ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. «Μοντέλα βάσης της Bayesienne Ανάλυσης και Σύµφυτες Απώλειες»

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ιωαική εργασία «Μονέα άσς ς Ανάυσς και Σύφυες Αώειες» ς Θεοώρας Καρααάκ Ειέων καγής : ούκισσα Κρικού Εξεασική ειροή. Κρικού. Κοσιώρς Ε. Τσοάκ Ηράκειο Μάιος 4

2 ΜΟΝΤΕΛΑ ΒΑΣΗΣ ΤΗΣ YSINN ΑΝΑΛΥΣΗΣ και ΣΥΜΦΥΤΕΣ ΑΠΩΛΕΙΕΣ Εισαγωγή Σριζόενοι σις αραρήσεις ενός υχαίου φαινόενου ανικείενο ς Σαισικής Ανάυσς είναι εξαγωγή ενός συεράσαος σν αιία ου νόου ου γεννά ις αραρήσεις ώσε είε να αναύσουε ένα ερασένο φαινόενο είε να ροέψουε ένα εονικό γεγονός ο οοίο συνέεαι εξ οοκήρου ε ις αοφασισικές όψεις αυού ου συεράσαος. Η έοος χοργεί ένα φυσικό αίσιο για ν είυσ ων ροάων ς Σαισικής Συερασαοογίας. Μέσα σ αυό ο αίσιο ογική είναι συικά ού αή ε ον ύο ου να συνυάζει ν εκ ων ροέρων ροφορία καορισέν ακαόρισ ή ακόα και ανύαρκ ε ν ροφορία οοία ροέρχεαι αό ο είγα. Το Κεφάαιο Ι ασιζόενο σον J-P. Flo 998 σκοό έχει να εριγράψει ύο ρόους σκέψς. Ο ρώος είναι υοκειενικός και αφορά ον καορισό ων εκ ων ροέρων ροφορικών νόων ενώ ο εύερος είναι ανικειενικός και αφορά ον καορισό ων -ροφορικών εκ ων ροέρων νόων. Το Κεφάαιο ΙΙ ασιζόενο σον.sm 998 εριγράφει ο ώς οι γενικές αρχές ς συερασαοογίας εφαρόζοναι σε κάοια ονέα άσς χρήσια σ σαισική ανάυσ. Σα αραερικά ονέα ου εκίεναι οι έοοι ου Κεφααίου Ι χαρακρίζουν ους εκ ων ροέρων νόους και για όα α ονέα άσς ίοναι αναυικές εκφράσεις ων εριωριακών και ων εκ ων υσέρων νόων. Σ Σαισική Θεωρία Αοφάσεων έρα αό ειγαική καανοή σανικό ρόο αίζει και συνάρσ αώειας. Εειή ειογή ιας συγκεκριένς συνάρσς αώειας ερεάζει ισχυρά συερασαοογία ο Κεφάαιο ΙΙΙ ασιζόενο σον C.Ro 996 σκοό έχει να αρουσιάσει ως ααραίες ις σύφυες αώειες όαν καία ροφορία εν είναι ιαέσι σχεικά ε συνάρσ ωφέειας ου αοφασισή αό ο να εικαεσούε κασσικές αώειες όως εραγωνική αώεια. Εειή αυή οοέσ είναι σχεόν όοια ε ν αραγωγή -ροφορικών εκ ων ροέρων νόων σν Ανάυσ ανακαούε αρχικά ις συνήκες αυής ς αραγωγής και ε άσ αυές κααήγουε σε ορισένες ααιήσεις σχεικά ε ις σύφυες αώειες. Φαίνεαι όε όι αυές οι συναρήσεις αώειας εξαρώναι όνο αό ν καανοή ου είγαος και ρέει να είναι ανεξάρες αό ν αραερικοοιήσ ς καανοής. Οι εκιές ου ροκύουν είναι όε q. Μεεάε ις ιιόες ύο σύφυων αωειών αή ις αώειες ς o και ου Hllg και αοεικνύουε όι ορούν να εκφρασούν ε συγκεκριένο ύο για ις εκεικές οικογένειες. Ειέον o αώεια αρέχει αναυική έκφρασ ων εκιών ου υό συζυγείς εκ ων ροέρων καανοές. Η αραγωγή ων εκιών ου ου συνέοναι ε ν Hllg

3 αώεια είναι ερισσόερο «φορική» όως φαίνεαι αό ις εριώσεις άα και Poo ενώ και οι ύο αώειες ογούν σε αρόοιους εκιές. Εειή οές και σύνεες είναι οι καανοές ου εφανίζοναι σν ανάυσ ων αραερικών ονέων ιιαίερα ου Κεφααίου ΙΙ ο Παράρα εριαάνει ις ααραίες καανοές και κάοιες χαρακρισικές ιιόές ους χρήσιες σ σαισική εέ ας. Θεωρούε ααραίο ριν αναύξουε ο έα ας να ώσουε ένα γενικό αίσιο εριγραφής ς εαχείρισς έε.χ. C. Ro 99 σο οοίο σρίζεαι ανάυσ ων αρακάω κεφααίων. Το σαισικό ονέο ααιεί ρεις χώρους - ο χώρο ων αραρήσεων - ον αραερικό χώρο Θ - ο χώρο ων αοφάσεων D Το συέρασα συνίσααι σο να άρουε ια αόφασ D ου αφορά ο Θ σ έα ιας αραήρσς α και ράγαι εοένα υό ο νόο ς... Σν ράξ ια εειώς αρχή ς εόου είναι : Κάε «σαισικό συέρασα» οφείει να εειώνεαι σον αυσρό καορισό ων αρακάω αραγόνων ς οικογένειας ων νόων ων αραρήσεων ως ρος ένα κυρίαρχο έρο ς εκ ων ροέρων καανοής ων αραέρων 3 ς συνάρσς αώειας ου συνέεαι ε ις αοφάσεις Θ D R. : Τα και ειρέουν να καασκευάσουε α ον αό κοινού νόο ων ον εριωριακό ή νόο ου Θ m γ ον εκ ων υσέρων νόο ου εοένου ου m Εφαρογές αυών εριαάνει ο Κεφάαιο ΙΙ.

4 3 Το εεάαι εν έρει σο Κεφάαιο Ι καορίζονας εόους υοκειενικές ή ανικειενικές ροσιορισού ου. Σο 3 ο εκιά ν «οινή» ου ροκύει αό χρήσ ς αόφασς όαν αράερος είναι ο. Με άα όγια ο αρισά ν αώεια οοία εκίεαι αό ν κακή εκίσ ου. Τα και 3 εκός αό ο ορούν γενικά να καορισούν και αό εκιήσεις ερικώς υοκειενικές. Όως α φανεί σο Κεφάαιο ΙΙΙ ο ρόα καασκευής ου 3 είναι συχνά ιο σύνεο αό ο και ο καορισός ς αώειας είναι εξίσου ισχυρά συνεεένος ε ις εκ ων ροέρων ροφορίες εί ου ονέου αρά ε ια ανάυσ. Εειή είναι υναό να εαχισοοιήσουε ν αώεια όαν ο είναι άγνωσο για να συγκαύψουε αυό ο ρόα εωρούε έσ αώεια ή ον κίνυνο R όου συνάρσ αόφασς ή ο εκιής ου Βεαίως ορούε να αναζήσουε αν υάρχει ια αόφασ οοία εαχισοοιεί ον R οοιόορφα ως ρος. Αυό όως αοεεί σάνια ερίωσ. Η έοος ανί ς οοκήρωσς εί ου οοκρώνει εί ου Θ εειή ο είναι άγνωσ αράερος όαν ο είναι γνωσό. Ορίζουε έσι ν εκ ων υσέρων αώεια Θ ρ οοία αοεεί ο έσο σφάα ακοουώνας ον εκ ων υσέρων νόο ου εοένς ς αραρούενς ιής. Η εκ ων υσέρων αώεια είναι ια συνάρσ ου αυή όως εξάρσ εν έχει α ίια αοεέσαα ε εκείν οοία συνέει κίνυνο και αράερο εειή ο εν ανιέσει ε ο είναι γνωσό. υνάεα εξίσου να ορίσουε ον κίνυνο ου ή κίνυνο : Θ R o oοίος ίνει ια ραγαική ιή και όχι έον ια συνάρσ ου. Ο κίνυνος ου ανισαίζει ους κινύνους ακοουώνας ν ιανοφάνεια ς αραέρου. Οι αραάνω ύο έννοιες εκίσς είναι ισούναες ε ν ακόου έννοια : Ένας εκιής εαχισοοιώνας ον κίνυνο ου ύνααι να ροκύψει εκέγονας για κάε ν ιή οοία εαχισοοιεί ν εκ ων υσέρων αώεια ρ εειή

5 4 ρ m υνάεα όε να ορίσουε ν έννοια ου εκιή ου συνεεέν ε ια αώεια και ε ια εκ ων ροέρων καανοή ως εξής : Ορισός : Ονοάζουε εκιή ου συνεεένο ε ένα εκ ων ροέρων νόο και ε ια αώεια κάε εκιή ο οοίος εαχισοοιεί ον. ια κάε αυός ίεαι αό ο ου συεραίνεαι αό ν : m ρ m Έσι ροκύει ια καασκευασική έοος καορισού ων εκιών ου. Σειώνουε όι αό αόψεως κααρά όνο εκ ων υσέρων αώεια είναι ενιαφέρουσα εειή ο αράειγα εειώνεαι εί ς εσευικής εόου. Το αραάνω αοέεσα είναι έγκυρο για ους o ή ους Θ mo νόους οιόν ο ίιο αν ο κίνυνος είναι άειρο. Θ Σν ερίωσ ενός mo νόου ορίζουε ον συνεεένο ε αυόν εκιή ου καούενο γενικευένο εκιή ου σαν εκείνο ο οοίος εαχισοοιεί για κάε ν εκ ων υσέρων αώεια. ενικά ο εκιής ου είναι οναικός. Οι ύο έννοιες ς oml mm και ml ς Θεωρίας Αοφάσεων εξεαζόενες υό ν οική φαίνεαι να ικανοοιούναι αό ους εκιές ου. υσυχώς σε ορισένες εριώσεις χρήσ ων σύφυων αωειών υό ις εκ ων ροέρων συζυγείς ου χρσιοοιούε σο Κεφάαιο ΙΙΙ ας ογούν σε εκιές ου ε αναυικές εκφράσεις ούοκες καισώνας ύσκο εέ ς oml αυών ων εκιών. Παραήρσ : ενικά σ Θεωρία ων Πιανοήων χρσιοοιούε ο κεφααίο για να σειώσουε ια υχαία εαή.. και ο ικρό για να αρασήσουε ια υναή ιή ς. Σν εργασία αυή σε όα α Κεφάαια εκός αό ο Παράρα για να εαφρώσουε ις ιάφορες έννοιες ου αρουσιάζοναι ο α σειώνει ν.. ή ια ιή ς. Οι συοισοί ων αραάνω εννοιών εν ρούναι αυσρά σο αρακάω κείενο Κεφάαια Ι ΙΙ αό ο γεγονός όι υάρχει εγά οικιία αραέρων ου εέκοναι σα ιάφορα ονέα ου εεάε. Έσι ειογή ων συόων για ις ιάφορες έννοιες γίνεαι καά ον καύερο υναό ρόο. Είσς οές φορές εξαιίας ς σύνες ορφής ιας υκνόας ιανόας. ου εφανίζεαι σον ογισό κάνουε χρήσ ου υρήνα ς αή ου ασικού έρους ς συνάρσς υκνόας χωρίς σαερά.

6 5 Ι. Καορισός ς εκ ων ροέρων καανοής Το σαισικό ονέο αναύεαι γενικά σε ύο έρ : σν εκογή ς οικογένειας ων ιανοήων ου είγαος και εκείν ς εκ ων ροέρων καανοής ων αραέρων. Ο καορισός ου ονέου ου είγαος εν είναι ανικείενο ς ανάυσς και ο σύνοο ων εχνικών εκίσς ου ή κριήρια ειογής ου ονέου o έοοι κ.α. ορούν να χρσιοοιούν. Ο καορισός ς εκ ων ροέρων καανοής είναι ανιέως ουσία ς ανάυσς και ααιεί ένα σύνοο αρχικών συογισών ως ρος συερασαική ροσέγγισ οοία εειώνεαι οναικά εί ου είγαος. Πού σχαικά ορούε να εκέσουε ύο ρόους σκέψς. Ο ρώος είναι υοκειενικός και εωρεί όι εκ ων ροέρων καανοή εκφράζει ις γνώσεις ρο ς αραήρσς ων εοένων. Η εωρία αοφάσεως ροείνει ια αξιωαική καορισού ων εκ ων ροέρων γνώσεων ογώνας σν καασκευή ων εκ ων ροέρων ιανοήων. Εείς ε α αναύξουε αυή ν αξιωαική ς οοίας ικαίωσ είναι ερισσόερο εωρική αρά ρακική. Π.χ. ροκειένου ερί ευαισσίας και ιιαιέρως σ εέ ων κινύνων ε ασενή ιανόα είναι εειώες να συσσωαώσουε σ σαισική εέ γνώ ων ειικών. Το ανικείενο είναι όε να συάουε σο να εκφρασούν αυές οι γνώες υό ορφή εκ ων ροέρων ιανοήων. Μακρορόεσα όως αυός ο εκ ων ροέρων ορισός οφείει να ικανοοιήσει ν ανάγκ αόας ων υοογισών και αυός είναι ιιαίερα ο όγος ς ανάυξς ων «φυσικών συζυγών» ll og καανοών σ ένα ειγαοικό ονέο ου α εεήσουε σο κεφάαιο ΙΙ. Η ανάυξ ων αριικών εόων κερίζει ο ενιαφέρον σ αυήν ν ααίσ αόας ων υοογισών σε όφεος ς ορόας ς εκ ων ροέρων καανοής. Ο εύερος ρόος είναι ιο ανικειενικός και εν αροχεεύει ις εκ ων ροέρων γνώσεις έραν ου χρήσ. Μορούε όε να αραείνουε αουσία ς εκ ων ροέρων ροφορίας. Αναζούε οιόν ις εκ ων ροέρων «ροφορικές» εκφράζονας ν εκ ων ροέρων άγνοια αά χρσιοοιούε ις αραέρους σαν υχαίες εαές και καά συνέεια χρσιοοιούε ο σύνοο ων υοογισών. Ο ορισός ς εκ ων ροέρων «ροφορικής» εν είναι οναικός και υάρχουν ιάφοροι ύοι αυής ς έννοιας. Ανικειενική ροσέγγισ ε σαίνει αναγκασικά εκ ων ροέρων ροφορική και α εικαεσούε όε ν άοψ καούεν mq.. Εκ ων ροέρων ροφορικές Σν αράγραφο αυή α φανεί όι εκογή ιας εκ ων ροέρων καανοής ροφορικής ογεί συχνά σον καορισό ενός έρου και όχι ιας ιανόας και α εξεασούν συνοικά α ααικά συεράσαα ιας έοιας ροοοίσς.θα εωρήσουε ύο αό ις ιο γνωσές εόους : - ν αναζήσ ιας εκ ων ροέρων αναοίως και - έοο ου J

7 6 αό ις οοίες εύερ α εικαεσούε κυρίως σα εόενα κεφάαια. ια οοιαήοε έοο ο καορισός ενός εκ ων ροέρων έρου «ροφορικού» συνίσααι άνοε σο να ορίσουε ένα έρο εί ου αραερικού χώρου Θ ια έσου ου ειγαικού χανισού ο οοίος εριγράφεαι αό ο είγα και ειγαική ιανόα. Αυή ειγαική ιανόα είναι εσευική γενικά ε ο έγεος ου είγαος και ε ένα σύνοο εεξγαικών εαών ου εριγράφουν ις υοέσεις ς αραήρσς. Η εκ ων ροέρων ιανόα ου α ροκύψει ια έσου ων εόων ου α αρουσιάσουε α εξαράαι οιόν γενικά αό ο έγεος ου είγαος και ις εεξγαικές εαές. Το γεγονός όι ο εκ ων ροέρων έρο εξαράαι αό ο έγεος ου είγαος ορεί να είναι ενοχικό σε όι αφορά ις συνήεις ασυωικές ιιόες ου ονέου και συνέεια ων εκιών ου. Η αρουσία ου εγέους ου είγαος σν εκ ων ροέρων συαίνει σα ανεξάρα και ισόνοα ονέα αυό ο οοίο ονίζει υσκοία ς ασυωικής ανάυσς. Το γεγονός όι εκ ων ροέρων καανοή εξαράαι αό ις εεξγαικές εαές είναι ιο φυσικό. Σ ένα ονέο αινρόσς έε κεφάαιο ΙΙ ερνεία ων αραέρων είναι συνάρσ ων υό όρων εαών και εν αοεεί οιόν έκξ ο όι εκ ων ροέρων εριγράφει αυή σχέσ. Αό ο άο έρος ορούε να εωρήσουε όι αραήρσ ων εεξγαικών εαών έχει ή ραγαοοιεί σε έναν ρώο χρόνο και όι ο έρο εί ων αραέρων συσσωαώνει ις ροφορίες ου ροέρχοναι αό αυές ις εαές.. Εκ ων ροέρων έρα Θεωρούε κα αρχήν ν αυονό σύσασ : Αν ο ειγαοικό ονέο ορίζεαι αό ια υκνόα αραέρου εερασένς ιάσασς ένα εκ ων ροέρων έρο α χαρακρίζεαι ού συχνά αό ν υκνόα ου m αναφορικά ε ο έρο ου g. Αυή υκνόα είναι ια ραγαική συνάρσ εική ή έν αά ο οοκήρωά ς εν είναι αναγκαία εερασένο. Σν ράξ αν ο οοκήρωα είναι εερασένο ορούε να ογούε σν ερίωσ ιας ιανόας χωρίς αώεια ς γενικόας ιόι ο υοογισός ς εκ ων υσέρων είναι υναός. Το ρόα οιόν ροοοιείαι όαν m. ια να χρσιοοιήσουε σ αυήν ν ερίωσ ο εώρα ου ρέει να εαεύσουε όι ο αρονοασής αή εριωριακή υκνόα ή ο ου είγαος Θ m Θ εν είναι άειρο. Αν ο ύος ου Β εν ορεί έον να ικαιοογείαι σαν ύος υοογισού ενός εσευικού νόου. Παράειγα : Έσω ~ N όου Θ R R και ακοουεί εκ ων ροέρων ο έρο ου g εί ου R. Τόε

8 Λοιόν και / / R και m. m / / R Θ Θ R R R / / R R / / οοκρ. Ν 7 Μααικόερα εαχείρισ ενός εκ ων ροέρων έρου ύνααι να αρουσιασεί καά ον ακόουο ρόο : Έσω ένα έρο σ-εερασένο εί ενός χώρου γινόενο Α Β.ια να αοσυνεεί ο σ ένα εριωριακό έρο εί ου Α και ένα εσευένο έρο εί ου Β εοένου ενός σοιχείου ου Α είναι αναγκαίο ο εριωριακό έρο εί ου Α να είναι σ-εερασένο αή να υάρχει ια αριήσι οικογένεια Α Α : Α Α ε Α <. Υό αυήν ν υόεσ ο εώρα ων Ro Nom εξασφαίζει ν ύαρξ εσευένς ιανόας άζας για σχεόν κάε ιή ς εαής έσευσς. Εφαρόζονας αυό ο αοέεσα σν ανάυσ ειρέει να καασκευάσουε ο ακόουο : Θεωρούε ια οικογένεια ειγαοικών ιανοήων P εί ου Χ χώρος αραρήσεων και ένα εκ ων ροέρων έρο m σ-εερασένο εί ου Θ. Ορίζουε όε ένα έρο σ-εερασένο εί ου γινοένου Θ Χ και ο εσευένος νόος ου Θ ως ρος Χ α είναι ορισένος όνο όαν ο εριωριακός νόος εί ου Χ είναι σ- εερασένος. Σ αυήν ν ερίωσ ο εκ ων υσέρων νόος α είναι σ.. ια ιανόα. Αυός ο συογισός ύνααι είσς να εφαροσεί για ον καορισό ιας εκ ων ροέρων εί ενός ιανύσαος : αν ορούε να ορίσουε ένα αό καορίζονας ια ιανόα εί ου κοινού έρο εί ου εοένου ου και ένα έρο σ-εερασένο εί ου. Ανιέως αν είναι ύο έρα εί ων Θ Θ ανισοίχως ε υκνόες m και m ανισοίχως : N Θ m και m Θ όε ο γινόενο m m m ε ορίζει καώς ένα έρο εί ου Θ Θ ε υκνόα m και

9 Θ Θ m m m m m Θ Θ Θ Θ Θ Θ 8 Η ερνεία ων ως εριωριακά έρα εν έχει καία άσ αφού.χ. Θ m m m m m m Θ Σειώνουε έος για να κείσουε αυήν ν αράγραφο όι : αν m είναι έοια ώσε < είναι ο ίιο για ν m όου οοιαήοε σαερά. Ειέον m α είναι αεά ερνώνας αό ν m σν m. Θ. Αναοίωα εκ ων ροέρων έρα Θεωρείαι φυσικό ο γεγονός να υοοιούε ν αουσία εκ ων ροέρων ροφορίας αό ια ιιόα ου αναοίωου : αν αράερος R αρισά άζα ενός ανικειένου και αν ο ανικείενο καέχει ια ροφορία α για ο οι εκ ων ροέρων καανοές ων και α ανισοίχως εν είναι εαίως αυόσες. Ανιέως α έε όι καανοή ου και εκείν ου α είναι αυόσες για κάε α εκφράζονας σαφώς ν άγνοια εί ς ιής ου. Λοιόν ένα έρο Μ εί ου Θ είναι αναοίωο υό έναν εασχαισό ϕ : Θ Θ αν ο Μ συίει ε ν εικόνα ου έσω ου ϕ ϕ Μ : Θ ϕ Μ Θ Μ ϕ Θ Αν ο Μ χαρακρίζεαι αό ν υκνόα ου m και αν ϕ είναι - και εί και αυή καώς και ανίσροφή ς είναι αραγωγίσιες υκνόα ου ϕμ είναι ίσ ε : ϕ m o ϕ όου ϕ αραγώγων ς σειώνει ν αόυ ιή ς ορίζουσας ου ίνακα ων ερικών ϕ και υόεσ ου αναοιώου είναι οιόν ισόα m ϕ m oϕ σ.. Παράειγα : Το έρο ου g σον ις εαφορές ϕ α α R. Πράγαι έονας R α αάνουε α m είναι αναοίωο για όες και ϕ Ι... όου ο οναιαίος ίνακας άξεως. Λοιόν ϕ και Ι m ϕ m oϕ.

10 9 Θα έε όι ο Μ είναι σχεικά αναοίωο υό ον ϕ αν ϕ Μ ϕ Μ όου ο οαασιασικός συνεεσής ϕ είναι συνάρσ όνο ου εασχαισού ϕ. Παράειγα 3 : Το έρο ου g εί ου εασχαισούς ϕ α όου - ίνακας ανισρέψιος και α R. Πράγαι έονας α R είναι σχεικά αναοίωο υό ους έχουε α. Αν οιόν... α α... α και... όου αάνουε α... α.... Συνεώς ϕ. O... Σειώνονας ε Μ ο έρο ου g εί ου R και m ν υκνόα ου εώ m έχουε όι ο ϕμ έχεαι.. ν : ϕ m oϕ m αή ϕ Μ ϕ Μ ε ϕ. Αν - ίνακας ορογώνιος υό ον ίιο εασχαισό ϕ α και ο Μ είναι άι αναοίωο. Η εωρία ων έρων ου H έε.χ. σο [] και ιο γενικά ων οογενών χώρων ενιαφέρεαι για έρα αναοίωα και σχεικά αναοίωα για οάες εασχαισών και εωρεί ιιαιέρως ο ρόα ς οναικόας υό έναν οαασιασικό αράγονα ενός αναοίωου έρου. Βασιζόενοι σ αυήν ν εωρία σ ένα ονέο ορούε να ορίσουε ν εκ ων ροέρων άγνοια ια ου αναοίωου αναφορικά ε ια οικογένεια Φ εασχαισών ου Θ εί ου εαυού ου και αν Φ είναι αρκεά εγά α εκέξουε όε σαν εκ ων ροέρων έρο -ροφορικό ο οναικό αναοίωο έρο αναφορικά ε ν Φ. Το γεγονός όι ο έρο αυό ορίζεαι υό έναν οαασιασικό αράγονα εν αοεεί ρόα ιόι εκ ων υσέρων ιανόα ε α ροοοιεί αό ον αράγονα. ια ον ίιο όγο ένα έρο σχεικά αναοίωο είναι ια καά εκογή ιόι εκ ων υσέρων ιανόα α αραείνει ίια αν ανικαασήσουε ο Μ ε ο ϕ Μ. Πράγαι ο οαασιασικός αράγονας ϕ εξαφανίζεαι σον ογισό ς εκ ων υσέρων. Ενιαφέρον αοεεί σαισική καασκευή ς οικογένειας Φ έε

11 σο [3] αό ο ειγαοικό σαισικό ονέο οοία είναι ιιαίερα χρήσι σους εέγχους σαισικών υοέσεων..3 Εκ ων ροέρων έρο ου J Ο ρόος καορισού ιας εκ ων ροέρων -ροφορικής γνωσή υό ο όνοα εκ ων ροέρων έρο ου J συνίσααι σο να ροσιορισεί σ ένα ειγαοικό ονέο ο οοίο χαρακρίζεαι αό ν ιανοφάνεια ο εκ ων ροέρων έρο υκνόας m J [ Ι ] / αναφορικά ε ο έρο ου g. Ο ίνακας Ι είναι ο ίνακας ροφοριών ου Fh : Ι Ι όου Ι log. Αυή καασκευή έχει έννοια όνο όαν ο είναι ένα ιάνυσα ραγαικών συνεαγένων και υό ις συνήεις υοέσεις ς κανονικόας. Η υκνόα mj εν χαρακρίζει γενικώς ια ιανόα αά ένα έρο όως ο είχνει ο αρακάω αράειγα. Παράειγα 4 : Έσω... υχαίο είγα ανεξάρες και ισόνοες.. ιας. Θέονας N σ σ Θ R R έχουε : / και / log log log. Α όου αάνονας ις ερικές αραγώγους έχρι ας άξεως ως ρος ις συνεαγένες ου αό ον ορισό ων Ι και ου γεγονόος όι Λοιόν ~ ροκύει : Ι.

12 [ Ι ] και m J. / Το εκ ων ροέρων έρο ου J ικανοοιεί ορισένες ιιόες συνεεένες ε ις χαρακρισικές ου υικού ροφορίας : Σε ια ειγαοψία αό ανεξάρες και ισόνοες οκιές ο έρο ου J εξαράαι αό ο έγεος ου είγαος όνο ιαέσου ενός οαασιασικού αράγονα ον οοίο ορούε να αραείψουε. Το εκ ων ροέρων έρο ου J εν καασκευάζεαι ια έσου ιας εαρκούς σαισικής συνάρσς ου αρχικού είγαος ιόι Ι εν ροοοιείαι Το έρο ου J εν είναι αναοίωο γενικά ε ν έννοια ου αναοίωου για ια οικογένεια εασχαισών όως είαε σν ρογούεν αράγραφο. Όως έε συχνά όι αυό ο έρο είναι αναοίωο χρσιοοιώνας ον όρο υό ν εξής έννοια : Θεωρούε ένα εασχαισό ϕ : Θ Λ - και εί ο οοίος εασχαίζει ν αράερο σν ϕ. υνάεα όε να ορίσουε ένα καινούριο σαισικό ονέο είγαος και ιανοφάνειας ϕ. Αυό ο καινούριο ονέο έχει ένα εκ ων ροέρων έρο ου J υκνόας m ~ και εαεύεαι άεσα όι m ~ είναι J εικόνα ς m J έσω ς ϕ. Θεωρώνας χάριν αόας ονοιάσα ερίωσ έχουε : J ~ m J log ϕ ϕ / όου αράγωγος είναι ως ρος Όως log ϕ log ϕ ϕ ϕ log ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ log ϕ log ϕ ϕ ϕ και ] ϕ log ϕ ϕ [log ϕ ϕ ϕ

13 log ϕ ϕ ϕ ϕ Όου αάνονας υόψ ις υοέσεις κανονικόας έε.χ. σο [4] log log ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ. Συνεώς ϕ ϕ ϕ ϕ m J log ~ / / ϕ ϕ Ι ϕ ϕ m J. Λοιόν J J Μ Μ ϕ ~ για α ανίσοιχα έρα υκνοήων J m ~ και m ανισοίχως. J Το αναοίωο ου έρου ου J οφείει οιόν να εννοείαι σαν αναοίωο αναφορικά ε ν εκογή ς αραερικοοίσς.. Καανοές εκ ων ροέρων ροφορικές Οικογένειες «φυσικές συζυγείς» ε ια οικογένεια ειγαοικών ιανοήων Έσω ια οικογένεια ειγαοικών ιανοήων εί ου χώρου ων αραρήσεων Χ. Η αράερος Θ P εν είναι αναγκαία εερασένς ιάσασς. Έσω ια οικογένεια ιανοήων εί ου Θ.. Θα έε όι είναι κεισή αν για κάε ιανόα ς εκεγόεν εκ ων ροέρων και κάε αραρούενο είγα ο εξ αυών συεραινόενος εκ ων υσέρων νόος είναι είσς ένα σοιχείο ς.. Υοέουε ειέον όι α σοιχεία ς υοεικνύοναι αό ια «υεραράερο». Αυή γραφή ειρέει να αρασήσουε ο συέρασα αή ο εασχαισό εκ ων ροέρων εκ ων υσέρων σαν

14 3 ια συνάρσ ου έσα σο οοία σν ιή όου χαρακρίζει ν εκ ων ροέρων και ο είγα συνέει ν χαρακρίζονας ν εκ ων υσέρων ιανόα έσα σν. Αυή αράσασ έχει ενιαφέρον όνο όαν ένειξ είναι «αή». Σα ονέα εερασένς ιάσασς έε κεφάαιο ΙΙ α αναζήσουε ν οικογένεια έσι ώσε ο να είναι είσς εερασένς ιάσασς. Παραείγαα οικογενειών αναφέροναι αναυικά σο κεφάαιο ΙΙ εαεύονας ν ιιόα ς «κεισόας». Ενεικικά και εριικά αναφέρουε α εξής : Παράειγα 5 : Σο ιωνυικό ονέο ~ {... } οικογένεια ων νόων Βήα είναι κεισή. Ένας νόος Βήα υοεικνύεαι αό ύο αραέρους και αν ~ - εκ ων ροέρων έχουε : ~ -εκ ων υσέρων ε Παράειγα 6 : Αν... υχαίο είγα αό ν N Ι οικογένεια ων κανονικών νόων εί ου R είναι κεισή : αν ~ N o Σ. m m Ι Σ / Σ / Σ / / / Σ Σ όου Σ Σ Ι Σ Σ ~ N Σ - εκ ων υσέρων ε Σ Σ Σ Ι και Πράγαι σειώνονας ε. συνή ευκείεια om έχουε : Σ Σ Σ - εκ ων ροέρων όε Σ Ι Σ Ι Σ Ι Σ Σ ± Σ Ι Σ Ι Σ Ι Σ Σ

15 Σ Σ Ι Σ Σ Ι Σ Ι Σ Ι Σ Σ Σ Ι Σ Ι Σ Ι Σ Σ Σ Σ Ι Σ Σ Ι Σ Σ Ι Σ Ι Σ Σ Σ 4 Άρα / / Σ R R Σ / / Σ Σ Σ Ι Σ Σ Σ R / / oικ. N Σ Σ Συνεώς m m / Σ / Σ.. ς N Σ. Η έννοια ς «φυσικής συζυγής» εριέχει ερισσόερα αό ν αή υόεσ ς κεισόας. Αυή εριέχει ν ιαισική ιέα όι ια εκ ων ροέρων ιανόα ροερχόεν αό φυσική συζυγή οικογένεια ορεί να εωρεί σαν ια εκ ων υσέρων γάζουσα αό ια εκ ων ροέρων - ροφορική και αό ένα καάο είγα. Αυό συαίνει εωρώνας ις εκ ων ροέρων ιανόες οι οοίες εριέχουν ια ροφορία ισούνα ε ν αραήρσ ενός ρογενέσερου είγαος συνεεένου ε ια -ροφορική καανοή. ια να ώσουε αυό ο σείο εωρούε ια ειγαοψία ανεξάρ και ισόνο αό ν εκεική. Σν ράξ χρήσι ιιόα είναι : για κάε έγεος ου είγαος υάρχει ια εί συνάρσ ε ιές σο S R l l -σαερό έσι ώσε υκνόα ων αραρήσεων να αραγονοοιείαι σν :

16 υ Λοιόν υ είναι ια ραγαική συνάρσ εί ου S Θ R l R Θ R. Υοέουε εοένο ένα έρο εί ου R έοιο ώσε : 5 ε Θ υ <. Θεωρούε όε ν οικογένεια ιανοήων Μ υ Μ : S υ Θ σ Κάε σοιχείο ς ορεί να εωρεί σαν ια εκ ων υσέρων : αν Μ S ειγαικό έγεος και ένα είγα :. Θεωρούε ο ονέο ου γεννάαι αό ο είγα εφοιασένο ε ν εκ ων ροέρων ιανόα. Η εκ ων υσέρων ιανόα είναι όε ακριώς Μ ιόι : Μ υ. υ Θ Η οικογένεια είναι κεισή ιόι αν άρουε ώρα Μ σαν εκ ων ροέρων και αν αραρήσουε ένα είγα εγέους εκ ων υσέρων ιανόα α είναι ισούνα ε ν ιανόα ροκύουσα αό ν εκ ων ροέρων και ν αυόχρον αραήρσ ου είγαος εγέους και ραγαοοιήσεων ιόι εκ ων υσέρων υκνόα ως ρος ο έρο ου g α Μ ήαν : m m. Αυή ιανόα ανήκει εαίως σν. Τέος οικογένεια εικνύεαι κανονικά αό ο S και ο ύος εράσαος αό ο σο ίεαι αό συνάρσ. Αυή καασκευή εξαράαι αό ν εκογή ου έρου άσς. Αυό ορεί να ν είναι ένα χαρακρισικό έρο αουσίας ων εκ ων ροέρων ροφοριών αά να είναι ια ιανόα «ροφορική». Λαάνουε όε ια ανίψ ς «γενικευένς» φυσικής συζυγής οικογένειας ου χρσιοοιείαι.χ. σν οικονοερία. Μορούε έος να εεκείνουε εαφρά ν οικογένεια ων νόων ιανόας καασκευασέν αό ον νόο και ν συνάρσ υ όως ο είχνει ο αρακάω αράειγα :

17 Παράειγα 7 : Θεωρούε ο υχαίο είγα [] αή {} και 6... αό ν ε P.... Έσω ένα έρο εί ου [] υκνόας αναφορικά ε ο έρο ου g. Το ονέο είναι εκεικό και ειγαοική ιανόα αραγονοοιείαι ως εξής : ε {} { } υ υ. {} Η οικογένεια ων νόων ιανόας ου αάνεαι κανονικοοιώνας αυή ν έκφρασ ς υ σο είναι όε οικογένεια ων νόων Βήα ακεραίων αραέρων. Θεωρούε όε όι οικογένεια όων ων νόων Βήα είναι «φυσική συζυγής» οικογένεια ακό αν όνο οι Βήα νόοι ων ακεραίων αραέρων ερνεύοναι αυσρά σαν υνάενοι να ροκύψουν αό ένα ρογενέσερο είγα. Η εωρία ων εκ ων ροέρων φυσικών συζυγών έχει γίνει ανικείενο συσαικής εαχείρισς σις εκεικές οικογένειες υκνοήων έε χ κεφάαιο ΙΙ και ΙΙΙ καώς σα -αραερικά ανεξάρα και ισόνοα ονέα.

18 7 II. Μονέα Βάσς ς Ανάυσς Σ αυό ο κεφάαιο ασιζόενοι σο [6] είχνουε ώς οι γενικές αρχές ς συερασαοογίας εφαρόζοναι σε κάοια ονέα άσς χρήσια σ σαισική ανάυσ. Σε έκασο ων ονέων ιαικασία οοία γεννά α εοένα χαρακρίζεαι αό ένα εερασένο αριό άγνωσων αραέρων : α ιάε οιόν ερί αραερικών ονέων. Θα εκέξουε έοο «φυσική συζυγής» για να χαρακρίσουε ους εκ ων ροέρων νόους είχνονας κάε φορά ώς να αρίσααι σε κάε οικογένεια νόων ια εκ ων ροέρων «ίγο» ή «ροφορική». ια κάε αρουσιαζόενο ονέο α όσουε ν έκφρασ ων εκ ων υσέρων νόων καώς και ων εριωριακών νόων. ια όα α ονέα άσςαό ις ιαικασίες oll έχρι ις ιαικασίες ς Κανονικής αινρόσς αάνουε ις αναυικές εκφράσεις αυών ων νόων.. ιαικασίες oll και oml. Ορισοί Μια ιαικασία oll ορεί να ορισεί σαν ια ακοουία αυοικών και ανεξάρων οκιών όου έκασ οκιή ύνααι να ώσει ύο υναές καασάσεις ις οοίες α ονοάσουε αά «ειυχία» και «αουχία». Αν είναι ιανόα ειυχίας σε κάε οκιή ο ιωνυικός νόος m ειρέει να εκιήσουε ν ιανόα ου αριού ων ειυχιών σε ια ακοουία m οκιών oll όου ο m είναι σαερό. Λοιόν ~ m m m m {... m} ια ιωνυική ιαικασία είναι ια ακοουία αό ανεξάρες.. ιωνυικού νόου αραέρων m όου α m είναι σαερά Αυός ο ύος ιαικασίας συνανάαι.χ. σον οιοικό έεγχο όου κάοιος αίρνει καά ιάρκεια ς αραγωγικής ιαικασίας σε ιαφορεικές σιγές ανικείενα και αάνει υόψ ον αριό ων - εαωαικών ανικειένων. Η ιαικασία Βoll αοεεί οιόν ερική ερίωσ ς ιωνυικής ιαικασίας όαν m για κάε. Αυή αοεεί ιιαίερα ερίωσ ού χρήσι.χ. σις ειγαοψίες γνώς. Σε ια ιαικασία oll κάε m είναι ια είκρια συνάρσ όαν έχουε «ειυχία» και αν έχουε «αουχία» και εαίως είναι ιανόα ειυχίας. Εώ {}

19 8 Ένα υχαίο είγα εγέους ιας ιωνυικής ιαικασίας είναι οιόν ακοουία ων ανεξάρων εαών ς οοίας ιανοφάνεια ίεαι αό σχέσ :... m m m... } {... m m m. m m m... } {... Θέουε και οόε εευαία σχέσ γράφεαι ιο αά : m... m m m m... } {... 3 ειή ο συνοικός αριός oll είναι εοένος αν σ σχέσ 3 έσουε g και m m h..... } {... όε αό ο Παραγονικό Θεώρα ων Fh και Nm σαισική συνάρσ είναι εαρκής για ο. ιαφορεικά αάνονας υόψ όνο ον αράγονα ου εξαράαι αό ν αράερο αίρνουε : 4 m m... Αό Σαισική Συερασαοογία έε.χ. σο [5] κάνονας χρήσ.χ ς εόου εγίσς ιανοφάνειας ο κασσικός εκιής ου είναι ο ˆ. Είσς είναι γνωσό όι έσ ιή ου ˆ και ιασορά ου ίνοαι αό ις σχέσεις ˆ 5 V ˆ αφού. ~

20 9 Σ ερική ερίωσ ς ιαικασίας oll m είναι ο αριός ων ειυχιών σε ανεξάρες οκιές και ξαναρίσκουε ις γνωσές ιιόες ου ˆ αναογία ων αραρούενων ειυχιών. Σν ιο γενική ερίωσ m εοένς ς ανεξαρσίας ων και ς ανεξαρσίας εαξύ ων ιαφόρων αραρήσεων αοέεσα εειή σν ράξ α έχουε ιαικασίας oll αραέρου και αραρούενων ειυχιών. m οκιών σε έκασο ων ιωνυικών ειραάων m ξαναρίσκουε ο ίιο ανεξάρες αραρήσεις ιας είναι ο συνοικός αριός ων. Φυσική συζυγής Η έννοια ς «φυσικής συζυγoύς» οικογένειας σε ια ειγαοική ιαικασία έχει ορισεί σο κεφάαιο Ι. Σειώνουε εώ όι ια οικογένεια «φυσική συζυγής» είναι ια οικογένεια νόων συνεεέν ε εεουέν ιαικασία και οοία είναι ιιαιέρως ενιαφέρουσα σα αραερικά ονέα όου εαρκείς σαισικές συναρήσεις ορούν να ορισούν έε Ι. Πρόκειαι για ένα σύνοο νόων ο οοίο αό ο ένα έρος είναι αρκεά ούσιο και εύκαο για να αρασήσει ν εκ ων ροέρων ροφορία ν οοία κάοιος έχει εί ων αραέρων ου ονέου και αό ο άο έρος αυοί οι νόοι συνυάζοναι αξιόογα ε συνάρσ ιανοφάνειας σον ύο ου για να ώσει ένα εκ ων υσέρων νόο εί ων αραέρων ου ονέου ο οοίος ανήκει σν ίια οικογένεια. Θα ούε όι εκογή αυής ς οικογένειας συεραίνεαι αό ον υρήνα ς ιανοφάνειας εωρώνας ον σαν συνάρσ ων αραέρων. Σ συγκεκριέν ερίωσ αό σχέσ 4 αραρούε ον υρήνα ς ιανοφάνειας συναρήσει ου. Αναγνωρίζουε σαν υρήνα ς φυσικής συζυγούς οικογένειας ον υρήνα ιας Βήα υκνόας. Εκ ων ροέρων Ένας νόος Βήα υοεικνύεαι αό ύο αραέρους έσι αν εκέξουε εκ ων ροέρων ια υκνόα Βήα α έχουε : o o < > 6 ~ Έχουε οιόν Παράρα 3 ις ακόουες εκ ων ροέρων ροές o 7 o

21 o o o V. o Η ειογή ιιαιέρως ων ιών ων και εξαράαι αό ν ροφορία ν οοία εκ ων ροέρων έχουε εί ς αραέρου. Όως αναφέραε σο κεφάαιο Ι ορούε να ερνεύσουε ις ιές ου σαν ροερχόενες αό ένα υοεικό ισούναο είγα αό οκιές oll χοργώνας «ειυχίες». Θα ούε ε σ συνέχεια όι ιή αρισά ο άρος ς εκ ων ροέρων ροφορίας και ο o ισοσαίζει ν εκ ων ροέρων ααική εία ου. Αξίζει να σειώσουε όι ειογή ου και ανισοιχεί σε ια οοιόορφ καανοή εί ου [] οοία αοεεί ια εκ ων ροέρων ροφορική ερίωσ ς αναοιώου. Ενώ ερίωσ / και είναι ια ακό υναή εκογή ιας εκ ων ροέρων ροφορικής ροκύουσα αό έοο ου J. Σο αρακάω γράφα. α αρασήσουε ις υκνόες για ιαφορεικές ιές ων και κάε φορά. Συγκεκριένα : - για και ροκύουν ύο καύες ων U ροφορική και ε και ½ - για και ροκύει ια καύ ς 4 ε 3 και /3 - για / και ροκύει ακό ένα γράφα ς // ου είναι ροφορική ε / / και ½.

22 ράφα. Οι υκνόες 4 γαάζιο κόκκινο / / κυανούν και κίρινο. Εκ ων υσέρων ια να άρουε ον εκ ων υσέρων νόο συνυάζουε ις σχέσεις 4 και 6 αό ις οοίες έχουε 8 Πράγαι έχουε : m... m Αναγνωρίζουε ον υρήνα ιας Βήα υκνόας :.. ~ ε και 9

23 Βέουε οιόν ο ενιαφέρον ς φυσικής συζυγούς οικογένειας ο εκ ων υσέρων νόος είναι ς ίιας οικογένειας ε ον εκ ων ροέρων νόο όνο οι αράεροι ου νόου έχουν αάξει. αή αό ις ερνάε σις έσω ων αών γραικών σχέσεων ου φαίνοναι σν 9.Αυό εώ ιευκούνει σύγκρισ ων εκ ων ροέρων και εκ ων υσέρων νόων. Είναι.χ. ενιαφέρον ο να αοσυνέσουε ν εκ ων υσέρων έσ ιή ου για να είξουε ο άρος ου ανισοιχεί σν εκ ων ροέρων ροφορία και σν ροφορία ου ροέρχεαι αό ο είγα :... ˆ H ειρέει να ερνεύσουε καύερα ν εκογή ων ιών σε όρους ισούναου υοεικού είγαος. Παραρούε είσς όι όαν ο έγεος ου είγαος αυξάνει και οιόν ξαναρίσκουε ον συνή κασσικό εκιή ˆ σαν ν εκ ων υσέρων έσ ιή ου..3 P νόος Ο εκ ων ροέρων νόος αάνεαι αναζώνας ον εριωριακό νόο ου αριός ειυχιών εί οκιών όου σαερό. Αυός αάνεαι οοκρώνονας ον αό κοινού νόο ου m m εί όων ων υναών ιών ου. Είναι φανερό αό σχέσ 6 όι ο εκ ων ροέρων νόος ου εν εξαράαι αό ο υικά οιόν ορούε να γράψουε όι m m αφού ο εν εωρείαι όως εώ υχαίο. Οόε : m m m m m m m m m m

24 3 m m!!! m m m m m m m m m m m m όου Β για και για να υάρχει ο οοκήρωα ς συνάρσς άα. Άρα αίρνουε ένα νόο oml έε Παράρα 3. : > > > m m ~ m m Ο εκ ων υσέρων αάνεαι καά ον ίιο ρόο αρκεί σ έσ ου ζεύγους να άουε ο ζεύγος ε ον εριορισό φυσικά ο και για να υάρχουν α ειέρους οοκρώαα. αή > > m m και ακοουώνας ισά α αραάνω ήαα κααήγουε σο : ~ m m. ορούε είσς να υοογίσουε ν έσ ιή ου έχονας ή αραρήσει ένα είγα. Αυή οιόν α είναι έσ ιή ου αριού ων ειυχιών έσα σε ένα εονικό ιωνυικό είραα αραέρων... m : m m Ε.

25 4 Αν εκ ων ροέρων εί ου είναι οοιόορφ σο [] όε αναενόεν ιή ου αριού ων ειυχιών εί m καινούριων οκιών σε ένα είγα oll m για κάε εγέους είναι Ε m m εώ και oόε αό σχέσ 9 : και. φαρογή: Θεωρούε ένα ρόα εέγχου ς οιόας όου ένα έρος εγάου αριού εαχίων ή ανικειένων είναι για ανάυσ: ενιαφερόασε για ν αναογία ων εαωαικών ανικειένων έσα σ αυό ο έρος. νωρίζουε ον ροευή ο οοίος κρίνει όι ο εν είναι ακριά αό ν ροεινόεν σά.. ια να ροσαρόσουε γνώ ου σο ροεινόενο «έρος» αίρνουε ένα υχαίο είγα ανικειένων αό αυό ο έρος και αραρούε ο συνοικό αριό ων εαωαικών ανικειένων. Είναι γνωσό αό ν Θεωρία ων Πιανοήων όι είναι ια ιωνυική.. ε αραέρους. Λοιόν έχεαι..... } { Θεωρώνας αυή σαν ια συνάρσ ου έοος «φυσική συζυγής» ειρέει αεαιόα εί ου να ονεοοιεί αό ία ε και είναι: o Ε 9. Ο εκ ων υσέρων νόος ου εοένου ου α o όου και και ~ o o Ε Ε ˆ όου ˆ o o o Σ αυόν ον κυρό συνιασό έουε α άρ σχεικά ε ν εκ ων ροέρων ροφορία ου εριέαι αό ο και ε ν ροφορία ου είγαος ου εριέαι αό ο. Ιιαιέρως αν ˆ αή ξαναρίσκουε ο συνή εκιή ου.

26 5 Το γράφα. είχνει ν ειρροή ου εγέους ου είγαος εί ς εκ ων υσέρων υκνόας για ρείς ιαφορεικές ιές ου : 5 5 και αυό για ια αραρούεν αναογία εαωαικών ανικειένων σαερά σο /. και για ν εκ ων ροέρων εκεγόεν ανωέρω ε και. ιαισώνουε όι : όαν ο αυξάνει εκ ων υσέρων καανοή ου συγκενρώνεαι ροοευικά γύρω αό ον κασσικό εκιή ˆ. Αν ο έγεος ου είγαος είναι υψό ο ρόος ς εκ ων ροέρων καανοής γίνεαι αεέος καώς εκφράζει ον ρόο ια ου οοίου οι ύο ύοι ροφορίας συνυάζοναι. ια ο γράφα. : για και έχουε ν εκ ων ροέρων υκνόα ου να είναι ενώ εκ ων υσέρων για /. είναι : - για 5 : 4 - για : για 5 : 5 ράφα. κ ων ροέρων υκνόα ου γαάζιο για o και o εκ ων υσέρων για /. όαν 5 κόκκινο κυανούνκαι 5 κίρινο

27 6 Τα εόενα γραφήαα.3.4 και.5 ειρέουν ακόα ο να εκιήσουε ν ευαισσία ων αοεεσάων σις ιάφορες ειογές ων για ν εκ ων ροέρων καώς και ο ρόο ου ειγαικού εγέους. ια ο γράφα.3 : για / και έχουε ν εκ ων ροέρων υκνόα ου //ενώ εκ ων υσέρων για /. είναι : - για 5 : 3/ 9/ - για 5 : / 8/. να είναι ράφα.3 κ ων ροέρων υκνόα ου κυανούνγια o / και o εκ ων υσέρων για /. όαν 5 κόκκινο και 5 γαάζιο ια ο γράφα.4 : για και 5 έχουε ν εκ ων ροέρων υκνόα ου να είναι 3ενώ εκ ων υσέρων για /. είναι : - για 5 : για 5 : 43.

28 7 ράφα.4 κ ων ροέρων υκνόα ου γαάζιο για o και o 5 εκ ων υσέρων για /. όαν 5 κόκκινο και 5 κυανούν ια ο γράφα.5 : για και έχουε ν εκ ων ροέρων υκνόα ου να είναι ενώ εκ ων υσέρων για /. είναι : - για 5 : 5 - για 5 : 4

29 8 ράφα.5 κ ων ροέρων υκνόα ου κόκκινο για o και o εκ ων υσέρων για /. όαν 5γαάζιο και 5 κυανούν Αυά ειεαιώνουν όι για ένα ίιο έριο ειγαικό έγεος 5 o ρόος ων εκ ων ροέρων είναι αεέος. Σε όα αυά α γραφήαα και για ις ιάφορες ροεινόενες ειογές για α εκ ων υσέρων υκνόα συγκενρώνεαι γύρω αό ο / όαν ο αυξάνει.. Πουωνυική ειγαοψία Σ σαισική ανάυσ υάρχουν οά φαινόενα όου ενιαφέρουσα χαρακρισική ορεί να άρει ένα εερασένο και σαερό αριό ιαφορεικών ιών. Αυό καύει ν ερίωσ ων ονοασικών χαρακρισικών όου υάρχει ένας σαερός αριός αό υναές ιές mol. Παράειγα σε ια ειγαοψία γνώς για ια ιέεν ερώσ υάρχουν ρείς υναές αανήσεις : «υέρ» «καά» «αιάφορ». Σε άες εριώσεις υνάεα να εεήσουε συεριφορά ιας ραγαικής ιακριής εαής όως α υναά αοεέσαα σε ια ρίψ ενός ζαριού 6 υναά αοεέσαα. Συαίνει είσς σ εέ ενός φαινοένου ονεοοιένου υό ια συνεχή υχαία εαή να ενιαφερόεα οναικά ε ις ιανόες ώσε ενιαφέρουσα εαή να ανήκει σε ια ων κάσεων ιας εοένς ιαέρισς ων υναών ιών ς άξεις ισών. Όα αυά α αραείγαα είουν σο αίσιο ου ουωνυικού ονέου. Είναι οιόν ένα ονέο ιιαίερα χρήσιο. Να σειώσουε ακό όι αυό ο

30 9 ονέο αοεεί ο ασικό εργαείο για ν ανάυσ αραερικών ονέων.. Oρισός Σε όες ις εριώσεις εικαούενες ανωέρω έχουε οιόν ια ακοουία γεγονόων Α Α αρισάνονας α υναά αοεέσαα ενός ειράαος ύχς. Οι αράεροι ου ονέου είναι οι ιανόες ραγαοοιήσεως ων : P Α :... : Υάρχουν οιόν -αράεροι... εειή αυοί οι αράεροι ανήκουν σο χωρίο S R : Α S... R :... Το ουωνυικό είγα συνίσααι αό ια ακοουία ανεξάρων αραρήσεων αυής ς ιαικασίας σν οοία αάνεαι υόψ ο αριός ων φορών ραγαοοίσς εκάσου γεγονόος.... Έχουε οιόν : αριός ραγαοοιήσεων ου... και 3 Οι σοχασικές ιιόες αυού ου ονέου ύνααι να χαρακρίζοναι αό ις υχαίες εαές... εειή. Η ιανοφάνεια ου είγαος ίεαι αό ο ιακριό ουωνυικό νόο :! !!...!...!

31 3 {... } : Παραρούε όι σ ερική ερίωσ όου ιαικασία άσς είναι ια ιαικασία oll και ξαναρίσκουε ο ιωνυικό είγα ς ρογούενς αραγράφου ε m. Σ αυή ν ερίωσ ο ιακριός νόος 4 είναι ο ιωνυικός. Κάνονας χρήσ ς εόου εγίσς ιανοφάνειας κααήγουε σο συέρασα όι ο κασσικός εκιής ου είναι ο Πράγαι έχουε ˆ.... log log!!...!!...! log log Έσι ογαριική εξίσωσ ιανοφάνειας γράφεαι log { }... α όου ροκύει όι... και αάνουε ˆ. Ακοούως ύσ αυή εγισοοιεί συνάρσ ιανοφάνειας αφού log {... } log {... } log και {... } και ο ίνακας ων ευέρων ερικών αραγώγων σο ˆ... ˆ κααήγει σον εξής :

32 3 Α O O O O ο οοίος είναι αρνικά ορισένος ίνακας ύου. Άρα ο ˆ... ˆ εγισοοιεί συνάρσ ιανοφάνειας και εοένως ο εκιής εγίσς ιανοφάνειας ου... είναι ο ˆ... ˆ..... Φυσική συζυγής Όως και σν ρογούεν αράγραφο σειώνουε ν ιανοφάνεια ως συνάρσ ων αραέρων : ό ον αραάνω ύο αναγνωρίζουε ως συνάρσ ου ιας υκνόας Dhl ου ίνεαι αό ον ύο :... ον υρήνα S..... όου S... R :... και >... αράεροι. Συνεώς φυσική συζυγής οικογένεια έσα σ αυό ο ονέο είναι ια οικογένεια υκνοήων Dhl. Περισσόερες εοέρειες για ν καανοή Dhl αναφέροναι σο Παράρα 5.. Εκ ων ροέρων Αν ειέξουε ως εκ ων ροέρων ια υκνόα Dhl έχουε :

33 3 αή ~ D α... α. Οι σανικές ροές ς αή έσ ιή ιασορά και συνιασορά είναι οι εξής : V Co. Εκ ων υσέρων Συνιάζονας σ συνέχεια ις σχέσεις 5 και 6 αάνουε ον εκ ων υσέρων υρήνα : όου. Οόε ογούασε άι σε ια υκνόα Dhl... ~ D όου... και. Ιιαιέρως ορούε να υοογίσουε έσ ιή ου εκ ων υσέρων νόου : ˆ

34 33 ˆ 8 Παραρούε οιόν και σε αυή ν ερίωσ όι έσ ιή ου εκ ων υσέρων νόου είναι ένας ανισαιζόενος έσος ου κασσικού εκιή ˆ και ς εκ ων ροέρων έσς ιής ου ε άρ ανισοίχως ο έγεος ου είγαος και ο. υό ας ειρέει να ερνεύσουε ις εκ ων ροέρων «αραέρους» σε όρους ισούναου υοεικού είγαος εγέους οι αοικές ιές.... ισοσαίζονας ις εκ ων ροέρων έσες ιές ων 3. ιαικασία Poo Οι ιαικασίες Poo είναι ιιαιέρως χρήσιες σους ερισσόερους οείς ς σαισικής.χ σις ασφαίσεις σ ιοϊαρική και αού κάε φορά ου ενιαφερόασε για ον αριό ων φορών ου ένα «γεγονός» ραγαοοιείαι σ ένα ιάσα χρόνου ήκους ειφάνειας ή όγκου κ.α. Υό ειικές υοέσεις ορούε ράγαι να αοείξουε όι αυή ιακριή εαή ου ερήαος ακοουεί ένα νόο Poo. ια να αοοιήσουε ν αρουσίασ αυής ς ιαικασίας α εωρήσουε εώ όι ενιαφερόασε για ο έρα γεγονόων σε χρονικά ιασήαα. 3. Ορισός Θεωρούε ένα ιάσα χρόνου ήκους h >. Υοέουε όι : Η : ο h είναι αρκεά ικρό ιανόα να αραρήσουε ένα «γεγονός» εί ιασήαος χρόνου h είναι ανάογ ου h : P ένα γεγονός καά ιάρκεια χρόνου h h oh όου ο oh αρισάνει ια οσόα οοία είνει ρος ο έν ιο γρήγορα αό ο o h h : ου h. H αράερος αρισάνει ν ένασ ς ανέιξς. h Η : Η ιανόα να αραρήσουε ερισσόερα ου ενός «γεγονόα» εί ου ιασήαος χρόνου h είναι αεέα αν ο h είναι ικρό :

35 34 P ύο ή ερισσόερα γεγονόα καά ιάρκεια χρόνου h o h. Η 3 : Υάρχει ανεξαρσία έσα σο χρόνο αή α γεγονόα α οοία ραγαοοιούναι σε ύο ξένα ιασήαα χρόνου είναι ανεξάρα. Υό αυές ις υοέσεις.. αριός γεγονόων ου ραγαοοιούναι σ ένα ιάσα εοένου χρόνου ακοουεί ένα νόο Poo αραέρου : ~ Po {... } 9! H ειγαοψία Poo συνίσααι ορισένες φορές αά σν αραήρσ ου αριού ων γεγονόων α οοία ραγαοοιούναι σ ένα εοένο ιάσα χρόνου. Σ αυή ν ερίωσ ιανοφάνεια ίνεαι αέσως αό ν 9 ενώ αν εωρήσουε όι αυή είναι συνάρσ όνο ου ορεί να γραφεί : ενικόερα υνάεα να αραρήσουε ένα είγα εγέους αό ραγαοοιήσεις ανεξάρων εαών ου εκφράζουν ον αριό ων γεγονόων α οοία ραγαοοιούναι σε σαερά ιασήαα εοένων χρόνων... : ~ Po Σ συγκεκριέν ερίωσ ιανοφάνεια γράφεαι: όου και ! Παραρούε όι οι ύο ιανοφάνειες και είναι «ισούναες». Πράγαι και σις ύο εριώσεις εαρκής σαισική συνάρσ είναι ο συνοικός αριός ων γεγονόων ή α οοία ραγαοοιούναι σε συνοικό χρόνο και ακό ο ακοουεί ον ίιο εσευένο νόο ε ο αή ~ Po. ~ Po

36 35 Κάνονας χρήσ ς εόου εγίσς ιανοφάνειας κααήγουε σο συέρασα όι ο κασσικός εκιής ου είναι ο ˆ. Σν ιο ερική ερίωσ όου οι αραρήσεις γίνοναι εί ιασάων χρόνου ίσου ε ν ονάα χρόνου.χ. ο έος έρα κ.α έχουε και οιόν.... Παραήρσ : Είαε αραάνω όι σ ειγαοψία Poo έχουε σαεροοιήσει ο ιάσα χρόνου και αραρούε ν ραγαοοιήσ ου αριού υχαίου ων γεγονόων. Θα ορούσαε είσς να ανισρέψουε ους ρόους : να σαεροοιήσουε έναν αριό γεγονόων και να αραρούε ο χρόνο υχαίαο οοίος ροκύει έχρι ς ραγαοοιήσς ου -οσού γεγονόος. Μορούε ού εύκοα να ούε όι : ~ / και ιάε όε για ειγαοψία Gmm ς ανέιξς Poo ειγαοψία ου α εεήσουε αρακάω. 3. Φυσική συζυγής Αν εωρήσουε ον υρήνα ς ιανοφάνειας ως συνάρσ ου σν σχέσ αναγνωρίζουε αέσως ον υρήνα ιας Gmm υκνόας. Συνεώς φυσική συζυγής οικογένειας ιας ειγαοψίας Poo είναι οικογένεια ς Gmm υκνόας. Εκ ων ροέρων Η εκ ων ροέρων υκνόα ου ορεί να γραφεί : αή ~ Οι εκ ων ροέρων ροές ίνοναι αό ις σχέσεις : και V. 3 Θα ούε όι εκ ων ροέρων ροφορία ορεί να εωρεί όι ροέρχεαι αό ένα ισούναο υοεικό είγα όου έχουν αραρεί γεγονόα Poo καά ιάρκεια ενός ιασήαος χρόνου σαερού.

37 36 Ένας ρόος να αρασήσουε ια εκ ων ροέρων -ροφορική είναι να εκέξουε ν οριακή ερίωσ και αυό ο οοίο ίνει ια υκνόα mo οοία εν έχει οοκήρωα : 4 Οφείουε να ούε όι αυή συνισάαι συχνά σν ανάυσ για ις εικές αραέρους >. Παραρούε όι αυή εκογή συνεάγεαι ένα οοιόορφο νόο «mo» για ον log : log ε log R. Εκ ων υσέρων Συνιάζονας ν ιανοφάνεια και ον υρήνα ς εκ ων ροέρων αάνουε : o o όου αναγνωρίζουε όως ο εριέναε ιιόες ς φυσικής συζυγούς οικογένειας ον υρήνα ιας Gmm υκνόας ~ 5 όου και. Αν ώρα συγκρίνουε για ακό ια φορά ν εκ ων ροέρων ροφορία ε εκείν ν οοία ιαέουε εκ ων υσέρων έσω ς εκ ων υσέρων έσς ιής ου έουε α άρ ς εκ ων ροέρων και ου είγαος : o o o o o ˆ 6 o όου ˆ ο συνής εκιής ου. Αυή αοσύνεσ ικαιοογεί ν ερνεία ων «αραέρων» ς εκ ων ροέρων σε όρους ισούναου υοεικού είγαος. Παραρούε είσς όι σν ερίωσ ενός εκ ων ροέρων νόου ροφοριακού αή αν o o αό σχέσ 6 αίρνουε ˆ. Το ίιο αοέεσα α άρουε αν ο έγεος ου είγαος ή ο συνοικός χρόνος αραήρσς είνει ρος ο αν ο έγεος ου είγαος αυξάνει. o o : ο άρος ς εκ ων ροέρων εαώνεαι o

38 P νόος Ο εκ ων ροέρων νόος ου αή ο αριός ων γεγονόων α οοία α ραγαοοιούν σε ένα ιάσα εοένου χρόνου αάνεαι οοκρώνονας ον αό κοινού νόο ου ως ρος. Όως έχουε ροαναφέρει ο είναι ένασ ς ανέιξς Poo και εκ ων ροέρων υκνόα ς ου ίνεαι αό σχέσ εν εξαράαι αό ο ο ήκος ου εωρούενου χρονικού ιασήαος. Τυικά οιόν και αό ο άο έρος α ρέει > ώσε ο αρακάω οοκήρωα να συγκίνει :! o o o o o!! o o o o o o o o o o o!! o o o o o o!!! o o o o o o!!! o o o o o o o 7 Έχουε οιόν για αυό ον ένα νόο Αρνικό ιωνυικό έε Παράρα 4 o o o ~ o o o Ng 8 Ο εκ ων υσέρων νόος αή ο εά νόος έχονας αραρήσει ένα είγα εριγραφόενο αό α αάνεαι καά ον ίιο ρόο αρκεί να ανικαασήσουε ο ζεύγος αό ο ζεύγος. Και άι εώ για να υάρχει ο οοκήρωα α ρέει > : ~ Ng Ιιαιέρως ορούε να υοογίσουε ον αναενόενο αριό γεγονόων εί ου ιασήαος εοένου χρόνου : και σν ερίωσ ου έχουε

39 38 ια εκ ων ροέρων -ροφορική ξαναρίσκουε ένα ού φυσικό αοέεσα : ˆ. 4. ιαικασία Gmm : αράερος ορφής σαερά Οι Gmm νόοι ειρέουν ονεοοίσ εικών συνεχών εαών και οιόν ορούν να είναι χρήσιοι σ ονεοοίσ ιας εαής όως ο χρόνος αναονής ή ιάρκειας ου χάνεαι ρο ς ραγαοοίσς ενός ιιαίερου φαινοένου. Ή σν ρογούεν αράγραφο αραρήσαε όι ο νόος Gmm υεισέρχεαι εξίσου έσα σε ια ιαικασία Poo σαν χρόνος αναονής για ν ραγαοοίσ ου -oσού γεγονόος ου Poo. 4. Ορισός Μια εαή ίεαι αό σχέσ είναι ια Gmm εαή αν υκνόα ιανόάς ς > 9 Οι Gmm νόοι χαρακρίζοναι οιόν αό ύο αραέρους : ια αωή αράερο > και ια αράερο ορφής >. Θα υοέσουε εώ όι αράερος ορφής είναι σαερή. Η ήρς εαχείρισ ων Gmm νόων είναι υναή αά καισά αναγκαίες ις αριικές εόους αριική οοκήρωσ για ν αράερο ορφής.

40 39 ράφα 4. Μερικές Gmm υκνόες αραέρων.5 γαάζιο κόκκινο κυανούν και 5 κίρινο Το ράφα 4. ίνει ορφή αυών ων υκνοήων για ις ιάφορες ιές ου ενώ ο ιαρείαι ίσο ε. Όαν ο αάνουε ον εκεικό νόο. Η ιαικασία Gmm α ορίζεαι οιόν ως ια ακοουία αό υχαίες εαές ανεξάρες και ισόνοες καά ο νόο 9. Ένα είγα εγέους α χαρακρίζεαι όε αό ν ακοουία... ιανοφάνεια α γράφεαι όε : ανεξάρων και ισόνοων.. Η... 3 όου είναι ια εαρκής σ.σ. για ο. Εειή εώ ο εωρείαι σαερό και γνωσό είναι εαρκής για ο και ο κασσικός εκιής ου είναι ο ˆ ˆ εκιής εγίσς ιανοφάνειας ου.ο υρήνας ιανοφάνειας σε αυή ν ερίωσ όου ο είναι γνωσό είναι :

41 Φυσική συζυγής Η ανάυσ ς σχέσς 3 ως συνάρσ ου ειρέει να αυήσουε ν οικογένεια ων Gmm υκνοήων ε φυσική συζυγή ς Gmm ιαικασίας όου ο είναι γνωσό. Εκ ων ροέρων Η εκ ων ροέρων υκνόα ου γράφεαι ως εξής : o αή ~ 3 Ως συνήως οι ιές εκέγοναι καά ρόο ώσε να εκφράζουν ν εκ ων ροέρων ροφορία ν οοία έχουε εί ου. Έσι έχουε : V 33 Θα ούε σ συνέχεια όι οι ιές ορούν να ερνευούν σε όρους ενός ισούναου υοεικού είγαος. Εώ είσς όως και για ν αράερο ς ανέιξς Poo ια εκ ων ροέρων ροφορική ύνααι να ροκύψει αό ν οριακή ερίωσ υκνόα mo όου και οιόν Εκ ων υσέρων Είναι φανερό όι συνιάζονας ν εκ ων ροέρων 3 και ν ιανοφάνεια 3 αάνουε για υρήνα ς εκ ων υσέρων έναν Gmm υρήνα: ή ακό ~ 34

42 4 όου και. Όως και σις ρογούενες εριώσεις α ανίσοιχα άρ ς εκ ων ροέρων και ου είγαος φαίνοναι έσα σν αρακάω ανάυσ ου εκ ων υσέρων έσου α ˆ 35 και σν ερίωσ ιας εκ ων ροέρων ροφορικής ξαναρίσκουε για ν εκ ων υσέρων έσ ιή ον κασσικό εκιή ˆ. Πράγαι αν εωρήσουε όι έχουε αή ~. Εοένως ˆ. Συέρασα εί ου έσου ου. Σε οές εριώσεις εφαρογών ενιαφέρουσα αράερος εν είναι αναγκαία ο αά ερισσόερο ο ο έσος ου : Εειή ο είναι γνωσό ρόκειαι για ένα αό εασχαισό ου. Αν ~ αοεικνύεαι όι ο ακοουεί ια Gmm ανίσροφ καανοή: ~ έε Παράρα. Έχουε ροφανώς εκ ων υσέρων ένα ισούναο αοέεσα : ~ Πράγαι εκ ων υσέρων υκνόα ου εοένου ου α είναι

43 4 αή.. ς Ιιαιέρως. αν > 36 νωρίζουε όι αν ~ όε έσ ιή ς υοογίζεαι ως εξής :. Λοιόν [ ] oοκ.. α Ε αν >. Ακό για ια εκ ων ροέρων ροφορική ρίσκουε όι αν > 37 Πράγαι για ια εκ ων ροέρων ροφορική ε ο ακοουεί : >. Άρα αή ~. Εοένως αν >.

44 43 Σν ερίωσ ενός εκεικού νόου ο οοίος αάνεαι για ο συνής συερασαικός εκιής εκιής εγίσς ιανοφάνειας ου είναι ο ειγαικός έσος ˆ και εκ ων υσέρων έσ ιή ου είναι : ˆ αν. > 4.3 P νόος υνάεα είσς εώ να άουε ια αναυική έκφρασ ς εκ ων ροέρων υκνόας ου οοκρώνονας ν αό κοινού υκνόα ου εί όων ων υναών ιών ου ε ν ροϋόεσ όι α για να εξασφαίζεαι ύαρξ ου αρακάω οοκρώαος. Η εκ ων ροέρων εί ου ίεαι αό σχέσ 3 > ~ και εν εξαράαι αό ν ιή ου υικά ορούε οιόν να γράψουε. Τόε γ γ α α α οοκ α α α α α α α α α α α. 38 Λαάνουε οιόν ια υκνόα ς ανισρόφου Βήα έε Παράρα 3.3 :. Εκ ων υσέρων ιας καινούριας αραήρσς εοένου ου ή αραρούενου είγαος εγέους ίεαι αό σχέσ : εώ αρκεί για ν ύαρξ ου οοκρώαος. > Λαάνουε είσς

45 44... αν >. Σν ερίωσ ιας εκ ων ροέρων ροφορικής αναενόεν ιή ενός εονικού α είναι :... αν > όου είναι ο εαρκές συέρασα ου αραρούενου είγαος. Σν ερίωσ ιας εκ ων ροέρων -ροφορικής... όου εκ ων υσέρων - ροφορική.. α ίεαι αό σχέσ : Λοιόν αή ~ οοκ. Συνεώς... ~.. οόε έσ ιής ς είναι... αν >. Σειώνουε όι αυό ο αοέεσα είναι σύφωνο ε α αανόενα αοεέσαα ιο άνω για ον εκ ων υσέρων έσο έε 36 και 37.

46 45 5. ιαικασία ς Κανονικής Παινρόσς Τα ονέα ς αινρόσς ας ειρέουν να ούε ώς οι εαές ιας ενιαφέρουσας εαής ορούν να εκφρασούν ια έσου ενός συνόου εεξγαικών εαών.... Σκοός ας είναι εκίσ ων αοεεσάων ων εαοών αό έκασ ων εεξγαικών εαών εί ου αά είσς να ροέψουε ν ιή ου για ις νέες ιές ων.... Η κανονική αινρόσ υοέει ένα γραικό ονέο και ια κανονική καανοή εί ου. 5. Το ονέο Η ιαικασία ς - ιάσας κανονικής αινρόσς ύνααι να εωρεί σαν ια ιαικασία οοία γεννά ν ακοουία ων ονοιάσαες και ανεξάρες ακοουώνας ο ονέο :... ε 39 όου ε ~ N σ είναι ανεξάρες και ς ίιας καανοής. Οι αράεροι ου ονέου είναι οι.... Τα εωρούναι υχαία συνεώς είναι σ εοένοι αριοί. Παραρούε όι αυό ο ονέο είναι γραικό σα ενώ α ύνααι να είναι εασχαισός ων ρούων εαών. Έσι α ονέα 3 4 ε ή log log ε 3... ανήκουν σν οικογένεια ων ονέων ου εωρούε εώ. Χρσιοοιώνας ν ιανυσαική έννοια σχέσ 39 γράφεαι είσς υό ορφή : ε 4 όου... και... ιανύσαα ου R. Η ιαικασία ς κανονικής αινρόσς γεννά οιόν ις ανεξάρες κανονικές εαές : σ ~ N σ. Σε ορισένες εφαρογές όου α είναι υχαία εργαζόασε εσευικά ε ις αραρούενες ιές ων. ράφουε όε:

47 46 σ ~ N σ 4 Αυή είναι γραφή ν οοία α ακοουήσουε σε αυή ν αράγραφο όου α α είναι υχαία ή σαερά. Ένα υχαίο είγα εγέους α είναι οιόν ια ακοουία ων εαών... ου ακοουούν ν καανοή 4. Μορούε όε να χροοιήσουε ν mll έννοια : ε όου... ίνακας ε ε... ε ε ε ~ N σ και I ο αυοικός ίνακας άξεως 4 I Όαν ο ονέο εριαάνει ένα σαερό όρο ρώ σή ου ίνακα α είναι ια σή αό. Να αραρήσουε όι α είναι ιο εύχρσο σ συνέχεια να σκεφόασε σε όρους ς ακρίειας σ ερισσόερο αρά σε όρους ς ιασοράς. Τόε ο ονέο ς γραικής αινρόσς ορεί να γραφεί ως εξής : ~ N I 43 νωρίζουε όι ο συνής εκιής ου ου ροκύει ε έοο εαχίσων εραγώνων έε.χ. σο [5] είναι σαισική συνάρσ Αυός ο εκιής ε.ε.. έχει ις ακόουες ιιόες: 44 V V σ σ σ I Η εευαία σχέσ ροκύει αό ον ορισό ς ιασοράς ιας...:

48 47 V [ ] και ~ N 45 αυή εαεύεαι αό ις ιιόες ς ουιάσας Κανονικής καανοής έε Παράρα Θεώρα Η ιασορά σ εκιάαι γενικώς αό ιασορά ων υοοίων έσω ς συνήους εόου ων εαχίσων εραγώνων : 46 Το κανονικό ονέο αινρόσς 43 εριαάνει οές ενιαφέρουσες ερικές εριώσεις :. Μονοιάσα κανονική ιαικασία : Αν και... ξαναρίσκουε ονοιάσα κανονική ιαικασία ~ N σ ανεξάρες και ισόνοες. Οι εκιές εαχίσων εραγώνων 44 και 46 γίνοναι : ˆ σ V σ και ˆ σ εώ έχουε.. Μονέο Ανάυσς ιασοράς ΑNOV : Αν ο ίνακας έχει ν αρακάω καασκευή O 48 όου... και ξαναρίσκουε ε ν 43 ο ονέο ανάυσς ς ιασοράς ε ένα αράγονα : σ ~ N σ......

49 48 ανεξάρα α οοία ειρέουν να συγκρίνουε έσω ων ανεξάρων ειγάων ους έσους... κανονικών υσών ίιας ιασοράς σ. Εώ αραρούε όι g... O και g.... Οι εκιές εαχίσων εραγώνων 44 και 46 γίνοναι όε : όου ˆ... ˆ σ.... Οι αρακάω αράγραφοι ροείνουν ν ανάυσ ου ονέου κανονικής αινρόσς υό γενική ορφή ου 43 και α εριορίσουε α αανόενα αοεέσαα σο ονοιάσαο κανονικό ονέο Η ιανοφάνεια Εειή ~ N συνάρσ ιανοφάνειας γράφεαι : I 49 έε Παράρα 6. Είναι χρήσιο να εισάγουε σε αυό ο σείο ορισένες έννοιες. Το ιάνυσα υοοίων ς εόου εαχίσων εραγώνων ΜΕΤ γράφεαι: ων Μ όου Μ I είναι ο ίνακας ροοής εί ου γραικού χώρου ο οοίος είναι ορογώνιος ε ον χώρο ο οοίος γεννάαι αό ις σήες ου ίνακα. Οι αρακάω ιιόες ου Μ είναι ενιαφέρουσες : Μ Μ Μ Μ Το άροισα ων εραγώνων ων υοοίων ς ΜΕΤ γίνεαι όε

50 49 Μ Μ Μ Μ 5 Η εραγωνική ορφή ου εφανίζεαι σο εκεικό έρος ς συνάρσς ιανοφάνειας 49 ύνααι να ξαναγραφεί καά ον ακόουο ρόο : [ ][ ] εευαία ισόα ακοουεί αό ις ιιόες ου αφού Μ και Μ. Μορούε ώρα να ξαναγράψουε ν ιανοφάνεια : Μ 5 όου αρισά ους «αούς εευερίας» ου ονέου ενώ έννοια Μ έχει ή ορισεί αραάνω αυός είναι ο συνής εκιής εαχίσων εραγώνων ου σ. Η εευαία αραγονοοίσ ς ιανοφάνειας α αοοιήσει ν ανάυσ οοία ακοουεί. Ιιαιέρως αυή ειρέει να ούε όι σ.σ. είναι εαρκής για ν αράερο. Η ανάυσ αυού ου ονέου είναι σχεικά άεσ αν αράερος σ ή ακρίεια είναι γνωσή. Θα αρχίσουε οιόν ν αρουσίασ αό αυή ν αή ερίωσ έσι ώσε να εοιάσουε ν ανάυσ ου ιο γενικού ονέου όου ο σ είναι άγνωσο. 5.3 ιασορά γνωσή Φυσική συζυγής Όαν ιασορά σ είναι γνωσή ο έρος ς ιανοφάνειας όου φαίνεαι οναική αράερος ίεαι αό ο εύερο εκεικό αράγονα ς

51 5 ιανοφάνειας 5. Παραρούε όε όι είναι εαρκής σ.σ. για ο. Βέονας ν ιανοφάνεια σαν συνάρσ ου όνο αάνουε : 5 Αναγνωρίζουε σαν συνάρσ ου ον υρήνα ιας -ιάσας κανονικής. Η φυσική συζυγής οικογένεια α είναι οιόν σ αυό ο ονέο οικογένεια ων - ιάσαων κανονικών υκνοήων. Εκ ων ροέρων όου Αν εκέξουε ια εκ ων ροέρων έσα σ φυσική συζυγή οικογένεια έχουε : ~ Ω N είναι ο ιάνυσα ων εκ ων ροέρων έσων ων σοιχείων ου και ο Ω είναι ο ίνακας ων εκ ων ροέρων ακριειών : V Ω. Σν ράξ εειή ο είναι γνωσό για να αοοιήσουε ις έννοιες οι οοίες α ακοουήσουν α ορίσουε ν εκ ων ροέρων ακρίεια αό ον ίνακα ο οοίος α είναι ο ίνακας ων σχεικών ακριειών ου «άρους» : Ω. Έχουε όε για ν εκ ων ροέρων υκνόα ου ον ακόουο ορισό : αή ~ 53 N Αν οι εκ ων ροέρων ιασορές ου είνουν ρος ο α έχουε ια εκ ων ροέρων - ροφορική εί ου. Μορούε να εωρήσουε όι αυή ερίωσ ανισοιχεί σν οριακή ιή ων σχεικών ακριειών. Οι αράεροι... είναι όε εκ ων ροέρων ανεξάρες και καανεένες καά ένα mo οοιόορφο νόο : 54

52 5 Εκ ων υσέρων Μορούε να άρουε ον υρήνα ς εκ ων υσέρων συνυάζονας ις σχέσεις 5 και 53 αά σε αυή ν ερίωσ α ήαν ιο αό να χρσιοοιήσουε ις ιιόες ς Πουιάσας Κανονικής καανοής. Είναι φανερό όι εκ ων ροέρων υκνόα για ο εν εξαράαι αό ον ίνακα εωρούενος σαν ίνακας ων σαερών υικά ορούε να γράψουε Ανακαώνας ις ιιόες ου ου ίοναι σν 45 έχουε ~ N ~ N Χρσιοοιώνας όε ις ιιόες ς ουιάσας κανονικής έε Παράρα Θεώρα : 55 ~ N Αό αυή ν αό κοινού χρσιοοιώνας ώρα ν ανίσροφ ανάυσ ς ουιάσας κανονικής έε Παράρα Θεώρα αάνουε: ~. ' N όου [ ] [ ] [ ]. [ ] { } αή ~ ~ [ ] [ ] { } Ν ~ 56 Χάρ σε κάοιους αγερικούς χειρισούς ασιζόενους σις ιιόες ων ανισρόφων ιαχωρισένων ινάκων ορούε να αοείξουε ις αρακάω ιιόες.

53 5 Αό ν άγερα ων ινάκων ανακαούε ο ιωνυικό ανίσροφο εώρα : Έσω και ύο ανισρέψιοι ίνακες. Τόε: mm Αυές οι ύο σχέσεις ίνουν ιαοχικά ις σχέσεις : [ ] W ] [ Έσι ροκύει αέσως όι : W W W Ι V 59 Μορούε οιόν εικά να γράψουε : ~ N όου 6 Οι εκφράσεις ων εκ ων υσέρων ροών ου εοένες αό ις 59 και 6 ειρέουν να κααάουε καύερα ως οι ροφορίες εκ ων ροέρων και ου είγαος συνυάζοναι :. Πρόσεσ ακριειών Ο ίνακας ων εκ ων ροέρων ακριειών ίεαι αό ον και ειγαική ακρίεια ου ο ε.ε.. ίεαι αό ν. Βεαιώνεαι όι εκ ων υσέρων ακρίεια εοέν αό ν είναι ο άροισα ς εκ ων ροέρων και ου είγαος.. Εκ ων υσέρων έσος Ο εκ ων υσέρων έσος είναι ο εαρυένος έσος ου ο εκ ων ροέρων έσος και ου ο ε.ε.. α ανίσοιχα άρ όνως οι ακρίειες εκ ων ροέρων και ειγαική.

54 53 Αυό εώ ειρέει να ερνεύσουε εκ νέου ις ιές ς εκ ων ροέρων σε όρους ισούναου υοεικού είγαος. 3. Εκ ων ροέρων ροφορική Παραρούε όι αν W Ι και όε V και ξαναρίσκουε α συνή αοεέσαα ς Σαισικής Συερασαοογίας. Λοιόν ένας εκ ων υσέρων ροφορικός νόος για ο α ήαν ο. N 4. Ασυωικά αοεέσαα Υό ις συνήεις υοέσεις ς κανονικόας αν και. Έχουε όε : W Ι V Αν ο έγεος ου είγαος αυξάνει ο εκ ων ροέρων άρος εαώνεαι και εκ ων υσέρων συγκενρώνεαι γύρω αό ο o ε.ε.. P νόος Η εκ ων ροέρων ου ροκύει εύκοα αν συνυάσουε ν εκ ων ροέρων και ν ιανοφάνεια ου για ένα ίνακα ιών ων εεξγαικών εαών εοένο. εοένου οιόν όι ~ N ~ I N χρσιοοιώνας όως και ρογουένως ις ιιόες ς ουιάσας κανονικής έε Παράρα Θεώρα αάνουε : ~ I N

55 54 Αό αυή ν αό κοινού καανοή αάνουε αέσως ον ή εριωριακό νόο ου : ~ N I 6 Πρέει εώ εκ ων ροέρων να έχει ια υκνόα αή ο να είναι ανισρέψιος. ια να άρουε ν υκνόα ου για καινούριες ιές ου αράγοναι αό ν ίια ιαικασία ς κανονικής αινρόσς 39 και για ένα εοένο ίνακα ύου εεξγαικών εαών αρκεί να ανικαασήσουε ο ε ο ον ε ον σχέσ 6 : και ον ε ον έσα σν ~ N I 6 Σ αυήν ν ερίωσ για να υάρχει υκνόα αρκεί ο να είναι ανισρέψιος. Αυή υάρχει οιόν για ια εκ ων ροέρων mo ροφορική : αν ο είναι ήρς άξεως g. Μερική ερίωσ: Η ιαικασία ς ονοιάσας Κανονικής ε ιασορά γνωσή Σ αυήν ερική ερίωσ. Λοιόν ο είναι αωό και ειγαικός έσος. Σειώνονας... ιαοχικά αάνουε : ~ N I σ αή οι είναι ανεξάρες και ισόνοες.. ε καανοή N σ ~ N ν εκ ων ροέρων εί ου : ~ N και ν εκ ων υσέρων εί ου : ~ N όου.

56 55 Σχοιάζονας όως και σν αράγραφο α αραάνω αοεέσαα αραρούε όι : ο. Ο εκ ων υσέρων έσος γράφεαι : και Λοιόν ο είναι ένας ανισαιζόενος έσος ου εκ ων ροέρων έσου και ου ειγαικού έσου. Τα σχεικά άρ είναι οι ανίσοιχες ακρίειες. ο. Η εκ ων υσέρων ιασορά είναι : Λοιόν εκ ων υσέρων ακρίεια α είναι : άροισα ς εκ ων ροέρων ακρίειας αή ο και ς ειγαικής ακρίειας. 3 ο. Με άσ ο ο και ο ο ορούε να ούε και κάοιες οριακές καασάσεις Αν ιαρώνας ο σαερό έχουε : και. Ό οιόν εκ ων υσέρων καανοή ου συγκενρώνει άζα ς σο ειγαικό έσο για οοιαήοε εκ ων ροέρων ακρίεια : ξαναρίσκουε αή ον κασσικό εκιή ου. Αν ο o και εοένως ο εκ ων ροέρων άρος γίνεαι αεέο και ό ροφορία ροέρχεαι όνο αό ο είγα. Εώ α ορούσαε να ούε όι υάρχει εκ ων ροέρων ίγ ή καόου ροφορία και ξαναρίσκουε είσς ον κασσικό εκιή ου : σ σ Μια εκ ων υσέρων ροφορική α είναι όε N Ανίσροφα αν και εοένως έχουε ια εκ ων ροέρων o «ογαική» άζα ου D σο σείο. Εώ γνωρίζουε ε εαιόα ν ιή ου και ο είγα εν ορεί να ροοοιήσει αυή ν εκ ων ροέρων ροφορία ια αράειγα ορούε να αρασήσουε γραφικά ν εκ ων ροέρων υκνόα ου ν εκ ων υσέρων υκνόα ου και ν εκ ων υσέρων υκνόα ου για ια εκ ων ροέρων ροφορική. Σα γραφήαα ου ακοουούν ο είναι ο όνο ου εαάεαι για να φανεί ο ρόος ου άρους ς