Ισοπεριμετρικές ανισότητες για το

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ισοπεριμετρικές ανισότητες για το"

Transcript

1 Ισοπεριμετρικές ανισότητες για το μέτρο του Gauss Διπλωματική Εργασία Μαρία Μαστροθεοδώρου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα 018

2

3 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή Το ισοπεριμετρικό πρόβλημα Περιγραφή της εργασίας Κανονικές τυχαίες μεταβλητές Η ισοπεριμετρική ανισότητα στο χώρο του Gauss 13.1 Εισαγωγή Gaussian συμμετρικοποίηση Η ισοπεριμετρική ανισότητα Η απόδειξη του Bobkov Η ανισότητα του Ehrhard Η ανισότητα Ehrhard-Borell Η ανισότητα του Ehrhard Η συναρτησιακή ανισότητα του Borell Διαστολές συμμετρικών κυρτών σωμάτων Η εικασία του Shepp Το βασικό τεχνικό αποτέλεσμα Η βέλτιστη σταθερά στην ανισότητα του Kahane Η ανισότητα της ϑετικής συνδιακύμανσης Το λήμμα του Šidák και η εικασία της ϑετικής συνδιακύμανσης Το ϑεώρημα του Royen Το B-ϑεώρημα Η εικασία του Banaszczyk Ανισότητα Poincaré Συνδυαστικές εφαρμογές του μέτρου του Gauss Προβλήματα εξισορρόπησης διανυσμάτων Το ϑεώρημα του Spencer

4 IV Π ό 7.3 Το ϑεώρημα του Banaszczyk Βιβλιογραφικά σχόλια 99

5 Π ό V Ευχαριστίες Για την εκπόνηση αυτής της εργασίας ϑέλω να ευχαριστήσω πρώτον από όλους τον καθηγητή και επιβλέποντά μου κ. Α. Γιαννόπουλο για την αδιάκοπη βοήθεια που μου προσέφερε επιστημονικά και ηθικά, καθώς και για τη συνεχή και πάντα πρόθυμη παρουσία του. Ιδιαίτερα τον ευχαριστώ για την αγάπη που μου ενέπνευσε για τα μαθηματικά, ήδη από τα πρώτα μαθήματά του που παρακολούθησα στο προπτυχιακό πρόγραμμα. Ανάλογες ευχαριστίες εκφράζω και για άλλους καθηγητές του τμήματος Μαθηματικών, καθώς και για τους καθηγητές κ. Δ. Γατζούρα και κ. Δ. Χελιώτη που δέχτηκαν να είναι μέλη της τριμελούς μου επιτροπής. Επίσης, ευχαριστίες ϑέλω να απευθύνω σε όσους φίλους μού στάθηκαν, ιδιαίτερα στις μαθηματικούς δυνάμει ή ενεργεία Αγγελική, Αλεξάνδρα, Γιώτα, Μαρία και Χάρις, που με βοήθησαν ποικιλοτρόπως σε όλη τη διάρκεια του μεταπτυχιακού προγράμματος, και φυσικά στο μαθηματικό κ. Γ. Πρωτοπαπά, που μου μετέδιδε πάντα με αγάπη τον ενθουσιασμό και τις γνώσεις του για τα Μαθηματικά. Επίσης, ένα ευχαριστώ είναι λίγο για τα 5 μου αδέρφια, τις νύφες και το γαμπρό μου, που με στήριξαν ψυχολογικά, αλλά και πρακτικά. Τέλος, ευχαριστώ από καρδιάς τους γονείς μου για όλα όσα μου έδωσαν και ιδιαίτερα το μαθηματικό πατέρα μου.

6

7 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.1 Το ισοπεριμετρικό πρόβλημα Μετρικός χώρος πιθανότητας είναι μια τριάδα (X, d, µ), όπου (X, d) είναι ένας μετρικός χώρος και µ ένα μέτρο πιθανότητας στη σ-άλγεβρα B(X) των Borel υποσυνόλων του (X, d). Για κάθε μη κενό A B(X) και t > 0 ορίζουμε την t-περιοχή του A ως εξής: A t = {x X : d(x, A) < t}. Γενικότερα, αν (X, d) είναι ένας μετρικός χώρος και µ ένα μέτρο στην B(X), η επιφάνεια ενός Borel υποσυνόλου A του X ως προς το µ ορίζεται ως εξής: µ + µ(a t \ A) (A) = lim inf. t 0 + t Αν µ(a) <, το οποίο φυσικά ισχύει για κάθε A αν ο (X, d, µ) είναι μετρικός χώρος πιθανότητας, τότε µ + (A) = lim inf t 0 + µ(a t ) µ(a). t Σε κάθε μετρικό χώρο πιθανότητας μπορούμε να διατυπώσουμε το ισοπεριμετρικό πρόβλημα: Για δοσμένο 0 < α < 1, να βρεθεί το inf{µ + (A) : A B(X), µ(a) α} και να βρεθούν (αν υπάρχουν) τα σύνολα A για τα οποία πιάνεται αυτό το infimum. Μπορούμε επίσης να διατυπώσουμε αντίστοιχο πρόβλημα για το μέτρο των t-περιοχών, σταθεροποιώντας κάποιο t > 0: Για δοσμένα 0 < α < 1 και t > 0, να βρεθεί το inf{µ(a t ) : A B(X), µ(a) α} και να βρεθούν (αν υπάρχουν) τα σύνολα A για τα οποία πιάνεται αυτό το infimum.

8 Ε Οι λύσεις του δεύτερου προβλήματος μπορεί να είναι διαφορετικές για διαφορετικές τιμές του t. Στα κλασικά όμως παραδείγματα δεν εξαρτώνται από το t και αυτό σημαίνει ότι είναι και λύσεις του πρώτου προβλήματος. Είναι μάλιστα, όπως ϑα δούμε, πολύ «συμμετρικά υποσύνολα» του X, το οποίο σημαίνει ότι μπορούμε σχετικά εύκολα να υπολογίσουμε το μέτρο της t-περιοχής τους και την επιφάνειά τους. Ανισότητα Brunn-Minkowski και η ισοπεριμετρική ανισότητα Εστω A και B μη κενά υποσύνολα του R n. Ορίζουμε A + B := {a + b : a A, b B} και για κάθε t 0, ta = {ta : a A}. Η ανισότητα Brunn-Minkowski συνδέει το άθροισμα Minkowski με τον όγκο στον R n : Θεώρημα (ανισότητα Brunn-Minkowski). Εστω K και T δύο μη κενά Borel υποσύνολα του R n. Τότε, K + T 1/n K 1/n + T 1/n. Στην περίπτωση που τα K και T είναι κυρτά σώματα (κυρτά συμπαγή σύνολα με μη κενό εσωτερικό), ισότητα στην ανισότητα Brunn-Minkowski μπορεί να ισχύει μόνο αν τα K και T είναι ομοιοθετικά (δηλαδή, αν K = at + x για κάποιον a 0 και κάποιο x R n ). Η ανισότητα Brunn-Minkowski εκφράζει με μια έννοια το γεγονός ότι ο όγκος είναι κοίλη συνάρτηση ως προς την πρόσθεση κατά Minkowski. Για το λόγο αυτό συχνά γράφεται στην ακόλουθη μορφή: Αν K, T είναι μη κενά Borel υποσύνολα του R n και αν λ (0, 1), τότε λk + (1 λ)t 1/n λ K 1/n + (1 λ) T 1/n. Από την τελευταία ανισότητα, σε συνδυασμό με την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου, μπορούμε ακόμα να γράψουμε: λk + (1 λ)t K λ T 1 λ. Χρησιμοποιώντας την ανισότητα Brunn Minkowski μπορούμε να δώσουμε την απάντηση στο ισοπεριμετρικό πρόβλημα στον R n : «ανάμεσα σε όλα τα μη κενά Borel υποσύνολα του R n που έχουν δεδομένο όγκο α, η μπάλα όγκου α έχει ελάχιστη επιφάνεια». Ο ορισμός της επιφάνειας που ϑα χρησιμοποιήσουμε είναι αυτός του Minkowski, ο οποίος βασίζεται στην έννοια της t-περιοχής: αν A είναι ένα μη κενό Borel υποσύνολο του R n και αν t > 0, η t-περιοχή του A είναι το σύνολο A t = {x R n : d(x, A) < t}, όπου d(x, A) = inf{ x a : a A} είναι η Ευκλείδεια απόσταση του x από το σύνολο A. Παρατηρήστε ότι, για κάθε t > 0, A t = A + td n,

9 1.1 Τ 3 όπου D n = {x R n : x < 1} είναι η ανοικτή Ευκλείδεια μοναδιαία μπάλα στον R n. Σύμφωνα με τον ορισμό της επιφάνειας κατά Minkowski, αν A είναι ένα μη κενό Borel υποσύνολο του R n με πεπερασμένο όγκο, η επιφάνεια (A) του A ορίζεται από την (A) = lim inf t 0 + A t A. t Μπορεί να ελέγξει κανείς ότι αν το A είναι κυρτό σώμα, τότε το lim inf στο δεξιό μέλος είναι όριο. Η απάντηση στο ισοπεριμετρικό πρόβλημα για τον Ευκλείδειο χώρο δίνεται από το εξής ϑεώρημα. Θεώρημα Αν A είναι μη κενό Borel υποσύνολο του R n με πεπερασμένο όγκο, τότε (A) n A n 1 n B n 1 n. Πράγματι, παρατηρούμε αρχικά ότι για κάθε t > 0, ανάμεσα σε όλα τα μη κενά Borel υποσύνολα του Ευκλείδειου χώρου που έχουν δεδομένο όγκο, η μπάλα έχει τη «μικρότερη t- επέκταση». Πρόταση Εστω B μια μπάλα στον R n. Αν A είναι ένα μη κενό Borel υποσύνολο του R n με A = B, τότε A t B t για κάθε t > 0. Απόδειξη. Λόγω του αναλλοίωτου του όγκου ως προς μεταφορές, μπορούμε να υποθέσουμε ότι B = rb n για κάποιον r > 0. Από την ανισότητα Brunn-Minkowski παίρνουμε A + td n 1/n A 1/n + td n 1/n = A 1/n + t D n 1/n = r B n 1/n + t B n 1/n = (r + t)b n 1/n = (r + t)d n 1/n = B + td n 1/n, απ όπου έπεται το ζητούμενο. Τώρα, από τον ορισμό της επιφάνειας έχουμε: Θεώρημα Εστω A μη κενό Borel υποσύνολο του R n με πεπερασμένο όγκο και έστω r > 0 τέτοιος ώστε A = rb n. Τότε, (A) (rb n ). Απόδειξη. Χρησιμοποιώντας την προηγούμενη πρόταση γράφουμε (A) = lim inf t 0 + = (rb n ). A t A t A t rb n = lim inf (rb n lim inf ) t rb n t 0 + t t 0 + t

10 4 Ε Απόδειξη του Θεωρήματος Αρκεί να παρατηρήσουμε ότι αν A = rb n τότε r = ( A / B n )1/n και ότι (rb n (r + t)d n rb n ) = lim (r + t) n r n = lim B n t 0 + t t 0 + = nr n 1 B n. t Αντικαθιστώντας το r βλέπουμε ότι nr n 1 B n = n A n 1 n B n 1 n. Ισοπεριμετρική ανισότητα στην σφαίρα Θεωρούμε τη μοναδιαία σφαίρα S n 1 = {x R n : x = 1} στον R n, εφοδιασμένη με τη γεωδαισιακή μετρική ρ: η απόσταση ρ(x, y) δύο σημείων x, y S n 1 είναι η κυρτή γωνία xoy στο επίπεδο που ορίζεται από την αρχή των αξόνων o και τα x, y. Η S n 1 γίνεται χώρος πιθανότητας με το μοναδικό αναλλοίωτο ως προς ορθογώνιους μετασχηματισμούς μέτρο σ: για κάθε Borel σύνολο A S n 1 ϑέτουμε σ(a) := C(A) B n, όπου B n είναι η μοναδιαία Ευκλείδεια μπάλα, C(A) := {sx : x A και 0 s 1}, και Q είναι το n-διάστατο μέτρο Lebesgue του Q. Η ρ είναι όντως μετρική στην S n 1 (άσκηση). Είναι εύκολο να δεί κανείς ότι αν ρ(x, y) = θ τότε x y = sin θ, συνεπώς η γεωδαισιακή και η Ευκλείδεια απόσταση των x, y S n 1 συγκρίνονται μέσω της π ρ(x, y) x y ρ(x, y). Η απάντηση στο ισοπεριμετρικό πρόβλημα για τη σφαίρα δίνεται από το ακόλουθο ϑεώρημα: Θεώρημα Εστω α (0, 1) και έστω B(x, r) = {y S n 1 : ρ(x, y) r} μια μπάλα στην S n 1 με ακτίνα r > 0 που επιλέγεται ώστε σ(b(x, r)) = α. A S n 1 με σ(a) = α και για κάθε t > 0 έχουμε Τότε, για κάθε σ(a t ) σ ( B(x, r) t ) = σ ( B(x, r + t) ). Δηλαδή, για οποιοδήποτε δοσμένο μέτρο α και οποιοδήποτε t > 0 οι γεωδαισιακές μπάλες μέτρου α δίνουν τη λύση του ισοπεριμετρικού προβλήματος.

11 1.1 Τ 5 Ισοπεριμετρική ανισότητα στο χώρο του Gauss Θεωρούμε τον R n με την Ευκλείδεια μετρική και το μέτρο πιθανότητας γ n που έχει πυκνότητα τη συνάρτηση g n (x) = (π) n/ e x /. Δηλαδή, αν A είναι ένα σύνολο Borel στον R n, τότε 1 γ n (A) = e x (π) n/ / dx. Το γ n είναι το n-διάστατο μέτρο του Gauss και ο χώρος πιθανότητας (R n,, γ n ) είναι ο n-διάστατος χώρος του Gauss. Το μέτρο του Gauss έχει δύο πολύ σημαντικές ιδιότητες. Από τη μία πλευρά είναι μέτρο γινόμενο, πιο συγκεκριμένα γ n = γ 1 γ 1. Από την άλλη πλευρά είναι αναλλοίωτο ως προς ορθογώνιους μετασχηματισμούς. Αν U O(n) και A είναι ένα Borel υποσύνολο του R n, τότε 1 γ n (U(A)) = e x (π) n/ / det U dx = e Uy U(A) (π) n/ / dy A 1 = e y (π) n/ / dy = γ n (A). Η ισοπεριμετρική ανισότητα στο χώρο του Gauss είναι η εξής. A Θεώρημα Εστω α (0, 1), θ S n 1, και H = {x R n : x, θ λ} ένας ημίχωρος του R n με γ n (H) = α. Τότε, γιά κάθε t > 0 και για κάθε Borel υποσύνολο A του R n με γ n (A) = α ισχύει A γ n (A t ) γ n (H t ). Οπως ϑα δούμε στο επόμενο κεφάλαιο, μια απόδειξη του Θεωρήματος βασίζεται στην «παρατήρηση του Poincaré» και ουσιαστικά ανάγει το πρόβλημα στο ισοπεριμετρικό πρόβλημα για την σφαίρα. Η παρακάτω ανισότητα είναι συνέπεια του Θεωρήματος Θεώρημα Αν γ n (A) 1/, τότε για κάθε t > 0 1 γ n (A t ) 1 exp( t /). Απόδειξη. Από το Θεώρημα γνωρίζουμε ότι 1 γ n (A t ) 1 γ n (H t ) όπου H ημίχωρος μέτρου 1/. Αφού το γ n είναι αναλλοίωτο ως προς ορθογώνιους μετασχηματισμούς, μπορούμε να υποθέσουμε ότι H = {x R n : x 1 0}, οπότε ολοκληρώνοντας πρώτα ως προς x,..., x n βλέπουμε ότι 1 γ n (H t ) = 1 π t e s / ds. Παραγωγίζοντας δείχνουμε ότι η συνάρτηση F(x) = e x / x e s / ds είναι φθίνουσα στο [0, + ). Από την F(t) F(0) προκύπτει το συμπέρασμα.

12 6 Ε 1. Περιγραφή της εργασίας Στο Κεφάλαιο αποδεικνύουμε την ισοπεριμετρική ανισότητα στο χώρο του Gauss. Συμβολίζουμε με Φ τη συνάρτηση κατανομής της τυπικής N(0, 1) τυχαίας μεταβλητής. Δηλαδή, Φ(x) = γ 1 (, x) = 1 π x e t / dt, x R. Κάνουμε επίσης τη σύμβαση ότι Φ( ) = 0 και Φ( ) = 1. Παρατηρήστε ότι αν H = {x R n : x, u a}, όπου u S n 1, είναι ένας κλειστός ημίχωρος, τότε γ n (H) = Φ(a) και γ n (H t ) = Φ(a + t) για κάθε t > 0. Συνεπώς, το Θεώρημα μπορεί ισοδύναμα να διατυπωθεί ως εξής: Θεώρημα Εστω A ένα Borel σύνολο στον R n και έστω H ένας ημίχωρος τέτοιος ώστε γ n (A) = γ n (H) = Φ(a) για κάποιον a R. Τότε, γ n (A t ) γ n (H t ) = Φ(a + t) για κάθε t > 0. Παρουσιάζουμε τρεις αποδείξεις του Θεωρήματος 1..1: (i) Η πρώτη βασίζεται στην «παρατήρηση του Poincaré» και ουσιαστικά ανάγει το πρόβλημα στο ισοπεριμετρικό πρόβλημα για την σφαίρα. (ii) Η δεύτερη βασίζεται στη μέθοδο της Gaussian συμμετρικοποίησης. (iii) Η τρίτη οφείλεται στον Bobkov και χρησιμοποιεί μια συναρτησιακή ανισότητα, η απόδειξη της οποίας, με τη σειρά της, βασίζεται σε μια ανισότητα δύο σημείων και στο κεντρικό οριακό ϑεώρημα, στο πνεύμα της αρχικής απόδειξης της λογαριθμικής ανισότητας Sobolev από τον Gross. Στο Κεφάλαιο 3 παρουσιάζουμε την απόδειξη της ανισότητας Ehrhard-Borell. Ο Ehrhard έδωσε μια απόδειξη της Gaussian ισοπεριμετρικής ανισότητας χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της Gaussian συμμετρικοποίησης που περιγράφουμε στο Κεφάλαιο. Με την ίδια μέθοδο απέδειξε μια ανισότητα τύπου Brunn-Minkowski, η οποία είναι ισχυρότερη από την (1..1) γ n (λa + (1 λ)b) [γ n (A)] λ [γ n (B)] 1 λ, η οποία μας λέει ότι το γ n είναι λογαριθμικά κοίλο. Το επιχείρημά του περιοριζόταν στα κυρτά υποσύνολα του R n.

13 1. Π 7 Θεώρημα 1.. (Ehrhard). Εστω A, B κυρτά υποσύνολα του R n και λ (0, 1). Τότε, (1..) Φ 1 (γ n (λa + (1 λ)b)) λφ 1 (γ n (A)) + (1 λ)φ 1 (γ n (B)). Η ανισότητα ισχύει ως ισότητα αν τα A και B είναι παράλληλοι ημίχωροι. Ο Latała απέδειξε ότι η (1..) εξακολουθεί να ισχύει αν το A είναι κυρτό και το B είναι τυχόν Borel σύνολο. Τελικά, ο Borell αφαίρεσε την υπόθεση της κυρτότητας για το A και απέδειξε την (1..) σε πλήρη γενικότητα. Θεώρημα 1..3 (Ehrhard-Borell). Εστω A, B δύο σύνολα Borel στον R n και λ (0, 1). Τότε, (1..3) Φ 1 (γ n (λa + (1 λ)b)) λφ 1 (γ n (A)) + (1 λ)φ 1 (γ n (B)). Περιγράφουμε το επιχείρημα του Ehrhard και το επιχείρημα του Borell το οποίο οδηγεί σε μια γενικότερη συναρτησιακή ανισότητα από την οποία προκύπτει το Θεώρημα Στο Κεφάλαιο 4 μελετάμε το ρυθμό μεταβολής του μέτρου Gauss συμμετρικών κυρτών σωμάτων ως προς διαστολές. Το κεντρικό αποτέλεσμα οφείλεται στους Latała και Oleszkiewicz, οι οποίοι απέδειξαν μια εικασία του L. A. Shepp. Θεώρημα Εστω A ένα συμμετρικό, κλειστό και κυρτό σύνολο στον R n και έστω P μια συμμετρική λωρίδα στον R n τέτοια ώστε γ n (A) = γ n (P). Τότε και γ n (ta) γ n (tp) για κάθε t 1 γ n (ta) γ n (tp) για κάθε 0 t 1. Για κάθε συμμετρικό, κλειστό και κυρτό υποσύνολο A του R n ορίζουμε r(a) = sup{r 0 : rb n A}. Παρατηρήστε ότι για κάθε συμμετρική λωρίδα P η παράμετρος r(p) ισούται με το μισό του πλάτους της P. Επίσης, για κάθε A έχουμε r(a) = inf{r(p) : A P, P συμμετρική λωρίδα στον R n }. Το Θεώρημα 1..4 είναι συνέπεια του ακόλουθου. Θεώρημα Εστω A ένα συμμετρικό, κυρτό και κλειστό σύνολο στον R n και έστω P μια συμμετρική λωρίδα στον R n τέτοια ώστε γ n (A) = γ n (P). Τότε, r(a)γ + n(a) r(p)γ + n(p).

14 8 Ε Για την απόδειξη του Θεωρήματος 1..5 χρησιμοποιούμε την ανισότητα του Ehrhard για να αναγάγουμε το πρόβλημα σε ένα διδιάστατο πρόβλημα. Στο Κεφάλαιο 5 παρουσιάζουμε την πρόσφατη απόδειξη του Royen για την εικασία της ϑετικής συνδιακύμανσης για το μέτρο του Gauss. Θεώρημα 1..6 (Royen). Αν K, T είναι δύο συμμετρικά, κλειστά και κυρτά σύνολα στον R n τότε γ n (K T) γ n (K) γ n (T). Δεδομένου ότι κάθε κλειστό συμμετρικό κυρτό σύνολο είναι αριθμήσιμη τομή συμμετρικών λωρίδων, για την απόδειξη του Θεωρήματος 1..6 μπορούμε να υποθέσουμε ότι και m 1 K = {x R n : x, v i 1} T = i=1 m 1 +m i=m 1 +1 {x R n : x, v i 1}, όπου m 1, m 1 και v i R n. Με άλλα λόγια, αρκεί να αποδείξουμε το εξής. Θεώρημα Εστω P 1,..., P m συμμετρικές λωρίδες στον R n. Για κάθε 1 m 1 < m έχουμε γ n (P 1 P P m ) γ n (P 1 P m1 ) γ n (P m1 +1 P m ). Η ειδική περίπτωση m 1 = m 1 είναι απλή. Μάλιστα, μπορούμε να διατυπώσουμε και να αποδείξουμε ένα πιο γενικό αποτέλεσμα: αν K είναι ένα συμμετρικό κλειστό κυρτό σύνολο και P μια συμμετρική λωρίδα στον R n, τότε γ n (K P) γ n (K)γ n (P). Κατόπιν, ένα απλό επιχείρημα επαγωγής μάς δίνει το επόμενο ϑεώρημα, το οποίο αποδείχθηκε ανεξάρτητα από τους Khatri και Šidák. Θεώρημα 1..8 (Khatri, Šidák). Αν P 1,..., P m είναι συμμετρικές λωρίδες στον R n τότε γ n (P 1 P m ) γ n (P 1 ) γ n (P m ). Το Θεώρημα 1..6 είναι λοιπόν μια πολύ ισχυρότερη εκδοχή του Θεωρήματος Στο Κεφάλαιο 6 παρουσιάζουμε το B-ϑεώρημα των Cordero-Erausquin, Fradelizi και Maurey, το οποίο απαντά ϑετικά σε μια εικασία του Banaszczyk. Θεώρημα Εστω K ένα συμμετρικό κυρτό σώμα στον R n. Τότε, η συνάρτηση είναι λογαριθμικά κοίλη στο R. t γ n (e t K)

15 1. Π 9 Οπως ϑα δούμε, η ανάλυση των Cordero-Erausquin, Fradelizi και Maurey ανάγει το πρόβλημα σε μια ανισότητα τύπου Poincaré για το μέτρο γ K με πυκνότητα dγ K (x) = 1 K(x)e x / dx K e y / dy, το οποίο είναι ο περιορισμός του μέτρου Gauss στο K. Στο Κεφάλαιο 7 παρουσιάζουμε εφαρμογές γεωμετρικών ανισοτήτων για το μέτρο του Gauss σε προβλήματα «εξισορρόπησης διανυσμάτων». Το γενικό πλαίσιο είναι το εξής: για κάθε ζεύγος U, V συμμετρικών κυρτών σωμάτων στον R n ορίζουμε την παράμετρο β(u, V) ως τον μικρότερο r > 0 που ικανοποιεί την ακόλουθη συνθήκη: για κάθε u 1,..., u n U υπάρχουν πρόσημα ɛ 1,..., ɛ n { 1, 1} τέτοια ώστε ɛ 1 u ɛ n u n rv. Διάφορα ϑεωρήματα «εξισορρόπησης διανυσμάτων», τα οποία έχουν αποδειχθεί από διάφορους συγγραφείς για πολύ διαφορετικούς σκοπούς, μπορούν να περιγραφούν ως εκτιμήσεις για την παράμετρο β(u, V) για συγκεκριμένη επιλογή του U, του V, ή και των δύο τους. Ο Spencer απέδειξε ότι β(q n, Q n ) c n, όπου c > 0 είναι μια απόλυτη σταθερά. Το ίδιο αποτέλεσμα αποδείχθηκε, ανεξάρτητα, από τον Gluskin. Θεώρημα (Spencer, Gluskin). Υπάρχει απόλυτη σταθερά C > 0 με την ακόλουθη ιδιότητα: για κάθε n 1 και κάθε u 1,..., u n R n με u j 1, μπορούμε να επιλέξουμε πρόσημα ɛ 1,..., ɛ n { 1, 1} τέτοια ώστε Ενα πολύ γνωστό πρόβλημα του Komlós ρωτάει αν η ακολουθία β(b n, Q n) είναι φραγμένη. ɛ 1 u ɛ n u n C n. Σε αυτό το κεφάλαιο παρουσιάζουμε μια απόδειξη του ϑεωρήματος του Spencer και της καλύτερης γνωστής εκτίμησης O( log n) για το ερώτημα του Komlós, η οποία οφείλεται στον Banaszczyk. Θεώρημα (Banaszczyk). Υπάρχει απόλυτη σταθερά C > 0 με την ακόλουθη ιδιότητα: για κάθε n 1 και κάθε u 1,..., u n R n με u j 1, μπορούμε να επιλέξουμε πρόσημα ɛ 1,..., ɛ n { 1, 1} τέτοια ώστε ɛ 1 u ɛ n u n C log n. Οι αποδείξεις χρησιμοποιούν τα αποτελέσματα που παρουσιάζουμε σε προηγούμενα κεφάλαια: στην απόδειξη του Θεωρήματος χρησιμοποιείται το λήμμα του Sidák, ενώ για την απόδειξη του Θεωρήματος γίνεται πρώτα μια αναγωγή του προβλήματος σε μια νέα ανισότητα για το μέτρο Gauss, η οποία αποδεικνύεται με αναγωγή στο επίπεδο μέσω της ανισότητας του Ehrhard. Πιο συγκεκριμένα, για κάθε συμμετρικό κυρτό σύνολο V στον R n ϑεωρούμε την παράμετρο { β(v) = inf ρ > 0 : u 1,..., u n B n ɛ 1,..., ɛ n { 1, 1} : } ɛ i u i ρv.

16 10 Ε Με βάση τον ορισμό της παραμέτρου β(v), το πρόβλημα του Komlós παίρνει την ακόλουθη μορφή: υπάρχει απόλυτη σταθερά C > 0 τέτοια ώστε β(q n ) C για κάθε n N. Περιγράφουμε το ακόλουθο γενικό αποτέλεσμα που αποδείχθηκε από τον Banaszczyk. Θεώρημα 1..1 (Banaszczyk). Εστω K ένα κυρτό σώμα στον R n, με γ n (K) 1/. β(k) c, όπου c > 0 είναι μια απόλυτη σταθερά. Τότε, Το Θεώρημα είναι άμεση συνέπεια του Θεωρήματος Το βασικό τεχνικό βήμα για την απόδειξη του Θεωρήματος 1..1 είναι το επόμενο ϑεώρημα, στην απόδειξη του οποίου χρησιμοποιείται ουσιαστικά η ανισότητα του Ehrhard. Θεώρημα Εστω K κυρτό σώμα στον R n με γ n (K) 1/, και u R n με u 1/5. Τότε, το (K + u) (K u) περιέχει ένα κυρτό σώμα K με γ n (K ) 1/. 1.3 Κανονικές τυχαίες μεταβλητές Η τυπική κανονική κατανομή στον R n είναι το Borel μέτρο πιθανότητας γ n που ορίζεται από την γ n (B) = 1 (π) n/ B exp( x )dx, για κάθε Borel υποσύνολο B του R n, όπου είναι η Ευκλείδεια νόρμα. Μια τυχαία μεταβλητή N : Ω R n λέγεται τυπική κανονική τυχαία μεταβλητή στον R n αν P(N B) = γ n (B) για κάθε Borel υποσύνολο B του R n. Εστω (Ω, A, P) ένας χώρος πιθανότητας. Μια τυχαία μεταβλητή X : Ω R λέγεται κανονικά κατανεμημένη στο R αν X = σn + m για κάποια τυπική κανονική τυχαία μεταβλητή N στο R και κάποιους σ 0 και m R. Γράφουμε µ για την κατανομή dist(x) της X (δηλαδή, το μέτρο πιθανότητας στο R που ορίζεται από την µ(b) = P(X B)). Τότε ισχύουν τα εξής: Πρόταση Εστω X = σn + m μια κανονική τ.μ. και έστω µ = dist(x). Τότε, η μέση τιμή και η διασπορά της X δίνονται από τις EX = m και V(X) = σ. Η χαρακτηριστική συνάρτηση της X είναι η µ( t) = E(e itx ) = e imt 1 σ t για κάθε t R. Λέμε ότι η X της Πρότασης.1.1 είναι μια N(m, σ ) τυχαία μεταβλητή. µ = δ m (η σημειακή μάζα στο m), ενώ αν σ > 0 έχουμε dµ(x) = ) 1 ( σ π exp (x m) σ dx, Αν σ = 0 τότε

17 1.3 Κ 11 απ όπου βλέπουμε ότι E(f(X)) = 1 σ π f(x)e (x m) /σ dx για κάθε f L 1 (µ) ή f : R [0, ) Borel μετρήσιμη. Εστω X = (X 1,..., X n ) : Ω R n ένα τυχαίο διάνυσμα. Λέμε ότι το X είναι Gaussian με μέσι m R n αν υπάρχει n n πίνακας A ώστε dist(x) = dist(an + m), όπου N τυπική κανονική τυχαία μεταβλητή στον R n. Το X λέγεται κεντραρισμένο αν m = 0. Πρόταση Εστω X = (X 1,..., X n ) : Ω R n ένα τυχαίο διάνυσμα. Τα εξής είναι ισοδύναμα: (α) Το X είναι Gaussian και dist(x) = dist(an + m) για κάποιον A και κάποιο m. (β) Για κάθε επιλογή πραγματικών αριθμών t 1,..., t n R, η τυχαία μεταβλητή Y = n t i X i i=1 είναι κανονικά κατανεμημένη στο R. (γ) Υπάρχουν a R n και ϑετικά ημιορισμένη τετραγωνική μορφή Q στον R n τέτοια ώστε E(e i y,x ) = e i a,y 1 Q(y) για κάθε y R n. Εστω ότι οι ισοδύναμες συνθήκες (α)-(γ) ισχύουν για το τυχαίο διάνυσμα X = (X 1,..., X n ). Θεωρούμε τον πίνακα Γ = (γ ij ) των συνδιακυμάνσεων γ ij = E ( [X i EX i ] [X j EX j ] ), i, j = 1,..., n. Τότε, με το συμβολισμό της Πρότασης 1.3., ισχύουν τα εξής: (i) m = EX. (ii) E(Y) = t, m, όπου t = (t 1,..., t n ). (iii) V(Y) = A t. (iv) AA = Γ. (v) a = m. (vi) Q(y) = Γy, y = V( y, X ) για κάθε y R n.

18 1 Ε Θεώρημα (ϑεώρημα αντιστροφής για το μετασχηματισμό Fourier). Αν f, f L 1 (R n ), τότε (1.3.1) f(z) = 1 (π) n f(y)e i y,z dy R n σχεδόν παντού στον R n. Επιπλέον, η (1.3.1) ισχύει σε κάθε z R n στο οποίο η f είναι συνεχής. Υποθέτουμε ότι το τυχαίο διάνυσμα X = (X 1,..., X n ) είναι κανονικά κατανεμημένο στον R n, και ότι E(X i ) = 0, i = 1,..., n. Αν ο πίνακας συνδιακυμάνσεων Γ είναι αντιστρέψιμος, τότε από το ϑεώρημα αντιστροφής παίρνουμε το εξής: Πρόταση Αν dist(x) = dist(an), τότε το X έχει πυκνότητα που δίνεται από την g(z) = (π) n R n exp(i y, z Γy, y /)dy, όπου Γ = AA ο πίνακας συνδιακυμάνσεων των X i.

19 Κεφάλαιο Η ισοπεριμετρική ανισότητα στο χώρο του Gauss.1 Εισαγωγή Το τυπικό μέτρο Gauss γ n είναι το μέτρο Borel στον R n με πυκνότητα dγ n (x) = (π) n/ exp( x /) dx. Με τον όρο Gaussian μέτρο εννοούμε γενικότερα ένα μέτρο στον R n που είναι γραμμική εικόνα του τυπικού μέτρου Gauss γ n. Για κάθε Borel σύνολο A στον R n, η t-περιοχή του A είναι το σύνολο A t := {x R n : x a < t για κάποιο a A}. Συμβολίζουμε με Φ τη συνάρτηση κατανομής της τυπικής N(0, 1) τυχαίας μεταβλητής. Δηλαδή, Φ(x) = γ 1 (, x) = 1 π x e t / dt, x R. Κάνουμε επίσης τη σύμβαση ότι Φ( ) = 0 και Φ( ) = 1. Παρατηρήστε ότι αν H = {x R n : x, u a}, όπου u S n 1, είναι ένας κλειστός ημίχωρος, τότε γ n (H) = Φ(a) και γ n (H t ) = Φ(a + t) για κάθε t > 0. Η ισοπεριμετρική ανισότητα στο χώρο του Gauss ισχυρίζεται ότι οι ημίχωροι είναι τα ακραία σύνολα για το ισοπεριμετρικό πρόβλημα. Θεώρημα.1.1. Εστω A ένα Borel σύνολο στον R n και έστω H ένας ημίχωρος τέτοιος ώστε γ n (A) = γ n (H) = Φ(a) για κάποιον a R. Τότε, για κάθε t > 0. γ n (A t ) γ n (H t ) = Φ(a + t)

20 14 Η GAUSS Το Θεώρημα.1.1 αποδείχθηκε από τους Sudakov και Tsirelson [56] (και ανεξάρτητα από τον Borell [15]) οι οποίοι χρησιμοποίησαν το ισοπεριμετρικό ϑεώρημα στη σφαίρα και την παρατήρηση ότι οι προβολές στον R n των ομοιόμορφων μέτρων στις N-διάστατες σφαίρες ακτίνας N προσεγγίζουν το μέτρο του Gauss καθώς το N. Εξηγούμε αρχικά, εν συντομία, αυτή την προσέγγιση. Σταθεροποιούμε n 1 και για κάθε N n συμβολίζουμε με P N+1,n την προβολή από τον R N+1 στον R n. Γράφουμε σ N για το αναλλοίωτο ως προς ορθογώνιους μετασχηματισμούς μέτρο πιθανότητας στην NS N. Η παρατήρηση του επόμενου λήμματος αποδίδεται στον Poincaré αν και φαίνεται ότι ήταν γνωστή πολύ νωρίτερα. Λήμμα.1.. Για κάθε Borel σύνολο A στον R n ισχύει lim N σ N (P 1 N+1,n (A) NS N ) = γ n (A). Περιγραφή της απόδειξης. Εστω {g i } i=1 μια ακολουθία ανεξάρτητων τυπικών κανονικών τυχαίων μεταβλητών. Για κάθε k 1 ορίζουμε R k = g g k. Τότε, η κατανομή του τυχαίου διανύσματος N R N+1 (g 1,..., g N+1 ) είναι το σ N, άρα η κατανομή του N R N+1 (g 1,..., g n ) είναι το P N+1,n (σ N ). Παρατηρούμε ότι οι R n, R N+1 R n και 1 R n (g 1,..., g n ) είναι ανεξάρτητες. Συνεπώς, η R n/r 1 N+1 είναι ανεξάρτητη από το R n (g 1,..., g n ). Παρατηρούμε επίσης ότι η R n/r N+1 έχει κατανομή Βήτα με παραμέτρους n, N+1 n. Γράφουμε σ N (P 1 N+1,n (A) ( NS N N ) ) = P (g 1,..., g n ) A R N+1 ( NR n 1 ) = P (g 1,..., g n ) A. R N+1 R n Επεται ότι σ N (P 1 N+1,n (A) NS N ) ( n = B, N + 1 n ) 1 ( n = B, N + 1 n ) 1 S n 1 N n/ 1 1 A ( Ntx)t n 1 (1 t) N+1 n 1 dt dσ(x) 0 N ( ) 1 A (rx)r n 1 1 r N+1 n 1 du dσ(x), N S n 1 0 αν ϑέσουμε r = Nt. Από το ϑεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης παίρνουμε lim N σ N (P 1 N+1,n (A) NS N ) = 1 n/ A (rx)r n 1 e r / dr dσ(x), Γ(n/) το οποίο είναι ακριβώς το γ n (A). S n 1 0 Απόδειξη του Θεωρήματος.1.1. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι a = Φ 1 (γ n (A)) >. Για κάθε b < a έχουμε γ n (A) > Φ(b) = γ 1 ((, b]), άρα το Λήμμα.1. δείχνει ότι αν το N είναι αρκετά μεγάλο τότε σ N (P 1 N+1,n (A) NS N ) > σ N (P 1 N+1,1 ((, b]) NS N ).

21 .1 Ε 15 Εστω t > 0. Μπορούμε να ελέγξουμε ότι P 1 N+1,n (A t) NS N (P 1 N+1,n (A) NS N ) t, όπου η t-περιοχή στο δεξιό μέλος λαμβάνεται ως προς τη γεωδαισιακή μετρική στην NS N. Η σημαντική παρατήρηση είναι ότι το P 1 N+1,1 ((, b]) NS N είναι γεωδαισιακή μπάλα στην NS N. Συνεπώς, από τη σφαιρική ισοπεριμετρική ανισότητα παίρνουμε σ N (P 1 N+1,n (A t) NS N ) σ N ((P 1 N+1,n (A) NS N ) t ) Απευθείας υπολογισμός δείχνει ότι σ N ((P 1 N+1,1 ((, b]) NS N ) t ). όπου (P 1 N+1,1 ((, b]) NS N ) t = P 1 N+1,1 ((, b + s N]) NS N, καθώς το N. Από την ανισότητα s N := N cos ( arccos(b/ N) t/ N ) b t σ N (P 1 N+1,n (A t) NS N ) σ N (P 1 N+1,1 ((, b + s N]) NS N ), εφαρμόζοντας πάλι το Λήμμα.1., βλέπουμε ότι γ n (A t ) = lim N σ N (P 1 N+1,n (A t) NS N ) lim N σ N (P 1 N+1,1 ((, b + s N]) NS N = γ 1 ((, b + t]) = Φ(b + t). Αφού αυτό ισχύει για κάθε b < a, έπεται ότι γ n (A t ) Φ(a + t). Υπενθυμίζουμε ότι για κάθε μέτρο µ στον R n και κάθε Borel σύνολο A, η επιφάνεια του A ως προς το µ ορίζεται ως εξής: Θεωρούμε τις συναρτήσεις µ + (A) = lim inf t 0 + µ(a t ) µ(a). t (.1.1) ϕ(x) = Φ (x) = 1 π e x / και (.1.) I(t) := ϕ Φ 1 (t), t [0, 1]. Θα δούμε ότι η Gaussian ισοπεριμετρική ανισότητα είναι ισοδύναμη με το ακόλουθο ϑεώρημα.

22 16 Η GAUSS Θεώρημα.1.3. Για κάθε Borel σύνολο A στον R n ισχύει (.1.3) γ + n(a) I(γ n (A)). Επιπλέον, ισότητα ισχύει για κάθε ημίχωρο. Είναι εύκολο να ελέγξουμε ότι το Θεώρημα.1.1 συνεπάγεται το Θεώρημα.1.3. Εστω A ένα Borel σύνολο στον R n. Αφού η Φ είναι αύξουσα, το Θεώρημα.1.1 δείχνει ότι για κάθε t > 0 έχουμε Συνεπώς, γ + n(a) = lim inf t 0 + Φ 1 (γ n (A t )) Φ 1 (γ n (A)) + t. γ n (A t ) γ n (A) t = lim inf t 0 + Φ(Φ 1 (γ n (A t ))) Φ(Φ 1 (γ n (A))) t Φ(Φ 1 (γ n (A)) + t) Φ(Φ 1 (γ n (A))) lim = Φ (Φ 1 (γ n (A))) t 0 + t = ϕ Φ 1 (γ n (A)) = I(γ n (A)). Αντίστροφα, υποθέτοντας το Θεώρημα.1.3 έχουμε ότι η συνάρτηση h(t) = Φ 1 (γ n (A t )) ικανοποιεί την h (t) = γ + n(a t ) ϕ Φ 1 (γ n (A t )) = γ+ n(a t ) 1, I(γ n (A t )) απ όπου έπεται ότι h(t) = h(0) + t 0 h (s) ds h(0) + t για κάθε t > 0. Άρα, αν γ n (A) = Φ(a) βλέπουμε ότι γ n (A t ) = Φ(h(t)) Φ(h(0) + t) = Φ(Φ 1 (γ n (A)) + t) = Φ(a + t), και έπεται το Θεώρημα.1.1. Στην επόμενη παράγραφο δίνουμε μια πρώτη πλήρη απόδειξη της ισοπεριμετρικής ανισότητας στο χώρο του Gauss μέσω της Gaussian συμμετρικοποίησης. Η μέθοδος αυτή ϑα χρησιμοποιηθεί και στο Κεφάλαιο 3 για την απόδειξη της ανισότητας του Ehrhard. Ο Bobkov έδωσε μια απόδειξη της Gaussian ισοπεριμετρικής ανισότητας, στην ισοδύναμη μορφή του Θεωρήματος.1.3, η οποία δεν χρησιμοποιεί τεχνικές συμμετρικοποίησης ή αναδιάταξης. Το επιχείρημά του βασίζεται σε μια ανισότητα δύο σημείων και στο κεντρικό οριακό ϑεώρημα, στο πνεύμα της αρχικής απόδειξης της λογαριθμικής ανισότητας Sobolev από τον Gross. Στην τελευταία παράγραφο αυτού του κεφαλαίου παρουσιάζουμε λεπτομερώς την απόδειξη του Bobkov.

23 . GAUSSIAN 17. Gaussian συμμετρικοποίηση Θεωρούμε το τυπικό μέτρο του Gauss γ n στον R n και συμβολίζουμε με γ k την προβολή του γ n σε κάθε k-διάστατο αφινικό υπόχωρο F του R n. Χρησιμοποιούμε επίσης το συμβολισμό H(u, r) := {x R n : x, u > a} για τον ημίχωρο που ορίζεται από το u S n 1 και κάποιον a R. Ορισμός..1 (Gaussian συμμετρικοποίηση). Εστω 1 k n και F ένας υπόχωρος του R n διάστασης n k. Η Gaussian k-συμμετρικοποίηση ως προς τον F στη διεύθυνση του u F είναι μια απεικόνιση που σε κάθε ανοικτό ή κλειστό σύνολο A R n αντιστοιχεί ένα σύνολο A το οποίο ορίζεται ως εξής. Για κάθε x F: (i) Αν γ k (A (x + F )) = 0 τότε A (x + F ) =. (ii) Αν γ k (A (x + F )) = 1 τότε A (x + F ) = x + F. (iii) Αν 0 < γ k (A (x + F )) < 1 τότε, αν το A είναι ανοικτό, ενώ αν το A είναι κλειστό, όπου ο a ορίζεται από την ισότητα A (x + F ) = H(u, a) (x + F ), A (x + F ) = H(u, a) (x + F ), γ k (A (x + F )) = γ k (H(u, a) (x + F )). Θα συμβολίζουμε το A με S(A) ή με S F,u (A) αν χρειάζεται να είμαστε πιο ακριβείς. Η επόμενη πρόταση περιγράφει της βασικές ιδιότητες της Gaussian συμμετρικοποίησης. Η απόδειξη δεν παρουσιάζει σημαντικές δυσκολίες. Πρόταση... Εστω S = S F,u μια Gaussian k-συμμετρικοποίηση στον R n. παρακάτω ιδιότητες: Η S έχει τις (α) Είναι μονότονη: αν A B και τα S(A) και S(B) ορίζονται, τότε S(A) S(B). (β) Είναι κάτω ημισυνεχής: αν {A j } είναι μια αύξουσα ακολουθία ανοικτών συνόλων, τότε ( ) S A j = S(A j ). j j (γ) Είναι συνεπής ως προς τα συμπληρώματα: S F,u (A c ) = ( S F, u (A) ) c.

24 18 Η GAUSS (δ) Είναι αναλλοίωτη ως προς τον u := span({u}): S(A) + (F + u ) = S(A). (ε) Είναι ημι-αναλλοίωτη ως προς τον F: για κάθε z F, S(A + z) = S(A) + z. Αν ο F 1 είναι γραμμικός υπόχωρος του F και A + F 1 = A, τότε S(A) = S(A) + F 1. (στ) Διατηρεί το μέτρο: αν ένα σύνολο B B(R n ) είναι αναλλοίωτο ως προς τον F, δηλαδή B + F = B, τότε γ n (B A) = γ n (B S(A)). Ειδικότερα, (..1) γ n (A) = γ n (S(A)). Η πιο σημαντική ιδιότητα της Gaussian συμμετρικοποίησης είναι ότι «μικραίνει την επιφάνεια» ενός συνόλου. Σε αυτή την παράγραφο, για κάθε ρ > 0, η ρ-περιοχή ενός συνόλου A R n είναι το σύνολο A ρ = A + B ρ, όπου B ρ = {x R n : x ρ} είναι η κλειστή Ευκλείδεια μπάλα με κέντρο το 0 και ακτίνα ρ. Παρατηρήστε ότι αν το A είναι κλειστό ή ανοικτό τότε η ρ-περιοχή A ρ του A είναι κλειστό ή ανοικτό, αντίστοιχα, σύνολο. Θεώρημα..3. Εστω S = S F,u μια Gaussian k-συμμετρικοποίηση στον R n. Για κάθε κλειστό σύνολο A R n ισχύει (..) S(A ρ ) ( S(A) ) ρ. Η απόδειξη του ϑεωρήματος ϑα γίνει σε τέσσερα βήματα. Βήμα 1. Αποδεικνύουμε την (..) για τις συμμετρικοποιήσεις στο R. Αρχίζουμε με την ειδική περίπτωση όπου n = 1, F = {0}, u = 1 και A είναι ένα διάστημα στο R. Θέτουμε α = γ 1 (A). Τα διαστήματα που έχουν μέτρο ίσο με α σχηματίζουν μια μονοπαραμετρική οικογένεια { As = [s, ν(s)], s [, Φ 1 (1 α)], ν(s) = Φ 1 (Φ(s) + α) }. Παρατηρήστε ότι S F,u (A) = A. Θεωρούμε τη συνάρτηση q ρ (s) = γ 1 ((A s ) ρ ).

25 . GAUSSIAN 19 Παραγωγίζοντας την q ρ ως προς s παίρνουμε [ g(ν(s) + ρ) (..3) q ρ(s) = g(s) g(ν(s)) ] g(s ρ), g(s) όπου g είναι η πυκνότητα του γ 1. Ξαναγράφουμε την (..3) στη μορφή όπου θ(s) := q ρ(s) = g(s)[θ(ν(s)) θ( s)], g(s + ρ) g(s) = exp ( s+ρ s ) (log g) (r) dr. Η συνάρτηση log g είναι κοίλη, άρα η θ είναι φθίνουσα. Συνεπώς, αν ν(s) > s έχουμε q ρ(s) < 0 ενώ αν ν(s) < s έχουμε q ρ(s) > 0. Αυτό σημαίνει ότι η q ρ παρουσιάζει μέγιστο στο σημείο s = ν(s) = Φ 1 ((1 α)/) το οποίο αντιστοιχεί στο συμμετρικό διάστημα A s, και είναι μονότονη αριστερά και δεξιά από αυτό το σημείο. Επεται ότι η q ρ ( ) q ρ (s) ισχύει για κάθε s. Ξαναγράφουμε αυτή την ανισότητα στη μορφή γ 1 ((S(A s )) ρ ) = γ 1 ((A ) ρ ) γ 1 ((A s ) ρ ) = γ 1 (S((A s ) ρ )). Αφού τα σύνολα (S(A s )) ρ και S((A s ) ρ ) είναι ημιευθείες, από αυτή την ανισότητα έπεται ότι (S(A s )) ρ S((A s ) ρ ), δηλαδή έχουμε αποδείξει την (..) στην περίπτωση που το A είναι διάστημα. Στη συνέχεια ϑεωρούμε μια πεπερασμένη οικογένεια {A 1,..., A m+1 } ξένων διαστημάτων τα οποία έχουμε αριθμήσει από τα αριστερά προς τα δεξιά. Θα αποδείξουμε την (..) με επαγωγή ως προς m για το σύνολο A = A i και για τις δύο συμμετρικοποιήσεις S + = S {0},1 και i S = S {0}, 1. Εχουμε ήδη εξετάσει την περίπτωση m = 0. Χωρίς περιορισμό της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι τα διαστήματα A j έχουν ανά δύο κάποια απόσταση, συγκεκριμένα ότι αν j k τότε (A j ) ρ (A k ) ρ =. Αλλιώς, μπορούμε να πετύχουμε να ικανοποιούν αυτή την υπόθεση μικραίνοντας κάποια από αυτά. Γιατί, αν κάνουμε αυτό, το σύνολο A ρ ϑα παραμείνει αμετάβλητο, οπότε το αριστερό μέλος της (..) δεν ϑα αλλάξει, ενώ το δεξιό μέλος ϑα έχει μικρύνει. Πράγματι, αν ρ 0 είναι ο μεγαλύτερος ϑετικός αριθμός για τον οποίο ικανοποιείται αυτή η συνθηκη, τότε για κάθε ρ > ρ 0 ϑα έχουμε ότι το A ρ0 χρησιμοποιώντας την επαγωγική υπόθεση, είναι ένωση m ξένων διαστημάτων, και S(A ρ ) = S((A ρ0 ) ρ ρ0 ) (S(A ρ0 )) ρ ρ0 ((S(A)) ρ0 ) ρ ρ0 = (S(A)) ρ. Θα δείξουμε πρώτα ότι η «χειρότερη» περίπτωση είναι αυτή στην οποία τα ακραία διαστήματα A 1 και A m+1 είναι ημιευθείες. Θέτουμε J = m A i. Τότε, ( m+1 ) (..4) S (A) = S A i = S [S (A 1 ) J S + (A m+1 )] i=1 i=

26 0 Η GAUSS και (..5) S (A ρ ) = S [S ((A 1 ) ρ ) J ρ S + ((A m+1 ) ρ )]. Εφαρμόζοντας την (..) την οποία έχουμε ήδη αποδείξει για τα μεμονωμένα διαστήματα A 1 και A m+1, παίρνουμε S ((A 1 ) ρ ) (S (A 1 )) ρ και S + ((A m+1 ) ρ ) (S + (A m+1 )) ρ. Εισάγοντας αυτούς τους εγκλεισμούς στην (..5) έχουμε (..6) S (A ρ ) S [(S (A 1 ) ρ ) J ρ (S + (A m+1 ) ρ )]. Από την (..6) φαίνεται ότι όταν μεταβαίνουμε από το σύστημα των διαστημάτων A 1,..., A m+1 στο σύστημα S (A 1 ), A,..., A m, S + (A m+1 ), το δεξιό μέλος της (..) παραμένει αναλλοίωτο, ενώ το αριστερό μέλος μπορεί μόνο να μικρύνει. Μπορούμε λοιπόν να περιοριστούμε στην περίπτωση όπου A 1 = S (A 1 ) και A m+1 = S + (A m+1 ). Το πλεονέκτημα αυτής της περίπτωσης είναι ότι, τώρα, το συμπλήρωμα του συνόλου A αποτελείται από m διαστήματα, συνεπώς μπορούμε να εφαρμόσουμε την επαγωγική υπόθεση σε αυτό. Θέτοντας λοιπόν C = A ρ, ϑα χρησιμοποιήσουμε την ταυτότητα (C c ) ρ = A c, την οποία ξαναγράφουμε ως ((C c ) ρ ) c = A. Εφαρμόζοντας την (..) για το σύνολο C c, παίρνουμε S (A) = S (((C c ) ρ ) c ) = S + ((C c ) ρ ) (S + ((C c ) ρ )) c. Στη συνέχεια, πηγαίνουμε στις ρ-περιοχές και εφαρμόζουμε την ταυτότητα (((S + (B)) ρ ) c ) ρ = S (B c ) για το σύνολο B = C c. Ετσι, παίρνουμε τον εγκλεισμό (S (A)) ρ = S (C) S (A ρ ). Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη της (..) για πεπερασμένες ενώσεις διαστημάτων στο R (παρατηρήστε ότι δεν έχει σημασία αν ϑα υποθέσουμε αυτά τα διαστήματα ανοικτά ή κλειστά). Αφού κάθε ανοικτό σύνολο στο R είναι αριθμήσιμη ένωση ανοικτών διαστημάτων, από τη μονοτονία και τη συνέχεια της συμμετρικοποίησης (βλέπε Πρόταση.. (α) και (β)) μπορούμε να συμπεράνουμε την (..) για τυχόν ανοικτό σύνολο. Αφού κάθε κλειστό σύνολο γράφεται ως τομή μιας φθίνουσας ακολουθίας ανοικτών συνόλων, η (..) επεκτείνεται στην κλάση των κλειστών συνόλων. Ετσι, ολοκληρώνεται η απόδειξη στη μονοδιάστατη περίπτωση. Μάλιστα, σε αυτό το βήμα χρησιμοποιήσαμε μόνο το γεγονός ότι το γ 1 είναι συμμετρικό και λογαριθμικά κοίλο. Βήμα. Αποδεικνύουμε την (..) για τις 1-συμμετρικοποιήσεις στον R n. Εστω u S n 1, F = u ένα υπερεπίπεδο, και S = S F,u η αντίστοιχη συμμετρικοποίηση. Θα χρησιμοποιούμε το συμβολισμό R x = {y R n : y = x + ru, r R} για τις ευθείες κατά

27 . GAUSSIAN 1 μήκος των οποίων γίνεται η συμμετρικοποίηση S. κάθε ευθεία, δηλαδή ϑα αποδείξουμε τον εγκλεισμό Θα επαληθεύσουμε την (..) χωριστά σε (..7) S(A ρ ) R x (S(A)) ρ R x για κάθε x F. Μπορούμε να εκφράσουμε τα σύνολα της (..7) γράφοντας (..8) S(A ρ ) R x = S(A ρ R x ) y F S((A R y ) ρ R x ) και (..9) (S(A)) ρ R x = y F((S(A R y )) ρ R x ). Χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι κάθε n-διάστατη μπάλα αποκόπτει ένα ευθύγραμμο τμήμα από κάθε ευθεία, και για κάθε x F γράφουμε (S(A) R y ) ρ R x = S(A R y ) + (B ρ R x y ), S((A R y ) ρ R x ) = S(A R y + (B ρ R x y )). Εφαρμόζοντας την (..) για το μονοδιάστατο σύνολο A R y + x y, το οποίο περιέχεται στην ευθεία R x, παίρνουμε Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω έχουμε S(A R y + (B ρ R x y )) S(A R y ) + (B ρ R x y ). S((A R y ) ρ R x ) (S(A) R y ) ρ R x. Παίρνοντας ενώσεις ως προς όλα τα y, και λαμβάνοντας υπόψιν τις (..8) και (..9), συμπεραίνουμε ότι ισχύει η (..7). 1-συμμετρικοποιήσεις στον R n. Με αυτό τον τρόπο έχουμε αποδείξει το ϑεώρημα για τις Είναι χρήσιμο να παρατηρήσουμε εδώ ότι, επαναλαμβάνοντας το ίδιο ουσιαστικά επιχείρημα, μπορούμε να αποδείξουμε το εξής γενικότερο αποτέλεσμα: Λήμμα..4. Αν ο εγκλεισμός (..) ισχύει για τις k-συμμετρικοποιήσεις στον R k τότε ισχύει και για κάθε k-συμμετρικοποίηση στον R n, n k. Βήμα 3. Αποδεικνύουμε ότι κάθε -συμμετρικοποίηση προκύπτει ως όριο πεπερασμένων συν- ϑέσεων 1-συμμετρικοποιήσεων. Στη συνέχεια δείχνουμε ότι μπορούμε να επεκτείνουμε την (..) στις συνθέσεις 1-συμμετρικοποιήσεων και αυτό μας δίνει την (..) για τις -συμμετρικοποιήσεις. Αρχίζουμε από την περίπτωση του R. Ορίζουμε μια ακολουθία {e j }, j = 0, 1,,... μοναδιαίων διανυσμάτων στον R ϑέτοντας e 0 := (0, 1) και ( ( ) ( )) 3π 3π e j := cos + j π, sin + j π, j 1.

28 Η GAUSS Παρατηρήστε ότι e j e 0 και ότι η γωνία που σχηματίζουν τα e j+1 και e 0 είναι το μισό της γωνίας που σχηματίζουν τα e j και e 0. Επιπλέον, ισχύει η (..10) e j + e 0 e j+1. Θεωρούμε τις 1-συμμετρικοποιήσεις S j := S e j+1,e j και τις συνθέσεις τους T j := S j S j 1 S 1 S 0. Θα δείξουμε ότι η ακολουθία {T j } συγκλίνει στη -συμμετρικοποίηση T := S {0},e1. Βασικό ρόλο ϑα παίξει το επόμενο λήμμα. Λήμμα..5. Για κάθε c, c > 0 και j 0, για κάθε κλειστό σύνολο A R και x T j (A), έχουμε (..11) x + ce 0 + c e j T j (A). Παρατηρήστε ότι η (..11) μας λέει ότι το σύνολο T j (A) περιέχει, μαζί με κάθε σημείο του, έναν κώνο που «παράγεται» από τις διευθύνσεις e 0 και e j. Οταν το j είναι μεγάλο, η γωνία που σχηματίζουν τα e 0 και e j τείνει να γίνει ίση με π, άρα το σύνολο T j (A) τείνει να γίνει ημιεπίπεδο με κάθετο διάνυσμα το e 1. Αυτό το ημιεπίπεδο αντιστοιχεί στη -συμμετρικοποίηση T. Απόδειξη. Η απόδειξη γίνεται με επαγωγή. Στην περίπτωση j = 0 ο ισχυρισμός προκύπτει άμεσα αν εφαρμόσουμε την Πρόταση.. (ε) για τη συμμετρικοποίηση S 0. Για το επαγωγικό βήμα, ϑεωρούμε το διάνυσμα w j = e j + e 0 και το ευθύγραμμο τμήμα j,r := {y R : y = λre 0 + (1 λ)re j, 0 λ 1}. Θα γράφουμε R d = {y R : y = dw j + ce j+1, c R} για τις ευθείες κατά μήκος των οποίων γίνεται η συμμετρικοποίηση S j+1. Κρατώντας το d σταθερό, κατασκευάζουμε κώνους με ακμές στις διευθύνσεις των e 0 και e j, και κορυφή κάθε σημείο του T j (A) R d. Η ένωση αυτών των κώνων είναι το σύνολο (..1) C d = {y R : y = x + ce 0 + c e j, x T j (A) R d, c, c 0}. Θεωρούμε t > d. Από την (..10) γνωρίζουμε ότι τα διανύσματα e 0 και e j σχηματίζουν ίσες γωνίες με το e j+1, συνεπώς C d R t = T j (A) R d + (t d)w j + j,r. Ο αριθμός r εξαρτάται από τα j, t, d, αλλά δεν μας χρειάζεται να γνωρίζουμε την τιμή του. Μέσα στην ευθεία R t εφαρμόζουμε την (..) για το μονοδιάστατο σύνολο C d R t, και παίρνουμε S j+1 (C d R t ) = S j+1 (T j (A) R d + (t d)w j + j,r ) = S j+1 (T j (A) + j,t ) + (t d)w j S j+1 (T j (A)) + j,r + (t d)w j = {y R t : y = x + ce 0 + c e j, x T j+1 (A) R d, c, c 0}.

29 . GAUSSIAN 3 Από την άλλη πλευρά, λόγω της (..1), S j+1 (C d R t ) S j+1 (T j (A) R t ) = T j+1 (A) R t, άρα T j+1 (A) {y R n : y = x + ce 0 + c e j, x T j+1 (A), c, c 0}. Αυτό το επιχείρημα ολοκληρώνει την απόδειξη. Το επόμενο λήμμα ϑα μας βοηθήσει να περάσουμε στις -συμμετρικοποιήσεις, περιγράφοντας τη σύγκλιση των T j στην T. Λήμμα..6. Θεωρούμε την παραπάνω ακολουθία {T j } μετασχηματισμών υποσυνόλων του R. Εστω A ένα κλειστό σύνολο και έστω R, ε > 0. Τότε, για j αρκετά μεγάλο, ισχύουν οι (..13) ((T j (A)) ε B R ) T(A) B R και (..14) ((T(A)) ε B R ) T j (A) B R. Απόδειξη. Συμβολίζουμε με K j τον κώνο {y R : y = ce 0 + c e j, c, c 0}. Από το Λήμμα..5 έχουμε ότι: αν x T j (A) τότε x + K j T j (A). Θα αποδείξουμε την (..14) με απαγωγή σε άτοπο. Ας υποθέσουμε ότι για κάθε j υπάρχει κάποιο σημείο x j (T j (A) B R ) \ (T(A)) ε. Τότε, γ (T j (A)) γ (x j + K j ) γ x + K j. x B R \(T (A)) ε Οι κώνοι K j μεγαλώνουν και τείνουν προς το ημιεπίπεδο. Άρα, απ όπου έπεται ότι j x B R \(T(A)) ε (x + K j ) (T(A)) ε, lim inf γ (T j (A)) γ ((T(A)) ε ) γ (T(A)). j Από την άλλη πλευρά, από την Πρόταση.. (ζ) έχουμε γ (T j (A)) = γ (A) = γ (T(A)). Αυτή η αντίφαση αποδεικνύει την (..14). Η (..13) αποδεικνύεται με παρόμοιο τρόπο. Μπορούμε τώρα να αποδείξουμε το ϑεώρημα για κάθε -συμμετρικοποίηση T. Αρχικά παρατηρούμε ότι η (..) ισχύει για τον T j. Πράγματι, (..15) (T j (A)) ρ = (S j (T j 1 (A)) ρ S j (T j 1 (A ρ )) S j S j 1 S 0 (A ρ = T j (A ρ ).

30 4 Η GAUSS Εφαρμόζουμε το Λήμμα..6 για να περάσουμε από τον T j στον T. Σταθεροποιούμε A, ρ, έναν μικρό ε > 0, και έναν μεγάλο R > 0. Αν το j είναι αρκετά μεγάλο, οι (..13) και (..15) μας δίνουν (T(A) B R ) ρ ((T j (A)) ε B R ) ρ ((T j (A)) ρ+ε B R+ρ ) (T j (A ρ+ε ) B R+ρ ). Εφαρμόζοντας την (..14) για το A ρ+ε βλέπουμε ότι αν το j είναι αρκετά μεγάλο τότε T j (A ρ+ε ) B R+ρ (T(A ρ+ε )) ε B R+ρ (T(A ρ+ε )) ε. Συνεπώς, (T(A) B R ) ρ (T(A ρ+ε )) ε. Παίρνοντας το όριο, πρώτα καθώς το R και μετά καθώς το ε 0, παίρνουμε την (T(A)) ρ T(A ρ ). Ετσι, έχουμε αποδείξει το ϑεώρημα για τις -συμμετρικοποιήσεις στον R. Με βάση το Λήμμα..4 μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το ϑεώρημα ισχύει για τις -συμμετρικοποιήσεις στον R n, n. Βήμα 4. Κάθε k-συμμετρικοποίηση (k 3) αναπαρίσταται ως σύνθεση -συμμετρικοποιήσεων. Χρησιμοποιώντας αυτή την αναπαράσταση, αποδεικνύουμε την (..) στη γενική περίπτωση. Λήμμα..7. Εστω F 1, F και F 3 ανά δύο ορθογώνιοι υπόχωροι του R n, και έστω u S n 1 ένα διάνυσμα κάθετο σε όλους τους F i. Ορίζουμε S 1 = S F1 +F,u και S = S F +F 3,u. Αν τα σύνολα A και S (A) είναι κλειστά, τότε (S 1 S )(A) = S F,u(A). Απόδειξη. Θέτουμε F = (F 1 + F + F 3 + u ). σύνολο A έχουμε τις ισότητες Από την Πρόταση.. (δ) για κάθε κλειστό S 1 (A) = S 1 (A) + (F 1 + F + u ) = S 1 (A) + F 3 + F, S (A) = S (A) + F 1 + F. Από την F 1 F 1 + F και από την Πρόταση.. (στ) βλέπουμε ότι (S 1 S )(A) = (S 1 S )(A) + F 1. Χρησιμοποιώντας όλες τις προηγούμενες ισότητες παίρνουμε (S 1 S )(A) = (S 1 S )(A) + F 3 + F = ((S 1 S )(A) + F 1 ) + F 3 + F = (S 1 S )(A) + (F 1 + F 3 + F) = (S 1 S )(A) + (F + u ).

31 . GAUSSIAN 5 Από την Πρόταση.. (δ) ισχύει και η ισότητα S F,u(A) = S F,u(A) + (F + u ). Επιπλέον, τα σύνολα (S 1 S )(A) και S F,u(A) είναι αναλλοίωτα ως προς μεταφορές στη διεύ- ϑυνση του u (βλέπε Πρόταση.. (ε)). Άρα, καθένα από αυτά αποκόπτει ημίχωρο άπό κάθε αφινικό υπόχωρο R x = x + F, x F. Παρατηρούμε ότι, επειδή η συμμετρικοποίηση διατηρεί το μέτρο, γ k (S F,u(A) R x ) = γ k (A R x ) = γ k (S 1 (A) R x ) = γ k ((S 1 S )(A) R x ), όπου k = dim(f ). Αφού τα σύνολα αυτά είναι ημίχωροι, αναγκαστικά ισχύει ότι (S 1 S )(A) R x = S F,u(A) R x. Αφού αυτό ισχύει για κάθε x F, τελικά έχουμε (S 1 S )(A) = S F,u(A). Παρατηρήστε ότι ο ισχυρισμός του λήμματος μας δίνει ότι οι συμμετρικοποιήσεις S 1 και S αντιμετατίθενται. Λήμμα..8. Εστω m 3, k και T = S F,u τυχούσα k-συμμετρικοποίηση στον R m. Μπορούμε να βρούμε -συμμετρικοποιήσεις T 1, T,..., T k 1 τέτοιες ώστε (..16) T = T 1 T T k 1. Απόδειξη. Επιλέγουμε ένα μοναδιαίο διάνυσμα v (F+ u ). Θεωρούμε τους υποχώρους F 3 = (F + u, v ), G = F και F 1 = v, και εφαρμόζουμε το Λήμμα..7 για τις συμμετρικοποιήσεις S 1 = S F1 +F,u = S F+ v,u και S = S F +F 3,u = S u,v,u. Παρατηρήστε ότι η S είναι - συμμετρικοποίηση, συνεπώς η (..) ισχύει γι αυτήν, δηλαδή μετασχηματίζει κλειστά σύνολα σε κλειστά σύνολα. Τότε, από το Λήμμα..7 έχουμε S 1 S (A) = S F,u(A) = T(A) για κάθε κλειστό σύνολο A. Θέτουμε T k 1 = S και εφαρμόζουμε το ίδιο επιχείρημα για την (k 1)-συμμετρικοποίηση S 1. Επαναλαμβάνοντας αυτή τη διαδικασία, σε κάθε βήμα απομονώνουμε ένα νέο όρο T j και μειώνουμε τη διάσταση της συμμετρικοποίησης που γράφεται ως σύνθεση. Συνεχίζουμε μέχρι να φτάσουμε σε μια -συμμετρικοποίηση. Μετά από k βήματα παίρνουμε μια αναπαράσταση της μορφής (..16). Μπορούμε τώρα να ολοκληρώσουμε την απόδειξη του Θεωρήματος..3. Σύμφωνα με τα προηγούμενα, μένει να εξετάσουμε συμμετρικοποιήσεις τάξης μεγαλύτερης από. Θεωρούμε μια l-συμμετρικοποίηση T η οποία αναπαρίσταται στη μορφή (..16) και εφαρμόζοντας την (..) για τις -συμμετρικοποιήσεις T j έχουμε T(A ρ ) = T 1 T T k 1 (A ρ ) T 1 T T k ((T k 1 (A)))ρ) T 1 ((T T k 1 (A)) ρ ) (T 1 T T k 1 (A)) ρ = (T(A)) ρ για κάθε κλειστό σύνολο A.

32 6 Η GAUSS.3 Η ισοπεριμετρική ανισότητα Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα..3 μπορούμε να αποδείξουμε την ισοπεριμετρική ανισότητα στο χώρο του Gauss. Θεώρημα.3.1. Εστω A B(R n ) και ρ > 0. Τότε, (.3.1) Φ 1 (γ n (A ρ )) Φ 1 (γ n (A)) + ρ. Απόδειξη. Υποθέτουμε πρώτα ότι το A είναι κλειστό. Θεωρούμε τυχούσα n-συμμετρικοποίηση S. Από την (..) έχουμε (.3.) γ n (S(A ρ )) γ n ((S(A)) ρ ). Από την (..1) έχουμε γ n (S(A ρ )) = γ n (A ρ ). Από την άλλη πλευρά, τα σύνολα S(A) και S(A ρ ) είναι ημίχωροι. Τότε, από τον ορισμό της συνάρτησης Φ και του γ n, έχουμε γ n ((S(A)) ρ ) = Φ(Φ 1 (γ n (S(A)) + ρ) = Φ(Φ 1 (γ n (A)) + ρ). Αντικαθιστώντας αυτή τη σχέση στην (.3.) παίρνουμε την (.3.1). Εχοντας αποδείξει τον ισχυρισμό του ϑεωρήματος για κλειστά σύνολα, μπορούμε να τον αποδείξουμε για οποιοδήποτε Borel σύνολο..4 Η απόδειξη του Bobkov Σε αυτή την παράγραφο παρουσιάζουμε την απόδειξη του Bobkov για την ισοπεριμετρική ανισότητα στο χώρο του Gauss. Θεώρημα.4.1. Για κάθε Borel σύνολο A R n, γ + n(a) I(γ n (A)), όπου γ + n(a) = lim inf r 0 γ n (A r ) γ(a) r είναι το μέτρο της επιφάνειας του A κατά Minkowski και A r = {x R n : r γειτονιά του A. d(x, A) < r}, η Ο Bobkov απέδειξε το Θεώρημα.4.1 μέσω της ακόλουθης συναρτησιακής ανισότητας. Θεώρημα.4.. Εστω I = ϕ Φ 1. Τότε για κάθε τοπικά Lipschitz συνάρτηση f : R n [0, 1], I(E(f)) E( I(f) + f ), όπου E(f) είναι η μέση τιμή της συνάρτησης f ως προς το μέτρο Gauss γ n.

33 .4 Η BOBKOV 7 Ακριβέστερα, για την απόδειξη του Θεωρήματος.4.1 αρκεί το ακόλουθο πόρισμα του Θεωρήματος.4., το οποίο προκυτει άμεσα από την ανισότητα a + b a + b : Πόρισμα.4.3. Για κάθε τοπικά Lipschitz συνάρτηση f : R n [0, 1] ισχύει I(E(f)) E(I(f)) E( f ). Απόδειξη του Θεωρήματος.4.1. Θεωρούμε τη συνάρτηση { f r (x) = max 1 1 } r dist(x, A r), 0. Για την f r ισχύει ότι 1 Ar f r 1 Ar, οπότε γ n (A r ) E(f r ) γ n (A r ). c c Επίσης I(f r ) = 0 στο A r A r, αφού fr (x) = 1 στο A r και f r (x) = 0 στο A r. Ετσι, E(I(f r )) = I(f r ) dγ n dγ n A r \A r και = γ n (A r ) γ n (A r ) A r \A r E( f r ) = f r dγ n 1 A r \A r r (γ n(a r ) γ n (A r )) = γ n(a r ) γ n (A r ) r γ n(a r ) γ n (A), r αφού f r 1/r στο A r και f r = 0 στο A r. Εφαρμόζοντας λοιπόν την ανισότητα για την f r και αφήνοντας το r 0, παίρνουμε I(E(f)) E(I(f)) E( f ) I(γ n (A)) 0 γ + n(a) γ + n(a) = γ + n(a). E n Ο Bobkov αποδεικνύει πρώτα ένα διακριτό ανάλογο του Θεωρήματος.4.1. Συμβολίζουμε με τον διακριτό κύβο, τον οποίο ϑεωρούμε εφοδιασμένο με το ομοιόμορφο μέτρο πιθανότητας µ n. Για κάθε f : E n R το (διακριτό) ανάδελτα της f ορίζεται ως εξής: ( f(x) f(s1 (x)) f(x) =,..., f(x) f(s n(x)) όπου s i (x) = (x 1,..., x i,..., x n ), i = 1,..., n είναι τα n γειτονικά σημεία του x. Το μέτρο του f(x) ορίζεται φυσιολογικά: f(x) = 1 n f(x) f(s i (x)). i=1 Θεωρούμε επίσης την οικογένεια J των συναρτήσεων J : [0, 1] [0, ) που ικανοποιούν τα εξής: ),

34 8 Η GAUSS (i) J(0) = J(1) = 0. (ii) Για κάθε a, b [0, 1], ( ) a + b (.4.1) J 1 J(a) + a b + 1 J(b) + a b. Θα αποδείξουμε ότι οι συναρτήσεις της κλάσης J ικανοποιούν το εξής: Θεώρημα.4.4 (Bobkov). Εστω J J. Για κάθε n N και για κάθε f : E n ( ) J(E(f)) E J(f) + f. [0, 1] ισχύει Απόδειξη. Η απόδειξη ϑα γίνει με επαγωγή ως προς n. Στο λήμμα που ακολουθεί επαληθεύουμε την περίπτωση n = 1. Λήμμα.4.5. Εστω J J. Για κάθε f : E 1 := { 1, 1} [0, 1] ισχύει ( ) J(E(f)) E J(f) + f. Απόδειξη. Θέτουμε a = f( 1) και b = f(1). Τότε, a, b [0, 1] και E(f) = a+b. Επίσης, ( ) E J(f) + f = 1 J(f( 1)) + f( 1) + 1 J(f(1)) + f(1) = 1 J(a) + a b + 1 J(b) + a b, διότι f( 1) = f(1) = a b. Από την υπόθεση ότι J J έπεται το λήμμα. Για την απόδειξη του Θεωρήματος.4.4 μένει να αιτιολογήσουμε το επαγωγικό βήμα. Εστω f : E n+1 [0, 1]. Γράφοντας το ομοιόμορφο μέτρο πιθανότητας µ n+1 στον E n+1 στη μορφή µ n+1 = µ n µ 1, έχουμε E n+1 (f) = E n(f 0 ) + E n (f 1 ), όπου οι f 0, f 1 : E n [0, 1] ορίζονται ως εξής: Παρατηρούμε ότι f 0 (x) = f(x, 1) και f 1 (x) = f(x, 1). f(x, 1) = 1 n f(x, 1) f(s i (x), 1) + 1 f(x, 1) f(x, 1) 4 4 i=1 = f 0 (x) + f 0 (x) f 1 (x)

35 .4 Η BOBKOV 9 και όμοια, Άρα, Θέτουμε f(x, 1) = f 1 (x) + f 0 (x) f 1 (x). ( ) E n+1 := E n+1 J(f) + f = 1 E n J(f 0 ) + f 0 + f 0 f E n J(f 1 ) + f 1 + f 0 f 1. u 0 = ( J(f 0 ) + f 0 ) 1/, u1 = ( ) J(f 1 ) + f 1 1/ και v = f 0 f 1, και χρησιμοποιώντας την ανισότητα u + v ( ) ( ) u + v γράφουμε E n+1 = 1 ( ) E n u 0 + v + 1 ( ) E n u 1 + v 1 (E n (u 0 )) + (E n (v)) ) + 1 (E n (u 1 )) + (E n (v)). Από την επαγωγική υπόθεση, E n (u 0 ) = E n J(f 0 ) + f 0 J(E n(f 0 )) και E n (u 1 ) = E n J(f 1 ) + f 1 J(E n(f 1 )). Επίσης, E n (v) = E n(f 0 ) E n (f 1 ). Αν λοιπόν ϑέσουμε a = E n (f 0 ) και b = E n (f 1 ), τότε E n+1 1 J(a) + a b + 1 J(b) + a b ( ) a + b J, όπου στο τελευταίο βήμα χρησιμοποιούμε την (.4.1), δηλαδή την χαρακτηριστική ιδιότητα της κλάσης J. Ετσι, προκύπτει ότι ( ) E n+1 := E n+1 J(f) + f J(E n+1 (f)) διότι E n+1 (f) = a+b.

36 30 Η GAUSS Σκοπός μας είναι να εφαρμόσουμε την ανισότητα του Θεωρήματος.4.4 για τη συνάρτηση I = ϕ Φ 1. Στην πρόταση που ακολουθεί ελέγχουμε ότι I J. Πρόταση.4.6. Η συνάρτηση I = ϕ Φ 1 : [0, 1] [0, ) ικανοποιεί την ανισότητα ( ) a + b I 1 I(a) + a b + 1 I(b) + a b, για κάθε a, b [0, 1]. Δηλαδή, I J. Απόδειξη. Εστω c (0, 1). Θέτουμε (c) = ( min (c, 1 c), min (c, 1 c) ) και ορίζουμε g c : (c) R με g c (x) = I(c + x) + x. Αν c = a+b και x = a b, και αν ϑεωρήσουμε την g := g a+b, αρκεί να δείξουμε ότι g(0) g(x) + g( x). Παρατηρήστε ότι x (c), διότι { a b a + b min, 1 a + b } για κάθε a, b (0, 1). Υψώνοντας στο τετράγωνο τη ζητούμενη ανισότητα παίρνουμε ή, ισοδύναμα, 4g(0) ( g(x) + g( x) ) g(x) g( x) 16g(0) 8g(0) ( g(x) + g( x) ) + ( g(x) + g( x) ) 4g(x)g( x) ή, ισοδύναμα, 16g(0) + ( g(x) g( x) ) 8g(0) ( g(x) + g( x) ). Ομως, g(0) = I(c) και αν ϑέσουμε h(x) = g(x) g(0) = I(c + x) + x I(c), τότε μπορούμε να ξαναγράψουμε τη ζητούμενη ανισότητα στη μορφή 16I(c) 4 + ( h(x) h( x) ) ( 8I(c) h(x) + h( x) + I(c) ), δηλαδή ζητάμε την (.4.) ( h(x) h( x) ) 8I(c) ( h(x) + h( x) ). Λήμμα.4.7. Για τη συνάρτηση I ισχύουν τα ακόλουθα: (α) I I = 1 και (β) η (I ) είναι κυρτή. Απόδειξη. (α) Αποδεικνύεται εύκολα με πράξεις αν παρατηρήσουμε ότι ϕ (x) = xϕ(x). (β) Είναι ((I ) ) = I I = I /I, οπότε ((I ) ) = I I (I ) = I 1 + (I ) I 0.

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές στην κίνηση Brown

Εφαρμογές στην κίνηση Brown 13 Εφαρμογές στην κίνηση Brown Σε αυτό το κεφάλαιο θέλουμε να κάνουμε για την πολυδιάστατη κίνηση Brown κάτι ανάλογο με αυτό που κάναμε στην Παράγραφο 7.2 για τη μονοδιάστατη κίνηση Brown. Δηλαδή να μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις

5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις Ορισμός 5.1. Εστω (Ω, F ), (E, E) μετρήσιμοι χώροι. Μια συνάρτηση f : Ω E λέγεται F /Eμετρήσιμη αν f 1 (A) F για κάθε A E. (5.1) Συμβολίζουμε το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία

Εισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία 1 Εισαγωγικά 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία Στη θεωρία μέτρου, όταν δουλεύει κανείς σε έναν χώρο X, συνήθως έχει διαλέξει μια αρκετά μεγάλη σ-άλγεβρα στον X έτσι ώστε όλα τα σύνολα που εμφανίζονται να ανήκουν

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές ιδιότητες

Αναλυτικές ιδιότητες 8 Αναλυτικές ιδιότητες 8. Βαθμός συνέχειας* Ξέρουμε ότι η κίνηση Brown είναι συνεχής και θα δείξουμε αργότερα ότι είναι πουθενά διαφορίσιμη. Πόσο ομαλή είναι λοιπόν; Μια ασθενέστερη μορφή ομαλότητας είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών 1 Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων, τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών. Η διατύπωση που θα αποδείξουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο

Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο 4 Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο Σε αυτό το κεφάλαιο είναι συγκεντρωμένοι ορισμοί και αποτελέσματα από τη θεωρία των στοχαστικών ανελιξεων συνεχούς χρόνου. Με εξαίρεση την Παράγραφο 4.1, η οποία είναι εντελώς

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα.

Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα. 2 Δεσμευμένη μέση τιμή 2.1 Ορισμός Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα. Ορισμός 2.1. Για X : Ω R τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Ιστόγραμμα Παράθυρα Parzen Εξομαλυμένη Kernel Ασκήσεις 1 Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Κατά τη

Διαβάστε περισσότερα

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

{ i f i == 0 and p > 0

{ i f i == 0 and p > 0 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2 12 Ο τύπος του Itô Για συνάρτηση f : R R με συνεχή παράγωγο, έχουμε d f (s) = f (s) ds που σε ολοκληρωτική μορφή σημαίνει f (b) f (a) = b a f (s) ds (12.1) για κάθε a < b. Αν επιπλέον και η g : R R έχει

Διαβάστε περισσότερα

Δημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Δημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Ενα δεύτερο μάθημα στις πιθανότητες Ενα δεύτερο

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη. του Frostman 4.1. Τέλος, η ϑεωρία του μέτρου Hausdorff αναπτύσσεται περαιτέρω στην τελευταία παράγραφο. Εισαγωγή 2

Περίληψη. του Frostman 4.1. Τέλος, η ϑεωρία του μέτρου Hausdorff αναπτύσσεται περαιτέρω στην τελευταία παράγραφο. Εισαγωγή 2 Το Μέτρο και η Διάσταση Hausdorff Γεωργακόπουλος Νίκος Τερεζάκης Αλέξης Περίληψη Αναπτύσσουμε τη ϑεωρία του μέτρου και της διάστασης Hausdorff με εφαρμογές στον υπολογισμό διαστάσεων συνόλων fractal (Θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

Martingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα

Martingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα 3 Martingales 3.1 Ορισμός και παραδείγματα Εστω χώρος πιθανότητας (Ω, F, P). Διήθηση σε αυτό τον χώρο λέμε μια αύξουσα ακολουθία (F n ) n 0 σ-αλγεβρών, η καθεμία από τις οποίες είναι υποσύνολο της F. Δηλαδή,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η εκθετική κατανομή. Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση (1.1) f(x) = 0 αν x < 0.

Κεφάλαιο Η εκθετική κατανομή. Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση (1.1) f(x) = 0 αν x < 0. Κεφάλαιο Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Η εκθετική κατανομή Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση f(x) = λe λx αν x, αν x

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες

Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες 5 Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες 51 Ορισμός, ύπαρξη, και μοναδικότητα Ορισμός 51 Μια στοχαστική ανέλιξη { : t } ορισμένη σε έναν χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και με τιμές στο R λέγεται (μονοδιάστατη)

Διαβάστε περισσότερα

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης 7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε P(X = = P(X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Εκτίμηση Πυκνότητας με k NN k NN vs Bayes classifier k NN vs Bayes classifier Ο κανόνας ταξινόμησης του πλησιέστερου γείτονα (k NN) lazy αλγόριθμοι O k NN ως χαλαρός

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση. (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή)

Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση. (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή) Εισαωή στη Μιαδική Ανάλυση Σημειώσεις (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή) Ε. Στεφανόπουλος Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αιαίου Καρλόβασι Καλοκαίρι 26 Πρόλοος Οι σημειώσεις αυτές είναι αποτέλεσμα επεξερασίας

Διαβάστε περισσότερα

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων.

Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. A A N A B P Y T A Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς 9 5 0 Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. Δρ. Νίκος Σωτηρόπουλος, Μαθηματικός Εισαγωγή Το άρθρο αυτό γράφεται με

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση Black-Scholes

Η εξίσωση Black-Scholes 8 Η εξίσωση Black-Scholes 8. Μια απλή αγορά Θεωρούμε ότι έχουμε μια αγορά που έχει μόνο δύο προϊόντα. Το ένα είναι η δυνατότητα κατάθεσης σε μια τράπεζα (ισοδύναμα, αγορά ομολόγων της τράπεζας) και το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Πίνακες και απαλοιφή Gauss

Κεφάλαιο 1. Πίνακες και απαλοιφή Gauss Κεφάλαιο 1 Πίνακες και απαλοιφή Gauss Γύρω απ το γινομένου πινάκων Κάτι σαν τυπολόγιο Αν AB = C, τότε: 1 (C) i j = (i-γραμμή A) ( j-στήλη B) Το συμβολίζει εσωτερικό γινόμενο 2 (i-γραμμή C) = k(a) ik (k-γραμμή

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Ερευνα Ι

Επιχειρησιακή Ερευνα Ι Επιχειρησιακή Ερευνα Ι Μ. Ζαζάνης Κεφάλαιο 1 Τετραγωνικές μορφές στον R n και το ϑεώρημα του Taylor Ορισμός 1. Εστω a 11 a 1n A =.. a n1 a nn συμμετρικός πίνακας n n με στοιχεία στους πραγματικούς αριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρημα Μοναδικότητας των Stone και von Neumann

Το Θεώρημα Μοναδικότητας των Stone και von Neumann Κ Ε Το Θεώρημα Μοναδικότητας των Stone και von Neumann Διπλωματική Εργασία Ειδίκευσης στα Θεωρητικά Μαθηματικά Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Μαθηματικών Αθήνα 2011 Αφιερώνεται στην οικογένεια μου ii Περίληψη

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων

Διαβάστε περισσότερα

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Την ευθύνη του εκπαιδευτικού υλικού έχει ο επιστημονικός συνεργάτης των Πανεπιστημιακών Φροντιστηρίων «ΚOΛΛΙΝΤΖΑ», οικονομολόγος συγγραφέας θεμάτων ΑΣΕΠ, Παναγιώτης Βεργούρος.

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016

Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016 Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου Άλγεβρα Β λυκείου Εργασία2 η : «Συναρτήσεις» 13 Οκτώβρη 2016 Ερωτήσεις Θεωρίας 1.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςάυξουσασεέναδιάστημα του πεδίου ορισμού της; 2.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςφθίνουσασεέναδιάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα Τα βιβλία διακριτών μαθηματικών του Γ.Β. Η/Υ με επεξεργαστή Pentium και χωρητικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή:

Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή: Ας πούμε και κάτι για τις δύσκολες μέρες που έρχονται Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein 1879-1955 Πηγή: http://www.cognosco.gr/gnwmika/ 1 ΚΥΚΛΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΑΠΟΦΑΣΗ. Άσκηση με θέμα τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητας του καταναλωτή

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΑΠΟΦΑΣΗ. Άσκηση με θέμα τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητας του καταναλωτή ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 07 08 ΛΕΥΚΑΔΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Διανυσματικές Συναρτήσεις

Διανυσματικές Συναρτήσεις Κεφάλαιο 5 Διανυσματικές Συναρτήσεις 51 Διανυσματατικές συναρτήσεις Μια συνάρτηση με τιμές στοr n, n>1 λέγεται διανυσματική συνάρτηση Τις διανυσματικές συναρτήσεις ϑα τις συμβολίζουμε με παχειά γράμματα,

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις

Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις 14 Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις 14.1 Γενικά Στοχαστική διαφορική εξίσωση λέμε μια εξίσωση της μορφής dx = µ(, X ) d + σ(, X ) db, X = x, (14.1) με µ, σ : [, ) R R μετρήσιμες συναρτήσεις, x R, και B

Διαβάστε περισσότερα

ιάσταση του Krull Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, / 27

ιάσταση του Krull Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, / 27 ιάσταση του Krull Χ. Χαραλάμπους Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Ιανουάριος, 2017 Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 1 / 27 Ορισμοί Εστω R (αντιμεταθετικός) δακτύλιος. Ορισμός Η διάσταση του Krull

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. Ονοματεπώνυμο Τμήμα

ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. Ονοματεπώνυμο Τμήμα Σελίδα 1 ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στην κόλλα σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ): ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Δημήτρης Χελιώτης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ B τ u(x):=e x {f(b τ ) u(x) = } x ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Εισαγωγή στον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Δημήτρης Χελιώτης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ B τ u(x):=e x {f(b τ ) u(x) = } x ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Εισαγωγή στον

Διαβάστε περισσότερα

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις»

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις» ( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «πεικονίσεις» 1. ΣΧΕΣΕΙΣ: το σκεπτικό κι ο ορισμός. Τ σύνολ νπριστούν ιδιότητες μεμονωμένων στοιχείων: δεδομένου συνόλου S, κι ενός στοιχείου σ, είνι δυντόν είτε σ S είτε

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες ΙΙ 1 o Μέρος. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Πιθανότητες ΙΙ 1 o Μέρος. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Πιθανότητες ΙΙ o Μέρος Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών 4 Απριλίου 7 Κεφάλαιο Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Η εκθετική κατανομή Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο. Αλυσίδες

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις και ιδιότητές τους

Σχέσεις και ιδιότητές τους Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Η κατάρα της διαστατικότητας Μείωση διαστάσεων εξαγωγή χαρακτηριστικών επιλογή χαρακτηριστικών Αναπαράσταση έναντι Κατηγοριοποίησης Ανάλυση Κυρίων Συνιστωσών PCA Γραμμική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Πληροφορικής

Μαθηματικά Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Αθηνών Μαθηματικά Πληροφορικής Ηλίας Κουτσουπιάς Αθήνα, Οκτώβριος 2009 Περιεχόμενα Περιεχόμενα 1 Σύνολα... 5 ΆλλαΣύμβολα... 6 1 Υποθέσεις και Θεωρήματα 9 1.1 Παρατήρηση-Υπόθεση-Απόδειξη...

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις Α1 μέχρι και Α6 να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει ΕΙΣΑΓΩΓΗ ------------------------------------------------------------------------------------- H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

17 Μαρτίου 2013, Βόλος

17 Μαρτίου 2013, Βόλος Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ FRACTALS

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ FRACTALS Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ FRACTALS ΕΛΕΝΗ ΤΑΝΤΟΥΛΟΥ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΑΝΤΩΝΗΣ ΤΣΟΛΟΜΥΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΑΜΟΣ 2009 Στην μητέρα μου που μπορεί και με ανέχεται ακόμα,

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κωνσταντίνος Α. Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κώστας Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό και το

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. Σημερινό μάθημα

Συναρτήσεις. Σημερινό μάθημα Συναρτήσεις Σημερινό μάθημα C++ Συναρτήσεις Δήλωση συνάρτησης Σύνταξη συνάρτησης Πρότυπο συνάρτησης & συνάρτηση Αλληλο καλούμενες συναρτήσεις συναρτήσεις μαθηματικών Παράμετροι συναρτήσεων Τοπικές μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ Ο ιατρός αφού διαπιστώσει εάν το πρόσωπο που προσέρχεται για εξέταση είναι το ίδιο με αυτό που εικονίζεται στο βιβλιάριο υγείας και ελέγξει ότι είναι ασφαλιστικά ενήμερο (όπως ακριβώς γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Εφαρμογὲς τῶν συνεχῶν κλασμάτων 1 1. Η τιμὴ τοῦ π μὲ σωστὰ τὰ 50 πρῶτα δεκαδικὰ ψηφία μετὰ τὴν ὑποδιαστολή, εἶναι 3.14159265358979323846264338327950288419716939937511.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο Αλυσίδες Markov

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση

Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση ΠΜΣ/ΕΤΥ: Μεταπτυχιακό Μάθημα 8η Ενότητα: Γραμμικός Προγραμματισμός ως Υπορουτίνα για Επίλυση Προβλημάτων Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης (kontog@cs.uoi.gr)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983 20 Φεβρουαρίου 2010 ΑΣΕΠ 2000 1. Η δεξαμενή βενζίνης ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων είναι γεμάτη κατά τα 8/9. Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας το πρατήριο διέθεσε τα 3/4 της βενζίνης αυτής και έμειναν 4000

Διαβάστε περισσότερα

Ευρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα

Ευρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα 17 Ευρωπαϊκά παράγωγα 17.1 Ευρωπαϊκά δικαιώματα Ορισμός 17.1. 1) Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς σε μία μετοχή είναι ένα συμβόλαιο που δίνει στον κάτοχό του το δικαίωμα να αγοράσει μία μετοχή από τον εκδότη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Αθήνα, 12 Απριλίου 2016.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Αθήνα, 12 Απριλίου 2016. Αλγεβρική Γεωμετρία ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος Κεφάλαιο 1. Αλγεβρικές ποικιλότητες 1 1. Αλγεβρικά Σύνολα 1 2. Το Θεώρημα Ριζών του Hilbert 7 3. Συγγενείς Αλγεβρικές Ποικιλότητες 14 4. Πολλαπλότητα και Πολλαπλότητα

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Laplace. Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

Μετασχηματισμοί Laplace. Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ιαφορικές Εξισώσεις Μετασχηματισμοί Laplace Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Βόλος, 11 Μαΐου 2015 Περιεχόμενα Μετασχηματισμοί Laplace Ορισμός μετασχηματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Μεταπτυχιακό Μάθημα ΠΜΣ/ΕΤΥ 2η Ενότητα: Μοντελοποίηση Προβλημάτων ως ΓΠ, Ισοδυναμες Μορφές ΓΠ, Γεωμετρία Χωρου Λύσεων

Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Μεταπτυχιακό Μάθημα ΠΜΣ/ΕΤΥ 2η Ενότητα: Μοντελοποίηση Προβλημάτων ως ΓΠ, Ισοδυναμες Μορφές ΓΠ, Γεωμετρία Χωρου Λύσεων Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Μεταπτυχιακό Μάθημα ΠΜΣ/ΕΤΥ 2η Ενότητα: Μοντελοποίηση Προβλημάτων ως ΓΠ, Ισοδυναμες Μορφές ΓΠ, Γεωμετρία Χωρου Λύσεων Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το

Διαβάστε περισσότερα

Η έκδοση αυτή είναι υπό προετοιμασία. Γιάννης Α. Αντωνιάδης, Αριστείδης Κοντογεώργης

Η έκδοση αυτή είναι υπό προετοιμασία. Γιάννης Α. Αντωνιάδης, Αριστείδης Κοντογεώργης Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές Η έκδοση αυτή είναι υπό προετοιμασία Γιάννης Α. Αντωνιάδης, Αριστείδης Κοντογεώργης 9 Φεβρουαρίου 2015 2 Περιεχόμενα I ΑΡΙΘΜΟΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 7 1 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΩΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Apì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss

Apì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss Apì ton diaritì Ôbo ston q ro tou Gauss 1 Isoperimetri anisìthta sto diaritì Ôbo Θεωρούμε την οικογένεια J των συναρτήσεων J : [0 1] [0 ) που ικανοποιούν τα εξής: J0) = J1) = 0. Για κάθε a b [0 1] a +

Διαβάστε περισσότερα

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν 1 1. Αποδοχή κληρονομίας Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν μπορεί να ασκηθεί από τους δανειστές του κληρονόμου, τον εκτελεστή της διαθήκης, τον κηδεμόνα ή εκκαθαριστή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Πανεπιστήμιο Πατρών Σχολή : Θετικών Επιστημών Τμήμα : Μαθηματικών Μ.Δ.Ε. : Μαθηματικά των Φυσικών και Βιομηχανικών Εφαρμογών Ακαδημαϊκό Έτος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν

Διαβάστε περισσότερα

G περιέχει τουλάχιστον μία ακμή στο S. spanning tree στο γράφημα G.

G περιέχει τουλάχιστον μία ακμή στο S. spanning tree στο γράφημα G. ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 2014-2015 Λύσεις 3ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

επίπεδων καμπυλών Χειμερινό Εξάμηνο I(P, F G) των F και G σε ένα σημείο P A 2 K

επίπεδων καμπυλών Χειμερινό Εξάμηνο I(P, F G) των F και G σε ένα σημείο P A 2 K Θεωρία Τομών Επίπεδων Καμπυλών Εργασία στο πλαίσιο τού μαθήματος Αλγεβρικές Καμπύλες (με κωδ. αριθμό Α 19) Χειμερινό Εξάμηνο 2008-2009 Μιχαήλ Γκίκας 1 Αριθμός τομής δυο συσχετικών επίπεδων καμπυλών Εστω

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ Μάθημα: Ενόργανη Γυμναστική Χρήσιμα θεωρία στο κεφάλαιο της ενόργανης γυμναστικής για το γνωστικό αντικείμενο ΠΕ11 της Φυσικής Αγωγής από τα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια Κολλίντζα.

Διαβάστε περισσότερα

Η κατανομή του Euler επί των αυτοαντίστροφων στοιχείων της

Η κατανομή του Euler επί των αυτοαντίστροφων στοιχείων της Ε Κ Π Α Τ Μ Η κατανομή του Euler επί των αυτοαντίστροφων στοιχείων της υπεροκταεδρικής ομάδας Μ Ε Μουστάκας Βασίλης - Διονύσης : Χ Α. Α Αθήνα Ιούνιος 07 Στον πρώτο μου δάσκαλο, μαθηματικό Γιάννη Καρρά.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία ΘΕΜΑ: ποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία Σύνταξη: Μπαντούλας Κων/νος, Οικονομολόγος, Ms Χρηματοοικονομικών 1 Η πρώτη θεωρία σχετικά με τον αυτόματο

Διαβάστε περισσότερα

σε ευκλείδειους χώρους και σε πολλαπλότητες Riemann

σε ευκλείδειους χώρους και σε πολλαπλότητες Riemann Κ Ε Ο μετασχηματισμός Riesz σε ευκλείδειους χώρους και σε πολλαπλότητες Riemann Διπλωματική Εργασία στα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Μαθηματικών Αθήνα 213 Αφιερώνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Σημειώσεις για το μάθημα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Παπάνα Αγγελική http://users.auth.gr/~agpapana/statlogistics E mail: papanagel@yahoo.gr, agpapana@gen.auth.gr Α.Τ.Ε.Ι. Θεσσαλονίκης ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

(3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις

(3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις (3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις Είναι πράγματι τα «προβλήματα» τόσο δύσκολα; Είδαμε (σύντομα) στα προηγούμενα

Διαβάστε περισσότερα

(7 ο ) ΔΙΑΙΡΕΙ & ΒΑΣΙΛΕΥΕ Ι: «ταξινόμηση» (8 ο ) ΔΙΑΙΡΕΙ & ΒΑΣΙΛΕΥΕ ΙΙ: «κυρτό περίβλημα»

(7 ο ) ΔΙΑΙΡΕΙ & ΒΑΣΙΛΕΥΕ Ι: «ταξινόμηση» (8 ο ) ΔΙΑΙΡΕΙ & ΒΑΣΙΛΕΥΕ ΙΙ: «κυρτό περίβλημα» (7 ο ) ΔΙΑΙΡΕΙ & ΒΑΣΙΛΕΥΕ Ι: «ταξινόμηση» (8 ο ) ΔΙΑΙΡΕΙ & ΒΑΣΙΛΕΥΕ ΙΙ: «κυρτό περίβλημα» Σύντομα προλεγόμενα: πού να ψάξουμε για δραστικούς αλγορίθμους; Θα αρχίσουμε από αυτό το κεφάλαιο την ξενάγησή

Διαβάστε περισσότερα

Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση.

Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ Σελίδα 1 από 10 Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α0 Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ = αχ 2 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου

Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Παραμετρικά Μοντέλα Επιβίωσης που προκύπτουν από μεταβολές

Διαβάστε περισσότερα

Αφιερώνεται στους Μαθητές μας Άγγελος Βουλδής Γιώργος Παναγόπουλος Λευτέρης Μεντζελόπουλος

Αφιερώνεται στους Μαθητές μας Άγγελος Βουλδής Γιώργος Παναγόπουλος Λευτέρης Μεντζελόπουλος Αφιερώνεται στους Μαθητές μας Άγγελος Βουλδής Γιώργος Παναγόπουλος Λευτέρης Μεντζελόπουλος Είτε είμαστε άνθρωποι είτε είμαστε αστρική σκόνη, όλοι μαζί χορεύουμε στη μελωδία ενός αόρατου ερμηνευτή. A. Einstein

Διαβάστε περισσότερα

όπου ω j η κλάση j και x το διάνυσμα χαρακτηριστικών Ένας τυπικός κανόνας απόφασης είναι να επιλέγουμε την κλάση με τη μέγιστη P[ω j x]

όπου ω j η κλάση j και x το διάνυσμα χαρακτηριστικών Ένας τυπικός κανόνας απόφασης είναι να επιλέγουμε την κλάση με τη μέγιστη P[ω j x] Bayes Classifiers Θεώρημα Bayes Tο θώ θεώρημα Bayes εκφράζεται ως: όπου ω j η κλάση j και x το διάνυσμα χαρακτηριστικών Ένας τυπικός κανόνας απόφασης είναι να επιλέγουμε την κλάση με τη μέγιστη P[ω j x]

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 Pointers 1 Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 1 Μνήμη μεταβλητών Κάθε μεταβλητή έχει διεύθυνση Δεν χρειάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Βελτίωση Εικόνας. Σήμερα!

Βελτίωση Εικόνας. Σήμερα! Βελτίωση Εικόνας Σήμερα! Υποβάθμιση εικόνας Τεχνικές Βελτίωσης Restoration (Αποκατάσταση) Τροποποίηση ιστογράμματος Ολίσθηση ιστογράμματος Διάταση (stretching) Ισοστάθμιση του ιστογράμματος (histogram

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ Σχεδίαση Λογικών Κυκλωμάτων

ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ Σχεδίαση Λογικών Κυκλωμάτων ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ Σχεδίαση Λογικών Κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος [gliaperd@teikal.gr] Μάρτιος 2012 1 Ηλεκτρονικά Ελεγχόμενοι ιακόπτες Για την υλοποίηση των λογικών κυκλωμάτων χρησιμοποιούνται ηλεκτρονικά

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα!

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Αναλογική εικόνα Ψηφιοποίηση (digitalization) Δειγματοληψία Κβαντισμός Δυαδικές δ έ (Binary) εικόνες Ψηφιακή εικόνα & οθόνη Η/Υ 1 Ψηφιακή Εικόνα Μια ακίνητη

Διαβάστε περισσότερα

( ) Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 03: ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ

( ) Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 03: ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 03: ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ Ενδιαφερόμαστε μεν για τους αλγορίθμους αλλά εντός ενός συγκεκριμμένου πλαισίου: (α) ως λύσεις προβλημάτων,

Διαβάστε περισσότερα