Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasi
|
|
|
- Νέμεσις Δουρέντης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasi Manuel Hohmann Teoreetilise Füüsika Labor Füüsika Instituut Tartu Ülikool 1. september 2015 Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
2 Ülevaade 1 Üldrelatiivsusteooria 2 Vaatlused astronoomias ja kosmoloogias 3 Laiendatud teooriad Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne ja väändega teooriad Finsleri ja Cartani geomeetriad 4 Kokkuvõte Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
3 Ülevaade 1 Üldrelatiivsusteooria 2 Vaatlused astronoomias ja kosmoloogias 3 Laiendatud teooriad Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne ja väändega teooriad Finsleri ja Cartani geomeetriad 4 Kokkuvõte Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
4 (Pseudo-)Riemanni geomeetria Aegruum: 4-mõõtmeline muutkond M. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
5 (Pseudo-)Riemanni geomeetria Aegruum: 4-mõõtmeline muutkond M. Riemanni meetrika g µν : g µν x µ y ν = x y cos α. Vektorid x µ, y ν. Pikkused x, y. Nurk α. x µ α y ν Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
6 (Pseudo-)Riemanni geomeetria Aegruum: 4-mõõtmeline muutkond M. Riemanni meetrika g µν : g µν x µ y ν = x y cos α. Vektorid x µ, y ν. Pikkused x, y. Nurk α. Levi-Civita seostus Γ µ νρ = 1 2 gµσ ( ν g ρσ + ρ g νσ σ g νρ ). Kovariantne tuletis µ. Rööpülekanne: 0 = µ x ν. x µ x µ α γ y ν Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
7 (Pseudo-)Riemanni geomeetria Aegruum: 4-mõõtmeline muutkond M. Riemanni meetrika g µν : g µν x µ y ν = x y cos α. Vektorid x µ, y ν. Pikkused x, y. Nurk α. Levi-Civita seostus Γ µ νρ = 1 2 gµσ ( ν g ρσ + ρ g νσ σ g νρ ). Kovariantne tuletis µ. Rööpülekanne: 0 = µ x ν. Riemanni kõverustensor: x µ R µ νρσ = ρ Γ µ νσ σ Γ µ νρ + Γ µ ωργ ω νσ Γ µ ωσγ ω νρ. Ricci tensor: R µν = R ρ µρν. Ricci skalaar: R = g µν R µν. x µ α γ y ν Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
8 Einsteini üldrelatiivsusteooria Dünaamiline gravitatsiooniväli: meetrika g µν. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
9 Einsteini üldrelatiivsusteooria Dünaamiline gravitatsiooniväli: meetrika g µν. Dünaamika Einstein-Hilberti mõjufunktsionaalist: S G = 1 det gr. 2 Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
10 Einsteini üldrelatiivsusteooria Dünaamiline gravitatsiooniväli: meetrika g µν. Dünaamika Einstein-Hilberti mõjufunktsionaalist: S G = 1 det gr. 2 Mateeria mõjufunktsionaal: S M = det glm. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
11 Einsteini üldrelatiivsusteooria Dünaamiline gravitatsiooniväli: meetrika g µν. Dünaamika Einstein-Hilberti mõjufunktsionaalist: S G = 1 det gr. 2 Mateeria mõjufunktsionaal: S M = det glm. Väljavõrrandid: Einsteini võrrandid G µν = T µν. Einsteini tensor G µν = R µν 1 2 Rg µν geomeetria. Energia-impulsi tensor T µν mateeria. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
12 Ainepunkti trajektoorid Ainepunkti trajektoor γ : λ γ(λ) M. Omaaeg: aeg τ, mida liikuv kell näitab: λ2 dγ τ(λ 2 ) τ(λ 1 ) = g µ µν dλ λ 1 dγ ν dλ dλ. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
13 Ainepunkti trajektoorid Ainepunkti trajektoor γ : λ γ(λ) M. Omaaeg: aeg τ, mida liikuv kell näitab: λ2 dγ τ(λ 2 ) τ(λ 1 ) = g µ µν dλ Ainepunkti mõjufunktsionaal: S[γ] τ. λ 1 dγ ν dλ dλ. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
14 Ainepunkti trajektoorid Ainepunkti trajektoor γ : λ γ(λ) M. Omaaeg: aeg τ, mida liikuv kell näitab: λ2 dγ τ(λ 2 ) τ(λ 1 ) = g µ µν dλ Ainepunkti mõjufunktsionaal: S[γ] τ. Liikumisvõrrandid: λ 1 γ µ + Γ µ νρ γ ν γ ρ = 0. Trajektoori puutujavektor on rööpülekantud: Trajektoor on geodeetiline joon. γ µ µ γ ν = 0. dγ ν dλ dλ. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
15 Ülevaade 1 Üldrelatiivsusteooria 2 Vaatlused astronoomias ja kosmoloogias 3 Laiendatud teooriad Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne ja väändega teooriad Finsleri ja Cartani geomeetriad 4 Kokkuvõte Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
16 Vaatlused universumi struktuuridest Galaktikateparved: Galaktikad parvedes liiguvad teiste gravitatsiooniväljas. Galaktikate kiirused on suuremad, kui nähtav mass selgitab. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
17 Vaatlused universumi struktuuridest Galaktikateparved: Galaktikad parvedes liiguvad teiste gravitatsiooniväljas. Galaktikate kiirused on suuremad, kui nähtav mass selgitab. Galaktikate pöördumine: Punanihke mõõtmised näitavad, et galaktikad pöörduvad. Galaktikate pöördumine on kiirem, kui nähtav mass selgitab. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
18 Vaatlused universumi struktuuridest Galaktikateparved: Galaktikad parvedes liiguvad teiste gravitatsiooniväljas. Galaktikate kiirused on suuremad, kui nähtav mass selgitab. Galaktikate pöördumine: Punanihke mõõtmised näitavad, et galaktikad pöörduvad. Galaktikate pöördumine on kiirem, kui nähtav mass selgitab. Gravitatsiooniläätsed: Galaktikateparvede gravitatsioon kaldub valgust kõrvale. Kõrvalekaldenurgad on suuremad, kui nähtav mass selgitab. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
19 Vaatlused universumi struktuuridest Galaktikateparved: Galaktikad parvedes liiguvad teiste gravitatsiooniväljas. Galaktikate kiirused on suuremad, kui nähtav mass selgitab. Galaktikate pöördumine: Punanihke mõõtmised näitavad, et galaktikad pöörduvad. Galaktikate pöördumine on kiirem, kui nähtav mass selgitab. Gravitatsiooniläätsed: Galaktikateparvede gravitatsioon kaldub valgust kõrvale. Kõrvalekaldenurgad on suuremad, kui nähtav mass selgitab. Struktuuritekke: Universumis on suured struktuurid - galaktikad, galaktikateparved. Nähtav aine oli noores universumis liiga kuum. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
20 Vaatlused universumi struktuuridest Galaktikateparved: Galaktikad parvedes liiguvad teiste gravitatsiooniväljas. Galaktikate kiirused on suuremad, kui nähtav mass selgitab. Galaktikate pöördumine: Punanihke mõõtmised näitavad, et galaktikad pöörduvad. Galaktikate pöördumine on kiirem, kui nähtav mass selgitab. Gravitatsiooniläätsed: Galaktikateparvede gravitatsioon kaldub valgust kõrvale. Kõrvalekaldenurgad on suuremad, kui nähtav mass selgitab. Struktuuritekke: Universumis on suured struktuurid - galaktikad, galaktikateparved. Nähtav aine oli noores universumis liiga kuum. Universumis on (näiliselt) rohkem ainet kui me näeme. Aine pole nähtav - seda nimetame tumeaineks. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
21 Kosmoloogiline sümmeetria Invariantsus pöördumiste ja nihkete all. Invariantne meetrika: Roberson-Walkeri meetrika g µν dx µ dx ν = dt 2 + a 2 (t)γ ij dx i dx j. Mastaabikordaja a(t). Ruumiline meetrika γ ij konstantse kõverusega k { 1, 0, 1}. Ruumiline Riemanni tensor R(γ) ijkl = 2kγ i[k γ l]j. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
22 Kosmoloogiline sümmeetria Invariantsus pöördumiste ja nihkete all. Invariantne meetrika: Roberson-Walkeri meetrika g µν dx µ dx ν = dt 2 + a 2 (t)γ ij dx i dx j. Mastaabikordaja a(t). Ruumiline meetrika γ ij konstantse kõverusega k { 1, 0, 1}. Ruumiline Riemanni tensor R(γ) ijkl = 2kγ i[k γ l]j. Mateeria: ideaalne vedelik T µν = (ρ + p)u µ u ν + pg µν. Normeeritud 4-kiirus u µ : g µν u µ u ν = 1. Tihedus ρ. Rõhk p. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
23 Kosmoloogiline dünaamika Einsteini võrrandid & Roberson-Walkeri meetrika. Friedmanni võrrandid: (ȧ2 ρ = 3 a 2 + k ) a 2, ( p = 2ä a + ȧ2 a 2 + k ) a 2. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
24 Kosmoloogiline dünaamika Einsteini võrrandid & Roberson-Walkeri meetrika. Friedmanni võrrandid: (ȧ2 ρ = 3 a 2 + k ) a 2, ( p = 2ä a + ȧ2 a 2 + k ) a 2. Kiirendus: ä a = 1 (ρ + 3p). 6 Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
25 Kosmoloogiline dünaamika Einsteini võrrandid & Roberson-Walkeri meetrika. Friedmanni võrrandid: (ȧ2 ρ = 3 a 2 + k ) a 2, ( p = 2ä a + ȧ2 a 2 + k ) a 2 Kiirendus: ä a = 1 (ρ + 3p). 6 Mateeria tüübid ja nende omadused: Tolm: ρ > 0, p = 0. Kiirgus: ρ > 0, p = ρ 3.. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
26 Kosmoloogiline dünaamika Einsteini võrrandid & Roberson-Walkeri meetrika. Friedmanni võrrandid: (ȧ2 ρ = 3 a 2 + k ) a 2, ( p = 2ä a + ȧ2 a 2 + k ) a 2 Kiirendus: ä a = 1 (ρ + 3p). 6 Mateeria tüübid ja nende omadused: Tolm: ρ > 0, p = 0. Kiirgus: ρ > 0, p = ρ 3. Universum ei saa staatiline olla - paisumine aeglustub, ä < 0.. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
27 Universumi paisumine Universum paisub. [Hubble 29] Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
![Universumi paisumine Universum paisub. [Hubble 29] Paisumise kiirendus on positiivne! Universumi paisumine ei aeglustu, vaid kiireneb!](/docs-images/77/75305272/images/28-0.jpg "Me ei tea põhjust - aga ikkagi nimetame seda tumeenergiaks. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1.")
28 Universumi paisumine Universum paisub. [Hubble 29] Paisumise kiirendus on positiivne! Universumi paisumine ei aeglustu, vaid kiireneb! Me ei tea põhjust - aga ikkagi nimetame seda tumeenergiaks. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
29 Ülevaade 1 Üldrelatiivsusteooria 2 Vaatlused astronoomias ja kosmoloogias 3 Laiendatud teooriad Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne ja väändega teooriad Finsleri ja Cartani geomeetriad 4 Kokkuvõte Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
30 Ülevaade 1 Üldrelatiivsusteooria 2 Vaatlused astronoomias ja kosmoloogias 3 Laiendatud teooriad Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne ja väändega teooriad Finsleri ja Cartani geomeetriad 4 Kokkuvõte Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
31 Skalaar-tensori teooria põhimõisted Dünaamilised gravitatsiooniväljad: meetrika g µν ja skalaarväli φ. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
32 Skalaar-tensori teooria põhimõisted Dünaamilised gravitatsiooniväljad: meetrika g µν ja skalaarväli φ. Gravitatsiooni mõjufunktsionaal: S G [g µν, φ]. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
33 Skalaar-tensori teooria põhimõisted Dünaamilised gravitatsiooniväljad: meetrika g µν ja skalaarväli φ. Gravitatsiooni mõjufunktsionaal: S G [g µν, φ]. Väljavõrrandite struktuur: Meetrika võrrand: G µν = T µν. Skalaarvälja võrrand: E = T µ µ. Liikmed G µν ja E sõltuvad meetrikast ja skalaarväljast. Skalaarvälja allikas on energia-impulsi tensori jälg. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
34 Jordan-Brans-Dicke ja seotud teooriad Mõjufunktsionaali struktuur: S = 1 2κ 2 d 4 x det g {A(φ)R B(φ)g µν µ φ ν φ 2l } 2 V(φ) ] + S m [e 2α(φ) g µν, χ. Vabad funktsioonid A, B, V, α skalaarväljast. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
35 Jordan-Brans-Dicke ja seotud teooriad Mõjufunktsionaali struktuur: S = 1 2κ 2 d 4 x det g {A(φ)R B(φ)g µν µ φ ν φ 2l } 2 V(φ) ] + S m [e 2α(φ) g µν, χ. Vabad funktsioonid A, B, V, α skalaarväljast. Mõjufunktsionaal on invariantne teisenduste all: [Järv, Kuusk, Saal, Vilson 14] g µν = e 2 γ( φ)ḡ µν, φ = f ( φ). Kokkusobivus vaatlustega sõltub ainult invariantidest I i. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
36 Horndeski gravitatsiooniteooria Mõjufunktsionaali struktuur: S G = 5 i=2 d 4 x det gl i [g µν, φ] Liikmed mõjufunktsionaalis (X = µ φ µ φ/2): L 2 = K (φ, X), L 3 = G 3 (φ, X) φ, L 4 = G 4 (φ, X)R + G 4X (φ, X) [ ( φ) 2 ( µ ν φ) 2], L 5 = G 5 (φ, X)G µν µ ν φ 1 [ 6 G 5X (φ, X) ( φ) 3 3( φ)( µ ν φ) 2 + 2( µ ν φ) 3]. Vabad funktsioonid K, G 3, G 4, G 5. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
37 Horndeski gravitatsiooniteooria Mõjufunktsionaali struktuur: S G = 5 i=2 d 4 x det gl i [g µν, φ] Liikmed mõjufunktsionaalis (X = µ φ µ φ/2): L 2 = K (φ, X), L 3 = G 3 (φ, X) φ, L 4 = G 4 (φ, X)R + G 4X (φ, X) [ ( φ) 2 ( µ ν φ) 2], L 5 = G 5 (φ, X)G µν µ ν φ 1 [ 6 G 5X (φ, X) ( φ) 3 3( φ)( µ ν φ) 2 + 2( µ ν φ) 3]. Vabad funktsioonid K, G 3, G 4, G 5. Väljavõrrandid: kõige üldisemad teist järku diferentsiaalvõrrandid. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
38 Kokkusobivus vaatlustega päikesesüsteemis Parameetrid: skalaarvälja mass m, sideparameeter ω 0. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
39 Kokkusobivus vaatlustega päikesesüsteemis Parameetrid: skalaarvälja mass m, sideparameeter ω 0. Eksperimentaalselt välistatud parameetri ala: Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
40 Laiendatud skalaar-tensori teooriad Kõrgemat järku väljavõrrandid: Võimalik probleem: Ostrogradsky ebastabiilsus / vaimuväljad. Leiti terveid teooriaid. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
41 Laiendatud skalaar-tensori teooriad Kõrgemat järku väljavõrrandid: Võimalik probleem: Ostrogradsky ebastabiilsus / vaimuväljad. Leiti terveid teooriaid. Mitme skalaarväljaga teooriad: Jordan-Brans-Dicke üldistus: S = 1 2κ 2 d 4 x { det g A( φ)r B IJ ( φ)g µν µ φ I ν φ J 2 } l 2 V( φ) ] + S m [e 2α( φ) g µν, χ Sarnaselt üldistatud Horndeski teooria.. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
42 Laiendatud skalaar-tensori teooriad Kõrgemat järku väljavõrrandid: Võimalik probleem: Ostrogradsky ebastabiilsus / vaimuväljad. Leiti terveid teooriaid. Mitme skalaarväljaga teooriad: Jordan-Brans-Dicke üldistus: S = 1 2κ 2 d 4 x { det g A( φ)r B IJ ( φ)g µν µ φ I ν φ J 2 } l 2 V( φ) ] + S m [e 2α( φ) g µν, χ Sarnaselt üldistatud Horndeski teooria. Suur teooriatemaastik, mida tuleb uurida. Kokkusobivus vaatlustega päikesesüsteemis? Kosmoloogiline dünaamika?. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
43 Ülevaade 1 Üldrelatiivsusteooria 2 Vaatlused astronoomias ja kosmoloogias 3 Laiendatud teooriad Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne ja väändega teooriad Finsleri ja Cartani geomeetriad 4 Kokkuvõte Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
44 Multi-meetriliise teooria põhimõisted Üldrelatiivsusteoorias: Nähtav mateeria: standardmudeli väljad Ψ. Meetrika g µν valitseb mateeria liikumist. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
45 Multi-meetriliise teooria põhimõisted Üldrelatiivsusteoorias: Nähtav mateeria: standardmudeli väljad Ψ 1. Meetrika g 1 µν valitseb mateeria liikumist. Multi-meetriliises gravitatsiooniteoorias lisaks: Tumedad standardmudeli koopiad Ψ 2,..., Ψ N. Igal koopial on oma meetrika g 2 µν,..., g N µν, mis liikumist valitseb. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
46 Multi-meetriliise teooria põhimõisted Üldrelatiivsusteoorias: Nähtav mateeria: standardmudeli väljad Ψ 1. Meetrika g 1 µν valitseb mateeria liikumist. Multi-meetriliises gravitatsiooniteoorias lisaks: Tumedad standardmudeli koopiad Ψ 2,..., Ψ N. Igal koopial on oma meetrika g 2 µν,..., g N µν, mis liikumist valitseb. Mõjufunktsionaali struktuur: S = S G [g 1 µν,..., g N µν] + N S M [Ψ I, gµν] I. I=1 Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
47 Multi-meetriliise teooria põhimõisted Üldrelatiivsusteoorias: Nähtav mateeria: standardmudeli väljad Ψ 1. Meetrika g 1 µν valitseb mateeria liikumist. Multi-meetriliises gravitatsiooniteoorias lisaks: Tumedad standardmudeli koopiad Ψ 2,..., Ψ N. Igal koopial on oma meetrika g 2 µν,..., g N µν, mis liikumist valitseb. Mõjufunktsionaali struktuur: S = S G [g 1 µν,..., g N µν] + N S M [Ψ I, gµν] I. Ainus vastasmõju erinevate koopiate vahel on gravitatsioon. Gravitatsioonijõud erinevate koopiate vahel on eemaletõmmatav. I=1 Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
48 Multi-meetriliine kosmoloogia Kosmoloogiline sümmeetria ja Kopernikuse printsiip: g 1 µνdx µ dx ν =... = g N µνdx µ dx ν = dt 2 + a 2 (t)γ ij dx i dx j. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
49 Multi-meetriliine kosmoloogia Kosmoloogiline sümmeetria ja Kopernikuse printsiip: g 1 µνdx µ dx ν =... = g N µνdx µ dx ν = dt 2 + a 2 (t)γ ij dx i dx j. Modifitseeritud Friedmanni võrrandid: ρ = 3 (ȧ2 2 N a 2 + k ) a 2, p = 1 2 N ( 2ä a + ȧ2 a 2 + k a 2 ). Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
50 Multi-meetriliine kosmoloogia Kosmoloogiline sümmeetria ja Kopernikuse printsiip: g 1 µνdx µ dx ν =... = g N µνdx µ dx ν = dt 2 + a 2 (t)γ ij dx i dx j. Modifitseeritud Friedmanni võrrandid: ρ = 3 (ȧ2 2 N a 2 + k ) a 2, Kiirendus: p = 1 2 N ( 2ä a + ȧ2 a 2 + k a 2 ä a = N 2 (ρ + 3p). 6 Universumi paisumine kiireneb, kui N > 2. ). Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
51 Multi-meetriliine kosmoloogia Kosmoloogiline sümmeetria ja Kopernikuse printsiip: g 1 µνdx µ dx ν =... = g N µνdx µ dx ν = dt 2 + a 2 (t)γ ij dx i dx j. Modifitseeritud Friedmanni võrrandid: ρ = 3 (ȧ2 2 N a 2 + k ) a 2, Kiirendus: p = 1 2 N ( 2ä a + ȧ2 a 2 + k a 2 ä a = N 2 (ρ + 3p). 6 Universumi paisumine kiireneb, kui N > 2. ). Seni vastamata küsimus: Kas lahendus on stabiilne? Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
52 Struktuuritekke - kõik mateeriatüübid Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
53 Struktuuritekke - kõik mateeriatüübid Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
54 Struktuuritekke - ainult nähtav mateeria Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
55 Struktuuritekke - ainult nähtav mateeria Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
56 Gravitatsioonilained Lainete polarisatsioonid on eukleidilise rühma E(2) esitused. E(2) klass sõltub teooria parameetridest P, R, M. =0 P + 2R 0 0 N 2 N 3 III 5 II 6 2 tensorit +1 skalaar +2 vektorit +1 skalaar P =0 0 M =0 Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
57 Ülevaade 1 Üldrelatiivsusteooria 2 Vaatlused astronoomias ja kosmoloogias 3 Laiendatud teooriad Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne ja väändega teooriad Finsleri ja Cartani geomeetriad 4 Kokkuvõte Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
58 Vääne ja väändega seostus Levi-Civita seostus Γ µ νρ: Ilma väändeta: Γ µ ρν Γ µ νρ = 0. Meetrikaga kokkusobiv: µ g νρ = 0. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
59 Vääne ja väändega seostus Levi-Civita seostus Γ µ νρ: Ilma väändeta: Γ µ ρν Γ µ νρ = 0. Meetrikaga kokkusobiv: µ g νρ = 0. Üldine meetrikaga kokkusobiv seostus Γ µ νρ: Väändetensor: Γ µ ρν Γ µ νρ = T µ νρ 0. Meetrikaga kokkusobiv: µ g νρ = 0. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
60 Vääne ja väändega seostus Levi-Civita seostus Γ µ νρ: Ilma väändeta: Γ µ ρν Γ µ νρ = 0. Meetrikaga kokkusobiv: µ g νρ = 0. Üldine meetrikaga kokkusobiv seostus Γ µ νρ: Väändetensor: Γ µ ρν Γ µ νρ = T µ νρ 0. Meetrikaga kokkusobiv: µ g νρ = 0. Väändega seostuse puhul kovariantsed tuletised ei kommuteeru: T (X, Y ) = X Y Y X [X, Y ]. Samas ei kommuteeru rööpülekanded. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
61 Teleparalleelne gravitatsiooniteooria Dünaamiline gravitatsiooniväli: tetraad e µ m. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
62 Teleparalleelne gravitatsiooniteooria Dünaamiline gravitatsiooniväli: tetraad e µ m. Meetrika: g µν = η mn e m µ e n ν. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
63 Teleparalleelne gravitatsiooniteooria Dünaamiline gravitatsiooniväli: tetraad e µ m. Meetrika: g µν = η mn e m µ e n ν. Weizenböcki seostus: Γ µ νρ = e µ m ρ e m ν. Seostus on väändega: T µ νρ 0. Seostus on kõveruseta: R µ νρσ = 0. Rööpülekanne ei sõltu trajektoorist: teleparalleelsus. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
64 Teleparalleelne gravitatsiooniteooria Dünaamiline gravitatsiooniväli: tetraad e µ m. Meetrika: g µν = η mn e m µ e n ν. Weizenböcki seostus: Γ µ νρ = e µ m ρ e m ν. Seostus on väändega: T µ νρ 0. Seostus on kõveruseta: R µ νρσ = 0. Rööpülekanne ei sõltu trajektoorist: teleparalleelsus. Mõjufunktsionaal: S G = 1 det e 2 ( 1 4 T ρ µνt µν ρ + 1 ) 2 T ρ µνt νµ ρ T ρ µρt νµ ν. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
65 Teleparalleelne gravitatsiooniteooria Dünaamiline gravitatsiooniväli: tetraad e µ m. Meetrika: g µν = η mn e m µ e n ν. Weizenböcki seostus: Γ µ νρ = e µ m ρ e m ν. Seostus on väändega: T µ νρ 0. Seostus on kõveruseta: R µ νρσ = 0. Rööpülekanne ei sõltu trajektoorist: teleparalleelsus. Mõjufunktsionaal: S G = 1 det e 2 Väljavõrrandite struktuur: ( 1 4 T ρ µνt µν ρ + 1 ) 2 T ρ µνt νµ ρ T ρ µρt νµ ν. σ (det es m ρσ ) det ej m ρ = det eθ m ρ. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
66 Teleparalleelne gravitatsiooniteooria Dünaamiline gravitatsiooniväli: tetraad e µ m. Meetrika: g µν = η mn e m µ e n ν. Weizenböcki seostus: Γ µ νρ = e µ m ρ e m ν. Seostus on väändega: T µ νρ 0. Seostus on kõveruseta: R µ νρσ = 0. Rööpülekanne ei sõltu trajektoorist: teleparalleelsus. Mõjufunktsionaal: S G = 1 det e 2 Väljavõrrandite struktuur: ( 1 4 T ρ µνt µν ρ + 1 ) 2 T ρ µνt νµ ρ T ρ µρt νµ ν. σ (det es m ρσ ) det ej m ρ = det eθ m ρ. Teooria on üldrelatiivsusteooriaga ekvivalentne. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
67 Modifitseeritud teleparalleelsed teooriad Võimalikud muutused: Kõrgemat järku liikmed: T 4, T 2 T,... Lisaväljad: skalaarväli φ,... Väände ja kõverusega teooriad: Einstein-Cartan,... Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
68 Modifitseeritud teleparalleelsed teooriad Võimalikud muutused: Kõrgemat järku liikmed: T 4, T 2 T,... Lisaväljad: skalaarväli φ,... Väände ja kõverusega teooriad: Einstein-Cartan,... Võimalikud teemad, mida tuleb uurida: Invariantsus lokaalsete Lorentzi teisenduste all. Ostrogradsky ebastabiilsus / vaimuväljad. Kokkusobivus vaatlustega päikesesüsteemis. Kosmoloogiline dünaamika. Ekvivalentsus teiste teooriatega: f (R), STG, Gauss-Bonnet,... Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
69 Ülevaade 1 Üldrelatiivsusteooria 2 Vaatlused astronoomias ja kosmoloogias 3 Laiendatud teooriad Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne ja väändega teooriad Finsleri ja Cartani geomeetriad 4 Kokkuvõte Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
70 Finsleri aegruumi geomeetria Üldistatud trajektoori γ pikkuse funktsionaal: τ(λ 2 ) τ(λ 1 ) = λ2 λ 1 F(γ(λ), γ(λ))dλ. Finsleri funktsioon F : TM R +. Invariantsus parameetri teisenduste all vajab homogeensust: F(x, cy) = cf (x, y) c > 0. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
71 Finsleri aegruumi geomeetria Üldistatud trajektoori γ pikkuse funktsionaal: τ(λ 2 ) τ(λ 1 ) = λ2 Finsleri funktsioon F : TM R +. λ 1 F(γ(λ), γ(λ))dλ. Invariantsus parameetri teisenduste all vajab homogeensust: Finsleri meetrika: F(x, cy) = cf (x, y) c > 0. gµν(x, F y) = 1 2 y µ y ν F 2 (x, y). Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
72 Finsleri gravitatsiooniteooria Dünaamiline gravitatsiooniväli: Finsleri funktsioon F. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
73 Finsleri gravitatsiooniteooria Dünaamiline gravitatsiooniväli: Finsleri funktsioon F. Gravitatsiooni mõjufunktsionaal: S G = 1 Vol κ GR µ µνy ν. Σ Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
74 Finsleri gravitatsiooniteooria Dünaamiline gravitatsiooniväli: Finsleri funktsioon F. Gravitatsiooni mõjufunktsionaal: S G = 1 Vol κ GR µ µνy ν. Väljavõrrandid: [g F µν µ ν (R ρρσy σ ) 6 Rµ µνy ν Σ F 2 + 2g F µν ( µ S ν + S µ S ν + µ (y ρ δ ρ S ν N ρ νs ρ ) ) ] Σ = κt Σ Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
75 Finsleri gravitatsiooniteooria Dünaamiline gravitatsiooniväli: Finsleri funktsioon F. Gravitatsiooni mõjufunktsionaal: S G = 1 Vol κ GR µ µνy ν. Väljavõrrandid: [g F µν µ ν (R ρρσy σ ) 6 Rµ µνy ν Σ F 2 + 2g F µν ( µ S ν + S µ S ν + µ (y ρ δ ρ S ν N ρ νs ρ ) ) ] Σ = κt Σ Geomeetria pool veidi keerulisem kui üldrelatiivsusteoorias. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
76 Finsleri gravitatsiooniteooria Dünaamiline gravitatsiooniväli: Finsleri funktsioon F. Gravitatsiooni mõjufunktsionaal: S G = 1 Vol κ GR µ µνy ν. Väljavõrrandid: [g F µν µ ν (R ρρσy σ ) 6 Rµ µνy ν Σ F 2 + 2g F µν ( µ S ν + S µ S ν + µ (y ρ δ ρ S ν N ρ νs ρ ) ) ] Σ = κt Σ Geomeetria pool veidi keerulisem kui üldrelatiivsusteoorias. Aga mateeria pool on lihtsam. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
77 Ainepunkti trajektoorid Mõjufunktsionaal on trajektoori pikkuse funktsionaal. Liikumisvõrrandid: γ µ + N µ ν γ ν = 0. N µ ν on Cartani mittelineaarne seostus. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
78 Ainepunkti trajektoorid Mõjufunktsionaal on trajektoori pikkuse funktsionaal. Liikumisvõrrandid: γ µ + N µ ν γ ν = 0. N µ ν on Cartani mittelineaarne seostus. Trajektoor tõuseb kanooniliselt puutujatekihtkonnale TM: Γ µ = γ µ, Γ µ = γ µ. Samas tõusevad liikumisvõrrandid: Γ µ = Γ µ, Γ µ = N µ ν Γ ν. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
79 Ainepunkti trajektoorid Mõjufunktsionaal on trajektoori pikkuse funktsionaal. Liikumisvõrrandid: γ µ + N µ ν γ ν = 0. N µ ν on Cartani mittelineaarne seostus. Trajektoor tõuseb kanooniliselt puutujatekihtkonnale TM: Γ µ = γ µ, Γ µ = γ µ. Samas tõusevad liikumisvõrrandid: Γ µ = Γ µ, Γ µ = N µ ν Γ ν. Geodeetilised jooned on vektorvälja integraaljooned: y a a y b N a b a = S. Vektorvälja S nimetatakse geodeetiliseks pihuseks. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
80 Vaatajate ruum Finsleri pikkus eraldab ühikvektoreid y T x M: F 2 (x, y) = g F µν(x, y)y µ y ν = 1. Ühikvektorite hulk Ω x T x M igas aegruumi punktis x M. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
81 Vaatajate ruum Finsleri pikkus eraldab ühikvektoreid y T x M: F 2 (x, y) = gµν(x, F y)y µ y ν = 1. Ühikvektorite hulk Ω x T x M igas aegruumi punktis x M. Ω x sisaldab tulevikusuunaliste vektorite alamhulka S x Ω x. Kausaalsus: S x on füüsikaliste 4-kiiruste ruum. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
82 Vaatajate ruum Finsleri pikkus eraldab ühikvektoreid y T x M: F 2 (x, y) = gµν(x, F y)y µ y ν = 1. Ühikvektorite hulk Ω x T x M igas aegruumi punktis x M. Ω x sisaldab tulevikusuunaliste vektorite alamhulka S x Ω x. Kausaalsus: S x on füüsikaliste 4-kiiruste ruum. Vaatajate ruum: O = S x. x M O TM on 7-mõõtmeline alammuutkond. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
83 Vedelikudünaamika Füüsikaline trajektoor: Trajektoori kanooniline tõus Γ vaatajate ruumis. Γ on vektorvälja r = S O integraaljoon. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
84 Vedelikudünaamika Füüsikaline trajektoor: Trajektoori kanooniline tõus Γ vaatajate ruumis. Γ on vektorvälja r = S O integraaljoon. Vedelik koosneb osakestest / ainepunktidest: Ainepunktid liiguvad geodeetilistel trajektooritel. Ainus vastasmõju ainepunktide vahel: instantaanne kokkupõrge. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
85 Vedelikudünaamika Füüsikaline trajektoor: Trajektoori kanooniline tõus Γ vaatajate ruumis. Γ on vektorvälja r = S O integraaljoon. Vedelik koosneb osakestest / ainepunktidest: Ainepunktid liiguvad geodeetilistel trajektooritel. Ainus vastasmõju ainepunktide vahel: instantaanne kokkupõrge. Kontiinumi piir: Ainepunktide tihedus: φ : O R +. Liikumisvõrrand ilma kokkupõrgeteta: L r φ = 0. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
86 Vedelikutüübid Geodeetiline tolm: φ(x, y) δ(y u(x)). Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
87 Vedelikutüübid Geodeetiline tolm: φ(x, y) δ(y u(x)). Jenka Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
88 Vedelikutüübid Geodeetiline tolm: φ(x, y) δ(y u(x)). Kokkupõrgeteta v.: L r φ = 0. Jenka Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
89 Vedelikutüübid Geodeetiline tolm: φ(x, y) δ(y u(x)). Kokkupõrgeteta v.: L r φ = 0. Jenka Polka Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
90 Vedelikutüübid Geodeetiline tolm: φ(x, y) δ(y u(x)). Kokkupõrgeteta v.: L r φ = 0. Kokkupõrgetega v.: L r φ 0. Jenka Polka Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
91 Vedelikutüübid Geodeetiline tolm: φ(x, y) δ(y u(x)). Kokkupõrgeteta v.: L r φ = 0. Kokkupõrgetega v.: L r φ 0. Jenka Polka Humpa Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
92 Seos Cartani geomeetriaga Cartani geomeetria põhimõisted: Lie rühm G ja kinnine alamrühm K G. Raamikihtkond π : P O on K -peakihtkond. Cartani seostus A Ω 1 (P, g) on 1-vorm väärtustega Lie algebras g. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
93 Seos Cartani geomeetriaga Cartani geomeetria põhimõisted: Lie rühm G ja kinnine alamrühm K G. Raamikihtkond π : P O on K -peakihtkond. Cartani seostus A Ω 1 (P, g) on 1-vorm väärtustega Lie algebras g. Finslerist Cartanini: Rühmad G = ISO o (3, 1), K = SO(3). O on vaatajate ruum. P on orienteeritud, normeeritud, ortogonaalsed raamid. A defineeritakse Finsleri seostuse abil. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
94 Seos Cartani geomeetriaga Cartani geomeetria põhimõisted: Lie rühm G ja kinnine alamrühm K G. Raamikihtkond π : P O on K -peakihtkond. Cartani seostus A Ω 1 (P, g) on 1-vorm väärtustega Lie algebras g. Finslerist Cartanini: Rühmad G = ISO o (3, 1), K = SO(3). O on vaatajate ruum. P on orienteeritud, normeeritud, ortogonaalsed raamid. A defineeritakse Finsleri seostuse abil. Rakendused: Gravitatsiooniteooria: MacDowell-Mansouri teooria laiendus. Väljateooria: kalibratsiooni teooriad. Cartani geomeetria kirjeldab aegruumi sümmeetriat. Seos silmuskvantgravitatsiooniga? Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
95 Ülevaade 1 Üldrelatiivsusteooria 2 Vaatlused astronoomias ja kosmoloogias 3 Laiendatud teooriad Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne ja väändega teooriad Finsleri ja Cartani geomeetriad 4 Kokkuvõte Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
96 Kokkuvõte Üldrelatiivsusteooria kirjeldab gravitatsiooni geomeetriana. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
97 Kokkuvõte Üldrelatiivsusteooria kirjeldab gravitatsiooni geomeetriana. Vaatlused tekitavad küsimusi: Tumeaine? Tumeenergia? Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
98 Kokkuvõte Üldrelatiivsusteooria kirjeldab gravitatsiooni geomeetriana. Vaatlused tekitavad küsimusi: Tumeaine? Tumeenergia? Geomeetria pakub võimalikke lahendusi: Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine teooria Teleparalleelne ja väändega teooriad Finsleri ja Cartani geomeetriad Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
99 Kokkuvõte Üldrelatiivsusteooria kirjeldab gravitatsiooni geomeetriana. Vaatlused tekitavad küsimusi: Tumeaine? Tumeenergia? Geomeetria pakub võimalikke lahendusi: Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine teooria Teleparalleelne ja väändega teooriad Finsleri ja Cartani geomeetriad Lugege edasi: Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september / 40
Kosmoloogilised skalaarsed häiritused skalaar-tensor tüüpi gravitatsiooniteooria üldrelatiivsusteooria piiril
TARTU ÜLIKOOL LOODUS- JA TEHNOLOOGIATEADUSKOND FÜÜSIKA INSTITUUT MIHKEL RÜNKLA Kosmoloogilised skalaarsed häiritused skalaar-tensor tüüpi gravitatsiooniteooria üldrelatiivsusteooria piiril MAGISTRITÖÖ
Funktsiooni diferentsiaal
Diferentsiaal Funktsiooni diferentsiaal Argumendi muut Δx ja sellele vastav funktsiooni y = f (x) muut kohal x Eeldusel, et f D(x), saame Δy = f (x + Δx) f (x). f (x) = ehk piisavalt väikese Δx korral
Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α
Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ
Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913
Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 ΠΡΑΞΗ ΚΑΤΑΘΕΣΗΣ ΟΡΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Σ τ η ν Π ά τ ρ α σ ή μ ε ρ α σ τ ι ς δ ε κ α τ έ σ σ ε ρ ι ς ( 1 4 ) τ ο υ μ ή ν α Ο κ τ ω β ρ ί ο υ, η μ έ ρ α Τ ε τ ά ρ τ η, τ ο υ έ τ ο υ ς δ
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond 4 Leidke
Vektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale
Vektorid II Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid Vektorid on arvude järjestatud hulgad (s.t. iga komponendi väärtus ja positsioon hulgas on tähenduslikud) Vektori
Lokaalsed ekstreemumid
Lokaalsed ekstreemumid Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < Δx < δ Δy 0. Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne miinimum,
Kompleksarvu algebraline kuju
Kompleksarvud p. 1/15 Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju Mati Väljas mati.valjas@ttu.ee Tallinna Tehnikaülikool Kompleksarvud p. 2/15 Hulk Hulk on kaasaegse matemaatika algmõiste, mida ei saa
Energiabilanss netoenergiavajadus
Energiabilanss netoenergiajadus 1/26 Eelmisel loengul soojuskadude arvutus (võimsus) φ + + + tot = φ φ φ juht v inf φ sv Energia = tunnivõimsuste summa kwh Netoenergiajadus (ruumis), energiakasutus (tehnosüsteemis)
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA SISUKORD 57 Joone uutuja Näited 8 58 Ülesanded uutuja võrrandi koostamisest 57 Joone uutuja Näited Funktsiooni tuletisel on
Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120
Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 2. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Loenguslaidid Materjalid D. Halliday,R. Resnick, J. Walker. Füüsika põhikursus : õpik kõrgkoolile I köide. Eesti
Graafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid
Graafiteooria üldmõisteid Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Orienteerimata graafid G(x i )={ x k < x i, x k > A}
Geomeetrilised vektorid
Vektorid Geomeetrilised vektorid Skalaarideks nimetatakse suurusi, mida saab esitada ühe arvuga suuruse arvulise väärtusega. Skalaari iseloomuga suurusi nimetatakse skalaarseteks suurusteks. Skalaarse
2. Α ν ά λ υ σ η Π ε ρ ι ο χ ή ς. 3. Α π α ι τ ή σ ε ι ς Ε ρ γ ο δ ό τ η. 4. Τ υ π ο λ ο γ ί α κ τ ι ρ ί ω ν. 5. Π ρ ό τ α σ η. 6.
Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α 1. Ε ι σ α γ ω γ ή 2. Α ν ά λ υ σ η Π ε ρ ι ο χ ή ς 3. Α π α ι τ ή σ ε ι ς Ε ρ γ ο δ ό τ η 4. Τ υ π ο λ ο γ ί α κ τ ι ρ ί ω ν 5. Π ρ ό τ α σ η 6. Τ ο γ ρ α φ ε ί ο 1. Ε ι σ α γ ω
Kosmoloogia Lühikonspekt
Tallinna Ülikool Loodus- ja terviseteaduste instituut Kosmoloogia Lühikonspekt Liisi Räim, Romi Mankin, Tõnu Laas 016 1 Sisukord 1 Sissejuhatus...4 1.1 Mis on kosmoloogia? Kosmoloogia ajaloost kuni Newtonini...
Nonminimal derivative coupling scalar-tensor theories: odd-parity perturbations and black hole stability
Nonminimal derivative coupling scalar-tensor theories: odd-parity perturbations and black hole stability A. Cisterna 1 M. Cruz 2 T. Delsate 3 J. Saavedra 4 1 Universidad Austral de Chile 2 Facultad de
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded. Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond.
Cosmological Space-Times
Cosmological Space-Times Lecture notes compiled by Geoff Bicknell based primarily on: Sean Carroll: An Introduction to General Relativity plus additional material 1 Metric of special relativity ds 2 =
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΓΕΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΒΑΡΥΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΤΟ ΚΕΝΟ ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΒΑΡΥΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΠΗΓΕΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΒΑΡΥΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ
ΒΑΡΥΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΤΖΩΡΤΖΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Επιβλέπων καθηγητής:αναγνωστοπουλοσ Κ. ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ-ΣΕΜΦΕ 26 Σεπτεμβρίου 2016 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΓΕΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΒΑΡΥΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΤΟ ΚΕΝΟ ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΒΑΡΥΤΙΚΩΝ
A Short Introduction to Tensors
May 2, 2007 Tensors: Scalars and Vectors Any physical quantity, e.g. the velocity of a particle, is determined by a set of numerical values - its components - which depend on the coordinate system. Studying
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA SISUKORD 8 MÄÄRAMATA INTEGRAAL 56 8 Algfunktsioon ja määramata integraal 56 8 Integraalide tabel 57 8 Määramata integraali omadusi 58
Déformation et quantification par groupoïde des variétés toriques
Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue Fédéic Cadet To cite thi veion: Fédéic Cadet. Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue. Mathématiue [math]. Univeité d Oléan, 200.
ITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA
PREDIKAATLOOGIKA Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem
Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika
Operatsioonsemantika Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika kirjeldab kuidas j~outakse l~oppolekusse Struktuurne semantika
HAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2
PE-LUS TSL Teema nr Tugevad happed Tugevad happed on lahuses täielikult dissotiseerunud + sisaldus lahuses on võrdne happe analüütilise kontsentratsiooniga Nt NO Cl SO 4 (esimeses astmes) p a väärtused
m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) F = F (x) m dv dt = F (x) vdv = F (x)dx d dt = dx dv dt dx = v dv dx
m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) x F = F (x) m dv dt = F (x) d dt = dx dv dt dx = v dv dx vdv = F (x)dx 2 mv2 x 2 mv2 0 = F (x )dx x 0 K = 2 mv2 W x0 x = x x 0 F (x)dx K K 0 = W x0 x x, x 2 x K 2 K =
Skalaar, vektor, tensor
Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,
Skalaar, vektor, tensor
Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,
Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist
Loeng 2 Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist P2 - tuleb P1 lahendus T P~Q = { x P(x)~Q(x) = t} = = {x P(x)
Torsional Newton-Cartan gravity from a pre-newtonian expansion of GR
Torsional Newton-Cartan gravity from a pre-newtonian expansion of GR Dieter Van den Bleeken arxiv.org/submit/1828684 Supported by Bog azic i University Research Fund Grant nr 17B03P1 SCGP 10th March 2017
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid.
KORDMINE RIIGIEKSMIKS V teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks
Ακτινοβολία Hawking. Πιέρρος Ντελής. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. July 3, / 29. Πιέρρος Ντελής Ακτινοβολία Hawking 1/29
Ακτινοβολία Hawking Πιέρρος Ντελής Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ΣΕΜΦΕ July 3, 2013 1 / 29 Πιέρρος Ντελής Ακτινοβολία Hawking 1/29 Outline Σχετικότητα Ειδική & Γενική Θεωρία Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία
Trace evaluation of matrix determinants and inversion of 4 4 matrices in terms of Dirac covariants
Trace evaluation of matrix determinants and inversion of 4 4 matrices in terms of Dirac covariants F. Kleefeld and M. Dillig Institute for Theoretical Physics III, University of Erlangen Nürnberg, Staudtstr.
Ruumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule
Kodutöö nr.1 uumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Ülesanne Taandada antud jõusüsteem lihtsaimale kujule. isttahuka (joonis 1.) mõõdud ning jõudude moodulid ja suunad on antud tabelis 1. D
ƒˆˆ-ˆœ œ Ÿ ˆ ˆ Š ˆˆ ƒ ˆ ˆˆ
Ó³ Ÿ. 2018.. 15, º 6218).. 467Ä475 ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ. ˆŸ ƒˆˆ-ˆœ œ Ÿ ˆ ˆ Š ˆˆ ƒ ˆ ˆˆ.. Ê 1 Œμ ±μ ± μ Ê É Ò Ê É É ³. Œ.. μ³μ μ μ, Œμ ± μ± μ, ÎÉμ ³μ Ë ± Í Ö ³³ É Î ±μ, μ ² μ μ ƒ ²Ó ÉÊ μ² μ ²μÉ μ É É μ Ô -
Φαινόμενο Unruh. Δημήτρης Μάγγος. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο September 26, / 20. Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 1/20
Φαινόμενο Unruh Δημήτρης Μάγγος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο September 26, 2012 1 / 20 Δημήτρης Μάγγος Φαινόμενο Unruh 1/20 Outline Σχετικότητα Ειδική & Γενική Θεωρία Κβαντική Θεωρία Πεδίου Πεδία Στον Χωρόχρονο
On geodesic mappings of Riemannian spaces with cyclic Ricci tensor
Annales Mathematicae et Informaticae 43 (2014) pp. 13 17 http://ami.ektf.hu On geodesic mappings of Riemannian spaces with cyclic Ricci tensor Sándor Bácsó a, Robert Tornai a, Zoltán Horváth b a University
W τ R W j N H = 2 F obj b q N F aug F obj b q Ψ F aug Ψ ( ) ϱ t + + p = 0 = 0 Ω f = Γ Γ b ϱ = (, t) = (, t) Ω f Γ b ( ) ϱ t + + p = V max 4 3 2 1 0-1 -2-3 -4-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 x 4 x 1 V mn V max
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VII teema Vektor. Joone võrrandid.
KORDMINE RIIGIEKSMIKS VII teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks
Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα
x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,
( ) ΘΕ ΑΝ4 / 2 0. α) β) f(x) f ( x) cos x
Η ΑΝΕΠ Η Η Ν Ω Ν Ω ΑΘΗ Α ΑΝIV Ε ε ά ει Ν επ ε β ί 5 (3-9-5) Επώ : Ό α: ΑΝ Ν: ΘΕ ΑΝ Τα π α Chebyshev T ( ) α π ω μ ( ) y y y (,,, ) π [,] Η ω α α α π α μ / d d T ( ) Tm ( ) [ T ( )] Α απ f ( ) 3, [,], α
Keskkonnaefektidest superhapete ja superalusteni
Keskkonnaefektidest superhapete ja superalusteni Ilmar Koppel Tartu Ülikool Lihtne S 1 tüüpi solvolüüs K n (CH 3 ) 3 C-Cl: + (HOR) n (CH 3 ) 3 C-Cl: (HOR) n k 0 k 1 produktid produktid J.B. Conant,. Semjonov
ibemo Kazakhstan Republic of Kazakhstan, West Kazakhstan Oblast, Aksai, Pramzone, BKKS office complex Phone: ; Fax:
u x = 2uu y u y = 0 ϕ x = x t h (t), ϕ xx = x2 t 3 h (t) και ϕ y = y t h (t), ϕ yy = y2 t 3 h (t). t 2 h (t) + x2
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιγαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Β 9 Ιουνίου, 07 Θ. αʹ) Αν το G είναι ένας τόπος, δηλαδή ένα ανοικτό και συνεκτικό σύνολο στο
Apì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss
Apì ton diaritì Ôbo ston q ro tou Gauss 1 Isoperimetri anisìthta sto diaritì Ôbo Θεωρούμε την οικογένεια J των συναρτήσεων J : [0 1] [0 ) που ικανοποιούν τα εξής: J0) = J1) = 0. Για κάθε a b [0 1] a +
Η Ομάδα SL(2,C) και οι αναπαραστάσεις της
SL(2, C) SO(3, 1) D : Λ D(Λ) SO(3, 1) 2 1 D : ±A D(π(±A)) SL(2, C) SL(2, C) SO(3, 1) SL(2, C) SO(3, 1) ξ i (, ) K i x µ p µ J µν T µν A µ ψ α J i = J i, () K i = K i, ( ) K i M 0i = (iξ i K i ) A i = 1
9. AM ja FM detektorid
1 9. AM ja FM detektorid IRO0070 Kõrgsageduslik signaalitöötlus Demodulaator Eraldab moduleeritud signaalist informatiivse osa. Konkreetne lahendus sõltub modulatsiooniviisist. Eristatakse Amplituuddetektoreid
YMM3740 Matemaatilne analüüs II
YMM3740 Matemaatilne analüüs II Gert Tamberg Matemaatikainstituut Tallinna Tehnikaülikool gert.tamberg@ttu.ee http://www.ttu.ee/gert-tamberg G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 1 / 29 Sisu
Sissejuhatus optilisse spektroskoopiasse
Sissejuhatus optilisse spektroskoopiasse Prof. Jüri Krustok 1 Elektromagnetlainete skaala 2 Üldised spektroskoopilised meetodid, mis kasutavad elektromagnetlaineid Meetod Kasutatav lainepikkuste vahemik
Geodesic Equations for the Wormhole Metric
Geodesic Equations for the Wormhole Metric Dr R Herman Physics & Physical Oceanography, UNCW February 14, 2018 The Wormhole Metric Morris and Thorne wormhole metric: [M S Morris, K S Thorne, Wormholes
f H f H ψ n( x) α = 0.01 n( x) α = 1 n( x) α = 3 n( x) α = 10 n( x) α = 30 ū i ( x) α = 1 ū i ( x) α = 3 ū i ( x) α = 10 ū i ( x) α = 30 δū ij ( x) α = 1 δū ij ( x) α = 3 δū ij ( x) α = 10 δū ij ( x)
ΔΗΜΟΤΙΚΕΣ ΕΚΛΟΓΕΣ 18/5/2014 ΑΚΥΡΑ
ΔΗΜΟΤΙΚΕΣ ΕΚΛΟΓΕΣ 18/5/2014 ΑΚΥΡΑ ΑΔΑΜΗΣ Δ.Κ. / Τ.Κ. E.T. ΕΓΓ/ΝΟΙ ΨΗΦΙΣΑΝ ΕΓΚΥΡΑ ΓΙΟΒΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΛΕΥΚΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΜΑΝΤΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΔΑΛΙΑΝΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΑΣΤΡΟΣ 5 2.728 1.860 36 1.825 69 3,8% 152 8,3% 739 40,5%
Palatiniversus metricformalism inhigher-curvaturegravity
Palatiniversus metricformalism inhigher-curvaturegravity Bert Janssen Universidad de Granada & CAFPE In collaboration with: M. Borunda and M. Bastero-Gil (UGR) References: JCAP 0811(2008) 008, arxiv:0804.4440[hep-th.
Fourier Analysis of Waves
Exercises for the Feynman Lectures on Physics by Richard Feynman, Et Al. Chapter 36 Fourier Analysis of Waves Detailed Work by James Pate Williams, Jr. BA, BS, MSwE, PhD From Exercises for the Feynman
! # !! # % % & ( ) + & # % #&,. /001 2 & 3 4
! #!! # % % & ( ) + & # % #&,. /001 2 & 3 4 ! # % & (! ) & (! (! + & (!, % (! +.! / 0 1 0 2 3 4 1 0 5 6 % 7 8!, %! + 0! # % 0 1 9. 2! 1. 2 8 2 5 : ; 0 % &! & ( ) ; < =2 8 0 ; 0/ =2 8 0 8 2 8 & 8 2 0 8
2. FÜÜSIKALISE SUURUSE MÕISTE
Soojusõpetus 2 1 2. FÜÜSIKALISE SUURUSE MÕISTE 2.1. Mõõtmisteooria Füüsikalise suuruse üldise mõiste avab mõõtmisteooria. Mõõtmisteooria loogiline koht on enne füüsikakursust. Probleemide komplitseerituse
X x C(t) description lagrangienne ( X , t t t X x description eulérienne X x 1 1 v x t
X 3 x 3 C Q y C(t) Q t QP t t C configuration initiale description lagrangienne x Φ ( X, t) X Y x X P x P t X x C(t) configuration actuelle description eulérienne (, ) d x v x t dt X 3 x 3 C(t) F( X, t)
Αόριστο Ολοκλήρωµα ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου
Αόριστο Ολοκλήρωµα ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Ακ. Ετος 2018-2019 Θεωρούµε µια συνάρτηση f : I R, όπου το I είναι διάστηµα του R. Ορισµός Μια συνάρτηση F : I R λέγεται αντιπαράγωγος ή αρχική συνάρτηση
Kordamine 2. osa Jõud looduses, tihedus, rõhk, kehad vedelikus ja gaasis. FÜÜSIKA 8. KLASSILE
Kordamine 2. osa Jõud looduses, tihedus, rõhk, kehad vedelikus ja gaasis. FÜÜSIKA 8. KLASSILE AINE TIHEDUS AINE TIHEDUSEKS nimetatakse füüsikalist suurust, mis võrdub keha (ainetüki) massi ja selle keha
Ε Π Ι Μ Ε Λ Η Τ Η Ρ Ι Ο Κ Υ Κ Λ Α Δ Ω Ν
Ε ρ μ ο ύ π ο λ η, 0 9 Μ α ρ τ ί ο υ 2 0 1 2 Π ρ ο ς : Π ε ρ ιφ ε ρ ε ι ά ρ χ η Ν ο τ ίο υ Α ιγ α ί ο υ Α ρ ι θ. Π ρ ω τ. 3 4 2 2 κ. Ι ω ά ν ν η Μ α χ α ι ρ ί δ η F a x : 2 1 0 4 1 0 4 4 4 3 2, 2 2 8 1
Ó³ Ÿ , º 4(181).. 501Ä510
Ó³ Ÿ. 213.. 1, º 4(181.. 51Ä51 ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ. ˆŸ Š ˆ ƒ ˆ ˆŸ Ÿ ƒ Ÿ Ÿ ˆ ˆ Š ˆˆ ƒ ˆ ˆˆ Š.. Œμ Éμ 1,.. Ê 2 Œμ ±μ ± μ Ê É Ò Ê É É ³. Œ.. μ³μ μ μ, Œμ ± ƒ ÒÎ ² É μ Ô - ³ Ê²Ó ²Ö ³ É ± Š. Ò Ï É Í μ Ò Ô Ö ³μ³
Higher Derivative Gravity Theories
Higher Derivative Gravity Theories Black Holes in AdS space-times James Mashiyane Supervisor: Prof Kevin Goldstein University of the Witwatersrand Second Mandelstam, 20 January 2018 James Mashiyane WITS)
the metric acts on (contravariant) vectors (tensor indices) symmetric means g(x,y) = g(y,x) R for X,Y T P bilinear means for X,Y,Z T P and a,b,c R
2. General Relativity the metric mathematical definition: a metric in M is a symmetric, bilinear, non-degenerate function g P : T P T P R the metric acts on (contravariant) vectors (tensor indices) symmetric
1 Georg Friedrich Bernhard Riemann.
Κεφάλαιο 6 Καμπυλότητα Σύνοψη Το κεντρικό αντικείμενο μελέτης της γεωμετρίας Riemann είναι η καμπυλότητα. Παρουσιάζουμε σε σύγχρονη γλώσσα τον ιστορικό ορισμό της καμπυλότητας τομής που έδωσε ο Riemann.
5 Haar, R. Haar,. Antonads 994, Dogaru & Carn Kerkyacharan & Pcard 996. : Haar. Haar, y r x f rt xβ r + ε r x β r + mr k β r k ψ kx + ε r x, r,.. x [,
4 Chnese Journal of Appled Probablty and Statstcs Vol.6 No. Apr. Haar,, 6,, 34 E-,,, 34 Haar.., D-, A- Q-,. :, Haar,. : O.6..,..,.. Herzberg & Traves 994, Oyet & Wens, Oyet Tan & Herzberg 6, 7. Haar Haar.,
ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΓΑΛΙΛΑΙΟΝΙΑ ΠΕΔΙΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΜΑΣ ΓΙΑΝ ΜΙΧΑΗΛ ΜΑΪΟΣ 2015 Τμήμα Φυσικής Γαλιλαιόνια Πεδία Διπλωματική Εργασία Τόμας Γιαν Μιχαήλ Υπεύθυνος Καθηγητής Κωνσταντίνος Σκορδής Μάιος 2015
1 Το φυσικό πρόβλημα και εξισώσεις
Αριθμητική επίλυση των εξισώσεων της ελαστοδυναμικής και μελέτη της κυματικής διάδοσης στα στερεά: επιμήκη κύματα(p-waves) και εγκάρσια κύματα(s-waves) Χρυσούλα Τσόγκα tsogka@tem.uoc.gr 1 Το φυσικό πρόβλημα
ξ i (t) = v i t + ξ i (0) (9) c (t t 0). (10) t = t, z = z 1 2 gt 2 (12)
Η ΓΕΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1 Κίνηση σώματος σε πεδίο βαρύτητας Εδώ θα εφαρμόσουμε την Ι.Α.Ι. και τις γνώσεις μας από την Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας για να παράγουμε
< F ( σ(h(t))), σ (h(t)) > h (t)dt.
ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ IV, /6/9 Θέμα 1. Εστω : a 1, β 1 ] R μια C 1 καμπύλη. Μια C 1 καμπύλη ρ : a, β] R λέγεται αναπαραμετρικοποίηση της αν υπάρχει h : a, β] a 1, β 1 ], 1 1 επί και
Tuletis ja diferentsiaal
Peatükk 3 Tuletis ja diferentsiaal 3.1 Tuletise ja diferentseeruva funktsiooni mõisted. Olgu antud funktsioon f ja kuulugu punkt a selle funktsiooni määramispiirkonda. Tuletis ja diferentseeruv funktsioon.
A Short Introduction to Tensor Analysis
June 20, 2008 Scalars and Vectors An n-dim manifold is a space M on every point of which we can assign n numbers (x 1,x 2,...,x n ) the coordinates, in such a way that there will be a one to one correspondence
20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1
κ ËÁÊ Â Ì Ë Æ Á 20. SIRGE VÕRRANDID Sirget me võime vaadelda kas tasandil E 2 või ruumis E 3. Sirget vaadelda sirgel E 1 ei oma mõtet, sest tegemist on ühe ja sama sirgega. Esialgu on meie käsitlus nii
3+1 Splitting of the Generalized Harmonic Equations
3+1 Splitting of the Generalized Harmonic Equations David Brown North Carolina State University EGM June 2011 Numerical Relativity Interpret general relativity as an initial value problem: Split spacetime
6< 7 4) ==4>)? ) >) ) Α< = > 6< 7<)Β Χ< Α< = > ) = ) 6 >) 7<)Ε > 7 ) ) ) ; + ; # % & () & :,% 3 + ;; 7 8 )+, ( ! # % & % ( )! +, % & &.
6< 7 4) ==4>)? ) >) )Α< = > 6< 7 )= )6 >) 7 7 ) ) ) ; + ; # % & () 4 5 6 & 7 8 9 & :,% 3+ ;;7 8 )+, (! # % & % ( )! +, % & &. /0 121, 3 &./012 34,51 65 57.8,57 9,(% #85% :;
3.0.2 F(R) μορϕή Mach s Principle... 43
Διπλωματική Εργασία: Θεωρίες Βαρύτητας Brans-Dicke και εϕαρμογές Παπαγιαννόπουλος Γιάννης 28 Ιουνίου 2016 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στη Γενική Σχετικότητα 9 1.1 Γεωμετρικά αντικείμενα και Τανυστές.............................
Μάθηµα 1 ο ΣΥΝΘΕΤΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. Λυµένες Ασκήσεις * * * Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 3, σελ. 8. Ασκήσεις : 1, 2, 3 : σελ. 10
Γραµµική Άλγεβρα Σελίδα από 9 Μάθηµα ο ΣΥΝΘΕΤ ΠΝΚΕΣ Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο, σελ 8 σκήσεις :,, : σελ 0 Λυµένες σκήσεις Άσκηση Να υπολογισθούν οι δυνάµεις του σύνθετου πίνακα: Λύση : Επειδή:
Περιεχόμενα. A(x 1, x 2 )
Περιεχόμενα A(x 1, x 2 7 Ολοκληρώματα της Μαγνητοϋδροδυναμικής και Μαγνητοϋδροδυναμικά Κύματα Σχήμα 7.1: Οι τριδιάστατες ελικοειδείς μαγνητικές γραμμές στις οποίες εφάπτεται το διάνυσμα του μαγνητικού
Μάθηµα 1 ο ΣΥΝΘΕΤΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. Λυµένες Ασκήσεις * * * Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 3, σελ. 8.
νάλυση Πινάκων Εφαρµογές Σελίδα από 9 Μάθηµα ο ΣΥΝΘΕΤ ΠΝΚΕΣ Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο, σελ 8 Λυµένες σκήσεις Άσκηση Να υπολογισθούν οι δυνάµεις του σύνθετου πίνακα: Λύση : Επειδή: 0 0 = = 0 0
f(r) Θεωρίες Βαρύτητας
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΚΕΦΕ «ΔΗΜΟΚΡΙΤΟΣ» ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΝΑΝΟΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΝΑΝΟΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑΚΗΣ
FÜÜSIKA I PÕHIVARA. Põhivara on mõeldud üliõpilastele kasutamiseks õppeprotsessis aines FÜÜSIKA I. Koostas õppejõud P.Otsnik
FÜÜSIKA I PÕHIVARA Põhivara on mõeldud üliõpilastele kasutamiseks õppeprotsessis aines FÜÜSIKA I. Koostas õppejõud P.Otsnik Tallinn 2003 2 1. SISSEJUHATUS. Mõõtühikud moodustavad ühikute süsteemi. Meie
cos t dt = 0. t cos t 2 dt = 1 8 f(x, y, z) = (2xyz, x 2 z, x 2 y) (2xyz) = (x2 z) (x 2 z) = (x2 y) 1 u du =
ΛΥΣΕΙΣ. Οι ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden - Tromba. 1. 7.1.()(b) σ (t) (cos t sin t 1) οπότε σ (t) και σ f(x y z) ds π (c) σ (t) i + tj οπότε σ (t) 1 + 4t και σ f(x y z) ds 1 t cos 1 + 4t dt 1 8 cos
Pinge. 2.1 Jõud ja pinged
Peatükk 2 Pinge 1 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.
March 14, ( ) March 14, / 52
March 14, 2008 ( ) March 14, 2008 1 / 52 ( ) March 14, 2008 2 / 52 1 2 3 4 5 ( ) March 14, 2008 3 / 52 I 1 m, n, F m n a ij, i = 1,, m; j = 1,, n m n F m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a
Q π (/) ^ ^ ^ Η φ. <f) c>o. ^ ο. ö ê ω Q. Ο. o 'c. _o _) o U 03. ,,, ω ^ ^ -g'^ ο 0) f ο. Ε. ιη ο Φ. ο 0) κ. ο 03.,Ο. g 2< οο"" ο φ.
II 4»» «i p û»7'' s V -Ζ G -7 y 1 X s? ' (/) Ζ L. - =! i- Ζ ) Η f) " i L. Û - 1 1 Ι û ( - " - ' t - ' t/î " ι-8. Ι -. : wî ' j 1 Τ J en " il-' - - ö ê., t= ' -; '9 ',,, ) Τ '.,/,. - ϊζ L - (- - s.1 ai
I tund: Füüsika kui loodusteadus. (Sissejuhatav osa) Eesmärk jõuda füüsikasse läbi isiklike kogemuste. Kuidas kujunes sinu maailmapilt?
I tund: Füüsika kui loodusteadus. (Sissejuhatav osa) Eesmärk jõuda füüsikasse läbi isiklike kogemuste. Kuidas kujunes sinu maailmapilt? (Sündmused tekitavad signaale, mida me oma meeleorganitega aistingutena
Planeedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1
laneedi Maa kaadistamine laneedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kea. G Joon 1 Maapinna kaadistamine põhineb kea ümbeingjoontel, millest pikimat nimetatakse suuingjooneks. Need suuingjooned, mis läbivad
Παρασκευή 1 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση 1. Λύση. Παρατήρηση. Ασκηση 2. Λύση.
(, ) =,, = : = = ( ) = = = ( ) = = = ( ) ( ) = = ( ) = = = = (, ) =, = = =,,...,, N, (... ) ( + ) =,, ( + ) (... ) =,. ( ) = ( ) = (, ) = = { } = { } = ( ) = \ = { = } = { = }. \ = \ \ \ \ \ = = = = R
Cosmology with non-minimal derivative coupling
Kazan Federal University, Kazan, Russia 8th Spontaneous Workshop on Cosmology Institut d Etude Scientifique de Cargèse, Corsica May 13, 2014 Plan Plan Scalar fields: minimal and nonminimal coupling to
sin 2 α + cos 2 sin cos cos 2α = cos² - sin² tan 2α =
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS III TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos sin cos α =, tanα =, cotα =, cos sin + tan =, tanα cotα = cos ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) λ = 1 + t t. θ = t ε t. Continuum Mechanics. Chapter 1. Description of Motion dt t. Chapter 2. Deformation and Strain
Continm Mechanics. Official Fom Chapte. Desciption of Motion χ (,) t χ (,) t (,) t χ (,) t t Chapte. Defomation an Stain s S X E X e i ij j i ij j F X X U F J T T T U U i j Uk U k E ( F F ) ( J J J J)
Tallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Rakendusmehaanika õppetool. Andrus Salupere. Loengukonspekt EMR5170, EMR0020, 4,0 AP
Tallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Rakendusmehaanika õppetool Andrus Salupere DÜNAAMIKA Loengukonspekt EMR5170, EMR0020, 4,0 AP Tallinn 2003/2004/2005 Eessõna Käesolev loengukonspekt on mõeldud
(m, n) = 1 τότε Aut(H K) = Aut(H) Aut(K). Z(GL(2, R)), Z(SL(2, R)), Z(GL(n, R)), Z(SL(n, R)). } a b 0 c {( ) 1 b A = 0 1 {( ) a 0 D = 0 c T = } : b R
Ασκήσεις στην Θεωρία Ομάδων 2 Μαίου 2014 Άσκηση 1 Δίνεται μια ομάδα G τάξης n και a 1, a 2,..., a n G. Δείξτε ότι υπάρχουν k, m N τέτοια ώστε 1 k m n και a k a 2...a m = 1. Άσκηση 2 Δίνεται μια ομάδα G
1 Το φυσικό πρόβλημα και εξισώσεις
Αριθμητική επίλυση των εξισώσεων της ελαστοδυναμικής και μελέτη της κυματικής διάδοσης στα στερεά: επιμήκη κύματα(p-waves), εγκάρσια κύματα(s-waves) και επιφανειακά κύματα(rayleigh waves) Χρυσούλα Τσόγκα
Lifting Entry (continued)
ifting Entry (continued) Basic planar dynamics of motion, again Yet another equilibrium glide Hypersonic phugoid motion Planar state equations MARYAN 1 01 avid. Akin - All rights reserved http://spacecraft.ssl.umd.edu
Ecophon Line LED. Süsteemi info. Mõõdud, mm 1200x x x600 T24 Paksus (t) M329, M330, M331. Paigaldusjoonis M397 M397
Ecophon Line LED Ecophon Line on täisintegreeritud süvistatud valgusti. Kokkusobiv erinevate Focus-laesüsteemidega. Valgusti, mida sobib kasutada erinevates ruumides: avatud planeeringuga kontorites; vahekäigus
Eesti koolinoorte 43. keemiaolümpiaad
Eesti koolinoorte 4. keeiaolüpiaad Koolivooru ülesannete lahendused 9. klass. Võrdsetes tingiustes on kõikide gaaside ühe ooli ruuala ühesugune. Loetletud gaaside ühe aarruuala ass on järgine: a 2 + 6
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών «Μαθηματική Θεωρία Υλικών ΙΙ» (ΕΜ5) Εαρινό Εξάμηνο 007-08, Διδάσκων: Ι Τσαγράκης Ο ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΥΛΙΚΩΝ Ι») μια
= f(0) + f dt. = f. O 2 (x, u) x=(x 1,x 2,,x n ) T, f(x) =(f 1 (x), f 2 (x),, f n (x)) T. f x = A = f
2 n dx (x)+g(x)u () x n u (x), g(x) x n () +2 -a -b -b -a 3 () x,u dx x () dx () + x x + g()u + O 2 (x, u) x x x + g()u + O 2 (x, u) (2) x O 2 (x, u) x u 2 x(x,x 2,,x n ) T, (x) ( (x), 2 (x),, n (x)) T
η ε λ Π ά η ξ α ζ ή κ ε ξ α ζ η η ο ε ί θ ν ζ η κ ί α ( 2 1 ) η ν π κ ή λ α Ι ν π λ ί ν π
Α Ρ Η Θ Μ Ο : 6.405 Π Ρ Α Ξ Ζ Κ Α Σ Α Θ Δ Ζ Ο Ρ Ω Ν Γ Η Α Γ Ω Ν Η Μ Ο Τ η ε λ Π ά η ξ α ζ ή κ ε ξ α ζ η η ο ε ί θ ν ζ η κ ί α ( 2 1 ) η ν π κ ή λ α Ι ν π λ ί ν π ε κ έ ξ α Π α ξ α ζ θ ε π ή, η ν π έ η
Formulario Básico ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2) λ = 1 + t t. θ = t ε t. Mecánica de Medios Continuos. Grado en Ingeniería Civil.
Mecánica e Meios Continos. Gao en Ingenieía Ciil. Fomlaio Básico Tema. Descipción el moimiento χ (,) t χ (,) t (,) t χ (,) t t t Tema. Defomación s S X E X e i ij j i ij j F X X U F J T T T U U i j Uk