Конструкциjе Адамарових матрица
|
|
- Εὐνίκη θάλασσα Κόρακας
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Математички факултет Универзитета у Београду Конструкциjе Адамарових матрица Мастер pад Сенад Ибраимоски Чланови комисиjе: проф. др. Миодраг Живковић - ментор проф. др. Предраг Jаничић проф. др. Филип Марић Београд, Новембар 2015
2
3 University of Belgrade, School of Mathematics Construction Methods for Hadamard Matrices Master thesis Senad Ibraimoski Commission members: prof. phd. Miodrag Zivkovic - mentor prof. phd. Predrag Janicic prof. phd. Filip Maric Belgrade, November 2015
4
5 Садржаj Садржаj Листа слика Имплементациjе алгоритама iii v vii 1 Увод 1 2 Адамарове матрице Опште ознаке, поjмови и тврђења Основни поjмови и тврђења о Адамаровим матрицама Конструкциjе Силвестерова конструкциjа Палеjева конструкциjа Вилиjамсонова конструкциjа Баумерт/Хол конструкциjа Итова конструкциjа Ехлихова конструкциjа Геталс/Саjдл конструкциjа Агаjан/Сарукханjан конструкциjа Купер/Волис конструкциjа Jангова конструкциjа - Адамарове Коцке Програмска реализациjа и резултати Инсталациjа потребних пакета Примери генерисања матрица Резултати Закључак 49 Додатак 49 A Имплементациjа 51 B Табела добрих матрица 57 Библиографиjа 61 Конструкциjе Адамарових матрица iii
6
7 Листа слика 2.1 Адамарове матрице из примера Адамарова матрица реда 4 добиjена Силвестеровом конструкциjом Адамарова матрица реда 8 добиjена Палеj I конструкциjом Адамарова матрица реда 12 добиjена Палеj II конструкциjом Адамарова матрица реда 12 добиjена Вилиjамсовом конструкциjом Адамарова матрица реда 36 добиjена Баумерт/Xol конструкциjом Адамарова матрица реда 12 добиjена Итовом конструкциjом Адамарова матрица реда 36 добиjена Ехлиховом конструкциjом Адамарова матрица реда 28 добиjена Геталс/Саjдл конструкциjом Адамарова матрица реда 96 добиjена Агаjан/Сарукханjан конструкциjом Адамарова матрица реда 336 добиjена Купер/Волис конструкциjом Адамарова коцка реда 4 добиjена Jанговом конструкциjом Све слике су софтверски генерисане од стране аутора. Конструкциjе Адамарових матрица v
8
9 Имплементациjе алгоритама A.1 Силвестерова конструкциjа A.2 PaleyI и PaleyII конструкциjе A.3 Вилиjамсова конструкциjа A.4 Баумерт/Xol конструкциjа A.5 Итова конструкциjа A.6 Ехлихова конструкциjа A.7 Геталс/Саjдл конструкциjа A.8 Агаjан/Сарукханjан конструкциjа A.9 Купер/Волис конструкциjа Конструкциjе Адамарових матрица vii
10
11 Псеудокодови конструкциjа 1 Силвестерова конструкциjа Палеjова конструкциjа Вилиjамсовa конструкциjа Баумерт/Xol конструкциjа Ито конструкциjа Ехлихова конструкциjа Геталс/Саjдл конструкциjа Агаjан/Сарукханjан конструкциjа Купер/Волис конструкциjа Jангова конструкциjа Конструкциjе Адамарових матрица ix
12
13 Захвалница Желео бих да се захвалим свим члановима комисиjе а посебно ментору проф. др. Миодрагу Живковићу на указаноj помоћи, саветима и смерницама током израде овог рада. Захвалност дугуjем и моjоj породици на безусловноj подршци током свих ових година. Конструкциjе Адамарових матрица xi
14
15 Глава 1 Увод Адамаровa 1 матрицa jе квадратна матрица са елементима из скупа { 1, 1}, чиjе су сваке две различите врсте ортогоналне. Према Адамаровоj хипотези Адамарова матрица реда n се може конструисати за n = 1, 2 и за свако n дељиво са четири. Ова хипотеза jе jедан од наjпознатиjих нерешених проблема математике. У овом раду приказуjу се неке од важниjих метода конструкциjе Адамарових матрица. Уводи се поjам еквивалентности и излажу се неопходни математички поjмови и тврђења. Приказуjу се програмске реализациjе наведених конструкциjа. Адамарове матрице се примењуjу и изучаваjу како у науци тако и у различитим индустриjским гранама. Изразито су корисне приликом процесуирања сигнала различитих природа у телекомуникациjама, кодирању, комуникационим протоколима, криптографиjи и статистици. Акценат овог рада jе искључиво на описивању различитих конструкциjа Адарових матрица у циљу генерисања што већег броjа матрица различитих редова. 1 Jacques Salomon Hadamard ( ) - Француски математичар Конструкциjе Адамарових матрица 1
16
17 Глава 2 Адамарове матрице За сваку Адамарову матрицу потребно jе описати конструкциjу помоћу коjе jе она добиjена. Конструкциjе се често добиjаjу коришћењем знања из различитих математичких области. У овоj глави наводe сe основне опште ознаке, поjмови и тврђења и основне особине Адамарових матрица коjе се користе у конструкциjама коjе следе. 2.1 Опште ознаке, поjмови и тврђења Означићемо са: 1 низ (врсту) коjи се састоjи искључиво од jединица. A n [a(i, j)] или само A квадратну матрицу димензиjе n. A τ транспоновану матрицу матрице A. J n матрицу чиjи су сви елементи jединице. I n jединичну матрицу димензиjе n. x, y операциjу скаларног производа између x и y. Дефинициjа За матрицу A каже се да jе симетрична ако jе A = A τ. 2. За матрицу A каже се да jе косо симетрична ако jе A = A τ. Дефинициjа Траг матрице предстаља збир елемената на главноj диjагонали. tr(a) = a 11 + a a nn = n i=1 a ii Дефинициjа Mатрица A n [a(i, j)] 0 i,j<n реда n jе циклична ако jе:. a(i, j) = a(0, j i mod n) Дефинициjа Кронекеров производ две матрице A n m и B p q jе матрица C np mq a 11 B a 1n B C = A B =..... a m1 B a mn B Конструкциjе Адамарових матрица 3
18 ГЛАВА 2. АДАМАРОВЕ МАТРИЦЕ односно, a 11 b 11 a 11 b 12 a 11 b 1q a 1n b 11 a 1n b 12 a 1n b 1q a 11 b 21 a 11 b 22 a 11 b 2q a 1n b 21 a 1n b 22 a 1n b 2q a 11 b p1 a 11 b p2 a 11 b pq a 1n b p1 a 1n b p2 a 1n b pq. C = A B = a m1 b 11 a m1 b 12 a m1 b 1q a mn b 11 a mn b 12 a mn b 1q a m1 b 21 a m1 b 22 a m1 b 2q a mn b 21 a mn b 22 a mn b 2q a m1 b p1 a m1 b p2 a m1 b pq a mn b p1 a mn b p2 a mn b pq У следећоj леми наводе се неке од основних особина операциjе Кронекеровог производа коjе се користе у даљем раду приликом доказивања одређених тврђења. Лема За матрице A m n, B r s, C n p, D s t важи: 1. (A B)(C D) = AC BD. 2. (A B) τ = A τ B τ. Доказ. 1. a 11 B a 1n B c 11 D c 1p D (A B)(C D) = a m1 B a mn B c n1 D c np D n k=1 a 1kc k1 BD n k=1 a 1kc kp BD =..... = AC BD. n k=1 a mkc k1 BD n k=1 a mkc kp BD 2. a 11 B a 1n B (A B) τ =..... a m1 B a mn B τ a 11 B τ a m1 B τ =..... = A τ B τ. a 1n B τ a mn B τ Дефинициjа Ако jе k = i n 1 2 n 1 + i n 2 2 n i i 0, i j {0, 1} бинарни запис броjа k, онда се броjу k придружуjе вектор (i 0, i 1,..., i n 1 ) коjи се без опасности од забуне означава истом ознаком k. Дефинициjа Коначно поље F jе скуп од наjмање два елемента, са две операциjе + и, за коjи важе следеће аксиоме: 1. Скуп F формира Абелову (комутативну) групу за операциjу + и неутралом групе Скуп F = F {0} jе Абелова група за операциjу и неутралом групе Важи дистрибутивни закон: За свако a, b, c F важи (a+b) c = (a c)+(a b). 4 Конструкциjе Адамарових матрица
19 ГЛАВА 2. АДАМАРОВЕ МАТРИЦЕ Дефинициjа Коначно поље F p jе коначно поље коjе се састоjи од скупа R p = {0, 1,..., p 1} где jе p прост броj, са операциjама mod p и + mod p, односно након операциjе сабирања и множења резултат се своди по модулу простог броjа p. Специjално за p = 2, поље F 2 представља наjмање коначно поље чиjи елементи узимаjу вредности из скупа {0, 1} где су 0,1 редом адитивни и мултипликативни неутрали поља x + 0 = x, x 1 = x и операциjама сабирања и множења по модулу Основни поjмови и тврђења о Адамаровим матрицама Дефинициjа Адамарова матрица реда n je n n матрица H са елементима из { 1, 1} за коjу важи: односно производ свакe двe различитe врсте или колоне jе 0. HH τ = ni n (2.1) У следећоj леми наводе се основне особине Адамарових матрица. Лема Нека jе H Адамарова матрица реда n и нека jе M = Тачна су следећа тврђења: [ ] Ако jе матрица H добиjена заменом неке врсте или колоне матрице H, са истом врстом или колоном помноженом са 1, тада jе H Адамарова матрица. 2. H матрица jе такође Адамарова матрица. 3. H τ матрица jе такође Адамарова матрица. 4. Ако jе H Адамарова матрица реда m, Кронекеров производ H H jе Адамарова матрица реда m n. 5. За свако t 1, ( t i=1 M) H jе Адамарова матрица реда 2t n 6. Ако jе матрица H добиjена заменом било коjа двe врсте или колоне матрице H, матрица H jе Адамарова матрица. 7. Ако jе H n Адамарова матрица реда n > 2, n jе дељиво са 4. Доказ. 1. претпоставимо да се i-тa врста множи са 1. Скаларни производ i-те вресте са самом собом jе: n n ( H(i, k)) 2 = H(i, k) 2 = n k=1 k=1 док jе скаларни производ i-те врсте са j-том колоном: n H(i, k)h(k, j) = k=1 Слично се показуjе и за колоне матрица. n H(i, k)h(k, j) = 0 Конструкциjе Адамарових матрица 5 k=1
20 ГЛАВА 2. АДАМАРОВЕ МАТРИЦЕ 2. Непосредно се проверава применом на све врсте матрице H. 3. Нека jе H Адамарова матрица. (H t ) ((H t ) t ) = (H t H) t = (ni n ) t = ni n. 4. Нека су H, H Адамарове матрице редом реда m, n. На основу леме следи: (H H)(H H) τ = (H H)(H τ H τ ) = H H τ HH τ = mi m ni n = mni mn. 5. Пошто jе M Адамарова матрица, доказ следи применом тачке 4 ове теореме коначан броj пута. 6. Замена било коjе две врсте или колоне не утиче на ортогоналност, односно производ свака два различита реда или колоне остаjе 0, без обзира на замене. 7. За сваки елемент прве врсте коjи jе негативан, потребно jе помножити колону коjоj таj елемент припада са 1. На таj начин добиjа се матрица чиjи су сви елементи прве врсте jединице. Нека постоjи i колона коjе почињу са (1, 1, 1,... ), j колона коjе почињу са (1, 1, 1,... ), k колона коjе почињу са (1, 1, 1,... ) и l колона коjе почињу са (1, 1, 1,... ). С обзиром на то да су врсте ортогоналне добиjамо збирове: i + j + k + l = n i j + k l = 0 i + j k l = 0 i j k + l = 0 Решавањем система jедначина добиjа се да jе i = j = k = l, из чега непосредно следи да jе n = 4i, односно n jе дељиво са 4. Неке од наведених особина се користе за генерисање Адамарових матрица виших редова почев од jедноставниjих. Дефинициjа За Адамарове матрице H и H се каже да су еквивалентне ако се H може добити коначним низом замена врста, односно колона и променом знака врста, односно колона матрице H. Непосредно се може верификовати да наведена дефинициjа представља релациjу еквиваленциjе. Дефинициjа Нормализована Адамарова матрица jе Адамарова матрица у коjоj се почетна врста и колона састоjе само од +1. Прву конструкциjу Адамарових матрица обjавио jе Силвестер године. Теорема Нека jе H n Адамарова матрица реда n онда jе [ ] Hn H H 2n = n H n H n (2.2) такође Адамарова матрица реда 2n [2]. 1 James Joseph Sylvester ( ) - Енглески математичар 6 Конструкциjе Адамарових матрица
21 ГЛАВА 2. АДАМАРОВЕ МАТРИЦЕ Доказ. Тврђење jе непосредна последица леме Претпоставимо да jе H Адамарова матрица реда n. На основу леме , H τ jе такође Адамарова матрица и за обе матрице важи из полазне дефинициjе Адамарових матрица да jе HH τ = ni n. [ ] [ HH τ H H H τ H τ ] [ ] [ ] nin + ni = H H H τ H τ = n ni n ni n In 0 = 2n = 2nI ni n ni n ni n + ni n 0 I 2n. n (2.3) Овом конструкциjом се могу добити матрице реда 2 k, k = 1, 2,..., n. Пример Адамарове матрице реда 1,2 односно 4 су: [ ] [ ] 1 1 1,, Графички се Адамарове матрице могу представити тако што негативни елементи матрице представе црним а позитивни елементи белим квадратом. Графичка представа матрица из примера приказана jе следећоj слици: Слика 2.1: Адамарове матрице из примера Конструкциjе Адамарових матрица 7
22
23 Глава 3 Конструкциjе У овоj глави описане су наjзначаjниjе конструкциjе Адамарових матрица коjе генеришу велики броj различитих редова. За сваку конструкциjу излаже се неопходна математичка теориjа и примери. За већину конструкциjа доказана jе њихова коректност док тамо где jе доказ изостао наводи се референца. Свака конструкциjа jе праћена псеудокодом и графичком репрезентациjом Адамарове матрице коjу конструкциjа производи. 3.1 Силвестерова конструкциjа Силвестерова (Sylvester) конструкциjа генерише фамилиjу матрица реда 2 t : t 1. Као што jе речено, фамилиjа Адамарових матрица се jедноставно конструише тако што се итеративно примењуjе Кронекеров производ. H 1 = [ 1 ], H 2 = [ ] 1 1, H k = [ ] H2 k 1 H 2 k 1 = H H 2 k 1 H 2 H 2 k 1. 2 k 1 Jедан од начина погодан за рачунарско генерисање Силвестерових матрица се ослања на аритметику у коначном пољу F 2. Теорема Ако се елементи H 2 t индексираjу природним броjевима 0 i 2 t 1 где се i, j представе у бинарноj форми користећи дефинициjу (2.1.5), при чему i истовремено предстаља и вектор од t бинарних цифара броjа i, онда се може конструисати Силверстерова матрица реда 2 t користећи: H 2 t = [( 1) i,j ] 0 i,j 2 t 1. (3.1) Доказ. Нека су u, v врсте матрице H индексиране векторима x a, x b добиjене на основу дефинициjе (2.1.6): u = (( 1) x 1,x a,, ( 1) xn,xa ), v = (( 1) x 1,x b,, ( 1) xn,x b ). Непосредно се показуjе да jе x a, x b = n ( 1) x i,x a + x i,x b = i=1 n ( 1) x i,x a+x b. i=1 Ако jе a = b следи да jе скаларни проивод 0 и наведена сума jе n. У супротном x a + x b jе не-нула вредности и низ x 1, x a + x b,..., x n, x a + x b садржи подjеднаки броj нула и jединица на основу чега jе x a, x b = 0 што задовољава основну дефинициjу Адамарових матрица. Конструкциjе Адамарових матрица 9
24 ГЛАВА 3. КОНСТРУКЦИJЕ Пример Адамарова матрица реда n = 4 ( 1) 00,00 ( 1) 00,01 ( 1) 00,10 ( 1) 00,11 H 4 = ( 1) 01,00 ( 1) 01,01 ( 1) 01,10 ( 1) 01,11 ( 1) 10,00 ( 1) 10,01 ( 1) 10,10 ( 1) 10,11 ( 1) 11,00 ( 1) 11,01 ( 1) 11,10 ( 1) 11,11 Графичка репрезентациjа претходно добиjене матрице jе приказана на слици 3.1. Слика 3.1: Адамарова матрица реда 4 добиjена Силвестеровом конструкциjом. Следи алгоритам у псеудокоду коjи описуjе приказану конструкциjу. Алгоритам 1 Силвестерова конструкциjа 1: procedure Silvester(n) 2: Улаз: n - димензиjа Адамарове матрице коjу генеришемо. 3: H[h(i, j)] = 0 4: for i 1 to n do 5: for j 1 to n do 6: b i = binary(i) Бинарна репрезентациjа броjа i 7: b j = binary(j) Бинарна репрезентациjа броjа j 8: H[h(i, j)] ( 1) b i,b j 9: end for 10: end for 11: Излаз: H - Адамарова матрица добиjена Силвестеровом конструкциjом. 12: return H 13: end procedure 3.2 Палеjева конструкциjа Палеj (Paley 1 ) jе описао конструкциjу коjа jе поред Силвестерове конструкциjе jедна од наjзначаjниjих. Конструкциjа се заснива на квадратним остацима и Лежан- 1 Raymond Edward Alan Christopher Paley ( ) - Енглески математичар 10 Конструкциjе Адамарових матрица
25 ГЛАВА 3. КОНСТРУКЦИJЕ дровом симболу чиjе су дефинициjе описане у наставку. Дефинициjа Нека jе a Z n. Ako конгруенциjа x 2 a mod n има решење онда се за a каже да jе квадратни остатак по модулу n. Ако решење не постоjи онда се каже да a ниjе квадратни остатак по модулу n. Дефинициjа ( Нека jе a природан броj и нека jе p прост. Лежандров симбол, у ознаци a p) се дефише на следећи начин: ( ) a = p Следи дефинициjа Jакобшталове матрице: 1, ако jе a квадратни остатак 1, ako а ниjе квадратни остатак 0, ако jе a 0 (mod p) (3.2) Дефинициjа Нека jе F коначно поље реда p, где ( jе p степен простог броjа чиjи су елемененти i, 0 i p 1 и нека jе χ(a) = a p) квадратни остатак над пољем. Нека jе матрица Q, Jакобшталова матрица дефинисана изразом: χ(0 0) χ(0 1)... χ(0 j p 1 ) χ(1 0) χ(1 1)... χ(1 j p 1 ) Q = [χ(i, j)] 0 i,j p 1 = (3.3)... χ(i p 1 0) χ(i p 1 1)... χ(i p 1 j p 1 ) Наредна лема описуjе основне особине Jакобшталове матрице. Лема Нека jе Q = [χ(i, j)] 0 i,j p 1 Jакобшталова матрица. 1. Ако jе p 3 mod 4, матрица Q jе косо симетрична. 2. Ako je p 1 mod 4, матрица Q jе симетрична. 3. QJ p 1 = J p 1 Q = 0 4. QQ τ = (p 1)I p 1 J p 1 [ ] За матрицу S = 1 τ важи S 2 = si s+1. Q Доказ наведене леме може се видети у књизи [4]. Теорема Палеjева конструкциjа Адамарових матрица. Ако jе p 3 mod 4, онда jе P p = [ ] τ Q + I p (3.4) Адамаровa матрица реда p + 1 позната као Палеj I матрица. Ако jе p 1 mod 4, онда jе [ ] S + Ip+1 S I P p = p+1 S I p+1 S I p+1 (3.5) Адамаровa матрица реда 2(p + 1) позната као Палеj II матрица. Конструкциjе Адамарових матрица 11
26 ГЛАВА 3. КОНСТРУКЦИJЕ Доказ. Доказ се заснива на леми 3.2.1: Нека jе p 3 (mod 4) [ ] [ ] [ ] HH τ p = 1 τ Q + I p 1 τ Q τ = = (p + 1)I + I p 0 (p + 1)I p+1. p Нека jе p 1 (mod 4) [ ] [ ] [ ] HH τ S + Ip+1 S I = p+1 S + Ip+1 S I p+1 (2p + 2)Ip+1 0 = 2(p+1)I S I p+1 S I p+1 S I p+1 S I p+1 0 (2p + 2)I 2(p+ p+1 Пример Палеj I конструкциjа p = 7 Jакобшталова матрица: χ(0 0) χ(0 1) χ(0 2) χ(0 3) χ(0 4) χ(0 5) χ(0 6) χ(1 0) χ(1 1) χ(1 2) χ(1 3) χ(1 4) χ(1 5) χ(1 6) χ(2 0) χ(2 1) χ(2 2) χ(2 3) χ(2 4) χ(2 5) χ(2 6) Q = χ(3 0) χ(3 1) χ(3 2) χ(3 3) χ(3 4) χ(3 5) χ(3 6) = χ(4 0) χ(4 1) χ(4 2) χ(4 3) χ(4 4) χ(4 5) χ(4 6) χ(5 0) χ(5 1) χ(5 2) χ(5 3) χ(5 4) χ(5 5) χ(5 6) χ(6 0) χ(6 1) χ(6 2) χ(6 3) χ(6 4) χ(6 5) χ(6 6) = Након замене добиjене матрице у (3.4) добиjа се Адамарова матрица реда H 8 = Графичка репрезентациjа добиjене матрице jе приказана на слици Конструкциjе Адамарових матрица
27 ГЛАВА 3. КОНСТРУКЦИJЕ Слика 3.2: Адамарова матрица реда 8 добиjена Палеj I конструкциjом. Пример Paley II конструкциjа p = 5 Jакобшталова матрица Q и матрица S: χ(0 0) χ(0 1) χ(0 2) χ(0 3) χ(0 4) χ(1 0) χ(1 1) χ(1 2) χ(1 3) χ(1 4) Q = χ(2 0) χ(2 1) χ(2 2) χ(2 3) χ(2 4) χ(3 0) χ(3 1) χ(3 2) χ(3 3) χ(3 4) = χ(4 0) χ(4 1) χ(4 2) χ(4 3) χ(4 4) S = Након замене матрица Q и S y (3.5) добиjа се матрица реда n = 12: H = Графичка репрезентациjа добиjене матрице jе приказана на слици 3.3 Следећи псеудокод прегледно описуjе Палеjеву конструкциjу. Конструкциjе Адамарових матрица 13
28 ГЛАВА 3. КОНСТРУКЦИJЕ Алгоритам 2 Палеjова конструкциjа 1: procedure Paley(q) 2: Ca симболом 0 означавамо матрицу коjа се састоjи само од 0. 3: Улаз: q - Прост броj 4: P 0 5: Q [ 0 ] 0 1 6: S 1 τ Q 7: Конструкциjа Jакобшталове матрице 8: for i 1 to q do 9: for j 1 to q do 10: Q[q(i, j)] χ(i j) 11: end for 12: end for 13: if q 3 mod 4 then 14: Генерисање Палеj I матрице [ ] : P 1 τ Q + I p 16: else if q 1 mod 4 then 17: Генерисање Палеj II матрице [ ] S + Ip+1 S I 18: P p+1 S I p+1 S I p+1 19: Излаз: P - Адамарове матрица добиjена Палеjовом конструкциjом. 20: return P 21: else 22: return null 23: end if 24: end procedure 14 Конструкциjе Адамарових матрица
29 ГЛАВА 3. КОНСТРУКЦИJЕ Слика 3.3: Адамарова матрица реда 12 добиjена Палеj II конструкциjом. 3.3 Вилиjамсонова конструкциjа Конструкциjа се заснива на проналажењу матрица коjе задовољаваjу одређени скуп услова. Вилиjамсон (Williamson 2 ) je обjавио ову конструкциjу године [5], међутим њена моћ постаjе доступна са развоjем рачунарства, паралелних и дистрибуираних алгоритама коjи врше потрагу за матрицама на основу следеће леме: Лема Нека су A, B, C, D симетричне матрице чиjи су елементи -1 или +1 реда n за коjе важи: XY τ = Y X τ, X, Y {A, B, C, D}. (3.6) и AA τ + BB τ + CC τ + DD τ = 4nI n (3.7) Тада jе матрица Адамаровa матрица реда 4n. A B C D B A D C C D A B (3.8) D C B A Доказ. Нека су A,B,C,D матрице задате као у претходноj леми. На основу jедна- 2 John Williamson ( ) - Енглески математичар Конструкциjе Адамарових матрица 15
30 ГЛАВА 3. КОНСТРУКЦИJЕ кости 3.7 и дефинициjе важи: τ A B C D A B C D HH τ = B A D C B A D C C D A B C D A B = D C B A D C B A = (A 2 + B 2 + C 2 + D 2 ) = = (AA τ + BB τ + CC τ + DD τ ) = 4nI n. (3.9) Важан део конструкциjе jе проналажење матрица из претходне леме. У раду се користе већ познати мањи редови коjи се могу преузети из веб архиве Х. Коуковинуса [6]. Наведена архива садржи познате матрице реда n 63 и такође су представљене у додатку Б овог рада. Поменуте матрице поседуjу разне корисне особине и jако су важне с обзиром на то да се могу користити и у другим конструкциjама. Пример Адамарова матрица реда 12 добиjена Вилиjамсовом методом. У следећем примеру користе се системи матрица A,B,C,D реда n = 3 коjе задовољаваjу услове леме и такође су део претходно наведене архиве A = 1 1 1, B = C = D = С обзиром на то да су матрице B, C, D jеднаке и да су све симетричне A = A τ, B = B τ, C = C τ, D = D τ, довољно jе проверити да важи: AA + BB + CC + DD = AA + 3BB = 12I, AB = BA Непосредно се проверава да jе: AB = = BA AA = 3 3 3, BB = 1 3 1, AA + 3BB = = 12I Заменом матрица A, B, C, D у (3.8) добиjа се Адамарова матрица H Конструкциjе Адамарових матрица
31 ГЛАВА 3. КОНСТРУКЦИJЕ H 12 = Графичка репрезентациjа добиjене матрице jе приказана на слици 3.4 Слика 3.4: Адамарова матрица реда 12 добиjена Вилиjамсовом конструкциjом. Конструкциjе Адамарових матрица 17
32 ГЛАВА 3. КОНСТРУКЦИJЕ Псеудокод Вилиjамсове конструкциjе: Алгоритам 3 Вилиjамсовa конструкциjа 1: procedure Wiliamson(A,B,C,D) 2: Улаз: A,B,C,D матрице коjе задовољаваjу (3.6) A B C D 3: H B A D C C D A B D C B A 4: if AA τ + BB τ + CC τ + DD τ = 4nI n then 5: Излаз: H - Адамарове матрица добиjена Вилиjамсовом конструкциjом 6: return H 7: else 8: return null 9: end if 10: end procedure 3.4 Баумерт/Хол конструкциjа Теорема Нека су A,B,C,D симетричне матрице чиjи су сви елементи -1 ili +1 реда n коjе међусобно комутираjу. Баумерт/Хол (Baumert 3 /Hall 4 ) Aдамарова матрица реда H реда 12n jе матрица следећег облика. A A A B B C C D B C D D A A B A B D D C B D C C A B A A D D B B C D C C B A A A D D D C C B B C B D D D A A A C C B C B B C D D A A C A D C B B H =, (3.10) D C B B A C A A B C D D C D C D C A A A D B B B D C B B B C C D A A A D D B C C C B B D A A D A C B C C D B D B A D A A C D D C C B B B D A A A тако да за матрице важи: AA τ + BB τ + CC τ + DD τ = tr(h). Доказ. Непосредно се проверава да се множењем Баумерт/Хол Адамарове матрице са њеним транспонатом добиjа матрица чиjи су сви елементи осим елемената на главноj диjагонали 0. H = (3A 2 + 3B 2 + 3C 2 + 3D 2 )I n С обзиром на то да су матрице A,B,C,D симетричне, слично као што jе показано у доказу важи: 3A 2 + 3B 2 + 3C 2 + 3D 2 = 3 (AA τ + BB τ + CC τ + DD τ ) = 3 4nI n = 12nI n. Пример Адамарова матрица реда 36 добиjена методом. 3 Leonard Daniel Baumert - Амерички математичар 4 Marshall Hall, Jr. ( ) - Амерички математичар 18 Конструкциjе Адамарових матрица
33 ГЛАВА 3. КОНСТРУКЦИJЕ Конструкциjа матрице реда n = 36 постиже се коришћењем матрица A, B, C, D из примера (3.3.1). С обзиром на то да важи B = C = D услов комутативности jе испуњен ако jе AB = BA, што jе такође показано у (3.3.1). Траг матрице jе AA τ + BB τ + CC τ + DD τ = 36, и HH τ = 36I 36 Cви услови теореме су испуњени па се заменом матрица A, B, C, D у (3.10) добиjа се Адамарова матрица реда n = H36 = Графичка репрезентациjа добиjене матрице jе приказана на слици 3.5. Слика 3.5: Адамарова матрица реда 36 добиjена Баумерт/Xol конструкциjом. Псеудокод коjи описуjе наведену конструкциjу: Конструкциjе Адамарових матрица 19
34 ГЛАВА 3. КОНСТРУКЦИJЕ Алгоритам 4 Баумерт/Xol конструкциjа 1: procedure BaumertHall(A,B,C,D) 2: Улаз: A,B,C,D матрице коjе међусобно комутираjу A A A B B C C D B C D D A A B A B D D C B D C C A B A A D D B B C D C C B A A A D D D C C B B C B D D D A A A C C B C B B C D D A A C A D C B B 3: H D C B B A C A A B C D D C D C D C A A A D B B B D C B B B C C D A A A D D B C C C B B D A A D A C B C C D B D B A D A A C D D C C B B B D A A A 4: Провера услова леме за матрице A,B,C,D 5: trace tr(aa τ + BB τ + CC τ + DD τ ) 6: H t HH τ 7: if H t (h t (i, i)) = trace, за свако i then 8: return H 9: else 10: return null 11: end if 12: end procedure 3.5 Итова конструкциjа Слично као Вилиjамсова, Итова 5 конструцкиjа се заснива на проналажењу матрица коjе испуњаваjу одређени скуп услова. Матрице добиjене Итовом методом се такође у литератури срећу као матрице типа Q. Лема Aко постоjе симетричне цикличне матрице A, B, C, D реда n чиjи су сви елементи -1 или +1 за коjе важи: AB τ + CD τ = BA τ + DC τ (3.11) тада jе матрица: A B C D H = B A D C C τ D τ A τ B τ (3.12) D τ C τ B τ A τ Адамаровa матрицa reda 4n. Доказ. Претпоставимо да jе матрица H Адамарова матрица. Непосредно се проверава да jе HH τ = (A 2 + B 2 + C 2 + D 2 )I n С обзиром на то да су матрице A,B,C,D симетричне важи: HH τ = (A 2 + B 2 + C 2 + D 2 )I n = (AA τ + BB τ + CC τ + DD τ ) = 4nI n. 5 Noboru Ito - Jапански Математичар 20 Конструкциjе Адамарових матрица
35 ГЛАВА 3. КОНСТРУКЦИJЕ У публикованом раду[7] Ито користи матрице добиjене Paley II методом. Наводи се jедноставниjи пример где се користе A, B, C, D матрице из (3.4). Пример Адамарова матрица реда 12 добиjена Итовом методом. Нека jе: A = 1 1 1, B = C = D = С обзиром на то да су матрице A, B, C, D цикличне и симетричне услови леме се своде на: AB τ = BA τ Лако се показуjе да: AB τ = = BA τ Заменом матрица A, B, C, D у (3.12) добиjа се Адамарова матрица H H 12 = Графичка репрезентациjа добиjене матрице приказана на слици 3.6 Слика 3.6: Адамарова матрица реда 12 добиjена Итовом конструкциjом. Конструкциjе Адамарових матрица 21
36 ГЛАВА 3. КОНСТРУКЦИJЕ Алгоритам 5 Ито конструкциjа 1: procedure Ito(A,B,C,D) 2: Улаз: Цикличне A,B,C,D матрице A B C D 3: H B A D C C D τ A τ B τ D τ C τ B τ A τ 4: if AB τ + CD τ = BA τ + DC τ then 5: return H 6: else 7: return null 8: end if 9: end procedure 3.6 Ехлихова конструкциjа Ехлихова конкстукциjа се заснива на следећоj теореми: Теорема Нека jе A m = [(a(i, j)] косо симетрична матрица димензиjа m где за елементе важи a ii = 0, a ij = ±1, j i и A m A τ m = A 2 m = mi m J m. (3.13) Нека jе J[j(k, l)] = +1 матрица чиjи су сви елементи jеднаки +1. симетрична матрица облика тако да важи: [ ] Hn = 1 τ I n + G Ако jе G косо (3.14) и нека jе К косо симетрична Адамарова матрица реда n + 1 и (n 2) = m = q 1 mod 4 где jе q степен простог броjа, при чему важи: K = A m G + I m (I n J n ) + J m I n (3.15) тада jе H Адамарова матрица реда (n 1) 2 [ ] 1 1 H = 1 τ K (3.16) За доказ видети [8]. У следећем примеру матрице A, G су Jакобшталове матрице коjе се добиjаjу Paley I и Paley II методома са q = 7 и q = 5 односно над F 7 и F 5 коjе се срећу у примерима и Пример Адамарова матрица реда 36 добиjена методом Ехлиха A = , G = Конструкциjе Адамарових матрица
37 ГЛАВА 3. КОНСТРУКЦИJЕ Лако се проверава да важи AA τ = A = 5I 5 J 5 = Даље jе: A G = K = Конструкциjе Адамарових матрица 23
38 ГЛАВА 3. КОНСТРУКЦИJЕ H36 = Графичка репрезентациjа добиjене матрице jе приказана на слици 3.7 Слика 3.7: Адамарова матрица реда 36 добиjена Ехлиховом конструкциjом. Псеудокод коjи описуjе наведену конструкциjу: 24 Конструкциjе Адамарових матрица
39 ГЛАВА 3. КОНСТРУКЦИJЕ Алгоритам 6 Ехлихова конструкциjа 1: procedure Echlich(A,G) 2: Улаз: Матрице A, G добиjене нпр. Палеj I и Палеj II методама 3: if AA τ = A 2 then 4: K = A m G + I m (I n J n ) + J m I n 5: Излаз: Адамарова матрица добиjена Ехлиховом конструкциjом [ ] 1 1 6: return 1 τ K 7: else 8: return null 9: end if 10: end procedure 3.7 Геталс/Саjдл конструкциjа Геталс-Саjдл (Goethals 6 /Seidel 7 ) конструкциjа представља генерализациjу Вилиjамсове конструкциjе. Адамарове матрице добиjене овом методом се такође називаjу Геталс/Саjдл матрице. Теорема Нека су A, B, C, D цикличне матрице реда n тако да важи: AA τ + BB τ + CC τ + DD τ = 4nI n (3.17) Нека jе матрица R, таква да су jоj jедини не-нула елементи jединице на споредноj диjагонали. { 1, ако i + j = n + 1 R = [r(i, j)] (3.18) 0, у супротном Геталс-Саjдл матрица jе Адамарова матрица следећег облика: A BR CR DR H = BR A D τ R C τ CR D τ R A B τ R (3.19) DR C τ R B τ R A За доказ видети [9]. С обзиром на то да су матрице A, B, C, D цикличне тj. одређене своjом првом врстом довољно им jе специфицирати прву врсту. Потрага за почетним врстама ових матрица jе непосредно повезана са аутокорелационим функциjама. Дефинициjа За задат низ A = (a 0, a 1,..., a n 1 ) дужине n, непериодична аутокорелациона функциjа N A jе задата изразом n 1 s a i a i+s, s = 0, 1,..., n 1 N A (s) = i=0 (3.20) 0, ако jе s n. Дефинициjа Четири низа A, B, C, D чиjи су сви елементи -1 или +1 редом дужине n + p, n + p, n, n су базни низови ако: (N A + N B + N C + N D )(s) = 0, s 1. (3.21) 6 J. M. Goethals - Холандски математичар 7 Johan Jacob Seidel ( ) - Холандски математичар Конструкциjе Адамарових матрица 25
40 ГЛАВА 3. КОНСТРУКЦИJЕ Дефинициjа Четири низа A, B, C, D чиjи су сви елементи -1 или +1 дужине n су такозвани Т низови ако: (N A + N B + N C + N D )(s) = 0, s 1. (3.22) Дефинициjа Четири низа X, Y, Z, W чиjи су сви елементи -1 или +1 редом дужине n, n, n, n 1 су такозвани Туринови низови ако: (N X + N Y + 2N Z + 2N W )(s) = 0, s 1. (3.23) Ако са 0 n означимо нула низ дужине n, коришћењем следеће теореме, коjа се наводи без доказа, могуће jе конструисати Т низове од базних, и базне од Туринових низова. Теорема Нека су A, B, C, D базни низови реда n + p, n + p, n, n тада су низови: ( 1 2 (A + B), 0 n)), ( 1 2 (A B), 0 n)), (0 n+p, 1 2 (C + D)), (0 n+p, 1 (C D)) 2 Т низови дужине 2n + p, 2n + p, 2n + p, 2n + p. Идеjа на коjоj се конструкциjа заснива jе да се генеришу четири цикличне матрице T 1, T 2, T 3, T 4 од t низова t 1, t 2, t 3, t 4, и да се матице A, B, C, D: A = T 1 + T 2 + T 3 + T 4 B = T 1 + T 2 + T 3 T 4 C = T 1 T 2 + T 3 + T 4 D = T 1 + T 2 T 3 + T 4 замене у (3.19). На таj начин се добиjа матрица реда 4n. За доказ видети [9]. Занимљива чињеница jесте да jе Адамарова матрица H 428 конструисана овом методом [1]. Туринови низови су генерисани користећи кластер од шеснаест 2.6GHz рачунара и дванаест сати рачунарског времена. Оваj напор jе као резултат дао до тада непознате Туринове низове реда 36, 36, 36, 35. Пример Адамарова матрица реда 28 добиjена методом Геталс-Саjдл. Следећи базни низови су преузете из базе [6]. У овоj архиви се могу наћи Туринови низови димензиjа до 36. Нека су a = (1, 1, 1, 1), b = (1, 1, 1, 1), c = (1, 1, 1), d = (1, 1, 1) базни низови редом реда 4, 4, 3, 3, следи да jе n = 3 и p = 1. Користећи Теорему (3.7.2) четири T низа реда 2n + p = 7 су: t 1 = (1, 1, 1, 0, 0, 0, 0) t 2 = (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0) t 3 = (0, 0, 0, 0, 1, 0, 1) t 4 = (0, 0, 0, 0, 0, 1, 0) На основу (2.1.4) формираjу се чикличне матрице T 1, T 2, T 3, T T 1 = , Конструкциjе Адамарових матрица
41 ГЛАВА 3. КОНСТРУКЦИJЕ T 2 = , T 3 = , T 4 = Полазећи од матрица T 1, T 2, T 3, T 4, добиjаjу се матрице A, B, C, D: A = , B = , C = , D = Непосредно се проверава да jе AA τ + BB τ + CC τ + DD τ = = 4 7I и матрица R има jединице на споредноj диjагонали R = Конструкциjе Адамарових матрица 27
42 ГЛАВА 3. КОНСТРУКЦИJЕ Заменом матрицa A, B, C, D, R у (3.19) добиjа се Адамарова матрица: H 28 = Графичка репрезентациjа добиjене матрице jе: Слика 3.8: Адамарова матрица реда 28 добиjена Геталс/Саjдл конструкциjом. Псеудокод коjи описуjе наведену конструкциjу: 28 Конструкциjе Адамарових матрица
43 ГЛАВА 3. КОНСТРУКЦИJЕ Алгоритам 7 Геталс/Саjдл конструкциjа 1: procedure Circular(t) 2: A[a(i, j)] = 0 3: n = length(t) Величина матрице jе одређена дужином Туринових низова 4: for i 1 to n do 5: for j 1 to n do 6: A[a(i, j)] A[a(0, (j i) mod n)] 7: end for 8: end for 9: Излаз: Циркуларна матрица 10: return A 11: end procedure 1: procedure GoethalSeidel(t1,t2,t3,t4) 2: Улаз: Туринови низови t1, t2, t3, t4 3: A Circular(t1) 4: B Circular(t2) 5: C Circular(t3) 6: D Circular(t4) 7: Генерисање R матрице { 8: R[r(i, j)] [r(i, j)] 1, ако i + j = n + 1 0, у супротном 9: if AA τ + BB τ + CC τ + DD τ = 4nI n then 10: Излаз: Адамарова матрица добиjена Геталс/Саjдл конструкциjом A BR CR DR BR A D τ R C τ 11: return 12: else 13: return null 14: end if 15: end procedure CR D τ R A B τ R DR C τ R B τ R A Конструкциjе Адамарових матрица 29
44 ГЛАВА 3. КОНСТРУКЦИJЕ 3.8 Агаjан/Сарукханjан конструкциjа Агаjан/Сарукханjан (Agaian /Sarukhanyan) конструкциjа представља jедноставну конструкциjу коjа се заснива на следећоj теореми. Теорема Нека су H 1 и H 2 Адамарове матрице редом реда 4h, 4k. Тада постоjи Адамарова матрица реда 8hk. Доказ. Потребно jе записати матрице H 1, H 2 на следећи начин: [ ] P Q H 1 = R S [ ] K L H 2 = M N С обзиром на то да jе H 1 H τ 1 = 4hI и H 2H τ 2 = 4kI, непосредно се показуjе да важи: P P τ + QQ τ = RR τ + SS τ = 2hI, P R τ + QS τ = RP τ + SQ τ = 0 KK τ + LL τ = MM τ + NN τ = 2kl, KM τ + LN τ = MK τ + NL τ = 0 Тада jе матрица H Адамарова матрица реда 8hk облика: 1 2 H = (P + Q) K (P Q) M 1 2 (P + Q) L (P Q) N (3.24) 1 2 (R + S) K (R S) M 1 2 (R + S) L (R S) N Што се непосредно проверава израчунавањем производа HH τ. Пример Конструше се Адамарова матрица реда H 96, (8 4 3), коришћењем Силвестерове матрице H 16 (4 4) и матрице H 12 (4 3) добиjене Палеj II конструкциjом. Силвестерова матрица: H 16 = Палеj II матрица: 30 Конструкциjе Адамарових матрица
45 ГЛАВА 3. КОНСТРУКЦИJЕ H 12 = Партиционисањем матрице H 16 на матрице P, Q, R, S добиjа се: P = Q = R = S = Партиционисањем матрице H 12 на матрице K, L, M, N добиjа се: K = L = M = N = Добиjени делови су: Конструкциjе Адамарових матрица 31
46 ГЛАВА 3. КОНСТРУКЦИJЕ 1 2 (P + Q) K (P Q) M = (P + Q) L (P Q) N = (R + S) K (R S) M = (R + S) L (R S) N = Конструкциjе Адамарових матрица
47 ГЛАВА 3. КОНСТРУКЦИJЕ Након замене добиjених партициjа у (3.24), добиjа се Адамарова матрица реда На следећоj слици приказана jе графичка репрезентациjа добиjене матрице. Слика 3.9: Адамарова матрица реда 96 добиjена Агаjан/Сарукханjан конструкциjом. Псеудокод конструкциjе. Конструкциjе Адамарових матрица 33
48 ГЛАВА 3. КОНСТРУКЦИJЕ Алгоритам 8 Агаjан/Сарукханjан конструкциjа 1: procedure AgayanSarukhanyan(H 1, H 2 ) 2: Улаз: H 1, H 2 - Адамарове матрице реда редом 4h, 4k. 3: P, Q, R, S partition(h 1 ) Одређуjу се партициjе матрице H 1. 4: K, L, M, N partition(h 2 ) Одређуjу се партициjе матрице H 2. 5: Одређивање градивиних матрица финалне Адамарове матрице. 6: T (P + Q) K (P Q) M 7: T (P + Q) L (P Q) N 8: T (R + S) K (R S) M 9: T (R + S) L (R S) N [ ] T1 T 10: H 2 T 3 T 4 11: Излаз: Адамарова матрица реда 8hk 12: return H 13: end procedure 3.9 Купер/Волис конструкциjа Купер/Bолис (Cooper/Wallis) конструкциjа представља комбинациjу Вилиjамсонове и Геталс/Саjдл конструкциjе. Теорема Нека су X, Y, Z, W матрице реда n добиjене Вилиjамсоновом конструкциjом, и T 1, T 2, T 3, T 4 цикличне матрице реда m добиjене од четири Т секвенце дужине m. Заменом матрица A = T 1 X + T 2 Y + T 3 Z + T 4 W (3.25) B = T 1 Y + T 2 X + T 3 W + T 4 Z (3.26) C = T 1 Z + T 2 W + T 3 X + T 4 Y (3.27) D = T 1 W + T 2 Z + T 3 Y + T 4 X (3.28) у Геталс/Саjдл матрицу (3.19) тj. конкретно: добиjа се Адамарова матрица реда 4nm. За доказ видети [10]. A BR CR DR H = BR A D τ R C τ CR D τ R A B τ R DR C τ R B τ R A Пример Адамарова матрица реда 336 добиjена методом Купер/Волис. Кори- 34 Конструкциjе Адамарових матрица
49 ГЛАВА 3. КОНСТРУКЦИJЕ сти се матрица реда 12 добиjена Вилиjамсоновом конструкциjом из примера (3.3.1) H 12 = X = Y = Z = W = и 4 Т матрице добиjене из примера (3.7.1) Геталс/Саjдл конструкциjе: T 1 = , T 2 = T 3 = , T 4 = Заменом матрица X, Y, Z, W, T 1, T 2, T 3, T 4 у jеднакости ( ) добиjаjу се матрице A,B,C,D, након чега се заменом матрица A,B,C,D у Геталс/Саjдл матрицу добиjа Адамарова матрица реда 336. На следећоj слици приказана jе графичка репрезентациjа добиjене матрице. Међурачун и коначна матрица су изостављене због превеликих димензиjа. Конструкциjе Адамарових матрица 35
50 ГЛАВА 3. КОНСТРУКЦИJЕ Слика 3.10: Адамарова матрица реда 336 добиjена Купер/Волис конструкциjом. Алгоритам 9 Купер/Волис конструкциjа 1: procedure CooperWallis(X, Y, Z, W, T 1, T 2, T 3, T 4 ) 2: Улаз: X,Y,Z,W- Адамарове матрице добиjена Вилиjамсоновом конструкциjом. 3: Улаз: T 1... T 4 - T матрице. 4: A T 1 X + T 2 Y + T 3 Z + T 4 5: B T 1 Y + T 2 X + T 3 W + T 4 Z 6: C T 1 Z + T 2 W + T 3 X + T 4 Y 7: D T 1 W + T 2 Z + T 3 Y + T 4 X 8: n dim(a) 9: Генерисање матрице R { 1, ако i + j = n : R[r(i, j)] [r(i, j)] 0, у супротном A BR CR DR 11: H = BR A D τ R C τ CR D τ R A B τ R 12: return H 13: end procedure DR C τ R B τ R A 36 Конструкциjе Адамарових матрица
Tестирање хипотеза. 5.час. 30. март Боjана Тодић Статистички софтвер март / 10
Tестирање хипотеза 5.час 30. март 2016. Боjана Тодић Статистички софтвер 2 30. март 2016. 1 / 10 Монте Карло тест Монте Карло методе су методе код коjих се употребљаваjу низови случаjних броjева за извршење
Διαβάστε περισσότερα1.2. Сличност троуглова
математик за VIII разред основне школе.2. Сличност троуглова Учили смо и дефиницију подударности два троугла, као и четири правила (теореме) о подударности троуглова. На сличан начин наводимо (без доказа)
Διαβάστε περισσότεραСеминарски рад из линеарне алгебре
Универзитет у Београду Машински факултет Докторске студије Милош Живановић дипл. инж. Семинарски рад из линеарне алгебре Београд, 6 Линеарна алгебра семинарски рад Дата је матрица: Задатак: a) Одредити
Διαβάστε περισσότερα2. Наставни колоквијум Задаци за вежбање ОЈЛЕРОВА МЕТОДА
. колоквијум. Наставни колоквијум Задаци за вежбање У свим задацима се приликом рачунања добија само по једна вредност. Одступање појединачне вредности од тачне вредности је апсолутна грешка. Вредност
Διαβάστε περισσότεραТеорија електричних кола
др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, вежбе, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 7. Теорија електричних кола i i i Милка Потребић др Милка Потребић, ванредни професор,
Διαβάστε περισσότεραналазе се у диелектрику, релативне диелектричне константе ε r = 2, на међусобном растојању 2 a ( a =1cm
1 Два тачкаста наелектрисања 1 400 p и 100p налазе се у диелектрику релативне диелектричне константе ε на међусобном растојању ( 1cm ) као на слици 1 Одредити силу на наелектрисање 3 100p када се оно нађе:
Διαβάστε περισσότερα2.3. Решавање линеарних једначина с једном непознатом
. Решимо једначину 5. ( * ) + 5 + Провера: + 5 + 0 5 + 5 +. + 0. Број је решење дате једначине... Реши једначину: ) +,5 ) + ) - ) - -.. Да ли су следеће једначине еквивалентне? Провери решавањем. ) - 0
Διαβάστε περισσότεραг) страница aa и пречник 2RR описаног круга правилног шестоугла јесте рац. бр. јесу самерљиве
в) дијагонала dd и страница aa квадрата dd = aa aa dd = aa aa = није рац. бр. нису самерљиве г) страница aa и пречник RR описаног круга правилног шестоугла RR = aa aa RR = aa aa = 1 јесте рац. бр. јесу
Διαβάστε περισσότεραГЕОМЕТРИJСКА СВОJСТВА АНАЛИТИЧКИХ ФУНКЦИJА
УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ МАСТЕР РАД ГЕОМЕТРИJСКА СВОJСТВА АНАЛИТИЧКИХ ФУНКЦИJА Аутор Бобан Карапетровић Ментор проф. Миодраг Матељевић Jул, 04. Садржаj Увод Ознаке Schwarz-ова лема на
Διαβάστε περισσότεραПоложај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ.
VI Савијање кружних плоча Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама и ϕ слика 61 Диференцијална једначина савијања кружне плоче је: ( ϕ) 1 1 w 1 w 1 w Z, + + + + ϕ ϕ K Пресечне
Διαβάστε περισσότεραпредмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА
Висока техничка школа струковних студија у Нишу предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА Садржај предавања: Систем
Διαβάστε περισσότερα7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ
7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7.1. ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ху = n (n N) Диофантова једначина ху = n (n N) има увек решења у скупу природних (а и целих) бројева и њено решавање није проблем,
Διαβάστε περισσότεραCook-Levin: SAT је NP-комплетан. Теодор Најдан Трифунов 305M/12
Cook-Levin: SAT је NP-комплетан Теодор Најдан Трифунов 305M/12 1 Основни појмови Недетерминистичка Тјурингова машина (НТМ) је уређена седморка M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0,, ) Q коначан скуп стања контролног механизма
Διαβάστε περισσότερα1 Неодрђеност и информациjа
Теориjа информациjе НЕОДРЂЕНОСТ И ИНФОРМАЦИJА Неодрђеност и информациjа. Баца се фер новичић до прве поjаве писма. Нека jе X случаjна величина коjа представља броj потребних бацања. Наћи неодређеност случаjне
Διαβάστε περισσότεραПрви корак у дефинисању случајне променљиве је. дефинисање и исписивање свих могућих eлементарних догађаја.
СЛУЧАЈНА ПРОМЕНЉИВА Једнодимензионална случајна променљива X је пресликавање у коме се сваки елементарни догађај из простора елементарних догађаја S пресликава у вредност са бројне праве Први корак у дефинисању
Διαβάστε περισσότεραb) Израз за угиб дате плоче, ако се користи само први члан реда усвојеног решења, је:
Пример 1. III Савијање правоугаоних плоча За правоугаону плочу, приказану на слици, одредити: a) израз за угиб, b) вредност угиба и пресечних сила у тачки 1 ако се користи само први члан реда усвојеног
Διαβάστε περισσότεραКРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице.
КРУГ У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. Архимед (287-212 г.п.н.е.) 6.1. Централни и периферијски угао круга Круг
Διαβάστε περισσότεραМонте Карло Интеграциjа
Монте Карло Интеграциjа 4.час 22. март 2016. Боjана Тодић Статистички софтвер 2 22. март 2016. 1 / 22 Монте Карло методе Oве нумеричке методе код коjих се употребљаваjу низови случаjних броjева за извршење
Διαβάστε περισσότεραМАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА
Београд, 21.06.2014. За штап приказан на слици одредити најмању вредност критичног оптерећења P cr користећи приближан поступак линеаризоване теорије другог реда и: а) и један елемент, слика 1, б) два
Διαβάστε περισσότεραСкупови (наставак) Релације. Професор : Рака Јовановић Асиситент : Јелена Јовановић
Скупови (наставак) Релације Професор : Рака Јовановић Асиситент : Јелена Јовановић Дефиниција дуалне скуповне формуле За скуповне формулу f, која се састоји из једног или више скуповних симбола и њихових
Διαβάστε περισσότεραСИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ
СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ 8.. Линеарна једначина с две непознате Упознали смо појам линеарног израза са једном непознатом. Изрази x + 4; (x 4) + 5; x; су линеарни изрази. Слично, линеарни
Διαβάστε περισσότερα2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ
2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ 2.1. МАТЕМАТИЧКИ РЕБУСИ Најједноставније Диофантове једначине су математички ребуси. Метод разликовања случајева код ових проблема се показује плодоносним, јер је раздвајање
Διαβάστε περισσότεραАксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011
Аксиоме припадања Никола Томовић 152/2011 Павле Васић 104/2011 1 Шта је тачка? Шта је права? Шта је раван? Да бисмо се бавили геометријом (и не само геометријом), морамо увести основне појмове и полазна
Διαβάστε περισσότεραАнализа Петријевих мрежа
Анализа Петријевих мрежа Анализа Петријевих мрежа Мере се: Својства Петријевих мрежа: Досежљивост (Reachability) Проблем досежљивости се састоји у испитивању да ли се може достићи неко, жељено или нежељено,
Διαβάστε περισσότερα7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде
математик за VIII разред основне школе 4. Прво наћи дужину апотеме. Како је = 17 cm то је тражена површина P = 18+ 4^cm = ^4+ cm. 14. Основа четворостране пирамиде је ромб чије су дијагонале d 1 = 16 cm,
Διαβάστε περισσότεραВектори vs. скалари. Векторске величине се описују интензитетом и правцем. Примери: Померај, брзина, убрзање, сила.
Вектори 1 Вектори vs. скалари Векторске величине се описују интензитетом и правцем Примери: Померај, брзина, убрзање, сила. Скаларне величине су комплетно описане само интензитетом Примери: Температура,
Διαβάστε περισσότεραЗАШТИТА ПОДАТАКА Шифровање јавним кључем и хеш функције. Diffie-Hellman размена кључева
ЗАШТИТА ПОДАТАКА Шифровање јавним кључем и хеш функције Diffie-Hellman размена кључева Преглед Биће објашњено: Diffie-Hellman размена кључева 2/13 Diffie-Hellman размена кључева први алгоритам са јавним
Διαβάστε περισσότεραРепублика Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 013/014. година ТЕСТ
Διαβάστε περισσότερα6.2. Симетрала дужи. Примена
6.2. Симетрала дужи. Примена Дата је дуж АВ (слика 22). Тачка О је средиште дужи АВ, а права је нормална на праву АВ(p) и садржи тачку О. p Слика 22. Права назива се симетрала дужи. Симетрала дужи је права
Διαβάστε περισσότεραПараметарски и непараметарски тестови
Параметарски и непараметарски тестови 6.час 12. април 2016. Боjана Тодић Статистички софтвер 4 12. април 2016. 1 / 25 Поступци коjима се применом статистичких метода утврђуjе да ли се, на основу узорка
Διαβάστε περισσότεραПрост случаjан узорак (Simple Random Sampling)
Прост случаjан узорак (Simple Random Sampling) 3.час 10. март 2016. Боjана Тодић Теориjа узорака 10. март 2016. 1 / 25 Прост случаjан узорак без понављања Random Sample Without Replacement - RSWOR Ово
Διαβάστε περισσότεραУниверзитет у Београду Математички факулет. Фибоначиjев хип и примене
Универзитет у Београду Математички факулет Фибоначиjев хип и примене Мастер рад име и презиме Мила Ратковић броj индекса 1010/2012 школска година професор др Миодраг Живковић датум 2 Садржаj 1 Увод 5 2
Διαβάστε περισσότεραЕкстремне статистике поретка и примjене у неживотном осигурању
Математички факултет Универзитет у Београду МАСТЕР РАД Екстремне статистике поретка и примjене у неживотном осигурању Студент: 1039/2015 Ментор: др Павле Младеновић 10.11.2016. Садржаj 1 Увод 1 2 Значаj
Διαβάστε περισσότερα6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c
6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c Ако су а, b и с цели бројеви и аb 0, онда се линеарна једначина ах + bу = с, при чему су х и у цели бројеви, назива линеарна Диофантова једначина. Очигледно
Διαβάστε περισσότεραРепублика Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки
Διαβάστε περισσότεραУпутство за избор домаћих задатака
Упутство за избор домаћих задатака Студент од изабраних задатака области Математике 2: Комбинаторика, Вероватноћа и статистика бира по 20 задатака. Студент може бирати задатке помоћу програмског пакета
Διαβάστε περισσότεραПредмет: Задатак 4: Слика 1.0
Лист/листова: 1/1 Задатак 4: Задатак 4.1.1. Слика 1.0 x 1 = x 0 + x x = v x t v x = v cos θ y 1 = y 0 + y y = v y t v y = v sin θ θ 1 = θ 0 + θ θ = ω t θ 1 = θ 0 + ω t x 1 = x 0 + v cos θ t y 1 = y 0 +
Διαβάστε περισσότεραНестандардна анализа као почетна настава анализе
Математички факултет Универзитет у Београду Нестандардна анализа као почетна настава анализе Мастер рад Ментор: др Небоjша Икодиновић Студент: Лазар Коковић Београд, 2016. Садржаj 1 Мотивациjа 2 2 Основи
Διαβάστε περισσότεραЛогистичка регресиjа
Логистичка регресиjа 4.час 22. март 2016. Боjана Тодић Статистички софтвер 4 22. март 2016. 1 / 26 Логистичка расподела Логистичка расподела jе непрекидна расподела вероватноће таква да jе њена функциjа
Διαβάστε περισσότεραРЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x,
РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, Већи број: 1 : 4x + 1, (4 бода) Њихов збир: 1 : 5x + 1, Збир умањен за остатак: : 5x = 55, 55 : 5 = 11; 11 4 = ; + 1 = 45; : x = 11. Дакле, први број је 45
Διαβάστε περισσότερα3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни
ТАЧКА. ПРАВА. РАВАН Талес из Милета (624 548. пре н. е.) Еуклид (330 275. пре н. е.) Хилберт Давид (1862 1943) 3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни Настанак геометрије повезује
Διαβάστε περισσότεραРешења задатака са првог колоквиjума из Математике 1Б II група задатака
Решења задатака са првог колоквиjума из Математике Б II група задатака Пре самих решења, само да напоменем да су решења детаљно исписана у нади да ће помоћи студентима у даљоj припреми испита, као и да
Διαβάστε περισσότερα8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2
8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х + у = z Један од најзанимљивијих проблема теорије бројева свакако је проблем Питагориних бројева, тј. питање решења Питагорине Диофантове једначине. Питагориним бројевима или
Διαβάστε περισσότερα1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1
1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 Метод разликовања случајева је један од најексплоатисанијих метода за решавање математичких проблема. У теорији Диофантових једначина он није свемогућ, али је сигурно
Διαβάστε περισσότεραЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА. k, k 0), осна и централна симетрија и сл. 2, x 0. У претходном примеру неке функције су линеарне а неке то нису.
ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА 5.. Функција = a + b Функционалне зависности су веома значајне и са њиховим применама често се сусрећемо. Тако, већ су нам познате директна и обрнута пропорционалност ( = k; = k, k ),
Διαβάστε περισσότεραОБЛАСТИ: 1) Тачка 2) Права 3) Криве другог реда
ОБЛАСТИ: ) Тачка ) Права Jov@soft - Март 0. ) Тачка Тачка је дефинисана (одређена) у Декартовом координатном систему са своје две коодринате. Примери: М(5, ) или М(-, 7) или М(,; -5) Jov@soft - Март 0.
Διαβάστε περισσότεραЗАШТИТА ПОДАТАКА. Шифровање јавним кључем и хеш функције. Diffie-Hellman размена кључева
ЗАШТИТА ПОДАТАКА Шифровање јавним кључем и хеш функције Diffie-Hellman размена кључева Преглед Биће објашњено: Diffie-Hellman размена кључева 2 Diffie-Hellman размена кључева први алгоритам са јавним кључем
Διαβάστε περισσότεραМАСТЕР РАД УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ. Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ
УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ МАСТЕР РАД Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ МЕНТОР: КАНДИДАТ: Проф. др Драгољуб Кечкић Милинко Миловић
Διαβάστε περισσότεραТеорија електричних кола
Др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, вежбе, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 7. Теорија електричних кола Милка Потребић Др Милка Потребић, ванредни професор,
Διαβάστε περισσότεραАНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИJА. Владица Андреjић ( ) УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ БЕОГРАД 2015.
АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИJА Владица Андреjић (01-03-2015) УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ БЕОГРАД 2015. Глава 1 Вектори у геометриjи 1.1 Увођење вектора Поjам вектора у еуклидскоj геометриjи можемо
Διαβάστε περισσότερα8.2 ЛАБОРАТОРИЈСКА ВЕЖБА 2 Задатак вежбе: Израчунавање фактора појачања мотора напонским управљањем у отвореној повратној спрези
Регулциј електромоторних погон 8 ЛАБОРАТОРИЈСКА ВЕЖБА Здтк вежбе: Изрчунвње фктор појчњ мотор нпонским упрвљњем у отвореној повртној спрези Увод Преносн функциј мотор којим се нпонски упрвљ Кд се з нулте
Διαβάστε περισσότερα(1) Дефиниција функције више променљивих. Околина тачке (x 0, y 0 ) R 2. График и линије нивоа функције f: (x, y) z.
Дефиниција функције више променљивих Околина тачке R График и линије нивоа функције : Дефиниција Величина се назива функцијом променљивих величина и на скупу D ако сваком уређеном пару D по неком закону
Διαβάστε περισσότεραТРАПЕЗ РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ. Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце
РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ ТРАПЕЗ Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце Ментор :Криста Ђокић, наставник математике Власотинце, 2011. године Трапез
Διαβάστε περισσότεραПисмени испит из Метода коначних елемената
Београд,.0.07.. За приказани билинеарни коначни елемент (Q8) одредити вектор чворног оптерећења услед задатог линијског оптерећења p. Користити природни координатни систем (ξ,η).. На слици је приказан
Διαβάστε περισσότεραФакултет организационих наука Центар за пословно одлучивање. PROMETHEE (Preference Ranking Organization Method for Enrichment Evaluation)
Факултет организационих наука Центар за пословно одлучивање PROMETHEE (Preference Ranking Organization Method for Enrichment Evaluation) Студија случаја D-Sight Консултантске услуге за Изградња брзе пруге
Διαβάστε περισσότερα4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима
50. Нацртај било које унакрсне углове. Преношењем утврди однос унакрсних углова. Какво тврђење из тога следи? 51. Нацртај угао чија је мера 60, а затим нацртај њему унакрсни угао. Колика је мера тог угла?
Διαβάστε περισσότερα6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23
6.3. Паралелограми 27. 1) Нацртај паралелограм чији је један угао 120. 2) Израчунај остале углове тог четвороугла. 28. Дат је паралелограм (сл. 23), при чему је 0 < < 90 ; c и. c 4 2 β Сл. 23 1 3 Упознајмо
Διαβάστε περισσότεραПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Јун 2003.
Природно-математички факултет 7 ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Јун 00.. Одредити све вредности параметра m за које су оба решења једначине x x + m( m 4) = 0 (a) реална; (b) реална и позитивна. Решење: (а) [ 5, + (б) [
Διαβάστε περισσότεραЈедна од централних идеја рачунарства Метода која решавање проблема своди на решавање проблема мање димензије
Рекурзија Једна од централних идеја рачунарства Метода која решавање проблема своди на решавање проблема мање димензије Рекурзивна функција (неформално) је функција која у својој дефиницији има позив те
Διαβάστε περισσότεραВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ
ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ предмет: ОСНОВИ МЕХАНИКЕ студијски програм: ЗАШТИТА ЖИВОТНЕ СРЕДИНЕ И ПРОСТОРНО ПЛАНИРАЊЕ ПРЕДАВАЊЕ БРОЈ 2. Садржај предавања: Систем сучељних сила у равни
Διαβάστε περισσότεραТЕОРИЈА ИГАРА-ЈАМБ Матурски рад из математике
XII БЕОГРАДСКА ГИМНАЗИЈА ТЕОРИЈА ИГАРА-ЈАМБ Матурски рад из математике Ученица Исидора Ивановић Професорка Марина Радовановић Београд јун 2016. Садржај Резиме 1 Увод 1 Пермутације 2 Варијације 3 Вероватноће
Διαβάστε περισσότεραНумеричко решавање парцијалних диференцијалних једначина и интегралних једначина
Нумеричко решавање парцијалних диференцијалних једначина и интегралних једначина Метода мреже за Дирихлеове проблеме Метода мреже се приближно решавају диференцијалне једначине тако што се диференцијална
Διαβάστε περισσότεραУНАПРЕЂИВАЊЕ SMT РЕШАВАЧА КОРИШЋЕЊЕМ CSP ТЕХНИКА И ТЕХНИКА ПАРАЛЕЛИЗАЦИJЕ
УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ Милан Банковић УНАПРЕЂИВАЊЕ SMT РЕШАВАЧА КОРИШЋЕЊЕМ CSP ТЕХНИКА И ТЕХНИКА ПАРАЛЕЛИЗАЦИJЕ докторска дисертациjа Београд, 2016. UNIVERSITY OF BELGRADE FACULTY
Διαβάστε περισσότερα6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре
0 6.. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре У обичном говору се често каже да су неки предмети симетрични. Примери таквих објеката, предмета, геометријских
Διαβάστε περισσότεραУниверзитет у Београду Математички факултет
Универзитет у Београду Математички факултет Катедра за рачунарство и информатику мастер рад Анализа излазног низа генератора RC4 студент: Јована Радуловић ментор: др Миодраг Живковић Београд 2015. Садржај
Διαβάστε περισσότεραРепублика Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Тест Математика Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 00/0. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА
Διαβάστε περισσότεραУНУТРАШЊЕ И СПОЉАШЊЕ СИМЕТРИЈЕ У РИМАНОВОЈ ГЕОМЕТРИЈИ
УНИВЕРЗИТЕТ У КРАГУЈЕВЦУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ Александар Шебековић УНУТРАШЊЕ И СПОЉАШЊЕ СИМЕТРИЈЕ У РИМАНОВОЈ ГЕОМЕТРИЈИ Докторска дисертација Крагујевац, 2016. година I. Аутор Име и презиме:
Διαβάστε περισσότεραРепублика Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 0/06. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА
Διαβάστε περισσότεραЗБИРКА РЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ИЗ МАТЕМАТИКЕ
Универзитет у Крагујевцу Машински факултет Краљево ЗБИРКА РЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ИЗ МАТЕМАТИКЕ Краљево, март 011. године 1 Публикација Збирка решених задатака за пријемни испит из математике
Διαβάστε περισσότεραI Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ
Штa треба знати пре почетка решавања задатака? АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ I Линеарне једначине Линеарне једначине се решавају по следећем шаблону: Ослободимо се разломка Ослободимо се заграде Познате
Διαβάστε περισσότεραРепублика Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 01/01. година ТЕСТ
Διαβάστε περισσότεραTAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА
TЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА Два тачкаста наелектрисања оптерећена количинама електрицитета и налазе се у вакууму као што је приказано на слици Одредити: а) Вектор јачине електростатичког поља у тачки А; б) Електрични
Διαβάστε περισσότεραПредавање I. Владимир Божовић. Курс криптографиjе Одсjек за математику Природно-математички факултет
Одсjек за математику Природно-математички факултет Курс криптографиjе 2011. Како таjну сачувати таjном? Шта jе криптографиjа? Историjски осврт Пориjекло риjечи криптографиjа jе грчко, а састоjи се од риjечи
Διαβάστε περισσότεραРотационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске
Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске слика. У свакој тачки посматране средње површи, у општем случају, постоје два компонентална померања: v - померање у правцу тангенте на меридијалну
Διαβάστε περισσότερα5.2. Имплицитни облик линеарне функције
математикa за VIII разред основне школе 0 Слика 6 8. Нацртај график функције: ) =- ; ) =,5; 3) = 0. 9. Нацртај график функције и испитај њен знак: ) = - ; ) = 0,5 + ; 3) =-- ; ) = + 0,75; 5) = 0,5 +. 0.
Διαβάστε περισσότερα4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА
4. Закон великих бројева 4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА Аксиоматска дефиниција вероватноће не одређује начин на који ће вероватноће случајних догађаја бити одређене у неком реалном експерименту. Зато треба наћи
Διαβάστε περισσότεραУвод у теориjу игара и игра инспекциjе
proba Математички институт у Београду Увод у теориjу игара и игра инспекциjе Лука Павловић Београд, 12. маj 2017. proba Увод у Теориjу Игара 1 Увод у Теориjу Игара Теориjа игара jе грана математике коjа
Διαβάστε περισσότεραОснове теорије вероватноће
. Прилог А Основе теорије вероватноће Основни појмови теорије вероватноће су експеримент и исходи резултати. Најпознатији пример којим се уводе појмови и концепти теорије вероватноће је бацање новчића
Διαβάστε περισσότεραПисмени испит из Теорије површинских носача. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама.
Београд, 24. јануар 2012. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама. dpl = 0.2 m P= 30 kn/m Линијско оптерећење се мења по синусном закону: 2. За плочу
Διαβάστε περισσότεραМАСТЕР РАД. Увођење полинома у старијим разредима основне школе. Математички факултет. Универзитет у Београду. Студент: Милица Петровић.
Математички факултет Универзитет у Београду МАСТЕР РАД Увођење полинома у старијим разредима основне школе Студент: Милица Петровић Београд, 2016. Ментор: проф. др Александар Липковски, ред. проф. Чланови
Διαβάστε περισσότεραРепублика Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ПРОБНИ ЗАВРШНИ ИСПИТ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ
Διαβάστε περισσότερα4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова
4 Троугао (II део) Хилберт Давид, немачки математичар и логичар Велики углед у свету Хилберту је донело дело Основи геометрије (1899), у коме излаже еуклидску геометрију на аксиоматски начин Хилберт Давид
Διαβάστε περισσότεραЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА, са додатком теорије
ГРАЂЕВИНСКА ШКОЛА Светог Николе 9 Београд ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА са додатком теорије - за II разред IV степен - Драгана Радовановић проф математике Београд СТЕПЕНОВАЊЕ И КОРЕНОВАЊЕ
Διαβάστε περισσότεραИСПИТИВАЊЕ СВОJСТАВА КОМПЛЕКСНИХ МРЕЖА СА ДИСКРЕТНОМ ДИНАМИКОМ
УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ ЕЛЕКТРОТЕХНИЧКИ ФАКУЛТЕТ Jелена М. Смиљанић ИСПИТИВАЊЕ СВОJСТАВА КОМПЛЕКСНИХ МРЕЖА СА ДИСКРЕТНОМ ДИНАМИКОМ докторска дисертациjа Београд, 2017 UNIVERSITY OF BELGRADE SCHOOL OF ELECTRICAL
Διαβάστε περισσότεραУниверзитет у Београду Математички факултет. Virtual Library of Faculty of Mathematics - University of Belgrade. Мастер рад
Универзитет у Београду Математички факултет Мастер рад Тема: Проблеми засновани на познатим темама из историје математике Ментор: Небојша Икодиновић, доцент Комисија:. Зоран Петровић, ван. проф. Студент:
Διαβάστε περισσότεραОд површине троугла до одређеног интеграла
Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.i.ac.rs/mii Математика и информатика (4) (5), 49-7 Од површине троугла до одређеног интеграла Жарко Ђурић Париске комуне 4-/8, Врање
Διαβάστε περισσότεραАУТОМАТСКО РЕШАВАЊЕ КОНСТРУКТИВНИХ ПРОБЛЕМА У ГЕОМЕТРИJИ
УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ Весна Маринковић АУТОМАТСКО РЕШАВАЊЕ КОНСТРУКТИВНИХ ПРОБЛЕМА У ГЕОМЕТРИJИ докторска дисертациjа Београд, 2015. UNIVERSITY OF BELGRADE FACULTY OF MATHEMATICS
Διαβάστε περισσότεραРепублика Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 014/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА
Διαβάστε περισσότεραМеханика флуида Б - уводни поjмови
Механика флуида Б - уводни поjмови Александар Ћоћић Машински факултет Београд Александар Ћоћић (MФ Београд) MФБ-01 1 / 11 Информациjе o предмету, професору, итд. Александар Ћоћић, доцент email: acocic@mas.bg.ac.rs
Διαβάστε περισσότερα2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван
2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван Човек је за своје потребе градио куће, школе, путеве и др. Слика 1. Слика 2. Основа тих зграда је често правоугаоник или сложенија фигура (слика 3). Слика 3.
Διαβάστε περισσότεραМастер рад. Гребнерове базе. Аутор: Јелена Јовичић Број индекса: 1033/2008. Ментор: Доцент др Зоран Петровић. Математички факултет Београд 2010.
Мастер рад Гребнерове базе Аутор: Јелена Јовичић Број индекса: /8 Ментор: Доцент др Зоран Петровић Математички факултет Београд. Резиме Рад пред вама је мастер рад судента Математичког факултета у Београду,
Διαβάστε περισσότεραРепублика Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 011/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО
Διαβάστε περισσότεραТеорија друштвеног избора
Теорија друштвеног избора Процедура гласања је средство избора између више опција, базирано на подацима које дају индивидуе (агенти). Теорија друштвеног избора је студија процеса и процедура доношења колективних
Διαβάστε περισσότερα1 ПРОСТОР МИНКОВСКОГ
1 ПРОСТОР МИНКОВСКОГ 1.1 Простор Минковског. Поjам Лоренцове трансформациjе. Лоренцове трансформациjе на векторима и дуалним векторима. На самом почетку увешћемо координатни систем (t, x, y, z) на следећи
Διαβάστε περισσότεραВаљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ:
Ваљак ВАЉАК P=B + M V= B H B= r p M=rp H Pосн.пресека = r H. Површина омотача ваљка је π m, а висина ваљка је два пута већа од полупрчника. Израчунати запремину ваљка. π. Осни пресек ваљка је квадрат површине
Διαβάστε περισσότεραХомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x)
ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? Врсте диференцијалних једначина. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНА ЈЕДНАЧИНА КОЈА РАЗДВАЈА ПРОМЕНЉИВЕ Код ове методе поступак је следећи: раздвојити
Διαβάστε περισσότεραПовршине неких равних фигура
Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.rs/mii Математика и информатика 3() (5), -6 Површине неких равних фигура Жарко Ђурић Париске комуне 4-/8, Врање zarkocr@gmail.com
Διαβάστε περισσότεραДанка Вујанац. Бојење графова. мастер рад
Данка Вујанац Бојење графова мастер рад Нови Сад, 2015 Садржај Предговор... 2 Увод... 3 Глава 1. Основни појмови графа... 5 Глава 2. Бојење чворова... 11 Глава 3. Бојење грана... 22 Глава 4. Бојење планарних
Διαβάστε περισσότεραШтампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике, 1. део, Електростатика
Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике део Страна пасус први ред треба да гласи У четвртом делу колима променљивих струја Штампарске грешке у четвртом издању уџбеника Основи електротехнике
Διαβάστε περισσότεραИНФОРМАЦИJА ПЕРЦЕПЦИJЕ слобода, демократиjа и физика
ИНФОРМАЦИJА ПЕРЦЕПЦИJЕ слобода, демократиjа и физика Растко Вуковић Радна верзиjа текста! Економски институт Бања Лука, 2016. Радна верзиjа (2017) Растко Вуковић: ИНФОРМАЦИJА ПЕРЦЕПЦИJЕ - слобода, демократиjа
Διαβάστε περισσότερα