Numere complexe în grafica 2D

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Numere complexe în grafica 2D"

Transcript

1 Cursul 3 Numere complexe în grafica 2D 1. Introducere. Dezvoltarea istorică a gândirii matematice a urmărit îndeaproape evoluţia ideii de număr. Această evoluţie, exprimată succint prin şirul de incluziuni N Z Q R C, nu a fost nicicum liniară ci foarte sinuoasă, cu etape suprapuse sau chiar în ordine inversă. Primele au apărut numerele naturale 1, 2, 3,..., urmate de fracţii şi rapoarte. In lumea antică deja apăruseră semne că numai acestea nu sunt suficiente; de exemplu, incomensurabilitatea diagonalei pătratului cu latura sa era cunoscută din vremea lui Pitagora. Următoarea achiziţie a fost numărul zero care, plecând din India, a ajuns în Europa în jurul anului 1000, odată cu scrierea poziţională a numerelor, prin intermediul cărţilor lui Muhammad al-khwarizmi, persanul de la numele căruia provine termenul de algoritm. Numerele negative şi imaginare apar în acelaşi timp, în Italia secolului al XVIlea, în parte tot sub influenţa surselor islamice şi bizantine. Aceste numere, cu denumiri care sugerează o acceptare doar formală a existenţei lor, s-au dovedit utile în rezolvarea ecuaţiilor algebrice. Astfel, unitatea negativă, 1, a fost definită ca fiind soluţia ecuaţiei x + 1 = 0, iar unitatea imaginară, 1, ca soluţie a ecuaţiei x = 0, chiar dacă printre numerele deja cunoscute nu exista niciunul care să verifice vreo una dintre cele două ecuaţii. Calculul formal cu numere complexe, adică cu expresii de forma a + b 1 s-a dezvoltat prin analogie cu cel al numerelor iraţionale pătratice de forma a + b 2. În ciuda numeroaselor rezultate obţinute cu astfel de numere în secolele XVII-XVIII, matematicienii au avut reţineri cu privire la utilizarea lor. Îndoiala asupra existenţei acestor numere a dispărut odată cu apariţia unei interpretări geometrice foarte simple a lor, şi anume reprezentarea lor ca puncte în plan. Folosirea sistematică şi popularizarea reprezentării geometrice a numerelor complexe o datorăm lucrărilor lui Carl Friedrich Gauss ( ). Denumirile nefericite, care mai provoacă şi astăzi confuzii, de numere reale şi numere imaginare au fost introduse de René Descartes ( ) pentru clasificarea rădăcinilor polinoamelor. Inţelegerea deplină, atât a numerelor reale cât şi a celor complexe, a avut loc concomitent, în secolul al XIX-lea, odată cu fundamentarea analizei matematice începută de Augustin-Louis Cauchy ( ). 1

2 2. Forma algebrică a unui număr complex. Mulţimea numerelor complexe C se defineşte ca fiind mulţimea perechilor de numere reale C = R R = (x, y) x, y R dotată cu două operaţii binare, adunarea: şi înmulţirea (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ), (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) C, (x 1, y 1 )(x 2, y 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ), (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) C. Se verifică uşor că aceste două operaţii înzestrează mulţimea numerelor complexe cu o structură algebrică de corp comutativ. Fiind dat un număr complex z = (x, y), convenim să numim numerele reale x şi y ca fiind partea reală şi, respectiv, partea imaginară a lui z. Să observăm că mulţimea numerelor complexe cu partea imaginară nulă R = (x, 0) x R C este parte stabilă în raport cu operaţiile, adică şi (x 1, 0) + (x 2, 0) = (x 1 + x 2, 0) R (x 1, 0)(x 2, 0) = (x 1 x 2, 0) R pentru orice (x 1, 0), (x 2, 0) R, şi, mai mult, aplicaţia x (x, 0), numită aplicaţia de scufundare a lui R în C, este un izomorfism de corpuri între R şi R. Din acest motiv, vom identifica R cu R, înţelegând prin aceasta că numerele complexe de forma (x, 0) vor fi notate cu x atunci când nu există pericol de confuzie. Mai mult, se verifică imediat că orice număr complex z = (x, y) poate fi descompus sub forma şi, prin urmare, cu notaţia z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0)(0, 1), i = (0, 1), obţinem aşa numita formă algebrică a lui z: z = x + yi, unde, subliniem, x, y şi i sunt numere complexe. Din definiţia înmultirii avem că (0, 1)(0, 1) = ( 1, 0), relaţie care, cu convenţiile făcute, se scrie i 2 = 1. 2

3 Aplicând regulile de calcul dintr-un corp comutativ, deducem mai departe că (x 1 + y 1 i)(x 2 + y 2 i) = x 1 x 2 + x 1 y 2 i + y 1 x 2 i + y 1 y 2 i 2 = x 1 x 2 y 1 y 2 + (x 1 y 2 + y 1 x 2 )i, justificând astfel de ce înmulţirea numerelor complexe a fost definită atât de complicat. Să urmărim cum au fost implementate cele de mai sus în structura Complex definită în fişierul Complex.cs. Egalitatea C = R R se reflectă direct în structura unui obiect de tip Complex, care este format numai din două câmpuri de tip double iniţializate de constructorul obiectului: public struct Complex public double x; public double y; public Complex(double x, double y) this.y = y; this.x = x;... Definiţiile operaţiilor cu numere complexe apar, exact sub forma dată, la supraîncărcarea operatorilor corespunzători: public static Complex operator +(Complex zst, Complex zdr) return new Complex(zst.x + zdr.x, zst.y + zdr.y); public static Complex operator *(Complex zst, Complex zdr) return new Complex(zst.x * zdr.x - zst.y * zdr.y, zst.y * zdr.x + zst.x * zdr.y); Mai mult, este implementată chiar şi aplicaţia de scufundare a lui R în C, şi anume la definirea operatorului de conversie implicită de la double la Complex: public static implicit operator Complex(double x) return new Complex(x, 0); Această conversie implicită ne permite, printre altele, să lucrăm în cod cu numere complexe sub formă algebrică: Complex i = new Complex(0,1); Complex z1 = 1 + 2*i; 3

4 3. Interpretarea geometrică a adunării numerelor complexe. Este binecunoscut astăzi că mulţimea punctelor unui plan poate fi identificată cu mulţimea R R, fixând un sistem de coordonate carteziene cu originea într-un punct O al planului şi notând cu Z(x, y) punctul de coordonate x şi y. Mai mult, R 2 = R R se structurează în mod natural ca spaţiu liniar real de dimensiune 2, definind adunarea şi înmulţirea cu scalari pe componente: (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ), (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) R 2, şi α(x, y) = (αx, αy), α R, (x, y) R 2. Un element z = (x, y) din R 2 poate fi indentificat cu vectorul de poziţie z = OZ al punctului Z(x, y). Deoarece, prin definiţie, C = R R, vom extinde această interpretare şi la numere complexe: fiind dat un plan π şi un sistem de coordonare carteziene cu originea într-un punct O, oricărui punct Z π îi asociem perechea formată din coordonatele sale, z = (x, y) R 2, vectorul său de poziţie, z = OZ şi afixul său, adică numărul complex z = (x, y) = x + yi C. In continuare vom utiliza identificarea Z = z = z = z, adică vom nota în acelaşi mod, când nu există pericol de confuzie, un punct, o pereche de numere reale, un vector şi un număr complex. Cum prin această identificare definiţiile adunării în C şi R 2 coincid, rezultă că adunarea numerelor complexe are loc după regula paralelogramului: vectorul OS corespunzător sumei s = z 1 + z 2 este diagonala paralelogramului format de vectorii OZ 1 şi OZ 2. Analog, vectorul de poziţie OD corespunzător diferenţei d = z2 z 1 este vectorul liber Z 1 Z 2 translatat cu Z 1 în origine (astfel încât OZ 2 să fie diagonala paralelogramului format de OZ 1 şi OD. Spunem că suma z1 + z 2 este diagonala paralelogramului format de vectorii z 1 şi z 2, iar diferenţa z 2 z 1 este vectorul z 1 z 2. 4

5 Mai mult, dacă în R 2 vom considera baza canonică, formată din perechile u = (1, 0) şi i = (0, 1), atunci orice element z = (x, y) are descompunerea z = xu + yi care coincide, prin aplicaţia de scufundare a lui a R în C, cu forma algebrică a numărului complex z. Cu acest prilej să observăm că înmulţirea cu scalari este de fapt înmulţirea dintre un număr real şi un număr complex, deoarece αz = (α, 0)(x, y) = (αx, αy) = αz. Urmează că înmulţirea cu numere reale reprezintă, în planul numerelor complexe, o scalare, adică o mărire/micşorare la scară cu centru în originea O. De exemplu, produsul cu 2, adică aplicaţia z 2z, măreşte figurile din plan de două ori privind din origine (este o omotetie cu centru O şi raport 2). 4. Forma trigonometrică a unui număr complex. Vom aprofunda acum reprezentarea geometrică a lui C trecând de la coordonatele carteziene (x, y) ale unui punct la coordonatele sale polare (ρ, θ). Sunt binecunoscute formulele x = ρ cos θ, y = ρ sin θ. 5

6 Definim modulul numărului complex z = x + yi prin şi argumentul său prin Reamintim că z = ρ = x 2 + y 2 argz = θ [0, 2π). θ = arctg y x + kπ, unde k are una din valorile 0, 1 sau 2, în funcţie de cadranul în care cade z. Cu aceste notaţii obţinem imediat forma trigonometrică a lui z; z = x + iy = ρ cos θ + iρ sin θ = ρ(cos θ + i sin θ). Să observăm că aceste două modalităţi de exprimare a unui număr complex au fost implementate în structura Complex prin metodele statice public static Complex setreim(double x, double y) //forma algebrica return new Complex(x, y); şi public static Complex setrotheta(double Ro, double Theta) //forma trigonometrica return new Complex(Ro * Math.Cos(Theta), Ro * Math.Sin(Theta)); în timp ce modulul şi argumentul unui număr complex sunt date de proprietăţile public double Ro get return Math.Sqrt(x * x + y * y); public double Theta 6

7 get return Math.Atan2(y, x); Observaţie: conform implemetării de mai sus, argumentul θ = argz returnat de proprietatea Theta este în intervalul ( π, π] şi nu în prima determinare a cercului, [0, 2π). Acest fapt este utilizat, de exemplu, în următorul test care decide dacă punctul z se află sau nu în semiplanul stâng determinat de dreapta ab parcursă de la a la b: public bool zestelastangaluiab(complex z, Complex a, Complex b) Complex r=(z-a)/(b-a); if (r.theta > 0) return true; else return false; 5. Interpretarea geometrică a înmulţirii numerelor complexe. Forma trigonometrică ne permite să dăm o interpretare remarcabilă înmulţirii numerelor complexe. Să calculăm produsul lui ω = α(cos φ+i sin φ) cu z = ρ(cos θ+i sin θ). Avem ωz = αρ[(cos φ cos θ sin φ sin θ) + i(sin φ cos θ + cos φ sin θ)] de unde obţinem că şi = αρ(cos(φ + θ) + i sin(φ + θ)) ωz = ω z arg ωz = arg ω + arg z (mod 2π). Deci, la înmulţirea numerelor complexe, modulele se înmulţesc iar argumentele se adună. Deducem de aici că produsul cu ω = α(cos φ + i sin φ), adică aplicaţia z ωz, reprezintă o scalare de factor α compusă cu o rotaţie de unghi φ în sens trigonometric în jurul originii. In particular, înmulţirea cu i, care are modulul 1 şi argumentul π radiani, 2 este o rotaţie de 90 în sens trigonometric în jurul originii. Prin urmare, produsul cu i 2 înseamnă două rotaţii de 90 în acelaşi sens, adică de o rotaţie de 180, exact transformarea geometrică asociată produsului cu 1. Iată o interpretare geometrică elegantă a egalităţii i 2 = 1. Să reamintim şi celebra formulă a lui Moivre (Abraham de Moivre ( ), matematician francez): dacă z = ρ(cos θ + i sin θ) atunci pentru orice n Z avem z n = ρ n (cos nθ + i sin nθ). 7

8 Această formulă permite, printre altele, şi următoarea extindere la exponenţi reali pozitivi a operaţiei de ridicare la putere a unui număr complex: z α = ρ α (cos αθ + i sin αθ), pentru orice α (0, + ). Clasa implementată mai jos reprezintă grafic puterile numărului z = (cos π i sin π 120 ). Deoarece z n = z n = n 0 pentru n +, puterile lui z de exponent n = 1, 2, 3,... vor forma un şir de puncte care se apropie de origine, rotindu-se în jurul ei la fiecare pas cu π/120 radiani, şi parcurgând astfel o spirală îndreptată către zero. 8

9 public class Puteri : FractalForm public override void makeimage() setxminxmaxyminymax(-1.1, 1.1, -1.1, 1.1); ScreenColor = Color.White; PenColor = Color.Black; setaxis(); Complex z = Complex.setRoTheta(0.995, Math.PI / 120); Complex p = 1; for (int k = 0; ; k++) p *= z; setpixel(p, PenColor); if (!resetscreen()) return; 6. Rădăcinile unităţii. Considerăm un număr natural fixat n 1, notăm şi definim θ = 2π n ε = cos θ + i sin θ. Este uşor de văzut că primele n puteri ale lui ε, date de formula 1, ε, ε 2, ε 3,..., ε n 1, z k = ε k = cos kθ + i sin kθ, sunt distincte şi sunt vârfurile unui poligonului regulat cu n laturi înscris în cercul unitate. Deoarece pentru orice k 0, 1, 2,..., n 1 avem deducem că mulţimea z n k = cos nkθ + i sin nkθ = cos 2kπ + i sin 2kπ = 1, U n = 1, ε, ε 2, ε 3,..., ε n 1 este formată din cele n soluţii în C ale ecuaţiei z n = 1. U n se numeşte mulţimea rădăcinilor de ordin n ale unităţii şi are o structură de grup în raport cu înmulţirea. Puterile lui ε se repetă din n în n, mai precis avem ε k ε h k+h (mod n) = ε şi prin urmare aplicaţia ε k k este un izomorfism între (U n, ) şi grupul (Z n, +) al claselor de resturi modulo n. 9

10 7. Împărţirea numerelor complexe. După cum rezultă imediat din proprietăţile înmulţirii, raportul a două numere complexe sub formă trigonometrică, z 1 = ρ 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 ) 0 şi z 2 = ρ 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ) este z 2 = ρ 2 (cos(θ 2 θ 1 ) + i sin(θ 2 θ 1 )). z 1 ρ 1 Deducem că modulul raportului z 2 /z 1 este raportul lungimilor vectorilor z 2 şi z 1 iar argumentul raportului z 2 /z 1 este unghiul ẑ 1 0z 2 dintre cei doi vectori. O interpretare remarcabilă vom avea într-un triunghi z 0 z 1 z 2 în care, dacă ţinem cont că diferenţele z 2 z 0 şi z 1 z 0 sunt laturi, avem z 2 z 0 z 1 z 0 = z 2 z 0 z 1 z 0 = Z 0Z 2 Z 0 Z 1 şi arg z 2 z 0 = Z 1 Z 0 Z 2. z 1 z 0 Deci, raportul a două laturi este numărul complex care are modulul egal cu raportul lungimilor laturilor şi argumentul egal cu unghiul dintre cele două laturi. Deducem de aici că triunghiurile (orientate) z 0 z 1 z 2 şi z 0 z 1 z 2 sunt asemenea dacă şi numai dacă z 2 z 0 = z 2 z 0. z 1 z 0 z 1 z 0 Punctele z 0, z 1 şi z 2 sunt coliniare când unghiul deci atunci când raportul celor două laturi, z 2 z 0 = λ, z 1 z 0 Z 1 Z 0 Z 2 are 0 sau π radiani, are argumentul 0 sau π şi, prin urmare, este număr real. Deducem de aici caracterizarea: punctul z 2 care împarte segmentul z 0 z 1 în raportul λ = z 2 z 0 z 1 z 0 10

11 este dat de egalitatea z 2 = z 0 + λ(z 1 z 0 ). Urmează că dreapta determinată de două puncte distincte, z 0 şi z 1, admite reprezentarea parametrică z = z 0 + t(z 1 z 0 ), t R. Ca aplicaţie, următoarea clasă secţionează triunghiul abc în zece felii de arii egale: public class Sectiuni : FractalForm static Complex i = new Complex(0, 1); void sectioneaza(complex a, Complex b, Complex c, int nrfelii) setline(b, c, PenColor); for (int k = 0; k <= nrfelii; k++) setline(a, b + k * (c - b) / nrlinii, PenColor); public override void makeimage() setxminxmaxyminymax(-1, 7, -1, 7); Complex a = * i; Complex b = 1 + i; 11

12 Complex c = * i; ScreenColor = Color.White; PenColor = Color.Black; sectioneaza(a, b, c, 10); setaxis(); resetscreen(); 8. Conjugatul unui număr complex. Împărţirea a două numere complexe sub formă algebrică se efectuează prin amplificare cu conjugatul numitorului. Conjugatul lui z = x + iy este z = x iy şi are proprietatea esenţială z z = x 2 + y 2 = z 2 R. Operaţia de conjugare (adică aplicaţia z z) reprezentă trecerea de la un punct la simetricul său în raport cu axa reală, prin urmare conjugarea păstrează operaţiile: z 1 + z 2 = z 1 + z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2, z 1 /z 2 = z 1 /z 2. In sfârşit, pentru z = x + iy avem Re z = x = z + z şi Im z = y = z z. 2 2i Este util de ţinut minte că, dacă z = 1 atunci z = 1. z 9. Transformări geometrice. Identificând în continuare C cu mulţimea punctelor unui plan, prin figură geometrică vom înţelege, în cele ce urmează, o mulţime oarecare F de numere complexe, prin transformare geometrică o aplicaţie T : C C iar prin transformata figurii F mulţimea formată din transformatele punctelor lui F : F = T (F ) = z = T (z), z F. Pe baza interpretărilor geometrice ale operaţiilor cu numere complexe, avem următoarele caracterizări ale transformărilor întâlnite în geometria planului Translaţia. Dorim să translatăm o figură F astfel încât un punct fixat z 0 F să ajungă într-un z 0 fixat în F. Fie z F şi z F transformatul său. Vectorii zz şi z 0 z 0 trebuie să fie egali, deci z z = z 0 z 0, de unde rezultă z = z + (z 0 z 0 ). In concluzie, transformarea T : C C dată de T (z) = z + (z 0 z 0 ), z C, este translaţia de vector z 0 z 0. 12

13 Următoarea clasă afişează într-o mişcare de translaţie uniformă poligonul încărcat în lista iniţială (un septagon regulat stelat în acest exemplu): public class Translatii : FractalForm static Complex i = new Complex(0, 1); static Complex a = (1 + 2 * i) / 100; static Complex T(Complex z) // translatie de vector a return a + z; void transforma(ref ComList li) ComList rez = new ComList(); for (Complex z = li.firstzet;!li.ended; z = li.nextzet) rez.nextzet = T(z); li = rez; void traseaza(comlist li, Color c) Complex z1 = li.firstzet; for (Complex z2 = li.nextzet;!li.ended; z2 = li.nextzet) setline(z1, z2, c); z1 = z2; ComList figurainitiala() ComList rez = new ComList(); double fi = 2 * Math.PI / 7; for (int k = 0; k < 15; k += 2) 13

14 rez.nextzet = Complex.setRoTheta(2.5, k * fi); return rez; public override void makeimage() setxminxmaxyminymax(-5, 10, -5, 10); ComList oldfig, newfig = figurainitiala(); traseaza(newfig, Color.Red); for (int k = 0; k < 300; k++) oldfig = newfig; transforma(ref newfig); traseaza(oldfig, Color.Black); traseaza(newfig, Color.Red); setaxis(); if (!resetscreen()) return; 9.2. Omotetia. Fixăm un punct z 0 C şi un număr real λ > 0. Fiind dată o figură F, dorim să o mărim la scară cu factorul λ relativ la centrul z 0. Fie z F şi z F transformatul său. Cerem ca punctele z 0, z şi z să fie coliniare şi raportul segmentelor z 0 z şi z 0 z să fie λ, de unde rezultă că z = z 0 + λ(z z 0 ). In concluzie, transformarea T : C C dată de T (z) = z 0 + λ(z z 0 ), z C, cu λ R +, este omotetia de centru z 0 şi raport λ Rotaţia. Dorim să rotim o figură F în jurul unui punct fix z 0 C cu un unghi θ. Considerăm un z F, notăm cu z F transformatul său şi definim 14

15 numărul complex ω prin ω = z z 0 z z 0. Avem ω = z z 0 z z 0 = 1 şi arg = ẑ z 0 z = θ = const., de unde rezultă că ω = cos θ + i sin θ. Rotaţia de centru z 0 şi unghi θ este dată de transformarea T : C C definită de T (z) = z 0 + ω(z z 0 ), z C, cu ω = cos θ + i sin θ Simetria faţă de un punct. Punctul z este simetricul lui z faţă de z 0 dacă z z 0 = (z z 0 ) şi, prin urmare, T (z) = 2z 0 z, z C, este simetria faţă de punctul z Simetria faţă de o dreaptă. Fie d ab dreapta determinată de două puncte distincte a şi b din C. Dorim să determinăm simetricul z al unui punct z faţă de dreapta d ab. Considerăm conjugatele ā, b, z şi z care, după cum ştim, sunt simetricele punctelor a, b, z şi z faţă de axa reală. Din egalitatea z a b a = z ā, b ā dată de congruenţa triunghiurilor az b şi ā z b, obţinem mai departe z = a + b a b ā ( z ā). In concluzie, simetria faţă de dreapta determinată de punctele a şi b este transformarea T : C C dată de T (z) = a + ωz a, z C, 15

16 cu ω = (b a)/ b a. 10. Şiruri şi serii în C. Prin distanţa dintre două numere complexe z 1 şi z 2 vom înţelege distanţa uzuală dintre punctele corespunzătoare din plan: d(z 1, z 2 ) = z 2 z 1 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2. Se verifică imediat ca aplicaţia d : C C R are proprietăţile unei metrici: (M 1 ) u, v C, d(u, v) 0; d(u, v) = 0 u = v; (M 2 ) u, v C, d(u, v) = d(v, u); (M 3 ) u, v, w C, d(u, v) d(u, w) + d(w, v); şi, prin urmare, (C, d) este un spaţiu metric. Aceasta înseamnă că avem gata definite, din teoria generală a spaţiilor metrice, o serie de noţiuni legate de convergenţa şirurilor şi de continuitatea funcţiilor. Vom aminti numai pe cele strict necesare cursului nostru. Un şir (z n ) n de numere complexe este convergent dacă există z C, limita sa, astfel încât şirul distanţelor de la z n la z să tindă la zero: lim z n = z lim z n z = 0. n n Convergenţa şirurilor se caracterizează pe componente, lim z n = lim (x n + iy n ) = x + iy lim x n = x şi lim y n = y. n n n n Numim divergent un şir care nu este convergent. Despre un şir divergent spunem că tinde la infinit dacă şirul modulelor tinde la plus infinit: lim z n = lim z n = +. n n Atenţie la limitele infinite: la şirurile de numere reale există limitele şi +, în C avem numai fără semn! Să studiem şirul puterilor unui număr complex ω = ρ(cos θ + i sin θ). Avem ω n = ρ n (cos nθ + i sin nθ) şi deci, dacă ω = ρ < 1 atunci ω n 0, dacă ω = ρ > 1 atunci ω n, iar dacă ω = ρ = 1 şirul rămâne pe cercul unitate, fiind convergent numai în cazul 16

17 în care este constant, adică pentru ω = 1, în rest fiind periodic (când raportul π/θ este raţional) sau dens distribuit pe cercul unitate. Fie (a n ) n un şir de numere complexe. Exact ca în cazul seriilor de numere reale, spunem că seria + n=0 are suma s C sau s = dacă şirul sumelor sale parţiale are limita s, adică n=0 a n s n = a 0 + a a n a n = lim n (a 0 + a a n ) = s. Seria este convergentă dacă are suma finită (adică s C), altfel este divergentă. De exemplu, din cele de mai sus deducem imediat că, în mulţimea numerelor complexe, seria geometrică ω n = lim (1 + ω + ω ω n 1 ω n+1 ) = lim n n 1 ω n=0 este convergentă numai dacă ω < 1, şi atunci are suma 1 + ω + ω ω n + = 1 1 ω, rezultat analog cazului real. 11. Funcţii complexe de argument real. O funcţie z : I R C este formată dintr-o pereche de funcţii reale x şi y : I R R date de egalitatea z(t) = x(t) + iy(t), t I. Astfel de funcţii se întâlnesc, mai ales, în descrierea mişcării unui punct în plan. De exemplu, z(t) = t(cos t + i sin t), t [0, + ), reprezintă legea orară după care un punct se deplasează pe o spirală care porneşte din origine. Cele două funcţii componente dau ecuaţiile parametrice ale spiralei: x = t cos t, y = t sin t, pentru t [0, + ). Fie t 0 un punct din intervalul I sau unul din capete. Limita funcţiei z = z(t) pentru t t 0 există şi este finită numai dacă funcţiile x = x(t) şi y = y(t) au limite finite, şi atunci avem lim z(t) = lim x(t) + i lim y(t). t t 0 t t0 t t0 17

18 Urmează că z este continuă pe I dacă şi numai dacă cele două funcţiile componente sunt continue. Derivabilitatea se caracterizează tot pe componente, mai precis z z(t) z(t 0 ) (t 0 ) = lim t t0 t t 0 x(t) x(t 0 ) = lim t t0 t t 0 Din definiţia derivatei rezultă aproximarea z(t) z(t 0 ) + (t t 0 )z (t 0 ) pentru t t 0, +i lim t t0 y(t) y(t 0 ) t t 0 = x (t 0 )+iy (t 0 ). care înlocuieşte mişcarea lui z = z(t) cu o mişcare rectilinie uniformă cu viteza z (t 0 ) pe tangenta la traiectorie în punctul z 0 = z(t 0 ). În concluzie, derivata unei funcţii complexe de argument real se calculează pe componente z (t) = x (t) + iy (t) şi reprezintă vectorul viteză instantanee al punctului în mişcare z = z(t). El dă direcţia tangentei la traiectorie în punctul curent. Clasa C # de mai jos desenează cu negru traiectoria punctului z = t(cos t + i sin t) pe intervalul t [0, 35] şi trasează cu roşu vectorul viteză la momentul t 0 = 32: public class Spirala : FractalForm static Complex i = new Complex(0, 1); Complex z(double t) return t * (Math.Cos(t) + i * Math.Sin(t)); Complex zprim(double t) return (Math.Cos(t) + i * Math.Sin(t)) + t * (-Math.Sin(t) + i * Math.Cos(t)); public override void makeimage() setxminxmaxyminymax(-50, 50, -50, 50); ScreenColor = Color.White; PenColor = Color.Black; setaxis(); for (double t = 0; t < 35; t += 0.001) setpixel(z(t), PenColor); double t0 = 32; Complex z0 = z(t0); setline(z0, z0 + zprim(t0), Color.Red); resetscreen(); 18

19 12. Funcţii complexe de argument complex. O funcţie f : D C C este formată din două funcţii u, v : D R 2 R date de descompunerea f(z) = f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y), (x, y) D. De exemplu, aplicaţia z z 3 are descompunerea f(z) = z 3 = (x + iy) 3 = (x 3 3xy 2 ) + i(3x 2 y y 3 ), deci în acest caz u(x, y) = x 3 3xy 2 şi v(x, y) = 3x 2 y y 3. Fie z 0 un punct de acumulare al domeniului D, adică un punct z 0 C pentru care există un şir (d n ) n de elemente din D \ z 0 cu d n z 0. Limita lim z z 0 f(z) există şi este finită dacă şi numai dacă cele două funcţii componente au limite finite, şi atunci lim f(z) = lim u(x, y) + i z z 0 (x,y) (x 0,y 0 ) lim (x,y) (x 0,y 0 ) v(x, y). De aici se poate deduce că f este continuă pe D numai dacă u şi v sunt continue. Derivabilitatea unei funcţii complexe nu se mai reduce numai la diferenţiabilitatea celor două componente reale. Considerăm că u şi v admit derivate parţiale continue pe domeniul D şi calculăm limita f f(z) f(z 0 ) (z 0 ) = lim z z0 z z 0 19

20 considerând trasee orizontale de forma z = z 0 + t, cu t 0 în R. Obţinem f u(x 0 + t, y 0 ) u(x 0, y 0 ) v(x 0 + t, y 0 ) v(x 0, y 0 ) (z 0 ) = lim + i lim t 0 t t 0 t = u x (x 0, y 0 ) + i v x (x 0, y 0 ). Considerăm acum trasee verticale de forma z = z 0 + i t şi găsim f u(x 0, y 0 + t) u(x 0, y 0 ) v(x 0, y 0 + t) v(x 0, y 0 ) (z 0 ) = lim + i lim t 0 i t t 0 i t = v y (x 0, y 0 ) i u y (x 0, y 0 ). Comparând cele două rezultate deducem că următoarele egalităţi sunt condiţii necesare pentru derivabilitatea funcţiei f pe un domeniu D u = + v x y u = v. y x Se arată că în ipotezele noastre (u şi v admit derivate parţiale continue) egalităţile de mai sus, numite condiţiile Cauchy-Riemann, sunt şi suficiente pentru derivabilitatea lui f. Să le verificăm pentru f(z) = z 3. Avem x (x3 3xy 2 ) = 3x 2 3y 2 = y (3x2 y y 3 ) şi y (x3 3xy 2 ) = 6xy = x (3x2 y y 3 ), deci f este derivabilă. In adevăr, f z 3 z0 3 (z 0 ) = lim z z0 z z 0 de unde urmează că = lim z z0 (z 2 + zz 0 + z 2 0) = 3z 2 0, (z 3 ) = 3z 2, exact ca în cazul funcţiilor reale. Regulile de derivare formală a funcţiilor elementare (polinomiale, raţionale, exponenţiale şi trigonometrice) se păstrează neschimbate la trecerea de la cazul real la cel complex, şi aceasta deoarece se păstrează atât regulile de derivare ale operaţiilor (αu + βv) = αu + βv, α, β C, (uv) = u v + uv, ( u v ) = u v uv şi v 2 (u(v)) = u (v)v, 20

21 cât şi definiţiile prin serii de puteri ale funcţiilor elementare: şi e z = 1 + z 1! + z2 2! + z3 3! +..., z C, sin z = z z3 3! + z5 5! z7 7! +..., z C cos z = 1 z2 2! + z4 4! z6 6! +..., z C, de exemplu. Pe baza celor de mai sus se poate arăta, printre altele, că (e z ) = e z şi chiar că e z 1+z 2 = e z 1 e z 2, pentru orice z 1 şi z 2 din C. Graficul unei funcţii f : D C C, definit de Graf(f) = (z, f(z)) C C z D C, este o submulţime în C C care, ca spaţiu liniar, este izomorf cu R 4. Vederea noastră fiind tri-dimensională, nu putem vedea această suprafaţă bi-dimensională scufundată întru-un spaţiu patru-dimensional. O funcţie complexă de argument complex poate fi interpretată ca o deformare a planului, acţiunea ei poate fi înteleasă vizual urmărind modul în care funcţia deformează, transformă, diverse reţele de linii din plan. Clasa următoare colorează cu negru pătratul [1, 2] [1, 2] din planul numerelor complexe şi cu roşu transformatul acestuia prin funcţia f(z) = z 3. public class RidicareaLaCub : FractalForm public override void makeimage() setxminxmaxyminymax(-20, 10, -10, 20); ScreenColor = Color.White; PenColor = Color.Black; setaxis(); for (double x = 1; x <= 2; x += 0.001) for (double y = 1; y <= 2; y += 0.001) Complex z = new Complex(x, y); setpixel(z, PenColor); setpixel(z * z * z, Color.Red); resetscreen(); Din definiţia derivatei, dacă f este derivabilă în z 0 atunci are loc aproximarea f(z) f(z 0 ) + f (z 0 )(z z 0 ) pentru z z 0, care arată că local, în vecinătatea lui z 0, deformarea produsă de f este o rotaţie de unghi arg f (z 0 ) în jurul lui z 0, compusă cu o omotetie de centru z 0 şi raport f (z 0 ), urmată de o translaţie care îl duce pe z 0 în f(z 0 ). Prin urmare, deoarece 21

22 toate aceste transformări păstreaza mărimea şi orientarea unghiurilor, funcţiile derivabile au şi ele aceeaşi proprietate (se spune că sunt transformări conforme). In desenul precedent se observă că cele patru colţuri ale pătratului alb au fost transformate în cele patru colţuri roşii, păstrând mărimea lor de 90 (unghiul dintre două curbe este prin definiţie unghiul dintre tangentele la curbe în punctul de intersecţie). Să observăm că aplicaţia z z, fiind o simetrie faţă de o dreaptă, conservă unghiurile dar schimbă orientările, deci nu este conformă şi, în consecinţă, nu este derivabilă. In adevăr, f(z) = z = x iy = u(x, y) + iv(x, y) nu respectă prima dintre condiţiile Cauchy-Riemann: u v (x, y) = 1 1 = (x, y). x y Încheiem scurta noastră prezentare a funcţiilor complexe cu o identitate celebră, şi anume cu formula lui Euler e iθ = cos θ + i sin θ, pentru orice θ R, care se obţine imediat prin calcul cu serii de puteri e iθ = 1 + iθ 1! + i2 θ 2 + i3 θ ! 3! 22

23 ) ( ) = (1 θ2 2! + θ4 θ 4!... + i 1! θ3 3! + θ5 5!... = cos θ + i sin θ. Aplicând această formulă, găsim descompunerea pe componente a funcţiei exponenţiale: pentru orice z = x + iy din C. e z = e x+iy = e x e iy = e x (cos y + i sin y), 23

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB MATEMATICI SPECIALE Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB Mai există erori care vor fi corectate în versiunea finală) Capitolul Introducere

Διαβάστε περισσότερα

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predare-învăţare-evaluare pentru

Διαβάστε περισσότερα

Tehnici de Optimizare

Tehnici de Optimizare Tehnici de Optimizare Cristian OARA Facultatea de Automatica si Calculatoare Universitatea Politehnica Bucuresti Fax: + 40 1 3234 234 Email: oara@riccati.pub.ro URL: http://riccati.pub.ro Tehnici de Optimizare

Διαβάστε περισσότερα

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache 2 * Prefaţă Textul de faţă este construit pe scheletul subiectelor date la examenul de Analiză Matematică în perioada

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor Note de curs În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de domenii de integritate şi legăturile dintre acestea A doua parte

Διαβάστε περισσότερα

2 Variabile aleatoare

2 Variabile aleatoare Variabile aleatoare În practică, variabilele aleatoare apar ca funcţii ce depind de rezultatul efectuării unui anumit experiment. Spre exemplu, la aruncarea a două zaruri, suma numerelor obţinute este

Διαβάστε περισσότερα

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE 1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR MARCARE DIRECTĂ PRIN

Διαβάστε περισσότερα

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Obiectivele lucrarii analiza spectrului in vizibil emis de atomii de hidrogen si determinarea lungimii de unda a liniilor serie Balmer; determinarea constantei

Διαβάστε περισσότερα

Tema: şiruri de funcţii

Tema: şiruri de funcţii Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I.

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I. ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru exmenul licenţă, mnul vlbil începând cu sesiune iulie 23 Specilizre Mtemtică informtică coordontor: Dorel I. Duc Cuprins Cpitolul. Serii de numere rele. Noţiuni generle 2. Serii

Διαβάστε περισσότερα

Structura matematicii

Structura matematicii Structura matematicii Oana Constantinescu March 21, 2014 Contents 1 Teorie deductiva. Generalitati 1 2 Geometria plana bazata pe notiunea de distanta 4 2.1 Motivatie............................... 4 2.2

Διαβάστε περισσότερα

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE . ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este

Διαβάστε περισσότερα

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală Laborator 3 Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală 3.1 Tema Înţelegerea conceptului de funcţie de matrice şi însuşirea principalelor metode şi algoritmi de calcul al funcţilor de matrice.

Διαβάστε περισσότερα

Continue. Answer: a. 0,25 b. 0,15 c. 0,1 d. 0,2 e. 0,3. Answer: a. 0,1 b. 0,25 c. 0,17 d. 0,02 e. 0,3

Continue. Answer: a. 0,25 b. 0,15 c. 0,1 d. 0,2 e. 0,3. Answer: a. 0,1 b. 0,25 c. 0,17 d. 0,02 e. 0,3 Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a VII-a Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a VII-a» Attempt 1 1 Pentru a deplasa uniform pe orizontala un corp de masa m = 18 kg se actioneaza asupra lui

Διαβάστε περισσότερα

11.3 CIRCUITE PENTRU GENERAREA IMPULSURILOR CIRCUITE BASCULANTE Circuitele basculante sunt circuite electronice prevăzute cu o buclă de reacţie pozitivă, folosite la generarea impulsurilor. Aceste circuite

Διαβάστε περισσότερα

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: (

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: ( Exemple e probleme rezolvate pentru curs 0 DEEA Recapitulare formule e calcul puteri ale numărului 0 n m n+ m 0 = 0 n n m =0 m 0 0 n m n m ( ) n = 0 =0 0 0 n Problema. Să se calculeze: a. 0 9 0 b. ( 0

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n. Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu

Διαβάστε περισσότερα

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element.

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element. 1.Multimi Definitie Multimea este o colectie de obiecte/simboluri. Fiecare obiect dintr-o multime este un element al multimii si este scris/specificat o singura data. Mutimile se noteaza, de obicei cu

Διαβάστε περισσότερα

prof. Busuioc Gianina Elena

prof. Busuioc Gianina Elena Şcoala Gimnazială Nr. 6 Vaslui prof. Busuioc Gianina Elena 1 La realizarea acestui proiect au colaborat elevii: Baciu Dragoş, Barbu Călina, Burdujanu Robert, Cobzaru Albert, Epure Mălina, Fuşneică Angel,

Διαβάστε περισσότερα

CURSUL AL IV-LEA. Tabelul 1 Greutatea corporală a 1014 pacienţi cu diferite afecţiuni, pe clase din 5kg în 5kg

CURSUL AL IV-LEA. Tabelul 1 Greutatea corporală a 1014 pacienţi cu diferite afecţiuni, pe clase din 5kg în 5kg CURSUL AL IV-LEA 1 Reprezentarea grafică a datelor statistice - Consideraţii generale Sunt două metode de bază în statistică: numerică şi grafică. Folosind metoda numerică putem calcula statistici ca media

Διαβάστε περισσότερα

Tema I FORMAREA IMAGINII

Tema I FORMAREA IMAGINII Tema I FORMAREA IMAGINII Nevoia de imagini a omului modern creste de la zi la zi. In general, functiile imaginilor sunt urmatoarele : - functia documentara - prezinta concret, imaginea unor termeni si

Διαβάστε περισσότερα

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M CLASA A XI-A Filiera teoretic`, profilul real, specializarea ]tiin\ele naturii (TC + CD) Filiera tehnologic`, toate calific`rile

Διαβάστε περισσότερα

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Capitolul II. Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Acest capitol are drept scop familiarizarea cititorului cu cele mai importante noţiuni

Διαβάστε περισσότερα

Seminar electricitate. Seminar electricitate (AP)

Seminar electricitate. Seminar electricitate (AP) Seminar electricitate Structura atomului Particulele elementare sarcini elementare Protonii sarcini elementare pozitive Electronii sarcini elementare negative Atomii neutri dpdv electric nr. protoni =

Διαβάστε περισσότερα

COPYRIGHT c 1997, Editura Tehnică Toate drepturile asupra ediţiei tipărite sunt rezervate editurii.

COPYRIGHT c 1997, Editura Tehnică Toate drepturile asupra ediţiei tipărite sunt rezervate editurii. FitVisible Aceasta este versiunea electronică a cărţii Metode Numerice publicată de Editura Tehnică. Cartea a fost culeasă folosind sistemul L A TEX a lui Leslie Lamport, o extindere a programului TEX

Διαβάστε περισσότερα

Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva

Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Notaţii si noţiuni preliminare Variabila aleatoare: X,Y,U,V,etc., descrisă de funcţie de repartiţie. Variabila aleatoare este asaociată unei populaţii statistice;

Διαβάστε περισσότερα

Emil Budescu. BIOMECANICA GENERALã

Emil Budescu. BIOMECANICA GENERALã Emil Budescu BIOMECANICA GENERALã IASI 03 C U P R I N S pag. I. Introducere în biomecanica 3. Obiectul de studiu 3. Terminologie 7 3. Aspecte de baza ale biomecanicii 4. Aspecte de baza ale anatomiei si

Διαβάστε περισσότερα

11.2 CIRCUITE PENTRU FORMAREA IMPULSURILOR Metoda formării impulsurilor se bazează pe obţinerea unei succesiuni periodice de impulsuri, plecând de la semnale periodice de altă formă, de obicei sinusoidale.

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI 61 ECUAŢIA GENERALĂ A MIŞCĂRII RECTILINII A AUTOVEHICULULUI FRÂNAT Se consideră un autovehicul care se deplasează cu viteză variabilă pe un drum cu

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN

AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN Montajul Experimental În laborator este realizat un amplificator cu tranzistor bipolar în conexiune cu emitorul comun (E.C.) cu o singură

Διαβάστε περισσότερα

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare..

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare.. I. Modelarea funcţionării diodei semiconductoare prin modele liniare pe porţiuni În modelul liniar al diodei semiconductoare, se ţine cont de comportamentul acesteia atât în regiunea de conducţie inversă,

Διαβάστε περισσότερα

De la problemă la algoritm

De la problemă la algoritm De la problemă la algoritm Procesul dezvoltării unui algoritm, pornind de la specificaţia unei probleme, impune atât verificarea corectitudinii şi analiza detaliată a complexităţii algoritmului, cât şi

Διαβάστε περισσότερα

Circuite cu diode în conducţie permanentă

Circuite cu diode în conducţie permanentă Circuite cu diode în conducţie permanentă Curentul prin diodă şi tensiunea pe diodă sunt legate prin ecuaţia de funcţionare a diodei o cădere de tensiune pe diodă determină valoarea curentului prin ea

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme Capitolul Diode semiconductoare 3. În fig. 3 este preentat un filtru utiliat după un redresor bialternanţă. La bornele condensatorului

Διαβάστε περισσότερα

2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI

2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI 2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI 2.1. Consideraţii generale Utilizarea automobilului constă în transportul pe drumuri al pasagerilor, încărcăturilor sau al utilajului special montat pe

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - notiţe de curs

Statisticǎ - notiţe de curs Statisticǎ - notiţe de curs Ştefan Balint, Loredana Tǎnasie Cuprins 1 Ce este statistica? 3 2 Noţiuni de bazǎ 5 3 Colectarea datelor 7 4 Determinarea frecvenţei şi gruparea datelor 11 5 Prezentarea datelor

Διαβάστε περισσότερα

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016 APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR Călinici Tudor 2016 OBIECTIVE EDUCAŢIONALE Prezentarea conceptelor fundamentale ale teoriei calculului probabilitaţilor Evenimente independente Probabilități

Διαβάστε περισσότερα

1. Elemente de bază ale conducţiei termice

1. Elemente de bază ale conducţiei termice 1. 1.1 Ecuaţiile diferenţiale ale conducţiei termice Calculul proceselor de schimb de căldură necesită cunoaşterea distribuţiei temperaturii în spaţiu şi timp. Distribuţia temperaturii se obţine prin rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII

LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII Tema lucrării: 1) Determinarea puterii rotatorii specifice a zahărului 2) Determinarea concentraţiei unei soluţii de zahăr 3) Determinarea dispersiei

Διαβάστε περισσότερα

Continue. Answer: a. Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1. 1 of 2 4/14/ :27 PM. Marks: 0/1.

Continue. Answer: a. Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1. 1 of 2 4/14/ :27 PM. Marks: 0/1. Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a X-a 1 of 2 4/14/2008 12:27 PM Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1 1 Un termometru cu lichid este gradat intr-o scara de temperatura liniara,

Διαβάστε περισσότερα

Exercitii : Lecţia 1,2,3

Exercitii : Lecţia 1,2,3 Exercitii : Lecţia 1,2,3 1.Notarea câmpurilor Tabla de şah are 64 de pătrăţele numite câmpuri. Fiecare câmp poate fi identificat de coloana şi linia pe care se află, orice câmp se află la intersecţia dintre

Διαβάστε περισσότερα

Electronică Analogică. Redresoare -2-

Electronică Analogică. Redresoare -2- Electronică Analogică Redresoare -2- 1.2.4. Redresor monoalternanţă comandat. În loc de diodă, se foloseşte un tiristor sau un triac pentru a conduce, tirisorul are nevoie de tensiune anodică pozitivă

Διαβάστε περισσότερα

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICA ATOMICA SI FIZICA NUCLEARA BN-03A DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG. Scopul lucrării Determinarea

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea unui amplificator

Proiectarea unui amplificator Proiectarea unui amplificator sl. dr. Radu Damian Notă importantă. În acest document nu există "informaţia magică" ascunsă în două rânduri de la mijlocul documentului. Trebuie parcurs pas cu pas fără a

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar Caracteristici statice Determinarea unor parametri de interes

Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar Caracteristici statice Determinarea unor parametri de interes Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar aracteristici statice Determinarea unor parametri de interes A.Scopul lucrării - Determinarea experimentală a plajei mărimilor eletrice de la terminale în care T real

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI

Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOEHICULELOR CU ROŢI 5.1 ECUAŢIA GENERALĂ A MIŞCĂRII RECTILINII A AUTOEHICULELOR ŞI CONDIŢIA DE ÎNAINTARE A ACESTORA Se consideră cazul general al unui autovehicul care

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Μιγαδικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης

Σηµειώσεις Μιγαδικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Σηµειώσεις Μιαδικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Κεφάλαιο 1. Εισαωικά 5 Η αλεβρική δοµή 5 Η τοπολοική δοµή τού 6 Το εκτεταµένο µιαδικό επίπεδο 7 Συνεκτικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Clasa a X-a, Producerea si utilizarea curentului electric continuu

Clasa a X-a, Producerea si utilizarea curentului electric continuu 1. Ce se întămplă cu numărul de electroni transportaţi pe secundă prin secţiunea unui conductor de cupru, legat la o sursă cu rezistenta internă neglijabilă dacă: a. dublăm tensiunea la capetele lui? b.

Διαβάστε περισσότερα

DESEN TEHNIC. Suport electronic de curs

DESEN TEHNIC. Suport electronic de curs DESEN TEHNIC Suport electronic de curs 2011 CUPRINS 1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE. STANDARDE GENERALE UTILIZATE ÎN DESENUL TEHNIC 1.1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE 1.1.1.Scopul, obiectul şi importanţa desenului tehnic

Διαβάστε περισσότερα

4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului

4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului 4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului 4.1 Metoda Drumului Critic (C.P.M. Critical Path Metod) 4.1.1 Consideraţii generale Metodele şi tehnicile utilizate

Διαβάστε περισσότερα

Mecanica. Unde acustice. Seminar

Mecanica. Unde acustice. Seminar Mecanica. Unde acustice Seminar Notiuni de mecanica Domenii ale mecanicii Cinematica Studiul miscarii fara a lua in consideratie cauzele ei Corpul considerat un punct material (dimensiuni neglijabile comparativ

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική Ανάλυση. Δρ. Θ. Ζυγκιρίδης

Μιγαδική Ανάλυση. Δρ. Θ. Ζυγκιρίδης Μιγαδική Ανάλυση Δρ. Θ. Ζυγκιρίδης 2 Περιεχόμενα 1 Μιγαδικοί αριθμοί 1 1.1 Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες............................. 1 1.2 Γεωμετρική αναπαράσταση των μιγαδικών αριθμών.................

Διαβάστε περισσότερα

PROGRAMELE DISCIPLINELOR PENTRU CONCURSUL DE ADMITERE LA STUDIILE UNIVERSITARE DE LICENŢĂ 1. LIMBA ENGLEZĂ

PROGRAMELE DISCIPLINELOR PENTRU CONCURSUL DE ADMITERE LA STUDIILE UNIVERSITARE DE LICENŢĂ 1. LIMBA ENGLEZĂ PROGRAMELE DISCIPLINELOR PENTRU CONCURSUL DE ADMITERE LA STUDIILE UNIVERSITARE DE LICENŢĂ Anexa nr. 2 Extras din Metodologia organizării şi desfăşurării admiterii în Academia Forţelor Terestre Nicolae

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATOARE DE MĂSURARE. APLICAŢII

AMPLIFICATOARE DE MĂSURARE. APLICAŢII CAPITOLL 4 AMPLIFICATOAE DE MĂSAE. APLICAŢII 4.. Noţiuni fundamentale n amplificator este privit ca un cuadripol. Dacă mărimea de ieşire este de A ori mărimea de intrare, unde A este o constantă numită

Διαβάστε περισσότερα

PROIECT ECONOMETRIE. Profesori coordinatori: Liviu-Stelian Begu și Smaranda Cimpoeru

PROIECT ECONOMETRIE. Profesori coordinatori: Liviu-Stelian Begu și Smaranda Cimpoeru PROIECT ECONOMETRIE Profesori coordinatori: LiviuStelian Begu și Smaranda Cimpoeru Proiect realizat de?, grupa?, seria? FACULTATEA DE RELAȚII ECONOMICE INTERNAȚIONALE, ASE, BUCUREȘTI 2015 CUPRINS Înregistrați

Διαβάστε περισσότερα

STABILIZATOARE DE TENSIUNE REALIZATE CU CIRCUITE INTEGRATE ANALOGICE

STABILIZATOARE DE TENSIUNE REALIZATE CU CIRCUITE INTEGRATE ANALOGICE Cuprins CAPITOLL 8 STABILIZATOARE DE TENSINE REALIZATE C CIRCITE INTEGRATE ANALOGICE...220 8.1 Introducere...220 8.2 Stabilizatoare de tensiune realizate cu amplificatoare operaţionale...221 8.3 Stabilizatoare

Διαβάστε περισσότερα

4. POLARIZAREA TRANZISTOARELOR BIPOLARE

4. POLARIZAREA TRANZISTOARELOR BIPOLARE 4 POLAZAA ANZSOALO POLA ircuitul de polarizare are rolul de a poziţiona într-un punct de pe caracteristica statică, numit Punct Static de uncţionare (PS) ezultă că circuitul de polarizare trebuie să asigure

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU

AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU Cuprins CAPITOLUL 4 AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU...38 4. Introducere...38 4.2 Modelul la foarte joasă frecvenţă al amplficatorului operaţional...38 4.3 Amplificatorul neinversor.

Διαβάστε περισσότερα

ARHETIPURI 1. de Corrado Malanga. Traducere în limba română de Alexandra Blănaru

ARHETIPURI 1. de Corrado Malanga. Traducere în limba română de Alexandra Blănaru ARHETIPURI 1 de Corrado Malanga Traducere în limba română de Alexandra Blănaru Prefață De obicei nu îmi încep scrierile cu prefețe inutile, dar în acest caz trebuie să-l lămuresc pe cititor cu privire

Διαβάστε περισσότερα

Maşina sincronă. Probleme

Maşina sincronă. Probleme Probleme de generator sincron 1) Un generator sincron trifazat pentru alimentare de rezervă, antrenat de un motor diesel, are p = 3 perechi de poli, tensiunea nominală (de linie) U n = 380V, puterea nominala

Διαβάστε περισσότερα

ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE. Note de curs. (draft v1.1)

ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE. Note de curs. (draft v1.1) ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE Note de curs (draft v1.1) Prefaţă Când dorim să reprezentăm obiectele din lumea reală într-un program pe calculator, trebuie să avem în vedere: modelarea obiectelor din

Διαβάστε περισσότερα

LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic.

LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic. PRELUCRARI DE DATE CU PROGRAMUL MICROSOFT EXCEL LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic. Lansati programul

Διαβάστε περισσότερα

P = {(Uadc / sqr(2)) * Rap]^2}/50 [W]

P = {(Uadc / sqr(2)) * Rap]^2}/50 [W] Aceasta versiune de SWR metru este una de sine-statatoare si este destinata celor care doresc sa-si construiasca un aparat separat de masurare a SWR-ului si a puterii de radiofrecventa. Acest model de

Διαβάστε περισσότερα

Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric

Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric Subiectul I Pentru fiecare dintre cerinţele de mai jos scrieţi pe foaia de examen, litera corespunzătoare răspunsului corect. 1.

Διαβάστε περισσότερα

STUDIUL SI VERIFICAREA UNUI MULTIMETRU NUMERIC

STUDIUL SI VERIFICAREA UNUI MULTIMETRU NUMERIC Lucrarea nr. 3 STDIL SI VERIFICAREA NI MLTIMETR NMERIC I. INTRODCERE Aparatele de măsurare de tip multimetru permit măsurarea mărimilor electrice cele mai uzuale: tensiune, curent, rezistenţă. Primele

Διαβάστε περισσότερα

DESEN TEHNIC GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ

DESEN TEHNIC GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ DESEN TEHNIC GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ CUPRINS PARTEA I - NOTIUNI GENERALE DE DESEN TEHNIC CAPITOLUL 1 INFORMAŢII TRANSMISE PRIN INTERMEDIUL DESENULUI TEHNIC CAPITOLUL 2 REPREZENTAREA PIESELOR ÎN PROIECŢIE

Διαβάστε περισσότερα

METROLOGIE CONTINUT CURS

METROLOGIE CONTINUT CURS A. MASURAREA MĂRIMILOR ELECTRICE METROLOGIE CONTINUT CURS I. NOŢIUNI FUNDAMENTALE ALE MĂSURĂRII 1.1 Introducere 1. Mărimi fizice 1.3. Măsurarea 1.4. Sistemul legal de unităţi de măsură 1.5. Mijloace electrice

Διαβάστε περισσότερα

ECHIPAMENTE NUMERICE AVANSATE IN SISTEME ELECTROMECANICE

ECHIPAMENTE NUMERICE AVANSATE IN SISTEME ELECTROMECANICE ECHIPAMENTE NUMERICE AVANSATE IN SISTEME ELECTROMECANICE STRUCTURA SI FUNCTIILE COMENZII NUMERICE ELEMENTE DE PROGRAMARE A CN ENA_SEM - Curs 2 1 FUNCTIILE COMENZII NUMERICE Realizarea unor traiectorii

Διαβάστε περισσότερα

INTRODUCTION TO PROFESSIONAL WHEEL ALIGNMENT FASEP SRL ITALY

INTRODUCTION TO PROFESSIONAL WHEEL ALIGNMENT FASEP SRL ITALY Titlul original: INTRODUCTION TO PROFESSIONAL WHEEL ALIGNMENT FASEP SRL ITALY Traducerea si adaptarea : Claudiu COLIBABA Toate drepturile pentru materialele publicate in aceasta lucrare apartin F.A.S.E.P

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 5 ASPECTE PRIVIND NOŢIUNILE DE FIABILITATE, MENTENABILITATE ŞI DISPONIBILITATE ALE SISTEMELOR TEHNICE MILITARE

CAPITOLUL 5 ASPECTE PRIVIND NOŢIUNILE DE FIABILITATE, MENTENABILITATE ŞI DISPONIBILITATE ALE SISTEMELOR TEHNICE MILITARE CAPITOLUL 5 ASPECTE PRIVIND NOŢIUNILE DE FIABILITATE, MENTENABILITATE ŞI DISPONIBILITATE ALE SISTEMELOR TEHNICE MILITARE 5.1. Analiza conceptuală a termenilor de fiabilitate, mentenabilitate şi disponibilitate

Διαβάστε περισσότερα

formate, elemente grafice, linii, scrierea, indicatorul şi tabelul de componenţă desenul de ansamblu

formate, elemente grafice, linii, scrierea, indicatorul şi tabelul de componenţă desenul de ansamblu Desen tehnic Noţiuni generale formate, elemente grafice, linii, scrierea, indicatorul şi tabelul de componenţă desenul de ansamblu Reprezentarea pieselor în proiecţie ortogonală reprezentarea în vedere,

Διαβάστε περισσότερα

DESEN TEHNIC - Note de curs şi aplicaţii practice -

DESEN TEHNIC - Note de curs şi aplicaţii practice - UNIVERSITATEA din BACĂU FACULTATEA DE INGINERIE FLORIN MACARIE IONEL OLARU DESEN TEHNIC - Note de curs şi aplicaţii practice - EDITURA ALMA MATER BACĂU 2007 1 Cuprins Capitolul 1. Norme generale de desen

Διαβάστε περισσότερα

ENCICLOPEDIA MATEMATICĂ A CLASELOR DE NUMERE ÎNTREGI

ENCICLOPEDIA MATEMATICĂ A CLASELOR DE NUMERE ÎNTREGI ENCICLOPEDIA MATEMATICĂ A CLASELOR DE NUMERE ÎNTREGI Marius Coman mariuscoman13@gmail.com 1 Copyright 2013 de Marius Coman Education Publishing 1313 Chesapeake Avenue Columbus, Ohio 43212 USA Tel. (614)

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME DE ELECTRICITATE

PROBLEME DE ELECTRICITATE PROBLEME DE ELECTRICITATE 1. Două becuri B 1 şi B 2 au fost construite pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 100 V, iar un al treilea bec B 3 pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 200 V. Puterile

Διαβάστε περισσότερα

MICROSOFT EXCEL. Pentru a lansa in execuţie programul Microsoft Excel utilizaţi una dintre procedurile următoare:

MICROSOFT EXCEL. Pentru a lansa in execuţie programul Microsoft Excel utilizaţi una dintre procedurile următoare: 1 2 Fiind o aplicaţie din pachetul Microsoft Office, Microsoft Excel prezintă o interfaţă asemănătoare cu editorul de text Microsoft Word având aceeaşi organizare a sistemului de meniuri şi a barelor de

Διαβάστε περισσότερα

PicoScope 6. Software-ul PC Osciloscop. Ghidul utilizatorului. psw.ro r41 Copyright Pico Technology Ltd. Toate drepturile rezervate.

PicoScope 6. Software-ul PC Osciloscop. Ghidul utilizatorului. psw.ro r41 Copyright Pico Technology Ltd. Toate drepturile rezervate. PicoScope 6 Software-ul PC Osciloscop Ghidul utilizatorului Manual de utilizare PicoScope 6 I Cuprins 1 Bun venit...1...2 2 Privire de ansamblu PicoScope 6 3 Introducere...3 1 Declaraţie legală...3 2

Διαβάστε περισσότερα

PROCESE TEHNOLOGICE ȘI PROTECȚIA MEDIULUI

PROCESE TEHNOLOGICE ȘI PROTECȚIA MEDIULUI PROCESE TEHNOLOGICE ȘI PROTECȚIA MEDIULUI Tema 3. Distilarea și extracția. Obiectivele cursului: În cadrul acestei teme vor fi discutate următoarele subiecte: - operația unitară de concentrare a amestecurilor

Διαβάστε περισσότερα

Termostat pentru acvarii

Termostat pentru acvarii Termostat pentru acvarii Pentru pastrarea in interiorul acvariilor a unei temperaturi de +26±1 C se poate realiza o schema electronica simpla, sigura in functionare si in acelasi timp ieftina. Alimentata

Διαβάστε περισσότερα

SCS II Lab

SCS II Lab SS II Lab 9 67 Stabilitatea circuitelor cu reacţie. Ocilatorul cu retea Wienn Un item cu reacţie (feedback) e caracterizează prin faptul că legătura intrareieşire ete bidirecţională. Schemabloc a unui

Διαβάστε περισσότερα

CIRCUITE BASCULANTE BISTABILE

CIRCUITE BASCULANTE BISTABILE 6 CICUITE BACULANTE BITABILE 6. Introducere Circuitele basculante bistabile sau, mai scurt, circuitele bistabile sunt circuite care pot avea la ieşire două stări stabile: logic şi logic. Circuitul poate

Διαβάστε περισσότερα

UTILIZAREA CIRCUITELOR BASCULANTE IN NUMARATOARE ELECTRONICE

UTILIZAREA CIRCUITELOR BASCULANTE IN NUMARATOARE ELECTRONICE COLEGIUL UCECOM SPIRU HARET BUCURESTI UTILIZAREA CIRCUITELOR BASCULANTE IN NUMARATOARE ELECTRONICE Elev : Popa Maria Clasa :a-xi-a A Indrumator:prof.Chirescu Emil APLICATII PRACTICE CE POT FI REALIZATE

Διαβάστε περισσότερα

i R i Z D 1 Fig. 1 T 1 Fig. 2

i R i Z D 1 Fig. 1 T 1 Fig. 2 TABILIZATOAE DE TENINE ELECTONICĂ Lucrarea nr. 5 TABILIZATOAE DE TENINE 1. copurile lucrării: - studiul dependenţei dintre tensiunea stabilizată şi cea de intrare sau curentul de sarcină pentru stabilizatoare

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 1 Introducere în MATLAB

Laborator 1 Introducere în MATLAB MATLAB este unul dintre cele mai răspândite programe, în special în teoria reglării automate, pentru calculul ştiinţific şi numeric. Pe lângă calculul efectiv, MATLAB oferă şi posibilităţi de reprezentare

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ. 2. Τακτικά αριθμητικά

ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ. 2. Τακτικά αριθμητικά ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ Σύμφωνα με τη Γραμματική της Ρουμανικής Γλώσσας, τα αριθμητικά διακρίνονται σε: 1. Απόλυτα αριθμητικά α. Απλά: unu, doi, trei... (ένα, δύο, τρία) κ.λπ. β. Σύνθετα: doisprezece, treizeci...

Διαβάστε περισσότερα

PVC. D oor Panels. + accessories. &aluminium

PVC. D oor Panels. + accessories. &aluminium PVC &aluminium D oor Panels + accessories 1 index panels dimensions accessories page page page page 4-11 12-46 48-50 51 2 Η εταιρία Dorland με έδρα τη Ρουμανία, από το 2002 ειδικεύεται στην έρευνα - εξέλιξη

Διαβάστε περισσότερα

Editura EduSoft Bacău

Editura EduSoft Bacău Bogdan Pătruţ Carmen Violeta Muraru APLICAŢII ÎN C şi C++ Editura EduSoft Bacău - 2006 Copyright 2006 Editura EduSoft Toate drepturile asupra prezentei ediţii sunt rezervate Editurii EduSoft. Reproducerea

Διαβάστε περισσότερα

CONCEPTE FUNDAMENTALE UTILE ÎN EXERCITAREA PROFESIEI DE INGINER. SUPORT TEORETIC PENTRU SUSŢINEREA EXAMENULUI DE LICENŢĂ SECŢIA TCM

CONCEPTE FUNDAMENTALE UTILE ÎN EXERCITAREA PROFESIEI DE INGINER. SUPORT TEORETIC PENTRU SUSŢINEREA EXAMENULUI DE LICENŢĂ SECŢIA TCM CONCEPTE FUNDAMENTALE UTILE ÎN EXERCITAREA PROFESIEI DE INGINER. SUPORT TEORETIC PENTRU SUSŢINEREA EXAMENULUI DE LICENŢĂ SECŢIA TCM 1 CUPRINS 1. Desen tehnic......3. Mecanică...0 3. Rezistenţa Materialelor...3

Διαβάστε περισσότερα

EXAMEN DE FIZICĂ 2012 [1h] FIMM

EXAMEN DE FIZICĂ 2012 [1h] FIMM Alocare în medie 4 minute/subiect. Punctaj: 1/4 judecata, 1/4 formula finală, 1/4 rezultatul numeric, 1/4 aspectul. EXAMEN DE FIZICĂ 2012 [1h] IM 1. Un automobil cu dimensiunile H=1.5m, l=2m, L=4m, puterea

Διαβάστε περισσότερα