ТЕОРИЈА ИГАРА-ЈАМБ Матурски рад из математике

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ТЕОРИЈА ИГАРА-ЈАМБ Матурски рад из математике"

Transcript

1 XII БЕОГРАДСКА ГИМНАЗИЈА ТЕОРИЈА ИГАРА-ЈАМБ Матурски рад из математике Ученица Исидора Ивановић Професорка Марина Радовановић Београд јун 2016.

2 Садржај Резиме 1 Увод 1 Пермутације 2 Варијације 3 Вероватноће 4 Алгебра догађаја 4 Дефиниција вероватноћа и основне особине 5 ЈАМБ 8 КОЛОНЕ 9 Статитиска и вероватноће у јамбу 10 Редови 1-6: 10 Кента 11 Трилинг 11 Фул 11 Покер 11 Јамб 12 Макс. и мин. 12 СТРАТЕГИЈА НА НАСУМИЧНИМ ПРИМЕРИМА 14 ПРИМЕР 1 14 ПРИМЕР 2 16 ПРИМЕР 3 18 Занимљивости 19

3 Резиме У овом раду ћемо се посветити једној од познатих игара са коцкицама, јамбу. Посебно ћемо обратити пажњу на употребу математике у јамбу, односно употребу комбинаторике и вероватноћа. Такође ћемо упознати читаоце са основним правилима јамба, а нека од њих и подробно математички обрадити. Кључне речи: јамб, рука, вероватноћа, комбинаторика. Увод Јамб је осмишљен од стране богатог пара из Канаде,ради забаве на броду. Кад год би пријатељи били позвани на брод,учени су правилима ове игре зване Yацхт гаме. Игра је толико постала популарна да су сви хтели копију за себе одлазе код једног човека који прави играчке и затражили да им направи пар примерака као поклон.њему се толико свидела,да је затражио права на њих,и касније променио име у Yahtzee. Мој први сусрет са јамбом се десио у раном детињству кад сам га играла са старијим братом, међутим то је била за мене само игра. Касније, јавља се део мене који је хтео да сазна да ли је и како могуће одиграти најбољу могућу игру,и са тим се створила жеља да то сама и проучим. Изучавање математичког дела јамба, захтева упознавање са математичким појмовима комбинаторике, односно пермутација, варијација и комбинација са бацањем једне руке или са понављањима, као и са упознавањем појма вероватноће. 1

4 Листа симбола Пермутације Дефиниција 1. Свака уређена n-торка ( x1, x2,..., x ) елемената n-точланог скупа X { x, x... x n }, зове се пермутација скупа X Свако бијективно пресликавање скупа X на самог себе зове се пермутација скупа X. n Како би одговорили на питање колико има пермутација од n елемената дефинисаћемо функцију n факторијел, са ознаком n!, на следећи начин: 0! = 1; n! = (n 1) n, n N На основу тога имамо да је 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = Дат је скуп X { x1, x2... x n } од n елемената. Одредићемо број пермутација скупа X. На првом месту низа од n елемената може бити било који од n елемената скупа X. Са сваким од n елемената као првим чланом низа други члан може бити било који од преосталих n - 1 елемената скупа X. У том случају се први и други члан низа могу изабрати на n (n 1) начина. Према томе прва три члана низа елемената из скупа X могу се изабрати на n (n 1) (n 2) начина. Кад би наставили овај поступак имали би да је број пермутација од n елемената једнак броју : (n 1) n Из горе наведеног следи: Теорема 1. Нека је дат скуп X { x1, x2... x n } од n елемената. Ако са P n означимо број свих пермутација скупа X од n елемената, тада је: Pn n! 2

5 Међутим ако између заданих n елемената има k 1 једнаких једне врсте,k 2 једнаких друге врсте,..,k r једнаких r-врсте,онда се ради о пермутацијама са понављањем. Број пермутација са понављањем једнак је: n P k1,k 2,,k n = n! k 1! k 2! k n! Варијације За дати скуп X { x1, x2... x n } пермутација представља низ од nразличитих елемената скупа (1 k n) X. За разлику од пермутација, можемо посматрати низове од k различитих елемената скупа X. Дефиниција 3. Свака уређена k-торка ( x1, x2,..., x ) различитих елемената n- точланог скупа X { x1, x2... x n }, зове се варијација скупа X. За k = n варијација класе n од n елемената представља у ствари пермутацију. Број варијација датог скупа, одређујемо слично као и број пермутација, само што се води рачуна да сада можда не распоређујемо свих n k елемената скупа, него њих k. Теорема 2. Нека је дат скуп X { x1, x2... x n } од n елемената. Ако са свих варијација скупа X класе к од n елемената, тада је V n ( n 1) ( n k 2) ( n k 1). n k n V k означимо број Теорема 3. Ако се елементи у уређеним k-торкама могу понављати говоримо о варијацијама с понављањем. Број варијација с понављањем k- тог разреда од n елемената једнак је : V n k n k 3

6 Вероватноће Алгебра догађаја Појам експеримента је основни појам у теорији вероватноће. Он се под приближно истим условима може понављати неограничени број пута и његов исход се не може са сигурношћу предвидети. Скуп свих могућих исхода, које означавамо са, називамо простор исхода или простор елементарних догађаја. Сваки подскуп A називамо случајан догађај. Скуп скупа називамо и сигуран догађај, док догађај који се у експерименту не може остварити називамо немогућ догађај, који означавамо са Увођењем релација и операција на скупу случајних догађаја формирамо алгебру 0. догађаја. Једна од тих операција је супротан догађај. Ако са догађај догађаја A, тада се он дефинише на следећи начин: А1 A означимо супротан A A У следећим примерима је експеримент бацање једне шестостране коцкице: Пример 1. За дати експеримент важи: 1) Елементарни догађаји су: А6- бацање 6. 2) Сигуран догађај је скуп A 1 -бацање 1; A 2 - бацање 2;... А5- бацање 5; Ω = {A 1, A 2, A 3, A 4, A 5, A 6 }, ( При бацању коцкице сигурно ће пасти један од следећих бројева: 1,2,3,4,5,6). 3) Немогућ догађај у овом експерименту је нпр.добијање коцкице 8. 4) Случајан догађај A је догађај добијања нпр. 4 или 5.Тада је: 5) Супротан догађај A за догађај из A можемо записати: Дефиниција 1.За случајне догађаје A = {A 4, A 5 } Ω 4) је догађај добијања То A = Ω\{A 1, A 2, A 3, A 4, A 5, A 6 }\{A 4, A 5 } = {A 1, A 2, A 3, A 6 } A и B, збир ( или унија) догађаја A и B, у ознаци A B( или A B), је догађај који се остварује тачно онда када се бар један од догађаја A и B оствари. 4

7 Пример 2. За догађаје A и B : A B - бацање 2или 5 - бацање 4 догађај A B ( или A B ) је бацање једне од следећих: Дефиниција 2. За случајне догађаје A и B, производ ( или пресек ) догађаја A и B, у ознаци AB ( или A B ), је догађај који се остварује тачно онда када се оба догађаја A и B остваре истовремено. Пример 3. За догађаје A и B : A B - бацање бацање 236 догађај AB је бацање једне од следећих коцкица: 26. Дефиниција вероватноћа и основне особине Означимо вероватноћу догађаја A са PA. ( ) Пре аксиоматског увођења функције вероватноће, историјски се сусрећемо са следећим дефиницијама: догађај 1) Статистичка дефиниција вероватноће: Нека је у експерименту дат случајан A пута, тада:. Ако се у n N понављања наведеног експеримента догађај - број m називамо фреквенцијом, коју означавамо: ma ( ) - број m n називамо релативном фреквенцијом, коју означавамо ( A) A догодио m Вероватноћа догађаја A статистички дефинишемо као број коме тежи релативна фреквенција догађаја A, када се број понављања уоченог експеримента n неограничено повећава, тј. када број n тежи бесконаћности: P( A) lim ( A) n где је ( A ) релативна фреквенција догађаја A у првих n понављања експеримента. n n 5

8 2) Класична (или Лапласова) дефиниција вероватноће (први пут се појавила 1812.): Ова дефиниција односи се на експерименте чији је простор елемената догађаја (могућих исхода) коначан, а елементарни догађаји су једнако вероватни. За догађај сваки исход, при коме се остварује догађај A, назива се повољан. Нека има n Тада је: елементарних догађаја у експерименту, а m односно: вероватноћа догађаја A исхода. m PA ( ) n повољних исхода за догађај A. једнака је количнику броја повољних и броја могућих A 3) Геометријска дефиниција вероватноће : Вероватноћа представља количник површина (запремина или дужина) повољних и могућих исхода. Дефиниција 3. Скуп (колекцију) догађаја F догађаја ако важи: 1) F везаних за експеримент називамо пољем 2) A F A F 3) A, B F A B F Вероватноће аксиоматски дефинишемо на пољу догађаја као функцију са следећим особинама: Дефиниција 4. Вероватноћа P () је функција која догађаје из поља F пресликава на реалне бројеве и има следеће особине: 1) ненегативност: ( A F)( P( A) 0) 2) нормираност: P( ) 1 3) адитивност: ако су A1, A 2,... по паровима дисјуктни догађаји ( Ai Aj 0 за i j ) из поља F, тада је i i i P( A ) P( A ) i 6

9 Основне особине вероватноће навешћемо у следећој теореми: Теорема 1.Нека су догађаји 1) P( A) 1 P( A), A, B F. Тада је: 2) P(0) 0, 3) A B P( B A) P( B) P( A), 4) A B P( A) P( B), 5) PA ( ) 1 6) P( A B) P( A) P( B) P( AB). Доказ: 1) На основу дефиниције супротног догађаја адитивности вероватноће имамо да је: A A, норимираности и односно : P( A) 1 P( A). 1 P( ) P( A A) P( A) P( A) 2) Ако у претходноме доказаном ставу узмемо да је A имамо P( ) P(0) 1 P( ) ) Ако је A B, тада је PB ( A) P( B) P( A). Пошто су догађаји A и B A дисјунктни на основу адитивности вероватноће имамо P( B) P( A) P( B A ) тј. PB ( A) P( B) P( A). 4) Доказ следи на основу претходног става и ненегативности вероватноће. 5) Ако у претходном ставу бирамо B на основу нормираности вероватноће следи тврђење. 6) Како је A B A AB и B AB AB и догађаји A AB су дисјунктни, на основу адитивности вероватноће имамо да је P( A B) P( A) P( AB), P( B) P( AB) P( AB), На основу овога, елиминацијом P( AB ) добијамо: P( A B) P( A) P( B) P( AB). 7 и AB као и догађаји AB и

10 Примена у раду: У овом раду искључиво ћемо користити Лапласову дефиницију вероватноће. Наш коначан простор елемената догађаја (могућих исхода) биће где за сваки број постоје једнаке шансе његовог добитка (узећемо у обзир постојање 5 коцкица). Исти исход бацања,у смислу резултата,добија се у више различитих распореда коцкица и број таквих распореда одређује се као број пермутација са понављањем. (Битно!: 1256 и 6152 су два засебна случајева!) ЈАМБ (yамб или yахтзее) JAMB R JAMB Јамб (yамб ) је игра са коцкицама,у којој се зависно од договора игра са 5 или 6 коцкица.(ако се игра са 6,шеста се рачуна као помоћна).ми ћемо разматрати случајеве где се користи 5 коцкица. Циљ игре је добити што више поена бацањем коцкица, при чему се добијају различите комбинације, од којих свака носи одређен број поена. Особа има право на 3 бацања,(осим у случаја Ручно бацање ) међутим она нису обавезна( последња два),и свој резултат забележава у одређену колону и ред зависно од добијене комбинације.победник је особа са највећим бројем поена. Приликом првог бацања играч одлучи које од коцкица жели задржати(може и све),затим поново баца. После другог бацања,процес се понавља(ако жели,може да врати коцкице из првог бацања). Након трећег бацања,играч одабира шта жели(од могућих комбинација) уписати у свој листић. Ову игру може да игра неограничен број играча а минимум је два Σ max min Σ kenta triling ful kare jamb Σ Пример листића 8

11 КОЛОНЕ Основни јамб листић има 4 колоне (На доле, Слободна, На горе и Ручно), међутим постоје разни типови додатних колона. Прва колона, На доле ( ) попуњава са редом од 1 до јамба, дакле поља се не смеју прескакати. Друга колона, Слободна,( ) може да се попуњава по избору, тј. било којим редоследом. Трећа колона, На горе ( ) попуњава се од јамба до 1, и као и код прве колоне поља се не смеју да прескакати. Четврта колона је је,,ручна (Р). Једина колона у којој је дозвољено само једно бацање је Ручна (по некима је дозвољено и три пута али сва три пута морају све коцкице да буду бачене, што значи да ако играч није ништа остављао може три пута бацати коцкице. Неки чак играју да за друго бацање може да се нешто остави а за треће бацање све покупи, и то се такође рачуна као ручно бацање). Додатне колоне су: Диригована - Ова колона се игра након што је претходни играч нешто најавио. На пример, ако је први играч најавио шестице, други играч је дужан да игра за шестице и да их упише у одговарајућем пољу у диригованој колони. Најава- Ова колона може да се игра након првог бацања. Тада играч издвоји коцкице (обично оне којих има највише) и обавезан је да изговори Најављујем..." и баца још два пута за поље које је најавио. Наравно, у ову колону је могуће уписати и оно што је добијено после првог бацања и тиме завршити потез. Медијална (две стрелице супротно окренуте) Ова колона се редом попуњава од максимума ка горе и од минимума ка доле. Антимедијална (две стрелице окренуте једна ка другој) - Попуњава се од 1 до максимума и од јамба до минимума. По некима, ова колона може да се игра и другачије, да рецимо када се стигне до максимума може да се продужи на доле или од минимума на горе. Обавезна. Ова колона се игра након што се све друге колоне попуне и креће се редом од јединица до јамба. Максимална. У ову колону се уписују најбољи могући резултати (нпр. 64 за покер, 58 за фул, итд.). 9

12 Статитиска и вероватноће у јамбу Посебно ћемо издвојити колону Ручно, због специфичне могућности само једног бацања.посебно ћемо израчунати повољне исходе за добијање сваких од елемената (1-6, макс., мин, кента, трилинг, фул, покер, јамб). Редови 1-6: За колону,,ручно израчунаћемо за бројеве 1-6 оптималан добитак (3 и више коцкица),као и за максимум и минимум (минимум збир мањи од 7,максимум збир веци од 25). Погодни добици за бројеве 1-6 су 3 или више коцкица јер са збиром прве колоне (1-6) за збир преко 60 добија бонус 30 поена,а то је просечно три коцкице за сваки број. Вероватноћа добитка 3 или више нпр. јединица P( 3 1 ) је( P(3 1 ) + P(4 1 ) + P(5 1 ) ) из прве руке: За случај тачно 3 1 имамо да израчунамо вероватноћу за случај 111XY где за повољне случајеве X може имати 5 вредности (све сем 1 ) а Y 4 вредности (све осим X и 1): ! 3! = Сад посматрамо случај за 4 1 односно 1111X где за повољне случајеве X има 5 вредности (све осим 1 ) : 5 5! = ! 6 5 Последњи случај је 5 1 односно где имамо тачан конкретан случај односно свака коцкица има 1 шансе да падне на број 1 (вероватноће су исте као за добитак јамба 6 подељено са 6 због конкретног случаја за јединице) : = Укупна вероватноћа добијања 3 1 једнака је : = (аналогно томе иста вероватноћа је и за добијање 3 2 и 3 3 и 3 4 и 3 5 и 3 6). 10

13 Кента: Постоје 2 варијанте кенте :12345 или 23456,и она носи поене од (66-из прве руке,56-из друге руке,46-из треће руке).вероватноћа добитка кенте из прве руке одн. (12345) или (23456) је: ! = !,односно вероватноћа добијања једне кенте је 5 65 због конкретних бројева који морају бити добијени 2. Трилинг: Трилинг представљају сви исходи типа XXXYZ (Ако су Y и Z једнаки онда је то фул,сад ћемо разматрати случајеве кад су строго различити) нпр.333. Вредности трилинга могу носити поене од (збир три добијене коцкице + 20поена).Вероватноћа добијања трилинга нпр. (222) односно имамо 222XY где (као и у случају 3x1) имамо 5 вредности за Xи 4 за Y. Медјутим с обзиром да је трилинг могућ И са осталим бројевима, па ћемо одмах множити са 6 : Фул: ! 3! 2! = Фул представљају сви исходи типа XXXYY,а то је нпр Вредности фула могу носити поене од (збир свих коцкица +30поена). Вероватноћа добијања фула из прве руке нпр.(555xx) је где X може имати 5 вредности( све сем 5) и узећемо у обзир да је могућ и са осталим бројевима,па ћемо одмах множити са 6 : Покер: ! 3! 2! = Покер (познат и као каре) представљају исходи типа XXXXY нпр Вредности покера могу носити поене од 44-64(збир четири добијене коцкице +40поена).Вероватноћа добијања покера (кареа нпр.4444) односно имамо 4444X где за повољан случај X има 5 вредности (све осим 4) и,такође,узимамо у обзир да је могућ и са осталим бројевима па ћемо одмах множити са 6: ! 4! =

14 Јамб: Јамб представљају исходи типа XXXXX,нпр Вероватноћа добијања јамба из прве руке нпр. (22222) где ћемо одмах,такође,множити са 6 : = (6 повољних исхода,од укупно (V ) 6 могућих) Макс. и мин.: Што се тиче макс. и мин. узећемо оптималне добитке (збир бројева 7-мин. и збир бројева 28-макс.) јер циљамо на што већу разлику између њих (по правилима њихова разлика се множи са кечевима и уписује у ). Вероватноћа добијања оптималног добитка код минимума (збир бројева 7) је P(zbir = 5) + P(zbir = 6) + P(zbir = 7): За случај да је збир 5 имамо само једно повољно решење а то је и његова вероватноћа износи (свака коцкица има 1 шансе да буде 1). 6 За случај да је збир једнак 6 постоји једно повољно решење а то је а њена вероватноћа ( све коцкице имају 1/6 да буду тачан број потребан и то множимо са бројем пермутација)износи: ! 4! 1! = И случај кад је збир једнак 7 има скуп повољних решења {11122,11113}. Вероватноћа добијања је : Вероватноћа добијања је : ! 3! 2! = ! 4! =

15 Закључујемо да је вероватноћа добијања оптималног минимума из прве руке једнак : P(zbir 7) = = Што се тиче маx.(максимума) вероватноћа добијања оптималног добитка P(zbir 28) = P(zbir = 28) + P(zbir = 29) + P(zbir = 30) За случај да је збир 30 имамо само једно повољно решење а то је 66666, чија је вероватноћа (свака коцкица има 1 шансе да падне на6). 6 За случај да је збир једнак 29 имамо само једно повољно решење а то је и вероватноћа добитка 5 6 5(свака коцкица има 1 вероватноће да падне на тачно потребан 6 број број пермутација) : ! 4! = За случај да је збир 28 имамо скуп повољних решења {66655,66664}. Вероватноћа добијања је : ! 3! 2! = Вероватноћа добијања је : ! 4! = Закључујемо да је вероватноћа оптималног максимума једнака (иста као и код мин.): P(zbir brojeva 28) =

16 СТРАТЕГИЈА НА НАСУМИЧНИМ ПРИМЕРИМА У овом делу објаснићемо на пар примера како одиграти најбољи могући потез користећи статистику,вероватноћу и пермутације. ПРИМЕР 1. У првом бацању нпр. добијамо а на нашем листићу имамо празна поља за мин., јединице,покер и јамб. Шта у том случају урадити? С обзиром да имамо могућност још два бацања,у првом кораку ослањамо се на вероватноће и оно што нам је у том тренутку погодно за добијање. Имајући у виду празно поље за кечеве и за минимум па ћемо израчунати вероватноћу и за једно и за друго. Нпр. узимамо За добијање оптималних кечева (3 или више) имамо у следећој руци: P(1XY) = ! = P(11X) = 5 3! = ! 6 3 P(111) = Односно,P( 3 1) = (У следећа два бацања 2 63 = ) 14

17 2. За добијање оптималног минимума (збир 7) имамо опције добијања : P(111)= P(112)= ! 2! = P(113)= 1 3! = ! 6 3 P(122)= ! 2! = Укупна вероватноћа одн. P(zbir 7) = = Укупна вероватноћа добијања неких од наведених повољних случајева: P( 3 1) + P(збир 7) = = ( у следећа два бацања ) *С опцијом остављања коцкица 1122 имамо 1 6 шансе да добијемо оптималан минимум ( у следећа два бацања 2 6 ) *С опцијом остављања 112 имамо 2 опције погодних добитака {12,11}. P(12) = ! = P(11) = Вероватноћа добиања погодних добитака:п(збир 7) = ( у следећа два бацања = 1 6 ) 15

18 Из наведеног закључујемо да је најбољи могући потез остављање 11. Међутим,у следећем бацању добијамо нпр Шта сад урадити? Да ли наставити са кечевима или потенцијалним минимумом или кренути за покером шестицама? У случају настављања са кечевима вероватноћа добитка је као горе наведена(само за 1 потез). Примећујемо празно поље за покер и јамб.вероватноћа добијања покера (6666) или јамба(66666) је : P(6X) = ! = P(66)= Укупно : = С једне стране имамо 176 вероватноће да добијемо оптималан минимум или кечеве,а са 63 друге 66 63да добијемо покер или јамб. Закључујемо да је сигурнији потез наставити ка минимумом и кечевима и поново бацити 3 коцкице. ПРИМЕР 2. Нпр. у првом бацању добијамо бројеве А на нашем листићу имамо слободно поље за макс. и јамб.да ли ризиковати добар максимум за јамб? Да видимо шта нам вероватноће кажу. Узећемо нпр. 666 и пробати да кренемо ка јамбу,који су нам повољно исходи: 1. 6X (бар једна шестица) P(6X)= ! = (добитак јамба) P(66)=

19 3. 55 (тиме не нарушавам макс.) P(55)= (повољно и за јамб и за макс.) P(65)= ! = Укупна вероватноћа : P = У другом бацању добијамо 51. Да ли кренути поново ка јамбу или пак окренути се ка макс.? Повољни исходи су: Ако идемо на јамб,бацамо обе коцкице и једини повољан исход је 66 : P(66) = Ако идемо на макс. повољно је оставити 5 и онда нам је скуп повољних услова {5,6} : P(5)= 1 6 P(6)= 1 6 Укупно P = 1 3 С једне стране имамо 1 36 вероватноће да добијемо јамб, а са друге имамо 1 3 вероватноће да добијемо повољан макс. Вероватноће за добијање повољног макс. су 2 веће и зато је најбољи могући потез поновно бацање коцкице 1. 17

20 ПРИМЕР 3. У првом бацању добијамо нпр , а на нашем листићу имамо слободну ручну колону и јамб.да ли писати ручни трилинг,ручни макс.,ручне шестице или ићи ка обичном јамбу? Ако одвојим 666,у другом потезу имамо могуће различите исходе : 1. Добијање 66 тј. добитак јамба: P(66)= Добијање 6X (где је Xможе бити све осим 6) : P(6X)= ! = Добијање XY(где ни X ни Y нису 6) : P(XY)= = Односно у трећем потезу могуће је: a) Ако добијамо случај 2. у другом потезу онда : P(66666) = 1 10 = b) Ако добијемо случај 3. У другом потезу онда : P(66666)= 1 25 = Укупна вероватноћа добитка јамба у следећа два потеза : P = = С друге стране ако се двоумимо између ручног трилинга,ручног максимума и ручних шестица упоредимо малопре израчунате вероватноће : P(triling) =

21 P( 3 6) = P(zbir 28) = Укупна веротватноћа за поновни добитак неких од наведених је Дакле,вреди покушати да се крене ка јамбу. Занимљивости: Вероватноћа добијања фула у једном потезу је , док је вероватноћа добијања покера.по нашим правилима,фул носи 30 поена а покер 40 поена,што значи да је фул лак погодак,с обзиром да је дупло лакши за добијање од покера,а разлика поена је само 10. Такође,са пет коцкица постоји пар коцкица (XX) или боље. (90.7%) вероватноће да ћете у првом кругу добити Јамб је стекао огромну популарност и та чињеница објашњава зашто не постоји опште правило за играње. Као што смо до сада видели постоји велики број различитих верзија и модификација, те је готово немогуће наћи два програма која се придржавају истих правила. Слична ствар је и са "живим" играчима, односно са листићима различитих штампарија. Постоје и национална такмичења нпр. у Машантукету у Foxwoods Resortказину, САД, као и велики број онлине такмичења. 19

22 Литература: 1) Јован Кечкић, Математичка Синтеза 2) 3) 4)

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7.1. ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ху = n (n N) Диофантова једначина ху = n (n N) има увек решења у скупу природних (а и целих) бројева и њено решавање није проблем,

Διαβάστε περισσότερα

СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ 8.. Линеарна једначина с две непознате Упознали смо појам линеарног израза са једном непознатом. Изрази x + 4; (x 4) + 5; x; су линеарни изрази. Слично, линеарни

Διαβάστε περισσότερα

1.2. Сличност троуглова

1.2. Сличност троуглова математик за VIII разред основне школе.2. Сличност троуглова Учили смо и дефиницију подударности два троугла, као и четири правила (теореме) о подударности троуглова. На сличан начин наводимо (без доказа)

Διαβάστε περισσότερα

ТРАПЕЗ РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ. Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце

ТРАПЕЗ РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ. Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ ТРАПЕЗ Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце Ментор :Криста Ђокић, наставник математике Власотинце, 2011. године Трапез

Διαβάστε περισσότερα

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице.

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. КРУГ У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. Архимед (287-212 г.п.н.е.) 6.1. Централни и периферијски угао круга Круг

Διαβάστε περισσότερα

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x,

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, Већи број: 1 : 4x + 1, (4 бода) Њихов збир: 1 : 5x + 1, Збир умањен за остатак: : 5x = 55, 55 : 5 = 11; 11 4 = ; + 1 = 45; : x = 11. Дакле, први број је 45

Διαβάστε περισσότερα

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011 Аксиоме припадања Никола Томовић 152/2011 Павле Васић 104/2011 1 Шта је тачка? Шта је права? Шта је раван? Да бисмо се бавили геометријом (и не само геометријом), морамо увести основне појмове и полазна

Διαβάστε περισσότερα

4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА

4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА 4. Закон великих бројева 4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА Аксиоматска дефиниција вероватноће не одређује начин на који ће вероватноће случајних догађаја бити одређене у неком реалном експерименту. Зато треба наћи

Διαβάστε περισσότερα

6.2. Симетрала дужи. Примена

6.2. Симетрала дужи. Примена 6.2. Симетрала дужи. Примена Дата је дуж АВ (слика 22). Тачка О је средиште дужи АВ, а права је нормална на праву АВ(p) и садржи тачку О. p Слика 22. Права назива се симетрала дужи. Симетрала дужи је права

Διαβάστε περισσότερα

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ.

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ. VI Савијање кружних плоча Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама и ϕ слика 61 Диференцијална једначина савијања кружне плоче је: ( ϕ) 1 1 w 1 w 1 w Z, + + + + ϕ ϕ K Пресечне

Διαβάστε περισσότερα

Tестирање хипотеза. 5.час. 30. март Боjана Тодић Статистички софтвер март / 10

Tестирање хипотеза. 5.час. 30. март Боjана Тодић Статистички софтвер март / 10 Tестирање хипотеза 5.час 30. март 2016. Боjана Тодић Статистички софтвер 2 30. март 2016. 1 / 10 Монте Карло тест Монте Карло методе су методе код коjих се употребљаваjу низови случаjних броjева за извршење

Διαβάστε περισσότερα

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2 8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х + у = z Један од најзанимљивијих проблема теорије бројева свакако је проблем Питагориних бројева, тј. питање решења Питагорине Диофантове једначине. Питагориним бројевима или

Διαβάστε περισσότερα

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 Метод разликовања случајева је један од најексплоатисанијих метода за решавање математичких проблема. У теорији Диофантових једначина он није свемогућ, али је сигурно

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки

Διαβάστε περισσότερα

Анализа Петријевих мрежа

Анализа Петријевих мрежа Анализа Петријевих мрежа Анализа Петријевих мрежа Мере се: Својства Петријевих мрежа: Досежљивост (Reachability) Проблем досежљивости се састоји у испитивању да ли се може достићи неко, жељено или нежељено,

Διαβάστε περισσότερα

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c 6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c Ако су а, b и с цели бројеви и аb 0, онда се линеарна једначина ах + bу = с, при чему су х и у цели бројеви, назива линеарна Диофантова једначина. Очигледно

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Тест Математика Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 00/0. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни ТАЧКА. ПРАВА. РАВАН Талес из Милета (624 548. пре н. е.) Еуклид (330 275. пре н. е.) Хилберт Давид (1862 1943) 3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни Настанак геометрије повезује

Διαβάστε περισσότερα

Хомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x)

Хомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x) ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? Врсте диференцијалних једначина. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНА ЈЕДНАЧИНА КОЈА РАЗДВАЈА ПРОМЕНЉИВЕ Код ове методе поступак је следећи: раздвојити

Διαβάστε περισσότερα

5.2. Имплицитни облик линеарне функције

5.2. Имплицитни облик линеарне функције математикa за VIII разред основне школе 0 Слика 6 8. Нацртај график функције: ) =- ; ) =,5; 3) = 0. 9. Нацртај график функције и испитај њен знак: ) = - ; ) = 0,5 + ; 3) =-- ; ) = + 0,75; 5) = 0,5 +. 0.

Διαβάστε περισσότερα

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова 4 Троугао (II део) Хилберт Давид, немачки математичар и логичар Велики углед у свету Хилберту је донело дело Основи геометрије (1899), у коме излаже еуклидску геометрију на аксиоматски начин Хилберт Давид

Διαβάστε περισσότερα

МАСТЕР РАД УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ. Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ

МАСТЕР РАД УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ. Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ МАСТЕР РАД Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ МЕНТОР: КАНДИДАТ: Проф. др Драгољуб Кечкић Милинко Миловић

Διαβάστε περισσότερα

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима 50. Нацртај било које унакрсне углове. Преношењем утврди однос унакрсних углова. Какво тврђење из тога следи? 51. Нацртај угао чија је мера 60, а затим нацртај њему унакрсни угао. Колика је мера тог угла?

Διαβάστε περισσότερα

Сваки задатак се бодује са по 20 бодова. Израда задатака траје 150 минута. Решење сваког задатка кратко и јасно образложити.

Сваки задатак се бодује са по 20 бодова. Израда задатака траје 150 минута. Решење сваког задатка кратко и јасно образложити. IV разред 1. Колико ће година проћи од 1. јануара 2015. године пре него што се први пут догоди да производ цифара у ознаци године буде већи од збира ових цифара? 2. Свако слово замени цифром (различита

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре 0 6.. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре У обичном говору се често каже да су неки предмети симетрични. Примери таквих објеката, предмета, геометријских

Διαβάστε περισσότερα

Семинарски рад из линеарне алгебре

Семинарски рад из линеарне алгебре Универзитет у Београду Машински факултет Докторске студије Милош Живановић дипл. инж. Семинарски рад из линеарне алгебре Београд, 6 Линеарна алгебра семинарски рад Дата је матрица: Задатак: a) Одредити

Διαβάστε περισσότερα

Теорија одлучивања. Циљеви предавања

Теорија одлучивања. Циљеви предавања Теорија одлучивања Бајесово одлучивање 1 Циљеви предавања Увод у Бајесово одлучивање. Максимална а постериори класификација. Наивна Бајесова класификација. Бајесове мреже за класификацију. 2 1 Примене

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ПРОБНИ ЗАВРШНИ ИСПИТ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ

Διαβάστε περισσότερα

6.5 Површина круга и његових делова

6.5 Површина круга и његових делова 7. Тетива је једнака полупречнику круга. Израчунај дужину мањег одговарајућег лука ако је полупречник 2,5 сm. 8. Географска ширина Београда је α = 44 47'57", а полупречник Земље 6 370 km. Израчунај удаљеност

Διαβάστε περισσότερα

ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА

ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА ВАЉЕВО, 006 1 1. УВОД 1.1. ПОЈАМ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ У једној земљи Далеког истока живео је некад један краљ, који је сваке ноћи узимао нову жену и следећег

Διαβάστε περισσότερα

УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМСАДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И

УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМСАДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМСАДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Зорана Томић ГРАНИЧНЕ ВРЕДНОСТИ ФУНКЦИЈА Мастер рад Нови Сад, 2012. Предговор... 3 1. Увод... 4 Појам функције...

Διαβάστε περισσότερα

Вектори vs. скалари. Векторске величине се описују интензитетом и правцем. Примери: Померај, брзина, убрзање, сила.

Вектори vs. скалари. Векторске величине се описују интензитетом и правцем. Примери: Померај, брзина, убрзање, сила. Вектори 1 Вектори vs. скалари Векторске величине се описују интензитетом и правцем Примери: Померај, брзина, убрзање, сила. Скаларне величине су комплетно описане само интензитетом Примери: Температура,

Διαβάστε περισσότερα

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде математик за VIII разред основне школе 4. Прво наћи дужину апотеме. Како је = 17 cm то је тражена површина P = 18+ 4^cm = ^4+ cm. 14. Основа четворостране пирамиде је ромб чије су дијагонале d 1 = 16 cm,

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2010/2011. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23

6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23 6.3. Паралелограми 27. 1) Нацртај паралелограм чији је један угао 120. 2) Израчунај остале углове тог четвороугла. 28. Дат је паралелограм (сл. 23), при чему је 0 < < 90 ; c и. c 4 2 β Сл. 23 1 3 Упознајмо

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 0/06. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

Ваљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ:

Ваљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ: Ваљак ВАЉАК P=B + M V= B H B= r p M=rp H Pосн.пресека = r H. Површина омотача ваљка је π m, а висина ваљка је два пута већа од полупрчника. Израчунати запремину ваљка. π. Осни пресек ваљка је квадрат површине

Διαβάστε περισσότερα

10.3. Запремина праве купе

10.3. Запремина праве купе 0. Развијени омотач купе је исечак чији је централни угао 60, а тетива која одговара том углу је t. Изрази површину омотача те купе у функцији од t. 0.. Запремина праве купе. Израчунај запремину ваљка

Διαβάστε περισσότερα

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0 Лист/листова: 1/1 Задатак 4: Задатак 4.1.1. Слика 1.0 x 1 = x 0 + x x = v x t v x = v cos θ y 1 = y 0 + y y = v y t v y = v sin θ θ 1 = θ 0 + θ θ = ω t θ 1 = θ 0 + ω t x 1 = x 0 + v cos θ t y 1 = y 0 +

Διαβάστε περισσότερα

I Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ

I Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ I Линеарне једначине Линеарне једначине се решавају по следећем шаблону: Ослободимо се разломка Ослободимо се заграде Познате

Διαβάστε περισσότερα

ТАЧКЕ КОЈЕ ЕКСПЛОДИРАЈУ ПОГЛАВЉЕ 5 ДЕЉЕЊЕ ПОЧИЊЕМО

ТАЧКЕ КОЈЕ ЕКСПЛОДИРАЈУ ПОГЛАВЉЕ 5 ДЕЉЕЊЕ ПОЧИЊЕМО ТАЧКЕ КОЈЕ ЕКСПЛОДИРАЈУ ПОГЛАВЉЕ 5 ДЕЉЕЊЕ Сабирање, одузимање, множење. Сад је ред на дељење. Ево једног задатка с дељењем: израчунајте колико је. Наравно да постоји застрашујући начин да то урадите: Нацртајте

Διαβάστε περισσότερα

< < < 21 > > = 704 дана (15 бодова). Признавати било који тачан. бодова), па је тражена разлика 693 (5 бодова), а тражени збир 907(5

< < < 21 > > = 704 дана (15 бодова). Признавати било који тачан. бодова), па је тражена разлика 693 (5 бодова), а тражени збир 907(5 05.03.011 - III РАЗРЕД 1. Нацртај 4 праве a, b, c и d, ако знаш да је права а нормална на праву b, права c нормалана на b, а d паралелнa са а. Затим попуни табелу стављајући знак (ако су праве нормалне)

Διαβάστε περισσότερα

TAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА

TAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА TЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА Два тачкаста наелектрисања оптерећена количинама електрицитета и налазе се у вакууму као што је приказано на слици Одредити: а) Вектор јачине електростатичког поља у тачки А; б) Електрични

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 014/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

ТАНГЕНТА. *Кружница дели раван на две области, једну, спољашњу која је неограничена и унутрашњу која је ограничена(кружницом).

ТАНГЕНТА. *Кружница дели раван на две области, једну, спољашњу која је неограничена и унутрашњу која је ограничена(кружницом). СЕЧИЦА(СЕКАНТА) ЦЕНТАР ПОЛУПРЕЧНИК ТАНГЕНТА *КРУЖНИЦА ЈЕ затворена крива линија која има особину да су све њене тачке једнако удаљене од једне сталне тачке која се зове ЦЕНТАР КРУЖНИЦЕ. *Дуж(OA=r) која

Διαβάστε περισσότερα

Испитвање тока функције

Испитвање тока функције Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 Испитвање тока функције Испитивање тока функције y f подразумева да се аналитичким путем дође до сазнања о понашању функције, као и њеним значајним тачкама у координантном

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2011/2012. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

Основе теорије вероватноће

Основе теорије вероватноће . Прилог А Основе теорије вероватноће Основни појмови теорије вероватноће су експеримент и исходи резултати. Најпознатији пример којим се уводе појмови и концепти теорије вероватноће је бацање новчића

Διαβάστε περισσότερα

Математика лутрије. Математика лутрије I

Математика лутрије. Математика лутрије I Математика лутрије Ови текстови су настали спорадичним сакупљањем и дјелимичним обрађивањем. Извори су наведени тамо гдје је то било могуће, односно гдје се аутор текста истих могао и сјетити. Неки наводи

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван

2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван 2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван Човек је за своје потребе градио куће, школе, путеве и др. Слика 1. Слика 2. Основа тих зграда је често правоугаоник или сложенија фигура (слика 3). Слика 3.

Διαβάστε περισσότερα

Данка Вујанац. Бојење графова. мастер рад

Данка Вујанац. Бојење графова. мастер рад Данка Вујанац Бојење графова мастер рад Нови Сад, 2015 Садржај Предговор... 2 Увод... 3 Глава 1. Основни појмови графа... 5 Глава 2. Бојење чворова... 11 Глава 3. Бојење грана... 22 Глава 4. Бојење планарних

Διαβάστε περισσότερα

IV разред. 1. Дешифруј ребус A + BA + CBA + DCBA = Иста слова замени једнаким цифрама, а различита различитим.

IV разред. 1. Дешифруј ребус A + BA + CBA + DCBA = Иста слова замени једнаким цифрама, а различита различитим. IV разред 1. Дешифруј ребус A + BA + CBA + DCBA = 2016. Иста слова замени једнаким цифрама, а различита различитим. 2. Производ два броја је 2016. Ако се један од њих повећа за 7, производ ће бити 2457.

Διαβάστε περισσότερα

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ предмет: ОСНОВИ МЕХАНИКЕ студијски програм: ЗАШТИТА ЖИВОТНЕ СРЕДИНЕ И ПРОСТОРНО ПЛАНИРАЊЕ ПРЕДАВАЊЕ БРОЈ 2. Садржај предавања: Систем сучељних сила у равни

Διαβάστε περισσότερα

Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике, 1. део, Електростатика

Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике, 1. део, Електростатика Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике део Страна пасус први ред треба да гласи У четвртом делу колима променљивих струја Штампарске грешке у четвртом издању уџбеника Основи електротехнике

Διαβάστε περισσότερα

Динамика. Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе:

Динамика. Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе: Њутнови закони 1 Динамика Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе: када су објекти довољно велики (>димензија атома) када се крећу брзином много мањом

Διαβάστε περισσότερα

Мастер рад. Гребнерове базе. Аутор: Јелена Јовичић Број индекса: 1033/2008. Ментор: Доцент др Зоран Петровић. Математички факултет Београд 2010.

Мастер рад. Гребнерове базе. Аутор: Јелена Јовичић Број индекса: 1033/2008. Ментор: Доцент др Зоран Петровић. Математички факултет Београд 2010. Мастер рад Гребнерове базе Аутор: Јелена Јовичић Број индекса: /8 Ментор: Доцент др Зоран Петровић Математички факултет Београд. Резиме Рад пред вама је мастер рад судента Математичког факултета у Београду,

Διαβάστε περισσότερα

(1) Дефиниција функције више променљивих. Околина тачке (x 0, y 0 ) R 2. График и линије нивоа функције f: (x, y) z.

(1) Дефиниција функције више променљивих. Околина тачке (x 0, y 0 ) R 2. График и линије нивоа функције f: (x, y) z. Дефиниција функције више променљивих Околина тачке R График и линије нивоа функције : Дефиниција Величина се назива функцијом променљивих величина и на скупу D ако сваком уређеном пару D по неком закону

Διαβάστε περισσότερα

Тест за 7. разред. Шифра ученика

Тест за 7. разред. Шифра ученика Министарство просвете Републике Србије Српско хемијско друштво Окружно/градско/међуокружно такмичење из хемије 28. март 2009. године Тест за 7. разред Шифра ученика Пажљиво прочитај текстове задатака.

Διαβάστε περισσότερα

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1 За случај трожичног вода приказаног на слици одредити: а Вектор магнетне индукције у тачкама А ( и ( б Вектор подужне силе на проводник са струјом Систем се налази у вакууму Познато је: Слика Слика Слика

Διαβάστε περισσότερα

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА Београд, 21.06.2014. За штап приказан на слици одредити најмању вредност критичног оптерећења P cr користећи приближан поступак линеаризоване теорије другог реда и: а) и један елемент, слика 1, б) два

Διαβάστε περισσότερα

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА, са додатком теорије

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА, са додатком теорије ГРАЂЕВИНСКА ШКОЛА Светог Николе 9 Београд ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА са додатком теорије - за II разред IV степен - Драгана Радовановић проф математике Београд СТЕПЕНОВАЊЕ И КОРЕНОВАЊЕ

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова. B Сл. 1

6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова. B Сл. 1 6. Четвороугао 6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова А Сл. 1 А На приложеним сликама сигурно уочаваш геометријске фигуре које су ти познате (троугао,

Διαβάστε περισσότερα

Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља

Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља Универзитет у Машински факултет Београду Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља -семинарски рад- ментор: Александар Томић Милош Живановић 65/

Διαβάστε περισσότερα

Теорија игара - Игре тражења и игре сусретања

Теорија игара - Игре тражења и игре сусретања Универзитет у Београду Математички факултет Марија Ивановић Теорија игара - Игре тражења и игре сусретања Дипломски мастер рад Б е о г р а д 0 Ментор: Проф др Ђорђе Дугошија Математички факултет у Београду

Διαβάστε περισσότερα

Енергетски трансформатори рачунске вежбе

Енергетски трансформатори рачунске вежбе 16. Трофазни трансформатор снаге S n = 400 kva има временску константу загревања T = 4 h, средњи пораст температуре после једночасовног рада са номиналним оптерећењем Â " =14 и максимални степен искоришћења

Διαβάστε περισσότερα

ЊУТНОВ ПОСТУПАК И ЊЕГОВЕ МОДИФИКАЦИЈЕ ТРЕЋЕГ РЕДА КОНВЕРГЕНЦИЈЕ

ЊУТНОВ ПОСТУПАК И ЊЕГОВЕ МОДИФИКАЦИЈЕ ТРЕЋЕГ РЕДА КОНВЕРГЕНЦИЈЕ УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Дара Бошковић ЊУТНОВ ПОСТУПАК И ЊЕГОВЕ МОДИФИКАЦИЈЕ ТРЕЋЕГ РЕДА КОНВЕРГЕНЦИЈЕ мастер рад Нови Сад, Садржај Предговор

Διαβάστε περισσότερα

ЗАВРШНИ РАД КЛИНИЧКА МЕДИЦИНА 5. школска 2016/2017. ШЕСТА ГОДИНА СТУДИЈА

ЗАВРШНИ РАД КЛИНИЧКА МЕДИЦИНА 5. школска 2016/2017. ШЕСТА ГОДИНА СТУДИЈА ЗАВРШНИ РАД КЛИНИЧКА МЕДИЦИНА 5 ШЕСТА ГОДИНА СТУДИЈА школска 2016/2017. Предмет: ЗАВРШНИ РАД Предмет се вреднује са 6 ЕСПБ. НАСТАВНИЦИ И САРАДНИЦИ: РБ Име и презиме Email адреса звање 1. Јасмина Кнежевић

Διαβάστε περισσότερα

Изометријске трансформације еуклидскее равни и простора и њихове групе

Изометријске трансформације еуклидскее равни и простора и њихове групе УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ МАКСИМОВИЋ ТАЊА Изометријске трансформације еуклидскее равни и простора и њихове групе МАСТЕР РАД Ментор: др. Александар Липковски Београд 2015. Садржај Увод

Διαβάστε περισσότερα

Теорија одлучивања. Анализа ризика

Теорија одлучивања. Анализа ризика Теорија одлучивања Анализа ризика Циљеви предавања Упознавање са процесом анализе ризика Моделовање ризика Монте-Карло Симулација Предности и недостаци анализе ризика 2 Дефиниција ризика (квалитативни

Διαβάστε περισσότερα

ОБЛАСТ АТРАКЦИЈЕ РАЗНИХ ПОСТУПАКА

ОБЛАСТ АТРАКЦИЈЕ РАЗНИХ ПОСТУПАКА УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Оља Скакавац ОБЛАСТ АТРАКЦИЈЕ РАЗНИХ ПОСТУПАКА мастер рад Нови Сад, 014. Садржај Предговор 4 1. Уводни део 5

Διαβάστε περισσότερα

Дух полемике у филозофији Јован Бабић

Дух полемике у филозофији Јован Бабић Дух полемике у филозофији Јован Бабић У свом истинском смислу филозофија претпостаља једну посебну слободу мишљења, исконску слободу која подразумева да се ништа не подразумева нешто што истовремено изгледа

Διαβάστε περισσότερα

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске слика. У свакој тачки посматране средње површи, у општем случају, постоје два компонентална померања: v - померање у правцу тангенте на меридијалну

Διαβάστε περισσότερα

МРЕЖЕ ПАРТИЦИЈА И КОНГРУЕНЦИЈА АЛГЕБРИ Мастер рад

МРЕЖЕ ПАРТИЦИЈА И КОНГРУЕНЦИЈА АЛГЕБРИ Мастер рад Универзитет у Београду Математички факултет МРЕЖЕ ПАРТИЦИЈА И КОНГРУЕНЦИЈА АЛГЕБРИ Мастер рад студент: Данка Николић ментор: доцент др Небојша Икодиновић Београд, 2016. Садржај Предговор... 1 1. Уводни

Διαβάστε περισσότερα

МАСТЕР РАД. Aлгоритам унификације, уопштења и неке примене. Филип Радуловић

МАСТЕР РАД. Aлгоритам унификације, уопштења и неке примене. Филип Радуловић Математички факултет Универзитета у Београду МАСТЕР РАД Aлгоритам унификације, уопштења и неке примене Филип Радуловић Београд 2014. Ментор: Чланови комисије: проф. др. Александар Јовановић проф. др. Александар

Διαβάστε περισσότερα

Неколико различитих начина решавања једног геометријског задатка

Неколико различитих начина решавања једног геометријског задатка MAT-KOL (Banja Luka) XV()(00), 5-66 Неколико различитих начина решавања једног геометријског задатка Слађана Бабић Природно-математички факултет, 78000 Бања Лука Младена Стојановића, Б&Х e-mal: sladjanaac7@yahoocom

Διαβάστε περισσότερα

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2014/15. бр. XLIX-5

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2014/15. бр. XLIX-5 МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 014/15. бр. XLIX-5 РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА ИЛИ РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ИЗ РУБРИКЕ ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ III разред 1. а) 70 - седамсто три; б) двесто осамдесет два 8.. а) 4, 54, 54, 45, 504, 54. б)

Διαβάστε περισσότερα

СТАБИЛНОСТ МАТРИЦЕ КОВАРИЈАНСЕ И ПРОБЛЕМ ОПТИМИЗАЦИЈЕ ПОРТФОЛИЈА

СТАБИЛНОСТ МАТРИЦЕ КОВАРИЈАНСЕ И ПРОБЛЕМ ОПТИМИЗАЦИЈЕ ПОРТФОЛИЈА УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Светлана Миловановић СТАБИЛНОСТ МАТРИЦЕ КОВАРИЈАНСЕ И ПРОБЛЕМ ОПТИМИЗАЦИЈЕ ПОРТФОЛИЈА - мастер рад - Ментор:

Διαβάστε περισσότερα

ЗАВОД ЗА УЏБЕНИКЕ БЕОГРАД

ЗАВОД ЗА УЏБЕНИКЕ БЕОГРАД ОЛИВЕРА ТОДОРОВИЋ СРЂАН ОГЊАНОВИЋ MATEMATИKA УЏБЕНИК за први разред основне школе1 ЗАВОД ЗА УЏБЕНИКЕ БЕОГРАД 1 ПРЕДМЕТИ У ПРОСТОРУ И ОДНОСИ МЕЂУ ЊИМА... 7 1. Горе, доле, изнад, испод... 8 2. Лево, десно...

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2011/2012. година ТЕСТ 1 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2016.

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2016. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Крагујевац, 0. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ Издавач: ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ

Διαβάστε περισσότερα

КВАЛИФИКАЦИОНИ ИСПИТ ИЗ ФИЗИКЕ ЗА УПИС НА САОБРАЋАЈНИ ФАКУЛТЕТ ЈУН год.

КВАЛИФИКАЦИОНИ ИСПИТ ИЗ ФИЗИКЕ ЗА УПИС НА САОБРАЋАЈНИ ФАКУЛТЕТ ЈУН год. КВАЛИФИКАЦИОНИ ИСПИТ ИЗ ФИЗИКЕ ЗА УПИС НА САОБРАЋАЈНИ ФАКУЛТЕТ ЈУН 7. год. Тест има задатака. Време за рад је 8 минута. Задаци са редним бројем -6 вреде по поена задаци 7- вреде по 5 поена задаци 5- вреде

Διαβάστε περισσότερα

1. Функција интензитета отказа и век трајања система

1. Функција интензитета отказа и век трајања система f(t). Функција интензитета отказа и век трајања система На почетку коришћења неког система јављају се откази који као узрок имају почетне слабости или пропуштене дефекте у току производње и то су рани

Διαβάστε περισσότερα

ПИТАЊА ЗА КОЛОКВИЈУМ ИЗ ОБНОВЉИВИХ ИЗВОРА ЕНЕРГИЈЕ

ПИТАЊА ЗА КОЛОКВИЈУМ ИЗ ОБНОВЉИВИХ ИЗВОРА ЕНЕРГИЈЕ ПИТАЊА ЗА КОЛОКВИЈУМ ИЗ ОБНОВЉИВИХ ИЗВОРА ЕНЕРГИЈЕ 1. Удео снаге и енергије ветра у производњи електричне енергије - стање и предвиђања у свету и Европи. 2. Навести називе најмање две међународне организације

Διαβάστε περισσότερα

ПОГЛАВЉЕ 3: РАСПОДЕЛА РЕЗУЛТАТА МЕРЕЊА

ПОГЛАВЉЕ 3: РАСПОДЕЛА РЕЗУЛТАТА МЕРЕЊА ПОГЛАВЉЕ 3: РАСПОДЕЛА РЕЗУЛТАТА МЕРЕЊА Стандардна девијација показује расподелу резултата мерења око средње вредности, али не указује на облик расподеле. У табели 1 су дате вредности за 50 поновљених одређивања

Διαβάστε περισσότερα

4.4. Тежиште и ортоцентар троугла

4.4. Тежиште и ортоцентар троугла 50. 1) Нацртај правоугли троугао и конструиши његову уписану кружницу. ) Конструиши једнакокраки троугао чија је основица = 6 m и крак = 9 m, а затим конструиши уписану и описану кружницу. Да ли се уочава

Διαβάστε περισσότερα

Скривени Марковљеви модели и примена у биоинформатици

Скривени Марковљеви модели и примена у биоинформатици УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ Момир Глушица Скривени Марковљеви модели и примена у биоинформатици Магистарски рад Ментор: проф. др Гордана Павловић-Лажетић Београд 2013. 1 2 Предговор Овај

Διαβάστε περισσότερα

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. - удаљеност између двије тачке. 1 x2

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. - удаљеност између двије тачке. 1 x2 АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА d AB x x y - удаљеност између двије тачке y x x x y s, y y s - координате средишта дужи x x y x, y y - подјела дужи у заданом односу x x x y y y xt, yt - координате тежишта троугла

Διαβάστε περισσότερα

Монте Карло Интеграциjа

Монте Карло Интеграциjа Монте Карло Интеграциjа 4.час 22. март 2016. Боjана Тодић Статистички софтвер 2 22. март 2016. 1 / 22 Монте Карло методе Oве нумеричке методе код коjих се употребљаваjу низови случаjних броjева за извршење

Διαβάστε περισσότερα

ИНФОРМАЦИJА ПЕРЦЕПЦИJЕ слобода, демократиjа и физика

ИНФОРМАЦИJА ПЕРЦЕПЦИJЕ слобода, демократиjа и физика ИНФОРМАЦИJА ПЕРЦЕПЦИJЕ слобода, демократиjа и физика Растко Вуковић Радна верзиjа текста! Економски институт Бања Лука, 2016. Радна верзиjа (2017) Растко Вуковић: ИНФОРМАЦИJА ПЕРЦЕПЦИJЕ - слобода, демократиjа

Διαβάστε περισσότερα

6.7. Делтоид. Делтоид је четвороугао који има два пара једнаких суседних страница.

6.7. Делтоид. Делтоид је четвороугао који има два пара једнаких суседних страница. 91.*Конструиши трапез у размери 1:200, ако је дато: = 14 m, = 6 m, = 8 m и β = 60. 92.*Ливада има облик трапеза. Нацртај је у размери 1:2000, ако су јој основице 140 m и 95 m, један крак 80 m, и висина

Διαβάστε περισσότερα

Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела. Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела помоћу пикнометра

Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела. Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела помоћу пикнометра Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела Густина : V Специфична запремина : V s Q g Специфична тежина : σ V V V g Одређивање специфичне тежине и густине чврстих и течних тела помоћу

Διαβάστε περισσότερα

8. ФИЗИКА АТОМСКОГ ЈЕЗГРА. Увод

8. ФИЗИКА АТОМСКОГ ЈЕЗГРА. Увод 8. ФИЗИКА АТОМСКОГ ЈЕЗГРА Увод До сада смо видели да је све што постоји сачињено од свега мање од сто различивих супстанци, које називамо хемијским елементима. Видели смо такође да је свака од тих малобројних

Διαβάστε περισσότερα

УПУТСТВО ЗА ОДРЕЂИВАЊЕ ВРСТЕ ДОКУМЕНАТА КОЈЕ ИЗРАЂУЈЕ ОПЕРАТЕР СЕВЕСО ПОСТРОЈЕЊА. август 2010.

УПУТСТВО ЗА ОДРЕЂИВАЊЕ ВРСТЕ ДОКУМЕНАТА КОЈЕ ИЗРАЂУЈЕ ОПЕРАТЕР СЕВЕСО ПОСТРОЈЕЊА. август 2010. УПУТСТВО ЗА ОДРЕЂИВАЊЕ ВРСТЕ ДОКУМЕНАТА КОЈЕ ИЗРАЂУЈЕ ОПЕРАТЕР СЕВЕСО ПОСТРОЈЕЊА август 2010. I. УВОД Сврха овог Упутства је да помогне оператерима који управљају опасним материјама, како да одреде да

Διαβάστε περισσότερα

Показано је у претходној беседи да се

Показано је у претходној беседи да се ДРУГА БЕСЕДА КАКАВ ДОПРИНОС ЖИВОТУ У ХРИСТУ ПРУЖА БОЖАНСКО КРШТЕЊЕ Показано је у претходној беседи да се свештени живот у Христу садржи у светим Тајнама. Испитајмо сада како нас свака од Тајни уводи у

Διαβάστε περισσότερα

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. Владица Андрејић ( ) УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ БЕОГРАД 2017.

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. Владица Андрејић ( ) УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ БЕОГРАД 2017. АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА Владица Андрејић (27-04-2017) УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ БЕОГРАД 2017. Глава 1 Вектори у геометрији 1.1 Увођење вектора Појам вектора у еуклидској геометрији можемо

Διαβάστε περισσότερα

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2014.

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2014. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Крагујевац, 0. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ Издавач: ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ

Διαβάστε περισσότερα

ЛИСТ УЧЕНИКА РАЧУНАРСКЕ ГИМНАЗИЈЕ СМАРТ БРОЈ 2. * Сајам образовања * Светосавска академија * Хакери * Велики прасак * Сто година једне песме

ЛИСТ УЧЕНИКА РАЧУНАРСКЕ ГИМНАЗИЈЕ СМАРТ БРОЈ 2. * Сајам образовања * Светосавска академија * Хакери * Велики прасак * Сто година једне песме ЛИСТ УЧЕНИКА РАЧУНАРСКЕ ГИМНАЗИЈЕ СМАРТ БРОЈ 2 * Сајам образовања * Светосавска академија * Хакери * Велики прасак * Сто година једне песме Добри људи су срећа на овом свијету! Меша Селимовић РЕДАКЦИЈА:

Διαβάστε περισσότερα

ЈЕДАН НЕМОГУЋИ ОСВРТ НА УРБОФИЛИЈУ, ДВАДЕСЕТ ПРОПАЛИХ ГОДИНА КАСНИЈЕ

ЈЕДАН НЕМОГУЋИ ОСВРТ НА УРБОФИЛИЈУ, ДВАДЕСЕТ ПРОПАЛИХ ГОДИНА КАСНИЈЕ АЛЕКСАНДАР ЈЕРКОВ ЈЕДАН НЕМОГУЋИ ОСВРТ НА УРБОФИЛИЈУ, ДВАДЕСЕТ ПРОПАЛИХ ГОДИНА КАСНИЈЕ Mожда је дошло време да се запише понека успомена, иако би се рекло да је прерано за сећања. Има нечег гротескног

Διαβάστε περισσότερα