Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις"

Transcript

1 Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Ζούπας Ανδρέας Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας, Λεωφόρος Αθηνών, Πεδίο Άρεως, Βόλος Ιουνίου 14

2 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή Γενικές Παρατηρήσεις Βασικοί Ορισµοί Εξισώσεις της Μαθηµατικής Φυσικής ιαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξεως. 4.1 Εισαγωγή Ταξινόµηση ιαφορικών Εξισώσεων εύτερης Τάξεως Εισαγωγή Η κυµατική Εξίσωση και η Εξίσωση ιάχυσης Η κυµατική Εξίσωση Η Εξισωση ιάχυσης Προβλήµατα Αρχικών Τιµών Εισαγωγή Το ΠΑΤ της Κυµατικής Εξίσωης Η Οµογενής Κυµατική Εξίσωση i Ερµηνεία Λύσης, Χωρίο Εξάρτησης, Πεδίο Επιρροής ii Ενέργεια Η Μη-Οµογενής Κυµατική Εξίσωση Το ΠΑΤ της Εξίσωσης ιάχυσης Η Οµογενής Εξίσωση ιάχυσης i Ενέργεια Η Μη-Οµογενής Εξίσωση ιάχυσης i Η αρχή του Duhamel Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος Χωρισµού Μεταβλητών Εισαγωγή Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών Η Εξίσωση ιάδοσης Θερµότητας i Dirichlet ΣΣ ii Neumann ΣΣ iii Περιοδικές ΣΣ iv Η Αρχή του Μεγίστου Κυµατική Εξίσωση i Dirichlet ΣΣ ii Neumann ΣΣ iii Περιοδικές ΣΣ Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών ii

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ iii Εξίσωση aplace i Το Πρόβληµα Dirichlet Μέθοδος Χωρισµού Μεταβλητών-Προβλήµατα Ιδιοτιµών-Γενική Συµπεριφορά Σειρές Fourier Σειρές Fourier Ηµιτονικές, Συνηµιτονικές, και Πλήρεις Σειρές Fourier Η Σειρά Fourier µιας Περιοδικής Συνάρτησης Περιοδικές Συναρτήσεις Άρτιες και Περιττές Συναρτήσεις Πλήρεις Σειρές, Περιττότητα και Αρτιότητα i Η Σειρά Fourier Μίας Περιττής Συνάρτησης ii Η Σειρά Fourier Μίας Άρτιας Συνάρτησης Θεωρήµατα Σύγκλισης Είδη Σύγκλισης Σειρών Το Θεώρηµα Σύγκλισης Παράγωγοι και Ολοκληρώµατα Σειρών Fourier i Παράγωγος Σειράς Fourier ii Ολοκλήρωµα Σειράς Fourier Σειρές Fourier σε ιαστήµατα Περιοδικές Επεκτάσεις Συναρτήσεων Οι Σειρές Fourier των Περιοδικών Επεκτάσεων i Η σειρά Fourier της Περιοδικής Επέκτασης ii Η Σειρά Fourier της Άρτιας Περιοδικής Επέκτασης iii Η Σειρά Fourier της Περιττής Περιοδικής Επέκτασης iv Συνηµιτονικές και Ηµιτονικές Σειρές Fourier v Το Θεώρηµα Σύγκλισης vi Σχεδίαση Σειρών Fourier Η Συνέχεια της Σειράς Fourier Παραγώγιση Σειρών Fourier σε ιαστήµατα Ολοκλήρωση Σειράς Fourier Το ϕαινόµενο Gibbs Μέθοδος Χωρισµού Μεταβλητών και Γενικευµένες Σειρές Fourier Ορθογωνιότητα και ΣΣ Σύγκλιση Γενικευµένων Σειρών Fourier Μη-Οµογενή Προβλήµατα, Μέθοδος Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις Εισαγωγή Μη-Οµογενείς ΣΣ Μη-Οµογενείς Μ Ε-Οµογενοποίηση ΣΣ Μέθοδος Αναπτύγµατος σε Ιδιοσυναρτήσεις Γενίκευση Μεθόδου Αναπτύγµατος Σε Ιδιοσυναρτήσεις Θεωρία Sturm-iouville Εισαγωγή Μη-Οµογενείς ΣΣ Μη-Οµογενείς Μ Ε Τι να δω Γενικά Παράρτηµα Πίνακες Τριγωνοµετρικών Συναρτήσεων Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

4 iv ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

5 Συµβολισµός Σας παραθέτω πίνακα µε τους συµβολισµούς και τα ακρονύµια που χρησιµοποιώ στις σηµειώσεις Σ Ε: Συνήθης ιαφορική Εξίσωση Μ Ε: Μερική(ες) ιαφορική(ες) Εξίσωση (Εξισώσεις) ΑΣ: Αρχικές Συνθήκες ΣΣ: Συνοριακές Συνθήκες ΠΑΤ: Πρόβληµα Αρχικών Τιµών ΠΣΤ: Πρόβληµα Συνοριακών Τιµών ΠΑ-ΣΤ: Πρόβληµα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών ΜΧΜ: Μέθοδος Χωριζοµένων Μεταβλητών Κ.Εξ.: Κυµατική Εξίσωση Εξ..: Εξίσωση ιάχυσης Εξ..: Εξίσωση aplace 1

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος Χωρισµού Μεταβλητών. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5.1 Εισαγωγή Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών Η Εξίσωση ιάδοσης Θερµότητας i Dirichlet ΣΣ ii Neumann ΣΣ iii Περιοδικές ΣΣ iv Η Αρχή του Μεγίστου Κυµατική Εξίσωση i Dirichlet ΣΣ ii Neumann ΣΣ iii Περιοδικές ΣΣ Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών Εξίσωση aplace i Το Πρόβληµα Dirichlet Μέθοδος Χωρισµού Μεταβλητών-Προβλήµατα Ιδιοτιµών-Γενική Συµπεριφορά Εισαγωγή. Η µέθοδος που ϑα παρουσιάσουµε εδώ οφείλεται στον Fourier ο οποίος πρώτος την εφάρµοσε για να επιλύσει την εξίσωση διάδοσης ϑερµότητας. Σηµειώνουµε δε, ότι ο Fourier όχι µόνο επέλυσε την εξίσωση αλλά είταν και αυτός ο οποίος διατύπωσε τη ϐασική ϑεωρία για τη ϑερµική ϱοή. Η µέθοδος λύσης του, οδήγησε τον Fourier να προτείνει την τολµηρή για την εποχή του ιδέα ότι οποιαδήποτε πραγµατική συνάρτηση ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα µπορεί να αναπαρασταθεί ως µία σειρά τριγωνοµετρικών συναρτήσεων. Η µέθοδος του Fourier στηρίζεται στην τεχνική η οποία είναι σήµε- ϱα γνωστή ως Μέθοδος Χωριζοµένων Μεταβλητών(ΜΧΜ) και ϐρίσκει εφαρµογή σε πολλά άλλα γραµµικά προβλήµατα εκτός της εξίσωσης διάδοσης ϑερµότητας. 46

7 5.1. Εισαγωγή. 47 Σε ότι ακολουθεί ϑα λυθούν κλασσικά Προβλήµατα ϑεωρώντας ότι το ϕυσικό σύστηµα που περιγράφει η Μ Ε έχει πεπερασµένες χωρικές διαστάσεις, άρα σύµφωνα µε ότι έχουµε δει χρειάζεται και η επιβολή Συνοριακών Συνθηκών. Θα µελετήσουµε, λοιπόν, προβλήµατα α) Αρχικών-Συνοριακών Τιµών(ΠΑ-ΣΤ) και ϐ) Συνοριακών Τιµών(ΠΣΤ) για Μ Ε δύο µεταβλητών και σε Καρτεσιανές Συντεταγµένες. Για την ακρίβεια, ϑα µελετήσουµε την Εξίσωση ιάδοσης Θερµότητας(επί της ουσίας, την Εξίσωση ιάχυσης (Εξ..) ), την Κυµατική Εξίσωση(Κ.Εξ.) και την Εξίσωση aplace(εξ..) για διάφορα είδη Συνοριακών Συνθηκών(ΣΣ). Συνθήκες Εφαρµογής της Μεθόδου ΜΧΜ: Η µέθοδος αυτή εφαρµόζεται αποκλειστικά και µόνο σε Γραµµικές Μ Ε και µία πρώτη απαίτηση που έχουµε για να είναι εφαρµόσιµη η µέθοδος, είναι η εξής : η Μ Ε να είναι οµογενής και οι (ΣΣ) να είναι Γραµµικές Οµογενείς. Αν συµβολίσουµε την άγνωστη συνάρτηση µε u(x, t) και ϑεωρήσουµε ότι a < x < b, τότε η πιο γενική µορφή, γραµµικών οµογενών ΣΣ, για Μ Ε δεύτερης τάξης είναι η εξής : a 1 u(a, t) + b 1 u(b, t) + γ 1 u x (a, t) + δ 1 u x (b, t) = και a u(a, t) + b u(b, t) + γ u x (a, t) + δ u x (b, t) = (5.1.1) Σε ότι ακολουθεί, ϑα ασχοληθούµε µε ΣΣ Dirichlet, Neumann, και περιοδικές. Τις περιοδικές ΣΣ τις παρουσιάζουµε πρώτη ϕορά και είναι της µορφής, u(a, t) = u(b, t) u x (a, t) = u x (b, t) Είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι και οι τρεις κατηγορίες ΣΣ µε τις οποίες ϑα ασχοληθούµε αποτελούν ειδικές περιπτώσεις των Γραµµικών Οµογενών ΣΣ για διάφορες τιµές των συντελεστών τους. Π.χ., οι συνθήκες Neumann προκύπτουν για τις τιµές a 1 = b 1 = δ 1 = και a = b = γ 1 =. Η επιλογή αυτών των ΣΣ, έγινε µε ϐάση το ότι οδηγούν σε λύσεις οι οποίες δίνονται ως κλασσικές σειρές Fourier και οι οποίες αποτελούν το κλασσικότερο και απλούστερο ίσως παράδειγµα της εξαιρετικά σηµαντικής ϑεωρίας Sturm-iouville µε την οποία ϑα σχοληθούµε στο κεφάλαιο (8). Ακριβώς επειδή οι ΣΣ Robin µπορεί να οδηγήσουν και σε λύσεις οι οποίες δεν έίναι πάντοτε καλσσικές σειρές Fourier για αυτό το λόγο κρίθηκε σκόπιµο η εξαιρετικά ενδιαφέρουσα µελέτη τους να αναβληθεί µέχρι το κεφάλαιο (8), όπου πιστεύεται πως αρµόζει. Τις γενικές συνθήκες που απαιτούνται για την εφαρµογή της (ΜΧΜ) ϑα τις διατυπώσουµε εκ των υστέρων. Βασική Ιδέα. Σαν πρώτο ϐήµα ψάχνουµε λύσεις της οµογενούς Μ Ετης µορφής u(x, t) = X(x)T (t) οι οποίες ϑα πρέπει να ικανοποιούν και επιπλέον Αρχικές και Συνοριακές Συνθήκες. Με αυτό τον τρόπο καταλήγουµε σε Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις(Σ Ε). Στη συνέχεια γενικεύουµε την αρχή της επαλληλίας έτσι ώστε από τις χωριζόµενες λύσεις να προκύψει η γενική λύση της οµογενούς Μ Ε σε µορφή άπειρης σειράς γινοµένων των χωριζοµένων λύσεων. Τα προβλήµατα που ϑα µας απασχολήσουν για την Εξίσωση ιάδοσης Θερµότητας και την Κυµατική Εξίσωση ϑα είναι Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών, ενώ για την εξίσωση aplaceϑα είναι µόνο Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών. Στη µελέτη που ακολουθεί δεν ϑα ασχοληθούµε µε ερωτήµατα σχετικά µε τη µοναδικότητα των λύσεων. Αυτή ϑα ϑεωρείται δεδοµένη και σχόλιο ϑα γίνει µόνο αν κάτι πρέπει να προσεχθεί περισσότερο. Το κεφάλαιο αυτό έχει επηρεαστεί από τους [17],[11],[14],[1]. Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

8 Κεφάλαιο 5. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος 48 Χωρισµού Μεταβλητών. 5. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών. Για ιστορικούς καθαρά λόγους ξεκινούµε µε την Εξ..και η µελέτη της ενότητας (5..1.i) είναι ιδιαιτέρως σηµαντική διότι µε αυτή παρουσιάζουµε επί της ουσίας τη Μέθοδο Χωρισµού Μεταβλητών Η Εξίσωση ιάδοσης Θερµότητας. Θα λύσουµε την εξίσωση διάδοσης ϑερµότητας για τα εξής είδη ΣΣ: Dirichlet, Neumannκαι Περιοδικών. Η ενότητα αυτή είναι επηρεασµένη από την αντίστοιχη ενότητα των [17]. Ξεκινούµε µε τις ΣΣ Dirichlet 5..1.i Dirichlet ΣΣ Το Ϲητούµενο είναι να λυθεί το ΠΑ-ΣΤ: u t k u =, x < x <, t > (5..1) u(, t) = u(, t) =, t (ΣΣ) (5..) u(x, ) = f(x), x (ΑΣ) (5..3) το οποίο εκφράζει την µετάδοση ϑερµότητας σε µία διάσταση και σε πεπερασµένο χωρικό διάστηµα µήκους. Η ϕυσική του ερµηνεία είναι ότι περιγράφει τη µετάδοση ϑερµότητας σε µία ϱάβδο µήκους της οποίας τα άκρα είναι σε επαφή µε (άπειρες)θερµικές δεξαµενές ϑερµοκρασίας µηδέν. Για να µπορεί αυτό το πρόβληµα να έχει λύση είναι αναγκαίο να ισχύει f() = f() = διότι η αρχική συνθήκη πρέπει να ικανοποιεί και τις συνοριακές συνθήκες. Σχηµατικά αυτό το ΠΑ-ΣΤ µπορεί να παρασταθεί όπως ϕαίνεται στο σχήµα που ακολουθεί. Σχήµα 5.1: Το ΠΑ-ΣΤ για την Εξίσωση ιάχυσης µε ΣΣ Dirichlet. Ξεκινούµε απαιτώντας οι λύσεις να είναι της µορφής u(x, t) = X(x)T (t) (5..4) όπου οι X και T είναι συναρτήσεις των µεταβλητών x και t αντίστοιχα. Μία προφανής λύση της οµογενούς εξίσωσης είναι η µηδενική λύση u(x, t) = αλλά αυτή δεν µας ενδιαφέρει δεδοµένου ότι δεν µπορεί να ικανοποιεί την αρχική συνθήκη αν f(x), για < x <. Άρα, µας ενδιαφέρουν συναρτήσεις X και T οι οποίες δε µηδενίζονται ταυτοτικά. Αντικαθιστούµε τη χωριζόµενη µορφή για την u στην εξίσωση (5..1) και παραγωγίζοντας µία ϕορά ως προς την t και δύο ϕορές ως προς την x προκύπτει XT t kx xx T = XT t = kx xx T. το επόµενο ϐήµα είναι απλό αλλά εξαιρετικής σηµασίας, διότι χωρίζουµε τις µεταβλητές. Φέρνουµε στο ένα µέλος της εξίσωσης όλες τις συναρτήσεις που εξαρτώνται µόνο από την t και στο άλλο όλες τις συναρτήσεις που εξαρτώνται µόνο από την x, οπότε προκύπτει η ισότητα T t kt = X xx X (5..5) Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

9 5.. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών. 49 στην οποία έχουµε δύο εκφράσεις ίσες µεταξύ τους αλλά η µία εξαρτάται από τη µεταβλητή t µόνο και η άλλη εξαρτάται από τη µεταβλητή x µόνο. εδοµένου ότι οι x και t είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους δεν µπορεί παρά να υπάρχει µία σταθερά λ, την οποία ονοµάζουµε και σταθερά χωρισµού έτσι ώστε να ισχύει ότι T t kt = X xx X = λ (5..6) το ότι και τα δύο µέλη πρέπει να είναι σταθερά προκύπτει πολύ εύκολα αν για παράδειγµα παραγωγίσουµε και τις δύο εκφρασεις µε τη µεταβλητή t οπότε ) ) t ( Xxx X = t ( Tt kt = T t kt = σταθ. Προσοχή. Τονίζουµε εδώ ότι στη ϐιβλιογραφία µπορεί να δείτε τη χρήση διαφορετικού προσήµου στο δεξί µέλος της (5..6). Αυτό είναι καθαρά ϑέµα σύµβασης και δεν αλλάζει σε τίποτε την ουσία της µεθόδου. Η εξίσωση (5..6) οδηγεί στο εξής σύστηµα Σ Ε d X = λx, dx < x < (5..7) dt = λkt, dt t > (5..8) οι οποίες συνδέονται µεταξύ τους µόνο µέσω της σταθεράς χωρισµού λ. Πρόβληµα Ιδιοτιµών. Για να ικανοποιεί η άγνωστη συνάρτηση u τις ΣΣ ϑα πρέπει να ισχύει u(, t) = X()T (t) =, u(, t) = X()T (t) = εφόσον τώρα απαιτούµε να ισχύει u δεν µπορεί να ισχύει ότι T (t) =, t οπότε αναγκαστικά ϑα πρέπει X() = X() = δηλαδή, η συνάρτηση X ϑα πρέπει να λύνει το εξής ΠΣΤ d X = λx, < x < (5..9) dx X() = X() = (5..1) το οποίο ονοµάζεται Πρόβληµα Ιδιοτιµών. Το πρόβληµα αυτό έχει µία προφανή λύση, την X =, η οποία όµως απορρίπτεται διότι ϑέλουµε u. Θα δούµε σύντοµα ότι στο Πρόβληµα Ιδιοτιµών δεν καθορίζεται µόνο η συνάρτηση X αλλά και οι δυνατές τιµές που µπορεί να πάρει η σταθερά λ ακριβώς όπως συµβαίνει και κατά την επίλυση του προβλήµατος ιδιοτιµών ενός τετραγωνικού πίνακα στην Γραµµική Άλγεβρα. Μία µη-τετριµένη(δηλ., µη-µηδενική) λύση του προβλήµατος ( ) την ονοµάζουµε Ιδιοσυνάρτηση µε ιδιοτιµή λ. Για τα προβλήµατα ιδιοτιµών, τα οποία είναι ΠΣΤ για τις Σ Ε, δεν µπορούµε να είµαστε ϐέβαιοι εκ των προτέρων ότι υπάρχει λύση για κάθε τιµή του λ(σε αντίθεση µε τα προβλήµατα αρχικών τιµών για τα οποία έχουµε ϑεωρήµατα µοναδικότητας και ύπαρξης λύσεως). Ετσι ϑα ακολουθήσουµε την εξής τακτική : ϑα δώσουµε τη γενική λύση της (5..9) και µετά ϑα ελέγξουµε τις τιµές του λ (αν υπάρχουν κάποιες) για τις οποίες υπάρχει λύση που ικανοποιεί τις ΣΣ (5..1). Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

10 Κεφάλαιο 5. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος 5 Χωρισµού Μεταβλητών. Η εξίσωση (5..9) έιναι Συνήθης ιαφορική Εξίσωση µε Σταθερούς Συντελεστές και επιλύεται εύκολα. Το χαρακτηριστικό της πολυώνυµο είναι το k + λ = από το οποίο προκύπτουν οι εξής λύσεις, ανάλογα µε το πρόσηµο του λ: 1. λ < Τότε X(x) = ae λx + be λx = a cosh( λx) + b h( λx). λ = Τότε X(x) = a + bx 3. λ > Τότε X(x) = a cos( λx) + b ( λx) µε a, b αυθαίρετες σταθερές. Εδώ, κάναµε την υπόθεση ότι η λ παίρνει µόνο πραγµατικές τιµές και παρόλο που δεν το αποδείξα- µε τυγχάνει αυτή να είναι και η πραγµατικότητα. Αργότερα ϑα έχουµε την ευκαιρία να διατυπώσουµε κάποια γενικά αποτελέσµατα για αυτού του είδους τα προβλήµατα ιδιοτιµών και ϑα δείξουµε ότι όντως οι ιδιοτιµές τους είναι πάντα πραγµατικές. Σκοπός µας είναι τώρα να διαπιστώσουµε για ποιές τιµές του λ µπορούν να ικανοποιηθούν οι ΣΣ (5..1). Ετσι έχουµε Αρνητικές Ιδιοτιµές (λ < ) Βοηθά να χρησιµοποιήσουµε τη µορφή X(x) = a cosh( λx) + b h( λx) της λύσης, διότι η συνάρτηση h w έχει µία µοναδική ϱίζα στο σηµείο w =, ενώ η cosh w είναι αυστηρά ϑετική συνάρτηση. Άρα, η απαίτηση X() = συνεπάγεται ότι a =, ενώ η απαίτηση X() = συνεπάγεται ότι b =. ηλαδή η µόνη δυνατή λύση είναι η τετριµµένη X(x) =, που σηµαίνει ότι το σύστηµα δεν επιδέχεται αρνητικές ιδιοτιµές. Μηδενική Ιδιοτιµή(λ = ) Τότε η λύση είναι η X(x) = a + bx και η απαίτηση X() = δίνει a = ενώ η απαίτηση X() = συνεπάγεται ότι b =. Συµπεραίνουµε εποµένως ότι το σύστηµα δεν µπορεί να έχει τη µηδενική ιδιοτιµή ως λύση. Θετικές Ιδιοτιµές(λ > ) Τότε η λύση είναι η X(x) = a cos( λx) + b ( λx) και η απαίτηση X() = δίνει a = δεδοµένου ότι =. Άρα, η απαίτηση X() = συνεπάγεται ότι ( λ) = που σηµαίνει πως το όρισµα του ηµιτόνου µπορεί να πάρει µόνο τις τιµές λ = nπ λ =, n ακέραιος Άρα, το λ είναι ιδιοτιµή του προβλήµατος αν και µόνο αν λ = Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

11 5.. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών. 51 και οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις είναι οι a x ax(x). εδοµένου ότι για n < δεν αλλάζει η τιµή του λ (εξαρτάται από το n ) ενώ ( x) = (x) ϑεωρούµε µόνο n > διότι έτσι παίρνουµε το ίδιο σύνολο ιδιοσυναρτήσεων και ιδιοτιµών µε το να ϑεωρούσαµε και n <. Επίσης, είναι προφανές ότι καµία ιδιοτιµή δεν επαναλαµβάνεται παραπάνω από µία ϕορά, άρα όλες οι ιδιοτιµές είναι απλές. Επειδή, τόσο οι ιδιοτιµές όσο και οι ιδιοσυναρτήσεις εξαρτώνται από το n, συνηθίζεται και ϐολεύει να χρησιµοποιούµε το συµβολισµό a n X n (x) = a n x, λ n =. n = 1,, 3,... (5..11) Χρονική Εξάρτηση. Εχουµε τελειώσει µε το ΠΣΤ και µένει η λύση του προβλήµατος (5..8) η οποία είναι εξαιρετικά απλή και µας δίνει T (t) = Ae kλt (5..1) όπου ϐέβαια το λ είναι δεσµευµένο από το γεγονός ότι είναι λύση του προβλήµατος ιδιοτιµών και παίρνει µόνο συγκεκριµένες τιµές, λ n = ( ) nπ. Άρα, nπ T n (t) = A n e k( ) t (5..13) Μορφή Λύσης. Σύµφωνα µε τη χωριζόµενη µορφή, (5..4), που απαιτήσαµε να έχει η λύση προκύπτει ότι για κάθε n έχουµε τη µορφή u n (x, t) = a n A n X n (x)t n (t) B n x nπ e k( ) t (5..14) όπου προφανώς λόγω γραµµικότητας και κάθε γραµµικός συνδυασµός u(x, t) = N u n (x, t) = N B n x nπ e k( ) t (5..15) ϑα είναι λύση του προβλήµατος. Άρα, λόγω της αρχής της υπέρθεσης µπορούµε να ϑεωρήσουµε ότι η γενική λύση της εξίσωσης η οποία ικανοποιεί και τις ΣΣ, είναι η (5..15). Ικανοποίηση Αρχικής Συνθήκης. Μένει όµως και η ΑΣ, (5..3), που πρέπει να ικανοποιείται για να µπορούµε να µπορούµε να πούµε ότι έχουµε λύσει το πρόβληµα. Αν κρατήσουµε ως λύση τη µορφη (5..15) που µόλις κατασκευάσαµε ϑα πρέπει να ισχύει ότι f(x) = u(x, ) = N B n x, x [, ] κάτι τέτοιο ϑα σήµαινε ότι µπορούµε κάθε συνάρτηση, f(x), να την αναπαραστήσουµε µε ένα πεπε- ϱασµένο γραµµικό συνδυασµό ηµιτόνων. Αυτό όµως είναι λάθος διότι, οι µόνες αρχικές συνθήκες για τις οποίες µπορούµε να λύσουµε είναι αυτές οι οποίες είναι ήδη γραµµικός συνδυασµός ηµιτόνων και µάλιστα µόνο της µορφής ( nπ x)! Άρα, η λύση του προβλήµατος δεν µπορεί να είναι της Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

12 Κεφάλαιο 5. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος 5 Χωρισµού Μεταβλητών. µορφής που µόλις κατασκευάσαµε! Τη διέξοδο σε αυτή τη δυσκολία έδωσε ο ίδιος ο Fourier µε την υπόθεση, ότι η λύση είναι πλέον η άπειρη σειρά: u(x, t) = B n x nπ e k( ) t (5..16) πράγµα το οποίο οδηγούσε στην εξής απαίτηση για την αρχική συνθήκη f(x) = u(x, ) = B n x, x [, ] (5..17) Η µεγαλοφυής ιδέα του Fourier ήταν να ϑεωρήσει ότι, πράγµατι, κάθε συνάρτηση f(x) µπορεί να αναπαρασταθεί σε άπειρη σειρά ηµιτόνων της µορφής ( nπ x). Με αυτή την υπόθεση (η οποία στην αρχή αµφισβητήθηκε έντονα, πήρε κάποιο καιρό για να αποδειχθεί η ορθότητα της και η προσπάθεια απόδειξης της ορθότητάς της οδήγησε στη ϑεµελίωση σηµαντικών κλάδων των σύγχρονων µαθηµατικών)θα ασχοληθούµε στο επόµενο κεφάλαιο. Μία τέτοια σειρά ονοµάζεται Σειρά Fourier της συνάρτησης f(x) ως προς τις ιδιοσυναρτήσεις του ΠΑ-ΣΤ( ) ή αλλιώς Ηµιτονική Σειρά Fourier. Οι συντελεστές B n ονοµάζονται Συντελεστές Fourier της αντίστοιχης σειράς. Σύντοµα ϑα γίνει κατανοητό ότι η γνώση των συντελεστών ισοδυναµεί µε τη γνώση της Σειράς Fourier και το Ϲητούµενο είναι ο τρόπος προσδιορισµού τους. Στον προσδιορισµό των συντελεστών ϑα προχωρήσουµε όµως, αφότου σχολιάσουµε πρώτα το κατά πόσο η u(x, y) όντως αποτελεί λύση του ΠΑ-ΣΤ( ). Επαλήθευση Λύσης. Η επαλήθευση της λύσης είναι κάτι το οποίο δεν ϑα επιχειρήσουµε να κάνουµε άµεσα. ιότι για να δείξουµε ότι η u(x, y) είναι όντως λύση του ΠΑ-ΣΤ( ) πρέπει να είµαστε ϐέβαιοι ως προς τη διαφορισηµότητα των Σειρών Fourier (δεδοµένου ότι ϑέλουµε να ικανοποιούν τη Εξ.. ως λύσεις της). Σκεφτείτε ότι ούτε καν έχουµε προσπαθήσει να δώσουµε απάντηση στο ποιές συναρτήσεις µπορούν να αναπαρασταθούν ως Σειρές Fourier. Με αυτά τα Ϲητήµατα ϑα ασχοληθούµε στο κεφάλαιο (6). Εσείς µπορείτε προσωρινά να ϑεωρείτε δεδοµένο ότι όντως η u(x, y) αποτελεί λύση η οποία ικανοποιεί και τις οµογενείς ΣΣ. Αν κάποιος προσπαθήσει να παραγωγίσει όρο προς όρο τη Σειρά Fourier ϑα δείξει ότι όντως ικανοποιεί το ΠΣΤ( ) όµως αυτό δεν είναι ο γενικός κανόνας µε τις Σειρές Fourier και µέχρι να τον διατυπώσουµε και να είµαστε ϐέβαιοι για το πως µπορούµε να παραγωγίσουµε αποφεύγουµε να το κάνουµε. Μένει εποµένως µόνο να προσδιορίσουµε τους συντελεστές B n έτσι ώστε να ικανοποιείται η ΑΣ. Εύρεση Συντελεστών Fourier. Ας επανέλθουµε στον προσδιορισµό των συντελεστών B n του αναπτύγµατος κατά Fourier της f(x) όπου κι εδώ δεν ϑα ασχοληθούµε, προσωρινά, µε Ϲητήµατα αυστη- ϱότητας τα οποία ϑα µας απασχολήσουν στο επόµενο κεφάλαιο. Ο προσδιορισµός των B n στηρίζεται στο ολοκλήρωµα { ( mπ x x dx = Ασκηση 5.1. Να αποδειχθεί η σχέση (5..18). ( Υπόδειξη : Χρησιµοποιείστε την Τριγωνοµετρική Ταυτότητα a b = 1 [cos(a b) cos(a + b)] ), m n, m = n (5..18) Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

13 5.. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών. 53 Είναι προφανές, ως άµεση συνέπεια του τύπου (5..18), ότι ( mπ x dx = (5..19) Τέτοιου είδους ολοκληρώµατα ονοµάζονται Σχέσεις Ορθογωνιότητας και Κανονικοποίησης αντίστοιχα. Αποτελούν ένα από τα σηµαντικότερα συστατικά της µεθόδου του Fourier αλλά και της γενίκευσης της που είναι η ϑεωρία των Sturm-iouville µε την οποία ϑα ασχοληθούµε αναλυτικά στα επόµενα κεφάλαια. Η σηµαντικότητα των δύο σχέσεων, (5..18) και (5..19) για τον προσδιορισµό των συντελεστών Fourier ϕαίνεται αν πράξουµε ως εξής ( mπ x f(x)dx = = = B m [ ( mπ x ] B n x dx B n = B m ( mπ x x dx ( mπ x dx (5..) όπου χρησιµοποιήσαµε τις σχέσεις ορθογωνιότητας και κανονικοποίησης, (5..18) και (5..19), των ηµιτόνων. ηλαδή, B m = ( mπ x) f(x)dx ( mπ x) dx = ( mπ x f(x)dx, m = 1,,..., (5..1) από τις σχέσεις αυτές προκύπτει ότι οι συντελεστές Fourier της f(x) καθορίζονται µε µοναδικό τρόπο. Σύνοψη. Συνοψίζοντας, δείξαµε ότι οι σχέσεις u(x, t) = B m = B n x nπ e k( ) t, και (5..) ( mπ x) f(x)dx ( mπ x) dx = ( mπ x f(x)dx, m = 1,,..., (5..3) αποτελούν τη λύση του ΠΑ-ΣΤ ( ) και ότι για να ικανοποιηθεί η οποιαδήποτε αρχική συν- ϑήκη αρκεί να υπολογίσουµε τους συντελεστές Fourier αυτής. Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

14 Κεφάλαιο 5. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος 54 Χωρισµού Μεταβλητών. Αυµπτωτική Συµπεριφορά. Επειδή οι συντελεστές Fourier δεν απειρίζονται (όπως ϑα δειχθεί στο nπ επόµενο κεφάλαιο) είναι εύκολο να καταλάβει κανείς ότι λόγω του όρου e k( ) t η λύση ϑα ελλατώνεται µε την πάροδο του χρόνου και µάλιστα ϑα ισχύει lim u(x, t) = t Ερµηνεία : Κάτι τέτοιο είναι συµβατό µε την εµπειρία µας αν σκεφτούµε τη ϕυσική σηµασία του ΠΑ-ΣΤ που µόλις λύσαµε. Η αρχική συνθήκη µας λέει ότι τη χρονική στιγµή t = δίνουµε σε κάθε σηµείο της ϱάβδου µία τιµή ϑερµοκρασίας (αυτό σηµαίνει το u(x, ) = f(x)) και µετά εξατάζουµε πως µεταβάλεται η ϑερµοκρασία αυτή αν το κάθε άκρο της ϱάβδου το ϕέρουµε σε επαφή µε άπειρη ϑερµική δεξαµενή ϑερµοκρασίας ίσης µε µηδέν. Σύµφωνα µε ότι ξέρουµε η ϑερµότητα ϑα αρχίσει να ϱέει από τη ϱάβδο προς τη δεξαµενή (από το ϑερµότερο ως το ψυχρότερο δηλαδή) µέχρι να έρθουν όλα τα συστήµατα σε ϑερµική ισορροπία. Επειδή όµως η δεξαµενή είναι άπειρη, ϑα παραµένει πάντα σε ϑερµοκρασία ίση µε µηδέν άρα ϑα έχουµε ϑερµική ισορροπία µόνο όταν η ϑερµοκρασία της ϱάβδου γίνει ίση µε µηδέν! Παράδειγµα 5.1 (Παράδειγµα 5.1 [17]): Να λυθεί το ΠΑ-ΣΤ, u t k u =, < x < π, t > (5..4) x u(, t) = u(π, t) =, t (ΣΣ) (5..5) { x x π u(x, ) = f(x) = π x π x π (ΑΣ) (5..6) Λύση. Για τη λύση του προβλήµατος ιδιοτιµών, δεν έχουµε παρά να αντικαταστήσουµε στην έκφραση (5..16) για = π. Ετσι η λύση είναι η u(x, t) = B n (nx) e kn t (5..7) µε τους συντελεστές B n να προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες µέσω της σχέσης B n = π π (nx)f(x)dx = π π (nx)f(x)dx + π όπου σπάσαµε το ολοκλήρωµα εξ αιτίας του ορισµού της f(x) και έτσι προκύπτει π π (nx)f(x)dx (5..8) B n = π π (nx)xdx + π π π (nx)(x π)dx (5..9) Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

15 5.. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών. 55 δεδοµένου ότι π π x (nx)dx = nπ π xd cos(nx) = x cos(nx) nπ ] π ] π + nπ π cos(nx)dx = x cos(nx) + nπ n π ((nx)) [ ] π = x cos(nx) + (nx) π n n ] π (5..3) µπορούµε τότε να πούµε ότι π π π π (π x) (nx)dx = π (nx)dx π π π x (nx)dx ] π [ = n cos(nx) x cos(nx) π n π [ = (π x) cos(nx) π n άρα η έκφραση, (5..9), για τους συντελεστές B n γίνεται ] π (nx) n π ] π + (nx) n π [ ] π [ ] x cos(nx) + (nx) π π n n + (π x) cos(nx) (nx) π n n π [ = π ] π [ (nx) n π { = 4 n π (nπ ) = ] π (nx) n π n = k 4( 1) k+1 n = k 1 (k 1) π (5..31) (5..3) άρα η λύση είναι u(x, t) = 4 π k=1 ( 1) k+1 (k 1) [(k 1)x] e (k 1) t (5..33) Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

16 Κεφάλαιο 5. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος 56 Χωρισµού Μεταβλητών. από τη µορφή της λύσης είναι προφανές ότι οι συντελεστές Fourier παραµένουν πεπερασµένοι, οπότε επαληθεύεται η ασυµπτωτική συµπεριφορά η οποία οφείλεται στον όρο e (k 1)t. Παράδειγµα 5.: Να λυθεί το ΠΑ-ΣΤ, lim u(x, t) = t u t k u =, x < x <, t > (5..34) u(, t) = u(, t) =, t (ΣΣ) (5..35) u(x, ) = ( 15π x), x (ΑΣ) (5..36) Λύση. Απλώς ϑα εφαρµόσουµε τους τύπους (5..) και (5..3). Για τον προσδιορισµό των συντελεστών B n έχουµε B n = ( nπ x)f(x)dx = B n = ( nπ { x) (15π x)dx n 15 1 n = 15 (5..37) µε άλλα λόγια επιβιώνει µόνο ο όρος για n = 15, δηλαδή ο B 15 που σηµαίνει ότι η λύση µας είναι η u(x, t) = B 15 ( 15π 15π x)e k( ) t = ( 15π 15π x)e k( ) t (5..38) Είδαµε την ειδικά απλή µορφή που παίρνει η λύση αν η αρχική συνθήκη είναι µία από τις ιδιοσυναρτήσεις του ΠΑ-ΣΤ. Ασκηση 5.. Να λυθεί το παρακάτω ΠΑ-ΣΤ µε < x <, u t k u =, x t > u(, t) = u(, t) =, t { (a) για u(x, ) = 1 (b) u(x, ) = cos( 3π x) Για το πρόβληµα (b) χρησιµοποιείστε το τύπο (9.1.). Επίσης, για το ίδιο πρόβληµα σχολιάστε για το κατά πόσο η αρχική συνθήκη είναι συµβατή. Ας προχωρήσουµε τώρα στη λύση του ΠΑ-ΣΤ µε ΣΣ Neumann. Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

17 5.. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών. 57 ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ. Παρατηρείστε, ότι χωρίς την απαίτηση της αρχικής συνθήκης το πρόβληµα που µένει, το οποίο είναι πλέον µόνο ΠΣΤ δεν έχει µοναδική λύση. Αυτό είναι πολύ απλό να το διαπιστώσει κανείς, αν ανατρέξει στην έκφραση, (5..), της λύσης του ΠΣΤ και στην οποία για κάθε τιµή του n υπάρχουν άπειρα B n που την ικανοποιούν. Με άλλα λόγια, η έκφραση για τους συντελεστές B n, (5..3), προσδιορίζει από την απειρία συντελεστών που ικανοποιούν το ΠΣΤ αυτούς που ικανοποιούν και το ΠΑΤ. Αυτή η ιδιότητα είναι κοινή σε όλα τα ΠΣΤ και δεν αποτελεί χαρακτηριστικό των ειδικών ΣΣ του προβλήµατος που µόλις λύσαµε, όπως ϑα έχουµε την ευκαιρία να διαπιστώσουµε και παρακάτω ii Neumann ΣΣ Το Ϲητούµενο είναι να λυθεί το ΠΑ-ΣΤ: u t k u =, x < x <, t > (5..39) u x (, t) = u x (, t) =, t (ΣΣ) (5..4) u(x, ) = f(x), x (ΑΣ) (5..41) το πρόβληµα αυτό περιγράφει τη διάδοση ϑερµότητας σε µία ϱάβδο µήκους µε µονωµένα άκρα (δηλ., άκρα που δεν επιτρέπουν ανταλλαγές ϑερµοκρασίας.) Για να µπορεί αυτό το πρόβληµα να έχει λύση είναι αναγκαίο να ισχύει f x () = f x () = διότι η αρχική συνθήκη πρέπει να ικανοποιεί και τις συνοριακές συνθήκες. Σχηµατικά αυτό το ΠΑ-ΣΤ µπορεί να παρασταθεί όπως ϕαίνεται στο σχήµα που ακολουθεί. Σχήµα 5.: Το ΠΑ-ΣΤ για την Εξίσωση ιάχυσης µε ΣΣ Neumann. Πάλι, απαιτούµε οι λύσεις να είναι της µορφής u(x, t) = X(x)T (t) (5..4) όπου οι X και T είναι συναρτήσεις των µεταβλητών x και t αντίστοιχα και όπου για λόγους εντελώς αντίστοιχους µε αυτούς της προηγούµενης ενότητας (5..1.i) µας ενδιαφέρουν µόνο συναρτήσεις X και T οι οποίες δε µηδενίζονται ταυτοτικά. Η όλη διαδικασία αντικατάστασης της χωριζόµενης µορφής της λύσης στην εξίσωση (5..39) δεν αλλάζει σε σχέση µε την ενότητα (5..1.i) και έτσι καταλήγουµε στο ίδιο σύστηµα εξισώσεων, d X = λx, dx < x < (5..43) dt = λkt, dt t > (5..44) όπου τονίζεται πάλι, ότι στη ϐιβλιογραφία µπορεί να δείτε τη χρήση διαφορετικού προσήµου στο δεξί µέλος της (5..43) οπότε αν χρειαστεί κάνετε τις απαραίτητες διορθώσεις. Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

18 Κεφάλαιο 5. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος 58 Χωρισµού Μεταβλητών. Πρόβληµα ιδιοτιµών. Η απαίτηση να ικανοποιεί η άγνωστη συνάρτηση u τις ΣΣ µας δίνει u x (, t) = X x ()T (t) =, u x (, t) = X x ()T (t) = και εφόσον απαιτούµε να ισχύει u δεν µπορεί να ισχύει ότι T (t) =, t οπότε αναγκαστικά ϑα πρέπει X x () = X x () = δηλαδή, η συνάρτηση X ϑα πρέπει να λύνει το εξής ΠΣΤ d X = λx, < x < (5..45) dx X x () = X x () = (5..46) το οποίο επίσης, ονοµάζεται Πρόβληµα Ιδιοτιµών. Αναζητούµε πάλι, και τις τιµές του λ για τις οποίες έχουµε λύση, δηλαδή τις Ιδιοτιµές αλλά και τις µη τετριµµένες λύσεις του προβλήµατος ( ) δηλαδή, τις ιδιοσυναρτήσεις που αντιστοιχούν στις ιδιοτιµές λ. Η επίλυση της εξίσωσης (5..45) δεν αλλάζει σε σχέση µε αυτή της (5..9) και έτσι προκύπτουν πάλι οι εξής λύσεις, ανάλογα µε το πρόσηµο του λ: 1. λ < Τότε X(x) = ae λx + be λx = a cosh( λx) + b h( λx). λ = Τότε X(x) = a + bx 3. λ > Τότε X(x) = a cos( λx) + b ( λx) µε a, b αυθαίρετες σταθερές. Υποθέτουµε ξανά (προσωρινά πάντα) ότι η λ παίρνει µόνο πραγµατικές τιµές και εξετάζουµε για ποιές τιµές του λ µπορούν να ικανοποιηθούν οι ΣΣ (5..46). Ετσι έχουµε Αρνητικές Ιδιοτιµές (λ < ). Τότε, X(x) = a cosh( λx) + b h( λx) X x (x) = a λ h( λx) + b λ cosh( λx) Η απαίτηση X x () = συνεπάγεται ότι b =, ενώ η απαίτηση X x () = συνεπάγεται ότι a =. ηλαδή η µόνη δυνατή λύση είναι η τετριµµένη X(x) =, που σηµαίνει ότι το σύστηµα δεν επιδέχεται αρνητικές ιδιοτιµές. Μηδενική Ιδιοτιµή(λ = ) Τότε η λύση είναι η X(x) = a + bx X x (x) = b και οι δύο απαιτήσεις, X x () = X x () = είναι συµβατές µε τη συνθήκη b =, άρα, σε αντίθεση µε την περίπτωση των ΣΣ Dirichlet έχουµε τη µηδενική ιδιοτιµή, λ =, ως λύση µε ιδιοσυνάρτηση την X(x) = a, δηλαδή, µία σταθερά. (5..47) Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

19 5.. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών. 59 Θετικές Ιδιοτιµές(λ > ) Τότε η λύση είναι η X(x) = a cos( λx) + b ( λx) X x (x) = a λ ( λx) + b λ cos( λx) και η απαίτηση X x () δίνει b = δεδοµένου ότι =. Άρα, η απαίτηση X x () = συνεπάγεται ότι ( λ) = που σηµαίνει πως το όρισµα του ηµιτόνου µπορεί να πάρει µόνο τις τιµές λ = nπ λ =, n ακέραιος Άρα, το λ είναι ιδιοτιµή του προβλήµατος αν και µόνο αν λ = και οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις είναι οι b cos x bx(x) Παρατηρούµε ότι έχουµε τις ίδιες ιδιοτιµές αλλά διαφορετικές ιδιοσυναρτήσεις σε σχέση µε την ενότητα (5..1.i) όταν λ >. Για τους ίδιους λόγους µε αυτούς της ενότητας (5..1.i) ϑεωρούµε µόνο n > και είναι προφανές ότι όλες οι ιδιοτιµές είναι απλές. Επειδή, τόσο οι ιδιοτιµές όσο και οι ιδιοσυναρτήσεις εξαρτώνται από το n, συνηθίζεται και ϐολεύει να χρησιµοποιούµε το συµβολισµό a n X n = a n cos x, λ n =. n = 1,, 3,... (5..48) Χρονική Εξάρτηση. Η λύση του προβλήµατος (5..44) είναι όπως και του προβλήµατος (5..8), η T (t) = Ae kλt (5..49) όπου ϐέβαια το λ είναι δεσµευµένο από το γεγονός ότι είναι λύση του προβλήµατος ιδιοτιµών και παίρνει µόνο τις τιµές, λ = και λ n = ( ) nπ, n = 1,,..., και έτσι για τις λύσεις τις χρονικής εξέλιξης προκύπτει, nπ T = B, T n (t) = B n e k( ) t, n = 1,,..., (5..5) Σύµφωνα µε τη χωριζόµενη µορφή, (5..4), που απαιτήσαµε να έχει η λύση προ- Μορφή Λύσης. κύπτει u (x, t) = ab A, (5..51) u n (x, t) = b n B n X n (x)t n (t) A n cos x nπ e k( ) t n = 1,, 3,..., (5..5) Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

20 Κεφάλαιο 5. Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών, Μεθοδος 6 Χωρισµού Μεταβλητών. Λόγω της συζήτησης που προηγήθηκε κατά τη µελέτη του ΠΑ-ΣΤ Dirichlet ϑεωρούµε τη γενικευµένη αρχή της υπέρθεσης, δηλαδή ότι η λύση είναι πλέον η άπειρη σειρά: u(x, t) = A + A n cos x nπ e k( ) t (5..53) όπου παρατηρείστε ότι η λύση µπορεί να γραφεί και στην ενιαία µορφή u(x, t) = n= A n cos x nπ e k( ) t (5..54) αλλά εµείς προτιµήσαµε την προηγούµενη γραφή διότι δείχνει ότι έχουµε συνεισφορά των δύο δια- ϕορετικών περιπτώσεων, λ = και λ >. Η λύση αυτή από κατασκευής ικανοποιεί τις ΣΣ. Ικανοποίηση Αρχικής Συνθήκης. Για την αρχική συνθήκη απαιτούµε να ισχύει f(x) = u(x, ) = A + A n cos x, x [, ] και ϑα δείξουµε στο επόµενο κεφάλαιο ότι η f(x) µπορεί να αναπτυχθεί και ως προς αυτή τη σειρά, η οποία ονοµάζεται Σειρά Fourier της συνάρτησης f(x) ως προς τις ιδιοσυναρτήσεις του ΠΑ-ΣΤ( ) ή αλλιώς Συνηµιτονική Σειρά Fourier. Αντίστοιχα, οι συντελεστές B n ονοµάζονται Συντελεστές Fourier της αντίστοιχης συνηµιτονικής σειράς και το Ϲητούµενο είναι ο προσδιορισµός τους. Ο προσδιορισµός των B n στηρίζεται πάλι σε Σχέσεις Ορθογωνιό- Εύρεση Συντελεστών Fourier. τητας, και Κανονικοποίησης, ( mπ cos x cos x dx =, m n, m = n, m = n = (5..55) ( mπ cos x dx =, m. (5..56) οι οποίες είναι άµεση συνέπεια των (5..55). κεφάλαια. Αναλυτικά µε αυτές ϑα ασχοληθούµε στα επόµενα Ασκηση 5.3. Να αποδειχθεί η σχέση (5..55). ( Υπόδειξη : Χρησιµοποιείστε την Τριγωνοµετρική Ταυτότητα cos a cos b = 1 [cos(a b) + cos(a + b)] ) Εκδοση : 7 Ιουνίου 14

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 14-15, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: Πρόβλημα 1. Για κάθε μια από τις

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις

Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Ζούπας Ανδρέας Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας, Λεωφόρος Αθηνών, Πεδίο Άρεως, Βόλος 38334 7 Ιουνίου 214 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή. 3 1.1

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου.

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου. Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου. Ανδρέας Ζούπας 22 Ιανουαρίου 203 Οι λύσεις απλώς προτείνονται και σαφώς οποιαδήποτε σωστή λύση είναι αποδεκτή! Θέµα-

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις

Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Ζούπας Ανδρέας, Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας, Λεωφόρος Αθηνών, Πεδίο Άρεως, Βόλος 38334 18 Ιουνίου 16 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή. 1.1 Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

= λ. u t = u xx UT = U T T T = U U. Οσον αφορά τη χρονική εξίσωση έχουμε. T + λt =0 T (t) =e λt. ενώ για τη χωρική

= λ. u t = u xx UT = U T T T = U U. Οσον αφορά τη χρονική εξίσωση έχουμε. T + λt =0 T (t) =e λt. ενώ για τη χωρική Prìlhm Το φυσικό πρόβλημα είναι: τοίχος σε επαφή με λουτρό θερμοκρασίας T = αριστερά και μονωμένος δεξιά, με αρχική θερμοκρασία T =.Θέτουμεu(x, t) = U(x)T (t), οπότεu t = UT και u xx = U T, και προχωράμε

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει

κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει Πρόβλημα 22. Θεωρούμε το ακόλουθο πρόβλημα συνοριακών τιμών για τη εξίσωση του Laplace u + u = 0, 1 < < 1, 1 < < 1, u(, 1) = f(), u(, 1) = 0, u( 1, ) = 0, u(1, ) = 0. α) Σωστό ή λάθος; Αν f( ) = f() είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερµότητας.

KΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερµότητας. Εισαγωγή KΕΦΑΛΑΙΟ H εξίσωση θερµότητας Εστω Ω είναι ανοικτό σύνολο του µε γνωστή θερµοκρασία στο σύνορό του Ω κάθε χρονική στιγµή και γνωστή αρχική θερµοκρασία σε κάθε σηµείο του Ω Τότε οι φυσικοί νόµοι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγµατικό µέρος φανταστικό µέρος u( x, y) x y = και v( x, y) = ( x + y xy), όπου = x+

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας 7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional).

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional). 3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ Η Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων Σηµειώσεις 3. Ενεργειακή θεώρηση σε συνεχή συστήµατα Έστω η δοκός του σχήµατος, µε τις αντίστοιχες φορτίσεις. + = p() EA = Q Σχήµα

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ης Green µέσα από προβλήµατα µίας διάστασης είναι κάποιος δευτεροτάξιος διαφορικός τελεστής της γενικότερης µορφής

ης Green µέσα από προβλήµατα µίας διάστασης είναι κάποιος δευτεροτάξιος διαφορικός τελεστής της γενικότερης µορφής Κεφ. 1 ο : Η µέθοδος της συνάρτησης Green για µονοδιάστατα προβλήµατα 5 Κεφάλαιο 1ο Μη οµογενείς συνήθεις διαφορικές εξισώσεις: Η µέθοδος της συνάρτησης Green για συνήθεις διαφορικές εξισώσεις της γενικότερης

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1

Διαβάστε περισσότερα

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 216-17 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Σήµατα και Συστήµατα Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) =

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) = Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier και τις γενικευμένες συναρτήσεις * M. J. Lighthill μετάφραση: Γ. Ευθυβουλίδης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΟΥΣ FOURIER 2.1. Καλές

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac)

Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac) Συνεχές ϕάσµα Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac) Στην κβαντική µηχανική τα ϕυσικά µεγέθη παρίστανται µε αυτοσυζυγείς τελεστές. Για έναν αυτοσυζυγή τελεστή ˆΩ = ˆΩ είναι γνωστό ότι οι ιδιοτιµές του

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 10 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

... ονοµάζεται ακολουθία µερικών αθροισµάτων. Το όριό της, καθώς το n τείνει στο άπειρο, n n n 1

... ονοµάζεται ακολουθία µερικών αθροισµάτων. Το όριό της, καθώς το n τείνει στο άπειρο, n n n 1 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στην ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τα βασικότερα στοιχεία που είναι απαραίτητα για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους Έτσι, δίνονται συστηµατικά οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονικοί ταλαντωτές

Αρµονικοί ταλαντωτές Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 2 Αρµονικοί ταλαντωτές q Μερικά από τα θέµατα που θα καλύψουµε: q Μάζες σε ελατήρια, εκκρεµή q Διαφορικές εξισώσεις: d 2 x dt 2 + K m x = 0 Ø Mε λύση της µορφής:

Διαβάστε περισσότερα

α) Η γενική εξίσωση του αρµονικού κύµατος είναι. Συγκρίνοντάς την µε µία από τις δύο εξισώσεις των τρεχόντων κυµάτων, έστω την εξίσωση

α) Η γενική εξίσωση του αρµονικού κύµατος είναι. Συγκρίνοντάς την µε µία από τις δύο εξισώσεις των τρεχόντων κυµάτων, έστω την εξίσωση Λύση ΑΣΚΗΣΗ 1 α) Η γενική εξίσωση του αρµονικού κύµατος είναι. Συγκρίνοντάς την µε µία από τις δύο εξισώσεις των τρεχόντων κυµάτων, έστω την εξίσωση, προκύπτει: και Με αντικατάσταση στη θεµελιώδη εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διαλ.33 1 KYMATA

ΦΥΣ Διαλ.33 1 KYMATA ΦΥΣ 131 - Διαλ.33 1 KYMATA q Κύµατα εµφανίζονται σε συστήµατα µε καταστάσεις ισορροπίας. Τα κύµατα είναι διαταραχές από τη θέση ισορροπίας. q Τα κύµατα προκαλούν κίνηση σε πολλά διαφορετικά σηµεία σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

18 ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

18 ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ SECTION 8 ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 8. Ορθογώνια Σύνολα Συναρτήσεων Ορθοκανονικό σύνολο συναρτήσεων Θεωρούµε δύο πραγµατικές συναρτήσεις f () και g() ορισµένες, διαφορετικές και όχι ταυτοτικά µηδέν, σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

x(t) = 2 + cos(2πt) sin(πt) 3 cos(3πt) cos(θ + π) = cos(θ). (3)

x(t) = 2 + cos(2πt) sin(πt) 3 cos(3πt) cos(θ + π) = cos(θ). (3) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 5-6 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις - Σειρές Fourier. Να σχεδιάσετε το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ : ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. H κυµατική εξίσωση.

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. H κυµατική εξίσωση. 3 Εισαγωγή KΕΦΑΛΑΙΟ 3 H κυµατική εξίσωση Θα αναζητήσουµε το µαθηµατικό νόµο που διέπει την ταλάντωση ελαστικού νήµατος/χορδής για µικρές κατακόρυφες µετατοπίσεις Yποθέτουµε ότι η χορδή έχει οµοιόµορφη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 8 Ιουνίου 005 Από τα κάτωι Θέµατα καλείσε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

x(t) = sin 2 (5πt) cos(22πt) = x 2 (t)dt

x(t) = sin 2 (5πt) cos(22πt) = x 2 (t)dt ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 6-7 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις - Σειρές Fourier. Εστω το σήµα xt

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

H = H 0 + V (0) n + Ψ (1) n + E (2) (3) >... Σε πρώτη προσέγγιση µπορούµε να δεχτούµε ότι. n και E n E n

H = H 0 + V (0) n + Ψ (1) n + E (2) (3) >... Σε πρώτη προσέγγιση µπορούµε να δεχτούµε ότι. n και E n E n 3 Θεωρία διαταραχών 3. ιαταραχή µη εκφυλισµένων καταστάσεων 3.. Τοποθέτηση του προβλήµατος Θέλουµε να λύσουµε µε τη ϑεωρία των διαταραχών το πρόβληµα των ιδιοτιµών και ιδιοσυναρτήσεων ενός συστή- µατος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Βασικά θεωρήματα για τις γραμμικές Σ.Δ.Ε. Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L.

Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L. Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδια(ΑΚΠα) Να µελετηθεί το απειρόβαθο κβαντικό πηγάδι µε θετικές ενεργειακές καταστάσεις ( E > ). Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Εισαγωγικές έννοιες και ταξινόμηση Σ.Δ.Ε. Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Λυγάτσικας Ζήνων Πειραµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής 6 Ιανουαρίου 013 1 Ασκήσεις 1.1 Ασκήσεις Επανάληψης 1. είξτε ότι : ηµ x + 3συν y 5.. Να αποδείξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας

Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας Τα προβλήµατα µεταδόσεως θερµότητας (ή θερµικής αγωγιµότητας heat conduction), µε την υπόθεση ισχύος του νόµου Fourier, διέπονται από

Διαβάστε περισσότερα

Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων.

Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων. Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων. Κατά κανόνα, συµφέρει να ανάγουµε τις «πολύπλοκες» τοπολογίες βρόχων σε έναν απλό κλειστό βρόχο, µε µία συνάρτηση µεταφοράς στον κατ ευθείαν κλάδο και µία συνάρτηση µεταφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 1 Διαφορικές Εξισώσεις Στο µαθηµατικό αυτό παράρτηµα ορίζουµε και αναλύουµε την επίλυση απλών συστηµάτων γραµµικών διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64 15 εκεµβρίου 016 15 εκεµβρίου 016 1 / 64 Αριθµητική Ολοκλήρωση Κλειστοί τύποι αριθµητικής ολοκλήρωσης Εστω I(f) = b µε f(x) C[a, b], τότε I(f) = F(b) F(a), όπου F(x) είναι το αόριστο ολοκλήρωµα της f(x).

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα