ΖΜΔΗΩΔΗ ΣΖ ΓΡΑΜΜΗΚΖ ΑΛΓΔΒΡΑ

Transcript

1 ΖΜΔΗΩΔΗ ΣΖ ΓΡΑΜΜΗΚΖ ΑΛΓΔΒΡΑ Γηα ην κάζεκα ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΣΖ ΥΖΜΔΗΑ ΗΗ Από Καζεγεηή Π. Νηθήηα Θεζζαινλίθε

2 ΠΗΝΑΚΔ. Οξηζκόο Έλαο Πίλαθαο (Matrix) ηάμεο mn είλαη κηα δηαηεηαγκέλε νξζνγώληα δηάηαμε mn πνζνηήησλ ζε m γξακκέο θαη n ζηήιεο. Αλ ε πνζόηεηεο, ζπλήζσο αξηζκνί, ζπκβνιίδνληαη κε a ij ν πίλαθαο είλαη κηα δηάηαμε ηεο κνξθήο Α a a a n a a a n a m a m a mn H δηάηαμε ησλ ζηνηρείσλ ελόο πίλαθα είλαη δηαηεηαγκέλε κε ηελ αθόινπζε έλλνηα. Αλ ηα ζηνηρεία ηνπ πίλαθα έρνπλ θπζηθή ζεκαζία, γηα παξάδεηγκα είλαη πεξηβαιινληηθά δείγκαηα, ηόηε ηα ζηνηρεία ηεο πξώηεο ζηήιεο κπνξεί λα εθθξάδνπλ όια ηελ ίδηα θπζηθή πνζόηεηα, π.ρ. ηε ζπγθέληξσζε ηνπ ξύπνπ CO, ηεο επόκελεο ζηήιεο ηε ζπγθέληξσζε CO, θ.ν.θ. Δπίζεο όια ηα ζηνηρεία ηεο πξώηεο γξακκήο κπνξεί λα είλαη νη κεηξήζεηο ηνπ πξώηνπ κήλα (κέζεο ηηκέο), ηεο δεύηεξεο γξακκήο νη κεηξήζεηο ηνπ επόκελνπ κήλα, θ.ν.θ.. πκβνιηζκνί. Έλαο πίλαθαο ζπκβνιίδεηαη κε έλα θεθαιαίν γξάκκα, ζπλήζσο έληνλν (bold), ή κε ην γεληθό ζηνηρείν a ij κέζα ζε παξέλζεζε. Δπίζεο κπνξεί λα ζπκβνιίδεηαη κε έλα θεθαιαίν γξάκκα κε δείθηε ηελ ηάμε ηνπ. Γειαδή.3 Βαζηθέο καζεκαηηθέο πξάμεηο A, A ή (a ij ) ή A mn Ηζόηεηα πηλάθωλ: Γύν πίλαθεο Α (a ij ) θαη Β (b ij ) είλαη ίζνη όηαλ είλαη ηεο απηήο ηάμεο θαη επηπιένλ ηα ζηνηρεία ηνπ ελόο είλαη ίζα κε ηα αληίζηνηρα ηνπ άιινπ, δειαδή γηα θάζε i, j ηζρύεη a ij b ij Πξόζζεζε: Γύν πίλαθεο Α (a ij ) θαη Β (b ij ) πξνζηίζεληαη αλ είλαη ηεο ίδηαο ηάμεο mn. Τν άζξνηζκά ηνπο είλαη πίλαθαο C Α + Β επίζεο ηάμεο mn κε ζηνηρεία C (c ij ) γηα ηα νπνία ηζρύεη c ij a ij + b ij Παράδειγμα Ηδηόηεηεο: α) Αληηκεηαζεηηθή Α + Β Β + Α β) Πξνζεηαηξηζηηθή Α + (Β+C) (A+Β) + C

3 3 Αθαίξεζε: Η αθαίξεζε δύν πηλάθσλ Α (a ij ) θαη Β (b ij ) ηεο ίδηαο ηάμεο mn είλαη πίλαθαο C Α Β ηάμεο mn κε ζηνηρεία C (c ij ) γηα ηα νπνία ηζρύεη c ij a ij - b ij Παράδειγμα Πνιιαπιαζηαζκόο επί αξηζκό: Γηα ηνλ πνιιαπιαζηαζκό ελόο πίλαθα Α επί έλαλ αξηζκό ι ηζρύεη Παράδειγμα λα λa λa λa n λa λa λa n λa m λa m λa mn Πνιιαπιαζηαζκόο πηλάθωλ: Έλαο πίλαθαο Α ηάμεο mn πνιιαπιαζηάδεηαη κόλν κε έλαλ πίλαθα Β ηάμεο nq θαη ην απνηέιεζκα είλαη έλαο πίλαθαο C ηάμεο mq. Γειαδή Γηα ηα ζηνηρεία ηνπ C (c ij ) ηζρύεη A mn. Β nq C mq c ij n k a ik b kj Σρεκαηηθά ε δηαδηθαζία ηνπ πνιιαπιαζηαζκνύ θαίλεηαη ζηελ παξαθάησ εηθόλα. Σηελ εηθόλα απηή πνιιαπιαζηάδεηαη ζρεκαηηθά έλαο πίλαθαο Α ηάμεο 3 επί έλαλ πίλαθα Β ηάμεο 3 θαη ην απνηέιεζκα είλαη έλαο πίλαθαο C ηάμεο 33. Τόηε γηα παξάδεηγκα, ην ζηνηρείν α ηνπ πίλαθα C ζα πξνέιζεη από ηνλ πνιιαπιαζηαζκό ησλ ζηνηρείσλ ηεο πξώηεο γξακκήο ηνπ Α επί ηα ζηνηρεία ηεο δεύηεξεο ζηήιεο ηνπ Β θαη ηελ άζξνηζε ησλ γηλνκέλσλ απηώλ: c a b +a b

4 4 C Παράδειγμα Ηδηόηεηεο: α) Δπηκεξηζηηθή Α(Β+C) AΒ + AC β) Πξνζεηαηξηζηηθή Α(ΒC) (AΒ)C γ) Γελ ηζρύεη πάληα ε αληηκεηαζεηηθή, δειαδή ΑΒ ΒΑ.4 Δηδηθνί πίλαθεο Πίλαθαο γξακκή: Δίλαη έλαο πίλαθαο κε κία γξακκή θαη n ζηήιεο, δειαδή m, n >: A (α, α,, α n ) Οη πίλαθεο απηνί νλνκάδνληαη θαη δηαλύζκαηα θαη ζηελ θβαληηθή κεραληθή ζπκβνιίδνληαη θαη σο <α (α, α,, α n ) Ο ζπκβνιηζκόο απηόο νλνκάδεηαη bra (Dirac). Γεληθά όκσο ν ζπκβνιηζκόο είλαη κε έλα γξάκκα θεθαιαίν ή κηθξό γξακκέλν έληνλα (bold). Ή κε έλα γξάκκα κε έλα βέινο από πάλσ. Γειαδή Α, α, α Πίλαθαο ζηήιε: Δίλαη έλαο πίλαθαο κε m γξακκέο θαη κία ζηήιε, δειαδή m >, n : Α α α α m

5 5 Καη νη πίλαθεο απηνί νλνκάδνληαη θαη δηαλύζκαηα. Γεληθά ζπκβνιίδνληαη όπσο θαη ηα δηαλύζκαηα κηαο γξακκήο, ζπλήζσο όκσο κε έλαλ εθζέηε Τ γηα ιόγνπο πνπ ζα εμεγεζνύλ παξαθάησ. Σηελ θβαληηθή κεραληθή ζπκβνιίδνληαη σο Α, α, α, Α Τ, α Τ, α Τ α > α α α m Ο ζπκβνιηζκόο απηόο νλνκάδεηαη ket (από ηε ιέμε bracket) Μεδεληθόο πίλαθαο (Zero matrix), : Δίλαη ν πίλαθαο πνπ έρεη όια ηνπ ηα ζηνηρεία ίζα κε κεδέλ. Ιζρύνπλ νη πξνθαλείο ζρέζεηο θαη Α + Α Α. θαη. Α Σεηξαγωληθόο (Square) πίλαθαο: Δίλαη ν πίλαθαο πνπ ν αξηζκόο ησλ γξακκώλ είλαη ίζνο κε ηνλ αξηζκό ησλ γξακκώλ. Γειαδή m n Α a a a m a a a m a m a m a mm Γηαγώληνο (Diagonal) πίλαθαο: Δίλαη έλαο ηεηξαγσληθόο πίλαθαο ηνπ νπνίνπ όια ηα ζηνηρεία είλαη κεδέλ εθηόο από ηα δηαγώληα Α a a a mm (Μνλαδηαίνο) ή ηαπηνηηθόο πίλαθαο (Unit matrix), Η: Δίλαη ν δηαγώληνο πίλαθαο ηνπ νπνίνπ ηα δηαγώληα ζηνηρεία είλαη όια ίζα κε. Ι

6 6 Γηα ηνλ πίλαθα απηόλ ηζρύεη Α. Ι Ι. Α Α Αλάζηξνθνο (Transpose) πίλαθαο: Έλαο πίλαθαο Β είλαη αλάζηξνθνο ελόο άιινπ πίλαθα Α, όηαλ πξνθύπηεη από ηνλ Α αλ κεηαηξέςνπκε ηηο ζηήιεο ηνπ Α ζε γξακκέο κε ηελ ίδηα ζεηξά. Σπλήζσο ν αλάζηξνθνο ηνπ Α ζπκβνιίδεηαη κε Α Τ. Γη απηό θαη ηα δηαλύζκαηα ζηήιε ζπκβνιίδνληαη κε εθζέηε ην Τ. Άιινο ζπκβνιηζκόο ηνπ αλάζηξνθνπ πίλαθα είλαη Α. Παράδειγμα Γηα ηνπο αλάζηξνθνπο πίλαθεο ηζρύεη Αλ Α 3 5 4, ηόηε ΑΤ (Α+Β) Τ Α Τ + Β Τ (ΑΒ) Τ Β Τ Α Τ Αληίζηξνθνο (Inverse) πίλαθαο: Έλαο ηεηξαγσληθόο πίλαθαο Β είλαη αληίζηξνθνο ελόο άιινπ ηεηξαγσληθνύ πίλαθα Α, όηαλ ην γηλόκελό ηνπ κε ηνλ Α είλαη ν κνλαδηαίνο πίλαθαο Ι. Ο αληίζηξνθνο πίλαθαο ηνπ Α ζπκβνιίδεηαη κε Α -. Σπλεπώο ηζρύεη Γηα ηνπο αληίζηξνθνπο πίλαθεο ηζρύεη ΑΑ - Α - Α Ι (ΑΒ) - Β - Α - (ΑΒC) - C - Β - Α - Υπάξρνπλ δηάθνξεο κέζνδνη ππνινγηζκνύ ηνπ αληίζηξνθνπ πίλαθα πνπ ζα εμεηαζζνύλ παξαθάησ, ζην θεθάιαην ησλ Γξακκηθώλ Σπζηεκάησλ. πκκεηξηθόο (Symmetric) πίλαθαο: Έλαο ηεηξαγσληθόο πίλαθαο είλαη ζπκκεηξηθόο όηαλ ηζρύεη α ij α ji. Παράδειγμα Α Πξνθαλήο ηδηόηεηα γηα ζπκκεηξηθνύο πίλαθεο: Α Α Τ. Οξζνγώληνο (Orthogonal ) πίλαθαο: Έλαο ηεηξαγσληθόο πίλαθαο Α είλαη νξζνγώληνο αλ ηζρύεη ή ηζνδύλακα ΑΑ Τ Ι Α - Α Τ

7 7 Μηγαδηθόο (Complex) πίλαθαο: Δίλαη έλαο πίλαθαο κε ζηνηρεία κηγαδηθνύο αξηζκνύο Παράδειγμα Α i + i + 3i + 5i i 3 i Σηελ θαηεγνξία ησλ κηγαδηθώλ πηλάθσλ ππάξρνπλ νη εμήο ππνθαηεγνξίεο: o πδπγήο Μηγαδηθόο (Conjugate complex) πίλαθαο: Έλαο πίλαθαο Β είλαη ζπδπγήο κηγαδηθόο πίλαθαο ηνπ Α αλ πξνθύπηεη από ηνλ Α κε αληηθαηάζηαζε ησλ ζηνηρείσλ ηνπ Α από ηα ζπδπγή κηγαδηθά ηνπο. Σπκβνιίδεηαη κε Α* Παράδειγμα Αλ Α i + i + 3i + 5i i 3 i Α + i i 3i 5i i 3 + i Δίλαη πξνθαλέο όηη αλ ηζρύεη Α Α* ηα ζηνηρεία ηνπ πίλαθα είλαη κόλν πξαγκαηηθνί αξηζκνί. o Δξκηηεηαλή πδπγήο (Hermitian adjoint): Ο αλάζηξνθνο πίλαθαο ηνπ Α* νλνκάδεηαη Δξκηηεηαλή ζπδπγήο ηνπ Α θαη ζπκβνιίδεηαη κε Α + Παράδειγμα Α i + i + i i + 3i + 5i Α 3i 5i i 3 i i 3 + i + i 3i i i 5i 3 + i Α + o Δξκηηεηαλόο (Hermitian) πίλαθαο: Δίλαη έλαο ηεηξαγσληθόο πίλαθαο γηα ηνλ νπνίνλ ηζρύεη Παράδειγμα Γηόηη Α Α i i + i i i 3 4i 3 Α Α + i i + i i i 3 4i 3 Α + i i i 5 3 4i i 3 + 4i 3

8 8 Α + i i + i i i 3 4i 3 Α Παξαηεξνύκε όηη ηα δηαγώληα ζηνηρεία είλαη πξαγκαηηθνί αξηζκνί, ελώ ηα ζπκκεηξηθά σο πξνο ηα δηαγώληα είλαη κηγαδηθνί ζπδπγείο. o Μοναδιαίος (Unitary) πίλαθαο: Δίλαη έλαο ηεηξαγσληθόο πίλαθαο γηα ηνλ νπνίνλ ηζρύεη Πξνθαλώο ζηελ πεξίπησζε απηή ηζρύεη Α. Α + I Α + Α - Παράδειγμα Α i i i Α i i i Α + i i i Α Α + + i i i + i i i i i i i I.5 Αζθήζεηο ) Nα ππνινγηζηεί ην άζξνηζκα A+B θαη ε δηαθνξά Β-Α ησλ πηλάθσλ: A θαη B 3 6 ) Nα ππνινγηζηνύλ ηα γηλόκελα AB θαη BA ησλ παξαπάλσ πηλάθσλ. 3) Nα ππνινγηζηνύλ ηα γηλόκελα AB θαη BA ησλ πηλάθσλ:

9 9 A θαη B 3 4) Πνην είλαη ην άζξνηζκα Α+Β ησλ παξαπάλσ πηλάθσλ; 5) Nα ππνινγηζηνύλ ηα γηλόκελα AB θαη BA ησλ πηλάθσλ: A 3 θαη B 3 5 6) Γίλνληαη νη πίλαθεο Να ππνινγηζηεί ε πνζόηεηα 7) Γίλνληαη νη πίλαθεο Α 3, Β 3, C 4 A 3 Να ππνινγηζηεί ην γηλόκελν ΑΒC Α + Β.5C Φσξίο λα θάλεηε πξάμεηο ηζρύεη CΒΑ ΑΒC;, B 3, C 3 8) Να ππνινγηζηεί ν αλάζηξνθνο ηνπ Α ) Πνηνη από ηνπο παξαθάησ πίλαθεο είλαη νξζνγώληνη;, cosθ sinθ sinθ cosθ, cosθ sinθ sinθ cosθ, ) Να εμεηάζεηε αλ είλαη Δξκηηεηαλνί νη πίλαθεο: i i i + i i i, i i, i i ) Να εμεηάζεηε αλ είλαη Μνλαδηαίνη (Unitary) νη πίλαθεο:

10 / i / i / /, i i i i ) Να εμεηάζεηε αλ ν παξαθάησ πίλαθαο κπνξεί λα πνιιαπιαζηαζηεί κε κία ζηαζεξά έηζη ώζηε λα γίλεη κνλαδηαίνο; i i 3) Να πξνζδηνξηζηεί ν ζπκκεηξηθόο πίλαθαο Χ όηαλ Χ ΧΧ Α θαη Α 4) Να πξνζδηνξηζηεί ν πίλαθαο Χ όηαλ Χ ΑΧ + Β θαη 5) Αλ Α 3 Α, Β 3, C 3, Β 3 3 λα ππνινγηζηνύλ ηα ΒΑ, ΑC, BB, A T B, C T A T, BA-3A, C T C, CC T, A T A, AA T, AA T A 6) Αλ x 3 t y x y w + w λα ππνινγηζηνύλ ηα x, y, t, w. 7) Να βξεζεί ε ιύζε ηεο εμίζσζεο ΥΑ Β, όπνπ A θαη Β 3 4 8) Αλ Α λα βξεζνύλ όιεο νη ιύζεηο ηεο εμίζσζεο ΑΥ ΥΑ. 9) Να βξεζνύλ νη ηηκέο x, y, z ώζηε λα είλαη xa + yb + zc Η, όπνπ Α, Β, C

11 ) Αλ Α a λα δεηρζεί όηη A v va ) Να βξεζνύλ νη ζπκκεηξηθνί πίλαθεο Υ γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη Υ. ) A θαη B είλαη n n πίλαθεο. Δμεηάζηε εάλ (A + B) A + AB + B Να εμεηαζζεί αλ ηζρύεη ε παξαπάλσ ζρέζε όηαλ Α α β β α γ δ, B δ γ 3) α) Γείμηε όηη γηα θάζε n n πίλαθα A, ν πίλαθαο A T A είλαη ζπκκεηξηθόο. β) Γείμηε όηη εάλ ν A είλαη αληηζπκκεηξηθνο, ηόηε ν AA είλαη ζπκκεηξηθόο. Έλαο πίλαθαο A είλαη αληηζπκκεηξηθόο αλ ηζρύεη A - A T. 4) Έζησ ν πίλαθαο Β θαη ν πίλαθαο A. Τα ζηνηρεία ησλ πηλάθσλ απηώλ είλαη όια πξαγκαηηθνί αξηζκνί. Δμεηάζηε εάλ ν BA T AB T κπνξεί λα είλαη αξλεηηθόο αξηζκόο. 5) Αλ ν πίλαθαο Υ είλαη, ππνινγίζηε ηξεηο ιύζεηο ηεο εμίζσζεο: Υ - Υ. 6) Αλ Α 9 4 λα δεηρζεί όηη A v 3ν 9ν ν + 3ν.

12 . Οξηζκoί Έζησ έλαο ηεηξαγσληθόο πίλαθαο Α ΟΡΗΕΟΤΔ a a a m a a a m a m a m a mm Αλ α ij είλαη αξηζκνί, ζηνλ πίλαθα Α αληηζηνηρεί έλαο αξηζκόο πνπ νλνκάδεηαη Οξίδνπζα (Determinant) ηάμεο m θαη ζπκβνιίδεηαη κε detα a a a m a a a m a m a m a mm Πξόθεηηαη γηα έλα αιγεβξηθό άζξνηζκα m! όξσλ πνπ ζρεκαηίδνληαη από γηλόκελα ησλ αξηζκώλ α ij έηζη ώζηε ζε θάζε όξν λα ππάξρεη έλα θαη κόλν έλα ζηνηρείν από θάζε γξακκή i θαη θάζε ζηήιε j ηνπ πίλαθα Α. Πην ζπγθεθξηκέλα ηζρύεη ε αθόινπζε επαλαιεπηηθή ζρέζε γηα ηνλ πξνζδηνξηζκό κηαο νξίδνπζαο. Γηα κηα νξίδνπζα ηάμεο ηζρύεη Γηα κηα νξίδνπζα ηάμεο 3 ηζρύεη α α α α α α α α α α α 3 α α α 3 α α α 3 α α 3 α 3 α 3 α α α α 3 33 α 3 α + α α α 3 33 α 3 α 3 33 α α 3 Παξαηεξνύκε όηη ε νξίδνπζα α 3 α 33 α α α 3 πξνέξρεηαη από ηελ αξρηθή νξίδνπζα α α α 3 αλ δηαγξάςνπκε ηε γξακκή θαη ηε ζηήιε ζηηο νπνίεο αλήθεη ην ζηνηρείν α 3 α 3 α 33 α, ε νξίδνπζα α α 3 α 3 α 33 πξνέξρεηαη από ηελ αξρηθή νξίδνπζα αλ δηαγξάςνπκε ηε γξακκή θαη ηε ζηήιε ζηηο νπνίεο αλήθεη ην ζηνηρείν α θαη ε νξίδνπζα α α α 3 α 3 πξνέξρεηαη από ηελ αξρηθή νξίδνπζα αλ δηαγξάςνπκε ηε γξακκή θαη ηε ζηήιε ζηηο νπνίεο αλήθεη ην ζηνηρείν α 3. Γεληθεύνληαο, γηα κηα νξίδνπζα ηάμεο m ηζρύεη detα a a a m a a a m α Μ α Μ + α 3 Μ ( ) +m α m Μ m a m a m a mm

13 3 Σηε ζρέζε απηή Μ j είλαη ε νξίδνπζα ηάμεο m- πνπ πξνέξρεηαη από ηελ αξρηθή νξίδνπζα αλ δηαγξάςνπκε ηε γξακκή θαη ηε ζηήιε ζηηο νπνίεο αλήθεη ην ζηνηρείν α j, δειαδή ε πξώηε γξακκή θαη ε ζηήιε j. Η παξαπάλσ ζρέζε νλνκάδεηαη αλάπηπγκα ηνπ Laplace. Η νξίδνπζα Μ j νλνκάδεηαη ειάζζωλ (Minor) νξίδνπζα ηνπ ζηνηρείνπ α j θαη ν όξνο ( ) +j Μ j αιγεβξηθό ζπκπιήξωκα (cofactor) ηνπ ζηνηρείνπ α j. Η έλλνηα αιγεβξηθό ζπκπιήξσκα γεληθεύεηαη θαη ε παξαθάησ πνζόηεηα Α ij ( ) i+j Μ ij είλαη ην αιγεβξηθό ζπκπιήξωκα ηνπ ζηνηρείνπ α ij. Απνδεηθλύεηαη επαγσγηθά όηη ηζρύεη detα a a a m a a a m a m a m a mm α j A j + α j A j + α 3j A 3j + + α mj A mj α ij A ij m i α i A i + α i A i + α i3 A i3 + + α im A im α ij A ij Μία ρξήζηκε ηδηόηεηα ησλ αιγεβξηθώλ ζπκπιεξσκάησλ είλαη ε αθόινπζε θαη. Ηδηόηεηεο m j α i A k + α i A k + α i3 A k3 + + α im A km όηαλ k i α j A k + α j A k + α 3j A 3k + + α mj A mk όηαλ k j ) Μία νξίδνπζα παξακέλεη ακεηάβιεηε αλ ελαιιάμνπκε ηηο γξακκέο ηεο κε ηηο ζηήιεο ηεο. Γειαδή det(a) det(a T ) ) Αλ ζε κία νξίδνπζα αληηκεηαζέζνπκε δύν γξακκέο ή δύν ζηήιεο, ε νξίδνπζα αιιάδεη πξόζεκν. 3) Αλ ζε κία νξίδνπζα δύν γξακκέο ή δύν ζηήιεο έρνπλ ηα ίδηα ζηνηρεία, ε νξίδνπζα ηζνύηαη κε κεδέλ. 4) Αλ ζε κία νξίδνπζα πνιιαπιαζηάζνπκε ηα ζηνηρεία κηαο γξακκήο ή κηαο ζηήιεο επί έλαλ αξηζκό ι, ηόηε ε ηηκή ηεο νξίδνπζαο πνιιαπιαζηάδεηαη επί ι. 5) Αλ ζε κία νξίδνπζα όια ηα ζηνηρεία κηαο γξακκήο ή κηαο ζηήιεο είλαη ίζα κε κεδέλ θαη ε ηηκή ηεο νξίδνπζαο είλαη κεδέλ.

14 4 6) Η ηηκή κηαο νξίδνπζαο δελ κεηαβάιιεηαη αλ ζηα ζηνηρεία κηαο γξακκήο (ζηήιεο) πξνζζέζνπκε ηα αληίζηνηρα ζηνηρεία κηαο άιιεο γξακκήο (ζηήιεο) πνιιαπιαζηαζκέλα επί ι. Πξνζνρή, αλ πνιιαπιαζηάζνπκε ηα ζηνηρεία κηαο γξακκήο (ζηήιεο) επί ι θαη ζ απηή ηε γξακκή πξνζζέζνπκε ηα αληίζηνηρα ζηνηρεία κηαο άιιεο γξακκήο (ζηήιεο), ε ηηκή ηεο νξίδνπζαο πνιιαπιαζηάδεηαη επί ι. 7) Αλ θάζε ζηνηρείν κηαο γξακκήο ή ζηήιεο είλαη ην άζξνηζκα δύν όξσλ, ε νξίδνπζα ηζνύηαη κε ην άζξνηζκα ησλ αληίζηνηρσλ νξηδνπζώλ. Π.ρ. a a a 3 b + d b + d b 3 + d 3 c c c 3 8) Γηα ην γηλόκελν δύν νξηδνπζώλ ηζρύεη a a a 3 b b b 3 + c c c 3 det (A)det(B) det(ab) a a a 3 d d d 3 c c c 3.3 Σξηγωληθή κνξθή νξίδνπζαο Έζησ ε νξίδνπζα m ηάμεο detα a a a m a a a m a m a m a mm Φξεζηκνπνηώληαο ηηο ηδηόηεηεο ησλ νξηδνπζώλ θαη θπξίσο ηελ ηδηόηεηα 4 κπνξνύκε πάληα λα γξάςνπκε ηελ παξαπάλσ νξίδνπζα κε ηε ηξηγωληθή κνξθή Παράδειγμα Έζησ ε νξίδνπζα detα deta a a b a m b m b mm Αλ πνιιαπιαζηάζσ ηα ζηνηρεία ηεο πξώηεο γξακκήο επί θαη ηα αθαηξέζσ από ηα αληίζηνηρα ζηνηρεία ηεο δεύηεξεο γξακκήο παίξλσ deta Πνιιαπιαζηάδσ ηα ζηνηρεία ηεο πξώηεο γξακκήο επί 3 θαη ηα αθαηξώ από ηα αληίζηνηρα ζηνηρεία ηεο ηξίηεο γξακκήο

15 5 deta Πνιιαπιαζηάδσ ηα ζηνηρεία ηεο δεύηεξεο γξακκήο επί 4 θαη ηα αθαηξώ από ηα αληίζηνηρα ζηνηρεία ηεο ηξίηεο γξακκήο.4 Τπνινγηζκόο νξηδνπζώλ ) Φξεζηκνπνηώληαο ηνπο νξηζκνύο deta detα α Μ α Μ + α 3 Μ ( ) +m α m Μ m α j A j + α j A j + α 3j A 3j + + α mj A mj α i A i + α i A i + α i3 A i3 + + α im A im Παράδειγμα Έζησ ε νξίδνπζα Έρνπκε deta deta ) Μεηαηξέπνπκε ηελ νξίδνπζα detα ζε ηξηγωληθή κνξθή detα θαη ηόηε ηζρύεη a a a m a a a m a m a m a mm a a b a m b m b mm detα a b b mm Παράδειγμα deta

16 6 3) Γηα νξίδνπζεο ηξίηεο ηάμεο κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί ν θαλόλαο Sarrus a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 a a a a 3 a a 3 a a a 33 + a a 3 a 3 + a 3 a a 3 a 3 a a 3 a 3 a 3 a a 33 a a Παράδειγμα deta Αζθήζεηο ) Να ππνινγηζηνύλ νη νξίδνπζεο i 3 + i i + i i + i ) Να δεηρζεί, ρσξίο λα ππνινγηζηεί ε ηηκή, όηη νη παξαθάησ νξίδνπζεο είλαη ίζεο κε κεδέλ a x a x b y b y c z c z ) Να ππνινγηζηεί ε ηηκή ηεο παξαθάησ νξίδνπζαο θαη κε ηηο ηξεηο κεζόδνπο 4) Να ππνινγηζηεί ε ηηκή ησλ παξαθάησ νξηδνπζώλ D 4, D n, D n+ α β β β α β β β α β β β β β β α

17 7 5) Να ππνινγηζηνύλ νη νξίδνπζεο D n, D n ν ν ν ν 6) Να δεηρζεί D 4 D n a a a a a b b b a b c c a b c d + α + α a(b a)(c b)(d c) a a a 3 a n D n + α n α α a b α α a b α n α n α n α α a n b n ( ) n+ b b b 3 b n 7) Να δεηρζεί D n n n n 3 4 n!, D n D n n n!

18 8 ΓΡΑΜΜΗΚΑ ΤΣΖΜΑΣΑ 3. Γξακκηθά ζπζηήκαηα m εμηζώζεωλ κε m αγλώζηνπο Έζησ ην γξακκηθό ζύζηεκα εμηζώζεσλ: α x + α x + + α m x m b α x + α x + + α m x m b α m x + α m x + + α mm x m b m Σην ζύζηεκα απηό a ij θαη b i είλαη γλσζηέο ζηαζεξέο, ελώ x j είλαη άγλσζηνη αξηζκνί πνπ πξέπεη λα πξνζδηνξηζηνύλ ώζηε λα επαιεζεύνληαη νη εμηζώζεηο ηνπ ζπζηήκαηνο. Με κνξθή πηλάθσλ ην ζύζηεκα γξάθεηαη σο εμήο Όπνπ Α Αx b a a a m a a a m, x a m a m a mm x x x m θαη b Δπεηδή αλ θάλνπκε ηνλ πνιιαπιαζηαζκό ησλ πηλάθσλ παίξλνπκε: Αx b a a a m a a a m a m a m a mm x x x m b b b m b b b m α x + α x + + α m x m α x + α x + + α m x m α m x + α m x + + α mm x m b b b m α x + α x + + α m x m b α x + α x + + α m x m b α m x + α m x + + α mm x m b m Αλ ηα ζηνηρεία ηνπ πίλαθα b είλαη όια κεδέλ ην ζύζηεκα νλνκάδεηαη νκνγελέο, ελώ όηαλ έζησ θαη έλα είλαη δηάθνξν ηνπ κεδελόο νλνκάδεηαη κε νκνγελέο.

19 9 3. Βαζηθή ηδηόηεηα Δίλαη πξνθαλέο όηη αλ πνιιαπιαζηάζνπκε κία εμίζσζε ελόο ζπζηήκαηνο επί έλαλ αξηζκό, ι, ην ζύζηεκα δελ κεηαβάιιεηαη. Δπίζεο δελ κεηαβάιιεηαη αλ πνιιαπιαζηάζνπκε κία εμίζσζε ελόο ζπζηήκαηνο επί έλαλ αξηζκό, ι, θαη ηελ πξνζζέζνπκε ζε κία άιιε. Π.ρ. ην αξρηθό ζύζηεκα παξακέλεη ην ίδην θαη όηαλ γξαθεί σο (α + λα )x + (α + λα )x + + (α m + λα m )x m b + λb α x + α x + + α m x m b α m x + α m x + + α mm x m b m Σπλεπώο ν πνιιαπιαζηαζκόο πηλάθσλ είλαη ηζνδύλακνο κε ή θαη κε a a a m a a a m a m a m a mm α + λα α + λα a a x x x m α m + λα m a m a m a m a mm λα λα λα m a a a m a m a m a mm x x x m b b b m x x x m λb b b m b + λb b b m 3.3 Δπίιπζε κε νκνγελνύο γξακκηθνύ ζπζηήκαηνο m εμηζώζεωλ κε m αγλώζηνπο Η ηθαλή θαη αλαγθαία ζπλζήθε γηα λα έρεη ιύζε έλα ζύζηεκα m εμηζώζεσλ κε m αγλώζηνπο είλαη ε νξίδνπζα det(α) λα είλαη δηάθνξε ηνπ κεδελόο. Οη θπξηόηεξεο κέζνδνη επίιπζεο γξακκηθώλ κε νκνγελώλ ζπζηεκάησλ είλαη: ) Με πίλαθεο Αx b Α - Αx Α - b Ιx Α - b x Α - b Μέζνδνη ππνινγηζκνύ ηνπ αληίζηξνθνπ πίλαθα εμεηάδνληαη ζηελ ελόηεηα 3.6. ) Καλόλαο Cramer Αλ Αx b, ηόηε x j detb j deta

20 γηα θάζε j,,, m. Σηε ζρέζε απηή detα a a a j a m a a a j a m a m a m a mj a mm είλαη ε νξίδνπζα ησλ ζπληειεζηώλ ησλ αγλώζησλ θαη detβ j a a b a m a a b a m a m a m b m a mm είλαη ε νξίδνπζα πνπ πξνθύπηεη από ηελ νξίδνπζα ησλ ζπληειεζηώλ ησλ αγλώζησλ όηαλ ε ζηήιε j αληηθαηαζηαζεί από ηνπο ζηαζεξνύο όξνπο, δειαδή ηηο ηηκέο b i. Παραδείγματα Έζησ ην ζύζηεκα Με ηνλ θαλόλα ηνπ Cramer έρνπκε x + 5y 3x + 7y 3 x θαη y

21 3) Μέζνδνο απαινηθήο Gauss Με ηε κέζνδν απηή μεθηλώληαο από ην ζύζηεκα a a a m a a a m a m a m a mm x x x m εθαξκόδνπκε δηαδνρηθά ηε βαζηθή ηδηόηεηα κέρξη λα ην κεηαζρεκαηίζνπκε ζε b b b m x x x m c c Τόηε πξνθαλώο ζα ηζρύεη x c, x c,, x m c m. Παράδειγμα c m x x x m c c c m x + y z 8 3x y + z x + y + z 3 3 x y z 8 3 Πνιιαπιαζηάδνπκε ηε γξακκή () κε 3/ ηελ πξνζζέηνπκε ζηε γξακκή () θαη ην απνηέιεζκα ην ζέηνπκε σο γξακκή (). Οκνίσο πξνζζέηνπκε ηε γξακκή () ζηε γξακκή (3) θαη ην απνηέιεζκα ην ζέηνπκε σο γξακκή (3) x y z 8 5 x y z 8 5 Πνιιαπιαζηάδνπκε ηε γξακκή () επί. x y z 8 5 Πνιιαπιαζηάδνπκε ηε γξακκή () κε - ηελ πξνζζέηνπκε ζηε γξακκή (3) θαη ην απνηέιεζκα ην ζέηνπκε σο γξακκή (3). x y z 8 Πνιιαπιαζηάδνπκε ηε γξακκή () κε - ηελ πξνζζέηνπκε ζηε γξακκή () θαη ην απνηέιεζκα ην ζέηνπκε σο γξακκή (). x y z 6

22 Πνιιαπιαζηάδνπκε ηε γξακκή (3) κε - ηελ πξνζζέηνπκε ζηε γξακκή () θαη ην απνηέιεζκα ην ζέηνπκε σο γξακκή (). x y z 4 Πξνζζέηνπκε ζηε γξακκή (3) ζηε γξακκή () θαη ην απνηέιεζκα ην ζέηνπκε σο γξακκή (). x y z 4 3 Γηαηξνύκε ηε γξακκή () κε θαη πνιιαπιαζηάδνπκε ηε γξακκή (3) επί -. x y z 3 Άξα x, y 3, z -. Παξαηήξεζε. Δπεηδή ζηελ παξαπάλσ δηαδηθαζία ην δηάλπζκα/πίλαθαο (x y z) T δελ παίδεη θαλέλα ξόιν, γηα ιόγνπο απιόηεηαο ε δηαδηθαζία εθαξκόδεηαη σο εμήο: Γηεξεύλεζε ζπζηήκαηνο Όπσο αλαθέξζεθε, ην γξακκηθό ζύζηεκα m εμηζώζεσλ κε m αγλώζηνπο, Αx b, έρεη ιύζε ηελ x j detb j deta κε ηελ πξνϋπόζεζε όηη deta. Αλ deta,ηόηε ππάξρνπλ δύν πεξηπηώζεηο: i) Αλ ππάξρεη j ηέηνην ώζηε detβ j, ηόηε ην ζύζηεκα είλαη αδύλαηνλ, δειαδή δελ ππάξρεη ιύζε.

23 3 ii) Αλ ηζρύεη detβ j γηα όια ηα j, ηόηε ην ζύζηεκα έρεη άπεηξεο ιύζεηο. Παξάδεηγκα Να βξεζνύλ νη ηηκέο ηνπ α γηα ηηο νπνίεο ην παξαθάησ ζύζηεκα έρεη κία, θακία θαη άπεηξεο ιύζεηο. x + y + az x + ay + z a x y + az 3 Γηα λα έρεη κία κόλν ιύζε πξέπεη deta. Γειαδή deta α α α α α α ( α) Σπλεπώο αλ α, ηόηε ππάξρεη ε ιύζε x α α α 3 α ( α) α α 3 4 α ( α) 4( α ) ( α) ( + a) y α α 3 α ( α) α α ( α) ( α) ( α) z α α 3 ( α) α α ( α) 4(α ) ( α) Αλ α, ηόηε D x D y D z ππάξρεη απεηξία ιύζεσλ. Τν ζύζηεκα γίλεηαη x + y + z x + y + z x + y + z x y + z 3 x y + z 3 (x, y, z) ( z, -, z) Γειαδή ην z κπνξεί λα είλαη έλαο νπνηνζδήπνηε πξαγκαηηθόο αξηζκόο, ην x-z θαη ην y Δπίιπζε νκνγελνύο γξακκηθνύ ζπζηήκαηνο m εμηζώζεωλ κε m αγλώζηνπο Όια ηα νκνγελή ζπζηήκαηα έρνπλ σο ηεηξηκκέλε ιύζε ηε κεδεληθή (x, x,, x m ).

24 4 Η ηθαλή θαη αλαγθαία ζπλζήθε γηα λα έρεη έλα νκνγελέο ζύζηεκα m εμηζώζεσλ κε m αγλώζηνπο ιύζε δηάθνξε ηεο κεδεληθήο (x, x,, x m ) είλαη ε νξίδνπζα det(α) λα είλαη ίζε κε κεδέλ, det(α). Σ απηή ηελ πεξίπησζε ην ζύζηεκα έρεη άπεηξεο ιύζεηο πνπ πξνζδηνξίδνληαη σο εμήο: Γειαδή Από ηε ζπλζήθε πξνθύπηεη Έζησ ην ζύζηεκα a a a m a a a m a m a m a mm x x x m α x + α x + + α m x m α x + α x + + α m x m α m x + α m x + + α mm x m detα a a a j a m a a a j a m a m a m a mj a mm deta α A + α A + α 3 A α m A m ε νπνία αλ ζπλδπαζηεί κε ηελ πξώηε από ηηο εμηζώζεηο ηνπ ζπζηήκαηνο καο δίλεη ηηο πξνθαλείο ζρέζεηο x A t, x A t, x 3 A 3 t,, x m A m t γηα θάζε t Η ιύζε απηή ηθαλνπνηεί θαη ηηο άιιεο εμηζώζεηο ηνπ ζπζηήκαηνο δηόηη π.ρ. α x + α x + + α m x m α Α t + α Α t + + α m Α m t (α Α + α Α + + α m Α m )t ιόγσ ηεο ζρέζεο α i A k + α i A k + α i3 A k3 + + α im A km όηαλ k i όπνπ εδώ έρνπκε k θαη i. Σπλεπώο ε ιύζε ηνπ νκνγελνύο ζπζηήκαηνο είλαη x A A A m Παξαηήξεζε. Η παξαπάλσ ζρέζε ηζρύεη κε ηελ πξνϋπόζεζε όηη έλα ηνπιάρηζηνλ από ηα αιγεβξηθά ζπκπιεξώκαηα ζηε ζρέζε απηή είλαη δηάθνξν ηνπ κεδελόο. Γηαθνξεηηθά t

25 5 ειέγρνπκε ηηο παξαθάησ ζρέζεηο γηα λα δνύκε πνηα από απηέο νδεγεί ζε ιύζε δηάθνξε ηεο κεδεληθήο x A i A i A im t Παξάδεηγκα Να βξεζνύλ νη ηηκέο ηνπ α γηα ηηο νπνίεο ην παξαθάησ ζύζηεκα έρεη ιύζε δηάθνξε ηεο κεδεληθήο. x + y + az x + ay + z x y + az Γηα λα έρεη ιύζεηο δηάθνξεο ηεο κεδεληθήο πξέπεη D a a a α α α a α. Οη ιύζεηο ηόηε είλαη x + y + z x + y + z x + y + z x y + z x y + z Δλαιιαθηηθά κπνξνύκε λα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηε ζρέζε (x, y, z) ( z,, z) x A A A 3 t Ιζρύεη Α ( ) Μ, Α Μ, Α 3 Μ 3 θαη ζπλεπώο x t t πνπ ηαπηίδεηαη (εμεγείζηε γηαηί) κε ηε ιύζε (x, y, z) ( z,, z).

26 6 3.6 Αληηζηξνθή πίλαθα θαη Έζησ ν πίλαθαο Α Α a a a m a a a m a m a m a mm c c c m c c c m c m c m c mm ν αληίζηξνθόο ηνπ. Γειαδή AΑ a a a m a a a m a m a m a mm c c c m c c c m c m c m c mm Αλ ιάβνπκε ππόςε καο ηνλ ηξόπν πνπ πνιιαπιαζηάδνπκε πίλαθεο, ηόηε από ηελ παξαπάλσ ζρέζε πξνθύπηνπλ άκεζα νη παξαθάησ ζρέζεηο: a a a m a a a m a m a m a mm c c c m a a a m a a a m a m a m a mm c c c m a a a m a a a m a m a m a mm c m c m c mm Παξαηεξνύκε όηη ηα ζηνηρεία ηνπ αληίζηξνθνπ πίλαθα πξνζδηνξίδνληαη από ηελ επίιπζε m ζπζηεκάησλ γξακκηθώλ εμηζώζεσλ. Η επίιπζή ηνπο κπνξεί λα γίλεη κε ηνλ θαλόλα ηνπ Cramer ή ηε κέζνδν απαινηθήο ηνπ Gauss. A. Με τον κανόνα τοσ Cramer Με ηε κέζνδν απηή ην ζηνηρείν ηνπ αληίζηξνθνπ πίλαθα ζα ππνινγίδεηαη από ηε ζρέζε

27 7 c ij detβ j deta Απνδεηθλύεηαη εύθνια όηη detβ j A ji, όπνπ A ji είλαη ην αιγεβξηθό ζπκπιήξσκα ηνπ ζηνηρείνπ α ji θαη ζπλεπώο c ij Α ji deta Πξνζνρή ζηνπο δείθηεο ij, ε ζεηξά ηνπο αληηζηξέθεηαη ζηα δύν κέιε ηεο παξαπάλσ ζρέζεο. B. Με τη μέθοδο απαλοιφής τοσ Gauss-Jordan Φξεζηκνπνηώληαο ηε κέζνδν απαινηθήο Gauss, γηα παξάδεηγκα ζην πξώην ζύζηεκα, ζα πάξνπκε a a a m a a a m a m a m a mm c c c m c c c m f f f m όπνπ πξνθαλώο c ij f ij. Με ηνλ ίδην ηξόπν ιύλνπκε ηα ππόινηπα πξνζδηνξίδνπκε όια ηα ζηνηρεία ηνπ αληίζηξνθνπ πίλαθα. Θα πάξνπκε ζπζηήκαηα θαη Α c c c m c c c m c m c m c mm f f f m f f f m f m f m f mm Σηε παξαπάλσ πνξεία ππνινγηζκνύ ηεο Α - πξέπεη λα εθαξκόζνπκε m θνξέο ηε κέζνδν απαινηθήο Gauss. Σηελ κέζνδν Gauss-Jordan ελνπνηνύκε ηηο m θνξέο ζε κία σο εμήο. Ξεθηλάκε από ην ζρήκα θαη πξνζπαζνύκε λα θηάζνπκε ζην ζρήκα νπόηε θαη έρνπκε a a a m a a a m a m a m a mm f f f m f f f m f m f m f mm

28 8 Α f f f m f f f m f m f m f mm Παράδειγμα Να πξνζδηνξηζηεί ν αληίζηξνθνο ηνπ πίλαθα Α ) Πξώηα ζα εθαξκόζνπκε ηε κέζνδν Gauss-Jordan. Ξεθηλάκε κε ην ζρήκα: Πνιιαπιαζηάδνπκε ηελ πξώηε γξακκή επί 5/3, ηελ πξνζζέηνπκε ζηε δεύηεξε θαη ην απνηέιεζκα ην ζέηνπκε σο γξακκή () 3 4 /3 3 /3 5/3 Πνιιαπιαζηάδνπκε ηε γξακκή () επί Πξνζζέηνπκε ηηο δύν γξακκέο θαη ην απνηέιεζκα ην ζέηνπκε σο γξακκή () Γηαηξνύκε ηε πξώηε γξακκή κε 3 θαη ηε δεύηεξε κε,5,5 Άξα Α,5,5 ) Θα εθαξκόζνπκε ηε ζρέζε c ij Α ji deta Ιζρύεη detα 3 5 4

29 9 θαη c A 4, c A ( ) c A ( 5),5, c A 3,5 Άξα Α,5,5 Παράδειγμα Έζησ όηη ζέινπκε λα ππνινγίζνπκε ηνλ αληίζηξνθν πίλαθα ηνπ A ) Με ηε κέζνδν Gauss-Jordan ζρεκαηίδνπκε ην ζρήκα θαη αθνινπζνύκε ηα εμήο βήκαηα: Πνιιαπιαζηάδνπκε ηε γξακκή () κε - θαη ηελ πξνζζέηνπκε ζηε γξακκή (). Τν απνηέιεζκα ην ζέηνπκε σο γξακκή (). Οκνίσο πνιιαπιαζηάδνπκε ηε γξακκή () κε -3 θαη ηελ πξνζζέηνπκε ζηε γξακκή (3). Τν απνηέιεζκα ην ζέηνπκε σο γξακκή (3) Πνιιαπιαζηάδνπκε ηε γξακκή () κε 3, ηε γξακκή (3) επί -, ηηο πξνζζέηνπκε θαη ην απνηέιεζκα ην ζέηνπκε σο γξακκή (3). 3 7 Πνιιαπιαζηάδνπκε ηε γξακκή () επί -, ηελ πξνζζέηνπκε ζηε γξακκή () θαη ην απνηέιεζκα ην ζέηνπκε σο γξακκή ().

30 Πνιιαπιαζηάδνπκε ηε γξακκή (3) επί, ηελ πξνζζέηνπκε ζηε γξακκή () θαη ην απνηέιεζκα ην ζέηνπκε σο γξακκή () Πνιιαπιαζηάδνπκε ηε γξακκή (3) επί 7, ηελ πξνζζέηνπκε ζηε γξακκή () θαη ην απνηέιεζκα ην ζέηνπκε σο γξακκή () Τώξα πνιιαπιαζηάδνπκε ηε γξακκή () επί -/ θαη ηε () επί ½. Παίξλνπκε Άξα Α ) Με ηε ζρέζε c ij Α ji deta Ιζρύεη detα (- + 9) + ( - ) - θαη

31 3 A , A (- + 9), A , A 6 5 -(-5 - ) 7, A 3 5 -, A , A , A 3 3 7, A c -/(-), c 7/(-) -7, c 3 -/(-), c /(-) -, c -/(-), c 3 7/(-) -7, c 3 /(-), c 3-3/(-) 3, c 33 /(-) -,

32 3 3.5 Αζθήζεηο ) Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα κε όινπο ηνπο δπλαηνύο ηξόπνπο: 4 5 x y 3 x y z, x y z 3 6 3) Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα κε όινπο ηνπο δπλαηνύο ηξόπνπο: x y z, x y z 4) Να ππνινγηζηεί ν αληίζηξνθνο πίλαθαο ησλ, , , α c b d 5) Να πξνζδηνξηζηνύλ ηα α θαη β ώζηε ην παξαθάησ ζύζηεκα λα έρεη κία, θακία θαη άπεηξεο ιύζεηο x + y 3z x y + z α βx + y z 4 6) Να ιπζνύλ θαη λα δηεξεπλεζνύλ ηα παξαθάησ ζπζηήκαηα: x + ay + a z a 3 αx + βy + z x + y + z x + αβy + z β x + y + 4z 8 x + βy + αz 7) Γηα πνηεο ηηκέο ησλ a θαη b ηα παξαθάησ ζπζηήκαηα δελ έρνπλ θακία ιύζε, έρνπλ αθξηβώο κία ιύζε θαη έρνπλ άπεηξεο ιύζεηο; x + y 3z 4 3x y + 5z 4x + y + (a 4)z + α x y + 3z 4 x 3y + az 5 3x 4y + 5z b

33 33 ΗΓΗΟΓΗΑΝΤΜΑΣΑ ΚΑΗ ΗΓΗΟΣΗΜΔ 4. Οξηζκνί Έζησ ν ηεηξαγσληθόο πίλαθαο Α ηάμεο mm Έλα δηάλπζκα x Α a a a m a a a m a m a m a mm x x x x m ζα νλνκάδεηαη ηδηνδηάλπζκα (eigenvector) ηνπ πίλαθα Α αλ ππάξρεη αξηζκόο ι, ηέηνηνο ώζηε λα ηζρύεη Αx ιx Τόηε ν αξηζκόο ι νλνκάδεηαη ηδηνηηκή (eigenvalue) ηνπ πίλαθα Α. 4. Γεωκεηξηθή ζεκαζία Τν γηλόκελν Αx είλαη επίζεο δηάλπζκα πνπ ζηε γεληθή πεξίπησζε έρεη δηαθνξεηηθή δηεύζπλζε θαη θνξά από ην x. Ax x Όπσο θαίλεηαη ζην παξαθάησ ζρήκα, γεσκεηξηθά ε εμίζσζε Αx ιx ζεκαίλεη όηη θάησ από ην κεηαζρεκαηηζκό ηνπ πίλαθα Α ηα ηδηνδηαλύζκαηα x αιιάδνπλ κόλν κέγεζνο (κέηξν) θαη πηζαλόλ θνξά. Η δηεύζπλζε ηνπ δηαλύζκαηνο Αx είλαη πάληα ίδηα κε ηνπ x. Η ηδηνηηκή ι απιά εθθξάδεη ην κέγεζνο ηεο αύμεζεο ή ειάηησζεο ηνπ x όηαλ κεηαζρεκαηίδεηαη από ηνλ πίλαθα Α.

34 Υπολογισμοί Από ηνλ νξηζκό παίξλνπκε Ax ιx Ax ιix (A ιi)x Η εμίζωζε απηή είλαη έλα γξακκηθό νκνγελέο ζύζηεκα εμηζώζεωλ κε m αγλώζηνπο. Γηα λα έρεη ιύζε δηάθνξε ηεο κεδεληθήο πξέπεη det(a ιi) Αιιά θαη ζπλεπώο Α λι det Α λι det a a a m a a a m a m a m a mm λ λ λ a λ a a m a a λ a m a m a m a mm λ Η νξίδνπζα απηή είλαη έλα πνιπώλπκν βαζκνύ m ωο πξνο ι. Σπλεπώο ε εμίζωζε det(a ιi) έρεη m ιύζεηο ωο πξνο ι θαη επνκέλωο έλαο ηεηξαγωληθόο πίλαθαο Α ηάμεο mm έρεη m ηδηνηηκέο ι. Σε θάζε ηδηνηηκή ι πεγαίλνπκε ζην ζύζηεκα (A ιi)x θαη πξνζδηνξίδνπκε ην ηδηνδηάλπζκα x, απνθιείνληαο ηελ πξνθαλή ιύζε πνπ είλαη ην κεδεληθό δηάλπζκα. Παράδειγμα Έζηω ν πίλαθαο Έρνπκε Α 4 det Α λι det λ 4 λ λ 4 λ ( - ι)(- - ι) ( - ι ) 8 ι 9 ι -3, 3

35 35 Όηαλ ι -3, ηόηε (A ιi)x x x 4 4 x x 4x + 4x x + x x x x x Όηαλ ι 3, ηόηε (A ιi)x x x 4 4 x x x + 4x x 4x x x x x Τα δηαλύζκαηα x x θαη x x ηζρύνπλ γηα θάζε x. Αλ όκσο αληηθαηαζηήζνπκε ζηε ζρέζε νξηζκνύ, παίξλνπκε Ax ιx Α x λ x Α λ Δπνκέλσο κπνξνύκε λα ζέηνπκε x, νπόηε παίξλνπκε x θαη x Δλαιιαθηηθά ηα δηαλύζκαηα x ζα κπνξνύζαλ λα πξνζδηνξηζηνύλ από ηε γεληθή ιύζε νκνγελώλ γξακκηθώλ ζπζηεκάησλ: x A t, x A t, x 3 A 3 t,, x m A m t γηα θάζε t Θα παίξλακε Όηαλ ι -3, ηόηε x A t t, x A t t x t t ( t) Όηαλ ι 3, ηόηε x A t 4t, x A t t x 4 t t ( t) Όπνπ ζηηο παξαπάλσ ζρέζεηο κπνξνύκε λα ζέζνπκε (-t) t -/.

36 36 Παράδειγμα Έζησ ν πίλαθαο Έρνπκε det Α λι det Α λ 5 7 λ λ 3 λ 5 7 λ λ (3 - ι) λ λ (3 - ι)ι(+ι) ι 9 ι 3,, - Όηαλ ι 3, ηόηε (A ιi)x x x x 3 x A A A 3 t 4 t 4t Όηαλ ι, ηόηε (A ιi)x x x x 3 x A A A 3 t t Αιιά x Όηαλ ι -, ηόηε (A ιi)x A 3 A 3 A 33 t x x x 3 t x t A A A 3 t t Αιιά x A 3 A 3 A 33 t 5 5 t 5t Άξα ηα ηδηνδηαλύζκαηα είλαη x, x, x 9 3 6

37 37 Αλ δπζθνιεπόκαζηε κε ηε κέζνδν ησλ αιγεβξηθώλ ζπκπιεξσκάησλ, ιύλνπκε θαλνληθά ην ζύζηεκα. Γηα παξάδεηγκα, όηαλ ι, ηόηε 3x + 5x + 7x 3 x x + x 3 x + x + x 3 x 3 t x (x 3 /) t/ 3x 7x 3 5x Σπλεπώο ην ηδηνδηάλπζκα είλαη 3x 7t 5t/ 9t/ x 9t/6 x 9/6 / t t 3 6 ( 6t) x ή απόιπηα ηζόηηκα ην x 9 3 6

38 Αζθήζεηο ) Να ππνινγηζηνύλ ηα ηδηνδηαλύζκαηα θαη νη ηδηνηηκέο ησλ πηλάθσλ ) Να ππνινγηζηνύλ ηα ηδηνδηαλύζκαηα θαη νη ηδηνηηκέο ησλ πηλάθσλ i i i i 3) Να ππνινγηζηνύλ ηα ηδηνδηαλύζκαηα θαη νη ηδηνηηκέο ησλ πηλάθσλ a b c ) Να ππνινγηζηνύλ ηα ηδηνδηαλύζκαηα θαη νη ηδηνηηκέο ησλ πηλάθσλ ) Να ππνινγηζηνύλ νη ηδηνηηκέο ησλ πηλάθσλ α c b d i i i i i i

39 39 5. Οξηζκνί ΣΟΗΥΔΗΑ ΓΗΑΝΤΜΑΣΗΚΖ ΑΝΑΛΤΖ Τα θπζηθά κεγέζε ρσξίδνληαη ζε ηξεηο βαζηθέο θαηεγνξίεο:. Βαζκωηά (Scalars). Δίλαη κεγέζε πνπ γηα λα πεξηγξαθνύλ απαηηείηαη έλαο κόλνλ αξηζκόο, ην κέηξν ηνπο. Π.ρ. Θεξκνθξαζία, κάδα, ππθλόηεηα θ.α.. Γηαλπζκαηηθά (Vectors). Δίλαη κεγέζε πνπ γηα λα πεξηγξαθνύλ απαηηείηαη εθηόο από ην κέηξν θαη ε δηεύζπλζε θαη θνξά ηνπο. Π.ρ. δύλακεο, ηαρύηεηα, επηηάρπλζε θ.α. Δπεηδή έλα δηάλπζκα αλαιύεηαη κνλνζήκαληα ζηηο ζπληζηώζεο ηνπ, ηα δηαλύζκαηα δελ είλαη ηίπνηε άιιν από πίλαθεο κηαο γξακκήο ή κηαο ζηήιεο. Γηα παξάδεηγκα ην δηάλπζκα ηεο ηαρύηεηαο ζε δύν θαη ηξεηο δηαζηάζεηο είλαη υ (π x, π y ), υ (π x, π y, π z ) 3. Σαλπζηέο (Tensors). Δίλαη κεγέζε πνπ νξίδνληαη από έλαλ πίλαθα. Γηα παξάδεηγκα, ζ έλα ειεθηξηθά νκνγελέο κέζν ν λόκνο ηνπ Ohm γξάθεηαη σο V IR I LV Όπνπ R ε αληίζηαζε θαη L /R ε αγσγηκόηεηα ηνπ κέζνπ. Ιζρύεη L /R ζs/l, όπνπ ζ είλαη ε εηδηθή αγσγηκόηεηα, S ε επηθάλεηα ηνπ αγσγνύ κέζα από ηνλ νπνίν δηαξξέεη ην ξεύκα θαη l ην κήθνο ηνπ. Σ έλα ειεθηξηθά νκνγελέο κέζν ε εηδηθή αγσγηκόηεηα ζ είλαη βαζκσηό κέγεζνο. Όκσο ζε έλα ειεθηξηθά αληζόηξνπν κέζν γίλεηαη ηαλπζηήο σ σ σ σ 3 σ σ σ 3 σ 3 σ 3 σ 33 επεηδή γηα λα νξηζηεί απαηηείηαη έλαο πίλαθαο Αμηωκαηηθή ζεκειίωζε ηωλ δηαλπζκάηωλ Σηα καζεκαηηθά νλνκάδνπκε δηάλπζκα m δηαζηάζεσλ θάζε ζηνηρείν ηνπ επθιείδεηνπ ρώξνπ ησλ m δηαζηάζεσλ, R m. Γειαδή δηάλπζκα είλαη κηα δηαηεηαγκέλε m-άδα αξηζκώλ. Από ηνλ νξηζκό απηόλ πξνθύπηεη όηη έλα δηάλπζκα παξηζηάλεηαη κε έλαλ πίλαθα κηαο γξακκήο ή κηαο ζηήιεο α (α, α,, α m ) ή α α α α m Αλ α (α, α,, α m ) θαη β (β, β,, β m ) είλαη δύν ηπραία δηαλύζκαηα ηνπ ρώξνπ R m, ηόηε νξίδνπκε ηηο αθόινπζεο ηδηόηεηεο, πνπ νπζηαζηηθά είλαη νη αληίζηνηρεο ηδηόηεηεο ησλ πηλάθσλ. ) α β α β, α β,, α m β m

40 4 ) α + β (α + β, α + β,, α m + β m ) 3) α - β (α - β, α - β,, α m - β m ) 4) (,,, ) 5) ια (ια, ια,, ια m ), ι R 6) α α + α + + α m Η πνζόηεηα α α + α + + α m νλνκάδεηαη κέηξν ηνπ δηαλύζκαηνο. Η δηαίξεζε a a ( a a, a a, a 3 a,, a m a ) νλνκάδεηαη θαλνληθνπνίεζε ηνπ δηαλύζκαηνο α. Τν λέν δηάλπζκα, α/ α, έρεη ηελ ίδηα δηεύζπλζε θαη θνξά κε ην α αιιά έρεη κέηξν ίζν κε ηε κνλάδα. Αλ ην δηάλπζκα είλαη κηγαδηθό α (z, z,, z m ) ή α z z z m όπνπ z, z, κηγαδηθνί αξηζκνί, ην κέηξν ηνπ δηαλύζκαηνο νξίδεηαη από ηε ζρέζε α z + z + + z m 5.3 Βάζε δηαλπζκάηωλ Τα δηαλύζκαηα α, α,, α m νλνκάδνληαη γξακκηθώο αλεμάξηεηα, αλ θάζε ζρέζε ηεο κνξθήο λ α + λ α + + λ m α m ζπλεπάγεηαη ηελ Έζησ ηα δηαλύζκαηα λ λ λ m e,,,,, e,,,,,, e m,,,, Τα δηαλύζκαηα απηά είλαη γξακκηθά αλεμάξηεηα επεηδή γηα λα ηζρύεη ε ζρέζε λ e + λ e + + λ m e m λ (,,,) + λ (,,,) + + λ m (,,,) (λ, λ,, λ m ) (,,,) λ λ λ m Θα απνδείμνπκε ηώξα όηη θάζε δηάλπζκα α (α, α,, α m ) κπνξεί λα γξαθεί σο γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ησλ δηαλπζκάησλ e j :

41 4 a a e + a e + + a m e m Πξάγκαηη a e + a e + + a m e m a,,, + a,,,, + + a m (,,,) a,,, +, a,,, + +,,, a m a, a,, a m α Γηα ην ιόγν απηό, επεηδή δειαδή θάζε δηάλπζκα γξάθεηαη σο γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ησλ δηαλπζκάησλ e j, ηα δηαλύζκαηα e,,,,, e,,,,,, e m,,,, ιέκε όηη απνηεινύλ κηα βάζε δηαλπζκάηωλ ζην ρώξν ησλ m δηαζηάζεσλ. Παράδειγμα νο Τξόπνο Να εμεηαζζεί αλ ηα παξαθάησ δηαλύζκαηα είλαη γξακκηθά αλεμάξηεηα Ιζρύεη a (,, ), b (,, ), c (,, ) λ a + λ b + λ 3 c λ (,,) + λ (,,) + λ 3 (,,) (λ,,) + (λ, λ, ) + (, λ 3, λ 3 ) λ + λ, λ + λ 3, λ 3 (,,) λ + λ, λ + λ 3, λ 3 λ λ λ 3 νο Τξόπνο Δπεηδή ηα δηαλύζκαηα δελ αιιάδνπλ αλ ηα γξάςνπκε κε ηε κνξθή ζηήιεο a, b, c παίξλνπκε λ a + λ b + λ 3 c λ + λ + λ 3 λ λ λ 3 To ζύζηεκα απηό είλαη νκνγελέο θαη ζπλεπώο ε ηθαλή θαη αλαγθαία ζπλζήθε γηα λα έρεη ιύζε δηάθνξε ηεο κεδεληθήο είλαη ε νξίδνπζα

42 4 det λα είλαη κεδέλ. Αλ ε νξίδνπζα απηή είλαη δηάθνξε ηνπ κεδελόο, ηόηε αλαγθαζηηθά ηζρύεη ι ι ι 3. Έρνπκε det ι ι ι 3 Παράδειγμα Να εμεηαζζεί πόηε ηα παξαθάησ δηαλύζκαηα είλαη γξακκηθά αλεμάξηεηα a (cosζ, -sinζ, ), b (cosζ, sinζ, ), c (,, ) Ιζρύεη λ a + λ b + λ 3 c λ (cosθ, sinθ, ) + λ (cosθ, sinθ, ) + λ 3 (,, ) (λ cosθ, λ sinθ, ) + (λ cosθ, λ sinθ, ) + (,, λ 3 ) λ cosθ + λ cosθ, λ sinθ + λ sinθ, λ 3 (,,) (λ + λ )cosθ, ( λ + λ )sinθ, λ 3 λ λ λ 3 όηαλ cosζ θαη sinζ. Παράδειγμα 3 Να εμεηαζζεί αλ ηα παξαθάησ δηαλύζκαηα είλαη γξακκηθά αλεμάξηεηα a i, b i, c i i νο Τξόπνο Ιζρύεη λ a + λ b + λ 3 c λ i + λ i + λ 3 i i λ iλ + iλ λ λ + iλ 3 iλ 3 λ + iλ iλ + λ + λ iλ 3 iλ 3

43 43 λ + iλ iλ + λ + iλ 3 λ iλ 3 Αλ πξνζζέζνπκε ηελ ηξίηε ζηε δεύηεξε, παίξλνπκε λ + iλ iλ + λ λ iλ 3 λ + iλ iiλ + iλ λ iλ 3 λ + iλ λ + iλ λ iλ 3 4iλ λ + iλ λ iλ 3 λ λ λ 3 νο Τξόπνο Ιζρύεη det i i i i i i i i i i i i i ii 4i ι ι ι Δηδηθά γηλόκελα δηαλπζκάηωλ. Δζωηεξηθό γηλόκελν (dot product) Τν εζσηεξηθό γηλόκελν ησλ δηαλπζκάησλ α (α, α,, α m ) θαη β (β, β,, β m ) νξίδεηαη από ηε ζρέζε αβ α β + α β + + α m β m Σηνπο ρώξνπο ησλ θαη 3 δηαζηάζεσλ ηζρύεη αβ α β cosζ όπνπ ζ ε γσλία πνπ ζρεκαηίδνπλ ηα δηαλύζκαηα α θαη β. Ιζρύνπλ νη ζρέζεηο: a) αβ βα b) α(β+c) αβ+ αc c) ι(αβ) (ια)β α(ι β) d) Αλ α, β, (α, β) R ή (α, β) R 3 θαη αβ, ηόηε ηα δηαλύζκαηα είλαη θάζεηα κεηαμύ ηνπο. Γύν δηαλύζκαηα θάζεηα κεηαμύ ηνπο νλνκάδνληαη Οξζνγώληα (Orthogonal). Αλ επηπιένλ έρνπλ κέηξν ηε κνλάδα ηα δηαλύζκαηα νλνκάδνληαη Οξζνθαλνληθά (Orthonormal). Γηα παξάδεηγκα ηα δηαλύζκαηα e j, είλαη νξζνθαλνληθά επεηδή έρνπλ κέηξν

44 44 ηε κνλάδα θαη ηζρύεη e i e j δ ij (δ ij είλαη ην ζύκβνιν ηνπ Kronecker, ην νπνίν είλαη κνλάδα γηα i j θαη κεδέλ γηα i δηαθνξεηηθό από ην j). Παράδειγμα Ιζρύεη Να εμεηαζζεί αλ ηα παξαθάησ δηαλύζκαηα είλαη νξζνθαλνληθά Δπηπιένλ έρνπκε a (cosζ, -sinζ, ), b (sinζ, cosζ, ), c (,, ) a b cosθ, sinθ, sinθ, cosθ, cosθsinθ sinθcosθ + a c cosθ, sinθ,,, + + b c sinθ, cosθ,,, + + α cos θ + sin θ +, b sin θ + cos θ +, c + + Άξα ηα δηαλύζκαηα είλαη νξζνθαλνληθά.. Δμωηεξηθό γηλόκελν (cross product) Οξίδεηαη κόλν ζην ρώξν ησλ ηξηώλ δηαζηάζεσλ. Έζησ ηα δηαλύζκαηα α (α, α, α 3 ) θαη β (β, β, β 3 ). Τν εμσηεξηθό ηνπο γηλόκελν νξίδεηαη από ηε ζρέζε αβ e e e 3 α α α 3 β β β 3 a a 3 β β 3 e a a 3 β β 3 e + a a β β e 3 Έλαο άιινο ηζνδύλακνο νξηζκόο είλαη αβ α β sinθ n όπνπ ην n είλαη ην κνλαδηαίν δηάλπζκα θάζεην ζηα α, β θαη κε θνξά ηέηνηα πνπ ηα δηαλύζκαηα α, β, n λα ζρεκαηίδνπλ δεμηόζηξνθν ζύζηεκα αμόλσλ.

45 45 Ιζρύνπλ νη ζρέζεηο: a) αβ - βα b) α (β+c) αβ+ αc c) ι(αβ) (ια) β α (ιβ) d) Αλ α, β θαη αβ, ηόηε ηα δηαλύζκαηα είλαη παξάιιεια κεηαμύ ηνπο. 3. Σξηπιό ή κηθηό γηλόκελν (triple product) Οξίδεηαη από ηε ζρέζε Ιζρύεη α(βc) α α α 3 β β β 3 c c c 3 α(βc) β(cα) c(αβ) 5.5 Αζθήζεηο ) Από ην βηβιίν Μαζεκαηηθή Αλάιπζε ηηο:.3,.4,.6,.7. ) Να εμεηαζζεί πνηα από ηα παξαθάησ δηαλύζκαηα είλαη γξακκηθά αλεμάξηεηα θαη πνηα γξακκηθά εμαξηεκέλα: i) (, -, ), (,, ), (-,, ), ii) (,, ), (-,, ), (,, ) iii) (, -, ), (, 3, -), (5, 3, -), iv) (3, 4), (, -3), v) (, -3), (6, -9), vi) (4, 3, -), (, -6, 7) 3) Να εμεηαζζεί γηα πνηα ηηκή ην ι ηα παξαθάησ δεύγε δηαλπζκάησλ είλαη θάζεηα κεηαμύ ηνπο: i) (, -, ι), (, 3, -), ii) (,, ), (ι,, 4) 4) Να εμεηαζζεί γηα πνηα ηηκή ησλ ι, ι ην δηάλπζκα (ι, ι, ) είλαη θάζεην ζηα δηαλύζκαηα: (, -, ) θαη (,, ) 5) Αλ α (, -, 3), b (, 3, -) θαη c (, -, ), λα ππνινγηζηνύλ ηα γηλόκελα: (αb)c θαη α(bc)

46 46 6) Να εμεηαζζεί αλ ηα παξαθάησ δηαλύζκαηα είλαη νξζνθαλνληθά: i) (cost, sint, ), (-sint, cost, ), (,, ), ii) (cost, sint, ), (sint, cost, ), (,, ) iii) (, -, ), (,, ), (-,, ), iv) (,, ), (,, ), (,, -) 7) Αλ e,,, e,,, e 3,,, λα εμεηαζζεί αλ ηα παξαθάησ δηαλύζκαηα είλαη νξζνθαλνληθά: i) ii) (e + ie ), (e + e ), (e ie ), e 3 (e e ), e 3

47 47 ΒΟΖΘΖΣΗΚΖ ΤΛΖ ΔΚΣΟ ΔΞΔΣΑΔΩΝ ΣΟΗΥΔΗΑ ΓΡΑΜΜΗΚΖ ΑΛΓΔΒΡΑ κε ηε ΜΑΣΖΔΜΑΣΗCA Λίζηεο, δηαλύζκαηα, πίλαθεο Σηε Mathematica νη έλλνηεο ηνπ δηαλύζκαηνο θαη ηεο ιίζηα ηαπηίδνληαη. Η ιίζηα είλαη έλα από ηα πην βαζηθά εξγαιεία ηεο Mathematica θαη είλαη κηα ζπιινγή ζηνηρείσλ, π.ρ. αξηζκώλ, ιέμεσλ, εμηζώζεσλ, πνπ ρσξίδνληαη κε θόκκαηα θαη είλαη ηνπνζεηεκέλα κέζα ζε άγθηζηξα { }. Γηα παξάδεηγκα ε αθόινπζε έθθξαζε είλαη κηα ιίζηα list {3.4, 8, test, Sqrt[x] } Όηαλ όια ηα ζηνηρεία κηαο ιίζηαο είλαη αξηζκνί ε ιίζηα ηαπηίδεηαη κε ην αληίζηνηρν δηάλπζκα. Π.ρ. ην δηάλπζκα (, 5,.67, 6.8) εθθξάδεηαη κε ηε ιίζηα α {, 5,.67, 6.8} To κέηξν ηνπ δηαλύζκαηνο α, ην α, ππνινγίδεηαη κε ηελ εληνιή Παίξλνπκε Norm[a] Σηε Mathematica νη πίλαθεο εθθξάδνληαη από ιίζηεο κέζα ζε ιίζηεο. Γηα παξάδεηγκα, ν πίλαθαο εθθξάδεηαη κε ηε ιίζηα b {{, 6, 5}, {9, 4, }, {,, }}

48 48 Γηα λα πάξνπκε ηελ παξαπάλσ ιίζηα κε κνξθή πίλαθα, πξέπεη λα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηηο εληνιέο όπσο θαίλεηαη θαη ζην παξαθάησ ζρήκα b//tableform ή TableForm[b] Δηδηθά γηλόκελα δηαλπζκάηωλ Έζησ ηα δηαλύζκαηα α, b, c. Τν εζωηεξηθό γηλόκελν (dot ή scalar product) ησλ α θαη b, αb, εθηειείηαη κε ηελ εληνιή Dot[a, b] ή a.b Τν εμωηεξηθό γηλόκελν (cross ή vector product) ησλ a θαη b, αb, κε ηελ εληνιή Cross[a, b] ελώ γηα ην ηξηπιό ή κηθηό γηλόκελν (Triple product) ησλ a, b, c, abc, δελ ππάξρεη εηδηθή εληνιή, ππνινγίδεηαη όκσο κε ηελ Παξαδείγκαηα δίλνληαη ζην παξαθάησ ζρήκα. α.cross[b, c]

49 49 Πξάμεηο κε πίλαθεο. Πνιιαπιαζηαζκόο πίλαθα κε αξηζκό. Τν γηλόκελν ελόο πίλαθα α επί ηνλ αξηζκό ι είλαη έλαο λένο πίλαθαο, ηα ζηνηρεία ηνπ νπνίνπ πξνθύπηνπλ από ηνλ πνιιαπιαζηαζκό ησλ ζηνηρείσλ ηνπ α επί ι. Η εληνιή πνπ ρξεζηκνπνηείηαη είλαη όπσο θαίλεηαη ζην παξαθάησ ζρήκα ι*a ή a*ι ή ι*a //TableForm

50 5. Πξόζζεζε πηλάθωλ. Γίλεηαη κε ηνλ ηειεζηή ηεο πξόζζεζεο +, δειαδή κε ηελ εληνιή Παξάδεηγκα δίλεηαη ζην πξνεγνύκελν ζρήκα. α + b ή a + b//tableform 3. Πνιιαπιαζηαζκόο πηλάθωλ. Τν γηλόκελν ελόο mn πίλαθα α επί έλαλ np πίλαθα b είλαη έλαο mp πίλαθαο c, δειαδή έλαο πίλαθαο κε m γξακκέο θαη p ζηήιεο, θαη ππνινγίδεηαη κε ηελ απιή εληνιή όπσο θαίλεηαη ζην παξαθάησ ζρήκα. α. b ή a. b//tableform 4. Αλάζηξνθνο πίλαθαο. Δίλαη ν πίλαθαο πνπ έρεη αλαζηξακκέλεο ηηο ζεηξέο κε ηηο ζηήιεο ηνπ αξρηθνύ πίλαθα α. Πξνζδηνξίδεηαη κε ηελ εληνιή Transpose[a] 5. Αληίζηξνθνο πίλαθαο. Ο αληίζηξνθνο ελόο ηεηξαγωληθνύ πίλαθα α, δειαδή ν πίλαθαο πνπ πνιιαπιαζηαδόκελνο κε ηνλ α δίλεη ηνλ κνλαδηαίν πίλαθα Η, ππνινγίδεηαη κε ηελ εληνιή Inverse[a]

51 5 Παξαδείγκαηα πξνζδηνξηζκνύ ηνπ αλάζηξνθνπ θαη ηνπ αληίζηξνθνπ πίλαθα δίλνληαη ζην παξαπάλσ ζρήκα. Παξαηεξνύκε όηη αλ ζέινπκε λα πάξνπκε ηνλ αληίζηξνθν πίλαθα κε ζηνηρεία ζε δεθαδηθή κνξθή πξέπεη λα ρξεζηκνπνηήζνπκε θαηάιιεια ηελ εληνιή Ν[ ]. 6. Οξίδνπζα πίλαθα. Η νξίδνπζα ελόο ηεηξαγσληθνύ πίλαθα ππνινγίδεηαη κε ηελ εληνιή Det[a] 7. Ηδηνηηκέο θαη ηδηνδηαλύζκαηα πίλαθα. Οη ηδηνηηκέο ι i θαη ηα ηδηνδηαλύζκαηα b i ελόο ηεηξαγσληθνύ πίλαθα α κε δηάζηαζε nn νξίδνληαη από ηε ζρέζε θαη πξνζδηνξίδνληαη κε ηηο εληνιέο αληίζηνηρα. a.b i ι i b i, i,,, n Eigenvalues[a] θαη Eigenvectors[a]

52 5 Δίλαη ελδηαθέξνλ λα παξαηεξήζνπκε όηη ε ρξήζε ηεο εληνιήο //Ν είλαη εδώ απαξαίηεηε γηα λα πάξνπκε ινγηθό απνηέιεζκα.

53 53 Γξακκηθά ζπζηήκαηα Έζησ ην γξακκηθό ζύζηεκα αx b. Σηε Mathematica ηα γξακκηθά ζπζηήκαηα επηιύνληαη κε ηελ εληνιή LinearSolve[a, b] όπσο θαίλεηαη ζην παξαθάησ ζρήκα όπνπ επηιύεηαη ην γξακκηθό ζύζηεκα x 3y z 5 x 3y 5z 4x y z

54 54 ΠΗΝΑΚΔ-ΟΡΗΕΟΤΔ ΣΟ EXCEL Γηα πξάμεηο κε πίλαθεο ην Excel έρεη ηηο αθόινπζεο ζπλαξηήζεηο: MDETERM(), πνπ ππνινγίδεη ηελ νξίδνπζα ελόο ηεηξαγσληθνύ πίλαθα, MINVERSE(), γηα ηνλ ππνινγηζκό ηνπ αληίζηξνθνπ πίλαθα θαη MMULT() γηα ηνλ πνιιαπιαζηαζκό δύν πηλάθσλ. Tν θύξην ραξαθηεξηζηηθό ησλ δύν ηειεπηαίσλ ζπλαξηήζεσλ, πνπ ηηο δηαθνξνπνηεί από ηηο ππόινηπεο, είλαη όηη ηόζν ην όξηζκά ηνπο όζν θαη ε ηηκή ηνπο δελ είλαη έλαο αξηζκόο, αιιά έλαο πίλαθαο. Έηζη έρνπλ κηα ηδηαηηεξόηεηα ζηνλ ηξόπν πνπ εηζάγνληαη. Γηα λα εηζάγνπκε ζην θύιιν εξγαζίαο κηα ζπλάξηεζε ηεο νπνίαο ε ηηκή είλαη έλαο πίλαθαο, πξώηα επηιέγνπκε (ελεξγνπνηνύκε) ηελ πεξηνρή όπνπ ζα εκθαληζηνύλ νη ηηκέο ηεο ζπλάξηεζεο. Πξνθαλώο ε πεξηνρή απηή πξέπεη λα έρεη ηόζα θειηά, όζα θαη ηα ζηνηρεία ηνπ πίλαθα πνπ ζα πξνθύςεη από ηελ εθαξκνγή ηεο ζπλάξηεζεο. Αθνινύζσο πιεθηξνινγνύκε ην θαη ηε ζπλάξηεζε, π.ρ. MINVERSE(, θαη εηζάγνπκε κε ην πνληίθη ζην όξηζκα ηεο ζπλάξηεζεο ηελ θαηάιιειε πεξηνρή, όπσο αλαιπηηθά έρνπκε αλαθέξεη ζηα πξνεγνύκελα. Όηαλ γίλνπλ όιεο απηέο νη δηαδηθαζίεο δελ παηάκε Enter, αιιά πξώηα ηα πιήθηξα Ctrl θαη Shift θαη έρνληαο παηεκέλα απηά ηα δύν πιήθηξα παηάκε Enter. Απηό ηζρύεη γηα όιεο ηηο ζπλαξηήζεηο πνπ ε έμνδόο ηνπο (ε ηηκή ηνπο) είλαη έλαο πίλαθαο.

55 55 ΔΦΑΡΜΟΓΖ ΣΟΤ ΠΡΟΒΛΖΜΑΣΟ ΗΓΗΟΣΗΜΩΝ ΣΗ ΓΗΑΦΟΡΗΚΔ ΔΞΗΩΔΗ Έζησ ην ζύζηεκα ησλ δηαθνξηθώλ εμηζώζεσλ dy dt dy dt dy m dt a y + a y + + a m y m a y + a y + + a m y m. a m y + a m y + + a mm y m () όπνπ y y (t), y y (t),, y m y m (t). To ζύζηεκα απηό έρεη κηα κεξηθή ιύζε ηεο κνξθήο y k e ιt, y k e ιt,, y m k m e ιt () όπνπ νη ζηαζεξέο ι, k, k, πξνζδηνξίδνληαη αλ αληηθαηαζηήζνπκε ηηο ζρέζεηο () ζηελ () θαη θάλνπκε ηηο πξάμεηο. Τόηε πξνθύπηεη έλα νκνγελέο γξακκηθό ζύζηεκα εμηζώζεσλ πνπ ην ιύλνπκε, αθνύ πξνεγνπκέλσο πξνζδηνξίζνπκε ηε ζπλζήθε γηα λα έρεη κε κεδεληθή ιύζε. Η όιε απηή δηαδηθαζία απινπνηείηαη αλ ρξεζηκνπνηήζνπκε πίλαθεο. Έζησ νη πίλαθεο Α a a a m a a a m, y a m a m a mm y y y m, k k k k m (3) Τόηε ην ζύζηεκα () γξάθεηαη dy/dt Ay (4) θαη έρεη ιύζε ηελ Αληηθαζηζηνύκε ηελ (5) ζηε (4) θαη παίξλνπκε d(ke λt ) dt y ke λt (5) Ake λt ke λt λ Ake λt kλ Ak kιλ Ak A Ιλ k (6) θαη ζπλεπώο ην πξόβιεκα ηεο επίιπζεο ηεο () αλάγεηαη ζε πξόβιεκα πξνζδηνξηζκνύ ησλ ηδηνηηκώλ θαη ηδηνδηαλπζκάησλ ηνπ πίλαθα Α. Παξάδεηγκα Να ιπζεί ην ζύζηεκα ησλ δηαθνξηθώλ εμηζώζεσλ dy dx y + 3y dy dx 4y + y

56 56 Θέηνπκε Τν ζύζηεκα γξάθεηαη θαη έρεη ιύζε ηελ Α 3 4, y y y dy/dx Ay (4) Τώξα από ηελ (6) παίξλνπκε A Ιλ k det A Ιλ y ke λx (5) λ 3 4 λ λ λ λ 3λ λ -, λ 5. Όηαλ ι 5, ηόηε det A Ιλ k A t 3t, k A t 4t k 3 4 t 3 4 t k 3 4 y 3 4 e5x ή y 3e 5x θαη y 4e 5x Όηαλ ι -, ηόηε det A Ιλ k A t 4t, k A t 4t k 4 4 t t k y e x ή y e x θαη y e x Η γεληθή ιύζε είλαη y c k e λ x + c k e λ x όπνπ k 3 4 θαη k. Σπλεπώο ε γεληθή ιύζε είλαη y c 3e 5x + c e x, y c 4e 5x c e x όπνπ νη ζηαζεξέο c, c ππνινγίδνληαη από ηηο αξρηθέο ζπλζήθεο, εθόζνλ απηέο ππάξρνπλ.

57 57 ΛΤΔΗ ΑΠΑΝΣΖΔΗ ΑΚΖΔΩΝ.5 Αζκήζεις - ΠΗΝΑΚΔ ) Nα ππνινγηζηεί ην άζξνηζκα A+B θαη ε δηαθνξά Β-Α ηωλ πηλάθωλ: A θαη B 3 6 A+Β θαη Β - A ) Nα ππνινγηζηνύλ ηα γηλόκελα AB θαη BA ηωλ παξαπάλω πηλάθωλ. AΒ θαη ΒA ) Nα ππνινγηζηνύλ ηα γηλόκελα AB θαη BA ηωλ πηλάθωλ: A θαη B 3 AΒ θαη ΒA 5 4) Πνην είλαη ην άζξνηζκα Α+Β ηωλ παξαπάλω πηλάθωλ; Δελ νξίδεηαη επεηδή νη πίλαθεο δελ έρνπλ ίδηα ηάμε 5) Nα ππνινγηζηνύλ ηα γηλόκελα AB θαη BA ηωλ πηλάθωλ: AΒ A θαη B θαη ΒA ) Δίλνληαη νη πίλαθεο Α 3, Β 3, C 4

58 58 Να ππνινγηζηεί ε πνζόηεηα Α + Β.5C 7) Δίλνληαη νη πίλαθεο Α + Β.5C A 3, B 3, C 3 Να ππνινγηζηεί ην γηλόκελν ΑΒC AΒC Χωξίο λα θάλεηε πξάμεηο ηζρύεη ΑΒC CΒΑ; O πνιιαπιαζηαζκόο CΒΑ δελ γίλεηαη 8) Να ππνινγηζηεί ν αλάζηξνθνο ηνπ Α Α ) Πνηνη από ηνπο παξαθάηω πίλαθεο είλαη νξζνγώληνη;, cosθ sinθ sinθ cosθ, cosθ sinθ sinθ cosθ, Ορθογώνιος πίνακας: AA T I A AT AAT I A cosθ sinθ sinθ cosθ A T cosθ sinθ sinθ cosθ AAT I A cosθ sinθ sinθ cosθ AT cosθ sinθ sinθ cosθ AAT cosθsinθ cosθsinθ I

59 59 A A T AA T I ) Να εμεηάζεηε αλ είλαη Εξκηηεηαλνί νη πίλαθεο: i i i + i i i, i i, i i Δρμιηειανός (Hermitian) πίνακας: Α Α + Α i i i + i i i Α i i i i i + i Α + (A ) T i i i + i i i Α Α i i Α i i Α+ (A ) T i i Α Α i i Α i i Α+ (A ) T i i Α ) Να εμεηάζεηε αλ είλαη Μνλαδηαίνη (Unitary) νη πίλαθεο: / i / i / /, Μοναδιαίος (Unitary) πίνακας: AA + I i i i i Α / i / i / / Α / i / i / / Α + / i / i / / Α Α + / + / i/ + i/ i/ i/ / + / I Α i i i i Α i i i i Α + i i i i Α Α I

60 6 ) Να εμεηάζεηε αλ ν παξαθάηω πίλαθαο κπνξεί λα πνιιαπιαζηαζηεί κε κία ζηαζεξά έηζη ώζηε λα γίλεη κνλαδηαίνο; i i Α λ i i Α λ i i Α+ λ i i Α Α + λ + + λ λ λ λ ± 3) Να πξνζδηνξηζηεί ν ζπκκεηξηθόο πίλαθαο Χ όηαλ Χ ΧΧ Α θαη Α Έζηω Χ a b b c Χ a b b c a + b ab + bc ab + bc c + b a + b c + b ab + bc b(a + c) b c, α a c b c, c οποισδήποτε 4) Να πξνζδηνξηζηεί ν πίλαθαο Χ όηαλ Χ ΑΧ + Β θαη Α, Β 3 3 Πξέπεη Χ x z u y v w x z u y v w x z u y v w x z u y v w z v u w z v u w 3 3 u 3, w 3, v -, z -, x, y 4 5) Αλ Α 3, Β 3, C 3 λα ππνινγηζηνύλ ηα ΒΑ, ΑC, BB, A T B, C T A T, BA-3A, C T C, CC T, A T A, AA T, AA T A

61 6 ΒΑ , ΑC 6 6, BB 7 3 6, AT B , C T A T 6 6, BA-3A 3 3 3, CT C 4, CC T , A T A , AA T 8 8 9, AAT A ) Αλ x 3 t y x y w + w λα ππνινγηζηνύλ ηα x, y, t, w. x 6 4t y w x y + w t ½, y -5, w -, x -/3 7) Να βξεζεί ε ιύζε ηεο εμίζωζεο ΥΑ Β, όπνπ A θαη Β 3 4 Πξέπεη ν Υ λα είλαη 3: Χ x y z v u w x y z v u w 3 4 x + y + z x + y v + u + w v + u 3 4 x + y + z 3 x + y v + u + w 4 v + u v u, w -4-4u, x y, z 3 4y, y, u οποιοιδήποτε πραγματικοί 8) Αλ Α Πξέπεη ν Υ λα είλαη : Χ x y z w λα βξεζνύλ όιεο νη ιύζεηο ηεο εμίζωζεο ΑΥ ΥΑ. x y z w x y z w

62 6 x + z z y + w w x x + y z z + w x + z x y + w x + y w z + w z z z, x w και y, w οποιοιδήποτε πραγματικοί 9) Να βξεζνύλ νη ηηκέο x, y, z ώζηε λα είλαη xa + yb + zc Η, όπνπ Α, Β, C xa + yb + zc Η x + y + z x + y + z x + y + z x + z x x + y x + z x x + y x, y, z ) Αλ Α a λα δεηρζεί όηη A v va Απνδεηθλύεηαη επαγωγηθά: Γηα v A a A. Ιζρύεη Γηα v A AA a a a Ιζρύεη Έζηω όηη ηζρύεη γηα λ θ-. Δειαδή A κ (κ )a γηα λ θ. Έρνπκε. Αξθεί λα δείμνπκε όηη ηζρύεη A κ A κ A (κ )a a κa. Ιζρύεη ) Να βξεζνύλ νη ζπκκεηξηθνί πίλαθεο Υ γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη Υ. Έζηω Χ a b b c Χ a b b c a + b ab + bc ab + bc c + b a + b c + b ab + bc α, b, c

63 63 ) A θαη B είλαη n n πίλαθεο. Εμεηάζηε εάλ (A + B) A + AB + B Να εμεηαζζεί αλ ηζρύεη ε παξαπάλω ζρέζε όηαλ Α α β γ δ, B β α δ γ (A + B) (A + B) (A + B) AΑ + AB + BA + BΒ A + AB + BA + B A + AB + B ΑΒ α β β α γ δ δ γ αγ βδ αδ βγ βγ + αδ βδ + αγ ΒΑ γ δ δ γ α β β α αγ βδ αδ βγ βγ + αδ βδ + αγ ΑΒ ΒΑ θαη ζπλεπώο γηα ηνπο ζπγθεθξηκέλνπο πίλαθεο ηζρύεη ε ζρέζε (A + B) A + AB + B 3) α) Δείμηε όηη γηα θάζε n n πίλαθα A, ν πίλαθαο A T A είλαη ζπκκεηξηθόο. β) Δείμηε όηη εάλ ν A είλαη αληηζπκκεηξηθνο, ηόηε ν AA είλαη ζπκκεηξηθόο. Έλαο πίλαθαο A είλαη αληηζπκκεηξηθόο αλ ηζρύεη A - A T. A ζπκκεηξηθόο αλ A A T (A T A) T A T (A T ) T A T A A T A είλαη ζπκκεηξηθόο Α αληηζπκκεηξηθόο αλ Α -Α Τ (ΑΑ) Τ Α Σ Α Σ (-Α)(-Α) ΑΑ ΑΑ είλαη αληηζπκκεηξηθόο 4) Έζηω ν πίλαθαο Β θαη ν πίλαθαο A. Τα ζηνηρεία ηωλ πηλάθωλ απηώλ είλαη όια πξαγκαηηθνί αξηζκνί. Εμεηάζηε εάλ ν BA T AB T κπνξεί λα είλαη αξλεηηθόο αξηζκόο. Ο πίλαθαο BA T είλαη ()(). Άξα BA T (α β) BA T AB T α β α β α + β > 5) Αλ ν πίλαθαο Υ είλαη, ππνινγίζηε ηξεηο ιύζεηο ηεο εμίζωζεο: Υ - Υ. Υ - Υ Υ(Υ - Η) Υ ή Υ Η

64 64 Επηπιένλ αλ Υ α β γ δ α β γ δ ηόηε α β γ δ α + βγ αβ + βδ αγ + γδ δ + βγ α + βγ α α β γ δ αβ + βδ β αγ + γδ γ δ + βγ δ α δ, β δ(-δ)/γ θαη γ, δ νπνηνηδήπνηε πξαγκαηηθνί 6) Αλ Α 9 4 λα δεηρζεί όηη A v 3ν 9ν ν + 3ν. Λύλεηαη όπωο θαη ε

65 65 ) Να ππνινγηζηνύλ νη νξίδνπζεο.5 Αζκήζεις - ΟΡΗΕΟΤΔ i 3 + i i + i i + i i 3 ( i)( i) 3( + i) i i 3 3i 6i + i i + i ( + i)( + i) + i + i + i 4i i + i ) Να δεηρζεί, ρωξίο λα ππνινγηζηεί ε ηηκή, όηη νη παξαθάηω νξίδνπζεο είλαη ίζεο κε κεδέλ a x a x b y b y c z c z Μία νξίδνπζα είλαη ίζε κε ην κεδέλ αλ δύν ζηήιεο ηεο είλαη ίζεο a x a x a x a a x x a x a b y b y b y b + b y y b y b c z c z c z c c z z c z c a x x b y y c z z ) Να ππνινγηζηεί ε ηηκή ηεο παξαθάηω νξίδνπζαο θαη κε ηηο ηξεηο κεζόδνπο

66 66 ( 4) ( + ) ) Να ππνινγηζηεί ε ηηκή ηωλ παξαθάηω νξηδνπζώλ D 4, D n, D n α β β β α β β β α β β β β β β α D D n + ν + ν + ν + ν + ν + ν, D n+ α β β β α β β β α β β β β β β α α + nβ β β α + nβ α β α + nβ β α β β β α + nβ β β α α + nβ β β α β α β β α β (α + nβ)(α β) n 5) Να ππνινγηζηνύλ νη νξίδνπζεο D n, D n ν ν ν ν

67 67 D n 3 n 3n n! D n ν ν ν ν n ν n ν ν n ν ν n ν ν n ν ν ν ν (n ν)( v) n 6) Να δεηρζεί D 4 D n a a a a a b b b a b c c a b c d + α + α a(b a)(c b)(d c), a a a 3 a n D n + α n α α α n a b α α n α a b α n ( ) n+ b b b 3 b n α α a n b n D 4 a a a a a b b b a b c c a b c d a a a a b α b α b α b α c α c α b α c α d α a a a a b α b α b α c b c b c b d b a a a a b α b α b α c b c b d c a(b a)(c b)(d c) D n + α + α α α a a a 3 a n + α n α n

68 68 D n α α a b α α a b α n α n α n α α b b α n ( ) n+ b b b 3 b n α α a n b n b n 7) Να δεηρζεί D n n n n 3 4 n!, D n D n n n! D n n n n n n n n n! D n + ( ) n+ + D n n n n!

69 Αζκήζεις ΓΡΑΜΜΗΚΑ ΤΣΖΜΑΣΑ ) Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα κε όινπο ηνπο δπλαηνύο ηξόπνπο: 4 5 x y 3 x y z, x y z 3 6 Εδώ ζα ηα ιύζνπκε κόλν κε ηε κέζνδν Gauss 4 x 5 y / 3 5/ / 4 7/ 4 8 7/ 7/ x 7/ x ,5 5,5 3,5,5,5 6,5 3,5 5,5 3, /5 /5 /5 7/5 3 /5 7/5 8/5 /5 /5 7/5 3 /5 7/5 /5 7/5

70 7 /5 7/5 3 x 3 3) Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα κε όινπο ηνπο δπλαηνύο ηξόπνπο: x y z, x y z Εδώ ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε κόλν ηε κέζνδν ηωλ αιγεβξηθώλ ζπκπιεξωκάηωλ x Γηα ην πξώην ζύζηεκα ηζρύεη θαη ζπλεπώο Α ( ) Μ 6 5 6, Α Μ 6 5 4, Α 3 Μ 3 4 A A A 3 t x t 4 t Γηα ην δεύηεξν ζύζηεκα ηζρύεη θαη ζπλεπώο Α ( ) Μ 4, Α Μ 3, Α 3 Μ 3 x 4 3 t 4) Να ππνινγηζηεί ν αληίζηξνθνο πίλαθαο ηωλ, , , α c b d Θα ππνινγίζνπκε κόλν ηνπ πξώηνπ θαη ηνπ ηειεπηαίνπ κε ηε κέζνδν Gauss-Jordan

71 7 3 3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 5/3 /3 a c b d a b d cb/a c/a a b (ad cb)/a c/a a b c/(ad cb) a/(ad cb) a + cb/(ad cb) ba/(ad cb) c/(ad cb) a/(ad cb) d/(ad cb) c/(ad cb) b/(ad cb) a/(ad cb) A - (ad cb ) d c b a 5) Να πξνζδηνξηζηνύλ ηα α θαη β ώζηε ην παξαθάηω ζύζηεκα λα έρεη κία, θακία θαη άπεηξεο ιύζεηο x + y 3z x y + z α βx + y z 4 D 3 β β 3β 5 3β 7 β 3 β Αλ β 3 κία ιύζε:

72 7 y z x 3 a 4 3 β 3 a β 4 3 β α β 4 3 β 3 a /3 4 4/3 3 β a 7 β 4 3β 3 β 5 α β β 4 3 β 4 α 3 β 3αβ α 8 3 β α + αβ 3 β Αλ β 3, ηόηε γηα λα ππάξρνπλ άπεηξεο ιύζεηο πξέπεη 3 a 4 α α a 3αβ α 8 7α 8 α 4 β 4 α α + αβ + 5α α 4 β 4 Άξα όηαλ α 4 έρνπκε απεηξία ιύζεωλ. Πξάγκαηη, ην ζύζηεκα γίλεηαη x + y 3z x y + z 4 z 5x - 8, y 7x θαη x νπνηνζδήπνηε αξηζκόο 3x + y z 4 Όηαλ β 3 θαη α 4 ην ζύζηεκα είλαη αδύλαην. 6) Να ιπζνύλ θαη λα δηεξεπλεζνύλ ηα παξαθάηω ζπζηήκαηα: x + ay + a z a 3 x + y + z x + y + 4z 8 αx + βy + z x + αβy + z β x + βy + αz Γηα ην πξώην ζύζηεκα έρνπκε D Αλ α θαη α κία ιύζε: α a 4 α (α ) x D x a (a ) a y D y a (a ) 3a

73 73 Αλ α, ηόηε z D z a (a ) a + 3 D x D y D z ππάξρεη απεηξία ιύζεωλ. Τν ζύζηεκα γίλεηαη x + y + z x + y + z x + y + z x + y + 4z 8 x + y + 4z 8 (x, y, z) (z-6, -3z+7, z) Αλ α, ηόηε D x D y D z ππάξρεη απεηξία ιύζεωλ. Τν ζύζηεκα γίλεηαη x + y + 4z 8 x + y + z x + y + z x + y + 4z 8 x + y + 4z 8 (x, y, z) (z-6, -3z+7, z) Γηα ην δεύηεξν ζύζηεκα έρνπκε α β D αβ β α (α + ) β α Αλ β, α θαη α - κία ιύζε: D x x β α (α + ) α β (α )(α + ) D y αβ + β y β α (α + ) β(α )(α + ) D z z β α (α + ) α β (α )(α + ) Αλ β ή α ή α -, ηόηε D y Τν ζύζηεκα είλαη αδύλαην. 7) Γηα πνηεο ηηκέο ηωλ a θαη b ηα παξαθάηω ζπζηήκαηα δελ έρνπλ θακία ιύζε, έρνπλ αθξηβώο κία ιύζε θαη έρνπλ άπεηξεο ιύζεηο; x + y 3z 4 3x y + 5z 4x + y + (a 4)z + α x y + 3z 4 x 3y + az 5 3x 4y + 5z b Γηα ην πξώην ζύζηεκα έρνπκε 3 D a 4 Αλ α 4 θαη α -4 κία ιύζε: 7 4 α (4 + α)