ÜLESANDEID MEHAANIKAST

Transcript

1 ÜLESANDEID EHAANIKAST JAAN KALDA SISSEJUHATUS Antud ihik on jätkuks kineaatika üesannete kogue. Nii nagu kineaatikagi puhu on püütud tuua äja põhiised ahendusideed, ie abi peaks oea õiaik ahendada enaik (>95%) ehaanika aastest oüpiaadiüesannetest. Hariikut on toodud kõigepeat üesanne ning seejäre asjakohased ideed ja sooitused (Ktäht idee nubri ees iitab seee, et agforueeringu õib eida antud nubri a kineaatika kogust). Üesande astused on toodud koguiku õpus, eidi eespoot õib eida ihjeid kohati üsnagi detaiseid sooitusi üesannete ahendaiseks (kuid siiski itte täisahendusi); nende piiuine jäägu siiski hädaäjapääsuks. Koguiku kandaks tejeks on äide, et peaaegu kõik oüpiaadiüesanded on kirjutatud ariatsioonina teatud teea(de) ahendaiseks on aja ihtsat teada astaat ahendusideed. Teades piisaat huka ahendusideid poe hariikut kuigi raske ära tunda see õige ja antud üesande jaoks sobiik idee. Kahteata oeks huga ooinguise ise kohapea kõik ajaikud ahendusideed äja õeda, see pakuks ka ärksa suureat ahendaisrõõu. Paraku on uute ideede äjaõteisoskus äga raskesti õpita/õpetata (ahest ehk õiatugi). Peaegi õib uue ideeni jõudine õtta paju aega ning oüpiaadi see peae oota jäädes oeksie teistega (nendega, kes ideid adaad) õrredes ebasoodsas oukorras. Lahendusideedega on teaduses kui terikus saaoodi kui oüpiaadiüesannetegi puhu: enaus teadusartikeid on oeasoeate ideede rakendaine ja kobineeriine uute (haea juhu anade) probeeide ahendaiseks, paria juhu ka ideede õningane edasi arendaine ja üdistaine. Tõeiset uudseid ja häid ideid esineb ääriset hara ning hije tuntakse ouist osa neist teaduse suursaautustena. Kuiõrd aga teaduses terikuna on ideede repertuaar õrratut aie, kui ehaanikas, siis poegi õigeid ideid õiges kohas nii ihtne eenutada ja rakendada ning asta oskus on äga kõrges hinnas; eriiseks saautuseks on see, kui üdtuntud ideed õnnestub rakendada harjuatus (ootaatus, uudses) oukorras. Peae ideede on antud koguikus esitatud ka fakte ja eetodeid. Seine jaotus on suuresti eeeadne, õnda fakti oeks õinud saa hästi nietada ka ideeks ja astupidi. Põhiõtte järgi peaks idee oea aieat ja/õi ooinguiseat rakendata kui fakt ; eetodi puhu on tegeist uniersaase ning standardiseerunud ideega. Üesandeid on õetud itesugustest aikatest: Eesti oüpiaadide piirkondikest- ja õppoorudest, ajakirjast Kant, Veneaa ja NSVL-i oüpiaadidet; õnesid üesandeid on uudetud (ihtsaaks õi keeruiseaks), õned üesanded on nö suuine pärius (agpäritou teadata). STAATIKA Staatika üesannete puhu on ahenduskäik hariikut standardne: tueb äja kirjutada igae kehae õjuate jõudude tasakaau tingius x-, y- ja ajaduse ka z-koponendi jaoks; sagei tueb neie isada ee jõuoentide taakaau tingius. Taaiset on põhiiseks kaauseks IDEE 1: tejestik tueb aida optiaane, st nii, et õiaikut pajude jõudude projektsioonid äheksid nuiks. Eriti hea on, kui nuiks ähead nende jõudude projektsioonid, ida e ei tea ja is eid tegeikut ei huita, näiteks kahe keha aheine rõhuisjõud õi pinge niidis (ardas). Nuiaks õiaikut paju jõude tasub sias pidada, et a) tejed ei taritse oa risti; b) kui süstee koosneb itest kehast, siis õib iga keha jaoks aida ise tejestiku. IDEE 2: jõuoentide õrrandi kirjutaise on tark aida pööreisteg nii, et õiaikut pajude jõudude õad oeksid nuid. Jäegi on eriti tõhus nuida ebahuitaate jõudude oente. Näiteks kui aida pööreistejeks kahe keha puutepunkt, siis on nii nende kehade aheise hõõrdejõu kui ka rõhuisjõu õg nu. IDEE 3: kui on tegeist kaheõõteise süsteeiga, siis saab iga keha jaoks äja kirjutada kaks õrrandit jõudude jaoks (x- ja y- koponendid) ning ühe õrrandi jõuoentide jaoks. Jõuoentide õrrandi õib kirjutada suaise punkti (pööreisteje) suhtes ja põhiõtteiset õiks kirjutada itu õrrandit ite punkti jaoks korraga, kuid koos jõudude õrranditega on aksiaane ineaarset sõtuatute õrrandite ar õrdne keha abadusastete aruga (antud juhu koega, sest keha saab pööreda tasandis, nihkuda piki x ja y-tege). St õib kirjutada ühe jõu õrrandi ja kaks oentide õrrandit (õi ko oentide õrrandit eeduse, et kasutatud pööreistejed ei eba ühes tasandis) ning kõik on kobes; kui aga kirjutada kuastki sordist kaks õrrandit, siis nejast õrrandist üks tueneb aati koest üejäänust ja teda poe tegeikut ingit õtete kirjutaa hakata. Niisiis õib jõudude tasakaau kirjedaa õrrandi asendada oentide õrrandiga täiendaa teje suhtes. Seine asendus õib osutuda otstarbekaks juhu, kui sooiatud (ebahuitaad) jõud ei oe üksteisega paraeesed, sest siis saab jõudude õrrandi puhu projektsiooni tege aides nuida aid ühe jõu, pööreistege aides aga korraga kaks jõudu. ÜL 1. Kerge traatarda üks ots on keeratud rõngaks raadiusega r. Varda sirge osa pikkus on ja teise otsa küge on kinnitatud kuuike assiga. Se iisi oodustatud pende on riputatud rõnga abi pöörea õi küge. Hõõrdetegur õi ja rõnga ahe on µ. Leida iise nurga oodustab arras tasakaauasendis ertikaasihiga. µ ω r See üesande puhu ongi aja rakendada eeskätt ideed nr 2; ahendust ihtsustab see, kui on eees kergesti tuetata AKT 1: kadpinna agab ibiseine siis, kui kadenurk rahudab tingiust tan = µ. ÜL 2. Kadpinna kadenurgaga asub siinder assiga, ie teg on horisontaane ning ie sisepinna ebab pisike kotsike assiga. Kotsi ja siindri aheine hõõrdetegur on µ, kadpind on aga hästi kare, siinder sea ei ibise. iine on aksiaane kadenurk, ie puhu siinder püsib paiga? Kotsi õõted on huga äiksead siindri raadiusest. Siin saab jäegi kasutada fakti nr 1 ja ideed nr 2, kuid isandub IDEE 4: õnikord on kasuik aadeda kahest (õi enaast) kehast koosneat süsteei kui ühtset terikut ning kirjutada jõudude ja/õi jõuoentide õrrandi tere see süsteei jaoks. Seejuures õib süsteeie õjua suaarse jõu (õi jõuoendi) arutada koponentkehadee õjuate äisjõudude ( jõuoentide)

2 suana (tööaea ähendab see, et süsteei sisejõudusid poe aja arestada need taanduksid äja). Antud juhu tasub teriksüsteeina aadeda siindrit koos kotsiga. ÜL 3. Ko ühesugust arrast on ühendatud šarniirset ning kaks otsist on šarniirset kinnitatud horisontaase ae küge punktides A ja B. Nende punktide aheine kaugus on kaks korda suure, kui arraste pikkus. Šarniirse ühenduse C küge on riputatud kooris assiga. iise iniaase jõuga on aja hoida šarniiri D, et süstee püsiks paiga ja arras CD oeks horisontaane? A B C Taas saae rakendada ideed nr 2 Peae see ihtsustab tööaea AKT 2: kui ardae õjuad jõud on rakendatud ainut kahte punkti ning arda kinnitus poe jäik (st arras on abat toetu, nööri õi šarniiri küge kinnitatud), siis on pinge ardas suunatud piki arrast. Tõepooest, kuaegi jõudude rakenduspunktie õjuate äiste jõudude resutant peab oea suunatud piki arrast, sest tea jõuoent teise rakenduspunkti suhtes peab oea nu. Lisaks äistee jõududee õjub rakenduspunktie ee arda pinge T, is peab kopenseeria üejäänud jõudude sua, st = T. Osa ideid on äga uniersaased, eeskätt puudutab see ateaatikaga seonduat. eenutage kineaatika juures õpitut, IDEE K5: õnesid ekstreeueid on ihtsa eida ia tuetisteta, nt ühi tee punktist tasandini on risti seega. ÜL 4. iist iniaaset jõudu on ajaik rakendada seeks, et nihutada paigat kadpinna ebaat kotsi, ie ass on, kui hõõrdetegur on µ ja kadenurk? Vaadeda juhtueid kui D a) = 0; b) 0 < < arctanµ. IDEE 5: õnikord saab jõudude tasakaaus seguse kätte ektoriaase kuju, poegi aja hakata tegedee projekteeria. Tuusaks osutub jäegi fakt nr 1, õigeini see üdistus, AKT 3: kui keha on ibiseise piiri pea (õi ibiseb), siis hõõrdejõu ja rõhuisjõu sua ning pinnanoraai aheine nurk on arctanµ. Seda fakti saab kasutada järgiseski üesandes. ÜL 5. Kots ebab kadpinna, ie kadenurk on. Kadpind iigub horisontaasuunaise kiirendusega a, is asub kadpinna noraaiga ühes ja saas ertikaatasandis. iise hõõrdeteguri µ puhu kots ei ibise? µ Siin aitab äga uniersaane IDEE 6: pajud üesanded ahenduad ihtsat, kui inna üe itteinertsiaasesse kugeat iikuasse taustsüsteei, kus isandub inertsijõud. Segituseks: kugeat iikua taustsüsteei puhu saab Newtoni seadused taas kehtia panna, kui ugeda, et igae kehae assiga õjub inertsijõud a, kus on a taustsüsteei kiirendus. Panee tähee, et see jõud on igati anaoogne raskusjõuga ning ääreärkusena ogu öedud, et nende kahe jõu ekiaentsus on üdreatiisusteooria nurgakiiks (eidi täpseat forueerides on seeks asjaou, et okaasete õõtiste tee poe õiaik kindaks teha, kas on tegeist inertsi- õi raskusjõuga). a IDEE 7: inertsijõu ja raskusjõu resutanti õib aadeda efektiise raskusjõuna. ÜL 6. Siinder raadiusega R pööreb über oa teje nurkkiirusega ω. Siindri sisepinna on pisike kots ning kotsi ja siindri sisepinna aheine hõõrdetegur on µ. Leidke, iiste ω äärtuste puhu püsib kots siindri suhtes ia ibiseata paiga. Vastata juhtui a) kui siindri teg on horisontaane; b) teg on horisondi suhtes nurga õrra kadus. ω IDEE 8: inna õib ka pööreasse taustsüsteei isades tsentrifugaajõu ω 2 R (ω on süsteei nurkkiirus ning R pööreistejest aadedaasse punkti tõatud ektor) ja Coriois i jõud. Viiast poe aja arestada (a) kui keha seisab pööreas taustsüsteeis paiga õi iigub paraeeset pööreistejega (Coriois i jõud on nu); (b) energia jääuse seaduses (Coriois i jõud on risti kiirusega ja seetõttu ei uuda energiat). Hoiatus: pööreisteg peab oea antud idee rakendaise tõeine, itte hetkeine. Viiase üesande puhu tasub eenutada ka ideed nr K5 ja fakti 3; punkti (b) juures isandub IDEE 9: koeõõteise geoeetria puhu tasub aadeda kaheõõteisi õikepindu. Eriti hea on, kui õnnestub saautada oukord, kus kõik huipakkuad objektid (näiteks jõuektorid) asuad see õikepinna. Poe idagi huu, kui need õikepinnad peaksid uuta ajas oa ruuiist asendit. ÜL 7. Õõnes siinder assiga ja raadiusega R seisab horisontaase ause; tea auine ser on sie ja kõikja kontaktis auspinnaga. Siindrie on ähitud niit, ie aba otsa tõatakse konstantse kiirusega piki niidi sihti. Leidke, iise kiirusega iigub siinder. Vaadeda eradi kahte juhtuit: (a) auspinna ja siindri aheine hõõrdetegur on kõikja nu, äja aratud kitsas sirge ööt (huga kitsa siindri raadiusest) hõõrdeteguriga µ, is on niidiga paraeene ja ie kaugus niidist on a < 2R ( joonise on näidatud peataade); (b) auspinna hõõrdetegur on kõikja konstantne ning õrdne µ-ga. Juhtnöör: kõa keha suaine iikuine on aadeda pööreisena über hetkeise pööreisteje, so keha iga punkti kiirusektor on täpset saa nagu siis, kui hetkeine teg oeks tõeiseks pööreistejeks. a Tegeist on õrdeisi raske üesandega. Lahendaise tueb abiks IDEE 10: kui keha peab iikua konstantse kiirusega, siis on faktiiset tegeist staatika üesandega. eenutada tasub ka ideid 1 ning 2. Viiase asee õib rakendada teast tuetatud fakti. AKT 4: Kui tasakaaus kehae õjuad ko eri punktidesse rakendatud jõudu, siis nende pikendused õikuad ühes punktis. Kui rakenduspunkte on kaks, siis jõudude pikendus-sirged ühtiad. Kasuik on ee AKT 5: antud punktis õju hõõrdejõud on aati paraeene (ja astassuunaine) punkti kiirusega hõõret põhjustaa kehaga seotud taustsüsteeis. üüsika üesannete puhu kuuad aeg-ajat ära ka äikesed ateaatiised nipid; antud juhu on seeks piirnurkade oadus, AKT 6: täisnurk toetub pooringie (üdjuht: piirnurk radiaanides on poo oa kaare pikkuse ja raadiuse suhtest). µ

3 Piirnurkade oadust saab kasutada ka järgises üesandes, kui õtta abiks (õrdeisi triiaane) IDEE 11: stabiise tasakaau oekus on keha potentsiaane energia iniaane. ÜL 8. Kerge traat on keeratud täisnurkseks ning urdekohta on kinnitatud assiine kuu. Traat toetub astu tugesid, ie kõrguste ahe on h ja ie horisontaasihiine kaugus on a. Leidke, iise asendi õtab traat tasakaauasendis. Asendi iseooustaiseks kasutage nurka täisnurga pooitaja ja ertikaasihi ahe. Hõõre traadi ja tugede ahe ugege nuiks; tugede on traadi jaoks tehtud äikesed sooned, nii et kogu iikuine toiub traadi ja joonise tasandis. h ÜL 9. Šarniirse kinnituse abi on akke riputatud arras, ie pikkus > h, kus h on ae kõrgus põrandast. Varda üesanne on õiadada ööda põrandat ohistataa paadi iikuist ühes suunas, kuid takistada tea iikuist astassuunas. iise tingiuse puhu ta täidab oa üesannet? Hõõrdetegur paadi ja arda ahe on µ 1 ning paadi ja põranda ahe µ 2. µ 2 µ 1 eenutae fakti 3: kui kahe keha aheine ibiseine toiub fikseeritud suunas, siis on hõõrde- ja rõhuisjõu resutantektori suund üheset ääratud hõõrdeteguriga. Kui antud suunas õju jõud paneb ühe kehadest iikua seiset, et rõhuisjõud hakkab kasaa, siis a toiub bokeeruine: ida suurea jõuga e üritae kehi ibistada, seda suureaks ähead rõhuis- ja hõõrdejõud, is seda takistaad. IDEE 12: hõõrdejõud õiad bokeerida keha iikuise. Bokeeruise korra uutuad kõik uud jõud ebaouisteks peae rõhuis- ja hõõrdejõu ning äise jõu, iega üritatakse süsteei iikua panna, sest raskus- js jõud on fikseeritud äärtusega, kuid antud jõud ähead seda suureaks, ida tugeaini tõata. ÜL 10. Šarniirset kinnitatud nejast pikast ja nejast pooe üheast ardast on oodustatud süstee, is näeb äja nagu ko ühesugust otstest ühendatud robi. Ühest otsast on see kaaderärk riputatud šarniirse kinnituse abi akke; teises otsas ripub kooris assiga. Koorise juures asu šarniir on ühendatud niidi abi tea koha asua šarniiri küge. Leidke pinge sees niidis. Kõige ihtsa on ahendada kasutades irtuaase nihke eetodit. EETOD 1: Kujutege, et e õiuses on uuta see niidi õi arda pikkust, ie pinget küsitakse, äikese nihke x õrra. Võrrutae tehtud töö T x potentsiaase energia uuduga Π; seega T = Π/ x. Üdistus: kui süsteeie õjuks ee teatud äised jõud i, i = 1,2,... ie rakenduspunktide nihkeektorid irtuaase nihke x korra on δ x i, siis T = ( Π i δ x i i )/ x. eetodit on õiaik kasutada ka siis, kui küsitakse jõudu ja itte pinget (näiteks poki üesannete puhu): nihutades õtteiset otsitaa jõu rakenduspunkti saab eida see jõu projektsiooni aadedud õtteise nihke sihie. ÜL 11. Nöör assiga on riputatud õeat otsa pidi akke ja tea keskkohta on kinnitatud kooris assiga. Nööri otste juurest tõatud nööri puutujad oodustaad horisontaase aega nurga. iine on koorise kinnituspunkti juurest tõatud nööri puutujate aheine nurk β? β AKT 7: Vabat rippua assiise niidi pinge on suunatud piki niidi puutujat. Lisaks kuub ära IDEE 13: õnikord tasub õtteiset eradada niidist ingi õik ning aadeda seee õigue õjuate jõudude tasakaau koponentkuju. Õigupooest ei ähe siinkoha aja itte ideed kui terikut, aid seest tuetatud fakti. AKT 8: assiise niidi pinge horisontaakoponent on konstantne. Köite puhu õib oa kasuik ka IDEE 14: Kui rippua köieosa kaa on huga äikse tea pingest, siis on köie kõerus äike ning tea horisontaasihiise assijaotuse õib ugeda heas ähenduses konstantseks. See tõdeus õiadab äja kirjutada rippuae köieosae õjuate jõuoentide tasakaau tingiuse (sest e teae assikeske horisontaakoordinaati). Iustreeriiseks sobib järgine üesanne. ÜL 12. Poiss eab enda järe L = 50 pikkust köit ööda horisontaapinda hõõrdeteguriga µ = 0,6, hoides köie otsa kõrguse H = 1 aapinnast. iine on aad ittepuudutaa köieosa pikkus? ÜL 13. Šarniirset kinnitatud kerge arras pikkusega annab iikua üksnes ühes tasapinnas. Šarniiri keerutatakse über ertikaase teje nurkkiirusega ω. Varda teise otsa küge on kinnitatud kuuike. (a) Leidke, iiste nurkkiiruste puhu on arda ertikaane rippu asend stabiine. (b) Kuui küge on kinnitatud saasuguse šarniiri abi teine saasugune arras; üeist šarniiri keerutatakse endise iisi. iine on nüüd rippua asendi stabiisuse tingius? ω ω a) b) Kui küsitakse, kas tasakaau asend on stabiine, töötab hariikut kõige pareini IDEE 15: oetage, et süstee kadub tasakaauasendist eidi kõrae, kas äikese nihke x õi äikese nurga ϕ õrra ning aadake, kuhu suunas õjub nüüd jõud õi jõuoent, kas tasakaauasendi pooe õi seest eeae. NB! kasutage igikaudset arutust: peaaegu aati piisab kõraekade järgi ineaarsest ähendusest. h õib kasutada kõiki ateaatikast teada igikaudse arutaise aeeid (sin ϕ ϕ js), IDEE 16: f(x + x) f(x) + f (x) x [+f (x) x2 2 ]; (x+ x)(y+ y) xy+x y+ y x jne (kaauge rakendataust kõikja, kus anded iitaad teatud paraeetri äiksusee). Juhtu (b) on ärksa keeruise, sest süsteei on kaks abadusastet (nt arraste kõraekadenurgad ϕ 1 ja ϕ 2 ). Kuigi ka ideed 15 on õiaik üdistada enaa kui ühe abadusaste jaoks, on iset ihtsa õtta auseks idee 11. IDEE 17: kahe abadusastega süsteei tasakaauasend x = y = 0 on stabiine siis, kui potentsiaase energia Π(x, y) on ühe-uutuja funkt-

4 sioonina Π(x, kx) iiniu kõikide reaaaruiste konstantide k puhu. ÜL 14. Kui asetada ette ruudu kujuise ristõikega pruss, ie tihedus on hästi äike, siis õtab pruss niisuguse asendi, kus ühed tea pikkadest astastahkudest on horisontaased. Kui prussi tihedust suurendada, siis see asend uutub ebastabiiseks. Leidke, iise tiheduse juures toiub see üeinek. Vee tihedus ρ = 1000 kg/ 3. IDEE 18: edeikku asetatud kehae õjuate rõhuisjõudude pöördeoent on õrdne teae õjua Archiedese jõu oendiga, kui ugeda Archiedese jõud rakendatuks äja surutud edeiku assikeskesse. Tõesti, aadege keha, is on kujut identne antud keha edeiku sisse jääa osaga ning ie tihedus on saa, is edeikugi. uidugi õista on ta peae edeikku asetaist tasakaaus: iise punkti suhtes e ka oente ei aate, rõhuisjõudude oentide sua on aati õrdne raskusjõu oendi astandäärtusega. Antud üesande juures tasub Archiedese jõu oendi arutaise pidada sias, et tükkidee õib oistada negatiise assi: kui kattuad kaks tükki, ie tihedused on ooduit õrdsed kuid eriärgiised, siis suas annaad nad nu-tiheduse. Viiase sooituse saab forueerida eidi üdisea kuju, IDEE 19: õnikord tasub konfiguratsiooni süeetriisuse õi uidu ihtsaa käidedause huides esitada nu-äärtusega piirkond kahe astandärgiise piirkonna superpositsioonina. Tegeist õib oa assitihedusega (nagu praegu), aengu õi oou ruutihedusega, ingi jõuäjaga s. Antud nippi on sagei hea kobineerida teise ideega, IDEE 20: uutke üesanne nii süeetriiseks kui õiaik. See sihini õib iia, nagu öedud, idee 19, aga ka sobiike taustsüsteeide kasutaine, ahendaise jagaine iteks etapiks (kus õned etapid kasutaad süeetriist geoeetriat) js. ÜL 15. Sieda horisontaapinna asuasse kuui asetatud poosfääri kujuisse anuasse hakatakse aaa ett äbi anua põhjas asua pisikese aause. Just se hetke, kui anu saab täis, hakkab anua serade ja aua ahet ett äja ooaa. Leidke, iine on anua ass, kui ee tihedus on ρ ja poosfääri raadius on R. IDEE 21: kui kuui keeratud anua at hakkab edeik äja ooaa, siis on anua sera ja ause aheine rõhuisjõud äinud nuiks. Seetõttu on süsteeie anu+edeik aua poot õju jõud õrdne pegat hüdrostaatiise rõhuisjõuga. R Viiane aadub kui ps, kus p on edeiku rõhk aua pinna juures ning S anua suu pindaa. ÜL 16. Kadpinna kadenurgaga asub kots, hõõrdetegur µ > tan. Kadpinda iigutatakse kiiresti edasi-tagasi se iisi, et kadpinna kiirusektor u on paraeene nii horisontaatasandi kui ka kadpinnaga ning oodu on kogu aeg konstantne ja õrdne -ga; kiirusektori suund uutub hüppeiset iga ajaaheiku τ järe astupidiseks. iise keskise kiirusega w hakkab iikua kots? Lugeda, et gτ. x y u IDEE 22: kui süstee uutub kõrgsagedusikut, siis on hariikut otstarbekas detaisete arutuste asee kasutada üe aja keskistatud äärtusi u τ z t X. Keeruiseates oukordades õib aja inna ka rehkendusi kõrgsagedusiku koponendiga X (niisiis X = X + X) EETOD 2: (häirituse eetod) kui ingi jõu õju keha iikuisee on eedataasti äike, siis ahendage probee kahes (õi enaas) etapis: au eidke, kuidas iiguks keha siis, kui jõudu ei oekski (see on nn nu-ähendus); edasi tehke nägu, et keha iigubki nii, nagu eeise etapi eitud, kuid tae õjub see äike jõud. Vaadake, iine parandus (nn esiene parand) tueks tea tõttu iia nuahendusse. Antud juhu ajab nu-ähendi aik õningaid segitusi. Tingius gτ iitab seee, et ühe perioodi jooksu ei jõua kotsi kiirus kuigiõrd uutuda. Seega, kui kots ibiseb aghetke ingisuguse kiirusega w aapooe ja e aatee piisaat ühikest ajaaheikku, siis õie kotsi kiiruse ugeda nu-ähendina konstantseks ja iikuise sirgjooneiseks. Teise etapi eiae hõõrdejõu keskäärtuse, tuginedes esiese etapi iikuisee. ÜL 17. Vaatee, i äära õib rauaaarda õjutada eepinna taset. Oetae, et ookeani põhjas sügause h = 2 k asub rauaaarda. Arutuste ihtsustaise huides ugege, et ta kujutab endast r = 1 k raadiusega kerakujuist piirkonda, kus tihedus on übritseate kiiite tihedusest ρ = 1000 kg/ 3 õrra suure. Oetage, et see kera puudutab oa üeise seraga ookeani põhja, so et tea keskpunkt asub sügauser+h. Kui paju erineb eepinna tase aarda koha üdisest eepinnataseest? aarda h r IDEE 23: tasakaaus edeiku pind õtab ekipotentsiaase kuju, so ühesuguste edeiku osakeste potentsiaased energiad on igas pinna punktis õrdsed. Kui see nii ei oeks, saaks edeiku potentsiaaset energiat ähendada se tee, et asta pinnapease edeiku osakese ooata ööda pinda sinna, kus ta potentsiaane energia oeks äikse. IDEE 24: graitatsiooniäja potentsiaae saab arutada täpset saa oodi, nagu eektrostaatiisi potentsiaaegi. Niet kehtib superpositsiooni printsiip ja kera potentsiaa erineb ainut kordaja pooest: eektrostaatiise Q/4πε 0 r asee on kera graitatsiooniine potentsiaa õpatuse suhtes ϕ = G/r; iinusärk tueb seest, et saa ärgiga [ + ] assid tõbuad. ÜL 18. Horisontaane pator pööreb über ertikaase teje nurkkiirusega ω. Ketas raadiusega R saab abat pööreda ning ües-aa iikuda ööda hästi ibedat ertikaaset õi, is asub patori tejest kauguse d > R. Ketas ajutab raskusjõu tõttu astu pööreat aust; hõõrdetegur tea ja patori ahe on µ. Leidke, iise nurkkiirusega hakkab pöörea ketas. Lugeda, et rõhk jaotub ühtaset üe kogu ketta põhja. R IDEE 25: kui inna üe pööreasse taustsüsteei, siis nurkkiirusi über hetkeiste pööreistegede saab iita nii, nagu hariikut kiirusigi iidetakse. Seega ω 3 = ω 1 + ω 2, kus ω 1 on taustsüsteei nurkkiirus, ω 2 on keha nurkkiirus pööreas taustsüsteeis ja ω 3 iikuatus taustsüsteeis. Antud üesande juures on kasu ee faktist nr 49, ideedest 2, 8, 10 ja kuub ära ka d ω r

5 IDEE K7: kõa keha suaine iikuine on esitata pööreisena über hetkeise pööreisteje (keha punktide kiirusektorite õttes). EETOD 3: (diferentsiaaarutus) jagage objekt õpatu äikesteks tükkideks õi protsess õpatu ühikesteks perioodideks (kui aja, siis kobineerige seda ideega 16). Ühe õpatu äikese tüki (perioodi) piires õib ugeda ruuis (ajas) uutuad suurused (antud juhu hõõrdejõu ektori suund) konstantseks. Kui aja (t järgine üesanne), õib neid suurusi suerida üe kõikide tükkide seda nietatakse integreeriiseks. ÜL 19. Pooniisasin kujutab endast rasket ketast assiga, is on ühet küjet kaetud tihedat adaate harjastega nii, et kui ta ebab põranda, siis kogu ta kaa jaotub ühtaset üe kogu ringi-kujuise aa raadiusega R. Eektriootor paneb see ketta pöörea nurkkiirusega ning hõõrdejõudude tekitatud jõuoendi kopenseerib poonija pika käepidee abi. Saa käepidee abi saab pooniisasinat ükata ööda põrandat edasi-tagasi. iise jõuga on aja asinat ükata, et ta iiguks kiirusega? Ketta nurkkiirus ugeda suureks, ωr ja pöördeoendi tasakaaustaiseks aja ineat jõudu itte arestada, hõõrdetegur harjaste ja põranda ahe on µ. Siin äheb aja fakti nr 49, ideid K7 ja 19 ning isaks forueerige isaks ϕ. iise tingiuse ei eere piiats aa? ϕ IDEE 27: õnikord on ruuiiste üesannete ahendaise abi koordinaatide arutaisest sobiikut aitud tejestikes ning ruuipöörete aeite rakendaisest. ida (iist ektorit) siis antud juhu õiks koponentidena aadada? Ainus tuutõota aik on assikeske äike nihkeektor iikua hakkaise ning õpptueusena huitab eid ainut see ertikaakoponent. ÜL 21. Libeda pinnaga siinder raadiusega R on kautatud nii, et tea teg oodustab horisontaatasandiga nurga. Siindri teatud ristõike kõrgeiasse punkti P on kinnitatud niit pikkusega L, ie teise otsa küjes on kooris assiga. Niit õtab tasakaauise asendi, iine on aba osa pikkus? Kooris nihutatakse tasakaauasendist kõrae nii, et nihkeektor on paraeene siindri tege hõaa ertikaatasandiga; iine on äikeste õnkuiste periood? P T 0 = g/4. Leidke pinged peae seda, kui üks ääristest traatidest on äbi õigatud. /3 IDEE 29: Kui staatiises tasakaaus oea keha paiga hoidiseks on kasutatud rohke fikseeriaid eeente (ardaid, niite js) kui hädapärast aja (st abadusastete arust rohke) ja fikseeriad eeendid on absouutset jäigad, siis poe pingeid eeentides õiaik äärata. Seeks, et pingeid oeks siiski õiaik äärata, tueb ugeda eeendid eastseteks (deforeeruateks). ärkige, et siinäidetu on kooskõas ideega 3, is annab kasutataate õrrandite aru (tundatuid ei tohi oa rohke, kui õrrandeid). Antud juhu on tegeist efektiiset üheõõteise geoeetriaga, kus horisontaased jõud puuduad, kuid keha saaks (traatide puuduise) pööreda. Seega on abadusasteid kaks (astaad ertikaasuunaisee ja pööreae iikuisee). Et traadid on ühesugused, siis on oouikut ühesugused ka nende jäikused; sõna traat ihjab suuree jäikusee, st deforatsioon (ning arda kadenurk) on äike. DÜNAAIKA (so projekteerides õrrandi x-, y- ja ajaduse ka z- tejee). Võrrandeid peab tuea saa paju, kui tundatuid; õrrandite ja tundatute aru aitab ähendada idee 1 järgiine. ÜL 23. Kots assiga ebab ibeda horisontaapinna. Tea peae on asetatud kots assiga, ie küge on kinnitatud nööri abi teine saasugune kots. Nöör on tõatud üe suure kotsi nurgas asua poki ning teine äike kots ripub aa. Agset hoitakse süsteei paiga. Leidke suure kotsi kiirendus ahetut peae süsteei abastaist. Hõõre ugeda kõikja nuiks, nööri ja poki assi itte arestada. Seda üesannet saab edukat ahendada eetodi 4 abi, ainut et aja äheb ee kahte ideed. IDEE 30: kui keha on aghetke paiga, siis ahetut peae iikua hakkaist on tea nihke ektor paraeene kehae õjua jõuga (keha kiirendusega). IDEE 31: kui kehad on seotud nööri õi arda ja õib-oa ka poki abi õi toetuad üksteisee, siis kehtib kehade nihete (ja kiiruste, kiirenduste) ahe nööri (arda s) eniatust kirjeda ariteetiine seos. IDEE 26: katsuge äja segitada ruuipiirkond, kus paarikaupa punktides toiub jõu (õi jõuoendi s) äja taanduine. Sagei on need punktipaarid paigutunud süeetriiset. Asjakohane on ka eenutada ideed 20. ÜL 20. Kadpinna (kadenurk ) ebab kuuekandiine piiats; piiatsi teje ja kadpinna ning horisontaatasandi õikejoone aheine nurk on IDEE 28: Ruuiiste üesannete ahendaise õib abi oa pinnaaotuste aateisest, h aitab see eida ähiaid aheaid. ÜL 22. Ühtane arras assiga ja pikkusega ripub neja ühesuguse kerge traadi otsas. Traadid on kinnitatud arda küge üksteisest kauguse 3 ning on ertikaased, arras aga horisontaane. Agset on igas niidis ühesugune pinge Suur osa dünaaika üesannetest seisneb sees, et on aja eida ingitest kehadest koostatud süsteei kiirendus õi nende kehade ahe õjuad jõud. Neid üesandeid on õiaik ahendada hariikut itut oodi, kuid äja õiks tuua ko eetodit. EETOD 4: eiae iga keha jaoks kõik tae õjuad jõud, sh rõhuisjõud ja hõõrdejõud ning kirjutae äja Newtoni II seaduse koponentide kuju Kui kehad stardiad paigaseisust õi kui iikuine on sirgjooneine, siis kehtib saa seos ka kiirenduste ahe, sest nihete jaoks kehtiast seosest õib õtta aja järgi tuetisi. Hariikut on seos õrdeisi ihtne, kuid õne üesande puhu õib iga kergesti sisse ipsata. EETOD 5: uus osas saa, is eetod 4, kuid iikuist aadedakse itteinertsiaases taustsüsteeis (t idee 6), kus üks kehadest on paiga.

6 eetod 5 on otstarbekas itesuguste kiiuüesannete puhu, kui asjade kiiu püsiise tingiust on aboratoorses süsteeis raske kirja panna. Ka idee 31 rakendaine on kiiuga seotud taustsüsteeis sagei ihtsa, kui aboratoorses süsteeis. Et taustsüsteei defineeri keha seisab paiga, siis tea jaoks tueb äja kirjutada tasakaau tingius(ed), AKT 9: kui seote taustsüsteei kiirendusega iikua kehaga (eetod 5), siis uues süsteeis on seee kehae õjuate jõudude sua nu. ÜL 24. Hästi kergest ja ibedast aterjaist on aistatud kots, ie üapind koosneb kahest üksteise pooe pööratud kadpinnast kadenurgaga. Kots asub horisontaapinna; kotsi üapinna oodustua ao põhjas ebab kuu assiga ning seest kõrgeae asetatakse kuu assiga. Süstee astakse abat iikua. iise tingiuse hakkab kuuike assiga ööda kadpinda üespooe ibisea? Hõõrdejõududega itte arestada. Viiane eetod põhineb üdistatud koordinaatide kasutaise ja on pärit teoreetiisest ehaanikast. Sea on ta esitatud õrdeisi keeruise ateaatiise aparatuuri abi, kuid enause üesannete puhu on kasutata huga ihtsaas oris. EETOD 6: kui süsteei oek on kirjedata üheainsa aru abi, siis nietage seda üdistatud koordinaadiks ξ. Ogu ei aja eida koordinaadi ξ kiirendus ξ. Kui ei õnnestub aadada süsteei potentsiaane energia Π koordinaadi ξ funktsioonina Π(ξ) ja kineetiine energia kuju K = ξ 2 /2, kus kordaja on kobinatsioon keha assidest (ja õib-oa ka inertsioentidest), siis ξ = Π (ξ)/. Siinjuures üapunkt tähistab tuetist aja järgi ning pri tuetist koordinaadi ξ järgi. Tõepooest, energia jääusest tueneat Π(ξ) + ξ 2 /2 =Const. Võttes siit tuetise aja järgi ja kasutades iitfunktsiooni diferentseeriise reegit saae Π (ξ) ξ + ξ ξ = 0. Taandades ξ jõuaegi eepootoodud aeini. ÜL 25. Kiiu nurgaga ja assiga asub kotsike assiga, is on kinnitatud üe kiiu tipus oea poki tõatud nööriga horisontaaseina küge nii, nagu näidatud joonise. Leidke, iise kiirendusega hakkab iikua kii. Kõik pinnad on ibedad (hõõre puudub). a =? eetodi 5 iustreeriiseks on see üesande ahendus toodud tereni ära ihjete peatükis. ÜL 26. Horisontaapinna ebab kii assiga ja teranurkadega 1 ning 2. Üe kiiu tipus asua poki on isatud nöör, ie otstes on kotsid assidega 1 ja 2. iise kiirendusega hakkab iikua kii? Hõõre on iga poo nu See üesande puhu õib tunduda, et abadusasteid on rohke kui üks: nihkuda saab kii ja kiiu suhtes saab ibiseda nöör. Hädast aitab äja IDEE 32: kui kehade süsteeie õjuate äiste jõudude sua ja assikeske kiiruse x-koponent on nuid, siis assikeske x- koordinaat jääb konstantseks. Antud asjaou saab kasutada seeks, et ähendada efektiiset abadusastete aru. Käesoea juhu koosneb süstee kahest koponendist ning seega saab aadada ühe koponendi nihke teise nihke abi. IDEE 33: kehade õi punktasside süsteei assikeske x-koordinaat X C = x i i / i, kus i tähistab i-nda koponendi assi ja x i tea assikeske x-koordinaati. Saa aei õib über kirjutada integraakuju, X C = xd/ d, kus d = ρ(x,y,z)dv on assi diferentsiaa. ÜL 27. Libeda horisontaapinna on trepiaste kujuine jõnks sees. Jõnksu juurde ükatakse saa kõrge kots, kui on jõnkski. Siinder raadiusega r asetatakse oodustua renni kohae. Nii siindri kui ka kotsi ass on. Leidke siindri ja trepiaste aheine rõhuisjõud N se hetke, kui kotsi ja trepiaste aheine kaugus on 2r. Aghetke oid kots ja trepiaste hästi ähestikku ning kehad seisid paiga. Hõõre on iga poo nu. Kas siinder eradub enne kotsit õi trepiastet? r 2 r See üesande ahendaise on ihtne jõuda äga keeruiste aadisteni ja seejuures õiad ead sisse ipsata. Niisiis on enne aeite kirja paneist õistik ahenduspaan hooikat äbi õeda. IDEE 34: hariikut kasutatakse Newtoni seadusi seda pidi, et jõu abi eitakse kiirendus; õnikord aga osutub tuusaks aadada kiirenduse abi jõud. Kuidas aga eida antud juhu kiirendus(ed)? Iseenesest on see täiesti õiaik, kasutades eetodit 6, kuid see ahendustee iib pikkade aeiteni. Taktikaine sooitus: kui näete, et ahendus äheb tehniiset keeruiseks, siis pidage pausi ja õege, kas ihtsaat ei saa. Antud üesande juures torkab sia juhusik asjaou: kera keskpunktist puutepunktidesse tõatud sirged on risti; kas ehk see õiks aidata? Segub, et aitabki, IDEE 35: pöörake täheepanu erijuhtudee ja kasutage neist tueneaid ihtsustusi! eenutage kineaatika juures õpitut: IDEE K29: kõerjooneise iikuise on punkti kiirenduse radiaakoponent 2 /R (trajektooriga risti oe koponent) ääratud kiirusega ja kõerusraadiusega R; trajektoori-sihiine koponent on joonkiirenduseks (pöördiikuise puhu õrdub see εr-ga, kus ε on nurkkiirendus). Siindri assikese sooritab ringiikuist, nurkkiirenduse eidiseks oeks aga aja kasutada eetodit 6, ie rakendaisest e ootsie pääseda. Hädast aitab äja idee 1 edasiarendus: IDEE 36: projekteerige Newtoni II seadus seisee tejee, is on risti ebasooitaa ektoriga, nt tundatu jõuga õi kiirenduse tangentsiaakoponendiga. Siindri kiiruse (ning seega ka kiirenduse radiaakoponendi) eiae antud juhu hõpsasti, IDEE 37: kui energia säiib (õi kui tea uutus on arutata tehtud töö s abi), siis pange see iiitaatut kirja. Energia säiib siis, kui puudub dissipatsioon (hõõre, itte-eastsed põrked js) ja süsteeie õjuad äised jõud on staatiised (nt iikuatu kadpind); ajas uutikud jõud (iikua rakenduspunktiga jõud, iiku kadpind) uudaad energiat. Energia jääust aitab kirja panna idee 31 (kehade kiiruste aheine seos!). Teisee küsiusee astaiseks on

7 IDEE 38: se hetke kui keha eradub ingit pinnat, äheb rõhuisjõud nuiks. Ning aadake üe ideed 31 (kiirenduste horisontaakoponentide jaoks). ÜL 28. Raske teje otstes on kerged rattad raadiusega R. Süstee eereb ööda horisontaapinda, is äheb järsku üe kadpinnaks kadenurgaga oodustades nürinurkse jõnksu. iise nurga puhu iiguad rattad ia õhku hüppaata, so puutuad kogu aeg astu pinda? Rataste assi itte arestada, teg on paraeene horisontaa- ja kadpinna eradusseraga. Teje kiirus on. IDEE 39: astaaks küsiusee, kas keha hüppab õhku, tueb eida seine punkt itte-õhkuhüppaise trajektoori, kus rõhuisjõud on kõige äikse. Kui rõhuisjõud oeks sea negatiine, siis hüppab; kriitiine äärtus on nu rd idee 38). Vaadake üe ka ideed 1, 37 ja K29. ÜL 29. Horisontaase ibeda pinna ebab astu seina toetu kots assiga, ie üapinna on poosiindri kujuine uure raadiusega r. Uurde seinapoose üasera juures astakse ahti pisike itter assiga. iine on kotsi aksiaane kiirus edaspidise iikuise käigus? Hõõrduisega itte arestada. r IDEE 40: Jääusseadus õib kehtida aid ainut teatud perioodi äte. IDEE 41: Ipuss säiib siis, kui äiste jõudude resutant on nu; õnikord säiib ipuss ainut ühe teje sihis. Vaja äheb ka ideed 37. IDEE 42: Kiirus on aksiaane (õi iniaane) siis, kui kiirendus (ja resutantjõud) on nu (sest 0 = d dt = a); nihe on ekstreaane siis, kui kiirus on nu. Võiaikke teisi paare: eektriaeng (kondensaatori pinge)-ooutugeus, ooutugeus-induktiine ej, jne. ÜL 30. Kerge arras pikkusega 3 on kinnitatud akke kahe õrdse pikkusega nööri abi. Varda küjes on kaks kuuikest assiga ja, ie kaugus nii üksteisest kui ka arda otstest on. Leidke pinge teises nööris ahetut peae seda, kui esiene on äbi õigatud. See üesande jaoks on itu head ahendust, ida kõiki ühendab idee 34 rakendaine ning ajadus eida arda nurkkiirendus. Esiteks, arda nurkkiirenduse õib eida eetodi 6 abi õttes üdistatud koordinaadiks pöördenurga ϕ. Teiseks, õib kasutada Newtoni II seadust pöördiikuise jaoks: eiae kuuidega ardae õjua jõuoendi teise nööri kinnituspunkti suhtes ning õrrutae see suurusega Iε, kus ε nurkkiirendus ja inertsioent I = Üdiseat, IDEE 43: Kui keha pööreb über teje s, siis suaarne jõuoent = Iε, kus I on inertsioent teje s suhtes, I = i r 2 i = r 2 d = r 2 ρ dv ja r i on i-nda punkti kaugus tejest s (sua õetakse üe keha kõigi punktide). Kineetiine energia K = 1 2 Iω2. Kui nurkkiirendus eitud, tueb idee 34 tehniise rakendaise abiks IDEE 44: Newtoni II seaduse üdise ja õnikord äga uga kuju on = d P dt, kus P on süsteei suaarne ipuss ning äiste jõudude sua. Anaoogset kehtib seos = d L dt, kus L on süsteei suaarne ipusioent (teatud punkti suhtes) ning äiste jõudude oentide sua. Antud juhu iib iiane eetod tueuseni nii jõu kui jõuoendi jaoks rakendatuna. Koanda ahendustee puhu aadedakse arrast ja kuue koe eradi (üksteisega astasõjus oea) kehana. Seejuures saab kuuide kiirendused siduda astaat ideee 31; ära kuub ka IDEE 45: hästi kergee (õrredes teiste kehadega) asjae õjuate jõudude ja jõuoentide suad on nuid. Tõepooest, nu-assi korra tähendaks nuist erine jõud õpatut kiirendust. ÜL 31. Veniatu kare niit joontihedusega ρ ja pikkusega L on isatud üe poki nii, et ühe rippua otsa pikkus on. Horisontaasee tejee asetatud pokk kujutab endast kergete kodarate abi kinnitatud õru assiga ja raadiusega R. Aguses hoitakse süsteei iikuatuna ning seejäre astakse ta ahti. Leidke tejee õju jõud ahetut peae iikua hakkaist. Poki ja teje aheine hõõre ugeda tühiseks. R Tööpaan õiks siin oa seine: jõu eidiseks kasutae ideed 34, süsteei kiirenduse eiae eetodi 6 abi. Seeks, et ugaaia oe rakendada ideed 34, sobib IDEE 46: Newtoni seaduse õib panna kirja kuju = a C, kus a C on assikeske kiirendus. Viiast ideed on hariikut otstarbekas kasutada siis, kui osa süsteei assist jääb paigae ning toiub suhteiset äike assi über paigutuine (nagu siin: ühikese ajaaheiku jooksu on ainsaks uutuseks see, et nööri ühe otsa juures kaob ja teise otsa juures iub äja ühike jupp nööri). Loouikut äheb seejuures aja ka ideed 32, tööaea ähendab idee 19. Tasub sias pidada, et antud juhu ei huita eid assikeske koordinaat iseseisana, aid tea uut ajas; seega õib assikeske aadisest äja jätta ajast ittesõtuad iiked (nende tuetis oeks niikuinii nu). assikeske koordinaadi ajas uutua osa tasub aadada seesaa üdistatud koordinaadi järgi, ida kasutae eetodi 6 juures (sest eetod 6 annab eie see teise tuetise aja järgi). Lisaks kuub ära tehniist aadi sooitus: ektoriaane suurus on ääratud (a) oa oodui ja suunaga; (b) koordinaatidega teatud tejestikus; IDEE 47: õnikord on ektoriaaseid suurusi otstarbekas arutada koponentidena, isegi siis, kui küsitakse ainut ooduit. Eeskätt kehtib see siis, kui ektori suund poe teada ega ine. Antud juhu tueks siis sobiat aitud tejestikus eida x ja y. ÜL 32. Üe poki on isatud nöör, ie otstes ripuad kaks ühesuguse assiga kotsi. Aguses on kotsid ühe kõrguse. Ühee neist antakse hetkeise tõukega horisontaasuunaine äike kiirus. Kub kotsidest osutub õne aja pärast kõrgea oeaks? Pokk ugeda kaautuks.

8 See üesanne kuuub äga raskete huka, sest ahenduse õti on spetsiifiine ja hara rakendata, IDEE 48: kui süsteei assikese ei saa paigast iikuda, siis teae õju suaarne jõud on nu. Antud juhu saab kü assikese natuke iikuda, kuid pikas perspektiiis (keskistatuna üe pendedaa iikuise perioodi rd idee 22) jääb ta paigae, sest kotsid on üheraskused ja kui üks neist kerkib, siis assikeske ertikaakoordinaadi aadises kopenseeritakse see teise kotsi askuise poot. Öedu kehtib antud juhu ka assikeske horisontaakoordinaadi jaoks, kuid üesande ahendaiseks piisab aid ertikaakoordinaadi aateisest. Igaks juhuks ogu ära toodud ka suhteiset ine AKT 10: üe kaautu poki õi hõõrdeaba toe tõatud kaautu niidi pinge on kõikja saa. Lahendusskee on niisiis seine, et kirjutae äja Newtoni II seaduse (a) kahest kotsist koosnea süsteei jaoks ja (b) ühe kotsi jaoks; keskistae õead õrrandid ja kasutae (a)- st tueneat õrdust niidi keskise pinge eidiseks, ie asendae õrrandisse (b). Lähtudes ideest 22 jagae niidi pinge keskiseks ja kõrgsagedusikuks koponendiks ja kasutae ideed 16. ÜL 33. Sieda aua asub niisugune kotside süstee, nagu näidatud joonise. Kotside oaaheine hõõrdetegur on µ, aud on ibe ( µ = 0). x Parepooset auist kotsi tõatakse jõuga. Leidke kõikide kotside kiirendused. IDEE 49: Kui kehad on oaahe seotud hõõrdejõududega, siis õnee küsiusee aendaa astuse andiseks on aja äbi arutada kõikõiaikud kobinatsioonid eri kontaktpindade ibiseise-itteibiseise osas. Näiteks kui teha oetus, et kahe keha ahe ibiseist ei toiu, siis õib kontaktis oeaid kehi aadeda kui ühtset terikut. Pärast tueb äja rehkendada kehade aheine hõõrdejõud h ning eida is tingiuse tehtud oetus kehtib, so ia on h äikse aksiaasest seisuhõõrdejõust µn. ÜL 34. Pijardikuu endab astu teist, paigaseisat pijardikuui. iistes punktides õib asuda paigaseise kuu, et oeks õiaik saautada oukord, kus õead kuuid kukuad aua nurkades asuatesse aukudesse üks ühte, teine teise. Põrge ugeda absouutset eastseks, kuuide pööreisega itte arestada, (kuuid on absouutset ibedad). IDEE 50: Kui absouutset eastne kuu põrkab astu teist saasugust paigaseisat kuui ja kuuide pööreist õib itte arestada, siis peae põrget on kahe kuui kiirusektorite ahe täisnurk. Tõestuseks panee tähee, et ipusi jääuse tõttu oodustaad ko kiirusektorit (kiirus enne ja kiirused pärast põrget) konurga. Energia jääus tähendab, et konurga küjed rahudaad Pythagorase tingiust. Erijuhuks (t üejärgine üesanne) on AKT 11: Kui eastne kuu põrkab tsentraaset teise saasuguse paigaseisa kuuiga, siis esiene jääb paigae ning teine oandab esiese kiiruse. ÜL 35. Absouutset eastne ja ibe pijardikuu iigub kiirusega kahe paigaseisa täpset saasuguse kuui pooe. Paigaseisad kuuid puutuad üksteise astu ning nende keskpunktid asetsead teje, is on risti iikua kuui kiirusektoriga. Liiku kuu on sihitud täpset kahe seisa kuui ahekohta. iise kiiruse saab agset iiku kuu peae põrkeid? Vaadeda kahte juhtuit: (a) ta tabab tõepooest täpset seisate kuuide ahekohta; (b) tea trajektoor on natukene nihkes, nii et ta tabab ühte seisatest kuuidest karaõrra enne. Esiesee küsiusee astaiseks on ajaik IDEE 51: põrkeid (ka igasugust uud kehade interaktsiooni, nt nööriga seotud kuuide iikuine) on uga aadeda assikeske süsteeis, sest sea on ipusi jääus kõige kergeini kirja panda (suaarne ipuss on nu). assikeske süstee on hariikut ugaai ka uu iisi interakteeruate (nt niidi õi edru abi seotud) kehade süsteeide uuriise. Ja oouikut ärge unustage ideed 37. Teise küsiuse juures kuub ära IDEE 52: kui teatud ajaaheiku äte kehae õju jõud ei uuda oa suunda, siis on üe anta ipuss saa suunaine, is jõudki. ÜL 36. Libedat renni ööda iiguad n absouutset eastset kuui. iine on aksiaane õiaik põrgete ar? Kuui õõtetega ning õiausega, et korraga põrkaad kokku ena kui kaks kuui, itte arestada. IDEE 53: Aati on abiks protsessi õiaikut isuaane esitaine, h graafikutena. Abista küsius: kuidas näeb äja x t- tejestikus kahe kuui eastne põrge? ÜL 37. Laud pikkusega L ja assiga ebab ibeda horisontaase pinna; tea pea ühes otsas ebab oakorda pisike kots assiga. Hõõrdetegur kotsi ja aua ahe on µ. iine iniaane kiirus oeks aja anda järsu tõukega auae, et kots ibiseks edaspidise iikuise käigus üe tere aua ja edasi aua peat aha? Kotsi õõted ugeda tühiseks. µ L µ=0 See üesande on kaks ena-ähe õrdäärset ahendust. Esiteks, teda saab ahendada idee nr 6 abi. Teiseks, õib kasutada ideid 37 ja 51 õttes käiku IDEE 54: kui keha ibiseb ööda tasast pinda, siis soojuseks äinud energia on õrdne hõõrdejõu ja ibiseisjäje pikkuse korrutisega. Tõesti, hõõrdejõud on ooduit konstantne ning kui inna ausega seotud taustsüsteei, siis on ta aati paraeene nihkeektoriga. ÜL 38. Juuresoe joonis on tehtud stroboskoopiise foto põhja ning tea on kujutatud kahe ühesuguse diaeetriga kuid erineate assidega kuui põrget. Nooega on näidatud ühe kuui iikuise suund enne põrget. Leidke kuuikeste asside suhe ja näidake, is suunas iikus teine kuu enne põrget. IDEE 55: õnikord on kasuik opereerida ipussidega nagu ektoritega aadedes nende ektorsuasid ja ahesid konurga õi rööpküiku reegi abi (see kehtib ka uu nihete, kiiruste, kiirenduste, jõudude jne puhu). Konkreetseat: kahe keha astasõju puhu on üe antud jõuipusi ektor õrdne kahe ipusi ektorahega. Vrd ka idee 5. AKT 12: stroboskoopiise foto on keha ühest asendist järgisse tõatud ektor õrdeine tea kiirusektoriga.

9 AKT 13: (Newtoni III seadus) kui kaks keha on onud astasõjus, siis kehade ipusside uudud on õrdsed ja astassuunaised. ÜL 39. On kaks tünni (A ja B), is erinead kraani konstruktsiooni pooest, t joonis. Kraan on aatud, eepinna kõrgus kraani juurest arates on H. iise kiirusega ooab äja eejuga? H A IDEE 56: Kui näib, et üesannet on õiaik ahendada nii energia kui ka ipusi jääusest ähtudes, siis äheat üks neist suurustest tegeikut ei säii! Teisiti see ei saagi oa, sest astused tuead erinead. Niisiis äheb eeskätt aja täheepaneikkust. Antud juhu on kraani A koostaise üritatud saautada oou ainaarsus, st energia säiib. Kui e aga eetodist 3 ähtudes üritaksie kirja panna aja dt jooksu eerõhu poot joae üe antud ipusi kui psdt (kus S on kraani ristõike pindaa), siis segub, et ee ooaisest tingituna p ρg (rd dünaaiine rõhk, Bernoui seadus!). Teisest küjest kraani B puhu poe oou ainaarsus tagatud, tekiad keerised ja energiakadu. Kü aga õie kasutada ipussi: kirjutae aadise aja dt jooksu anuate seinte poot edeikue üe antud rõhu jaoks (üdiset taandaad asaku- ja parea seina poot aadataad rõhud üksteist ära, kuid asaku jääb kraaniga kohakuti pindaa S rõhk p = ρgh kopenseeriata). ÜL , 9. kass) Transportööri abi toietatakse ii ehituspatsie. Transportööri indi pikkus on, kadenurk horisondi suhtes ; indi paneb iikua auine inti hoide õ raadiusega R. Liia riputatakse indi auise otsa koha oeast punkrist konstantse assikuuga µ H B (kg/s). iine on iniaane iia edaiseks aja ine pöördeoent? iine on seejuures indi kiirus? Hõõrdetegur on piisaat suur seeks, et iiaterad peatuksid indi suhtes peatset peae indie kukkuist; iiaterade agkiirus ugeda nuiks. R µ AKT 14: Seeks, et idagi iikua panna ogu see keha õi (nt iiaterade) oo on aja jõudu. See üesande juures äheb aja ka ideid 56 ja eetodit 3, isaks tueb ee IDEE 57: (pideuse tingius) statsionaarse ooaise puhu on aine oog (oou ristõiget ajaühikus äbi ainekogus) konstant ja ei sõtu ristõikest: σ = Const [σ(x) on aine joontihedus ja (x) oou kiirus]. Konstantse tihedusega edeiku oou puhu torudes on joontihedus σ = ρs ning seega S = Const. Sees ruuiosas kuhu oo suubub, aine ass kasab: d dt = σ ka seda õrrandit õib nietada pideuse tingiuseks. ÜL 41. Kõrguset h kukub astu põrandat ja ibiseb edasi pastne saipönn. iine on saipönni kiirus kohe ibiseise aguses, kui hõõrdetegur tea ja põranda ahe on µ? Saipönni horisontaasuunaine agkiirus oi u. IDEE 58: Kui öögi astu kõa seina toiub kogu aeg ibiseine, siis piki- ja risti seina üe antud jõuipusside suhe on µ. Tõesti, p = N(t)dt (integreerie üe öögi aja) ja p = µn(t)dt = µ N(t)dt. ÜL 42. Poiss tassib nööripidi oa järe keku assiga ning ronib tasakesi äest ües. Leidke, iise töö teeb poiss kegu äe otsa edaiseks, kui äe kõrgus on h ning horisontaane aheaa äe jaait äe tippu on a. Lugeda, et kegu nöör on kogu aeg äe nõa puutuja sihiine ja hõõrdetegur kegu ning ue ahe µ. a h AKT 15: kui ingi profiii õi ajaise sõtuuse s kuju poe ette antud, siis tueb aadeda üdjuhtu tõestada, et tueus kehtib suaise kuju jaoks. Iset äheb fakti 15 rakendaise aja ideed 3. ÜL 43. Seest tühi siinder assiga eereb ia ibiseata ööda kadpinda, ie kadenurk on = 45. Tea sisepinna ibiseb ia hõõrduiseta kotsike assiga = /2. iine on nurk β kadpinna noraai ja siindri keskpunkti ning kotsikest ühendaa sirge ahe? Iset baseerub ihtsai ahendus idee 6, kuid on aja arutada eerea siindri kineetiine energia. IDEE 59: K = K c + Σ 2 c, kus K c on kineetiine energia assikeskega seotud taustsüsteeis ja Σ süsteei suaarne ass. Anaoogiad: süsteei ipuss P = Σ c (sest P c 0) ja ipusioent L = L c + r c P. Steineri teoree: I = I 0 + Σ a 2, kus I on inertsioent teje s suhtes ja I 0 assikeset äbia (s-ga paraeese) teje suhtes ning a tegede kaugus. Ipusioenti tueb arutada juba järgises üesandes, sestap kaarige eidi seda asja. IDEE 60: ipusioent on aditiine, jagades süsteei punktassideks L = Li, kus i-nda β punktassi jaoks L i = r i p i (üdjuht) õi L i = h i p i = r i p ti (tasapinnaine iikuine, h i = r i sin i on ipusi õg ja p ti = p i sin ipusi tangentsiaakoponent). Ka kineetiine energia, ipuss js on aditiised. Kui koeõõteises ruuis on ipusioent ektoriaane suurus, siis tasandiise iikuise korra on see ektor tasandiga risti ja seega efektiiset skaaarne suurus (is õiadab oobuda ektorkorrutistest). Sagei on uga kobineerida ideid 59 ja 60: e ei jaga süsteei itte punktassideks, aid kõadeks kehadeks (L = L i ), iga keha ipusioendi L i arutae astaat ideee 59, st assikeske ipusioent puss ipusioent assikeske süsteeis. IDEE 61: Kehade inertsioente assikeske 1 suhtes. Puk pikkusega : , kera: 5 R2, sfäär 2 3 R2, siinder 1 2 R2, ruut küjepikkusega 1 a, teg risti tasandiga: 6 a2. Kui pööreisteg ei äbi assikeset, õib (a) eida inertsioent aadedaa teje suhtes Steineri teoreei abi; (b) rakendada ideed 59 kineetiise energia õi ipusioendi arutaiseks (ispuhu ajae ainut inertsioenti assikeske suhtes). ÜL 44. ööda jääd ibiseb pööredes pak assiga ja pikkusega 2. Pagi assikeske kiirus on, nurkkiirus on ω. Se hetke kui pak on risti tea assikeske kiirusega, põrkub ta otsaga astu paigaseisat posti. iine on pagi assikeske kiirus peae põrget, kui (a) põrge oi absouutset pastne, so astu posti põrganud ots jääb paigae; (b) põrge oi absouutset eastne. 2 Absouutset eastse põrke puhu saab ühe õrrandi tänu energia jääusee; kui põrge on past- ω

10 ne, siis asendub see tingiusega, et pagi ots jääb paigae. Tundatuid on aga kaks. Teise õrrandi saaiseks on IDEE 62: kui keha põrkub iegi astu, siis tea ipusioent säiib põrkepunkti suhtes. Tõepooest, põrke aja uudab keha oa iikuist rõhuisjõu ja hõõrdejõu toie, kuid need õead on rakendatud puutepunkti: nende õg on nu. Kui keha iigub raskusjõu (s) äjas, siis pikeas perspektiiis õib keha ipusioent põrkepunkti suhtes uutua hakata, kuid ahetut enne- ja pärast põrget on see ikka üks ja saa (sest raskusjõud on õõduka suurusega erineat rõhuisjõust, is on suur kuid ühiaegne ja kuigi õg ei oe nu, ei saa ta hetkeiset uuta ipusioenti). ÜL 45. Kui üüa teibaga astu ingit kõa eset, näiteks astu paki, siis õib teiast hoide käsi kõasti põrutada saada seda siis kui öök ei taba teiba nn öögikeset, aid satub seest kas ette- õi tahapooe. Leidke kus kohas asub ühtase assijaotusega teiba öögikese. Lugeda, et öögi puhu sooritab teias pööreist über hoida käe. EETOD 7: Tõkige reaa-euine probee foraasesse füüsikais-ateaatiisse keede (koostage ude). Niioodi kirjapandut õib tunduda, et seest eetodist paju kasu poe. Tegeikut aga on niisuguse tõkiise probee füüsikas üks huitaaaid ja raskeaid asju üdse, seda nietatakse udei koostaiseks. Huita seepärast, et sees on rohke ooinguisust ja tegutseisabadust kui ais udei ahendaises oeasoeate ideede rakendaise tee. is ei tähenda täieikku abadust: ude peab kirjedaa reaasust õiaikut hästi, ähendused peaad oea õistikud, sooita oeks, et udeit saaks ahendada kas ise oa peaga õi aruti abiga. Käesoea üesande puhu paju abadust poe jäetud ja asi on ihtsa: õistikee eedustee on seget iidatud. Austae tõkiist: Jäik hoogeense assijaotusega teias pikkusega pööreb über ühe otspunkti nurkkiirusega ω, pööreisteg on teibaga risti. Kauguse x pööreistejest on jäigat fikseeritud pak, is on paraeene pööreistejega. Teias ööb astu paki. Nüüd tekib esiene tõrge: kas öök on eastne õi pastne? Seee poe üesande tekstis ihjatud. Jätae tõkiata õib-oa saab ia astaa eeduseta (segub, et saabki). Edasi on aga põhiküsius: ida tähendab käsi ei saa põrutada? Haiget saab siis, kui iski asi ööb astu kätt kui see iski saab käet ühikese aja jooksu (öögi äte) teataa ipusi, sest see tähendab hästi suurt jõudu. Käsi on paiga, st puga käes oe ots peab jääa paigae ia käet ipussi saaata. Saaegi õpuni tõkida: Löögi tueuse pööreine uutub astassuunaiseks, 0 ω ω; öögi aja pööreisteg teibae ingit ipussi ei anna. Leida x. Eeiiane ause annab sege ihje, et õib rakendada ideed 62. ÜL 46. assiine siinder raadiusega R ja assiga ebab põranda. Tea keskee on treitud kitsas soon sügausega a. Soonde on keritud niiti, ie aba ots on horisontaane ning ida tõatakse jõuga. Siinder on asetatud nii, et niit jookseb siindrit aha atpoot küjest. iise kiirendusega hakkab iikua siinder? Hõõre põranda ja siindri ahe on piisaat suur, nii et ibiseist ei oe. R a Seda üesannet saab ahendada iteti, kuid kasutage siinkohas järgist ideed. IDEE 63: Seos Iε = on iseget õige aid siis, kui pööreiskese on paiga; segub aga, et see kehtib ka siis, kui hetkeine pööreisteg iigub kugeat nii, et keha asskeske kaugus tejest ei uutu (nt siindriise õi keraja keha eereise). See äite tõestuseks on hea eenutada ideed 6: kineetiine energia tekib töö aret, K = 1 2 Iω2 = ϕ (ϕ on keha pöördenurk, ω = dϕ/dt). Kui inertsioent hetkeise pööreisteje suhtes I ei sõtu ajast, siis dk/dt = 1 2 Idω2 /dt = Iωε = dϕ/dt = ω, st Iε =. ÜL 47. Kuu eereb ööda horisontaaset põrandat piirkonnas x < 0 kiirusega 0 = ( x0, y0 ). Piirkonnas x > 0 on transportöör, is iigub kiirusega u = (0, u) (st paraeeset oa seraga x = 0). Leida kuui kiirus transportööri suhtes = ( x, y ) peae transportöörie eereist. Transportööri pind on kare (kuu ei ibise) ning põranda pinnaga ühes tasapinnas. IDEE 64: Horisontaapinna eereate-ibiseate siindri õi kera-kujuiste kehade säiib ipusioent seise suaise teje suhtes, is ebab antud horisontaapinna. Tõepooest, rõhuisjõu ja raskusjõu rakenduspunktid on saa sirge ning nende resutant on nu, st nende suaarne jõuoent on nu; rõhuisjõu ektor ebab horisontaapinna, st tea oent horisontaapinna ebaa teje suhtes on sauti nu. ÜL 48. Vedruhante koosneb kahest kuuist assiga, is on ühendatud edru abi ( jäikus k). Kaks seist edruhantit ibisead üksteisee astu, kuagi kiirus on 0. ingi hetke oi nende ahekaugus L (t joonis). Leidke, iise aja öödudes on ahekaugus jäe L. Põrked ugeda absouutset eastseks. 0 0 L IDEE 65: Kui süstee, is koosneb eastsetest kehadest, is on seotud edru, nööri s abi, interakteerub ingite teiste kehadega, siis eastsete kehade põrkeaeg on huga äikse kui uude protsesside karakteersed ajad. Siis saab terikprotsessi jagada ihtsateks etappideks: peaaegu hetkeine eastsete kehade põrge (kehad õib ugeda abadeks, sest nt edru aadab huga äikseat jõudu, kui kaks põrkuat eastset keha) ning seee järgne (eene, põrgete aheine) aegane protsess edrupendi õnkuine s. ärkus: toodud idee on üdise, iht-etappideks jagaine on kasuik aati, kui dünaaiises süsteeis õiad aeg-ajat toiuda kiired (peaaegu hetkeised) protsessid; näiteks sobib järgine üesanne (eenutage ka ideed 51). ÜL 49. Väikesed iiaterakesed ibisead hõõrdeabat ööda siindriist renni raadiusega R (t joonis). Renni kadenurk. Kõik iiaterakesed stardiad paigaseisust renni pinna punkti A äheduses (kuid itte tingiata punktist A enesest). iine peaks oea renni pikkus L, et kõik iiaterakesed äjuksid rennist punktis B? B L IDEE 66: Kui hajusas kibus oeate osakeste iikuise saab jagada teatud suunaiseks õnkuiseks ning õnkuast iikuisest sõtuatuks (seega ristsihiiseks) iikuiseks, siis teatud punktides toiub kibu fokuseeruine sea, kus kõikide osakeste õnkefaas on nu (õi 2π täisarkordne). ÜL 50. Traadist riidepuu kõigub äikese apituudiga joonise tasandis. Kahe esiese juhtui on konurga pikk küg horisontaane. Kõigi koe juhtui on õnkeperioodid õrdsed. Kus asub assikese ja iine on õnkeperiood? A