ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΕ ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΘΟΛΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΩΤΕΙΝΗ Ι. ΜΕΓΑΛΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΕ ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΘΟΛΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Επιβλέπουσα : Β. Βλάχου, Λέκτορας Πανεπιστηµίου Πατρών

2 Αισθάνοµαι βαθιά την ανάγκη να ευχαριστήσω τη Λέκτορα κ.β.βλάχου για την πολύτιµη βοήθεια της σε επιστηµονικό επίπεδο και τις χρήσιµες συµβουλές της. Κυρίως όµως την ευχαριστώ για την ψυχολογική στήριξη και το χρόνο που αφιέωρεσε µε µεγάλη προθυµία κατά τη διάρκεια της συνεργασίας µας. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον Καθηγητή κ.ν.σάµαρη που µε τις εύστοχες και εποικοδοµητικές παρατηρήσεις συνέβαλε στη βελτίωση αυτής της εργασίας. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον Επίκουρο Καθηγητή κ..ηλιόπουλο του οποίου οι επισηµάνσεις του για το παρόν κείµενο ήταν καίριες.

3 Στους γονείς µου, Ειρήνη και Ιωάννη. 3

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή.σελ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πρόβληµα Παρεµβολής από Καθολικές σειρές Taylor σε απλά συνεκτικό τόπο σελ4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Καθολικές σειρές Taylor που δε µηδενίζονται..σελ5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 : Σύµπτωση των κλάσεων U( Ω, ζ ) και U( Ω )..σελ33 4

5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην παρούσα εργασία µελετάµε διάφορες ιδιότητες ειδικού τύπου καθολικών συναρτήσεων, των καθολικών Σειρών Taylor. Πιο συγκεκριµένα, αν το Ω είναι ένας απλά συνεκτικός τόπος και το ζ Ω είναι ένα σταθεροποιηµένο κέντρο, ονοµάζουµε καθολική σειρά Taylor µία συνάρτηση f, ολόµορφη στο Ω, της οποίας τα µερικά αθροίσµατα του αναπτύγµατος Taylor: ( ) S ( f, ζ)( z) = f ( ζ ) ( z ) ( ) ζ, =,,...! = µπορούν να προσεγγίσουν όλα τα πολυώνυµα οµοιόµορφα σε συµπαγή υποσύνολα του Ω c, τα οποία έχουν συνεκτικό συµπλήρωµα. Αυτή την την κλάση συναρτήσεων τη συµβολίζουµε µε U( Ω, ζ ). Επίσης, θα ασχοληθούµε και µε την κλάση U( Ω ), η οποία περιέχει συναρτήσεις που πραγµατοποιούν του ίδιου τύπου προσεγγίσεις, ταυτόχρονα για κάθε επιλογή ζ Ω. Σηµειώνουµε ότι οι κλάσεις αυτές ορίσθηκαν και µελετήθηκαν από το Β.Νεστορίδη. (δες [3] και [8]) Για την ιστορία αναφέρουµε ότι το πρώτο παράδειγµα καθολικής σειράς Taylor το κατασκεύασε ο Feete, (δες [9]) το 94, ο οποίος απέδειξε ότι υπάρχει µία δυναµοσειρά της µορφής anx n, όπου n= a n, x, που ικανοποιεί την ιδιότητα: για κάθε πραγµατική συνεχή συνάρτηση g [-,], µε g () =, υπάρχει ακολουθία λ { λ n } n τέτοια ώστε n a x g ( x ) οµοιόµορφα στο [-,]. = n O Menchoff, το 945 απέδειξε την ύπαρξη τριγωνοµετρικής σειράς aeinθ n, an, θ π, τέτοια ώστε για κάθε n= µιγαδική µετρήσιµη συνάρτηση f στο µοναδιαίο κύκλο, να υπάρχει λ { λ n } n µε n a eiθ f σχεδόν παντού σε αυτόν. (δες [4]) n =-λn Λίγα χρόνια αργότερα, το 95, το πρώτο παράδειγµα καθολικής σειράς Taylor στο µιγαδικό επίπεδο µε µηδενική ακτίνα σύγκλισης δόθηκε από τον Seleznev. Πιο συγκεκριµένα, ο Seleznev κατάφερε να αποδείξει ότι 5

6 υπάρχει δυναµοσειρά anz n, ώστε για κάθε συµπαγές K στο n= \{} µε συνεκτικό συµπλήρωµα και για κάθε ακέραια συνάρτηση f, λ υπάρχει { λ n } n τέτοια ώστε n a z f() z οµοιόµορφα στο n = K.[] Θα θέλαµε επίσης να αναφέρουµε ότι στις αρχές της δεκαετίας του 97, ο W.Luh (δες []) και οι Chui και Parnes (δες [5]), απέδειξαν την ύπαρξη µιας σειράς Taylor (µε την έννοια του Luh) για Ω= { z : z < } και ζ =, που πραγµατοποιεί προσεγγίσεις σε συµπαγή σύνολα K { z : z > }. Οι συναρτήσεις αυτές πραγµατοποιούν ασθενέστερη προσέγγιση και ο W.Luh ασχολήθηκε πολύ µε αυτές µέχρι το 996, όπου ο Β.Νεστορίδης απέδειξε την ύπαρξη καθολικών σειρών Taylor µε την ισχυρή έννοια. Εµείς θα ασχοληθούµε µε την πιο ισχυρή και πιο καινούρια έννοια των καθολικών σειρών Taylor. Στο πρώτο κεφάλαιο θα µελετήσουµε ένα πρόβληµα παρεµβολής για συναρτήσεις στην κλάση U( Ω, ζ ). Πιο συγκεκριµένα εάν { a n } n είναι µια ακολουθία από διακεκριµένα σηµεία του Ω που δεν έχει σηµείο συσσώρευσης στο Ω και { b n } µία ακολουθία µιγαδικών n αριθµών θα αποδείξουµε ότι στο σύνολο Γ= { f H( Ω ): f( an) = bn, n =,...} περιέχονται καθολικές Σειρές Taylor. Ειδικότερα, θα παρουσιάσουµε την απόδειξη του θεωρήµατος ότι το σύνολο U( Ω, ζ ) Γ είναι G και πυκνό υποσύνολο στο Γ. Στην δ απόδειξη αυτή θα χρησιµοποιήσουµε το κλασικό θεώρηµα Baire που ισχύει σε πλήρεις χώρους, το θεώρηµα Runge µε το οποίο πετυχαίνουµε προσεγγίσεις συναρτήσεων από πολυώνυµα σε συµπαγή σύνολα καθώς και κάποια τοπολογικά λήµµατα που ισχύουν στο µιγαδικό επίπεδο. Επίσης, θα χρησιµοποιήσουµε ένα απλό λήµµα παρεµβολής Lagrange. Σηµειώνουµε ότι το αποτέλεσµα αυτό οφείλεται στο Γιώργο Κωστάκη, (5) (δες []) αλλά η απόδειξη που παρουσιάζουµε εµείς είναι διαφορετική και πιο στοιχειώδης. Στο δεύτερο κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε πάλι µε την ίδια κλάση και θα αποδείξουµε ότι υπάρχουν καθολικές Σειρές Taylor που δε µηδενίζονται. Το αποτέλεσµα αυτό αποδείχτηκε σε µία εργασία του Γ.Κωστάκη και Α.Μελά. (δες [3]) Στο τελευταίο κεφάλαιο, θα ορίσουµε την κλάση U( Ω ) και θα αποδείξουµε ότι για οποιοδήποτε φραγµένο απλά συνεκτικό τόπο Ω, οι 6

7 κλάσεις U( Ω, ζ ) και U( Ω ) συµπίπτουν. Στην απόδειξη εφαρµόζουµε εκτιµήσεις Cauchy σε κατάλληλα σύνολα και συναρτήσεις, οι οποίες σε συνδυασµό µε την ιδιότητα της καθολικής συνάρτησης µας οδηγούν στο συµπέρασµα ότι υπάρχουν πανοµοιότυπα κενά Ostrowsi για όλα τα αναπτύγµατα Taylor. Στη συνέχεια, χρησιµοποιώντας κάποια εντυπωσιακά αποτελέσµατα του Ostrowsi καταλήγουµε στο ζητούµενο. Αυτή τη µέθοδο την παρουσίασαν σε άρθρο τους οι W.Gehlen, W.Luh, J.Muller (δες [9]). Σηµειώνουµε ότι αργότερα, µε µια εντελώς διαφορετική µέθοδο, µε εργαλεία από τη Θεωρία υναµικού, αποδείχτηκε το αποτέλεσµα για κάθε απλά συνεκτικό τόπο Ω (όχι κατά ανάγκη φραγµένο). Εµείς δε θα παρουσιάσουµε τη γενική περίπτωση καθώς ξεφεύγει από τα πλαίσια της παρούσης εργασίας. (δες [5]) 7

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ ΑΠΟ ΚΑΘΟΛΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR ΣΕ ΑΠΛΑ ΣΥΝΕΚΤΙΚΟ ΤΟΠΟ. Γενικά µε τον όρο καθολική συνάρτηση, εννοούµε µία ολόµορφη συνάρτηση που µε κάποιο τρόπο προσεγγίζει πολλές άλλες συναρτήσεις (µε κάποια έννοια όλες τις άλλες συναρτήσεις).υπάρχουν καθολικές συναρτήσεις µε την έννοια των παραγωγών, των αντιπαραγώγων, των µεταφορών κ.λ.π. Εµείς, στην εργασία αυτή ασχολούµαστε µε κλάσεις καθολικών σειρών Taylor. ίνουµε λοιπόν, τον πρώτο και πιο απλό ορισµό κλάσης καθολικών στερών Taylor ο οποίος δόθηκε το 996 από το Β.Νεστορίδη στο [8]. (δες επίσης [7]) Ορισµός.. Έστω Ω απλά συνεκτικός τόπος και ζ Ω. Μία συνάρτηση g H( Ω ) ανήκει στην κλάση U( Ω, ζ ) εάν για κάθε συµπαγές K Ω c µε K c συνεκτικό και για κάθε συνάρτηση φ :K συνεχή στο K και ολόµορφη στο K o, υπάρχει ακολουθία { λ n } φυσικών αριθµών τέτοια ώστε : n sup S ( g, ζ )( z) φ( z), n z K λn ( n) όπου S ( g, ζ ) = g ( ζ ) ( z ) n ζ είναι το -οστό άθροισµα n! n= των µερικών αθροισµάτων αναπτύγµατος Taylor της g κέντρου ζ. Ο Β. Νεστορίδης, λοιπόν, απέδειξε ότι, η κλάση U( Ω, ζ ) είναι G δ και πυκνό υποσύνολο του H( Ω ). ηλαδή είναι σίγουρα µη κενή και µάλιστα υπάρχουν µε τη τοπολογική έννοια, πάρα πολλές συναρτήσεις που παρουσιάζουν αυτή την ακραία συµπεριφορά. Εµείς θα µελετήσουµε ένα πρόβληµα παρεµβολής για συναρτήσεις σε µια ακολουθία αυτή την κλάση. Πιο συγκεκριµένα, έστω { a n } n 8

9 από διακεκριµένα σηµεία του Ω, που δεν έχει σηµείο συσσώρευσης στο Ω. Έστω, επιπλέον, µια ακολουθία µιγαδικών αριθµών { b n } n. Στόχος µας, είναι να αποδείξουµε ότι υπάρχει f U( Ω, ζ ) τέτοια ώστε f ( a ) = b, n =,.... Το αποτέλεσµα αυτό παρουσιάστηκε n n από το Γ. Κωστάκη στο []. Στο κεφάλαιο αυτό θα δώσουµε µια πιο απλή απόδειξη του αποτελέσµατος αυτού χωρίς τη χρήση του Λήµµατος Herzog ακολουθώντας τις µεθόδους του [4]. Περιγράφουµε αρχικά κάποιες βασικές γνώσεις που θα χρησιµοποιήσουµε στην απόδειξη µας. ΟΡΙΣΜΟΙ -ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ-ΒΟΗΘΗΤΙΚΑ ΛΗΜΜΑΤΑ Το πρώτο λήµµα που θα διατυπώσουµε είναι ένα κλασσικό λήµµα το οποίο σχετίζεται µε τη τοπολογία του (δες []) και θα το χρησιµοποιήσουµε για να περιγράψουµε και τη τοπολογία του χώρου H( Ω ), δηλαδή των συναρτήσεων που είναι ολόµορφες στο Ω. Λήµµα.. Έστω Ω ανοιχτό υποσύνολο του. Τότε υπάρχει ακολουθία { L n } συµπαγών υποσυνόλων του Ω, τέτοια ώστε : n α) Ln L o, n =,... n + β) Αν L συµπαγές υποσύνολο του Ω, τότε L L n για κάποιο n. γ) Αν το Ω είναι απλά συνεκτικός τόπος, τότε το \ L n είναι συνεκτικό. Για να δούµε, λοιπόν, πως µπορούµε να ορίσουµε µετρική στο χώρο H( Ω ), χρησιµοποιώντας την ύπαρξη της παραπάνω ακολουθίας L n n. { } 9

10 Ορισµός.3. Για δύο συναρτήσεις f, g H( Ω ) ορίζουµε τη µετρική ρ στο σύνολο H( Ω ) : f g (, ) Ln ρ f g = n n = + f g Ln όπου, L n εξαντλούσα ακολουθία συµπαγών υποσυνόλων του Ω όπως περιγράφεται στο Λήµµα.. Επίσης, f() z g() z = max{ f () z g() z Ln }. : z L n Σηµειώνουµε ότι οι συναρτήσεις παίρνουν µέγιστο σε κάθε συµπαγές υποσύνολο του. f, g είναι συνεχείς στο Ω, άρα Η τοπολογία που επάγεται από τη µετρική αυτή ονοµάζεται τοπολογία της οµοιόµορφης σύγκλισης στα συµπαγή σύνολα. Τα βασικά ανοιχτά σύνολα αυτής της τοπολογίας είναι της µορφής : V = { g Η( Ω):sup f( z) g( z) <ε}, f όταν τα f Η( Ω ), ε >, L Ω συµπαγές είναι σταθεροποιηµένα. Ένα τέτοιο σύνολο αποτελεί µία γειτονιά της f στο H( Ω ). Επιπλέον θα θέλαµε να θυµίσουµε τον ορισµό της σχετικής τοπολογίας. Πιο συγκεκριµένα, αν Γ H( Ω ) τότε το E Γείναι ανοιχτό στο Γ, αν και µόνο αν, υπάρχει Α H( Ω ) ανοιχτό ώστε E = Α Γ. Η σύγκλιση τέτοιων συναρτήσεων στο χώρο H( Ω ) παίζει σηµαντικό ρόλο, διότι θεωρώντας το χώρο H( Ω ) ως τοπικά κυρτό Frechet χώρο, µπορούµε να εφαρµόσουµε στην απόδειξη του κεντρικού θεωρήµατος του κεφαλαίου αυτού το θεώρηµα Baire σε συνδυασµό µε το προσεγγιστικό θεώρηµα του Runge. Για περισσότερες πληροφορίες της χρήσης του θεωρήµατος Baire παραπέµπουµε επίσης σε εργασίες του Kahane [], Grosse- Erdmann [7], [8] και της ελληνικής οµάδας που ασχολεiται µε τις καθολικές σειρές Taylor. ιατυπώνουµε, λοιπόν, σε αυτό το σηµείο τα δύο αυτά σπουδαία θεωρήµατα. (δες [])

11 Θεώρηµα.4. ( Baire ) Έστω ( Χ, ρ ) µε Χ ένας πλήρης µετρικός χώρος και { } G n n µία ακολουθία ανοιχτών και πυκνών υποσυνόλων του Χ. Τότε το σύνολο D= G n είναι πυκνό υποσύνολο του Χ. n Θεώρηµα.5. ( Runge ) Έστω Ω ένα ανοιχτό υποσύνολο του και έστω µια ολόµορφη συνάρτηση f : Ω. Αν L Ω συµπαγές µε συνεκτικό L c, τότε τέτοια ώστε: υπάρχει ακολουθία πολυωνύµων { p n } n sup pn( z) f( z), n. Για να ξεκινήσουµε λοιπόν, τα βασικά βήµατα της απόδειξης µας, χρειαζόµαστε το λήµµα.6. το αποτέλεσµα του οποίου µας εξασφαλίζει την ύπαρξη ακολουθίας συµπαγών συνόλων στο συµπλήρωµα ενός απλά συνεκτικού τόπου του, µε κατάλληλες ιδιότητες. Οφείλεται στον Β.Νεστορίδη και θεωρείται σηµαντικό βήµα στη µελέτη των καθολικών σειρών Taylor. [8] Λήµµα.6. Έστω Ω ένας απλά συνεκτικός τόπος. Τότε υπάρχει c c ακολουθία συµπαγών συνόλων { K m } m µε συνεκτικό, ώστε για κάθε συµπαγές υπάρχει m µε K K m. c K Ω µε K m Ω και K m c K συνεκτικό να Αφού, λοιπόν, είδαµε τις βασικές γνώσεις που µας χρειάζονται για την κλάση U( Ω, ζ ) ας εξετάσουµε λίγο και το σύνολο : Γ= { f H( Ω ) : f ( a ) b n = }. n = n,,... Καταρχήν, είναι σηµαντικό να τονίσουµε ότι η ακολουθία { a n } n δεν µπορεί να έχει σηµείο συσσώρευσης στο Ω, διότι αν υπήρχε µία υπακολουθία { a n } n a n τέτοια ώστε: n της { }

12 lim an a = Ω τότε λόγω του θεωρήµατος της ταυτότητας θα υπήρχε το πολύ µια συνάρτηση f που θα ικανοποιούσε τις συνθήκες παρεµβολής f ( an) = bn, οπότε το αν θα ήταν καθολική ή όχι θα εξαρτιόταν από τη συγκεκριµένη επιλογή ακολουθιών. Επιπλέον, δεν είναι δύσκολο να αποδείξει κανείς ότι το σύνολο Γ είναι πάντα µη κενό, ανεξάρτητα της επιλογής των ακολουθιών. Πιο συγκεκριµένα για να παρουσιάσουµε το αποτέλεσµα αυτό, θα χρειαστούµε το θεώρηµα γινοµένου του Weistrass, το θεώρηµα Mittag-Leffler καθώς και το αποτέλεσµα µίας πρότασης, οι αποδείξεις των οποίων είναι γνωστές. ιατυπώνουµε, λοιπόν, το θεώρηµα γινοµένου του Weistrass, µε το οποίο µπορούµε να κατασκευάσουµε µία αναλυτική συνάρτηση στο Ω ανοιχτό µε δεδοµένες ρίζες. Θεώρηµα.7. ( θεώρηµα γινοµένου του Weistrass ) Έστω Ω ανοιχτό και Α. Υποθέτουµε ότι το A δεν έχει σηµείο συσσώρευσης στο Ω. Σε κάθε a Α αντιστοιχούµε ένα θετικό ακέραιο ma ( ). Τότε υπάρχει αναλυτική f στο Ω της οποίας οι ρίζες είναι τα σηµεία του συνόλου Α και τέτοια ώστε η f να έχει ρίζα τάξης ma ( ) για κάθε a Α. (δες []) Μετά το θεώρηµα γινοµένου του Weistrass, παρουσιάζουµε το θεώρηµα Mittag-Leffler, το οποίο µας εξασφαλίζει τη δυνατότητα κατασκευής µίας µερόµορφης συνάρτησης µε δεδοµένους πόλους και δεδοµένα µερόµορφα µέρη στους πόλους αυτούς. Παρουσιάστηκε από το Σουηδό Μαθηµατικό Gosta Mittag Leffler (846-97) και αποτελεί ένα από τα σπουδαιότερα θεωρήµατα τη µαθηµατικής µας κληρονοµιάς.(δες [])

13 Θεώρηµα.8. ( Mittag-Leffler ) Έστω Ω ανοιχτό και Α Ω τέτοιο ώστε το Α δεν έχει σηµεία συσσώρευσης στο Ω. Σε κάθε a Α αντιστοιχούµε ένα θετικό ακέραιο ma ( ) και µια ρητή συνάρτηση ma ( ) Ρ () z c, ( z a) j a = ja τότε j= υπάρχει µια µερόµορφη συνάρτηση f στο Ω τέτοια ώστε το κύριο µέρος της f σε κάθε a Α να είναι ίσο µε Ρ a και η οποία δεν έχει άλλους πόλους στο Ω. Κατόπιν του θεωρήµατος Mittag-Leffler διατυπώνουµε την πρόταση.9. που όπως προαναφέραµε σε συνδυασµό µε τα δύο παραπάνω θεωρήµατα θα µας οδηγήσει στην απόδειξη του θεωρήµατος.. Πρόταση.9. Αν το σηµείο a είναι πόλος της f πολλαπλότητας m, τότε το ολοκληρωτικό υπόλοιπο της f στο a δίνεται από το τύπο : Res z= a f ( z ) = lim [( z a) m f( z)] ( m ) ( m )! z a Έχοντας λοιπόν υπόψη όλα τα παραπάνω µπορούµε να προχωρήσουµε στην απόδειξη του θεωρήµατος.. Θεώρηµα.. Έστω { a n } µία ακολουθία διάφορων µεταξύ τους n ανά δύο, µιγαδικών αριθµών. Έστω Ω ανοιχτό. Υποθέτουµε ότι η { a n } δεν έχει σηµείο συσσώρευσης στο Ω. Αν { } n b n n µία ακολουθία µιγαδικών αριθµών, τότε υπάρχει αναλυτική συνάρτηση f στο Ω µε f ( an) = bn, n =,,.... Απόδειξη Θεωρήµατος.. Λόγω του θεωρήµατος.7. θεωρούµε µία αναλυτική συνάρτηση g στο Ω, η οποία έχει σα µοναδικές απλές ρίζες τα σηµεία a n, n =,... Προφανώς, g ( a n ) διότι αν g ( a n ) = τότε η συνάρτηση g θα είχε τουλάχιστον διπλή ρίζα στο a n, πράγµα άτοπο. Επίσης, λόγω του θεωρήµατος.8. θεωρούµε µία µερόµορφη 3

14 συνάρτηση h στο Ω µε µοναδικούς απλούς πόλους τα σηµεία a n, b n =,... και µε µερόµορφο µέρος n στον πόλο a g ( an)( z an) n, n =,.... (Αν b n = για κάποιο n, τότε η h είναι ολόµορφη στο a n ). Στη συνέχεια θέτουµε f () z = h() z g() z. Η συνάρτηση f είναι αναλυτική στο Ω, γιατί κάθε πόλος της h είναι ρίζα της g ίδιας τάξης. Επίσης, χρησιµοποιώντας την πρόταση.9. έχουµε : b lim ( z a ) ( ) Re ( ) n z an n h z = sh z =, n =,,... () z= an g ( a) Συνεπώς, f ( an) = lim f( z) = lim ( h( z) g( z)) z an z an gz () = lim ( z a ) h( z) z a n n z a n = z a h z z an n z an gz () lim ( ) ( ) lim ( ) b () ( ) = n g z g a lim n g ( a ) z a n n z an z a n b = n g ( a ) b g ( a ) n = n n, n =,,... Έτσι καταλήξαµε στο επιθυµητό αποτέλεσµα. Στη συνέχεια, θα αποδείξουµε ένα απλό λήµµα για παρεµβολή Lagrange, το οποίο θα παίξει καταλυτικό ρόλο στην απόδειξη του κυρίως αποτελέσµατος του κεφαλαίου αυτού. 4

15 Λήµµα.. Έστω L ένα συµπαγές υποσύνολο του και ορισµένα σηµεία a, a,..., a L. Τότε για κάθε ζεύγος συναρτήσεων, f g συνεχείς στο L υπάρχει µία συνάρτηση f * τέτοια ώστε: sup f *( z) g( z) sup f( z) g( z) ( + M) όπου M είναι ένας θετικός αριθµός που εξαρτάται µόνο από το L και από τα σηµεία a, a,..., a και f * ( a ) = g( a ), l=,,.... l l Απόδειξη Λήµµατος.. Έστω p( z) = ( z a )( z a )...( z a ) Θέτουµε pz () M = sup l= z L z a p ( a ) l l Τότε η συνάρτηση f * () z [ ( ) ( )] pz () g a f a f () z l l ( z a ) p ( a ) l = l l ικανοποιεί τις επιθυµητές ιδιότητες. Πράγµατι, sup f *( z) g( z) = = l= [ ga ( ) f( a)] pz () + f() z gz () l l ( z a ) p ( a ) l l sup [ ( ) ( )] pz () ga f a sup f( z) gz ( ) l l l= ( z a ) p ( a ) + l l pz () sup ga ( ) f( a) + sup f() z gz () l l l= z a p ( a ) l l 5

16 pz () sup f ( z) g( z) sup + sup f( z) g( z) l= z a p ( a ) l l = sup f ( z) g( z) M + sup f ( z) g( z) = sup f ( z) g( z) ( + M) Επιπλέον, f * () z = [ g ( a ) f ( a )] pz () f () z l l ( z a ) p ( a ) + l = l l. = pz () pz () [ g( a ) ( )] [ ( ) ( )]... f a g a f a ( z a ) p ( a ) + ( z a ) p ( a ) + + pz () [ ga ( ) f( a )]... l l ( z a ) p( a ) + + l l pz () + [ ga ( ) f( a )] = ( z a ) p ( a ) ( z a )( z a )...( z a )...( z a ) l [ ga ( ) f( a)] + ( z a ) p ( a ) = ( z a )( z a )...( z a )...( z a ) l [ ( ) ( )] ga f a + ( z a ) p ( a ) + 6

17 ( z a )( z a )...( z a )...( z a ) l [ ( ) ( )] ga f a + + l l ( z a ) p ( a ) l l ( z a )( z a )...( z a )...( z a ) l [ ( ) ( )] ga f a ( z a ) p ( a ) + f () z = = ( z a )...( z a )...( z a ) l [ ( ) ( )] ga f a + p ( a ) ( z a )( z a )...( z a )...( z a ) 3 l [ ( ) ( )] ga f a + p ( a ) + ( z a )( z a )...( z a )( z a )...( z a ) l l + [ ga ( ) f( a )] + + l l p ( a ) l ( z a )( z a )...( z a )...( z a ) l [ ga ( ) f( a )] p ( a ) + f() z. Εποµένως, για z= a και l =,,..., έχουµε : l ( a a )( a a )...( a a ) * l ( ) [ ( ) ( )] l l f a = g a f a + f ( z ) l l l ( a a )( a a )...( a a ) l l l = g ( a ) f ( a ) + f ( a ). l l l Είναι σηµαντικό να τονίσουµε ότι η f * διαφέρει από την f κατά ένα πολυώνυµο βαθµού. Συνεπώς η απόδειξη του Λήµµατος.. ολοκληρώθηκε. 7

18 Είµαστε λοιπόν, έτοιµοι να διατυπώσουµε και να αποδείξουµε το κεντρικό θεώρηµα του πρώτου κεφαλαίου. ΚΕΝΤΡΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω Γ ={ f H ( Ω ), f ( an) = bn, n =,... }. Το σύνολο U( Ω, ζ ) Γ είναι G και πυκνό υποσύνολο στο Γ. δ ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΚΕΝΤΡΙΚΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Για m, j, s \{} θετικούς ακέραιους και n ορίζουµε το σύνολο : ΕΩ (, mjsn,,, ) = { f ΗΩ ( ): sup Sn( f, ζ )( z) f () } z K j z <, όπου s m { Κ m } : είναι µία ακολουθία συµπαγών συνόλων µε τις ιδιότητες m του λήµµατος.6. και όπου { f j } µία αρίθµηση όλων των j πολυωνύµων µε συντελεστές στο + i. Παρατηρούµε ότι, το σύνολο ΕΩ (, mjsn,,, ) είναι µη κενό αφού f (, mjsn,,, ) n= j ΕΩ αν n> deg f j. Επίσης, σηµειώνουµε ότι το σύνολο Γ είναι ένα κλειστό υποσύνολο του Η(Ω), έτσι εφοδιασµένο µε τη τοπολογία της οµοιόµορφης σύγκλισης στα συµπαγή υποσύνολα, το Γ είναι χώρος Baire. Στο [8] έχει αποδειχθεί η ισότητα (δες []): U( Ω, ζ ) = Ε( Ω, m, j, s, n). m= j= s= n= Αυτή η περιγραφή της κλάσης U( Ω, ζ ) αποτέλεσε τη βάση για την απόδειξη ότι U( Ω, ζ ) και θα αποτελέσει βάση και για το αποτέλεσµα που θέλουµε να αποδείξουµε, αφού θα χρησιµοποιήσουµε ότι : U( Ω, ζ ) Γ= Ε( Ω, m, j, s, n) Γ. m= j= s= n= Στο [8] έχει αποδειχθεί ότι τα σύνολα Ε( Ω, m, j, sn, ) είναι ανοιχτά στο H( Ω ). Εποµένως, για κάθε επιλογή φυσικών αριθµών mjs,, και n το σύνολο ΕΩ (, mjsn,,, ) Γείναι ανοιχτό στο Γ. Σύµφωνα 8

19 µε το τοπολογικό θεώρηµα του Baire, αρκεί να αποδείξουµε ότι το σύνολο ΕΩ (, mjsn,,, ) Γ είναι πυκνό στο Γ. n= Έστω, λοιπόν µια συνάρτηση h Γ, L Ω συµπαγές και ένας θετικός αριθµός ε <. Έχοντας κατά νου την τοπολογία του Γ, αρκεί να βρούµε µια συνάρτηση g Ε( Ω, m, j, s, n) Γ µε την ιδιότητα n= sup gz ( ) hz ( ) <ε. Το σύνολο { α,,...} L α είναι πεπερασµένο για κάθε. ιότι αν ήταν άπειρο τότε επειδή το L είναι συµπαγές η ακολουθία { a n } n θα είχε ένα σηµείο συσσώρευσης στο L άρα και στο Ω. Πράγµα άτοπο αφού η ακολουθία µας από την υπόθεση δεν έχει σηµείο συσσώρευσης στο Ω. Συνεπώς, χωρίς βλάβη της γενικότητας, (αλλάζοντας την αρίθµηση της { a n }, αν χρειαστεί) για κάθε n µπορούµε να βρούµε { m } τέτοια ώστε : { α,,... } L α α m και { αm, α m,...} L =. Οπότε η + + { m } είναι µια αύξουσα ακολουθία (όχι κατά ανάγκη γνησίως αύξουσα) φυσικών αριθµών. Εµείς για τις ανάγκες της απόδειξης θα κατασκευάσουµε µία ακολουθία συναρτήσεων g, g,... µε τις ακόλουθες ιδιότητες : ) sup hz ( ) g ( z) < ε, =,,... ) sup g ( z) g ( z) < +, =,,... 3) sup S ( g, ζ )() z f () z z K j <, s m για σταθερό και =,,... 9

20 4) g ( α ) = b, l=,,..., m, =,,.... l l Αν το καταφέρουµε αυτό τότε η ακολουθία { g } θα είναι µία ακολουθία Cauchy στο H( Ω ). Πράγµατι, έστω L * Ω συµπαγές και ε >. Τότε υπάρχει : L* L. Eπιλέγουµε m, µε m> > και έχουµε : sup ( ) ( ) * g m z g z sup gm( z) g ( z) + g ( z) g ( z) + g ( z) g ( z) m m m m sup gm() z g () z + sup g () z g () z m m m m m + + sup g ( ) ( ) z + g z... m + m + + = ( ) m <.

21 Επειδή καθώς θα υπάρχει > : < ε για κάθε. Συνεπώς, αν m> > έχουµε : sup ( ) ( ) * g m z g z <ε και έτσι η { g } είναι ακολουθία Cauchy και άρα συγκλίνει. ηλαδή g g, g H( Ω ). Θα αποδείξουµε ότι η g είναι η ζητούµενη συνάρτηση. Επειδή sup hz ( ) g ( z) < ε έχουµε : sup hz ( ) gz ( ) ε άρα sup hz ( ) gz ( ) <ε. Οπότε ικανοποιείται η ιδιότητα (). Επίσης, sup S ( g, ζ )() z f () z K j z < m s (). Για να εξετάσουµε αν ικανοποιείται η ιδιότητα (3) για τη g, πρέπει να S g ζ z είναι συνεχής στο αποδείξουµε ότι ο τελεστής g (, )( ) χώρο H( Ω ). Στην προσπάθεια µας αυτή, αυτή θα χρειαστούµε το παρακάτω θεώρηµα, η απόδειξη του οποίου είναι αρκετά διαδεδοµένη.

22 Θεώρηµα..Έστω µία ακολουθία g, g,... αναλυτικών συναρτήσεων σε ένα ανοιχτό σύνολο U. Υποθέτουµε ότι g g οµοιόµορφα στα συµπαγή υποσύνολα του U. Τότε η g είναι αναλυτική στο U. Επιπλέον, για κάθε l () l () l, g g οµοιόµορφα στα συµπαγή υποσύνολα του U. Συνεπώς, για κάθε =,, και για κάθε συµπαγές M έχουµε : sup S ( g, ζ)( z ) S ( g, ζ)( z ) z M = () g l ( ζ ) () l sup ( z ) l g ( ζ ) ( z ) l ζ ζ z M l! l! l= l= = () l () ( ) l ( ) sup g ζ g ζ ( z ζ ) () l z M l! l= () () g l ( ζ) g l ( ζ) l sup z ζ. l! l= z M Επίσης από το θεώρηµα.. έχουµε ότι και για κάθε l=,,...,. g () l ( ζ) g () l ( ζ), sup S ( g, ζ)( z ) S ( g, ζ)( z ),. () z M

23 Έτσι επιστρέφοντας στη σχέση () και χρησιµοποιώντας τη σχέση () έχουµε : sup S ( g, ζ )() z f () z K j z m s sup S (, g ζ )() z f j () z K z < m s. Συνεπώς επαληθεύεται και η ιδιότητα (3). Τέλος, για την επαλήθευση της ιδιότητας ( 4 ) έχουµε : Έστω l. Επιλέγουµε τέτοιο ώστε m l > και. Τότε g ( a ) = b και συνεπώς ga ( ) = b. l l l l Κατασκευή της { g } (επαγωγικά). Έστω E ανοιχτό µε συνεκτικό συµπλήρωµα τέτοιο ώστε Km E και hz (), o E L o =. Θεωρούµε Gz () = f j (), z z E. Για = εφαρµόζοντας το θεώρηµα Runge για τη συνάρτηση G στο συµπαγές L K m καταλήγουµε στο συµπέρασµα ότι υπάρχει πολυώνυµο g * τέτοιο ώστε: sup g* ( z) G( z) < ε (3) K s ( M ) m + όπου M είναι ο θετικός αριθµός του Λήµµατος.. που εξαρτάται µόνο από το L K m και από τα a, a,..., a m. Χρησιµοποιώντας το Λήµµα.. βρίσκουµε ένα νέο πολυώνυµο g που ικανοποιεί την ιδιότητα της παρεµβολής για τα σηµεία µέσα στο L. 3

24 Συνεπώς, sup hz ( ) g( z) sup hz ( ) g* ( z) ( + M) < ε ( + M ) s( + M ) ηλαδή, sup hz ( ) g( z) Οµοίως προκύπτει : < ε s λόγω της (3) και ha ( ) = g( a) = b, l,,..., m l l l =. sup f j ( z) g ( z) < ε z K m s. (4) Επειδή η g είναι πολυώνυµο µπορούµε να βρούµε ένα φυσικό αριθµό τέτοιο ώστε > deg( g ) οπότε S ( g, ζ )( z) = g () z. (5) Άρα η (4) λόγω της (5) γίνεται : sup f j ( z) S ( g, ζ )( z) < ε z K m s οπότε η g έχει κατασκευαστεί. Περίπτωση ) Εάν. Υποθέτουµε ότι οι συναρτήσεις g, g,..., g έχουν κατασκευαστεί και θα κατασκευάσουµε τη συνάρτηση g µε τις ακόλουθες ιδιότητες : + 4

25 ) sup g ( z) g ( z) < ε + +, =,,... ) sup S ( g ζ)( ) ( )( ), z S g ζ, z < z K + + m s, =,,... 3) g ( a ) = b + l l, l=,,..., m +, =,,.... Παρατηρούµε ότι υπάρχει ένας ικανοποιητικά µικρός θετικός αριθµός δ < ε (6) τέτοιος ώστε αν για δυο αναλυτικές συναρτήσεις f, + + g στο Ω ισχύει : sup f( z) g( z) <δ + τότε sup S ( f, ζ)( z) S ( g, ζ)( z) < z K + m s Πράγµατι, sup S (, )( ) (, )( ) f ζ z z K S g ζ z m = () () l sup f l ( ) ( ) l g ( ) ( ) l z ζ z l! ζ l! l= l= z K m ζ ζ = ( () ( ) () sup f l g l ( )) ( ) () l z ζ l! l= z K m ζ ζ 5

26 () l () l f ( ) g ( ) ζ ζ l sup z ζ. (7) z K l l! m = Το ζ Ω και το Ω είναι ανοιχτό σύνολο, εποµένως υπάρχει δίσκος D( ζ, r) τέτοιος ώστε D( ζ, r) Ω. Χωρίς βλάβη της γενικότητας µπορούµε να υποθέσουµε ότι: D( ζ, r) L. Επίσης, η διαφορά των f, g είναι µια αναλυτική συνάρτηση στο δίσκο D( ζ, r). Αν λοιπόν M ( ζ, r) = max{ f () z g() z : z ζ r} τότε από τις εκτιµήσεις Cauchy προκύπτει ότι : f () l ( ζ ) g () l ( ζ) l! M(, r) r l ζ (8) Έτσι, από τη σχέση (7) και σε συνδυασµό µε τη σχέση (8) έχουµε: sup S (, )( ) (, )( ) f ζ z z K S g ζ z m M( ζ, r) l sup z ζ z K l m l= lr! sup f ( z) g( z) l sup z ζ z K m l= r l Άρα επιλέγοντας, δ + = + s l sup z ζ z Km l l= r έχουµε το ζητούµενο. 6

27 Τώρα χρησιµοποιώντας πάλι το θεώρηµα Runge βρίσκουµε πάλι ένα νέο πολυώνυµο g* τέτοιο ώστε : + δ sup g* ( z) g ( z) < + (9) και z L + ( + M ) + δ max g* ( a ) h( a ) < +, () l= m,..., m l l ( M ) όπου ο M είναι ο θετικός αριθµός του λήµµατος.. που + εξαρτάται από το L {,..., } a m a m + και τα a, a,..., a + m+. Έτσι χρησιµοποιώντας το λήµµα.. βρίσκουµε ένα νέο πολυώνυµο g τέτοιο ώστε : + sup g + ( z ) g ( z ) * sup g ( z) g ( z) ( + M ) + + < δ + ( + M ) ( + M ) + + = δ + λόγω της (9) Άρα sup g + ( z ) g ( z ) < δ + < ε+ λόγω της (6) και g ( a ) = h( a ) = b + l l l, l=,,..., m + Είναι προφανές από το τρόπο κατασκευής ότι η που θέλαµε αφού : ) sup g ( z) h( z) +, =,.... g + έχει τις ιδιότητες 7

28 sup g () z g () z sup g () z g () z... sup g () z h() z ε + ε ε + ε ε + 3 <. ) sup g ( z) g( z) < +, =,.... 3) sup S ( g, ζ )() () z z K + f j z m sup S ( g, ζ)( ) (, )( ) z S g ζ z K + z m + sup S ( g, ζ)( z ) S ( g, ζ)( ) z K z m sup S ( g, ζ )( ) ( ) z z K f j z m s s s s < s για σταθερό και =,.... 4) g ( a ) = b + l l, l=,,..., m,,... + =. Και η απόδειξη του θεωρήµατος είναι πλήρης. 8

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΘΟΛΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR ΠΟΥ Ε ΜΗ ΕΝΙΖΟΝΤΑΙ Είναι γνωστό ότι οι καθολικές σειρές Taylor στο δίσκο µε κέντρο το µηδέν πιάνουν κάθε τιµή εκτός ίσως από µία άπειρες φορές [3]. Εµείς στο κεφάλαιο αυτό θα αποδείξουµε ότι µέσα στη γενική κλάση U( Ω, ζ ) υπάρχουν όντως συναρτήσεις που να χάνουν µια τιµή. Πριν ξεκινήσουµε την απόδειξη αυτού του ισχυρισµού θα παρουσιάσουµε τα αποτελέσµατα των S.Mazuriewicz και Mergelyan που θα χρησιµοποιήσουµε στη συνέχεια. ιατυπώνουµε, λοιπόν το θεώρηµα του S.Mazuriewicz. Το πλήθος των εφαρµογών του θεωρήµατος αυτού είναι απέραντο στη Γενική Τοπολογία και η σηµασία του τεράστια. Θεώρηµα.3. ( S. Mazuriewicz ) Έστω ( X, ρ ) πλήρης µετρικός χώρος και A X. Το A είναι G και δ πυκνό υποσύνολο του X αν και µόνον αν υπάρχει µετρική τ στο A, ισοδύναµη µε τη σχετική µετρική της ρ στο A, ώστε ο µετρικός χώρος ( A,τ ) να είναι πλήρης. (δες [6]) Επίσης, στο σηµείο αυτό, θα θέλαµε να αναφέρουµε το θεώρηµα Mergelyan το οποίο αποδείχθηκε το 95 και συµπληρώνει µία µεγάλη αλυσίδα θεωρηµάτων (βλέπε Runge) µε τα οποία πετυχαίνουµε προσεγγίσεις συναρτήσεων σε συµπαγή σύνολα. Γενικά, η προσέγγιση συναρτήσεων από πολυώνυµα αποτελεί µία πολύ χρήσιµη τεχνική στη µελέτη συναρτήσεων στην Ανάλυση. 9

30 Θεώρηµα.4. ( Mergelyan ) Έστω K συµπαγές µε Kc συνεκτικό και έστω µία συνάρτηση f : K συνεχής στο K και ολόµορφη στο K o. Τότε υπάρχει ακολουθία πολυωνύµων { p n } τέτοια ώστε: n sup pn( z) f( z), n. (δες []) z K Ύστερα από τα παραπάνω, είµαστε σε θέση να διατυπώσουµε και να αποδείξουµε το επιζητούµενο αποτέλεσµα. Το σύνολο A θα είναι για µας το σύνολο των ολόµορφων συναρτήσεων f H( Ω ) που δε µηδενίζονται. Προφανώς το σύνολο A είναι µη κενό αφού για παράδειγµα η () = z ανήκει στο A. f z e ΚΕΝΤΡΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Το σύνολο U( Ω, ζ ) A είναι G και πυκνό στο A. δ ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΚΕΝΤΡΙΚΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θέτουµε A = { f H( Ω ): f () z, z Ω} και Am = { f H( Ω ): min f( z) > }. Τότε A = A m όπου A m m m = T ανοιχτά διότι αν f m min f( z), όπου T : (, ) z L m A m τότε m A m = T (, ), T m συνεχείς και A m είναι οι αντίστροφες εικόνες ανοιχτών. Άρα το σύνολο A είναι G υποσύνολο του H( Ω ). Κατά δ συνέπεια µε βάση το θεώρηµα του Mazuriewicz µπορούµε να εφοδιάσουµε το σύνολο A µε µετρική ισοδύναµη µε τη σχετική τοπολογία από το H( Ω ), έτσι ώστε ο χώρος που προκύπτει να είναι πλήρης. Άρα είναι χώρος Baire. Επίσης, έχει αποδειχθεί η ισότητα 3

31 U( Ω, ζ ) = Ε( Ω, m, j, s, n) (δες [7]). Αυτή η m= j= s= n= περιγραφή της κλάσης που έχει ως φυσικό επακόλουθο την παρακάτω σχέση U( Ω, ζ ) A= Ε( Ω, m, j, s, n) A θα είναι το m= j= s= n= βασικό εργαλείο στην απόδειξη µας. Τα σύνολα Ε( Ω, mjsn,,, ) είναι ανοιχτά στο H( Ω ) (δες [7]), οπότε για κάθε επιλογή φυσικών αριθµών mjs,, και n το σύνολο Ε( Ω, mjsn,,, ) A είναι ανοιχτό στο A. Σύµφωνα, λοιπόν µε το τοπολογικό θεώρηµα του Baire, αρκεί να αποδείξουµε ότι το σύνολο ( ΕΩ (, mjsn,,, ) A) είναι n= πυκνό στο A. Αρκεί, λοιπόν, να βρούµε µία ακολουθία συναρτήσεων g n ( ΕΩ (, mjsn,,, ) A) τέτοια ώστε gn h µε τη τοπολογία n= του A. Επειδή, όµως η τοπολογία του A είναι ισοδύναµη µε τη σχετική τοπολογία στο H( Ω ) αρκεί να βρούµε g h µε τη τοπολογία του n H( Ω ). Καταρχήν σταθεροποιούµε ένα συµπαγές σύνολο L Ω. Έστω µία A και ένας θετικός αριθµός ε >. Επίσης, χωρίς βλάβη συνάρτηση h της γενικότητας, θεωρούµε ότι L c συνεκτικό. Βασικός µας στόχος είναι να βρούµε µία συνάρτηση g ( ΕΩ (, mjsn,,, ) A),δηλαδή: = n sup S (, g ζ )() z f () z z K j < s m ισχύει ότι : sup gz ( ) hz ( ) <ε f j (), z z K m Θέτουµε wz () =. hz (), Η (), για κάποιο και g() z, z Ω. για την οποία wz ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήµατος Runge (δες [7]) και άρα µπορούµε να βρούµε ένα πολυώνυµο p () z τέτοιο ώστε : sup p ( z) f ( z) j < z K s m () και 3

32 min hz ( ) ε sup p ( z) h( z) < min{, a} (), όπου a = >. Επίσης, επειδή η p είναι πολυώνυµο µπορούµε να βρούµε ένα φυσικό αριθµό τέτοιο ώστε > deg( p ) οπότε S ( p, ζ )( z) = p ( z) (3). Παρατηρούµε ότι το πολυώνυµο p () z δε µηδενίζεται σε περιοχή του L γιατί αν p ( z ) = για z L, τότε p( z) hz ( ) = hz ( ) sup p ( ) ( ) z L z h z min z L hz ( ) hz a ( ). Άτοπο. Επιπλέον, επειδή η περιοχή του L στην οποία το z L, rz > τέτοια ώστε η Dzr (, z). Έτσι, Dzr (, ) z p είναι συνεχής, µπορούµε να βρούµε ανοιχτή L p δε µηδενίζεται. Πιο συγκεκριµένα, p να µη µηδενίζεται στο δίσκο. Αλλά το L είναι συµπαγές οπότε θα έχει πεπερασµένη υποκάλυψη Dz (, r z ) Dz (, r )... (, ) z Dz r z L και βρήκαµε την ανοιχτή περιοχή που θέλαµε. Άρα η p έχει κλάδο λογαρίθµου σε περιοχή του L (). ηλαδή p () z = e qz (4) όπου q αναλυτική σε περιοχή του L. Επιλέγοντας r: D( ζ, r) L και δ = min{ s ε, l } (5) και sup z ζ z K m l l= r εφαρµόζοντας το θεώρηµα Mergelyan, καταλήγουµε στο συµπέρασµα ότι υπάρχει ένα νέο πολυώνυµο p () z τέτοιο ώστε : sup p ( z) q( z) <δ µε δ < δ και 3

33 p p () z q() z < δ () z e e qz () < δ (6), z L. Τότε θέτουµε p () z gz () = e (7). ) Προφανώς, η συνάρτηση g δε µηδενίζεται. ( g ορίζεται στο άρα και στο Ω αφού p πολυώνυµο). ) Ο συνδυασµός των σχέσεων (4), (6) και (7) δίνει ότι : sup gz ( ) p( z) < δ (8). Οπότε έχουµε : sup gz ( ) hz ( ) < sup gz ( ) p( z) + sup p( z) hz ( ) < δ + ε < ε λόγω της σχέσης (). 3) Παρατηρούµε ότι : p sup S ( e, ζ)( z) S ( e q, ζ)( z) < z K m s Πράγµατι, p sup S ( e, ζ)( z) S ( e q, ζ)( z) z K m = p () () l sup ( e ) l ( ) ( ) ( q l e ) ( ) ( ) l z ζ z l! ζ l! l= l= z K m ζ ζ 33

34 = p (( ) () ( ) ( ) () sup e l e q l ( )) ( ) () l z ζ l! l= z K m ζ ζ και λόγω των (4) και (7) έχουµε : = () () ( g l ( ζ) p l ( ζ)) sup ( z ) () l ζ z K l! m l= () l () l g ( ) p ( ) ζ ζ () l sup z ζ (9). z K l l! m = Επίσης, η διαφορά των g, p είναι µια αναλυτική συνάρτηση στο δίσκο D( ζ, r). Αν λοιπόν, M( ζ, r) = max{ gz ( ) p( z) :z ζ r } () τότε από τις εκτιµήσεις Cauchy έχουµε : g () l ( ζ ) p () l ( ζ) l! M(, r) r l ζ () Έτσι, από τη σχέση (9) και µε τη βοήθεια της σχέσης () προκύπτει ότι : p sup S ( e, ζ)( z) S ( e q, ζ)( z) z K m sup z K m l= M( ζ, r) l! () l z ζ l lr! 34

35 = sup z K m l= M( ζ, r) () l z ζ l r l sup z ζ z K M( ζ, r) m l= r l λόγω της () l z ζ max gz ( ) p( z) sup l= z K r l m Από τη σχέση ( 8 ) έχουµε : δ l= l sup z ζ z K m r l Και λόγω της (5) : l sup z ζ z K m s l < l= r l sup z ζ z K m l l= r = s. Οπότε µε τη βοήθεια των σχέσεων (4), (7) και της παρατήρησης (3) προκύπτει ότι : p sup S ( e, ζ)( z) S ( e q, ζ)( z) z K m = sup S ( g, ζ )( z) p ( z) < z K s. () m 35

36 Συνεπώς, sup S ( g, ζ )() z f j () z K z m sup S ( g, ζ ) p ( ) sup ( ) ( ) z + z K p z f j z m z Km και από () και () : < s + s = s. Συνεπώς, η απόδειξη είναι πλήρης. 36

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΥΜΠΤΩΣΗ ΤΩΝ ΚΛΑΣΕΩΝ U( Ω, ζ ) ΚΑΙ U( Ω ). Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε πάλι µε συναρτήσεις που ανήκουν στη γνωστή µας κλάση U( Ω, ζ ) µε Ω απλά συνεκτικό τόπο αλλά και µε συναρτήσεις που ανήκουν σε µια νέα κλάση, την U( Ω ). Το ερώτηµα που θα µας απασχολήσει είναι τι σχέση έχουν αυτές οι δύο κλάσεις µεταξύ τους. Έχοντας κατά νου τα αποτελέσµατα που ισχύουν στις καθολικές σειρές Taylor και ορίζοντας τη νέα κλάση U( Ω ), θα αποδείξουµε ότι για οποιοδήποτε φραγµένο τόπο Ω, οι δύο παραπάνω κλάσεις συµπίπτουν. Στην προσπάθεια αυτή, θα χρησιµοποιήσουµε τη ταυτόχρονη ύπαρξη κενών Ostrowsi, θα αποδείξουµε ένα σπουδαίο λήµµα και θα επικεντρώσουµε το ενδιαφέρον µας σε κάποια βασικά θεωρήµατα που θα µας οδηγήσουν στην επίτευξη αυτού του στόχου. Ας περιγράψουµε λοιπόν, την κατάσταση αυτή και ας δώσουµε τους απαραίτητους ορισµούς. ΟΡΙΣΜΟΙ-ΒΟΗΘΗΤΙΚΑ ΛΗΜΜΑΤΑ -ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ Ορισµός 3.5. Έστω Ω, Ω ένας φραγµένος απλά συνεκτικός τόπος και ζ Ω. Μία συνάρτηση f H( Ω ) ανήκει στην κλάση U( Ω ) εάν και µόνον αν για κάθε συµπαγές σύνολο K, τέτοιο c ώστε K Ω=, K συνεκτικό και για κάθε συνάρτηση hk : συνεχή πάνω στο K και ολόµορφη µέσα στο K o, υπάρχει µία, τέτοια ώστε για κάθε συµπαγές σύνολο ακολουθία λn {,,...} L Ω να έχουµε: sup sup S ( f, ζ )( z) h( z) ζ L z K λn n., καθώς Σηµειώνουµε ότι ο παραπάνω ορισµός είναι ισοδύναµος µε την απαίτηση η ακολουθία λ n, n =,,... είναι γνησίως αύξουσα. Ο ορισµός 3.5 δόθηκε στο [3] από τους Α.Μελά και Β.Νεστορίδη, οι οποίοι 37

38 απέδειξαν ότι η κλάση U( Ω ) είναι G και πυκνό υποσύνολο στο δ H( Ω ), αν ο Ω είναι απλά συνεκτικός τόπος. Ενώ αν ο Ω δεν είναι απλά συνεκτικός τόπος τότε U( Ω ) =. Ύστερα από τον ορισµό της κλάσης U( Ω ), διατυπώνουµε τον ορισµό για το πότε µία δυναµοσειρά έχει κενά Ostrowsi. Ορισµός 3.6. Έστω µία δυναµοσειρά ( ) n an z a µε ακτίνα n= σύγκλισης r (, ) και έστω ( ) δύο ακολουθίες πραγµατικών αριθµών τέτοιες ώστε... p σ σ και ( q σ ) σ p < q p < q και lim q σ =+. Λέµε ότι η δυναµοσειρά αυτή παρουσιάζει κενά σ pσ Ostrowsi ( pσ, qσ ), αν για το σύνολο δεικτών I =,..., } { p σ + q σ σ = έχουµε : lim a n n =. (δες [3]) n I Η παραπάνω ιδιότητα για µία δυναµοσειρά είναι πολύ σηµαντική, όπως φαίνεται στη διατύπωση του παρακάτω διάσηµου αποτελέσµατος του Ostrowsi. (δες [9]) f ( ν ) ( ζ ) Θεώρηµα 3.7. Έστω µία δυναµοσειρά f () z = o ( z ) ν ζ ν! o ν = µε ακτίνα σύγκλισης r > η οποία παρουσιάζει κενά Ostrowsi ( p, q ). Τότε το µέγιστο χωρίο ολοµορφίας Ω στη f είναι ένας απλά συνεκτικός τόπος του και η ακολουθία µερικών αθροισµάτων { Sp ( f, ζ o )( z)} συγκλίνει στο f () z οµοιόµορφα στα συµπαγή υποσύνολα ολόκληρου του Ω. 38

39 Κατόπιν του θεωρήµατος 3.7, θα διατυπώσουµε και θα αποδείξουµε ένα απλό λήµµα, το οποίο είναι σηµαντικός αρωγός στην απόδειξη του κεντρικού θεωρήµατος του κεφαλαίου αυτού. Το λήµµα αυτό (λήµµα f ( ν ) ( ζ ) 3.9) µας εξασφαλίζει ότι η δυναµοσειρά o ( z ) ν ζ ν! o ν = παρουσιάζει κενά τύπου Ostrowsi τα οποία θα µας φανούν χρήσιµα στη συνέχεια. Πριν όµως παρουσιάσουµε την απόδειξη αυτού του λήµµατος θα θέλαµε να διατυπώσουµε το Bernstein-Walsh λήµµα (9) που µας προσφέρει εκτίµηση του µέγιστου ενός πολυωνύµου πάνω σε περιφέρεια. Λήµµα 3.8. (Bernstein-Walsh λήµµα) Εάν P είναι ένα πολυώνυµο βαθµού n και Pz () για R () ( ) R n Pz για z = R > R. z = R τότε Τώρα, είµαστε σε θέση να διατυπώσουµε και να αποδείξουµε το λήµµα 3.9. (δες [6]) Λήµµα 3.9. Έστω µία δυναµοσειρά ακτίνα σύγκλισης ( ν ) ( ζ ) ν f o ( z ζ ) µε ν! o ν = r =. Για κάθε, ορίζουµε C τον κλειστό 3 δίσκο C = { z: z }. Εάν υπάρχει µία ακολουθία ( ) q φυσικών αριθµών µε q > q και ένας φυσικός αριθµός τέτοιος + ώστε max S (, )( ) z C q f ζo z για όλα τα () τότε η f ( ν ) ( ζ ) δυναµοσειρά o ( z ) ν ζ έχει κενά Ostrowsi ν! o ( p, q ), ν = για κατάλληλα p. Απόδειξη Λήµµατος 3.9. Υποθέτουµε ότι. Γνωρίζουµε ότι 39

40 max S (, )( ) z C q f ζo z την υπακολουθία Sq ( f, o)( z) έχουµε : max S (, )( ) 5 q f ζ z 3 5 o z. Εφαρµόζοντας το Bernstein-Walsh λήµµα για ζ στο δίσκο q ' : 3 5 C z z = { } και συνεπώς : q max (, )( ) max (, )( ) 5 S q f ζo z Sq f ζo z. z= 3 5 z Έστω ν { p,..., q } +. Τότε από εκτιµήσεις Cauchy στη συνάρτηση Sq ( f, ζ o)( z) πάνω στο δίσκο C= { z: z } έχουµε ότι : q 5 ν f ( ν ) ( ζ o ) ν! ν ( ν ) q f ( ζ ) (5 / ) ν o ν v! ν q 5 ν f ( ν ) ( ζo ) ν, για όλα τα ν q (). Οπότε έχουµε : ν! a = f( ζ ), o f ( ζ ) a = o,! f ( ζ ) a o,! =., ( q ) f ( ζo ) q!. q = + έχουµε ότι : Επιλέγοντας, p log q q q p = + p log (3) log log p q q log λόγω της (3). ν p Όµως 4

41 Άρα q log ν q log 5 log log 5 ν q log 5 ν log log5 e q log 5 ν log5 log e 5 ν q log5 (4). Οπότε η () λόγω της (4) γίνεται : f ( ν ) ν ( ) log o 5 ζ για όλα τα ν ν! 5 f ( ν ) ν ( ζ ) ( log ) µε p ν q. Ακόµα, lim o lim = ν I ν! I = { p +,..., q } και = q q q q log q = = = p q + log q + log + + log log log q Άρα lim q f ( ν ) ( ζ =. Συνεπώς, η δυναµοσειρά o ) ( z ) ν p ζ ν! o ν = έχει κενά Ostrowsi ( p q ), αφού lim q = p και για το σύνολο, 4

42 δεικτών I = { p +,..., q } = έχουµε f ( ν ) ν ( ζ ) lim o = ν I ν! κατάλληλα p. Έτσι, ολοκληρώθηκε η απόδειξη του λήµµατος 3.9., για Στο σηµείο αυτό, θα θέλαµε να αναφέρουµε ότι µε τη χρήση του θεωρήµατος 3.7 οι W.Gehlen, W.Luh και J.Muller απέδειξαν το θεώρηµα 3.. (δες [9]) Το θεώρηµα αυτό µας εξασφαλίζει ότι οι συγκλίνουν στο µηδέν διαφορές { Sp ( f, ζo)( z) Sp ( f, ζ )( z)} οµοιόµορφα στα συµπαγή υποσύνολα του κάτω από κάποιες προϋποθέσεις. Ας δώσουµε, λοιπόν, την πιο αυστηρή διατύπωση του θεωρήµατος αυτού. f ( ν ) ( ζ ) f() z = o ( z ζ ) ν ν! o r >, η οποία έχει κενά. Έστω Ω το µέγιστο χωρίο στο οποίο η f είναι Θεώρηµα 3.. Υποθέτουµε ότι η ν = είναι µία δυναµοσειρά µε ακτίνα σύγκλισης Ostrowsi ( p, q ) ολόµορφη και ένα οποιοδήποτε δοσµένο σηµείο ζ Ω. Τότε η ακολουθία { Sp ( f, ζo)( z) Sp ( f, ζ )( z)} συγκλίνει στο µηδέν οµοιόµορφα στα συµπαγή υποσύνολα του. Το θεώρηµα 3.. είναι επίσης πολύ σηµαντικό γιατί το χρησιµοποιούµε και στην απόδειξη ενός άλλου βασικού θεωρήµατος (θεώρηµα 3.), το οποίο θα µας οδηγήσει στον τελικό µας στόχο. Ας διατυπώσουµε και ας αποδείξουµε, λοιπόν, το θεώρηµα 3.. (δες [9]) Θεώρηµα 3.. Υποθέτουµε ότι ο Ω είναι ένας φραγµένος, απλά συνεκτικός τόπος. Έστω η συνάρτηση f είναι καθολική σειρά Taylor πάνω στο Ω στο σηµείο ζo Ω. Τότε η f είναι καθολική πάνω στο Ω σε κάθε σηµείο ζ Ω. 4

43 Απόδειξη Θεωρήµατος 3.. Έστω ζ Ω ένα οποιοδήποτε δοσµένο σηµείο και ( ) ( ) (, ) n f ν ζ S o n f ζo = ( z ) ν ζ ν! o και ν = ( ) (, )( ) n f ν S ( ) n f ζ z = ζ ( z ζ ) ν ν! ν = τα µερικά αθροίσµατα των σειρών της f () z γύρω από τα ζ o και ζ αντίστοιχα. Έστω K Ω c είναι ένα συµπαγές σύνολο µε συνεκτικό συµπλήρωµα και έστω µία συνάρτηση h συνεχής πάνω στο K και ολόµορφη στο εσωτερικό του. Θα δείξουµε ότι υπάρχει µία υπακολουθία ( p ) τέτοια ώστε S ( f, )( z) hz, οµοιόµορφα πάνω στο K. p ζ να συγκλίνει στη () ) Για να το πετύχουµε αυτό, αρχικά θα δείξουµε ότι υπάρχει µία ακολουθία ( p ) τέτοια ώστε η S ( f, )( z) p ζ o να συγκλίνει στη hz, () οµοιόµορφα πάνω στο K και τέτοια ώστε η δυναµοσειρά p f ( ν ) ( ζ o )( z o ) ν ζ να έχει κενά Ostrowsi ( p, q ) ν!. ν = Επιλέγουµε > τέτοιο ώστε ( K Ω ) C = για όλα τα διότι : z = z + z =. Άρα z C z > (). Επειδή Ω K είναι φραγµένος ως ένωση φραγµένων υπάρχει M > τέτοιος ώστε z < M για κάθε z Ω ( K) (). Αν το > M τότε C ( Ω K) =. Θεωρούµε τη συνάρτηση hz (), z K w () z =. Παρατηρούµε ότι η w () z είναι συνεχής στο, z C συµπαγές K C και ολόµορφη στο εσωτερικό και ( K C ) o συνεπώς : 43

44 sup S (, )() () q f ζ o z w z z K C ( ) Οπότε : max S ( f, )() z h() z q ζ z K o και max Sq ( f, ζo)( z) zc w () εσωτερικό ( K C ) o +. Έστω z είναι συνεχής στο συµπαγές ( ) + υπάρχει hz (), z K w () z =, z C + K C + q > q + sup S (, )() () z K C q f ζ o z w z + +. Επειδή η και ολόµορφη στο τέτοια ώστε : Άρα max S (, ) ( ) q f ζo h z z K + + και max Sq ( f, ζo)( z) zc + + Γενικά για κάθε, κατασκευάζουµε το Έστω. q µε τον ακόλουθο τρόπο : + hz (), z K w () z =. Παρατηρώντας ότι η w () z είναι συνεχής, z C C και ολόµορφη στο εσωτερικό ( K C ) o στο συµπαγές K έχουµε q > q + hz (), z K w () z =, z C τέτοιο ώστε :. (5) 44

45 Άρα max S ( f, )( z) h( z) q ζ z K o. (6) Και max Sq ( f, ζo)( z) zc. (7) Συνεπώς από το λήµµα 3.9. και τη σχέση (7) προκύπτει ότι η ( ν ) ( ζ )( ) ν f δυναµοσειρά o z ζ ν! o έχει κενά Ostrowsi τύπου ν =. Επιπλέον από τη σχέση (6) παρατηρούµε ότι η ακολουθία των ( p q ), µερικών αθροισµάτων Sq ( f, ζ o)( z) συγκλίνει οµοιόµορφα στη hz () πάνω στο K (8). Εµείς, θέλουµε να δείξουµε ότι και η ακολουθία των µερικών αθροισµάτων Sp ( f, ζ o)( z) συγκλίνει οµοιόµορφα στη hz () πάνω στο K. Έτσι, θεωρούµε τη διαφορά : q f ( ν ) ( ζ o ) ν (9). ν! = p + Sq ( f, ζo)( z) Sp ( f, ζo)( z) = ( z ζo) ν Έστω συµπαγές M και T = sup z o z M ζ > τότε έχουµε : q f ( ) ( ) sup o ( z ζ )! o z M ν ν = p + ν ζ ν q f ( ) ( ) sup o z ζ! o z ν Mν = p + q ( ) f ν ( ζ ) o ν! Tν ν = p + ν ζ ν 45

46 q 5 ( q p ) q q T q q ( q ) 5T log καθώς (). Σηµειώνουµε ότι 5T < διότι καθώς το τρέχει το T µένει σταθερό. Άρα η δυναµοσειρά q f ( ν ) ( ζ o )( z ) ν ζ! o συγκλίνει οµοιόµορφα στο µηδέν, πάνω στα ν ν = p + συµπαγή υποσύνολα του. Έτσι από τις σχέσεις (8), (9) και () συµπεραίνουµε ότι η ακολουθία των µερικών αθροισµάτων Sp ( f, ζ o)( z) συγκλίνει οµοιόµορφα στην hz () πάνω στο K (). )Επιπλέον, από το θεώρηµα 3.. γνωρίζουµε ότι η ακολουθία ( Sp ( f, ζo)( z) Sp ( f, ζ )( z)) συγκλίνει οµοιόµορφα στο µηδέν πάνω στα συµπαγή υποσύνολα του. Έτσι, από το θεώρηµα 3.. και τη σχέση () έχουµε ότι η ακολουθία των µερικών αθροισµάτων Sp ( f, ζ )( z) συγκλίνει οµοιόµορφα στην hz () στα συµπαγή υποσύνολα πάνω στο K. Έτσι, έχουµε το ζητούµενο αποτέλεσµα. Τέλος, διατυπώνουµε το θεώρηµα 3.. που αποτελεί την πιο ισχυρή µορφή του θεωρήµατος 3.. Το θεώρηµα 3. απέδειξαν οι Β.Νεστορίδης και Α.Μελάς στο [3]. f ( ν ) ( ζ ) Θεώρηµα 3.. Έστω f() z = o ( z ) ν ζ ν! o είναι το ν = ανάπτυγµα µιας ολόµορφης συνάρτησης πάνω σε ένα ανοικτό σύνολο Ω γύρω από το σηµείο ζo Ω. Υποθέτουµε ότι η δυναµοσειρά έχει κενά τύπου Ostrowsi ( p, q ) τότε η διαφορά 46

47 { Sp ( f, ζ)( z) Sp ( f, ζo)( z)} συγκλίνει στο µηδέν (καθώς το ) οµοιόµορφα πάνω στα συµπαγή υποσύνολα του Ω. Έπειτα, από την παρουσίαση όλων αυτών των αποτελεσµάτων και συνδυάζοντας κάποια από αυτά, όπου χρειαστεί είµαστε έτοιµοι για την απόδειξη του κεντρικού θεωρήµατος του τρίτου κεφαλαίου. ΚΕΝΤΡΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω Ω φραγµένος απλά συνεκτικός τόπος και ζo Ω. Τότε U( Ω, ζ o ) = U( Ω ). ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΚΕΝΤΡΙΚΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Εύκολα συµπεραίνουµε από τον ορισµό της κλάσης U( Ω ) (δες ορισµό 3.5.) ότι U( Ω) U( Ω, ζ o ). Για να δείξουµε τώρα τη σχέση U( Ω, ζ o ) U( Ω ) αρκεί να δείξουµε ότι ισχύει η παρακάτω συνεπαγωγή : f U ( Ω, ζo) f U ( Ω ). Έστω K Ω c είναι ένα συµπαγές σύνολο µε συνεκτικό συµπλήρωµα. h µία συνάρτηση συνεχής πάνω στο K και ολόµορφη στο εσωτερικό του. Από το δεδοµένο f U ( Ω, ζo) (δες επίσης θεώρηµα 3..) γνωρίζουµε ότι υπάρχει ακολουθία ( p ) που έχει κενά τύπου Ostrowsi και ότι sup Sp ( f, ζo)() z h() z z K θεώρηµα 3.. έχουµε ότι L Ω συµπαγές ισχύει : (). Επίσης, από το sup sup S (, )( ) (, )( ) Lz K p f ζ z S p f ζ o z (3). ζ Συνδυάζοντας, λοιπόν, τις σχέσεις () και (3) συµπεραίνουµε ότι, L Ω συµπαγές ισχύει : sup sup S (, )( ) ( ) Lz K p f ζ z h z ζ sup sup S (, )( ) (, )( ) Lz K p f ζ z S p f ζ o z ζ 47

48 + sup S (, )( ) ( ) z K p f ζ z h z. Συνεπώς, ολοκληρώθηκε η απόδειξη του κεντρικού θεωρήµατος. 48

49 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ []J.B.COWAY. Functions of one complex variable I. Secomd edition. []G.COSTAKIS. Zeros and Interpolation Problem. Math. Proc. Phil. Soc (5), 39, 49. [3]G.COSTAKIS and A.MELAS. On the range of universal functions, Bull. London Math. Soc 3 (), no [4]G.COSTAKIS and V.VLACHOU. Interpolation by universalhypercyclic functions, submitted (7). [5]C.K.CHUI and M..PARES. Approximation by overconvergence of power series, J.Math. Anal. Appl. 36 (97). [6]P.GAIER. Lectures on Complex Approximation. [7]K.-G.GROSSE-ERDMA. Holomorphe Monster und univerelle functionen, Mitt. Math. Sem.Giessen, Heft 76, -84 (987). [8]K.-G.GROSSE-ERDMA : Universal families and hypercyclic operators, Bull. Amer. Math. Soc-36 (999), [9]W.GEEHLE, W.LUH and J.MULLER. On the Existence of O- Universal Functions (). []Α.ΚΟΥΤΡΟΥΜΠΟΥΧΟΥ. Κλάσεις Καθολικών και Αµφιµονοσήµαντων συναρτήσεων (6). []J.-P.KAHAE : Baire s Category Theorem and Trigonometric Series, Journal d Analyse and Mathematique, 8,43-8 (). []W.LUH. Universal Approximation Properties of Overconvergent power series on open sets. Analysis 6, 9-7(986). [3]A.MELAS and V.ESTORIDIS. Universality of Taylor Series as a Generic Property of Holomorphic Functions. Advances in Mathematics 57, () Athens. 49

50 [4]D.MECHOFF, Sur les series. Trrigonometriques Universelles, Comptes Rendus (Dolady) de l Academie des Sciences de l URSS, Vol. XLIX, no (945), [5]J.MULLER, V.VLACHOU and A.YAVRIA. Universal Overconvergence and Ostrowsi gaps, Bull.London Math. Soc. 38 (6), [6]Σ.ΝΕΓΡΕΠΟΝΤΗΣ, Θ.ΖΑΧΑΡΙΑ ΗΣ, Ν.ΚΑΛΑΜΙ ΑΣ, Β. ΦΑΡΜΑΚΗ. Γενική Τοπολογία και Συναρτησιακή Ανάλυση. Εκδόσεις Αίθρα. Αθήνα. [7]V.ESTORIDIS. Universal Taylor Series. Ann. Inst. Fourier. Grenoble. 46, (996). [8]V.ESTORIDIS. An extension of the notion of universal Taylor series, in Proceedings, Computative Methods and Function Theory 97 (CMT 97), icosia, Cyprus, October 3-7, 997, p.p [9]G.PAL, ZWEI KLEIE KUGE, Tohou Math. J. 6(94/5) 4, 43. []B.P.PALKA. An Introduction to Complex Function Theory. Springer.Verlog. (98) [].RUDI. Real and Complex analysis. ew Yor (996). []A.I.SELEZEV, On universal power series (Russian) math. Sb. (.S.) 8 (95),