EЛЕМЕНТАРНЕ НЕЈЕДНАКОСТИ

Transcript

1 УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Биљн Пвков EЛЕМЕНТАРНЕ НЕЈЕДНАКОСТИ - МАСТЕР РАД - Ментор, др Синиш Црвенковић Нови Сд, 0 0

2 САДРЖАЈ УВОД УОПШТЕНО О НЕЈЕДНАКОСТИ4 Дефиниције, теореме и тврђењ о неједнкости5 Неједнкости с псолутним вредностим број8 Примен једноствнијих неједнкости9 НЕЈЕДНАКОСТИ БРОЈЕВНИХ СРЕДИНА5 ПРИМЕНА НЕЈЕДНАКОСТИ БРОЈЕВНИХ СРЕДИНА 4 ЛОГАРИТАМСКЕ НЕЈЕДНАКОСТИ8 5 КОШИ-ШВАРЦОВА НЕЈЕДНАКОСТ И ПРИМЕНА6 6 ГЕОМЕТРИЈСКЕ НЕЈЕДНАКОСТИ45 6 Неједнкости з елементе троугл45 6 Примен неједнкости н првоугли троуго56 6 Примен неједнкости н неке многоуглове64 64 Стереометријске неједнкости76 7 ПРИМЕНА НЕЈЕДНАКОСТИ ЗА ОДРЕЂИВАЊЕ ЕКСТРЕМНИХ ВРЕДНОСТИ86 8 ЧЕБИШЕВЉЕВЕ НЕЈЕДНАКОСТИ И ПРИМЕНА96 9 ШУРОВА НЕЈЕДНАКОСТ И ЊЕНА ПРИМЕНА07 ЗАКЉУЧАК ЛИТЕРАТУРА БИОГРАФИЈА

3 УВОД Мстер рд је посвећен изучвњу eлементрних неједнкости које су основ истрживњ других сложенијих неједнкости Оне су сдржј грдив још у нижим рзредим основне школе, знње се продубљује кроз средњошколско обрзовње, одлзк н ткмичењ, турнире кко код нс тко и у свету Неједнкости се могу користити ко добр приручник мтеметичрим, физичрим, инжењерим, мехничрим, сттистичрим, економистим Примен неједнкости је зступљен у мтемтичкој нлизи, геометрији, теорији веровтноће, мтеметичкој сттистици, мтемтичкој обрди подтк, линерног и динмичког прогрмирњ ко и у теоријској и примењеној мтемтици Докзивње неједнкости у мтемтици је корисн и кретивн ктивност См примен неједнкости зхтев добро познвње мтемтике, богтсво идеј и метод Неопходн је упорност, стрпљивост и рдознлост у решвњу здтк Интереснтно је докзивње неједнкости, ли нимло лко Увек се може нешто ново, интереснтно и неочекивно додти и зкључити У облсти неједнкости може се брзо доћи до решењ нлизирњем и истрживњем, понекд је потребн дубљ нлиз Докзи могу бити кртки и сжети, ли и дуги, компликовни Идеј кој води до решењ се зснив н оштроумности, досетљивости и повезивњу стечених знњ Глвни циљ је је потврд конкретне тврдње, при чему се може знемрити методичк стрн докз Постоје рзличити нчини докзивњ : Акп је дпкзивое пчигледнп, прирпднп се нмеће пдгпвпр Акп се упчи примен ппзнтих неједнкпсти, кпристе се у решеоу Акп се преппзн примен емпиријске и мтемтичке индукциј 4 Неједнкпст се трнсфпрмише у еквивлентну с кпјпм се прихвтљивије дплзи дп решео 5 Акп је неједнкпст хпмпген у пднпсу н прпменљиве, изврши се оен нпрмлизциј 6 Кпмбинциј рзних метпд Циљ мстер рд је обрд и примен eлементрних неједнкости у нстви мтемтике у основној и средњој школи, ко и припреми з ткмичењ и полгње пријемних испит н фкултете Рд обухвт синтезу теорије с применом, што је стндрд свремене литертуре

4 Тржен је корeлциј између теоријских поствки и прктичне примене, детљно је прикзн процес должењ до решењ У рду је коришћен комбиновн метод истрживњ, проучвн је литертур где је рзноврсн примен неједнкости Рд је н око стрниц, подељен н девет поглвљ, укупн број слик Прво поглвње обухвт сдржј неопходн з рзумевње неједнкости Дефиниције, теореме, тврђењ и примере с применом у основној школи, у рду с ндреним ученицим Друго поглвље чини теоријски део, особине и везе средине бројев ритметичк, геометријск, хрмонијск и квдртн У трећем поглвљу је примен бројевних неједнкости н бројним примерим, које могу д користе ученици основне и средње школе Четврто поглвње су интереснтне логритмске неједнкости, у чијем докзивњу се користе неједнкости средин Пето поглвље је Коши- Шврцов неједнкост с применом н неједнкости средин, неједнкости из геометрије, ко и у скупу релних бројев Коришћење ове неједнкости је често, ко се уочи и препозн њен примен Нјобимније поглвље је шесто где се обрђују геометријске неједнкости, з елементе троугл, примен н првоугли троуго, многоуглове ко и стереометријске неједнкости Мтеријл је интереснтн з ученике виших рзред основне ко и средње школе, ко и з професоре који се бве тим грдивом Коришћене су познте геометријске и тригонометријске једнкости и трнсформције Поједини здци су илустровни цртежим, укупно 9 цртеж у поглвљу Седмо поглвље обухвт неједнкости з одређивње екстрмних вредности што је сдржј многих ткмичењ средњошколц, ко и љубитељ мтемтичких здтк Циљ је д се одреди минимлн или мксимлн вредност изрз или функције, често уз додтни услов н променљивим Ови проблеми врирју од једноствнијих до јко тешких Нјчешће је потребно применити н први нчин неку од познтих неједнкости, искористити дти услов н променљивим Код решвњ здтк из овог дел потребно ј добро познвње полином У осмом поглвљу је Чебишевљев неједнкост с применом н здцим из геометрије и скупу природних бројев Звршно, девето поглвље је Шуров неједнкост с применом н скупу релних бројев Желим д изрзим дубоку зхвлност свом ментору, професору др Синиши Црвенковићу н дргоценом стручном усмервњу приликом изрде овог рд и укупној подршци коју см имл Ткође се зхвљујем професорим др Љиљни Гјић и др Згорки Црвенковић Лознов које су прихвтиле д буду председник и члн комисије у оцени овог рд

5 УОПШТЕНО О НЕЈЕДНАКОСТИ Ако неједнкости додмо или одузмемо једнке, остју неједнке Еуклид, Елементи; Особине неједнкости из Теореме 5 Неједнкости су стекле знчјно место у мтемтици у доб Гус Guss, , немчки мтемтичр, физичр, строном, Кошиј Couh, , фрнцуски мтемтичр и Чебишев Чебышёв, 8-894, руски мтемтичр Већ тд је дт теоријски знчј проксимтивним методм С упоређивњем две или више мтемтичких величин стндрдно обрзовње нс упознје н смом почетку обрзовњ Постоје више типов неједнкости линерне, квдртне, полиномне, логритмске, геометријске, тригонометријске, Друг подел би бил н: Услпвне неједнкпст је дефинисн смп з пдређене вреднпсти прпменљиве,ппд извесним пгрничеоим Безуслпвне псплутне, кп је неједнкпст ист з све вреднпсти прпменљиве з кпје су члнпви неједнкпсти дефинисни Поред те поделе иммо бројевне неједнкости, оне не сдрже променљиву и лгебрске неједнкости које сдрже једну или више променљивих Дв изрз повезн једним од знков,,, или чине неједнкост 4

6 Дефиниције, теореме и тврђењ о неједнкостим Дефинициј Између дв релн број и вжи смо једн од релциј, или Тврђење Ако је з дв релн број и,, тд је и обртно, ко је, тд је Докз Геометријски горње тврђење је очигледно, п неједнкости и имју исто знчење Тчк кој одговр броју нлзи се н бројевној први десно од тчке кој одговр броју б Алегебрски посмтрно, неједнкост знчи д је рзлик - 0, п је рзлик - = -- 0 Обртно, ко је, тд је рзлик - 0, п - = -- 0, што знчи д је Тврђење Ако је з,, с релне бројеве, и с, тд је с Докз Из следи - 0 и из с следи -с 0 Збир неједнкости је -+-с 0, односно -с 0, п је с Тврђење Ако је, онд је +с +с Докз Из следи - 0 Кко је - = +с-+с следи +с-+ 0, односно + + Тврђење 4 Ако је и 0, онд је б Ако је и 0, онд је 5

7 Докз Ако је - 0 и б Ако је - 0 и Тврђење 5 Ако је и - 0, тд је Тврђење 6 Ако је и d где је 0 и d 0 смим тим и 0, 0, тд је d Ако је, d, 0 и 0, тд је d Тврђење 7 Ако су, m, природни бројеви, и m, онд је m Тврђење 8 Ако су и природни бројеви и, онд је - + Докз - = - + Тврђење 9 Ако су и природни бројеви и, онд је Докз Ако је, онд је рзлик негтивн, чиме је докзно тврђење Тврђење 0 З свки природн број је 4 6

8 Докз Знчи д је рзлик већ од нуле Тиме је тврђење докзно Тврђење Ако је и 0, 0, онд је Докз, што знчи д се рзломк повећв с повећњем Тврђење Ако је релн број 0, онд је 0 Тврђење Ако су и позитивни бројеви, тд је Једнкост вжи з = Докз Ако неједнкост - 0, + поделимо с, добијмо и Једнкост вжи з = Често се користи Бернулијев Ј Beroulli неједнкост, следећ теорем је добил нзив по имену швјцрског мтемтичр холндског порекл Теорем З свки релн број - и природн број вжи + + Докз Рзликовћемо дв случј: - и - - 7

9 Докзћемо тчност неједнкости з - методом мтемтичке индукције З = неједнкост постје идентитет Претпоствићемо д неједнкост вжи з произвољн природн број, п је + + Множећи ову неједнкост с + 0 добијмо , из чег следи д је Пошто је 0, добијмо Докзн је неједнкост з - б Ако је - -, тд је = + + Неједнкости с псолутним вредностим број З било кој дв релн број и, вжи д су они једнки или је једн од њих већи од другог Зкључујемо, ко је, онд је = m{,} Дефинициј Број m{, -} нзив се псолутн вредност или модуо број у ознци Теорем З свки релн број вжи: = б - = в Неке вжне особине псолутне вредности број повезне с неједнкостим имју велику примену Следећ теорем је познт по нзиву неједнкост троугл и им знчјну примену у решвњу здтк Теорем З свк дв релн број и вжи неједнкост + + Докз Ако је + 0, тд је Ако је + < 0, тд је + = -+ = -+- Уопштењем Tеореме би се добил неједнкост + i i i i 8

10 Докз З = неједнкост вжи З, i i i i i i i i i i Теорем 4 З релне бројеве и вжи: Докз Нек је - =, п је = + Н основу претходне теореме је = + +, знчи д је - или - - Пошто је - = = +, тиме је десни део неједнкости докзн Поред тог, тчн је и неједнкост - - јер је - = - Вредност - може бити једнк - или -, тко д је и - - Примен једноствнијих неједнкости Докзти неједнкост, 5 З = добиј се тчн неједнкост З = добиј се нетчн неједнкост З = је 8 9 није тчн неједнкост Докжимо д је неједнкост тчн з 5, неједнкост постје 5 5, што је тчно Ако је 5, тд је Знчи д је > 5 и 5, п је Множењем претходне неједнкости с добиј се >, односно + > +, з 5 Зкључујемо тчност неједнкости з свко 5 из импликције < + <

11 Шт је веће 5 5 или 6? 5 Ако је и = , тд је јер је 6 због Знчи д је >, п је 6 5 Докзти д је Користећи неједнкост 7 4 и 7 6, њихов збир је 7 7 0, из чег додвњем неједнкости 5 добијмо , п је Докзти д је > 0 Користећи неједнкост 9 9 > 6 9 = 4 9 = 64 = 7 5 =8 5 > 9 5 > 9 9, знчи д је 9 9 > 9 9, п је и њихов рзлик већ од нуле 5 Докзти д з свки природн број вжи 00 б Докзти д је 00 З вжи > -, из тог следи д је б Следећи низ неједнкости дје решење 0

12 Ако су и позитивни бројеви и >, докзти д је + 00 < Користећи д је <, добијмо д је + < Одвде следи + 00 < < = Докзти неједнкости: б Очигледно је п је 00, 0 00,, , б Уочимо д је, 4 4, 5 78, 79 79, Ако помножимо неједнкости, добијмо Нек је и уочимо д н десној стрни неједнкости иммо број, п је, односно, из чег следи д је, што се и тврдило 9

13 8 Докзти тчност неједнкости Дт неједнкост је еквивлентн неједнкостим З четири број,,, d вжи d >, + = +d, +d < + Упоредити т четири број по величини Из претпоствке +d < + следи +d+ < +, п користећи + = +d добијмо +d < +, п је d < Слично, +d < +, следи +d+ < + Из + = +d добијмо + < +, п је < Користећи претпоствку < d леди < < d < 0 Докзти д је: + > +,, + > 0 б + > + +,, + > 0 Познт неједнкост је - > 0 -+ > 0 -+ > / + + > + б Познт неједнкост је - > 0 -+ > > 0 / > > > 0 + > > + +

14 Докзти неједнкост , з свки релн број Дт неједнкост је еквивлентн неједнкости Добијен неједнкост је тчн з свко Докзти д з свко релно вжи неједнкост ,000 > 0 Дт неједнкост је еквивлентн неједнкостим ,00 > ,00 > ,00 > ,00 > 0 Неједнкост је тчн з свко релно Докзти д не постоје релни бројеви,,, d ткви д је - > 4, - > 4, -d > 4, d- > 4 Ако дте неједнкости вже, тд је +++d d >, односно d 0, што није тчно Знчи д не постоје релни бројеви,,, d з које вже горње неједнкости 4 Ако су,, p, q, r, s природни бројеви ткви д је q r-p s = и p r, докзти д је q+s q s p r Из добијмо q-p > 0, из следи r-s > 0 Пошто су,, q s p, q, r, s цели бројеви, из q-p > 0 следи q-p > и слично r-s

15 Сд иммо = = qr-ps = qr-ps = qr-qs+qs-ps = q r-s+sq-p што се и тврдило q+s, 5 Н путу је колон утобус Аутобус смтрмо препуним ко је у њему више од 50 путник Контролори Војко и Рде зуствили су колону Војко је одредио процент препуних утобус, Рде процент свих путник у препуним утобусим у односу н укупн број путник Чији је процент већи? Нек је препуних и l остлих утобус Нек је у препуним утобусим А путник, у остлим B Тд је A > 50, B 50l, A В A B B l B A l следи 50, 50, п је,, односно l l A A A A п је Зкључујемо д је 00% 00% A B A B Лев стрн је процент путник у препуном утобусу, десн процент препуних утобус Рдетов процент је већи 6 Одредити троцифрени број 0, 0, 0 з које вжи ++ = 9 и Ако дту неједнкост нпишемо у облику, , јер је ++ = 9, п је 6 Ако неједнкост поделимо с > 0, добијмо 6 Применом Тврђењ једнкост вжи з = = Тд је ++ =, п је тржени троцифрени број 4

16 НЕЈЕДНАКОСТИ БРОЈЕВНИХ СРЕДИНА Бројеви влдју свемиром Питгорејци Неједнкости између ритметичке, геометријске и хрмонијске средине позитивних бројев може се ефикно искористити у формирњу рзних докз неједнкости Појм ритметичке средине дв позитивн број појвио се још у време Питгорејц, бртств које је осново Питгор Πσθαγόρας, пре нове ере, грчки мтемтичр Претпоствљ се д су знли познту неједнкост између ритметичке и геометријске средине дв позитивн број, ли ту неједнкост је докзо Еуклид Εὐκλείδης, 65-00? пре нове ере, грчки мтемтичр У литертури се могу нћи н десетине рзличитих докз те неједнкости Следећ теорем дје везу између ритметичке и геометријске средине дв позитивн број Велики знчј неједнкости бројевних средин је што могу д се уопште и з позитивних бројев Теорем Ако су и позитивни бројеви, тд је једнкост вжи смо з =, при чему Докз Пођимо од очигледне неједнкости - следећем низу неједнкости: 0 кој је еквивлентн + често се нзив Кошијев неједнкост Једнкост се постиже смо з =, - 0 5

17 Докз Нек су дте кружнице с центрим у тчкм О и S, полупречници су и, где је Кружнице се додирују спољ, тчке А и B одређују зједничку спољшњу тнгенту тих кружниц Првоугли трпез АBSO им дв прв угл код темен A и B Нек је дуж MS прлелн АB Тд је у првоуглом троуглу OMS хипотенуз ОS дужине и ктет ОМ је Применом Питгорине теореме је SM Докз Већи квдрт стрнице + им површину +, његов површин је већ од површине четири првоугоник стрниц и, што се може зписти ко Cлик Једнкост је постигнут ко и смо ко је површин великог квдрт једнк збиру четири првоугоник То вжи уколико нем квдрт у средини, односно кд је - = 0, п је = У здцим примене неједнкости н средине укзује се потреб коришћењ више од дв број Зто се уопштење своди н позитивних бројев 6

18 Дефинициј Ако је =,,, низ позитивних релних бројев, тд се: - Аритметичк средин A дефинише се изрзом: A ; - Геометријск средин G дефинише се изрзом: G ; - Хрмонијск средин H дефинише се изрзом: H ; - Kвдртн средин К дефинише се изрзом: K Теорем неједнкост ритметичке и геометријске средине Нек је дт -торк позитивних бројев, тд је A G, с једнкошћу ко и смо ко је = = = Докз Докзћемо теорему мтемтичком индукцијом З = неједнкост је облик Претпоствићемо тчност тврђењ з = -, и д је A - G - и докжимо д вжи з = Можемо претпоствити д је 0 Тд је: к к к Aк к Зкључујемо д је -A 0, односно + -A >0 Посмтрјмо - позитивних бројев,,, -, + A з које примењујемо индукцијску претпоствку A - >G - Добијмо: A A 7

19 Пошто је A, претходн неједнкост постје A A A A Одвде следи д је A A, односно A A A Покжимо сд д је A A G Ако неједнкост поделимо с 0 добијмо еквивлентну неједнкост A A A A A 0 A A 0 A 0 A Н основу су A - и -A позитивни бројеви, ко и њихов производ Претходн неједнкост је тчн, ко и неједнкост Зкључујемо д је A G, односно A G Једнкост A G вжи ко и смо ко је = = = Ако би дв број из низ,,, бил рзличит,, тд је јер је Теорем неједнкост геометријске и хрмонијске средине Ако су,,, позитивни релни бројеви, тд је G H, односно Једнкост вжи смо з = = = 8

20 Докз Неједнкост GA з бројеве,,, гли Прем Теореми, једнкост вжи смо з односно = = =, Одтле је тржен неједнкост G,,, H Теорем 4 неједнкост ритметичке и квдртне средине, АК Ако су,,, позитивни релни бројеви, тд је A К, односно Једнкост вжи смо з = = = Докз Ако у идентитету Једнкост К = A је испуњен з = = = 9 пpименимо н десној стрни неједнкости, з i, где је i,, п је, добијмо неједнкост Кко је,,, 0, следи д је односно A i i K

21 Ако претпоствимо д су бр дв број из низ,,, рзличит,, тд је 0 јер је Н основу Теорем, и 4 добијмо неједнкост H G A K Теорем 5 Ако је =,,, низ релних бројев, тд је mi{,,, } H Докз Можемо претпоствити д је 0 < - Tд је mi{,,, } = Н основу неједнкости је,,, Следи, п је H Теорем 6 Ако је =,,, низ релних бројев, тд је K m{,,, } Докз Претпоствимо д је 0 < -, из чег следи, односно, п је K Зкључујемо д је mi{,,, } H G A K m{,,, }

22 ПРИМЕНА НЕЈЕДНАКОСТИ БРОЈЕВНИХ СРЕДИНА У мтемтици треб пмтити процес мишљењ, не формуле В П Ермков При решвњу мтемтичких здтк могу се користити неједнкости средин Зтупљене су код једнчин, неједнчин, једнкости, неједнкости, одређивњ минимлних и мксимлних вредности величин проблеми екстремних вредности Применом неједнкости бројевних средин, могу д се избегну озбиљније теме ко регресивн индукциј или Јенсенов Jese, , днски мтемтичр неједнкост Докзти д з низ релних бројев =,,, и =,,, вжи неједнкост G +G G +, односно Нек је к к, =,,, к к к к Треб докзти,,,, Из неједнкости између геометријске и ритметичке средине је,,, и,,, Сбирњем ових неједнкости, узевши у обзир д је + = =,,, добијмо д је,,,,,,,

23 п вжи неједнкост Докзти д збир позитивног број и његове реципрочне вредности никд није мњи од број Други нчин решвњ здтк је покзн у тврђењу Неједнкост је облик Прем неједнкости кој повезује ритметичку и геометријску средину з бројеве и је односно Једнкост вжи смо ко је, то је з =, Ако су,, произвољни, међусобно рзличити бројеви, докзти д вже неједнкости: > 8 б в Применом неједнкости ритметичке и геометријске средине добијмо д је, и Множењем тих неједнкости добијмо д је 8 8 б Применом неједнкости ритметичке и геометријске средине је Користећи неједнкост докзну у здтку под, добиј се

24 в Применом неједнкости ритметичке и геометријске средине з бројеве, и добиј се Знк неједнкости вжи ко је Из добијмо =, из је = Ако поделимо ове две једнкости, добијмо д је, односно =, п је = Слично се добиј и з = 4 Докзти неједнкост позитивни бројеви 9, где су,, релни Применом неједнкости ритметичке и хрмонијске средине з бројеве, и, добијмо д је Множењем неједнкости с добиј се тржен неједнкост Једнкост вжи з = = 5 Докзти неједнкост! Ако з позитивне бројеве,,, применимо неједнкост ритметичке и геометријске средине, добијмо д је! Кко је, степеновњем с добиј се!

25 Зкључујемо д је!, н основу чег се добиј тржен неједнкост 6 Докзти неједнкост 4! Применом познте једнкости, ко и везе 4 неједнкости ритметичке и геометријске средине з бројеве,,, добијмо, п је, односно 4 4! 7 Докзти тчност неједнкости, где је > 0, > 0 и > 0 Тчност неједнкости ћемо докзти користећи неједнкост ритметичке и геометријске средине: Једнкост вжи з = = 8 Докзти д з, и релне бројеве з које је > 0, > 0 и > 0 вжи неједнкост 4

26 Из неједнкости ритметичке и хрмонијске средине три позитивн број je,, Сбирњем те три неједнкости добијмо Кко је , после квдрирњ добијмо Н основу и неједнкост је тчн 9 Докзти тчност неједнкости з, и позитивне релне бројеве Користећи неједнкост квдртне и ритметичке средине з, и je квдрирњем неједнкост је Применом исте неједнкости, ко су члнови, и, тд је, односно Квдрирњем неједнкости добиј се Н основу неједнкости и је 7 5

27 6 Применом неједнкости геометријске и ритметичке средине је Кубирњем неједнкости је ++ 7 Ако се претходн неједнкост помножи с ++ > 0, тд је Користећи неједнкост добиј се Ако су,,, позитивни релни бројеви чији је збир, докзти д з свки позтивн број вжи неједнкост Применом неједнкости ритметичке и геометријске средине добијмо д је Докзти д з релне позитивне бројеве, и вжи неједнкост 00 4 Користећи неједнкост ритметичке и геометријске средине добиј се

28 7 Множењем претходне неједнкости с добиј се Следи тржен неједнкост: 00 4 Једнкост вжи кд је ритметичк средин једнк геометријској, кд је = = Ако су, и позитивни бројеви где је =, докзти неједнкост Применом неједнкости ритметичке и геометријске средине добиј се 6 6 6, односно, Тиме је докзн тржен неједнкост Једнкост вжи з = =

29 4 ЛОГАРИТАМСКЕ НЕЈЕДНАКОСТИ Здржи прво д мислиш, јер и погрешно мислити је бoље него не мислити уопште Хептиј 55-45, грчк мтемтичрк-филозоф Реч логритм је нстл од грчке речи logos = однос и rithmos = број С нглим рзвојем строномије и морепловств логритми су се почели примењивти током XV и XVI век у нумеричким прорчуним У примени логритмских неједнкости мор се обртити пжњ н облст дефинисности Неједнкости се трнсформишу у неки једноствнији облик користећи особине логритм Зтим се искористе особине монотоности логритмских функциј, кд функциј рсте и опд Вжи следеће: Ако је >, тд је f g 0 < f g Ако је 0 < <, тд је f g f g > 0 8

30 Проверити тчност неједнкости < Логритмовњем леве и десне стрне неједнкости, зтим користећи особине логритм,добиј се низ еквивлентних неједнкости log < log, log < log 0, < Покзн је нетчност бројевне неједнкости Докзти неједнкост - - < Применом особин степеновњ и логритмовњ лев стрн неједнкости постје Докзти д з све природне бројеве вжи log + > 9

31 Дт неједнкост је еквивлентн с низом следећих неједнкости log + > log + log + + log, log + > log, log + > log, + >! Претходн неједнкост је последиц неједнкости + >, + >,, + > 4 Докзти д з све природне бројеве вжи - Применом особине леве стрне неједнкости је Користећи хрмонијску и геометријску средину з, > 0, je Уводећи смену = - и = добиј се низ еквивлентних неједнкости 0

32 5 Ако је >, >, > докзти неједнкост Користећи неједнкост између геометријске и ритметичке средине <,, > 0,, где је = = = добиј се низ еквивлентних неједнкости < 6 Ако је >,, > 0, докзти неједнкост

33 Користећи особину д је + и делењем неједнкости с + добиј се Једнкост вжи з = 7 Докзти д з >, > вжи неједнкост Користећи неједнкост +, кој вжи з свки позитивн број И уводећи смену = добиј се д је Сбирњем претходне две неједнкости добиј се тржен неједнкост Једнкост не може д вжи истовремено 8 Докзти неједнкост

34 Логритмовњем неједнкости 0 > π, добиј се низ еквивлентних неједнкости, log π 0 > log π π, log π + log π 5 >, 9 Докзти д з >, >, > вжи неједнкост Користећи неједнкост + где је = log добиј се Сбирњем претходне две неједнкости је Једнкост се добиј кд је = =

35 0 Докзти д з < < < вжи неједнкост log log + log log + log log > 0 Логритмовњем неједнкости >, добиј се д је log > log, односно log > Кко је < следи д је log log > log log Слично је з < је log < log, log <, log log > log log Сбирњем добијених неједнкости је Додвњем левој и десној стрни где је <, добиј се Десн стрн неједнкости једнк је Тиме се добил тржен неједнкост Докзти неједнкост ко је >, >, > или 0 < <, 0 < <, 0 < < У об случј је log > 0, log > 0, log > 0 Користећи неједнкост геометријске и ритметичке средине 4

36 добиј се неједнкост еквивлентн левој стрни неједнкости Применом неједнкости геометријске и ритметичке средине з = +, = +, = + добиј се Реципрочн вредност претходне неједнкости је Множењем неједнкости с бројем 6, добиј се десн стрн неједнкости Односно Користећи претходну неједнкост и неједнкост, добиј се тржен неједнкост 5

37 6 5 КОШИ-ШВАРЦОВА НЕЈЕДНАКОСТ И ПРИМЕНА Кој нук може бити лепш, племенитиј и з човечнство корисниј од мтемтике Фрнклин У литертури неједнкост се нзив Кошијев Cuh, , фрнцуски мтемтичр и Коши-Шврцов Shwr, 84-9, немчки мтемтичр или Коши-Буњковског Буняковский, , руски мтемтичр или Коши-Шврц-Буњковског неједнкост Неједнкост им примену н вишедимензиони простор што покзује следећ теорем Teoрем 5 Ако су =,,, и =,,, дв низ релних бројев, тд је к к Знк једнкости вжи ко и смо ко је Докз: лгебрски докз неједнкости Посмтрмо квдртни полином по, који је позитивн з свко : 0, односно 0 Горњи изрз је ненегтивн з свки релн број и мор испунити услове 0 и његов дискриминнт не може бити позитивн, односно D 0 Знчи д је и, односно к к Тиме је неједнкост докзн

38 7 Знк једнкости вжи ко су низови и пропорционлни, односно ко постоји релни број t д је t, односно = t, = t,, = t, из чег следи д је к к t t, п је к к t t Тиме је једнкост докзн б Геометријски докз неједнкости Нек су дв вектор,,, и,,,, њихов склрни производ је, односно os, при чему је os Модуо вектор и је и Н основу тог је os, односно Из овог следи Квдрирњем и леве и десне стрне добијмо тржену неједнкост

39 8 Директн Коши-Шврцове неједнкости је неједнкост ритметичке и квдртне средине Докз: Нек је = = = = Tд je из неједнкости добијено д је, односно, што предствљ везу између ритметичке и квдртне неједнкости з > 0 =,,, Примен Коши-Шврцове неједнкости н неједнкост ритметичке и хрмонијске средине Нек је,,, 0 =,,, и,,, Увршћвњем у неједнкост добијмо низ еквивлентних неједнкости: Добијен неједнкост предствљ неједнкост ритметичке и хрмонијске средине

40 9 Кошијев неједнкост је специјлн случј неједнкости Минковског Miowsi, , немчки мтемтичр З произвољне -торке релних бројев,,, и,,, вжи неједнкост к к Докз Из Коши-Шврцове неједнкости се добиј д је Ако се и лев и десн стрн неједнкости помноже бројем, зтим им се дод, из тог следи низ еквивлентних Неједнкости к + + к к к к к к к, п је к к к к 4 Докзти д з свко,, > 0 вжи неједнкост 9 Ствљјући у Коши-Шврцову неједнкост д је,,,,, Добијмо 9 Једнкост вжи з = =

41 40 5 Нек је ++ = Докзти д је Из Коши-Шврцове неједнкости, где је,,,, добијмо, из чег следи д је 6 Докзти неједнкост Применом Коши-Шврцове неједнкости, где је,,, Добиј се неједнкост 7 Докзти неједнкост Нек је,,,,,, п применом Коши-Шврцове неједнкости добиј се, п је 8 Ако су,, релни бројеви ткви д је ++ = 6, докзти д је Користећи Коши-Шврцову неједнкост код које је,,, тд је

42 , 6, п следи 9 Нек су,,, ненегтивни релни бројеви ткви д је Докзти неједнкост Применом Коши-Шврцове неједнкости добијмо низ еквивлентних неједнкости:, Користећи услов здтк д је, добијмо, кореновњем неједнкости добијмо, што је тржен неједнкост 0 Нек су,,, 4, ткви д је ++ = Докзти неједнкост Нек је, 4, 4, 4 Прем неједнкости добијмо низ еквивлентних неједнкости: ,

43 4 Ако су,, релни бројеви, тд је Докзти Из изрз следи Множењем неједнкости с следи Ако су,, релни бројеви ткви д је ++ = 4 и 6, покзти д они припдју интервлу, Дте једнкости нпишимо у облику + = 4-, 6 Применом Коши-Шврцове неједнкости где је = =, =, =, следи 6 4 Дље из 6 4 следи Нуле полином су и, тко д је из интервл, Кко су,, симетрични бројеви у обе једнкости, бројеви и су ткође из интервл, Ако су,, стрнице троугл, s полуобим, докзти 4 s Применом Коши-Шврцове неједнкости где је,,,,,, зкључујемо д је 4 s s

44 4 4 Докзти д з свки троуго стрниц,, и тежишних дужи t, t, t вжи неједнкост t t t, једнкост ко и смо ко је троуго једнкострничн У Кошијевој неједнкости нек је =, =, =, = t, = t, = t Добиј се неједнкост t t t t t t Ако су t, t, t ртојњ између тежишт Т и редом темен A, B, С, иммо t t,, п следи, t t, зтим t t, и, t t, односно t t, и, t t Кко је,, t t t, одвде следи д је t t t Из неједнкости и предходне једнкости добиј се 4 t t t Тиме је тржен неједнкост докзн 5 Ако су,, релни позитивни бројеви з које вжи ++=, докзти д вжи неједнкост Користећи Коши-Шврцову неједнкост где је

45 44,,,,, Добијмо, п је, онд је Користећи услов здтк ++=, добиј се тржен неједнкост Једнкост вжи смо ко је = = с =

46 6 ГЕОМЕТРИЈСКЕ НЕЈЕДНАКОСТИ Аритметик и геометриј су крил мтемтике Оне су основ свих нук које се бве величинм Кд дођемо до неког резултт, д бисмо г употребили, мормо г изрзити бројевим и линијм Ако г изрзимо бројевим, служимо се ритметиком, ко г изржвмо линијм, служимо се геометријом Лгрнж, Lgrge, 76-8, итлијнско-фрнцуски мтемтичр Примен неједнкости у геометрији подрзумев неједнкости везне з елементе троугл, многоугл, или неке друге геометријске фигуре пирмиде, купе, лопте, итд Проблеми везни з геометријске неједнкости могу бити веом компликовни У многим случјевим решвње здтк подрзумев употребу дост сложеног рчунског, уместо искључиво лгебрског метод Шири смисо, геометријске неједнкости је свк неједнкост кој се односи н геометријски цртеж 6 Неједнкости з елементе троугл Нјједноствније геометријске неједнкости су неједнкости троугл Ако су,, дужине стрниц троугл тд је + >, + > и + > или - < < + Многе неједнкости које се односе н стрнице,, троугл, могу се докзти тко што се величине,, изрзе преко три позитивн број 45

47 Нек су,, тнгенте дужи из темен A, B и C троугл ABC н његов уписн круг Слик Из тог је = +, = +, = +,, > 0 Вжи и обртно, ко вже претходне три једнкости тд су, и стрнице троугл Полуобим троугл је S =, дносно S = + + C A B Слик Неке од следећих неједнкости имју велику примену Докзти д је збир тежишних дужи троугл већи од полуобим, мњи од обим тог троугл Потребно је докзти неједнкост А Нек су у троуглу ABC, дужине стрниц,, и тежишн дуж t t = AD Из троугл ABD је -, B D C из троугл ADC је - Сбирњем тих неједнкости је E Слик 4 46

48 С друге стрне, ко продужимо тежишну дуж AD преко тчке D до E, где је AD = DE, из троугл ABE је t < Зкључујемо д је Сбирњем тих неједнкости, добиј се тржен неједнкост Докзти д у свком троуглу чије су стрнице,, и полуобим S, вже неједнкости: Користећи неједнкост троугл где је >, >, > и квдрирњем неједнкости добиј се > односно, п је - > односно, п је - - > односно, п је Множењем неједнкости, и добиј се, А то је тржен неједнкост Једнкост вжи з једнкострничн троуго 47

49 б Применом једнкости добиј се тржен неједнкост У свком троуглу чије су стрнице,, и полуобим S вже неједнкости: Применом неједнкости хрмонијске и ритметичке средине дв позитивн број је Збир претходне три неједнкости је Једнкост вжи з једнкострничн троуго 48

50 б Нек је = S, = S, = S, тд је Слично томе је Користећи неједнкост н и из здтк под, добиј се, кко је S - =, зкључујемо д је S S Н сличн нчин се добиј S S и S S Сбирњем претходне три неједнкости добиј се тржен ц Ако се помноже претходне три неједнкости, добиј се S S S Кд се примени кореновње н неједнкост добиј се тржен неједнкост Једнкост вжи з = = 4 Ако су h, h, h одговрјуће висине и r полупречник уписне кружнице троугл Докзти: h h h 7 r б h + h + h 9 r 49

51 Користећи обрзц з површину троугл Добиј се д је Применом неједнкости геометријске и ритметичке средине з стрнице троугл је Користећи једнкост и претходну неједнкост је Тиме је неједнкост докзн Једнкост вжи кд је = = б Користећи једнкост Применом неједнкости хрмонијске и ритметичке средине је h + h + h 9r Једнкост вжи з једнкострничн троуго 50

52 5 У свком оштроуглом троуглу постоје дв угл чиј је рзлик мњ од Претпоствимо д тврђење није тчно, д је α β и β γ Сбирњем неједнкости добиј се α γ >, односно, α γ + Кко је π = α + β + γ β + γ + следи β + γ Користећи неједнкост β + γ, следи γ Из π = α + β + γ α + β + следи α + β, односно α Зкључујемо д је то супротно претпоствци д је троуго оштроугли, тиме је тврђење докзно 6 Ако је < + онд је α < β + γ Докзти д неједнкост вжи з свки троуго чије су стрнице,, и одговрјући углови α, β, γ Користећи особину д је - siβ и - siγ добијмо неједнкост siα < siβ + siγ Применом трнсформције збир функције синус у производ добиј се siα < si os - Кко је si - следи д је siα < si Из услов здтк уго α је оштр, углови β и γ су ткође оштри У противном њихов збир би био већи од π 5

53 7 Докзти д з троуго ABC вжи неједнкост Применом косинусне теореме н троуго ABC добиј се д је = + osα делењем једнкости с је osα + = + Користећи Тврђење + добиј се osα = 4si Анлогно томе је = + osβ, односно 4si и 4si Сбирњем претходне три неједнкости добиј се тржен неједнкост Jеднкост вжи з једнкострничн троуго 8 Ако су α, β, γ унутршњи углови троугл ABC, докзти д вжи неједнкост Нек су,, стрнице троугл Из неједнкости < + зкључујемо, јер је < + = Применом синусне теореме нек је 5

54 односно = Анлогно томе је - и = При томе је =, =, = Лев стрн неједнкости кој се докзује је Користећи Тврђење добиј се десн стрн претходне једнкости 6 = Тиме је докзн неједнкост Једнкост вжи з, односно з = = код једнкострничног троугл 9 Ако су α, β и γ углови троугл, докзти неједнкост tg + tg + tg Кко је α + β + γ = 80º, односно, = 90º, применом тригонометријских трнсформциј добиј се 5

55 Уводећи смену = tg, = tg, = tg у претходну једнкост, добиј се + + = Применом познте неједнкости , кој је тчн, јер је + + 0, то јест Добиј се д је + +, тиме је докзн тржен неједнкост Једнкост вжи ко је = = =, односно α = β = γ = 60º једнкострничн троуго 0 Ако су,, стрнице троугл и α, β, γ одговрјући углови изржени у рдијним, докзти д је < Докз леве стрне неједнкости Ако је, тд је α β односно - α - β 0 Једнкост вжи ко је = Слично томе је β γ 0 и γ α 0 Сбирњем претходне три неједнкости је α β + β γ + γ α 0, једнкост вжи з = = Користећи услов α + β + γ = π, претходн неједнкост се трнсформише, п је α β γ + β γ α + γ α β 0, то јест α π + β π + γ π 0, односно α + β + γ π + + из тог је 54

56 Једнкост вжи смо ко је троуго једнкострничн б Докз десне стрне неједнкости Пошто је збир две стрнице већи од треће, следи + α + + β + + γ > 0, п је β + γ α + γ + α β + α + β γ > 0, π - α + π - β + π - γ > 0, π + + > α + β + γ, Тиме је докзн тржен неједнкост Докзти д з углове α, β, γ троугл вжи неједнкост si + si + si Примењујући тригонометријску формулу двоструког угл si = - н неједнкост, добиј се , односно osα + osβ + osγ Користећи једнкости osα + osβ = os os - и osγ = osπ α + β = -os α + β = - os +, 55

57 Неједнкост је еквивлентн с os os - os, односно с - - -, што је увек тчно Тиме је дт неједнкост докзн Једнкост вжи з једнкострничн троуго 6 Примен неједнкости н првоугли троуго Докзти д је у првоуглом троуглу збир кубов ктет мњи од куб хипотенузе Из неједнкости < и < следи < и < Сбирњем неједнкости је + < + = = Тиме је докзн тржен неједнкост, + < Здтк би се мого уопштити, з свки природн број >, је + < Кко је - < - и - < -, множењем неједнкости с и добиј се д је < - и < - Збир неједнкости је + < - + = - = Докзти д је у првоуглом троуглу збир ктет мњи од Кко је = + = +, зкључујемо д је > +, односно тржен неједнкост + < Једнкост би вжил з једнокрко првоугли троуго 56

58 У првоуглом троуглу збир хипотенузе и висине нд хипотенузом је већи од збир ктет Докзти Применом неједнкости > и > је > 0 и > 0, односно > 0, п је + > + Делењем неједнкости с > 0 је Применом формуле з површину троугл је h =, тиме је претходн неједнкост + h > +, што је требло докзти 4 Докзти д у било ком првоуглом троуглу вжи 0,4 < < 0,5 где је r полупречник уписне кружнице и h висин нд хипотенузом Користећи формулу з површину троугл P = h = + + r добиј се д је = Кко је + >, знчи д је < = Користећи д је + + и = + следи д је +, то јест + Из нведених неједнкости је Тиме је докзн тржен неједнкост 57

59 5 З првоугли троуго вжи неједнкост: R + r б R r + где је R полупречник описне кружнице, r полупречник уписне кружнице и P површин троугл Кко је P = r s = r и P = знчи д је r = Код првоуглог троугл је R = и добиј се R + r = + = = + - = = + = + - Применом ритметичке и геометријске средине је R + r, односно односно R + r Тиме је тржен једнкост докзн Једнкост вжи кд је = б Користећи неједнкости + из здтк, множењем неједнкости с +, добиј се = + = + +, односно

60 Користећи д је R = и r = - добиј се r + R из тог је R r +, тиме је докзн неједнкост Једнкост вжи з =, где је = и R = r + 6 З тежишне дужи t и t првоуглог троугл чије су ктете и, хипотенуз, вже неједнкости: < < б ц t t P д Применом Питгорине теореме н првоугли троуго CAA и BCB je А t = + и / t = + B t t Делењем ових једнкости је / = = C / A / B Слик 5 59

61 - - - односно Тиме је докзн тржен неједнкост б Сбирњем једнкости је t + t = + Њиховим множењем је t t = Кко је 0 следи Користећи релције и 4 је t t +, п је t t, следи t t 5 Применом једнкости и 5 је t + t = t + t + t t + + = + 60

62 Зкључујемо д је t + t +, односно ц Множењем једнкости је t t = + + = = [ ] 6 Применом познтих формул P = = h и = + je t t = h + 9 h = h + 9 Kкo je > h, следи 9 > 4h, односно t t h односно t t h Из једнкости 6 је t t = Користећи д је h и једнкост добиј се t t = односноt t P д Кко је t t 0 односно t t t + t 0 Сбирњем једнкости и t + t t t добиј се t + t t t + t + t, t + t t + t, t + t 7 6

63 Користећи једнкост где је кд се уврсти у неједнкост 7, добиј се t + t п је Једнкост вжи з =, односно једнкокрки првоугли троуго где је 7 З првоугли троуго вжи os - > где су α и β оштри углови, и ктете и је хипотенуз Докзти Из неједнкости ритметичке и геометријске средине је Кко је α + β = 90º следи д је si = и os - -, Једнкост вжи з siα = siβ односно α = β = 45º 6

64 8 Круг уписн у првоугли троуго хипотенузе додирује крке оштрог угл у тчкм M и N Докзти д је MN < Нек је круг уписн у првоугли троуго АBC хипотенузе = AB, круг додирује крке оштрог угл α = BAC у тчкм M и N Тд је AM = AB + AC BC, AM = + osα siα и MN = AM si, B М MN = os + osα siα, MN = siα os - si, α MN =, C N Слик 6 A MN = -, 6

65 6 Примен неједнкости н неке многоуглове Докзти д је рзлик основиц трпез већ од рзлике његових крков Нек је ABCD трпез код ког је AB CD, AB > CD и тчк Е припд основици AB, где је АЕ = CDЧетвороуго АЕCD је прлелогрм, п је CE = АD, BЕ = АB - CD З троуго BCE мор вжити неједнкост BE > BC - CE Тиме је докзн неједнкост AB CD > BC - AD D C A E Слик 7 B У свком конвексном четвороуглу збир дијгонл је већи од збир две нспрмне стрнице У дтом четвороуглу АBCD, ко су дијгонле АC = l, BD = f; тврдимо д је l + f > + или l + f > + d Кроз темен B и D четвороугл одредимо А B тко д је А B C D АC 64

66 Кроз темен А и C одредимо дуж B C где је B C A D BD У прлелогрму АА B C је АА = CB =, у прлелогрму АCC D је АD = CC = u, у прлелогрму А BDD је А B = D D =, у прлелогрму BB C D је BB = DC = Из троуглов АА B, BB C, CC D и ADD је + >, + >, + u >, + u > d Сбирњем прве и треће, зтим друге и четврте неједнкости је u > + и u > + d Кко је + = l, + u = f зменом у неједнкости је l + f > + и l + f > + d Тиме је докзн неједнкост D C u C D d l f B u A B A Слик 8 Докзти д је збир дијгонл петоугл већи од његовог обим, мњи од двоструког обим Кко је у AFD, AB < AF + FB; BCG, BC < BG + GC; CDH, CD < CH + HD; DEI, DE < DI + IE; EAK, EA < EK + KA 65

67 D Е K I F H G C A B Слик 9 Сбирњем тих неједнкости, добиј се АB + BC + CD + DE + EA < AF + FB + BG + GC + CH + HD + DI + + EK + KA, AB + BC + CD + DE + EA < AF + FG + GC + BG + GH + HD + +GH + HI + IE+ CH + HI + IE + DI + IK + KA + EK + KF + FB, AB + BC + CD + DE + EA < AC +BD + CE + DA + EB Тиме је докзно д је збир дијгонл већи од збир стрниц З други део неједнкости, користи се неједнкост з ABC, AC < AB + BC; BCD, BD < BC + CD; CDE, CE < CD + DE; DEA, DA < DE + EA; EAB, EB < EA + AB Из тог зкључујемо д је АC + BD + CE + DA + EB < AB + BC + CD + DE + GA Тиме је збир дијгонл мњи од двоструког обим, п је неједнкост докзн 66

68 4 У конвексном четвороуглу три угл су туп Докзти д је дијгонл кој ползи из четвртог темен већ од друге дијгонле Нек су у конвексном четвороуглу ABCD, углови ADC и ABC повучени нд већом дијгонлом AC тупи Опишимо круг око дијгонле AC Тд углови ADC и ABC припдју унутршњости круг и з дијгонлу BD вжи неједнкост BD < AC D A C B 5 Неједнкост Птоломеј Слик0 строгрчки строном и мтемтичр, око не Ако су A, B, C, D било које четири тчке у рвни тд вжи неједнкост AB CD + AD BC AC BD Једнкост вжи ко и смо ко је четвороуго ABCD тетивни с дијгонлм AC и BD или су тчке A, B, C, D колинерне, где једн од тчк B и D лежи између тчк A и C, друг не 67

69 Докз Нек је М тчк у рвни ткв д су троуглови CMB и CDA слични и исто оријентисни Тд је A = и BCM= ACD Одтле следи д је = и DCM = ACB B M D Знчи д су и троуглови CMD и CBA слични Због нведених сличност је BM = и MD = C Слик Из неједнкости троугл BM + MD BD je + BD и AB CD + AD BC АC BD Једнкост би вжил кд су тчке B, M и D колинерне, тд би CBD = CAD, четвороуго ABCD би био тетивн 6 Неједнкост прлелогрм З произвољне тчке A, B, C, D у простору вжи неједнкост AB + BC + CD + DA AC + BD Једнкост вжи ко и смо ко су A, B, C, D темен прлелогрм 68

70 Докз: Нек су тчке А,,, B,,, C,,, D 4, 4, 4 у првоуглом координтном систему дте својим координтм Здт неједнкост је збир неједнкости , , Неједнкости су еквивлентне с + 4 0, и Из тог следи тврђење Једнкост је испуњен кд је + 4 = + 4 = + 4 = 0, односно ко и смо ко је ABCD прлелогрм 7 Нек су,,, d стрнице, P површин конвексног четвороугл Докзти д вжи: P Нек је ABCD конвексн четвороуго с стрницм AB =, BC =, CD =, DA = d и нек су β и δ његови унутршњи углови код темен B и D Тд се површин четвороугл може изрзити тригонометријски: P = siβ + d siδ + d Једнкост вжи ко и смо ко је дти четвороуго квдрт 69

71 8 Конвексн -тоуго је рзложен н троуглове У свки од тих троуглов уписн је круг Докзти д је збир полупречник тих кругов већи или једнк од, где је P површин и S полуобим -тоугл Нек је дти -тоуго рзложен н троуглове T i где је i =,,,,, површин троугл T i нек је P i, полуобим s i и полупречник уписног круг с r i Кко је з свко i, r i = Тд полуобим било ког троугл ABC сдржног у конвексном -тоуглу обим s може бити нјвише једнк s Тд је s i s з свко i вжи неједнкост 9 Дијгонле конвексног четвороугл ABCD се секу у тчки О Нек су S и S површине троуглов AOB и COD, S површин четвороугл ABCD Тд вжи неједнкост + Нек је OA =, OB =, OC =, OD = d и COD = α Тд је S = siα, S = siα и S = siα Ko je siα > 0, користећи неједнкост - 0 кoj je еквивлентн с + добиј се + 70

72 Једнкост вжи ко и смо ко је d =, односно : = : d, то је испуњено ко и смо ко је четвороуго ABCD трпез 0 Дијгонл AC сече дијгонлу BD конвексног четвороугл ABCD у њеном средишту S У троуглове ABS, BCS, CDS, DAS уписне су редом кружнице полупречник r, r, r, r 4 Докзти д је: r r + r r 4 AB BC + CD - DA Користећи познте формуле з површину P SAB = P SBC = SA + SB + SC, SB + SC + BC, А P SCD = SC + SD + CD, B r r 4 P SDA = SD + SA + DA r S Полупречници уписних кругов су r =, r D r =, r =, r 4 = C Слик 7

73 Kкo je SB = SD, површине троуглов SAB и SDA су једнке, ко и површине троуглов SBC и SDC Посмтрјући рзлику r r 4 = P SAB = - Н другој стрни производ дужине две стрнице било ког троугл је увек већи или једнк његовој површини Користећи д је SB = SD следи SA + SB + AB SA + SD + AD = = SA + SB + AB SA + AD SA + AB SB + AD SD + AB AD 8 P SAB + P SAB + P SAD + P SAB + P SAD + P DAB = 0 P SAB Користећи добиј се д је r r 4 AB - AD Слично томе је r r CB - CD З ткв четвороуго је AB > AD ко и смо ко је CD > CB Сбирњем претходних неједнкости је r r + r r 4 r r 4 + r r - - = AB BC + CD - DA односно тржен неједнкост је r r + r r 4 AB BC + CD - DA Нек је ABCD тетивни четвороуго, докзти д је : AB - CD + AD - BC AC - BD 7

74 Нек је пресек дијгонл AC и BD тчк S Кко је SAB = CAB = BDC = SDC ABS = ABD = DCA = DCS троуглови SAB и SDC су слични, п је = = B A S D Нек је AS = и BS = тд је CS = и DS = Слик C Рзлик AC - BD = AS + SC BS - SD = = - AB - CD Стрнице троугл ABS су, и AB п је - < AB Користећи предходну неједнкост добиј се AC - BD AB - CD, знчи д је AB - CD AC - BD Слично томе је AC - BD AD - BC то јест AD - BC AC - BD Сбирњем неједнкости је AB - CD + AD - BC AC - BD У првоугоник је уписн четвороуго тко д се н свкој стрници првоугоник нлзи по једно теме тог четвороугл Докзти д обим уписног четвороугл није мњи од збир дијгонл првоугоник 7

75 Нек је ABCD дти првоугоник и MNPQ уписни четвороуго где је M AB, N BC, P CD, Q DA Пресликјмо ABCD симетријом у односу н стрницу BC у првоугоник A ' BCD ', зтим тј првоугоник симетријом у односу н стрницу CD ' у првоугоник A '' B '' CD ', њег у односу н D ' A '' у A '' B ''' C ''' D ' При тим пресликвњим нек се произвољн тчк X преслик у X ', зтим у X '' и у X ''' Обим уписног четвороугл је једнк дужини изломљене линије MNP ' Q '' M ''' кој није мњ од рстојњ MM ''', ово је једнко збиру дијгонл ползног првоугоник ABCD Ако је ABCDEF конвексн шестоуго ткв д је AB прлелно с ED, BC прлелно с FE и CD прлелно с AF Нек су R A, R C, R E полупречници кругов описних око троуглов FAB, BCD, DEF и О обим шестоугл, докзти неједнкост R A + R C + R E 74

76 Нек су P и Q подножј нормл из темен А н прве BC и FE, R и S подножј нормл из темен D н прве BC и FE Ако је FAB = CDE = α, ABC = DEF = β, BCD = EFA = γ Применом синусне теореме је FB = R A siα Кко је FB PQ, FB AQ + AP, FB FA siγ + AB siβ, R A FA + AB Слично FB SR, FB DS + DR, FB ED siα + CD siγ, R A ED + CD S D E β R F Q A α γ B C Слик 5 P Применом неједнкости з R E и R C, добијју се исте неједнкости Њихов збир је 4 R A + 4 R E + 4 R C AB + ED + BC + FE + CD + FA 75

77 Користећи неједнкост + з свко > 0, десн стрн последње неједнкости није мњ од O Зкључујемо 4R A + 4R E + 4R C O, oдносно R A + R E + R C Једнкост вжи ко и смо ко је α = β = γ и BF BC, DB DE, FD FA Односно ко и смо ко је шестоуго ABCDEF првилн 6 4 Стереометријске нејeднкости Нек су,, дужине стрниц квдр, d, d, d дужине дијгонл стрн квдр Докзти д вжи неједнкост d + d + d + + Н основу Питгорине теореме је d =, d =, d = d d d Слик 6 76

78 Применом квдртне и ритметичке средине је Зкључујемо д је d +, d +, d + Сбирњем тих неједнкости је d + d + d + +, односно d + d + d + + Једнкост вжи кд је квдртн средин једнк ритметичкој, кд је = =, кд је коцк у питњу З свки вљк висине H, полупречник основе r, површине P и зпремине V, вжи неједнкост P 54 π V Из познтих једнкости P = rπ r + H и V = r πh следи Применом ритметичко-геометријске средине је Користећи неједнкост и добиј се д је Кубирњем неједнкости је 7, ко се неједнкост помножи с 8π 0 тд је P 7 V односно P 54V 77

79 Једнкост вжи з вљк чији је осни пресек квдрт Збир дужин пречник основе и висине купе је 8 Од свих тквих куп одредити површину оне кој им нјвећу зпремину Нек је r полупречник бзе, H висин купе Њен зпремин је V = r πh = = Применом ритметичко-геометријске средине з три позитивн број, познто је д геометријск средин није већ од ритметичке средине, односно, при чему једнкост вжи з = = Из тог се добиј Једнкост је тчн ко је R = H = 6 Тд успрвн куп им нјвећу зпремину Прем Питгориној теореми з првоугли троуго где је хипотенуз s изводниц, ктете су r и H п је s = r + H, односно s = 6 Површин купе је P = r π + rπs = rπ r + s = 6π = 6π + 4 Д ли се може нпрвити кутиј у облику квдр чиј је зпремин 0,4 m, збир свих ивиц квдр m? 78

80 Применом ритметичко-геометријске средине з ивице квдр,, је односно, односно 8 7 0,4 то јест 7 0,, односно,7 што је супротно претпоствцизкључк је д се не може нпрвити кутиј 5 Нек су, ;, ;, прови мимоилзних ивиц тетредр Докзти д је + > Нек је AB =, CD =, BC =, AD =, AC =,BD =, Слик 7 Ако B AB, C AC, D AD тд је AD AB =, AC AC =, AD AD = D D A C C B B Слик 7 79

81 Из сличности троугл ABC и троугл AB C је, добиј се д је B C = Слично је C D = и B D = Користећи неједнкост троугл B C D je B C + C D > B D, односно Множењем неједнкости с > 0 добиј се тржен неједнкост + > 6 Дт је тетредр у коме је дужин тчно једне ивице већ од Докзти д зпремин тетредр није већ од Нек је у тетредру SABC слик 8 ивиц SC >, дужине остлих ивиц су нјвише мње од или једнке Тчк О је подножје висине тетредр из врх S Подножје S' нормле из О н ивицу АB мимоилзну с SC Кко је троуго SOS' првоугли где је SO < SS' п су стрнице троугл SAB мње или једнке, где је висин SS' 80

82 S A S' O C B Слик 8 Јер је висин нјвећег јeднкострничног троугл стрнице дужине SS' AB н основу теореме о три нормле Кко је висин тетредр H = SO, површин основе ABC је B јер је од свих троуглов, с стрницом мњом или једнком Нјвећи једнкострнични трого је стрнице дужине Зпремин тетредр је 7 Све три стрне рогљ код врх S пирмиде SABC су углови од 60º Докзти д је SA + SB + SC AB + BC + CA 8

83 Нек је SAB једн бочн стрн пирмиде и SM симетрл угл од 60º Ако ознчимо уго SMB с φ, слик 9, применом синусне теореме је Сбирњем једнкости добиј се односно = AB S A 0 0 C M φ s B Слик 9 Кко је siφ, зкључујемо д је SA + SB AB Н сличн нчин из бочне стрне SBC је SB + SC BC, из бочне стрне SAC je SC + CA AC Сбирњем те три неједнкости је SA + SB + SC AB + BC + AC Неједнкост је докзн 8

84 8 Дт је пирмид SABC и у њој тчк Q Докзти д је BQC + CQA + AQB < BSC + CSA ASB Нек је тчк Q продор прве кроз рвн троугл SBC, слик 0 Тд је ABS + SBC = ABC + SBC + Q BC Н основу особине о ивичним угловим триедр је АBS + SBQ > ABQ, односно ABS + SBC > ABQ + Q BC Слично томе ABQ = ABQ + QBQ и QBQ + Q BC > QBC S Q Q A C B Слик 0 Зкључујемо д је ABS + SBC > ABQ + QBC, односно BCS + SCA > BCQ + QCA и CAS + >SAB > CAQ + QAB Сбирњем те три неједнкости је ABS + SBC + BCS + SCA + CAS + SAB > > ABQ + QBC + BCQ + QCA + + CAQ + QAB Из троугл BCS je SBC + BCS = 80 - BSC, 8

85 SCA + CAS = 80 - CSA, SAB + ABS = 80 - ASB С друге стрне је QBC + BCQ = 80 - BQC, QCA + CAQ = 80 - CQA, QAB + ABQ = 80 - AQB Зменом у горњу неједнкост добиј се 80 - BSC + CSA + ASB > > 80 - BQC + CQA + AQB Из чег следи тржен неједнкост 9 У тетредру SABC је SA SB, подножје нормле из темен S н рвн ABC је ортоцентр тог троугл Докзти д је AB + BC + AC 6 AS + BS + CS Нек је тчк О ортоцентр троугл ABC и SO висин тетредр слик Докзћемо д су све стрне рогљ код врх S први углови Кко је по претпоствци АМ висин бзе тетредр АМ BC, применом теореме о три нормле и SM BC П je прв BC нормлн н рвн SAM, п је BC AS По претпоствци је AS SB и АS BC, п је AS нормлн н рвн SBC, зкључујемо AS SC Слично томе је BSC = 90 Применом Питгорине теореме н троуглове SAB, SBC, SAC је АB = SA + SB, BC = SB + SC, AC = SA + SC 84

86 Сбирњем тих неједнкости је АB + BC + AC = SA + SB + SC Дт неједнкост је еквивлентн с AB + BC + AC AB + BC + AC, односно с AB + BC + AC AB BC BC AC AB AC 0, AB BC + BC AC + AC AB 0 што је очигледно тчно Једнкост вжи кд је AB = BC = AC, односно SA = SB = SC S h A C O M B Слик 85

87 7 ПРИМЕНА НЕЈЕДНАКОСТИ ЗА ОДРЕЂИВАЊЕ ЕКСТРЕМНИХ ВРЕДНОСТИ Суштин мтемтике је у њеној слободи Кнтор Одређивње мксимум и минимум неких изрз повезно је с докзивњем неједнкости Често су то дв вид истог здтк Ако се докже д неједнкост f вжи з све вредности променљиве из неког скуп D, тиме је докзно д је Под претпоствком д нведени мксимум постоји Ако се још зкључи д је 0 D, где је f 0 =, онд је С друге стрне, ко неким поступком докжемо д вжи неједнкост, онд је докзн неједнкост з свко D Проблеми из овe теме врирју од једноствних до тешких и врло сложених 86

88 Нек је релн број Одредити минимлну вредност изрз + Нек су, [, + и > Зкључујемо д је = - > 0 Кко је знчи д је Об изрз у згрди су ненегтивн, одвде следи д је функциј f = + рстућ н интервлу [, + Мксимлн вредност изрз је з = и износи f = Нек су,, позитивни релни бројеви ткви д је + + Одредити минимлну вредност изрз Користећи неједнкост ритметичке и геометријске средине, добиј се д је 87

89 Из неједнкости ритметичке и хрмонијске средине је Сбирњем неједнкости и, добиј се н левој стрни тржени изрз Користећи услов здтк д је + +, добиј се д је + 9 = + =, то је оптимлн вредност изрз Вредност се добиј ко и смо ко је = = = Нек су,, позитивни релни бројеви ткви д је + + = Одредити минимлну вредност изрз 88

90 Користећи ритметичку и геометријску неједнкост н следећи нчин Применом квдртне и геометријске неједнкости је и услов здтк + + = решвњем неједнкости, добиј се низ еквивлентних неједнкости Мксимлн вредност изрз је 4 и добиј се ко и смо ко је = = = 4 Одредити мксимлну вредност производ дв број чији је збир једнк S 89

91 Еквивлентн здтк: Одредити који првоугоник дтог обим S им нјвећу површину Нек су и тржени бројеви стрнице првоугоник, где је + = S и = Р Користећи нејeднкост геометријске и ритметичке средине добиј се квдрирњем неједнкости је, Р Једнкост вжи з = Нјвећ вредност површине Р ће бити кд је =, односно кд је првоугник квдрт Вредност мксимум ће бити S 5 Нек су и релни бројеви, ткви д је + 5 Одредити нјмњу и нјвећу вредност изрз Нек је F, = , односно F, = Нјмњ вредност је 75 з = -, = 4 З нјвећу вредност користимо услов, п је F, + F -,- = + 5 = 50 Јер је F -, Из неједнкости је F, 50 F -,-, F, 50-75, F, 5 Нјвећ вредност је 5 з = и =

92 6 Нек су,,, позитивни релни бројеви ткви д је = Нћи минимлну вредност изрз Ако дти изрз ознчимо с А тд је Користећи неједнкост Коши-Шврцов добиј се Знчи д је минимлн вредност изрз A једнк Потребно је одредити још i з које се добиј т минимлн вредност Код Коши-Шврцове једнкост вжи кд су елементи пропорционлни, то је з Из тог следи д је =, - =,, - =,, = Сбирњем првих + - једнкости добиј се 9

93 Одређивње вредности з се добиј из Из тог је 7 Одредити минимлну вредност функције f = + Функциј f се може зписти у облику f = П је функциј f збир рстојњ од тчк A, - и B5, 4 до тчке X, 0 Ово рстојње је минимлно кд тчк X припд дужи AB из неједнкости троугл Минимум функције се добиј з = и износи f mi = f = 9

94 8 Нек су,,, d, e, f релни бројеви ткви д је d + e + f = 0 и d + e + f = 6 Одредити минимлну вредност број f Применом Коши-Шврцове неједнкости з,,, d, e и,,,, добиј се d + e - Изрз н левој стрни је једнк с 6 f, н десној стрни неједнкости је -, f f 0 0, 0 f Знчи д нјвећ вредност з f је и добиј се з = = = d = e = 9 Од свих четвороуглов с дтим стрницм нјвећу површину им тетивни четвороуго Докзти Нек су,,, d узстопне стрнице четвороугл, α, β углови између и, односно и d Тд је прем косинусној теореми 9

95 + osα = + d d osβ, односно + d = osα d osβ Површин четвороугл је P = siα + d siβ, п је 4 P = siα + d siβ = si α + d siα siβ + d si β = os α + d d + d siα siβ + d os β = + d d - siα siβ osα d osβ d osα osβ = + d - + d d + osα + β = + d d d os + d - + d Једнкост вжи кд је Једнкост је з α + β =, то је тетивни четвороуго и површин је нјвећ 0 Нек је f = + полином с релним коефицијентим који им три релн позитивн корен, који не морју бити рзличити Одредити минимлну вредност збир + Ако су r, s, t корени полином f, тд је f = r s t и rst = Користећи Коши-Шврцову неједнкост + α, α R + добиј се 94

96 + r + s + t 8 = 8 Знчи д је f - = - r - s - t = - + r + s + t - 8 С другој стрни је f - = = - + Из тог се добиј д је , + 6 П је функциј f = = + и + = 6 тржени минимум је вредност 6 95

97 8 ЧЕБИШЕВЉЕВЕ НЕЈЕДНАКОСТИ И ПРИМЕНА Свки однос између мтемтичких величин, одговр односу између релних стври Чебышёв Чебишевљев Чебышёв, 8-894, руски мтемтичр и неколико интереснтних примен тих неједнкости се ређе примењује у здцим елементрне мтемтике, ли неки здци се могу решити једино помоћу ове неједнкости Прикзћемо и докзти неједнкост, ко и њену примену н здцим Теорем 8 Ако су низови релних бројев,,, и,,, монотони у истом смислу односно и или и тд је Ако су,, и,, монотони у супротном смислу односно и или и тд је 96

98 Докз: Докзћемо неједнкост нлогно томе се докзује и неједнкост Докжимо нјпре десну стрну неједнкости Нек је Сбирњем неједнкости је Користећи особину д је тд је Сбирњем тих једнкости, добиј се 97

99 Због монотоности у истом смислу низов i и i, сви сбирци су ненегтивни п се добиј неједнкост , односно неједнкост Чебишевљев При томе је једн и то нјвећи од сбирк тог збир Д би вжил једнкост, неопходно је и довољно д је збир једнк нули, то се добиј з = или = Због монотоности низов i, i еквивлентно је услову д бр једн од низов буде констнтн З докз леве неједнкости довољно је д је зједно с низом,,, и низ, - -,, - рстући П се докзни део теореме може применити н низове i и - +-i Теорем 8 Нек су,,, и,,, опдјући низови релних бројев и П произвољн пермутциј скуп {,,, } Тд вже неједнкости 98

100 Ако је при том низ i строго опдјући, тд лев стрн неједнкости постје једнкост ко и смо ко су + - Пi = i, i =,,,, десн постје једнкост ко и смо ко је Пi = i, i =,,, Докз: Докз десне стрне неједнкости, методом мтемтичке индукције З =, неједнкост је очигледн Претпоствимо д неједнкост вжи з неки природни број и докзћемо д вжи и з + З дту пермутцију П скуп {,,,, + нек је i = Пi i =,,, + Рзликовћемо дв случј Ако је + = +,,,, су пермутције бројев,,, Прем индуктивној претпоствци је Додвњем левој и десној стрни изрз добиј се тржен неједнкост Ако је = +, +, нек су ', ',, ', + ' пермутције бројев кој се добиј трнспоновњем -тог и +-тог члн Тд је,,,,, + 99

101 припд делу који је докзн Ако је низ i строго опдјући, неједнкост вжи ко и смо ко је i = i, односно Пi = i з i =,,, Нек су α, β, γ углови троугл изржени у рдијним,,, дужине стрниц, S = Тд вже неједнкости + + Ако је > 0 и 0 односно > 0 тд због неједнкости је Користећи неједнкост између ритметичке и хрмонијске средине з позитивне бројеве је + + Из претходне две неједнкости добиј се 00

102 Ако у претходну неједнкост уврстимо д је = = =, = α, = β, = γ 0 α β γ добиј се јер је α + β + γ = π д је б Ако се у неједнкост уврсти д је = +, = +, = +, = α, = β, = γ где је 0 < и 0 α β γ тд је > 0 и > 0 Н тј нчин добиј се тржен неједнкост в Нек је = -, = -, = - где је 0 < и 0, = α, = β, = γ, 0 α β γ Ако уврстимо у неједнкост добиј се 0

103 Kкo je + јер је 0 з > 0, > 0 Зкључујемо д је - -, то јест тржен неједнкост Једнкост вжи кд је троуго једнкострничн З природн број, вжи нејeднкост Једн нчин докзивњ неједнкости би био помоћу мтемтичке индукције, јер је N Други нчин би био примен неједнкости Чебишевљев, што ће се и покзти Користећи рзвој леве и десне стрне једнкости + = + + по биномној формули Коефицијент уз члн н левој стрни је н десној стрни је 0

104 Зкључујемо д је Једнкост вжи смо кд је = З релне позитивне бројеве,, природн број, где је S = вжи неједнкост 0

105 Докзћемо нјпре помоћну неједнкост где су, N и,,, позитивни релни бројеви Једнкост вжи кд је =, или = = = =, односно Потребно је докзти неједнкост з и к Може се посмтрти д је 0 к и к Докз помоћне неједнкости помоћу мтемтичке индукције З = je < + + +, oдносно Неједнкост је тчн због претпоствке д је < Претпоствимо д је неједнкост тчн з, < Докзћемо д неједнкост вжи и з +, <

106 Користећи индуктивну претпоствку = < < < < < Докзћемо д је < Множењем н левој стрни добиј се < , 0 < , 0 < , Ов неједнкост је тчн јер су изрзи у згрдм једнког знк и < Неједнкост 4 је тчн, п из неједнкости з + следи тчност неједнкости Сд ћемо докзти неједнкост Не мењјући смисо неједнкости, посмтрћемо д је 0 односно 0 п је и 0 < 05

107 Применом неједнкости Чебишевљев добиј се Применом неједнкости з = добиј се Сд применом неједнкости ритметичке и хрмонијске средине је Из чег следи тржен неједнкост Ако се у неједнкост користи д је =, добиј се д је з = је Пошто је неједнкост хомоген, може се приметити д је + + = и где је + + = тд би се добило Ако би се поступк нствио з =, 4, Тиме је неједнкост докзн 06

108 9 ШУРОВА НЕЈЕДНАКОСТ И ЊЕНА ПРИМЕНА Никкво људско истрживње не може се нзвти првом нуком ко није мтемтичким докзим потврђено Леонрдо д Винчи Теорем 9 Ако су,, позитивни релни бројеви и је релн број, тд је с једнкошћу ко и смо ко је = = Овј докз је до Lev, J J A es prоof for Shur s iteguliti, C R Mth Rep Ad Si Cd Докз: Ако леву стрну неједнкости ознчимо с L Претпоствимо д дв од бројев,, нису једнки Ако је =, тд је L = 0 Пермутовњем,, уочвмо д може д се претпостви д је > > Рзликовћемо дв случј Ако је 0, тд је L = [ ] + L > + > 0 07

109 Ако је < 0, тд је L = + [- + ], L > > 0 Једнкост вжи ко и смо ко је = = Неједнкост вжи и з релн број који је прн кд су,, негтивни бројеви Докзти д з свки позитивн релн број,, вжи неједнкост Користећи неједнкост з = добиј се + + 0, , , , , Тиме је докзн неједнкост Једнкост вжи ко је = = Докзти д з свки позитивн релн број,,, где је =, вжи неједнкост 08

110 Множењем изрз н левој стрни неједнкости и сређивњем добиј се неједнкост Кко је =, уводећи смену д је =, =, = где је,, > 0, јер је,, > 0 Уводећи смену у неједнкост, добиј се Претходн неједнкост је специјлн случј Шурове неједнкости кд је =, једнкост вжи з = = Зкључујемо д и њој еквивлентн неједнкост вжи, односно и дт неједнкост Једнкост се добиј кд је = = = Нек су,, позитивни релни бројеви Докзти неједнкости: б з + + = Применом Херонове формуле з површину троугл, добиј се једнкост = = Користећи ову једнкост добиј се еквивлентн неједнкост с дтом неједнкости 09

111 , Множењем и сређивњем претходне неједнкости добиј се Т неједнкост је случј Шурове теореме кд је = Тиме је докзн тржен неједнкост Једнкост се добиј кд је = = б Користећи услов + + = неједнкост је еквивлентн с нејднкости Сређивњем претходне неједнкости је Тчност неједнкости потврђује Шуров теорем з = Једнкост вжи кд је = = = 0

112 ЗАКЉУЧАК Обрђене теме крктерише знимљивост, рзноврсност и применљивост Рд је фокусирн н теме које су знчјне з додтни рд, рд с ндреним ученицим, ко и ткмичење ученик основних и средњих школ Повезност теоријског и прктичног истрживњ може послужити ко добр мтеријл свим који покзују интересовње з eлементрне неједнкости и неједнкости уопште Потребн је снжн мотивциј у процесу стицњ нових знњ, проширивњу и продубљивњу већ стечених знњ Смтрм д су циљеви мог рд релизовни Тем eлементрне неједнкости је неисцрпн, проистекл од велике примене мтемтичр ли и немтемтичр Могућност дљег истрживњ и проширењ теме би обухвтило детљнију примену н метрички простор, н конвексне и конквне функције Коришћење других познтих неједнкости Хелдерове Hölder, , немчки мтемтичр, Жорднове Jord, 88-9, фрнцуски мтемтичр, Јнгове Youg, , енглески мтемтичр, Ердеш-Морделов Еrdös, 9-996, мђрски мтемтичр, Mordell, , енглески мтемтичр Примен метод мтемтичке индукције и диференцијлног рчун у решвњу сложенијих здтк и проблем неједнкости

113 ЛИТЕРАТУРА [] Др Дргослв СМитриновић, НЕЈЕДНАКОСТИ, Грђевинск књиг, Беогрд, 965 [] ДСМитровиновић, Д Михиловић, П М Всић, ЛИНЕАРНА АЛГЕБРА, ПОЛИНОМИ, АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА, VI издње, Грђевинск књиг, Беогрд, 97 [] Др Шефкет Арслнгић, МАТЕМАТИКА ЗА НАДАРЕНЕ, I издње, Боснск ријеч, Срјево, 004 [4] ПрофдрБорис Пвковић, профдрдрко Вељн, ЕЛЕМЕНТАРНА МАТЕМЕТИКА I, Школск књиг, Згреб, 004 [5] Милн С Јовић, ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ, Бчк Плнк, 996 [6] Влдимир Стојновић, СТАЗАМА ШАМПИОНА, приручник з додтну нству и припрему ткмичењ, з ученике VII и VIII рзред, Мтемтископ, Беогрд, 999 [7] Влдимир Стојновић, МАТЕМАТИСКОП, одбрни здци з први рзред средњих школ, V издње, Мтемтископ, Беогрд, 995 [8] Влдимир Стојновић, МАТЕМАТИКА, инострн ткмичењ основц, Мтемтископ, Беогрд, 00 [9] Др Пвле Миличић, мр Влдимир Стојновић, др Зорн Кделбург, др Брнислв Боричић, МАТЕМАТИКА з I рзред средње школе, IХ издње, Звод з уџбенике и нствн средств, Беогрд, 000 [0] Слвиш Б Прешић, РЕАЛНИ БРОЈЕВИ, мтемтичк библиотек 45, Звод з уџбенике и нствн средств, Беогрд, 985 [] Милорд Челебић, Слободн Диков Новчић, ЗАДАЦИ СА ТАКМИЧЕЊА СА РЕШЕЊИМА, мтемтичк библиотек 49, Звод з уџбенике и нствн средств, Беогрд, 986 [] Зорн Кделбург, ДушнЂукић, Миливоје Лукић, Ивн Мтић, НЕЈЕДНАКОСТИ, мтеријл з млде мтемтичере, свеск 4, Друштво мтемтичр Србије, Беогрд, 00 [] Влдимир Блтић, Душн Ђукић, Ђорђе Кртинић, Ивн Мтић, ПРИПРЕМНИ ЗАДАЦИ з мтемтичк ткмичењ средњошколц Србије, мтеријл з млде мтемтичере, свеск 49, Друштво мтемтичр Србије, Беогрд, 008 [4] Друштво мтемтичр Србије, ТАНГЕНТА 0, здци из мтемтичког чсопис ТАНГЕНТА , мтеријл з млде мтемтичере, свеск 45, Беогрд, 006 [5] Дирк Ј Сројк, КРАТАК ПРЕГЛЕД ИСТОРИЈЕ МАТЕМАТИКЕ, Звод з уџбенике и нствн средств, Беогрд, 987

114 БИОГРАФИЈА Рођен см 0896 године у Бчкој Плнци Звршил см средње усмерено обрзовње у Бчкој Плнци у Гимнзији 0 октобр, мтемтички смер и стекл звње помоћни истрживч у мтемтици У Новом Сду, н Природно-мтемтичком фкултету см стекл звње дипломирни мтемтичр професор мтемтике Рд у просвети см зпочел 990 године у Силбшу, у школи у којој см зпочел своје обрзовње Зтим см седм годин предвл мтемтику и информтику у основној школи Алекс Шнтић Гјдобр Нов Гјдобр У Челреву, у основној школи Здрвко Челр рдим десет годин У Новом Сду, 070 Биљн Пвков