Ελαχιστοποίηση του Μέσου Τετραγωνικού Σφάλµατος για διαφορετικές τιµές των Παραµέτρων του Κλασσικού Γραµµικού Υποδείγµατος.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ελαχιστοποίηση του Μέσου Τετραγωνικού Σφάλµατος για διαφορετικές τιµές των Παραµέτρων του Κλασσικού Γραµµικού Υποδείγµατος."

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΤΟΥ ΚΛΑΣΣΙΚΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ. Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ. Εκτίµηση των Παραµέτρων τυ Υπδείγµατς. Στατιστικί Έλεγχι Αναλύσεις. Πρλέψεις. Ελαχιστπίηση τυ Μέσυ Τετραγωνικύ Σφάλµατς για διαφρετικές τιµές των Παραµέτρων τυ Κλασσικύ Γραµµικύ Υπδείγµατς.

2 Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΑΠΛΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ. 4. Γενικά. Εάν δεχθύµε ότι η µεταλητή επιδρά στη διαµόρφωση των τιµών της µεταλητής, δηλαδή αν δεχθύµε ότι και η επίδραση αυτή είναι ( δηλαδή κάπις αριθµός ) τότε µπρύµε να πρσεγγίσυµε αλγερικά (συναρτησιακά) αυτή την σχέση εξάρτησης της από την ως εξής: f ( ; ) ε (4.) Ανεξάρτητη Μεταλητή Εξαρτηµένη Μεταλητή. f (.) Συναρτησιακή Σχέση µεταξύ των δύ Μεταλητών. Παράµετρς Υπό Εκτίµηση. ε ιαταρακτικός Όρς. Με άση την µέθδ των απλών ελαχίστων τετραγώνων, αν ) είναι µια Απλών Ελαχίστων Τετραγώνων εκτίµηση της παραµέτρυ, τότε ι θεωρητικές τιµές της θα είναι : ) f ( ; ) ) (θεωρητικές τιµές της ) (4.) Η Απλών Ελαχίστων Τετραγώνων εκτίµηση της παραµέτρυ θα πρκύψει από την ελαχιστπίηση των απκλίσεων των πραγµατικών από τις θεωρητικές τιµές της µεταλητής. Οι απκλίσεις θεωρητικών ) και πραγµατικών τιµών θα είναι: ) ε τ (4.3) όπυ ε Απκλίσεις-Εκτιµήσεις τυ ιαταρακτικύ όρυ. Για µεθδλγικύς λόγυς αντί της ελαχιστπίησης των εκτιµήσεων τυ διαταρακτικύ όρυ, θα ελαχιστπιήσυµε τ άθρισµα των εκτιµήσεων τυ διαταρακτικύ όρυ στ τετράγων ( ) ε ), δηλαδή τ Αθρισµα: ε (4.4) T ε Η σχέση (5.4) µπρεί επιπλέν να γραφεί και ως εξής: T ε ( ) ( f( ; )) (4.5)

3 Όπυ είναι η Απλών Ελαχίστων Τετραγώνων εκτίµηση της παραµέτρυ. Η σχέση (5.5) είναι στην υσία ένα Άθρισµα: Φ ( ) ( f( ; )) Μπρύµε να ελαχιστπιήσυµε αυτό τ Άθρισµα για διαφρετικές τιµές της παραµέτρυ. Στ Σχεδιάγραµµα 5. παρυσιάζυµε µια τέτια υπθετική διαδικασία όπυ για διαφρετικές τιµές της παραµέτρυ Άθρισµα Φ ( ) ( f( ; )). υπλγίζυµε τ Φ ( ) ( f( ; )) Α Πιθανές τιµές της Παραµέτρυ Σχεδιάγραµµα 5. Υπθετική Ελαχιστπίηση τυ Αθρίσµατς σε σχέση µε διάφρες πιθανές τιµές της παραµέτρυ. Φ ( ) ( f( ; )) Από τ Σχεδιάγραµµα 5. πρκύπτει ότι τ ελάχιστ τυ αθρίσµατς T ε ( ) ( f( ; )) ρίσκεται στ σηµεί Α. Στην θέση αυτή αντιστιχεί η Απλών Ελαχίστων Τετραγώνων εκτίµηση της παραµέτρυ. Με άση τα παραπάνω η σχέση µεταξύ των µεταλητών και θα είναι :.7 Υ και φυσικά θα µπρύσαµε να την πρσεγγίσυµε ως εξής: X. 3

4 4. Αλγερική Πρσέγγιση της ιαδικασίας Γραφικής Ελαχιστπίησης. Η ελαχιστπίηση στ Σχεδιάγραµµα 5. Αλγερικά θα µπρύσε να παρυσιαστεί ως εξής: T ε f (4.6) mi mi ( ) mi ( ( ; )) Γνωρίζυµε από την άλγερα ότι ι συνθήκες πρώτης τάξης για την ελαχιστπίηση της (5.6) είναι η πρώτη παράγωγς ως πρς ) να είναι µηδέν. Αυτό σηµαίνει ότι: ) ) ) S( ) ε ( f ( ; )) ) ) ) (4.7) Λύνντας την (4.7) θα µπρύσαµε να έχυµε την ελαχίστων τετραγώνων εκτίµηση της παραµέτρυ. Αυτό φυσικά δεν µπρεί να γίνει στη (4.7 ) διότι η f ( ; ) ) είναι ακόµα γενικύ χαρακτήρα, χωρίς κάπια συγκεκριµένη αλγερική µρφή. Χρειάζεται λιπόν η συνάρτηση f ( ; ) ) να εξειδικευθεί αλγερικά(μαθηµατική Εξειδίκευση τυ Υπδείγµατς). Θα µπρύσαµε να έχυµε την απλύστερη αλγερική εξειδίκευση, υπθέτντας ότι η επίδραση της στην είναι σταθερή και είναι ένας συγκεκριµένς αριθµός, έστω. Αυτό σηµαίνει ότι: (4.8) Η σχέση (6) γραφικά παρυσιάζεται απ τ Σχεδιάγραµµα 5.. 4

5 Τιµές της µεταλητής Σχεδιάγραµµα 5. Γραφική παρυσίαση της Υπθετικής µε άση την σχέση (4.8) επίδρασης της µεταλητής στη µεταλητή. Για να εξειδικεύσυµε αλγερικά την επίδραση της στη, αξιπιύµε τ ανάπτυγµα µιας σειράς Talor, όπυ για κάπιες αρχικές τιµές των µεταλητών και (έστω και ) µπρύµε να γράψυµε την f ( ; ) ε ( ) ( ; ) ( ) ε f ; (4.9) f ε (4.) ( ) ε (4.) υπθέτντας ότι, η παραπάνω σχέση γράφεται ως εξής: Εάν f ( ), µία µη γραµµική συνάρτηση δύ µεταλητών και, µπρεί τότε να πρσεγγισθεί µε µία ανάπτυγµα µιας σειράς Talor γύρω από δύ τιµές. και. ως εξής: f, f, f, f,,,,,, ( ) ( ) ( ) ( ) f,,, ( ) ( )( ) L,,,, f,,, 5

6 c ε (4.) και αν για την ευκλία της παρυσίασης υπθέτυµε ότι c, πότε η (4.) γράφεται ως εξής: ε (4.3) Έχντας τώρα συγκεκριµένη αλγερική µρφή η συνάρτηση ( ) ε ε f ; µπρύµε να έχυµε συγκεκριµένες µρφές για τις θεωρητικές τιµές ) ) (4.4) ) ) ) και να πάρυµε τις απκλίσεις ε (4.5) να τις υψώσυµε στ τετράγων και να ρύµε τ ελάχιστ τυς άθρισµά: mi ) ε (4.6) Οι εκτιµήτριες συναρτήσεις της παραµέτρυ µε την µέθδ των ελαχίστων τετραγώνων θα πρέλθυν από την διαδικασία ελαχιστπίησης. T T T Mi ε Φ( ) Mi Mi Mi (4.7) Ικανή συνθήκη για την ελαχιστπίηση της συνάρτησης ϕ ως µηδενισµός της πρώτης παραγώγυ. είναι ϕ (4.8) (Καννική Εξίσωση) ϕ ( ) 6

7 7 ( ) (4.9) (4.) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f f

8 Αριθµητική Εφαρµγή 4. Χρησιµπιώντας τα στιχεία τυ Πίνακα 5. θα εφαρµόσυµε την επαναληπτική γραφική τεχνική τυ Σχεδιαγράµµατς 5.. Στ Σχεδιάγραµµα 5.3 και στν Πίνακα 5. παρυσιάζυµε γραφικά και αριθµητικά της τιµές τυ αθρίσµατς Φ ( ) ( f( ; )) για υπθετικά διαφρετικές τιµές της παραµέτρυ. Πίνακας 5.. ηλωθέν Ιδιωτικό Εισόδηµα ( ) και η Κατανάλωση Πρϊόντς ( ). Έτς Πηγή: Υπθετικά Στιχεία. Sum of Squares Φ ( ) ( f( ; )) Ελαχιστπίηση τυ Αθρίσµατς Φ ( ) ( f( ; )) Daa of Table Πιθανές Τιµές της Παραµέτρυ Σχεδιάγραµµα 5.3 Ελαχιστπίηση τυ Αθρίσµατς Φ ( ) ( f( ; )) σε σχέση µε διάφρες πιθανές τιµές της παραµέτρυ. Είναι εµφανές ότι τ άθρισµα f ελαχιστπιείται στ Φ ( ) ( ( ; )) σηµεί όπυ η τιµή τυ είναι ίση µε.4 και Φ ( ) ( f( ; )) 3.4. Με άση τα όσα έχυµε αναφέρει αυτή η τιµή είναι η Απλών Ελαχίστων Τετραγώνων εκτίµηση της παραµέτρυ στ υπόδειγµα ε. 8

9 ΠΙΝΑΚΑΣ 4. Απτελέσµατα Επαναληπτικής ιαδικασίας Ελαχιστπίησης τυ Αθρίσµατς f σε σχέση µε διάφρες πιθανές τιµές Φ ( ) ( ( ; )) της παραµέτρυ. Er Φ ( ) ( f( ; )) 45, 368,3 3, 35,8 4,3 67,5 5,4 3,4 6,5 83,5 7,6 47,8 8,7 6,3 9,8 89,9 65,9 47, 3,3 3,,8 4,3 5,5 5,4 3,4 6,5 5,5 7,6,8 8,7 3,3 9,8 47,9 65,9 89 Πηγή: Εκτιµήσεις µας. Αριθµητική Εφαρµγή 4.. ( Εκτίµηση των Παραµέτρων τυ Γραµµικύ Υπδείγµατς µε την µέθδ των Απλών Ελαχίστων Τετραγώνων) Με άση τα στιχεία τυ Πίνακα 4.3 η ανάλγη εκτίµηση της παραµέτρυ χρησιµπιώντας την σχέση (4. ) θα είναι: 94.4 (4.) Η ταυτσηµότητα των δυ εκτιµήσεων είναι µια έµµεση µέθδς επαλήθευσης ότι ι δύ µέθδι είναι ταυτόσηµες. 9

10 Πίνακας 4.3. Αναλυτική ιαδικασία Εκτίµησης των Παραµέτρων τυ Υπδείγµατς. () () (3) (4) (5) Τ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ

11 4.3 Η Γραφική Μέθδς των Ελαχίστων Τετραγώνων για περισσότερ από µία παραµέτρυς. Αν στην σχέση (4.) θεωρήσυµε ότι µε να εκφράζει τν σταθερό όρ, τότε η αλγερική εξειδίκευση της σχέσης µεταξύ των µεταλητών και θα µπρύσε να γραφεί ως εξής: ε (4.) Στ υπόδειγµα αυτό έχυµε να εκτιµήσυµε µε την µέθδ των ελαχίστων τετραγώνων δύ παραµέτρυς. Τις παραµέτρυς και. Έστω ότι και είναι ι Απλών Ελαχίστων Τετραγώνων εκτιµήσεις των παραµέτρων και τυ υπδείγµατς (4.). Τότε µε άση τη µέθδ των ελαχίστων τετραγώνων αυτές ι εκτιµήσεις θα µπρύσαν να πρκύψυν από τη διαδικασία ελαχιστπίησης: Mi Mi Mi ε Mi,,,, ϕ, (4.3) Η ελαχιστπίηση της (4.3 ) ως πρς τις παραµέτρυς και µπρεί όπως και στην πρηγύµενη περίπτωση να γίνει γραφικά και αλγερικά. Γραφική Εκτίµηση των Παραµέτρων τυ Υπδείγµατς. Στην περίπτωση αυτή για διαφρετικές τιµές των παραµέτρων υπδείγµατς (4.) θα υπλγίζυµε τ Άθρισµα : Mi,, Mi και τυ (4.4) και θα επιλέξυµε εκείν τν συνδυασµό των παραµέτρων και πυ τ ελαχιστπιεί. Στ Σχεδιάγραµµα 4.4 παρυσιάζυµε γραφικά αυτή την επαναληπτική διαδικασία ενώ στν Πίνακα 4.4 παρυσιάζυµε περιληπτικά τυς αριθµητικύς υπλγισµύς.

12 Mi, Σχεδιάγραµµα 4.4. Γραφική παρυσίαση της εξέλιξης τυ διαφρετικές τιµές των παραµέτρων Mi, και τυ υπδείγµατς για ΠΙΝΑΚΑΣ 4.4 Απτελέσµατα Επαναληπτικής ιαδικασίας Mi, 45,6,4 7,6 3,9 3,5,7,7 85,5,7 4,,9,7 6 8,3,8 89,8 3,4 4,8 3,9,5,8 4,8 4,,85,8 4,,8,8 4,3,85,8 4,4,8 4,5,5,9,6 46,,9 3,,35 4, 8,5, 4,5 5,55, 5, 6,5,,5 35,55 3,4 795,8 3,, 74,4 5,,5 339,5 5,8 5,5 5649,5 6,,4 548,5 Πηγή : Εκτιµήσεις µας.

13 Είναι εµφανές ότι τ άθρισµα f ελαχιστπιείται στ Φ ( ) ( ( ; )) σηµεί όπυ ι τιµές των παραµέτρων είναι 4.4 και.8 και Φ ( ) ( f( ; )). Με άση τα όσα έχυµε αναφέρει ι τιµές αυτές είναι ι Απλών Ελαχίστων Τετραγώνων εκτιµήσεις των παραµέτρων και στ υπόδειγµα ε. 3

14 4.4 Αλγερική Πρσέγγιση της Μεθόδυ των Ελαχίστων Τετραγώνων στην εκτίµηση των παραµέτρων τυ υπδείγµατς. Έστω τ υπό εκτίµηση υπόδειγµα: ε Αν και είναι ι ( γραµµικών ) ελαχίστων παραµέτρων και αντιστίχως, τότε ι θεωρητικές τιµές της πρκύψυν από την σχέση ; (4.5) ενώ ι ανάλγες εκτιµήσεις τυ διαταρακτικύ όρυ ε θα είναι ε (4.6) τετραγώνων εκτιµητές Οι εκτιµήτριες συναρτήσεις των και µε την µέθδ των απλών ελαχίστων τετραγώνων θα πρέλθυν από την διαδικασία ελαχιστπίησης: Mi Mi Mi e,,,, Mi ϕ, (4.7), θα Ικανή συνθήκη για την ελαχιστπίηση της συνάρτησης είναι µηδενισµός των πρώτων παραγώγων : ϕ, ως πρς και ϕ, ϕ, (4.8) (Καννικές Εξισώσεις) 4

15 5 Πρώτη Καννική Εξίσωση :, ϕ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f f () ( ) Ν K Ν (4.9) Η εύτερη Καννική Εξίσωση ( ), ϕ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f f ( ) (4.3) Τ σύστηµα των εξισώσεων (4.9) και (4.3) είναι τ σύστηµα των καννικών εξισώσεων (ormal Equaios) από την λύση τυ πίυ θα πρκύψυν ι Απλών Ελαχίστων Τετραγώνων εκτιµήτριες συναρτήσεις.

16 6 Οι εξισώσεις (4.9) και (4.3) µπρύν υπό την µρφή ενός Συστήµατς Εξισώσεων να γραφύν ως εξής: (4.3) Οι εκτιµήτριες συναρτήσεις των παραµέτρων και θα πρκύψυν ως εξής : (4.3) Στ Παράρτηµα παρυσιάζυµε αναλυτικά τν υπλγισµό τυ αντίστρφυ της µήτρας της σχέσης (3.5). Απδεικνύεται ότι ι ελαχίστων τετραγώνων εκτιµητές των παραµέτρων και είναι: ) ( (4.33) µ µ (4.34) Αριθµητική Εφαρµγή. ( Εκτίµηση των Παραµέτρων τυ Γραµµικύ Υπδείγµατς) ΠΙΝΑΚΑΣ Έτς Πηγή: Στιχεία τυ Πίνακα. ( ) µ µ

17 Με άση τα στιχεία τυ Πίνακα ι ανάλγες εκτιµήσεις των παραµέτρων θα είναι: ˆ ( ) ()( 5. 94) ( 3 )(. 45) ( ) ( ) 5,8 µ µ χ ˆ 9- (,8) 6 9 4,8 4, Άρα η γραµµή Παλινδρόµησης στ είγµα θα είναι: 4..8 ( ιαστρωµατικά Στιχεία) 4..8 (Χρνσειρές) Πίνακας 4.5. Αναλυτική ιαδικασία Εκτίµησης των Παραµέτρων τυ Υπδείγµατς. () () (3) (4) (5) Τ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ

18 Ανάλυση των Απτελεσµάτων. Με άση τα απτελέσµατα εκτίµησης των παραµέτρων τυ υπδείγµατς τόσ µε την γραφική όσ και µε την αλγερική µέθδ των Απλών Ελαχίστων Τετραγώνων µπρύµε να συµπεράνυµε τά εξείς: Η επίδραση της µεταλητής είναι: στην διαµόρφωση των τιµών της µεταλητής, θα Η επίδραση δίδεται γραφικά στ Χρνδιάγραµµα. Φαίνεται καθαρότατα ότι η επίδραση αυτή µηδενίζεται αµέσως µετά τ πρώτ τρίµην τυ A M J J A S O D J F M A M J J Χρνδιάγραµµα 5.5 Γραφική παρυσίαση των διαχρνικών αλληλεπιδράσεων µιας µεταλής της µεταλητής στην διαµόρφωση της διαχρνικής µεταλητικότητας της µεταλητής. Αν υπθέσυµε ότι η µεταλητή εκφράζει τ ηλωθέν Εισόδηµα και µεταλητή την Κατανάλωση ενός πρϊόντς τότε ι εκτιµήσεις µας µπρεί να ερµηνευθύν ως εξής: # Μία µεταλή στ ηλωθέν Εισόδηµα µία συγκεκριµένη χρνική περίδ (έστω τ έτς 964) θα έχει αµέσως επίδραση στην Κατανάλωση τυ πρϊόντς και τ µέγεθς αυτής της επίδρασης θα είναι,8798. Η επίδραση αυτή θα εξαντληθεί εντός µιας χρνικής περιόδυ, διότι έχυµε υπθέσει ότι έχυµε ένα στατικό ικνµετρικό υπόδειγµα #. 8

19 4.5. Τό Γραµµικό Υπόδειγµα σε Απκλίσεις από τυς Αριθµητικύς Μέσυς. Αρκετές φρές ι µεταλητές τυ Κλασσικύ Γραµµικύ Υπδείγµατς : o ε (4.35) µπρύν να µετασχηµατισθύν σε απκλίσεις από τις µέσες τυς τιµές. Κατ αυτό τν τρόπ µπρύµε να γράψυµε τ υπόδειγµα (4.35 ) ως εξής: ε (4.36) µε,, και (4.37) H (4.37) πρκύπτει ως εξής: Αθρίζυµε την (4.35) : ( ε ) ε (4.38) ιαιρύµε µε τν αριθµό των διαθεσίµων παρατηρήσεων: T T διότι ε T Τ (4.39) T T Αφαιρύµε την (5) από την (4) και πρκύπτει ότι: ( ) ε (4.4) ε (4.4) µε και (4.4) 9

20 Απλών Ελαχίστων Τετραγώνων εκτιµητής τυ υπδείγµατς (4.36) είναι εξής: Ο παραπάνω εκτιµητής µπρεί να πρκύψει αλγερικά ως εξής: ( ) ε Φ T T T Mi Mi Mi Mi ( ) ϕ ( ) b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f f (4.43) Αριθµητική Εφαρµγή. ( Εκτίµηση των Παραµέτρων τυ Γραµµικύ Υπδείγµατς) µ µ Με άση τα στιχεία τυ Πίνακα 4.5 ι ανάλγες εκτιµήσεις της παραµέτρυ θα είναι:

21 µ µ χ ˆ 9- (.8) Άρα η γραµµή Παλινδρόµησης στ είγµα θα είναι: 4..8 ( ιαστρωµατικά Στιχεία) 4..8 (Χρνσειρές) Πίνακας 4.5. Αναλυτική ιαδικασία Εκτίµησης των Παραµέτρων τυ Υπδείγµατς. ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) Er ΑΘΡΟΙ ΣΜΑΤΑ Σ 45 Σ 3 ( )( ) 4 ( ) 38

22 Ανακεφαλαίωση. Οι Ελαχίστων Τετραγώνων Εκτιµητές πυ έχυµε παρυσιάσει µέχρι τώρα δίδνται στν Πίνακα 4.6. Πίνακας 4.6 Ελαχίστων Τετραγώνων Εκτιµητές Υπόδειγµα :. ε. ε 3. ε µε Ελαχίστων Τετραγώνων Εκτιµητές. ( ) µ µ

23 4.6 Ιδιότητες της παλινδρόµησης µετά την εκτίµηση των παραµέτρων τυ υπδείγµατς(οι Ιδιότητες της Γραµµής Παλινδρόµησης στ είγµα). Οι καννικές εξισώσεις () και () µας επιτρέπυν να δηµιυργήσυµε µερικές χρήσιµες ιδιότητες πυ αφρύν ανάλυση παλινδρόµησης: (4.44) ε (4.45) ε (4.46) ε (4.47) Ιδιότητα. Η παλινδρόµηση διέρχεται από τ σηµεί πυ καθρίζεται από τις µέσες τιµές των µεταλητών. ΑΠΟ ΕΙΞΗ: Αν ˆ και ˆ είναι ι ελαχίστων τετραγώνων εκτιµητές των παραµέτρων και και Τ και ι µέσες τιµές των µεταλητών T και,τότε: ˆ ˆ ˆ ˆ (4.48) Ιδιότητα. Απδεικνύεται ότι : ˆ ή T T ˆ Απόδειξη: Έστω ˆ και ˆ δύ εκτιµήσεις και παραµέτρων και. Οι θεωρητικές τιµές ˆ πρκύπτυν από την σχέση: 3

24 ˆ ˆ ˆ χ (4.49( Επειδή ˆ χ ή η παραπάνω σχέση γράφεται ως : ˆ ˆ ˆ χ ˆ χ χ ( χ χ) (4.5) Αθρίζυµε την παραπάνω σχέση και λαάνυµε: ˆ ( ˆ ( χ χ) ˆ ˆ ( χ χ) (4.5) Επειδή ( χ χ) χ χ.(.) χ χ ˆ ˆ (4.5) Ανάλγα ισχύει ότι ι εκτιµήσεις των θεωρητικών (εκτιµώµενων) τιµών ŷ είναι ίσες µε την µέση τιµή των πραγµατικών τιµών. Ιδιότητα 3. Απδεικνύεται ότι η µέση τιµή (άθρισµα) των εκτιµήσεων τυ διαταρακτικύ όρυ ˆ ε είναι µηδέν. ηλαδή ˆ ε Απόδειξη: Εάν ˆ και ˆ είναι ι ελαχίστων τετραγώνων εκτιµητές των παραµέτρων και τότε ι εκτιµήσεις τυ διαταρακτικύ όρυ πρκύπτυν τα εξής : ε (4.53) Αθρίζυµε : Σ Σ( ) ε Σ Σ (4.54) Γνωρίζυµε όµως από την πρώτη ιδιότητα ότι ˆ πότε:. ε (4.55) 4

25 Ιδιότητα 4. Απδεικνύεται ότι ι εκτιµήσεις τυ διαταρακτικύ όρυ ε δε συσχετίζνται µε τις τιµές της ερµηνευτικής µεταλητής χ.ισχύει δηλαδή ότι : χε ˆ (4.56) Απόδειξη : Έστω ˆ και ˆ εκτιµήσεις ελαχίστων τετραγώνων των παραµέτρων και. Τότε ε Πλλαπλασιάζυµε µε χ,πότε Ε ˆ ˆ o ε (4.57) Αθρίζυµε λαµάνντας : Σ ε Σ Σ (4.58) ή σχέση ˆ χ χ εξίσωση, η πία είναι µηδέν, πότε: είναι η δεύτερη καννική ˆ ε (4.6) Iδιότητα 5.Οι εκτιµήσεις τυ διαταρακτικύ όρυ δε συσχετίζνται µε τη θεωρητικές τιµές.ισχύει δαλαδή ότι ˆ ˆ ε Απόδειξη:Εάν ˆ και ˆ είναι ι ελαχίστων τετραγώνων εκτιµητές των παραµέτρων και τότε Σ ˆ ˆ ˆ Πλλαπλασιάζυµε µε ˆ ε λαµάνντας: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ε ε ε Αθρίζυµε ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ε ε ε Επειδή ταυτόχρνα ισχύυν ˆ ε o ˆ ε ˆ ε 5

26 4.7 ιάσπαση της µεταλητικότητας της ερµηνευόµενης µεταλητής στις ασικές της συνιστώσες. Οι µεταλητές και έχυν µέση τιµή καθώς και διακυµάνσεις. Έχντας εκτιµήσει τις παραµέτρυς και τυ υπδείγµατς χ ε µπρύµε να διασπάσυµε την διακύµανση της µεταλητής σε δύ ασικές συνιστώσες. Τ µέρς της διακύµανσης της πυ φείλεται στην ερµηνευτική µεταλητή και εκείν τ µέρς πυ φείλεται στν διαταρακτικό όρ ε. Έστω τ εκτιµηθέν υπόδειγµα: ˆ ˆ ˆ χ ( 4.7 ) ή χ ε (4.7) ή Αφαιρύµε από την () την µέση της τιµής : ε (4.7) ( ) ˆ ˆ ε ( ˆ ) ˆ ε ή ( ) ( ˆ ) ( ˆ ) διότι ˆ ε ˆ (4.73) Υψώνυµε στ τετράγων ˆ ˆ ε ˆ ˆ ε ( ) ( ) ( ) Αθρίζυµε ˆ ˆ ε ˆ ˆ ε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ˆ ) ˆ ε (4.74) διότι (4.75) ( ˆ ) ˆ ε ˆ ˆ ε ˆ ε Και επειδή 3 ˆ ε (4.76) ˆ ˆ ε (4.77) Μπρύµε να ερµηνεύσυµε την παραπάνω σχέση ως εξής : 3 Ιδιότητες της Γραµµής Παλινδρόµησης στ είγµα. 6

27 Η διακύµανση της ερµηνευόµένης της µεταλητής είναι ( ). Τ µέρς της διακύµανση πυ ερµηνεύεται από τη µεταλητή είναι ( ˆ ) Η διακύµανση πυ φείλεται (ερµηνεύεται) από τν διαταρακτικό όρ είναι: ˆ ε. Με άση τα παραπάνω έχυµε διασπάσει την µεταλητικότητα της µεταλητής : ( ) σε δύ συνιστώσες. Ένα µέρς της µεταλητικότητας της φείλεται στην ερµηνευτική µεταλητή και ένα άλλ µέρς στν διαταρακτικό όρ ε. Μπρύµε δηλαδή να γράψυµε ότι: TSSRSSESS (4.78) Toal Sum of SquaresRegressio Sum of Squares Error Sum of Squares TSSΣυνλική Μεταλητικότητα RSSΜεταλητικότητα πυ Ερµηνεύεται από την ερµηνευτική µεταλητή. ESSΜεταλητικότητα πυ φείλεται στν ιαταρακτικό Όρ. ιαιρώντας την παραπάνω σχέση µε TSS, µπρύµε να γράψυµε: TSS RSS ESS TSS TSS TSS ESS R TSS ESS R TSS R ˆ ε ( Y Υ) Αυτό τ µέτρ συνήθως νµάζεται (4.79) R ή Συντελεστής Πρσδιρισµύ SSE SSR R SST SST. (4.8) 7

28 Λαµάνει τιµές µεταξύ και. Όσ πι κντά είναι στ τόσ καλύτερ είναι τ υπόδειγµα για την ερµηνεία της µεταλητικότητας της ανεξάρτητης µεταλητής. Πρόσφατα έχυν εµφανισθεί και διάφρες άλλες παραλαγές τυ Συντελεστή Πρσδιρισµύ.Αυτύς τυς Συντελεστές θα τυς αναπτύξυµε σε επόµενα Κεφάλαια. ESS SSR R TSS TSS i c i uˆ i ( Y Y) uˆ i /( K) ESS SSR i c TSS TSS Yi Y K i R ESS SSR R TSS TSS i u i ( ) /( ) i uˆ Y i i uˆ i /( K) ESS SSR i u TSS TSS Yi /( ) i R 8

29 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Υπλγισµός τυ Συντελεστή Πρσδιρισµύ R µε άση τα στιχεί τυ Πίνακα 4. R ε ( ) Γνωρίζυµε ότι σ ( µ ) µ T T µ 9 5 µ σ T 45 5 άρα ( ) 4 5 Άρα ( ) 4,5 Επιπλέν () (,) (,) (,6) (, ) u ˆ 6,4,4,36,36,8,8 Άρα Συντελεστής Πρσδιρισµύ R,4, 96 R, 96 9

30 3 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Υπλγισµός των Παραµέτρων και τυ υπδείγµατς : ε ( ) µ µ Με άση τις καννικές εξισώσεις : Ν µπρύµε να δηµιυργήσυµε τ σύστηµα των εξισώσεων: Οι εκτιµήτριες συναρτήσεις των και θα πρκύψυν από την λύση τυ παραπάνω συστηµάτων ως εξής: Αν αντίστρφη µήτρα της Α είναι : Ν A e ΟΡΙΖΟΥΣΑ ΜΗΤΡΑ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΜΕΝΗ

31 3 Η αντίστρφη µήτρα θα µπρύσε να υπλγισθεί ως εξής: Υπλγισµός της Πρσαρµσµένης Μήτρας: Ν A [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( D D D D D D D D C C i Άρα η C Αντικαθιστώντας τις παραπάνω σχέσεις λαµάνυµε: ( ) ( ) ( )

32 Για τν υπλγισµό της : µ µ µπρεί να πρκύψει τόσ από την ( ) όσ και από την πρώτη καννική εξίσωση Ν ιαιρύµε µε Ν λαµάνντας: / Ν Ν / Ν / Ν Από την παραπάνω συνεπάγεται ότι : µ µ Ακόµη αναλυτικότερα λαµάνυµε τις πρώτες παραγώγυς ως πρς ˆ και θέτντας ίσ µε τ µηδέν λαµάνυµε: ˆ ˆ ( i i). i Πλλαπλασιάζυµε µε / λαµάνντας: ˆ ˆ i. i i i i ή ˆ ˆ. 3

33 Εναλλακτικά θα µπρύσαµε να υπλγίσυµε τυς εκτιµητές των ελαχίστων τετραγώνων των παραµέτρων και ως εξής: Έστω u ˆ ˆ ˆi i i είναι ι εκτιµήσεις τυ ιαταρακτικύ όρυ. Επιλέγυµε τις εκτιµήσεις ˆ ˆ, πυ ελαχιστπιύν τ Αθρισµα: uˆ ˆ ˆ i ( i i) i i. Λαµάνυµε τις πρώτες παραγώγυς ως πρς ˆ και θέτντας ίσ µε τ µηδέν λαµάνυµε: ˆ ˆ ( i i). i Πλλαπλασιάζυµε µε / λαµάνντας: ˆ ˆ i. i i i i Ή ˆ ˆ. Λαµάνντας την πρώτη παράγωγ ως πρς τ ˆ θέτντας ίσ µε τ µηδέν λαµάνυµε: ˆ ˆ ( i i) i. i Πλλαπλασιάζυµε µε / λαµάνντας : ˆ ˆ ( i ( ) i) i. i ή ( ) ˆ ( ). i i i i i i 33

34 Παρατηρώντας ότι : i( i ) i i i i i i i i i i i i i i i i i i i µπρύµε να γράψυµε: i i i i i i i i i ( i ) i i i i. ( ) ( )( ). i i i i i i ˆ ( i )( i ) ( i ). i i Τελικά: ˆ i ( )( ) i i ( ) i i 34

ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Ι.

ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Ι. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Ι. ΙΚΑΙΟΣ ΤΣΕΡΚΕΖΟΣ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ . ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ. Έχετε στην διάθεση σας ( Πίνακας ) στιχεία από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟ ΟΣ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ΒΡΟΧΩΝ

ΜΕΘΟ ΟΣ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ΒΡΟΧΩΝ Εισαγωγή Ρεύµατα βρόχων ΜΕΘΟ ΟΣ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ΒΡΟΧΩΝ Η µέθδς ρευµάτων βρόχων για την επίλυση κυκλωµάτων (ή δικτύων) είναι υσιαστικά εφαρµγή τυ νόµυ τάσεων τυ Kirchhff µε κατάλληλη εκλγή κλειστών βρόχων ρεύµατς.

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκπός Σκπός τυ κεφαλαίυ είναι η κατανόηση των βασικών στιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Πρσδκώμενα απτελέσματα Όταν θα έχετε λκληρώσει τη μελέτη αυτύ τυ κεφαλαίυ θα πρέπει να μπρείτε:

Διαβάστε περισσότερα

2. ΟΡΙΟ & ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2. ΟΡΙΟ & ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 2. ΟΡΙΟ & ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 2.1. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5 Ο ΜΑΘΗΜΑ 2.1.1. Τ σύνλ των πραγματικών αριθμών Τ σύνλ των πραγματικών αριθμών, είναι γνωστό και με τα στιχεία τυ δυλέψαμε όλες τις πρηγύμενες τάζεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΙΔΩΛΩΝ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΙΔΩΛΩΝ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΙΔΩΛΩΝ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ 22/06/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ 22/06/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ /6/ ΘΕΜΑ (3 μνάδες) (α) Η αντίσταση ενός D λευκόχρυσυ μετρήθηκε στη θερμκρασία πήξης τυ νερύ και βρέθηκε 8 Ω, ενώ στη συνέχεια μετρήθηκε σε θερμκρασία θ και βρέθηκε 448 Ω Να

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Παγκόσμι χωριό γνώσης ΕΝΟΤΗΤΑ 3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 3 ΜΑΘΗΜΑ Σκπός Σκπός της ενότητας είναι ρισμός της παραγώγυ και τυ ρυθμύ μεταβλής καθώς και

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 13/02/2014

ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 13/02/2014 ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: // ΘΕΜΑ ( μνάδες) T κύκλωμα τυ παρακάτω σχήματς λαμβάνει ως εισόδυς τις εξόδυς των αισθητήρων Α και Β. Η έξδς τυ αισθητήρα Α είναι ημιτνικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ [Κεφ. 2.4: Ρυθμός Μεταβολής του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ [Κεφ. 2.4: Ρυθμός Μεταβολής του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ [Κεφ..4: Ρυθμός Μεταβλής τυ σχλικύ βιβλίυ]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα 1. Δίνεται η συνάρτηση f() = 3 3. α) Να βρεθεί ρυθμός μεταβλής της

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΙΤΟΝΙΚΗ ΜΟΝΙΜΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ (Η.Μ.Κ.)

ΗΜΙΤΟΝΙΚΗ ΜΟΝΙΜΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ (Η.Μ.Κ.) ΗΜΙΤΟΝΙΚΗ ΜΟΝΙΜΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ (Η.Μ.Κ.) Ένα κύκλωµα βρίσκεται στην Ηµιτνική Μόνιµη Κατάσταση (Η.Μ.Κ.) όταν : α) Όλες ι πηγές τυ κυκλώµατς είναι ηµιτνειδείς συναρτήσεις τυ χρόνυ Α sin (ωt+φ) ή Α cs (ωt+φ) β)

Διαβάστε περισσότερα

Dimitris Balios 18/12/2012

Dimitris Balios 18/12/2012 18/12/2012 Κστλόγηση εξατμικευμένης και συνεχύς Δρ. Δημήτρης Μπάλις Συστήματα κστλόγησης ανάλγα με τη μρφή της παραγωγικής διαδικασίας Κστλόγηση συνεχύς Κστλόγηση εξατμικευμένης ή κστλόγηση κατά φάση ή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΩΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ (Polaroids)

ΠΟΛΩΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ (Polaroids) ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 94677 ΠΟΛΩΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ (Plarids) Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 94677 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 94677 4. Πόλωση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΑ ΚΡΟΥΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ

ΜΙΑ ΚΡΟΥΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ ΜΙΑ ΚΡΟΥΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ Σωµάτι α (πυρήνας 4 He ) µε µάζα m a και φρτί q a =e και πυρήνας ασβεστίυ 40 Ca 0 µε µάζα mπυρ = 10m a και φρτί Q = 0 e πυρ, βρίσκνται αρχικά σε πλύ µεγάλη απόσταση µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ροή ιόντων και µορίων

ροή ιόντων και µορίων ρή ιόντων και µρίων Θεωρύµε ένα διάλυµα µίας υσίας Α. Αν εξαιτίας της ύπαρξης διαφρών συγκέντρωσης ή ηλεκτρικύ πεδίυ όλες ι ντότητες (µόρια ή ιόντα) της υσίας Α κινύνται µέσα σ αυτό µε την ίδια ριακή ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 02/02/2017 ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΦΟΙΤΗΤΕΣ , (1) R1 R 2.0 V IN R 1 R 2 B R L 1 L

ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 02/02/2017 ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΦΟΙΤΗΤΕΣ , (1) R1 R 2.0 V IN R 1 R 2 B R L 1 L ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Λ ΜΠΙΣΔΟΥΝΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: //7 ΘΕΜΑ ( μνάδες) Οι τιμές των αντιστάσεων και τυ κυκλώματς τυ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ & ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ & ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ & ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

(Ανάλογα εργαζόµαστε και για να αποδείξουµε ότι δύο γωνίες έχουν κοινή διχοτόµο ή δύο τόξα κοινό µέσο).

(Ανάλογα εργαζόµαστε και για να αποδείξουµε ότι δύο γωνίες έχουν κοινή διχοτόµο ή δύο τόξα κοινό µέσο). 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΕΙΞΗΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ (η τεχνική τυ αρκεί να απδείξυµε ότι... ) Παναγιώτης Λ. Θεδωρόπυλς Σχλικός Σύµβυλς κλάδυ ΠΕ03 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σηµειώσεις αυτές γράφτηκαν µε σκπό να βηθήσυν τυς µαθητές της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΉΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤAΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2009 Επιμέλεια: Νεκτάριος Πρωτοπαπάς.

ΑΠΑΝΤΉΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤAΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2009 Επιμέλεια: Νεκτάριος Πρωτοπαπάς. ΑΑΝΤΉΣΕΙΣ ΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤAΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 009 Επιμέλεια: Νεκτάρις ρωτπαπάς 1. Σωστή απάντηση είναι η γ. ΘΕΜΑ 1. Σωστή απάντηση είναι η α. Σχόλι: Σε μια απλή αρμνική

Διαβάστε περισσότερα

Υποδείγματα με Πολυωνυμικά Κατανεμημένες Χρονικές Επιδράσεις.

Υποδείγματα με Πολυωνυμικά Κατανεμημένες Χρονικές Επιδράσεις. C:\Documens nd Seings\kpig\Deskop\-------- ------G---- ----S 6.doc Υποδείγματα με Πολυωνυμικά Κατανεμημένες Χρονικές Επιδράσεις. Στα υποδείγματα με πολυωνυμικά κατανεμημένες διαχρονικές επιδράσεις υποθέτουμε

Διαβάστε περισσότερα

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία 1.0 Βασικές Έννιες στην Τριγωνμετρία 1 η Μρφή Ασκήσεων: Ασκήσεις όπυ θέλυμε να βρύμε στιχεία ενός γεωμετρικύ σχήματς 1. Στ διπλανό σχήμα να απδείξετε ότι: ΒΓ υ εφω + εφθ. Τ τρίγων ΑΔΒ είναι ρθγώνι στ Δ,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Απλές περιπτώσεις Εφαρµόζουµε τις ιδιότητες των ορίων. Ουσιαστικά κάνουµε αντικατάσταση. lim 3x 4x+ 8 = = =

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Απλές περιπτώσεις Εφαρµόζουµε τις ιδιότητες των ορίων. Ουσιαστικά κάνουµε αντικατάσταση. lim 3x 4x+ 8 = = = ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρείτε τα παρακάτω όρια: α ( 4 8) + 6 + 8 Απλές περιπτώσεις Εφαρµόζυµε τις ιδιότητες των ρίων Ουσιαστικά κάνυµε αντικατάσταση α 4+ 8 = 4 + 8= + 4+ 8= 9 8 8 = = 4 + 6 = + 6= Αν f( )

Διαβάστε περισσότερα

ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΚΑΙ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΚΑΙ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΚΑΙ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 www.piras.weebly.c ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Exουμε βρεί την εξίσωση κύματος: λν = υ, όπου υ = Τ /μ στη περίπτωση της χορδής. Οπότε. υ ν = = λ

Exουμε βρεί την εξίσωση κύματος: λν = υ, όπου υ = Τ /μ στη περίπτωση της χορδής. Οπότε. υ ν = = λ Kεφ. (part, pages - Σχέση διασπράς Exυμε βρεί την εξίσωση κύματς: λν = υ, όπυ υ = Τ /μ στη περίπτωση της χρδς. Οπότε υ ν = = λ ω = Τ /μ Τ /μ λ k H σχέση αυτ πυ συνδέει την γωνιακ συχνότητα ω με τν κυματαριθμό

Διαβάστε περισσότερα

Ατομικάενεργειακάδιαγράμματα: Θεώρημα μεταβολών: Προσέγγιση Born- Openheimer: Θεωρία μοριακών τροχιακών:

Ατομικάενεργειακάδιαγράμματα: Θεώρημα μεταβολών: Προσέγγιση Born- Openheimer: Θεωρία μοριακών τροχιακών: τμικάενεργειακάδιαγράμματα: Χωρικές διαστάσεις ενεργειακές απστάσεις χρνική κλίμακα Καταστάσεις ydg Θεώρημα μεταβλών: Εφαρμγή σε πρόβλημα της ατμικής Πρσέγγιση on- Opnhm: Εφαρμγή στ Η Θεωρία μριακών τρχιακών:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ θ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ &ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΣΤΑΘΕΡΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: ΜΙΚΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Ευστάθεια κοντά στη θέση ισορροπίας

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: ΜΙΚΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Ευστάθεια κοντά στη θέση ισορροπίας ΚΕΦΛΙΟ : ΜΙΚΡΕΣ ΤΛΝΤΩΣΕΙΣ. Ευστάθεια κντά στη θέση ισρρπίας Θερύµε ένα συντηρητικό σύστηµα µε -βαθµύς ελευθερίας, τ πί περιγράφεται από τις γενικευµένες συντεταγµένες,,. ν τ σύστηµα βρίσκεται σε µια θέση

Διαβάστε περισσότερα

Τιµή και απόδοση µετοχής. Ανάλυση χαρτοφυλακίου. Απόδοση µετοχής. Μεταβλητότητα τιµών και αποδόσεων

Τιµή και απόδοση µετοχής. Ανάλυση χαρτοφυλακίου. Απόδοση µετοχής. Μεταβλητότητα τιµών και αποδόσεων Τιµή και απόδση µετχής Ανάλυση χαρτφυλακίυ Τιµές Απδόσεις και Κίνδυνς µετχών ιαφρπίηση κινδύνυ Χαρτφυλάκια µετχών Η απόδση µιας µετχής είναι ίση πρς τη πσστιαία διαφρά µεταξύ της αρχικής και της τελικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : Θεωρύμε τυς μιγαδικύς αριθμύς α) z(t) + z(t) = z(t)

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ ΘΕΩΡΙ 1. ιάνυσµα Λέγεται κάθε πρσανατλισµέν ευθύγραµµ τµήµα. (έχει αρχή και πέρας) A B 2. Μηδενικό διάνυσµα 0 Λέγεται τ διάνυσµα τυ πίυ η αρχή και τ πέρας συµπίπτυν. AA= 0 3.

Διαβάστε περισσότερα

Εάν η εξωτερική περιοδική δύναμη είναι της μορφής F δ =F max ημω δ t, τότε η εφαρμογή του 2 ου Νόμου του Νεύτωνα δίνει: dx b dt

Εάν η εξωτερική περιοδική δύναμη είναι της μορφής F δ =F max ημω δ t, τότε η εφαρμογή του 2 ου Νόμου του Νεύτωνα δίνει: dx b dt Μία ιστρία στην ΕΞΝΓΚΣΜΕΝΗ ΤΛΝΤΩΣΗ Κατά την περσινή σχλική χρνιά, στα πλαίσια της Π.Δ.Σ. πρσπάησα, αντί να λύσ ασκήσεις πυ μπρεί να υπάρχυν σε πλλά ιαφρετικά εξσχλικά βιβλία, να εάν ι μαητές μυ έχυν πραγματικά

Διαβάστε περισσότερα

V=αβγ (1) µ το πλάτος της δεξαµενής, β= 1

V=αβγ (1) µ το πλάτος της δεξαµενής, β= 1 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΥΠΩΝ Στην ενότητα αυτή, πιστεύω να καταλάβετε ότι τα Μαθηµατικά έγιναν και αναπτύχθηκαν για να αντιµετωπίζυν καθηµερινά πρβλήµατα. εν χρειάζνται όµως πλλά λόγια, ας πρχωρήσυµε σε παραδείγµατα.

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ Καθηγητές: Δ. ΚΑΛΛΙΓΕΡΟΠΟΥΛΟΣ & Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Επιστημνικός Συνεργάτης: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ. Συστήµατα Αυτοµάτου Ελέγχου ΙΙ. Ασκήσεις Πράξης. . Καλλιγερόπουλος Σ. Βασιλειάδου. Χειµερινό εξάµηνο 2008/09

ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ. Συστήµατα Αυτοµάτου Ελέγχου ΙΙ. Ασκήσεις Πράξης. . Καλλιγερόπουλος Σ. Βασιλειάδου. Χειµερινό εξάµηνο 2008/09 ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τµήµα Αυτµατισµύ Συστήµατα Αυτµάτυ Ελέγχυ ΙΙ Ασκήσεις Πράξης. Καλλιγερόπυλς Σ. Βασιλειάδυ Χειµερινό εξάµην 8/9 Ασκήσεις Μόνιµα Σφάλµατα & Κριτήρια ευστάθειας Άσκηση.. ίνεται σύστηµα µε συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούμε ένα σύστημα με N βαθμούς ελευθερίας, το οποίο θα περιγράφεται από N συντεταγμένες ψ 1 (t), ψ 2 (t),..., ψ N (t).

Θεωρούμε ένα σύστημα με N βαθμούς ελευθερίας, το οποίο θα περιγράφεται από N συντεταγμένες ψ 1 (t), ψ 2 (t),..., ψ N (t). Kεφ. ΣYΣTHMATA ME ΠOΛΛOYΣ BAΘMOYΣ EΛEYΘEPIAΣ (part, pages - Θεωρύμε ένα σύστημα με N βαθμύς ελευθερίας, τ πί θα περιγράφεται από N συντεταγμένες (t, (t,..., N (t. Oι εξισώσεις κίνησης τυ συστήματς θα έχυν

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ. Οικονομετρία ΙΙ. Διδάσκων Τσερκέζος Δικαίος.

ΒΑΣΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ. Οικονομετρία ΙΙ. Διδάσκων Τσερκέζος Δικαίος. :\Documens and Seings\kpig\Deskop\basikh askhsh aaaa.doc ΒΑΣΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ. Οικονομετρία ΙΙ. Διδάσκων Τσερκέζος Δικαίος. ΒΑΣΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΗΝ ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΣΗ-ΕΚΤΙΜΗΣΗ-ΑΝΑΛΥΣΗ- ΠΡΟΒΛΕΨΗ- ΣΕΝΑΡΙΑ ΚΑΙ ΤΟΝ ΑΡΙΣΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στο µάθηµα ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στο µάθηµα ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ η εξεταστική περίδς από 6/0/ έως 06// γραπτή εξέταση στ µάθηµα ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ Λυκείυ Τµήµα: Βαθµός: Ονµατεπώνυµ: Καθηγητές: ΑΤΡΕΙ ΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΘΕΜΑ Στις παρακάτω ερωτήσεις να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ. ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΕΩΝ. ( Παλινδρόµηση στον Πληθυσµό και Παλινδρόµηση στο είγµα).

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ. ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΕΩΝ. ( Παλινδρόµηση στον Πληθυσµό και Παλινδρόµηση στο είγµα). ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ. ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΕΩΝ. ( Παλινδρόµηση στον Πληθυσµό και Παλινδρόµηση στο είγµα). Στην Στατιστική Εξειδίκευση ένα Σχήµα Αλληλεξάρτησης εξειδικεύεται στον Πληθυσµό και το

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Βιολέττα Δάλλα. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Βιολέττα Δάλλα. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Βιολέττα Δάλλα Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών 1 Εισαγωγή Οικονοµετρία (Econometrics) είναι ο τοµέας της Οικονοµικής επιστήµης που περιγράφει και αναλύει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL ΘΕΩΡΙΑ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL ΘΕΩΡΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL ΘΕΩΡΙΑ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Γραμμική Παλινδρόμηση

Εισαγωγή στην Γραμμική Παλινδρόμηση ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΔΙΑΛΕΞΗ 13-11-015 Εισαγωγή στην Γραμμική Παλινδρόμηση Γραμμική σχέση μεταξύ μεταβλητών Αν. Καθ. Μαρί-Νοέλ Ντυκέν Στόχος Πολύ συχνά, η Τ.Μ. που εξετάζουμε π.χ. η κατανάλωση των νοικοκυριών

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

44.5kN (111.25kN) 14.6kN/m (36.5kN/m) 0.65m. Σχήµα Γεωµετρικά δεδοµένα, δεδοµένα φόρτισης και διακριτοποίησης της δοκού του παραδείγµατος 2γ.

44.5kN (111.25kN) 14.6kN/m (36.5kN/m) 0.65m. Σχήµα Γεωµετρικά δεδοµένα, δεδοµένα φόρτισης και διακριτοποίησης της δοκού του παραδείγµατος 2γ. ΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητικές Εφαρµγές 293 5.3.2.3. Παράδειγµα 2γ: κός µε σύνθετη φόρτιση Πρόκειται για τ παράδειγµα των Harr et al. (1969), τ πί επιλύθηκε αρχικά µε τ πρσµίωµα τυ αλλά και µεταγενέστερα τόσ µε

Διαβάστε περισσότερα

Τετάρτη 5 Νοεμβρίου 2014 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

Τετάρτη 5 Νοεμβρίου 2014 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Τετάρτη 5 Νεμρίυ 014 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ Β Β1. Ένα κινητό διέρχεται τη χρνική στιγμή to=0 από τη θέση xo=0 ενός πρσανατλισμένυ άξνα Οx, κινύμεν κατά μήκς τυ

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

( ) 11.4 11.7. Μέτρηση κύκλου. α 180. Μήκος τόξου µ ο : Μήκος τόξου α rad : l = αr. Σχέση µοιρών ακτινίων : Εµβαδόν κυκλικού δίσκου : Ε = πr 2

( ) 11.4 11.7. Μέτρηση κύκλου. α 180. Μήκος τόξου µ ο : Μήκος τόξου α rad : l = αr. Σχέση µοιρών ακτινίων : Εµβαδόν κυκλικού δίσκου : Ε = πr 2 1 11. 11.7 Μέτρηση κύκλυ ΘΩΡΙ Μήκς τόξυ µ : µ 180 Μήκς τόξυ α rad : αr Σχέση µιρών ακτινίων : α π µ 180 µβαδόν κυκλικύ δίσκυ : ( ) µβαδόν κυκλικύ τµέα µ : µ µβαδόν κυκλικύ τµέα α rad : ( ) 1 αr µβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

Στα παρακάτω σχήµατα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων. Να βρείτε τα σηµεία στα οποία αυτές δεν είναι συνεχείς. 2 3,5 1 O. x 2.

Στα παρακάτω σχήµατα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων. Να βρείτε τα σηµεία στα οποία αυτές δεν είναι συνεχείς. 2 3,5 1 O. x 2. .8 Ασκήσεις σχλικύ βιβλίυ σελίδας 97 0 A µάδας. Στα αρακάτω σχήµατα δίννται ι γραφικές αραστάσεις δύ συναρτήσεων. Να βρείτε τα σηµεία στα ία αυτές δεν είναι συνεχείς. 3 3,5 3 - εν είναι συνεχής στ αφύ

Διαβάστε περισσότερα

EΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ TAΛANTΩΣEIΣ

EΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ TAΛANTΩΣEIΣ Kεφ. 3 EΞΑΝΑΓΚΑΣΕΝΕΣ TAΛANTΩΣEIΣ Θα εξετάσυμε τη περίπτση εφαρμγής σ ένα σύστημα μιάς δεδμένης εξτερικής δύναμης η πία να εξαρτάται από τ χρόν (δηλ. τ σύστημα υπβάλλεται σε εξτερική διέγερση. η περίπτση:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΡΥΕΝΑΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 5: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ (Ι)

ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΡΥΕΝΑΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 5: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ (Ι) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΧΩΡΟΤΑΞΙΑΣ, ΠΟΛΕΟΔΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΜΣ «ΕΠΕΝΔΥΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ» ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΡΥΕΝΑΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 5: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 8 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση) Κυριακή, 15 Δεκεμβρίυ, 013 Ώρα: 10:00-13:00 ΘΕΜΑ 1 : (Μνάδες 15) Πρτεινόμενες Λύσεις Η πόρτα μάζας Μ = 3m και πλάτυς μπρεί να περιστρέφεται χρίς τριβές

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis)

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis) Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regresso Aalss) Βασικές έννοιες Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Πολλαπλή Παλινδρόμηση Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 5 ο - Κ. Μπλέκας () Βασικές έννοιες Έστω τ.μ. Χ,Υ όπου υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός της ενότητας αυτής είναι να παρουσιάσει σύντομα αλλά περιεκτικά τους τρόπους με τους οποίους παρουσιάζονται τα στατιστικά δεδομένα.

Σκοπός της ενότητας αυτής είναι να παρουσιάσει σύντομα αλλά περιεκτικά τους τρόπους με τους οποίους παρουσιάζονται τα στατιστικά δεδομένα. 2.2. ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ 8 ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Σπός Σπός της ενότητας αυτής είναι να παρυσιάσει σύντμα αλλά περιετιά τυς τρόπυς με τυς πίυς παρυσιάζνται τα στατιστιά δεδμένα. Πρσδώμενα απτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

1o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ ( ) Αριθµητική τιµή του πολυώνυµου ( ) Το πολυώνυµο ( ) = = =.

1o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ ( ) Αριθµητική τιµή του πολυώνυµου ( ) Το πολυώνυµο ( ) = = =. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ Πλυώυµ τυ x λέγετι κάθε πράστση της µρφής : x + x ++ x+ όπυ,,,, είι στθερί πργµτικί ριθµί κι φυσικός ριθµός Τ πλυώυµ τυ x συµβλίζυµε: f( x ), g( x ), f x = x + x ++ x+ h x,, πότε γράφυµε:

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Μέτρηση Κύκλου. Παράρτημα. Ι13. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση:

Κ. Μέτρηση Κύκλου. Παράρτημα. Ι13. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση: Ι12. Αν σε ένα τρίγων ΑΒΓ ισχύει η σχέση ημ 3 Β ημ 2 ΑημΒ ημ 2 ΑημΓ ημ 3 Γ, να απδείξετε ότι Βˆ Γˆ 120. Ι13. Αν σε ένα τρίγων ΑΒΓ ισχύει η σχέση: 1 1 2 1, να α β α β γ α β γ β γ 2 απδείξετε ότι 4συν Β

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΟΧΗΜΕΙΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΑΝΤΙΔΡΑΣΕΩΣ. Έννοιες που πρέπει να γνωρίζετε: Α θερμοδυναμικός νόμος, ενθαλπία, θερμοχωρητικότητα

ΘΕΡΜΟΧΗΜΕΙΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΑΝΤΙΔΡΑΣΕΩΣ. Έννοιες που πρέπει να γνωρίζετε: Α θερμοδυναμικός νόμος, ενθαλπία, θερμοχωρητικότητα ΘΕΡΜΟΧΗΜΕΙΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΑΝΤΙΔΡΑΣΕΩΣ Έννιες πυ πρέπει να γνωρίζετε: Α θερμδυναμικός νόμς ενθαλπία θερμχωρητικότητα Θέμα ασκήσεως. Πρσδιρισμός θερμχωρητικότητας θερμιδμέτρυ. Πρσδιρισμός θερμότητς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 1.1. Εισαγωγή 13 1.2. Μοντέλο ή Υπόδειγμα 13 1.3. Η Ανάλυση Παλινδρόμησης 16 1.4. Το γραμμικό μοντέλο Παλινδρόμησης 17 1.5. Πρακτική χρησιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

00-003 Οικνόµυ Θεµιστκλής Ασκήσεις Συµπεριφράς εδάφυς σε δυναµική φόρτιση ΑΣΤΕ [] Άσκηση η : Για την εδαφική τµή τυ Σχήµατς, να πρσδιριστύν µε άση τις πρτεινόµενες στη διεθνή ιλιγραφία σχέσεις: Α η µεταλή

Διαβάστε περισσότερα

1. Να υπολογίσεις το εμβαδόν κυκλικού δίσκου που είναι περιγεγραμμένος. Στο διπλανό σχήμα, να υπολογίσεις το μήκος και το. εμβαδόν του κύκλου.

1. Να υπολογίσεις το εμβαδόν κυκλικού δίσκου που είναι περιγεγραμμένος. Στο διπλανό σχήμα, να υπολογίσεις το μήκος και το. εμβαδόν του κύκλου. Δ 1. Να υπλγίσεις τ εμβαδόν κυκλικύ δίσκυ πυ είναι περιγεγραμμένς σε τετράγων πλευράς α = 6 cm Α Α 8cm. 6cm Στ διπλανό σχήμα, να υπλγίσεις τ μήκς και τ Β Γ εμβαδόν τυ κύκλυ. Ο Β Γ 3. Λυγίζυμε ένα σύρμα

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα πανελληνίων διαγωνισμών Ε.Μ.Ε. Β γυμνασίου Θαλής

Θέματα πανελληνίων διαγωνισμών Ε.Μ.Ε. Β γυμνασίου Θαλής Θέματα πανελληνίων διαγωνισμών Ε.Μ.Ε. Β γυμνασίυ Θαλής 1995-1996 Κ, 3cm. Με κέντρ τ σημεί Λ τυ κύκλυ να χαράξετε δεύτερ κύκλ Λ, 3cm. Η διάκεντρς ΚΛ τέμνει τν Κ στ Α και τν Λ στ Β, αν πρεκταθεί. Να κατασκευάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Πωλήσεις, Δαπάνες Διαφήμισης και Αριθμός Πωλητών Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) 98 050 6 3 989

Διαβάστε περισσότερα

EC-ASE: Ευρωπαϊκό Πιστοποιητικό για τους Συμβούλους / Εκπαιδευτές Κοινωνικής Οικονομίας

EC-ASE: Ευρωπαϊκό Πιστοποιητικό για τους Συμβούλους / Εκπαιδευτές Κοινωνικής Οικονομίας ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ EC-ASE: Ευρωπαϊκό Πιστπιητικό για τυς Συμβύλυς / Εκπαιδευτές Κινωνικής Οικνμίας 2 «Ευρωπαϊκό Πιστπιητικό για τυς Συμβύλυς / Εκπαιδευτές Κινωνικής Οικνμίας» Επικεφαλής Εταίρς:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΡΤΗΤΕΟ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΠΕΙΓΟΝ-ΠΡΟΘΕΣΜΙΑ

ΑΝΑΡΤΗΤΕΟ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΠΕΙΓΟΝ-ΠΡΟΘΕΣΜΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΣΥΓΚΡΟΤΗΣΗΣ ΓΕΝ. Δ/ΝΣΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΑΝΑΡΤΗΤΕΟ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΠΕΙΓΟΝ-ΠΡΟΘΕΣΜΙΑ Αθήνα, 7 Μαΐυ 2015 Α.Π:ΔΙΠΑΑΔ/ΕΠ/Φ.3/62/11867

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1ο. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ 1ο. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΘΕΜΑ 1 Να γράψετε στ τετράδιό σας τν αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα τ γράμμα πυ αντιστιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Αν δείκτης διάθλασης ενός πτικύ υλικύ μέσυ είναι n= 4 3 ακτινβλία

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Παλινδρόμηση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε µία γωνία λέγεται εγγεγραµµένη; Απάντηση Όταν η κορυφή της είναι σηµείο του κύκλου και οι πλευρές της είναι τέµνουσες του κύκλου

1. Πότε µία γωνία λέγεται εγγεγραµµένη; Απάντηση Όταν η κορυφή της είναι σηµείο του κύκλου και οι πλευρές της είναι τέµνουσες του κύκλου 6. 6.4 σκήσεις σχλικύ βιβλίυ σελίδας 9 30 Ερωτήσεις Κατανόησης. Πότε µία γωνία λέγεται εγγεγραµµένη; πάντηση Όταν η κρυφή της είναι σηµεί τυ κύκλυ και ι πλευρές της είναι τέµνυσες τυ κύκλυ. ν φ και ω είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήνα 6 Μαρτίου ΘΕΜΑ: Κοινοποίηση του άρθρου 12 του Ν.2579/1998 και της /384/1998 απόφασης του Υπουργού Οικονομικών.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήνα 6 Μαρτίου ΘΕΜΑ: Κοινοποίηση του άρθρου 12 του Ν.2579/1998 και της /384/1998 απόφασης του Υπουργού Οικονομικών. -- 275 -- * ΛΟΙΠΕΣ ΦΟΡΟΛΟΓΙΕΣ * Ν. 23 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήνα 6 Μαρτίυ 1998 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ Αριθ.Πρωτ.: 1031131/389/Δ.Τ. & Ε.Φ. ΓΕΝ.Δ/ΝΣΗ ΦΟΡΟΛΟΓΙΑΣ ΠΟΛ.: 1076 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΤΕΛΩΝ ΚΑΙ Ε.Φ. ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρηµα ( ) x x. f (x)

Θεώρηµα ( ) x x. f (x) Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + ΓΩΝΙ ΕΥΘΕΙΣ ΜΕ ΤΝ ΞΝ Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + Έστ ( ) µία υθία στ καρτσιανό πίπδ η πία τέµνι τν άξνα στ σηµί A. Γνία της υθίας ( ) µ τν άξνα λέγται η γνία πυ διαγράφι η ηµιυθία, αν στραφί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116)

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) Σελίδα 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟΣ ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Στις ερωτήσεις -4 να γράψετε στ τετράδιό σας τν αριθµό της ερώτησης και δίπα τ γράµµα, πυ αντιστιχεί στη σωστή απάντηση.. Ακτίνα πράσινυ φωτός πρερχόµενη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΡΑΜΜΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ

ΤΡΙΓΡΑΜΜΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ 1 ΤΡΙΓΡΑΜΜΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ Στην «Μεγάλη Πραγματεία» τυ Κμφύκιυ αναφέρεται: «Στ Yi 1 υπάρχει τ tài jí 太 極. Τ tài jí 太 極 γεννά τις 2 πρωταρχικές ενέργειες ή πλικότητες τ liang yi 兩 儀 ή αλλιώς yīn yáng» και

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression)

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) ΜΑΘΗΜΑ 3 ο 1 Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) Η συμπεριφορά των περισσότερων οικονομικών μεταβλητών είναι συνάρτηση όχι μιας αλλά πολλών μεταβλητών Υ = f ( X 1, X 2,... X n ) δηλαδή η Υ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΣΤΑΤΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΕΩΝ. C:\WINDOWS\Επιφάνεια εργασίας\kkkk\kef_2.doc

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΣΤΑΤΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΕΩΝ. C:\WINDOWS\Επιφάνεια εργασίας\kkkk\kef_2.doc ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΣΤΑΤΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΕΩΝ Στατικά Σχήματα Αλληλεξαρτήσεων Σε ένα Στατικό Οικονομετρικό Υπόδειγμα οι διαχρονικές αλληλεπιδράσεις μεταξύ των μεταβλητών του εξαντλούνται εντός μιας χρονικής

Διαβάστε περισσότερα

Oδεύοντα κύματα είναι διαταραχές (που μεταφέρουν ενέργεια και ορμή) που διαδίδονται στον ανοικτό χώρο με ορισμένη ταχύτητα διάδοσης.

Oδεύοντα κύματα είναι διαταραχές (που μεταφέρουν ενέργεια και ορμή) που διαδίδονται στον ανοικτό χώρο με ορισμένη ταχύτητα διάδοσης. Kεφ. 4 OΔEYONTA KYMATA (pges -7 (Trveling Wves Eξετάσυμε ανικτά συστήματα, δηλ. συστήματα χωρίς σύνρα. Oδεύντα κύματα είναι διαταραχές (πυ μεταφέρυν ενέργεια και ρμή πυ διαδίδνται στν ανικτό χώρ με ρισμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ II ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΩΜΑΚΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ II ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΩΜΑΚΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ II ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΩΜΑΚΟΣ Ερώτηση : Εξηγείστε τη διαφορά µεταξύ του συντελεστή προσδιορισµού και του προσαρµοσµένου συντελεστή προσδιορισµού. Πώς µπορεί να χρησιµοποιηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 5 Έστω για την σύγκριση δειγμάτων συλλέγουμε παρατηρήσεις Υ =,,, από

Διαβάστε περισσότερα

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών Εξίσωση παλινδρόμησης Πρόβλεψη εξέλιξης Διμεταβλητές συσχετίσεις Πολλές φορές χρειάζεται να

Διαβάστε περισσότερα

Είναι φ =180 ο 120 ο = 60 ο άρα ω = 50 ο + 60 ο = 110 ο. ˆ ΑΓ, να υπολογίσετε την γωνία φ. ˆ ΑΓ = 110 ο άρα ω =70 ο, οπότε. Είναι

Είναι φ =180 ο 120 ο = 60 ο άρα ω = 50 ο + 60 ο = 110 ο. ˆ ΑΓ, να υπολογίσετε την γωνία φ. ˆ ΑΓ = 110 ο άρα ω =70 ο, οπότε. Είναι 4.6 4.8 σκήσεις σχλικύ βιβλίυ σελίδας 87 88 ρωτήσεις Κατανόησης. Να υπλγίσετε την γωνία ω στ παρακάτω σχήµα πάντηση ω ίναι φ =8 = 6 άρα ω = 5 + 6 = 5 φ. ν = και x διχτόµς της γωνίας πάντηση ω φ ω 55 x

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο µέλη επί x& και ολοκληρώνοντας ως προς t φθάνουµε στη σχέση. dv dx

Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο µέλη επί x& και ολοκληρώνοντας ως προς t φθάνουµε στη σχέση. dv dx ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΗ 1- ΙΑΣΤΑΣΗ.1 Συντηρητικές δυνάµεις Έστω σώµα (µε την έννια τυ σωµατιδίυ) κινύµεν επί ευθείας γραµµής την πία ταυτίζυµε µε τν άξνα x, υπό την επίδραση της δύναµης F(x). Τότε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΣΤΕΦΑΝΟΥ Α.Ε.Μ. 4049

ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΣΤΕΦΑΝΟΥ Α.Ε.Μ. 4049 ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΜΕΛΕΤΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΕΝΕΡΓΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ» «STUDY OF ACTIVE CIRCUIT FILTERS BY USING SIMULATION» ΣΤΕΦΑΝΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αγαπητί μαθητές και μαθήτριες, Τα σας πρτείνυν για άλλη μια χρνιά, ένα λκληρωμέν επαναληπτικό υλικό στη Φυσική Θετικής-Τεχνλγικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑ ΟΣΙΑΚΑ ΜΟΥΣΙΚΑ ΟΡΓΑΝΑ ΑΠΟ ΟΛΟ ΤΟ ΚΟΣΜΟ. ΕΝΑ ΜΟΥΣΙΚΟ ΤΑΞΙ Ι ΣΤΙΣ 5 ΗΠΕΙΡΟΥΣ ΜΕ ΜΕΡΙΚΑ ΚΛΙΚ. ΙΑΘΕΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ

ΠΑΡΑ ΟΣΙΑΚΑ ΜΟΥΣΙΚΑ ΟΡΓΑΝΑ ΑΠΟ ΟΛΟ ΤΟ ΚΟΣΜΟ. ΕΝΑ ΜΟΥΣΙΚΟ ΤΑΞΙ Ι ΣΤΙΣ 5 ΗΠΕΙΡΟΥΣ ΜΕ ΜΕΡΙΚΑ ΚΛΙΚ. ΙΑΘΕΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ P αιώνα 3 Ο ΣΥΝΕ ΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ-ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ 695 ΠΑΡΑ ΟΣΙΑΚΑ ΜΟΥΣΙΚΑ ΟΡΓΑΝΑ ΑΠΟ ΟΛΟ ΤΟ ΚΟΣΜΟ. ΕΝΑ ΜΟΥΣΙΚΟ ΤΑΞΙ Ι ΣΤΙΣ 5 ΗΠΕΙΡΟΥΣ ΜΕ ΜΕΡΙΚΑ ΚΛΙΚ. ΙΑΘΕΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ Ανδρεάκυ Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε σύνολο δεδομένων κρύβει δομή το θέμα είναι να την εντοπίσομε (analytics)

Κάθε σύνολο δεδομένων κρύβει δομή το θέμα είναι να την εντοπίσομε (analytics) Κάθε σύνολο δεδομένων κρύβει δομή το θέμα είναι να την εντοπίσομε (analytics) 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ και ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ Καθηγητής Ι. Κ. ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών demetri@econ.uoa.gr

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλές λύσεις Δημιουργικότητα σε Προβλήματα Μαθηματικών

Πολλαπλές λύσεις Δημιουργικότητα σε Προβλήματα Μαθηματικών ΠΡΥ025: Διακτική Μαθηματικών Ι Ερασία Πλλαπλές λύσεις Δημιυρικότητα σε Πρβλήματα Μαθηματικών Διάσκων: Αθανάσις αάτσης Εκπαιευτικός: Άωνις Κυριάκυ, ΑΤ 802638 ΠΡΟΫΠΗΡΕΣΙΑΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ 2008 2009 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΛΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΜΗΧΑΝΙΑΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Θέμα: «Διαχείριση απθεμάτων σε αντιπρσωπεία αυτκινήτων Mercedes- Benz» Φιτητής: Μόζας Δημήτρης Αριθμός Μητρώυ:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 13

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 13 ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΘΕΡΜΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ ΚΑΙ ΘΕΡΜΙΚΩΝ ΣΤΡΟΒΙΛΟΜΗΧΑΝΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΜΒΟΛΟΦΟΡΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 13 Διάγνωση Δυσλειτυργιών και βλαβών σύγχρνυ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ AST COMPACT 110 & 150

ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ AST COMPACT 110 & 150 http://www.a-s-t.gr I OLAR NDUTRY ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ AT COMPACT 110 & 150 1. Περιγραφή Τ σύστημα Compact με τα μντέλα πυδιαθέτυν δεξαμενή των 100 και 150 λίτρων, παράγεται από την A..T. solar industry

Διαβάστε περισσότερα

2 ο υ ΣΥΝΕΔΡΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜ ΑΤΙΣΜ ΟΥ. Δυνατότητες της Τεχνολογίας και του Αυτοματισμού στην ανατολή του 21ου α ιώ να

2 ο υ ΣΥΝΕΔΡΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜ ΑΤΙΣΜ ΟΥ. Δυνατότητες της Τεχνολογίας και του Αυτοματισμού στην ανατολή του 21ου α ιώ να Π Ρ Α Κ Τ Ι Κ Α 2 υ ΣΥΝΕΔΡΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜ ΑΤΙΣΜ ΟΥ Δυνατότητες της Τεχνλγίας και τυ Αυτματισμύ στην ανατλή τυ 21υ α ιώ να 2 & 3 Ο Κ Τ Ω Β Ρ Ι Ο Υ 1 9 9 8 ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΣΥΝΕΔΡΙΑΚΟ ΚΕΝΤΡΟ Η Ε I.

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Γενική μορφή. β β β β. i=1,2,,n ο αριθμός των παρατηρήσεων k ο αριθμός των ανεξάρτητων μεταβλητών 2 1,2

Γενική μορφή. β β β β. i=1,2,,n ο αριθμός των παρατηρήσεων k ο αριθμός των ανεξάρτητων μεταβλητών 2 1,2 Γενική μορφή Y = + + +... + + u,, k k, =,,,n ο αριθμός των παρατηρήσεων k ο αριθμός των ανεξάρτητων μεταλητών Y = + Y,,... k, u Y,,... k, u Y=, =, =, u= Y, n, n... n k, n k un u = Y ή = ΔY Δ Το αντιπροσωπεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΣΤΑΤΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΕΩΝ. C:\Documents and Settings\ioanna\Desktop\ioan_1\Skef_2.doc

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΣΤΑΤΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΕΩΝ. C:\Documents and Settings\ioanna\Desktop\ioan_1\Skef_2.doc ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΣΤΑΤΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΕΩΝ C:\Documens and Seings\ioanna\Deskop\ioan_1\Skef_2doc ΣΧΗΜΑΤΑ ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΕΩΝ Στατικά Σχήµατα Αλληλεξαρτήσεων Σε ένα Στατικό Οικονοµετρικό Υπόδειγµα οι διαχρονικές

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Οικονοµετρικό Υπόδειγµα. Γράφηµα Ροής 1.

Οικονοµετρικό Υπόδειγµα. Γράφηµα Ροής 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μία από τις βασικότερες λειτουργίες της οικονοµετρικής µεθοδολογίας είναι η Συγκεκριµενοποίηση των αλληλεπιδράσεων µεταξύ των διαφόρων οικονοµικών µεγεθών. Η Συγκεκριµενοποίηση αυτή αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ KΥKΛΩMATA.

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ KΥKΛΩMATA. ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ KΥKΛΩMATA.. HΛΕΚΤΡΙΚΗ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΣ Μεταλλικί αγωγί: τα ελεύθερα φρτία είναι τα ηλεκτρόνια σθένυς τυ µετάλλυ. Πυκνότης ρεύµατς (τ ρεύµα πυ διαπερνά µια κάθετη διατµή τυ αγωγύ ανά µνάδα επιφανείας

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία. Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Συντελεστής Προσδιορισμού και έλεγχος υπόθεσης συγκεκριμένου συντελεστή. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης

Οικονομετρία. Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Συντελεστής Προσδιορισμού και έλεγχος υπόθεσης συγκεκριμένου συντελεστή. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Οικονομετρία Πολλαπλή Παλινδρόμηση Συντελεστής Προσδιορισμού και έλεγχος υπόθεσης συγκεκριμένου συντελεστή Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης Μαθησιακοί Στόχοι Γνώση

Διαβάστε περισσότερα

Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α ΧΗΜΕΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 04 Ιαν 2011 Επιµέλεια: Μπεντρός Χαλατζιάν

Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α ΧΗΜΕΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 04 Ιαν 2011 Επιµέλεια: Μπεντρός Χαλατζιάν Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α ΧΗΜΕΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 04 Ιαν 2011 Επιµέλεια: Μπεντρός Χαλατζιάν Θ Ε Μ Α 1 Α. Για τις ερωτήσεις A1 A3 να γράψετε στην κόλλα σας τν αριθµό της ερώτησης και δίπλα τ γράµµα

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Oµάδας. 1.i) 1.ii) 1.iii) = 0. f x = x + 1 στο x ο. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης ( ) Λύση

2.1. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Oµάδας. 1.i) 1.ii) 1.iii) = 0. f x = x + 1 στο x ο. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης ( ) Λύση . Ασκήσεις σχλικύ βιβλίυ σελίδας 9 A Oµάδας. Να βρείτε την παράγωγ της συνάρτησης ( D R ( ( ( στ. Να βρείτε την παράγωγ της συνάρτησης ( D ( R ( ( ( στ ( ( ( ( ( ( ( (.i Να βρείτε την παράγωγ της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΤΑΜΕΙΑΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ ΣΑΝ ΜΕΓΕΘΟΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΡΕΥΣΤΟΤΗΤΑΣ: ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΩΝ ΕΙΣΗΓΜΕΝΩΝ ΕΤΑΙΡΙΩΝ ΣΤΟ Χ.Α.Α.

Ο ΤΑΜΕΙΑΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ ΣΑΝ ΜΕΓΕΘΟΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΡΕΥΣΤΟΤΗΤΑΣ: ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΩΝ ΕΙΣΗΓΜΕΝΩΝ ΕΤΑΙΡΙΩΝ ΣΤΟ Χ.Α.Α. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙ ΜΑΚΕΔΝΙΑΣ ΙΚΝΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚ ΠΡΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΥΔΩΝ ΣΤΗ ΔΙΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Διπλωματική Εργασία: ΤΑΜΕΙΑΚΣ ΚΥΚΛΣ ΣΑΝ ΜΕΓΕΘΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΡΕΥΣΤΤΗΤΑΣ: ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα