Risk adjustment, investment policy, and valuation for an unlevered firm

Transcript

1 Working Paper Series Department of Economics University of Verona Risk adjustment, investment policy, and valuation for an unlevered firm Angelica Gianfreda, Alessandro Sbuelz WP Number: 49 October 2008 ISSN: (paper), (online)

2 Ρισκ αδϕυστµεντ, ινϖεστµεντ πολιχψ, ανδ ϖαλυατιον φορ αν υνλεϖερεδρµ ΑνγελιχαΓιανφρεδα ΑλεσσανδροΣβυελζ ψ Οχτοβερ 2008 Αβστραχτ Ωε χηαραχτεριζε τηε οπτιµαλ ινϖεστµεντ δεχισιον ανδ τηε στοχκ ϖαλυε οφ αν υνλεϖερεδ ρµ τηατ ηολδστηενον στανδαρδοπτιονοφιµπροϖινγτηεγροωτηρατεοφχασηοωσφροµιτσασσετσινπλαχευπον ινχυρρινγανιρρεϖερσιβλεχοστ. Τηερµσινϖεστµεντπολιχψανδεθυιτψπριχεαρεστυδιεδασαφυνχτιον οφτηεµαρκετπριχεοφρισκ,οφχασηοωσεξποσυρετοσψστεµατιχρισκ,ανδοφχασηοωϖολατιλιτψ. ϑελχλασσιχατιον: Χ6;Ε2 Κεψωορδσ: Ινϖεστµεντ; Εθυιτψ πριχινγ; Μαρκετ πριχε οφ ρισκ 1 Ιντροδυχτιον Τηεαναλψσισοφτηεινϖεστµεντπολιχψοφανυνλεϖερεδρµανδοφτηερµσενσυινγϖαλυειντηεπρεσενχε οφρισκπρεµιαισκνοωντοβεαδελιχατεισσυεσινχετηεπιονεερινγωορκσοφμαχ οναλδανδσιεγελ(1986), Πινδψχκ(1988),ανδ ιξιτ(1989). Τηεπρεσενχεοφεχονοµψ ωιδερισκαϖερσιονσιγνιχαντλψιµπαχτστηε ρµσινϖεστµεντδεχισιονανδτηερµσφαιρϖαλυε. Χηιεψ,ιγνορινγρισκπρεµιαηαµπερστηεαναλψσισασ τηερισκ αδϕυστεδδριφτοφτηερµσχασηοωπροχεσσανδιτσϖολατιλιτψρεµαινυννατυραλλψδελινκεδ. Ιφτηε µαρκετπριχεοφρισκισποσιτιϖε,ασυργειντηεσψστεµατιχχοµπονεντοφχασηοωϖολατιλιτψδοεσινατετηε επαρτµεντ οφ Εχονοµιχσ, ΣΑΦΕ Χεντερ, Υνιϖερσιτψ οφ ςερονα, ςια Γιαρδινο Γιυστι 2, 37129, ςερονα, Ιταλψ, Ε µαιλ: ανγελιχα.γιανφρεδα εχονοµια.υνιϖρ.ιτ. ψ επαρτµεντ οφ Εχονοµιχσ, ΣΑΦΕ Χεντερ, Υνιϖερσιτψ οφ ςερονα, ςια Γιαρδινο Γιυστι 2, 37129, ςερονα, Ιταλψ, Ε µαιλ: αλεσσανδρο.σβυελζ υνιϖρ.ιτ. 1

3 ϖαλυεοφτηεοπτιον λικεχοµπονεντσοφρµσεθυιτψβυτηασαλσοαγενεραλδεατινγε εχτοντηεϖαλυε οφανψχλαιµοντηερµσχασηοωσ. Ιν χοντραστ, τηε λινκ βετωεεν εθυιτψ ϖαλυατιον, οπτιµαλ ινϖεστµεντ, ανδ ρισκ αδϕυστµεντ ισ τηε χεντερ οφουραττεντιον. Ωεφοχυσοναυνλεϖερεδρµτηατηαστηεινϖεστµεντοπτιονοφιµπροϖινγτηεεξπεχτεδ γροωτηρατεοφχασηοωσφροµιτσασσετσινπλαχερατηερτηαντηευσυαλινϖεστµεντοπτιονοφειτηερσχαλινγ τηεµ υπ ορ βυψινγ ινχρεµενταλ ασσετσ. Τηε ινϖεστµεντ πολιχψ ανδ τηε στοχκ ϖαλυε αρε ινϖεστιγατεδ φορ δι ερεντλεϖελσοφτηεεχονοµψ ωιδερισκαϖερσιον,οφχασηοωσχορρελατιονωιτησψστεµατιχσηοχκσ,ανδ οφχασηοωϖολατιλιτψ. Τηε εµπηασισ ον σψστεµατιχ ρισκ πλαχεσ ουρ αναλψσισ χλοσε το τηε ωορκσ οφ Σαρκαρ(2000), Χαππυχχιο ανδ Μορεττο(2001), Σαρκαρ(2003), ανδ Λυνδ(2005). Τηεσε ωορκσ ηαϖε α δι ερεντ φοχυσ. Τηεψ αρε µαινλψ χονχερνεδωιτηρµσνεαρνεσστοινϖεστασασσεσσεδβψτηεοβϕεχτιϖεπροβαβιλιτψοφινϖεστινγωιτηινα ξεδηοριζονανδβψµεασυρεσοφεξπεχτεδινϖεστµεντ. Αλσο,τηεψστυδψτηερµσχλασσιχαλινϖεστµεντ οπτιον οφ αχθυιρινγ ινχρεµενταλ ασσετσ. Ουρ εξπλιχιτ τρεατµεντ οφ εθυιτψ πριχινγ φορ αν υνλεϖερεδ ρµ τηατ ηολδσ τηε νον στανδαρδ οπτιον οφ ιµπροϖινγ τηε γροωτη ρατε οφ ιτσ ασσετσ ιν πλαχε µακεσ α διστινχτ χοντριβυτιον το τηειρ αναλψσεσ. Ουρ ωορκ ισ οργανιζεδ ασ φολλοωσ. Σεχτιον 2 δεσχριβεσ τηε πριµιτιϖεσ οφ ουρ χοντινυουσ τιµε µοδελ. Εθυιτψ ϖαλυατιον ισ χαρριεδ ουτ ιν Σεχτιον 3. Σεχτιον 4 γιϖεσ νυµεριχαλ εϖιδενχε ον ηοω ρισκ πρεµια σηαπε ινϖεστµεντ πολιχψ ανδ εθυιτψ ϖαλυε. Σεχτιον 5 χονχλυδεσ. 2 Στοχηαστιχ δισχουντ φαχτορ ανδ εθυιτψ ρισκ πρεµιυµ Ωεασσυµετηεεξιστενχεοφανεξογενουσστατε πριχεδενσιτψπροχεσσφγτηατπριχεσανψτραδεδασσετιν τηε εχονοµψ ανδ ιτσ δψναµιχσ ισ δ =ρδτδωπ ; ωηερεριστηερισκφρεερατε,ιστηεµαρκετπριχεοφσψστεµατιχρισκ,ανδπδενοτεστηεοβϕεχτιϖεπροβαβιλιτψ µεασυρε. Τηερµσχασηοωλεϖεληαστηεφολλοωινγδψναµιχσ: δ =δτ+δζπ : Τηεπαραµετερθυαντιεσηοωµυχησηοχκστοτηερµσχασηοωσχοµοϖεωιτητηεσψστεµατιχσηοχκσ ιν τηε εχονοµψ: η δ Ω Π ;Ζ Πι =δτ; 2

4 11; ωηερε[ ; ]δενοτεστηεθυαδρατιχχοϖαριατιονοφτωοδι υσιϖεπροχεσσεσ. Τηεπαραµετερρεπρεσεντστηε ρµσεξποσυρετοσψστεµατιχρισκ. Ωηεντηεεξποσυρεισνεγατιϖε,τηερµσστοχκο ερσινσυρανχεανδ ιτσ ρισκ πρεµιυµ Σ Σ βεχοµεσνεγατιϖε,ωηερεσ δενοτεστηεδεριϖατιϖεοφτηεστοχκπριχεσωιτηρεσπεχττοτηερµσχασηοω λεϖελ. Ασ ιτ ισ νατυραλ φορ χασηοωσ στεµµινγ φροµ ρεαλ βυσινεσσ οπερατιονσ, ωε ασσυµε τηατ τηε προχεσσ φ γχαννοτβεσεεναστηεϖαλυεπροχεσσοφασελφ νανχινγπορτφολιοοφτραδεδασσετσ. Ηενχε,τηεεξπεχτεδ γροωτηρατεβεαρσνοαπριορι ρελατιονωιτηρ,ανδαπαρτφροµτηεονεεσταβλισηεδβψαβουνδεδνεσσ χονδιτιονοντηερµσφαιρϖαλυεσ( )ιντηεαβσενχεοφινϖεστµεντοπτιονσ: 0σ( )= <1 φορβουνδεδλεϖελσοφ. ρ+ Συχη α χονδιτιον ισ εθυιϖαλεντ το τηε ωελλ κνοων εξπεχτεδ ρετυρν σηορτφαλλ χονδιτιον ιν τηε ρεαλ οπτιονσ λιτερατυρε: ρ+>0: Τηερµισαναλλ εθυιτψχορπορατιονανδισρυνβψεθυιτψηολδερσωηοµαξιµιζετηεϖαλυεοφεθυιτψ. Τηερµηασανινϖεστµεντοππορτυνιτψτοιµπροϖετηεγροωτηρατεοφιτσαχτιϖιτιεσφροµτο 0 (ρ+> 0 >)υπονινχυρρινγανιρρεϖερσιβλεχοστι. Σινχετηερµσεθυιτψισατραδεδσεχυριτψτηατπροϖιδεσανιντερµεδιατεπαψουτεθυαλτο περυνιτ τιµε, τηε νο αρβιτραγε δψναµιχσ οφ εθυιτψ πριχεσ ιν τηε αβσενχε ανδ ιν τηε πρεσενχε οφ τηε ινϖεστµεντ οπτιον ηασ τηε σαµε στρυχτυρε: ρεσπεχτιϖελψ. δσ σ + σ δτ = ρ+ σ σ δτ+ σ σ δζπ ; δσ Σ + Σ δτ = ρ+ Σ Σ δτ+ Σ Σ δζπ ; 3 Εθυιτψ πριχινγ Ατ τηε ινϖεστµεντ δατε, εθυιτψηολδερσ χοντριβυτε νεω εθυιτψ φυνδσ φορ αν αµουντ Ι. Τηεσε φυνδσ αρε υσεδτοεξερχισετηεγροωτηοπτιον,σοτηαττηεδριφτιντηεχασηοωπροχεσσισυπγραδεδτο 0. Γιϖεν θ 1 = ρ 2 >1; 3

5 εθυιτψσνο αρβιτραγεϖαλυεισ Σ( ) = 8 < : Υ 1 σ( )+ ρ+ σ(υ)ι Υ ιφ 0 Υ; 0 ρ+ 0 Ι ιφ Υ < ; 1 Υ = Ι 1 1 (ρ+ 0 )(ρ+) 0 ; ωηερε Σ( ) µεετσ τηε δψναµιχ νο φρεε λυνχη ρεστριχτιον Σ Σ =Σρ+Σ ωιτη τηε ϖαλυε µατχηινγ ανδ σµοοτη παστινγ χονδιτιονσ: Υ Σ(Υ)= ρ+ 0 Ι ανδ δ δ Σ( ) =Υ = 1 ρ+ 0: Ωιτηιντηισφραµεωορκ,ανινχρεασεοφτηενον σψστεµατιχχοµπονεντοφχασηοωρισκχανβεµανιφεστλψ υνδερστοοδ ασ αν ινχρεασε ιν αχχοµπανιεδ βψ α δεχρεασε ιν. Τηε αχχοµπανψινγ δεχρεασε ιν τηε εξποσυρε το σψστεµατιχ ρισκ ισ συχη τηατ τηε εξπεχτεδ ρετυρν σηορτφαλλσ ρ+ ανδ ρ+ 0 ρεµαιν υντουχηεδ ατ τηειρ οριγιναλ λεϖελσ. Τηισ αχχοµµοδατεσ τηε σιτυατιονσ ενϖισαγεδ βψ Χαππυχχιο ανδ Μορεττο(2001)ανδΛυνδ(2005). Ιτµυστβενοτιχεδτηατσυχησιτυατιονσδοµοδιφψτηερµσινϖεστµεντ πολιχψ ανδ εθυιτψ ϖαλυε. Ιν χοντραστ, τηε µαγνιτυδε οφ τηε εχονοµψ ωιδε αττιτυδε τοωαρδσ ρισκ ανδ τηε εξποσυρε το σψστεµατιχ ρισκ χαν βε χηανγεδ ιν ωαψσ τηατ λεαϖε τηε ρµσ ινϖεστµεντ πολιχψ ανδ εθυιτψ ϖαλυε υνα εχτεδ. Τηισ οχχυρσ ωηενεϖερ ανδ αρε ρεϖισεδ ωιτηουτ αλτερινγ τηειρ προδυχτ. Τωο πολαρ χασεσ οφ συχη αν οβσερϖατιοναλεθυιϖαλενχεαρενοταβλε: τηεχασεοφαρισκ νευτραλεχονοµψ(=0)ανδτηεχασεοφαρµσ ζεροεξποσυρετοσψστεµατιχρισκ(=0). 4 Νυµεριχαλ ρεσυλτσ Τηερστνυµεριχαλισσυεωεαδδρεσσιστηεδιρεχτε εχτονινϖεστµεντπολιχψανδονεθυιτψϖαλυεοφτηε µαρκετ πριχε οφ σψστεµατιχ ρισκ ανδ οφ τηε ρµσ εξποσυρε το σψστεµατιχ ρισκ. Ωε αδοπτ τηε βασε χασε 4

6 παραµετερ λεϖελσ ρεπορτεδ ιν Ταβλε 1. Ταβλε 1: Βασε χασε παραµετερσ 0 ρ Ι 0% 2.5% 15% % 1 Φιγυρεσ 1Α ανδ 1Β σηοω ηοω χηανγεσ ιν τηε µαρκετ πριχε οφ ρισκ ιµπαχτ τηε ινϖεστµεντ τηρεσηολδ Υ ανδ εθυιτψσ µαρκετ ϖαλυε Σ( ). Ιφ τηε ρµ ισ ποσιτιϖελψ εξποσεδ το σψστεµατιχ ρισκ ( = 0:5), αν ινχρεασεινιµπλιεσαδοωνωαρδρεϖισιονοφτηερισκ αδϕυστεδπερχενταγεδριφτ οφτηεχασηοω προχεσσ. Τηισ λεσσενσ τηε ρισκ αδϕυστεδ προβαβιλιτψ οφ ηιττινγ α γιϖεν υππερ βαρριερ, βυτ ιτ αλσο ιµπλιεσ α δεατιον οφ ανψ σεχυριτψ εξποσεδ το σψστεµατιχ ρισκ, ινχλυδινγ α δεπρεσσιον οφ τηε ινϖεστµεντ παψο Υ ρ+ 0 Ι. Τηε σεχονδ ε εχτ πρεϖαιλσ σο τηατινϖεστµεντισ δελαψεδτο ιµπροϖε τηε χασηοωλεϖελ Υ ατωηιχηιτισοπτιµαλλψχαρριεδωιτητηεοβϕεχτιϖεοφµαξιµιζινγτηεστοχκπριχε. Ιφτηερµσχασηοωσ εξηιβιτ νο εξποσυρε το σψστεµατιχ ρισκ ( = 0), αλτερατιονσ ιν τηε εχονοµψ ωιδε αττιτυδε τοωαρδσ ρισκ ηαϖενοιµπαχτοντηερµσινϖεστµεντπολιχψανδονιτσστοχκπριχε. threshold U market price of risk Φιγυρε1Α: Υ ϖερσυσφορ=0:5(βλαχκ)ανδφορ=0(ρεδ) 5

7 equity value cashflow Φιγυρε1Β: Σ( )ϖερσυσ γιϖεν=0:5φορ=0(γρεεν),=0:5(βλαχκ),=1(ρεδ),ανδ =1:5(µαγεντα). ΤηεβοξεσρεπρεσενττηεινϖεστµενττηρεσηολδΥ ανδεθυιτψσχορρεσπονδινγ ϖαλυεσ(υ) Φιγυρεσ2Αανδ2Βπροϖιδεεϖιδενχεονωηατιστηεε εχτονυ ανδονσ( )οφχηανγεσιντηερµσ εξποσυρετοσψστεµατιχρισκ. Ιφσψστεµατιχρισκισδισλικεδαττηεεχονοµψ ωιδελεϖελ(=0:5),χασηοωσ νεγατιϖεχορρελατιονωιτησψστεµατιχσηοχκσιµπλιεσανυπωαρδρεϖισιονοφιτσρισκ αδϕυστεδπερχενταγε δριφτ,ωηιχηραισεστηερισκ αδϕυστεδπροβαβιλιτψοφηιττινγαγιϖενυππερβαρριερ. Ανεγατιϖεαλσο ιµπλιεσαϖαλυεσωελλινγοφανψχλαιµοντηερµσχασηοωσ,χουντινγτηεινϖεστµεντπαψο Υ ρ+ 0 Ι. Βοτηε εχτσγοιντηεσαµεδιρεχτιονοφβεινγχονδυχιϖετοαναντιχιπατεδοπτιµαλινϖεστµεντασυ χαν βεχονφορταβλψλοωερεδτοµαξιµιζεεθυιτψϖαλυε. Τηεοπποσιτεαργυµεντσηολδφοραποσιτιϖε. Ιφτηερε ισεχονοµψ ωιδερισκνευτραλιτψ(=0),χηανγεσινηαϖενοιµπαχτοντηερµσινϖεστµεντδεχισιον ανδονιτσεθυιτψϖαλυε. 6

8 threshold U correlation Φιγυρε2Α: Υ ϖερσυσφορ=0:5(βλαχκ)ανδφορ=0(ρεδ),γιϖενρ+> 0 equity value cashflow Φιγυρε2Β: Σ( )ϖερσυσ γιϖεν=0:5φορ=0:5(βλαχκ),=0:25(ρεδ),ανδ=0 (γρεεν),ανδ=0:25(µαγεντα). ΤηεβοξεσρεπρεσενττηεινϖεστµενττηρεσηολδΥ ανδεθυιτψσ χορρεσπονδινγ ϖαλυε Σ(Υ) Χηανγεσινχασηοωϖολατιλιτψµοδιφψρισκπρεµιαεϖενιφανδαρεκεπτχονσταντ. Οβϖιουσλψ,συχη χηανγεσ µυστ βε υνδερστοοδ ασ µοδιχατιονσ οφ τηε σψστεµατιχ χοµπονεντ οφ χασηοω ϖολατιλιτψ. Τηε σεχονδισσυεωεαδδρεσσισηοωτηεµαρκετπριχεοφσψστεµατιχρισκανδτηερµσεξποσυρετοσψστεµατιχ ρισκ χοντριβυτε το τηε ε εχτσ οφ ϖολατιλιτψ ον ινϖεστµεντ πολιχψ ανδ ον εθυιτψ ϖαλυατιον. Φιγυρε 3Α σηοωσ ηοωσενσιτιϖεισοπτιµαλινϖεστµενττοινχρεασεσιν. Ιντηεαβσενχεοφανψρισκπρεµιυµιντηεεχονοµψ (=0),ασωελλεδϖολατιλιτψιµπλιεστηατανψγιϖενυππερβαρριερισλεσσερδι χυλττοβερεαχηεδ,ωηιλετηε ινϖεστµεντ παψο Υ ρ+ 0 Ι ρεµαινσυνα εχτεδ. Ηενχε,οπτιµαλινϖεστµεντισδεφερρεδτοµαξιµιζε τηε στοχκ πριχε. Ινϖεστµεντ ποστπονεµεντ ισ µορε προµινεντ ιν τηε πρεσενχε οφ εχονοµψ ωιδε ρισκ πρεµια 7

9 (=0:5)ανδοφποσιτιϖεχορρελατιονβετωεεντηερµσχασηοωσωιτησψστεµατιχρισκ(=0:5). Ασωελλεδ ϖολατιλιτψδοωνσιζεστηερισκ αδϕυστεδπερχενταγεδριφτ,βυτιταλσοχοµεσαλονγωιτηαδεατιον οφ ανψ χλαιµ ον τηε ρµσ χασηοωσ, ινχλυδινγ α δεϖαλυατιον οφ τηε ινϖεστµεντ παψο Υ ρ+ 0 Ι. Τηεσεχονδε εχτωινσσοτηατινϖεστµεντισεϖενµορεποστπονεδτοπυµπυπτηεχασηοωλεϖελυ ατ ωηιχη τηε ινϖεστµεντ οπτιον ισ οπτιµαλλψ εξερχισεδ. Φιγυρε 3Β σηοωσ τηατ, ιν τηε τωο οβσερϖατιοναλλψ εθυιϖαλεντχασεσ=0ανδ=0,τηεϖαλυεοφτηεοπτιονοφωαιτινγτοινϖεστεξπεριενχεσαβαρελψϖισιβλε ινχρεασε ασ µοϖεσ υπ, λεαϖινγ τηε ρµσ στοχκ πριχε νεαρλψ υνα εχτεδ. Ηενχε, ρισκ πρεµια (=0:5) ανδηιγηερϖολατιλιτψοφχασηοωσωιλλπρεδιχταβλψδενττηεµαρκετϖαλυεοφαρµωιτηποσιτιϖεεξποσυρε τοσψστεµατιχρισκ(=0:5). ΤηισισχονρµεδβψΦιγυρε3Χ. threshold U volatility Φιγυρε3Α: Υ ϖερσυσφορ=0:5ανδ=0:5(βλαχκ)ανδφορειτηερ=0ορ=0(ρεδ) equity value cashflow Φιγυρε3Χ: Σ( )ϖερσυσ γιϖενειτηερ=0ορ=0φορ=0:05(βλαχκ),=0:10(ρεδ), =0:15(γρεεν),ανδ=0:20(µαγεντα). ΤηεβοξεσρεπρεσενττηεινϖεστµενττηρεσηολδΥ ανδ εθυιτψσχορρεσπονδινγϖαλυεσ(υ) 8

10 equity value cashflow Φιγυρε3Β: Σ( )ϖερσυσ γιϖεν=0:5ανδ=0:5φορ=0:05(βλαχκ),=0:10(ρεδ), =0:15(γρεεν),ανδ=0:20(µαγεντα). ΤηεβοξεσρεπρεσενττηεινϖεστµενττηρεσηολδΥ ανδ εθυιτψσχορρεσπονδινγϖαλυεσ(υ) 5 Χονχλυσιονσ Ουρωορκβυιλδσοντηεεξταντλιτερατυρετηατγαυγεστηειµπαχτοφσψστεµατιχρισκονρεαλοπτιονσ. Ωε χονσιδερανυνλεϖερεδρµτηατ,υπονινχυρρινγανιρρεϖερσιβλεχοστ,ηαστηεοπτιονοφλιφτινγτηεεξπεχτεδ γροωτηρατεοφιτσεξιστινγχασηοωσρατηερτηαντηεστανδαρδοπτιονοφειτηερσχαλινγτηεµυπορβυψινγ ινχρεµενταλ ασσετσ. Τηε ινϖεστµεντ πολιχψ ανδ τηε στοχκ ϖαλυε οφ τηε υνλεϖερεδ ρµ αρε στυδιεδ ασ α φυνχτιον οφ εχονοµψ ωιδε ρισκ πρεµια, οφ ρµσ εξποσυρε το σψστεµατιχ ρισκ, ανδ οφ χασηοω ϖολατιλιτψ. Εϖενιντηεπρεσενχεοφτηεινϖεστµεντοπτιον,ασυργειντηεσψστεµατιχχοµπονεντοφχασηοωϖολατιλιτψ ισσηοωντοηαϖεανετδεατινγε εχτοντηερµσεθυιτψϖαλυε. Αν ιντερεστινγ αϖενυε φορ φυτυρε ρεσεαρχη ισ τηε εξαµινατιον, ϖια αν εξτενσιον οφ τηε αναλψσισ ιν Μαυερ ανδοττ(2000),οφτηειµπαχτοφρισκπρεµιαοντηεχοστοφμψερσσ(1977)δεβτοϖερηανγπροβλεµφορα λεϖερεδ χορπορατιον ενδοωεδ ωιτη γροωτη οπτιονσ. 9

11 Ρεφερενχεσ [1] Χαππυχχιο, Ν.,& Μορεττο, Μ.(2001). Χοµµεντσ ον τηε ινϖεστµεντ υνχερταιντψ ρελατιονσηιπ ιν α ρεαλ οπτιον µοδελ, Π , επαρτµεντ οφ Εχονοµιχσ, Υνιϖερσιτψ οφ Παδοϖα. [2] ιξιτ, Α.Κ. (1989): Εντρψ ανδ εξιτ δεχισιονσ υνδερ υνχερταιντψ, ϑουρναλ οφ Πολιτιχαλ Εχονοµψ, 97, [3] Μχ οναλδ, Ρ., Σιεγελ,. (1986): Τηε ςαλυε οφ Ωαιτινγ το Ινϖεστ, Θυαρτερλψ ϑουρναλ οφ Εχονοµιχσ, 101, [4] Μαυερ,.Χ., ανδ Οττ, Σ.Η. (2000): Αγενχψ χοστσ, υνδερινϖεστµεντ, ανδ οπτιµαλ χαπιταλ στρυχτυρε: Τηε ε εχτ οφ γροωτη οπτιονσ το εξπανδ. Ιν: Βρενναν, Μ.ϑ., Τριγεοργισ, Λ.(Εδσ.), Προϕεχτ Φλεξιβιλιτψ, Αγενχψ,ανδΧοµπετιτιον.ΟξφορδΥνιϖερσιτψΠρεσσ,ΝεωΨορκ,ππ [5] Λυνδ,. (2005): Ηοω το αναλψζε τηε ινϖεστµεντυνχερταιντψ ρελατιονσηιπ ιν ρεαλ οπτιον µοδελσ?, ΡεϖιεωοφΦινανχιαλΕχονοµιχσ,14, [6] Μψερσ,Σ.Χ.(1977): ετερµιναντσοφχορπορατεβορροωινγ,ϑουρναλοφφινανχιαλεχονοµιχσ5, [7] Πινδψχκ, Ρ. (1988): Ιρρεϖερσιβλε ινϖεστµεντ, χαπαχιτψ χηοιχε, ανδ τηε ϖαλυε οφ τηε ρµ, Αµεριχαν ΕχονοµιχΡεϖιεω,78, [8] Σαρκαρ, Σ. (2000): Ον τηε ινϖεστµεντ υνχερταιντψ ρελατιονσηιπ ιν α ρεαλ οπτιονσ µοδελ. ϑουρναλ οφ Εχονοµιχ ψναµιχσ&χοντρολ,24, [9] Σαρκαρ, Σ.(2003): Τηε ε εχτ οφ µεαν ρεϖερσιον ον ινϖεστµεντ υνδερ υνχερταιντψ. ϑουρναλ οφ Εχονοµιχ ψναµιχσ&χοντρολ,28,