Μαθηματικά Γ9 ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαθηματικά Γ9 ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ"

Transcript

1 Μαθηματικά 9 ΥΜΝΣΙΟΥ -04_MATH_G GYMN.indb /5/ 4: PM

2 ΣΤΟΙΧΕΙ ΡΧΙΚΗΣ ΕΚΔΟΣΗΣ ΣΥΡΦΕΙΣ ΚΡΙΤΕΣ - ΞΙΟΛΟΗΤΕΣ ΕΙΚΟΝΟΡΦΗΣΗ Δημήτριος ργυράκης, Μαθηματικός, Εκπαιδευτικός Β/θμιας Εκπαίδευσης Παναγιώτης Βουργάνας, Μαθηματικός, Εκπαιδευτικός Β/θμιας Εκπαίδευσης Κωνσταντίνος Μεντής, Μαθηματικός, Εκπαιδευτικός Β/θμιας Εκπαίδευσης Σταματούλα Τσικοπούλου, Μαθηματικός, Εκπαιδευτικός Β/θμιας Εκπαίδευσης Μιχαήλ Χρυσοβέργης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Εμμανουήλ Μανατάκης, Επίκουρος καθηγητής Πολυτεχνικής Σχολής Πανεπιστημίου Πατρών Μιχαήλ Σαλίχος, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Νικόλαος Παπαευστρατίου, Μαθηματικός, Εκπαιδευτικός Β/θμιας Εκπαίδευσης Νικόλαος Μαρουλάκης, Σκιτσογράφος - Εικονογράφος ΦΙΛΟΛΟΙΚΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΤΟΥ ΜΘΗΜΤΟΣ ΚΙ ΤΟΥ ΥΠΟΕΡΟΥ ΚΤ ΤΗ ΣΥΡΦΗ ΕΞΩΦΥΛΛΟ Ευγενία Βελάγκου, Φιλόλογος Δημήτριος Κοντογιάννης, Σύμβουλος του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου Παναγιώτης ράββαλος, Ζωγράφος ΠΡΟΕΚΤΥΠΩΤΙΚΕΣ ΕΡΣΙΕΣ 9 Κ.Π.Σ. / ΕΠΕΕΚ II / Ενέργεια... / Κατηγορία Πράξεων...α: «ναμόρφωση των προγραμμάτων σπουδών και συγγραφή νέων εκπαιδευτικών πακέτων» ΠΙΔΩΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ Δημήτριος. Βλάχος Ομότιμος Καθηγητής του.π.θ., Πρόεδρος του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου Πράξη με τίτλο: «Συγγραφή νέων βιβλίων και παραγωγή υποστηρικτικού εκπαιδευτικού υλικού με βάση το ΔΕΠΠΣ και τα ΠΣ για το υμνάσιο» Επιστημονικός Υπεύθυνος Έργου ντώνιος Σ. Μπομπέτσης Σύμβουλος του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου ναπληρωτές Επιστημονικοί Υπεύθυνοι Έργου εώργιος Κ. Παληός Σύμβουλος του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου Ιγνάτιος Ε. Χατζηευστρατίου Μόνιμος Πάρεδρος του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου Έργο συγχρηματοδοτούμενο 75% από το Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο και 5% από εθνικούς πόρους. ΣΤΟΙΧΕΙ ΕΠΝΕΚΔΟΣΗΣ ΕΚΣΥΧΡΟΝΙΣΜΟΣ ΨΗΦΙΚΗΣ ΜΚΕΤΣ, ΕΝΣΩΜΤΩΣΗ ΛΛΩΝ ΒΣEI ΥΠΟΔΕΙΞEΩΝ ΤΟΥ ΠΙΔΩΙΚΟΥ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟΥ, ΠΡΟΕΚΤΥΠΩΤΙΚΕΣ ΕΡΣΙΕΣ: ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΕΚΔΟΣΕΩΝ / Ι.Τ.Υ.Ε. «ΔΙΟΦΝΤΟΣ» -04_MATH_G GYMN.indb /5/ 4: PM

3 ΥΠΟΥΡΕΙΟ ΠΙΔΕΙΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΙ ΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Δημήτριος ργυράκης Παναγιώτης Βουργάνας Κωνσταντίνος Μεντής Σταματούλα Τσικοπούλου Μιχαήλ Χρυσοβέργης ΝΔΟΧΟΣ ΣΥΡΦΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΕΤΙΡΕΙ Μαθηματικά 9 ΥΜΝΣΙΟΥ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΙΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ ΚΙ ΕΚΔΟΣΕΩΝ «ΔΙΟΦΝΤΟΣ» -04_MATH_G GYMN.indb /5/ 4: PM

4 -04_MATH_G GYMN.indb 4 /5/ 4: PM

5 Πρόλογος Το βιβλίο που κρατάς στα χέρια σου, έχει σκοπό να βοηθήσει εσένα το μαθητή της 9 υμνασίου, να κατανοήσεις και να εμπεδώσεις τις διάφορες μαθηματικές έννοιες και να αποκτήσεις τις αναγκαίες δεξιότητες που περιλαμβάνονται στο αναλυτικό πρόγραμμα της τάξης σου. Η ύλη του βιβλίου είναι οργανωμένη σε δύο μέρη. Το 9 Μέρος περιλαμβάνει 5 Κεφάλαια που αναφέρονται στην Άλγεβρα, ενώ το Β9 Μέρος περιλαμβάνει Κεφάλαια που αναφέρονται στη εωμετρία και την Τριγωνομετρία. Κάθε Κεφάλαιο χωρίζεται σε ενότητες μαθημάτων. Σε κάθε ενότητα περιλαμβάνονται:. Οι κύριοι στόχοι. Στην αρχή κάθε ενότητας αναγράφονται οι κύριοι στόχοι της, όπως διατυπώνονται στο αναλυτικό πρόγραμμα, ώστε να ξέρεις πού σε οδηγεί ο καθηγητής σου.. Η δραστηριότητα. Οι δραστηριότητες είναι μια μεγάλη ποικιλία προβλημάτων, όσο το δυνατόν πιο κοντά στα ενδιαφέροντά σου, που οδηγούν στην αναγκαιότητα της εισαγωγής των εννοιών που θα διδαχθείς ή στην επανάληψη και διεύρυνση άλλων που έχεις ήδη διδαχθεί σε προηγούμενες τάξεις. Με κατάλληλα ερωτήματα γίνεται προσπάθεια να επικεντρωθεί η προσοχή σου σε ορισμένες ενέργειες που θα σου δώσουν την ευκαιρία να αναπτύξεις πρωτοβουλία, να διατυπώσεις τις ιδέες και απόψεις σου και να τις ανταλλάξεις με τους συμμαθητές σου.. Το κυρίως μάθημα. Περιλαμβάνει γνώσεις που πρέπει να αποκτήσεις, να συγκρατήσεις και να μπορείς να εφαρμόζεις, όπως ορισμούς και ιδιότητες, που θα σου επιτρέψουν να επιλύεις προβλήματα και να διατυπώνεις συλλογισμούς. Σε πολλές περιπτώσεις περιλαμβάνει αποδείξεις βασικών προτάσεων. 4. Παραδείγματα - Εφαρμογές. Πρόκειται για ένα σύνολο λυμένων ασκήσεων και προβλημάτων, που σκοπεύουν να σου δώσουν τη δυνατότητα να μάθεις πώς να αντιμετωπίζεις ανάλογες ασκήσεις, να διαπιστώσεις την ευρύτητα των εφαρμογών που έχουν τα Μαθηματικά, να αποκτήσεις νέες εμπειρίες στις μεθόδους επίλυσης προβλημάτων και να διευρύνεις το πεδίο των γνώσεών σου. 5. Ερωτήσεις κατανόησης. Είναι απλά ερωτήματα ή σύντομα προβλήματα τα οποία πρέπει να μπορείς να απαντήσεις, μετά την ολοκλήρωση του μαθήματος. -04_MATH_G GYMN.indb 5 /5/ 4: PM

6 Πρόλογος 6. Προτεινόμενες ασκήσεις και προβλήματα. Ιδιαίτερη προσπάθεια καταβλήθηκε για τη συλλογή και την ταξινόμηση των προτεινόμενων ασκήσεων και προβλημάτων. πό τις πιο απλές ασκήσεις ως τα πιο σύνθετα προβλήματα, έγινε προσπάθεια να αναδειχθεί η χρησιμότητά τους σε κάθε τομέα εφαρμογής τους, (Φυσική - Χημεία - Οικονομία κ.τ.λ.) που ενδείκνυται για την ηλικία και τις γνώσεις σου, αλλά και σε καταστάσεις της καθημερινής ζωής. Σε ορισμένες ενότητες περιλαμβάνονται συμπληρωματικά: - Θέματα από την Ιστορία των Μαθηματικών και Δραστηριότητες που στοχεύουν να κεντρίσουν το ενδιαφέρον σου ώστε να συνεισφέρουν στην κατανόηση των εννοιών και των μαθηματικών προβλημάτων στα οποία αναφέρονται. - Διαθεματικά σχέδια εργασίας. Πρόκειται για δραστηριότητες οι οποίες θα αποτελέσουν θέματα για ομαδική έρευνα και συνεργασία. Στο τέλος κάθε κεφαλαίου υπάρχουν: - ενικές Επαναληπτικές ασκήσεις και προβλήματα και μια σύντομη Επανάληψη - νακεφαλαίωση με τις βασικότερες γνώσεις που αποτελούν τον πυρήνα του κεφαλαίου. Το βιβλίο κλείνει με: παντήσεις - Υποδείξεις των ασκήσεων και Ευρετήριο όρων. Πιστεύουμε ότι το βιβλίο αυτό ανταποκρίνεται στις απαιτήσεις της σύγχρονης παιδαγωγικής και ότι οι γνώσεις που θα αποκτήσεις από αυτό θα σε βοηθήσουν στα επόμενα βήματά σου. ια να επιτευχθούν οι στόχοι του βιβλίου αυτού εκτός από τη δική σου προσπάθεια, χρειάζεται και η αρμονική συνεργασία με τον καθηγητή σου. Οι συγγραφείς -04_MATH_G GYMN.indb 6 /5/ 4: PM

7 Περιεχόμενα ΜΕΡΟΣ ΛΕΒΡ Κεφάλαιο ο - ΛΕΒΡΙΚΕΣ ΠΡΣΤΣΕΙΣ. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις- συμπληρώσεις).... Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους... Β. Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Tετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού Μονώνυμα - Πράξεις με μονώνυμα λγεβρικές παραστάσεις-μονώνυμα... 5 Β. Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα - Πρόσθεση και φαίρεση πολυωνύμων....4 Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων ξιοσημείωτες ταυτότητες Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων Διαίρεση πολυωνύμων Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.Δ. ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις Πράξεις ρητών παραστάσεων Πολλαπλασιασμός - Διαίρεση ρητών παραστάσεων Β. Πρόσθεση - φαίρεση ρητών παραστάσεων ενικές ασκήσεις ου Κεφαλαίου... 8 Επανάληψη - νακεφαλαίωση ου Κεφαλαίου... 8 Κεφάλαιο ο - ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΝΙΣΩΣΕΙΣ. Η εξίσωση α + β = Εξισώσεις δευτέρου βαθμού Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων Β. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με τη βοήθεια τύπου Προβλήματα εξισώσεων δευτέρου βαθμού Κλασματικές εξισώσεις νισότητες - νισώσεις με έναν άγνωστο...0. Διάταξη πραγματικών αριθμών...0 Β. Ιδιότητες της διάταξης.... νισώσεις πρώτου βαθμού μ έναν άγνωστο... ενικές ασκήσεις ου Κεφαλαίου...8 Επανάληψη - νακεφαλαίωση ου Κεφαλαίου...0 Κεφάλαιο ο - ΣΥΣΤΗΜΤ ΡΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ. Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης.... Η έννοια του γραμμικού συστήματος και η γραφική επίλυσή του _math_g GYMN.indb 7 /5/ 4: PM

8 Περιεχόμενα. λγεβρική επίλυση γραμμικού συστήματος... ενικές ασκήσεις ου Κεφαλαίου Επανάληψη - νακεφαλαίωση ου Κεφαλαίου... 4 Κεφάλαιο 4ο - ΣΥΝΡΤΗΣΕΙΣ 4. Η συνάρτηση y = α με α Η συνάρτηση y = α + β + γ με α ενικές ασκήσεις 4ου Κεφαλαίου...56 Επανάληψη - νακεφαλαίωση 4ου Κεφαλαίου...58 Κεφάλαιο 5ο - ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ 5. Σύνολα Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Έννοια της πιθανότητας...74 ενικές ασκήσεις 5ου Κεφαλαίου...80 Επανάληψη - νακεφαλαίωση 5ου Κεφαλαίου...8 Β ΜΕΡΟΣ ΕΩΜΕΤΡΙ - ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙ Κεφάλαιο ο - ΕΩΜΕΤΡΙ. Ισότητα τριγώνων Λόγος ευθυγράμμων τμημάτων Θεώρημα του Θαλή Ομοιοθεσία Ομοιότητα Όμοια πολύγωνα... 5 Β. Όμοια τρίγωνα Λόγος εμβαδών ομοίων σχημάτων...5 ενικές ασκήσεις ου Κεφαλαίου...9 Επανάληψη - νακεφαλαίωση ου Κεφαλαίου...0 Κεφάλαιο ο - ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙ. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω με 0 # ω # Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών Σχέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας Νόμος των ημιτόνων - Νόμος των συνημιτόνων ενικές ασκήσεις ου Κεφαλαίου... 5 Επανάληψη - νακεφαλαίωση ου Κεφαλαίου... 5 Τριγωνομετρικοί πίνακες Ευρετήριο όρων - ονομάτων παντήσεις Υποδείξεις των προτεινόμενων ασκήσεων και προβλημάτων _MATH_G GYMN.indb 8 /5/ 4: PM

9 -04_MATH_G GYMN.indb 9 /5/ 4: PM

10 -04_MATH_G GYMN.indb 0 /5/ 4: PM

11 o ΚΕΦΛΙΟ AΛΕΒΡΙΚΕΣ ΠΡΣΤΣΕΙΣ. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις). Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα. Πολυώνυμα Πρόσθεση και φαίρεση πολυωνύμων.4 Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων.5 ξιοσημείωτες ταυτότητες.6 Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων.7 Διαίρεση πολυωνύμων.8 Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.Δ. ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων.9 Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις.0 Πράξεις ρητών παραστάσεων ενικές ασκήσεις ου κεφαλαίου Επανάληψη νακεφαλαίωση -04_MATH_G GYMN.indb /5/ 4: PM

12 . Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) 4 Θυμάμαι τους πραγματικούς αριθμούς, τις τεχνικές και τις βασικές ιδιότητες των πράξεών τους. 4 Εμπεδώνω τις ιδιότητες των δυνάμεων. 4 νωρίζω τις ιδιότητες των ριζών και μαθαίνω να τις χρησιμοποιώ. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Πραγματικοί αριθμοί είναι όλοι οι αριθμοί που γνωρίσαμε στις προηγούμενες τάξεις. Π.χ. 4, 5, 7,4, w,, π, w5, w4, 0,5, + w, 6, Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς. Ρητός λέγεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή ενός κλάσματος μ, όπου μ, ν ακέραιοι αριθμοί και ν 0. ν 4, 5 = 5, 7,4 = 74 00, =, w4 = =, 0,5 = 5 0. Άρρητος λέγεται κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός. w, π, w5, + w, 6, ΡΝΗΤΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ ΜΗΔΕΝ ΘΕΤΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ 5,8 w π 4, Κάθε πραγματικός αριθμός παριστάνεται μ ένα σημείο πάνω σ έναν άξονα. Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α συμβολίζεται με u αu και είναι ίση με την απόσταση του σημείου, που παριστάνει τον αριθμό α, από την αρχή του άξονα. ια παράδειγμα: u u =, u u =, u 0u = 0, u 4 u = 4 Οι πράξεις στους πραγματικούς αριθμούς Πρόσθεση ια να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους, και στο άθροισμα αυτό βάζουμε ως πρόσημο το κοινό τους πρόσημο = = -04_MATH_G GYMN.indb /5/ 4: PM

13 . Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ια να προσθέσουμε δύο ετερόσημους αριθμούς, αφαιρούμε τη μικρότερη απόλυτη τιμή από τη μεγαλύτερη και στη διαφορά αυτή βάζουμε πρόσημο, το πρόσημο του αριθμού που έχει τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή. Πολλαπλασιασμός ια να πολλαπλασιάσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο γινόμενό τους βάζουμε πρόσημο + ια να πολλαπλασιάσουμε δύο ετερόσημους αριθμούς, πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο γινόμενό τους βάζουμε πρόσημο +5 7 = = + (+5)? (+7) = +5 ( 5)? ( 7) = +5 (+5)? ( 7) = 5 ( 5)? (+7) = 5 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού ια την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό ισχύουν οι ιδιότητες: Ιδιότητα Πρόσθεση Πολλαπλασιαμός ντιμεταθετική α + β = β + α αβ = βα Προσεταιριστική α + (β + γ) = (α + β) + γ α(βγ) = (αβ)γ Ουδέτερο στοιχείο α + 0 = α α? = α α + ( α) = 0 α? =, α α 0 Επιμεριστική α (β + γ) = α β + α γ Υπενθυμίζουμε ακόμη ότι: α? 0 = 0. Aν α? β = 0, τότε α = 0 ή β = 0. Aν α? β 0, τότε α 0 και β 0. Δύο αριθμοί που έχουν άθροισμα μηδέν, λέγονται αντίθετοι., Δύο αριθμοί που έχουν γινόμενο τη μονάδα, λέγονται αντίστροφοι. 4 5, 5 4 φαίρεση Διαίρεση Οι πράξεις της αφαίρεσης και της διαίρεσης γίνονται με τη βοήθεια της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού αντιστοίχως. ια να βρούμε τη διαφορά δύο αριθμών, προσθέτουμε στο μειωτέο τον αντίθετο του 5 7 = 5 + ( 7) = 5 ( 7) = 5 + (+7) = αφαιρετέου. α β = α + ( β) ια να βρούμε το πηλίκο δύο αριθμών 5 : 5 = 5? (α : β, ή α με β 0), πολλαπλασιάζουμε το β διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη. α α : β = α? ή = α? β β β 5 = 5 5 = -04_MATH_G GYMN.indb /5/ 4: PM

14 Mέρος - Κεφάλαιο ο Nα υπολογιστούν οι παραστάσεις: ΠΡΔΕΙΜΤ ΕΦΡΜΟΕΣ α) ( )? ( ) ( + ) (+ )? ( ) β) + } } Λύση α) ( )? ( ) ( + ) (+ )? ( ) = ( 6 ) = = = = 6 = β) + } = } 6 } + } 6 } } = 5 } 5 } = 5 0 = ν α + β = και γ + δ = 5, να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης = (γ α) + (β δ ). Λύση = (γ α) + (β δ ) = = γ + α + β δ = (επιμεριστική ιδιότητα) = α + β γ δ = (αντιμεταθετική ιδιότητα) = (α + β) (γ + δ) = (επιμεριστική ιδιότητα) = ( ) ( 5) = = = = EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΤΝΟΗΣΗΣ Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα σημειώνοντας στην κατάλληλη θέση. κέραιος Ρητός Άρρητος 6 0, 0,8 w w6,4 π Να συμπληρώσετε τις ισότητες: α) + 7 =... β) =... γ) 9 =... δ) ( )? =... ε) 0? ( 7 ) =... στ) ( 4 5 )? ( 5 4 ) =... ζ) ( 6) : ( 5 )=... η) ( 8 5 ) : (+4)=... θ) ( 4 ) : (+ 4 )= _MATH_G GYMN.indb 4 /5/ 4: PM

15 . Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Να συμπληρώσετε τις ισότητες: α) (? 5) =... β) ( 5) =... γ) ( 5) =... δ) (......) = ε) ( + )( + y) =... στ) 4( ) = Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: i) Aν δύο αριθμοί είναι αντίθετοι, τότε: α) είναι ομόσημοι β) έχουν ίσες απόλυτες τιμές γ) έχουν γινόμενο μηδέν δ) έχουν γινόμενο τη μονάδα. ii) Aν δύο αριθμοί είναι αντίστροφοι, τότε: α) είναι ετερόσημοι β) έχουν άθροισμα μηδέν γ) έχουν ίσες απόλυτες τιμές δ) έχουν γινόμενο τη μονάδα. 5 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες: α) Οι αντίστροφοι αριθμοί είναι ομόσημοι. β) Το άθροισμα δύο ομόσημων αριθμών είναι θετικός αριθμός. γ) Η απόλυτη τιμή κάθε πραγματικού αριθμού είναι θετικός αριθμός. δ) Δύο αριθμοί με γινόμενο θετικό και άθροισμα αρνητικό είναι αρνητικοί. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΤ Nα κάνετε τις πράξεις: α) +? 4 : ( 4) + β) +? (4 ) : ( 4 + ) γ)? ( ) : ( ) 6 δ) 8 : ( + 5) 4? ( + 6) Τα αποτελέσματα των παρακάτω πράξεων σχηματίζουν το έτος που έγινε ένα γεγονός στη χώρα μας με παγκόσμιο ενδιαφέρον. (5 4) (+) + ( 6 + 4) ( 7) = 4 ( + 6 ) + ( 9 + 6) = 4 + ( ) ( 4 )? ( ) = ( )? ( ) + 4 (+5) ( ) : ( ) = Ένα αυτοκίνητο ξεκίνησε από τη θέση Ο, κινήθηκε πάνω στον άξονα 9 προς τα αριστερά στη θέση Β και στη συνέχεια προς τα δεξιά στη θέση. ν είναι Ο = 5 km, τότε να βρείτε πόσο διάστημα διήνυσε το αυτοκίνητο και πόσο μετακινήθηκε από την αρχική του θέση. B O A _MATH_G GYMN.indb 5 /5/ 4: PM

16 Mέρος - Κεφάλαιο ο 4 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α) ( 4 ) + ( ) (+ ) β) ( ) + ( ) γ) 5 5 ( ) δ) ( 7 ) ( 4 5 ) 5 : ( 5 + ) 5 6 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α) β) 4 ( 4 ) Οι ελάχιστες θερμοκρασίες μιας πόλης το πρώτο δεκαήμερο του έτους ήταν:,, 0,,,, 5, 0,,. Να βρείτε τη μέση ελάχιστη θερμοκρασία της πόλης το δεκαήμερο αυτό. γ) Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά χρησιμοποιώντας το κατάλληλο σύμβολο (+ ή ). α) = β) = 0 γ) = δ) 0,5... 6,5... 8,50 = 4 4 Να αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες: α) 8 (α β) + (α 5 β) = β) (α + β γ) (4 + γ β) ( α) = 0 γ) (α ) + α ( 7 + 9) (+) = 0 ν + y = 5 και ω + φ = 7, να υπολογίσετε τις παραστάσεις: = 4 ( ω) (y φ) Β = ( 5 + φ) + ( 8 + y) (ω 4) ν α, β είναι οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου, που έχει περίμετρο 56 και γ, δ οι διαστάσεις ενός άλλου ορθογωνίου, που έχει περίμετρο, να υπολογίσετε την παράσταση = α (9 γ) (5 β δ). Να τοποθετήσετε καθέναν από τους παρακάτω αριθμούς 7, 6, 5,,,, 4, 5, 9 σε ένα τετράγωνο, ώστε τα τρία αθροίσματα να είναι ίσα μεταξύ τους. + + = + + = + + = 6-04_MATH_G GYMN.indb 6 /5/ 4: PM

17 . Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς B Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν $ συμβολίζεται με α ν και είναι το γινόμενο ν παραγόντων ίσων με τον αριθμό α. Δηλαδή α ν = α? α? α?...? α { ν παράγοντες =?? = 8 ( ) = ( )? ( ) = 9 Ορίζουμε ακόμη: α = α α 0 = με α 0 α ν = α ν με α 0 ια τις δυνάμεις με εκθέτες ακέραιους αριθμούς και εφόσον αυτές ορίζονται, ισχύουν οι ιδιότητες: Ιδιότητες Παραδείγματα α μ? α ν = α μ+ν? 4 = +4 = 7 α μ : α ν = α μ ν 5 : = 5 = (αβ) ν = α ν β ν (χ) = χ = 4χ ν α α ( ν ) = ( ) = = β β ν 7 8 (α μ ) ν = α μν ( ) = 6 = 64 ν ν α β ( ) = ( ) β α Nα υπολογιστούν οι παραστάσεις: 4 ( ) = ( ) 4 ΠΡΔΕΙΜΤ ΕΦΡΜΟΕΣ α) ( )? ( ) (? ) β)? (? y ) : (? y ) Λύση α) ( )? ( ) (? ) =? ( )? ( ) =?? 4 = = 4 β) (y ) : ( y ) = (y ) ( y ) = (y ) ( ) (y ) = 5 y 6 4 y 6 = Aν? y =, να υπολογιστεί η παράσταση =? (? y )? ( ). Λύση A =? (? y )? ( ) =? 4? y 6? =? 4?? y 6 = 9? y 6 = = (? y ) = ( ) = _MATH_G GYMN.indb 7 /5/ 4: PM

18 Mέρος - Κεφάλαιο ο Nα υπολογιστούν οι παραστάσεις: A = ( )? ( ) +? 5? ( ) : 5 6 B = (? 5 ) +? ( 4) : ( ) Λύση H προτεραιότητα των πράξεων Πρώτα υπολογίζουμε τις δυνάμεις. Στη συνέχεια κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις. Τέλος, κάνουμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις. Όταν η παράσταση περιέχει και παρενθέσεις, εκτελούμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις με τη σειρά που αναφέραμε παραπάνω. = ( )? ( ) +? 5? ( ) : 5 6 = = 4? ( ) +? 9 5? ( ) : 5 6 = = : 5 6 = = = = 0 Β = (? 5 ) +? ( 4) : ( ) = = (? 5 9) +? (8 4) : ( ) = = 0 9 +? 4 : ( ) = = = = = = EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΤΝΟΗΣΗΣ Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες: α) ια κάθε αριθμό α ισχύει α + α + α + α = α 4. β) ια κάθε αριθμό α ισχύει α? α? α? α = α 4. γ) Οι αριθμοί ( 5) 6 και 5 6 είναι αντίθετοι. δ) Οι αριθμοί ( )8 και ( )8 είναι αντίστροφοι. ε) ια κάθε αριθμό α ισχύει (α) = 9α. στ) Ο αριθμός ( 5) είναι θετικός. ζ) Ο αριθμός είναι θετικός. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά χρησιμοποιώντας το κατάλληλο σύμβολο (= ή ). α) ( ) 6... β)... 9 γ) δ) ( 5 )... 5 ε) στ)( 5 ) ζ) ( ) 5... η) (7 + ) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. i) H τιμή της παράστασης ( ) είναι: α) 4 9 β) 9 4 γ) 9 4 δ) _MATH_G GYMN.indb 8 /5/ 4: PM

19 . Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ii) H τιμή της παράστασης f( ) 0 g είναι: α) β) 6 γ) δ) iii) H τιμή της παράστασης + είναι: α) 5 5 β) 7 γ) 5 6 δ) Να συμπληρώσετε τον πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε παράσταση της στήλης, το αποτέλεσμά της από τη στήλη Β. Στήλη Στήλη Β α. ( 4 ) β. ( 5 )? 0 γ. ( ) δ. ( 4 : )?. } α β γ δ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΤ Nα γράψετε καθεμιά από τις παρακάτω παραστάσεις ως μία δύναμη: α) 5? 8 β) 4 : γ)? 5 δ) (5 ) 4 ε)? ( ) 4 στ) ( 6)6 6 ζ) 4 : 4 η) 7? 4? 5 Nα υπολογίσετε την τιμή κάθε παράστασης: α) ( )? 8 β) ( )? ( ) 4 γ) (0,75)? ( 4 ) δ) 6 : ( ) ε) (,5) 4? ( 4) 4 στ) 4 : 0 ζ) ( )? ( ) 4 η) (0,0)? Nα απλοποιήσετε τις παραστάσεις: α) ( )? 5 4 β) (y )? y γ) ( )? ( ) δ) ( ) : ε) ( )? ( ) στ) : ( ) Nα υπολογίσετε την τιμή κάθε παράστασης: =? ( ) + 4 ( 7) 0? 8?( )? Β = ( 4) : 5 ( )? ( ) 4 = (,5)? (,5)? ( 4)? ( 8) Δ = (5 7? 8 4 ) : (5 7? 40 4 ) ν τριπλασιάσουμε την πλευρά ενός τετραγώνου, πόσες φορές μεγαλώνει το εμβαδόν του; 9-04_MATH_G GYMN.indb 9 /5/ 4: PM

20 Mέρος - Κεφάλαιο ο Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού Η τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού συμβολίζεται με w και είναι ο θετικός αριθμός που όταν υψωθεί στο τετράγωνο μας δίνει τον αριθμό. Π.χ. w5 = 5, αφού 5 = 5 Ορίζουμε ακόμη w0 = 0. Όμως και ( 5) = 5, οπότε έχουμε w( 5) = w5 = 5 = u 5u. ενικά, για κάθε πραγματικό αριθμό ισχύει: w( 7) w = = u 7u = 7, w7 = 7 Δεν ορίζεται τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού, γιατί δεν υπάρχει αριθμός που το τετράγωνό του να είναι αρνητικός αριθμός. Παρατηρούμε ακόμη ότι: ( w9 ) = = 9, δηλαδή ( w9 ) = 9. ενικά Iδιότητες των ριζών ν 0, τότε ( w ) = ΔΡΣΤΗΡΙΟΤΗΤ. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά χρησιμοποιώντας το κατάλληλο σύμβολο (= ή ) w4? w00... w4? 00 και w w Με τη βοήθεια ενός υπολογιστή τσέπης να συμπληρώσετε και τα παρακάτω κενά: w? w5... w? 5 και w... w5 5 ια τους αριθμούς 4 και 00 μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε ότι ισχύουν: w4 w4? w00 = w4? 00 και w00 = 4 00 Με τη βοήθεια ενός υπολογιστή τσέπης μπορούμε να καταλήξουμε σε ανάλογες ισότητες και για τους αριθμούς και 5. Όσα όμως παραδείγματα κι αν εξετάσουμε, δεν αρκούν για να μας πείσουν, ότι οι σχέσεις αυτές είναι αληθείς για οποιουσδήποτε μη αρνητικούς αριθμούς. Μόνο μια απόδειξη μπορεί να μας πείσει. ενικά ια δύο μη αρνητικούς αριθμούς α, β μπορούμε να αποδείξουμε ότι: Το γινόμενο των τετραγωνικών ριζών τους ισούται wα? wβ = wαβ με την τετραγωνική ρίζα του γινομένου τους. Το πηλίκο των τετραγωνικών ριζών τους ισούται με την τετραγωνική ρίζα του πηλίκου τους. wα = α με β > 0 wβ β 0-04_MATH_G GYMN.indb 0 /5/ 4: PM

21 . Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ια να αποδείξουμε την πρώτη ισότητα, υπολογίζουμε το τετράγωνο κάθε μέλους της ξεχωριστά. ( wα? wβ ) = ( wα)? ( wβ) = αβ ( wαβ ) = αβ Παρατηρούμε, ότι οι δύο μη αρνητικοί αριθμοί wα? wβ και wαβ έχουν το ίδιο τετράγωνο αβ, οπότε είναι ίσοι. Άρα wα? wβ = wαβ. Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να αποδείξουμε και τη δεύτερη ισότητα. Παρατηρούμε ακόμη ότι w6 + w9 = 4 + = 7, ενώ w6 + 9 = w5 = 5 δηλαδή w6 + w9 w ενικά: ν α, β είναι θετικοί αριθμοί, τότε wα + wβ wα+β ΠΡΔΕΙΜΤ ΕΦΡΜΟΕΣ Nα αποδειχθεί ότι w0 = w5 και γενικά για μη αρνητικούς αριθμούς α, β ότι ισχύει wα β = α wβ. Λύση Επειδή 0 = 4? 5 =? 5 έχουμε w0 = w? 5 = w? w5 = w5. Ομοίως έχουμε wα β = wα? wβ = α wβ. Ο αριθμός 0 μπορεί να αναλυθεί και με άλλον τρόπο σε γινόμενο παραγόντων π.χ. 0 =? 0, αλλά τότε κανένας παράγοντάς του δεν είναι τετράγωνο ενός θετικού ακέραιου αριθμού. Nα αποδειχθεί ότι: α) w + w = 5 w β) w? w4 = 6 w γ) w50 w8 = w Λύση α) Με τη βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας έχουμε: w + w = ( + ) w = 5 w β) w? w4 = w? 4 = w7 = w6? = w6? w = 6 w γ) w50 w8 = w5? w9? = w5? w w9? w = 5 w w = w Λύση Nα μετατραπεί το κλάσμα 5 w, που έχει άρρητο παρονομαστή, σε ισοδύναμο κλάσμα με ρητό παρονομαστή. Πολλαπλασιάζουμε και τoυς δύο όρους του κλάσματος με τον παρονομαστή. 5 w = 5? w w? w = 5 w ( w ) = 5 w -04_MATH_G GYMN.indb /5/ 4: PM

22 Mέρος - Κεφάλαιο ο 4 Τα τετράγωνα ΒΔ και ΖΗΘ έχουν εμβαδόν m και m αντιστοίχως. Να βρεθεί το εμβαδόν του ορθογωνίου ΒΚΖ και το μήκος του τμήματος ΒΘ. Λύση Το εμβαδόν του τετραγώνου ΒΔ είναι Β = m, οπότε η πλευρά του είναι Β = w m. Tο εμβαδόν του τετραγώνου ΖΗΘ είναι Ζ = m, οπότε η πλευρά του είναι Ζ = w m. Επομένως Το εμβαδόν του ορθογωνίου ΒΚΖ είναι: Ε = Β? Ζ = w? w = w? = w6 = 6 m. Το μήκος του τμήματος ΒΘ είναι: ΒΘ = Β + Θ = Β + Ζ = w + w = w4? + w = w + w = w m. Δ m Θ Β Ε m Κ Ζ Η EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΤΝΟΗΣΗΣ Να συμπληρώσετε τις ισότητες: α) w + w =... β) 5 w w =... γ) w5 + 4 w5 5 w5 =... δ) w? w =... ε) w8 : w =... στ) w? w8 =... Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε στοιχείο της στήλης ένα στοιχείο από τη στήλη Β. Στήλη α. w5 β. w 5 γ. w5 δ. w5 ε. w( 5) στ. w 5 Στήλη B. 5. δεν ορίζεται. 5 α β γ δ ε στ Να συμπληρώσετε τους πίνακες: Άθροισμα ινόμενο Πηλίκο α β wα wβ wα + β wα + wβ wαβ wα? wβ α wα β wβ _MATH_G GYMN.indb /5/ 4: PM

23 . Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς 4 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες. α) w? w = w6 β) w + w = w5 γ) 9 4 = δ) w( ) = ε) ( ) = στ) Το διπλάσιο του w5 είναι το w0. ζ) Το μισό του w είναι το w. 5 Ένα τετράγωνο έχει εμβαδόν 50 m. Είναι σωστό να ισχυριστούμε ότι η πλευρά του είναι 5 w m; ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΤ Nα υπολογίσετε τις παραστάσεις: α) w5 7 w5 + w5 β) 5 w7 8 w w7 + 4 w γ) 5? 5 8 7? 7 δ) 4 5? 0 7 +? 4 Nα αποδείξετε τις ισότητες: α) w w50 + w 6 w8 = 0 w β) w7 w0 + w w5 = 5 w w5 γ) w? w8 w? w48 + w0 = w6 w5 δ) w,6? w4,9 w0,8? w0, =,8 Nα υπολογίσετε τις παραστάσεις: α) + w6 β) w9 γ) 6 w9 4 Nα συμπληρώσετε τον πίνακα με τις περιμέτρους και τα εμβαδά των ορθογωνίων ΒΔ, ΕΖΗΘ και ΚΛΜΝ. Ποιο από τα ορθογώνια έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν; μήκος πλάτος περίμετρος εμβαδόν ΒΔ 5 w w EΖΗΘ 4 w w ΚΛΜΝ w w -04_MATH_G GYMN.indb /5/ 4: PM

24 Mέρος - Κεφάλαιο ο 5 Nα κάνετε τις πράξεις: α) w ( w8 + w8 ) β) w6 ( w7 w ) γ) ( w75 + w45 w00 ) : w5 δ) ( w7 w5)( w7 + w5) Nα μετατρέψετε τα παρακάτω κλάσματα, που έχουν άρρητους παρονομαστές, σε ισοδύναμα κλάσματα με ρητούς παρονομαστές. α) β) 4 γ) 5 w + w6 δ) w w6 w5 w Nα λύσετε τις εξισώσεις: α) w5 + = w5 β) w6 = w4 γ) w = w δ) w = w7 Nα αποδείξετε ότι ( w )( w + ) =. Χρησιμοποιώντας την προηγούμενη ισότητα να μετατρέψετε το κλάσμα, που έχει άρρητο παρονομαστή, σε ισοδύ- w ναμο με ρητό παρονομαστή. B Θ 9 ν τα τετράγωνα ΒΔ, EΖΗ έχουν εμβαδόν 50 m και 8 m αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τετραγώνου ΒΘΙΕ είναι 98 m. Δ 50 m Η 8 m Ζ Ε Ι 0 Στις κάθετες πλευρές Β = cm και = 6 cm ορθογωνίου τριγώνου Β, να πάρετε αντιστοίχως τα σημεία Δ, Ε, έτσι ώστε Δ = cm και AE = cm. Να αποδείξετε ότι Β = ΔΕ. Στο ισοσκελές τρίγωνο Β (Β = ), το ύψος Δ = 4 cm και η πλευρά Β = 4 cm. α) Να υπολογίσετε την πλευρά και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η περίμετρος του τριγώνου Β είναι w5 cm. β) Στην προηγούμενη ερώτηση 4 μαθητές έδωσαν τις παρακάτω απαντήσεις: 4 + w0, 4 + w0, 8 w5, ( + w0). Ποιες από αυτές είναι σωστές; Β 4 cm Δ 4 cm 4-04_MATH_G GYMN.indb 4 /5/ 4: PM

25 . Mονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα 4 Mαθαίνω τι είναι αλγεβρική παράσταση και πώς βρίσκεται η αριθμητική τιμή της. 4 Διακρίνω αν μια αλγεβρική παράσταση είναι μονώνυμο και προσδιορίζω το βαθμό του. 4 Μαθαίνω να κάνω πράξεις με μονώνυμα. λγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα ΔΡΣΤΗΡΙΟΤΗΤ y 5 α β. Να βρείτε την περίμετρο και το εμβαδόν των κίτρινων σχημάτων.. Στο πράσινο σχήμα φαίνεται η κάτοψη ενός καταστήματος που πρόκειται να στρωθεί με πλακάκια. Να εξηγήσετε γιατί τα πλακάκια που θα χρειαστούν έχουν συνολικό εμβαδόν + y. ν = 5 και y = 8, ποιο είναι το συνολικό εμβαδόν τους; Aλγεβρικές παραστάσεις Πολλές φορές για να λύσουμε ένα πρόβλημα, καταλήγουμε σε εκφράσεις που περιέχουν μόνο αριθμούς και γι αυτό ονομάζονται αριθμητικές παραστάσεις. 6? 5 +? 8,? 5 + 5? 8 Υπάρχουν όμως και προβλήματα στα οποία καταλήγουμε σε εκφράσεις οι οποίες, εκτός από αριθμούς, περιέχουν και μεταβλητές. Οι εκφράσεις αυτές λέγονται αλγεβρικές παραστάσεις. 4, α + β,, αβ, Ειδικότερα, μια αλγεβρική παράσταση λέγεται ακέραια, όταν μεταξύ των μεταβλητών της σημειώνονται μόνο οι πράξεις της πρόσθεσης ή του πολλαπλασιασμού και + χ, οι εκθέτες των μεταβλητών της είναι θετικοί ακέραιοι. α + β, 4 πr Aν σε μια αλγεβρική παράσταση αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές με αριθμούς και κάνουμε τις πράξεις, θα προκύψει ένας αριθμός που λέγεται αριθμητική τιμή ή απλά τιμή της αλγεβρικής παράστασης. ια παράδειγμα, η τιμή της αλγεβρικής παράστασης + y για = 5 και y = 8, είναι? 5 + 5? 8 = 90. y, + y 5-04_MATH_G GYMN.indb 5 /5/ 4: PM

26 Mέρος - Κεφάλαιο ο Μονώνυμα Οι ακέραιες αλγεβρικές παραστάσεις, στις οποίες μεταξύ του αριθμητικού παράγοντα και των μεταβλητών σημειώνεται μόνο η πράξη του πολλαπλασιασμού, λέγονται μονώνυμα. Σ ένα μονώνυμο ο αριθμητικός παράγοντας λέγεται συντελεστής του μονωνύμου, ενώ το γινόμενο όλων των μεταβλητών του υψωμένων στους αντίστοιχους εκθέτες τους λέγεται κύριο μέρος του μονωνύμου. Ο εκθέτης μιας μεταβλητής λέγεται βαθμός του μονωνύμου ως προς τη μεταβλητή αυτή. Ιδιαίτερα, εφόσον π.χ. =, εάν δεν εμφανίζεται εκθέτης σε μία μεταβλητή ο βαθμός του μονώνυμου ως προς τη μεταβλητή αυτή ισούται με. Βαθμός του μονωνύμου ως προς όλες τις μεταβλητές του λέγεται το άθροισμα των εκθετών των μεταβλητών του. 4,, αβ, w 4 y ω Μονώνυμο y συντελεστής κύριο μέρος Το μονώνυμο y είναι: ου βαθμού ως προς ου βαθμού ως προς y 4 ου βαθμού ως προς και y Τα μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος λέγονται όμοια. ια παράδειγμα τα μονώνυμα 5 yω, 5 yω, yω, είναι όμοια. Τα όμοια μονώνυμα που έχουν τον ίδιο συντελεστή λέγονται ίσα ενώ, αν έχουν αντίθετους συντελεστές, λέγονται αντίθετα. ια παράδειγμα τα μονώνυμα y και y είναι αντίθετα. Συμφωνούμε ακόμη να θεωρούνται και οι αριθμοί ως μονώνυμα και τα ονομάζουμε σταθερά μονώνυμα. Ειδικότερα, ο αριθμός 0 λέγεται μηδενικό μονώνυμο και δεν έχει βαθμό, ενώ όλα τα άλλα σταθερά μονώνυμα είναι μηδενικού βαθμού. ια παράδειγμα, ο αριθμός 5 είναι σταθερό μονώνυμο μηδενικού βαθμού. ΠΡΔΕΙΜΤ ΕΦΡΜΟΕΣ Nα βρεθεί η αριθμητική τιμή των παραστάσεων α) y, για = και y = β) α β + 6 για α = και β = 8. Λύση α) H αριθμητική τιμή της παράστασης y για = και y = είναι:? ( )? ( ) =? (+4)? ( ) =. β) Η αριθμητική τιμή της παράστασης α β + 6 για α = και β = 8 είναι:? ( )? =? (+9) = = _MATH_G GYMN.indb 6 /5/ 4: PM

27 . Mονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Tο ιδανικό βάρος Β (σε κιλά) ενός ενήλικα, ύψους υ (σε cm) δίνεται από τον τύπο Β = κ (υ 00 + t 0 ), όπου t είναι η ηλικία του (σε έτη) και κ μια σταθερά (για τον άνδρα κ = 0,9 και για τη γυναίκα κ = 0,8). Να βρεθεί ποιο είναι το ιδανικό βάρος για έναν άνδρα και μια γυναίκα, από τους οποίους ο καθένας είναι 0 ετών και έχει ύψος,77 m. Λύση Tο ιδανικό βάρος Β (σε κιλά) ενός άνδρα ηλικίας 0 ετών και ύψους,77 m = 77 cm, είναι Β = 0,9? ( ) = 0,9? ( ) = 0,9? 80 = 7 κιλά. Tο ιδανικό βάρος Β (σε κιλά) μιας γυναίκας ηλικίας 0 ετών και ύψους,77 m = 77 cm, είναι Β = 0,8? ( ) = 0,8? ( ) = 0,8? 80 = 64 κιλά. Να βρεθεί το μονώνυμο που εκφράζει το εμβαδόν του χρωματισμένου μέρους, το οποίο περιέχεται μεταξύ του τετραγώνου και του κύκλου. Να προσδιοριστεί ο συντελεστής του, το κύριο μέρος του και ο βαθμός του. Να υπολογιστεί η αριθμητική τιμή του με προσέγγιση για ρ = 0. ρ Λύση Tο τετράγωνο έχει πλευρά ρ, οπότε το εμβαδόν του είναι (ρ) = 4ρ. Επειδή το εμβαδόν του κύκλου είναι πρ, το χρωματισμένο μέρος έχει εμβαδόν 4ρ πρ. Με την επιμεριστική ιδιότητα η παράσταση 4ρ πρ γράφεται 4ρ πρ = (4 π)ρ Άρα είναι μονώνυμο δευτέρου βαθμού με συντελεστή 4 π και κύριο μέρος ρ. Η αριθμητική τιμή του για ρ = 0 cm, με προσέγγιση, είναι (4,4)? 0 = 0,86? 00 = 86 cm. EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΤΝΟΗΣΗΣ Ποιες από τις παρακάτω αλγεβρικές παραστάσεις είναι μονώνυμα; α) y β) + y γ) y ω δ) yω ε) ( w)αβ στ) αβγ Ποια από τα παρακάτω μονώνυμα είναι όμοια: α) 6 y β) 5 y γ) yω δ) 5y ε) ωy 4 στ) 5 y ζ) y 7 η) y θ) y ω ι) wy 7-04_MATH_G GYMN.indb 7 /5/ 4: PM

28 Mέρος - Κεφάλαιο ο Nα συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Μονώνυμο Συντελεστής Κύριο μέρος Βαθμός ως προς Βαθμός ως προς y Βαθμός ως προς και y 5y 4 y y 5 7 w Ένα μονώνυμο έχει συντελεστή και κύριο μέρος y ω. Να βρείτε το ίσο του και το αντίθετο μονώνυμό του. Να λύσετε το σταυρόλεξο. ù ë ü ò ù ò ä ä î ë ü ö ö Å î Å OΡΙΖΟΝΤΙ ΚΘΕΤ. Έκφραση που περιέχει αριθμούς. Το μονώνυμο αυτό δεν έχει βαθμό. και μεταβλητές συνδεόμενες με τα. Στο μονώνυμο 7 4 yω 5 ως προς σύμβολα των πράξεων (δύο λέξεις). είναι 4.. Είναι τα μονώνυμα 8, 5, 0,.. Παράσταση που μεταξύ των μετα-. Είναι ο βαθμός του μονωνύμου βλητών της σημειώνονται μόνο οι ω ως προς y. πράξεις της πρόσθεσης και του 4. Στο μονώνυμο y είναι το. πολλαπλασιασμού. 5. Είναι τα μονώνυμα 6 y, y. 4. Είναι τα μονώνυμα 5y, w5 y. 6. O συντελεστής του μονωνύμου y. 5. Eίναι τα μονώνυμα 4α β 5, α β Είναι το yω στο μονώνυμο 4yω 6. H... του μονωνύμου y για (δύο λέξεις). = και y = είναι Η απλούστερη αλγεβρική παράσταση. 7. Είναι ο βαθμός των σταθερών μονωνύμων 6,, Η πράξη αυτή δε σημειώνεται μεταξύ των μεταβλητών ενός μονωνύμου. 8-04_MATH_G GYMN.indb 8 /5/ 4: PM

29 . Mονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΤ 4 Nα βρείτε την αριθμητική τιμή των αλγεβρικών παραστάσεων: α) y + y 4 για = και y = β) ω + ω για = και ω = Ένα μονώνυμο έχει συντελεστή 5 7 και μεταβλητές α, β. Να προσδιορίσετε το μονώνυμο, αν ο βαθμός του ως προς α είναι και ως προς α και β είναι 5. Να προσδιορίσετε την τιμή του φυσικού αριθμού ν, ώστε το μονώνυμο ν y α) να είναι μηδενικού βαθμού ως προς β) να είναι πέμπτου βαθμού ως προς και y γ) να έχει αριθμητική τιμή 48, για = και y =. Να βρείτε τους αριθμούς κ, λ, ν, ώστε τα μονώνυμα 4 y ν, λ κ y να είναι: α) όμοια β) ίσα γ) αντίθετα 5 Να γράψετε τα μονώνυμα που εκφράζουν το εμβαδόν και τον όγκο μιας σφαίρας που έχει ακτίνα ρ. Να προσδιορίσετε το συντελεστή, το κύριο μέρος και το βαθμό κάθε μονωνύμου. Ποια είναι η αριθμητική τιμή κάθε μονωνύμου, όταν ρ = 0; Κ ρ 6 Μια ομάδα καλαθοσφαίρισης έδωσε 9 αγώνες. Να γράψετε μια αλγεβρική παράσταση που εκφράζει τους βαθμούς που συγκέντρωσε, αν σε κάθε νίκη παίρνει βαθμούς και σε κάθε ήττα βαθμό. Ε 7 Να γράψετε την αλγεβρική παράσταση που εκφράζει το εμβαδόν του τετραγώνου ΒΔΕ. Ποιο είναι το εμβαδόν, όταν = ; Β Δ _MATH_G GYMN.indb 9 /5/ 4: PM

30 Mέρος - Κεφάλαιο ο B Πράξεις με μονώνυμα Οι μεταβλητές ενός μονωνύμου αντιπροσωπεύουν αριθμούς και γι αυτό στις πράξεις που γίνονται μεταξύ μονωνύμων ισχύουν όλες οι ιδιότητες των πράξεων που ισχύουν και στους αριθμούς. Πρόσθεση μονωνύμων Ένα άθροισμα ομοίων μονωνύμων π.χ. 5 + με τη βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας γράφεται 5 + = ( 5 + ) = Παρατηρούμε ότι: Το άθροισμα ομοίων μονωνύμων είναι μονώνυμο όμοιο με αυτά και έχει συντελεστή το άθροισμα των συντελεστών τους. Σύμφωνα με τον προηγούμενο κανόνα, έχουμε y y = 5 y. Aν τα μονώνυμα δεν είναι όμοια, όπως τα και 5y, τότε το άθροισμά τους + 5y δεν είναι μονώνυμο. Πολλαπλασιασμός μονωνύμων Ένα γινόμενο μονωνύμων π.χ. ( )( y) με τη βοήθεια των ιδιοτήτων του πολλαπλασιασμού και των δυνάμεων γράφεται ( )( y) = ( )? y = ( )? ( )y = 6 y. Παρατηρούμε ότι: Το γινόμενο μονωνύμων είναι μονώνυμο με: συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών τους και κύριο μέρος το γινόμενο όλων των μεταβλητών τους με εκθέτη κάθε μεταβλητής το άθροισμα των εκθετών της. Σύμφωνα με τον προηγούμενο κανόνα έχουμε ( 4 y ω)( 5 ω ) = y ω 4. Διαίρεση μονωνύμων Η διαίρεση μονωνύμων γίνεται όπως και η διαίρεση αριθμών. ια παράδειγμα, ( 4 yω ) : (4 yω) = -χ 4 yω 4 yω Ομοίως έχουμε: (7y 4 ) : ( y) = 7χy4 y = 4? χ 4 χ? y y? ω ω = ω. = 7y Παρατηρούμε ότι στο πρώτο παράδειγμα το πηλίκο των μονωνύμων είναι μονώνυμο, ενώ στο δεύτερο παράδειγμα δεν είναι μονώνυμο. 0-04_MATH_G GYMN.indb 0 /5/ 4: PM

31 . Mονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα ΠΡΔΕΙΜΤ ΕΦΡΜΟΕΣ Nα γίνουν οι πράξεις: α) 7α α + 4α β) ( y )? ( 4 y ) γ) ( 4 α β) : ( αβ ) Λύση α) 7α α + 4α = ( ) α = ( ) α = 7 α β) ( y )? ( 4 y ) = 4 y 4 = 6 4 y 4 γ) ( 4 α β) : ( αβ ) = α β 4 : ( αβ ) = α β 4? ( αβ ) = 6α β 4αβ = α β πό το σημείο αφήνουμε ένα σώμα να πέσει στο έδαφος. ν ο χρόνος t σε sec που μεσολαβεί μέχρι να φτάσει στο έδαφος είναι διπλάσιος του χρόνου που θα έκανε, αν το αφήναμε να πέσει από το σημείο Β, να βρεθεί το μονώνυμο που εκφράζει την απόσταση Β. Λύση Aπό τη Φυσική γνωρίζουμε ότι η απόσταση Ε δίνεται από τον τύπο Ε = gt, όπου g = 0 m/sec περίπου. Άρα Ε = 5t. Aν αφήναμε το σώμα να πέσει από το σημείο Β, τότε θα έφτανε στο έδαφος σε χρόνο t sec και θα ήταν Β Ε ΒΕ =? g? ( t ) =? 0? t 4 = 5 4 t. H απόσταση Β είναι Β = Ε ΒΕ = 5t 5 4 t = 0 4 t 5 4 t = 5 4 t. Mια τσιμεντένια κυλινδρική κολώνα, που έχει ακτίνα βάσης ρ και ύψος υ, ενισχύεται περιμετρικά με τσιμέντο και αποκτά ακτίνα βάσης διπλάσια της αρχικής. Ο μηχανικός ισχυρίζεται ότι το τσιμέντο που προστέθηκε έχει όγκο τριπλάσιο του αρχικού όγκου της κολώνας. Είναι σωστός ο ισχυρισμός του; Λύση Ο αρχικός όγκος της κολώνας ήταν V = πρ υ. Μετά την ενίσχυση της κολώνας, ο συνολικός όγκος της έγινε V = π(ρ) υ = π(4ρ )υ = 4πρ υ. Άρα το τσιμέντο που προστέθηκε έχει όγκο V V = 4πρ υ πρ υ = πρ υ, που είναι πράγματι τριπλάσιος του αρχικού όγκου πρ υ της κολώνας. Επομένως ο ισχυρισμός του μηχανικού είναι σωστός. ρ ρ υ -04_MATH_G GYMN.indb /5/ 4: PM

32 Mέρος - Κεφάλαιο ο EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΤΝΟΗΣΗΣ Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες. α) Το άθροισμα ομοίων μονωνύμων είναι μονώνυμο. β) Η διαφορά δύο μονωνύμων είναι μονώνυμο. γ) Το γινόμενο μονωνύμων είναι μονώνυμο. δ) Το πηλίκο δύο μονωνύμων είναι μονώνυμο. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: α) 5 + =... β) 5? =... γ) y + =... δ) 4 y y =... ε) y? y =... στ) 6 y : y =... y ζ) 5 4 ω (...) = 0 6 ω 4 η) = 4 θ)... y y... = 4 y ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΤ Nα κάνετε τις πράξεις: α) 7 y + 4 y β) 4α 6α + α γ) 6 9 δ) 0,5αβ 0,5αβ + 0,5αβ ε) 5 y ω 4,y ω 4 στ) w + 4 w w Nα υπολογίσετε τα γινόμενα: α)? 5 β) 6? 4 γ) y? ( y) δ) y? ( y 4 ω) ε) αβ? 4αβ στ) 4 α? ( 4 α ) ζ) ( 5 y )? ( ω)? ( 5 6 yω ) Nα υπολογίσετε τα πηλίκα: α) α : ( α) β) 8 y : (y ) γ) ( α β ) 5 : ( 6 5 α β ) δ) (0,84 ω 5 ) : ( 0,ω ) ε) ( α 4 ω) : ( 4 α) στ) (0,5α β 7 ) : ( 7 0 α β ) Να κάνετε τις πράξεις: α) ( y)? (6y ) β) ( y ) : ( 8 y 4 ) γ) ( y 4 ω )? ( y) Να βρείτε το εμβαδόν των παρακάτω σχημάτων. Ποιες από τις εκφράσεις που βρήκατε είναι μονώνυμα; α) β) γ) y δ) ε) y y y Ε B Να συγκρίνετε το εμβαδόν του πράσινου τριγώνου με y το άθροισμα των εμβαδών των κίτρινων τριγώνων. Δ -04_MATH_G GYMN.indb /5/ 4: PM

33 . Πολυώνυμα Πρόσθεση και φαίρεση πολυωνύμων 4 Mαθαίνω τι είναι πολυώνυμο, ποιος είναι ο βαθμός ενός πολυωνύμου και διακρίνω αν δύο πολυώνυμα είναι ίσα. 4 Mαθαίνω να προσθέτω και να αφαιρώ πολυώνυμα. ΔΡΣΤΗΡΙΟΤΗΤA. Να γράψετε τρία όμοια μονώνυμα με δύο μεταβλητές και να βρείτε το άθροισμά τους.. Να γράψετε τρία μονώνυμα με δύο μεταβλητές που δεν είναι όμοια. Μπορείτε τώρα να βρείτε ένα μονώνυμο ίσο με το άθροισμά τους;. Να βρείτε το βαθμό κάθε μονωνύμου της προηγούμενης ερώτησης, ως προς κάθε μεταβλητή και ως προς τις δύο μεταβλητές. Πολυώνυμα Στην προηγούμενη ενότητα είδαμε, ότι το άθροισμα ομοίων μονωνύμων είναι μονώνυμο όμοιο με αυτά. ν δύο τουλάχιστον μονώνυμα δεν είναι όμοια, τότε το άθροισμά τους δεν είναι μονώνυμο αλλά μια αλγεβρική παράσταση, που λέγεται πολυώνυμο. π.χ. y + y 4 5 y Kάθε μονώνυμο που περιέχεται σε ένα πολυώνυμο λέγεται όρος του πολυωνύμου. Το πολυώνυμο y + y 4 5 y έχει τρεις όρους που είναι τα μονώνυμα y, y 4, 5 y. Eιδικότερα, ένα πολυώνυμο που δεν έχει όμοιους όρους λέγεται διώνυμο, αν έχει δύο όρους α β τριώνυμο, αν έχει τρεις όρους. χ χ + 4 Βαθμός ενός πολυωνύμου ως προς μία ή περισσότερες μεταβλητές του, είναι ο μεγαλύτερος από τους βαθμούς των όρων του. Το πολυώνυμο y + y 4 5 y είναι ου βαθμού ως προς, 4ου βαθμού ως προς y, 6ου βαθμού ως προς και y. Δεχόμαστε ότι κάθε μονώνυμο είναι και πολυώνυμο. Συμφωνούμε, ακόμα, ότι κάθε αριθμός μπορεί να θεωρηθεί και ως πολυώνυμο, οπότε λέγεται σταθερό πολυώνυμο. Ειδικότερα, ο αριθμός μηδέν λέγεται μηδενικό πολυώνυμο και δεν έχει βαθμό, ενώ κάθε άλλο σταθερό πολυώνυμο είναι μηδενικού βαθμού. -04_MATH_G GYMN.indb /5/ 4: PM

34 Mέρος - Κεφάλαιο ο Το πολυώνυμο έχει μία μεταβλητή την και για συντομία συμβολίζεται Ρ() ή Q() ή A() κ.τ.λ. Το πολυώνυμο Ρ() = είναι δευτέρου βαθμού και μπορούμε να το γράψουμε έτσι, ώστε κάθε όρος του να είναι μεγαλύτερου βαθμού από τον επόμενό του. Δηλαδή, Ρ() = + 5. Tότε, λέμε, ότι γράφουμε το πολυώνυμο κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του. H αριθμητική τιμή του πολυώνυμου Ρ() για = 5, συμβολίζεται με Ρ(5) και είναι: Ρ(5) =? 5? = = 40. Δύο πολυώνυμα είναι ίσα, όταν έχουν όρους ίσα μονώνυμα. Τα πολυώνυμα 5 + και α + β + είναι ίσα, αν α = και β = 5. ναγωγή ομοίων όρων ν σε ένα πολυώνυμο υπάρχουν όμοια μονώνυμα, ή όπως λέμε όμοιοι όροι, τότε μπορούμε να τους αντικαταστήσουμε με το άθροισμά τους. Η εργασία αυτή λέγεται αναγωγή ομοίων όρων. α β + 4α 5β = α + 4α β 5β = 6α 8β Η αρχική αλγεβρική παράσταση, που είχε τέσσερις όρους, συμπτύχθηκε σε μία άλλη με δύο όρους. Πρόσθεση φαίρεση πολυωνύμων Μπορούμε να προσθέτουμε ή να αφαιρούμε πολυώνυμα χρησιμοποιώντας τις γνωστές ιδιότητες των πραγματικών αριθμών. ια παράδειγμα, τα πολυώνυμα () = 7 5 και Β() = + έχουν άθροισμα ή διαφορά που βρίσκουμε ως εξής: () + B() = ( 7 5) + ( + ) = (παλείφουμε τις παρενθέσεις) = = (Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων) = Ομοίως, έχουμε: () B() = ( 7 5) ( + ) = = = = 8 5. ΠΡΔΕΙΜΤ ΕΦΡΜΟΕΣ α) Να γραφεί το πολυώνυμο Ρ() = α 5 κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του και να βρεθεί ο βαθμός του. β) ν το Ρ() είναι ίσο με το πολυώνυμο Q() = β + γ + δ, ποιες είναι οι τιμές των α, β, γ, δ; 4-04_MATH_G GYMN.indb 4 /5/ 4: PM

35 . Πoλυώνυμα Πρόσθεση και φαίρεση πολυωνύμων Λύση α) Το πολυώνυμο Ρ() = α 5, κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του γράφεται Ρ() = α To P() είναι τρίτου βαθμού, αν α 0 και δευτέρου βαθμού, αν α = 0. β) Τα πολυώνυμα Ρ() = α και Q() = β + γ + δ είναι ίσα, αν α = 0, β = 4, γ = 8 και δ = 5. Μια βιοτεχνία ρούχων για να κατασκευάσει πουκάμισα ξοδεύει ημερησίως 500 C για μισθούς υπαλλήλων, 0 C για τα υλικά που απαιτεί κάθε πουκάμισο (ύφασμα, κλωστές,...) και 0 C για τα υπόλοιπα έξοδά της (μεταφορικά, ηλεκτρικό ρεύμα...). Πόσα ξοδεύει ημερησίως για την κατασκευή πουκαμίσων; Ποια θα είναι τα έξοδα της βιοτεχνίας, αν κατασκευάσει 50 πουκάμισα; Λύση Τα έξοδα των υλικών για την κατασκευή ενός πουκάμισου είναι 0 C, οπότε για τα πουκάμισα τα έξοδα των υλικών θα είναι 0 C. Το συνολικό ποσό σε C, που ξοδεύει ημερησίως η βιοτεχνία είναι Ρ() = ια την κατασκευή 50 πουκάμισων τα έξοδα είναι: Ρ(50) = ? = = 50 C 0 ν Ρ() = + 4, να προσδιοριστεί το πολυώνυμο Q() = P() P( ). Λύση Τo πολυώνυμο Ρ() προκύπτει, αν στο Ρ() θέσουμε, όπου το, οπότε έχουμε: Ρ() = () () + 4 = Το πολυώνυμο Ρ( ) προκύπτει, αν στο Ρ() θέσουμε, όπου το, οπότε έχουμε: Ρ( ) = ( ) ( ) + 4 = Άρα: Q() = P() P( ) = ( ) ( + + 4) = = = 9 EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΤΝΟΗΣΗΣ Ποιες από τις παρακάτω αλγεβρικές παραστάσεις είναι πολυώνυμα; α) β) 4 7 γ) w y 5y + y + δ) + y w y + y Ποια από τα παρακάτω πολυώνυμα είναι ου βαθμού ως προς ; α) 7 β) γ) δ) y y _MATH_G GYMN.indb 5 /5/ 4: PM

36 Mέρος - Κεφάλαιο ο 4 5 Ένας μαθητής θέλοντας να υπολογίσει το άθροισμα και τη διαφορά των πολυωνύμων και 6 + έγραψε Άθροισμα Διαφορά Eίναι σωστός ο τρόπος που εφάρμοσε; Να τεκμηριώσετε την απάντησή σας. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Το πολυώνυμο που πρέπει να προσθέσουμε στο για να βρούμε άθροισμα είναι το: α) 6 + β) γ) 6 δ) Tα πολυώνυμα (), B() και () έχουν βαθμούς, και αντιστοίχως. α) Να βρείτε το βαθμό του πολυώνυμου () + B(). β) Aν το πολυώνυμο () + () δεν είναι το μηδενικό, τι βαθμό μπορεί να έχει; ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΤ Nα γράψετε τα πολυώνυμα κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του. α) P() = β) Q() = γ) A() = δ) Β() = 4 5 Δίνεται το πολυώνυμο = y + y + y. α) Να βρείτε την αριθμητική του τιμή για = και y =. β) Να γράψετε το πολυώνυμο κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του y. Ποιος είναι ο βαθμός του ως προς και y; Aν Ρ() = + 9, να αποδείξετε ότι: α) Ρ( ) = Ρ() β) Ρ() + Ρ() = 0 4 Η επιφάνεια ενός σταδίου αποτελείται από δύο ημικυκλικούς δίσκους και ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, που έχει μήκος 00 μέτρα και πλάτος μέτρα. α) Να βρείτε την περίμετρο και το εμβαδόν του. β) Να υπολογίσετε την περίμετρο και το εμβαδόν του, αν το πλάτος του είναι ίσο με 60 μέτρα. 00 m 6-04_MATH_G GYMN.indb 6 /5/ 4: PM

37 . Πoλυώνυμα Πρόσθεση και φαίρεση πολυωνύμων 5 Nα κάνετε τις πράξεις: α) ( ) ( 5 + ) β) y (y y ) + (y y ) γ) (α αβ) (β + 4αβ) (α + β ) δ) ω f4ω (ω + 5ω)g ε) ( 4 + ) ( 6 + ) στ) (0,4 +, ) + (,6 0, + 4) 6 Aν () = + 4, B() = + 5 και () = 4 + 8, να βρείτε τα πολυώνυμα: α) () B() β) () + () γ) () fa() + B()g 7 Nα συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες: α) ( ) + ( ) = β) ( ) ( ) = Να συμπληρώσετε το παρακάτω τετράγωνο ώστε να είναι μαγικό. (Τα τρία πολυώνυμα οριζοντίως, καθέτως και διαγωνίως έχουν το ίδιο άθροισμα) Aν P() = ( ) ( + ) + ( + ) και Q() = α + β + γ, να βρείτε τις τιμές των α, β, γ, ώστε τα πολυώνυμα Ρ() και Q() να είναι ίσα. 0 Ένας ποδηλάτης ξεκινάει από το σημείο και σε χρόνο t sec κατεβαίνει το δρόμο Β με επιτάχυνση α = m/sec. Όταν φτάσει στο σημείο Β, συνεχίζει να κινείται στο δρόμο Β για 0 sec με σταθερή ταχύτητα. Να βρείτε την παράσταση που εκφράζει την απόσταση που διήνυσε ο ποδηλάτης. Ποια απόσταση διήνυσε ο ποδηλάτης, αν t = 5 sec; Β 7-04_MATH_G GYMN.indb 7 /5/ 4: PM

38 .4 Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων Μαθαίνω να πολλαπλασιάζω: 4 Μονώνυμο με πολυώνυμο 4 Πολυώνυμο με πολυώνυμο ΔΡΣΤΗΡΙΟΤΗΤ. Να γράψετε το γινόμενο α(β + γ) σύμφωνα με την επιμεριστική ιδιότητα και με ανάλογο τρόπο να βρείτε την παράσταση ( + 6).. Να γράψετε το γινόμενο (α + β)(γ + δ) σύμφωνα με την επιμεριστική ιδιότητα και με ανάλογο τρόπο να βρείτε την παράσταση ( y + y)( + 5). Πολλαπλασιασμός μονωνύμου με πολυώνυμο Την αλγεβρική παράσταση ( + 6) που είναι γινόμενο του μονωνύμου με το πολυώνυμο + 6, σύμφωνα με την επιμεριστική ιδιότητα, μπορούμε να τη γράψουμε ( + 6) =? +? 6 = Διαπιστώνουμε ότι: ια να πολλαπλασιάσουμε μονώνυμο με πολυώνυμο, πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με κάθε όρο του πολυωνύμου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν. Πολλαπλασιασμός πολυωνύμου με πολυώνυμο Την αλγεβρική παράσταση ( y + y)( + 5) που είναι γινόμενο του πολυωνύμου y + y με το πολυώνυμο + 5, σύμφωνα με την επιμεριστική ιδιότητα, μπορούμε να τη γράψουμε ( y + y)( + 5) = y? + y? 5 + y? + y? 5 = = 6 4 y + 5 y + 4 y + 0y = 6 4 y + 9 y + 0y Διαπιστώνουμε ότι: ια να πολλαπλασιάσουμε πολυώνυμο με πολυώνυμο, πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο του ενός πολυωνύμου με κάθε όρο του άλλου πολυωνύμου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν. Όταν κάνουμε πολλαπλασιασμό μονωνύμου με πολυώνυμο ή δύο πολυωνύμων, λέμε ότι αναπτύσσουμε τα γινόμενα αυτά και το αποτέλεσμα ονομάζεται ανάπτυγμα του γινομένου. 8-04_MATH_G GYMN.indb 8 /5/ 4: PM

39 .4 Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων ΠΡΔΕΙΜΤ ΕΦΡΜΟΕΣ Nα γίνουν οι πράξεις: α) y( y ) β) ( 5 + 6)( ) γ) 4( + ) ( + 5) δ) ( + 4)( ) Λύση α) y( y ) = y + 9 y + y β) ( 5 + 6)( ) = = γ) 4( + ) ( + 5) = = 4 δ) ( + 4)( ) = ( + 4 4) = ( + 4) = O πολλαπλασιασμός δύο πολυωνύμων μπορεί να γίνει όπως και ο πολλαπλασιασμός των αριθμών. ια παράδειγμα, ο πολλαπλασιασμός του (β) ερωτήματος ( 5 + 6)( ) γίνεται και ως εξής: 5 + 6? ( 5 + 6) ± 4 + 0? ( 5 + 6) ± y Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η πρόσοψη μιας πόρτας, που είναι κατασκευασμένη από αλουμίνιο. ν ένα μέρος της πρόσοψης της πόρτας είναι διακοσμητικό τζάμι, να προσδιοριστεί το πολυώνυμο που εκφράζει το εμβαδόν της επιφάνειας που θα καλυφθεί με αλουμίνιο για την κατασκευή της πρόσοψης της πόρτας. +0 Λύση H πόρτα έχει σχήμα ορθογωνίου με διαστάσεις + y και 4 + 0, οπότε έχει εμβαδόν ( + y)(4 + 0). Το διακοσμητικό τζάμι έχει σχήμα ορθογωνίου με διαστάσεις y και + 0, οπότε έχει εμβαδόν y( + 0). Επομένως, το εμβαδόν της επιφάνειας που θα καλυθφεί με αλουμίνιο για την κατασκευή της πρόσοψης της πόρτας είναι: ( + y)(4 + 0) y( + 0) = y + 0y y 0y = = y 9-04_MATH_G GYMN.indb 9 /5/ 4: PM

40 Mέρος - Κεφάλαιο ο EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΤΝΟΗΣΗΣ Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε παράσταση της στήλης, το αποτέλεσμά της από τη στήλη Β. Στήλη Στήλη B. α. ( + ). + β. ( + )( ). + + α β γ δ ε γ. ( ) δ. ( + )( + ) ε. ( + )( + ) 7. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες. α) ν το πολυώνυμο Ρ() έχει βαθμό και το πολυώνυμο Q() έχει βαθμό, τότε το πολυώνυμο Ρ()? Q() έχει βαθμό 6. β) ν το πολυώνυμο Ρ()? Q() έχει βαθμό 7 και το πολυώνυμο Ρ() έχει βαθμό, τότε το πολυώνυμο Q() έχει βαθμό 4. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά: α) ( +...) = β) (... ) = y... γ) ( + 5)(... + ) = δ) ( + y)(...) =... y +... y 4 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. i) O όγκος του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου είναι: α) + β) + γ) + δ) + ii) Tο εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου είναι: α) β) γ) δ) O καθηγητής των Μαθηματικών ζήτησε από τους μαθητές του να γράψουν την αλγεβρική παράσταση που εκφράζει το εμβαδόν του ορθογωνίου ΒΔ και οι μαθητές του έδωσαν τις εξής απαντήσεις: α) ( + )( + ) β)? γ) + 6 δ) Ποιές απ αυτές είναι σωστές; Δ Β 40-04_MATH_G GYMN.indb 40 /5/ 4: PM

41 .4 Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΤ Nα κάνετε τις πράξεις: α) y( 5 + y) β) 4( + ) 8 γ) 5( ) ( ) δ) y( y ) 4( y y ) Nα κάνετε τις πράξεις: α) (α β)( 4α + β) β) ( + 4)( + ) 8 γ) ( + )(5 ) δ) (4 )(5 ) 6( 4) ε) ( 4)( + ) στ) ( y 5y )(4y ) Nα κάνετε τις πράξεις: α) ( )( )(4 ) β) ( + )( ) ( )( )( + ) γ) ( + y)( y) ( y)(4 + y)( y) 4 Nα αποδείξετε τις ισότητες: α) ( 4 + 4)( ) ( 8) 6 = 0 β) (α + 8β)(β α) (α + β)(β α) = 6β 5 ν Ρ() = + 5 και Q() = 4 5, να βρείτε τα πολυώνυμα: α) Ρ()? Q() β) P()? f Q() + g γ) fp() g? fq() + g 6 ν P() = ( + 4)( ) και Q() = α + β + γ + δ, να βρείτε τις τιμές των α, β, γ, δ, ώστε τα πολυώνυμα Ρ() και Q() να είναι ίσα. 7 Να βρείτε την πλευρά τετραγώνου που έχει εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του διπλανού σχήματος. y y y 8 Ένα οικόπεδο έχει σχήμα ορθογωνίου με πλάτος μέτρα και με μήκος μεγαλύτερο από το πλάτος του κατά 5 μέτρα. ν το μήκος ελαττωθεί κατά μέτρα και το πλάτος ελαττωθεί κατά μέτρο, να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του οικοπέδου θα μειωθεί κατά 4 + τετραγωνικά μέτρα. 4-04_MATH_G GYMN.indb 4 /5/ 4: PM

42 . 5 ξιοσημείωτες ταυτότητες 4 Θυμάμαι ποια ισότητα λέγεται ταυτότητα. 4 νωρίζω ποιες είναι οι βασικές ταυτότητες. 4 Μαθαίνω να αποδεικνύω μια απλή ταυτότητα. ΔΡΣΤΗΡΙΟΤΗΤA. Ποιες από τις ισότητες =, + y = 7, 4α = α + α, ( + ) = +, αληθεύουν για όλες τις τιμές των μεταβλητών τους;. α) Να βρείτε το συνολικό εμβαδόν των πράσινων σχημάτων. β) Ποια από τις παρακάτω παραστάσεις εκφράζει το εμβαδόν του κίτρινου τετραγώνου; i) + 9 ii) ( + ) iii) + 6 iv) γ) Nα συγκρίνετε το συνολικό εμβαδόν των πράσινων σχημάτων με το εμβαδόν του κίτρινου τετραγώνου. Yπάρχουν ισότητες που περιέχουν μεταβλητές και αληθεύουν για ορισμένες τιμές των μεταβλητών τους. ια παράδειγμα, η ισότητα =, αληθεύει για = 4 και δεν αληθεύει για καμιά άλλη τιμή του. Oμοίως, η ισότητα + y = 7, αληθεύει για = και y = 6, ή για = και y = 4, ενώ δεν αληθεύει για = 4 και y = 5. Yπάρχουν όμως και ισότητες, που αληθεύουν για όλες τις τιμές των μεταβλητών τους όπως για παράδειγμα οι ισότητες: α + β = β + α, 4α = α + α, ( + ) = +. Οι ισότητες αυτές λέγονται ταυτότητες. ενικά Ταυτότητα λέγεται κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της. Tαυτότητες υπάρχουν πολλές, ορισμένες από αυτές τις συναντάμε πολύ συχνά και γι αυτό αξίζει να τις θυμόμαστε. ξιοσημείωτες ταυτότητες είναι: 4-04_MATH_G GYMN.indb 4 /5/ 4: PM

43 ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±.5 Aξιοσημείωτες ταυτότητες α) Τετράγωνο αθροίσματος ν την παράσταση (α + β) τη γράψουμε (α + β)(α + β) και βρούμε το ανάπτυγμα του γινομένου, έχουμε: (α + β) = (α + β)(α + β) = = α + αβ + βα + β = = α + αβ + β ποδείξαμε λοιπόν την ταυτότητα (α + β) = α + αβ + β Το δεύτερο μέρος της προηγούμενης ισότητας λέγεται ανάπτυγμα του (α + β). ια παράδειγμα, το ανάπτυγμα του (y + 4) προκύπτει, αν στην προηγούμενη ταυτότητα αντικαταστήσουμε το α με το y και το β με το 4, οπότε έχουμε: (y + 4) = y +? y? = y + 8y + 6. H προηγούμενη ταυτότητα, όπως και όλες οι επόμενες, χρησιμοποιούνται και όταν τα α, β είναι οποιεσδήποτε αλγεβρικές παραστάσεις, π.χ. ( + y) = () +?? y + (y) = 4 + y + 9y (α + β) = α + αβ + β β) Τετράγωνο διαφοράς ν την παράσταση (α β) τη γράψουμε (α β)(α β) και βρούμε το ανάπτυγμα του γινομένου, τότε μπορούμε να αποδείξουμε και την ταυτότητα (α β) = α αβ + β Πράγματι έχουμε: (α β) = (α β)(α β) = α αβ βα + β = α αβ + β ια παράδειγμα, το ανάπτυγμα του (y 4) προκύπτει, αν αντικαταστήσουμε το α με το y και το β με το 4, οπότε έχουμε: (y 4) = y? y? = y 8y + 6 Oμοίως, για να υπολογίσουμε το ανάπτυγμα του ( 4y) έχουμε: ( 4y) = ()? ()? (4y) + (4y) = 9 4y + 6y εωμετρική ερμηνεία Η ταυτότητα (α + β) = α + αβ + β για θετικούς αριθμούς α και β μπορεί να ερμηνευθεί και γεωμετρικά. Το τετράγωνο ΒΔ έχει πλευρά α + β, οπότε το εμβαδόν του είναι: Ε = (α + β) () Το εμβαδόν όμως του τετραγώνου ΒΔ προκύπτει ακόμη κι αν προσθέσουμε τα εμβαδά των σχημάτων που το αποτελούν. Δηλαδή Ε = α + αβ + αβ + β ή Ε = α + αβ + β () πό τις ισότητες () και () διαπιστώνουμε ότι (α + β) = α + αβ + β. α β Δ α αβ α B αβ β β (α β) = α αβ + β 4-04_MATH_G GYMN.indb 4 /5/ 4: PM

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα 13 + 17 = 17 + 13 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ αγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΑ ΛΟΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 0, δηλαδή το σύνολο των μονάδων των απολυτήριων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007 Σειρά:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος

Διαβάστε περισσότερα

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ξ εκινώντας τη προσπάθεια μου να γράψω αυτό το βιβλίο αναρωτιόμουν πως

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ 1.1 Προτεραιότητα Πράξεων Η προτεραιότητα των πράξεων είναι: (Από τις πράξεις που πρέπει να γίνονται πρώτες,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη Γ

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη Γ 1 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στα Μαθηματικά Τάξη Γ ΘΕΜΑ 1 0 Η εξίσωση αχ + βχ +γ = 0 είναι βαθμού εξίσωση και λύνεται χρησιμοποιώντας τους τύπους Δ =.. χ 1 =. χ =.. Η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 1) Δίνεται η εξίσωση x 2-2(λ + 2) χ + 2λ 2-17 = 0. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μία ρίζα διπλή. Υπολογίστε τη ρίζα. Aσκήσεις στις εξισώσεις Β βαθμού Για να έχει η εξίσωση μία ρίζα διπλή πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ 6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΙΑ. Λόγος οµοειδών µεγεθών : Ονοµάζουµε λόγο δύο οµοιειδών µεγεθών, που εκφράζονται µε την ίδια µονάδα µέτρησης, το πηλίκο των µέτρων τους. 2. Αναλογία: Η ισότητα δύο

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη:

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2. αx 2 + βx + γ = 0, α 0. x = Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2. αx 2 + βx + γ = 0, α 0. x = Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ (α + β) = α + αβ + β α + β + γ = 0, α 0 = β ± β 4αγ α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πράξεις με Πραγματικούς αριθμούς. Μονώνυμα - Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα - Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ Η εξίσωση α 0 Στο Γυμνάσιο μάθαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων της μορφής α 0 για συγκεκριμένους αριθμούς α,,με α 0 Γενικότερα τώρα, θα δούμε πώς με την οήθεια των

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Δυνάμεις φυσικών αριθμών Δύναμη ονομάζουμε το γινόμενο πολλών ίσων παραγόντων Πχ: 8 8= 64, 4 4 4= 64, 3 3 3 3= 81. Έτσι, το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 12 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20

ΕΝΟΤΗΤΑ 12 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ 1.6 Συνθέτουν και αναλύουν αριθμούς μέχρι το 100 με βάση την αξία θέσης ψηφίου, χρησιμοποιώντας αντικείμενα, εικόνες, και σύμβολα. Αρ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο

Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο Μια από τις πιο όμορφες εφαρμογές του τριωνύμου στη φυσική είναι η μεγιστοποίηση κάποιου μεγέθους μέσα από αυτό. Η ιδέα απλή και βασίζεται στη λογική επίλυσης του παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Υπενθύμιση Δ τάξης Παιχνίδια στην κατασκήνωση Συγκρίνω δυο αριθμούς για να βρω αν είναι ίσοι ή άνισοι. Στην περίπτωση που είναι άνισοι μπορώ να βρω ποιος είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος). Ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο .4 ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ 0 Ο 45 Ο 60 Ο ΘΕΩΡΙ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί 0 ο, 45 ο, 60 ο : ηµίτονο συνηµίτονο εφαπτοµένη 0 ο 45 ο 60 ο ΣΚΗΣΕΙΣ. Στο διπλανό πίνακα, σε κάθε πληροφορία της στήλης, να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ 1 3.5 ΕΜΒ Ν ΚΥΚΛΙΚΥ ΙΣΚΥ ΘΕΩΡΙ Εµβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ : Ε = πρ Σηµείωση : Tο εµβαδόν του κυκλικού δίσκου, χάριν ευκολίας αναφέρεται σαν εµβαδόν του κύκλου. ΣΧΛΙ Για το εµβαδόν του κυκλικού δίσκου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 11 ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 11 ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών ΑΡ2.5 Αναπαριστούν, συγκρίνουν και σειροθετούν ομώνυμα κλάσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012 1. Πόσες ώρες έχουν περάσει από τις 6:45 πμ μέχρι τις 11:45 μμ της ίδιας μέρας; Α. 5 Β. 17 Γ. 24 Δ. 29 Ε. 41 1 1 2. Αν το χ είναι μεταξύ 1 και 1 +, τότε το χ μπορεί να είναι ίσο με τον κάθε 5 5 αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας α και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η σύνταξη μιας συνάρτησης σ ένα κελί έχει την γενική μορφή: =όνομα_συνάρτησης(όρισμα1; όρισμα2;.)

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η σύνταξη μιας συνάρτησης σ ένα κελί έχει την γενική μορφή: =όνομα_συνάρτησης(όρισμα1; όρισμα2;.) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση είναι ένας έτοιμος τύπος ο οποίος δέχεται σαν είσοδο τιμές ή συνθήκες και επιστρέφει ένα αποτέλεσμα, το οποίο μπορεί να είναι μια τιμή αριθμητική, αλφαριθμητική, λογική, ημερομηνίας

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: Τράπεζα Θεμάτων Γυμνασίου

Σειρά: Τράπεζα Θεμάτων Γυμνασίου Σειρά: Τράπεζα Θεμάτων Γυμνασίου Θέματα Προαγωγικών και Απολυτηρίων εξετάσεων Γυμνασίων του Νομού Δωδεκανήσου Σχολικό Έτος: 01-013 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ν. Δωδεκανήσου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 013-014 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου Χρόνος: ώρες Βαθμός: Ημερομηνία: Παρασκευή, 13 Ιουνίου 014 Υπογραφή καθηγητή: Ονοματεπώνυμο:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 9 40 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 4 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων. i) α -α 6α, ii) 4α, για α iii) αβ α β (αβ),

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: ημ χ+συν χ= ημ χ=-συν χ συν χ=- ημ χ εφχ + σφ χ = εφχ ημχ συνχ = σφχ = ημ χ εφχσφχ σφχ = = συνχ ημχ + εφ χ = συν χ Γωνία χ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

Κλάσματα. Στις προηγούμενες ερωτήσεις απαντήσαμε με την βοήθεια των κλασμάτων. πόσα μέρη πήραμε σε πόσαίσα μέρη χωρίσαμε : αριθμητής

Κλάσματα. Στις προηγούμενες ερωτήσεις απαντήσαμε με την βοήθεια των κλασμάτων. πόσα μέρη πήραμε σε πόσαίσα μέρη χωρίσαμε : αριθμητής Κλάσματα Ένα βράδυ τρεις φίλοι αγοράζουν πίτσα και την χωρίζουν σε οκτώ κομμάτια. Ο ένας έφαγε το ένα, ο δεύτερος τα τρία και ο τρίτος δύο κομμάτια. Μπορείς να βρεις το μέρος της πίτσας που έφαγε ο καθένας

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων

Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Ιωάννης Λιακόπουλος 1, Χαράλαμπος Λυπηρίδης 2 1 Μαθητής B Λυκείου, Εκπαιδευτήρια «Ο Απόστολος Παύλος» liakopoulosjohn0@gmail.com, 2 Μαθητής

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ημφ, εφφ σφφ Μ Δ συνφ Α www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1 N Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Σ Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο 1 ο Τεταρτημόριο

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ 6 η Δοκιμασία ο Θέμα Στις ερωτήσεις έως και 4 να επιλέξτε τη σωστή απάντηση αιτιολογώντας την απάντησή σας. Ερώτηση

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ 1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή Προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων

Κατασκευή Προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Κατασκευή Προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Λιακόπουλος Ιωάννης1 και Λυπηρίδης Χαράλαμπος2 1liakopoulosjohn@gmail.com, 2xarislip@hotmail.com Επιβλέπων Καθηγητής: Λάζαρος Τζήμκας tzimkaslazaros@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 21-0027 book.indb 1 16/1/2013 9:35:48 μμ

Μαθηματικά Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 21-0027 book.indb 1 16/1/2013 9:35:48 μμ Μαθηματικά ΥΜΝΣΙΟΥ 21-0027 book.indb 1 16/1/2013 9:35:48 μμ ΣΥΡΦΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙ ΡΧΙΚΗΣ ΕΚΔΟΣΗΣ Ιωάννης ανδουλάκης, Μαθηµατικός, διδάσκων µε σύµβαση εργασίας (Π.Δ. 407/80) στο Πανεπιστήµιο του ιγαίου Χαράλαµπος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 13 ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΜΕ ΣΥΜΒΑΤΙΚΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ

ΕΝΟΤΗΤΑ 13 ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΜΕ ΣΥΜΒΑΤΙΚΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 13 ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΜΕ ΣΥΜΒΑΤΙΚΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΜΕΤΡΗΣΗ Εκτίμηση και μέτρηση Μ1.1 Συγκρίνουν και σειροθετούν αντικείμενα με βάση το ύψος, το μήκος,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Ορισμός κανονικού πολυγώνου) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Βασικός Πίνακας Μοίρες (Degrees) Ακτίνια (Radians) ΓΩΝΙΕΣ 0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Έστω ότι θέλω να μετατρέψω μοίρες σε ακτίνια : Έχω μία γωνία σε φ μοίρες. Για να την κάνω σε ακτίνια, πολλαπλασιάζω

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008 ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 008 Κάθε γνήσιο αντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογραφή του συγγραφέα Γενική επιμέλεια : Στράτης Αντωνέας Copyright : Στράτης Αντωνέας e-mail: stranton@otenet.gr Τηλέφωνα επικοινωνίας

Διαβάστε περισσότερα