CABRI GEOMETRY TM II PLUS

Transcript

1 CABRI GEOMETRY TM II PLUS Inovačné nástroje matematiky KURZ PRE POKROČILÝCH

2 VITAJTE! Vitajte v kurze pre pokročilých užívateľskej príručky Cabri Geometry. V tejto časti uvádzame v troch kapitolách niektoré problémy pre pokročilých, pre zábavu pri objavovaní a ľahké riešenie pomocou Cabri Geometry. Tieto problémy dopĺňajú časť príručky pre užívateľov, ktorí majú snahu sledovať svoje objavy v Cabry Geometry. Tieto cvičenia sú zostrojené pre pokročilých alebo univerzitné práce. V značnej miere sú nesúvislé a čitateľa pozývame zopakovať si podrobné konštrukčné metódy a potom vyskúšať nami uvedené cvičenia. Cvičenia označené hviezdičkou sú náročnejšie. 2

3 O B S A H - POKRAČOVANIE: PEDÁLNE TROJUHOLNÍKY 4 - POKRAČOVANIE: FUNKCIE 10 - POKRAČOVANIE: ROZKLAD ROVINY 17 3

4 K A P I T O L A 1 PEDÁLNE TROJUHOLNÍKY POKRAČOVANIE Použite nástroj [Body] Bod na vytvorenie troch bodov A, B, C, kdekoľvek na výkrese. Najprv zostrojte priamky AB, BC a CA pomocou nástroja [Priamky] Priamka. Vytvorte štvrtý bod M kdekoľvek v rovine a pravouhlé priemety bodu M: C, A a B, v tomto poradí na priamku. Tieto body sa zostroja najprv vedením kolmíc cez M, jednotlivo na každú priamku, pomocou nástroja [Konštrukcie] Kolmica. Použite nástroj [Body] Bod na vyznačenie priesečníkov kolmíc s príslušnou priamkou. Nástroj [Body] Bod implicitne zostrojí priesečníky dvoch útvarov. Umiestnite ukazovateľ myši blízko k jednému priesečníku a keď Cabri Geometry zobrazí nápis V tomto priesečníku, alebo v prípade nejednoznačnosti nápis Priesečník... s následnou ponukou. Body A', B' a C' určujú trojuholník, ktorý môže byť zostrojený pomocou nástroja [Priamky] Trojuholník. Toto sa nazýva pedálny trojuholník trojuholníku ABC. Vnútrajšok trojuholníka sa môže zafarbiť použitím nástroja [Atribúty] Vyplň farbou... Dôležitý je tu obsah trojuholníka so zreteľom na polohu bodu M. Obsah trojuholníka sa zistí použitím nástroja [Meranie] Obsah. Výsledná hodnota je geometrický obsah, bez zreteľu na orientáciu trojuholníka. Jednotka je daná v cm 2 a môže byť umiestnená kdekoľvek na výkrese. Kliknutím pravým tlačidlom myši na číslo sa objaví nápisová skratka s voľbou zmeny na algebrický obsah, ktorá závisí od orientácie trojuholníka. 4

5 OBSAH = 12,19 cm Obrázok Pedálny trojuholník pre M a jeho obsah. Budeme uvažovať, ako sa mení obsah A'B'C' v závislosti od polohy bodu M. Máme niekoľko možných stratégií. Napríklad, aktivovaním nástroja [Text a symboly] Stopu zapni/vypni (ktorý vyžaduje označenie útvaru pre ukázanie jeho stopy, tu bod M preto kliknite naňho). Teraz pohnite bodom M so snahou, aby obsah trojuholníka A'B'C' zostal konštantným. Postupné polohy M sú zobrazené na obrazovke, dávajúc celkový vzhľad obrysu pre rovnaké hodnoty obsahu A B C. Inou stratégiou by mohlo byť použitie množiny bodov danej vlastnosti na mriežke kreslením vizuálneho zastúpenia obsahu A'B'C' pre veľký počet polôh bodu M. Teraz skúsme túto druhú stratégiu a nakreslime kružnicu so stredom M, ktorá má obsah úmerný k A'B'C' pre veľký počet polôh M. Aby sme tak mohli urobiť, najprv je potrebné vypočítať polomer kružnice, úmerný druhej odmocnine obsahu trojuholníka. Aktivujte nástroj [Meranie] Kalkulačka a zadajte výraz sqrt (potom označte číslo zobrazujúce obsah trojuholníka) aby ste ho vložili do výrazu, ktoré bude sqrt(a). Teraz zatvorte zátvorku. Vydeľte číslom 10 aby ste obišli príliš veľké hodnoty. Tvar výrazu v kalkulačke je teraz sqrt(a)/10. Vypočítajte ho kliknutím na tlačidlo =, a potom pretiahnite odpoveď na príslušnú polohu výkresu. Na zostrojenie kružnice so stredom M použite práve teraz vypočítaný polomer, aktivujte nástroj [Konštrukcie] Kružnica s polomerom. Označte práve presunuté číslo a potom bod M. Kružnica so stredom M sa objaví 5

6 s potrebným polomerom. Teraz vidíme zmeny v obsahu, keď sa pohne bodom M. OBSAH = 12,19 cm r= 0,35 cm Obrázok Kružnica je zostrojená, stred M, s obsahom úmerným k obsahu A'B'C'. Teraz definujme mriežku a predefinujme bod M ako bod mriežky a potom zostrojme kružnice zastupujúce obsah pedálneho trojuholníka v každom bode mriežky. Na definovanie mriežky je potrebná sústava súradníc. Zoberme základné nastavenie súradníc, ktoré sú dostupné pre každý výkres. Na ich zobrazenie vyberme nástroj [Atribúty] Ukáž súradnice. Potom aktivujte nástroj [Atribúty] Definuj mriežku, a označte súradnice. Objaví sa mriežka bodov. 6

7 OBSAH = 12,19 cm r= 0,35 cm Obrázok Mriežka je zostrojená použitím základne nastavených súradníc pre výkres. Bod M je predefinovaný ako ľubovoľný bod mriežky. Bod M je stále nezávislý, pohyblivý bod v rovine; predefinujme ho, aby bol obmedzený na body mriežky. Aktivujte nástroj [Konštrukcie] Zmeň vlastnosti a nastavenia útvaru, a potom označte M. Vyberte z roletovej ponuky Bod na útvare, a potom vyberte hociktorý bod na mriežke. Teraz už bod M je obmedzený na body mriežky. Nástroj [Konštrukcie] Množina bodov (útvarov) danej vlastnosti teraz môže byť použitý na skonštruovanie množiny kružníc, ktoré dostaneme pohnutím M v mriežke. Vyberte kružnicu a potom bod M, aby ste dostali množinu kružníc pohnutím M v mriežke. Môže sa ukázať (viď. napríklad Geometry Revisited od H.M.S.Coxeter a S.L. Greitzer, Mathematical Association of America, časť 1.9), že obrysové priamky rovnakých obsahov pedálnych trojuholníkov sú kružnice s totožným stredom ako kružnica opísaná trojuholníku ABC. Obzvlášť, trojuholník A'B'C' má obsah 0, ak M sa nachádza na obvode kružnice opísanej trojuholníku ABC, alebo rovnako: body A', B' a C' sú kolineárne vtedy a len vtedy, ak bod M sa nachádza na obvode kružnice opísanej trojuholníku ABC. 7

8 OBSAH = 12,19 cm r= 0,35 cm Obrázok Distribúcia obsahu pedálneho trojuholníka ako funkcia polohy bodu M. Cvičenie 1 Na kružnici opísanej trojuholníku ABC leží bod M, tri body A', B' a C' sú kolineárne a A'B'C' sa nazýva Simsonova priamka pre M (alebo Wallaceova priamka tejto priamke bol nesprávne pridelený dlhé roky názov Wallaceova, nakoľko bola publikovaná Wallaceom v r. 1799). Zostrojte plášť Simsonových priamok. (Použite nástroj [Konštrukcie] Množina bodov (útvarov) danej vlastnosti). Táto krivka, ktorá je invariantná v otáčaní o 120, sa nazýva deltoid (alebo tricuspoid alebo Steinerova 3-hypocykloida), nakoľko jeho tvar sa podobá na grécke písmeno. Je smernicou dotyčnice trom priamkam AB, BC a CA. To je algebrická krivka 4 stupňa. Môžete to prekontrolovať zistením jej rovnice pomocou nástroja [Meranie] Súradnice a rovnice. Cvičenie 2* Deltoidu z predošlého cvičenia zostrojte stred, tri dotykové body, tri dotykové priamky a najväčšiu kružnicu, ktorá môže byť vpísaná krivke. 8

9 Obrázok Plášť Simsonových priamok trojuholníku ABC sa nazýva deltoida. Má rovnaké stredy súmernosti ako rovnostranný trojuholník. 9

10 K A P I T O L A 2 POKRAČOVANIE FUNKCIE Grafy funkcií sa v Cabri Geometry dajú ľahko zostrojiť vďaka jej sústave súradníc a nástroja pre výrazy. Graf sa môže použiť na študovanie vlastností funkcie. V tejto kapitole budeme sledovať polynomickú funkciu 3 stupňa. Najprv zobrazte osi súradnicovej sústavy pomocou nástroja [Atribúty] Ukáž súradnice. Ďalej potrebujeme vytvoriť príslušný výraz na výkrese. Ak sa umiestni výraz na výkres, jeho hodnota sa môže vypočítať pre rôzne hodnoty premenných. Pre túto funkciu aktivujte [Text a symboly] Výraz, a napíšte x^3-2*x + 1/2. Dovolené označenia pre premenných sú písmená: a, b, c... z. Vyznačte bod P niekde na x-ovej osi (pomocou nástroja [Body] Bod). Zobrazte jeho súradnice aktivovaním nástroja [Meranie] Súradnice a rovnice, a potom vyberte P. Text zobrazujúci súradnice je od začiatku pridelený bodu P a hýbe sa spolu s bodom. Použitím nástroja [Ukazovateľ] Ukazovateľ sa súradnice bodu P môžu oddeliť a umiestniť kdekoľvek na výkres. Vrátiť ich môžete kliknutím a ťahaním blízko k bodu P. 10

11 Obrázok [Vľavo]. K funkcii korešpondujúci výraz je zadaný na výkrese. [Vpravo]. Bod P je vyznačený na x-ovej osi a súradnice zobrazené použitím nástroja [Meranie] Súradnice a rovnice. Ďalej potrebujeme hodnotu f(x), keď x je x-ová súradnica bodu P. Aktivujte nástroj [Meranie] Použi výraz a kliknite na výraz, potom na x-ovú súradnicu bodu P v zátvorke. Tu je dôležité poradie. Obrázok Nástroj [Meranie] Použi výraz sa používa pre výpočet hodnoty f(x) v x-ovej súradnici bodu P. Táto hodnota je teraz premiestnená na y-ovú os, pomocou nástroja [Konštrukcie] Bod vo vzdialenosti a potom výberom hodnoty y-ovej osi. 11

12 Potom treba iba zostrojiť rovnobežky ku každej osi cez každý vyznačený bod pomocou nástroja [Priamky] Rovnobežka. Ich priesečník môže byť označený M, a má súradnice (x,f(x)). Na ďalšom výkrese sme posunuli bod P bližšie ku začiatku sústavy súradníc (1.89,0), aby bod M bol viditeľný na výkrese. Obrázok Konštrukcia bodu M(x,f(x)) pomocou nástroja Bod vo vzdialenosti. Graf funkcie získame, keď množina bodov M ako P sa pohybuje po x-ovej osi. Zostrojí sa použitím nástroja [Konštrukcie] Množina bodov (útvarov) danej vlastnosti výberom M a potom P. Aby sme videli zaujímavú časť grafu funkcie, začiatok sústavy súradníc sa môže posunúť (použitím ťahania a pustenia ) a mierka zmenená (použitím ťahania a pustenia hociktorého znaku jednotky na osi). 12

13 Obrázok Graf funkcie je konečne zostrojený použitím nástroja [Konštrukcie] Množina bodov (útvarov) danej vlastnosti. Sústava súradníc sa môže posunúť a zmeniť jej veľkosť, aby zaujímavá časť bola viditeľná. Teraz zostrojíme aproximáciu tejto krivky k dotyčnici v danom bode. Pre malé hodnoty h je známe: Z tohto geometrického hľadiska má táto aproximácia smernicu dotyčnice ako smernica tetivy spájajúca body na krivke, ktorej x-ové súradnice sú (x h) a (x + h). Použitím nástroja [Text a symboly] Číselná hodnota, je hodnota pre h definovaná, napr. v tomto prípade je 0.3, aby sa uľahčila konštrukcia. Hodnota h sa potom môže zmeniť na menšiu udávajúc lepšiu aproximáciu k dotyčnici. Ďalej zostrojte bod A na x-ovej súradnici, a stred kružnice A, polomer h. Kružnicu dostanete aktiváciou nástroja [Konštrukcie] Kružnica s polomerom a potom vyberte dĺžku úsečky h. Dva priesečníky kružnice s osou x má x-ové súradnice (x h) a (x + h), ak x je x-ovou súradnicou bodu A. Zostrojte 3 rovnobežky s y-ovou súradnicou ([Konštrukcie] Rovnobežka), ktoré prechádzajú dvoma priesečníkmi a bodom A. 13

14 Priesečníky týchto troch priamok s krivkou dávajú body B -, B, B +, ktoré sú bodmi krivky s x-ovou súradnicou (x h), x, a (x + h), v tomto poradí. Pretože útvar sa stáva neprehľadným, skryte tie prvky, ktoré už viac nepoužívate. Aktivujte nástroj [Atribúty] Skry/Ukáž a označte prvky, ktoré sa majú skryť. Tu by sme mali skryť P, M, dve priamky na konštrukciu bodu M, súradnice bodu P a hodnotu funkcie v bode P. Skryté útvary sú viditeľné ako vyznačené obrysy ( pochodujúce mravce ) a sú viditeľné iba vtedy, keď je aktívny nástroj [Atribúty] Skry/Ukáž. Ak chcete zviditeľniť útvar, len ho znova označte, keď je nástroj aktívny. Obrázok [Vľavo]. 3 body na krivke B -, B, B + s x-ovou súradnicou (x h), x, a (x + h) sú zostrojené. [Vpravo]. Aproximácia k dotyčnici v bode B, keď prvky konštrukcie sú skryté. Aproximácia k dotyčnici je teraz rovnobežník B- B+, ktorý prechádza bodom B. Konštrukcia naposledy spomenutej priamky sa vykonala nástrojom [Priamky] Priamka, potom rovnobežníka k nej nástrojom [Konštrukcie] Rovnobežka. Teraz skryte priamku prechádzajúcu cez B - B + a ostatné prvky konštrukcie, kým iba h, A, B, a dotyčnica v bode B sú viditeľné. Vidno, že hodnota h=0,3 už dáva veľmi dobrú aproximáciu k dotyčnici. A predsa ešte to môže byť vylepšené so znížením hodnoty h, napr. o 0,

15 Posunutím bodu A po x-ovej súradnici vidno polohu troch koreňov rovnice f(x) = 0, stacionárne body f a body sklonu krivky. Pre informáciu, 3 riešenia f(x) = 0 sú približne x-ové súradnice stacionárnych bodov sú e1 a e2: Bod sklonu je v (0,1/2). Cvičenie 3 Použitím smernice dotyčnice zostrojte aproximujúci graf ku krivke funkcií smernice. Cvičenie 4 * Dotyčnica pretína x-ovú os v bode A s x-ovou súradnicou x, ktorá je bežne lepšou aproximáciou ku koreňom, ak A už je v blízkosti, korene funkcie f(x) = 0. Toto tvrdenie je základom iteračnej metódy známej ako metóda Newtona Raphsona na zistenie koreňov rovnice. Zostrojte bod A potom jeho opätovný bod A rovnakou metódou, a porovnajte polohu A s polohou A. Zrejme dve polohy nájdené pre A sú iné než sú 3 korene, pre ktorých A a A sú zhodné. Pre informáciu sú to reálne korene polynómu stupňa 6, ktorých hodnoty sú približne 0,56293 a 0, Tiež vidno, že chybná voľba bodu A môže spôsobiť nezhodu pre metódy s voľbou bodu A tak, že A jedným z dvoch bodov, kde derivát je nulový. 15

16 Obrázok Prvé dve iterácie Newtonovej 1 -Raphsonovej 2 začiatkom z bodu A. metódy so Poznámka : Rovnaký graf môžete získať rovno použitím nástroja [Meranie] Použi výraz. 1 Sir Isaac Newton, Joseph Raphson,

17 K A P I T O L A 3 POKRAČOVANIE ROZKLADY ROVINY Teraz zostrojíme niekoľko rozkladov roviny na mozaiky pomocou n-uholníkov. Začnime niekoľkými jednoduchými definíciami, ktoré sú postačujúce pre ďalšiu prácu. Môžete nájsť referencie v prácach Tilings and Patterns (Mozaiky a modely) od Branka Grünbauma a G.C. Shepherda, Freeman Veľký počet internetových stránok Vám dáva informácie o rozkladoch roviny a grupách súmernosti. Množina útvarov v uzavretej rovine sa nazýva rozklad roviny, ak vnútorné časti sa neprekrývajú a zjednotenie všetkých zahrnutých častí roviny pokryjú celú rovinu. Tieto útvary roviny sa nazývajú mozaikami rozkladu roviny. Hranicu dvoch mozaík, ktorá môže byť úsečka alebo krivka, sa nazýva hrana a priesečník dvoch alebo viac mozaík v jednom bode sa nazýva vrchol. Pre rozklad množiny P, píšeme S(P) pre izometriu f takej roviny, pre ktorú obraz každej mozaiky P pod f je mozaika P. S(P) je grupa nazývaná grupa súmernosti rozkladu množín. Uvedieme niekoľko príkladov pre takú grupu: S(P) neobsahuje posunutia. S(P) je potom izometrická na cyklickú grupu (možno redukovanej na jednotkový prvok/prvok identity) generovanej otáčaním cez 2π/n, alebo na klinovú grupu (uhol, ktorý zvierajú pretínajúce sa roviny), ako grupa súmernosti pravidelného n-uholníka s n stranami. S(P) obsahuje posunutia, ktoré sú kolineárne. S(P) je potom izomorfná s jednou zo siedmych grúp ornamentov. S(P) obsahuje dve vektorové posunutia, ktoré nie sú kolineárne. Potom S(P) je izomorfná k jednej zo 17 tapetových grúp (alebo kryštalografických grúp roviny), a rozklad roviny sa považuje za periodický. 17

18 Ak všetky mozaiky rozkladu roviny dostaneme ako izometrie jedinej mozaiky, rozklad roviny budeme nazývať monohedrickým rozkladom. V tejto časti nás budú zaujímať iba prípady monohedrických rozkladov rovín mozaikami, ktoré sú n-uholníkmi. Najprv zostrojíme monohedrický rozklad roviny trojuholníkom. Zostrojte všeobecný trojuholník ABC, použitím nástroja [Priamky] Trojuholník, potom stred I jednej strany trojuholníka, zvoľme BC použitím nástroja [Konštrukcie] Stred. Nech D je obrazom A v stredovej súmernosti I, ktorý je vytvorený pomocou nástroja [Zobrazenia] Stredová súmernosť výberom najprv A, ktorého chceme vytvoriť obraz v stredovej súmernosti, potom stredu I. Obrázok Obraz trojuholníka ABC sa vytvorí v otáčaní o 180 so stredmi v strede jednej strany trojuholníka, (tu BC ). Dostaneme rovnobežník ABDC. Štvoruholník ABDC je rovnobežníkom a môže sa použiť na rozklad roviny. Teraz sa vytvoria dva vektory pomocou nástroja [Priamky] Vektor, a ich použitím sa zdvojujú trojuholníky ABC a BCD pomocou nástroja [Zobrazenia] Posunutie. 18

19 Obrázok Použitím nástroja [Zobrazenia] Posunutie sa vytvoria obrazy dvoch trojuholníkov v posunutí o vektory AB a AC. Rovnaký postup môžete použiť na rozklad roviny ľubovoľným štvoruholníkom, konvexným alebo podobným, ale nie s prekrižujúcimi sa stranami. Obraz štvoruholníka sa vytvorí v otáčaní okolo stredu jeho jednej strany. Dostanete šesťuholník, ktorého protiľahlé strany sú rovnobežné, čo môžete využiť na rozklad roviny pomocou posunutia. Obrázok Rovnaký typ konštrukcie sa používa na rozklad roviny ľubovoľným štvoruholníkom, konvexným alebo konkávnym, ak to nie je štvoruholník s prekrižujúcimi sa stranami. Pre iné konvexné n-uholníky je situácia oveľa komplikovanejšia. Môžeme ukázať, že nie je možný rozklad roviny s n-uholníkom s viac ako 6 stranami. Na rozklad roviny existujú tri typy konvexných šesťuholníkov, aspoň 14 typov konvexných päťuholníkov, tak že každý 19

20 typ je definovaný množinou obmedzení na uhly a strany. V súčasnosti sa ešte stále nevie, či 14 známych typov reprezentuje úplné riešenie problému. Posledný zo 14 bol objavený v roku Podľa našich vedomostí otázka konkávnych n-uholníkov sa ešte nevyriešila. Cvičenie 5 Zostrojte konvexný päťuholník ABCDE s danými obmedzeniami: uhol v bode A je 60, v C je 120, AB = AE, CB = CD. Tieto obmedzenie nedefinujú päťuholník, ale rodinu päťuholníkov. Pre konštrukciu existujú aspoň tri nezávislé body. Obrázok Konštrukcia päťuholníka s obmedzeniami: Â = 60, C = 120,AB = AE, a CB = BD. A, B, a C sú nezávislé body roviny. Otáčajte postupne okolo bodu A uhol 60 použitím nástroja [Zobrazenia] Otočenie. Tento nástroj vyžaduje výber: útvaru na otáčanie, uhol, a stred otáčania, aby sme zostrojili kvet so 6 pentagonálnymi lupienkami. Uhol je číslo na výkrese, ktoré sa v predchádzajúcom vytvorilo pomocou nástroja [Text a symboly] Číselná hodnota. Obrázok Základný päťuholník sa zdvojuje otáčaním okolo stredu A, o uhol 60, a vytvorí sa lupienkový kvet. 20

21 Tieto kvety môžu byť pospájané pomocou posunutia na rozklad roviny. Rozklad roviny je typu 5 podľa klasifikácie danej knihy Rozklady rovín a Modely/Tilings and Patterns. Prvýkrát bola publikovaná p. K. Reinhardtom v r Tieto rozklady rovín nie sú monohedrické, to znamená, že všetky mozaiky sú totožné v rámci izometrie, ale sú takisto izohedrické: všetky päťuholníky sú obklopené rovnakým modelom päťuholníkov v rozklade roviny. Obrázok sú pospájané pomocou posunutia na pokrytie roviny. Cvičenie 6 Zostrojte päťuholník ABCDE s obmedzeniami: Obrázok Päťuholník typu 10, podľa klasifikácie knihy Rozklady rovín a Modely/Tilings and Patterns. Tento päťuholník je základom monohedrického rozkladu roviny. Body A a E sú nezávislými bodmi roviny a bod I je voľný na posunutie po oblúku kružnice. 21

22 Rozklad roviny je zostrojený najprv vytvorením troch kópií súboru pomocou po sebe nasledujúcich otáčaní o 90 okolo bodu E, aby sme dostali zrezaný štvorec. Tieto štvorce sa potom pospájajú do pásov pomocou posunutia v jednom smere. Pásy štvorcov sa oddelia pásmi päťuholníkov, ako je to uvedené nižšie. Obrázok Monohedrický rozklad množiny konvexným päťuholníkom. Tento rozklad bol vytvorený p. Richardom E. Jamesom III, po publikácii článku p. Martina Gardnera v Scientific American v Úplný článok nájdete v Time travel and other mathematical bewilderments, Martin Gardner, Freeman