Κεφάλαιο Σειρές και μετασχηματισμός Fourier

Transcript

1 Σειρές και μετασχηματισμός Fourier Κεφάλαιο Σειρές και μετασχηματισμός Fourier Ορισμοί Μία συνάρτηση f(x) είναι εριοδική με ερίοδο όταν ισχύει f(x+)f(x). Η ελάχιστη δυνατή ερίοδος λέγεται και θεμελιώδης ερίοδος. Εμείς όταν λέμε ερίοδο θα αναφερόμαστε σε αυτήν. Μία συνηθισμένη εριοδική συνάρτηση είναι η ya si(ωx) όου το ω ονομάζεται (γωνιακή ή κυκλική) συχνότητα και το Α είναι το λάτος. Στο αρακάτω σχήμα αρατηρούμε ότι για την συνάρτηση si(ωx) όσο το ω μεγαλώνει τόσο μικραίνει η ερίοδος της συνάρτησης η οοία ισούται με Τ/ω. f ( x) si( x), g( x) si( x), h( x) si(3 x ).5 si( x) si( x) si(3 x) Είσης για την συνάρτηση ya si(x) η οοία έχει εδίο τιμών [Α,-Α] όσο το Α (θετικό) μεγαλώνει τόσο το λάτος της ταλάντωσης μεγαλώνει.

2 Ι. Θ. Φαμέλης si( x) si( x) Η γραφική αράσταση της συνάρτησης si( x + θ) είναι η γραφική αράσταση της si( x ) μετατοισμένη κατά θ (αριστερά εάν το θ είναι αρνητικό, δεξιά σε αντίθετη ερίτωση). Το θ ονομάζεται φάση..5 3 si( x + ) si( x) Ανάλογη είναι και η συμεριφορά της συνάρτησης συνημίτονο. Ο Je Bptiste Fourier (768-83) αόδειξε ότι κάθε εριοδική yf(χ) συνάρτηση μορεί να γραφεί ως ένα άειρο άθροισμα ημιτονοειδών συναρτήσεων της μορφής: f( x) A + A si( ωx+ φ ) + A si( ωx+ φ ) A si( ωx+ φ ) +... A + A si( ω x+ φ ) και τελικά να ροσεγγιστεί αό ένα εερασμένο f( x) A + A si( ωx+ φ ) + A si( ωx+ φ ) A si( ωx+φ ) Αυτή είναι η βάση των σειρών Fourier. Ο όρος A si( ωx+ φ ) ονομάζεται ρώτη αρμονική, ο A si( x ) ω + φ δεύτερη αρμονική κ.λ.. Παράδειγμα: Έστω για, y si( x) + si(3 x) + si(5 x) 3 5

3 Σειρές και μετασχηματισμός Fourier Οι τρεις αρμονικές ξεχωριστά είναι Αν άρω τους δύο ρώτους όρους του αθροίσματος έχω το γράφημα: Αν άρω και τους τρεις όρους του αθροίσματος έχω το γράφημα:

4 Ι. Θ. Φαμέλης Είναι φανερό ότι ροσθέτοντας και άλλους αρόμοιους όρους το γράφημα μοιάζει όλο και ερισσότερο με ένα σήμα. Είσης όταν y si( x) + si(3 x) +.3si( x) το γράφημα στο διάστημα [,] είναι το ακόλουθο: Αοκότοντας το τελευταίο όρο δηλαδή όταν y si( x) + si(3 x) αίρνουμε

5 Σειρές και μετασχηματισμός Fourier Όου μοιάζει η αοκοή αυτού του όρου να λειτούργησε ως φίλτρο. Τέτοια ανατύγματα συναρτήσεων σε τριγωνομετρικά αθροίσματα βρίσκουν ολλές εφαρμογές. Για αράδειγμα, μορούν να χρησιμοοιηθούν για το φιλτράρισμα θορύβου στην ανάλυση σημάτων. Είσης στις τηλεικοινωνίες βρίσκουν εφαρμογή στη μεταφορά του συνεχούς σήματος της φωνής μέσω δορυφόρου αό ένα σημείο του λανήτη σε ένα άλλο. Η μεταφορά του συνεχούς σήματος της φωνής, αφού ψηφιοοιηθεί, και η αοστολή του bit ρος bit ααιτεί την εεξεργασία και μεταφορά μεγάλου όγκου δεδομένων. Εάν το σήμα ανατυχθεί σε ένα τριγωνομετρικό άθροισμα, αρκεί να μεταφερθούν μόνο οι συντελεστές (φάσεις, συχνότητες και λάτη) και στον ροορισμό να εφαρμοστεί ο κατάλληλος τύος ώστε να ανααραχθεί το σήμα. Μία τέτοια διαδικασία είναι ολύ ιο οικονομική. Αό τη σχέση f ( x ) A si( ) + A x+ ω φ χρησιμοοιώντας την τριγωνομετρική ταυτότητα si( ω x+ φ ) si( φ ) cos( ωx) + cos( φ )si( ωx) έχουμε ότι f ( x) A + A[ si( φ)cos( ωx) + cos( φ)si( ω x) ] Θέτοντας στον τύο A και A si( φ ), b A cos( φ ) και ω / Τ φθάνουμε x x f ( x ) + [ cos( ) + b si( )] x x f (x) [ cos( ) b si( )] όου. b ή + Μορεί να αοδειχθεί ότι ισχύει : x + f( ) x dx x b x + x f(x)cos( )dx x x + x f(x)si( )dx x και οι σχέσεις ου συνδέουν τους συντελεστές είναι Παρατήρηση A + b, φ rct. b 5

6 Ι. Θ. Φαμέλης Ανάλογα κάθε εριοδική συνάρτηση μορεί να γραφεί ως ένα άειρο άθροισμα συνημιτονοειδών συναρτήσεων. Αό τη σχέση f( x) A + A cos( ωx + ϑ ) + A cos( ωx+ ϑ ) A cos( ωx + ϑ ) +... A + A cos( ωx+ ϑ ) χρησιμοοιώντας την τριγωνομετρική ταυτότητα cos( ω x+ ϑ ) cos( ϑ )cos( ωx) si( ϑ )si( ω x) Έχουμε ότι ( ) f x A + A [ cos( )cos( ) si( )si( ) ϑ ωx ϑ ωx ] Θέτοντας Φθάνουμε στον τύο A και A cos( ϑ ), b A si( ϑ ) και ω / Τ x x f ( x ) + [ cos( ) + b si( )] και οι σχέσεις ου συνδέουν τους συντελεστές είναι b A + b, ϑ rct. Θα ρέει να σημειώσουμε ότι οι γωνίες φάσεων μεταξύ του ημιτονοειδούς ανατύγματος και του συνημιτονοειδούς ανατύγματος διαφέρουν κατά /. Δηλαδή ϑ + ϕ. Σύγκλιση Η σύγκλιση της σειράς Fourier ειτυγχάνεται στα σημεία ου είναι συνεχής μία εριοδική συνάρτηση f(x) εάν ισχύουν οι συνθήκες Dirichlet :. Η f(x) είναι αόλυτα ολοκληρώσιμη σε μία ερίοδο, δηλαδή ισχύει f( x) dx <. Ο αριθμός των μεγίστων και ελαχίστων του f(x) είναι εερασμένος στο διάστημα της εριόδου. 3. Η f(x) είναι τμηματικά συνεχής με εερασμένο αριθμό ασυνέχειας στο διάστημα της εριόδου. Τέλος, στα σημεία ασυνέχειας η σειρά Fourier συγκλίνει στο ημιάθροισμα των f ( x+ ) + f( x ) λευρικών ορίων. 6

7 Σειρές και μετασχηματισμός Fourier Εάν μας ζητείται στην εκφώνηση να ανατύξουμε σε σειρά Fourier τη συνάρτηση και όχι αλά να βρούμε τη σειρά Fourier της συνάρτησης θα ρέει να βρούμε στα σημεία ασυνέχειας το ου συγκλίνει η σειρά. Ανατύσσοντας τη σειρά Fourier σε όλα τα σημεία ου είναι η σειρά συνεχής και βρίσκοντας ου συγκλίνει στα σημεία ασυνέχειας, μορούμε να ούμε ότι η σειρά Fourier αριστάνει τη συνάρτηση στο διάστημα της εριοδικότητας της. Εξαιτίας της εριοδικότητας της συνάρτησης η σειρά την αριστάνει σε όλο το. Χρήσιμοι τύοι στον υολογισμό των σειρών Fourier Οι άρτιοι είναι k όταν κ,,3,... οι εριττοί k+ όταν k,,,3,... ή k- όταν κ,,3,4,5,... k ( ) k + Χρήσιμοι τύοι: cos( ) ( ), si( ) Αν k,k τότε si( ) si( k ). Αν k+,k τότε k si( ) si( k + ) ( ) ( ) οότε si( ) ( ), εριττος, αρτιος Είσης 4k+ 4k + cos( ) 4k + 3 4k + 4 Αό την τριγωνομετρία γνωρίζουμε ότι Είσης ισχύουν: si si και cos cos. cos, και Ο τύος της αραγοντικής ολοκλήρωσης είναι.. Με χρήση των αραάνω τύων μορούμε να υολογίσουμε τα ολοκληρώματα: 7

8 Ι. Θ. Φαμέλης si cos si cos si si cos si cos cos si si cos cos cos si si Παράδειγμα Ανατύξτε σε σειρά Fourier στο διάστημα [-, ] την εριοδική συνάρτηση με γραφική αράσταση: Αό το σχήμα γίνεται φανερό ότι η υό μελέτη συνάρτηση στο διάστημα [-,] είναι σταθερά ίση με μηδέν, ενώ στο [,] ο τύος της είναι f(x)x, ώστε η γραφική της αράσταση να είναι το ευθύγραμμο τμήμα με αρχή το σημείο (,) και τέλος το (,). Άρα ο γενικός τύος της θα είναι:, - x < f( x) x, x< Χρησιμοοιώντας τους τύους Τ και x - έχουμε το ανάτυγμα Fourier της f(x) ως εξής: f ( x) + ( cos( x) + β si( x)), όου: + 8

9 x x f( x) dx ( dx+ xdx) ( + ) Σειρές και μετασχηματισμός Fourier. 4 x si( x) f( x) cos( xdx ) ( cos( xdx ) xcos( xdx ) ) ( x( ) dx) + + x si( x) si( x) si( ) ( x x dx) ( si( x) dx) x x cos( x) ( ) ( cos( ) cos()) (( ) ) x Η τελευταία σχέση μορεί να αναλυθεί εραιτέρω αν λάβουμε υόψη μας ότι, αν k ( ), αν k+, ως εξής:, αν k, αν k- (k ) Ανάλογα υολογίζουμε ότι:, k,,3,. cos( x) b f( x) si( xdx ) ( si( xdx ) xsi( xdx ) ) ( x ( ) dx) + + cos( x) cos( x) cos( ) ( x x dx) ( cosx dx + + ( ) ) ( ) si( x) ( + x x x x + ( ) ( ) ) ( + ). Έτσι συμεραίνουμε ότι το ζητούμενο ανάτυγμα Fourier της f(x) είναι: Όου ( ) f ( x) ( cos((k ) x)) + ( si( x)). 4 (k ) k Για το σημείο ισχύει ότι ( ) f( ) f( ) + f( + ) ( + ) οότε η σειρά ου υολογίσαμε αριστάνει την x f (x), < x< στο x, x < 9

10 Ι. Θ. Φαμέλης διάστημα εριοδικότητας της. Οότε λόγω της εριοδικότητας η σειρά αριστάνει την f σε όλο το. Παράδειγμα Ανατύξτε τη σειρά Fourier της συνάρτησης, x f ( x) x, < x Γνωρίζουμε ότι x x f( x) + ( cos( ) si( )) + b Στην ερίτωση μας Τ και x - και εομένως f( x) dx dx xdx f( x)cos( xdx ) cos( xdx ) + xcos( xdx ) si( x) xd(si( x)) + [ x si( x)] si( x) dx ' cos( x) [ si( ) si( )] dx [cos( x)] ( ) [cos( ) ] Δηλαδή Είσης, εριττος, αρτιος [ ] b f ( x)si( x) dx si( x) dx xsi( x) dx + cos( x) + xsi( x) dx [ cos( x) ] x( cos( x) )' dx

11 [ cos( x) ] x( cos( x) )' dx [ cos( x) ] [ x cos( x) ] + ( x) 'cos( x) dx [ cos( x) ] [ x cos( x) ] + cos( x) dx [ cos( x) ] [ x cos( x) ] + [ si( x) ] [ cos( ) ] [ cos( ) ] + ( ) ( ) Σειρές και μετασχηματισμός Fourier Συνοψίζοντας έχουμε ότι + και οι ρώτοι έξι συντελεστές 4, δίνονται στον αρακάτω ίνακα Παράδειγμα Υολογίστε τη σειρά Fourier της συνάρτησης : με f( x) f( x+ ) για κάθε x, αν αx, - x< f(x) α, β β x, x < Υολογίζουμε αναλυτικά τους συντελεστές του ανατύγματος Fourier για Τ και x : + ( β ) f ( x) + cos( x) + si( x) ( β ) ( β ) f ( x) dx xdx xdx xdx xdx + + x x ( β ) + β + β 4 Στα αρακάτω χρησιμοοιούμε αραγοντική ολοκλήρωση

12 Ι. Θ. Φαμέλης ( β ) f ( x) cos( x) dx x cos( x) dx x cos( x) dx + ( si( x) )' ( si( x) )' x dx β x dx + x x ( [ x si( x) ] ( x)' si( x) dx + β[ x si( x) ] β ( x)' si( x) dx x x ) ( [ x x ] si( x) dx β[ x x ] β si( x) dx + ) x x cos( x) cos( x) β x x ( ( cos() + cos( )) β( cos( ) + cos()) ) β + ( )( β ) ( ( + ( ) ) β ( ( ) + ) ) b f( x) si( xdx ) ( xsi( xdx ) β xsi( xdx ) + ) ( cos( x) )' ( cos( x) )' x dx β x dx + x x ( [ x cos( x) ] + ( x)' cos( x) dx β[ x cos( x) ] β ( x)' cos( x) dx x x + + ) [ ] cos() cos( ) + cos( x) dx+ β[ cos( ) + cos() ] + β cos( x) d x x si( x) si( x) ( ) + + β ( ) + β x x + ( ) ( ( ) + [ ] β ( ) + β [ ]) ( + β ) ( x) Έτσι, το ανάτυγμα Fourier της συνάρτησης f ( x ) είναι: + + ( β ) β + ( ) ( β ) ( ) f ( x) + cos( x) ( β) si( ) x. Παράδειγμα Να ανατυχθεί σε σειρά Fourier η συνάρτηση είναι οι τιμές για Λύση Έχουμε Τ και x. f ( x) x και για x της σειράς Fourier; x, x <. Ποιες Η σειρά Fourier δίνεται αό την αράσταση ( cos si x) + x+ b όου οι συντελεστές υολογίζονται ως εξής: 3 3 x 8 ( ) 3 3 f x dx x dx 4 3

13 f ( x) x dx x x dx Σειρές και μετασχηματισμός Fourier cos( ) cos( ) (κάνοντας δύο φορές αραγοντική ολοκλήρωση) ( ) ( ) ( ) + x si x x cos x si x ( ) ( ) ( ) 4 si 4cos si 4 + b f ( x) xdx x xdx si si (κάνοντας δύο φορές αραγοντική ολοκλήρωση) ( ) ( ) ( ) x cos x xsi x cos x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos 4 si cos cos Άρα η σειρά Fourier της f έχει ως εξής: ( cos si x ) + x+ b f( ) f( ) x 3 cos( ) si( x) y f( + ) f( + ) 4 y x x Η σειρά Fourier της f για x και x συγκλίνει στην τιμή ( f f ) ( f ++ f ) )/ ( ++ ) ( ) / ( ) ( Ανατύγματα Fourier σε άρτιες συναρτήσεις και σε εριττές συναρτήσεις Μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα [-α,α] είναι άρτια εφόσον ισχύει η σχέση f(-x)f(x). Οι άρτιες συναρτήσεις είναι συμμετρικές ως ρος τον άξονα yy. 3

14 Ι. Θ. Φαμέλης Παράδειγμα η ycos(x) Μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα [-α,α] είναι εριττή εφόσον ισχύει η σχέση f(-x)-f(x). Οι εριττές συναρτήσεις είναι συμμετρικές ως ρος την αρχή των αξόνων. Παράδειγμα η ysi(x) Το άθροισμα δύο άρτιων συναρτήσεων είναι άντα άρτια συνάρτηση, το άθροισμα δύο εριττών συναρτήσεων είναι άντα εριττή. Το άθροισμα άρτιας και εριττής συνάρτησης δεν μορούμε να το χαρακτηρίσουμε ως άρτια ή εριττή. Είσης το γινόμενο δύο άρτιων συναρτήσεων είναι άντα άρτια συνάρτηση, το γινόμενο δύο εριττών συναρτήσεων είναι άντα άρτια. Το γινόμενο άρτιας και εριττής συνάρτησης είναι άντα εριττή συνάρτηση. 4

15 Σειρές και μετασχηματισμός Fourier Μορεί εύκολα να αοδειχθεί ότι για f συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [,](> ) και x [,] αν η f είναι άρτια η f είναι εριττή f (x)dx f (x)dx f(x)dx και αν Σύμφωνα με το αραάνω όταν το διάστημα [x,x+] είναι της συμμετρικής μορφής [-Τ/,Τ/] τότε: Εάν η συνάρτηση f(x) είναι άρτια το x + x b f(x)si( )dx αφού x είναι ολοκλήρωμα άρτιας εί εριττής δηλαδή εριττής σε συμμετρικής μορφής διάστημα. Εάν η συνάρτηση f(x) είναι εριττή τόσο ολοκλήρωμα εριττής συνάρτησης όσο και x + f( x) dx αφού είναι x x + x f ( x )cos( )dx x αφού είναι ολοκλήρωμα εριττής εί άρτιας δηλαδή εριττής σε συμμετρικής μορφής διάστημα. Παράδειγμα Να βρείτε τη σειρά Fourier της εριοδικής συνάρτησης : με f( x) f( x+ ) για κάθε x, αν, x < f(x),, x < και στη συνέχεια να εαναροσδιοριστεί στα σημεία,ώστε η σειρά Fourier να αριστάνει την f σε όλο το. Η συνάρτηση f είναι εριττή, άρα και b f ( x )si( x )dx si( x )dx ( ) si( x )dx + si( x )dx si( x )d( x ) si( x )dx si( x )d( x ) + + u x si( x )dx + si( u )du 5

16 Ι. Θ. Φαμέλης cos(x) si( x )dx 4, εριττος [ cos( )] ( ), αρτιος Oότε Συνεώς η σειρά είναι η 4 si( 3x ) si( 5x ) si(7x ) si x Για το σημείο ( ) ( ) + ( + ) + ( ) έχουμε f ( f f ) ( ) () ( ) + ( + ) + ( ) Για το σημείο έχουμε f ( f f ) ( ) οότε εάν θεωρήσουμε την, x, < x < f(x), x, < x < η σειρά ου υολογίσαμε την αριστάνει σε το διάστημα της εριοδικότητας της και εξαιτίας της εριοδικότητας της συνάρτησης η σειρά την αριστάνει σε όλο το. Παράδειγμα Να βρείτε τη σειρά Fourier της εριοδικής συνάρτησης f( x) f( x+ ) για κάθε x, αν, x< f(x), x<, x< Η συνάρτηση f είναι άρτια, άρα b και : με 6

17 / f(x)dx f(x)dx dx+ dx x / / / Σειρές και μετασχηματισμός Fourier [ ] / f ( x )cos( x )dx f ( x )cos( x )dx cos( x )dx Αν si(x) si( ) k,k N τότε si( ) si( k ). Αν k +,k,,,... τότε si( ) si( k + ) ( ) ( ) Εομένως k ( ), εριττος si( ), αρτιος Οι ρώτοι ετά συντελεστές συνοψίζονται στον ακόλουθο ίνακα: Και η σειρά Fourier είναι η cos( 3x ) cos( 5x ) cos(7x ) + cos x Παρατηρούμε ότι για τα σημεία ασυνέχειας, ο αραάνω τύος αοτυγχάνει να υολογίσει με ακρίβεια την τιμή της συνάρτησης. Για αράδειγμα για x η σειρά έχει τιμή cos cos cos + cos η οοία δεν ισούται με το f. Για αυτό θα ρέει να ορίσουμε στα σημεία αυτά τις τιμές ου θα ρέει να έχει η συνάρτηση 7

18 Ι. Θ. Φαμέλης Για το σημείο έχουμε f( ) f( ) f( ) ( ) Για το σημείο έχουμε f( ) f( ) f( ) ( ) οότε εάν θεωρήσουμε την, x <, x f(x), x <, x, x < η σειρά ου υολογίσαμε την αριστάνει σε το διάστημα της εριοδικότητας της και εξαιτίας της εριοδικότητας της συνάρτησης η σειρά την αριστάνει σε όλο το. Παράδειγμα Ανατύξτε τη σειρά Fourier της συνάρτησης f(x) x, - x<. Εειδή f ( x) f( x) η συνάρτηση είναι άρτια και εομένως ανατύσσεται μόνο μέσω των συνημιτονικών αρμονικών f ( x) cosx + +. x xdx ( xdx+ xdx) xdx xdx Για έχουμε: six / x cos xdx x cos xdx x cos xdx x( ) dx si x si x cos x si x si xdx x + + (cos ), αv k (cos ) 4 4, v k + (k+ ) k,,,... Συνεώς το ανάτυγμα της f σε σειρά Fourier είναι + 4 cos ((k+ ) x) f( x) (k + ) k 8

19 Σειρές και μετασχηματισμός Fourier Παράδειγμα Υολογίστε τη σειρά Fourier της συνάρτησης : με f( x) f( x+ ) για κάθε x, αν f( x) si( x/), - x <. x x Δεδομένου ότι ισχύει si( ) si( ) η συνάρτηση f( x) si( x/) είναι εριττή. Αρκεί να βρούμε τα β στην αράσταση: si( x / ) b si( x ) Σύμφωνα με τα όσα γνωρίζουμε b f( x)si( x) dx. Για να υολογίσουμε το I si( x/ )si( x) dx χρησιμοοιούμε την τριγωνομετρική ταυτότητα si( x)si( x) ( cos( ) x cos( + ) x). Έχουμε I si( x/ )si( x) dx cos( ) cos( ) x + x d si( x ) si( x ) C. + + (/ ) (/ ) + x Άρα I si( ) si( ) x + x (/ ) (/ ) + si( ) si( + ) (/ ) (/ ) + cos( ) cos( ) (/ ) (/ ) + (/ 4) cos( ) ( ) (/ 4) Η εκθετική μορφή του ανατύγματος Fourier Εάν i είναι η μιγαδική μονάδα (φανταστική μονάδα τύος του Euler: iφ e cosφ+ isiφ Αό αυτόν έχουμε είσης iφ e cosφ isiφ i ), τότε ισχύει ο 9

20 Ι. Θ. Φαμέλης iϕ iϕ e + e Αό την ρόσθεση των δύο αυτών ταυτοτήτων έχουμε ότι cosϕ και e αφαιρώντας siϕ iϕ e i iϕ Οότε x x f ( x ) + [ cos( ) + b si( )] x x x x i i i i e + e e e + [ + b )] i x x x x i i i i e e e e + [ + + b b )] i i x x x x i i i i e e e e + [ + + ib ib )] i i x x x x i i i i e e e e + [ + bi + bi )] x x i i ib + ib + [ e + e ] x x i i c + [c e + c e ] όου c, c ib + ib και c ο συζυγής του. Μορεί να αοδειχθεί ότι για διαστήματα [x,x +] ου είναι της συμμετρικής μορφής [-Τ/,Τ/] τότε: / x i c f(x)e d x και / c / x i f(x)e dx, / Οότε συνολικά / x i c f ( x )e dx,, ±,,... ± και / f(x) x i Παράδειγμα Να βρείτε την εκθετική μορφή του ανατύγματος Fourier της εριοδικής συνάρτησης f (x) x για x [, ). Οότε Τ και x - c e

21 Αό τους τύους έχουμε: x c f(x)dx xdx 4 / x ix i ix e c f(x)e dx xe dx x dx i / ix ix xe e ' ix ix ( x) dx xe e dx i i i ix ' i ix e ix i ix e xe dx xe + i i i i i i i i ( e + e ) + ( e e ) ( ) i διότι i e cos isi i e cos+ isi i i e e isi ( ) i i e + e cos Οι συντελεστές ίνακα: Σειρές και μετασχηματισμός Fourier για -4,-3,-,-,,,,3,4 συνοψίζονται στον ακόλουθο Και τελικά 4 Παράδειγμα 3 f (x) ce ix Να βρείτε την εκθετική μορφή του ανατύγματος Fourier της εριοδικής συνάρτησης : με f( x) f( x+ ) για κάθε x, αν, x < f(x), x<, x < Οότε Τ και x - Αό τον τύο - ' 3 4

22 Ι. Θ. Φαμέλης x.5.5 i ix ix ix c f ( x )e dx ( e dx e dx e dx ) ix ix ix e + e + e i i.5 i.5 i/ i i/ i/ i i / ( e e e + e + e e ) i i/ i/ ( e e ) si sic i διότι i i / e cos isi e cos / isi / i e cos+ isi i i e e isi και ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) si c( x). i / e cos / + isi / i/ i / e e isi / si x Εδώ εισάγουμε τον συμβολισμό x Είσης υολογίζουμε.5.5 c f(x)dx ( dx+ dx+ dx) x + x + x.5.5 ([ ] [ ] [ ] ) ( ) Οότε αφού ισχύει si( ) ( ), εριττος, αρτιος Οι συντελεστές για -5,-4,-3,-,-,,,,3,4,5 συνοψίζονται στον ακόλουθο ίνακα: Και τελικά i x f(x) si e ix i3x i5x e e + e ix i3x i5x e e e... 3 Το φάσμα συχνοτήτων Όταν ένα κύμα αναλύεται μέσω μιας σειράς Fourier σε άθροισμα ημιτονοειδών (ή συνημιτονοειδών) αρμονικών το γράφημα των λατών Α και Α λέγεται διακριτό φάσμα λατών και το γράφημα των φάσεων φ (ή 5

23 των θ ) λέγεται διακριτό διακριτό φάσμα συχνοτήτων. Σειρές και μετασχηματισμός Fourier φάσμα φάσεων. Τα δύο μαζί αοτελούν το Είχαμε δει ότι για την τριγωνομετρική μορφή των σειρών Fourier το λάτος των αρμονικών και η φάση τους συνδέεται με τους συντελεστές της σειράς με βάση τους τύους A A + b, φ rct εάν ανατύσσεται b σε ημίτονα και b ϑ rct όταν έχουμε συνημιτονικές αρμονικές. Υενθυμίζουμε ότι οι γωνίες φάσεων μεταξύ του ημιτονοειδούς ανατύγματος και του συνημιτονοειδούς ανατύγματος διαφέρουν κατά /. Δηλαδή ϑ + ϕ. Παράδειγμα Η σειρά Fourier της άρτιας εριοδικής συνάρτησης f( x) f( x+ ) για κάθε x, αν βρήκαμε ότι έχει συντελεστές οότε, x< f(x), x<, x< b και :, si( ) sic( ) b A b, + ϕ ϑ rct rct ( ). Οι συντελεστές Α για.. συνοψίζονται στον ακόλουθο ίνακα: με και το διακριτό φάσμα λατών είναι το ακόλουθο: 3

24 Ι. Θ. Φαμέλης A Στην ερίτωση της εκθετικής μορφής έχουμε ( ) + ( b ) ib c c A c, και αρόμοια A c. 4 Άξονας μιγαδικών b A c ϑ Άξονας ραγματικών Αό το μέτρο των συντελεστών c μορώ να βρω το λάτος A c για κάθε μία αό τις αρμονικές συνιστώσες του ανατύγματος σε εκθετική μορφή. b Είσης, αό τη σχέση φ rct ή την ϑ rct και ϑ + ϕ b μορώ να βρω τις αντίστοιχες φάσεις. Είσης ισχύει A c. Έτσι μορούμε να σχεδιάσουμε και το φάσμα των συχνοτήτων για την ερίτωση των όρων της εκθετικής μορφής του ανατύγματος Fourier. Παράδειγμα Εάν.χ. c 4 3i μορώ να ω ότι η συνιστώσα αυτή έχει λάτος και γωνία φάσης rct(3/ 4) 36.8 (για συνημιτονικά ανατύγματα). 4

25 Σειρές και μετασχηματισμός Fourier Παράδειγμα Να βρείτε την εκθετική μορφή του ανατύγματος Fourier ενός αλμού με λάτος 5 και διάρκεια /5 ου εαναλαμβάνεται με ερίοδο Τ. Βρείτε τη συνάρτηση ου τον εριγράφει και σχεδιάστε τον. Σχεδιάστε το διακριτό φάσμα λατών και το διακριτό φάσμα των φάσεων., / x< / Η συνάρτηση έχει τύο f (x) 5, / x< / και γράφημα :, / x< / y 5 / / / / x Αό τον τύο / x / x i i c f ( x )e dx 5e dx / / / x 5 i 5 i i e e e si sic i i 5 5 / Αφού i 5 e cos isi 5 5 i 5 5 e e isi i 5 5 e cos isi Είσης υολογίζουμε / / 5 / c f(x)dx 5dx [ x] /. / / Οι συντελεστές για -5,-4,-3,-,-,,,,3,4,5 συνοψίζονται στον ακόλουθο ίνακα: c Παρατηρούμε ότι τα είναι ραγματικοί αριθμοί οότε τα λάτη ισούται με το μέτρο ενός ραγματικού αριθμού ου είναι ο ίδιος ο αριθμός. 5

26 Ι. Θ. Φαμέλης c Αν δούμε ιο αναλυτικά το φάσμα λατών αρατηρούμε ότι η έμτη, η δέκατη, η δέκατη έμτη κ.λ. αρμονική είναι. Οότε όως και η σταθερή δεν έχουν φάση. Το φάσμα λατών A c είναι το ακόλουθο: c ( ) A. A Είσης, αρατηρούμε ότι οι συντελεστές έχουν μόνο ραγματικό μέρος ib Δηλαδή ισχύει c si c b, si c 5 5. b Οότε οι γωνίες φάσης ϑ rct έχουν τόξο εφατομένης (για συνημιτονικά ανατύγματα). Άρα η γωνία φάσης μορεί να άρει τιμές -,,. 6

27 Σειρές και μετασχηματισμός Fourier Όως φαίνεται αό το αραάνω σχήμα για -4,-3,-,-,,,3,4 έχουμε συντελεστή c θετικό, οότε και το α θετικό. Δηλαδή έχουμε ένα σχήμα της μορφής: Άξονας μιγαδικών Άξονας ραγματικών και συμεραίνομε ότι η φάση θα είναι, για -4,-3,-,-,,,3,4. Όταν το c όως φαίνεται αό το σχήμα είναι αρνητικό (-9,-8,-7,-6, 6,7,8,9) τότε και το α θα ρέει να είναι αρνητικό. Άξονας μιγαδικών Άξονας ραγματικών Συμεραίνουμε ότι η φάση θα είναι - ή. Ειλέγουμε να είναι για -9, -8,-7,-6 και για 6,7,8,9. Συνοψίζοντας τα αραάνω έχουμε ότι το φάσμα των φάσεων είναι:

28 Ι. Θ. Φαμέλης Μετασχηματισμός Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier αοτελεί την εέκταση των σειρών Fourier στη γενική κατηγορία των συναρτήσεων (εριοδικών και μη). Όως και στις σειρές οι συναρτήσεις θα εκφράζονται με τη βοήθεια μιγαδικών εκθετικών διαφόρων συχνοτήτων. Ωστόσο, οι συχνότητες αυτές δεν είναι διακριτές αλλά συνεχείς. Έτσι η συνάρτηση έχει ένα συνεχές φάσμα. Αό την ανααράσταση μίας συνάρτησης με εκθετική σειρά Fourier γνωρίζουμε ότι / x / / i iωx iωx c f(x)e dx f(x)e dx c f(x)e dx / / / iω x Παίρνοντας το όριο τότε c f(x)e dx. Συμβολίζουμε με iωx F( ω ) f ( x)e dx και με αυτό το ολοκλήρωμα μετασχηματίζουμε τη συνάρτηση f(x) σε μία συνάρτηση με μεταβλητή τη κυκλική συχνότητα ω. Αυτό ισχύει διότι / ω οότε και το ολοκλήρωμα θα εξαρτάται αό το ω. Παρατήρηση: Πολλές φορές στη βιβλιογραφία η μεταβλητή του ολοκληρώματος είναι t ωστόσο για ειλέγουμε τη χρήση της μεταβλητής x είμαστε σε αρμονία με το συμβολισμό ου ειλέξαμε στις σειρές Fourier. Ο μετασχηματισμός αυτός ονομάζεται μετασχηματισμός Fourier και συμβολίζεται F iω x {f(x)} F( ω ) f(x)e dx Την αντίστροφη δουλειά κάνει ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier iωx f ( x) F { F( )} F( )e d ω ω ω Με το μετασχηματισμό Fourier μας δίνεται η δυνατότητα να εριγράψουμε μη εριοδικές συναρτήσεις με τη χρήση συναρτήσεων με συχνότητα. Δηλαδή μορούμε να μετασχηματίσουμε συναρτήσεις στο εδίο του χρόνου σε συναρτήσεις στο εδίο συχνοτήτων. Το αοτέλεσμα του μετασχηματισμού είναι μιγαδική οσότητα. Είσης έχουμε ότι iωx F( ω) f ( x )e dx f ( x )(cosωx i siωx )dx f ( x )cosωxdx i f ( x )si xdx ω οότε Συμβολίζουμε A( ω) f ( x )cosωxdx, Β( ω) f ( x )siωxdx Το μέτρο F( ω ) Αω ( ) ib( ω) ( ) F( ω) A ( ω) + B ( ω ) και η φάση ( ) rct B ω ϕω A ( ω ) Για τον αλμό με λάτος τ έχουμε συνεχές φάσμα : 8

29 Σειρές και μετασχηματισμός Fourier 9 F( ω) Χαρακτηριστικοί μετασχηματισμοί Fourier: f(x) F {f(x)} δ(x) A u(x) sg(x)u(x)-u(-x) Παλμός u(x+τ/)- u(x-τ/) e -x u(x) e -x u(-x) e iφx cos(φx) si(φx) Αδ(ω) δ(ω)+/(iω) /(iω) τ si(ωτ/)/(ωτ/) /(+iω) /(-iω) δ(ω-φ) [δ(ω+φ)+ δ(ω-φ)] i[δ(ω+φ)- δ(ω-φ)] Μερικές αό τις ιδιότητες ου ισχύουν: Ο μετασχηματισμός Fourier και αντίστροφός του είναι γραμμικός, δηλαδή ισχύει: F{ f ( x) + bg( x)} F{ f ( x)} + bf{ g( x)} F { F( ω) + by( ω)} F { F( ω)} + bf { Y( ω)} Όταν F { f( x)} F( ω) ισχύουν οι κάτωθι ιδιότητες: iϕt F { e f( x)} F( ω ϕ) iω F { f( x )} e F( ω) ω F { f( x)} F( ) F {cos( x) f ( x)} ( F( ω ) + F( ω+ )) Και για την αράγωγο ισχύει: 9

30 Ι. Θ. Φαμέλης όταν όως είαμε F( ω ) F { f( x)}. ( ω) F { f ( x)} i F( ω) Αν οι συναρτήσεις f(x), g(x), είναι συνεχείς ή κατά τμήματα συνεχείς σε όλο το σύνολο των ραγματικών ορίζουμε ως συνέλιξη f(x)*g(x) των δύο συναρτήσεων Για τη συνέλιξη ισχύουν τα εξής: ( ) ( f * g)( x) f( x)* gx ( ) fugx ( ) ( udu ) F{ f * g ( x)} F{ f( x)} F { g( x)} F( ω) G( ω) F F ω G ω F F ω F G ω f x g x { ( ) ( )} { ( )}* { ( )} ( )* ( ) όταν F{ f( x)} F( ω), F { g( x)} G( ω). Σχέση μετασχηματισμού Fourier με μετασχηματισμό Lplce Εάν ορίσουμε τη συνάρτηση x e g( x) x f ( x) x < sx x ωix ix L{ f( x)}( s) Fs ( ) e f( xdt ) e e f( xdx ) e gxdx ( ) { gx ( )}( ω) G( ω) F όου θεωρήσαμε ότι s α + ωi. Εφαρμογή: Έστω ότι έχουμε το σύστημα: f ( x) yx ( ) στο οοίο η είσοδος και η έξοδος σχετίζονται αό τη διαφορική εξίσωση: d y dy + + y bf( x ) dx dx Εφαρμόζουμε το μετασχηματισμό Fourier και στα δύο μέρη: ( ) ( ) iω Υ ( ω) + iω Υ ( ω) + Υ ( ω) bf( ω) Όου F ( yx ( )) Υ(ω), F( f( x )) F(ω) οι μετασχηματισμοί των y(x),f(x) αντίστοιχα. Λύνω και έχω 3

31 Σειρές και μετασχηματισμός Fourier b b F( yx ( )) Υ ( ω ) F( ) F( ) H( ) F( ) ( i ) ( ) ( i ) i ω ω ω ω ω ω ω ω b όου η H( ω) ονομάζεται συνάρτηση μεταφοράς ή ω + ( iω) + αόκριση του συστήματος και συνδέει τους μετασχηματισμούς Fourier της εισόδου και της εξόδου του συστήματος. Παίρνοντας τους αντίστροφους μετασχηματισμούς έχουμε τη λύση yx H F H F ( ) F { ( ω) ( ω)} F { ( ω)}* F { ( ω )} Παράδειγμα: Έστω έχουμε ένα σύστημα στο οοίο η είσοδος και η έξοδος σχετίζονται αό τη διαφορική εξίσωση: dy + y δ ( x) dx Παρατηρούμε ότι έχουμε είσοδο δ(x) οότε F ( δ ( x)) οότε εφαρμόζουμε το μετασχηματισμό Fourier και στα δύο μέρη: όου F( yx ( )) Υ(ω). Λύνω και έχω ( iω) Υ ( ω) +Υ ( ω) F ( δ( x)) F ( yx ( )) Υ ( ω) H( ω) F( ω) F( ω) + ωi + ωi + ωi Άρα το σύστημα έχει συνάρτηση μεταφοράς Η αόκρισή του στην είσοδο δ(x): H ( ω). + ωi x yx ( ) F { Y( ω)} F { H( ω)} F { } e. ωi + Εφαρμογή: Ηλεκτρικά κυκλώματα Έστω ένα κύκλωμα το οοίο αοτελείται αό μία ηγή ηλεκτρεργετικής δύναμης Ε (Volt), η οοία μορεί να είναι σταθερή ή να εξαρτάται αό το χρόνο δηλαδή ΕΕ(t), υκνωτή χωρητικότητας C (Frd), ηνίο αυτεαγωγής l (Hery), ωμική αντίσταση R (Ohm) και διακότη Δ, συνδεδεμένα σε σειρά. Δ E ir Q C di l dt C R l 3

32 Ι. Θ. Φαμέλης Θεωρούμε το κύκλωμα ως ένα σύστημα με είσοδο την εφαρμοζόμενη τάση και έξοδο την ένταση του ρεύματος. Δεχόμαστε ότι i(). Εφαρμόζουμε τον ρώτο νόμο του Kirchhoff ο οοίος μας δίνει di di Q E Q l R i l + R i+ E, C dt dt C Παραγωγίζοντας τη διαφορική εξίσωση ου ροκύτει αό τον ρώτο νόμο του Kirchhoff οδηγούμαστε στη δευτέρας τάξης διαφορική εξίσωση d i di de + + dt dt C dt l R i Εφαρμόζουμε το μετασχηματισμό Fourier και στα δύο μέρη: d i di de l R i F dt dt C dt F + + d i di de () dt dt C dt lf + R F + F i F ( ω) ω ( ω) ω ω ( ω) i l I( ) + i R I( ) + I( ) i F ( E( t)) C όου F (()) it Iω ( ). Λύνω και έχω ( iω ) I ( ω) F( Et ( )) F ( Et ( )) ( iω) l+ ( iω) R+ ( iω) l+ R+ C C i ( ω ) Δηλαδή η συνάρτηση μεταφοράς ή αόκριση του συστήματος είναι οότε iωc H ( ω) i l+ R+ + + C i ( ω) ω lc iωrc ( ω) I( ω) H( ω) F ( E( t)) αό όου εφαρμόζοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier και χρησιμοοιώντας την ιδιότητα της συνέλιξης έχουμε it () F H( ) * Et () { ω } dq() t di d Q Παρόμοια, για το φορτίο, όως έχουμε δει ισχύει it () dt dt dt di Q d Q dq Q d Q dq Q l + R i+ E l + R + E F l R + + F( E) dt C dt dt C dt dt C dq dq dt dt C ( ) ( ) lf + RF + F Q F E ( ω) ( ) ( ω) ( ) ( ) ( ) i lf Q + i RF Q + F Q F E C F( Q) F( E( t)) H( ω) F ( E( t)) iω l+ iω R+ C ( ) ( ) 3

33 Σειρές και μετασχηματισμός Fourier Όου C H( ω) lc i RC ( iω) l+ ( iω) R+ ω + ω + C Εφαρμόζοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier και χρησιμοοιώντας την ιδιότητα της συνέλιξης έχουμε Συμληρωματικές Ασκήσεις Qt () F H( ) * Et () { ω }. Να υολογιστεί η σειρά Fourier, η οοία αντιροσωεύει την αράσταση x + x στο διάστημα < x <. Λύση: Θεωρώ την συνάρτηση f x x x ( ) +. την αράσταση + ( cos( x) + bsi( x)), όου οι συντελεστές Η ζητούμενη σειρά Fourier δίνεται αό υολογίζονται ως εξής: x x f( xdx ) ( x xdx ) Με αραγοντική ολοκλήρωση μορούμε εύκολα να δείξουμε ότι: x cos( x) ( x )si( x) x cos( x) dx + και 3 cos( x) xsi( x) xcos( x) dx +. Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση f ( x) x cos( x) είναι άρτια ενώ η συνάρτηση f ( x) xcos( x) είναι εριττή και ότι το διάστημα ολοκλήρωση είναι συμμετρικό ως ρος την αρχή των αξόνων. Οότε μορούμε εύκολα να υολογίσουμε τους συντελεστές ως εξής: x x x dx x x dx x x dx x x dx ( )cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) x cos x + ( x )six cos ( ). Ομοίως, υολογίζουμε και τους συντελεστές b : b ( x x)si( x) dx x si( x) dx xsi( x) dx xsi( x) dx six x cosx cos cos ( ). 33

34 Ι. Θ. Φαμέλης Τελικά, αντικαθιστώντας τους συντελεστές και b έχουμε: 4 f ( x) x + x + ( ) cos x+ ( ) six 3 + ( 4cos x+ si x) + ( cos x si x) Να βρεθεί η σειρά Fourier της συνάρτήση, x f( x) x, < x Λύση: Στη ερίτωση μας και εομένως f ( x) dx dx xdx f ( x)cos( x) dx cos( x) dx + x cos( x) dx si( x) + xd(si( x)) [ xsi( x) si( x) dx] ( ) [cos( x)] [cos( ) ] b f ( x)si( x) dx si( x) dx xsi( x) dx + [ cos( x) ] + xsi( x) dx [ cos( x) ] x( cos( x) )' dx [ cos( x) ] x( cos( x) )' dx [ cos( x) ] [ x cos( x) ] + ( x) 'cos( x) dx [ cos( x) ] [ x cos( x) ] + cos( x) dx [ cos( x) ] [ x cos( x) ] + [ si( x) ] [ cos( ) ] [ cos( ) ] + 34

35 ( ) ( ) Οότε x x f ( x ) + [ cos( ) + b si( )] Σειρές και μετασχηματισμός Fourier 3. Να βρείτε τη σειρά Fourier της εριοδικής συνάρτησης f : με f( x) f( x+ ) για κάθε x, αν όου, x< f(x), x<, x< Η συνάρτηση f είναι άρτια διότι f ( x) f( x), άρα b και / f(x)dx f(x)dx+ dx+ dx x / Ξέρουμε ότι για f συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [,](> ) και x [,] [ ] / αν η f είναι άρτια f (x)dx f(x)dx. Η f (x)cos(x) είναι άρτια ως γινόμενο άρτιας εί άρτια. / f ( x )cos( x )dx f ( x )cos( x )dx cos( x )dx / si( x ) si( ) Αν k,k τότε si( ) si( k ). Αν k +,k τότε si( ) si( k + ) ( ) ( ) k Εομένως ( ), εριττος si( ), αρτιος Και η σειρά Fourier είναι η cos( 3x ) cos( 5x ) cos(7x ) + cos x

36 Ι. Θ. Φαμέλης Για αράδειγμα για x η σειρά έχει τιμή cos cos cos + cos η οοία δεν ισούται με το f. Για αυτό θα ρέει να ορίσουμε στα σημεία αυτά τις τιμές ου θα ρέει να έχει η συνάρτηση Για το σημείο έχουμε f( ) f( ) f( ) ( ) Για το σημείο έχουμε f( ) f( ) f( ) ( ) οότε εάν θεωρήσουμε την, x <, x f(x), x < η σειρά ου υολογίσαμε την αριστάνει σε το, x, x < διάστημα της εριοδικότητας της και εξαιτίας της εριοδικότητας της συνάρτησης η σειρά την αριστάνει σε όλο το. 4. Υολογίστε τη σειρά Fourier της συνάρτησης : με f( x) f( x+ ) για κάθε x, αν f ( x) si( x ), - x <, όου όχι ακέραιος. Δεδομένου ότι ισχύει si( ( x)) si( x) η συνάρτηση f ( x) si( x ) είναι εριττή. Αρκεί να βρούμε τα στην αράσταση: b si( x) b si( x) Σύμφωνα με τα όσα έχουμε ει: b f( x)si( x) dx. 36

37 Σειρές και μετασχηματισμός Fourier Για να υολογίσουμε το I si( x)si( x) dx χρησιμοοιούμε την si( )si( ) cos( ) cos( + ). Έχουμε τριγωνομετρική ταυτότητα x x ( x x) I x x dx x + x dx si( ) x si( ) x C si( )si( ) [ cos( ) cos( ) ] Άρα I si( ) si( ) x + x + si( ) si( + ). + Όμως οι γωνίες ( ),( + ) διαφέρουν κατά άρτιο ολλαλάσιο του. Άρα I si( ) si( + ) + si( ) si( ) + si( ). Τελικά έχουμε I si( ) ( ) si 5. Να βρείτε τη σειρά Fourier της εριοδικής συνάρτησης : με f( x) f( x+ ) για κάθε x, αν f(x) x+ x, x<, και στη συνέχεια να εαναροσδιοριστεί η συνάρτηση στο σημείο Fourier να αριστάνει την f σε όλο το. ώστε η σειρά Λύση Η συνάρτηση γράφεται, x< f(x) x, x < Εφόσον Τ και x - η σειρά Fourier είναι της μορφής: f ( x ) + [ cos( x ) + b si( x )] Υολογίζουμε τους συντελεστές της σειράς: ( ) f x dx dx+ xdx x 37

38 Ι. Θ. Φαμέλης si(x) / f ( x )cos( x )dx x cos( x )dx x[ ] dx si( x ) si( x ) x x dx si(x) cos(x) + Δηλαδή [ cos( ) ] ( ) 4, εριττος, αρτιος cos(x) / b f ( x )si( x )dx x si( x )dx x[ ] dx cos( x ) cos( x ) x x dx cos( x ) si( x ) cos( ) ( ) Δηλαδή b, εριττος, αρτιος Εομένως η σειρά Fourier είναι η ( ) cos[( k )x ] si( x ) k (k ) + 4 cosx cos(3x) cos(5x)... six si(x) si(3x) si(4x) Για το σημείο f( ) ( f( ) + f( + )) ( + ) οότε εάν θεωρήσουμε την x f (x), < x< η σειρά ου υολογίσαμε την αριστάνει στο x, x < διάστημα της εριοδικότητας της και εξαιτίας της εριοδικότητας της συνάρτησης η σειρά την αριστάνει σε όλο το. 38

39 Σειρές και μετασχηματισμός Fourier 6. Να βρείτε τη σειρά Fourier της εριοδικής συνάρτησης f : με f( x) f( x+ ) για κάθε x, αν όου., x< f(x),, x< Η συνάρτηση f είναι εριττή διότι f ( x) f( x), άρα και Ξέρουμε ότι για f συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [,](> ) και x [,] αν η f είναι άρτια f (x)dx f(x)dx. Η f (x)si(x) είναι άρτια ως γινόμενο εριττής εί εριττή. cos(x) b f ( x )si( x )dx si( x )dx 4, εριττος [ cos( )] ( ), αρτιος Συνεώς η σειρά είναι η 4 si( 3x ) si( 5x ) si(7x ) si x Χρησιμοοιώντας αραγοντική ολοκλήρωση υολογίστε τα ολοκληρώματα ( x + )si( x) dx, ( x + )cos( x) dx Να βρεθεί η τριγωνομετρική σειρά Fourier της f(x) x+, -<x<. Χρησιμοοιώντας το ροηγούμενο ανάτυγμα δείξτε ότι ( ) Χρησιμοοιώντας Mtlb σχεδιάστε την f(x) x+ στο διάστημα (-,) καθώς και τα μερικά αθροίσματα του ανατύγματός της σε σειρά Fourier για, 3 και 5 όρους. Λύση α. cos( x) ( x + )si ( x) dx xsi ( x) dx + si ( x) dx x( )' dx cos( x) + C cos( x) cos( x) cos( x) cos( x) x + ( x)' dx cos( x) C x dx cos( x) C cos( x) si ( x) x + cos ( x) + C si( x) si( x) ( x + )cos( x) dx x cos( x) dx + cos( x) dx x( )' dx + C + 39

40 Ι. Θ. Φαμέλης si( ) si( ) si( ) si( ) si( ) cos( ) x x ( x)' x dx + x + C x x x dx + x + C xsi( x) cos( x) si( x) C β. Εφόσον Τ και x - η σειρά Fourier είναι της μορφής: f ( x ) + [ cos( x ) + b si( x )] Υολογίζουμε τους συντελεστές της σειράς: ( ) x + 4 f( x) dx ( x+ ) dx 4 f ( x )cos( x )dx ( x + )cos( x )dx x si( x ) cos( x ) si( x ) + + b f(x)si(x)dx (x )si(x)dx + ( ) si( x) cos x x + cos ( x) cos ( ) cos ( ) cos ( ) + cos ( ) + cos( ) ( ) όου χρησιμοοιήσαμε ότι cos( x) cos( x), si( x) si( x), si( ), cos( ) ( ). Δηλαδή, εριττος b, αρτιος Εομένως η σειρά Fourier είναι η f(x) + [ cos(x) + b si(x)] + ( ) + si( x ) + si x si( x ) + si( 3x ) si( 4x ) + si( 5x ) γ. Έχουμε αό τα αραάνω 4

41 Σειρές και μετασχηματισμός Fourier + x + si x si( x ) + si( 3x ) si( 4x ) + si( 5x ) Θέτοντας στην αραάνω x έχουμε 3 5 si si( ) si( ) si( ) si( ) si( 3 ) ( ) δ. >> cler ll >> xlispce(-pi,pi); >> fx+pi; >> fpi+*si(x); >> f3pi+*(si(x)-/*si(*x)+/3*si(3*x)); >> f5pi+*(si(x)-/*si(*x)+/3*si(3*x)-/4*si(4*x)+/5*si(5*x)); >>f7pi+*(si(x)-/*si(*x)+/3*si(3*x)-/4*si(4*x)+/5*si(5*x)- /6*si(6*x)+/7*si(7*x)); >> plot(x,f,x,f,x,f3,x,f5,x,f7) Το αοτέλεσμα f f f3 f5 f μας δείχνει ότι όσο ερισσότερους όρους θεωρήσουμε τόσο καλύτερη ροσέγγιση της συνάρτησης ειτυγχάνουμε. 8. Μία εριοδική συνάρτηση εριγράφεται αό τον ακόλουθο τύο σε μία ερίοδό της. 4, /5 x< f(x), 4, x < /5 4

42 Ι. Θ. Φαμέλης Κάντε το γράφημά της σε μία ερίοδο, είτε οια είναι η ερίοδός της και βρείτε την εκθετική μορφή του ανατύγματός της Fourier. Γράψτε τους όρους του ανατύγματος αό -4 έως 4. Λύση Η ερίοδος της είναι /5. Αρχικά / /5 5 /5 c f(x)dx 4dx 4dx [ x] [ x] /5 + + / /5. Αυτό βγαίνει και άμεσα αό την αρατήρηση ότι η συνάρτηση είναι εριττή. Αό τον τύο / x x /5 x i 5 i i c f ( x )e dx 4e dx 4e dx + / /5 /5 i5x ' /5 i5x ' i5x i5x e e e dx e dx dx dx + + i5 i5 /5 /5 i5x i5x /5 e e i i e e + + i5 i5 i5 /5 i i e + e i Αφού i e cos( ) isi( ) i i e e cos( ) i e cos( ) isi( ) + + άρτιος c [ cos( ) ] [ cos( ) ] ( ) 4 i i i εριττ ός i cos( ) ( ) 4 i i5x i5x i5x i5x i5x i5x i5x i5x i5x ce 4 c 3e + c e + ce + ce 3 e e + e + e 9. Μία εριοδική συνάρτηση εριγράφεται αό τον ακόλουθο τύο σε μία ερίοδό της. x< /, / x < f(x), x < / / x< Κάντε το γράφημά της σε μία ερίοδο και αφού την χαρακτηρίσετε ως άρτια ή εριττή βρείτε το ανάτυγμα της σε τριγωνομετρική σειρά Fourier. Γράψτε τους οκτώ ρώτους όρους της σειράς. Λύση 4

43 Σειρές και μετασχηματισμός Fourier Η συνάρτηση f είναι εριττή, άρα και / b f ( x )si( x )dx ( ) si( x )dx si( x )dx + / / / / si(x)dx si( x)d( x) si(x)dx si( x)d( x) + / u x / / / si( x )dx si( u )du si(x)dx / / cos(x) si( x )dx cos( ) Αφού 4k+ 4k + cos( ) 4k + 3 4k + 4 Συνεώς η σειρά είναι η ισχύει 4k+ 4k + cos( ) 4k + 3 4k + 4 si( x ) si( 3x ) si( 4x ) si( 5x ) si(6 x ) si(7x ) si( 8x ) si x / / Παρατήρηση το ότι ( ) si( x )dx si( x )dx si( x )dx + / μορεί να εξαχθεί και αό το ότι η si( x ) είναι εριττή οότε το / / si( x )dx si( x )dx si( x )dx / /. Έχετε έναν αλμό λάτους 5 με διάρκεια ου εαναλαμβάνεται με ερίοδο. Με βάση την γραφική της αράσταση ου σας δίνεται, γράψτε τον τύο της συνάρτησης στο διάστημα [,] ου είναι μία ερίοδος. Χαρακτηρίστε τη συνάρτηση ως άρτια ή εριττή. Ανατύξτε την εκθετική σειρά Fourier της συνάρτησης και εξηγήστε οιες τιμές θα εμφανίζει σε γράφημα το διακριτό φάσμα λατών για τις τέσσερις ρώτες αρμονικές. y 5 / / 3 / 5 / x 43

44 Ι. Θ. Φαμέλης Λύση Η συνάρτηση είναι άρτια διότι το γράφημά της είναι συμμετρικό ως ρος τον άξονα yy και έχει τύο:, x < / f (x) 5, / x < /, / x< Αό τον τύο x / i ix c f ( x )e dx 5e dx / / i i ix i / i e e e si sic Αφού i e cos isi i e e isi e cos + isi Είσης / 5 / 5 c f(x)dx 5dx [ x] /. / Για τα λάτη ισχύει A c άρα το γράφημα θα αρουσιάζει τα Α,Α,Α,Α3.. Σχεδιάστε τον αλμό ο οοίος, σε μία ερίοδό του, εριγράφεται αό την συνάρτηση ου ακολουθεί. Στη συνέχεια χαρακτηρίστε τη συνάρτηση αυτή ως άρτια ή εριττή και βρείτε τους έντε ρώτους όρους της τριγωνομετρικής σειράς Fourier του αλμού. Λύση Το γράφημα είναι:, x< f(x), x< 4, x< 44

45 Σειρές και μετασχηματισμός Fourier y 4 / / 3 / 5 / x Η συνάρτηση f είναι άρτια διότι f ( x) f( x), άρα b και / f(x)dx f(x)dx+ dx+ dx x 4 4 / [ ] / 8 Ξέρουμε ότι για f συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [,](> ) και x [,] αν η f είναι άρτια f (x)dx f(x)dx. Η f (x)cos(x) είναι άρτια ως γινόμενο άρτιας εί άρτια. / f(x)cos(x)dx f(x)cos(x)dx cos(x)dx 4 / si(x) si( ) sic( ) 4 Αν k,k τότε si( ) si( k ). Αν k+,k τότε si( ) si( k + ) ( ) ( ) k Εομένως ( ), εριττος si( ), αρτιος Και η σειρά Fourier είναι η cos( 3x ) cos( 5x ) cos(7 x ) + cos x ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το αρόν υλικό δεν αοτελεί αυτόνομο διδακτικό υλικό, βασίζεται στο σύγγραμμα ου διανέμεται και στην ροτεινόμενη βιβλιογραφία του μαθήματος. Το εριεχόμενο του αρχείου αλά αοτελεί ερίγραμμα των αραδόσεων του μαθήματος. Αοτελούν τις διαφάνειες της διδασκαλίας μαθήματος αό το διδάσκοντα για δική του χρήση και αρακαλώ να μη χρησιμοοιηθεί και να μην ανααραχθεί και διανεμηθεί για άλλο σκοό. Ιδιαίτερα αραδείγματα και σχήματα έχουν αντληθεί αό τα συγγράμματα :. Fourier Series, W. Bolto. Σήματα και συστήματα, Καραμόγιας, Θεοδωρίδης ΕΑΠ 45