ιαφορικός Λογισµός Λυγάτσικας Ζήνων 7 Φεβρουαρίου Πρότυπο Πειραµατικό Γ.Ε.Λ.

Transcript

1 ιαφορικός Λογισµός Λυγάτσικας Ζήνων Πρότυπο Πειραµατικό Γ.Ε.Λ. Βαρβακείου Σχολής 7 Φεβρουαρίου 015 c:\education\ C lycee \module\ \.34567\derivative.te 1

2 1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ 1 Η έννοια της παραγώγου Ορισµός 1.1 Μια συνάρτηση f λέµε ότι είναι παραγωγίσιµη σ ενα ση- µείο 0 του πεδίου ορισµού της αν υπάρχει το f f και είναι πραγµατικός αριθµός. Το όριο υπάρχει αν 0 f f 0 0 = + 0 f f 0 0 και ονοµάζεται η παράγωγος της f στο 0 ή συµβολικά f 0. Παρατηρήσεις 1.1 Μερικές παρατηρήσεις ιστορικές και µη. 1. Η παράγωγος µιας συνάρτησης f σε ένα σηµείο 0, έχει δύο εκφράσεις : α Την Γεωµετρική, εκφράζοντας τον συντελεστή διεύθυνσης της γρα- ϕικής παράστασης της f στο 0, προσέγγιση του Leibnitz, ϐ Την Φυσική, εκφράζοντας τον ϱυθµό µεταβολής, δηλαδή την ταχύτητα ενός µεγέθους f στη ϑέση 0, προσέγγιση του Newton. Πιστεύουµε ότι η καλύτερη προσέγγιση της έννοιας γίνεται µέσα στο [TF], σελίδες Για να κατανοήσουµε πλήρως την έννοια πρέπει να σκεφτούµε την εφαπτοµένη σαν γραµµική προσέγγιση συνάρτησης, δες [TF] σελίδα Το γεωµετρικό χαρακτηριστικό της γραφικής παράστασης µιας παραγωγίσιµης συνάρτησης είναι ότι υπάρχει πλάγια εφαπτοµένη σε κάθε σηµείο της γραφ. παράστασης. Οταν τα πλευρικά όρια του λόγου µεταβολής f f 0, είναι πραγµατικοί αριθµοί αλλά όχι ίσοι σηµαίνει ότι στο 0 σηµείο 0, f 0 άγονται δύο ηµιεφαπτοµένες που δεν είναι αντικείµενες. Αν τα όρια αυτά είναι ίσα εννοούµε ότι η ηµιεφαπτοµένες αυτές είναι αντικείµενες. Για παράδειγµα η συνάρτηση f = 1 τα πλευρικά όρια στο 1 του πηλίκου είναι διαφορετικά αριστερά και f f1 1 δεξιά του 1, και συνεπώς δεν υπάρχει παράγωγος στο 1, ενώ για την + + 1, < 0 f = στο 0 = 0 τα πλευρικά όρια του πηλίκου + 1, 0 είναι ίσα. Αρα, στη περίπτωση αυτή η παράγωγος f 0 = 1. Παρατηρείστε επίσης ότι f 0 = 1 που είναι η συντελεστής της y = + 1. ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου 015

3 1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Σχῆµα 1: Παρατήρηση. 3. Οι τύποι της παραγώγισης µπορεί να χρησιµοποιηθούν στον υπολογισµό ηµ π. 4 ορίων. Π.χ. Να ϐρεθεί το όριο : π 4 π 4 ηµ π 4 = π 4 συν. Εχω τελικά : π 4 π g g 4 π π = g 4 4 ηµ π = 4. µε g = ηµ και g = 4. Αν η f παραγωγίζεται σ ένα υποσύνολο του πεδίου ορισµού της, και 0 είναι ενα σηµείο στο σύνολο αυτό, τότε για να ϐρούµε την τιµή f 0, ϐρίσκουµε την παράγωγο της f και ϑέτουµε = 0. Υπάρχουν όµως περιπτώσεις όπου η παραγωγισιµότητα της συνάρτησης f εξετάζετε ϐάσει του ορισµού : f f = f 0 ή h 0 f 0 + h f 0 h = f 0 α Αν το 0 είναι το σηµείο που µηδενίζεται µια απόλυτη τιµή στον τύπο της συνάρτησης. Παράδειγµα 1ο: Εστω f = 3. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση παραγωγίζεται στο 0 και να ϐρεθεί η f 0. Λύση f f0 3 f0 Αν 0, = = = 0 R Αρα, η συνάρτηση περαγωγίζεται στο = 0 και f 0 = 0. 3 ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου 015

4 1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ϐ Αν το 0 είναι το σηµείο που µηδενίζεται µια υπόριζος ποσότητα στον τύπο της συνάρτησης. Παράδειγµα 1ο: Εστω f = 5. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση παραγωγίζεται στο 5 και να ϐρεθεί η f 5. Λύση Για > 5 έχουµε 5 > 0, άρα : f f αφού, 5 > 0. 0 = 5. = = 1 = Αρα, η συνάρτηση f δεν παραγωγίζεται στο Σχῆµα : Η συνάρτηση 5 δεν έχει παράγωγο στο σηµείο 5, 0. Παράδειγµα ο: Εστω f = συν 1. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση παραγωγίζεται στο 0 και να ϐρεθεί η f 0. Λύση Για 0 = 0 έχουµε : συν 1 f0 συν 1 = = 0 R Αρα, η συνάρτηση παραγωγίζεται και f 0 = 0. γ Αν το σηµείο 0 είναι σηµείο αλλαγής τύπου για την συνάρτηση. Παράδειγµα 1ο: Εστω η συνάρτηση f = { 4, 1 4 3, < 1. ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου 015 4

5 1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Σχῆµα 3: Η συνάρτηση συν 1. Να αποδείξετε ότι παραγωγίζεται στο 0 = 1 και να ϐρείτε το f 1. Λύση Για > 1 έχουµε : f f = = = = 4 R Για < 1 έχουµε : f f1 1 1 = = 1 4 = 4 R Αρα, η παράγωγος στο 0 = 1 υπάρχει και είναι ίση µε 4. δ Αν δεν γνωρίζουµε τον τύπο της συνάρτησης αλλά το όριο µιας αλγεβρικής µορφής που εµπλέκει την συνάρτηση. 5 ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου 015

6 1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Παράδειγµα 1ο: ίνεται συνάρτηση f συνεχής στο 0 = 3 µε f = 5 Να αποδείξετε ότι παραγωγίζεται στο 0 = 3 και να ϐρείτε την f 3. Λύση Εστω g = f + 3, κοντά στο 0 = 3. 3 Αρα : f = 3g + 3. Είναι g = 5, οπότε 3 f = 3g Επειδή f συνεχής στο 0 = 3 είναι f3 = 0. Για τιµές κοντά στο 0 = 3 έχουµε : = = 0 R f f3 3 3 = 3 3g [ = g + 3 ] 3 3 = = 8 R Αρα η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο 0 = 3 και η παράγωγός της είναι f 3 = 8. ε Αν το σηµείο 0 δίνεται µε την ειδική τιµή που παίρνει στην συνάρτηση. ηµ, 0 Παράδειγµα 1ο: Εστω η συνάρτηση f =. 0, = 0 Να αποδείξετε ότι η f παραγωγίζεται στο 0 = 0 και να ϐρείτε την f 0. Λύση Πρώτα εξετάζω αν είναι συνεχής στο 0. ηµ 0 [ = ηµ ηµ 0 ] = 0 R ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου 015 6

7 1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Αρα, ϑα ϐρώ το όριο : f f0 0 0 = 0 ηµ 0 = 0 ηµ = 1 Αρα, η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο 0 µε παράγωγο f 0 = 1 Σχῆµα 4: ηµ αν 0 : 0 αν = 0. συν, 0 Παράδειγµα ο: Εστω η συνάρτηση f =. 0, = 0 Να αποδείξετε ότι η f παραγωγίζεται στο 0 = 0 και να ϐρείτε την f 0. Λύση Οπως ϐλέπουµε και απο το σχήµα 6, η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο 0. Πράγµατι : συν 0 = 0 + συν = + f0 Πρίν εξετάσουµε οτιδήποτε άλλο, καλό είναι πρώτα να εξετάζουµε την συνέχεια της συνάρτησης στο σηµείο αυτό. ιαισθητικά, η συνάρτηση δεν έχει παράγωγο στα σηµεία ασυνέχειας. 7 ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου 015

8 1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Σχῆµα 5: συν, αν 0: 0 αν = 0. Θα µπορούσαµε να υπολογίσουµε και το όριο του πηλίκου του ορισµού της παραγώγου σε σηµείο : f f0 0 0 = 0 συν = 0 [ ] συν 1 = + Αρα, η συνάρτηση f δεν παραγωγίζεται στο 0 = 0. ϝ Αν δεν γνωρίζουµε τον τύπο της συνάρτησης, αλλά γνωρίζω µια ανισότητα για την f. Παράδειγµα 1ο: Εστω η συνάρτηση f έτσι ώστε : ηµ f ηµ + Αν f0 = 0, να αποδείξετε ότι η f παραγωγίζεται στο 0 και να ϐρείτε την f 0. Λύση ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου 015 8

9 1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Επειδή κοντά στο 0 > 0, έχουµε : ηµ f ηµ + ηµ ηµ ηµ f ηµ + f ηµ + 1 f f0 0 ηµ + 1, f0 = 0 Αλλά 0 ηµ = = 0 ηµ + 1 οπότε, απο κριτήριο παρεµβολής : f f0 0 0 = Αρα, f 0 =. Ϲ Αν δεν γνωρίζω τον τύπο αλλά µια ισότητα της f. Παράδειγµα 1ο: Εστω συνάρτηση f έτσι ώστε για κάθε R ικανοποιεί τη σχέση f 3 + f = 3 + ηµ 3 Αν γνωρίζουµε ότι η f παραγωγίζεται στο 0 να ϐρείτε την f 0. Λύση Αφού η f παραγωγίζεται στο 0, ϑα έχουµε f 0 = 0 f f0 0 = f επειδή για = 0, f 3 0 = 0 f0 = 0. Αρα, για κοντά στο 0 9 ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου 015

10 1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ είναι 3 0, οπότε έχουµε : f 3 + f = 3 + ηµ f + [ 3 f + f = [ ] 3 [ f 0 + f 0] = ηµ ] [ f = [ f 0 1 f 0] + f 0 + = 0 3 ] ηµ f 0 = 1 η Αν δεν γνωρίζω τον τύπο αλλά µια συναρτησιακή σχέση ισότητα της f. Παράδειγµα 1ο: Αν για την συνάρτηση f ισχύει f 0 = 1 και f + y = συν fy + συνy f για κάθε, y R, να αποδείξετε ότι η f παραγωγίζεται στο 0 = π και να ϐρεθεί η f π. Λύση: Θέτω = y = 0 στην αρχική σχέση. f0 + 0 = συν0 f0 + συνo f0 f0 = 0 Η f παραγωγίζεται στο 0, οπότε f 0 = 0 f f0 0 0 f = 1 f fπ Τώρα, αν π για να ϐρούµε το όριο, ϑέτουµε π π = π + h. Ετσι, όταν π το h 0. ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου

11 1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ f fπ π π = h π fπ + h fπ π + h π συνπ fh + συνh fπ fπ = h 0 h = h 0 [ συνπ fh h + fπ συνh 1 h fh συνh 1 = 1 + f h 0 h h 0 h = fπ 0 = 1 ] Αρα, f π = Κατακόρυφη εφαπτοµένη Η παράγωγος της f στο 0, f 0, είναι η κλίση της εφαπτοµένης της καµπύλης στο 0. Μπορεί να υπάρχει η εφαπτοµένη της καµπύλης στο 0 ενώ η παράγωγος στο σηµείο αυτό να µην υπάρχει, δηλαδή να µην είναι πραγµατικός αριθµός ; Ας ξαναδούµε το παράδειγµα 4β σελ. 4. Στο σηµείο = 5 η συνάρτηση δεν παραγωγίζεται και το f 5 = +, παρόλα αυτά η εφαπτοµένη υπάρχει 5 στο σηµείο αυτό και είναι η = 5. Ορισµός 1. Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0 και ισχύει µια απο τις παρακάτω συνθήκες : 1. 0 f f 0 0 = +. 0 f f 0 0 = + και + 0 f f 0 0 = f f 0 0 = και + 0 f f 0 0 = + τότε ορίζουµε ως εφαπτοµένη της C f στο σηµείο A 0, f 0 την κατακόρυφη ευθεία = ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου 015

12 1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Σχῆµα 6: Η συνάρτηση f = 3. Για παράδειγµα : Η συνάρτηση f = 3, σχήµα 6, έχει παράγωγο στο 0 ίση µε : = 0 3 = = + Άρα, η εφαπτοµένη στο σηµείο 0 είναι ο άξονας y αν και η παράγωγος στο σηµείο αυτό δεν υπάρχει, δεν είναι δηλαδή πραγµατικός αριθµός. 1. Συνέχεια Θεώρηµα 1.1 Αν µια συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ενα σηµείο 0, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό Παρατηρήσεις 1. Το αντίστροφο του ϑεωρήµατος δεν ισχύει. Υπάρχουν πολλά παραδείγ- µατα συναρτήσεων οι οποίες είναι συνεχείς αλλά όχι παραγωγίσιµες. Το κλασσικό παράδειγµα, και το πιό εύκολο, είναι στο ϐιβλίο σελίδα 17: f = στο σηµείο 0 = 0. Η συνάρτηση αν και είναι συνεχής στο 0 τα όρια f f = 1 0 f f0 0 = 1. Αν µια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σ ένα σηµείο 0 τότε δεν µπορεί να είναι παραγωγίσιµη στο 0, αφού τότε ϑα ήταν συνεχής στο σηµείο αυτό, σύµφωνα µε το ϑεώρηµα. ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου 015 1

13 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ο Weierstrass είναι ο πρώτος που έδωσε το 1861 ένα πα- ϱάδειγµα συνεχούς συνάρτησης που δεν έχει παράγωγο σε κανένα σηµείο του πεδίου ορισµού της στο οποίο αυτή είναι συνεχής, δες [Λ]. Η συνάρτηση που έδωσε ο Weierstrass είναι η εξής : F = b n συνa n π n=0 1,5 1,0 0,5 K K1 0 1 K0,5 K1,0 Σχῆµα 7: Η συναρτηση Weirstrass για n = 100, a = 6, b = Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο a, b και παραγωγίσιµη στο a, ξ ξ, b και ισχύει f = κ R, τότε η f είναι παραγωγίσι ξ µη και συνεχής στο ξ. Η απόδειξη γίνεται µε τη ϐοήθεια του ϑεωρήµατος µέσης τιµής ή του κανόνα του De L Hospital. Παραγωγίσιµες συναρτήσεις - Παράγωγος συνάρτηση Ορισµός.1 Μια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού D f λέγεται παραγωγίσιµη, όταν είναι παραγωγίσιµη στο πεδίο ορισµού της. Η πρώτη περάγωγος της f συµβολίζεται µε f. Ορισµός. Μία συναρτηση f σε ένα ανοικτό διάστηµα a, b του πεδίου ορισµού της αν είναι παραγωγίσιµη a, b. 13 ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου 015

14 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ορισµός.3 Μία συναρτηση f σε ένα κλειστό διάστηµα [a, b] του πεδίου ορισµού της αν είναι παραγωγίσιµη στο a, b και τα όρια : f fa a + a R και b f fb b Παρατηρήσεις.1 ΠΡΟΣΟΧΗ Οταν µας Ϲητάν να αποδείξουµε αλλα και γενικότερα στις ασκήσεις ότι η παράγωγος µιας συνάρτησης f, ικανοποιεί την σχέση f 0 = c R, ϑα πρέπει πρώτα να δείξουµε ότι το όριο υπάρχει, δηλαδή ότι : 0 f f 0 Για παράδειγµα : είξτε ότι R = c R και µετά να γράψουµε... άρα, f 0 = c. 0 1 =, 0 0, +. Εστω 0 0, +. Αποδεικνύουµε πρώτα ότι f f 0 = , και συµπεραίνουµε τότε ότι αφού είναι πραγµατικός, ισχύει =. Με δύο λόγια, πρέπει να εξασφαλισθεί ότι το όριο του πηλίκου υπάρχει, και έτσι σαν συµπέρασµα η παράγωγος είναι το όριο αυτό. Η παρακάτω γραφή : είναι λάθος.... γνωρίζουµε ότι f = 0 f f 0 0 =... Ορίζεται η πρώτη παράγωγος καθώς και η ν-οστή παράγωγος όπως στο σχολικό ϐιβλίο σελ. /3. Επίσης παραλείπουµε όλες της παραγώγους των ϐασικών συναρτήσεων, στα δύο σχήµατα 8 και 9 ϐλέπουµε κάποιες ϐασικές συναρτήσεις µε τις πρώτες παραγώγους τους. Σχῆµα 8: Οι συναρτήσεις 3 και και οι παράγωγες συναρτήσεις. Κανόνες παραγώγισης Οι παρακάτω συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιµες όπου χρειάζεται. ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου

15 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ και οι παράγωγες συναρτή- Σχῆµα 9: Οι συναρτήσεις ln και σεις. 1. f + g 0 = f 0 + g 0. f g 0 = f 0 g 0 + f 0 g 0 f 0 3. = f 0 g 0 f 0 g 0 g g 0 4. f g 0 = f g 0 g 0 Παρατηρήσεις. 1. Η παράγωγος µιας συνάρτησης δεν είναι πάντα συνεχής συνάρτηση. Για παράδειγµα η συνάρτηση ασκ. 10 σελ. 9 στο σχολικό ϐιβλίο. f = ηµ 1 για 0 0 για = 0 έχει παράγωγο : f ηµ 1 = συν 1 για 0 η οποία δεν είναι συνεχής αφού 0 για = 0 1 η συνάρτηση ηµ έχει όριο 0 στο 0 ενώ η συν 1 δεν έχει όριο στο 0, δες σχήµα 10.. Αν θ γωνία σε µοίρες τότε ηµθ = αφού = πθ a = e lna = a lna. π 180 συνθ συνθ = π 180 ηµθ 15 ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου 015

16 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Σχῆµα 10: Η συνάρτηση ηµ1/. 4. ln log = = 1 ln 10 ln 10. Σχῆµα 11: Η συνάρτηση log 10. ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου

17 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ασκήσεις 1. Να επαληθεύσετε τα παρακάτω 1 : 1 f = e 1+ ηµ f = e 1+ ηµ + συν f = ln 3, > 0 f = 3 ln, > 0 3 f = lnln, > 1 f = 1 ln, > 1 4 f = ln 3, > 0 f = 3, > 0 5 f = 1 +, 0 f = , 0 6 f = e + 1 f = f + e + 1 ln, ln 1 + ln 7 f = ln ln > 1 f = ln, > 1 8 f = ηµ, > 0 f = ηµ συν ln +, 1 ηµ > 0 g g ln f Λαµβάνοντας υπ όψιν ότι : f = e για f > 0 συν π, 0 9 f = 0, = 0 3, 0 < 1 10 f = + 5 6, 1 συν π f + πηµπ, 0 = 0, = 0 f = 1 3 3, 0 < 1 3, 1 1 Οι ασκήσεις είναι απο το [ΑΚ]. 17 ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου 015

18 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Πρώτα ϐγάζω το απόλυτο ή χρησιµοποιώ την ισότητα : = + 3, < 0, > 11 f = f = 1, 0 < < 1 f = 4, ± f = 4, ± 4 13 f = ηµ, kπ, k Z f = ηµ συν, π ηµ Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R 14 g = fηµ g = f ηµ συν 14 g = fσυν g = ηµ fσυν f συν. Αν f είναι παραγωγίσιµη συνάρτηση στο R, ο αριθµός f010 f011 ανήκει στο f R; 3. Εστω η συνάρτηση f = Να ϐρείτε τις τιµές του για τις οποίες η κλίση της f είναι α ϑετική, ϐ µεγαλύτερη του 6, γ ίση µε Να ϐρείτε πολυώνυµο p δευτέρου ϐαθµού τέτοιο ώστε p0 = 3, p 1 = 0 και p 3 = Να ϐρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f = Να ϐρεθεί η παράγωγος της f = ηµ 7. Να ϐρεθεί η δεύτερη παράγωγος της { f = 3 + 8, , > 8. Αν f = ηµ ln συν ln, > 0, αποδείξτε ότι f 1. ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου

19 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 9. ες, [ΑΚ], σελ. 13 ασκ. 11. α Η συνάρτηση f είναι δύο ϕορές παραγωγίσιµη στο 0, + και για κέθε 0, + είναι f = ln, δείξτε ότι f e ln π = 1 e ln π. ϐ Εστω συνάρτηση f δύο ϕορές παραγωγίσιµη στο R, για την οποία ισχύει fln c = e ln για κάθε > 0. Αποδείξτε ότι : f π = e π + 1. e e +π 10. Να ϐρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f = στο κοινό σηµείο µε τον άξονα yy. 11. Αν f = a+b, να ϐρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης της G f στο σηµείο της M 0, f 0. Τι παρατηρείτε ; 1. ίδονται οι συναρτήσεις f = και g =. Να αποδειχθεί ότι οι G f και G g έχουν ακριβώς δύο κοινά σηµεία και ότι µόνο στο ένα από αυτά έχουν κοινή εφαπτοµένη. 13. Αν f = 3, να ϐρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της G f η οποία α έχει συντελεστή διεύθυνσης κλίση ίσο µε 4, ϐ σχηµατίζει µε τον άξονα γωνία ίση µε π Αν f = 3 +, να ϐρείτε τις εξισώσεις των εφαπτοµένων της G f οι οποίες είναι : α παράλληλες προς την ευθεία ε 1 : 10 y 3 = 0, ϐ κάθετες στην ευθεία ε : 3y + 6 = Εστω p πολυώνυµο του για το οποίο ισχύει p + p = για κάθε R. Να αποδειχθεί ότι το p α δεν είναι σταθερό, ϐ είναι πρώτου ϐαθµού, γ είναι ίσο µε Εστω f = ln1 +. Να ϐρείτε την παράγωγο n τάξης της f, f n. 19 ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου 015

20 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Υπόδειξη : f n = 1 n 1 n 1! + 1 n για n > 1 και f = Αποδείξτε ότι αν ένα πολυώνυµο µε πραγµατικούς συντελεστές, p, ν- οστού ϐαθµού, έχει µια διπλή πραγµατική ϱίζα ξ, τότε pξ = p ξ = Εστω f : R R συνάρτηση παραγωγίσιµη στο 0. α Εστω λ, µ, ρ τρείς πραγµατικοί αριθµοί µε λ µ και fλ fµ 0 = ρ Να ϐρεθεί το f 0 συναρτήσει των λ, µ και ρ. f011 f010 ϐ Να ϐρείτε το όριο συναρτήση του f 0. 0 f 011 f 010 γ Να ϐρείτε το όριο συναρτήση των f0 0 και f 0. Υπόδειξη : α Θα κάνουµε χρήση του ορισµού της f 0. fλ f0 fλ f0 y=λ fy f0 = λ = λ = λf λ y 0 y 0 Άρα, fλ fµ 0 = 0 λ fλ f0 λ µ fµ f0 µ Συνεπώς, f 0 = ρ λ µ. fλ f0 fµ f0 = λ µ 0 λ 0 0 µ 0 = λf 0 µf 0 = λ µf 0 f011 f010 ϐ Σύµφωνα µε το προηγούµενο, = f 0. 0 f 011 f 010 γ Οµοίως = f0f γ +, < Εστω η συνάρτηση f = 1 α 4 β, 1 ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου 015 0

21 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ α Να ϐρείτε τις τιµές των πραγµατικών α, β, γ, ώστε η γραφική παράσταση C f της f να έχει εφαπτοµένη στο σηµείο M1, f1. ϐ Να ϐρείτε το εµβαδόν του τριγώνου που σχηµατίζει η παραπάνω εφαπτοµένη µε τους άξονες και y y. Υπόδειξη : α Οπως έχουµε ήδη πεί, όταν Ϲητάµε τις τιµές κάποιων παραµέτρων για να είναι παραγωγίσιµη µια συνάρτηση, αρχίζουµε πάντα απο την συνέχεια. Ετσι, η f πρέπει να είναι συνεχής στο 1. Άρα, f = f1 = f γ + ή α β =. Άρα, γ + = 0 γ = 3. Άρα, = 0. Συνεπώς α β = 0. Επίσης, η f είναι 1 1 παραγωγίσιµη στο 1. Άρα, ή, ή, f f1 f f1 = α 4 α 1 1 = α = οπότε, 3 = 3α α = β = 1. ϐ Η εφαπτοµένη στο 1 έχει εξίσωση : y 0 = 3 1 και τέµνει τον στο σηµείο A1, 0 και τον y y στο B0, 3. Άρα, το εµβαδόν είναι 3 τ.µ. 0. Αν η συνάρτηση f µε f > 0, είναι παραγωγίσιµη στο R + και ισχύει f = f για κάθε R+, να ϐρεθεί η f αν γνωρίζετε ότι f1 = 1. Υπόδειξη : 4f 1/3 f = 5 /3 ή 4 5/3 + c ή f = 4 5. f = Άρα, f /3 = ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου 015

22 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1. Να υπολογισθούν τα α, β, γ, δ R, ώστε να είναι παραγωγίσιµη η συνάρτηση β + δ ηµ + α, < 0 f = 3α + β + γ, = 0 e + γ, > 0 στο 0 = 0. Υπόδειξη : α = 1, β = 1, γ = 1, δ = 0. α Παρατήρηση Κ. Καραθεοδωρή Εστω f µια συνάρτηση ορισµένη σ ενα ανοικτό διάστηµα. Να αποδειχθεί ότι η f είναι παραγωγίσι- µη στο ξ, αν και µόνο αν υπάρχει µια συνάρτηση g συνεχής στο ξ τέτοια ώστε f fξ = g ξ κοντά στο ξ. Ποιά η σχέση των gξ και f ξ; ϐ Να ϐρεθούν τα παρακάτω όρια : + 1 i. 1 1 ηµ π ii. 1 1 εφ 1 iii. π 4 4 π 3. Εστω συνάρτηση fz = z 4, z C. Να αποδειχθεί ότι : α z < 1 fz < 1, ϐ Αν z = + iy και g = Re fz Υπόδειξη : hy τότε g = h y, g y = h,, y R. α z < 1 z < 1 άρα, fz = z 4 = z z = z < 1 ϐ z = 4 + y 4 6 y i4 3 y 4y 3, άρα, και συνεπώς : g = gy = 4 + y 4 6 y h = hy = 4 3 y + 4y 3 = gy, h = Im fz = ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου 015

23 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ g = 4 3 1y g y = y h = 1 y h y = y 4. Εστω f συνεχής στο ξ R. Να δείξετε ότι αν η ευθεία y = α + β είναι εφαπτοµένη στην γραφική παράσταση της f στο σηµείο ξ, fξ αν και µόνο αν ισχύει : ξ f α + β ξ = 0. Υπόδειξη : Επειδή η ευθεία τέµνει το γράφηµα της συνάρτησης, fξ = αξ + β και f ξ = α. Άρα, f α + β ξ ξ f fξ + fξ α + β = ξ ξ f fξ αξ + β α + β = + ξ ξ ξ ξ = f α ξ ξ + ξ ξ = f ξ f ξ = 0 5. Εστω η συνάρτηση p = α + β + γ, α 0 της οποίας το γράφηµα τέµνει τον άξονα σε δύο διαφορετικά σηµεία. Να ϐρεθεί η συνθήκη µεταξύ των παραµέτρων α, β, γ έτσι ώστε οι εφαπτοµένες στα σηµεία αυτά να είναι κάθετες. Υπόδειξη : Θα ϐρείτε = β 4αγ = Η εφαπτοµένη στην γραφική παράσταση της f = α, α > 1 στο σηµείο M ξ, fξ τέµνει τον άξονα στο σηµείο A. Να δείξετε ότι η προβολή 1 του AM στον άξονα έχει µήκος, δες σχήµα 1. lnα Υπόδειξη : f ξ = εφθ = MB AB = fξ AB ϱα,. AB = 1 lnα AB = fξ f ξ AB = α ξ α ξ lnα Ά- 3 ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου 015

24 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Σχῆµα 1: Άσκηση Εστω το πολυώνυµο q = α β γ, α < β < γ και p ένα πολυώνυµο ϐαθµού µικρότερου του 3. Αν υπάρχουν κ, λ, µ R ώστε : p q = κ α + λ β + µ γ για α, β, γ να δειχθεί ότι q αq βq γ 0 και ότι κ = pα q α, λ = pβ q β, µ = pγ q γ. Υπόδειξη : Παρατηρείστε ότι q = β γ + α β + α γ Το συµπέρασµα q αq βq γ 0 είναι εύκολο απο την υπόθεση ότι α β γ α. Τα υπόλοιπα είναι απλός υπολογισµός στην εξίσωση Εξετάσεις 1998 έσµη Ι Προσθέτωντας µονάδες λιπάσµατος σε µια καλιέργεια, συλλέγουµε h µονάδες του παραγόµενου προιόντος. Αν h = A 0 + A e a µε 0, A, A 0, A ϑετικοί πραγµατικοί. Να εκφράσετε το ϱυθµό µεταβολής του παραγόµενου προιόντος σαν συνάρτηση του h. Ποιά είναι η σηµασία της µεταβλητής A 0 ; Υπόδειξη : Να ϐρείτε ότι h = a A 0 + A h. Αν = 0, τότε h0 = A Εξετάσεις 1993 έσµη Ι ίνεται ορθή γωνία Oy και το ευθύγραµµο τµήµα AB µήκους 10cm του οποίου τα άκρα A, B ολισθαίνουν πάνω στις πλευρές Oy και O αντίστοιχα. Το σηµείο B κινείται µε σταθερή ταχύτητα υ = cm και η ϑέση του πάνω στον άξονα O δίνεται απο την sec συνάρτηση st = υt, t [0, 5] όπου t ο χρόνος σε δευτερόλεπτα. ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου 015 4

25 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ α Να ϐρεθεί το εµβαδόν Et του τριγώνου AOB ως συνάρτηση του χρόνου. ϐ Ποιός είναι ο ϱυθµός µεταβολής του εµβαδού Et τη στιγµή κατά την οποία το µήκος του τµήµατος OA είναι 6cm; Υπόδειξη : Et = t 5 t, OB = 8cm και t = 4, τότε E 4 = 14 cm 3 sec. 30. είξτε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου p µε το α, µε α R, δίνει την εξίσωση της εφαπτοµένης του γραφήµατος στο σηµείο µε τετµηµένη α. Για παράδειγµα : η διαίρεση του p = διά του 1 δίνει υπόλοιπο + 8. Υπολογίζοντας ϐρίσκω p 1 = και εξίσωση εφαπτοµένης στο 1, 10, y 10 = 1 ή y = ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου 015

26 3 ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ROLLE ΚΑΙ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 3 Θεωρήµατα Rolle και Μέσης Τιµής Θεώρηµα 3.1 Θεώρηµα Rolle Αν µια συνάρτηση f είναι : 1. συνεχής στο κλειστό διάστηµα [α, β],. παραγωγίσιµη στο ανοικτό διάστηµα α, β και 3. fα = fβ τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ α, β τέτοιο, ώστε : f ξ = 0 Απόδειξη : Επειδή ϑεωρούµε ότι η απόδειξη ϕωτίζει κάποιες πτυχές των παρατηρήσεων που ακολοθούν πάντα το ϑεώρηµα του Rolle, νοµίζουµε ότι καλό ϑα είναι να γνωρίζετε την απόδειξη του ϑεωρήµατος. Οπως ϑα δούµε άλλωστε η απόδειξη έχει κάτι κοινό µε την απόδειξη του ϑεωρήµατος Fermat. Ακολου- ϑούµε πάντα τον Πηχωρίδη. Επειδή f είναι συνεχής υπάρχουν πραγµατικοί M και m τα αντίστοιχο µέγιστο και ελάχιστο της συνάρτησης ϑεώρηµα Μεγίστης-Ελαχίστης τιµής, σελ Αν M = m τότε η συνάρτηση είναι σταθερή στο διάστηµα και δεν έχουµε να δείξουµε τίποτα αφού για όλα τα [α, β] f = 0. Υποθέτουµε ότι M m και M, m fα, fβ έτσι για ένα τουλάχιστον απο τα M και m υπάρχει 1 ή στο [α, β] έτσι ώστε M = f 1 ή m = f. Με άλλα λόγια, υπάρχουν 1, [α, β] τέτοια ώστε για κάθε είναι f 1 f ή f f. Θα δείξουµε ότι f 1 = 0 ή οµοίως ότι f = 0. Επειδή 1 [α, β] υπάρχει η παράγωγος f 1 και οι f 1 + και f 1, µάλιστα f 1 = f 1 + = f 1 Αλλά, f f f =. Επειδή f f 1 0 και 1 > το πηλίκο είναι 0. Άρα, f 1 = f Οµοίως, f 1 = f 1 0. Άρα, f 1 = 0, πράγµα που ϑέλαµε να δείξουµε. 3.1 Παρατηρήσεις 1. Η Γεωµετρική σηµασία του Θ. Rolle. Αφού f ξ = 0 τότε ο συντελεστής κατ/νσης της εφαπτοµένης στο σηµείο ξ είναι 0. Αυτό δείχνει ότι η Michel Rolle, γάλλος µαθηµατικός ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου 015 6

27 3 ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ROLLE ΚΑΙ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ εφαπτοµένη είναι παράλληλη στο άξονα των τετµηµένων, όπως για πα- ϱάδειγµα οι εφαπτοµένες στα σηµεία M και N του σχήµατος 13. Οπως ϐλέπετε τα σηµεία που η παράγωγος είναι παράλληλη στον άξονα είναι τα ακρότατα σηµεία της συνάρτησης στο διάστηµα [α, β]. Άλλωστε, αυτό ϕαίνεται και απο την απόδειξη που παραθέσαµε. Αργότερα αυτό ϑα συνδεθεί µε το ϑεώρηµα Fermat. Σχῆµα 13: Γεωµετρική σηµασία του Θ. Rolle.. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του α, β η υπόθεση της συνέχειας της συνάρτησης στο [α, β] ϑα µπορούσε να αντικατασταθεί µόνο µε τη συνέχεια στα άκρα α, β. Η διατύπωσε απλά κρατά τη παραδοσιακή µορφή. 3. Ολες οι υποθέσεις του ϑεωρήµατος είναι απαραίτητες, δες [Π]. Για παράδειγµα το ότι η συνάρτηση πρέπει να είναι συνεχής στα άκρα δεν µπορεί να παραληφθεί. Θεωρήστε την συνάρτηση { 5 f = f0 = f1 = 011 αν 0, 1 είναι ορισµένη στο διάστηµα [0, 1], παραγωγίσιµη στο 0, 1, όχι συνεχής στα σηµεία 0, 1 αλλά ισχύει f0 = f1. εν υπάρχει όµως ξ 0, 1 µε f ξ = 0, γιατί : f ξ = 5ξ 4 = 0 ξ = 0 και ξ 0, 1. Αυτό γιατί η συνάρτηση δεν παραγωγίζεται στο Το αντίστροφο του ϑεωρήµατος δεν ισχύει. α Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιµη στο α, β και µηδενίζεται στο εσωτερικό του α, β, τότε δεν ισχύει απαραίτητα fα = fβ, π.χ. η συνάρτηση f =, [ 1, ]. 7 ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου 015

28 3 ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ROLLE ΚΑΙ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ { 1, 0 ϐ Η συνάρτηση f = + 1 στο διάστηµα [, ], < 0 είναι συνεχής, f = f = 1, η παράγωγος µηδενίζεται στο 1 και 1, αλλά δεν παραγωγίζεται στο 0, δηλαδή στο εσωτερικό του,, δες σχήµα 14. Παρατηρείστε επίσης ότι, το ϑεώρηµα του Rolle εφαρµόζεται σε διάστηµα και όχι σε ένωση διαστηµάτων.,,0 1,8 1,6 1,4 1, 1,0 K K1 0 1 Σχῆµα 14: Η συνάρτηση f. 5. Πόρισµα 3. Αν η f δεν µηδενίζεται στο α, β τότε η f είναι 1-1. Είναι πολύ απλό : Αν δεν είναι 1-1, τότε f 1 = f 1. Τότε απο Θ. Rolle για κάποιο κατάλληλο ξ ϑα έχω : f ξ = 0, άτοπο. 6. Μπορεί το διάστηµα [α, β] να σας ϕαίνεται µεγάλο µε αποτέλεσµα το Θ. Rolle να είναι µοιάζει σπάταλο. Πράγµατι, µπορείτε να περιοριστείτε σε πολύ-πολύ µικρότερα διαστήµατα του πεδίου ορισµού της συνάρτησης εξαιτίας της παραγωγισιµότητας και του αναλυτικού χαρακτήρα της συνάρτησης. Άλλωστε, το εργαλείο της διαφορισιµότητας αυτό τον σκοπό έχει : την µετάβαση απο το όλο στο µέρος. Ισχύει λοιπόν ένα ϑεώρηµα artificiel που ϑα είναι τρόπον τινά ένα είδος γενίκευσης του ϑεωρήµατος του Rolle. Θεώρηµα 3.3 Γενίκευση του ϑεωρήµατος Rolle Αν f συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο α, β και α +f = f = κ R {, + } β τότε υπάρχει ξ α, β µε f ξ = 0. ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου 015 8

29 3 ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ROLLE ΚΑΙ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Υπόδειξη : Αν κ R, ϑέτω fα = η f είναι συνεχής στο [α, β]... α και fβ = Τότε όµως +f f. Αν κ = +, τότε ϑεωρούµε την συνάρτηση g = e f, α β µε gα = gβ = 0... Αν κ =, τότε ϑεωρούµε την συνάρτηση h = e f, α β µε hα = hβ = Το Θεώρηµα Rolle εξασφαλίζει τις ύπαρξη ϱιζών της παραγώγου µιας συνάρτησης οι οποίες ϐρίσκονται µεταξύ των ϱιζών της συνάρτησης. 8. Μπορεί να χρησιµοποιηθεί σε προβλήµατα που Ϲητείται να δειχθεί ότι µια συνάρτηση έχει το πολύ n πραγµατικές ϱιζές. β Θεώρηµα 3.4 Θεώρηµα Μέσης Τιµής - Θ.Μ.Τ. ή ϑεώρηµα Lagrange 3 Αν µια συνάρτηση f είναι : 1. συνεχής στο [α, β] και. παραγωγίσιµη στο α, β τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ α, β τέτοιο ώστε : f ξ = fβ fα β α 3. Παρατηρήσεις 1. Υπάρχει και µια άλλη έκφραση του ϑεωρήµατος πιο γενικευµένη : Ολες οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. ισχύουν για την συνάρτηση f. α, β] υπάρχει c = c α, τέτοιο ώστε Τότε Υπόδειξη :Πράγµατι : έστω η συνάρτηση f fα = f c α f fα ht = ft fα t α α συνεχής στο [α, ] και παραγωγίσιµη στο α, β µε h t = f t και : f fα hα = fα fα α α = 0 α f fα α 3 Josepl Louis Comte de Lagrange γάλλος µαθηµατικός ο πρώτος που µελέτησε την παράγωγο συνάρτηση. 9 ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου 015

30 3 ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ROLLE ΚΑΙ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ άρα : c : h c = f c f fα h = f fα α = 0 α f fα α = 0 απο ϑ. Rolle.. Η Γεωµετρική σηµασία του Θ.Μ.Τ. Υπάρχει εσωτερική ϑέση στο διάστηµα [α, β] όπου ο ϱυθµός µεταβολής του µεγέθους y = f είναι ίσος µε την µέση τιµή του µεγέθους y = f στο διάστηµα. Θα λέγαµε ότι η fβ fα παράγωγος δεν ξεχνά την µέση τιµή απο την οποία προήλθε, β α δες άσκηση 3 σελ. 48 σχολικό ϐιβλίο. Άρα, αν για µία συνάρτηση f ισχύουν οι προυποθέσεις του ϑεωρήµατος Μέσης Τιµής, τότε υπάρχει ξ α, β έτσι ώστε η εφαπτοµένη της C f στο σηµείο ξ, fξ να είναι παράλληλη στη χορδή AB. δες σχήµα 15. Σχῆµα 15: Γεωµετρική ερµηνεία Θ. Μέσης Τιµής. 3. Ο αριθµός fβ fα β α ανήκει στο σύνολο τιµών της f. 4. Γενίκευση του Θ.Μ.Τ. Αν f παραγωγίσιµη στο α, β και τα όρια A = f και B = f είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε υπάρχει α + β ξ α, β µε B A β α = f ξ. Για την απόδειξη δες τη γενίκευση του ϑεωρήµατος Rolle Γενίκευση του Θ.Μ.Τ.- ϑεώρηµα Cauchy Εστω f, g συναρτήσεις πα- ϱαγωγίσιµες στο διάστηµα α, β και συνεχείς στο [α, β] µε g 0, α, β. Τότε : α gα gβ ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου

31 3 ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ROLLE ΚΑΙ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ϐ ξ α, β µε Υπόδειξη : fβ fα gβ gα = f ξ g ξ 3 α Εύκολο. [ ] ϐ Εστω ht = ft gβ gα [ ] gt fβ fα. Η h είναι συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιµη. [ ] [ ] hα = fα gβ gα gα fβ fα [ ] [ ] hβ = fβ gβ gα gβ fβ fα Ετσι, hα = hβ. Άρα, ξ α, β : h ξ = 0. Επίσης : [ ] [ ] h t = f t gβ gα g t fβ fα [ ] [ ] Εποµένως, f ξ gβ gα = g ξ fβ fα. 6. Αν η συνάρτηση f ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. και fα fβ, τότε : α αν fα < fβ υπάρχει ξ α, β µε f ξ > 0. ϐ αν fα > fβ υπάρχει ξ α, β µε f ξ < 0. Η παρατήρηση αυτή έχει εφαρµογή σε ανισώσεις. Η απόδειξη είναι άµεση συνέπεια του Θ.Μ.Τ. 7. Το Θ.Μ.Τ. µας ϐοηθά και στην παραγωγή ανισοτήτων : α Αν f είναι γνησίως αύξουσα στο [α, β] τότε f α < fβ fα β α < f β ϐ Αν f είναι συνεχής στο [α, β], τότε : f min fβ fα β α f ma 31 ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου 015

32 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 Ασκήσεις 4.1 Ασκήσεις που : Ελέγχουµε αν ισχύει το Θ. Rolle ή το Θ.Μ.Τ. Προσδιορίουµε παραµέτρους έτσι ώστε να ισχύουν τα Θ. Rolle ή το Θ.Μ.Τ. Αποδεικνύουµε ανισότητες. 1. Σκοπός είναι να ελέξουµε αν οι παρακάτω συναρτήσεις ικανοποιούν τις υποθέσεις του ϑεωρήµατος του Rolle: α f : [0, ln ] R, f = e 3e +. [ 1 ] ϐ f :, R, f = { 5 γ ίνεται η συνάρτηση f = + + 1, 0 3. Να αποδείξετε ότι ικανοποιεί τις προυποθέσεις του Θ.Rolle στο διάστηµα + + 1, > 0 1, 1] και να ϐρείτε τα ξ 1, 1 έτσι ώστε f ξ = 0. Υπόδειξη : Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο = 0 µε f 0 =. Επίσης, f 1 = f1 = 4. Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ τ.ω. f ξ = 0: 10ξ + = 0, ξ 1, 0 f ξ = ή 3ξ + = 0, ξ 0, 1 ξ = 1 5 { a δ ίνεται η συνάρτηση f = + b +, 0. Να ϐρείτε + c, > 0 τους πραγµατικούς a, b, c, ωστε η συνάρτηση f να ικανοποπιεί τις προυποθέσεις του Θ. Rolle στο διάστηµα [ 1, 1]. Υπόδειξη : a = 1, b = 0, c =.. Σκοπός είναι να ελέξουµε αν οι παρακάτω συναρτήσεις ικανοποιούν τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ.: α f : [1, 4] R, f = 1, να ϐρείτε τα ξ [1, 4] έτσι ώστε f f4 f1 ξ =. 4 1 ϐ f : [1, 4] R, f = + 5 4, να ϐρείτε τα ξ [1, 4] έτσι ώστε f f4 f1 ξ =. 4 1 ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου 015 3

33 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ { 4 + 3, 3 1 γ ίνεται η συνάρτηση f =. Να αποδειξετε ότι η συνάρτηση ικανοποιεί τις προυποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο + 7, > 1 διάστηµα [, 5] και στη συνέχεια να ϐρείτε το σηµείο M του γρα- ϕήµατος C f, στο οποίο η εφαπτοµένη είναι παράλληλη στην ευθεία AB, µε A, 4 και B5, 1. Υπόδειξη : Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο 3, 1 άρα και στο [, 1 µε f. Επίσης είναι παραγωγίσιµη στο 1, + ά- + 3 ϱα είναι και στο 1, 5] µε f = 1. Πρέπει όµως να δείξετε ότι είναι παραγωγίσιµη και στο 1. Άρα, f f1 4 1 =... = = και f f = = = 1 Άρα, f παραγωγίσιµη., 5 τέτοιο ώστε Εποµένως υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ f ξ = f5 f 5 = 8 7 Εχουµε λοιπόν : ξ + 3 = = 8 7 Με M = 1 16, 7., ξ 1 ή, 1 < ξ 5 ξ = 1, ξ 1 16 Αδύνατο, 1 < ξ 5 3. Αν α, β R τότε : α συνβ συνα β α ϐ Να ϐρεθεί το όριο συν συν 1 + Υπόδειξη : + α Εστω f = συν, τότε η f είναι συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιµη στο ανοικτό, άρα, ξ : f συνβ συνα ξ = ηµξ =. β α 33 ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου 015

34 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ϐ Απο το πρώτο ερώτηµα συν συν Αλλά, = + Οµοίως : = = 0, άρα, συν συν 1 + = 0. = 0 4. Να αποδείξετε ότι : α e ln, 0, +. e ϐ ln lnln + e > ln, > e. 7 γ 8e e3 7 e 8e Υπόδειξη : α Εστω f = ln, > 0. i. Αν 0 < < e απο Θ.Μ.Τ. για την f στο [, e], έχω : f ξ = 1 ξ = fe f e Αφου όµως < ξ < e 1 e < 1 ξ < 1, άρα : 1 e < 1 ln < 1 e e < 1 ln < e e απ οπου το συµπέρασµα. Αν = e ισχύει η ισότητα. ii. Αν e < απο Θ.Μ.Τ. για την f στο [e, + ], έχω : f ξ = 1 ξ = f fe e Αφου όµως e < ξ < 1 < 1 ξ < 1 e, άρα : 1 < ln 1 < 1 e e e < ln 1 < e e απ οπου το συµπέρασµα. Τελικά η ανίσότητα ισχύει R +. ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου

35 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ϐ Εστω f = ln lnln ln. Τότε ln ln 1 f = Προφανώς οπότε, f > fe e. γ Εστω : f = 3 e 1, οπότε : Εποµένως : f f f < 0 f αν e < < e e f > 0 f αν > e e e 1 3 f = e = 8e. 0 < 0 5. Βασίζεται στο ϑεώρηµα Μέσης Τιµής á la Cauchy, δες Παρατήρηση 5, σελίδα 30 Εστω f, g : [α, β] R συνεχείς συναρτήσεις και παραγωγίσιµες στο α, β. α Που είναι το λάθος στον παρακάτω συλλογισµό : Απο το Θ.Μ.Τ. για την f έχω : ξ α, β τέτοιο ώστε fβ fα = β αf ξ 4 όµοια για την g έχω : ξ α, β τέτοιο ώστε β αg ξ = gβ gα 5 Πολλαπλασιάζοντας κατα µέλη τις δύο ισότητες 4*5, [ ][ ] [ ][ ] fβ fα β αg ξ = gβ gα β αf ξ και απλοποιώντας µε β α έχω, την έκφραση του Θ.Μ.Τ. á la Cauchy [ ] [ ] fβ fα g ξ = gβ gα f ξ ϐ Να ϐρεθεί το αντίστοιχο ξ, έτσι ώστε να ικανοποιείται η εξίσωση του Θ.Μ.Τ. καθώς και η εξίσωση 3, σελίδα 31, στις περιπτώσεις : 35 ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου 015

36 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Υπόδειξη : i. f : [0, 1] R, f = και f1 f0 = 1 0f ξ ii. g : [0, 1] R, g = 3 και g1 g0 = 1 0g ξ iii. f, g : [0, 1] R, f =, g = 3, και [ ] [ ] f1 f0 g ξ = g1 g0 f ξ α Προφανώς δεν πρόκειται για το ίδιο ξ στον τύπο 6 και 8. ϐ i. 1 0 = 1 0ξ άρα, ξ = ii = 1 03ξ άρα, ξ = 3, απορρίπτεται η ξ = 3. iii ξ = ξ άρα, ξ = 0 ή Ασκήσεις που αφορούν την λύση εξισώσεων : 6. Μια τουλαχιστον ϱίζα Για να αποδείξουµε ότι η f = 0 έχει µια τουλάχιστον ϱίζα στο a, b ελέγχουµε : α Τις προφανείς ϱίζες ϐ Αν το 0 fa, b γ Εφαρµόζεται το ϑεώρηµα Bolzano στο διαστηµα [a, b] για την συνάρτηση f δ Εφαρµόζεται το ϑεώρηµα Rolle για µια αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f. 1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 6 + a = a + έχει µια τουλάχιστον ϱίζα στο διάστηµα 0, 1 για κάθε a R, δες [ΑΚ]. Υπόδειξη : Η άσκηση µπορεί να λυθεί µε απλό αλγεβρικό λογισµό σαν εξίσωση δευτέρου ϐαθµού. Καλό ϑα είναι να το επιχειρήσετε. Θεωρώ την συνάρτηση f = 6 + a a +. Μια παράγουσα της είναι η g = 3 + a a +. Για την συνάρτηση g ισχύουν οι προυποθέσεις του ϑεωρήµατος Rolle αφού είναι συνεχής και παραγωγίσοµη στα κατάλληλα διαστήµατα και g0 = g1 = 0. Άρα, υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ 0, 1, τέτοιο ώστε g ξ = fξ = 0. ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου

37 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Αποδείξτε ότι αν f και g είναι δύο συνεχείς και παργωγίσιµες συναρτήσεις σε όλο το R µε f g g f, για όλα τα, τότε µεταξύ ϱιζών της f = 0 υπάρχει µια ϱίζα της g = 0. ες [L] σελ. 11. Υπόδειξη : Εστω a < b δύο ϱίζες της f = 0. Απο την συνθήκη που µας δίνεται συνεπάγεται ότι οι ϱίζες αυτές δεν µπορεί να είναι και ϱίζες της g = 0. Ας υποθέσουµε ότι η g = 0 δεν έχει ϱίζες µεταξύ των a και b. Τότε, απο το ϑεώρηµα του Bolzano το πρόσηµο την g είναι πάντα το ίδιο. Ετσι, [a, b] : g 0. Εστω F = f g. Επειδή F a = F b = 0 συνεχής και παραγωγίσιµη στο [a, b], απο το ϑεώρηµα Rolle υπάρχει ξ a, b έτσι ώστε F ξ = gξf ξ g ξfξ g ξ ιαφορετικά, gξf ξ = g ξfξ για κάποιο ξ. Άτοπο απο την αρχική συνθήκη. Άρ, έχει τουλάχιστον µία ϱίζα. 7. Το πολύ µια ϱίζα Για να αποδείξουµε ότι η f = 0 έχει το πολύ µια ϱίζα στο a, b ελέγχουµε : α Τις προφανείς ϱίζες ϐ Αν το 0 fa, b γ Υποθέτουµε ότι η εξίσωση έχει ϱίζες : ρ 1 < ρ. δ Αποδεικνύουµε ότι η συνάρτηση ικανοποιεί τις προυποθέσεις του ϑεωρήµατος Rolle στο διάστηµα [ρ 1, ρ ], οπότε ϑα ισχύει ότι υπάρχει ξ ρ 1, ρ µε f ξ = 0 το οποίο πρέπει να είναι άτοπο. 1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ν+1 + a = ν + 1, ν N έχει το πολύ µία ϱίζα στο 1, 1 για κάθε a R. ες [ΑΚ]. Υπόδειξη : Εστω f = ν+1 + a ν + 1 µε δύο ϱίζες ρ 1 < ρ στο 1, 1. Αφού ρ 1, ρ 1, 1 η συνάρτηση ικανοποιεί τις προυποθέσεις του ϑεωρήµατος Rolle µε fρ 1 = fρ = 0, οπότε ϑα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ρ 1, ρ µε f ξ = ν + 1ξ ν ν + 1 = 0 ξ = ±1. Άτοπο, άρα έχει το πολύ µια ϱίζα στο διάστηµα. 8. Το πολύ δύο ϱίζες Για να αποδείξουµε ότι η f = 0 έχει το πολύ δύο ϱίζες στο a, b ελέγχουµε : 37 ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου 015

38 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ α Τις προφανείς ϱίζες ϐ Αν το 0 fa, b γ Υποθέτουµε ότι η εξίσωση έχει 3 ϱίζες : ρ 1 < ρ < ρ 3. δ Αποδεικνύουµε ότι η συνάρτηση ικανοποιεί τις προυποθέσεις του ϑεωρήµατος Rolle στο διάστηµα [ρ 1, ρ ] και στο διάστηµα [ρ, ρ 3 ] οπότε ϑα ισχύει ότι υπάρχει ξ 1 ρ 1, ρ µε f ξ 1 = 0 και το οποίο ξ ρ, ρ 3 µε f ξ = 0. Αν η ύπαρξη των δύο αυτών ϱιζών ξ 1 και ξ οδηγεί σε αντίφαση, σταµατάµε. Αν όχι, εφαρµόζουµε το Θ. Rolle στο ξ 1, ξ για την συνάρτηση f. Συνεπώς, πρέπει να υπάρχει t ξ 1, ξ έτσι ώστε f t = 0 το οποίο πρέπει να είναι άτοπο. 1. Να αποδείξετε ότι η = 3 έχει το πολύ δύο ϱίζες στο R. ες [ΑΚ]. Υπόδειξη : Εστω f = Υποθέτουµε ότι η εξίσωση έχει 3 ϱίζες : ρ 1 < ρ < ρ 3. Τότε στα διαστήµατα [ρ 1, ρ ] και [ρ, ρ 3 ] ισχύουν οι προυποθέσεις του Θ. Rolle και συνεπώς υπάρχει ξ 1 ρ 1, ρ µε f ξ 1 = 8ξ1 7 3 = 8ξ7 1 4 = 0 και ξ ρ, ρ 3 µε f ξ = 8ξ 7 3 = 8ξ7 4 = 0. Αλλά η συνάρτηση 7 4 είναι αύξουσα και δεν είναι δυνατόν να έχει τουλάχιστον πραγµατικές ϱίζες. Άρα, άτοπο.. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ν ν 1 1 = 0 6 για ν 3 έχει το πολύ δύο πραγµατικές ϱίζες. Υπόδειξη : Ας υποθέσουµε ότι η εξίσωση έχει τρείς ϱίζες οι οποίες µάλιστα είναι διαφορετικές του 1. Η αρχική εξίσωση γράφεται : ν ν = 0 ν ν 1 1, για 1 1 ν ν 1 = 0 ν+1 ν + 1 = 0 Η τελευταία εξίσωση έχει µια επιπλέον ϱίζα απο την αρχική 6 την 1. Άρα η τελευταία εξίσωση έχει 4 ϱίζες =τρείς της αρχικής και µια ίση µε 1. Ας υποθέσουµε ότι οι τέσσερες αυτές ϱίζες είναι οι ρ 1 < ρ < ρ 3 < ρ 4. Ενα απο τα ρ i είναι ίσο µε 1. Εστω η πραγµατική συνάρτηση f = ν+1 ν + 1. Η συνάρτηση έχει 4 ϱίζες και ικανοποιεί τις προυποθέσεις του ϑ. Rolle για τα διαστήµατα [ρ 1, ρ ], [ρ, ρ 3 ], [ρ 3, ρ 4 ]. Άρα, υπάρχουν ξ i [ρ i, ρ i+1 ] µε i = 1,, 3 αντίστοιχα, έτσι ώστε f ξ i = ν + 1ξi ν νξν 1 i = 0 ή ξi ν 1 ν + 1ξ i ν = 0. Αλλά η τελευταία εξίσωση έχει δύο πραγµατικές ϱίζες και όχι τρείς. Άτοπο, άρα η αρχική έχει το πολύ ϱίζες. ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου

39 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 9. Μία ακριβώς ϱίζα Για να αποδείξουµε ότι η f = 0 έχει µια ακριβώς ϱίζα στο a, b ελέγχουµε : α Τις προφανείς ϱίζες. ϐ Αν το 0 fa, b. γ Εξασφαλίζουµε ότι έχει µία τουλάχιστον ϱίζα. δ Αποδεικνύουµε ότι έχει το πολύ µια ϱίζα, ή ϐασιζόµαστε στην µονοτονία που ϑα δούµε παρακάτω ή ότι η συνάρτηση είναι Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln + = a έχει µια ακριβώς ϱίζα στο 0, +. Υπόδειξη : Εστω f = ln + a. Η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στο 0, +. Θα δείξω ότι έχει τουλάχιστον µια ϱίζα µε το ϑ. Bolzano. f =. Άρα, για 1 κοντά στο 0 το πρόσηµο της συνάρτησης 0 + είναι αρνητικό f 1 < 0. Επίσης : f = +, άρα για πολύ + µεγάλο f > 0. Εποµένως απο ϑεώρηµα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον µια ϱίζα ξ στο [ 1, ]. Ας υποθέσουµε τώρα ότι η συνάρτηση έχει δύο ϱίζες στο διάστηµα [ 1, ], ξ < ρ. Τότε : f συνεχής και παραγωγίσιµη µε fξ = fρ = 0. Άρα υπάρχει t έτσι ώστε f t = 0 ή ισοδύναµα, 1 t + 1 = t + 1 = 0 t = 1. t Άτοπο, αφού 1 / 1, 0, ύο ακριβώς ϱίζες Για να αποδείξουµε ότι η f = 0 έχει ακριβώς ϱίζες στο a, b ελέγχουµε : α Τις προφανείς ϱίζες ϐ Αν το 0 fa, b. γ Εξασφαλίζουµε δύο τουλάχιστον ϱίζες, συνήθως εφαρµόζοντας δύο ϕορές την µέθοδο που χρησιµοποιήσαµε για την απόδειξη της µια τουλάχιστον ϱίζας, πιθανόν σε κατάλληλα υποδιαστήµατα. δ Αποδεικνύουµε είτε ότι η εξίσωση έχει δύο το πολύ ϱίζες είτε ϐασιζόµενοι στην µονοτονία που ϑα δούµε παρακάτω. 39 ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου 015

40 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση συν = ηµ έχει ακριβώς δύο ϱίζες στο διάστηµα π, π. ες [L], σελ. 11. Υπόδειξη : Εστω f = συν ηµ στο [ π, π]. Σπάµε το διάστηµα [ π, π] σε δύο υποδιαστήµατα [ π, 0] και [0, π]. Τότε η συνάρτηση είναι συνεχής στα δύο αυτά διαστήµατα και : α f πf0 = π 1 < 0 ϐ f0fπ = π 1 < 0 Εποµένως απο το Θ. Bolzano η συνάρτηση έχει δύο τουλάχιστον ϱίζες στο [ π, π]. Εστω ξ 1 π, 0 και ξ 0, π. Προφανώς ξ 1 ξ. Ας υποθέσουµε τώρα ότι έχει τρείς ϱίζες 1 < < 3 π, π. ύο απο αυτές ϑα είναι οι ξ 1 και ξ. Αφού η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στα [ 1, ] και [, 3 ], µε f = συν, υπάρχουν ρ 1 1, και ρ, 3, έτσι ώστε f ρ 1 = f ρ = 0. Το τελευταίο είναι αδύνατο αφού η συν = 0 έχει µόνο µια ϱίζα. Άρα, η αρχική εξίσωση αφού έχει τουλάχιστον και το πολύ ϱίζες, έχει ακριβώς ϱίζες. 4.3 Ασκήσεις ανεξάρτητες 11. Αποδείξτε ότι η εξίσωση f = 0 µε f = δεν έχει πραγµατικές ϱίζες. Υπόδειξη : Αν όλες οι ϱίζες είναι πραγµατικές, τότε απο Θ. Rolle οι τρείς ϱίζες της f = 0 είναι και αυτές πραγµατικές και κατ επέκταση και οι δύο ϱίζες της f = 0. Αλλά f = έχει διακρίνουσα 13 < 0. Άρα η υπόθεση καταλήγει σε άτοπο. 1. Εστω µία συνάρτηση f η οποία είναι δύο ϕορές παραγωγίσιµη στο R και ισχύει f π = fπ = π και f0 = 0. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ π, π τέτοιο ώστε f ξ = ηµξ. Υπόδειξη : f = ηµ f + ηµ = 0 f ηµ = 0 Θεωρώ την συνάρτηση : g = f ηµ. Η συνάρτηση είναι : α συνεχής στα [ π, 0], [0, π] ϐ παραγωγίσιµη στα π, 0, 0, π γ g π = 0, g0 = 0, gπ = 0, Άρα, g π = g0, g0 = gπ. ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου

41 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Συνεπώς, υπάρχουν ξ 1 π, 0 και ξ 0, π, έτσι ώστε g ξ 1 = 0, gξ = 0. Με την σειρά της η g = f συν ικανοποιεί τις συνθήκες του Θ.Rolle, άρα υπάρχει ξ ξ 1, ξ έτσι ώστε g ξ = f ξ ηµξ = Να αποδείξετε ότι η ευθεία y = τέµνει την γραφική παράσταση της f = ηµ µόνο σε τρία ακριβώς σηµεία τα οποία ϐρίσκονται µέσα στο διάστηµα [ π, π]. Υπόδειξη : Σχῆµα 16: ηµ, ηµ. Θα δείξουµε κατ αρχάς ότι οι δύο καµπύλες έχουν τρία ακριβώς σηµεία τοµής στο [ π, π]. Οι τετµηµένες της τοµής της ευθείας και της f είναι οι ϱίζες της g = f = ηµ = 0. Υποθέτοω ότι η g = 0 έχει τέσσερρες ϱίζες : 1 < < 3 < 4 στο διάστηµα [ π, π]. Στα διαστήµατα [ 1, ], [, 3 ], [ 3, 4 ] ισχύουν οι προυποθέσεις του Θ. Rolle για την συνάρτηση g και συνεπώς υπάρχουν ρ i i, i+1, για i = 1,, 3 µε g ρ 1 = g ρ = g ρ 3 = 0 στο [ π, π]. Αλλά, g = συν 1 = 0 συν = 1 3 η οποία έχει δύο ϱίζες t 1 = π 3, t = π [ π, π]. Άτοπο, άρα η g = 0 έχει 3 το πολύ τρείς ϱίζες. Θα δούµε ότι ο αριθµός των ϱιζών είναι ακριβώς τρείς. Μια προφανής ϱίζα της εξίσωσης g = 0 είναι η 0 αφού g0 = 0. Οι άλλες δύο ϱίζες της εξίσωσης 41 ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου 015

42 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ [ ] [ ] είναι µέσα στα διαστήµατα π, π π και 6 6, π. Αυτό συµβαίνει επειδή π gπ = π < 0 και g 1 π > 0. Άρα, η g = 0 έχει σύµφωνα µε 6 [ 6 ] [ ] [ ] το Θ. Bolzano, µια ϱίζα στο π, π µία στο π 6 6, π π και µία στο 6 6, π. Εποµένως έχει ακριβώς τρείς. Μένει να εξετάσουµε ότι η εξίσωση g = 0, δεν έχει ϱίζες εκτός του διαστήµατος [ π, π]. Εστω > π. Τότε ηµ + ή g +. Επειδή π <, + < π +, έχουµε επίσης ότι : g < π + < 0. Άρα, g 0 για [π, +. Εστω < π. Τότε ηµ + ή g +. Επειδή < π, > π > 0, έχουµε επίσης ότι : 0 < π < < g. Άρα, g 0 για, π]. Συµπεραίνουµε λοιπόν ότι η g = 0 έχει τρείς ακριβώς ϱίζες στο διάστηµα [ π, π]. 14. Εστω ότι η συνάρτηση f : [a, b] R, 0 < a < b, είναι παραγωγίσιµη και [a, b] : f > 0. Αν b a fb = fa να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ a, b τέτοιο ώστε fξ ln fξ = ξf ξ Υπόδειξη : Απο b a ln fa ln fb fb = fa b ln fa = a ln fb = a b 7 ln f Θεωρώ την συνάρτηση g =, [a, b]. Για την συνάρτηση αυτή ισχύουν οι προυποθέσεις του Θ. Rolle α είναι συνεχής στο [a, b] ϐ παραγωγίσιµη στο a, b γ ga = gb ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου 015 4

43 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ άρα, υπάρχει ξ a, b τέτοιο ώστε : g ξ = 0 f f ln f = 0 f f ln f = 0 f =ξ =ξ ξf ξ fξ ln fξ ξ fξ = 0 ξf ξ = fξ ln fξ 15. Να ϐρεθούν όλες οι ϱίζες της = πρόκειται για µια άσκηση που πρότεινε ο Andrescu στο Mathematical Reflections. Υπόδειξη : Ξαναγράψτε την εξίσωση ως εξής = = = άρα, = Απο την ταυτότητα του Euler έχω : a 3 + b 3 + c 3 3abc = a + b + c a b + b c + a c Άρα, a + b + c = 0, επειδή Αν a =, b = 3 1, c = 1, τότε η αρχική εξίσωση ανάγεται στην απλούστερη = = Η τελευταία έχει προφανείς ϱίζες τις 1 και. Θα δείξουµε ότι δεν έχει άλλη ϱίζα. Υποθέτω ότι υπάρχει ακόµα µια άλλη ϱίζα 1 1,. Θεωρώ την συνάρτηση ft = t 1 1. Τότε f3 f = = = f f1 Επειδή είναι συνεχής και παραγωγίσιµη σε όλο το R, απο το Θ.Μ.Τ. υπάρχουν t 1 3, και t, 1 έτσι ώστε t 1 t και : f t 1 = f3 f 3 = f f1 1 = f t ή 1 1t 1 1 = 1 1t 1. Το οποίο είναι αδύνατο. 43 ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου 015

44 5 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ Θ. ROLLE ΚΑΙ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 5 Συνέπειες των Θ. Rolle και Μέσης Τιµής Συνέπειες του Θ.Μ.Τ. είναι το ϑεώρηµα και το πόρισµα στην σελίδα 51, τα οποία χρησιµοποιούµε στην εύρεση συνάρτησης. Θεώρηµα 5.1 Εστω συνάρτηση f στο διάστηµα. Αν : 1. είναι συνεχής στο. f = 0 για κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε είναι σταθερή στο διάστηµα. Πόρισµα 5. Οι f, g είναι ορισµένες στο διάστηµα. Αν : 1. είναι συνεχείς στο. f = g για κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε υπάρχει c R τέτοιο ώστε : f = g + c 5.1 Παρατηρήσεις 1. Τα παραπάνω δεν ισχύουν για ενώσεις διαστηµάτων, δες Σχόλιο δελ. 5.. Υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις που έχουν την ίδια παράγωγο. Για τις συναρτήσεις αυτές ισχύουν τα εξής : Σχῆµα 17: Οι συναρτήσεις f + c. α ιαφέρουν µεταξύ τους κατα µία σταθερά c. ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου

45 5 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ Θ. ROLLE ΚΑΙ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ϐ Στα σηµεία µε την ίδια τετµηµένη 0 οι εφαπτόµενες των γρα- ϕικών τους παραστάσεων είναι παράλληλες. γ Εχουν τους ίδιους ϱυθµούς µεταβολής. 3. Το ϑεώρηµα και το πόρισµα ισχύουν σε διάστηµα και όχι σε ένωση διαστηµάτων. Για παράδειγµα για τη συνάρτηση { 1, > 0 f =, < 0 ισχύει f = 0 για κάθε R. Παρ όλα αυτά, δεν είναι σταθερή. Σχῆµα 18: Η συνάρτηση f. 4. Η εφαρµογή σελ. 5, γενικεύεται ως εξής : Να ϐρεθούν οι συναρτήσεις έτσι ώστε : f = λf, R. f λf = 0 e λ f + e λ f = 0 f e λ = 0 Ο παράγοντας e λ λέγεται ολοκληρωτικός παράγοντας. Θεώρηµα 5.3 Θεώρηµα Μονοτονίας { f Εστω f > 0, τότε f συνεχής στο διάστηµα. Αν f < 0, τότε f Το αντίστροφο δεν ισχύει, δες Σχόλιο σελίδα 54 σχολικό ϐιβλίο, πχ: f = 3 ή f = + ηµ, δες σχήµα 7. Η συνάρτηση αυτή είναι γνησίως αύξουσα στο R αλλα η παράγωγος της µηδενίζεται σε άπειρα σηµεία k + 1π. 45 ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου 015

46 5 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ Θ. ROLLE ΚΑΙ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Σχῆµα 19: Η συνάρτηση y = + ηµ. 5. Ασκήσεις ες επίσης στο [ΑΚ]. 1. Σταθερή συνάρτηση - εύρεση τύπου Για να αποδείξουµε ότι µια συνάρτηση f είναι σταθερή σ ένα διάστηµα και στη συνέχεια να ϐρούµε τον τύπο της κάνουµε τα εξής : α Αποδεικνύουµε ότι είναι συνεχής στο διάστηµα αυτό, και ότι f = 0 για κάθε εσωτερικό σηµείο του διαστήµατος. ϐ Συµπεραίνουµε ότι η f είναι σταθερή στο διάστηµα, δηλαδή f = c,, γ Υπολογίζουµε την σταθερά c και ϐρίσκουµε έτσι τον τύπο της συνάρτησης. 1. ίνονται οι παραγωγίσιµες συναρτήσεις g, h : R R µε h = g 01 και g = h 01 για κάθε R. α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f = g h 013 είναι σταθερή στο R. ϐ Να ϐρείτε τον τύπο της συνάρτησης f, αν είναι g1 = 0 και h1 = 1. Υπόδειξη : α Οι συναρτήσεις g και h είναι παραγωγίσιµες στο R άρα και οι συναρτήσεις g 013 και h 013. Εποµένως : f = g h 013 = 013g g h h 01 = 013h 01 g g 01 h 01 = 0 ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου

47 5 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ Θ. ROLLE ΚΑΙ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Σύµφωνα µε το ϑεώρηµα λοιπόν είναι σταθερή η συνάρτηση f. ϐ Απο το προηγούµενο f = c. Άρα, f1 = g h = 1 f = 1. ίνεται η συνάρτηση f = ηµ 6 + συν 6 3ηµ 4 3συν 4, R. α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή στο R. ϐ Να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης f. Υπόδειξη : α R: f = ηµ 6 + συν 6 3ηµ 4 3συν 4 = 1ηµσυν ηµ συν ηµ + συν + +1ηµσυν ηµ συν = 0 Άρα η συνάρτηση είναι σταθερή. ϐ Υποθέτω ότι R, f = c. Εποµένως και f0 = c ή f0 = Άσκηση 1 Οµάδα Β σχολικό σελ. 57 Εστω µια συνάρτηση f η οποία για κάθε, y R ικανοποιεί την σχέση f fy y 9 Να αποδείξετε ότι : α f fy y για κάθε, y R. ϐ Η συνάρτηση f είναι σταθερή στο R. Υπόδειξη : α Αλλάζω τις µεταβλητές στην σχέση 9. fy f y f + fy y y f fy 10 Απο 9 και 10 έχουµε τελικά : y f fy y f fy y 47 ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου 015

48 5 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ Θ. ROLLE ΚΑΙ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ϐ Εστω, 0 R µε 0 έχουµε : f f 0 f f f f Επειδή έχουµε 0 = 0 = Εποµένως η f είναι σταθερή. f f 0 = f 0 = Απόδειξη ταυτοτήτων Με το ϑεώρηµα της σταθερής συνάρτησης µπορούµε να αποδείξου- µε ταυτότητες στο R. Συνήθως ακολουθούµε την εξής διαδικασία. α Μεταφέρουµε όλους τους όρους στο πρώτο µέλος. Θεωρού- µε νέα συνάρτηση µε τύπο την παράσταση που ϐρίσκεται στο πρώτο µέλος. ϐ είχνουµε ότι η συνάρτηση είναι σταθερή µε τιµή ίση µε Να αποδείξετε ότι για κάθε R ισχύει ηµ + συν = 1. Υπόδειξη : Εστω f = ηµ + συν 1. Τότε f = συνηµ ηµσυν = 0 Επειδή η f είναι συνεχής, τότε f = c. Αλλά f0 = 0. Άρα f = 0 ηµ + συν = 1, R.. Να αποδείξετε ότι lny = ln + lny για κάθε, y 0, +. Υπόδειξη : Θέτω f = lny ln lny στο 0, +. Η συνάρτηση f είναι µια συνάρτηση ως προς, η µεταβλητή y ϑεωρείται σαν σταθερά. Άρα, f = 1 y y 1 0 = y y 1 = 0 Εποµένως f = c, c R. Αλλά, για = y = 1 έχουµε f1 = ln1 1 ln 1 ln 1 = c c = 0 Εποµένως f = 0 lny = ln + lny. ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου

49 5 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ Θ. ROLLE ΚΑΙ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 3. Συναρτήσεις µε ίσες παραγώγους Ζητάµε συνήθως να ϐρούµε συνάρτηση η οποία ικανοποιεί µια συν- ϑήκη µεταξύ µιας εκ των παραγώγων της f και άλλες που περιέχουν την µεταβλητή. Συνήθως ακολουθούµε την εξής διαδικασία : α Αξιοποιώντας τους κανόνες παραγώγισης αθροίσµατος συνθέτων συναρτήσεων κλπ, καταλήγουµε σε µια σχέση : για. [ ] [ ] f = g ϐ Αν είναι διάστηµα τότε f = g + c,. ένωση διαστηµάτων = 1 τότε Αν είναι { g + c1, f = 1 g + c, γ Υπολογίζουµε τις σταθερές c ή c 1 και c. 1. Να ϐρείτε συνάρτηση f στο 0, + τέτοια ώστε : f = για 0, + µε f1 = 4. Υπόδειξη : f = ln + οπότε f = ln + + c. Απο f1 = 4 ϑα πάρουµε τελικά c = 9. Τελικά : f = ln για 0, +.. Να ϐρείτε συνάρτηση f στο π, π τέτοια ώστε : f = 1 + συν για κάθε στο π, π και f0 = ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου 015

50 5 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ Θ. ROLLE ΚΑΙ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Υπόδειξη : f = = 1 + συν + = 1 + συν 1 = συν = εφ οπότε f = εφ + c. Αλλά f0 = 1 c = 1. Άρα : f = εφ + 1 για π, π. 3. Να ϐρείτε συνάρτηση f ορισµένη στο R τέτοια ώστε f = + 1 για κάθε R και f0 =. Υπόδειξη : Για R είναι Με f0 = c =. f = ln c 4. Να ϐρείτε συνάρτηση f ορισµένη στο R {1}, τέτοια ωστε 1f = + 3 µε f0 = 1 και f = 13. Υπόδειξη : Για R {1}: f = + 3 = + 3 = c 1, < 1 άρα, f = Επειδή f0 = 1 c 1 = 1 και c, > 1 f = 13 c = 3, , < 1 f = , > 1 5. Να ϐρείτε συνεχή συνάρτηση f ορισµένη στο R {1} τέτοια ώστε 1f = + 3 µε f1 = 4. Υπόδειξη : Για R {1}: f = = + 3 = + 3 άρα, επειδή f1 = 4, c 1, < 1 f = 4, = c, > 1 ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου

51 5 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ Θ. ROLLE ΚΑΙ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Αφού f συνεχής στο 0 = 1 τότε : 1 = = f1 f +f 1 ή c 1 = c = { c 1 = c = 4 c 1 = c = 0 Τελικά, f = + 3, R. 6. Να ϐρείτε την συνάρτηση f που ικανοποιεί τις σχέσεις f 1 = για κάθε R και f1 = 3. Υπόδειξη : f 1 = f 1 = + 6 [ 1 f 1 = 6 + f 1] = 3 + οπότε f 1 = c. Για = 1, f1 = 3 c =. Άρα, f 1 = +, ϑέτω 1 = t = t + 1. Εποµένως : t + 1 t + 1 ft = 3 + ft = 3 4 t + 5 t 1 4 f = , R. 7. Να ϐρείτε συνάρτηση f που ικανοποιεί τις σχέσεις f 3 = 5 για κάθε 0, + και f8 = 97. Υπόδειξη : Για 0, + έχουµε : f = 5 3 f 3 = 3 5 οπότε f 3 = c. f 3 = 3 5 Για = f8 = 97 = c c = 1. Θέτω 3 = y >0,y>0 = 3 y, 5 άρα : fy = 3 3 y + 1 = 3y 3 y + 1, y 0, Συναρτήσεις µε ίσες παραγώγους. Ειδικές περιπτώσεις Περιλαµβάνει ασκήσεις στις οποίες ϑέλουµε να ϐρούµε τον τύπο µιας συνάρτησης f σε ένα διάστηµα ξεκινώντας απο µια σχέση της µορφής 51 ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Ζ. Λυγάτσικας- 7 Φεβρουαρίου 015