Logică și structuri discrete. Logica predicatelor. Marius Minea 10 noiembrie 2014
|
|
- Φίλιππος Γερμανού
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Logică și structuri discrete Logica predicatelor Marius Minea 10 noiembrie 2014
2 Logică: recapitulare Folosim logica pentru a formaliza raționamente = a le exprima riguros Logica ne permite să facem demonstrații (deducții) din axiome (totdeauna adevărate) și ipoteze (considerate adevărate în problema dată) folosind reguli de inferență (de deducție) p p q q modus ponens Modus ponens e suficient pentru a formaliza logica propozițională dar se pot defini și alte reguli de deducție valide. Astfel putem simplifica demonstrațiile.
3 Logica propozițională e insuficientă Un exemplu clasic: (1) Toți oamenii sunt muritori. (2) Socrate e om. Deci, (3) Socrate e muritor. Seamănă cu modus ponens dar, premisa din (1) ( toți oamenii ) nu e la fel cu (2) (Socrate, un anumit om) În logica clasică: silogisme (anumite tipare de reguli de inferență) Aristotel, stoici în logica modernă: logica predicatelor (logica de ordinul I) Gottlob Frege, Charles Peirce (sec. 19)
4 Silogisme categorice = reguli de inferență compuse din 3 părți: (1) premisa majoră: Toți oamenii sunt muritori (2) premisa minoră: Toți grecii sunt oameni (3) concluzia: Toți grecii sunt muritori Fiecare e o propoziție categorică, despre două categorii A și B. Fiecare premisă are o categorie în comun cu concluzia: termenul major (muritori), respectiv termenul minor (grecii); a treia categorie e termenul mediu (de legătură): oameni. 4 tipuri de propoziții categorice: cod cuantificator relație tip A toți sunt afirmativ universal E niciun nu e negativ universal I unii sunt afirmativ particular O unii nu sunt negativ particular A: Toți oamenii sunt muritori. E: Niciun om nu e perfect. I: Unii oameni sunt înalți. O: Unii oameni nu sunt cinstiți.
5 Silogisme și exemple Notăm S subiectul concluziei, P predicatul ei, M termenul mediu. Premisa majoră leagă M și P, iar cea minoră pe M și S. Rolurile subiect-predicat în premise determină 4 figuri Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 Premisa majoră M-P P-M M-P P-M Premisa minoră S-M S-M M-S M-S { 3 litere (AEIO) pentru cele 3 propoziții Tipuri de silogisme: o cifră (1-4) pentru figură 4 4 = 256 combinații, dar numai 6 valide pentru fiecare figură. Exemple: AAA-1: cel anterior (grecii... oameni... muritori) EAE-1: Niciun examen nu e ușor. Parțialele sunt examene. Rezultă: parțialele nu sunt ușoare.???-?: Toate notițele utile sunt corecte. Unele notițe nu sunt corecte. Unele notițe nu sunt utile.
6 Spre logica predicatelor Revenim la exemplul: (1) Toți oamenii sunt muritori. (2) Socrate e om. Deci, (3) Socrate e muritor. Am putea reformula (1): Dacă X e om, atunci X e muritor. sau mai precis Pentru orice X, dacă X e om, atunci X e muritor avem nevoie de variabile (X) care să ia valori într-un anumit univers proprietăți (om, muritor) sau relații între variabile funcții, pentru atributele unei variabile (ex. culoare, nota) cuantificatori universal (toți), existențial (unii)
7 Exemple: Ce vrem să exprimăm Proprietăți mai complexe decât în logica propozițională: member(x, A) member(x, union(a, B)) leq(x, y) leq(f (x), f (y)) mulțimi funcție monotonă apel(nrx, nry ) eq(rețea(nrx ), rețea(nry )) prepay(nrx ) eq(cost(nrx, nry ), 0.11) apel(nrx, nry ) fix(nrx ) fix(nry ) eq(cost(nrx, nry ), 0.04) Avem: variabile (x, y, nrx, nry ) funcții (union, f, rețea, cost) predicate (member, leq, apel, prepay, fix) (egalitatea e un predicat considerată uneori separat) Un predicat = o afirmație relativ la una sau mai multe variabile, care, dând valori variabilelor, poate lua valoarea adevărat sau fals.
8 Logica predicatelor (logica de ordinul I) Precizăm întâi simbolurile limbajului: parantezele ( ) conectorii și cuantificatorul (universal) o mulțime de identificatori v 0, v 1, pentru variabile pentru orice n 1 o mulțime de simboluri de funcții n-are o mulțime (posibil vidă) de simboluri pentru constante constantele pot fi privite și ca funcții de 0 argumente pentru orice n 0 o mulțime de simboluri de predicate n-are propozițiile pot fi privite ca predicate de 0 argumente Logica de ordinul I cu egalitate: conține și = ca simbol special pe lângă cele de mai sus.
9 Sintaxa: termeni și formule Ca deobicei, noțiunile se definesc structural recursiv Termenii variabilă v sau constantă c f (t 1,, t n ) cu f funcție n-ară și t 1,, t n termeni Formule (well-formed formulas, formule bine formate): P(t 1,, t n ) cu P predicat n-ar; t 1,, t n termeni α unde α este o formulă α β unde α, β sunt formule v α cu v variabilă, α formulă: cuantificare universală t 1 = t 2 cu t 1, t 2 termeni (în limbaje cu egalitate) Față de logica propozițională, în loc de propoziții avem predicate (peste termeni). Logica se numește de ordinul I, deoarece cuantificatorii logici se pot aplica doar variabilelor. În logici de ordin superior, se poate cuantifica și peste predicate.
10 Reprezentare în ML Termenii și formulele sunt definite structural recursiv se pot traduce direct în tipuri recursive type term = V of string F of string * term list type predform = Pr of string * term list Neg of predform And of predform * predform Or of predform * predform Forall of string * predform Am ales să reprezentăm constantele ca funcții cu zero argumente. Atât termenii cât și predicatele au argumente: listă de termeni. Exemplu: x y P(x, f (y)) Forall("x", Neg(Forall("y", Pr("P",[V "x"; F("f", [V "y"])]))))
11 Despre cuantificatori Cuantificatorul existențial Notăm: xϕ def = x( ϕ) Cei doi cuantificatori sunt duali. Putem scrie și xϕ = x( ϕ) Cuantificatorii au precedență mai mare decât conectorii,,... Un punct indică aplicarea cuantificării la tot restul formulei, până la sfârșit sau paranteză închisă (evită parantezele inutile). ( x. P(x) Q(x)) R(x) înseamnă ( x(p(x) Q(x))) R(x) În formula vϕ (sau vϕ) variabila v se numește legată Variabilele care nu sunt legate se numesc libere O variabilă poate fi liberă și legată în aceeași formulă. Mai sus, x e legată în primul conjunct P(x) Q(x) și e liberă în R(x) (e în afara cuantificatorului)
12 Variabile libere și legate Înțelesul unei formule nu depinde de variabilele legate înțelesul lor e legat de cuantificator ( pentru orice, există ) pot fi redenumite, fără a schimba înțelesul formulei O formulă fără variabile libere are înțeles de sine stătător. Rol similar: parametrii formali la funcții în limbaje de programare putem să îi redenumim fără a schimba efectul funcției fun x -> x + 3 și fun y -> y + 3 sunt aceeași funcție Interpretarea unei formule depinde de variabilele sale libere (ce valoare primesc; discutăm la semantica formulelor) La fel și fun x -> x + y nu are înțeles de sine stătător (y e nedeclarat) efectul depinde definiția lui y
13 Formalizarea limbajului natural 1. Fiecare investitor a cumpărat acțiuni sau obligațiuni. 2. Dacă indicele Dow Jones scade, toate acțiunile mai puțin aurul scad. 3. Dacă trezoreria crește dobânda, toate obligațiunile scad. 4. Orice investitor care a cumpărat ceva care scade nu e bucuros. 5. Dacă indicele Dow Jones scade și trezoreria crește dobânda, toți investitorii bucuroși au cumpărat ceva acțiuni de aur. Exemplu: Verbele devin predicate (ca în limbajul natural): cumpără, scade, crește,... Subiectul și complementele (in)directe: argumentele predicatului investitor, ceea ce cumpără (acțiuni, obligațiuni) Atributele (proprietăți) sunt predicate despre entități (argumente) bucuros (investitor), de aur (acțiune) Categoriile devin predicate, cu argument entitatea din categorie e acțiune, e obligațiune (ce se cumpără) O frază e un predicat (0 argumente) dacă verbul apare doar în ea trezoreria crește dobânda ( crește apare doar aici)
14 Exemplu de formalizare 1. Fiecare investitor a cumpărat acțiuni sau obligațiuni. Două entități: investitorul, ce cumpără (cu două categorii) Introducem un predicat inv(x) (X e investitor) inv(x ) cumpără (X, C) (acțiune (C) oblig (C)) Vrem formule fără variabile libere (independente de context) X e cuantificat universal (fiecare investitor) C e cuantificat existențial (investitorul cumpără ceva) X. inv(x ) C. cumpără (X, C) (acțiune (C) oblig (C)) 2. Dacă indicele Dow Jones scade, toate acțiunile mai puțin aurul scad. scade (dj) X. acțiune (X ) aur (X ) scade (X ) Indicele Dow Jones e o noțiune unică folosim o constantă dj
15 Exemplu de formalizare (cont.) 3. Dacă trezoreria crește dobânda, toate obligațiunile scad. creștedob X. oblig (X ) scade (X ) Dobânda e unicul lucru care crește predicat fără parametri Alternativ: o constantă dobânda 4. Orice investitor care a cumpărat ceva care scade nu e bucuros. X. inv(x ) ( C. cumpără (X, C) scade (C)) bucuros (X ) asociază la dreapta, p q r = p (q r) = p q r, echivalent: X. inv(x ) ( C. cumpără (X, C) scade (C)) bucuros (X ) 5. Dacă indicele Dow Jones scade și trezoreria crește dobânda, toți investitorii bucuroși au cumpărat ceva acțiuni de aur. scade (dj) creștedob X. inv(x ) bucuros(x ) C. cumpără (X, C) acțiune (C) aur (C)
16 Formalizarea cuantificatorilor cuantificatorul universal ( toți ) cuantifică o implicație: Toți studenții sunt tineri x(student(x) tânăr(x)) Studenți Tineri cuantificatorul existențial ( unii, există ) cuantifică o conjuncție Unii tineri sunt studenți x(tânăr(x) student(x)) Studenți Tineri Cuantificatorul universal e distributiv față de conjuncție: x(p(x) Q(x)) x P(x) x Q(x) dar cuantificatorul existențial NU e distributiv față de conjuncție: x(p(x) Q(x) ( x P(x) x Q(x)) (avem implicație, dar nu și invers, poate să nu fie același x!) Dual, e distributiv față de disjuncție, nu e. Avem doar: x P(x) x Q(x) x. P(x) Q(x)
17 Transformarea în formă clauzală (normală conjunctivă) Similar cu logica de ordinul I, cu pași în plus pentru cuantificatori Fie x[ P(x) y(d(x, y) (E(f (x), y) E(x, y))] xp(x) (1) Eliminăm toți conectorii în afară de,, : x[ P(x) y(d(x, y) (E(f (x), y) E(x, y)))] xp(x) (2) Ducem negațiile înăuntru, până la predicate: x[p(x) y(d(x, y) E(f (x), y) E(x, y))] x P(x) (3) Redenumim variabilele cuantificate, cu nume unice în formulă x[p(x) y(d(x, y) E(f (x), y) E(x, y))] z P(z) (4) Eliminăm cuantificatorii existențiali (skolemizare) Pentru y în interiorul lui x 1... x n, introducem o funcție Skolem y = g(x 1,..., x n ): valoarea lui y depinde de x 1,... x n aici g(x) Pentru y în exterior, se alege o nouă constantă Skolem aici a x[p(x) (D(x, g(x)) E(f (x), g(x)) E(x, g(x)))] P(a)
18 Forma clauzală (cont.) (5) Aducem la forma normală prenex: cuantificatorii în față x([p(x) (D(x, g(x)) E(f (x), g(x)) E(x, g(x)))] P(a)) (6) Eliminăm prefixul cu cuantificatorii universali (devin impliciți) [P(x) (D(x, g(x)) E(f (x), g(x)) E(x, g(x)))] P(a) (7) Convertim la forma normală conjunctivă (P(x) D(x, g(x))) (P(x) E(f (x), g(x))) (P(x) E(x, g(x))) P(a) (8) Eliminăm și scriem disjuncții ca și clauze separate P(x) D(x, g(x)) P(x) E(f (x), g(x)) P(x) E(x, g(x)) P(a)
19 Axiomele calculului predicatelor Definim: variabila x se poate substitui cu termenul t în yϕ dacă: x nu apare liber în ϕ (substituția nu are efect) sau y nu apare în t și x se poate substitui cu t în ϕ (nu putem substitui variabile legate) A1: α (β α) A2: (α (β γ)) ((α β) (α γ)) A3: ( β α) (α β) A4: x(α β) ( xα xβ) A5: xα α[x t], dacă x poate fi substituit cu t în α A6: α xα dacă x nu apare liber în α A7: x = x Pentru egalitate, adăugăm și A8: x = y α = β unde β se obține din α înlocuind oricâte din aparițiile lui x cu y. Regula de inferență: tot modus ponens (e suficient)
20 Alte reguli de inferență x ϕ(x) ϕ(c) instanțiere universală (vezi A5) unde c e o constantă arbitrară (nu apare anterior în demonstrație) Dacă ϕ e valabil pentru orice x, atunci și pentru o valoare arbitrară c. ϕ(c) x ϕ(x) generalizare universală (vezi A6) unde c e o valoare arbitrară (nu apare în ipoteze) Dacă ϕ e valabilă pentru o valoare arbitrară, e valabilă pentru orice x. x ϕ(x) ϕ(c) instanțiere existențială Dacă există o valoare cu proprietatea ϕ, o instanțiem (cu un nume nou). ϕ(c) x ϕ(x) generalizare existențială Dacă ϕ e adevărată pentru o anumită valoare, există o valoare care o face adevărată.
21 Cum interpretăm o formulă? Intuitiv, găsim un înțeles pentru fiecare simbol din formulă: O interpretare (structură) I în logica predicatelor constă din: o mulțime nevidă U numită universul sau domeniul lui I (mulțimea valorilor pe care le pot lua variabilele) pentru orice simbol de constantă c, o valoare c I U pentru orice simbol de funcție n-ară f, o funcție f I : U n U pentru orice simbol de predicat n-ar P, o submulțime P I U n. (interpretăm fiecare simbol din formulă) O interpretare nu dă valori variabilelor (vezi ulterior: atribuire). Exemplu: x.p(x, x) x. y. z.p(x, y) P(y, z) P(x, z) reflexivitate tranzitivitate De exemplu: universul U = numere reale; predicatul P: relația x. y.p(x, y) z.p(x, z) P(z, y) găsiți două interpretări în care e adevărat / fals?
22 Interpretări, atribuiri, valori de adevăr Fie I o interpretare cu univers U și fie V mulțimea tuturor simbolurilor de variabile. O atribuire este o funcție s : V U (dă fiecarei variabile libere o valoare din univers) din atribuirea s se poate obține valoarea pentru orice termen (știm valoarea fiecărei variabile și înțelesul fiecărei funcții) Interpretarea I dă și înțelesul fiecărui predicat putem calcula valoarea de adevăr a unei formule, etc. au înțelesul cunoscut din logica propozițională trebuie definit înțelesul (semantica) lui Spunem că xϕ e adevărată în interpretarea I cu atribuirea s dacă ϕ e adevărată înlocuind x cu orice valoare d U din univers.
23 Modele și tautologii Un model pentru o formulă ϕ e o interpretare în care formula e adevărată pentru orice atribuire a variabilelor. Spunem că ϕ e adevărată în interpretarea (structura) I, și notăm I = ϕ Obs: Dacă o formulă nu are variabile libere, valoarea ei de adevăr depinde doar de interpretare, nu și de vreo atribuire. Def: O tautologie e o formulă adevărată în orice interpretare. Spre deosebire de logica propozițională, în logica predicatelor, numărul interpretărilor e infinit nu mai putem construi exhaustiv tabelul de adevăr. E esențial deci să putem demonstra o formulă (pornind de la axiome și regiuli de inferență)
24 Consistență și completitudine Ca și în logica propozițională: demonstrația se face pur sintactic determinarea adevărului: semantic, considerând interpretări Fie H o mulțime de formule și ϕ o formulă. Notăm I = H dacă I e un model pentru fiecare formulă din H. Spunem că H implică ϕ (H = ϕ) dacă pentru orice interpretare I, I = H implică I = ϕ (adică ϕ e adevărată în orice interpretare care satisface toate ipotezele din H) Calculul predicatelor de ordinul I este consistent și complet (la fel ca și logica propozițională): H ϕ dacă și numai dacă H = ϕ Dar: relația de implicație logică e doar semidecidabilă dacă o formulă e o tautologie, ea poate fi demonstrată dar dacă nu e, încercarea de a o demonstra (sau o refuta) poate să continue la nesfârșit
Logică și structuri discrete. Logica predicatelor. Marius Minea 24 noiembrie 2015
Logică și structuri discrete Logica predicatelor Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/~marius/curs/lsd/ 24 noiembrie 2015 Logică: recapitulare Folosim logica pentru a formaliza raționamente
Διαβάστε περισσότεραElemente de logicǎ matematicǎ
Elemente de logicǎ matematicǎ 9 noiembrie 2004 - Calcul propoziţional - Calculul predicatelor - Proceduri de decizie pt. realizabilitate - Demonstrare de teoreme prin rezoluţie Elemente de logicǎ matematicǎ
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραLogică și structuri discrete. Marius Minea marius/curs/lsd/ 31 octombrie 2016
Logică și structuri discrete Logică propozițională Marius Minea marius@cs.upt.ro http://cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 31 octombrie 2016 Logica stă la baza informaticii circuite logice: descrise în algebra
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραReprezentare si rationament folosind clauze precise. Capitolul 2
Reprezentare si rationament folosind clauze precise Capitolul 2 Agenti bazati pe cunostinte Una dintre abordarile clasice ale IA porneste de la premisa ca inteligenta umana este rezultatul realizarii de
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραMetode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ -
Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ - Denisa Diaconescu 1 1 Introducere Teorema de completitudine a lui Gödel pentru logica de ordinul I este unul dintre cele mai
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραMatrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
Διαβάστε περισσότεραGeorge Georgescu 1, Afrodita Iorgulescu 2 1 Universitatea din Bucureşti, Catedra de Fundamentele Informaticii 2 Academia de Studii Economice, Catedra
Logică matematică George Georgescu 1, Afrodita Iorgulescu 2 1 Universitatea din Bucureşti, Catedra de Fundamentele Informaticii 2 Academia de Studii Economice, Catedra de Informatică Economică October
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότερα7 Distribuţia normală
7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραIntegrale cu parametru
1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)
Διαβάστε περισσότεραCURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.
Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραComplexitate și calculabilitate. Recapitulare
Logică și structuri discrete Complexitate și calculabilitate. Recapitulare Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/~marius/curs/lsd/ 8 ianuarie 2018 Revenim la traversarea grafurilor Traversarea
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότερα10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
Διαβάστε περισσότεραInteligenta Artificiala Universitatea Politehnica Bucuresti Anul universitar
Inteligenta Artificiala Universitatea Politehnica Bucuresti Anul universitar 2010-2011 Adina Magda Florea http://turing.cs.pub.ro/ia_10 si curs.cs.pub.ro 1 Curs nr. 5 Reprezentarea cunostintelor in IA
Διαβάστε περισσότεραAl cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015
Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma
Διαβάστε περισσότεραCurs 4. I.4 Grafuri. Grafuri orientate
Curs 4 I.4 Grafuri I.4.1 Grafuri orientate Definiţia I.4.1.1. Un graf orientat este un tuplu G = (N, A, ϕ : A N N), unde N şi A sunt mulţimi, numite mulţimea nodurilor, respectiv mulţimea arcelor, iar
Διαβάστε περισσότερα5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραPartea a II-a. Elemente de teoria mulţimilor şi aplicaţii
Partea a II-a Elemente de teoria mulţimilor şi aplicaţii Cuprins I. Logică, mulţimi, axiome... 2 I.1. Mulţimi, teorie naivă. Paradoxuri şi necesitatea axiomatizării... 2 I.2. Principiile axiomaticii Zermelo-Fraenkel...
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραMiscarea oscilatorie armonica ( Fisa nr. 2 )
Miscarea oscilatorie armonica ( Fisa nr. 2 ) In prima fisa publicata pe site-ul didactic.ro ( Miscarea armonica) am explicat parametrii ce definesc miscarea oscilatorie ( perioda, frecventa ) dar nu am
Διαβάστε περισσότεραIII. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul
Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a V-a
(40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότεραCum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme
Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.
Διαβάστε περισσότερα3 FUNCTII CONTINUE Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale Spaţiul euclidian R p. Pentru p N *, p 2 fixat, se defineşte R
3 FUNCTII CONTINUE 3.. Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale. 3... Saţiul euclidian R Pentru N *, fixat, se defineşte R = R R R = {(x, x,, x : x, x,, x R} de ori De exemlu, R = {(x, y: x, yr} R 3
Διαβάστε περισσότεραa. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)
Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 DIODE. CIRCUITE DR
Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri
Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut
Διαβάστε περισσότερα2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare. Copyright Paul GASNER
2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare Copyright Paul GASNER Definiţii Un decodor pe n bits are n intrări şi 2 n ieşiri; cele n intrări reprezintă un număr binar care determină în mod unic care
Διαβάστε περισσότεραFig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 7 8 Capitolul IX. Integrale curbilinii. Să se calculee Im ) d, unde este segmentul
Διαβάστε περισσότεραGeometrie computationala 2. Preliminarii geometrice
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότεραO generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013
O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema
Διαβάστε περισσότεραTranzistoare bipolare şi cu efect de câmp
apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine
Διαβάστε περισσότερα8 Intervale de încredere
8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată
Διαβάστε περισσότερα