44.5kN (111.25kN) 14.6kN/m (36.5kN/m) 0.65m. Σχήµα Γεωµετρικά δεδοµένα, δεδοµένα φόρτισης και διακριτοποίησης της δοκού του παραδείγµατος 2γ.

Transcript

1 ΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητικές Εφαρµγές Παράδειγµα 2γ: κός µε σύνθετη φόρτιση Πρόκειται για τ παράδειγµα των Harr et al. (1969), τ πί επιλύθηκε αρχικά µε τ πρσµίωµα τυ αλλά και µεταγενέστερα τόσ µε τ πρσµίωµα τυ όσ και µε µια σειρά πρσµιωµάτων δυ παραµέτρων µε διάφρες παραλλαγές, από τυς Chiwanga & Valsangkar (1988), και Razaqpur & Shah (1991), (λέπε Παράγραφ 5.2.2, και Σχήµα 5.2α). Οι πραναφερόµενες επιλύσεις πραγµατπιήθηκαν µε τιµές παραµέτρων πυ πρκύπτυν από την εφαρµγή των σχέσεων τυ λαµάνντας για την παράµετρ γ την τιµή 1.5, χωρίς να δθεί κάπια συγκεκριµένη εξήγηση για την επιλγή αυτή. Επειδή στα πλαίσια της παρύσας διατριής ακλυθείται και ελέγχεται µια διαφρετική διαδικασία πρσδιρισµύ των τιµών των εδαφικών παραµέτρων, δεν είναι δυνατή η άµεση σύγκριση µε τα απτελέσµατα των επιλύσεων πυ αναφέρθηκαν παραπάνω. Ωστόσ, η απόφαση για την επίλυση τυ συγκεκριµένυ παραδείγµατς ελήφθη διότι συνδυάζει τρεις διαφρετικύς τύπυς φόρτισης, για δυ από τυς πίυς και ξεχωριστά για τν καθένα από αυτύς πραγµατπιήθηκαν αναλύσεις στα πλαίσια των δυ πρηγύµενων παραδειγµάτων. Έτσι, εξετάζεται η συµπεριφρά των εδαφικών πρσµιωµάτων, αλλά και η απτελεσµατικότητα της χρησιµπιύµενης µεθόδυ πρσδιρισµύ των εδαφικών παραµέτρων και σε πι σύνθετα συστήµατα φόρτισης µεµνωµένων δκών. 73kN/m (182.5kN/m) Φ 0.9m 0.6m 13.6kNm (34kNm) 1.8m 0.95m 1.3m 1.3m 7.5m 14.6kN/m (36.5kN/m) 44.5kN (111.25kN) 0.65m (ΜÝσα σε παρýνθεση ι τιý των φρτιþν πυ χρησιπιþθηκαν για την επßλυση ε τα εδüφη κατηγρßα Ε4 και Ε5) Z 1 X ÄεδÝνα Äκý E= kN/m 2 I = m 4 ( ÄιατÞ 0.3 x 0.7) ÄεδÝνα ΕδÜφυ Έδαφ Ε1: Ε=9000kN/m Έδαφ Ε3: Ε=17500kN/m Έδαφ Ε4: Ε=75000kN/m Έδαφ Ε5: Ε=150000kN/m v=0.4 2 v=0.3 v=0.35 v=0.15 ΣυνεχÞ ελαστικþ Ýδραση ια, δυ Þ τριων παραýτρων Σχήµα Γεωµετρικά δεδµένα, δεδµένα φόρτισης και διακριτπίησης της δκύ τυ παραδείγµατς 2γ. Τα δεδµένα τυ εδάφυς θεµελίωσης είναι αυτά τυ Πίνακα 5.2 µε εξαίρεση την κατηγρία εδάφυς Ε2, η πία δεν εξετάστηκε όπως και στα πρηγύµενα παραδείγµατα των δκών πεπερασµένυ µήκυς. Τα δεδµένα της δκύ δίννται στ Σχήµα Όπως φαίνεται από τ σχήµα αυτό, ι τιµές των φρτιστικών αιτίων αυξήθηκαν σηµαντικά για τις αναλύσεις µε τις κατηγρίες εδαφών Ε4 και Ε5, επειδή ι αντίστιχες τιµές πυ χρησιµπιήθηκαν για τις αναλύσεις µε τις κατηγρίες Ε1 και Ε3, πρκαλύσαν πλύ µικρές µετακινήσεις.

2 ΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητικές Εφαρµγές 294 Όσν αφρά τα άθη τυ ελαστικύ υπάθρυ, πραγµατπιήθηκαν αναλύσεις µόν για άθς H S =60 µέτρα, καθώς από τις αναλύσεις πυ πρηγήθηκαν πρέκυψε τ συµπέρασµα, ότι τα απτελέσµατα δεν µεταάλλνται σηµαντικά µε τη µείωση τυ άθυς. Έτσι, απφασίστηκε να γίνυν αναλύσεις µόνν για τ άθς αυτό, πυ αντιστιχεί πρακτικά σε υπόαθρ «απείρυ» άθυς. Λόγω τυ γεγνότς ότι η φόρτιση της δκύ δεν είναι ύτε συµµετρική ύτε και αντισυµµετρική, κρίθηκε απαραίτητη η διακριτπίηση λκλήρυ τυ συστήµατς δκύ ελαστικύ υπάθρυ κατά την επίλυση µε τα επιφανειακά πεπερασµένα στιχεία. Οι κάναι πυ χρησιµπιήθηκαν έχυν µήκς 150 µέτρα, έτσι ώστε να λαµάνεται υπόψη κατά την ανάλυση σηµαντική πσότητα εδάφυς εκατέρωθεν της δκύ. ατά τα λιπά, τα δεδµένα των κανάων είναι όµια µε αυτά πυ περιγράφηκαν αναλυτικά στα πρηγύµενα παραδείγµατα, καθώς και στην παρύσα περίπτωση έγινε παραδχή της ισχύς των συνθηκών επίπεδης έντασης. Τ λγισµικό πυ χρησιµπιήθηκε είναι: Πρσµίωµα Επιφανειακών Πεπερασµένων Στιχείων Πρόγραµµα SAP2000 Πρσµίωµα Πρόγραµµα Beam on Elastic Foundation Πρσµιώµατα δυ και τριών παραµέτρων και παραλλαγές τυς Αλγόριθµι σε γλώσσα Fortran 90 Για την επίλυση µε τ τρππιηµέν πρσµίωµα τυ χρησιµπιήθηκε επαναληπτικός αλγόριθµς, η φιλσφία τυ πίυ είναι αυτή πυ περιγράφεται παραστατικά στ σχήµα 5.4. Ωστόσ, υπάρχει διαφρά µε τυς αλγρίθµυς πυ χρησιµπιήθηκαν για τις περιπτώσεις µελέτης των δκών περασµένυ µήκυς µε απλές φρτίσεις. Η διαφρά αυτή έγκειται στ ότι αλγόριθµς πυ συντάχθηκε για τ παρόν παράδειγµα στηρίζεται στην µέθδ των πεπερασµένων στιχείων και όχι στη µέθδ των αρχικών παραµέτρων. Ο λόγς πυ δήγησε στην επιλγή αυτή είναι εξής: Για την εφαρµγή τυ τρππιηµένυ πρσµιώµατς τυ απαιτείται η εκτέλεση µιας επαναληπτικής διαδικασίας σύγκλισης της τιµής της παραµέτρυ γ µέσω της παρακάτω σχέσεως 5.2. γ 2 1 = 2 Lb du z 2 1 dx + k G 2 2 [ u (0) + u (L )] z z b 0 v dx 2 s (5.2) Lb 2 1 k [ + ] u zdx u z (0) u z (L b ) 0 2 G (Όπυ ν s είναι λόγς τυ Poison τυ ελαστικύ υπάθρυ, k και G είναι ι εδαφικές παράµετρι ι πίες είναι συνάρτηση της παραµέτρυ γ, και u z (0), u z (L b ) είναι ι κατακόρυφες µετακινήσεις των δυ άκρων της δκύ). Από την µελέτη της παραπάνω σχέσης γίνεται σαφές, ότι για την εκτέλεση τυ επαναληπτικύ κύκλυ απαιτείται υπλγισµός δυ λκληρωµάτων πυ αφρύν τις µετακινήσεις και τις στρφές των διατµών της δκύ σε όλ τ εύρς της. Η διαδικασία υπλγισµύ των λκληρωµάτων αυτών µε τη µέθδ των αρχικών παραµέτρων απαιτεί την λκλήρωση των στιχείων τυ µητρώυ µεταφράς πυ είναι πι χρνόρα από την αντίστιχη διαδικασία µε άση την µέθδ των πεπερασµένων στιχείων. Στα πλαίσια της τελευταίας, τα λκληρώµατα αυτά διασπώνται σε επιµέρυς λκληρώµατα πυ τ κάθε ένα από αυτά αντιστιχεί και σε ένα από τα στιχεία στα πία έχει διακριτπιηθεί η δκός τα πία τελικώς αθρίζνται για να δώσυν την συνλική τιµή. Η διαδικασία αυτή είναι και πργραµµατιστικά απλύστερη.

3 ΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητικές Εφαρµγές 295 Η δκός διακριτπιήθηκε µε επτά (7) στιχεία, ι κόµι των πίων τπθετήθηκαν στα σηµεία εφαρµγής των µναχικών δυνάµεων, καθώς και στα σηµεία αρχής και τέλυς των µιόµρφων φρτίων (Σχήµα 5.34). ατά τις επιλύσεις πυ πραγµατπιήθηκαν, αγνήθηκε τ πρσµίωµα τυ µε τη θεώρηση των ριζντίων µετακινήσεων στ εσωτερικό τυ υπάθρυ, καθώς ι αναλύσεις των πρηγύµενων παραδειγµάτων απέδειξαν την ελάχιστη διαφρπίηση των απτελεσµάτων τυ από τα αντίστιχα απτελέσµατα τυ κλασσικύ πρσµιώµατς τυ. αι στην παρύσα περίπτωση, για τν πρσδιρισµό των τιµών των εδαφικών παραµέτρων ακλυθήθηκε η έως τώρα ακλυθύµενη διαδικασία. Έτσι, για τ πρσµίωµα των τριών παραµέτρων ελέγχθηκαν καταρχήν ι συντελεστές συσχέτισης n ck = 7 9, ι πίι στα πρηγύµενα παραδείγµατα είχαν απδώσει πλύ ικανπιητικά απτελέσµατα για τόσ για τα εντασιακά όσ και για τα παραµρφωσιακά µεγέθη. Η διαδικασία της αξιλόγησης των απτελεσµάτων των αναλύσεων πυ πραγµατπιήθηκαν, επικεντρώθηκε στην σύγκριση των τιµών της κατακόρυφης µετακίνησης, της καµπτικής ρπής και της τέµνυσας δύναµης στυς κτώ κόµυς µε τυς πίυς διακριτπιήθηκε η δκός (Σχήµα 5.34). Επειδή στην παρύσα περίπτωση δεν ελέγχνται τιµές µεγεθών σε µεµνωµένα σηµεία, αλλά σε µια σειρά σηµείων, τέθηκε τ πρόληµα της εξεύρεσης της έλτιστης τιµής τυ συντελεστή συσχέτισης, καθώς από τις παραµετρικές αναλύσεις πυ έγιναν, πρέκυψε τ συµπέρασµα ότι η συνεχής αύξηση τυ συντελεστή n ck δεν δηγεί σε µια µιόµρφη σύγκλιση των τιµών των µεγεθών σε όλυς τυ κόµυς, αλλά ξεχωριστά σε κάπιυς από αυτύς. Για τν λόγ αυτό, εξετάστηκε η περίπτωση της εύρεσης µιας τιµής τυ n ck για την πία επιτυγχάνεται η κατά µέσν όρ έλτιστη σύγκλιση πρς τη λύση αναφράς, των εξεταζόµενων µεγεθών όλων των κόµων. Θα πρέπει να τνιστεί πρκαταρκτικά, ότι η ανάγκη για την διερεύνηση των έλτιστων συντελεστών n ck πρέκυψε µόνν κατά την σύγκριση των εντασιακών µεγεθών, καθώς στην περίπτωση των συγκρίσεων των κατακρύφων µετακινήσεων, ι τιµές n ck = 9 10 δίνυν και στην παρύσα περίπτωση τα έλτιστα απτελέσµατα, όπως γίνεται σαφές από τα σχήµατα , και όπως θα παρυσιαστεί αναλυτικά παρακάτω. Αντίθετα για την επίτευξη της κατά µέσν όρ έλτιστης σύγκλισης των εντασιακών µεγεθών απδείχθηκε ότι ι τιµές n ck = 9 10 δεν είναι επαρκείς. Έτσι, πραγµατπιήθηκαν παραµετρικές αναλύσεις, τα απτελέσµατα των πίων δίννται στα σχήµατα

4 ΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητικές Εφαρµγές 296 Απλυτε τιý Πρσßωα: FEM Kerr (c=9k) 1 0,0679 0,1271 0,2328 0,0451 0,0622 0, ,0697 0,1528 0,2332 0,0459 0,0655 0, ,0709 0,1700 0,2334 0,0464 0,0676 0, ,0745 0,2215 0,2343 0,0476 0,0742 0, ,0764 0,2489 0,2349 0,0481 0,0778 0, ,0789 0,2865 0,2358 0,0485 0,0829 0, ,0815 0,3242 0,2368 0,0487 0,0880 0, ,0828 0,3431 0,2372 0,0487 0,0906 0,2758 Απκλßσει Πρσßωα: Kerr (c=9k) 1 87,23% 242,86% -33,51% -8,38% 263,09% 2 119,26% 234,48% -34,09% -6,1 258,43% 3 139,76% 229,21% -34,51% -4,64% 255,53% 4 197,57% 214,67% -36,01% -0,36% 247,64% 5 226,0 207,61% -36,99% 1,88% 243,86% 6 262,98% 198,71% -38,52% 4,98% 239,26% 7 297,87% 190,53% -40,25% 8,04% 235,19% 8 314,62% 186,69% -41,15% 9,53% 233,33% Απτελεσατα επßλυση ε τ τρππιηýν πρσßωα 0, , , Απκλιση απ τη λýση αναφρü Kerr (c=9k) Σχήµα Τιµές των µετακινήσεων και ι αντίστιχες απκλίσεις πυ πρκύπτυν από την χρήση των εξεταζόµενων πρσµιωµάτων από την λύση αναφράς. Έδαφς Ε1 (Άργιλς µέσης σκληρότητας), Βάθς ελαστικύ υπάθρυ H S =60m.

5 ΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητικές Εφαρµγές 297 Πρσßωα: FEM Kerr (c=10k) 1 0,0355 0,0704 0,1288 0,0237 0,0323 0, ,0364 0,0845 0,1290 0,0242 0,0339 0, ,0370 0,0939 0,1290 0,0245 0,0349 0, ,0389 0,1223 0,1294 0,0252 0,0380 0, ,0398 0,1374 0,1297 0,0254 0,0398 0, ,0412 0,1582 0,1302 0,0256 0,0424 0, ,0425 0,1792 0,1307 0,0255 0,0451 0, ,0431 0,1897 0,1310 0,0254 0,0465 0,1524 Απλυτε τιý Απκλßσει Πρσßωα: Kerr (c=10k) 1 98,41% 263,09% -33,3-8,83% 284,82% 2 132,06% 254,07% -33,61% -6,99% 279,58% 3 153,58% 248,37% -33,89% -5,81% 276,29% 4 214,66% 232,95% -35,2-2,15% 267,73% 5 244,87% 225,5-36,18% -0,06% 263,73% 6 284,36% 216,18% -37,9 3,0 259,04% 7 321,88% 207,7-39,96% 6,17% 255, ,06% 203,81% -41,05% 7,77% 253,44% Απτελεσατα επßλυση ε τ τρππιηýν πρσßωα 0, , , Απκλιση απ τη λýση αναφρü Kerr (c=10k) Σχήµα Τιµές των µετακινήσεων και ι αντίστιχες απκλίσεις πυ πρκύπτυν από την χρήση των εξεταζόµενων πρσµιωµάτων από την λύση αναφράς. Έδαφς Ε3 (Χαλαρή άµµς), Βάθς ελαστικύ υπάθρυ H S =60m.

6 ΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητικές Εφαρµγές 298 Απλυτε τιý Πρσßωα: FEM Kerr (c=10k) 1 0,0205 0,0403 0,0725 0,0136 0,0191 0, ,0211 0,0478 0,0725 0,0141 0,0197 0, ,0215 0,0529 0,0725 0,0144 0,0201 0, ,0225 0,0683 0,0726 0,0149 0,0215 0, ,0231 0,0768 0,0728 0,0151 0,0225 0, ,0239 0,0888 0,0732 0,0151 0,0242 0, ,0246 0,1012 0,0736 0,0149 0,0262 0, ,0249 0,1074 0,0738 0,0147 0,0272 0,0863 Απκλßσει Πρσßωα: Kerr (c=10k) 1 96,45% 253,49% -33,45% -6,59% 277,08% 2 126,61% 243,38% -33,1-6,49% 269,24% 3 146,25% 237,61% -33,0-6,29% 265, ,4 222,59% -33,76% -4,53% 255,07% 5 232,36% 215,13% -34,72% -2,54% 250,86% 6 271,73% 206,3-36,73% 1,42% 247,37% 7 310,86% 198,91% -39,49% 6,41% 246,11% 8 330,44% 195,77% -41,09% 9,05% 246,22% Απτελεσατα επßλυση ε τ τρππιηýν πρσßωα 0, , , Απκλιση απ τη λýση αναφρü Kerr (c=10k) Σχήµα Τιµές των µετακινήσεων και ι αντίστιχες απκλίσεις πυ πρκύπτυν από την χρήση των εξεταζόµενων πρσµιωµάτων από την λύση αναφράς. Έδαφς Ε4 (Πυκνή άµµς), Βάθς ελαστικύ υπάθρυ H S =60m.

7 ΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητικές Εφαρµγές 299 Απλυτε τιý Πρσßωα: FEM Kerr (c=10k) 1 0,0105 0,0224 0,0396 0,0068 0,0101 0, ,0109 0,0263 0,0397 0,0071 0,0102 0, ,0110 0,0289 0,0396 0,0072 0,0103 0, ,0115 0,0370 0,0396 0,0075 0,0108 0, ,0119 0,0417 0,0398 0,0076 0,0114 0, ,0123 0,0484 0,0399 0,0076 0,0124 0, ,0126 0,0555 0,0401 0,0074 0,0137 0, ,0127 0,0591 0,0402 0,0073 0,0143 0,0474 Απκλßσει Πρσßωα: Kerr (c=10k) 1 113,02% 276,84% -34,99% -4,4 305,18% 2 142,46% 265,12% -34,64% -5,86% 294,09% 3 162,09% 259,06% -34,54% -6,53% 288, ,22% 243,88% -35,3-6,24% 276,85% 5 251,84% 235,5-36,27% -4,08% 271,91% 6 295,5 226,07% -38,22% 1,3 269,33% 7 340,27% 218,36% -40,98% 8,58% 270,22% 8 363,69% 215,66% -42,63% 12,61% 272,23% Απτελεσατα επßλυση ε τ τρππιηýν πρσßωα 0, , , Απκλιση απ τη λýση αναφρü Kerr (c=10k) Σχήµα Τιµές των µετακινήσεων και ι αντίστιχες απκλίσεις πυ πρκύπτυν από την χρήση των εξεταζόµενων πρσµιωµάτων από την λύση αναφράς. Έδαφς Ε5 (Αµµχάλικ), Βάθς ελαστικύ υπάθρυ H S =60m.

8 ΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητικές Εφαρµγές 300 Πρσßωα: Απλυτε τιý FEM Kerr (c=138k) 1 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0, ,82 3,35 0,76 27,25 8,91 3, ,15-3,45-5,48 34,12 9,01-3,41 4αρ -11,86-39,37-34,58 25,10-9,98-39,07 4δ 1,74-25,77-20,98 38,70 3,62-25,47 5 1,54-27,74-19,56 39,94 2,55-27,34 6 3,04-20,29-10,49 36,78 0,18-19, ,48 4,34 9,63 29,65 8,35 4,40 8 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Απκλßσει Πρσßωα: Kerr (c=138k) 2-69,05% -92,95% 151,89% -17,64% -69,05% 3-133,94% -153,96% 236,14% -11,22% -133,59% 4αρ 231,93% 191,56% -311,65% -15,88% 229,42% 4δ -1580,83% -1305,71% 2124,25% 108,27% -1563,72% ,06% -1370,3 2493,58% 65,66% -1875,33% 6-767,27% -445,16% 1109,86% -94,09% -756,64% 7-65,26% -22,8 137,61% -33,07% -64,72% Απτελεσατα επßλυση ε τ τρππιηýν πρσßωα 0, , , Απκλιση απ τη λýση αναφρü αρ 4 δ Kerr (c=138k) Σχήµα Τιµές των καµπτικών ρπών και ι αντίστιχες απκλίσεις πυ πρκύπτυν από την χρήση των εξεταζόµενων πρσµιωµάτων από την λύση αναφράς. Έδαφς Ε1 (Άργιλς µέσης σκληρότητας), Βάθς ελαστικύ υπάθρυ H S =60m.

9 ΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητικές Εφαρµγές 301 Απλυτε τιý Πρσßωα: FEM Kerr (c=152k) 1 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0, ,82 3,36 2,18 24,12 8,84 3, ,14-3,43-3,05 29,31 8,89-3,27 4αρ -11,86-39,33-30,19 17,56-10,15-38,75 4δ 1,74-25,73-16,59 31,16 3,45-25,15 5 1,53-27,70-15,52 32,10 2,34-27,03 6 3,03-20,26-7,86 30,47-0,02-19, ,49 4,34 10,40 27,09 8,29 4,43 8 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Απκλßσει Πρσßωα: Kerr (c=152k) 2-68,99% -79,9 122,93% -18,29% -68,49% 3-133,83% -130,12% 189,07% -12,3-132,28% 4αρ 231,61% 154,59% -248,02% -14,46% 226,71% 4δ -1578,67% -1053,68% 1690,53% 98,56% -1545,29% ,39% -1114,41% 1997,79% 52,71% -1866,89% 6-768,74% -359,3 905,77% -100,79% -753,08% 7-65,26% -16,73% 116,91% -33,59% -64,54% Απτελεσατα επßλυση ε τ τρππιηýν πρσßωα 0, , , Απκλιση απ τη λýση αναφρü αρ 4 δ Kerr (c=152k) Σχήµα Τιµές των καµπτικών ρπών και ι αντίστιχες απκλίσεις πυ πρκύπτυν από την χρήση των εξεταζόµενων πρσµιωµάτων από την λύση αναφράς. Έδαφς Ε3 (Χαλαρή άµµς), Βάθς ελαστικύ υπάθρυ H S =60m.

10 ΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητικές Εφαρµγές 302 Απλυτε τιý Πρσßωα: FEM Kerr (c=144k) 1 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0, ,69 8,51 11,92 39,50 21,71 9, ,91-8,29 4,87 43,08 21,72-6,03 4αρ -30,02-97,60-49,82 1,19-25,40-91,39 4δ 3,98-63,60-15,82 35,19 8,60-57,39 5 3,22-68,54-16,88 34,05 5,50-62,13 6 6,84-50,23-7,31 36,31-0,44-46, ,90 10,92 27,98 49,61 20,63 11,60 8 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Απκλßσει Πρσßωα: Kerr (c=144k) 2-68,13% -55,34% 47,99% -18,67% -64, ,29% -80,44% 72,95% -12,81% -124,2 4αρ 225,13% 65,95% -103,98% -15,38% 204,44% 4δ -1698,11% -497,42% 784,28% 116,03% -1542, ,42% -624,12% 957,51% 70,8-2029,42% 6-834,37% -206,84% 430,82% -106,47% -775,21% 7-64,67% -9,46% 60,55% -33,25% -62,45% Απτελεσατα επßλυση ε τ τρππιηýν πρσßωα 0, , , Απκλιση απ τη λýση αναφρü Kerr (c=144k) αρ 4 δ Σχήµα Τιµές των καµπτικών ρπών και ι αντίστιχες απκλίσεις πυ πρκύπτυν από την χρήση των εξεταζόµενων πρσµιωµάτων από την λύση αναφράς. Έδαφς Ε4 (Πυκνή άµµς), Βάθς ελαστικύ υπάθρυ H S =60m.

11 ΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητικές Εφαρµγές 303 Απλυτε τιý Πρσßωα: FEM Kerr (c=172k) 1 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0, ,41 8,63 12,37 28,89 21,09 10, ,57-8,00 8,29 29,71 20,97-3,96 4αρ -30,08-96,85-37,50-11,60-25,26-86,22 4δ 3,92-62,85-3,50 22,40 8,74-52,22 5 2,90-67,79-8,14 17,75 5,10-57,04 6 6,31-49,78-4,04 19,50-1,15-43, ,71 10,99 26,19 39,58 20,36 12,08 8 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Απκλßσει Πρσßωα: Kerr (c=172k) 2-67,32% -53,15% 9,41% -20,16% -61,03% 3-132,54% -66,28% 20,93% -14,65% -116,11% 4αρ 221,98% 24,68% -61,44% -16,02% 186,65% 4δ -1703,35% -189,39% 471,42% 122,89% -1432,24% ,47% -380,65% 511,92% 75,83% -2066,91% 6-888,96% -164,02% 209,03% -118,22% -784,22% 7-64,22% -14,73% 28,87% -33,72% -60,67% Απτελεσατα επßλυση ε τ τρππιηýν πρσßωα 0, , , Απκλιση απ τη λýση αναφρü Kerr (c=172k) αρ 4 δ Σχήµα Τιµές των καµπτικών ρπών και ι αντίστιχες απκλίσεις πυ πρκύπτυν από την χρήση των εξεταζόµενων πρσµιωµάτων από την λύση αναφράς. Έδαφς Ε5 (Αµµχάλικ), Βάθς ελαστικύ υπάθρυ H S =60m.

12 ΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητικές Εφαρµγές 304 Πρσßωα: FEM Kerr (c=76k) 1-5,87 0,00 0,00 41,15 0,00 0, ,76 7,68 12,78 43,65-14,93 7, ,14-30,22-22,49 1,54 21,56-30,13 4 4,44-8,75 3,16 6,70 5,46-8,60 5-4,14 4,87 16,73 9,47-2,68 4,91 6 1,34 7,09 16,40-5,68 1,44 6,94 7αρ -17,49 31,28 35,11-1,82-24,09 31,10 7δ 27,01-13,22-9,39-46,32 20,41-13, ,83 0,00 0,00-44,39 0,00 0,00 Απλυτε τιý Απκλßσει Πρσßωα: Kerr (c=76k) 2-143,23% -171,95% -345,78% -15,94% -143,38% 3-250,05% -211,68% -92,36% 7,07% -249,61% 4-297,07% -28,93% 50,95% 22,94% -293,73% 5-217,56% -504,22% -328,86% -35,34% -218,66% 6 429,33% 1123,57% -523,56% 7,12% 417,75% 7αρ -278,87% -300,76% -89,57% 37,71% -277,84% 7δ -148,93% -134,76% -271,51% -24,42% -149,59% Απτελεσατα επßλυση ε τ τρππιηýν πρσßωα 0, , , Απκλιση απ τη λýση αναφρü Kerr (c=76k) αρ 7 δ Σχήµα Τιµές των τεµνυσών δυνάµεων και ι αντίστιχες απκλίσεις πυ πρκύπτυν από την χρήση των εξεταζόµενων πρσµιωµάτων από την λύση αναφράς. Έδαφς Ε1 (Άργιλς µέσης πυκνότητας), Βάθς ελαστικύ υπάθρυ H S =60m.

13 ΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητικές Εφαρµγές 305 Απλυτε τιý Πρσßωα: FEM Kerr (c=82k) 1-5,91 0,00 0,00 41,74 0,00 0, ,75 7,69 12,80 44,11-14,96 7, ,14-30,20-22,47 1,93 21,49-29,99 4 4,46-8,74 3,19 6,86 5,46-8,57 5-4,13 4,86 16,76 9,51-2,60 4,85 6 1,34 7,08 16,41-5,81 1,50 6,81 7αρ -17,51 31,27 35,12-2,14-24,12 31,03 7δ 26,99-13,23-9,38-46,64 20,38-13, ,92 0,00 0,00-44,82 0,00 0,00 Απκλßσει Πρσßωα: Kerr (c=82k) 2-143,32% -172,09% -348,53% -15,74% -144,05% 3-249,97% -211,55% -90,44% 6,69% -248,92% 4-296,07% -28,56% 53,83% 22,41% -292,14% 5-217,7-505,82% -330,36% -36,95% -217,51% 6 428,17% 1124,75% -533,38% 12,17% 408,15% 7αρ -278,6-300,56% -87,76% 37,73% -277,21% 7δ -149,01% -134,76% -272,82% -24,47% -149,91% Απτελεσατα επßλυση ε τ τρππιηýν πρσßωα 0, , , Απκλιση απ τη λýση αναφρü αρ 7 δ Kerr (c=82k) Σχήµα Τιµές των τεµνυσών δυνάµεων και ι αντίστιχες απκλίσεις πυ πρκύπτυν από την χρήση των εξεταζόµενων πρσµιωµάτων από την λύση αναφράς. Έδαφς Ε3 (Χαλαρή άµµς), Βάθς ελαστικύ υπάθρυ H S =60m.

14 ΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητικές Εφαρµγές 306 Απλυτε τιý Πρσßωα: FEM Kerr (c=60k) 1-14,45 0,00 0,00 103,02 0,00 0, ,06 19,46 32,02 109,15-37,10 21, ,36-75,21-56,14 3,85 53,55-72, ,33-21,76 7,92 16,81 13,81-20, ,01 12,04 41,81 23,80-5,97 11,31 6 3,26 17,40 40,92-14,00 3,88 14,76 7αρ -44,28 77,99 87,74-4,41-61,01 76,07 7δ 66,97-33,26-23,51-115,66 50,24-35, ,31 0,00 0,00-110,94 0,00 0,00 Απκλßσει Πρσßωα: Kerr (c=60k) 2-144,17% -172,66% -347,73% -15,79% -148,43% 3-249,35% -211,47% -92,35% 6,34% -244,33% 4-292,07% -30,14% 48,33% 21,91% -282,21% 5-220,31% -517,64% -337,77% -40,35% -213,03% 6 433,64% 1155,21% -529,52% 19,04% 352,64% 7αρ -276,15% -298,18% -90,03% 37,81% -271,82% 7δ -149,67% -135,1-272,72% -24,98% -152,53% Απτελεσατα επßλυση ε τ τρππιηýν πρσßωα 0, , , Απκλιση απ τη λýση αναφρü αρ 7 δ Kerr (c=60k) Σχήµα Τιµές των τεµνυσών δυνάµεων και ι αντίστιχες απκλίσεις πυ πρκύπτυν από την χρήση των εξεταζόµενων πρσµιωµάτων από την λύση αναφράς. Έδαφς Ε4 (Πυκνή άµµς), Βάθς ελαστικύ υπάθρυ H S =60m.

15 ΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητικές Εφαρµγές 307 Απλυτε τιý Πρσßωα: FEM Kerr (c=51k) 1-14,45 0,00 0,00 105,60 0,00 0, ,77 19,71 32,06 111,24-36,52 23, ,26-74,89-56,06 5,60 53,77-70, ,52-21,66 8,02 17,49 14,12-19,97 5-9,80 11,93 41,91 23,90-5,51 10,49 6 3,25 17,08 41,00-14,71 3,65 12,63 7αρ -44,75 77,79 87,78-5,92-62,10 74,72 7δ 66,49-33,46-23,47-117,17 49,15-36, ,52 0,00 0,00-112,86 0,00 0,00 Απκλßσει Πρσßωα: Kerr (c=51k) 2-145,03% -173,25% -354,14% -16,57% -152,69% 3-249,01% -211,55% -88,85% 6,99% -240,27% 4-287,98% -30,37% 51,81% 22,55% -273,35% 5-221,72% -527,65% -343,88% -43,79% -207, ,69% 1161,67% -552,48% 12,16% 288,76% 7αρ -273,83% -296,16% -86,76% 38,76% -266,96% 7δ -150,33% -135,3-276,24% -26,07% -154,95% Απτελεσατα επßλυση ε τ τρππιηýν πρσßωα 0, , , Απκλιση απ τη λýση αναφρü αρ 7 δ Kerr (c=51k) Σχήµα Τιµές των τεµνυσών δυνάµεων και ι αντίστιχες απκλίσεις πυ πρκύπτυν από την χρήση των εξεταζόµενων πρσµιωµάτων από την λύση αναφράς. Έδαφς Ε5 (Αµµχάλικ), Βάθς ελαστικύ υπάθρυ H S =60m.

16 ΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητικές Εφαρµγές 308 Από τα σχήµατα εξάγεται τ συµπέρασµα, ότι τ πρσµίωµα τριών παραµέτρων τυ Kerr µε τη θεώρηση της επιρρής τυ εδάφυς εκατέρωθεν της δκύ πλενεκτεί σαφώς όλων των υπλίπων πρσµιωµάτων όσν αφρά την πρσέγγιση των κατακρύφων µετακινήσεων, εάν δθύν στν συντελεστή συσχέτισης τιµές µεταξύ τυ 9 και 10. Πι συγκεκριµένα, η τιµή n ck =9 δηγεί σε απτελέσµατα πυ δεν απκλίνυν περισσότερ από ±1 σε κανέναν από τυς κόµυς της δκύ στην περίπτωση της µελέτης τυ εδάφυς Ε1. Αντίστιχα, για όλες τις υπόλιπες κατηγρίες εδάφυς πυ εξετάστηκαν η έλτιστη τιµή τυ συντελεστή συσχέτισης είναι η τιµή n ck =10. Επµένως, η ασική παρατήρηση πυ µπρεί να γίνει όσν αφρά τις κατακόρυφες µετακινήσεις είναι, ότι και στην περίπτωση της µελέτης δκών πεπερασµένυ µήκυς µε σύνθετα συστήµατα φόρτισης, τ εύρς διακύµανσης των απαιτύµενων για τη έλτιστη σύγκλιση των κατακρύφων µετακινήσεων συντελεστών συσχέτισης n ck, είναι της ίδιας τάξης µεγέθυς όπως και στην αντίστιχη περίπτωση φόρτισης µε µναχικές δυνάµεις ή ρπές. Υπενθυµίζεται ότι στις περιπτώσεις των µναχικών φρτίσεων, ι τιµές πυ απδίδυν τα έλτιστα απτελέσµατα όσν αφρά την σύγκλιση των κατακρύφων µετακινήσεων είναι n ck =7 για τα «µαλακά», και n ck =8 για τα «σκληρά» εδάφη. Αν γίννταν χρήση των τιµών αυτών και στην παρύσα περίπτωση, ι απκλίσεις τυ πρσµιώµατς των τριών παραµέτρων θα έφταναν σε ρισµένυς κόµυς έως και τ 2 25%. Ωστόσ και µε τις τιµές αυτές, τ πρσµίωµα των τριών παραµέτρων πλενεκτεί όλων των υπλίπων σε κάθε περίπτωση, όπως γίνεται φανερό από την µελέτη των σχηµάτων Όσν αφρά τα υπόλιπα πρσµιώµατα αξίζει να σηµειωθεί, ότι τ πρσµίωµα τυ απδίδει τα αµέσως πι απδεκτά απτελέσµατα, µε µεγάλη ωστόσ διαφρά από τ πρσµίωµα τυ Kerr (απκλίσεις της τάξης τυ 30 4 για κάθε κατηγρία εδάφυς). Μάλιστα και στην παρύσα περίπτωση, τ πρσµίωµα τυ απδίδει συστηµατικά µικρότερες τιµές µετακινήσεων από τ πρσµίωµα αναφράς. Τέλς, τα άλλα τρία πρσµιώµατα πυ εξετάστηκαν (,, και Kerr χωρίς την θεώρηση της επιρρής τυ εδάφυς εκατέρωθεν της δκύ) απτυγχάνυν πλήρως στην απόδση απτελεσµάτων ανεκτής απόκλισης, καθώς ι απκλίσεις τυς υπεραίνυν σε κάθε περίπτωση τ 10. Επµένως δεν έχει νόηµα µια λεπτµερής καταγραφή των επιµέρυς χαρακτηριστικών των επιδόσεών τυς. Από τα παραπάνω καθίσταται σαφής και στην παρύσα περίπτωση, η αναγκαιότητα της θεώρησης της επιρρής τυ εδάφυς εκατέρωθεν της δκύ πρκειµένυ να επιτευχθεί ικανπιητική απόδση των κατακρύφων µετακινήσεων, καθώς τα πρσµιώµατα πυ διαπιστώθηκε ότι αστχύν δεν έχυν τέτια δυνατότητα. Πέραν τύτυ όµως διαπιστώνεται και περαιτέρω ελτίωση των απτελεσµάτων, εάν ληφθύν υπόψη ι επιπλέν τπικές παραµρφώσεις ακριώς κάτω από την φρτιζόµενη περιχή τυ εδάφυς, τις πίες µόνν τ πρσµίωµα τυ Kerr µπρεί να απδώσει. Όσν αφρά τις τιµές των καµπτικών ρπών, τα συµπεράσµατα δεν είναι και τόσ ξεκάθαρα σχετικά µε την σύγκλιση τυ πρσµιώµατς των τριών παραµέτρων πρς τη λύση αναφράς. Παρακάτω θα δθύν αναλυτικά ι παρατηρήσεις πυ πρέκυψαν από τις παραµετρικές αναλύσεις για κάθε πρσµίωµα ξεχωριστά. (Σκπίµως, η παρυσίαση των συµπερασµάτων για τ πρσµίωµα τυ Kerr µε τη θεώρηση τυ εδάφυς εκατέρωθεν της δκύ θα παρυσιαστεί τελευταία, καθώς συνδεύεται από τις παραµετρικές αναλύσεις πρσδιρισµύ των έλτιστων συντελεστών συσχέτισης n ck όπως τνίστηκε παραπάνω).

17 ΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητικές Εφαρµγές 309 Από τα Σχήµατα πρκύπτει τ συµπέρασµα, ότι τα πρσµιώµατα τυ και τυ Kerr χωρίς τη θεώρηση τυ εδάφυς εκατέρωθεν της δκύ εµφανίζυν ισδύναµα απτελέσµατα, τα πία όµως κρίννται απρριπτέα καθώς ειδικά στυς κόµυς 4, 5, 6 ι απκλίσεις απδίδυν είναι άνω τυ 150. Αλλά και στυς υπόλιπυς κόµυς η µικρότερη απόκλιση υπεραίνει τ 7. Πέραν τύτυ αξισηµείωτ είναι και τ γεγνός, ότι εκτός των υπερλικά µεγάλων απκλίσεων, παρατηρύνται και διαφρές πρσήµυ µεταξύ των απτελεσµάτων των πρσµιωµάτων αυτών και των απτελεσµάτων αναφράς σε πλλύς από τυς κόµυς πυ εξετάστηκαν. Τ πρσµίωµα τυ, τ πί δεν λαµάνει υπόψη την επιρρή τυ εδάφυς εκατέρωθεν της δκύ, εµφανίζει πιτικά τα ίδια απτελέσµατα µε τα δυ πρηγύµενα πρσµιώµατα, µε λίγ µικρότερες απκλίσεις ι πίες όµως δεν παύυν να είναι σηµαντικότατες (της τάξης τυ στυς κόµυς 4, 5, 6). Η εικόνα αυτή συναντάται στα «µαλακά» εδάφη Ε1 και Ε3. Στα «σκληρά» εδάφη Ε4 και Ε5 ι απκλίσεις µειώννται αισθητά χωρίς όµως να µπρύν να θεωρηθύν µικρές, καθώς ειδικά στυς κόµυς 4, 5, 6 πυ είναι και ι πι δυσµενείς από πλευράς απκλίσεων κυµαίννται µεταξύ τυ 150 και τυ 60 Τ πρσµίωµα τυ εµφανίζει την πι δυσµενή συµπεριφρά από όλα τα υπόλιπα πρσµιώµατα πυ εξετάστηκαν στην περίπτωση µελέτης των «µαλακών» εδαφών Ε1 και Ε3. Αντίθετα στην περίπτωση µελέτης των «σκληρών» εδαφών Ε4 και Ε5, εµφανίζει µια πι ελτιωµένη εικόνα από τα πρσµιώµατα των και Kerr χωρίς την θεώρηση της επιρρής τυ εδάφυς εκατέρωθεν της δκύ. Ωστόσ, και στην περίπτωση αυτή, αν και η ελτίωση των απτελεσµάτων τυ είναι πλύ σηµαντική, υστερεί τυ πρσµιώµατς τυ καθώς απδίδει µεγαλύτερες απκλίσεις από τ τελευταί. Αξισηµείωτ όµως είναι τ γεγνός, ότι παρά τις κατ απόλυτη τιµή µεγαλύτερες απκλίσεις πυ απδίδει, τ πρσµίωµα τυ επιτυγχάνει ταύτιση των πρσήµων των καµπτικών ρπών µε τα πρόσηµα των απτελεσµάτων αναφράς, σε όλες τις εξεταζόµενες περιπτώσεις και σχεδόν σε όλυς τυς κόµυς της δκύ. Τ πρσµίωµα τυ Kerr µε τη θεώρηση της επιρρής τυ εδάφυς εκατέρωθεν της δκύ, έχει τη δυνατότητα µεγαλύτερης πρσέγγισης στις τιµές αναφράς από τα πραναφερόµενα πρσµιώµατα, λόγω της ευελιξίας τυ στην επιλγή τυ συντελεστή συσχέτισης µεταξύ των παραµέτρων k και c. Τ πρόληµα επµένως όπως και στα πρηγύµενα παραδείγµατα έγκειται στν πρσδιρισµό τυ κατάλληλυ συντελεστή συσχέτισης. Όπως φαίνεται και από τα σχήµατα , υπάρχει για κάθε κατηγρία εδάφυς µια συγκεκριµένη, και σε κάθε περίπτωση διαφρετική, τιµή τυ n ck για την πία τα απτελέσµατα τυ πρσµιώµατς των τριών παραµέτρων εµφανίζυν ικανπιητική συγκριτικά πάντα µε τα υπόλιπα πρσµιώµατα πρσέγγιση στα απτελέσµατα αναφράς. Συνψίζντας τα δεδµένα των σχηµάτων , ι έλτιστι συντελεστές ανά κατηγρία εδάφυς είναι: Ε1 n ck =138, Ε3 n ck =152, Ε4 n ck =144, Ε5 n ck =172. Όπως γίνεται κατανητό, ι συντελεστές αυτί εµφανίζυν µια διασπρά, όχι πάντως υπερλικά µεγάλη, πυ δεν επιτρέπει εξαρχής την πρόταση µιας ενιαίας έλτιστης τιµής για τ συντελεστή n ck ανεξάρτητης από την κατηγρία εδάφυς πυ µελετάται.

18 ΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητικές Εφαρµγές 310 Ωστόσ αξίζει να γίνει η παρατήρηση, ότι αν συνδυαστύν ι έλτιστες τιµές τυ συντελεστή συσχέτισης n ck µε τ λόγ τυ Poison ν κάθε µιας από τις κατηγρίες εδάφυς πυ εξετάστηκαν, πρκύπτει τ συµπέρασµα ότι υπάρχει συσχέτιση µεταξύ τυς, πως φαίνεται και στ παρακάτω διάγραµµα. 175 nck 170 n ck = -137,14ν + 192, ΓραικÞ (nck) R 2 = 0, Λγ Poison ν 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 Όπως φαίνεται η συσχέτιση αυτή είναι σχεδόν γραµµική. Βέαια η παραπάνω παρατήρηση έχει εξαχθεί από µια συγκεκριµένη φρτιστική κατάσταση, και πρκειµένυ να ελεγχθεί η πι γενική ισχύς της θα πρέπει να απδειχθεί και για διαφρετικές φρτιστικές καταστάσεις. Ωστόσ, αν θα έπρεπε να πρταθεί ένα συγκεκριµέν εύρς τιµών για τν συντελεστή συσχέτισης n ck πρκειµένυ να επιτευχθεί µια ικανπιητική σύγκλιση των τιµών των καµπτικών ρπών πρς τις τιµές αναφράς, θα µπρύσαν να πρταθύν ι εξής τιµές: Για τα «µαλακά» εδάφη Ε1 και Ε3: n ck = Για τα «σκληρά» εδάφη Ε4 και Ε5: n ck = Για τιµές τυ συντελεστή συσχέτισης πυ ανήκυν σ αυτά τα πεδία τιµών, επιτυγχάννται συγκλίσεις πυ δεν διαφέρυν πλύ από τις συγκλίσεις πυ επιτυγχάννται µε τυς έλτιστυς συντελεστές πυ παρυσιάστηκαν πι πάνω (Σχήµατα ). Τέλς, όσν αφρά τις τέµνυσες δυνάµεις θα πρέπει να τνιστύν τα εξής (Σχήµατα ): Τα πρσµιώµατα τυ και τυ Kerr χωρίς τη θεώρηση τυ εδάφυς εκατέρωθεν της δκύ, εξακλυθύν να είναι σχεδόν ισδύναµης απόδσης, όπως και στην περίπτωση τυ ελέγχυ των καµπτικών ρπών. Ωστόσ στην παρύσα περίπτωση, ι απκλίσεις τυς είναι εµφανώς µικρότερες αλλά όχι και απδεκτές, καθώς κυµαίννται κατά κανόνα µεταξύ τυ 15 και 45. Οι απκλίσεις αυτές µειώννται σε γενικές γραµµές στην περίπτωση των «σκληρών» εδαφών E4 και E5. Τ πρσµίωµα τυ, ενώ στην περίπτωση τυ ελέγχυ των καµπτικών ρπών εµφανιζόταν ελαφρά πι απδτικό από τα δυ πρηγύµενα, στην περίπτωση τυ ελέγχυ των τεµνυσών δυνάµεων εµφανίζεται σχεδόν ισδύναµ µε αυτά (εξαίρεση απτελεί η τπική έξαρση των απκλίσεων πυ απδίδει στυς κόµυς 4 δ και 5). Τ πρσµίωµα τυ απδίδει και αυτό σηµαντικές απκλίσεις, ι πίες είναι όµως µικρότερες απ ότι στην περίπτωση τυ ελέγχυ των καµπτικών ρπών. Βέαια, και στην παρύσα περίπτωση είναι σηµαντικές καθώς µε ελάχιστες εξαιρέσεις είναι αρκετά µεγαλύτερες τυ 8. Ιδιαίτερ χαρακτηριστικό

19 ΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αριθµητικές Εφαρµγές 311 τυ πρσµιώµατς τυ πυ τ διαφρπιεί από τα υπόλιπα είναι η απόδση µη µηδενικών τιµών για τις τέµνυσες δυνάµεις στα άκρα της δκύ. Τ γεγνός αυτό φείλεται στην πρσθήκη µεταφρικών ελατηρίων στα άκρα της δκύ, µέσω των πίων επιτυγχάνεται η θεώρηση της επιρρής τυ εδάφυς εκατέρωθεν αυτής σύµφωνα µε τις παραδχές µε τις πίες καταστρώννται ι ασικές εξισώσεις τυ πρσµιώµατς. Όσν αφρά τ πρσµίωµα τυ Kerr µε θεώρηση της επιρρής τυ εδάφυς εκατέρωθεν της δκύ, ι έλτιστι συντελεστές ανά κατηγρία εδάφυς είναι: Ε1 n ck =76, Ε3 n ck =82, Ε4 n ck =60, Ε5 n ck =51. Βέαια, θα πρέπει να τνιστεί ότι ακόµα και για τυς συντελεστές αυτύς ι απκλίσεις δεν είναι ιδιαίτερα µικρές, αλλά δεν υπεραίνυν σε καµία περίπτωση και σε κανένα κόµ τ 45%, τη στιγµή πυ ι απκλίσεις των άλλων πρσµιωµάτων είναι πλύ µεγαλύτερες. Επµένως, και στην περίπτωση τυ ελέγχυ των τεµνυσών δυνάµεων, τ πρσµίωµα τυ Kerr υπερτερεί σαφώς των υπλίπων πρσµιωµάτων. Ωστόσ τ πρόληµα πυ τίθεται και εδώ είναι τ εύρς διακύµανσης των έλτιστων συντελεστών συσχέτισης n ck. Από τις παραµετρικές αναλύσεις πυ πραγµατπιήθηκαν, απδείχθηκε ότι δεν εµφανίζνται ιδιαίτερα µεγάλες διακυµάνσεις στις απκλίσεις για τιµές τυ συντελεστή n ck =75 80 για τα «µαλακά» εδάφη Ε1 και Ε3. Αυτό σηµαίνει ότι µπρεί να πρταθεί η τιµή n ck =78 για τις περιπτώσεις των «µαλακών» εδαφών, ενώ η αντίστιχη τιµή για τα «σκληρά» εδάφη είναι n ck =55. Για τις τιµές αυτές και στις δυ περιπτώσεις «µαλακών» και «σκληρών» εδαφών ι απκλίσεις δεν υπεραίνυν σε καµία περίπτωση τ 45%. Ιδιαίτερ ενδιαφέρν παρυσιάζυν επίσης, τα απτελέσµατα τυ ελέγχυ των τιµών των τεµνυσών δυνάµεων όταν στυς συντελεστές συσχέτισης δθύν ι τιµές µε τις πίες απδίδνται ι έλτιστες απκλίσεις των καµπτικών ρπών (δηλαδή ι τιµές n ck = για τα «µαλακά» εδάφη Ε1 και Ε3, και n ck = για τα «σκληρά» εδάφη Ε4 και Ε5). Ο έλεγχς αυτός για τα «µαλακά» εδάφη δήγησε στ συµπέρασµα, ότι ι απκλίσεις των τεµνυσών δυνάµεων στην περίπτωση πυ γίνεται χρήση των συντελεστών n ck = δεν µεταάλλνται σηµαντικά, αν εξαιρεθύν ι απκλίσεις στν κόµ 6 ι πίες αν και αυξάννται υπερλικά (π.χ. από τ 7.12% στ 25 στην περίπτωση τυ εδάφυς Ε1) ωστόσ παραµένυν µικρότερες από τις απκλίσεις πυ απδίδυν τα υπόλιπα πρσµιώµατα. Επιπλέν σε ρισµένυς κόµυς, όπως ι κόµι 2 και 4, απδίδνται µικρότερες απκλίσεις (π.χ. από τ 15.9% στ 2.5% στν κόµ 2 κατά τη µελέτη τυ εδάφυς Ε1). Η ίδια εικόνα διατηρείται και στην περίπτωση τυ αντίστιχυ ελέγχυ για τα «σκληρά» εδάφη Ε4 και Ε5. Επµένως µπρεί να ειπωθεί συµπερασµατικά, ότι είναι δυνατή η πρόταση συντελεστών συσχέτισης για τυς πίυς επιτυγχάννται ικανπιητικές πρσεγγίσεις των τιµών των καµπτικών ρπών και των τεµνυσών δυνάµεων. εν θα πρέπει έαια να παραλέπνται και ι εξαιρέσεις κατά τις πίες ι κινί συντελεστές συσχέτισης δηγύν σε πλύ µεγαλύτερες απκλίσεις από τις αντίστιχες απκλίσεις πυ απδίδυν ι κατά περίπτωση έλτιστι συντελεστές. Ωστόσ ι εξαιρέσεις αυτές είναι λίγες και δεν µπρύν να ανατρέψυν την γενική εικόνα πυ περιγράφηκε πρηγυµένως.