1.2 Το πρόβληµα της ανάκτησης Όµοιων διατάξεων χωρικών αντικειµένων Σκοπός της ιπλωµατικής Οργάνωση της ιπλωµατικής...

Transcript

1 1 Εισαγωγή Γενικά Το πρόβληµα της ανάκτησης Όµοιων διατάξεων χωρικών αντικειµένων Σκοπός της ιπλωµατικής Οργάνωση της ιπλωµατικής Χωρικές Σχέσεις Το πρόβληµα ανάκτησης όµοιων διατάξεων χωρικών αντικειµένων ως Πρόβληµα ΙκανοποίησηςΠεριορισµών Τοπολογικές σχέσεις Η αναζήτηση όµοιων διατάξεων ως πρόβληµα ικανοποίησης περιορισµών Τοπολογικοί περιορισµοί Περιορισµοί Κατεύθυνσης Περιορισµοί Απόστασης Ο Ορισµός του προβλήµατος Μέτρο οµοιότητας Ελαστική ανάκτηση οµοιότητας Κεφάλαιο εικτοδότηση - To R-tree και το R*-tree Το R-tree Λειτουργίες του R-tree Παραλλαγές του R-tree R+ tree R* tree Η χρήση του R*-tree στο πρόβληµα ικανοποίησης χωρικών περιορισµών Τοπολογικοί περιορισµοί Περιορισµοί Απόστασης Περιορισµοί Κατεύθυνσης Οµοιότητα κόµβου - αντικειµένου ιαδικασία αναζήτησης όµοιων κόµβων µε την βοήθεια της δοµής δεικτοδότησης 44 4 Αλγόριθµοι...46

2 4.1 Συστηµατικοί Αλγόριθµοι Αλγόριθµος Εµπρόσθιου Ελέγχου µε Παράθυρα ιπλά Αναδροµικός Αλγόριθµος Εµπρόσθιου Ελέγχου Προσαρµογή των Γενετικών Αλγορίθµων στο Πρόβληµα Ανάκτησης Όµοιων ιατάξεων Γενετικοί Αλγόριθµοι Τελεστές ιαφοροποίησης Επιλογή της νέας γενιάς Μέγεθος της κάθε γενιάς Σκιαγράφηση του Αλγορίθµου Πλατφόρµα Εργασίας - Πειράµατα Επιλογή πλατφόρµας ανάπτυξης Αρχιτεκτονική της Εφαρµογής Εργαλείο ηµιουργίας Queries Χρησιµότητα του Εργαλείου Τρόπος Λειτουργίας Εφαρµογής Πειράµατα Γενετικών Αλγορίθµων Συνθήκες Σκοπός των πειραµάτων Αποτελέσµατα πειραµάτων για τον απλό γενετικό αλγόριθµο Αποτελέσµατα πειραµάτων για τον δεικτοδοτούµενο γενετικό αλγόριθµο Συµπεράσµατα Πειράµατα συστηµατικών αλγορίθµων Συνθήκες- Σκοπός των πειραµάτων Πειραµατική αξιολόγηση όλων των τρόπων χρήσης του R*-tree που παρουσιάστηκαν Πειραµατική αξιολόγηση των τρόπων χρήσης του R*-tree σε σχέση µε την ανεκτικότητα του περιορισµού απόστασης Συµπεράσµατα από τα πειράµατα των Συστηµατικών Αλγορίθµων Συνολικά Συµπεράσµατα Παρατηρήσεις Επίλογος Σύνοψη

3 6.2 Μελλοντικές επεκτάσεις Βιβλιογραφία

4 1 Εισαγωγή 1.1 Γενικά Η οµοιότητα διατάξεων κατά κάποιο τρόπο συνίσταται στην οµοιότητα µεταξύ δοµικών χαρακτηριστικών κάποιων εικόνων. ηλαδή από όλα τα χαρακτηριστικά που εντοπίζουµε σε µία εικόνα (σχήµα, χρώµα, µέγεθος κ.α ) ασχολούµαστε µε αυτά που έχουν να κάνουν µε την σχετική τοποθέτηση των διαφόρων αντικειµένων που υπάρχουν σ αυτή. Η αναζήτηση οµοίων διατάξεων σε χωρικές βάσεις δεδοµένων αντιστοιχεί στο πρόβληµα εύρεσης ενός διατεταγµένου συνόλου αντικειµένων σε ένα χάρτη, τα οποία ικανοποιούν διάφορους περιορισµούς ανά δύο ή και περισσότερα. Οι περιορισµοί αυτοί µπορεί να είναι περιορισµοί απόστασης («βρες ένα σπίτι που να απέχει λιγότερο από 200m από ένα σουπερµαρκετ»), περιορισµοί θέσης (π.χ. νότια, βόρεια κ.τ.λ), η να αφορούν σε άλλες χωρικές ιδιότητες (το ένα αντικείµενο να εφάπτεται µε το άλλο, να το επικαλύπτει κ.τ.λ). ιάφορες λεκτικές και εικονογραφικές γλώσσες ερωτήσεων έχουν προταθεί για να εξυπηρετήσουν τέτοιου είδους ερωτήσεις [CSY87][PS95]. Στην εργασία αυτή επιχειρείται να προσαρµοστούν οι γενετικοί αλγόριθµοι στο πρόβληµα αυτό, να αξιολογηθεί η απόδοση τους, καθώς και να βελτιστοποιηθεί η αποδοτικότητα της χρήσης της δοµής δεικτοδότησης (R-* tree) από τους συστηµατικούς αλγορίθµους που έχουν προταθεί[αρκ01]. Οι γενετικοί αλγόριθµοι έχουν εφαρµοστεί για την επίλυση πολλών προβληµάτων, απρόσιτης υπολογιστικής πολυπλοκότητας, συνήθως, (όπως και το προκείµενο) και ένα από τα πλεονεκτήµατα του είναι ότι είναι απλοί στην κατασκευή τους. Η καλή η µη προσαρµογή τους στο κάθε πρόβληµα, όµως, µπορεί να έχει θεαµατικές διαφορές στις επιδόσεις τους. Το υπόβαθρο για όλα αυτά προέρχεται κυρίως από το διδακτορικό του Κωνσταντίνου Αρκουµάνη [Αρκ01], τον οποίο και ευχαριστώ για την πολύτιµη βοήθεια του. 4

5 1.2 Το πρόβληµα της ανάκτησης Όµοιων διατάξεων χωρικών αντικειµένων Το µεγαλύτερο µέρος των προσεγγίσεων του προβλήµατος της αναζήτησης όµοιων διατάξεων, εστιάζονταν σε συγκεκριµένα προβλήµατα χρησιµοποιώντας αλγορίθµους ειδικούς για την κάθε περίπτωση. Όπως οι BPJ93 που εφαρµόζουν εξαντλητική αναζήτηση για την ανάκτηση φυσιογνωµικών εικόνων. Οι RS92 ακόµα προτείνουν µια τεχνική πολυεπίπεδων υπογραφών για βάσεις που ο αριθµός και ο τύπος των αντικειµένων, όλων των εικόνων, είναι γνωστά από πριν. Άλλες προσεγγίσεις ασχολούνται µε την οµοιότητα ιατρικών εικόνων για να διευκολύνουν την λήψη αποφάσεων. [OCK94][CIT94][PF97] Τεχνικές, οι οποίες αν και µπορεί να µην εκµεταλλεύονται πλήρως τα χαρακτηριστικά ενός πεδίου, µπορούν να εφαρµοστούν σε πολλών ειδών προβλήµατα, έχουν αναπτυχθεί από διάφορους ερευνητές. Για παράδειγµα οι [LH92] χρησιµοποιούν προβολές συµβολικών αντικειµένων, κωδικοποιηµένων σε δισδιάστατες συµβολοσειρές, καθώς και αλγορίθµους σύγκρισης συµβολοσειρών για την ανάκτηση όµοιων διατάξεων. Οι [NNS96] προτείνουν µια τεχνική βασισµένη σε προβολές η οποία χρησιµοποιεί εννοιολογική γειτνίαση για να µετρήσει την οµοιότητα σχέσεων. Οι περισσότερες από τις παραπάνω µεθόδους, όµως, ασχολούνται µόνο µε περιπτώσεις στις οποίες οι εικόνες είναι επαναδιατάξεις του ίδιου συνόλου αντικειµένων. Οι ερωτήσεις απλώς ανακτούν όλες τις εικόνες όπου κάποια διάταξη ικανοποιείται. Στη εργασία αυτή θεωρούµε το γενικότερο πρόβληµα της οµοιότητας διατάξεων όπου οι εικόνες περιέχουν αυθαίρετα αντικείµενα και οι ερωτήσεις αναφέρονται σε µεταβλητές αντικειµένων. Αυτό είναι ένα πρόβληµα αυστηρά εκθετικό (hard exponential) όπως υποδεικνύεται από µελέτες της Υπολογιστικής Οράσεως [BB94]. Για να εξασφαλίσουµε µία λύση όσο το δυνατόν γενικότερη, θεωρούµε επεκτεταµένα αντικείµενα τα οποία είναι απαραίτητα όσον αφορά στις τοπολογικές σχέσεις. Τέλος έγινε προσπάθεια ώστε η προσέγγιση µας, να µπορεί να αντεπεξέλθει στην εγγενή ασάφεια της χωρικής πληροφορίας. Τρεις βασικούς τύπους ασάφειας συναντάµε στις πραγµατικές εφαρµογές : Τα «ασαφή αντικείµενα». Αυτά είναι αντικείµενα που δεν έχουν καλά καθορισµένα όρια (π.χ. αστικές περιοχές, δάση) ή έχουν όρια που αλλάζουν µε το χρόνο. 5

6 Τις «ασαφείς σχέσεις». Μπορεί τα αντικείµενα να σχετίζονται µεταξύ τους µε ασαφείς σχέσεις, δηλαδή ένα ζευγάρι αντικειµένων µπορεί να συµµετέχει σε πολλές σχέσεις µε διαφορετικούς βαθµούς συµµετοχής (π.χ. Κρήτη µπορεί να είναι νότια και νοτιοανατολικά της Πελοποννήσου). ιφορούµενες ερµηνείες χωρικών σχέσεων. ηλαδή διαφορετικοί χρήστες µπορεί να υπονοούν διαφορετικές σχέσεις µε τον ίδιο γλωσσικό όρο. Στην εργασία αυτή παίρνουµε υπόψη µας µόνο τον δεύτερο τύπο ασάφειας. 1.3 Σκοπός της ιπλωµατικής Στην εργασία αυτή ιδιαίτερη προσπάθεια γίνεται στο να µελετηθεί και να βελτιστοποιηθεί η χρήση της δοµής δεικτοδότησης που χρησιµοποιείται (R*-tree) στην οργάνωση των χωρικών δεδοµένων. Με βάση γνωστούς συστηµατικούς αλγορίθµους [Αρκ01], εξετάζεται ο τρόπος µε το οποίο υπολογίζουµε την πιθανότητα εύρεσης καλής λύσης σε κάποια περιοχή του χάρτη, η οποία περιγράφεται και από έναν κλάδο του R*-tree. Ειδικότερα συγκρίνουµε την χρονική απόδοση προσεγγιστικών µεθόδων πρόβλεψης την καταλληλότητας ενός κλάδου για την λύση µας, σε σχέση µε πιο ακριβείς αλλά υπολογιστικά ακριβότερες µεθόδους. Ακόµα, χρησιµοποιούµε γενετικούς αλγορίθµους για το ίδιο πρόβληµα και τους προσαρµόζουµε ανάλογα. Μελετάµε την επίδραση της χρήσης ή µη της δοµής δεικτοδότησης στην σύγκλιση των αλγορίθµων καθώς και την επίδραση διαφόρων τεχνικών και παραµέτρων σε αυτή. 1.4 Οργάνωση της ιπλωµατικής Η διάρθρωση της εργασίας µπορεί να φανεί παρακάτω : 1. Στο κεφάλαιο 1 δίνεται µια σύντοµη εισαγωγή στον προβληµατισµό που αναπτύσσεται στη εργασία. 2. Στο κεφάλαιο 2 επεξήγειται η τοπολογική οµοιότητα µέσω αναλυτικού ορισµού των σχέσεων που την συνθέτουν. Από τις σχέσεις αυτές συνάγονται οι αντίστοιχοι περιορισµοί και ορίζεται το πρόβληµα ως Πρόβληµα Ικανοποίησης Περιορισµών. Ορίζεται ο βαθµός οµοιότητας ενός ζεύγους αντικειµένων µε τις εκάστοτε σχέσεις σε αυτό το πλαίσιο. 6

7 3. Στο κεφάλαιο 3 περιγράφεται το R-tree, η πιο διαδεδοµένη δοµή δεικτοδότησης χωρικών αντικειµένων, και γίνεται παρουσίαση των παραλλαγών του, R+-tree και R*-tree. Ακόµα γίνεται µια εκτενής ανάλυση διάφορων τεχνικών χρησιµοποίησης του R*-tree για την αποφυγή εξέτασης διατάξεων, για τις οποίες µπορούµε να προβλέψουµε ότι δεν θα έχουν την ζητούµενη οµοιότητα. 4. Στο κεφάλαιο 4 παρουσιάζονται δύο συστηµατικοί αλγόριθµοι και δύο γενετικοί αλγόριθµοι για το πρόβληµα ανάκτησης οµοίων διατάξεων χωρικών αντικειµένων. Αναλύονται οι λειτουργίες των γενετικών και επεξηγείται η επίδραση των διαφόρων τελεστών. 5. Στο κεφάλαιο 5 γίνεται µια πολύ σύντοµη παρουσίαση ενός εργαλείου που αναπτύχθηκε για την δηµιουργία queries και στην συνέχεια αξιολογούνται πειραµατικά οι τεχνικές που παρουσιάστηκαν στο κεφάλαιο 3. Ακόµα γίνεται πειραµατικός προσδιορισµός των παραµέτρων των γενετικών αλγορίθµων. 6. Στο κεφάλαιο 6 γίνεται µια πολύ σύντοµη επισκόπηση της διπλωµατικής και παρουσιάζονται πιθανές µελλοντικές επεκτάσεις καθώς και ενδιαφέροντα προβλήµατα που προέκυψαν. 7

8 2 Χωρικές Σχέσεις Το πρόβληµα ανάκτησης όµοιων διατάξεων χωρικών αντικειµένων ως Πρόβληµα ΙκανοποίησηςΠεριορισµών Οι σχέσεις που µπορούν να έχουν τα χωρικά αντικείµενα µεταξύ τους, τις οποίες και ονοµάζουµε χωρικές σχέσεις, στην βιβλιογραφία χωρίζονται σε τρεις κύριες κατηγορίες [PE88] [Ege89][Wor92] : Τοπολογικές. Π.χ ένα αντικείµενο επικαλύπτεται από ένα άλλο, είναι δίπλα σε ένα άλλο κ.τ.λ Κατεύθυνσης. εξιά, αριστερά, βόρεια, νότια κ.τ.λ Μετρικές. Όπως «απόσταση µεταξύ 1km και 2km», «κοντινότερος γείτονας» κ.τ.λ Η οµοιότητα των διατάξεων θα οριστεί, όπως θα φανεί παρακάτω, µε βάση τις προηγούµενες σχέσεις, ως πρόβληµα, όµως, ικανοποίησης περιορισµών. 2.1 Τοπολογικές σχέσεις Από τις προηγούµενες σχέσεις, οι τοπολογικές θεωρούνται οι πιο ενδιαφέρουσες και έχουν µελετηθεί σε µεγαλύτερο βάθος [Güt94]. Για να τις ορίσουµε καλύτερα µπορούµε να θεωρήσουµε το χωρικό αντικείµενο ως σύνθεση δύο διαφορετικών τµηµάτων : του εσωτερικού του (p o ) του ορίου του ( p). Ας υποθέσουµε ακόµα ότι s(p)= s(p o ) s( p). Τότε 8

9 µπορούµε να ορίσουµε µε τύπους κατηγορηµατικής λογικής τις εξής οκτώ τοπολογικές σχέσεις µεταξύ των δύο αντικειµένων [EH90]. Ξένο ( Disjoint(p,q) ) p q Σχήµα 2-1 Σχέση Disjoint x i (x i s( p) x i s( q)) x j (x j s(p o ) x j s( q)) x k (x k s( p) x k s(q o )) x l (x l s(p o ) x l s(q o )) Συναντά ( Meet(p,q) ) p q Σχήµα 2-2 Σχέση Meet x i (x i s( p) x i s( q)) x j (x j s(p o ) x j s( q)) x k (x k s( p) x k s(q o )) x l (x l s(p o ) x l s(q o )) 9

10 Τέµνει ( Overlaps(p,q)) p q Σχήµα 2-3 Σχέση Overlap x i (x i s( p) x i s( q)) x j (x j s(p o ) x j s( q)) x k (x k s( p) x k s(q o )) x l (x l s(p o ) x l s(q o )) Καλύπτεται ( covered_by(p,q)) p q Σχήµα 2-4 Σχέση Covered_by x i (x i s( p) x i s( q)) x j (x j s(p o ) x j s( q)) x k (x k s( p) x k s(q o )) x l (x l s(p o ) x l s(q o )) 10

11 Περιέχεται( inside(p,q) ) p q Σχήµα 2-5 Σχέση Inside x i (x i s( p) x i s( q)) x j (x j s(p o ) x j s( q)) x k (x k s( p) x k s(q o )) x l (x l s(p o ) x l s(q o )) Ισούται ( equals(p,q) ) q p Σχήµα 2-6 Σχέση Equal x i (x i s( p) x i s( q)) x j (x j s(p o ) x j s( q)) x k (x k s( p) x k s(q o )) x l (x l s(p o ) x l s(q o )) 11

12 Καλύπτει ( covers(p,q) ) p q Σχήµα 2-7 Σχέση Cover x i (x i s( p) x i s( q)) x j (x j s(p o ) x j s( q)) x k (x k s( p) x k s(q o )) x l (x l s(p o ) x l s(q o )) Περιέχει ( contains(p,q) ) p q Σχήµα 2-8 Σχέση Contain x i (x i s( p) x i s( q)) x j (x j s(p o ) x j s( q)) x k (x k s( p) x k s(q o )) x l (x l s(p o ) x l s(q o )) Οι παραπάνω συζεύξεις είναι αµοιβαία αποκλειόµενες [RCC92] και είναι οι σχέσεις που θα χρησιµοποιήσουµε για να ορίσουµε τους τοπολογικούς περιορισµούς παρακάτω. 12

13 Ακόµα µπορούµε να ορίσουµε µια έννοια «γειτνίασης» µεταξύ αυτών των σχέσεων. [ΕΑ92][Ηer94]. Λέµε, λοιπόν, ότι δύο σχέσεις είναι γειτονικές αν µπορεί να µετατραπεί η µία στην άλλη µέσω συνεχών µεταµορφώσεων (µεγέθυνση, συρρίκνωση, κίνηση). Για παράδειγµα αν έχουµε την σχέση MEET µεταξύ δύο αντικειµένων τότε αυξοµειώνοντας το µέγεθος τους ή µετακινώντας τα, µπορούµε να µετατρέψουµε την σχέση MEET σε DISJOINT ή OVERLAP, και από αυτές σε κάποια άλλη όπως φαίνεται στον παρακάτω γράφο. Αν δύο σχέσεις-κόµβοι του γράφου συνδέονται µε µία ακµή, τότε οι σχέσεις αυτές ονοµάζονται πρώτου βαθµού γείτονες. Οι DISJOINT και OVERLAP π.χ. είναι πρώτου βαθµού γείτονες της ΜΕΕΤ. Ανάλογα µε τις µεταµορφώσεις που θεωρούµε επιτρεπτές µπορούµε προφανώς να δηµιουργήσουµε διάφορους τέτοιους γράφους [BE96] [NSS96]. q p p q Disjoint Meet X 2 q p Overlap q p X 2 p q Covers q Equal p Covered_by q Contains p q p Inside Σχήµα 2-9 Γράφος Γειτνίασης 13

14 2.2 Η αναζήτηση όµοιων διατάξεων ως πρόβληµα ικανοποίησης περιορισµών Οι διατάξεις λοιπόν των χωρικών αντικειµένων περιγράφονται από τις παραπάνω τοπολογικές και µετρικές σχέσεις καθώς και από τις σχέσεις κατεύθυνσης µεταξύ των αντικειµένων. Με βάση αυτές µπορούµε να διατυπώσουµε ερωτήσεις του τύπου «θέλω δύο αντικείµενα που το Α να συναντά το Β και το Β να είναι βόρεια του Α και το Β να απέχει 100 m από το Α». Αυτή την περιγραφή µπορούµε να την θεωρήσουµε ως ένα σύνολο περιορισµών για τα αντικείµενα Α και Β. ηλαδή µε δεδοµένο το αντικείµενο Α τα πιθανά αντικείµενα Β είναι περιορισµένα στα αντικείµενα που συναντώνται µε το Α, είναι βόρεια του Α και απέχουν 100m από αυτό. Με αυτή την λογική µπορούµε να θέσουµε το πρόβληµα αναζήτησης όµοιων διατάξεων ως πρόβληµα ικανοποίησης (χωρικών) περιορισµών ( Constrain Satisfaction Problem). Έτσι περιγράφουµε την ιδεατή διάταξη µε βάσει το σύνολο των σχέσεων που έχουµε στο µοντέλο µας και στην συνέχεια περιορίζουµε το χώρο των αντικειµένων στα αντικείµενα που θα έχουν τις ίδιες σχέσεις µε αυτές εκείνων της αρχικής διάταξης. Ας δούµε, όµως, πιο τυπικά πως ορίζεται το όλο πρόβληµα και οι περιορισµοί Τοπολογικοί περιορισµοί Ας ορίσουµε πρώτα το µέτρο τοπολογικής οµοιότητας µεταξύ δύο σχέσεων Τ i και Τ j σ Τ : 1 Τ i=τ j st σ Τ (Τ i,t j ) = τ (0 < τ < 1) if T i and T j are 1 degree neighboors 0 otherwise Εξίσωση 2-1 Ένας τοπολογικός περιορισµός C T είναι µια διάζευξη τοπολογικών σχέσεων του Τ. Το µέτρο ικανοποίησης του C T από µια σχέση Τ j είναι η µέγιστη οµοιότητα µεταξύ του Τ j και οποιασδήποτε σχέσης του C T : σ T (C T,T j )= max σ T (T i,t j ) T i CT Εξίσωση

15 Το U T δείχνει τον καθολικό τοπολογικό περιορισµό και ανταποκρίνεται στην διάζευξη όλων των σχέσεων : U T = { D, M, O, V, C, E, I, B}. Το U T χρησιµοποιείται για να εκφράσει ότι ο τοπολογικός περιορισµός δύο αντικειµένων είναι απροσδιόριστος (δεν υπάρχει). Έτσι η οµοιότητα του U T µε κάθε τοπολογική σχέση είναι Περιορισµοί Κατεύθυνσης Οι σχέσεις κατεύθυνσης είναι αυτές του στην πραγµατική ζωή αντιµετωπίζονται µε την περισσότερη ασάφεια και για αυτό έγινε προσπάθεια να εκφραστεί αυτή η αοριστία τους και στο µοντέλο µας, να έχουµε δηλαδή ασαφείς (fuzzy) περιορισµούς κατεύθυνσης. Θεωρούµε το εξής σύνολο θεµελιωδών κατευθυντήριων σχέσεων : Α={NorthEast, North, NorthWest, West, SouthWest, South, SouthEast, East} Οι συναρτήσεις συµµετοχής σε αυτές τις σχέσεις είναι τραπεζοειδείς, εκφράζοντας έτσι την αοριστία που αναφέραµε προηγουµένως. ηλαδή σε κάποια περιοχή γύρω από την ζητούµενη κατεύθυνση (±α) η συνάρτηση παίρνει την τιµή 1 και στην συνέχεια µειώνεται γραµµικά µε την απόσταση ως την τιµή 0. Όπως θα φανεί και παρακάτω αυτό γίνεται στους κεντρικούς άξονες των γειτονικών κατευθύνσεων. Εάν το τραπέζιο της συνάρτησης συµµετοχής το αναπαραστήσουµε µε τις προβολές των κορυφών του (a,b,c,d) στο οριζόντιο άξονα των γωνιών, όπως φαίνεται στο σχήµα 2-10 για α=±5, θα ισχύει ότι µ Αi (a,α i ) = µ Αi (d,α i ) = 0 και µ Αi (b,α i ) = µ Αi (c,α i ) = 1 όπου µ η συνάρτηση συµµετοχής. Παρακάτω φαίνονται και γραφικά οι συναρτήσεις συµµετοχής Φ σε κάθε περίπτωση (α=±5). 1 0 a b c d Σχήµα 2-10 Τετράδα προβολών του τραπεζίου της συνάρτησης συµµετοχής Φ 15

16 Βαθµός οµοιότητας E NE N NW W SW S SE E Γωνία µε 2 ο αντικείµενο Σχήµα 2-11 Συναρτήσεις Συµµετοχής Φ για α = 5 ο. Οι τετράδες του τραπεζίου των συναρτήσεων συµµετοχής διαµορφώνονται ως εξής : A 1 =NE (0 o, 45 o -α, 45 o +α, 90 o ) A 2 =N (45 o, 90 o -α, 90 o +α, 135 o ) A 3 =NW (90 o, 135 o -α, 135 o +α, 180 o ) A 4 =W (135 o, 180 o -α, 180 o +α, 225 o ) A 5 =SW (180 o, 225 o -α, 225 o +α, 270 o ) A 6 =S (225 o, 270 o -α, 270 o +α, 315 o ) A 7 =SE (270 o, 315 o -α, 315 o +α, 360 o ) A 8 =E (315 o, 360 o -α, α, 45 o ) Για α = 5 βλέπουµε παρακάτω τις περιοχές (σκούρο γκρι) πλήρους οµοιότητας και τις περιοχές (ανοιχτό γκρι) µερικής οµοιότητας. 16

17 Σχήµα 2-12 Περιοχές πλήρους και µερικής ικανοποίησης του περιορισµού κατεύθυνσης, για α=5 ο. Όπως φαίνεται από το σχήµα η συνάρτηση συµµετοχής µιας γωνίας θ στην σχέση ΝΕ, το µέτρο οµοιότητας κατεύθυνσης σ Α θα είναι (ας υποθέσουµε θ [0,360)) : σ Α (θ,νε) = 0 ο θ /(45 α) 1 ο ο (90 θ ) /(45 α) 0 αν 45 0 < θ 45 ο 45 ο θ > 0 ο α < θ 45 θ > 90 ο α ο + α < θ 90 + α ο Εξίσωση 2-3 Όπου το α κάποια µικρή γωνία. 17

18 Στη γενικότερη περίπτωση έχουµε : σ Αi (θ,α i ) = 0 ο θ /( 45 α) i 1 ο (( ι + 1)45 θ ) /( i45 0 ο α) αν ( i 1)45 i45 i45 ο ο θ < ( i 1)45 ο θ > ( i + 1)45 ο < θ i45 α < θ i45 ο ο ο α + α + α < θ ( i + 1)45 ο Εξίσωση 2-4 Όπως και στους τοπολογικούς περιορισµούς, ο περιορισµός κατεύθυνσης C A είναι µια διάζευξη από σχέσεις κατεύθυνσης του Α. Το µέτρο της οµοιότητας µεταξύ του C A και της γωνίας θ είναι : σ A (C A,θ)=max(1, Ai C A σ A (A i,θ)) Εξίσωση 2-5 Εδώ όµως µπορεί να ικανοποιούνται µερικά δύο διαφορετικοί περιορισµοί ή να ικανοποιείται πλήρως ένας περιορισµός, ενώ καµία από τις σχέσεις κατεύθυνσης που τον συνθέτουν να µην ικανοποιείται πλήρως. Για παράδειγµα αν το C A =(S SE) τότε για θ=300 ο (µε α<15 ο ) καµία από τις S,SE δεν ικανοποιείται αλλά σ Α (C A,θ) = 1. Το U A = ( E, ΝΕ, Ν, ΝW, W, SW, S, SE) είναι ο καθολικός περιορισµός και ικανοποιείται για όλες τις κατευθύνσεις Περιορισµοί Απόστασης Ως απόσταση µεταξύ των αντικειµένων χρησιµοποιούµε την ευκλείδεια απόσταση µεταξύ των κέντρων τους. Ο περιορισµός της απόστασης περιγράφεται από δυο τιµές, που ορίζουν το διάστηµα των αποδεκτών τιµών για την απόσταση. Η γεωµετρική περιγραφή του αποδεκτού διαστήµατος είναι ένας δακτύλιος µε τον εσωτερικό κύκλο να έχει ακτίνα d 0 και 18

19 τον εξωτερικό d 1. Αν d 0 =0 τότε ο περιορισµός σηµαίνει «πιο κοντά από d 1», αν d 1 = τότε ο περιορισµός σηµαίνει «πιο µακριά από d 0» και αν d 1 =d 0 σηµαίνει απόσταση ίση µε d 0. σ D (D d i-dj,d) = (d-d + δ) δ if d δ < d< d i i i 1 if di d dj (dj-d + δ) δ if dj< d< d j + δ 0 αλλιως Εξίσωση 2-6 Ο καθολικός περιορισµός απόστασης είναι U D =[0, ), και εκφράζει το ότι µας είναι αδιάφορη η απόσταση µεταξύ των αντικειµένων. dmax dmin Περιοχή που ορίζεται από τον περιορισµό. Σχήµα 2-13 Περιοχή που ορίζει ο περιορισµός της απόστασης. Οι παραπάνω σχέσεις και µέτρα οµοιότητας δεν εξαντλούν προφανώς κάθε προσέγγιση της τοπογραφικής οµοιότητας, αφού ο τρόπος αντίληψης των χωρικών σχέσεων και δεδοµένων διαφέρει και πολύ από χρήστη σε χρήστη και υπάρχει ακόµα προβληµατισµός για το αν υπάρχουν διαφορές ανάλογα µε την γλώσσα και την κουλτούρα [CF95]. Παρόλα αυτά, αποτελούν µία καλή περιγραφή για να στηριχτούν κοινά τοπογραφικά προβλήµατα και ερωτήσεις. Ακόµα η δυνατότητα προσαρµογής των παραµέτρων ασάφειας των συναρτήσεων οµοιότητας δίνει πρόσθετη ευελιξία στο µοντέλο. 19

20 2.2.4 Ο Ορισµός του προβλήµατος Έχοντας ορίσει τους περιορισµούς µπορούµε να δούµε πως ορίζεται τυπικά ένα πρόβληµα ικανοποίησης περιορισµών. Ένα δυαδικό CSP (και το δικό µας πρόβληµα αποτελείται από πολλά δυαδικά CSP, αφού όλοι οι περιορισµοί είναι δυαδικοί, µπορεί δηλαδή να αναζητούµε διατάξεις µε οσαδήποτε αντικείµενα αλλά οι περιορισµοί είναι πάντα ανά δύο) ορίζεται ως εξής [PMD98] : Μία οµάδα Α από n µεταβλητές x 0, x 1,,x n-1. Για κάθε µεταβλητή x i ένα πεπερασµένο πεδίο ορισµού πιθανών τιµών D i. Για κάθε ζεύγος µεταβλητών x i,x j ένα σύνολο δυαδικών περιορισµών C ij, όπου C ij είναι ένα υποσύνολο του D i D j. Σε πραγµατικές εφαρµογές µπορεί να υπάρχουν επιπρόσθετοι µοναδιαίοι (unary) περιορισµοί, οι οποίοι συνήθως προσδιορίζουν ιδιότητες των αντικειµένων (π.χ. σχολείο) µεγέθη, σχήµατα κ.τ.λ. Χωρίς βλάβη της γενικότητας παραλείπουµε αυτούς τους περιορισµούς και ασχολούµαστε µόνο µε εκείνους που ορίσαµε πρωτύτερα. Μπορούν βέβαια να ληφθούν και αυτοί υπόψη από το προτεινόµενο πλαίσιο ανάκτησης [PMD98]. Σύµφωνα µε το πλαίσιο που περιγράψαµε προηγουµένως σε µία ερώτηση, η οποία περιέχει n µεταβλητές, υπάρχουν 3n(n-1) δυαδικοί περιορισµοί µεταξύ των µεταβλητών της. Όσοι από τους περιορισµούς δεν ορίζονται άµεσα ή έµµεσα από την ερώτηση, κρίνονται ως αδιάφοροι, δηλαδή ικανοποιήσιµοι από οποιαδήποτε ανάθεση και χρησιµοποιούνται οι καθολικοί περιορισµοί που ορίστηκαν πρωτύτερα. Ο έλεγχος για να βρεθούν οι αδιάφοροι περιορισµοί καθώς και οι περιορισµοί που αντιφάσκουν γίνεται σε στάδια προεπεξεργασίας της ερώτησης. Ας δούµε όµως ένα παράδειγµα : «Θέλω ένα σπίτι (x 0 ) νότια ενός πάρκου (x 1 ) σε απόσταση 1 µε 2 Km, θέλω να υπάρχει σχολείο (x 2 ) κοντά στο σπίτι σε απόσταση 1-3Κm, βόρεια η βορειοανατολικά του σπιτιού, καθώς και ένα γυµναστήριο (x 3 ) µέσα στο πάρκο ή δίπλα στο πάρκο.» Σε αυτό το παράδειγµα έχουµε τέσσερις µεταβλητές x 0, x 1, x 2, x 3 οι οποίες συνδέονται ανά δύο µε τριών ειδών σχέσεις τοπολογικές, κατεύθυνσης και απόστασης οι οποίες άλλοτε είναι καθορισµένες για ένα ζευγάρι (σπίτι νότια του πάρκου) και άλλοτε δεν καθορίζονται όπως η σχέση κατεύθυνσης µεταξύ του πάρκου και του σχολείου οπότε και θεωρούµε ότι δεν 20

21 υπάρχει αντίστοιχος περιορισµός για τις µεταβλητές ή ισοδύναµα ότι υπάρχει ο καθολικός περιορισµός, εκτός αν αυτή η σχέση προκύπτει αναγκαστικά από τις υπόλοιπες π.χ. αφού το σπίτι είναι νότια του πάρκου το πάρκο θα είναι βόρεια του σπιτιού. Ας δούµε όµως τα αντίστοιχα διαγράµµατα : Τοπολογικοί Περιορισµοί Περιορισµοί Απόστασης Περιορισµοί Κατεύθυνσης x 0 x 0 x S N x 3 M,C M,I x 1 x x 1 x 3 S,SW N,NE x 1 x 2 x 2 x 2 Σχήµα 2-14 Χωρικοί περιορισµοί µεταξύ τεσσάρων µεταβλητών. Όπου δεν σηµειώνεται περιορισµός υπονοείται ο καθολικός. 2.3 Μέτρο οµοιότητας Μία δυαδική ανάθεση αντικειµένων (o 0 x 0, ο 1 x 1 ) ικανοποιεί τους χωρικούς περιορισµούς που ορίστηκαν προηγουµένως κατά το µέτρο των αντίστοιχων οµοιοτήτων. Με βάση τους βαθµούς ικανοποίησης των ανεξάρτητων (δυαδικών) περιορισµών µπορούµε να ορίσουµε και την οµοιότητα της πλήρους λύσης ως εξής S = ε " ij,0 i, j< n st( CT( xi, xj), T( ok, ol)) + s A( CA( xi, xj), q( ok, ol)) + sd( CD( xi, xj), d( ok, ol)) 3( nn- 1) Εξίσωση 2-7 όπου {x i o k, x j o l } 21

22 Στην βιβλιογραφία [Rut94] συναντάµε δύο διαφορετικές προσεγγίσεις της οµοιότητας : 1. H οµοιότητα S ως ο ελάχιστος βαθµός ικανοποίησης µεµονωµένων περιορισµών, δηλαδή υπολογισµός του µέτρου της βάσει παραγωγικού συνδέσµου (conjunctive combination). 2. Η οµοιότητα S ως το γινόµενο των βαθµών ικανοποίησης των επιµέρους περιορισµών, δηλαδή υπολογισµός του µέτρου της βάσει παραγωγικών συνδυασµών. Η πρώτη µέθοδος έχει το µειονέκτηµα ότι δεν κάνει διάκριση µεταξύ των λύσεων που έχουν µία ή περισσότερες δυαδικές κακές αναθέσεις ενώ η δεύτερη δεν ξεχωρίζει τις λύσεις που παραβιάζουν ένα περιορισµό εντελώς από αυτές που παραβιάζουν πολλούς εντελώς. Ο ορισµός της οµοιότητας που θα ακολουθηθεί εδώ, ο οποίος βασίζεται στο µέσο όρο των συνδυασµών αποφεύγει τα παραπάνω προβλήµατα αλλά είναι υπολογιστικά δαπανηρός (οι αναθέσεις δεν µπορούν να απορριφθούν, τόσο νωρίς όσο στις άλλες περιπτώσεις, στην διαδικασία αναζήτησης). 2.4 Ελαστική ανάκτηση οµοιότητας Όταν αναζητούµε µία διάταξη σε ένα χωρικό χάρτη πολλές φορές είµαστε ικανοποιηµένοι και µε µία διάταξη που είναι «περίπου» ίδια µε την ιδανική. Για να ανακτήσουµε, σε περίπτωση ανυπαρξίας ιδανικών λύσεων, τις λύσεις που είναι πιο κοντά στην ιδεατή χρησιµοποιούµε την ελαστική ανάκτηση. ηλαδή βρίσκουµε τις λύσεις που είναι ικανοποιητικές κατά προσέγγιση, (ορίζουµε το αποδεκτό κάτω όριο οµοιότητας ή απλώς δεχόµαστε την καλύτερη που βρίσκουµε) ακόµα και αν αυτές παραβιάζουν πλήρως κάποιους περιορισµούς. Αυτή η µέθοδος είναι υπολογιστικά πολύ δαπανηρή καθώς για να απορριφθεί µία λύση πρέπει να βρεθεί µία καλύτερη της ή η οµοιότητα της να είναι µικρότερη του κατωφλίου που έχουµε ορίσει, οπότε και δεν µπορούµε να την απορρίψουµε µε το που θα αποτύχει να ικανοποιήσει κάποιον επιµέρους περιορισµό. 22

23 3 Κεφάλαιο εικτοδότηση - To R-tree και το R*-tree Στις πιο πολλές µορφές αναζήτησης, οποιοδήποτε δεδοµένου, η ταξινόµηση των αντικειµένων του χώρου των λύσεων µε τρόπο βολικό για το πρόβληµα µειώνει το χρόνο και τον κόπο για την εύρεση της λύσης. Χρησιµοποιώντας λοιπόν µια κατάλληλη µορφή ταξινόµησης των χωρικών αντικειµένων µπορούµε να πετύχουµε ταχύτερη σύγκλιση του προβλήµατος αναζήτησης όπως τέθηκε προηγουµένως. Μια αποδοτική δοµή δεδοµένων για χωρικά αντικείµενα είναι το R-tree και η παραλλαγή του, το R*-tree που χρησιµοποιήθηκε σε αυτή της εργασία. Τα R-trees έχει αποδειχθεί ότι έχουν την καλύτερη απόδοση σε ερωτήσεις περιοχής. 3.2 Το R-tree Το R-tree είναι ένα µια δυναµική δοµή δεικτοδότησης που προτάθηκε από [Gut84] ως επέκταση του B-tree σε δύο διαστάσεις. Η ταξινόµηση των χωρικών αντικειµένων γίνεται ανάλογα µε την θέση τους στο χώρο. Το R-tree προσφέρεται για την οργάνωση µη σηµειακών χωρικών αντικειµένων, και δίνει την δυνατότητα να γίνονται γρήγορες χωρικές αναζητήσεις. Η δεικτοδότηση είναι απόλυτα δυναµική. Το R-tree είναι ένα ισοσταθµισµένο δέντρο και οι εισαγωγές και διαγραφές αντικειµένων µπορούν να γίνουν οποιαδήποτε στιγµή παρεµβαλλόµενες, χωρίς πρόβληµα, σε ερωτήσεις αναζήτησης. Επιπροσθέτως δεν απαιτείται περιοδική αναδιοργάνωση 1. 1 Αυτό δεν σηµαίνει όπως θα δούµε παρακάτω ότι η περιοδική αναδιοργάνωση δεν βοηθά την απόδοση του. 23

24 Έστω Μ ο µέγιστος αριθµός στοιχείων κάθε κόµβου και έστω m<m/2 ο ελάχιστος αριθµός στοιχείο κάθε κόµβου, τότε κάθε κόµβος περιέχει από m έως Μ στοιχεία εκτός και αν είναι η ρίζα. Η ρίζα µπορεί να έχει από 2 έως Μ στοιχεία εκτός κι αν είναι φύλλο. Σε κάθε κόµβο αντιστοιχεί µία σελίδα του δίσκου, αν το R-tree βρίσκεται σε αυτόν, και ένα δισδιάστατο διάστηµα Ι(ν) που περικλείει όλα τα στοιχεία του υποδέντρου. Αν κόµβος είναι φύλλο τότε το Ι(ν) θα είναι το ελάχιστο ορθογώνιο που περιέχει το χωρικό αντικείµενο. Τα Ι(ν) κόµβων του ίδιου επιπέδου µπορεί να επικαλύπτονται. Στη περίπτωση, µας όπου τα αντικείµενα είναι ορθογώνια το ελάχιστο αυτό ορθογώνιο θα έχει ακριβώς τις ίδιες διαστάσεις µε αυτές του αντικειµένου. Ακόµη στα φύλλα περιέχεται ένας δείκτης στο ίδιο αντικείµενο. Ας δούµε όµως τη µορφή των στοιχείων των ενδιάµεσων κόµβων και των φύλλων : Ένας τερµατικός κόµβος (φύλλο) θα έχει στοιχεία της µορφής : (objectid,r) όπου objectid θα είναι ένα δείκτης στο αντικείµενο, συνήθως το ένα primary key (ταυτότητα) για την ανεύρεση του σε µία βάση δεδοµένων. Το R θα είναι η αναπαράσταση του ελαχίστου περιβάλλοντος ορθογώνιου, (Minimum Bounding Rectangle) του αντικειµένου. Όλα τα φύλλα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο του δέντρου. 24

25 Σχήµα 3-1 οµή R-tree Ένας ενδιάµεσος κόµβος θα έχει στοιχεία της µορφής : (ptr, R) όπου ptr είναι ένας δείκτης (pointer) σε έναν κόµβο κατωτέρου επιπέδου του δέντρου και R είναι η αναπαράσταση του MRB των στοιχείων αυτού του κόµβου. 3.3 Λειτουργίες του R-tree H αναζήτηση στο R-tree είναι παρόµοια µε αυτή στο B-tree, µε εξαίρεση ότι λόγω της επικάλυψης µεταξύ των κόµβων, ίσως χρειαστεί να κατεβούµε περισσότερα από ένα µονοπάτια στο δέντρο. Εάν αναζητούµε ένα αντικείµενο Q ο αλγόριθµος αναζήτησης θα αρχίσει να κατεβαίνει από την ρίζα τους κόµβους που τα ΜΒRs τους επικαλύπτουν ή τέµνουν το MBR του αντικειµένου Q. Στο τελευταίο επίπεδο θα ψάξει όλα τα αντικείµενα που είναι κάτω από τον κόµβο που βρίσκεται για να ελέγξει αν κάποιο από αυτά είναι αυτό που ζητάµε. Παρακάτω φαίνεται η διαδικασία σε µερικά απλά βήµατα : 25

26 Αλγόριθµος Αναζήτησης Βρες όλα τα αντικείµενα των οποίων τα MBR τέµνουν ένα ορθογώνιο ερώτησης Q 1 ΕΑΝ Ν δεν είναι τερµατικός κόµβος ΤΟΤΕ ελέγχουµε κάθε στοιχείο Ε του Ν του οποίου το ορθογώνιο τέµνει το Q 2 ΓΙΑ όλα τα τεµνόµενα Ε ΕΚΤΕΛΕΣΕ 3 Τον Αλγόριθµο Αναζήτησης στο υποδέντρο του οποίου ρίζα δείχνεται από τον E.ptr 4 ΕΑΝ Ν είναι τερµατικός κόµβος ΤΟΤΕ ελέγχουµε κάθε στοιχείο Ε του Ν για να εντοπίσουµε αν το E.R τέµνει το Q 5 ΓΙΑ όλα τα τεµνόµενα Ε ΕΚΤΕΛΕΣΕ πρόσθεσε το E στις απαντήσεις Η εισαγωγή ενός στοιχείου µοιάζει και αυτή µε την εισαγωγή ενός στοιχείου στο Β-tree. Όταν εισάγουµε ένα στοιχείο στο δέντρο πρέπει να εισάγουµε ένα δείκτη στο αντικείµενο και το ΜΒR του αντικειµένου. Το κριτήριο για να εισαχθεί ένα αντικείµενο σε ένα φύλλο είναι η αύξηση του εµβαδού του ΜBR του, που θα προκαλέσει η εισαγωγή του αντικειµένου. Θέλουµε να είναι όσο το δυνατόν µικρότερη. Ας σηµειωθεί ότι όσο πιο µικρή είναι η επικάλυψη (overlap) του ΜBRs των κόµβων του ίδιου επιπέδου, και όσο πιο µικρή είναι η κάλυψη (coverage), δηλαδή το συνολικό εµβαδόν των MBRs, τόσο ταχύτερες γίνονται οι αναζητήσεις στο δέντρο αφού µειώνεται η πιθανότητα να χρειαστεί να κατεβούµε πολλά µονοπάτια για να βρούµε το αντικείµενο που θέλουµε. Έχει αποδειχθεί ότι µόνο όταν έχουµε σηµειακά δεδοµένα, και µάλιστα εκ των προτέρων γνωστά, µπορούµε να πετύχουµε µηδενική επικάλυψη και ελάχιστη κάλυψη. 26

27 Σχήµα 3-2 οµή R+-tree 3.4 Παραλλαγές του R-tree R+ tree Όπως είδαµε η ελάχιστη κάλυψη και επικάλυψη είναι οι παράγοντες που επηρεάζουν την χρονική απόδοση των αναζητήσεων σε ένα R-tree, οπότε και διάφορες παραλλαγές του προτάθηκαν που βελτιστοποιούν αυτούς του δύο παράγοντες. Όπως το R+ tree, που προτάθηκε από τους [SRF87] και θεωρείται επέκταση των KDB δέντρων [Rob81], το οποίο επιτυγχάνει µηδενική επικάλυψη µεταξύ των ενδιάµεσων κόµβων σε κάθε επίπεδο του δέντρου. Αυτό επιτυγχάνεται µε το να σπάει, µερικές φορές, ένα στοιχείο, κατά την εισαγωγή του, σε κοµµάτια τα οποία προστίθενται σε διαφορετικούς κόµβους. Η διάσπαση λόγω εισαγωγής µπορεί να µεταφερθεί εδώ όχι µόνο προς τα επάνω αλλά και προς τους κάτω κόµβους. Τέλος εδώ δεν υπάρχει εγγύηση για ελάχιστο αριθµό στοιχείων σε κάθε κόµβο όπως στα R-trees. 27

28 3.4.2 R* tree Το R*-tree προτάθηκε από τους [BKS90] και είναι παραλλαγή του R-tree η οποία δεν αλλάζει τις ιδιότητες της δοµής, αλλά αλλάζει τα κριτήρια ταξινόµησης των κόµβων και χρησιµοποιώντας έναν πιο πολύπλοκο αλλά και αποδοτικότερο αλγόριθµο πετυχαίνει βελτιωµένη απόδοση. To R-tree, όπως προτάθηκε από τον Guttman, είχε σαν µοναδικό παράγοντα βελτιστοποίησης για την εισαγωγή ενός αντικειµένου ή για την αναδιάρθρωση κάποιων κόµβων µετά από split, την ελαχιστοποίηση του συνολικού εµβαδού των ΜΒRs των νέων κόµβων που προέκυψαν. Ο τρόπος µε Στο R*-tree εισάγονται και νέα κριτήρια : 1. Ο χώρος που καταλαµβάνει ένα ΜΒR, αλλά δεν καλύπτεται από τα ΜBRs που περιέχει, ο νεκρός χώρος δηλαδή (dead space) πρέπει να ελαχιστοποιείται. 2. Η επικάλυψη µεταξύ των ΜΒRs πρέπει να είναι ελάχιστη. 3. Η περίµετρος των ΜΒRs πρέπει να είναι ελάχιστη. 4. Η χρήση της µνήµης πρέπει να είναι βέλτιστη. Έτσι θα κρατηθεί το ύψος του δέντρου σε χαµηλότερα επίπεδα, ιδιότητα που µειώνει το κόστος των queries. Ένα ακόµη σηµαντικό στοιχείο της παραλλαγής R*-tree είναι η εξαναγκασµένη επανεισαγωγή στοιχείων. Τόσο το R-tree όσο και το R*-tree έχουν µη ντετερµινιστική συµπεριφορά στην διάταξη των στοιχείων, δηλαδή αν τα ίδια δεδοµένα εισαχθούν µε διαφορετική σειρά θα δώσουν διαφορετικά δέντρα. Αυτό είναι συνέπεια των αρκετά τοπικών κριτηρίων βελτιστοποίησης που χρησιµοποιούνται. Μια απλή διαγραφή και επανεισαγωγή στοιχείων από το R-tree θα επέφερε σηµαντικές βελτιώσεις στην συµπεριφορά του. Έτσι στο R*-tree την πρώτη φορά που υπερχειλίζει ένα κόµβος διαγράφεται ένα ποσοστό των στοιχείων του και επανεισάγεται. Τυπικές τιµές για το ποσοστό αυτό είναι γύρω στο 30%. Η διαδικασία αυτή µας γλυτώνει συνήθως από την ανάγκη διάσπασης του κόµβου και βελτιστοποιεί τον τέταρτο παράγοντα, από αυτούς που αναφέρθηκαν προηγουµένως, την χρησιµοποίηση της µνήµης που είναι και αυτός που επηρεάζει περισσότερο το κόστος των αναζητήσεων. 28

29 3.5 Η χρήση του R*-tree στο πρόβληµα ικανοποίησης χωρικών περιορισµών Η δοµή του R*-tree µπορεί να µας δώσει πληροφορίες για τη θέση των αντικειµένων στα φύλλα χωρίς να χρειαστεί να κατεβούµε τον κλάδο που οδηγεί σε αυτά, αφού ξέρουµε ότι το MBR κάθε ενδιάµεσου κόµβου καλύπτει πλήρως όλα τα MBRs των κόµβων και των φύλλων που βρίσκονται από κάτω του. ηλαδή µπορούµε να ξέρουµε τα όρια της περιοχής στην οποία θα βρίσκονται όλα τα αντικείµενα ενός υποδέντρου. Με αυτό τον τρόπο, µπορούµε να έχουµε κάποια πληροφορία για το αν ακολουθώντας ένα υποδέντρο µπορούµε να οδηγηθούµε σε αντικείµενα που ενδεχοµένως να ικανοποιούν ένα περιορισµό, δεδοµένου των αντικειµένων που έχουµε ήδη επιλέξει. Για παράδειγµα αν έχουµε ένα αντικείµενο ο 1 και ψάχνουµε ένα άλλο ο 2, που να απέχει 1000 µονάδες από αυτό, είναι αδύνατο να το βρούµε σε ένα κλάδο του δέντρου, που το κοντινότερο σηµείο του MBR του, απέχει 3000 µονάδες. Ακόµα δεδοµένου του ο 1 αν θέλουµε ένα αντικείµενο που να κάνει MEET µε αυτό, τότε αποκλείεται να το βρούµε σε ένα κλάδο που το MBR του είναι DISJOINT µε το ο 1 ή αν θέλουµε ένα αντικείµενο που να είναι βόρεια του ο 1 δεν έχει νόηµα να ψάχνουµε σε ένα κλάδο, που το ΜΒR του είναι εξ ολοκλήρου νότια από αυτό. Είναι εµφανές,λοιπόν, ότι και για τα τρία είδη χωρικών περιορισµών που έχουµε, µπορούµε να προβλέψουµε αν τα αντικείµενα που βρίσκονται σε ένα κλάδο, είναι δυνατόν να τους ικανοποιούν. Όπως φάνηκε από τα παραπάνω παραδείγµατα οι περιορισµοί µεταξύ των αντικειµένων αντιστοιχούν σε περιορισµούς µεταξύ των MBRs των κλάδων που τα περιέχουν. Παρακάτω µπορούµε να δούµε πως αντιστοιχούνται οι τοπολογικοί περιορισµοί, καθώς και αυτοί της κατεύθυνσης και της απόστασης. Η αντιστοίχηση των τοπολογικών περιορισµών εξετάστηκε από τους [PKM99] και της απόστασης βασίστηκε στην προτεινόµενη χρήση της δοµής δεικτοδότησης από τους [RSV95] για Nearest Neighbor Queries. 3.6 Τοπολογικοί περιορισµοί Ο παρακάτω πίνακας εκφράζει σχέσεις συνεπαγωγής. Αν δύο αντικείµενα ο 1 και ο 2 συνδέονται µε κάποια τοπολογική σχέση, π.χ. equal, τότε συνεπάγεται ότι το ΜΒR θα συνδέεται µε το πρώτο µε κάποια από τις σχέσεις της δεύτερης στήλης του πίνακα 1, δηλαδή 29

30 µε equals ή covers ή contains. Από αυτή την συνεπαγωγή, παίρνοντας τη άρνηση της, µπορούµε να βγάλουµε το εξής συµπέρασµα : Ότι δεν είναι δυνατόν να µην έχει ένα αντικείµενο και ένας ενδιάµεσος κόµβος κάποια από τις σχέσεις της δεύτερης στήλης (equals, contains, covers) και στη περιοχή που ορίζει το ΜΒR του ενδιάµεσου κόµβου να υπάρχουν αντικείµενα που να έχουν την αντίστοιχη σχέση της πρώτης στήλης (equals) µε το αρχικό αντικείµενο. Με αυτό τον τρόπο µπορούµε να αποφύγουµε να εξετάσουµε τους κλάδους που δεν θα µας οδηγήσουν σε καλύτερες αναθέσεις αντικειµένων µε βάση τους τοπολογικούς περιορισµούς. Περιορισµοί µεταξύ αντικείµενων Αντίστοιχοι Περιορισµοί µεταξύ των ΜΒRs των κόµβων σε υψηλότερα επίπεδα. Equal contain equal covers contain Contain overlap covered_by inside equal Inside Covers covered_by disjoint covers contain covers contain overlap covered_by equal covers contain disjoint meet overlap covers contain Meet meet overlap covers contain overlap overlap covers contain Πίνακας 1 Αντιστοίχιση τοπολογικών σχέσεων µεταξύ αντικειµένων σε τοπολογικές σχέσεις µεταξύ MBRs κόµβων. Όµως όπως είδαµε στην παράγραφο 2.1, για κάθε τοπολογική σχέση υπάρχουν και οι «γειτονικές» της σχέσεις, οι οποίες συνεισφέρουν κατά τ στο βαθµό οµοιότητας, γεγονός που πρέπει να το λάβουµε υπόψη µας όταν ελέγχουµε ένα κλάδο για την δυνατότητα του να µας οδηγήσει σε καλύτερες λύσεις. Προφανώς µόνο όταν δεν ικανοποιεί καµία από τις σχέσεις της δεύτερης στήλης χρειάζεται να γίνει αυτό. Αν η επιθυµητή σχέση µεταξύ ο 1 και ο 2 είναι equal οι σχέσεις συγγένειας, όπως φαίνονται από το σχήµα 2-9 θα είναι covers, contains, covered_by, inside. Οι covers, contains έχουν ελεγχθεί ήδη άρα µένει να ελεγχθούν οι 30

31 covered_by, inside. Αν το MBR, του προς εξέταση κλάδου, και το αρχικό αντικείµενο ικανοποιούν κάποιες από τις δύο σχέσεις τότε ξέρουµε ότι ο κλάδος αυτός µπορεί να οδηγήσει σε αντικείµενα µε τ τοπολογική οµοιότητα µε το αρχικό οπότε ανάλογα µε τις προσδοκίες που έχουµε από τους άλλους κλάδους του επιπέδου το εξετάζουµε ή όχι. 3.7 Περιορισµοί Απόστασης Όπως φάνηκε από των ορισµό της οµοιότητας της απόστασης ένα αντικείµενο ικανοποιεί τον αντίστοιχο περιορισµό, αν το κέντρο βρίσκεται του ανάµεσα στον κύκλο της ελάχιστης και τον κύκλο της µέγιστης απόστασης. εν συµβαίνει όµως ακριβώς το ίδιο µε τα MBRs των ενδιάµεσων κόµβων. Επειδή στην περιοχή που ορίζει το κάθε MBR ενός τέτοιου κόµβου µπορεί να υπάρχουν διάσπαρτα αντικείµενα σε οποιοδήποτε σηµείο της, τα ΜΒRs που µας ενδιαφέρουν δεν είναι αυτά που έχουν τα κέντρα τους ανάµεσα στους κύκλους της ελάχιστης και της µέγιστης απόστασης αλλά αυτά που έχουν οποιοδήποτε σηµείο τους σε αυτή την περιοχή. Εξαιτίας του µεγάλου υπολογιστικού κόστους προσδιορισµού αυτών των ΜΒRs χρησιµοποιήσαµε την ακόλουθη προσέγγιση. εχτήκαµε ως κόµβους που µπορεί να οδηγήσουν σε αντικείµενα που ικανοποιούν τον περιορισµό της απόστασης, όλους αυτούς, των οποίων τα ΜΒRs είχαν κάποιο σηµείο τους στην περιοχή ανάµεσα στο εγγεγραµµένο τετράγωνο στον κύκλο της ελάχιστης απόστασης και στο περιγεγραµµένο τετράγωνο του κύκλου της µέγιστης απόστασης. Προφανώς ο υπολογισµός αυτός κοστίζει πολύ λιγότερο αν θεωρήσουµε τις πλευρές των τετραγώνων παράλληλες µε τους άξονες. Το σύνολο αυτών των ΜBRs είναι υπερσύνολο των ΜΒRs τα οποία θα είχαµε σύµφωνα µε τον µη προσεγγιστικό προσδιορισµό τους. Την προσέγγιση αυτή την δεχτήκαµε εξαιτίας του µειωµένου υπολογιστικού της κόστους και της απλούστερης, από προγραµµατιστική άποψη, υλοποίησης της. Το εµβαδόν της περιοχής που εξετάζουµε, χωρίς τα ΜΒRs που θα βρεθούν σε αυτή να µπορούν να οδηγήσουν σε αντικείµενα που να ικανοποιούν τον περιορισµό της απόστασης, εξαρτάται από τις ακτίνες των κύκλων της µέγιστης και της ελάχιστης απόστασης. Αν υποθέσουµε ότι από την θεµιτή απόσταση R αποδεχόµαστε απόκλιση α, τότε η ακτίνα του εσωτερικού κύκλου θα είναι R-α και του εξωτερικού R+α. Τα ΜMin και MMax θα δίνονται από του τύπους : Mmax = max( minx, cx d 1 - a ), max( miny, cy d 1 - a ) ) 31

32 ( min( maxx, cx + d 1 +a ), min( maxy, cy + d 1 +a) ) MMax Ακριβής Περιοχή του Περιορισµού MMin (cx,cy). text text Σχήµα 3-3 Οι περιοχές ενδιαφέροντος που εξετάζουν οι δύο τρόποι υπολογισµού του περιορισµού της απόστασης. και MMin = ( max( minx, cx - β ), max( miny, cy - β ) ) ( min( maxx, cx + β ), min( maxy, cy - β ) ) όπου β η µισή πλευρά του ΜMin : β = d 0 δ 2 Εξίσωση

33 Προκύπτει λοιπόν ότι ο λόγος του εµβαδού της περιοχής, την οποία εξετάζουµε, όπου όµως δεν µπορεί να υπάρχουν αντικείµενα που να ικανοποιούν το περιορισµό που έχουµε, προς το εµβαδόν της συνολική περιοχής που εξετάζουµε (Εξετάζουµε δηλαδή τους κλάδους των οποίων τα ΜBR έχουν κάποιο κοινό σηµείο µε αυτή την περιοχή) δίνεται από τον τύπο : L = E διαφ. Τ ετραγωνων Ε δακτυλιου Ε διαφ. τετραγωνων Εξίσωση α + 2(3 π) α + 1 L = 2 α + 12α + 1 Εξίσωση 3-3 Λόγος άχρηστου προς συνολικά εξεταζόµενου εµβαδού σε συνάρτηση µε την ανοχή του περιρισµού κατυέυθυνσης α Τιµές του λόγου L 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, ,2 0,4 0,6 0,8 1 Τιµές του α Σχήµα 3-4 Γραφική Παράσταση του L. 33

34 Για µα τυπική ανοχή στο περιορισµό απόστασης α=10% το L γίνεται L 0.44 δηλαδή οι κλάδοι τους των οποίων τα MBRs έχουν κοινά σηµεία µόνο µε αυτό το 44% της ολικής περιοχής που εξετάζουµε, δεν θα έπρεπε να διερευνηθούν καθόλου. Αν θέλουµε να αποφύγουµε να εξετάζουµε κλάδους που σίγουρα δεν οδηγούν σε καλύτερες αναθέσεις αντικειµένων, τότε θα πρέπει να ελέγχουµε αν τα ΜΒRs τους έχουν κοινά σηµεία µε τον δακτύλιο που ορίζεται από τους κύκλους της απόστασης. Ενώ το να διαπιστώσουµε, αν κάποιο MBR ήταν DISJOINT,MEET ή είχε κάποιο κοινό σηµείο µε την περιοχή που όριζαν τα δύο τετράγωνα, ήταν σχετικά απλό και λυνόταν µε µερικές γραµµικές ανισώσεις κάτι τέτοιο είναι πιο σύνθετο στην περίπτωση του δακτυλίου. Αν ζητάµε ένα MBR να έχει κοινό σηµείο µε το δακτύλιο, είναι το ίδιο µε το να ζητάµε να µην ισχύει ότι δεν έχει κανένα κοινό σηµείο µε αυτόν. Ως συνθήκη είναι ευκολότερο να χρησιµοποιήσουµε την άρνηση της άρνησης του γιατί τότε πρέπει µόνο να εξετάσουµε αν το σηµείο του MBR βρίσκεται µακρύτερα από το κέντρο του αρχικού αντικειµένου είναι µέσα στο κύκλο της ελάχιστης απόστασης και αν το σηµείο του MBR που βρίσκεται κοντύτερα στο κέντρο του αρχικού µας σηµείου βρίσκεται εκτός του κύκλου της µέγιστης απόστασης. Εάν τίποτε από αυτά τα δύο δεν αληθεύει τότε ο δακτύλιο και το ΜΒR έχουν κοινά σηµεία. (ο δακτύλιος έχει κοινό σηµείο µε το MBR) ((ο δακτύλιος ΜΕΕΤs το ΜΒR) (ο δακτύλιος είναι DISJOINT µε το MBR)) ((το κοντινότερο σηµείο του ΜΒR είναι πιο µακριά από dmax) (πιο αποµακρυσµένο σηµείο του ΜΒR βρίσκεται κοντύτερα από dmin)) Σύµφωνα µε τα παραπάνω αρκεί να βρούµε τα κοντινότερα καθώς και τα µακρινότερα σηµεία του MBR στο αρχικό µας αντικείµενο. Αυτό όµως δεν είναι απλό, καθώς υπάρχουν πολλές περιπτώσεις. Αν το ΜΒR βρίσκεται «µακριά» από το αντικείµενο µας, όπου «µακριά» σηµαίνει ότι οι συντεταγµένες x,y του κέντρου του αντικειµένου δεν βρίσκονται εντός των διαστηµάτων στο άξονα του x και του y που καταλαµβάνει το MBR, τότε ανάλογα µε την θέση (διεύθυνση) του κέντρου του ΜBR έχουµε τέσσερεις περιπτώσεις. Θεωρούµε ότι η εικόνα χωρίζεται πλήρως σε τέσσερεις κατευθύνσεις (σχήµα 3-5) ΝΕ, NW, SW, SE και ανάλογα µε το που βρίσκεται το κέντρο του ΜΒR το κοντινότερο σηµείου στο αντικείµενο θα είναι η γωνία του 34

35 που βρίσκεται SW, SE, NE, NW αντίστοιχα και η µακρινότερη αυτή που βρίσκεται ΝΕ, NW, SW, SE αντίστοιχα. Ας σηµειωθεί ότι το µακρινότερο σηµείο του ΜΒR από το αντικείµενο µας είναι πάντα µία από τις τέσσερεις γωνίες του, η οποία προσδιορίζεται όπως σύµφωνα µε τα προηγούµενα. NW NE A MBR A' MBR O 1 dmin dmax SW SE Σχήµα 3-5 MBRs και περιορισµός της απόστασης περίπτωση 1 η. Αν τώρα οι κάποια από τις συντεταγµένες του αρχικού αντικειµένου x, y βρίσκεται µέσα στα διαστήµατα που ορίζουν οι γωνίες του ΜΒR τότε θεωρούµε ότι η εικόνα χωρίζεται πλήρως σε τέσσερεις κατευθύνσεις E, N, W, S (σχήµα 3-6) και το κοντινότερο σηµείο του ΜΒR στο αντικείµενο βρίσκεται πάνω στην W, S, E, N πλευρά του µε συντεταγµένες την x ή y του 35

36 dmax αρχικού αντικείµενου ανάλογα µε το αν το ΜΒR βρίσκεται Ν,S ή E,W αντίστοιχα, και το y ή το x της κοντινότερης πλευράς. X 1 N E W dmin A (x 1,y 0 ) (x 0,y 0 ) S Σχήµα MBRs και περιορισµός της απόστασης περίπτωση 2 η. Στο κεφάλαιο 5 θα χρησιµοποιήσουµε πειράµατα εκτελέσεως κάποιων ερωτήσεων για να δούµε ποια από τις δύο µεθόδους είναι η πιο αποτελεσµατική. 3.8 Περιορισµοί Κατεύθυνσης Είναι γενικά φτηνό υπολογιστικά να βρούµε αν δύο αντικείµενα έχουν κοινά σηµεία αν και τα δύο είναι ορθογώνια. Έτσι για να βρούµε τους κλάδους, που ενδεχοµένως έχουν αντικείµενα που ικανοποιούν τους περιορισµούς κατεύθυνσης που έχουµε, κάναµε την εξής 36

37 προσέγγιση. Αν ο περιορισµός αναφέρεται στις κατευθύνσεις { ΝΕ, NW, SW, SE } (σχήµα 3-7) εξετάζουµε όλους του κλάδους των οποίων τα ΜΒRs έχουν κάποιο κοινό σηµείο µε το ορθογώνιο που ορίζει το αντικείµενο που έχουµε και τα όρια της εικόνας, προς την κατεύθυνση που υποδεικνύει ο περιορισµός. Π.χ δεδοµένου ενός σηµείου ο 1 και του περιορισµού ΝΕ, η περιοχή της εικόνας η οποία θα µας ενδιαφέρει φαίνεται στο παρακάτω σχήµα, και οι κλάδοι οι οποίοι θα εξετάσουµε είναι αυτοί των οποίων τα ΜΒRs έχουν κάποιο κοινό σηµείο µε αυτή την περιοχή. NW NE MBR o 1 SW SE Σχήµα 3-7- MBRs και περιορισµός κατεύθυνσης περίπτωση NE,NW,SW,SE. Βλέπουµε πως δεν εξετάζουµε καθόλου κλάδους που δεν µας χρειάζονται, καθώς µε τον ορισµό που δώσαµε στο βαθµό οµοιότητας των σχέσεων κατεύθυνσης, όλα τα αντικείµενα σε αυτή την περιοχή έχουν βαθµό οµοιότητας µε την εκάστοτε σχέση (ΝΕ) µεγαλύτερο του 0. Βέβαια δεν προβλέπουµε µε ακρίβεια τη µέγιστη οµοιότητα που µπορεί να έχουν τα αντικείµενα που θα βρούµε µέσα στο κάθε ΜΒR, η οποία µπορεί να πάρει και τιµές πολύ κοντά στο 0. 37

38 Στην περίπτωση όµως των κατευθύνσεων E,N,W,S η προσέγγιση αυτή δεν οδηγεί σε τόσο καλά αποτελέσµατα. Η περιοχή της οποία εξετάζουµε τώρα φαίνεται στο σχήµα 3-8 για περιορισµό Ν. Είναι ένα ορθογώνιο που ορίζεται από µία παράλληλη ευθεία στον κατακόρυφο άξονα (Ε,W) ή στο οριζόντιο (Ν,S), τα όρια της εικόνας. Το ορθογώνιο αυτό µπορούµε να το περιορίσουµε υπολογίζοντας το σηµείο που τα όρια της θεωρητικά προβλεπόµενης περιοχή ενδιαφέροντος προσπίπτουν στα όρια της εικόνας, όπως γίνεται και στο παρακάτω σχήµα. NW Ακριβής Περιοχη Περιορισµού A NE NE MBR o 1 Επιλεον Περιοχή που εξετάζουµε SW SE Σχήµα 3-8 MBRs και περιορισµός κατεύθυνσης περίπτωση E,N,W,S. Τα ορθογώνια παράθυρα αυτά, για κάθε κατεύθυνση δίνονται από τον παρακάτω πίνακα: Κατεύθυνση Κατευθυντήριο παράθυρο τιµών για ελαστική αναζήτηση N ( max( minx, cx - ( maxy cy ) ), cy ) - ( min( maxx, cx + ( maxy cy ) ), maxy cy ) NW ( minx, cy ) - ( cx, maxy ) W ( minx, max( miny, cy - ( cx - minx ) ) ) - ( cx, min( maxy, cy +( cx minx ) ) ) 38

39 SW ( minx, miny ) - ( cx, cy ) S ( max( minx, cx - ( cy - miny ) ), miny ) - ( min( maxx, cx + ( cy miny ) ), cy ) SE ( cx, miny ) - ( maxx, cy) E ( cx, max( miny, cy - ( maxx cx ) ) ) - ( maxx, min( maxy, cy + ( maxx cx ) ) ) NE ( cx, cy ) - ( maxx, maxy ) Πίνακας 2- Κατευθυντήρια Παράθυρα για κάθε κατεύθυνση. Όπου cx,cy η συντεταγµένες του κέντρου του ο 1, minx,maxx και miny,maxy οι ελάχιστες και οι µέγιστες τιµές στον άξονα των Χ και των Υ αντίστοιχα. Επειδή µε αυτό τον τρόπο εξετάζουµε πολλούς κλάδους που δεν συνεισφέρουν στον να βρεθούν καλύτερες αναθέσεις αντικειµένων για τις µεταβλητές, δοκιµάσαµε να κάνουµε πιο ακριβή αξιολόγηση των κόµβων, κυρίως για τις κατευθύνσεις E, N, W, S. Στον παρακάτω τρόπο αξιολόγησης των κόµβων υπολογίζουµε το µέγιστο βαθµό οµοιότητας που µπορεί να έχει ένα αντικείµενο του κλάδου προς εξέταση. Πάλι πρέπει να βρούµε αν κάποιο ΜΒR έχει κοινά σηµεία µε τις τριγωνικές περιοχές που ορίζονται από τις κατευθύνσεις. Ακολουθείται και εδώ η ίδια λογική µε προηγουµένως, δηλαδή θεωρούµε την άρνηση της άρνησης της ως συνθήκη ελέγχου. Εξετάζουµε δηλαδή αν το κοντινότερο σηµείο του ΜΒR στην περιοχή του ορίζει ο περιορισµός της κατεύθυνσης βρίσκεται εκτός της περιοχής αυτής. Σε αντίθετη περίπτωση τον MBR ικανοποιεί τον περιορισµό. Ας σηµειωθεί ότι ο περιορισµός της κατεύθυνσης ορίζει στη ουσία δύο περιοχές : Μια περιοχή πλήρους ικανοποίησης του περιορισµού και µία ευρύτερη περιοχή µερικής ικανοποίησης του. Εµάς µας ενδιαφέρει η καλύτερη περίπτωση αντικειµένου στο κλάδο υπό διερεύνηση, ώστε να µπορούµε να αποφανθούµε για το µέγιστο βαθµό ικανοποίησης του περιορισµού που µπορούµε να πετύχουµε δοκιµάζοντας τα αντικείµενα κάτω από αυτόν. Έτσι µας ενδιαφέρει και η ελάχιστη απόσταση από την πρώτη περιοχή. Για να υπολογίσουµε το σηµείο που έχει την µικρότερη απόσταση από την περιοχή πλήρους ικανοποίησης ( το οποίο θα είναι και αυτό που απέχει λιγότερο από την περιοχή µερικής ικανοποίησης του περιορισµού αν βρίσκεται έξω από αυτήν) θα εργαστούµε πάλι όµως πριν. ηλαδή θα διαχωρίσουµε τις περιπτώσεις που κάποια από τις συντεταγµένες x,y του αρχικού αντικειµένου βρίσκεται µέσα στα διαστήµατα που δηµιουργούν οι προβολές του ΜΒR στους αντίστοιχους άξονες, και στις υπόλοιπες περιπτώσεις. Αν µία περίπτωση ανήκει στην δεύτερη κατηγορία τότε πρέπει να βρούµε την σχετική κατεύθυνση του ΜΒR σε σχέση µε το αντικείµενο. Θεωρούµε δύο κατευθύνσεις που καλύπτουν πλήρως το επίπεδο : τις Ν,S αν η 39

40 κατεύθυνση που διερευνούµε είναι Ε ή W, και τις Ε,W αν η κατεύθυνση που εξετάζουµε είναι εκ των Ν,S. Το κοντινότερο σηµείο σε όλες αυτές τις περιπτώσεις θα είναι µία από τις γωνίες του ΜΒR. O παρακάτω πίνακας δείχνει την κάθε περίπτωση. Περιορισµός Κατεύθυνσης Κατεύθυνση του ΜΒR σε Σχέση µε το αντικείµενο Κοντινότερη γωνία του ΜΒR Ε N SE E S NE N E NW N W NE W N SW W S SE S E SW S W SE Πίνακας 3 Κοντινότερη γωνία του MBR ανάλογα µε τον περιορισµό και την πραγµατική κατεύθυνση σε σχέση µε το αντικείµενο. Σε αντίθεση µε ότι κάναµε όταν µελετούσαµε τον περιορισµό της απόστασης εδώ δεν έχει σηµασία αν οποιαδήποτε από τις x,y του αντικειµένου βρίσκεται στα διαστήµατα που ορίζουν οι προβολές του MBR στους άξονες αλλά η x για τους περιορισµούς Ν,S και η y για τους Ε,W. Το σηµείο που επιλέγουµε να ελέγξουµε σε µια τέτοια περίπτωση, µε περιορισµό π.χ. Ν, είναι το σηµείο µε x ίσο µε το x του αντικειµένου και y ίσο µε το y της Ν πλευράς του MBR. Αντίστοιχα δουλεύουµε και για τις υπόλοιπες κατευθύνσεις. Στην περίπτωση που ο περιορισµός είναι ΝΕ,NW,SW,SE πάλι έχουµε την περίπου την ίδια διαδικασία µε πριν. Όµως εδώ τα πράγµατα είναι πιο σύνθετα καθώς οι δύο περιπτώσεις δεν ορίζονται ανάλογα το αν το ΜBR έχει κοινά σηµεία µε τις κάθετες από τους άξονες στο αντικείµενο αλλά ανάλογα µε το αν έχει σηµεία σε µια ευθεία 45 ο που περνάει από αυτό. ηλαδή πάνω στις ιδεατές κατευθύνσεις για ΝΕ,SW ή NW,SE. Το να υπολογίζεται κάθε φορά κάτι τέτοιο είναι υπολογιστικά πολύ δαπανηρό, ενώ το κέρδος είναι µικρότερο από τις 40

41 προηγούµενες περιπτώσεις καθώς, ακόµα και µε τον αρχικό τρόπο αξιολόγησης του κλάδου, ποτέ δεν επιλέγονταν κλάδοι µε µηδενικό βαθµό οµοιότητας µε τις σχέσεις του περιορισµού. Απλώς δεν γινόταν διάκριση µεταξύ µερικής οµοιότητας και ολικής, καθώς όλοι οι κόµβοι που δεν είχαν 0 βαθµό οµοιότητας υπολογίζονταν σαν να είχαν 100% οµοιότητα. Έτσι δεν προχωρήσαµε στην υλοποίηση αυτού του τρόπου χρήσης του R*-tree, για αυτή την οµάδα κατευθύνσεων. NW A +α ο -α ο NE NE MBR Περιοχη Ολικής ικανοποίησης του Περιορισµού Ν o 1 SW SE Σχήµα 3-9 Περιοχή πλήρους και µερικής ικανοποίησης του περιορισµού της κατεύθυνσης. Ο περιορισµός της κατεύθυνσης µπορεί να περιορίζει τις µεταβλητές σε περισσότερες από µία κατευθύνσεις, οπότε και πρέπει να βρεθεί ο βαθµός οµοιότητας µε όλες αυτές µέχρι το άθροισµα των επιµέρους βαθµών οµοιότητας να φτάσει την µονάδα ή να εξαντληθούν. Προφανώς αν το σηµείο που ελέγχουµε βρίσκεται µέσα στην περιοχή πλήρους οµοιότητας τότε ο έλεγχος έχει τελειώσει και ξέρουµε ότι ο κλάδος αυτός µπορεί να έχει αντικείµενα που πληρούν ολικά τον περιορισµό και δεν χρειάζεται να διερευνήσουµε τις εναλλακτικές κατευθύνσεις του περιορισµού. υστυχώς όµως αν ο βαθµός οµοιότητας δεν φτάσει την µονάδα θα πρέπει να ελεγχθούν όλες οι κατευθύνσεις που επιτρέπονται από τον περιορισµό. Κάτι τέτοιο είναι όπως είδαµε αρκετά πιο δαπανηρό από την περίπτωση που έχουµε δύο 41

42 απλά αντικείµενα όπου διερευνούµε πάντα την σχέση των κέντρων τους, διότι εδώ σε κάθε διαφορετική κατεύθυνση πρέπει να υπολογιστεί το σηµείο του ΜΒR που θα δώσει τον µέγιστο βαθµό οµοιότητας. Την µεγαλύτερη δηλαδή προσδοκία µας από τα αντικείµενα που θα βρίσκονται στα φύλλα αυτού του υποδέντρου. 3.9 Οµοιότητα κόµβου - αντικειµένου Αν θέλουµε να κάνουµε µια συστηµατική αναζήτηση των αντικειµένων, δεν θέλουµε να αγνοήσουµε κανένα από αυτά όταν ψάχνουµε «καλές» αναθέσεις για τις µεταβλητές µας. Έτσι ένας ορισµός οµοιότητας σχέσεων κόµβου - αντικειµένου δεν θα έπρεπε να µας δείχνει κάποια µέση, η ελάχιστη οµοιότητα των απογόνων του αλλά την µέγιστη που µπορεί να έχουν. Ορίζουµε λοιπόν σαν βαθµό ικανοποίησης της ανάθεσης ενός κόµβου κ στην µεταβλητή x j µε x i ο 1 τον µέγιστο βαθµό ικανοποίησης του περιορισµού C(x i, x j ) που θα έχει κάποιο από τα αντικείµενα-διαδόχους του κ, αν ανατεθεί στην x j. Μένει λοιπόν να ορίσουµε µια συνάρτηση οµοιότητας h που να δίνει το βαθµό ικανοποίησης. Αυτό θα το κάνουµε ορίζοντας πρώτα τις επιµέρους συναρτήσεις h D, h A, h T που δίνουν τα µέτρα της οµοιότητας απόστασης, κατεύθυνσης και της τοπολογικής οµοιότητας αντίστοιχα. Για τις h A και h T θα δώσουµε δύο ορισµούς καθώς χρησιµοποιήσαµε και δύο διαφορετικούς τρόπους υπολογισµού τους. Σύµφωνα µε τον προσεγγιστικό υπολογισµό του, ο περιορισµός της απόστασης δεν ικανοποιείται αν ο κόµβος κ είναι ξένος (DISJOINT) ή συναντά (ΜΕΕΤ) το περιγραµµένο τετράγωνο του κύκλου της µέγιστης απόστασης ΜMax είτε καλύπτεται (COVERED_BY) ή είναι µέσα στο εγγεγραµµένο τετράγωνο στο κύκλο της ελάχιστης απόστασης MMmin. Οπότε και το µέτρο h D θα δίνεται από τον τύπο : h D (C D (x j, x i ), κ, o l ) = σ T (O V I B C E, T(κ,MMax j )) * σ T (O V D M C, T(κ,MMin j )) Αν χρησιµοποιήσουµε τους κύκλους της ελάχιστης CDmin j και της µέγιστης CDmax i απόστασης οι συνθήκες είναι πάλι ίδιες. εν πρέπει ο κ να συναντά τον κύκλο της µέγιστης απόσταση ή να είναι µέσα ή να καλύπτεται από τον κύκλο της ελάχιστης απόστασης. Τώρα όµως η συνάρτηση Τ που υπολογίζει τις τοπολογικές σχέσεις µεταξύ κ, και CDmin j ή CDmax i είναι διαφορετική από την Τ. 42

43 h D (C D (x j, x i ), κ, o l ) = σ T (O V I B C E, T (κ, CDmax i )) * σ T (O V D M C, T (κ, CDmin j )) Και στις δύο περιπτώσεις το τ, της σ Τ, που δείχνει το βαθµό οµοιότητας µε «γειτονικές» σχέσεις θα είναι 0. ηλαδή ο περιορισµός κατεύθυνσης δεν θα ικανοποιείται καθόλου (οµοιότητα 0) αν ο κ δεν βρίσκεται µέσα στην περιοχή που ορίζουν τα δύο τετράγωνα ή στο δακτύλιο που ορίζουν οι δύο κύκλοι. Κατά τον ίδιο τρόπο ορίζεται και η σ Τ που χρησιµοποιείται στον ορισµό του µέτρου της οµοιότητας κατεύθυνσης h A : h A (C A (x j, x i ), κ, o l ) =σ T (O V I B C E, T(κ,D)) όπου D είναι η περιοχή που ορίζουν οι περιορισµοί της απόστασης. Το πώς υπολογίζεται το D το είδαµε προηγουµένως. Με τον δεύτερο τρόπο ορισµού της συνάρτησης οµοιότητας του περιορισµού κατεύθυνσης, η h A γίνεται το άθροισµα των βαθµών οµοιότητας κατεύθυνσης του κ µε την ακριβή περιοχή που ορίζει κάθε περιορισµός κατεύθυνσης. Πάλι θέλουµε να µην είναι ο κόµβος ξένος ή να µην συναντά την περιοχή του κάθε περιορισµού. Η σ T ορίζεται και πάλι όπως πριν αλλά η Τ είναι διαφορετική από τις Τ, Τ καθώς εδώ η περιοχή είναι τριγωνική, και µάλιστα είναι δύο τριγωνικές περιοχές η µία µέσα στην άλλη όπου ο βαθµός οµοιότητας δεν είναι σταθερός. h A (C A (x j, x i ), κ, o l ) = σ T (O V I B C E, T(κ, Ε )) + σ T (O V I B C E, T(κ, ΕΝ)) + σ T (O V I B C E, T(κ, Ν )) + σ T (O V I B C E, T(κ, ΝW )) + σ T (O V I B C E, T(κ, W )) + σ T (O V I B C E, T(κ, SW )) + σ T (O V I B C E, T(κ, S )) +σ T (O V I B C E, T(κ, SE )) Η τοπολογική οµοιότητα υπολογίζεται παρόµοια µε την τοπολογική οµοιότητα µεταξύ αντικειµένου µε αντικείµενο, µόνο που τώρα η επιθυµητή σχέση µεταξύ των αντικειµένων που θέλουµε να έχουµε, πρέπει να «µεταφραστεί» στο σύνολο των σχέσεων σύµφωνα µε τον πίνακα 1. Αυτό το κάνει η συνάρτηση tlut που έχουµε στον παρακάτω τύπο. h Τ (C Τ (x j, x i ), κ, o l ) = σ T (tlut(c Τ (x j, x i )), T(κ, o l )) 43

44 Η συνάρτηση υπολογισµού του συνολικού βαθµού οµοιότητας θα δίνεται από το άθροισµα των παραπάνω µερικών συναρτήσεων. h(c Τ (x j, x i ), κ, o l )= h D (C Τ (x j, x i ), κ, o l )+ h A (C Τ (x j, x i ), κ, o l )+ h Τ (C Τ (x j, x i ), κ, o l ) 3.10 ιαδικασία αναζήτησης όµοιων κόµβων µε την βοήθεια της δοµής δεικτοδότησης Σύµφωνα λοιπόν µε τα παραπάνω µπορούµε να σχεδιάσουµε µια αποδοτική διαδικασία έρευνας για όµοια αντικείµενα που βρίσκονται ταξινοµηµένα σε ένα R-tree ( R*-tree στην περίπτωση µας). Χρησιµοποιώντας την οµοιότητα κόµβου-αντικειµένου µπορούµε να περιορίσουµε τις περιοχές που πρέπει να αναζητηθούν τα αντικείµενα που θα µας οδηγήσουν σε καλύτερες λύσεις, µε βάση τις υπάρχουσες αναθέσεις στις µεταβλητές. Μπορούµε είτε να υπολογίσουµε κατευθείαν κάποιες ορθογώνιες περιοχές, χωρίς όµως µεγάλη ακρίβεια, στις οποίες θα βρίσκονται µέσα τα αντικείµενα που ικανοποιούν τους περιορισµούς µε τις υπάρχουσες αναθέσεις, είτε για κάθε περιοχή που ορίζεται από ένα κλάδο να ελέγχουµε µε ακρίβεια αν µπορεί να περιέχει αντικείµενα που ικανοποιούν τους παραπάνω περιορισµούς. Αν ακολουθήσουµε την πρώτη προσέγγιση πρέπει στην εκκίνηση της διαδικασίας να υπολογίζουµε τα «παράθυρα» (περιοχές) τιµών για τις µεταβλητές που µας ενδιαφέρουν. Η διαδικασία ξεκινά µε όρισµα τη ρίζα του δέντρου και ελέγχει κάθε παιδί της. Αν τα παιδιά είναι ενδιάµεσοι κόµβοι, τότε υπολογίζουµε την οµοιότητα τους (τοπολογική, κατεύθυνσης και απόστασης) µε τις υπάρχουσες αναθέσεις µε κάποιους από τους τρόπους που περιγράψαµε στην προηγούµενη παράγραφο. Το αποτέλεσµα κάθε κόµβου αξιολογείται και αν είναι θετικό η διαδικασία καλεί τον εαυτό της µε όρισµα, τώρα, αυτόν τον κόµβο. Αν όχι, ο έλεγχος συνεχίζεται µε τον επόµενο κόµβο. Αν το παιδί είναι φύλλο, υπολογίζεται,σύµφωνα µε τον ορισµό της οµοιότητας που δώσαµε στο κεφάλαιο 2, η µερική οµοιότητα που προκύπτει αν ανατεθεί στην ερευνούµενη µεταβλητή. Αν η µερική αυτή οµοιότητα µπορεί να υπερβεί κάποιο target, τότε θεωρείται πετυχηµένη ανάθεση και ο κάθε αλγόριθµος προβαίνει στις κατάλληλες ενέργειες. Η διαδικασία αυτή φαίνεται παρακάτω : 44

45 0 void NodeSimilarity ( κόµβος Ν, Ακέραιος i, Πίνακας V) 1 ΓΙΑ ΚΑΘΕ (διάδοχο του Ν, n m ) { 2 new_similarity := 0 3 EAN (o N είναι φύλλο) { 4 ΓΙΑ ΚΑΘΕ (µεταβλητή x j V) /* για όλες τις µεταβλητές ενδιαφέροντος*/ { 5 new_similarity := new_similarity + σ(c ij,r(n m,current_instantiations[j])) 6 ΕΑΝ (new_similarity δεν µπορεί να υπερβεί το target) /* εξαρτάται από τον τύπο j αναζήτησης*/ { 7 ΣΥΝΕΧΙΣΕ /* στον επόµενο διάδοχο */ } 8 } /* ΤΕΛΟΣ ΓΙΑ ΚΑΘΕ */ 9 Το αντικείµενο n m είναι επιτυχής ανάθεση 10 } /* ΤΕΛΟΣ ΕΑΝ */ 11 ΑΛΛΙΩΣ { 12 ΓΙΑ ΚΑΘΕ (µεταβλητή x j V) /* για όλες τις µεταβλητές ενδιαφέροντος*/ { 13 new_similarity := new_similarity + h Τ (C Τ (x j, x i ), κ, o l ) 14 EAN (new_similarity δεν µπορεί να υπερβεί το target) { ΣΥΝΕΧΙΣΕ } 15 new_similarity := new_similarity + h D (C Τ (x j, x i ), κ, o l ) /* Χρησιµοποιούµε έναν από τους δύο τρόπους υπολογισµού */ 16 EAN (new_similarity δεν µπορεί να υπερβεί το target) { ΣΥΝΕΧΙΣΕ } new_similarity := new_similarity + h A (C Τ (x j, x i ), κ, o l ) /* Χρησιµοποιούµε έναν από τους δύο τρόπους υπολογισµού */ EAN (new_similarity δεν µπορεί να υπερβεί το target) { ΣΥΝΕΧΙΣΕ } 14 } 20 NodeSimilarity(n m, i, V) 21 } /* ΤΕΛΟΣ ΑΛΛΙΩΣ */ 22 } /* ΤΕΛΟΣ ΓΙΑ ΚΑΘΕ διάδοχο */ 23 ΕΠΕΣΤΡΕΨΕ 45

46 4 Αλγόριθµοι 4.1 Συστηµατικοί Αλγόριθµοι Η αποδοτική χρήση της δοµής δεικτοδότησης, µελετήθηκε πάνω σε δύο συστηµατικούς αλγόριθµους που υπάρχουν στην βιβλιογραφία [Αρκ01]. Τον ιπλά Αναδροµικό Αλγόριθµο Εµπρόσθιου Ελέγχου και τον Αλγόριθµο Εµπρόσθιου Ελέγχου µε Παράθυρα. Οι συστηµατικοί αλγόριθµοι βρίσκουν πάντα την βέλτιστη λύση σε ένα πρόβληµα ερευνώντας όλο το πεδίο τιµών των µεταβλητών. Η διαφορά τους από την εξαντλητική έρευνα είναι ότι µε την βοήθεια ενός δέντρου αναζήτησης, που κατασκευάζουν, µπορούν να αποφύγουν να εξετάσουν όλες τις πιθανές λύσεις. Μπορούν, δηλαδή, να συµπεράνουν αν µία περιοχή του πεδίου τιµών µπορεί να δώσει καλύτερη λύση ή όχι και να εξετάσουν ή να προσπεράσουν τον κλάδο του δέντρου που οδηγεί σε αυτή ανάλογα. 4.2 Αλγόριθµος Εµπρόσθιου Ελέγχου µε Παράθυρα Ο αλγόριθµος αυτός υπολογίζει τα παράθυρα τιµών 2 για την επόµενη µεταβλητή στην οποία θέλουµε να αναθέσουµε τιµή, µε βάση τις υπάρχουσες αναθέσεις. ηλαδή αν υπάρχει µια ανάθεση για τις µεταβλητές x 0 και x 1 τότε θα βρει όλες τις τιµές που δίνουν ικανοποιητική οµοιότητα αν ανατεθούν στην x 3, και θα τις αποθηκεύσει σε ένα πίνακα domain. Για την εύρεση όλων αυτών των τιµών θα χρησιµοποιήσει µια διαδικασία παρόµοια µε αυτήν που περιγράψαµε πριν. Στην συνέχεια θα αναθέσει µία τιµή στην x 3 από το domain, την οποία και θα αφαιρέσει από αυτό, και θα υπολογίσει τα domain για την x 4. Αν κάποιο domain είναι 2 Όταν λέµε παράθυρα τιµών εννοούµε σύνολα επιτρεπτών τιµών, και όχι αναγκαστικά ορθογώνιες περιοχές, αν και στον προσεγγιστικό τρόπο χρήσης του indexing αυτά ταυτίζονται. 46

47 κενό, ο αλγόριθµος θα γυρίσει µία θέση πίσω και θα κάνει µια νέα ανάθεση στη προηγούµενη µεταβλητή από το αντίστοιχο domain. O αλγόριθµος σταµατάει αν βρεθεί µια αποδεκτή λύση ή αν το domain της πρώτης µεταβλητής είναι κενό. Παρακάτω βλέπουµε αυτή την διαδικασία αναλυτικά : Προεπεξεργασία(Q) /* υπολόγισε τη συνέπεια της ερώτησης,, ανάκτησε 1 την εικόνα I και τα περιγραφικά δεδοµένα της, και αποφάσισε τη σειρά των µεταβλητών (η πιο περιορισµένη πρώτη) */ i := 0; /* δείκτης για την τρέχουσα µεταβλητή, αρχικά γίνεται 0 (η 2 πρώτη µεταβλητή) */ 3 domain[0] := Όλα τα αντικείµενα της I 4 ΕΝΩ (ΑΛΗΘΕΣ) { 5 new_value := choosenextvalue(domain[i]); 6 ΕΑΝ (new_value = ) /* τέλος του πεδίου τιµών */ { 7 ΕΑΝ i=0 { ΕΠΕΣΤΡΕΨΕ } /* Τέλος αλγορίθµου */ ΑΛΛΙΩΣ 8 { 9 i:=i-1; 10 ΣΥΝΕΧΙΣΕ /* Οπισθοδρόµηση */ 11 } 12 } ΑΛΛΙΩΣ { current_instantiations[i] := new_value; } 13 /* αποθήκευσε την ανάθεση */ 14 S[i] := µερική οµοιότητα της λύσης S για της µεταβλητές 0 έως i ΕΑΝ (S[i] µπορεί να υπερβεί το target) { ΕΑΝ (i < n-1) /* ανατίθεται ενδιάµεση µεταβλητή */ { /* Αυτό το βήµα χρειάζεται µόνο αν ακολοθουθεί η πρώτη προσέγγιση */ ΓΙΑ k:=0 ΕΩΣ i-1 ΕΚΤΕΛΕΣΕ Υπολόγισε τα MMin[i][k], MMax[i][k], D[i][k] 18 i := i+1; /* επιτυχής ανάθεση: πήγαινε εµπρός */ 19 NodeSimilaritySearch(ρίζα του R, i) 20 } 21 ΑΛΛΙΩΣ /* ανατίθεται τελευταία µεταβλητή */ { 22 αποθήκευσε(current_instantiations, solutions) 47

48 23 target = solutions[k] 24 } /*ΤΕΛΟΣ ΑΛΛΙΩΣ */ 25 } /*ΤΕΛΟΣ ΕΑΝ *? 26 } /* ΤΕΛΟΣ ΕΝΩ */ 27 void NodeSimilaritySearch( κόµβος Ν, Ακέραιος i) { 28 ΓΙΑ ΚΑΘΕ (διάδοχο του Ν, n m ) { 29 new_similarity := 0 30 EAN (o N είναι φύλλο) { ΓΙΑ k:=0 ΕΩΣ i-1 31 new_similarity := new_similarity + σ(c ik,r(n m,current_instantiations[k])) 32 S[i] := S[i-1] + new_similarity; 33 ΕΑΝ (S[i] µπορεί να υπερβεί το target) 34 domain[i] := domain[i]+{n m } 35 } /* ΤΕΛΟΣ ΕΑΝ */ 36 ΑΛΛΙΩΣ { 37 ΓΙΑ k:=0 ΕΩΣ i-1 38 new_ similarity := new_ similarity +h(c ik, n m, o l x k ) 39 S[i] := S[i-1] + new_ similarity; 40 ΕΑΝ (S[i] µπορεί να υπερβεί το target) 41 NodeSimilarity(n m, i) 42 } /* ΤΕΛΟΣ ΑΛΛΙΩΣ */ 43 } /* ΤΕΛΟΣ ΓΙΑ ΚΑΘΕ διάδοχο */ 44 ΕΠΕΣΤΡΕΨΕ 48

49 4.3 ιπλά Αναδροµικός Αλγόριθµος Εµπρόσθιου Ελέγχου Στον προηγούµενο αλγόριθµο χρησιµοποιούσαµε µια αναδροµική διαδικασία για να βρούµε τα αντικείµενα που ικανοποιούσαν ένα σύνολο περιορισµών, τα οποία και αποθηκεύαµε ώστε να τα χειριστεί ο αλγόριθµος ο οποίος έκανε και την οπισθοδρόµηση. Ο επόµενος αλγόριθµος υλοποιεί την οπισθοδρόµηση µέσω της αναδροµής που γίνεται για την εύρεση των κατάλληλων αντικειµένων. Ακόµα τα αντικείµενα δεν αποθηκεύονται ούτε βρίσκονται εξ αρχής όλα. Αντίθετα µόλις βρεθεί ένα που να έχει ικανοποιητικό βαθµό οµοιότητας, ο αλγόριθµος προχωρά στην επόµενη µεταβλητή. Έτσι έχει πολύ µικρές απαιτήσεις µνήµης ακόµη και όταν η βάση είναι πολύ µεγάλη. Αν δεν µπορεί να βρει αποδεκτά αντικείµενα για αυτή τότε γυρίζει πίσω, µέσω της αναδροµικής οπισθοδρόµησης, και ψάχνει για νέες αναθέσεις της προηγούµενης µεταβλητής. Με αυτόν τον τρόπο, όµως, καταφέρνει να απορρίπτει περισσότερες αναθέσεις αφού ήδη έχει βρει κάποιες αρκετά καλές λύσεις. Στην πρώτη µεταβλητή θα ανατεθούν όλα τα αντικείµενα ωσότου να εξαντληθούν ή να βρεθεί λύση, οπότε και ο αλγόριθµος θα τερµατιστεί. Η TreeTraverse θα εφαρµόσει τον αλγόριθµο για όλες τις υπόλοιπες µεταβλητές. Για κάθε παιδί του κόµβου που δόθηκε ως όρισµα,εάν δεν πρόκειται για φύλλο, τότε υπολογίζεται η οµοιότητα του µε κάποιον από τους τρόπους υπολογισµού που προτείναµε. Αν αυτή ξεπερνά το target τότε καλεί τον εαυτό της µε όρισµα τον κόµβο αυτό, αλλιώς επιστρέφει. Αν πρόκειται για φύλλο τότε για κάθε παιδί-αντικείµενο : υπολογίζεται ο βαθµός µερικής οµοιότητας για την ως τώρα λύση και εφόσον είναι µεγαλύτερος από το target, αν πρόκειται για την τελευταία µεταβλητή αποτελεί λύση και αποθηκεύεται, αλλιώς καλείται η TreeTraverse µε ορίσµατα την ρίζα και την επόµενη µεταβλητή. Η διαδικασία αναλυτικότερα δίνεται παρακάτω. Ο καθορισµός των παραθύρων (ως ορθογώνια) γίνεται µόνο αν έχουµε επιλέξει τον προσεγγιστικό τρόπο χρήσης της δοµής δεικτοδότησης. Αλλιώς µπορούµε µόνο να αποφασίσουµε αν ένας κόµβος ανήκει στα παράθυρα τιµών των προηγούµενων µεταβλητών, καθώς δεν µπορούµε να τα περιγράψουµε και να τα αποθηκεύσουµε. (Αφού δεν είναι ορθογώνια). 1 Προεπεξεργασία(Q) /* υπολόγισε τη συνέπεια της ερώτησης,, ανάκτησε την εικόνα I και τα περιγραφικά δεδοµένα της, και αποφάσισε τη σειρά των µεταβλητών (η πιο περιορισµένη πρώτη) */ 2 ΓΙΑ k:=0 ΕΩΣ N-1 { 3 current_instantiations[0] := k; 4 /* Μόνο αν ακολουθηθεί ο προσεγγιστικός τρόπος χρήσης του indexing */ Υπολόγισε τα MMin[1][0], MMax[1][0], D[1][0] 5 TreeTraverseBacktrack(R,1) 49

50 6 } /* ΤΕΛΟΣ ΓΙΑ */ 7 ΕΠΙΣΤΡΕΨΕ /* Τέλος αλγορίθµου */ 8 9 Void TreeTraverseBacktrack ( κόµβος Ν, Ακέραιος i) 10 ΓΙΑ ΚΑΘΕ (διάδοχο του Ν, n m ) { 11 new_similarity := 0 12 EAN (o N είναι φύλλο) { ΓΙΑ k:=0 ΕΩΣ i-1 13 new_similarity := new_similarity + σ(c ik,r(n m, current_instantiations[k])) 14 S[i] := S[i-1] + new_similarity 15 ΕΑΝ (S[I] µπορεί να υπερβεί το target) { 16 current_instantiations[ι]:= n m 17 ΕΑΝ (I < n-1) /* ανατίθεται ενδιάµεση µεταβλητή */ { /* Μόνο αν ακολουθηθεί ο προσεγγιστικός τρόπος χρήσης του indexing */ 18 ΓΙΑ k:=0 ΕΩΣ i { Υπολόγισε τα MMin[i+1][k], Mmax[I+1][k], D[i+1][k] } 19 TreeTraverseBacktrack(ρίζα του R, i+1) /* προχωράει εµπρός */ 20 } 21 ΑΛΛΙΩΣ /* ανατίθεται τελευταία µεταβλητή */ { 22 αποθήκευσε(current_instantiations, solutions) 23 target = solutions[k] 24 } /* ΤΕΛΟΣ ΑΛΛΙΩΣ */ 25 } /* ΤΕΛΟΣ ΕΑΝ */ 26 ΑΛΛΙΩΣ { 27 ΓΙΑ k:=0 ΕΩΣ i-1 28 new_ similarity := new_ similarity +h(c ik, n m, o l x k ) 29 S[i] := S[I-1] + new_ similarity; 30 ΕΑΝ (S[I] µπορεί να υπερβεί το target) 31 TreeTraverseBacktrack (n m, i) 32 } /* ΤΕΛΟΣ ΑΛΛΙΩΣ */ 33 } /* ΤΕΛΟΣ ΓΙΑ ΚΑΘΕ διάδοχο */ 34 ΕΠΕΣΤΡΕΨΕ 50

51 4.4 Προσαρµογή των Γενετικών Αλγορίθµων στο Πρόβληµα Ανάκτησης Όµοιων ιατάξεων Στους προηγούµενους αλγορίθµους εξετάζαµε όλες τις πιθανές λύσεις. Παρόλους τους τρόπους που βρήκαµε για να χρησιµοποιήσουµε αποδοτικά την δοµή δεικτοδότησης, και να µην χρειαστεί να εξετάσουµε όλες τις πιθανές διατάξεις αντικειµένων που φτάνουν τις Ν p, ο χρόνος που χρειάζεται για να απαντηθεί ένα query παραµένει εκθετικός ως προς το µέγεθος του. Για αυτό έχουν αναπτυχθεί πολλοί ευριστικοί αλγόριθµοι [Αρκ01] οι οποίοι βρίσκουν µια «καλή» λύση. ηλαδή παίρνουµε µία προσεγγιστική απάντηση για την ερώτηση µας, η οποία δεν ξέρουµε και αν είναι η καλύτερη ή όχι. Οι πολύ µικροί χρόνοι που χρειάζονται όµως για να βρεθεί να τέτοια απάντηση, η οποία µάλιστα να είναι κοντά στην βέλτιστη, κάνει αυτές τις µεθόδους ιδιαίτερα ενδιαφέρουσες. 4.5 Γενετικοί Αλγόριθµοι Τόσο οι προηγούµενοι συστηµατικοί αλγόριθµοι όσο και οι περισσότεροι ευριστικοί χειρίζονται µία λύση την οποία και συνεχώς βελτιώνουν αλλάζοντας κάποιο από τα στοιχεία της έτσι ώστε η λύση να προσεγγίζει την βέλτιστη. Θα µπορούσαµε όµως, αντί να βελτιώνουµε µία λύση, να έχουµε ένα ολόκληρο πληθυσµό λύσεων που εξελίσσονται παράλληλα και βελτιώνονται όπως ένας φυσικός πληθυσµός. ηλαδή µέσω της δαρβινικής επιλογής των ισχυρών-βέλτιστων για επιβίωση, της τυχαίας µετάλλαξης, της αναπαραγωγής και της διασταύρωσης. Η ιδέα αυτή προτάθηκε πρώτη φορά από τον John Holland [Hol62]] ως γενετικοί αλγόριθµοι και έκτοτε έχει τύχει ευρείας απήχησης. Η κύρια ιδέα που όπως είδαµε βασίζεται στο παράδειγµα της φύσης και στις δαρβινικές θεωρίες, είναι ότι έχοντας ένα πληθυσµό λύσεων, κατασκευάζουµε ένα νέο πληθυσµό, µια νέα γενιά, µε βάση τα καλύτερα χαρακτηριστικά του παλιού, εισάγοντας όµως και ένα τυχαίο παράγοντα. Έτσι οι λύσεις ελέγχονται για το πόσο καλές είναι µε βάση ανταγωνιστικά κριτήρια, και ακόµη υπάρχει ένα τυχαίος παράγοντας, τόσο στην επιλογής τους για επιβίωση στην νέα γενιά, όσο και ως την πιθανότητα τους να µεταλλαχθούν, εισάγοντας έτσι εντελώς καινούρια στοιχεία στον πληθυσµό. Ο τυχαίος αυτός παράγοντας µας βοηθά στην ανανέωση του πληθυσµού και στην αποφυγή του τοπικού ελαχίστου. Μπορούµε να δούµε παρακάτω τα βασικά βήµατα ενός τέτοιου αλγόριθµου. 51

52 1. Εφάρµοσε τους τελεστές διαφοροποίησης πάνω στον αρχικό πληθυσµό και δηµιούργησε νέες λύσεις. 2. Βαθµολόγησε τις λύσεις που έχεις. 3. Επέλεξε τις λύσεις που θα αποτελέσουν την νέα γενιά και ξαναπήγαινε στο βήµα 1, µε αρχικό πληθυσµό αυτόν που µόλις επέλεξες. Γενικά η διαδικασία των γενετικών αλγορίθµων, η µετάβαση από γενιά σε γενιά θα µπορούσε να περιγραφεί µε τον εξής τύπο [FG96]: x(t+1) = s( v( x(t) ) ) όπου x(t) είναι η γενιά των γονέων και x(t+1) η επόµενη, s() είναι η συνάρτηση επιλογής των απογόνων και v() είναι οι τελεστές που εφαρµόζονται πάνω στην προηγούµενη γενιά. Όπως βλέπουµε η λογική του είναι πολύ απλή, οι δυσκολίες που έχει είναι στους τελεστές που πρέπει να κατασκευαστούν, στην συνάρτηση βαθµολόγησης που πρέπει να χρησιµοποιηθεί, στον τρόπο επιλογής των λύσεων που θα απαρτίζουν την νέα γενιά, και στο µέγεθος (αριθµό λύσεων) του πληθυσµού. Ας δούµε παρακάτω πιο αναλυτικά την λειτουργία καθενός από τα παραπάνω στοιχεία : 4.6 Τελεστές ιαφοροποίησης Στην βιβλιογραφία συναντώνται διάφοροι τελεστές. Οι πιο σηµαντικοί, που στην ουσία αποτελούν και βασικό χαρακτηριστικό των γενετικών αλγορίθµων, είναι οι τελεστές της µετάλλαξης (mutation) και της διασταύρωσης (crossover). Ο πρώτος αφορά στην αλλαγή ενός από τα στοιχεία που απαρτίζουν µία λύση, συνήθως µε τυχαίο τρόπο, οπότε και προκύπτει µία καινούργια, µεταλλαγµένη. (Μια αντιστοιχία µπορεί να θεωρηθεί η αλλαγή ενός γονιδίου σε ένα χρωµόσωµα). Εδώ παρουσιάστηκε το θέµα του ποια µεταβλητή θα πρέπει να αντικαθίσταται και µε ποιο αντικείµενο. Μία περίπτωση είναι να είναι και τα δύο τυχαία. Πειραµατικές δοκιµές έδειξαν ότι είναι πολύ καλύτερο να αντικαθιστούµε την µεταβλητή που παραβιάζει τους περισσότερους περιορισµούς από µια οποιαδήποτε τυχαία [A01]. Όσο για το αντικείµενο, αν δεν χρησιµοποιήσουµε την δοµή δεικτοδότησης, η εξαντλητική αναζήτηση του αντικειµένου, που παραβιάζει τις λιγότερες συνθήκες, είναι υπολογιστικά ασύµφορη, εκτός και αν πρόκειται για πολύ µικρές βάσεις. Με 52

53 τη χρήση της δοµής δεικτοδότησης, όµως, τα αποτελέσµατα είναι πολύ καλύτερα, αφού διαλέγουµε την µεταβλητή που θα δώσει το µεγαλύτερο βαθµό οµοιότητας στην λύση, µε µικρό σχετικά υπολογιστικό κόστος. Ο τελεστής της διασταύρωσης αφορά στην δηµιουργία µιας νέας λύσης από δύο η περισσότερες παλιές, µε κάποιο τρόπο, τυχαίο µεν, αλλά που πιθανότατα θα δώσει µία λύση που θα διατηρεί τα θετικά κοµµάτια των προγόνων του. Στην περίπτωση µας αυτό γίνεται µε την λεγόµενη διασταύρωση δύο σηµείων, όπου επιλέγονται δύο σηµεία στον ένα γονιό, ώστε το ενδιάµεσο τµήµα τους να αποτελεί µία καλή µερική λύση, και στην συνέχεια το ενδιάµεσο, αυτό, τµήµα αντικαθίσταται στο αντίστοιχο τµήµα του δεύτερου γονιού. Ας σηµειωθεί ότι ενώ το κοµµάτι του πρώτου γονιού που θα αντικατασταθεί το βρίσκουµε υπολογίζοντας την µερική οµοιότητα, ο δεύτερος γονιός είναι εντελώς τυχαίος οπότε και µπορεί να αντικαταστήσουµε ένα κοµµάτι που παραβίαζε λιγότερους περιορισµούς. Η αξιολόγηση των τελεστών είναι ένα άλλο ενδιαφέρον σηµείο. Το ζητούµενο είναι να βρεθεί ποιο χαρακτηριστικό πρέπει να έχει ένα τελεστής ώστε να πετυχαίνει βέλτιστη επίδοση ο αλγόριθµος. ιερευνήσεις έγιναν γύρω από την σχέση της πιθανότητας να πάρουµε ένα βελτιωµένο πληθυσµό λύσεων, αν στον πρόγονο του εφαρµόσουµε κάποιο τελεστή διαφοροποίησης, και στην ολική σύγκλιση του αλγορίθµου [FG96][Alt95]. Γενικά µπορούµε να συσχετίσουµε πιο εύκολα την λειτουργία ενός τελεστή µε την άµεση πιθανότητα βελτίωσης παρά µε την ολική σύγκλιση. Εξετάστηκε η συνάρτηση [Alt95]: Pr(W = w(x) ;w(y),w(z) ) Όπου W είναι τυχαία µεταβλητή, w() είναι η συνάρτηση οµοιότητας, x είναι η λύσηαπόγονος (µετά την εφαρµογή των οποιωνδήποτε τελεστών) και y,z είναι οι λύσεις γονείς. Ακόµα µελετήθηκε η µέση βελτίωση από ένα αρχικό πληθυσµό στον πληθυσµό που παράγεται από τους τελεστές διαφοροποίησης, [Gre95], η βελτίωση των καλύτερων κ.α.. Τέτοιες έρευνες κατέληξαν σε συµπεράσµατα όπως αυτό του 1/5 [Rec73], το οποίο όµως αµφισβητείται [FG95] : Η αναλογία των επιτυχηµένων µεταλλάξεων σε σχέση µε όλες τις µεταλλάξεις θα πρέπει να είναι 1/5. Αν ο λόγος αυτός είναι µεγαλύτερος πρέπει να αυξηθεί το εύρος των αλλαγών. Αν είναι µικρότερος πρέπει να µειωθεί. 53

54 Εµείς ασχοληθήκαµε µε την προσαρµογή γνωστών τελεστών από την βιβλιογραφία, αυτών της διασταύρωσης και της µετάλλαξης, στο πρόβληµα µας σε σχέση µε την ολική συµπεριφορά του αλγορίθµου. Εκείνο που καθορίσαµε µε πειράµατα (αν και είναι άπειροι οι παράγοντες και οι µέθοδοι που µπορούµε να εξετάσουµε ) είναι η συχνότητα µε την οποία είναι καλύτερο να εφαρµόζονται οι παραπάνω τελεστές στις λύσεις του αρχικού πληθυσµού. 4.7 Επιλογή της νέας γενιάς Η επιλογή των λύσεων που θα απαρτίζουν την νέα γενιά είναι ένα από τα δυσκολότερα κοµµάτια των γενετικών αλγορίθµων. Ο τρόπος επιλογής θα πρέπει να εξασφαλίζει ότι γενικά σε κάθε επόµενη γενιά οι λύσεις θα είναι ολοένα και πιο κοντά στις θεµιτές. Για να επιτευχθεί κάτι τέτοιο πρέπει πρώτα από όλα να έχουµε µία συνάρτηση οµοιότητας που θα ξεχωρίζει το πόσο καλή είναι µία λύση, και µάλιστα να µπορεί να αποφανθεί για το κατά πόσο µια προσεγγιστική λύση είναι καλή. ηλαδή µία συνάρτηση που δίνει αποτέλεσµα 1 αν η λύση είναι σωστή και 0 αλλιώς, δεν µα βοηθά ιδιαίτερα. Ο βαθµός οµοιότητας των λύσεων όπως τον ορίσαµε στο κεφ. 2. ικανοποιεί αυτές τις απαιτήσεις. Ένα άλλο ζήτηµα είναι το τι πρέπει να επιτυγχάνει ακριβώς ο τρόπος επιλογής των λύσεων που θα αποτελούν την νέα γενιά. Ένα βασικό θεώρηµα των γενετικών αλγορίθµων [Gol89] το θεώρηµα των σχηµάτων, (schema theorem) υποστηρίζει ότι στα «κοµµάτια» (building blocks) των λύσεων που έχουν «καλή» οµοιότητα θα πρέπει η διαδικασία της αναπαραγωγής να τους κάνει εκθετικά περισσότερες δοκιµές για να επιλεγούν (καθώς από γενιά σε γενιά είτε µέσω της επιβίωσης των γονιών που τα περιέχουν ή µέσω της διασταύρωσης θα πρέπει να έχουν ολοένα περισσότερες εµφανίσεις) και στα κοµµάτια µε «κακή» οµοιότητα θα πρέπει, αντίστοιχα, να κάνει εκθετικά λιγότερες δοκιµές (και να έχουν και εκθετικά λιγότερες εµφανίσεις στις επόµενες γενιές). To θεώρηµα αυτό δεν είναι καθολικά αποδεκτό, αφού έχουν αναπτυχθεί και άλλα κριτήρια για την επίτευξη βέλτιστων επιδόσεων από τους γενετικούς αλγορίθµους, όπως κριτήρια όµως αξιολόγησης των τελεστών που δόθηκαν στην προηγούµενη παράγραφο, τα οποία δεν συµβαδίζουν απόλυτα µε αυτή την λογική. Η αναλογική, µε την οµοιότητα, αναπαραγωγή των λύσεων από γενιά σε γενιά, αποδείχθηκε [Rud94] ότι οδηγεί σε έναν αποκλίνων αλγόριθµο που δεν µπορεί να συγκλίνει στην βέλτιστη λύση. Έτσι πρέπει να διασφαλίζεται ένα µέρος τυχαιότητας στην επιλογή της νέας γενιάς, χωρίς όµως να αγνοούνται και οι καλές λύσεις. Στην κατασκευή των γενετικών αλγορίθµων για το πρόβληµα της αναζήτησης οµοίων διατάξεων, δοκιµάσαµε αρχικά τρεις µεθόδους επιλογής των λύσεων [Gat98]: 54

55 1. Την αναλογική επιλογή (proportional selection). ηλαδή την επιλογή λύσεων ανάλογα µε την οµοιότητα τους. Η πιθανότητα επιλογής µια λύσης δινόταν από το λόγο της οµοιότητας της προς το λόγο του αθροίσµατος των οµοιοτήτων του πληθυσµού. 2. Την επιλογή µε βάση την κατάταξη (ranking). Για αυτό τον τρόπο θεωρήσαµε δύο παραλλαγές : Μία την κατάταξη των λύσεων µε βάση την οµοιότητα τους και µετά επιλογή των καλύτερων, και µία άλλη παραλλαγή ήταν η επιλογή τους αναλογικά µε την κατάταξη τους. 3. Η επιλογή πρωταθλήµατος (tournament). Σύµφωνα µε αυτή την επιλογή µία υποοµάδα λύσεων από τον διαγωνιζόµενο πληθυσµό επιλέγεται τυχαία και η καλύτερη τους περνάει στην επόµενη φάση. Για κάθε λύση χρειάζεται ένας τέτοιος διαγωνισµός. Οι δύο πρώτοι τρόποι επιλογής εγκαταλείφθηκαν γρήγορα αφού οι επιδόσεις του υστερούσαν κατά πολύ του τρίτου, τόσο γιατί ο τρόπος επιλογής των λύσεων ήταν υποδεέστερος, όπως αναµενόταν και από τη θεωρία όσο και γιατί είχαν µεγαλύτερο υπολογιστικό κόστος. Ένα άλλο στοιχείο που διερευνήθηκε στην διαδικασία επιλογής είναι ο ελιτισµός, δηλαδή το αν είναι ωφέλιµο η καλύτερη λύση µιας γενιάς να µεταφέρεται αυτούσια και στην επόµενη ώστε να µην χάσει ο αλγόριθµος ποτέ την βέλτιστη επίδοση του. 4.8 Μέγεθος της κάθε γενιάς Το πλήθος των λύσεων που απαρτίζουν την κάθε γενιά είναι ένα σηµαντικό στοιχείο για την συµπεριφορά του αλγορίθµου και γι αυτό προσπαθήσαµε να προσδιορίσουµε το βέλτιστο µέσα από πειράµατα. 4.9 Σκιαγράφηση του Αλγορίθµου Παρακάτω µπορούµε να δούµε πιο αναλυτικά τον Γενετικό αλγόριθµο που υλοποιήσαµε : 55

56 Γενετικός Αλγόριθµος (Ερώτηση Q, Εικόνα I, ακέραιος K ) 1 Προεπεξεργασία(Q) /* υπολόγισε τη συνέπεια της ερώτησης, ανάκτησε την εικόνα I και τα περιγραφικά δεδοµένα της */ 2 ΓΙΑ i:=1 ΕΩΣ P { S i := τυχαία λύση;} 3 ΕΝΩ (ΟΧΙ (Κριτήριο_Τέλους)) { /* ηµιουργία νέας Γενιας*/ 4 ΓΙΑ i:=1 ΕΩΣ P { /* Βαθµολόγηση των λύσεων*/ 5 f I := f(s i ) 6 ΕΑΝ (f i > target) { καταχώρησε την S i στη λίστα την K καλύτερων λύσεων } 7 ΕΑΝ (f i = 100%) { ΤΕΡΜΑΤΙΣΕ} 8 } /* Τελος Βαθµολόγησης */ 9 ΓΙΑ i:=1 ΕΩΣ P { /* Επιλογή των λύσεων της νέας Γενιάς */ 10 S i := ιαγωνισµός µεταξύ T λύσεων /* Αν χρησιµοποιείται ο Ελιτισµός τότε υπάρχει και το παρακάτω βήµα */ S 1 := ιαγωνισµός µεταξύ όλων των λύσεων S i 11 } /* Τελος επιλογης */ 12 ΓΙΑ ΚΑΘΕ (ζέυγος S i, S j ) { /* Εφαρµογή Τελεστή ιαστάυρωσης */ 13 Με πιθανότητα µ c { ιασταύρωση δύο σηµείων µεταξύ S i και S j } 14 } /* Τελος διασταύρωσης */ 15 ΓΙΑ i:=1 ΕΩΣ P { /* Ρφαρµογή τελεστή µετάλλαξης*/ 16 Με πιθανότητα µ m { Μετάλλαξε S I } 17 } /* Τελος Μετάλλαξης */ 18 ΓΙΑ i:=1 ΕΩΣ P { S i := S I } 19 } /* Τέλος της δηµιουργίας νέα γενιάς */ Ως κριτήριο τέλους συνήθως χρησιµοποιήσαµε κάποιο χρονικό όριο, καθώς και την εύρεση λύσης µε 100% οµοιότητα. 56

57 5 Πλατφόρµα Εργασίας - Πειράµατα 5.1 Επιλογή πλατφόρµας ανάπτυξης Η ανάπτυξη των αλγορίθµων και των άλλων συµπληρωµατικών εφαρµογών έγινε σε περιβάλλον windows σε γλώσσα C++. Η επιλογή της πλατφόρµας ήταν κυρίως συνέπεια της επιλογής της γλώσσας και του συγκεκριµένου εργαλείου ανάπτυξης, του Visual Studio της Microsoft. Η επιλογή αυτή έγινε για διάφορους λόγους, τους σηµαντικότερους των οποίων βλέπουµε παρακάτω. Εξαιτίας του µεγάλου µεγέθους του κώδικα και της ανάγκης ανάπτυξής του από παραπάνω από έναν ανθρώπους θεωρήθηκε απαραίτητο να χρησιµοποιηθεί µια αντικειµενοστραφής γλώσσα ώστε να µπορούν διάφορα κοµµάτια να αναπτύσσονται και να ελέγχονται ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Εξαιτίας της φύσης του προγράµµατος υπήρχε η ανάγκη καλής και άµεσης διαχείρισης της µνήµης συνεπώς χρειαζόταν µία γλώσσα προγραµµατισµού που να παρέχει αυτή την δυνατότητα. Η C++ µε τους δείκτες επιτρέπει πολύ καλό έλεγχο πάνω στην χρήση της µνήµης από το πρόγραµµα. Οι υψηλές υπολογιστικές απαιτήσεις του προγράµµατος έκαναν επιτακτική την χρήση µιας γλώσσας που να µεταγλωττίζεται (compile) και να µας δίνει εκτελέσιµα αρχεία σε γλώσσα µηχανής και να µην µεταφράζεται την στιγµή της εκτέλεσης (να µην είναι γλώσσα που χρησιµοποιεί interpreter, όπως η Java, Perl κτλ). H C++ ικανοποιούσε αυτό τον περιορισµό και µάλιστα ο compiler του Visual Studio επιτυγχάνει και υψηλό βαθµό βελτιστοποίησης της γλώσσας µηχανής που παράγεται. Τέλος ήταν επιθυµητή η ύπαρξη ενός εργαλείου που να βοηθά στην γρήγορη και αποτελεσµατική ανάπτυξη της εφαρµογής και ιδιαίτερα του γραφικού µέρους. Το Visual 57

58 Studio της Microsoft και το πακέτο MFC (Microsoft Foundation Classes) προσέφεραν αυτή την δυνατότητα. 5.2 Αρχιτεκτονική της Εφαρµογής. Ο σχεδιασµός της εφαρµογής έγινε έτσι ώστε να είναι δυνατός ο έλεγχος κάθε κοµµατιού ξεχωριστά, και να διασφαλίζεται ένα ενιαίο πλαίσιο σχέσεων και δοµών για όλους τους αλγορίθµους. Ακόµα υπήρξε προσπάθεια ώστε τα διάφορα κοµµάτια του κώδικα να είναι αρκετά ανεξάρτητα ώστε να µπορούν αναπτύσσονται ξεχωριστά η/και παράλληλα. Έτσι ο κάθε αλγόριθµος είναι µία κλάση, η οποία κληρονοµεί µερικά γενικά χαρακτηριστικά από µία γενικότερη κλάση, την similarity. Έχουµε µία κλάση για την δοµή δεικτοδότησης R*- tree, µία για τον γράφο και µία για το query καθώς και διάφορες βοηθητικές κλάσεις, οι οποίες είτε περιέχουν τις συναρτήσεις υπολογισµού οµοιότητας σχέσεων και άλλες διεργασίες σχετικές µε τις λειτουργίες των αλγορίθµων είτε σχετίζονται µε το γραφικό µέρος. Με έναν τέτοιο καταµερισµό των λειτουργιών ενισχύθηκε σηµαντικά η δυνατότητα µας να επεκτείνουµε και να ελέγχουµε τον κώδικα και τις λειτουργίες της εφαρµογής. Ακόµη, αναπτύχθηκε µία βοηθητική κλάση που µας επιτρέπει να εκτελέσουµε µε αυτοµατοποιηµένο τρόπο εκτενή πειράµατα, η HardCodedXDlg, οι λειτουργίες της οποίας χρησιµοποιήθηκαν για να γίνουν τα πειράµατα που θα παρουσιαστούν παρακάτω. Τέλος αναπτύχθηκε ένα εργαλείο δηµιουργίας queries που παρουσιάζεται παρακάτω. 5.3 Εργαλείο ηµιουργίας Queries Χρησιµότητα του Εργαλείου Για την εκτέλεση πειραµάτων διερεύνησης των ιδιαίτερων χαρακτηριστικών των αλγορίθµων που αναπτύχθηκαν, εµφανίστηκε η ανάγκη να δηµιουργηθούν queries, οι οποίες θα ήταν συνεπείς και επιπλέον θα είχαν κάποια λύση σε ένα χάρτη. Κάτι τέτοιο θα µας βοηθούσε αποφασιστικά στον έλεγχο της ορθότητας των αλγορίθµων και στην αξιολόγηση της ταχύτητας σύγκλισης σε µία λύση όταν έχουµε ένα πολύ µικρό πληθυσµό σωστών λύσεων στο πρόβληµα. Κάτι τέτοιο θα ήταν αδύνατον να γίνει µε µη αυτοµατοποιηµένο τρόπο, καθώς είναι δύσκολο να φτιάξουµε, µε εµπειρικό τρόπο, µια query που να είναι συνεπής, πόσο µάλλον να εξασφαλίσουµε ότι θα έχει και λύση. 58

59 Για να αντιµετωπίσουµε αυτό το πρόβληµα αναπτύξαµε ένα εργαλείο δηµιουργίας queries από συνδυασµούς αντικειµένων κάποιου χάρτη τους οποίους επιλέγει ο χρήστης. ηλαδή ο χρήστης επιλέγει «µε το µάτι» µία διάταξη αντικειµένων και στη συνέχεια το πρόγραµµα υπολογίζει τις µεταξύ τους τοπολογικές, κατεύθυνσης και απόστασης, σχέσεις, και δηµιουργεί µία query που έχει ως περιορισµούς αυτές τις σχέσεις. Παρακάτω θα δούµε ακριβώς πως λειτουργεί η εν λόγω εφαρµογή. Σχήµα 5-1 Επιλογή του εργαλείου δηµιουργίας query Τρόπος Λειτουργίας Εφαρµογής Η εφαρµογή στηρίζεται κυρίως σε µία κλάση την getquery() η οποία είναι υπεύθυνη για εύρεση των αντικειµένων που εξετάζει ο χρήστης, την αποθήκευση αυτών που επιλέγει και την δηµιουργία µιας query όταν θέλει ο χρήστης µε βάση τις ως τώρα επιλογές του. Η query που δηµιουργείται µπορεί είτε να αποθηκευτεί στην µνήµη και στο δίσκο είτε µόνο στην µνήµη για να χρησιµοποιηθεί από κάποιο αλγόριθµο µετά. Ας δούµε όµως τις επιλογές που έχει ο χρήστης. Αφού ανοίξει το αρχείο που περιέχει τα δεδοµένα κάποιου χάρτη και εµφανιστεί το menu που βλέπουµε στο σχήµα 5-1, πρέπει να πάει στο υποµενού Algorithms και να επιλέξει την επιλογή MakeQuery, όπως στο σχήµα. Τότε θα αρχίσει η διαδικασία δηµιουργίας της query 59

60 και θα εµφανιστεί το µενού, που βλέπουµε στο σχήµα 5-2 Ας δούµε τί κάνουν οι τρεις επιλογές που φαίνονται. Cancel. Σταµάτηµα της διαδικασίας και επιστροφή στις επιλογές του σχήµατος 5-1. Αν ήδη υπάρχει ένα query στην µνήµη, (αν π.χ. έχει γίνει save προηγουµένως) αυτό παραµένει. Derive. Η επιλογή αυτή προκαλεί την δηµιουργία ενός query, από τα αντικείµενα που έχει επιλέξει ο χρήστης, και επιστροφή στις επιλογές του σχήµατος 5-1. Save. Η save όπως και η derive προκαλεί δηµιουργία ενός query µε βάση τα αντικείµενα που έχει επιλέξει ο χρήστης και αποθήκευση της τόσο στην µνήµη όσο και σαν αρχείο στο δίσκο, µε το όνοµα που επιλέγει πάλι ο χρήστης. Σε αντίθεση µε την derive δεν προκαλεί επιστροφή στις επιλογές του σχήµατος 5-1, αλλά η διαδιακασία επιλογής αντικειµένων µπορεί να συνεχιστεί και ο χρήστης να δηµιουργήσει παραλλαγές της query που µόλις έσωσε. Σχήµα 5-2 Βασικό menu επιλογών του εργαλείου Στην οθόνη που φαίνεται στο σχήµα 5-2 ο χάρτης που εµφανίζεται έχει αποκτήσει πλέον ευαισθησία στις επιλογές του χρήστη. Ένα «κλικ» µε το ποντίκι πάνω σε αυτόν θα εµφανίσει το παράθυρο που βλέπουµε στο σχήµα 5-3., µε τίτλο «Objects Over the Selected point το 60

61 οποίο θα περιέχει τις συντεταγµένες όλων των αντικειµένων που υπερκαλύπτουν το σηµείο που επιλέχθηκε. Επιλογή κάποιου από τα αντικείµενα σε αυτό το µενού θα έχει ως αποτέλεσµα την παρουσία του µε διαφορετικό χρώµα από τα άλλα στον χάρτη ώστε ο χρήστης να µπορεί να αποφασίσει αν θέλει να το επιλέξει, πατώντας το κουµπί ΟΚ. Όλα τα σχήµατα που έχουνε επιλεγεί φαίνονται στο παράθυρο µε τίτλο Selected Objects που φαίνεται στο σχήµα 5-3. Με την επιλογή delete µπορούµε να αφαιρέσουµε όποιο θέλουµε από την σύνθεση µας. Με τις επιλογές Cancel ή Derive που αναφέρθηκαν προηγουµένως η διαδικασία τελειώνει, τα επιπλέον παράθυρα εξαφανίζονται, ο χάρτης δεν ανιχνεύει γεγονότα επιλογής στην επιφάνεια του και επιστρέφουµε στις επιλογές του σχήµατος 5-2. Σχήµα 5-3 Επιλογή αντικειµένων για την δηµιουργία του query. Εξαιτίας αυτού του τρόπου επιλογής προκύπτουν ορισµένες ιδιαιτερότητες στους περιορισµούς. Αναλυτικότερα : Οι περιορισµοί απόστασης θα έχουν όλοι την ίδια ανοχή, η οποία ορίζεται από την µεταβλητή tolerance (± tolerance) της κλάσης getquery. Οι περιορισµοί κατεύθυνσης θα ικανοποιούνται είτε µόνο από µία σχέση αν το αντικείµενο ήταν σε στη περιοχή πλήρους ικανοποίησης της σε σχέση µε το άλλο, είτε από τις δύο γειτονικές αν το αντικείµενο βρίσκεται στις περιοχές µερικής ικανοποίησης τους. Οι τοπολογικοί περιορισµοί θα ικανοποιούνται υποχρεωτικά από µια και µόνο σχέση. 61

62 5.4 Πειράµατα Γενετικών Αλγορίθµων Συνθήκες Σκοπός των πειραµάτων. Όπως είδαµε και από την παρουσίαση των γενετικών αλγορίθµων στο κεφάλαιο 4 ιδιαίτερη σηµασία για την απόδοση τους παίζουν οι διάφοροι τελεστές διαφοροποίησης και επιλογής που εφαρµόζονται πάνω στην κάθε γενιά. Η αξιολόγηση της επίδρασης των τελεστών και των παραµέτρων τους στην σύγκλιση του αλγορίθµου, καθώς και η επίδραση της χρήσης του R*-tree στην διαδικασία επιλογής των αντικειµένων µιας λύσης, αποτέλεσαν το αντικείµενο των πειραµάτων που έγιναν. Από την φύση του αλγορίθµου είναι εµφανές ότι οι διάφοροι τελεστές που εφαρµόζονται πάνω σε έναν πληθυσµό καθώς και το µέγεθος του πληθυσµού αλληλεπιδρούν, οπότε και θα ήταν επιθυµητό να εξεταστούν όλοι οι πιθανοί συνδυασµοί τελεστών και παραµέτρων. Κάτι τέτοιο όµως είναι υπολογιστικά πολύ δαπανηρό και για αυτό υιοθετήθηκε «η µέθοδος των γύρων». ηλαδή οι παράµετροι θεωρούνται ανεξάρτητες και αξιολογείται η καθεµία ξεχωριστά µε σταθερές τιµές στις υπόλοιπες. Αφού ολοκληρωθεί ένας γύρος αξιολόγησης, προχωράµε στον επόµενο χρησιµοποιώντας τις τιµές που βρήκαµε στον προηγούµενο για κάθε παράµετρο, εκτός βέβαια από αυτή που αξιολογείται στο κάθε πείραµα. Για την αξιολόγηση των αλγορίθµων κάναµε δύο γύρους πειραµάτων, και τα αποτελέσµατα που παρουσιάζονται είναι προφανώς τα αποτελέσµατα του δεύτερου γύρου. Οι παράµετροι που διερευνήθηκαν ήταν το µέγεθος κάθε γενιάς, ο αριθµός των λύσεων που διαγωνίζονται κάθε φορά για την επιβίωση τους στον επόµενο γύρο, η πιθανότητα διασταύρωσης και η πιθανότητα µετάλλαξης. Θεωρήθηκε ότι το µέγεθος των γενεών και ο αριθµός των λύσεων που διαγωνίζονται κάθε φορά είναι άµεσα εξαρτηµένα, καθώς µαζί καθορίζουν την πιθανότητα η επόµενη γενιά να απαρτίζεται µόνο από καλές λύσεις. Γενικότερα ο συνδυασµός τους συνδέεται άµεσα µε την αξιοκρατία στην επιλογή των λύσεων που θα επιβιώσουν και µε τον βαθµό τυχαιότητας που εισέρχεται στην επιλογή. Έτσι αυτές οι δύο ελέγχθηκαν παράλληλα δηλαδή αξιολογήθηκε κάθε συνδυασµός τους. Τέλος η χρήση του R*-tree είναι εµφανές ότι αλλάζει την λειτουργία του αλγορίθµου αρκετά, οπότε και έγιναν ξεχωριστά πειράµατα για αυτή την έκδοση του αλγορίθµου. Τα πειράµατα έγιναν σε περιβάλλον Windows 98, όπου όλες οι µη βασικές τους λειτουργίες είχαν ανασταλεί, πάνω σε ηλεκτρονικό υπολογιστή µε επεξεργαστή Intel Pentium II στα 400 Mhz. Κάθε τρέξιµο του αλγορίθµου διαρκούσε 60 sec, ένα χρονικό διάστηµα µικρό, στο οποίο όµως, ο αλγόριθµος βρίσκεται πολύ κοντά στην επίδοση που φτάνει σε διάστηµα 3 62

63 ωρών. Σε όλα τα πειράµατα τα αποτελέσµατα που δίνονται είναι µέσος όρος 50 επαναλήψεων της κάθε περίπτωσης, καθώς αρχικά πειράµατα έδειξαν ότι χρειάζεται σχετικά ευρύ στατιστικό δείγµα για να βγάλουµε κάποια συµπεράσµατα. Όλα τα πειράµατα των γενετικών αλγορίθµων έγιναν πάνω σε µία εικόνα µε 5000 αντικείµενα µε ένα query 10 αντικειµένων ( που κατασκευάστηκε µε το εργαλείο που παρουσιάστηκε στην προηγούµενη ενότητα) το οποίο έχει µία µόνο λύση. Παρακάτω µπορούµε να δούµε τα αποτελέσµατα τους Αποτελέσµατα πειραµάτων για τον απλό γενετικό αλγόριθµο Πληθυσµός Μέγεθος πρωταθλήµατος Όπως είπαµε και προηγουµένως το µέγεθος κάθε γενιάς και το µέγεθος του πρωταθλήµατος εξετάστηκαν συνδυασµένα, καθώς υποθέσαµε ότι συνδέονται άµεσα. Οι τιµές για το µέγεθος του πληθυσµού που εξετάστηκαν ήταν από 20 έως 200, ανά 20, και από 200 έως 1000, ανά 200, και του µέγεθους του πρωταθλήµατος από 3 έως 16. Η πιθανότητα διασταύρωσης και µετάλλαξης τέθηκε 0.1 και 0.45 αντίστοιχα. Τα αποτελέσµατα έδειξαν ότι ο αλγόριθµος επιτυγχάνει την καλύτερη επίδοση (οµοιότητα 85,32%) για µέγεθος γενιάς 120 και πρωταθλήµατος 12, και την χειρότερη (οµοιότητα 79,19%) για πληθυσµό 1000 και µέγεθος πρωταθλήµατος 3. Με βάση τα περισσότερα κριτήρια της βιβλιογραφίας [Gol89][Gre95][Gat98] για την επιτυχία του αλγορίθµου, θεωρήθηκε ότι η απόδοση του σχετίζεται µε το πόσες φορές επιλέγονται οι καλύτερες λύσεις στην επόµενη γενιά, τι πιθανότητα έχει µια κακή λύση να επιβιώσει κτλ. Αυτά τα κριτήρια προφανώς συνδέονται µε τον λόγο του µεγέθους του πρωταθλήµατος προς το µέγεθος της κάθε γενιάς [Gat98]. Τα πειράµατα όµως, επιβεβαίωσαν αυτό το αποτέλεσµα αλλά συγχρόνως ανέδειξαν και την σηµασία του πληθυσµού στην απόδοση του αλγορίθµου. Στο σχήµα 5-4 µπορούµε να δούµε τα συνολικά Αποτελέσµατα του πειράµατος τόσο ως προς τον πληθυσµό όσο και ως προς το µέγεθος του πρωταθλήµατος. Για να βγάλουµε όµως συµπεράσµατα θα δούµε µετά και τις γραφικές παραστάσεις της κάθε παραµέτρου ξεχωριστά. 63

64 Σχήµα 5-4 Γραφική παράσταση της οµοιότητας των λύσεων σε σχέση µε τον Πληθυσµό και το Μέγ. του Πρωταθλήµατος. Στη γραφική παράσταση του σχήµατος 5-5 φαίνεται ο λόγος του µεγέθους της κάθε γενιάς προς το µέγεθος του πρωταθλήµατος, σε σχέση µε την θέση που έχει κάθε λύση αν τις κατατάξουµε µε κριτήριο την οµοιότητα τους, από την καλύτερη ως την χειρότερη. 64

65 Μέγεθος πρωταθλήµατος - σειρά κατάταξης Σχήµα 5-5 Μέγεθος του πρωταθλήµατος σε σχέση µε την σειρά κατάταξης των λύσεων. Όπως βλέπουµε δεν είναι εµφανής καµία άµεση σχέση µεταξύ της κατάταξης της λύσης µε βάση την οµοιότητα της και το µέγεθος του πρωταθλήµατος. Άρα η παράµετρος αυτή είτε δεν είναι τόσο σηµαντική είτε η επίδραση της µπορεί να φανεί µόνο σε συνδυασµό µε κάποια άλλη, όπως τον πληθυσµό που υποθέσαµε σε αυτή την περίπτωση. Την συνδυασµένη τους επίδραση µπορούµε να την δούµε από τον λόγο του µεγέθους του πρωταθλήµατος προς τον πληθυσµό κάθε γενιάς στο σχήµα 5-6. Ο λόγος αυτός άµεσα συνδέεται µε το βαθµό τυχαιότητας που υπεισέρχεται στην επιλογή των λύσεων που θα επιβιώσουν στην επόµενη γενιά, που όπως είπαµε και στο κεφάλαιο 4 έχει σηµαντική επίδραση στην σύγκλιση του αλγορίθµου (6% στο πεδίο τιµών που εξετάσαµε εµείς). 65

66 Λόγος µεγέθους πρωταθλήµατος προς πληθυσµό µεγ. πρωταθλ'ηµατος/πληθυσµό 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0-0, Κατάταξη Σχήµα Λόγος µεγέθους πρωταθλήµατος προς πληθυσµό Εδώ δεν παρατηρούµε την διασπορά που παρατηρήσαµε στο προηγούµενο διάγραµµα, αλλά και πάλι δεν µπορούµε να βγάλουµε πολύ σαφή συµπεράσµατα. Εκείνο το οποίο διαπιστώνουµε µε σιγουριά είναι ότι τις πρώτες θέσεις στην κατάταξη τις καταλαµβάνουν λύσεις µε λόγο µεγέθους πρωταθλήµατος προς µέγεθος γενιάς γύρω στο 0,1 και τις τελευταίες λύσεις στις οποίες ο λόγος αυτός τείνει στο 0. Ας δούµε όµως παρακάτω, στο σχήµα 5-7, και την σχέση της κατάταξης µε τον πληθυσµό. 66

67 Πληθυσµός - Θέση κατάταξης Πληθυσµός Κατάταξη Σχήµα 5-7 Πληθυσµός σε σχέση µε την θέση κατάταξης των λύσεων. Εδώ είναι πιο εµφανή τα συµπεράσµατα. Οι πληθυσµοί λύσεων γύρω στα 100 είναι αυτοί που δίνουν τα καλύτερα αποτελέσµατα, ενώ βλέπουµε ότι για πληθυσµούς µεγαλύτερους από 200 τα αποτελέσµατα του αλγορίθµου βρίσκονται στις τελευταίες θέσεις τις κατάταξης. Ας σηµειώσουµε όµως ότι για τις τιµές µεγέθους του πρωταθλήµατος που εξετάσαµε και για πληθυσµούς µεγαλύτερους του 200, δεν µπορεί ο λόγος τους να πάρει τιµές κοντά στο 0,1. Αυτό που µπορούµε να δούµε από τις τρεις αυτές γραφικές παραστάσεις είναι ότι οι σηµαντικότεροι παράγοντες που καθορίζουν την σύγκλιση του απλού γενετικού αλγορίθµου, από τους προηγούµενους τρεις είναι ο πληθυσµός της κάθε γενιάς και ο λόγος του µεγέθους του πρωταθλήµατος προς αυτόν. Αυτοί οι δύο αν και σχετίζονται έχουν κάποιο βαθµό ανεξαρτησίας, σε αντίθεση µε το µέγεθος του πρωταθλήµατος το οποίο θα µπορούσαµε να συµπεράνουµε από τα διαγράµµατα ότι πρέπει να καθορίζεται µε βάση τα άλλα δύο. Η µεγάλη διασπορά στις τιµές των παραπάνω µεγεθών δείχνει ότι οι γενετικοί αλγόριθµοι όπως περιµέναµε µπορούν να λειτουργήσουν ικανοποιητικά σε ένα ευρύ πεδίο τιµών των παραµέτρων τους. Ας δούµε όµως και την επίδραση των τελεστών διαφοροποίησης. 67

68 Τελεστές διαφοροποίησης - ιασταύρωση Μετάλλαξη Οι τελεστές διασταύρωσης και µετάλλαξης εξετάστηκαν ξεχωριστά. Για το τελεστή µετάλλαξης πήραµε τιµές από 0 εώς και 1 ανά 0.1, και οι τιµές των υπολοίπων παραµέτρων ήταν : 120 για τον πληθυσµό και 12 για το µέγεθος του πρωταθλήµατος (όπως έδειξαν τα προηγούµενα πειράµατα) και 0.1 για την πιθανότητα διασταύρωσης. Για τον τελεστή διασταύρωσης πήραµε τιµές από 0 (την αγνοήσαµε δηλαδή εντελώς) έως και 1 ανά 0.1, µε τις ίδιες τιµές όπως και πριν για τον πληθυσµό και το µέγεθος του πρωταθλήµατος, και 0.45 για την µετάλλαξη. Έγιναν 50 επαναλήψεις κάθε περίπτωσης. Τα αποτελέσµατα µπορούµε να τα δούµε στις παρακάτω γραφικές παραστάσεις. Οµοιότητα - Πιθανότητα ιασταύρωσης 0,86 0,855 Οµοιότητα 0,85 0,845 0,84 0, ,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 Πιθανότητα ιασταύρωσης Σχήµα 5-8 Οµοιότητα των λύσεων σε σχέση µε την Πιθανότητα ιασταύρωσης Όπως φαίνεται στο σχήµα 5-8 τα πράγµατα είναι πιο απλά από ότι µε το πληθυσµό ή το µέγεθος του πρωταθλήµατος. Η πιθανότητα διασταύρωσης που δίνει τα καλύτερα αποτελέσµατα είναι 0.2. Ας παρατηρήσουµε όµως ότι η συνολική επίδραση της δεν είναι τόσο σηµαντική. Στην καλύτερη περίπτωση δίνει µόνο 1,9% παραπάνω οµοιότητα στην λύση από ότι στην χειρότερη. 68

69 Οµοιότητα - Πιθανότητα µετάλλαξης Οµοιότητα 0,86 0,84 0,82 0,8 0,78 0,76 0,74 0,72 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 Πιθανότητα Μετάλλαξης Σχήµα 5-9 Οµοιότητα σε σχέση µε την Πιθανότητα Μετάλλαξης. Η πιθανότητα µετάλλαξης που οδηγεί στις καλύτερες λύσεις είναι, όπως φαίνεται από την γραφική παράσταση του σχήµατος 5-9, η 0.7. Η επίδραση του τελεστή της µετάλλαξης είναι πολύ πιο σηµαντική από αυτή του τελεστή της διαφοροποίησης καθώς όταν δεν χρησιµοποιείται µειώνει κατά πολύ την οµοιότητα της λύσης που βρίσκει ο αλγόριθµος. Από την στιγµή που χρησιµοποιείται βέβαια οι διαφορές στην σύγκλιση του αλγορίθµου είναι σχετικά µικρές Σύγκλιση Οι γενετικοί αλγόριθµοι δεν συγκλίνουν απόλυτα σε λύση, έχοντας θέσει όµως τα κατάλληλα κριτήρια για την εξέλιξη του, ελπίζουµε ότι την πλησιάζουν. Για να εξετάσουµε την σύγκλιση τους µε το χρόνο τρέξαµε 10 φορές το ίδιο query 10 αντικειµένων (το ίδιο µε όλα τα άλλα πειράµατα) για 3 ώρες σηµειώνοντας κάθε λεπτό την καλύτερη λύση που είχε βρει ο αλγόριθµος. Οι παράµετροι τέθηκαν στις βέλτιστες τιµές που υπέδειξαν τα παραπάνω πειράµατα. Στις παρακάτω γραφικές παραστάσεις, των σχηµάτων 5-10,5-11, φαίνονται οι µέσοι όροι της οµοιότητας κάθε λεπτό σε συνάρτηση µε το χρόνο σε λεπτά. 69

70 Σύγκλιση 0,9 0,895 Οµοιότητα 0,89 0,885 0,88 0,875 0, Minutes Σχήµα 5-10 Σύγκλιση του αλγορίθµου σε διάστηµα 3 ωρών. Σύγκλιση (Μόνο τα πρώτα 10 λεπτά) 0,9 0,895 Οµοιότητα 0,89 0,885 0,88 0,875 0, Χρόνος (min) Σχήµα 5-11 Σύγκλιση του αλγορίθµου σε διάστηµα 10 λεπτων. Παρατηρούµε, στα σχήµατα 5-10,5-11, ότι στα 10 λεπτά περίπου φτάνει πάρα πολύ κοντά στην βέλτιστη οµοιότητα που έχει φτάσει µετά από 3 ώρες. Η διαφορά από το 1 λεπτό ως τις 70

71 3 ώρες είναι περίπου 2.5% πιο όµοια λύση, πράγµα που σηµαίνει ότι και στο ένα λεπτό έχουµε µια καλή σχετικά προσέγγιση. Είναι πιθανό βέβαια ότι οι τιµές για τις παραµέτρους που βρήκαµε θα ήταν διαφορετικές αν είχαµε σαν κριτήριο την µέγιστη οµοιότητα µετά από 3 ώρες και όχι 1 λεπτό Αποτελέσµατα πειραµάτων για τον δεικτοδοτούµενο γενετικό αλγόριθµο Για τον δεικτοδοτούµενο γενετικό αλγόριθµο κάναµε ακριβώς τα ίδια πειράµατα που κάναµε και για τον απλό. Οι καλύτερες τιµές των παραµέτρων για την λειτουργία του αλγορίθµου που προσδιορίστηκαν, όπως θα δούµε, είναι διαφορετικές Πληθυσµός Μέγεθος πρωταθλήµατος Το ζευγάρι τιµών για τον πληθυσµό και το µέγεθος του πρωταθλήµατος που δίνει την καλύτερη λύση είναι (20,12). Παρατηρούµε ένα πολύ µεγάλο µέγεθος πρωταθλήµατος σε σχέση µε τον πληθυσµό, γεγονός που µεταφράζεται σε πολύ µικρή πιθανότητα επιβίωσης λύσεων που δεν έχουν την µέγιστη οµοιότητα. Στην ουσία κάθε γενιά θα αποτελείται κυρίως από πολλά αντίγραφα της (ή των) βέλτιστης λύσης της προηγούµενης γενιάς. ηλαδή ο αλγόριθµος µόνος του προσαρµόζεται και εγκαταλείπει, σε µεγάλο βαθµό, την παράλληλη εξέλιξη πολλών λύσεων αλλά εξελίσσει λίγες ή µία. Η λειτουργία του δηλαδή πλησιάζει τον hill- climbing αλγόριθµο, κάτι που δεν είναι τόσο παράξενο αν αναλογιστούµε ότι ο δεύτερος έχει καλύτερες επιδόσεις, όταν χρησιµοποιείται το R*-tree [A01]. Μία συνολική εικόνα της επίδοσης του αλγορίθµου σε σχέση µε τις δύο εξεταζόµενες παραµέτρους µπορούµε να έχουµε από την γραφική παράσταση του σχήµατος

72 Σχήµα 5-12 Οµοιότητα σε σχέση µε τον Πληθυσµό και το Μεγ. του Πρωταθλήµατος. 72