Numere complexe în grafica 2D
|
|
- Ευγένεια Αρβανίτης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Cursul 3 Numere complexe în grafica 2D 1. Introducere. Dezvoltarea istorică a gândirii matematice a urmărit îndeaproape evoluţia ideii de număr. Această evoluţie, exprimată succint prin şirul de incluziuni N Z Q R C, nu a fost nicicum liniară ci foarte sinuoasă, cu etape suprapuse sau chiar în ordine inversă. Primele au apărut numerele naturale 1, 2, 3,..., urmate de fracţii şi rapoarte. In lumea antică deja apăruseră semne că numai acestea nu sunt suficiente; de exemplu, incomensurabilitatea diagonalei pătratului cu latura sa era cunoscută din vremea lui Pitagora. Următoarea achiziţie a fost numărul zero care, plecând din India, a ajuns în Europa în jurul anului 1000, odată cu scrierea poziţională a numerelor, prin intermediul cărţilor lui Muhammad al-khwarizmi, persanul de la numele căruia provine termenul de algoritm. Numerele negative şi imaginare apar în acelaşi timp, în Italia secolului al XVIlea, în parte tot sub influenţa surselor islamice şi bizantine. Aceste numere, cu denumiri care sugerează o acceptare doar formală a existenţei lor, s-au dovedit utile în rezolvarea ecuaţiilor algebrice. Astfel, unitatea negativă, 1, a fost definită ca fiind soluţia ecuaţiei x + 1 = 0, iar unitatea imaginară, 1, ca soluţie a ecuaţiei x = 0, chiar dacă printre numerele deja cunoscute nu exista niciunul care să verifice vreo una dintre cele două ecuaţii. Calculul formal cu numere complexe, adică cu expresii de forma a + b 1 s-a dezvoltat prin analogie cu cel al numerelor iraţionale pătratice de forma a + b 2. În ciuda numeroaselor rezultate obţinute cu astfel de numere în secolele XVII-XVIII, matematicienii au avut reţineri cu privire la utilizarea lor. Îndoiala asupra existenţei acestor numere a dispărut odată cu apariţia unei interpretări geometrice foarte simple a lor, şi anume reprezentarea lor ca puncte în plan. Folosirea sistematică şi popularizarea reprezentării geometrice a numerelor complexe o datorăm lucrărilor lui Carl Friedrich Gauss ( ). Denumirile nefericite, care mai provoacă şi astăzi confuzii, de numere reale şi numere imaginare au fost introduse de René Descartes ( ) pentru clasificarea rădăcinilor polinoamelor. Inţelegerea deplină, atât a numerelor reale cât şi a celor complexe, a avut loc concomitent, în secolul al XIX-lea, odată cu fundamentarea analizei matematice începută de Augustin-Louis Cauchy ( ). 1
2 2. Forma algebrică a unui număr complex. Mulţimea numerelor complexe C se defineşte ca fiind mulţimea perechilor de numere reale C = R R = (x, y) x, y R dotată cu două operaţii binare, adunarea: şi înmulţirea (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ), (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) C, (x 1, y 1 )(x 2, y 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ), (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) C. Se verifică uşor că aceste două operaţii înzestrează mulţimea numerelor complexe cu o structură algebrică de corp comutativ. Fiind dat un număr complex z = (x, y), convenim să numim numerele reale x şi y ca fiind partea reală şi, respectiv, partea imaginară a lui z. Să observăm că mulţimea numerelor complexe cu partea imaginară nulă R = (x, 0) x R C este parte stabilă în raport cu operaţiile, adică şi (x 1, 0) + (x 2, 0) = (x 1 + x 2, 0) R (x 1, 0)(x 2, 0) = (x 1 x 2, 0) R pentru orice (x 1, 0), (x 2, 0) R, şi, mai mult, aplicaţia x (x, 0), numită aplicaţia de scufundare a lui R în C, este un izomorfism de corpuri între R şi R. Din acest motiv, vom identifica R cu R, înţelegând prin aceasta că numerele complexe de forma (x, 0) vor fi notate cu x atunci când nu există pericol de confuzie. Mai mult, se verifică imediat că orice număr complex z = (x, y) poate fi descompus sub forma şi, prin urmare, cu notaţia z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0)(0, 1), i = (0, 1), obţinem aşa numita formă algebrică a lui z: z = x + yi, unde, subliniem, x, y şi i sunt numere complexe. Din definiţia înmultirii avem că (0, 1)(0, 1) = ( 1, 0), relaţie care, cu convenţiile făcute, se scrie i 2 = 1. 2
3 Aplicând regulile de calcul dintr-un corp comutativ, deducem mai departe că (x 1 + y 1 i)(x 2 + y 2 i) = x 1 x 2 + x 1 y 2 i + y 1 x 2 i + y 1 y 2 i 2 = x 1 x 2 y 1 y 2 + (x 1 y 2 + y 1 x 2 )i, justificând astfel de ce înmulţirea numerelor complexe a fost definită atât de complicat. Să urmărim cum au fost implementate cele de mai sus în structura Complex definită în fişierul Complex.cs. Egalitatea C = R R se reflectă direct în structura unui obiect de tip Complex, care este format numai din două câmpuri de tip double iniţializate de constructorul obiectului: public struct Complex public double x; public double y; public Complex(double x, double y) this.y = y; this.x = x;... Definiţiile operaţiilor cu numere complexe apar, exact sub forma dată, la supraîncărcarea operatorilor corespunzători: public static Complex operator +(Complex zst, Complex zdr) return new Complex(zst.x + zdr.x, zst.y + zdr.y); public static Complex operator *(Complex zst, Complex zdr) return new Complex(zst.x * zdr.x - zst.y * zdr.y, zst.y * zdr.x + zst.x * zdr.y); Mai mult, este implementată chiar şi aplicaţia de scufundare a lui R în C, şi anume la definirea operatorului de conversie implicită de la double la Complex: public static implicit operator Complex(double x) return new Complex(x, 0); Această conversie implicită ne permite, printre altele, să lucrăm în cod cu numere complexe sub formă algebrică: Complex i = new Complex(0,1); Complex z1 = 1 + 2*i; 3
4 3. Interpretarea geometrică a adunării numerelor complexe. Este binecunoscut astăzi că mulţimea punctelor unui plan poate fi identificată cu mulţimea R R, fixând un sistem de coordonate carteziene cu originea într-un punct O al planului şi notând cu Z(x, y) punctul de coordonate x şi y. Mai mult, R 2 = R R se structurează în mod natural ca spaţiu liniar real de dimensiune 2, definind adunarea şi înmulţirea cu scalari pe componente: (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ), (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) R 2, şi α(x, y) = (αx, αy), α R, (x, y) R 2. Un element z = (x, y) din R 2 poate fi indentificat cu vectorul de poziţie z = OZ al punctului Z(x, y). Deoarece, prin definiţie, C = R R, vom extinde această interpretare şi la numere complexe: fiind dat un plan π şi un sistem de coordonare carteziene cu originea într-un punct O, oricărui punct Z π îi asociem perechea formată din coordonatele sale, z = (x, y) R 2, vectorul său de poziţie, z = OZ şi afixul său, adică numărul complex z = (x, y) = x + yi C. In continuare vom utiliza identificarea Z = z = z = z, adică vom nota în acelaşi mod, când nu există pericol de confuzie, un punct, o pereche de numere reale, un vector şi un număr complex. Cum prin această identificare definiţiile adunării în C şi R 2 coincid, rezultă că adunarea numerelor complexe are loc după regula paralelogramului: vectorul OS corespunzător sumei s = z 1 + z 2 este diagonala paralelogramului format de vectorii OZ 1 şi OZ 2. Analog, vectorul de poziţie OD corespunzător diferenţei d = z2 z 1 este vectorul liber Z 1 Z 2 translatat cu Z 1 în origine (astfel încât OZ 2 să fie diagonala paralelogramului format de OZ 1 şi OD. Spunem că suma z1 + z 2 este diagonala paralelogramului format de vectorii z 1 şi z 2, iar diferenţa z 2 z 1 este vectorul z 1 z 2. 4
5 Mai mult, dacă în R 2 vom considera baza canonică, formată din perechile u = (1, 0) şi i = (0, 1), atunci orice element z = (x, y) are descompunerea z = xu + yi care coincide, prin aplicaţia de scufundare a lui a R în C, cu forma algebrică a numărului complex z. Cu acest prilej să observăm că înmulţirea cu scalari este de fapt înmulţirea dintre un număr real şi un număr complex, deoarece αz = (α, 0)(x, y) = (αx, αy) = αz. Urmează că înmulţirea cu numere reale reprezintă, în planul numerelor complexe, o scalare, adică o mărire/micşorare la scară cu centru în originea O. De exemplu, produsul cu 2, adică aplicaţia z 2z, măreşte figurile din plan de două ori privind din origine (este o omotetie cu centru O şi raport 2). 4. Forma trigonometrică a unui număr complex. Vom aprofunda acum reprezentarea geometrică a lui C trecând de la coordonatele carteziene (x, y) ale unui punct la coordonatele sale polare (ρ, θ). Sunt binecunoscute formulele x = ρ cos θ, y = ρ sin θ. 5
6 Definim modulul numărului complex z = x + yi prin şi argumentul său prin Reamintim că z = ρ = x 2 + y 2 argz = θ [0, 2π). θ = arctg y x + kπ, unde k are una din valorile 0, 1 sau 2, în funcţie de cadranul în care cade z. Cu aceste notaţii obţinem imediat forma trigonometrică a lui z; z = x + iy = ρ cos θ + iρ sin θ = ρ(cos θ + i sin θ). Să observăm că aceste două modalităţi de exprimare a unui număr complex au fost implementate în structura Complex prin metodele statice public static Complex setreim(double x, double y) //forma algebrica return new Complex(x, y); şi public static Complex setrotheta(double Ro, double Theta) //forma trigonometrica return new Complex(Ro * Math.Cos(Theta), Ro * Math.Sin(Theta)); în timp ce modulul şi argumentul unui număr complex sunt date de proprietăţile public double Ro get return Math.Sqrt(x * x + y * y); public double Theta 6
7 get return Math.Atan2(y, x); Observaţie: conform implemetării de mai sus, argumentul θ = argz returnat de proprietatea Theta este în intervalul ( π, π] şi nu în prima determinare a cercului, [0, 2π). Acest fapt este utilizat, de exemplu, în următorul test care decide dacă punctul z se află sau nu în semiplanul stâng determinat de dreapta ab parcursă de la a la b: public bool zestelastangaluiab(complex z, Complex a, Complex b) Complex r=(z-a)/(b-a); if (r.theta > 0) return true; else return false; 5. Interpretarea geometrică a înmulţirii numerelor complexe. Forma trigonometrică ne permite să dăm o interpretare remarcabilă înmulţirii numerelor complexe. Să calculăm produsul lui ω = α(cos φ+i sin φ) cu z = ρ(cos θ+i sin θ). Avem ωz = αρ[(cos φ cos θ sin φ sin θ) + i(sin φ cos θ + cos φ sin θ)] de unde obţinem că şi = αρ(cos(φ + θ) + i sin(φ + θ)) ωz = ω z arg ωz = arg ω + arg z (mod 2π). Deci, la înmulţirea numerelor complexe, modulele se înmulţesc iar argumentele se adună. Deducem de aici că produsul cu ω = α(cos φ + i sin φ), adică aplicaţia z ωz, reprezintă o scalare de factor α compusă cu o rotaţie de unghi φ în sens trigonometric în jurul originii. In particular, înmulţirea cu i, care are modulul 1 şi argumentul π radiani, 2 este o rotaţie de 90 în sens trigonometric în jurul originii. Prin urmare, produsul cu i 2 înseamnă două rotaţii de 90 în acelaşi sens, adică de o rotaţie de 180, exact transformarea geometrică asociată produsului cu 1. Iată o interpretare geometrică elegantă a egalităţii i 2 = 1. Să reamintim şi celebra formulă a lui Moivre (Abraham de Moivre ( ), matematician francez): dacă z = ρ(cos θ + i sin θ) atunci pentru orice n Z avem z n = ρ n (cos nθ + i sin nθ). 7
8 Această formulă permite, printre altele, şi următoarea extindere la exponenţi reali pozitivi a operaţiei de ridicare la putere a unui număr complex: z α = ρ α (cos αθ + i sin αθ), pentru orice α (0, + ). Clasa implementată mai jos reprezintă grafic puterile numărului z = (cos π i sin π 120 ). Deoarece z n = z n = n 0 pentru n +, puterile lui z de exponent n = 1, 2, 3,... vor forma un şir de puncte care se apropie de origine, rotindu-se în jurul ei la fiecare pas cu π/120 radiani, şi parcurgând astfel o spirală îndreptată către zero. 8
9 public class Puteri : FractalForm public override void makeimage() setxminxmaxyminymax(-1.1, 1.1, -1.1, 1.1); ScreenColor = Color.White; PenColor = Color.Black; setaxis(); Complex z = Complex.setRoTheta(0.995, Math.PI / 120); Complex p = 1; for (int k = 0; ; k++) p *= z; setpixel(p, PenColor); if (!resetscreen()) return; 6. Rădăcinile unităţii. Considerăm un număr natural fixat n 1, notăm şi definim θ = 2π n ε = cos θ + i sin θ. Este uşor de văzut că primele n puteri ale lui ε, date de formula 1, ε, ε 2, ε 3,..., ε n 1, z k = ε k = cos kθ + i sin kθ, sunt distincte şi sunt vârfurile unui poligonului regulat cu n laturi înscris în cercul unitate. Deoarece pentru orice k 0, 1, 2,..., n 1 avem deducem că mulţimea z n k = cos nkθ + i sin nkθ = cos 2kπ + i sin 2kπ = 1, U n = 1, ε, ε 2, ε 3,..., ε n 1 este formată din cele n soluţii în C ale ecuaţiei z n = 1. U n se numeşte mulţimea rădăcinilor de ordin n ale unităţii şi are o structură de grup în raport cu înmulţirea. Puterile lui ε se repetă din n în n, mai precis avem ε k ε h k+h (mod n) = ε şi prin urmare aplicaţia ε k k este un izomorfism între (U n, ) şi grupul (Z n, +) al claselor de resturi modulo n. 9
10 7. Împărţirea numerelor complexe. După cum rezultă imediat din proprietăţile înmulţirii, raportul a două numere complexe sub formă trigonometrică, z 1 = ρ 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 ) 0 şi z 2 = ρ 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ) este z 2 = ρ 2 (cos(θ 2 θ 1 ) + i sin(θ 2 θ 1 )). z 1 ρ 1 Deducem că modulul raportului z 2 /z 1 este raportul lungimilor vectorilor z 2 şi z 1 iar argumentul raportului z 2 /z 1 este unghiul ẑ 1 0z 2 dintre cei doi vectori. O interpretare remarcabilă vom avea într-un triunghi z 0 z 1 z 2 în care, dacă ţinem cont că diferenţele z 2 z 0 şi z 1 z 0 sunt laturi, avem z 2 z 0 z 1 z 0 = z 2 z 0 z 1 z 0 = Z 0Z 2 Z 0 Z 1 şi arg z 2 z 0 = Z 1 Z 0 Z 2. z 1 z 0 Deci, raportul a două laturi este numărul complex care are modulul egal cu raportul lungimilor laturilor şi argumentul egal cu unghiul dintre cele două laturi. Deducem de aici că triunghiurile (orientate) z 0 z 1 z 2 şi z 0 z 1 z 2 sunt asemenea dacă şi numai dacă z 2 z 0 = z 2 z 0. z 1 z 0 z 1 z 0 Punctele z 0, z 1 şi z 2 sunt coliniare când unghiul deci atunci când raportul celor două laturi, z 2 z 0 = λ, z 1 z 0 Z 1 Z 0 Z 2 are 0 sau π radiani, are argumentul 0 sau π şi, prin urmare, este număr real. Deducem de aici caracterizarea: punctul z 2 care împarte segmentul z 0 z 1 în raportul λ = z 2 z 0 z 1 z 0 10
11 este dat de egalitatea z 2 = z 0 + λ(z 1 z 0 ). Urmează că dreapta determinată de două puncte distincte, z 0 şi z 1, admite reprezentarea parametrică z = z 0 + t(z 1 z 0 ), t R. Ca aplicaţie, următoarea clasă secţionează triunghiul abc în zece felii de arii egale: public class Sectiuni : FractalForm static Complex i = new Complex(0, 1); void sectioneaza(complex a, Complex b, Complex c, int nrfelii) setline(b, c, PenColor); for (int k = 0; k <= nrfelii; k++) setline(a, b + k * (c - b) / nrlinii, PenColor); public override void makeimage() setxminxmaxyminymax(-1, 7, -1, 7); Complex a = * i; Complex b = 1 + i; 11
12 Complex c = * i; ScreenColor = Color.White; PenColor = Color.Black; sectioneaza(a, b, c, 10); setaxis(); resetscreen(); 8. Conjugatul unui număr complex. Împărţirea a două numere complexe sub formă algebrică se efectuează prin amplificare cu conjugatul numitorului. Conjugatul lui z = x + iy este z = x iy şi are proprietatea esenţială z z = x 2 + y 2 = z 2 R. Operaţia de conjugare (adică aplicaţia z z) reprezentă trecerea de la un punct la simetricul său în raport cu axa reală, prin urmare conjugarea păstrează operaţiile: z 1 + z 2 = z 1 + z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2, z 1 /z 2 = z 1 /z 2. In sfârşit, pentru z = x + iy avem Re z = x = z + z şi Im z = y = z z. 2 2i Este util de ţinut minte că, dacă z = 1 atunci z = 1. z 9. Transformări geometrice. Identificând în continuare C cu mulţimea punctelor unui plan, prin figură geometrică vom înţelege, în cele ce urmează, o mulţime oarecare F de numere complexe, prin transformare geometrică o aplicaţie T : C C iar prin transformata figurii F mulţimea formată din transformatele punctelor lui F : F = T (F ) = z = T (z), z F. Pe baza interpretărilor geometrice ale operaţiilor cu numere complexe, avem următoarele caracterizări ale transformărilor întâlnite în geometria planului Translaţia. Dorim să translatăm o figură F astfel încât un punct fixat z 0 F să ajungă într-un z 0 fixat în F. Fie z F şi z F transformatul său. Vectorii zz şi z 0 z 0 trebuie să fie egali, deci z z = z 0 z 0, de unde rezultă z = z + (z 0 z 0 ). In concluzie, transformarea T : C C dată de T (z) = z + (z 0 z 0 ), z C, este translaţia de vector z 0 z 0. 12
13 Următoarea clasă afişează într-o mişcare de translaţie uniformă poligonul încărcat în lista iniţială (un septagon regulat stelat în acest exemplu): public class Translatii : FractalForm static Complex i = new Complex(0, 1); static Complex a = (1 + 2 * i) / 100; static Complex T(Complex z) // translatie de vector a return a + z; void transforma(ref ComList li) ComList rez = new ComList(); for (Complex z = li.firstzet;!li.ended; z = li.nextzet) rez.nextzet = T(z); li = rez; void traseaza(comlist li, Color c) Complex z1 = li.firstzet; for (Complex z2 = li.nextzet;!li.ended; z2 = li.nextzet) setline(z1, z2, c); z1 = z2; ComList figurainitiala() ComList rez = new ComList(); double fi = 2 * Math.PI / 7; for (int k = 0; k < 15; k += 2) 13
14 rez.nextzet = Complex.setRoTheta(2.5, k * fi); return rez; public override void makeimage() setxminxmaxyminymax(-5, 10, -5, 10); ComList oldfig, newfig = figurainitiala(); traseaza(newfig, Color.Red); for (int k = 0; k < 300; k++) oldfig = newfig; transforma(ref newfig); traseaza(oldfig, Color.Black); traseaza(newfig, Color.Red); setaxis(); if (!resetscreen()) return; 9.2. Omotetia. Fixăm un punct z 0 C şi un număr real λ > 0. Fiind dată o figură F, dorim să o mărim la scară cu factorul λ relativ la centrul z 0. Fie z F şi z F transformatul său. Cerem ca punctele z 0, z şi z să fie coliniare şi raportul segmentelor z 0 z şi z 0 z să fie λ, de unde rezultă că z = z 0 + λ(z z 0 ). In concluzie, transformarea T : C C dată de T (z) = z 0 + λ(z z 0 ), z C, cu λ R +, este omotetia de centru z 0 şi raport λ Rotaţia. Dorim să rotim o figură F în jurul unui punct fix z 0 C cu un unghi θ. Considerăm un z F, notăm cu z F transformatul său şi definim 14
15 numărul complex ω prin ω = z z 0 z z 0. Avem ω = z z 0 z z 0 = 1 şi arg = ẑ z 0 z = θ = const., de unde rezultă că ω = cos θ + i sin θ. Rotaţia de centru z 0 şi unghi θ este dată de transformarea T : C C definită de T (z) = z 0 + ω(z z 0 ), z C, cu ω = cos θ + i sin θ Simetria faţă de un punct. Punctul z este simetricul lui z faţă de z 0 dacă z z 0 = (z z 0 ) şi, prin urmare, T (z) = 2z 0 z, z C, este simetria faţă de punctul z Simetria faţă de o dreaptă. Fie d ab dreapta determinată de două puncte distincte a şi b din C. Dorim să determinăm simetricul z al unui punct z faţă de dreapta d ab. Considerăm conjugatele ā, b, z şi z care, după cum ştim, sunt simetricele punctelor a, b, z şi z faţă de axa reală. Din egalitatea z a b a = z ā, b ā dată de congruenţa triunghiurilor az b şi ā z b, obţinem mai departe z = a + b a b ā ( z ā). In concluzie, simetria faţă de dreapta determinată de punctele a şi b este transformarea T : C C dată de T (z) = a + ωz a, z C, 15
16 cu ω = (b a)/ b a. 10. Şiruri şi serii în C. Prin distanţa dintre două numere complexe z 1 şi z 2 vom înţelege distanţa uzuală dintre punctele corespunzătoare din plan: d(z 1, z 2 ) = z 2 z 1 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2. Se verifică imediat ca aplicaţia d : C C R are proprietăţile unei metrici: (M 1 ) u, v C, d(u, v) 0; d(u, v) = 0 u = v; (M 2 ) u, v C, d(u, v) = d(v, u); (M 3 ) u, v, w C, d(u, v) d(u, w) + d(w, v); şi, prin urmare, (C, d) este un spaţiu metric. Aceasta înseamnă că avem gata definite, din teoria generală a spaţiilor metrice, o serie de noţiuni legate de convergenţa şirurilor şi de continuitatea funcţiilor. Vom aminti numai pe cele strict necesare cursului nostru. Un şir (z n ) n de numere complexe este convergent dacă există z C, limita sa, astfel încât şirul distanţelor de la z n la z să tindă la zero: lim z n = z lim z n z = 0. n n Convergenţa şirurilor se caracterizează pe componente, lim z n = lim (x n + iy n ) = x + iy lim x n = x şi lim y n = y. n n n n Numim divergent un şir care nu este convergent. Despre un şir divergent spunem că tinde la infinit dacă şirul modulelor tinde la plus infinit: lim z n = lim z n = +. n n Atenţie la limitele infinite: la şirurile de numere reale există limitele şi +, în C avem numai fără semn! Să studiem şirul puterilor unui număr complex ω = ρ(cos θ + i sin θ). Avem ω n = ρ n (cos nθ + i sin nθ) şi deci, dacă ω = ρ < 1 atunci ω n 0, dacă ω = ρ > 1 atunci ω n, iar dacă ω = ρ = 1 şirul rămâne pe cercul unitate, fiind convergent numai în cazul 16
17 în care este constant, adică pentru ω = 1, în rest fiind periodic (când raportul π/θ este raţional) sau dens distribuit pe cercul unitate. Fie (a n ) n un şir de numere complexe. Exact ca în cazul seriilor de numere reale, spunem că seria + n=0 are suma s C sau s = dacă şirul sumelor sale parţiale are limita s, adică n=0 a n s n = a 0 + a a n a n = lim n (a 0 + a a n ) = s. Seria este convergentă dacă are suma finită (adică s C), altfel este divergentă. De exemplu, din cele de mai sus deducem imediat că, în mulţimea numerelor complexe, seria geometrică ω n = lim (1 + ω + ω ω n 1 ω n+1 ) = lim n n 1 ω n=0 este convergentă numai dacă ω < 1, şi atunci are suma 1 + ω + ω ω n + = 1 1 ω, rezultat analog cazului real. 11. Funcţii complexe de argument real. O funcţie z : I R C este formată dintr-o pereche de funcţii reale x şi y : I R R date de egalitatea z(t) = x(t) + iy(t), t I. Astfel de funcţii se întâlnesc, mai ales, în descrierea mişcării unui punct în plan. De exemplu, z(t) = t(cos t + i sin t), t [0, + ), reprezintă legea orară după care un punct se deplasează pe o spirală care porneşte din origine. Cele două funcţii componente dau ecuaţiile parametrice ale spiralei: x = t cos t, y = t sin t, pentru t [0, + ). Fie t 0 un punct din intervalul I sau unul din capete. Limita funcţiei z = z(t) pentru t t 0 există şi este finită numai dacă funcţiile x = x(t) şi y = y(t) au limite finite, şi atunci avem lim z(t) = lim x(t) + i lim y(t). t t 0 t t0 t t0 17
18 Urmează că z este continuă pe I dacă şi numai dacă cele două funcţiile componente sunt continue. Derivabilitatea se caracterizează tot pe componente, mai precis z z(t) z(t 0 ) (t 0 ) = lim t t0 t t 0 x(t) x(t 0 ) = lim t t0 t t 0 Din definiţia derivatei rezultă aproximarea z(t) z(t 0 ) + (t t 0 )z (t 0 ) pentru t t 0, +i lim t t0 y(t) y(t 0 ) t t 0 = x (t 0 )+iy (t 0 ). care înlocuieşte mişcarea lui z = z(t) cu o mişcare rectilinie uniformă cu viteza z (t 0 ) pe tangenta la traiectorie în punctul z 0 = z(t 0 ). În concluzie, derivata unei funcţii complexe de argument real se calculează pe componente z (t) = x (t) + iy (t) şi reprezintă vectorul viteză instantanee al punctului în mişcare z = z(t). El dă direcţia tangentei la traiectorie în punctul curent. Clasa C # de mai jos desenează cu negru traiectoria punctului z = t(cos t + i sin t) pe intervalul t [0, 35] şi trasează cu roşu vectorul viteză la momentul t 0 = 32: public class Spirala : FractalForm static Complex i = new Complex(0, 1); Complex z(double t) return t * (Math.Cos(t) + i * Math.Sin(t)); Complex zprim(double t) return (Math.Cos(t) + i * Math.Sin(t)) + t * (-Math.Sin(t) + i * Math.Cos(t)); public override void makeimage() setxminxmaxyminymax(-50, 50, -50, 50); ScreenColor = Color.White; PenColor = Color.Black; setaxis(); for (double t = 0; t < 35; t += 0.001) setpixel(z(t), PenColor); double t0 = 32; Complex z0 = z(t0); setline(z0, z0 + zprim(t0), Color.Red); resetscreen(); 18
19 12. Funcţii complexe de argument complex. O funcţie f : D C C este formată din două funcţii u, v : D R 2 R date de descompunerea f(z) = f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y), (x, y) D. De exemplu, aplicaţia z z 3 are descompunerea f(z) = z 3 = (x + iy) 3 = (x 3 3xy 2 ) + i(3x 2 y y 3 ), deci în acest caz u(x, y) = x 3 3xy 2 şi v(x, y) = 3x 2 y y 3. Fie z 0 un punct de acumulare al domeniului D, adică un punct z 0 C pentru care există un şir (d n ) n de elemente din D \ z 0 cu d n z 0. Limita lim z z 0 f(z) există şi este finită dacă şi numai dacă cele două funcţii componente au limite finite, şi atunci lim f(z) = lim u(x, y) + i z z 0 (x,y) (x 0,y 0 ) lim (x,y) (x 0,y 0 ) v(x, y). De aici se poate deduce că f este continuă pe D numai dacă u şi v sunt continue. Derivabilitatea unei funcţii complexe nu se mai reduce numai la diferenţiabilitatea celor două componente reale. Considerăm că u şi v admit derivate parţiale continue pe domeniul D şi calculăm limita f f(z) f(z 0 ) (z 0 ) = lim z z0 z z 0 19
20 considerând trasee orizontale de forma z = z 0 + t, cu t 0 în R. Obţinem f u(x 0 + t, y 0 ) u(x 0, y 0 ) v(x 0 + t, y 0 ) v(x 0, y 0 ) (z 0 ) = lim + i lim t 0 t t 0 t = u x (x 0, y 0 ) + i v x (x 0, y 0 ). Considerăm acum trasee verticale de forma z = z 0 + i t şi găsim f u(x 0, y 0 + t) u(x 0, y 0 ) v(x 0, y 0 + t) v(x 0, y 0 ) (z 0 ) = lim + i lim t 0 i t t 0 i t = v y (x 0, y 0 ) i u y (x 0, y 0 ). Comparând cele două rezultate deducem că următoarele egalităţi sunt condiţii necesare pentru derivabilitatea funcţiei f pe un domeniu D u = + v x y u = v. y x Se arată că în ipotezele noastre (u şi v admit derivate parţiale continue) egalităţile de mai sus, numite condiţiile Cauchy-Riemann, sunt şi suficiente pentru derivabilitatea lui f. Să le verificăm pentru f(z) = z 3. Avem x (x3 3xy 2 ) = 3x 2 3y 2 = y (3x2 y y 3 ) şi y (x3 3xy 2 ) = 6xy = x (3x2 y y 3 ), deci f este derivabilă. In adevăr, f z 3 z0 3 (z 0 ) = lim z z0 z z 0 de unde urmează că = lim z z0 (z 2 + zz 0 + z 2 0) = 3z 2 0, (z 3 ) = 3z 2, exact ca în cazul funcţiilor reale. Regulile de derivare formală a funcţiilor elementare (polinomiale, raţionale, exponenţiale şi trigonometrice) se păstrează neschimbate la trecerea de la cazul real la cel complex, şi aceasta deoarece se păstrează atât regulile de derivare ale operaţiilor (αu + βv) = αu + βv, α, β C, (uv) = u v + uv, ( u v ) = u v uv şi v 2 (u(v)) = u (v)v, 20
21 cât şi definiţiile prin serii de puteri ale funcţiilor elementare: şi e z = 1 + z 1! + z2 2! + z3 3! +..., z C, sin z = z z3 3! + z5 5! z7 7! +..., z C cos z = 1 z2 2! + z4 4! z6 6! +..., z C, de exemplu. Pe baza celor de mai sus se poate arăta, printre altele, că (e z ) = e z şi chiar că e z 1+z 2 = e z 1 e z 2, pentru orice z 1 şi z 2 din C. Graficul unei funcţii f : D C C, definit de Graf(f) = (z, f(z)) C C z D C, este o submulţime în C C care, ca spaţiu liniar, este izomorf cu R 4. Vederea noastră fiind tri-dimensională, nu putem vedea această suprafaţă bi-dimensională scufundată întru-un spaţiu patru-dimensional. O funcţie complexă de argument complex poate fi interpretată ca o deformare a planului, acţiunea ei poate fi înteleasă vizual urmărind modul în care funcţia deformează, transformă, diverse reţele de linii din plan. Clasa următoare colorează cu negru pătratul [1, 2] [1, 2] din planul numerelor complexe şi cu roşu transformatul acestuia prin funcţia f(z) = z 3. public class RidicareaLaCub : FractalForm public override void makeimage() setxminxmaxyminymax(-20, 10, -10, 20); ScreenColor = Color.White; PenColor = Color.Black; setaxis(); for (double x = 1; x <= 2; x += 0.001) for (double y = 1; y <= 2; y += 0.001) Complex z = new Complex(x, y); setpixel(z, PenColor); setpixel(z * z * z, Color.Red); resetscreen(); Din definiţia derivatei, dacă f este derivabilă în z 0 atunci are loc aproximarea f(z) f(z 0 ) + f (z 0 )(z z 0 ) pentru z z 0, care arată că local, în vecinătatea lui z 0, deformarea produsă de f este o rotaţie de unghi arg f (z 0 ) în jurul lui z 0, compusă cu o omotetie de centru z 0 şi raport f (z 0 ), urmată de o translaţie care îl duce pe z 0 în f(z 0 ). Prin urmare, deoarece 21
22 toate aceste transformări păstreaza mărimea şi orientarea unghiurilor, funcţiile derivabile au şi ele aceeaşi proprietate (se spune că sunt transformări conforme). In desenul precedent se observă că cele patru colţuri ale pătratului alb au fost transformate în cele patru colţuri roşii, păstrând mărimea lor de 90 (unghiul dintre două curbe este prin definiţie unghiul dintre tangentele la curbe în punctul de intersecţie). Să observăm că aplicaţia z z, fiind o simetrie faţă de o dreaptă, conservă unghiurile dar schimbă orientările, deci nu este conformă şi, în consecinţă, nu este derivabilă. In adevăr, f(z) = z = x iy = u(x, y) + iv(x, y) nu respectă prima dintre condiţiile Cauchy-Riemann: u v (x, y) = 1 1 = (x, y). x y Încheiem scurta noastră prezentare a funcţiilor complexe cu o identitate celebră, şi anume cu formula lui Euler e iθ = cos θ + i sin θ, pentru orice θ R, care se obţine imediat prin calcul cu serii de puteri e iθ = 1 + iθ 1! + i2 θ 2 + i3 θ ! 3! 22
23 ) ( ) = (1 θ2 2! + θ4 θ 4!... + i 1! θ3 3! + θ5 5!... = cos θ + i sin θ. Aplicând această formulă, găsim descompunerea pe componente a funcţiei exponenţiale: pentru orice z = x + iy din C. e z = e x+iy = e x e iy = e x (cos y + i sin y), 23
(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραJ F (ρ, ϕ, θ) = cos ϕ ρ sin ϕ 0. Teoremă (a diferenţiabilităţii compuse) (legea lanţului) Fie F : D deschis
3) Coordonate sferice Fie funcţia vectorială F : R + [ π, π] [0, π) R 3, F (ρ, ϕ, θ) = (ρ sin ϕ cos θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos ϕ). Observăm că F exprimă legătura dintre coordonatele carteziene şi coordonatele
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραCURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.
Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1
Διαβάστε περισσότεραSă se arate că n este număr par. Dan Nedeianu
Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)
Διαβάστε περισσότεραAlgebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότερα7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează
TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραCum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme
Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier
Capitolul Serii Fourier 7-8. Dezvoltarea în serie Fourier a unei funcţii periodice de perioadă Pornind de la discuţia asupra coardei vibrante începută în anii 75 între Euler şi d Alembert, se ajunge la
Διαβάστε περισσότεραDreapta in plan. = y y 0
Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere
Capitolul 9 Geometrie analitică 9.1 Repere Vom considera spaţiile liniare (X, +,, R)în careelementelespaţiului X sunt vectorii de pe odreaptă, V 1, dintr-un plan, V sau din spaţiu, V 3 (adică X V 1 sau
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie CLASA a IV-a
Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie 207 SUBIECTUL CLASA a IV-a Într-o zi de Duminică, la Salina Turda, a venit un grup de vizitatori, băieți și de două ori mai multe fete. Au intrat în Salină 324 băieți și 400
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra
ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra Adevărul matematic, indiferent unde, la Paris sau la Toulouse, este unul şi acelaşi (Blaise Pascal) Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom
Διαβάστε περισσότεραy y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =
Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale
3 ELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR 31 Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale Prin interpolare se înţelege următoarea problemă: se dau n + 1 puncte P 0, P 1,, P n în plan sau în spaţiu
Διαβάστε περισσότεραCURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR
CURS 10+11 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA SOLIDULUI RIGID In cadrul cinematicii punctului material s-a arătat ca a studia mişcarea unui punct înseamnă a determina la
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραLectia III Produsul scalar a doi vectori liberi
Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραSiruri de numere reale
Siruri de numere reale efinitie. Un sir de elemente dintr-o multime M este o functie x : N M (sau x : N k M unde N k = {k, k +,...}). Un sir x : N M il vom nota cu (x n ) n N sau (x n ) n unde x n = x(n)
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 7 8 Capitolul IX. Integrale curbilinii. Să se calculee Im ) d, unde este segmentul
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραGeometrie computationala 2. Preliminarii geometrice
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,
Διαβάστε περισσότεραINTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0
INTERPOLARE Se dau punctele P 0, P 1,..., P n in plan sau in spatiu, numite noduri si avand vectorii de pozitie r 0, r 1,..., r n. Problemă. Să se găsească o curbă (dintr-o anumită familie) care să treacă
Διαβάστε περισσότεραMatrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, 5 martie 18 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1 Problemele tip grilă (Partea A pot avea unul
Διαβάστε περισσότεραProgresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.
Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a
Διαβάστε περισσότερα2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu
2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea
Διαβάστε περισσότεραTransformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică
Daniel BREAZ Nicolae SUCIU Păstorel GAŞPAR Nicoleta BREAZ Monica PÎRVAN Valeriu PREPELIŢĂ Gheorghe BARBU Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Volumul 1 Funcţii complexe cu
Διαβάστε περισσότερα3 FUNCTII CONTINUE Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale Spaţiul euclidian R p. Pentru p N *, p 2 fixat, se defineşte R
3 FUNCTII CONTINUE 3.. Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale. 3... Saţiul euclidian R Pentru N *, fixat, se defineşte R = R R R = {(x, x,, x : x, x,, x R} de ori De exemlu, R = {(x, y: x, yr} R 3
Διαβάστε περισσότεραCriterii de comutativitate a grupurilor
Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Διαβάστε περισσότεραVARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M1-1, 2007
VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 VARIANTA SUBIECTUL I. a) Să se determine ecuația dreptei care trece prin punctul A(2; 5;3) și este paralelă cu dreapta x = y 2 4 6 = z +3 9. b) Să se determine valoarea
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραGRADUL II n α+1 1
GRADUL II 2007 BUCUREŞTI 1. Fie A un inel cu unitate. Notăm cu Z(A) = {a A ( )x A,ax = xa}. Să se arate că: a) Z(A) este un subinel comutativ al lui A (numit centrul inelului A). b) Dacă B este un alt
Διαβάστε περισσότερα3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
Διαβάστε περισσότεραTeorema de punct fix a lui Banach
CURSUL 8 Teorema de punct fix a lui Banach Teorema de punct fix a lui Banach, cunoscută şi sub denumirea de principiul contracţiilor, este un instrument important în teoria spaţiilor metrice; ea garantează
Διαβάστε περισσότερα