Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις
|
|
- Πύθιος Αποστόλου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Ζούπας Ανδρέας, Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας, Λεωφόρος Αθηνών, Πεδίο Άρεως, Βόλος Ιουνίου 216
2 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή Γενικές Παρατηρήσεις Βασικοί Ορισµοί Εξισώσεις της Μαθηµατικής Φυσικής Μαθηµατική Μοντελοποίηση ιαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξεως Εισαγωγή Ταξινόµηση ιαφορικών Εξισώσεων εύτερης Τάξεως Εισαγωγή Η κυµατική Εξίσωση και η Εξίσωση ιάχυσης Η κυµατική Εξίσωση Η Εξισωση ιάχυσης Προβλήµατα Αρχικών Τιµών Εισαγωγή Το ΠΑΤ της Κυµατικής Εξίσωσης Η Οµογενής Κυµατική Εξίσωση i Ερµηνεία Λύσης, Χωρίο Εξάρτησης, Πεδίο Επιρροής ii Ενέργεια Η Μη-Οµογενής Κυµατική Εξίσωση Το ΠΑΤ της Εξίσωσης ιάχυσης Η Οµογενής Εξίσωση ιάχυσης i Ενέργεια Η Μη-Οµογενής Εξίσωση ιάχυσης i Η αρχή του Duhamel Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος Χωρισµού Μεταβλητών Εισαγωγή Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών Η Εξίσωση ιάδοσης Θερµότητας i Dirichlet ΣΣ ii Neuma ΣΣ iii Περιοδικές ΣΣ iv Η Αρχή του Μεγίστου Κυµατική Εξίσωση i Dirichlet ΣΣ ii Neuma ΣΣ ii
3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ iii iii Περιοδικές ΣΣ Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών Εξίσωση aplace i Το Πρόβληµα Dirichlet Μέθοδος Χωρισµού Μεταβλητών-Προβλήµατα Ιδιοτιµών-Γενική Συµπεριφορά Σειρές Fourier Σειρές Fourier Ηµιτονικές, Συνηµιτονικές, και Πλήρεις Σειρές Fourier Η Σειρά Fourier µιας Περιοδικής Συνάρτησης Περιοδικές Συναρτήσεις Άρτιες και Περιττές Συναρτήσεις Πλήρεις Σειρές, Περιττότητα και Αρτιότητα i Η Σειρά Fourier Μίας Περιττής Συνάρτησης ii Η Σειρά Fourier Μίας Άρτιας Συνάρτησης Θεωρήµατα Σύγκλισης Είδη Σύγκλισης Σειρών Το Θεώρηµα Σύγκλισης Παράγωγοι και Ολοκληρώµατα Σειρών Fourier i Παράγωγος Σειράς Fourier ii Ολοκλήρωµα Σειράς Fourier Σειρές Fourier σε ιαστήµατα Περιοδικές Επεκτάσεις Συναρτήσεων Οι Σειρές Fourier των Περιοδικών Επεκτάσεων i Η σειρά Fourier της Περιοδικής Επέκτασης ii Η Σειρά Fourier της Άρτιας Περιοδικής Επέκτασης iii Η Σειρά Fourier της Περιττής Περιοδικής Επέκτασης iv Συνηµιτονικές και Ηµιτονικές Σειρές Fourier v Το Θεώρηµα Σύγκλισης vi Σχεδίαση Σειρών Fourier Η Συνέχεια της Σειράς Fourier Παραγώγιση Σειρών Fourier σε ιαστήµατα Ολοκλήρωση Σειράς Fourier Το ϕαινόµενο Gibbs Μέθοδος Χωρισµού Μεταβλητών και Γενικευµένες Σειρές Fourier Ορθογωνιότητα και ΣΣ Σύγκλιση Γενικευµένων Σειρών Fourier Μη-Οµογενή Προβλήµατα, Μέθοδος Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις Εισαγωγή Μη-Οµογενείς ΣΣ Μη-Οµογενείς Μ Ε-Οµογενοποίηση ΣΣ Μέθοδος Αναπτύγµατος σε Ιδιοσυναρτήσεις Γενίκευση Μεθόδου Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις Θεωρία Sturm-iouville Εισαγωγή Μη-Οµογενείς ΣΣ Μη-Οµογενείς Μ Ε Τι να δω Γενικά Παράρτηµα Πίνακες Τριγωνοµετρικών Συναρτήσεων Εκδοση : 18 Ιουνίου 216
4 iv ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εκδοση : 18 Ιουνίου 216
5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Μη-Οµογενή Προβλήµατα, Μέθοδος Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 8.1 Εισαγωγή Μη-Οµογενείς ΣΣ Μη-Οµογενείς Μ Ε-Οµογενοποίηση ΣΣ Μέθοδος Αναπτύγµατος σε Ιδιοσυναρτήσεις Γενίκευση Μεθόδου Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις Εισαγωγή. Σκοπός µας σε αυτή την ενότητα είναι να αναπτύξουµε τεχνικές οι οποίες ϑα µας επιτρέψουν να λύσουµε πιο γενικά προβλήµατα από αυτά τα οποία µπορούν να αντιµετωπιστούν µε τη µέθοδο χωριζοµένων µεταβλητών. Θέλουµε να λύσουµε προβλήµατα στα οποία µπορεί είτε οι συνοριακές συνθήκες να είναι µη οµογενείς ή η διαφορική εξίσωση να είναι µη οµογενής, ή τόσο η διαφορική εξίσωση όσο και οι συνοριακές συνθήκες να είναι µη οµογενείς. Για την επίλυση αυτών των προβληµάτων ϑα στηριχτούµε στα πανίσχυρα ϑεωρήµατα των σειρών Fourier του κεφαλαίου (7) τα οποία εξασφαλίζουν ότι σχεδόν όλες οι συναρτήσεις που συµπεριφέρονται καλά µπορούν να αναπτυχθούν σε σειρά Fourier. Ετσι, για ποιο λόγο να µη µπορούµε να υποθέσουµε από την αρχή ότι η λύση µίας Μ Ε µπορεί να δωθεί ως σειρά Fourier και στη συνέχεια να την αντικαταστήσουµε στη διαφορική εξίσωση και να προσπαθήσουµε να προσδιορίσουµε τους συντελεστές της, οι οποίοι ϑα καθορίζουν µονοσήµαντα τη λύση ; Η µέθοδος, τη λογική της οποίας, µόλις περιγράψαµε ονοµάζεται Μέθοδος Αναπτύγµατος σε Ιδιοσυναρτήσεις. Ξεκινάµε τη µελέτη µόνο µε προβλήµατα οµογενών Μ Ε µε µη οµογενείς ΣΣ και ϑα δείξουµε εκτός των άλλων, ότι για τις οικογένειες ΣΣ µε τις οποίες ασχολούµαστε µπορούµε πάντα µέσω ενός µετασχηµατισµού της άγνωστης συνάρτησης να µετασχηµατίσουµε το πρόβληµα µε τις µη οµογενείς ΣΣ σε ένα ισοδύναµο µε οµογενείς ΣΣ. Κατόπιν προχωρούµε στη µελέτη µη οµογενών Μ Ε µε µη οµογενείς ΣΣ και στηριζόµενοι στο αποτέλεσµα αυτό, δείχνουµε ότι µπορούµε να µετασχηµατίσου- µε πάντα αυτό το πρόβληµα σε ένα ισοδύναµο µε µη οµογενή Μ Ε αλλά µε οµογενείς ΣΣ. Αυτό είναι και το καλύτερο που µπορούµε να επιτύχουµε, οπότε παρουσιάζουµε τη Μέθοδο Αναπτύγ- µατος σε Ιδιοσυναρτήσεις για προβλήµατα µη οµογενών Μ Ε µε οµογενείς ΣΣ, ϑεωρώντας ότι αυτή είναι η γενικότερη δυνατή περίπτωση (δηλαδή ότι αν είχαν υπάρξει οι µη οµογενείς ΣΣ εµείς είχαµε µετασχηµατίσει το πρόβληµα στο ισοδύναµο του µε οµογενείς ΣΣ). 131
6 132 Κεφάλαιο 8. Μη-Οµογενή Προβλήµατα, Μέθοδος Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις. 8.2 Μη-Οµογενείς ΣΣ. Ας δούµε τώρα, τα πιθανά προβλήµατα που µπορεί να αντιµετωπήσουµε αν, πιστεύοντας τα ϑεωρήµατα για τη σύγκλιση των σειρών Fourier, προσπαθήσουµε να λύσουµε προβλήµατα οµογενών Μ Ε µε µηοµογενείς ΣΣ. Παράδειγµα 8.1 (Η Εξίσωση ιάχυσης µε Μη-Οµογενείς ΣΣ): Θεωρούµε το εξής πρόβληµα, t k 2 u =, x2 < x <, t > (8.2.1) u(, t) = h(t), t (ΣΣ 1) (8.2.2) u(, t) = j(t), t (ΣΣ 2) (8.2.3) u(x, ) =, x (ΑΣ) (8.2.4) Λόγω των µη-οµογενών ΣΣ η ΜΧΜ δεν µπορεί να εφαρµοστεί. Μπορούµε όµως πιστεύοντας τα σχετικά ϑεωρήµατα σύγκλισης να υποθέσουµε ότι η λύση του συγκεκριµένου προβλήµατος ϑα έχει τη µορφή u(x, t) = B (t) si (8.2.5) διότι πολύ απλά µπορούµε να το κάνουµε (ίσως εδώ παρασυρόµαστε και από το αντίστοιχο οµογενές πρόβληµα στο οποίο το σωστό ανάπτυγµα είναι σε ηµιτονική σειρά). Προφανώς B = 2 u(x, t) si dx (8.2.6) Βέβαια, τώρα µπορεί κάποιος να προβάλλει αντιρρήσεις λέγοντας ότι κάθε όρος του αναπτύγµατος (8.2.5) µηδενίζεται στο σύνορο (για x = ή x = δηλαδή) και εποµένως παραβιάζει τις συνοριακές συνθήκες. Οµως η απάντηση µας είναι ότι µπορούµε να απαιτήσουµε η σειρά να συγκλίνει µόνο στα εσωτερικά σηµεία και όχι στο σύνορο, πράγµα που µπορεί να εξασφαλιστεί είτε από το ϑεώρηµα (7.4.2) που εξασφαλίζει τη σηµειακή σύγκλιση σε ανοικτά διαστήµατα, είτε από την 2 σύγκλιση που έχει λιγότερες απαιτήσεις µέσω του ϑεωρήµατος (7.5.5). Το επόµενο ϐήµα είναι η παραγώγιση όρο προς όρο προκειµένου να ικανοποιηθεί η απαίτηση ότι η u(x, t) αποτελεί λύση της (8.2.1). Ετσι προκύπτει ότι t k 2 u x 2 = = [ db (t) + kb (t)( π ] )2 si (8.2.7) Η απαίτηση να ισχύει για κάθε x η παραπάνω σχέση συνεπάγεται, ϑέτοντας λ = ( π )2 ότι λύση αυτών των Σ Ε για κάθε είναι η db (t) + kλ B (t) =, (8.2.8) B (t) = A e kλ t (8.2.9) Εκδοση : 18 Ιουνίου 216
7 8.2. Μη-Οµογενείς ΣΣ. 133 όπου καµία από αυτές δεν µπορεί να ικανοποιεί τις ΣΣ (8.2.2) και (8.2.3). Τι είναι αυτό που πήγε στραβά ; ιότι κανονικά η µέθοδος ϑα έπρεπε να λειτουργεί εξαιτίας της γενικότητας των ϑεωρηµάτων σύγκλισης των σειρών Fourier. Το ϐασικό πρόβληµα είναι η παραγώγιση όρο προς όρο. Εµείς προσπαθήσαµε να εκφράσουµε τη λύση του προβλήµατος ως ηµιτονική σειρά Fourier και µετά απλώς παραγωγίσαµε όρο προς όρο ενώ, σύµφωνα µε τη διατύπωση του συµπεράσµατος (7.4.11) και του τύπου (7.4.15) γίνεται ϕανερό ότι δεν ϑα έπρεπε να το κάνουµε αυτό. Βλέπουµε ότι για το πρόβληµα µας η αποτυχία της όρο προς όρο παραγώγισης οφείλεται στις µη οµογενείς ΣΣ. Το παραπάνω πρόβληµα µπορεί να ξεπεραστεί εύκολα, αν κάνουµε την υπόθεση ότι η συνάρτηση u είναι συνεχής και πως η x είναι κατά τµήµατα λεία. Τότε, η λύση είναι απλώς να εφαρµόσουµε τον σωστό τύπο (7.4.15) ο οποίος σέβεται τις µη οµογενείς ΣΣ. Ας δούµε πως δουλεύει αυτός ο τρόπος. Παράδειγµα 8.2 (Σωστή Λύση Παραδείγµατος (8.1) ): Αναπτύσουµε την άγνωστη συνάρτηση σε ηµιτονική σειρά, u(x, t) = B (t) si (8.2.1) γνωρίζοντας πάντα ότι απαίτησή µας είναι η u να ικανοποιεί την Μ Ε και τις ΣΣ. Αναπτύσουµε τις παραγώγους της u σε σειρά Fourier και αυτές. Ετσι, όπου, v (t) = 2 t = v (t) si t si dx = d 2 u(x, t) si dx = db (t) (8.2.11) (8.2.12) όπου η εναλλαγή µεταξύ παραγώγισης και ολοκληρώµατος ισχύει όταν η προς ολοκλήρωση ποσότητα είναι απλά συνεχής, οπότε δεν έχουµε πρόβληµα. Ουσιαστικά δείξαµε ότι για τη χρονική παράγωγο δεν έχουµε πρόβληµα να παραγωγίσουµε όρο προς όρο τη σειρά Fourier. Μένει τώρα ο όρος 2 u x 2 όπου για να ϕτάσουµε σε αυτόν πρέπει πρώτα να υπολογίσουµε τον όρο x. Εφόσον έχουµε ηµιτονική σειρά ο σωστός τύπος είναι ο x = 1 [u(, t) u(, t)] + [ π B (t) + 2 ] [( 1) u(, t) u(, t)] cos = 1 [j(t) h(t)] + [ π B (t) + 2 [( 1) j(t) h(t)] ] cos (8.2.13) Θεωρούµε τώρα ότι η x µπορεί να παραγωγιστεί πάλι και έτσι 2 u x 2 = [ ( π )2 B (t) + 2π ] 2 [( 1) j(t) h(t)] si (8.2.14) Εκδοση : 18 Ιουνίου 216
8 134 Κεφάλαιο 8. Μη-Οµογενή Προβλήµατα, Μέθοδος Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις. Ας ϑυµηθούµε ότι για το οµογενές πρόβληµα ιδιοτιµών, λ = ( ) π 2. Τότε, t k 2 u x 2 = [ db (t) + kλ B (t) + 2kπ 2 ] [( 1) j(t) h(t)] si = (8.2.15) και εφόσον ϑέλουµε αυτή η σχέση να ισχύει για κάθε ϑα πρέπει να µηδενίζεται ο συντελεστής του si ( π ) και έτσι προκύπτουν οι µη οµογενείς Σ Ε για τους συντελεστές B (k) db (t) + kλ B (t) = 2kπ 2 [( 1) j(t) h(t)] (8.2.16) για κάθε µία από τις οποίες (δηλ., για κάθε ) η λύση δίνεται από τον τύπο µε αρχική συνθήκη B () =. B (t) = Ce λ kt 2kπ 2 t e λ k(t s) [( 1) j(s) h(s)] ds (8.2.17) Μπορεί, τώρα, µε την παραπάνω µέθοδο να δώσαµε µία λύση όµως υπάρχουν δύο Ϲητήµατα τα οποία πρέπει να εξετάσουµε. Πρώτον, απαιτήσαµε από τη λύση µας να έχει όλες τις καλές ιδιότητες έτσι ώστε να µπορούµε να εφαρµόσουµε το συµπέράσµα (7.4.11) και τον τύπο (7.4.15) και δεύτερον, ϑέλουµε µεθόδους γενικές κατά την εφαρµογή των οποίων δεν ϑα χρειάζεται να ανατρέχουµε σε ειδικούς τύπους όπως ο τύπος (7.4.15)και τις οποίες ϑα µπορούµε εύκολα να εφαρµόσουµε και σε µη οµογενείς Μ Ε. Τέτοιες εναλλακτικές υπάρχουν και η µία ϐασίζεται στην λεγόµενη οµογενοποίηση των συνοριακών συνθηκών και η άλλη στη δεύτερη ταυτότητα του Gree. Για αυτό το λόγο ϑα ξεχάσουµε κατά κάποιο τρόπο τη λύση που µόλις παρουσιάσαµε και ϑα αναπτύξουµε τις άλλες δύο µεθόδους. Ξεκινάµε µε την οµογενοποίηση των ΣΣ. 8.3 Μη-Οµογενείς Μ Ε-Οµογενοποίηση ΣΣ. Για αρχή ϑα µελετήσουµε την περίπτωση µίας Μ Ε η οποία είναι οµογενής αλλά µε µη-οµογενείς ΣΣ απλής µορφής. Εστω λοιπόν ότι ϑέλουµε να λύσουµε την t c2 2 u =, x2 < x <, t > (8.3.1) u(, t) = T 1, t (ΣΣ 1) (8.3.2) u(, t) = T 2, t (ΣΣ 2) (8.3.3) u(x, ) = f(x), x (ΑΣ) (8.3.4) όπου οι µη οµογενείς όροι των Dirichlet συνθηκών στα δύο σύνορα είναι απλώς δύο σταθερές, η T 1 και η T 2. Τώρα, ελπίζουµε πως έχει ήδη γίνει κατανοητό ότι εφόσον οι ΣΣ είναι µη-οµογενείς δεν µπορούµε να εφαρµόσουµε τη ΜΧΜ. Για ΣΣ αυτού του είδους αλλά και γενικότερα, για Γραµµικά Προβλήµατα η συγκεκριµένη δυσκολία ξεπερνιέται διότι µπορώ να µετασχηµατίσω το πρόβληµα σε ένα ισοδύναµο µε οµογενείς ΣΣ και µάλιστα σχετικά εύκολα. Εκδοση : 18 Ιουνίου 216
9 8.3. Μη-Οµογενείς Μ Ε-Οµογενοποίηση ΣΣ. 135 Η Ουσία της Μεθόδου : Η ουσία είναι να µπορέσω να ϐρω µία συνάρτηση αναφοράς u r τέτοια ώστε να ικανοποιεί απλώς τις µη-οµογενείς ΣΣ (χωρίς να είναι λύση του προβλήµατος!) και µετά να την αφαιρέσω από την άγνωστη συνάρτηση u εκµεταλλευόµενος τη γραµµικότητα του προβλήµατος Εδώ που οι ΣΣ δεν εξαρτώνται από το χρόνο η όλη διαδικασία εύρεσης της συνάρτησης αναφοράς, την οποία ονοµάζω ϑερµοκρασία αναφοράς, εφόσον λύνω πρόβληµα διάδοσης ϑερµότητας, απλουστεύεται αν ϑεωρήσω την λύση ισορροπίας του προβλήµατος, δηλαδή αν λύσουµε πρώτα το πρόβληµα στάσιµης κατάστασης (steady state), 2 u r x 2 = (8.3.5) µε τις συνοριακές συνθήκες του αρχικού προβλήµατος. Παρατηρούµε ότι εφόσον αναφερόµαστε στη στάσιµη κατάσταση η λύση δεν πρέπει να εξαρτάται από τον χρόνο (δηλ., κανονικά ϑα έπρεπε να είχαµε Σ Ε αντί για Μ Ε για την εξίσωση στάσιµης κατάστασης) και έτσι εύκολα συµπεραίνουµε πως η στάσιµη λύση είναι η u r = ax + b µε a, b σταθερές. Εφαρµόζοντας τις δύο ΣΣ σε αυτή τη λύση προσδιορίζουµε τις τιµές των a, b και εύκολα προκύπτει ότι Προφανώς, η u r ικανοποιεί τις u r = T T 2 1 x + T 1 (8.3.6) Άρα, αν ϑεωρήσουµε τη συνάρτηση r t =, και c2 2 u r x 2 = w(x, t) = u(x, t) u r όπου u(x, t) η αρχική άγνωστη συνάρτηση, τότε είναι προφανές ότι η w ικανοποιεί την αλλά πλέον µε ΣΣ και ΑΣ Τελικά, δηλαδή, λύνω την w(, t) = w(, t) = } t > w(x, ) = f(x) u r (x) w(x, t) t c 2 2 w(x, t) x 2 = (8.3.7) µε οµογενείς ΣΣ! και κατάλληλα προσαρµοσµένη ΑΣ. Η λύση αυτού του προβλήµατος είναι γνωστή και είναι η w(x, t) = b e λ2 t si, λ = πc (8.3.8) Εκδοση : 18 Ιουνίου 216
10 136 Κεφάλαιο 8. Μη-Οµογενή Προβλήµατα, Μέθοδος Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις. µε b = Αυτό σηµαίνει ότι u(x, t) = w(x, t) + u r (x, t), δηλαδή, u(x, t) = [f(x) u r (x)] si dx (8.3.9) b e λ2 t si + T T 2 1 x + T 1 (8.3.1) Γενίκευση. Αµέσως τώρα, ϑα γενικεύσουµε για την περίπτωση όπου έχουµε µη οµογενείς ΣΣ οι οποίες είναι και χρονικά εξαρτόµενες αλλά και µη οµογενή Μ Ε. Εστω λοιπόν η t c2 2 u = Q(x, t), x2 < x <, t > (8.3.11) u(, t) = A(t), t (ΣΣ 1) (8.3.12) u(, t) = B(t), t (ΣΣ 2) (8.3.13) u(x, ) = f(x), x (ΑΣ) (8.3.14) Αυτό το οποίο ισχυριζόµαστε, τώρα, είναι ότι το παραπάνω πρόβληµα δεν µπορούµε γενικά να το ϕέρουµε σε µορφή οµογενούς Μ Ε µαζί µε οµογενείς ΣΣ µε τη µέθοδο που αναπτύξαµε κατά την επίλυση του προηγούµενου προβλήµατος. Το καλύτερο που µπορούµε να κάνουµε µε αυτή τη µέθοδο είναι να οµογενοποιήσουµε τις ΣΣ. Ακόµη όµως και αυτό διευκολύνει πάρα πολύ τη διαδικασία επίλυσης όπως ϑα δούµε άµεσα. Παρατήρηση (Μία Εξαίρεση): Μία εξαίρεση του παραπάνω ισχυρισµού µπορούµε να έχουµε όταν τόσο ο µη οµογενής όρος όσο και οι συνοριακές τιµές είναι ανεξάρτητα του χρόνου. Σε αυτή την περίπτωση µπορούµε µέσω της εύρεσης της λύσης της στάσιµης κατάστασης να οµογενοποιήσουµε ταυτόχρονα την Μ Ε και τις ΣΣ. Για παράδειγµα µία κλασσική κατηγορία εξισώσεων στάσιµων καταστάσεων είναι η 2 u s x 2 = f(x), u s() = h, u s () = k Τότε η w = u u s λύνει το οµογενές πρόβληµα µε µηδενικές συνοριακές συνθήκες (Για το συµβολισµό εδώ κάποιος µπορεί να αναφερθεί στο προηγούµενο παράδειγµα), Συνεχίζουµε µε τη διαδικασία επίλυσης Ψάχνουµε εποµένως µία κατανοµή ϑερµοκρασίας u r (x, t) (παρατηρείστε ότι µπορεί να εξαρτάται και από τον χρόνο πλέον) την οποία ονοµάζουµε κατανοµή ϑερµοκρασίας αναφοράς από την οποία απλώς Ϲητούµε να ικανοποιεί τις ΣΣ } u r (, t) = A(t) t > u r (, t) = B(t) Τονίζουµε εδώ ότι µπορούµε να ϐρούµε πολλές τέτοιες, αλλά όσο πιο παλή είναι η µορφή της τόσο το καλύτερο για εµάς. Ορµώµενοι από τη µορφή της κατανοµής αναφοράς του στάσιµου προβλήµατος πιο πάνω, γενικεύουµε την εκεί κατανοµή αναφοράς στην u r (x, t) = B(t) A(t) x + A(t) (8.3.15) Εκδοση : 18 Ιουνίου 216
11 8.4. Μέθοδος Αναπτύγµατος σε Ιδιοσυναρτήσεις. 137 και εύκολα επαληθεύουµε ότι όντως ικανοποιεί τις ΣΣ. Από εδώ και πέρα συνεχίζουµε κατά τα γνωστά. Ορίζουµε την w(x, t) = u(x, t) u r (x, t) και παρατηρούµε ότι ισχύει t 2 u x 2 = w t + r t = 2 w x u r x 2 } t c2 2 u x 2 = w t + r t c2 2 w x 2 c2 2 u r x 2 w t c2 2 w x 2 + r t c2 2 u r x 2 = Q(x, t) w t c2 2 w x 2 = Q(x, t) r t + c2 2 u r x 2 Θέτουµε Q(x, t) = Q(x, t) r t έτσι καταλήγουµε στην + c 2 2 u r x 2 (µη ξεχνάτε ότι η κατανοµή αναφοράς είναι γνωστή!) και w t c2 2 w = Q(x, t) (8.3.16) x2 για τη νέα άγνωστη συνάρτηση w. Είναι τώρα προφανές ότι επειδή η u r δεν είναι λύση της διαφορικής εξίσωσης που ϑέλουµε να λύσουµε, ισχύει γενικά πως r t c2 2 u r x 2 άρα γενικά Q(x, t) Q(x, t). ηλαδή, η w και η u ικανοποιούν ίδιου τύπου Μ Ε αλλά µε διαφορετικούς µη οµογενείς όρους! Από την όλη διαδικασία έχουµε όµως κερδίσει ότι η w ικανοποιεί πλεόν οµογενείς ΣΣ } w(, t) = t > w(, t) = ενώ παρατηρούµε ότι µετασχηµατίζεται και η αρχική συνθήκη ως εξής w(x, ) = f(x) u r (x, ) = f(x) B() A() x A() g(x) (8.3.17) Στο παραπάνω παράδειγµα αναπτύξαµε τη ϐασική τεχνική µέσω της οποίας µετασχηµατίζουµε µία γραµµική µη οµογενή Μ Ε µε µη οµογενείς ΣΣ σε γραµµική Μ Ε µε διαφορετικό µη οµογενή όρο και διαφορετική ΑΣ αλλά µε οµογενείς ΣΣ. Ετσι, ϑεωρούµε ότι αν έχουν προκύψει µη οµογενείς ΣΣ εµείς έχουµε µε κατάλληλο τρόπο µετασχηµατίσει το όλο πρόβληµα σε ένα µε οµογενείς ΣΣ. Σε αυτή τη νέα µορφή ϑα εφαρµόσουµε τώρα µία τεχνική επίλυσης η οποία στηρίζεται στα πανίσχυρα ϑεωρήµατα των σειρών Fourier και η οποία ονοµάζεται Μέθοδος Αναπτύγµατος σε Ιδιοσυναρτήσεις. Τονίζουµε, ότι το γεγονός πως χρησιµοποιήσαµε την εξίσωση διάδοσης ϑερµότητας και όχι κάποια άλλη γραµµική Μ Ε δεύτερης τάξης, δεν αλλάζει σε τίποτε τη µεθοδολογία που αναπτύξαµε µέχρι τώρα. 8.4 Μέθοδος Αναπτύγµατος σε Ιδιοσυναρτήσεις. Η ουσία µε τη µέθοδο αναπτύγµατος σε ιδιοσυναρτήσεις είναι ότι αναπτύσουµε τη λύση της µη οµογενούς Μ Ε σε σειρά Fourier ως προς τις λύσεις του χαρακτηριστικού προβλήµατος ιδιοτιµών της Εκδοση : 18 Ιουνίου 216
12 138 Κεφάλαιο 8. Μη-Οµογενή Προβλήµατα, Μέθοδος Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις. οµογενούς Μ Ε (επί της ουσίας, για αυτό το λόγο απαιτούµε σε αυτή την έκδοση της µεθόδου να έχουµε τουλάχιστον οµογενείς ΣΣ). Ξεκινούµε λοιπόν µε το πρόβληµα Το αντίστοιχο οµογενές πρόβληµα είναι w t c2 2 w = Q(x, t), x2 < x <, t > (8.4.1) w(, t) =, t (ΣΣ 1) (8.4.2) w(, t) =, t (ΣΣ 2) (8.4.3) w(x, ) = g(x), x (ΑΣ) (8.4.4) w t c2 2 w =, x2 < x <, t > (8.4.5) w(, t) =, t (ΣΣ 1) (8.4.6) w(, t) =, t (ΣΣ 2) (8.4.7) w(x, ) = g(x), x (ΑΣ) (8.4.8) για το οποίο προκύπτει µε τη ΜΧΜ το πρόβληµα ιδιοτιµών X + λx = X() = X() = του οποίου οι ιδιοτιµές και οι ιδιοσυναρτήσεις είναι ως γνωστό, οι αντίστοιχα. Θεωρούµε λοιπόν ότι η λύση έχει τη µορφή, 2 λ =, και X (x) = si w(x, t) = a (t)x (x) (8.4.9) (για να υποδηλώσουµε τη γενικότητα της µεθόδου χρησιµοποιούµε το συµβολισµό X (x) αντί για την αναλυτική έκφραση si ( π ) ) όπου τώρα οι συντελεστές a (t) δεν είναι πλέον ανάλογοι του exp { c 2 ( π )2 t } όπως συµβαίνει µε τη λύση του οµογενούς προβλήµατος. Προφανώς η (8.4.9) ικανοποιεί τις οµογενείς ΣΣ από κατασκευής εφόσον κάθε µία από τις X (x) = si ( π ) τις ικανοποιεί. Ενώ για την αρχική συνθήκη ισχύει ότι g(x) = w(x, ) = a ()X (x) (8.4.1) Εκδοση : 18 Ιουνίου 216
13 8.4. Μέθοδος Αναπτύγµατος σε Ιδιοσυναρτήσεις. 139 µε a () = g(x)x (x)dx = X 2(x)dx 2 g(x)x (x)dx (8.4.11) Προφανώς, το όλο πρόβληµα ανάγεται πλέον στον προσδιορισµό των συντελεστών a (t). Ενας από τους τρόπους προσδιορισµού, είναι η αντικατάσταση της έκφρασης (8.4.9) στην Μ Ε (8.4.5) και η όρο προς όρο παραγώγιση. Εχουµε, ϐεβαίως, δει τους κινδύνους που εγκυµονεί αυτή η µέθοδος και το πόσο προσεκτικοί πρέπει να είµαστε. Οµως το γεγονός ότι οι ΣΣ είναι οµογενείς έρχεται να µας λύσει τα χέρια, διότι ισχύει ο εξής κανόνας : Κανόνας (Η Ορο προς Ορο Παραγώγιση): Αν η w(x, t) και η w(x,t) x είναι συνεχείς και αν η w(x, t) λύνει πρόβληµα Μ Ε µε τις ίδιες οµογενείς ΣΣ, όπως κάνει και η X (x), τότε µπορούµε να παραγωγίσουµε όρο προς όρο τη σειρά χωρίς πρόβληµα! w(x, t) = a (t)x (x) Παρατηρούµε πόσο πιο χαλαρές είναι οι απαιτήσεις για την w στην περίπτωση µας σε σχέση µε τις απαιτήσεις του τύπου (7.4.15). Για να προχωρήσουµε είναι αναγκαίο να ασχοληθούµε και µε τον µη οµογενή όρο. Θεωρούµε, λοιπόν, ότι και αυτός µπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά ως προς τις ιδιοσυναρτήσεις X (x), δηλ., Q(x, t) = q (t)x (x) q (t) = Q(x, t)x (x)dx (8.4.12) X 2(x)dx Ετσι, µε την παραγώγιση όρο προς όρο διαπιστώνουµε άµεσα ότι ισχύει πως [ ] da (t) + λ c 2 a X (x) = q (t)x (x) (8.4.13) οπότε, οι συντελεστές a (t) πρέπει να ικανοποιούν τη διαφορική εξίσωση da (t) + λ c 2 a = q (t) (8.4.14) µε άλλα λόγια για κάθε η έκφραση da (t) + λ c 2 a είναι ίση µε τον αντιστοιχο συντελεστή Fourier της Q(x, t). Η λύση της (8.4.14) είναι η εκφραση t a (t) = a ()e λ c2t + e λ c2 t Ας δούµε τώρα παραδείγµατα εφαρµογής της µεθόδου q (s)e λ c2s ds (8.4.15) Εκδοση : 18 Ιουνίου 216
14 14 Κεφάλαιο 8. Μη-Οµογενή Προβλήµατα, Μέθοδος Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις. Παράδειγµα 8.3: Να λυθεί το πρόβληµα t 2 u x 2 = si(3x)e t, < x < π, t > (8.4.16) u(, t) =, t (ΣΣ 1) (8.4.17) u(π, t) = 1, t (ΣΣ 2) (8.4.18) u(x, ) = f(x), x (ΑΣ) (8.4.19) Λύση. Ξεκινάµε οµογενοποιώντας τις ΣΣ. Σύµφωνα µε την παραπάνω συζήτηση η συνάρτηση ανα- ϕοράς είναι η u r (x, t) = x π (8.4.2) άρα, w(x, t) = u(x, t) x π (8.4.21) ενώ το πρόβληµα ιδιοτιµών του οµογενούς προβλήµατος έχει ως ιδιοτιµές τις λ = 2 και ως ιδιοσυναρτήσεις τις διότι εδώ = π. Ετσι, Ϲητάµε λύσεις της µορφής w(x, t) = X (x) = si(x) a (t) si(x) (8.4.22) Εξαιτίας της µορφής της u r (x, t) ο µη οµογενής όρος δεν αλλάζει και έτσι η άµεση αντικατάσταση δίνει [ ] da (t) + 2 a (t) X (x) = si(3x)e t (8.4.23) Τώρα, κανονικά πρέπει να αναπτύξουµε τον µη οµογενή όρο σε σειρά Fourier και να ϐρούµε τους συντελεστές του ώστε να διατυπώσουµε και να λύσουµε τις διαφορικές εξισώσεις των συντελεστών a (t). Οµως κάτι τέτοιο δεν χρειάζεται διότι εξαιτίας του όρου si(3x) ο µη οµογενής όρος είναι ήδη σε µορφή σειράς ως προς τις ιδιοσυναρτήσεις si(x), απλά από όλη τη σειρά υπάρχει ένας µόνο µη µηδενικός συντελεστής για = 3 ενώ όλοι οι υπόλοιποι είναι µηδέν!. Ετσι, προκύπτουν οι παρακάτω διαφορικές εξισώσεις οι λύσεις των οποίων είναι : da (t) + 2 a (t) = { e t, = 3, 3 (8.4.24) { 1 a (t) = 8 e t + [ a 3 () 1 ] 8 e 9t, = 3 a ()e 2t, 3 (8.4.25) Εκδοση : 18 Ιουνίου 216
15 8.4. Μέθοδος Αναπτύγµατος σε Ιδιοσυναρτήσεις. 141 όπου οι συντελεστές a () προσδιορίζονται, προφανώς, από τις αρχικές συνθήκες και τέλος, a () = 2 π π [ f(x) x ] si(x)dx (8.4.26) π u(x, t) = w(x, t) + x π (8.4.27) Παράδειγµα 8.4: Να λυθεί το πρόβληµα 2 u t 2 2 u = cos(2πx) cos(2πt), x2 < x < 1, t > (8.4.28) (, t) =, x t (ΣΣ 1) (8.4.29) (1, t) =, x t (ΣΣ 2) (8.4.3) u(x, ) = f(x) = cos 2 (πx), x (ΑΣ 1) (8.4.31) (x, ) = g(x) = 2 cos(2πx), t x (ΑΣ 2) (8.4.32) Λύση. Παρατηρείστε ότι το πρόβληµα έχει οµογενείς ΣΣ οπότε προχωράµε κατευθείαν µε το ανάπτυγ- µα σε ιδιοσυναρτήσεις του προβλήµατος ιδιοτιµών. Το πρόβληµα εδώ έχει οµογενείς Neuma ΣΣ, άρα οι ιδιοτιµές είναι οι λ = (π) 2, =, 1, 2,... διότι = 1, ενώ οι ιδιοσυναρτήσεις είναι οι Ετσι, ϑεωρούµε ότι u(x, t) = 1 2 T o(t) + X (x) = cos(πx) T (t) cos(πx) (8.4.33) και µε άµεση αντικατάσταση αυτής της έκφρασης στη διαφορική εξίσωση (8.4.28) και την όρο προς όρο παραγώγιση προκύπτει 1 T 2 o (t) + [ T (t) + 2 π 2 T (t) ] cos(πx) = cos(2πt) cos(2πx) (8.4.34) όπου T σηµαίνει παραγώγιση ως προς τη χρονική µεταβλητή και αντίστοιχα για µεγαλύτερης τάξης παραγώγιση. Οπως και στο παράδειγµα που µόλις προηγήθηκε έτσι και εδώ ο µη οµογενής όρος είναι σε µορφή σειράς Fourier ως προς τις ιδιοσυναρτήσεις cos(πx) µε µη µηδενικό συντελεστή, τον (cos(2πt)), για = 2 και όλους τους υπόλοιπους συντελεστές να είναι µηδέν. Ετσι, Για = : T (t) = (8.4.35) o Εκδοση : 18 Ιουνίου 216
16 142 Κεφάλαιο 8. Μη-Οµογενή Προβλήµατα, Μέθοδος Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις. Για = 2: Για, 2: Οι αντίστοιχες γενικές λύσεις είναι Για = : T 2 (t) + 4π2 T 2 (t) = cos(2πt) (8.4.36) T (t) + 2 π 2 T (t) =,, 2 (8.4.37) T o (t) = A o + B o t (8.4.38) Για = 2: T 2 (t) = A 2 cos(2πt) + B 2 si(2πt) + t si(2πt) (8.4.39) 4π Για, 2: T (t) = A cos(πt) + B 2 si(πt),, 2 (8.4.4) Άρα, u(x, t) = A o + B o t 2 + t 4π si(2πt) cos(2πx) + [A cos(πt) + B 2 si(πt)] cos(πx) (8.4.41) Για τον προσδιορισµό της ειδικής λύσης πρέπει να εφαρµόσουµε τώρα τις ΑΣ, η εφαρµογή των οποίων δίνει και έτσι τελικά u(x, ) = A o 2 + A cos(πx) = cos 2 (πx) = cos(2πx) (8.4.42) 2 (x, ) t Άρα, η λύση έχει τη µορφή = B o 2 + πb cos(πx) = 2 cos(2πx) (8.4.43) A o = 1, A 2 = 1 2, A =,, 2 (8.4.44) B 2 = 1 π, B =, 2 (8.4.45) u(x, t) = [ 1 2 cos(2πt) + t + 4 4π ] si(2πt) cos(2πx) (8.4.46) Εκδοση : 18 Ιουνίου 216
17 8.4. Μέθοδος Αναπτύγµατος σε Ιδιοσυναρτήσεις Γενίκευση Μεθόδου Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις. Είδαµε ότι η µέθοδος αναπτύγµατος σε ιδιοσυναρτήσεις, όπως την αναπτύξαµε µέχρι στιγµής, απαιτεί οµογενείς ΣΣ και όρο προς όρο παραγώγιση για την επίλυση του προβλήµατος (είδαµε επίσης ότι οι δύο αυτές απαιτήσεις δεν είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους). Το ερώτηµα είναι αν µπορούµε να κρατήσουµε την ουσία της µεθόδου χωρίς να χρειάζεται να καταφύγουµε σε κάποια από τις δύο πρηγούµενες απαιτήσεις. ηλαδή, να µπορεί να αναπτυχθεί η λύση ενός προβλήµατος µε µη-οµογενή Μ Ε και µη-οµογενείς ΣΣ ως προς κατάλληλο σύνολο ιδιοσυναρτήσεων χωρίς άλλη προεργασία. Προκύπτει ότι η απάντηση σε αυτό το ερώτηµα είναι ϑετική αν χρησιµοποιηθεί ο δεύτερος τύπος του Gree. Αυτή τη µέθοδο ϑα παρουσιάσουµε τώρα αν και ϑα έχουµε και την ευκαιρία να επενέλθουµε σε αυτήν κατά τη µελέτη της ϑεωρίας Sturm-iouville. Οπως και πριν, ϑα παρουσιαστεί η µέθοδος µέσα από παραδείγµατα. Για την ακρίβεια, το πρώτο πρόβληµα που ϑα κληθούµε να µελετήσουµε είναι αυτό µε το οποίο ξεκινήσαµε αυτό το κεφάλαιο, δηλ., το πρόβληµα του παραδείγµατος (8.1). Θέλουµε να λυθεί το πρόβληµα t k 2 u =, x2 < x <, t > (8.4.47) u(, t) = h(t), t (ΣΣ 1) (8.4.48) u(, t) = j(t), t (ΣΣ 2) (8.4.49) u(x, ) =, x (ΑΣ) (8.4.5) Η πρώτη απαίτηση, πιστεύοντας τα ϑεωρήµατα σύγκλισης Fourier, είναι να αναπτυχθεί η λύση σε σειρά ως προς τις ιδιοσυναρτήσεις του χαρακτηριστικού προβλήµατος ιδιοτιµών του αντίστοιχου οµογενούς (και ως προς τη Μ Ε και ως προς τις ΣΣ) προβλήµατος. Ετσι, µε την προυπόθεση, ότι η u(x, t) είναι απλώς µία συνεχής συνάρτηση απαιτούµε, µε u(x, t) = u (t) = 2 u (t) si (8.4.51) u(x, t) si dx (8.4.52) ενώ προφανώς λόγω της αρχικής συνθήκης ϑα πρέπει u () =. Κάνουµε τώρα την υπόθεση ότι και οι παράγωγοι της u(x, t) είναι συνεχείς, οπότε µπορούµε και αυτές να τις ανατύξουµε σε σειρά Fourier. Ετσι, µε t = v (t) si v (t) = du (t) (8.4.53) (8.4.54) όπου η ισότητα αυτή, δείχνεται µε τόν ίδιο ακριβώς τρόπο όπως στον τύπο (8.2.12). Επίσης, ϑεωρούµε και το ανάπτυγµα 2 u x 2 = w (t) si (8.4.55) Εκδοση : 18 Ιουνίου 216
18 144 Κεφάλαιο 8. Μη-Οµογενή Προβλήµατα, Μέθοδος Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις. µε συντελεστές w (t) = 2 2 u(x, t) x 2 si dx (8.4.56) όπου προσέξτε ότι η ϐασική διαφορά, µε ότι είχαµε κάνει µέχρι στιγµής, είναι πως δεν απαιτούµε οι συντελεστές του αναπτύγµατος της 2 u x 2 να προκύπτουν από την όρο προς όρο παραγώγιση της σειράς για την u(x, t). Για την εφαρµογή της δεύτερης ταυτότητας του Gree (G 2 ), (7.5.8), γράφουµε, περισσότερο για ευκολία, την τελευταία έκφραση ως εξής, w (t) = 2 [u](x, t)x dx (8.4.57) όπου αφενός [u](x, t) = 2 u(x,t) x 2 και αφετέρου µε το συµβολισµό [u](x, t) εννοούµε ότι η δράση του διαφορικού τελεστή πάνω στη u είναι συνάρτηση των µεταβλητών (x, t). Στη συνέχεια και όπου δεν υπάρχει περίπτωση παρανόησης µπορεί απλώς, για οικονοµία χώρου, να χρησιµοποιήσουµε και το συµβολισµό [u] για να υποδηλώσουµε τη δράση του τελεστή πάνω στη u χωρίς να κάνουµε αναφορά στη συναρτησιακή εξάρτηση. Επίσης ας µη ξεχνάµε ότι X (x) = si ( π ). Θα εφαρµόσουµε τη δεύτερη ταυτότητα για την άγνωστη συνάρτηση u και την ιδιοσυνάρτηση X, όπου τώρα άρα, ( [u]x + [X ]u) dx = [ x X + X ] x u (8.4.58) 2 [X ] = λ X = X (8.4.59) X x [u]x dx = = λ = cos [ [X ]udx + x X + X ] x u = λ 2 u (t) + [ X udx + x X + X ] x u [ x X + X ] x u (8.4.6) (8.4.61) και πλεόν, ϑα ασχοληθούµε µε το δεύτερο όρο του δεξιού µέλους, δηλαδή µε τις τιµές στο σύνορο. Αυτός δίνει [ x X + X ] [ x u = ] x X + u cos (8.4.62) Εκδοση : 18 Ιουνίου 216
19 8.4. Μέθοδος Αναπτύγµατος σε Ιδιοσυναρτήσεις. 145 όπου, αν ανακαλέσουµε ότι si = si(π) = ο πρώτος όρος του παραπάνω αθροίσµατος δίνει µηδέν (διότι X (x) = si ( π ) ) και άρα µένουµε µόνο µε τον όρο [ ] [ ] u cos = u(, t) cos(π) u(, t) (8.4.63) λαµβάνοντας, τώρα, υπόψιν µας τις συνοριακές συνθήκες και το γεγονός ότι cos(π) = ( 1) ο όρος αυτός γίνεται [ ] u(, t) cos(π) u(, t) = [( 1) j(t) h(t)] (8.4.64) Συνοψίζοντας, w (t) = 2 [u](x, t)x dx = λ u (t) 2π 2 [( 1) j(t) h(t)] (8.4.65) Τέλος, λόγω της (8.4.53) και της (8.4.56) η Μ Ε απαιτεί να ισχύει v (t) kw (t) = 2 [ ] t k 2 u x 2 si dx = 2 dx = (8.4.66) (παίρνουµε δηλαδή κατά κάποιο τρόπο τον ηµιτονικό µετασχηµατισµό Fourier της Μ Ε) και όπου, µέσω της (8.4.54) και λόγω της (8.4.65), γίνεται du (t) kw (t) = du (t) + kλ u (t) = 2kπ [( 1) j(t) h(t)] (8.4.67) Αυτή ακριβώς είναι και η διαφορική εξίσωση στην οποία καταλήξαµε κατά την επίλυση του ίδιου προβλήµατος στο παράδειγµα (8.2). Εδώ µπορεί να µπερδευτεί κάποιος και να αρχίσει να ανρωτιέται για ποιο λόγο να προσπαθήσουµε να ϐρούµε µία νέα µέθοδο όταν ήδη µπορούµε να πάρουµε ακριβώς το ίδιο αποτέλεσµα µε την παλιά. Η απάντηση, έχει να κάνει µε το ότι η δεύτερη µέθοδος είναι πολύ πιο γενική, ισχύει µε πολύ πιο χαλαρές απαιτήσεις από ότι η πρώτη και άρα µπορεί να χρησιµοποιηθεί έτσι ώστε να αντιµετωπίσει πολύ περισσότερο προβλήµατα περιορίζοντας το περιθώριο λάθους που πιθανόν ϑα είχαµε µε την όρο προς όρο παραγώγιση για παράδειγµα. Τέλος, στον κόσµο της επιστήµης είναι σύνηθες να µπορεί το ίδιο πρόβληµα να αντιµετωπιστεί µε διαφορετικές µεθόδους. Ετσι, το ποια µέθοδο χρησιµοποιεί κανείς κάθε ϕορά είναι Ϲήτηµα υποβάθρου, ϕύσης και δυσκολίας προβλήµατος αλλά και προσωπικής επιλογής, Συνεχίζουµε µε ένα παράδειγµα ακόµη, το οποίο περιγράφει τη διάδοση κύµατος σε οµογενές µέσο, υπό τη επίδραση εξωτερικού αιτίου f(x, t) και µε µη οµογενείς συνοριακές συνθήκες Dirichlet και στα δύο άκρα. Εκδοση : 18 Ιουνίου 216
20 146 Κεφάλαιο 8. Μη-Οµογενή Προβλήµατα, Μέθοδος Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις. Παράδειγµα 8.5: Να λυθεί το παρακάτω πρόβληµα 2 u t 2 c2 2 u = f(x, t), x2 < x <, t > (8.4.68) u(, t) = h(t), t (ΣΣ 1) (8.4.69) u(, t) = k(t), t (ΣΣ 2) (8.4.7) u(x, ) = φ(x), x (ΑΣ 1) (8.4.71) (x, ) = ψ(x), t x (ΑΣ 2) (8.4.72) Λύση. Σύµφωνα µε τη µέθοδο, αναπτύσουµε τα πάντα στη σειρά Fourier που προκύπτει από το χαρακτηριστικό πρόβληµα ιδιοτιµών του οµογενούς προβλήµατος. Επειδή το οµογενές πρόβληµα έχει ΣΣ Dirichlet το ανάπτυγµα για την u(x, t) ϑα είναι ενώ για τις 2 u t 2 και 2 u x 2 u(x, t) = ϑεωρούµε ότι ϑα είναι αντίστοιχα u (t) si 2 u t 2 = v (t) si 2 u x 2 = w (t) si (8.4.73) (8.4.74) (8.4.75) Ο µη οµογενής όρος ϑα έχει ανάπτυγµα f(x, t) = f (t) si (8.4.76) και τέλος οι αρχικές συνθήκες ϑα έχουν αναπτύγµατα φ(x) = ψ(x) = φ si ψ si (8.4.77) (8.4.78) (8.4.79) Είναι, πάλι, εύκολο να δειχθεί ότι v (t) = 2 2 u t 2 si dx = d2 u (t) 2 (8.4.8) Εκδοση : 18 Ιουνίου 216
21 8.4. Μέθοδος Αναπτύγµατος σε Ιδιοσυναρτήσεις. 147 µε τρόπο εντελώς αντίστοιχο µε αυτόν της σχέσης (8.2.12) ενώ, ακριβώς όπως πριν w (t) = λ u (t) 2π 2 [( 1) k(t) h(t)] (8.4.81) Τώρα ϑα πάρουµε τον ηµιτονικό µετασχηµατισµό Fourier της Μ Ε (δηλ., του αριστερού και του δεξιού µέλους) ο οποίος δίνει 2 ( 2 ) u t 2 c2 2 u x 2 si dx = v (t) c 2 w (t) = 2 v (t) c 2 w (t) = f (t) d2 u (t) 2 d2 u (t) 2 µε αρχικές συνθήκες c 2 w (t) = f (t) f(x) si dx = f (t) + c 2 λ u (t) = 2πc2 2 [( 1) k(t) h(t)] + f (t) (8.4.82) u () = φ (8.4.83) du () = ψ (8.4.84) Η τελευταία αυτή διαφορική εξίσωση είναι συνήθης, γραµµική, µη-οµογενής, δεύτερης τάξης µε σταθερούς συντελεστές και είναι της µορφής µε την αντιστοιχία ω 2 c 2 λ = c 2 ( π s o ψ. Η λύση της είναι η d 2 x(t) 2 + ω 2 x(t) = G(t) (8.4.85) x() = x o (8.4.86) dx() = s o (8.4.87) x(t) = x o cos(ωt) + s t o ω si(ωt) + ) 2, G(t) 2πc 2 [( 1) k(t) h(t)] + f 2 (t), x o φ και si (ω[t t ]) G(t ) (8.4.88) ω Για λόγους ευκολίας ϑα χρησιµοποιήσουµε την πιο πάνω αντιστοιχία για να εισάγουµε το συµβολισµό ω = c λ = πc και έτσι, για κάθε ϑα έχουµε ότι u (t) = φ cos (ω t) + ψ t si (ω ω t) 2πc2 2 + t si (ω [t t ]) ω [( 1) k(t) h(t)] + si (ω [t t ]) ω f (t ) (8.4.89) Εκδοση : 18 Ιουνίου 216
22 148 Κεφάλαιο 8. Μη-Οµογενή Προβλήµατα, Μέθοδος Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις. Τώρα ϑα µελετήσουµε τη διάδοση κύµατος όταν έχουµε και τριβή. Η παρουσία τριβής εκφράζεται συνήθως µε έναν όρο ο οποίος είναι ανάλογος της εγκάρσιας ταχύτητας. Εχει δηλαδή τη µορφή r (x,t) t, r >, αν µε u συµβολίσουµε τη µετατόπιση. Αναφερόµαστε στη διάδοση σε οµογενές µέσο, χωρίς εξωτερικό αίτιο και µε περιοδική πηγή της µορφής Ae iωt στο ένα άκρο. Παράδειγµα 8.6: Να λυθεί το παρακάτω πρόβληµα 2 u t 2 c2 2 u + r =, x2 t < x <, t > (8.4.9) u(, t) =, t (ΣΣ 1) (8.4.91) u(, t) = Ae iωt, t (ΣΣ 2) (8.4.92) u(x, ) = φ(x), x (ΑΣ 1) (8.4.93) (x, ) = ψ(x), t x (ΑΣ 2) (8.4.94) Λύση. Σύµφωνα µε τη µέθοδο, αναπτύσουµε τα πάντα στη σειρά Fourier που προκύπτει από το χαρακτηριστικό πρόβληµα ιδιοτιµών του οµογενούς προβλήµατος. Εδώ είναι εύκολο να διαπιστώσει κανείς ότι παρόλη την ύπαρξη της πρώτης παραγώγου ως προς το χρόνο, t, στη διαφορική εξίσωση η εφαρµογή της ΜΧΜ ϑα δώσει το κλασσικό πρόβληµα ιδιοτιµών για το χωρικό µέρος. Για την ακρίβεια, η εφαρµογή της ΜΧΜ ϑα δώσει τις παρακάτω δύο εξισώσεις αν υποθέσουµε ότι u(x, t) = X(x)T (t) d 2 T (t) 2 d 2 X(x) dx 2 + λx(x) = (8.4.95) dt (t) + r + λc 2 T (t) = (8.4.96) Εφόσον, το οµογενές πρόβληµα έχει ΣΣ Dirichlet το ανάπτυγµα για την u(x, t) ϑα είναι u(x, t) = u (t) si (8.4.97) ενώ για τις 2 u t 2, t, και 2 u x 2 ϑεωρούµε ότι ϑα είναι αντίστοιχα 2 u t 2 = v (t) si t = y (t) si 2 u x 2 = w (t) si (8.4.98) (8.4.99) (8.4.1) Εκδοση : 18 Ιουνίου 216
23 8.4. Μέθοδος Αναπτύγµατος σε Ιδιοσυναρτήσεις. 149 και τέλος οι αρχικές συνθήκες ϑα έχουν αναπτύγµατα φ(x) = φ si Είναι, πάλι, εύκολο να δειχθεί ότι y (t) = 2 v (t) = 2 ψ(x) = ψ si t si dx = du (t) (8.4.11) (8.4.12) (8.4.13) (8.4.14) 2 u t 2 si dx = d2 u (t) 2 (8.4.15) µε τρόπο εντελώς αντίστοιχο µε αυτόν της σχέσης (8.2.12). Επειδή, ο διαφορικός τελεστής του προ- ϐλήµατος ιδιοτιµών παραµένει ο ίδιος σε σχέση µε το προηγούµενο παράδειγµα (παράδειγµα (8.5) ), µπορούµε να εφαρµόσουµε ακριβώς τον τύπο (8.4.81) για τους συντελεστές w µε h(t) = και k(t) = Ae iωt w (t) = λ u (t) 2π 2 ( 1) Ae iωt (8.4.16) Τώρα ϑα πάρουµε πάλι το µετασχηµατισµό Fourier της Μ Ε (δηλ., του αριστερού και του δεξιού µέλους) ο οποίος δίνει 2 ( 2 ) u t 2 c2 2 u + r si x2 t dx = v (t) c 2 w (t) + ry = 2 dx = v (t) c 2 w (t) + ry = d2 u (t) 2 t + r du c2 w (t) = d2 u (t) 2 + r du + c2 λ u (t) = 2πc2 2 ( 1) Ae iωt (8.4.17) µε αρχικές συνθήκες u () = φ (8.4.18) du () = ψ (8.4.19) Η τελευταία αυτή διαφορική εξίσωση είναι συνήθης, γραµµική, µη-οµογενής δεύτερης τάξης µε στα- ϑερούς συντελεστές και είναι της µορφής d 2 x(t) 2 + 2γ dx(t) + ρ 2 x(t) = G(t) o (8.4.11) x() = x o ( ) dx() = s o ( ) Εκδοση : 18 Ιουνίου 216
24 15 Κεφάλαιο 8. Μη-Οµογενή Προβλήµατα, Μέθοδος Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις. µε την αντιστοιχία ρ 2 o c2 λ = c 2 ( ) π 2, G(t) 2πc 2 ( 1) Ae iωt 2, r 2γ, x o φ και s o ψ. Η λύση της είναι της µορφής x(t) = x o e γt cos(ρt) + γx + s o e γt si(ρt) + 1 ρ ρ t e γ(t t ) si ( ρ[t t ] ) G(t ) ( ) όπου ρ = ρ 2 o γ2. Για λόγους ευκολίας ϑα χρησιµοποιήσουµε την πιο πάνω αντιστοιχία για να εισάγουµε το συµ- ϐολισµό ρ = c 2 λ γ 2 ενώ µας διευκολύνει επίσης να διατηρήσουµε το συµβολισµό r = 2γ και έτσι, για κάθε ϑα έχουµε ότι u (t) = x o e γt cos(ρ t) + γx + s o e γt si(ρ ρ t) ( 1) 2πc 2 A ρ 2 t e γ(t t ) si ( ρ [t t ] ) e iωt ( ) Παρατηρούµε στην πιο πάνω έκφραση ότι η λύση αποτελείται από δύο µέρη, το µεταβατικό µέρος και το µέρος σταθερής κατάστασης u T (t) = x o e γt cos(ρ t) + γx + s o e γt si(ρ ρ t) u S (t) = ( 1) 2πc 2 A ρ 2 t e γ(t t ) si ( ρ [t t ] ) e iωt ( ) Το χαρακτηριστικό της µεταβατικής λύσης είναι ότι αυτή µηδενίζεται ασυµπτωτικά µε την πάροδο του χρόνου εξαιτίας της ύπαρξης του όρου e γt. Άρα, για t, u (t) u S (t). Οµως ακόµη και η έκφραση για την στάσιµη κατάσταση µπορεί να πάρει ευκολότερη µορφή αν υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα. Τονίζουµε εδώ, ότι τέτοιου είδους ολοκληρώµατα είναι συνήθως πολύ δύσκολο να υπολογιστούν, αλλά η έκφραση e iωt κάνει τον υπολογισµό σχετικά εύκολο. Ετσι, αν ονοµάσουµε I (t) µόνο το ολοκλήρωµα χωρίς τους πολλαπλασιαστικούς παράγοντες, ισχύει I (t) = t = e γt e γ(t t ) si ( ρ [t t ] ) e iωt = t e γt si ( ρ [t t ] ) t e iωt = e γt = e γt ρ e (γ+iω)t (γ + iω) si(ρ t) ρ cos(ρ t) (γ + iω) 2 + ρ 2 = ρ e iωt e γt (γ + iω) si(ρ t) e γt ρ cos(ρ t) (γ + iω) 2 + ρ 2 e (γ+iω)t si ( ρ [t t ] ) = = ( ) Εκδοση : 18 Ιουνίου 216
25 8.4. Μέθοδος Αναπτύγµατος σε Ιδιοσυναρτήσεις. 151 τώρα, και στην έκφραση την οποία καταλήξαµε παρατηρούµε ότι υπάρχουν οι όροι e γt (γ+iω) si(ρ t) e γt ρ cos(ρ t) οι οποίοι τείνουν στο µηδέν για t, άρα τελικά ϑα επιβιώσει µόνο ο όρος ρ e iωt (γ + iω) 2 + ρ 2 ( ) Ετσι, συµµαζεύοντας όλα τα παραπάνω αποτελέσµατα, έχουµε lim u (t) = ( 1) 2πc 2 A ρ e iωt t ρ 2 (γ + iω) 2 + ρ 2 = ( 1) 2πc 2 Ae iωt [ ] 2 (γ + iω) 2 + ρ 2 ( ) Για τον παρανοµαστή ισχύει ότι (γ + iω) 2 + ρ 2 = γ2 + ρ 2 ω2 + 2iγω = = γ 2 + c 2 λ γ 2 ω 2 + 2iγω = = c 2 λ ω 2 + 2iγω = c 2 λ (ω 2 irω) ( ) όπου ϑυµηθείτε, ρ = c 2 λ γ 2 και r = 2γ. Ετσι καταλήγουµε στην εξής έκφραση lim u (t) = Ae iωt ( 1) 2πc 2 t 2 [c 2 λ (ω 2 irω)] = 2( 1) c 2 λ Aeiωt π [c 2 λ (ω 2 irω)] (8.4.12) Για λόγους που ϑα µας ϕανούν χρήσιµοι πιο µετά ϑέτουµε β 2 c 2 = ω 2 irω, και έτσι lim u (t) = Ae iωt 2( 1) c 2 λ t π [c 2 λ c 2 β 2 ] = 2( 1) λ Aeiωt π [λ β 2 ] ( ) Επίσης, ας ϑυµηθούµε ότι λ = ( π )2, που αν αντικατασταθεί στον παραπάνω τύπο δίνει lim u (t) = Ae iωt 2( 1) 2 π [ 2 ] iωt 2( 1)π = Ae t 2 π 2 π 2 β 2 2 π 2 β 2 2 ( ) 2 Εδώ, δεν πρέπει να ξεχνάµε ότι αυτό που έχουµε υπολογίσει είναι οι συντελεστές της σειράς Fourier. Το ενδιαφέρον όµως είναι να ϐρούµε ποια είναι η ασυµπτωτική µορφή της λύσης του προβλήµατος, δηλαδή η u S (x, y) όπως ϑα την ονοµάσουµε. Επί της ουσίας ϱωτάµε να ϐρούµε τη συνάρτηση αν γνωρίζουµε τους συντελεστές Fourier αυτής χωρίς να ϑέλουµε να υπολογίσουµε την άπειρη σειρά. εν ϑα προχωρήσουµε σε άλλες λεπτοµέρειες και ϑα πρέπει απλώς να επαληθεύσετε ότι η έκφραση στην οποία καταλήξαµε είναι όντως οι συντελεστές Fourier της συνάρτησης iωt si(βx) Ae si(β) ( ) Για να γίνει αυτό χρειάζεται απλώς να υπολογίσει κάποιος το ολοκλήρωµα 2 si(βx) si dx Εκδοση : 18 Ιουνίου 216
26 152 Κεφάλαιο 8. Μη-Οµογενή Προβλήµατα, Μέθοδος Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις. και να δείξει ότι 2 si(βx) si 2π si(β) cos(π) dx = π 2 2 β 2 2 ( ) Παρατηρείστε ότι ο όρος Ae iωt, δεν εξαρτάται από το, οπότε δεν συµµετέχει στη σειρά και εποµένως µπορεί να ϐγει έξω από αυτήν. Στην όλη συζήτηση δεν ήµασταν καθόλου αυστηροί σε Ϲητήµατα που αφορούσαν τη σύγκλιση της σειράς Fourier και το ασυµπτωτικό όριο των συντελεστών. Η ύπαρξη του e iωt µπορεί να ϕαίνεται ότι δηµιουργεί προβλήµατα εξαιτίας του γεγονότος ότι έχουµε να κάνουµε µε µιγαδικούς αριθµούς. Οµως, επί της ουσίας είναι ένας κοµψός τρόπος για να δείξουµε ότι στο ένα άκρο έχουµε µία περιοδική πηγή. Αν ϑεωρούσαµε ότι έχουµε µόνο si(ωt) ή µόνο cos(ωt), τότε αυτό που ϑα παίρναµε στο τέλος ϑα ήταν απλώς το ϕανταστικό και το πραγµατικό µέρος αντίστοιχα, του αποτελέσµατος στο οποίο καταλήξαµε. Εκδοση : 18 Ιουνίου 216
27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Παράρτηµα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1.1Πίνακες Τριγωνοµετρικών Συναρτήσεων Πίνακες Τριγωνοµετρικών Συναρτήσεων. Για τις τριγονωµετρικές συναρτήσεις ισχύουν οι εξής ταυτότητες. si a = cos( π 2 cos a = si( π 2 a) (1.1.1) a) (1.1.2) si(a ± b) = si a cos b ± cos a si b (1.1.3) cos(a ± b) = cos a cos b si a si b (1.1.4) si 2a = s si a cos a (1.1.5) cos 2a = cos 2 a si 2 a = 2 cos 2 a 1 = 1 2 si 2 a (1.1.6) si a cos b = 1 [si(a + b) + si(a b)] 2 (1.1.7) cos a si b = 1 [si(a + b) si(a b)] 2 (1.1.8) si a si b = 1 [cos(a b) cos(a + b)] 2 (1.1.9) cos a cos b = 1 [cos(a + b) + cos(a b)] 2 (1.1.1) si 2 a si 2 b = si(a + b) si(a b) (1.1.11) cos 2 a cos 2 b = si(a + b) si(a b) (1.1.12) cos 2 a si 2 b = cos(a + b) cos(a b) (1.1.13) 154
28 1.1. Πίνακες Τριγωνοµετρικών Συναρτήσεων. 155 Σηµαντικά είναι τα εξής ολοκληρώµατα si[(a b)x] si(ax) si(bx)dx = 2(a b) si[(a + b)x] 2(a + b) + C, a b (1.1.14) si 2 (ax)dx = x 2 1 4a si(2ax) + C = x 2 1 si(ax) cos(ax) + C (1.1.15) 2a cos(ax) cos(bx)dx = si[(a b)x] 2(a b) + si[(a + b)x] 2(a + b) + C, a b (1.1.16) cos 2 (ax)dx = x a si(2ax) + C = x si(ax) cos(ax) + C (1.1.17) 2a cos[(a b)x] cos[(a + b)x] si(ax) cos(bx)dx = + C, a b 2(a b) 2(a + b) (1.1.18) si(ax) cos(ax)dx = 1 2a cos2 (ax) + C (1.1.19) Για την ειδική περίπτωση όπου a = mπ, b = π τότε ισχύει ότι si( mπ ) cos(π cos[(m )π] x)dx = 2π(m ) {, + 2π(m + ) = 2 cos[(m + )π] 2π(m + ) π ( m ), m π(m ) + m = άρτιος m = περιττός (1.1.2) διότι, αν m = άρτιος m + = άρτιος και αντίστοιχα αν m = περιττός m + = περιττός Εκδοση : 18 Ιουνίου 216
29 Βιβλιογραφία Asmar, Nakhle H. (24). Partial Differetial Equatios With Fourier Series ad Boudary Value Problems. NJ: Pearso-Pretice Hall. Freilig, Gerhard, Vjatcheslav Yourko (28). ectures o Differetial Equatios of Mathematical Physics, A First Course. New York: Nova Sciece Publishers. Powers, David. (26). Boudary Value Problems ad Partial Differetial Equatios. Fifth. Amsterdam: Elsevier. Strauss, Walter A. (28). Partial Differetial Equatios, A Itroductio. 2νδ. Hoboke, NJ: Wiley. 156
5.3 Το ΠΑΤ της Εξίσωσης ιάχυσης.
3 Κεφάλαιο 5. Προβλήµατα Αρχικών Τιµών. 5.3 Το ΠΑΤ της Εξίσωσης ιάχυσης. Στην ενότητα που ακολουθεί ϑα λύσουµε τα ΠΑΤ για την εξίσωση διάχυσης : το οµογενές και το µη οµογενές. Το ΠΑΤ της εξίσωσης διάχυσης
Διαβάστε περισσότεραΜερικές ιαφορικές Εξισώσεις
Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Ζούπας Ανδρέας, Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας, Λεωφόρος Αθηνών, Πεδίο Άρεως, Βόλος 38334 18 Ιουνίου 16 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή. 1.1 Γενικές
Διαβάστε περισσότεραΜερικές ιαφορικές Εξισώσεις
Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Ζούπας Ανδρέας Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας, Λεωφόρος Αθηνών, Πεδίο Άρεως, Βόλος 38334 7 Ιουνίου 214 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή. 3 1.1
Διαβάστε περισσότεραΜερικές ιαφορικές Εξισώσεις
Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Ζούπας Ανδρέας, Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας, Λεωφόρος Αθηνών, Πεδίο Άρεως, Βόλος 38334 18 Ιουνίου 16 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή. 1.1 Γενικές
Διαβάστε περισσότεραΜερικές ιαφορικές Εξισώσεις
Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Ζούπας Ανδρέας Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας, Λεωφόρος Αθηνών, Πεδίο Άρεως, Βόλος 38334 7 Ιουνίου 14 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή. 3 1.1 Γενικές
Διαβάστε περισσότεραΜ Ε: Αναλυτικό Πρόγραµµα- Υλη Μαθήµατος 2017
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Μ Ε: Αναλυτικό Πρόγραµµα- Υλη Μαθήµατος 2017 Αντικείµενο του µαθήµατος είναι η µελέτη Μερικών ιαφορικών Εξισώσεων. Τον όρο Μερική ια- ϕορική Εξίσωση ϑα συµβολίζουµε µε (Μ Ε). Η ιστοσελίδα του
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου.
Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου. Ανδρέας Ζούπας 22 Ιανουαρίου 203 Οι λύσεις απλώς προτείνονται και σαφώς οποιαδήποτε σωστή λύση είναι αποδεκτή! Θέµα-
Διαβάστε περισσότεραΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:
ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ
ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγµατικό µέρος φανταστικό µέρος u( x, y) x y = και v( x, y) = ( x + y xy), όπου = x+
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερµότητας.
Εισαγωγή KΕΦΑΛΑΙΟ H εξίσωση θερµότητας Εστω Ω είναι ανοικτό σύνολο του µε γνωστή θερµοκρασία στο σύνορό του Ω κάθε χρονική στιγµή και γνωστή αρχική θερµοκρασία σε κάθε σηµείο του Ω Τότε οι φυσικοί νόµοι
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y
ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Καταρχήν θα µελετήσουµε την συνάρτηση f Η f γράφεται f ( ) = ( x + )( x ) ( x ) ή ακόµα f ( ) = u( x,
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville
Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές
Διαβάστε περισσότεραΜερικές Διαφορικές Εξισώσεις
Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 14-15, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: Πρόβλημα 1. Για κάθε μια από τις
Διαβάστε περισσότεραης Green µέσα από προβλήµατα µίας διάστασης είναι κάποιος δευτεροτάξιος διαφορικός τελεστής της γενικότερης µορφής
Κεφ. 1 ο : Η µέθοδος της συνάρτησης Green για µονοδιάστατα προβλήµατα 5 Κεφάλαιο 1ο Μη οµογενείς συνήθεις διαφορικές εξισώσεις: Η µέθοδος της συνάρτησης Green για συνήθεις διαφορικές εξισώσεις της γενικότερης
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραx(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 216-17 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Σήµατα και Συστήµατα Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραΑκρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange
64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από
Διαβάστε περισσότεραH = H 0 + V (0) n + Ψ (1) n + E (2) (3) >... Σε πρώτη προσέγγιση µπορούµε να δεχτούµε ότι. n και E n E n
3 Θεωρία διαταραχών 3. ιαταραχή µη εκφυλισµένων καταστάσεων 3.. Τοποθέτηση του προβλήµατος Θέλουµε να λύσουµε µε τη ϑεωρία των διαταραχών το πρόβληµα των ιδιοτιµών και ιδιοσυναρτήσεων ενός συστή- µατος
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών
Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις
Διαβάστε περισσότερα4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-
Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότερα5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών
Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει
Διαβάστε περισσότερα1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR
KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Παράγωγος
Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της
Διαβάστε περισσότεραΣχολικός Σύµβουλος ΠΕ03
Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι
Διαβάστε περισσότεραΣυνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac)
Συνεχές ϕάσµα Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac) Στην κβαντική µηχανική τα ϕυσικά µεγέθη παρίστανται µε αυτοσυζυγείς τελεστές. Για έναν αυτοσυζυγή τελεστή ˆΩ = ˆΩ είναι γνωστό ότι οι ιδιοτιµές του
Διαβάστε περισσότεραΛύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης είναι
Διαβάστε περισσότεραΟι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών
Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 1 Διαφορικές Εξισώσεις Στο µαθηµατικό αυτό παράρτηµα ορίζουµε και αναλύουµε την επίλυση απλών συστηµάτων γραµµικών διαφορικών
Διαβάστε περισσότεραf(x) dx. f(x)dx = 0. f(x) dx = 1 < 1 = f(x) dx. Θα είχαµε f(c) = 0, ενώ η f δεν µηδενίζεται πουθενά στο [0, 2].
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 7: Ολοκλήρωµα Riem Α Οµάδα. Εστω f : [, ] R. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας).
Διαβάστε περισσότεραΜΔΕ: Αναλυτικό πρόγραμμα - Ύλη Μαθήματος 2018
1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΜΔΕ: Αναλυτικό πρόγραμμα - Ύλη Μαθήματος 2018 Αντικείμενο του μαθήματος είναι η μελέτη Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων. Τον όρο Μερική Διαφορική Εξίσωση θα συμβολίζουμε με (ΜΔΕ). Η ιστοσελίδα
Διαβάστε περισσότεραΣηµειώσεις στις σειρές
. ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά
Διαβάστε περισσότεραΥπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο.
Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Οµάδα Α 1. Αν η f : (a, b) R είναι παραγωγίσιµη, τότε η f είναι µετρήσιµη. Υπόδειξη. Θεωρούµε την ακολουθία f : (a, b) R µε f (x) = [f(x + 1/) f(x)]. Εφόσον, η f είναι
Διαβάστε περισσότεραe-mail@p-theodoropoulos.gr
Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων
Διαβάστε περισσότεραΣηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι. Nικόλαος Aτρέας
Σηµειώσεις Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι ικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 207 Περιεχόµενα Κεφάλαιο. Επισκόπηση γνωστών εννοιών. -8. Σειρές πραγµατικών αριθµών..2 Σειρές συναρτήσεων..3 Γενικευµένα ολοκληρώµατα. Κεφάλαιο
Διαβάστε περισσότερα7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας
7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων
Διαβάστε περισσότεραΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών
54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.
Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε
Διαβάστε περισσότεραΑόριστο Ολοκλήρωµα ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου
Αόριστο Ολοκλήρωµα ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Ακ. Ετος 2018-2019 Θεωρούµε µια συνάρτηση f : I R, όπου το I είναι διάστηµα του R. Ορισµός Μια συνάρτηση F : I R λέγεται αντιπαράγωγος ή αρχική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)
ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006
Διαβάστε περισσότερα... ονοµάζεται ακολουθία µερικών αθροισµάτων. Το όριό της, καθώς το n τείνει στο άπειρο, n n n 1
ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στην ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τα βασικότερα στοιχεία που είναι απαραίτητα για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους Έτσι, δίνονται συστηµατικά οι
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
6ο κεφάλαιο: Συναρτήσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα
Διαβάστε περισσότεραf x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j
Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,
ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση
Διαβάστε περισσότερα5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων
Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 3 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότεραΌταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να:
6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: ορίσουµε το Μετασχηµατισµό Laplace (ML) και το Μονόπλευρο Μετασχηµατισµό Laplace (MML) και να περιγράψουµε
Διαβάστε περισσότεραf x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j
Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 20 Οκτωβρίου 2017
Διαβάστε περισσότερα, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.
Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι
Διαβάστε περισσότεραΛύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι
Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Εισαγωγικές έννοιες και ταξινόμηση Σ.Δ.Ε. Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότερα11 Το ολοκλήρωµα Riemann
Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την
Διαβάστε περισσότεραΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών Α.Μ.: 403. Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων
ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ LIBATI@CEIDUPATRASGR Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών ΑΜ: Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων 8// Να βρεθούν οι OGF για καθεµία από τις
Διαβάστε περισσότερα1 Οι πραγµατικοί αριθµοί
1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς
Διαβάστε περισσότεραΣηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας
Σηµειώσεις ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Lplce- Σειρές Fourier Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 4 Περιεχόµενα Κεφάλαιο Επισκόπηση γνωστών εννοιών Σειρές πραγµατικών αριθµών Σειρές συναρτήσεων 3 Γενικευµένα
Διαβάστε περισσότερα< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε
Διαβάστε περισσότερα1 Το ϑεώρηµα του Rademacher
Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΡΙΣΕΩΝ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΙΚΤΥΑ
ΣΧΟΛΗ. Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ Σ.Α.Ε. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΡΙΣΕΩΝ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Συµπλήρωµα στα παραδείγµατα που υπάρχουν στο Εγχειρίδιο του Μαθήµατος ρ. Α. Μαγουλάς
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρα. Ενότητα: Πολυωνυµικές σχέσεις - πολυώνυµα µίας µεταβλητής. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Πολυωνυµικές σχέσεις - πολυώνυµα µίας µεταβλητής Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 2017
Πανεπιστηµιο Πατρων Πολυτεχνικη Σχολη Τµηµα Μηχανικων Η/Υ & Πληροφορικης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 217 Θ1. Θεωρούµε την συνάρτηση f(x, y, z) = 1 + x 2 + 2y 2 z. (αʹ) Να ϐρεθεί
Διαβάστε περισσότερακι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει
Πρόβλημα 22. Θεωρούμε το ακόλουθο πρόβλημα συνοριακών τιμών για τη εξίσωση του Laplace u + u = 0, 1 < < 1, 1 < < 1, u(, 1) = f(), u(, 1) = 0, u( 1, ) = 0, u(1, ) = 0. α) Σωστό ή λάθος; Αν f( ) = f() είναι
Διαβάστε περισσότεραΑθ.Κεχαγιας. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι v Σηµειώσεις : Θ. Κεχαγιάς. Σεπτεµβριος 2016
Σηµειώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι v. 0.05 Θ. Κεχαγιάς Σεπτεµβριος 06 Περιεχόµενα Προλογος Εισαγωγη Οριο και Συνεχεια Παραγωγος 3 3 Λογαριθµικες και Εκθετικες Συναρτησεις 43 4 Τριγωνοµετρικες Συναρτησεις 60 5 Υπερβολικες
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότεραΕυκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x
Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai8/lai8html Παρασκευή 6 Οκτωβρίου 8 Υπενθυµίζουµε
Διαβάστε περισσότεραΠαράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.
Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές
Διαβάστε περισσότερα= λ. u t = u xx UT = U T T T = U U. Οσον αφορά τη χρονική εξίσωση έχουμε. T + λt =0 T (t) =e λt. ενώ για τη χωρική
Prìlhm Το φυσικό πρόβλημα είναι: τοίχος σε επαφή με λουτρό θερμοκρασίας T = αριστερά και μονωμένος δεξιά, με αρχική θερμοκρασία T =.Θέτουμεu(x, t) = U(x)T (t), οπότεu t = UT και u xx = U T, και προχωράμε
Διαβάστε περισσότεραΑθ.Κεχαγιας. ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ v Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας. Απριλιος 2018
Σηµειωσεις : ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ v.. Θ. Κεχαγιας Απριλιος 8 Περιεχόµενα Προλογος Εισαγωγη Οριο και Συνεχεια Παραγωγος 4 3 Λογαριθµικες και Εκθετικες Συναρτησεις 44 4 Τριγωνοµετρικες Συναρτησεις
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 1 (α) ============================================================== Έχουµε L = π, εποµένως η σειρά Fourier είναι: 1 2 a. cos. a n. b n.
http://elear.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 69795 Ενδεικτικές απαντήσεις 6ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 7-8: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 9. Ορισµοί... 9. Ιδιότητες...7 9. Θεώρηµα Cayley-Hamilto...4 9.. Εφαρµογές του Θεωρήµατος Cayley-Hamilto...6 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυµο...5 Ασκήσεις του
Διαβάστε περισσότεραe 5t (sin 5t)u(t)e st dt e st dt e 5t e j5t e st dt s j5 j10 (s + 5 j5)(s j5)
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς-Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων 7/5/ Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων
Διαβάστε περισσότεραA2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ
A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία
Διαβάστε περισσότερατη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι
Διαβάστε περισσότεραx(t) = sin 2 (5πt) cos(22πt) = x 2 (t)dt
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 6-7 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις - Σειρές Fourier. Εστω το σήµα xt
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις
Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς
Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 8 Ιουνίου 005 Από τα κάτωι Θέµατα καλείσε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 21 εκεµβρίου 2015 ΕΚΠΑ
Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 9. Αριθµητική Παραγώγιση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 21 εκεµβρίου 2015 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι)
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.
5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι
Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας της λύσης του Π.Α.Τ.: y = f ( x, y), y( x ) (Θεώρημα Picard) ' Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.
Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι
Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Βασικά θεωρήματα για τις γραμμικές Σ.Δ.Ε. Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα
Κεφάλαιο 6 Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα 6. Οικογένειες καλών πυρήνων και προσεγγίσεων της µονάδας Σε αυτήν την παράγραφο ϑα ασχοληθούµε µε µέσες τιµές µιας ολοκληρώσιµης συνάρτησης f οι οποίες
Διαβάστε περισσότερα