(1) Дефиниција функције више променљивих. Околина тачке (x 0, y 0 ) R 2. График и линије нивоа функције f: (x, y) z.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "(1) Дефиниција функције више променљивих. Околина тачке (x 0, y 0 ) R 2. График и линије нивоа функције f: (x, y) z."

Transcript

1 Дефиниција функције више променљивих Околина тачке R График и линије нивоа функције : Дефиниција Величина се назива функцијом променљивих величина и на скупу D ако сваком уређеном пару D по неком закону коресподенције одговара нека одређена вредност променљиве : D RR ={ : R R} E R RR D E R Дефиниција Скуп свих уређених парова за које у смислу закона коресподенције постоји R = назива се област дефинисаности функције = Дефиниција Скуп свих реалних бројева који у смислу закона коресподенције одговарају свим могућим уређеним паровима из области дефинисаности D функције = представља скуп вредности функције = Дефиниција Функција : D E је једнозначна ако D! D = Дефиниција Ако свакој уређеној -торки G по неком закону коресподенције одговара реалан број = кажемо да је функција променљивих R G E R График функције Дефиниција Ниво линијом функције = назива се скуп тачака у равни O за које функција има исту вредност тј важи = Скуп ниво линија за више различитих константних вредности чини мрежу ниво линија функције =

2 Околина тачке Кружна околина: Скуп свих тачака М таквих да је d < тј да важи { : } Тај скуп је унутрашњост круга са центром у тачки и полупречником Квадратна околина: Скуп тачака М за које важи { : } Тачка се налази у пресеку дијагонала квадрата а страница квадрата има дужину Околина у -димензионом простору: - d = сфера са центром у тачки и полупречником < - { : } пресеком дијагонала у хиперкоцка странице са центром

3 Гранична вредност функције више променљивих Непрекидност Низ тачака у равни O задаје се преко бројних низова { } и { } Дефиниција Низ тачака конвергира тачки ако d Тачка је гранична тачка низа тачака Теорема Неопходан и довољан услов да низ тачака конвергира тачки јесте да Доказ довољан услов: Претпоставомо да важи Како је d = неопходан услов: Претпоставимо Из тога следи да d = Како је Дефиниција Ако за произвољан низ тачака из области дефинисаности који конвергира ка тачки низ одговарајућих вредности увек конвергира истом броју тада се тај број назива граничном вредношћу функције у тачки l l Непрекидност функција више променљивих Дефиниција За функцију = = дефинисану у тачки и некој њеној околини кажемо да је непрекидна у ако је l l тј ако за свако > постоји => тако да је

4 Ако је функција више променљивих дефинисана у области G кажемо да је непрекидна на области ако је непрекидна у свакој тачки те области Ако функција више променљивих није дефинисана у или не важи l тада функција има прекид у Дефиниција За функцију = = кажемо да је равномерно непрекидна на области D ако за свако > постоји => тако да за произвољне тачке из D важи d

5 Тотални и парцијални прираштаји функције више променљивих Дефиниција парцијалних извода првог реда прираштај аргумента у тачки је = прираштај аргумента у тачки је = Дефиниција Тотални прираштај функције = у тачки је где је са координатама = + и = + Ако се мења једна од променљивих а друга је фиксирана добијамо парцијалне прираштаје по и Дефиниција Ако постоје коначне граничне вредности количника парцијалних прираштаја функције у тачки са одговарајућим прираштајима независне променљиве кад оне теже нули тада се те граничне вредности називају парцијалним изводима функције у тачки Ознаке: cos l cos l Геометријско тумачење: За функцију више променљивих: cos l

6 4 Дефиниција парцијалних извода првог реда функције више променљивих Парцијални изводи вишег реда Дефиниција Ако постоје коначне граничне вредности количника парцијалних прираштаја функције у тачки са одговарајућим прираштајима независне променљиве кад оне теже нули тада се те граничне вредности називају парцијалним изводима функције у тачки Ознаке: cos l cos l Геометријско тумачење: За функцију више променљивих: cos l За функцију = њени парцијални изводи и су такође функције параматра и Парцијални изводи парцијалних извода су парцијални изводи другог реда функције = : извод другог реда по ; мешовити парц изводи II реда извод другог реда по Парцијални изводи III реда су парцијални изводи по и за парцијалне изводе II реда Парцијални изводи -тог реда су парцијални изводи по и за парцијалне изводе --ог реда

7 5 Довољан услов за Доказ Теорема Ако су мешовити парцијални изводи II реда и функције у свакој тачки области D онда је у свакој унутрашњој тачки те области функције непрекидне Доказ: Нека је произвољна тачка у унутрашњости области D Онда је и цео правоугаоник где је у области D за довољно мале и Посматрајмо израз: Нека је где су и параметри Тада је А = + - Према Лагранжевој теореми о средњој вредности по : А = + При томе је Применом Лагранжеве теореме о средњој вредности по добија се: тј Слично: и су параметри Тада је А = + - Ако се два пута примени Лагранжева теорема о средњој вредности прво по па по добија се Због непрекидности функција и добија се кад да је

8 6 Дефиниција диференцијабилности функције више променљивих Довољан услов диференцијабилности Доказ Теорема Ако функција = у некој тачки и некој њеној околини има парцијалне изводе који су непрекидни у тада где зависе од и кад Доказ: На основу дефиниције тоталног прираштаја парцијални прираштај по парцијални прираштај по у тачки + у тачки Применом Лагранжеве теореме: тј добија се где је < < < < при чему + + кад Због непрекидности парцијалних извода у тачки важи и тј кад Теорема Ако су у тачки непрекидни парцијални изводи тада је и функција непрекидна у тачки Доказ: Према теореми и функције и сва четири сабирка теже нули кад Како је према дефиницији тоталног прираштаја то је l Дефиниција Ако тотални прираштај функције = у тачки може да се напише у облику где кад тада је функција = диференцијабилна у тачки Свака функција која у има непрекидне парцијалне изводе је диференцијабилна у тој тачки

9 7 Тотални диференцијал функције више променљивих Диференцијали вишег реда Дефиниција За функцију = која је диференцијабилна у тачки главни део тоталног прираштаја се зове тотални диференцијал Ознака: d d d где пишемо d = d = Код диференцијабилне функције = d + + кад Код функције променљивих = ако су сви парцијални изводи = непрекидни у некој тачки израз d d d представља главни део прираштаја функције = и зове се тотални диференцијал дате функције d Слично као и код функције две променљиве може се показати да је разлика d између тоталног прираштаја и тоталног диференцијала дате функције бесконачно мала вишег реда у односу на растојање d Правила за рад са диференцијалима за функције и v више променљивих: Такође ако је d = d+d тада је d v d v d v d dv dv vd vd dv v и То се може видети ако узмемо напр d = d = и d = d = На основу теореме d где је d d d Тако се добија приближна формула

10 Диференцијали вишег реда Дефиниција Диференцијалом другог реда функције = назива се диференцијал тоталног диференцијала дате функције тј d = dd који се израчунава уз претпоставку да су d и d константни Ако су d и d константни dd = dd = па је d d d d d d d d d d d d d d d d d dd dd d Када су мешовити парцијални изводи непрекидни тј једнаки онда је d dd d d -Трећи дифернцијал; диференцијал тог реда: d = dd ; d = dd - под претпоставком да су d и d константни За непрекидне мешовите парцијалне изводе: d dd d d d d -За функцију три параметра = други диференцијал је једнак кад су мешовити парцијални изводи непрекидни: dd dd dd d d d d Напомена: Ако је Cd dd d d онда се може показати да је C

11 8 Потребан и довољан услов да израз d + Q d представља тотални диференцијал функције Доказ *не треба већ неколико година*

12 9 Диференцијали вишег реда функције више променљивих Дефиниција Диференцијалом другог реда функције = назива се диференцијал тоталног диференцијала дате функције тј d = dd који се израчунава уз претпоставку да су d и d константни Ако су d и d константни dd = dd = па је d d d d d d d d d d d d d d d d d dd dd d Када су мешовити парцијални изводи непрекидни тј једнаки онда је d dd d d -Трећи дифернцијал; диференцијал тог реда: d = dd ; d = dd - под претпоставком да су d и d константни За непрекидне мешовите парцијалне изводе: d dd d d d d -За функцију три параметра = други диференцијал је једнак кад су мешовити парцијални изводи непрекидни: dd dd dd d d d d Напомена: Ако је Cd dd d d онда се може показати да је C

13 Парцијални изводи сложене функције Ако је дата функција = v где су и v функције независно променљивих и тј = v = v тада је сложена функција аргумената и v Израчунаћемо и под претпоставком да v = v = v имају непрекидне парцијалне изводе диференцијабилне су Ако се аргумент фиксира а има прираштај онда су прираштаји функција и v по променљивој : и v Прираштај функције = v по променљивој због диференцијабилности v v v дељењем са добија се v v v Како су функције = и v = v непрекидне ако онда и v а такође Како је l l v v l заменом у претходном изразу се добија v v Слично ако се аргумент фиксира а има прираштај онда се добија v v У општем случају = = = може се доказати тј k k И k =

14 Теорема о егзистенцији имплицитне функције Доказ Теорема Ако је дата једначина = и ако функција има следећа својства: су дефинисане и непрекидне у правоугаонику R : a a b b = За = cos је монотоно растућа или опадајућа функција по -тада ће једначином = у неком правоугаонику R : бити дефинисана имплицитна функција која је непрекидна и непрекидно диференцијабилна у интервалу + и при томе је = Доказ: Претпоставимо да је > Због непрекидности постоји околина тачке например квадрат са страницом чије се дијагонале секу у у којој у свим тачкама важи > - За = функција кад варира од до + = < за < < > за < < + - < Због непрекидности функције је непрекидна по променљивој за фиксирано = па у довољно малој околини + тачке важи < за свако > слично као и малопре за фиксирано = + постоји довољно мала околина + тако да + > за свако + За = { } важи < + > за свако + - Ако за произвољно * + мењамо од до + тада је * непрекидна функција променљиве која на крајевима одсечка N * N * + има вредности различитог знака По Коши Болцановој теореми постоји * + такво да је * * = Како је * по то је * јединствено = * + : * * =

15 - Како је * произвољно изабрано + + : = тј на правоугаонику R : једначина = дефинише као имплицитну функцију од = и при том због = важи =

16 Тангентна раван и нормала површи Ако пресечемо површ S равнима = и = D добијамо криве L и L на површи S Њихове тангенте у заједничкој тачки S T и T имају једначине = = = = где је g T O g T O Дефиниција Нека је S глатка површ а L и L криве дуж којих равни = и = секу S Раван која садржи тангенте T и T тих кривих у њиховој заједничкој тачки зове се тангентна раван површи S у тачки На основу једначина за T и T добија се једначина тангентне равни је пројекција тачке на раван O Дефиниција Права N која је у датој додирној тачки глатке површи S и њене тангентне равни нормална на ову раван зове се нормала површи S у датој тачки вектор правца нормале има координате - па је једначина те праве Ако је глатка површ S дата једначином = где је = тада па је Према томе једначина тангентне равни површи S у је а једначина нормале површи S у је

17 При томе вредности извода треба узети у тачки Теорема Ако крива L лежи на површи S тада тангента криве L у тачки припада тангентној равни површи S у тачки Доказ: Нека је површ S задата са = а крива L параметарски са = = = тако да за = : = = = тј крива пролази кроз тачку Ако L лежи на S онда = па важи d d d d d d тј Како ово важи за све тачке криве L важи и за па је Лева страна једнакости је скаларни производ вектора r и вектора при чему су вредности пројекције координате тангентног вектора криве L у а вектор e ортогоналан на тангентну раван површи S у тачки На основу једнакости вектори и r су ортогонални а то значи да r припада тангентној равни

18 Векторска функција скаларног аргумента Нека је дата векторска функција r = r дефинисана и непрекидна у некој просто повезаној области простора R Вектор r = O је радијус вектор тачке Ако може да се успостави веза између координата тачке и неког параметра [ ] R: = = = где су непрекидне функције параметра тада су те једначине параметарске једначине криве L коју описује крај вектора r = r чији је почетак фиксиран за утврђену тачку када се параметар непрекидно мења на интервалу Тако добијена крива L се назива ходограф векторске функције r = r Ако се векторска функција напише у развијеном облику r= + + k онда како су координате векторске функције непрекидне функције по то је l l l а за вектор r k кажемо да је гранична вредност вектора r = r тј l r r l r r Одавде се добија l и l r r Дефиниција Ако су и + две тачке криве L са радијус векторима r и r+ тада је r+ r = r прираштај векторске функције r који одговара прираштају параметра а вектор r r r представља средњу брзину промене векторске функције r на интервалу и орјентисан је на ону страну на коју параметар расте Дефиниција Претпоставимо да је векторска функција r непрекидна у интервалу [ ] Ако постоји l количника r када тада се та гранична вредност зове извод векторске функције r по скаларној променљивој dr d r r l l r r Вектор d dr тј r је тангентни вектор криве L и има правац тангенте на ходографу а смер на ону страну на коју параметар расте Дефиниција Ако је векторска функција r диференцијабилна главни део њеног прираштаја r представља диференцијал векторске функције r dr dr r r d d

19 4 Скаларно поље Дефиниција Ако је у простору променљивих R { : R} у свакој тачки неке просто повезане области задата вредност скаларне величине која зависи од координата тачке тада кажемо да је у области задато скаларно поље а функција је скаларна функција тачке Скаларна функција је стационарна ако не зависи од времена Ако зависи и од и од она је нестационарна Дефиниција Ниво-површ скаларног поља представља скуп тачака области у којима функција има исту константну вредност = C Кроз сваку тачку поља у којој је непрекидна и једнозначна функција пролази по једна и само једна ниво-површ

20 5 Извод функције више променљивих у смеру датог вектора Веза градијента и извода у смеру датог вектора Доказ Нека је функцијом задато поље у области и нека из произвољне тачке полази вектор s а њему одговарајући јединични вектор јe or s = s cos cos cos Нека је тачка вектора s на растојању s од полазне тачке тада s Одавде се добија cos cos cos тј s cos s s s s cos s cos Дефиниција Средња брзина промене скаларне функције = у смеру вектора s је изражена са где је = s s Дефиниција Ако постоји гранична вредност средње брзине кад s тада се та s гранична вредност зове извод скаларне функције извод скаларног поља у тачки у смеру вектора s и означава: l s s s Ако је функција непрекидна и има непрекидне парцијалне изводе у области тада је њен тотални прираштај где је o o o па кад добија се o s кад s После дељења израза са s s s s s s s s cos cos cos cos cos cos не зависи од s кад s То значи да постоји s cos cos cos Тиме је доказана Теорема Ако је функција диференцијабилна у свакој тачки тада постоји извод у смеру произвољног вектора s и координате вектора s = or s cos cos cos s где су cos cos cos

21 Теорема Ако је у скаларном пољу функције дефинисано поље градијента k grad тада је извод s у смеру вектора s једнак пројекцији вектора grad на вектор s Доказ Ако је s = or s = cos + cos + cos k s = онда је s s s cos cos cos grad cos grad grad одакле cos grad s што значи да је s пројекција вектора grad на вектор s

22 6 Градијент функције више променљивих Веза градијента и извода у смеру датог вектора Доказ Можемо сматрати да је cos cos cos cos cos cos s = s што даје повод за следећу дефиницију Дефиниција Градијент функције у тачки је вектор чије су координате вредности парцијалних извода у датој тачки : k grad где је набла тзв Хамилтонов оператор За функцију више променљивих: Дефиниција Градијент функције у тачки је вектор e e e grad где су e e e вектори ортонормиране базе простора R Ако је функција диференцијабилна у свакој тачки скаларног поља области онда у свакој тачки постоји grad тако да је дефинисано векторско поље градијента у Теорема Ако је у скаларном пољу функције дефинисано поље градијента k grad тада је извод s у смеру вектора s једнак пројекцији вектора grad на вектор s Доказ Ако је s = or s = cos + cos + cos k s = онда је s s s cos cos cos grad cos grad grad одакле cos grad s што значи да је s пројекција вектора grad на вектор s

23 ТеоремаСмер градијента функције grad се у свакој тачки подудара са смером нормале на ниво површ скаларног поља која пролази кроз ту тачку Доказ Једначина ниво-површи кроз је = = а једначина нормале на нивоповрш кроз је : N при чему је век нормале Особине градијента: + = + k k k C = C C = cos k C C C C C k C = k k k 4 = k k k

24 7 Тејлорова и Маклоренова формула функције више променљивих R: Функција једне променљиве = која околини неке тачке има непрекидне изводе закључно са изводом реда + може се апроксимирати Тејлоровим полиномом -тог степена у околини те тачке: R!!! где је што се другачије може записати: R!!! Функција са два или више параметара која у околини неке тачке има непрекидне парцијалне изводе до реда + може се такође апроксимирати полиномом -тог степена R : Уочимо помоћну функцију при чему сматрамо да су Δ Δ Тачка за свако ] [ припада одсечку Ако претпоставимо да функција у околини тачке има непрекидне парцијалне изводе до + реда онда се за изводе помоћне функције добија: - - [] Индуктивно се закључује - [] Теорема о средњој вредности Ако је у некој околини тачке функција непрекидна и има непрекидне парцијалне изводе и тада је за неко

25 Доказ Према Лагранжевој теореми за функцију једне променљиве Из тога следи за неко што је требало доказати Теорема Тејлорова формула Ако су у околини тачке парцијални изводи функције до + реда непрекидни тада је! d d d а! при чему је R d Доказ Развијањем функције у Маклоренов полином добија се!!!! R са грешком записаном у Лагранжевом облику L За = : R! L R!!! Према дефиницији функције L R! d d d [ ] d [] [ ] L одакле следи тврђење! R

26 R : Тејлорова формула -тог степена за функцију са променљивих има исти облик као и за функцију две променљиве d d!! d R! R! [ ] Такође се може доказати да је R o кад где је

27 8 Дефиниција локалног екстремума функције више променљивих Неопходни услови Доказ Дефиниција Функција = има у тачки локални максимум ако у свим тачкама из неке околине тачке има мање вредности него у тачки тј ако за сваку тачку S важи < где је S = { : < } а локални минимум ако у свим тачкама околине има веће вредности него у тј ако за сваку тачку S важи > Локални максимуми и минимуми су локални екстремуми Теорема неопходан услов Ако функција = има екстремум у тачки и ако су јој парцијални изводи непрекидни у тој тачки онда су сви парцијални изводи функције = у тачки једнаки нули тј Доказ Фиксирајмо све променљиве екстремумом за осим једне произвољне Тада је у околини тачке функција једне променљиве са Према теореми о неопходном услову функције једне променљиве њен извод у тој тачки је једнак Како је извод функције за једнак парцијалном изводу функције = по променљивој у тачки и како је избор променљиве произвољан тврђење важи Последица Ако функција = има непрекидне парцијалне изводе у целој области дефинисаности сви кандидати за екстремум се налазе међу решењима система Решења система се називају стационарне тачке

28 9 Довољан услов за локални екстремум функције више променљивих Силвестеров критеријум R : Теорема Претпоставимо да у некој околини области D којој припада тачка функција = има непрекидне парцијалне изводе закључно са изводима трећег реда и претпоставимо да је стационарна тачка тј Ако означимо C онда: Ако је C и < функција у има максимум Ако је C и > функција у има минимум Ако је C функција у нема екстремум 4 Ако је C тада је за одређивање карактера стационарне тачке потребно испитивање извода вишег реда Доказ Из Тејлоровог полинома другог реда у околини Пеанов обл остатка: = =! где кад Ако је O онда је cos s па је! C s s / s s cos cos C s s cos C

29 < : именилац разломка је мањи од а бројилац је већи јер је збир две величине које су а не могу бити истовремено : C cos s g cos C s s ; Зато се може написати где кад а не зависи од Добија се да је за довољно мало тј из чега следи да је тачка максимума C > : слично се добија да је C : ако претпоставимо да је > онда па је тачка минимума за се добија ако је C па је за C ако је и ако је g онда је C s Δ мења знак у зависности од φ што значи да нема екстремум у тачки - слично се добија и за < - ако је = онда мора бити [s cos C s ] а тј Када је φ довољно мало и мења знак и s такође мења знак док израз у малој загради који је тада приближно једнак не мења За важи α па α не утиче на знак израза Δ Следи да је у том случају знак израза Δ исти као и знак екстремума s 4 C : cos s па знак Δ зависи од α тј φ Како Δ мења знак у зависности од угла није тачка Ако је па је C s За cos s знак Δ зависи од α

30 R : Дефиниција Сума облика Q a назива се квадратна форма Векторски запис: T Q a a a a Напомена: Свакој квадратној форми одговара тачно једна симетрична матрица Q T тако да је Q T Q Ако је симетрична матрица онда је Q = Дефиниција За квадратну форму се каже да је Q кад год је Q кад год је позитивно дефинисана ако важи а негативно дефинисана ако је Пример Форма Q није позитивно дефинисана јер је Q док форма Q јесте јер је Q = само за а када је онда је Q > Теорема Силвестерова Нека је Q дата квадратна форма и Q одговарајућа симетрична матрица Q је позитивно дефинисана форма акко D > D > Q је негативно дефинисана форма акко D < - D > D D су главни минори матрице Q Напомена: Услов > C значи да је квадратна форма d C позитивно дефинисана Слично ако је < C други диференцијал је негативно дефинисана форма

31 Дефиниција условног екстремума функције више променљивих Неопходни услови условног ексремума функције : Доказ При одређивању екстремума неке функције која зависи од више независно променљивих често се појављују и неки допунски услови Екстремуми који задовољавају још неке допунске услове називају се условним екстремумима Биће описане методе за тражење екстремума функције при условима облика g = g = Уколико важи: g rag Експлицитно решавање нпр g g и ако је могуће претставити променљивих преко преосталих тражење условног екстремума се своди на тражење безусловног екстремума функције Лагранжова метода g g R : Неопходни услови Нека је дата функција = и услов = тако да и имају непрекидне парцијалне изводе у околини тачке која је условни екстремум = и да важи Према теореми о имплицитно задатој функцији условом = је задата функција = тако да је = па у тачки екстремума важи d d d d Диференцирањем услова = = добија се за све вредности које задовољавају услов Одатле за тачку важи d d d d d d

32 односно d d Изаберимо λ = λ тако да буде задовољен услов У том случају важи и Дакле у тачкама екстремума важе услови чиме је доказана следећа теорема: Теорема Неопходан услов да функција = при услову = има екстремум у некој тачки под претпоставком да и имају непрекидне парцијалне изводе у околини тачке и да је јесте да постоји такав реалан број λ да вредности λ задовољавају систем једначина Напомена Нека је L тзв Лагранжова функција Њени парцијални изводи су L L L што значи да се неопходни услови за условне екстремуме из горње теореме могу написати L L L

33 R : Уколико тражимо екстремуме функције при условима облика g = g = може се формирати одговарајућа Лагранжова функција g g L Следећа теорема даје неопходне услове за условни екстремум функције при задатим условима: Теорема Нека је екстремум функције при условима g = g = Ако претпоставимо да функције g g имају парцијалне изводе првог реда у околини тачке и да је g rag онда постоје вредности тако да важи g g L g g L g L g L

34 Довољан услов за условни ексремум функције више променљивих Доказ Нека функција са условима g = g = има у тачки условни екстремум и испуњава услове претходне теореме Нека је тачка таква да су у њој испуњени услови g = g = Онда је g g = = L прираштај Лагранжове функције само по променљивим Применом Тејлорове где је формуле под претпоставком да функције имају друге парц изводе L d L из чега следи теорема о довољним условима за условни екстремум: L Теорема Нека функције g g имају парцијалне изводе до другог реда и нека је стационарна тачка Лагранжеве функције Ако је L L d онда је условни минимум строги; d онда је условни максимум строги

6.2. Симетрала дужи. Примена

6.2. Симетрала дужи. Примена 6.2. Симетрала дужи. Примена Дата је дуж АВ (слика 22). Тачка О је средиште дужи АВ, а права је нормална на праву АВ(p) и садржи тачку О. p Слика 22. Права назива се симетрала дужи. Симетрала дужи је права

Διαβάστε περισσότερα

1.2. Сличност троуглова

1.2. Сличност троуглова математик за VIII разред основне школе.2. Сличност троуглова Учили смо и дефиницију подударности два троугла, као и четири правила (теореме) о подударности троуглова. На сличан начин наводимо (без доказа)

Διαβάστε περισσότερα

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7.1. ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ху = n (n N) Диофантова једначина ху = n (n N) има увек решења у скупу природних (а и целих) бројева и њено решавање није проблем,

Διαβάστε περισσότερα

Хомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x)

Хомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x) ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? Врсте диференцијалних једначина. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНА ЈЕДНАЧИНА КОЈА РАЗДВАЈА ПРОМЕНЉИВЕ Код ове методе поступак је следећи: раздвојити

Διαβάστε περισσότερα

5.2. Имплицитни облик линеарне функције

5.2. Имплицитни облик линеарне функције математикa за VIII разред основне школе 0 Слика 6 8. Нацртај график функције: ) =- ; ) =,5; 3) = 0. 9. Нацртај график функције и испитај њен знак: ) = - ; ) = 0,5 + ; 3) =-- ; ) = + 0,75; 5) = 0,5 +. 0.

Διαβάστε περισσότερα

I Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ

I Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ I Линеарне једначине Линеарне једначине се решавају по следећем шаблону: Ослободимо се разломка Ослободимо се заграде Познате

Διαβάστε περισσότερα

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ.

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ. VI Савијање кружних плоча Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама и ϕ слика 61 Диференцијална једначина савијања кружне плоче је: ( ϕ) 1 1 w 1 w 1 w Z, + + + + ϕ ϕ K Пресечне

Διαβάστε περισσότερα

Семинарски рад из линеарне алгебре

Семинарски рад из линеарне алгебре Универзитет у Београду Машински факултет Докторске студије Милош Живановић дипл. инж. Семинарски рад из линеарне алгебре Београд, 6 Линеарна алгебра семинарски рад Дата је матрица: Задатак: a) Одредити

Διαβάστε περισσότερα

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011 Аксиоме припадања Никола Томовић 152/2011 Павле Васић 104/2011 1 Шта је тачка? Шта је права? Шта је раван? Да бисмо се бавили геометријом (и не само геометријом), морамо увести основне појмове и полазна

Διαβάστε περισσότερα

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице.

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. КРУГ У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. Архимед (287-212 г.п.н.е.) 6.1. Централни и периферијски угао круга Круг

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре 0 6.. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре У обичном говору се често каже да су неки предмети симетрични. Примери таквих објеката, предмета, геометријских

Διαβάστε περισσότερα

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x,

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, Већи број: 1 : 4x + 1, (4 бода) Њихов збир: 1 : 5x + 1, Збир умањен за остатак: : 5x = 55, 55 : 5 = 11; 11 4 = ; + 1 = 45; : x = 11. Дакле, први број је 45

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни ТАЧКА. ПРАВА. РАВАН Талес из Милета (624 548. пре н. е.) Еуклид (330 275. пре н. е.) Хилберт Давид (1862 1943) 3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни Настанак геометрије повезује

Διαβάστε περισσότερα

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. - удаљеност између двије тачке. 1 x2

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. - удаљеност између двије тачке. 1 x2 АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА d AB x x y - удаљеност између двије тачке y x x x y s, y y s - координате средишта дужи x x y x, y y - подјела дужи у заданом односу x x x y y y xt, yt - координате тежишта троугла

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки

Διαβάστε περισσότερα

МАСТЕР РАД УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ. Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ

МАСТЕР РАД УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ. Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ МАСТЕР РАД Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ МЕНТОР: КАНДИДАТ: Проф. др Драгољуб Кечкић Милинко Миловић

Διαβάστε περισσότερα

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА, са додатком теорије

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА, са додатком теорије ГРАЂЕВИНСКА ШКОЛА Светог Николе 9 Београд ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА са додатком теорије - за II разред IV степен - Драгана Радовановић проф математике Београд СТЕПЕНОВАЊЕ И КОРЕНОВАЊЕ

Διαβάστε περισσότερα

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2 8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х + у = z Један од најзанимљивијих проблема теорије бројева свакако је проблем Питагориних бројева, тј. питање решења Питагорине Диофантове једначине. Питагориним бројевима или

Διαβάστε περισσότερα

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c 6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c Ако су а, b и с цели бројеви и аb 0, онда се линеарна једначина ах + bу = с, при чему су х и у цели бројеви, назива линеарна Диофантова једначина. Очигледно

Διαβάστε περισσότερα

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде математик за VIII разред основне школе 4. Прво наћи дужину апотеме. Како је = 17 cm то је тражена површина P = 18+ 4^cm = ^4+ cm. 14. Основа четворостране пирамиде је ромб чије су дијагонале d 1 = 16 cm,

Διαβάστε περισσότερα

Испитвање тока функције

Испитвање тока функције Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 Испитвање тока функције Испитивање тока функције y f подразумева да се аналитичким путем дође до сазнања о понашању функције, као и њеним значајним тачкама у координантном

Διαβάστε περισσότερα

6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23

6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23 6.3. Паралелограми 27. 1) Нацртај паралелограм чији је један угао 120. 2) Израчунај остале углове тог четвороугла. 28. Дат је паралелограм (сл. 23), при чему је 0 < < 90 ; c и. c 4 2 β Сл. 23 1 3 Упознајмо

Διαβάστε περισσότερα

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ предмет: ОСНОВИ МЕХАНИКЕ студијски програм: ЗАШТИТА ЖИВОТНЕ СРЕДИНЕ И ПРОСТОРНО ПЛАНИРАЊЕ ПРЕДАВАЊЕ БРОЈ 2. Садржај предавања: Систем сучељних сила у равни

Διαβάστε περισσότερα

Основе теорије вероватноће

Основе теорије вероватноће . Прилог А Основе теорије вероватноће Основни појмови теорије вероватноће су експеримент и исходи резултати. Најпознатији пример којим се уводе појмови и концепти теорије вероватноће је бацање новчића

Διαβάστε περισσότερα

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова 4 Троугао (II део) Хилберт Давид, немачки математичар и логичар Велики углед у свету Хилберту је донело дело Основи геометрије (1899), у коме излаже еуклидску геометрију на аксиоматски начин Хилберт Давид

Διαβάστε περισσότερα

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1 За случај трожичног вода приказаног на слици одредити: а Вектор магнетне индукције у тачкама А ( и ( б Вектор подужне силе на проводник са струјом Систем се налази у вакууму Познато је: Слика Слика Слика

Διαβάστε περισσότερα

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 Метод разликовања случајева је један од најексплоатисанијих метода за решавање математичких проблема. У теорији Диофантових једначина он није свемогућ, али је сигурно

Διαβάστε περισσότερα

4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА

4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА 4. Закон великих бројева 4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА Аксиоматска дефиниција вероватноће не одређује начин на који ће вероватноће случајних догађаја бити одређене у неком реалном експерименту. Зато треба наћи

Διαβάστε περισσότερα

Ваљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ:

Ваљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ: Ваљак ВАЉАК P=B + M V= B H B= r p M=rp H Pосн.пресека = r H. Површина омотача ваљка је π m, а висина ваљка је два пута већа од полупрчника. Израчунати запремину ваљка. π. Осни пресек ваљка је квадрат површине

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван

2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван 2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван Човек је за своје потребе градио куће, школе, путеве и др. Слика 1. Слика 2. Основа тих зграда је често правоугаоник или сложенија фигура (слика 3). Слика 3.

Διαβάστε περισσότερα

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0 Лист/листова: 1/1 Задатак 4: Задатак 4.1.1. Слика 1.0 x 1 = x 0 + x x = v x t v x = v cos θ y 1 = y 0 + y y = v y t v y = v sin θ θ 1 = θ 0 + θ θ = ω t θ 1 = θ 0 + ω t x 1 = x 0 + v cos θ t y 1 = y 0 +

Διαβάστε περισσότερα

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима 50. Нацртај било које унакрсне углове. Преношењем утврди однос унакрсних углова. Какво тврђење из тога следи? 51. Нацртај угао чија је мера 60, а затим нацртај њему унакрсни угао. Колика је мера тог угла?

Διαβάστε περισσότερα

1. Функција интензитета отказа и век трајања система

1. Функција интензитета отказа и век трајања система f(t). Функција интензитета отказа и век трајања система На почетку коришћења неког система јављају се откази који као узрок имају почетне слабости или пропуштене дефекте у току производње и то су рани

Διαβάστε περισσότερα

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске слика. У свакој тачки посматране средње површи, у општем случају, постоје два компонентална померања: v - померање у правцу тангенте на меридијалну

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 014/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. Владица Андрејић ( ) УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ БЕОГРАД 2017.

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. Владица Андрејић ( ) УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ БЕОГРАД 2017. АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА Владица Андрејић (27-04-2017) УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ БЕОГРАД 2017. Глава 1 Вектори у геометрији 1.1 Увођење вектора Појам вектора у еуклидској геометрији можемо

Διαβάστε περισσότερα

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ предмет: МЕХАНИКА 1 студијски програми: ЗАШТИТА ЖИВОТНЕ СРЕДИНЕ И ПРОСТОРНО ПЛАНИРАЊЕ ПРЕДАВАЊЕ БРОЈ 3. 1 Садржај предавања: Статичка одређеност задатака

Διαβάστε περισσότερα

Вежба 4. Графика. Наредба има облик plot(x,y) Аргументи x и y су вектори, који морају имати исти број елемената.

Вежба 4. Графика. Наредба има облик plot(x,y) Аргументи x и y су вектори, који морају имати исти број елемената. Вежба Графика У МATLAB-у постоји много команди за цртање графика. Изглед графика може се подешавати произвољним избором боје, дебљине и врсте линија, уношењем мреже, наслова, коментара и слично. У овој

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 0/06. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ

УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ЧЕВИЈЕВА ТЕОРЕМА И ПОСЛЕДИЦЕ Мастер рад Кандидат: Рајка Милетић Ментор: проф др Неда Бокан Београд, 00 САДРЖАЈ Увод 3 I ЧЕВИЈЕВА ТЕОРЕМА 4 I Доказ Чевијеве теореме

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2011/2012. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА

ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА ВАЉЕВО, 006 1 1. УВОД 1.1. ПОЈАМ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ У једној земљи Далеког истока живео је некад један краљ, који је сваке ноћи узимао нову жену и следећег

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ПРОБНИ ЗАВРШНИ ИСПИТ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ

Διαβάστε περισσότερα

Координатни системи у физици и ОЕТ-у

Координатни системи у физици и ОЕТ-у Материјал Студентске организације Електрон ТРЕЋА ГЛАВА Координатни системи у физици и ОЕТ-у Припремио Милош Петровић 1 -Студентска организација ЕЛЕКТРОН- 1.ДЕКАРТОВ КООРДИНАТНИ СИСТЕМ Декартов координанти

Διαβάστε περισσότερα

10.3. Запремина праве купе

10.3. Запремина праве купе 0. Развијени омотач купе је исечак чији је централни угао 60, а тетива која одговара том углу је t. Изрази површину омотача те купе у функцији од t. 0.. Запремина праве купе. Израчунај запремину ваљка

Διαβάστε περισσότερα

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2016.

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2016. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Крагујевац, 0. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ Издавач: ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ

Διαβάστε περισσότερα

Сваки задатак се бодује са по 20 бодова. Израда задатака траје 150 минута. Решење сваког задатка кратко и јасно образложити.

Сваки задатак се бодује са по 20 бодова. Израда задатака траје 150 минута. Решење сваког задатка кратко и јасно образложити. IV разред 1. Колико ће година проћи од 1. јануара 2015. године пре него што се први пут догоди да производ цифара у ознаци године буде већи од збира ових цифара? 2. Свако слово замени цифром (различита

Διαβάστε περισσότερα

Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике, 1. део, Електростатика

Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике, 1. део, Електростатика Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике део Страна пасус први ред треба да гласи У четвртом делу колима променљивих струја Штампарске грешке у четвртом издању уџбеника Основи електротехнике

Διαβάστε περισσότερα

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2014.

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2014. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Крагујевац, 0. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ Издавач: ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ

Διαβάστε περισσότερα

ЊУТНОВ ПОСТУПАК И ЊЕГОВЕ МОДИФИКАЦИЈЕ ТРЕЋЕГ РЕДА КОНВЕРГЕНЦИЈЕ

ЊУТНОВ ПОСТУПАК И ЊЕГОВЕ МОДИФИКАЦИЈЕ ТРЕЋЕГ РЕДА КОНВЕРГЕНЦИЈЕ УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Дара Бошковић ЊУТНОВ ПОСТУПАК И ЊЕГОВЕ МОДИФИКАЦИЈЕ ТРЕЋЕГ РЕДА КОНВЕРГЕНЦИЈЕ мастер рад Нови Сад, Садржај Предговор

Διαβάστε περισσότερα

IV разред. 1. Дешифруј ребус A + BA + CBA + DCBA = Иста слова замени једнаким цифрама, а различита различитим.

IV разред. 1. Дешифруј ребус A + BA + CBA + DCBA = Иста слова замени једнаким цифрама, а различита различитим. IV разред 1. Дешифруј ребус A + BA + CBA + DCBA = 2016. Иста слова замени једнаким цифрама, а различита различитим. 2. Производ два броја је 2016. Ако се један од њих повећа за 7, производ ће бити 2457.

Διαβάστε περισσότερα

Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља

Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља Универзитет у Машински факултет Београду Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља -семинарски рад- ментор: Александар Томић Милош Живановић 65/

Διαβάστε περισσότερα

< < < 21 > > = 704 дана (15 бодова). Признавати било који тачан. бодова), па је тражена разлика 693 (5 бодова), а тражени збир 907(5

< < < 21 > > = 704 дана (15 бодова). Признавати било који тачан. бодова), па је тражена разлика 693 (5 бодова), а тражени збир 907(5 05.03.011 - III РАЗРЕД 1. Нацртај 4 праве a, b, c и d, ако знаш да је права а нормална на праву b, права c нормалана на b, а d паралелнa са а. Затим попуни табелу стављајући знак (ако су праве нормалне)

Διαβάστε περισσότερα

Динамика. Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе:

Динамика. Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе: Њутнови закони 1 Динамика Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе: када су објекти довољно велики (>димензија атома) када се крећу брзином много мањом

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Тест Математика Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 00/0. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

4.4. Тежиште и ортоцентар троугла

4.4. Тежиште и ортоцентар троугла 50. 1) Нацртај правоугли троугао и конструиши његову уписану кружницу. ) Конструиши једнакокраки троугао чија је основица = 6 m и крак = 9 m, а затим конструиши уписану и описану кружницу. Да ли се уочава

Διαβάστε περισσότερα

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2014/15. бр. XLIX-5

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2014/15. бр. XLIX-5 МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 014/15. бр. XLIX-5 РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА ИЛИ РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ИЗ РУБРИКЕ ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ III разред 1. а) 70 - седамсто три; б) двесто осамдесет два 8.. а) 4, 54, 54, 45, 504, 54. б)

Διαβάστε περισσότερα

6.7. Делтоид. Делтоид је четвороугао који има два пара једнаких суседних страница.

6.7. Делтоид. Делтоид је четвороугао који има два пара једнаких суседних страница. 91.*Конструиши трапез у размери 1:200, ако је дато: = 14 m, = 6 m, = 8 m и β = 60. 92.*Ливада има облик трапеза. Нацртај је у размери 1:2000, ако су јој основице 140 m и 95 m, један крак 80 m, и висина

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2010/2011. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова. B Сл. 1

6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова. B Сл. 1 6. Четвороугао 6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова А Сл. 1 А На приложеним сликама сигурно уочаваш геометријске фигуре које су ти познате (троугао,

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

ТАНГЕНТА. *Кружница дели раван на две области, једну, спољашњу која је неограничена и унутрашњу која је ограничена(кружницом).

ТАНГЕНТА. *Кружница дели раван на две области, једну, спољашњу која је неограничена и унутрашњу која је ограничена(кружницом). СЕЧИЦА(СЕКАНТА) ЦЕНТАР ПОЛУПРЕЧНИК ТАНГЕНТА *КРУЖНИЦА ЈЕ затворена крива линија која има особину да су све њене тачке једнако удаљене од једне сталне тачке која се зове ЦЕНТАР КРУЖНИЦЕ. *Дуж(OA=r) која

Διαβάστε περισσότερα

Мастер рад. Гребнерове базе. Аутор: Јелена Јовичић Број индекса: 1033/2008. Ментор: Доцент др Зоран Петровић. Математички факултет Београд 2010.

Мастер рад. Гребнерове базе. Аутор: Јелена Јовичић Број индекса: 1033/2008. Ментор: Доцент др Зоран Петровић. Математички факултет Београд 2010. Мастер рад Гребнерове базе Аутор: Јелена Јовичић Број индекса: /8 Ментор: Доцент др Зоран Петровић Математички факултет Београд. Резиме Рад пред вама је мастер рад судента Математичког факултета у Београду,

Διαβάστε περισσότερα

ОБЛАСТ АТРАКЦИЈЕ РАЗНИХ ПОСТУПАКА

ОБЛАСТ АТРАКЦИЈЕ РАЗНИХ ПОСТУПАКА УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Оља Скакавац ОБЛАСТ АТРАКЦИЈЕ РАЗНИХ ПОСТУПАКА мастер рад Нови Сад, 014. Садржај Предговор 4 1. Уводни део 5

Διαβάστε περισσότερα

ТЕОРИЈА ИГАРА-ЈАМБ Матурски рад из математике

ТЕОРИЈА ИГАРА-ЈАМБ Матурски рад из математике XII БЕОГРАДСКА ГИМНАЗИЈА ТЕОРИЈА ИГАРА-ЈАМБ Матурски рад из математике Ученица Исидора Ивановић Професорка Марина Радовановић Београд јун 2016. Садржај Резиме 1 Увод 1 Пермутације 2 Варијације 3 Вероватноће

Διαβάστε περισσότερα

Данка Вујанац. Бојење графова. мастер рад

Данка Вујанац. Бојење графова. мастер рад Данка Вујанац Бојење графова мастер рад Нови Сад, 2015 Садржај Предговор... 2 Увод... 3 Глава 1. Основни појмови графа... 5 Глава 2. Бојење чворова... 11 Глава 3. Бојење грана... 22 Глава 4. Бојење планарних

Διαβάστε περισσότερα

ПИТАЊА ЗА КОЛОКВИЈУМ ИЗ ОБНОВЉИВИХ ИЗВОРА ЕНЕРГИЈЕ

ПИТАЊА ЗА КОЛОКВИЈУМ ИЗ ОБНОВЉИВИХ ИЗВОРА ЕНЕРГИЈЕ ПИТАЊА ЗА КОЛОКВИЈУМ ИЗ ОБНОВЉИВИХ ИЗВОРА ЕНЕРГИЈЕ 1. Удео снаге и енергије ветра у производњи електричне енергије - стање и предвиђања у свету и Европи. 2. Навести називе најмање две међународне организације

Διαβάστε περισσότερα

Др Душан Дамиан MATLAB. (Скрипте) Београд, 2015.

Др Душан Дамиан MATLAB. (Скрипте) Београд, 2015. Др Душан Дамиан ML Скрипте Београд Матлаб УВОД Име Матлаб је настало као спој скраћеница од Mt Loto У овом програмском језику матрице су основни градивни елемент за даљи рад Скаларне величине се одређују

Διαβάστε περισσότερα

Вежба Графика У Octave постоји много команди за цртање графика. Изглед графика може се подешавати произвољним избором боје, дебљине и врсте линија, уношењем мреже, наслова, коментара и слично. У овој вежби

Διαβάστε περισσότερα

Смер: Друмски саобраћај. Висока техничка школа струковних студија у Нишу ЕЛЕКТРОТЕХНИКА СА ЕЛЕКТРОНИКОМ

Смер: Друмски саобраћај. Висока техничка школа струковних студија у Нишу ЕЛЕКТРОТЕХНИКА СА ЕЛЕКТРОНИКОМ Испит из предмета Електротехника са електроником 1. Шест тачкастих наелектрисања Q 1, Q, Q, Q, Q 5 и Q налазе се у теменима правилног шестоугла, као на слици. Познато је: Q1 = Q = Q = Q = Q5 = Q ; Q 1,

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2011/2012. година ТЕСТ 1 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

ПОГЛАВЉЕ 3: РАСПОДЕЛА РЕЗУЛТАТА МЕРЕЊА

ПОГЛАВЉЕ 3: РАСПОДЕЛА РЕЗУЛТАТА МЕРЕЊА ПОГЛАВЉЕ 3: РАСПОДЕЛА РЕЗУЛТАТА МЕРЕЊА Стандардна девијација показује расподелу резултата мерења око средње вредности, али не указује на облик расподеле. У табели 1 су дате вредности за 50 поновљених одређивања

Διαβάστε περισσότερα

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ЗА ПРИПРМУ ЗА ПРВИ КОНТРОЛНИ ЗАДАТАК

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ЗА ПРИПРМУ ЗА ПРВИ КОНТРОЛНИ ЗАДАТАК ЗБИРКА ЗАДАТАКА ЗА ПРИПРМУ ЗА ПРВИ КОНТРОЛНИ ЗАДАТАК СКАЛАРНЕ И ВЕКТОРСКЕ ВЕЛИЧИНЕ Величибе које су одређене само својом бројном вредношћу и одговарајућом јединицом су скаларне величине или кратко, скалари.

Διαβάστε περισσότερα

КАТЕДРА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ И ПОГОНЕ ЛАБОРАТОРИЈА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1

КАТЕДРА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ И ПОГОНЕ ЛАБОРАТОРИЈА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1 КАТЕДРА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ И ПОГОНЕ ЛАБОРАТОРИЈА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1 Лабораторијска вежба број 1 МОНОФАЗНИ ФАЗНИ РЕГУЛАТОР СА ОТПОРНИМ И ОТПОРНО-ИНДУКТИВНИМ ОПТЕРЕЋЕЊЕМ

Διαβάστε περισσότερα

Eлектричне силе и електрична поља

Eлектричне силе и електрична поља Eлектричне силе и електрична поља 1 Особине наелектрисања Постоје две врсте наелектрисања Позитивна и негативна Наелектрисања супротног знака се привлаче, а различитог знака се одбијају Основни носиоц

Διαβάστε περισσότερα

Теорија одлучивања. Анализа ризика

Теорија одлучивања. Анализа ризика Теорија одлучивања Анализа ризика Циљеви предавања Упознавање са процесом анализе ризика Моделовање ризика Монте-Карло Симулација Предности и недостаци анализе ризика 2 Дефиниција ризика (квалитативни

Διαβάστε περισσότερα

Писмени испит из Теорије плоча и љуски. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама.

Писмени испит из Теорије плоча и љуски. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама. Београд, 24. јануар 2012. 1. За континуалну плочу приказану на слици одредити угиб и моменте савијања у означеним тачкама. = 0.2 dpl = 0.2 m P= 30 kn/m Линијско оптерећење се мења по синусном закону: 2.

Διαβάστε περισσότερα

МРЕЖЕ ПАРТИЦИЈА И КОНГРУЕНЦИЈА АЛГЕБРИ Мастер рад

МРЕЖЕ ПАРТИЦИЈА И КОНГРУЕНЦИЈА АЛГЕБРИ Мастер рад Универзитет у Београду Математички факултет МРЕЖЕ ПАРТИЦИЈА И КОНГРУЕНЦИЈА АЛГЕБРИ Мастер рад студент: Данка Николић ментор: доцент др Небојша Икодиновић Београд, 2016. Садржај Предговор... 1 1. Уводни

Διαβάστε περισσότερα

Енергетски трансформатори рачунске вежбе

Енергетски трансформатори рачунске вежбе 16. Трофазни трансформатор снаге S n = 400 kva има временску константу загревања T = 4 h, средњи пораст температуре после једночасовног рада са номиналним оптерећењем Â " =14 и максимални степен искоришћења

Διαβάστε περισσότερα

СТАБИЛНОСТ МАТРИЦЕ КОВАРИЈАНСЕ И ПРОБЛЕМ ОПТИМИЗАЦИЈЕ ПОРТФОЛИЈА

СТАБИЛНОСТ МАТРИЦЕ КОВАРИЈАНСЕ И ПРОБЛЕМ ОПТИМИЗАЦИЈЕ ПОРТФОЛИЈА УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Светлана Миловановић СТАБИЛНОСТ МАТРИЦЕ КОВАРИЈАНСЕ И ПРОБЛЕМ ОПТИМИЗАЦИЈЕ ПОРТФОЛИЈА - мастер рад - Ментор:

Διαβάστε περισσότερα

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА Београд, 21.06.2014. За штап приказан на слици одредити најмању вредност критичног оптерећења P cr користећи приближан поступак линеаризоване теорије другог реда и: а) и један елемент, слика 1, б) два

Διαβάστε περισσότερα

МИЋО М. МИТРОВИЋ ФИЗИКА 6. уџбеник за шести разред основне школе

МИЋО М. МИТРОВИЋ ФИЗИКА 6. уџбеник за шести разред основне школе МИЋО М. МИТРОВИЋ ФИЗИКА 6 уџбеник за шести разред основне школе САЗНАЊЕ БЕОГРАД, 01 ФИЗИКА 6 уџбеник за шести разред основне школе Аутор Проф. др Мићо Митровић Редовни професор Физичког факултета Универзитета

Διαβάστε περισσότερα

КВАЛИФИКАЦИОНИ ИСПИТ ИЗ ФИЗИКЕ ЗА УПИС НА САОБРАЋАЈНИ ФАКУЛТЕТ ЈУН год.

КВАЛИФИКАЦИОНИ ИСПИТ ИЗ ФИЗИКЕ ЗА УПИС НА САОБРАЋАЈНИ ФАКУЛТЕТ ЈУН год. КВАЛИФИКАЦИОНИ ИСПИТ ИЗ ФИЗИКЕ ЗА УПИС НА САОБРАЋАЈНИ ФАКУЛТЕТ ЈУН 7. год. Тест има задатака. Време за рад је 8 минута. Задаци са редним бројем -6 вреде по поена задаци 7- вреде по 5 поена задаци 5- вреде

Διαβάστε περισσότερα

Монте Карло Интеграциjа

Монте Карло Интеграциjа Монте Карло Интеграциjа 4.час 22. март 2016. Боjана Тодић Статистички софтвер 2 22. март 2016. 1 / 22 Монте Карло методе Oве нумеричке методе код коjих се употребљаваjу низови случаjних броjева за извршење

Διαβάστε περισσότερα

КАТЕДРА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ И ПОГОНЕ ЛАБОРАТОРИЈА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1

КАТЕДРА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ И ПОГОНЕ ЛАБОРАТОРИЈА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1 КАТЕДРА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ И ПОГОНЕ ЛАБОРАТОРИЈА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1 Лабораторијска вежба број 2 ТРОФАЗНИ ПУНОУПРАВЉИВИ МОСТНИ ИСПРАВЉАЧ СА ТИРИСТОРИМА 1. ТЕОРИЈСКИ УВОД

Διαβάστε περισσότερα

ПРОЈЕКТОВАЊЕ РАМПЕ. Слика А.1 - (а) приказ рампе у основи, (б) подужни пресек рампе

ПРОЈЕКТОВАЊЕ РАМПЕ. Слика А.1 - (а) приказ рампе у основи, (б) подужни пресек рампе ПРОЈЕКТОВАЊЕ РАМПЕ Рампа представља косу подземну просторију која повезује хоризонте или откопне нивое, и тако је пројектована и изведена да омогућује кретање моторних возила. Приликом пројектовања рампе

Διαβάστε περισσότερα

Objektno orijentisano programiranje

Objektno orijentisano programiranje Matematički fakultet, Univerzizet u Beogradu Katedra za računarstvo i informatiku Objektno orijentisano programiranje vežbe školska 2016/ 2017 Biljana Stojanović Nemanja Mićović Nikola Milev 1 Наслеђивање

Διαβάστε περισσότερα

МЕРЕЊЕ УЧЕНИЧКОГ НАПРЕТКА ПРИ КОРИШЋЕЊУ РАЧУНАРА У НАСТАВИ МАТЕМАТИКЕ

МЕРЕЊЕ УЧЕНИЧКОГ НАПРЕТКА ПРИ КОРИШЋЕЊУ РАЧУНАРА У НАСТАВИ МАТЕМАТИКЕ УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Соња Вученов МЕРЕЊЕ УЧЕНИЧКОГ НАПРЕТКА ПРИ КОРИШЋЕЊУ РАЧУНАРА У НАСТАВИ МАТЕМАТИКЕ -мастер рад- Нови Сад, 2012.

Διαβάστε περισσότερα

ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ У ОСНОВНОЈ И СРЕДЊОЈ ШКОЛИ

ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ У ОСНОВНОЈ И СРЕДЊОЈ ШКОЛИ УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Бојана Јанковић ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ У ОСНОВНОЈ И СРЕДЊОЈ ШКОЛИ Мастер рад Нови Сад, 2012. године САДРЖАЈ Предговор...

Διαβάστε περισσότερα

Aлати и основне функције

Aлати и основне функције Bежба 1 Aлати и основне функције 1.1. КАКО ПОЧЕТИ РАД У MATLAB У MATLAB се дистрибуира у компримованом формату на CD-овима. Инсталацијом, датотеке са ових CD-ова премештају се на диск, декомпримују се

Διαβάστε περισσότερα

ТАЧКЕ КОЈЕ ЕКСПЛОДИРАЈУ ПОГЛАВЉЕ 5 ДЕЉЕЊЕ ПОЧИЊЕМО

ТАЧКЕ КОЈЕ ЕКСПЛОДИРАЈУ ПОГЛАВЉЕ 5 ДЕЉЕЊЕ ПОЧИЊЕМО ТАЧКЕ КОЈЕ ЕКСПЛОДИРАЈУ ПОГЛАВЉЕ 5 ДЕЉЕЊЕ Сабирање, одузимање, множење. Сад је ред на дељење. Ево једног задатка с дељењем: израчунајте колико је. Наравно да постоји застрашујући начин да то урадите: Нацртајте

Διαβάστε περισσότερα

МАТЕМАТИЧКИ ЗАДАЦИ, ЊИХОВА КЛАСИФИКАЦИЈА И НЕКЕ МЕТОДЕ ЊИХОВОГ РЕШАВАЊА

МАТЕМАТИЧКИ ЗАДАЦИ, ЊИХОВА КЛАСИФИКАЦИЈА И НЕКЕ МЕТОДЕ ЊИХОВОГ РЕШАВАЊА ДРУШТВО МАТЕМАТИЧАРА СРБИЈЕ ДРЖАВНИ СЕМИНАР О НАСТАВИ МАТЕМАТИКЕ И РАЧУНАРСТВА У ОСНОВНИМ И СРЕДЊИМ ШКОЛАМА Број: 250 Компетенцијa: K1 Приоритети: 1 ТЕМА: МАТЕМАТИЧКИ ЗАДАЦИ, ЊИХОВА КЛАСИФИКАЦИЈА И НЕКЕ

Διαβάστε περισσότερα

АНАЛОГНА ЕЛЕКТРОНИКА ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ

АНАЛОГНА ЕЛЕКТРОНИКА ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ ЕЛЕКТРОТЕХНИЧКИ ФАКУЛТЕТ У БЕОГРАДУ КАТЕДРА ЗА ЕЛЕКТРОНИКУ АНАЛОГНА ЕЛЕКТРОНИКА ЛАБОРАТОРИЈСКЕ ВЕЖБЕ ВЕЖБА БРОЈ 2 ПОЈАЧАВАЧ СНАГЕ У КЛАСИ Б 1. 2. ИМЕ И ПРЕЗИМЕ БР. ИНДЕКСА ГРУПА ОЦЕНА ДАТУМ ВРЕМЕ ДЕЖУРНИ

Διαβάστε περισσότερα

5. Земанов ефекат (нормални и аномални)

5. Земанов ефекат (нормални и аномални) 5.1 Теоријски увод 5. Земанов ефекат (нормални и аномални) Фарадеј је још 1862. године испитивао да ли се спектар обојених пламенова мења у присуству магнетног поља, али безуспешно. Тек је 1885, Фиевез

Διαβάστε περισσότερα

РЕПУБЛИЧКИ ПЕДАГОШКИ ЗАВОД

РЕПУБЛИЧКИ ПЕДАГОШКИ ЗАВОД РЕПУБЛИКА СРПСКА МИНИСТАРСТВО ПРОСВЈЕТЕ И КУЛТУРЕ РЕПУБЛИЧКИ ПЕДАГОШКИ ЗАВОД Милоша Обилића 39 Бањалука, Тел/факс 051/430-110, 430-100; e-mail: pedagoski.zavod@rpz-rs.org ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ

Διαβάστε περισσότερα

61. У правоуглом троуглу АВС на слици, унутрашњи угао код темена А је Угао

61. У правоуглом троуглу АВС на слици, унутрашњи угао код темена А је Угао ЗАДАЦИ ЗА САМОСТАЛНИ РАД Задаци за самостлни рад намењени су првенствено ученицима који се припремају за полагање завршног испита из математике на крају обавезног основног образовања. Задаци су одабрани

Διαβάστε περισσότερα

ЗАВОД ЗА УЏБЕНИКЕ БЕОГРАД

ЗАВОД ЗА УЏБЕНИКЕ БЕОГРАД ОЛИВЕРА ТОДОРОВИЋ СРЂАН ОГЊАНОВИЋ MATEMATИKA УЏБЕНИК за први разред основне школе1 ЗАВОД ЗА УЏБЕНИКЕ БЕОГРАД 1 ПРЕДМЕТИ У ПРОСТОРУ И ОДНОСИ МЕЂУ ЊИМА... 7 1. Горе, доле, изнад, испод... 8 2. Лево, десно...

Διαβάστε περισσότερα

ЕЛЕКТРОНИКЕ ЗА УЧЕНИКЕ ТРЕЋЕГ РАЗРЕДА

ЕЛЕКТРОНИКЕ ЗА УЧЕНИКЕ ТРЕЋЕГ РАЗРЕДА МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ ЗАЈЕДНИЦА ЕЛЕКТРОТЕХНИЧКИХ ШКОЛА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ ДВАДЕСЕТ ДРУГО РЕГИОНАЛНО ТАКМИЧЕЊЕ ОДГОВОРИ И РЕШЕЊА ИЗ ЕЛЕКТРОНИКЕ ЗА УЧЕНИКЕ ТРЕЋЕГ

Διαβάστε περισσότερα

krugdoo@sbb.rs www.krugizdavackakuca.rs Реч аутора Свеска припрема је скуп мојих припрема за час коригованих примедбама рецензената. Не представља обавезујући документ већ сваки наставник треба да је прилагоди

Διαβάστε περισσότερα

Сунчев систем. Кеплерови закони

Сунчев систем. Кеплерови закони Сунчев систем Кеплерови закони На слици је приказан хипотетички сунчев систем. Садржи једну планету (Земљу нпр.) која се креће око Сунца и једина сила која се ту појављује је гравитационо привлачење. Узимајући

Διαβάστε περισσότερα