µία κανονική υποδιαίρεση του χώρου. Η µέθοδος αυτή περιγραφής στερεών ονοµάζεται exhaustive enumeration, σχ.7.3. Το στερεό περιγράφεται από τις συντεταγµένες των άκρων των κύβων και κάθε φορά αρκεί η περιγραφή του ενός µόνο άκρου κάθε κύβου. Το στερεό κωδικοποιείται ως ένα τρισδιάστατος πίνακας C ijk δυαδικών δεδοµένων, όπου το κάθε στοιχείο του πίνακα παριστάνει τον χρωµατισµό κάθεκύβου. Εάν C ijk =1(µαύρο), τότε ο κύβος ijk παριστάνει µια στερεά περιοχή του αντικειµένου, διαφορετικά παριστάνει µια άδεια περιοχή (C ijk =0, λευκή). Σχ.7.3. Exhaustive Enumeration. Η τεχνική αυτή χρησιµοποιείται εκτεταµένα στην επεξεργασία εικόνας, όπου υπάρχει µια εικόνα ή ένα πρότυπο του αντικειµένου. Στην µοντελοποίηση όµως το αντικείµενο δεν είναι συνήθως διαθέσιµο, καιπρέπεινασχεδιαστείµε κάποιοτρόπο(πχ. µε τη χρήση των δύο άλλων µεθόδων). Συνεπώς, η µέθοδος αυτή χρησιµοποιείται για ανάλυση µοντέλων που σχηµατίσθηκαν µε άλλους τρόπους. Επίσης, αποδίδοντας διάφορους χρωµατισµούς στον κενό και στον πλήρη χώρο (τιµές 0 και 1), µπορεί να χρησιµοποιηθεί για παρουσίαση αποτελεσµάτων ανάλυσης, π.χ. µεταφορά θερµότητας, κλπ. Επιπλέον, χρησιµοποιείται ως βοηθητική επεξεργασία για την επιτάχυνση ορισµένων λειτουργιών στα υπόλοιπα είδη µοντελοποίησης. Π.χ. το σύστηµα TIPS που στηρίζεται σε αρχές των µοντέλων σύνθεσης (Constructive Solίd Modelling), χρησιµοποιεί ένα τρισδιάστατο πλέγµα για να επιταχύνει ορισµένες από τις λειτουργίες του

6 7.3.2 ΜΕΘΟ ΟΙ ΙΑΙΡΕΣΗΣ ΧΩΡΟΥ Με τις µεθόδους αυτές επιτυγχάνεται η διατήρηση των προτερηµάτων της exhaustiνe enumeration, (απλό µοντέλο, γενικό και εύκολο στη χρήση του), µε ταυτόχρονη µείωση του µεγέθους του δηµιουργούµενου αρχείου, πραγµατοποιώντας απλές µεταβολές στο δηµιουργούµενο µοντέλο. Μερικές από τις µεθόδους αυτές είναι: A ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΟΚΤΑ ΙΚΟΥ ΕΝ ΡΟΥ (OCTREE REPRESENTATION) Αντίστοιχη της µεθόδου αυτής για δυσδιάστατα µοντέλα είναι η αναπαράσταση τετραδικού δένδρου (Quadtree representation). Βασίζεται σε µια συνεχή διαίρεση του χώρου σε όγδοα που ταξινοµούνται σε δένδρο µε οκτώ κλάδους, σχ.7.4. Κάθε κορυφή του δένδρου έχει ένα κωδικό και οκτώ δείκτες προς τους οκτώ κλάδους που αριθµούνται από 0 έως 7. Εάν ο κωδικός ="µαύρο", τότε το τµήµα του χώρου αυτού είναι γεµάτο µε υλικό και οι οκτώ δείκτες ="0".Εάν ο κωδικός ="λευκό", τότε ο χώρος αυτός είναι κενός. Εάν ο κωδικός ="γκρι", τότε ο χώρος είναι εν µέρει γεµάτος. Στην περίπτωση αυτή οι οκτώ δείκτες δείχνουν προς οκτώ υπό-περιοχές που παίρνουν τιµές ανάλογα µε την παραπάνω ταξινόµηση. Σχ.7.4. Ένα µοντέλο octree (α) η υποδιαίρεση του χώρου, (β) το αντικείµενο, (γ) το οκταδικό δένδρο. Ο τρόπος λειτουργίας της µεθόδου είναι ακριβώς αντίστροφος της ταξινόµησης που περιγράφεται παραπάνω. Το στερεό µοντέλο δηµιουργείται από τα επί µέρους στοιχειώδη στερεά. Κάθε κόµβος του οκταδικού δένδρου ταξινοµείται σε σχέση µε τονέοστοιχειώδες -7.6-

7 στερεό. Στην αρχή όλος ο χώρος είναι ένα κενό (άσπρο) οκταδικό δένδρο. Ο αλγόριθµος ταξινόµησης πρέπει να διαχωρίζει τις παρακάτω περιπτώσεις: 1. Οκόµβος του στερεού είναι εκτός του στοιχειώδους στερεού 2. Οκόµβος του στερεού µοντέλου είναι εντελώς µέσα στο στοιχειώδες στερεό 3. Οκόµβος του στερεού µοντέλου είναι εν µέρει στο εσωτερικό του στοιχειώδους στερεού. Στην πρώτη και στη δεύτερη περίπτωση ο κόµβος παίρνει την αντίστοιχη τιµή καιο αλγόριθµος τερµατίζεται. Στην τρίτη περίπτωση ο κόµβος γίνεται "γκρι" και ο αλγόριθµος επαναλαµβάνεται. Συνήθως επαναλαµβάνεται µέχρι του 6ου ή του 12ου επίπεδου. B ΚΥΤΤΑΡΙΚΗ ΑΠΟΣΥΝΘΕΣΗ (CELL DECOMPOSITION) Με τη µέθοδο αυτή δεν χρησιµοποιούνται απλά κυβικά στοιχεία για την διαίρεση του χώρου, αλλά σύνθετα κύτταρα (cells). Η µέθοδος αυτή ονοµάζεται κυτταρική διαίρεση, χρησιµοποιεί ορισµένου είδους παραµετρικά κύτταρα και µια µόνο λειτουργία την ένωση (glue). Τα κύτταρα ενώνονται µεταξύ τους στις οριακές επιφάνειες, καµπύλες ή κορυφές, αλλά δεν έχουν κοινά εσωτερικά σηµεία, σχ.7.5(α). Η µέθοδος αυτή χρησιµοποιείται συνήθως στην ανάλυση µε πεπερασµένα στοιχεία. Σχ.7.5. (α) Κυτταρική αποσύνθεση, (β) Κύτταρο δευτέρου βαθµού Ένα τυπικό κύτταρο µπορεί να είναι ένα κυρτό πολύεδρο που ορίζεται από 20 σηµεία. Οκτώ από τα σηµεία είναι στις κορυφές του κυττάρου και 12 σηµεία στις γραµµές µεταξύ των κορυφών. Κάθε πλευρά του πολύεδρου είναι µια καµπύλη δευτέρου βαθµού, που ορίζεται από τρία σηµεία και κάθε πλευρά είναι ένα διτετράγωνο επιφανειακό µπάλωµα που ορίζεται από οκτώ σηµεία, σχ.75(β)

8 7.4 ΣΥΝΘΕΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ - CONSTRUCTIVE MODELS Για την µοντελοποίηση στερεών χρησιµοποιούνται ορισµένα κλειστά στοιχειώδη στερεά, τα οποία συνδυάζονται µεταξύ τους µε τηµέθοδο Constructiνe Solid Geometry (CSG). Τα συνήθη κλειστά στοιχειώδη στερεά φαίνονται στο σχ.7.6. Ως µέθοδος είχε ορισµένες εφαρµογές στην αρχή, αλλά στη συνέχεια αντικαταστάθηκε από την Οριακή αναπαράσταση. Ηβασικήαρχήλειτουργίαςτης(λειτουργίες συνόλων) για την δηµιουργία του τελικού στερεού, εφαρµόζονται ακόµα σε όλα τα συστήµατα. Σχ.7.6. Συνήθη κλειστά στοιχειώδη στερεά που χρησιµοποιούνται σε σύστηµα συνθετικής στερεάς µοντελοποίησης ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ CSG Ο χρήστης ενός συστήµατος CSG χρησιµοποιεί παραµετρικά στοιχειώδη στερεά στα οποία εφαρµόζει µια σειρά από λειτουργίες συνόλων, για να σχηµατίσει το τελικό στερεό. Ένα στερεό µε τηµέθοδοαυτήπεριγράφεταιαπότοcsg δένδρο, που ορίζεται όπως παρακάτω <CSGtree>::=<primitiνe > < CSG tree > < set operation > < CSG tree > <CSGtree><rigidmotion> όπου < primitiνe > είναι µια απεικόνιση του στοιχειώδους στερεού < rigid motion > είναι µια περιστροφή ή µια µετατόπιση -7.8-

9 < set operation > είναι η ένωση (U), ήητοµή ( ), ήηδιαφορά(\) Υπάρχουν δύο µέθοδοι καταχώρησης των στοιχείων ενός µοντέλου CSG, µε τη µέθοδο των γράφων (graphs) και τη µέθοδο των δυαδικών δένδρων, (trees). Με τη πρώτη µέθοδο καταχωρούνται τα διαδοχικά βήµατα από τα οποία δηµιουργείται το τελικό στερεό από τα επιµέρους στερεά, ενώ µε τη δεύτερη καταχωρούνται αναλυτικά τα δεδοµένα που περιγράφουν όλα τα επί µέρους στερεά. Στο Σχ.7.7 φαίνεται ένα απλό στερεό για τον ορισµό του οποίου απαιτούµαι δύο στοιχειώδη στερεά, το ορθογώνιο και ο κύλινδρος. Ορίζονται τα στοιχειώδη στερεά Β 1, Β 2, Β 3, C 1 και C 3 και δηµιουργούνται έµµεσα τα στερεά Β 4, C 2, C 4 από µετασχηµατισµό (µετατόπιση) των Β 3,C 1 και C 3 αντίστοιχα. Σχ.7.7. Τυπικό στερεό και στοιχεία που το αποτελούν. Στο Σχ.7.8 φαίνεται ο γράφος που περιγράφει το στερεό αυτό και το δυαδικό δένδρο. Πολλά συστήµατα καταχωρούσαν και τις δύο µεθόδους στη βάση των δεδοµένων. Ο γράφος αποτελούσε την καταχώρηση της τοπολογίας, ενώ το δένδρο υπολογιζόταν όταν χρειαζόταν. Στην περίπτωση του δυαδικού δένδρου δεν περιγράφεται η σχέση µεταξύ των επιµέρους στοιχειωδών στερεών αλλά µόνοτατελικάστοιχειώδηστερεά. Τα στοιχειώδη στερεά αποτελούν τα φύλλα (leaves) του CSG δένδρου, ενώ οι εσωτερικοί κόµβοι αποτελούν µια λειτουργία συνόλων

10 Σχ.7.8. (Α) Γράφος CSG και (Β) Ισοσταθµισµένο CSG δυαδικό δένδρο για το στερεό του σχ.7.3.ε. P 1..P 4 =B 1..B 4,P 5..P 8 =C 1..C 4,OP 1..OP 7 =S 1..S 7. Επειδή τα διάφορα στοιχειώδη στερεά είναι κλειστά σύνολα σηµείων και το τελικό στερεό που δηµιουργείται από τη µέθοδο αυτή είναι ένα κλειστό σύνολο σηµείων ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΙΑ ΜΟΝΤΕΛΑ CSG Ένα δένδρο CSG αποτελεί µια συνοπτική περιγραφή του τελικού µοντέλου, το οποίο πρέπει να αναπτυχθεί για τη δηµιουργία της γραφικής εξόδου ή για την εκτέλεση των υπολογισµών. Ηγενικήαρχήγιατουςαλγόριθµους που εφαρµόζονται σε µοντέλα CSG είναι η διαίρεση του προβλήµατος σε δύο επί µέρους προβλήµατα, επαναληπτικά, µέχρι να φθάσουµε στο επίπεδο των στοιχειωδών στερεών, για τα οποία έχουµε τη λύση. Στη συνέχεια συνθέτουµε τη τελική λύση αντίστροφα από την προηγούµενη διαίρεση. Η µεθοδολογία αυτή ονοµάζεται diνide and conquer. Μερικοί από τους αλγόριθµους που στηρίζονται στην παραπάνω αρχή είναι: Η ταξινόµηση δύο συνόλων σηµείων (Set Membership Classification), που ενεργεί σε δύο σύνολα σηµείων το υποψήφιο σύνολο C και το σύνολο αναφοράς R, και κατατάσσει το C ως προς το R, σχηµατίζοντας τρία υποσύνολα του C, τα CεντόςR (CinR), CεπάνωR (ConR) και CεκτόςR (CoutR). Η ένωση αυτών των τριών συνόλων µας δίνει το αρχικό σύνολο C. Στο σχ.7.13, φαίνεται η διαίρεση ευθείας Ε που ορίζεται από τα σηµεία Ρ 1 και Ρ 2 σε τρία τµήµατα, σε σχέση µε τονκύβοs

11 Σχ ιαίρεση ευθείας σε σχέση µε ένα κύβο. Όταν το σύνολο C έχει πολλά σηµεία τοµής µε τοσύνολοr, τότε η ταξινόµηση των επιµέρους τµηµάτων σε εντός, εκτός και επάνω, γίνεται µε δύο τρόπους. 1. Εάν δεν έχουµε τµήµατα που συµπίπτουν (τµήµατα επάνω), τότε, αριθµούµε τασηµεία τοµής. Τα µονά σηµεία δείχνουν σηµεία εισόδου στο στερεό και τα ζυγά σηµεία εξόδου. Στο σχ.7.14 (Β), το τµήµα Ρ 0 Ρ 1 είναι εκτός του πολυγώνου, το τµήµα Ρ 1 Ρ 2 είναι εντός και το τµήµα Ρ 2 Ρ 3 είναι εκτός. 2. Εάν το σύνολο C περιέχει µια πλευρά του R, τότε αριθµούµε τις κορυφές του συνόλου αναφοράς οµοιόµορφα, δηλ, κατά τη φορά κίνησης των δεικτών-cw ή αντίστροφα-ccw και γνωρίζουµε ότι τα εντός τµήµατα του συνόλου C βρίσκονται στα αριστερά µιας ακµής. Για την περίπτωση της ccw αρίθµησης των κορυφών, ακµή που ορίζεται από τις κορυφές V i V i+1 µε την V i πάνω από το σηµείο τοµής C µεταξύ της ακµής και της καµπύλης, και το V i+1 κάτω από το C, έχουµε σηµείο εισόδου της καµπύλης στο στερεό, διαφορετικά εξόδου, σχ Σχ Μέθοδοι διαίρεσης γραµµής ως προς πολύγωνο. Για την ταξινόµηση γραµµής σε σχέση µε ένα στερεό που προκύπτει από συνδυασµό επί µέρους στερεών, η γραµµή ταξινοµείται σε σχέση µε τα επί µέρους στοιχειώδη στερεά που το συνιστούν και κατόπιν στα διάφορα τµήµατα της ακµής που

12 προκύπτουν από την ταξινόµηση εφαρµόζονται οι ίδιες λειτουργίες που εφαρµόζονται και στα στοιχειώδη στερεά για τον σχηµατισµό του τελικού στερεού, σχ Συνεπώς, ο αλγόριθµος έχει τα εξής βήµατα: Σχ Ταξινόµηση γραµµής σε σχέση µε περισσότερα του ενός πολύγωνα. 1. Με τον αλγόριθµο τοµής καµπύλης / στερεού βρίσκουµε τασηµεία τοµής της καµπύλης µε όλα τα στοιχειώδη στερεά. 2. Ταξινοµούµε τηνκαµπύλη σε σχέση µε τοκάθεέναστοιχειώδεςστερεό. 3. Συνδυάζουµε τα εντός και επάνω τµήµατα της καµπύλης µε τον τρόπο που συνδυάζουµε και τα αντίστοιχα στοιχειώδη στερεά. Βρίσκουµε τα εκτός τµήµατα αφαιρώντας από το υποψήφιο σύνολο (καµπύλη), τα εντός και επάνω τµήµατα. Μια εφαρµογή της µεθόδου αυτής είναι η δηµιουργία του µοντέλου πλέγµατος (wire frame), από ένα στερεό µοντέλο, που εκτελείται σε δύο στάδια 1. ηµιουργία "πιθανού" συνόλου ακµών, που προκύπτει από τον υπολογισµό του συνόλου των καµπυλών τοµής µεταξύ των διαφόρων εδρών που συνιστούν το στερεό. 2. Ταξινόµηση κάθε καµπύλης από το σύνολο αυτό έναντι του στερεού R, και δηµιουργία του συνόλου των καµπυλών CεπάνωR. Στην περίπτωση που έχουµε συνδυασµό τµηµάτων του υποψήφιου συνόλου που είναι επάνω και τα δύο, τότε η πληροφόρηση αυτή δεν είναι επαρκής από µόνη της όπως φαίνεται και στο σχ.7.16α. Το αποτέλεσµα είναι αβέβαιο και για να προσδιοριστεί απαιτείται και η έννοια της γειτονιάς του σηµείου (Neighbourhood), σχ.7.16β. Οορισµός της γειτονιάς

13 διαφέρει για έδρες και ακµές, σχ.7.17, ενώ δεν έχει έννοια για κορυφές. Ως γειτονιά σηµείου ΡωςπροςστερεόS, Ν(P,S), ορίζεται η τοµή σφαίρας κέντρου Ρ, ακτίνας R, µε τοστερεόs. Σχ (Α) Περιπτώσεις που ο συνδυασµός τµηµάτων Επάνω / Επάνω µας δίνει διαφορετικά αποτελέσµατα, και (Β) Πληροφορίες γειτονιάς σηµείων για την επίλυση των συνδυασµών τµηµάτων Επάνω / Επάνω. Σχ Γειτονιές σηµείων έδρας και ακµής. Ο αλγόριθµος Οριακής Ανάπτυξης (Boundary Evaluation), δηµιουργεί τις πλευρές του στερεού µοντέλου που θα χρησιµοποιηθούν για την απόκρυψη κρυφών γραµµών. Η οριακή απεικόνιση αναπτύσσεται είτε ταυτόχρονα µε τηδηµιουργία του δένδρου CSG είτε όταν απαιτείται από κάποιο αλγόριθµο. Στην πρώτη περίπτωση για τον υπολογισµό ορισµένων ιδιοτήτων χρησιµοποιούνται οι αλγόριθµοι αυτής της οριακής απεικόνισης. Η µέθοδος αυτή είναι σε συνάρτηση µε τον τρόπο που καταχωρούνται τα δεδοµένα ενός µοντέλου σε ένα σύστηµα CSG Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ CSG. Οι κυριότερες ιδιότητες των µοντέλων αυτών είναι:

14 υνατότητα απεικόνισης. Εξαρτάται από τους ηµίχωρους που είναι διαθέσιµοι. εν µπορούν εν γένει να επεκταθούν έτσι ώστε να καλύπτουν τµήµατα επιφανειών (surface patches). Εγκυρότητα. Κάθε δένδρο CSG παριστάνει ένα υπαρκτό στερεό, µε την προϋπόθεση ότι τα επί µέρους στερεά είναι υπαρκτά. Ακρίβεια και µοναδικότητα. Κάθε δένδρο CSG παριστάνει ένα αποδεκτό στερεό. Η µοναδικότητα δεν εγγυάται. Γλώσσες περιγραφής. Συνήθης περιγραφική γλώσσα. Μέγεθος. Τα µοντέλα αυτά είναι συνήθως µικρού µεγέθους. Ακρίβεια υπολογισµών. Όλες οι λειτουργίες Boolean είναι ακριβείς. Πολυπλοκότητα υπολογισµών. Οι περισσότεροι αλγόριθµοι είναι σχετικά απλοί. Τα µοντέλα αυτά έχουν αναπτυχθεί αρκετά και υπάρχουν πολλοί αλγόριθµοι που εκτελούν τους αναγκαίους υπολογισµούς και για τον λόγο αυτό υπάρχουν και αρκετά συστήµατα που βασίζονται σε αυτή τη µέθοδο

15 7.5 ΟΡΙΑΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Σε αντίθεση µε την προηγούµενη µέθοδοηοριακήαναπαράστασηστηρίζεταιστον χαρακτηρισµό των εδρών που περιβάλλουν το στερεό. Το στερεό αντικείµενο αναπαρίσταται ως µια συλλογή εδρών (faces) που η κάθε µια µπορεί να απεικονισθεί µαθηµατικά και πληροί ορισµένα κριτήρια τοπολογίας. Ηκάθεµια από αυτές τις έδρες περιβάλλεται από µια σύνθετη κλειστή καµπύλη που ανήκει στην έδρα αυτή. Μια έδρα µπορεί όµως να περιέχει και κλειστές καµπύλες στο εσωτερικό της, µε την προυπόθεση να πληρούν κανόνες εγκυρότητας. Οορισµός µιας έδρας φαίνεται στο Σχ Οι έδρες (α) και (c) ορίζονται από δύο ασύνδετα σύνολα καµπυλών και ορίζονται ως δύο έδρες. Οι έδρες (d) και (e) είναι δυο ειδικές περιπτώσεις όπου οι καµπύλες ορισµού ενώνονται σε ένα σηµείο. Ηέδρα(d) είναι µια µόνο έδρα ενώ η (e) είναι δύο έδρες. Η έδρα (b) είναι µια µόνο έδρα µε δύο περιβάλλουσες καµπύλες. Σχ Ορισµός έδρας. Κάθε έδρα αποτελείται από περιοχές ή υποσύνολα κλειστών και προσανατολισµένων επιφανειών. Ως κλειστή επιφάνεια ορίζεται εκείνη που είναι συνεχής χωρίς σπασίµατα και ως προσανατολισµένη επιφάνεια χαρακτηρίζεται εκείνη στην οποία είναι εφικτό να διακρίνουµε τις δύο όψεις της µε βάση τη διεύθυνση του κάθετου διανύσµατος προς την επιφάνεια. Συνεπώς, το κάθετο διάνυσµα µπορεί να κατευθύνεται προς το εσωτερικό ή το εξωτερικό του προς µοντελοποίηση εξαρτήµατος. Η περιβάλλουσα καµπύλη µιας επιφάνειας και κάθε εσωτερική καµπύλη, ορίζονται από σειρά ακµών (edges). Κάθε µια από τις ακµές ορίζεται από µια παραµετρική εξίσωση και από δύο κορυφές (νertices). Στο Σχ.7.19, φαίνεται ο παραπάνω διαχωρισµός ενός απλού κύβου (α), σε έδρες (b), ακµές και κορυφές (c)

16 Σχ Συνιστώσες ενός µοντέλου οριακής απεικόνισης (α) στερεό, (β) έδρες, (γ) ακµές και κορυφές. Στηβάσητωνδεδοµένων καταχωρείται η τοπολογία και η γεωµετρία του στερεού. Η τοπολογία δηµιουργείται µε τη χρήση των λειτουργιών Euler και η γεωµετρία µε τις λειτουργίες µοντελοποίησης. Η τοπολογία δεν είναι ανεξάρτητη από την γεωµετρία, αλλά αντίθετα είναι άµεσα συνδεδεµένη και δηµιουργείται παράλληλα. Κατά τη µοντελοποίηση χρησιµοποιούνται κριτήρια εγκυρότητας του µοντέλου, κύρια τοπολογίας, ώστε να έχουµε πάντα ένα έγκυρο στερεό. Στο σχ.7.20 φαίνεται πως η εισαγωγή µιας κορυφής και η αλλαγή της θέσης της µπορεί να µας δώσει ένα µη έγκυρο στερεό. Σχ Κριτήρια τοπολογίας και γεωµετρίας για τον έλεγχο εγκυρότητας µοντέλου

17 7.5.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑΣ Τα στερεά χωρίζονται σε πολυεδρικά και καµπύλα. Τα πολυεδρικά έχουν µόνο επίπεδες έδρες ενώ τα καµπύλα έχουν και κυλινδρικές, σφαιρικές (δευτεροβάθµιες) έδρες ή έδρες ελεύθερης µορφής. Σε ένα στερεό διακρίνουµε τα παρακάτω στοιχεία τοπολογίας, σχ Σχ Στοιχεία τοπολογίας που ορίζουν ένα στερεό. Στερεό, αντιπροσωπεύει ένα αντικείµενο. Συγκεντρώνει όλα τα υπόλοιπα πέντε στοιχεία. Κέλυφος, περιβάλει ένα τµήµα τουχώρου. Έδρα, αντιπροσωπεύει το όριο µιας επιφάνειας. Ένα κέλυφος περιβάλλεται από έδρες. Βρόγχος, Αντιπροσωπεύει το όριο µιας έδρας. Μια έδρα έχει πάντα ως όριο ένα εξωτερικό βρόγχο. Εάν η έδρα περιέχει δακτυλίους, τότε ο αριθµός των βρόγχων αυξάνει όσοκαιοαριθµός των δακτυλίων. Ακµή, Αποτελεί την τοµή δύοεδρών. Ένας βρόγχος αποτελείται από σειρά ακµών. Κορυφή, αντιπροσωπεύει την γωνία ενός στερεού. Πολλές ακµές συντρέχουν σε µια κορυφή. Τα στοιχεία της τοπολογίας δεν µεταβάλλονται µε τους γεωµετρικούς µετασχηµατισµούς και δεν περιγράφουν καθόλου την γεωµετρία του κάθε στοιχείου. Αυτό γίνεται µε τα γεωµετρικά στοιχεία. Η σχέση µεταξύ των στοιχείων τοπολογίας και γεωµετρίας φαίνεται στο σχ Σχ Αντιστοιχία µεταξύ στοιχείων τοπολογίας και γεωµετρίας

18 Κάθε έδρα είναι προσανατολισµένη, ώστε να µας δείχνει άµεσα και την κατεύθυνση προς το εσωτερικό του, µε τη χρήση του πρόσηµου του κάθετου διανύσµατος, ηθετική κατεύθυνση του οποίου δείχνει προς το εξωτερικό του τµήµα, σχ Σχ Σχέση µεταξύ επιφάνειας και έδρας και η έννοια του κάθετου διανύσµατος. Επίσης οι βρόγχοι µέσα σε µια έδρα πρέπει να είναι προσανατολισµένοι και διακρίνονται σε εξωτερικούς και εσωτερικούς. Σε µία έδρα υπάρχει ένας εξωτερικός και κανένας, ένας ή περισσότεροι εσωτερικοί. Υπάρχουν δύο µέθοδοι διαχωρισµού του εξωτερικού από τους εσωτερικούς. Οι εξωτερικοί διαγράφονται µε κατεύθυνση αντίστροφα της φοράς κίνησης των δεικτών του ρολογιού -ccw, ενώ οι εσωτερικά µε την ιδία φορά -cw, σχ Σηµειώνονται οι βρόγχοι ως γονείς (εξωτερικοί) ήπαιδιά(εσωτερικοί), σχ Σχ Προσανατολισµός βρόγχων, Σχ Εδρα µε εσωτερικούς βρόγχους

19 7.5.2 ΟΜΕΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΟΡΙΑΚΗΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ υο είδη πληροφοριών περιέχονται στη βάση των δεδοµένων για ένα µοντέλο οριακής απεικόνισης, ηγεωµετρία και η τοπολογία. Ηγεωµετρία περιγράφει τις εξισώσεις των εδρών και των ακµών και τις συντεταγµένες των κορυφών και η τοπολογία τη σύνδεση µεταξύ στερεού, κελύφους, έδρας, βρόγχου, ακµής και κορυφής. Μερικές βασικές µεθόδους καταχώρησης των δεδοµένων θα περιγραφούν µε βάσητοαπλόορθογώνιοτουσχ Σχ Μοντέλο Ορθογωνίου. Όταν το στερεό ορίζεται από επίπεδες επιφάνειες µόνο (πολυεδρικό µοντέλο) τότε όλες οι ακµές του είναι ευθύγραµµα τµήµατα. Όλες οι έδρες του είναι πολύγωνα και κάθε ένα πολύγωνο ορίζεται από τις συντεταγµένες των κορυφών του. Το στερεό στη συνέχεια ορίζεται από τις έδρες που συνδέονται µεταξύ τους σε µια συνδεσµική λίστα ή σε ένα πίνακα. Η σύνδεση αυτή µερικές φορές δεν καταγράφεται και συνεπάγεται από τα δεδοµένα του. Η µορφή αυτή των δεδοµένων ονοµάζεται Πολυγωνική Οριακή Αναπαράσταση (Polygon-based Boundary Models). Στην προηγούµενη δοµή, οι συντεταγµένες των κορυφών καταγράφονται τόσες φορές όσες είναι και οι φορές που απαντώνται στις διάφορες έδρες. Με την εισαγωγή ακµών στην δοµή των δεδοµένων η πολλαπλότητα αυτή δεν εµφανίζεται. Ηδοµή αυτή ονοµάζεται Οριακή Αναπαράσταση µε βάση τις κορυφές (Vertex-based Boundary Models). Στον Πίνακα-1 φαίνεται µια λίστα δεδοµένων που περιγράφουν το απλό ορθογώνιο. Η σειρά καταγραφής των κορυφών σε µια έδρα είναι σηµαντική και είναι αντίθετη προς τη φορά κίνησης των δεικτών του ρολογιού κοιτάζοντας από έξω προς την έδρα του αντικειµένου και η φορά αυτή έχει σηµασία σε ορισµένους αλγόριθµους, όπως αποµάκρυνση κρυφών γραµµών, επιφανειών,κλπ. που γίνεται µε βάση το κάθετο διάνυσµα. Έδρεςστιςοποίεςτοκάθετοδιάνυσµα κατευθύνεται µακριά από το υλικό είναι αθέατες και δεν εµφανίζονται, (έδρες f 1,f 2 και f 5 στο ορθογώνιο)

20 εδοµένα που αφορούν επιφάνειες δεν έχουν καταγραφεί, γιατί στο µοντέλο αυτό όλες οι επιφάνειες είναι επίπεδες. Η απόφαση για τις πληροφορίες που θα καταγραφούν και για αυτές που θα υπολογισθούν άµεσα από το µοντέλο είναι πολύ σηµαντική. Αντίθετα η καταγραφή όλων των δεδοµένων µπορεί να δηµιουργήσει υπολογιστικά προβλήµατα. Κορυφή Συντεταγµένες Εδρα Κορυφές ν 1 x 1 y 1 z 1 f 1 v 1 v 2 v 3 v 4 ν 2 x 2 y 2 z 2 f 2 v 6 v 2 v 1 v 5 ν 3 x 3 y 3 z 3 f 3 v 7 v 3 v 2 v 5 ν 4 x 4 y 4 z 4 f 4 v 8 v 4 v 3 v 7 ν 5 x 5 y 5 z 5 f 5 v 5 v 1 v 4 v 8 ν 6 x 6 y 6 z 6 f 6 v 8 v 7 v 6 v 5 ν 7 x 7 y 7 z 7 v 8 x 8 y 8 z 8 Πίνακας 1. οµή δεδοµένων- Οριακή Αναπαράσταση µε βάση τις κορυφές (Vertex Based Boundary Model). Εάν το στερεό περιέχει και καµπύλες επιφάνειες, τότε είναι απαραίτητο να καταγράφονται και τα δεδοµένα των ακµών αναλυτικά στη βάση των δεδοµένων, ώστε να καταχωρούνται και οι πληροφορίες για τις ακµές στις οποίες τέµνονται οι έδρες µεταξύ τους. Η µέθοδος αυτή ονοµάζεται Οριακή Απεικόνιση µε βάση τις ακµές (Edge-based Boundary Models), και τα δεδοµένα που καταχωρούνται δίνονται στον Πίνακα-2. Οι έδρες ορίζονται από τη λίστα των ακµών που τις ορίζουν και οι κορυφές ορίζονται µόνο µέσα από τις ακµές που ορίζουν. Ηδοµή αυτήτωνδεδοµένων ορίζει και το προσανατολισµό κάθε ακµής (πχ. ηακµή e 1 είναι θετική από την κορυφή v 1 προς τη v 2 ). Οιέδρεςεπίσηςορίζονται µε ένα ορισµένο τρόπο, πχ. αντίθετα προς τη φορά κίνησης των δεικτών του ρολογιού κοιτάζοντας από έξω προς την έδρα του αντικειµένου. Κάθε ακµή αναφέρεται σε δυο έδρες στη µια µε τηθετικήφοράκαιστηνάλλη µε την αρνητική. Τα παραπάνω δεδοµένα µπορούν να επεκταθούν µε πρόσθετες πληροφορίες που µπορούν να βοηθήσουν τους αλγόριθµους σκίασης, αποµάκρυνσης γραµµών και επιφανειών, κλπ. Μιατέτοιαδοµή ηwinged-edge Data Structure φαίνεται στον Πίνακα-3. Επειδή κάθε ακµή εµφανίζεται σε δύο έδρες, µετά από κάθε ακµή ακολουθούν δύο άλλες ακµές στις επιφάνειες αυτές. Οι ακµές αυτές συµβολίζονται ως ncc (next clockwise) και ορίζεται ως η επόµενη ακµή στην έδρα στην οποία η παρούσα ακµή περιέχεταιµε τηθετική κατεύθυνση και nccw (next counter clockwise) καιορίζεταιωςηεπόµενη ακµήστηνέδρα

21 στην οποία η παρούσα ακµή περιέχεται µε την αρνητική κατεύθυνση. Βασιζόµενοι σε αυτή την αναπαράσταση, ο ορισµός των εδρών γίνεται από µια µόνο ακµή και τον προσανατολισµό στηνέδρααυτή. Στη συνέχεια ορίζονται οι υπόλοιπες από τη συνδεσµική λίστα των ακµών. Ακµή Κορυφές Κορυφή Συντεταγµένες Έδρα Ακµές e 1 v 1 v 2 v 1 x 1 y 1 z 1 f 1 e 1 e 2 e 3 e 4 e 2 v 2 v 3 v 2 x 2 y 2 z 2 f 2 e 9 e 6 e 1 e 5 e 3 v 3 v 4 v 3 x 3 y 3 z 3 f 3 e 10 e 7 e 2 e 6 e 4 v 4 v 1 v 4 x 4 y 4 z 4 f 4 e 11 e 8 e 3 e 7 e 5 v 1 v 5 v 5 x 5 y 5 z 5 f 5 e 12 e 5 e 4 e 8 e 6 v 2 v 6 v 6 x 6 y 6 z 6 f 6 e 12 e 11 e 10 e 9 e 7 v 3 v 7 v 7 x 7 y 7 z 7 e 8 v 4 v 8 v 8 x 8 y 8 z 8 e 9 v 5 v 6 e 10 v 6 v 7 e 11 v 7 v 8 e 12 v 8 v 5 Πίνακας 2. εδοµένα που περιγράφουν ένα Edge-based Boundary Model. Σε µια πιο γενικευµένη περίπτωση δεδοµένων, για κάθε ακµή καταγράφονται: οι δύο έδρες που συναντώνται σε αυτή την ακµή, οι fcw (face clockwise), έδρα στην οποία ανήκει η ακµή µε τη Θετική της φορά και fccw (face counter clockwise) έδρα στην οποία ανήκει η ακµή µε τηαρνητικήτηςφορά, οι δύο ακµές που προηγούνται µιας ακµής οι pcw (previous clockwise) και pccw (previous counter clockwise), σύµφωνα µε τον προηγούµενο ορισµό τωνncw και nccw. Στην δοµή αυτήτωνδεδοµένων (full Winged-edge Data structure) οι συντελεστές κατεύθυνσης δεν είναι απαραίτητοι. Τα δεδοµένα που καταχωρούνται φαίνονται στον Πίνακα 4 και η σχέση τους στο Σχ Σχ Σχηµατική παράσταση της πλήρους δοµής δεδοµένων wingededge

22 Ακµή Κορυφή Αρχής Κορυφή Τέλους ncw Nccw e 1 v 1 v 2 e 2 e 5 e 2 v 2 v 3 e 3 e 6 e 3 v 3 v 4 e 4 e 7 e 4 v 4 v 1 e 1 e 8 e 5 v 1 v 5 e 9 e 4 e 6 v 2 v 6 e 10 e 1 e 7 v 3 v 7 e 11 e 2 e 8 v 4 v 8 e 12 e 3 e 9 v 5 v 6 e 6 e 12 e 10 v 6 v 7 e 7 e 9 e 11 v 7 v 8 e 8 e 10 e 12 v 8 v 5 e 5 e 11 Κορυφή Συντεταγµένες 'Εδρα Πρώτη ακµή Πρόσηµο v 1 x 1 y 1 z 1 f 1 e 1 + v 2 x 2 y 2 z 2 f 2 e 9 + v 3 x 3 y 3 z 3 f 3 e 6 + v 4 x 4 y 4 z 4 f 4 e 7 + v 5 x 5 y 5 z 5 f 5 e 12 + v 6 x 6 y 6 z 6 f 6 e 9 - v 7 x 7 y 7 z 7 v 8 x 8 y 8 z 8 Πίνακας 3. Η Winged-Edge δοµή δεδοµένων. Ακµή Κορυφή Κορυφή fcw fccw ncw pcw nccw pccw Αρχής Τέλους e 1 v 1 v 2 f 1 f 2 e 2 e 4 E 5 e 6 e 2 v 2 v 3 f 1 f 3 e 3 e 1 E 6 e 7 e 3 v 3 v 4 f 1 f 4 e 4 e 2 E 7 e 8 e 4 v 4 v 1 f 1 f 5 e 1 e 3 E 8 e 5 e 5 v 1 v 5 f 2 f 5 e 9 e 1 E 4 e 12 e 6 v 2 v 6 f 3 f 2 e 10 e 2 E 1 e 9 e 7 v 3 v 7 f 4 f 3 e 11 e 3 E 2 e 10 e 8 v 4 v 8 f 5 f 4 e 12 e 4 E 3 e 11 e 9 v 5 v 6 f 2 f 6 e 6 e 5 E 12 e 10 e 10 v 6 v 7 f 3 f 6 e 7 e 6 E 9 e 11 e 11 v 7 v 8 f 4 f 6 e 8 e 7 E 10 e 12 e 12 v 8 v 5 f 5 f 6 e 5 e 8 E 11 e 9 Κορυφή Πρώτη ακµή Συντεταγµένες Έδρα Πρώτη ακµή v 1 e 1 x 1 y 1 z 1 f 1 E 1 v 2 e 2 x 2 y 2 z 2 f 2 E 9 v 3 e 3 x 3 y 3 z 3 f 3 E 6 v 4 e 4 x 4 y 4 z 4 f 4 E 7 v 5 e 9 x 5 y 5 z 5 f 5 E 12 v 6 e 10 x 6 y 6 z 6 f 6 E 9 v 7 e 11 x 7 y 7 z 7 v 8 e 12 x 8 y 8 z 8 Πίνακας 4. οµή δεδοµένων για το πλήρες µοντέλο winged-edge

23 Οι παραπάνω δοµές δεδοµένων είναι κατάλληλες για την περιγραφή στερεών που αποτελούνται από έδρες µε µία µόνο περιβάλλουσα. Το στερεό όµως του Σχ.7.28 περιέχει και έδρες µε δύο περιβάλλουσες. Για την µοντελοποίηση αυτού του στερεού µπορεί να χρησιµοποιηθούν οι παρακάτω τεχνικές. Οι δυο περιβάλλουσες ενώνονται µεταξύ τους µε µια βοηθητική ακµή (η διακεκοµµένη του σχήµατος) (bridge edge representation). Οι βοηθητικές αυτές ακµές πρέπει να σηµειώνονται ειδικά για να µην παρουσιάζονται στην οθόνη. Στην περίπτωση της πλήρους απεικόνισης, ησηµείωση αυτή προέρχεται από τις τιµές fcw και fccw που είναι οι ίδιες. Ηδεύτερηµέθοδος είναι να περιγράφεται µια έδρα όχι από την περιβάλλουσά της αλλά από µια λίστα βρόγχων, όπου ο κάθε βρόγχος περιγράφει τις ακµές που περιέχει, και είναι η µέθοδος που χρησιµοποιείται σήµερααπόόλασχεδόντα συστήµατα, σχ Σχ Αντικείµενο µε έδρες µε δύο περιβάλλουσες που ορίζονται µε βοηθητική ακµή. Σχ ιαχείριση βρόγχων στη δοµή δεδοµένων winged edge. Σχ Λίστα δεδοµένων µεταξύ Γονέα βρόγχου και Βρόγχου Παιδί, για τρεις εσωτερικούς βρόγχους

24 7.5.3 ΕΓΚΥΡΟΤΗΤΑ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΟΡΙΑΚΗΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗΣ Τα κριτήρια εγκυρότητας ενός µοντέλου οριακής απεικόνισης είναι τα παρακάτω: Το σύνολο των εδρών του µοντέλου είναι "κλειστό", δηλαδή περιβάλλει πλήρως το στερεό, ως ένας φλοιός. Οι έδρες του µοντέλου τέµνονται µόνο στις ακµές και στις κορυφές που έχουµε ορίσει. Η περιβάλλουσα κάθε έδρας είναι ένα απλό πολύγωνο µε ακµές που δεν τέµνονται µεταξύ τους. Ο πρώτος όρος αποκλείει τον ορισµό µοντέλων του σχ.7.31(β) ενώ ο δεύτερος και ο τρίτος όρος του σχ.7.31(α). Ο πρώτος όρος εκπληρώνεται µε τοναορίζεταικάθεακµήσε ακριβώς δύο έδρες. Ο δεύτερος όµως και ο τρίτος όρος δεν ελέγχονται εύκολα, και συνήθως επιβάλλονται στο χρήστη από τον τρόπο ορισµού των µοντέλων. Σχ Μη έγκυρα οριακά µοντέλα Όλα τα προηγούµενα µοντέλα είναι κατάλληλα για τη διαχείριση αντικειµένων που κατατάσσονται ως 2-manifolds. ηλ. τα µοντέλα αυτά πληρούν τους παρακάτω κανόνες ένα στερεό δεν έχει τµήµα που µοιράζεται µια ακµή µόνο ένα στερεό δεν έχει τµήµα που µοιράζεται µια κορυφή µόνο Τα στερεά που δεν πληρούν τα παραπάνω κριτήρια ονοµάζονται non-manifolds, σχ Αυτά µπορούν να περιγραφούν µε τηχρήσητηςradial-edge δοµής δεδοµένων, σχ Σχ Στερεά που δεν είναι 2- manifolds

25 Σχ Radial Edge δοµή δεδοµένων ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ EULER Με τις λειτουργίες αυτές γίνεται η διαχείριση της δοµής των δεδοµένων των στοιχείων τοπολογίας του µοντέλου. Ο χρήστης στα περισσότερα συστήµατα δεν έχει πρόσβαση στις λειτουργίες αυτές, αλλά ορίζει το µοντέλο µε γεωµετρικές λειτουργίες, οι οποίες καλούν στη συνέχεια τις λειτουργίες EULER. Οι λειτουργίες που εκτελούνται είναι λίγες, αλλά αρκετές για τη διαχείριση του µοντέλου, και χωρίζονται σε τρεις κατηγορίες: 1. Πρωτότυπες στοιχειώδεις (skeletal primitives) που δηµιουργούν το σκελετό του µοντέλου 2. Τοπικές λειτουργίες τοπολογίας που χρησιµοποιούνται για τη διαχείριση των ακµών ή των κορυφών µιας έδρας. 3. Γενικές λειτουργίες τοπολογίες που εφαρµόζονται σε δύο στερεά. Για την ονοµασία των λειτουργιών Euler χρησιµοποιείται ο συµβολισµός, πίνακας 5: Μ-make-δηµιουργώ Ε-edge-ακµή S-Split-Χωρίζω Κ-kill-διαγράφω L-Loop-βρόγχος G-Glue-Ενώνω V-vertex-κορυφή F-face-έδρα Η-hole-οπή Β(ήS)-Shell-Κέλυφος Πίνακας 5. Συµβολισµός λειτουργιών Euler. Συνεπώς, η λειτουργία MEV-make edge vertex- σηµαίνει "δηµιουργία ακµής κορυφής". Ο αριθµός των λειτουργιών σε κάθε σύστηµα δεν είναι σταθερός, αλλά µπορούµε µε βάσηορισµένες από τις βασικές λειτουργίες να δηµιουργήσουµε και νέες για ευκολότερη διαχείριση του µοντέλου

26 ΠΡΩΤΟΤΥΠΕΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩ ΕΙΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ Η λειτουργία MVFS (Make Vertex Face Solid) - ηµιουργία κορυφής έδρας στερεού, δηµιουργείτηβάσητωνδεδοµένων που έχει µια µόνο έδρα και µια µόνο κορυφή. Ηέδρα ορίζεται από ένα "κενό" βρόγχο µε καµία ακµή, σχ Το µοντέλο που ορίζεται µε τον τρόπο αυτό µπορεί να µην είναι έγκυρο, αλλά αποτελεί ένα καλό αρχικό στάδιο για την περαιτέρω ανάπτυξή του. Η αντίστροφη λειτουργία της MVFS είναι η KVFS και διαγράφει ένα στερεό που έχει δηµιουργηθεί µε τον τρόπο αυτό. Σχ Η λειτουργία MVFS ΤΟΠΙΚΕΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ Η πρώτη λειτουργία είναι η MEV (KEV) - ηµιουργία (διαγραφή) ακµής κορυφής. διαιρεί τον κύκλο των ακµών µιας κορυφής σε δύο κύκλους, χωρίζοντας µια κορυφή σε δύο κορυφές, που ενώνονται µε µια ακµή, σχ Το αποτέλεσµα είναι η προσθήκη µιας κορυφής και µιας ακµής στη δοµή των δεδοµένων. Το αποτέλεσµα της λειτουργίας σε µια "µοναχική" κορυφή φαίνεται στο σχ.7.35(β). Η αντίστροφη λειτουργία αφαιρεί µια ακµή και ενώνει τις δύο κορυφές σε µία. Σχ Η λειτουργία MEV. Η λειτουργία MEF (KEF) - ηµιουργία ( ιαγραφή) ακµής έδρας, διαιρεί ένα βρόγχο ενώνοντας δύο κορυφές µε µια ακµή. Το αποτέλεσµα της λειτουργίας είναι η προσθήκη µιας νέας ακµής και µιας έδρας στη δοµή των δεδοµένων, σχ Το αποτέλεσµα της λειτουργίας αυτής στη περίπτωση της µοναχικής κορυφής φαίνεται στο σχ.7.36(β). Η αντίστροφη λειτουργία KEF αφαιρεί µια ακµή απότηδοµή των δεδοµένων και ενώνει δύο έδρες σε µια κοινή έδρα

27 Σχ Η λειτουργία MEF. Η λειτουργία KEML (MEKL) διαιρεί ένα βρόγχο σε δύο νέους, αφαιρώντας µια ακµή που εµφανίζεται δύο φορές στο βρόγχο, σχ Συνεπώς, η λειτουργία αυτή διαιρεί µια περιβάλλουσα καµπύλη µιας έδρας σε δύο περιβάλλουσες, και το αποτέλεσµά τηςείναιη αφαίρεση από τη δοµή των δεδοµένων µιας ακµής και η προσθήκη ενός δακτυλίου (loop). Ειδικές περιπτώσεις είναι η καµπύλη να περιέχει ένα κενό βρόγχο, σχ.7.37(β,γ). Η αντίστροφη λειτουργία ενώνει δύο βρόγχους µιας έδρας ενώνοντας µιακορυφήαπότοκάθε βρόγχο µε µία ακµή. Σχ Η λειτουργία KEML. ΓΕΝΙΚΕΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑΣ Με τις λειτουργίες αυτές µπορούµε να διαιρέσουµε ένα στερεό σε δύο τµήµατα, να δηµιουργήσουµε µια οπή σε ένα στερεό, κλπ. Η λειτουργία KFMLH-Kill Face Make Loop Hole, ενεργεί σε δύο έδρες f 1 και f 2 και τις ενώνει, µετασχηµατίζοντας την περιβάλλουσα καµπύλη της f 2 σε δακτύλιο στην f 1. Η λειτουργία αυτή δεν έχει καµία επίδραση στο τοπικό επίπεδο των ακµών και κορυφών, σχ.7.38(α). Η λειτουργία αυτή δηµιουργεί µια οπή µόνο στην περίπτωση που οι δύο έδρες ανήκουν στο ίδιο κέλυφος, διαφορετικά όταν ανήκουν σε διαφορετικά κελύφη δηµιουργεί ένα κέλυφος από τα δύο, σχ.7.38(β). Η αντίστροφη λειτουργία MFKLH µετατρέπει ένα δακτύλιο σε µια έδρα σε περιβάλλουσα καµπύλη µιας νέας έδρας

28 Σχ Η λειτουργία KFMLH. Στον πίνακα 6 φαίνονται ορισµένες λειτουργίες Euler. Περιλαµβάνονται και µερικές σύνθετες λειτουργίες, η έννοια των οποίων είναι προφανής. Στον πίνακα 7 φαίνεται η µεταβολή που επέρχεται στον αριθµό των στοιχείων της τοπολογίας από κάθε µία από τις λειτουργίες του πίνακα 6, δηλαδή η µεταβολή στον αριθµό των κορυφών (V), των ακµών (Ε), των εδρών (F), των βρόγχων (L), των κελυφών (S) και των οπών (Η). Στο σχ.7.39 φαίνεται µε σχηµατικό τρόπο το αποτέλεσµα των λειτουργιών του πίνακα 6. Λειτουργία Τελεστής Αντίστροφος Περιγραφή τελεστής Πρωτότυπη MSFV KSFV Make Shell, Face, Vertex Τοπικές MEV KEV Make Edge, Vertex µεταβολές MEKL KEML Make Edge, Kill Loop MEF KEF Make Edge, Face MEKSFL KEMSFL Make Edge, Kill Shell, Face,Loop MFKLG KFMLH Make Face, Kill Loop, Hole Γενικές KFEVMH MFEVKH Kill Face, Edge, Vertex, Make Hole KFEVS MFEVS Kill Face, Edge, Vertex, Shell Σύνθετες ΜΜΕ ΚΜΕ Make Multiple Edges ESPLIT ESQUEEZE Edge Split KVE Kill Vertex, Edge Πίνακας 6. Λειτουργίες Euler. Τελεστής F Ε V L S Η MSFV MEV MEKL MEF MEKSFL MFKLG KFEVMH -2 -η -η KFEVS -2 -η -η ΜΜΕ 0 η η ESPLIT KVE -(η-1 -η ~ 0 ) Πίνακας 7. Μεταβολή που επιφέρουν στα στοιχεία της τοπολογίας οι διάφορες λειτουργίες Euler

29 Σχ ηµιουργία τοπολογίας µε τη χρήση λειτουργιών Euler. Oι λειτουργίες τοπολογίας δεν µπορούν να αλλάξουν την γεωµετρία. Για την διαχείριση όµως καµπυλών και επιφανειών ελεύθερης µορφής, όπου η γεωµετρία της καµπύλης ορίζεται από τα σηµεία ελέγχου, µπορούµε ναέχουµε και λειτουργίες τοπολογίας που µετατρέπουν ένα ευθύγραµµο τµήµα σε καµπύλη, ή µια επίπεδη επιφάνεια σε µπάλωµα. MCV (KCV) - ηµιουργία Κορυφής σε Καµπύλη (Make Curve Vertice). Μετατρέπει µια ευθύγραµµη ακµή σε καµπύλη ακµή, που περιέχει τη µορφή που προσδιορίζεται από την καµπύλη c, σχ Σχ Η λειτουργία MCV (KCV)

30 MSF (KSF) - ηµιουργία Επιφάνειας Έδρας (Make Surface Face), προσθέτει τα δεδοµένα της επιφάνειας σε ένα εξωτερικό βρόγχο. Ηαρχικήµορφή της επιφάνειας δεν καταχωρείται και υπολογίζεται όταν απαιτείται από παρεµβολή της περιβάλλουσας του βρόγχου. Με την εντολή αυτή καταχωρούνται τα στοιχεία της επιφάνειας, σχ Σχ Η λειτουργία MSF (KSF). TV - Μετατόπιση Κορυφής (Translate Vertice), µετατοπίζει µια κορυφή V κατά ένα διάνυσµα ν. Η αντίστροφή της είναι προφανώς η ίδια εντολή, σχ Σχ Η λειτουργία TV TCV - Μετατόπιση Κορυφής Καµπύλης (Translate Curve Vertice), µετατοπίζει ένα από τα σηµεία ελέγχου καµπύλης ελεύθερης µορφής κατά διάνυσµα ν. Η αντίστροφή της είναι ακριβώς η ίδια. Η εντολή αυτή αλλάζει την µορφή της καµπύλης αλλά έχει ως αποτέλεσµα τηναπώλειατηςγεωµετρίαςτωνεπιφανειώνπουσυντρέχουνστηνακµή αυτή, σχ Σχ Η λειτουργία TCV. TSF - Μετατόπιση Επιφάνειας Έδρας (Translate Surface Face), µετατοπίζει ένα σηµείο ελέγχου επιφάνειας ελεύθερης µορφής κατά διάνυσµα ν. Η αντίστροφή της είναι ακριβώς η ίδια. Η εντολή αυτή αλλάζει την µορφή της επιφάνειας, σχ

31 Σχ Η λειτουργία TSF. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΩΝ EULER. ηµιουργία ορθογώνιου µε διαµπερή ορθογώνια οπή κατά το ύψος του. Ησειρά δηµιουργία του στερεού φαίνεται στο σχ Οι λειτουργίες που χρησιµοποιούνται σε κάθε στάδιο έχουν ως εξής: Στάδιο Λειτουργίες Αποτέλεσµα 34(α) MVFS Στοιχειώδες µοντέλο 34(b) MEV (3) ηµιουργία τριών ακµών βάσης 34(c) MEF ηµιουργία έδρας βάσης (lamina) 34(d) MEV (4) ηµιουργία τεσσάρων κάθετων ακµών 34(e) MEF (4) ηµιουργία τεσσάρων κάθετων εδρών 34(f) MEV ηµιουργία βοηθητικής ακµής 34(g) KEMR ιαγραφή ακµής δηµιουργία εσωτερικού δακτυλίου 34(h) MEV (3) ηµιουργία τριών ακµών οπής στην άνω έδρα 34(i) MEF ηµιουργία έδρας οπής στην άνω έδρα 34(j) MEV (4) ηµιουργία τεσσάρων κάθετων ακµών οπής 34(k) MEV (4) ηµιουργία τεσσάρων κάθετων εδρών οπής 34(Π KFMRH Αφαίρεση κάτω έδρας οπής από την κάτω έδρα

32 Σχ ηµιουργία στερεού µε λειτουργίες Euler

33 7.5.5 ΕΓΚΥΡΟΤΗΤΑ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΩΝ EULER Για να σχηµατίζουν οι λειτουργίες EULER ένα έγκυρο κλειστό πολυεδρικό ή καµπύλο µοντέλο, πρέπει να ισχύει η σχέση EULER-POINCARE F-Ε+V-L=2(S-Η) όπου F:Αριθµός εδρών του στερεού Ε : Αριθµός ακµών του στερεού V:Αριθµός κορυφών του στερεού L: Αριθµός εσωτερικών βρόγχων (δακτυλίων) στις έδρες του στερεού S: Αριθµός κελυφών (shells) ήσωµάτων (bodies) του στερεού Η : Αριθµός διαµπερών οπών στο στερεό (genus) Στο σχ.7.46 φαίνονται διάφορα κλειστά πολυεδρικά στερεά, και στον Πίνακα 8 φαίνεται ο αριθµός των στοιχείων τοπολογίας που συνθέτουν κάθε ένα από αυτά. Στο σχ.7.47 κλειστά καµπύλα µοντέλα. Τα µοντέλα αυτά αναπαρίστανται µε ακρίβεια, ή µε προσέγγιση (faceted ή tessellation αναπαράσταση). Στα σύγχρονα συστήµατα χρησιµοποιείται η ακριβής αναπαράσταση. Το µοντέλο του κυλίνδρου ορίζεται από τρεις έδρες, (κυλινδρική, άνω και κάτω), δύο κορυφές και τρεις ακµές που συνδέουν τις δύο κορυφές. Οι υπόλοιπες ακµές που φαίνονται στο σχήµα είναι µόνο για επισκόπηση και καλλίτερη παρουσίαση. Το µοντέλο µιας σφαίρας αποτελείται από µια έδρα, µια κορυφή και δεν έχει καθόλου ακµές. Προφανώς και τα δύο µοντέλα πληρούν την σχέση EULER- POINCARE. Για τα ανοικτά πολυεδρικά µοντέλα, σχ.7.48, ισχύει η σχέση, F-Ε+V-L=Β-S Στην περίπτωση αυτή το S αναφέρεται σε ένα ανοικτό κέλυφος που µπορεί να είναι µια ακµή, µια έδρα ή ένας όγκος. Όλα τα µοντέλα του σχ.7.48 έχουν ένα κέλυφος και µόνο τα κελυφοειδή πολύεδρα (γ) έχουν µια οπή. Πίνακας 8. Αριθµός στοιχείων τοπολογίας αντικειµένων Αντικείµενο F E V L S H α(1) α(2) α(3) B c(1) c(2) d(1) d(2) d(3)

34 Σχ Κλειστάπολυεδρικάστερεά. Σχ Καµπύλα στερεά (κύλινδρος και σφαίρα) και η ακριβής οριακή αναπαράστασή τους. Σχ Ανοικτά πολυεδρικά αντικείµενα

35 7.5.6 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΙΑ ΟΡΙΑΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΜΦΑΝΙΣΗΣ ΣΤΗΝ ΟΘΟΝΗ Η οριακή αναπαράσταση περιλαµβάνει αναλυτικά καταχωρηµένα, όλα τα δεδοµένα που είναι απαραίτητα για τη λειτουργία των αλγόριθµων εµφάνισης στην οθόνη, σκίασης, απόκρυψης κρυφών γραµµών, επιφανειών, κλπ. και συνεπώς η εφαρµογή τους είναι άµεση. Η οριακή αναπαράσταση καταχωρεί µια ανεπτυγµένη (evaluated) αναπαράσταση του στερεού σε αντίθεση µε τη µέθοδο CSG που καταχωρεί µια "µη ανεπτυγµένη" αναπαράσταση του στερεού. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΗΤΩΝ Ο υπολογισµός αυτός γίνεται µε τη µέθοδο της άµεσης ολοκλήρωσης ή µε τη µέθοδο απόκλισης (diνergence theorem). Στην πρώτη περίπτωση, υπολογίζεται το χωρικό ολοκλήρωµα του στερεού ως το άθροισµα των κατάλληλο προσηµασµένων συνεισφορών των εδρών του, σχ Συνεπώς, το χωρικό ολοκλήρωµα µιας συνάρτησης f(x,y,z) στο στερεό S, υπολογίζεται ως: όπου F i ' είναι η προβολή της έδρας F i στο επίπεδο-xy και το z i (x,γ) υπολογίζεται από την επίλυση της εξίσωσης του F i ως προς z. Το πρόσηµο προκύπτει από τον προσανατολισµό του κάθετου διανύσµατος, εάν είναι προς το επίπεδο-xγ είναι αρνητικό διαφορετικά είναι θετικό. Το διπλό ολοκλήρωµα υπολογίζεται εφαρµόζοντας την ίδια αρχή σε κάθε ακµήτης έδρας Fi, σχ.7.49(β). Συνεπώς, υπολογίζεται ως ένα επιφανειακό ολοκλήρωµα της συνάρτησης g(χ,γ) στην έδρα, και υπολογίζεται από τη σχέση: όπου Ε j ' είναι η προβολή της ακµής Ε j στον άξονα-x και το y j (x) είναι η εξίσωση του Ε j ως προς y. Συνεπώς, αυτό µας οδηγεί στον υπολογισµό του απλού ολοκληρώµατος: όπου x j,0 και χ j,1 είναι οι προβολές των άκρων της Ε j. Επειδή τα z i (x,y) και γ j (x) παίρνουν µια µόνο τιµή, τότε καµπύλες και επιφάνειες χρειάζεται συνήθως να διαιρούνται σε δύο τµήµατα. Πρόσθετα προβλήµατα είναι η επίλυση

36 των καµπυλών και επιφανειών και ακόµα ο προσδιορισµός της εξίσωσης της προβολής της ακµής, Ε j ' από την F i '. Σχ Λειτουργία µεθόδου άµεσης ολοκλήρωσης. Ηδεύτερη µέθοδος στηρίζεται στην αρχή ότι είναι πάντοτε δυνατόν να βρούµε µια διανυσµατική συνάρτηση g(x,y,z) έτσι ώστε div g=f, για κάθε συνεχή συνάρτηση f(x,y,z), τότε έχουµε: και όπου F i είναι η έδρα του στερεού S, n i είναι το κάθετο διάνυσµα προς την έδρα F i df i είναι το επιφανειακό διαφορικό Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΑΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ Οι κυριότερες ιδιότητες των µοντέλων αυτών είναι: υνατότητα απεικόνισης. Εξαρτάται από τις επιφάνειες που µπορούν να χρησιµοποιηθούν. Ως επιφάνειες µπορούν να χρησιµοποιηθούν και οι ηµίχωροι, συνεπώς έχουν µεγαλύτερο εύρος από τη µέθοδο CSG. Ορισµένα όµως µοντέλα της CSG δεν µπορούν να µετατραπούν σε οριακή αναπαράσταση ικανοποιητικά. Έµπειροι χρήστες µπορούν να αποφύγουν τέτοιες περιπτώσεις, αλλά αυτό το µειονέκτηµα µπορεί να δηµιουργήσει προβλήµατα. Εγκυρότητα. Η εγκυρότητα των µοντέλων αυτών είναι πολύ δύσκολο να διασφαλισθεί. Τα κριτήρια εγκυρότητας χωρίζονται σε τοπολογικά και γεωµετρικά. Τα πρώτα ελέγχονται σχετικά εύκολα, ενώ τα δεύτερα απαιτούν πολύπλοκους υπολογισµούς που είναι χρονοβόροι

37 Ακρίβεια και µοναδικότητα. Έγκυρα µοντέλα είναι και ακριβή. εν είναι όµως µονοδιάστατα. Γλώσσα περιγραφής. Ηπεριγραφήτων µοντέλων είναι περίπλοκη και µόνο µετη χρήση των λειτουργιών µετατόπισης, ήτηχρήση µεθόδων CSG γίνεται εύκολη η περιγραφή ενός µοντέλου. Μέγεθος. Τα µοντέλα είναι συνήθως µεγάλου µεγέθους και ιδιαίτερα εάν οι καµπύλες επιφάνειες προσεγγίζονται µε επίπεδες. Ακρίβεια υπολογισµών. Πολλές από τις Boolean λειτουργίες δεν είναι έγκυρες, ιδιαίτερα εάν εφαρµόζονται σε CSG µοντέλα. Οι µόνες λειτουργίες που είναι ακριβείς είναι οι λειτουργίες Euler. Πολυπλοκότητα υπολογισµών. Τα µοντέλα BR είναι κατάλληλα για λειτουργίες γραφικής απεικόνισης. Οι αλγόριθµοι ανάλυσης είναι σχετικά πολύπλοκοι, ιδιαίτερα για µη πολυεδρικά στερεά

38 7.6 ΥΒΡΙ ΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ Από τις τρεις µεθόδους στερεάς µοντελοποίησης που περιγράφηκαν προηγουµένως καµία δεν υπερτερεί των υπολοίπων σηµαντικά. Το γεγονός αυτό κατέστησε αναγκαία την πολλαπλή απεικόνιση του ιδίου µοντέλου σε ένα µόνο σύστηµα. Τα µοντέλα αυτά ονοµάζονται υβριδικά (hybrid). Συνεπώς, ένα υβριδικό σύστηµαστέρεάς µοντελοποίησης παρέχει την δυνατότητα ταυτόχρονης συνύπαρξης διαφόρων στερεών απεικονίσεων και για κάθε λειτουργία επιλέγει την πιο αποδοτική απεικόνιση. Οι απεικονίσεις αυτές είναι συµβατές µεταξύ τους εφ όσον οι διάφοροι µετασχηµατισµοί από το ένα σύστηµα στο άλλο είναι εφικτές. Η πολλαπλή αυτή καταχώρηση των απεικονίσεων δεν αναφέρεται µόνο στις τρεις βασικές µεθόδους που αναφέρθηκαν, αλλά µπορεί να περιλαµβάνει και πχ. διαφορετικούς τρόπους καταχώρησης δεδοµένων για οριακή αναπαράσταση ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΥΒΡΙ ΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Τα κυριότερα προβλήµατα των υβριδικών συστηµάτων είναι: ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ Προφανώς οι αλγόριθµοι µετατροπής συνιστούν τµήµα ενός υβριδικού συστήµατος. Τα CSG συστήµατα µπορούν να µετατραπούν εύκολα σε άλλο είδος συστήµατος. Ιδιαίτερα η ανάπτυξη του CSG δένδρου σε οριακή απεικόνιση έχει αναπτυχθεί πλήρως και έχει ενοποιηθεί σε αρκετά συστήµατα. Ηαντίστροφηόµως µετατροπή δεν γίνεται σε όλες τις περιπτώσεις. Η µετατροπή των CGS και BREP σε µοντέλο Decomposition είναι και απλή και εφικτή. Ηαντίστροφηόµως µετατροπήδενέχειαναπτυχθείκαιδενέχειπρακτικήσηµασία. Εν γένει η µετατροπή από CGS και οριακή αναπαράσταση σε µοντέλο Decomposition αποτελεί ένα ενδιάµεσο στάδιο µόνο για την επίλυση συγκεκριµένων προβληµάτων. ΣΥΝΟΧΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ Εάν οι αλγόριθµοι µετατροπής από ένα σύστηµα σε ένα άλλο είναι αποδοτικοί τότε θα υπήρχε και συνοχή δεδοµένων. Οι αλγόριθµοι αυτοί όµως δεν είναι πάντοτε αποδοτικοί. Για παράδειγµα τα µοντέλα CSG δεν µπορούν να απεικονίσουν παραµετρικές επιφάνειες (συνδέσεις επιφανειών - blends). Συνεπώς, εάν ένα µοντέλο οριακής αναπαράστασης δηµιουργήθηκε από ένα CSG και στη συνέχεια στο µοντέλο αυτό δηµιουργήσουµε µια ένωση µεταξύ δύο επιφανειών (blend), τότε το αρχικό CSG µοντέλο δεν έχει συνοχή µε το νέο µοντέλο. Γιανααποφύγουµε τέτοιου είδους προβλήµατα πρέπει να περιορίσουµε τις

39 λειτουργίες του υβριδικού µοντέλου σε αυτές που µπορούν να εφαρµοσθούν σε όλα τα είδη µοντελοποίησης που υποστηρίζονται στη δοµή του. MODELLING TRANSACTIONS Όλες οι µετατροπές στην στερεά απεικόνιση γίνονται κατά σειριακό τρόπο. Συνεπώς, µια ολική συνοχή µεταξύ των διαφόρων απεικονίσεων δεν µπορεί να υπάρχει πάντοτε. Γιατολόγοαυτόορίζεταιηέννοιατηςmodeling transaction που αποτελεί µια αδιαίρετη σειρά λειτουργιών που αρχίζουν από µια ορισµένηφάσηκαιτελειώνουνσε µια άλλη ορισµένη φάση. ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΒΡΙ ΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Στα υβριδικά συστήµατα συνήθως υπάρχει µια κύρια απεικόνιση και οι υπόλοιπες είναι δευτερεύουσες. Οι δύο πιο συνήθεις αρχιτεκτονικές που βασίζονται στην αρχή αυτή φαίνονται στο Σχ Στα µοντέλα της πρώτης κατηγορίας χρησιµοποιείται η CSG και από αυτή παράγεται το οριακό µοντέλο και το µοντέλο αποσύνθεσης. Ο χρήστης όµως δεν έχει πρόσβαση προς τα δευτερεύοντα µοντέλα, δηλ. δεν µπορεί να εκτελέσει λειτουργίες πάνω στην οριακή απεικόνιση παρ' όλο που τα δεδοµένααυτάείναιδιαθέσιµα. Τέτοια συστήµατα είναι τα PADL-1, PADL-2 και GMSOLID. Η δεύτερη κατηγορία µοντέλων χρησιµοποιεί την οριακή αναπαράσταση ως πρωτεύον σύστηµα, σχ.7.50(β). Τα συστήµατααυτάσυνήθωςπεριλαµβάνουν και την CSG απεικόνιση και / ή παραλλαγή του CSG. Επειδή στηρίζονται στην οριακή αναπαράσταση µπορούν να εκτελέσουν τις τοπικές µεταβολές, τις λειτουργίες σάρωσης, κλπ. Τέτοιο είδος συστήµατος είναι το ROMULUS, GEOMOD και MEDUSA. Ένα σύστηµα οριακής απεικόνισης µπορεί να χρησιµοποιεί τα facets (faceting modeler), όπου µπορούν να διαχειρισθούν καµπύλες επιφάνειες, αλλά δεν τις καταχωρούν επακριβώς. Τα συστήµατα αυτά προσεγγίζουν τις επιφάνειες µε πολυεδρικά µοντέλα και η αναπαράσταση αυτή χρησιµοποιείται για την γραφική έξοδο. Συνεπώς, το µοντέλο αυτό µπορεί να χρησιµοποιηθεί τοπικά για λειτουργίες στην οθόνη και η λειτουργία αυτή επιταχύνεται µε την ικανότητα του σταθµού εργασίας να επεξεργάζεται τα πολύεδρα αυτά µε µεγάλη ταχύτητα και να επικοινωνεί µετηβάσηδεδοµένων µόνο για τους αναλυτικούς υπολογισµούς