Noţiuni de bază ale criptografiei
|
|
- Μωσῆς Παυλόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Prelegerea 1 Noţiuni de bază ale criptografiei 1.1 Definiţii şi notaţii preliminare Criptografia este o componentă a unui domeniu mult mai larg, numit securitatea informaţiei. Obiectivele urmărite de acesta pot fi sumarizate în: 1. Confidenţialitate (privacy): proprietatea de a păstra secretul informaţiei, pentru ca aceasta să fie folosită numai de persoanele autorizate. 2. Integritatea datelor: proprietatea de a evita orice modificare (inserare, ştergere, substituţie) neautorizată a informaţiei. 3. Autentificare: Proprietatea de a identifica o entitate conform anumitor standarde. Este compusă din (a) Autentificarea unei entităţi; (b) Autentificarea sursei informaţiei; 4. Non - repudierea: Proprietatea care previne negarea unor evenimente anterioare. Celelalte obiective legate de securitatea informaţiei (autentificarea mesajelor, semnături, autorizare, validare, controlul accesului, certificare, timestamping, confirmarea recepţiei, anonimitate, revocare) pot fi derivate din acestea. Definiţia 1.1 Criptografia este studiul metodelor matematice legate de securitatea informaţiei, capabile să asigure confidenţialitatea, autentificarea şi non-repudierea mesajelor, precum şi integritatea datelor vehiculate ([1]. Termenul criptografie înseamnă scriere secretă 1. Domeniul cuprinde atât operaţia de criptare (cifrare) a unui text, cât şi eventualele încercări de descifrare şi de aflare a cheii 1 Cuvântul este format din cuvintele greceşti cryptos ascuns şi grafie scriere 1
2 2 PRELEGEREA 1. NOŢIUNI DE BAZĂ ALE CRIPTOGRAFIEI de criptare. În unele lucrări, cadrul general de lucru este numit criptologie, termenul de criptografie desemnând numai operaţia de cifrare şi descifrare legală. Situaţia generală de care se ocupă criptografia este următoarea: Expeditor Destinatar Criptanalist Expeditorul (personalizat în majoritatea lucrărilor cu apelativul Alice) doreşte să trimită destinatarului (numit Bob) un mesaj printr-un canal de comunicaţie, canal cu un grad ridicat de nesiguranţă 2. Această insecuritate o prezintă un adversar criptanalist (Oscar) care doreşte din diverse motive să cunoască şi eventual să modifice conţinutul mesajului, deşi acesta nu îi este destinat. Această confidenţialitate solicitată de Alice şi Bob se rezolvă de obicei prin transformarea mesajului în aşa fel încât el să nu poată fi înţeles de nici o persoană care l-ar putea intercepta. Transformarea respectivă se numeşte criptare. În general, hackerul Oscar poate avea două tipuri de comportament: Pasiv: el se mulţumeşte să intercepteze mesajele şi să le citească, folosindu-le în scop personal; Activ: doreşte să modifice mesajele, să le schimbe ordinea sau să introducă propriile sale mesaje, în intenţia de a fi acceptat de Bob drept Alice. În acest caz, mesajul va trebui să verifice înafară de condiţia de confidenţialitate şi pe cea de autenticitate: Bob trebuie să fie sigur că mesajul primit a fost de la Alice. În unele cazuri, problema se poate complica prin faptul că există anumite mesaje pe care Alice neagă că îi aparţin, deşi le-a trimis chiar ea. În acest caz trebuie prevăzute anumite protocoale care să întărească proprietăţile de autentificare; proprietăţi care să o silească pe Alice să îşi recunoască propriile mesaje (non-repudiere). În toate aceste scenarii nu există personaje pozitive sau negative. Orice serviciu de criptare/decriptare are şi o secţie de criptanaliză. Se pot da numeroase exemple din istorie care să arate rolul pozitiv al lui Oscar în anumite situaţii. În general, într-un triplet (expeditor, destinatar, criptanalist) nimeni nu are încredere în nimeni. Variantele studiate în care Alice are încredere în Bob sau invers, sunt mult mai simple şi de aceea extrem de rare. 2 Canalul de comunicaţie poate suferi şi perturbări de ordin fizic: zgomote, ştergeri, demodulări etc; studiul detectării şi corectării erorilor de de transmitere a informaţiei constituie tema altui domeniu, numit Teoria Codurilor.
3 1.1. DEFINIŢII ŞI NOTAŢII PRELIMINARE 3 Pentru a începe un studiu sistematic al domeniului, să stabilim întâi terminologia folosită uzual: Un mesaj în forma sa originară este numit text clar. Expeditorul rescrie acest mesaj folosind o metodă cunoscută numai de el (eventual şi de destinatar); spunem că el criptează (sau cifrează) mesajul, obţinând un text criptat. Destinatarul primeşte textul cifrat şi îl decriptează ştiind metoda folosită pentru criptare; deci Alice şi Bob trebuie să stabilească într-o etapă preliminară detaliile modalităţii de criptare şi de decriptare. Algoritmul care realizează operaţiile descrise se numeşte sistem de criptare. Formal, Definiţia 1.2 Un sistem de criptare este o structură (P, C, K, E, D), unde: P= {w w V } este mulţimea textelor clare, scrise peste un alfabet nevid V (uzual V = {0, 1}). C= {w w W } este mulţimea textelor criptate, scrise peste un alfabet nevid W (uzual W = V ). K este o mulţime de elemente numite chei. Fiecare cheie K K determină o metodă de criptare e K E şi o metodă de decriptare d K D. e K : P C şi d K : C P sunt funcţii cu proprietatea d K (e K (w)) = w, w P. În general se consideră C= {α a P, k K, α = e K (a)}. Funcţia e K este evident injectivă 3 ; dacă e K este bijectivă (şi deci d K = e 1 K ), sistemul de criptare se numeşte simetric. Pentru ca un sistem de criptare să fie considerat bun, trebuie îndeplinite trei criterii (enunţate de Francis Bacon în sec. XV II): 1. Fiind date e K şi α P, este uşor de determinat e K (α); 2. Fiind date d K şi w C, este uşor de determinat d K (w); 3. α este imposibil de determinat din w, fără a cunoaşte d K. Ultimul criteriu defineşte sub o formă vagă ideea de securitate a sistemului. La aceste criterii, Bacon adăuga şi o a patra regulă: 4 Textul criptat trebuie să fie un text banal, fără suspiciuni. Această condiţie este utilizată astăzi doar de un subdomeniu strict al criptografiei, numit steganografie. În termeni de complexitate, prin uşor se înţelege folosirea unui algoritm polinomial de grad mic preferabil algoritm liniar; o problemă se consideră imposibilă dacă pentru rezolvarea ei nu se cunosc decât algoritmi de complexitate exponenţială. 3 Condiţia de injectivitate nu este obligatorie pentru funcţia de decriptare d K.
4 4 PRELEGEREA 1. NOŢIUNI DE BAZĂ ALE CRIPTOGRAFIEI Observaţia 1.1 Întreaga disciplină numită criptografie se bazează pe o conjectură notată prescurtat P N P 4 (pentru detalii a se vedea [5]). P reprezintă clasa problemelor rezolvabile prin algoritmi a căror complexitate este mărginită superior de o funcţie polinomială în lungimea datelor de intrare. Modelul standard de calculabilitate este maşina Turing. N P este clasa problemelor rezolvabile prin algoritmi nedeterministic polinomiali (care sunt incluşi în algoritmii de complexitate cel puţin exponenţială). Evident, P N P, dar se pare că problema egalităţii este nedecidabilă (în termeni matematici). Oricum, pentru cei interesaţi, site-ul [4] este dedicat unei informări actualizate permanent a rezultatelor şi încercărilor de rezolvare a acestei probleme. Exemplul 1.1 Unul din primele sisteme de criptare cunoscute este sistemul de criptare Cezar. Conform istoricului Suetoniu, el a fost folosit de Cezar în corespondenţa sa. Să considerăm alfabetul latin scris, în ordine A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Fie k un număr întreg din intervalul [0, 25]. El se va numi cheie de criptare. Rescriem alfabetul latin permutat ciclic, începând însă cu litera având numărul de ordine k (litera A are numărul de ordine 0). Această nouă scriere o aşezăm sub prima scriere, astfel (am presupus k = 2): A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B Dacă Alice are un text clar pe care vrea să-l cripteze cu sistemul Cezar, ea va proceda astfel: Să presupunem că acest text clar este NIMIC NOU. Alice va aşeza sub fiecare literă a acestui text, litera aflată pe linia a doua din tabelul de sus, astfel: N I M I C N O U P K O K E P Q W Textul criptat obţinut este P KOKEP QW (din motive suplimentare de securitate, spaţiile dintre cuvinte se ignoră de obicei). La primirea textului, Bob care ştie că este vorba de sistemul de criptare Cezar va proceda astfel: el cunoaşte (fiind destinatar legal) cheia de criptare e k. Cheia sa de decriptare este e 26 k. Pe baza ei Bob va putea construi cele doua linii ale tabelului, după care va proceda ca Alice: scrie textul criptat pe prima linie, iar pe a doua linie determină literele corespunzătoare, conform tabelului. În cazul k = 2, Bob va folosi drept cheie numărul e 26 2 = e 24, iar tabelul (litera 24 corespunde lui Y) este A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Literele P KOKEP QW determină pe a doua linie textul NIMICNOU. 4 Aceasta este prima din cele cinci probleme ale mileniului, pentru rezolvarea cărora se acordă premii de câte un milion dolari.
5 1.1. DEFINIŢII ŞI NOTAŢII PRELIMINARE 5 Să rescriem sistemul Cezar în termenii Definiţiei 1.2. Deoarece textele clare şi cele criptate folosesc alfabetul latin, vom efectua în prima etapă o operaţie de codificare : asociem literelor numere întregi din intervalul [0, 25]: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z În acest fel putem opera matematic pe un inel finit foarte simplu: Z 26. Vom avea P = C = K= Z 26. Pentru un K K ales arbitrar, e K (m) = m + K (mod 26) şi d K (α) = α K (mod 26) Definiţia 1.3 Procesul de determinare a unei chei K folosind un text criptat α (asociat eventual cu alte informaţii auxiliare) se numeşte criptanaliză. Deci decriptarea şi criptanaliza au în final acelaşi scop: aflarea textului clar. Diferenţa constă în faptul că în criptanaliză el trebuie aflat fără a şti cheia de decriptare. Există o regulă de aur a creatorilor de sisteme de criptare: Nu subestimaţi niciodată pe criptanalist. care s-a verificat din punct de vedere istoric pentru toate sistemele create până în prezent: acestea sau au fost sparte sau trebuie să se revizuiască periodic pentru a rezista atacurilor permanente ale intruşilor. Să studiem puţin poziţia unui criptanalist (Oscar). Se presupune întotdeauna că el are la dispoziţie facilităţi de calcul excelente, adesea superioare celor de care dispun cei doi parteneri Alice şi Bob. Mai mult, se poate considera că Oscar cunoaşte sistemul de criptare. S-a constatat că practic acest lucru se întâmplă totdeauna. Ce nu cunoaşte însă criptanalistul este cheia K K. Cel mai simplu atac constă în parcurgerea tuturor cheilor posibile şi verificarea textului criptat, până se găseşte cheia corectă. Este atacul prin forţă brută şi el reuşeşte totdeauna, pentru că există întotdeauna o cheie în K, care a folosit la criptare. Deci, în cazul când numărul cheilor posibile este mic (în Exemplul 1.1 sunt numai 26 chei), această cheie se poate afla foarte uşor după un număr finit de încercări. De aceea sunt folosite obligatoriu sisteme de criptare cu card(k) foarte mare. Pentru o cheie care ocupă n biţi sunt necesare în general 2 n căutări (dacă nu există nici o informaţie suplimentară). O extindere a lungimii cheii la n + 1 biţi dublează deci spaţiul de căutare. În momentul de faţă, tehnica de calcul oferă atacuri prin forţă brută eficiente pentru cheile de lungimi mai mici de 128
6 6 PRELEGEREA 1. NOŢIUNI DE BAZĂ ALE CRIPTOGRAFIEI biţi; aşa că sistemele de criptare actuale folosesc în general chei de 1024 biţi sau chiar mai mult 5. În general, un criptanalist este pus în faţa următoarelor situaţii, care îi solicită strategii diverse de urmat: 1. Ştie numai textul criptat w; în acest caz atacurile sunt direct legate de lungimea textului. În sisteme simple cum este Cezar sunt suficiente texte scurte, pentru că o singură potrivire produce textul - clar. Pentru sistemele mai evoluate, este necesară o lungime mai mare a textului criptat. Metodele de criptanaliză folosesc diverse conjecturi şi informaţii statistice relative la alfabetul textului - clar, la frecvenţa apariţiei caracterelor etc. 2. Ştie cel puţin o pereche de caractere (text clar, text criptat); din cunoaşterea câtorva perechi (x, e K (x)) cu x V criptanalistul va încearca să decripteze întregul text criptat interceptat. Exemplul 1.2 La sistemul de criptare Cezar, o singură pereche (a, e K (a)), dezvăluie imediat cheia şi implicit duce la decriptare. Exemplul 1.3 Aceasta a fost situaţia în care s-a aflat orientalistul francez Champollion când a descifrat hieroglifele,folosind piatra de la Rosetta (vezi [6]). 3. Criptanalistul cunoaşte criptarea unor texte clare selectate de el; este atacul cu text clar ales, considerat în majoritatea studiilor de criptanaliză. Această situaţie este adesea superioară celei din cazul precedent; să exemplificăm acest lucru. Exemplul 1.4 Fie sistemul de criptare Hill, creat în 1929 de Lester Hill. Fie d 2 un număr întreg fixat. Se definesc P= C= (Z 26 ) d, K= {M M M d (Z 26 ), det(m) 0}. Deci o cheie de criptare este o matrice M pătrată nesingulară de dimensiune d, cu elemente din Z 26, iar M 1 formează cheia de decriptare. Textul clar w se împarte în blocuri de lungime d : w = α 1 α 2... α n, α i = d (ultimul bloc se completează eventual până ajunge la lungimea d). Textul criptat va fi x = β 1 β 2... β n unde β i = e M (α i ) = α i M (mod 26), (1 i n). Pentru decriptare se foloseşte relaţia d M (β i ) = β i M 1 (mod 26). 3 3 Să luăm de exemplu d = 2 şi cheia M =, cu inversa M = ( O excepţie o constituie sistemele bazate pe curbe eliptice, datorită aparatului matematic special. ).
7 1.1. DEFINIŢII ŞI NOTAŢII PRELIMINARE 7 Dacă textul clar este w = F RAC, vom avea α 1 = (F R) = (5 17), α 2 = (A C) = (0 2) Din relaţiile 3 3 β 1 = α 1 M (mod 26) = (5 17) = (23 22) = (X W ) β 2 = α 2 M (mod 26) = (0 2) = (4 10) = (E K) 2 5 se obţine textul criptat x = XW EK. Să ne situăm acum pe poziţia lui Oscar: presupunem că am găsit dimensiunea d = 2 şi încercăm să aflăm matricea M (sau echivalent M 1 ), ştiind perechea (text clar, text criptat)= (F RAC, XW EG). ( Deci Oscar ) se află acum în faţa următoarei ( probleme: ) care ( este) matricea ( M ) = a b 5 17 a b cu a, b, c, d {0, 1,..., 25}, astfel ca =. c d 0 2 c d Pentru a putea afla această matrice, Oscar trebuie să afle inversa lui A =. 0 2 Cum det(a) = 10 şi cmmdc(10, 26) > 1 = 10 1 (mod 26) nu există; deci A nu este inversabilă. Să presupunem acum că Oscar lucrează în ipoteza (3); alege un text clar a cărui matrice este inversabilă ( şi îi află ) criptarea. Fie BRAD acest text clar, a cărui matrice 1 17 asociată este A =. Oscar solicită criptarea lui BRAD şi primeşte LKGP de matrice B =. Deci el dispune de perechea (BRAD, LKGP ) Oscar detemină întâi A 1 =. Apoi, din ecuaţia A M = B, va găsi soluţia M = A 1 B = = Ştie cheia de criptare; acum Oscar va cunoaşte cheia e K şi încearcă să determine d K înainte de interceptarea mesajelor criptate. Aceasta este situaţia tipică sistemelor de criptare cu cheie publică: cheia de criptare e K este cunoscută public cu mult înainte de a fi folosită pentru criptare. Deci criptanalistul are la dispoziţie destul de mult timp pentru prelucrarea ei şi orice clarificare în perioada când timpul este ieftin are o valoare deosebită; după ce se primesc mesaje criptate, timpul devine scump, şi el trebuie să fie scurtat cât mai mult.
8 8 PRELEGEREA 1. NOŢIUNI DE BAZĂ ALE CRIPTOGRAFIEI 1.2 Sisteme simetrice de criptare În general, sistemele de criptare clasice se numesc şi sisteme simetrice. Motivul este acela că odată cu aflarea cheii de criptare e K, cheia de decriptare d K se obţine imediat, fiind funcţia inversă. Exemplul 1.5 În Exemplul 1.1, la sistemul Cezar d K = e 26 K este cheia de decriptare pentru cheia de criptare e K. Sistemele de criptare simetrice se împart în două clase mari: cifruri de permutare şi cifruri cu substituţie Cifruri de permutare La aceste sisteme de criptare, textul clar se împarte în blocuri de n (n 2) caractere, după care fiecărui bloc i se aplică o permutare fixată Exemplul 1.6 Să presupunem că vom lua drept cheie de criptare permutarea Atunci un text clar, de exemplu FLOARE ALBASTRA se împarte în grupuri de căte trei caractere (s-a considerat şi caracterul spaţiu, notat ) FLO ARE AL BAS TRA Textul criptat va fi LFO RAE A L ABS RTA sau eliminând grupările, LFORAEA LABSRTA. Exemplul 1.7 Un sistem celebru de criptare cu permutări este sistemul Richelieu, prezentat şi în literatură de Jules Verne, în romanul Mathias Sandorf. Dăm un exemplu de utilizare a unui astfel de sistem. Fie cartonul 6 6, în care zonele haşurate constituie găuri. Vrem să criptăm textul EMINESCU A FOST UN MARE POET NATIONAL Vom scrie acest text sub forma unui tabel cu şase linii şi şase coloane, astfel:
9 1.2. SISTEME SIMETRICE DE CRIPTARE 9 E M I N E S C U A F O S T U N M A R E P O E T N A T I O N A L Aplicând cartonul peste acest text, vor rămâne vizibile 9 caractere: MNS TA AN (citite de la stânga la dreapta şi de sus în jos). Vom roti acum cartonul cu 90 o în sensul acelor de ceasornic. El va arăta Aşezând acum peste text, rămân vizibile caracterele F MPTNIL (primul caracter a fost un spaţiu şi l-am marcat cu pentru a-l face vizibil). La a treia rotire a cartonului se obţine similar textul ICSUEETOA, iar la a patra EEUAOURO Deci textul criptat este MNS TA AN F MPTNILICSUEETOAEEUAOURO Operaţia de decriptare se realizează similar. Să formalizăm aceste informaţii. Definiţia 1.4 Fie n un număr natural nenul. Un cifru de permutare este un sistem (P, C, K, E, D) unde P= C= (Z 26 ) n, K= P n (mulţimea permutărilor de n elemente). Pentru o cheie (permutare) π e π (a 1 a 2... a n ) = a π(1) a π(2)... a π(n) d π (b 1 b 2... b n ) = b π 1 (1)b π 1 (2)... b π 1 (n) Lema 1.1 Un cifru de permutare este un sistem de criptare Hill. Demonstraţie: Pentru fiecare permutare π P n putem construi o matrice de permutare M π = (m i,j ) definită m i,j = 1 i = π(j) Se verifică uşor faptul că sistemul de criptare Hill cu matricea M π este echivalent cu un cifru de permutare bazat pe cheia π. Mai mult, M 1 π = M π 1.
10 10 PRELEGEREA 1. NOŢIUNI DE BAZĂ ALE CRIPTOGRAFIEI Exemplul 1.8 Să reluăm Exemplul 1.6. Permutării de permutare ( ) îi corespunde matricea Operaţia de criptare este imediată. De exemplu, criptarea textului F LO este adică LF O. ( ) = ( ) 1.3 Exerciţii 1.1 Textul clar NUMAR este criptat în Orice vânt nu bate seara. Să se descrie sistemul de criptare. 1.2 Folosind atacul prin forţă brută, decriptaţi mesajul WYPTBSJBYZ criptat cu un sistem Cezar. 1.3 O cheie K este auto-cheie dacă d K = e K. Găsiţi toate auto-cheile sistemului de criptare Cezar. 1.4 Fie p un număr prim. Arătăţi că numărul matricilor 2 2 inversabile peste Z p este (p 2 1)(p 2 p). 1.5 Câte matrici 2 2 sunt inversabile peste Z n pentru n = 6, 9, 26? 1.6 Să se cripteze textul clar INAINTE SI LA DREAPTA folosind sistemul de xriptare Hill cu matricea M = sau M = Câte auto-chei sunt într-un sistem de criptare Hill cu d = 2? 1.8 Determinaţi inversele matricilor (modulo 26): ( ), ( ), ,
11 1.3. EXERCIŢII Demonstraţi că într-un cifru de permutare, π este o auto-cheie dacă şi numai dacă ( i, j) [π(i) = j = π(j) = i] Găsiţi toate auto-cheile unui cifru de permutare cu n = 2, 3, 4, 5, Considerăm următorul cifru de permutare: Se fixează numerele naturale p, q. Textul clar se împarte în blocuri de câte p q caractere. Fiecare astfel de bloc se scrie pe liniile unei matrici de p linii şi q coloane. Criptarea blocului se realizează scriind aceste matrici pe coloane. De exemplu, pentru p = 3, q = 4, textul clar MAINI CURATE se scrie M A I N I C U R A T E X (textul s-a completat cu litera X). Textul criptat va fi MIAACTIUENRX. Decriptaţi următorul text DJNOUDNAINPAPANONZ criptat într-un mod similar Să se decripteze mesajul N T I N I I I D D N R I R T E E A D U M I I G R A D V O B E M C I I I E Z S R U A U C M L T A I T U I T N I D A A L E A R A C R I A S Z T E E E I G P S A D E A P R E Z S T C A O A E R I D R E D D E I E S E E P E L ştiind că a fost criptat cu matricea Richelieu definită în Exemplul 1.7.
12 12 PRELEGEREA 1. NOŢIUNI DE BAZĂ ALE CRIPTOGRAFIEI
13 Bibliografie [1] A. Menezes, P. Oorschot, S. Vanstome, Handbook of Applied Cryptography [2] D. Stinton, Cryptography, Theory and Practice, Chapman & Hall/CRC, 2002 [3] A. Salomaa, Criptografie cu chei publice, Ed. Militară, 1996 [4] gwoegi/p-versus-np.htm [5] S. Cook, http : // vs N P/Of f icial P roblem Description.pdf [6] stone 13
riptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 21.2 - Sistemul de criptare ElGamal Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Scurt istoric
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραSisteme liniare - metode directe
Sisteme liniare - metode directe Radu T. Trîmbiţaş 27 martie 2016 1 Eliminare gaussiană Să considerăm sistemul liniar cu n ecuaţii şi n necunoscute Ax = b, (1) unde A K n n, b K n 1 sunt date, iar x K
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραTehnici criptografice
Criptare Criptografia = ştiinţa creării şi menţinerii mesajelor secrete, în sensul imposibiltăţii citirii lor de către neautorizaţi M = mesaj (text) în clar (plain / clear text) C = mesaj cifrat (criptograma,
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραMatrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia 1.1 Fiind date mulţimile A (alfabetul sursă) şi B (alfabetul cod), o codificare
Prelegerea 1 Codificare şi decodificare 1.1 Codificare Definiţia 1.1 Fiind date mulţimile A (alfabetul sursă) şi B (alfabetul cod), o codificare este o aplicaţie injectivă K : A B. Elementele mulţimii
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραPrelegerea 11. Securitatea sistemului RSA Informaţii despre p şi q
Prelegerea 11 Securitatea sistemului RSA Vom trece în revistă câteva modalităţi de atac ale sistemelor de criptare RSA. Ca o primă observaţie, RSA nu rezistă la un atac de tipul meet-in-the middle, strategia
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Διαβάστε περισσότερα5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραProgresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.
Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότεραIII. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul
Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραPrelegerea 2. Cifruri de substituţie. 2.1 Sisteme de criptare monoalfabetice Sistemul de criptare Cezar
Prelegerea 2 Cifruri de substituţie Cifrurile de substituţie sunt cele mai utilizate sisteme de criptare simetrice; ele se întâlnesc şi azi, exemple fiind sistemele DES şi AES. Un astfel de cifru constă
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραLaborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu
INTRODUCERE Laborator 1: ÎN ALGORITMI Întocmit de: Claudia Pârloagă Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu I. NOŢIUNI TEORETICE A. Sortarea prin selecţie Date de intrare: un şir A, de date Date de ieşire:
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότεραAcesta este capitolul 6 Metode şi protocoale criptografice al ediţiei
Acesta este capitolul 6 Metode şi protocoale criptografice al ediţiei electronică a cărţii Reţele de calculatoare, publicată la Casa Cărţii de Ştiinţă, în 2008, ISBN: 978-973-133-377-9. Drepturile de autor
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότερα, m ecuańii, n necunoscute;
Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +
Διαβάστε περισσότεραCRIPTARE 1. INTRODUCERE
1. INTRODUCERE CRIPTARE Întotdeauna informaţia (religioasă, militară, economică, etc.) a însemnat putere, prin urmare dorinţa de a o proteja, de a o face accesibilă doar unor elite, unor iniţiaţi, s-a
Διαβάστε περισσότεραLucian Maticiuc CURS I II. 1 Matrice şi determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare. 1.1 Matrice şi determinanţi
Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC http://mathettituiasiro/maticiuc/ CURS I II Matrice şi determinanţi Sisteme de ecuaţii
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότερα1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότερα1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...
1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότεραOutline Planul cursului Ce este criptografia? Terminologie Repere istorice Complexitate. Criptografie. Curs 1. Anul II.
Criptografie Curs 1 Anul II Februarie 2017 1 Planul cursului 2 Ce este criptografia? 3 Terminologie 4 Repere istorice 5 Elemente de complexitate a algoritmilor Planul cursului 1 Noţiuni şi rezultate de
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραPrelegerea 10. Sistemul de criptare RSA Descrierea sistemului RSA
Prelegerea 10 Sistemul de criptare RSA 10.1 Descrierea sistemului RSA Sistemul de criptare RSA (Rivest - Shamir - Adlema este în acest moment cel mai cunoscut şi uzitat sistem cu cheie publică 1. Aceasta
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότεραTranzistoare bipolare şi cu efect de câmp
apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine
Διαβάστε περισσότεραFoarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui
- Introducere Αξιότιμε κύριε Πρόεδρε, Αξιότιμε κύριε Πρόεδρε, Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui Αγαπητέ κύριε, Αγαπητέ κύριε, Formal, destinatar de sex
Διαβάστε περισσότερα1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială. Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial După cum s-a văzut deja, într-un spaţiu vectorial V avem mai multe baze, iar un vector x V va avea câte un sistem
Διαβάστε περισσότεραMetode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy
Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,
Διαβάστε περισσότεραNicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI
Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότερα2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare. Copyright Paul GASNER
2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare Copyright Paul GASNER Definiţii Un decodor pe n bits are n intrări şi 2 n ieşiri; cele n intrări reprezintă un număr binar care determină în mod unic care
Διαβάστε περισσότεραSeminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0
Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a V-a
(40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii
Διαβάστε περισσότεραCum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme
Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri
Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut
Διαβάστε περισσότεραCâmp de probabilitate II
1 Sistem complet de evenimente 2 Schema lui Poisson Schema lui Bernoulli (a bilei revenite) Schema hipergeometrică (a bilei neîntoarsă) 3 4 Sistem complet de evenimente Definiţia 1.1 O familie de evenimente
Διαβάστε περισσότεραΕμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία
- Εισαγωγή Stimate Domnule Preşedinte, Stimate Domnule Preşedinte, Εξαιρετικά επίσημη επιστολή, ο παραλήπτης έχει ένα ειδικό τίτλο ο οποίος πρέπει να χρησιμοποιηθεί αντί του ονόματος του Stimate Domnule,
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότερα