ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΒΕΛΤΙΣΤΟΥ ΠΛΑΤΟΥΣ ΩΣ ΜΕΣΟ ΓΙΑ ΤΟΝ ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΤΟΥ ΕΛΕΓΚΤΗ PID

Transcript

1 ΑΡΙΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΤΗΜΙΟ ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΤΩΝ ΤΟΜΕΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΤΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΙΑ: ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΒΕΛΤΙΤΟΥ ΠΛΑΤΟΥ Ω ΜΕΟ ΓΙΑ ΤΟΝ ΠΡΟ ΙΟΡΙΜΟ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΤΟΥ ΕΛΕΓΚΤΗ PID ΥΤΗΜΑ ΜΕ ΕΥΤΑΘΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ ΜΗ ΕΝΙΚΑ ΚΑΙ ΠΟΛΟΥ ΚΑΛΟΓΝΩΜΑ ΝΙΚΟΛΑΟ Α.Ε.Μ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΝΙΚΟΛΑΟ Ι. ΜΑΡΓΑΡΗ ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ 004

2 την οικογένειά µου

3 Θες να µάθεις την αλήθεια, βγες απ έξω απ τη συνήθεια Νικόλας Άσηµος

4 Ευχαριστίες Από τη θέση αυτή θεωρώ υποχρέωσή µου να εκφράσω τις βαθύτερες ευχαριστίες µου στον επιβλέποντα της παρούσας διπλωµατικής εργασίας, αναπληρωτή καθηγητή κ. Νικόλαο Ι. Μάργαρη, για την αµέριστη εµπιστοσύνη, την άριστη συνεργασία και την ηθική και ψυχολογική υποστήριξη προς το πρόσωπό µου. Επίσης θα ήθελα να ευχαριστήσω ιδιαίτερα την οικογένεια και τους φίλους µου για τη στήριξη, το ενδιαφέρον, την ενθάρρυνση και την υποµονή που επέδειξαν.

5 ΠΡΟΛΟΓΟ Η σχεδίαση συστηµάτων αυτοµάτου ελέγχου (.Α.Ε. αποτελεί σήµερα σηµαντικό µέρος της ερευνητικής και κυρίως της βιοµηχανικής πρακτικής. Είναι ένα επιστηµονικό πεδίο µε τεράστια έκταση και ζωτική σηµασία. Άµεσος στόχος είναι η παρακολούθηση, ο έλεγχος, η µέτρηση ή και η διόρθωση των φυσικών µεταβλητών που εµπλέκονται σε ένα σύστηµα µε την κατά το δυνατό µικρότερη παρέµβαση του ανθρώπου. Γίνεται εποµένως άµεσα αντιληπτή η προσφορά του κλάδου στην κοινωνική και οικονοµική ζωή του ανθρώπου. Οι ήδη υπάρχουσες µέθοδοι είναι πολλές, από τις πιο κλασικές ως τις πιο σύγχρονες. Τα περιθώρια της έρευνας όµως δεν έχουν εξαντληθεί. κοπός της παρούσας διπλωµατικής εργασίας είναι η παρουσίαση και ανάλυση µιας µεθόδου σχεδίασης µε βάση το κριτήριο βέλτιστου πλάτους. Αυτή αφορά τον προσδιορισµό των παραµέτρων µιας αναλογικής-ολοκληρωτικήςδιαφορικής βαθµίδας, του γνωστού µας δηλαδή ελεγκτή PID (Proortoal Itegral Dervatve Cotroller, στη σχεδίαση συστηµάτων αυτοµάτου ελέγχου κλειστού βρόχου τύπου Ι, µιας εισόδου µιας εξόδου, µε πραγµατικούς ευσταθείς πόλους και πραγµατικά ευσταθή µηδενικά.

6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΕΙΑΓΩΓΗ. ΧΡΗΙΜΕ ΕΝΝΟΙΕ 4 ΥΤΗΜΑΤΑ ΚΛΕΙΤΟΥ ΒΡΟΧΟΥ ΤΥΠΟΥ Ι Α ΗΛΗ ΥΝΑΜΙΚΗ ΧΕΙΡΙΜΟ ΜΙΚΡΩΝ ΧΡΟΝΙΚΩΝ ΚΑΘΥΤΕΡΗΕΩΝ ΧΕΙΡΙΜΟ ΜΙΚΡΩΝ ΤΑΘΕΡΩΝ ΧΡΟΝΟΥ ΕΠΙ ΡΑΗ ΤΗ Α ΗΛΗ ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΕΠΙΒΑΛΛΟΜΕΝΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΤΙΚΗ ΕΞΙΩΗ ΤΩΝ ΥΤΗΜΑΤΩΝ ΚΛΕΙΤΟΥ ΒΡΟΧΟΥ ΥΠΕΡΥΨΩΗ 3. ΠΑΡΟΥΙΑΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟ 9 4. ΥΤΗΜΑ ΜΕ ΕΥΤΑΘΕΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΠΟΛΟΥ ΚΑΙ ΜΗ ΕΝΙΚΟ 0 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΕΛΕΓΧΟ. ΠΡΟΕΓΓΙΤΙΚΟ ΧΕ ΙΑΜΟ. ΑΚΡΙΒΗ ΧΕ ΙΑΜΟ 3. ΥΓΚΡΙΗ ΤΩΝ ΥΟ ΧΕ ΙΑΜΩΝ ΠΡΟ ΙΟΡΙΜΟ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΤΟΥ ΕΛΕΓΚΤΗ PID. ΦΥΙΚΟ ΥΤΗΜΑ ΧΩΡΙ ΜΗ ΕΝΙΚΟ ΧΟΛΙΑ ΚΑΙ ΠΑΡΑΤΗΡΗΕΙ ΑΝΑΛΥΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΤΙΚΑ ΤΗ ΜΕΘΟ ΟΥ ΑΠΟΤΕΛΕΜΑΤΑ. ΦΥΙΚΟ ΥΤΗΜΑ ΜΕ ΜΗ ΕΝΙΚΟ 5. ΙΑΤΑΡΑΧΕ ΚΑΙ ΘΟΡΥΒΟ 36 ΕΠΙ ΡΑΗ ΤΗ ΑΠΟΤΥΧΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΤΑΘΜΙΗ ΕΥΡΩΤΙΑ. ΑΠΟΤΥΧΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΤΑΘΜΙΗ Ή ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΗ ΜΕΓΑΛΗ ΤΑΘΕΡΑ ΧΡΟΝΟΥ

7 . ΑΠΟΤΥΧΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΤΑΘΜΙΗ Ή ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΩΝ ΥΟ ΜΕΓΑΛΩΝ ΤΑΘΕΡΩΝ ΧΡΟΝΟΥ 3. ΙΑΤΑΡΑΧΗ ΤΟΥ ΚΕΡ ΟΥ P 4. ΙΑΤΑΡΑΧΗ ΤΟΥ ΚΕΡ ΟΥ ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΚΑΙ ΘΟΡΥΒΩΝ. Η ΑΝΤΙΦΑΗ ΤΟΥ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ. ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΗ ΘΟΡΥΒΟΥ 3. ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΕΞΟ ΟΥ 4. ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΕΙΟ ΟΥ 6. ΥΤΗΜΑ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΕΥΤΑΘΕΙ ΠΟΛΟΥ ΚΑΙ ΠΟΛΥ ΜΕΓΑΛΟ ΕΥΤΑΘΕ ΜΗ ΕΝΙΚΟ 60 ΑΝΑΛΟΓΙΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΕΛΕΓΧΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΕΛΕΓΧΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΟ ΕΛΕΓΧΟ 7. ΥΤΗΜΑ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΕΥΤΑΘΕΙ ΠΟΛΟΥ ΚΑΙ ΜΗ ΕΝΙΚΑ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΗ ΥΜΠΕΡΑΜΑΤΑ 70 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 7

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΑΓΩΓΗ Οι περισσότερες από τις µεθόδους σχεδίασης συστηµάτων αυτοµάτου ελέγχου κλειστού βρόχου οι οποίες παρουσιάστηκαν κατά καιρούς από τον επιστηµονικό κόσµο, ακόµη και µέχρι τα τελευταία χρόνια, βασίζονται στην υπόθεση της πλήρους γνώσης του προς έλεγχο συστήµατος. Αυτή η υπόθεση όµως είναι πρακτικά τελείως αβάσιµη. Η πλήρης γνώση ενός φυσικού συστήµατος προϋποθέτει τον εξονυχιστικό έλεγχο όλων των παραµέτρων που επηρεάζουν τη συµπεριφορά του. Ο αριθµός όµως αυτών των παραµέτρων είναι σχεδόν πάντοτε µεγάλος, ο εντοπισµός και η αναγνώρισή τους απαιτεί επίπονες διαδικασίες και η εκτίµηση της επιρροής τους στο σύστηµα ενέχει κινδύνους. Η πραγµάτωση αυτών των διαδικασιών στη βιοµηχανία αποτελεί τουλάχιστον πολυτέλεια αν όχι άσκοπη σπατάλη χρόνου, χρήµατος και ανθρώπινου δυναµικού. Η κατάρρευση αυτών των µεθόδων εποµένως φαίνεται απλά σαν νοµοτελειακή συνέπεια. Η εισαγωγή µιας µεθόδου αυτοµάτου ελέγχου στη βιοµηχανία κρίνεται από την εφαρµοσιµότητά της, την αποτελεσµατικότητα και την ακρίβειά της, και κύρια από την πρακτικότητα και το κόστος εφαρµογής της. Γι αυτό µόνο οι προσαρµοσµένες σ αυτές τις προϋποθέσεις µέθοδοι χρησιµοποιούνται σε βιοµηχανικό επίπεδο. Αυτές λοιπόν θα πρέπει να χειριστούν µε απλό και έξυπνο τρόπο το σύνολο των παραµέτρων του συστήµατος που δεν είναι άµεσα γνωστές, και όχι να τις αγνοούν, έτσι ώστε να θεµελιωθούν σε στέρεες βάσεις. Μια µέθοδος που ανταποκρίνεται στις παραπάνω απαιτήσεις της σχεδίασης είναι αυτή που βασίζεται στο κριτήριο του βέλτιστου πλάτους (Modulu Otmum που παρουσιάστηκε για πρώτη φορά από τους Oldeburg και Sartoru το 954. Βάσει αυτής της µεθόδου ο ελεγκτής του συστήµατος αυτοµάτου ελέγχου πρέπει να σχεδιάζεται έτσι ώστε το πλάτος της απόκρισης συχνότητας του συστήµατος κλειστού βρόχου να είναι ίσο µε τη µονάδα για όσο το δυνατό µεγαλύτερο εύρος συχνοτήτων. Ένα τέτοιο σύστηµα αποδεικνύεται ότι είναι πάντοτε ασυµπτωτικά ευσταθές και βέλτιστο ως προς τη δυναµική του συµπεριφορά. Το κριτήριο εφαρµόστηκε µε επιτυχία σε ευσταθή συστήµατα κλειστού βρόχου τύπου Ι µε πραγµατικούς πόλους. Τέσσερα χρόνια αργότερα ο Keler πρότεινε το κριτήριο του συµµετρικού βέλτιστου (Symmetrcal Otmum το οποίο δεν είναι τίποτε άλλο παρά η εφαρµογή του κριτηρίου βέλτιστου πλάτους σε συστήµατα

9 αυτοµάτου ελέγχου κλειστού βρόχου τύπου ΙΙ. Το όνοµα του κριτηρίου ο Keler το εµπνεύστηκε από τη συµµετρία που παρουσίαζε η απόκριση συχνότητας ανοιχτού βρόχου. ύο από τα σηµαντικότερα πλεονεκτήµατα τα οποία παρουσιάζει η σχεδίαση συστηµάτων αυτοµάτου ελέγχου µε αυτά τα κριτήρια είναι τα εξής: εν είναι απαραίτητη η πλήρης γνώση του φυσικού συστήµατος (Umlad WJ. ad Safudd M. (990 Η µορφή της απόκρισης στην είσοδο αναφοράς του συστήµατος κλειστού βρόχου είναι βέλτιστη (Åtröm K.J. ad. Hägglud (995 Το κριτήριο του βέλτιστου πλάτους, µε εξαίρεση τη γερµανική βιβλιογραφία (Frör F., Ortteburger F. (98, Buxbaum A.., Scerau K., Strauge A. (990, Föllger O. (994, Lut H., Wedt W. (998, σπανίως αναφέρεται σήµερα. Αντίθετα, το κριτήριο συµµετρικού βέλτιστου, είναι περισσότερο γνωστό εξαιτίας της πετυχηµένης εφαρµογής του στον έλεγχο των ηλεκτρικών κινητήρων (Courtol Β., Ladau ID. (975, Büler H. (979, Buxbaum A., Scerau K., Strauge A. (990, Voda AA., Ladau ID. (995, Loro L. (997. ε ορισµένες από τις αναφορές αυτές έχουν εκφρασθεί αµφιβολίες και αρνητικά σχόλια για την αποτελεσµατικότητα των κριτηρίων. Τα πιο χαρακτηριστικά είναι: Τα συστήµατα τα οποία σχεδιάζονται µπορεί να είναι µόνο συστήµατα τύπου Ι ή τύπου ΙΙ. Η απόκριση των συστηµάτων όταν εµφανίζονται διαταραχές σε περιοχές άλλες από ότι η είσοδος αναφοράς δεν είναι βέλτιστη. Η αντιστάθµιση πόλων µπορεί να οδηγήσει στη µικρή εξασθένηση των διαταραχών φορτίου αν αυτοί διεγείρονται από τις διαταραχές ή αν είναι αργοί σε σχέση µε τους κυρίαρχους πόλους του συστήµατος. Η απόδοση δεν είναι ικανοποιητική εξαιτίας της µεγάλης ευαισθησίας στην πιθανή µεταβολή του κέρδους του φυσικού συστήµατος. Η µέθοδος είναι πολύ απαιτητική αφού απαιτείται αξιόπιστη εκτίµηση ενός µεγάλου αριθµού παραµέτρων. εν εφαρµόζεται όταν υπάρχουν µεγάλα µηδενικά και συζυγείς µιγαδικοί πόλοι. Τα παραπάνω σχόλια καταγράφηκαν και ώθησαν σε νέα µελέτη και έρευνα των δυνατοτήτων του κριτηρίου βέλτιστου πλάτους η οποία έδειξε πως µπορεί να επεκταθεί και να εφαρµοστεί µε επιτυχία σε κάθε γραµµικό σύστηµα

10 ελέγχου οποιουδήποτε τύπου. Επιπλέον, η εφαρµογή του κριτηρίου δεν περιορίζεται µόνο στους P.I.D. ελεγκτές αλλά επεκτείνεται και σε ελεγκτές µεγαλύτερου βαθµού. Το επιχείρηµα το οποίο διατυπώθηκε από τους Voda και Ladau (995 και το οποίο αναφέρει ότι το κριτήριο βέλτιστου πλάτους είναι ουσιαστικά µια πρακτική εφαρµογή της µεθόδου ελέγχου H fty (Η, έρχεται να υποστηρίξει τους παραπάνω ισχυρισµούς. Πρόσφατα, το κριτήριο βέλτιστου πλάτους εφαρµόσθηκε στην αυτόµατη ρύθµιση των παραµέτρων ενός P.I.D. ελεγκτή κατά τη σχεδίαση συστηµάτων αυτοµάτου ελέγχου κλειστού βρόχου (Voda AA., Ladau ID. (995, Loro L. (997, Pretl S., Precu RE., Vracc D., Strmc S., Jurcc D. (00. Οι παραπάνω µέθοδοι µπορούν να εφαρµοστούν µόνο σε περιορισµένες κατηγορίες φυσικών συστηµάτων, δε µπορούν να γενικευτούν και δεν είναι τόσο απλές και ξεκάθαρες όσο το κριτήριο βέλτιστου πλάτους επιτρέπει. την παρούσα διπλωµατική εργασία, αφού καταγράφουν και υπενθυµισθούν ορισµένες βασικές έννοιες (Κεφάλαιο και παρουσιασθούν οι παράµετροι του προβλήµατος (Κεφάλαιο 3, αναλύεται η µέθοδος προσδιορισµού των παραµέτρων του PID ελεγκτή κατά τη σχεδίαση συστήµατος κλειστού βρόχου τύπου Ι µε ευσταθείς πόλους και ευσταθές µηδενικό (Κεφάλαιο 4. τη συνέχεια ελέγχεται η ευρωστία και η δυνατότητα απόρριψης διαταραχών και καταστολής θορύβων του συστήµατος κλειστού βρόχου (Κεφάλαιο 5. το έκτο κεφάλαιο αναλύεται η ειδική περίπτωση φυσικού συστήµατος µε πολύ µεγάλο ευσταθές µηδενικό ενώ στο έβδοµο επεκτείνεται η µέθοδος σε συστήµατα µε πολλά µηδενικά. το όγδοο και τελευταίο κεφάλαιο αναφέρονται τα τελικά συµπεράσµατα και οι παρατηρήσεις από την εφαρµογή της µεθόδου.

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΙΜΕ ΕΝΝΟΙΕ Ένα σύστηµα αυτοµάτου ελέγχου καλείται τύπου Ι όταν η βηµατική απόκριση του συστήµατος κλειστού βρόχου παρουσιάζει µηδενικό σφάλµα θέσης, δηλαδή το όριο του µετασχηµατισµού Lalace (L.. του σφάλµατος ανάδρασης µετά το τέλος του µεταβατικού φαινοµένου και του χρόνου αποκατάστασης τείνει στο µηδέν. Πρακτικά αυτό σηµαίνει ότι µετά την αποκατάσταση της ισορροπίας η βηµατική απόκριση του συστήµατος κλειστού βρόχου προσεγγίζει την είσοδό της, δηλαδή τη µονάδα. Κατά τη σχεδίαση ενός συστήµατος αυτοµάτου ελέγχου παίζει πολύ σηµαντικό ρόλο η µελέτη του φυσικού συστήµατος και εν συνεχεία η δηµιουργία ενός κατά το δυνατό αντιπροσωπευτικότερου µαθηµατικού µοντέλου του. Το µαθηµατικό µοντέλο έχει µέγιστη σηµασία καθώς αποτελεί τον καθρέφτη της δυναµικής συµπεριφοράς του συστήµατος. Το συντριπτικό ποσοστό αν όχι το σύνολο- των µαθηµατικών µοντέλων όµως δεν είναι εφικτό να αναπαραστήσουν πιστά το φυσικό σύστηµα. υνέπεια αυτού είναι η ύπαρξη ενός αριθµού παραµέτρων και δυναµικών συµπεριφορών των οποίων η επίδραση στο σύστηµα δε λαµβάνεται υπόψιν. Αυτό όµως δε σηµαίνει ότι δεν υπάρχουν και δεν επηρεάζουν τη συµπεριφορά του συστήµατος. Το σύνολο αυτών των παραµέτρων καλείται άδηλη δυναµική και είναι αυτή που τελικά καθορίζει την ποιότητα του επιβαλλόµενου ελέγχου. Η άδηλη δυναµική, όχι µόνο του φυσικού συστήµατος αλλά και όλων των άλλων λειτουργικών βαθµίδων του συστήµατος αυτοµάτου ελέγχου, οφείλεται κατά κύριο λόγο στις πολύ µικρές σταθερές χρόνου και στις πολύ µικρές χρονικές καθυστερήσεις που είναι διάσπαρτες στο σύστηµα. Επίσης, περικλείονται όλες εκείνες οι παράµετροι που αφορούν τον ελεγκτή ή το φυσικό σύστηµα ως φυσικά στοιχεία και είναι µη µετρήσιµες ή µη αναγνωρίσιµες όπως παρασιτικές χωρητικότητες ή αυτεπαγωγές, µεταβολές στη συµπεριφορά τους που εξαρτώνται από τη θερµοκρασία ή την πίεση, σύνθετες αντιστάσεις από επαγωγή κ.α. Ο κατανεµηµένος χαρακτήρας αυτών δεν επιτρέπει τον ακριβή εντοπισµό τους. Αυτό που υποπίπτει στην αντίληψη µας είναι το αθροιστικό τους αποτέλεσµα.

12 Ο χειρισµός των µικρών χρονικών καθυστερήσεων είναι σχετικά απλός καθώς αυτές µπορούν να προσεγγιστούν µε τη συνάρτηση µεταφοράς d µιας βαθµίδας πρώτης τάξης e. Έτσι µπορούµε στο εξής d e d να θεωρούµε µόνο την ύπαρξη µικρών σταθερών χρόνου. Το τµήµα της συνάρτησης µεταφοράς του φυσικού συστήµατος που αποτελείται από πολύ µικρές σταθερές χρόνου, γράφεται µε τη µορφή G ( ( (, Οι όροι ανώτερης τάξης του µπορούν να αγνοηθούν καθώς οι συντελεστές τους είναι αθροίσµατα γινοµένων πολύ µικρών ποσοτήτων και η παραπάνω εξίσωση γίνεται G ( 3... όπου Τ Τ... Τ είναι η ισοδύναµη κατανεµηµένη σταθερά χρόνου του φυσικού συστήµατος. Με αυτόν τον απλό χειρισµό των πολύ µικρών σταθερών χρόνου του συστήµατος µπορούµε να αναπαριστούµε την

13 άδηλη δυναµική της κάθε λειτουργικής βαθµίδας που εµπλέκεται στο σύστηµα µε έναν πόλο στη συνάρτηση µεταφοράς της. Η επίδραση της άδηλης δυναµικής στην ποιότητα του επιβαλλόµενου ελέγχου καθίσταται σαφής µε την ακόλουθη ανάλυση για τυχαίο σύστηµα αυτοµάτου ελέγχου κλειστού βρόχου µε µοναδιαία αρνητική ανάδραση, το οποίο ελέγχεται µε έναν ολοκληρωτικό ελεγκτή. G G m G ( ( ( ( m όπου G m ( το τµήµα της συνάρτησης µεταφοράς του φυσικού συστήµατος που αποτελείται από τις κύριες σταθερές χρόνου το σχήµα Β δίνεται το πολικό διάγραµµα και το περιθώριο φάσης του συστήµατος. m m το σχήµα φαίνεται ότι η φάση της συνάρτησης µεταφοράς ανοιχτού βρόχου στη συχνότητα διασταύρωσης πρέπει να κυµαίνεται στο διάστηµα o o 35 φ 0 ώστε το περιθώριο φάσης του συστήµατος να κυµαίνεται c o o στο επιθυµητό διάστηµα 45 φm 60. Επειδή ο ολοκληρωτής εισάγει φάση o φ 90 προκύπτει ότι η άδηλη δυναµική όλων των βαθµίδων του συστήµατος αυτοµάτου ελέγχου πρέπει να εισάγει φάση εντός των o o περιορισµένων ορίων 45 φ 30. Γίνεται προφανές εποµένως πως η δυναµική του συστήµατος κλειστού βρόχου εξαρτάται σηµαντικά από την

14 άδηλη δυναµική των βαθµίδων του καθώς αυτή πρέπει να ελαχιστοποιείται έτσι ώστε το περιθώριο φάσης να παραµένει στα όρια του. Όπως είναι γνωστό, η συνάρτηση ευαισθησίας ενός µεγέθους F ως προς ένα άλλο µέγεθος G δίνεται από τη σχέση df % _ µεταβολή _ του _ F S F F G ( % _ µεταβολή _ του _ G dg G ύµφωνα µε τον παραπάνω ορισµό, η ευαισθησία του συστήµατος κλειστού βρόχου µε µοναδιαία αρνητική ανάδραση ως προς τις µεταβολές του φυσικού συστήµατος προκύπτει G F df dg S F G G F CL df dg CL F OL όπου F G G η συνάρτηση µεταφοράς του ανοιχτού βρόχου. OL c Εξάλλου, συνάρτηση µεταφοράς του κλειστού βρόχου δίνεται από την F CL FΕ.. F OL όπου FΕ.. Gc G η συνάρτηση µεταφοράς της ευθείας διαδροµής. Προσθέτοντας κατά µέλη τις δύο παραπάνω εξισώσεις προκύπτει η θεµελιώδης εξίσωση των συστηµάτων κλειστού βρόχου µε αρνητική ανάδραση, καθώς κάθε σύστηµα κλειστού βρόχου µπορεί να αναχθεί σε

15 σύστηµα µε µοναδιαία ανάδραση, και αποτελεί το κλειδί για την επιτυχή σχεδίασή τους F CL FCL S G

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΟΥΙΑΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟ τόχος της προτεινόµενης µεθόδου είναι η επιβολή αυτοµάτου ελέγχου σε φυσικό σύστηµα µε χρήση ενός απλού PID ελεγκτή µε αποτέλεσµα τη δηµιουργία συστήµατος κλειστού βρόχου τύπου Ι. την ουσία, το µοναδικό πράγµα το οποίο είναι γνωστό για το σύστηµα είναι ότι διαθέτει ευσταθείς πραγµατικούς πόλους και µηδενικά. Από εκεί και πέρα δεν είναι γνωστός ο αριθµός των πόλων ή των µηδενικών ούτε οτιδήποτε άλλο που να προσδιορίζει τη συµπεριφορά του προς έλεγχο συστήµατος. Το φυσικό σύστηµα βέβαια πρέπει να είναι υλοποιήσιµο, άρα αιτιατό. Πρέπει να περιγράφεται εποµένως από µια ρητή συνάρτηση µεταφοράς πράγµα που σηµαίνει ότι ο αριθµός των πόλων πρέπει να είναι ίσος ή µεγαλύτερος από τον αριθµό των µηδενικών. Φιλοδοξία της µεθόδου είναι να βρίσκει εφαρµογή σε αιτιατά συστήµατα µε έναν µέχρι και άπειρους πραγµατικούς πόλους και µηδενικά. τη µεγάλη πλειοψηφία των ελεγχόµενων βιοµηχανικών συστηµάτων χρησιµοποιείται ο PID ελεγκτής καθώς η αρχή λειτουργίας του είναι πλήρως κατανοητή από τους µηχανικούς και είναι καθιερωµένο βιοµηχανικό εργαλείο. Με χρήση αυτού του ελεγκτή πρέπει να σχεδιαστεί το σύστηµα τύπου Ι, να καταστεί ευσταθές, εύρωστο ως προς την απόρριψη διαταραχών και την καταστολή των θορύβων και βέλτιστο ως προς τη µορφή και την ταχύτητα απόκρισης. τα πλαίσια της εργασίας αυτής, προκειµένου να τεθούν κάποια όρια στο αχανές πεδίο εφαρµογής της µεθόδου, γίνεται η ακόλουθη παραδοχή. Θεωρούµε ότι ο αριθµός των πόλων και των µηδενικών του φυσικού συστήµατος είναι πεπερασµένος, αφού πρώτα αποδείξουµε ότι η µέθοδος λειτουργεί µε πάρα πολύ ικανοποιητικά αποτελέσµατα και για άπειρο θεωρητικά αριθµό πόλων και µηδενικών, µε σκοπό να αναδείξουµε την πλαστικότητα της µεθόδου και την εξαιρετική της αποτελεσµατικότητα στις διάφορες στατιστικές κατανοµές των πόλων, στην εµφάνιση διαταραχών και θορύβων ή σε πιθανές διαταραχές των δοµικών στοιχείων του συστήµατος.

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΥΤΗΜΑ ΜΕ ΕΥΤΑΘΕΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΠΟΛΟΥ ΚΑΙ ΜΗ ΕΝΙΚΟ Θεωρούµε το φυσικό σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς όπου > >... >. G ( ( ( ( Θα προχωρήσουµε στην προσεγγιστική και στην ακριβή σχεδίαση του συστήµατος κλειστού βρόχου και στη συνέχεια θα µελετήσουµε τις όποιες διαφορές πριν εφαρµόσουµε τα διαδοχικά βήµατα της µεθόδου για τον προσδιορισµό των παραµέτρων του ελεγκτή PID. Προσεγγιστικός σχεδιασµός: Το σύστηµα προσεγγίζεται µε την ακόλουθη συνάρτηση µεταφοράς G ( ( ( όπου Τ Τ... Τ. Για τον έλεγχο του συστήµατος θα χρησιµοποιήσουµε τον ολοκληρωτικό ελεγκτή c Gc (3 ( Οι όροι c και αναπαριστούν την άδηλη δυναµική του ελεγκτή και του φυσικού συστήµατος αντίστοιχα. Το λειτουργικό διάγραµµα του συστήµατος αυτοµάτου ελέγχου κλειστού βρόχου φαίνεται στο σχήµα που ακολουθεί.

18 τη γενική περίπτωση η είσοδος και η έξοδος µιας βαθµίδας ή ενός φυσικού συστήµατος έχουν είτε διαφορετικό επίπεδο ισχύος είτε διαφορετικές διαστάσεις. Είναι χρήσιµη λοιπόν η κανονικοποίηση των µεγεθών αυτών µε τη χρήση τιµών αναφοράς, όπως είναι στην περίπτωσή µας οι R και Y, γιατί παρουσιάζει σηµαντικά πλεονεκτήµατα στην ανάλυση και σχεδίαση συστηµάτων αυτοµάτου ελέγχου. Με αυτόν τον τρόπο τα διάφορα µεγέθη καθίστανται αδιάστατα και οι τιµές των µεταβλητών είναι πλέον της ίδιας τάξης µεγέθους διευκολύνοντας έτσι τη σύγκριση και επεξεργασία τους. Επίσης ως και ορίζουµε τους συντελεστές των ενισχυτικών βαθµίδων στην είσοδο του ελεγκτή και στο βρόχο της ανάδρασης αντίστοιχα, ως r( την είσοδο αναφοράς, ως y( την ολική απόκριση του συστήµατος κλειστού βρόχου ως d( το σύνολο των διαταραχών και ως ( τους πιθανούς θορύβους που εµφανίζονται συνήθως στην είσοδο. Βάσει του σχήµατος, για τη συνάρτηση µεταφοράς της ευθείας διαδροµής θα έχουµε G K G G FP Αντίστοιχα η συνάρτηση µεταφοράς του ανοιχτού βρόχου θα είναι G C K K G G OL Εποµένως η συνάρτηση µεταφοράς του κλειστού βρόχου προκύπτει G CL R Y C GFP G OL

19 Τελικά η συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόχου του συστήµατος γίνεται F CL R Y ( ( ( ( c ( (4 Με την παραδοχή (5, η (4 γίνεται c F CL R Y ( ( ( (6 τη συνέχεια εφαρµόζουµε τη µέθοδο βέλτιστου πλάτους έτσι ώστε, βρίσκοντας την απόκριση συχνότητας του κλειστού βρόχου, να αναδείξουµε τη συνθήκη που καθιστά το πλάτος της συνάρτησης µεταφοράς βέλτιστο για το µεγαλύτερο δυνατό εύρος συχνοτήτων. Μετά από πράξεις η (6 γίνεται F R CL (7 Y ( Το µόνιµο σφάλµα θέσης µηδενίζεται για R (8 και (9. Y Κάνοντας την αντικατάσταση jw η απόκριση συχνότητας προκύπτει F CL ( jw ( w wj ( wj (0 η οποία έχει πλάτος που δίνεται από την ακόλουθη παράσταση F CL ( w ( w 4 [( w ] w ( ( Το πλάτος της απόκρισης συχνότητας γίνεται βέλτιστο (τείνει στη µονάδα όταν ο δευτεροβάθµιος όρος του παρονοµαστή µηδενίζεται, δηλαδή όταν

20 0 ( ( Η εξίσωση ( γράφεται ως πολυώνυµο δευτέρου βαθµού ως προς Τ ως εξής 0 ( ( (3 και έχει λύσεις τις ( ( ± (4 οι οποίες υπάρχουν όταν Z (5. Η αποδεκτή λύση βέβαια είναι η ( ( (6 η οποία γράφεται και ως εξής (7 Το βέλτιστο µέτρο προκύπτει ( ( ( ( 4 4 w w w w w F CL (8 Αντικαθιστώντας τις εξισώσεις (8, (9 και (7 στην (7 προκύπτει ( F CL (9

21 Κανονικοποιούµε το χρόνο θέτοντας τελικά και για Z x (0 θα είναι x F CL ( ( x x ( x Ακριβής σχεδιασµός: Αν στο φυσικό σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς την εξίσωση ( επιβάλλουµε τον ολοκληρωτικό ελεγκτή που προέκυψε από τον προσεγγιστικό σχεδιασµό [εξισώσεις (3 και (4], τότε καταλήγουµε στην ακόλουθη µορφή της συνάρτησης µεταφοράς κλειστού βρόχου F CL ( ( ( Z ( ή για Z x και στην έκφραση x FCL (3 3 ( x x.. ( x x ( x j j όπου j... j 3... j ύγκριση των δύο σχεδιασµών: υγκρίνοντας τις αντίστοιχες συναρτήσεις µεταφοράς από τις εκφράσεις ( και (3 παρατηρούµε ότι στην έκφραση του προσεγγιστικού σχεδιασµού ( αγνοούνται οι όροι ανώτερης τάξης στον παρονοµαστή. Αυτό συµβαίνει επειδή οι όροι αυτοί έχουν πολύ µικρούς συντελεστές. υγκεκριµένα οι συντελεστές τους διαιρούνται δια µιας

22 ανώτερης δύναµης της ολικής σταθεράς χρόνου Τ του συστήµατος µε αποτέλεσµα να τείνουν πρακτικά στο µηδέν. Έτσι οι όροι ανώτερης τάξης του παρονοµαστή έχουν ελάχιστη επίδραση στη συµπεριφορά των δύο συστηµάτων και ουσιαστικά αυτά παρουσιάζουν την ίδια συµπεριφορά. Αυτό καθίσταται σαφές από την εικόνα που παρουσιάζουν οι βηµατικές αποκρίσεις των δύο συστηµάτων. Έτσι, για Τ Ζ 0 η ολοκληρωτική σταθερά χρόνου θα δίνεται από τη σχέση και οι δύο συναρτήσεις µεταφοράς θα δίνονται από τις σχέσεις F CL (4 FCL ( j j το σχήµα που ακολουθεί παρατηρούµε ότι για Τ Ζ 0 το πραγµατικό σύστηµα είναι ελαφρώς ταχύτερο από το προσεγγιστικό ενώ τα δύο συστήµατα παρουσιάζουν την ίδια υπερύψωση και κατά βάση όµοια δυναµική συµπεριφορά.

23 το σηµείο αυτό πρέπει να διευκρινιστεί το εξής. Η υπερύψωση η οποία προκύπτει από την πιο πάνω ανάλυση είναι περίπου 4,47%. Το συγκεκριµένο ποσοστό θα θεωρούµε πλέον ως υπερύψωση αναφοράς καθώς δεν είναι τυχαίο. Το σύστηµα που περιγράφεται από την εξίσωση ( έχει τυχαία κατανοµή των πόλων του. Πειραµατικά αποτελέσµατα δείχνουν ότι όταν ο λόγος q του µεγαλύτερου πόλου του συστήµατος προς το άθροισµα των πόλων είναι 0.9, δηλαδή υπάρχει µια πολύ µεγάλη σταθερά χρόνου, η υπερύψωση που προκύπτει στο σύστηµα κλειστού βρόχου µε τη µέθοδο του βέλτιστου πλάτους είναι περίπου 4.7%. το αντίθετο άκρο, όταν το q είναι 0.3, δηλαδή υπάρχει µια οµοιόµορφη κατανοµή των χρονικών σταθερών του φυσικού συστήµατος, η υπερύψωση που προκύπτει είναι περίπου 4.%. Ο στατιστικός µέσος όρος για την υπερύψωση που καλύπτει ικανοποιητικά κάθε περίπτωση κατανοµής των χρονικών σταθερών του φυσικού συστήµατος, είναι περίπου 4.47%. Προσδιορισµός των παραµέτρων: Παρατηρούµε ότι το σύστηµα αυτοµάτου ελέγχου κλειστού βρόχου που σχεδιάστηκε µε χρήση του

24 ολοκληρωτικού ελεγκτή εµφανίζει υπερύψωση περίπου 4.47%. Όµως η ταχύτητα της απόκρισης δεν είναι βέλτιστη. Αυτή εξαρτάται άµεσα από τη σταθερά χρόνου Τ, η οποία όπως έχει αναφερθεί είναι το άθροισµα των πόλων του συστήµατος και της άδηλης δυναµικής του συστήµατος και του ελεγκτή. Είναι προφανές λοιπόν πως µε την αντιστάθµιση κάποιων µεγάλων σταθερών χρόνου του συστήµατος η Τ θα µειωθεί και συνακόλουθα θα ελαχιστοποιηθεί και η ταχύτητα απόκρισης του συστήµατος κλειστού βρόχου. Έχουν τεθεί λοιπόν οι βάσεις και οι κατευθύνσεις πάνω στις οποίες θα κινηθούµε έτσι ώστε να φτάσουµε στον σταδιακό προσδιορισµό των παραµέτρων του ελεγκτή PID που οδηγεί σε βέλτιστη απόκριση. Φυσικό σύστηµα χωρίς µηδενικά: Θεωρούµε το φυσικό σύστηµα µε την ακόλουθη συνάρτηση µεταφοράς G ( ( ( ( ( (6 3 4 όπου > > > το οποίο θα ελεγχθεί µε τον PID ελεγκτή 3 4 ( ( v Gc (7 ( Οι σταθερές χρόνου και το κέρδος είναι άγνωστα µεγέθη. Η συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόχου που προκύπτει µε βάση το λειτουργικό διάγραµµα του σχήµατος είναι c F CL R Y ( ( ( v ( ( v (8 όπου (9 µε να αντιπροσωπεύουν 3 4 c, c και πάλι την άδηλη δυναµική του φυσικού συστήµατος και του ελεγκτή αντίστοιχα. Βήµα : Προσδιορισµός του κέρδους. Ο προσδιορισµός του κέρδους γίνεται από την κατάσταση ισορροπίας της βηµατικής απόκρισης ανοιχτού βρόχου του φυσικού συστήµατος που

25 περιγράφεται από την εξίσωση (6. Η τιµή του σφάλµατος είναι µέτρο της σταθεράς όπως φαίνεται και στην παρακάτω γραφική παράσταση για ενδεικτική τιµή 5.

26 Βήµα : Προσδιορισµός της ολικής σταθεράς χρόνου Τ. ε πρώτη φάση ο έλεγχος γίνεται µόνο µε χρήση του ολοκληρωτικού ελεγκτή. Θέτουµε εποµένως στη συνάρτηση µεταφοράς του ελεγκτή v 0 και αυτή γίνεται Η συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόχου γίνεται Gc (30 ( c F CL ( ( ( 3 ( 4 (3 Ρυθµίζουµε την ολοκληρωτική σταθερά του ελεγκτή έτσι ώστε να έχουµε υπερύψωση 4,47%. Από τη σχέση (7, όπως έχουµε ήδη δείξει, η θα είναι η οποία για Τ 0 γίνεται (3 Αναµένουµε λοιπόν για τη συγκεκριµένη τιµή να επιτευχθεί η ζητούµενη υπερύψωση. Πράγµατι, όπως φαίνεται στο σχήµα 4, επαληθεύεται η υπόθεσή µας και παρατηρείται και το εξής φαινόµενο: Για τιµές της µεγαλύτερες αυτής της σχέσης (3 η υπερύψωση δε φτάνει το ζητούµενο ποσοστό ενώ αντίθετα για µικρότερες τιµές το υπερβαίνει.

27 Επειδή οι και είναι γνωστές η σταθερά χρόνου θα είναι Τ Τ Τ3 Τ4 (33 Τ Βήµα 3: Προσδιορισµός της σταθεράς χρόνου Τ. τη συνάρτηση µεταφοράς του ελεγκτή θέτουµε v 0, µετατρέποντας τον ουσιαστικά σε αναλογικό-ολοκληρωτικό (PI και αυτή γίνεται Η συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόχου γίνεται Gc (34 ( c

28 F CL ( (35 ( ( ( ( ( 3 4 Ρυθµίζουµε την αναλογική σταθερά του ελεγκτή έτσι ώστε να έχουµε υπερύψωση 4,47% ενώ η σταθερά θα είναι αυτή της σχέσης (3. Καθώς όµως ρυθµίζεται η σταθερά προκαλείται µερική αντιστάθµιση των σταθερών χρόνου του φυσικού συστήµατος. Αποτέλεσµα αυτής της αντιστάθµισης είναι να µειώνεται σταδιακά η ολική σταθερά χρόνου του συστήµατος η οποία γίνεται πλέον ' Τ (36 Κατά τη διαδικασία προσδιορισµού της σταθεράς Τ η συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόχου που περιγράφει το σύστηµα θα είναι η εξής F CL (37 ( ( ( ( ( 3 4

29 το σχήµα 5 παρατηρούµε ότι η σταθερά έχει αντίθετη δράση από αυτή της. Για τιµές της µεγαλύτερες της σταθεράς η υπερύψωση υπερβαίνει το 4.47% ενώ για µικρότερες το ποσοστό της υπερύψωσης είναι µικρότερο του επιθυµητού. Η διαδικασία προσδιορισµού των παραµέτρων και όπως αυτή προσδιορίζεται από τα βήµατα και φαίνεται στο σχήµα 6.

30 Είναι ήδη φανερή η βελτίωση της ταχύτητας του συστήµατος του κλειστού βρόχου µετά την αντιστάθµιση της µεγάλης σταθεράς χρόνου του συστήµατος. Για την εκκίνηση της διαδικασίας προσδιορισµού των παραµέτρων όµως απαιτείται στο πρόγραµµα µια αρχική εκτίµηση της σταθεράς Τ, δηλαδή της ποσότητας. Κατόπιν δοκιµών προκύπτει πως αν η αρχική εκτίµηση είναι µικρότερη από την πραγµατική τιµή, δηλαδή αν Τ <, τότε στο πρώτο στάδιο της διαδικασίας εµφανίζεται υπερύψωση µεγαλύτερη της επιθυµητής όπως φαίνεται και στο σχήµα 7 (καµπύλη (. τη συνέχεια η διαδικασία θα συνεχίσει αυτόµατα µε µια τιµή της παραµέτρου η οποία δε θα προκαλεί υπερύψωση (καµπύλη (. Επειδή η υπερύψωση δεν είναι επιθυµητή γίνεται κατανοητό πως η διαδικασία πρέπει να εκκινεί µε µια υπερεκτίµηση της ποσότητας.

31 Αν η διαδικασία αρχίσει µε εκτίµηση της σταθεράς Τ λίγο µεγαλύτερη από την πραγµατική τιµή θα προκύψει η απόκριση του σχήµατος 8. ε αυτό το σχήµα φαίνεται ότι η διαδικασία προσδιορισµού των παραµέτρων είναι ταχεία και φθάνει στο επιθυµητό αποτέλεσµα µε πολύ µικρό αριθµό δοκιµών.

32 Βήµα 4: Προσδιορισµός της σταθεράς χρόνου Τ. Κατά εντελώς ανάλογο τρόπο µε τα βήµατα και 3, ρυθµίζουµε τη σταθερά v αυτή τη φορά, έτσι ώστε η υπερύψωση να είναι 4.47%. Η συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόχου γίνεται v F CL (38 ( ( ( ( 3 4 αφού µετά τον τελικό προσδιορισµό της σταθεράς χρόνου του ελεγκτή αυτή αντισταθµίζει τη σταθερά χρόνου του φυσικού συστήµατος. Καθώς όµως ρυθµίζεται η σταθερά v προκαλείται µερική αντιστάθµιση των υπολοίπων σταθερών χρόνου του φυσικού συστήµατος. Αποτέλεσµα αυτής της αντιστάθµισης είναι να µειώνεται εκ νέου σταδιακά η ολική σταθερά χρόνου του συστήµατος η οποία γίνεται πλέον '' ' Τv Τ Τ v (39

33 Κατά τη διαδικασία προσδιορισµού της σταθεράς Τ v η συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόχου που περιγράφει το σύστηµα θα είναι η εξής v F CL (40 ( Τ Τ ( ( ( v 3 4 το σχήµα 9 φαίνεται η διαδικασία προσδιορισµού της σταθεράς χρόνου Τ. χόλια και παρατηρήσεις: Το πρόγραµµα το οποίο υλοποιεί τη µέθοδο είναι γραµµένο σε MALAB. Κατά την υλοποίησή του το άθροισµα των σταθερών χρόνου του φυσικού συστήµατος θεωρήθηκε σταθερό και ίσο µε 0 ενώ η κατανοµή τους τυχαία. Το λογικό διάγραµµα του συστήµατος κλειστού βρόχου στο οποίο βασίζεται το πρόγραµµα έχει τη δοµή που απεικονίζεται στο σχήµα 0. Κατά τη διαδικασία του σταδιακού προσδιορισµού των παραµέτρων του ελεγκτή PID και συγκεκριµένα στα βήµατα,3, και 4, ελέγχεται η απόκλιση της υπερύψωσης (max[y(] από την

34 επιθυµητή (y ref,0447 για κάθε τιµή των παραµέτρων,, v που τίθενται αρχικά από το πρόγραµµα στα αντίστοιχα βήµατα. Το κάθε σφάλµα που προκύπτει (error ενισχύεται (βήµα ή υποβαθµίζεται (βήµατα 3 και 4 µέσω των εσωτερικών ελεγκτών µε κέρδη t,, v αντίστοιχα και στη συνέχεια είτε αφαιρείται από την προηγούµενη τιµή της (βήµα είτε προστίθεται στις προηγούµενες τιµές των και v (βήµατα 3 και 4 για να προκύψουν οι νέες ενδεικνυόµενες τιµές τους. το σηµείο αυτό πρέπει να σηµειωθεί ότι από τη στιγµή που θα προσδιοριστούν οι βέλτιστες τιµές των παραµέτρων, κάθε επανάληψη της διαδικασίας απαιτεί ελάχιστες δοκιµές καθώς το µέγεθος είναι στατιστικό και συνεπώς δε µεταβάλλεται σηµαντικά. Κάθε επανάληψη της διαδικασίας εποµένως θα εκκινεί από τιµές κοντά στις πραγµατικές. Χαρακτηριστικό της µεθόδου είναι το ότι, µε ελάχιστες απαιτήσεις, έχει ικανοποιητικότατα αποτελέσµατα τη στιγµή που η γνώση του συστήµατος είναι πρακτικά ανύπαρκτη. υγκεκριµένα το µοναδικό προαπαιτούµενο της µεθόδου είναι µια εκτίµηση της ισοδύναµης σταθεράς χρόνου του συστήµατος κλειστού βρόχου. υγκεντρωτικά τα αποτελέσµατα που προκύπτουν είναι τα ακόλουθα:. Οι σταθερές χρόνου του PID ελεγκτή έτσι ώστε το σύστηµα να είναι εύρωστο (βέλτιστη ευαισθησία και να παρουσιάζει υπερύψωση περίπου 4.47%.

35 . Η ισοδύναµη σταθερά χρόνου του συστήµατος κλειστού βρόχου που περιλαµβάνει και την άδηλη δυναµική του ελεγκτή. 3. Οι τιµές των δύο µεγαλύτερων σταθερών χρόνου του φυσικού συστήµατος, οι οποίες πρακτικά αντισταθµίζονται σχεδόν πλήρως από τις και v. 4. Το άθροισµα των µη αντισταθµισµένων σταθερών χρόνου του συστήµατος κλειστού βρόχου. το σχήµα φαίνεται η τελική απόκριση του συστήµατος κλειστού βρόχου µετά την επιβολή του PID ελέγχου.

36 Φυσικό σύστηµα µε µηδενικό: Η µεθοδολογία αντιµετώπισης του προβλήµατος είναι σχεδόν η ίδια µε αυτή που αναπτύχθηκε προηγουµένως. Θεωρούµε το φυσικό σύστηµα µε την ακόλουθη συνάρτηση µεταφοράς F CL ( (4 ( (... ( ( 0 όπου > >... > 0 το οποίο θα ελεγχθεί µε τον PID ελεγκτή ( ( v Gc (4 ( Η συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόχου που προκύπτει µε βάση το λειτουργικό διάγραµµα του σχήµατος είναι c F CL R Y ( ( ( v ( ( ( v ( (43 µε ( όπου, c αντιπροσωπεύουν και πάλι την άδηλη δυναµική του φυσικού συστήµατος και του ελεγκτή αντίστοιχα. Βήµα : Προσδιορισµός του κέρδους. Ο προσδιορισµός του κέρδους γίνεται από την κατάσταση ισορροπίας της βηµατικής απόκρισης ανοιχτού βρόχου του φυσικού συστήµατος που περιγράφεται από την εξίσωση (4. Η τιµή του σφάλµατος είναι µέτρο της σταθεράς όπως φαίνεται και στην παρακάτω γραφική παράσταση για ενδεικτική τιµή 5. c

37 Βήµα : Προσδιορισµός της ολικής σταθεράς χρόνου Τ. Θέτουµε στη συνάρτηση µεταφοράς του ελεγκτή 0 και αυτή γίνεται Η συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόχου γίνεται c v Gc (45 ( F CL ( ( ( (46 Ρυθµίζουµε την ολοκληρωτική σταθερά του ελεγκτή έτσι ώστε να έχουµε υπερύψωση 4,47%. Από τη σχέση (7 η θα είναι

38 Από τη σχέση (5 όµως πρέπει να ισχύει Z. ηλαδή θα είναι (47 Θεωρούµε ότι θα είναι (48 καθώς χρειαζόµαστε µια υπερεκτίµηση της σταθεράς χρόνου του ελεγκτή. Επειδή οι και είναι γνωστές η σταθερά χρόνου θα είναι Τ Τ Τ3 Τ4 (49 Τ Βήµα 3: Προσδιορισµός της σταθεράς χρόνου Τ. τη συνάρτηση µεταφοράς του ελεγκτή θέτουµε 0 και αυτή γίνεται Η συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόχου προκύπτει c v Gc (50 ( F CL ( ( ( ( ( (5 Ρυθµίζουµε την αναλογική σταθερά του ελεγκτή,, έτσι ώστε να έχουµε υπερύψωση 4,47%. Καθώς όµως ρυθµίζεται η σταθερά προκαλείται µερική αντιστάθµιση των σταθερών χρόνου του φυσικού συστήµατος. Αποτέλεσµα αυτής της αντιστάθµισης είναι να µειώνεται σταδιακά η ολική σταθερά χρόνου του συστήµατος η οποία γίνεται πλέον ' Τ (5

39 Κατά τη διαδικασία προσδιορισµού της σταθεράς Τ η συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόχου που περιγράφει το σύστηµα θα είναι η εξής F CL ( ( ( ( ( ( (53 Η διαδικασία προσδιορισµού των παραµέτρων και όπως αυτή προσδιορίζεται από τα βήµατα και φαίνεται στο σχήµα 3. Βήµα 4: Προσδιορισµός της σταθεράς χρόνου Τ. Ρυθµίζουµε τη σταθερά v αυτή τη φορά, έτσι ώστε η υπερύψωση να είναι 4.47%. Η συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόχου γίνεται F CL ( ( ( v ( ( ( ( ( 3 0 v (54

40 αφού µετά τον τελικό προσδιορισµό της σταθεράς χρόνου του ελεγκτή, αυτή αντισταθµίζει τη σταθερά χρόνου του φυσικού συστήµατος. Καθώς όµως ρυθµίζεται η σταθερά v προκαλείται µερική αντιστάθµιση των υπολοίπων σταθερών χρόνου του φυσικού συστήµατος. Αποτέλεσµα αυτής της αντιστάθµισης είναι να µειώνεται σταδιακά η ολική σταθερά χρόνου του συστήµατος η οποία γίνεται πλέον '' ' Τv Τ Τ v (55 Κατά τη διαδικασία προσδιορισµού της σταθεράς Τ v η συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόχου που περιγράφει το σύστηµα θα είναι η εξής F CL '' ( ( ( 3 v ( ( 0 ( v ( (56 το σχήµα 4 φαίνεται η διαδικασία προσδιορισµού της σταθεράς χρόνου Τ.

41 το σχήµα 5 φαίνεται η τελική απόκριση του συστήµατος κλειστού βρόχου µετά την επιβολή του PID ελέγχου. Κατά την υλοποίησή του προγράµµατος το άθροισµα των σταθερών χρόνου του φυσικού συστήµατος µε µηδενικό θεωρήθηκε σταθερό και ίσο µε 00 ενώ η κατανοµή των σταθερών χρόνου του συστήµατος και η τιµή του µηδενικού τυχαία. Ένα πρόβληµα το οποίο παρουσιάστηκε σχετίζεται µε την τιµή της µεγαλύτερης σταθεράς χρόνου του συστήµατος. υγκεκριµένα, όταν υπάρχει στο φυσικό σύστηµα µια κυρίαρχη σταθερά χρόνου για την οποία ο λόγος q της προς το άθροισµα των πόλων γίνεται µεγαλύτερος από 0.9, τότε παρουσιάζεται µια διαταραχή στην οµαλή εφαρµογή της µεθόδου. την ουσία η συµπεριφέρεται σαν ένας επιπλέον ολοκληρωτής ή µε άλλα λόγια όλες οι υπόλοιπες σταθερές χρόνου του συστήµατος θα µπορούσαν να συµπεριληφθούν στην άδηλη δυναµική του συστήµατος. Έτσι το σύστηµα µετατρέπεται σε ένα απλό σύστηµα µε έναν πόλο για το οποίο η επιβολή απλού ολοκληρωτικού ελέγχου είναι αρκετή.

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΙΑΤΑΡΑΧΕ ΚΑΙ ΘΟΡΥΒΟ Από τις σηµαντικότερες ενδείξεις για την επιτυχή ή µη σχεδίαση ενός συστήµατος κλειστού βρόχου είναι η συµπεριφορά του κατά την εµφάνιση διαταραχών ή µεταβολής των δοµικών του στοιχείων. Με άλλα λόγια η σχεδίαση ενός συστήµατος κλειστού βρόχου κρίνεται σε µεγάλο βαθµό από την ευρωστία του ως προς την απόρριψη διαταραχών και καταστολή θορύβου και την αντίδρασή του σε πιθανές αλλοιώσεις των χαρακτηριστικών του. ε αυτό το κεφάλαιο θα δειχθεί η επίδραση της αποτυχίας στην αντιστάθµιση, η συµπεριφορά του συστήµατος κατά τη µεταβολή των παραµέτρων του και η δυνατότητα απόρριψης του θορύβου και των διαταραχών από το σύστηµα κλειστού βρόχου που προκύπτει κατά τη σχεδίαση µε τη µέθοδο του βέλτιστου πλάτους. Επίδραση της αποτυχίας στην αντιστάθµιση - Ευρωστία: Θεωρούµε το φυσικό σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς την ακόλουθη G ( ( ( (57 όπου > >... >. Θα εξετάσουµε τη συµπεριφορά του συστήµατος κλειστού βρόχου στις ακόλουθες περιπτώσεις διαταραχών:. Αποτυχία στην αντιστάθµιση ή µεταβολή, της µεγάλης σταθεράς χρόνου του φυσικού συστήµατος. Αποτυχία στην αντιστάθµιση ή µεταβολή, των δυο µεγάλων σταθερών χρόνου του φυσικού συστήµατος και 3. ιαταραχή του κέρδους 4. ιαταραχή του κέρδους ε όλες τις περιπτώσεις θεωρούµε ότι η αντίστοιχη διαταραχή εµφανίζεται µετά το τέλος της σχεδίασης. Περίπτωση : Το διαταραγµένο φυσικό σύστηµα θα έχει την ακόλουθη συνάρτηση µεταφοράς

43 G ( ( d ( (58 όπου µε d συµβολίζεται το ποσοστό µεταβολής της και. Το σύστηµα ελέγχεται µε τον ελεγκτή PI µε συνάρτηση µεταφοράς την Η συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόχου προκύπτει Gc (59 ( c F CL ( ( d ( ( ( (60 όπου c (6. Το σύστηµα σχεδιάζεται για την ονοµαστική τιµή της σταθεράς χρόνου, εποµένως θα είναι Η συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόχου προκύπτει (6 (63 FCL (64 3 ( d (( d ( Αν θέσουµε y (65 όπου y Z, η συνάρτηση κλειστού βρόχου προκύπτει τελικά y F CL ( ( d y (( d y ( y Εξάλλου, από τη χαρακτηριστική εξίσωση των συστηµάτων κλειστού βρόχου, η συνάρτηση ευαισθησίας του συστήµατος κλειστού βρόχου θα είναι

44 ( (( ( (( ( ( y y d y d y d y d S CL (67 Αντίστοιχα για το ονοµαστικό σύστηµα, οι συναρτήσεις µεταφοράς και ευαισθησίας του κλειστού βρόχου θα δίνονται από τις εξισώσεις ( F CL (68 ( S CL (69 τα σχήµατα που ακολουθούν δίνονται οι αποκρίσεις των συναρτήσεων µεταφοράς και ευαισθησίας των δύο συστηµάτων σε βηµατική είσοδο, ενδεικτικά για y00 και για d±0% ή d±40%.

45 Όπως παρατηρούµε στα δύο παραπάνω σχήµατα, η διαταραχή στη µεγάλη σταθερά χρόνου του συστήµατος προκαλεί ένα σφάλµα στην ταχύτητα του συστήµατος και µεταβάλει την υπερύψωση από την επιθυµητή τιµή. Η συµπεριφορά όµως του συστήµατος εξακολουθεί να είναι ικανοποιητική αφού απορροφά ουσιαστικά µια µεγάλη διαταραχή της τάξης του 40% και παραµένει σε ευστάθεια. Περίπτωση : Το διαταραγµένο φυσικό σύστηµα θα έχει την ακόλουθη συνάρτηση µεταφοράς G ( ( d ( ( d ( (70 όπου d είναι το ποσοστό µεταβολής των και και. Το σύστηµα ελέγχεται µε τον ελεγκτή PID µε συνάρτηση µεταφοράς την ( ( v Gc (7 ( c

46 Η συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόχου προκύπτει F CL ( ( d ( ( ( ( d ( v v (7 ( ( όπου c (73. Το σύστηµα σχεδιάζεται για την ονοµαστική τιµή της σταθεράς χρόνου, εποµένως θα είναι Η συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόχου προκύπτει F (74 v (75 (76 v ( v ( ( d ( CL ( ( d v ( (77 Αν θέσουµε a b (78, όπου a,b Z και a>b, µε χρήση των (74,, (75 και για η συνάρτηση κλειστού βρόχου προκύπτει τελικά v Εξάλλου η συνάρτηση ευαισθησίας του συστήµατος κλειστού βρόχου θα είναι

47 τα σχήµατα που ακολουθούν δίνονται οι αποκρίσεις των συναρτήσεων µεταφοράς και ευαισθησίας των δύο συστηµάτων σε βηµατική είσοδο ενδεικτικά για a00, b50 και για d±0% ή d±40%.

48 ε αυτή την περίπτωση η επίδραση της διαταραχής στο σύστηµα είναι πολύ πιο έντονη. Παρατηρούµε ότι προκαλείται ένα σφάλµα θέσης ανάλογο του µεγέθους της διαταραχής και πως η οµαλότητα του µεταβατικού φαινοµένου και η υπερύψωση διαταράσσονται σηµαντικά. Περίπτωση 3: Το διαταραγµένο φυσικό σύστηµα θα έχει την ακόλουθη συνάρτηση µεταφοράς ( d G (8 όπου µε d συµβολίζεται το ποσοστό µεταβολής της. Το σύστηµα ελέγχεται µε τον ελεγκτή I µε συνάρτηση µεταφοράς την Η συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόχου προκύπτει Gc (8 ( c

49 F CL ( ( d ( d (83 Το σύστηµα σχεδιάζεται για την ονοµαστική τιµή της σταθεράς χρόνου, εποµένως θα είναι Η συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόχου, για (84, προκύπτει F d CL (85 d Εξάλλου η συνάρτηση ευαισθησίας του συστήµατος κλειστού βρόχου θα είναι S CL d (86 τα σχήµατα που ακολουθούν δίνονται οι αποκρίσεις των συναρτήσεων µεταφοράς και ευαισθησίας των δύο συστηµάτων σε βηµατική είσοδο για d±0% ή d±40%.

50

51 Η διαταραχή στην επιφέρει αλλοίωση στην υπερύψωση χωρίς να προκαλεί όµως σφάλµα θέσης ή µεταβολή του χρόνου αποκατάστασης. Είναι χαρακτηριστικό ότι σε αυτή την περίπτωση η διαταραχή επιδρά αντίστροφα. Για θετική τιµή της διαταραχής έχουµε αύξηση της υπερύψωσης ενώ για αρνητική τιµή έχουµε µείωση, σε αντίθεση µε ότι γίνεται στις προηγούµενες περιπτώσεις. Περίπτωση 4: Το φυσικό σύστηµα έχει την ακόλουθη συνάρτηση µεταφοράς G (87 Το σύστηµα ελέγχεται µε τον ελεγκτή I µε συνάρτηση µεταφοράς την Gc (88 ( c

52 Η συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόχου προκύπτει F CL ( ( d (89 Το σύστηµα σχεδιάζεται για την ονοµαστική τιµή της σταθεράς χρόνου, εποµένως θα είναι Η συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόχου, για (90, προκύπτει F CL (9 d Εξάλλου η συνάρτηση ευαισθησίας του συστήµατος κλειστού βρόχου θα είναι S d CL d (9 τα σχήµατα που ακολουθούν δίνονται οι αποκρίσεις των συναρτήσεων µεταφοράς και ευαισθησίας των δύο συστηµάτων σε βηµατική είσοδο, για d±5% ή d±0%.

53

54 Η διαταραχή στο κέρδος εισάγει ένα σηµαντικό σφάλµα θέσης ανάλογο του µεγέθους της. Η εµφάνιση σφάλµατος στον κλάδο ανάδρασης είναι εξαιρετικά επικίνδυνη για τον κλειστό βρόχο γιατί το σφάλµα αυτό θα ενισχυθεί και θα επαναδιοχετευθεί στο σύστηµα. Είναι πολύ πιθανό λοιπόν το σύστηµα να οδηγηθεί στην αστάθεια. Το πρόβληµα αυτό όµως αντιµετωπίζεται εξαιρετικά από το σύστηµα ελέγχου. Η µορφή της απόκρισης, πέρα από το σφάλµα θέσης, παραµένει αναλλοίωτη σε ό,τι αφορά τα υπόλοιπα χαρακτηριστικά της. Ένα πολύ µεγάλο πλεονέκτηµα το οποίο παρουσιάζεται είναι το ότι µε την εµφάνιση µιας διαταραχής γίνεται άµεσα αντιληπτή η προέλευσή της. Πιο συγκεκριµένα: Μεταβολή της υπερύψωσης και παράλληλα µεταβολή του χρόνου αποκατάστασης καταδεικνύει διαταραχή στην. Έντονη µεταβολή της υπερύψωσης και του µεταβατικού φαινοµένου και εµφάνιση σφάλµατος θέσης καταδεικνύει διαταραχή στις και. Μεταβολή της υπερύψωσης καταδεικνύει διαταραχή στην. Εµφάνιση σφάλµατος θέσης καταδεικνύει διαταραχή στην. Απόρριψη διαταραχών και θορύβων: Από το λειτουργικό διάγραµµα του σχήµατος Β προκύπτει για την απόκριση του συστήµατος κλειστού βρόχου [ d G d ( ] y F r( F ( S (93 CL CL CL o

55 όπου F CL ( και S CL ( η συνάρτηση µεταφοράς και ευαισθησίας του κλειστού βρόχου αντίστοιχα, ( ο θόρυβος, d( οι διαταραχές εισόδου και d o ( οι διαταραχές εξόδου. Από την εξίσωση (93 καθίστανται προφανείς οι παρακάτω στόχοι της σχεδίασης: Για απόρριψη διαταραχών η συνάρτηση ευαισθησίας θα πρέπει να είναι η µικρότερη δυνατή. Η διαπίστωση αυτή όµως είναι και η βάση της µεθόδου σχεδίασης βέλτιστου πλάτους. Για µηδενική συνάρτηση ευαισθησίας υπάρχει τέλεια απόρριψη των διαταραχών. Για απόρριψη θορύβου η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος κλειστού βρόχου θα πρέπει να ελαχιστοποιείται. Για µηδενική συνάρτηση µεταφοράς θα υπάρχει τέλεια απόρριψη θορύβου. Για την κατά το δυνατόν καλύτερη παρακολούθηση της εισόδου από την έξοδο (etot tracg θα πρέπει η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος κλειστού βρόχου να είναι η µέγιστη δυνατή. Όταν αυτή τείνει στη µονάδα η παρακολούθηση της εισόδου είναι τέλεια. Τα παραπάνω σηµεία έρχονται σε αντίθεση (η αντίφαση του αυτοµάτου ελέγχου καθώς από την χαρακτηριστική εξίσωση των FCL συστηµάτων κλειστού βρόχου (F S γνωρίζουµε ότι δεν είναι CL δυνατό να ελαχιστοποιούνται ταυτόχρονα οι συναρτήσεις µεταφοράς και ευαισθησίας. Αυτό σηµαίνει ότι θα πρέπει να υπάρξει κάποιου είδους συµβιβασµός κατά τη σχεδίαση. Υπάρχει ένας γενικός κανόνας σχεδίασης σύµφωνα µε τον οποίο πρώτα φροντίζουµε για την απόρριψη των διαταραχών και του θορύβου και στη συνέχεια για την παρακολούθηση της εισόδου. υνήθως για την βελτιστοποίηση του etot tracg χρησιµοποιείται εξωτερικός ελεγκτής στο σύστηµα. Το πρόβληµα αντιµετωπίζεται µε την ακόλουθη θεώρηση. Οι διαταραχές είναι συνήθως σήµατα χαµηλής συχνότητας ενώ αντίθετα ο θόρυβος είναι στη γενική περίπτωση υψίσυχνο σήµα. Θέλουµε εποµένως στις υψηλές συχνότητες να ελαχιστοποιείται η συνάρτηση µεταφοράς του κλειστού βρόχου ενώ αντίθετα στις χαµηλές συχνότητες να ελαχιστοποιείται η συνάρτηση ευαισθησίας. Θεωρούµε το φυσικό σύστηµα που περιγράφεται από την εξίσωση G G ( ( ( (94

56 Η απόκριση συχνότητας του συστήµατος κλειστού βρόχου που προκύπτει µε βάση το λειτουργικό διάγραµµα του σχήµατος Β, φαίνεται στο σχήµα 4. Παρατηρούµε λοιπόν ότι σε περίπτωση εµφάνισης σηµάτων θορύβου ή διαταραχών µε τη συνήθη συχνότητα, το σύστηµα κλειστού βρόχου τα απορρίπτει σε πολύ ικανοποιητικό βαθµό. Από τη συχνότητα διασταύρωσης, η οποία είναι περίπου ω 0 C , διαπιστώνουµε ότι το σύστηµα κλειστού βρόχου ανέχεται διαταραχές µε συχνότητα µικρότερη της συχνότητας διασταύρωσης και θορύβους µε συχνότητα µεγαλύτερη της συχνότητας διασταύρωσης, συνθήκες που είναι και οι πιο πιθανές. Για αυτόν ακριβώς τον λόγο ο ελεγκτής σχεδιάζεται έτσι ώστε να ισχύουν τα εξής: τις χαµηλές συχνότητες F ( jw οπότε S( jw 0 (95 τις υψηλές συχνότητες F ( jw 0 οπότε S( jw (96 Για παράδειγµα ας υποθέσουµε ότι ένα ηµιτονοειδές σήµα εισέρχεται στο σύστηµα µας πρώτα ως διαταραχή στην έξοδο και κατόπιν ως θόρυβος στην είσοδο, µετά την εφαρµογή της µεθόδου. Το σήµα δίνεται από την εξίσωση η οποία έχει µετασχηµατισµό Lalace τον D(t(at (97

57 a (98 a d O Με βάση το σχήµα Β και την εξίσωση (93 για (0 και d (0 προκύπτει η βηµατική απόκριση του ονοµαστικού συστήµατος κλειστού βρόχου (σχέσεις (68,(69 στη διαταραχή εξόδου, για: a 0. < ω, a 0.6 ω. Είναι προφανές πως όσο η συχνότητα της διαταραχής πλησιάζει στη συχνότητα ω C η επίδραση στην απόκριση του συστήµατος κλειστού βρόχου γίνεται όλο και πιο έντονη. C C

58 Με βάση το σχήµα Β και την εξίσωση (93 για d (d o (0 προκύπτει η βηµατική απόκριση του ονοµαστικού συστήµατος κλειστού βρόχου (σχέσεις (68,(69 µε θόρυβο στην είσοδο, για: a 0 > ω, a ω C 0.6. Όπως ήταν αναµενόµενο, όσο η συχνότητα της διαταραχής πλησιάζει στη συχνότητα ω C η επίδραση στην απόκριση του συστήµατος κλειστού βρόχου γίνεται όλο και πιο έντονη. C

59 Όπως έχει προαναφερθεί, έχουν εκφρασθεί σοβαρές αµφιβολίες για την ποιότητα του επιβαλλόµενου ελέγχου σε ότι αφορά την ικανότητα του

60 συστήµατος κλειστού βρόχου να απορρίπτει διαταραχές. Θυµίζουµε τα αρνητικά σχόλια τα οποία ανέφεραν πως η απόκριση των συστηµάτων όταν εµφανίζονται διαταραχές σε περιοχές άλλες από ότι η είσοδος αναφοράς δεν είναι βέλτιστη και πως η αντιστάθµιση πόλων µπορεί να οδηγήσει στη µικρή εξασθένηση των διαταραχών φορτίου αν αυτοί διεγείρονται από τις διαταραχές ή αν είναι αργοί σε σχέση µε τους κυρίαρχους πόλους του συστήµατος. Εξετάζουµε την ικανότητα απόρριψης διαταραχών του συστήµατος όταν η διαταραχή είναι σε αντισταθµισµένο ή µη ρυθµό και την επίδραση της διαταραχής στην ολοκληρωτική σταθερά χρόνου για τις δύο παραπάνω περιπτώσεις. Προκειµένου να εξετάσουµε τα όρια του συστήµατος αυτοµάτου ελέγχου, θεωρούµε πως όταν η διαταραχή είναι σε αντισταθµισµένο ρυθµό τότε διεγείρει τη µεγαλύτερη σταθερά χρόνου του συστήµατος, την, ενώ όταν είναι σε µη αντισταθµισµένο ρυθµό διεγείρει τη µεγαλύτερη µη αντισταθµισµένη σταθερά χρόνου, την 3. Από το λειτουργικό διάγραµµα του σχήµατος B, για το φυσικό σύστηµα της σχέσης (94, προκύπτει η απόκριση του συστήµατος κλειστού βρόχου µε είσοδο µια διαταραχή εξόδου y όπου ( c ( ( [ ( ( ( ]( ( d o c j d o (00, j,,, και (0. j τα σχήµατα που ακολουθούν παρουσιάζονται οι παραπάνω περιπτώσεις. d (99 o

61

62

63 Εξετάζοντας τα σχήµατα παρατηρούµε πως δεν εµφανίζεται περιορισµένη δυνατότητα απόρριψης διαταραχών εξόδου ούτε απώλεια της ελεγξιµότητας. Και στις δύο περιπτώσεις η συµπεριφορά του συστήµατος παραµένει η ίδια παρά την αντιστάθµιση των µεγάλων χρονικών σταθερών. Αντίθετα, παρατηρείται περιορισµένη δυνατότητα απόρριψης διαταραχών όταν η ολοκληρωτική σταθερά χρόνου δε ρυθµίζεται σωστά µε αποτέλεσµα το σύστηµα να παρουσιάζεται µη ελέγξιµο, ανεξάρτητα από τη διέγερση ή όχι ενός αντισταθµισµένου ρυθµού. Επίσης φαίνεται πως η εξασθένιση των διαταραχών εξόδου βελτιώνεται αισθητά µε τη µείωση της ολοκληρωτικής σταθεράς, δηλαδή κατ επέκταση µε την ελαχιστοποίηση της ισοδύναµης κατανεµηµένης σταθεράς χρόνου του συστήµατος. Η απόκριση του συστήµατος κλειστού βρόχου σε διαταραχή εισόδου για το φυσικό σύστηµα της σχέσης (94θα είναι y ( d (0 c [ ( ( ( ]( ( d c όπου j d (03, j,,, και (04. j Από τα σχήµατα παρατηρούµε ότι εµφανίζεται µείωση της ικανότητας απόρριψης διαταραχών και απώλεια της ελεγξιµότητας λόγω της λάθους ρύθµισης της ολοκληρωτικής σταθεράς χρόνου του ελεγκτή.

64

65

66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΤΗΜΑ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΕΥΤΑΘΕΙ ΠΟΛΟΥ ΚΑΙ ΠΟΛΥ ΜΕΓΑΛΟ ΕΥΤΑΘΕ ΜΗ ΕΝΙΚΟ Θεωρούµε το φυσικό σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς G (05 ( ( ( ( ( ( όπου ελεγκτή > >... > (06. Το σύστηµα ελέγχεται µε τον ολοκληρωτικό Gc (07 ( την ανάλυση που έγινε στο δεύτερο κεφάλαιο δείξαµε πως η συνθήκη που προσδιορίζει την ολοκληρωτική σταθερά χρόνου του ελεγκτή και καθιστά το πλάτος της συνάρτησης µεταφοράς ίσο µε τη µονάδα για το µεγαλύτερο δυνατό εύρος συχνοτήτων προκύπτει από την εφαρµογή της µεθόδου βέλτιστου πλάτους και είναι όπου (09. c c (08 Η παραπάνω συνθήκη ισχύει µε την προϋπόθεση Z (0 την περίπτωση που το φυσικό σύστηµα έχει ένα µηδενικό αρκετά µεγάλο ώστε να καταργείται η συνθήκη της σχέσης (0 η αντιµετώπιση του προβλήµατος της σχεδίασης του συστήµατος κλειστού βρόχου είναι τελείως διαφορετική.

67 Η ολική αντιστάθµιση του µεγάλου µηδενικού µε έναν δεύτερο ελεγκτή ή µε τη χρήση ενός φίλτρου θα ήταν η ιδανική λύση. Το µεγάλο µηδενικό όµως δεν µπορεί να αντισταθµιστεί ολικά καθώς εξ υποθέσεως δεν είναι γνωστή η τιµή του. Οδηγούµαστε λοιπόν στη λύση της προσθήκης στον ελεγκτή µιας µεγάλης σταθεράς χρόνου µε τιµή τέτοια ώστε να προκαλείται αντιστάθµιση του µεγάλου µηδενικού σε βαθµό που να καταστά ισχυρή τη συνθήκη (0. Ο νέος ελεγκτής θα έχει την ακόλουθη συνάρτηση Επίσης θεωρούµε πως ισχύει ( ( v Gc ( ( ( Z g c ( Θέτουµε ως τιµή της σταθεράς χρόνου g του ελεγκτή την g (3. Με αυτό τον τρόπο, καθώς αντισταθµίζεται το µεγάλο µηδενικό, καθίσταται ισχυρή πλέον η συνθήκη (0 για κάθε πιθανή τιµή του µηδενικού που υπακούει στη συνθήκη (. Θέτουµε σε εφαρµογή τη µέθοδο βέλτιστου πλάτους όπως και στην περίπτωση φυσικού συστήµατος µε µηδενικό του κεφαλαίου 4. Μοναδική διαφορά στις δύο περιπτώσεις είναι ότι κατά τη διαδικασία προσδιορισµού των παραµέτρων του ελεγκτή η ολική σταθερά χρόνου του συστήµατος κλειστού βρόχου περιέχει και τη σταθερά. Έγινε εφαρµογή της µεθόδου για δύο περιπτώσεις: Για Z Για Z > Τα αποτελέσµατα φαίνονται στα σχήµατα που ακολουθούν. g

68

69 την πρώτη περίπτωση παρατηρούµε πως η διαδικασία παραµένει γρήγορη αλλά το αποτέλεσµα δεν είναι απόλυτα ικανοποιητικό καθώς παρουσιάζεται µια ταλάντωση µέχρι το πέρας του χρόνου αποκατάστασης η οποία είναι ανεπιθύµητη. Η ταλάντωση γίνεται ακόµη πιο έντονη στη δεύτερη περίπτωση όταν το µηδενικό είναι µεγαλύτερο από τη σταθερά χρόνου. Το φαινόµενο αυτό εµφανίζεται λόγω της ύπαρξης του µεγάλου µηδενικού σε συνδυασµό µε την ολοκληρωτική ουσιαστικά δράση της σταθεράς χρόνου. Αυτή η διαπίστωση µας οδηγεί στο επόµενο λογικό βήµα g το οποίο είναι η επιβολή PI ελέγχου αλλά και απλού ολοκληρωτικού ελέγχου για τις δύο περιπτώσεις.

70

71 Από τα παραπάνω σχήµατα συµπεραίνουµε πως ενώ η απόκριση του συστήµατος κλειστού βρόχου σε PI έλεγχο βελτιώνεται σε σχέση µε τον PID έλεγχο, η χρήση ενός απλού ολοκληρωτικού ελεγκτή είναι αρκετή για να δώσει καλύτερα αποτελέσµατα, πράγµα που επιβεβαιώνει την αρχική µας υπόθεση. Η δράση του µεγάλου µηδενικού αντιµετωπίζεται ικανοποιητικότατα µε την µορφή της απόκρισης να καλύπτει σε εξαιρετικό βαθµό τις απαιτήσεις της σχεδίασης. Κατά την υλοποίησή των προγραµµάτων αυτού του κεφαλαίου το άθροισµα των σταθερών χρόνου του φυσικού συστήµατος θεωρήθηκε σταθερό και ίσο µε 00 ενώ η κατανοµή των σταθερών χρόνου του συστήµατος τυχαία.

72 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΥΤΗΜΑ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΕΥΤΑΘΕΙ ΠΟΛΟΥ ΚΑΙ ΜΗ ΕΝΙΚΑ Θεωρούµε το φυσικό σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς ( ( ( m G (4 ( ( ( όπου > >... > (5, > >... > (6 και > (7. m m Το σύστηµα ελέγχεται µε τον PID ελεγκτή που περιγράφεται από την εξίσωση Από τις παραπάνω εξισώσεις θα έχουµε ( ( m ( ( m G c (8 ( ( ( ( ( m ( ( m ( ( m G c G ( ( ( ( m m (, l,, l (9 3 j j m 3 l j j, m l j Το σύστηµα κλειστού βρόχου που φαίνεται στο λειτουργικό διάγραµµα του σχήµατος, για το φυσικό σύστηµα που περιγράφεται από την εξίσωση (99, θα έχει την ακόλουθη απόκριση (σχέση (0 j [ m m j j m j j m 3 l m l m m, l l ],, (, l F l CL m m [ ] [ m ]

73 η οποία έπειτα από την εκτέλεση των πράξεων καταλήγει στην (,,,, 3 ] [ ] [.. ] [ ( m l m j j l m m j j m l m l m l l m m CL F Κανονικοποιούµε τον χρόνο θέτοντας και κάνουµε τις ακόλουθες προσεγγίσεις για το άθροισµα των πόλων και των µηδενικών του φυσικού συστήµατος και του ελεγκτή: και. Αντικαθιστώντας στην ( θα έχουµε (σχέση ( ' j j j j m,, ] [ ] [.. ]... [ ( m l l m m m j j m l l m m m CL F Αγνοώντας τους όρους οι οποίοι τείνουν πρακτικά στο µηδέν, εξαιτίας του ότι διαιρούνται δια µιας ανώτερης δύναµης της ολικής σταθεράς χρόνου του συστήµατος κλειστού βρόχου, προκύπτει η (3,,,, 3 3,,, 3 3 ] [ ] [ ] [ ] [ ( m l l m j j j l m l l m j l CL F Για προκύπτει η απόκριση συχνότητας του συστήµατος κλειστού βρόχου. Ο παρονοµαστής του πλάτους, D(ω, έπειτα από πράξεις θα δίνεται τελικά από την εξίσωση jw