Problema 1.1. x = 1 4. x = 3 2, 5 3/2. x = 4 1, 2. x = 5/2 . 7/2. x = 1/2. Rezolvare: Ipoteza de nesaturare:, x2. ,..., xn.

Transcript

1 Problema. Se consideră un consumator doritor să cumpere bunuri de două tipuri. Gusturile sale sunt reprezentate printr-o relaţie de preferinţă pe mulţimea vectorilor de consum notată: f, preferat sau indiferent. Această relaţie de preferinţă este o preordine completă (completă, refleivă şi tranzitivă) şi verifică ipotezele de nesaturare şi de conveitate. Ţinând cont de ipotezele de mai sus, fiecare din afirmaţiile următoare conţine o contradicţie. Precizaţi aceste contradicţii cu ajutorul unei reprezentări grafice. A = 4 F = /. 7/, B = 4, C = 5/, D = 3, 5 E = 3/, A : A C f, B C f C D şi f. A : B A f, D B, C D f şi A C f. A 3 : A C f, A B şi E C. A 4 : B F f F D şi f. A 5 : F B f şi B C f. Rezolvare: Ipoteza de nesaturare: Fie =(,,..., n ), =(,,..., n ) doi vectori de consum posibil. Dacă h f h h =,,3,,n şi inegalitatea este strictă pentru cel puţin un h, atunci: f şi nu este preferat sau indiferent lui. ( - >0 f, dar nu este preferat sau indiferent lui ).

2 Microeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici B B α B +(-α) C o C C Figura.. Conveitatea preferinţelor Ipoteza de conveitate a preferinţelor: Fie B 0 f şi C 0 f (orice punct de pe segmentul [BC] îndeplineşte această proprietate). Avem: A : D d AB şi prin conveitate avem: D C f deoarece A C f şi B C C f, dar f constituie o contradicţie. A : D B f A C f D C f ceea ce înseamnă că C D relaţia f este falsă. Altfel, A C f f D B B A f ceea ce conduce la concluzia că B A f este falsă. B A C B C A 3 : f f. E B C Prin ipoteza de saturare avem: f f. E Deci f si E C sunt contradictorii. A F A 4 : f (din ipoteza de nesaturare) şi B F f (din ipoteza de conveitate). Atunci, α A +(-α) B = D F f, ceea ce este în contradicţie cu F f D. A 5. Fie G punctul de abscisă situat pe segmentul FB şi fie G vectorul de consum corespunzător.

3 Capitolul. Teoria consumatorului Avem: C G rezultă că f. G =. Deoarece 5/> 7/7 din ipoteza de nesaturare 7 / 7 4 A F 7/ 3 C 5/ D G 3/ B E / Figura.. Situaţia punctelor A,B,C,D,E,F pe grafic G f Dar G d şi cum F B FB f şi B B f (din refleivitate) B. Dar B C f G C C G f, ceea ce contrazice f. Problema.. Fie funcţiile de utilitate: α β a) U (, ) =, α > 0, β > 0 ρ ρ b) U (, ) = +, 0 < ρ <, unde şi desemnează cantităţile consumate din bunurile şi, cu 0, 0. Reprezentaţi grafic o curbă de indiferenţă pentru fiecare din aceste funcţii şi verificaţi proprietatea de descreştere a ratei marginale de substituţie a bunului cu bunul.

4 Capitolul. Teoria consumatorului Rezolvare: a) Curba de indiferenţă, corespunzătoare nivelului de utilitate u, este: α β = de unde: f β β u sau = u = f ( ) ( ) α ( α + β ) β β α = u < 0, β deci, curba de indiferenţă este descrescătoare., Deci avem: Rms(,) U U α = : =. β u /β Figura.3. Curba de indiferenţă pentru funcţia de utilitate U şi Curba de indiferenţă corespunzătoare nivelului de utilitate u este: + =u, de unde: = ( u ρ ) ρ =h( ). Cum: ρ ρ 0, se obţine că: 0 0 u ρ.

5 Microeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici ρ ρ ρ ρ Avem: h ( ) = ( u ) < 0, pentru: >0, deci curba de indiferenţă este descrescătoare, având: U / Rms(,) = = U / ρ. Curba de indiferenţă este redată în figura următoare: u /ρ u /ρ Figura.4. Curba de indiferenţă pentru funcţia de utilitate U Problema.3. Fie funcţia de utilitate U(, ) = +, unde, reprezintă cantităţile consumate din cele două bunuri. Reprezentaţi curbele de indiferenţă corespunzătoare unui nivel de utilitate u>0.

6 Capitolul. Teoria consumatorului Rezolvare: Curba de indiferenţă corespunzătoare nivelului de utilitate u>0 rezultă din: = u, + Se va eprima ca funcţie de : u = f ( ) =. u f f u ( ) = < 0 => f este descrescătoare; ( ( u) 4u u) ) = > ( 0 => f este conveă. u 0 u Figura.5. Curba de indiferenţă Problema.4. Un consumator poate achiziţiona două bunuri, în cantitaţile şi respectiv. Preţul unitar al primului bun este egal cu 3, iar preţul celui de al doilea este egal cu. Preferinţele consumatorului sunt reprezentate prin funcţia de utilitate: U, = + 4 +, cu 0, 0. Se cere: ( ) ( )( )

7 Microeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici a) Reprezentaţi grafic curba de indiferenţă care corespunde unui nivel de utilitate u>0. b) Determinaţi cantitatea optimă consumată din fiecare bun în funcţie de venitul V. c) Reprezentaţi pe acelaşi grafic curbele lui Engel, relativ la cele două bunuri, şi caracterizaţi aceste bunuri. Rezolvare: a) Ecuaţia curbei de indiferenţă corespunzătoare unui nivel de utilitate u>0, rezultă din egalitatea: ( + 4)( + ) = u, cu u-dat sau = = ( ) Avem: f ( ) = u ( +4) u f. + 4 <0 (deci strict descrescătoare) şi: f ( ) u = > 0 3 ( +4) (deci conveă). Curba de indiferenţă intersectează aa verticală în orizontală în = + 4+ u. u = şi aa 4 Restricţia bugetară se scrie: 3 + = V.

8 Capitolul. Teoria consumatorului Eistă 3 cazuri posibile, şi anume: u u u Figura.6. Curba de indiferenţă b ) dacă 0 şi 0. Consumul optim din cele două bunuri rezultă din îndeplinirea următoarelor condiţii necesare de optim: Rms(,) = = cu restricţia: 3+ = V, V V care conduc la: =, şi respectiv: = 3, cu 4 V. 4

9 Microeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici A C 0 B Figura.7. Alegerea optimă în cazul 0 şi 0 b ) dacă 0 şi 0, avem: Cum = < + 4 = Rms(,) 0, se deduce că: = cu restricţia: 3 + = V. V =, cu V<4 (vezi figura.8.). A V/ 0 B V/3 Figura.8. Alegerea optimă în cazul când = 0 şi 0.

10 Capitolul. Teoria consumatorului b 3 ) dacă 0 şi V =, cu V> (vezi figura.9.). 3 = 0. Consumul optim din bunul este: A V/ B V/3 Figura.9. Alegerea optimă în cazul 0 şi = 0. Concluzie: V = 0 şi =,dacă V < 4 V V Soluţia va fi: = şi = 3,dacă 4 V 4 V = şi = 0,dacă V > 3

11 Microeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici c) Curbele lui Engel sunt reprezentate în figura următoare: Consum Bunul 4 Bunul 0 4 Venit Figura.0. Curbele lui Engel pentru cele două bunuri Se observă că bunul este normal, deoarece pe măsură ce venitul creşte, consumul creşte de asemenea. Pentru bunul, se constată că pentru un venit mai mic decât 4, consumul creşte odată cu venitul, pentru ca la un venit superior valorii 4, o creştere a venitului să genereze o reducere a consumului din bunul. Deci bunul spunem că este inferior. Problema.5. Un consumator dispune de un venit V pentru a cumpăra două bunuri. Notăm cu p şi p preţurile unitare ale celor două bunuri, consumate în cantităţile şi. Preferinţele consumatorului sunt reprezentate printr-o funcţie de utilitate U, definită prin: U(, ) = +, 0, 0. Se cere: Calculaţi funcţia de cerere pentru fiecare bun. Se presupune că p V >. 4 p

12 Capitolul. Teoria consumatorului Calculaţi pentru fiecare bun, elasticitatea cererii în raport cu venitul şi preţul în cazul p = şi p şi V = 3. Rezolvare: = a) Problema pe care trebuie să o rezolve consumatorul este: ma ( + ), p+ p= V Dacă λ este multiplicatorul lui Lagrange, putem scrie: L,, λ = + + λ( V p p ), ( ) de unde condiţiile de optim sunt următoarele: L / = 0 λ p = 0 L 0 λ p 0 = = L =0 p+ p = V λ Rezolvând sistemul, se obţin funcţiile de cerere din cei doi factori: p =, 4p V p = p 4p p Din condiţia: V>, se deduce că: 0 şi 0. Dacă această 4 p condiţie nu este adevărată, cel puţin teoretic, se poate obţine soluţia: > 0 şi = 0. b) Fie η h = elasticitatea cererii bunului h în raport cu venitul; ε h = elasticitatea cererii bunului h în raport cu preţul bunului h (elasticitatea directă); γ hk = elasicitatea cererii bunului h în raport cu preţul bunului k (elasticitatea încrucişată).

13 Capitolul. Teoria consumatorului Dacă p =, p = şi V = 3 obţinem: = şi = şi deci: Pentru bunul : η V V = : = 0 ε p p = : = γ = : = p p Pentru bunul : η 3 = : = V V ε p p = : =. γ = : = p p Deoarece η = 0, bunul este situat la frontiera dintre bunurile normale şi bunurile inferioare. Bunul este un bun de lu ( η >). Deoarece γ >0, γ >0, eistă o substituibilitate brută a bunului cu bunul, respectiv a bunului cu bunul.

14 Microeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici Problema.6. Fie următoarea funcţie de utilitate a consumatorului: U, α β =,0< α <,0< β <, ( ) unde, reprezintă cantităţile consumate din bunul, respectiv bunul iar p = p, p. Se ştie că venitul de care vectorul de preţuri unitare este ( ) dispune consumatorul este V>0. a) Să se determine cererea necompensată din cele două bunuri; b) Să se determine funcţia de utilitate indirectă pentru cererea necompensată; c) Să se determine cererea compensată din cele două bunuri; d) Să se determine funcţia de utilitate indirectă pentru cererea compensată. Rezolvare: a) Se scrie problema de optim a consumatorului, pentru determinarea cererii necompensate: α β ma [ ]( ), p + p = V Se scrie Lagrangeanul asociat problemei de optim: α β L,, λ = + λ V p p ( ) ( ) Se determină condiţiile necesare de optim: L α β = 0 α pλ = 0 L α β = 0 β pλ = 0 L = 0 p + p = V λ Împârţind primele două ecuaţii şi făcând sistem cu a treia se obţine:

15 Capitolul. Teoria consumatorului obţin: De aici, rezultă că: α p = ; β p. p + p = V β p =. Înlocuind în a treia ecuaţie se α p β p p + = V ( α + β ) p = αv α αv βv = şi = ( α + β ) p ( α + β ) p b) Funcţia de utilitate indirectă pentru cererea necompensată se obţine înlocuind cererile optime în funcţia de utilitate: (, ) U αv βv = = p ( α + β ) p ( α + β ) α α β α + β α β V = p p α + β c) Se scrie problema de optim a consumatorului, pentru determinarea cererii compensate: [ min]( p + p ), α β = u,cu u dat. Se scrie Lagrangeanul asociat problemei de optim: α β (,, µ ) = + + µ ( ) L p p u Se determină condiţiile necesare de optim: β

16 Microeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici L α β = 0 p µα = 0 L α β = 0 p µβ = 0 L = α β 0 u = λ

17 Capitolul. Teoria consumatorului Împârţind primele două ecuaţii şi făcând sistem cu a treia se obţine: α p = β p α β = u β p De aici, rezultă că: =. α p Înlocuind în a treia ecuaţie se obţin: α β β p α + β α p = u = u α p β p şi β p = α + β u α p β α α + β β α + β d) Funcţia de utilitate indirectă pentru cererea compensată se obţine înlocuind cererile optime în funcţia de utilitate: αβ αβ α β ( ) α+ β p p U α + β α + β α α + β β, = u u u β p α p =. Problema.7. Fie următoarea funcţie de utilitate a consumatorului: U, =, ( ) 3 unde, reprezintă cantităţile consumate din bunul, respectiv bunul. Să se atate dacă funcţia este sau nu concavă. Rezolvare: Se ştie că o funcţie este conavă dacă matricea Hessian este negativ definită. O matrice este negativ definită dacă minorii principali au semne alternante începând cu semnul minus.

18 Microeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici Matricea Hessian este dată de derivatele de ordinul II ale funcţiei de utilitate: U U H = U U Astfel: U 3 U = şi = 3. Iar derivatele de ordinul II sunt: U 3 U = = 6 ; U U = 6 = 6. Matricea devine: 3 6 H = Se observă că minorul de ordinul I, = este pozitiv. Pentru ca funcţia să fie concavă ar fi trebuit ca acesta să fie negativ. Se poate astfel afirma că funcţia nu este concavă. Problema.8. α β Fie funcţia de utilitate U(, ) = C, cu C, α, β > 0. Determinaţi ce condiţii trebuiesc puse pentru α şi β astfel încât funcţia de utilitate să fie strict concavă. Rezolvare: Se va scrie matricea Hessian asociată:

19 Capitolul. Teoria consumatorului U U H =. U U Calculăm derivatele de ordinul I şi II: U U C = α şi = C β U α β α β U ( ) ; ; α β α β = Cαα = Cαβ U α β U α β = Cαβ ; = Cβ ( β ). Şi se obţine matricea Hessian: α β α β Cαα ( ) Cαβ H = α β α β Cαβ Cβ( β ) Pentru ca funcţia de utilitate să fie strict concavă trebuie ca matricea Hessian să fie negative definită, ceea ce înseamnă că minorii principali trebuie să aibă semne alternante începând cu minus. < 0; Astfel, se vor pune condiţiile: > 0. Din matricea Hessian, minorul principal de ordinul I este: α β = Cαα ( ). Pentru ca acesta să fie <0, şi din C, α, β > 0 trebuie ca α ( 0,). Minorul de ordinul II este determinantul matricii Hessian: α β α β Cα( α ) Cαβ = α β α β = Cαβ Cβ ( β ) ( ) = αβ α β C α β Din > 0 şi C, α, β > 0 rezultă că α β > 0 α + β <. Pentru ca funcţia de utilitate să fie strict concavă trebuie ca α 0, şi ca α + β <. ( ).

20 , 0. Problema.9. Fie un consumator cu funcţia de utilitate: U(, ) ( )( ) = + +, şi Să se determine curba de indiferenţă a consumatorului pentru un nivel u>0 dat al utilităţii şi să se reprezinte grafic. Rezolvare: Se egalează funcţia de utilitate cu nivelul dat al acesteia: ( )( ) + + = u şi se eprimă ca funcţie de : u u + = = = f( ). + + Se va reprezenta grafic f ( ). u f ( ) = < 0 ( + ) => f descrescătoare; f " u ( ) = > 0 => f conveă. ( + ) 3 Se respectă în acest fel proprietăţile curbei de indiferenţă: să fie descrescătoare şi conveă. Se determină intersecţiile cu aele: u (0 ) = 0, = 0 = + + u; + u (0 ) = 0, f( ) = =

21 Microeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici Grafic: u u Figura.. Curba de indiferenţă Problema.0. Fie un consumator cu funcţia de utilitate: U, =, şi, 0. ( ) Să se determine curba de indiferenţă a consumatorului pentru un nivel u=0 dat al utilitaţii şi să se reprezinte grafic. Rezolvare: Se egalează funcţia de utilitate cu nivelul dat al acesteia: = u= şi se eprimă ca funcţie de : 0 00 = 0 = 0 = = f( ). Se va reprezenta grafic f ( ). 00 f ( ) = < 0 => f descrescătoare; " 00 f ( ) = > 0 => f conveă. 3

22 Capitolul. Teoria consumatorului Se respectă în acest fel proprietăţile curbei de indiferenţă: să fie descrescătoare şi conveă. Se determină intersecţiile cu aele: 00 (0 ) = 0, lim = 0 0 asimptotă verticală 0 (0 ) = 0, lim f( ) = 0 asimptotă orizontală Curba de indiferenţă este repezentată în figura următoare: 0 Figura.. Curba de indiferenţă Problema.. Fie un consumator a cărui funcţie de utilitate este U, =, cu, 0. ( ) ( ) Venitul de care dispune este de 3 u.m. iar vectorul de preţuri este p =. ( ) a) Să se determine cererea necompensată; b) Să se determine cererea compensată pentru un nivel dat al utilităţii u=00.

23 Microeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici Rezolvare: a) Se scrie problema de optim asociată consumatorului: obţin: ( ) = ( ) ma U,, p + p = V Se rezolvă prin metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Se scrie Lagrangeanul asociat problemei de optim: L,, λ = + λ V p p ( ) ( ) Condiţiile necesare de optim sunt: L = 0 pλ = 0; L 0 pλ 0;. = = L = 0 p + p = V λ Împârţind primele două ecuaţii şi făcând sistem cu a treia se obţine: p = ; p. p + p = V V + p De aici, rezultă că: =. Înlocuind în a treia ecuaţie se p V + p V p p + = V =. p Cererea optimă va fi: V + p. p p = = = V p

24 Capitolul. Teoria consumatorului b) Se scrie problema de optim asociată consumatorului: { p p} min +, ( ) = u = 00 Se rezolvă prin metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Se scrie Lagrangeanul asociat problemei de optim: L,, λ = p + p + λ 00 + ( ) ( ) Condiţiile necesare de optim sunt: L = 0 p λ ( ) = 0; L 0 p λ 0; = = L = 0 = 00. λ Împârţind primele două ecuaţii şi făcând sistem cu a treia se obţine: p = p = 00 De aici, rezultă că: ecuaţie se obţine: = 00 p = p 0. Înlocuind în a treia p p p p 0 ( ) = 00 = 0 +. p p Cererea optimă va fi: p 0 p 0 = = =. 0 + p p

25 Capitolul. Teoria consumatorului Problema.. Se consideră un consumator ce dispune de un venit V, strict pozitiv, pentru a cumpăra două bunuri notate şi. Preţurile celor două bunuri, p şi p, sunt presupuse strict pozitive. Preferinţele consumatorului sunt reprezentate prin funcţiile de U, =, unde şi sunt cantităţile consumate din cele utilitate ( ) două bunuri. Venitul acestuia este de u.m. iar vectorul de preţuri este p =. ( ) Se cere: a) Să se determine cererea necompensată din cele două bunuri; b) Dacă p şi V sunt constante iar p scade cu o unitate, să se determine natura bunului ; c) Dacă p şi V rămân constante iar p creşte cu o unitate, să se determine natura bunului ; d) Dacă p şi p rămân constante iar venitul creşte la 6 u.m., să se determine natura bunurilor. Rezolvare: a) Se scrie problema de optim asociată consumatorului: ma U (, ) =, p + p = V Se rezolvă prin metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Se scrie Lagrangeanul asociat problemei de optim: (,, λ) = + λ( ) L V p p

26 Microeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici Condiţiile necesare de optim sunt: L = 0 pλ = 0 L = 0 pλ = 0 L = 0 p + p = V λ Împârţind primele două ecuaţii şi făcând sistem cu a treia se obţine: p = p p + p = V V De aici, rezultă că: =. Înlocuind în a treia ecuaţie se obţin: p V V p + = V =. p V p 3 Cererea optimă va fi: = = =. V 6 p V c) Noua cerere din bunul va fi: = = = 6 > 3 buc => p bunul este normal (când preţul său scade, cererea creşte). V d) Noua cerere din bunul va fi: = = = 3 < 6 buc => p 4 bunul este normal (când preţul său creşte, cererea scade). V 6 e) Noua cerere din bunul va fi: = = = 4 > 3 buc şi noua p 4 cerere din bunul va fi: V 6 = = = 8 > 6 buc => bunul şi p bunul sunt normale (când venitul consumatorului creşte iar preţurile bunurilor rămân constante, cererile din cele două bunuri cresc).

27 Capitolul. Teoria consumatorului Problema.3. Se consideră un consumator ce dispune de un venit V, strict pozitiv, pentru a cumpăra două bunuri notate şi. Preţurile celor două bunuri, p şi p, sunt presupuse strict pozitive. Preferinţele consumatorului sunt reprezentate prin funcţiile de utilitate U(, ) = +, unde şi sunt cantităţile consumate 3 din cele două bunuri. Venitul acestuia este de 0 u.m. iar vectorul de preţuri este p = ( 4). Se cere: a) Să se determine cererea necompensată din cele două bunuri; b) Să se calculeze elasticitate directă a cererii din cele couă bunuri în raport cu preţurile lor; c) Să se calculeze elasticitatea cererii din cele două bunuri în raport cu venitul şi să se determine natura bunurilor. Rezolvare: a) Se scrie problema de optim asociată consumatorului: ma +, 3 p + p = V Se rezolvă prin metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Se scrie Lagrangeanul asociat problemei de optim: L,, λ = + + λ V p p 3 Condiţiile necesare de optim sunt: L = 0 pλ = 0 3 L = 0 pλ = 0 L = 0 p + p = V λ ( ) ( )

28 Microeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici Împârţind primele două ecuaţii şi făcând sistem cu a treia se obţine: p = 3 p p + p = V 3 V De aici, rezultă că: p + p = V = 5p 3V şi =. 5 p Cererea optimă va fi: V 5p p = = = V b) Elasticitatea directă a cererii din bunul este: V V E : : p= = = => cererea din bunul este unitar p p 5p 5p inelastică. Elasticitatea directă a cererii din bunul este: 3V 3V E : : p = = = => cererea din bunul este unitar p p 5p 5p inelastică. c) Elasticitatea cererii din bunul în raport cu venitul este: E p V V : : = = p p 5p 5p = => bunul se află la frontiera dintre bunurile normale şi bunurile superioare. Elasticitatea cererii din bunul în raport cu venitul este: 3 3 E : : V= = = => bunul se află la frontiera dintre V V 5p 5p bunurile normale şi bunurile superioare.

29 Capitolul. Teoria consumatorului Problema.4. Se consideră un consumator ce dispune de un venit V, strict pozitiv, pentru a cumpăra două bunuri notate şi. Preţurile celor două bunuri, p şi p, sunt presupuse strict pozitive. Preferinţele consumatorului sunt reprezentate prin funcţiile de U, = 3, unde şi sunt cantităţile consumate din cele utilitate ( ) două bunuri. Venitul acestuia este de 6 u.m. iar vectorul de preţuri este p = ( ). Se cere: a) Să se determine cererea necompensată din cele două bunuri; b) Să se determine cererea compensată pentru un nivel dat al utilităţii u = 30; c) Să se calculeze funcţia de cheltuială; d) Să se calculeze funcţia de utilitate pentru cererea compensată. Rezolvare: a) Se scrie problema de optim asociată consumatorului: ma 3, p+ p= V Se rezolvă prin metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Se scrie Lagrangeanul asociat problemei de optim: (,, λ) = 3 + λ( ) L V p p Condiţiile necesare de optim sunt: L 3 = 0 pλ = 0 L 3 = 0 pλ = 0 L = 0 p + p = V λ

30 Microeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici Împârţind primele două ecuaţii şi făcând sistem cu a treia se obţine: p = p p + p = V V De aici, rezultă că: =. Înlocuind în a treia ecuaţie se obţin: p V V p + = V =. p Cererea optimă va fi: V p 4. 8 p = = = V b) Se scrie problema de optim asociată consumatorului: { p + p} min, 3 = 30 Se rezolvă prin metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Se scrie Lagrangeanul asociat problemei de optim: (,, λ) = + + λ( 0 ) L p p Condiţiile necesare de optim sunt: L 3 = 0 p λ = 0; L 3 = 0 p λ = 0; L = 0 = 0. λ

31 Capitolul. Teoria consumatorului obţine: Împârţind primele două ecuaţii şi făcând sistem cu a treia se obţine: p = p = 0 De aici, rezultă că: p = 0. Înlocuind în a treia ecuaţie se p p p 0 = 0 =. p p p 0 0 p Cererea optimă va fi: = = =. p p c) Funcţia de cheltuială este: V,,30 = p + p = 0 p p + p p = p p =. ( ) d) Funcţia de utilitate pentru cererea compensată este: Problema.5. ( ) U, = 3 = 3 0. Fie următoarea funcţie de utilitate a consumatorului: U, = + 3, ( ) unde, reprezintă cantităţile consumate din bunul, respectiv bunul iar p =,. Se ştie că venitul de care vectorul de preţuri unitare este ( ) dispune consumatorul este V=50 u.m. a) Să se determine cererea necompensată din cele două bunuri; b) Să se determine elasticitatea directă pntru ambele bunuri; c) Să se determine elasticitatea încrucişată pentru ambele bunuri; d) Să se determine elasticitatea celor două bunuri în raport cu venitul; e) La o scădere a preţului bunului cu u.m., să se determine efectul modificării preţului asupra cererrii din cele două bunuri prin metoda Slutsky;

32 Microeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici f) Să se verifice dacă efectul total al modificării preţului prin metoda Slutsky este egal cu efectul modificării preţului calculat prin metoda Hicks. Rezolvare: a) Se scrie problema de optim a consumatorului, pentru determinarea cererii necompensate: [ ma]( + 3 ), p + p = V Se scrie Lagrangeanul asociat problemei de optim: (,, λ) = λ( ) L V p p Se determină condiţiile necesare de optim: L = 0 pλ = 0 L = pλ = 0 L = 0 p + p = V λ Împârţind primele două ecuaţii şi făcând sistem cu a treia se obţine: p = ; 3 p. p + p = V

33 Capitolul. Teoria consumatorului De aici, rezultă că: ecuaţie se obţin: p p + 3p =. Înlocuind în a treia p + 3p p + = V V 3p V + 3p = şi = 4p 4p Înlocuind, avem: = 5.5 buc; = 4buc. b) Elasticitatea directă se calculează astfel: V V 3p V E = : = : = =.4 ( ; ) p p p p 4p V 3p cererea din bunul este elastică; V V + 3p V E = : = : = = 0.89 ( ; ) p p p p 4p V + 3p cererea din bunul este inelastică; c) Elasticitatea indirectă se calculează astfel: E = : = 0 cererea din bunul nu depinde de modificare p p p preţului bunului ; bunul este indiferent faţă de bunul ; 3p E = : = = 0.< 0 bunul şi bunul sunt p p p V + 3p complementare; d) Elasticitatea în raport cu venitul este: V 3p V E = : = : = =.4 > bunul este V V V p 4pV V 3p bun supeior; V + 3p V E = : = : = = 0.89 (0;) bunul V V V p 4pV V + 3p este bun normal.

34 a) Metoda Slutsky Preţul nou din bunul va fi: p = 0 u.m. Starea iniţială (A) este dată cantităţile din cele două bunuri când peţurile şi = 5.5 buc; veniturile sunt nemodificate: = 4buc. Starea finală (C) este dată cantităţile din cele două bunuri atunci când se modifică preţul unui bun, venitul consumatorului rămânând acelaşi: V 3p = = 6.5 buc; 4p V + 3p = = 3.9 buc. 4 p Se aplică ecuaţia lui Slutsky pentru a determina venitul cu care se cumpără cantităţile iniţiale, în condiţiile în care preţul din bunul s-a modificat: V = p+ p= = 39 u.m. Se poate calcula acum starea intermediară (B) dată de cantităţile din cele două bunuri, în condiţiile în care se modifică atât preţul din bunul, cât şi venitul: V 3p = = 6. buc; 4p V + 3p = = 3.6 buc. 4 p Astfel, se pot calcula efectul de substituţie şi efectul de venit: S = ( B) ( A) = = 0.7 buc = ( C) ( B) = = 0.3 buc V De aici rezultă efectul total al modificării preţului: S V = + = = buc f) Preţul nou din bunul va fi: p = 0 u.m. Starea iniţială (A) este dată cantităţile din cele două bunuri când peţurile şi = 5.5 buc; veniturile sunt nemodificate: ; = 4buc.

35 Microeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici Starea finală (C) este dată cantităţile din cele două bunuri atunci când se modifică preţul unui bun, venitul consumatorului rămânând acelaşi: V 3p = = 6.5 buc; 4p V + 3p = = 3.9 buc. 4 p Diferă doar modul de calcul al venitului. Se aplică ecuaţia lui Hicks pentru a determina venitul cu care se cumpără cantităţile iniţiale, în condiţiile în care preţul din bunul s-a modificat: ( ) ( ( ), ( ) ( ), ( )) U A A = U B B, unde B reprezintă starea intermediară. Din ecuaţia lui Hicks rezultă: U ( A), ( A) = + 3 = = 56; ( ) ( ) U ( B), ( B) = ( B) ( B) + 3 ( B) = V 3p V + 3p V + 3p = + 3 = 4p 4p 4p V = + 3p V 3p + V = + 3p V + 3p 3 = 4p 4p 4p p ( V + 30) + + pp (V 3 p ) ( V 5) = = = ( V + 5 De aici rezultă că: ) 40 = 56. Se obţine: V = Se poate calcula acum starea intermediară (B) dată de cantităţile din cele două bunuri, în condiţiile în care se modifică atât preţul din bunul, cât şi venitul. V 3p = = buc; 4p 0 V + 3p 4 30 = = buc. 4 0 p

36 Capitolul. Teoria consumatorului Astfel, se pot calcula efectul de substituţie şi efectul de venit: S = ( B) ( A) = 5.5 = 7 buc 0 5 V = ( C) ( B) = 6.5 = 8 buc 0 5 De aici rezultă efectul total al modificării preţului: S V = + = 7+ 8 = buc. 5 5 Se verifică astfel egalitatea dintre efectul total de preţ calculat cu metoda Slutsky şi efectul total de preţ calculat cu metoda Hicks. Problema.6. Fie următoarea funcţie de utilitate a consumatorului: ( ) U, = ln + 3ln, unde, reprezintă cantităţile consumate din bunul, respectiv bunul iar p =,. Se ştie că venitul de care dispune vectorul de preţuri unitare este ( ) consumatorul este V= u.m. a) Să se arate dacă funcţia este sau nu concavă; b) Să se determine cererea necompensată din cele două bunuri; c) Să se determine cererea compensată pentru un nivel dat al utilităţii dat, u > 0 ; d) La o creştere a preţului bunului cu u.m., să se determine efectul modificării preţului asupra cererrii din cele două bunuri prin metoda Hicks. Rezolvare: a) O funcţie este concavă dacă matricea hessian este negativ definită; ceea ce înseamnă că minorii principali trebuie să aibă semne alternante începând cu semnul minus.

37 Microeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici Matricea Hessian este dată de derivatele de ordinul II ale funcţiei de utilitate: Astfel: H U U = U U U U 3 = şi =. Iar derivatele de ordinul II sunt: U U = = 0; U U 3 = 0 =. Matricea devine: 0 H = 3 0 Se observă că minorul de ordinul I, = este negativ şi că 3 minorul de ordinul II, = este porzitiv. Se poate astfel afirma că funcţia este concavă. b) Se scrie problema de optim a consumatorului, pentru determinarea cererii necompensate: [ ma]( ln + 3ln ),. p + p = V

38 Capitolul. Teoria consumatorului Se scrie Lagrangeanul asociat problemei de optim: (,, λ) = ln + 3ln + λ( ) L V p p Se determină condiţiile necesare de optim: L = 0 pλ = 0 L 3 = 0 pλ = 0 L = 0 p + p = V λ Împârţind primele două ecuaţii şi făcând sistem cu a treia se obţine: p = ; 3 p. p + p = V De aici, rezultă că: 4 p = V. Înlocuind în a treia ecuaţie se obţin: V 3V = şi = 4p 4p Înlocuind, avem: = 3buc; = 9buc. c) Se scrie problema de optim a consumatorului, pentru determinarea cererii compensate: min p + p [ ]( ), ln + 3 ln = u Se scrie Lagrangeanul asociat problemei de optim: (,, λ) = + + λ( ln + 3ln ) L p p u

39 Microeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici Se determină condiţiile necesare de optim: L λ = 0 p = 0 L 3λ = 0 p = 0 L = 0 ln + 3ln = u λ Împârţind primele două ecuaţii şi făcând sistem cu a treia se obţine: p = ; 3 p ln + 3ln = u obţin: De aici, rezultă că: p = 3 p. Înlocuind în a treia ecuaţie se u u = ln = e = k > k = şi = pk p 4 p 3 pk p d) Preţul nou din bunul va fi: = u.m. Starea iniţială (A) este dată cantităţile din cele două bunuri când V = = 3 buc; 4 p peţurile şi veniturile sunt nemodificate: 3V = = 9 buc. 4 p Starea finală (C) este dată cantităţile din cele două bunuri atunci când se modifică preţul unui bun, venitul consumatorului rămânând acelaşi: V = =.5 buc; 4 p 3V = = 9 buc. 4 p

40 Capitolul. Teoria consumatorului Se aplică ecuaţia lui Hicks pentru a determina venitul cu care se cumpără cantităţile iniţiale, în condiţiile în care preţul din bunul s-a modificat: U ( A), ( A) = U ( B), ( B), ( ) ( ) unde B reprezintă starea intermediară. Din ecuaţia lui Hicks rezultă: ( ) ( ) 3 3 U( ( B), ( B) ) ln ( B) ( ( B) ) V 3V ( V ) 3 U ( A), ( A) = ln = ln3 9 = ln3 = = = ln = ln 4 4p 4p ; De aici rezultă că: ( ) 4 V ln 3 = ln 4 4. Se obţine: 4 V =. Se poate calcula acum starea intermediară (B) dată de cantităţile din cele două bunuri, în condiţiile în care se modifică atât preţul din bunul, cât şi venitul. 4 V 3 = = buc; 4p 3V 4 = = 4 p 9 buc. Astfel, se pot calcula efectul de substituţie şi efectul de venit: 4 S 3 = ( B) ( A) = 3buc 4 V 3 = ( C) ( B) =.5 buc De aici rezultă efectul total al modificării preţului: 4 4 S V 3 3 = + = 3+.5 =.5 buc Prin creşterea preţului bunului, se vor cumpăra cu.5 buc mai puţin, în condiţiile în care utilitatea consumatorului rămâne constantă.

41 Microeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici Problema.7. Fie funcţie de utilitate de tip Stone-Geary a consumatorului: ( ) ( ) ( ) α β U, = +, αβ, > 0, α+ β=, unde, reprezintă cantităţile consumate din bunul, respectiv bunul,, reprezintă nivelurile de subzistenţă iar vectorul de preţuri unitare este p = p; p ). Se ştie că venitul de care dispune consumatorul este V>0. ( a) Să se determine cererea necompensată din cele două bunuri pentru α = β = ; b) Să se determine funcţia de utilitate pentru cererea necompensată, pentru α = β = ; c) Să se verifice dacă utilitatea marginală în raport cu venitul este egală cu multiplicatorul lui Lagrange; Rezolvare: a) Se scrie problema de optim a consumatorului, pentru determinarea cererii necompensate: [ ma] ( ) + ( ), p + p = V Se scrie Lagrangeanul asociat problemei de optim: (,, λ) = ( ) + ( ) + λ( ) L V p p

42 Microeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici Se determină condiţiile necesare de optim: L = 0 ( ) pλ = 0 L = 0 ( ) pλ = 0 L = 0 p + p = V λ Împârţind primele două ecuaţii şi făcând sistem cu a treia se obţine: p = ; p p + p = V De aici, rezultă că: ecuaţie se obţin: ( ) p p ( ) p = +. Înlocuind în a treia p + p p + p = V Vp + p p Vp + p p = şi = p + pp p + pp

43 Capitolul. Teoria consumatorului Vp p pp Se obţine multiplicatorul lui Lagrange: λ = p + pp p b) e calculează funcţia de utilitate indirectă pentru cererea compensată înlocuind cantităţile optime obţinute în funcţia de utilitate dată: (,, ) ( ) ( ) u p p V = + = + + p + pp p + pp Vp p p Vp p p = + = p + pp p + pp Vp p p p Vp p p p = + c) Trebuie să verificăm relaţia: (,, ) u p p V V = λ Calculăm utilitatea marginală în raport cu venitul: (,, ) V p + pp p + pp u p p V Vp p p p p = + p + pp p + pp Vp p p p p +

44 Microeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici Dăm factor comun, introducem în radical şi obţinem: (,, ) V p + pp u p p V Vp p p p = p p + p p Vp p p p p + p p p p p p ( + ) Vp ( ) p pp + ( p + pp) p + pp p( p+ p) Vp p pp Vp p p p p Vp p p p = + p + pp p( p+ p) p+ p Vp p p p p = + = Vp p pp + = = λ p p p p Egalitatea se verifică. p p = =

45 Problema.. Se consideră un consumator ce dispune de un venit V, strict pozitiv, pentru a cumpăra două bunuri notate şi. Preţurile celor două bunuri, p şi p, sunt presupuse strict pozitive. Preferinţele consumatorului sunt reprezentate prin funcţiile de utilitate U, = ln + ln, ( ) unde şi sunt cantităţile consumate din cele două bunuri. Se cere: a) Determinaţi funcţiile de cerere necompensată (de tip Marshall sau Walras) i ( p, p, V ), i = şi, ale consumatorului din fiecare din cele două bunuri. b) Fie un alt consumator ale cărui preferinţe sunt reprezentate prin funcţia de utilitate H (, ) =. Comparaţi funcţiile de cerere necompensată cu ale celui precedent. Eplicaţi acest rezultat. Rezolvare: a) Preferinţele consumatorului sunt reprezentate printr-o funcţie de utilitate de tip Cobb-Douglas. Această funcţie este strict qusiconcavă, din cauza strict concavităţii funcţiei logaritm. În consecinţă, problema de maimizare pe mulţimea de consum a funcţiei de utilitate a consumatorului admite o soluţie unică, ce defineşte funcţiile de cerere. Ca urmare, alegerea optimă (, ) va fi dată de rezolvarea următorului program: ma ( ln + ln ), p + p = V La punctele a), b) şi d) consumurile agenţilor economici sunt considerate în cadranul pozitiv al sistemului ortogonal de ae din R.

46 Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici Ca urmare, condiţia necesară de optim este echivalentă cu faptul că raportul preţurilor bunurilor este egal cu raportul utilităţilor marginale ale celor două bunuri. Această relaţie implică egalitatea: U U m = m p p U U U m = = ; U m = = Această egalitate, împreună cu restricţia bugetară, permite determinarea funcţiilor de cerere necompensată ale consumatorului: V = ( p, p, V ) = p V = ( p, p, V ) = p b) Funcţiile de utilitate U şi H verifică egalitatea: (, ) H, =e U U(, ). Deoarece funcţia eponenţială e este o funcţie ( ) pozitivă şi crescătoare, funcţiile de utilitate U şi H sunt asociate aceleiaşi ordini de preferinţe. În acest caz, doi consumatori ale căror funcţii de utilitate sunt U şi H fac aceeaşi alegere. În consecinţă, funcţiile lor de cerere sunt identice. Problema.. Se consideră un consumator ce dispune de un venit V, strict pozitiv, pentru a cumpăra două bunuri notate şi. Preţurile celor două bunuri, p şi p, sunt presupuse strict pozitive. a) Care sunt funcţiile de cerere necompensată ale unui consumator a cărui mulţime de consum este [γ, + ] [γ, + ] şi a cărui funcţie de utilitate se scrie: U(, ) = β ln( - γ )+ β ln( - γ ), unde γ şi γ sunt parametri pozitivi, iar β şi β sunt două numere reale strict pozitive, astfel încât β +β =.

47 Capitolul. Teoria consumatorului Dacă parametrii γ şi γ sunt nuli, calculaţi elasticitatea cererii în raport cu venitul, pentru fiecare din bunurile şi. b) Determinaţi funcţiile de cerere necompensată ale unui consumator a cărui funcţie de utilitate se scrie: U(, ) = β ln( + )+ β ln, unde este un număr real pozitiv, β, β > 0, cu β + β =. Ce particularitate are funcţia de cerere din bunul? Rezolvare: a) Funcţia de utilitate nu este definită decât pe mulţimea consumurilor posibile, adică atunci când cantităţile consumate din bunurile şi sunt cel puţin egale cu γ şi respectiv γ. Perechea (γ, γ ) se interpretează ca minimul de subzistenţă la nivelul consumatorului. Deoarece consumatorul poate cumpăra această combinaţie, trebuie ca venitul V să fie mai mare sau egal cu valoarea sa: p γ + p γ, valoare care constituie venitul minimal al consumatorului, sub care funcţiile de cerere nu sunt definite. În continuare, vom presupune că venitul este strict mai mare decât acest venit minimal. Prin urmare, parametrii β şi β descriu gusturile consumatorului: cu cât parametrul β i este mai mare, cu atât mai puternică este preferinţa consumatorului pentru bunul i. U Din: m p = rezultă: U p m De unde: U m U = β = ; y U m U = ( ) = ( ) β p γ β p γ β = y Utilizând restricţia bugetară, această relaţie conduce la egalităţile: p γ = β V pγ p γ pentru i =,. ( ) ( ) i i i i Aceste egalităţi arată că venitul ecedentar, disponibil după cumpărarea combinaţiei de consum minimal, V p γ p γ, este afectat in funcţie de gusturile consumatorului (reprezentate prin parametrii β şi β ) pentru cumpărarea unui ecedent din bunul, egal cu γ, şi pentru cumpărarea unui ecedent din bunul, egal cu γ.

48 Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici Funcţiile de cerere necompensată din bunul i (i =, ) se scriu deci: β ( ) ( V pγ pγ ) = p, p, V = γ p Elasticitatea E a cererii de bun i, în raport cu venitul, este definită prin egalitatea: i i E = : i V V V ( p, p V ) =, i V β = γ ( V p γ p γ ) βi = p i Vγ i β i Vp i p ( V p γ p γ ) βv i = βv i = Deoarece parametrii γ şi γ sunt nuli, elasticităţile E şi E au valoarea. b) Dacă preferinţele conumatorului sunt definite prin funcţia de utilitate U(, ), atunci acesta poate consuma o cantitate nulă din bunul, fără ca nivelul său de utilitate să fie minim pe mulţimea consumurilor. Este posibil deci ca el să ceară o cantitate nulă de bun. Ca urmare, cantitatea cerută din bunul este întotdeauna strict pozitivă. Cererile consumatorului sunt soluţii ale programului: { β + β } ma, ln( )+ ln p + p V 0, 0 Fie λ şi α multiplicatorii asociaţi celor două restricţii. Lagrangeanul L al programului se scrie: ( ) ( ) + + β λ p + p V α L = β ln ln + Ţinând cont de faptul că la maim de utilitate, restricţia bugetară este satisfăcută cu egalitate, condiţiile de ordinul I pentru programul de maimizare sunt date de epresiile: L = β + λp + α = 0 ;

49 Capitolul. Teoria consumatorului L = β λp = 0 ; L = p + p = V λ L = = 0 α ; Având în vedere concavitatea strictă a funcţiei de utilitate, aceste condiţii de optimalitate sunt necesare şi suficiente. În rezolvarea sistemului, discuţia se poartă asupra cazului când este nulă. Dacă este strict pozitivă, cererile se vor afla în interiorul mulţimii de consum posibil, raportul utilităţilor marginale a două bunuri este egal cu raportul preţurilor, de unde rezultă funcţiile de cerere: β V ( p, p, V) = β ; p βv ( p, p, V) = β p. p p Această situaţie are loc atunci când (p, p, V) este strict pozitiv, adică atunci când venitul V este mai mare decât β p /β. Când cererea de bun este nulă, cererile sunt date de relaţiile: ( ) p, p, V = 0 (,, ) p p V V = p Deoarece α este pozitiv, rezultă că raportul utilităţilor marginale Um( 0, ) p este mai mic sau egal decât raportul preţurilor. Această Um( 0, ) p condiţie este verificată dacă şi numai dacă venitul este mai mic sau egal β p decât. β

50 Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici Aceasta înseamnă că rata marginală de substituire a bunului cu bunul este mai mare decât preţul relativ al bunului în raport cu bunul. Altfel spus, pentru această structură de preţ şi de venit, consumatorul va dori, dacă acest lucru este posibil, să vândă din bunul pentru a cumpăra din bunul. Problema.3. Un consumator afectează un venit V pentru a cumpăra două bunuri şi, ale căror preţuri unitare sunt p şi p. Preferinţele sale sunt reprezentate prin funcţia de utilitate: U (, ) = ( -) cu 0, 0, unde, desemnează cantităţile consumate. Se cere: a) Determinaţi ecuaţiile funcţiilor de cerere. Se va presupune că V> V > p. b) Se consideră situaţia iniţială, unde p = p = şi V=3 şi o situaţie finală unde p = în timp ce p şi V rămân neschimbate. Care sunt cantităţile din fiecare bun, cumpărate de consumator în situaţia iniţială şi situaţia finală? c) Descompuneţi trecerea de la situaţia iniţială la situaţia finală, distingând efectul de substituţie şi efectul de venit. Comentaţi rezultatele şi reprezentaţi-le pe un grafic. Rezolvare: a) Pentru determinarea alegerii optime vom construi lagrangeanul problemei: L = ( ) + λ ( V p p ) unde λ este multiplicatorul Lagrange. Rata marginalã de schimb a bunului cu bunul, reprezintã numãrul de unitãti din bunul pe care consumatorul este dispus sã le dea în schimbul unei unitãti (presupusã infinit de micã în raport cu cantitãtile consumate) de bun. Aceastã ratã este egalã cu rata marginalã de substitutie a bunului cu bunul.

51 Capitolul. Teoria consumatorului Condiţiile necesare de optim conduc la sistemul: L = λ p = 0 L = λ p = 0 L = V p p = 0 λ cu soluţiile: V p V + p =, =. p p b) Situaţia iniţială: =, = ; 5 Situaţia finală: =, = 4 c) Se consideră o situaţie intermediară, care corespunde unor alegeri ce ar fi fost făcute de consumator cu noul sistem de preţuri ( p = şi p = ), dacă acesta ar fi primit o variaţie compensatoare de venit ce i-ar permite să se menţină la nivelul iniţial de satisfacţie. Acestă situaţie intermediară este caracterizată prin dubla condiţie: U(, ) = U(, ) Rms(, ) = underms(,) reprezintă rata marginală de substituţie a bunului cu bunul. p Din =, şi relaţiile de mai sus, avem: p ( ) =, = de unde: =, = +.

52 Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici " Efectul de substituţie: E E + Deci: = - > 0 = - < 0 Efectul de venit: E E " Deci: = - < 0 = - < 0. 4 Efectul de substituţie reduce consumul bunului, al cărui preţ a crescut, şi creşte consumul bunului care a devenit mai avantajos. Deoarece bunurile şi sunt normale ( ( V ), ( V ) sunt funcţii crescătoare), creşterea preţului p reduce consumul din aceste bunuri, prin efectul de venit. Pentru bunul, efectele de substituţie şi de venit se cumulează şi consumul se diminuează. Pentru bunul efectul de venit domină efectul de substituţie şi consumul final, de asemenea, este diminuat.

53 Capitolul. Teoria consumatorului 3 +/ 3/ 5/4 () () (0) / 3 Figura.. Efectul de substitutie E-E şi efectul de venit E -E. Problema.4. Un consumator are funcţia de utilitate: a (, ) ( ) ( U = c c ) b, cu a+b=, a,b>0 (funcţie de utilitate de tip Geary-Stone), unde c i reprezintă nivelul minim de subzistenţă pentru i=,. Determinaţi funcţiile de cerere compensată (de tip Hicks) şi funcţia cheltuielilor. Rezolvare: Definim : = c, i=, şi deci: i i i V = p+ p= p+ p+ pc + pc Putem scrie problema astfel : { p + p + pc + pc } min,,cu u-dat. a b = u Se scrie Lagrangeanul asociat problemei: a b L(,, µ ) = p + p + pc + p c + µ ( u )

54 Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici Condiţiile de ordinul întâi conduc la: L a b = p aµ = 0 L a b = p bµ = 0 L a b = = u µ şi funcţia de cerere Hicksiană din fiecare bun este: a a a p = u b p sau a a a p = b p b a p = u+ c b p a a a p = u+ c b p Înlocuind în epresia lui V vom obţine funcţia cheltuială : b u V b a a a = + p p u+ pc + p c b b a b Problema.5. Se consideră un consumator ce are funcţia de utilitate: a b U, =, cu a,b>0, a+b=. ( ) Se cere: a) Determinaţi funcţiile de cerere compensată (de tip Hicks) şi funcţia cheltuielilor.

55 Capitolul. Teoria consumatorului b) Deduceţi funcţia de cheltuieli pentru funcţia de utilitate v=u şi comparaţi rezultatul cu cel obţinut la punctul a).comparaţi valoarea în fiecare caz. c) Calculaţi funcţia de cheltuieli în cazul în care U, = min, -bunuri complementare; Rezolvare: c ) ( ) { } c ) U(, ) = a + b -bunuri substituibile. u Fie şi funcţiile cererilor Hicksiene, atunci i, i=,, sunt soluţiile pentru problema de minimizare: min { p } + p,, a+b=. a b u = Cu λ multiplicatorul lui Lagrange, Lagrangeanul problemei este: L( ) p p ( u a ) b,, λ = + + λ, condiţiile de prim ordin fiind: L a = p λ a b = 0 (.) L = p λ a a = 0 b (.) L b = u a = 0 (.3) λ Relaţiile (.) şi (.) dau: p a p b = = (.4) p b p a Substituim (.4) în (.3) şi oţinem: b b b a pb pb b p b u = = = u pa pa p a V

56 şi datorită simetriei, Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici a a p a = u p b Fie V ( p p, u,. (.5) funcţia cheltuială, cu V p, p, u = p + p ) ( ) b b a a p p a a V = p u + p u p b p b b a b b a a a a = up p + up p b b b a a b a b a a = up p + up p b b b a a a a b = + up p. b b, b) Avem: ( ) v = u = = a a a b Ca urmare, problema de optim este: min p i i, i cu a+b= a b v = Se scrie Lagrangeanul asociat problemei de optim: b ( ) ( a L p p v ),, λ = + + λ (.6) Conditiile necesare de optim sunt: L a b = p aλ = 0 (.7) L a b = p bλ = 0 (.8) L = v = λ a b 0

57 Capitolul. Teoria consumatorului Împărţind (.6) la (.5) obţinem: p a pb = => = p b p a eact ca în relaţia (.4) de mai sus. Înlocuim (.4) în (.3) şi obţinem deoarece a+b=, şi deci: pb = v pa Prin simetrie : b b pb pb v = = a b pa pa b sau b p b = v p a. p a = p b v a Înlocuind în funcţia cheltuială obţinem : b a p b p a (,, ) = + p a pb V p p v pv pv Simplificând, rezultă : V p p v v p p b b b a a a a b (,, ) = + Înlocuind = u avem: b b Vom avea derivatele: b V ( p, p, u) a a = + u b b v b a a a a b V ( p, p, v) = + up p a. p p, ca şi în primul caz. a b V p p v a a = + v b b v b a (,, ) p p a b

58 Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici Astfel, deşi valorile funcţiei cheltuială şi ale cererilor Hicksiene sunt neafectate de transformarea funcţiei de utilitate, măsura costului marginal V U al utilităţii, care este inversa utilităţii marginale a venitului, u V depinde de funcţia de utilitate specifică folosită. Trebuie confirmat pentru transformarea folosită aici că : V V dv = u V du c) Pentru bunurile perfect complementare, curbele de indiferenţă au forma din figura..(a). Aşa cum arată figura, =. Echilibrul trebuie să satisfacă restricţia bugetară p + p = V de unde: V u p + p = = = de aici V u = p + p este funcţia indirectă de utilitate. Inversând funcţia indirectă de utilitate obţinem funcţia cheltuială V ( p, u) = ( p + p )u. În cazul bunurilor substituibile, u = a + b. Aşa cum arată figura.(b), maimizând utilitatea avem două cazuri principale determinate de pantele liniei bugetului şi a curbelor de indiferenţă liniare (unde aceste pante sunt egale soluţia se află în orice punct de pe restricţia bugetară). Cazul : a p a b > >. b p p p În acest caz avem o soluţie în colţ, cu av bv u = p > p. = V p, =0. Atunci

59 Capitolul. Teoria consumatorului Cazul : a p a b < < b p p p V Şi în acest caz avem o soluţie în colţ, cu =, =0. Atunci p av bv u = p < p. Aceste rezultate ne permit scrierea funcţiei de utilitate indirectă: (a) (b) V/p a/b<p /p a/b>p /p 0 0 Figura.. Curbele de indiferenţă pentru bunuri complementare ma av, bv U = = V ma a, b p p p p sau funcţia cheltuială p p V = umin, a b Problema.6. buget: Un consumator are funcţia de utilitate S= X Y şi restricţia de V = P X+Py Y.

60 Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici Se cere: a) Studiaţi grafic consecinţele modificării preţului bunului X asupra cererii de bunuri X şi Y. b) Stabiliţi ecuaţia lui Slutsky ataşată schimbării considerate mai sus.evidenţiaţi, în această ecuaţie, efectele de substituţie şi de venit. c) Ce se poate spune despre natura economică a bunurilor X şi Y, avînd în vedere că este cunoscută ecuaţia lui Slutsky. Rezolvare: a) Modificarea preţului unui bun, venitul şi preţul celuilalt bun rămânînd neschimbate, atrage o modificare a dreptei de buget şi în consecinţă şi a echilibrului consumatorului. Modificarea echilibrului face să apară, în general, o modificare a cererii de bun X şi Y. Dacă se modifică P (preţul bunului X), vom numi efect total al acestui preţ asupra lui X şi Y, variaţia cererii de bun X şi bun Y, indusă de variaţia lui P. Acest efect total se descompune în două subefecte: un efect de substituţie şi un efect de venit. În figura de mai jos este reprezentat grafic efectul total, care rezultă în urma creşterii lui P, V şi P y rămânând constante. Creşterea lui P atrage o schimbare a punctului de echilibru din A de pe S, în C de pe S. Efectul total indus de P asupra cererii de bun X corespunde unei scăderii de la X A la X C şi efectul total asupra cererii de bun Y corespunde unei creşterii egale de la Y la Y. A C Efectul de substituţie: Dacă preţul P creşte, consumatorul înregistrează o scădere a puterii sale de cumpărare sau a venitului său real. Dacă se face ipoteza (Hicks) că pe aceeaşi curbă de indiferenţă, venitul real este acelaşi şi că dacă se compesează eact pierderea de venit real, datorită creşterii preţului bunului X printr-o sumă de bani, se va obţine un nou punct de echilibru B pe S, corespunzând unui venit real identic celui din punctul A, dar definit pentru noul sistem de preţuri. Efectul de substituţie rezultând din creşterea preţului bunului X este răspunsul consumatorului raţional, când acesta conservă un venit real sau o satisfacţie identică. Acest efect de substituţie se reprezintă

61 Capitolul. Teoria consumatorului pe graficul din figura de mai jos printr-o scădere a cererii de bun X de la X A la X C. Variaţia raportului de preţuri antrenează o substituţie a bunului Y cu bunul X. Bunul Y, al cărui preţ nu a fost schimbat devine relativ preferabil, pentru consumator, bunului X. Efectul de venit: Admitem acum situaţia în care consumatorul cedează suma de bani care ar fi fost introdusă pentru a compensa pierderea de venit real. Efectuând această operaţie, dreapta de buget care ar fi prmis determinarea punctului B se deplasează paralel cu ea însăşi până când venitul "fictiv" folosit ar fi în întregime restituit. La acest moment, consumatorul se găsea în punctul de echilibru C. Trecerea de la B în C corespunde unui efect de venit real, indus de creşterea preţului P şi se manifestă printr-o scădere a cererii X de la X la X şi o scăderea a lui Y de la Y la Y. B C B C Y V/P y C B V/ P / V/ P A Figura.3. Efectul de substituţie şi efectul de venit X Forma curbei cererii de bun X, funcţie de P cu P y şi V rămânând constante, va depinde de importanţa efectului de substituţie şi a efectului de venit real. Punctul de echilibru iniţial A este dat de condiţiile de prim ordin aplicate lagrangeanului: L=X Y + λ( V -P X-P Y) y

62 Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici b) Ecuaţia lui Slutsky este formularea algebrică a efectului total al variaţiei preţului unui bun, asupra cererii. Dacă funcţia de satisfacţie (de utilitate) depinde de două bunuri (cum este cazul nostru), variaţia preţului P va antrena stabilirea a două ecuaţii ale lui Slutsky: Dacă se schimbă, condiţiile de stabilitate iniţiale se vor schimba. P Problema.7. Fie un alt cosumator a cărui funcţie de utilitate se scrie: ρ ρ U ( ),, 3 = ( + 3 ), a cărui mulţime de consum posibil este în cadranul pozitiv al lui R 3. Parametrul real ρ este presupus mai mare sau egal cu. Preţul bunului i este notat p i, i=,,3 şi venitul consumatorului, V. Presupunând că cererile sunt incluse în mulţimea de consum posibil, calculaţi funcţiile de cerere necompensată (p,v) şi 3 (p,v). Utilizând ecuaţia lui Slutsky, determinaţi ( p, u) derivata a funcţiei de cerere compensată a bunului, când p 3 nivelul de utilitate atins de consumator este U ( ( p V ), ( p, V ), ( p, V )), 3. Bunurile şi 3 sunt substituibile sau complementare (discuţie în funcţie de ρ )? Rezolvare: Funcţiile de cerere ale consumatorului se obţin căutând perechea care asigură maimul utilităţii consumatorului, pe restricţia bugetară, deoarece această pereche este presupusă ca aparţinând mulţimii de consum posibil. Funcţia de utilitate fiind crescătoare în raport cu argumentele sale, rezultă că restricţia de buget este satisfăcută cu egalitate. Cum această funcţie este strict quasiconcavă, programul considerat admite o soluţie unică, care se obţine scriind condiţiile de nulitate ale derivatelor de ordinul ale lagrangeanului. ρ ρ /ρ (,, ) = ( + ) + λ( V p p p ) L 3, λ, unde λ este multiplicatorul Lagrange