Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις"

Transcript

1 Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Ζούπας Ανδρέας Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας, Λεωφόρος Αθηνών, Πεδίο Άρεως, Βόλος Ιουνίου 14

2 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή Γενικές Παρατηρήσεις Βασικοί Ορισµοί Εξισώσεις της Μαθηµατικής Φυσικής ιαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξεως. 4.1 Εισαγωγή Ταξινόµηση ιαφορικών Εξισώσεων εύτερης Τάξεως Εισαγωγή Η κυµατική Εξίσωση και η Εξίσωση ιάχυσης Η κυµατική Εξίσωση Η Εξισωση ιάχυσης Προβλήµατα Αρχικών Τιµών Εισαγωγή Το ΠΑΤ της Κυµατικής Εξίσωης Η Οµογενής Κυµατική Εξίσωση i Ερµηνεία Λύσης, Χωρίο Εξάρτησης, Πεδίο Επιρροής ii Ενέργεια Η Μη-Οµογενής Κυµατική Εξίσωση Το ΠΑΤ της Εξίσωσης ιάχυσης Η Οµογενής Εξίσωση ιάχυσης i Ενέργεια Η Μη-Οµογενής Εξίσωση ιάχυσης i Η αρχή του Duhamel Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος Χωρισµού Μεταβλητών Εισαγωγή Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών Η Εξίσωση ιάδοσης Θερµότητας i Dirichlet ΣΣ ii Neumann ΣΣ iii Περιοδικές ΣΣ iv Η Αρχή του Μεγίστου Κυµατική Εξίσωση i Dirichlet ΣΣ ii Neumann ΣΣ iii Περιοδικές ΣΣ Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών ii

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ iii Εξίσωση aplace i Το Πρόβληµα Dirichlet Μέθοδος Χωρισµού Μεταβλητών-Προβλήµατα Ιδιοτιµών-Γενική Συµπεριφορά Σειρές Fourier Σειρές Fourier Ηµιτονικές, Συνηµιτονικές, και Πλήρεις Σειρές Fourier Η Σειρά Fourier µιας Περιοδικής Συνάρτησης Περιοδικές Συναρτήσεις Άρτιες και Περιττές Συναρτήσεις Πλήρεις Σειρές, Περιττότητα και Αρτιότητα i Η Σειρά Fourier Μίας Περιττής Συνάρτησης ii Η Σειρά Fourier Μίας Άρτιας Συνάρτησης Θεωρήµατα Σύγκλισης Είδη Σύγκλισης Σειρών Το Θεώρηµα Σύγκλισης Παράγωγοι και Ολοκληρώµατα Σειρών Fourier i Παράγωγος Σειράς Fourier ii Ολοκλήρωµα Σειράς Fourier Σειρές Fourier σε ιαστήµατα Περιοδικές Επεκτάσεις Συναρτήσεων Οι Σειρές Fourier των Περιοδικών Επεκτάσεων i Η σειρά Fourier της Περιοδικής Επέκτασης ii Η Σειρά Fourier της Άρτιας Περιοδικής Επέκτασης iii Η Σειρά Fourier της Περιττής Περιοδικής Επέκτασης iv Συνηµιτονικές και Ηµιτονικές Σειρές Fourier v Το Θεώρηµα Σύγκλισης vi Σχεδίαση Σειρών Fourier Η Συνέχεια της Σειράς Fourier Παραγώγιση Σειρών Fourier σε ιαστήµατα Ολοκλήρωση Σειράς Fourier Το ϕαινόµενο Gibbs Μέθοδος Χωρισµού Μεταβλητών και Γενικευµένες Σειρές Fourier Ορθογωνιότητα και ΣΣ Σύγκλιση Γενικευµένων Σειρών Fourier Μη-Οµογενή Προβλήµατα, Μέθοδος Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις Εισαγωγή Μη-Οµογενείς ΣΣ Μη-Οµογενείς Μ Ε-Οµογενοποίηση ΣΣ Μέθοδος Αναπτύγµατος σε Ιδιοσυναρτήσεις Γενίκευση Μεθόδου Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις Θεωρία Sturm-iouville Εισαγωγή Μη-Οµογενείς ΣΣ Μη-Οµογενείς Μ Ε Τι να δω Γενικά Παράρτηµα Πίνακες Τριγωνοµετρικών Συναρτήσεων Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

4 iv ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

5 Συµβολισµός Σας παραθέτω πίνακα µε τους συµβολισµούς και τα ακρονύµια που χρησιµοποιώ στις σηµειώσεις Σ Ε: Συνήθης ιαφορική Εξίσωση Μ Ε: Μερική(ες) ιαφορική(ες) Εξίσωση (Εξισώσεις) ΑΣ: Αρχικές Συνθήκες ΣΣ: Συνοριακές Συνθήκες ΠΑΤ: Πρόβληµα Αρχικών Τιµών ΠΣΤ: Πρόβληµα Συνοριακών Τιµών ΠΑ-ΣΤ: Πρόβληµα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών ΜΧΜ: Μέθοδος Χωριζοµένων Μεταβλητών Κ.Εξ.: Κυµατική Εξίσωση Εξ..: Εξίσωση ιάχυσης Εξ..: Εξίσωση aplace 1

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος Χωρισµού Μεταβλητών. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5.1 Εισαγωγή Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών Η Εξίσωση ιάδοσης Θερµότητας i Dirichlet ΣΣ ii Neumann ΣΣ iii Περιοδικές ΣΣ iv Η Αρχή του Μεγίστου Κυµατική Εξίσωση i Dirichlet ΣΣ ii Neumann ΣΣ iii Περιοδικές ΣΣ Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών Εξίσωση aplace i Το Πρόβληµα Dirichlet Μέθοδος Χωρισµού Μεταβλητών-Προβλήµατα Ιδιοτιµών-Γενική Συµπεριφορά Εισαγωγή. Η µέθοδος που ϑα παρουσιάσουµε εδώ οφείλεται στον Fourier ο οποίος πρώτος την εφάρµοσε για να επιλύσει την εξίσωση διάδοσης ϑερµότητας. Σηµειώνουµε δε, ότι ο Fourier όχι µόνο επέλυσε την εξίσωση αλλά είταν και αυτός ο οποίος διατύπωσε τη ϐασική ϑεωρία για τη ϑερµική ϱοή. Η µέθοδος λύσης του, οδήγησε τον Fourier να προτείνει την τολµηρή για την εποχή του ιδέα ότι οποιαδήποτε πραγµατική συνάρτηση ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα µπορεί να αναπαρασταθεί ως µία σειρά τριγωνοµετρικών συναρτήσεων. Η µέθοδος του Fourier στηρίζεται στην τεχνική η οποία είναι σήµε- ϱα γνωστή ως Μέθοδος Χωριζοµένων Μεταβλητών(ΜΧΜ) και ϐρίσκει εφαρµογή σε πολλά άλλα γραµµικά προβλήµατα εκτός της εξίσωσης διάδοσης ϑερµότητας. 46

7 5.1. Εισαγωγή. 47 Σε ότι ακολουθεί ϑα λυθούν κλασσικά Προβλήµατα ϑεωρώντας ότι το ϕυσικό σύστηµα που περιγράφει η Μ Ε έχει πεπερασµένες χωρικές διαστάσεις, άρα σύµφωνα µε ότι έχουµε δει χρειάζεται και η επιβολή Συνοριακών Συνθηκών. Θα µελετήσουµε, λοιπόν, προβλήµατα α) Αρχικών-Συνοριακών Τιµών(ΠΑ-ΣΤ) και ϐ) Συνοριακών Τιµών(ΠΣΤ) για Μ Ε δύο µεταβλητών και σε Καρτεσιανές Συντεταγµένες. Για την ακρίβεια, ϑα µελετήσουµε την Εξίσωση ιάδοσης Θερµότητας(επί της ουσίας, την Εξίσωση ιάχυσης (Εξ..) ), την Κυµατική Εξίσωση(Κ.Εξ.) και την Εξίσωση aplace(εξ..) για διάφορα είδη Συνοριακών Συνθηκών(ΣΣ). Συνθήκες Εφαρµογής της Μεθόδου ΜΧΜ: Η µέθοδος αυτή εφαρµόζεται αποκλειστικά και µόνο σε Γραµµικές Μ Ε και µία πρώτη απαίτηση που έχουµε για να είναι εφαρµόσιµη η µέθοδος, είναι η εξής : η Μ Ε να είναι οµογενής και οι (ΣΣ) να είναι Γραµµικές Οµογενείς. Αν συµβολίσουµε την άγνωστη συνάρτηση µε u(x, t) και ϑεωρήσουµε ότι a < x < b, τότε η πιο γενική µορφή, γραµµικών οµογενών ΣΣ, για Μ Ε δεύτερης τάξης είναι η εξής : a 1 u(a, t) + b 1 u(b, t) + γ 1 u x (a, t) + δ 1 u x (b, t) = και a u(a, t) + b u(b, t) + γ u x (a, t) + δ u x (b, t) = (5.1.1) Σε ότι ακολουθεί, ϑα ασχοληθούµε µε ΣΣ Dirichlet, Neumann, και περιοδικές. Τις περιοδικές ΣΣ τις παρουσιάζουµε πρώτη ϕορά και είναι της µορφής, u(a, t) = u(b, t) u x (a, t) = u x (b, t) Είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι και οι τρεις κατηγορίες ΣΣ µε τις οποίες ϑα ασχοληθούµε αποτελούν ειδικές περιπτώσεις των Γραµµικών Οµογενών ΣΣ για διάφορες τιµές των συντελεστών τους. Π.χ., οι συνθήκες Neumann προκύπτουν για τις τιµές a 1 = b 1 = δ 1 = και a = b = γ 1 =. Η επιλογή αυτών των ΣΣ, έγινε µε ϐάση το ότι οδηγούν σε λύσεις οι οποίες δίνονται ως κλασσικές σειρές Fourier και οι οποίες αποτελούν το κλασσικότερο και απλούστερο ίσως παράδειγµα της εξαιρετικά σηµαντικής ϑεωρίας Sturm-iouville µε την οποία ϑα σχοληθούµε στο κεφάλαιο (8). Ακριβώς επειδή οι ΣΣ Robin µπορεί να οδηγήσουν και σε λύσεις οι οποίες δεν έίναι πάντοτε καλσσικές σειρές Fourier για αυτό το λόγο κρίθηκε σκόπιµο η εξαιρετικά ενδιαφέρουσα µελέτη τους να αναβληθεί µέχρι το κεφάλαιο (8), όπου πιστεύεται πως αρµόζει. Τις γενικές συνθήκες που απαιτούνται για την εφαρµογή της (ΜΧΜ) ϑα τις διατυπώσουµε εκ των υστέρων. Βασική Ιδέα. Σαν πρώτο ϐήµα ψάχνουµε λύσεις της οµογενούς Μ Ετης µορφής u(x, t) = X(x)T (t) οι οποίες ϑα πρέπει να ικανοποιούν και επιπλέον Αρχικές και Συνοριακές Συνθήκες. Με αυτό τον τρόπο καταλήγουµε σε Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις(Σ Ε). Στη συνέχεια γενικεύουµε την αρχή της επαλληλίας έτσι ώστε από τις χωριζόµενες λύσεις να προκύψει η γενική λύση της οµογενούς Μ Ε σε µορφή άπειρης σειράς γινοµένων των χωριζοµένων λύσεων. Τα προβλήµατα που ϑα µας απασχολήσουν για την Εξίσωση ιάδοσης Θερµότητας και την Κυµατική Εξίσωση ϑα είναι Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών, ενώ για την εξίσωση aplaceϑα είναι µόνο Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών. Στη µελέτη που ακολουθεί δεν ϑα ασχοληθούµε µε ερωτήµατα σχετικά µε τη µοναδικότητα των λύσεων. Αυτή ϑα ϑεωρείται δεδοµένη και σχόλιο ϑα γίνει µόνο αν κάτι πρέπει να προσεχθεί περισσότερο. Το κεφάλαιο αυτό έχει επηρεαστεί από τους [17],[11],[14],[1]. Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

8 Κεφάλαιο 5. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος 48 Χωρισµού Μεταβλητών. 5. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών. Για ιστορικούς καθαρά λόγους ξεκινούµε µε την Εξ..και η µελέτη της ενότητας (5..1.i) είναι ιδιαιτέρως σηµαντική διότι µε αυτή παρουσιάζουµε επί της ουσίας τη Μέθοδο Χωρισµού Μεταβλητών Η Εξίσωση ιάδοσης Θερµότητας. Θα λύσουµε την εξίσωση διάδοσης ϑερµότητας για τα εξής είδη ΣΣ: Dirichlet, Neumannκαι Περιοδικών. Η ενότητα αυτή είναι επηρεασµένη από την αντίστοιχη ενότητα των [17]. Ξεκινούµε µε τις ΣΣ Dirichlet 5..1.i Dirichlet ΣΣ Το Ϲητούµενο είναι να λυθεί το ΠΑ-ΣΤ: u t k u =, x < x <, t > (5..1) u(, t) = u(, t) =, t (ΣΣ) (5..) u(x, ) = f(x), x (ΑΣ) (5..3) το οποίο εκφράζει την µετάδοση ϑερµότητας σε µία διάσταση και σε πεπερασµένο χωρικό διάστηµα µήκους. Η ϕυσική του ερµηνεία είναι ότι περιγράφει τη µετάδοση ϑερµότητας σε µία ϱάβδο µήκους της οποίας τα άκρα είναι σε επαφή µε (άπειρες)θερµικές δεξαµενές ϑερµοκρασίας µηδέν. Για να µπορεί αυτό το πρόβληµα να έχει λύση είναι αναγκαίο να ισχύει f() = f() = διότι η αρχική συνθήκη πρέπει να ικανοποιεί και τις συνοριακές συνθήκες. Σχηµατικά αυτό το ΠΑ-ΣΤ µπορεί να παρασταθεί όπως ϕαίνεται στο σχήµα που ακολουθεί. Σχήµα 5.1: Το ΠΑ-ΣΤ για την Εξίσωση ιάχυσης µε ΣΣ Dirichlet. Ξεκινούµε απαιτώντας οι λύσεις να είναι της µορφής u(x, t) = X(x)T (t) (5..4) όπου οι X και T είναι συναρτήσεις των µεταβλητών x και t αντίστοιχα. Μία προφανής λύση της οµογενούς εξίσωσης είναι η µηδενική λύση u(x, t) = αλλά αυτή δεν µας ενδιαφέρει δεδοµένου ότι δεν µπορεί να ικανοποιεί την αρχική συνθήκη αν f(x), για < x <. Άρα, µας ενδιαφέρουν συναρτήσεις X και T οι οποίες δε µηδενίζονται ταυτοτικά. Αντικαθιστούµε τη χωριζόµενη µορφή για την u στην εξίσωση (5..1) και παραγωγίζοντας µία ϕορά ως προς την t και δύο ϕορές ως προς την x προκύπτει XT t kx xx T = XT t = kx xx T. το επόµενο ϐήµα είναι απλό αλλά εξαιρετικής σηµασίας, διότι χωρίζουµε τις µεταβλητές. Φέρνουµε στο ένα µέλος της εξίσωσης όλες τις συναρτήσεις που εξαρτώνται µόνο από την t και στο άλλο όλες τις συναρτήσεις που εξαρτώνται µόνο από την x, οπότε προκύπτει η ισότητα T t kt = X xx X (5..5) Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

9 5.. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών. 49 στην οποία έχουµε δύο εκφράσεις ίσες µεταξύ τους αλλά η µία εξαρτάται από τη µεταβλητή t µόνο και η άλλη εξαρτάται από τη µεταβλητή x µόνο. εδοµένου ότι οι x και t είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους δεν µπορεί παρά να υπάρχει µία σταθερά λ, την οποία ονοµάζουµε και σταθερά χωρισµού έτσι ώστε να ισχύει ότι T t kt = X xx X = λ (5..6) το ότι και τα δύο µέλη πρέπει να είναι σταθερά προκύπτει πολύ εύκολα αν για παράδειγµα παραγωγίσουµε και τις δύο εκφρασεις µε τη µεταβλητή t οπότε ) ) t ( Xxx X = t ( Tt kt = T t kt = σταθ. Προσοχή. Τονίζουµε εδώ ότι στη ϐιβλιογραφία µπορεί να δείτε τη χρήση διαφορετικού προσήµου στο δεξί µέλος της (5..6). Αυτό είναι καθαρά ϑέµα σύµβασης και δεν αλλάζει σε τίποτε την ουσία της µεθόδου. Η εξίσωση (5..6) οδηγεί στο εξής σύστηµα Σ Ε d X = λx, dx < x < (5..7) dt = λkt, dt t > (5..8) οι οποίες συνδέονται µεταξύ τους µόνο µέσω της σταθεράς χωρισµού λ. Πρόβληµα Ιδιοτιµών. Για να ικανοποιεί η άγνωστη συνάρτηση u τις ΣΣ ϑα πρέπει να ισχύει u(, t) = X()T (t) =, u(, t) = X()T (t) = εφόσον τώρα απαιτούµε να ισχύει u δεν µπορεί να ισχύει ότι T (t) =, t οπότε αναγκαστικά ϑα πρέπει X() = X() = δηλαδή, η συνάρτηση X ϑα πρέπει να λύνει το εξής ΠΣΤ d X = λx, < x < (5..9) dx X() = X() = (5..1) το οποίο ονοµάζεται Πρόβληµα Ιδιοτιµών. Το πρόβληµα αυτό έχει µία προφανή λύση, την X =, η οποία όµως απορρίπτεται διότι ϑέλουµε u. Θα δούµε σύντοµα ότι στο Πρόβληµα Ιδιοτιµών δεν καθορίζεται µόνο η συνάρτηση X αλλά και οι δυνατές τιµές που µπορεί να πάρει η σταθερά λ ακριβώς όπως συµβαίνει και κατά την επίλυση του προβλήµατος ιδιοτιµών ενός τετραγωνικού πίνακα στην Γραµµική Άλγεβρα. Μία µη-τετριµένη(δηλ., µη-µηδενική) λύση του προβλήµατος ( ) την ονοµάζουµε Ιδιοσυνάρτηση µε ιδιοτιµή λ. Για τα προβλήµατα ιδιοτιµών, τα οποία είναι ΠΣΤ για τις Σ Ε, δεν µπορούµε να είµαστε ϐέβαιοι εκ των προτέρων ότι υπάρχει λύση για κάθε τιµή του λ(σε αντίθεση µε τα προβλήµατα αρχικών τιµών για τα οποία έχουµε ϑεωρήµατα µοναδικότητας και ύπαρξης λύσεως). Ετσι ϑα ακολουθήσουµε την εξής τακτική : ϑα δώσουµε τη γενική λύση της (5..9) και µετά ϑα ελέγξουµε τις τιµές του λ (αν υπάρχουν κάποιες) για τις οποίες υπάρχει λύση που ικανοποιεί τις ΣΣ (5..1). Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

10 Κεφάλαιο 5. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος 5 Χωρισµού Μεταβλητών. Η εξίσωση (5..9) έιναι Συνήθης ιαφορική Εξίσωση µε Σταθερούς Συντελεστές και επιλύεται εύκολα. Το χαρακτηριστικό της πολυώνυµο είναι το k + λ = από το οποίο προκύπτουν οι εξής λύσεις, ανάλογα µε το πρόσηµο του λ: 1. λ < Τότε X(x) = ae λx + be λx = a cosh( λx) + b h( λx). λ = Τότε X(x) = a + bx 3. λ > Τότε X(x) = a cos( λx) + b ( λx) µε a, b αυθαίρετες σταθερές. Εδώ, κάναµε την υπόθεση ότι η λ παίρνει µόνο πραγµατικές τιµές και παρόλο που δεν το αποδείξα- µε τυγχάνει αυτή να είναι και η πραγµατικότητα. Αργότερα ϑα έχουµε την ευκαιρία να διατυπώσουµε κάποια γενικά αποτελέσµατα για αυτού του είδους τα προβλήµατα ιδιοτιµών και ϑα δείξουµε ότι όντως οι ιδιοτιµές τους είναι πάντα πραγµατικές. Σκοπός µας είναι τώρα να διαπιστώσουµε για ποιές τιµές του λ µπορούν να ικανοποιηθούν οι ΣΣ (5..1). Ετσι έχουµε Αρνητικές Ιδιοτιµές (λ < ) Βοηθά να χρησιµοποιήσουµε τη µορφή X(x) = a cosh( λx) + b h( λx) της λύσης, διότι η συνάρτηση h w έχει µία µοναδική ϱίζα στο σηµείο w =, ενώ η cosh w είναι αυστηρά ϑετική συνάρτηση. Άρα, η απαίτηση X() = συνεπάγεται ότι a =, ενώ η απαίτηση X() = συνεπάγεται ότι b =. ηλαδή η µόνη δυνατή λύση είναι η τετριµµένη X(x) =, που σηµαίνει ότι το σύστηµα δεν επιδέχεται αρνητικές ιδιοτιµές. Μηδενική Ιδιοτιµή(λ = ) Τότε η λύση είναι η X(x) = a + bx και η απαίτηση X() = δίνει a = ενώ η απαίτηση X() = συνεπάγεται ότι b =. Συµπεραίνουµε εποµένως ότι το σύστηµα δεν µπορεί να έχει τη µηδενική ιδιοτιµή ως λύση. Θετικές Ιδιοτιµές(λ > ) Τότε η λύση είναι η X(x) = a cos( λx) + b ( λx) και η απαίτηση X() = δίνει a = δεδοµένου ότι =. Άρα, η απαίτηση X() = συνεπάγεται ότι ( λ) = που σηµαίνει πως το όρισµα του ηµιτόνου µπορεί να πάρει µόνο τις τιµές λ = nπ λ =, n ακέραιος Άρα, το λ είναι ιδιοτιµή του προβλήµατος αν και µόνο αν λ = Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

11 5.. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών. 51 και οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις είναι οι a x ax(x). εδοµένου ότι για n < δεν αλλάζει η τιµή του λ (εξαρτάται από το n ) ενώ ( x) = (x) ϑεωρούµε µόνο n > διότι έτσι παίρνουµε το ίδιο σύνολο ιδιοσυναρτήσεων και ιδιοτιµών µε το να ϑεωρούσαµε και n <. Επίσης, είναι προφανές ότι καµία ιδιοτιµή δεν επαναλαµβάνεται παραπάνω από µία ϕορά, άρα όλες οι ιδιοτιµές είναι απλές. Επειδή, τόσο οι ιδιοτιµές όσο και οι ιδιοσυναρτήσεις εξαρτώνται από το n, συνηθίζεται και ϐολεύει να χρησιµοποιούµε το συµβολισµό a n X n (x) = a n x, λ n =. n = 1,, 3,... (5..11) Χρονική Εξάρτηση. Εχουµε τελειώσει µε το ΠΣΤ και µένει η λύση του προβλήµατος (5..8) η οποία είναι εξαιρετικά απλή και µας δίνει T (t) = Ae kλt (5..1) όπου ϐέβαια το λ είναι δεσµευµένο από το γεγονός ότι είναι λύση του προβλήµατος ιδιοτιµών και παίρνει µόνο συγκεκριµένες τιµές, λ n = ( ) nπ. Άρα, nπ T n (t) = A n e k( ) t (5..13) Μορφή Λύσης. Σύµφωνα µε τη χωριζόµενη µορφή, (5..4), που απαιτήσαµε να έχει η λύση προκύπτει ότι για κάθε n έχουµε τη µορφή u n (x, t) = a n A n X n (x)t n (t) B n x nπ e k( ) t (5..14) όπου προφανώς λόγω γραµµικότητας και κάθε γραµµικός συνδυασµός u(x, t) = N u n (x, t) = N B n x nπ e k( ) t (5..15) ϑα είναι λύση του προβλήµατος. Άρα, λόγω της αρχής της υπέρθεσης µπορούµε να ϑεωρήσουµε ότι η γενική λύση της εξίσωσης η οποία ικανοποιεί και τις ΣΣ, είναι η (5..15). Ικανοποίηση Αρχικής Συνθήκης. Μένει όµως και η ΑΣ, (5..3), που πρέπει να ικανοποιείται για να µπορούµε να µπορούµε να πούµε ότι έχουµε λύσει το πρόβληµα. Αν κρατήσουµε ως λύση τη µορφη (5..15) που µόλις κατασκευάσαµε ϑα πρέπει να ισχύει ότι f(x) = u(x, ) = N B n x, x [, ] κάτι τέτοιο ϑα σήµαινε ότι µπορούµε κάθε συνάρτηση, f(x), να την αναπαραστήσουµε µε ένα πεπε- ϱασµένο γραµµικό συνδυασµό ηµιτόνων. Αυτό όµως είναι λάθος διότι, οι µόνες αρχικές συνθήκες για τις οποίες µπορούµε να λύσουµε είναι αυτές οι οποίες είναι ήδη γραµµικός συνδυασµός ηµιτόνων και µάλιστα µόνο της µορφής ( nπ x)! Άρα, η λύση του προβλήµατος δεν µπορεί να είναι της Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

12 Κεφάλαιο 5. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος 5 Χωρισµού Μεταβλητών. µορφής που µόλις κατασκευάσαµε! Τη διέξοδο σε αυτή τη δυσκολία έδωσε ο ίδιος ο Fourier µε την υπόθεση, ότι η λύση είναι πλέον η άπειρη σειρά: u(x, t) = B n x nπ e k( ) t (5..16) πράγµα το οποίο οδηγούσε στην εξής απαίτηση για την αρχική συνθήκη f(x) = u(x, ) = B n x, x [, ] (5..17) Η µεγαλοφυής ιδέα του Fourier ήταν να ϑεωρήσει ότι, πράγµατι, κάθε συνάρτηση f(x) µπορεί να αναπαρασταθεί σε άπειρη σειρά ηµιτόνων της µορφής ( nπ x). Με αυτή την υπόθεση (η οποία στην αρχή αµφισβητήθηκε έντονα, πήρε κάποιο καιρό για να αποδειχθεί η ορθότητα της και η προσπάθεια απόδειξης της ορθότητάς της οδήγησε στη ϑεµελίωση σηµαντικών κλάδων των σύγχρονων µαθηµατικών)θα ασχοληθούµε στο επόµενο κεφάλαιο. Μία τέτοια σειρά ονοµάζεται Σειρά Fourier της συνάρτησης f(x) ως προς τις ιδιοσυναρτήσεις του ΠΑ-ΣΤ( ) ή αλλιώς Ηµιτονική Σειρά Fourier. Οι συντελεστές B n ονοµάζονται Συντελεστές Fourier της αντίστοιχης σειράς. Σύντοµα ϑα γίνει κατανοητό ότι η γνώση των συντελεστών ισοδυναµεί µε τη γνώση της Σειράς Fourier και το Ϲητούµενο είναι ο τρόπος προσδιορισµού τους. Στον προσδιορισµό των συντελεστών ϑα προχωρήσουµε όµως, αφότου σχολιάσουµε πρώτα το κατά πόσο η u(x, y) όντως αποτελεί λύση του ΠΑ-ΣΤ( ). Επαλήθευση Λύσης. Η επαλήθευση της λύσης είναι κάτι το οποίο δεν ϑα επιχειρήσουµε να κάνουµε άµεσα. ιότι για να δείξουµε ότι η u(x, y) είναι όντως λύση του ΠΑ-ΣΤ( ) πρέπει να είµαστε ϐέβαιοι ως προς τη διαφορισηµότητα των Σειρών Fourier (δεδοµένου ότι ϑέλουµε να ικανοποιούν τη Εξ.. ως λύσεις της). Σκεφτείτε ότι ούτε καν έχουµε προσπαθήσει να δώσουµε απάντηση στο ποιές συναρτήσεις µπορούν να αναπαρασταθούν ως Σειρές Fourier. Με αυτά τα Ϲητήµατα ϑα ασχοληθούµε στο κεφάλαιο (6). Εσείς µπορείτε προσωρινά να ϑεωρείτε δεδοµένο ότι όντως η u(x, y) αποτελεί λύση η οποία ικανοποιεί και τις οµογενείς ΣΣ. Αν κάποιος προσπαθήσει να παραγωγίσει όρο προς όρο τη Σειρά Fourier ϑα δείξει ότι όντως ικανοποιεί το ΠΣΤ( ) όµως αυτό δεν είναι ο γενικός κανόνας µε τις Σειρές Fourier και µέχρι να τον διατυπώσουµε και να είµαστε ϐέβαιοι για το πως µπορούµε να παραγωγίσουµε αποφεύγουµε να το κάνουµε. Μένει εποµένως µόνο να προσδιορίσουµε τους συντελεστές B n έτσι ώστε να ικανοποιείται η ΑΣ. Εύρεση Συντελεστών Fourier. Ας επανέλθουµε στον προσδιορισµό των συντελεστών B n του αναπτύγµατος κατά Fourier της f(x) όπου κι εδώ δεν ϑα ασχοληθούµε, προσωρινά, µε Ϲητήµατα αυστη- ϱότητας τα οποία ϑα µας απασχολήσουν στο επόµενο κεφάλαιο. Ο προσδιορισµός των B n στηρίζεται στο ολοκλήρωµα { ( mπ x x dx = Ασκηση 5.1. Να αποδειχθεί η σχέση (5..18). ( Υπόδειξη : Χρησιµοποιείστε την Τριγωνοµετρική Ταυτότητα a b = 1 [cos(a b) cos(a + b)] ), m n, m = n (5..18) Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

13 5.. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών. 53 Είναι προφανές, ως άµεση συνέπεια του τύπου (5..18), ότι ( mπ x dx = (5..19) Τέτοιου είδους ολοκληρώµατα ονοµάζονται Σχέσεις Ορθογωνιότητας και Κανονικοποίησης αντίστοιχα. Αποτελούν ένα από τα σηµαντικότερα συστατικά της µεθόδου του Fourier αλλά και της γενίκευσης της που είναι η ϑεωρία των Sturm-iouville µε την οποία ϑα ασχοληθούµε αναλυτικά στα επόµενα κεφάλαια. Η σηµαντικότητα των δύο σχέσεων, (5..18) και (5..19) για τον προσδιορισµό των συντελεστών Fourier ϕαίνεται αν πράξουµε ως εξής ( mπ x f(x)dx = = = B m [ ( mπ x ] B n x dx B n = B m ( mπ x x dx ( mπ x dx (5..) όπου χρησιµοποιήσαµε τις σχέσεις ορθογωνιότητας και κανονικοποίησης, (5..18) και (5..19), των ηµιτόνων. ηλαδή, B m = ( mπ x) f(x)dx ( mπ x) dx = ( mπ x f(x)dx, m = 1,,..., (5..1) από τις σχέσεις αυτές προκύπτει ότι οι συντελεστές Fourier της f(x) καθορίζονται µε µοναδικό τρόπο. Σύνοψη. Συνοψίζοντας, δείξαµε ότι οι σχέσεις u(x, t) = B m = B n x nπ e k( ) t, και (5..) ( mπ x) f(x)dx ( mπ x) dx = ( mπ x f(x)dx, m = 1,,..., (5..3) αποτελούν τη λύση του ΠΑ-ΣΤ ( ) και ότι για να ικανοποιηθεί η οποιαδήποτε αρχική συν- ϑήκη αρκεί να υπολογίσουµε τους συντελεστές Fourier αυτής. Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

14 Κεφάλαιο 5. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος 54 Χωρισµού Μεταβλητών. Αυµπτωτική Συµπεριφορά. Επειδή οι συντελεστές Fourier δεν απειρίζονται (όπως ϑα δειχθεί στο nπ επόµενο κεφάλαιο) είναι εύκολο να καταλάβει κανείς ότι λόγω του όρου e k( ) t η λύση ϑα ελλατώνεται µε την πάροδο του χρόνου και µάλιστα ϑα ισχύει lim u(x, t) = t Ερµηνεία : Κάτι τέτοιο είναι συµβατό µε την εµπειρία µας αν σκεφτούµε τη ϕυσική σηµασία του ΠΑ-ΣΤ που µόλις λύσαµε. Η αρχική συνθήκη µας λέει ότι τη χρονική στιγµή t = δίνουµε σε κάθε σηµείο της ϱάβδου µία τιµή ϑερµοκρασίας (αυτό σηµαίνει το u(x, ) = f(x)) και µετά εξατάζουµε πως µεταβάλεται η ϑερµοκρασία αυτή αν το κάθε άκρο της ϱάβδου το ϕέρουµε σε επαφή µε άπειρη ϑερµική δεξαµενή ϑερµοκρασίας ίσης µε µηδέν. Σύµφωνα µε ότι ξέρουµε η ϑερµότητα ϑα αρχίσει να ϱέει από τη ϱάβδο προς τη δεξαµενή (από το ϑερµότερο ως το ψυχρότερο δηλαδή) µέχρι να έρθουν όλα τα συστήµατα σε ϑερµική ισορροπία. Επειδή όµως η δεξαµενή είναι άπειρη, ϑα παραµένει πάντα σε ϑερµοκρασία ίση µε µηδέν άρα ϑα έχουµε ϑερµική ισορροπία µόνο όταν η ϑερµοκρασία της ϱάβδου γίνει ίση µε µηδέν! Παράδειγµα 5.1 (Παράδειγµα 5.1 [17]): Να λυθεί το ΠΑ-ΣΤ, u t k u =, < x < π, t > (5..4) x u(, t) = u(π, t) =, t (ΣΣ) (5..5) { x x π u(x, ) = f(x) = π x π x π (ΑΣ) (5..6) Λύση. Για τη λύση του προβλήµατος ιδιοτιµών, δεν έχουµε παρά να αντικαταστήσουµε στην έκφραση (5..16) για = π. Ετσι η λύση είναι η u(x, t) = B n (nx) e kn t (5..7) µε τους συντελεστές B n να προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες µέσω της σχέσης B n = π π (nx)f(x)dx = π π (nx)f(x)dx + π όπου σπάσαµε το ολοκλήρωµα εξ αιτίας του ορισµού της f(x) και έτσι προκύπτει π π (nx)f(x)dx (5..8) B n = π π (nx)xdx + π π π (nx)(x π)dx (5..9) Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

15 5.. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών. 55 δεδοµένου ότι π π x (nx)dx = nπ π xd cos(nx) = x cos(nx) nπ ] π ] π + nπ π cos(nx)dx = x cos(nx) + nπ n π ((nx)) [ ] π = x cos(nx) + (nx) π n n ] π (5..3) µπορούµε τότε να πούµε ότι π π π π (π x) (nx)dx = π (nx)dx π π π x (nx)dx ] π [ = n cos(nx) x cos(nx) π n π [ = (π x) cos(nx) π n άρα η έκφραση, (5..9), για τους συντελεστές B n γίνεται ] π (nx) n π ] π + (nx) n π [ ] π [ ] x cos(nx) + (nx) π π n n + (π x) cos(nx) (nx) π n n π [ = π ] π [ (nx) n π { = 4 n π (nπ ) = ] π (nx) n π n = k 4( 1) k+1 n = k 1 (k 1) π (5..31) (5..3) άρα η λύση είναι u(x, t) = 4 π k=1 ( 1) k+1 (k 1) [(k 1)x] e (k 1) t (5..33) Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

16 Κεφάλαιο 5. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος 56 Χωρισµού Μεταβλητών. από τη µορφή της λύσης είναι προφανές ότι οι συντελεστές Fourier παραµένουν πεπερασµένοι, οπότε επαληθεύεται η ασυµπτωτική συµπεριφορά η οποία οφείλεται στον όρο e (k 1)t. Παράδειγµα 5.: Να λυθεί το ΠΑ-ΣΤ, lim u(x, t) = t u t k u =, x < x <, t > (5..34) u(, t) = u(, t) =, t (ΣΣ) (5..35) u(x, ) = ( 15π x), x (ΑΣ) (5..36) Λύση. Απλώς ϑα εφαρµόσουµε τους τύπους (5..) και (5..3). Για τον προσδιορισµό των συντελεστών B n έχουµε B n = ( nπ x)f(x)dx = B n = ( nπ { x) (15π x)dx n 15 1 n = 15 (5..37) µε άλλα λόγια επιβιώνει µόνο ο όρος για n = 15, δηλαδή ο B 15 που σηµαίνει ότι η λύση µας είναι η u(x, t) = B 15 ( 15π 15π x)e k( ) t = ( 15π 15π x)e k( ) t (5..38) Είδαµε την ειδικά απλή µορφή που παίρνει η λύση αν η αρχική συνθήκη είναι µία από τις ιδιοσυναρτήσεις του ΠΑ-ΣΤ. Ασκηση 5.. Να λυθεί το παρακάτω ΠΑ-ΣΤ µε < x <, u t k u =, x t > u(, t) = u(, t) =, t { (a) για u(x, ) = 1 (b) u(x, ) = cos( 3π x) Για το πρόβληµα (b) χρησιµοποιείστε το τύπο (9.1.). Επίσης, για το ίδιο πρόβληµα σχολιάστε για το κατά πόσο η αρχική συνθήκη είναι συµβατή. Ας προχωρήσουµε τώρα στη λύση του ΠΑ-ΣΤ µε ΣΣ Neumann. Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

17 5.. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών. 57 ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ. Παρατηρείστε, ότι χωρίς την απαίτηση της αρχικής συνθήκης το πρόβληµα που µένει, το οποίο είναι πλέον µόνο ΠΣΤ δεν έχει µοναδική λύση. Αυτό είναι πολύ απλό να το διαπιστώσει κανείς, αν ανατρέξει στην έκφραση, (5..), της λύσης του ΠΣΤ και στην οποία για κάθε τιµή του n υπάρχουν άπειρα B n που την ικανοποιούν. Με άλλα λόγια, η έκφραση για τους συντελεστές B n, (5..3), προσδιορίζει από την απειρία συντελεστών που ικανοποιούν το ΠΣΤ αυτούς που ικανοποιούν και το ΠΑΤ. Αυτή η ιδιότητα είναι κοινή σε όλα τα ΠΣΤ και δεν αποτελεί χαρακτηριστικό των ειδικών ΣΣ του προβλήµατος που µόλις λύσαµε, όπως ϑα έχουµε την ευκαιρία να διαπιστώσουµε και παρακάτω ii Neumann ΣΣ Το Ϲητούµενο είναι να λυθεί το ΠΑ-ΣΤ: u t k u =, x < x <, t > (5..39) u x (, t) = u x (, t) =, t (ΣΣ) (5..4) u(x, ) = f(x), x (ΑΣ) (5..41) το πρόβληµα αυτό περιγράφει τη διάδοση ϑερµότητας σε µία ϱάβδο µήκους µε µονωµένα άκρα (δηλ., άκρα που δεν επιτρέπουν ανταλλαγές ϑερµοκρασίας.) Για να µπορεί αυτό το πρόβληµα να έχει λύση είναι αναγκαίο να ισχύει f x () = f x () = διότι η αρχική συνθήκη πρέπει να ικανοποιεί και τις συνοριακές συνθήκες. Σχηµατικά αυτό το ΠΑ-ΣΤ µπορεί να παρασταθεί όπως ϕαίνεται στο σχήµα που ακολουθεί. Σχήµα 5.: Το ΠΑ-ΣΤ για την Εξίσωση ιάχυσης µε ΣΣ Neumann. Πάλι, απαιτούµε οι λύσεις να είναι της µορφής u(x, t) = X(x)T (t) (5..4) όπου οι X και T είναι συναρτήσεις των µεταβλητών x και t αντίστοιχα και όπου για λόγους εντελώς αντίστοιχους µε αυτούς της προηγούµενης ενότητας (5..1.i) µας ενδιαφέρουν µόνο συναρτήσεις X και T οι οποίες δε µηδενίζονται ταυτοτικά. Η όλη διαδικασία αντικατάστασης της χωριζόµενης µορφής της λύσης στην εξίσωση (5..39) δεν αλλάζει σε σχέση µε την ενότητα (5..1.i) και έτσι καταλήγουµε στο ίδιο σύστηµα εξισώσεων, d X = λx, dx < x < (5..43) dt = λkt, dt t > (5..44) όπου τονίζεται πάλι, ότι στη ϐιβλιογραφία µπορεί να δείτε τη χρήση διαφορετικού προσήµου στο δεξί µέλος της (5..43) οπότε αν χρειαστεί κάνετε τις απαραίτητες διορθώσεις. Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

18 Κεφάλαιο 5. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος 58 Χωρισµού Μεταβλητών. Πρόβληµα ιδιοτιµών. Η απαίτηση να ικανοποιεί η άγνωστη συνάρτηση u τις ΣΣ µας δίνει u x (, t) = X x ()T (t) =, u x (, t) = X x ()T (t) = και εφόσον απαιτούµε να ισχύει u δεν µπορεί να ισχύει ότι T (t) =, t οπότε αναγκαστικά ϑα πρέπει X x () = X x () = δηλαδή, η συνάρτηση X ϑα πρέπει να λύνει το εξής ΠΣΤ d X = λx, < x < (5..45) dx X x () = X x () = (5..46) το οποίο επίσης, ονοµάζεται Πρόβληµα Ιδιοτιµών. Αναζητούµε πάλι, και τις τιµές του λ για τις οποίες έχουµε λύση, δηλαδή τις Ιδιοτιµές αλλά και τις µη τετριµµένες λύσεις του προβλήµατος ( ) δηλαδή, τις ιδιοσυναρτήσεις που αντιστοιχούν στις ιδιοτιµές λ. Η επίλυση της εξίσωσης (5..45) δεν αλλάζει σε σχέση µε αυτή της (5..9) και έτσι προκύπτουν πάλι οι εξής λύσεις, ανάλογα µε το πρόσηµο του λ: 1. λ < Τότε X(x) = ae λx + be λx = a cosh( λx) + b h( λx). λ = Τότε X(x) = a + bx 3. λ > Τότε X(x) = a cos( λx) + b ( λx) µε a, b αυθαίρετες σταθερές. Υποθέτουµε ξανά (προσωρινά πάντα) ότι η λ παίρνει µόνο πραγµατικές τιµές και εξετάζουµε για ποιές τιµές του λ µπορούν να ικανοποιηθούν οι ΣΣ (5..46). Ετσι έχουµε Αρνητικές Ιδιοτιµές (λ < ). Τότε, X(x) = a cosh( λx) + b h( λx) X x (x) = a λ h( λx) + b λ cosh( λx) Η απαίτηση X x () = συνεπάγεται ότι b =, ενώ η απαίτηση X x () = συνεπάγεται ότι a =. ηλαδή η µόνη δυνατή λύση είναι η τετριµµένη X(x) =, που σηµαίνει ότι το σύστηµα δεν επιδέχεται αρνητικές ιδιοτιµές. Μηδενική Ιδιοτιµή(λ = ) Τότε η λύση είναι η X(x) = a + bx X x (x) = b και οι δύο απαιτήσεις, X x () = X x () = είναι συµβατές µε τη συνθήκη b =, άρα, σε αντίθεση µε την περίπτωση των ΣΣ Dirichlet έχουµε τη µηδενική ιδιοτιµή, λ =, ως λύση µε ιδιοσυνάρτηση την X(x) = a, δηλαδή, µία σταθερά. (5..47) Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

19 5.. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών. 59 Θετικές Ιδιοτιµές(λ > ) Τότε η λύση είναι η X(x) = a cos( λx) + b ( λx) X x (x) = a λ ( λx) + b λ cos( λx) και η απαίτηση X x () δίνει b = δεδοµένου ότι =. Άρα, η απαίτηση X x () = συνεπάγεται ότι ( λ) = που σηµαίνει πως το όρισµα του ηµιτόνου µπορεί να πάρει µόνο τις τιµές λ = nπ λ =, n ακέραιος Άρα, το λ είναι ιδιοτιµή του προβλήµατος αν και µόνο αν λ = και οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις είναι οι b cos x bx(x) Παρατηρούµε ότι έχουµε τις ίδιες ιδιοτιµές αλλά διαφορετικές ιδιοσυναρτήσεις σε σχέση µε την ενότητα (5..1.i) όταν λ >. Για τους ίδιους λόγους µε αυτούς της ενότητας (5..1.i) ϑεωρούµε µόνο n > και είναι προφανές ότι όλες οι ιδιοτιµές είναι απλές. Επειδή, τόσο οι ιδιοτιµές όσο και οι ιδιοσυναρτήσεις εξαρτώνται από το n, συνηθίζεται και ϐολεύει να χρησιµοποιούµε το συµβολισµό a n X n = a n cos x, λ n =. n = 1,, 3,... (5..48) Χρονική Εξάρτηση. Η λύση του προβλήµατος (5..44) είναι όπως και του προβλήµατος (5..8), η T (t) = Ae kλt (5..49) όπου ϐέβαια το λ είναι δεσµευµένο από το γεγονός ότι είναι λύση του προβλήµατος ιδιοτιµών και παίρνει µόνο τις τιµές, λ = και λ n = ( ) nπ, n = 1,,..., και έτσι για τις λύσεις τις χρονικής εξέλιξης προκύπτει, nπ T = B, T n (t) = B n e k( ) t, n = 1,,..., (5..5) Σύµφωνα µε τη χωριζόµενη µορφή, (5..4), που απαιτήσαµε να έχει η λύση προ- Μορφή Λύσης. κύπτει u (x, t) = ab A, (5..51) u n (x, t) = b n B n X n (x)t n (t) A n cos x nπ e k( ) t n = 1,, 3,..., (5..5) Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

20 Κεφάλαιο 5. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος 6 Χωρισµού Μεταβλητών. Λόγω της συζήτησης που προηγήθηκε κατά τη µελέτη του ΠΑ-ΣΤ Dirichlet ϑεωρούµε τη γενικευµένη αρχή της υπέρθεσης, δηλαδή ότι η λύση είναι πλέον η άπειρη σειρά: u(x, t) = A + A n cos x nπ e k( ) t (5..53) όπου παρατηρείστε ότι η λύση µπορεί να γραφεί και στην ενιαία µορφή u(x, t) = n= A n cos x nπ e k( ) t (5..54) αλλά εµείς προτιµήσαµε την προηγούµενη γραφή διότι δείχνει ότι έχουµε συνεισφορά των δύο δια- ϕορετικών περιπτώσεων, λ = και λ >. Η λύση αυτή από κατασκευής ικανοποιεί τις ΣΣ. Ικανοποίηση Αρχικής Συνθήκης. Για την αρχική συνθήκη απαιτούµε να ισχύει f(x) = u(x, ) = A + A n cos x, x [, ] και ϑα δείξουµε στο επόµενο κεφάλαιο ότι η f(x) µπορεί να αναπτυχθεί και ως προς αυτή τη σειρά, η οποία ονοµάζεται Σειρά Fourier της συνάρτησης f(x) ως προς τις ιδιοσυναρτήσεις του ΠΑ-ΣΤ( ) ή αλλιώς Συνηµιτονική Σειρά Fourier. Αντίστοιχα, οι συντελεστές B n ονοµάζονται Συντελεστές Fourier της αντίστοιχης συνηµιτονικής σειράς και το Ϲητούµενο είναι ο προσδιορισµός τους. Ο προσδιορισµός των B n στηρίζεται πάλι σε Σχέσεις Ορθογωνιό- Εύρεση Συντελεστών Fourier. τητας, και Κανονικοποίησης, ( mπ cos x cos x dx =, m n, m = n, m = n = (5..55) ( mπ cos x dx =, m. (5..56) οι οποίες είναι άµεση συνέπεια των (5..55). κεφάλαια. Αναλυτικά µε αυτές ϑα ασχοληθούµε στα επόµενα Ασκηση 5.3. Να αποδειχθεί η σχέση (5..55). ( Υπόδειξη : Χρησιµοποιείστε την Τριγωνοµετρική Ταυτότητα cos a cos b = 1 [cos(a b) + cos(a + b)] ) Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις

Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Ζούπας Ανδρέας Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας, Λεωφόρος Αθηνών, Πεδίο Άρεως, Βόλος 38334 7 Ιουνίου 214 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή. 3 1.1

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας 7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονικοί ταλαντωτές

Αρµονικοί ταλαντωτές Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 2 Αρµονικοί ταλαντωτές q Μερικά από τα θέµατα που θα καλύψουµε: q Μάζες σε ελατήρια, εκκρεµή q Διαφορικές εξισώσεις: d 2 x dt 2 + K m x = 0 Ø Mε λύση της µορφής:

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

α) Η γενική εξίσωση του αρµονικού κύµατος είναι. Συγκρίνοντάς την µε µία από τις δύο εξισώσεις των τρεχόντων κυµάτων, έστω την εξίσωση

α) Η γενική εξίσωση του αρµονικού κύµατος είναι. Συγκρίνοντάς την µε µία από τις δύο εξισώσεις των τρεχόντων κυµάτων, έστω την εξίσωση Λύση ΑΣΚΗΣΗ 1 α) Η γενική εξίσωση του αρµονικού κύµατος είναι. Συγκρίνοντάς την µε µία από τις δύο εξισώσεις των τρεχόντων κυµάτων, έστω την εξίσωση, προκύπτει: και Με αντικατάσταση στη θεµελιώδη εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διαλ.33 1 KYMATA

ΦΥΣ Διαλ.33 1 KYMATA ΦΥΣ 131 - Διαλ.33 1 KYMATA q Κύµατα εµφανίζονται σε συστήµατα µε καταστάσεις ισορροπίας. Τα κύµατα είναι διαταραχές από τη θέση ισορροπίας. q Τα κύµατα προκαλούν κίνηση σε πολλά διαφορετικά σηµεία σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Λυγάτσικας Ζήνων Πειραµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής 6 Ιανουαρίου 013 1 Ασκήσεις 1.1 Ασκήσεις Επανάληψης 1. είξτε ότι : ηµ x + 3συν y 5.. Να αποδείξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L.

Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L. Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδια(ΑΚΠα) Να µελετηθεί το απειρόβαθο κβαντικό πηγάδι µε θετικές ενεργειακές καταστάσεις ( E > ). Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας

Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας Τα προβλήµατα µεταδόσεως θερµότητας (ή θερµικής αγωγιµότητας heat conduction), µε την υπόθεση ισχύος του νόµου Fourier, διέπονται από

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 1 Διαφορικές Εξισώσεις Στο µαθηµατικό αυτό παράρτηµα ορίζουµε και αναλύουµε την επίλυση απλών συστηµάτων γραµµικών διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

NTÙÍÉÏÓ ÃÊÏÕÔÓÉÁÓ - ÖÕÓÉÊÏÓ www.geocities.com/gutsi1 -- www.gutsias.gr

NTÙÍÉÏÓ ÃÊÏÕÔÓÉÁÓ - ÖÕÓÉÊÏÓ www.geocities.com/gutsi1 -- www.gutsias.gr Έστω µάζα m. Στη µάζα κάποια στιγµή ασκούνται δυο δυνάµεις. ( Βλ. σχήµα:) Ποιά η διεύθυνση και ποιά η φορά κίνησης της µάζας; F 1 F γ m F 2 ιατυπώστε αρχή επαλληλίας. M την της Ποιό φαινόµενο ονοµάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την (μη ομογενή) κυματική εξίσωση σε D χωρικές και 1 χρονική διάσταση :

Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την (μη ομογενή) κυματική εξίσωση σε D χωρικές και 1 χρονική διάσταση : Η Κυματική Εξίσωση. Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την (μη ομογενή κυματική εξίσωση σε χωρικές και 1 χρονική διάσταση : t ( Ψ (, rt = f(, rt (139 ( Εδώ είναι μια σταθερά με διαστάσεις ταχύτητας.

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α . ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Σηµείωση Οι δυνάµεις α του κεφαλαίου έχουν βάση α > 0 και εκθέτη οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό.. Παραδοχή 0 α. Ιδιότητες α + α ( ) α α : α ( ) α α α αβ α β α β α β. Εκθετική

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα σχέσεων διασποράς Παραπάνω, φαίνεται η απόκριση ενός διηλεκτρικού µέσου σε

Παραδείγµατα σχέσεων διασποράς Παραπάνω, φαίνεται η απόκριση ενός διηλεκτρικού µέσου σε Παραδείγµατα σχέσεων διασποράς Παραπάνω, φαίνεται η απόκριση ενός διηλεκτρικού µέσου σε ηλεκτροµαγνητικό κύµα κυκλ. Συχνότητας ω. Παρατηρούµε ότι η πολωσιµότητα του µέσου εξαρτάται µε την εκφραση 2.42

Διαβάστε περισσότερα

KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση

KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση ΦΥΣ 131 - Διαλ.34 1 KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση q Παλµός πάνω σε χορδή: Ένα άκρο της σταθερό (δεµένο) Προσπίπτων Ο παλµός ασκεί µια δύναµη προς τα πάνω στον τοίχο ο οποίος ασκεί µια δύναµη προς τα κάτω

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Σκοπός του κειµένου είναι να υποστηριχθούν οι παρακάτω θέσεις εν έχουν κανένα απολύτως νόηµα φράσεις του τύπου «η φάση της ταλάντωσης είναι» ή «η αρχική φάση της ταλάντωσης

Διαβάστε περισσότερα

4. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galerkin δεν

4. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galerkin δεν . ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Η επιλογή των συναρτήσεων βάσης ( ) φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galrkn δεν είναι τόσο απλή, και στην γενική περίπτωση είναι µία δύσκολη διαδικασία.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων ΠεριεχόµεναΚεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά Κυµατικής Είδη κυµάτων: ιαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της ιάδοσης κυµάτων ΗΕξίσωσητουΚύµατος Κανόνας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων Περιεχόµενα Κεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά των Κυµάτων Είδη κυµάτων: Διαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της Διάδοσης κυµάτων Η Εξίσωση του Κύµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ η Ερώτηση Γνωρίζουµε πως η κυµατοσυνάρτηση είναι η λύσης της κυµατικής εξίσωσης, που περιγράφει το µέγεθος της ιαταραχής, ( rt, ) r. Ψ= σε κάθε χρονική στιγµή, t, και σε κάθε θέση

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: O Carlos Santana εκμεταλλεύεται τα στάσιμα κύματα στις χορδές του. Αλλάζει νότα στην κιθάρα του πιέζοντας τις χορδές σε διαφορετικά σημεία, μεγαλώνοντας ή μικραίνοντας το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος.

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. 3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourier ενός µη περιοδικού

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

Mathematics and its Applications, 5th

Mathematics and its Applications, 5th Μαθηµατικα για Πληροφορικη Εφαρµογες και τεχνικες Ηλιας Κουτσουπιάς Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Σχετικα µε το µαθηµα Σχετικα µε το µαθηµα Το µαθηµα πραγµατευεται καποια ϑεµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4η. η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης (σε µονάδες rad/s) η κίνηση

Διάλεξη 4η. η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης (σε µονάδες rad/s) η κίνηση Διάλεξη 4η Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Αρµονικός ταλαντωτής, σηµείο ισορροπίας, περιοδική κίνηση, ισόχρονη ταλάντωση. Ο αρµονικός ταλαντωτής είναι από το πλέον σηµαντικά συστήµατα στη Φυσική. Δεν

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001

Μηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001 Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 3/2001 Μηχανική ΙI Λαγκρανζιανή συνάρτηση Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι ο δυναµικός νόµος του Νεύτωνα είναι ισοδύναµος µε την απαίτηση η δράση ως το ολοκλήρωµα της

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισμός ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις σημείων του

Προσδιορισμός ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις σημείων του A A N A B P Y T A ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΑ ΑΠΛΑ ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ 9 5 0 Προσδιορισμός ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις σημείων του Περιεχόμενα Εισαγωγή και παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΤΙΚΗ FOURIER. Γ. Μήτσου

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΤΙΚΗ FOURIER. Γ. Μήτσου ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΙΚΗΣ - ΟΠΟΗΛΕΚΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & /Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΙΚΗ FOURIER Γ. Μήτσου Μάρτιος 8 Α. Θεωρία. Εισαγωγή Η επεξεργασία οπτικών δεδοµένων, το φιλτράρισµα χωρικών συχνοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ

ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Για ένα φυσικό σύστηµα που περιγράφεται από τις συντεταγµένες όπου συνεχής συµµετρία είναι ένας συνεχής µετασχηµατισµός των συντεταγµένων που αφήνει αναλλοίωτη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Η ύλη της εργασίας είναι οι ενότητες 5, 6 και 7 από τον Λογισµό µιας Μεταβλητής Η άσκηση αφορά στην έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Μιχάλης Κολουντζάκης Τµήµα Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης Βούτες 700 3 Ηράκλειο 6 Απριλίου 205 Πολλές από τις παρακάτω ασκήσεις είναι από το ϐιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων Περιεχόμενα Πρόλογος Κατάλογος Σχημάτων v xv 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης 21 1.1 Γενικότητες........................... 21 1.2 Εισαγωγή............................ 24 1.2.1 Γεωμετρικές θεωρήσεις στο πρόβλημα της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο T4. Υπέρθεση και στάσιµα κύµατα

Κεφάλαιο T4. Υπέρθεση και στάσιµα κύµατα Κεφάλαιο T4 Υπέρθεση και στάσιµα κύµατα Κύµατα και σωµατίδια Τα κύµατα είναι πολύ διαφορετικά από τα σωµατίδια. Τα σωµατίδια έχουν µηδενικό µέγεθος. Τα κύµατα έχουν ένα χαρακτηριστικό µέγεθος το µήκος

Διαβάστε περισσότερα