Μαθηματικά Μοντέλα στη Βιολογία

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαθηματικά Μοντέλα στη Βιολογία"

Transcript

1 Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Βιολογίας Τομέας Οικολογίας Μαθηματικά Μοντέλα στη Βιολογία Σημειώσεις για το μάθημα Στατιστική Μαθηματικά στη Βιολογία Σ. Π. Σγαρδέλης Θεσσαλονίκη 005

2 Πρόλογος Οι σημειώσεις αυτές καλύπτουν ένα μέρος της ύλης των Μαθηματικών για τους φοιτητές του Τμήματος Βιολογίας. Συγκεκριμένα, αφορούν στην κατασκευή και μελέτη των μοντέλων, με κάποια έμφαση στη μελέτη της ισορροπίας. Κρίθηκε σκόπιμο να αναφερθούμε και σε κάποιες σχετικά πρόσφατες εξελίξεις όπως είναι η μελέτη των συστημάτων που επιδεικνύουν χαοτικού τύπου συμπεριφορά. Είναι αναμενόμενο οι σημειώσεις να εμφανίζουν σφάλματα και ελλείψεις. Αν σε κάθε περίπτωση οι υποδείξεις σφαλμάτων από τους φοιτητές και τους συναδέλφους είναι επιθυμητή, στην συγκεκριμένη περίπτωση είναι απολύτως αναγκαία. Στέφανος Π. Σγαρδέλης Αναπληρωτής Καθηγητής Θεσσαλονίκη, Μάιος 003

3 Περιεχόμενα ΜΕΡΟΣ ο... 6 Κεφάλαιο I. Επανάληψη και επέκταση... 6 Ι.. Μιγαδικοί αριθμοί... 6 Ι.. Ακολουθίες πραγματικών αριθμών... Ι.3. Παράγωγος συνάρτησης... 5 Ι.4. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών... 5 Ι.4.. Ακρότατα συνάρτησης δύο μεταβλητών. Η έννοια της μερικής παραγώγου... 9 Ι.4.. Ακρότατα συνάρτησης δύο μεταβλητών. Η έννοια της μερικής παραγώγου Ι.4.. Μερικές παράγωγοι ανώτερης τάξης... 3 Ι.5. Αόριστο ολοκλήρωμα Το ανάπτυγμα Taylor Κεφάλαιο ΙΙ. Πίνακες πραγματικών αριθμών ΙΙ.. Ορισμοί και πράξεις πινάκων ΙΙ.. Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα IΙ.3. Παραδείγματα εφαρμογής των πινάκων Κεφάλαιο ΙII. Δυναμικά Συστήματα

4 ΙΙΙ.. Εισαγωγικές έννοιες και ορισμοί Ισορροπία συστήματος ΙΙΙ.. Μοντέλα φυσικών συστημάτων ΙΙΙ... Απλά γραφικά μοντέλα ΙΙΙ... Μαθηματικά μοντέλα ΙΙΙ..3. Κατασκευή μαθηματικών μοντέλων (μια πρόταση) ΙΙΙ..4. Ιδιότητες των μοντέλων Κεφάλαιο IV: Λύση διαφορικών εξισώσεων και εξισώσεων διαφορών... 0 ΙV.. Γραμμικές Διαφορικές εξισώσεις... 0 IV.. Λύση συστημάτων ομογενών γραμμικών εξισώσεων πρώτης τάξης με σταθερούς συντελεστές ΙV.3. Γενικές λύσεις εξισώσεων διαφορών... 9 Κεφάλαιο V: Μελέτη ισορροπίας... 3 V.. Σημεία ισορροπίας... 3 V... Ασυνεχείς μεταβολές V..3. Κριτήρια ευστάθειας V..4. Περιοδικοί κύκλοι V..5. Ευστάθεια περιοδικών κύκλων

5 ΜΕΡΟΣ ο Μαθηματικά μοντέλα στη Βιολογία Κεφάλαιο Ι. Μοντέλα συστημάτων σε συνεχή χρόνο Ι.. Διαδικασίες γεννήσεων-θανάτων Ι.. Μοντέλα αύξησης βιομάζας οργανισμών Ι.3. Μοντέλα ροής υλικών ή ενέργειας με μία δεξαμενή (διαμέρισμα) Ι.4. Μοντέλα κινητικής χημικών αντιδράσεων και επιδημιολογικά μοντέλα Κεφάλαιο ΙΙ. Μοντέλα συστημάτων σε διακριτό χρόνο... 0 Κεφάλαιο ΙΙΙ. Χαοτική συμπεριφορά συστημάτων ΙΙΙ.. Χάος ή θόρυβος; ΙΙΙ.. Ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες ΙΙΙ.3. Fractals ΙΙΙ.4. Χαοτικά συστήματα και Βιολογία

6 ΜΕΡΟΣ ο Κεφάλαιο I. Επανάληψη και επέκταση Ι.. Μιγαδικοί αριθμοί Θυμηθείτε ότι Ορίζεται η φανταστική μονάδα ως i. Οι αριθμοί τύπου βi με β R ονομάζονται φανταστικοί ενώ οι αριθμοί τύπου z α βi ονομάζονται μιγαδικοί. Συμβολίζουμε με Re(z)α το πραγματικό μέρος και με Im(z)β, το φανταστικό μέρος του μιγαδικού z. Οι αριθμοί α βi και α - βi ονομάζονται συζυγείς μιγαδικοί. Το σύνολο των μιγαδικών συμβολίζεται με το γράμμα C. Ένας μιγαδικός αριθμός μπορεί να παρασταθεί γεωμετρικά στο λεγόμενο μιγαδικό επίπεδο ως διατεταγμένο ζεύγος με πρώτο στοιχείο το πραγματικό του μέρος και δεύτερο το φανταστικό του μέρος. Μάθετε ότι Θεώρημα Euler (χωρίς απόδειξη): Για κάθε φανταστικό αριθμό bi ισχύει ότι e bi cos b i sin b (sinημίτονο, cosσυνημίτονο) Πόρισμα: Θεωρώντας το b ως γωνία και εφαρμόζοντας για bπ έχουμε e πi πi cos π i sinπ 0 e 0 6

7 Να και ένα σχόλιο για τον τελευταίο αυτό τύπο που ενσωματώνει σε μια απλή σχέση ισότητας τα θεμελιώδη μεγέθη της Άλγεβρας. Από το βιβλίο του Ντενι Γκετζ (Denis Guedj) «Το θεώρημα του παπαγάλου». Εκδόσεις ΠΟΛΙΣ, Μάρτιος 000 (Τρίτη έκδοση). Μετάφραση Τεύκρος Μιχαηλίδης. «...-Βγαίνοντας από την αίθουσα, μην ξεχάσετε να θαυμάσετε τον τύπο που αναγράφεται πάνω από την πόρτα. Οφείλεται στον Λέοναρντ Όιλερ. Αναμφισβήτητα είναι ο ωραιότερος τύπος των Μαθηματικών. Βγαίνοντας από την αίθουσα, όλος ο κόσμος σήκωσε το κεφάλι και διάβασε: iπ e Ο κ. Ρύς με το λαιμό γερμένο προς τα πίσω, εξέταζε το πράγμα. Εντάξει, ο τύπος είναι πραγματικά μικρός. Αλλά, διάβολε, όμορφος, γιατί; Και μάλιστα όχι απλά όμορφος, αλλά ο ομορφότερος; Ο κ. Ρυς τον ανέλυσε. Πέντε σύμβολα. Τα αναγνώριζε όλα εκτός από ένα. Υπήρχε βέβαια το π, τι το πιο φυσικό, σε ένα τέτοιο μέρος ήταν ο οικοδεσπότης. Ύστερα το του Ρέκορντ, το «-» των υπόγειων πάρκινγκ, το φανταστικό «i» του ίδιου του Λέοναρντ Όιλερ, που είχε ξεχάσει να το συμπεριλάβει στον κατάλογο με τα «κατατεθέντα σήματα». 7

8 Υστέρα υπήρχε αυτό το e. Δεν το είχε ξαναδεί ποτέ στη ζωή του. Άραγε αυτό έκανε τον τύπο τόσο όμορφο;...» Κατανοήστε ότι Οι μιγαδικοί αριθμοί μας χρειάζονται για να λύνουμε προβλήματα στα οποία εμφανίζονται τετραγωνικές, τέταρτης τάξης κ.λ.π. ρίζες με αρνητικό όρισμα. Συνεπώς, μια δευτεροβάθμια εξίσωση που δεν έχει καμία πραγματική ρίζα, έχει δύο ρίζες στο σύνολο των μιγαδικών. Μάλιστα αν οι ρίζες μιας τέτοιας εξίσωσης είναι μιγαδικές τότε είναι συζυγείς (αυτό μπορείτε να το αποδείξετε πολύ εύκολα). Λυμένη άσκηση Να μελετηθεί η συνάρτηση Re( ( a bi) Y e ) όταν i) b0, a>0 ii) b0, a<0 iii) b 0, a>0 iv) b 0, a0 v) b 0, a<0 Απάντηση. i,ii) Η συνάρτηση a Y e είναι η γνωστή εκθετική συνάρτηση 8 7 που για a>0 είναι αύξουσα και 6 5 a<0 a>0 τείνει ασυμπτωτικά στο άπειρο του Χ τείνοντος στο άπειρο ενώ για α<0 είναι Y

9 φθίνουσα και τείνει ασυμπτωτικά στο μηδέν του Χ τείνοντος στο άπειρο. Στο σχήμα απεικονίζεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης για a0.5 και a-0.5 ( a bi) a bi a iii-v) e e e e [cos( b ) i sin( b )] οπότε Re( e ( a bi) ) e a cos( b ) αν b 0, a>0 έχουμε το γινόμενο μιας αύξουσας εκθετικής επί μια τριγωνομετρική συνάρτηση με τιμές μεταξύ - και. Το αποτέλεσμα είναι μια αποκλίνουσα Y ταλάντωση. Στο σχήμα παρου-σιάζεται το γράφημα της συνάρτησης για a0.5 και b αν b 0, a0 ο εκθετικός όρος έχει σταθερή τιμή ίση με την μονάδα οπότε μένει μόνο ο τριγωνομετρικός όρος. Στο σχήμα απεικονίζεται η συνάρτηση για b4. Y

10 Y Αν b 0, a<0 τότε ο εκθετικός όρος φθίνει προσεγγίζοντας το μηδέν με τελικό αποτέλεσμα μια φθίνουσα ταλάντωση. Στο σχήμα απεικονίζεται η συνάρτηση με a-0,5 και b4 0

11 Ι.. Ακολουθίες πραγματικών αριθμών Ακολουθία πραγματικών αριθμών ονομάζεται μια απεικόνιση g των φυσικών αριθμών N {,,3...} στο σύνολο R των πραγματικών αριθμών. Ο συμβολισμός ανg(ν) αναφέρεται στον ν-οστό όρο της ακολουθίας g. Θυμηθείτε ότι: Μια ακολουθία μπορεί να οριστεί είτε με τον αναδρομικό της τύπο ή με το γενικό της τύπο. Παράδειγμα: Η αναδρομική σχέση v με v 0 και ν,,3 ορίζει την ακολουθία, 4, 8...Η ίδια ακολουθία ορίζεται από τον γενικό τύπο v ν για ν,, 3 Δεν είναι πάντα εύκολο να βρεθεί ο γενικός τύπος μιας ακολουθίας, σε πολλές μάλιστα περιπτώσεις δεν υπάρχει γενικός τύπος. Η ακολουθία Fibonacci Στην ακολουθία,,,3,5,8,... ο κάθε όρος από τον τρίτο και μετά προκύπτει ως το άθροισμα των δύο προηγούμενων όρων. Ο αναδρομικός της τύπος είναι άρα ο v v με. Η ν ακολουθία αυτή μελετήθηκε αρχικά από τον Fibonacci και εν συνεχεία

12 από πολλούς μαθηματικούς. Ο γενικός τύπος που δίνει τον ν-οστό όρο συναρτήση του ν είναι v 5 5 v v 5. Η ακολουθία Fibonacci και ο λόγος της χρυσής τομής (φ) Αν Χ ο λόγος δύο διαδοχικών όρων της ακολουθίας Fibonacci το όριο Χ ν φ v ν που τείνει η φ v του ν τείνοντος στο άπειρο είναι ο λόγος της χρυσής τομής φ Ο αριθμός φ είναι άρρητος. Η ακολουθία Fibonacci και βιολογία Στην εικόνα φαίνεται το άνθος του φυτού που ονομάζεται κοινώς «Ήλιος». Παρατηρήστε ότι τα σπέρματα είναι διαταγμένα σε σπείρες. Μπορούμε να μετρήσουμε τον αριθμό των σπερμάτων σε μια σπείρα κινούμενοι από το κέντρο προς την περιφέρεια είτε δεξιόστροφα είτε αριστερόστροφα. Οι δύο αριθμοί που θα βρούμε είναι συνήθως διαδοχικοί όροι της ακολουθίας Fibonacci. Το ίδιο συμβαίνει και σε πολλές άλλες βιολογικές δομές

13 όπου τα επιμέρους στοιχεία διατάσσονται σπειροειδώς π.χ. σε κώνους κωνοφόρων και στα φύλλα ενός βλαστού. Μια διαδικασία παραγωγής της ακολουθίας Fibonacci. Έστω μια διαδικασία αντικατάστασης συμβόλων από άλλα σύμβολα και υπάρχουν ν διαφορετικά σύμβολα. Η διαδικασία ξεκινά από μία αρχική διαδοχή συμβόλων (που ονομάζεται αξίωμα). Ακολουθώντας συγκεκριμένους κανόνες (ας τους ονομάσουμε γραμματικούς κανόνες) αντικαθιστούμε διαδοχικά κάθε σύμβολο από άλλα σύμβολα. Μια υλοποίηση της παραπάνω διαδικασίας είναι η εξής: Υπάρχουν μόνο δύο σύμβολα τα Α και Β Αξίωμα: Α Κανόνες αντικατάστασης: Α -> Β και Β -> ΑΒ Παραγωγή: Βήμα Συμβολοσειρά Μήκος συμβολοσειράς Α Β 3

14 3 ΑΒ 4 ΒΑΒ 3 5 ΑΒΒΑΒ 5 6 ΒΑΒΑΒΒΑΒ 8 7 ΑΒΒΑΒΒΑΒΑΒΒΑΒ Μπορείτε να συμπληρώσετε τα βήματα 8 και 9; Δείτε ότι το μήκος των συμβολοσειρών είναι η ακολουθία Fibonacci Άσκηση Να μελετηθεί η ακολουθία με γενικό τύπο t t r αν h i) r0, ii) 0 < r <, iii) r, iv) r>, v) < r < 0, vi) r-, vii) r<- 4

15 Ι.3. Παράγωγος συνάρτησης Ορισμός: Έστω συνάρτηση f(χ) ορισμένη σε διάστημα Δ και σημείο α Δ. Ονομάζουμε παράγωγο της f στο σημείο α το όριο lim x a f ( x) f ( a) εφόσον υπάρχει. x a Αν υπάρχει η παράγωγος της f σε κάθε σημείο του διαστήματος Δ λέμε ότι υπάρχει η παράγωγος της f στο Δ. Αν μια συνάρτηση έχει παράγωγο στο Δ τότε είναι συνεχής στο Δ. Θυμηθείτε ότι: Η παράγωγος συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ένας αριθμός, η παράγωγος μιας συνάρτησης σε διάστημα είναι μια άλλη συνάρτηση. Συμβολισμοί παραγώγου: Αν Yf() μια παραγωγίσιμη συνάρτηση του Χ οι συμβολισμοί dy df ( ) Y, f '( ),,, D f ( ), DY είναι αποδεκτοί συμβολισμοί d d της παραγώγου της Υ. Σημασία της παραγώγου Εκφράζει το στοιχειώδη ρυθμό (ταχύτητα) μεταβολής. Είναι η εφαπτόμενη σε ένα σημείο του γραφήματος της συνάρτησης f. Στο σημείο που η παράγωγος είναι ίση με μηδέν η εφαπτόμενη είναι 5

16 παράλληλη στον οριζόντιο άξονα, οπότε η συνάρτηση εμφανίζει ακρότατο. Περί ρυθμών μεταβολής Σε πολλά φαινόμενα που παρατηρούμε στη φύση είναι ευκολότερο να μετρήσουμε την ταχύτητα της μεταβολής των μεγεθών που τα χαρακτηρίζουν παρά το ίδιο το αποτέλεσμα των μεταβολών αυτών. Η ταχύτητα ή ρυθμός μεταβολής ενός μεγέθους μπορεί να εκφραστεί μαθηματικά με διάφορους τρόπους. Y α) Μέσος ρυθμός μεταβολής Y Y. Η ακρίβεια εκτίμησης αυτού του ρυθμού αυξάνει όσο μειώνεται το διάστημα Χ-Χ. Του διαστήματος αυτού τείνοντος στο μηδέν ο ρυθμός μεταβολής που υπολογίζουμε είναι ο dy β)απόλυτος ρυθμός μεταβολής d lim Y x 0. Αν Υf() συνεχής συνάρτηση σε διάστημα που περιλαμβάνει το σημείο Χ0, ο απόλυτος ρυθμός μεταβολής στο σημείο Χ0 είναι η παράγωγος της f στο δεδομένο σημείο. Σε ορισμένες εφαρμογές αντί του απόλυτου ρυθμού μεταβολής χρησιμοποιούμε τον ανά μονάδα του Υ ρυθμό μεταβολής που ονομάζεται 6

17 γ) Σχετικός ρυθμός μεταβολής Y dy d Αν η μεταβλητή Υ αναφέρεται στα άτομα ενός πληθυσμού τότε ο σχετικός ρυθμός μεταβολής ονομάζεται και κατά κεφαλήν ρυθμός μεταβολής. Παράδειγμα: Ο πληθυσμός Ν των μικροβίων σε μια καλλιέργεια διπλασιάζεται κάθε εβδομάδα. Ο μέσος ημερήσιος ρυθμός μεταβολής είναι N N N N t t t 7 Υποθέτουμε τώρα ότι υπάρχει μια συνάρτηση που περιγράφει τις μεταβολές του Ν στο χρόνο έστω η rt N ce. Ο απόλυτος ρυθμός μεταβολής του Ν μπορεί να βρεθεί ως εξής: οπότε ο σχετικός ρυθμός μεταβολής είναι N dn dn rt ( ce )' rce rt rn r. Στην αρχή του 0 χρόνου (t0) ισχύει ότι N 0 ce c N 0. Αν θεωρήσουμε το βήμα χρόνου ίσο με μία εβδομάδα τότε r r dn N N 0e N 0 N 0e r ln() ln() N και ο απόλυτος ρυθμός μεταβολής είναι dn ln() N. 7

18 Παράγωγοι στοιχειωδών συναρτήσεων Αν c,a,k σταθερές, ισχύουν τα παρακάτω ( c)' 0, ( a )' a,( Ln( )' sin ( )', Log a ( )' k )' k, cos k, ( e, sin( )' cos( ), cos( )' sin( ) Ln( a) ( )' )' e, ( a, tan )' a Ln( a) ( )' Ιδιότητες της παραγώγου Αν a,b σταθερές και f(x),g(x) παραγωγίσημες συναρτήσεις ισχύουν οι παρακάτω κανόνες ( af ( x) bg( x))' af '( x) bg'( x) ( f ( x) g( x))' f ( x) ( )' g( x) f '( x) ( )' f ( x) [ f ( x)] ( f ( g( x)))' f ( x) g'( x) f '( x) g( x) f ( x) g'( x) [ g( x)] f '( g( x)) g'( x) f '( x) g( x) Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης Ο τελευταίος κανόνας που αφορά στην παραγώγιση σύνθετης συνάρτησης μπορεί να γραφεί και ως dy d dy dz, αν θέσουμε Υf(Ζ) dz d και Zg(Χ). 8

19 Ο παραπάνω κανόνας είναι ιδιαίτερα χρήσιμος όπως φαίνεται στο παρακάτω παράδειγμα: Μπορούμε να υπολογίσουμε πειραματικά το σχετικό ρυθμό μεταβολής του βάρους ενός ζώου με το χρόνο ζυγιάζοντας το ζώο σε τακτά χρονικά διαστήματα. Πώς θα μπορούσαμε όμως να υπολογίσουμε το σχετικό ρυθμό μεταβολής του βάρους της καρδιά του; Το να ζυγίσεις την καρδιά ενός ζώου σε τακτά χρονικά διαστήματα δεν είναι καθόλου εύκολο. Μήπως θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε τον ζητούμενο ρυθμό μεταβολής του βάρους της καρδιάς έμμεσα; Ποιες άλλες πληροφορίες μας χρειάζονται σε μια τέτοια περίπτωση; Έστω Η το βάρος της καρδιάς και W το βάρους του σώματος. Γνωρίζω το dh W dw και θέλω να βρω το dh dw άρα πρέπει να βρω το dw H dh. Ισχύει ότι dh δηλαδή το ρυθμό μεταβολής dw του βάρους της καρδιάς όταν μεταβάλλεται το βάρος του σώματος. Για να υπολογίσω αυτή την παράγωγο πρέπει να ξέρω την σχέση που συνδέει τα δύο αυτά μεγέθη, δηλαδή να βρω μια συνάρτηση του τύπου Ηf(W) που δίνει το βάρος της καρδιάς αν ξέρω το βάρος του σώματος. Μπορώ να βρω πειραματικά μια τέτοια συνάρτηση; Η απάντηση είναι ναι. Κάθε φορά που πεθαίνει ένα από τα ζώα για οποιονδήποτε λόγο που δεν προκαλεί συστηματική απώλεια βάρους, μπορώ να ζυγίσω το 9

20 ζώο, να αφαιρέσω εν συνεχεία την καρδιά του και να την ζυγίσω επίσης. Αν το κάνω αυτό για ένα πλήθος ζώων διαφόρων ηλικιών και μεγεθών μπορώ να κατασκευάσω διάγραμμα των δεδομένων μου και να εφαρμόσω στατιστικές μεθόδους όπως η γραμμική παλινδρόμηση για να βρω τη μαθηματική σχέση που συνδέει τα δύο μεγέθη. Έστω λοιπόν ότι τα έκανα όλα αυτά και βρήκα ότι 0.75 dh 3 4 H 0.5W οπότε W dw 8. Αντικαθιστώντας έχω dh dh dw 3 dw 4 W. dw 8 dh 3 dw 3 dw W W W 3 H H W dw 3 4 W dw δηλαδή ο σχετικός ρυθμός αύξησης του βάρους της καρδιάς είναι ίσος με τα ¾ του σχετικού ρυθμού αύξησης του βάρους του σώματος. Λυμένες ασκήσεις Η χρήση των παραγώγων για τον εντοπισμό ακρότατων τιμών μιας συνάρτησης δίνει την δυνατότητα διατύπωσης και λύσης μιας σειράς προβλημάτων όπου το ζητούμενο είναι να ελαχιστοποιηθεί ή να μεγιστοποιηθεί μια ποσότητα, δεδομένων ορισμένων περιορισμών. Ως παράδειγμα θα λύσουμε μερικά τέτοια προβλήματα. 0

21 ) Περίφραξη αγροτεμαχίου Έστω ότι κάποιος θέλει να περιφράξει με σύρμα ένα τμήμα του αγρού του. Θέλει η περίφραξη να περικλείει όσο το δυνατόν μεγαλύτερο εμβαδόν. Θέλει δηλαδή να μεγιστοποιήσει το εμβαδόν Ε. Το μήκος του σύρματος που διαθέτει είναι όμως περιορισμένο έστω L μέτρα. Η περιφραγμένη επιφάνεια θα έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλογράμμου του οποίου η μία πλευρά δεν χρειάζεται περίφραξη διότι εκεί ακριβώς περνάει ένα ποτάμι που συνιστά φυσικό, απροσπέλαστο όριο. Πώς θα γίνει η περίφραξη; Λύση: Αν Χ η μια πλευρά του παραλληλογράμμου και Υ η άλλη τότε ο περιορισμό που θέσαμε εκφράζεται ως ΧΥL. Υπάρχουν άπειρα ζεύγη Χ,Υ (άρα άπειρα παραλληλόγραμμα) που ικανοποιούν τον περιορισμό. Πιο έχει μέγιστο εμβαδόν; Το εμβαδόν του όποιου παραλληλογράμμου ισούται με ΕΧΥ. Η συνάρτηση αυτή της οποίας την τιμή θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε ονομάζεται συνάρτηση κριτήριο. Χρησιμοποιώντας τον περιορισμό βρίσκουμε ότι ΥL- και αντικαθιστώντας στην συνάρτηση κριτήριο παίρνουμε μια συνάρτηση μόνο του Χ : ΕΧ(L-). Θέλουμε να βρούμε την τιμή του Χ όπου η συνάρτηση έχει μέγιστο. Η συνάρτηση έχει ακρότατο εκεί που

22 μηδενίζεται η πρώτη της παράγωγος. (Χ(L-)) L-4 και L-40 όταν ΧL/4. Η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης υπολογισμένη στο ακρότατο μας πληροφορεί για το είδος του ακρότατου. Αν είναι αρνητική έχουμε μέγιστο ενώ αν είναι θετική έχουμε ελάχιστο. Στην περίπτωση μας είναι ίση με -4<0 οπότε το ακρότατο είναι μέγιστο. Η άλλη πλευρά του ορθογωνίου υπολογίζεται εύκολα σε ΥL/ ) Χωροκράτια Σε πολλά θηλαστικά και πουλιά παρατηρείται το φαινόμενο της χωροκράτιας. Ένα άτομο ή ζευγάρι διατηρεί μια επικράτεια δηλαδή ένα χώρο στον οποίο δεν επιτρέπει να εισέλθει άλλο άτομο του είδους του. Δεχόμαστε για λόγους ευκολίας ότι η επικράτεια είναι κυκλικός δίσκος ακτίνας r. Η διατήρηση της επικράτειας συνεπάγεται για το άτομο ένα όφελος που είναι μεγαλύτερο όσο αυξάνει η ακτίνα της επικράτειας (θεωρήστε ότι είναι ανάλογο της ακτίνας). Ταυτόχρονα υπάρχει και κόστος για την διατήρηση της επικράτειας που πρέπει να επιτηρείται και κάθε πιθανός εισβολέας να διώκεται. Θεωρήστε ότι το κόστος είναι ανάλογο της έκτασης της επικράτειας. Υπολογίστε την ακτίνα της επικράτειας ώστε το καθαρό κέρδος (όφελος-κόστος) να μεγιστοποιείται. Λύση Δεδομένα: Όφελος ar Κόστος be bπ r

23 Καθαρό κέρδος Όφελος-κόστος ar bπ r Η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης καθαρού κέρδους είναι η a a bπ r. Αυτή έχει ακρότατο όταν a bπ r 0 r. Το ακρότατο bπ είναι μέγιστο αν b>0 δεδομένου ότι η δεύτερη παράγωγος είναι ίση με bπ <0. 3) Αριστοποίηση απόδοσης ιχθυοκαλλιέργειας Έστω ότι ξεκινάμε την καλλιέργεια ενός είδους ψαριών σε κλειστές δεξαμενές με ελεγχόμενες συνθήκες. Η καλλιέργεια ξεκινά από γόνο που αγοράζουμε αντί Κα Ευρώ ανά άτομο. Το αρχικό βάρος κάθε ατόμου είναι W0. Τα ψάρια αυξάνουν το βάρος τους στο χρόνο mt σύμφωνα με τη σχέση W a ( W0 a) e ( ο χρόνος σε ημέρες, a,m t σταθερές). Το ημερήσιο κόστος εκτροφής ανά άτομο είναι Κε. Σε κάποια χρονική στιγμή t αλιεύουμε τα ψάρια και τα πουλάμε προς Ε Ευρώ το κιλό. Σε πόσες μέρες από την έναρξη της εκτροφής πρέπει να πουλήσουμε τα ψάρια για να επιτύχουμε μέγιστο καθαρό κέρδος;. Λύση mt Το κέρδος από την πώληση κάθε ψαριού είναι EW E( a ( W0 a) e ). Το συνολικό κόστος της καλλιέργειας για κάθε ψάρι είναι Ka Kt e. Το t 3

24 καθαρό κέρδος είναι E( a ( W0 a) e mt ) Ka Ket. Η πρώτη παράγωγος του καθαρού κέρδους είναι mt ( Ea ( ( Wae ) ) K Kt)' 0 meae mew e meae K mt mt mt 0 a e e. Στο ακρότατο η πρώτη παράγωγος μηδενίζεται άρα mt mew0e K e mew e K 0 mew e K e mt mt mt e 0 e 0 e mew0 K ln e K mew e 0 mt ln t mew0 m K 4

25 Ι.4. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Οι συναρτήσεις μίας μεταβλητής απεικονίζουν ένα υποσύνολο (που λέγεται πεδίο ορισμού) του συνόλου R των πραγματικών αριθμών σε ένα σύνολο (πεδίο) τιμών που επίσης είναι υποσύνολο του R. Γεωμετρικά ένα σημείο του άξονα των πραγματικών αριθμών απεικονίζεται σε ένα και μοναδικό σημείο του πεδίου τιμών. Η έννοια της συνάρτησης μπορεί να επεκταθεί έτσι ώστε να απεικονίσουνε ένα διατεταγμένο ζεύγος πραγματικών σε ένα και μοναδικό πραγματικό αριθμό. Μια τέτοια συνάρτηση είναι συνάρτηση δύο μεταβλητών. Γεωμετρικά το πεδίο ορισμού είναι υποσύνολο του επιπέδου. Αυτό απεικονίζεται μέσω της συνάρτησης σε ένα σημείο του άξονα των πραγματικών αριθμών. Αντίστοιχα, ορίζονται και συναρτήσεις πολλών μεταβλητών που εν γένη απεικονίζουν ένα n-διάστατο πραγματικό χώρο R n σε ένα σημείο του R. Συμβολισμοί Γενικά η απεικόνιση του R n στο R μέσω της συνάρτησης f συμβολίζεται ως R n f R. Με χρήση συμβόλων η συνάρτηση n μεταβλητών συμβολίζεται ως Y f x, x,... x ). Στην περίπτωση ( n συναρτήσεων δύο μεταβλητών έχει καθιερωθεί ο συμβολισμός Z f (, Y ) 5

26 Συναρτήσεις δύο μεταβλητών. Στο παρακάτω σχήμα παρουσιάζεται το γράφημα της συνάρτησης Z f (, Y ) Y. Η συνάρτηση αυτή είναι ορισμένη σε όλο το R Το γράφημα των συναρτήσεων δύο μεταβλητών είναι μια επιφάνεια που εμπεριέχεται σε χώρο 3 ων διαστάσεων που ορίζουν οι άξονες Χ,Υ,Ζ. Το γράφημα έχει παραχθεί με την βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή. Μπορούμε ωστόσο να πάρουμε μια ιδέα για την μορφή της επιφάνειας 6

27 παίρνοντας κάθετες τομές της σε συγκεκριμένα σημεία. Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι διατηρούμε σταθερή την τιμή της μίας από τις Y δύο μεταβλητές Χ,Υ και εξετάζουμε πώς μεταβάλλεται το Ζ ανάλογα με τη μεταβολή της άλλης μεταβλητής. Ανάγουμε δηλαδή το πρόβλημα στην μελέτη των συναρτήσεων μίας μεταβλητής. Στην περίπτωση της Z f (, Y ) Y εργαζόμαστε ως εξής: Έστω Χα σταθερά, τότε Z f ( a, Y ) Y a. Το γράφημα της τελευταίας συνάρτησης είναι παραβολή που έχει ελάχιστο στο σημείο Χα, Υ0, Ζ -α. Πράγματι, παρατηρήστε στο σχήμα ότι αν πάρω μια κάθετη τομή σε ένα σημείο του άξονα Χ θα δω μια παραβολή με τα 7

28 κοίλα προς τα πάνω. Επιπλέον, η τιμή Ζ του ελαχίστου εξαρτάται από το σημείο Χα που θα πάρω την τομή. Το -α είναι αρνητικό και αυξάνει συνεχώς όσο το α πλησιάζει στην αρχή των αξόνων όπου και μηδενίζεται. Έστω τώρα ότι Υα σταθερά, τότε Z f (, a) a. Το γράφημα της συνάρτησης είναι επίσης παραβολή που έχει όμως μέγιστο στο σημείο Χ0, Υα, Ζ α. Παρατηρήστε τις παραβολές στο σχήμα. Παρατηρήστε επίσης ότι η τιμή Ζ του μεγίστου εξαρτάται από το σημείο Υα που θα πάρω την τομή. Το α είναι θετικό και μειώνεται συνεχώς όσο το α πλησιάζει στην αρχή των αξόνων όπου και μηδενίζεται. Ένας άλλος τρόπος να μελετήσουμε μια συνάρτηση δύο μεταβλητών είναι να πάρουμε τομές κάθετες στο άξονα Ζ. Στο παραπάνω σχήμα παρουσιάζονται τομές της συνάρτησης για τιμές του Ζ μεταξύ -8 και 8. Για παράδειγμα αν θέσω Ζ τότε 4 Y Y 4 Y ± 4. Σε ένα διάγραμμα με άξονες Χ,Υ κατασκευάζω το γράφημα της τελευταίας αυτής συνάρτησης. Επαναλαμβάνω την διαδικασία και για τις υπόλοιπες τιμές του Ζ. Οι καμπύλες που σχηματίζονται ονομάζονται γενικά ισοσταθμικές καμπύλες (contour lines). Ειδικότερα στους τοπογραφικούς χάρτες οι καμπύλες αυτές ονομάζονται ισοϋψείς, στους κλιματικούς ισοθερμικές κλπ. 8

29 Z Λυμένη άσκηση. Μελετήστε την συνάρτηση Z f (, Y ) Y Λύση: Παίρνω τομές σε ύψος Ζα οπότε a Y Y ( a). Η τελευταία σχέση περιγράφει κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ίση με a. Είναι εύκολο να κατασκευαστούν οι ισοσταθμικές καμπύλες, μία για κάθε τιμή του α. Ένα παράδειγμα δίνεται στο επόμενο σχήμα (αριστερά) Y Y 9

30 Ι.4.. Ακρότατα συνάρτησης δύο μεταβλητών. Η έννοια της μερικής παραγώγου. Στις συναρτήσεις μίας μεταβλητής τύπου Υf(Χ) βρίσκουμε τα ακρότατα ως τις τιμές του Χ που μηδενίζουν την πρώτη παράγωγο της f. Αντίστοιχα, δουλεύομε και για τον εντοπισμό ακρότατων σε συναρτήσεις δύο μεταβλητών. Η διαφορά είναι ότι η τιμή της συνάρτησης Ζf(Χ,Υ) μεταβάλλεται ταυτόχρονα με την μεταβολή τόσο του Χ όσο και του Υ. Πώς μπορούμε άρα να υπολογίσουμε την παράγωγο της Ζ; Μπορούμε να υπολογίσουμε την παράγωγο της Ζ ως προς την μεταβολή μόνο του Χ. Αυτό γίνεται θεωρώντας το Υ σταθερό. Μπορούμε επίσης να υπολογίσουμε την παράγωγο της Ζ ως προς την μεταβολή του Υ (θεωρώντας τώρα το Χ σταθερό). Οι παράγωγοι αυτές ονομάζονται μερικές παράγωγοι της Ζ ως προς Χ και ως προς Υ αντίστοιχα. Για να διακρίνουμε μια μερική παράγωγο από την ολική Z παράγωγο χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό για την μερική ως Z προς Χ παράγωγο και για την μερική ως προς Υ παράγωγο. Y Λυμένη άσκηση Να υπολογίστε τις μερικές παραγώγους της συνάρτησης Z f (, Y ) Y και να βρείτε αν έχει ακρότατο. 30

31 3 Λύση Y Z 0 ) (, το Υ θεωρήθηκε σταθερά οπότε η παράγωγος του ως προς Χ είναι ίση με μηδέν. Y Y Y Y Z ) (, εδώ το Χ θεωρήθηκε σταθερά. Στο ακρότατο και οι δύο μερικές παράγωγοι πρέπει να ισούνται με μηδέν , 0 Y Y. Άρα υπάρχει ακρότατο στο σημείο Χ0,Υ0 και η τιμή του είναι 0 0,0) ( f Z. Επαληθεύστε με το διάγραμμα της συνάρτησης. Ι.4.. Μερικές παράγωγοι ανώτερης τάξης. Μπορούμε να υπολογίσουμε ανώτερης τάξης μερικές παραγώγους κατ αναλογία των παραγώγων ανώτερης τάξης των συναρτήσεων μιας μεταβλητής. Αν ), ( Y f Z μπορούμε να υπολογίσουμε 4 μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης τις Y Z Y Z Y Z Y Z και,,. Ένας άλλος συμβολισμός για τις παραπάνω μερικές παραγώγους είναι αντίστοιχα Y Z Y Z Y Z Z,, και

32 3 Λυμένη άσκηση Υπολογίστε όλες τις μερικές παραγώγους έως και δεύτερης τάξης της συνάρτησης Y Y Z. Λύση Η πρώτη μερική παράγωγος ως προς Χ είναι ) ( ) ( ) ( )' )( ( ) )'( ( Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Z ως προς Υ είναι ) ( ) ( ) )( ( ) ( )' )( ( ) ( )' ( Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Z Οι παράγωγοι δεύτερης τάξης είναι: 3 4 ) ( 4 ) ( ) ( 4 ) ( ) ( Y Y Y Y Y Y Y Z 3 4 ) ( 4 ) ( ) )( ( 4 ) ( ) ( Y Y Y Y Y Y Z Y 3 4 ) ( ) ( ) ( 4 ) ( ) ( ) ( Y Y Y Y Y Y Y Z

33 ) ( ) ( ) ( 4 ) ( ) ( ) ( Y Y Y Y Y Y Y Y Y Z Y παρατηρήστε ότι Y Z Y Z. Αυτό ισχύει για τις περισσότερες συναρτήσεις δύο μεταβλητών. Οι μαθηματικοί έχουν όμως βρει συναρτήσεις για τις οποίες η παραπάνω ισότητα δεν ισχύει.

34 Ι.5. Αόριστο ολοκλήρωμα Θυμηθείτε ότι Η ολοκλήρωση είναι αντίστροφη διαδικασία της παραγώγισης δηλαδή d d ( f ( ) d ) f ( ) Ολοκληρώνονται τα διαφορικά των συναρτήσεων δηλαδή αν f() μια συνάρτηση, μπορούμε να βρούμε το ολοκλήρωμα του διαφορικού της που είναι f()d Κανόνες ολοκλήρωσης Προκύπτουν με αντιστροφή των κανόνων παραγώγισης Κανόνας παραγώγισης Κανόνας ολοκλήρωσης f ( x) f ( x) ( )' f '( x) e f ( x) f ( x) e f '( x) e dx e c ( ) n n n n f ( x) )' nf '( x) f ( x) nf '( x) f ( x) dx f ( x c ( ln( ( x) )' f '( x) / f ( x) f f '( x) / f ( x) dx ln( f ( x)) c f '( g( x)) f ( g( x)) g'( x) f ( g( x)) g'( x) dx f ( g( x)) c 34

35 ( f ( x) g( x) )' f ( x) g'( x) f '( x) g( x) ( f ( x) g'( x) f ( x) g( x) c f '( x) g( x)) dx.6. Το ανάπτυγμα Taylor Έστω συνάρτηση f(x) συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β] με συνεχείς παραγώγους έως και n- τάξεως στο [α,β] και υπάρχει η παράγωγος n τάξεως της f στο ανοιχτό διάστημα (α,β). Αποδεικνύεται (θεώρημα του Taylor) ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο ξ στο (α,β) τέτοιο ώστε: f ''( α) f( β) f( α) f '( α)( β α) ( β α)...! ( n) ( n) f ( α) n f ( ξ) ( β α) ( β α) ( n)! n! n όπου n! n( n )! 3 n Παρατηρήστε ότι για n ο τύπος του Taylor γίνεται f( β ) f( α) f '( ξ)( β α) (θεώρημα μέσης τιμής) Ο τελευταίος όρος R n ( n f ) ( ξ ) ( ) n β α λέγεται υπόλοιπο. n! Μια από τις κύριες χρήσης του τύπου του Taylor είναι η δυνατότητα να προσεγγίσουμε μια συνάρτηση f(x) (με συνεχείς παραγώγους έως 35

36 και n- τάξεως σε ένα διάστημα) με ένα πολυώνυμο βαθμού n- (πολυώνυμο Taylor). Στην περίπτωση αυτή το υπόλοιπο ονομάζεται σφάλμα (της προσέγγισης). Αν στον τύπο του Taylor θέσουμε α0, β χ τότε έχουμε ( n) ( n) f ''(0) f (0) n f ( ξ ) n f( χ) f(0) f '(0) χ χ... χ χ! ( n)! n! Ο τελευταίος αυτός τύπος ονομάζεται τύπος ή ανάπτυγμα Mac-Laurin. Για τυχόντα χ, χh του διαστήματος (α,β) ο τύπος του Taylor παίρνει τη μορφή ( n) ( n) f ''( x) f ( x) n f ( ξ ) f ( x h) f ( x) f '( xh ) h... h h! ( n)! n! n Παρατηρήστε ότι αν το h είναι πολύ μικρός αριθμός (πολύ κοντά στο μηδέν) οι ανώτεροι πολυωνυμικοί όροι συμμετέχουν ελάχιστα στην εκτίμηση της τιμής f(xh). Οι ανώτεροι πολυωνυμικοί όροι μπορούν άρα να παραληφθούν χωρίς μεγάλο σφάλμα. Για μικρά h δεχόμαστε άρα ότι: f ( x h) f ( x) f '( xh ) όπου f '( x ) η τιμή της παραγώγου της f στο σημείο x. Αναπτύγματα μερικών στοιχειωδών συναρτήσεων σε πολυωνυμικές σειρές Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε την τιμή του ημιτόνου του δηλαδή την τιμή sin(x). Το ημίτονο έχει συνεχείς παραγώγους όλων των τάξεων για κάθε διάστημα τιμών Χ. Είναι επίσης γνωστή η τιμή 36

37 του στο σημείο Χ 0. Αναπτύσσουμε το ημίτονο σε σειρά Taylor γύρω από το Χ0 Μας συμφέρει για τους υπολογισμούς να αναπτύξουμε γύρω από το Χ0 γιατί οι τιμές όλων των παραγώγων οποιασδήποτε τάξης στο σημείο Χ0 είναι γνωστές και επιπλέον πολλές από αυτές τιμές είναι επίσης μηδέν. 3 x x sin(0 x) sin(0) sin'(0) x sin''(0) sin'''(0)... 3 Μετά από λίγες αντικαταστάσεις έχουμε τελικά n x x x n x sin( x) x... ( )... 3! 5! 7! (n )! ομοίως 4 6 n x x x n x cos( x)... ( )...! 4! 6! ( n)! και e 3 4 n x x x x x x......! 3! 4! n! Για χ κοντά στο μηδέν ισχύουν οι παρακάτω προσεγγίσεις x sin( x) x, cos( x), tan( x) x x ( ) n x x nx, ( x) n 37

38 Άσκηση: με βάση τα παραπάνω τρία αναπτύγματα αποδείξτε τον τύπο του Euler e bi cos b i sin b Ανάπτυγμα Taylor συναρτήσεων δύο μεταβλητών Για συναρτήσεις δύο μεταβλητών, ο γραμμικός όρος του αναπτύγματος Taylor έχει τη μορφή: f f f ( x h, y h ) f( x, y ) h x, y h x, y x y f όπου x0, y0 x f και x0, y0 οι τιμές της μερικής παραγώγου της f ως y προς x και y αντίστοιχα στο σημείο x0, y0. 38

39 Κεφάλαιο ΙΙ. Πίνακες πραγματικών αριθμών. ΙΙ.. Ορισμοί και πράξεις πινάκων Ορισμοί Με τον όρο πίνακας (Matrix πληθ. Matrices) δηλώνουμε μια ορθογώνια διάταξη στοιχείων σε Μ γραμμές και Ν στήλες. Τα στοιχεία αυτά μπορεί να είναι αριθμοί, μεταβλητές, συναρτήσεις, κ.λ.π. 5 0 Ο πίνακας A είναι ένας πίνακας με δύο σειρές και τρεις στήλες. Είναι ένας πίνακας πραγματικών αριθμών αφού όλα τα στοιχεία του είναι πραγματικοί. Μπορούμε να αναφερθούμε σε ένα στοιχείο του πίνακα ορίζοντας την σειρά και τη στήλη που απαντά ως διατεταγμένο ζεύγος (αριθμός σειράς, αριθμός στήλης). Για τον παραπάνω πίνακα μπορούμε να γράψουμε ότι α3-6. Ο αριθμός των στηλών και των σειρών ενός πίνακα ονομάζονται διαστάσεις. Ο πίνακας Α είναι ένας πίνακας διάστασης Χ3. Για να δηλώσουμε τις διαστάσεις ενός πίνακα χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό Αm,n όπου m ο αριθμός σειρών και n ο αριθμός στηλών του πίνακα Α Οι πίνακες που αποτελούνται από μία μόνο σειρά ή μόνο μία στήλη ονομάζονται διανύσματα (Vectors). Ο πίνακας β ( 0 9) είναι a ένα διάνυσμα σειρά διάστασης Χ3 και ο πίνακας κ είναι ένα b διάνυσμα στήλη διάστασης Χ Μια ειδική κατηγορία πινάκων είναι οι τετραγωνικοί, δηλαδή οι πίνακες διάστασης nχn με τους οποίους θα ασχοληθούμε ιδιαίτερα. 39

40 Συμβολισμοί Οι πίνακες θα συμβολίζονται με κεφαλαία λατινικά στοιχεία και έντονη γραφή π.χ. D, τα διανύσματα με πεζά Ελληνικά γράμματα και έντονη γραφή π.χ. ξ και τα στοιχεία ενός πίνακα με μικρά λατινικά και δείκτες που ο πρώτος δηλώνει τη σειρά και ο δεύτερος τη στήλη π.χ. d6 για το στοιχείο της πρώτης γραμμής, έκτης στήλης ενός πίνακα D Άλγεβρα πινάκων : Ορίζονται για τους πίνακες η έννοια της ισότητας και όλες οι πράξεις που γνωρίζουμε πλην της διαίρεσης. Ισότητα πινάκων: Δύο πίνακες είναι ίσοι αν έχουν ίδιες διαστάσεις και τα στοιχεία τους είναι ένα προς ένα ίσα. Έστω οι πίνακες 5 0 a b c A και B. Για να είναι ΑΒ πρέπει d e f (δεδομένου ότι έχουν ίδια διάσταση) να ισχύει ότι a, b5, c0, d3.6, e7 και f-6 Πρόσθεση (αφαίρεση) πινάκων. Απαραίτητη προϋπόθεση για να γίνει η πρόσθεση είναι οι δύο προσθετέοι πίνακες να έχουν ίδια διάσταση. Το αποτέλεσμα είναι ένας νέος πίνακας διάσταση ίδιας με τον κάθε προσθετέο και στοιχεία ίσα με το άθροισμα των αντιστοίχων στοιχείων των προσθετέων. Το ουδέτερο στοιχείο για την πρόσθεση πινάκων ονομάζεται μηδενικός πίνακας και είναι ένας πίνακας με όλα του τα στοιχεία μηδενικά Για παράδειγμα αν 5 0 A και B Τότε ΑΒ C

41 Αν α,b είναι πραγματικοί αριθμοί ισχύει ότι: ΑΒΒΑ, Α0Α, (Α(- Α))0, Α(ΒC)(AB)C, (ab)aaaba, a(ab)aaab Πολλαπλασιασμός αριθμού επί πίνακα Το γινόμενο λα όπου λ πραγματικός αριθμός είναι πίνακας Β ίδιας διάστασης με τον Α και με όλα τα στοιχεία του να είναι τα λ-πλάσια των στοιχείων του Α. Για παράδειγμα αν A 3A Πολλαπλασιασμός Διανυσμάτων Μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε ένα διάνυσμα στήλη επί ένα διάνυσμα γραμμή ή ένα διάνυσμα γραμμή επί ένα διάνυσμα στήλη, όταν και μόνο όταν έχουν τον ίδιο αριθμό στοιχείων. Το γινόμενο είναι ένας αριθμός που προκύπτει ως το άθροισμα των γινομένων των αντίστοιχων στοιχείων. Παράδειγμα 6 ( 3 5 ) ( ) 6 Πολλαπλασιασμός πινάκων Ο πολλαπλασιασμός πινάκων παρουσιάζει την ιδιομορφία ότι ΑΒ ΒΑ, η σειρά με την οποία πολλαπλασιάζουμε πίνακες έχει δηλαδή σημασία. Το γινόμενο ΑΒ ορίζεται μόνο όταν οι στήλες του Α είναι ίσες με τις γραμμές του Β. Το αποτέλεσμα είναι ένας πίνακας με γραμμές όσες οι γραμμές του Α και στήλες όσες οι στήλες του Β Οι πολλαπλασιασμοί Αm,n Βn,k, Αm,n Bn, είναι εφικτοί ενώ ο πολλαπλασιασμός Bn,k Αm,n δεν μπορεί να γίνει. 4

42 0 3 0 Για παράδειγμα αν A και B 0 ορίζεται το γινόμενο 5 ΒΑ ως πίνακας C με 3 γραμμές και στήλες ενώ το γινόμενο ΑΒ δεν ορίζεται. Η διαδικασία του πολλαπλασιασμού έχει ως εξής: Αρχίζουμε με την πρώτη γραμμή του πρώτου πίνακα και την πολλαπλασιάζουμε με την πρώτη στήλη του δεύτερου πίνακα (πολλαπλασιασμός διανυσμάτων). Το αποτέλεσμα είναι ένας αριθμός που τοποθετείται στον πίνακα του γινομένου σε γραμμή ίδια με την γραμμή του πρώτου πίνακα και στήλη ίδια με την στήλη του δεύτερου πίνακα. Για τους δοθέντες πίνακες Β και Α, βρίσκουμε ότι το στοιχείο C του γινομένου ΒΑ είναι ίσο με (-3)0()-6. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία για όλους τους συνδυασμούς γραμμών του πρώτου πίνακα και στηλών του δεύτερου συμπληρώνοντας έτσι όλα τα στοιχεία του γινομένου. Στο παράδειγμά μας 0 ( 3) AB 0 0( 3) ( ) 0 0 ( ) 5 ( 3) Τετραγωνικοί πίνακες Οι τετραγωνικοί πίνακες έχουν ιδιαίτερο ρόλο στην άλγεβρα των πινάκων. Ονομάζουμε κύρια διαγώνιο ενός τετραγωνικού πίνακα Αn,n το σύνολο των στοιχείων που βρίσκονται πάνω στη διαγώνιο του νοητού τετραγώνου που σχηματίζει ο πίνακας και ξεκινά από το στοιχείο a και καταλήγει στο στοιχείο ann Τα στοιχεία τη κύριας διαγωνίου ενός πίνακα μπορούμε να τα συμβολίσουμε ως aii i,, n Ένας τετραγωνικός πίνακας με όλα τα στοιχεία του να είναι 0 εκτός από τουλάχιστον ένα στοιχείο της κύριας διαγωνίου λέγεται διαγώνιος πίνακας. Ένας διαγώνιος πίνακας με όλα τα στοιχεία της κύρια διαγωνίου ίσα με τη μονάδα λέγεται ταυτοτικός πίνακας και συμβολίζεται με το γράμμα Ι. Ο ταυτοτικός πίνακας είναι το ουδέτερο στοιχείο για τον πολλαπλασιασμό των τετραγωνικών πινάκων. 4

43 Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού πινάκων Αν α,b είναι πραγματικοί αριθμοί και ορίζεται ο πολλαπλασιασμός πινάκων τότε: Α(BC)(AB)C A(BC)ABAC (BC)ABACA AIIAA (aa)(bb)(ab)ab Αντιστροφή πίνακα και ορίζουσες Ένας τετραγωνικός πίνακας Β ο οποίος δοθέντος ενός πίνακα Α ίδιας διάστασης επαληθεύει τη σχέση ΑΒΒΑΙ λέγεται αντίστροφος του Α και συμβολίζεται ως Α - Ένας μη τετραγωνικός πίνακας δεν μπορεί να αντιστραφεί. Η αντιστροφή ενός τετραγωνικού πίνακα δεν είναι πάντα εφικτή. Η ίδια η διαδικασία της αντιστροφής είναι ιδιαίτερα χρονοβόρα και απαιτεί πλήθος πράξεων. Στην περίπτωση πινάκων Χ είναι όμως εφικτή και μάλιστα μπορούμε να βρούμε ένα σχετικά απλό τύπο που δίνει τον αντίστροφο οποιουδήποτε πίνακα Χ εάν βέβαια υπάρχει αντίστροφος. a b Έστω Α. Υποθέτουμε ότι υπάρχει ο αντίστροφος c d - e f Α. Θέλουμε να υπολογίσουμε τα e,f,g,h από τα γνωστά g h a,b,c,d. Ισχύει ότι a c b e d g f h 0 0 ae bg ce dg af cf bh dh

44 Από την τελευταία ισότητα προκύπτει ότι aebg, afbh0, cedg0, cfdh Πρέπει άρα να λύσουμε ένα σύστημα 4 εξισώσεων με 4 αγνώστους για να βρούμε τον αντίστροφο ενός πίνακα Χ. Αν υπάρχει λύση του συστήματος τότε υπάρχει και ο αντίστροφος. Το παραπάνω σύστημα λύνεται σχετικά εύκολα (κάτι που δεν ισχύει για ένα πίνακα 0Χ0 ας πούμε) αλλά μίας και το έχουν ήδη λύσει οι μαθηματικοί ιδού το αποτέλεσμα ed/(ad-bc), f-b/(ad-bc), g-c/(ad-bc), ha/(ad-bc) οπότε ο αντίστροφος του Α είναι ο A d ad bc c b a δηλαδή παίρνω τον πίνακα Α, αντιμεταθέτω τα δύο στοιχεία της κύριας διαγωνίου, πολλαπλασιάζω τα στοιχεία της άλλης διαγωνίου με -, πολλαπλασιάζω τον πίνακα που προκύπτει με τον πραγματικό αριθμό /(ad-bc) και αν όλα πάνε καλά, έχω τον αντίστροφο έτοιμο για χρήση. Αυτό που μπορεί να μην πάει καλά είναι η διαίρεση /(ad-bc). Ο αριθμός ad-bc λέγεται ορίζουσα του πίνακα Α και αν είναι ίση με το μηδέν ο πίνακας δεν αντιστρέφεται. Η ορίζουσα ενός πίνακα Χ υπολογίζεται άρα ως η διαφορά: γινόμενο στοιχείων της κύριας διαγωνίου μείον γινόμενο στοιχείων της άλλης διαγωνίου. Ο συμβολισμός της ορίζουσας μοιάζει με τον συμβολισμό της απολύτου a b τιμής πραγματικού αριθμού, δηλαδή γράφουμε A. Η ορίζουσα c d ενός πίνακα πραγματικών αριθμών είναι ένας πραγματικός αριθμός. Χρήση του αντιστρόφου στη λύση συστημάτων Έστω ένα σύστημα ν εξισώσεων με ν αγνώστους. Ένα τέτοιο σύστημα μπορεί να διατυπωθεί στη γλώσσα των πινάκων ώς Αχξ, όπου Α ένας πίνακας που περιέχει τους συντελεστές των αγνώστων, χ ένα 44

45 διάνυσμα στήλη με τους αγνώστους και ξ ένα διάνυσμα στήλη με τις σταθερές. Για παράδειγμα το σύστημα 3Χ5Υ3, -ΧΥ5 γράφεται ως Y 5 Θέλουμε να βρούμε τις τιμές των αγνώστων δηλαδή να λύσουμε ως προς το διάνυσμα χ. Κάνουμε τις παρακάτω πράξεις (πινάκων) ακολουθώντας την ίδια λογική που χρησιμοποιούμε για την λύση εξισώσεων πρώτου βαθμού. Αχξ Y 5 Η ορίζουσα του Α είναι ίση με Α - ΑχΑ - ξ ΙχΑ - ξ χα - ξ Y Y Y , Y Y 8 Για να λύσω δηλαδή το σύστημα πολλαπλασιάζω τον αντίστροφο του πίνακα των συντελεστών των αγνώστων (εφόσον υπάρχει ο αντίστροφος) επί το διάνυσμα των σταθερών. Δεν λύνονται όλα τα συστήματα. Δεν υπάρχει λύση συστήματος ν εξισώσεων με ν- αγνώστους. Αυτό σχετίζεται με την αδυναμία αντιστροφής μη τετραγωνικών πινάκων. Αλλά και όταν ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων δεν υπάρχει 45

46 εγγύηση για την ύπαρξη λύσης. Μια περίπτωση είναι η μια από τις εξισώσεις να είναι απλό πολλαπλάσιο μιας από τις άλλες. Τότε η ορίζουσα του πίνακα συντελεστών είναι ίση με μηδέν a b akb kab 0 ka kb Ομογενές σύστημα Το σύστημα εξισώσεων Αχ0 όπου 0 το μηδενικό διάνυσμα ονομάζεται ομογενές σύστημα. Και ένα χρήσιμο θεώρημα: Αν σε ομογενές σύστημα με πίνακα συντελεστών Α ισχύει ότι A 0 του σύστημα έχει μοναδική λύση την μηδενική. ΙΙ.. Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Χαρακτηριστική εξίσωση, ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα τετραγωνικού πίνακα. 3 Έστω πίνακας A και το διάνυσμα στήλη x Ax Παρατηρήστε ότι το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού είναι ένα διάνυσμα στήλη που δεν έχει καμιά σχέση με το αρχικό διάνυσμα χ. Το πρώτο στοιχείο του χ πολλαπλασιάστηκε με ένα συντελεστή 4/3 ενώ το δεύτερο με συντελεστή 3. Αν πολλαπλασιάσουμε όμως τον Α με το διάνυσμα ξ έχουμε Αξ 4 ( ) 4 ( ) λξ, 46

47 με λ- Στον πολλαπλασιασμό αυτό, το αποτέλεσμα είναι πολλαπλάσιο του αρχικού διανύσματος. Ένα τέτοιο διάνυσμα που πολλαπλασιαζόμενο από τα δεξιά με ένα τετραγωνικό πίνακα Α δίνει ως αποτέλεσμα ένα απλό πολλαπλάσιο του εαυτού του λέγεται ιδιοδιάνυσμα του πίνακα Α (eigenvector από τη Γερμανική λέξη Eigen). Ο αριθμός λ με τον οποίο πολλαπλασιάζεται το αρχικό διάνυσμα ξ (- στο παράδειγμα) λέγεται ιδιοτιμή (eigenvalue) του πίνακα Α. Παρατηρήστε ότι η ιδιοτιμή (ένας αριθμός) αντικαθιστά τον πίνακα Α στον πολλαπλασιασμό του με το ιδιοδιάνυσμα. Παρατηρήστε επίσης ότι κάθε πολλαπλάσιο του ιδιοδιανύσματος ξ είναι επίσης ιδιοδιάνυσμα του Α αφού Α(κξ)λ(κξ) για κάθε πραγματικό αριθμό κ. Δοκιμάστε για παράδειγμα με κ, δηλαδή το διάνυσμα η. Υπάρχει συνεπώς μια οικογένεια άπειρων ιδιο-διανυσμάτων που πολλαπλασιαζόμενα από δεξιά με τον πίνακα Α δίνουν ως αποτέλεσμα τον εαυτό τους πολλαπλασιασμένο με την ιδιοτιμή λ. Για κάθε δεδομένο πίνακα Αn,n υπάρχουν n το πολύ ιδιοτιμές λ C και για κάθε ιδιοτιμή μια οικογένεια ιδιοδιανυσμάτων ξ με στοιχεία ξ,ξ,...ξν C τέτοια ώστε Αξλξ Μέθοδος εύρεσης ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων Δοθέντος τετραγωνικού πίνακα Χn,n αναζητούμε λ C και αντίστοιχα διανύσματα ξ ώστε να ισχύει Χξλξ. Τα λ και ξ οφείλουν να επαληθεύουν την ισότητα Χξλξ, οπότε: Χξλξ0, όπου Χξ είναι διάνυσμα στήλη και το λξ επίσης, με μηδέν συμβολίζουμε διάνυσμα στήλη με όλα τα στοιχεία μηδενικά. Το διάνυσμα ξ είναι κοινός παράγοντας στον πολλαπλασιασμό από τα δεξιά, οπότε ισχύει ότι: 47

48 48 (Χ-λΙ)ξ0, παρατηρήστε ότι ο Χ είναι πίνακας διάστασης n,n ενώ το λ είναι αριθμός. Για να γίνεται η αφαίρεση (Χ-λ) πολλαπλασιάζουμε το λ με τον ταυτοτικό πίνακα Ιn,n (πίνακα μονάδα). Το αποτέλεσμα της αφαίρεσης είναι πίνακας διάστασης n,n που πολλαπλασιαζόμενος επί το διάνυσμα ξ δίνει διάνυσμα διάστασης,n που εξισώνεται με το μηδενικό διάνυσμα διάστασης,n. Καταλήξαμε ότι η σχέση που συνδέει τα ζητούμενα λ,ξ με τον Χ είναι η (Χ-λΙ)ξ0. Η σχέση αυτή παριστά ομογενές σύστημα n εξισώσεων ως προς ξ. Αν 0 λι τότε το σύστημα έχει την μοναδική λύση ξ0. Η λύση όμως αυτή δεν προσφέρεται ως ιδιοδιάνυσμα. Ένα μηδενικό διάνυσμα πολλαπλασιαζόμενο με οποιονδήποτε τετραγωνικό πίνακα αναπαράγει τον εαυτό του, άρα δεν μπορεί να χαρακτηρίσει με μοναδικό τρόπο κάποιον από τους άπειρους δυνατούς τετραγωνικούς πίνακες. Η μηδενική λύση είναι τετριμμένη. Για να υπάρχουν μη μηδενικές λύσεις η μόνη δυνατότητα είναι να γίνει η ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων ίση με μηδέν. Τότε το σύστημα θα γίνει απροσδιόριστο, θα έχει δηλαδή άπειρες λύσεις. Παρατηρήστε επίσης ότι η ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων στο παραπάνω σύστημα είναι συνάρτηση του λ. Συνεπώς υπάρχουν ορισμένες μόνο τιμές λ που μηδενίζουν την ορίζουσα. Αν βρούμε αυτές τις τιμές έχουμε υπολογίσει τις ιδιοτιμές του πίνακα. Αναλυτικά, αυτά που είπαμε παραπάνω και χρησιμοποιώντας τον πίνακα 4 έχουν ως εξής: Ι ) ( ξ ξ λ λ ξ ξ λ ξ λ 4 ξ ξ λ λ

49 49 Ι 0 0 ) ( 4 ) ( ) ( ξ λ ξ ξ ξ λ ξ ξ λ λ ξ λ (-λ)ξξ0 και 4ξ(-λ)ξ0 Η προφανής λύση ξ0,ξ0 είναι ανεξάρτητη του λ και του Χ. Το παραπάνω σύστημα έχει μη μηδενικές λύσεις όταν 0 λι. Η ορίζουσα αυτή παριστά εξίσωση ου βαθμού ως προς λ που ονομάζεται χαρακτηριστική εξίσωση του πίνακα Χ. Οι λύσεις αυτής της εξίσωσης είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα Χ. Για τον δοθέντα πίνακα Χ θα έχουμε 0 ( )( ) 4 0 ( ) 0 4 ( )( ) 0 λ λ λ λ λ λ λ λ- και λ3. Αυτές είναι οι δύο ζητούμενες ιδιοτιμές. Κάθε μία από αυτές τις ιδιοτιμές κάνει το αρχικό σύστημα απροσδιόριστο. Για παράδειγμα αν χρησιμοποιήσω την λ- έχω ) ( 4 ) ( ξ ξ ξ ξ ξ ξ οπότε ξξ0 και 4ξξ0. Υπάρχουν άρα άπειρες λύσεις που ικανοποιούν το σύστημα. Μια από αυτές είναι η ξ και ξ-ξ-. Μπορώ να βρω και άλλες λύσεις θέτοντας αυθαίρετα μια τιμή για το ξ και υπολογίζοντας την αντίστοιχη τιμή για το ξ. Παρατηρήστε όμως ότι όλες αυτές οι λύσεις είναι πολλαπλάσια της αρχικής. Συνεπώς το ιδιοδιάνυσμα που σχετίζεται με την ιδιοτιμή λ- είναι το ξ, δηλαδή αυτό που χρησιμοποιήσαμε στην αρχή της παραγράφου, και κάθε διάνυσμα κξ με κ πραγματικό αριθμό. Με τον

50 ίδιο τρόπο βρίσκουμε ότι για την ιδιοτιμή λ3 το ιδιοδιάνυσμα είναι το η και κάθε διάνυσμα κη με κ πραγματικό αριθμό. Λυμένες ασκήσεις Να βρεθούν οι ιδιοτιμές αι τα ιδιοδιανύσματα των πινάκων 3 a b 8 i), ii), iii) και b a Λύση 0 iv) a a 0 3λ i) 0 ( 3 λ) ( λ) 0 3 3λ λ λ 0 λ 4± 6 8 4± 6 λ 4λ 0 λ λ λ 6, λ 6. Για την πρώτη ιδιοτιμή το σύστημα των εξισώσεων που δίνει το 3 ( 6) ξ 0 συνοδεύον ιδιοδιάνυσμα είναι ( 6) ξ. 0 Χρησιμοποιούμε την μία απο τις δύο εξισώσεις για να βρούμε το ιδιοδιάνυσμα, έστω την πρώτη. ( 3 ( 6)) ξ ξ 0. Η εξίσωση αυτή έχει ως αναμενόταν άπειρες λύσεις. Μία από αυτές βρίσκεται αν 5 6 θέσουμε αυθαίρετα ξ ( 5 6) ξ 0 ξ. Το ιδιοδιάνυσμα είναι τοξ 5 6 και κάθε πολλαπλάσιο του. Για 3 ( 6) ξ 0 την δεύτερη ιδιοτιμή ( 6) ξ. Από την 0 50

51 πρώτη εξίσωση ( 5 6)) ξ ξ 0. Θέτοντας αυθαίρετα 5 6 ξ ( 5 6) ξ 0 ξ. Το ιδιοδιάνυσμα είναι τοξ 5 6 a λ b ii) 0 b a λ ( α λb)( α λ b) 0 ( α λ) b 0 λ a b, λ a b. Για την πρώτη ιδιοτιμή a a b b ξ 0. bξ bξ 0 ξ ξ 0. Αν b a a b ξ 0 ξ ξ aab b ξ 0 Για την δεύτερη ιδιοτιμή b a a b ξ. 0 bξ bξ 0 ξ ξ 0. Αν ξ ξ. Παρατηρήστε ότι αν και οι ιδιοτιμές διαφέρουν υπάρχει ένα μόνο ιδιοδιάνυσμα το ξ. λ 8 ιιι) 0 ( λ)( λ) 0 8 λ λ λ 0 ± λ i i λ, λ λ λ Για τα ιδιοδιανύσματα ισχύει 5

52 λ 8 ξ 0 ( λξ ) ξ 0. ξ 0 λ 8 Αν ξ ( ) λ λ ξ 0 ξ 8( λ) 8 8 i i Για την πρώτη ιδιοτιμή ξ 8( ) 8( ) 4( i) και για την δεύτερη αντίστοιχα βρίσκουμε ότι ξ 4( i) 0 λ a iv) 0 λ α 0 λ ± α λ i a, λ i a a 0 λ λ a ξ 0 λ λξ αξ 0. Ανξ λ αξ 0 ξ. Για a λ ξ 0 α την πρώτη ιδιοτιμή το ιδιοδιάνυσμα είναι το ξ i α και για τη a δεύτερη ξ i α. a Ασκήσεις: 3 ) Για ποιες τιμές του μ οι ιδιοτιμές του πίνακα A είναι α) µ πραγματικές αρνητικές, β) μιγαδικές με αρνητικό πραγματικό μέρος γ) φανταστικές ) Για ποιες τιμές του μ οι ιδιοτιμές του πίνακα μιγαδικές. µ A είναι µ 3 5

53 0 α 3) Να δείξετε ότι κάθε πίνακας της μορφής A με α 0 έχει α 0 0 φανταστικές ιδιοτιμές. Έστω ο πίνακας A και διάνυσμα 0 ξ0. Να βρείτε τα διανύσματα ξ Αξ0, ξ Αξ, ξ3 Αξ, ξ4 Α ξ3. Αναπαραστήστε σε άξονες τα διανύσματα ξ0, ξ, ξ, ξ3, ξ 4. Τι παρατηρείτε; IΙ.3. Παραδείγματα εφαρμογής των πινάκων. Παράδειγμα ο Ο καιρός στη χώρα του Οζ. Το παράδειγμα αυτό αναφέρεται στο βιβλίο των J.G. Kemeny & J. Laurie Snell (976): Finite Markov Chains. Springer-Verlag Στη χώρα του Οζ επικρατεί ένα μάλλον περίεργο κλίμα. Δεν υπάρχει περίπτωση να έχουν αίθριο καιρό για δύο συνεχόμενες μέρες. Αν μια μέρα ο καιρός είναι αίθριος την επόμενη ή θα βρέχει ή θα χιονίζει, ενδεχόμενα που είναι ισοπίθανα. Αν βρέξει μια μέρα, θα βρέχει και την επόμενη στις μισές των περιπτώσεων. Το ίδιο συμβαίνει μετά από μια μέρα με χιόνι. Αν μετά από βροχή αλλάξει ο καιρός, τότε στις μισές των περιπτώσεων αλλαγής ο καιρός θα είναι αίθριος. Το ίδιο συμβαίνει μετά από μια μέρα με χιόνι. Η παραπάνω λεκτική περιγραφή δίνει όλα τα στοιχεία που χρειάζονται για την κατανόηση των καιρικών μεταβολών στη χώρα 53

54 του Οζ. Μια ισοδύναμη μαθηματική περιγραφή προκύπτει αν τοποθετήσουμε τα δεδομένα σε πίνακα. Μπορούμε να ακολουθήσουμε τα παρακάτω βήματα: Βήμα ο: Διακρίνουμε τις πιθανές καταστάσεις του φαινομένου προς περιγραφή. Στο παράδειγμά μας υπάρχουν 3 καταστάσεις διακριτές μεταξύ τους Βροχή (συμβολικά Β), Χιόνι (συμβολικά Χ), Αίθριος καιρός (συμβολικά Α). Βήμα ο: Σχηματίζουμε τετραγωνικό πίνακα με αριθμό στηλών (και γραμμών) όσες και οι καταστάσεις. Στο παράδειγμα μας ένα πίνακα P3,3 Βήμα 3 ο : Συμβατικά ορίζουμε ως είσοδο στον πίνακα τις στήλες και ως έξοδο από τον πίνακα τις γραμμές του. Αν αποφασίσουμε να τηρούμε πάντα αυτή τη σύμβαση το βήμα αυτό μπορεί να παραληφθεί κάτι που θα κάνουμε στα επόμενα παραδείγματα. Να τονίσουμε εδώ ότι στη βιβλιογραφία ενδέχεται να συναντήσουμε την εντελώς αντίθετη περίπτωση (Είσοδος οι γραμμές και έξοδος οι στήλες). Το αποτέλεσμα είναι το ίδιο αρκεί να τηρούμε πάντα τον ίδιο κανόνα. Βήμα 4 ο : Σε κάθε κελί j,i του πίνακα τοποθετούμε την πιθανότητα να μεταβούμε από μια κατάσταση Α που δηλώνεται από τη στήλη i του πίνακα σε μια κατάσταση Β που δηλώνεται από τη γραμμή j του πίνακα. Αν στο παράδειγμα μας ο πίνακας P έχει τη μορφή, 54

55 B A B p p p P A p p p 3 3 p p p το στοιχείο p θα είναι η πιθανότητα να μεταβούμε από μια βροχερή μέρα σε βροχερή μέρα που σύμφωνα με την λεκτική περιγραφή είναι ίση με ½. Αντίστοιχα το στοιχείο p3 θα έχει τιμή ¼ καθώς η αλλαγή καιρού μετά από μια βροχερή μέρα συμβαίνει στις μισές των περιπτώσεων και από αυτές τις περιπτώσεις μόνο στις μισές θα χιονίσει. Στις άλλες μισές θα έχουμε αίθριο καιρό. Αν συμπληρώσουμε όλα τα στοιχεία ο πίνακας θα έχει τη μορφή B P A B A / / /4 /4 0 /4 /4 / / Μερικές γενικές παρατηρήσεις με αφορμή το παράδειγμα: Ορισμός Ι: Ένας πίνακας σαν τον P που περιλαμβάνει πιθανότητες (ή άλλου τύπου δεδομένα) μετάβασης μεταξύ των πιθανών καταστάσεων που εκδηλώνει ένα φαινόμενο θα λέγεται πίνακας μετάβασης. 55

56 Ορισμός ΙΙ: Ένας πίνακας μετάβασης στον οποίο το άθροισμα των στοιχείων κάθε στήλης ισούται με την μονάδα θα λέγεται στοχαστικός πίνακας μετάβασης. Ο πίνακας P είναι στοχαστικός. Παρατήρηση: Ο καιρός στη χώρα του Οζ έχει την ιδιομορφία ότι η κατάσταση του μια ορισμένη ημέρα επηρεάζεται αποκλειστικά και μόνο από την κατάστασή του την αμέσως προηγούμενη μέρα. Ο καιρός στη δικιά μας χώρα (και σε κάθε χώρα του πλανήτη) δεν έχει την ίδια συμπεριφορά. Υπάρχει αντίθετα υψηλή συσχέτιση του σημερινού καιρού με τον καιρό που είχαμε τις προηγούμενες μέρες της εβδομάδας. Αν το θέσουμε κάπως διαφορετικά ο καιρός στη χώρα του Οζ δεν έχει ιστορία ή δεν έχει «μνήμη» των ιστορικών γεγονότων, ενώ ο πραγματικός καιρός έχει κάποια «μνήμη» που διαρκεί μάλιστα για μερικές μέρες. Η μνήμη αυτή εξασθενεί βέβαια όσο απομακρύνεται το σύστημα από το παρελθόν. Σε μερικά λοιπόν φαινόμενα το μέλλον φαίνεται να εξαρτάται μόνο από το παρόν ενώ σε άλλα το μέλλον εξαρτάται και από το παρελθόν και μάλιστα σε ορισμένα από το απώτερο παρελθόν. Η ανθρώπινη ιστορία είναι ένα καλό παράδειγμα φαινομένου που εξαρτάται από το απώτερο παρελθόν. Σκεφτείτε για παράδειγμα πώς θα μπορούσε να είχε εξελιχθεί η ιστορία αν οι Πέρσες νικούσαν στη Σαλαμίνα. Ένα άλλο καλό παράδειγμα 56

57 φαινομένου που το μέλλον εξαρτάται και από το παρελθόν είναι η εξελικτική πορεία της ζωής στη γη. Τα φαινόμενα στα οποία η ιστορία διαδραματίζει σημαντικό ρόλο είναι πολύ πιο δύσκολα στην κατανόηση τους από τα φαινόμενα που η μελλοντική τους πορεία εξαρτάται αποκλειστικά από το παρόν. Στα «ιστορικά» φαινόμενα οι δυνατότητα πρόβλεψης της μελλοντικής πορείας είναι ιδιαίτερα περιορισμένη έως αδύνατη. Ορισμός ΙΙΙ: (Χωρίς αυστηρή θεμελίωση). Έστω ένα φαινόμενο ή διαδικασία και Χt η τιμή μιας παραμέτρου του φαινομένου στο χρόνο t. Αν η τιμή s, s>t δεν εξαρτάται από τις τιμές u u<t τότε το φαινόμενο αυτό θα ονομάζεται Μαρκοβιανό (από το Ρώσο μαθηματικό Markov που όρισε και μελέτησε τέτοιες διαδικασίες). Και τώρα τι τον κάνουμε τον πίνακα μετάβασης; Ο πίνακας μετάβασης περιλαμβάνει όλες τις πληροφορίες για τον καιρό στη χώρα του Οζ. Επιτρέπει συνεπώς μια σειρά προβλέψεων για το μέλλον αν είναι γνωστή η παρούσα κατάσταση του συστήματος. Έστω ότι σήμερα έχει αίθριο καιρό. Τι καιρό θα έχει αύριο; Πόσες μέρες πρέπει να περάσουν (κατά μέσο όρο) ώστε να ξαναδούμε αίθριο καιρό; Στη διάρκεια μιας μεγάλης χρονικής περιόδου πόσες μέρες θα βρέχει; 57

58 Όλα αυτά τα ερωτήματα μπορούν να απαντηθούν δεδομένου του πίνακα μετάβασης και της γνώσης του παρόντος (αρχική συνθήκη), με απλή (ή λιγότερο απλή) άλγεβρα πινάκων. Το διάνυσμα 0 ξ 0 περιγράφει την αρχική κατάσταση του 0 συστήματος και συγκεκριμένα δηλώνει ότι στο χρόνο 0 ο καιρός είναι αίθριος στη χώρα του Οζ. Αν το διάνυσμα ξ δηλώνει την κατάσταση του καιρού την επόμενη μέρα τότε (σε γλώσσα πινάκων) ξpξ0 Κάνοντας τον πολλαπλασιασμό βρίσκουμε ότι / ξ 0. Το / αποτέλεσμα αυτό είναι άμεση συνέπεια εφαρμογής των δύο πρώτων κανόνων. Τι χρειάζεται λοιπόν η άλγεβρα; Για να βρούμε τι καιρό θα κάνει δύο μέρες μετά πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το ξ με τον P από δεξιά, δηλαδή ξpξp(pξ0)p ξ0 3/ 8 Κάνοντας τον πολλαπλασιασμό βρίσκουμε ότι ξ / 8. 3/ 8 Μπορούμε να συνεχίσουμε έτσι και να πιθανολογήσουμε τον μελλοντικό καιρό στη χώρα του Οζ. 58

59 Παρατήρηση η : Για τον καιρό στη χώρα του Οζ μπορούμε να διατυπώσουμε ένα μοντέλο πρόβλεψης που εκφράζεται από την σχέση ξτpξτ Η σχέση αυτή είναι αντίστοιχη με τον λεγόμενο αναδρομικό τύπο μιας ακολουθίας, που στην περίπτωσή μας είναι ακολουθία διανυσμάτων. Η σχέση ξτp τ ξ0 που δίνει κατευθείαν την τιμή στο χρόνο τ από τη γνωστή τιμή στο χρόνο 0 είναι αντίστοιχη με τον αναλυτικό τύπο μιας ακολουθίας και θα ονομάζεται γενική λύση του μοντέλου. Παρατήρηση η : Το μοντέλο καιρού που διατυπώσαμε είναι ένα πιθανολογικό ή στοχαστικό μοντέλο επειδή πιθανολογεί την μελλοντική κατάσταση του συστήματος. Αν ένα μοντέλο προβλέπει με ακρίβεια την μελλοντική κατάσταση του συστήματος θα λέγεται προσδιοριστικό ή ντετερμινιστικό Ερώτημα: Στο μοντέλο του καιρού ο πίνακας P μπορεί να κατανοηθεί ως μετασχηματιστής διανυσμάτων αφού ο πολλαπλασιασμός του με ένα διάνυσμα μας δίνει ένα διάνυσμα ίδιας διάστασης με το αρχικό. Υπάρχει διάνυσμα που πολλαπλασιαζόμενο με τον πίνακα απλά αναπαράγει τον εαυτό του; Πώς λέγεται ένα τέτοιο διάνυσμα και τι λένε τα στοιχεία του για τον καιρό στην χώρα του Οζ. 59

Μαθηματικά Και Στατιστική Στη Βιολογία

Μαθηματικά Και Στατιστική Στη Βιολογία ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά Και Στατιστική Στη Βιολογία Ενότητα 9 : Παράγωγοι Συναρτήσεων Στέφανος Σγαρδέλης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Και Στατιστική Στη Βιολογία

Μαθηματικά Και Στατιστική Στη Βιολογία ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά Και Στατιστική Στη Βιολογία Ενότητα 8 : Μιγαδικοί Αριθμοί & Ακολουθίες Αριθμών Στέφανος Σγαρδέλης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Τμήμα Φαρμακευτικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις & Λυμένα Θέματα Εξετάσεων

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Τμήμα Φαρμακευτικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις & Λυμένα Θέματα Εξετάσεων ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Τμήμα Φαρμακευτικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Λυμένες Ασκήσεις & Λυμένα Θέματα Εξετάσεων ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 014 ΘΕΜΑ 1 Δίνεται ο πίνακας: 1) Να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου

Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ο ανάστροφος πίνακας του [ j ] σημειώνεται με [ j ] (δηλαδή οι γραμμές γίνονται στήλες αντίστροφα Ιδιότητες: ( ( B B ( R ( B B Ο αντίστροφος ενός τετραγωνικού πίνακα [ j ]

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 11 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οικονομικές Συναρτήσεις με μεταβλητούς ρυθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΣΥΣΤΗΜΑ 2Χ2 ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Έστω το σύστημα εξισώσεων 2Χ2 (2 εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

4 ΣΥΝΕΧΗ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

4 ΣΥΝΕΧΗ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 4 ΣΥΝΕΧΗ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Τα συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα, γνωστά και ως συστήματα διαφορικών εξισώσεων, περιγράφουν φαινόμενα που μεταβάλλονται συνεχώς στο χρόνο.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2009-2010 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Ένα σύνολο m εξισώσεων n αγνώστων που έχει την ακόλουθη

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2)

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2) 8 Κανόνας της αλυσίδας Από τον Απειροστικό Λογισμό για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι: Αν g : I R R και f : J R R είναι συναρτήσεις ( όπου I, J ανοικτά διαστήματα ώστε, g( τότε η : I g I J

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Και Στατιστική Στη Βιολογία

Μαθηματικά Και Στατιστική Στη Βιολογία ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά Και Στατιστική Στη Βιολογία Ενότητα : Λύση διαφορικών εξισώσεων & εξισώσεων διαφορών Μελέτη Ισορροπίας Στέφανος Σγαρδέλης Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης

Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό αποτελεί το «πέρασμα» από το Διαφορικό στον Ολοκληρωτικό Λογισμό Η θεμελιώδης έννοια, για το σκοπό αυτό, είναι η αντιπαράγωγος ή αόριστο

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 - Σημειώσεις 1

Διάλεξη 1 - Σημειώσεις 1 Διάλεξη 1 - Σημειώσεις 1 Σύνολα Πως διαβάζουμε κάποιους συμβολισμούς: ανήκει και η άρνηση, δηλαδή δεν ανήκει υπάρχει για κάθε : τέτοιο ώστε. Επίσης το σύμβολο έχει την ερμηνεία «τέτοιο ώστε» και ή υπονοεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Τετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1

Τετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1 Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης Τετραγωνικά μοντέλα Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo Για συνάρτηση μιας

Διαβάστε περισσότερα

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι) 77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε - ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε - ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού ΑΣΚΗΣΗ Το βάρος μαθητών σε κιλά είναι : 5, 5, 57, 5, 6, 5, 5, 5, 57, 5 Να υπολογίσετε : α ) τη μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle. Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί και πράξεις πινάκων

Ορισμοί και πράξεις πινάκων Ορισμοί και πράξεις πινάκων B.. Εισαγωγή Κατά την εύρεση των μαθηματικών μοντέλων των σύγχρονων δυναμικών συστημάτων, διαπιστώνεται ότι οι διαφορικές εξισώσεις που εμπλέκονται μπορούν να γίνουν πολύ περίπλοκες

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 1. i) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 3 3 0 1, ώστε: 3 e, 1 ln 0 + 0 = 0 ii) Δίνεται ο μιγαδικός 3 z = ln + i, > 0 a) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση k της εικόνας του z από την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013 ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 3 Εισαγωγή Μέσα Μαΐου και ο πυρετός των Πανελλαδικών όλο και ανεβαίνει! Οι μαθητές ξεκοκαλίζουν τα βιβλία για να ανακαλύψουν δύσκολα θέματα διαφορετικά από αυτά που κυκλοφορούν

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:

1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων: Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:, g, h Απάντηση: Η με έχει παράγωγο 4 Μπορούμε όμως να εργαστούμε ως εξής: Είναι άρα 4 Η g με g έχει παράγωγο : g Η συνάρτηση h με h έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω συνάρτηση : R, όπου Δ διάστημα

Διαβάστε περισσότερα