Рачунање времена и координатни системи у метеорској астрономији

Transcript

1 Рачунање времена и координатни системи у метеорској астрономији Време у астрономији За размишљање 1. Нека сви часовници на Земљи показују тачно време. Колико пута ће бар 1 часовник показати августа 2012? a) 1 b) 12 c) 24 d) 29 e) Поређати градове по локалном времену изласка Сунца, почевши од најранијег: Лондон, Париз, Београд. 3. Мајка рађа близанце, ћерку 5 минута након сина. Да ли је могуће (и како): a) да брат буде рођен дан пре сестре (тј. да слави рођендан дан пре сестре)? b) да ли је то могуће и ако нису рођени у ±5 минута око поноћи, већ нпр. у 3ч ± 5мин? c) да ли је могуће да сестра буде рођена дан пре брата (тј. да јој рођендан пада један дан пре него)? 4. Која је ово година? А Јеврејима? Кинезима? Муслиманима? Старим римљанима? Византијцима? 5. Колико је година прошло од 15. марта 753. п.н.е. до 15. марта н.е.? А колико од 15. марта године до 15. марта године? 6. Које од наведених година су преступне: a) 4. п.н.е. b) 4. н.е. c) н.е. d) н.е. e) н.е. f) н.е. 7. Два славна писца, Виљем Шекспир и Мигел де Сервантес су умрла 23. априла године. Ко је умро пре а ко касније и колико је дана прошло између њихових смрти? 8. Колико пута се у Србији догодило ? А колико пута ће се догодити ? Указно време Када неко каже да се нешто догодило у 20.30, то заправо не значи скоро ништа. Један од разлога је постојање временских зона. Дакле у којој временској зони је било Други разлог је употреба летњег рачунања времена неке државе га имају, друге га немају, а оне које га имају успостављају га и укидају различитим правилима. Прво питање које се поставља је шта је уопште дан? Соларни дан је (средњи) период између два поднева, односно два проласка Сунца кроз меридијан 1. Ово би, међутим, значило да се датум мења усред дана, па је зато грађанско ( цивилно ) време померено за 12 сати у односу на (средњи) Сунчев (соларни, синодички) дан. Даље би, међутим, ово значило да свако место са различитом географском дужином има различито време. Зато су дефинисане временске зоне и већина држава припада једној 1 Замишљени лук на небу који спаја север, зенит и југ, в. ниже у тексту.

2 временској зони (изузетак су државе које заузимају велику географску ширину, попут Русије, Канаде и САД). Уопште узевши, требало би да постоје 24 временске зоне ширине 15º, међутим, временске зоне прате границе између држава (или субдржавних јединица у случају држава које се простиру на више временских зона). Осим тога, неке државе имају часовне зоне померене не за пун сат већ за 15, 20, 30 или 45 минута у односу на своје суседе (нпр. Индија и Иран). Уз све ово, ситуацију додатно компликује летње рачунање времена. Зато сунчани сатови данас не могу да покажу тачно време, а осим тога ако се мала казаљка аналогног сата усмери ка Сунцу, симетрала угла који заклапају мала казаљка и не показује југ (осим у врло изузетним случајевима) 2. Време које је дефинисано у једној држави се назива указно време и, само по себи, може имати врло мало везе са астрономским појавама на које се тако често (и нетачно) образовни системи позивају. Универзално време Универзално време је време које одговара средњем Сунчевом дану за гринички меридијан, прати Грегоријански календар али не мења се лети нема летњег и зимског рачунања времена. Обележава се са УТ. 3 Универзално време је исто на целој Земљи, независно од временских зона и летњег/зимског рачунања времена. Србија има зими време које је УТ+1, а лети УТ+2. Британија зими има време једнако УТ-у, али лети додаје један сат више (тако да је у Ваљеву увек 1 час више него у Ливерпулу 4 ). При пријављивању резултата посматрања метеора, по правилу се користи УТ. Сидерички дан Ако се као 1 дан посматрају два узастопна проласка кроз меридијан не Сунца већ неке звезде, тако добијени дан се назива (средњи) сидерички дан. Разлика између трајања сидеричког и синодичког дана настаје зато што сидерички (звездани) дан укључује само ротацију Земље, док синодички (Сунчев) дан укључује и револуцију. Код проградног кретања (када планета и ротира и револуира у истом смеру), постоји 1 више сидерички него синодички дан 5. У случају Земље, ако рачунамо да синодички дан траје 24 сата и да их има 365,24 годишње, то би значило да је сидеричких дана 366,24 годишње, одакле се добија трајање једног сидеричког дана од приближно 23 ч 56 мин. Поноћ сидеричког дана је у тренутку проласка γ-тачке кроз меридијан (в. ниже). За разлику од указног времена, сидеричко време не познаје временске зоне нити летње рачунање времена, већ се континуирано мења дуж Земље (и назива се локално сиредичко време ЛСТ). Једини специјални случај је сидеричко време рачунато у односу пролазак γ- тачке кроз гринички меридијан, које се назива гриничко сидеричко време (ГСТ). 2 Питање за размишљање: ако бисмо се руководили овим начином оријентације који смо научили из Познавања природе и друштва, колику грешку можема да очекујемо у Србији? 3 Ово је само груба апроксимација. Заинтересовани читалац може да потражи одговор на питање шта су УТЦ, УТ0, УТ1 и сл. 4 Ово је тачно у ЕУ и земљама које су прихватиле исто правило (попут Србије) да се промене увек дешавају у УТ. У случајевима где је промена времена везана за локално време, као што су савезне државе САД-а, у ноћи промене времена, две суседне временске зоне могу бити на 0 или 2 сата размака. 5 Нешто слично Филеасу Фогу.

3 Синодички и сидерички дан. Код проградног кретања (као што је случај са Земљом), потребно је да прође мало више времена између два проласка Сунца кроз меридијан у односу на два узастопна проласка неке звезде (за коју можемо сматрати да је у бесконачности) кроз меридијан. Јулијански дан На Земљи тренутно у грађанској употреби доминира грегоријански календар, али су у широкој употреби и кинески, арапски и јеврејски календар, док неке групе за своје потребе користе и јулијански, новојулијански (Миланковић-Трпковићев) и друге мање употребљаване календаре. Број календара који су били у употреби током историје је још већи. Посебан проблем представља и различит тренутак увођења истог календара у различитим државама (као што је случај са увођењем грегоријанског календара у Енглеској и Шпанији, односно увођење грегоријанског календара у Русији, где се годишњица Октобарске револуције славила у новембру). Најдуже коришћени календар у западном свету је јулијански календар. Како, међутим, рачунати датуме у, нпр. грчкој или раној римској историји? Или, како конвертовати датуме из других календарских система? Један могући одговор је употреба пролептичког јулијанског или грегоријанског календара, где се календар примењује уназад као да је важио у време пре свог стварног увођења. Користе се пролептички јулијански и пролептички грегоријански календар. Да би се разумео проблем конверзије календара, довољно је посматрати само антички Рим. Римски календар је имао 10 месеци, почевши од марта до децембра (отуд децембар дести месец). Март, мај, квинтилис (пети месец, данас јул) и октобар су имали по 31 дан, а остали месеци по 30, што је чинило да година има 304 дана. Да би се некако ишло укорак са соларном годином, повремено је додаван произвољан број дана између децембра и марта (произвољан, али такав да равнодневица буде у марту). Нума Помплије, легендарни други краљ Рима, је између децембра и марта додао још јануар и фебруар, а преступни (интеркаларни) месец је додаван током фебруара. У Нумином календару су март, мај, квинтилис и октобар задржали по 31 дан, а остали месеци су имали по 29 дана осим фебруара који је имао 28 дана (плус евентуални интеркаларни месец који је додаван између 22. и 23. дана фебруара). Одлуку о додавању интеркаларног месеца доносио је врховни свештеник Рима, понтифекс максимус. Једини фиксни дани су били календе (први дан месеца), иде (15. дан у месецу од 31. дана а 13. дан осталих месеци) и ноне (8 дана пре ида). Остали дани су били обележавани као број дана пре неког од ових фиксних дана, при чему је тај дан рачунат као први. Нпр., a.d. IV Non. Jan.је други јануар (ноне су пети дан у јануару, четири дана раније укљујчујући и саме ноне је други јануар). Ознака a.d. је скраћеница од ante diem, пре дана. Осим тога, Римљани су користили седмицу од осам дана. Када је Јулије Цезар реформисао календар 46. године п.н.е., та година је (да би се пролећна равнодневица вратила у март) имала 445 дана. Готово да је немогуће са сигурношћу рећи колико је времена прошло од 15. марта 100. године п.н.е. до 15. марта 44. године п.н.е. Јосиф Јустус Скалигер је, за потребе дефинисања јасне хронологије, осмислио Јулијанске дане, начин континуираног рачунања времена. Скалигер је дао име овом принципу по свом оцу, Јулију Цезару Скалигеру. Јулијански дани се броје од поднева у Гриничу 1.

4 јануара 4713 п.н.е. по пролептичком јулијанском календару. Тако је 12. август године у часова UT = JD , Јулијански дани су децимални, и увек се рачунају према универзалном времену (те, дакле, не познају летње и зимско рачунање времена или временске зоне). С обзиром на то да је овај број био превелики за старе рачунаре а и да се тешко памти, уведена су два помоћна јулијанска дана редуковани јулијански дан (RJD = JD ) који почиње у подне као и јулијански дан; и модификовани јулијански дан (MJD = JD ,5) који почиње у поноћ по УТ-у. Бирајући почетну годину, Скалигер је имао у виду три циклуса. У јулијанском календару, у коме је свака 4. година преступна (за разлику од грегоријанског где су године дељиве са 100 али недељиве са 400 просте), датуми и дани у недељи се поклапају на сваких 28 година. Ово је тзв. соларни циклус. Метонички циклус или златни број чини 19 година након 19 година се понављају датуми месечевих мена. Трећи циклус је индиктион циклус од 15 година који је увео цар Константин а који је служио при наплати пореза. Како је Скалигер био пре свега историчар, а римски хроничари су често године бележили по редном броју у оквиру индиктиона, овај циклус је био значајан Скалигеру. По Дионисију Малом, римском игуману из 6. века, Јешуа, популарни јеврејски столар, је рођен 9. године соларног циклуса, 1. године метоничког циклуса и 3. године индиктиона. Ово значи да је нама најближа година у којој су сва три циклуса били у својој првој години управо п.н.е. а следећа ће бити н.е. Џону Хершелу, енглеском астроному, се свидела идеја континуираног бројања дана и прихватио је Скалигерове јулијанске дане, увео је децимално рачунање делова дана али је фиксирао почетак дана у подне по гриничком времену да се не би усред посматрачке ноћи мењао датум. Соларна лонгитуда Соларна лонгитуда (заправо геоцентрична еклиптична лонгитуда Сунца λ, в. ниже у тексту еклиптични координатни систем) представља угао који заклапају Сунце и γ тачка (тачка пролећне равнодневице), са Земљом као теменом угла. С обзиром на то да путања Земље око Сунца није круг већ елипса, према другом Кеплеровом закону Земља се креће различитом брзином на различитим деловима своје орбите. Због тога је соларна лонгитуда прецизнији податак о положају Земље него што је то датум. Мада постоје програми за прерачунавање датума у соларну лонгитуду и обрнуто, соларна лонгитуда се по правилу даје таблично. У тренутку пролећне равнодневице λ = 0º, јесење λ = 180º, летње дугодневице λ = 90º а зимске краткодневице λ = 270º. Соларна лонгитуда се мери дуж еклиптике, у смеру супротном од казаљке на сату (математички позитиван смер).

5 Сферна тригонометрија Планарни троугао (1) Збир углова у планарном троуглу је увек 180º (π rad). (2) Збир сваке две странице већи је од треће: (2.1) a+b > c (2.2) b+c > a (2.3) c+a > b (3) Разлика сваке две странице мања је од треће: (3.1) a-b < c (3.2) b-c < a (3.3) c-a < b (4) Синусна теорема: (4.1) a sin α = b sinβ = c sin γ (5) Косинусна теорема: (5.1) a 2 =b 2 +c 2 2bc cosα (5.2) b 2 =a 2 +c 2 2ac cosβ (5.3) c 2 =a 2 +b 2 2 a b cos γ

6 Сферни троугао Елементи сферног троугла Странице сферног троугла су одсечци великих кругова. Странице сферног троугла a, b и c су углови (нпр, a= BOC, где је О центар сфере). Углови између страница (α, β, γ) су заправо углови између тангенти на странице у тачки пресека (односно, углови између равни којима припадају велики кругови који граде троугао). За сферни троугао нека правила и формуле су исти или слични као код планарног троугла, док се неке особине значајно разликују: (1) π < α + β + γ (< 3π, јер је сваки од углова мањи од опруженог угла). (2) Збир сваке две странице већи је од треће: (2.1) a+b > c (2.2) b+c > a (2.3) c+a > b (3) Разлика сваке две странице мања је од треће: (3.1) a-b < c (3.2) b-c < a (3.3) c-a < b (4) Синусна теорема: (4.1) sin a sin α = sin b sinβ = sin c sin γ (5) Косинусна теорема: (5.1) cos a=cosb cos c+sin b sin c cosα (5.2) cos b=cosacos c+sin asin c cosβ (5.3) cos c=cosa cosb+sin asin bcos γ

7 Координатни системи У општем случају, за описивање положаја тела у тродимензионалном простору потребне су три координате. У Декартовом (правоуглом) координатном систему, то су x, y и z: Декартов правоугли координатни систем При томе, потребно је знати координатни почетак и правац и смер оса. Код сферног координатног система, користе се једна дужинска и две угловне координате: Сферни координатни систем

8 Код сферног координатног система је потребно знати шта је координатни почетак, на коју је страну усмерен пол (z оса) и која је основна раван (xy раван на слици). Осим тога треба знати и у ком смеру се рачунају углови (у смеру казаљке на сату или супротном смеру), од које тачке се рачуна угао φ, те да ли се користи угао између пола и радијус вектора (θ на слици), или његов комплемент угао између радијус вектора и основне равни (π/2 θ). Ако су параметри дати као на слици, тада је: 1) z = ρ cosθ 2) ρ' = ρ sinθ 3) x = ρ' cosφ = ρ sinθ cosφ 4) y = ρ' sinφ = ρ sinθ sinφ Географске координате на Земљи Ако је радијус вектор познат (тада немамо три димензије већ само две, јер фиксни радијус вектор значи да говоримо о сфери), довољне су све угловне координате. У случају Земље, радијус вектор је радијус Земље 6, и користе се само две угловне координате. Основна раван је очигледна у питашу је раван екватора. Пол је такође очигледан то може бити северни или јужни пол. Угао који заклапају одређена тачка на Земљиној површини и њена пројекција на раван екватора је географска ширина (φ) и мери се од равни екватора на север и југ. На северу се назива северна географска ширина а на југу јужна географска ширина, а у рачуницама се по договору узима да СГШ има позитивну а ЈГШ негативну вредност. Кругови који спајају тачке исте географске ширине се називају паралеле или упоредници. Оно што није тако очигледно је одакле почети са рачунањем другог угла, који се назива географска дужина. Велики кругови који спајају северни и јужни пол (и нормални су на екватор) се зову меридијани или подневци. По договору, геограску дужину од 0º има астрономска опсерваторија у Гриничу крај Лондона, односно меридијан на коме се она налази. Географска дужина (λ) неке тачке представља угао између меридијана на коме се дата тачка налази и нултог меридијана, и мери се од 0º до 180º на исток (источна географска дужина) и запад (западна географска дужина). По договору се у рачуницама сматра да су источне географске ширине позитивне а западне негативне. Географски координатни систем на Земљи: φ географска ширина, λ географска дужина 6 Наравно, Земља није сфера, већ елипсоид, крушкоид или кромпироид, како су нас већ учили у школи. Па ипак, њена површина се може лепо апроксимирати сфером. Питања за размишљање: колика је разлика између највише и најниже тачке на Земљи? Колико је то у односу на средњи пречник Земље? Када бисмо правили модел Земље величине фудбалске лопте, колика би требало да буде највећа неравнина?

9 Хоризонтски координатни систем За дефинисање положаја неке тачке на небеској сфери се такође користе само две угловне координате, с тим да се у овом случају сматра да небеска сфера има бесконачан радијус. Најједноставнији (и вероватно најочигледнији) је хоризонтски координатни систем. У овом систему пол је зенит тачка директно изнад посматрача. Основна раван је раван хоризонта. Тачка супротна зениту се назива надир. Елементи хоризонтског координатног система (црвена линија азимут, зелена висина) Угао који тачка на небеској сфери заклапа са (својом пројекцијом у) равни хоризонта је норизонтска висина (а), и креће се од -90º (надир) до 90º (зенит). Комплементарни угао хоризонтској висини (90º а) је зенитна удаљеност. Угао између севера и пројекције посматране тачке на раван хоризонта је азимут (А). Азимут се рачуна у смеру казаљке на сату, тако да исток има азимут од 90º, а запад 270º 7. У хоризонтском координатном систему, хоризонтска висина северног небеског пола једнака је географској ширини посматрача. Лук који спаја север, зенит и југ је небески меридијан (и представља пројекцију географског меридијана посматрача на небеску сферу из центра Земље). Очигледно иста тачка на небу (нпр. Мирфак) у истом тренутку (по УТ-у) има различите координате за различите посматраче са Земље. Осим тога, иста звезда на небу континуирано мења своје координате за истог посматрача излази на некој тачки на истоку, кулминира при проласку кроз меридијан, и онда залази у некој тачки на западу. Због тих проблема, немогуће је дати координате звезда у хоризонтском координатном систему, па су измишљени други координатни системи. Екваторијални координатни систем Хоризонт је тангенцијалан на Земљу у тачки посматрача. Међутим, ако се као основна раван дефинише небески екватор (пројекција Земљиног екватора на небеску сферу), тада је ова раван иста за све посматраче на Земљи. Полови овако дефинисаног система су северни и јужни небески пол (опет пројекција северног и јужног Земљиног пола на небеску сферу посматрано из центра Земље). Овако дефинисан координатни систем се зазива екваторијални координатни систем. Угао који заклапа посматрана тачка на небеској сфери са небеским екватором се назива деклинација (δ), и може бити позитивна (на северној небеској хемисфери) и негативна (тачке на јужној небеској хемисфери). Звезде имају сталну деклинацију (што није случај са Сунцем и другим телима Сунчевог система 8 ). Деклинација се 7 Раније се често азимут рачунао почев од југа, а такође у смеру казаљке на сату (плави угао на горњој слици). Међутим, имајући у виду да је данас широко прихваћено рачунање азимута од севера, као и чињеницу да и ИМО овако дефинише азимут, то ћемо и ми азимут рачунати од севера. 8 Питање: која је највећа и најмања могућа деклинација Сунца?

10 креће од -90º (јужни небески пол) до 90º (северни небески пол). Деклинација зенита једнака је географској ширини посматрача. Однос између хоризонтске висине (h), деклинације (δ) и географске ширине посматрача (φ) у меридијану. На истоку и западу екватор сече хоризонт, тако да су за тачке које се налазе на истоку и на западу деклинација и хоризонтска висина једнаке. Остаје питање нултог меридијана, од кога ће се мерити друга угловна координата. Могућа су 2 решења. Ако се за нулти меридијан одабере меридијан посматрача, тада се растојање од њега назива часовни угао (HA) а такав координатни систем се назива месни екваторијални координатни систем. Часовни угао је негативан источно од меридијана посматрача а позитиван западно од меридијана посматрача. Даје одговор на питање колико је времена протекло од како је наведени објекат прошао кроз меридијан посматрача? и изражава се у сатима, минутама и секундама времена (1 ч. = 15º). Очигледно, часовни угао зависи и од положаја посматрача али и од временског тренутка посматрања. Зарад дефинисања координатног система независног од места и времена посматрања, потребно је одабрати неки меридијан на небу. У општем случају би могао да послужи било који меридијан који би био фиксиран за неку звезду (као што на Земљи може да послужи било који меридијан, али је одабран управо гринички). Међутим, постоје две тачке на небу које су посебне тачке пресека еклиптике (равни у којој обитира Земља) и небеског екватора. Сунце се налази у овим тачкама у тренутку пролећне и јесење равнодневице. Тачка у којој се налази Сунце у тренутку пролећне равнодневице је γ-тачка, док се насупрот ње налази Ω- тачка. Заправо, права ознака ове тачке не би требало да буде грчко слово гама (γ) већ астролошка ознака за Овна, а њој насупрот -тачка, астролошка ознака за Вагу. Наиме, пре 2-4 хиљаде година, тачке пролећне и јесење равнодневице су се налазиле управо у овим сазвежђима, и из историјских разлога су задржане ознаке гама и омега. Од пре око 2000 година се, захваљујући прецесији, тачка пролећне равнодневице налази у Рибама. Промена сазвежђа у коме се налази пролећна равнодневица је увек сматрано значајним при преласку из Бика у Овна је настао култ Митре, а при преласку из Овна у Рибе Хришћанство, чији је један од првих знакова била и риба. За око 700 година ће ова тачка прећи у Водолију (мада су хипици већ прогласили почетак новог доба).

11 Небески екваторијални координатни систем плави угао је ректасцензија а зелени деклинација Угао између меридијана посматраног објекта и меридијана γ-тачке се назива рексцентија и обележава са α. Ректасцензија се мери у супротном смеру од казаљке на сату (супротно часовном углу). Координатни систем чије су координате ректасцензија и деклинација се назива небески екваторијални координатни систем, и не зависи од положаја и времена посматрања 9. Ректасцензија се најчешће изражава као и (часовни угао) у форми сат минут секунда, али се може изражавати и као степен угаони минут угаона секунда. Локално сидеричко време, часовни угао и ректасцензија Према дефиницији, локално сидеричко подне је онда када је γ-тачка у локалном меридијану, а тада је часовни угао γ-тачке 0ч. После једног сата, часовни угао γ-тачке је 1ч. Локално сидеричко време је увек једнако локалном часовном углу (LHA) γ-тачке. Однос између локалног (L, црвена тачка) и гриничког (G, жута тачка) часовног угла (HA), сидеричког времена (MST) и ректасцензије на примеру Њујорка 9 Координате звезда у овом систему могу да се мењају, али врло споро или као последица сопственог кретања звезда или као последица прецесије и нутације Земље, али се у кратком времеском интервалу од пар векова може сматрати да су положаји звезда и овом координатном систему стабилни.

12 С друге стране, угао између локалног меридијана и γ-тачке једнак је рексцензији објекта који се тренутно налази у локалном меридијану, па је локално сидеричко време (LMST) увек једнако ректасцензији (α) објеката који се налазе на локалном меридијану. Исто важи и за гриничко сидеричко време (GMST) и гринички часовни угао (GHA). Зато можемо написати: (1) LHA objekta = LST α objekta (2) GHA objekta = GST α objekta Осим тога, са горње слике можемо уочити и да важи: (3) LST = GST + λ где је λ географска дужина посматрача, изражена позитивно ако је источна, а негативно ако је западна. Очигледно, важи и (4) LHA objekta = GHA objekta + λ Сидеричко време по Гриничу се може израчунати по следећој формули (уз тачност од 0,1 секунде на 100 година): (5) GST = 18, , * D mod 24 а D је број дана (сати, минути и секунде урачунати као децимални делови дана) који су протекли од 1. јануара године у по УТ-у (време пре овог се рачуна као негативно). Свакако, да би се добио смислен резултат, потребно је одузети највећи могући целобројни умножак 24 (односно наћи остатак при дељењу са 24). Хоризонтски и екваторијални координатни систем Нека је дата небеска сфера, са следећим ознакама Z зенит P северни небески пол P' јужни небески пол N, E, S, W северна, источна, јужна и западна тачка хоризонта φ географска ширина посматрача t локални часовни угао објекта α ректасцензија објекта δ деклинација објекта h хоризонтска висина објекта А азимут објекта (на слици обележен од југа, ми ћемо рачунати од севера, тако да угао у Z није 180º А већ 360º А) LST локално сидеричко време Ако су дате координате у екваторијалном координатном систему (α и δ), тада важи: (1) t = LST α (t превести у степене, 1ч = 15º) (2) sinh = sinδ sinφ + cosδ cosφ cost (3) sina = - sint cosδ / cosh (4) cosa = (sinδ - sinφ sinh) / (cosφ cosh) Трећу и четврту једначину не делити, да би се могло израчунати у ком квадранту се налази тачка (тангенс је исти у I и III (позитиван) и у II и IV квадранту (негативан)).

13 Небеска сфера са хоризонтским и екваторијалним координатама. Објекат се налази у тачки R. Обратити пажњу на азимут у овом тексту је дефинисан од севера, па је Z =360º A, и томе су прилагођене и све формуле. Извођење. Посматрајмо сферни троугао PZR. Странице и углови овог сферног троугла су као на слици, осим азимута у овом тексту је дефинисан од севера, па је угао у Z 360º А. Према косинусној теореми, за страницу ZR: (И.1) cos(90º-h) = cos(90 -δ) cos(90 -φ) + sin(90 -δ) sin(90 -φ) cos(t) а имајући у виду да је cos(90º-x) = -sinx а да је sin(90 -x) = cosx, формула се своди на (И.2) sinh = sinδ sinφ + cosδ cosφ cost (једначина 2) Даље, по синусној теореми: (И.3) sin(360 -A)/sin(90 -δ) = sin(t)/sin(90 -h) Znajući da je sin(360 -x) = -sinx, i srešivawem po azimutu dobijamo (И.4) - sina/cosδ = sint/cosh (И.5) sina = -sint cosδ/cosh (једначина 3) Применом косинусне теореме на страницу PR добијамо (И.6) cos(90 -δ) = cos(90 -φ) cos(90 -h) + sin(90 -φ) sin(90 -h) cos(360 -A) Према већ наведеним правилима, уз подсећање да је cos(360 -x) = cosx (И.7) sin(δ) = sinφ sinh + cosφ cosh cosa Решавањем по азимуту добија се (И.8) cosa = (sinδ - sinφ sinh) / (cosφ cosh) (једначина 4) Обрнуто, ако су познати азимут и хоризонтска висина: (5) sinδ = sinh sinφ + cosh cosφ cosa (6) sint = - sina cosh / cosδ (7) cost = (sinh sinδ sinφ) / (cosδ cosφ) (8) α = LST t

14 Еклиптички координатни систем Мада звезде имају практично фиксне еклиптичке координате, не може се рећи исто и за тела у оквиру Сунчевог система. Тако Сунце мења своју деклинацију од ' до '. Што се ректасцензије тиче, како је она везана за сидеричко време, то се ректасцензија сунца почев од пролећне равнодневице повећава за 4 минута сваког дана. Имајући у виду да се већина планета и астероида креће орбитама које имају малу инклинацију у односу на еклиптику, погодно је уместо екваторијалне равни користити раван еклиптике. Еклиптички координатни систем се може дефинисати са центром у Земљи (геоцентрични е.к.с.) и са центром у Сунцу (хелиоцентрични е.к.с.). Угао између објекта и еклиптике је латитуда, а између пројекције објекта на еклиптику и γ-тачке лонгитуда. За потпуно описивање положаја тела унутар сунчевог система, потребно је знати и удаљеност од центра координатног система. Еклиптички координатни систем Однос екваторијалног и еклиптичког координатног система

15 У зависности од центра координатног система (геоцентрични или хелиоцентрични) и одговарајуће координате носе различите ознаке: Координата лонгитуда латитуда удаљеност геоцентрична λ β Δ хелиоцентрична l b R Екваторијални и еклиптички координатни систем Однос између екваторијалног и еклиптичког координатног система Нека су: α ректасцензија δ деклинација β геоцентрична еклиптичка латитуда λ геоцентрична еклиптичка лонгитуда ε угао између еклиптике и екватора, односно нагиб земљине осе (који се мења услед прецесије, али износи око 23º 26' 10 ). Ако уочимо троугао MPR, добијамо да је: (1) sinδ = sinβ cosε + cosβ sinε sinλ (2) sinβ = sinδ cosε cosδ sinε sinα (3) cosλ cosβ = cosα cosδ 10 Емпиријска формула по којој се може израчунати угао између еклиптике и екватора гласи ε = T T T T T 5 где је Т број јулијанских векова од године.

16 Задаци за вежбање (и размишљање) 1. Ректасцензија звезде чији је часовни угао 34º 26',0 износи 2ч 15м 30с. Када је локално сидеричко време 4ч 25м, односно 21ч 50м, колика је ректасцензија звезда у горњој и доњој кулминацији? 2. Колумбо је испловио из Палос де ла Фронтера 3. VIII До првог копна је стигао 12. X Тога дана, Сунце је кулминирало у 5ч 54м 27с по Колумбовом сату, на висини од 59º, 14. Ако претпоставимо да је време подесио на шпанско време, а да није знао за зимско и летње рачунање времена, на којим геокоординатама је Колумбо пронашао прво копно? 3. Санкт Петербург (λ = 30º 18' ИГД, φ = 59º 57' СГШ) је познат по белим ноћима, које су последица тога што је Сунце чак и у доњој кулминацији јако близу хоризонта. Колика је хоризонтска висина Сунца у тренутку када има најмању доњу кулминацију? 4. Велики квадрат у Пегазу има следеће координате: α And: α = 0 ч 8 м δ= +29º 5' β Peg: α = 23 ч 4 м δ= +28º 5' α Peg: α = 23 ч 5 м δ= +15º 12' γ Peg: α = 0 ч 13 м δ= +15º 11' Израчунати дужине дијагонала овог астеризма. 5. Ератостен, управник Александријске библиотеке (кога су неки савременици подругљиво називали β желећи да истакну да је у свим областима други али ни у једној први) је пронашао у неким списима да постоји у Асуану један дан у години током кога се сунце огледа и у најдубљим бунарима и током кога штап пободен у земљу нема сенку. Првом приликом је на тај датум отишао у Асуан и уверио се у истинитост тврдње. Следеће године је на тај дан проверио ситуацију у Александрији и установио да штап има сенку, и то једнаку седмини дужине штапа. Схватио је да је то последица закривљености Земље, и на основу информације да од Александрије до Асуана има 5000 стадија (1 стадиј = 185 метара), израчунао је по први пут обим Земље. Коју је дужину добио и колику је грешку направио? Да је знао тачно растојање од Александрије до Асуана (843 км) колико би погрешио? 6. Посматрамо Персеиде са Дебелог брда (λ = 19º 41' ИГД, φ = 44º 09' СГШ). Радијант Персеида се 12. VIII налази на α = 48º δ= +57º, а у поноћ по УТ-у λ = 139º,519. Да би посматрања имала смисла, потребно је да радијант буде макар 20º изнад хоризонта, а да Сунце буде бар 18º испод хоризонта (астрономска ноћ). Израчунати локално време почетка и краја посматрања за наведени датум.