ΓΕΩΦΥΣΙΚΕΣ ΕΡΕΥΝΕΣ ΣΤΗ ΛΕΚΑΝΗ ΤΟΥ ΣΠΕΡΧΕΙΟΥ ΠΟΤΑΜΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΓΕΩΦΥΣΙΚΕΣ ΕΡΕΥΝΕΣ ΣΤΗ ΛΕΚΑΝΗ ΤΟΥ ΣΠΕΡΧΕΙΟΥ ΠΟΤΑΜΟΥ"

Transcript

1 A BE KT QOÄILf ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ - ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΓΕΩΘΕΡΜΙΑΣ Διευθυντής : Κθηγητής Ι.Κ. Δρκόιτυλς ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΑΠΟΣΤΟΛΟΠΟΥΛΟΣ Φυσικός - Γεωφυσικός ΓΕΩΦΥΣΙΚΕΣ ΕΡΕΥΝΕΣ ΣΤΗ ΛΕΚΑΝΗ ΤΟΥ ΣΠΕΡΧΕΙΟΥ ΠΟΤΑΜΟΥ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΑΘΗΝΑ 1993

2 ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ - ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΓΕΩΘΕΡΜΙΑΣ Διευθυντής : Κθηγητής Ι.Κ. Δρκόπυλς ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΑΠΟΣΤΟΛΟΠΟΥΛΟΣ Φυσικός - Γεωφυσικός ΓΕΩΦΥΣΙΚΕ! ΕΡΕΥΝΕΣ ΣΤΗ ΛΕΚΑΝΗ ΤΟΥ ΣΠΕΡΧΕΙΟΥ ΠΟΤΑΜΟΥ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΑΘΗΝΑ 1993

3 Στην ικγένει μυ

4 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στ πλίσι της ερευνητικής δρστηριότητς τυ Τμέ Γεωφυσικής - Γεωθερμίς, ειδικότερ στην νάπτυξη των γεωφυσικών μεθόδων στη θεωρί κι στην εφρμγή τυς, μυ ντέθηκε πό τν Δ/ντή τυ Τμέ Κθηγητή κ. Ι,Δρκόπυλ η διδκτρική διτριβή με θέμ "Γεωφυσικές Ερευνες στη Λεκάνη τυ Σπερχειύ Πτμύ", τν πί εκτός υτΰ θέλω ν ευχριστήσω κι γι τη συνεχή υπστήριξη κι βήθει πυ μυ πρείχε. Κτά τη διάρκει εκπόνησης της διτριβής, πλύτιμες ήσν ι πρτηρήσεις κι ι υπδείξεις σε θέμτ Γεωφυσικής τυ Επικ. Κθηγητή κ. ΕΑάγιυ κι σε θέμτ Γεωλγίς τυ Ανπλ. Κθηγητή κ. Δ.Ππνικλάυ. Κι τυς δυ τυς ευχριστώ γι τη σημντική βήθει. Θ ήθελ επίσης, ν ευχριστήσω τν Επικ. Κθηγητή κ. Ι.Λΰη γι τη βήθει τυ σε θέμτ Γεωφυσικής λλά κι γι την υπστήριξη τυ πό τότε πυ ήμυν κόμη φιτητής τυ Φυσικύ Τμήμτς μέχρι κι την περάτωση της διδκτρικής διτριβής. Οι υπδείξεις κι ι διρθώσεις της Κθηγήτρις τυ Πλυτεχνείυ κ. Α.Ππγιννπύλόυ-Οικνόμυ ήσν πράγμτι πλύτιμες κι την ευχριστώ. Η εμπειρί κι ι γνώσεις στην ηλεκτρική μέθδ τυ Επικ. Κθηγητή κ. Τ.Ππδόπυλυ πετέλεσν πλύτιμ βηθό σε διάφρες περιπτώσεις κι τν ευχριστώ γι' υτό. Αμέριστη ήτν η βήθει των υπλίπων μελών τυ επιστημνικύ πρσωπικύ τυ Τμέ Γεωφυσικής - Γεωθερμίς σε επιστημνικές υπδείξεις λλά κι σε πρκτικά ζητήμτ κι γι' υτό ευχριστώ τν Ανπλ. Κθηγητή κ. Κ,Μκρόπυλ, τν Ανπλ. Κθηγητή κ. Ν.Δελήμπση, τη Λέκτρ κ. Β.Κυσκυνά, τ Δρ. κ. Ν.Βύλγρη κι τ Δρ. κ. Α,Τζάνη. Ευχριστώ επίσης τν Κ,Τζρέλ γι τ κυράγι πυ μυ έδινε σε δύσκλες στιγμές. Πλύτιμη ήτν η βήθει σε κάθε στιγμή τυ συνδέλφυ Ι. Αλεξόπυλυ, γεωλόγυ, πυ μζί στ ίδι γρφεί περάσμε όλες τις δύσκλες στιγμές πυ η διδκτρική διτριβή φέρνει. Τν ευχριστώ. Επίσης ευχριστώ τ Λέκτρ κ. Χ,Μρυκιάν γι τις εύστχες πρτηρήσεις τυ. Η εφρμγή των γεωφυσικών μεθόδων πιτεί εμπειρί κι πλεινότητ επιστημνικών ργάνων. Η βήθει στ πρπάνω τυ ΙΓΜΕ, Δ/νση Γεωφυσικής, ειδικότερ μάλιστ των Δ/ντών της Δ/νσης κ.κ. Σ,Νικλάυ, Α,Αγγελόπυλυ, Γ.Σίδερη κθώς κι των γεωφυσικών κ.κ. Κ,Θνάσυλ, Γ,Σκιάνη, Μ.Νικλίδη, ήτν μεγάλη, εκδηλώνντς με κάθε τρόπ την υπστήριξη τυς σε έν νέ συνάδελφ τυς. Τυς ευχριστώ. Πλύτιμες ήσν ι πρτηρήσεις τυ συνδέλφυ γεωφυσικύ Δρ. ΚΔημητρόπυλυ τν πί ευχριστώ.

5 Ευχριστώ επίσης γι τις εύστχες υπδείξεις στν πργρμμτισμό τ φίλ πό τ γυμνάσι, συμφιτητή κι Δρ Πληρφρικής κ. Π.Κωφάκη. Επίσης ευχριστώ τν ΚΑπστλόπυλ, τπγράφ στη Φθιώτιδ, πυ έκνε τις τπγρφικές εργσίες στ Δέλτ τυ Σπερχειύ Πτμύ στις θέσεις των βρυτικών στθμών μέτρησης. Επίσης θέλω ν ευχριστήσω τη ΔΕΗ (ΔΕΜΕ) κι ειδικά τν κ. Γκίνη γι την άδει επεξεργσίς γεωφυσικών δεδμένων πυ της νήκυν. Ελπίζω τ πτελέσμτ της διτριβής ν τυς φνύν χρήσιμ. Πλύτιμη επίσης ήτν η βήθει των φιτητών Γεωλγικύ, πυ χωρίς υτήν η διτριβή ήτν πργμτπίητη. Γι τ λόγ υτό ευχριστώ τυς Χ.Κλεντερίδη, Μ.Ξυνγλά, ΟΙπκωνστντίνυ, Ι.Ππσωτηρίυ, Α,Χτζηλάμπυ, Μ.Πντελιδάκη, Ρ.Πνόζγλυ, Ν.Μάντη, Κ,Βελεγρίν, Δ.Φιλέ, Σ,Ασημόπυλ, Α,Μιλάτ, Γ.Ζιάννη, Γ.Λμπρόπυλ, ΚΑνδρεάδυ, Κ,Μισικό (Φυσικός) κι Α.Ππκώστ. Ελπίζω ν τυς μετέφερ τη διάθεση ν σχληθύν με τη Γεωφυσική. Ηδη ι τρεις πρώτι πέκτησν M.S. Εφρμσμένης Γεωφυσικής. Η βήθει των κτίκων στην Κιλάδ τυ Σπερχειύ κι ιδιίτερ των κτίκων των Λυτρών Υπάτης ήτν μέριστη. Ειδικά ι δελφί Νίκς κι Κώστς Φρύτς μυ συμπρστάθηκν σε πλλές δύσκλες στιγμές πυ κάθε εργσί υπίθρυ έχει. Τυς ευχριστώ όλυς θερμά. Τέλς θέλω ν ευχριστήσω την ικγένει μυ, πυ ότι έχω επιτύχει μέχρι τώρ, έγινε με την γάπη κι την υπστήριξη της.

6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελίδ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 Β. ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΤΗΣ ΛΕΚΑΝΗΣ ΤΟΥ ΣΠΕΡΧΕΙΟΥ ΠΟΤΑΜΟΥ. 3 Β.1. Γεωγρφί - Μρφλγί 3 Β.2. Γεωλγί 3 Β.2.1. Αλπικί σχημτισμί 3 Β Γενικά 3 Β Ενότητ Αντλικής Ελλάδς 6 Β Ενότητ Δυτικής Θεσσλίς - Βιωτίς 11 Β Ενότητ Πρνσσύ 11 Β Ενότητ Πίνδυ 12 Β.2.2. Μετλπικά ιζήμτ 12 Β.3. Τεκτνική της τάφρυ τυ Σπερχειύ, 13 Γ. ΜΕΘΟΔΟΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ 15 Γ.1. Θεωρητικό Μέρς 15 Γ.1.1. Ειδική ντίστση πετρωμάτων 15 Γ.1.2. Η μέθδς της ειδικής ντίστσης (στιχειώδης θεωρί) 15 Γ.1.3. Πράγντες επιλγής της κτάλληλης διάτξης ηλεκτρδίων 18 Γ.1.4. Επιλγή διτάξεων ηλεκτρδίων 21 Γ.1.5. Επεξεργσί Μετρήσεων Υπίθρυ 22 Γ.1.6. Ερμηνεί 1-διάστσης γεωηλεκτρικών δεδμένων 23 Γ.1.7. Δυνμικό κι ειδική ντίστση πάνω πό στρώμ υπό κλίση 45 ή Γ.1.8. Ερμηνεί βυθσκόπησης με πρυσί συνέχεις κλίσης Γ.1.9. Τμή κι χάρτες φινόμενης ειδικής ντίστσης 31 Γ Ερμηνεί 2-διστάσεων των δεδμένων των βυθσκπήσεων 32 Γ.2 Εφρμγή της μεθόδυ της ειδικής ντίστσης στη " Μέσ Κιλάδ" τυ Σπερχειύ Πτμύ 35 Γ.2.1. Εισγωγή 35 Γ.2.2. Εργσίες υπίθρυ 35 Γ.2.3. Επεξεργσί κι ερμηνεί 1-διάστσης των δεδμένων των βυθσκπήσεων 35 Γ.2.4. Χάρτες φινόμενης ειδικής ντίστσης 36 Γ.2.5. Τμές φινόμενης ειδικής ντίστσης κι ντίστιχες γεωηλεκτρικές τμές 44

7 Δ. Η ΒΑΡΥΤΊΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ 59 Δ.1. Θεωρητικό Μέρς 59 Δ.1.1. Εισγωγή 59 Δ.1.2. Πυκνότητ των πετρωμάτων 59 Δ.1.3. Οργν, εξπλισμός, εργσίες υπίθρυ 60 Δ.1.4. Βρυτικές νωμλίες 61 Δ.1.5. Επεξεργσί βρυτικών μετρήσεων 64 Δ.1.6. Ερμηνεί βρυτικών δεδμένων 65 Δ.2. Εφρμγή της βρυτικής μεθόδυ στη "Μέσ Κιλάδ τυ Σπερχειύ πτμύ 67 Δ.2.1. Απόκτηση δεδμένων 67 Δ.2.2. Εργστηρικός πρσδιρισμός πυκντήτων 70 Δ.2.3. Επεξεργσί των βρυτικών μετρήσεων, βρυτικί χάρτες 70 Δ.2.4. Ερμηνεί των βρυτικών δεδμένων 72 Δ.3. Εφρμγή της βρυτικής μεθόδυ στ Δέλτ τυ Σπερχειύ Πτμύ 93 Δ.3.1. Απόκτηση δεδμένων 93 Δ.3.2. Επεξεργσί βρυτικών μετρήσεων, βρυτικί χάρτες 93 Δ.3.3. Ερμηνεί των βρυτικών δεδμένων 94 Δ.3.4. Πιτική νάλυση τυ ερμγνητικύ χάρτη τυ Δέλτ τυ Σπερχειύ Πτμύ 109 Ε. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΗΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΔΕΛΤΑ ΤΟΥ ΣΠΕΡΧΕΙΟΥ ΠΟΤΑΜΟΥ 110 Ε.1. Εισγωγή 110 Ε.2. Εργσίες υπίθρυ 110 Ε.3. Χάρτες φινόμενης ειδικής ντίστσης κι τμή dìpole-dipole 110 Ε.4. Επεξεργσί κι ερμηνεί των δεδμένων των βυθσκπήσεων ΣΤ. Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΦΥΣΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ (SELF POTENTIAL) ΣΤ.1. Εισγωγή 125 ΣΤ.2. Εισγωγική θεωρί 125 ΣΤ.3. Εφρμγή της μεθόδυ στ ύπιθρ 126 ΣΤ.3.1. Πηγές θρύβυ κι ντιμετώπιση τυς 128 ΣΤ.4. Επεξεργσί των μετρήσεων υπίθρυ 132 ΣΤ.5. Πιτική ερμηνεί των μετρήσεων 135 ΣΤ.6. Πστική ερμηνεί των μετρήσεων 135 ΣΤ.6.1. Τ μντέλ Fitterman 135 ΣΤ.6.2. Μντέλ Ανωμλιών Φυσικύ Δυνμικύ 137 Ζ. ΓΕΝΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 140

8 SUMMARY 149 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 152 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A' "APO-DIP" : Πρόγρμμ FORTELAN 77. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β' "APO-COMP" : Πρόγρμμ FORTRAN 77. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ "APO-XYDEG" : Πρόγρμμ FORTRAN 77. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Δ' "APO-GRAV2D" : Πρόγρμμ FORTRAN 77. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ε' Κμπύλες ηλεκτρικών βυθσκπήσεων στη "Μέσ Κιλάδ" κι μντέλ 1-διάστσης. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΣΤ Βρυτικές μετρήσεις τυ Ι.Γ.Μ.Ε. στη "Μέσ Κιλάδ". ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ζ' Βρυτικές μετρήσεις στην ευρύτερη περιχή των Λυτρών Υπάτης. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Η' Βρυτικές μετρήσεις στ Δέλτ. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Θ' Κμπύλες ηλεκτρικών βυθσκπήσεων στ Δέλτ κι μντέλ 1-διάστσης. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ Κμπύλες Φυσικύ Δυνμικύ τμών στην περιχή των Λυτρών Υπάτης.

9 Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η κιλάδ τυ Σπερχειύ πτμύ έχει πλύ μεγάλ γεωλγικό ενδιφέρν τόσ πό τεκτνική άπψη (έντνς τεκτνισμός) όσ κι πό γεωθερμική άπψη (θερμές πηγές στ Λυτρά Θερμπυλών, Υπάτης κι Πλτύστμυ). Στην περιχή έχυν γίνει ρκετές γεωτρήσεις μικρύ όμως βάθυς, ενώ τ ιζήμτ έχυν πλύ μεγάλ πάχς. Ετσι είνι πρίτητ γι την κτνόηση της γεωλγικής δμής της Λεκάνης τυ Σπερχειύ ν εφρμστύν γεωφυσικές μέθδι. Στην πρύσ εργσί γίνετι πρσπάθει διερεύνησης τυ υπεδάφυς της Λεκάνης με γεωφυσικές μεθόδυς. Ειδικότερ σκπός της εργσίς είνι η χρτγράφηση τυ νάγλυφυ τυ Αλπικύ υπόβθρυ, εντπισμός ρηγμάτων μέσ στην κιλάδ κι η τυχόν συσχέτιση τυς με ρή γεωθερμικών ρευστών. Περισσότερ όμως η πρσπάθει επικεντρώνετι στη βελτίωση των γεωφυσικών μεθόδων είτε στην εφρμγή τυς στ ύπιθρ είτε στην επεξεργσί κι ερμηνεί, πρτείνντς κινύργιες τεχνικές. Πρέπει ν πρτηρηθεί ότι η επιτυχί των γεωφυσικών μεθόδων έγκειτι στη σωστή επιλγή γι την επίλυση συγκεκριμένυ πρβλήμτς (Lagios, 1979, Θνάσυλς, 1983, Λύης, 1984, Ππδόπυλς, 1985). Ετσι ι ηλεκτρικές μέθδι βηθύν ) στν εντπισμό στρωμάτων πυ πτελύν διδχικές πθέσεις διφρετικής ειδικής ντίστσης κι β) στην εύρεση τυ βάθυς τυ βρχώδυς υπόβθρυ κθώς κι στν χρκτηρισμό τυ. Οι βρυτικές μέθδι δίδυν πρόσθετες πληρφρίες γι τη μρφή τυ βρχώδυς υπόβθρυ. Η μέθδς φυσικύ δυνμικύ εντπίζει ρήγμτ πυ σχετίζντι με ρές γεωθερμικών ρευστών. Πρς χάριν ευκλίς η κιλάδ τυ Σπερχειύ πτμύ χωρίζετι σε δύ τμήμτ: τη "Μέσ Κιλάδ" πυ εκτείνετι πό την Σπερχειάδ δυτικά έως τυς Κμπτάδες ντλικά κι τ Δέλτ πυ εκτείνετι πό τυς Κμπτάδες δυτικά έως τ Μλικό Κόλπ ντλικά. Πι νλυτικά, στ Κεφάλι Β γίνετι μί σύντμη γεωλγική νσκόπηση των σχημτισμών της Λεκάνης κι των γεωλγικών εντήτων πυ την περιβάλλυν. Στ Κεφάλι Γ νφέρετι η γεωηλεκτρικη μέθδς ειδικής ντίστσης με θεωρητική κάλυψη κι νάλυση κινύργιων τεχνικών ερμηνείς 2-διστάσεων κι με εφρμγή της στην περιχή της Μέσ Κιλάδς. Στ Κεφάλι Δ νφέρετι η βρυτική μέθδς με θεωρητική κάλυψη κι εφρμγή της στη Μέσ Κιλάδ κι στ Δέλτ. Στ Κεφάλι Ε νφέρετι η εφρμγή των νέων τεχνικών ερμηνείς 2-διστάσεων σε δεδμέν πό εφρμγή της γεωηλεκτρικής μεθόδυ ειδικής ντίστσης στ Δέλτ τυ Σπερχειύ. Στ Κεφάλι ΣΤ νφέρετι η μέθδς φυσικύ δυνμικύ με θεωρητική κάλυψη κι με εφρμγή της στην ευρύτερη περιχή των Λυτρών Υπάτης. 1

10 Τέλς, στ Κεφάλι Ζ νφέρντι συμπεράσμτ σε θέμτ εφρμγής των γεωφυσικών μεθόδων, κθώς κι συμπεράσμτ πυ φρύν τη γεωλγική δμή της Λεκάνης τυ Σπερχειύ. 2

11 Β. ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΤΗΣ ΛΕΚΑΝΗΣ ΤΟΥ ΣΠΕΡΧΕΙΟΥ ΠΟΤΑΜΟΥ. Β.1. Γεωγρφί - Μρφλγί. Η Λεκάνη τυ Σπερχειύ πτμύ νήκει στην Αντλική Στερεά Ελλάδ κι είνι μί τφρειδής στενή λωρίδ με διμήκη άξν πυ συμπίπτει σε γενικές γρμμές με την κίτη τυ πτμύ. Η λεκάνη περιβάλλετι πό τις τρεις πλευρές της πό ρεινύς όγκυς (Σχ. Β.1), βόρει πό τ όρς Ορθρυς, δυτικά πό τ όρς Τυμφρηστός κι νότι πό τ όρη Βρδυσί, Οίτη κι Κλλίδρμ. Αντλικά η λεκάνη είνι νιχτή πρς τη θάλσσ κι ριθετείτι πό τ Μλικό Κόλπ. Ο κύρις υδργρφικός κλάδς πυ δεσπόζει στην Κιλάδ τυ Σπερχειύ είνι μώνυμς πτμός πυ δέχετι τ νερά πρπτάμων κι χειμάρρων, συνλικής διδρμής 82.5km. Πηγάζει πό τις ντλικές πλευρές τυ όρυς Τυμφρηστός κι εκβάλλει στν Μλικό Κόλπ βόρει των στενών των Θερμπυλών. Τ σπυδιότερ υδρρεύμτ πό ντλικά πρς τ δυτικά είνι Ρυστινίτης, η Βίστριτσ, Ξεριάς, Γργπότμς, Ασωπός κι Ξηριάς Λμίς. Φυσικγεωγρφικές πρτηρήσεις γι τη λεκάνη πρρής τυ πτμύ Σπερχειύ νφέρντι στη διδκτρική διτριβή τυ Χ,Μρυκιάν (1987) Β.2. Γεωλγί. Η κιλάδ τυ Σπερχειύ πτμύ είνι πτέλεσμ μίς τεκτνικής τάφρυ κι έχει δημιυργηθεί στ χώρ μετάβσης πό τις εσωτερικές στις εξωτερικές γεωτεκτνικές ζώνες. Β.2.1. Αλπικί σχημτισμί. Σύμφων με τη γεωτεκτνική διίρεση τυ Ελλδικύ χώρυ, στην ευρύτερη περιχή της Λεκάνης τυ Σπερχειύ πντύν κτά θέσεις ι γεωτεκτνικές ενότητες πυ φίνντι στ σχήμ Β.2. Β Γενικά. Στ σχήμτ Β.3 κι Β.4 φίνντι ι γεωλγικί χάρτες (κλίμκς 1:100000) της "Μέσ Κιλάδς" κι τυ Δέλτ ντίστιχ με τυς κύριυς γεωλγικύς σχημτισμύς πυ έχυν σχεδιστεί χρησιμπιώντς στιχεί πό τ γεωλγικά φύλλ χρτών τυ Ι.Γ.Μ.Ε. (κλίμκς 1:50000) "Σπερχειός", "Λμί" κι "Στυλίς" πυ κτσκευάστηκν 3

12 *rr\ ΓΠ Ι Ι w Κ W en τ OJ» Ö I s ω en Ι a Ό ^ S 00 3 Os ^ a» g ml «1 u» TJ f XI. u X Ο u> <s I a io ι m CM a Ο I ι Ι 8 8 ΙΟ νη ~ Ζ- Λ 3. 3» «e \ II! ν- > 4

13 < g e 3 3. i< U 1 υ* ω ω LO - -σ y Ο 3 σ > 1

14 ντίστιχ πό τυς Κλλέργη, Koh, Niolaus (1970), Μρίν, Ππστμτίυ, Μράτ, Μελιδώνη, Ανδρνόπυλ, Τάτρη, Βετΰλη, Μπρνόβ, Κτσικάτσ, Μργκυδάκη, Λλέχ (1967), Μρίν, Ανστόπυλ, Μράτ, Μελιδώνη, Ανδρνόπυλ (1963). Βόρει κι βρειντλικά της λεκάνης επικρτύν Τριδικί έως Ιυρσικί σβεστόλιθι, σχιστκερτόλιθι κι φιόλιθι. Βρειντλικά της Λμίς ευρίσκντι Ανω Κρητιδικί επικλυσιγενείς σβεστόλιθι κι φλύσχης. Η ίδι σχεδόν κλυθί συνντάτι κι στ όρς Κλλίδρμ, ντιντλικά της Λεκάνης. Οι πρπάνω περιχές νήκυν στην ενότητ Αντλικής Ελλάδς πυ πτελείτι πό έν πλήθς εντήτων πυ είνι πλιτεκτνισμένες κι πυ έχυν μγενπιηθεί πό την Ανω Κρητιδική επίκλυση (Ππνικλάυ, 1986). Τέτιες ενότητες πυ βρίσκντι κι στην περιχή έρευνς είνι η Μλική κι η Υππελγνική (Σχ. Β.2). Νότι της Κιλάδς, στ όρς Οίτη, πρυσιάζετι η ενότητ Πρνσσύ πυ πτελείτι πό Κρητιδικΰς σβεστόλιθυς με ρισμένες πρεμβλές της διπλάσεως τυ φλΰσχη. Μί λωρίδ νότι της Οίτης κι έν τμήμ στη Δυτική Ορθρυ κι τ Βόρει Βρδυσί κλύπτντι πό την ενότητ Βιωτίς. Στ δυτικό τμήμ της λεκάνης πρυσιάζετι η ενότητ της Πίνδυ όπυ επικρτύν ι Ανω Κρητιδικί σβεστόλιθι, Ηωκινικός φλύσχης κι Κάτω Κρητιδικός κλστικός σχημτισμός της Πίνδυ, γνωστός πλιότερ σν "πρώτς φλύσχης". Περιληπτικά ι γεωτεκτνικές ζώνες πυ πντύν στην λεκάνη τυ Σπερχειύ μπρύν ν περιγρφύν σύμφων με τ πρκάτω (Ππνικλάυ, 1986, Κάβς, 1984): Β Ενότητ Αντλικής Ελλάδς. Υππελγνική ενότητ. Κλύπτει τ μεγλύτερ μέρς της ενότητς Αντλικής Ελλάδς κι περιλμβάνει κυρίως νηριτίκύ τύπυ πετρώμτ (Νηριτικί σβεστόλιθι στ Ανω Τριδικό κι εν μέρει Ιυρσικό). Η σβεστλιθική πλτφόρμ δικόπτετι κτά ρισμένες περιόδυς πό σχιστ-ψμμιτκερτλιθικές διπλάσεις. Στην ρφή η νώτερη σχιστκερτλιθική διάπλση πίρνει τη μρφή τεκτνικύ μίγμτς πυ υπόκειτι τυ κλύμμτς των φιλίθων. Μλική ενότητ. Η ενότητ κτλμβάνει μεγάλ τμήμ τυ Ορυς Ορθρυς (ντλική πλευρά) κι η ηλικί της ντιστιχεί πό Ανώτερ Τριδικό μέχρι τ όρι τυ Κρητιδικύ. Η ενότητ μιάζει με τ κτώτερ κμμάτι της ενότητς της Πίνδυ. Ετσι υπάρχυν πελγικί σβεστόλιθι, λλά επικρτύν ι ρδιλρίτες με ενδιστρώσεις λτυππγών σβεστόλιθων 6

15 ö a >- -ρ «>- -Ρ > η ω ~- ϊ 61 O p * 5 Ο = 1^3 3 se χ» O.Q/ «*~ R W 0/ ρ s. Q/ IT) WS ö ^ Ο 3-rii s ss P le δ F^ v O Sw?~ S β 9 Ο ν ω 3 S!? ^ tn «jtg 2. Λ8 93 S3 t3 6& eg θί Al 01 fit tt 61 8Ϊ Π Ol

16 ω «3. >- -Ρ (U η >- ρ Ό > 0 ω» C Si / g G v D ^ ils If Ì Ρ <" o ^ ω > ί^> Ο Ό rh * W w. I ^ ' Ö S Si ö S. -aß P 8 2 Ö «>- *z 3 Jj V(jJ r< f5 S w s. F: βί ΘΙ Lì öl 9Ï H Gì 21 Π 0Ï

17 ι πίι εξελίσσντι βθμιί σε πηλίτες, πυ μετβίνυν σε έν τΰπ "άγριυ φλΰσχη" με πετρώμτ υπερβσικά πρερχόμεν πό τ φιλιθικό κάλυμμ πυ στη συνέχει κλυθεί. Πάνω πό τ φιλιθικό κάλυμμ βρίσκντι κρκλπγη κι ψμμιτικί σβεστόλιθι της Ανω Κρητιδικής επίκλυσης κι κλυθύν Νηριτικί σβεστόλιθι πυ εξελίσσντι κτά τ Μιστρίχτι σε φλΰσχη τόσ στην Μλική όσ κι στην Υππελγνική ενότητ. Οι Ανω Κρητιδικί σβεστόλιθι κτλμβάνυν μεγάλη έκτση πρς τ ντιντλικά τυ Ορυς Κλλίδρμ. Β Ενότητ Δυτικής Θεσσλίς - Βιωτίς. Πρόκειτι γι διάφρυς πλιγεωγρφικΰς χώρυς στυς πίυς υπάρχει έν κινό τεκτν-ιζημτγενές φινόμεν, η ύπρξη "φλΰσχη" (πηλίτες, σβεστλιθικές ενδιστρώσεις, ψμμίτες κι κρκλπγη με κρκάλες τυ φιλιθικΰ συμπλέγμτς) ηλικίς Ανώτερ Ιυρσικό - Κτώτερ Κρητιδικό (Papanikolaou and Sideris, 1979). To υπόβθρ υτύ τυ κλστικΰ σχημτισμύ πτελείτι άλλτε πό Νηριτικά Τριδικ- Ιυρσικά ιζήμτ κι άλλτε πό πελγικά, ενώ πρς τ πάνω πντύν πελγικί λλά κυρίως κλστικί σβεστόλιθι τυ Ανώτερυ Κρητιδικύ με λτΰπες φιλίθων κι κερτλίθων πυ εξελίσσντι σε φλΰσχη (Μιστρίχτι-Δάνι) μέσω ενός σχημτισμύ ερυθρών πηλιτών. Τ Ανώτερ Κρητιδικό κι φλύσχης πρυσιάζυν την ίδι εξέλιξη με υτήν πυ πρυσιάζετι στην ενότητ Πρνσσύ. Β Ενότητ Πρνσσύ. Η ενότητ Πρνσσύ πτελείτι πό Νηριτικύς σβεστόλιθυς κι δλμίτες, πυ χρκτηρίζυν έν ύβωμ πό τ Ανώτερ Τριδικό έως τ Ανώτερ Κρητιδικό. Η νθρκική υτή ιζημτγένεση δεν πρυσιάζετι συνεχής λλά δικόπτετι κι συνδεύετι πό διάβρωση, όπως πδεικνύετι πό την πρυσί διφόρων βωξιτικών ριζόντων. Στ Ανώτερ Κρητιδικό υπάρχυν κτά θέσεις πελγικί σβεστόλιθι πυ εξελίσσντι βθμιί σε φλΰσχη κτά τ Πλιόκιν. Αντίθετ σε άλλες θέσεις, πρτηρείτι μί συμφωνί μετξύ των υπκειμένων σβεστόλιθων κι της γνωστής ερυθρής πηλιτικής σειράς πυ στη συνέχει μετβίνει στδικά πρς τυς τυπικύς ργιλ-ψμμιτικΰς ρίζντες τυ φλΰσχη (Rihter and Mariolakos, 1974). Ο φλΰσχης της Οίτης πρυσιάζει φσικό διχωρισμό κι πτελείτι πό σβεστιτικΰς, ργιλικύς σχιστλίθυς, μάργες ψμμίτες σε ενλλγές, κρκλπγη κι σβεστλιθικές ενστρώσεις. 11

18 Ο φλΰσχης Οίτης της ενότητς Πρνσσύ βρίσκετι σε επφή με τ φλΰσχη της ενότητς Πίνδυ δυτικά τυ ικισμύ Υπάτη, ενώ δεν υφίστντι μετξύ τυς διφρές. Η ενότητ Πρνσσύ είνι επωθημένη σε υτήν της Πίνδυ. Β Ενότητ Πίνδυ. Η ενότητ υτή κτλμβάνει τ δυτικό τμέ της Λεκάνης τυ Σπερχειύ έχντς σν όρι πό Β πρς Ν - Πλιά Γιννιτσύ, Μκρκώμη, Νεχώρι, Υπάτη - με τις πρς τ ντλικά νπτυσσόμενες γεωτεκτνικές ενότητες Πρνσσύ στην Οίτη, Υππελγνικής κι Βιωτίς στην Ορθρυ. Στρωμτγρφικά τ Ανώτερ Τριδικό ντιπρσωπεύετι πό μί κλστική σειρά πυ κλυθείτι στ νώτερ στρώμτ μέχρι κι τ Λιάσι πό σβεστόλιθυς, ενώ στη συνέχει (Δγγέρι - Μάλμι κυρίως) υπάρχυν ρδιλρίτες πυ πντώντι κι στη βάση τυ Κρητιδικύ σε ενλλγές με σβεστόλιθυς με Calpionelles (Ππνικλάυ, 1986). Ακλυθεί μί κλστική σειρά πό ψμμίτες, πηλίτες κι σβεστόλιθυς, γνωστή σν "πρώτς φλύσχης" της Πίνδυ πυ είνι νάλγς με τ "Βιωτικό φλύσχη" λλά έχει νεότερη ηλικί. Στ Ανω Κρητιδικό πντύν μεσπλκώδεις έως λεπτπλκώδεις σβεστόλιθι με πυριτιλίθυς, ενώ κτά τ Μιστρίχτι ι σβεστόλιθι υτί εξελίσσντι σε μετβτικά ιζήμτ πρς τ φλύσχη, τ πί πτελύντι πό ενλλγές σβεστ-μργικών ριζόντων κι πηλιτών. Τ στρώμτ υτά εξελίσσντι κτά τ Πλιόκιν στυς ργιλ-ψμμιτικύς ρίζντες τυ φλύσχη πυ συνεχίζετι μέχρι κι τ Ανώτερ Ηώκιν. Β.2.2. Μετλπικά ιζήμτ. Η τεκτνική τάφρς, όπως χρκτηρίστηκε η Λεκάνη τυ Σπερχειύ Πτμύ, είνι γεμάτη πό χλρές πθέσεις τυ Πλειστόκινυ κι τυ Ολόκινυ. Τ λικό πάχς των ιζημάτων είνι δυντόν ν ευρεθεί με τη γεωφυσική έρευν. Γενικά πντώντι: ) Ολιγ-Μεικινικά κρκλπγή (δυτικά ικισμύ Λυγριά), β) Πλειστκινικές λιμνίες πθέσεις (κρκλπγή, ψμμίτες, πηλί κι άργιλι), πυ ευρίσκντι κάτω πό τις πρσχώσεις της κιλάδς τυ Σπερχειύ, γ) Απθέσεις Σπερχειύ - Πλιότερες πθέσεις (άργιλι με μικρές διάσπρτες κρκάλες κι ενδιστρώσεις μμύχων ργίλων) - Σχημτισμός Μγύλς (άργιλι με ενστρώσεις κρκλών κι άμμων σημντικύ πλλές φρές πάχυς κι με επιφνεική εμφάνιση στις περιχές Αργυρχωρίυ, Λδικύ κι Ρδωνιάς) 12

19 - Πλημμυρικές πθέσεις τυ Σπερχειύ (είτε συνιστάμενες πό λεπτόκκκ άμμ με άργιλ χωρίς χλίκι πυ εμφνίζντι σε επίπεδες περιχές πρς τις όχθες τυ πτμύ, είτε συνιστάμενες πό ιλύ με πρεμβλή άμμων χωρίς δρμερή υλικά, είτε συνιστάμενες πό σβεστλιθικές κι ψμμιτικές κρκλλτύπες νάμικτες με άμμυς κι ργίλυς πυ πντύν στην σημερινή κίτη τυ πτμύ κι τ πί έχυν βρεθεί σν δρμερή υλικά (βλέπε ερμηνεί των βρυτικών τμών στη συνέχει). δ) Κρήμτ κι ριπίδι χειμάρρων πυ κτλμβάνυν μεγάλες εκτάσεις, ιδιίτερ της νότις πλευράς έρευνς. ε) Μικτί λλυβικί σχημτισμί σε χλρά κλύμμτ (πσθρωμένι μνδύες), σε πρσχώσεις της κιλάδς, σε πθέσεις τυ Δέλτ τυ Σπερχειύ, σε ιλικές πθέσεις, σε πθέσεις θερμών πηγών, σε πράκτιυς σχημτισμύς κι σε σύγχρνες πθέσεις. Β.3. Τεκτνική της Τάφρυ τυ Σπερχειύ. Ο Muhlfeld (1975) μελετώντς ερφωτγρφίες διέκρινε ρήγμτ κύρις διεύθυνσης Α-Δ πυ κθόρισν τ βύθισμ της κιλάδς τυ Σπερχειύ κι πυ τεμχίζυν τυς σχημτισμύς των κρσπέδων, κόβντς σχεδόν κάθετ τυς άξνες των πτυχώσεων κι τις επφές των διφόρων τεκτνικών εντήτων πυ είχν σχημτιστεί κτά τη δράση της εφπτμενικής τεκτνικής. Επίσης διέκρινε διρρήξεις στ κέντρ της λεκάνης με διεύθυνση ΒΒΔ-ΝΝΑ. Η επίδρση υτών των διρρήξεων έχει πρκλέσει σε ρισμέν τμήμτ της λεκάνης στρωμτγρφικές νκττάξεις των πρσχωσιγενών πθέσεων. Γενικά πάντως, πό τη μελέτη της γεωμρφλγίς της λεκάνης τυ Σπερχειύ πτμύ πρτηρύντι στ νότι άκρ υτής πόκρημνες κλιτείς τυ όρυς Οίτη, δύ τυλάχιστν πτάμιες νβθμίδες, πρς νότ μεττόπιση της κίτης τυ πτμύ κι σχημτισμός λλυβικών ριπιδίων. Αντίθετ, στ βόρει άκρ της λεκάνης επικρτύν νικτές πεδιάδες, χμηλή τπγρφί κι μλές κλιτείς. Τ πλύπλκ νάγλυφ, πυ περιγράφηκε στ πρπάνω, δηλώνει την ύπρξη ρκετά έντνων τεκτνικών κινήσεων. Μί πρσπάθει ερμηνείς των τεκτνικών υτών κινήσεων γίνετι με τη θεωρί των τεκτνικών δίπλων (Μριλάκς, 1976, κι Dermitzakis & Papanflolaou, 1979) κι της κινημτικής πυ πρτάθηκε στ άκρ των κύριων ρηξιγενών ζωνών (Σχ. Β.5) 13

20 Σχήμ Β.5. Τ τεκτνικά δίπλ τυ Μριλάκυ (1976) στη Στερεά Ελλάδ κι Πελπόννησ (πό Dermitzakis & Papanikolaou, 1979) D 14

21 Γ. ΜΕΘΟΔΟΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ Γ.1. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ. Γ.1.1. Ειδική ντίστση πετρωμάτων. Μί φυσική ιδιότητ πυ μπρεί ν χρκτηρίσει γεωλγικά στρώμτ είνι η γωγιμότητ. Είνι κύρι ηλεκτρλυτικύ χρκτήρ κι λμβάνει χώρ μέσω διλυμάτων κύρι στυς συνδεόμενυς χώρυς των πόρων, κτά μήκς δικλάσεων, ρηγμάτων ή ζωνών λίσθησης. Η ειδική ντίστση (ντίστρφ της γωγιμότητς) των υδρφόρων κι μη σχημτισμών ελττώνετι με την ύξηση: ) τυ επί μέρυς όγκυ τυ πετρώμτς πυ κτλμβάνετι πό νερό, β) της περιεκτικότητς σε χλωριόντ ή ελεύθερ ιόντ τυ υπγείυ ύδτς, γ) της θερμκρσίς (ύξηση της ευκινησίς των ιόντων) δ) της περιεκτικότητς σε σωμτίδι ργίλυ, ε) τυ βθμύ εξλλίωσης των ργίλων, στ) τυ βθμύ κρεσμύ τυ διλύμτς στυς πόρυς τυ πετρώμτς ζ) της κρστικπίησης η) της εξλλίωσης Γενικά ι πρσχωσιγενείς σχημτισμί είνι περισσότερ γώγιμι πό τ εκρηξιγενή πετρώμτ κι μετξύ των τελευτίων τ βσικά είνι περισσότερ γώγιμ πό τ όξιν. Στ σχήμ Γ.1 φίνετι τ εύρς των ειδικών ντιστάσεων διφόρων πετρωμάτων κι εδφών. Γ.1.2. Η μέθδς της ειδικής ντίστσης (στιχειώδης θεωρί). Η μέθδς της ειδικής ντίστσης συνίσττι στην εισγωγή ρεύμτς στη γη με δύ ηλεκτρόδι (Q ή Α κι C 2 ή Β) κι στη μέτρηση της διφράς δυνμικύ πυ πρκλείτι σε δύ άλλ ηλεκτρόδι (Pj ή Μ κι Ρ 2 ή Ν) (Σχ. Γ.2). Με τη διδικσί υτή υπλγίζετι μί πράμετρς πυ νμάζετι φινόμενη ντίστση ρ κι δίδετι πό τη σχέση: AV. 1., 1 1,, 1 1 λ1 ρ =- -k, k=[( ) - ( ) ] Ι η Γ 2 Γ 3 Γ 4 όπυ AV η διφρά δυνμικύ, Ι τ ρεύμ πυ εισάγετι, k γεωμετρικός συντελεστής κι τ ι,τ 2,τ 3, Γ 4 ι πστάσεις των ηλεκτρδίων μετξύ τυς όπως φίνετι στ σχήμ Γ.2. 15

22 ε u5 UK η Αντι*σ τ. "η t ΩΤΠ> Κ ιθ <χρ 03 $ ρ «ν τ η s " 10 J Αττ*Θρ< βν os 5f ρ otv ύττ» 3 So-άλ τη» Δ ϋτβτμημκν 3 ρ <χσ άλ τ η 3 Χ età et Ç L.T η 3 Γρ<^ LT UK Ó 3 Αρ J ι-λ ύτ τι 3 ψ «χμ μ ύτ η 3 Ασρβστόλ u9o3 Α ρ χ ua 3 ΑλΛ ύρ uot Κ ρ κ «λ ττ oitf é 3 Σχήμ Γ.1. Εΰρς ειδικών ντιστάσεων διφόρων γεωλγικών σχημτισμών (Ward, 1990). 777: ^ ' < ^?* -0" ^ fi* <D V//////77»<- C Σχήμ Γ.2. Δυ ηλεκτρόδι ρεύμτς (Ci, C2) κι δύ δυνμικύ (Pi, Vi) διτετγμέν' σε επιφάνει μγενύς κι ισότρπυ εδάφυς ειδικής ντίστσης ρ (Telford et al, 1976). 16

23 Γ^ωμ^τρί TÌXSXT poô ίων DIPOLE-DIPOLE f^~] na f^"] κ πη(η.+1)(η+2) Cl C, P[ p 2 POLE-DIPOLE ~*^] na f^"] 2Kn(n+lJa Ci Pi P 2 SCHLUMBERGER 1tn(n+l)a WENNER 2τί Σχήμ Γ.3. Συνήθεις διτάξεις ηλεκτρδίων με τυς ντίστιχυς γεωμετρικύς συντελεστές. Οι διτάξεις ηλεκτρδίων (με τυς ντίστιχυς γεωμετρικύς συντελεστές) πυ έχυν τη μεγλύτερη εφρμγή φίνντι στ σχήμ Γ.3. Η τιμή της φινόμενης ειδικής ντίστσης γι κάθε θέση ή/κι διεύθυνση της διάτξης ηλεκτρδίων δεν είνι ντιπρσωπευτική ύτε της πργμτικής ειδικής ντίστσης μέρυς τυ υπεδάφυς, ύτε μίς μέσης τιμής των πργμτικών ειδικών ντιστάσεων των διφόρων μερών τυ υπεδάφυς. Μετβάλλετι όμως συστημτικά νάλγ με τη γεωλγική τμή την πί διρρέυν ι ρευμτικές γρμμές κι είνι ντιπρσωπευτική κι των στρωμάτων τυ υπεδάφυς κι των γώγιμων ή μη νμιγενειών. Γι τυς πρπάνω λόγυς χρησιμπιείτι η τμή φινόμενης ειδικής ντίστσης ως βηθός στην ερμηνεί της γεωηλεκτρικής τμής, όπως θ νφερθεί στην πστική ερμηνεί. Αυξάνντς την πόστση ηλεκτρδίων ρεύμτς υξάνετι τ βάθς δισκόπησης κι στην περίπτωση συνεχύς ύξησης της πόστσης η διδικσί έρευνς ρίζετι ως βυθσκόπηση. Κρτώντς την πόστση ηλεκτρδίων στθερή, κτά τ μάλλν ή ήττν τ βάθς δισκόπησης είνι κι η διδικσί έρευνς λέγετι "profiling". Επιδερμικό φινόμεν. Τ ρεύμ πυ εισχωρεί μέσω ηλεκτρικής πηγής στη γη είνι της μρφής πυ φίνετι στ σχήμ Γ.4. Τ επιδερμικό φινόμεν νφέρετι στην πότμη μείωση της πυκνότητς τυ ρεύμτς με τ βάθς ότν τ ρεύμ εισχωρεί σε γώγιμ στρώμ. Ετσι μειώνετι δρστικά τ βάθς δισκόπησης. Τ επιδερμικό βάθς δ (τ βάθς όπυ η πυκνότητ ρεύμτς μειώνετι στ 1/3 της ρχικής τιμής της) δίδετι πό τη σχέση: 17

24 Ε ύσδ 3 Εκπβμττόμβν ρ e υμ _ ^ - On- 01 0η- 01 0η. Χ ρ Ο V Ο 3 Λ <χμ (3 txw μ β ν σημ ε ζ Ο 5 99 Χ ρ ν 09 Σχήμ Γ.4. Εκπεμπόμεν κι λμβνόμεν κύμτ στ χώρ τυ χρόνυ (Τ : Περίδς) (Ward, 1990). δ = Ver όπυ ρ είνι η ειδική ντίστση τυ γώγιμυ στρώμτς κι Τ η περίδς τυ πλμύ τυ ρεύμτς. Τ επιδερμικό φινόμεν είνι κι πρόβλημ πρκτικής σημσίς, επειδή πρυσιάζετι ότν τ κύκλωμ τυ ρεύμτς νίγει κι κλείνει. Τ σήμ ( πλμός της διφράς δυνμικύ, Σχ. Γ.4) πίρνει την νγκί στθερή μρφή τυ μετά πό κάπι χρόν. Γι τ λόγ υτό, σε περιπτώσεις γώγιμυ επιφνεικύ στρώμτς κι ότν τ όργν μέτρησης πρέχει τη δυντότητ, υξάνετι η περίδς τυ τετργωνικύ πλμύ τυ ρεύμτς. Γ.1.3. Πράγντες επιλγής της κτάλληλης διάτξης ηλεκτρδίων. 1. Λόγς σήμτς πρς θόρυβ. Η διφρά δυνμικύ (δηλ. τ σήμ) είνι μεγάλη ότν λόγς της πόστσης των ηλεκτρδίων δυνμικύ πρς την πόστση των ηλεκτρδίων ρεύμτς είνι μεγάλς κι ότν τ ζεύγς των ηλεκτρδίων δυνμικύ βρίσκετι νάμεσ στ ηλεκτρόδι ρεύμτς. Ως πρς τν πράγντ λιπόν υτόν κτά σειρά πρτεριότητς ι διτάξεις είνι: Wenner, Shlumberger, Dipole -Dipole. 2. Ευισθησί σε ριζόντιες νμιγένειες. Ο Sumner (1976) (Σχ. Γ.5) δίνει μεγλύτερη ευισθησί λόγω ριζόντιων νμιγενειών στην διάτξη Dipole-Dipole κι λιγότερη σε Wenner κι Shlumberger. 18

25 Pi P 0 75 Σχήμ Γ.5. Πρφίλ ειδικής ντίστσης πάνω πό θμμένη σφίρ (Sumner, 1976). 3. Ευισθησί σε βάθς κι διεισδυτικότητ διά μέσυ επιφνεικύ γώγιμυ στρώμτς. Οι διτάξεις Shlumberger κι Wenner έχυν σχεδιστεί γι ν χρησιμπιύντι σε βυθσκπήσεις κι η συνεχώς υξνόμενη πόστση των ηλεκτρδίων ρεύμτς με 6 πστάσεις νά λγριθμικό κύκλ δίνει λεπτμερή νάλυση της ειδικής ντίστσης σε βάθς, σε ντίθεση με τη διάτξη dipole-dipole, πυ συνήθως ι μετρήσεις είνι 6 με βήμ μέτρησης τ μήκς δίπλυ. 4. Διεισδυτικότητ διά μέσυ επιφνεικύ γώγιμυ στρώμτς. Ηδη έχει νφερθεί η επίδρση τυ επιδερμικύ φινμένυ. Γι λεπτό γώγιμ κάλυμμ πάνω σε μη γώγιμ υπόβθρ ι Edward κι Howell (1976) δείχνυν ότι τ επί τις εκτό (%) πσστό ρεύμτς πυ μένει στ κάλυμμ f(a) κλυθεί την κμπύλη πυ φίνετι στ σχήμ Γ.6. Η μετβλητή (=4(ρ 2 /ρ^κ^ /AB) όπυ ρ 1, ρ 2 ι ειδικές ντιστάσεις κλύμμτς κι υπόβθρυ, t τ πάχς τυ κλύμμτς κι AB η πόστση των ηλεκτρδίων ρεύμτς) δεν πρέπει ν ξεπερνά την τιμή 0.1 γι ν ευρίσκντι τ too r Σχήμ Γ.6. Η συνάρτηση f(a) πυ δίνει τ επί τις εκτό (%) πσό τυ ρεύμτς πυ πρμένει σε γώγιμ λεπτό επιφνεικό στρώμ επάνω πό ημιάπειρ μη γώγιμ στρώμ (Edwards κι Hawell, 1976). 19

26 χρκτηριστικά τυ υπόβθρυ. Η δυντότητ μεγάλυ νίγμτς ηλεκτρδίων ρεύμτς της διάτξης Shlumberger μζί με την ευισθησί σε βάθς πυ έχει, της πρέχυν έν σφές πρβάδισμ. 5. Βάθς δισκόπησης. Τ βάθς δισκόπησης γι τυς Roy κι Apparao (1971) της Shlumberger είνι 0.125L κι γι την Dipole-dipole 0.195L όπυ L η μεγλύτερη πόστση μετξύ των ηλεκτρδίων. Οσν φρά την πρπάνω άπψη υπάρχυν επιφυλάξεις, γιτί τ βάθς δισκόπησης εξρτάτι πό την ευισθησί σε επιφνεικές ή βθιές νμιγένειες, σε τπγρφί, στην κλίση των στρωμάτων, στ νάγλυφ τυ υπόβθρυ, κλπ, ενώ Van Zijl (1985) στην ερμηνεί βυθσκπήσεων Shlumberger εξρτά τ βάθς δισκόπησης πό τ μντέλ των στρωμάτων τυ υπεδάφυς. 6. Ευισθησί στις επιφνεικές νμιγένειες. Ο Kunetz (1966) κι Van Zijl (1985) δείχνυν ότι η φινόμενη ειδική ντίστση επηρεάζετι πλύ περισσότερ ν τ ηλεκτρόδι δυνμικύ διέλθει πό επιφνεική νμιγένει πρά πό όσ εάν περάσει τ ηλεκτρόδι ρεύμτς (Σχ. Γ.7). Ετσι η διάτξη Shlumberger πλενεκτεί των άλλων διτάξεων μις κι τ ηλεκτρόδι δυνμικύ πρμένυν σε μί περιχή επί περισσότερ διάστημ μετρήσεων. 7. Ευισθησί στην μρφλγί τυ υπόβθρυ. Η διάτξη dipole-dipole υπερτερεί των άλλων διτάξεων. 8. Ευισθησί στ τπγρφικό νάγλυφ της περιχής έρευνς. Στ σχήμ Γ.8 (Fox et al., 1980) πρτηρείτι ότι έντν τπγρφικό νάγλυφ δημιυργεί πύκνωση κι ρίωση των ρευμτικών γρμμών. Σε κιλάδ, η πύκνωση των ρευμτικών γρμμών δημιυργεί μετρήσεις μικρών τιμών φινόμενων ειδικών ντιστάσεων με διάτξη dipole-dipole (Σχ. Γ.9, Fox et al, 1980) σν ν υπάρχει στην = Ρ2 :w Ρ [ -lq*m Ρ n-m Ρ 3»20Q-m Σχήμ Γ.7. Σύγκριση των επιπτώσεων επιφνεικών νμιγενειών ότν διέρχντι πό υτές ηλεκτρόδι ρεύμτς (Α) ή ηλεκτρόδι δυνμικύ (ΜΝ) στη διάτξη ηλεκτρδίων poledipole (δικεκμμένη γρμμή ότν ΜΝ στθερό κι Α κινύμεν κι συνεχής στην ντίστρφη περίπτωση) (Van Zijl, 1985). 20

27 Σχήμ Γ.8. Επίδρση της τπγρφίς στις ισδυνμικές επιφάνειες (δικεκμμένες γρμμές) κι στις ρευμτικές γρμμές (συνεχείς γρμμές) (η πηγή ρεύμτς βρίσκετι στ άπειρ) (Fox et al, 1980). -S ι 1 ί I«. j ι ι 1 ^ ^2 ΑΕΡΑΣ 3 ^ ΓΗ ρ -100 ΦΑΙΝΟΜΕΝΗ ΕΙΔΙΚΗ ΑΝΤΙΓΤΑΖΗ Σχήμ Γ.9. Επίδρση της κιλάδς στη διπλική τμή φινμένων ειδικών ντιστάσεων (Fox et al., 1980). περιχή σώμ χμηλής ειδικής ντίστσης. Τ πρπάνω δηγύν στ συμπέρσμ ότι ι διτάξεις ηλεκτρδίων πρέπει ν έχυν διεύθυνση πράλληλη με τ τπγρφικό νάγλυφ της περιχής. Γ.1.4. Επιλγή Διτάξεων Ηλεκτρδίων. Σύμφων με τ όσ έχυν νφερθεί στ πρηγύμεν, τ περισσότερ πλενεκτήμτ ως διάτξη ηλεκτρδίων γι βυθσκόπηση έχει η διάτξη Shlumberger, κτά την πί ι πστάσεις ηλεκτρδίων ρεύμτς υξάνυν συνεχώς με στθερή πόστση ηλεκτρδίων δυνμικύ, η πί λλάζει μόν ότν τ μέγεθς της διφράς δυνμικύ γίνετι τόσ μικρό ώστε ν μην είνι δυντό ν μετρηθεί με την πιτύμενη κρίβει. Οτν πρόκειτι ν μετβληθεί η πόστση των ηλεκτρδίων δυνμικύ, λμβάνντι διπλμετρήσεις κι με τις δύ πστάσεις των ηλεκτρδίων δυνμικύ. Εχει επιλεχτεί ν 21

28 γίνντι έξι (6) μετρήσεις νά λγριθμικό κΰκλ τυ ημίσες της πόστσης των ηλεκτρδίων ρεύμτς. Γι την νίχνευση της μρφλγίς τυ υπόβθρυ πλενεκτεί η διάτξη dipole-dipole με έν εμπειρικό βάθς νίχνευσης 0.195L, όπυ L η μέγιστη πόστση μετξύ των κρίων ηλεκτρδίων (Roy κι Apparao, 1971). Γ.1.5. Επεξεργσί Μετρήσεων Υπίθρυ. Μετά τη λήψη των γεωηλεκτρικών δεδμένων γίνετι η γρφική πράστση των πρτηρημένων τιμών των φινόμενων ειδικών ντιστάσεων σε σχέση με τ ήμισυ της πόστσης των ηλεκτρδίων ρεύμτς (CjC 2 /2 ή ΑΒ/2), σε διλγριθμικό διάγρμμ (Σχ. Γ.10). Στ διλγριθμικό διάγρμμ πρτηρείτι ότι ι τιμές φινόμενης ειδικής ντίστσης, γι τις διάφρες πστάσεις των ηλεκτρδίων δυνμικύ, δημιυργύν ξεχωριστύς κλάδυς-κμπύλες. Πρηγυμένως νφέρθηκε ότι η πρυσί νμιγενειών στην περιχή των ηλεκτρδίων δυνμικύ επηρεάζει έντν τις μετρήσεις ειδικής ντίστσης (Σχ. Γ.7). Ετσι η πρυσί νμιγενειών μεττπίζει πράλληλ τυς κλάδυς-κμπύλες νάλγ με την ειδική ντίστση της νμιγένεις. Γι ν υπάρχει μί ενιί κμπύλη γι όλη τη βυθσκόπηση,όπως πρτείνυν κι ι Zohdy et al (1973), ι κλάδι-κμπύλες μεττπίζντι πράλληλ με κλάδ νφράς o m 10- e CD C Ο. < ΤΤη 1 1 I M i i l 1 Γ - ΤΤ Half Eletrode Distane In m Σχήμ Γ.10. Φινόμενες ειδικές ντιστάσεις βυθσκόπησης, σε διλγριθμικό διάγρμμ, σε σχέση με τ ήμισυ της πόστσης των ηλεκτρδίων ρεύμτς, γι διάφρες; πστάσεις ηλεκτρδίων δυνμικύ. Η συνεχής κμπύλη πτελεί την εξμλυμένη κμπύλη. 22

29 ε * ε ieea- 6 <Β m ÙL 100-.»J e φ C < 10- Ί Ι Ι Μ Ι Ι Τ Ί ΓΤ Γ Ι Ι Ι Ι Ι! Ι 10 1ΘΘ 1000 Half Eletrode Dlatone In m Σχήμ Γ.11. Η περίπτωση "usp". υτόν με τη μεγλύτερη πόστση ηλεκτρδίων δυνμικύ (Σχ. Γ.10). Ετσι ι ειδικε'ς ντιστάσεις συσχετίζντι με βάση την ειδική ντίστση τυ υπόβθρυ. Η πρυσί τπικής νμιγένεις στη θέση τυ ηλεκτρδίυ ρεύμτς ή η μεγάλη ντίστση επφής ή η λνθσμένη μέτρηση, μπρεί ν δημιυργήσυν υψίσυχνη νωμλί στην κμπύλη φινόμενης ειδικής ντίστσης, τ γνωστό "usp". Με εξμάλυνση φιρύμε υτή την νωμλί (Σχ. Γ.11). Πράλληλη μεττόπιση των τιμών φινόμενης ειδικής ντίστσης πό κάπι ήμισυ πόστσης ηλεκτρδίων ρεύμτς κι μετά (με στθερή πόστση ηλεκτρδίων δυνμικύ), υπδηλώνει πρυσί πλευρικής νμιγένεις, μεγάλης κλίμκς, πυ τπθετείτι πό τ κέντρ της βυθσκόπησης σε πόστση μετξύ των ημίσεων πστάσεων των ηλεκτρδίων ρεύμτς κτά τις πίες συνέβη η πράλληλη μεττόπιση (Zohdy, 1969). Από τ σημεί μεττόπισης κι μετά η κμπύλη δε χρησιμπιείτι γι ερμηνεί 1-διάστσης κτά την πί τ στρώμτ θεωρύντι ριζόντι κι μγενή. Η συγκεκριμένη περίπτωση θ νλυθεί λεπτμερώς σε επόμεν κεφάλι. Γ Ερμηνεί 1-Διάστσης Γεωηλεκτρικών Δεδμένων. Μετά την επεξεργσί κι εξμάλυνση της κμπύλης των τιμών φινόμενης ειδικής ντίστσης πυ ελήφθησν στ ύπιθρ, η πρκύπτυσ εξμλυμένη κμπύλη ερμηνεύετι με τη μέθδ "βηθητικύ σημείυ", χρησιμπιώντς μάδ πρτύπων 23

30 κμπυλών πυ δόθηκε πό τυς Orellana κι Mooney (1966). Η μέθδς τυ "βηθητικύ σημείυ" νφέρετι λεπτμερέσττ πό τυς Keller κι Frishkneht (1970). Τ μντέλ των στρωμάτων πυ πρκύπτει πό την πρηγυμένη ερμηνεί (πάχη κι ειδικές ντιστάσεις στρωμάτων) κθώς κι ι τιμές φινόμενης ειδικής ντίστσης της εξμλυμένης κμπύλης πτελύν τ στιχεί εισόδυ στ πρόγρμμ ηλεκτρνικύ υπλγιστή (Η/Υ) INVR τυ Τμέ Γεωφυσικής πυ στηρίζετι στην μέθδ της μέγιστης κλίσης όπως υτή νπτύχθηκε πό τν Koefoed (1979). Η μέθδς υτή είνι ένς λγόριθμς διδχικών πρσεγγίσεων των πρμέτρων τυ μντέλυ κτά τ πί πρσεγγίζντι ι μετσχημτισμί ειδικής ηλεκτρικής ντίστσης της εξμλυμένης κμπύλης υπίθρυ κι υτής πυ πράγετι πό τ μντέλ. Οι δύ μετσχημτισμί συγκρίνντι μετξύ τυς κι ι πρσεγγίσεις συνεχίζντι μέχρις ότυ η θεωρητική κμπύλη τυ μντέλυ κι η εξμλυμένη κμπύλη υπίθρυ συμφωνύν με λιγότερ πό 3% πόκλιση. Στην ερμηνεί έχει υπτεθεί ότι τ στρώμτ είνι ριζόντι κι μγενή. Αργή της Ισδυνμίς. Η ρχή της ισδυνμίς νφέρετι στην ερμηνεί κμπύλης φινόμενης ειδικής ντίστσης πυ ντιστιχεί σε μντέλ τριών στρωμάτων κι ισχύει ότν τ ενδιάμεσ στρώμ είνι ειδικής ντίστσης μεγλύτερης ή μικρότερης υτών πυ τ περικλείυν. Στην περίπτωση μεγλύτερης ειδικής ντίστσης τυ ενδιάμεσυ στρώμτς, η κμπύλη φινόμενης ειδικής ντίστσης δεν επηρεάζετι ότν τ γινόμεν ειδικής ντίστσης επί τ πάχς τυ ενδιάμεσυ στρώμτς είνι στθερό ενώ ξεχωριστά ι δύ πράμετρι μετβάλλντι. Τ πρπάνω γινόμεν κλείτι Εγκάρσι Αντίστση (Τ, Transverse Resistane, Τ=1ι*ρ). Στην περίπτωση γώγιμυ ενδιάμεσυ στρώμτς, η κμπύλη φινόμενης ειδικής ντίστσης δεν επηρεάζετι ότν λόγς τυ πάχυς τυ ενδιάμεσυ στρώμτς πρς την ειδική ντίστση τυ είνι στθερός, νεξάρτητ ν ι επί μέρυς πράμετρι μετβάλλντι. Ο πρπάνω λόγς κλείτι Διμήκης Αγωγιμότητ (S, Longitudinal Condutane, S=h^). Αρχή της Επικάλυψης. Η ρχή της επικάλυψης νφέρετι στην ερμηνεί κμπύλης φινόμενης ειδικής ντίστσης κι ισχύει γι στρώμτ μικρύ σχετικά πάχυς των πίων ι ειδικές ντιστάσεις είνι ενδιάμεσες των ειδικών ντιστάσεων των στρωμάτων πυ τ περικλείυν. Τ στρώμτ υτά είνι δύσκλ ν νγνωριστύν. 24

31 Σχήμ Γ.12. Τ πρόβλημ της υπό κλίση 45 συνέχεις κι τ σύστημ συντετγμένων πυ χρησιμπιείτι. Οι ρχές της ισδυνμίς κι της επικάλυψης πτελύν πρόβλημ γι την ερμηνεί 1-Διάστσης. Γι ν ξεπερστεί τ πρόβλημ, πρέπει ν χρησιμπιηθύν στην ερμηνεί ήδη υπάρχυσες πληρφρίες γι πάχη στρωμάτων ή γι ειδικές ντιστάσεις (πυ πρμένυν στθερά κτά τη διδικσί των πρσεγγίσεων), πυ βρέθηκν πό γεωτρήσεις, πό "in situ" μετρήσεις ειδικής ντίστσης σε πετρώμτ κι πό πτελέσμτ άλλων γεωφυσικών ερευνών (Apostolopoulos, 1984). Ετσι ι ενλλκτικές λύσεις περιρίζντι κι πρσεγγίζετι η πργμτικότητ. Γ.1.7. Δυνμικό κι Ειδική Αντίστση πάνω πό Στρώμ υπό Κλίση 45 ή 90. Στ σχήμ Γ.12 φίνετι μί υπό κλίση 45 συνέχει πυ χωρίζει δύ μέσ ειδικών ντιστάσεων ρ Χ κι ρ 2. Ο χώρς χρκτηρίζετι πό κυλινδρικές συντετγμένες (Γ,Θ,Ζ) έχντς τν άξν των z πράλληλ με τη γρμμή επιφνεικής εμφάνισης της συνέχεις. Τ ηλεκτρόδι ρεύμτς C (έντσης Ι) στ μέσ (1) έχει συντετγμένες (r 0,0,0) κι τ ηλεκτρόδι δυνμικύ Ρ στ μέσ (1) έχει συντετγμένες (Γ,Ο,Ζ), ενώ στ μέσ (2) (τ,π,ζ). Η πόστση CP είνι R, 1ί=(ρ 2 -ρ 1 )/(ρ2+ρ 1 ), τ u ρίζετι πό τη σχέση R2 u=z 2 +r 2 +ro 2 χ,, τ δυνμικό είνι V x ότν τ ηλεκτρόδι δυνμικύ Ρ βρίσκετι στ μέσ (1) κι V 2 ότν βρίσκετι στ μέσ (2). Οι Chastenet De Gery κι Kunetz (1956) κι Broadbent κι Habberjam (1971) πρτείνυν: ) Οτν τ ηλεκτρόδι Ρ κι C βρίσκντι στ μέσ (1), τ =45 κι r >r 0, τότε τ δυνμικό στ Ρ δίδετι πό τη σχέση: 25

32 2nR V2M-1 VU όπυ k = -2os(ô) k(l-r) r sinh(ôs)ds sin(ô) { sinh(ns) > /u + (u - l)osh(r.s / 2) β) Οτν τ ηλεκτρόδι Ρ κι C βρίσκντι στ μέσ (1), τ =135 κι r_r, τότε τ δυνμικό τ Ρ δίδετι πό τη σχέση: όπυ k = 2os(ô) V = J L{1 + k Γ sinh(ôs)ds, 2JCR sin(ô) sinh(ns) A /u + (u - l)osh(ns / 2) γ) Οτν τ ηλεκτρόδι Ρ κι C βρίσκντι εκτέρωθεν της συνέχεις κι τ =45, τότε τ δυνμικό στ Ρ δίδετι πό τη σχέση: ν, - ML*1 {ι + ^ - ί - όπυ k = -2os(ô). 2nR sinh(ôs)ds sin(ô) { wnì^rts^u 4-(w l)osh(ju/2) Τ πρόγρμμ (H/Y) APO-DIP (Πράρτημ Α) υπλγίζει τις φινόμενες ντιστάσεις ότν υπάρχει συνέχει υπό κλίση 45 χρησιμπιώντς τις συνρτήσεις πυ πρηγυμένως έχυν νφερθεί, νάλγ με την περίπτωση. Οι λκληρώσεις νλόγως γίνντι με τν κνόν Simpson ή με πρσέγγιση Chebyshev ή με λκλήρωση Gauss, χρησιμπιώντς τ υππρόγρμμ (Η/Υ) πυ πρτείνυν ι Curtis κι Clenshaw (1960). Στ σχήμ Γ.13 δίδντι ι κμπύλες φινόμενης ειδικής ντίστσης πυ έχυν υπλγιστεί με τ πρόγρμμ (Η/Υ) APO-DIP, γι διάφρ k, γι βυθσκόπηση με διάτξη ηλεκτρδίων Shlumberger, όπυ τ κέντρ της διάτξης βρίσκετι σε πόστση 10m πό την επιφνεική εμφάνιση της κεκλιμένης συνέχεις. Η διάτξη τέμνει κάθετ τη γρμμή της επιφνεικής εμφάνισης της συνέχεις κι τ δίπλ ηλεκτρδίων δυνμικύ βρίσκετι πάντ στ μέσ όπυ βρίσκετι κι τ κέντρ της διάτξης. Στ σχήμ Γ.14 δίδντι ι κμπύλες φινόμενης ειδικής ντίστσης πυ υπλγίστηκν με τ πρόγρμμ (Η/Υ) APO-DIP, με στθερό k κι με τη διάτξη ηλεκτρδίων ν τέμνει τη γρμμή της επιφνεικής εμφάνισης της συνέχεις υπό διάφρες γωνίες. 26

33 ε χ ε 6 >, U k-1.0 k=o.a k=0.4 e φ L a < 0.1 I I Mill, Half Eletrode DLetona In m C l I p i I P 2 I l(lm C 2 I - : "Si I I I I I Σχήμ Γ.13. Κμπύλες φινόμενης ειδικής ντίστσης γι την περίπτωση υπό κλίση 45 συνέχεις πυ βρίσκετι σε πόστση 10m πό τ κέντρ της βυθσκόπησης, γι διάφρ k { k 27

34 ε ε o o CD ÙL e CD e < 0.1 ττπ ι ι ι ι ι ι τττττη Γ Half Eletrode Distança In m 10m Σχήμ Γ.14. Κμπύλες φινόμενης ειδικής ντίστσης γι την περίπτωση υπό κλίση 135 συνέχεις πυ βρίσκετι σε πόστση 10m πό τ κέντρ της βυθσκόπησης, γι διάφρ k { k = (e2-pi)/(e 2 + ei)} 28

35 ε χ ε ê e φ ÙL ^-! C < 0.1 k 1.0 k=0.8 k=q k 0.4- k O.S k 1.0 ι ι 11 ι ι ι ι ι 111 ι ι Γττττη 1 r Ho I f Eletrode DLstans Ln m 10 m 90 e Σχήμ Γ.15. Κμπύλες φινόμενης ειδικής ντίστσης γι την περίπτωση υπό κλίση 90 συνέχεις πυ βρίσκετι σε πόστση 10m πό τ κέντρ της βυθσκόπησης, γι διάφρ k { k = (o 2 -Qi)/( 2 + ei)} Στ σχήμ Γ.15 δίδντι ι κμπύλες φινόμενης ειδικής ντίστσης πυ υπλγίστηκν με τ πρόγρμμ (Η/Υ) APO-DIP ότν υπάρχει κάθετη συνέχει, γι διάφρ k. Οι σχέσεις πυ δίνυν τ κτά περίπτωση δυνμικό δίδντι πό τν Telford et al. (1976). Τ δυνμικά συνδυζόμεν κτάλληλ γι τη διάτξη ηλεκτρδίων Shlumberger δίνυν τη φινόμενη ειδική ντίστση. 29

36 Γ Ερμηνεί Βυθσκόπησης με πρυσί Ασυνέχεις Κλίσης 45. Οτν στην κμπύλη φινόμενης ειδικής ντίστσης μις βυθσκόπησης υπάρχει πότμη κλίση ή πράλληλη μεττόπιση της κμπύλης πό μί πόστση QCj /2 κι μεγλύτερη, τότε νμένετι εμφάνιση ριζόντις νμιγένεις πυ μπρεί ν φείλετι σε ρήγμ ή κάθετη φλέβ (Zohdy, 1969). Η κμπύλη ερμηνεύετι με τη μνδιάσττη ερμηνεί ριζόντιων στρωμάτων μέχρι τη μεττόπιση ή την πότμη κλίση. Αν δεν υπάρχυν άλλες πληρφρίες γι τ πάχη βθύτερων στρωμάτων πό γεωτρήσεις ή πό πτελέσμτ άλλων γεωφυσικών μεθόδων τότε: Ι. Επειδή η ειδική ντίστση τυ βθύτερυ στρώμτς είνι γνωστή πό άλλες βυθσκπήσεις, είνι γνωστό κι τ k (1ί=(ρ 2 -ρχ )/(ρ 2 +ρχ ) πυ χρκτηρίζει τις κμπύλες κεκλιμένης συνέχεις πυ φίνντι στ σχήμ Γ.13. Π. Η κμπύλη με τ συγκεκριμέν k μεττπίζετι πράλληλ ή κάθετ ως πρς την κμπύλη της βυθσκόπησης, έτσι, ώστε στην κτάλληλη θέση η πράλληλη μεττόπιση της κμπύλης βυθσκόπησης ν φείλετι στην πότμη κλίση πυ πρυσιάζει η κμπύλη κεκλιμένης συνέχεις στην περιχή της συνέχεις (σχήμ Γ.16). III. Μόλις βρεθεί η κτάλληλη θέση, συγκεκριμέν ΑΒ/2, τότε γνωρίζυμε τη θέση τυ ρήγμτς (πόστση πό τ κέντρ της διάτξης ίση με τ συγκεκριμέν ήμισυ της πόστσης των ηλεκτρδίων ρεύμτς (ΑΒ/2)). IV. Μετκινώντς την κμπύλη κεκλιμένης συνέχεις κάθετ έτσι ώστε η θέση τυ ρήγμτς στ συγκεκριμέν ΑΒ/2 ν πρμένει η ίδι, τυτίζυμε τ σημεί της κμπύλης βυθσκόπησης με τ ντίστιχ σημεί της κμπύλης κεκλιμένης συνέχεις. Τ σημεί της κμπύλης βυθσκόπησης μεττπίζετι γρφικά στ ντίστιχ σημεί τυ ριζόντιυ άξν της κμπύλης κεκλιμένης συνέχεις. Τ τελευτί σημεί πτελεί τ "νέ" σημεί της κμπύλης βυθσκόπησης. Τ "νέ" σημεί κθώς κι υτά πυ δεν έχυν επηρεστεί πό την κεκλιμένη συνέχει (τ σημεί γι ΑΒ/2 μικρότερ πό την πόστση πυ εμφνίστηκε η συνέχει) δημιυργύν μί συνεχή κμπύλη, τη "διρθωμένη" κμπύλη βυθσκόπησης, πυ υφίσττι λόκληρη τώρ τη μνδιάσττη (1-Δ) ερμηνεί γι ριζόντι στρώμτ (Σχ. Γ.16). Αν υπάρχυν πληρφρίες γι τ πάχς τυ βθύτερυ στρώμτς τότε: Ι. Με βάση τ πτελέσμτ της μνδιάσττης (1-Δ) ερμηνείς πυ έχει ήδη γίνει γι τ υπεράνω τυ βθύτερυ στρώμτ κι με την πρόσθετη πληρφρί γι τ βάθς τυ βθύτερυ στρώμτς δημιυργείτι μί συνθετική κμπύλη βυθσκόπησης (συνεχής γρμμή, Σχ. Γ.16). 30

37 ε χ f Γ ϋ C w j > j _^ > m*.ο CO -* o ÙL j j e (S L < 1ββ ι *~ 10 mm _ - _ " 1 ~] [ Ι Ι Ι Ι Ι τη 1 Ι ι ι ι 11 η ι ι ι ι ι! Il j 1 1 ι Half Eletrode D(.3tanoa In m Σχήμ Γ.16. Γρφική ερμηνεί κμπύλης φινόμενων ειδικών ντιστάσεων μίς βυθσκόπησης πυ η διάτξη ηλεκτρδίων της τέμνει συνέχει υπό κλίση 45. II. Οι διφρές γρφικά των τιμύν φινόμενης ειδικής ντίστσης της συνθετικής κμπύλης βυθσκόπησης κι των τιμών της πργμτικής κμπύλης βυθσκόπησης (δικεκμμένη γρμμή, Σχ. Γ.16) δημιυργύν μί κμπύλη σχήμτς μίυ με κάπι πό τις κμπύλες κεκλιμένης συνέχεις, όπυ ευκρινώς πλέν τπθετείτι η θέση τμής της διάτξης ηλεκτρδίων ρεύμτς με την κεκλιμένη συνέχει (Σχ. Γ.16). /- Γ.1.9. Τμή κι Χάρτες Φινόμενης Ειδικής Αντίστσης. Η τμή φινόμενης ειδικής ντίστσης κτσκευάζετι πεικνίζντς ριζόντι τις θέσεις των βυθσκπήσεων κι τπθετώντς κάτω πό τη θέση κάθε βυθσκόπησης τις τιμές φινόμενης ειδικής ντίστσης σε "βάθς" ίσ με τ ήμισυ της πόστσης των ηλεκτρδίων ρεύμτς. Οι τιμές φινόμενης ειδικής ντίστσης συσχετίζντι κτσκευάζντς ισνώμλες φινόμενης ειδικής ντίστσης. Η τμή υτή είνι μνδική γι κάθε γεωλγική δμή ν χρησιμπιείτι μί διάτξη ηλεκτρδίων στθερύ πρσντλισμύ. Η μρφή των ισνώμλων δίνει χρήσιμες πληρφρίες γι τη κτκόρυφη μρφή των στρωμάτων κι είνι νγκί βήθημ στην κτσκευή της γεωηλεκτρικής τμής πυ δημιυργείτι με τ πτελέσμτ της 1-διάστσης ερμηνείς γι κάθε βυθσκόπηση (πάχη, ειδικές ντιστάσεις κάτω πό κάθε βυθσκόπηση). Ο χάρτης φινόμενης ειδικής ντίστσης κτσκευάζετι έχντς τις κριβείς γεωγρφικές συντετγμένες όλων των βυθσκπήσεων στην περιχή έρευνς στις πίες 31

38 ντιστιχύμε τις φινόμενες ειδικές ντιστάσεις γι μί συγκεκριμένη ημιπάστση ηλεκτρδίων ρεύμτς. Οι τιμές φινόμενης ειδικής ντίστσης συσχετίζντι κτσκευάζντς ισνώμλες φινόμενης ειδικής ντίστσης, ι πίες λόγω τυ στθερύ της ημιπόστσης ηλεκτρδίων ρεύμτς νφέρντι, κτά τ μάλλν ή ήττν, σε στθερό βάθς. Ο χάρτης υτός είνι μνδικός γι κάθε γεωλγική δμή ν χρησιμπιείτι μί διάτξη ηλεκτρδίων στθερύ πρσντλισμύ. Η μρφή των ισνώμλων δίνει χρήσιμες πληρφρίες γι την ριζόντι έκτση των στρωμάτων σε κάθε βάθς. Γ Ερμηνεί 2-Διστάσεων των Δεδμένων των Βυθσκπήσεων. Στην περίπτωση πυ ι ισνώμλες στην τμή φινόμενης ειδικής ντίστσης δεν είνι γενικά πράλληλες στην επιφάνει, τότε τ στρώμτ δεν είνι πράλληλ κι μγενή όπως έχυμε υπθέσει στην ερμηνεί μίς (1) διάστσης, λλά η δμή είνι πλύπλκη. Απιτείτι λιπόν ερμηνεί δύ (2) διστάσεων η πί επιτυγχάνετι με την εφρμγή των κνόνων σύνθεσης (omposition rules) πυ έχυν πρτείνει ι Habberjam κι Jakson (1974). 1ς Κνόνς Σύνθεσης. Αφρά τη δημιυργί πλύπλκης τμής πό δύ πλύστερες, των πίων ι συνέχειες κτά τη σύνθεση δεν τέμνντι. Εν κλσσικό πράδειγμ είνι συνδυσμός δύ τμών με μί κτκόρυφη συνέχει γι ν δημιυργηθεί μί τμή με μί κάθετη φλέβ. Η διδικσί περιλμβάνει κννικπίηση της κάθε τμής ως πρς μί εκ των ειδικών ντιστάσεων κι γινόμεν των συνρτήσεων πργμτικής ντίστσης των δύ τμών (Σχ. Γ.17). Η συνάρτηση πργμτικής ειδικής ντίστσης της συνθετικής τμής δίδετι πό τη σχέση: ρ(χ,ζ) Χ ρ(χ,ζ) 2 rho(x,z) = * = 1 γι χ < Xj 1 ρ? = Οι γι χ 1 < χ < χ 2 = 03 γι χ > χ 2 Qi 32

39 0 s : ι ι Pi > x " j, 0 ι X. ^ x i Μντέλ (ι) Μντέλ (ιι) 0 ι Χ, ^ χ Ρ3 Ni/ Μντέλ σύνθεσης (m) Σχήμ Γ.17. Σχημτική σύνθεση δύ κάθετων συνεχειών στν πργμτικό χώρ (1ς κνόνς σύνθεσης). Η τμή φινόμενης ειδικής ντίστσης της συνθετικής γεωηλεκτρικής τμής σε σχέση με τις φινόμενες ειδικές ντιστάσεις των επί μέρυς τμών πδίδετι μθημτικά πό τη σχέση: 2ς Κνόνς Σύνθεσης. / Ν u / Ν Γ δ( Χ ' )ΐ Ρ( Χ > )2 η ρ(χ,) = Qi, rho(x,a) = ρ χ [ ^. -^ ^- ] Pi 2 Αφρά τη δημιυργί πλύπλκης τμής πό δύ πλύστερες των πίων ι συνέχειες κτά τη σύνθεση τέμνντι. Η διδικσί σύνθεσης περιλμβάνει κννικπίηση ως πρς μί εκ των ειδικών ντιστάσεων, φίρεση της μνάδς πό την κννικπιημένη συνάρτηση της κάθε μίς γεωηλεκτρικής τμής κι πλλπλσισμός τυ πτελέσμτς με κάπι πράγντ ώστε ι τμές ν επνκννικπιηθύν χρκτηριζόμενες πό μηδενικά κι μνάδες (στ σχήμ Γ. 18 πράγντς είνι ρ 1 /(ρ 2 - ι)) Ετσι πό τ σχήμ Γ.18 γι τ Ι μντέλ: (*> Ζ )ι - gì = γι ζ < ζ 1 = 1 γι ζ > ζ 1 33

40 _1_ -> ι ζ = Ζ ί Χι ^ ι Μντέλ (ι) Μντέλ (ιι) 0 L Xl ι ^ Χ ζ = Ζ Μντέλ σύνθεσης (ιιι) g(*.z)i - 6ι (x>z) 2 - ßi Qi Qi Ρ(χ,ζ) Πρτεινόμενη διδικσί σύνθεσης (ιν) Σχήμ Γ.18. Σχημτική σύνθεση μίς κάθετης κι μίς ριζόντις συνέχεις στ χώρ (2ς κνόνς σύνθεσης). κι γι τ 2 μντέλ: ρ(χ,ζ) 2 - ρ 2 _ 0 e 2 - Qi γι χ < x x γι χ > χ χ Πλλπλσιάζντς τις δυ πρηγύμενες πσότητες σχημτίζετι η συνάρτηση P(x,z) κι εφρμόζντς ντίστρφ τις πρηγύμενες διδικσίες τελικά η συνάρτηση της συνθετικής γεωηλεκτρικής τμής δίδετι πό τη σχέση: ρ(χ,ζ) = {[Ρ(χ,ζ) *^- 1^- ] + ι} *Q 1 Qi πότε Q(X,Z) C = Qj ότνρ(χ,ζ) = Ο = ρ 2 ότνρ(χ,ζ) = 1 34

41 Η τμή φινόμενης ειδικής ντίστσης της συνθετικής γεωηλεκτρικής τμής σε σχέση με τις φινόμενες ειδικές ντιστάσεις των επί μέρυς τμών πδίδετι μθημτικά πό τη σχέση: n/r η\ ~ ί?(*>")# ~ 6ΐ] [θ(*><*)ν ' Ol], η Q2 - Gì Τ πρόγρμμ (Η/Υ) APO-COMP (Πράρτημ Β) χρησιμπιεί την πρπάνω θεωρί κθώς κι κμμάτι πό τ πργράμμτ APO-DIP (Πράρτημ Α) κι INVR κι υπλγίζει τις φινόμενες ειδικές ντιστάσεις πλύπλκων διδιάσττων μντέλων. Γ.2. ΕΦΑΡΜΟΓΉ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΗΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΚΟΙΛΑΔΑ ΤΟΥ ΣΠΕΡΧΕΙΟΥ. ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΣΤΗΝ ΜΕΣΑ Γ.2.1. Εισγωγή. Στ μέρς υτό θ πρυσιστύν η εργσί υπίθρυ, η επεξεργσί κι ερμηνεί των δεδμένων πό την εφρμγή της μεθόδυ της ειδικής ντίστσης στην "Μέσ Κιλάδ τυ Σπερχειύ Πτμύ. Τ ντίστιχ στιχεί γι την περιχή τυ Δέλτ τυ πτμύ θ πρυσιστύν μετά την νφρά κι εφρμγή της βρυτικής μεθόδυ σε όλη την κιλάδ εφόσν χρησιμπιύντι κι τ πτελέσμτ της. Γ.2.2. Εργσίες υπίθρυ. Οπως έχει νφερθεί γι την περίπτωση βυθσκπήσεων επιλέγετι η διάτξη ηλεκτρδίων Shlumberger. Στην "Μέσ Κιλάδ" τυ Σπερχειύ έγινν 77 βυθσκπήσεις γι λγρισμό της Δ.Ε.Η. (Δ.Ε.Μ.Ε.) πό τ Πνεπιστήμι τυ Αμβύργυ (Σχ. Γ.19) των πίων τ δεδμέν υπίθρυ πρχωρήθηκν πό τη Δ.Ε.Η. γι επνεπεξεργσί κι ερμηνεί. Η πόστση ηλεκτρδίων ρεύμτς έφθσε κι τ 3000m, ενώ ι πστάσεις ηλεκτρδίων δυνμικύ στις βυθσκπήσεις ήτν 1.0m, 40.0m κι 160.0m. Η διεύθυνση των διτάξεων επιλέχθηκε πράλληλη με τ τπγρφικό νάγλυφ. Γ.2.3. Επεξεργσί κι Ερμηνεί 1-Διάστσης των Δεδμένων των Βυθσκπήσεων. Στ Πράρτημ Ε φίνντι γι κάθε βυθσκόπηση ι μετρήσεις φινόμενων ειδικών ντιστάσεων (ίδις συμβλισμός γι κάθε πόστση ηλεκτρδίων δυνμικύ), η 35

42 εξμλυμένη κμπύλη (δικεκμμένη γρμμή), η ερμηνεί 1-διάστσης της εξμλυμένης κμπύλης κι η συνθετική κμπύλη τυ μντέλυ πό την ερμηνεί 1- διάστσης (συνεχής γρμμή). Ολ έχυν γίνει με βάση τ όσ έχυν νφερθεί στ θεωρητικό μέρς πυ πρτάθηκε. Γ.2.4. Χάρτες Φινόμενης Ειδικής Αντίστσης. Στ σχήμτ Γ.20, Γ.21, Γ.22, Γ.23, Γ.24 φίνντι ι χάρτες της φινόμενης ειδικής ντίστσης γι πστάσεις ΑΒ/2 (ήμισυ πόστσης ηλεκτρδίων ρεύμτς) ίσες με 100m, 464m, 1000m, 1468m κι 2154m, ντίστιχ. Γι λόγυς ευκλίς χρησιμπιύμε την εμπειρική σχέση μετξύ ΑΒ/2 κι βάθυς δισκόπησης, D = (ΑΒ/2)/4, γι την ντιστιχί φινόμενης ειδικής ντίστσης κι βάθυς δισκόπησης. Στ χάρτη γι ΑΒ/2=100m (Σχ. Γ.20) πρτηρύντι δύ περιχές υψηλών φινόμενων ειδικών ντιστάσεων, μί μετξύ Υπάτης κι Σπερχειάδς στην περιχή τυ πτμύ Βιστρίτσ, πυ πριστά την περιχή τυ κρκλπγύς στρώμτς, πυ έχει δημιυργήσει ενεργητικός ως πρς υτό πτμός, κι μί ντίως των Λυτρών Υπάτης πυ φείλετι στην πρυσί λόφυ πό σβεστόλιθ (υψηλής ειδικής ντίστσης). Η πρυσί τυ κρκλπγύς στην περιχή τυ πτμύ Βιστρίτσ (υψηλές τιμές φινόμενης ειδικής ντίστσης) είνι εμφνής κι στν χάρτη γι AB/2=464m (Σχ. Γ.21) πράγμ πυ δηλώνει τ μεγάλ πάχς τυ. Οσ πρχωρύμε πρς τυς χάρτες γι ΑΒ/2=1000m, ΑΒ/2=1468m, AB/2=2l54m (Σχ. Γ.22, Σχ. Γ.23, Σχ. Γ.24) η επίδρση τυ κρκλπγύς εξφνίζετι κι η πρυσί στ κέντρ των χρτών μις περιχής υψηλών φινόμενων ειδικών ντιστάσεων πιστεύετι ότι φείλετι στην πρυσί τυ υπόβθρυ (πιθνόττ τυ φιόλιθυ πυ ίσως λόγω διάβρωσης χάνετι δεξιά κι ριστερά). Αντλικά των Λυτρών Υπάτης πρτηρύντι χμηλές τιμές φινόμενης ειδικής ντίστσης πράγμ πυ υπδηλώνει πρυσί ιζημάτων κι ως εκ τύτυ βύθιση τυ υπόβθρυ. Τ συμπεράσμτ γι τυς τρεις (3) τελευτίυς χάρτες επιβεβιώνντι κι στν χάρτη λικής γωγιμότητς (Πάχς/ειδική ντίστση) (Σχ. Γ.25) πυ είνι δυντόν σχημτικά ν ντιστιχηθεί με τ χάρτη βάθυς τυ υπόβθρυ. 36

43 93 S βτ 8Ϊ ΙΛ 91 ST η δτ 31 37

44 - I 92 Sì fî Κ βΐ 81 LT 91 ST fi ZI 21 38

45 -ι ι Γ τ J Γ τ Γ φ 9 92 ss \ζ εζ ζζ τζ ζ et βτ /.τ βτ ST η ετ ει 39? Ι 8 Ι

46 τ 1 1 Γ 93 S3 40

47 93 SS f3 B ΘΤ /.I 0Τ ST *ϊ ετ 41

48 92 52 t2 Κ 23 W T LI 9Χ Sï η 42

49 93 S3 43

50 Γ.2.5. Τμές Φινόμενης Ειδικής Αντίστσης κι ντίστιχες Γεωηλεκτρικές Τμές. Με τ δεδμέν τυ Πρρτήμτς Ε (τιμές εξμλυμένης κμπύλης κι πράμετρι μντέλυ πό την 1-διάστσης ερμηνεί) κτσκευάζυμε τις τμές φινόμενης ειδικής ντίστσης κι τις ντίστιχες γεωηλεκτρικές τμές όπως νλυτικά εξηγείτι στ Θεωρητικό Μέρς. Σε περιχές πυ έχυν νγνωριστεί είτε πό γεωτρήσεις είτε πό επιφνεικές εμφνίσεις, έχει βρεθεί η ντιστιχί ειδικών ντιστάσεων κι γεωλγικών σχημτισμών πυ φίνετι στν πρκάτω πίνκ. Γεωλγικός Σχημτισμός Ειδική ντίστση (Qm) Ι. Ιζημτγενή με έντνη πρυσί ργιλικΰ υλικύ II. Ιζημτγενή με πι δρμερή υλικά III. Κρκλπγή ΐν.Φλΰσχης V. Οφιόλιθς VI. Ασβεστόλιθς Πρτήρηση. Πρέπει ν πρτηρηθεί ότι λόγω της μνδιάσττης ερμηνείς δεν έχυμε κμμί πληρφρί γι τη μρφή των συνεχειών μετξύ των βυθσκπήσεων (μίς κι η νάπτυξη των ηλεκτρδίων έγινε κάθετ στις τμές πυ κλυθύν κι η διεύθυνση τυχόν ρήγμτς είνι πράλληλη με τη διάτξη των ηλεκτρδίων, έτσι ώστε ν μην επηρεάζει την κμπύλη φινόμενης ντίστσης). Επίσης λόγω της εφρμγής της μνδιάσττης (1-Δ) ερμηνείς, ότι τ στρώμτ είνι ριζόντι κι μγενή, στην περίπτωση πυ η διάτξη των ηλεκτρδίων συνντήσει κάπι μετάπτωση, τ πτελέσμτ της πρπάνω ερμηνείς δεν είνι πόλυτ ντιπρσωπευτικά κι χρειάζετι ερμηνεί 2-διστάσεων γι την πρσέγγιση ρελιστικότερης εικόνς. Ανλυτικά έχυμε: ΤΟΜΗ Α (ΣΥ. Γ.26): Η πρυσί των ισνώμλων υψηλών φινόμενων ειδικών ντιστάσεων κάτω πό τη βυθσκόπηση Α5 στην Τμή Φινόμενων Ειδικών Αντιστάσεων (ΤΦΕΑ), φείλετι στ στρώμ ειδικής ντίστσης ^4Ωιη, πυ φίνετι στην ΓεωΗλεκτρική Τμή (ΓΗΤ), με 44

51 δρμερές υλικό λόγω της πλησίν πρυσίς τυ Πτμύ Σπερχειύ (ίσως χρκτηρίζει την πλικίτη τυ πτμύ). Τ μεγάλυ πάχυς ενδιάμεσ στρώμ πλύ μικρής ειδικής ντίστσης ( ^.5Ωπι) στην ΓΗΤ, πυ πτελείτι κύρι πό ργιλικό υλικό, έχει ως πτέλεσμ ν μειώνει τις φινόμενες ειδικές ντιστάσεις σε μικρότερες τιμές χωρίς έτσι υτές ν επηρεάζντι πό τ υπόβθρ (ρ=150ωπι), πυ είνι φλύσχης. Η μρφή της συνέχεις τυ υπόβθρυ φίνετι στην ισνώμλη φινόμενης ειδικής ντίστσης των 35Ωπι στην ΤΦΕΑ. Πρτηρείτι η δυνμί εντπισμύ τυ υπόβθρυ στην βυθσκόπηση Α2 κι στην ΓΗΤ γράφετι η πιθνή μρφή της συνέχεις στην περιχή υτή. ΤΟΜΗΗ(Σγ.Γ.27ί: Η πρυσί των ισνώμλων υψηλών φινόμενων ειδικών ντιστάσεων κάτω πό τις βυθσκπήσεις Η4 κι Η5 στην ΤΦΕΑ, φείλετι στ στρώμ υψηλής σχετικά ειδικής ντίστσης ( ^Ο.ΟΩιιι), πυ φίνετι στην ΓΗΤ, με δρμερές υλικό λόγω της πλησίν πρυσίς τυ Πτμύ Σπερχειύ (ίσως χρκτηρίζει την πλικίτη τυ πτμύ). Τ ενδιάμεσ στρώμ πλύ μικρής ειδικής ντίστσης ( ^5Ωπι) στην ΓΗΤ, πυ πτελείτι κύρι πό ργιλικό υλικό, έχει σν πτέλεσμ ν κτεβάζει τις φινόμενες ειδικές ντιστάσεις σε χμηλές τιμές χωρίς έτσι υτές ν επηρεάζντι πό τ υπόβθρ (ρ=125ωιη) πυ είνι φλύσχης. Ομως πό τη μρφή των ισνώμλων στην ΤΦΕΑ φίνετι κθρά η βύθιση κι μη εντπισμός τυ υπόβθρυ κάτω πό τις βυθσκπήσεις Η4 κι Η5. Πιθνόττ η βθιά συνέχει κάτω πό τις βυθσκπήσεις HI, Η2, Η3 ν είνι υτή τυ υπόβθρυ (φλύσχη) πρά τις μικρές ειδικές ντιστάσεις τυ. Αυτό πυ πρκλεί εντύπωση είνι η πυσί φιόλιθυ (ρ ΟΦ =350Ωπι) πάνω πό τ φλύσχη στην περιχή των βυθσκπήσεων HI, Η2, Η3 κι τ στρώμ χμηλών ειδικών ντιστάσεων (ρ^.5ωπι) στην ΓΗΤ πιθνά ν ντιπρσωπεύει έντν διβρωμέν φιόλιθ. ΤΟΜΗΟ(Σχ.Γ.28): Η πρυσί των ισνώμλων υψηλών φινόμενων ειδικών ντιστάσεων κάτω πό τις βυθσκπήσεις G3, G4, G5, G6 στην ΤΦΕΑ, φείλετι στ σχετικά βθύ στρώμ υψηλής ειδικής ντίστσης ( =1.40.0Ωιη), πυ φίνετι στην ΓΉΤ, με δρμερές (κρκλπγές) υλικό λόγω της πρυσίς τυ πτμύ Βιστρίτσ (υτό φίνετι κι στν χάρτη φινόμενης ειδικής ντίστσης γι AB/2=100m). Η μρφή των ισνώμλων της ΤΦΕΑ στην περιχή μετξύ των βυθσκπήσεων G2 κι G3 επιβεβιώνει τ ρήγμ πυ φίνετι στην συνέχει τυ υπόβθρυ στην ΓΉΤ. Ο φλύσχης εκπρσωπείτι πό τις ειδικές ντιστάσεις εύρυς πό ΙΟΟΩπι έως 190Ωπι ενώ ι τιμές ^530Ωπι θεωρύντι ότι ντιπρσωπεύυν τυς φιλιθικύς σχημτισμύς. 45

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα Ορισμό ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αόριστ & Ορισμέν Ολκλήρωμ Αρχική-Πράγυσ Πράγυσ ή Αρχική ή Αντιπράγωγ μι συνάρτηση f, σε έν διάστημ Δ νμάζετι η πργωγίσιμη συνάρτηση F γι την πί ισχύει F ( ) = f ( ) γι κάθε Ξ D π.χ. π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo. Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονομικής μεγέθυνσης θ ξεκινήσει νλύοντς το πιο πλό δυνμικό υπόδειγμ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις - 4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η ρχή της επλληλίς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 5 : Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση, με πεδί ρισμύ κι σύνλ τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Πράγουσ συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ.

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός: Μια συνάρτηση f/α ονομάζεται συνεχής στο σημείο x ο

Ορισμός: Μια συνάρτηση f/α ονομάζεται συνεχής στο σημείο x ο 0 ΜΑΘΗΜΑ.4. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ.4.. Συνέχει συνάρτησης στ o Ορισμός: Μι συνάρτηση f/α νμάζετι συνεχής στ σημεί Α, ότν υπάρχει τ lim f () ι είνι: lim f() = f( ) ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Ότν υπάρχει δ > 0 ώστε

Διαβάστε περισσότερα

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση. . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΤΜΗΜ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΘΗΗΤΗΣ ΚΩΣΤΣ ΕΛΕΝΤΖΣ ΣΧΕΤΙΚ ΜΕ ΤΙΣ ΚΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΙ Τ ΠΟΤΕΛΕΣΜΤ ΥΠΟΚΤΣΤΣΗΣ ΚΙ ΕΙΣΟ ΗΜΤΟΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ η: Συνρτήσεις ζήτησης κτά arshall Υπόθεση: Το χρηµτικό

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι

Διαβάστε περισσότερα

Άτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN

Άτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN Ν6_(6)_Σττιστική στη Φυσική Αγωγή 08_Πλινδρόμηση κι συσχέτιση Γούργουλης Βσίλειος Κθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Σε ορισμένες περιπτώσεις πιτείτι η νίχνευση της σχέσης μετξύ δύο ποσοτικών μετβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 13 Ε_3.ΦλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνί: Κυρική 8 Απριλίου 13 ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της συνάρτησης

Η έννοια της συνάρτησης Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1.

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. Δύο μηχνικά κύμτ ίδις συχνότητς διδίδοντι σε ελστική χορδή. Αν λ 1 κι λ 2 τ μήκη κύμτος υτών των κυμάτων ισχύει: ) λ 1 λ 2 γ) λ 1 =λ 2 Δικιολογήστε την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων Κεφάλιο 11 Διγράμμτ Φάσεων Συχνά, σε πολλές διεργσίες, νμιγνύουμε δύο ή κι περισσότερ διφορετικά υλικά, κι πρέπει ν πντήσουμε στο ερώτημ: ποιά θ είνι η φύση του υλικού που θ προκύψει πό υτή την νάμιξη:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 0 Οδηγία: Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ 1 0 Οδηγία: Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8//6 ΘΕΜΑ Οδηγί: Στις ερωτήσεις -4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό της ερώτησης κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Στις ερωτήσεις -4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθµό της ερώτησης κι δίπλ σε κάθε ριθµό το γράµµ που ντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκπός Σκπός τυ κεφαλαίυ είναι η κατανόηση των βασικών στιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Πρσδκώμενα απτελέσματα Όταν θα έχετε λκληρώσει τη μελέτη αυτύ τυ κεφαλαίυ θα πρέπει να μπρείτε:

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΦΥΡΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΓΕΦΥΡΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΓΕΦΥΡΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στη µέτρηση της ωµικής λλά κι της σύνθετης ντίστσης µε υψηλή κρίβει χρησιµοποιούντι οι γέφυρες µέτρησης. Γι τη µέτρηση της ωµικής ντίστσης η πηγή τροφοδοσίς της γέφυρς

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy Aς πάρουµε µι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλική κίνηση. Ονομάζεται η κίνηση η οποία πραγματοποιείται σε κυκλική τροχιά. Μελέτη της κυκλικής κίνησης. R θ S R

Κυκλική κίνηση. Ονομάζεται η κίνηση η οποία πραγματοποιείται σε κυκλική τροχιά. Μελέτη της κυκλικής κίνησης. R θ S R Κυκλική κίνηση Ονμάζετι η κίνηση η πί πρμτπιείτι σε κυκλική τρχιά. Μελέτη της κυκλικής κίνησης S Ως νστόν πό τη εμετρί ισχύσει : S S Η τχύτητ η πί εκφράζει τ πόσ ρήρ διράφει η επιβτική κτίν τη νί νμάζετι

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Α) Προβλήμτ ευθύγρμμης ομλά επιτχυνόμενης κίνησης. ) Απλής εφρμογής τύπων Ακολουθούμε τ εξής βήμτ: i) Συμβολίζουμε τ δεδομέν κι ζητούμεν με τ ντίστοιχ σύμβολ που θ χρησιμοποιούμε.

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Μαγνητικό πεδίο

Κίνηση σε Μαγνητικό πεδίο Κίνηση σε γνητικό πεδίο 4.1. Ακτίν κι Περίοδος στο ΟΠ. Από έν σημείο Α μέσ σε ομογενές μγνητικό πεδίο έντσης Β=2Τ, εκτοξεύοντι δύο σωμτίδι Σ 1 κι Σ 2 ίδις μάζς m=10-10 kg κι ντίθετων φορτίων, με τχύτητες

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ ΣΚΗΣΗ Ο πρκάτω πίνκς περιέχει τ πρόσηµ των λγεβρικών τιµών της τχύτητς κι της επιτάχνσης. Σµπληρώστε τον πρκάτω πίνκ. >, > >, <

Διαβάστε περισσότερα

Ηλώ σεις. 1 Άσκηση. 2 Άσκηση

Ηλώ σεις. 1 Άσκηση. 2 Άσκηση ΠΜΣ : Σχεδισμός & κτσκευή υπογείων έργων Ακδ. Έτος: 2013-2014 ΜΑΘΗΜΑ: Μέτρ Υποστήριξης Σηράγγων Διδάσκων : Κθηγητής Α.Ι. ΣΟΦΙΑΝΟΣ Επιμέλει σκήσεων: Π. Γιούτ Ηλώ σεις 1 Άσκηση Σχεδιάστε τη μέγιστη πίεση

Διαβάστε περισσότερα

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών»

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών» Διτμημτικό Πρόγρμμ Μετπτυχικών Σπουδών των Τμημάτων Μθημτικών κι Μηχνικών Η/Υ & Πληροφορικής «Μθημτικά των Υπολογιστών κι των Αποφάσεων». (Κτεύθυνση: Σττιστική Θεωρί Αποφάσεων κι Εφρμογές). Διπλωμτική

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα Να βρεθούν οι ευθείες οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(1,2) και απέχει από το σημείο Β(3,1) απόσταση d=2.

Ενότητα Να βρεθούν οι ευθείες οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(1,2) και απέχει από το σημείο Β(3,1) απόσταση d=2. Ευθεί Ενότητ 7. Απόστση σημείου πό ευθεί Εμβδόν τριγώνου Εφρμογές 7.1 Ν βρεθεί η πόστση: i) του σημείου Μ(1,3) πό την ευθεί (ε) με εξίσωση 3x-4y- 11=0, ii) του σημείου Ρ(,-3) πό την (η) με εξίσωση 5x+1y-=0.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Ιόνιο Πνεπιστήμιο - Τμήμ Πληροορικής Μθημτικός Λογισμός Ενότητ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πνγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το πρόν εκπιδευτικό υλικό υπόκειτι σε άδειες χρήσης Cativ Commo

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Εξετάσεων Φεβρουαρίου 2011:

Θέματα Εξετάσεων Φεβρουαρίου 2011: ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Θέμτ Εξετάσεων Φεβρουρίου : ΘΕΜΑ μονάδες Πρέπει με κυβικές b-splnes ν πρεμβάλετε, κτά σειρά, τ εξής σημεί:,,,,,,,8, 7, κι,. Ας είνι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων y y=e y= ð 3 e Ä Ã Å 2 y = ln lnð 1 O A Â 1 lnð 2 e 3 ð 4 Δημήτρης Α. Ντρίζος Σχολ. Σύμ. Μθημτικών ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμολή των γεωμετρικών νπρστάσεων στην πόδειξη μθημτικών προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:...

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:... ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Μι νθοδέσμη έχει 5 λευκά κι 15 κόκκιν γρύφλλ. Τι μπορούμε ν πρτηρήσουμε; ότι τ κόκκιν είνι κτά δέκ περισσότερ πό τ λευκά, λλά κι ότι τ κόκκιν γρύφλλ είνι τρεις φορές περισσότερ πό τ λευκά Η μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i Οι Κτνομές χ, t κι F Οι Κτνομές χ, t κι F Σε υτή την ενότητ προυσιάζουμε συνοπτικά τρεις συνεχείς κτνομές οι οποίες, όπως κι η κνονική κτνομή, είνι πολύ χρήσιμες στη Σττιστική Συμπερσμτολογί Είνι ξιοσημείωτο,

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Επιστήμες στην οθωμανική αυτοκρατορία: Οι εκπαιδευτικοί θεσμοί

Επιστήμες στην οθωμανική αυτοκρατορία: Οι εκπαιδευτικοί θεσμοί ΚΡΙΤΙΚΗ/ΕΠΙΣΤΗΜΗ & ίκπμμυιη: 4/06,77-93 Επιστήμες στην θωμνική υτκρτρί: ι εκπιδευτικί θεσμί C Βιβλιγρφική πρυσίση πό τ έργ: Ekmeleddin Ihsanoglu (ed.), History of the Ottoman State, Society and Civilization,

Διαβάστε περισσότερα

1o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ ( ) Αριθµητική τιµή του πολυώνυµου ( ) Το πολυώνυµο ( ) = = =.

1o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ ( ) Αριθµητική τιµή του πολυώνυµου ( ) Το πολυώνυµο ( ) = = =. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ Πλυώυµ τυ x λέγετι κάθε πράστση της µρφής : x + x ++ x+ όπυ,,,, είι στθερί πργµτικί ριθµί κι φυσικός ριθµός Τ πλυώυµ τυ x συµβλίζυµε: f( x ), g( x ), f x = x + x ++ x+ h x,, πότε γράφυµε:

Διαβάστε περισσότερα

Α) Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Αν η επίδραση του αέρα είναι αμελητέα τότε το βάρος Β του σώματος θα έχει μέτρο: F α) F β) 3F γ) 3

Α) Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Αν η επίδραση του αέρα είναι αμελητέα τότε το βάρος Β του σώματος θα έχει μέτρο: F α) F β) 3F γ) 3 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΘΕΜΑ 376/Β. Σε έν σώμ μάζς m που ρχικά ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο σκούμε κτκόρυφη στθερή δύνμη μέτρου F, οπότε το σώμ κινείτι κτκόρυφ προς τ πάνω με

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές Θεωρήμτ, Προτάσεις, Εφρμογές Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγών: Αν z i κι z γ δi είνι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: Μέτρο: z z z z z z z z 3 z z z z 4 z z z z Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε z z z z z z z z 3

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΣΧΕ ΙΟ ΞΕΝΟΚΡΑΤΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΟΥ ΣΕΙΣΜΙΚΟΥ ΚΙΝ ΥΝΟΥ. ρ. Στυλιανός Γ. Λόζιος

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΣΧΕ ΙΟ ΞΕΝΟΚΡΑΤΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΟΥ ΣΕΙΣΜΙΚΟΥ ΚΙΝ ΥΝΟΥ. ρ. Στυλιανός Γ. Λόζιος ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΣΧΕ ΙΟ ΞΕΝΟΚΡΑΤΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΟΥ ΣΕΙΣΜΙΚΟΥ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ρ. Στυλινός Γ. Λόζιος Επ. Κθηγητής του Τµήµτος Γεωλογίς του Εθνικού & Κποδιστρικού Πνεπιστηµίου Αθηνών Το εφρµοσµέν

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας

Εργαστήριο Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας Εργστήριο Φυσικής Τμήμτος Πληροφορικής κι Τεχνολογίς Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λμίς Ηλεκτρικό φορτίο Εισγωγή στην έννοι του Ηλεκτρικού Φορτίου Κάθε σώμ περιέχει στην φυσική του κτάστση ένν πάρ πολύ μεγάλο ριθμό

Διαβάστε περισσότερα

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ Θέρµνση Ψύξη ΚλιµτισµόςΙΙ Ψυχροµετρί Εργστήριο Αιολικής Ενέργεις Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κτσπρκάκης Ξηρόςκιυγρός τµοσφιρικόςέρς Ξηρόςκιυγρόςτµοσφιρικός έρς Ξηρός τµοσφιρικός έρς: ο πλλγµένος πό τους

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές εξετάσεις Φυσική Γ λυκείου θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης

Γενικές εξετάσεις Φυσική Γ λυκείου θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης Γενικές εξετάσεις 009 Φσική Γ κεί θετικής - τεχνγικής κτεύθνσης Θέμ Ν γράψετε στ τετράδιό σς τν ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτ ερτήσεις - 4 κι δίπ τ γράμμ π ντιστιχεί στη σστή πάντηση.. Σε μι φθίνσ τάντση

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει

Διαβάστε περισσότερα

3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Ορισμός Υπερβολής

3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Ορισμός Υπερβολής 6 3. Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ορισμός Υπερολής Έστω E κι Ε δύο σημεί ενός επιπέδου. Ονομάζετι υπερολή με εστίες τ σημεί E κι Ε ο εωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλιο 5: Θεωρήμτ κυκλωμάτων Οι διφάνειες κολουθούν το ιλίο του Κων/νου Ππδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177 5 Θεωρήμτ κυκλωμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

EC-ASE: Ευρωπαϊκό Πιστοποιητικό για τους Συμβούλους / Εκπαιδευτές Κοινωνικής Οικονομίας

EC-ASE: Ευρωπαϊκό Πιστοποιητικό για τους Συμβούλους / Εκπαιδευτές Κοινωνικής Οικονομίας ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ EC-ASE: Ευρωπαϊκό Πιστπιητικό για τυς Συμβύλυς / Εκπαιδευτές Κινωνικής Οικνμίας 2 «Ευρωπαϊκό Πιστπιητικό για τυς Συμβύλυς / Εκπαιδευτές Κινωνικής Οικνμίας» Επικεφαλής Εταίρς:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο. Γραμμικά Δικτυώματα

Κεφάλαιο 2 ο. Γραμμικά Δικτυώματα Κεφάλιο 2 ο Γρμμικά Δικτυώμτ Έν ηλεκτρικό κύκλωμ ή δικτύωμ ποτελείτι πό ένν ριθμό πλών κυκλωμτικών στοιχείων, όπως υτά που νφέρθηκν στο Κεφ.1, συνδεδεμένων μετξύ τους. Το κύκλωμ θ περιέχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Στην προηγούµενη ενότητ συζητήσµε µετσχηµτισµούς της µορφής Y g( µίς τυχίς µετβλητής Όµως σε έν πολυµετβλητό φινόµενο ενδέχετι ν θέλουµε ν µετσχηµτίσουµε τις ρχικές

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΜΘΗΜ / ΤΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙ: 15/0/015 ΘΕΜ 1 ο Οδηγί: Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις 1-4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

α β γ δ β γ α α α α α α Α = α α α = α α + α α α α α α α α α D Α

α β γ δ β γ α α α α α α Α = α α α = α α + α α α α α α α α α D Α ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ β Έστω πίνκς Α Χ = γ δ Σε κάθε τετργωνικό πίνκα ντιστοιχίζοµε ένν πργµτικό ριθµό τον οποίο ονοµάζοµε ορίζουσ του πίνκ κι ορίζετι ως β Α = = δ β γ Η έννοι της ορίζουσς είνι νγκί προκειµένου ν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΘΕΜΑ Α. Γι μι συνεχή συνάρτηση f ν γράψετε τις τρείς κτηγορίες σημείων, τ οποί εινι πιθνές θέσεις τοπικών κροτάτων. (6 Μονάδες). Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ. Τίτλος Διπλωματικής Εργασίας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ. Τίτλος Διπλωματικής Εργασίας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Τίτλος Διπλωμτικής Εργσίς «Οικονομοτεχνική ξιολόγηση της ενεργεικής νβάθμισης συμβτικών κτιρίων, με την εφρμογή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

για την εισαγωγή στο Λύκειο

για την εισαγωγή στο Λύκειο Τυπολόγιο 1 Μθημτικά γι την εισγωγή στο Λύκειο Νίκος Κρινιωτάκης ΠΡΓΜΤΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ Σύνολ ριθμών Φυσικοί ριθμοί Ν {,1,,3,...,} Οι φυσικοί δικρίνοντι σε: Άρτιους είνι της μορφής ν κ, κ Ν (διιρούντι με το

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = α 0 α β = ( ) β α = α ( α β)( α β)

ν ν = α 0 α β = ( ) β α = α ( α β)( α β) Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ν 0 ν = 1 = β β ν 1= ν µ = ν + µ ν ν µ 1 µ = ν = ν ( ν ) µ ν ν = ν µ β = β ( β) ν = ν βν ν > 0 τότε 2 = β = β β = β Ιδιότητες υνάµεων ν > β τότε + γ > β+ γ. ν > β κι γ > δ τότε + γ > β+ δ.

Διαβάστε περισσότερα

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι Έςτω :RR, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη κι,,cr Αποδείξτε ότι ) d d β) d d γ) d c c d c c δ) d c c c d ε) d στ) d Απάντηση:, εάν η είνι περιττή d, εάν η είνι άρτι Πρόκειτι γι πολύ βσική άσκηση, που είνι εφρμογή της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS

Κεφάλαιο 3 Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS Κεφάλι 3 Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS Σύνψη Στ τρίτ τύτ κεφάλι ρίζετι η πσότητ της ηλεκτρικής ρής κι περιγράφετι νόμς τυ Gauss, με τν πί υπλγίζυμε την έντση τυ ηλεκτρικύ πεδίυ στ χώρ διφόρων μη σημεικών, λλά συμμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

Q T Q T. pdv. παραγόµενο έργο κατά την εκτόνωση αερίου: Μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας αέρα χωρίς µεταβολή όγκου και παραγωγή έργου.

Q T Q T. pdv. παραγόµενο έργο κατά την εκτόνωση αερίου: Μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας αέρα χωρίς µεταβολή όγκου και παραγωγή έργου. Ο 1 ος ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΤΗΝ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΑ-1 σχετίζει τη µετβολή της θερµοκρσίς ενός ερίου µετηµετφορά ενέργεις µετξύ του ερίου κι του περιβάλλοντός του κι το πργόµενο/ποδιδόµενο έργο Q U W Q * *

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονοµικής µεγέθυνσης θ ξεκινήσει εξετάζοντς το πιο πλό δυνµικό υπόδειγµ

Διαβάστε περισσότερα

39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam Theoretical Problem No. 1. Λύση

39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam Theoretical Problem No. 1. Λύση 39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam - 8 11 Υπολογισμός της πόστσης TG Λύση 3 3 3 Ο όγκος του νερού στην κοιλότητ είνι V = 1cm = 1 m Το μήκος του πυθμέν της κοιλότητς είνι d = L atan 6

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) x (5 + 3)x + 5 3 = (...).(...) ι) x + (5 3)x 5 3 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 3 0x (Μονάδες 3) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7x 3 = (10x + x 3 ) (Μονάδες 3,5) Θέμ 3ο Ν πργοντοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Οι Νέες Τεχνολογίες ως Εργαλείο κατανόησης βασικών εννοιών στο Γυµνάσιο

Οι Νέες Τεχνολογίες ως Εργαλείο κατανόησης βασικών εννοιών στο Γυµνάσιο Οι Νέες Τεχνολογίες ως Εργλείο κτνόησης σικών εννοιών στο Γυµνάσιο ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΟΝΤΟΓΕΩΡΓΟΣ Μθηµτικός-Υπεύθυνος του Μθηµτικού Εργστηρίου του Λυκείου Ελληνικού kontod@yahoo.gr ΚΩΝ/ΝΟΣ ΜΑΡΑΓΚΟΣ Μθηµτικός -Κθ.

Διαβάστε περισσότερα

Γ. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες δεξιά. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες αριστερά Ε. κινηθούµε 3 µονάδες δεξιά και 4 µονάδες πάνω

Γ. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες δεξιά. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες αριστερά Ε. κινηθούµε 3 µονάδες δεξιά και 4 µονάδες πάνω Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής 1. ** Αν η εξίσωση µε δύο γνώστους f (, ) = 0 (1) είνι εξίσωση µις γρµµής C, τότε Α. οι συντετγµένες µόνο µερικών σηµείων της C επληθεύουν την (1) Β. οι συντετγµένες των σηµείων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κτεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ Συνοπτικη θεωρι με ποδειξεις Λυμεν θεμτ γι εξετάσεις Θέμτ πό εξετάσεις Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ-ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του διανύσματος

Η έννοια του διανύσματος Η έννοι του δινύσμτος Από τη γεωμετρί είμστε εξοικειωμένοι με την έννοι του ευθυγράμμου τμήμτος: δύο διφορετικά σημεί Α κι Β μις ευθείς (ε), ορίζουν το ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ Έν ευθύγρμμο τμήμ λέγετι προσντολισμένο,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία και Πολιτική της. Οικονομικής Μεγέθυνσης. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις. Θεόδωρος Παλυβός

Θεωρία και Πολιτική της. Οικονομικής Μεγέθυνσης. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις. Θεόδωρος Παλυβός Πνεπιστήμιο Μκεδονίς Τμήμ Οικονομικών Επιστημών Θερί κι Πολιτική της Οικονομικής Μεγέθυνσης Πνεπιστημικές Πρδόσεις Θεόδρος Πλυβός Ενότητ Εισγγή στη Γενική Ισορροπί κι την Οικονομική της Ευημερίς Mare-Esrt-Léon

Διαβάστε περισσότερα

magazine Από την VICTORIA στην ERGO Ασφαλίζω σημαίνει καταλαβαίνω Ελληνική έκδοση του ασφαλιστικού ομίλου ERGO

magazine Από την VICTORIA στην ERGO Ασφαλίζω σημαίνει καταλαβαίνω Ελληνική έκδοση του ασφαλιστικού ομίλου ERGO Τεύχς 1 Χειμώνς 2011 Ελληνική έκδση τυ σφλιστικύ μίλυ ERGO Rebranding Εκδήλωση στ Μέγρ Μυσικής Αθηνών Let it...flow Τ νέ σχεδιστικό concept της ετιρίς Πρόσωπ Στέλις Βυγιυκλίδης Διευθυντής Πωλήσεων Πρϊόντ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ Περιέχει την ύλη που διδάσκετι στ Μθημτικά της Κτεύθυνσης στη Γ Λυκείου Στους δσκάλους μου με ευγνωμοσύνη Στους μθητές μου με ελπίδ Κάθε γνήσιο ντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογρφή του συγγρφέ

Διαβάστε περισσότερα

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για 165 4.5 ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Εισγωγή Δύο πό τ σημντικότερ ποτελέσμτ σχετικά με τους πρώτους ριθμούς ήτν γνωστά ήδη πό την ρχιότητ. Το γεγονός ότι κάθε κέριος νλύετι με μονδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων εμφνίζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΟ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΣΚΟΙ ΚΑΙ ΚΥΛΙΣΗ

ΔΥΟ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΣΚΟΙ ΚΑΙ ΚΥΛΙΣΗ ΔΥΟ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΣΚΟΙ ΚΑΙ ΚΥΛΙΣΗ Δύο ομογενείς δίσκοι, ένς μεγάλος μάζς Μ=3kg κι κτίνς =40 κι ένς μικρός μάζς m=kg κι κτίνς =10, ενώνοντι έτσι ώστε ν συμπίπτουν τ κέντρ τους. Ο δίσκος κτίνς διθέτει υλάκι

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ. Τ Μ Η Μ Α ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΟΝΑΔΩΝ ΥΓΕΙΑΣ κ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΘΕΜΑ

Τ.Ε.Ι. ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ. Τ Μ Η Μ Α ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΟΝΑΔΩΝ ΥΓΕΙΑΣ κ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΘΕΜΑ Τ.Ε.Ι. ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ Σ χ ο λ ή Διο ίκ η σ η ς κ Ο ικ ο ν ο μ ί ς Τ Μ Η Μ Α ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΟΝΑΔΩΝ ΥΓΕΙΑΣ κ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΑΠΟΨΕΩΝ ΧΡΗΣΤΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΙΑΤΡΕΙΩΝ ΤΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλης Καραγιάννης. Γλώσσα. Εμπεδωτικές ασκήσεις. Α Δημοτικού. Εικονογράφηση Λίλα Καλογερή, Ζαχαρίας Παπαδόπουλος

Βασίλης Καραγιάννης. Γλώσσα. Εμπεδωτικές ασκήσεις. Α Δημοτικού. Εικονογράφηση Λίλα Καλογερή, Ζαχαρίας Παπαδόπουλος Βσίλης Κργιάννης Γλώσσ Εμπεδωτικές σκήσεις Α Δημτικύ Εικνγράφηση Λίλ Κλγερή, Ζχρίς Ππδόπυλς ÂÚÈÂ fiìâó Εισγωγικό σημείωμ.................................................. 9 ΕΙΚΟΝΕΣ ΓΙΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα μαθηματικά της

Η θεωρία στα μαθηματικά της Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ((ΑΛΓΕΒΡΑ)) ο ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 1 Αλγγεεριικέέςς Πρσττάσεειιςς Α. 1. 1 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν με άση τον πργμτικό κι εκθέτη το φυσικό

Διαβάστε περισσότερα

(iii) Ο συντελεστής διεύθυνσης λ κάθε ευθείας κάθετης προς την ΓΔ έχει με. τον συντελεστή διεύθυνσης της ΓΔ γινόμενο ίσο με -1. Αρα θα είναι.

(iii) Ο συντελεστής διεύθυνσης λ κάθε ευθείας κάθετης προς την ΓΔ έχει με. τον συντελεστή διεύθυνσης της ΓΔ γινόμενο ίσο με -1. Αρα θα είναι. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Α ΟΜΑΔΑΣ (i Ο συντεεστής διεύθυνσης της ευθείς ΑΒ είνι: 6 ( (ii Ο συντεεστής διεύθυνσης της ευθείς ΓΔ είνι: ( (iii Ο συντεεστής διεύθυνσης κάθε ευθείς κάθετης προς την ΓΔ έχει

Διαβάστε περισσότερα

ευτέρα, 25 Μαΐου 2009 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ

ευτέρα, 25 Μαΐου 2009 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ 009 ετέρ, 5 Μΐ 009 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜ o Ν γράψετε στ τετράδιό σς τν ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτ ερτήσεις - κι δίπλ τ γράμμ π ντιστιχεί στη σστή πάντηση.. Σε μι φθίνσ τλάντση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα Λύσεις ης Εργσίς. Γράψτε κι σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγρµµ κθέν πό τ επόµεν v δινύσµτ στη µορφή x y : () Το διάνυσµ που συνδέει την ρχή του συστήµτος συντετγµένων µε το σηµείο Ρ(,-). () Το διάνυσµ

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Χ. Παπαδημητρίου. 8 Ιουλίου 2011

Γιώργος Χ. Παπαδημητρίου. 8 Ιουλίου 2011 Λογισμός των Μετβολών Γιώργος Χ. Ππδημητρίου 8 Ιουλίου 2011 Οι προύσες σελίδες είνι μί χλρή εισγωγή στον λογισμό των μετβολών κι στις κυριότερες χρήσεις τους. Σκοπός τους είνι φ' ενός ν κλύψουν ρκετές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1]

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1] ΛΓΕΒΡ ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις του σχολικού βιβλίου [] Εισγωγικό Κεφάλιο. 9 3 Γι = - 3, η υπόθεση είνι ληθής, ενώ το συμπέρσμ ψευδές Το σύνολο λήθεις της υπόθεσης είνι το = 3, 3, ενώ του συμπεράσμτος είνι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση F(x)= 13/3/2010 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είναι συνάρτηση συνεχής σε διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε

Η συνάρτηση F(x)= 13/3/2010 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είναι συνάρτηση συνεχής σε διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε Μθημτικός Η συνάρτηση F()= //200 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είνι συνάρτηση συνεχής σε διάστημ Δ κι είνι έν σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση F()=, Δ είνι μι πράγουσ της f στο Δ. Δηλδή ισχύει: = f() γι κάθε Δ. (H πργώγιση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ημιτελείς προτάσεις Α1 έως Α5 κι δίπλ το γράμμ που

Διαβάστε περισσότερα

2. ** Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σηµείο (1, 0) και εφάπτεται στις ευθείες 3x + y + 6 = 0 και 3x + y - 12 = 0.

2. ** Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σηµείο (1, 0) και εφάπτεται στις ευθείες 3x + y + 6 = 0 και 3x + y - 12 = 0. Ερωτήσεις νάπτυξης 1. ** Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-,

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές Συντεταγµένες

Καρτεσιανές Συντεταγµένες Γρφική Πράστση Συνάρτησης Κρτεσινές Συντετγµένες Κρτεσινό σύστηµ συντετγµένων ή ορθογώνιο σύστηµ ξόνων O είνι έν σύστηµ δύο κθέτων ξόνων O κι O ( 0 0) µε κοινή ρχή το σηµείο O,. O Ορθοκνονικό σύστηµ ξόνων

Διαβάστε περισσότερα