ДИПЛОМСКИ РАД Анализа и имплементација графовских алгоритама

Transcript

1 ДИПЛОМСКИ РАД Анализа и имплементација графовских алгоритама Универзитет у Београду Електротехнички факултет Ментор: Проф. др Мило Томашевић Београд, MMVII

2 Садржај Увод... Графови - терминологија и представљање.... Основни појмови и дефиниције.... Представљање графа на рачунару..... Матрица суседности..... Листе суседности..... Поређење перформанси при представљању матрицом и листама суседности... Обилазак графа.... Обилазак графа по ширини..... Проналажење најкраћег пута између чвора у бестежинском графу.... Обилазак графа по дубини..... Тополошко сортирање..... Проналажење артикулационих тачака..... Проналажење мостова..... Проналажење строго повезаних компоненти... Најкраће растојање.... Single-source проблем и Дејкстрин алгоритам..... Single-source, single-destination проблем.... All-pairs проблем, Флојдов алгоритам..... Одређивање достижности чворова у оријентисаном графу... Минимално обухватно стабло.... Примов алгоритам.... Крускалов алгоритам... Транспортне мреже.... Максимизација протока мреже.... Максимално спаривање бипартитног графа... Метода критичног пута... Закључак... Литература... A. Додатак...

3 Увод Током последњих деценија сведоци смо убрзане глобализације, и све већег степена интеграције света у којем живимо.интернет је од првобитно војне, па затим академске мреже полузатвореног типа, прерастао у конгломерат неслућених размера у којем је на неки начин међусобно спојена већина најразличитијих светских рачунарских мрежа, и чије услуге користи већ / светског становништва. Технички изазови у одржавању интернета функционалним су огромни. Данашњи протоколи рутирања података, као и остали мрежни алгоритми су неретко права уметничка дела. Са развојем интернета и рачунарских мрежа генерално, актуелизује се и потреба за што бољим познавањем и развојем методологија за моделирање, као и за осмишљавање што ефикаснијих поступака за рад са таквим мрежама. За представљање мрежа се својом нелинеарношћу као природно решење намећу графови. Зато је њихово проучавање значајно добило на замаху у другој половини. века, а последње две деценије постоји права револуција у погледу интересовања за ову област. Као резултат рада великог броја информатичара и математичара из целог света добили смо развијене алгоритме за разне проблеме који се јављају у раду с графовима. Сл.. Граф који представља мање од, WWW. Циљ овог рада је да се направи осврт на графове и њихову примену. С обзиром на многобројност графовских алгоритама, практично је немогуће представити их све у једном раду, ма колико он био обиман. Аутор се одлучио да се овде ограничи на анализу фундаменталних поступака и прикаже неке од њихових примена. Такође, дата је и конкретна имплементација алгоритама у Јави. Аутор се нада да ће овај рад читаоцу бити од користи.

4 Графови - терминологија и представљање. Основни појмови и дефиниције Да бисмо успешно могли да се бавимо графовима као структурама података и конкретним алгоритмима који се спроводе над њима, прво морамо да поменемо математички модел, као и да уведемо потребне дефиниције. Граф G као апстрактни математички објекат се дефинише као уређени пар G = (V, E), при чему V представља коначан непразан скуп, а E бинарну релацију над V. Поред ове поприлично формалне дефиниције уобичајено је да се овај објекат представља путем цртежа са чворовима које повезују усмерене ивице. У том случају можемо рећи да скуп V представља скуп чворова (енгл. Vertices), а да је скуп E скуп усмерених ивица (енгл. Edges) које повезују два чвора. Овакав графички поглед на граф нам одмах јасно указује на огромaн потенцијал коришћења графова за моделирање разних ентитета из света који нас окружује. Сада ћемо се позабавити различитим подврстама графова. Ако за сваку ивицу e = (v, v ) из скупа E постоји ивица e inv = (v, v ) која је такође елемент E, онда такав граф називамо неусмереним, а графички уместо парова од по две усмерене ивице цртамо по једну неусмерену ивицу. У супротном граф је усмерен (Сл..). Ми ћемо се углавном бавити усмереним графовима осим кад то не буде било наглашено. МУЛТИГРАФ И ТЕЖИНСКИ ГРАФ Овако уведен граф, код кога за два чвора може да постоји највише једна ивица која их спаја, назива се још и прости граф. Уколико се дозволи да између два чвора може да постоји више од једне ивице ради се о Сл.. Усмерени граф са чворова и ивица мултиграфу. Често се ивицама графа додељује тежина као функција w(u,v), која служи за моделирање разних цена прелаза између два чвора и сл. Такав граф се назива тежинским. Ако имамо граф G = (V, E), за G = (V, E ) кажемо да је подграф графа G ако и само ако важи V V, E E и E V V. ПУТ И ПОВЕЗАНОСТ Пут између чворова v и v n је сваки низ чворова (v, v,, v n ) такав да између свака два узастопна чвора постоји веза. погледати (Цветковић) овакве ивице се називају паралелне ивице

5 Циклус (или петља) је пут који почиње и завршава се истим чвором. Граф који садржи барем један циклус се назива цикличним, у супротном ради се о ацикличном графу. Неусмерени граф је повезан ако између свака два чвора постоји пут. Аналогно, усмерени граф је строго повезан ако између свака два чвора постоји пут. Ако граф није (строго) повезан може се раставити на максималне подграфове који су (строго) повезани компоненте (строге) повезаности. Скупова чворова ових компоненти чине класе еквиваленције скупа чворова почетног графа. Тако напр. на Сл.. имамо компоненте строге повезаности:,,,,,,,. Сл.. Пример стабла са чворова Артикулациона тачка је чвор чијим би се уклањањем (заједно са ивицама инцидентним са њим) број компоненти повезаности датог графа повећао за један. Мост је, аналогно, ивица чијим би се уклањањем број компоненти повезаности датог графа повећао за један. СТАБЛО Стабло се дефинише као неусмерен ациклични повезани граф. Неке од особина стабла су: нема циклуса, има n чворова и n- ивицу, између свака два чвора постоји јединствени пут, додавањем једне ивице граф постаје цикличан, уклањањем једне ивице граф постаје неповезан. Овако уведено стабло се још назива и слободно стабло (енгл. free tree) како би се нагласила чињеница да за разлику од кореног стабла ниједан чвор нема улогу корена. специјално, усмерени ациклични граф се још назива и DAG од енгл. Directed Acyclic Graph изворни енгл. израз је strongly connected изворни енгл. назив је articulation/cut vertex

6 . Представљање графа на рачунару Како ни у једном од најпопуларнијих програмских језика граф не постоји као тип податка, ако желимо да га представимо морамо то урадити преко постојећих типова, при чему је битно да што ефикасније опишемо топологију графа инцидентност ивица са чворовима. Чворови графа се најчешће приказују као цели бројеви, рецимо у интервалу од до n-. Уколико су оригинално чворови означавани на неки други начин, рецимо називима (стринговима) или коришћењем било ког комплексног типа, увек је могуће извршити мапирање низа таквих назива у горе наведени низ... n- тако да ћемо њега узети као подразумевано обележавање чворова. Код представљања ивица се већ јавља дилема. Постоје најчешћа представљања, док остала која се ретко користе углавном могу да се сматрају компромисом њихових особина. То су: ) матрица суседности ) листе суседности У наставку ће бити описане особине сваке од њих, а затим изнето поређење њихових перформанси... Матрица суседности Ако имамо граф G = (V, E) са n чворова његов скуп ивица E се може приказати квадратном матрицмо диманезије n n чије свако поље e i,j има вредност уколико ивица (i, j) припада скупу ивица E, док у супротном има вредност. Тако би за претходно дата примера графа имали следеће матрице суседности: E = Сл.. Матрице суседности за графове са Сл.. и Сл.. E = енгл. термини су adjacency matrix и adjacency list

7 Приметимо да је за неусмерени граф, као рецимо онај са Сл.., матрица суседности симетрична у односу на своју главну дијагоналу, односно да је E = E T. Овакав вид представљања скупа ивица заузима O(n ) простора. Прецизније, ако је за поље потребан b онда је за целу матрицу потребно n / B простора. Пошто су графови најчешће ретки, односно имају много мање од n ивица, потрошња простора је неоправдано велика, док за велико n представљање преко матрице суседности постаје неизводљиво. Са друге стране ако је граф релативно густ, односно број ивица му је близу n, овакво представљање је оптимално... Листе суседности Као што смо видели матрице суседности чувају / вредност за сваку могућу ивицу графа, па када имамо редак граф ове матрице заузимају неоправдано много простора чувајући за све могуће неприсутне ивице. Да би се ова лоша особина отклонила, дошло се на идеју да се не чувају информације о присутности свих могућих ивица, већ да се везано за сваки чвор памти по листа присутних ивица које излазе из њега (листа суседности). У овим листама ивице могу да буду наведене у произвољном поретку, али је често згодно да буду сортиране по. чвору да би се тиме олакшало претраживање. Листе суседности за претходно дата примера графа би изгледале овако: Сл.. Листе суседности за графове са Сл.. и Сл.. Некад се уместо листа суседности користе листе инциденције, које за сваки чвор чувају по листу ивица (уређених парова) које излазе из њега, уместо листе суседа (. чланова тих уређених парова). Овакав приступ је више објектно-оријентисан и уводи ивице као објекте, самим тим олакшавајући манипулисање и додавање разних атрибута. Са друге стране заузима се мало више простора. Као што је већ речено листе суседности у највећем броју случајева заузимају значајно мање простора од матрице суседности. Ако је n број чворова а e број ивица графа, оне троше O(n+e) простора. Конкретно, на -битној архитектури, користећи за обележавање чворова као и за показиваче једна реч ( B), а користећи најосновнију имплементацију листе, листе суседности узимају (n + e) B. енгл. incidence list

8 .. Поређење перформанси при представљању матрицом и листама суседности Када се говорило о ова представљања скупа ивица графа углавном се помињала потрошња меморијског простора. Сада ћемо се детаљније позабавити питањем просторне сложености, али ћемо отворити и питање временске сложености неких најчешћих основних операција које се спроводе над графовима. ПОТРОШЊА ПРОСТОРА Као што је већ изнето, матрично представљање има сложеност O(n ) а уланчано O(n+e). Уз горе наведене претпоставке о начину имплементација ова представљања добијене су конкретне референтне вредности n / B и (n + e) B респективно. Очигледно је за ретке графове повољније уланчано представљање, а за густе матрично. Сада се поставља питање колика је гранична густина графа преко које матрично представљање постаје повољније од уланчаног. Да бисмо одговорили на ово питање потребно је прво да уведемо густину графа са d = e / n. Ако изједначимо конкретне референтне вредности и извршимо потребне апроксимације добијамо да је критична густина преко које матрично представљање постаје повољније d /. Овај резултат треба узети оквирно због навођења конкретних имплементација. Треба имати још једну досетку у виду. Наиме, за јако густе графове (са конкретним имплементацијама за d > /) се уместо матрице суседности могу користити листе несуседности које се од листи суседности разликују по томе што за сваки чвор постоји по листа чворова са којима он није повезан. Као закључак може се рећи да је наизглед матрично представљање просторно повољније за знатно шири опсег густина графова него што је то случај са уланчаним. Међутим, пошто је већина графова који моделирају објекте из реалног света управо јако редак, уланчано представљање се знатно чешће показује као боље решење што се потрошње простора тиче. ВРЕМЕНСКЕ ПЕРФОРМАНСЕ Поред просторне сложености представљања битна је и временска сложеност разних основних операција над графовима представљеним на ова начина. Као што се може и претпоставити, представљање преко листа суседности се боље показује онда када је потребно да се прође кроз све суседе неког чвора, што се као потреба јавља у било каквој врсти обиласка графа као и низу других популарних алгоритама. Тада се за уланчано представљање само прође кроз одговарајућу листу суседа, док се код матричног представљања мора проћи кроз цео одговарајући ред (O(n)). Са друге стране, представљање преко матрице суседности је надмоћно онда када је потребно пронаћи конкретну ивицу (u, v) - random access. Таква потреба се јавља опет у пристојном броју популарних алгоритама. Тада се за матрично представљање индексирањем место тражене ивице проналази у константном времену (O()), док је за уланчано представљање потребно пролазити кроз листу суседности. чвора, а то је временски сразмерно дужини те листе. Закључак може бити да представљање треба изабрати у складу са алгоритмима које намеравамо да спроводимо над датим графом јер не постоји универзално боље представљање. d од енгл. density

9 Обилазак графа У раду са графовима се често јавља потреба да се на систематичан начин по тачно један пут посете сви његови чворови. Овакав обилазак се може почети из унапред задатог чвора, или се почетни чвор може изабрати на случајан начин. Обилазак се одвија итеративно, а до нових чворова се долази пратећи ивице које излазе из већ посећених чворова, при чему се до тада посећени чворови не посећују наново. Редослед обиласка чворова осим правила избора наредног чвора за обилазак зависи и од избора почетног чвора. То је најочигледније код неповезаних или усмерених графова, где се некада праћењем ивица које излазе из посећених чворова не могу наћи нови непосећени чворови иако они постоје. У том случају поступак обиласка треба поновити узимајући неки од непосећених чворова као почетни. Обиласком графа добија се стабло обиласка које садржи све чворове графа као и оне ивице преко којих су се проналазили и посећивали нови чворови. У односу на ово стабло ивице графа се деле у категорије : Ивица стабла (u, v) је она ивица преко које се први пут током обиласка открива и посећује чвор v; чвор v је директни следбеник чвора u у стаблу обиласка. Ивица унапред (u, v) је она ивица где је чвор v следбеник, али не директни чвора u у стаблу обиласка. Повратна ивица (u, v) је она ивица где је чвор v претходник чвора u у стаблу обиласка. Попречна ивица (u, v) је она ивица где u и v нису у директној линији наслеђивања у стаблу обиласка. Као што је већ уочено алгоритми обиласка графа се разликују по правилу избора наредног чвора за обилазак. Два основна алгоритма су: Обилазак по ширини Обилазак по дубини. Обилазак графа по ширини Алгоритам обиласка графа по ширини обилази откривене чворове користећи FIFO дисциплину. На почетку се почетни чвор ставља у неку FIFO структуру, рецимо ред. Затим се све док се ред не испразни вади и посећује по један чвор са почетка реда, а сви његови непосећени суседи стављају на крај реда. То чини основну функцију обиласка која се некада може позивати и више пута све док се не обиђу сви чворови графа. Основна функција обиласка би у псеудо-кôду била описана на следећи начин: у случају да позив функције обиласка посети све чворове енгл. називи су tree/forward/back/cross edge енгл. breadth-first search или само скраћено BFS

10 bfs(vstart) queue.pushback(vstart) vstart.mark := VISITED while not(queue.empty) v := queue.popfront() visit(v) foreach v such that edge (v,v) exists if not(v.mark = VISITED) queue.pushback(v) v.mark := VISITED Псеудо-кôд за основну функцију обиласка графа по ширини Често се током обиласка рачуна и level вредност придружена чворовима, која за дати чвор говори колико је удаљен од почетног. Ова вредност се добија тако што се новооткривеном чвору додељује за увећана вредност у односу на чвор преко кога је откривен. level вредност има широку примену, што ће касније бити детаљније приказано. За илустровање алгоритама обиласка графа користићемо граф: Сл.. Граф са чворова и ивице за илустрацију алгоритама обиласка Када се на овај граф примени алгоритам обиласка, по корацима се добија:

11 Сл.. Илустрација по корацима обиласка графа са Сл.. по ширини. За почетни чвор редослед обиласка је,,,,,,,,,,,,,. Подебљане су ивице које улазе у стабло обиласка. level вредности су приказане поред чворова. Као резултат сваког обиласка настаје стабло обиласка. За дати пример имамо следеће стабло:

12 Сл.. Стабло настало обиласком по ширини графа са Сл.. са почетним чвором. Ивице које улазе у стабло су приказане подебљано а остале испрекидано. Битно је приметити да у општем случају усмереног графа у BFS стаблу не постоје ивице унапред, јер по природи овог алгоритма све ивице од чвора до непосећених суседа се претварају у ивице стабла. ВРЕМЕНСКА СЛОЖЕНОСТ Као што смо видели алгоритам се одвија по корацима, а у сваком кораку се обрађује по нови откривени чвор, дакле има n корака. У сваком кораку се за дати чвор анализирају све ивице које излазе из њега. Ако је коришћено матрично представљање, у сваком кораку се пролази кроз цео одговарајући ред матрице, што захтева O(n) операција по кораку, односно укупно n O(n) = O(n ) за цео алгоритам. Уколико је коришћено уланчано представљање, у сваком кораку се пролази кроз листу ивица које излазе из датог чвора. То се ради за свих n чворова, па се тиме прође кроз све листе суседности, односно кроз свих e ивица. То доводи до O(n+e) сложености за цео алгоритам. Видимо да уланчано представљање даје боље временске перформансе... Проналажење најкраћег пута између чвора у бестежинском графу За обилазак по ширини налази се пуно примена, од којих су неке заједничке за све алгоритме обиласка. Ипак, једна класа проблема је посебно карактеристична за решавање применом BFS. Наиме, нека имамо бестежински граф, граф у којем све ивице имају исту тежину рецимо, а потребно је пронаћи најкраћи пут од чвора s до чвора d. Овај проблем се решава применом BFS узимајући s као почетни чвор, а обилазак може да се прекине онда када је d откривен. Додатно се при откривању сваког новог чвора за њега памти преко ког чвора је откривен, да би после, користећи те информације могла да се уназад реконструише путања.

13 Опет се рачунају level вредности, а дужина најкраћег пута је једнака d.level. Примерр једног оваквог претраживања је дат на слици: Сл.. Примерр примене BFS за тражење најкраћег пута у бестежинском графу између чворова S и D, при чему се сваки чвор граничи са своја суседа. Најкраћи пут је обојен и има дужину.. Обилазак графа по дубини Алгоритам обиласка графа по дубини обилази откривене чворове користећи LIFO дисциплину. На почетку се почетни чвор ставља у неку LIFO структуру, рецимо стек. Затим се све док се стек не испразни, чита (не и скида) и посећује по један чвор са врха стека, а потом се један његов необиђени сусед ставља на врх стека. Уколико чвор са врха стека нема више необиђених суседа, он се скида са врха стека. То чини основну функцију обиласкаа која се некада може позивати и више пута све док се не обиђу сви чворови графа. Пошто се користи LIFO дисциплина, најинтуитивнија имплементација је рекурзивна. Основна функција обиласка би у псеудо- кôду била описана на следећи начин: dfs(vstart) visit( (vstart) vstart.mark := VISITED foreach v such that edge (vstart,v) exists if not(v..mark = VISITED) dfs( (v) Псеудо-кôд за основну функцију обиласка графа по дубини Као што видимо оваква рекурзивна имплементација је веома компактна и прегледна и због тих својих добрих особина DFS служи као основа за низ графовских алгоритама. Јако често се јавља потреба да се ивице графа класификују у горепоменутее групе. Основна рекурзивна функција DFS се може модификовати додавањем нових атрибута чворовима који се онда током обиласка користе за класификацију ивица: енгл. depth-first search или само скраћено DFS

14 dfs(vstart) visit(vstart) vstart.mark := VISITED vstart.d := dcounter++ foreach v such that edge (vstart,v) exists if v.mark = UNKNOWN treeedges.add(vstart,v) dfs(v) else if v.mark = VISITED backedges.add(vstart,v) else //FINISHED if vstart.d < v.d forwardedges.add(vstart,v) else crossedges.add(vstart,v) vstart.mark := FINISHED vstart.f := fcounter++ Псеудо-кôд за модификовану основну функцију обиласка графа по дубини који врши класификацију ивица Уведени су параметри времена d и f који се додељују чворовима током обиласка и праве поретка (dcounter и fcounter су глобални бројачи). Чвору се додељује d време у тренутку његовог обиласка, а f време по обиласку свих његових наследника у стаблу обиласка. Сада на основу d и f вредности за чвора u и v могу да постоје следећи случајеви њиховог односа: интервал [u.d, u.f] је садржан у интервалу [v.d, v.f] и чвор u је наследник чвора v у стаблу обиласка; интервал [v.d, v.f] је садржан у интервалу [u.d, u.f] и чвор v је наследник чвора u у стаблу обиласка; интервали [u.d, u.f] и [v.d, v.f] су дисјунктни и чворови u и v нису у директној линији наслеђивања у стаблу обиласка. Уместо двослојног маркирања UNKNOWN / VISITED, уведено је трослојно маркирање UNKNOWN / VISITED / FINISHED. VISITED ознака се додељује чвору у тренутку његовог обиласка а FINISHED ознака тек пошто су обиђени сви његови наследници у стаблу обиласка, односно пошто су и они означени као FINISHED. Извршавање DFS алгоритма на графу са Сл.. изгледа овако:

15 Сл.. Илустрација по корацима обиласка графа са Сл.. по дубини. За почетни чвор редослед обиласка је,,,,,,,,,,,,,. Подебљане су ивице које улазе у стабло обиласка. За дати пример настаје следеће стабло обиласка:

16 / / / / / / / / / / / / / / Сл.. Стабло настало обиласком по дубини графа са Сл.. са почетним чвором. Ивице које улазе у стабло су приказане подебљано а остале испрекидано. Уз чворове су исписани додатни параметри у формату d/f. Ако упоредимо стабла настала применом BFS и DFS видимо по чему су ова обиласка добили своја имена: док се обилазак по ширини шири равномерно - по нивоима, и има више избалансирано стабло обиласка, обилазак у дубину се распростире у дужину пратећи што дуже нити и ствара више издужено стабло обиласка. ВРЕМЕНСКА СЛОЖЕНОСТ Разматрање по питању временске сложености је исто као и за алгоритам обиласка по ширини. Дакле поновићемо закључке: ако је коришћено матрично представљање имамо временску сложеност од O(n ), а уколико је коришћено уланчано представљање сложеност је O(n+e). Уланчано представљање даје боље временске перформансе. Као што је већ речено DFS је нашао своје место у низу графовских алгоритама. Сада ћемо изнети неке од његових примена... Тополошко сортирање У теорији графова тополошко сортирање усмереног ацикличног графа (DAG-а) је линеарни поредак чворова у којем сваки чвор претходи свим оним чворовима ка којима има ивице.

17 Очигледно, уколико би граф садржао циклусе, проналажење тополошког поретка не би било могуће. Основна примена тополошког сортирања је у поступцима распоређивања послова између којих се јављају међусобне зависности. Погледајмо следећи DAG: Сл.. DAG за илустрацију тополошког сортирања графа. Битно је уочити да за један DAG може постојати више тополошких поредака. Рецимо за овај са Сл.. између осталих имамо:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, За имплементацију тополошког сортирања постоји више алгоритама, овде ће бити изложен један који се заснива на postorder DFS обиласку. Фукнција обиласка се сукцесивно позива за први следећи необиђени чвор све док се не обиђе цео граф. При postorder обиласку чвора, он се ставља на почетак реда обиласка. Овако добијамо ред обиласка који представља један тополошки поредак датог DAG-а. Уколико се током обиласка наиђе на повратну ивицу то значи да смо нашли циклус, да граф није DAG и да самим тим његово тополошко сортирање није могуће. Да бисмо могли да уочимо повратну ивицу користимо трослојно маркирање приказано раније у тексту. Алгоритам тополошког сортирања дат у псеудо-кôду би изгледао овако: dfs(vstart) vstart.mark := VISITED foreach v such that edge (vstart,v) exists if v.mark = UNKNOWN dfs(v) else if v.mark = VISITED //Povratna ivica exit( Graf nije DAG, sortiranje nije moguće! ) vstart.mark := FINISHED sortqueue.pushfront(vstart) topologicalsort postorder DFS обилазак обилази текући чвор на крају рекурзивног позива, односно по обиласку свих својих наследника у стаблу обиласка

18 ВРЕМЕНСКА СЛОЖЕНОСТ sortqueue.empty() foreach v v.mark := UNKNOWN foreach v if v.mark = UNKNOWN dfs(v) return sortqueue Псеудо-кôд за алгоритам тополошког сортирања заснован на обиласку по дубини. За граф са Сл.. произвео би тополошки поредак,,,,,,,. Пошто је овај алгоритам модификација DFS-a, временска сложеност му је иста, односно, ако је коришћено матрично представљање имамо временску сложеност од O(n ), а уколико је коришћено уланчано представљање сложеност је O(n+e). Уланчано представљање даје боље временске перформансе... Проналажење артикулационих тачака Као што је већ речено, артикулациона тачка је чвор графа чијим би брисањем, заједно са ивицама инцидентним са њим, граф постао неповезан. Значај артикулационих тачака лежи у чињеници да при моделирању разних мрежа путем графова ови чворови представљају потенцијална уска грла и чворове од посебног значаја. Иако је термин ваљано дефинисан и за усмерене графове, биће изнет алгоритам који проналази артикулационе тачке код неусмереног графа јер је то у пракси далеко најчешћи случај. Као граф за ислустрацију користиће се неусмерена верзија графа са Сл... Сл.. Неусмерени граф са означеним артикулационим тачкама. Ако имамо граф G =(V, E) и одговарајуће DFS стабло G π =(V, E π ), показује се да је чвор v артикулациона тачка у случаја: ако је корен G π стабла, и има барем наследника погледати детаљно објашњење у (Урошевић, )

19 ако није корен G π стабла, и не постоји повратна ивица (u, w) таква да је u наследник а w претходник чвора v у G π стаблу. За откривање овог. случаја увешћемо чворовима параметар l као: v.l = min v.d w.d (u, w) је повратна ивица и u је наследник v Тако добијамо услов да је чвор v артикулациона тачка ако и само ако за неког његовог директног наследника u важи u.l v.d. Треба још имати у виду да су у DFS стаблу неусмереног графа све ивице или ивице стабла или повратне/ивице унапред. На слици можемо да видимо DFS стабло графа са Сл.. са означеним d и l параметрима: / / / / / / / / / / / / / / Сл.. Стабло настало обиласком по дубини графа са Сл.. са почетним чвором. Ивице које улазе у стабло су приказане подебљано а остале испрекидано. Уз чворове су исписани додатни параметри у формату d/l. Алгоритам проналажења артикулационих тачака би изгледао овако: dfs(vstart) vstart.mark := VISITED vstart.l := vstart.d := dcounter++ у енгл. литератури овај параметар (функција) се често назива lowlink чвора

20 childcount := foreach v such that edge (vstart,v) exists if v.mark = UNKNOWN v.parent := vstart childcount++ dfs(v) if (vstart.parent!= nil) and (v.l >= vstart.d) cutverticesset.add(vstart) vstart.l := minvstart.l, v.l else //VISITED if v!= vstart.parent vstart.l := minvstart.l, v.d return childcount cutvertices cutverticesset.empty() foreach v v.mark := UNKNOWN ВРЕМЕНСКА СЛОЖЕНОСТ startvertex.parent := nil if dfs(startvertex) >= cutverticesset.add(startvertex) return cutverticesset Псеудо-кôд за алгоритам проналажења артикулационих тачака заснован на DFS. Пошто је овај алгоритам модификација DFS-a, временска сложеност му је иста, односно ако је коришћено матрично представљање имамо временску сложеност од O(n ), а уколико је коришћено уланчано представљање сложеност је O(n+e). Уланчано представљање даје боље временске перформансе... Проналажење мостова Аналогно артикулационој тачки, за ивицу чијим уклањањем се број компонената повезаности повећава за један, уводи се термин моста. Значај мостова је из истих разлога велик, и као и за артикулационе тачке, најчешће је потребно да се они открију у неусмереним графовима. Сл.. Неусмерени граф са означеним мостовима.

21 Алгоритам је такође јако сличан, користи се измењени DFS са d и l параметрима, са сличним начином резоновања. Овде се показује да је правило следеће: ако је чвор v директни наследник чвора u у стаблу обиласка, и важи v.l > u.d, ивица (u, v) је мост. Описан у псеудокôду би изгледао овако: dfs(vstart) vstart.mark := VISITED vstart.l := vstart.d := dcounter++ foreach v such that edge (vstart,v) exists if v.mark = UNKNOWN v.parent := vstart dfs(v) if v.l > vstart.d bridgesset.add((vstart,v)) vstart.l := minvstart.l, v.l else //VISITED if v!= vstart.parent vstart.l := minvstart.l, v.d bridges bridgesset.empty() foreach v v.mark := UNKNOWN ВРЕМЕНСКА СЛОЖЕНОСТ startvertex.parent := nil dfs(startvertex) return cutverticesset Псеудо-кôд за алгоритам проналажења мостова заснован на DFS. Пошто је овај алгоритам модификација DFS-a, временска сложеност му је иста, односно ако је коришћено матрично представљање имамо временску сложеност од O(n ), а уколико је коришћено уланчано представљање сложеност је O(n+e). Уланчано представљање даје боље временске перформансе... Проналажење строго повезаних компоненти Као што смо рекли, строго повезана компонента усмереног графа је скуп његових чворова за које важи да између свака постоји пут од једног до другога и супротно. Строго повезане копмоненте деле скуп чворова графа на класе еквиваленције.

22 Сл.. Усмерени граф са означеним строго повезаним компонентама. За разлику од проналажења повезаних компоненти код неусмерених графова, што се поставља као тривијалан проблем, проналажење строго повезаних компоненти захтева много више размишљања. Најпознатије ефикасне поступке су предложили Косарају и Тарјан. Косарајуов алгоритам се заснива на чињеници транспоновани граф G T, граф који се од почетнога добија инвертовањем смерова ивицама, садржи исте строго повезане компоненте као и G. Поступак се обавља кроз обиласка по дубини: ) На G се примењује postorder DFS обилазак све док се не обиђу сви његови чворови. У тренутку обилажења чвора, на крају рекурзивног позива, чвор се ставља на крај реда који тиме растуће уређује чворове по временима завршетка. Обилазак се позива по потреби и више пута, све док се не обиђу сви чворови. ) Полазећи од краја ка почетку добијеног реда примењује се DFS обилазак на G T узимајући из реда необиђене чворове као почетне. Сваки поновни позив функције обиласка генерише ново стабло обиласка чији чворови припадају засебној строго повезаној компоненти. Тарјанов алгоритам уместо обиласка користи обилазак (што му често у пракси даје предност над Косарајуовим). У стаблу DFS обиласка засебне коппоненте се јављају као подстабла. Зато, када нађемо корен таквог подстабла (копмоненте), то подстабло издвојимо из стабла као посебну компоненту. За проналажење коренова подстабала (компоненти) служимо се већ уведеним lowlink параметром l. Псеудо-кôд би изгледао овако: dfs(vstart) vstart.mark := VISITED vstart.l := vstart.d := dcounter++ S. Rao Kosaraju, професор рачунарства на Johns Hopkins Универзитету у Балтимору, изнео је овај поступак у необјављеном раду из. год. Доказ се може погледати на: (eel,csa_dept,iisc,bangalore, ) Robert E. Tarjan, професор рачунарства на Принстон Универзитету; овај поступак је објављен. год.

23 stack.push(vstart) foreach v such that edge (vstart,v) exists if v.mark = UNKNOWN dfs(v) vstart.l := minvstart.l, v.l else if v.mark = VISITED //back ivica vstart.l := minvstart.l, v.d vstart.mark := FINISHED if vstart.d = vstart.l //koren komponente c := new component loop v := stack.pop() c.add(v) until vstart = v components.add(c) tarjan components.empty() foreach v v.mark := UNKNOWN foreach v if v.mark = UNKNOWN dfs(v) return components Псеудо-кôд за Тарјанов алгоритам проналажења проналажења строго повезаних компоненти. ВРЕМЕНСКА СЛОЖЕНОСТ Као и код претходних алгоритама и ова поступка су модификације DFS-a, те су им временске сложености једнаке сложености -DFSа, односно ако је коришћено матрично представљање, имамо временску сложеност од O(n ), а уколико је коришћено уланчано представљање, сложеност је O(n+e). Уланчано представљање даје боље временске перформансе.

24 Најкраће растојање Један од најчешћих проблема који се јављају у раду са тежинским графовима је проблем проналажења најкраћих растојања. Као што смо рекли, ивицама тежинског графа је додељена функција w(u,v), која служи за моделирање разних цена прелаза између чвора. Можда је најбоље ту функцију замислити као растојање (дужину) између чвора које ивица спаја. Ако наставимо тим начином размишљања, за сваки пут од чвора u до чвора v можемо да уведемо растојање као збир вредности w функције за све ивице које се налазе на том путу. Природно се намеће проблем проналажења најкраћег пута између чворова, односно пута са најкраћим растојањем. Примене решења овог проблема су наизглед неисцрпне, и наизглед једино ограничење је граница људске маште. Невезано за то какав реалан систем је моделиран графом, практично увек ће се јавити потреба за доношењем одлуке о томе који је најповољнији пут да се стигне од стања до стања. Због различитих начина којима се приступа њиховом решавању, можемо рећи да постоје подтипа основног проблема:. проналажење растојања између издвојена чвора (single-source, single-destination проблем),. проналажење растојања од једног чвора до свих осталих чворова (single-source проблем),. проналажење растојања од свих чвора до једнога издвојеног чвора (single-destination проблем),. проналажење растојања између свака чвора (all-pairs проблем). Прва типа су подскуп. али разматрамо их као посебне јер постоје ефикаснији поступци за њихово решавање. С друге стране. тип задатка је подскуп. типа (и свих осталих), али се њиховом решавању приступа на исти начин, са исто сложеним алгоритмом. Уколико је граф неусмерен, проблем. постаје идентичан ономе. типа. Иначе се проблем. типа као такав најређе сусреће од ова типа. Напоменимо још и да у неким случајевима код графова у којима ивице могу да имају негативне дужине, може се десити да наш проблем нема решење. Наиме, могу се створити петље са негативном дужином, те ако би се у одређивању најкраћег растојања дошло до једне такве петље, растојање би произвољним бројем пролазака кроз њу могло да се учини произвољно малим (та дужина може да тежи у - ). У наставку ће бити приказани најзначајнији алгоритми за проналажење најкраћих растојања.. Single-source проблем и Дејкстрин алгоритам Проблем проналажења најкраћих растојања (и одговарајућих путева) од једног чвора до осталих чворова у графу је јако чест, о чему сведоче разни примери примене поступака за његово решавање. Једна од значајнијих примена је рецимо OSPF протокол за IP рутирање. енгл. скраћено од Open Shortest Path First

25 Сл.. Пример тежинског графа. Овај граф је неусмерен што не умањује општост. Познати алгоритам који решава овај проблем је формулисао чувени холандски научник у области рачунарства, Е. В. Дејкстра, давне. године. Овај велики човек ће остати упамћен по свом немерљивом доприносу развоју рачунарства, информатике и осталих сродних дисциплина. Поред овог алгоритма Дејкстра је познат по свом негативном мишљењу о GOTO наредби, што је кулминирало познатим текстом A Case against the GO TO Statement из., у којем је изнео предности структурираног писања кôда које се данас скоро искључиво користи. Осим тога је оставио траг у областима развоја преводилаца, мултипрограмирања, а изумео је и основну синхронизациону примитиву Семафор. За свој рад је награђен многим признањима, међу којима се издваја Тјурингова награда, еквивалент Нобеловој у области рачунарства, коју је добио. године за фундаментални допринос развоју програмских језика. Једна престижна награда ACM друштва данас носи Дејкстрино име. Сл.. Edsger Wybe Dijkstra (-) Дијкстрин поступак за проналажење најкраћих растојања за single-source проблем је похлепни алгоритам који ради са усмереним и неусмереним графовима који немају негативне дужине ивица. Похлепни алгоритми имају особину да у процесу тражења решења у сваком кораку при одлучивању праве локално Edsger Wybe Dijkstra ( ). Често се у домаћој литератури ово име погрешно транскрибује у Дијкстра, изворни изговор је /ˈɛtˌsxər ˈwibə ˈdɛɪkˌstra/. енгл. greedy algorithm

26 оптималан избор. За решавање истог проблема код графова који садрже негативне дужине ивица користи се Белман-Фордов алгоритам који неће бити представљен у овом раду. Пређимо на опис Дејкстриног поступка. Алгоритам је итеративан и у свакој итерацији се одређује најкраће растојање од почетног чвора s до једног од преосталих чворова за које није одређено најкраће растојање. У току извршавања користи се скуп U подскуп скупа чворова V за које је одређено најкраће растојање од s. У свакој итерацији се тражи чвор v из V \ U који који има најмање растојање од s преко неког чвора u из U (u, v), односно минимално v.dist = u.dist + w(u, v). Такав чвор се прикључује скупу U а његово најкраће растојање се сматра израчунатим. Описано псеудо-кôдом то би изгледало овако: dijkstra(s) foreach v v.dist := v.parent := nil priorityqueue.empty() s.mark := true s.dist := ; foreach v such that edge (s,v) exists v.dist := (s,v).weight v.parent := s priorityqueue.insert((s,v), v.dist) while not(priorityqueue.empty()) (u,v) := priorityqueue.deletemin() v.mark := true foreach w such that edge (v,w) exists and not(w.mark) distalt := v.dist + (v,w).weight if distalt < w.dist if (w.parent,w) exists in priorityqueue replace (w.parent,w) with (v,w) in priorityqueue priorityqueue.decreasekey((v,w),distalt) else priorityqueue.insert((v,w), distalt) w.dist := distalt w.parent := v Псеудо-кôд за Дејкстрин алгоритам за проналажење најкраћих растојања од чвора s до свих осталих чворова. Као што видимо при укључивању новог чвора v у скуп чворова са израчунатим најкраћим растојањима U памти се и чвор v.parent преко кога се долази до v на том најкраћем путу. parent параметар нам помаже да после по потреби реконструишемо најкраће путеве до чворова. ДОКАЗ ОПТИМАЛНОСТИ ПОСТУПКА Нека осим скупа чворова U имамо и скуп P U путева који полазе из чвора s и прелазе само преко чворова из U. Дејкстрин алгоритам по дефиницији у сваком кораку проналази минимални пут од свих путева облика (s,, u, v) при чему је пут (s,, u) P U и v V \ U, а затим тај пут (s,, u, v) укључује у P U док чвор v укључује у скуп U. Индукцијом се лако Richard Ernest Bellman (-), изумитељ динамичког програмирања. Више о самом алгоритму може се погледати на (Bellman-Ford algorithm, )

27 показује да је P U скуп најкраћих путева из s, односно да је сваки пут из s који није у P U дужи или једнак од свих оних који јесу у P U. Сл.. Избор минималних путања у Дејкстрином алгоритму У тренутку проналажења пута (s,, u, v) са горе споменутим особинама тврдња је да је то и најкраћи пут од s до v. Уколико то не би било тачно, најкраћи пут између s и v би ишао преко неког другог чвора w који је први од чворова пута који није у U и био би облика (s,, u, w,, v), односно у делу пута пре чвора v би постојао барем чвор који није у U. По услову избора пут (s,, u, v) је краћи од (s,, u, w), па је самим тим краћи и од (s,, u, w,, v). Дакле похлепним избором се бирају најкраћи путеви. Као илустрацију извршавања Дејкстриног алгоритма погледајмо конкретан пример:

28 Сл.. Илустрација извршавања Дејкстриног алгоритма по корацима за проналажење најкраћег растојања од чвора до свих осталих чворова. ИМПЛЕМЕНТАЦИЈА ПРИОРИТЕТНОГ РЕДА У Дејкстрином алгоритму, а и у низу других похлепних алгоритама се решење у приличној мери ослања на приоритетни ред. Приоритетни ред је колекција која има особину да се из ње скоро увек вади само најмањи елемент. За иплементацију овог реда се користи структура звана хип. Хип је у ствари стабло или шума стабала која су уређена на такав начин да је чвор отац увек мањи од своје деце. То доводи до тога да је најмањи елемент хипа увек у корену стабла (или енгл. heap

29 једном од коренова стабала), па је због те особине погодан за имплементацију приоритетног реда. Операције које један хип минимално треба да подржи су: insert додаје нови елемент у хип, deletemin враћа најмањи елемент и уклања га из хипа, decreasekey одређеном елементу у хипу поставља нову мању вредност кључа по којем се врши сортирање. Најпознатије имплементације хипа су бинарни хип и Фибоначи хип. Преглед перформанси њихових основних операцији је дат у следећој табели: Бинарни хип Фибоначи хип insert O(log n) O() deletemin O(log n) O(log n) decreasekey O(log n) O() Таб.. Поређење теоретских сложености основних операција. Посматрајући ову табелу можемо закључити да је Фибоначи хип погоднији за коришћење у Дејкстрином алгоритму, а као што ћемо касније и видети и у још разним другим похлепним алгоритмима. Овај податак и не треба да чуди имајући у виду да је Фибоначи хип оригинално и развијен управо да би побољшао перформансе Дејкстриног алгоритма. ВРЕМЕНСКА СЛОЖЕНОСТ Дејкстрин поступак се извршава итеративно, односно у сваком кораку се додаје по нови чвор, тако да постоји n итерација. У свакој итерацији се позива операција deletemin приоритетног реда, дакле она се укупно позива n пута. У свакој итерацији се такође пролази кроз све ивице које излазе из изабраног чвора, што на нивоу целог поступка, за све чворове, значи да се пролази кроз све ивице графа, којих има e. За неке од тих ивица (број тих ивица је реда величина O(e)) се позивају операције insert или decreasekey, које су за обе имплементације хипа међусобно исте сложености. Дакле претпоставимо да имамо уланчано представљање: за бинарни хип би сложености била n O(log n) + O(e) O(log n) = O((n+e) log n), док би за Фибоначи хип имали боље n O(log n) + O(e) O() = O(e + n log n). Ако бисмо имали матрично представљање у свакој итерацији пролазимо кроз целе колоне матрице да бисмо нашли излазне суседе чвора уместо само кроз постојеће ивице, што је O(n) сложености по итерацији. С друге стране алгоритам се онда може прерадити да не користи хип, него да се најближи неукључени чвор у свакој итерацији проналази проласком кроз све чворове, исте сложености O(n). Тада је обрада сваке излазне ивице сложености O(), тако да свеукупно имамо n (O(n) + O(n) O()) = O(n ). Као резултат ове анализе закључује се да је теоретски најбоље решење са листама суседности и Фибоначи хипом. Аутор је овај теоретски закључак желео да поткрепи и емпиријски. Дејкстрин алгоритам је реализован уз коришћење хипа и листи суседности. Направљене су класе за ове врсте хипа које имплементирају генерализовани хип интерфејс. Кориснику је тако омогућено да динамички изабере да ли ће се користити бинарни или Фибоначи хип. Резултати су били посве неочекивани. Наиме, у највећем броју случајева бинарни хип је пркосио теорији и Фибоначи хип су развили Michael L. Fredman и Robert E. Tarjan. год. За даље читање погледати (Fibonacci heap, ). ово је амортизовано време

30 показивао боља времена извршавања од Фибоначи хипа. Оправдање за такав исход експеримента аутор види у следећим факторима: Фибоначи хип има сложенију структуру од бинарног хипа и самим тим већи константни фактор. Амортизована анализа којом се дошло до резултата за сложеност и основних операција код Фибоначи хипа умањује значај неких лаких операција и њихов утицај на сложеност. Тако се рецимо при консолидацији хипа после операције deletemin занемарује утицај проласка кроз низ реда величина n V (број елемената у Фибоначи хипу), само зато што се за већину елемената ток низа ништа не ради, и цела операција deletemin се проглашава сложеном O(log n), што диктирају остатле њене операције. Овај пример није усамњен. Јава није идеална платформа за тестирање временски перформанси због непредвидљивости извршавања garbage колекције и других сличних појава диктираних виртуелном машином. И поред лошијих перформанси Фибоначи хипа, за велике графове се он показује све бољим и бољим, а за неке тест-примере и превазилази бинарни хип. То има смисла јер на великим графовима асимптотска сложеност добија све више на тежини у односу на константни фактор који је очигледно за Фибоначи хип значајно већи у односу на бинарни. Аутор је такође ударио у зид хардверских могућности машине на којој је тестирано. Читаоцу кога ово поређење даље занима оставља се могућност да на хардверски јачем рачунару врши тестове за још веће графове (реда величина милиона ивица)... Single-source, single-destination проблем Може се стећи мишљење да је најчешћи подтип проблема проналажења најкраћих растојања заправо проналажење растојања између тачно чвора. Нажалост, за решавање овог проблема нису развијени алгоритми мање временске сложености, тако да се модификација Дејкстриног алгоритма може примењивати за решавање и овог проблема. Промена се састоји у томе да када се циљни чвор дода у скуп U престаје даље извршавање алгоритма. Иако то најчешћше скраћује време извршавања комплексност алгоритма остаје непромењена.. All-pairs проблем, Флојдов алгоритам За проналажење најкраћих растојања код all-pairs проблема поступак је предложио Роберт Флојд. Овај алгоритам је први пут описао Бернар Рој. године, па се он понекад назива и Рој-Флојдовим. Овај поступак је типични пример примене методе динамичког програмирања. Ова метода проналази изглед оптималне структуре итеративно, тако што у свакој итерацији повећава величину израчунате оптималне структуре користећи и комбинујући израчунате оптималне подструктуре. Термин је изворно сковао Ричард Белман четрдесетих година прошлог века. Флојдов алгоритам резултате рачуна у n n квадратној матрици dist. У почетку имамо стање матрице које ћемо обележити као dist, у коме су у њу унете само дужине ивица графа, Robert W. Floyd (-) еминентни научник у области рачунарства, творац више познатих алгоритама и добитник Тјурингове награде. год.

31 односно ако имамо (u, v).weight у матрици ћемо имати поље dist [u, v] = weight, док ће поља за комбинације u и v између којих не постоји ивица у матрици стајати dist [u, v] =. Нека у неком тренутку имамо израчуната растојања између свака чвора при чему сви најкраћи путеви осим почетног и завршног чвора могу да садрже само чворове,, k. Такво стање матрице растојања ћемо обележити са dist k. Сада хоћемо да пробамо да за све парове чворова поправимо најкраћа растојања тиме што ћемо дозволити најкраћи путеви могу да садрже и чвор k+, чиме бисмо добили матрицу dist k+. За свака чвора u и v проверићемо да ли је збир најкраћих путева од u до k+ и од k+ до v краћи од дотадашњег најкраћег пута између u и v. Формула прелаза са k на k+ дакле гласи: dist k+ [u, v] := min dist k [u, v], dist k [u, k+]+dist k [k+, v] Када израчунамо матрицу dist n то значи да у њој имамо најкраћа растојања при чему у најкраћим путевима могу да се појављују сви чворови, што представља решење нашег проблема. Представимо то у псеудо-кôду: floyd foreach u foreach v if (u,v) exists dist[u][v] := (u,v).weight else dist[u][v] := for k:= to n foreach u foreach v if k u v distalt := dist[u][k]+dist[k][v] if distalt < dist[u][v] dist[u][v] := distalt return dist Псеудо-кôд за Флојдов алгоритам за проналажење најкраћих растојања између свих парова чворова. Изглед dist матрица по корацима можемо да погледамо на примеру графа са Сл..:

32

33 Сл.. Илустрација извршавања Флојдовог алгоритма на примеру графа са Сл... Приказане су dist матрице после сваког корака. ВРЕМЕНСКА СЛОЖЕНОСТ Флојдов алгоритам захваљујући својој трострукој петљи има сложеност O(n ). Битно је уочити да начин представљања ивица не игра значајну улогу у анализи комплексности. Наиме ивицама се барата само у току иницијализације, када се односи суседства уносе у dist матрицу. Надаље се информације о постојању / непостојању ивица уопште не користе... Одређивање достижности чворова у оријентисаном графу Јако сличан проблем је одређивање достижности између свака чвора у оријентисаном бестежинском графу. Чвор v је достижан из чвора u ако и само ако постоји пут од u до v. Поступак за решавање овог проблема је развио Стивен Воршел, а због скоро у потпуности истог приступа који се примењује и у Флојдовом алгоритму оба ова алгоритма се често заједнички називају Флојд-Воршеловим. Достижност се израчунава у квадратној матрици path (еквивалент dist матрице) која садржи / вредности. Идеја је у потпуности иста као код Флојдовог поступка, формула прелаза са k на k+ гласи: path k+ [u, v] := path k [u, v] OR (path k [u, k+] AND path k [k+, v]) Формулисано у псеудо-кôду то гласи: warshall foreach u foreach v if (u,v) exists path[u][v] := else path[u][v] := for k:= to n foreach u foreach v if k u v Stephen Warshall (-)

34 return path path[u][v] := path[u][v] or (path[u][k] and path[k][v]) Псеудо-кôд за Воршелов алгоритам за одређивање достижности између свих парова чворова.

35 Минимално обухватно стабло Један од интересантнијих проблема у теорији графова је и проналажење минималног обухватног стабла. Ако имамо повезани неусмерени тежински граф G = (V, E), минимално обухватно стабло MST = (V, E π ) је оно стабло чије ивице имају најмању суму тежина. Сума тежина ивица стабла се често назива цена стабла, што своју логику црпи из примене овог концепта у индустрији. Битно је напоменути да овакво стабло не мора бити јединствено за неки граф, односно да може постојати више минималних стабала са истом минималном ценом. Сл.. Пример минималног обухватног стабла за граф са Сл.. За одређивање минималног обухватног стабла развијено је више алгоритама, од којих су неки поприлично старијег датума што говори о томе колико је овај поступак одувек био потребан у пракси. Најстарији алгоритам је развио чешки научник Отакар Борувка. за потребе што ефикасније електрификације Моравске. Модификације Борувкиног алгоритма додавањем нових идеја у смислу структура података које се користе су и дан данас врло актуелне. На пример најбржи алгоритам који је. године развио Бернар Шазел је базиран на Борувкином. Најпознатија поступка за проналажење минималног обухватног стабла су Примов и Крускалов алгоритам.. Примов алгоритам Овај алгоритам за проналажење минималног обухватног стабла је први изумео чешки математичар Војтех Јарник. године, да би га поново независно открили Роберт Прим енгл. minimum spanning tree или само скраћено MST. У домаћој литератури се сходно томе јавља и превод минимално стабло разапињања Bernard Chazelle (- ), професор рачунарства на Принстону, изумитељ меког хипа Vojtěch Jarník (-)

36 . и Дејкстра. године. Зато се поступак понекада назива и ДЈП алгоритам или Јарников алгоритам. Примов алгоритам је још један похлепни алгоритам и јако је сличан Дејкстрином поступку за проналажење најкраћих растојања код single-source проблема. Заправо то је скоро исти алгоритам: постоји скуп откривених чворова, у свакој итерацији се додаје по један нови чвор; једина разлика је у томе што се додаје чвор који је најближи било којем од већ откривених чворова, а не онај који је најближи неком одређеном чвору. Погледајмо опис поступка у псеудо-кôду: prim treeedges.empty() foreach v v.dist := v.parent := nil priorityqueue.empty() s.mark := true s.dist := ; foreach v such that edge (s,v) exists v.dist := (s,v).weight v.parent := s priorityqueue.insert((s,v), (u,v).weight) while not(priorityqueue.empty()) (u,v) := priorityqueue.deletemin() treeedges.add((u,v)) v.mark := true foreach w such that edge (v,w) exists and not(w.mark) distalt := (v,w).weight if distalt < w.dist if (w.parent,w) exists in priorityqueue replace (w.parent,w) with (v,w) in priorityqueue priorityqueue.decreasekey((v,w),distalt) else priorityqueue.insert((v,w), distalt) w.dist := distalt w.parent := v return treeedges Псеудо-кôд за Примов алгоритам за проналажење минималног обухватног стабла. Извршавање Примовог поступка по корацима изгледа на следећи начин: Robert Clay Prim (- ), амерички математичар и информатичар