ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής και Διοίκησης

Transcript

1 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Μηχανιών Παραγγής αι Διοίησης ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΝΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΕΡΓΑΛΕΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΟΥΡΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Επόνηση ΚΑΤΕΜΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΕΚΤΟΡΑΣ ΑΜ: ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΚΟΥΙΚΟΓΛΟΥ ΒΑΣΙΛΗΣ Ααδημαϊό Έτος 5-6 Χανιά

2 Ανάλυση Ουρών Αναμονής Διαριτών Χρόνν

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΙΣΑΓΩΓΗ 5 Σοπός εργασίας 5 Βιβλιογραφιή ανασόπηση 5 3 Περιγραφή εργασίας 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΟΝΤΕΛΟ ΟΥΡΑΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ 7 Περιγραφή 7 Εξισώσεις πιθανοτήτν 8 3 Γενιή λύση χαρατηριστιού πολυνύμου 9 4 Απλές ρίζες 5 Μιγαδιές Ρίζες 3 6 Πολλαπλές Ρίζες 5 7 Συντελεστές αι Γενιή λύση 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 : ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 : ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 3 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 4 ΠΑΡΑΤΗΜΑ Α 5 Ανάλυση Ουρών Αναμονής Διαριτών Χρόνν 3

4 Ανάλυση Ουρών Αναμονής Διαριτών Χρόνν 4

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σοπός εργασίας Σε αυτή τη διπλματιή εργασία αναλύονται οι ουρές αναμονής διαριτού χρόνου με αυθαίρετες ατανομές πιθανοτήτν χρόνν αφίξεν αι εξυπηρετήσεν Οι ουρές αναμονής είναι ένα εργαλείο για την αναπαράσταση αι ανάλυση διτύν υπολογιστών αι εργοστασίν Η μέθοδος που εφαρμόστηε για τον υπολογισμό τν πιθανοτήτν του συστήματος είναι οι εξισώσεις διαφορών Στην αρχή νομίσαμε ότι είναι πρτότυπη μέθοδος στη συνέχεια όμς διαπιστώσαμε ότι υπάρχουν παρόμοιες εργασίες οι οποίες δεν συνοδεύονται από αντίστοιχο λογισμιό Στην εργασία αυτή παρουσιάζεται η πλήρης μέθοδός επίλυσης τν εξισώσεν διαφορών αι ένα πρόγραμμα σε περιβάλλον Mtl που δίνει την δυνατότητα στον χρήστη να αναλύει ουρές αναμονής Βιβλιογραφιή ανασόπηση Η περιγραφή αι ανάλυση συστημάτν με ατανομές πιθανοτήτν χρόνν άφιξης αι εξυπηρέτησης osso παρουσιάζεται σε πολλά βιβλία ουρών αναμονής βλ πχ [] επίσης υπάρχουν αποτελέσματα για άποια συστήματα με άλλες ατανομές τα οποία δεν είναι αριβή για άθε ατανομή Για την ανάλυση αναμονητιών συστημάτν είναι συνήθς απαραίτητο να χρησιμοποιηθεί μια συμπληρματιή μεταβλητή supplemetry vrle έτσι το σύστημα γίνεται Μαροβιανό Mrkov Στο άρθρο [] προτείνεται η χρησιμοποίηση του χρόνου άφιξης ή εξυπηρέτησης που εναπομένει remg tme αντί του χρόνου άφιξης ή εξυπηρέτησης που έχει διανυθεί elpsed tme σαν συμπληρματιή μεταβλητή Η ανάλυση μας στηρίζεται στο ότι ατάλληλη αναπαράσταση της ατάστασης του συστήματος οδηγεί σε ένα ισοδύναμο μοντέλο Mrkov Στο άρθρο [3] που αναλύονται οι ουρές αναμονής διαριτού χρόνου με γενιές ατανομές η αναπαράσταση της ατάστασης του συστήματος ορίζεται με παρόμοιο τρόπο με μας με την διαφορά ότι εμείς χρησιμοποιήσαμε τους εναπομείναντες χρόνους άφιξης αι εξυπηρέτησης ενώ στο άρθρο [3] χρησιμοποιούν είτε τον εναπομένοντα χρόνο άφιξης αι τον διανυθέντα χρόνο εξυπηρέτησης είτε το αντίστροφο Επίσης στον άρθρο [3] ο υπολογισμός τν πιθανοτήτν μόνιμης ατάστασης γίνεται χρησιμοποιώντας ανάλυση πινάν Mtrx-Alytc MethodMAM ενώ στην παρούσα διπλματιή απλοποιούνται με περαιτέρ ανάλυση χρησιμοποιώντας εξισώσεις διαφορών Στην [4] παρουσιάζεται η θερία για την επίλυση εξισώσεν διαφορών 3 Περιγραφή εργασίας Στο δεύτερο εφάλαιο παρουσιάζεται η διαδιασία που αολουθήθηε για να υπολογιστούν οι πιθανότητες του συστήματος Πιο συγεριμένα στην Παράγραφο παρουσιάζεται η περιγραφή του μοντέλου που θα χρησιμοποιηθεί Στην περιγράφονται οι εξισώσεις πιθανοτήτν αι στην 3 δίνεται η γενιή λύση τν εξισώσεν η οποία προύπτει ότι είναι γραμμιός συνδυασμός όρν γεμετριής προόδου Στις Παραγράφους 4 5 αι 6 εξετάζονται εξισώσεις διαφορών τν οποίν οι χαρατηριστιές εξισώσεις έχουν απλές μιγαδιές αι πολλαπλές ρίζες αντίστοιχα Τέλος στην 7 υπολογίζονται οι συντελεστές του γραμμιού συνδυασμού όρν της γενιής λύσης που είναι απαραίτητοι για τον υπολογισμό της γενιής λύσης Ανάλυση Ουρών Αναμονής Διαριτών Χρόνν 5

6 Στο τρίτο εφάλαιο παρουσιάζονται μεριά αριθμητιά αποτελέσματα στο τέταρτο τα συμπεράσματά μας αι τέλος στο παράρτημα Α παρουσιάζεται ο ώδιας του προγράμματος Ανάλυση Ουρών Αναμονής Διαριτών Χρόνν 6

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΟΝΤΕΛΟ ΟΥΡΑΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟ Περιγραφή Θερούμε ένα σύστημα στο οποίο πελάτες φθάνουν αι εξυπηρετούνται τις στιγμές Δηλαδή οι χρόνοι αφίξεν αι αναχρήσεν θερούνται διαριτοί Η πιθανότητα ώστε αν υπάρχει άφιξη στο σύστημα τώρα να έχουμε αινούργια άφιξη σε χρόνο είναι α - αι η πιθανότητα ώστε αν ξεινά τώρα μια εξυπηρέτηση να ολοληρθεί σε χρόνο είναι - Η ατάσταση του συστήματος συμβολίζεται αι η πιθανότητα να είναι το σύστημα σε αυτήν την ατάσταση συμβολίζεται ς όπου : πλήθος πελατών στο σύστημα <<Ν : υπόλοιπος χρόνος μέχρι να έλθει ο επόμενος πελάτης χρίς να λαμβάνεται υπόψη ο τρέχν ύλος << : υπόλοιπος χρόνος μέχρι να εξυπηρετηθεί αυτός που εξυπηρετείται χρίς να λαμβάνεται υπόψη ο τρέχν ύλος << Στην γενιή περίπτση υπάρχουν τέσσερεις αταστάσεις από τις οποίες μπορούμε να φτάσουμε την ατάσταση : Να μην έχουμε ούτε άφιξη ούτε αναχώρηση δηλαδή το σύστημα ήταν στην ατάσταση Η πιθανότητα να συμβεί αυτό είναι Να έχουμε ταυτόχρονη άφιξη αι αναχώρηση δηλαδή το σύστημα ήταν στην ατάσταση Η πιθανότητα να συμβεί αυτό είναι 3 Να έχουμε μόνο άφιξη δηλαδή το σύστημα ήταν στην ατάσταση - Η πιθανότητα να υπάρξει άφιξη από αυτήν την ατάσταση είναι 4 Να έχουμε μόνο αναχώρηση δηλαδή το σύστημα ήταν στην ατάσταση ι Η πιθανότητα να συμβεί αυτό είναι - Ανάλυση Ουρών Αναμονής Διαριτών Χρόνν 7

8 Εξισώσεις πιθανοτήτν Με βάση τα παραπάν η πιθανότητα να βρεθούμε στην ατάσταση είναι: Η οποία είναι η Γενιή Εξίσση για <<- <<- αι <<- Παραάτ παρουσιάζονται οι συνοριαές εξισώσεις πιθανοτήτν Υπάρχουν τρεις τύποι συνοριαών εξισώσεν Τύπος Α Οι αταστάσεις αι δεν υπάρχουν για αυτό θέτουμε αι Οι παραάτ εξισώσεις ισχύουν για <<- Τύπος Β Οι συνοριαές εξισώσεις τύπου Β αλύπτουν την περίπτση που η εξυπηρέτηση είναι ανενεργή δηλαδή Πριν από την ατάσταση μπορούμε να έχουμε δύο αταστάσεις : είτε την ατάσταση οπότε το σύστημα περιμένει να έρθει αινούργιος πελάτης είτε την που σημαίνει ότι μόλις ένας πελάτης εξυπηρετήθηε Οπότε έχουμε τις παραάτ συνοριαές εξισώσεις που ισχύουν για άθε αι Τύπος Γ Οι συνοριαές εξισώσεις τύπου Γ αλύπτουν την περίπτση που η άφιξη είναι ανενεργή δηλαδή Πριν από την ατάσταση Ν μπορούμε να έχουμε δύο αταστάσεις : είτε την ατάσταση Ν που το σύστημα περιμένει να εξυπηρετηθεί ένας πελάτης είτε την Ν- που σημαίνει ότι μόλις ένας πελάτης αφίχθηε Οπότε έχουμε τις παραάτ συνοριαές εξισώσεις που αφορούν μπλοαρισμένες αφίξεις αι ισχύουν για άθε αι Ανάλυση Ουρών Αναμονής Διαριτών Χρόνν 8

9 3 Γενιή λύση χαρατηριστιού πολυνύμου Η γενιή εξίσση έχει την μορφή εξίσσης διαφορών ς προς Στην περίπτσή μας η εξίσση είναι γραμμιή οι συντελεστές α αι είναι σταθεροί γιατί δεν μεταβάλλονται με το παρά μονό με αι Επίσης η εξίσση είναι ομογενής γιατί δεν είναι της μορφής : g όπου g συνάρτηση του Το αποτέλεσμα τν παραπάν είναι ότι η γενιή λύση της γενιής εξίσσης προύπτει σαν τον γραμμιό συνδυασμό τν επιμέρους λύσεν οπότε Θέτοντας στη Γενιή Εξίσση έχουμε Θερώντας Υ αι Ζ χρίς βλάβη της γενιότητας αφού οποιαδήποτε Υ αι Ζ μπορούν να ισορροπηθούν από αλλαγές στους συντελεστές αι διαιρώντας με Χ - έχουμε για η εξίσση γίνεται για η γίνεται 3 για η γίνεται 4 Θέτουμε A αι αντιαθιστώντας το Ζ στην 4 έχουμε Ανάλυση Ουρών Αναμονής Διαριτών Χρόνν 9

10 A A A A για η γίνεται 3 3 A 5 αντιαθιστούμε το Ζ στην A A A Οπότε γενιά για άποιο το είναι 6 A A A A για η εξίσση γίνεται 7 για η 7 γίνεται 8 για η 7 γίνεται 9 για η 7 γίνεται 3 3 Θέτουμε οπότε οι 8 9 αι γίνονται Ανάλυση Ουρών Αναμονής Διαριτών Χρόνν

11 3 3 3 Οπότε γενιά για άποιο το είναι Αντιαθιστούμε στην 6 αι τα Α αι Β αντίστοιχα Όμς για αι η εξίσση γίνεται οπότε για αι οι δύο εξισώσεις γίνονται 3 Όμς αι από την έχουμε 4 αι από την 3 Ανάλυση Ουρών Αναμονής Διαριτών Χρόνν

12 Πολλαπλασιάζοντας με [ ] [ ] 5 Εισάγουμε το στις 4 αι 5 αι 6 Η 6 είναι πολυώνυμο βαθμού Από τις λύσεις του υπολογίζουμε το Χ από τους τύπους 4 ή 5 αι τα Υ αι Ζ από τύπους που αναπτύσσονται στα παραάτ υποεφάλαια Υπενθυμίζουμε ότι αι οπότε τα αι είναι γνστά 4 Απλές ρίζες Η Γενιή εξίσση σε αυτήν την περίπτση είναι Διαιρούμε με Χ - 7 για η 7 γίνεται 8 Διαιρούμε ατά μέλη τις 7 αι 8 Ανάλυση Ουρών Αναμονής Διαριτών Χρόνν

13 9 Η 9 δίνει τα Ζ για <<- δηλαδή Ζ ές Ζ για η εξίσση 7 γίνεται Διαιρούμε ατά μέλη τις 7 αι Η δίνει τα ι για <ι<ι- δηλαδή Υ ές Υ Ι 5 Μιγαδιές ρίζες Έστ μία μιγαδιή ρίζα β θ rct α ρ β α β θ οπότε ρe θ θ θ ρ e ρe ρ e ξθ re Σε αυτό το υποεφάλαιο ασχολούμαστε με μιγαδιούς αριθμούς το σύμβολο θα συμβολίζει τον φανταστιό αριθμό Για αυτό το σε αυτό το υποεφάλαιο συμβολίζεται ς g Η Γενιή εξίσση σε αυτήν την περίπτση είναι g g g g g Αντιαθιστούμε το Χ αι η Γενιή εξίσση γίνεται ξθ ξθ ξθ ξθ ξθ re re re re re g g g ξθ Διαιρούμε με r e ξθ ξθ ξθ ξθ re g re g re g g r e g ξθ ξθ ξθ re g g re re g g ξθ ξθ re re g g g για η γίνεται re ξθ g ξθ ξθ re re 3 g g g Ανάλυση Ουρών Αναμονής Διαριτών Χρόνν 3

14 Διαιρούμε ατά μέλη τις αι 3 re ξθ ξθ re ξθ re ξθ re 4 Η 4 δίνει τα Ζ για <<- δηλαδή Ζ ές Ζ για g η γίνεται re ξθ ξθ ξθ re re 5 Διαιρούμε ατά μέλη τις αι 5 re g re ξθ g g ξθ ξθ g re g g 6 ξθ re Η 6 δίνει τα g για <g<ι- δηλαδή Υ ές Υ Ι * Ο συζυγής της ρίζας α β είναι α β αι σε πολιές συντεταγμένες είναι * θ ρe * θ θ θ ρ e ρe ρ e * re ξθ Όπς αι στην αρχή του υποεφαλαίου αντιαθιστούμε το Χ στη Γενιή εξίσση ξθ ξθ ξθ ξθ re g re g re g re ξθ re g ξθ Διαιρούμε με r e ξθ ξθ ξθ ξθ re g re g re g g r e g ξθ ξθ ξθ re g g re re g g ξθ ξθ re re g g 7 για η 339 γίνεται re ξθ g ξθ ξθ re re 8 g g Διαιρούμε ατά μέλη τις 7 αι 8 g Ανάλυση Ουρών Αναμονής Διαριτών Χρόνν 4

15 re ξθ ξθ re * * ξθ ξθ re re * 9 Η 9 δίνει τα Ζ για <<- δηλαδή Ζ ές Ζ για η 7 γίνεται re ξθ ξθ ξθ re re 3 Διαιρούμε ατά μέλη τις 7 αι 3 re ξθ g g ξθ re * ξθ g re * g * g g 3 ξθ re Η 3 δίνει τα ι για <ι<ι- δηλαδή Υ ές Υ Ι 6 Πολλαπλές Ρίζες Η μόνη περίπτση στην οποία παρατηρήθηε ότι η 6 έχει πολλαπλές ρίζες είναι όταν αι α Σε αυτή τη περίπτση οι ατανομές άφιξης αι εξυπηρέτησης είναι ίδιες συνεπώς όλες οι πιθανότητες είναι ίδιες λόγ συμμετρίας ήτοι για Άρα οι πιθανότητες μπορούν να υπολογισθούν χρίς την ανάγη επίλυσης τν εξισώσεν διαφορών Παρ όλα αυτά το ερώτημα του αν υφίστανται πολλαπλές ρίζες σε συστήματα με ανόμοιες ατανομές είναι ανοιτό αι χρήζει περαιτέρ διερεύνησης η οποία είναι πέραν του αντιειμένου της εργασίας αυτής Ανάλυση Ουρών Αναμονής Διαριτών Χρόνν 5

16 7 Συντελεστές αι Γενιή λύση Η γενιή λύση είναι της μορφής Για άθε ρίζα του πολυνύμου 6 αντιστοιχεί ένας συντελεστής Αυτοί χρειάζονται για να ιανοποιούνται οι συνοριαές εξισώσεις Στο ο εφάλαιο διατυπώθηαν τρεις τύπους συνοριαών εξισώσεν Πρέπει να βρεθούν αυτές που δεν ιανοποιούνται από την Γενιή Εξίσση Τύπου Α Πολλαπλασιάζ ατά μέλη τις 3 αι 33 Λόγ της 34 που είναι η Γενιή Εξίσση δηλαδή οι συνοριαές εξισώσεις τύπου Α ιανοποιούν την ΓΕ Τύπου Β 35 Είναι φανερό ότι δεν ιανοποιούν την Γενιή Εξίσση Παίρνουμε την 35 αι για άθε έχ 36 Ανάλυση Ουρών Αναμονής Διαριτών Χρόνν 6

17 Αντιαθιστούμε στην 36 την 37 εισάγοντας αι την Με την τέλεια επαγγή αταλήγουμε στην παραάτ σχέση 3 Το γιατί προειμένου να φθάσει το σύστημα στην ατάσταση θα έπρεπε στον προηγούμενο ύλο να ήταν στην που απολείεται είτε να είχαμε που σημαίνει ότι στην αρχή του τρέχοντος ύλου μπαίνει ένα ομμάτι αρα δεν θα ήταν δυνατόν τώρα οπότε για << που είναι οι εξισώσεις που ορίζουν τα Τύπου Γ 4 Είναι φανερό ότι δεν ιανοποιούν την Γενιή Εξίσση Ανάλυση Ουρών Αναμονής Διαριτών Χρόνν 7

18 Παίρνουμε την 4 αι για άθε έχ Εισάγοντας στην 4 την 4 έχουμε Αντιαθιστώντας αι την Επαγγιά αταλήγουμε στην παραάτ σχέση 3 Το γιατί προειμένου να φθάσει το σύστημα στην ατάσταση θα έπρεπε στον προηγούμενο ύλο να ήταν στην που απολείεται είτε να είχαμε που σημαίνει ότι τι στην αρχή του τρέχοντος ύλου φεύγει ένα ομματι από το σύστημα αρα δεν θα ήταν δυνατόν τώρα Οπότε * για << πού είναι οι υπόλοιπες εξισώσεις που ορίζουν τα Αντιαθιστούμε μία από αυτές έστ την * με την παραάτ εξίσση Ανάλυση Ουρών Αναμονής Διαριτών Χρόνν 8

19 Συνοπτιά το σύστημα τον εξισώσεν είναι για << 45 για << Φέρνουμε όλες τις εξισώσεις στην μορφή Από την 45 έχουμε ι Θέτουμε οπότε A ι A για << 48 Από την 46 έχουμε Θέτουμε οπότε για <<- 49 Από την 47 λαμβάνοντας υπόψην ότι αι έχουμε Ανάλυση Ουρών Αναμονής Διαριτών Χρόνν 9

20 Θέτουμε οπότε D D 5 Οι αι 5 αποτελούν ένα σύστημα από εξισώσεις με αγνώστουςτο μετατρέπουμε σε μορφή πινάν για την πιο εύολη επίλυση του Έστ : αι ο Ε είναι τετραγνιός πίναας D D D A A A A A A E * E E ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 : ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Ανάλυση Ουρών Αναμονής Διαριτών Χρόνν

21 Παραάτ παρουσιάζονται μεριά αριθμητιά αποτελέσματα Χρησιμοποιήθηε πρόγραμμα στην Mtl της οποίας ο ώδιας παρουσιάζεται στο παράρτημα To μέσο πλήθος πελατών είναι O μέσος ρυθμός παραγγής ισούται με το μέσο πλήθος εξυπηρετήσεν ανα μονάδα χρόνου Το πλήθος εξυπηρετήσεν ανα μονάδα χρόνου ισούται με την πιθανότητα ώστε ο εξυπηρετών να είναι στην ατάσταση αι συγχρόνς να υπάρχει τουλάχιστον πελάτης στο σύστημα TH Στους πίναες αι δίνονται οι μέσοι αριθμοί πελατών στο σύστημα αι ο μέσος ρυθμός παραγγής όταν τα α αι αολουθούν γεμετριή ατανομή Η συνάρτηση υπολογίζει τις πιθανότητες α αι χρησιμοποιώντας τους παραάτ τύπους για τν υπολογισμό τους p p < < αι p q q < < q Πιναας : 5 αι για p8 αι q TH Πιναας : Ν5 α για p αι q8 TH Ανάλυση Ουρών Αναμονής Διαριτών Χρόνν

22 Στους πίναες 3 αι 4 δίνονται οι μέσοι αριθμοί πελατών στο σύστημα αι ο μέσος ρυθμός παραγγής όταν τα α αολουθούν γεμετριή ατανομή Για να υπολογίσουμε τα χρησιμοποιούμε τον παραάτ τρόπο : Η μηχανή του συστήματος παράγει με επιτυχία με πιθανότητα w ή παθαίνει βλάβη με πιθανότητα -w Μόνο μία βλάβη μπορεί να συμβεί σε ένα ομμάτι Η επισευή της βλάβης γίνεται σε ύλο με πιθανότητα q ή ύλους με πιθανότητα r ή 3 ύλους με πιθανότητα k ή 4 ύλους με πιθανότητα -q-r-k Άρα με πιθανότητα w ο χρόνος είναι με πιθανότητα -wq είναι με πιθανότητα -wr είναι 3 με πιθανότητα -wk είναι 4 με πιθανότητα -w-q-r-k είναι 5 Πιναας 3 : για p8 αι w8 q r5 k5 -q-r-k 4 TH Πιναας 4 : για p8 αι w8 q5 r5 k4 -q-r-k 3 TH Επειδή στα παραδείγματα που παρουσιάστηαν τα αι είναι μεγαλύτερα ή ίσα του 4 με αποτέλεσμα η 6 να είναι όγδοης ή αι μεγαλύτερης τάξης τα αριθμητιά αποτελέσματα μπορεί να παρουσιάζουν άποιο σφάλμα Ένας άλλος λόγος που τα αποτελέσματα μπορεί να παρουσιάζουν σφάλμα είναι η ατάσταση του πίναα Ε αι του αντιστρόφου του ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 : ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Ανάλυση Ουρών Αναμονής Διαριτών Χρόνν

23 Μελετήσαμε ουρές αναμονής με διαριτούς χρόνους άφιξης αι εξυπηρέτησης που αολουθούν γενιές ατανομές αι έχουν πεπερασμένο χώρο αναμονής Αναπτύχθηε πρόγραμμα σε περιβάλλον Mtl το οποίο υπολογίζει τα μέτρα απόδοσης τέτοιν συστημάτν ήτοι τις πιθανότητες μόνιμης ατάστασης το μέσο πλήθος πελατών στο σύστημα αι το μέσο ρυθμό παραγγής Η ανάλυση στηρίχθηε στο ότι ατάλληλη αναπαράσταση της ατάστασης του συστήματος οδηγεί σε ένα ισοδύναμο μοντέλο Mrkov στο οποίο οι πιθανότητες υπολογίζονται ς λύσεις γραμμιών εξισώσεν διαφορών Πειραματιά αποτελέσματα δείχνουν ότι τα χαρατηριστιά πολυώνυμα τν εξισώσεν διαφορών έχουν απλές ρίζες με εξαίρεση στις περιπτώσεις τις οποίες οι ατανομές άφιξης αι εξυπηρέτησης ταυτίζονται Στη τελευταία περίπτση οι πιθανότητες μόνιμες ατάστασης είναι ίσες μεταξύ τους οπότε η επίλυση τν εξισώσεν διαφορών δεν είναι απαραίτητη Το λογισμιό που αναπτύχθηε μπορεί να εφαρμοσθεί για την ανάλυση ουρών σε εργοστάσια ή δίτυα υπολογιστών Επίσης μπορεί να εφαρμοσθεί ς βάση για την ανάλυση πολύπλον διτύν αναμονής με πολλά στάδια εξυπηρέτησης εφαρμόζοντας προσεγγιστιές τεχνιές αποσύνθεσης που είναι ανάλογες τν θερημάτν orto αι Theve σε ηλετριά υλώματα Ανάλυση Ουρών Αναμονής Διαριτών Χρόνν 3

24 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [] Γίαννης ΑΦίλης Δίτυα Παραγγής AM σημειώσεις μαθήματος Πολυτεχνείο Κρήτης [] Atthru sule Alf A ltertve pproch for lyzg fte uffer queues dscrete tme Deprtmet of Electrcl d omputer Egeerg Uversty of Mto Wpeg Mto d [3] Atthru sule Alf & TSS Srvs Ro Supplemetry vrle techque stochstc models rolty the Egeerg d formto sceces 4: 3-8 [4] vo Ad & v der Wl 998 Dfferece d dfferetl equtos Stochstc Opertos Reserch Deprtmet of Mthemtcs d omputg Scece Edhove Uversty of Techology The etherlds Ανάλυση Ουρών Αναμονής Διαριτών Χρόνν 4

25 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A Στο παράρτημα παρουσιάζεται ο ώδιας του προγράμματος που χρησιμοποιήθηε για να εξαχθούν τα αριθμητιά αποτελέσματα που παρουσιάζονται στο εφάλαιο 3 A Γενιή Συνάρτηση Η γενιή συνάρτηση δέχεται σαν ορίσματα το το το το K αι το LΤα δύο τελευταία δίνονται ανάλογα πς θέλει ο χρήστης να υπολογισθούν οι πιθανότητες α αι Ελέγχει αν αυτές έχουν υπολογισθεί σστά μετά υπολογίζει τις ρίζες του πολυνύμου 6 αι τις διαχρίζει σε απλές πολλαπλές αι μιγαδιές Το πρόγραμμα μετά υπολογίζει τα Υ αι Ζ για απλές αι μιγαδιές ρίζες Ο διαχρισμός που υπάρχει μετά είναι απαραίτητος επειδή η πολλαπλές ρίζες πρέπει να υπολογίζονται για άθε fucto [ADGEAverge] lskl [temp] crete_ropltes_ K; [temp] crete_ropltes_ L; f temptemp dsol; [SM]sepertesol d; [A] tks S; [D] tkf M; f umel [] lcultek AD; [GE] clcultege AD; [Averge]Meso_plthos GE; [TH]Mesos_Ruthmos_rgogsGE; Outdt d; else dsp'prxe lthos st rxe put g to upologsmo to k pthotto'; Α Υπολογισμός τν πιθανοτήτν α αι Η συνάρτηση υπολογίζει τις πιθανότητες α αι ανάλογα με την επιλογή του χρήστη Μπορεί είτε να τις διαβάσει από αρχείο Excel είτε να τις δημιουργήσει με γεμετριή ατανομή Για τις πιθανότητες υπάρχει η επιλογή για πιθανότητα βλάβης όπς παρουσιάστηε στο εφάλαιο 3 fucto [ temp] crete_ropltes_k f K [p]textred'puttxt''%f'; []Geometrk_Ktomp; f K xlsred'putxls'''; temp; Ανάλυση Ουρών Αναμονής Διαριτών Χρόνν 5

26 for : temptemp; αι fucto [ temp] crete_ropltes_l f L [q]textred'puttxt''%f'; []Geometrk_Ktomq; f L xlsred'putxls'''; f L3 tempxlsred'putxls''ml' Mlfucto_ropltestemp; temp; for : temptemp; fucto [] Geometrk_Ktomp zeros; for :- -p^*p; -p^; fucto []Mlfucto_ropltestemp zeros; temp; temp; for : -temp*temp; temptemptemp; -temp*-temp; Ανάλυση Ουρών Αναμονής Διαριτών Χρόνν 6

27 Α3 Υπολογισμός τν ριζών Η συνάρτηση υπολογίζει τις ρίζες του πολυνύμου 6 fucto [d] sol syms x for : x^; for : -x^; q; w; zq*' ; zw*' ; zz*z-x^; mzeros; msolvezx; ddoulem; Α4 Διαχρισμός τν ριζών Οι τύποι για τον υπολογισμό τον Υ αι Ζ διαφέρουν αν η ρίζα είναι απλή πολλαπλή ή μιγαδιή Σε αυτήν την συνάρτηση επιτυγχάνεται ο διαχρισμός τν ρίζν στις προαναφερθείσες ατηγορίες fucto [A ] sepertesol d l; Πρώτα διαχρίζονται οι πραγματιές ρίζες από τις μιγαδιές for : f mgd ; d; else ll; ld; Η ταξινόμηση διευολύνει την περεταίρ διαδιασία for g:- for :- f > temp; ; temp; for g:l- for :l- f rel>rel temp; ; temp; Ανάλυση Ουρών Αναμονής Διαριτών Χρόνν 7

28 Διαχρισμός μεταξύ πολλαπλών αι απλών ριζών ; ; ; temp; for g: f g~g- ; g; ; temp; else temptemp; temp; k; g; for : f kk; else gg; Azerosk; zerosg; zerosl; k; temp; for : f Ak; kk; else temptemp-; for gtemp:temp g; temptemp; for :l ; Ανάλυση Ουρών Αναμονής Διαριτών Χρόνν 8

29 Α5 Υπολογισμός τν Υ αι Ζ για απλές ρίζες Η συνάρτηση υπολογίζει το Χ τα Υ αι τα Ζ για άθε απλή ρίζα Δημιουργεί τον πίναα Α που ο αριθμός τν σειρών του είναι όσες είναι οι απλές ρίζες ενώ το πλήθος τν στηλών είναι Για μ απλές ρίζες ο Α θα έχει την παραάτ μορφή μ μ μ μ μ μ fucto [D] tkfm wszem; tempw; temp4; Dzerostemptemp; for :temp DM; for :temp for : M^-; for :temp U:*'; for :temp DM*U; D3; D4/M-/D; D3; D4M-D*; temp3; temp5; k; for :temp for temp:temp DD-/D-k/D; kk; k; temp4; temp6; k; for :temp for temp:temp DD* D-- D*k; kk; Ανάλυση Ουρών Αναμονής Διαριτών Χρόνν 9

30 k; Α6 Υπολογισμός τν Υ αι Ζ για απλές μιγαδιές ρίζες Η συνάρτηση υπολογίζει το Χ τα Υ αι τα Ζ για άθε απλή μιγαδιή ρίζα Δημιουργεί τον πίναα D που ο αριθμός τν σειρών του είναι όσες είναι οι απλές μιγαδιές ρίζες ενώ το πλήθος τν στηλών είναι Για λ απλές μιγαδιές ρίζες ο D θα έχει την παραάτ μορφή μ μ μ μ μ μ fucto [A] tkss wszes; tempw; temp4; Azerostemptemp; for :temp AS; for :temp for : S^-; for :temp U:*'; for :temp AS*U; A3; A4/S-/A; A3; A4S-A*; temp3; temp5; k; for :temp for temp:temp AA-/A-k/A; kk; k; temp4; temp6; k; Ανάλυση Ουρών Αναμονής Διαριτών Χρόνν 3

31 for :temp for temp:temp AA*A--A*k; kk; k; Α7 Υπολογισμός τν συντελεστών Η συνάρτηση υπολογίζει τους συντελεστές που χρειάζονται για τον υπολογισμό τις γενιής λύσης Υπολογίζει πρώτα τον πίναα Ε από το τέταρτο εφάλαιο αι μετά το διάνυσμα που θα περιέχει τα Ο Ε μπορεί να χριστεί σε τέσσερα μέρη που το αθένα αντιστοιχεί σε απλές πολλαπλές απλές μιγαδιές αι πολλαπλές μιγαδιές fucto [ t] lcultekad Ezeros; zeros; Lzeros; L; [m ]szea; [e ]szed; Υπολογίζει το ομμάτι του Ε που αντιστοιχεί σε απλές ρίζες [S] lculteksgleam; Υπολογίζει το ομμάτι του Ε που αντιστοιχεί σε μιγαδιές ρίζες [M] lcultekcomplexde; Δημιουργεί τον Ε for : for :m ES; for : for :e EmM; tcode Υπολογίζει τους συντελεστές ve*l; Α8 Υπολογισμός του πίναα Ε για απλές ρίζες Η συνάρτηση υπολογίζει το ομμάτι του Ε για απλές ρίζες fucto [S] lculteksgleam zerosm; zerosm; Szerosm; Ανάλυση Ουρών Αναμονής Διαριτών Χρόνν 3

32 for g:m for k4:3 gagkg; for g:m for k5:4 gagkg; for k: for g:m SkgAg4k-Ag*g*k; for k:- for g:m SkgAg^-*Ag*Agk-3-g*k-; zerosm; for g:m for k3: gagkg; zerosm; for g:m for k4:4 gagkg; for g:m Sgg*gSg; zerosm; for g:m for k3:3 gagkg; zerosm; for g:m for k4:3 gagkg; for g:m Sgg*g*Ag^Sg; zerosm; for g:m for k3:3 gagkg; Ανάλυση Ουρών Αναμονής Διαριτών Χρόνν 3

33 zerosm; for g:m for k4:4 gagkg; zerosm; for g:m for :- gag^g; for g:m Sgg*g*gSg; Α9 Υπολογισμός του πίναα Ε για απλές μιγαδιές ρίζες Η συνάρτηση υπολογίζει το ομμάτι του Ε για απλές μιγαδιές ρίζες fucto [M] lcultekcomplexde zerose; zerose; Mzerose; for g:e for k4:3 gdgkg; for g:e for k5:4 gdgkg; for k: for g:e MkgDg4k-Dg*g*k; for k:- for g:e MkgDg^-*Dg*Dgk-3-g*k-; zerose; for g:e for k3: gdgkg; zerose; for g:e Ανάλυση Ουρών Αναμονής Διαριτών Χρόνν 33

34 for k4:4 gdgkg; for g:e Mgg*gMg; zerose; for g:e for k3:3 gdgkg; zerose; for g:e for k4:3 gdgkg; for g:e Mgg*g*Dg^Mg; zerose; for g:e for k3:3 gdgkg; zerose; for g:e for k4:4 gdgkg; zerose; for g:e for :- gdg^g; for g:e Mgg*g*gMg; Α Υπολογισμός τν πιθανοτήτν για άθε ατάσταση Υπολογίζει τις πιθανότητες για άθε ατάσταση αι τις αποθηεύει σε ένα αρχείο Excel fucto [GE] clcultegead Fzeros; Tzeros**; wszea; qszed; Gzeros; Ανάλυση Ουρών Αναμονής Διαριτών Χρόνν 34

35 Υπολογίζει τις πιθανοτητες για άθε ατάσταση for : for : for : for k:w GkAk^*Ak3*Ak4; for k:q GkwDk^*Dk3*Dk4; FG*; GE::F; Περίπτση για άθε for : GE; Περίπτση για άθε for : GE; Αποθηεύει τις πιθανότητες temp; for : for : for : T*temprelGE; T*tempmgGE; temptemp; temp; xlswrte'dtxls' T 'sheet3''3' Α Υπολογισμός του μέσου αριθμού πελατών Υπολογίζει το μέσο αριθμό πελατών στο σύστημα χρησιμοποιώντας τον τύπο από το τρίτο εφάλαιο fucto [Aveg]Meso_plthosGE Aveg; for : temp; for : for : temptempge; Ανάλυση Ουρών Αναμονής Διαριτών Χρόνν 35

36 AvegAveg*temp; Α Υπολογισμός του μέσου ρυθμού παραγγής fucto [TH]Mesos_Ruthmos_rgogsGE TH; for : for : TH TH GE; Ed Ανάλυση Ουρών Αναμονής Διαριτών Χρόνν 36