SLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE FAKULTA CHEMICKEJ A POTRAVINÁRSKEJ TECHNOLÓGIE Ústav informatizácie, automatizácie a matematiky
|
|
- Οφιούχος Ταρσούλη
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 SLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE FAKULTA CHEMICKEJ A POTRAVINÁRSKEJ TECHNOLÓGIE Ústav informatizácie, automatizácie a matematiky Semestrálny projekt E-learning: Proseminár z matematiky a Matematika I Vypracovali: Natália Mikušová Martin Mišenko Michaela Plekancová Kinga Batárová Simon Koniar Ivan Komžík Ivan Getta Vedúci projektu: Ing. Marián Gall, PhD, Mgr. Ľubomíra Horanská, PhD. Bratislava 2014
2 Obsah Úvod... 3 STACK základné informácie:... 4 Vytvorenie novej otázky... 4 Funkcie a príkazy používané v STACK-u... 8 Banka otázok Proseminár z matematiky Úpravy algebraických výrazov Rovnice a nerovnice Elementárne funkcie a ich grafy Exponenciálna a logaritmická funkcia Goniometria Polynómy Analytická geometria Matematika I Vektory, matice Sústavy lineárnych rovníc Algebraické rovnice Derivácie Priebeh funkcie Neurčitý integrál Určitý integrál a jeho aplikácie Záver Použité zdroje
3 Úvod: Našou úlohou v tomto semestrálnom projekte bolo osvojiť si základné zručnosti pri práci so systémom STACK a následne k nemu vytvoriť základného sprievodcu, t.j. napísať stručný manuál pre vytváranie testových otázok v tomto programe, ktorý je súčasťou e-learning Moodle. Venovali sme sa vytváraniu otázok z predmetu Matematika I a Proseminár z matematiky, ktoré sú určené pre študentov prvého ročníka FCHPT. Každý z nás sa osobitne venoval jednej kapitole z predmetu Matematika I a taktiež aj jednej kapitole z Prosemináru z matematiky. V prvých častiach práce je možné nájsť základné informácie ohľadom vytvorenia novej otázky ako sú všeobecné nastavenia, vkladanie odpovedí a ďalšie, v časti Banka otázok každý približuje svoje vybrané kapitoly a zameriava sa na ukážky a vysvetlenia niektorých úloh. Naším cieľom pri vypracovávaní projektu bolo hlavne zjednodušiť prácu budúcim používateľom poskytnutím im jednoduchej ale účelnej učebnej pomôcky, v ktorej by mohli nájsť všetko potrebné pre začatie práce s týmto programom. 3
4 STACK základné informácie: STACK je skratka pre System for Teaching and Assessment using a Computer algebra Kernel. STACK je voľne dostupný výpočtový softvér určený pre matematiku, fyziku a príbuzné vedné disciplíny. Tento softvér je súčasťou systému e-learning Moodle a ponúka pre svojich užívateľov možnosť tvorby otázok na účely testovania, ako aj ich vypracovávanie. STACK používa pre fungovanie výpočtový systém ( computer algebra system ) Maxima. Práve zo systému Maxima STACK preberá väčšinu svojich funkcií, rovnako ako syntax a niektoré preddefinované príkazy. Maxima, ako aj iné výpočtové systémy podobného druhu povoľujú manipuláciu s matematickými výrazmi v symbolickom tvare. Medzi tieto matematické objekty patria napr. derivácie, integrácie, nekonečné rady, Laplaceove transformácie, obyčajné diferenciálne rovnice, systémy lineárnych rovníc, polynómy, vektory, matice atď. STACK si našiel svoje uplatnenie v matematike a ostatných prírodných vedách najmä kvôli systému vkladania odpovedí. Na rozdiel od iných softvérov netvorí testové otázky, kde si študent môže vyberať medzi viacerými možnými odpoveďami, ale vyžaduje ručné vpísanie odpovedi na položenú otázku, čím je študent donútený príklad prepočítať. A práve toto z neho robí užitočný nástroj pre výučbu všetkých vyššie spomenutých predmetov. Vytvorenie novej otázky Táto časť poskytuje podrobný návod k vytvoreniu novej otázky cez STACK. 1 Všeobecné nastavenia: Aktuálna kategória a uložiť v kategórii: Umožňuje vybrať priečinok, do ktorého sa otázka uloží. Question name: Tvorca do tohto poľa vkladá výstižný názov otázky, ktorú chce vytvoriť. Pole je povinné a názov musí byť vyplnený. Question variables: Toto okno je určené na definovanie vlastných premenných a funkcií a následnú manipuláciu s nimi. Okno tiež dovoľuje vkladať preddefinované funkcie a príkazy. Každá definícia aj príkaz by mali byť ukončené bodkočiarkou (bodkočiarka je voliteľná možnosť, autor sa môže rozhodnúť ju nepoužívať, ale vystavuje sa možným problémom). Všetky premenné aj funkcie vytvorené v tomto okne môže tvorca otázky ďalej používať vo všetkých ďalších častiach otázky, ak je to potrebné. 4
5 Random group: Za normálnych okolností sa toto pole necháva prázdne. Vyplní sa len vtedy, keď chce tvorca použiť jednu a tú istú sadu náhodne vygenerovaných čísel pre dve rôzne otázky. Vtedy sa do jednej aj druhej otázky do poľa random group vloží rovnaký reťazec. Question text: Text otázky je taký text, ktorý sa zobrazí študentovi pri otvorení otázky. Text otázky musí povinne obsahovať slovné zadanie, ktoré sa vytvára pomocou premenných a funkcií zadefinovaných v okne question variables a obyčajného textu. Každý matematický výraz sa uzatvára do zátvoriek \[ \] a každá premenná je označená dvoma napr. \]. Všetko mimo zátvoriek bude zobrazované ako normálny text. Text otázky musí ďalej povinne obsahovať vytvorenie dvoch polí: [[input:ans1]], [[validation:ans1]]. Do prvého poľa bude študent vkladať svoju odpoveď a druhé pole slúži na overenie správnosti vloženej odpovede. Specific feedback: Špecifická spätná väzba je vyplnená výrazom: [[feedback:prt1]] Tento výraz odkazuje na potential response tree, ktorý vypíše konkrétnu spätnú väzbu. General feedback: Všeobecná spätná väzba je vlastne riešenie otázky. Toto riešenie sa objaví študentovi po odoslaní jeho otázky na hodnotenie. Zobrazenie textu nezáleží na správnosti výsledku, pri každej odpovedi sa každému študentovi zobrazí rovnaký text, ktorý autor zadal ako riešenie. V tomto poli je vhodné používať premenné a funkcie zadefinované v okne question variables. Question note: Cieľom tejto poznámky je rozoznávať náhodné verzie otázky. Dve verzie otázky sú si rovné vtedy a len vtedy, ak poznámky sú si rovné. 2 input : ans1 Input type: Input type určuje, akého typu bude odpoveď, ktorú študent zadá do odpoveďového poľa. Autor sa môže rozhodnúť medzi možnosťami: algebraický výraz, matica, jeden znak, text, áno/nie odpoveď. Model answer: V tomto poli musí byť udané modelové riešenie úlohy. Na jeho definíciu môžeme použiť premenné a funkcie definované v okne question variables. Input box size: Určuje, aké dlhé má byť pole, do ktorého študent vkladá svoju odpoveď. 5
6 Strict syntax: Autor môže vybrať možnosť, či študent bude používať striktnú syntax Maxima alebo nie. Insert stars: Ak je táto možnosť nastavená na áno, systém bude automaticky pridávať * na mieste,kde má byť operácia násobenia. Napr. výraz 2(1-4x) bude zmenený na 2*(1-4*x). Forbidden words: Toto pole môže byť naplnené slovami, ktoré nemá študent dovolené používať vo svojej odpovedi. Forbid float: Ak je táto možnosť nastavená na áno, potom odpoveď zadaná v tvare desatinného čísla je považovaná za chybnú (iba odpoveď zadaná vo forme zlomku bude akceptovaná ako správna). Require lowest terms: Ak je táto možnosť nastavená na áno, všetky racionálne čísla vo výraze musia byť zapísané ako zlomky upravené na základný tvar, inak je odpoveď považovaná za chybnú. Check the type of the response: Ak je táto možnosť nastavená na áno, odpovede iného typu, ako je zvolený v možnosti input type sú považované za chybné. Student must verify: Ak je táto možnosť nastavená na áno, systém vyžaduje pred odoslaním odpovede súhlas s týmto odoslaním a odpoveď je odoslaná až po súhlase. Show the validation: Ak je táto možnosť nastavená na áno, študentovi sa po odoslaní otázky zobrazí vyhodnotenie aj spätná väzba, ak je nejaká zadaná. Extra options: Niektoré typy odpovede vyžadujú špeciálne nastavenia, aby boli funkčné. Tieto nastavenia je možné vkladať do poľa extra options. 6
7 3 potential response tree : prt1 Node1 Answer test: Test odpovede porovnáva dva výrazy a vyhodnocuje, či sú splnené nejaké matematické kritériá. SAns: Je prvým argumentom (výrazom), ktorý vstupuje do testu odpovede. V testoch odpovede, v ktorých sú vstupujúce výrazy rozdielne, reprezentuje toto pole odpoveď študenta Ans1. Tento výraz by mal byť závislý od premenných zadaných v otázke alebo spätnej väzbe. TAns: Je druhým argumentom (výrazom), ktorý vstupuje do testu odpovede. V testoch odpovede, v ktorých sú vstupujúce výrazy rozdielne, reprezentuje toto pole odpoveď učiteľa Model answer. Takisto by mal byť závislý od premenných zadaných v otázke alebo spätnej väzbe. Test options: Toto pole umožňuje testu odpovedi akceptovať nejakú možnosť, napr. premennú alebo číselnú presnosť. Quiet: Ak je táto možnosť nastavená na hodnotu áno, akákoľvek automaticky vygenerovaná spätná väzba testom odpovede je skrytá a študentovi sa nezobrazí. Nastavenie tohto poľa nemá vplyv na okná pre spätnú väzbu, ktoré sa nachádzajú v potential response tree. Node 1 when true or false: Mod and score: Určuje ako sa zmení celkové skóre (v rámci testu zloženého z viacerých otázok) po zodpovedaní otázky. = znamená nastaviť skóre na konkrétne hodnoty, +/- pripočíta, alebo odpočíta dané skóre z aktuálneho celkového skoré z testu. Penalty: V adaptatívnom alebo interaktívnom móde (nastavení) spočítava danú chybu (pri nesprávnej odpovedi). Next: Či má prejsť na ďalší Node, ak áno, tak na aký, ak nie tak zadaj stop 7
8 Answer note: Toto pole, je kľúčové pre vykazovanie správ. Udáva jednoznačnú cestu cez strom a zaznamenáva výstup z každého testu odpovede. Je automaticky generovaný, ale môže byť zmenený na niečo zmysluplné. 4 Options Question-level simplify: Ponúka možnosť zapnúť alebo vypnúť zjednodušovanie. Standard feedback for correct: Spätná väzba vypísaná pri správnej odpovedi. Standard feedback for partially correct: Spätná väzba vypísaná pri čiastočne správnej odpovedi. Standard feedback for incorrect: Spätná väzba vypísaná pri nesprávnej odpovedi. Multiplication sign: Nastavenie znaku pre násobenie bodka, krížik alebo bez znaku. Surd for square root: Nastavenie pre zobrazovanie odmocnín. Meaning and display of sqrt(-1): Nastavuje, aký význam bude mať symbol i a ako sa bude zobrazovať. Inverse trigonometric functions: Nastavuje, ako budú zobrazené inverzné goniometrické funkcie Funkcie a príkazy používané v STACK-u: Priraďovanie hodnôt premenným: a:1; a=1; f(x):=x^2; Priradenie hodnoty 1 premennej a Rovnica Definícia funkcie 8
9 Náhodný výber: Jednou z užitočných vlastností STACK-u je schopnosť generovať náhodné hodnoty pomocou funkcie rand(). Okrem základnej funkcie existujú aj rozličné modifikácie pre generovanie desatinných čísel, vektorov, matíc a ďalších. rand(n) - generuje celé číslo v intervale (0,n-1) rand(n.0) - generuje desatinné číslo v intervale (0,n) rand([a,b,...,z]) - vyberie číslo zo zadaného zoznamu rand(matrix(..)) - vytvorí maticu celú zloženú z náhodne generovaných čísel Funkcia rand_with_step generuje náhodné hodnoty čísel z určeného intervalu zo zvoleným krokom. Príklad použitia: rand_with_step(-5,5,1) - vráti náhodné čísla ({-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}) rand_with_step(-5,3,3) - vráti náhodné čísla ({-5,-2,1}) Funkcia rand_with_prohib generuje náhodné hodnoty čísel z určeného intervalu, pričom čísla uvedené v hranatej zátvorke za intervalom sa zo zoznamu vylúčia. Príklad použitia: rand_with_prohib(-5,5,[0]) - vráti náhodné čísla ({-5,-4,-3,-2,- 1,1,2,3,4,5}) rand_with_prohib(-5,5,[-1,0,1]) - vráti náhodné čísla ({-5,-4,-3,- 2,2,3,4,5}) Vytváranie náhodných polynómov: Funkciu rand() môžme aplikovať aj pri vytvorení polynómu určitého stupňa, ktorého koeficienty budú náhodne generované hodnoty zo zvoleného intervalu: Príklad vytvorenia polynómu 5. stupňa z koeficientami z intervalu (0,6): apply("+",makelist(rand(7)*x^(k-1),k,6)); Najpoužívanejšie matematické funkcie: prirodzený logaritmus: log() alebo ln() dekadický logaritmus: log10() alebo lg() exponenciálna funkcia: exp() sínus: sin() kosínus: cos() tangens: tan() 9
10 Odmocnina: sqrt() Absolútna hodnota: abs() Zjednodušovanie: Zjednodušovanie sa dá upraviť pomocou funkcie simp:, existujú dve možné formy: 1. simp:true; zapnuté zjednodušovanie 2. simp:false; vypnuté zjednodušovanie Vytváranie grafov: Grafy sa v STACK-u vytváraju pomocou príkazu Nasledujúci príkaz vytvorí graf funkcie x 2, pričom os x bude v intervale -1 až 1 a os y v intervale 0 až 2. Zoznam funkcií pre úpravu grafov: xlabel ylabel legend color style logx logy axes... Všetky funkcie aj z ukážkami sú dostupné na nasledujúcej stránke: Banka otázok V tejto časti projektu bližšie priblížime konkrétne otázky na jednotlivé témy z predmetu Proseminár z matematiky aj Matematika I. Každá otázka je podrobne rozobratá na jednotlivé časti a pri každej časti je vložený ilustračný obrázok pre lepšiu prehľadnosť. Všetky tieto otázky sú uložené v Banke otázok v kurze STACK v e-learningu fakulty a budú použité na vytváranie testov z vyššie uvedených predmetov pre žiakov 1. semestra. 10
11 Proseminár z matematiky Úpravy algebraických výrazov Vyjadrenie neznámej zo vzorca Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: 1. Najprv si definujeme náhodný výber premenných : v:rand([x,y]); v1:rand([a,b]); 2. Potom si určíme náhodný rozsah číselných hodnôt uzavretých v premenných: r:rand(8) + 1; s:rand(10) + 1; u:rand(3)+2; 3. Ďalším krokom si vytvoríme polotovary, z ktorých vytvoríme požadovaný výraz: p:u; q:(r*v1+s); q1:(s*v+r); 4. Ako posledné zadefinujeme výraz, ktorý očakávame ako výsledok: t:v=((-r*v1*r)+(-r*s)+p)/(s*r*v1+s*s); Náhľad okna V tomto políčku si môžeme vytvoriť nami zvolený výraz vopred zadefinovaný v polotovaroch v Question variables, ktorý sa nám zobrazí na obrazovke. 11
12 V políčku Model answer môžeme definovať požadovaný výsledok v žiadanom tvare alebo len vopred určenú premennú, výraz definovaný v tomto políčku sa nám zobrazí pri kliknutí na Vyplniť správne odpovede : Definovanie časti Node1: Študentovi sa po správnom zadefinovaní zobrazí príklad v nasledujúcom tvare: 12
13 Rovnice a nerovnice Riešenie kvadratickej rovnice s koplexnými koreňmi Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: 1. Definujeme si našu premennú: v:x; 2. Deklarácia typu koreňov rovnice: declare(x1,complex); declare(x2,complex); 3. Deklarácia koeficientov reálnej a komplexnej imaginárnej časti koreňov: declare:(alfa,real); declare(beta,imaginary); 4. Náhodné vygenerovanie koeficientov komplexne združených koreňov rovnice pomocou príkazu rand: alfa:(0+rand(5)); beta:(0+rand(5)); 5. Definovanie koreňov rovnice: x1:alfa+beta*i; x2:alfa-beta*i; 6. Náhodné vygenerovanie koeficientu pri najvyššej mocnine rovnice (polynómu): a:(1+rand(9)); 7. Výpis kvadratickej rovnice: p:expand(a*(x^2-2*alfa*x+alfa^2+beta^2)); Náhľad okna: 13
14 Text otázky: V políčku Model answer môžeme definovať požadovaný výsledok v žiadanom tvare, výraz definovaný v tomto políčku sa nám zobrazí pri kliknutí na Vyplniť správne odpovede : Definovanie časti Node1: 14
15 Elementárne funkcie a ich grafy Lineárna funkcia Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: 1. Pomocou náhodného výberu premenných si postupne zadefinujeme jednotlivé koeficienty lineárnej funkcie: a:-2+rand(3); podobne pre b 2. Premenná p reprezentuje polynóm už s konkrétnymi koeficientmi: p:a*x + b; Náhľad okna: Text otázky: slúži na zobrazenie grafu danej funkcie v otázke. Kde p je predpis funkcie zadefinovaný v Question variables, x je premenná musí sa zhodovať s tou v predpise funkcie! A posledným údajom je interval, na ktorom sa má graf zobraziť. V políčku Model answer môžeme definovať požadovaný výsledok v žiadanom tvare v našom prípade to sú premenné a, b preto je potrebné vytvoriť a vyplniť celkovo dva bloky "Input". Pre správne fungovanie je tiež potrebné vyplniť jednotlivé bloky "Node1". Vzhľad otázky, ktorý sa zobrazí študentovi: 15
16 Kvadratická funkcia Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: 1. Pomocou náhodného výberu premenných si postupne zadefinujeme korene kvadratickej rovnice: x1:rand(7); x2:-rand(7); 2. Potrebné je tiež zadefinovať jednotlivé koeficienty a,b,c, kde a bude vždy rovné 1, b a c vypočítame podľa konkrétnych hodnôt koreňov. 3. Nakoniec do premennej c uložíme predpis polynómu (funkcie). Náhľad okna: 16
17 Text otázky: V políčku Model answer zadefinujeme požadovaný výsledok v žiadanom tvare v našom prípade sú to premenné : a, b, c. Pre správne fungovanie je tiež potrebné vyplniť bloky "Node1". Vzhľad otázky, ktorý sa zobrazí študentovi: Exponenciálna a logaritmická funkcia Logaritmická rovnica s dvoma prirodzenými logaritmami 17
18 Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: 1. Príkaz pre zapnutie zjednodušovania výrazov: simp:true; 2. Náhodný výber premenných: m:rand([x,z,y,u,t]); 3. Definícia konštánt stojacich pri jednotlivých funkciách: a:rand(5)+5; b:rand_with_step(2,6,1); 4. Príkaz pre vypnutie zjednodušovania výrazov: simp:false; 5. Definícia pravej a ľavej strany logaritmickej rovnice: left:log((m^2)); right:a+log(b*m); 6. Definovanie riešenia rovnice vo všeobecnom tvare: r:b*exp(a); Náhľad okna: Text otázky: V políčku Model answer môžeme definovať požadovaný výsledok v žiadanom tvare, výraz definovaný v tomto políčku sa nám zobrazí pri kliknutí na Vyplniť správne odpovede : 18
19 Definovanie časti Node1: Vzhľad otázky, ktorý sa zobrazí študentovi: Goniometria Prevedenie veľkosti uhla z oblúkovej na stupňovú mieru Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: 1. Najprv si definujeme náhodný výber stupňov do našej premennej: v1:rand(60)/rand(60)*pi; 2. Môžeme si zadefinovať aj premennú pre záporné hodnoty: v2:-rand(60)/rand(60)*pi; 3. definujeme náhodný výber premenných: v:rand([v1,v2]); 4. Ako posledné zadefinujeme výraz, ktorý očakávame ako výsledok: p: p:v*360/(2*pi); Náhľad okna: 19
20 Text otázky: V políčku Model answer môžeme definovať požadovaný výsledok v žiadanom tvare, výraz definovaný v tomto políčku sa nám zobrazí pri kliknutí na Vyplniť správne odpovede : Definovanie časti Node1: V políčku Answer test môžeme vidieť možnosť NumAbsolute, ktorá znamená, že výsledok je uznaný v intervale 0,05 čo je pre nás vhodné, pretože študent nemusí uvádzať presnú odpoveď v zlomkoch. Je dôležité pripomenúť, že je potrebné mať zaškrtnuté políčko v časti Input : ans1 Forbid float - Nie :, čím sa povolia desatinné čísla v odpovedi. Zobrazenie hotovej otázky: Riešenie rovnice na intervale (-2π,2π) Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: 1. Definujeme náhodný výber výrazov, ktoré nám stack vygeneruje ako odpoveď: 20
21 a:rand([-1/2,-sqrt(2)/2,-sqrt(3)/2,-(sqrt(6)+sqrt(2))/4,- (sqrt(6)-sqrt(2))/4]); 2. Zadefinujeme výrazy, ktoré očakávame ako výsledky: x1: pi-arcsin(a) -2*pi; x2: arcsin(a)-2*pi; x3: pi-arcsin(a); x4: arcsin(a); Pre jednoduchosť programu píšeme výsledky zľava do prava na osi. Náhľad okna: Text otázky: V texte otázky možno vidieť slúži nám na vykreslenie grafu funkcie sínus, d je definované od -2π do 2π. V tomto prípade budeme mať 4 tabuľky Input : ans(1-4): 21
22 Definovanie časti Node1: V tomto prípade budeme mať takisto 4 tabuľky pre prt (1-4) rovnaké pre príslušné odpovede: Zobrazenie hotovej otázky: Polynómy Rozklad polynómu 2. stupňa na súčin Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: 1. Najprv si definujeme náhodný výber premenných: v:rand([x,z,t,v,u,y]); 2. Následne si definujeme koeficienty polynómu, taktiež náhodným výberom pomocou príkazu rand: a:rand(10)+1; b:rand(10)+1; 3. Ďalším krokom je vytvorenie samotného polynómu, ktorý sa zobrazí v zadaní: p:v^2+v*(-b)+v*(-a)+(-a)*(-b); 22
23 4. Ako posledné zadefinujeme výraz, ktorý očakávame ako výsledok: w:(va)*(v-b); Náhľad okna: Text otázky: V políčku Model answer môžeme definovať požadovaný výsledok v žiadanom tvare, výraz definovaný v tomto políčku sa nám zobrazí pri kliknutí na Vyplniť správne odpovede : Definovanie časti Node1: Podobne vytvoríme rozklad polynómov vyšších stupňov. Zobrazenie hotovej otázky: 23
24 Roznásobenie troch lineárnych výrazov Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: 1. Najprv si definujeme náhodný výber premenných: v:rand([x,z,t,v,u,y]); 2. Použijeme funkciu simp:false, aby nám lineárne výrazy automaticky neroznásobilo 3. Následne si definujeme koeficienty výrazov, taktiež náhodným výberom pomocou príkazu rand_with_prohib, pretože chceme vyberať z kladných aj záporných čísel okrem nuly : c1:rand_with_prohib(-5,5,[0]); c2:rand_with_prohib(-5,5,[0]); c3:rand_with_prohib(-5,5,[0]); 4. Ďalším krokom je vytvorenie samotného výrazov: v1:(v+c1); v2:(v+c2); v3:(v+c3); 5. Zadefinujeme výraz, ktorý sa zobrazí na monitore: q:v1*v2*v3; 6. Posledným krokom je použitie funkcie simp:true kvôli roznásobeniu výrazov, ktoré sa zobrazí pri kliknutí na Vyplniť správne odpovede Náhľad okna: 24
25 V políčku Model answer môžeme definovať požadovaný výsledok v žiadanom tvare, výraz definovaný v tomto políčku sa nám zobrazí pri kliknutí na Vyplniť správne odpovede : Výraz sme museli napísať v tvare roznásobenia každý člen s každým, avšak na monitore sa vďaka funkcii simp:true zobrazí v skrátenom roznásobenom tvare. Definovanie časti Node1: Zobrazenie hotovej otázky: Analytická geometria Analytická geometria Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: 1. Najprv si definujeme koeficienty, náhodným výberom pomocou príkazu rand: a1:rand(5)+1; a2:rand(9)+4; 2. Ďalším krokom je vytvorenie zadania, ktoré sa zobrazí : x1:a4+a6*t; 25
26 y1:a5+a7*t; p1:a1*x+a2*y+a3=0; 3. Musíme si všeobecne odvodiť výraz podľa, ktorého ma náš program počítať: t:(-a1*a4-a2*a5-a3)/(a1*a6+a2*a7); x11:a4+a6*t; y11:a5+a7*t; 4. Ako posledné zadefinujeme výraz, ktorý očakávame ako výsledok: v:[x11,y11]; Náhľad okna: Text otázky: V políčku Model answer môžeme definovať požadovaný výsledok v žiadanom tvare, výraz definovaný v tomto políčku sa nám zobrazí pri kliknutí na Vyplniť správne odpovede : 26
27 Definovanie časti Node1: Kužeľosečky Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: 1. Najprv si definujeme koeficienty, náhodným výberom pomocou príkazu rand: l:rand(5)+1; a:rand(1)+4; m:rand(1)+6; 2. Ďalším krokom je vytvorenie zadania, ktoré sa zobrazí: V tomto prípade sa zadanie skladá len so štyroch bodov z náhodného výberu, ktorý je uvedený vyššie. 3. Musíme si všeobecne odvodiť výraz podľa, ktorého ma náš program počítať: S1:(l+m)/2; S2:(a+l)/2; r:sqrt((s1-l)^2+(s2-a)^2); 4. Ako posledné zadefinujeme výraz, ktorý očakávame ako výsledok: d:x^2-2*x*s1+s1^2+y^2-2*y*s2+s2^2-r^2=0; Náhľad okna: 27
28 Text otázky: V políčku Model answer môžeme definovať požadovaný výsledok v žiadanom tvare, výraz definovaný v tomto políčku sa nám zobrazí pri kliknutí na Vyplniť správne odpovede : Definovanie časti Node1: Matematika I Vektory, matice Súčet dvoch vektorov Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: 1. Pomocou náhodného výberu premenných si postupne zadefinujeme jednotlivé prvky vektorov: 28
29 ax:-10+rand(7); - prvok ax (1. prvok vektora a) môže nadobudnúť hodnotu od - 10 do 3 2. Výpočet jednotlivých prvkov výsledného vektora c a uloženie do premenných: cx:ax + bx; analogicky pre cy a cz Náhľad okna: Text otázky: V políčku Model answer môžeme definovať požadovaný výsledok v žiadanom tvare v našom prípade to sú premenné cx, cy a cz, preto je potrebné vytvoriť a vyplniť celkovo tri bloky "Input": Pre správne fungovanie je tiež potrebné vyplniť jednotlivé bloky "Node1" nasledovne: 29
30 Vzhľad otázky, ktorý sa zobrazí študentovi: Rovnakým spôsobom bol vytvorený druhý typ otázky s rozdielom: Táto zmena sa vo výzore otázky prejaví nasledovne: 30
31 Skalárny súčin dvoch matíc Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: 1. Pomocou náhodného výberu premenných si vytvoríme dve matice 3x3 (funguje to aj bez pripočítania druhej matice): A:ev(rand(matrix([5,5,5],[5,5,5],[5,5,5]))+matrix([2,2,2],[2,2,2],[2,2,2]),simp); podobne pre maticu B 2. Do premennej TA uložíme výsledok násobenia matíc, skalárny súčin matíc sa vypočíta pomocou operátora. : TA:ev(A.B,simp); Náhľad okna: Text otázky: 31
32 V políčku Model answer zadefinujeme požadovaný výsledok v žiadanom tvare v našom prípade je to premenná TA a typ odpovede zmeníme na matrix: Pre správne fungovanie je tiež potrebné vyplniť blok "Node1". Vzhľad otázky, ktorý sa zobrazí študentovi: Sústavy lineárnych rovníc Lineárna rovnica Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: v podstate tak isto ako v úprave algebraických výrazov až na konkrétny výsledok 1. Najprv si definujeme náhodný výber premenných : r:rand([x,z]); s:rand([y,u]); 2. Potom si určíme náhodný rozsah číselných hodnôt: a:rand(6)+1; b:rand(6)+2; c:rand(15)+2; d:rand(4)+1; e:-rand(5)-2; f:rand(11)+6; 32
33 3. Ďalším krokom si vytvoríme polotovary, z ktorých vytvoríme požadovaný výraz: o:a*r+b*s; o1:d*r+e*s; 4. Ako posledné zadefinujeme výraz, ktorý očakávame ako výsledok: t:(c*e-b*f)/(a*e-b*d); t1:(a*f-c*d)/(a*e-b*d); Náhľad okna V tomto políčku si môžeme vytvoriť nami zvolený výraz vopred zadefinovaný v polotovarochv Question variables, ktorý sa nám zobrazí na obrazovke. V políčku Model answer môžeme definovať požadovaný výsledok v žiadanom tvare alebo len vopred určenú premennú, výraz definovaný v tomto políčku sa nám zobrazí pri kliknutí na Vyplniť správne odpovede : 33
34 Dôležité je správne vyplniť potrebné políčka v nasledovnom tvare: Študentovi sa po správnom zadefinovaní zobrazí príklad v nasledujúcom tvare: 34
35 Algebraické rovnice Binomická rovnica Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: 5. Najprv si definujeme náhodný výber premenných: v:rand([x,z,t,v,u,y]); 6. Následne si definujeme výraz, ktorý sa zobrazí na monitore: q:x^4-1; Náhľad okna: V texte otázky musíme vyrobiť štyri políčka, pretože binomická rovnica ma štyri korene: Definovanie požadovaných výsledkov: 35
36 Pre každý výsledok máme samostatný Node: Zobrazenie hotovej otázky: 36
37 Rovnica tretieho stupňa so súčtom koeficientov rovným nule Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: 1. Najprv si definujeme náhodný výber premenných: v:rand([x,z,t,v,u,y]); 2. Následne si definujeme jednotlivé koeficienty polynómu: a:rand_with_prohib(-5,5,[0]); b:rand_with_prohib(-5,5,[0]); c:rand_with_prohib(-5,5,[0]); 3. Roznásobenie jednotlivých výrazov vznik polynómu: q:expand(a*(v-1)*(v-b)*(v-c)); Náhľad okna: V texte otázky musíme vyrobiť tri políčka, pretože rovnica ma tri korene. Definovanie požadovaných výsledkov: 37
38 Pre každý výsledok máme samostatný Node: Rovnica tretieho stupňa s daným jedným koreňom Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: 1. Najprv si definujeme náhodný výber premenných: v:rand([x,z,t,v,u,y]); 2. Definujeme náhodne koeficienty polynómu: a:rand_with_prohib(-5,5,[0]); b:rand_with_prohib(-5,5,[0]); c:rand_with_prohib(-5,5,[0]); 3. Definovanie polynómu pomocou roznásobenia výrazov: p:expand((v+a)*(v+b)*(v+c)); Náhľad okna: V texte otázky musíme vyrobiť dve políčka, pretože zadávame len dve korene. Definovanie požadovaných výsledkov: 38
39 Pre každý výsledok máme samostatný Node: Derivácie Derivácia súčinu alebo podielu prirodzeného logaritmu Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: 1. Náhodný výber premenných: m:rand([x,t,u,s]); 2. Definícia konštánt stojacich pri jednotlivých funkciách: a:rand(4)+2; b:rand(4)+2; 3. Definícia 4 rôznych funkcií f1 až f4: f1:m*log(m); f2:m/log(m); f3:a*m*log(b*m); f4:b*m/log(a*m); 4. Náhodný výber funkcií: f:rand([f1,f2,f3,f4]); Náhľad okna: Text otázky: 39
40 V políčku Model answer musí byť zapísaný výraz diff(f,m), ktorý reprezentuje deriváciu definovaj funkcie f podľa premennej m. Definovanie časti Node1: Vzhľad otázky, ktorý sa zobrazí študentovi: Priebeh funkcie Inflexné body Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: 1. Náhodný výber konštánt pomocou príkazu rand: c1:rand(100); c2:rand(20); 40
41 a:3*(3+rand(15)); b:rand(10); 2. Definícia polynómu štvrtého stupňa(ulahčíme si úlohu tak, že najprv zintegrujeme 2x polynóm 2. stupňa, z ktorého vieme výrazy, v našom prípade (a-12x)(b-x)): v:x^4-(a*x^3)/6-2*b*x^3+1/2*a*b*x^2+c1*x+c2; 3. Ako posledné zadefinujeme výrazy, ktoré očakávame ako výsledky: x1: a/12; x2: b; Náhľad okna: Text otázky(definujeme tu aj vykreslenie x (-2,10)) : V tomto prípade budeme mať 4 tabuľky Input : ans(1-4): Definovanie časti Node1 pre prt1: Keďže študent nevie v akom poradí má byť napísaná odpoveď, musí byť výsledok uznaný v oboch oknách. To spravíme nasledovne: 41
42 avšak musíme uznať aj výsledok x2: Aby sme zabránili uznávaniu duplicitnej odpovede v oboch oknách, musíme pri duplicitnej odpovedi nastaviť penalizáciu(ak sa v druhom okne ans2 nachádza rovnaká odpoveď x1 potom strhne penalizáciu): Rovnaký postup uplatníme aj pre prt2: Vzhľad otázky, ktorý sa zobrazí študentovi(vyplnená): Neurčitý integrál Neurčitý integrál 42
43 Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: 1. Najprv si definujeme náhodný výber premenných: v:rand([x,t,s,p,v,j]); 2. Následne si definujeme koeficienty integrálu, taktiež náhodným výberom pomocou príkazu rand: l:rand(5)+1; a:rand(1)+4; 3. Ďalším krokom je vytvorenie samotného integrálu, ktorý sa zobrazí v zadaní: p:((v)^(a-1)+(v*a)^(l-1)+(a*v)); Náhľad okna: Text otázky: V políčku Model answer môžeme definovať požadovaný výsledok v žiadanom tvare, výraz definovaný v tomto políčku sa nám zobrazí pri kliknutí na Vyplniť správne odpovede : Definovanie časti Node1: 43
44 Určitý integrál a jeho aplikácie Obsah časti roviny ohraničenej priamkami a parabolou Štruktúru otázky zapisujeme do okna Question variables nasledovne: 1. Definujeme si našu premennú: a:(1+rand(8)); 2. Definujeme si premennú b, ktorá udáva hranice určitého integrálu priamky, ktorými je ohraničená plocha: b:(1+rand(a)); 3. Definovanie kvadratickej funkcie rovnice paraboly, ktorou je taktiež ohraničená plocha, ktorú chceme vypočítať: p:a^2-x^2; 4. Zadefinujeme výraz, ktorý očakávame ako výsledok: v:integrate(p,x,-b,b); Náhľad okna: Text otázky: 44
45 V políčku Model answer môžeme definovať požadovaný výsledok v žiadanom tvare, výraz definovaný v tomto políčku sa nám zobrazí pri kliknutí na Vyplniť správne odpovede : Definovanie časti Node1: 45
46 Záver: V semestrálnom projekte sme vytvorili pomerne veľkú banku otázok pre e-learning kurzy predmetov Proseminár z matematiky a Matematika I. Na rozdiel od doteraz existujúcich testov v e-learning kurzoch týchto predmetov, ktoré obsahovali otázky, pri ktorých si študent musel vyberať z niekoľkých možných odpovedí otázky, my sme vytvorili v prostredí STACK otázky, ktoré vyžadujú od študenta samostatné vloženie správnej odpovede. Výzvou bolo najmä zvládnutie samotného STACK-u, keďže nie je dostupný žiadny systematický manuál k používaniu tohto prostredia. Preto sme sa v prvej časti našej práce venovali vysvetleniu aspoň základných pravidiel na vytváranie testových otázok. 46
47 Použité zdroje:
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραKompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017
Kompilátory Cvičenie 6: LLVM Peter Kostolányi 21. novembra 2017 LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov Pôvodne Low Level Virtual Machine
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότερα1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy
1. Rovnice, nerovnice a ich sústavy Osah Pojmy: rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc a ich riešenie, koeficient, koreň, koreňový činiteľ, diskriminant, doplnenie do štvorca, úprava na súčin,
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότερα,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραCieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,
Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach
Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Zbierka úloh
Blanka Baculíková Ivan Daňo Numerické metódy Zbierka úloh Strana 1 z 37 Predhovor 3 1 Nelineárne rovnice 4 2 Sústavy lineárnych rovníc 7 3 Sústavy nelineárnych rovníc 1 4 Interpolačné polynómy 14 5 Aproximácia
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότεραZákladné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií
Ma-Go-2-T List Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií RNDr. Marián Macko U: Predstav si, že ti zadám hodnotu jednej z goniometrických funkcií. Napríklad sin x = 0,6. Vedel by si určiť
Διαβάστε περισσότεραTREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT. k predmetu Matematika pre
TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT k predmetu Matematika pre 2. ročník SOŠ v Strážskom, študijný odbor 3760 6 00 prevádzka a ekonomika dopravy Operačný program: Vzdelávanie Programové obdobie:
Διαβάστε περισσότερα3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραLineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
Διαβάστε περισσότεραNávrh vzduchotesnosti pre detaily napojení
Výpočet lineárneho stratového súčiniteľa tepelného mosta vzťahujúceho sa k vonkajším rozmerom: Ψ e podľa STN EN ISO 10211 Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení Objednávateľ: Ing. Natália Voltmannová
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραSúčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.
Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραNUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory
Διαβάστε περισσότεραDerive vo vyučovaní matematiky
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ PaedDr. Jana Kontuľová Derive vo vyučovaní matematiky Osvedčená pedagogická skúsenosť edukačnej praxe Prešov 2012
Διαβάστε περισσότεραAerobTec Altis Micro
AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp
Διαβάστε περισσότεραDerivácia funkcie. Pravidlá derivovania výrazov obsahujúcich operácie. Derivácie elementárnych funkcií
Derivácia funkcie Derivácia funkcie je jeden z najužitočnejších nástrojov, ktoré používame v matematike a jej aplikáciách v ďalších odboroch. Stručne zhrnieme základné informácie o deriváciách. Podrobnejšie
Διαβάστε περισσότερα1 Polynómy a racionálne funkcie Základy Polynómy Cvičenia Racionálne funkcie... 17
Obsah 1 Polynómy a racionálne funkcie 3 11 Základy 3 1 Polynómy 7 11 Cvičenia 13 13 Racionálne funkcie 17 131 Cvičenia 19 Lineárna algebra 3 1 Matice 3 11 Matice - základné vlastnosti 3 1 Cvičenia 6 Sústavy
Διαβάστε περισσότεραTutoriál3 : Využitie grafických možností jazyka Matlab
NÁPLŇ 1. ÚVOD DO PRÁCE S GRAFIKOU 2. 2D GRAFIKA 3. 3D GRAFIKA 4. PRÍKLADY NA SAMOSTATNÉ RIEŠENIE 1 Matlab ponúka rýchlu a kvalitnú reprezentáciu funkcií vo forme grafov. Disponuje pokročilou grafikou v
Διαβάστε περισσότεραVLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραRiešenie rovníc s aplikáciou na elektrické obvody
Zadanie č.1 Riešenie rovníc s aplikáciou na elektrické obvody Nasledujúce uvedené poznatky z oblasti riešenia elektrických obvodov pomocou metódy slučkových prúdov a uzlových napätí je potrebné využiť
Διαβάστε περισσότεραPRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ PRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Strojnícka fakulta Andrea Feňovčíková Gabriela Ižaríková aaaa aaaa Táto
Διαβάστε περισσότεραVýrazy a ich úpravy. -17x 6 : -17 koeficient; x premenná; 6 exponent premennej x. 23xy 3 z 5 = 23x 1 y 3 z 5 : 23 koeficient; x; y; z premenné;
Výrazy a ich úpravy Počtový výraz je matematický zápis, ktorým vyjadrujeme počtové operácie s číslami a poradie v akom majú byť prevedené. Napr.: ( (5 1,76)+5):0,4. Počtové výrazy sa pomenovávajú podľa
Διαβάστε περισσότεραprimitívnoufunkcioukfukncii f(x)=xnamnožinereálnychčísel.avšakaj 2 +1 = x, tedaajfunkcia x2
Neurčitý integrál. Primitívna funkcia a neurčitý integrál Funkcia F(x)sanazývaprimitívnoufunkcioukfunkcii f(x)naintervale(a,b),akpre každé x (a,b)platí F (x)=f(x). Z definície vidíme, že pojem primitívnej
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραZáklady automatického riadenia
Základy automatického riadenia Prednáška 1 doc. Ing. Anna Jadlovská, PhD., doc. Ing. Ján Jadlovský, CSc. Katedra kybernetiky a umelej inteligencie Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická univerzita
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry
Katedra matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická Univerzita v Košiciach Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová, Helena Myšková 005 RECENZOVALI: RNDr. Štefan Schrötter, CSc. RNDr.
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Διαβάστε περισσότεραPolynómy. Hornerova schéma. Algebrické rovnice
Polynómy. Hornerova schéma. Algebrické rovnice Teoretické základy Definícia 1 Nech (koeficienty) a 0, a 1,..., a n sú komplexné čísla a nech n je nezáporné celé číslo. Výraz P n (x) = a n x n + a n 1 x
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice riešené substitúciou
Ma-Go-10-T List 1 Goniometrické rovnice riešené substitúciou RNDr. Marián Macko U: Okrem základných goniometrických rovníc, ktorým sme sa už venovali, existujú aj zložitejšie goniometrické rovnice. Metódy
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov
ALGEBRA Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov Definícia Množinu považujeme za určenú, ak vieme o ľubovoľnom objekte rozhodnúť, či je alebo nie je prvkom množiny. Množinu určujeme
Διαβάστε περισσότεραRiešenie úloh v simulačnom jazyku MATLAB s využitím skriptov a funkcií
Riešenie úloh vsimulačnom využitím skriptov s.m, ktorý slúži na ukladanie postupnosti, alebo na ukladanie užívateľských funkcií. Využívajú sa predovšetkým vtedy, keď je potrebné zadať väčšie množstvo príkazov,
Διαβάστε περισσότεραOsnovy pre slovensko-francúzske sekcie gymnázií Matematika
Osnovy pre slovensko-francúzske sekcie gymnázií Matematika CIELE Ciele matematiky na bilingválnom gymnáziu sa v zásade nelíšia od cieľov klasických slovenských gymnázií. Hlavným rozdielom je získanie schopnosti
Διαβάστε περισσότεραPevné ložiská. Voľné ložiská
SUPPORTS D EXTREMITES DE PRECISION - SUPPORT UNIT FOR BALLSCREWS LOŽISKA PRE GULIČKOVÉ SKRUTKY A TRAPÉZOVÉ SKRUTKY Výber správnej podpory konca uličkovej skrutky či trapézovej skrutky je dôležité pre správnu
Διαβάστε περισσότερα1. Komplexné čísla. Doteraz ste pracovali s číslami, ktoré pochádzali z nasledovných množín:
1. Komplexné čísla Po preštudovaní danej kapitoly by ste mali byť shopní: poznať použitie a význam komplexnýh čísel v elektrikýh obvodoh rozumieť pojmom reálna a imaginárna časť, imaginárna jednotka, veľkosť,
Διαβάστε περισσότεραUčebné osnovy. Predmet: Matematika vo francúzskom jazyku. 1. ročník 2. ročník 3. ročník 4. ročník 5. ročník Spolu počet h týždenne.
Gymnázium Ľudovíta Štúra v Trenčíne Učebné osnovy Stupeň vzdelania: ISCED 3A Študijný odbor: 7902 J gymnázium Zameranie školského vzdelávacieho programu: bilingválne štúdium Predmet: Matematika vo francúzskom
Διαβάστε περισσότεραREZISTORY. Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických
REZISTORY Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických obvodoch. Základnou vlastnosťou rezistora je jeho odpor. Odpor je fyzikálna vlastnosť, ktorá je daná štruktúrou materiálu
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Základné pojmy a vzťahy Základné neurčité integrály Cvičenia Výsledky... 11
Obsah Neurčitý integrál 7. Základné pojmy a vzťahy.................................. 7.. Základné neurčité integrály............................. 9.. Cvičenia..........................................3
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické nerovnice
Ma-Go--T List Goniometrické nerovnice RNDr. Marián Macko U: Problematiku, ktorej sa budeme venovať, začneme úlohou. Máme určiť definičný obor funkcie f zadanej predpisom = sin. Máš predstavu, s čím táto
Διαβάστε περισσότεραChí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky
Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.
Διαβάστε περισσότεραp(α 1 ) = u 1. p(α n ) = u n. Definícia (modulárna reprezentácia polynómu). Zobrazenie
1. Rychlá Fourierová transformácia Budeme značiť teleso T a ω jeho prvok. Veta 1.1 (o interpolácií). Nech α 0, α 1,..., α n sú po dvoch rôzne prvky telesa T[x]. Potom pre každé u 0, u 1,..., u n T existuje
Διαβάστε περισσότεραSTREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY KATEDRA MATEMATIKY A TEORETICKEJ INFORMATIKY STREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA pre študentov FEI TU v Košiciach Ján BUŠA Štefan SCHRÖTTER Košice
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραHľadanie, skúmanie a hodnotenie súvislosti medzi znakmi
Hľadanie, skúmanie a hodnotenie súvislosti medzi znakmi Typy súvislostí javov a vecí: nepodstatné - vonkajšia súvislosť nevyplýva z vnútornej potreby (javy spoločne vznikajú, majú zhodný priebeh, alebo
Διαβάστε περισσότεραPRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm
PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,
Διαβάστε περισσότερα15. Matlab Lineárna algebra
1 Portál pre odborné publikovanie ISSN 1338-0087 15. Matlab Lineárna algebra Blaho Michal MATLAB/Comsol 18.09.2009 Matlab pracuje s dátami vo forme vektorov a matíc. Základnej práci s vektormi a maticami
Διαβάστε περισσότεραRIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA
SNÁ PMYSLNÁ ŠKOL LKONKÁ V PŠŤNO KOMPLXNÁ PÁ Č. / ŠN WSONOVO MOSÍK Piešťany, október 00 utor : Marek eteš. Komplexná práca č. / Strana č. / Obsah:. eoretický rozbor Wheatsonovho mostíka. eoretický rozbor
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy matematiky I
Prednáška č. 7 Numerické metódy matematiky I Riešenie sústav lineárnych rovníc ( pokračovanie ) Prednáška č. 7 OBSAH 1. Metóda singulárneho rozkladu (SVD) Úvod SVD štvorcovej matice SVD pre menej rovníc
Διαβάστε περισσότεραPodnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 %
Podnikateľ 90 Samsung S5230 Samsung C3530 Nokia C5 Samsung Shark Slider S3550 Samsung Xcover 271 T-Mobile Pulse Mini Sony Ericsson ZYLO Sony Ericsson Cedar LG GM360 Viewty Snap Nokia C3 Sony Ericsson ZYLO
Διαβάστε περισσότεραC. Kontaktný fasádny zatepľovací systém
C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém C.1. Tepelná izolácia penový polystyrén C.2. Tepelná izolácia minerálne dosky alebo lamely C.3. Tepelná izolácia extrudovaný polystyrén C.4. Tepelná izolácia penový
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραJán Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραGramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
Διαβάστε περισσότεραELEKTRICKÉ POLE. Elektrický náboj je základná vlastnosť častíc, je viazaný na častice látky a vyjadruje stav elektricky nabitých telies.
ELEKTRICKÉ POLE 1. ELEKTRICKÝ NÁBOJ, COULOMBOV ZÁKON Skúmajme napr. trenie celuloidového pravítka látkou, hrebeň suché vlasy, mikrotén slabý prúd vody... Príčinou spomenutých javov je elektrický náboj,
Διαβάστε περισσότεραRiešenie sústavy lineárnych rovníc. Priame metódy.
Riešenie sústavy lineárnych rovníc. Priame metódy. Ing. Gabriel Okša, CSc. Matematický ústav Slovenská akadémia vied Bratislava Stavebná fakulta STU G. Okša: Priame metódy 1/16 Obsah 1 Základy 2 Systémy
Διαβάστε περισσότερα1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia... 3
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 3 1.3 Základné označenia................................. 3 2 Množiny a zobrazenia
Διαβάστε περισσότεραM8 Model "Valcová a kužeľová nádrž v sérií bez interakcie"
M8 Model "Valcová a kužeľová nádrž v sérií bez interakcie" Úlohy: 1. Zostavte matematický popis modelu M8 2. Vytvorte simulačný model v prostredí: a) Simulink zostavte blokovú schému, pomocou rozkladu
Διαβάστε περισσότεραRozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti rozvodu tepla
Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti príloha č. 7 k vyhláške č. 428/2010 Názov prevádzkovateľa verejného : Spravbytkomfort a.s. Prešov Adresa: IČO: Volgogradská 88, 080 01 Prešov 31718523
Διαβάστε περισσότεραHASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S
PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE. Funkcia základné pojmy. Graf funkcie
FUNKCIE Funkcia základné pojm. Graf funkcie V prai sa často stretávame so skúmaním závislosti veľkosti niektorých veličín od veľkosti iných veličín, napríklad dĺžka kružnice l závisí od jej priemeru d
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότεραLogaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus
KrAv11-T List 1 Logaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus RNDr. Jana Krajčiová, PhD. U: Najprv si zopakujme, ako znie definícia logaritmu. Ž: Ja si pamätám, že logaritmus súvisí
Διαβάστε περισσότεραMetodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Διαβάστε περισσότερα