Κεφάλαιο Σειρές και μετασχηματισμός Fourier

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο Σειρές και μετασχηματισμός Fourier"

Transcript

1 Σειρές και μετασχηματισμός Fourier Κεφάλαιο Σειρές και μετασχηματισμός Fourier Ορισμοί Μία συνάρτηση f(x) είναι εριοδική με ερίοδο όταν ισχύει f(x+)f(x). Η ελάχιστη δυνατή ερίοδος λέγεται και θεμελιώδης ερίοδος. Εμείς όταν λέμε ερίοδο θα αναφερόμαστε σε αυτήν. Μία συνηθισμένη εριοδική συνάρτηση είναι η ya si(ωx) όου το ω ονομάζεται (γωνιακή ή κυκλική) συχνότητα και το Α είναι το λάτος. Στο αρακάτω σχήμα αρατηρούμε ότι για την συνάρτηση si(ωx) όσο το ω μεγαλώνει τόσο μικραίνει η ερίοδος της συνάρτησης η οοία ισούται με Τ/ω. f ( x) si( x), g( x) si( x), h( x) si(3 x ).5 si( x) si( x) si(3 x) Είσης για την συνάρτηση ya si(x) η οοία έχει εδίο τιμών [Α,-Α] όσο το Α (θετικό) μεγαλώνει τόσο το λάτος της ταλάντωσης μεγαλώνει.

2 Ι. Θ. Φαμέλης si( x) si( x) Η γραφική αράσταση της συνάρτησης si( x + θ) είναι η γραφική αράσταση της si( x ) μετατοισμένη κατά θ (αριστερά εάν το θ είναι αρνητικό, δεξιά σε αντίθετη ερίτωση). Το θ ονομάζεται φάση..5 3 si( x + ) si( x) Ανάλογη είναι και η συμεριφορά της συνάρτησης συνημίτονο. Ο Je Bptiste Fourier (768-83) αόδειξε ότι κάθε εριοδική yf(χ) συνάρτηση μορεί να γραφεί ως ένα άειρο άθροισμα ημιτονοειδών συναρτήσεων της μορφής: f( x) A + A si( ωx+ φ ) + A si( ωx+ φ ) A si( ωx+ φ ) +... A + A si( ω x+ φ ) και τελικά να ροσεγγιστεί αό ένα εερασμένο f( x) A + A si( ωx+ φ ) + A si( ωx+ φ ) A si( ωx+φ ) Αυτή είναι η βάση των σειρών Fourier. Ο όρος A si( ωx+ φ ) ονομάζεται ρώτη αρμονική, ο A si( x ) ω + φ δεύτερη αρμονική κ.λ.. Παράδειγμα: Έστω για, y si( x) + si(3 x) + si(5 x) 3 5

3 Σειρές και μετασχηματισμός Fourier Οι τρεις αρμονικές ξεχωριστά είναι Αν άρω τους δύο ρώτους όρους του αθροίσματος έχω το γράφημα: Αν άρω και τους τρεις όρους του αθροίσματος έχω το γράφημα:

4 Ι. Θ. Φαμέλης Είναι φανερό ότι ροσθέτοντας και άλλους αρόμοιους όρους το γράφημα μοιάζει όλο και ερισσότερο με ένα σήμα. Είσης όταν y si( x) + si(3 x) +.3si( x) το γράφημα στο διάστημα [,] είναι το ακόλουθο: Αοκότοντας το τελευταίο όρο δηλαδή όταν y si( x) + si(3 x) αίρνουμε

5 Σειρές και μετασχηματισμός Fourier Όου μοιάζει η αοκοή αυτού του όρου να λειτούργησε ως φίλτρο. Τέτοια ανατύγματα συναρτήσεων σε τριγωνομετρικά αθροίσματα βρίσκουν ολλές εφαρμογές. Για αράδειγμα, μορούν να χρησιμοοιηθούν για το φιλτράρισμα θορύβου στην ανάλυση σημάτων. Είσης στις τηλεικοινωνίες βρίσκουν εφαρμογή στη μεταφορά του συνεχούς σήματος της φωνής μέσω δορυφόρου αό ένα σημείο του λανήτη σε ένα άλλο. Η μεταφορά του συνεχούς σήματος της φωνής, αφού ψηφιοοιηθεί, και η αοστολή του bit ρος bit ααιτεί την εεξεργασία και μεταφορά μεγάλου όγκου δεδομένων. Εάν το σήμα ανατυχθεί σε ένα τριγωνομετρικό άθροισμα, αρκεί να μεταφερθούν μόνο οι συντελεστές (φάσεις, συχνότητες και λάτη) και στον ροορισμό να εφαρμοστεί ο κατάλληλος τύος ώστε να ανααραχθεί το σήμα. Μία τέτοια διαδικασία είναι ολύ ιο οικονομική. Αό τη σχέση f ( x ) A si( ) + A x+ ω φ χρησιμοοιώντας την τριγωνομετρική ταυτότητα si( ω x+ φ ) si( φ ) cos( ωx) + cos( φ )si( ωx) έχουμε ότι f ( x) A + A[ si( φ)cos( ωx) + cos( φ)si( ω x) ] Θέτοντας στον τύο A και A si( φ ), b A cos( φ ) και ω / Τ φθάνουμε x x f ( x ) + [ cos( ) + b si( )] x x f (x) [ cos( ) b si( )] όου. b ή + Μορεί να αοδειχθεί ότι ισχύει : x + f( ) x dx x b x + x f(x)cos( )dx x x + x f(x)si( )dx x και οι σχέσεις ου συνδέουν τους συντελεστές είναι Παρατήρηση A + b, φ rct. b 5

6 Ι. Θ. Φαμέλης Ανάλογα κάθε εριοδική συνάρτηση μορεί να γραφεί ως ένα άειρο άθροισμα συνημιτονοειδών συναρτήσεων. Αό τη σχέση f( x) A + A cos( ωx + ϑ ) + A cos( ωx+ ϑ ) A cos( ωx + ϑ ) +... A + A cos( ωx+ ϑ ) χρησιμοοιώντας την τριγωνομετρική ταυτότητα cos( ω x+ ϑ ) cos( ϑ )cos( ωx) si( ϑ )si( ω x) Έχουμε ότι ( ) f x A + A [ cos( )cos( ) si( )si( ) ϑ ωx ϑ ωx ] Θέτοντας Φθάνουμε στον τύο A και A cos( ϑ ), b A si( ϑ ) και ω / Τ x x f ( x ) + [ cos( ) + b si( )] και οι σχέσεις ου συνδέουν τους συντελεστές είναι b A + b, ϑ rct. Θα ρέει να σημειώσουμε ότι οι γωνίες φάσεων μεταξύ του ημιτονοειδούς ανατύγματος και του συνημιτονοειδούς ανατύγματος διαφέρουν κατά /. Δηλαδή ϑ + ϕ. Σύγκλιση Η σύγκλιση της σειράς Fourier ειτυγχάνεται στα σημεία ου είναι συνεχής μία εριοδική συνάρτηση f(x) εάν ισχύουν οι συνθήκες Dirichlet :. Η f(x) είναι αόλυτα ολοκληρώσιμη σε μία ερίοδο, δηλαδή ισχύει f( x) dx <. Ο αριθμός των μεγίστων και ελαχίστων του f(x) είναι εερασμένος στο διάστημα της εριόδου. 3. Η f(x) είναι τμηματικά συνεχής με εερασμένο αριθμό ασυνέχειας στο διάστημα της εριόδου. Τέλος, στα σημεία ασυνέχειας η σειρά Fourier συγκλίνει στο ημιάθροισμα των f ( x+ ) + f( x ) λευρικών ορίων. 6

7 Σειρές και μετασχηματισμός Fourier Εάν μας ζητείται στην εκφώνηση να ανατύξουμε σε σειρά Fourier τη συνάρτηση και όχι αλά να βρούμε τη σειρά Fourier της συνάρτησης θα ρέει να βρούμε στα σημεία ασυνέχειας το ου συγκλίνει η σειρά. Ανατύσσοντας τη σειρά Fourier σε όλα τα σημεία ου είναι η σειρά συνεχής και βρίσκοντας ου συγκλίνει στα σημεία ασυνέχειας, μορούμε να ούμε ότι η σειρά Fourier αριστάνει τη συνάρτηση στο διάστημα της εριοδικότητας της. Εξαιτίας της εριοδικότητας της συνάρτησης η σειρά την αριστάνει σε όλο το. Χρήσιμοι τύοι στον υολογισμό των σειρών Fourier Οι άρτιοι είναι k όταν κ,,3,... οι εριττοί k+ όταν k,,,3,... ή k- όταν κ,,3,4,5,... k ( ) k + Χρήσιμοι τύοι: cos( ) ( ), si( ) Αν k,k τότε si( ) si( k ). Αν k+,k τότε k si( ) si( k + ) ( ) ( ) οότε si( ) ( ), εριττος, αρτιος Είσης 4k+ 4k + cos( ) 4k + 3 4k + 4 Αό την τριγωνομετρία γνωρίζουμε ότι Είσης ισχύουν: si si και cos cos. cos, και Ο τύος της αραγοντικής ολοκλήρωσης είναι.. Με χρήση των αραάνω τύων μορούμε να υολογίσουμε τα ολοκληρώματα: 7

8 Ι. Θ. Φαμέλης si cos si cos si si cos si cos cos si si cos cos cos si si Παράδειγμα Ανατύξτε σε σειρά Fourier στο διάστημα [-, ] την εριοδική συνάρτηση με γραφική αράσταση: Αό το σχήμα γίνεται φανερό ότι η υό μελέτη συνάρτηση στο διάστημα [-,] είναι σταθερά ίση με μηδέν, ενώ στο [,] ο τύος της είναι f(x)x, ώστε η γραφική της αράσταση να είναι το ευθύγραμμο τμήμα με αρχή το σημείο (,) και τέλος το (,). Άρα ο γενικός τύος της θα είναι:, - x < f( x) x, x< Χρησιμοοιώντας τους τύους Τ και x - έχουμε το ανάτυγμα Fourier της f(x) ως εξής: f ( x) + ( cos( x) + β si( x)), όου: + 8

9 x x f( x) dx ( dx+ xdx) ( + ) Σειρές και μετασχηματισμός Fourier. 4 x si( x) f( x) cos( xdx ) ( cos( xdx ) xcos( xdx ) ) ( x( ) dx) + + x si( x) si( x) si( ) ( x x dx) ( si( x) dx) x x cos( x) ( ) ( cos( ) cos()) (( ) ) x Η τελευταία σχέση μορεί να αναλυθεί εραιτέρω αν λάβουμε υόψη μας ότι, αν k ( ), αν k+, ως εξής:, αν k, αν k- (k ) Ανάλογα υολογίζουμε ότι:, k,,3,. cos( x) b f( x) si( xdx ) ( si( xdx ) xsi( xdx ) ) ( x ( ) dx) + + cos( x) cos( x) cos( ) ( x x dx) ( cosx dx + + ( ) ) ( ) si( x) ( + x x x x + ( ) ( ) ) ( + ). Έτσι συμεραίνουμε ότι το ζητούμενο ανάτυγμα Fourier της f(x) είναι: Όου ( ) f ( x) ( cos((k ) x)) + ( si( x)). 4 (k ) k Για το σημείο ισχύει ότι ( ) f( ) f( ) + f( + ) ( + ) οότε η σειρά ου υολογίσαμε αριστάνει την x f (x), < x< στο x, x < 9

10 Ι. Θ. Φαμέλης διάστημα εριοδικότητας της. Οότε λόγω της εριοδικότητας η σειρά αριστάνει την f σε όλο το. Παράδειγμα Ανατύξτε τη σειρά Fourier της συνάρτησης, x f ( x) x, < x Γνωρίζουμε ότι x x f( x) + ( cos( ) si( )) + b Στην ερίτωση μας Τ και x - και εομένως f( x) dx dx xdx f( x)cos( xdx ) cos( xdx ) + xcos( xdx ) si( x) xd(si( x)) + [ x si( x)] si( x) dx ' cos( x) [ si( ) si( )] dx [cos( x)] ( ) [cos( ) ] Δηλαδή Είσης, εριττος, αρτιος [ ] b f ( x)si( x) dx si( x) dx xsi( x) dx + cos( x) + xsi( x) dx [ cos( x) ] x( cos( x) )' dx

11 [ cos( x) ] x( cos( x) )' dx [ cos( x) ] [ x cos( x) ] + ( x) 'cos( x) dx [ cos( x) ] [ x cos( x) ] + cos( x) dx [ cos( x) ] [ x cos( x) ] + [ si( x) ] [ cos( ) ] [ cos( ) ] + ( ) ( ) Σειρές και μετασχηματισμός Fourier Συνοψίζοντας έχουμε ότι + και οι ρώτοι έξι συντελεστές 4, δίνονται στον αρακάτω ίνακα Παράδειγμα Υολογίστε τη σειρά Fourier της συνάρτησης : με f( x) f( x+ ) για κάθε x, αν αx, - x< f(x) α, β β x, x < Υολογίζουμε αναλυτικά τους συντελεστές του ανατύγματος Fourier για Τ και x : + ( β ) f ( x) + cos( x) + si( x) ( β ) ( β ) f ( x) dx xdx xdx xdx xdx + + x x ( β ) + β + β 4 Στα αρακάτω χρησιμοοιούμε αραγοντική ολοκλήρωση

12 Ι. Θ. Φαμέλης ( β ) f ( x) cos( x) dx x cos( x) dx x cos( x) dx + ( si( x) )' ( si( x) )' x dx β x dx + x x ( [ x si( x) ] ( x)' si( x) dx + β[ x si( x) ] β ( x)' si( x) dx x x ) ( [ x x ] si( x) dx β[ x x ] β si( x) dx + ) x x cos( x) cos( x) β x x ( ( cos() + cos( )) β( cos( ) + cos()) ) β + ( )( β ) ( ( + ( ) ) β ( ( ) + ) ) b f( x) si( xdx ) ( xsi( xdx ) β xsi( xdx ) + ) ( cos( x) )' ( cos( x) )' x dx β x dx + x x ( [ x cos( x) ] + ( x)' cos( x) dx β[ x cos( x) ] β ( x)' cos( x) dx x x + + ) [ ] cos() cos( ) + cos( x) dx+ β[ cos( ) + cos() ] + β cos( x) d x x si( x) si( x) ( ) + + β ( ) + β x x + ( ) ( ( ) + [ ] β ( ) + β [ ]) ( + β ) ( x) Έτσι, το ανάτυγμα Fourier της συνάρτησης f ( x ) είναι: + + ( β ) β + ( ) ( β ) ( ) f ( x) + cos( x) ( β) si( ) x. Παράδειγμα Να ανατυχθεί σε σειρά Fourier η συνάρτηση είναι οι τιμές για Λύση Έχουμε Τ και x. f ( x) x και για x της σειράς Fourier; x, x <. Ποιες Η σειρά Fourier δίνεται αό την αράσταση ( cos si x) + x+ b όου οι συντελεστές υολογίζονται ως εξής: 3 3 x 8 ( ) 3 3 f x dx x dx 4 3

13 f ( x) x dx x x dx Σειρές και μετασχηματισμός Fourier cos( ) cos( ) (κάνοντας δύο φορές αραγοντική ολοκλήρωση) ( ) ( ) ( ) + x si x x cos x si x ( ) ( ) ( ) 4 si 4cos si 4 + b f ( x) xdx x xdx si si (κάνοντας δύο φορές αραγοντική ολοκλήρωση) ( ) ( ) ( ) x cos x xsi x cos x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos 4 si cos cos Άρα η σειρά Fourier της f έχει ως εξής: ( cos si x ) + x+ b f( ) f( ) x 3 cos( ) si( x) y f( + ) f( + ) 4 y x x Η σειρά Fourier της f για x και x συγκλίνει στην τιμή ( f f ) ( f ++ f ) )/ ( ++ ) ( ) / ( ) ( Ανατύγματα Fourier σε άρτιες συναρτήσεις και σε εριττές συναρτήσεις Μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα [-α,α] είναι άρτια εφόσον ισχύει η σχέση f(-x)f(x). Οι άρτιες συναρτήσεις είναι συμμετρικές ως ρος τον άξονα yy. 3

14 Ι. Θ. Φαμέλης Παράδειγμα η ycos(x) Μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα [-α,α] είναι εριττή εφόσον ισχύει η σχέση f(-x)-f(x). Οι εριττές συναρτήσεις είναι συμμετρικές ως ρος την αρχή των αξόνων. Παράδειγμα η ysi(x) Το άθροισμα δύο άρτιων συναρτήσεων είναι άντα άρτια συνάρτηση, το άθροισμα δύο εριττών συναρτήσεων είναι άντα εριττή. Το άθροισμα άρτιας και εριττής συνάρτησης δεν μορούμε να το χαρακτηρίσουμε ως άρτια ή εριττή. Είσης το γινόμενο δύο άρτιων συναρτήσεων είναι άντα άρτια συνάρτηση, το γινόμενο δύο εριττών συναρτήσεων είναι άντα άρτια. Το γινόμενο άρτιας και εριττής συνάρτησης είναι άντα εριττή συνάρτηση. 4

15 Σειρές και μετασχηματισμός Fourier Μορεί εύκολα να αοδειχθεί ότι για f συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [,](> ) και x [,] αν η f είναι άρτια η f είναι εριττή f (x)dx f (x)dx f(x)dx και αν Σύμφωνα με το αραάνω όταν το διάστημα [x,x+] είναι της συμμετρικής μορφής [-Τ/,Τ/] τότε: Εάν η συνάρτηση f(x) είναι άρτια το x + x b f(x)si( )dx αφού x είναι ολοκλήρωμα άρτιας εί εριττής δηλαδή εριττής σε συμμετρικής μορφής διάστημα. Εάν η συνάρτηση f(x) είναι εριττή τόσο ολοκλήρωμα εριττής συνάρτησης όσο και x + f( x) dx αφού είναι x x + x f ( x )cos( )dx x αφού είναι ολοκλήρωμα εριττής εί άρτιας δηλαδή εριττής σε συμμετρικής μορφής διάστημα. Παράδειγμα Να βρείτε τη σειρά Fourier της εριοδικής συνάρτησης : με f( x) f( x+ ) για κάθε x, αν, x < f(x),, x < και στη συνέχεια να εαναροσδιοριστεί στα σημεία,ώστε η σειρά Fourier να αριστάνει την f σε όλο το. Η συνάρτηση f είναι εριττή, άρα και b f ( x )si( x )dx si( x )dx ( ) si( x )dx + si( x )dx si( x )d( x ) si( x )dx si( x )d( x ) + + u x si( x )dx + si( u )du 5

16 Ι. Θ. Φαμέλης cos(x) si( x )dx 4, εριττος [ cos( )] ( ), αρτιος Oότε Συνεώς η σειρά είναι η 4 si( 3x ) si( 5x ) si(7x ) si x Για το σημείο ( ) ( ) + ( + ) + ( ) έχουμε f ( f f ) ( ) () ( ) + ( + ) + ( ) Για το σημείο έχουμε f ( f f ) ( ) οότε εάν θεωρήσουμε την, x, < x < f(x), x, < x < η σειρά ου υολογίσαμε την αριστάνει σε το διάστημα της εριοδικότητας της και εξαιτίας της εριοδικότητας της συνάρτησης η σειρά την αριστάνει σε όλο το. Παράδειγμα Να βρείτε τη σειρά Fourier της εριοδικής συνάρτησης f( x) f( x+ ) για κάθε x, αν, x< f(x), x<, x< Η συνάρτηση f είναι άρτια, άρα b και : με 6

17 / f(x)dx f(x)dx dx+ dx x / / / Σειρές και μετασχηματισμός Fourier [ ] / f ( x )cos( x )dx f ( x )cos( x )dx cos( x )dx Αν si(x) si( ) k,k N τότε si( ) si( k ). Αν k +,k,,,... τότε si( ) si( k + ) ( ) ( ) Εομένως k ( ), εριττος si( ), αρτιος Οι ρώτοι ετά συντελεστές συνοψίζονται στον ακόλουθο ίνακα: Και η σειρά Fourier είναι η cos( 3x ) cos( 5x ) cos(7x ) + cos x Παρατηρούμε ότι για τα σημεία ασυνέχειας, ο αραάνω τύος αοτυγχάνει να υολογίσει με ακρίβεια την τιμή της συνάρτησης. Για αράδειγμα για x η σειρά έχει τιμή cos cos cos + cos η οοία δεν ισούται με το f. Για αυτό θα ρέει να ορίσουμε στα σημεία αυτά τις τιμές ου θα ρέει να έχει η συνάρτηση 7

18 Ι. Θ. Φαμέλης Για το σημείο έχουμε f( ) f( ) f( ) ( ) Για το σημείο έχουμε f( ) f( ) f( ) ( ) οότε εάν θεωρήσουμε την, x <, x f(x), x <, x, x < η σειρά ου υολογίσαμε την αριστάνει σε το διάστημα της εριοδικότητας της και εξαιτίας της εριοδικότητας της συνάρτησης η σειρά την αριστάνει σε όλο το. Παράδειγμα Ανατύξτε τη σειρά Fourier της συνάρτησης f(x) x, - x<. Εειδή f ( x) f( x) η συνάρτηση είναι άρτια και εομένως ανατύσσεται μόνο μέσω των συνημιτονικών αρμονικών f ( x) cosx + +. x xdx ( xdx+ xdx) xdx xdx Για έχουμε: six / x cos xdx x cos xdx x cos xdx x( ) dx si x si x cos x si x si xdx x + + (cos ), αv k (cos ) 4 4, v k + (k+ ) k,,,... Συνεώς το ανάτυγμα της f σε σειρά Fourier είναι + 4 cos ((k+ ) x) f( x) (k + ) k 8

19 Σειρές και μετασχηματισμός Fourier Παράδειγμα Υολογίστε τη σειρά Fourier της συνάρτησης : με f( x) f( x+ ) για κάθε x, αν f( x) si( x/), - x <. x x Δεδομένου ότι ισχύει si( ) si( ) η συνάρτηση f( x) si( x/) είναι εριττή. Αρκεί να βρούμε τα β στην αράσταση: si( x / ) b si( x ) Σύμφωνα με τα όσα γνωρίζουμε b f( x)si( x) dx. Για να υολογίσουμε το I si( x/ )si( x) dx χρησιμοοιούμε την τριγωνομετρική ταυτότητα si( x)si( x) ( cos( ) x cos( + ) x). Έχουμε I si( x/ )si( x) dx cos( ) cos( ) x + x d si( x ) si( x ) C. + + (/ ) (/ ) + x Άρα I si( ) si( ) x + x (/ ) (/ ) + si( ) si( + ) (/ ) (/ ) + cos( ) cos( ) (/ ) (/ ) + (/ 4) cos( ) ( ) (/ 4) Η εκθετική μορφή του ανατύγματος Fourier Εάν i είναι η μιγαδική μονάδα (φανταστική μονάδα τύος του Euler: iφ e cosφ+ isiφ Αό αυτόν έχουμε είσης iφ e cosφ isiφ i ), τότε ισχύει ο 9

20 Ι. Θ. Φαμέλης iϕ iϕ e + e Αό την ρόσθεση των δύο αυτών ταυτοτήτων έχουμε ότι cosϕ και e αφαιρώντας siϕ iϕ e i iϕ Οότε x x f ( x ) + [ cos( ) + b si( )] x x x x i i i i e + e e e + [ + b )] i x x x x i i i i e e e e + [ + + b b )] i i x x x x i i i i e e e e + [ + + ib ib )] i i x x x x i i i i e e e e + [ + bi + bi )] x x i i ib + ib + [ e + e ] x x i i c + [c e + c e ] όου c, c ib + ib και c ο συζυγής του. Μορεί να αοδειχθεί ότι για διαστήματα [x,x +] ου είναι της συμμετρικής μορφής [-Τ/,Τ/] τότε: / x i c f(x)e d x και / c / x i f(x)e dx, / Οότε συνολικά / x i c f ( x )e dx,, ±,,... ± και / f(x) x i Παράδειγμα Να βρείτε την εκθετική μορφή του ανατύγματος Fourier της εριοδικής συνάρτησης f (x) x για x [, ). Οότε Τ και x - c e

21 Αό τους τύους έχουμε: x c f(x)dx xdx 4 / x ix i ix e c f(x)e dx xe dx x dx i / ix ix xe e ' ix ix ( x) dx xe e dx i i i ix ' i ix e ix i ix e xe dx xe + i i i i i i i i ( e + e ) + ( e e ) ( ) i διότι i e cos isi i e cos+ isi i i e e isi ( ) i i e + e cos Οι συντελεστές ίνακα: Σειρές και μετασχηματισμός Fourier για -4,-3,-,-,,,,3,4 συνοψίζονται στον ακόλουθο Και τελικά 4 Παράδειγμα 3 f (x) ce ix Να βρείτε την εκθετική μορφή του ανατύγματος Fourier της εριοδικής συνάρτησης : με f( x) f( x+ ) για κάθε x, αν, x < f(x), x<, x < Οότε Τ και x - Αό τον τύο - ' 3 4

22 Ι. Θ. Φαμέλης x.5.5 i ix ix ix c f ( x )e dx ( e dx e dx e dx ) ix ix ix e + e + e i i.5 i.5 i/ i i/ i/ i i / ( e e e + e + e e ) i i/ i/ ( e e ) si sic i διότι i i / e cos isi e cos / isi / i e cos+ isi i i e e isi και ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) si c( x). i / e cos / + isi / i/ i / e e isi / si x Εδώ εισάγουμε τον συμβολισμό x Είσης υολογίζουμε.5.5 c f(x)dx ( dx+ dx+ dx) x + x + x.5.5 ([ ] [ ] [ ] ) ( ) Οότε αφού ισχύει si( ) ( ), εριττος, αρτιος Οι συντελεστές για -5,-4,-3,-,-,,,,3,4,5 συνοψίζονται στον ακόλουθο ίνακα: Και τελικά i x f(x) si e ix i3x i5x e e + e ix i3x i5x e e e... 3 Το φάσμα συχνοτήτων Όταν ένα κύμα αναλύεται μέσω μιας σειράς Fourier σε άθροισμα ημιτονοειδών (ή συνημιτονοειδών) αρμονικών το γράφημα των λατών Α και Α λέγεται διακριτό φάσμα λατών και το γράφημα των φάσεων φ (ή 5

23 των θ ) λέγεται διακριτό διακριτό φάσμα συχνοτήτων. Σειρές και μετασχηματισμός Fourier φάσμα φάσεων. Τα δύο μαζί αοτελούν το Είχαμε δει ότι για την τριγωνομετρική μορφή των σειρών Fourier το λάτος των αρμονικών και η φάση τους συνδέεται με τους συντελεστές της σειράς με βάση τους τύους A A + b, φ rct εάν ανατύσσεται b σε ημίτονα και b ϑ rct όταν έχουμε συνημιτονικές αρμονικές. Υενθυμίζουμε ότι οι γωνίες φάσεων μεταξύ του ημιτονοειδούς ανατύγματος και του συνημιτονοειδούς ανατύγματος διαφέρουν κατά /. Δηλαδή ϑ + ϕ. Παράδειγμα Η σειρά Fourier της άρτιας εριοδικής συνάρτησης f( x) f( x+ ) για κάθε x, αν βρήκαμε ότι έχει συντελεστές οότε, x< f(x), x<, x< b και :, si( ) sic( ) b A b, + ϕ ϑ rct rct ( ). Οι συντελεστές Α για.. συνοψίζονται στον ακόλουθο ίνακα: με και το διακριτό φάσμα λατών είναι το ακόλουθο: 3

24 Ι. Θ. Φαμέλης A Στην ερίτωση της εκθετικής μορφής έχουμε ( ) + ( b ) ib c c A c, και αρόμοια A c. 4 Άξονας μιγαδικών b A c ϑ Άξονας ραγματικών Αό το μέτρο των συντελεστών c μορώ να βρω το λάτος A c για κάθε μία αό τις αρμονικές συνιστώσες του ανατύγματος σε εκθετική μορφή. b Είσης, αό τη σχέση φ rct ή την ϑ rct και ϑ + ϕ b μορώ να βρω τις αντίστοιχες φάσεις. Είσης ισχύει A c. Έτσι μορούμε να σχεδιάσουμε και το φάσμα των συχνοτήτων για την ερίτωση των όρων της εκθετικής μορφής του ανατύγματος Fourier. Παράδειγμα Εάν.χ. c 4 3i μορώ να ω ότι η συνιστώσα αυτή έχει λάτος και γωνία φάσης rct(3/ 4) 36.8 (για συνημιτονικά ανατύγματα). 4

25 Σειρές και μετασχηματισμός Fourier Παράδειγμα Να βρείτε την εκθετική μορφή του ανατύγματος Fourier ενός αλμού με λάτος 5 και διάρκεια /5 ου εαναλαμβάνεται με ερίοδο Τ. Βρείτε τη συνάρτηση ου τον εριγράφει και σχεδιάστε τον. Σχεδιάστε το διακριτό φάσμα λατών και το διακριτό φάσμα των φάσεων., / x< / Η συνάρτηση έχει τύο f (x) 5, / x< / και γράφημα :, / x< / y 5 / / / / x Αό τον τύο / x / x i i c f ( x )e dx 5e dx / / / x 5 i 5 i i e e e si sic i i 5 5 / Αφού i 5 e cos isi 5 5 i 5 5 e e isi i 5 5 e cos isi Είσης υολογίζουμε / / 5 / c f(x)dx 5dx [ x] /. / / Οι συντελεστές για -5,-4,-3,-,-,,,,3,4,5 συνοψίζονται στον ακόλουθο ίνακα: c Παρατηρούμε ότι τα είναι ραγματικοί αριθμοί οότε τα λάτη ισούται με το μέτρο ενός ραγματικού αριθμού ου είναι ο ίδιος ο αριθμός. 5

26 Ι. Θ. Φαμέλης c Αν δούμε ιο αναλυτικά το φάσμα λατών αρατηρούμε ότι η έμτη, η δέκατη, η δέκατη έμτη κ.λ. αρμονική είναι. Οότε όως και η σταθερή δεν έχουν φάση. Το φάσμα λατών A c είναι το ακόλουθο: c ( ) A. A Είσης, αρατηρούμε ότι οι συντελεστές έχουν μόνο ραγματικό μέρος ib Δηλαδή ισχύει c si c b, si c 5 5. b Οότε οι γωνίες φάσης ϑ rct έχουν τόξο εφατομένης (για συνημιτονικά ανατύγματα). Άρα η γωνία φάσης μορεί να άρει τιμές -,,. 6

27 Σειρές και μετασχηματισμός Fourier Όως φαίνεται αό το αραάνω σχήμα για -4,-3,-,-,,,3,4 έχουμε συντελεστή c θετικό, οότε και το α θετικό. Δηλαδή έχουμε ένα σχήμα της μορφής: Άξονας μιγαδικών Άξονας ραγματικών και συμεραίνομε ότι η φάση θα είναι, για -4,-3,-,-,,,3,4. Όταν το c όως φαίνεται αό το σχήμα είναι αρνητικό (-9,-8,-7,-6, 6,7,8,9) τότε και το α θα ρέει να είναι αρνητικό. Άξονας μιγαδικών Άξονας ραγματικών Συμεραίνουμε ότι η φάση θα είναι - ή. Ειλέγουμε να είναι για -9, -8,-7,-6 και για 6,7,8,9. Συνοψίζοντας τα αραάνω έχουμε ότι το φάσμα των φάσεων είναι:

28 Ι. Θ. Φαμέλης Μετασχηματισμός Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier αοτελεί την εέκταση των σειρών Fourier στη γενική κατηγορία των συναρτήσεων (εριοδικών και μη). Όως και στις σειρές οι συναρτήσεις θα εκφράζονται με τη βοήθεια μιγαδικών εκθετικών διαφόρων συχνοτήτων. Ωστόσο, οι συχνότητες αυτές δεν είναι διακριτές αλλά συνεχείς. Έτσι η συνάρτηση έχει ένα συνεχές φάσμα. Αό την ανααράσταση μίας συνάρτησης με εκθετική σειρά Fourier γνωρίζουμε ότι / x / / i iωx iωx c f(x)e dx f(x)e dx c f(x)e dx / / / iω x Παίρνοντας το όριο τότε c f(x)e dx. Συμβολίζουμε με iωx F( ω ) f ( x)e dx και με αυτό το ολοκλήρωμα μετασχηματίζουμε τη συνάρτηση f(x) σε μία συνάρτηση με μεταβλητή τη κυκλική συχνότητα ω. Αυτό ισχύει διότι / ω οότε και το ολοκλήρωμα θα εξαρτάται αό το ω. Παρατήρηση: Πολλές φορές στη βιβλιογραφία η μεταβλητή του ολοκληρώματος είναι t ωστόσο για ειλέγουμε τη χρήση της μεταβλητής x είμαστε σε αρμονία με το συμβολισμό ου ειλέξαμε στις σειρές Fourier. Ο μετασχηματισμός αυτός ονομάζεται μετασχηματισμός Fourier και συμβολίζεται F iω x {f(x)} F( ω ) f(x)e dx Την αντίστροφη δουλειά κάνει ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier iωx f ( x) F { F( )} F( )e d ω ω ω Με το μετασχηματισμό Fourier μας δίνεται η δυνατότητα να εριγράψουμε μη εριοδικές συναρτήσεις με τη χρήση συναρτήσεων με συχνότητα. Δηλαδή μορούμε να μετασχηματίσουμε συναρτήσεις στο εδίο του χρόνου σε συναρτήσεις στο εδίο συχνοτήτων. Το αοτέλεσμα του μετασχηματισμού είναι μιγαδική οσότητα. Είσης έχουμε ότι iωx F( ω) f ( x )e dx f ( x )(cosωx i siωx )dx f ( x )cosωxdx i f ( x )si xdx ω οότε Συμβολίζουμε A( ω) f ( x )cosωxdx, Β( ω) f ( x )siωxdx Το μέτρο F( ω ) Αω ( ) ib( ω) ( ) F( ω) A ( ω) + B ( ω ) και η φάση ( ) rct B ω ϕω A ( ω ) Για τον αλμό με λάτος τ έχουμε συνεχές φάσμα : 8

29 Σειρές και μετασχηματισμός Fourier 9 F( ω) Χαρακτηριστικοί μετασχηματισμοί Fourier: f(x) F {f(x)} δ(x) A u(x) sg(x)u(x)-u(-x) Παλμός u(x+τ/)- u(x-τ/) e -x u(x) e -x u(-x) e iφx cos(φx) si(φx) Αδ(ω) δ(ω)+/(iω) /(iω) τ si(ωτ/)/(ωτ/) /(+iω) /(-iω) δ(ω-φ) [δ(ω+φ)+ δ(ω-φ)] i[δ(ω+φ)- δ(ω-φ)] Μερικές αό τις ιδιότητες ου ισχύουν: Ο μετασχηματισμός Fourier και αντίστροφός του είναι γραμμικός, δηλαδή ισχύει: F{ f ( x) + bg( x)} F{ f ( x)} + bf{ g( x)} F { F( ω) + by( ω)} F { F( ω)} + bf { Y( ω)} Όταν F { f( x)} F( ω) ισχύουν οι κάτωθι ιδιότητες: iϕt F { e f( x)} F( ω ϕ) iω F { f( x )} e F( ω) ω F { f( x)} F( ) F {cos( x) f ( x)} ( F( ω ) + F( ω+ )) Και για την αράγωγο ισχύει: 9

30 Ι. Θ. Φαμέλης όταν όως είαμε F( ω ) F { f( x)}. ( ω) F { f ( x)} i F( ω) Αν οι συναρτήσεις f(x), g(x), είναι συνεχείς ή κατά τμήματα συνεχείς σε όλο το σύνολο των ραγματικών ορίζουμε ως συνέλιξη f(x)*g(x) των δύο συναρτήσεων Για τη συνέλιξη ισχύουν τα εξής: ( ) ( f * g)( x) f( x)* gx ( ) fugx ( ) ( udu ) F{ f * g ( x)} F{ f( x)} F { g( x)} F( ω) G( ω) F F ω G ω F F ω F G ω f x g x { ( ) ( )} { ( )}* { ( )} ( )* ( ) όταν F{ f( x)} F( ω), F { g( x)} G( ω). Σχέση μετασχηματισμού Fourier με μετασχηματισμό Lplce Εάν ορίσουμε τη συνάρτηση x e g( x) x f ( x) x < sx x ωix ix L{ f( x)}( s) Fs ( ) e f( xdt ) e e f( xdx ) e gxdx ( ) { gx ( )}( ω) G( ω) F όου θεωρήσαμε ότι s α + ωi. Εφαρμογή: Έστω ότι έχουμε το σύστημα: f ( x) yx ( ) στο οοίο η είσοδος και η έξοδος σχετίζονται αό τη διαφορική εξίσωση: d y dy + + y bf( x ) dx dx Εφαρμόζουμε το μετασχηματισμό Fourier και στα δύο μέρη: ( ) ( ) iω Υ ( ω) + iω Υ ( ω) + Υ ( ω) bf( ω) Όου F ( yx ( )) Υ(ω), F( f( x )) F(ω) οι μετασχηματισμοί των y(x),f(x) αντίστοιχα. Λύνω και έχω 3

31 Σειρές και μετασχηματισμός Fourier b b F( yx ( )) Υ ( ω ) F( ) F( ) H( ) F( ) ( i ) ( ) ( i ) i ω ω ω ω ω ω ω ω b όου η H( ω) ονομάζεται συνάρτηση μεταφοράς ή ω + ( iω) + αόκριση του συστήματος και συνδέει τους μετασχηματισμούς Fourier της εισόδου και της εξόδου του συστήματος. Παίρνοντας τους αντίστροφους μετασχηματισμούς έχουμε τη λύση yx H F H F ( ) F { ( ω) ( ω)} F { ( ω)}* F { ( ω )} Παράδειγμα: Έστω έχουμε ένα σύστημα στο οοίο η είσοδος και η έξοδος σχετίζονται αό τη διαφορική εξίσωση: dy + y δ ( x) dx Παρατηρούμε ότι έχουμε είσοδο δ(x) οότε F ( δ ( x)) οότε εφαρμόζουμε το μετασχηματισμό Fourier και στα δύο μέρη: όου F( yx ( )) Υ(ω). Λύνω και έχω ( iω) Υ ( ω) +Υ ( ω) F ( δ( x)) F ( yx ( )) Υ ( ω) H( ω) F( ω) F( ω) + ωi + ωi + ωi Άρα το σύστημα έχει συνάρτηση μεταφοράς Η αόκρισή του στην είσοδο δ(x): H ( ω). + ωi x yx ( ) F { Y( ω)} F { H( ω)} F { } e. ωi + Εφαρμογή: Ηλεκτρικά κυκλώματα Έστω ένα κύκλωμα το οοίο αοτελείται αό μία ηγή ηλεκτρεργετικής δύναμης Ε (Volt), η οοία μορεί να είναι σταθερή ή να εξαρτάται αό το χρόνο δηλαδή ΕΕ(t), υκνωτή χωρητικότητας C (Frd), ηνίο αυτεαγωγής l (Hery), ωμική αντίσταση R (Ohm) και διακότη Δ, συνδεδεμένα σε σειρά. Δ E ir Q C di l dt C R l 3

32 Ι. Θ. Φαμέλης Θεωρούμε το κύκλωμα ως ένα σύστημα με είσοδο την εφαρμοζόμενη τάση και έξοδο την ένταση του ρεύματος. Δεχόμαστε ότι i(). Εφαρμόζουμε τον ρώτο νόμο του Kirchhoff ο οοίος μας δίνει di di Q E Q l R i l + R i+ E, C dt dt C Παραγωγίζοντας τη διαφορική εξίσωση ου ροκύτει αό τον ρώτο νόμο του Kirchhoff οδηγούμαστε στη δευτέρας τάξης διαφορική εξίσωση d i di de + + dt dt C dt l R i Εφαρμόζουμε το μετασχηματισμό Fourier και στα δύο μέρη: d i di de l R i F dt dt C dt F + + d i di de () dt dt C dt lf + R F + F i F ( ω) ω ( ω) ω ω ( ω) i l I( ) + i R I( ) + I( ) i F ( E( t)) C όου F (()) it Iω ( ). Λύνω και έχω ( iω ) I ( ω) F( Et ( )) F ( Et ( )) ( iω) l+ ( iω) R+ ( iω) l+ R+ C C i ( ω ) Δηλαδή η συνάρτηση μεταφοράς ή αόκριση του συστήματος είναι οότε iωc H ( ω) i l+ R+ + + C i ( ω) ω lc iωrc ( ω) I( ω) H( ω) F ( E( t)) αό όου εφαρμόζοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier και χρησιμοοιώντας την ιδιότητα της συνέλιξης έχουμε it () F H( ) * Et () { ω } dq() t di d Q Παρόμοια, για το φορτίο, όως έχουμε δει ισχύει it () dt dt dt di Q d Q dq Q d Q dq Q l + R i+ E l + R + E F l R + + F( E) dt C dt dt C dt dt C dq dq dt dt C ( ) ( ) lf + RF + F Q F E ( ω) ( ) ( ω) ( ) ( ) ( ) i lf Q + i RF Q + F Q F E C F( Q) F( E( t)) H( ω) F ( E( t)) iω l+ iω R+ C ( ) ( ) 3

33 Σειρές και μετασχηματισμός Fourier Όου C H( ω) lc i RC ( iω) l+ ( iω) R+ ω + ω + C Εφαρμόζοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier και χρησιμοοιώντας την ιδιότητα της συνέλιξης έχουμε Συμληρωματικές Ασκήσεις Qt () F H( ) * Et () { ω }. Να υολογιστεί η σειρά Fourier, η οοία αντιροσωεύει την αράσταση x + x στο διάστημα < x <. Λύση: Θεωρώ την συνάρτηση f x x x ( ) +. την αράσταση + ( cos( x) + bsi( x)), όου οι συντελεστές Η ζητούμενη σειρά Fourier δίνεται αό υολογίζονται ως εξής: x x f( xdx ) ( x xdx ) Με αραγοντική ολοκλήρωση μορούμε εύκολα να δείξουμε ότι: x cos( x) ( x )si( x) x cos( x) dx + και 3 cos( x) xsi( x) xcos( x) dx +. Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση f ( x) x cos( x) είναι άρτια ενώ η συνάρτηση f ( x) xcos( x) είναι εριττή και ότι το διάστημα ολοκλήρωση είναι συμμετρικό ως ρος την αρχή των αξόνων. Οότε μορούμε εύκολα να υολογίσουμε τους συντελεστές ως εξής: x x x dx x x dx x x dx x x dx ( )cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) x cos x + ( x )six cos ( ). Ομοίως, υολογίζουμε και τους συντελεστές b : b ( x x)si( x) dx x si( x) dx xsi( x) dx xsi( x) dx six x cosx cos cos ( ). 33

34 Ι. Θ. Φαμέλης Τελικά, αντικαθιστώντας τους συντελεστές και b έχουμε: 4 f ( x) x + x + ( ) cos x+ ( ) six 3 + ( 4cos x+ si x) + ( cos x si x) Να βρεθεί η σειρά Fourier της συνάρτήση, x f( x) x, < x Λύση: Στη ερίτωση μας και εομένως f ( x) dx dx xdx f ( x)cos( x) dx cos( x) dx + x cos( x) dx si( x) + xd(si( x)) [ xsi( x) si( x) dx] ( ) [cos( x)] [cos( ) ] b f ( x)si( x) dx si( x) dx xsi( x) dx + [ cos( x) ] + xsi( x) dx [ cos( x) ] x( cos( x) )' dx [ cos( x) ] x( cos( x) )' dx [ cos( x) ] [ x cos( x) ] + ( x) 'cos( x) dx [ cos( x) ] [ x cos( x) ] + cos( x) dx [ cos( x) ] [ x cos( x) ] + [ si( x) ] [ cos( ) ] [ cos( ) ] + 34

35 ( ) ( ) Οότε x x f ( x ) + [ cos( ) + b si( )] Σειρές και μετασχηματισμός Fourier 3. Να βρείτε τη σειρά Fourier της εριοδικής συνάρτησης f : με f( x) f( x+ ) για κάθε x, αν όου, x< f(x), x<, x< Η συνάρτηση f είναι άρτια διότι f ( x) f( x), άρα b και / f(x)dx f(x)dx+ dx+ dx x / Ξέρουμε ότι για f συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [,](> ) και x [,] [ ] / αν η f είναι άρτια f (x)dx f(x)dx. Η f (x)cos(x) είναι άρτια ως γινόμενο άρτιας εί άρτια. / f ( x )cos( x )dx f ( x )cos( x )dx cos( x )dx / si( x ) si( ) Αν k,k τότε si( ) si( k ). Αν k +,k τότε si( ) si( k + ) ( ) ( ) k Εομένως ( ), εριττος si( ), αρτιος Και η σειρά Fourier είναι η cos( 3x ) cos( 5x ) cos(7x ) + cos x

36 Ι. Θ. Φαμέλης Για αράδειγμα για x η σειρά έχει τιμή cos cos cos + cos η οοία δεν ισούται με το f. Για αυτό θα ρέει να ορίσουμε στα σημεία αυτά τις τιμές ου θα ρέει να έχει η συνάρτηση Για το σημείο έχουμε f( ) f( ) f( ) ( ) Για το σημείο έχουμε f( ) f( ) f( ) ( ) οότε εάν θεωρήσουμε την, x <, x f(x), x < η σειρά ου υολογίσαμε την αριστάνει σε το, x, x < διάστημα της εριοδικότητας της και εξαιτίας της εριοδικότητας της συνάρτησης η σειρά την αριστάνει σε όλο το. 4. Υολογίστε τη σειρά Fourier της συνάρτησης : με f( x) f( x+ ) για κάθε x, αν f ( x) si( x ), - x <, όου όχι ακέραιος. Δεδομένου ότι ισχύει si( ( x)) si( x) η συνάρτηση f ( x) si( x ) είναι εριττή. Αρκεί να βρούμε τα στην αράσταση: b si( x) b si( x) Σύμφωνα με τα όσα έχουμε ει: b f( x)si( x) dx. 36

37 Σειρές και μετασχηματισμός Fourier Για να υολογίσουμε το I si( x)si( x) dx χρησιμοοιούμε την si( )si( ) cos( ) cos( + ). Έχουμε τριγωνομετρική ταυτότητα x x ( x x) I x x dx x + x dx si( ) x si( ) x C si( )si( ) [ cos( ) cos( ) ] Άρα I si( ) si( ) x + x + si( ) si( + ). + Όμως οι γωνίες ( ),( + ) διαφέρουν κατά άρτιο ολλαλάσιο του. Άρα I si( ) si( + ) + si( ) si( ) + si( ). Τελικά έχουμε I si( ) ( ) si 5. Να βρείτε τη σειρά Fourier της εριοδικής συνάρτησης : με f( x) f( x+ ) για κάθε x, αν f(x) x+ x, x<, και στη συνέχεια να εαναροσδιοριστεί η συνάρτηση στο σημείο Fourier να αριστάνει την f σε όλο το. ώστε η σειρά Λύση Η συνάρτηση γράφεται, x< f(x) x, x < Εφόσον Τ και x - η σειρά Fourier είναι της μορφής: f ( x ) + [ cos( x ) + b si( x )] Υολογίζουμε τους συντελεστές της σειράς: ( ) f x dx dx+ xdx x 37

38 Ι. Θ. Φαμέλης si(x) / f ( x )cos( x )dx x cos( x )dx x[ ] dx si( x ) si( x ) x x dx si(x) cos(x) + Δηλαδή [ cos( ) ] ( ) 4, εριττος, αρτιος cos(x) / b f ( x )si( x )dx x si( x )dx x[ ] dx cos( x ) cos( x ) x x dx cos( x ) si( x ) cos( ) ( ) Δηλαδή b, εριττος, αρτιος Εομένως η σειρά Fourier είναι η ( ) cos[( k )x ] si( x ) k (k ) + 4 cosx cos(3x) cos(5x)... six si(x) si(3x) si(4x) Για το σημείο f( ) ( f( ) + f( + )) ( + ) οότε εάν θεωρήσουμε την x f (x), < x< η σειρά ου υολογίσαμε την αριστάνει στο x, x < διάστημα της εριοδικότητας της και εξαιτίας της εριοδικότητας της συνάρτησης η σειρά την αριστάνει σε όλο το. 38

39 Σειρές και μετασχηματισμός Fourier 6. Να βρείτε τη σειρά Fourier της εριοδικής συνάρτησης f : με f( x) f( x+ ) για κάθε x, αν όου., x< f(x),, x< Η συνάρτηση f είναι εριττή διότι f ( x) f( x), άρα και Ξέρουμε ότι για f συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [,](> ) και x [,] αν η f είναι άρτια f (x)dx f(x)dx. Η f (x)si(x) είναι άρτια ως γινόμενο εριττής εί εριττή. cos(x) b f ( x )si( x )dx si( x )dx 4, εριττος [ cos( )] ( ), αρτιος Συνεώς η σειρά είναι η 4 si( 3x ) si( 5x ) si(7x ) si x Χρησιμοοιώντας αραγοντική ολοκλήρωση υολογίστε τα ολοκληρώματα ( x + )si( x) dx, ( x + )cos( x) dx Να βρεθεί η τριγωνομετρική σειρά Fourier της f(x) x+, -<x<. Χρησιμοοιώντας το ροηγούμενο ανάτυγμα δείξτε ότι ( ) Χρησιμοοιώντας Mtlb σχεδιάστε την f(x) x+ στο διάστημα (-,) καθώς και τα μερικά αθροίσματα του ανατύγματός της σε σειρά Fourier για, 3 και 5 όρους. Λύση α. cos( x) ( x + )si ( x) dx xsi ( x) dx + si ( x) dx x( )' dx cos( x) + C cos( x) cos( x) cos( x) cos( x) x + ( x)' dx cos( x) C x dx cos( x) C cos( x) si ( x) x + cos ( x) + C si( x) si( x) ( x + )cos( x) dx x cos( x) dx + cos( x) dx x( )' dx + C + 39

40 Ι. Θ. Φαμέλης si( ) si( ) si( ) si( ) si( ) cos( ) x x ( x)' x dx + x + C x x x dx + x + C xsi( x) cos( x) si( x) C β. Εφόσον Τ και x - η σειρά Fourier είναι της μορφής: f ( x ) + [ cos( x ) + b si( x )] Υολογίζουμε τους συντελεστές της σειράς: ( ) x + 4 f( x) dx ( x+ ) dx 4 f ( x )cos( x )dx ( x + )cos( x )dx x si( x ) cos( x ) si( x ) + + b f(x)si(x)dx (x )si(x)dx + ( ) si( x) cos x x + cos ( x) cos ( ) cos ( ) cos ( ) + cos ( ) + cos( ) ( ) όου χρησιμοοιήσαμε ότι cos( x) cos( x), si( x) si( x), si( ), cos( ) ( ). Δηλαδή, εριττος b, αρτιος Εομένως η σειρά Fourier είναι η f(x) + [ cos(x) + b si(x)] + ( ) + si( x ) + si x si( x ) + si( 3x ) si( 4x ) + si( 5x ) γ. Έχουμε αό τα αραάνω 4

41 Σειρές και μετασχηματισμός Fourier + x + si x si( x ) + si( 3x ) si( 4x ) + si( 5x ) Θέτοντας στην αραάνω x έχουμε 3 5 si si( ) si( ) si( ) si( ) si( 3 ) ( ) δ. >> cler ll >> xlispce(-pi,pi); >> fx+pi; >> fpi+*si(x); >> f3pi+*(si(x)-/*si(*x)+/3*si(3*x)); >> f5pi+*(si(x)-/*si(*x)+/3*si(3*x)-/4*si(4*x)+/5*si(5*x)); >>f7pi+*(si(x)-/*si(*x)+/3*si(3*x)-/4*si(4*x)+/5*si(5*x)- /6*si(6*x)+/7*si(7*x)); >> plot(x,f,x,f,x,f3,x,f5,x,f7) Το αοτέλεσμα f f f3 f5 f μας δείχνει ότι όσο ερισσότερους όρους θεωρήσουμε τόσο καλύτερη ροσέγγιση της συνάρτησης ειτυγχάνουμε. 8. Μία εριοδική συνάρτηση εριγράφεται αό τον ακόλουθο τύο σε μία ερίοδό της. 4, /5 x< f(x), 4, x < /5 4

42 Ι. Θ. Φαμέλης Κάντε το γράφημά της σε μία ερίοδο, είτε οια είναι η ερίοδός της και βρείτε την εκθετική μορφή του ανατύγματός της Fourier. Γράψτε τους όρους του ανατύγματος αό -4 έως 4. Λύση Η ερίοδος της είναι /5. Αρχικά / /5 5 /5 c f(x)dx 4dx 4dx [ x] [ x] /5 + + / /5. Αυτό βγαίνει και άμεσα αό την αρατήρηση ότι η συνάρτηση είναι εριττή. Αό τον τύο / x x /5 x i 5 i i c f ( x )e dx 4e dx 4e dx + / /5 /5 i5x ' /5 i5x ' i5x i5x e e e dx e dx dx dx + + i5 i5 /5 /5 i5x i5x /5 e e i i e e + + i5 i5 i5 /5 i i e + e i Αφού i e cos( ) isi( ) i i e e cos( ) i e cos( ) isi( ) + + άρτιος c [ cos( ) ] [ cos( ) ] ( ) 4 i i i εριττ ός i cos( ) ( ) 4 i i5x i5x i5x i5x i5x i5x i5x i5x i5x ce 4 c 3e + c e + ce + ce 3 e e + e + e 9. Μία εριοδική συνάρτηση εριγράφεται αό τον ακόλουθο τύο σε μία ερίοδό της. x< /, / x < f(x), x < / / x< Κάντε το γράφημά της σε μία ερίοδο και αφού την χαρακτηρίσετε ως άρτια ή εριττή βρείτε το ανάτυγμα της σε τριγωνομετρική σειρά Fourier. Γράψτε τους οκτώ ρώτους όρους της σειράς. Λύση 4

43 Σειρές και μετασχηματισμός Fourier Η συνάρτηση f είναι εριττή, άρα και / b f ( x )si( x )dx ( ) si( x )dx si( x )dx + / / / / si(x)dx si( x)d( x) si(x)dx si( x)d( x) + / u x / / / si( x )dx si( u )du si(x)dx / / cos(x) si( x )dx cos( ) Αφού 4k+ 4k + cos( ) 4k + 3 4k + 4 Συνεώς η σειρά είναι η ισχύει 4k+ 4k + cos( ) 4k + 3 4k + 4 si( x ) si( 3x ) si( 4x ) si( 5x ) si(6 x ) si(7x ) si( 8x ) si x / / Παρατήρηση το ότι ( ) si( x )dx si( x )dx si( x )dx + / μορεί να εξαχθεί και αό το ότι η si( x ) είναι εριττή οότε το / / si( x )dx si( x )dx si( x )dx / /. Έχετε έναν αλμό λάτους 5 με διάρκεια ου εαναλαμβάνεται με ερίοδο. Με βάση την γραφική της αράσταση ου σας δίνεται, γράψτε τον τύο της συνάρτησης στο διάστημα [,] ου είναι μία ερίοδος. Χαρακτηρίστε τη συνάρτηση ως άρτια ή εριττή. Ανατύξτε την εκθετική σειρά Fourier της συνάρτησης και εξηγήστε οιες τιμές θα εμφανίζει σε γράφημα το διακριτό φάσμα λατών για τις τέσσερις ρώτες αρμονικές. y 5 / / 3 / 5 / x 43

44 Ι. Θ. Φαμέλης Λύση Η συνάρτηση είναι άρτια διότι το γράφημά της είναι συμμετρικό ως ρος τον άξονα yy και έχει τύο:, x < / f (x) 5, / x < /, / x< Αό τον τύο x / i ix c f ( x )e dx 5e dx / / i i ix i / i e e e si sic Αφού i e cos isi i e e isi e cos + isi Είσης / 5 / 5 c f(x)dx 5dx [ x] /. / Για τα λάτη ισχύει A c άρα το γράφημα θα αρουσιάζει τα Α,Α,Α,Α3.. Σχεδιάστε τον αλμό ο οοίος, σε μία ερίοδό του, εριγράφεται αό την συνάρτηση ου ακολουθεί. Στη συνέχεια χαρακτηρίστε τη συνάρτηση αυτή ως άρτια ή εριττή και βρείτε τους έντε ρώτους όρους της τριγωνομετρικής σειράς Fourier του αλμού. Λύση Το γράφημα είναι:, x< f(x), x< 4, x< 44

45 Σειρές και μετασχηματισμός Fourier y 4 / / 3 / 5 / x Η συνάρτηση f είναι άρτια διότι f ( x) f( x), άρα b και / f(x)dx f(x)dx+ dx+ dx x 4 4 / [ ] / 8 Ξέρουμε ότι για f συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [,](> ) και x [,] αν η f είναι άρτια f (x)dx f(x)dx. Η f (x)cos(x) είναι άρτια ως γινόμενο άρτιας εί άρτια. / f(x)cos(x)dx f(x)cos(x)dx cos(x)dx 4 / si(x) si( ) sic( ) 4 Αν k,k τότε si( ) si( k ). Αν k+,k τότε si( ) si( k + ) ( ) ( ) k Εομένως ( ), εριττος si( ), αρτιος Και η σειρά Fourier είναι η cos( 3x ) cos( 5x ) cos(7 x ) + cos x ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το αρόν υλικό δεν αοτελεί αυτόνομο διδακτικό υλικό, βασίζεται στο σύγγραμμα ου διανέμεται και στην ροτεινόμενη βιβλιογραφία του μαθήματος. Το εριεχόμενο του αρχείου αλά αοτελεί ερίγραμμα των αραδόσεων του μαθήματος. Αοτελούν τις διαφάνειες της διδασκαλίας μαθήματος αό το διδάσκοντα για δική του χρήση και αρακαλώ να μη χρησιμοοιηθεί και να μην ανααραχθεί και διανεμηθεί για άλλο σκοό. Ιδιαίτερα αραδείγματα και σχήματα έχουν αντληθεί αό τα συγγράμματα :. Fourier Series, W. Bolto. Σήματα και συστήματα, Καραμόγιας, Θεοδωρίδης ΕΑΠ 45

f(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f.

f(x)=f(x+λ), Τότε η συνάρτηση καλείται περιοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση καλείται αρχική περίοδος της f. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Θεωρία (σειρές Fourier) Εάν μιά συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το και υάρχει αριθμός λ> τέτοιος ώστε να ισχύει: f(x)f(x+λ), x Τότε η συνάρτηση καλείται εριοδική, ο δε ελάχιστος αριθμός λ για

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας,

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. Η ροσέγγιση συναρτήσεων µέσω ολυωνύµων, την οοία µελετήσαµε στην ροηγούµενη Ενότητα, αρά την αοτελεσµατικότητα και την, σχετική, αλότητά της, αοδεικνύεται ανεαρκής για την εριγραφή/ροσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων

Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Ιωάννης Χαρ. Κατσαβουνίδης Τμήμα Μηχ. Η/Υ, Τηλε. Δικτύων Πανειστήμιο Θεσσαλίας ΦΘινοωρινό Εξάμηνο 00/ Άσκηση Να βρείτε αν τα αρακάτω συστήματα είναι γραμμικά,

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ Χαρακτηριστικά μεγέθη της αλής αρμονικής ταλάντωσης είναι: Α) Αομάκρυνση (x ή y): ονομάζεται η αόσταση του σώματος κάθε χρονική στιγμή αό την θέση ισορροίας (x= ή y=) Β) Το λάτος της

Διαβάστε περισσότερα

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις. Ονομασίες Ορισμοί Ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει ακτίνα R. Αρχή μέτρησης των τόξων (γωνιών) είναι το Α, είτε κατά τη θετική φορά (αριστερόστροφα)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αοστολής στους Φοιτητές: 7 Αριλίου 9 Ημερομηνία αράδοσης της Εργασίας: 9 Μαΐου 9 Πριν αό την λύση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. β) Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της f1( z ) γράφονται. Οι πρώτες μερικές παράγωγοι

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. β) Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της f1( z ) γράφονται. Οι πρώτες μερικές παράγωγοι ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 4 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στο e-course στις «Περιλητικές Σημειώσεις» σελ7 και σελ5 β) Το ραγματικό και το φανταστικό μέρος της f( ) γράφονται uxy (, ) = si( x) και

Διαβάστε περισσότερα

Seirèc Fourier A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

Seirèc Fourier A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Seirèc Fourier A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA 1 Eisagwg Οι σειρές Fourier είναι ένα ιδιαίτερα χρήσιμο εργαλείο του Λογισμού ου βρίσκει ολλές εφαρμογές σε διάφορα εδία της ειστήμης, χ στις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 5 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.) Λύση: f ( ) ( ) ( ) ( )! f α) Ο τύος της σειράς µε κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

[1] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. z : Παρατηρούμε ότι sin

[1] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. z : Παρατηρούμε ότι sin [] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ. Τμήμα Α (α) Για τη συνάρτηση f () : Παρατηρούμε ότι si u= y x και v x u = ycos x, u = si x, v =, v =. x y x y = οότε Οι ανωτέρω ρώτες μερικές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις...

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία... 16 Παραδείγματα... 6 Ασκήσεις... 33 ΕΝΟΤΗΤΑ : ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ... 39 Θεωρία... 39 Ερωτήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΠΥΚΝΩΤΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Πυκνωτή ονομάζουμε ένα σύστημα δυο αγωγών οι οοίοι βρίσκονται σε μικρή αόσταση μεταξύ τους και φέρουν ίσα και αντίθετα ηλεκτρικά φορτία. Χαρακτηριστικό μέγεθος των υκνωτών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-12)

ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-12) ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-) ΛΥΣΕΙΣ 5 ΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ, - Eνότητες: 8,9,,,, αό το βιβλίο «ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ» Γ. άσιου. Παράδοση της εργασίας µεχρι τις 9 /4/

Διαβάστε περισσότερα

Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα τρεις (3) απλές αρμονικές ταλαντώσεις, που έχουν ίδια διεύθυνση, ίδια θέση ισορροπίας και εξισώσεις:

Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα τρεις (3) απλές αρμονικές ταλαντώσεις, που έχουν ίδια διεύθυνση, ίδια θέση ισορροπίας και εξισώσεις: Εφαρμογή: ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα τρεις () αλές αρμονικές ταλαντώσεις, ου έχουν ίδια διεύθυνση, ίδια θέση ισορροίας και εξισώσεις: x1 ( t) = 0.1 ηµ 99 t (S.I.) ( ) ηµ ( ) x t =

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» β) Το ραγματικό και το φανταστικό μέρος της f ( ) γράφονται uy (, ) = y και v(, y) = y Οι ρώτες μερικές

Διαβάστε περισσότερα

Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( x)

Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( x) http://eler.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές ααντήσεις 6 ης Γρατής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (5 μον.) (Για το ερώτημα (α) συμβουλευθείτε τα εδάφια. και. και για το (β) το εδάφιο. του συγγράμματος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύου «Σωστό - Λάθος». * Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ. * Αν = α + βi και αβ 0, τότε = α β i. Σ Λ. * Αν = κ + λi κ, λ R, τότε Re () =

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας,

1. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας, ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΙΔΙΑ ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας, οι οοίες εξελίσσονται γύρω αό την ίδια θέση ισορροίας.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε εριοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση ƒ με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ, Τ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε χ Α να ισχύει α) χ+τ Α, χ -

Διαβάστε περισσότερα

xsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy

xsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy ΔΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Εφαρμογή Να υολογιστεί το ολοκλήρωμα : cos sin dd Ολοκληρώνουμε ρώτα ως ρος θεωρώντας το σαν σταθερά (αρατηρούμε ότι το «εσωτερικό» ολοκλήρωμα είναι ως ρος, δηλαδή ρώτα εμφανίζεται το

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Ελευθέριος Πρωτοαάς Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Δεκέμβριος 04 Περιεχόµενα o Θέμα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα 6950 8 6954 9

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12)

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12) ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκε ί ου τ ράε ζ αθε μάτ ων( 1ηέ κδοση) θέ μαδε ύτ ε ροκαιτ έ τ αρτ ο Κόμβ οςατ σι οούλου01415 δης Ει μέ λε ι α:εμμανουήλκ.σκαλί Αντ ώνηςκ.αοστ όλου Άσκηση 1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας v.5 «Αυτό το ρόβλημα, τούτ η μεγάλη συμφορά για να λυθεί χρειάζεται, δίχως αμφιβολία, όως κοιτάζω α τη δική σου την λευρά, να δεις κι εσύ α τη δική μου τη γωνία».. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

Διαβάστε περισσότερα

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα.

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα Αντιπαράγωγος μίας συνάρτησης f() ορισμένης σε ένα διάστημα [α,β] λέγεται κάθε συνάρτηση F() που επαληθεύει την ισότητα F( ) f ( ) F( ) c επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης.

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης. Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σύρος Πανούσης Γιώργος Πααθανάση Κέλλυ Ραμαντάνης Βαγγέλης Σαμάνης Νίκος Τόλης Ευάγγελος -1-01 18808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Ααντήσεις ΘΕΜΑ ο Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 6. B. Σχολικό βιβλίο, σελίδες 97 και

Διαβάστε περισσότερα

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός Έστω µία συνάρτηση f µε εδίο ορισµού Α και A Θα λέµε ότι η f είναι εριοδική όταν υάρχει ραγµατικός αριθµός Τ > 0 έτσι ώστε για κάθε Α να ισχύει : i)

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 1 η & Λύσεις 2009/10 Θεματική Ενότητα ΦΥΕ14 " ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ "

Εργασία 1 η & Λύσεις 2009/10 Θεματική Ενότητα ΦΥΕ14  ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ Άσκηση Εργασία η & Λύσεις 9/ Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 Παράδοση 6//9 Αν υοθέσουμε ως στο τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων yz ο άξονας των z συμίτει με τη διεύθυνση της κατακόρυφου, να γράψετε αναλυτικά (με την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΓΜA ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΑΝΑΠΤΥΓΜA ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΑΝΑΠΤΥΓΜA ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ - ΣΕΙRA FOURIER Τα εριοδικά σήματα διακριτού χρόνου αριστάνονται με εερασμένα αθροίσματα. ( j a εξίσωση σύνθεσης a j ( εξίσωση ανάλυσης ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ 16968, 1765, 17656, 17663, 17664, 17681, 1769, 17699, 17704, 1775, 17736, 17739, 17741 ΘΕΜΑΤΑ 4 17837, 17838,

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ογελ ΣΥΚΕΩΝ ο ΓΕΛ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ Ειμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

σώμα από τη θέση ισορροπίας του με οριζόντια ταχύτητα μέτρου 4 m/s και με φορά προς τα δεξιά.

σώμα από τη θέση ισορροπίας του με οριζόντια ταχύτητα μέτρου 4 m/s και με φορά προς τα δεξιά. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΕΛΑΤΗΡΙΑ. Ένα σώμα μάζας m = kg βρίσκεται άνω σε λείο δάεδο και είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = N/m, το άλλο άκρο του οοίου είναι στερεωμένο σε κατακόρυφο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1 Να υολογίσετε τα όρια: 9 i) ii) ( ) 9 iii) 1 1 1 iv) 7 10 5 15 t t t 1 v) vi) t (t )(t ) 1 1 9 i) (ημ συν) ) 1 7 συν vii) 1 ημ viii) 1 5 i) ii) ημ 6 1 009, άν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. 1 (γ) lim. 1/ x

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. 1 (γ) lim. 1/ x ΠΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 00-00 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. (0 µον.) Να υολογισθούν τα όρια:

Διαβάστε περισσότερα

X(s + j 2π T k)esit ds, C 1 = a + j(0,2π/t) ( ln(z) + j2πk. z i 1 dz, C = e at+j(0,2π). j2π C T

X(s + j 2π T k)esit ds, C 1 = a + j(0,2π/t) ( ln(z) + j2πk. z i 1 dz, C = e at+j(0,2π). j2π C T Πανειστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ24: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Φθινόωρο 25 Λύσεις Εαναλητικών Εξετάσεων Θέμα 1 (α) Αό το μετασχηματισμό Laplace δ(t t ) e st, ροκύτει y[i ]δ(t i T) y[i ]e si T = Y (e st ), με

Διαβάστε περισσότερα

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ =

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ = 17 ο Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό έτος 01-015 ΤΑΞΗ:B' Λυκείου ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ :Αθήνα 8-6-015 ΘΕΜΑ 1ο Α. Nα αοδείξετε ότι αν ένα ολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 1 ΑΝ ΙΙΙ 07_08

Εργασία 1 ΑΝ ΙΙΙ 07_08 Εργασία ΑΝ ΙΙΙ 7_8 () t =,sin,cos t t t, t [,9], Για την αραμετρική καμύλη: ( ) Α Να βρεθεί η συνάρτηση μήκους τόξου και μια ισοδύναμη φυσική αραμετρική καμύλη q() s = (()) t s Β Να βρεθεί το σημείο Px

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕΡΟΣ A ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 1, Στρόβολος 3, Λευκωσία Τηλ. 357-37811 Φαξ: 357-3791 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 13 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Πέμτη, 3/5/13

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στις Σειρές Fourier

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στις Σειρές Fourier 61 Εισαγωγή Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στις Σειρές Fourier Είναι γνωστό αό τα Μαθηµατικά Ι ότι το ανάτυγµα Τaylor µιας αναλυτικής συνάρτησης σ ένα διάστηµα της ραγµατικής ευθείας I = ( x R, x + R) κέντρου x και

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου Ζήτηµα ο Α. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x του εδίου ορισµού της να γραφεί η εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης της f

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Δρ. Χαράλαμος Π. Στρουθόουλος Καθηγητής ΣΕΡΡΕΣ, ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Φυσικών της Ώθησης

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Φυσικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ειµέλεια: Οµάδα Φυσικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Παρασκευή, Μα ου Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΗΛΕΚΤΡΟΓΙΑ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ A. Για τις αρακάτω ροτάσεις Α. και Α. να γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ η εξεταστική ερίοδος 05 Σελίδα ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ Λυκείου Τμήμα: Βαθμός: Ημερομηνία: 700 Διάρκεια: ώρες Ύλη: Ταλαντώσεις Καθηγητής: Ονοματεώνυμο: ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων 1 Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόουλος ρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στην εργασία αυτή εισηµαίνονται και αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

Α=5 m ω=314 rad/sec=100π rad/sec

Α=5 m ω=314 rad/sec=100π rad/sec ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1. Ασκήσεις με τα χαρακτηριστικά της κίνησης. Μικρές ασκήσεις ου αναφέρονται στους ορισμούς της εριόδου, της συχνότητας, του λάτους και της ενέργειας της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα

κινητού και να βρούµε ποιο από τα δυο προηγείται, πρέπει να ακολουθήσουµε τα εξής βήµατα:

κινητού και να βρούµε ποιο από τα δυο προηγείται, πρέπει να ακολουθήσουµε τα εξής βήµατα: Ποιο µέγεθος ροηγείται ανάµεσα σε δυο µεγέθη ου αρουσιάζουν διαφορά φάσης µεταξύ τους Προκειµένου να καθορίσουµε τη διαφορά φάσης ανάµεσα σε δύο φυσικά µεγέθη ενός κινητού και να βρούµε οιο αό τα δυο ροηγείται,

Διαβάστε περισσότερα

ανάλυση, σχόλια και προεκτάσεις με αφορμή απαντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών που διατυπώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη

ανάλυση, σχόλια και προεκτάσεις με αφορμή απαντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών που διατυπώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη ανάλυση, σχόλια και ροεκτάσεις με αφορμή ααντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών ου διατυώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη (αραδείγματα αό τα μαθηματικά του λυκείου) του Δημητρίου Ντρίζου σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Ονοματεώνυμο.. Υεύθυνος Καθηγητής: Γκαραγκουνούλης Ιωάννης Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ > Τετάρτη -1-011 ΘΕΜΑ 1ο Να γράψετε στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟ Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΣΤΙΣ ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ (DRAFT)

ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟ Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΣΤΙΣ ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ (DRAFT) ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟ Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΣΤΙΣ ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ (DRAT Νικόλαος ηµητρίου ρ.ηλεκτρολόγος Μηχανικός ΣΕΠ, ΘΕ ΠΛΗ ΕΑΠ/ΠΛΗ αό 75 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 4 ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΚΥΜΑΤΟΜΟΡΦΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σπουδών) Ασκήσεις που παρουσιάστηκαν στο µάθηµα (2008-09)

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σπουδών) Ασκήσεις που παρουσιάστηκαν στο µάθηµα (2008-09) ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σουδών) Ασκήσεις ου αρουσιάστηκαν στο µάθηµα (8-9). Η σχέση διασοράς για τη ζώνη αγωγιµότητας Ε c c () ενός κυβικού ηµιαγώγιµου υλικού

Διαβάστε περισσότερα

Αλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi

Αλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi 8 λλαγή µεταβλητής στο τριλό ολοκλήρωµα Υενθυµίζουµε ( Θεωρηµα ) το γενικό τύο αλλαγής µεταβλητής στο ολλαλό ολοκλήρωµα: f ( y) dy= f ( g( x) ) det J g( x) dx (), Β= g n όου, Β Jodan µετρήσιµα υοσύνολα

Διαβάστε περισσότερα

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) (Ενδεικτικές Ααντήσεις)

Διαβάστε περισσότερα

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ . Ι ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 8 8 A Oµάδας.i) Να σχεδιάσετε τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων, στο ίδιο σύστηµα αξόνων: f() = ηµ, g() = 0,5.ηµ, h() = ηµ, 0 0 ηµ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις 4 Φεβρουαρίου 005 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:00-18:00) ΘΕΜΑ 1 ο (.5) Αναλύστε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ - ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ http://mathhmagic.blogspot.com/ Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί (Εαναλητικά) Ε ί εδη γωνία είναι η κλίση µεταξύ δυο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ. ii) Στις τρεις διαστάσεις, η ισχύς κατανέµεται σε σφαιρικές επιφάνειες, οπότε θα ισχύει: απ όπου προκύπτει για την ένταση Ι: 1

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ. ii) Στις τρεις διαστάσεις, η ισχύς κατανέµεται σε σφαιρικές επιφάνειες, οπότε θα ισχύει: απ όπου προκύπτει για την ένταση Ι: 1 η Ερώτηση ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ Όταν ρίξουµε µια έτρα στην ειφάνεια µιας ήρεµης λίµνης, τότε στο σηµείο της ειφάνειας ου έεσε η έτρα ροκαλείται µια διατάραξη της ειφανειακής µάζας του νερού στην ειφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

, του συστήµατος. αλλιώς έχουµε. 10π 15π

, του συστήµατος. αλλιώς έχουµε. 10π 15π Θέµατα Περασµένν Εξετάσεν και Ααντήσεις Εξετάσεις Σετεµβρίου 6. ΘΕΜΑ. µονάδα ίνεται το ΓΧΑ σύστηµα µε κρουστική αόκριση co in5 h Να βρεθεί και να σχεδιασθεί η αόκριση συχνότητας, H, του συστήµατος. Η κρουστική

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση ονομάζονται εκείνα στα οποία επιβάλλεται τάση της μορφής: = ( ω ϕ ) vt V sin t όπου: V το πλάτος (στιγμιαία μέγιστη τιμή) της τάσης ω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση: z (εφθ)z + =, θ (, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη ραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z οι ρίζες της αραάνω εξίσωσης. Αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος 1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η αόσταση του σώµατος αό το έδαφος (σε cm), δίνεται αό την συνάρτηση f(t)=1ηµ t +13, όου t ο χρόνος σε ώρες. α) Να βρείτε την ερίοδο της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Τηλεπικοινωνίες Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Σειρά Fourier Ορθοκανονικές Συναρτήσεις Στοεδάφιοαυτόθαδιερευνήσουμεεάνκαικάτωαπό

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Ηλεκτρολογίας Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Ηλεκτρολογίας Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Ηλεκτρολογίας Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α. Στις ερωτήσεις -5, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίλα το γράµµα ου αντιστοιχεί στη σωστή αάντηση..

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στα ΦΥΣΙΚΗ Γ' κατεύθυνσης

γραπτή εξέταση στα ΦΥΣΙΚΗ Γ' κατεύθυνσης γρατή εξέταση στα ΦΥΣΙΚΗ Γ' κατεύθυνσης Τάξη: Γ Λυκείου Τμήμα: Βαθμός: Ύλη: Ονοματεώνυμο: Καθηγητές: Εαναλητικό σε όλη την ύλη. Ατρείδης Γιώργος - Κόζυβα Χρύσα Θ Ε Μ Α ο Στις αρακάτω ερωτήσεις να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑΒΒΑΤΟ 3 ΙΟΥΝΙΟΥ 2006 ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ)

ΣΑΒΒΑΤΟ 3 ΙΟΥΝΙΟΥ 2006 ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ) ΣΑΒΒΑΤΟ 3 ΙΟΥΝΙΟΥ 200 ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ) ΟΜΑ Α Α Για τις αρακάτω ροτάσεις, Α.1. έως και Α.5., να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ρότασης και

Διαβάστε περισσότερα

2 α. Η συνισταμένη ταλάντωση έχει το ίδιο πλάτος με τις δύο ταλαντώσεις β. Η συνισταμένη ταλάντωση έχει συχνότητα f 2

2 α. Η συνισταμένη ταλάντωση έχει το ίδιο πλάτος με τις δύο ταλαντώσεις β. Η συνισταμένη ταλάντωση έχει συχνότητα f 2 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑΚΙΟΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 7-- ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ - ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Στις ημιτελείς

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 13: Ισχύς σε κυκλώματα ημιτονοειδούς διέγερσης Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ : «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 3ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανειστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παασταυρίδης Στάυρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΘΕΜΑ Β. Β1.. Η f παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της R (διότι. x άρα. x 1 0 για κάθε x R)

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΘΕΜΑ Β. Β1.. Η f παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της R (διότι. x άρα. x 1 0 για κάθε x R) ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεώρημα σελ. σχολ. βιβλ. 6 Α. Θεωρία σελ. σχολ. βιβλ. 4 Α. Θεωρία σελ. σχολ. βιβλ. 46-47 Α4. Λ, Σ, Λ, Σ, Σ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ

4.3 ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΜΡΟΣ Β 4. ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ 81 4. ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ Μονάδες μέτρησης όγκου Ως µονάδα µέτρησης όγκου θεωρούµε έναν κύο µε ακµή µήκους 1 µέτρο(m). Ο όγκος του ισούται µε 1 κυικό µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 5.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 5. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 5. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Cyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών -. Με ειφύλαξη αντός δικαιώµατος.

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύματα στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσον.

Δύο κύματα στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσον. Δύο κύματα στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσον. Σε δύο σημεία Ο 1 και Ο, τα οοία αέχουν αόσταση (Ο 1 Ο )=d=4m, ενός άειρου γραμμικού ελαστικού μέσου, υάρχουν δυο ηγές κύματος, οι οοίες αρχίζουν να ταλαντώνονται

Διαβάστε περισσότερα

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Το εκπαιδευτικό υλικό που ακολουθεί αναπτύχθηκε στα πλαίσια του έργου «Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών», του Μέτρου «Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ολοκληρώνοντας το 1 ο κεφάλαιο στα Μαθηματικά της Γενικής Παιδείας

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 5 Ηµεροµηνία Αοστολής στον Φοιτητή: 5 Αριλίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας αό τον Φοιτητή:

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΘΕΩΡΙΑ Κατεύθυνση Γ Λυκείου

Παρουσίαση 1 ΘΕΩΡΙΑ Κατεύθυνση Γ Λυκείου Παρουσίαση ΘΕΩΡΙΑ Παρουσίαση Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Ισότητα µιγαδικών. Να αναφέρετε ότε δύο µιγαδικοί α + βi και γ + δi, λέµε ότι είναι ίσοι. Αάντηση ύο µιγαδικοί α + βi και γ + δi, είναι ίσοι,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ η εξεταστική ερίοδος 05-6 - Σελίδα ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ Λυκείου Τμήμα: Βαθμός: Ημερομηνία: 7-0-05 Διάρκεια: ώρες Ύλη: Κρούσεις - Ταλαντώσεις Καθηγητής: Ονοματεώνυμο:

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Ηλεκτρολογίας Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Ηλεκτρολογίας Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 2000 Ζήτηµα ο Θέµατα Ηλεκτρολογίας Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 000 Α. Στις ερωτήσεις -5, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίλα το γράµµα ου αντιστοιχεί στη σωστή αάντηση.. Κατά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΤΡΕΧΟΝΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΤΡΕΧΟΝΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΚΥΜΑΤΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΤΡΕΧΟΝΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. Αν γνωρίζουμε την εξίσωση της αομάκρυνσης ενός αρμονικού κύματος μορούμε να βρούμε την εξίσωσης της ταχύτητας

Διαβάστε περισσότερα

. Σήματα και Συστήματα

. Σήματα και Συστήματα Σήματα και Συστήματα Βασίλειος Δαλάκας & Παναγιώτης Ριζομυλιώτης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σήματα και Συστήματα 1/17 Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 93) Να αποδειχθεί ότι: α) Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 014 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ (1ος Κύκλος) ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ Ηµεροµηνία: Παρασκευή 5 Αριλίου 014 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α Α Για τις αρακάτω ροτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά.

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Αό το Γυμνάσιο ξέρουμε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ημβ = = έάά ί Γ συνβ = = ίάά ί β α εφβ = = έάά ίάά Τριγωνομετρικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013. Ηµεροµηνία: Κυριακή 21 Απριλίου 2013 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013. Ηµεροµηνία: Κυριακή 21 Απριλίου 2013 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Αριλίου 013 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις αό Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιο

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στη ΦΥΣΙΚΗ Γ' κατεύθυνσης

γραπτή εξέταση στη ΦΥΣΙΚΗ Γ' κατεύθυνσης γρατή εξέταση στη ΦΥΣΙΗ Γ' κατεύθυνσης Τάξη: Γ Λυκείου Τμήμα: Βαθμός: Ημερομηνία: /04/0 Ύλη: Ονοματεώνυμο: αθηγητές: Όλη η ύλη Αθανασιάδης Φοίβος, Ατρείδης Γιώργος, όζυβα Χρύσα Θ Ε Μ Α ο Στις αρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ο μετασχηματισμός Fourier

Ο μετασχηματισμός Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier είναι από τα διαδεδομένα εργαλεία μετατροπής δεδομένων και συναρτήσεων (μιας ή περισσοτέρων διαστάσεων) από αυτό που ονομάζεται περιοχή χρόνου (time domain) στην περιοχή συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

ειναι η υπαρξη σημειων ευσταθειας (stationary points) που αναλυονται παρακατω. f ειναι παραγωγισιμη, τοτε η ( x)

ειναι η υπαρξη σημειων ευσταθειας (stationary points) που αναλυονται παρακατω. f ειναι παραγωγισιμη, τοτε η ( x) 4 Κλασσικες Μεθοδοι Βελτιστοοιησης Στο κεφαλαιο αυτο αρουσιαζονται τα ροβληματα βελτιστοοιησης: () χωρις εριορισμους, () με εριορισμους ισοτητας, () με εριορισμους ανισοτητας, και (4) με Rewto-Rapso..

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Φυσική Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Φυσική Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Φυσική Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ 1 (β) (γ) 3 (δ) 4 (α) 5 α (Σ), β (Λ), γ (Λ), δ (Λ), ε (Λ) ΘΕΜΑ 1ο ΘΕΜΑ ο 1 (α, στ) Το έργο W της

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 22: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ # Αναπαράσταση περιοδικών σημάτων με μιγαδικά εκθετικά σήματα: Οι σειρές Fourier Υπολογισμός συντελεστών Fourier Ανάλυση σημάτων σε μιγαδικά εκθετικά σήματα Είδαμε

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Διδάσκων : Επίκ Καθ Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

3.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αηµx + βσυνx

3.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αηµx + βσυνx 1.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αηµx + βσυνx Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Oµάδας 1.i) Να βρείτε την ερίοδο, τη µέγιστη τιµή και την ελάχιστη τιµή της αρακάτω συνάρτησης και στη συνέχεια να την αραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα