Virumaa Kolledž. Gennadi Arjassov. L O E N G U K O N S P E K T Varraskonstruktsioonide staatika ja dünaamika. Ehitusmehaanika RAR2030.

Transcript

1 Viruaa Koedž Gennadi rjassov L O E N G U K O N S P E K T Varraskonstruktsioonide staatika ja dünaaika Ehitusehaanika RR Õppevahend Kohta-Järve 5/

2 Eessõna Loengukonspekt Varraskonstruktsioonide staatika ja dünaaika on õedud eeskätt õppevahendina Tainna Tehnikaüikooi Viruaa Koedži eriaa ehitustehnika üiõpiastee õppeaines Ehitusehaanika RR, ida oetakse ühe seestri jooksu kuus tundi nädaas. Seda on uidugi vähe seeks, et ainet oengu- ja harjutustundides põhjaikut käsiteda. Üiõpiased peavad üha rohke iseseisvat töötaa. Õppevahendi esieses peatükis käsitetakse varraskonstruktsioonide staatika põhiõisteid. Teises peatükis staatikaga ääratavate süsteeide (raaid, sõrestikud, kaared, iigendtaad) arvutust. Koandas peatükis staatikaga ääraatute süsteeide arvutus jõueetodiga. Nejas peatükk on pühendatud varraskonstruktsioonide võnkuistee, diferentsiaavõrrandite koostaisee jõueetodi ja nende ahendused, so täpsed eetodid kasutades arvutiprograpaketti MTL. Teises osas isatakse igikaudsed eetodid (järkjärguise äheneise eetod). Õppeaine Ehitusehaanika RR on põhikursuste õppeainete Tehniine ehaanika I ja Tehniine ehaanika II jätkaine. Õppevahendis on antud paju tüüpüesandeid koos ahendustega, üesanded iseseisvaks ahendaiseks ning kontro- ja kodutööde jaoks. Lahendaise kasutavad üiõpiased õpike eeentide eetodi prograe ECDE ja NSYS. Käesoev õppevahend on kasuik ka agistrantidee ja doktorantidee varraskonstruktsiooni staatika ja dünaaika probeeide ahendaise. Materja on internetis aadressi:

3 . SISSEJUHTUS. Varraskonstruktsioonide staatika põhiõisted..... Varraskonstruktsioonide skeeide iigitus. Konstruktsiooni vabadusaste. Kineaatiine anaüüs.. Hetkuutuvad süsteeid.... Virtuaasiirete printsiip.... Staatikaga ääratavad konstruktsioonid. Mitesideised iigendtaad.. Geoeetriise uutuatuse tingiused... Liigendtaa staatikaise arvutuse näited... Staatikaga ääratavad raaid Üdõisteid raaidest Raaide arvutus..... Koe iigendiga kaared Üdõisted. Kaarte iigitus Koe iigendiga kääre anaüütiine arvutus..... Tasapinnaised sõrestikud Üdõisteid sõrestikest Sõrestike geoeetriise uutuatuse ja staatikaga ääratavuse tingiused Sisejõudude ääraine sõede eradaise võttega.... Sisejõudude ääraine õikeeetodiga...5. Sisejõudude ääraise graafiine võte Üesanded iseseisvaks ahendaiseks.... Staatikaga ääraatute konstruktsioonide arvutus jõueetodiga..... Staatikaga ääraatute konstruktsioonide üdiseooustus..... Staatikaga ääraatute ihtsaiate konstruktsioonide arvutuse näited Taade arvutus Raaide arvutus.... Jõueetodi kanooniised võrrandid.... Kahe-ja koe isatundatuga raaide jõueetodiga arvutaine.... Varraskonstrutsioonide dünaaika (võnkuised). Võnkuva süsteei vabadusaste ja see ääraine. Ühe vabadusastega süsteei võnkuise differentsiavõrrandi koostaine. Ühe vabadusastega süsteei võnkuise differentsiavõrrandi koostaine. Suundvõnkuine harooniise jõu õjuise.5 Kahe vabadusastega süsteei võnkuised

4 .. Üesanded iseseisvaks ahendaiseks. Neja vabadusastega süsteei vaba võnkuised Kirjandus

5 . SISSEJUHTUS. Varraskonstruktsioonide staatika põhiõisted.. Varraskonstruktsioonide skeeide iigitus Sees õppevahendis vaadedakse konstruktsioone, is koosnevad varrastest ja ida nietatakse varraskonstruktsioonideks või varrassüsteeideks. Varrassüsteeid jagunevad ruuiisteks, kus kõikide varraste tejed ja väisjõudude õjusirged ei asu ühe tasandi ja tasapinnaisteks, kus kõikide varraste tejed ja väisjõudude õjusirged asuvad ühe tasandi. Meie vaatee ainut tasapinnaisi süsteee. Eeentide ühendustüübi järgi eristatakse: ) varrassüsteee, kus vardad kõigis või õnedes sõedes on ühendatud jäigat ja nietatakse raaideks (joon.. a, b). Kui kõik raai jäigad sõed asendada iigenditega, siis ta kaotab geoeetriise uutuatuse. a) b) Joonis.. )varrassüsteee, is jäävad geoeetriiset uutuatuks ka siis, kui ugeda kõik sõed iigendsõedeks, nietatakse sõrestikeks (joon.. a, b). a) b) Joonis.. ) rõhtsurvega süsteeiks nietatakse süsteei, ies vertikaane koorus kutsub tugedes esie kadreaktsioonid. Iga kadreaktsiooni võib ahutada kaheks koponendiks (joon.. a, b). 5

6 a) F b) F F y F F y F y F x F x F x Joonis.. Konstruktsioonid on kas staatikaga ääratavad või staatikaga ääraatud. Kui kõik toereaktsioonid ja sisejõud on ääratavad ainut tasakaauvõrranditest, siis on konstruktsioon staatikaga ääratav. Kui aga reaktsioone ja sisejõude ainut tasakaauvõrrandite abi eida ei saa, siis on konstruktsioon staatikaga ääraatu ja tea arvutaine nõuab isavõrrandite koostaist ja ahendaist. Erinevust staatikaga ääratavate ja staatikaga ääraatute süsteeide vahe segitati juba tugevusõpetuse kursuses. Konstruktsioone võib iigitada ka kineaatiiste tunnuste järgi. Kõik konstruktsioonid peavad oea iikuatud ja geoeetriiset uutuatud. Konstruktsioonide iikuatus ja uutatus saavutatakse vajaiku arvu kineaatiiste sideete rakendaisega. Seega kineaatiisest vaatepunktist jagunevad konstruktsioonid:. geoeetriiset uutuatuteks ja iikuatuteks, ie on iniaane arv sideeid.. geoeetriiset uutuatuteks ja iikuatuteks, ie on isaks vajaikee iniaasete sideete hugae vee üks või ena iigsidet. Konstruktsioonide iigitus arvutuseetodi järgi ja kineaatiiste tunnuste põhja on tihedas vastastikuses seoses. Staatikaga ääratavad süsteeid (sees veendue hije) on kineaatika seisukohat uutuatud ja iikuatud, oades seejuures iniaase arvu sideeid, kuna staatikaga ääraatute süsteeide on üks või ena iigsidet... Konstruktsiooni vabadusaste. Kineaatiine anaüüs Suur osa konstruktsioone on oodustatud üksikutest varrastest ja geoeetriiset uutuatutest tasapinnaistest kujunditest, is on kineaatiiset üksteisega ühendatud. Praktikas on ubatud ainut

7 geoeetriiset uutuatud ja iikuatud süsteeid. Geoeetriiset uutuatuks nietatakse seist ittedeforeeruvate kehade süsteei, ie osade suhteine iikuine ei oe võiaik. Mingi keha või konstruktsiooni vabadusaste on geoeetriiste paraeetrite arv, is see keha iikuise võivad uutuda üksteisest sõtuatut ning ääravad tea asukoha tasapinna üheset. Iga seadet, is kõrvadab konstruktsiooni ühe vabadusaste, nietatakse kineaatiiseks sideeks. Kui ingi seade kõrvadab korraga itu vabadusastet, siis võib seda vaadeda ihtsideete hugana. Kui side ühet poot piirab keha iikuisvabadust, teiset poot on aga seotud iikuatu ausega, siis nietatakse seda toesideeks. Seadist, is ühendab kahte kujundit ühes punktis ja võiadab nei vabat pöörduda seda punkti äbiva iikuatu geoeetriise teje über, nietatakse siinderiigendiks. Sidet ja toesidet kujutae varrastena, ie sihis on keha iikuine tõkestatud. Piirdue vaid tasandiise iikuise vaateisega, kujutades keha (kujundit) suvaisena. Nagu teada, ääravad iikuva punkti asukoha tasapinna kaks sõtuatut koordinaati x ja y. Järeikut oab punkt tasapinna kaks vabadusastet. Liikuva keha asendi tasapinna ääravad ko sõtuatut paraeetrit: keha ingi punkti koordinaadid x ja y ning punkti äbiva suvaise sirge ja x-teje vaheine nurk (joon..). Seega on kujundi tasapinna ko vabadusastet. Kui keha (kujund) punktis ühendada tasapinnaga siinderiigendi abi, siis ta võib ainut pöörduda see iigendi über ja on kaotanud kaks vabadusastet. Seega ihtiigend on ekvivaentne kahe sideega. y x y x Joonis.. Konstruktsiooni, kus kehad on oavahe ühendatud iigenditega ning ausega toesideete abi, nietatakse kineaatiiseks aheaks (joon..5). Joonis.5. 7

8 Pajude konstruktsioonide (taa, raa, kaar, sõrestik) skeee võib esitada kineaatiise aheana. Vaatee kineaatiise ahea vabadusastete arvu ääraist. Ogu W süsteei vabadusastete arv, V kehade, (edaspidi varraste arv), T - toesideete arv, L iigendite arv. Kui kõik kehad oeksid vabad, siis vabadusasteid oeks V. Iga toeside vähendab vabadusastete arvu ühe võrra, T toesideete korra väheneb vabadusastete arv T võrra. Iga ihtiigend vähendab vabadusastete arvu kahe võrra, L iigendi korra väheneb vabadusastete arv järeikut L võrra. Süsteei suaarne sideete arv on seega L+T ja kineaatiise ahea vabadusaste w avadub vaeiga w = V L T (.) Süstee on geoeetriiset uutuv, kui w > O, ehk V L T >, kuna se juhu tea õned osad oavad iikuisvabadust. Süstee on geoeetriiset uutuatu, kui ta vabadusastete arv on nuist väikse või võrdub nuiga w = V L T <, (.) või w = V L T =. (.) Need anaüütiised tingiused on vajaikud, kuid ittepiisavad otsustaaks süsteei uutuatuse üe. Tueb vaadeda vee kehade asetust ja toesideete sihte, so anaüüsida süsteei geoeetriist ja kineaatiist struktuuri. Üksikasjaikuat vagustatakse seda järgises paragrahvis. Kui süstee vastab tingiustee (.), siis ta ei oa iigsideeid, kui aga tingiusee (.), siis on ta iigsideed. Seega kineaatika vaatepunktist eristatakse:. geoeetriiset uutuatuid süsteee, ie on ainut iniaane huk kineaatiisi sideeid, st w =.. geoeetriiset uutuatuid süsteee, ie on iigsideed, st w <. Liigsideete huk on vaei (.) järgi n = T + L V. (.) Edaspidi tähendab n konstruktsiooni staatikaga ääraatuse astet. Näiteks joonise.5 toodud kineaatiises aheas on kehade arv V = 5, ihtiigendite arv L = ja toesideete arv T = 8. Süsteei vabadusaste w = (5) () 8 =, st süstee on geoeetriiset uutuatu ja oab ühe iigsidee või on ühekordset staatikaga ääraatu konstruktsioon. Liigendite oendaise arvestasie, et praktikas esinevad nn iitiigendid, is ühendavad ena kui kahte erinevat keha. Joonise. a on näidatud 8

9 iitiigend, is ühendab viit keha. Seda võib vaadeda neja ihtiigendina (5 = ). Joonise. b kujutatud iitiigendit tueb ugeda võrdseks kahe ihtiigendiga. Joonise.7 a ja.7 b on toodud kaks erineva kujuga ihtiigendit. Vaeites (.) (.) tähistab L ihtiigendite arvu, is on ekvivaentne iitiigendiga. Kui iitiigend ühendab keha, siis ta on ekvivaentne ihtiigendiga. a) b) a) b) Joonis.. Joonis.7... Hetkuutuvad süsteeid Süsteei kineaatiise anaüüsiise tueb sias pidada, et küadasee sideete arvue ning üdjuhu ka uutuatust kindustavae geoeetriisee struktuurie vaataata võib süstee osutuda hetkiikuvaks või hetkuutuvaks. Vaatee kahest punktis C iigendiga ühendatud vardast koosnevat süsteei, is on iigenditega ja kinnitatud assiivsee ausee (joon..8). a) C b) C Joonis.8. Üdjuhu, kui ( = on seine süstee geoeetriiset uutuatu (joon..8 a). ga kui õead vardad asetsevad ühe sirge ( = (joon..8 b), siis on ta hetkuutuv. See tõestaiseks vabastae vardad õttes teineteisest. Siis võib punkt C iikuda ööda ringjoont, ie raadius on C ja keskpunkt. Punkti C õpikut väike siire on risti sirgega. Seda ei saa takistada varras C, kuna see ots C iigub ringjoone, ie on eeise ringjoonega punktis C ühine puutuja. Järeikut on antud juhu süsteei punktide õpatut väikesed siirded võiaikud, ia et tea eeentide kuju (pikkus) uutuks. Seiseid süsteee nietatakse hetkuutuvateks. Definitsioon rõhutab, et hetk pärast iikuise agust 9

10 hakkab oeast uutuv. naoogiine nähtus esineb siis, kui keha ühendatakse assiiviga koe toevarda abi (joon..9). Punkt O on siin hetkkese, ie über võib toiuda süsteei õpatut väike pööre. Sisejõud, is tekivad hetkuutuvate süsteeide eeentides, võivad osutuda teoreetiiset ääraatuteks või õpata suurteks. Seepärast on konstruktsioonide projekteeriise seiste süsteeide kasutaine ubaatu. Tueb vätida itte ainut hetkuutuvaid, vaid ka neie ähedasi süsteee, kuna sisejõud viiastes varrastes võivad saada küatki suureks. Seiste konstruktsioonide ei saa kasutada õju sõtuatuse printsiipi, sest konstruktsiooni deforeeriise tekkivad siirded ja sisejõud ei sõtu rakendatud väisjõududest ineaarset. O Joonis.9. Joonis.. Hetkuutuva süsteei näiteks ogu koest iigendiga ühendatud eeendist koosnev konstruktsioon (joon..). Kahte kadeeenti võib siin vaadeda kui keskise eeendi (on eradatud paksuga) toevardaid. Järeikut on süstee hetkuutuv, kuna koe toevarda sihid õikuvad punktis O. O Näide.. Leida joonise. kujutatud raai vabadusaste. Raai iga iigendi juurde on ärgitud ihtiigendite arv. Varraste nubrid asetsevad ringikestes. Varraste arv V = 7, üdine ihtiigendite arv L = ja toesideete arv T =. 5 7 Joonis.. Vabadusaste vaei (.) järgi w = (7) () = - või n =.

11 Raai on üks isaside, ta on ühekordset staatikaga ääraatud süstee. Näide.. Leida joonise. kujutatud sõrestiku vabadusaste Sõrestiku iga iigendi juurde on ärgitud ihtiigendite arv. Varraste arv V =, üdine ihtiigendite arv L = ( ) + = 5 ja toesideete arv T =. Vabadusaste vaei (.) järgi on w = ( ) ( 5) = või n =. See sõrestiku on seega väikse arv sideeid konstruktsiooni uutuatuse kindustaiseks ja ta on staatikaga ääratav süstee. Kui w >, siis võivad konstruktsiooni osad saada siirdeid ia konstruktsioonide deforatsioonideta. Ühe vabadusastega (w = ) kineaatiist ketti nietatakse ehhanisiks. Kui w =, siis on konstruktsiooni iniaane arv sideeid uutuatuse ja iikuatuse kindustaiseks. Kui w <, siis on konstruktsiooni isaseadeid, ie arvu tähistatakse tähega n... Virtuaasiirete printsiip Joonis.. Virtuaaseteks siireteks nietatakse konstruktsiooni õpata väikesi siirdeid, is on võiaikud vastavat konstruktsiooni kineaatiistee tingiustee antud ajahetke. Kui konstruktsioon on teae rakendatud jõudude toie tasakaaus, siis nende jõudude virtuaatööde sua konstruktsiooni õpata väikeste virtuaasiirete võrdub nuiga M i, Fi ri cos, (.5) kus ri on jõu F i, rakenduspunkti virtuaasiire ja i jõu F i ja siirde ri vaheine nurk. Keha pöörduise über punkti O ning võrra (joon..) teeb jõud F virtuaatöö Fi ri cosi Fi ri cosi, ies r i on jõud F i rakenduspunkti kaugus punktist O. Keha pöörduise iigub punkt P i piki ringi kaart raadiusega r i asukohta P i. Küat väikese siirde puhu eeadub käär väga vähe puutuja sihist ning

12 siirde P i P i asee võib küadase täpsusega võtta kaaree punktis P i tõatud puutujasihiise õigu P i P i = r i, pikkuse. Kuna jõu F i oent punkti O suhtes on M i, Fi ri cos, siis võib kirjutada jõu F i virtuaatöö nagu M. i, i F i O r i i i i r i Joonis.. Lõpatut väikese siirde r i vätiiseks jagatakse virtuaasiire tea äbiiseks kuutatud ajaga ja üe innes seet keskiset kiiruset piirie saadakse virtuaatöö avadisest (.5) võiaike kiiruste printsiip r n n i Fi i dt i FV i i n i FV cos i i i (.) Lõpatut väikeste siirete asee on võiaiku töö avadises (.) dri iikuise hetkkiirused Vi, ida on võiaik graafiiset kujutada. dt Näide.. Kasutades virtuaaset printsiipi, eida raai toereaktsioonid (joon..). p = kn/ F = kn C M= kn. o 5 F = kn Joonis.. Lahendus. Leiae iikuva toe reaktsiooni. Seeks kõrvadae

13 see sidee ja asendae ta reaktsioonijõuga F (joon..5). Ühtaset jaotatud koorus p on asendatud koondatud jõuga F p = p = = 8 kn, is on rakendatud kooratud õigu keskpunkti (joon..5). nnae raai vasakpoosee osae virtuaasiirde. See on pööre über šarniiri C nurga võrra näiteks vastupäeva. Raai parepoone osa jääb iikuatuks. Koostae virtuaasiirete printsiibi ause tööde võrrandi. Seejuures arvestae, et keha seise pöörde puhu võrdub jõu pöördetsentri C suhtes võetud oendi ja keha pöördenurga korrutisega F p M F Kus F p ja F on jõudude oendid punkti C suhtes. Siit saae F p M 8 F 5,5 kn sue jäik-kinnituse reaktsioonide eidisee. Seeks jätae ära sidee see osa, is takistab pööret ja asendae üüringu šarniirse iikuatu toega ja otsitava reaktsioonioendiga (joon..). O = = F p C F C M F o F F 5 Joonis.. M

14 nnae süsteei parepoosee osae virtuaasiirde, ieks on pööre über šarniiri päripäeva nurga võrra. Leiae raai vasakpoose osa hetkeise pööreistsentri. Punktide ja C siirded on ja CC. Tõbae siiretee ja CC ristsirged, nende ristsirgete õikepunkt O ongi hetkeiseks pööreistsentriks. Mõea osa pööreisnurgad ja on ühesugused, sest CC = C ja CC = CО aga kaugused punktist C tsentrini ja O on võrdsed. M F F F 5 M, p kus F F sin sin, 5 kn on jõu F horisontaakoponent, F p, F ja F 5 - jõudude oendid punkti O (jõud F p ) ja punkti (jõud F ja F) suhtes. Jõu F vertikaakoponent F oent ei anna, sest ta äbib punkti, seega eiae M M Fp F F kn. Jäikkinnituse reaktsiooni vertikaakoponendi F y eidiseks jätae ära sidee, is takistab punkti vertikaaset iikuist. Seeks asendae jäikkinnituse iuguriga, is on jäigat kinnitatud raaiga ja iigub vertikaasete juhtpindade vahe ning reaktsiooniga F y (joon..7). nnae süsteeie virtuaasiirde. Liikugu raai parepoone osa transatoorset ües s võrra, sest siin iuguri pööre juhtpindade vahe poe võiaik. Raai vasakpoone osa iigub seejuures tasaparaeeset. O F p C C F S M F o F F 5 S Joonis.7. Leiae raai vasakpoose osa hetkeise pööreistsentri. Punktide ja C siirded on ja CC. Tõbae siiretee ja CC ristsirged, nende ristsirgete õikepunkt O ongi hetkeiseks pööreistsentriks. Koostae F y

15 virtuaatööde võrrandi virtuaasiirde s M F F s F s F p y s kus F F cos, 8 kn., rvestades, et s saae M F F F F, p y M Fp F F 8, st. Fy, kn Jäikkinnituse reaktsiooni horisontaakoponendi F x eidiseks esitae toe raaiga jäigat kinnitatud iuguri kuju, is iigub horisontaasete juhtpindade vahe ning rakendae seee reaktsioonikoponendi F x (joon..8). F p F S S F M F o F F x Joonis.8. Virtuaasiirdeks on antud juhu kogu konstruktsiooni kugev iikuine s võrra pareae. Seejuures iuguri pööre juhtpindade vahe on võiatu. Koostae virtuaatööde võrrandi virtuaasiirde s F s Fx s Fx F F cos,5 kn Kontroie nüüd ahenduse õigsust. Veendue, et eitud arvväärtused rahudavad jõudude tasakaauvõrrandeid kogu raai kohta (joon..9). 5

16 y F p= 8 kn F = kn C M = kn. o F = kn 5 F x= kn F = 5,5 kn F y=, kn M = - kn. Joonis.9. Saae Fkx ; Fx F sin,5, Fky ; F Fp F F cos Fy 5,5 8 +,8 +, =, M ; M F 8 Fp F F sin 5 M 5, ,5 5 =, 7 7.

17 . Staatikaga ääratavad konstruktsioonid.. Mitesideised iigendtaad... Geoeetriise uutuatuse tingiused Vajadus katkeatut siata itut ava üheaegset põhjustas itesideiste taade kasutaise. Mitesideine taa võib oa katkeatu (joon.. a) või kujutada endast järjestikku asetatud, otstest iigenditega ühendatud taade uutuatut süsteei (joon.. b). Katkeatut taa nietatakse jätkuv taaks. a) C D E F b) G C H K D L E F Joonis.. Joonise.a kujutatud taa on seitse toereaktsiooni, aga tasakaauvõrrandeid saab koostada ainut ko. Järeikut on taa nejakordset staatikaga ääraatu, kuna on nei iigsidet. See võib eida, käsutades vaeit (.) n = T L V= 7 =. Staatikaga ääraatute jätkuv taasid vaagedakse edaspidi. Jätkuvate taade jäikus on ärgatavat suure kui ihttaade. Näiteks on äbipaine koesideise jätkuv taa ääristes sietes peaaegu kaks korda väikse kui ihttaas. Raudbetoonkonstruktsioonides eeistatakse vaistada seiseid taasid onoiitsest raudbetoonist, aga teraskonstruktsioonides kujunevad itesideised taad nii pikaks, et nende vedu uutub raskeks. On siiski oeas oodus, is võiadab vaistada itesideisi taasid onteeritavatena, säiitades jätkuvate taade eeised. Seeks õigatakse itesideine taa osadeks nendest kohtadest, kus paindeoendid võrduvad nuiga ning ühendatakse saadud iigenditega. See uudab staatikaga ääraatu itesideise taa staatikaga ääratavaks. Nii on oodustatudki joonise. b esitatud taa, ie puhu vaei (.) järgi n = T + L V = =. Tähistae edaspidi toesõed ja ühendusiigendid suurte adina tähtedega. Liigendid peavad oea taas paigutatud nii, et süsteei kõik osad oeksid staatikaga ääratavad ja geoeetriiset uutuatud. 7

18 Näide.. Uurida joonise. toodud süsteeide geoeetriist uutuatust ja staatikaga ääratavust. a) C D E F G H b) C D E F G H G Joonis.. Joonise. a näidatud süsteei varraste arv on V =, ihtiigendite arv L = ja toesideete arv T =. Süsteei vabadusaste vaei (.) järgi w = V L T = =. Esiese (kvantitatiivse) tunnuse järgi on süstee uutuatu ja staatikaga ääratav. Vaatee süsteei struktuuri (sideete ja iigendite järjestust). Varras C on kinnitatud koe toesidee abi iikuatut ause küge, sest toesideed ei õiku ühes punktis. Varras FH on sauti kinnitatud ause küge iikuatut kahe toesidee ja iigendiga F. Saa võib öeda ka varraste CE ja EF kohta. Esiene nendest oab koe sidet üht toevarrast ja kaht iigendit. Teise on iigendid E ja F ekvivaentsed koe sideega (kahe sidee on ühine siht). Seega kogu süstee on geoeetriiset uutuatu, iikuatu ja staatikaga ääratav. Joonise. b kujutatud süstee rahudab kvantitatiivset võrrandit (.), st. w= V L T = =, kuid on struktuurit uutuv, kuna vardad FG ja GH asetsevad ühe ja se saa sirge, siis on ta hetkuutuv. Näide.. Uurie joonise. esitatud süsteeide geoeetriist struktuuri. Joonise. a süsteei on V =, L =, T = ja w = V L T = =. Varras C on koe toesideega kinnitatud iikuatu ause küge, kusjuures toesideed ei õiku ühes punktis. Varras CD on ühendatud iikuatu vardaga C iigendi C abi ja ausega toesidee D abi ning seejuures toesideed ei õiku ühes punktis. Seega on kogu süstee iikuatu, geoeetriiset uutuatu ja staatikaga ääratav. a) C D b) C D E Joonis.. E 8

19 Joonise. b kujutatud süsteei on ka w = V L T = = = aga süsteei struktuur erineb eeisest (joon.. a) tugede asetuse pooest. Kuigi süsteei vabadusaste võrdub nuiga, on süstee geoeetriiset uutuv. Varda DE on ainut kaks sidet iigendi D näo, ie über varras saab pöörduda. Järedused. Ühendusiigendite asetuse kohta itesideistes taades, ie otsad poe jäigat kinnitatud, võib anda järgised reegid: ) üheski sides ei tohi oa üe kahe iigendi, ) kahe iigendiga sided vaheduvad iigendita sietega, ) ühe iigendiga sided järgnevad üksteisee aates teisest sidest, ) ääristes sietes ei tohi oa kaks iigendit.... Liigendtaa staatikaise arvutuse näited Liigendtaa staatiine arvutus seisneb paindeoendide ja põikejõude epüüride konstrueeriises. Paindeoendide epüür tehakse pärast seda, kui kõik toereaktsioonid on eitud. Liigendtaade puhu on kõige ugava äärata toereaktsioonid virtuaasiirete printsiibi abi. Näide.. Joonise. on esitatud kahesideine iigendtaa. Konstrueerida paindeoendi M ja põikejõu Q epüürid. F = kn M = kn. p = kn/,5,5 C D E Joonis.. Lahendus. Segitae, kas süstee on geoeetriiset uutuatu ja staatikaga ääratav. Siin on V =, L =, T =, seega vabadusaste on w = V L T = =. Staatikaga ääratavuse ja geoeetriise uutuatuse kvantitatiivne tingius on täidetud. naüüsie süsteei struktuuri. Varras C on koe toesideega kinnitatud iikuatu ause küge, aga varras CD on ühendatud iikuatu vardaga C ja ausega teesidee D abi. Süstee tervikuna on geoeetriiset uutuatu ja staatikaga ääratav. Nüüd arvutae toereaktsioonid. sendae ühtaset jaotatud kooruse õju koondadud jõududega F = p = = 8 kn ja F = p = 7 = 9

20 kn. F on rakendatud õigu CE keskee (punktie D) ja F - õigu D keskee (joon..5 a). Reaktsiooni F D eidiseks vabastae varda CE toest C ja asendae see reaktsiooniga F C nagu on näidanud joonise.5 b. nnae vardae CE virtuaasiirde. Kasutae virtuaasiirete printsiibi F S D F D S D, siit F D = F = 8 kn. Nüüd vabastae taa toest (joon..5 c), asendades see reaktsiooniga F. nnae taae C virtuaasiirde ja arvutae virtuaatöö FS F S FS M. Siin on taa C pöördenurk über iigendi. Jooniset.5 c on näha, a) F F F M C D E,5,5,5,5 b) F F F M C D E S c) F F C D E S M S S F D F d) F S S F M F F F C D E S Joonis.5. et virtuaasiirete väärtused on võrdeised kaugustega pööreispunktist S, S, S, 5. Järeikut (F - F +,5F + M) =. Siit F,5F M,5 F kn.

21 Toe reaktsiooni vertikaase koponendi F y eidiseks jätae ara sidee see osa, is takistab punkti vertikaaset iikuist. Seeks asendae iikuatu iigendi iuguriga, is on šarniiriga ühendatud vardaga ja iigub vertikaasete juhtpindade vahe ning rakendae seee reaktsiooni F y. nnae iugurie virtuaase siirde S (joon..5 d). Koostae tööde võrrandi F S F S M F S. y Jooniset.5 d on näha, et S, S, S, 5. Järeikut F y F M F,5, F F,5,5 st F y kn. Veendue nüüd, et eitud reaktsioonid rahudavad tasakaauvõrrandeid kogu süsteei jaoks (joon.. a). Saae F ; F F F F p Ky d, 8, 8 8, M ; F M F FD p,5, 8,5,. Toereaktsiooni horisontaakoponent iigendis võrdub nuiga, kuna kõik väisjõud on vertikaased. Koostae paindeoentide ja põikejõudude epüürid. Epüürid ehitae tavaise viisi. Meenutae, et põikejõud ristõikes võrdub kõigi ühe poo õiget õjuvate väisjõudude projektsioonide agebraise suaga taa ristõikepinna. Põikejõud oetakse positiivseks, kui õikest vasaku rakendatud väisjõud on suunatudat ües, parea - üat aa, negatiivseks - vastupidise juhu. Või nii: põikejõud oetakse positiivseks, kui seda põhjustav väisjõud tekitab taa pööret päripäeva ja negatiivseks - vastupidise juhu. Mis puudutab paindeoenti ristõikes, siis ta võrdub kõigi ühe poo õiget õjuvate väisjõudude oentide agebraise suaga. Paindeoenti oetakse positiivseks, kui taa paindub vaadedava õike koha kuerusega aa. Iset taa kiud nõgusa kuju on surutud, kuera kuju tõatud. Seda sias pidades sõnastatakse paindeoendi ärgi reege järgiset: paindeoenti oetakse positiivseks, kui auised kiud on tõatud. Edaspidi epie kokku joonistada M epüüri nii, et ta asetseb tõatud kiudude pooe. Q ja M epüürid on näidatud joonise..

22 F = kn F = kn M = kn. F = kn p = kn/ F D = kn C D,5,5 E F = kn Joonis.. M ja Q epüürid on teineteisest sõtuvad. See vastastikune sõtuvus tueneb Žuravski teoreeist Q = dm/dx. Siit järedub: a) ristõigetes, kus Q uutub nuiks või uudab ärki, saavutab M ekstreeui, b) vaheikes, kus Q on positiivne, kasvab paindeoent ja vastupidi, c) igas vaheikus, kus ei oe koondatud oente, võrdub Q epüüri pindaa aati M epüüri õpp-ja agordinaadi vahega, d) ühtaset jaotatud koorusega vaheikus uutub M epüür parabooset ja Q epüür ineaarset. Jooniset. on näha, et M ja Q väärtused iigendi koha võrduvad nuiga. Tueb sias pidada, et M ja Q epüürides puuduvad iigendite koha urdepunktid, kui sinna poe rakendatud koondatud jõudusid. Näide.. On antud nejasideine iigendtaa iikuatu kinnituse toega vasakpooses otsas (joon..7 a). Koostada paindeoentide M ja põikejõudude Q epüürid. Lahendus. Segitae, kas süstee on geoeetriiset uutuatu ja staatikaga ääratav vabadusaste võrdub w = V L T = 5 7 =. naüüsie süsteei struktuuri. Kõik vardad on koe sideega, is ei õiku ühes punktis. Lisaosa C toetub koe toesideega varraste ja CF konsooidee (nad ei saa pöörduda). Järeikut on kogu süstee tervikuna uutuatu ja staatikaga ääratav. Nüüd arvutae toereaktsioonid. sendae ühtaset jaotatud kooruse õju jõududega F C p kn,

23 F EF p,5 kn, F HF p,5 kn ja F HK p,5 9 kn. F i on rakendatud õigu C keskee, F on rakendatud õigu EF keskee ja F - õigu HF keskee (joon..7 b), F - õigu HK keskee. nnae vardae HK virtuaasiirde. Käsutades virtuaasiirete printsiipi, saae F S F K S K. Jooniset.7 c on näha, et S, 5 ja S K, 5. Järeikut F,5 F K,5, siit,5 9,5 F F 5,5,5 K kn. Nüüd vabastae taa toest G (joon..7 d) ja asendae see reaktsiooniga F G. nnae taae FH virtuaasiirde ja arvutae see süsteei siirde virtuaatöö F S FGS G FS, siin on taa FH pöördenurk über iigendi F.

24 a) p = kn/ F = kn p = kn/ C D E F G H K,5,5,5,5 b) F F F F F C D E F G H,5,75,75,5,5,5,5,5 K c) F F C D E F G H S K S k F d) F F F k C D E F G H S S k S H S K F F G F F e) C D E S S F S G H F S S S H S K F S D F F F D f) F F D E F G S S C C S S S E S S F S H H S K F F F E F g) M S F S C F D E F G F F H F K h) F Y F F F F F C D E F G H S S Joonis.7. K

25 Jooniset.7 d on näha, et, 75 S G, S H 5, 5, S 5,5 S, 75 H. Järeikut F,75 FG F,75 siit F,75 F,75,75 9,75 F G 7,5 kn. Nüüd vabastae taa toest D (joon..7 e) ja asendae see reaktsiooniga F D. nnae taae CD virtuaasiirde ja arvutae virtuaatöö F S FDS D FS F S F S FS. Siin on taa CD pöördenurk über toe E. Jooniset.7 e on näha, et S, S D, S C 7, 5, S S C 7,5, 75,, 75 S F, 5, S F,5,5 S,5, 875, SF,5,5 Sh S H,5, 55, S, 85. Järeikut F,75 F F F,75 F,875 F,85 D. Siit F,75 F F,75 F,875 F,85 F D,75,75,875 9,85,5 kn Vabastae taa toest E (joon..7 f) ja asendae see reaktsiooniga F E. nnae taae CD virtuaasiirde ja arvutae virtuaatöö F S FES E FS F S F S F S. Jooniset.7 f on näha S, S C, 5, S E, S S C, 75, S, 75, S F 7, 5, SF 7,5,5 S,5, 75, 5

26 S S H, 5,,5S F 7,5,5 S H, 85. Järeikut F,75 FE F F,75 F,75 F,5. Siit F,75 F F,75 F,75 F,5 F E,75,75,75 9,5 7,875 kn Vabastae taa sideest, is takistab pööreist ja asendae jäikkinnituse šarniirse iikuatu toega ja reaktsioonioendiga M (joon..7 g). nnae taae virtuaasiirde ja arvutae virtuaatöö M F S. Jooniset.7 g on näha S S, 5, S. Järeikut M,5F, siit M,5F,5 5kN. Jäik-kinnituse reaktsiooni vertikaakoponendi F y eidiseks jätae ära sidee see osa, is takistab punkti vertikaaset iikuist. sendae jäik-kinnituse iuguriga ja reaktsiooniga F y (joon..7 h). nnae iugurie vertikaasiirde S ja arvutae virtuaatöö F S F S. y Jooniset on näha, et iuguri pööre juhtpindade vahe poe võiaik, sest varras iigub tasaparaeeset. Järeikut S S ja F Fy S, siit F F 5 y kn. Kontroie tueusi. Seeks vabastae süsteei kõikidest sideetest ja asendae nende õju eitud toereaktsioonidega (joon..8 a). Koostae tasakaauvõrrandid F ; F p F F F p 5,5 F F, siit Ky y D E G K 5,5 7,875,5 7,5,. M ; M p FD,5 F,5 F,5,5,5,5 E p, FG,5 5,5 FK,5 5,5 siit

27 5,5,5 5,5 8,5 7,875,5,5 7,5 7,5 7 5, 8,5 8,5. Seega on toereaktsioonid eitud õigesti. Nüüd koostae epüürid Q ja M (joon..8 b, c). F = 5 kn a) p = kn/ F D =,5 kn F E = 7,875 kn p = kn/ M = 5 kn C D F= E F G H F G = 7,5 kn,5 5,5 K F K = 5 kn b),5 5 5,75,75, ,5 5,5,5,75 75 c) 9 8,75,5 5,5,75 Joonis.8., 5, 7

28 .. Staatikaga ääratavad raaid... Üdõisteid raaidest Varrassüsteei, ie kõik või õned sõed on jäigad, nietatakse raaiks. Sõi, is tagavad ühendatavate varraste tegedevaheise nurga uutuatuse nietatakse jäikadeks. Kui raa kooruse õju deforeerub, siis raai jäik sõ võib uuta oa asendit tasapinna ja pöörduda, kuid sõe oodustavate varraste tegedevaheised nurgad püsivad uutuatutena. Kui näiteks nurk sões C (joon..9 a) oi enne deforeeruist, siis nurk α sões C on pärast deforeeruist sauti (joon..9 b). a) b) tekib peae tõbe ja surve ka paine. See tagajärje toiub sões ühendatud varraste vahe jõudude überjaotaine. Raae, kus kõik vardad ning koorused asuvad ühes tasandis nietatakse tasapinnaisteks. Raaid, ie tundatute toereaktsioonide arv võrdub staatika tasakaauvõrrandite arvuga (ko) on staatikaga ääratavad. Staatikaga ääratavate raaide arvutus on vajaik etapp staatikaga ääraatute raaide arvutaiseks. Staatikaga ääratavate raaide võib oa kaks tuge, iest üks on iikuv iigendtugi ja teine iikuatu (joon.. a) või üks jäigat kinnitatud tugi (joon.. b). On ka raaid, kus koos jäikade sõedega esinevad ka iigendid (joon.. c). Raa koosneb järgistest eeentidest: Joonis.9. a) C b) C c) C h D D Joonis.. D 8

29 ) vertikaased (või neie ähedased) vardad postid, näiteks (joon..), ) horisontaased (või neie ähedased) vardad riivid, näiteks C (joon..). Tugede keskete vahekaugust nietatakse raai sideks. Vertikaaset kaugust toeiigendeid ühendavast sirgest raai teje punktini nietatakse raai kõrguseks h. Raakonstruktsioonid eiavad aiadast rakendaist tööstus- ja tsiviiehituses: sidades, estakaadides, karkass ja paneeajades jne. Nagu staatikaga ääratavate taade, nii ka staatikaga ääratavate raaide iikuatuse ja uutuatuse kindustavad toesideed, kusjuures nende arv peab oea iniaane. Järeikut nende vabadusaste vaei (.) järgi võrdub nuiga w = V L T =. Näiteks raaide, kujutatud joonise. a, b vabadusaste võrdub nuiga w = =, kus urdjooniise tejega varras CD oetakse üheks vardaks. Raai (joon.. c) varraste arv V =, iigendite arv L = vaid vabadusaste ikkagi võrdub nuiga w = =.... Raaide arvutus Väisjõudude õju tekib raai ristõikes paindeoent M, põikejõud Q ja pikkejõud N. Tuetae eede, et paindeoent antud ristõikes võrdub kõigi õikest ühe poo väisjõudude oentide agebraise suaga ristõikepinna suhtes. Põikejõud võrdub aga kõigi õikes ühee pooe väisjõudude projektsioonide agebraise suaga põikpinnae. Pikkejõu äärae anaoogiiset, aga projekteerie seejuures jõud teje sihie. Siin on nagu taas põikejõud Q ja paindeoent M seotud diferentsiaavõrrandiga Q dm. Pikkejõu ja põikejõu ärk ääratakse dx järgiset. Kui raai varras on tõatud, oetakse pikkejõud positiivseks, kui surutud negatiivseks. Q ärgist tegie juttu juba vare: põikejõud oetakse positiivseks, kui seda põhjustav jõud tekib taa pöörde päripäeva ja negatiivseks vastupidise juhu. rvestades, et M epüür on kantud varda tõatud kiue, võib Q ärgi äärata nii: ta on positiivne, kui varda teje ja M epüüri puutuja vaheine nurk antud punktis tekib päripäeva pöördest, ugedes seda varda tejest. Positiivsed Q väärtused kannae varda tejest aapooe (riivi) ja pareae (posti), negatiivsed väärtused vastavat ües ja vasakue. Paindeoendie raaides tavaiset ärki ei oistata. 9

30 Näide.. Leida urdjooneise tejega konsooi (raai) CDE (joon.. a) toereaktsioonid ning koostada paindeoendi M, põikejõu Q ja pikkejõu N epüürid. Lahendus. Kontroie konsooi staatikaga ääratavust. Vaei (.) järgi süsteei vabadusaste on w = V L T = =. Murdjooneise tejega konsoo CDE oetakse üheks vardaks. Näee, et süstee on staatikaga ääratav ja geoeetriiset uutuatu. rvestades, et raa on ühe toega, äärae toereaktsioonid pärast epüüride koostaist. Me teae, et konsooi epüüride konstrueeriiseks poe tingiata vaja äärata esiagset toereaktsioonid. Hakkae ehitaa epüüre vabast otsast st punktist E. Epüürid on esitatud (joonise. b, c, d): a) D E F = b) D E F y F x C F = C N, kn M c) D E c) D E C Q, kn C M, kn Joonis.. Jooniset (.) on näha, et toereaktsioonid on M = kn, F X = kn, F y = kn. Need on epüüride väärtused punktis. Epüüride kontroiks kasutae tasakaautingiusi, ähtudes raai jäikade sõede tasakaaust. Eradae jäigad sõed ja D raaist. Raai järeejäänud osade õju sõee asendae sisejõududega, is on võetud epüürist (joon..), pidades sias, et paindeoendi epüür on kantud varda tejest tõatud kiudude pooe, positiivne põikejõud pöörab eeenti päripäeva, aga positiivne pikkejõud tekitab vardas tõbe. Jooniset. on näha, et sõed ja D on tasakaaus.

31 a) N C= kn b) D M DE= kn Q C= kn Q DE= kn Q = kn M DC= kn N = kn N DC= kn Joonis. Huvitav on ärkida, et sõedes, kus koondub kaks varrast, on paindeoendid nendes varrastes võrdsed ja nende epüürid kantud teje saae pooee. Kuna õigetega eradatud sões oentide sua peab võrdua nuiga, siis on oendid siin suuruset võrdsed ja suunat vastupidised. a) b) C D C D 8 p=,5 kn / N, kn F x= kn 8 8 F y=8 kn F =8 kn c) 8 8 d) C D C 8 D 8 Q, kn M, kn Joonis..

32 Näide.7. Leida joonise.a kujutatud portaaraai toereaktsioonid ning koostada M, Q ja N epüürid. Vasakpoosee postie C õjub ühtaset jaotatud horisontaane koorus (tuu) intensiivsusega p =,5 kn/. Lahendus. Kontroie raai staatikaga ääratavust. Ühe suetud kontuuri on ko toesideet ning vaei (.) järgi staatikaga ääratavuse aste n = T + L V = + =, st raa on geoeetriiset uutuatu ja staatikaga ääratav. Määrae toereaktsioonid. Koostae tasakaauvõrrandid F F kx ky M ; ; ; p 8 F F y p 8 F 8 x F ; ;. viiasest võrrandist saae 8 p 8,5 8 F 8 kn, järeikut F y = F = 8 kn ja F x = p8 =,5 8 = kn. Tueuste kontroiiseks koostae tasakaauvõrrandi M ; p 8 F.,5 8 8, 8 8. Nüüd koostae Q, M ja N epüürid. Need on esitatud joonise. b, c, d. Kontroie koostatud sisejõudude epüüre, rakendades jäikade sõede tingiust. Eradae õikega sõed C ja D (joon..). y a) C M CD=8 kn Q CD=8 kn b) D M C=8 kn Q DC=8 kn Q C=8 kn Joonis.. N DD=8 kn Jooniset. a, b on näha, et sõedee õjuvad sisejõud rahudavad staatika tasakaautingiust. Järeikut on kõik sisejõudude epüürid õigesti koostatud.

33 Näide.8. Määrata koe iigendiga raai (joon..5 a) toereaktsioonid. Koostada M, Q ja N epüürid ja kontroida nende õigsust. Lahendus. Kontroie raai staatikaga ääratavust. Vaei (.) järgi n = T + L V = + =, st raa on staatikaga ääratav ja geoeetriiset uutuatu. Toereaktsioonide ääraiseks koostae ko staatika tasakaauvõrrandit ja ühe isavõrrandi, is väjendab paindeoendi nuiga võrduist iigendis C. Moentide võrrandid punktide ja suhtes 8 M ; F,5 p 8 F 5,5 Fy,,5 58 5,5 8 iest F y, 7 kn; 8 M ; Fy p 8 5,5,5, 58 5,5,5 iest F y, 7 kn. Võrdsustae iigendist C parea asetsevate jõudude oentide sua iigendi C suhtes nuiga, sest M C =. Saae M ; F,5 F 8 F, C,5,7 9 iest F x, 5 kn. 8 8 Jõuprojektsioonide võrrand horisontaatejee F kx ; p 8 Fx Fx, iest F X = 58,5 = 8,75 kn. Kontroiks kasutae jõuprojektsioonide võrrandit vertikaatejee F ; F F F F. ky y,7,7,. Reaktsioonide tegeikud suunad on esitatud joonise.5 a. y x y a) b),5 E C F= kn F= kn F E,7 C,7 F 5 p=5 kn / D J K,5,5 G D J N, kn G F x=8,75 kn F x=,5 kn,7,7 F y=,7 kn F y=,7 kn

34 c),7,5 D E J C K F G 8 d) D E 8 C 9,7=ax 9,5 8,5 K F G ,75 Q, kn M, kn,5 8,75 Joonis.5. Koostae Q, M ja N epüürid, need on esitatud joonise.5 b, c, d. Kontroie M, Q ja N epüüri õigsust, vaadedes jäikade sõede tasakaau, need peavad oea tasakaaus (joon.. a, b, c, d). a) E 8 kn,7 kn,5 kn b),5 kn,5 kn F 8 kn 8 kn 8 kn,5 kn,5 kn,7 kn,5 kn c),7 kn,5 kn d),7 kn,5 kn 9,5 kn 8,5 kn,75 kn D kn kn kn kn,5 kn,5 kn G 5,5 kn,7 kn Joonis..,7 kn M epüüri kontroitakse sõede tasakaau vaeitega

35 M M M E F D, 8 8,, 8 8,, 8,85 9,5, 9,5 9,5, M G,,5 5,5, 5,5 5,5, Q ja N epüüri kontroitakse sõede tasakaau vaeitega F kx ja F. ky Vaatae näiteks sõe D. Jooniset (. c) näee, et F, ehk,75,75, F kx ky, ehk,7,7,,7,7. 5

36 .. Koe iigendiga kaared... Üdõisted. Kaarte iigitus Kaareks nietatakse kõvera varda kujuist rõhtsurvega süsteei, is otstest toetub iikuatutee tugedee (joon..7). Toereaktsiooni horisontaaset koponenti nietatakse rõhtreaktsiooniks. Nagu edaspidi näee, vähendab rõhtreaktsioon paindeoente ja põikejõude ristõigetes, aga rõhtsurve tunduvat suurendab tugede koorust. Seepärast peavad kaare oea iikuatud toed. Sõtuvat tugede konstruktsioonist jagunevad kaared iigenditeta (joon..7 a) ja iigenditega kaarteks (joon..7 b). Kahe iikuatu iigendtoega kaart, ies ei oe vahepeaseid iigendeid, nietatakse kahe iigendiga kaareks (joon..7 b). See konstruktsioon on ühekordset staatikaga ääraatu. Kahe iigendiga kaare võib uuta staatikaga ääratavaks süsteeiks a) F b) F M F x F x F x F x M F y F y F y F y Joonis.7. iigendi isaise tee. Kahest pookaarest koosnevat süsteei, is oavahe ühendatud iigendiga C ja ause küge kinnitatud iikuatute iigendtugedega, nietatakse koe iigendiga kaareks (joon..8). Järeikut on koe iigendiga kaar staatikaga ääratav, sest vaei (.) järgi n = T+L V = + =. Koe iigendiga kaare eeendid ja geoeetriised karakteristikud on järgised:

37 ) kaare teg kõverjoon C, is võib oa parabooi, ringi, eipsi või õne uu kõverjoone kujuine, ) kannad kaare toed, ) kaare kõrgus f iigendi C kõrgus (joon..8), ) kaare sie kaareiigendite vahekaugus, 5) kaare tõus kaare põhiine geoeetriine karakteristik, is võrdub kaare kõrguse f ja side suhtega (joon..8). F C f F x F x F y Joonis.8. F y See suhe võib uutuda väga suurtes piirides aates f kuni f, ja isegi vähe. Oenevat kaare tõusust eristae suure tõusuga kaari f, ja väikese tõusuga ehk aedaid kaari f,. Kaared on aiadaset kasutatavad hoonetes ja uudes ehitistes, kuna on tarvis siata suuri vahekaugusi. Koe iigendiga kaares on paindeoendid ja põikejõud ärgatavat väiksead kui saasuguse kooruse ja sidega ihttaas. Seetõttu on kaared suurte siete ökonoosead kui taad. Väikese side korra on ökonoosead taad, kuna neid on ihtsa vaistada ja onteerida. Kaare staatikaine arvutus võib oa anaüütiine või graafiine.... Koe iigendiga kääre anaüütiine arvutus Kaarte staatiine arvutus seisneb peaiset sisejõudude ääraiseks antud kooruse. Kaare sisejõudude arvutaiseks jagae ta noraasihiise õikega äbi punkti K kaheks osaks ja vaatee ühe osa tasakaau. Lõike K asukohta iseooustavad ristõike raskuskeske koordinaadid x ja y ja 7

38 punktis K kaare tejee tõatud puutuja ning horisontaasihi vaheine nurk (joon.. a) ehk kaare teje noraai ja vertikaasihi vaheine nurk. a K C F a Q M N F F K n F y y F y F y y F x F x F x x x Joonis.. Põikejõud võrdub kõigi ristõikes ühe poo asetsevate väisjõudude projektsioonide agebraise suaga kaare teje noraaie vaadedavas ristõikes. Ta on positiivne, kui püüab pöörata varda kubagi osa vastasotsa suhtes päripäeva (joon.. b). Projekteerides kõik vaadedavast õikest K (joon.. b) vasaku väisjõud kaare teje noraaie saae Fkn ; ehk Q Fx sin Fy cos F cos, iest Q F cos F cos F sin. y naoogiiset saae pikkejõu väärtuse, kui projekteerie kõik õikest K vasaku asetsevad väisjõud kaare teje puutujae (joon.. b). Fk ; ehk N Fx cos Fy sin F sin, iest N F cos F sin F sin. x Paindeoent võrdub kõigi vaadedavast õikest ühe poo asetsevate väisjõudude oentide agebraise suaga ristõike suhtes. Paindeoendi oee positiivseks, kui kaare vasakpoosee osae rakendatud jõud püüavad õikega eradatud kaareosa pöörata õike suhtes päripäeva. Jooniset. b on näha, et M F y F x F x. x y y ax a 8

39 Tutvue näidete vara koe iigendiga kaarte anaüütiise arvutuseetodiga. Näide.9. Koostada M, Q ja N epüürid kaare (joon..9) itesuguse kõrguse puhu (f =,5, f = 5, f = ). Segitada, kuidas kaare kõrguse uutus õjutab toereaktsioone ja sisejõude. setades koordinaatide aguspunkti toeiigendisse on kaare teje võrrand y f x x. p= KN/ C f F x F x F y /=5, /=5, F y Joonis.9. Lahendus. Määrae toereaktsioonid (F x, F y, F x, F y ). Koostae tasakaau-võrrandid järgises ratsionaases järjekorras. Kõigepeat p M ehk Fy iest eiae otsekohe p F y. 8 Seejäre kõigi jõudude oentide sua punkti suhtes p M ehk Fy iest eiae otsekohe F y p. 8 Lähtudes kääre vasaku pooe tasakaaust koostae oentide sua punkti C suhtes 9

40 vas p M C ehk Fy Fx f iest eiae otsekohe p F x. f Lõpuks kõigi jõudude projektsioonide sua horisontaatejee F ehk F F, iest eiae otsekohe kx x x p Fx Fx. f Vaadedavas üesandes on toereaktsioonide vertikaased koponendid F y ja F y vertikaakooruse korra võrdsed ihttaa reaktsioonidega. F y p 7,5 kn, 8 8 F p y,5 kn, 8 8 Rõhtreaktsioon, kui f =,5, võrdub p Fx Fx 5 kn. f,5 Enne kui asuda sisejõudude arvutaisee, on otstarbekas äärata kaare teje geoeetriised karakteristikud. Oes võtnud kaare tejeks ruutparabooi võrrandiga f y f x ja jaganud side võrdseteks osadeks (antud juhu osaks). rvutae kaare punktide ordinaadid y, tan, sin, cos, kus on vaadedavas punktis kaare tejee tõatud puutuja ning horisontaasihi dy vaheine nurk, st tan, =arctan, antud juhu dx dy f tan x. dx Kaare on f =,5, =, f/ =,5 (joon.. a). rvutused tueused on toodud tabeis. Tabe. Punkti x, y, tan sin cos nr.,,, 5,77,77,,9,8 8,5,78,,,,55,857,,, 5,7,98,,,,97,98 C 5,,5,,,

41 Pikkejõud vasakpoose kääre jaoks arvutae vaeiga N F cos F sin pxsin. N N N N N N C x 5,,77 7,5,77, kn, 5,,78 7,5,5,5, 5,,857 7,5,55,55, 5,,98 7,5,7,7 5,9 5,,98 7,5,97,97, 5,, 7,5 5 5, kn. y kn, kn, kn, kn, Pikkejõu parepoose kaare jaoks arvutae vaeiga N F x cos F sin. N N N N N N ' ' ' ' C 5,,77,5,77,5 5,,78,5,5 7, 5,,857,5,55 7,8 5,,98,5,7 7,9 5,,98,5,97 7, 5,,,5 5, kn. Põikejõu vasakpoose kaare jaoks arvutae vaeiga Q F cos F sin pxcos. Q Q Q Q Q Q C y y y kn, kn, kn, kn, kn, 7,5,77 5,,77 8,8 kn, 7,5,78 5,,5,78 5,9 kn, 7,5,857 5,,55,857, kn, 7,5,98 5,,7,98, 7,5,98 5,,97,98,5 7,5, 5, 5,,5 kn. Põikejõu parepoose kaare jaoks arvutae vaeiga Q F y cos F sin. y kn, kn,

42 Q Q Q Q Q ' ' ' ',5,77 5,,77 8,9,5,78 5,,5 5,9,5,857 5,,55,,5,98 5,,7,,5,98 5,,97 7, QC,5, 5,,5 kn. Paindeoendi vasakpoose kääre jaoks arvutae vaeiga M = F y x F x y,5px. M 7,5 5, kn, iigendis paindeoent võrdub nuiga, M 7,5 5,,9,5 kn, M M M 7,5 5,,,5 7,5 5,,,5 7,5 5,,,5 5 M C 7,5 5 5,,5,5 5 kn. Parepoose kaare osa jaoks arvutae paindeoendi vaeiga M = F y x - F x y, kus koordinaadid x ja y võetakse toeiigendist. M, M',5 5,,9 kn, M ',5 5,, 5 kn, M' 7,5 5,, 5 kn, M ',5 5,, kn, MC,5 5 5,,5. Põikejõudude, paindeoentide ja pikkejõudude epüürid on toodud joonise. b, c, d. Jooniset. b on näha, et paindeoendi ekstreeu on punktides, kus Q =. Need on vasakpoose ja parepoose osa x =,5 punktist ja y =,5 punktist. kn, kn, 5 kn, kn, kn, kn, kn, kn,

43 a) p= kn/ C f =,5 F y =7,5 kn F y =,5 kn F x =,5 kn F x =,5 kn b),5 5,9 7, 7,,,,, 5,9 Q, kn 8,8 8,9 c), 5, 5,5 5,,, 5, 5, 5,5, M, kn d),,, 5,9, 5, 7, 7,9 7,8 7,,5 N, kn Joonis.. f,5 y. M vas ext,75x,5y,5 px 7,5,5 5,875,5,5 5,5 kn, M par ext,5x 5, y,5,5 5,875 5,5 kn. Järeikut x x,5,5, 875 Kaare, ie kõrgus f = 5 ja sie = (joon.. a) tugipunktide geoeetriised paraeetrid on antud tabeis.

44 Tabe. Punkti x, y, tan sin cos nr.,,,,895,,,8, 58,88,5,,, 5,78,,,,8 8,5,78,,8, 5,7,98 C 5, 5,,,, Q, M ja N epüürid on esitatud joonise. b, c, d. a) p= kn/ C f =5 F y =,5 kn F y =,5 kn F x =,5 kn F x =,5 kn b),5,,9,9,9,,,, Q, kn 5, 5, c), 5, 5,,, 5, 5,, M, kn d) 9, 9,,,5,,5,8 7,7 7, 7,, N, kn Joonis..

45 Kaare ie kõrgus f = ja sie = (joon.. a) tugipunktide geoeetriised paraeetrid on toodud tabeis.. Tabe. Punkti x, y, tan sin cos nr.,,, 7,97,,,, 7,955,98,,, 7,9,85, 8,, 58,88,5, 9,,8 8,5,78 C 5,,,,, Q, M ja N epüürid on esitatud joonise. b, c, d. a) p= kn/ C f = F y =7,5 kn F y =,5 kn F x =,5 kn F x =,5 kn b),5, 5,9 5,9,,,9,, Q, kn,, c), 5, 5,,, 5, 5,, M, kn d) 7,9 8, 8, 9,7,,,7,,,8, N, kn Joonis.. 5

46 Tueuste anaüüs ubab teha järgised järedused. Vertikaase koorusega kooratud koe iigendiga kääre paindeoentide suurus ei sõtu kaare kõrgusest. Põikejõu suurus väheneb kaare kõrguse suurenedes aates 8,8 kn kuni, kn punktis. ga ukuiigendis C põikejõud püsib uutuatuna (,5 kn). Pikkejõud suureneb aates 7,9 kn kuni, kn punkti kaare kõrguse väheneise korra, sest siis kasvab rõhtsurve aates,5 kn kuni 5 kn ja väheneb kaare puutujasihiiste jõudude kadenurk. Suuriat pikkejõu kasvu aates,5 kn kuni 5, kn tühedae ukuiigendis C. Paindeoendi M epüür on kaare keskteje suhtes antisüeetriine. Seest järedub, et kui koorata kaart kogu side uatuses ühtaset jaotatud koorusega, siis M ja järeikut ka Q võrdub kõikides ristõigetes nuiga. Üdreegina on parabookaare paindeoendid ja põikejõud kõigis ristõigetes aati siis võrdsed nuiga, kui ta on kooratud kogu side uatuses ühtaset jaotatud koorusega.

47 .. Tasapinnaised sõrestikud... Üdõisteid sõrestikest Sõrestikuks nietatakse sirgetest varrastest koostatud geoeetriist uutuatut konstruktsiooni, ies vardad on oavahe ühendatud iigenditega (joon..). Sõrestik koosneb väiskontuuri oodustavatest vöödest ja neid ühendavast võrgust. Praktikas jagatakse võrgu vardad postideks, kadvardaid diagonaaideks. Varraste ühenduskohad on sõrestiku sõed (näiteks,, C joonise.). Mingis sões koonduvate varraste tegjooned õikuvad ühes punktis sõe keskes. Üeine vöö C h uine vöö d d d d Joonis Sõi, is kannavad koorus üe tugedee, nietatakse toesõedeks ( ja joonise.), kõiki üejäänuid võrgusõedeks. Sõrestiku toetegede vahekaugust nietatakse sõrestiku sideks, vöö naabersõede vaheist osa pikkusega d aga sõrestiku paneeiks. Sõrestiku paneeide arv hariikut on paarisarv. Üeise ja auise vöö suuriat vahekaugust nietatakse sõrestiku kõrguseks h. Sõrestikku, ie kõikide varraste tejed asetsevad ühes tasapinnas, nietatakse tasapinnaiseks. Eedatakse, et väisjõud on sõrestiku tasapinnas. Praktikas esineb tasapinnaine sõrestik harva iseseisva konstruktsioonina. Reegina oodustatakse tasapinnaistest sõrestikest sideete abi ruuiine süstee. Mitest tasapinnaisest sõrestikust oodustatud ruuiise süsteei arvutaise oetatakse, et iga tasapinnaine sõrestik töötab iseseisvat. Sõrestike arvutaise eedatakse, et iigendid asetsevad sõrestiku varraste tegede õikepunktides ja on hõõrdevabad, aga väisjõud on rakendatud sõedesse. Se juhu tekivad sõrestiku varrastes ainut pikkejõud (tõe või surve) ning paine puudub. Sees seisnebki sõrestike põhiine eeis taadega võrredes. Painutatud taas jaotuvad noraapinged ristõikee ja 7

48 piki taa ebaühtaset, istõttu poe aterjai kandevõie nendes täieikut ära kasutatud. Sõrestike varrastes on pingete jaotus paju ühtase, iest tingituna on sõrestikud taadest kõrgead, eriti suurte siete puhu. Eedused ja ihtsustavad oetused, ida rakendae sõrestiku staatikaise arvutaise, kujundavad sõrestiku arvutusskeei. Lühidat võib neid forueerida nii: ) kõik vardad on sirged; ) varraste otsad on oavahe ühendatud hõõrdevabade iigenditega; ) koorus antakse sõrestikue ainut sõede kaudu; ) kõikide varraste tejed ja väisjõud asuvad ühes tasandis; 5) varraste sisejõud ääratakse deforeeruata skeei järgi. Tegeik sõrestik erineb ideaasest ärgatavat. Tegeikkuses on sõrestiku sõed aati suurea või vähea äära jäigad, is oeneb sõrestiku aterjaist ja sõe konstruktsioonist. Näiteks puitsõrestiku sõed tehakse kas tappnae või tüübeühendusega, etasõrestiku sõed pot, neet või keevisiitega. Eksperientaased ja teoreetiised uuriised on siiski näidanud, et kui sõrestiku varda ristõike suuria õõte ja varda pikkuse suhe on kas võrdne või väikse /, siis sõe jäikuse õju varraste sisejõudude suurusee on niivõrd tühine, et seest võib oobuda.... Sõrestike geoeetriise uutuatuse ja staatikaga ääratavuse tingiused Sõrestiku geoeetriise uutuatuse äärab varraste arv ja nende oavaheine asetus. Lihtsaaks geoeetriiset uutuatuks sõrestikueeendiks on konurk, ie oodustavad ko oavahe otstest iigenditega ühendatud varrast. Geoeetriiset uutuatu süstee rohke kui koest vardast oodustatakse järgise viisi: põhikonurgae C (joonise.5) isatakse järjestikku uusi sõi kahe itte ühe sirge asetseva varda abi. Seiset oodustatud sõrestikke nietatakse ihtsaiateks sõrestikeks. D F C E G Joonis.5. 8

49 Määrae kindaks seose geoeetriiset uutuatu sõrestiku varraste ja sõede arvu vahe. Nagu nähtub jooniset.5 koosneb põhikonurk C koest vardast ja koest sõest. Tähistades sõede üdarvu tähega S, eiae, et kogu sõrestiku oodustaiseks on vaja isada S sõe, ieks äheb (S ) varrast, kuna iga sõ ühendatakse kähe vardaga. Seega on varraste koguarv V, ida vajae geoeetriiset uutuatu sõrestiku saaiseks V = + (S ) ehk V = S (.) Tingius (.) on vajaik, kuid ittepiisav. Sõrestiku geoeetriise uutuatuse kindustaiseks on vaja vardad vee õigesti asetada, jägides seda, et ükski sõrestikuosa ei oeks geoeetriiset uutuv. Näitena vaatee õnda sõrestikku (joon..). a) 8 b) c) 7 d) Joonis Vardad ja sõed on nuerdatud, kuid varraste nubrid asetsevad ringikestes. Joonise. a kujutatud sõrestikus on varraste arv V =, sõede arv S = 8. Järeikut rahudab ta tingiust (.) V = S = 8 =. Jägie süsteei oodustaist. Sõed oodustavad konurga, tähendab sõi ja võib ugeda iikuatuteks. Jooniset. a on näha, et kõik sõed on kinnitatud iikuatut, st sõrestik on geoeetriiset uutuatu ja sisadab iniaase arvu vardaid. Joonise. b kujutatud sõrestikus on vardaid V = 5, sõede arv S = 8. Siit V = S = 8 =. Sees sõrestikus on kaks iigset varrast. Tõepooest, kui sõrestikust kõrvadada kaks diagonaai, näiteks ja, siis 9

50 jääb ta geoeetriiset uutuatuks. Sõrestikus. c on varraste arv V = ja sõede arv S = 8. Seega V = S = 8 =, st tingius (.) on täidetud. Vaataata seee on ta geoeetriiset uutuv, kuna sõrestikus on iigendneinurk 5, saa aja kui järgises iigendneinurgas 75 on üks iigne diagonaa. Joonise. d on sõrestiku V = ja sõede arv S = 8, siit V = S = 8 =, V < S. Tingius (.) poe täidetud. See sõrestik sisadab iigendneinurga 75 ja seega on ta geoeetriiset uutuv. On kerge tõestada, et sõrestiku geoeetriise uutuatuse tingius (.) on ühtasi ka tea staatikaga ääratavuse tingiuseks. Tõepooest, ühes ja saas sões koonduvate varraste sisejõu ääraiseks on vaja koostada kaks staatika tasakaauvõrrandit F, F. (.) kx Et eida sisejõud kõikides sõrestiku varrastes, tueb koostada S tasakaauvõrrandit. Kui arvata väja ko toereaktsiooni, siis jääb varraste sisejõudude ääraiseks (S) võrrandit, is on võrdne varraste vajaiku arvuga. Kui varraste arv sõrestikus üetab (S), siis on ta sisejõudude suhtes staatikaga ääraatu. Lisatundatute eidiseks on tarvis ka isavõrrandeid, is koostatakse sõrestiku deforatsiooni ause. ky... Sisejõudude ääraine sõede eradaise võttega Sõede eradaise võte on õikeeetodi üks erijuht. See võte seisneb sees, et sõrestikust eradatakse õigete üksikud sõed ja rakendatakse neie tundatud sisejõud, ugedes need esiagu tõbe jõududeks. Seejäre ääratakse need staatika tasakaauvõrranditest (.). Kogu sõrestiku kohta võib koostada S võrrandit. Nendest piisab toereaktsioonide ja varraste sisejõudude eidiseks staatikaga ääratavas sõrestikus. Pajudest võrranditest koosneva võrrandsüsteei ahendaine on aga küatki keeruine. Seepärast soovitatakse agu äärata toereaktsioonid ähtudes kogu sõrestiku tasakaaust. Seejäre eradae sõed, kus koondub ainut kaks varrast, ie sisejõud on tundatud. 5