BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar"

Transcript

1 BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15

2 Sadržaj Projektovanje i građenje objekata 1 Projektovanje i građenje objekata Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada 2

3 Sadržaj Projektovanje i građenje objekata Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada 1 Projektovanje i građenje objekata Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada 2

4 Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada Projektovanje i građenje objekata Opšte napomene o izgradnji objekata Izgradnja objekata je skup radnji koji obuhvata Prethodne radove Izradu tehničke dokumentacije Tehničku kontrolu tehničke dokumentacije Pripremne radove za građenje Građenje objekta Vršenje stručnog nadzora u toku građenja Tehnički prijem objekta (upotrebna dozvola)

5 Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada Projektovanje i građenje objekata Opšte napomene o izgradnji objekata U prethodne radove spadaju - geodetska snimanja lokacije - geomehanički istražni radovi - mikroseizmička rejonizacija,... Tehnička dokumentacija na osnovu koje se gradi objekat sadrži, kao osnovno, - Idejni projekat - Glavni projekat - Izvođački projekat - Projekat izvedenog stanja

6 Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada Projektovanje i građenje objekata Opšte napomene o izgradnji objekata Za neke (značajnije) objekte izrađuje se prvo Generalni projekat, gde je glavni deo Studija opravdanosti i procena uticaja budućeg objekta na životnu sredinu Na osnovu Idejnog projekta dobija se odobrenje za građenje Glavni projekat podleže tehničkoj kontroli tehničke dokumentacije Na osnovu pozitivno revidovanog Glavnog projekta dobija se građevinska dozvola i vrši se prijava početka građenja objekta Tehničku kontrolu (reviziju) Glavnog projekta vrše ovlašćene firme i pojedinci sa licencom

7 Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada Projektovanje i građenje objekata Opšte napomene o izgradnji objekata Objekat se gradi u skladu sa Glavnim projektom Izvođački projekat sadrži razradu svih detalja za građenje prema Glavnom projektu Izvođački projekat (uglavnom) nije neophodan kod AB objekata, ali se kod čeličnih konstrukcija, po pravilu, radi Izvođački projekat kod čeličnih konstrukcija svodi se na izradu radioničkih crteža, koje radi izvođačka firma, a ne odgovorni projektant konstrukcije Projekat izvedenog stanja je Glavni projekat u koji su unete eventualne izmene (odstupanja) od rešenja u Glavnom projektu

8 Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada Projektovanje i građenje objekata Opšte napomene o izgradnji objekata Pripremni radovi prethode samom građenju objekta i sastoje se od niza aktivnosti: - rušenja postojećih objekata na parceli i raščišćavanja terena i izmeštanja postojeće infrastrukture - postavljanja gradilišne ograde, kontejnera i sl. i obezbeđivanja prostora za dopremanje i smeštanje mehanizacije i građevinskog materijala - zemljanih radova, a posebno radova na zaštiti temeljne jame i susednih objekata (ugrađivanje šipova, dijafragmi, zaštitnih zidova, itd) - obezbeđivanja nesmetanog odvijanja saobraćaja i kretanja pešaka, itd

9 Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada Projektovanje i građenje objekata Opšte napomene o izgradnji objekata Tokom radova na izgradnji objekta, stalno se vrši stručni nadzor izvođenja radova od strane nezavisnog Nadzornog organa, kojeg angažuje Investitor, a u cilju stručne kontrole da se radovi vrše u svemu u skladu sa odobrenm Glavnim projektom Tokom izvođenja radova izvođač radova (šef gradnilšta) svakodnevno vodi Građevinski dnevnik koji Nadzorni organ overava (potpisuje) Na kraju izvedenih radova vrši se Tehnički prijem objekta i izdaje se upotrebna dozvola

10 Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada Projektovanje i građenje objekata Tehnička dokumentacija Generalni projekat se izrađuje samo za složenije (veće) objekte i za objekte koje finansira država Glavni aspekti Generalnog projekta su studija opravdanosti gradnje objekta, kao i uticaj budućeg objekta na životnu sredinu Ponekad se vrši i prethodna studija opravdanosti Idejni projekat prikazuje izgled (i funkcionalnost) objekta, preliminarni statički proračun i proračun stabilnosti i fundiranja objekta, često i uporedna varijantna rešenja i izbor optimalnog, itd

11 Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada Projektovanje i građenje objekata Tehnička dokumentacija - Glavni projekat Glavni projekat u sebi sadrži i geomehanički elaborat sa prikazom terena na lokaciji budućeg objekta i uslovima fundiranja (dozvoljeni naponi na tlo, očekivana sleganja i sl.) Geomehanički elaborat je podloga odgovornom projektantu za usvajanje načina fundiranja objekta U slučaju potrebe, glavni projekat sadrži i elaborat mikroseizmičke rejonizacije, kao podloge za detaljniju seizmičku analizu Osnovni deo Glavnog projekta je detaljan statički (i dinamički, ako je potrebno) proračun objekta i detaljno dimenzionisaje svih elemenata konstrukcije, uz grafičko prikazivanje dobijenih rezultata

12 Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada Projektovanje i građenje objekata Tehnička dokumentacija - Glavni projekat Glavni građevinski projekat sadrži 1 Opšti deo sa projektnim zadatkom i tehničkim izveštajem 2 Numeričku dokumentaciju 3 Grafičku dokumentaciju 4 Predmer i predračun Opšti deo sadrži rešenje o registraciji firme, rešenje o određivanju odgovornog projektanta, licencu odgovornog projektanta i sl., a posebno sadrži Projektni zadatak (potpisan od Investitora!), Tehnički izveštaj sa detaljnim opisom konstrukcije, usvojenih opterećenja, dobijenih rezultata, ali i sa izvodima iz geomehaničkog elaborata i, eventualno, mikroseizmičkog elaborata

13 Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada Naslovna strana Glavnog projekta

14 Deo sadržaja Glavnog projekta Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada

15 Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada Rešenje o određivanju Odgovornog projektanta

16 Izjava Odgovornog projektanta Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada

17 Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada Projektovanje i građenje objekata Tehnička dokumentacija - Glavni projekat Numerička dokumentacija Glavnog projekta je kompletan i detaljno prikazan statički, a po potrebi i dinamički, proračun, sa dimenzionisanjem svih elemenata konstrukcije Grafička dokumentacija Glavnog projekta pretstavlja precizan i detaljan grafički (i tekstualni) prikaz dobijenih rezultata Grafička dokumentacija sadrži planove oplate i planove armature, sa potrebnim detaljima, kao i specifikaciju i izvod armature Grafička dokumentacija podrazumeva i prikaz konstrukcije (osnove, preseci i detalji), gde su unete i oznake pozicija

18 Plan pozicija - vertikalan presek Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada

19 Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada Plan pozicija - horizontalan presek (osnova)

20 Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada Projektovanje i građenje objekata Tehnička dokumentacija - Glavni projekat Deo Glavnog projekta je i Projekat zaštite temeljne jame i susednih objekata Projekat zaštite temeljne jame i susednih objekata je veoma značajan (i kao projekat i kao izvedena konstrukcija) Najčešće se po obimu budućeg gradilišta (odn. temeljne jame) izvedu šipovi (obično bušeni šipovi) Šipovi se u svojim glavama međusobno povezuju naglavnim AB gredama, a po visini, između šipova izvode se (vertikalne) AB ploče (koje se vezuju za šipove) Sa iskopom tla izvode se nove AB ploče, tako da se formira obodni zid po obimu temeljne jame Zaštitna konstrukcija se ukrućuje čeličnim nosačima (obično čeličnim cevima)

21 Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada Zaštita temeljne jame i susednih objekata

22 Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada Zaštita temeljne jame i susednih objekata

23 Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada Zaštita temeljne jame i susednih objekata

24 Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada Loša zaštita temeljne jame i susednih objekata

25 Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada Loša zaštita temeljne jame i susednih objekata

26 Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada Loša zaštita temeljne jame i susednih objekata

27 Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada Projektovanje i građenje objekata Tehnička dokumentacija - Glavni projekat Predmer i predračun je deo Glavnog projekta gde se prikazuju količine i vrednost pojedinih stavki u izgradnji objekta Na kraju Predmera i predračuna vrši se Rekapitulacija gde se sumarno prikazuju količine i cene za pripremne radove, zemljane radove, betonske radove, armiračke radove, zidarske radove, itd Izvođački projekat se (skoro nikad) ne vrši za AB konstrukcije U slučaju potrebe, detalje izvođenja koji nisu sadržani u Glavnom projektu, ili koji su izmenjeni u odnosu na Glavni projekat, Odgovorni projektant unosi u Građevinski dnevnik, uz potpis

28 Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada Projektovanje i građenje objekata Tehnička dokumentacija - Projekat izvedenog stanja Projekat izvedenog stanja je, načelno, isto što i Glavni projekat, pod uslovom da se u gradnji objekta nije odstupalo od Glavnog projekta U tom slučaju kopija Glavnog projekta se nazove Projekat izvedenog stanja U slučaju izmena u izvođenju u odnosu na Glavni projekat, posebno vezano za instalacije, mora da se napravi Projekat izvedenog stanja kao odgovarajuća izmena Glavnog projekta Projekat izvedenog stanja je Investitoru veoma značajan za potrebe održavanja objekta tokom njegve eksploatacije

29 Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada Projektovanje i građenje objekata Tehnička dokumentacija Izrada tehničke dokumentacije je složen proces u koji su uključeni različiti inženjeri - odgovorni projektanti: - arhitekture (izgled, oblikovanje, rešenje prostora, funkcionalnost) - građevinski (konstrukcija objekta, vodovod i kanalizacija) - mašinski (grejanje, ventilacija, klimatizacija, protivpožarna zaštita) - elektrotehnički (elektroinstalacije, telekomunikacija, termotehničke instalacije) - šumarski (hortikultura, uređenje terena oko objekta) Svi odgovorni projektanti koji učestvuju u izradama glavnih projekata nekog objekta, u okviru svoje struke, moraju da budu međusobno usaglašeni

30 Sadržaj Projektovanje i građenje objekata Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada 1 Projektovanje i građenje objekata Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada 2

31 Zakon o planiranju i izgradnji Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada

32 Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada Projektovanje i građenje objekata Opšte o zgradama Zgrade, prema nameni, klasifikuju se na - stambene - poslovne i stambeno-poslovne (banke, robne kuće,... ) - javne zgrade (državna adminstracija, ministarstva,... ) - objekte kulture i obrazovanja (škole, pozorišta, bioskopi, muzeji,... ) - zdravstvene objekte (bolnice, domovi zdravlja,... ) - turističke objekte (hoteli,... ) - industrijske objekte (hale velikih raspona i opterećenja, skladišta, silosi,... ) - sportske stadione

33 Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada Projektovanje i građenje objekata Opšte o zgradama Prema visini, odn. prema broju spratova N, zgrade se klasifikuju na - prizemne... N = 0 - niske... N < 5 - srednje visine... N (5, 20) - visoke... N (20, 100) - veoma visoke... N > 100 Prema dominantnom konstruktivnom materijalu, zgrade se klasifikuju na - zidane - armiranobetonske - čelične - drvene - kamene

34 Sadržaj Projektovanje i građenje objekata Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada 1 Projektovanje i građenje objekata Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada 2

35 Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada Projektovanje i građenje objekata Konstruktivni elementi (AB) zgrada Zgrade su kompleksni prostorni objekti Ukupna zapremina prostora koji zauzima zgrada podeljena je, prisustvom horizontalnih tavanica, na pojedinačne spratove U najvećem broju slučajeva, osnovni konstruktivni elementi zgrada su horizontalne tavanice vertikalni noseći elementi (stubovi, zidovi, složeni zidovi) temeljna konstrukcija (temeljne trake, roštilji, temeljna ploča, šipovi) Takođe, spratovi se nosećim i/ili pregradnim zidovima dele na izdvojene prostore unutar spratova (sobe, hodnike,... ) Pojedini spratovi su međusobno povezani elementima vertikalne komunikacije (stepeništa, eskalatori i liftovi)

36 Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada Projektovanje i građenje objekata Konstruktivni elementi (AB) zgrada Horizontalne tavanice se zovu međuspratne konstrukcije Međuspratne konstrukcije u zgradama dele prostor unutar zgrade na pojedine spratove Međuspratne konstrukcije u AB zgradama mogu da se grubo podele, prema načinu izvođenja, na 1 monolitne 2 polumontažne 3 montažne Monolitne tavanice izvode se betoniranjem na licu mesta: postavi se skela, oplata, armatura, pa se betonira To je klasičan način izvođenja međuspratnih AB tavanica

37 Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada Osnovni nedostatak je što brzina i kvalitet izvođenja zavise značajno od atmosferskih uslova na gradilištu dele se, prema konstrukciji, na: oslonjene na grede ili na zidove Ploče u dva pravca (krstato armirane) oslonjene na grede ili na zidove Pečurkaste ploče i ploče oslonjene direktno na stubove Sitnorebraste tavanice Kasetirane tavanice Mogu da postoje i posebne (specifične) ploče (tavanice) mimo navedene klasifikacije

38 Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada Projektovanje i građenje objekata Konstruktivni elementi (AB) zgrada Polumontažne tavanice izvode se kao kombinacija montažnih celina i betoniranja na licu mesta Obično se izvode AB rebara kao montažne celine, a zatim se ploča betonira na licu mesta Moguće je da se montažno postavljaju tzv. fert gredice i punioci od posebno oblikovanih opekarskih proizvoda, pa se AB rebra i tanka AB ploča izliju na licu mesta Montažne tavanice su konstrukcije od prefabrikovanih elemenata koji se ugrađuju sa svojim konačnim dimenzijama

39 Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada Polumontažne međuspratne konstrukcije

40 Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada Polumontažne međuspratne konstrukcije

41 Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada Polumontažne međuspratne konstrukcije - LMT

42 Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada Projektovanje i građenje objekata Konstruktivni elementi (AB) zgrada Vertikalni noseći elementi u (AB) zgradma su stubovi zidovi složeni zidovi (oko vertikalne komunikacije u zgradi) Često su vertikalni elementi međusobno povezani gredama u tavanicama i time formiraju okvirne nosače Okvirni nosači, kao vertikalni noseći elementi, u osnovi objekta postavljaju se najčešće u dva međusobno ortogonalna pravca

43 Sadržaj Projektovanje i građenje objekata 1 Projektovanje i građenje objekata Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada 2

44 Ploče su ravni površinski nosači, kod kojih su dve dimenzije (u ravni ploče, a i b) znatno veće od dimenzije u trećem pravcu (od debljine ploče t) Ako je b manja dimenzija u ravni ploče, b < a, onda za ploče važi 1 10 t b Teorije savijanja tankih i debelih ploča: - tanke ploče... t < 20 b - debele ploče... t > 20 b

45 Teorije ploča u funkciji relativne debljine Sa L je označena kraća stranica pravougaone ploče, dok je t debljina

46 Ploče su dominantno opterećene silama koje su na ravan ploče: savijanje ploča Ravni površinski nosači koji su dominantno opterećeni u svojoj ravni su zidna platna Teorija savijanja tankih ploča... Teorija Kirchhoff-Love-a (proširenje Euler-Bernouli-eve teorije štapa) Teorija savijanja debelih ploča... Teorija Mindlin-Reissner-a (proširenje teorije K.-L., uzimanje u obzir i smičućih deformacija, analogno kao Timoshenko-va teorija štapa)

47 Analiza tankih ploča, prema teoriji Kirchhoff-a, zasniva se na pretpostavkama: Materijal ploče je homogen, izotropan i linearno elastičan, u skladu sa Hukovim zakonom, i sa karakteristikama E i ν Debljina ploče t je mala u odnosu na druge dve dimenzije a i b (ili l x i l y ) pomeranje na ravan ploče je w(x, y, z) = w(x, y) (gde su ose x, y u srednjoj ravni ploče) Normalni naponi i dilatacije na ploču zanemaruju se u odnosu na normalne napone u ravni ploče (σ z = 0, ε z = 0) Smičući naponi i klizanja za ravni xz i yz su zanemarljivi (τ xz = τ yz = 0, γ xz = γ yz = 0)

48 Analiza ploča zasniva se na pretpostavkama (nastavak): Tačke ploče na liniji na srednju površ ostaju i posle deformacije ploče na pravoj liniji i upravno na deformisanu srednju površ Ugibi ploče w mali su u odnosu na debljinu ploče (w t/5) jednačine ravnoteže se postavljaju na nedefromisanoj konfiguraciji Krivina ploče posle deformacije može da se aproksimira drugim izvodom ugiba Srednja površ ploče je bez dilatacija i napona: zanemaruju se membranske dilatacije i naponi u srednjoj ravni ploče (neutralna površ)

49 Naponi u ploči - savijanje tankih ploča

50 Diferencijalno mali element izdvojen iz tanke ploče Teorija savijanja tankih ploča (Kirchhoff-ova teorija) 4 w x w x 2 y w y 4 = q D

51 Diferencijalna jednačina savijanja izražava se preko funkcije ugiba srednje ravni dat sa w = w(x, y) Ako je ploča opterećena sa raspodeljenim opterećenjem q = q(x, y), diferencijalna jednačina savijanja tanke ploče data je u obliku w = q D odn. 4 w x w x 2 y w y 4 = q D (1) gde je D krutost na savijanje ploče: D = E J (1 ν 2 ) = E t 3 12(1 ν 2 ) (2)

52 U izrazu (2) E i ν su modul elastičnosti i Poasonov koeficijent materijala ploče, dok je t debljina ploče Jednačina (1) je biharmonijska jednačina po ugibu srednje ravni ploče Sa je označen Laplasov operator (u dekartovim koordinatama): koji može da se prikaže i kao (...) = 2 (...) x (...) y 2 (3) (...) = 2 (...) (4)

53 U izrazu (4) sa označen je gradijentni ili nabla operator: (...) = x (...) + (...) (5) y Momenti savijanja M x i M y i momenat torzije M xy izražavaju se kao drugi izvodi ugiba w(x, y): ( 2 ) w M x = D x 2 + ν 2 w y 2 ( 2 ) w M y = D y 2 + ν 2 w y 2 M xy = M yx = (1 ν) D 2 w x y (6)

54 Transverzalne sile Q x i Q y u ploči mogu da se prikažu u obliku: Q x = M x x Q y = M xy x + M xy y + M y y (7) što može da se prikaže kao treći izvodi ugiba w(x, y): Q x = D x Q y = D y ( 2 w ) ( 2 w ) (8)

55 Opšti integral jednačine (1) dat je kao zbir opšteg integrala homogene jednačine i partikularnog integrala nehomogene jednačine: w = w h + w p Integracione konstante određuju se iz odgovarajućih graničnih uslova na konturi ploče Tri osnovna vida graničnih uslova su - slobodno oslanjanje - uklještenje - slobodna ivica Granični uslov duž ivice ploče može da bude i elastično oslanjanje (npr. veza ploče sa ivičnom gredom odgovarajuće dimenzije)

56 Slobodno oslanjanje ploče duž ivice x = a znači da su ugib i momenat savijanja M x jednaki nuli duž te ivice: ( 2 ) w w x=a = 0 M x x=a = 0 x 2 + ν 2 w y 2 x=a = 0 (9) Kako je duž ivice x = a ugib jednak nuli, w x=a = 0, onda je duž te ivice takođe i w y = 0 2 w y 2 = 0

57 Imajući to u vidu, momentni granicni uslov, (9)/2, može da se alternativno prikaže i kao ( 2 ) w x 2 x=a = 0 ili ( w) x=a = 0 (10) Uklještenje ploče duž ivice x = a znači da su ugib i nagib (obrtanje) jednaki nuli duž te ivice: ( ) w w x=a = 0 x=a = 0 (11) x

58 Slobodna ivica x = a znači da su duž te ivice sile u preseku jednake nuli: (M x ) x=a = 0 (M xy ) x=a = 0 (Q x ) x=a = 0 (12) Dakle, dif. jed. savijanja tanke ploče data je sa (1) w = q D (13) gde je q = q(x, y) poznato raspodeljeno opterećenje, dok je w = w(x, y) nepoznata funkcija ugiba Pri tome se integracione konstante određuju iz odgovarajućih graničnih uslova

59 Rešenje za nepoznati ugib se pretpostavlja u vidu proizvoda dve funkcije w(x, y) = F (x) G(y) Ove funkcije mogu da se biraju na razne načine: algebarske, trigonometrijske, hiperbolične,... Izbor zavisi od graničnih uslova koji moraju da budu zadovoljeni Za slobodno oslanjanje na svim ivicama pogodne su trigonometrijske funkcije Navier-ovo rešenje za pravougaonu ploču slobodno oslonjenu na svim ivicama - razvijanje u trigonometrijske redove

60 Rešenje za ugib traži se u obliku w(x, y) = w mn sin(α m x) sin(β n y) (14) m=1 n=1 gde su w mn nepoznati koeficijenti, dok su α m = m π a β n = n π b pri čemu su a i b dužine stranica ploče u x i y pravcu

61 Funkcija koja prikazuje raspodeljeno opterećenje q = q(x, y) prikazuje se u obliku q(x, y) = m=1 n=1 q mn sin(α m x) sin(β n y) (15) Koeficijenti q mn u dvostrukom trigonometrijskom redu određuju se integracijom q mn = 4 a b q(x, y) sin(α m x) sin(β n y) dx dy (16) a b x=0 y=0

62 Unoseći pretpostavljen oblik rešenja za ugib (14), kao i opterećenje koje je prikazano u obliku (15) u biharmonijsku jednačinu savijanja (13), posle rešavanja dobija se izraz za koeficijente w mn w = q D w mn = q mn Dπ 4 ( m 2 a 2 + n2 b 2 ) 2 (17) Prema tome, analitičko rešenje za ugib, za obostrano slobodno oslonjenu pravougaonu ploču, zavisi od zakona raspodele opterećenja q(x, y), odn. od koeficijenata q mn u prikazu opterećenja u obliku (15)

63 Rešenje integrala (16) može da se odredi za ravnomerno opterećenje q(x, y) = q 0 = const u obliku: q mn = 16 q 0 m n π 2 Prema tome, za pravougaonu ploču koja je slobodno oslonjena po svim ivicama i opterećena ravnomernim opterećenjem q 0 = const, Navier-ovo rešenje za ugib dobija se u obliku w(x, y) = 16 π 6 q 0 D m=1 n=1 sin(α m x) sin(β n y) [ ( m ) 2 ( a + n ) ] 2 2 (18) b

64 Ugibi dobijeni sa (18) su osnovne nepoznate u formulaciji problema savijanja ploča, ali je značajnije da se odrede momenti savijanja u ploči, transverzalne sile, reakcije oslonaca, itd Momenti savijanja su određeni sa izrazima (6), dakle, dobijaju se preko drugih izvoda ugiba Transverzalne sile su određene kao prvi izvodi momenata, odn. kao treći izvodi ugiba Ovakav pristup je veoma praktičan za svakodnevne rutinske proračune građevinskih inženjera

65 Šta ako postoji otvor u ploči, npr. za stepenište, kao i stub kao oslonac negde u polju ploče? (Prof. dr Dušan Krajčinović) Šta ako su drugačiji granični uslovi? Šta ako oblik ploče nije pravougaoni? Šta ako površinsko opterećenje nije ravnomerno? Kako se određuje rešenje za koncentrisane sile, ili za raspodeljeno opterećenje na jednom delu površine ploče? I tako dalje... Odgovor je numeričko rešenje i MKE

66 U rutinskim proračunima ploča kao elementima AB zgrada, bazena, i sl. analitička rešenja u obliku redova nemaju praktičnog smisla Za praktične proračune bitne su maksimalne vrednosti momenata savijanja u poljima i nad osloncima ploča (za kontinualne i uklještene ploče) Takođe su bitne i reakcije veza duž oslonjenih ivica ploče Postoje razne tablice sa prikazima karakterističnih veličina (max momenata, reakcija,... ) za različite konfiguracije i oblike ploča

67 Sadržaj Projektovanje i građenje objekata 1 Projektovanje i građenje objekata Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada 2

68 Jedan od najjednostavnijih vidova ploča u sklopu monolitnih AB međuspratni konstrukcija su ploče u jednom pravcu Naziv ploče u jednom pravcu nastao je zbog toga što se kod takvh ploča opterećenje koje deluje prenosi samo u jednom pravcu Takve ploče su: (a) ploče koje su samo duž svoje dve (paralelne) ivice oslonjene linijskim osloncima (b) kontinualne ploče koje su duž više paralelnih pravaca oslonjene linijskim osloncima (c) konzolne ploče (d) pravougaone ploče koje su oslonjene linijskim osloncima duž sve četiri ivice, ali kod kojih je odnos duže i kraće stranice ploče veći od 2.0

69 AB ploče u jednom pravcu Prosta greda Kontinualna greda Konzola l y /l x > 2

70 Oslanjanje AB ploča Veza oslonačke grede u krajnjem polju i ploče uglavnom se posmatra kao slobodno oslanjanje

71 Rasponi AB ploča Ako dimenzije oslonačkih greda nisu veće od 10% od svetlog otvora l 0, računski raspon l jednak je osovinskim rastojanjima oslonaca, inače je l 1.05 l 0

72 Rasponi AB ploča sa širokim osloncima - Ako dimenzije oslonačkih greda nisu veće od 10% od svetlog otvora l 0, računski raspon l jednak je osovinskim rastojanjima oslonaca, inače je l 1.05 l 0 - U takvim slučajevima formira se fiktivni statički sistem

73 proračunavaju sa kao traka širine 1.0 m ukoliko su izložene raspodeljenim opterećenjem, a oslonjene su linijskim osloncima Ploče koje nose u jednom pravcu posmatraju se kao linijski nosači pravougaonog preseka širine b = 1.0m i visine d, gde je d debljina ploče Granični uslovi takvog linijskog nosača odgovaraju graničnim uslovima posmatrane ploče u jednom pravcu: prosta greda, kontinualna greda, konzola Rasponi kod takvog linijskog nosača širine 1.0 m određuju se kao osovinska rastojanja između linijskih oslonaca posmatrane ploče

74 Linijski oslonci ploča koje nose u jednom pravcu su AB grede (podvlake), AB zidovi, kao i noseći zidovi od opeke Ukoliko su širine AB greda ili zidova koji su linijski oslonci ploče relativno veći, što znači veći od 10% od svetlog otvora između linijskih oslonaca, onda za raspon može da se usvoji svetli otvor l 0 uvećan za 5%: l 1.05 l 0 Deformacija ploče koja nosi u jednom pravcu, u pravcu x, je cilindričnog oblika

75 Zbog sprečenih bočnih deformacija u pravcu y, u ploči se, osim momenata u glavnom pravcu x, javljaju i momenti savijanja u sporednom pravcu y: M y = ν M x gde je ν Poisson-ov koeficijent, čija je vrednost za beton između 0.16 i 0.20 Usvojena armatura u glavnom pavcu x naziva se glavna armatura, a armatura u pravcu y je podeona armatura

76 Glavna armatura A a kod ploča koje nose u jednom pravcu (u pravcu x) izračunava se prema momentima savijanja u tom pravcu M x Armiranje u dužem pravcu y, dakle usvajanje podeone armature A ap, vrši se prema relaciji A ap = 0.20 A a Ova relacija odgovara usvojenom Poisson-ovom koeficijentu za beton ν = 0.20 Kako su momenti savijanja M x u kraćem (glavnom) pravcu dominantni, glavna armatura se uvek postavlja sa većom statičkom visinom u odnosu na podeonu armaturu

77 Glavna i podeona armatura kod ploča Glavna armatura Φ/e mora da ima veću statičku visinu h od podeone armature Φ p /e p

78 Glavna i podeona armatura kod ploča - Glavna armatura Φ/e mora da ima veću statičku visinu h od podeone armature Φ p /e p - To je posebno bitno kod ploča koje, generalno, imaju malu debljinu, a time i malu statičku visinu

79 - minimalna debljina Minimalna debljina ploča, koje nose u jednom ili u oba pravca, iznosi d min = 7 cm za ploče koje su opterećene statičkim raspodeljenim opterećenjem, a debljina krovnih ploča izuzetno može da bude d min = 5 cm Debljina ploča po kojima se kreću putnička vozila iznosi d min = 10 cm, a ako mogu da se kreću i teretna vozila, onda je d min = 12 cm Debljina ploča po kojima se samo povremeno hoda (radi čišćenja ili opravki) iznosi najmanje 1/40 manjeg raspona, ali ne manje od 5 cm

80 - minimalna debljina Ako se deformacija ploče ne dokazuje posebno proračunom, najmanja debljina ploče je 1/35 manjeg raspona ili rastojanja izmeđutačaka nultih momenata kod kontinualnih ili uklještenih ploča (BAB 87) Ako rastojanje nultih tačaka momenata nije određeno statičkim proračunom, može da se usvoji da je to rastojanje jednako 4/5 raspona Iskustvo pokazuje da je bolje da se d min usvoji kao najmanje 1/30 manjeg raspona ili rastojanja između nultih tačaka momenata, kao i da je uvek d min 15 cm

81 - armiranje Ploča koja je u krajnjem polju oslonjena na gredu (podvlaku) ili zid (AB ili od opeke) uobičajenih dimenzija, posmatra se kao slobodno oslonjena, iako ne može da se realizuje potpuno slobodna rotacija duž linijskog oslonca Zbog monolitne veze ploče i podvlake, greda se svojom torzionom krutošću suprotstavlja slobodnoj rotaciji ploče duž oslonačke ivice Slično je i kada je ploča oslonjene na AB zid - i tu se javlja elastično uklještenje

82 Linijski oslonci ploča (a) Elastično uklještenje ploče u ivičnu gredu ili AB zid (b) Načelno armiranje ploče nad slobodnim osloncem

83 - armiranje Dakle, na spoju ivične grede, odn. zida, sa pločom, de facto se javlja neko elastično uklještenje Međutim, usvaja se (obično) da je takva veza slobodno oslanjanje, jer se na taj način dobijaju veće vrednosti momenata savijanja u polju Imajući u vidu da se u ploči ipak javljaju momenti savijanja u gornjoj zoni iznad takvih oslonaca, da se pokrije takvo zatezanje usvaja se armatura u gornjoj zoni iznad oslonaca na krajevima polja

84 - armiranje Imajući u vidu da je potreba za armaturom u donjoj zoni ploče samnjena kod oslonaca, u odnosu na izračunatu armaturu prema max momentima u polju, u blizini slobodnih oslonaca na krajevima polja armatura iz donje zone povija se (prebacuje) u gornju zonu Uobičajeno je da se svaka druga šipka (polovina) iz donje zone povije u gornju zonu na dužini od oko 1/10 l Kontinualne ploče koje nose u jednom pravcu računaju se kao kontinualni gredni nosači sa širinom trake od 1.0 m

85 - armiranje Ako se rasponi kontinualne ploče ne razlikuju međusobno za više od 15% i ako je opterećenje ravnomerno raspoređeno, pri čemu povremeno opterećenje p nije veće od stalnog opterećenja g, onda momenti savijanja u karakterističnim presecima mogu da se odrede prema M = (g + p) k l 2 Koeficijenti k prikazani su na sledećoj slici

86 Približno određivanje momenata savijanja

87 - armiranje Za veća povremena raspodeljena ili koncentrisana opterećenja, maksimalne vrednosti statičkih uticaja određuju se pomoću uticajnih linija za kontinualne nosače (širine trake b = 1.0 m) Dimenzionisanje ploče u karakterističnim presecima (u poljima i iznad oslonaca) vrši se prema graničnim uticajima kao za pravougaoni presek b/d, gde je b = 1.0 m, dok je d jednako debljini ploče Sa tako određenom glavnom armaturom A a vrši se armiranje po dužnom metru ploče Naravno, usvaja se (bez proračuna) i podeona armatura A ap koja nije manja od A ap = 0.2 A a

88 - armiranje Armiranje ploče koja nosi u jednom pravcu, sistema proste grede, može da se obavi na razne načine Glavna armatura se izračunava na osnovu graničnog momenta u sredini raspona Usvojena armatura se tako oblikuje da se vodi računa i o negativnim momentima savijanja u blizini i iznad ivičnih oslonaca, povijanjem svake druge glavne šipke To može da se reši tako što je jedna šipka prava (sa kukama na krajevima), a sledeća šipka obostrano povijena na gore Moguća su razna konstruktivna rešenja, čak i takva da sve šipke glavne armature budu međusobno iste i da se naizmenično ređaju

89 Armiranje ploče sistema proste grede Armiranje ploče u jednom pravcu sistema proste grede

90 Armiranje kontinualne ploče Zaobljavanje (redukcija) računskih momenata savijanja iznad srednjih oslovaca

91 Armiranje kontinualne ploče Armiranje ploče u jednom pravcu sistema kontinualne grede

92 Armiranje kontinualne ploče Armiranje kontinualnih ploča bez vute, koje nose u jednom pravcu

93 Armiranje kontinualne ploče Armiranje kontinualnih ploča bez vute, koje nose u jednom pravcu - varijantno rešenje

94 Armiranje kontinualne ploče Armiranje kontinualnih ploča sa vutama, koje nose u jednom pravcu

95 Konstruktivno armiranje slobodne ivice ploče - Šematski prikaz konstruktivnog armiranja slobodnih ivica ploča - Formira se skrivena greda unutar debljine ploče armirana sa: ±2RΦ14 i sa otvorenim uzengijama, tzv. peovkama (armatura oblika rotiranog Π): RΦ10/20

96 - armiranje Iznad srednjih olonaca kontinualne ploče povija se u gornju zonu po polovina armature iz svakog od susednih polja Kako ova armatura najčešće nije dovoljna da pokrije momenat savijanja iznad oslonca, dodaje se još i posebna dodatna armatura (tzv. jahači, POS 3 na slici) Dužina ove armature određuje se prema linijama zatežućih sila iznad oslonaca (obično je reda veličine 1/4 do 1/3 l sa svake strane oslonca)

97 - armiranje Prečnik šipki glavne armature kod ploča bira se, orjentaciono, kao Φ < d p /10 Uobičajeni razmaci šipki armature kreću se u intervalu 10 do 20 cm, sa korakom od 2.5cm Manji razmaci zahtevaju više rada na postavljanju armature, ali su, načelno, povoljniji Propisima BAB 87 definisani su maksimalni međusobni razmaci šipki armature kod ploča

98 - armiranje Maksimalni razmaci između šipki armature su (BAB 87): 1 glavna armatura - jednako-podeljeno opterećenje { 2 dp e a 20 cm - koncentrisano opterećenje (gde je d p debljina ploče) e a { 1.5 dp 20 cm

99 - armiranje Maksimalni razmaci između šipki armature su (BAB 87), nastavak 2 podeona armatura - jednako-podeljeno opterećenje { 4 dp e ap 30 cm - koncentrisano opterećenje e ap { 3 dp 30 cm U području oslonaca glavna i podeona armatura treba da su na razmaku e 40 cm

100 - armiranje Bez obzira na statički potrebnu količinu glavne armature, ploče moraju da se armiraju najmanje sa minimalnom količinom armature BAB 87 (a i drugi propisi) definišu minimalnu količinu glavne i podeone armature kod ploča Minimalni procenti armiranja definisani su u odnosu na površinu betonskog preseka A b = b d p (gde je b = 1.0 m) Vrsta Glavna Podeona armature µ min µ p,min GA 240/ % 0.10% RA 400/ % 0.085% MA 500/ % 0.075%

101 - vute kod unutrašnjih oslonaca Kod većih raspona kontinualnih ploča, najveći momenti savijanja su negativni momenti iznad unutrašnjih oslonaca Momenti savijanja u poljima manji su od momenata nad osloncima i nije racionalno da kontinualna ploča ima celom dužinom debljinu koja odgovara najopterećenijim presecima iznad srednjih oslonaca Zbog toga se (ponekad) kod srednjih oslonaca kontinualne ploče usvajaju vute u cilju povećanja visine preseka

102 Povećanje visine preseka nad oslovima - vute

103 Konstruktivno armiranje vuta - Šematski prikaz konstruktivnog armiranja vuta kod kontinualnih ploča koje nose u jednom pravcu - Nije prikazana glavna zategnuta (računska) armatura u gornjoj zoni

104 - vute kod unutrašnjih oslonaca Vute se izvode kao koso povećanje debljine ploče sa obe strane oslonca, sa nagibom, obično, od 1:3 ili 1:4 Najveća debljina na nivou oslonca mora da bude dovoljna da se (racionalno) prihvate negativni momenti savijanja iznad oslonaca Koncentrisano opterećenje na pločama uglavnom potiče od kretanja vozila Koncentrisano opterećenje prenosi se na gornju površinu podloge preko površine naleganja točka e 1 e 2 (e 1 je dimenzija u glavnom pravcu ploče)

105 Koncentrisano opterećenje na ploči Rasprostiranje opterećenja (sa pravougaone ili kružne površine kontakta) kroz slojeve do srednje ravni ploče

106 - koncentrisano opterećenje Na ploči po kojoj mogu da se kreću i vozila, iznad betonskog dela nalaze se i drugi slojevi: tucanik, asfalt i sl. Opterećenje od točka, koje se direktno prenosi preko površine naleganja e 1 e 2, kroz ove dodatne slojeve prenosi se pod nagibom 1:2 Kroz betnosku ploču opterećenje se rasprostire pod nagibom 1:1 do srednje ravni ploče Za proračun statičkih uticaja računsko koncentrisano opterećenje posmatra se kao raspodeljeno na odgovarajućoj površini u nivou srednje ravni (srednje površi) ploče

107 - koncentrisano opterećenje Ako je AB ploča debljine d 2, a iznad se nalazi sloj tucanika sa asfaltom debljine d 1, širina rasprostiranja opterećenja u nivou srednje ravni ploče je - za glavni (kraći) pravac l x : - za podeoni (duži) pravac l y : b 1 = e 1 + d d 2 b 2 = e 2 + d d 2

108 Koncentrisano opterećenje na ploči (a) Rasprostiranje opterećenja kroz slojeve do ploče (b) Efektivna površina opterećenja u srednjoj ravni ploče

109 - koncentrisano opterećenje Sa koncentrisanim opterećenjem raspodeljenim na širini b 1 odrede se najveći momenti savijanja M x,p U pravcu dužeg (podeonog) raspona l y opterećenje angažuje deo ploče na širini b 3, koja zavisi od širine rasprostiranja b 2 i od odnosa podeone i glavne armature: b 3 = b 2 + A ap A a l x b l x Sa povećanjem podeone armature povećava se i angažovana širina u podužnom pravcu l y

110 - koncentrisano opterećenje Međutim, u Pravilniku BAB 87 ograničava se računski odnos podeone i glavne armature u određivanju širine b 3 na A ap /A a 0.65 Ukupni momenat savijanja koji je merodavan za dimenzionisanje ploče u slučaju delovanja stalnog i koncentrisanog pokretnog opterećenja je M x = M x,g + M x,p b 3 Armiranje ploče u dužem pravcu l y vrši se podeonom armaturom prema usvojenom odnsu A ap /A a

111 Koncentrisano opterećenje na ploči Rasprostiranje koncentrisanog opterećenja na konzolnoj ploči

112 Koncentrisano opterećenje na konzolnoj ploči

113 Sadržaj Projektovanje i građenje objekata 1 Projektovanje i građenje objekata Opšti pojmovi Opšte o zgradama Konstruktivni elementi (AB) zgrada 2

114 su pravougaone ploče koje su oslonjene linijskim osloncima po obimu, pri čemu odnos duže l y i kraće ivice l x zadovoljava uslov l y /l x 2 Ako je ovaj uslov zadovoljen, pravougaona ploča prenosi opterećenje u oba ortogonalna pravca (nešto više u kraćem pravcu) Opterećenje koje je upravno na srednju ravan takve ploče izaziva momente savijanja M x, M y, torzione momente M xy, kao i transverzalne sile Q x i Q y Torzioni momenti se u praktičnim proračunima ne posmatraju, a od transverzalnih sila od interesa su samo reakcije oslonaca

115 Oslonci krstato armiranih ploča mogu da budu zidovi (AB i/ili od opeke), kao i AB grede (podvlake), koje su mestimično oslonjene na sistem AB stubova U zavisnosti od okolnosti i konfiguracije, ivice krstato armiranih ploča mogu da budu uklještene, slobodno oslonjene ili slobodne:

116 Sa M x i M y označavaju se max momenti u polju, u pravcima x i y, dok se sa X i Y označavaju momenti uklještenja (ako postoji uklještenje) su dominantno opterećene raspodeljenim opterećenjima upravno na ravan ploče, q = q(x, y), a osnovne pretpostavke u analizi su pomeranja (ugibi) w srednje ravni ploče ( na ploču) mala su u odnosu na debljinu ploče tačke na normali na srednju površ i posle deformacije ploče ostaju na pravoj koja je na deformisanu srednju površ vlakna u srednjoj ravni ploče pri deformacijama ne menjaju svoju dužinu (srednja površ ploče je neutralna površ pri savijanju ploče)

117 Izdvojen mali element ploče dx dy

118 Diferencijalna jednačina savijanja data je sa (13): w = q D gde je D = E d 3 p 12(1 ν 2 ) (19) (D je krutost ploče na savijanje) Rešavanje biharmonijske jednačine savijanja vezano je za odgovarajuće granične uslove i, kao što je pokazano, postoje samo (veoma) komplikovana anlitička rešenja za (vrlo) jednostavne slučajeve

119 Sa dobijenim rešenjem za funciju ugiba srednje površi ploče, momenti savijanja i torzije dati su sa (6): ( 2 ) w M x = D x 2 + ν 2 w y 2 ( 2 ) w M y = D y 2 + ν 2 w y 2 M xy = M yx = (1 ν) D 2 w x y (20)

120 Izdvojen mali element ploče dx dy Momenti savijanja kao dominantne sile u preseku kod krstato armiranih ploča

121 Izdvojen mali element ploče dx dy Naponi po debljini ploče usled sila u preseku

122 Markusova metoda zamenjujućih traka Analitička rešenja nisu pogodan i praktičan način analize krstato armiranih ploča Zato se koriste približni i numerički postupci Jedan od približnih postupaka analize krstato armiranih ploča je Markusova metoda zamenjujućih traka Posmatraju se dve srednje trake jedinične širine po 1.0 m, u dva ortogonalna pravca x i y Na mestu ukrštanja traka, u sredini ploče, ugibi su međusobno isti: w x = w y

123 Markusova metoda zamenjujućih traka

124 Markusova metoda zamenjujućih traka

125 Markusova metoda zamenjujućih traka Momenti inercije obe trake su međusobno isti J x = J y, a ukupno opterećenje q prikaže sa kao zbir opterećenja u jednom i drugom pravcu: q = p x + p y Iz uslova da su ugibi na mestu ukrštanja međusobno isti, kao i da je ukupno opterećenje dato kao zbir p x i p y, izračunaju se pripadajuća opterećenja p x i p y za svaku traku Ugibi traka posmatranih kao linijski nosači mogu da se izraze u obliku w x = α x p x l 4 x E J x w y = α y p y l 4 y E J y gde su α x i α y koeficijenti koji zavise od graničnih uslova

126 Markusova metoda zamenjujućih traka Sa određenim pripadajućim opterećenjima ortogonalnih traka, momenti savijanja za svaku traku, posmatranu kao linijski nosač, mogu da se izraze u obliku M x = p x l 2 x β x M y = p y l 2 y β y gde su β x i β y koeficijenti koji zavise od graničnih uslova oslanjanja traka u pravcima x i y Postoje Markusove tablice za određivanje koeficijenata α i β Ovako dobijeni momenti savijanja su na strani sigurnosti (veći su od tačnih rešenja), jer su zanemareni uticaji M xy

127 Markusova metoda zamenjujućih traka Reakcije oslonaca ploče po Markusovoj metodi traka

128 Tablice za momente savijanja i reakcije Za slučaj jednakopodeljenog opterećenja numeričkim putem su izračunate i tabulisane vrednosti uticaja u ploči (momenata i reakcija) za različite odnose stranica l y /l x i za različite uslove oslanjanja Za 9 različitih kombinacija graničnih uslova pravougaonih ploča, oslonjenih duž sve četiri ivice, za odnose stranica l y /l x u intervalu od 1.0 do 2.0, sa korakom 0.1, numeričkim putem su izračunate max vrednosti momenata savijanja i reakcija oslonaca

129 Različiti granični uslovi krstato armiranih ploča Devet tipova pojedinačnih pravougaonih ploča prema načinu oslanjanja

130 Različiti granični uslovi krstato armiranih ploča Devet tipova pojedinačnih pravougaonih ploča prema načinu oslanjanja

131 Tablice za momente savijanja i reakcije Ako je ravnomerno opterećenje ploče jednako q, onda se max momenti savijanja i rezultante reakcija duž svake ivice izražavaju preko koeficijenata k i i r j na sledeći način: odredi se rezultanta opterećenja na ploči P = q l x l y [kn] max momenti savijanja određuju se prema izrazu M = k i P [knm/m] rezultante reakcija oslonaca duž ivica date su sa Q = r j P [kn]

132 Koeficijenti k i za određivanje momenata savijanja

133 Koeficijenti r j za određivanje rezultante reakcija

134 Tablice za momente savijanja i reakcije Za definisane uslove oslanjanja bira se tip ploče u tablici i za odnos stranica l y /l x određuje se koeficijent k)i, kao i r j Pri određivanju koeficijenata k i i r j, u zavisnosti od odnosa stranica l y /l x, može da se vrši linearna interpolacija Prema izrazu M = k i P dobija se maksimalna vrednost momenta savijanja u datom pravcu, kao i u polju ili nad oslonačkim uklještenjem, po dužnom metru U dimenzionisanju ploče, kao i kod ploča u jednom pravcu, posmatra se presek ploče širine 1m

135 Reakcije linijskih oslonaca kod krstato armiranih ploča Kod samostalnih (pojedinačnih) krstato armiranih ploča stvarno uklještenje je relativno retko Uklještenje može da se realizuje kod kontinualnih krstato armiranih ploča Kod krstato armiranih ploča koje su opterećene ravnomerno raspoređenim opterećenjem, raspodela reakcija duž oslonačke ivice je parabolična U praktičnim proračunima prihvatljiva je i ekvivalentna ravnomerna raspodela reakcija Prema tome, određivanjem koeficijenta r j dobija se rezultanta reakcije Q = r P duž posmatrane ivice ploče, a deljenjem sa dužinom oslonca dobija se raspodeljena reakcija q = Q/l

136 Reakcije oslonaca kod krstato armiranih ploča Parabolična raspodela oslonačkih reakcija krstato armiranih ploča (za jednakopodeljeno opterećenje) može da se aproksimira ravnomenrnom

137 Reakcije oslonaca kod krstato armiranih ploča Reakcije oslonaca ploče po metodi pripadajuće površine

138 Reakcije oslonaca kod krstato armiranih ploča Prbližno određivanje oslonačkih reakcija krstato armiranih ploča (za jednakopodeljeno opterećenje) prema pripadajućim površinama Pripadajući ugao prema uklještenoj ivici je 60, a prema slobodno oslonjenoj 30 Ugao između dve susedne slobodno oslonjene ili dve uklještene strane je 45

139 Određivanje pripadajuće površine kod ploča Zavisnost pripadajućeg dela krstato armirane ploče od načina oslanjanja

140 Orjentaciona debljina krstato armiranih ploča Orjentaciona debljina ploča, koje su opterećene ravnomernim opterećenjima, može da se odredi kao d p > l 35, gde je l kraća stranica ili razmak između nultih linija momenata Bolje je d p > l 30 > 15 cm

141 Dimenzionisanje i armiranje krstato armiranih ploča Kod krstato armiranih ploča u oba pravca je glavna armatura (statički potrebna), koja se izračunava U kraćem pravcu su uticaju nešto veći, tako da za taj pravac treba da bude usvojena veća statička visina

142 Dimenzionisanje i armiranje krstato armiranih ploča Ako je, npr. M x > M y, onda je i statička visina h x veća: h x > h y, odn. armatura koja pokriva veći momenat savijanja postavlja se bliže zategnutoj površi ploče Kako su debljine ploča relativno male, mora da se vodi računa o statičkim visinama, o zaštitnom sloju i o postavljanju armature Ako se vrši slobodno dimenzionisanje ploče, njena debljina se određuje prema najvećim graničnim momentima savijanja

143 Dimenzionisanje i armiranje krstato armiranih ploča Armatura za celu ploču određuje se prema maksimalnim momentima koji su određeni (praktično) samo u jednom preseku (u polju ili nad osloncima) Zbog toga se ivične trake širine l x /4, u kojima su momenti znatno manji nego u sredini ploče, armiraju sa polovinom od armature u sredini Isto tako smanjenje armature u ivičnim trakama vrši se i za ortogonalan pravac

144 Raspored armature kod krstato armiranih ploča Šematski raspored armature kod krstato armiranih ploča: u ivičnim trakama se smanjuje armatura koja je određena prema najvećim momentima u sredini ploče

145 Raspored armature kod krstato armiranih ploča Šematski raspored armature kod krstato armiranih ploča: u ivičnim trakama se smanjuje armatura koja je određena prema najvećim momentima u sredini ploče

146 Armiranje u blizini oslonaca Armiranje krstato armiranih ploča u blizini oslonaca načelno je istog principa kao i kod ploča u jednom pravcu

147 Konstruktivno armiranje uglova ploča - U uglovima pravougaonih krstato armiranih ploča javljaju se zatezanja u obe zone (gore i dole) - Zbog toga se u obe zone u uglovima postavlja dodatna armatura (±RΦ14/15, oba pravca) u cilju osiguranja ploče protiv odizanja

148 Kontinualne krstato armirane ploče Kontinualne krstato armirane ploče formirane su od više pojedinačnih krtstato armiranih ploča povezanih u jednu celinu Drugačije rečeno, pravougaona ploča većih raspona u oba pravca, u cilju smanjenja raspona, sistemom ortogonalnih greda (podvlaka) na stubovima transformirana je u kontinualnu krstato armiranu ploču ukoliko su razmaci između greda takvi da zadovoljavaju krierijum l y /l x < 2

149 Kontinualne krstato armirane ploče

150 Kontinualne krstato armirane ploče Uočavanje tabličnih slučajeva u kontinualnoj krstato armiranoj ploči

151 Ekstremni uticaji kod kontinualnih krstato armiranih ploča U slučju kada je intenzitet pokretnog (korisnog) opterećenja p (znatno) veći od stalnog opterećenja g, kod kontinualnih krstato armiranih ploča potrebno je da se odredi odgovarajuća kombinacija rasporeda opterećenja po pojedinim poljima u cilju određivanja ekstremnih uticaja To je posebno situacija u skladištima i magacinima, gde je realno moguće da neka od polja kontinualne ploče budu opterećena, a neka ne Kombinacije opterećenja za ekstremne uticaje u ploči pretstavljaju slučajeve stalnog opterećenja u svim poljima i odgovarajućeg šah-mat rasporeda pokretnog opterećenja

152 Rasporedi opterećenja za ekstremne uticaje Variranje rasporeda pokretnog opterećenja u cilju dobijanja ekstremnih uticaja (momenata u poljima i momenata nad osloncima) kod kontinualnih krstato armiranih ploča

153 Rasporedi opterećenja za ekstremne uticaje

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Teorija betonskih konstrukcija 1. Vežbe br. 4. GF Beograd

Teorija betonskih konstrukcija 1. Vežbe br. 4. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 Vežbe br. 4 GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 1 "T" preseci - VEZANO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji (M G,Q ) sračunato kvalitet materijala (f cd, f

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

1 - KROVNA KONSTRUKCIJA : * krovni pokrivač, daska, letva: = 0,60 kn/m 2 * sneg, vetar : = 1,00 kn/m 2

1 - KROVNA KONSTRUKCIJA : * krovni pokrivač, daska, letva: = 0,60 kn/m 2 * sneg, vetar : = 1,00 kn/m 2 OPTEREĆENJE KROVNE KONSTRUKCIJE : * krovni pokrivač, daska, letva: = 0,60 kn/m 2 * sneg, vetar : = 1,00 kn/m 2 1.1. ROGOVI : * nagib krovne ravni : α = 35 º * razmak rogova : λ = 80 cm 1.1.1. STATIČKI

Διαβάστε περισσότερα

Proračunski model - pravougaoni presek

Proračunski model - pravougaoni presek Proračunski model - pravougaoni presek 1 ε b 3.5 σ b f B "" ηx M u y b x D bu G b h N u z d y b1 a1 "1" b ε a1 10 Z au a 1 Složeno savijanje - VEZNO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji za (M i, N

Διαβάστε περισσότερα

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU Odsek za konstrukcije TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA grupa A

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU Odsek za konstrukcije TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA grupa A Odsek za konstrukcije 25.01.2012. grupa A 1. 1.1 Za nosač prikazan na skici 1 odrediti dijagrame presečnih sila. Sopstvena težina je uključena u stalno opterećenje (g), a povremeno opterećenje (P1 i P2)

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II

TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II TABLICA 1: PARCIJALNI KOEFICIJENTI SIGURNOSTI ZA DJELOVANJA Parcijalni koeficijenti sigurnosti γf Vrsta djelovanja Djelovanje Stalno Promjenjivo

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Predavanje br.3 KONSTRUKTIVNI SKLOPOVI ZGRADA

Predavanje br.3 KONSTRUKTIVNI SKLOPOVI ZGRADA Predavanje br.3 KONSTRUKTIVNI SKLOPOVI ZGRADA Dr Veliborka Bogdanović, red.prof. Dr Dragan Kostić, v.prof. Konstruktivni sklop - Noseći sistem objekta Struktura sastavljena od jednostavnih nosećih elemenata

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

PROJEKTOVANJEI GRA ENJEBETONSKIH KONSTRUKCIJA

PROJEKTOVANJEI GRA ENJEBETONSKIH KONSTRUKCIJA GRA EVINSKI FAKULTET UBEOGRADU PROJEKTOVANJEI GRA ENJEBETONSKIH KONSTRUKCIJA 1 12.06.2013. p=10 kn/m 2 p=8kn/m 2 p=10 kn/m 2 25 W=±60 kn 16 POS 1 80 60 25 25 POS 1 60 POS 3 60 POS 4 POS 2 POS 3 POS 4 POS

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

30 kn/m. - zamenimo oslonce sa reakcijama oslonaca. - postavimo uslove ravnoteže. - iz uslova ravnoteže odredimo nepoznate reakcije oslonaca

30 kn/m. - zamenimo oslonce sa reakcijama oslonaca. - postavimo uslove ravnoteže. - iz uslova ravnoteže odredimo nepoznate reakcije oslonaca . Za zadati nosač odrediti: a) Statičke uticaje (, i T) a=.50 m b) Dimenzionisati nosač u kritičnom preseku i proveriti normalne, smičuće i uporedne napone F=00 k F=50 k q=30 k/m a a a a Kvalitet čelika:

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače

Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Rožnjača je statičkog sistema kontinualnog nosača raspona L= 5x6,0m. Usvaja se hladnooblikovani šuplji profil pravougaonog poprečnog preseka. Raster rožnjača: λ r 2.5m

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Izvođenje diferencijalne jednačine elastične linije elastična linija kod proste grede elastična linija kod konzole

Izvođenje diferencijalne jednačine elastične linije elastična linija kod proste grede elastična linija kod konzole Izvođenje diferencijalne jednačine elastične linije Elastična linija, čija je jednačina y(z), je krivolinijski oblik ose nosača izazvan opterećenjem. Koordinatni sistem ćemo uvek uzimati tako da je koordinatni

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

ISPIT GRUPA A - RJEŠENJA

ISPIT GRUPA A - RJEŠENJA Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga AB oslonjena je na dva čelična štapa u A i B i opterećena trouglastim opterećenjem, kao na slici desno. Ako su oba štapa iste dužine L,

Διαβάστε περισσότερα

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I 4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I Čisto pravo savijanje Pod čistim savijanjem grede podrazumeva se naprezanje pri kome su sve komponente unutrašnjih sila jednake nuli, osim momenta

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA grupa A

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA grupa A TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 25.12.2012. grupa A 1. 1.1 Dimenzionisati prema momentima savijanja (Mu) karakteristične preseke nosača prikazanog na skici 1. Prilikom dimenzionisanja obezbediti graničnu

Διαβάστε περισσότερα

Konvencija o znacima za opterećenja grede

Konvencija o znacima za opterećenja grede Konvencija o znacima za opterećenja grede Levo od preseka Desno od preseka Savijanje Čisto savijanje (spregovima) Osnovne jednačine savijanja Savijanje silama Dimenzionisanje nosača izloženih savijanju

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA datum: 27. avgust 2012 DEPARTMAN ZA GRAĐEVINARSTVO I GEODEZIJU

UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA datum: 27. avgust 2012 DEPARTMAN ZA GRAĐEVINARSTVO I GEODEZIJU UNIVERZITET U NOVOM SADU 01 08 FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA datum: 7. avgust 01 DEPARTMAN ZA GRAĐEVINARSTVO I GEODEZIJU BETONSKE KONSTRUKCIJE (1) pismeni ispit Zadatak 1 je eliminatornog tipa (kvalifikuje

Διαβάστε περισσότερα

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD Predmet: Mašinski elementi Proraþun vratila strana 1 Dimenzionisati vratilo elektromotora sledecih karakteristika: ominalna snaga P 3kW Broj obrtaja n 14 min 1 Shema opterecenja: Faktor neravnomernosti

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 1 PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET ODREĐIVANJE MOMENTA LOMA - "T" PRESEK Na skici dole su prikazane sve potrene geometrijske veličine, dijagrami dilatacija i napona,

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 BETONSKE KONSTRUKCIJE RAMOVSKE KONSTRUKCIJE Prof. dr Snežana Marinković Doc. dr Ivan Ignjatović Semestar: V ESPB: Ramovske konstrukcije 1.1. Podela 1.2. Statički sistemi i statički proračun 1.3. Proračun

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE (1) pismeni ispit (str. 1)

BETONSKE KONSTRUKCIJE (1) pismeni ispit (str. 1) UNIVERZITET U NOVOM SADU 2012 03 FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA datum: 07. April 2012 DEPARTMAN ZA GRAĐEVINARSTVO I GEODEZIJU BETONSKE KONSTRUKCIJE (1) pismeni ispit (str. 1) Zadatak 1 (100%) - eliminatorni

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU pismeni ispit ODSEK ZA KONSTRUKCIJE TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA. grupa A. p=60 kn/m. 7.

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU pismeni ispit ODSEK ZA KONSTRUKCIJE TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA. grupa A. p=60 kn/m. 7. ODSEK ZA KONSTRUKCIJE 28.01.2015. grupa A g=50 kn/m p=60 kn/m 60 45 15 75 MB 35, RA 400/500 7.5 m 5 m 25 1.1 Odrediti potrebnu površinu armature u karakterističnim presecima (preseci na mestima maksimalnih

Διαβάστε περισσότερα

5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I

5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I 5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I ČISTO KOSO SAVIJANJE Pod pravim savijanjem podrazumeva se slučaj kada se ravan savijanja poklapa sa jednom od glavnih ravni

Διαβάστε περισσότερα

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA)

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA) ROS GRED (ROSO OSONJEN GRED) oprečna sila i moment savijanja u gredi y a b c d e a) Zadana greda s opterećenjem l b) Sile opterećenja na gredu c) Određivanje sila presjeka grede u presjeku a) Unutrašnje

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar

PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

SILE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA

SILE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA SIE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA DEFINICIJE SIA U PRESECIMA Projektovanje bilo kog konstruktivnog elemenata podrazumeva određivanje unutrašnjih sila u tom elementu da bi se obezbedilo da materijal od koga

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORIJ ETONSKIH KONSTRUKCIJ 1 PRESECI S PRSLINO - VELIKI EKSCENTRICITET ČISTO SVIJNJE - VEZNO DIENZIONISNJE Poznato: - statički ticaji za pojedina opterećenja ( i ) - kalitet materijala (f, σ ) - dimenzije

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

1 PRORAČUN PLOČE POS 1

1 PRORAČUN PLOČE POS 1 PLOČA OSLONJENA U JEDNOM PRAVCU P1/1 1 PRORAČUN PLOČE POS 1 Ploča dimenzija 6.0 7.m u osnovi oslonjena je na dve paralelne grede POS, koje su oslonjene na stubove POS S u uglovima ploče. Pored sopstvene

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

PRETHODNI PRORACUN VRATILA (dimenzionisanje vratila)

PRETHODNI PRORACUN VRATILA (dimenzionisanje vratila) Predet: Mašinski eleenti Proračun vratila strana Dienzionisati vratilo elektrootora sledecih karakteristika: oinalna snaga P = 3kW roj obrtaja n = 400 in Shea opterecenja: Faktor neravnoernosti K =. F

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne vrste naprezanja: Aksijalno naprezanje Smicanje Uvijanje. Savijanje. Izvijanje

Osnovne vrste naprezanja: Aksijalno naprezanje Smicanje Uvijanje. Savijanje. Izvijanje Osnovne vrste napreanja: ksijalno napreanje Smicanje Uvijanje Savijanje Ivijanje 1 SVIJNJE GREDE SI Greda je opterećena na desnom kraju silom paralelno jednoj od glavnih centralnih osa inercije (y osi).

Διαβάστε περισσότερα

OTPORNOST MATERIJALA 2 Osnovne akademske studije, III semestar

OTPORNOST MATERIJALA 2 Osnovne akademske studije, III semestar OTPORNOST MATERIJALA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof dr Stanko Br i email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehni ke nauke Drºavni Univerzitet u Novom Pazaru 2015/16 Sadrºaj 1 Sloºeno naprezanje

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Оsnоvni principi prојеktоvаnjа zidаnih zgrаdа

Оsnоvni principi prојеktоvаnjа zidаnih zgrаdа Građevinsko-arhitektonski fakultet Univerziteta u Nišu Osnovne akademske studije studijski program Arhitektura Školska godina 2015/16 Uvod u arhitektonske konstrukcije, II sem. 2+2 Predavanje br. 6 Оsnоvni

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Austrotherm AMK element ispune za meduspratne konstrukcije

Austrotherm AMK element ispune za meduspratne konstrukcije Austrotherm AMK element ispune za meduspratne konstrukcije standardne dimenzije punioca l/b/h = 50cm/40cm/16cm male težine i lako ugradiv idealan kod nadogradnje objekata To nikoga ne ostavlja hladnim!

Διαβάστε περισσότερα

Bočno-torziono izvijanje. Metalne konstrukcije 1 P7-1

Bočno-torziono izvijanje. Metalne konstrukcije 1 P7-1 Bočno-torziono izvijanje etalne konstrukcije 1 P7-1 etalne konstrukcije 1 P7- etalne konstrukcije 1 P7-3 Teorijske osnove Problem je prvi analizirao Timošenko. Linearno elastična teorija bočno-torzionog

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

S T A T I Č K I P R O R A Č U N UZ PROJEKAT PORODIČNE STAMBENE ZGRADE P+1 PROFESORA MILUTINOVIĆ VELJKA, U PIPERIMA

S T A T I Č K I P R O R A Č U N UZ PROJEKAT PORODIČNE STAMBENE ZGRADE P+1 PROFESORA MILUTINOVIĆ VELJKA, U PIPERIMA S T A T I Č K I P R O R A Č U N UZ PROJEKAT PORODIČNE STAMBENE ZGRADE P+ PROFESORA MILUTINOVIĆ VELJKA, U PIPERIMA OVLAŠĆENI PROJEKTANT ANALIZA OPTEREĆENJA ANALIZA OPTEREĆENJA Osnovni podaci za objekat

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Proračun nosivosti elemenata

Proračun nosivosti elemenata Proračun nosivosti elemenata EC9 obrađuje sve fenomene vezane za stabilnost elemenata aluminijumskih konstrukcija: Izvijanje pritisnutih štapova; Bočno-torziono izvijanje nosača Izvijanje ekscentrično

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

FUNDIRANJE (TEMELJENJE)

FUNDIRANJE (TEMELJENJE) 1/11/013 FUNDIRANJE 1 FUNDIRANJE (TEMELJENJE) 1. Projektovanje temelja se vrši prema graničnom stanju konstrukcije i tla ispod ojekta sa osvrtom na ekonomski faktor u pogledu utroška materijala, oima radova

Διαβάστε περισσότερα

ROŽNJAČE. Rožnjače

ROŽNJAČE. Rožnjače 1 ROŽNJAČE 2 Rožnjače Opšte 3 Rožnjače primaju i prenose opterećenje sa krovne površine na glavne nosače. Leže u krovnoj ravni i pružaju se paralelno sa podužnom osom hale. Raspon l: od 4,0 do 18,0 m (uobičajeno

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET ODREĐIVANJE MOMENTA LOMA - PRAVOUGAONI PRESEK Moment loma za pravougaoni presek prikazan na skici odrediti za slučajeve:. kada

Διαβάστε περισσότερα

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj Matrična analiza linijskih

Διαβάστε περισσότερα

Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21,

Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21, Kolegij: Konstrukcije 017. Rješenje zadatka. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu 1. ULAZNI PARAETRI. RAČUNSKE VRIJEDNOSTI PARAETARA ATERIJALA.1. Karakteristične vrijednosti parametara tla Efektivna Sloj

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA

4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA JBAG 4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA PROGRA IZ KOLEGIJA BETONSKE I ZIDANE KONSTRUKCIJE 9 5 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU JBAG 4. Statiči proračun stubišta 4.. Stubišni ra 4... Analiza opterećenja 5 5 4 6 8 5 6 0

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar

PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Sl. 3/1. Statički sistemi grednih nosača

Sl. 3/1. Statički sistemi grednih nosača 3. LINIJSKI ELEMENTI 3.1. GREDNI NOSAČI 3.1.1. KARAKTERISTIKE, PRIMENA I SISTEMI Grednim nosačima smatramo one linijske elemente koji su pretežno opterećeni na savijanje silama. Javljaju se sastavnim delom

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Određivanje statičke šeme glavnog nosača

Određivanje statičke šeme glavnog nosača 1 PRORAČUN GLAVNIH NOSAČA Određivanje statičke šeme glavnog nosača Konstrukcijska i statička šema za jednobrodnu halu Konstrukcijska i statička šema za dvobrodnu halu 3 Metode globalne analize materijalna

Διαβάστε περισσότερα

Aksijalno pritisnuti štapovi konstantnog višedelnog preseka

Aksijalno pritisnuti štapovi konstantnog višedelnog preseka Aksijalno pritisnuti štapovi konstantnog višedelnog preseka Metalne konstrukcije 1 P6-1 Osobenosti višedelnih štapova Poprečni presek se sastoji od više samostalnih elemenata koji su mestimično povezani;

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE

LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE 0 4 0 1 Lanci za vešanje tereta prema standardu MSZ EN 818-2 Lanci su izuzetno pogodni za obavljanje zahtevnih operacija prenošenja tereta. Opseg radne temperature se kreće

Διαβάστε περισσότερα