ТЕОРИЈА ИГАРА-ЈАМБ Матурски рад из математике

Transcript

1 XII БЕОГРАДСКА ГИМНАЗИЈА ТЕОРИЈА ИГАРА-ЈАМБ Матурски рад из математике Ученица Исидора Ивановић Професорка Марина Радовановић Београд јун 2016.

2 Садржај Резиме 1 Увод 1 Пермутације 2 Варијације 3 Вероватноће 4 Алгебра догађаја 4 Дефиниција вероватноћа и основне особине 5 ЈАМБ 8 КОЛОНЕ 9 Статитиска и вероватноће у јамбу 10 Редови 1-6: 10 Кента 11 Трилинг 11 Фул 11 Покер 11 Јамб 12 Макс. и мин. 12 СТРАТЕГИЈА НА НАСУМИЧНИМ ПРИМЕРИМА 14 ПРИМЕР 1 14 ПРИМЕР 2 16 ПРИМЕР 3 18 Занимљивости 19

3 Резиме У овом раду ћемо се посветити једној од познатих игара са коцкицама, јамбу. Посебно ћемо обратити пажњу на употребу математике у јамбу, односно употребу комбинаторике и вероватноћа. Такође ћемо упознати читаоце са основним правилима јамба, а нека од њих и подробно математички обрадити. Кључне речи: јамб, рука, вероватноћа, комбинаторика. Увод Јамб је осмишљен од стране богатог пара из Канаде,ради забаве на броду. Кад год би пријатељи били позвани на брод,учени су правилима ове игре зване Yацхт гаме. Игра је толико постала популарна да су сви хтели копију за себе одлазе код једног човека који прави играчке и затражили да им направи пар примерака као поклон.њему се толико свидела,да је затражио права на њих,и касније променио име у Yahtzee. Мој први сусрет са јамбом се десио у раном детињству кад сам га играла са старијим братом, међутим то је била за мене само игра. Касније, јавља се део мене који је хтео да сазна да ли је и како могуће одиграти најбољу могућу игру,и са тим се створила жеља да то сама и проучим. Изучавање математичког дела јамба, захтева упознавање са математичким појмовима комбинаторике, односно пермутација, варијација и комбинација са бацањем једне руке или са понављањима, као и са упознавањем појма вероватноће. 1

4 Листа симбола Пермутације Дефиниција 1. Свака уређена n-торка ( x1, x2,..., x ) елемената n-точланог скупа X { x, x... x n }, зове се пермутација скупа X Свако бијективно пресликавање скупа X на самог себе зове се пермутација скупа X. n Како би одговорили на питање колико има пермутација од n елемената дефинисаћемо функцију n факторијел, са ознаком n!, на следећи начин: 0! = 1; n! = (n 1) n, n N На основу тога имамо да је 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = Дат је скуп X { x1, x2... x n } од n елемената. Одредићемо број пермутација скупа X. На првом месту низа од n елемената може бити било који од n елемената скупа X. Са сваким од n елемената као првим чланом низа други члан може бити било који од преосталих n - 1 елемената скупа X. У том случају се први и други члан низа могу изабрати на n (n 1) начина. Према томе прва три члана низа елемената из скупа X могу се изабрати на n (n 1) (n 2) начина. Кад би наставили овај поступак имали би да је број пермутација од n елемената једнак броју : (n 1) n Из горе наведеног следи: Теорема 1. Нека је дат скуп X { x1, x2... x n } од n елемената. Ако са P n означимо број свих пермутација скупа X од n елемената, тада је: Pn n! 2

5 Међутим ако између заданих n елемената има k 1 једнаких једне врсте,k 2 једнаких друге врсте,..,k r једнаких r-врсте,онда се ради о пермутацијама са понављањем. Број пермутација са понављањем једнак је: n P k1,k 2,,k n = n! k 1! k 2! k n! Варијације За дати скуп X { x1, x2... x n } пермутација представља низ од nразличитих елемената скупа (1 k n) X. За разлику од пермутација, можемо посматрати низове од k различитих елемената скупа X. Дефиниција 3. Свака уређена k-торка ( x1, x2,..., x ) различитих елемената n- точланог скупа X { x1, x2... x n }, зове се варијација скупа X. За k = n варијација класе n од n елемената представља у ствари пермутацију. Број варијација датог скупа, одређујемо слично као и број пермутација, само што се води рачуна да сада можда не распоређујемо свих n k елемената скупа, него њих k. Теорема 2. Нека је дат скуп X { x1, x2... x n } од n елемената. Ако са свих варијација скупа X класе к од n елемената, тада је V n ( n 1) ( n k 2) ( n k 1). n k n V k означимо број Теорема 3. Ако се елементи у уређеним k-торкама могу понављати говоримо о варијацијама с понављањем. Број варијација с понављањем k- тог разреда од n елемената једнак је : V n k n k 3

6 Вероватноће Алгебра догађаја Појам експеримента је основни појам у теорији вероватноће. Он се под приближно истим условима може понављати неограничени број пута и његов исход се не може са сигурношћу предвидети. Скуп свих могућих исхода, које означавамо са, називамо простор исхода или простор елементарних догађаја. Сваки подскуп A називамо случајан догађај. Скуп скупа називамо и сигуран догађај, док догађај који се у експерименту не може остварити називамо немогућ догађај, који означавамо са Увођењем релација и операција на скупу случајних догађаја формирамо алгебру 0. догађаја. Једна од тих операција је супротан догађај. Ако са догађај догађаја A, тада се он дефинише на следећи начин: А1 A означимо супротан A A У следећим примерима је експеримент бацање једне шестостране коцкице: Пример 1. За дати експеримент важи: 1) Елементарни догађаји су: А6- бацање 6. 2) Сигуран догађај је скуп A 1 -бацање 1; A 2 - бацање 2;... А5- бацање 5; Ω = {A 1, A 2, A 3, A 4, A 5, A 6 }, ( При бацању коцкице сигурно ће пасти један од следећих бројева: 1,2,3,4,5,6). 3) Немогућ догађај у овом експерименту је нпр.добијање коцкице 8. 4) Случајан догађај A је догађај добијања нпр. 4 или 5.Тада је: 5) Супротан догађај A за догађај из A можемо записати: Дефиниција 1.За случајне догађаје A = {A 4, A 5 } Ω 4) је догађај добијања То A = Ω\{A 1, A 2, A 3, A 4, A 5, A 6 }\{A 4, A 5 } = {A 1, A 2, A 3, A 6 } A и B, збир ( или унија) догађаја A и B, у ознаци A B( или A B), је догађај који се остварује тачно онда када се бар један од догађаја A и B оствари. 4

7 Пример 2. За догађаје A и B : A B - бацање 2или 5 - бацање 4 догађај A B ( или A B ) је бацање једне од следећих: Дефиниција 2. За случајне догађаје A и B, производ ( или пресек ) догађаја A и B, у ознаци AB ( или A B ), је догађај који се остварује тачно онда када се оба догађаја A и B остваре истовремено. Пример 3. За догађаје A и B : A B - бацање бацање 236 догађај AB је бацање једне од следећих коцкица: 26. Дефиниција вероватноћа и основне особине Означимо вероватноћу догађаја A са PA. ( ) Пре аксиоматског увођења функције вероватноће, историјски се сусрећемо са следећим дефиницијама: догађај 1) Статистичка дефиниција вероватноће: Нека је у експерименту дат случајан A пута, тада:. Ако се у n N понављања наведеног експеримента догађај - број m називамо фреквенцијом, коју означавамо: ma ( ) - број m n називамо релативном фреквенцијом, коју означавамо ( A) A догодио m Вероватноћа догађаја A статистички дефинишемо као број коме тежи релативна фреквенција догађаја A, када се број понављања уоченог експеримента n неограничено повећава, тј. када број n тежи бесконаћности: P( A) lim ( A) n где је ( A ) релативна фреквенција догађаја A у првих n понављања експеримента. n n 5

8 2) Класична (или Лапласова) дефиниција вероватноће (први пут се појавила 1812.): Ова дефиниција односи се на експерименте чији је простор елемената догађаја (могућих исхода) коначан, а елементарни догађаји су једнако вероватни. За догађај сваки исход, при коме се остварује догађај A, назива се повољан. Нека има n Тада је: елементарних догађаја у експерименту, а m односно: вероватноћа догађаја A исхода. m PA ( ) n повољних исхода за догађај A. једнака је количнику броја повољних и броја могућих A 3) Геометријска дефиниција вероватноће : Вероватноћа представља количник површина (запремина или дужина) повољних и могућих исхода. Дефиниција 3. Скуп (колекцију) догађаја F догађаја ако важи: 1) F везаних за експеримент називамо пољем 2) A F A F 3) A, B F A B F Вероватноће аксиоматски дефинишемо на пољу догађаја као функцију са следећим особинама: Дефиниција 4. Вероватноћа P () је функција која догађаје из поља F пресликава на реалне бројеве и има следеће особине: 1) ненегативност: ( A F)( P( A) 0) 2) нормираност: P( ) 1 3) адитивност: ако су A1, A 2,... по паровима дисјуктни догађаји ( Ai Aj 0 за i j ) из поља F, тада је i i i P( A ) P( A ) i 6

9 Основне особине вероватноће навешћемо у следећој теореми: Теорема 1.Нека су догађаји 1) P( A) 1 P( A), A, B F. Тада је: 2) P(0) 0, 3) A B P( B A) P( B) P( A), 4) A B P( A) P( B), 5) PA ( ) 1 6) P( A B) P( A) P( B) P( AB). Доказ: 1) На основу дефиниције супротног догађаја адитивности вероватноће имамо да је: A A, норимираности и односно : P( A) 1 P( A). 1 P( ) P( A A) P( A) P( A) 2) Ако у претходноме доказаном ставу узмемо да је A имамо P( ) P(0) 1 P( ) ) Ако је A B, тада је PB ( A) P( B) P( A). Пошто су догађаји A и B A дисјунктни на основу адитивности вероватноће имамо P( B) P( A) P( B A ) тј. PB ( A) P( B) P( A). 4) Доказ следи на основу претходног става и ненегативности вероватноће. 5) Ако у претходном ставу бирамо B на основу нормираности вероватноће следи тврђење. 6) Како је A B A AB и B AB AB и догађаји A AB су дисјунктни, на основу адитивности вероватноће имамо да је P( A B) P( A) P( AB), P( B) P( AB) P( AB), На основу овога, елиминацијом P( AB ) добијамо: P( A B) P( A) P( B) P( AB). 7 и AB као и догађаји AB и

10 Примена у раду: У овом раду искључиво ћемо користити Лапласову дефиницију вероватноће. Наш коначан простор елемената догађаја (могућих исхода) биће где за сваки број постоје једнаке шансе његовог добитка (узећемо у обзир постојање 5 коцкица). Исти исход бацања,у смислу резултата,добија се у више различитих распореда коцкица и број таквих распореда одређује се као број пермутација са понављањем. (Битно!: 1256 и 6152 су два засебна случајева!) ЈАМБ (yамб или yахтзее) JAMB R JAMB Јамб (yамб ) је игра са коцкицама,у којој се зависно од договора игра са 5 или 6 коцкица.(ако се игра са 6,шеста се рачуна као помоћна).ми ћемо разматрати случајеве где се користи 5 коцкица. Циљ игре је добити што више поена бацањем коцкица, при чему се добијају различите комбинације, од којих свака носи одређен број поена. Особа има право на 3 бацања,(осим у случаја Ручно бацање ) међутим она нису обавезна( последња два),и свој резултат забележава у одређену колону и ред зависно од добијене комбинације.победник је особа са највећим бројем поена. Приликом првог бацања играч одлучи које од коцкица жели задржати(може и све),затим поново баца. После другог бацања,процес се понавља(ако жели,може да врати коцкице из првог бацања). Након трећег бацања,играч одабира шта жели(од могућих комбинација) уписати у свој листић. Ову игру може да игра неограничен број играча а минимум је два Σ max min Σ kenta triling ful kare jamb Σ Пример листића 8

11 КОЛОНЕ Основни јамб листић има 4 колоне (На доле, Слободна, На горе и Ручно), међутим постоје разни типови додатних колона. Прва колона, На доле ( ) попуњава са редом од 1 до јамба, дакле поља се не смеју прескакати. Друга колона, Слободна,( ) може да се попуњава по избору, тј. било којим редоследом. Трећа колона, На горе ( ) попуњава се од јамба до 1, и као и код прве колоне поља се не смеју да прескакати. Четврта колона је је,,ручна (Р). Једина колона у којој је дозвољено само једно бацање је Ручна (по некима је дозвољено и три пута али сва три пута морају све коцкице да буду бачене, што значи да ако играч није ништа остављао може три пута бацати коцкице. Неки чак играју да за друго бацање може да се нешто остави а за треће бацање све покупи, и то се такође рачуна као ручно бацање). Додатне колоне су: Диригована - Ова колона се игра након што је претходни играч нешто најавио. На пример, ако је први играч најавио шестице, други играч је дужан да игра за шестице и да их упише у одговарајућем пољу у диригованој колони. Најава- Ова колона може да се игра након првог бацања. Тада играч издвоји коцкице (обично оне којих има највише) и обавезан је да изговори Најављујем..." и баца још два пута за поље које је најавио. Наравно, у ову колону је могуће уписати и оно што је добијено после првог бацања и тиме завршити потез. Медијална (две стрелице супротно окренуте) Ова колона се редом попуњава од максимума ка горе и од минимума ка доле. Антимедијална (две стрелице окренуте једна ка другој) - Попуњава се од 1 до максимума и од јамба до минимума. По некима, ова колона може да се игра и другачије, да рецимо када се стигне до максимума може да се продужи на доле или од минимума на горе. Обавезна. Ова колона се игра након што се све друге колоне попуне и креће се редом од јединица до јамба. Максимална. У ову колону се уписују најбољи могући резултати (нпр. 64 за покер, 58 за фул, итд.). 9

12 Статитиска и вероватноће у јамбу Посебно ћемо издвојити колону Ручно, због специфичне могућности само једног бацања.посебно ћемо израчунати повољне исходе за добијање сваких од елемената (1-6, макс., мин, кента, трилинг, фул, покер, јамб). Редови 1-6: За колону,,ручно израчунаћемо за бројеве 1-6 оптималан добитак (3 и више коцкица),као и за максимум и минимум (минимум збир мањи од 7,максимум збир веци од 25). Погодни добици за бројеве 1-6 су 3 или више коцкица јер са збиром прве колоне (1-6) за збир преко 60 добија бонус 30 поена,а то је просечно три коцкице за сваки број. Вероватноћа добитка 3 или више нпр. јединица P( 3 1 ) је( P(3 1 ) + P(4 1 ) + P(5 1 ) ) из прве руке: За случај тачно 3 1 имамо да израчунамо вероватноћу за случај 111XY где за повољне случајеве X може имати 5 вредности (све сем 1 ) а Y 4 вредности (све осим X и 1): ! 3! = Сад посматрамо случај за 4 1 односно 1111X где за повољне случајеве X има 5 вредности (све осим 1 ) : 5 5! = ! 6 5 Последњи случај је 5 1 односно где имамо тачан конкретан случај односно свака коцкица има 1 шансе да падне на број 1 (вероватноће су исте као за добитак јамба 6 подељено са 6 због конкретног случаја за јединице) : = Укупна вероватноћа добијања 3 1 једнака је : = (аналогно томе иста вероватноћа је и за добијање 3 2 и 3 3 и 3 4 и 3 5 и 3 6). 10

13 Кента: Постоје 2 варијанте кенте :12345 или 23456,и она носи поене од (66-из прве руке,56-из друге руке,46-из треће руке).вероватноћа добитка кенте из прве руке одн. (12345) или (23456) је: ! = !,односно вероватноћа добијања једне кенте је 5 65 због конкретних бројева који морају бити добијени 2. Трилинг: Трилинг представљају сви исходи типа XXXYZ (Ако су Y и Z једнаки онда је то фул,сад ћемо разматрати случајеве кад су строго различити) нпр.333. Вредности трилинга могу носити поене од (збир три добијене коцкице + 20поена).Вероватноћа добијања трилинга нпр. (222) односно имамо 222XY где (као и у случају 3x1) имамо 5 вредности за Xи 4 за Y. Медјутим с обзиром да је трилинг могућ И са осталим бројевима, па ћемо одмах множити са 6 : Фул: ! 3! 2! = Фул представљају сви исходи типа XXXYY,а то је нпр Вредности фула могу носити поене од (збир свих коцкица +30поена). Вероватноћа добијања фула из прве руке нпр.(555xx) је где X може имати 5 вредности( све сем 5) и узећемо у обзир да је могућ и са осталим бројевима,па ћемо одмах множити са 6 : Покер: ! 3! 2! = Покер (познат и као каре) представљају исходи типа XXXXY нпр Вредности покера могу носити поене од 44-64(збир четири добијене коцкице +40поена).Вероватноћа добијања покера (кареа нпр.4444) односно имамо 4444X где за повољан случај X има 5 вредности (све осим 4) и,такође,узимамо у обзир да је могућ и са осталим бројевима па ћемо одмах множити са 6: ! 4! =

14 Јамб: Јамб представљају исходи типа XXXXX,нпр Вероватноћа добијања јамба из прве руке нпр. (22222) где ћемо одмах,такође,множити са 6 : = (6 повољних исхода,од укупно (V ) 6 могућих) Макс. и мин.: Што се тиче макс. и мин. узећемо оптималне добитке (збир бројева 7-мин. и збир бројева 28-макс.) јер циљамо на што већу разлику између њих (по правилима њихова разлика се множи са кечевима и уписује у ). Вероватноћа добијања оптималног добитка код минимума (збир бројева 7) је P(zbir = 5) + P(zbir = 6) + P(zbir = 7): За случај да је збир 5 имамо само једно повољно решење а то је и његова вероватноћа износи (свака коцкица има 1 шансе да буде 1). 6 За случај да је збир једнак 6 постоји једно повољно решење а то је а њена вероватноћа ( све коцкице имају 1/6 да буду тачан број потребан и то множимо са бројем пермутација)износи: ! 4! 1! = И случај кад је збир једнак 7 има скуп повољних решења {11122,11113}. Вероватноћа добијања је : Вероватноћа добијања је : ! 3! 2! = ! 4! =

15 Закључујемо да је вероватноћа добијања оптималног минимума из прве руке једнак : P(zbir 7) = = Што се тиче маx.(максимума) вероватноћа добијања оптималног добитка P(zbir 28) = P(zbir = 28) + P(zbir = 29) + P(zbir = 30) За случај да је збир 30 имамо само једно повољно решење а то је 66666, чија је вероватноћа (свака коцкица има 1 шансе да падне на6). 6 За случај да је збир једнак 29 имамо само једно повољно решење а то је и вероватноћа добитка 5 6 5(свака коцкица има 1 вероватноће да падне на тачно потребан 6 број број пермутација) : ! 4! = За случај да је збир 28 имамо скуп повољних решења {66655,66664}. Вероватноћа добијања је : ! 3! 2! = Вероватноћа добијања је : ! 4! = Закључујемо да је вероватноћа оптималног максимума једнака (иста као и код мин.): P(zbir brojeva 28) =

16 СТРАТЕГИЈА НА НАСУМИЧНИМ ПРИМЕРИМА У овом делу објаснићемо на пар примера како одиграти најбољи могући потез користећи статистику,вероватноћу и пермутације. ПРИМЕР 1. У првом бацању нпр. добијамо а на нашем листићу имамо празна поља за мин., јединице,покер и јамб. Шта у том случају урадити? С обзиром да имамо могућност још два бацања,у првом кораку ослањамо се на вероватноће и оно што нам је у том тренутку погодно за добијање. Имајући у виду празно поље за кечеве и за минимум па ћемо израчунати вероватноћу и за једно и за друго. Нпр. узимамо За добијање оптималних кечева (3 или више) имамо у следећој руци: P(1XY) = ! = P(11X) = 5 3! = ! 6 3 P(111) = Односно,P( 3 1) = (У следећа два бацања 2 63 = ) 14

17 2. За добијање оптималног минимума (збир 7) имамо опције добијања : P(111)= P(112)= ! 2! = P(113)= 1 3! = ! 6 3 P(122)= ! 2! = Укупна вероватноћа одн. P(zbir 7) = = Укупна вероватноћа добијања неких од наведених повољних случајева: P( 3 1) + P(збир 7) = = ( у следећа два бацања ) *С опцијом остављања коцкица 1122 имамо 1 6 шансе да добијемо оптималан минимум ( у следећа два бацања 2 6 ) *С опцијом остављања 112 имамо 2 опције погодних добитака {12,11}. P(12) = ! = P(11) = Вероватноћа добиања погодних добитака:п(збир 7) = ( у следећа два бацања = 1 6 ) 15

18 Из наведеног закључујемо да је најбољи могући потез остављање 11. Међутим,у следећем бацању добијамо нпр Шта сад урадити? Да ли наставити са кечевима или потенцијалним минимумом или кренути за покером шестицама? У случају настављања са кечевима вероватноћа добитка је као горе наведена(само за 1 потез). Примећујемо празно поље за покер и јамб.вероватноћа добијања покера (6666) или јамба(66666) је : P(6X) = ! = P(66)= Укупно : = С једне стране имамо 176 вероватноће да добијемо оптималан минимум или кечеве,а са 63 друге 66 63да добијемо покер или јамб. Закључујемо да је сигурнији потез наставити ка минимумом и кечевима и поново бацити 3 коцкице. ПРИМЕР 2. Нпр. у првом бацању добијамо бројеве А на нашем листићу имамо слободно поље за макс. и јамб.да ли ризиковати добар максимум за јамб? Да видимо шта нам вероватноће кажу. Узећемо нпр. 666 и пробати да кренемо ка јамбу,који су нам повољно исходи: 1. 6X (бар једна шестица) P(6X)= ! = (добитак јамба) P(66)=

19 3. 55 (тиме не нарушавам макс.) P(55)= (повољно и за јамб и за макс.) P(65)= ! = Укупна вероватноћа : P = У другом бацању добијамо 51. Да ли кренути поново ка јамбу или пак окренути се ка макс.? Повољни исходи су: Ако идемо на јамб,бацамо обе коцкице и једини повољан исход је 66 : P(66) = Ако идемо на макс. повољно је оставити 5 и онда нам је скуп повољних услова {5,6} : P(5)= 1 6 P(6)= 1 6 Укупно P = 1 3 С једне стране имамо 1 36 вероватноће да добијемо јамб, а са друге имамо 1 3 вероватноће да добијемо повољан макс. Вероватноће за добијање повољног макс. су 2 веће и зато је најбољи могући потез поновно бацање коцкице 1. 17

20 ПРИМЕР 3. У првом бацању добијамо нпр , а на нашем листићу имамо слободну ручну колону и јамб.да ли писати ручни трилинг,ручни макс.,ручне шестице или ићи ка обичном јамбу? Ако одвојим 666,у другом потезу имамо могуће различите исходе : 1. Добијање 66 тј. добитак јамба: P(66)= Добијање 6X (где је Xможе бити све осим 6) : P(6X)= ! = Добијање XY(где ни X ни Y нису 6) : P(XY)= = Односно у трећем потезу могуће је: a) Ако добијамо случај 2. у другом потезу онда : P(66666) = 1 10 = b) Ако добијемо случај 3. У другом потезу онда : P(66666)= 1 25 = Укупна вероватноћа добитка јамба у следећа два потеза : P = = С друге стране ако се двоумимо између ручног трилинга,ручног максимума и ручних шестица упоредимо малопре израчунате вероватноће : P(triling) =

21 P( 3 6) = P(zbir 28) = Укупна веротватноћа за поновни добитак неких од наведених је Дакле,вреди покушати да се крене ка јамбу. Занимљивости: Вероватноћа добијања фула у једном потезу је , док је вероватноћа добијања покера.по нашим правилима,фул носи 30 поена а покер 40 поена,што значи да је фул лак погодак,с обзиром да је дупло лакши за добијање од покера,а разлика поена је само 10. Такође,са пет коцкица постоји пар коцкица (XX) или боље. (90.7%) вероватноће да ћете у првом кругу добити Јамб је стекао огромну популарност и та чињеница објашњава зашто не постоји опште правило за играње. Као што смо до сада видели постоји велики број различитих верзија и модификација, те је готово немогуће наћи два програма која се придржавају истих правила. Слична ствар је и са "живим" играчима, односно са листићима различитих штампарија. Постоје и национална такмичења нпр. у Машантукету у Foxwoods Resortказину, САД, као и велики број онлине такмичења. 19

22 Литература: 1) Јован Кечкић, Математичка Синтеза 2) 3) 4)