Analysis of combined footings grids with νariable subgrade modulus Software for PC

Transcript

1 Εσχάρες πεδλδκών με μεταβλητό μέτρ αντίδρασης εδάφυς Πρόγραμμα yα Η/Υ Analysis of combined footings grids with νariable subgrade modulus Software for PC Χ. ΑΝΑΓΝΩΣΤΟΠΟΥΛΟΣ!), Μ. ΣΩΤΗΡΑΚΟΣ!2) (. Λέκτρας, Τμ. Γεωτεχνκής Μηχανκής Ι Α.Π.θ.. 2. Πλ. Μηχανκός) ΒΙΣΑΓQΓΗ ΠΒΡΙΛΗΨΗ: Στην εργασcα αυτή παρυσάζντα αλγόρθμς κα η ανάπτυξη ενός πργράμματς Η/Υ γά την ανάλυση εσχαρών πεδ λδκων με μεταβλητό μέτρ αντ C δραση ς εδάφυς κ 5, ώστε να ε C να δυνατή η πρσμcωση καταστάσεων όπως η δάβαση τπκών ασθενών σημεcων ή η χρήση πασσάλων. Η εφαρμγή τυ πργράμματς σε ένα αναλυτκό παράδεγμα δ(νε υσαστκές πληρφρ(ες γά τ μηχανσμό μεταφράς κα δανμής των φρτ(ων. λbstragt: In this paper the algorithm and the development of a software package for the analysis of combined footings grids with variable subgrade modulus Κ is presented. So, it is easy to simulate conditions like foundations over weak points (as conduits, or holes) or grids combined with piling. The application of the program on a relative extended example gives valuable information about the mechanism of loads distribution. Ο εσχάρες πεδλδκών ε(να μά συνηθσμένη μρq)ή θεμελ(ωσης κτρακών έργων πυ εφαρμόζετα κυρcως σε περπτώσες εδάφυς μκρής αντχής κα μεγάλης παραμρφωσμότητας, καθώς κα σε περχές με έντνη σεσμκότητα. Με τη ραγδαcα εξάπλωση των ηλεκτρνκών υπλγστών κα τη θεαματκή πτώση τυ κόστυς υπλγσμύ εφαρμζόμενες παλαά έντνα απλπημένες μέθδ υπλγσμύ εγκαταλεcφθηκαν κα η ανάλυση των εσχαρών γ(νετα πλέν κα από την πλενότητα των μελετητών με τη χρήση πό ρθών κα εξελγμένων μεθόδων. Ο μέθδ αυτές βασίζντα κυρ(ως στην παραδχή τυ Winkler (867). Υπθέτυν δηλαδή ότ πεδλδκ( της εσχάρας εδράζντα σε ένα έδαφς τυ π(υ η συμπερφρά μπρεc να tρσμ αστε ( με τη θεώρηση σεράς ε λατηρ (ων γραμμ χής συμπερφράς, μή συνδεδεμένων μεταξύ τυς. Ισχύε δηλαδή η σχέση (Hetenyi, 947): [l] 30

2 όπυ p ΕΙ Υ χ Ks η αναπτυσσόμενη τάση επαφής δκύ-εδάφυς η καμπτκή ακαμψ(α της πεδλδκύ η κνή βύθση εδάφυς-δκύ η θέση αναφράς η σταθερά αναλycας φόρτσης-βύθσης πυ καλε(τα μέτρ αντcδρασης τυ εδάφυς Η επcλυση της εξcσωσης [], με την εφαρμyή των κατάλληλων ρακών συνθήκών, δcνε την βύθση y κατά μήκς της πεδλδκύ. Η εν συνεχεcα παραyώyση δcνε τη στρφή, καμπτκή ρπή κα τέμνυσα δύναμη: dy/dx=tanθ(x) [2] Η μόρφωση τυ συνλκύ φρέα από τα στχεcα τυ κα η εν συνεχεcα συνλκή επ(λυσή τυ απτέλεσαν τ αντκεcμεν σεράς ερyασών. Ετσ αρχκά χρησμπήθηκε η μέθδς των πεπερασμένων δαφρών (Severn 966, Bowles 968) με.τα yνωστά μενεκτήματά της (Bowles, 974) κα στη συνέχεα η μέθδς των πεπερασμένων στχε(ων (Wang 970, Bowles 974). ΜCα υσαστκή βελτστπίηση της μεθόδυ των πεπερασμένων στχεcων, η "απευθεcας μέθδς δυσκαμψίας" (dίrect stiffness method) (Avramidis & Avramidou, Avramidis & Golm, Ί980), πρσφέρετα δαίτερα yά την επίλυση εσχαρών, επεδή επτρέπε την ταχύτατη επcλυση φρέων με δαφρετκό μέτρ αντcδρασης εδάφυς κατά μήκς των δαφόρων μελών. Η δυνατότητα αυτή επτρέπε την κανπητκή πρσμcωση πλλών σχετκών περπτώσεων της πράξης (π.χ. την έδραση εσχαρών σε πασσάλυς, την δάβαση πάνω από αyωyύς ή δάκενα, κλπ.). ΣΎΒ'Ι'ΟΜΗ ΠΒΡΙΓΡΑtΗ TQY ΗΑθΗΜΛΤΙΚΟΥ MQN'lBl\OY Η μέθδς επcλυσης εσχαρών πεδλδκών με τη θεωρία των μητρώων μεταθέσεων κα την εφαρμyή της. "απευθε (ας μεθόδυ δυσκαμψ(ας" yά τη σύνθεση τυ τελκύ μητρώυ ακαμψcας έχε παρυσαστεc αναλυτκά από τυς Avramidis & Avramidou 979, Avramidis & Golm 980, Szilard et.al 987, κα yαυτό στην παρύσα ερyασcα θα θχτεc με τύπ υ~όμνησης.. 2. Η εσχάρα στην αρχή δακρτπεcτα σε δκύς-τμήματα (με σταθερό.μέτρ αντcδρασης εδάφυς) πυ συνδέντα μεταξύ τυς με φυσκύς κα νητύ~ κόμβυς. Τ μητρώ ακαμφcας [Κ] yά κάθε μέλς της εσχάρας (δρμκά κα στρεπτκά ελαστκά εδραζόμεν -καθόλ τ μήκς τυρθyωνκό στχεc, σχ.) δίνετα (Avramidis & Avramidou 979) από τ παρακάτω μητρώ (δαστάσεων 6*6): -2 λf (sinhλ cosλ+ +sinλ coshλ) f2 -f3/sinh(α*l) (sinλ. cos>.,. -sίηhλ coshλ) r (sinhλ cos)... -sίnλ coshλ)*fl Συμμετρκό ως πρς την κύρα δαγών -2 λ/ι*(sίηhλ cosλ+ + sinλ cosλ)*f2 ( sin 2 λ + sinh 2 ψf2 f3/tanh(α*l) Ο (sinλ.*cos)... -sίηhλ coshλ)*fl 302

3 όπυ f=2*ei*λ/(sin 2 λ-sinh 2 λ), f2=fl*λ/l, f3=α*gi. λ=l*[ (K~*b)/(4*EI) ] 4 κα α=[ (Κ 5 *3 ) /( 2*Git) ] 2 κα τ μέτρ εδαφκής αντ(δρασης [F.L- 3 ] η καμπτκή ακαμψ(α η στρεπτκή ακαμψcα 3. Τα περ εστραμμένα μητρώα κάθε μέλυς [ Κ' ] Ν (στ γενκό σύστημα συντεταγμένων) δ(νντα από τη σχέση: όπυ Τ τ μητρώ μετασχηματσμύ γά κάθε μέλς (6*6), με a τη γωνία κλίσης τυ άξνα τυ μέλυς στ γενκό σύστημα συντεταγμένων: cosa -sina sina cosa cosa -sina sina cosa 4. Τ γενκό μητρώ συνλκής ακαμψίας τυ φρέα [K]global πρκύπτε από την υπέρθεση των μερκών μητρώων [K'J" 5. Απ6 την επόμενη γνωστή εξίσωση [4] πρκύπτε τ δάνυσμα των αγνώστων επκόμβων παραμρφώσεων [D] (3) (JC)global* [D]=[P] όπυ [D]=[dl d2 d3 κα [P]=[pl p2 p3 (4) dn) Τ pn]τ τ μητρώ των επκόμβων φρτίων. 6. Από τς επκόμβες παραμρφώσες είνα δυνατή η εκτ(μηση των μεγεθών έντασης σε κάθε δκό-μέλς από τη σχέση όπυ [S]N τ μητρώ των μεγεθών έντασης τυ μέλυς Ν [Κ]Ν τ ήδη γνωστό τπκό μητρώ ακαμψίας τυ μέλυς Ν [D]N τ μητρώ παραμρφώσεων τυ μέλυς Ν [5] Αξ(ζε να σημεωθε( ότ γα την ρθή δακρτπ(ηση μcας εσχάρας πεδλδκών η κλασσκή μέθδς πεπερασμένων στχείων (με ελατήρα στυς κόμβυς κάθε στχείυ) απατε( -γα την επ(τευξη ρθής λύσης- την υπδαίρεση των μελών με εναί μέτρ αντίδρασης εδάφυς σε τμήματα μκρύ μήκυς. Η παρύσα μέθδς απατεί τη δακρτπcηση μόν στυς φυσκύς κόμβυς της εσχάρας κα τς θέσες ενα'λλαγής τυ Κ Συνεπώς υπάρχε ένα σαφfστατ 5 πλενέκτημα όσν αφρά τν αρθμό των κόμβων, άρα κα τ μέγεθς κα τ χρόν επίλυσης τυ μρφύμενυ συστήματς (παράμετρ σημαντκές γα τη χρησμπίηση της μεθόδυ στυς πρσωπκύς υπλγστές των απλών μελετητών). 300

4 ΠΒΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΠΟΥ ΑΝΑΠΤΥΧθΗΚΕ Η 6λη δαδκασ(α κωδκπήθηκε σε πρ6γραμμα γά πρσωπκό υπλγστή σε γλώσσα Turbo Pascal V. 6. Ο απατύμενες δυνατ6τητες τυ υπλγστή είνα ελάχστες (επεξεργαστής τύπυ ΧΤ/ΑΤ 286, 640 ΚΒ κεντρκή μνήμη, σκληρ6ς δίσκς, κάρτα κα θ6νη γραφκών τύπυ Hercules κα άνω κα δεν απατε ί τα μαθηματκός συνεπεξεργαστής). Κύρ μέλημα στην εκπ6νηση τυ σταδίυ εσαγωγής δεδμένων κα παρυσίασης απτελεσμάτων ήταν η επίτευξη της εόκλης επκνωνίας με τ χρήστη κα η εκτεταμένη δυνατ6 τ ητα γραφκών παρυσάσεων. Ετσ τ πρ6γραμμα εσάγε τα δεδμένα μέσω συστήματς πνάκπημένων ερωτήσεων (menu driven) παρυσάζντας γά συμπλήρωση μά κάρτα γά κάθε μέλς της εσχάρας, 6πυ καταχωρύντα τα αναγκα C α στχεία ( ακαμψ C α, τπλγ C α, συντεταγμένες, φρτ ί α κλπ.). Τα κνά χαρακτηρστκά των μελών (π.χ. συντεταγμένες κόμβων) ενημερώνντα αυτ6ματα κα έτσ τυχ6ν τρππήσες στα δεδμένα ήδη υπλγσμένυ φρέα μπρύν να γ(νυν εύκλα κα με ασφάλεα. Με τ τέλς της εσαγωγής των δεδμένων είνα δυνατή η γραφκή αναπαράσταση της τπλγίας της εσχάρας. Μετά την επcλυση είνα δυνατή η παρυσ ί αση των απτελεσμάτων είτε στην θόνη, είτε στν εκτυπωτή. Επίσης χρήστης έχε τη δυνατ6τητα να επλέξε μία παδήπτε συνεχή γραμμή δκών-μελών κα να δε στην θ6νη την γραφ κή παράσταση των δαγραμμάτων των εντατκών μεγεθών κα παραμρφώσεων κατά μήκς της. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Ο δυνατότητες εφαρμγής τυ πργράμματς επελέχθηκε να παρυσαστύν μέσω ενός εκτεταμένυ παραδείγματς. θεωρήθηκε η εσχάρα πεδ λδκών πυ φαίνετα στ σχ. 2, η πία μεταφέρε /επκ6μβα φρτία 250/500 t. Σε πρψτη φάση (P=250t) επλύθηκε η εσχάρα γά δύ περπτώσες: α) Εδραση σε έδαφς με εναί μέτρ αντίδρασης εδάφυς. β) Έδραση σε έδαφς 6πυ, κατά τν άξνα συμμετρίας y-y, δέρχετα υπ6γες αγωγ6ς πλάτυς lm. Η ύπαρξη τυ αγωγύ πρσμάστηκε με τη θεώρηση τυ Κ πυ φαίνετα στ σχ.3, θεωρώντας δηλαδή ότ τα ελατήρα τπκά ~χυν πλαστκπηθεί, π6τε Κ αγωγύ=ο. Πραγματπήθηκε επίσης μία 5 επίλυση με εvδάμεση τμή γά τ Κ 5 αγωγύ, μεταξύ τυ εναίυ κ 5 τυ εδάφυς κα της ακραίας ~μής Ο, τα απτελέσματα τ ης πίας έδεξαν τη μεταβατκή κατάσταση πυ αναμέννταν. Λόγω της ύπαρξης συμμετρίας επλύθηκε φρέας πυ φαίνετα στ σχ.2β. Από τς τμές τυ κ αγωγύ πυ χρησμπήθηκαν παρατίθεντα λύσες 5 γά την τμή Κ 5 =300 t/m3 Αξίζε να σημεωθεί ότ χρ6νς επίλυσης τυ πρβλήματς σε ένα υπλγστή συμβατό ΑΤ, χωρίς μαθηματκ6 συνεπεξεργαστή, χρόνς επίλυσης ήταν 0 sec. Στ σχήμα 4 παρυσάζντα καμπτκές ρπές, τέμνυσες κα βυθίσες κατά μήκς της κεντρκής εγκάρσας δκύ (δκός Α), ενώ στ σχήμα 5 παρυσάζντα τα (δα μεγέθη γά τη δαμήκη (παράλληλη πρς τν αγωγ6) δκό Γ. Απ6 την ανάλυση αυτή πρέκυψαν τα παρακάτω ενδαφέρντα συμπεράσματα: α) Η θεώρηση ύπαρξης ελατηρίων μηδενκύ μέτρυ αντίδρασης κ 5 δημ υργε ( στ κεντρ κ6 άνγμα των εγκαρσ (ων δκών καμπτ κές ρπές αντ ( θετυ πρσήμυ κα μεγέθυς 4 0% απ6 αυτές της περίπτωσης εναίυ κ Η επρρή στη ρπή τυ 5 304

5 b ΣΧ Fiq.l Τρ6πς έδρασης των μελών της εσχάρας Considered mode of sping support (for each qrid member).5 β.0 6D 6D U5 α5 \25 ΣΧ 2 Fig.2 Δαστάσες κα τπλy(α της εσχάρας πυ αναλύθηκε Dimensions and topology of analysed combined footings grid : Ι» \\<Η, ; b «t-< : ίεο))»<««< ij Q Κs= Ο Ks=30t/m3 Κs= 300t/m3 J~ α.«jh<m, ;;; M>i t«m H(}),S «< \! τμη χ-χ ΙΙ Ι Γ!lΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙJ 05 ω ΣΧ 3 Fiq.3 Πρσμ(ωση της ύπαρξης αγωγύ κατά μήκς τυ y-y άξνα Simulation of conduit existence along y-y axis 305

6 M(tm).+!-42!--, ' '! \ + 7 Q(t) 47 --μεαyωyό ---- χωρίς αyωyό ΣΧ 4 Fig.4 + y (cm) ~' ί--_.r'-!_ ~,Ι _] , Ρπές-τέμνυσες-βυθCσες κατά μήκς της εγκάρσας Moments-shear forces-settlements along beam Α δκύ Α --με αyωyό χωρίς αyωyό -69 M(tm). Σχ. 5 Fig y(cm) Α2 ; Ι 2 ' 3.Η ' ' SL 2~~ Ρπές-τέμνυσες-βυθCσες κατά μήκς της δαμή κυς δκύ Γ Moments-shear f orces-settlements along beam Γ M(tm) ~ψ v i! + 25 Q{t) j y(mm) j ΣΧ 6 Fig.6 Ρπές -τέμνυσες-βυθcσες κατά μήκς της δκύ Α (πάσσαλ) Moments-shear forces-set tlements of beam Α (grid on piles) 306

7 επόμενυ αν(γματς καθώς κα στς ρπές στηρ(ξεως ε(να επυσώδης. β) Η αρστερή τέμνυσα στν πρώτ κόμβ (ΑΓ) της εγκάρσας δκύ μεώνετα κατά 40% περ(πυ ενώ η δεξά αυξάνε κατά 0%. Στν επόμεν κόμβ (ΑΔ.) ε(να επυσώδης. γ) Η βύθση στη θέση τυ αγωγύ αυξάνετα κατά 25%, ενώ η βύθση στν πρώτ κόμβ ε(να μεγαλύτερη κατά 5%. δ) Ο ρπές συστρφής ε(να πλύ μκρές. ε) Στην πρώτη δαμήκη δκό (δκός Γ) ρπές ανcγματς αυξάνυν κατά 20% περ(πυ ενώ ρπές στηρcγματς αυξάνυν κατά 2-20%. στ) Οσν αφρά στς τέμνυσες, στν πρώτ κόμβ της δαμήκυς δκύ (ΓΑ), αυτές αυξάνντα κατά 5%, ενώ στν εξωτερκό κόμβ κατά 8%. ζ) Εάν γ(νε συνλκή θεώρηση των τεμνυσών στυς κόμβυς, παρατηρύμε ότ στν κεντρ χό κόμβ, ενώ η αναλγ ( α κατανμής τυ επκόμβυ φρτ(υ Ρ στς δύ δευθύνσες ήταν 50%, έγνε 43% κατά την εγκάρσα έννα κα 57% κατά τη δαμήκη. Στν εξωτερκό κόμβ (ΓΒ) η αναλγ(α από 60% στην εγκάρσα δεύθυνση κα 40% στη δαμήκη, έγνε 52 κα 48% αντ(στχα. η) Ο καθζήσες της πρώτης δαμήκυς δκύ αυξάνντα κατά 5-7% περ(πυ. Από τα πρηγύμενα ε(να φανερό ότ η απώλεα της δυνατότητας στήρξης κα μεταφράς φρτ(ων στ έδαφς λόγω της μεωμένης αντ(δρασης τυ εδάφυς (ύπαρξη τυ αγωγύ) δηγε( σε μεταφρά των φρτ(ων κα συνεπώς αύξηση της έντασης κατά 20% περ(πυ στην πρώτη δαμήκη δκό. Επ(σης ε(να σημαντκή η θεαματ"κή αλλαγή στη ρπή τυ κεντρκύ αν(γματς των εγκάρσων ρπών. Ο ρπές συστρφής αλλάζυν πρόσημ στη δαμήκη δκό, έχυν όμως πάνττε πλύ μκρές τμές σε σχέση με τς αναπτυσσόμενες χαμπτκές (μία τάξη μεγέθυς κα πλέν). Στη συνέχεα, θεωρώντας τ φρτί P=500t, επλύθηκε η εσχάρα γά δύ κύρες περπτώσες: α) Εδραση σε έδαφς με εναί μέτρ αντ(δρασης εδάφυς. β) Εδραση πάνω σε πασσάλυς τπθετημένυς στυς κόμβυς. Κάθε μ(α από τς πρηγύμενες περπτώσες επλύθηκε κα γα τ ενδεχόμεν της ύπαρξης αγωγύ. Η περίπτωση έδρασης σε πασσάλυς επλύθηκε κα γά θεώρηση μεωμένυ πλάτυς έδρασης (άρα κα ακαμψ(ας) των πεδλδκών κατά 50% (απ 3.0 σε 2.0 m). Η ύπαρξη των πασσάλων πρσμάστηκε με τη θεώρηση σχuρών ελατηρ(ων σε ένα πλάτς.0m γύρω από τυς κόμβυς. Η σταθερά των ελατηρ(ων εκτμήθηκε (με την παραδχή ότ πάσσαλ (D=l.Om) γά φρτ( 250t θα είχαν μία βύθση 2.0cm περ(πυ) ίση με Κ t/m3 ). Στα σχήμα 6 φα(νντα χαμπτκές ρπές, τεμνυσες δυνάμες κα βυθίσες γά την περίπτωση έδρασης με πασσάλυς κα χωρ(ς την ύπαρξη αγωγύ. Οπως αναμέννταν αναλύσες έδεξαν ότ η θεώρηση η μή τυ αγωγύ δεν επηρεάζε υσ αστ χά τα εντατκά μεγέθη χα τς παραμρφώσες των πεδλδχών, τα π(α ε(να ήδη πλύ μκρά (μεγέθη παρεάς). Τ πό ενδαφέρν συμπέρασμα ε( να ότ η εσχάρα παρ9υσάζε (λόγω κα της γενκά μεγάλης ακαμψ(ας της) μά περίπυ μόμρφη βύθση (μ(α τάξη μεγέθυς μκρότερη της χωρίς πασσάλυ) ακόμα κα στς θέσες των πασσάλων. Η τμή της βύθσης επηρεάζετα κατά αντίστρφη αναλγ(α από την ακαμψ(α των πεδλδχών. Ετσ γα με(ωση της ακαμψίας κατά 50% παρατηρήθηκε αύξηση της βύθσης κατά τ ίδ πσστό, χωρίς επηρεασμό των εντατκών μεγεθών. 307

8 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Συνψίζντας, δηγύμαστε στα εξής συμπεράσματαπαρατηρήσες: Αναπτύχθηκε ένα πρόγραμμα πεπερασμένων στχείων, εδραζόμενων ελαστκά-στρεπτκά σε όλ τυς τ μήκς γα την ανάλυση εσχαρών πεδ λδκών πυ εδράζν τα σε έδαφς με μεταβαλλόμεν μέτρ αντίδρασης Κ 5 Τ πρόγραμμα έχε τη δυνατότητα με ελάχστες απατήσες εξπλσμύ να αναλύσε, με αυξημένη φλκότητα κα εππτκότητα, στην περχή της γραμμκής ελαστκότητας, δότυπα πρβλήματα όπως η θεώρηση αγωγών, πών, πασσάλων κλπ. Η εφαρμγή τυ στην περίπτωση μάς εσχάρας πεδλδκών πυ δασχίζετα από ένα αγωγό έδεξε ότ αναπτύσσετα ένας μηχανσμός μεταφράς φρτίων κα εντάσεων από τς εγκάρσες πρς τν αγωγό δκύς πρς την παράλληλη δκό. Επίσης στ αντίστχ άνγμα των εγκαρσίων δκών αναπτύσσετα ρπή μεγάλυ μεγέθυς (M2=40%Ml) κα αντίθετυ πρσήμυ. Η αντίστχη εφαρμγή με τη θεώρηση πασσάλων έδεξε ότ η εσχάρα είχε ελάχστη καμπτκή επ πόνηση κα πλύ μκρή, μόμρφη βύθση, η τμή της πίας είνα αντστρόφως ανάλγη με την ακαμψία των πεδλδκών, αν η σταθερά των πασσάλων θεωρηθεί σταθερή. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [l] Avramidis, Ι. - Avramidou, Μ. (979). "Steifkeitsmatrizen fur eiή Weg und Drehelastisch Gebettetes Finites Balkenelement zur Berechnung Allgemeiner Rostformiger Kreuzwerke", Der Stahlbau, 48, (979), Η.2, ΡΡ [2] Avramidis, Ι. - Golm, Β. (980). "Steifkeitsmatrizen fur Elastisch Gebettete Balkenelemente", Die Bautechnik, Η. 5, pp [3] Bowles, J.E (968). "Foundation Analysis and Design", Chap. 5, McGraw-Hill, New York. [ 4) Bowles, J. Ε ( 974 ) "Analytical and Computer Methods in Foundation Engineering", Chap. 5,6,7, McGraw-Hill, New York. [S] Hetenyi, Μ. (947). "Beams η Elastic Foundation", Univ. of Michigan Press, Ann Arbor, p.255. [6] Severn, R.T. ( 966). "The Solution of Foundation Mat Problems by Fini te Element Methods", Structural Engineer (London), Vol. 44, no. 6, June, pp , London. [7] Szilard, R. - Ziesing, D. -: Pickhard, S. (987). "BASIC Programme fuer Baumechanik und Static", Chap. 4, W. Ernst & Sohn,. Berlin. [8] Wang, c.κ. (970). "Matrix Methods of Structural Analysis", 2nd ed, Chap. 5, International Textbook, Scranton, Pa. [9] Winkler, Ε. (867). "Die Lehre von Elastizitaet und Festigkeit", Prague